EcuacionesDiferencialesJoseVicenteRomeroBausetjvromero@mat.upv.esEcuacionesDiferencialesTema2:Ecuacionesdiferencialesordinariasdeorden1EcuacionesDiferencialesEcuacionesdiferencialesseparablesEDOseparableUnaEDOdeorden1F (t, y, y

)sediceseparablesipuedeserescritadelaformaA(t)dt = B(y)dy

y

=A(t)B(y), y

= C(t)D(y)

Resoluci on

A(t)dt =

B(y)dy +K

tt0A(t)dt =

yy0B(y)dyEjercicioElritmoalqueseenfrauncuerpocalienteesproporcionalaladiferenciadetemperaturaentre elyelambientequelorodea(leydeenfriamientodeNewton).Uncuerposecalientaa110oCyseexponealambienteaunatemperaturade10oC.Alcabodeunahorasutemperaturaesde60oC.Cuantotiempoadicionaldebetranscurrirparaqueseenfrea30oC?EcuacionesDiferencialesEDOhomogeneasFuncionhomogeneaf (x, y)esunafuncionhomogeneadegradonsif (x, y) = nf (x, y).EDOhomogeneaUnaEDOdeprimerordenM(x, y)dx +N(x, y)dy= 0eshomogeneasiMyNsonfuncioneshomogeneasdelmismogrado.NotaDenicionesequivalentesalaanteriorson: y

= f (x, y)eshomogeneasif (x, y)eshomogeneadegrado0 y

= f

yx

EcuacionesDiferencialesEDOhomogeneasResolucion1oConelcambiou =yx

y= uxy

= u

x +uSeobtieneE.D.Odevariablesseparables:y

= f (x, y) u

x +u = f (1, u)2oResolvemoslaE.D.Oseparable.3oDeshacemoselcambio.Ejerciciost3y

= t2y 2y3EncuentralaformadeunespejocurvoenelquelaluzdeunafuenteenelorigensesepareenunhazderayosparalelosalejeX.EcuacionesDiferencialesEcuacionesreduciblesaseparablesy

=ax +by +cdx +ey +f

y

= f

ax +by +cdx +ey +f

Casosposibles c = f = 0eshomogenea b = e = 0oa = d= 0esdevariablesseparables ae bd = 0 ae bd= 0EcuacionesDiferencialesEcuacionesreduciblesaseparablesy

=ax +by +cdx +ey +f

y

= f

ax +by +cdx +ey +f

Casoae bd = 01oSecalculaelpuntodecorte(x0, y0)delasrectas:

ax +by +c = 0dx +ey +f = 02oSeaplicaelsiguientecambioqueconduceaE.D.Ohomogenea:

X= x x0Y= y y0

x = X +x0y= Y +y0y

= Y

3oResolvemoslaE.D.Ohomogeneaydeshacemoselcambio.EcuacionesDiferencialesEcuacionesreduciblesaseparables:Ejemplo(6x +4y 8)dx +(x +y 1)dy= 0Lasrectas6x +4y 8 = 0yx +y 1 = 0nosonparalelasysecortanenelpuntox = 2ey=1.Sehaceelcambiodevariablex = X +2, y= Y 1.dYdX=6X +4YX Y, homogeneaY= uXu +XdudX=6X +4XuX Xu=6+4u1u 1uu2+5u +6 du =dXXlnCX=

1u +2 du +

2u +3 du = lnu +2(u +3)2C(x 2) =y+1x2 +2

y+1x2 +3

2=y +1+2x 4(3x +y 5)2= C, 2x +y 3 = C(3x +y 5)2EcuacionesDiferencialesEcuacionesreduciblesaseparablesy

=ax +by +cdx +ey +f

y

= f

ax +by +cdx +ey +f

Casoae bd= 0Secumplequeambasrectassonparalelas,portantosecumpliraque:k R/ax +by= k(dx +ey)1oSie = 0serealizaelcambio:t = t(x) = dx +ey

y=1e(t dx)y

=1e(t

d)2oSeresuelvelaE.D.Odevariablesseparablesalaqueconduceelcambio:1e(t

d) =tk +ct +f3oDeshacemoselcambio.NotaSie = 0sehaceelcambiot = ax +byEcuacionesDiferencialesEcuacionesreduciblesaseparables:Ejemplo(x +y +1)dx +(2x +2y 1)dy= 0Lasrectasx +y +1 = 0y2x +2y 1 = 0sonparalelas.Sehaceelcambiodevariablez = x +y 1+ dydx=dzdx.dzdx 1 =z +12z +1,dzdx=z +12z +112z12z2zdz = dx

232z

dz =

dx +C, 2z 3ln|2z| = x +C2(x +y) +3ln|2(x +y)| = x +CEcuacionesDiferencialesEcuacionesdiferencialesexactasEDOexactaUnaecuaciondiferencialM(t, y)dt +N(t, y)dy= 0esexactasiexisteunafunci onF(t, y),llamadafuncionpotencialdelaecuaciondiferencial,cuyadiferencialcoincideconM(t, y)dt +N(t, y)dy,esdecirFt= M(t, y)yFy= N(t, y)TeoremaSiM,N,My,NtsoncontinuasenunrectanguloRdelplano,entoncesMdt +Ndy= 0esexactaenRsiysolosiMy= NtenREcuacionesDiferencialesEcuacionesdiferencialesexactasResolucion(Sisabemoscalcular

M(t, y)dt)1oSecompruebaqueesexacta:My= Nt2oSecalculalafuncionpotencial:F(t, y) /Ft= M(t, y) yFy= N(t, y)(a) F(t, y) =

M(t, y)dt +(y)(b) Calculamos (y)utilizando:Fy= N(t, y) yFy=y

M(t, y)dt +

(y)=

(y) = N(t, y) y

M(t, y) dt (1)(c) Sustituimos (y)en(a)yseobtienelasoluciongeneraldelaE.D.O:F(t, y) = CEcuacionesDiferencialesEcuacionesdiferencialesexactasResolucion(Sisabemoscalcular

N(t, y)dy)1oSecompruebaqueesexacta:My=Nt2oSecalculalafuncionpotencial:F(t, y) /Ft= M(t, y) yFy= N(t, y)(a) F(t, y) =

N(t, y)dy +g(t)(b) Calculamosg(t)utilizando:Ft= M(t, y) yFt=t

N(t, y)dy +g

(t)=g

(t) = M(t, y) t

N(t, y) dy (2)(c) Sustituimosg(t)en(a)yseobtienelasoluciongeneraldelaE.D.O:F(t, y) = CEcuacionesDiferencialesFactorintegranteFactorintegranteSeaM(t, y)dt +N(t, y)dy= 0unaecuaciondiferencialnoexacta,y(t, y)unafuncionnonulaencadapuntodeunciertorectanguloRytalque (t, y)M(t, y)dt +(t, y)N(t, y)dy= 0esexacta.Entoncessediceque (t, y)esunfactorintegranteparaM(t, y)dt +N(t, y)dy= 0,ydeestaecuacionsedicequeesreducibleaexacta.B usquedadefactoresintegrantes: (M)y= (N)tesdecirMy+M y= Nt+N tEcuacionesDiferencialesFactorintegrante: = (t)My+M y=Nt+N t = (t)(t)My+M0 =(t)Nt+N (t)t(t)

MyNt

= Nd(t)dtd(t)(t)=

MyNt

Ndt a(t) =

MyNt

Nsolodependedetln(t) =

a(t)dt(t) = e

a(t)dtEcuacionesDiferencialesFactorintegranteB usquedadefactoresintegrantes = (t) MyNtNessolofunciondet = e

a(t)dt, a(t) =1N

MyNt

= (y) NtMyMessolofunciondey = e

b(y)dy, b(y) =1M

Nt My

= (), = at +by NtMybManessolofunciondeat +by = e

c()d, c() =Nt MybMaN = (), = ty NtMytMNyessolofunciondety = e

d()d, d() =Nt MytMNyEcuacionesDiferencialesEDOexactas:factorintegranteAlgunasformulas utilesd

xy

=y dx x dyy2d(xy) = x dy +y dxd

x2+y2

= 2x dx +2y dyd

arctanxy

=y dx x dyx2+y2d

log

xy

=y dx x dyxyEcuacionesDiferencialesEcuaci onLinealEDOlinealUnaEDOdeprimerordendelaformadydt= P(t)y +Q(t)esunaecuacionlineal.ResolucionSepuedeencontrarunfactorintegrante(t) = e

P(t)dt.e

P(t)dtdydt e

P(t)dtP(t)y= e

P(t)dtQ(t)ddt

e

P(t)dty

= e

P(t)dtQ(t)e

P(t)dty=

e

P(t)dtQ(t)dt +CEcuacionesDiferencialesEcuaci onLinealEjemplo

y +x2cosx

dx x dy= 0y

=yx+x cosxElfactorintegrantees(x) = e

1xdx=1xLaecuacionsepuedereescribircomoe

1xdxdydx e

1xdxyx= e

1xdxx cosxesdecird

e

1xdxy

dx= e

1xdxx cosxylasoluciondelaecuacionesyx=

1xx cosx

dx +C= sinx +CEcuacionesDiferencialesReducci ondelordenAusenciadevariabledependienteSinoaparecelay,laecuacionesdelaformaf

t, y

, y

= 0.ResolucionSehaceelcambioy

= p y

=dpdtylaecuaciondiferencialquedadelaformaf

t, p, dpdt

= 0.AusenciadevariableindependienteSinoaparecet,laecuacionesdelaformaf

y, y

, y

= 0.ResolucionSehaceelcambioy

= p y

=dpdt=dpdydydt= pdpdyylaecuaciondiferencialquedadelaformaf

y, p, pdpdy

= 0.EcuacionesDiferencialesReducci ondelorden:Ejemplosty

y

= 3t2Faltalay sepuedehacerelcambioy

= ptdpdt p = 3t2dpdt 1t p = 3t linealMultiplicandopore

1tdt=1tseobtieneddt

1t p

= 3pt= 3t +C p = 3t2+Cty= t3+ 12Ct2+DEcuacionesDiferencialesReducci ondelorden:Ejemplosy

+k2y= 0Faltalat sepuedehacerelcambioy

= p, y

= pdpdypdpdy+k2y= 0 pdp +k2y dy= 0p2+k2y2= k2a2p =dydt=k

a2y2dy

a2y2=k dtarcsenya=kt +by= asen(kt +b) y= Asen(kt +B) (oy= C1senkt +C2coskt)EcuacionesDiferencialesTrayectoriasortogonalesyoblicuasFamiliadecurvasEsunaexpresiondelaformaF(x, y, K) = 0enlaqueKesunparametroarbitrario.Ejemplox2+2kx +y2= 0TrayectoriaortogonalUnatrayectoriaortogonaldeunafamiliadecurvasesunacurvaquecruzaconcadaunadelascurvasdelafamiliadeformaortogonal.Enuncampoelectrostatico,laslineasdefuerzasonortogonalesalaslneasdepotencialconstante.EcuacionesDiferencialesTrayectoriasortogonalesyoblicuasEjemploy2+2ky +x2= 0sonortogonalesax2+2kx +y2= 0Calculotrayectoriaortogonal1Seobtienelaecuaciondiferencialy

= f (x, y)delafamiliadecurvasF(x, y, K) = 0(EliminandolaK).2LafamiliaortogonalaF(x, y, K) = 0tienecomoecuaciondiferencialy

=1f (x, y).Unvectorortogonal(1, v)es(1, 1v)3Seobtienelasoluciongeneraldelaecuaciondiferencialanterior.EcuacionesDiferencialesTrayectoriasortogonalesyoblicuasCalculotrayectoriaortogonal1x2+2kx +y2=0 derivando2x +2k +2yy

=0 k =x2+y22x2x x2+y2x+2yy

=0Laecuaciondiferencialdelafamiliadecurvasesy

= f (x, y) =x2y22yx2LafamiliaortogonalaF(x, y, K) = 0tienecomoecuaciondiferencialy

=1f (x, y)=2yxx2y2 .3y

=2yxx2y2y= uxu

x +u =2u1u2 .u

x =u +u31u2 du1u2u +u3=dxxdu

1u 2u1+u2

=dxxln|C| +ln|u| ln|1+u2| = ln|x| Au1+u2= x Ay= x2+y2EcuacionesDiferencialesTrayectoriasortogonalesyoblicuasxyy=f(x)y=g(x)tan=dfdxtan=dgdx= + tan= tan( +) =tan +tan1tan tanEcuacionesDiferencialesTrayectoriasortogonalesyoblicuasCalculotrayectoriaoblcua1Seobtienelaecuaciondiferencialy

= f (x, y)delafamiliadecurvasF(x, y, K) = 0.2LafamiliaoblicuaaF(x, y, K) = 0tienecomoecuaciondiferencialy

=f (x, y) +tg()1f (x, y)tg().3Seobtienelasoluciongeneraldelaecuaciondiferencialanterior.EjemploCalcularlastrayectoriasoblcuasconunangulode45gradosalafamiliadecurvasy= AexEcuacionesDiferencialesTrayectoriasortogonales(coordenadaspolares) = ()

x = ()cosy= ()sen

dxdy=

dxd

dyd

=

cos sen

sen +cosy

= f (x)( = ()) curvaortogonaly

=1f (x)(o = o())

ocos osen

osen +ocos=

sen + cossen

cos = o

o

= 2Trayectoriasortogonalesencoordenadaspolares1Seobtienelaecuaciondiferencialf (, ,

)delafamiliadecurvasF(, , K) = 0.2LafamiliaortogonalaF(, , K) = 0tienecomoecuaciondiferencialf

, , 2

.3Seobtienelasoluciongeneraldelaecuaciondiferencialanterior.EcuacionesDiferenciales