Sesin 05EL CONCEPTO DE FUNCINDefinicin de funcin Grfica de funcin Funcin constante Funcin lineal Funcin cuadrtica Funciones Polinomicas y racionalesDocente : Alberto Henry Ulloa Lpez *

*Aplica el concepto de funcin y las operaciones aritmticas esenciales para la solucin de ejercicios planteados.CAPACIDADES INDICADORES Resuelve funcin y las operaciones aritmticas esenciales para la solucin de ejercicios planteados.

xPara cada elemento x de D, el elemento correspondiente y en R es el valor de f en x, denotado por f (x).f (x) = y Definicin de Funcin*

Una funcin es como una mquina: tiene una entrada y una salida.Y lo que sale est relacionado de alguna manera con lo que entra.

QU ES UNA FUNCIN?*

Considere una funcin: y = f(x)

x: se denomina variable independiente (toma cualquier valor del dominio)

y: se denomina variable dependiente (porque su valor depende de x)Pares ordenados:

As que (4,16) significa que la funcin toma "4" y devuelve "16.

*

EjemploLuego evalu f (-10), g(-3), h(17) y u(-2)*

Grfica de una FuncinLa grafica de f tambin nos permite tener una imagen del dominio y del rango de f sobre el eje x y el eje y respectivamente.xyf (1)f (2)f (x)(x,f (x))12x0xyy = f (x)0*

Una funcin es un conjunto f de pares ordenados (x; y) o (x; f(x)), donde no existen dos pares con el mismo primer elemento.

Siguiendo adems la regla o el criterio de la recta vertical que nos asegura que al trazarla cortar a la grafica de la funcin solo una vez. Otras formas: definicin de funciones*

Reconocimiento grfico de funciones*

Grfico1

16

9

4

1

0

1

4

9

16

25

y=x^2

y = x2

Hoja1

xy=2x+2

-4-6

-3-4

-2-2

-10

02

14

26

38

410

512

xy=x**2

-416

-39

-24

-11

00

11

24

39

416

525

xy=sqrt(r**2-x**2)

-200

-11.7320508076-1.7320508076

02-2

11.7320508076-1.7320508076

200

xy=x

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

00

11

22

33

44

55

xy=2

-42

-32

-22

-12

02

12

22

32

42

52

xy=-x**2+3x+1

-4-27

-3-17

-2-9

-1-3

01

13

23

31

4-3

5-9

6-17

7-27

xy=x**2-2x+1

-425

-316

-29

-14

01

10

21

34

49

516

625

736

xy=|x|

-44

-33

-22

-11

00

11

22

33

44

-4

-3

-2

-1-6

0-6

1-61

22-5

3-8

4-11

Hoja1

Hoja2

y=x^2

y = x2

Hoja3

y=x

y = x

y=2

y = x2

y=x^2+3x+1

y = -x^2+3x+1

y=x^2-2x+3

y = -x^2-2x+1

y=|x|

Grfico2

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

Hoja1

xy=2x+2

-4-6

-3-4

-2-2

-10

02

14

26

38

410

512

xy=x**2

-416

-39

-24

-11

00

11

24

39

416

525

xy=sqrt(r**2-x**2)

-200

-11.7320508076-1.7320508076

02-2

11.7320508076-1.7320508076

200

xy=x

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

00

11

22

33

44

55

xy=2

-42

-32

-22

-12

02

12

22

32

42

52

xy=-x**2+3x+1

-4-27

-3-17

-2-9

-1-3

01

13

23

31

4-3

5-9

6-17

7-27

xy=x**2-2x+1

-425

-316

-29

-14

01

10

21

34

49

516

625

736

xy=|x|

-44

-33

-22

-11

00

11

22

33

44

-4

-3

-2

-1-6

0-6

1-61

22-5

3-8

4-11

Hoja1

Hoja2

y=x^2

y = x2

Hoja3

y=x

y = x

y=2

y = x2

y=x^2+3x+1

y = -x^2+3x+1

y=x^2-2x+3

y = -x^2-2x+1

y=|x|

*

La prueba de la lnea vertical

En un grfico, la idea deunivaluadasignifica que ninguna lnea vertical cruza ms de una vez.Si algunacruzara ms de una vezno serauna funcin.

No son funciones Reconocimiento grfico de funciones*

Grfico3

0-2.2360679775

1-2

1.4142135624-1.7320508076

1.7320508076-1.4142135624

2-1

2.23606797750

y=x^2

y2= x

Hoja1

xy=2x+2

-4-6

-3-4

-2-2

-10

02

14

26

38

410

512

xy=x**2

-416

-39

-24

-11

00

11

24

39

416

525

xy=sqrt(r**2-x**2)

-200

-11.7320508076-1.7320508076

02-2

11.7320508076-1.7320508076

200

xy=x

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

00

11

22

33

44

55

xy=2

-42

-32

-22

-12

02

12

22

32

42

52

xy=-x**2+3x+1

-4-27

-3-17

-2-9

-1-3

01

13

23

31

4-3

5-9

6-17

7-27

xy=x**2-2x+1

-425

-316

-29

-14

01

10

21

34

49

516

625

736

xy=|x|

-44

-33

-22

-11

00

11

22

33

44

-4

-3

-2

-1-6

0-6

1-61

22-5

3-8

4-11

xy=x**2

5-2.2360679775

4-2

3-1.7320508076

2-1.4142135624

1-1

000

11

21.4142135624

31.7320508076

42

52.2360679775

Hoja1

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

Hoja2

16

9

4

1

0

1

4

9

16

25

y=x^2

y = x2

Hoja3

00

1.7320508076-1.7320508076

2-2

1.7320508076-1.7320508076

00

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y=x

y = x

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y=2

y = x2

-27

-17

-9

-3

1

3

3

1

-3

-9

-17

-27

y=x^2+3x+1

y = -x^2+3x+1

25

16

9

4

1

0

1

4

9

16

25

36

y=x^2-2x+3

y = -x^2-2x+1

4

3

2

1

0

1

2

3

4

y=|x|

000

000

00

00

00

00

00

00

00

y=x^2

y2= x

Reconocimiento grfico de funciones*

*

Ejemplo 2.1. Representar las funcionesy = x 3 y = 2x + 3 y = x + 3 y = 2x + 1*

Funciones cuadratica*

*

*

*

Para la funcin f, cuyo grfico se muestra, determine: dominio, rango, los intervalos donde la funcin es positiva o negativa y los intervalos de crecimiento y decrecimiento Ejemplo 3*

*

*

*

*

Funciones polinomiales*

Grficas polinomialesLa grfica de una funcin polinomial f es una curva suave y continua que se extiende desde el extremo izquierdo del eje x hasta el derecho.Ejemplo 1:Dada la funcin f con f(x)= (x-3)(x+1)3(x-1)2Halle las races realesHalle las intersecciones con el eje y.Determine los intervalos donde la grfica est sobre el eje x.Determine los intervalos donde la grfica est debajo del eje x.Trace un bosquejo de la grfica de f.*

Ejemplo 2:Realice un bosquejo de la grfica de f(x)= 3x4+x3-2x2*

Grfica:

*

Aplicacin La funcin polinomial definida por:A (x) = -0,015x3 + 1,058x; Da la concentracin aproximada de alcohol (en dcimos de porcentaje) en la sangre de una persona promedio, x horas despus de tomar cerca de 8 onzas de whisky grado 100. La funcin es aprximadamente vlida para 0x8.Dibuje la grfica de A(x).*

Funcin RacionalUna funcin racional es aquella cuya regla de correspondencia es el cociente de dos polinomios. Se escribe:

En especial, una funcin racional lineal es aquella en la que su numerador y denominador son polinomios constantes o de primer grado.*

Determine la grfica de:Solucin 1:1. Asntotas:Vertical: x = -1Horizontal: y = 02. Tabulacin:X tiende a 1; f(x) se vuelve cada vez ms grande*

x-1,5 -1,2-1,1-1,01-.99-.90-.80-.05-4-10-20-20020020104

f(x) tiende a 0; x se vuelve cada vez ms grande*

x-101 -11-20999-.02-.20-22.20.02

Aplicacin Ciencias Naturales En muchas situaciones de contaminacin ambiental, gran parte de los contaminantes puede eliminarse del aire o agua a un costo bastante razonable, pero tal vez sea muy caro eliminar la ltima y pequea parte del contaminante.*

Suponga que una funcin de costo-beneficio est dada por:

donde f es el costo (en miles de dlares) de remover x porcentaje de un cierto contaminante. Cul ser el dominio de esta funcin?Cunto costara remover todo?80%?90%??95%? Esboce la grfica.Qu porcentaje podr eliminarse con $50 000?*

*

AdministracinEn Administracin, las funciones de producto-intercambio dan la relacin entre cantidades de dos artculos que pueden ser producidas por la misma mquina o fbrica. Por ejemplo, una vinatera puede producir vino tinto, vino blanco o una combinacin de los dos. Analicemos el siguiente ejemplo:*

La funcin de producto-intercambio para la vincola Uva Dorada de vino tinto x y vino blanco y, en toneladas es :

Trace la grfica de la funcin y encuentre la cantidad mxima de cada tipo de vino que puede ser producido.

Donde ocurre el valor de y mximo? para esa funcin de producto - intercambio. *

*

*******