proyecciones ortogonales

5/14/2018 PROYECCIONES ORTOGONALES - slidepdf.com

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CONCEPTO DE POYECCIONES ORTOGONALES:

Proyección ortogonal es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al

plano de proyección (o a la recta de proyección), estableciéndose una relación entre todos

los puntos del elemento proyectante con los proyectados.

En el plano, la proyección ortogonal es aquella cuyas líneas proyectantes auxiliares son

perpendiculares a la recta de proyección L. Así, dado un segmento AB, bastará proyectar

los puntos "extremos" del segmento – mediante líneas proyectantes auxiliares

perpendiculares a L – , para determinar la proyección sobre la recta L.

Una aplicación de proyecciones ortogonales son los teoremas de las Relaciones métricas en

el triángulo mediante las cuales se puede calcular la dimensión de los lados de un triángulo.

El concepto de proyección ortogonal se generaliza a espacios euclidianos de dimensión

arbitraria, inclusive de dimensión infinita. Esta generalización juega un papel importante en

muchas ramas de matemática y física.

http://es.wikipedia.org/wiki/Relaciones_m%C3%A9tricas_en_el_tri%C3%A1ngulo


http://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito

http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito

http://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n





EJEMPLOS: Proyección ortogonal

La proyección ortogonal abarcará los diversos trazos y normas parauna buena representación en el sistema ortogonal. El conocimiento delas proyecciones, tanto ortogonales como oblicuas y cónicas son deimportancia, porque al dominarlas perfectamente se poseerá una basesólida para una comprensión mejor de la geometría descriptiva.También, los diversos tipos de proyecciones como la del punto en elespacio y sus diversas posiciones con sus respectivos ejercicios, laproyección de la recta y sus diversas posiciones con las actividades

que ayudan a comprender mejor la proyección. El rebatimiento de losplanos trata sobre la rotación de los planos sobre sus ejes de forma talque coincidan en un plano único el cual ayuda a representarfácilmente las vistas principales de un modelo sin que sufradeformaciones ópticas.

Las proyecciones ortogonales tienen su origen en el siglo XVIII. Suinventor fue Gaspas Monge (1746 - 1818). El conocimiento de lasproyecciones, tanto ortogonales como oblicuas y cónicas, son deimportancia como base para luego poder comprender la geometría

descriptiva. El dibujo de proyección es un elemento esencial encualquier industria, ya que todo producto elaborado debe pasarprimero por una fase de proyecto donde se realizan los diferentesdibujos necesarios para la fabricación.



Gaspas Monge

La proyección ortogonal es el método que se utiliza para representar laforma exacta de un modelo por medio de dos o más vistas sobreplanos que forman ángulos rectos entre sí. Una proyección esortogonal cuando su dirección es perpendicular al plano deproyección. La proyección se obtiene por la intersección de lasperpendiculares trazadas desde el modelo sobre los planos deproyección.

Los puntos de intersección entre las rectas y el plano, constituyenproyecciones de los diferentes puntos del cuerpo, y al ser unidosmediante líneas, nos darán la proyección o imagen del mencionadocuerpo. Las rectas que van del foco al plano de proyección sedenominan planos proyectantes. Cuando el foco o punto de origenestá situado en el infinito, las proyectantes serán líneas paralelas, porlo cual las proyecciones así originadas reciben el nombre decilíndricas. Esas líneas proyectantes pueden incidir en el plano de

proyección en forma oblicua o perpendicular.

http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/sj/cj/cj5science.html

http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/sj/cj/cj5science.html



El sistema diédrico es una proyección ortogonal en la que se utilizandos planos de proyección, uno horizontal (P.H.) y otro vertical (P.V.)que forman un ángulo diedro recto. Las proyecciones toman sunombre de estos dos planos, llamándose proyección horizontal a laque se encuentra en dicho plano, y proyección vertical a la que sehalla en el plano del mismo nombre.

Como los dos planos se extienden al infinito y dividen el espacio encuatro ángulos diedros, enumerados a partir del superior, sedenominan cuadrantes. La intersección de los dos planos sedenominan línea de tierra y se representa por las letras LT, XY otambién dos guiones, uno a cada extremo.

Se ha señalado que el objetivo de la geometría descriptiva esrepresentar sobre un plano figuras del espacio. Sin embargo en elsistema diédrico, se mencionan dos planos de proyección. Para

obtener esa condición se recurre al artificio de hacer que el planovertical gire 90º alrededor de la línea de tierra, hasta que loscuadrantes 1 y 3 se conviertan en ángulos llanos. Así se obtiene unsolo plano que sería el papel de dibujo o el pizarrón.

Al reducir los dos planos de proyección a uno solo, éste queda divididoen dos partes por la línea de tierra: la superior corresponderá al plano



vertical y la inferior al plano horizontal. También es necesario tener encuenta que las proyecciones vertical y horizontal de un punto secorresponden mediante una recta perpendicular a la línea de tierra querecibe el nombre de línea de correspondencia.

En algunas ocasiones, para dar una idea más completa de un cuerpo,es conveniente recurrir a un tercer plano de proyección, perpendiculara los primeros y denominado plano de perfil o plano lateral. El crecidonúmero de líneas que aparece en este sistema hace posible laconfusión de ellas, por lo cual es conveniente diferenciar los trazos deacuerdo a la finalidad de cada uno de ellos. Es aconsejable, aunqueno imprescindible, atenerse a las siguientes normas:



Plano Vertical: corresponde a la elevación o alzado de modelo.Plano Horizontal: corresponde a la vista superior o plana del modelo.

Plano Lateral: corresponde a la vista lateral en el modelo.

Proyecciones del PuntoEl punto puede ocupar tres posiciones diferentes dentro del primerdiedro:

1. Separado de los planos de proyección.

2. Situado en uno de los planos de proyección.

3. Situado en la línea de tierra.



Se ha convenido en el dibujo técnico representar al punto con unaletra mayúscula (por ejemplo A), mientras que sus proyecciones serepresentan con la misma letra pero en minúscula (por ejemplo a). Laproyección vertical llevará la minúscula afectada de una comilla (porejemplo a'), la de perfil dos comillas (por ejemplo a'') y la horizontalninguna (por ejemplo a). A continuación algunas representaciones depuntos, se pueden realizar como ejercicios, en papel, siguiendo ladescripción y verificando con la imagen.

Representaciones de puntos

Separados de un plano de proyección:El punto A se ubica en el primer diedro. Se trazan perpendicularesdesde el punto hasta los planos horizontales, obteniéndose los puntos

a y a' respectivamente, en la intersección de las rectas con los planos.La proyección horizontal desde el punto a y la vertical a'.

Los proyectantes Aa' y Aa, forman junto con las rectas a'n y an unplano perpendicular a la línea de tierra, por lo tanto al hacer girar elplano vertical, a'n y an pasaran a formar una sola recta que es la líneade correspondencia. Las coordenadas del punto, la longitud de lasproyectantes, reciben el nombre de cotas o alturas cuando se indica laelevación del punto sobre el plano horizontal (Aa), y distancia oalejamiento a la separación del plano vertical (Aa').



Situado sobre uno de los planos de proyección: en el caso de que elpunto se encuentre en el plano vertical, como el punto A, suproyección vertical será igual a cero, y por lo tanto el punto será laproyección a'. La horizontal a se encontrará en la línea de tierra.

Cuando el punto se encuentre en el plano horizontal, sucede locontrario, la proyección horizontal b es cero y la vertical b' seencuentra en la línea de tierra.

Sobre la línea de tierra: cuando el punto se encuentra en la línea detierra, está situado al mismo tiempo sobre los dos planos y susproyecciones aa' coinciden con él.



Proyección relativa de dos puntos:dos puntos A y B, ubicados en dos lugares diferentes del diedro. Alrealizar las respectivas proyecciones, aa' y bb' se observa que la cotay el alejamiento de una de las proyecciones son diferentes de las de laotra proyección, por lo tanto conociendo el valor de esas coordenadas,se puede realizar la proyección de uno con respecto a otro. Según laposición del punto en el espacio, será la posición de sus proyecciones.

Proyecciones de la rectaLa proyección de una recta será otra recta que pase por lasproyecciones de sus puntos extremos. Así en la proyección de la rectaAB, será una recta que pase por los puntos a y b, proyecciones de lospuntos extremos de ella. Al mismo tiempo se puede observar que lasproyectantes de los puntos A y B forman dos planos que son paralelos

a los de proyección: los planos AB - ab y AB - a'b' llamados planosproyectantes de la recta.

A continuación algunas representaciones de rectas que se puedenrealizar como ejercicios, en papel, siguiendo la descripción yverificando con la imagen.

Proyección de una recta

Paralela con respecto a un plano:

Se procede como la proyección de una recta y se obtiene laproyección ab, la proyección de una recta paralela con respecto a unplano será de igual magnitud que la recta.



Oblicua con respecto a un plano:Siendo AB la recta oblicua se bajan las proyectantes Aa y Bb,perpendiculares al plano, obteniéndose así las proyecciones de A y B.Al unir a con b mediante una recta se obtiene la proyección deseada.La proyección de una recta oblicua a un plano será de menormagnitud que la recta.

Perpendicular mediante a un plano:Las proyecciones de A y B coinciden en un solo punto del planodebido a que las proyectantes Aa y Bb por ser perpendiculares alplano, siguen la misma dirección de la recta AB. Cualquier otro puntode la recta se proyectará también en ab. La proyección de una rectaperpendicular a un plano será igual a un punto.

Posición de una recta con respecto a dos planos de proyección:Una recta ubicada en el primer ángulo diedro puede ocupar lasposiciones descritas a continuación. Estas descripciones puedenrealizarse como ejercicios, en papel, y verificarse con la imagen.



Representación de una recta paralela a

Los dos planos de proyección:

Sea AB la recta paralela a los dos planos de proyección. Se

determinan las dos proyecciones horizontales ab y las verticales a'b'de los puntos extremos A y B de la recta. Se unen esas proyeccionesmediante rectas para obtener ab en proyección horizontal y a'b' enproyección vertical de la recta dada. Tanto en la proyección horizontalcomo vertical son paralelas a la línea de tierra y de igual magnitud quela recta.

Un plano y perpendicular al otro: dentro de esta posición caben dosvariaciones:

que la recta sea paralela al plano horizontal y perpendicular alplano vertical, también llamada recta de punta, o

que sea paralela al plano vertical y perpendicular al planohorizontal denominada recta vertical.



Tanto en una variación como en la otra las proyecciones coinciden enun solo punto sobre el plano al cual la recta es perpendicular, debido aque las proyectantes también son perpendiculares a dicho plano.

Un plano y situada sobre el otro: También en esta posición serepresentan dos variaciones:

cuando la recta está en el plano vertical y cuando lo está en el horizontal.

En ambos casos la recta contenida en el plano es su propiaproyección sobre ese plano, mientras que la correspondiente al planoopuesto queda en la línea de tierra. Así en la figura, la recta AB es sumisma proyección horizontal ab, mientras que a'b', proyección vertical,

se encuentra en la línea de tierra.



Un plano y oblicua al otro: Este caso presenta la posibilidad de que larecta sea paralela al plano vertical o al horizontal y oblicua al planocontrario. En cualquiera de las dos circunstancias, una proyecciónserá paralela a la línea de tierra, mientras que la otra será oblicua adicha línea.

La proyección paralela a la línea de tierra es de menor magnitud quela recta, mientras que la oblicua es de una magnitud igual. En la figura,b'a' es la proyección vertical de AB, recta oblicua al plano vertical,mientras que ab es la proyección horizontal. La recta CD se le

denomina recta frontal, por ser paralela al plano vertical, y por serparalela al plano horizontal la recta AB será una recta horizontal.



Oblicua a un plano y situada sobre el otro: La recta oblicua podrá estarsituada en el plano vertical AB o en el plano horizontal CD. En laprimera de estas situaciones las proyectantes equivalen a cero, por locual la proyección vertical a'b' es la misma recta AB, mientras que laproyección horizontal ab se encuentra en la línea de tierra. Cuando larecta se halla contenida en el plano horizontal, su proyección vertical

c'd' coincide con la línea de tierra y la horizontal cd se confunde con lamisma recta CD.

Perpendicular a un plano y situada sobre el otro: este caso se asemejaa la representación de una recta paralela a un plano y perpendicular alotro, con la única diferencia de que la recta perpendicular estácontenida en uno de los planos de proyección, por lo tanto la rectaserá su propia proyección en uno de los planos, mientras que la otraproyección será un punto situado sobre la línea de tierra



Oblicua a los dos planos de proyección: siendo AB la recta oblicua alos planos, se determina las proyecciones horizontales y verticales delos puntos extremos AB, se obtienen así ab y a'b', que al ser unidasmediante rectas señalarán las proyecciones buscadas.Tanto laproyección vertical como la horizontal serán oblicuas a la línea de

tierra y de menor magnitud que la recta dada.

Perpendicular a la línea de tierra y oblicua a los dos planos: la rectadada AB junto con sus proyecciones b'a' y ab, forman un solo planoproyectante, por lo tanto las proyecciones serán perpendiculares a lalínea de tierra. Si la recta dada corta a la línea de tierra, susproyecciones forman una recta continua que cortan tambiénperpendicularmente a la línea de tierra. Este tipo de recta se denominarecta de perfil porque está contenida en un plano de perfil.



Situada sobre la línea de tierra: en este caso muy especial, lasproyectantes de la recta son nulas coincidiendo ambas en la línea detierra, es decir, que las proyecciones se confunden con la propia recta.

0TRO DE LOS EJEMPLOS:

Proyección ortogonal de un punto

La proyección ortogonal de un punto P en una recta L es otropunto A que se obtiene trazando una línea auxiliar perpendiculara L desde el punto A. Lógicamente, si el punto P pertenece a larecta L, coinciden: P = A .

Proyección ortogonal de un segmento

Caso general: si el segmento dado AB no es paralelo la recta L,la proyección ortogonal es segmento PQ que se obtiene

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Proyec2.JPG





trazando líneas perpendiculares a L desde los puntos extremos.La magnitud de la proyección siempre es menor que la delsegmento dado.

Si el segmento PQ y la recta L son paralelos, la proyección será:AB = PQ, que se obtiene de forma análoga.

Si el segmento AB tiene un punto común con la recta L, laproyección se obtiene de modo similar.

Si el segmento AB corta a la recta L, la proyección se obtiene deforma análoga.




http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Proyeccion.JPG













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