Unidad 6

ortoGonalidad y

ortonorMalidad

Objetivos:

Al inalizar la unidad, el alumno:

•Determinará cuándo un conjunto de vectores es ortogonal u ortonormal.

•Obtendrá las coordenadas de un vector relativas a una base ortogonal y

a una base ortonormal.

•Construirá la matriz de transición entre bases ortonormales.

•Construirá bases ortonormales mediante el proceso de Gram-Schmidt.

Álgebralineal

205

Introducción

En la unidad anterior analizamos el concepto de ángulo entre dos vectores;

en el plano cartesiano R2 es frecuente encontrar vectores cuyo ángulo

es de 90°, estos vectores, se dice, son perpendiculares u ortogonales.

En esta unidad vamos a generalizar el concepto de ortogonalidad a espacios

vectoriales cualesquiera.

Se analizó también el concepto de vectores unitarios; al unir ambos

conceptos obtendremos el concepto de vectores ortonormales. Ahora veremos

las propiedades de estos vectores y las ventajas de trabajar con una base cuyos

vectores son ortonormales, así como un procedimiento mediante el cual se

pueden construir dichas bases.

6.1. Definición de conjunto de vectores

ortogonales. Bases ortogonales

Conocemos a R2 como el concepto de vectores cuyo ángulo es de 90°.

Ahora generalizaremos este resultado con la definición 6.1.

Definición 6.1. Sea V un espacio vectorial con producto interno y u, v

vectores de V. Se dice que u y v son ortogonales si su producto interno es cero,

es decir

(u, v) = 0

Comprobaremos que la definición anterior es equivalente en R2 al tener

un ángulo de 90° o de 270°. De ser comprobable la tomaremos como definición

general y analizaremos su significado y las propiedades que tienen en otros

espacios vectoriales.

Ejemplo 1

a) Consideremos los vectores u = (2, 0) y v = (0, 3) en R2

Recordemos la definición de vectores ortogonales: son aquellos que tienen

entre ellos un ángulo de 90° o de 270° (π/2 o 3π/2). (Definición 5.8)

206

Unidad 6

Vamos a encontrar el ángulo entre u y v.

cos( , ) ( , )

( )( )ϕ = ⋅ = + + = = =u v

u v

2 0 0 3

2 0 0 3

0

2 3

0

60

2 2 2 2

por tanto ϕ = cos–1 0 =

90° o 270°

Entonces u y v son ortogonales. Observemos que el producto interno de u

y v es cero.

Podemos concluir que estas dos definiciones son equivalentes.

b)Consideremos ahora el espacio vectorial C[0, 2π].

Sean f(t) = sen t y g(t) = cos t en C[0, 2π].

Entonces ( f, g) = f t g t dt t t dt t( ) ( ) ( ) |

0

2120

2 2

0

2

0π π π∫ ∫= = =sen cos sen por lo

tanto podemos asegurar que f y g son ortogonales.

c) Sea D2 el espacio vectorial de las matrices diagonales de orden 2×2 con

el producto interno definido como la suma de los productos de los elementos de

la diagonal principal. (A, B)=a11

b11

+a22

b22

(véase unidad 5, sección 5.3 ejemplo

10a).

Sean A = 1 0

0 2

y B =

−

2 0

0 1 .

Vamos a probar que son ortogonales:

(A, B) = (1)(–2) + (2)(1) = –2 + 2 = 0 y por tanto son ortogonales.

Basados en lo anterior, podemos tener un conjunto de vectores que

sean ortogonales, pero, ¿tendrán propiedades especiales?

Consideremos la definición 6.2.

Definición 6.2. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sea

{v1, v

2, ..., v

n} un conjunto de vectores de V, entonces es un conjunto ortogonal

si satisface que

(vi, v

j) = 0 para i ≠ j

Álgebralineal

207

Es decir, cuando cada uno de los vectores del conjunto es ortogonal a los

demás elementos.

Daremos algunos ejemplos de conjuntos ortogonales, especialmente en R2

y R3.

Ejemplo 2

a) Considera los vectores de R3 i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).

A continuación probaremos que forman un conjunto ortogonal:

(i, j) = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0

(i, k) = (1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0

( j, k) = (0)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0

de donde forman un conjunto ortogonal.

Sea D3 el espacio vectorial de las matrices diagonales de 3×3,

Sean A =

1 0 0

0 0 0

0 0 0

, B =

0 0 0

0 5 0

0 0 0

, C =

0 0 0

0 0 0

0 0 3

−

Probaremos que forman un conjunto ortogonal en D3.

(A, B) = (1)(0) + (0)(5) + (0)(0) = 0

(A, C) = (1)(0) + (0)(0) + (0)(–3) = 0

(B, C) = (0)(0) + (5)(0) + (0)(–3) = 0

Así concluimos que forman un conjunto ortogonal.

Considerando el espacio euclideano R2, si dos vectores ortogonales tienen

entre ellos un ángulo de 90° o de 270°, ¿serán linealmente independientes?

Recordemos que en R2 para que dos vectores fueran linealmente dependientes,

uno tenía que ser múltiplo del otro, y por tanto el ángulo que formarían

entre ellos sería de 0° o 180°. Esto nos lleva a enunciar que dos vectores

en R2 ortogonales, deben ser linealmente independientes. ¿Sucederá esto con

cualquier espacio vectorial? Veamos el teorema 6.1.

208

Unidad 6

Teorema 6.1. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sea S = {v1,

v2, ..., v

n} un conjunto finito de vectores ortogonales en V. Entonces S es un

conjunto linealmente independiente.

Daremos un ejemplo de este teorema en un espacio vectorial diferente

de R2.

Ejemplo 3

Consideremos el espacio vectorial D3 de las matrices diagonales de 3×3.

Retomando las matrices A, B, C del ejemplo 2.

A =

0 0 0

0 0 0

0 0 3

−

, B =

1 0 0

0 0 0

0 0 0

, C =

0 0 0

0 5 0

0 0 0

Ya comprobamos en este ejemplo que el conjunto de las matrices {A, B, C}

es ortogonal, ahora vamos a probar que son linealmente independientes.

Tomemos una combinación lineal de ellas igual a cero:

c1A + c

2B + c

3C = 0

c1

1 0 0

0 0 0

0 0 0

+ c

2

0 0 0

0 5 0

0 0 0

+ c

3

0 0 0

0 0 0

0 0 3

−

= 0

entonces

c1 0 0

0 0 0

0 0 0

+

0 0 0

0 5 0

0 0 0

2c

+

0 0 0

0 0 0

0 0 3 3−

c

=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Donde c1 = 0; 5c

2 = 0; –3c

3 = 0; por tanto, c

1 = c

2 = c

3 = 0 siendo el conjunto

linealmente independiente.

Lo que nos lleva a considerar un conjunto como base ortogonal sólo con

pedirle que genere al espacio vectorial.

Álgebralineal

209

Definición 6.3. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sea B un

conjunto ortogonal de vectores en V. Entonces B es una base ortogonal de V si

V = gen B

Consideremos como ejemplo la base canónica de R2.

Ejemplo 4

(Ver unidad 4, sección 4.3, ejemplo 2a.)

Sea B = {i, j}, con i = (1, 0) y j = (0, 1) la base canónica de R2

Probaremos que es un conjunto ortogonal:

(i, j) = (1)(0) + (0)(1) = 0; entonces B es un conjunto ortogonal pero como B

genera a R2, entonces podemos asegurar que B es una base ortogonal para R2.

Vamos ahora a unir el teorema 4.6 (cualesquiera n vectores linealmente

independientes en un espacio vectorial de dimensión n forman una base para

el espacio), con el teorema 6.1 para obtener un resultado que nos indica que

cualquier espacio vectorial finito tiene una base ortogonal.

Teorema 6.2 Sea V un espacio vectorial finito de dimensión n. Sea

B = {v1, v

2, ..., v

n} un conjunto ortogonal de n vectores, entonces B es una base

ortogonal de V.

Este teorema nos da una condición para tener una base ortogonal de un

espacio vectorial de dimensión finita. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 5

Consideremos el espacio vectorial D2 de las matrices diagonales de orden

2×2.

Vamos a probar que la dimensión de D2 es 2. Sea A una matriz de D

2,

A =a

b

0

0

entonces A se puede escribir como

210

Unidad 6

A =a

b

0

0

= a

1 0

0 0

+ b

0 0

0 1

;

por tanto el conjunto formado por 1 0

0 0

0 0

0 1

; genera a D

2, lo que

nos indica que la dimensión de D2 es 2.

En el ejemplo 1c) se probó que las matrices A =1 0

0 2

y B =

−

2 0

0 1 son

ortogonales, y como son dos forman una base ortogonal para D2.

Ejercicio 1

1. Determina si los siguientes pares de vectores de R3 son ortogonales o no:

a) u = (3, 2, –4), v = (2, –3, 4)

b) u = (–1, 0, 0), v = (0, 0, –1)

c) u = (–2/3, 1/2, 1), v = (1/2, 2/3, 0)

d) u = (0, –5, 0), v = (4, 1, 0)

2. Encuentra los vectores en R2 que sean ortogonales a cada uno de los

siguientes vectores:

a) u = (2, –3)

b) v = (–3, 4)

c) w = (2, 3)

3. Determina si los siguientes conjuntos son ortogonales o no:

a) {(3, –1), (–1, –3), (1, 0)}

b) 1 0

0 2

0 0

0 0

2 0

0 1

−

, ,

4. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} es una base ortogonal para R3.

b) {(1, 1, 1), (2, 2, 2); (0, 0, 0)} es una base ortogonal para R3.

c) Todo conjunto linealmente independiente es ortogonal.

d) Todo conjunto ortogonal es linealmente independiente.

e) Si V es un espacio vectorial de dimensión n, un conjunto ortogonal de m

vectores es una base para V.

Álgebralineal

211

6.2. Definición de conjunto de vectores

ortonormal. Bases ortonormales

En la sección anterior determinamos cómo obtener un conjunto ortogonal

de vectores. En la unidad 5 analizamos vectores cuya norma era 1, es decir,

vectores unitarios que tienen importantes propiedades además de un manejo

más fácil.

En esta sección nos ocuparemos de las bases ortonormales, es decir, de

conjuntos de vectores ortogonales con norma 1.

Consideremos la definición 6.4 (que es una ampliación de la definición 6.1).

Definición 6.4. Sea V un espacio vectorial con producto interno y u, v dos

vectores de V, entonces, u y v son vectores ortonormales si son ortogonales y

su norma es 1, es decir, (u, v) = 0 y además u = 1, v = 1

Vamos a dar un ejemplo de esta definición en R2 y en D3.

Ejemplo 6

a) Consideremos en R2 los vectores i = (1, 0) y j = (0, 1), veremos si son

ortonormales.

(i, j) = (1)(0) + (0)(1) = 0, por tanto son ortogonales;

u = +1 02 2= 1 y v = +0 12 2

= 1, son unitarios

De ambos resultados decimos que i y j son ortonormales.

b) Sean A =

1 0 0

0 0 0

0 0 0

, B =

0 0 0

0 1 0

0 0 0

en D

3; veremos si son ortonormales.

(A, B) =

1 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 1 0

0 0 0

= (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0 y son ortogonales;

212

Unidad 6

A A A= = + + =( ), 1 0 0 12 2 2 y B B B= = + + =( ), 0 1 0 12 2 2

de donde son unitarias.

Uniendo ambos resultados tenemos que A y B son ortonormales.

Del mismo modo que en la sección anterior, podemos tener un conjunto de

vectores ortonormales. Consideremos la definición 6.5.

Definición 6.5. Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea

S = {v1, v

2, ..., v

n} un conjunto de vectores de V; entonces S es un conjunto

ortonormal si es un conjunto ortogonal y todos los vectores de S son unitarios.

Es decir, (vi, v

j) = 0 si i ≠ j y además vi

= 1 para i = 1, 2,...n

Vamos a dar un ejemplo en R3 en el cual se encuentra la definición 6.5 de

un conjunto ortonormal.

Ejemplo 7

Consideremos en R3 el conjunto de vectores i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0);

k = (0, 0, 1).

Veamos si el conjunto {i, j, k}es ortonormal.

En el ejemplo 2a) probamos que el conjunto {i, j, k) es un conjunto

ortogonal, por lo que nos faltaría probar que todos son vectores unitarios.

Consideremos las normas de cada uno de ellos:

i j k= + + = = + + = = + + =1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2, ,

Todos son unitarios, por lo que el conjunto es ortonormal.

De igual manera podemos pensar en tener bases ortonormales (definición

6.6) que, como veremos más adelante, poseen propiedades muy especiales y

son bastante más fáciles de manejar que cualquier otra base.

Álgebralineal

213

Definición 6.6. Sea V un espacio vectorial con producto interno y B una

base para V.

Entonces B se llama base ortonormal de V si es una base y es un conjunto

ortonormal.

En el ejemplo 7 tenemos un conjunto ortonormal para R3, {i, j, k), y

sabemos que este conjunto es la conocida base canónica, por tanto es una base

ortonormal para R3.

Las bases ortonormales nos permiten definir un tipo especial de matriz, lo

cual haremos a continuación.

Definición 6.7. Sea A una matriz de n×n, entonces A se llama matriz

ortogonal si

A–1 = AT

Daremos un ejemplo en M3×3

Ejemplo 8

Consideremos la matriz de M3×3

A =

1 2 0 1 2

1 2 0 1 2

0 1 0

/ /

/ /

−

veamos si es

ortogonal:

AT =

1 2 1 2 0

0 0 1

1 2 1 2 0

/ /

/ /

−

, entonces

A AT =

1 2 0 1 2

1 2 0 1 2

0 1 0

1 2 1 2 0

0 0 1

1 2 1 2 0

/ /

/ /

/ /

/ /

−

−

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Donde A–1 = AT y por tanto A es ortogonal.

214

Unidad 6

Teorema 6.3. Una matriz Q de orden n×n es ortogonal, si y sólo si, sus

columnas forman una base ortonormal para Rn.

El teorema 6.3 nos brinda una manera de construir matrices ortogonales

usando conjuntos de vectores ortonormales.

Ejemplo 9

Usando este teorema podemos afirmar que la matriz A =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

es

ortogonal pues sus columnas forman una base ortonormal para R3.

Ejercicio 2

1. Determina si los siguientes vectores son ortonormales o no. Si no lo son,

describe cuál es la propiedad que no se cumple en cada caso:

a) u = (1, 0) y v = (0, 3)

b) u = (2/3, 1/3, 2/3) y v = (–1, 0, 1)

c) u = (1/ 2 , 1/ 2 , 0) y v = (0, 1, 0)

2. Encuentra una base ortonormal para R4(generaliza la base de R3).

3. Determina si la matriz A =

2 3 2 3 1 3

2 3 1 3 2 3

1 3 2 3 2 3

/ / /

/ / /

/ / /

−−

−

es ortogonal (utiliza el

teorema 6.3).

6.3. Coordenadas de un vector relativas a una

base ortogonal y a una base ortonormal

En esta sección manejaremos las coordenadas de un vector relativas a una

base ortogonal y a una base ortonormal, veremos sus diferencias entre ellas y

Álgebralineal

215

con otras bases cualesquiera. Usaremos el espacio euclideano Rn para nuestros

ejemplos.

Sea B = {(1, –1), (1, 1)}una base ortogonal para R2. Con x = (x, y) un vector

de R2. Como B es una base, existen c1 y c

2 escalares, tal que x = (x, y) = c

1(1,

–1) + c2(1, 1) de donde tenemos que c

1 = (x–y)/2 y c

2 = (x+y)/2

En este caso obtuvimos las coordenadas del vector porque conocíamos los

vectores de la base; sin embargo, ¿habrá una manera general de encontrar las

coordenadas de un vector aun sin conocer explícitamente los vectores de la

base?

El teorema 6.4 nos determina la respuesta:

Teorema 6.4 Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea B = {e1,

e2,...,e

n} una base ortogonal de V. Si u es un vector de V entonces

u = ( , )

( , )

u e

e e

1

1 1

e1 +

( , )

( , )

u e

e e

2

2 2

e2 + ... +

( , )

( , )

u e

e e

n

n n

en

Daremos un ejemplo en R3:

Ejemplo 10

Considera el conjunto B = {e = (2, 2, –1), f = (2, –1, 2), g = (–1, 2, 2)}; es

una base ortogonal para R3.

Sea u = (1, 2, –1) un vector de R3, entonces vamos a usar el teorema 6.4,

para encontrar las coordenada del vector u con respecto a la base B.

(u, e) = (1, 2, –1)(2, 2, –1) = 2 + 4 + 1 = 7 (e, e) = (2, 2, –1)(2, 2, –1) = 4 + 4 +1 = 9

(u, f) = (1, 2, –1)(2, –1, 2) = 2 – 2 – 2 = –2 (f, f) = (2, –1, 2)(2, –1, 2) = 4 + 1 + 4 = 9

(u, g) = (1, 2, –1)(–1, 2, 2) = –1 + 4 – 2 = 1 (g, g) = (–1, 2, 2)(–1, 2, 2) = 1 + 4 + 4 = 9

por tanto las coordenadas de u con respecto a B son (u)B

= (7/9, –2/9, 1/9);

es decir,

(1, 2, –1) = 7/9 (2, 2, –1) – 2/9 (2, –1, 2) + 1/9 (–1, 2, 2)

216

Unidad 6

Sin embargo, ¿pasará lo mismo con las bases ortonormales?

En el caso de las bases ortonormales las normas de todos los vectores de

la base es 1, y por tanto las coordenadas de un vector se simplifican como lo

indica el siguiente teorema.

Teorema 6.5. Sea V un espacio vectorial con producto interno y B = {e1,

e2,...,e

n} una base ortonormal para V. Si u es cualquier vector de V entonces:

u = (u, e1) e

1 + (u, e

2) e

2

+ ... + (u, en)e

n

Usaremos el teorema 6.5, para encontrar las coordenadas de un vector con

referencia a una base ortonormal de R3.

Ejemplo 11

Consideremos en R3 el conjunto B formado por los vectores

a = ( / , / , )1 2 1 2 0 ; b = (0, 0, 1) y c = ( / , / , )1 2 1 2 0− ; este

conjunto constituye una base ortonormal para R3 (ejemplo 8).

Sea x = (2, –4, 1) un vector de R3. Vamos a encontrar las coordenadas de x

con respecto a la base B.

(x, a) = (2, –4, 1) ( / , / , ) / / /1 2 1 2 0 2 2 4 2 0 2 2= − + = −(x, b) = (2, –4, 1)(0, 0, 1) = 0 + 0 +1 = 1

(x, c) = (2, –4, 1) ( / , / , ) / / /1 2 1 2 0 2 2 4 2 0 6 2− = + + =Por tanto las coordenadas de x con respecto a B son (x)

B = (−2 2/ , 1, 6 2/ )

Ejercicio 3

1. Considera la base ortogonal B = {e = (2, 2, –1), f = (2, –1, 2), g = (–1, 2, 2)}.

Encuentra las coordenadas con respecto a esta base de los siguientes

vectores:

Álgebralineal

217

a) u = (1, 0, 0)

b) v = (0, –3, 0)

c) x = (2, 1, –1)

2. Considerando la base ortonormal B = {a = ( / , / , )1 2 1 2 0 ; b = (0,

0, 1); c = ( / , / , )1 2 1 2 0− }; encuentra las coordenadas con respecto a esta

base de los siguientes vectores:

a) u = (2, –1,4)

b) v = (4, –1, 0)

c) w = (0, 0, –3)

6.4. Matriz de transición entre bases

ortonormales

En la sección anterior encontramos una base ortonormal para R3:

B = {a = ( / , / , )1 2 1 2 0 ; b = (0, 0, 1); c = ( / , / , )1 2 1 2 0− };

sabemos que la base canónica también es una base ortonormal para R3. Ahora

vamos a encontrar la matriz de transición entre las dos bases y analizar sus

propiedades.

Sea B1 = {(i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1)} y

B2 = {a = ( / , / , )1 2 1 2 0− ; b = (0, 0, 1); c = ( / , / , )1 2 1 2 0− }; entonces

la matriz de transición de B1 a B

2 se obtiene definiendo como columnas las

coordenadas de los vectores de B1 en función de la base B

2 (ver definición 4.7).

Procedemos a encontrar las coordenadas de i, j y k en términos de a, b y c.

Como B2 es una base ortonormal usaremos el teorema 6.5 para encontrar

sus coordenadas:

(i, a) = (1, 0, 0) ( / , / , ) /1 2 1 2 0 1 2=(i, b) = (1, 0, 0)(0, 0, 1) = 0;

(i, c) = (1, 0, 0) ( / , / , ) /1 2 1 2 0 1 2− = de donde (i)

B2 = (1 2/ , 0, 1 2/ ).

( j, a) = (0, 1, 0) ( / , / , ) /1 2 1 2 0 1 2=

218

Unidad 6

( j, b) = (0, 1, 0)(0, 0, 1) = 0;

( j, c) = (0, 1, 0) ( / , / , ) /1 2 1 2 0 1 2− = −de donde ( j)

B2 = (1 2/ , 0, –1 2/ ).

(k, a) = (0, 0, 1) ( / , / , )1 2 1 2 0 0=

(k, b) = (0, 0, 1)(0, 0, 1) = 1;

(k, c) = (0, 0, 1) ( / , / , )1 2 1 2 0 0− =de donde (k)

B2 = (0, 1, 0)

Por tanto la matriz de transición es A =

1 2 1 2 0

0 0 1

1 2 1 2 0

/ /

/ /

−

Vamos a encontrar la matriz de transición de la base B2 a B

1:

(a, i) = ( / , / , ) ( , , ) /1 2 1 2 0 1 0 0 1 2 =(a, j) = ( / , / , ) ( , , ) /1 2 1 2 0 0 1 0 1 2 = ;

(a, k) = ( / , / , ) ( , , )1 2 1 2 0 0 0 1 0 =

de donde, ( ) ( / , / , )a B11 2 1 2 0=

(b, i) = ( , , ) ( , , )0 0 1 1 0 0 0 =(b, j) = ( , , ) ( , , )0 0 1 0 1 0 0 =(b, k) = ( , , ) ( , , )0 0 1 0 0 1 1 = de donde ( ) ( , , )b B1

0 0 1=

(c, i) = ( / , / , ) ( , , ) /1 2 1 2 0 1 0 0 1 2− =

(c, j) = ( / , / , ) ( , , ) /1 2 1 2 0 0 1 0 1 2− = − ;

(c, k) = ( / , / , ) ( , , )1 2 1 2 0 0 0 1 0− =

de donde, ( ) ( / , / , )a B11 2 1 2 0= −

Por tanto la matriz de transición es C = −

1 2 0 1 2

1 2 0 1 2

0 1 0

/ /

/ /

.

En este caso las columnas de C son las coordenadas de los vectores a, b y

c; por tanto es ortogonal. Observemos que la matriz A es la transpuesta de la

matriz C de donde podemos asegurar que también es ortogonal.

Álgebralineal

219

Podemos generalizar este resultado en el teorema 6.6

Teorema 6.6. Sea V un espacio vectorial con producto interno, sean B1 y B

2

dos bases ortonormales para V, entonces la matriz de transición de B1 a B

2 y la

matriz de transición de B2 a B

1 son ortogonales.

Ejemplo 12

Consideremos las bases ortonormales de R2.

B1 = {i = (1, 0); j = (0, 1)} y B

2 = {a = ( / , / )−1 5 2 5 ; b = ( / , / )2 5 1 5 }

Entonces la matriz de transición de B1 a B

2 es A = −

1 5 2 5

2 5 1 5

/ /

/ /

y la de B2 a B

1 es C = −

1 5 2 5

2 5 1 5

/ /

/ / ; como podemos observar son

iguales y sus columnas son los vectores a y b que son ortogonales y por tanto

las matrices son ortogonales.

Este resultado nos será de mucha utilidad en la unidad 10.

Ejercicio 4

1. Encuentra la matriz de transición entre las bases ortonormales de R2

B1 ={( / , / ); ( / , / )}1 2 1 2 1 2 1 2−

y

B2 ={( / , / ); ( / , / )}2 5 1 5 1 5 2 5−

2. Verifica que la matriz de transición del ejercicio anterior es ortogonal.

220

Unidad 6

6.5. El proceso de ortonormalización de Gram-

Schmidt

En las secciones anteriores vimos cómo una base ortonormal es más fácil

de manejar que una que no lo es (teoremas 6.4 y 6.5), lo cual confirmaremos

en unidades posteriores.

En esta sección nos dedicaremos a construir bases ortonormales a partir de una

base dada, utilizando el procedimiento llamado de Gram-Schmidt. Este procedimiento

se basa en la proyección ortogonal de un vector, como veremos más adelante.

Usaremos, como de costumbre, el espacio euclideano R2 con el fin de visualizar lo

que estamos construyendo y después generalizaremos el resultado.

Observemos en la figura 6.1 lo que pasa con la proyección de un vector

sobre otro: proyv u =

u v

vv

,( )2

Figura 6.1. Proyección de un vector sobre otro.

En la figura 6.1 podemos ver que el vector proyección proyv u es un vector

en la misma dirección que v, sin embargo, si restamos al vector u el vector

proyv u obtendremos un vector ortogonal a v.

Esta idea nos indica cuál es el camino a seguir en la construcción de un

vector ortogonal a otro. Además, si recordamos la definición de vector unitario,

podemos siempre construir un vector unitario a partir de otro si lo dividimos

entre su norma.

Siguiendo estos dos pasos vamos a especificar el procedimiento de

ortonormalización de Gram-Schmidt.

Consideremos primero el siguiente teorema.

Álgebralineal

221

Teorema 6.7. Sea V un espacio vectorial con producto interno y sean u y v

dos vectores en V; entonces el vector w = u – proyv u es un vector ortogonal a v.

Comprobaremos que u – proyv u es un vector ortogonal a v.

Ejemplo 13

Tomemos dos vectores en R2, u = (1, 2) y v = ( 2, –3).

Vamos a construir la proyección de u sobre v.

proyv u =

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

u v

vv

2

1 2 2 3

2 3 2 32 3

2 6

4 92 3

4

13= −

− − − = −+ − = −

(( , ) (2 3− = −

4

13= −

− − − = −+ − = −

(( , ) ( / , / )2 3 8 13 12 13− = −

Encontraremos al vector w = u – proyv u

w = u – proyv u = (1, 2) – (–8/13, 12/13) = (21/13, 14/13)

Probaremos ahora que w y v son ortogonales.

(w, v) = (21/13, 14/13)(2, –3) = 42/13 – 42/13 = 0 y por tanto son

ortogonales.

Ahora ya podemos enunciar el procedimiento de Gram-Schmidt para

construir conjuntos ortonormales:

Teorema 6.8. Procedimiento de Gram-Schmidt. Este procedimiento se

inicia a partir de un conjunto de vectores en un espacio vectorial con producto

interno. Sea S = {v1, v

2, ..., v

n} un conjunto de vectores de V.

Paso 1. Elección del primer vector unitario

Sea u1 =

v

v

1

1

, entonces (u1, u

1) =

v

v

v

v vv v1

1

1

1 1

2 1 1

11

=

( )= ; por

tanto u1 es unitario.

222

Unidad 6

Paso 2. Elección de un segundo vector ortogonal a u1

Sea v v'2 2= – proyu1

v2, entonces, aplicando el teorema, v '2

es un vector

ortogonal a u1.

Notemos que, como u1 es unitario, su norma es 1 y por tanto

proyu1

v2 =

v u

uu

2 1

1

2 1

,( ) = (v

2u

1) u

1 de donde v '2 = v

2 – (v

2•u

1) u

1

Paso 3. Elección de un segundo vector unitario y ortogonal a u1

Sea u2 =

v

v

'

'

2

2

, entonces u2 es unitario y ortogonal a u

1

En este momento hemos construido un conjunto ortonormal {u1, u

2}

Paso 4. Elección de un tercer vector ortogonal a u1 y a u

2

Sea v'3

= v3 – (v

3u

1) u

1 – (v

3u

2) u

2, éste es un vector ortogonal a u

2 y a u

1

Paso 5. Elección de un tercer vector unitario y ortogonal a u1 y a u

2

Sea u3 =

v

v

'

'

3

3

Por tanto el conjunto {u1, u

2, u

3 } es ortonormal.

Podemos continuar con este proceso hasta construir un conjunto {u1, u

2,..., u

n}

ortonormal.

Vamos a ejemplificar este teorema construyendo una base ortonormal para

R3, a partir de una base dada.

Ejemplo 14

Consideremos en R3 la base {v1, v

2, v

3} = {( , , ), ( , , ), ( , , )}1 1 0 0 1 1 1 0 1

Álgebralineal

223

Paso 1

Como v1 2= entonces definimos

u1 =

v

v

1

1

1 1 0

21 2 1 2 0= =( , , )( / , / , )

Paso 2

Sea v '2 = v

2 – (v

2•u

1) u

1 como

( ) ( , , ) ( / , / , ) /v u2 1 0 1 1 1 2 1 2 0 1 2 = = ; entonces,

v '2 = v

2 – (v

2•u

1) u

1 = ( , , ) / ( / , / , ) ( / , / , )0 1 1 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1− = −

Paso 3

Como v'2 3 2= / , entonces definimos,

u2 =

v

v

'

'

2

2

1 2 1 2 1

3 21 6 1 6 2 6= − = −( / , / , )

/( / , / , / )

Paso 4

Sea v'3

= v3 – (v

3•u

1) u

1 – (v

3•u

2) u

2; como,

( ) ( , , ) ( / , / , ) /v u3 1 1 0 1 1 2 1 2 0 1 2 = = y

( ) ( , , ) ( / , / , / ) /v u3 2 1 0 1 1 6 1 6 2 6 1 6 = − =entonces,

v'3

= v3 – (v

3•u

1) u

1 – (v

3•u

2) u

2 =

( , , ) / ( / , / , ) / ( / , / , / )

/ , / , /

1 0 1 1 2 1 2 1 2 0 1 6 1 6 1 6 2 6

2 3 2 3 2 3

− − −= −( )

Paso 5

Como v'3 2 3= / , entonces definimos

u3 =

v

v

'

'

3

3

2 3 2 3 2 3

2 31 3 1 3 1 3= − = −( / , / , / )

/( / , / , / )

224

Unidad 6

Por tanto el conjunto

{( / , / , ), ( / , / , / ), ( / / , / )}1 2 1 2 0 1 6 1 6 2 6 1 3 1 3 1 3− −, es una

base ortonormal para R3.

Ejercicio 5

1. Utiliza el procedimiento de Gram-Schmidt para encontrar, a partir de

la base dada, una base ortonormal para cada uno de los espacios vectoriales

siguientes:

a) En R2 usando {(1, 1), (–2, 1)}

b) En R3 usando como base {(1, 0, –2), (0, 2, 1), (–1, 1, 0)}

Ejercicios resueltos

1. Detemina si el conjunto de vectores {a = (4, –1, 1), b = (–1, 0, 4),

c = (–4, –17, –1)} en R3 es ortogonal, ortonormal o ninguno de las dos.

Vamos a determinar el producto interno de cada pareja de vectores:

(a, b) = (4, –1, 1) (–1, 0, 4) = – 4 + 4 = 0

(a, c) = (4, –1, 1) (–4, –17, –1) = –16 + 17 –1 = 0

(b, c) = (–1, 0, 4) (–4, –17, –1) = 4 – 4= 0

Por tanto el conjunto es ortogonal.

Vamos a calcular la norma de los vectores:

a = + + =16 1 1 18

b = + + =1 0 16 17

c = + + =16 289 1 306

Por tanto el conjunto no es ortonormal.

Álgebralineal

225

2. Verifica que el conjunto B = {1, x, x2, x3} con el producto interno definido

de la siguiente manera: si p = a0 + a

1x + a

2x2 + a

3x3 y q = b

0 + b

1x + b

2x2 +

b3x3 entonces

(p, q) = a0b

0 + a

1b

1 + a

2b

2 + a

3b

3 es una base ortonormal de P

3.

Probaremos primero que es un conjunto ortogonal:

(1, x) = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) + (0)(0) = 0

(1, x2) = (1)(0) + (0)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0

(1, x3) = (1)(0) + (0)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0

(x, x2) = (0)(0) + (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0

(x, x3) = (0)(0) + (1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0

(x2, x3) = (0)(0) + (0)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0

Por tanto concluimos que el conjunto es ortogonal.

Ahora probaremos que son vectores unitarios.

Consideremos las normas de los vectores:

1 1 0 0 0 1= + + + = ; x = + + + =0 1 0 0 1;

x2 0 0 1 0 1= + + + = ; x3 0 0 0 1 1= + + + =Por tanto son vectores unitarios y el conjunto es una base ortonormal.

3. Determina las coordenadas del vector x = (–3, 4) con respecto a la base

ortogonal

B = = = −{ ( , ), ( , )}b b1 25 2 5 2 5 5

Usando el teorema 6.4 tenemos que x = x x,

,

,

,

b

b bb

b

b bb

1

1 1

1

2

2 2

2

( )( ) + ( )

( )

( , ) ( , ) ( , )x b1 3 4 5 2 5 3 5 8 5 5 5= − = − + =

226

Unidad 6

( , ) ( , ) ( , )x b2 3 4 2 5 5 6 5 4 5 10 5= − − = + =

( , ) ( , ) ( , )b b1 1 5 2 5 5 2 5 5 20 25= = + =

( , ) ( , ) ( , )b b2 2 2 5 5 2 5 5 20 5 25= − − = + =

Entonces x =5 5

255 2 5

10 5

252 5 5( ) ( ), ,+ − y por tanto

x( ) = B

5

5

2 5

5,

4. Determina las coordenadas de x = (5, 10, 15) con respecto a la base

ortonormal

B = {b1 = (3/5, 4/5, 0), b

2 = (–4/5, 3/5, 0), b

3 = (0, 0, 1)}

Usaremos el teorema 6.5 que indica que x = (x, b1) b

1 + (x, b

2) b

2 + (x, b

3) b

3

(x, b1) = (5, 10, 15)(3/5, 4/5, 0) = 3 + 8 + 0 = 11

(x, b2) = (5, 10, 15)(–4/5, 3/5, 0) = – 4 + 6 + 0 = 2

(x, b3) = (5, 10, 15)(0, 0, 1) = 0 + 0 + 15 = 15

Entonces x = 11 b1 + 2 b

2 + 15 b

3; por lo tanto (x)

B= (11, 2, 15)

5. Utilizando el procedimiento de Gram-Schmidt, encuentra una base

ortonormal para R3 a partir de la base

{v1 = (1, 0, 2); v

2 = (3, –1, 0), v

3 = (0, 1, –2)}

Sea u1 =

v

v

1

1

1 0 2

51 5 0 2 5= =( , , )

( / , , / )

Sea v '2 = v

2 – (v

2•u

1) u

1

Como (v2•u

1) = (3, –1, 0) ( / , , / ) /1 5 0 2 5 3 5= , entonces,

v '2 = v

2 – (v

2•u

1) u

1 = 3 1 0 3 5 1 5 0 2 5 12 5 1 6 5, , / ( / , , / ) / , , /−( )− = − −( )

Álgebralineal

227

Como v'2 205 5= / entonces definimos

u2 =

v

v

'

'

2

2

12 5 1 6 5

205 512 205 5 205 6 205= − − = − −( / , , / )

/( / , / , / )

Sea v'3

= v3 – (v

3•u

1) u

1 – (v

3•u

2) u

2

como ( ) ( , , ) ( / , , / ) /v u3 1 0 1 2 1 5 0 2 5 4 5 = − = − y

( ) ( , , ) ( / , / , / ) /v u3 2 0 1 2 12 205 5 205 6 205 7 205 = − − − = ;

entonces

v'3

= v3 – (v

3•u

1) u

1 – (v

3•u

2) u

2

v'3

= ( , , ) ( / ) ( / , , / )0 1 2 4 5 1 5 0 2 5− − −− − −7 205 12 205 5 205 6 205/ ( / , / , / )

v'3

= −( )16 41 48 41 8 41/ , / , /

Como v'3 8 41= / , entonces definimos

u3 =

v

v

'

'

3

3

16 41 48 41 8 41

8 412 41 6 41 1 41= − = −( / , / , / )

/( / , / , / )

Por tanto el conjunto

1 5

0

2 5

12 205

5 205

6 205

2 41

6 41

/

/

,

/

/

/

,

/

/

−

−

−11 41/

es una base

ortonormal para R3.

•

228

Unidad 6

Ejercicios propuestos

1. Encuentra un vector ortogonal a (–2, 5).

2. Encuentra un vector ortonormal a (–2, 5).

3. Determina si la matriz Q =

2 3 1 3 2 3

1 3 2 3 2 3

2 3 2 3 1 3

/ / /

/ / /

/ / /

−−

es ortogonal.

4. Determina las coordenadas del vector x = (2, –2, 1) con respecto a la base

ortogonal:

B = = = = −{ }b b b1 2 310 0 3 10 0 1 0 3 10 0 10( , , ); ( , , ); ( , , )

5. Determina las coordenadas del vector x = (2, –1, 4, 3) con respecto a la

base ortonormal:

B = {b1 = (5/13, 0, 12/13, 0); b

2 = (0, 1, 0, 0); b

3 = (–12/13, 0, 5/13, 0);

b4 = (0, 0, 0, 1)}

Álgebralineal

229

Autoevaluación

1. Dos vectores u y v son ortogonales si:

a) (u, v) = 1

b) (u, v) = 0

c) v =1 y u =1

d) u = v

2. Determina el conjunto ortogonal en R3:

a) {(2, 2, –1); (2, –1, 2); (–1, 2, 2)}

b) {(1, 1, 1); (2, 2, 2); (–1, –1, –1)}

c) {(1, 0, 3); (0, –3, 0); (4, 0, 0)}

d) {(1, 0, 0); (2, 0, 0); (0, 2, 3)}

3. Determina el conjunto ortonormal en R2:

a) {(1, 1); (1, –1)}

b) {(1, 1); (1, 0)}

c) {(1, 0); (0, –1)}

d) {(1, 0); (–1, 0)}

4. Determina la matriz ortogonal:

a) 1 6

3 2

−

b) 1 10 6 40

3 10 2 40

/ /

/ /

c) 1 10 6 40

3 10 2 40

/ /

/ /

−

d) 1 6

3 2

5. Los vectores (2, –12) y (3, 1/2) son:

a) Unitarios.

b) Paralelos.

c) Ortonormales.

d) Ortogonales.

230

Unidad 6

6. Es un vector ortogonal a v es:

a) u – proyv u

b) u + proyv u

c) u – proyu v

d) proyv u – u

7. Considera la base ortogonal B = {e = (2, 2, –1); f = (2, –1, 2);

g = (–1, 2, 2)}, determina las coordenadas del vector (1, –1, 0) referentes a la

base B:

a) (0, 3, –3)

b) (0, 1/3, –1/3)

c) (1, –1, 0)

d) (0, –3, 3)

8. Es un procedimiento para encontrar una base ortonormal en un espacio

vectorial con producto interno:

a) Regla de Cramer.

b) Proceso de diagonalización.

c) Proceso de Gram-Schmidt.

d) El método de Gauss-Jordan.

9. Es una expresión verdadera:

a) Un conjunto ortogonal de vectores es una base.

b) Un conjunto ortogonal de vectores es linealmente independiente.

c) Una base es un conjunto ortonormal de vectores.

d) Un conjunto linealmente independiente es ortogonal.

10. El proceso de Gram-Schmidt tiene como consecuencia que:

a) Todos los espacios vectoriales tienen una base ortonormal.

b) Los espacios vectoriales con producto interno tienen una base

ortonormal.

c) Los espacios vectoriales finitos tienen una base ortonormal infinita.

d) Todos los espacios vectoriales tienen una base.

Álgebralineal

231

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1.

a) No, (3, 2, –4)(2, –3, 4) = –16

b) Sí.

c) Sí.

d) No; (0, –5, 0)(4, 1, 0) = –5

2.

a) Cualquier vector de la forma (3/2b, b)

b) Cualquier vector de la forma (4/3b, b)

c) Cualquier vector de la forma (–3/2b, b)

3.

a) No; (3, –1)(1, 0) = 3

b) Sí.

4.

a) Falso.

b) Falso.

c) Falso.

d) Verdadero.

e) Falso.

Ejercicio 2

1.

a) Son ortogonales pero no ortonormales ya que ( , )0 3 = 3 y no es unitario.

b) Sí son ortonormales.

c) Son unitarios pero no son ortogonales.

2.

{(1, 0, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0); (0, 0, 0, 1)}

3.

Sí es ortogonal.

232

Unidad 6

Ejercicio 3

1.

a) (u)B = (2/9, 2/9, –1/9)

b) (v)B = (–2/3, 1/3, –2/3)

c) (x)B = (7/9, 1/9, –2/9)

2.

a) (u)B = ( / , , / )1 2 4 3 2

b) (v)B = ( / , , / )3 2 0 5 2

c) (w)B = ( , , )0 3 0 −

Ejercicio 4

1. A = 3 10 1 10

1 10 3 10

/ /

/ /−

2. Sí es ortogonal.

Ejercicio 5

1.

a) 1 2

1 2

1 2

1 2

/

/,

/

/

−

es una base ortonormal de R2.

b)

1 5

0

2 5

2 105

10 105

1 105

4 21

1 21

/

/

,

/

/

/

,

/

/

−

−

−22 21/

es una base ortonormal para R3.

Álgebralineal

233

Respuestas a los ejercicios propuestos

1. (5, 2)

2. ( / , / )5 29 2 29

3. Sí.

4. ( ) ( / / )x B = − −10 20 2 10 20, ,

5. ( ) ( / , / , )x B = − −58 13 1 4 13 3,

Respuestas a la autoevaluación

1. b)

2. a)

3. c)

4. c)

5. d)

6. a)

7. b)

8. c)

9. b)

10. b)