odlučivanjeodlucivanje.fon.bg.ac.rs/wp-content/uploads/to_praktikum...predgovor praktikum...

Praktikum

ODLUČIVANJE

Suknović, Delibašić, Jovanović, Vukićević, Radovanović


Odlučivanje - praktikum

Fakultet organizacionih nauka

Beograd, 2019. god


Naziv knjige: „Odlučivanje – praktikum“ Autori: prof. dr Milija Suknović, prof. dr Boris Delibašić, doc. dr Miloš Jovanović, doc. dr Milan Vukićević, Sandro Radovanović Recenzenti: prof. dr Milan Martić prof. dr Dragana Bečejski-Vujaklija Izdavač: Fakultet organizacionih nauka, Beograd, Jove Ilića 154 Korice: Milan Vukićević Format: A4 Broj strana: ISBN: 978-86-7680-358-3

Predgovor

Praktikum Odlučivanje je nastao u okviru Centra za poslovno odlučivanje Fakulteta organizacionih nauka,

Univerziteta u Beogradu. Osnovni cilj koji su autori želeli da ostvare pisanjem ovog praktikuma jeste da

omoguće studentima da usvoje i generalizuju koncepte odlučivanja kroz rešavanje brojnih praktičnih

problema. Ostvarivanjem ovog cilja studenti treba da budu u mogućnosti da prepoznaju i karakterišu

probleme odlučivanja u poslovnoj praksi, kao i da rešavaju ove probleme odgovarajućim metodama i

tehnikama. Praktikum je pre svega namenjen studentima osnovnih studija Fakulteta organizacionih

nauka, koji slušaju nastavu na predmetu Teorija odlučivanja, ali i drugim zainteresovanim studentima, kao

i stručnjacima iz oblasti. Oblasti pokrivene praktikumom uključuju višekriterijumsku analizu odlučivanja,

teoriju korisnosti, teoriju preferencija, analizu odlučivanja i rizika, kvalitativne modele odlučivanja, modele

odlučivanja na bazi istorijskih podataka i grupno odlučivanje. Posebna pažnja je posvećen detaljnom

objašnjenju najpopularnijih metoda kao što su: AHP, VIKOR, PROMETHEE, DEX, ID3, Borda i Kondorset itd.

Dodatno, posebna pažnja je posvećena objašnjenju intuicije modela i metoda kroz praktične primere.

Sadržaj praktikuma, kao i način predstavljanja i rešavanja problema je nastao u kolaboraciji autora,

stručnjaka iz prakse i studenata kroz istraživanje u okviru projekta Unapređenja predmeta vezanih za

nauku o podacima i odlučivanje na Fakultetu organizacionih nauka, finansiranom od strane Ministarstva

prosvete, nauke i tehnološkog razvoja, Republike Srbije.

bookmark://_Toc12997336/


Recenzija

Teorija odlučivanja je interdisciplinarana nauka koja prožima sve aspekte poslovanja, ali i svakodnevnog

života, oslanja se kako na tehničke nauke kao što su Operaciona istraživanja, Nauka o pačunarima, Nauka

o podacima, tako i na društvene kao što su Psihplogija i Sociologija. Zbog toga Teorija odlučivanja postavlja

pred predavače svojevrsne izazove kao što su: izbor oblasti i metoda, nivo matematičkog formalizma i

detalja opisa metoda, izbor praktičnih primera itd.

U ovom praktikumu autori su uspeli da na sistematičan način predstave izazove koji se postavljaju pred

moderne donosioce odluka. Autori su na pažljiv i sistematičan način birali oblasti i metode, na osnovu

dugogodišnjeg iskustva u radu sa studentima, kao i formalnog istrživanja koje su sproveli neposredno pre

početka pisanje samog materijala. Veoma je bitno da je ovo istraživanje uključilo kako stručnjake iz oblasti

tako i studente. Na taj način autori su prilagodili sadržaj i način prezentacije ovog materijala, potrebama

tržišta ali i percipiranim teškoćama u savladavanju materijala na osnovu informacija koje su dobili od

studenata.

Sve oblasti su pokrivene primerima kroz koje se jasno objašnjavaju matematička formalizmi ali i intuicija

samih metoda i modela odlučivanja. Praktikum pokriva oblasti individualnog (višekriterijumskog) i

grupnog odlučivanja, preferencija i korisnosti, rizika, kvalitativnih modela odlučivanja, kao i odlučivanja

koje je bazirano na analizi istorijskih podataka.

Zbog svega navedenog očekujem da će ovaj praktikum omogućiti studentima lakše savladavanje gradiva,

razumevanje i generalizaciju koncepata na predmetu Teorija odlučivanja ali da može pomoći i domenskim

stručnjacima pri donošenju odluka.

Prof. dr Milan Martić,

Redovni profesor Fakulteta organizacionih Nauka, Univerziteta u Beogradu.

Juna 2019.

______________________________________

Recenzija

Proces donošenja odluka je kroz istoriju uvek bio jedan od ključnih procesa na kome se zasniva uspeh

organizacija. U vreme ubrzanog razvoja informaciono-komunikacionih tehnologija (društvene mreže,

“pametne” aplikacije i uređaji itd.) i automatizacije poslovanja proces donošenja odluka postaje sve

kompleksniji. Dodatno, moderni uslovi poslovanja i globalna konkurencija zahtevaju donošenje sve većeg

broja odluka, u sve kraćim vremenskim periodima, zbog čega je Odlučivanje kao naučna i privredna oblast

predmet sve većeg interesovanja.

Ovim praktikumom autori doprinose razvoju kritičkog mišljenja i kreativnosti u rešavanju problema

odlučivanja. Praktikum pokriva i detaljno razrađuje bazične koncepte odlučivanja, kao što su korisnost,

rizik i preferencije i neke od najpopularnijih metoda višekriterijumskog odlučivanja kao što su AHP i VIKOR.

Dodatno, kroz rešavanje zadataka student se uvodi u oblast Ekspertskih sistema, Sistema za podršku

odlučivanju i Mašinskog učenja. Autori prepoznaju sve veću potrebu za integracijom kvantitativnih

metoda, domenskog znanja eksperata i odlučivanja u grupama i kroz primere ove integracije obezbeđuju

čitaocima dobru osnovu za razumevanje naprednih metoda i tehnika odlučivanja.

Prof. dr Dragana Bečejski-Vujaklija,

Vanredni profesor (u penziji) Fakulteta organizacionih Nauka, Univerziteta u Beogradu.

Juna 2019.

______________________________________


Sadržaj

Višekriterijumska analiza odlučivanja (VKAO) .............................................................................................. 1

Višekriterijumsko iterativno kompromisno rangiranje (VIKOR) ................................................................. 16

Teorija i funkcije korisnosti ......................................................................................................................... 28

Metoda Analitičkih hijerarhijskih procesa (AHP) ........................................................................................ 39

Prometej (Promethee) metoda................................................................................................................... 58

Analiza rizika i Analiza odlučivanja .............................................................................................................. 72

Odlučivanje na osnovu pravila .................................................................................................................... 81

Stabla Odlučivanja..................................................................................................................................... 108

Grupno odlučivanje ................................................................................................................................... 135


1

Višekriterijumska analiza odlučivanja (VKAO)

Nastava:

1. Zadatak

Potrebno je zaposliti novog junior marketing stručnjaka za potrebe sprovođenja kampanja unutar firme.

Raspisan je konkurs na koji se javio veći broj kandidata. Nakon prvog razgovora sa njima izdvojeno je šest

kandidata sa sledećim osobinama

Radno iskustvo (u mesecima)

Znanje (ocena 1-10)

Tražena plata (u 100 x €)

Fakultet (ocena 1-10)

Ivan 3 4 3 10 Jelena 12 5 6 7 Marija 16 9 10 10 Stefan 9 7 7 5 Milan 10 5 6 6 Katarina 0 2 2 5

Prilikom formiranja konkursa odredili smo težine kriterijuma i one iznose:

Radno iskustvo Znanje Tražena plata Fakultet

5 4 3 4

a) Filtrirati alternative ukoliko je DO zadao sledeći željeni nivo vrednosti:


3 4 10 5

b) Filtrirati kandidate koji predstavljaju dominirane alternative.

c) Odrediti najprihvatljiviju alternativu ukoliko je DO zadao sledeći nivo željenih vrednosti:


12 5 7 6

d) Odrediti najprihvatljiviju alternativu ukoliko je DO zadao redosled važnosti kriterijuma:

Znanje >> Radno iskustvo >> Tražena plata >> Fakultet

e) Odrediti najprihvatljiviju alternativu ukoliko je DO zadao drugačiji redosled važnosti kriterijuma:

Fakultet >> Tražena plata >> Znanje >> Radno iskustvo

f) Odrediti najprihvatljiviju alternativu primenom otežane sume. Podatke normalizovati 𝐿∞

normom.


2

g) Da li dolazi do promene u rangovima alternativa ukoliko se težina kriterijuma Tražena plata poveća

na 0,5?

Rešenje:

a) Primenom konjuktivne metode dobijamo:


Znanje (ocena 1-10)



Ivan 3 4 3 10 Jelena 12 5 6 7 Marija 16 9 10 10 Stefan 9 7 7 5 Milan 10 5 6 6 Katarina 0 2 2 5

ŽNV 3 4 10 5


Znanje (ocena 1-10)



Zadovoljava

Ivan 1 1 1 1 T Jelena 1 1 1 1 T Marija 1 1 1 1 T Stefan 1 1 1 1 T Milan 1 1 1 1 T Katarina 0 0 1 1 N

Katarina ne zadovoljava željeni nivo vrednosti, te nju možemo izuzeti iz daljeg razmatranja.

b) Poredeći kandidate Milana i Jelenu možemo ustanoviti da je Milan dominirana alternativa.


Znanje (ocena 1-10)



Jelena 12 5 6 7 Milan 10 5 6 6

Drugim rečima, možemo izuzeti Milana iz daljeg razmatranja.

c) Primenom disjunktivne metode dobijamo:


Znanje (ocena 1-10)



Ivan 3 4 3 10 Jelena 12 5 6 7 Marija 16 9 10 10 Stefan 9 7 7 5

ŽNV 12 5 7 6


3


Znanje (ocena 1-10)



Zadovoljava

Ivan 0 0 1 1 2

Jelena 1 1 1 1 4

Marija 1 1 0 1 3 Stefan 0 1 1 0 2

Najprihvatljivija alternativa je Jelena.

d) Primenom leksikografske metode dobijamo da je najprihvatljivija alternativa Marija.

e) Primenom leksikografske metode dobijamo da je najprihvatljivija alternativa Ivan.

f) Rešenje je sledeće:

Invertovanje Radno iskustvo Znanje Tražena plata Fakultet

Ivan 3 4 0,333 10 Jelena 12 5 0,167 7 Marija 16 9 0,1 10 Stefan 9 7 0,143 5

max 16 9 0,333 10

Normalizacija Radno iskustvo Znanje Tražena plata Fakultet

Ivan 0,188 0,444 1 1 Jelena 0,75 0,556 0,502 0,7 Marija 1 1 0,3 1 Stefan 0,563 0,778 0,429 0,5

Vrednosti težina su:


0,313 0,25 0,188 0,25

Otežana tab. odl. Radno iskustvo Znanje Tražena plata Fakultet

Ivan 0,059 0,111 0,188 0,25 Jelena 0,235 0,139 0,094 0,175 Marija 0,313 0,25 0,056 0,25 Stefan 0,176 0,195 0,081 0,125

Otežana suma

Ivan 0,608 Jelena 0,643 Marija 0,869 Stefan 0,577

Najprihvatljivija alternative je Marija.


4

g) Nove težine iznose:


0,192 0,154 0,5 0,154

Dobijamo sledeću otežanu tabelu odlučivanja:

Otežana tab. odl. Radno iskustvo Znanje Tražena plata Fakultet Ivan 0,036 0,068 0,5 0,154 Jelena 0,144 0,086 0,251 0,108 Marija 0,192 0,154 0,15 0,154 Stefan 0,108 0,12 0,215 0,077

Konačno rešenje je:

Otežana suma


Dolazi do promene u rangovima alternativa. Odnosno, najprihvatljivija alternativa nakon promene težina

kriterijuma jeste Ivan.

•

2. Zadatak

Tim marketing stručnjaka je odredio moguće strategije za promociju proizvoda. Razmatrali su sve moguće

opcije komunikacije sa korisnicima i nakon analize tržišta odredili su sledeće kriterijume: Troškovi

kampanje (želimo da budu što niži), Broj ljudi koje ćemo kontaktirati (želimo da bude što veći) i Trajanje

kampanje (želimo da bude što veće). Popunjena je sledeća tabela odlučivanja:

Troškovi (u 100.000 x €)

Broj ljudi (u 100.000)

Trajanje (u danima)

Agresivno TV 8 6,7 10 TV + Radio 5 4,2 15 Društvene mreže 7 1,9 30 Novine + Radio 4 3,7 7

Pored mogućih strategija tim je odredio i važnosti za svaki od kriterijuma.

Troškovi Broj ljudi Trajanje

0,5 0,25 0,25


5

a) Odrediti najprihvatljiviju alternativu ako je DO zadao željeni nivo vrednosti.


5 3 15

b) Odrediti najprihvatljiviju alternativu ukoliko je DO zadao redosled važnosti kriterijuma:

Troškovi >> Broj ljudi >> Trajanje

c) Odrediti najprihvatljiviju alternativu korišćenjem otežane sume. Podatke normalizovati

primenom 𝐿∞ norme.

d) Šta će se desiti sa redosledom alternative ukoliko se težina kriterijuma Troškovi smanji na 0,4?

Rešenje:

a) Najprihvatljivija alternativa je TV + Radio.

b) Najprihvatljivija alternativa je Novine + Radio.

c) Dobijaju se sledeće otežane sume:

Otežana suma

Agresivno TV 0,583 TV + Radio 0,682 Društvene mreže 0,607 Novine + Radio 0,696

d) Dobijaju se sledeće težine i otežane sume:

Težine:


0,4 0,3 0,3

Otežane sume:

Otežana suma

Agresivno TV 0,6 TV + Radio 0,658 Društvene mreže 0,614 Novine + Radio 0,636

•


6

3. Zadatak


Raspisan je konkurs na koji se javio veći broj kandidata. Nakon prvog razgovora sa njima izdvojeno je četiri



Znanje (ocena 1-10)






0,125 0,25 0,5 0,125

a) Ispitati da li postoji razlika u rangovima alternativa ukoliko se primeni otežana suma i otežani

proizvod. Podatke normalizovati 𝐿1 normom.

b) Ispitati da li postoji razlika u rangovima alternative ukoliko se primeni otežana suma i otežani

proizvod. Podatke normalizovati 𝐿2 normom.

c) Ispitati da li postoji razlika u rangovima alternative ukoliko se primeni otežana suma i otežani

proizvod. Podatke normalizovati 𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑖𝑛 normom.

d) Za zadatak pod a) za otežanu sumu, gradijentnom analizom za kriterijum Tražena plata ispitati

rangove alternative. Odrediti tačku preseka.

Rešenje:

a) Rešenje je sledeće:



sum 40 25 0,743 32




7

Otežana suma Otežani proizvod

Ivan 0,313 (1) 0,265 (1) Jelena 0,227 (3) 0,226 (2) Marija 0,247 (2) 0,220 (3) Stefan 0,214 (4) 0,210 (4)

Dolazi do promena u rangovima alternativa.

b) Rešenje je sledeće:



Koren sume kvadrata

22,136 13,077 0,411 16,553





Dolazi do promena u rangovima alternativa.

c) Rešenje je sledeće:

Bitno je obratiti pažnju na različite tipove ekstremizacije podataka.



MIN 3 4 10 5

MAX 16 9 3 10


8


Ivan 0 0 1 1 Jelena 0,692 0,2 0,571 0,4 Marija 1 1 0 1 Stefan 0,462 0,600 0,429 0



Dolazi do promene u rangovima alternativa.

d) Prvi korak je određivanje težina. Dobijaju se sledeće težine:

Radno iskustvo Znanje Tražena plata Fakultet 0,25 0,5 0 0,25

0 0 1 0

Dobijaju se sledeće otežane sume:

w(Tražena plata) Ivan Jelena Marija Stefan 0 0,177 0,230 0,358 0,235 1 0,448 0,225 0,135 0,192

Odatle dobijamo liniju prave za svaku alternativu.

a b

Ivan 0,271 0,177 Jelena -0,005 0,230 Marija -0,224 0,358 Stefan -0,043 0,235

Za Ivana i Mariju koji se nalaze na prvom rangu određujemo tačku preseka i dobijamo da je to 0,366.

Kompletan rezultat gradijentne analize je slika koja izgleda ovako:


9

•

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Ivan

Jelena

Marija

Stefan


10

Zadaci za vežbanje:

1. Zadatak

Firma koja se bavi logistikom želi da izabere novu lokaciju za distributivni centar. Nakon istraživanja tržišta

odredili su sledeće potencijalne lokacije.

Udaljenost (u km)

Parking (br. mesta)

Cena (u 1000 x €)

Opremljenost (ocena 1-10)

Meljak 25 20 12 6 Šimanovci 30 25 10 4 Voždovac 5 10 15 8 Banovo brdo 6 13 13 7

Određene su i težine kriterijuma i one iznose:

Udaljenost Parking Cena Opremljenost

0,2 0,2 0,3 0,3

a) Odrediti najprihvatljiviju alternativu ako je DO zadao redosled važnosti kriterijuma:

Cena >> Parking >> Udaljenost >> Opremljenost

b) Odrediti najprihvatljiviju alternativu ako je DO zadao željeni nivo vrednosti:


10 13 13 6

c) Odrediti najprihvatljiviju alternativu primenom otežane sume. Normalizaciju podataka raditi 𝐿∞

normom.

d) Ispitati da li dolazi do promene u rangovima alternativa ukoliko se primeni 𝐿2 norma.

Rešenje:

a) Najprihvatljivija alternativa je alternativa Šimanovci.

b) Dobijaju se sledeće vrednosti:

Zadovoljava

Meljak 3 Šimanovci 2 Voždovac 2 Banovo brdo 4

Najprihvatljivija alternativa je Banovo brdo.


11

c) Dobijaju se sledeće otežane sume:

Otežana suma

Meljak 0,674 Šimanovci 0,683 Voždovac 0,781 Banovo brdo 0,765

Najprihvatljivija alternativa je Voždovac.

d) Nakon primene 𝐿2 norme dobijaju se sledeće otežane sume:

Otežana suma


Možemo zaključiti da ne dolazi do promene u rangovima alternativa.

•

2. Zadatak

Firma želi da uzme kredit za razvoj kupovinu nove mašine za proizvodnju. Raspitali su se za uslove

kreditiranja u većem broju banki. Izbor su sveli na sledeće banke.

Kamata (u %)

Rok odobrenja (u danima)

Kolateral (u 10.000 x €)

Grejs period (u mesecima)

Hapi kredit 9 10 10 2 Zelena banka 6 15 15 6 Zadnja šansa 13 7 3 1 Psy banka 10 5 5 1

Poznate su i težine kriterijuma koje iznose:

Kamata Rok odobrenja Kolateral Grejs period

0,4 0,1 0,3 0,2

a) Odrediti najprihvatljiviju alternativu ukoliko je DO zadao redosled važnosti kriterijuma:

Kolateral >> Kamata >> Rok odobrenja >> Grejs perios

b) Odrediti najprihvatljiviju alternative primenom otežanog proizvoda. Za normalizaciju podataka

koristiti 𝐿∞ normu.


12

c) Šta ako pregovaranjem sa Zadnjom šansom uspemo da produžimo Grejs period na dva meseca?

Da li dolazi do promene u rangovima alternative (postupak rešavanja identičan kao u delu

zadatka pod b)?

d) Gradijentnom analizom (sa početnom tabelom odlučivanja) za kriterijum Kamata ispitati koje

alternative i u kojem opsegu težina su prvorangirane. Za agregaciju koristiti otežanu sumu.

Podatke normalizovati 𝐿∞ normom.

Rešenje:

a) Najprihvatljivija alternativa je Zadnja šansa.

b) Dobijaju se sledeći otežani proizvodi:

Otežani proiz.

Hapi kredit 0,443 Zelena banka 0,554 Zadnja šansa 0,496 Psy banka 0,489

Najprihvatljivija alternativa je Zelena banka.

c) Nakon promene vrednosti za Grejs period alternative Zadnja šansa na 2 dobijamo sledeće

otežane proizvode:

Otežani proiz.


Najprihvatljivija alternativa postaje Zadnja šansa.

d) Dobijaju se sledeće otežane sume:

Kamata Hapi kredit Zelena banka Zadnja šansa Psy banka

0 0,344 0,489 0,73 0,523 1 0,665 1 0,461 0,599


13

Grafički dobijamo:

Primećujemo da je Zadnja šansa prihvatljivija alternativa za niže vrednosti težine Kamate, dok za veće

težine prihvatljivija je alternativa Zelena banka.

Tačka preseka je 0,256.

•

3. Zadatak

Javno preduzeće je raspisalo tender za nabavku softverskog rešenja za Registar odlikovanja. Na osnovu

konkursne dokumentacije sastavljena je tabela odlučivanja.

Cena (u 1.000 x €)

Rok isporuke (u mesecima)

Tehnologija (ocena 1-10)

Iskustvo (br. projekata)

Sopstveni res. 2 3 3 3 Aga 12 1 10 15 DotTrade 10 1 8 11 Blue & Red Tree 15 2 9 16


Cena Rok isporuke Tehnologija Iskustvo

0,5 0,2 0,1 0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Otežane sume

Hapi kredit Zelena banka Zadnja šansa Psy banka


14

a) Odrediti najprihvatljiviju alternativu ukoliko je DO zadao nivo željenih vrednosti.


10 2 8 10

b) Odrediti najprihvatljiviju alternativu primenom otežane sume. Podatke normalizovati 𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑖𝑛

normom.

c) Odrediti najprihvatljiviju alternative primenom otežane sume. Podatke normalizovani 𝐿1

normom.

d) Da li dolazi do promene u rangovima alternativa u b) I c) ukoliko je vrednost težine za kriterijum

Cena jednaka 0,4.

Rešenje:

a) Dobijaju se sledeće vrednosti:

Zadovoljava

Sopstveni res. 1 Aga 3 DotTrade 4 Blue & Red Tree 3

Najprihvatljivija alternativa je DotTrade.

b) Dobijaju se sledeće otežane sume:

Otežana suma

Sopstveni res. 0,5 Aga 0,601 DotTrade 0,587 Blue & Red Tree 0,386

Najprihvatljivija alternativa je Aga.

c) Primenom 𝐿1 normalizacije podataka dobijamo sledeće otežane sume:

Otežana suma

Sopstveni res. 0,381 Aga 0,227 DotTrade 0,214 Blue & Red Tree 0,181

Najprihvatljivija alternativa je Sopstveni resursi.


15

d) Nove vrednosti težina su:


0,4 0,24 0,12 0,24

Otežane sume su sledeće:

Otežana suma max-min

Otežana suma

𝐿1 Sopstveni res. 0,4 0,323 Aga 0,674 0,249 DotTrade 0,628 0,229 Blue & Red Tree 0,463 0,199

•


16

Višekriterijumsko iterativno kompromisno rangiranje (VIKOR)

Nastava:

1. Zadatak

Grad želi da izgradi liniju metroa. Raspisan je konkurs na koji se prijavio veći broj preduzeća. Nakon

inicijalne selekcije alternativa uz pomoć konjuktivne metode, formiran je uži krug građevinskih firmi.

Njihove ponude su date u sledećoj tabeli:

Troškovi (u 1M x €)

Kvalitet mat. (ocena 1-10)

Rok izgradnje (u mesecima)

Garantni rok (u mesecima)

Neimar 14 6 48 32 Brze pruge 10 5 36 36 BG MetroFront 20 8 16 30 German Rail 18 10 24 24

Prilikom formiranja konkursa DO je formirao težine kriterijuma i one iznose:

Troškovi Kvalitet mat. Rok izgradnje Garantni rok

0,4 0,2 0,3 0,1

a) Odrediti najprihvatljiviju alternativu korišćenjem otežane sume. Podatke normalizovati 𝐿∞

normom.

b) Odrediti najprihvatljiviju alternativu korišćenjem MAXIMIN i MAXIMAX metode. Podatke

normalizovati 𝐿∞ normom.

c) Odrediti najprihvatljiviju alternativu na osnovu kompromisa između otežane sume iz zadatka

pod a) i MAXIMIN metode iz zadatka pod b) ako je vrednost parametra v jednaka 0,7.

Normalizaciju pri kreiranju kompromisa vršiti 𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑖𝑛 (IKOR) normom.

d) Šta se dešava sa kompromisnim rešenjem alternative BG MetroFront ako se vrednost parametra

v smanji na 0,3.

Rešenje:

Zadaci pod a) i b) se u velikoj meri preklapaju, odnosno razlikuje im se samo korak agregacije. U tabeli

ispod su prikazane normalizovane vrednsti alternative po svakom od kriterijuma.

Norm. Troškovi Kvalitet mat. Rok izgradnje Garantni rok Neimar 0,71 0,6 0,333 0,889 Brze pruge 1 0,5 0,444 1 BG MetroFront 0,5 0,8 1 0,833 German Rail 0,56 1 0,667 0,667


17

Naredna tabela prikazuje otežanu normalizovanu tabelu odlučivanja.

Težinski normalizovana tab. odl.


Neimar 0,284 0,12 0,1 0,089 Brze pruge 0,4 0,1 0,139 0,1 BG MetroFront 0,2 0,16 0,3 0,083 German Rail 0,224 0,2 0,2 0,067

Na osnovu otežane, normalizovane tabele odlučivanja, dobijamo sledeća rešenja.

a) Otežana suma

Otežana suma

Neimar 0,593 Brze pruge 0,733 BG MetroFront 0,743 German Rail 0,691

Prvorangirana alternativa je BG MetroFront.

b) MAXIMIN i MAXIMAX metoda

MAXIMIN MAXIMAX

Neimar 0,089 0,284 Brze pruge 0,1 0,4 BG MetroFront 0,083 0,3 German Rail 0,067 0,224

Prema obe metode prvorangirana alternativa je alternativa Brze pruge.

c) Uspostavljamo kompromis između otežane sume (strategija S) i MAXIMIN metode (strategija R).

Dobijamo:

Normalizacija Otežana suma (S)

MAXIMIN (R)

Neimar 0 0,667 Brze pruge 0,933 1 BG MetroFront 1 0,485 German Rail 0,653 0

v 0,7 0,3


18

Otežana suma (S)

MAXIMIN (R)

Q

Neimar 0 0,2 0,2 Brze pruge 0,653 0,3 0,953 BG MetroFront 0,7 0,146 0,846 German Rail 0,457 0 0,457

Prvorangirana alternativa je alternativa Brze pruge.

d) Nakon promene vrednosti parametra v na 0,3 dobijamo:

Q

Neimar 0,467 Brze pruge 0,98 BG MetroFront 0,64 German Rail 0,196

Vrednost strategije Q za alternativu BG MetroFront se smanjila sa 0,846 na 0,64.

2. Zadatak

Kompanija X želi da zaposli junior marketing stručnjaka za potrebe sprovođenja kampanja unutar firme.




Znanje (ocena 1-10)






0,2 0,1 0,4 0,3

a) Primenom otežane sume i MAXIMIN metode odrediti najprihvatljiviju alternativu. Normalizaciju

podataka raditi preko 𝐿1 norme.

b) Odrediti najprihvatljiviju alternativu na osnovu kompromisa između otežane sume i MAXIMIN

metode ako je parametra v iznosi 0,9. Normalizaciju prilikom kreiranja kompromisa raditi IKOR

normom.

c) Da li dolazi do promene u rangovima alternative ako se vrednost parametra v smanji na 0,25.


19

Rešenje:

a) Dobijamo sledeće otežane sume i vrednosti MAXIMIN metode.

Otežana suma (S)

MAXIMIN (R)

Ivan 0,304 0,015 Jelena 0,236 0,02 Marija 0,264 0,036 Stefan 0,197 0,028

Koristeći otežanu sumu prvorangirana alternativa je Ivan. Međutim, primenom MAXIMIN metode

prvorangirana alternativa je Marija.

b) Kompromisno rešenje koje dobijamo na osnovu rezultata iz a) i preko parametra v iznosi:

Q


Na osnovu kompromisa između otežane sume i MAXIMIN metode rešenje na prvom rangu je Ivan.

c) Nakon promene parametra v dobijamo:

Q


•

3. Zadatak





Znanje (ocena 1-10)






20


0,125 0,25 0,5 0,125

a) Primenom otežane sume i MAXIMIN metode odrediti najprihvatljivije alternative. Normalizaciju

podataka uraditi 𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑖𝑛 normom.

b) Uspostaviti kompromis između otežane sume (strategija S) I MAXIMIN (strategija R) ako je

vrednost parametra v jednaka 0,5.

c) Odrediti skup kompromisnih rešenja za zadatak pod b).

d) Sprovesti gradijentnu analizu parametra v.

Rešenje:

a) Nakon normalizacije podataka dobijamo:


Znanje (ocena 1-10)



Ivan 0 0 1 1 Jelena 0,692 0,2 0,571 0,4 Marija 1 1 0 1 Stefan 0,462 0,6 0,429 0

Vrednosti otežane sume i MAXIMIN metode iznose:

Otežana suma MAXIMIN

Ivan 0,625 0 Jelena 0,473 0,05 Marija 0,5 0 Stefan 0,423 0

b) Prilikom uspostavljanja kompromisa imamo nakon normalizacije:

Otežana suma (S)

MAXIMIN (R)

Q

Ivan 1 0 0,5 Jelena 0,248 1 0,624 Marija 0,381 0 0,191 Stefan 0 0 0

Dobijamo da je prvorangirana alternativa Ivan.

c) Potrebno je da ispitamo dovoljnu prednost i dovoljno čvrstu poziciju.

Dovoljna prednost:

DQ = min{0,25; 0,333} = 0,25

0,624 – 0,5 ≥ 0,25

0,124 ≥ 0,25


21

Alternativa Jelena nema dovoljnu prednost ni u odnosu na Ivana. Kako nije zadovoljena dovoljna prednost

nema potrebe ispitivati dovoljno čvrstu poziciju. Skup kompromisnih rešenja čine sve alternative u odnosu

na koju prvorangirana alternativa ne ispunjava dovoljnu prednost.

U datom primeru skup kompromisnih rešenja čine Jelena i Ivan.

d) Dobijamo:

Primećujemo da su Jelena i Ivan uvek prvorangirani. Potrebno je da odredimo tačku preseka.

Dobijamo sledeće vrednosti:

A b

Ivan 1 0 Jelena -0,752 1 Marija 0.381 0 Stefan 0 0

Tačka preseka je 0,571.

•

0

11

0,248

0

0,381

0 0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Q0 Q1

Gradijentna analiza

Ivan Jelena Milan Stefan


22

Zadaci za vežbu:

1. Zadatak



Udaljenost (u km)

Parking (br. mesta)

Cena (u 1000 x €)





0,25 0,1 0,45 0,2

a) Primenom otežane sume i MAXIMIN metode odrediti najprihvatljivije alternative. Normalizaciju podataka raditi sa 𝐿∞ normom.

b) Odrediti najprihvatljivije kompromisno rešenje između otežane sume i MAXIMIN metode. Vrednost parametra v iznosi 0,5. Normalizaciju pri kreiranju kompromisa raditi 𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑖𝑛 normom.

c) Ispitati da li prvorangirana alternativa ima dovoljnu prednost. d) Ispitati da li prvorangirana alternative ima dovoljno čvrstu poziciju. e) Odrediti skup kompromisnih rešenja.

Rešenje:

a) Nakon sprovođenja postpuka računanja otežane sume i MAXIMIN metode dobijamo sledeće vrednosti:


Meljak 0,654 0,05 Šimanovci 0,691 0,041 Voždovac 0,792 0,04 Banovo brdo 0,783 0,052

b) Dobijamo sledeće kompromisno rešenje:

Q



23

c) Alternativa Banovo brdo ima dovoljnu prednost. DQ = min{0,25; 0,333} = 0,25

0,968 – 0,5 ≥ 0,25 0,468 ≥ 0,25

d) Za različita podešavanja parametra v dobijamo:

v=0 v=1 v=0,25 v=0,75

Meljak 0,833 0 0,625 0,208 Šimanovci 0,083 0,268 0,129 0,222 Voždovac 0 1 0,25 0,75 Banovo brdo 1 0,935 0,984 0,951

Alternativa Banovo brdo ima dovoljno čvrstu poziiju.

e) Najprihvatljivija alternativa je Banovo brdo jer zadovoljava i dovoljnu prednost i dovoljno čvrstu poziciju, te kažemo da skup kompromisnih rešenja čini alternativa Banovo brdo.

•

2. Zadatak Firma želi da uzme kredit za razvoj kupovinu nove mašine za proizvodnju. Raspitali su se za uslove

kreditiranja u većem broju banaka. Izbor su sveli na sledeće banke.

Kamata (u %)

Rok odobrenja (u danima)

Kolateral (u 10.000 x €)

Grejs period (u mesecima)

Hapi kredit 9 10 10 2 Zelena banka 6 15 15 6 Zadnja šansa 13 7 3 2 Psy banka 10 5 5 1


Kamata Rok odobrenja Kolateral Grejs period

0,4 0,1 0,3 0,2

a) Primenom otežane sume odrediti najprihvatljivije rešenje. Normalizaciju podataka raditi 𝐿1 normom.

b) Metodom MAXIMIN i MAXIMAX odrediti najprihvatljivije alternative. Normalizaciju podataka raditi preko 𝐿1 norme.

c) Uspostaviti kompromis između otežane sume i MAXIMIN metode, ako je vrednost parametra v = 0,7. Normalizaciju pri kreiranju kompromisa raditi preko 𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑖𝑛 norme.

d) Da li dolazi promene u rangu alternativa ako se vrednost parametra v promeni na 0,4? e) Ispitati da li prvorangirana alternativa ima dovoljnu prednost. f) Ispitati da li prvorangirana alternative ima dovoljno čvrstu poziciju.


24

g) Odrediti skup kompromisnih rešenja. Rešenje:

a) Dobijamo sledeće otežane sume:

Otežana suma


b) Dobijamo sledeće rezultate:

MAXIMIN MAXIMAX

Hapi kredit 0,02 0,098 Zelena banka 0,013 0,147 Zadnja šansa 0,028 0,143 Psy banka 0,018 0,088

c) Nakon računanja kompromisnog rešenja dobijamo:

Q


d) Promenom parametra v na 0,4 dolazi do promene u rangu alternative i to:

Q


e) Za dovoljnu prednost ispitujemo v = 0,5. Dobijamo:

Q


Alternativa Zadnja šansa ima dovoljnu prednost u odnosu na Zelenu banku.

f) Potrebno je da testiramo tri specifična podešavanja parametra v. Dobijamo:


25

v=0 v=1 v=0,25 v=0,75

Hapi kredit 0,467 0 0,35 0,117 Zelena banka 0 1 0,25 0,75 Zadnja šansa 1 0,772 0,943 0,829 Psy banka 0,333 0,337 0,334 0,336

Alternativa Zadnja šansa zadovoljava dovoljno čvrstu poziciju.

3. Zadatak Javno preduzeće je raspisalo tender za nabavku softverskog rešenja za Registar odlikovanja. Na osnovu

konkursne dokumentacije sastavljena je tabela odlučivanja.

Cena (u 1.000 x €)

Rok isporuke (u mesecima)

Tehnologija (ocena 1-10)

Iskustvo (br. projekata)

Sopstveni res. 2 3 3 3 Aga 12 1 10 15 DotTrade 8 1 8 11 Blue & Red Tree 15 2 9 16



0,7 0,05 0,05 0,2

a) Odrediti najprihvatljiviju alternativu primenom otežane sume i MAXIMIN metode. Normalizaciju podataka raditi preko 𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑖𝑛 norme.

b) Uspostaviti kompromis između otežane sume i MAXIMIN metode dobijene u a) ako je vrednost parametra v = 0,5. Normalizaciju prilikom kreiranja kompromisa raditi preko 𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑖𝑛 norme.

c) Odrediti skup kompromisnih rešenja. d) Sprovesti gradijentnu analizu parametra v.

Rešenje:

a) Dobijaju se sledeće vrednosti:


Sopstveni res. 0,7 0 Aga 0,447 0,05 DotTrade 0,586 0,036 Blue & Red Tree 0,268 0

b) Nakon računanja strategije Q dobijaju se sledeće vrednosti:


26

Q

Sopstveni res. 0,5 Aga 0,707 DotTrade 0,728 Blue & Red Tree 0

c) Alternativa DotTrade nema dovoljnu prednost u odnosu na Aga niti u odnosu na alternativu

Sopstveni resursi. Skup kompromisnih rešenja čine DotTrade, Aga i Sopstveni resursi.

d) Gradijenta analiza parametra v može da se sprovede koristeći tabelu dovoljno čvrste pozicije. Grafički dobijamo sledeće rezultate.

v=0 v=1 v=0,25 v=0,75

Sopstveni res. 0 1 0,25 0,75 Aga 1 0,414 0,854 0,561 DotTrade 0,72 0,736 0,724 0,732 Blue & Red Tree 0 0 0 0

Možemo primetiti da tri alternative figuriraju kao prvorangirane. Za njih treba odrediti tačke preseka.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,25 0,75 1

Gradijentna analiza

Sopstveni resursi Aga DotTrade Blue Red Tree


27

Dobijamo:

A b

Sopstveni res. 1 0 Aga -0,586 1 DotTrade 0,016 0,72 Blue & Red Tree 0 0

Tačka preseka alternative Aga i DotTrade je 0,439. Zatim proveravamo tačku preseka između alternative

DotTrade i Sopstveni resursi. Ona iznosi 0,631. Dakle, možemo da zaključimo da ako je v između 0 i 0,439

tada je prvorangirana alternativa Aga. Zatim, ako je v preko 0,439 i ispod 0,631 onda je prvorangirana

alternativa DotTrade. Na kraju, ako je vrednost parametra v preko 0,631 onda je prvorangirana alternativa

Sopstveni resursi.


28

Teorija i funkcije korisnosti

1. Zadatak

Dati su podaci o kriterijumima za izborne predmete na fakultetu, među kojima je potrebno izabrati jedan

izborni predmet. Date su i jedinice u kojima je izmerena vrednost svakog kriterijuma.

[ocena studenata]

[br. radova nastavnika]

[br. strana knjige]

[br. univerziteta koji izučavaju]

Koristan Stručan Težak Aktuelan

ALD Sistemi 4.8 3 250 8

Upraljvanje MI 3.9 2 200 4

Izabrana poglavlja iz TSO 4 6 180 2

Teorija SS 4.5 8 300 6

W 0,4 0,2 0,1 0,3

a) DO je ispitan standardnom tehnikom kockanja, u vezi atributa "Težak". Rekao je da bi bio indiferentan

prema opcijama da se kocka sa 50% verovatnocom da dobije vrednost 300 ili 0, ili da dobije čisto

alternativu sa Težinom 190.

Skicirati funkciju korisnosti DO za taj kriterijum i odrediti matematički oblik eksponencijalne funkcije koji

ga opisuje. Iskomentarisati odnos ka riziku DO.

b) Izračunati nove vrednosti koristi za alternative, za kriterijum Težak.

c) Upitan za kriterijum “Stručan”, DO je rekao da bi bio indiferentan da uzme alternativu sa sigurnom

vrednošću stručnosti 3, ili da se kocka da dobije najbolju vrednost tog kriterijuma, sa verovatnoćom 50%

(ali da sa 50% verovatnoćom ne dobije ništa).

Skicirati funkciju korisnosti DO za taj kriterijum i odrediti matematički oblik eksponencijalne funkcije koji

ga opisuje. Iskomentarisati odnos ka riziku DO.

d) Izračunati nove vrednosti koristi za alternative, za kriterijum Stručan.

e) Izračunati otežanu sumu atributa svih alternativa, i odrediti predlog najbolje alternative

(normalizovati L∞ normom).

f) DO je takođe ispitivan standardnom tehnikom kockanja, za korist od atributa “Aktuelan”, i rekao je

sledece:

bio bi indiferentan da se kocka za vrednost 10, sa verovatnoćom 70% da izgubi, ili da dobije

sigurnih 2

bio bi indiferentan da se kocka sa verovatnoćom 50%:50% da dobije 10 ili 2, ili da dobije sigurnih

4


29

Izračunati 2 tačke na krivi korisnosti za ovog DO, i skicirati grafik.

g) Za DO je izmereno da korisnost od nekog atributa podleže funkciji: 𝐾(𝑥) = 𝑒−0.7 ∙ (4−𝑥)

Analizirati funkciju i reći kakav je odnos DO prema kriterijumu i kakav prema riziku. Skicirati

grafik.

Rešenje:

a) Na osnovu informacija od DO, možemo da postavimo jednu iteraciju standardne tehnike

kockanja:

0,5 ∙ 𝐾(300) + 0.5 ∙ 𝐾(0) = 1 ∙ 𝐾(190)

Pošto znamo da je kriterijum „Težak“ tipa minimizacije, tj. da je korist opada sa rastom težine,

možemo da postavimo da: 𝐾(0) = 1.0 a 𝐾(300) = 0.0

Iz toga znamo da je 𝐾(190) = 0,5 ∙ 0,0 + 0,5 ∙ 1,0 = 0,5

Ukoliko bi korisnost DO lažala tačno na liniji indiferentnosti, onda bi korisnost od 0,5 postigao u

tački tačno između 0 i 300, tj. u 150. S obzirom da smo saznali da je 𝐾(190) = 0,5 možemo reći

da je njegova kriva korisnosti iznad krive indiferentnosti.

Grafik te funkcije možemo skicirati:

Eksponencijalna funkcija koja opada i leži iznad prave indiferentnosti (konkavna je), ima oblik:

𝐾(𝑥) = 1 − 𝑒−𝛼∙(𝑀−𝑥)/𝑀 Da bi ova kriva prošla kroz tačku 𝐾(190) = 0,5 :

𝛼 = − ln(0,5) ∙𝑀

𝑀 − 𝑘= − ln(0,5) ∙

300

300 − 190= 1,89

Dakle funkcija korisnosti za kriterijum „Težak“ se može za ovog DO opisati funkcijom:

180


30

𝐾(𝑡𝑒ž𝑖𝑛𝑎) = 1 − 𝑒−1,89∙(300−𝑥)/300

Takođe, može se reći da DO ima averziju prema riziku za kriterijum „Težak“.

b) Korisnosti za vrednosti kriterijuma “Težak” su onda:

[br. strana knjige]

Težak K(Težak)

250 0,270

200 0,467

180 0,531

300 0

c) Standardna tehnika kockanja je postavljena kao:

0,5 ∙ 𝐾(8) + 0.5 ∙ 𝐾(0) = 1 ∙ 𝐾(3)

Pošto je kriterijum maksimizacije, K(8)=1 a K(0)=0, tj.

0,5 ∙ 1 + 0.5 ∙ 0 = 1 ∙ 𝐾(3)

𝐾(3) = 0,5

Funkcija se može skicirati kao:

Eksponencijelna funkcija je oblika:

𝐾(𝑥) = 1 − 𝑒−𝛼∙𝑥/𝑀

𝛼 = − ln(0,5) ∙𝑀

𝑘= − ln(0,5) ∙

8

3= 1,85

Dakle funkcija korisnosti za kriterijum „Stručan“ se može za ovog DO opisati funkcijom:


31

𝐾(𝑠𝑡𝑟𝑢č𝑎𝑛) = 1 − 𝑒−1,85∙𝑥/8

DO iskazuje averziju ka riziku za kriterijum Stručan.

d) Korisnosti za vrednosti kriterijuma “Stručan” su onda:

[br. radova nastavnika]

Stručan K(Stručan)

3 0,50

2 0,37

6 0,75

8 0,84

e) Nova matrica odlučivanja sada izgleda:

[ocena studenata]

[br. univerziteta koji izučavaju]

Koristan K(Stručan) K(Težak) Aktuelan

ALD 4.8 0,50 0,270 8

MI 3.9 0,37 0,467 4

TSO 4 0,75 0,531 2

SS 4.5 0,84 0 6

W 0,4 0,2 0,1 0,3

Nakon normalizacije L∞ normom,

Koristan K(Stručan) K(Težak) Aktuelan

ALD 1 0.593 0.509 1

MI 0.813 0.439 0.881 0.5

TSO 0.833 0.89 1 0.25

SS 0.938 1 0 0.75

W 0,4 0,2 0,1 0,3

Iz čega je otežana suma:

OK

ALD 0.869

MI 0.651

TSO 0.686

SS 0.800


32

f) DO je iskazao 2 iteracije standardne tehnike kockanja:

0,3 ∙ 𝐾(10) + 0.7 ∙ 𝐾(0) = 1 ∙ 𝐾(2)

0,5 ∙ 𝐾(10) + 0.5 ∙ 𝐾(2) = 1 ∙ 𝐾(4)

Ako stavimo da ekstremne vrednosti budu: 𝐾(10) = 1 i 𝐾(10) = 0 , iz prve jednačnine se

dobija da je:

𝐾(2) = 0,3

Iz druge jednačnine se dobija da je:

𝐾(4) = 0,5 ∙ 1 + 0,5 ∙ 0,3 = 0,65

g) Da bi analizirali odnos DO za funkciju 𝐾(𝑥) = 𝑒−0.7 ∙ (4−𝑥), moramo izračunati njene izvode.

𝐾′(𝑥) = 𝑒−0.7 ∙ (4−𝑥) ∙ (−0.7 ∙ (4 − 𝑥))′

= 𝑒−0.7 ∙ (4−𝑥) ∙ (+0.7)

𝐾′′(𝑥) = 0.7 ∙ 𝑒−0.7 ∙ (4−𝑥) ∙ (−0.7 ∙ (4 − 𝑥))′

= 0.7 ∙ 𝑒−0.7 ∙ (4−𝑥) ∙ (0.7)

Što znači da je 𝐾′(𝑥) > 0 i 𝐾′′(𝑥) > 0 iz čega zaključujemo da je funkcija rastuća i konveksna, tj. da

DO korisnost raste sa porastom vrednosti kriterijuma, kao i da ima sklonost ka riziku.


33

2. Zadatak

Dati su podaci o kriterijumima za izbor automobila, među kojima je potrebno izabrati jedan. Date su i

jedinice u kojima je izmerena vrednost svakog kriterijuma.

ocena ocena god ppmv

Izgled Ocena

majstora Starost Zagadjivanje

Fabia 5 2 4 0.2

Audi 2 1 10 0.7

Opel 1 4 6 3 0.8

Yugo 5 10 15 0.1

Opel 2 3 5 20 0.3

W 0,2 0,4 0,3 0,1

a) DO je ispitan standardnom tehnikom kockanja, u vezi atributa "Ocena majstora". Rekao je da bi bio

indiferentan prema opcijama da se kocka sa 50% verovatnocom da dobije najbolju vrednost ili da ne

dobije ništa, ili da dobije čisto alternativu sa Ocenom 8.

Odrediti matematički oblik eksponencijalne funkcije koji ga opisuje, izračunati nove vrednosti kriterijuma

za sve alternative, I skicirati grafik. Iskomentarisati odnos ka riziku DO.

b) DO je ispitan standardnom tehnikom kockanja, u vezi atributa "Starost". Rekao je da bi bio

indiferentan prema opcijama da se kocka sa 50% verovatnocom da dobije vrednost 0 ili 20, ili da dobije

čisto alternativu sa Starosti 6.



c) DO je ispitan standardnom tehnikom kockanja, u vezi atributa "Zagađivanje". Rekao je da bi bio

indiferentan prema opcijama da se kocka sa 50% verovatnocom da dobije vrednost 0,8 ili 0, ili da dobije

čisto alternativu sa Zagađivanjem 0,65.



d) Izračunati otežanu sumu atributa svih alternativa, i odrediti predlog najbolje alternative

(normalizovati L1 normom).

Rešenje:

a) 𝐾(8) = 0,5 , K(10)=1, K(0)=0

Oblik je: 𝐾(𝑥) = 𝑒−𝛼∙𝑀−𝑥

𝑀


34

𝛼 = − ln(0,5) ∙10

2= 3.47

𝐾(𝑡𝑒ž𝑖𝑛𝑎) = 𝑒−3.47∙(10−𝑥)/10

Ocena majstora

Fabia 0.063

Audi 0.044

Opel 1 0.250

Yugo 1.000

Opel 2 0.177

Može se reći da DO ima sklonost prema riziku za kriterijum „Ocena majstora“.

b) 𝐾(6) = 0,5 , K(20)=0, K(0)=1

Oblik je: 𝐾(𝑥) = 𝑒−𝛼∙𝑥

𝑀

𝛼 = − ln(0,5) ∙20

6= 2.31

𝐾(𝑡𝑒ž𝑖𝑛𝑎) = 𝑒−2.31 ∙ 𝑥/20

Starost

Fabia 0.630

Audi 0.315

Opel 1 0.707

Yugo 0.177

Opel 2 0.099


35

Može se reći da DO ima sklonost prema riziku za kriterijum „Starost“.

c) 𝐾(0.65) = 0,5 , K(0.8)=0, K(0)=1

Oblik je: 𝐾(𝑥) = 1 − 𝑒−𝛼∙𝑀−𝑥

𝑀

𝛼 = − ln(0,5) ∙0.8

0.15= 3.70

𝐾(𝑡𝑒ž𝑖𝑛𝑎) = 1 − 𝑒−3.70∙(0.8−𝑥)/0.8

Zagađivanje

Fabia 0.938

Audi 0.370

Opel 1 0.000

Yugo 0.961

Opel 2 0.901

Može se reći da DO ima averziju prema riziku za kriterijum „Zagađivanje“.


36

d)

OK

Fabia 0.197

Audi 0.093

Opel 1 0.218

Yugo 0.371

Opel 2 0.121

Zadatak 3:

Želimo da saznamo afinitete DO prema sledećim cenama hotelskih soba: 25, 40, 55, 65. Pretpostavljamo

da je za najbolju vrednost preferencija 10, a za najgoru preferencija 1. DO je indiferentan između cene od

40, sa kockom, u kojoj, sa jednakim verovatnoćama, može da se dogodi situacija da cena bude 25 ili 65.

Indiferentan je, takođe, između cene od 55 i kocke: cena 25 (P=0.2) i cena 65 (P=0.8). Odrediti date tačke

na krivi korisnosti DO, i skicirati grafik, sa linijom indiferentnosti, i iskomentarisati odnos DO prema riziku.

Rešenje:

Postavljamo jednačinu kojom ispitujemo korisnost sigurne alternative i kocke.

K(25) * 0,5 + K(65) * 0,5 = K(40)

10 * 0,5 + 1 * 0,5 = K(40)

K(40) = 5,5

Takođe, imamo:

K(25) * 0,2 + K(65) * 0,8 = K(55)

10 * 0,2 + 1 * 0,8 = K(55)

K(55) = 2,8

Vrednost Korisnost

25 10

40 5,5

55 2,8

65 1


37

Kako nam je linija korisnosti ispod linije indiferentnosti, tj. očekivanog ponašanja, zaključujemo da DO

iskazuje sklonost ka riziku.

Zadatak 4:

Za cenu hotela, zadata je funkcija korisnosti donosioca odluke: 250*x-1. Izračunati vrednosti za korisnost.

Vrednosti cena hotela su 25, 40, 55 i 65 (iste kao iz prethodnog zadatka). Takođe, potrebno je odrediti

vrstu funkcije korisnosti.

Rešenje:

Ubacujući vrednosti cena hotela u formulu, dobijamo:

Vrednost Korisnost

25 250 ∗ 1/25 = 10

40 250 ∗ 1/40 = 6,25

55 250 ∗ 1/55 = 4,55

65 250 ∗ 1/65 = 3,85

Sada treba da odredimo vrstu funkcije korisnosti. Dakle, treba da izračunamo drugi izvod funkcije. Treba

imati u vidu da je funkcija tipa minimizacije. Prvi izvod je:

(250 ∗ 𝑥−1)′ = −1 ∗ 250 ∗ 𝑥−2 = −250 ∗ 𝑥−2 < 0

Zatim, računamo drugi izvod i dobijamo:

K(x)

Vred.


38

(−250 ∗ 𝑥−2)′ = −2 ∗ −250 ∗ 𝑥−3 = 500 ∗ 𝑥−3 > 0, za pozitivne vrednosti X.

Kako je vrednost pozitivna, zaključujemo da DO iskazuje sklonost ka riziku.

Zadatak 5:

Za kriterijum „čistoća hotela“, zadata je funkcija korisnosti donosioca odluke e0,1*x2/1.3. Vrednosti

kriterijuma su 3, 4 i 5. Izračunati vrednosti za korisnost. Takođe odrediti vrstu funkcije korisnosti.

Vrednost Korisnost

3 𝑒0.1∗32

1.3= 1.89

4 𝑒0.1∗42

1.3= 3.81

5 𝑒0.1∗52

1.3= 9.37

Kada smo dobili vrednosti, računamo prvi i drugi izvod funkcije. Prvi izvod je:

(𝑒0.1∗𝑥

2

1.3)

′

=1

1.3∗ (0.1 ∗ 𝑥2)′ ∗ 𝑒0.1∗𝑥

2=

0.2

1.3∗ 𝑥 ∗ 𝑒0.1∗𝑥

2> 0

Drugi izvod je jednak (zanemarujući pozitivnu konstantu):

(𝑥 ∗ 𝑒0.1∗𝑥2)

′= (𝑥′ ∗ 𝑒0.1∗𝑥

2+ 𝑥 ∗ (𝑒0.1∗𝑥

2)

′) = 𝑒0.1∗𝑥

2+ 0.2 ∗ 𝑥2 ∗ 𝑒0.1∗𝑥

2> 0

Odavde zaključujemo da DO ima sklonost ka riziku.


39

Metoda Analitičkih hijerarhijskih procesa (AHP)

Nastava:

1. Zadatak

Na konkurs za posao za poziciju junior BI programera se javio veliki broj kandidata. Nakon inicijalne

selekcije i sprovedenog testiranja popunila se sledeća tabela odlučivanja.

Radno iskustvo

Znanje Plata Fakultet

Teorijsko znanje

Praktično znanje

Utisak

Ivan 3 72 11 8 300 FON

Jelena 12 32 74 6 600 EkoF

Marija 16 81 97 5 1000 FON

Stefan 9 66 77 5 700 Singidunum

a) Odrediti težine kriterijuma aproksimativnom AHP metodom ukoliko je DO popunio sledeće

matrice procene:

Radno iskustvo Znanje Plata Fakultet

Radno iskustvo (2) 1 2

Znanje 2 3

Plata 2

Fakultet

Teorijsko znanje Praktično znanje Utisak

Teorijsko znanje (2) 1

Praktično znanje 1

Utisak

b) Odrediti vrednosti alternativa za kriterijume primenom aproksimativne AHP metode ukoliko je

DO popunio sledeće matrice procene:

Radno iskustvo Ivan Jelena Marija Stefan Ivan (4) (8) (2)

Jelena (2) 2

Marija 5

Stefan


40

Plata Ivan Jelena Marija Stefan Ivan 4 6 5

Jelena 3 2

Marija (2)

Stefan

Fakultet Ivan Jelena Marija Stefan Ivan 2 1 5

Jelena (2) 2

Marija 5

Stefan

Teorijsko znanje Ivan Jelena Marija Stefan Ivan 5 1 2

Jelena (6) (4)

Marija 3

Stefan

Praktično znanje

Ivan Jelena Marija Stefan

Ivan (2) (4) (2)

Jelena (2) 1

Marija 2

Stefan

Utisak Ivan Jelena Marija Stefan Ivan 2 3 3

Jelena 2 2

Marija 1

Stefan

c) Ispitati da li su matrice procene koje je DO popunio konzistentne primenom aproksimativne

metode provere konzistentnosti.

d) Koristeći težine iz a) i vrednosti dobijene u b) odrediti najprihvatljiviju alternativu primenom

otežane sume.


41

Rešenje:

a) Aproksimativnom metodom rešavanja matrice procene dobijamo sledeće vrednosti.

Suma w

Radno iskustvo 4,5 0,233

Znanje 8 0,414

Plata 4,5 0,233

Fakultet 2,333 0,121

19,333

Suma w

Teorijsko znanje 2,5 0,263

Praktično znanje 4 0,421

Utisak 3 0,316

9,5

b) Primenom aproksimativne metode dobijamo sledeće vrednosti:

Radno iskustvo Suma w Ivan 1,875 0,064

Jelena 7,5 0,258

Marija 16 0,55

Stefan 3,7 0,127

29,075

Plata Suma w Ivan 16 0,572

Jelena 6,25 0,224

Marija 2 0,072

Stefan 3,7 0,132

27,95

Fakultet Suma w Ivan 9 0,377

Jelena 4 0,167

Marija 9 0,377

Stefan 1,9 0,079

23,9


42

Teorijsko znanje Suma w Ivan 9 0,328

Jelena 1,617 0,059

Marija 11 0,401

Stefan 5,833 0,212

27,45

Praktično znanje Suma w Ivan 2,25 0,111

Jelena 4,5 0,222

Marija 9 0,444

Stefan 4,5 0,222

20,25

Utisak Suma w Ivan 9 0,446

Jelena 5,5 0,273

Marija 2,833 0,14

Stefan 2,833 0,14

20,167

c) Aproksimativnom metodom dobijamo sledeće vrednosti konzistentnosti matrica.

Za matrice procene koje se odnose na težine kriterijuma:

A*w w 𝜆 CI CR

Radno iskustvo

0,915 0,233 3,927 4,128 − 4

4 − 1= 0,043

0,043

0,9= 0,048

Znanje 1,709 0,414 4,128

Plata 0,915 0,233 3,927

Fakultet 0,492 0,121 4,066

A*w w 𝜆 CI CR

Teorijsko znanje

0,79 0,263 3,004 3,165 − 3

3 − 1= 0,083

0,083

0,58= 0,143

Praktično znanje

1,263 0,421 3

Utisak 1 0,316 3,165


43

Za matrice procene koje se odnose na vrednosti alternativa po kriterijumima:

Radno iskustvo A*w w 𝜆 CI CR Ivan 0,261 0,064 4,078

4,078 − 4

4 − 1= 0,026

0,026

0,9= 0,029

Jelena 1,043 0,258 4,043

Marija 2,213 0,55 4,024

Stefan 0,494 0,127 3,89

Plata A*w w 𝜆 CI CR

Ivan 2,56 0,572 4,476

4,476 − 4

4 − 1= 0,159

0,159

0,9= 0,177

Jelena 0,847 0,224 3,781

Marija 0,308 0,072 4,278

Stefan 0,502 0,132 3,803

Fakultet A*w w 𝜆 CI CR Ivan 1,483 0,377 3,934

4,204 − 4

4 − 1= 0,068

0,068

0,9= 0,076

Jelena 0,702 0,167 4,204

Marija 1,483 0,377 3,934

Stefan 0,313 0,079 3,962

Teorijsko znanje A*w w 𝜆 CI CR Ivan 1,448 0,328 4,415

4,415 − 4

4 − 1= 0,138

0,138

0,9= 0,153

Jelena 0,244 0,059 4,136

Marija 1,719 0,401 4,287

Stefan 0,746 0,212 3,519

Praktično znanje A*w w 𝜆 CI CR Ivan 0,444 0,111 4

4 − 4

4 − 1= 0

0

0,9= 0

Jelena 0,888 0,222 4

Marija 1,776 0,444 4

Stefan 0,888 0,222 4

Utisak A*w w 𝜆 CI CR Ivan 1,832 0,446 4,108

4,108 − 4

4 − 1= 0,036

0,036

0,9= 0,04

Jelena 1,056 0,273 3,868

Marija 0,565 0,14 4,036

Stefan 0,565 0,14 4,036


44

d) Nakon ubacivanja težina iz a) i vrednosti iz b) dobijamo:

Radno iskustvo


Teorijsko znanje

Praktično znanje

Utisak

Ivan 0,064 0,328 0,111 0,446 0,572 0,377 Jelena 0,258 0,059 0,222 0,273 0,224 0,167 Marija 0,55 0,401 0,444 0,14 0,072 0,377 Stefan 0,127 0,212 0,222 0,14 0,132 0,079

w 0,233 0,263 0,421 0,316

0,233 0,121 0,414

Odatle dobijamo:

Radno iskustvo

Znanje Plata Fakultet OK

Ivan 0,064 0,274 0,572 0,377 0,307 Jelena 0,258 0,195 0,224 0,167 0,213 Marija 0,55 0,337 0,072 0,377 0,331 Stefan 0,127 0,193 0,132 0,079 0,151

w 0,233 0,414 0,233 0,121

Najprihvatljivija alternativa je Marija.

2. Zadatak

Za izgradnju metro linije u Beogradu prijavili su se sledeća preduzeća sa sledećim ponudama:





Neimar 14 6 48 32 Brze pruge 10 5 36 36

BG MetroFront 20 8 16 30 German Rail 18 10 24 24

a) DO želi preciznije da odredi težine kriterijuma te je popunio matricu procene. Primenom

aproksimativne AHP metode odrediti težine kriterijuma. Ispitati konzistentnost matrice procene

primenom aproksimativne metode.


Troškovi 1 2 5 Kvalitet mat. 3 5

Rok izgradnje 2 Garantni rok


45

b) DO želi preciznije da odredi vrednosti kriterijuma Kvalitet materijala, te je popunio matricu

procene. Odrediti vrednosti za kriterijum Kvalitet materijala primenom aproksimativne AHP

metode.

Kvalitet mat. Neimar Brze pruge BG MetroFront German Rail Neimar 1 (3) (4)

Brze pruge (4) (5) BG MetroFront 1

German Rail

c) Grafički ispitati dobijene korisnosti iz b) i uporediti ih sa situacijom kada je DO indiferentan ka

riziku.

d) Koristeći težine dobijene u a) i vrednosti za kriterijum Kvalitet materijala iz b) odrediti

najprihvatljiviju alternativu primenom otežane sume. Normalizaciju podataka uraditi preko L1

norme.

Rešenje:

a) Primenom aproksimativne AHP metode nad definisanom matricom procene dobijamo:

Suma w Troškovi 9 0,364

Kvalitet mat. 10 0,404 Rok izgradnje 3,833 0,155 Garantni rok 1,9 0,077

24,733

Zatim ispitujemo konzistentnost matrice procene i dobijamo:

A*w w 𝜆 CI CR Troškovi

1,463 0,364 4,019 4,039 − 4

4 − 1= 0,013

0,013

0,9= 0,014

Kvalitet mat. 1,618 0,404 4,005 Rok izgradnje 0,626 0,155 4,039 Garantni rok 0,309 0,077 4,013

b) Nakon primene aproksimativne matrice procene dobijamo sledeće vrednosti:

Kvalitet mat. Suma w Neimar 2,583 0,103

Brze pruge 2,45 0,098 BG MetroFront 9 0,36

German Rail 11 0,439 25,033


46

c) Grafičko poređenje izgleda ovako:

Kvalitet mat. L1 w Neimar 6 0,207

Brze pruge 5 0,172 BG MetroFront 8 0,276

German Rail 10 0,345 29

d) Nakon uključivanja težina iz a) i vrednosti alternativa za kriterijum Kvalitet materijala iz b)

dobijamo:





Neimar 14 0,103 48 32 Brze pruge 10 0,098 36 36

BG MetroFront 20 0,36 16 30 German Rail 18 0,439 24 24

w 0,364 0,404 0,155 0,077

Nakon invertovanja i normalizacije dolazimo do tabele odlučivanja:

Normalizovana tabela odlučivanja





Neimar 0,256 0,103 0,136 0,262 Brze pruge 0,361 0,098 0,182 0,295

BG MetroFront 0,181 0,36 0,409 0,246 German Rail 0,202 0,439 0,273 0,197

w 0,364 0,404 0,155 0,077

0,1720,207

0,276

0,345

0,098 0,103

0,36

0,439

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

5 6 7 8 9 10

Kvalitet materijala

Indif. AHP


47

Na kraju otežanom sumom dobijamo:

OK

Neimar 0,176 Brze pruge 0,222

BG MetroFront 0,293 German Rail 0,308

Zaključujemo da je najprihvatljivija alternativa German Rail.

3. Zadatak

Na konkurs za posao za poziciju junior BI programera se javio veliki broj kandidata. Nakon inicijalne

selekcije i sprovedenog testiranja popunila se sledeća tabela odlučivanja sa izračunatim vrednostima

korisnosti.

Radno iskustvo



Kako postoje tri DO, svaki od njih je popunio svoju matricu procene. One su prikazane ispod:

DO1 Radno iskustvo Znanje Plata Fakultet


Znanje 2 3

Plata 2

Fakultet



Znanje 5 3

Plata 1

Fakultet


Radno iskustvo 1 1 (5)

Znanje 2 (3)

Plata (3)

Fakultet


48

a) Odrediti težine kriterijuma metodom stepenovanja. Ispitati konzistentnost matrica procene.

b) Usaglasiti mišljenja DO primenom aritmetičke sredine.

c) Odrediti težine kriterijuma DO agregacijom matrica procene sva tri DO.

d) Odrediti najprihvatljiviju alternativu otežanom sumom primenom težina kriterijuma iz b) i

primenom težina iz c). Komentarisati da li je došlo promene redosleda u rangovima alternativa.

Rešenja:

a) Za prvu matricu procene, odnosno DO1, dobijamo:

DO1 Suma W1 A*W1 W2 A*W2 W3

Radno iskustvo

4,5 0,233 0,915 0,227 3,669 0,227

Znanje 8 0,414 1,709 0,424 6,845 0,424 Plata 4,5 0,233 0,915 0,227 3,669 0,227

Fakultet 2,333 0,121 0,492 0,122 1,977 0,122

19,333 4,031 16,16

Konzistentnost matrice procene dobijamo na sledeći način:

DO1 A*w (A*w)*w w*w 𝜆 CI CR

Radno iskustvo

0,91 1,193 0,298 4,003 0,001 0,001

Znanje 1,698 Plata 0,91

Fakultet 0,49

Za drugog DO dobijamo:

DO2 Suma W1 A*W1 W2 A*W2 W3 A*W3 W4

Radno iskustvo

3,2 0,135 0,528 0,131 2,135 0,132 8,612 0,132

Znanje 14 0,59 2,36 0,587 9,461 0,585 38,161 0,585 Plata 3,2 0,135 0,528 0,131 2,135 0,132 8,612 0,132

Fakultet 3,333 0,14 0,607 0,151 2,45 0,151 9,874 0,151

23,733 4,023 16,181 65,259

Konzistentnost matrice procene dobijamo na sledeći način:


49


Radno iskustvo

0,532 1,612 0,4 4,03 0,01 0,011

Znanje 2,358 Plata 0,532

Fakultet 0,61

Za DO3 dobijamo:

DO3 Suma W1 A*W1 W2 … A*W3 W4

Radno iskustvo

3,2 0,143 0,571 0,139 … 9,545 0,139

Znanje 4,333 0,194 0,77 0,188 … 12,987 0,189 Plata 2,833 0,127 0,546 0,133 … 9,162 0,134

Fakultet 12 0,537 2,215 0,54 … 36,901 0,538

22,366 4,102 68,595

Odatle dobijamo konzistentnost na sledeći način:


Radno iskustvo

0,5696 1,484 0,362 4,099 0,033 0,037

Znanje 0,774933 Plata 0,546683

Fakultet 2,2022

b) Mišljenja tri DO se mogu agregirati na sledeći način:

DO1 DO2 DO3 w

Radno iskustvo 0,227 0,132 0,139 0,166 Znanje 0,424 0,585 0,189 0,399

Plata 0,227 0,132 0,134 0,164 Fakultet 0,122 0,151 0,538 0,270

c) Nakon spajanja tri matrice procene u jednu (primenom geometrijske sredine) dobijamo sledeću

matricu procene:

Radno iskustvo Znanje Plata Fakultet

Radno iskustvo 1 0,464 1 0,737 Znanje 2,154 1 2,714 1,442

Plata 1 0,368 1 0,874 Fakultet 1,357 0,693 1,145 1


50

Odatle dobijamo sledeće težine аproksimativnom metodom:

Sum w

Radno iskustvo

3,201 0,178

Znanje 7,31 0,407 Plata 3,242 0,181

Fakultet 4,195 0,234

17,948

d) Tabela odlučivanja sa težinama izgleda:

Radno iskustvo



w (iz b) 0,166 0,399 0,164 0,27 w (iz c) 0,178 0,407 0,181 0,234

Odatle dobijamo sledeće otežane sume:

OS 1 OS 2 Ivan 0,316 0,315

Jelena 0,203 0,205 Marija 0,339 0,336 Stefan 0,141 0,144

Zaključujemo da je prvorangirana alternativa Marija i da nema promene u rangovima alternativa.


51


1. Zadatak

Firma želi da kupi službeni automobile za svakodnevne potrebe. U tu svrhu je istražila tržište i popunila

sledeću tabelu odlučivanja:

Cena

Troškovi održavanja

Komfor

Fiat Punto 11 0,9 5 Škoda Superb 19 1,4 9

Mercedes A 23 2,3 10 Dacia Logan 12 0,6 7

a) Odrediti težine kriterijuma agregacijom matrica procene dva DO.

DO1 Cena Troš. odr. Komfor

Cena 1 2 Troš. odr. 2

Komfor

DO2 Cena Troš. odr. Komfor

Cena 2 1 Troš. odr. 2

Komfor

b) Aproksimativnom metodom odrediti vrednosti kriterijuma Komfor ukoliko je zadatak sledeća

matrica procene.

Komfor Fiat Punto Škoda Superb Mercedes A Dacia Logan

Fiat Punto (4) (5) 1

Škoda Superb (2) 2

Mercedes A 5

Dacia Logan

c) Ispitati konzistentnost matrice procene iz b)

d) Odrediti najprihvatljiviju alternativu na osnovu kompromisa između Otežane sume i MAXIMIN

metode ako je vrednost parametra v = 0,5. Normalizaciju podataka uradili L1 normom. Za težine

koristiti težine dobijene u a), a vrednosti za kriterijuma Komfor iz b). Normalizaciju pri kreiranju

kompromisa raditi 𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑖𝑛 normom.

e) Odrediti skup kompromisnih rešenja za rezultate iz d)


52

Rešenje:

a) Dobijaju se sledeće težine:

w

Cena 0,393 Troš. odr. 0,381

Komfor 0,227

b) Dobijaju se sledeće vrednosti za kriterijum Komfor:

Komfor w

Fiat Punto 0,096 Škoda Superb 0,292

Mercedes A 0,507 Dacia Logan 0,105

c) Racio konzistetnosti iznosi:

CR

0,099

d) Dobijaju se sledeće očekivane koristi:

Q

Fiat Punto 0,263 Škoda Superb 0,5

Mercedes A 0,265 Dacia Logan 0,523

e) Skup kompromisnih rešenja čine Dacia Logan i Škoda Superb.

2. Zadatak



Udaljenost (u km)

Parking (br. mesta)

Cena (u 1000 x €)




53



0,25 0,1 0,45 0,2

a) Metodom stepenovanja odrediti vrednosti za kriterijum Opremljenost ukoliko je DO popunio

sledeću matricu procene:

Opremljenost Meljak Šimanovci Voždovac Banovo brdo

Meljak 1 (3) (3) Šimanovci (5) (4) Voždovac 1 Banovo brdo

b) Ispitati konzistentnost matrice procene iz a) Rejlijevim koeficijentom.

c) Grafički uporediti dobijene vrednosti sa situacijom kada je DO indiferentan prema riziku

d) Odrediti najprihvatljiviju alternativu primenom Otežanog proizvoda. Podatke normalizovati L1 normom. Vrednosti za kriterijum Opremljenost preuzeti iz a).

e) Šta se dešava sa rangovima alternativa ukoliko koristimo težine dobijene aproksimativnom

metodom iz sledeće matrice procene:


Udaljenost 2 (2) 1 Parking (5) (2) Cena 2 Opremljenost

Rešenje:

a) Metodom stepenovanja dobijamo sledeće vrednosti za kriterijum Opremljenost:

Opremljenost W4


b) Koristeći rezultate iz a) dobijamo sledeće vrednosti:

Aw*w w*w lambda CI CR

1,333 0,331 4,027 0,009 0,010

c) Grafički odnos dobijenih vrednosti u odnosu na indiferentnost prema riziku izgleda:


54

d) Dobijamo sledeće otežane proizvode (u koloni OP1 se nalazi vrednost bez n-tog korena, a u koloni

OP2 vrednosti dobijene sa n-tim korenom):

OP1 OP2 Meljak 0,171 0,643 Šimanovci 0,174 0,646 Voždovac 0,277 0,726 Banovo brdo 0,285 0,731

e) Nove vrednosti težina su:

w

Udaljenost 0,212 Parking 0,104 Cena 0,472 Opremljenost 0,212

Koristeći nove težine dobijamo sledeće otežane proizvode (kolona OP1 predstavlja proizvod, dok kolona

OP2 predstavlja 4-ti koren proizvoda):

OP1 OP2 Meljak 0,177 0,648 Šimanovci 0,181 0,653 Voždovac 0,27 0,721 Banovo brdo 0,282 0,729

Zaključujemo da ne dolazi do promene u rangovima alternativa.

0,16

0,24

0,28

0,32

0,0970,119

0,380,404

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

4 5 6 7 8

Opremljenost

Indif. AHP


55

3. Zadatak

Za potrebe internet prodavnice potrebno je izabrati veb server na kome će se nalaziti aplikacija i baza

podataka. Kriterijum Pouzdanost je podeljen na kriterijume Otkaz u radu i DDOS napada.

Cena ($ mesečno)

Opterećenje (% iskorišćene

memorije)

Pouzdanost Otkaz u radu

(sati mesečno) DDOS napada

(# napada)

TeleVIP 50 35 0,5 1 AladinHost 70 20 3 2 .io 20 100 4 7 Buba Star 80 70 0,1 1

a) Potrebno je odrediti težine kriterijuma aproksimativnom AHP metodom ukoliko su dva donosioca

odluke popunila sledeće matrice procena:

DO 1:

Cena Opterećenje Pouzdanost

Cena 2 (2) Opterećenje (4) Pouzdanost

Otkaz u radu DDOS napada

Otkaz u radu 3 DDOS napada

DO 2:

Cena Opterećenje Pouzdanost

Cena 3 2 Opterećenje (2) Pouzdanost

Otkaz u radu DDOS napada

Otkaz u radu 2 DDOS napada

b) Ispitati konzistentnost matrica procene iz a) primenom aproksimativne metode provere

konzistentnosti.

c) Odrediti očekivane koristi za svakog DO primenom otežane sume, MAXIMIN i MAXIMAX metoda.

Normalizaciju podataka raditi L∞ normom.

d) Usaglasiti mišljenja DO prema važnostima (težinama) kriterijuma primenom aritmetičke sredine i

odrediti očekivanu korist (otežana suma, MAXIMIN i MAXIMAX metode) za svaku alternativu.

Normalizaciju podataka raditi L∞ normom.


56

Rešenja:

a) Dobijaju se sledeće težine:

DO 1:

w

Cena 0,286 Opterećenje 0,143 Pouzdanost 0,571

w

Otkaz u radu 0,75 DDOS napada

0,25

DO 2:

w


w


0,333

b) Dobijaju se sledeće konzistentnosti:

DO 1: Za prvu matricu procene CR = 0,003, a za drugu matricu procene CR = 0.

DO 2: Za prvu matricu procene CR = 0,076, dok je konzistentnosti druge matrice procene CR = 0.

c) Dobijaju se sledeće vrednosti:

DO1 OK MAXIMIN MAXIMAX

TeleVIP 0,425 0,083 0,228 AladinHost 0,309 0,08 0,143 .io 0,346 0,029 0,286 Buba Star 0,685 0,04 0,571

DO2 OK MAXIMIN MAXIMAX



57

d) Nove vrednosti težina su:

w


w


0,292

Koristeći dobijene težine dobijaju se sledeće vrednosti:

OK MAXIMIN MAXIMAX



58

Prometej (Promethee) metoda

Nastava:

1. Zadatak

Nakon razvoja aplikacije javio se problem izbora veb servera gde će se aplikacija postaviti. Nakon

razmatranja servera izdvojile su se sledeće zemlje kao potencijalni kandidata za postavljanje veb aplikacije

sa sledećim vrednostima po kriterijumima.

Brzina [Mb/s]

Cena [eur]

Otkaz u radu [min]

Srbija 4 50 35

Kina 2 20 100

Hrvatska 3 70 30

Amerika 5 95 60

w 0.3 0.4 0.3

a) Odrediti preferencije DO između alternativa po kriterijumima ukoliko su date sledeće vrednosti

parametra indiferentnosti i parametra preferencije.

Brzina [Mb/s]

Cena [eur]

Otkaz u radu [min]

m 0 20 10

n 0 20 40 b) Odrediti ukupne preferencija DO prema parovima alternativa.

c) Odrediti najprihvatljiviju alternativu korišćenjem čistog toka preferencija.

Rešenje:

a) Nakon konstruisanja funkcija preferencije za svaki kriterijum i računanja preferencija dobija se:

𝑝𝑏𝑟𝑧𝑖𝑛𝑎(𝑥) = {0, 𝑥 ≤ 01, 𝑥 > 0

𝑝𝑐𝑒𝑛𝑎(𝑥) = {0, 𝑥 ≤ 201, 𝑥 > 20

𝑝𝑜𝑡𝑘𝑎𝑧(𝑥) = {

0, 𝑥 ≤ 10𝑥 − 10

30, 10 < 𝑥 ≤ 40

1, 𝑥 > 40


59

Brzina Cena Otkaz

Srbija, Kina 1 0 1

Srbija, Hrvatska 1 0 0

Srbija, Amerika 0 1 0.500

Kina, Srbija 0 1 0

Kina, Hrvatska 0 1 0

Kina, Amerika 0 1 0

Hrvatska, Srbija 0 0 0

Hrvatska, Kina 1 0 1

Hrvatska, Amerika 0 1 0.667

Amerika, Srbija 1 0 0

Amerika, Kina 1 0 1

Amerika, Hrvatska 1 0 0

b) Množenjem preferencija po kriterijumima sa odgovarajućim težinama i njihovim sabiranjem

dobijamo:

Preferencije Srbija, Kina 0.6

Srbija, Hrvatska 0.3 Srbija, Amerika 0.55

Kina, Srbija 0.4 Kina, Hrvatska 0.4 Kina, Amerika 0.4

Hrvatska, Srbija 0 Hrvatska, Kina 0.6

Hrvatska, Amerika 0.6 Amerika, Srbija 0.3

Amerika, Kina 0.6 Amerika, Hrvatska 0.3

c) Prikazivanjem podataka u pogodnijem obliku (matrica otežanih preferencija) računamo

pozitivan, negativan i čist tok.

Srbija Kina Hrvatska Amerika T+ T

Srbija

0.6 0.3 0.55 0.483 0.25

Kina 0.4

0.4 0.4 0.4 -0.2

Hrvatska 0 0.6

0.6 0.4 0.067

Amerika 0.3 0.6 0.3

0.4 -0.117

T- 0.233 0.6 0.333 0.517

Najprihvatljivija alternative je Srbija.


60

2. Zadatak

Programerska firma želi da se proširi kupovinom novog poslovnog prostora. Izdvojili su sledeće lokacije.

Mesta za sedenje [broj]

Cena [100*eur]

Kancelarija [broj]

(1) Vračar 55 75 12

(2) Centar 120 100 18

(3) Stepojevac 10 10 7

(4) Banovo brdo 100 50 16

(5) Novi Beograd 90 60 14

w 0.5 0.2 0.3



Mesta Cena Kancelarija

m 20 10 2

n 40 50 7 b) Odrediti ukupne preferencija DO prema parovima alternativa.

c) Odrediti najprihvatljiviju alternativu korišćenjem čistog toka preferencija.

Rešenje:

a) Dobijamo sledeće f-je preferencija, zatim i sledeće vrednosti preferencija po kriterijumima.

𝑝𝑚𝑒𝑠𝑡𝑎(𝑥) = {

0, 𝑥 ≤ 20𝑥 − 20

20, 20 < 𝑥 ≤ 40

1, 𝑥 > 40

𝑝𝑐𝑒𝑛𝑎(𝑥) = {

0, 𝑥 ≤ 10𝑥 − 10

40, 10 < 𝑥 ≤ 50

1, 𝑥 > 50

𝑝𝑘𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑟𝑖𝑗𝑎(𝑥) = {

0, 𝑥 ≤ 2𝑥 − 2

5, 2 < 𝑥 ≤ 7

1, 𝑥 > 7


61

Mesta Cena Kancelarija

(1), (2) 0 0.375 0 (1), (3) 1 0 0.6 (1), (4) 0 0 0 (1), (5) 0 0 0

(2), (1) 1 0 0.8

(2), (3) 1 0 1

(2), (4) 0 0 0

(2), (5) 0.5 0 0.4

(3), (1) 0 1 0

(3), (2) 0 1 0

(3), (4) 0 0.75 0

(3), (5) 0 1 0

(4), (1) 1 0.375 0.4

(4), (2) 0 1 0

(4), (3) 1 0 1

(4), (5) 0 0 0

(5), (1) 0.75 0.125 0

(5), (2) 0 0.75 0

(5), (3) 1 0 1

(5), (4) 0 0 0

b) Množenjem preferencija po kriterijumima sa odgovarajućim težinama i njihovim sabiranjem

dobijamo:

Preferencije

(1), (2) 0.075 (1), (3) 0.68 (1), (4) 0 (1), (5) 0 (2), (1) 0.74 (2), (3) 0.8 (2), (4) 0 (2), (5) 0.37 (3), (1) 0.2 (3), (2) 0.2 (3), (4) 0.15 (3), (5) 0.2 (4), (1) 0.695 (4), (2) 0.2 (4), (3) 0.8 (4), (5) 0 (5), (1) 0.4 (5), (2) 0.15 (5), (3) 0.8 (5), (4) 0


62

c) Prikazivanjem podataka u pogodnijem obliku (matrica otežanih preferencija) računamo

pozitivan, negativan i čist tok.

Vračar Centar Stepojevac Banovo brdo

Novi Beograd

T+ T

Vračar

0.075 0.68 0 0 0.189 -0.32

Centar 0.74

0.8 0 0.37 0.478 0.322

Stepojevac 0.2 0.2

0.15 0.2 0.188 -0.582

Banovo brdo

0.695 0.2 0.8

0 0.424 0.386

Novi Beograd

0.4 0.15 0.8 0

0.338 0.195

T- 0.509 0.156 0.77 0.038 0.143

3. Zadatak

Nakon razvoja aplikacije javio se problem izbora veb servera gde će se aplikacija postaviti. Nakon

razmatranja servera izdvojile su se sledeće zemlje kao potencijalni kandidata za postavljanje veb aplikacije

sa sledećim vrednostima po kriterijumima.

Brzina [Mb/s]

Cena [eur]

Otkaz u radu [min]

Srbija 4 50 35

Kina 2 20 100

Hrvatska 3 70 30

Amerika 5 95 60

w 0.3 0.4 0.3



Brzina [Mb/s]

Cena [eur]

Otkaz u radu [min]

m 0 20 10

n 0 20 40

b) Izračunati čist tok za svaki kriterijum pojedinačno.

c) Izračunati matricu kovarijansi čistih tokova.


63

d) Odrediti procenat varijanse koje opisuju prve dve glavne komponente. Vizualizovati alternative,

kriterijume i težine na Gaja ravni, ukoliko su iz matrice kovarijansi dobijene sledeće sopstvene

vrednosti i sopstveni vektori.

Sopstvene vrednosti

Lambda 1 Lambda 2 Lambda 3

1.5584 0.3347 0.0353

Sopstveni vektori

V 1 V 2 V 3

0.6658 -0.3189 0.6745

-0.6356 0.2309 0.7367

0.3907 0.9192 0.0490

Rešenje:

a) Preferencije se dobijaju na identičan način kao u prvom zadatku. Odnosno, dobijamo:

Brzina Cena Otkaz

Srbija, Kina 1 0 1

Srbija, Hrvatska 1 0 0

Srbija, Amerika 0 1 0.500

Kina, Srbija 0 1 0

Kina, Hrvatska 0 1 0

Kina, Amerika 0 1 0

Hrvatska, Srbija 0 0 0

Hrvatska, Kina 1 0 1

Hrvatska, Amerika 0 1 0.667

Amerika, Srbija 1 0 0

Amerika, Kina 1 0 1

Amerika, Hrvatska 1 0 0

b) Čisti tokovi su sledeći:

Brzina Srbija Kina Hrvatska Amerika T+ T

Srbija 1 1 0 0.667 0.334 Kina 0 0 0 0 -1

Hrvatska 0 1 0 0.333 -0.334 Amerika 1 1 1 1 1

T- 0.333 1 0.667 0


64

Cena Srbija Kina Hrvatska Amerika T+ T

Srbija 0 0 1 0.333 0 Kina 1 1 1 1 1

Hrvatska 0 0 1 0.333 0 Amerika 0 0 0 0 -1

T- 0.333 0 0.333 1

Otkaz Srbija Kina Hrvatska Amerika T+ T

Srbija 1 0 0.5 0.5 0.5 Kina 0 0 0 0 -1

Hrvatska 0 1 0.667 0.556 0.556 Amerika 0 1 0 0.333 -0.056

T- 0 1 0 0.389

c) Dobijene rezultate možemo predstaviti u matrici čistih tokova. Dobijamo:

Brzina Cena Otkaz

Srbija 0.334 0 0.5

Kina -1 1 -1

Hrvatska -0.334 0 0.556

Amerika 1 -1 -0.056

w 0.3 0.4 0.3

Zatim, iz matrice čistih tokova računamo matricu kovarijansi.

Brzina Cena Otkaz

Brzina 0.741 -0.667 0.308

Cena -0.667 0.667 -0.315

Otkaz 0.308 -0.315 0.521

d) Procenat varijanse se dobija kao udeo sopstvene vrednosti u ukupnim sopstvenim vrednostima:

Lambda 1 Lambda 2 Lambda 3 Suma

1.5584 0.3347 0.0353 1.9284

80,813% 17,356% 1,831% 100%

Prve dve komponente obuhvataju 98,169%.

Vizualizaciju Gaja ravni dobijamo prebacivanjem vrednosti u prostor glavnih komponenti. Prvo,

množenjem matrice čistih tokova i sopstvenih vektora dobijamo:


65

PC1 PC2

Srbija 0,4177 0,3531

Kina -1,6921 -0,3694

Hrvatska -0,0051 0,6176

Amerika 1,2795 -0,6013

w 0,0627 0,2725

Zatim, dobijene vrednosti koristimo za vizuelni prikaz zajedno sa sopstvenim vektorima. Sopstveni vektori

predstavljaju vrednosti koje odgovaraju kriterijumima.


66


1. Zadatak

DO želi da kupi službeni automobil za odlaske na sastanke, putovanja i prenos materijala. Kao rezultat

istraživanja ponuda popunila je sledeću tabelu odlučivanja:

Cena [eur]

Troškovi održavanja [eur]

Komfor [1-10]

Fiat Punto 11 0.9 5

Škoda Superb 19 1.4 9

Mercedes A 23 2.3 10

Dacia Logan 12 0.6 7

a) Odrediti težine kriterijuma ukoliko je DO popunio sledeću matricu procene:

Cena Troškovi održavanja Komfor

Cena 1 2 Troškovi održavanja 2

Komfor

b) Odrediti preferencije DO između alternativa po kriterijumima ukoliko su date sledeće vrednosti


Cena Troškovi održavanja Komfor

m 3 0.3 0

odlučivanjeodlucivanje.fon.bg.ac.rs/wp-content/uploads/to_praktikum...predgovor praktikum...

Documents