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4.1Jrgen Roth Didaktik der Analysis
Didaktik der AnalysisModul 12a: Fachdidaktische Bereiche
Jrgen Roth

Inhalt
Didaktik der Analysis
0 Organisatorisches
1 Ziele und Inhalte
2 Folgen und Vollstndigkeit in
3 Ableitungsbegriff
4 Integralbegriff

Kapitel 4: Integralbegriff
Didaktik der Analysis
Greefrath et al. (2016). Didaktik der Analysis. Heidelberg: Springer Spektrum, S. 238-262
Danckwerts, R.; Vogel, D. (2006). Analysis verstndlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akad. Verlag
Bchter, A.; Henn, H.-W. (2010). Elementare Analysis. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag

Integral-Quiz
Anleitung
Reihen Sie die Kennbuchstaben der richtigen Aussagen
aneinander.
Es ergibt sich ein Lsungsspruch auf sprachlich eher migem
Niveau.
Wichtig: Bei jeder Frage sind mehrere richtige Antworten mglich.
Aufgabe 1:
Was bedeutet die Aussage ist auf [, ] integrierbar genau?
E ist im Intervall [, ] differenzierbar.
K ist im Intervall [, ] stetig.
O hat im Intervall [, ] eine Stammfunktion.
M Obersummengrenzwert = Untersummengrenzwert
Klaus-Dieter Arndt (1995). Integral-Quiz. In: Die etwas andere Aufgabe. mathematik lehren 72, S. 67

Integral-Quiz
Aufgabe 2:
Unter welchen Bedingungen gilt:
A Es ist und () auf [, ].
Z Es ist > und () auf [, ].
D Es ist < und () auf [, ].
T Es ist > und () auf [, ].
Aufgabe 3:
=
( sein integrierbar.)
H Falls () 0 auf [, ] ist.
E Falls = ist.
I Falls eine ungerade Funktion und = ist.
T Falls eine gerade Funktion und = ist.

Integral-Quiz
Aufgabe 4:
= 0
( sein integrierbar; 0)
A Falls = 2 ist.
Z Falls =1
ist.
S Falls () 0 ist.
M Falls eine gerade Funktion ist.
Aufgabe 5:
= 2
0
( sein integrierbar und > 0.)
T Falls () 0 auf [, ] ist.
G Falls auf [, ] eine gerade Funktion ist.
O Falls auf [, ] eine ungerade Funktion ist.
E Falls = auf [, ] ist.

Integral-Quiz
Aufgabe 6:
Berechnen Sie
, und geben Sie an:
[ ] ist der Minuend des Ergebnisses.
[ ] ist der Subtrahend des Ergebnisses.
Lsungsspruch
MATHE IST GEIL
Au
fga
be
1
Au
fga
be
2
Au
fga
be
3
Au
fga
be
4
Au
fga
be
5
Au
fga
be
6

Grundvorstellungen
zum Integralbegriff
Orientierter Flcheninhalt
Rekonstruktion der Wirkung
bzw. des Gesamteffekts
Mittelung Kummulation

Entwicklung des
Integralbegriffszunehm
ende A
bstr
aktion
Rekonstruieren
allgemeine Rekonstruktion
(Hauptsatz)
(konkrete) Rekonstruktion
Mitteln
Mittelwert einer Funktion
(diskretes)
arithmetisches Mittel
analytisch-exakt
geometrisch-naivProduktsummen
Integralals Grenzwert von Produktsummen

Inhalte
4 Integralbegriff
4.1 Integrieren als Bestimmen eines
orientierten Flcheninhalts
4.2 Integrieren als Rekonstruieren
4.3 Integrieren als Mitteln
4.4 Integrieren als Kummulieren
4.4 Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung (HDI)

4.1 Integrieren als Bestimmen eines
orientierten Flcheninhalts

TIMSS-Aufgabe
ist der Inhalt der Flche, die vom Graphen der Funktion ,
von der -Achse und der Geraden = eingeschlossen wird.
ist der Inhalt der Flche, die vom Graphen der Funktion ,
von der -Achse und der Geraden = eingeschlossen wird.
Es ist < und 0 < < .
Der Wert des Integrals
ist dann:
a) +
b)
c)
d)
e)1
2 +
Baumert et al. (Hrsg.) (1999). Testaufgaben zu TIMSS/III. Mathematisch-naturwissenschaftliche Grundbildung und voruniversitre
Mathematik und Physik der Abschlussklassen der Sekundarstufe II (Population 3). Berlin: Max-Planck-Institut fr Bildungsforschung.

Wert des Integrals

Orientierter Flcheninhalt und
Kummulation
geogebra/GV_Integral_als_Kumulation.ggb

Komplementaritt von
Flcheninhalt und Integral
naiver Standpunkt
theoretischer
(analytischer) Standpunkt
Flcheninhalt Integral

4.2 Integrieren als Rekonstruieren

Integrieren als
Rekonstruieren
Badewannenbeispiel
In eine leere Badewanne wird 1 Minute lang Wasser eingelassen, dann die Wasserzufuhr gestoppt und
gleichzeitig der Abfluss geffnet. Nach weiteren
1,5 Minuten wird der Abfluss wieder geschlossen.
Wie lsst sich aus der Zuflussgeschwindigkeit auf die
Wassermenge in der Wanne zum Zeitpunkt schlieen?
geogebra/flaechenbilanz_3.ggbgeogebra/Becken_fuellen.ggb

Integrieren als
Rekonstruieren
Badewannenbeispiel
Zuflussphase
10 Litermin
min = 10 Liter
Also: = 10 fr 0 1
Nach einer Minute sind
10 Litermin
1 min = 10 Liter
in der Wanne.
10 und 5 1 sind Rechteckinhalte. ist die Summe vorzeichenbehafteter Rechteckinhalte, also ein orientierter Flcheninhalt.
Abflussphase
10 5 1 Liter
= 10 5 1 fr 1 < 2,5
Nach zweieinhalb Minuten sind also
10 5 2,5 1 Liter = 2,5 Literin der Wanne.
= 10 fr 0 110 5 ( 1) fr 1 < 2,52,5 fr > 2,5

Integrieren als
Rekonstruieren
= 10 fr 0 110 5 ( 1) fr 1 < 2,52,5 fr > 2,5

Integrieren als
Rekonstruieren
=
1
2 10 fr 0 1
1
2 10 5 ( 1) fr > 1

Integrieren als
Rekonstruieren
Rckblick
Aus der Zuflussgeschwindigkeit des Wasser zu
jedem Zeitpunkt wurde die Wassermenge ()zu jedem Zeitpunkt rekonstruiert.
Die Zuflussgeschwindigkeit ist die Ableitung ()(momentane nderungsrate der Wassermenge
in der Wanne).
Aus der nderungsrate wurde die Funktion wiederhergestellt. [wiederherstellen = integrare (lat.)]
Vorteile des Beispiels
Fokussiert auf das Grundverstndnis
Integrieren als Rekonstruieren.
Untersttzt die Vorstellung
Integral als orientierter Flcheninhalt.

Nichtlinearer Zufluss
Zuflussgeschwindigkeit () in Liter/Minute
Zeit in Minuten

Idee
Die Zuflussgeschwindigkeit ist im
Kleinen, d. h. bei gengend kleinen
Zeitintervallen , + nahezu konstant.
In jedem Zeitintervall , + kann man wie oben vorgehen.
Was trgt im Zeitintervall , + zum Gesamteffekt bei?
Da die momentane nderungsrate von ist, gilt fr kleine in guter Nherung
also .
Dies ist der Zuwachs der Wassermenge im Zeitintervall , geometrisch zu deuten als kleiner (orientierter) Rechteckinhalt.

Zur Rekonstruktion der Wasser-
menge zu einem beliebigen Zeit-
punkt sind die Zuwchse lngs aller Teilintervalle aufzusummie-
ren, in die das Intervall [0, ]zerlegt gedacht war.
Geometrisch gedeutet, ist der
rekonstruierte Wert () die Summe aller dieser kleinen
(orientierten) Rechteckinhalte.
Diese unterscheidet sich bei gengend kleiner Streifenbreite
beliebig wenig von dem (orientierten) Inhalt der Flche unter .
Grundverstndnis
Integrieren als Rekonstruieren sttzt sich auf die
Vorstellungen vom Kumulieren und vom Gesamteffekt.
geogebra/flaechenbilanz_6.ggb

Integralfunktion
Bemerkung
Der bergang zum
orientierten Inhalt ist
nicht daran gebunden,

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