series ortogonales

Captulo 1

Series Ortogonales

1.1 Funciones continuas a tramos

Definicin 1.1: Continuidad a tramos

Considere la funcin real f : ]a,b[ 7Rf es continua a tramos si y slo si f es acotada con a lo ms un nmero finito de discontinuidades.

Es decir:

f es continua a tramos en ]a,b[ si y slo si c1,c2, ,cn R, (a < c1 < c2 < < cn < b) tales que,1. f es continua en: ]a,c1[ , ]c1,c2[ , , ]cn ,b[2. Existen los lmites: lm

xa+f (x) , lm

xc1f (x) , lm

xc+1f (x) , lm

xc2f (x) , lm

xc+2f (x) , , lm

xbf (x)

Los intervalos [a,c1] , [c1,c2] , , [cn ,b] son los tramos de continuidad de fLos puntos c1,c2, ,cn son los nicos posibles puntos de discontinuidad de fLa existencia de los lmites garantiza que f sea acotada en ]a,b[

Ejemplo 1.1

Los grficos corresponden a las funciones:

f (x)=

x2 : 0< x < 232 x+6 : 2< x < 4

(x5)22 : 4< x < 6g (x)=

{tan(pi4 x)

: 0< x < 232 x+6 : 2< x < 4

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6

Funcin continua a tramos f(x)

-2

0

2

4

6

8

10

0 2 4

Funcin no continua a tramos g(x)

1

2 Captulo 1. Series Ortogonales

Si f es continua a tramos en ]a,b[, entonces para todo x ]a,b[ existen los lmites laterales:

f (x)= lmhx

f (h)= lm0>0

f (x) f (x+)= lmhx+

f (h)= lm0>0

f (x+)

En los x donde los lmites laterales son iguales, la funcin es continua: f (x)= f (x+)= f (x) En los puntos x donde los lmites laterales son distintos, la funcin es discontinua.

Definicin 1.2: Integracin a tramos

Sea la funcin real f : ]a,b[ 7R continua a tramos.Si los tramos de continuidad son [a,c1] , [c1,c2] , , [cn ,b] entonces la funcin es integrable encada uno de los intervalos.

La integral a tramos de la funcin f en [a,b] es: ba

f (x)d x = c1

af (x)d x+

c2c1

f (x)d x+ + b

cnf (x)d x

Definicin 1.3: Producto escalar en C[a, b]

El espacio de las funciones continuas a tramos en ]a,b[ es: C (a,b)= { f : ]a,b[ 7R | f sea continua a tramos en ]a,b[}C (a,b) es un espacio vectorial de dimensin infinita.

Sean f , g C (a,b) dos funciones continuas a tramos en ]a,b[.

El producto escalar entre f y g se define como:

f g =

ba

f (x) g (x)d x

Las funciones no nulas f , g son ortogonales entre s, si y slo si f g = 0

La norma de f C (a,b) es:

f 2 = f f = ba

f 2 (x)d x

Sea S = ( f1, f2, , fn , ) un conjunto infinito de funciones (no nulas) en C (a,b)S es un sistema ortogonal si y slo si: i , j ,(i 6= j ) : fi f j = 0Debido a la ortogonalidad de las funciones en S, se tiene que S es un conjunto linealmenteindependiente en C (a,b)

S = ( f1, f2, , fn , ) es sistema ortonormal si y slo si: S es sistema ortogonal con fn= 1Producto escalar respecto a funcin peso en C[a, b]Sean f , g C (a,b). Sea r C (a,b), funcin no negativa en ]a,b[El producto escalar respecto a la funcin peso r , entre f y g se define como:

( f g )r (pr f ) (pr g )=

ba

r (x) f (x) g (x)d x f 2r = pr f 2

Mat. Luis Alfonso Salazar Rubio

1.1. Funciones continuas a tramos 3

Ejemplo 1.2

Considere en cada ejemplo, el producto escalar con funcin peso r (x)= 1

1. Sean f (x)= x2 : 1< x < 5, g (x)={

x : 1< x < 32x+3 : 3< x < 5

(a) Verifique que las funciones f y g son continuas a tramos en ]1,5[.

(b) Muestre que h = f g es continua a tramos.(c) Calcule

g2(d) Obtenga el producto escalar de f con g

(e) Entregue la proyeccin de f sobre g

2. Sea f (x)=

x1 :1< x < 22x : 2< x < 35 : 3< x < 5

, g (x)=

x2 :1< x < 00 : 0< x < 1x+2 : 1< x < 42x : 4< x < 5

(a) Establezca el espacio en donde las funciones son continuas a tramos.

(b) Calcule f 2 y g2

(c) Encuentre las proyecciones, de f sobre g y de g sobre f

3. Sea f (x)= 1 : 0< x < 5. Calcule la norma de f (x)

4. Sea f (x)={

x :1< x < 0px : 0< x < 3

(a) Es f continua a tramos en ]1,3[?(b) Determine si f tiene desarrollo de Fourier en ]1,3[

5. Sea f (x)={

x : 1< x < 3px : 3< x < 6

(a) Es f continua a tramos en ]1,6[?

(b) Determine si f tiene desarrollo de Fourier en ]1,6[

Definicin 1.4: Serie ortogonal

Sea C (a,b) con el producto escalar f g . Sea f C (a,b) .En C (a,b) se tiene definido S = { f1, f2, , fn , } un sistema ortogonal de funciones.La serie ortogonal de f es la serie g que se obtiene con f y S :

g (x)=

n=1cn fn (x) : cn = f (x) fn (x) fn (x)2

Los coeficientes de Fourier son las proyecciones ortogonales cn

Si S est formada por funciones senos o cosenos, la serie ortogonal es conocida como serie deFourier.

Una serie ortogonal es llamada tambin, Serie de Fourier generalizada.



La serie ortogonal no necesariamente converge en todo x ]a,b[

Teorema 1.1

Si f , f C (a,b) entonces, la serie ortogonal g (x)=n=1 cn fn (x) converge en todo x ]a,b[ :

g (x)=

n=1cn fn (x)=

f (x)+ f (x+)2

: x ]a,b[

Si f es continua en x entonces: g (x)= f (x)Como f es continua en x, los lmites laterales son iguales a f (x) :

f (x)+ f (x+)2 =

f (x)+ f (x)2 = f (x)

Si f no es continua en x entonces: g (x)= f (x)+ f (x+)2

Sea C (a,b) con el producto escalar respecto a funcin peso r (x) : f g = ba r (x) f (x) g (x)d xSea S = ( f1, f2, , fn , ) un sistema ortogonal en C (a,b)Sea f una funcin real tal que f , f C (a,b) con la serie ortogonal:

g (x)=

n=1cn fn (x) : cn = g (x) fn (x) fn2

La suma parcial gN (x)=N

n=1cn fn (x) es una aproximacin de f (x) con el menor error cua-

drtico medio (N ) : (N )= 1ba b

ar (x)

[f (x) gN (x)

]2 d x y g (x)= gN (x)+ (N )Teorema:

Sea 1 (N ) el error cuadrtico medio de una aproximacinN

n=1an fn (x) de f (x).

Sea (N ) el error cuadrtico medio de gN (x)=N

n=1cn fn (x) con coeficientes de Fourier.

Entonces, 1 (N ) (N ) . Adems:

(N )=

1

ba

( f 2 Nn=1

c2n fn2

)Decimos: gN es una aproximacin de f en el sentido de mnimos cuadrados.

El sistema(

f1, f2, , fn , )

es completo si y slo si

lmN

p (N )= 0 f 2 =

n=1

(c2n fn2)

Identidad de Parseval:

f 2 = n=1

(c2n fn2)

Se cumple la Desigualdad de Bessel:

n=1

(c2n fn2) f 2

gN converge en media a f : lmN

gN (x) =medi a

f (x) si y slo si lmN

p (N )= 0

No siempre se tiene lmN

p (N )= 0 lo que hace que no se cumpla la identidad de Parseval.



n=1

(c2n fn2) ba r (x)[ f (x)]2 d x lmN cn = 0

Como la serie

n=1

(c2n fn2) es acotada, es convergente y por lo tanto, lmN cn = 0

Dada una aproximacin inicial gN1 de f no satisfactoria. Para obtener una mejor aproxima-cin gN2 no se requiere calcular nuevamente los coeficientes de Fourier generalizados pre-sentes en gN1

Ejemplo 1.3

Sea C (0,4) el espacio de funciones continuas a tramos en [0,4] con f g = 40 f (x) g (x)d xSea S = {sin(pi4 x) , sin(2pi4 x) , sin(3pi4 x) , sin(4pi4 x) , , sin(n pi4 x) , }C (0,4)Sea f (x)= x3 : 0< x < 41. Muestre que S es un sistema ortogonal en C (0,4)

2. Calcule con SciLab:

(a) sin(3pi4 x) sin(5pi4 x)

(b)sin(3pi4 x)2

3. Muestre que f tiene desarrollo de Fourier en C (0,4)

4. Desarrolle f en serie de Fourier usando el sistema S

5. Con SciLab, aproxime f usando los primeros 20 trminos de la serie de Fourier.

6. Evalue f (2.5) mediante la aproximacin anterior.

7. Aproxime f usando los primeros 4 trminos de la serie de Fourier.

8. Grafique las dos aproximaciones y f para observar la precisin alcanzada.

9. Compare las grficas y saque conclusiones.

SOLUCIN:

1. S es un sistema ortogonal en C (0,4) :

(a) n 6=m : sin(n pi4 x) sin(m pi4 x)= 40 sin(n pi4 x)sin(m pi4 x)d x = 0(b)sin(n pi4 x)2 = sin(n pi4 x) sin(n pi4 x)= 40 sin2 (n pi4 x)d x = 2

2. Calcule con la funcin intg()

(a) sin(3pi4 x) sin(5pi4 x)= 40 sin(3pi4 x)sin(5pi4 x)d xdeff("y=f1(x)","y=sin(3*pi/4*x)*sin(5*pi/4*x)");

I1=intg(0,4,f1,1.d-12)

I1 = - 5.551D-17

(b)sin(3pi4 x)2 = 40 sin(3pi4 x)sin(3pi4 x)d xdeff("y=f2(x)","y=(sin(3*pi/4*x))^2");

I2=intg(0,4,f2,1.d-12)

I2 = 2

3. f tiene desarrollo de Fourier en C (0,4) :

f (x)= x3 : 0< x < 4 f (x)= 3x2 : 0< x < 4



Como f y f son continuas en [0,4] entonces f tiene desarrollo de Fourier en [0,4]

4. Desarrollo en serie de Fourier usando el sistema S para f :

f (x)= x3 =

k=1ck sin

(kpi

4x)

: 0< x < 4

ck =x3 sin(k pi4 x)sin(k pi4 x)2 =

1

2

40

x3 sin(kpi

4x)

d x

5. Notemos g a la aproximada de f usando los primeros 20 trminos de la serie de Fourier:

x3 g (x)=20

k=1ck sin

(kpi

4x)

: 0< x < 4

(a) Notando k = k pi4 tenemos: ck =1

2

40

x3 sin(k x)d x g (x)=20

k=1ck sin(k x)

(b) Clculo de k y ck para k = 1,2,3, ,20 :

function y=f(x,w) // w es un parmetro

y=x^3*sin(w*x)

endfunction

// Clculo de los valores caractersticos k y coeficientes de Fourier cklambda=0;

c=0;

for k=1:20

lambda(k)=k*pi/4;

c(k)=intg(0,4,list(f,lambda(k)),1.d-12)/2;

end

// Tabla de valores k y ck[(1:20)',lambda,c]

k lambda(k) c(k) k lambda(k) c(k)

------------------------------ ------------------------------

1. 0.7853982 15.974487 11. 8.6393798 3.6853601

2. 1.5707963 - 17.275685 12. 9.424778 - 3.3809714

3. 2.3561945 12.663845 13. 10.210176 3.122854

4. 3.1415927 - 9.7988979 14. 10.995574 - 2.9012351

5. 3.9269908 7.9505797 15. 11.780972 2.7089053

6. 4.712389 - 6.6759388 16. 12.566371 - 2.5404319

7. 5.4977871 5.7483103 17. 13.351769 2.3916446

8. 6.2831853 - 5.0445809 18. 14.137167 - 2.2592899

9. 7.0685835 4.493097 19. 14.922565 2.1407922

10. 7.8539816 - 4.0495974 20. 15.707963 - 2.0340871

(c) La funcin g es:

function y=g(x)

y=sum(c(:).*sin(lambda(:)*x))

endfunction

6. Evalue f (2.5) mediante la aproximacin anterior:

f (2.5)= (2.5)3 20

k=1ck sin(k (2.5))



disp("serie(2.5) = "+ string(g(2.5))) serie(2.5) = 14.689324

Es decir: f (2.5) 14.6893247. A continuacin una aproximacin usando 4 trminos g4 (x)=4k=1 ck sin(k x)

x3 15.974487sin(0.7853982x)17.275685sin(1.5707963x)+12.663845sin(2.3561945x)+9.7988979sin(3.1415927x)+

// Redefinicin de g(x) para usar 4 trminos

function y=g4(x)

y=sum(c(1:4).*sin(lambda(1:4)*x))

endfunction

8. Los Grficos de las funciones f , g y g4 se presentan en la figura 1.2:

f (x)= x3 g (x)=20

k=1ck sin(k x) g4 (x)=

4k=1

ck sin(k x) : 0 x 4

x=linspace(0,4)';

F=0; G=0; G4=0;

for i=1:100

F(i)=(x(i))^3;

G(i)=g(x(i));

G4(i)=g4(x(i));

end

plot2d(x,[F,G,G4])

legend(['f(x)';'g(x)';'g4(x)'],5);

Figura 1.2: funcin f (x)= x3 y sus series g (x), g4(x)

f(x)g(x)g4(x)

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

9. Note que mientras ms trminos tenga la serie, se tendr una mejor aproximacin para la funcin.



1.2 Sistema de Sturm-Liouville

Definicin 1.5: Sistema de Sturm-Liouville

El Sistema de Sturm-Liouville es una familia de problemas deborde en un intervalo [a,b], que involucran a una ecuacindiferencial lineal homognea que depende de un parmetro :

Usar (SSL) como notacin para Sistema de Sturm-Liouville

(p (x) y

)+ (q (x)+r (x)) y = 01 y (a)+2 y (a)= 01 y (b)+2 y (b)= 0

a x b

En los Sistemas de Sturm-Liouville se tienen las siguientes cualidades:

Las funciones p, q,r son derivables en ]a,b[

La funcin peso o funcin de densidad r cumple: x : a < x < b, r (x) 0r permite definir el producto escalar en C (a,b) : f g =

ba

r (x) f (x) g (x)d x

es un parmetro no negativo que no depende de la variable x.

La solucin de un problema de borde determinada por el parmetro lo notaremos y.

La funcin y es una funcin continua a tramos de clase C2 en [a,b] y es una funcin no nula:

x ]a,b[ , y (x) 6= 0 La solucin del Sistema de Sturm-Liouville, es un sistema ortogonal S formado por las solucio-

nes a los problemas de borde asociadas a una secuencia infinita de parmetros especiales yque se denominan valores caractersticos. Las funciones que pertenecen al sistema ortogonal sedenominan funciones caractersticas del problema.

Cada valor caracterstico define una funcin caracterstica y nica que participa en el sis-tema ortogonal S.

Los valores caractersticos son las soluciones de una ecuacin que tiene como nica variablea y que se conoce como Ecuacin de Ortogonalidad.

La ecuacin de ortogonalidad tiene una infinidad de soluciones, lo que hace que el conjuntode las funciones caractersticas formen un sistema ortogonal que lo noto como S.

PROPIEDADES DEL SISTEMA DE STURM-LIOUVILLE (SSL) [1.6]

1. C (a,b) : Espacio en el que se encuentran las soluciones del (SSL)

2. f g = b

ar (x) f (x) g (x)d x : producto escalar en C (a,b)

3. : 1,2,3, ,n , : valores caractersticos del (SSL). Son las races de la ecuacin deortogonalidad F ()= 0

4. y :(y1, y2, , yn ,

); yi yi : sistema ortogonal que es la solucin del (SSL)

5.yn2 = b

ar (x) y2n (x)d x : n = 1,2,3,


1.3. Series de Fourier en senos o coseno tpicos 9

Procedimiento para obtener los valores caractersticos y el sistema ortogonal

1. Dado un cualquiera, resolviendo la ecuacin diferencial se obtiene la solucin general y:(p (x) y

)+ (q (x)+r (x)) y = 0 y = a1 f1+a2 f22. Se pasa la solucin y por la primera condicin del sistema, accin que elimina una de las dos

constantes de la solucin.(1 y (a)+2 y (a)= 0

) (y = a1 f1+a2 f2) y = a1 f1 (asumiendo que se obtuvo a2 = 0)Se fija la otra constante con el valor de 1, para obtener as, una solucin particular y para esevalor de .

a1 = 1 y = f13. A continuacin, la solucin particular y se pasa por la segunda condicin del sistema, obte-

nindose una ecuacin que se denomina Ecuacin de Ortogonalidad, que tiene como variablejustamente a .(

1 y (b)+2 y (b)= 0) (y = f1) F ()= 0 ecuacin de ortogonalidad.

La solucin de esa ecuacin es una secuencia infinita de valores no negativos y que constitu-yen los valores caractersticos del sistema: :1,2,3, ,n ,

4. Estableciendo la solucin particular y para cada uno de los valores caractersticos, se obtieneel sistema ortogonal: S = (y1 , y2 , y3 , , yn , )Si en S se presenta la funcin constante 0, digamos, y1 = 0, se debe eliminar esta funcin de Sy el valor caracterstico, en este caso 1, de la secuencia de los valores caractersticos.

1.3 Series de Fourier en senos o coseno tpicos

1.3.1 Desarrollo de Fourier en serie de Senos en [0, l]

(SSL) PARA EL DESARROLLO DE FOURIER EN SERIE DE SENOS [1.7]

y +2 y = 0y (0)= 0y (l )= 00 x l

C (0, l )

f g = l0 f (x) g (x)d x : pil ,2

pil ,3

pil , ,n pil ,

y :(sin(pil x)

, sin(2pil x)

, sin(3pil x)

, , sin(n pil x) , )sin(n pil x)2 = l0 sin2 (n pil x)d x = l2Desarrollo de Fourier en serie de Senos

Sea f , f C (0, l ), entonces:

f (x) =

n=1bn sin

(npi

lx)

bn =f sin(n pil x)sin(n pil x)2 =

2

l

l0

f (x)sin(npi

lx)

d x



1.3.2 Desarrollo de Fourier en serie de Cosenos en [0, l]

(SSL) PARA EL DESARROLLO DE FOURIER EN SERIE DE COSENOS [1.8]

y +2 y = 0y (0)= 0y (l )= 00 x l

C (0, l )

f g = l0 f (x) g (x)d x : 0, pil ,2

pil ,3

pil , ,n pil ,

y :(1,cos

(pil x)

,cos(2pil x)

,cos(3pil x)

, ,cos(n pil x) , )12 = l0 d x = l cos(n pil x)2 = l0 cos2 (n pil x)d x = l2

Desarrollo de Fourier en serie de Cosenos

Sea f , f C (0, l ), entonces:

f (x) = c+

n=1an cos

(npi

lx)

c = f 112 =1

l

l0

f (x)d x an =f cos(n pil x)cos(n pil x)2 =

2

l

l0

f (x)cos(npi

lx)

d x

1.3.3 Sistema de Sturm-Liouville para senos o cosenos en [-l, l]

(SSL) para el desarrollo de Fourier en serie de Senos en [-l, l]

y +2 y = 0y (l )= 0y (l )= 0l x l

C (l , l )f g = ll f (x) g (x)d x : pil ,2

pil ,3

pil , ,n pil ,

y :(sin(pil x)

, sin(2pil x)

, sin(3pil x)

, , sin(n pil x) , )sin(n pil x)2 = l(SSL) para el desarrollo de Fourier en serie de Cosenos en [-l, l]

y +2 y = 0y (l )= 0y (l )= 0l x l

C (l , l )f g = ll f (x) g (x)d x : 0, pil ,2

pil ,3

pil , ,n pil ,

y :(1,cos

(pil x)

,cos(2pil x)

,cos(3pil x)

, ,cos(n pil x) , )12 = 2l cos(n pil x)2 = l



Las funciones 1 y cos(n pil x

)son funciones pares en [l , l ] y la funcin sin(n pil x) es una fun-

cin impar en [l , l ] entonces se tiene que 1, cos2 (n pil x) y sin2 (n pil x) son funciones pares en[l , l ], por lo tanto:

12 = ll

d x = 2 l

0d x = 2l

cos(npil

x)2 = l

lcos2

(npi

lx)

d x = 2 l

0cos2

(pil

nx)

d x = l

sin(npil

x)2 = l

lsin2(npi

lx)

d x = 2 l

0sin2(pi

lnx)

d x = l

1.3.4 Desarrollo de Fourier en serie de Senos y Cosenos en [a, b]

(SSL) PARA EL DESARROLLO DE FOURIER EN SERIE DE SENOS Y COSENOS [1.11]

y +2 y = 0

a x b

C (a,b)

f g = ba f (x) g (x)d xl = ba2 : 0, pil ,2

pil ,3

pil , ,n pil ,

y :

1,cos(pil x) ,cos(2pil x) ,cos(3pil x) , ,cos(n pil x) , , sin(pil x)

, sin(2pil x)

, sin(3pil x)

, , sin(n pil x) ,

12 = 2l cos(n pil x)2 = sin(n pil x)2 = lDesarrollo de Fourier en serie de Senos y Cosenos

Sea f , f C (a,b), entonces:

l = ba2

f (x) = c+

n=1

[an cos

(npi

lx)+bn sin

(npi

lx)]

c = f 112 =1

2l

ba

f (x)d x

an =f cos(n pil x)cos(n pil x)2 =

1

l

ba

f (x)cos(npi

lx)

d x


1

l

ba

f (x)sin(npi

lx)

d x



l = ba2 es la traslacin del intervalo [a,b] al intervalo [l , l ]Como el coseno es una funcin peridica, en este caso, de periodo p = ba, entonces b

acos2

(npi

lx)

d x = t+p

tcos2

(npi

lx)

d x

Ya que [l , l ] es un intervalo de longitud p, se tiene:cos(npi

lx)2 = b

acos2

(npi

lx)

d x = ll

cos2(npi

lx)

d x = l

De igual manera,

sin(npil

x)2 = b

asin2(npi

lx)

d x = ll

sin2(npi

lx)

d x = l

y para la funcin peridica 1 :

12 = b

ad x =

ll

d x = 2l

Ejemplo 1.4

Para la funcin f (x)={

x : 2< x < 32 : 3< x < 5 realice:

1. Escriba la funcin escalonada f usando la funcin de Heaviside: Hv(x)={

0 : x < 01 : x 0

2. Serie de Fourier de cosenos.

3. Serie de Fourier de senos.

4. Sea g la serie de cosenos y h la serie de senos truncadas a 20 trminos.

Construya en SciLab las funciones g y h

5. Evale f (4) aproximando con g (4) y h (4)

6. Realice el grafico de la funcin f con cada una de sus aproximaciones g y h

SOLUCIN: Para las series en senos o en cosenos, se requiere extender la funcin f al intervalo [0,5] :

f (x)=

0 : 0< x < 2x : 2< x < 32 : 3< x < 5

f (x)=

0 : 0< x < 21 : 2< x < 30 : 3< x < 5

Como f , f C (0,5) la funcin f tiene desarrollo de Fourier en [0,5]

1. La funcin escalonada f escrita usando la funcin de Heaviside en [0,5] es:

f (x)=

0 : 0< x < 2x : 2< x < 32 : 3< x < 50 : 5< x

= 0Hv(x0)+ (x0)Hv(x2)+ (2x)Hv(x3)+ (02)Hv(x5)



En SciLab se debe definir la funcin de Heaviside, Hv(x)={

0 : x < 01 : x 0 de la siguiente manera:

// Funcin de Heaviside: Transforma funcin escalonada en funcin continua

function h=Hv(x)

h=bool2s(x>=0)

endfunction

En SciLab f tiene la siguiente definicin:

function y=f(x)

y=0*Hv(x-0)+(x-0)*Hv(x-2)+(2-x)*Hv(x-3)+(-2)*Hv(x-5)

endfunction

2. Desarrollo de f en serie de cosenos:

y +2 y = 0y (0)= 0y (5)= 00 x 5

C (0,5)

f g = 50 f (x) g (x)d x : 0, pi5 ,2

pi5 ,3

pi5 , ,n pi5 ,

y :(1,cos

(pi5 x)

,cos(2pi5 x)

,cos(3pi5 x)

, ,cos(n pi5 x) , )12 = 5 cos(n pi5 x)2 = 52

entonces:

f (x)= c+

n=1an cos

(npi

5x)

c = f 112 =15

50 f (x)d x

an = f cos(n pi5 x

)cos(n pi5 x)2 = 25 5

0 f (x)cos(n pi5 x

)d x

La serie de Fourier en cosenos truncada a 20 trminos es la suma g en donde, n = n pi5 :

g (x)= c+

20n=1

an cos(n x) an = 25 5

0f (x)cos(n x)d x c = 15

50

f (x)d x

3. Desarrollo de f en serie de senos:

y +2 y = 0y (0)= 0y (5)= 00 x 5

C (0,5)

f g = 50 f (x) g (x)d x : pi5 ,2

pi5 ,3

pi5 , ,n pi5 ,

y :(sin(pi5 x)

, sin(2pi5 x)

, sin(3pi5 x)

, , sin(n pi5 x) , )sin(n pi5 x)2 = 52entonces:

f (x)=

n=1bn sin

(npi

5x)

bn =f sin(n pi5 x)sin(n pi5 x)2 =

2

5

50

f (x)sin(npi

5x)

d x

La serie de Fourier en senos truncada a 20 trminos es la suma h en donde, n = n pi5 :

h (x)=

20n=1

bn sin(n x) bn = 25 5

0f (x)sin(n x)d x



4. Formacin de las aproximaciones g y h de la funcin f usando SciLab.

(a) A continuacin se procede a obtener los 20 valores caractersticos n , los coeficientes c y an de laaproximacin en cosenos g y los coeficientes bn de la aproximacin en senos h:

function y=fcos(x,w) // funcin a integrar en aky=f(x)*cos(w*x)

endfunction

function y=fsin(x,w) // funcin a integrar en bky=f(x)*sin(w*x)

endfunction

// Clculo de los 20 valores k y coeficientes: c, ak ,bkc=intg(0,5,f,1.d-12)/5

for k=1:20

lambda(k)=k*pi/5;

a(k)=2*intg(0,5,list(fcos,lambda(k)),1.d-12)/5;

b(k)=2*intg(0,5,list(fsin,lambda(k)),1.d-12)/5;

end

// Tabla de valores caractersticos k y coeficientes: c, ak ,bkc

[(1:20)' lambda,a,b]

k lambda(k) a(k) b(k) c = 1.3

--------------------------------------------

1. 0.6283185 - 1.2316607 1.8634185

2. 1.2566371 - 0.5612936 - 1.1919134

3. 1.8849556 0.3068887 - 0.0906230

4. 2.5132741 0.4540960 - 0.1486756

5. 3.1415927 - 0.0810569 0.6366198

6. 3.7699112 - 0.3027307 - 0.2329534

7. 4.3982297 - 0.0199992 - 0.0388384

8. 5.0265482 0.1403234 - 0.2049235

9. 5.6548668 0.0595426 0.2070465

10. 6.2831853 - 9.948D-17 - 0.0636620

11. 6.9115038 - 0.0602171 0.1694017

12. 7.5398224 - 0.0935489 - 0.1572945

13. 8.1681409 0.0384849 - 0.0209130

14. 8.7964594 0.1297417 - 0.0670609

15. 9.424778 - 0.0090063 0.2122066

16. 10.053096 - 0.1135240 - 0.0748104

17. 10.681415 - 0.0163388 - 0.0159923

18. 11.309734 0.0623660 - 0.0956724

19. 11.938052 0.0301318 0.0980747

20. 12.566371 6.514D-16 - 0.0318310

(b) Aproximacin en cosenos g y aproximacin en senos h:

Serie de cosenos truncada a 20 trminos, g :

function y=g(x)

y=c+sum(a(:).*cos(lambda(:)*x))

endfunction

Serie de senos truncada a 20 trminos, h :

function y=h(x)

y=sum(b(:).*sin(lambda(:)*x))

endfunction

5. f (4) aproximando con g (4) y h (4) :



disp("g(4) = " + string(g(4)))

disp("h(4) = " + string(h(4)))

g(4) = 2.0027365

h(4) = 1.9047831

6. Los grficos de las funciones g y h se implementan con el siguiente cdigo y se observan en la figura 1.3:

x=linspace(2,5)';

G=0; H=0;

for i=1:100

y(i)=f(x(i));

G(i)=g(x(i));

H(i)=h(x(i));

end

plot2d(x,[y,G]) // Grfico de f(x), g(x)

plot2d(x,[y,H]) // Grfico de f(x), h(x)

Figura 1.3: Series de Fourier g (x) y h(x)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Serie de cosenos para f(x)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Serie de senos para f(x)

Note que la aproximacin de f en [2,5] con cada una de las series, es mala.

Ejemplo 1.5

Desarrolle la funcin f (x) ={

x : 2< x < 32 : 3< x < 5 en series de Fourier de senos y cosenos y realice

una aproximacin a los 10 primeros valores caractersticos.

SOLUCIN: Para este desarrollo el intervalo a considerar es [2,5] :

f (x)={

x : 2< x < 32 : 3< x < 5 f

(x)={

1 : 2< x < 30 : 3< x < 5

Como f , f C (2,5) la funcin f tiene desarrollo de Fourier en [2,5]

y +2 y = 0

2 x 5

C (2,5)

f g = 52 f (x) g (x)d xl = 522 = 32 : 0, pi3/2 ,2

pi3/2 ,3

pi3/2 , ,n pi3/2 ,

y :

(1,cos

(pi

3/2 x)

,cos(2 pi3/2 x

),cos

(3 pi3/2 x

), ,cos(n pi3/2 x) ,

, sin(pi

3/2 x)

, sin(2 pi3/2 x

), sin(3 pi3/2 x

), , sin(n pi3/2 x) ,

)12 = 2( 32 )= 3 cos(n pi3/2 x)2 = sin(n pi3/2 x)2 = 32



entonces:

f (x)= c+

n=1

[an cos

(npi

3/2x)+bn sin

(npi

3/2x)]

c = f 112 =13

52 f (x)d x

an = f cos(n pi3/2 x

)cos(n pi3/2 x)2 = 25 5

2 f (x)cos(n pi3/2 x

)d x

bn = f sin(n pi3/2 x

)sin(n pi3/2 x)2 = 23 5

2 f (x)sin(n pi3/2 x

)d x

La funcin escalonada f escrita usando la funcin de Heaviside es:

f (x)=

x : 2< x < 32 : 3< x < 50 : 5< x

= xH v (x2)+ (2x) H v (x3)+ (02) H v (x5)

Notando n = n pi3/2 tenemos la serie de Fourier de senos y cosenos truncadas a 10 trminos, g :

g (x)= c+10

n=1an cos(n x)+bn sin(n x) c = 1

5

50

f (x)d x

{an = 25

50 f (x)cos(n x)d x

bn = 25 5

0 f (x)sin(n x)d x

A continuacin se obtienen los primeros 10 valores caractersticos n y los coeficientes c, an , bn

function y=f(x)

y=x.*Hv(x-2)+(2-x).*Hv(x-3)+(-2).*Hv(x-5)

endfunction

function y=fcos(x,w) // funcin a integrar en aky=f(x)*cos(w*x)

endfunction

function y=fsin(x,w) // funcin a integrar en bky=f(x)*sin(w*x)

endfunction

// Clculo de los 10 valores k y coeficientes: c, ak ,bklambda=0; a=0; b=0;

c=intg(2,5,f,1.d-12)/3;

for k=1:10

lambda(k)=k*pi/(3/2);

a(k)=2*intg(2,5,list(fcos,lambda(k)),1.d-12)/3;

b(k)=2*intg(2,5,list(fsin,lambda(k)),1.d-12)/3;

end

// Tabla de valores caractersticos k y coeficientes: c, ak ,bkc

[(1:10)' lambda,a,b]

k lambda(k) a(k) b(k) c = 2.1666667

--------------------------------------------

1. 2.0943951 0.2279727 - 0.1866898

2. 4.1887902 0.0569932 - 0.1920600



3. 6.2831853 - 2.547D-16 - 0.1061033

4. 8.3775804 0.0142483 - 0.0713512

5. 10.471976 0.0091189 - 0.0689268

6. 12.566371 - 1.050D-15 - 0.0530516

7. 14.660766 0.0046525 - 0.0427867

8. 16.755161 0.0035621 - 0.0418453

9. 18.849556 - 3.618D-15 - 0.0353678

10. 20.943951 0.0022797 - 0.0305148

Serie de senos y cosenos truncada a 10 trminos, g :

function y=g(x)

y=c+sum(a(:).*cos(lambda(:)*x) + b(:).*sin(lambda(:)*x))

endfunction

El valor de la serie en x = 2.5 y en x = 4 usando los 10 valores caractersticos, son:

disp("g(2.5) = " + string(g(2.5)))


g(2.5) = 2.5023866

g(4) = 1.9825622

Para generar el grfico de la funcin f y de la suma de Fourier g se ejecuta el procedimiento:

x=linspace(2,5)';

G=0;

for i=1:100

y(i)=f(x(i));

G(i)=g(x(i));

end

plot2d(x,[y,G])

Figura 1.4: f (x)= {x : 2< x < 3; 2 : 3< x < 5}

f(x)g(x)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

En la figura 1.4 se observa que la aproximacin de f en el intervalo [2,5] es bastante buena.



1.4 Otras Series de Fourier en senos o coseno

Ejemplo 1.6

Resuelva el siguiente Sistema de Sturm-Liouville:

y +2 y = 0

y (0)= 0y (5)+3y (5)= 0

0 x 5

SOLUCIN: La solucin general de y +2 y = 0 es y (x)=C1 cos(x)+C2 sin(x)De la condicin y (0)= 0 se tiene: y (0)=C1+C20= 0C1 = 0 entonces, y (x)=C2 sin(x)Para se ha encontrado la familia de funciones y (x). Ya que se requiere una funcin para cada , seleccio-namos de la familia la funcin y (x)= sin(x) para C2 = 1. Ahora, hay que establecer los caractersticospara que las funciones y (x) satisfaga la condicin y (5)+3y (5)= 0 :

y (x)=C2 sin(x)y (5)+3y (5)= 0

} sin(5)+3cos(5)= 0

La ecuacin sin(5)+3cos(5)= 0 se denomina Ecuacin de Ortogonalidad, ya que los valores que constituyen su solucin definen funciones y que van a ser ortogonales entre s.

Sean 1,2, ,n , las soluciones de sin(5)+3cos(5)= 0, entonces el conjunto

S = (sin(1x) ,sin(2x) ,sin(3x) , , sin(n x) , )

es el sistema ortogonal que es solucin del (SSL) .

As, la solucin analtica es:

y +2 y = 0y (0)= 0

y (5)+3y (5)= 00 x 5

C (0,5)

f g = 50 f (x) g (x)d x :1,2,3, ,n , soluciones de: sin(5)+3cos(5)= 0y : (sin(1x) ,sin(2x) ,sin(3x) , , sin(n x) , )sin(n x)2 =

50 sin

2 (n x)d x

(1.1)

Para que la solucin encontrada sea til en el desarrollo de Fourier de alguna funcin, se requiere obteneruna adecuada cantidad de valores caractersticos . A continuacin vamos a determinar los primeros 10valores usando SciLab. Los pasos a seguir son:

1. Graficar la funcin de ortogonalidad: O (L)= sin(5L)+3L cos(5L) en [0,6] .Mirando en la figura 1.5 se establecen los primeros 10 valores c cercanos a los ceros de O (L).

function y=O(L)

y=sin(5*L)+3*L.*cos(5*L)

endfunction

// Grfico de la funcin en [0,6]

L = linspace(0,6)';


1.4. Otras Series de Fourier en senos o coseno 19

plot2d(L,O(L))

Figura 1.5: f ()= sin(5)+3cos(5)

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5 6

c=[0.5, 1, 1.6, 2.2, 2.8, 3.4, 4.1, 4.7, 5.4, 6]'

2. Obtener los valores caractersticos k cercanos a los valores dados en c.

c=[0.5, 1, 1.6, 2.2, 2.8, 3.4, 4.1, 4.7, 5.4, 6]'

lambda=0

lambda=fsolve(c,O)

3. Calcular las normas de las funciones y : sin(n x)2 = 5

0 sin2 (n x)d x

function y=Fort(x,w)

y=(sin(w*x))^2

endfunction

norma=0

for i=1:size(lambda,'r')

norma(i)=intg(0,5,list(Fort,lambda(i)),1.d-12);

end

norma

4. Presentar un listado de los valores caractersticos y sus normas.

[(1:size(lambda,'r'))',lambda,norma]

k lambda(k) norma(k)

------------------------------

1. 0.4431415 3.042031

2. 1.0064435 2.6482747

3. 1.6115882 2.5615386

4. 2.2288062 2.5328169

5. 2.8507136 2.5202322



6. 3.4748787 2.513677

7. 4.1002938 2.5098482

8. 4.7264706 2.5074237

9. 5.3531452 2.5057936

10. 5.9801625 2.504646

En el siguiente ejercicio se realiza un desarrollo de Fourier en el (SSL) resuelto en este ejemplo.

Ejemplo 1.7

Desarrolle la funcin f (x)={

x : 2< x < 32 : 3< x < 5 en serie de Fourier del sistema ortogonal de senos

entregado por el Sistema de Sturm-Liouville:

y +2 y = 0

y (0)= 0y (5)+3y (5)= 0

0 x 5Adems evale el valor aproximado de f (2.5) y f (4).

SOLUCIN: Para realizar el desarrollo de Fourier, se requiere extender la funcin f al intervalo [0,5] :

f (x)=

0 : 0< x < 2x : 2< x < 32 : 3< x < 5

f (x)=

0 : 0< x < 21 : 2< x < 30 : 3< x < 5

La funcin f (x) escrita usando la funcin de Heaviside es:

function y=f(x)

y=x.*Hv(x-2)+(2-x).*Hv(x-3)+(-2).*Hv(x-5)

endfunction

Como f , f C (0,5) la funcin f tiene desarrollo de Fourier en [0,5] con el sistema ortogonal (1.1).Entonces:

f (x)=

n=1

Bn sin(n x) , Bn = f sin(n x)sin(n x)2= 1sin(n x)2

50

f (x)sin(n x)d x

Con los resultados del ejemplo anterior, calculemos los coeficientes Bn con el siguiente procedimiento:

// Funcin requerida para el clculo de los coeficientes de Fourier

function y=fsin(x,w)

y=f(x)*sin(w*x)

endfunction

// Clculo de los coeficientes Bkn=size(lambda,'r'); // cantidad de valores caractersticos

for k=1:n

B(k)=intg(0,5,list(fsin,lambda(k)),1.d-12)/norma(k);

end



// Listado de valores caracteristicos k y los coeficientes Bk[(1:n)',lambda,B]

k lambda(k) B(k) k lambda(k) B(k)

-------------------------------- ------------------------------

1. 0.4431415 1.9811947 6. 3.4748787 0.1718735

2. 1.0064435 - 0.4760476 7. 4.1002938 - 0.1725465

3. 1.6115882 - 0.5512452 8. 4.7264706 - 0.1586608

4. 2.2288062 - 0.1965288 9. 5.3531452 0.0452786

5. 2.8507136 0.4186191 10. 5.9801625 0.0588424

A continuacin tenemos la aproximacin g (x)=10

k=1 Bk sin(k x) de f con 10 trminos:

function y=g(x)

y=sum(B.*sin(lambda*x))

endfunction

El valor aproximado de f (2.5) y f (4) con los primeros 10 trminos del desarrollo son:

disp("g(2.5) = " + string(g(2.5)))


g(2.5) = 2.7864297

g(4) = 1.9774211

El grfico de las funciones f (x) y g (x) en [2,5] se miran en la figura 1.6:

x=linspace(0,5)';

for i=1:100

F(i)=f(x(i));

G(i)=g(x(i));

end

plot2d(x,[F,G])

Figura 1.6: Desarrollo en sin(k x) de f (x)= {x : 2< x < 3; 2 : 3< x < 5}

f(x)g(x)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0



Ejemplo 1.8

Desarrolle la funcin f (x) = x2 : 0 < x < 3 en Serie de Fourier del sistema ortogonal entregado

por el Sistema de Sturm-Liouville

y +2 y = 0

y (0)= 0y (3)= 00 x 3

SOLUCIN: Vamos a proceder a resolver el (SSL) para obtener el sistema ortogonal.

La solucin general de y +2 y = 0 y su derivada son:

y (x) = C1 cos(x)+C2 sin(x)y (x) = C1sin(x)+C2cos(x)

De la condicin y (0)= 0 se tiene:

: y (0)=C2= 0C2 = 0

entonces,

y (x)=C1 cos(x)

Como para cada valor caracterstico se requiere fijar su funcin propia y, hacemos C1 = 1 y tenemos quey (x)= cos(x) es solucin de

{y +2 y = 0

y (0)= 0

Para obtener los valores caractersticos se requiere que y cumpla con la segunda condicin y (3)= 0 :

y (x)= cos(x)y (3)= 0

} cos(3)= 0= pi

6(2k1) : k = 1,2,3,

cos(3)= 0 es la Ecuacin de Ortogonalidad, ya que los valores que constituyen su solucin definenfunciones y que van a ser ortogonales entre s, con el producto escalar f g =

30 f (x) g (x)d x

Entonces el conjunto

S =(cos(pi

6x)

,cos(3pi

6x)

,cos(5pi

6x)

, ,cos((2k1) pi

6x)

, )

es el sistema ortogonal que es solucin del (SSL). Adems:cos((2k1) pi6

x)2 = 3

0cos2

((2k1) pi

6x)

d x = 32

Resumiendo los clculos tenemos:

y +2 y = 0

y (0)= 0y (3)= 00 x 3

C (0,3)

f g = 30 f (x) g (x)d x : pi6 ,3

pi6 ,5

pi6 , , pi6 (2k1) , : k = 1,2,3,

y :(cos(pi6 x)

,cos(3pi6 x)

,cos(5pi6 x)

, ,cos((2k1) pi6 x) , )cos((2k1) pi6 x)2 = 32A continuacin procedemos a desarrollar la serie.



La funcin f y su derivada f son:

f (x) = x2 : 0< x < 3f (x) = 2x : 0< x < 3

Como las funciones f , f C (0,3), la funcin f tiene desarrollo de Fourier en [0,3] :

f (x)=1

ck cos((2k1) pi

6x)

ck =x2 cos((2k1) pi6 x)cos((2k1) pi6 x)2 =

1

3/2

30

x2 cos((2k1) pi

6x)

d x

Obtengamos una aproximacin de f con 10 sumandos que notaremos g :

g (x)=101

ck cos((2k1) pi

6x)

Para obtener g con SciLab apliquemos el siguiente procedimiento:

1. Clculo de los coeficientes ck y los valores k :

deff('y=f(x)',"y=x^2");

n=10; // g(x) con n=10 trminos

// Funcin requerida para el clculo de los coeficientes de Fourier

function y=fcos(x,w)

y=f(x)*cos(w*x)

endfunction

// Clculo de los valores k y los coeficientes ckfor k=1:n

lambda(k)=(2*k-1)*pi/6;

c(k)=intg(0,3,list(fcos,lambda(k)),1.d-12)/(3/2);

end

// Lista de valores caractersticos k y coeficientes de Fourier ck[(1:n)',lambda,c]

k lambda(k) c(k) k lambda(k) c(k)

------------------------------- ------------------------------

1. 0.5235988 2.170714 6. 5.7595865 - 1.0347629

2. 1.5707963 - 3.4757023 7. 6.8067841 0.8772457

3. 2.6179939 2.2175236 8. 7.8539816 - 0.7611916

4. 3.6651914 - 1.6099423 9. 8.9011792 0.6721774

5. 4.712389 1.2604982 10. 9.9483767 - 0.6017593

2. g es la serie en cosenos de f truncada a n = 10 :

function y=g(x) // x es nmero real y no vector

y=sum(c.*cos(lambda*x))

endfunction

3. Grfico de las funciones f y g en la figura 1.7:



x=linspace(0,3)';

F=0; G=0;

for i=1:100

F(i)=f(x(i));

G(i)=g(x(i));

end

plot2d(x,[F,G])

Figura 1.7: f (x)= x2 y su serie de Fourier g (x)

f(x)g(x)

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

EJERCICIO 1.1:

1. Evale las siguientes integrales:

(a) 5

0 sin(npi

5 x)

sin(mpi

5 x)

d x

(b) 5

0 cos(npi

5 x)

cos(mpi

5 x)

d x

(c) 5

0 sin(npi

5 x)

cos(mpi

5 x)

d x

(d) 5

0 sin2(npi

5 x)

d x

(e) 5

0 cos2(npi

5 x)

d x

(f) 5

0 sin(npi

5 x)

d x

(g) 5

0 cos(npi

5 x)

d x

(h) 55 sin

(npi5 x)

sin(mpi

5 x)

d x

(i) 55 cos

(npi5 x)

cos(mpi

5 x)

d x

(j) 55 sin

(npi5 x)

cos(mpi

5 x)

d x

(k) 55 sin

2(npi

5 x)

d x

(l) 55 cos

2(npi

5 x)

d x

2. Usando los clculos del punto anterior, calcule:



(a) En C (0,5) : sin(npi

5 x) sin(mpi5 x)

(b) En C (0,5) : cos(npi

5 x) cos(mpi5 x)

(c) En C (0,5) : sin(npi

5 x) cos(mpi5 x)

(d) En C (0,5) :sin(npi5 x)2

(e) En C (0,5) :cos(npi5 x)2

(f) En C (0,5) : 1 sin(npi5 x)

(g) En C (0,5) : 1 cos(npi5 x)(h) En C (5,5) : sin(npi5 x) sin(mpi5 x)(i) En C (5,5) : cos(npi5 x) cos(mpi5 x)(j) En C (5,5) : sin(npi5 x) cos(mpi5 x)

(k) En C (5,5) : sin(npi5 x)2(l) En C (5,5) : cos(npi5 x)2

3. Resuelva los siguientes (SSL) y para f (x) = x : 0 x 5 realice en cada uno los desarrollos deFourier:

(a)

y +2 y = 0y (0)= 0y (5)= 00 x 5

(b)

y +2 y = 0y (0)= 0y (5)= 00 x 5

(c)

y +2 y = 0y (0)= 0y (5)= 00 x 5

(d)

y +2 y = 0y (0)= 0y (5)= 00 x 5

(e)

y +2 y = 0y (0)= 0

y (5)+3y (5)= 00 x 5



1.5 Demostracin de algunas propiedades

Sea C (a,b) con producto escalar respecto a la funcin peso r (x) : f g = ba r (x) f (x) g (x)d xSea S = { f1, f2, , fn , } un sistema ortogonal en C (a,b)Sea f C (a,b). Sean cn = f fn fn2 los coeficientes de Fourier.

Ejemplo 1.9

1. Si

1 an fn converge uniforme a f en ]a,b[ entonces los an son los coeficientes de Fourier.

2. Si hN (x)=N1

an fn : b

a r (x)[

f (x)hN (x)]2 d x = f 2+ N

1

([(an cn)2 c2n

] fn2)3. Si gN (x)=

N1

cn fn : b

a r (x)[

f (x) gN (x)]2 d x = f 2 N

1

(c2n fn2)

4. Sea 1 (x)= 1ba b

a r (x)[

f (x)hN (x)]2 d x, (x)= 1ba ba r (x)[ f (x) gN (x)]2 d x

Entonces: (x)= 1ba( f 2 N

1c2n fn2) y 1 (x) (x)

5. Desigualdad de Bessel:1

(c2n fn2) f 2

6. Si es sistema ortogonal es normalizado, entonces: lmncn = 0

SOLUCIN:

1.

1 an fn =cu f . Integrando(

1 an fn)

r fk = r f fk en ]a,b[ tenemos: ba

(1

an fn (x)

)r (x) fk (x)d x =

ba

( n=1

anr fn fk

)=

CU

n=1

(an

ba

r (x) fn (x) fk (x)d x

)=

n=1

an(

fn fk)

={

ak fk2 : k = n0 : k 6= n b

ar (x) f (x) fk (x)d x = f fk

Por lo tanto, (k = n) : f fk = ak fk2 ak = f fk fk2 = ck

2. r[

f hN]2 = r [ f 22 f hN +h2N ]= r f 22r f N

1an fn +

(pr

N1

an fn

)2Integrando: I (hN ) :=

ba r (x)

[f (x)hN (x)

]2 d xI (hN ) =

f 22 N1

an(

f fn)+ N

1a2n fn2 = f 22 N

1ancn

fn2+ N1

a2n fn2

= f 2+ N1

(2ancn +a2n) fn2 = f 2+ N1

[(an cn)2 c2n

] fn23. I

(gN)= ba r (x)[ f (x) gN (x)]2 d x = f 2+ N

1

[(cn cn)2 c2n

] fn2 = f 2 N1

c2n fn2

4. (x)= 1ba b

a r (x)[

f (x) gN (x)]2 d x = 1ba ( f 2 N

1c2n fn2)

1 (x)= 1ba I (hN )= 1ba( f 2+ N

1

[(an cn)2 c2n

] fn2) 1ba ( f 2 N1

c2n fn2)= (x)


1.5. Demostracin de algunas propiedades 27

5. 0 ba r (x)[ f (x) gN (x)]2 d x = f 2 N1

c2n fn2, entonces:

N1

c2n fn2 f 2 lm

NN1

c2n fn2 lm

N f 2

1c2n fn2 f 2

6. Como f C (a,b) existe f 2. 1

c2n f 2

1c2n es convergente y lmnc

2n = 0 lmncn = 0

Ejemplo 1.10

Dado

(p (x) y

)+ (q (x)+r (x)) y = 01 y (a)+2 y (a)= 01 y (b)+2 y (b)= 0

a x b

C (a,b) con f g = ba r (x) f (x) g (x)Sean 1, 2 valores propios distintos.

Sean y1 , y2 sus funciones propias

Entonces: y1 y2 = 0

SOLUCIN: Notemos: y1 := y1 , y2 := y2 , entonces y1 y2 = b

a r (x) y1 (x) y2 (x)d x

Tenemos:

(py 1)+ (q +1r ) y1 = 0 : 1

1 y1 (a)+2 y 1 (a)= 01 y1 (b)+2 y 1 (b)= 0

}: 2

y

(py 2)+ (q +2r ) y2 = 0 : 3

1 y2 (a)+2 y 2 (a)= 01 y2 (b)+2 y 2 (b)= 0

}: 4

Realizando: (1) y2 (2) y1 :(py 1) y2+ (q +1r ) y1 y2 = 0(

py 2) y1+ (q +2r ) y1 y2 = 0 restando:

(12)r y1 y2 =(py 2) y1 (py 1) y2 = (p y 2+py 2 ) y1 (p y 1+py 1 ) y2

= p (y 2 y1 y 1 y2)+p (y 2 y1 y 1 y2)= [p (y 2 y1 y 1 y2)] b

ar y1 y2d x = 1

12

ba

[p(y 2 y1 y 1 y2

)]d x = 112

[p(y 2 y1 y 1 y2

)]ba

= 112

p (b)[y 2 (b) y1 (b) y 1 (b) y2 (b)] A

p (a)[y 2 (a) y1 (a) y 1 (a) y2 (a)] B

Trabajando en (2) y (4) :

1 y1 (a)+2 y 1 (a)= 01 y1 (b)+2 y 1 (b)= 0

}

1 y2 (a)+2 y 2 (a)= 01 y2 (b)+2 y 2 (b)= 0

} {

y 1 (a)=12 y1 (a)y 1 (b)=

12

y1 (b){y 2 (a)=12 y2 (a)y 2 (b)=

12

y2 (b)

A : y 2 (b) y1 (b) y 1 (b) y2 (b)=12

y2 (b) y1 (b)+12

y1 (b) y2 (b)= 0

B : y 2 (a) y1 (a) y 1 (a) y2 (a)=1

2y2 (a) y1 (a)+ 1

2y1 (a) y2 (a)= 0

Sustituyendo en el producto escalar:

y1 y2 = b

ar (x) y1 (x) y2 (x)d x = 1

12(p (b) [0]p (a) [0])= 0



Ejemplo 1.11: Convergencia de la serie de Fourier

Dado C (l , l ) con producto escalar f g = ll f (x) g (x)d xSea f C (l , l ). Sea g (x)= c+n=1 [an cos(n pil x)+bn sin(n pil x)] la serie de Fourier de f1. Si g converge uniformemente a f en [l , l ] entonces:

c = 12l

ll

f (x)d x an = 1l

ll

f (x)cos(npi

lx)

d x bn = 1l

ll

f (x)sin(npi

lx)

d x

2. Si g converge uniformemente a f en [l , l ] entonces la identidad de Parseval es:

1

l

ll

f 2 (x)d x = 2c2+

n=1

(a2n +b2n

)3. Si los coeficientes de g son de Fourier y se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces

la serie es convergente en [l , l ] :Condiciones de Dirichlet

Si f , f C (l , l )f peridica de perodo p = 2l

La serie g es convergente en [l , l ],g (x)= 12

(f (x)+ f (x+)) : x [l , l ]

Adems, se cumple la identidad de Parseval.

SOLUCIN:

1. Sabemos que si la serie converge uniformemente, sus coeficientes son de Fourier:

c = f 112 =1

2l

ll

f (x)d x

an =f cos(n pil x)cos(n pil x)2 =

1

l

ll

f (x)cos(n pil x

)d x


1

l

ll

f (x)sin(n pil x

)d x

2. f 2 = l

lf 2 (x)d x =

ll

f (x) f (x)d x :

f 2 = ll

f (x)

(c+

n=1

[an cos

(npi

lx)+bn sin

(npi

lx)])

d x

= c ll

f (x)d x+ ll

n=1

[an f (x)cos

(npi

lx)+bn f (x)sin

(npi

lx)]

d x aplicando cu :

= c ll

f (x)d x+

n=1

[an

ll

f (x)cos(npi

lx)

d x+bn ll

f (x)sin(npi

lx)

d x

]= 2lc2+

n=1

[l a2n + l b2n

]= l (2c2+ n=1

[a2n +b2n

])Por lo tanto:

1

l

f 2 = 2c2+ n=1

(a2n +b2n

)3. Para una demostracin vea los ejercicios 2.18, 2.19, 2.20, 2.21, 2.22, 2.23 del tema Convergence of

Fourier Series del texto Theory and Problems of Fourier Analysis de Murray R. Spiegel de la coleccinShaum's Outline Series, Mc Graw Hill.


Series OrtogonalesFunciones continuas a tramosSistema de Sturm-LiouvilleSeries de Fourier en senos o coseno tpicosDesarrollo de Fourier en serie de Senos en [0, l]Desarrollo de Fourier en serie de Cosenos en [0, l]Sistema de Sturm-Liouville para senos o cosenos en [-l, l]Desarrollo de Fourier en serie de Senos y Cosenos en [a, b]

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