Definición, propiedades, productos usuales e inusuales y ejemplos.

Producto interno Definición

El producto interno, interior o punto, es una aplicación externa bilineal definida sobre un espacio vectorial, cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o número.

Sea (V, K, +, •) un espacio vectorial, un producto interno sobre V, es una función que asigna a cada par de vectores u, vϵ V, un escalar (u/v) ϵ K.

Notación

Sean los vectores u, v:

u=(u1, u2, u3,…., un)

v=( v1, v2, v3,…., vn)

u/v=( u1 /v1) + ( u2 /v2) + ( u3 /v3) +……+ ( un /vn)

Productos internos usuales e inusuales

Producto interno usual en Rn

Sea (Rn, R, +, •) ^ u, v ϵ Rn

u=(u1, u2, u3,…., un)

v=( v1, v2, v3,…., vn)

Producto interno usual en Pn(x)

Sea (Pn(x), R, +, •) ^p(x), q(x) ϵ Pn(x)

p(x)= a0 + a1x +….+ anxn

q(x)= b0 + b1x +….+ bnxn

Producto interno inusual en Pn(x)

p=(1)

Propiedades Conmutativa

Asociativa

Distributiva

.

.

Producto de matricesPor definición tenemos que el producto de matrices es igual a:

Donde Tr es la traza de la matriz, la traza es la suma de los elementos de la diagonal de una matriz.

Ejemplos:

Obtenemos la transpuesta de B y multiplicamos las matrices

Sumamos los elementos de la diagonal de la matriz resultante y obtenemos el resultado.

Por tanto el resultado es:

DEFINICION:

NOTACION:

Teoremas (propiedades de la norma de un vector)

Ejemplo de la norma de un vector en un espacio vectorial en R³

Teoría y evaluación

Vectores ortogonales Definición

Sea (V, K, +, •) un espacio vectorial definido con producto interno, dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.

Sean u, v ϵ V son vectores ortogonales si se cumple que:

Cos θ =

u/ v

=0ǁuǁǁv

ǁ

Cuando se trabaja con vectores en R2 y R3 cuando los vectores son ortogonales se dice que son perpendiculares entre sí, ejemplos:

Sean:

u= (1, 4, 0) u/v = (1)(-8)+(4)(2)+(0)(3)

v=(-8, 2, 3) u/v = -8+8+0

u/v = 0

u= (3, 3) u/v= (3)(-1)+(3)(1)

v= (-1, 1) u/v=-3+3

u/v= 0

Nota:

El vector nulo se lo considera perpendicular para cualquier vector del subespacio al que pertenece.

De forma analítica tenemos que:

0v /v ϵ V 0V /v = 0

Ejemplos:

Sean:

0V= (0, 0, 0) u/v = (0)(-2)+(0)(7)+(0)(1)

v=(-2, 7, 1) u/v = 0+0+0

u/v = 0

Proyección ortogonal Definición

Sean u, v ϵ V entonces existe un vector w es la proyección ortogonal de v sobre u si solamente si se cumple que (v-

w)/w=0

w u

v - w v

Pasos para calcular w

Tenemos que w ǁ u Tenemos que w ┴ v-w

w=α u (v-w)/w=0

Reemplazando tenemos que:

(v- α u)/ α u =0

Aplicando las propiedades del producto interno tenemos:

α (v/u) - α α(u/u) =0

CONJUNTOS ORTOGONALES: Un conjunto devectores es llamado conjunto ortogonal sicada uno de sus elementos son vectores ortogonales(esto quiere decir que son perpendiculares entre si o quesu producto interno es igual a 0)

Sea (V, K, +, *) un espacio vectorial DEFINIDO CONPRODUCTO INTERNO, T es un subconjunto de V.

T es un conjunto ortogonal si y solamente si:

Para todo vector que pertenezca a T y sean distintos tieneque cumplir que su producto interno sea 0

(v/u)=0

EJEMPLO:

Sea T un subconjunto de R³

T= (1,0,0); (0,2,0); (0,0,-1)

Primeramente T es un sub espacio vectorial de R³

Sus elementos o vectores son distintos

Al realizar su respectivo producto punto entre ellos nos da 0Esto se puede evidenciar claramente porque son vectores perpendiculares

Por lo tanto T es un conjunto ORTOGONAL

Además, y muy importante

Todo conjunto ORTOGONAL es L.I (Linealmente Independiente) porque si:

T={ u1, u2, u3,…,un } ortogonal

T1= { α1u1,α2u2,…,αnun } ortogonal

Siendo α un escalar

Al multiplicar por cualquier escalar el conjunto sigue siendo ortogonal

Si consideramos el espacio vectorial

(R3, K, +, *) podremos encontrar infinidad de bases todas ellas formadas por 3 vectores, pero una de las bases de este espacio vectorial Bc = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} tiene una propiedad importante: cualquier vector del espacio vectorial verifica que sus componentes coinciden con sus coordenadas respecto de la base canónica.

Este tipo de bases se llaman Bases Canónicas.

Definición

Un conjunto de vectores no nulos, de un espacio vectorial V, se llama ortogonal si son dos a dos. Es decir todos sus vectores son ortogonales.

Una base ortogonal es una base formada por un conjunto ortogonal.

Sea el conjunto T subconjunto de R2.

T = {(-1,2),(2,1)} ={i,j} es base ortogonal de R2.

Definición

Sea (V,K,+,*) un espacio vectorial con producto interno, T c V, entonces si T es conjunto ortonormal y es base de V, entonces T es base ortonormal de V.

Diremos que T es una base ortonormal de V si:

a) T es una base ortogonal.

b) Todos los vectores son unitarios.

T = {(1,0),(0,1)} = {i,j} es base ortonormal de R2.

Definición