trayectorias ortogonales monografia
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias
Trayectorias Ortogonales
Realizado por: Alejandro Cuaspud
Cristian Tuitice Rommel Torres
José Zurita
21 de febrero del 2013
Descripción de las trayectorias ortogonales de curvas y su aplicación a la confección de mapas
meteorológicos, de campo eléctrico y de campo magnético.
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Contenido
1. Introducción .................................................................................................................... 3
2. Trayectorias Ortogonales de Curvas ............................................................................... 4
2.1 Familias de curvas ................................................................................................... 4
2.2 Determinación de trayectorias ortogonales .............................................................. 5
2.3 Demostración del método ........................................................................................ 7
2.4 Cambio a coordenadas polares ................................................................................ 7
2.5 Ejercicios resueltos .................................................................................................. 9
2.6 Ejercicios propuestos ............................................................................................. 18
3. Aplicaciones de las trayectorias ortogonales ................................................................ 19
3.1 Introducción a los campos escalares y vectoriales ................................................. 19
3.1.1 Campo escalar................................................................................................. 19
3.1.2 El gradiente ..................................................................................................... 19
3.1.3 Campos vectoriales ......................................................................................... 20
3.2 Mapas meteorológicos ........................................................................................... 20
3.2.1 Curvas isobaras ............................................................................................... 20
3.2.2 Centros de baja presión................................................................................... 21
3.2.3 Centros de alta presión ................................................................................... 21
3.2.4 Frentes fríos .................................................................................................... 21
3.2.5 Frentes cálidos ................................................................................................ 21
3.3 Mapas de campos eléctricos................................................................................... 22
3.3.1 Campo eléctrico de una carga puntual ............................................................ 22
3.3.2 Líneas de campo ............................................................................................. 23
3.4 Mapas de campo magnético ................................................................................... 25
3.4.1 El campo magnético ....................................................................................... 25
3.4.2 Líneas de campo magnético ........................................................................... 25
3. Conclusiones ................................................................................................................. 27
1. Recomendaciones .......................................................................................................... 28
2. Bibliografía.................................................................................................................... 29
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1. Introducción
Crear modelos con ecuaciones diferenciales es a la vez de ciencia un arte, el arte radica en
que el conjunto de suposiciones que sustentan al modelo están centrados en ajustes e
ideales, para lo cual no hay reglas universales, que el propio modelador elige con base en la
naturaleza y los costos del problema que pretende resolver o de la situación que pretende
explicar. Por otro lado, es ciencia porque se fundamenta en el método científico y la fina
estructura lógica matemática de las ecuaciones diferenciales.
Como una aplicación interesante veremos cómo utilizar las ecuaciones diferenciales para
encontrar curvas que intersecan curvas dadas en ángulos rectos, situación que se presenta
con mucha frecuencia en la práctica. A las nuevas curvas se les llama trayectorias
ortogonales de las curvas dadas. En este caso ortogonal es sinónimo de perpendicular.
Las trayectorias ortogonales son de interés en la geometría de curvas planas y en algunas
cuestiones de matemática aplicada. Por ejemplo si una corriente eléctrica fluye por una
lámina plana de material conductor, las curvas equipotenciales son las trayectorias
ortogonales de las líneas de flujo.
Como otro ejemplo podemos mencionar que los meridianos y los paralelos son trayectorias
ortogonales entre si, como lo son también las curvas de pendiente más pronunciadas y las
líneas de contorno en un mapa. Otros ejemplos importantes ocurren en la dinámica de
fluidos, conducción de calor y otros campos de la física.
En el presente escrito hablaremos acerca del método utilizado para obtener trayectorias
ortogonales a una familia de curvas dadas, con el propósito de comprender y aplicar este
concepto en las situaciones que se requiera.
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2. Trayectorias Ortogonales de Curvas
Imaginemos que tenemos una familia de curvas. Suponga que queremos hallar otra familia
de curvas de manera que cada miembro de esta familia corte a cada miembro de la primera
familia en ángulos rectos (el ángulo de intersección se define como el ángulo entre las
tangentes a las curvas en el punto de intersección).
Entonces decimos que las familias son mutuamente ortogonales, o que esta nueva familia
de curvas forma un conjunto de trayectorias ortogonales de la primera familia.
Familia de curvas y sus trayectorias ortogonales
2.1 Familias de curvas
La solución general de una ecuación diferencial de primer orden contiene generalmente una
constante arbitraria, llamada parámetro.
Cuando a ese parámetro se le asignan diferentes valores, obtenemos una familia
uniparamétrica de curvas. Cada una de estas curvas es solución de la ecuación diferencial
dada y todas juntas constituyen la solución general.
Si para cada valor fijo de c la ecuación:
a) �(�, �, �) = 0
Representa una curva en el plano xy y si para c variable representa una familia de curvas,
entonces a la totalidad de estas curvas se le llama familia de curvas con un parámetro, y
a c se le llama parámetro de la familia.
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Es posible obtener muchas familias con un parámetro a partir de la solución general de una
ecuación diferencial, la cual contiene un parámetro arbitrario c. en consecuencia, dada una
familia de curvas, el primer paso del método que se estudiara es encontrar una ecuación
diferencial de ella, por lo general derivando la ecuación (1).
2.2 Determinación de trayectorias ortogonales
Primer paso. Dada una familia de la forma de la ecuación (1), se encuentra su ecuación
diferencial de la forma:
b) �′ = �(�, �)
Segundo paso. Se encuentran las trayectorias ortogonales resolviendo su ecuación
diferencial
c) �′ = − �(�,�)
Ejemplo 1. La ecuación �� + �� = � es la familia de todos los círculos con centro en el
origen. Si derivamos con respecto a x, obtenemos su ecuación diferencial:
2� + 2� ���� = 0
���� = − �
�
La ecuación de las familias ortogonales está dada por:
���� = �
�
La solución de esta ecuación diferencial es la familia de trayectorias ortogonales
��� = ��
�
� ��� = � ��
�
ln|�| = ln|�| + ln|�|
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� = ��
Observación. La trayectoria ortogonal de una curva tiene por pendiente la reciproca
negativa de la primera.asi pues, a lo largo de cualquier trayectoria ortogonal tenemos que:
���� = − 1
�(�, �)
O bien
− ���� = �(�, �)
Si aplicamos este método a la ecuación diferencial de familia de círculos �� + �� = �
tenemos:
2� + 2� �− ����� = 0
Es decir
���� = �
�
Y obtenemos la misma solución anterior. La figura ilustra la familia de círculos y sus
trayectorias ortogonales (la familia de rectas � = ��).
Familia de círculos y sus trayectorias ortogonales
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2.3 Demostración del método
Por la ecuación (2), se sabe que una curva dada que pasa por el punto �: (��, ��) tiene en P
la pendiente �(��, ��). La pendiente de la trayectoria ortogonal que pasa por � deberá ser,
en ese punto, reciproco negativo de �(��, ��), es decir − �(� ,� ) pues esta es la condición
para que dos curvas en � sean perpendiculares. Por lo anterior (2) implica (3).
2.4 Cambio a coordenadas polares
Con frecuencia en conveniente expresar la familia de curvas dada en coordenadas polares.
Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la forma ! = �("). La familia de
curvas en coordenadas polares tiene la forma:
(1) �(!, ", �) = 0
Obtenemos la ecuación diferencial de la familia de curvas
(2) $%$& = �(!, ")
Y finalmente obtenemos la familia de trayectorias ortogonales resolviendo la ecuación
diferencial:
�!�" = − !�
�(!, ")
Observación. Al igual que en las coordenadas cartesianas, podemos utilizar un método
alternativo. En este caso utilizamos el hecho de que si ' es el ángulo del radio polar con la
tangente, entonces:
tan ' = ! �"�!
Sustituimos esta expresión en la ecuación diferencial de la familia dada por su reciproca
negativa
− �!! �"
Para obtener la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales.
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Ejemplo 2. La ecuación �� + �� = 2�� representa una familia de círculos tangentes al eje
y. Para obtener la familia de trayectorias ortogonales podemos cambiar a coordenadas
polares, recordando que � = ! cos ", � = ! sin ", �� + �� = !�:
Con el cambio a coordenadas polares tenemos:
! = 2� cos "
�!�" = −2� sin "
Eliminando el parámetro c
�!�" = − ! sin "
cos "
Así la familia de trayectorias ortogonales esta dada por la ecuación:
�!! �" = cos "
sin "
La solución está dada por:
� �!! = � cos "
sin " �"
ln ! = ln|sin "| + ln �
! = � sin "
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2.5 Ejercicios resueltos
1. Encuentre las trayectorias ortogonales de ./ + 0/ = 1.
Formulación matemática. Hay dos maneras de encontrar la familia de la ecuación
diferencial dada.
Primera manera. Despejamos c y derivamos con respecto a x:
� = �� + ���
0 =�2� + 2� ��
��� � − (�� + ��)��
���� = �� − ��
2��
Segunda manera. Derivamos implícitamente con respecto a x:
2� + 2� ���� = �
���� = ��− ��
2��
La familia de trayectorias ortogonales está definida por la ecuación diferencial:
���� = 2��
�� − ��
Solución. Para resolver la ecuación diferencial, notemos que esta es homogénea. Si
realizamos la sustitución � = 2�, tenemos:
���� = 2 + � �2
��
2 + � �2�� = 22
1 − 2�
10
��� − 1 − 2�
2(2� + 1) �2 = 0
� ��� − � 1 − 2�
2(2� + 1) �2 = � 0 ∗ ��
� ��� − � �2
2 + � 221 + 2� = � 0 ∗ ��
ln|�| − ln|2| + ln|1 + 2�| = ln|� |
�� + ��� = �
2. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia 0 = . + 145.
Formulación matemática. Por diferenciación de la relación dada tenemos:
���� = 1 − �65�
���� = 1 + � − �
La familia de trayectorias ortogonales está definida por la ecuación diferencial:
���� = 1
� − � − 1
Solución. Escribimos la ecuación de la forma 7(�, �)�� + 8(�, �)�� = 0:
�� + (1 + � − �)�� = 0
Pero:
979� = 0, 98
9� = 1
Por lo tanto la ecuación no es exacta. Pero 6� es un factor integrante que convierte a la
ecuación en exacta:
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6��� + (6� + �6� − �6�)�� = 0
�(�, �) = � 6� 9� + :(�)
�(�, �) = �6� + :(�)
:(�) = 26� − �6�
�(�, �) = �6� + 26� − �6�
3. Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las parábolas con vértice en el
origen y foco sobre el eje y.
Formulación matemática. La ecuación de la familia de parábolas es de la forma �� = 4<�,
< ≠ 0.
��� = 4<
�� − 2�� ����
�� = 0
���� = �
2�
La familia de trayectorias ortogonales está dada por la ecuación diferencial:
���� = − 2�
�
Solución. La ecuación diferencial es de variables separables. Resolviendo tenemos:
� � �� = � −2� ��
��2 = −�� + �
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�� = −2�� + 2�
4. Determinar las trayectorias ortogonales de la familia >?@ 0 = 145..
Formulación matemática. Obtenemos la ecuación diferencial asociada a la familia de
curvas
6� cos � = �
�(�, �) = 6� cos � = �
9�9� = 6� cos � 9�
9� = −6� sin �
6� cos � �� − 6� sin � �� = 0
���� = cos �
sin �
La familia de trayectorias ortogonales está dada por la ecuación:
���� = − sin �
cos �
Solución. La ecuación es de variables separables
cos �sin � �� = −��
� cos �sin � �� = − � ��
ln|sin �| = −� + �
sin � = 65�ABC
sin � = �65�
5. Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las hipérbolas equiláteras de
centro en el origen de coordenadas.
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Formulación matemática. La ecuación que corresponde a la familia de hipérbolas es
�� − �� = �, si � ≠ 0.
2� − 2� ���� = 0
���� = �
�
La ecuación diferencial de la familia de hipérbolas está dada definida por:
���� = − �
�
Solución. La ecuación es de variables separables
� ��� = − � ��
�
ln|�| = − ln|�| + ln|�|
� = ��
�� = �
6. Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas D = 1(E + >?@ F).
Formulación matemática. Obtenemos la ecuación diferencial de la familia de cardiodes
�!�" = −� sin "
�!�" = − ! sin "
1 + cos "
La familia de trayectorias ortogonales está definida por la ecuación:
�!!�" = 1 + cos "
sin "
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Solución. Separamos las variables para obtener la ecuación de la familia de trayectorias
ortogonales:
�!! = 1 + cos "
sin " �"
� �!! = � 1 + cos "
sin " �"
ln ! = ln|csc " − cot "| + ln|sin "| + ln �
! = �(1 − cos ")
7. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias ./ +(0 − 1)/ = 1/.
Formulación matemática. Obtenemos la ecuación diferencial de la familia de
circunferencias:
2� + 2(� − �) ���� = 0
���� = − 4��
�� − ��
La familia de trayectorias ortogonales está definida por:
���� = �� − ��
4��
Solución. La ecuación diferencial es homogénea, si realizamos la sustitución � = 2�,
tenemos:
���� = 2 + � �2
��
2 + � �2�� = 2� − 1
42
� �2�� = − 32� + 1
42
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32� + 142 �2 + ��2 = 0
� ��� + � 42
32� + 1 = � 0 ∗ ��
ln � + 23 ln|32� + 1| = ln �
(3�� + ��)�� = �
8. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas ./ − .0 + 0/ = 1/.
Formulación matemática. Encontramos la ecuación diferencial de la familia de curvas
2� − � − � ���� + 2� ��
�� = 0
���� = 2� − �
� − 2�
La familia de trayectorias ortogonales está dada por:
���� = − � − 2�
2� − �
Solución. La ecuación diferencial homogénea, utilizando la sustitución � = 2� tenemos lo
siguiente:
���� = 2 + � �2
��
2 + � �2�� = − 1 − 22
2 − 2
� �2�� = 2� − 1
2 − 2
2� − 12 − 2 �� − ��2 = 0
� ��� + � 2 − 2
2� − 1 �2 = � 0 ∗ ��
2ln � + 3 ln|2 + 1| − ln|2 − 1| = ln �
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(� + �)H(� − �) = �
9. Determine las trayectorias ortogonales de la familia de curvas 0 = 145..
Formulación matemática. Obtenemos la ecuación diferencial de la familia de curvas
���� = −�65�
���� = −�
La familia de trayectorias ortogonales está dada por la ecuación:
���� = 1
�
Solución. La ecuación diferencial es de variables separables
� ��� = � ��
12 �� = � + �
�� = 2� + �
10. Las curvas equipotenciales de determinado campo electrostático se pueden
aproximar por las elipses ./ − /1. + /0/ = I. Encuentre las líneas de fuerza.
Formulación matemática. Las líneas de fuerza son las trayectorias ortogonales a las curvas
equipotenciales
2� − 2� + 4� ���� = 0
���� = 2�� − ��
4��
La familia de trayectorias ortogonales está dada por:
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���� = 4��
�� − 2��
Solución. Para resolver esta ecuación, notemos que es homogénea. Si realizamos el cambio
de variable � = 2�, tenemos:
���� = 2 + � �2
��
2 + � �2�� = 42
1 − 22�
� �2�� = 2(3 + 22�)
1 − 22�
2(3 + 22�)1 − 22� �� − ��2 = 0
� ��� − � 1 − 22�
2(3 + 22�) = � 0 ∗ ��
3ln|�| − ln|2| + 2 ln|3 + 22�| = ln|� | (3�� + 2��)�
� = �
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2.6 Ejercicios propuestos
1. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia 0J = 1./ y dibuje el grafico
de las familias.
2. Determine la trayectoria ortogonal que pase por (E, /) de la familia ./ + J0/ =10.
3. Hallar la familia de trayectorias ortogonales a todas las circunferencias que
pasan por el origen de coordenadas y cuyo centro está en la recta 0 = ..
4. Demuestre que la familia de parábolas 0/ = K1. + K1/ es “así mismo
ortogonal”. Grafique algunos de sus miembros.
5. Determine las trayectorias ortogonales de las espirales D = 4DF.
6. Encuentre las trayectorias ortogonales de la cardiode D = 1(E − 1LM F).
7. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas D = 1E51LM F , para
1 > 0.
8. Encontrar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de curvas 0 = O.P,
donde a es cualquier entero positivo.
9. Encontrar la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales de la familia de
curvas D = KO 1LM F QOP F.
10. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de curvas que satisface
la siguiente propiedad: la recta tangente a las curvas en cualquier punto P, es la
bisectriz del ángulo determinado por la recta vertical que pasa por P y la recta
que une P con el origen de coordenadas.
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3. Aplicaciones de las trayectorias ortogonales
3.1 Introducción a los campos escalares y vectoriales
Se denomina campo en general, a toda magnitud física cuyo valor depende del punto del
plano o del espacio, y del instante que se considere. Si la magnitud definida así en un punto
del espacio es escalar, el campo es escalar; si fuera vectorial, sería un campo vectorial.
Por ejemplo, si se tomara la temperatura en diferentes puntos de una aula de clase, se
observaría que en cada instante, la temperatura de ciertos puntos, los que se encuentran
próximos a los radiadores, sería diferente de la que tomamos junto a la puerta o ventanas.
El aula se convertiría así en un campo escalar de temperatura.
3.1.1 Campo escalar
Un ejemplo de campo escalar muy sencillo, es el de alturas en un plano topográfico.
Cuando observamos esos planos, apreciamos las curvas de nivel o lugares geométricos en
los que la altura es la misma.
Las curvas de nivel, o lugares geométricos en los que la magnitud representada es la
misma, se denominan con carácter general líneas isotímicas (En los campos llamados
conservativos, se denominarían líneas de potencial).
Si la magnitud medida es la temperatura, serían isotermas, en el caso de tratarse de la
presión, serían isobaras (las líneas que se aprecian en los mapas del tiempo que aparecen en
los informativos de televisión y que cuando están muy juntas anuncian fuertes vientos).
Otros campos escalares importantes, son los densidad de población, y los de densidad
electrónica.
3.1.2 El gradiente
Estamos acostumbrados a escuchar en la información televisiva del tiempo, que cuando las
isobaras están muy juntas, los vientos son fuertes, debido a las alteraciones bruscas de
presión. De igual manera sabemos que en un mapa topográfico, cuando las curvas de nivel
están próximas, el desnivel es mayor, y la zona se supone abrupta.
La magnitud que mide la máxima variación de la función escalar considerada, con la
variación de la posición, se denomina gradiente, siendo su sentido hacia los valores
crecientes de la magnitud escalar que sufre la variación.
En el caso de un campo escalar de alturas, el gradiente nos indicaría la línea de máxima
pendiente, dato muy importante porque nos permitiría saber por dónde correría el agua de
un manantial en una montaña, o por donde se debe efectuar el tendido de una línea eléctrica
si se pretende ahorrar material. Naturalmente, el agua en un manantial en la montaña no
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discurre libremente hacia abajo, sino siguiendo una dirección y sentido determinado, por
eso el gradiente es una magnitud vectorial que opera sobre otra escalar.
3.1.3 Campos vectoriales
Los campos más estudiados son los vectoriales, puesto que vivimos inmersos en ellos,
interaccionado a través de dichos campos toda la materia. Los campos que marcan las
interacciones que ocurren en la naturaleza, son campos de fuerzas, entre los que tenemos:
a) el campo gravitatorio, creado por la interacción entre masas.
b) el campo electromagnético, originado por la interacción entre cargas (eléctrico si las
cargas están en reposo, y magnético si están en movimiento).
En estos campos las fuerzas surgen sin soporte material, y tienen un alcance infinito.
Existen otros campos de fuerzas en los que es necesario dicho soporte, y son de corto
alcance: el campo nuclear, responsable de la interacción nuclear, y el campo débil, que
regula la interacción entre diferentes tipos de partículas nucleares.
3.2 Mapas meteorológicos
Como una aplicación a la física consideremos la posibilidad de construir mapas del clima,
similares a la siguiente figura:
Familia de isobaras
3.2.1 Curvas isobaras
Las curvas representan isobaras las cuales son curvas que conectan todas las ciudades que
reportan la misma presión barométrica. Las trayectorias ortogonales de la familia de
isobaras podrían indicar la dirección general del viento desde las áreas de alta presión hacia
las áreas de baja presión.
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En vez de isobaras las curvas de la figura anterior podrían representar curvas isotérmicas
las cuales son curvas que conectan puntos que tienen la misma temperatura. En tal caso las
trayectorias ortogonales representa la dirección general del flujo de calor.
Si consideramos el ejemplo de las isobaras, dado un punto (�, �), teóricamente podemos
encontrar la presión en ese punto. Así podemos decir que � = �(�, �), y esto es, la presión
en función de la posición.
3.2.2 Centros de baja presión
Corresponden al trazado de las isobaras más o menos circular en torno a un centro donde la
presión atmosférica es mínima. Suelen señalarse con las letras B (borrasca) o L (low
press), también con una T. Están asociados normalmente a condiciones de mal tiempo, con
lluvias y tormentas.
3.2.3 Centros de alta presión
Corresponden al trazado de las isobaras más o menos circular en torno a un centro donde la
presión atmosférica es máxima. Señalados con una A (alta presión) o H (high press). Están
asociados normalmente a buen tiempo.
3.2.4 Frentes fríos
Señalados mediante líneas dentadas en color azul, indican el avance de una masa de aire
frío que provoca lluvias generales y descensos de temperaturas a su paso.
3.2.5 Frentes cálidos
Señalados mediante líneas bordeadas de semicírculos en rojo, indican el avance de una
masa de aire cálido que provoca lluvias y ascensos de temperaturas a su paso.
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Imagen de un mapa de isobaras
3.3 Mapas de campos eléctricos
3.3.1 Campo eléctrico de una carga puntual
Si la fuente de distribución es una carga puntual q, será fácil encontrar el campo eléctrico
que produce. A la ubicación de la carga la llamamos el punto de origen; y al punto P
donde se determina el campo, el punto del campo.
El campo eléctrico RST una cantidad vectorial, es la fuerza por unidad de carga que se ejerce
sobre una carga de prueba en cualquier punto, siempre que la carga de prueba sea tan
pequeña que no perturbe las cargas que generan el campo. El campo eléctrico producido
por una carga puntual está dirigido radialmente hacia fuera de la carga o hacia ella.
�T = ��SSSTU
�T = 14VW�
U!� 2%SSSST
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3.3.2 Líneas de campo
El concepto de campo eléctrico es un tanto elusivo debido a que ningún campo eléctrico
puede verse directamente. Para visualizarlos, las líneas de campo eléctrico son de gran
ayuda y los hace parecer más reales. Una línea de campo eléctrico es una recta o curva
imaginaria trazada a través de una región del espacio, de modo que es tangente en cualquier
punto que esté en la dirección del vector del campo eléctrico en dicho punto.
Una línea de corriente es una recta o curva, cuya tangente en cualquier punto está en
dirección de la velocidad del fluido en dicho punto. Sin embargo, la similitud entre las
líneas de campo eléctrico y las líneas de corrientes de los fluidos es únicamente de carácter
matemático, porque en los campos eléctricos no hay nada que “fluya”.
El científico inglés Michael Faraday (1791-1867) introdujo por primera vez el concepto de
líneas de campo. Las llamó “líneas de fuerza”, aunque es preferible el término “líneas de
campo”.
La dirección del campo eléctrico es tangente a la línea de campo en ese punto.
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Las líneas de campo eléctrico muestran la dirección de RST en cada punto, y su espaciamiento
da una idea general de la magnitud de RST en cada punto. Donde RST es fuerte, las líneas se
dibujan muy cerca una de la otra, y RST donde es más débil se trazan separadas.
En cualquier punto específico, el campo eléctrico tiene dirección única, por lo que sólo una
línea de campo puede pasar por cada punto del campo. En otras palabras, las líneas de
campo nunca se cruzan.
Líneas de campo para tres diferentes distribuciones de carga.
A veces estos diagramas reciben el nombre de mapas de campo; son secciones
transversales de los patrones reales en tres dimensiones. La dirección del campo eléctrico
total en cada punto de cada diagrama está a lo largo de la tangente a la línea de campo
eléctrico que pasa por el punto. Las flechas indican la dirección del vector del campo RST a
lo largo de cada línea de campo. Los vectores de campo reales se dibujaron en varios
puntos de cada patrón. Observe que, en general, la magnitud del campo eléctrico es
diferente en distintos puntos de una línea de campo dada; una línea de campo no es una
curva de magnitud de campo eléctrico constante.
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3.4 Mapas de campo magnético
3.4.1 El campo magnético
Para introducir el concepto de campo magnético de manera adecuada repasaremos la
formulación de las interacciones eléctricas, en especial el concepto de campo eléctrico.
Representamos las interacciones eléctricas en dos etapas:
1. Una distribución de carga eléctrica en reposo crea un campo eléctrico RST en el
espacio circundante.
2. El campo eléctrico ejerce una fuerza �T = URST sobre cualquier otra carga q que esté
presente en el campo.
Describimos las interacciones magnéticas de manera similar:
1. Una carga o corriente móvil crea un campo magnético en el espacio circundante
(además de su campo eléctrico).
2. El campo magnético ejerce una fuerza �T sobre cualquier otra carga o corriente en
movimiento presente en el campo.
3.4.2 Líneas de campo magnético
En los campos magnéticos creados por cargas en movimiento que circulan por un
conductor (corrientes eléctricas), las líneas de fuerza son circunferencias concéntricas
cuyos centros serán los diferentes puntos del conductor por donde circulan, debido a que se
cumplirá el producto vectorial, los vectores campo magnético siempre serán tangentes a
ella, y estarán en planos perpendiculares a dicho conductor, que deberá contener en cada
instante a la carga en movimiento.
Líneas de campo magnético creadas por un conductor
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Cualquier campo magnético se representa usando líneas de campo magnético. La idea es la
misma que para las líneas de campo eléctrico.
Se dibujan las líneas de modo que la línea que pasa a través de cualquier punto sea tangente
al vector del campo magnético en ese punto. Igual que hicimos con las líneas de campo
eléctrico, tan sólo dibujamos unas cuantas líneas que sean representativas pues, de otra
manera, ocuparían todo el espacio. Donde las líneas de campo adyacentes están cerca entre
sí, la magnitud del campo es grande; donde tales líneas están separadas, la magnitud del
campo es pequeña. Asimismo, debido a que la dirección de en cada punto es única, las
líneas de campo nunca se cruzan.
Líneas de campo magnético de un imán permanente.
Las líneas de campo magnético no son “líneas de fuerza” En ocasiones, a las líneas de
campo magnético se les llama “líneas magnéticas de fuerza”, aunque éste no es un nombre
adecuado; a diferencia de las líneas de campo eléctrico, no apuntan en dirección de la
fuerza que se ejerce sobre la carga. La ecuación �T = UXT × ZST (si ZST es el campo magnético),
muestra que la fuerza sobre una partícula con carga en movimiento siempre es
perpendicular al campo magnético y, por lo tanto, a la línea de éste que pasa por la posición
donde se halla la partícula.
La dirección de la fuerza depende de la velocidad de la partícula y del signo de la carga, de
modo que una simple mirada a las líneas decampo magnético no basta para indicar la
dirección de la fuerza sobre una partícula cargada que se mueva arbitrariamente. Las líneas
de campo magnético sí tienen la dirección en que apuntaría la aguja de una brújula
colocada en cada sitio; tal vez esto lo ayude a visualizar las líneas.
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3. Conclusiones
a) Las trayectorias ortogonales, a simple vista, parecen un problema casi
exclusivamente geométrico, sin embargo en aplicaciones más especificas, vemos
que las familias ortogonales tienen interpretaciones propias del campo al que se las
haya aplicado.
b) Las aplicaciones más importantes de las trayectorias ortogonales están en la física,
en su utilización para aproximar mapas de campo eléctrico, magnético, de
temperatura.
c) Esta aplicación de las ecuaciones diferenciales nos permite visualizar el concepto de
líneas de fuerza, situación que no existe en la realidad, sin embargo es posible de
imaginar al aplicar las trayectorias ortogonales.
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1. Recomendaciones
a) Al iniciar con el estudio de las trayectorias ortogonales de debe tener conocimiento
de los tipos y de las técnicas de resolución de las ecuaciones diferenciales lineales
de primer orden, con el fin de resolver con mayor facilidad ecuaciones que se
presenten.
b) También se deben recordar los conceptos de la geometría analítica, de esta manera
se pueden interpretar de mejor manera a las soluciones que se obtengan de las
ecuaciones diferenciales a de las familias ortogonales.
c) Es también muy útil recordar los conocimientos sobre cambios sistemas de
referencia, es especial el cambio de coordenadas rectangulares a coordenadas
polares, ya que muchas veces una ecuación es más fácil de manipular si primero
hacemos un cambio de coordenadas.
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2. Bibliografía
1. KREYSZIG, ERWIN. Matemáticas avanzadas para ingeniería. Traducido por
Rodolfo García Piña; Hugo Villagómez Velázquez. 3ra edición. México: Limusa
Wiley. 2003. ISBN 968-18-5310-5.
2. SPIEGEL, MURRAY R. Ecuaciones diferenciales aplicadas. Traducido por Henry
Rivera García. 3ra edición. México: Prentice-Hall Hispanoamérica, S.A. 1983.
ISBN 968-880-053-8.
3. SIMMONS, GEORGE F. Ecuaciones diferenciales. Con aplicaciones y notas
históricas. Traducido por Lorenzo Abellanas Rapun. 2da edición. España: McGraw-
Hill Interamericana de España, S.A.U. 1998. ISBN 84-481-0045-X.
4. YOUNG, HUGH y FREEDMAN, ROGER A. Física universitaria, con física
moderna volumen 2. 12va edición. México: Pearson Educación. 2009. ISBN 978-
607-442-304-4.
5. SERWAY, RAYMOND A. and JEWETT, JHON W. Physics for scientists and
engineers with modern physics. 7th
edition. USA: Belmont. 2008. ISBN-13: 978-0-
495-11245-7.