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4.1Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Didaktik der AlgebraModul 5

Jürgen Roth


Inhalt

Didaktik der Algebra

1 Ziele und Inhalte

2 Terme

3 Funktionen

4 Gleichungen


Kapitel 4: GleichungenDidaktik der Algebra


Inhalt

Kapitel 4: Gleichungen

4.1 Aspekte beim Umgang mit Gleichungen

4.2 Methoden zur Lösung von Gleichungen

4.3 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

4.4 Gleichungen in der Sekundarstufe I


4.1 Aspekte beim Umgangmit Gleichungen



Gleichungen als Werkzeuge und Objekte

Gleichungen als Werkzeugezum Formulieren von Beziehungen zwischen mathematischen Objekten (z. B. Zahlen, Größen, Funktionen),

zum Ausdrücken von Eigenschaften,

zum Formulieren und Lösen von Problemen.

Gleichungen als ObjekteUntersuchung von Gleichungstypen

Existenz und Bestimmung von Lösungen

LogikGleichungen ohne Variable → AussagenGleichungen mit Variablen → Aussageformen

2 + 3 = 55 kg + 2 kg = 7 kg

sin 𝑥𝑥 2 + cos 𝑥𝑥 2 = 1𝑎𝑎 � 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑐𝑐


Aussagen2 + 3 = 5 (wahr)2 + 3 = 6 (falsch)

Begriffe rund um Gleichungen

Begriffe werden benötigt, um über Gleichungen reden,Regeln formulieren und Ergebnisse interpretieren

zu können.

Beschreibung von Gleichungen:VariableTermGleichungAussage

Formulierung, die entweder wahr oder falsch ist.

AussageformFormulierung, die beim Einsetzeneine Aussage ergibt.

Aussageformen in ℝ

2 + 𝑥𝑥 = 5 (erfüllbar)

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 (allgemeingültig)

𝑥𝑥 + 1 = 𝑥𝑥 + 2 (unerfüllbar)


Begriffe rund um Gleichungen

Beschreibung von LösungenGrundmengeLösungLösungsmenge

Beschreibung des Lösungsverhaltens (bzgl. einer bestimmten Grundmenge 𝔾𝔾!)

erfüllbare Aussageformunerfüllbare Aussageformallgemeingültige Aussageform

Beschreibung von UmformungsartenÄquivalenzumformungGewinnumformungVerlustumformung

Vorrat für Einsetzungen.Element der Grundmenge, das beim Einsetzen zu einer wahren Aussage führt.

Menge aller Lösungen.

𝕃𝕃 ≠ {}𝕃𝕃 = {}𝕃𝕃 = 𝔾𝔾

Gewinnumformung𝑥𝑥 + 1 = 𝑥𝑥 − 1 ⇒ 𝕃𝕃 = 3

𝑥𝑥 + 1 = 𝑥𝑥 − 1 | ²x + 1 = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 1 | − (𝒙𝒙 + 𝟏𝟏)

𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 = 0𝑥𝑥 � 𝑥𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝕃𝕃 = 0; 3

Verlustumformung𝑥𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝕃𝕃 = {−2; 0}𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 = 0 | ∶ 𝒙𝒙𝑥𝑥 + 2 = 0 ⇒ 𝕃𝕃 = {−2}


Umgang mit Gleichungen im Unterricht

Gleichungen vernetzt lernenGleichungen nicht isoliert behandelnEinbinden in zentrale Themen wie Zahlen, Funktionen, Größen Geometrie und Sachbezüge

Einsichtig mit Gleichungen umgehen

Überbetonung des Übens führt leicht zu mechanischem Umformen ohne Einsicht.Deshalb: Umformungen begründen und Lösungen kritisch kontrollieren (lassen)

Näherungslösungen für Gleichungen akzeptieren

Für alle praktischen Zwecke ausreichend genauAuch bei sehr komplizierten Gleichungen anwendbarDie Regel bei Problemlösungen in Wirtschaft und Technik


4.2 Methoden zur Lösung von Gleichungen



Methoden zur Lösung von Gleichungen

𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝒙𝒙

𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝟐𝟐𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝟐𝟐

𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟓𝟓 = 𝟎𝟎

Lösungsstrategien für einfache Gleichungen

Streifenmethode

systematisches Probieren

graphische Lösungsverfahren

numerisch-iterative Lösungsverfahren

Gegenoperatoren

Äquivalenzumformungen

Lösungsformeln anwenden


Lösungsstrategien für einfache Gleichungen

26 + 𝑥𝑥 = 107

Verwandte Gleichung mit gleicher Struktur betrachten

2 + 3 = 5

26 + 81 = 107

26 + 𝑥𝑥 = 107

26 + 𝑥𝑥 = 26 + 81

also

𝑥𝑥 = 81

26 + 𝑥𝑥 = 107

107 − 26 = 𝑥𝑥

81 = 𝑥𝑥

𝑥𝑥 = 81

2 + 𝑥𝑥 = 5

Zerlegung Umkehraufgabe

also also


Aus der Grundschule:Umkehr- und Tauschaufgaben

26 + 𝑥𝑥 = 107 𝑥𝑥 + 26 = 107Tauschaufgabe

𝑥𝑥 = 107 − 26

Um

kehr

aufg

abe

26 = 107 − 𝑥𝑥 Tauschaufgabe

Um

kehr

aufg

abe


Streifenmethode für lineare Gleichungen

𝒙𝒙 𝟕𝟕𝒙𝒙 𝒙𝒙

𝟕𝟕

𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟏𝟏

𝟗𝟗

𝒙𝒙 = 𝟗𝟗 ∶ 𝟑𝟑 = 𝟑𝟑


Streifenmethode für lineare Gleichungen

𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟕𝟕

𝟕𝟕𝒙𝒙 𝒙𝒙

𝟒𝟒

𝒙𝒙 = 𝟒𝟒 ∶ 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐

𝟑𝟑𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝒙𝒙


Systematisches Probieren

𝒙𝒙3 + 𝒙𝒙2 − 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝒙𝒙 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏

0 −11 1

0,5 −0,6250,8 0,1250,7 −0,167

0,75 −0,0156250,77 0,0494330,76 0,016576

0,755 0,00039390,753 −0,0060330,754 −0,002823


Graphische Lösungsverfahren

𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟓𝟓 = 𝟎𝟎𝑥𝑥-Koordinaten der Schnitt-punkte des zum (Funktions-) Term 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 5 gehörenden Graphen mit der 𝑥𝑥-Achse

𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟓𝟓𝑥𝑥-Koordinaten der Schnitt-punkte der zu den (Funktions-) Termen 𝑥𝑥2 und –2𝑥𝑥 + 5gehörenden Graphen

𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟓𝟓 = 𝟎𝟎


Graphische LösungsverfahrenAbramovich (2014): One-Variable Equations and Inequalities: Computational Experiment and Formal Demonstration.

In: Computational Experiment Approach to Advanced Secondary Mathematics Curriculum. Dordrecht: Springer, p. 25 -36

𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟓𝟓𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 − (𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟓𝟓) = 𝟎𝟎

sin 2𝑥𝑥 + 3 ≥𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 5

Auch Ungleichungen lassen sich graphisch lösen!


Numerisch-iterative Lösungsverfahren

Algorithmus

1. Wertetabelle für ein Intervall berechnen

2. Teilintervall auswählen, das eine Lösung enthält

3. Teilintervall spreizen und neue Wertetabelle berechnen

4. Wiederholen von 2. und 3. bis die Lösung genau genug ist

𝟏𝟏,𝟓𝟓𝒙𝒙 = 𝟑𝟑 ⋅ 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝒙𝒙

x 1,5x 3·cos(x) T1(x) –T2(x)

-6 0,0878 2,8805 -2,7927

-5 0,1317 0,8510 -0,7193

-4 0,1975 -1,9609 2,1585

-3 0,2963 -2,9700 3,2663

-2 0,4444 -1,2484 1,6929

-1 0,6667 1,6209 -0,9542

0 1,0000 3,0000 -2,0000

1 1,5000 1,6209 -0,1209

2 2,2500 -1,2484 3,4984

3 3,3750 -2,9700 6,3450

4 5,0625 -1,9609 7,0234


Numerisch-iterative Lösungsverfahren

x 1,5x 3·cos(x) T1(x) –T2(x)

-2 0,4444 -1,2484 1,6929

-1,9 0,4628 -0,9699 1,4327

-1,8 0,4820 -0,6816 1,1636

-1,7 0,5019 -0,3865 0,8885

-1,6 0,5227 -0,0876 0,6103

-1,5 0,5443 0,2122 0,3321

-1,4 0,5669 0,5099 0,0570

-1,3 0,5903 0,8025 -0,2122

-1,2 0,6147 1,0871 -0,4723

-1,1 0,6402 1,3608 -0,7206

-1 0,6667 1,6209 -0,9542

x 1,5x 3·cos(x) T1(x) –T2(x)

-1,4 0,5669 0,5099 0,0570

-1,39 0,5692 0,5394 0,0297

-1,38 0,5715 0,5689 0,0025

-1,37 0,5738 0,5983 -0,0246

-1,36 0,5761 0,6277 -0,0516

-1,35 0,5785 0,6570 -0,0786

-1,34 0,5808 0,6863 -0,1054

-1,33 0,5832 0,7154 -0,1323

-1,32 0,5855 0,7445 -0,1590

-1,31 0,5879 0,7736 -0,1856

-1,3 0,5903 0,8025 -0,2122


Numerisch-iterative Lösungsverfahren …

liefern im Prinzip beliebig viele Dezimalstellen einer Lösung.

liefern Lösungen nicht als geschlossene Terme, sondern als abbrechende Dezimalbrüche vorgegebener Länge.

liefern nur Lösungen aus einem endlichen Startintervall.

funktionieren nicht, wenn die Gleichung von Parametern abhängt.

beantworten nicht die Frage nach allen Lösungen einer Gl.

genügen für die meisten praktischen Anwendungen.

werden interaktiv vom Benutzer gesteuert.Rechenpraxis: Automatisch ablaufende Verfahren.Probleme: Startintervall, Konvergenzgeschwindigkeit, …

Ein Startintervall für diese Verfahren kann wie beim graphischen Lösen von Gleichung bestimmt werden.


Gegenoperatoren

𝒙𝒙

𝒙𝒙 · 𝟑𝟑 + 𝟒𝟒 = 𝟏𝟏𝟗𝟗

⋅ 𝟑𝟑 +𝟒𝟒

−𝟒𝟒∶ 𝟑𝟑

𝒙𝒙 · 𝟑𝟑 𝒙𝒙 · 𝟑𝟑 + 𝟒𝟒

𝟏𝟏𝟗𝟗𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓

= =

𝒙𝒙 = 𝟓𝟓


Gegenoperatoren →Äquivalenzumformung

𝑥𝑥 · 3 + 4 = 19

𝑥𝑥 · 3 = 15

𝑥𝑥 = 5

−𝟒𝟒−𝟒𝟒

:𝟑𝟑:𝟑𝟑


Äquivalenzumformungenim Waagemodell

1kg𝒙𝒙𝒙𝒙

2kg

1kg

𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟑𝟑

𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟑𝟑

1 kg auf beiden Seiten wegnehmen.



𝒙𝒙𝒙𝒙

2kg

𝟐𝟐𝒙𝒙 = 𝟐𝟐

𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟑𝟑


𝟐𝟐𝒙𝒙 = 𝟐𝟐

Massen auf beiden Seiten halbieren.


1kg


𝒙𝒙

𝒙𝒙 = 𝟏𝟏

𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟑𝟑


𝟐𝟐𝒙𝒙 = 𝟐𝟐

Massen auf beiden Seiten halbieren.

𝒙𝒙 = 𝟏𝟏



Waagemodelllässt sich in einfachen Fällen gut zur Veran-schaulichung nutzen.ist, wie jedes Modell, nur begrenzt nutzbar! (vgl. etwa negative Zahlen, irrationale Zahlen, schwierig bei Bruchzahlen, Division, Multiplikation, …)


Äquivalenzumformungenim Modell der Zahlengeraden

𝒙𝒙

−𝟏𝟏𝟐𝟐

𝟖𝟖𝒙𝒙

−𝟒𝟒

𝟖𝟖𝒙𝒙 − 𝟑𝟑

−𝟕𝟕

𝟖𝟖𝒙𝒙 − 𝟑𝟑 = −𝟕𝟕

0

+ 𝟑𝟑

+ 𝟑𝟑

∶ 𝟖𝟖

∶ 𝟖𝟖

𝒙𝒙 = −𝟏𝟏𝟐𝟐


Äquivalenzumformungen

𝟖𝟖𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟕𝟕

Zusammenfassen:

𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟕𝟕

Beidseitig 𝟕𝟕 subtrahieren:

𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟕𝟕 | − 𝟕𝟕

𝟓𝟓𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟎𝟎

Beidseitig durch 𝟓𝟓 dividieren:

𝟓𝟓𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 | ∶ 𝟓𝟓

𝒙𝒙 = 𝟐𝟐


ÄquivalenzumformungenUmformungsregeln

𝒂𝒂 = 𝒃𝒃 ist äquivalent zu 𝒂𝒂 + 𝒄𝒄 = 𝒃𝒃 + 𝒄𝒄

𝒂𝒂 = 𝒃𝒃 ist äquivalent zu 𝒂𝒂 − 𝒄𝒄 = 𝒃𝒃 − 𝒄𝒄

𝒂𝒂 = 𝒃𝒃 ist für 𝑐𝑐 ≠ 0 äquivalent zu 𝒂𝒂 · 𝒄𝒄 = 𝒃𝒃 · 𝒄𝒄

𝒂𝒂 = 𝒃𝒃 ist für 𝑐𝑐 ≠ 0 äquivalent zu 𝒂𝒂 ∶ 𝒄𝒄 = 𝒃𝒃 ∶ 𝒄𝒄


Anwenden von Lösungsformeln

2

2

2

0

42

oder

42

ax bx c

b b acxa

b b acxa

+ + =

− + −=

− − −=

2

2

2

0

2 2oder

2 2

x px q

p px q

p px q

+ + =

= − + −

= − − −

-1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

-1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

-1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

2 4 0b ac− =2 4 0b ac− < 2 4 0b ac− >

2

02p q − <

2

02p q − =

2

02p q − >

keineLösung

eineLösung

zweiLösungen


Quadratische GleichungenLösungsformel

Grundsätzliches:Jede quadratische Gleichung lässt sich in die Form

𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0mit 𝑎𝑎 ≠ 0 (Sonst ist die Gleichung nicht quadratisch.) schreiben.

Die Gleichung muss so umgeformt werden, dass nur ein quadratisches „𝑥𝑥-Glied“ vorkommt, aber kein zusätzliches lineares.

Idee: Anwendung der „Plusformel“/1. Binomischen Formel

Um die binomische Formel von rechts nach links anwenden zu können, muss der Summenterm quadratisch ergänzt werden.



Satz von Vieta: Bei einer quadratische Gleichung 𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑞𝑞 = 0

gilt für die Parameter 𝑝𝑝, 𝑞𝑞 und die Lösungen 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 der Gleichung:𝑝𝑝 = − 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 und 𝑞𝑞 = 𝑥𝑥1 � 𝑥𝑥2

Beispiel:𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6 = 0


4.3 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen



Günstigster Handy-Tarif

Tarif 1: Geringe Grundgebühr Monatliche Grundgebühr: 𝑔𝑔1 = 1,00 €Preis pro Einheit, „Minutenpreis“: 𝑚𝑚1 = 0,15 €Telefoneinheiten (Minuten): 𝑥𝑥Monatliche Kosten: 𝑘𝑘1(𝑥𝑥) = 𝑚𝑚1 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔1

Tarif 2: Geringer Minutenpreis Monatliche Grundgebühr: 𝑔𝑔2 = 2,50 €Preis pro Einheit, „Minutenpreis“: 𝑚𝑚2 = 0,05 €Telefoneinheiten (Minuten): 𝑥𝑥Monatliche Kosten: 𝑘𝑘2(𝑥𝑥) = 𝑚𝑚2 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔2

Ab wie vielen Telefoneinheiten ist Tarif 2 günstiger?



Gesuchtist zunächst ein Paar (𝑥𝑥|𝑦𝑦), das die beiden Gleichungen

𝑘𝑘1:𝑦𝑦 = 0,15𝑥𝑥 + 1 (I)

𝑘𝑘2:𝑦𝑦 = 0,05𝑥𝑥 + 2,5 (II)

gleichzeitig erfüllt, also eine Lösung für dieses lineare Gleichungssystem darstellt.

Lösungsverfahren (Sek. I)für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen (Unbekannten):

GleichsetzungsverfahrenAdditionsverfahrenEinsetzungsverfahren

ZielEliminieren einer Variable, um zu einer Gleichung mit einer Unbekannten zu kommen, die einfach gelöst werden kann.



(I) 𝑦𝑦 = 0,15 � 𝑥𝑥 + 1(II) 𝑦𝑦 = 0,05 � 𝑥𝑥 + 2,5

GleichsetzungsverfahrenGleichsetzen von (I) und (II) liefert:

0,15 � 𝑥𝑥 + 1 = 0,05 � 𝑥𝑥 + 2,50,1 � 𝑥𝑥 = 1,5

𝑥𝑥 = 15

Einsetzen in (II) liefert:

𝑦𝑦 = 0,05 � 15 + 2,5= 0,75 + 2,5= 3,25

Die Lösung ist das geordnete Paar (15|3,25).

AdditionsverfahrenSubtraktion der Gleichung (II) von der Gleichung (I), also (I) – (II), liefert:

0 = 0,1 � 𝑥𝑥 − 1,51,5 = 0,1 � 𝑥𝑥15 = 𝑥𝑥


𝑦𝑦 = 0,05 � 15 + 2,5= 0,75 + 2,5= 3,25


|−0,05 � 𝑥𝑥 |−1|� 10

|+1,5|� 10



(I) 𝑦𝑦 = 0,15 � 𝑥𝑥 + 1(II) 𝑦𝑦 = 0,05 � 𝑥𝑥 + 2,5

EinsetzungsverfahrenAuflösen der Gleichung (II) nach x liefert:

𝑦𝑦 = 0,05 � 𝑥𝑥 + 2,5

𝑦𝑦 − 2,5 = 5100

� 𝑥𝑥

20 � (𝑦𝑦 − 2,5) = 𝑥𝑥

Einsetzen in (I) liefert:

𝑦𝑦 = 15100 � 20 � 𝑦𝑦 − 2,5 + 1

𝑦𝑦 = 3 � 𝑦𝑦 − 2,5 + 1𝑦𝑦 = 3𝑦𝑦 − 7,5 + 1𝑦𝑦 = 3𝑦𝑦 − 6,5

6,5 = 2𝑦𝑦3,25 = 𝑦𝑦


3,25 = 0,05 � 𝑥𝑥 + 2,5

0,75 = 5100

� 𝑥𝑥

15 = 𝑥𝑥


|−2,5

�: 5100

|−𝑦𝑦 |+6,5

|: 2

|−2,5

�: 5100


Lösungen linearer Gleichungssysteme

SatzGegeben sei ein lineares Gleichungssystem:

𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1𝑦𝑦 = 𝑐𝑐1

𝑎𝑎2𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2𝑦𝑦 = 𝑐𝑐2

Die zugehörige Lösungsmenge ist entwederleer, ein geordnetes Zahlenpaar (𝑥𝑥|𝑦𝑦) oder eine unendliche Menge von Zahlenpaaren.

BemerkungGraphisch interpretiert entsprechen diese drei Fälle genau den möglichen Lagebeziehungen der beiden durch 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1𝑦𝑦 = 𝑐𝑐1und 𝑎𝑎2𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2𝑦𝑦 = 𝑐𝑐2 gegebenen Geraden.



Die Lösungsmenge istleer, wenn die Geraden parallel sind.



Die Lösungsmenge istein geordnetes Paar (ein Punkt), wenn die Geraden sich schneiden.



Die Lösungsmenge isteine unendliche Menge von geordneten Zahlenpaaren (alle Punkte der Geraden), wenn die Geraden identisch sind.


4.4 Gleichungen in der Sekundarstufe I



Gleichungen in der Sekundarstufe I

OrientierungsstufeEinfache Gleichungen (mit einer Variablen) lösen

7./8. KlasseWertetabellen zu Termen; Grundmenge (ggf. Definitionsmenge)Äquivalenz von Termen und von Gleichungen bzw. Ungleichungen; Grundmenge (ggf. Definitionsmenge)Gleichungen und Ungleichungen über verschiedenen Grundmengen, Lösungsmenge, IntervalleÄquivalenzumformungen (ÄU) bei Gleichungen und Ungleichungen der Form 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐Sachaufgaben (SA) (auch offene Aufgaben, Aufgabenvariation)Proportionalität: fehlende Größen berechnen, SA, grafische Lös.



7./8. Klasse (Fortsetzung)lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer VariablenTextaufgaben; Lösen ggf. mithilfe einer Text-Term-Tabelle∧-Verknüpfung bzw. ∨-Verknüpfung von linearen Gleichungen bzw. Ungleichungeneinfache Bruchgleichungen mit einer VariablenRelation und Umkehrrelation: Zusammenhang zwischen deren Gleichungen bzw. Ungleichungen; UmkehrfunktionFunktionen mit Gleichungen folgender Form:

𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 bzw. 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑡𝑡lineare Ungleichungen mit zwei Variableneinfache Bruchgleichungen mit einer Variablen

𝑇𝑇1(𝑥𝑥)𝑇𝑇2(𝑥𝑥)

=𝑇𝑇3(𝑥𝑥)𝑇𝑇4(𝑥𝑥)



9./10. KlasseSysteme linearer Gleichungen mit zwei Variablen:

grafische und algebraische Lösung (Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren);auch Aufgaben mit geometrischen Problemstellungen algebraisch lösen

Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen:grafische Lösung

quadratische Gleichungen: grafische Lösung, Lösen mit quadratischer Ergänzung, Lösungsformel; Diskriminante und Lösbarkeitquadratische Gleichungen mit Parametern; Satz des Vietamit Anwendungen; quadratische Ungleichungen

einfache WurzelgleichungenBeachtung der Definitionsmenge; Äquivalenzumformungen



9./10. Klasse (Fortsetzung)Berechnen der Koordinaten der Schnittpunkte von Funktionsgraphen

(maximal quadratische Bestimmungsgleichungen mit maximal einem Parameter)

Tangentialprobleme und DiskriminanteGleichungen der Form

𝑎𝑎 · 𝑏𝑏𝑥𝑥+𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 = 0Trigonometrische Gleichungen

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