03 senales ortogonales serie fourier

8/17/2019 03 Senales Ortogonales Serie Fourier

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Luis Hernan Vidal Vidal. [email protected] 2

Contenidos.

Unidad2. Introducción a Señales.

Señales representadas por conjunto

ortogonal de señales.

Serie Trigonométrica de Fourier.

Serie Exponencial de Fourier.


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Señales representadas por un conjunto

Ortogonal de señales.

En este punto se hará una similitud con las

propiedades de los vectores, es decir, una señal

puede ser representada por la suma de señales

mutuamente ortogonales. Consideremos un conjunto de n señales

las cuales son ortogonales entre sí en un

intervalo de tiempo t1 y t2 , entonces:

)(),...,(),(),( 321 t st st st s n


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2

1

0)()(

t

t

ji dt t st s ji

2

1

)(2t

t j j

K dt t s


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Ahora se introduce una función f(t) en el

mismo intervalo (t1, t2), que será

representada por una conminación lineal de

señales mutuamente ortogonales, es decir:

)(...)(...)()()( 2211 t sC t sC t sC t sC t f nnk k

n

m

mm t sC t f 1

)()(

(c)


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Ahora se calculan los valores de las

constantes C1,C2,…Cn.

Si encontramos los valores adecuados para

estas constantes, el error de aproximación dela señal resultante será mínimo, es decir:

n

m

mme t sC t f t f 1

)()()(


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por lo tanto el error e queda expresado como:

2

1

2

112

)()(1

t

t

n

m

mm dt t sC t f t t

e


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A través de la ecuación anterior se puede

deducir que el error e está en función de las

constantes Cn, es decir:

i=1,2,3,…,n

0

iC

e


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Con el propósito de simplificar la ecuación de

error eliminamos el término t2 - t1 porque

ésta es una constante. Por lo tanto la

ecuación queda expresada de la siguientemanera:

dt t sC t f

C

t

t

n

m mmi

2

1

2

1

)()(


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Al resolver esta ecuación,

nos quedan los siguientes

términos:

Al igual que los vectores,

se debe calcular los

valores adecuados para

los coeficientes Cn, esto

para que el error cuadrático medio del error

sea mínimo.

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)()(1

)(

)()(

)(2)()(2

0)()()(2

2

2

22

t

t

i

i

i

t

t

i

t

t

i

i

t

t

iii

t

t

t

t

iiii

dt t st f K

C

dt t s

dt t st f

C

dt t sC dt t st f

dt t sC t st f C Ci

(d)

(e)


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2

1

2

112

)()(1

t

t

n

m

mm dt t sC t f t t

e

2

1

2

1

2

11 1

222

12

)()(2)()(1

t

t

n

m

t

t

n

m

t

t

mr mm dt t st f C dt t sC dt t f t t

e


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De las ecuaciones (d) y (e) deducimos que:

Se sustituye la ecuación anterior en laecuación del error quedando lo siguiente:

2

1

2

1)()(f(t)s

2

m

t

t

mmmm

t

t

K C dt t sC dt t


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nn

t

t

t

t

n

m

mm

t

t

n

m

n

m

r mmm

K C K C K C dt t f t t

e

K C dt t f t t

e

K C K C dt t f t t

e

2

2

2

21

2

1

2

12

1

22

12

1 1

222

12

...()(1

)(1

2)(1

2

1

2

1

2

1

(f)


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Si nos aproximamos a f(t) con un número mayor deseñales, el error e disminuirá considerablemente.

De lo visto hasta ahora, podemos concluir que dadoun grupo de n señales S1(t),S2(t),S3,..,Sn(t) que

son mutuamente ortogonales en el intervalo (t1, t2),se puede aproximar a una señal f(t) en el intervalo(t1, t2), a través de una combinación lineal de nseñales, es decir:

)(...)()()( 2211 t sC t sC t sC t f nn


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Teorema de Parseval.

Este teorema esta dado por la representación deuna señal mediante un grupo completo de señalesmutuamente ortogonales. Por lo tanto, al ser unconjunto cerrado no hay error cuadrático medio.

Si se toma como referencia la ecuación (f), dadaanteriormente, se deduce que e es una cantidadpositiva, es decir, cuando el número de términos

1

2

m

mm K C


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se vuelve infinito, éste converge a la integral

por lo tanto el error e se anula, quedando la

siguiente ecuación que es el teorema de Parseval:

2

1

)(2t

t

dt t f

1

222

1

)(m

mm

t

t

K C dt t f


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La serie infinita

converge a f(t) de tal forma que el valor medio del

cuadrado del error es cero, en otras palabras se

dice que f(t) es exacta.

1

2

m

mm K C


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Fundamentos matemáticos

Una señal periódica se define por la propiedad:

El valor más pequeño de T0 que satisface la

ecuación anterior se llama periodo. Una señal

periódica no cambia al aplicarse un

desplazamiento en el tiempo positivo o negativo de

cualquier entero múltiplo de T0 .

)()( 0T t g t g

00 T


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Por otra parte, consideremos la siguiente base deseñales:

Una sinusoidal de frecuencia nw0 es llamada el

n-ésimo armónico de la sinusoidal de frecuencia

w0 , donde n es un entero. La frecuencia w0 se

llama frecuencia fundamental y el periodo T0 sellama periodo fundamental y se relaciona con la

frecuencia fundamental de la siguiente manera:

t sennt nt sent t sent 000000 ,cos,...,2,2cos,,cos,1


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Podemos demostrar que esta base de señales es ortogonal

en cualquier intervalo de duración T0, [t1,t1+T0,] , donde T0 es el periodo fundamental. Tenemos por otra parte, que una

función de frecuencia 2w0 también es periódica con periodo

T0, y en general, una función de periodo nw0 es periódica

con periodo T0 . Por lo tanto, todas la funciones (excepto la

función 1) de la base mostrada tienen periodo T0 , y esto

implica que cualquier suma de las funciones de la base es

periódica con periodo T0 .

0

02

T


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)()(

cos)(

)2()2(cos)(

)()(cos)(

cos)(

cos...2

2coscos)(

0

00

1

00

00

1

00

0000

1

00

00

1

0

0002

0201010

t g T t g

t sennbt naaT t g

nt sennbnt naaT t g

T t sennbT t naaT t g

t sennbt naat g

t sennbt nat senb

t at senbt aat g

n

k

n

n

n

k

n

n

n

k

n

n

n

k

n

n

nn


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La recíproca de este resultado también esverdadera. Cualquier señal periódica g(t) con

periodo T0 puede expresarse como una suma de

sinusoidales de frecuencia w0 y todos sus

armónicos. La representación de la señal g(t) mediante una

serie trigonométrica de Fourier tiene la forma de la

siguiente ecuación:

t sennbt naat g nn

n 00

1

0 cos)(


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donde an y bn son

llamados

coeficientes de la

serie de Fourier , o

coeficientes

espectrales de g(t),

y se calculan de la

siguiente manera:

,3,2,1

)(2

cos)(2

)(1

01

1

01

1

01

1

0

0

0

0

0

0

n

tdt sennt g T

b

tdt nt g T a

dt t g T

a

T t

t n

T t

t n

T t

t


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La constante t1 se elige en forma arbitraria,

y si se escoge en forma apropiada, puede

simplificar el cálculo de los coeficientes de

Fourier.


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Convergencia de las ser ies de Fourier

Para garantizar que g(t) es igual a su

representación en serie de Fourier, excepto en

valores aislados de t para los cuales g(t) esdiscontinua, deben cumplirse las condiciones de

Dirichlet. En estos valores la serie de Fourier

converge al promedio de los valores en cualquier

miembro de la discontinuidad.

Las condiciones de Dirichlet son las siguientes:


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Condición 1: Para que la serie exista, los coeficientesa0 , an y bn deben ser finitos. Esto es equivalente adecir que sobre cualquier periodo T , g(t) debe ser absolutamente integrable, es decir:

Si la función g(t) satisface esta condición, la existencia

de su representación en serie de Fourier estagarantizada, pero la serie puede no converger en cadapunto.

T dt t g )(


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Condición 2: La variación de g(t) en cualquier intervalofinito de tiempo esta acotada, esto es, no hay más queun número finito de máximos y mínimos durantecualquier periodo de la señal.

Condición 3: En cualquier intervalo finito de tiempo haysólo un número finito de discontinuidades. Además,cada una de estas discontinuidades debe ser finita.

Cabe señalar que la mayoría de las señales que se usanen comunicaciones y análisis de señales cumplen conestas condiciones.


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Serie Trigonométrica de Fourier

Compacta.

Forma compacta de la serie trigonométrica de

Fourier

La serie trigonométrica de Fourier puedeexpresarse de forma más compacta usando la

siguiente identidad trigonométrica:

)/tancos(cos 122 ab xbabsenx xa


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Compacta.

Entonces la serie trigonométrica de Fourier queda

de la siguiente forma:

donde:

)cos()(0

10 n

nn

t nC C t g

n

n

jnn

jn

n

eC

D

eC

D

2

2


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Compacta.

La forma compacta de la serie trigonométrica de

Fourier está dada por:

00

1

22

0

1

0

tan

)cos()(

aC

a

b

baC

t nC C t g

n

nn

nnn

n

n

n


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Serie exponencial de Fourier.

Tomando D0 = C0 , tenemos:

la que es precisamente la serie exponencial de

Fourier.

t jn

nn

n

t jn

n

t jn

n

n

e D Dt g

e De D Dt g

0

00

)0(

0

1

0

)(

)(


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Es mucho más conveniente analizar lasseries exponenciales de Fourier que las

trigonométricas, ya que las exponenciales

son más fáciles de trabajar, y por esta razón

se prefieren en el análisis de señales.


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Representación espectral de la función.

La serie trigonométrica de Fourier compactaindica que una señal periódica g(t) puede ser

expresada como la suma de sinusoides de

frecuencia 0,W0,2W0,...,nW0..; con

amplitudes C0,C1,C2...Cn,.. y fases


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Representación espectral de la función.

Con esto es posible graficar:

Cn vs W (ampl i tud espectral ) y

la fase vs W (fase espectral ).

estas 2 gráficas juntas corresponden a la

frecuencia espectral de la función.


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Preguntas del capítulo

13.- Explique porque se realizo en el curso un símil

entre vectores y señales.

14.- Que indica el teorema de Parseval.

15.- Desarrolle los ejercicios propuestos: 2.1-1, 2.1-5,

2.6-1, 2.8-4 y 2.9-3.16.- Presente un ejemplo en el que dada una señal,

pueda calcular su serie trigonométrica, compacta y

exponencial. ¿Qué debe cumplir la señal s(t) para

poder realizar los cálculos?.17.- Qué permite identificar una serie compacta en una

señal periódica.

L i H Vid l Vid l l id l@ h l 39

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