UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA.

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA.

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA.

TRABAJO PRÁCTICO

CURSO:

Ingeniería Electromagnética I.

DOCENTE:

Ing. Jesús Arestegui Ramos.

AÑO Y GRUPO:

V EE - 1.

ESTUDIANTE:

Orizonda Crisante, Freddy.

ICA – PERÚSetiembre - 2010

SISTEMAS ORTOGONALES.

Un sistema de coordenadas ortogonales es un sistema de coordenadas tal que en cada punto los vectores tangentes a las curvas coordenadas son ortogonales entre sí. En el espacio Euclídeo tridimensional se emplean diferentes sistemas de coordenadas, a veces, combinando tipos de coordenadas ortogonales y angulares:

- Coordenadas cartesianas.- Coordenadas polares.- Coordenadas esféricas.- Coordenadas cilíndricas.- Coordenadas cilíndricas elípticas.- Coordenadas cilíndricas parabólicas.- Coordenadas paraboidales.- Coordenadas esferoidales alargadas.- Coordenadas esferoidales achatadas.- Coordenadas bipolares.- Coordenadas toridales.

Por ahora solo vamos a trabajar tres sistemas: Cartesianas, Cilíndricas y Esféricas.

COORDENADAS CARTESIANAS: El plano cartesiano son un sistema de referencia respecto a un eje (recta), dos ejes (plano), o tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas.

Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (x, y, z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números: (x, y, z) denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente.

Z

Y

X

Variables: (x , y , z)

x

y

z

Designación de sus vectores unitarios: (ax , ay , az)

Representación vectorial: A=A xax+A y ay+A zaz

Parámetros: −∞<x<∞−∞< y<∞−∞<z<∞

Productos escalar y vectorial:ax . ax=1 ax x a y=aza y . a y=1 a y x az=axaz . az=1 az x ax=ay

Desplazamiento diferencial:

dl=dx ax+dy a y+dz az

Diferencial de superficie:

dsx= (dy dz )axds y=(dxdz )a ydsz=(dx dy )az

Diferencial de volumen:dv=dx dydz

ax

a y

az

x

y

z

COORDENADAS CILÍNDRICAS: Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana. Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:

ρ: Coordenada radial, longitud de radio del cilindro.φ: Coordenada acimutal, ángulo que forma con el eje “x” la proyección del radio vector.z: Coordenada vertical o altura, con signo, desde el punto P al plano XY.

Variables: (ρ ,ϕ , z )

Designación de sus vectores unitarios: (aρ , aϕ , az)

Representación vectorial: A=A ρaρ+Aϕaϕ+A zaz

Parámetros: 0< ρ<∞0<ϕ<2π−∞<z<∞

Productos escalar y vectorial:aρ . aρ=1 aρ xaϕ=azaϕ . aϕ=1 aϕ xaz=aρaz . az=1 az x aρ=aϕ

Desplazamiento diferencial:

dl=dρ aρ+d ( Arc)aϕ+dz azdl=dρ aρ+ ρdϕaϕ+dz az

Z aΦ Y

ρϕ

aZ❑❑

aρ

X

Diferencial de superficie:

ds ρ=( ρdϕ dz)aρdsϕ=(dρ dz )aϕdsz=( ρ dρdϕ )az

Diferencial de volumen:dv=ρ dρdϕdz

ρϕ

z

x

y

z

COORDENADAS ESFÉRICAS: El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio R, el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -𝜋/2 a 𝜋/2 radianes, siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del azimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0 a 2𝜋 en radianes o de -𝜋 a 𝜋.Hablando en términos de coordenadas cartesianas, la convención usada por los matemáticos de Estados Unidos es:

R (Radio): es la distancia entre un punto y el origen.φ (azimut o longitud) de 0 a 𝜋 es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto.θ (colatitud o ángulo polar) de 0 a 2𝜋, es el ángulo entre el eje X positivo y la línea que une el origen con la proyección del punto en el plano XY.

Variables: (R ,θ ,ϕ)

Designación de sus vectores unitarios: (aR , aθ , aϕ)

Representación vectorial: A=A RaR+Aθaθ+Aϕ aϕ

Parámetros: 0<R<∞0<θ<π0<ϕ<2π

Productos escalar y vectorial:aR . aR=1 aR x aθ=aϕaθ . aθ=1 aθ x aϕ=aRaϕ . aϕ=1 aϕ xaR=aθ

Desplazamiento diferencial:

dl=dRaR+d ( Arc)aθ+d ( Arc)aϕdl=dRaR+Rdθaϕ+R senθ dϕaϕ

Diferencial de superficie:

dsR=(R2 senθ dθdϕ )aRdsθ=(R senθdRdϕ )aθdsϕ=(RdRdθ )aϕ

Diferencial de volumen:dv=R2 senθdR dθdϕ

RELACIÓN DE VARIABLES ENTRE SISTEMAS:

R

ϕ

θaR

aϕaθ

1.- Cartesiano en función de Cilíndrico:

x=ρ cosϕy=ρ senϕz=z

2.- Cilíndrico en función de Cartesiano:

ρ=√x2+ y2ϕ=arctg ( y / x )z=z

3.- Cartesiano en función de Esférico:

x=R senθcosϕy=R senθ senϕz=Rcosθ

4.- Esférico en función de Cartesiano:

R=√x2+ y2+z2θ=arctg (√x2+ y2/ z)ϕ=arctg ( y / x )

RELACIÓN DE VECTORES ENTRE SISTEMAS:

1.- Cartesiano en función de Cilíndrico:

aρ=axcosϕ+a y senϕaϕ=−axsenϕ+ay cosϕaz=az

A=A ρaρ+Aϕaϕ+A zazA=A ρ(axcosϕ+ay senϕ)+Aϕ (−ax senϕ+a ycosϕ)+A zazA=( Aρ cosϕ−Aϕ senϕ )ax+ (A ρ senϕ+Aϕcosϕ ) ay+A zaz

Entonces:Ax=Aρ cosϕ−Aϕ senϕA y=A ρ senϕ+AϕcosϕA z=A z

En forma matricial:

[ AxA y

A z]=[cosϕ −senϕ 0senϕ cosϕ 00 0 1] [AρAϕA z

]2.- Cilíndrico en función de Cartesiano:

ax=aρ cosϕ−aϕ senϕa y=aρ senϕ−aϕcos ϕaz=az

A=A xax+A y ay+A zazA=A x(aρcosϕ−aϕ senϕ)+A y (aρ senϕ+aϕcosϕ)+A zazA=A xcosϕ aρ−Ax senϕ aϕ+A y senϕ aρ+A y cosϕ aϕ+A zazA=( Axcosϕ+A y senϕ )aρ+(−Ax senϕ+A y cosϕ )aϕ+A zaz

Entonces:Aρ=Ax cosϕ+A y senϕAϕ=−Ax senϕ+A ycosϕA z=A z

En forma matricial:

[A ρ

AϕA z

]=[ cosϕ senϕ 0−senϕ cosϕ 00 0 1][ AxAyA z ]

3.- Cartesiano en función de Esférico:

aR=ax senθcosϕ+ay senθ senϕ+az cosθaθ=ax cosθcosϕ+a y cosθsenϕ−az senθaϕ=−axsenϕ+ay cosϕ

A=A RaR+Aθaθ+Aϕ aϕ

A=A R(ax senθcosϕ+ay senθ senϕ+az cosθ)+Aθ(axcosθ cosϕ+a ycosθ senϕ−az senθ)+Aϕ(−ax senϕ+ay cosϕ)

A=( AR senθ cosϕ+Aθ cosθcosϕ−Aϕ senϕ )ax+( AR senθsenϕ+Aθ cosθsenϕ+Aϕcosϕ )a y+(ARcosθ−Aθ senθ )az

Entonces:Ax=AR senθ cosϕ+Aθ cosθcosϕ−Aϕ senϕA y=AR senθ senϕ+Aθ cosθ senϕ+Aϕcosϕ

A z=ARcosθ−Aθ senθ

En forma matricial:

[ AxA y

A z]=[ senθcosϕ cosθ cosϕ −senϕsenθ senϕ cosθ senϕ cosϕcosθ −senθ 0 ][ ARAθAϕ ]

4.- Esférico en función de Cartesiano:

ax=aR senθcosϕ+aθ cosθcosϕ−aϕ senϕa y=aR senθ senϕ+aθ cosθsenϕ+aϕcosϕaz=aRcosθ−aθ senθ

A=A xax+A y ay+A zaz

A=A x(aR senθcosϕ+aθ cosθcosϕ−aϕ senϕ)+A y (aR senθ senϕ+aθ cosθ senϕ+aϕcosϕ)+A z(aR cosθ−aθ senθ)

A=(Ax senθ cosϕ+A y senθ senϕ+A z cosθ)aR+(Ax cosθcosϕ+A y cosθsenϕ−A z senθ)aθ+(−A x senϕ+A y cosϕ)aϕ

Entonces:AR=Ax senθ cosϕ+A y senθ senϕ+A z cosθAθ=A xcosθ cosϕ+A y cosθ senϕ−A z senθAϕ=−Ax senϕ+A ycosϕ

En forma matricial:

[ARAθAϕ ]=[ senθ cosϕ senθ senϕ cosθcosθco sϕ cosθ senϕ −senθ−senϕ cosϕ 0 ] [ AxA y

A z]

GRADIENTE DE UN ESCALAR (grad V) ( ∇ V)

En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar en un punto se define como un vector cuya dirección es la de máximo crecimiento del campo en ese punto, y cuya magnitud es la pendiente del campo en esa dirección. Su expresión matemática se obtiene aplicando el operador nabla sobre la función que define el campo escalar.A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas:

1.- En Coordenadas Cartesianas:

Si:dl=dx ax+dy a y+dz az

Entonces:

∇V=( ∂ax∂ x +∂a y∂ y

+∂az∂z ) (V )

∇V=∂V∂ x

ax+∂V∂ y

ay+∂V∂ zaz

2.- En Coordenadas Cilíndricas:

Si:dl=dρ aρ+ ρdϕaϕ+dz az

Entonces:

∇V=( ∂aρ∂ ρ + 1ρ

∂aϕ∂ϕ

+∂az∂ z ) (V )

∇V=∂V∂ ρ

aρ+1ρ∂V∂ϕ

aϕ+∂V∂zaz

3.- En Coordenadas Esféricas:

Si:dl=dRaR+Rdθaθ+Rsenθdϕ aϕ

Entonces:

∇V=( ∂aR∂ R+ 1R

∂aθ∂θ

+ 1Rsenθ

∂aϕ∂ϕ ) (V )

∇V=∂V∂ R

aR+1R∂V∂θaθ+

1Rsenθ

∂V∂ϕ

aϕ

DIVERGENCIA DE UN VECTOR (∇ .V ).

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo

saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por

tanto, si el campo tiene "fuentes" o "sumideros" la divergencia de dicho campo será

diferente de cero.

Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo

posee manantiales. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo

más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico,

siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.

1.- En Coordenadas Cartesianas:

∇ .V=∂V x

∂ x+∂V y

∂ y+∂V z

∂z

2.- En Coordenadas Cilíndricas:

∇ .V=1ρ

∂ ( ρV ρ )∂ ρ

+ 1ρ

∂V ϕ

∂ϕ+∂V z

∂ z

3.- En Coordenadas Esféricas:

∇ .V=1

R2∂ (R2V R )∂ R

+1

Rsenθ

∂ ( senθV θ )∂θ

+1

Rsenθ∂V ϕ

∂ϕ

ROTACIONAL DE UN VECTOR (∇ xV ).

En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la

tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

1.- En Coordenadas Cartesianas:

A x B=| ax ay az∂∂x

∂∂ y

∂∂z

Ax A y A z

|A x B=ax( ∂∂ y A z− ∂

∂ zA y)+ay ( ∂∂ z Ax− ∂

∂ xA z)+az( ∂∂x A y−

∂∂ y

Ax)

2.- En Coordenadas Cilíndricas:

A x B=1ρ | aρ ρaϕ az∂∂ ρ

∂∂ϕ

∂∂ z

Aρ ρ Aϕ A z|

A x B=1ρ [aρ( ∂∂ϕ A z− ∂

∂ z(ρ Aϕ ))+ ρ aϕ( ∂∂ z Aρ− ∂

∂ ρA z)+az( ∂∂ ρ (ρ Aϕ )− ∂

∂ϕAρ)]

3.- En Coordenadas Esféricas:

A x B= 1R2 sen θ| aR Raθ Rsenθaϕ

∂∂ R

∂∂θ

∂∂ϕ

AR R Aθ Rsenθ Aϕ|

A x B= 1

R2 senθ [aR( ∂∂θ (Rsenθ Aϕ )− ∂∂ϕ

(R Aθ ))+Raθ( ∂∂ϕ AR− ∂∂ ρ

(RsenθAϕ ))+Rsenθaϕ ( ∂∂R (R Aθ )− ∂∂θAR)]

ELECTROSTÁTICA.

La electrostática es la rama de la física que estudia los fenómenos eléctricos producidos por distribuciones de cargas estáticas, esto es, el campo electrostático de un cuerpo cargado.

CARGAS ELÉCTRICAS:En física, la carga eléctrica es una propiedad intrínseca de algunas partículas subatómicas (pérdida o ganancia de electrones) que se manifiesta mediante atracciones y repulsiones que determinan las interacciones electromagnéticas entre ellas. La materia cargada eléctricamente es influida por los campos electromagnéticos siendo, a su vez, generadora de ellos. La interacción entre carga y campo eléctrico origina una de las cuatro interacciones fundamentales: la interacción electromagnética.El valor de la carga del electrón fue determinado entre 1910 y 1917 por Robert Andrews Millikan y en la actualidad su valor en el Sistema Internacional es:

qe¿=1.602564 x10−19C

me¿=9.1x 10−31Kgm p+¿=1.67 x10−27 Kg¿

LEY DE COULOMB:

La ley de Coulomb puede expresarse como:

“La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”.

La ley de Coulomb es válida sólo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas, o como aproximación cuando el movimiento se realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que es llamada fuerza electrostática.

En términos matemáticos, la magnitud F de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales q1 y q2 ejerce sobre la otra separadas por una distancia r se expresa como:

F=kq1q2r2

ur

Donde: F :Fuerza eléctrica.

k :Constanted eCoulomb k=1/4 π Ԑ0=9x 109N m2/C2

q1 , q2:Cargas puntuales .

r :Distanciaentre lascargas .

Ԑ0 :Permitividad enel vacio Ԑ0=8.85x 10−12F /m

DENSIDAD DE CARGA:

Densidad de carga lineal (𝜆L)

Se usa en cuerpos lineales como, por ejemplo hilos.

λL=qL→λL=

dqdL

Donde q es la carga del cuerpo y L es la longitud. En el Sistema Internacional de Unidades (SI) se mide en C/m (culombios por metro).

Densidad de carga superficial (𝜆S)

Se emplea para superficies, por ejemplo una plancha metálica delgada como el papel de aluminio.

λS=qS→ λS=

dqdS

donde q es la carga del cuerpo y S es la superficie. En el SI se mide en C/m2 (culombios por metro cuadrado).

Densidad de carga volumétrica (𝜆V)

Se emplea para cuerpos que tienen volumen.

λV=qV→ λV=

dqdV

donde Q es la carga del cuerpo y V el volumen. En el SI se mide en C/m3 (culombios por metro cúbico).

CAMPO ELÉCTRICO:

El campo eléctrico, en física, es un ente físico que es representado mediante un modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica. Matemáticamente se describe como un campo vectorial en el cual una carga eléctrica puntual de valor q sufre los efectos de una fuerza eléctrica F dada por la siguiente ecuación:

F=q E

Entonces tenemos que:

E=k qr2ur

LEY DE GAUSS:

En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga:

∮Ed s= qԐ0

E∫ds= qԐ0

E (4π r 2)= qԐ0

E= q

4 π r2Ԑ0ur

E= 14 π Ԑ0

.q

r2ur

E=k qr2ur

POTENCIAL ELÉCTRICO.

El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar una fuerza eléctrica para mover una carga positiva q desde la referencia hasta ese punto, dividido por unidad de carga de prueba. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria q desde la referencia hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica.

Matemáticamente se expresa por:

V=Wq

Considérese una carga de prueba positiva, la cual se puede utilizar para hacer el mapa de un campo eléctrico. Para tal carga de prueba q0 localizada a una distancia r de una carga q

, la energía potencial electrostática mutua es:

A

Ē

dl

V=Kq0q

r

ra B

rb

origen

De manera equivalente, el potencial eléctrico es:

V=Uq0

=K qr

TRABAJO ELECTRICO Y ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA.

Considérese una carga puntual q en presencia de un campo eléctrico. La carga experimentará una fuerza eléctrica.

F=q E

Ahora bien, si se pretende mantener la partícula en equilibrio, o desplazarla a velocidad constante, se requiere de una fuerza que contrarreste el efecto de la generada por el campo eléctrico. Esta fuerza deberá tener la misma magnitud que la primera, pero sentido contrario, es decir:

Fa=−q E

Partiendo de la definición clásica de trabajo, en este caso se realizará un trabajo para trasladar la carga de un punto a otro. De tal forma que al producirse un pequeño desplazamiento dl se generará un trabajo dW . Es importante resaltar que el trabajo será positivo o negativo dependiendo de cómo se realice el desplazamiento en relación con la fuerza Fa. El trabajo queda, entonces, expresado como:

dW=Fa . dl=Fadl cosθ

Teniendo en cuenta la expresión:

dW=Fa . dl=q Edl

Por lo tanto, el trabajo total será:

W=−∫A

B

q Edl

Si el trabajo que se realiza en cualquier trayectoria cerrada es igual a cero, entonces se dice que estamos en presencia de un campo eléctrico conservativo.

Expresándolo matemáticamente:

W=−∫A

B

q Edl=0

El potencial eléctrico suele definirse a través del campo eléctrico a partir del teorema del trabajo de la física. Esta definición muestra que estrictamente el potencial eléctrico no está definido sino tan sólo sus variaciones entre puntos del espacio. Por lo tanto, en condiciones de campo eléctrico nulo el potencial asociado es constante. Suele considerarse sin embargo que el potencial eléctrico en un punto infinitamente alejado de las cargas eléctricas es cero por lo que la ecuación del potencial eléctrico es:

V=−∫A

B

Edl{E=kq

r2ar

dl=dr ar

V=−∫A

B

kqr2dr=−kq−1

r |A

B

V=kq [ 1rB− 1rA ]

Si A→∞, entonces:

V=kq [ 1rB ]

POTENCIAL ELÉCTRICO GENERADO POR UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGAS.

El potencial en un punto cualquier debido a un grupo de cargas punto se obtiene calculando el potencial V n debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran, y sumando las cantidades así obtenidas, o sea:

V=∑n

V n

La suma que se efectúa es una suma algebraica y no una suma vectorial. En esto estriba la ventaja de cálculo del potencial sobre la de intensidad del campo eléctrico. Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo.

Si la distribución de carga es continua y no una colección de puntos, la suma debe reemplazarse por una integral:

V n=∫ dV n

Entonces tenemos que:

V=k qr→dV=k dq

r

dV=kλldl

rdV=k

λsds

rdV=k

λsds

r

DIPOLO ELECTRICO.

Se forma un dipolo eléctrico cuando dos cargas puntuales de igual magnitud, pero de signo contrario, están separadas por una distancia pequeña.

Momento dipolar eléctrico (ρ):

Se define el momento dipolar eléctrico como una magnitud vectorial con módulo igual al producto de la carga q por la distancia d que las separa, cuya dirección es la recta que las une, y cuyo sentido va de la carga negativa a la positiva:

ρ=q .d

Potencial eléctrico formado por un dipolo:

V=kq( R2−R1R1 R2 )R2−R1=d cosθ

R1R2=R2

V=kq d aRR2

V=k paRR2

CAMPOS ELÉCTRICOS EN ESPACIO MATERIAL.

T

θ

R1

R2R+q

−qd cosθ

d

Tipos de materiales:

En un sentido amplio los materiales pueden clasificarse en términos de su conductividad (

σ ), en mho’s por metro (℧ /m) o en siemens por metro (S/m ), como conductores y no

conductores, o técnicamente como metales y aisladores (o dieléctricos). Un material de

alta conductividad (σ≫1) se conoce como metal, mientras que uno de baja

conductividad (σ≪1) se conoce como aislador. Al material cuya conductividad se

encuentra entre la de los metales y la de los aisladores se le llama semiconductor.

Polarización en los dieléctricos:

Tengamos un momento dipolar:

ρ=q1 . d1+q2 . d2+…+qn . dn

ρ=∑m=1

n

qm. dm

El vector de polarización por unidad de volumen:

P= limΔv→0 [(∑m=1

n

qm . dm)/ ( Δv )]dV=

k P aRdv

R2

Densidades de carga por polarización:

Superficial: λ ps=Pan

Volumétrica: λ pv=−∇ . P

Densidad Volumétrica Total:

λT= λv+λ pv

λT=∇ . D=∇ .(ε0 E)

λv=∇ .(ε0 E+P)

Proporción entre P y E:

P=xe ε0 E

Luego:

λv=∇ . ( ε0 E+xeε 0E )

λv=∇ . [ ε0 E (1+xe) ]ε r=1+xe

Donde:

xe : Suceptibilidad eléctrica .

ε r:Permitividad relativa

λv=∇ . ( ε0 εr E )λv=∇ . ε E

PROBLEMAS CON VALORES DE FRONTERA.

Esta clase de problemas suelen trabajarse por medio de la ecuación de Poisson o de la ecuación de Laplace.

Sabemos que: E=−∇V … (1)

También: λV=∇ . ε E

λV=ε∇ . E

λVε

=∇ . E…(2)

Entonces reemplazando:

λVε

=∇ .(−∇V )

λVε

=−∇ .∇V

Donde ∇ .∇V se le llama Laplaciano y:

∇2V=− λVεEcuación de Poisson

Pero si λV=0, entonces la ecuación sería:

∇2V=0 Ecuacióndeℒ

Ecuaciones de Laplace:

En coordenadas cartesianas:

∇2V=∂2V∂ x2

+ ∂2V∂ y2

+ ∂2V∂ z2

En coordenadas cilíndricas:

∇2V=1ρ∂∂ ρ ( ρ ∂V∂ρ )+ 1ρ2 ( ∂

2V∂ϕ2 )+ ∂

2V∂ z2

En coordenadas esféricas:

∇2V= 1R2

∂∂ R (R2 ∂V∂ R )+ 1

R2 senθ∂∂θ (senθ ∂V∂θ )+ 1

R2 senθ∂2V∂ϕ2

CONDICIONES DE FRONTERA PARA CAMPOS ELECTROSTÁTICOS.

DIELÉCTRICO – DIELÉCTRICO:

El potencial de una superficie cerrada es igual a cero (0):

Entonces: V abcda=0

E1T (ΔW )−E1N( Δh2 )−E2N ( Δh2 )−E2T (ΔW )+E2 N( Δh2 )+E1N ( Δh2 )=0SiΔh=0 (En la frontera):

E1T (ΔW )−E2T (ΔW )=0

E1T=E2T

También:

D1Tε 1

=D 2T

ε2

D1TD2T

=ε1ε2

De acuerdo al teorema de Gauss:

λs=D=D1N−D2N ; Pero : λs=0

Entonces:

D1N=D2N

También:

E1 N ε1=E2N ε2

El potencial es:

V=V T+V N

REFRACCIÓN DEL CAMPO EN EL INTERFAZ.

E1T=E2T Entonces: E1 senθ1=E2 senθ2

D1N=D2N Entonces: ε 1E1 cosθ1=ε2E2cos θ2

Dividiendo ambas ecuaciones:

E1 senθ1ε1 E1cos θ1

=E2 sen θ2ε2E2cosθ2

tgθ1ε1

=tgθ2ε2

tgθ1tgθ2

=εr 1εr 2

DIELÉCTRICO – CONDUCTOR:

El potencial de una superficie cerrada es igual a cero (0):

Entonces: V abcda=0

E1T (ΔW )−E1N( Δh2 )=0SiΔh=0 (En la frontera):

E1T (ΔW )=0

E1T=0

Esto quiere decir que no existe campo eléctrico tangencial.

De acuerdo al teorema de Gauss:

λs=ε EN

Entonces:

E1 N=λsε1

CORRIENTE DE CONVECCIÓN.

ΔI= ΔqΔt

=λV ΔV

Δt=λV Δs Δl

Δt=λV . Δs . v

ΔIΔs

=λV . v=J

ΔI=JΔs

I=∫ JdsJ=λV . v

Donde:

J: Densidad de Carga.

También:

J=σ .EV=∫ Edl→E=VL

J=σ VLpero también J= I

S

Entonces:

IS=σ V

L

VI=1σ.LS

Para secciones homogéneas:

R=ρ LS

Donde:

ρ: Resistividad

σ : Conductividad

Para secciones no homogéneas:

R=VI=∫ Edl

∫ Jds=

∫Edl∫ σ Eds

CAPACITANCIA:

C= qV

=ε∫E ds∫ Edl

Capacitores de placas paralelas:

Se sabe:

qε=∫Eds

dqds.1ε=E

Entonces:

E=λsε

Pero como se halla para un lado, solo tomamos la mitad:

E=λs2 ε