didaktik der grundschulmathematik ii - landau€¦ · didaktik der grundschulmathematik ii ws...

Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.1 Jürgen Roth

Didaktik der Grundschulmathematik II

Didaktik der MathematikUniversität Würzburg


Inhaltsverzeichnis

Kapitel 4: Didaktik der Geometrie 4.34.1 Geometrie in der GS – Was und warum? 4.44.2 Raumvorstellung – Räumliches Denken 4.134.3 Begriffsbildung in der Geometrie 4.474.4 Geometrische Kompetenzen bei

Grundschülern 4.644.5 Räumliche Objekte 4.744.6 Ebene Figuren 4.1074.7 Symmetrie 4.1244.8 Messen 4.1434.9 Zeichnen 4.163


Kapitel 4:Didaktik der Geometrie


4.1 Geometrie in der GS Was und warum?


Was ist Geometrie?

Geometrie ist die Wissenschaft vom uns umgebenden Raum. • Geometrie ist das älteste mathematische Teilgebiet. Viele

Jahrhunderte lang war Mathematik im wesentlichen Geometrie.• Zunächst war Geometrie einen (reinen) Naturwissenschaft.• Die alten Griechen entdeckten die Macht des Denkens:

Man kann durch reines Denken Erkenntnisse erzielen!• Das Denken folgt gewissen Regeln, den Gesetzen der Logik:

Wenn die Voraussetzungen eines logischen Schlusses gegeben sind, dann gilt automatisch auch die Folgerung.

• Die Griechen entdeckten die Logik und damit auch die Möglichkeit der Mathematik.

• Im Mittelalter gab es den Ausdruck „more geometrico” („nach geometrischer Art”). Damit wurden Argumentationsketten bezeichnet, die streng logisch aufgebaut waren.


Grundideen der (Elementar-)Geometrie

• Geometrische Formen und ihre Konstruktion im uns umgebenden dreidimensionalen Raum

• Operationen mit Formen

• Koordinaten

• Messen

• Muster / Strukturen

• Formen in der Umwelt und ihre Beziehungen mit Hilfe der Geometrie beschreiben

• Geometrisieren

• Begründen und Beweisen


Warum Geometrie in der Grundschule?

• Fast jedes Denken, jede kognitive Kompetenz bedient sich visueller geometrischer Stützen.

• Fähigkeit, zur Umwelterschließung � vorwiegend geometrische

Struktur des Raumes

• Vorbereitung auf die Geometrie in den Sekundarstufen

• …


Lehrplan Geometrie 1. Klasse

Raumerfahrung und -vorstellung• Lagebeziehungen am eigenen

Körper erfahren und erfassen.• Die Lage von Gegenständen

im Raum erfassen und beschreiben.

• Beziehungen von Gegenstän-den – zum eigenen Körper– zueinander

• Wege im Raum realisieren und beschreiben

• Begriffe der räumlichen Lage sicher gebrauchenoben – unten, über – unter – auf, hinten – vorne, hinter – vor, links (von) –rechts (von), zwischen – neben

Flächenformen• entdecken• untersuchen, beschreiben,

benennen und herstellen• nach selbst gefundenen und

vorgegebenen Kriterien vergleichen und klassifizieren

• Fachbegriffe:– Viereck, Rechteck, Quadrat– Dreieck– Kreis– *Drachen, Raute

• Figuren, Muster, Parkette und Ornamente aus geometrischen Grundformen zusammen-setzen und beschreiben



Raumerfahrung und -vorstellung• Die Lage von Gegenständen

im Raum erfassen und beschreiben– von verschiedenen

Standorten aus– aus der Vorstellung

• Wege im Raum beschreiben• Begriffe der räumlichen Lage

sicher gebrauchen

Flächen- und Körperformen• Mit Flächenformen handeln• Körperformen in der Umwelt

entdecken• Mit Körpermodellen handeln

Körpermodelle herstellen• Körperformen untersuchen,

beschreiben, benennen, nach selbst gefundenen und vorgegebenen Kriterien vergleichen und klassifizieren

• Fachbegriffe:– Würfel, Quader, Kugel– Ecke, Kante, Fläche


Lehrplan Geometrie 3. KlasseFlächen- und Körperformen• Körperformen untersuchen,

beschreiben, vergleichen, klassifizieren und benennen und daran bekannte Flächenformen entdecken

• Körperformen in der Umwelt entdecken

• Der Würfel als geometrische Körperform

• Modelle herstellen• Eigenschaften an Modellen

erschließen (Ecken, Kanten, quadratische Flächen)

• Zusammenhang zwischen Netzen und Würfel konkret und in der Vorstellung erkunden

• Fachbegriffe:– Zylinder, Pyramide, Kegel– rechter Winkel

Raumerfahrung und -vorstellung• Grundrisse und Lagepläne lesen• Wege in Plänen beschreiben• Lageskizzen erstellenAchsensymmetrie• Eigenschaften symmetrischer

Figuren entdecken• Symmetrische Figuren

entdecken, erstellen, zeichnen und beschreiben

• Symmetrien in der Umwelt auffinden

• Fachbegriffe:– Symmetrieachse, – symmetrisch, deckungsgleich

Geometrische Figuren zeichnen• Strecken exakt messen und

zeichnen• Freihändig zeichnen



Raumerfahrung und -vorstellung• Karten, Lagepläne und Netzpläne lesen, Wege beschreiben• Einen einfachen Grundriss, Lageplan maßstabsgetreu erstellen• Maßstabsgetreue Grundrisszeichnungen, Pläne und Karten lesenFlächen- und Körperformen• Körperformen

– konkrete oder räumlich dargestellte Gegenstände und Körper von verschiedenen Seiten betrachten

– Flächendarstellungen von Gegenständen und Körpern dem Standort des Betrachters zuordnen

• Der Quader als geometrische Körperform– Modelle herstellen– Eigenschaften an Modellen erschließen; Würfel als

besonderen Quader erkennen (Ecken; Kanten; rechteckige bzw. quadratische Flächen)


Lehrplan Geometrie 4. Klasse– aus der Abwicklung von Quadermodellen Netze erschließen;

verschiedene Netze finden– Quadernetze konkret und in der Vorstellung erproben– Kippbewegungen am Quader– Mit Einheitswürfeln bauen

• frei und nach Plan bauen• Körperinhalte handelnd und in der Vorstellung vergleichen

Symmetrie • Achsensymmetrische Figuren zeichnen • Einfache Figuren nach Vorschrift verschieben bzw. drehen• Eigenschaften der Drehsymmetrie entdecken• Drehsymmetrie in der Umwelt auffinden Geometrische Figuren zeichnen• Linien und Strecken zeichnen, abmessen• Mit Zeichendreieck und Zirkel zeichnen• Freihändig zeichnen


4.2 Raumvorstellung –Räumliches Denken


Raumvorstellung ist ein Intelligenzfaktor

Thurstone: Es gibt sieben Primärfaktoren der Intelligenz

1. Sprachverständnis

2. Wortflüssigkeit

3. Rechenfertigkeit

4. Wahrnehmungstempo

5. Räumliches Vorstellungsvermögen

6. Merkfähigkeit

7. Logisches Denken


Komponenten des Räumlichen Denkens

Rechts-Links-Unterscheidung

Räumliche Orientierung

Personbefindet

sichinnerhalb

Räumliche WahrnehmungVorstellungsfähigkeit

von Rotationen

Räumliche BeziehungenVeranschaulichungPersonbefindet

sichaußerhalb

Statische DenkvorgängeRäumliche Relationen

am Objekt veränderlich;Relation der Person

zum Objekt veränderlich

DynamischeDenkvorgänge

Räumliche Relationenam Objekt veränderlich

Standpunkt der

Probanten

Maier (1999)


Räumliche Wahrnehmung

Fähigkeit die Senkrechte und Waagrechte identifizieren, also räumliche Beziehungen in Bezug auf den eigenen Körper erfassen zu können.

Beispiel: Wasseroberfläche


Veranschaulichung (räuml. Visualisierung)

Fähigkeit, sich gedanklich Aktivitäten wie Verschieben, Falten und Schneiden von räumlichen Objekten oder Objektteilen vorstellen zu können.

Beispiel:Welche Buchstaben des Schrägbilds entsprechen den Ziffern im Netz?

n vorsteellen zu könnnen.

staben dees ntsprechen Netz?


Mentale Rotation

Fähigkeit, sich Rotationen von zwei- oder drei-dimensionalen Objekten vorstellen zu können.

Beispiel:Welche der vierFiguren (a – d)stimmen mit deroben links überein?


Räumliche Beziehungen

Fähigkeit räumliche Konfigurationen von mehreren Objekten oder Objektteilen zu erfassen.

Beispiel: Drei der vier Schrägbilder zeigen den selben Würfel. Welches Bild zeigt einen anderen?


Räumliche Orientierung

Fähigkeit, den Standort der eigenen Person, also die Perspektive unter der etwas betrachtet wird, zu wechseln.

Beispiel: Ein Urlauber ist mit dem Boot von Westen kommend die Küste entlang-gefahren. In welcher Reihenfolge hat er die sechs Fotos aufgenommen?


Visuelle Wahrnehmung

• Visuomotorische Koordination

• Figur-Grund-Diskriminierung

• Wahrnehmungskonstanz

• Wahrnehmung räumlicher Beziehungen

• Wahrnehmung der Raumlage

• Visuelle Unterscheidung

• Visuelles Gedächtnis


Visuomotorische Koordination

Fähigkeit das Sehen mit dem eigenen Körper oder Teilen des eigenen Körpers zu koordinieren.

Beispiel:Zeichne nach!


Figur-Grund-Diskriminierung

Fähigkeit aus einem komplexen Hintergrund bzw. einer Gesamtfigur eingebettete Teilfiguren zu erkennen und zu isolieren.Diese Fähigkeit benötigt man u. a. um sich auf einer Schulbuchseite zurechtzufinden oder einen Gegenstand aus einem Regal zu holen.

Beispiel: Färbe das Rechteck!


Wahrnehmungskonstanz

Fähigkeit Figuren in verschiedenen Größen, Anord-nungen, räumlichen Lagen oder Färbungen wieder zu erkennen und von anderen Figuren zu unterscheiden.

Beispiel:


Wahrnehmung räumlicher Beziehungen

Fähigkeit Beziehungen zwischen räumlichen Objekten zu erkennen und zu beschreiben.

Beispiel: Wo steht der Quader?


Wahrnehmung der Raumlage

Fähigkeit zum Erkennen der Raum-Lage-Beziehung eines Gegenstandes zum Standpunkt der Person, die diesen Gegenstand wahrnimmt.

Beispiele:1. Drei-Berge-Versuch von Piaget2.


Visuelle Unterscheidung

Fähigkeit nicht nur Gemeinsamkeiten sondern auch Unterschiede zwischen Objekten zu erkennen.

Beispiele:1. Sortieren und Klassifizieren geometrischer Körper2.


Visuelles Gedächtnis

Fähigkeit charakteristische Merkmale eines nicht mehr präsenten Objektes vorstellungsmäßig auf andere präsente Objekte zu beziehen.

Beispiele:1. Würfelförmigen

Baustein suchen.2.

felförmigenfelförmigen stein suchenn.


Kopfgeometrie

Eine Möglichkeit zur Förderung des räumlichenVorstellungsvermögens ist die Kopfgeometrie.

– Kopfgeometrie ist hilfsmittelfreie Geometrie,sie kommt ohne gegenständliche Modelle oderBilder aus.

– Nur Vorstellungen über geometrische Objekteund sprachlich formuliertes Wissen über siebilden das „Handwerkszeug” zum Lösen kopf-geometrischer Aufgaben.

– Die Aufgaben werden mündlich oder schriftlich(evtl. auch bildhaft oder handelnd) gestellt,aber nur im Kopf gelöst (ohne Papier & Blei-stift, Computer …)

– Die Ergebnisse werden mündlich oder schrift-lich dargestellt.

Senftleben_Erkundungen_zur_Kopfgeometrie


Kopfgeometrie � Kopfrechnen

Kopfrechnen und Kopfgeometrie unterscheiden sich wesentlichen voneinander!

– Kopfrechnen:An elementaren Aufgaben werden Algorithmenabgearbeitet und automatisiert.

– Kopfgeometrie:Das Lösen geometrischer Aufgaben im Kopferfordert die Fähigkeit sich geometrischeGebilde vorstellen zu können, ihre Lage, ihreGröße und ihre Form zu variieren, sie zukombinieren und dabei das Wissen über sieanzuwenden.


Kopfgeometrie besteht aus drei Phasen

1. Phase: Vorstellung der Fragestellung• Sprache

• Sprache + Gestik

• Sprache + Bild bzw. Modell

2. Phase: Räumliches Vorstellen, Operieren im Kopf

3. Phase: Präsentation der Ergebnisse• Sprache

• Sprache + Gestik

• Sprache + Bild bzw. Modell

In Abhängigkeit von den Mitteln, die in der 1. und 3. Phase erlaubt sind ergibt sich einen Abfolge des Schwierigkeitsgrades.


Kopfgeometrie muss vorbereitet werden!

• PIAGET (1971): Das Denken basiert auf verinnerlichte Handlungen.

• Empirische Untersuchungen belegen: Der handlungsorientierteund experimentelle Einsatz von Modellen ist für die Entwicklungder Raumvorstellung im Geometrieunterricht äußerst wichtig ist.

• Durch sinnliche Wahrnehmungen entstehen Vorstellungsbilder,die auch ohne das Vorhandensein der realen Objekte verfügbarsind und gedanklich verändert werden können.

• Die Schüler sollten durch operative Aktivitäten auf niedrigererStufe (z. B. Arbeiten mit konkreten Materialien, Anfertigen vonZeichnungen, … ) ausreichend Gelegenheit zur Ausbildung undStärkung ihrer räumlichen Vorstellungen bekommen.

• Bei Vorstellungsproblemen sollte, auf die handelnde Ebene mitMaterialen zurückgegriffen werden.


Papierfalten (im Kopf)

Wie sieht das auf-gefaltete Papier nun aus?

Quadratfalten

einschneidenfalten



Wie sieht das aufgefaltete Papier jeweils anschließend aus?



Lösungen


Methodische Anmerkungen

• Abstufung des Schwierigkeitsrades(bei „Faltaufgaben“ z. B. zunächst nur einmal falten)

• Bei Schwierigkeiten evtl. Kontrollinformationen anbieten von denen nur eine richtig ist.


Methodische Anmerkungen

• Kontrollfragen der Lehrerin– Wie viel Schichten Papier liegen nach dem Falten

übereinander?– Wo befinden sich beim zusammengefalteten Papier

• die Faltachsen?• die Ränder des aufgefalteten Blattes?

– Wie würde das aufgefaltete Blatt aussehen, wenn man nach dem Falten nur die Ecken abgeschnitten hätte?

• Vorstellungen konkretisieren– Beim vorgestellten Operieren die Augen schließen.

(Keine Ablenkung durch Umwelt bzw. statische Aufgabenstellungen.)– Vorstellend kinästhetisch arbeiten.

Z. B. ein imaginäres Blatt mit den Händen falten, Schnitte ausführen (z. B. durch deuten mit dem Zeigefinger auf die Schnittkanten).

Solche Vorstellungen helfen wirklich! Probieren Sie es aus.


Würfelschnitte

Lassen sich die Schnittflächen der geschnittenen Würfel mit einem Schnitt erzeugen?


Würfelschnitte - Lösungshinweis


Würfelteile

Welche der acht Teile lassen sich zu einem Würfel zusammensetzen?

A – C; B – H; D – F; E – G


Drei-Tafel-Bilder

Existiert der jeweilige Körper?


Verdecktes Viereck

Um welche Vierecke könnte es sich jeweils handeln?


Körperansichten

Aus welcher Richtung siehst du die Körper im linken Bild so?


Puzzle


Entwicklung des Räumlichen Denkens (Piaget)

Topologische BeziehungenKategoriale Relationen• offen / geschlossen• verbunden / unverbunden• innen / außen• nah / fern …

Euklidische BeziehungenDistanzrelationen• Konstruktion von Linien• Figur, Körper• konstante Maßeinheit• Konstantes Bezugssystem

Projektive BeziehungenOrdnungsrelationen• A kommt vor B• X liegt rechts von Y …Relativität der Standpunkte

Präoperationale Phase(ca. 2 bis ca. 7 Jahre)

Konkret-operationale Phase(ab ca. 7 Jahre)


Entwicklung des Räumlichen Denkens (Piaget)


4.3 Begriffsbildung in der Geometrie


Was ist ein Begriff?Begriffe

– sind die Bausteine menschlichen Wissens,– bezeichnen keinen Einzelobjekte sondern

charakterisieren eine ganze Klasse von Objekten,– können durch

• Konstruktion (genetische Definition), • Abstraktion (Konventionaldefinition) oder• Spezifikation aus einem Oberbegriff (Realdefinition)

gewonnen werden,– verdichten Informationen,– organisieren das Verhalten, – sind die Grundlage der sprachlichen Kommunikation, – beeinflussen die Leistungen des Gedächtnisses und

das Problemlösen.


Rolle von Begriffen

Leitbegriff eines Themenstrangs• Figur, Messen …

Schlüsselbegriff einer Unterrichtssequenz• Symmetrie, Vierecke …

Zentraler Begriff einer Unterrichtseinheit• Begriff, der in der Unterrichtseinheit erarbeitet wird.• rechter Winkel, Symmetrieachse …

Arbeitsbegriff• Benennung, um über Sachverhalte überhaupt

ohne Umschreibung sprechen zu können.• Arbeitsbegriffe werden im Unterricht durch den

Gebrauch vertraut.


Stufen des Begriffsverständnisses

1. Intuitives Begriffsverständnis• Der Begriff als Phänomen.• Beispiele kennen.

2. Inhaltliches Begriffsverständnis• Der Begriff als Träger von Eigenschaften• Eigenschaften kennen.

3. Integriertes Begriffsverständnis• Der Begriff als Teil eines Begriffsnetzes• Beziehungen von Eigenschaften untereinander

und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen.

4. Formales Begriffsverständnis• Einbettung des Begriffs in einen

axiomatischen Aufbau der Geometrie.

Seiten

Rechteck


Modelle langfristigen Begriffslernens

Lernen durch AnsammelnWeitgehend isolierte Einzelheiten.

Lernen als Ersteigen von StufenReflexion und Analyse bereits erworbenen Wissens führt zu Wissen höherer Qualität. � Höhere Stufe(u. U. mehrere Stufen nacheinander)

Lernen durch ErweiterungNeue Objekte beseitigen Grenzen, auf die man beim operieren mit den bisherigen Objekten stößt. � Vertrautes wird nun in neuem Licht gesehen.


Begriffe als …

Quelle von ProblemstellungenUmkreis � Welche Polygone besitzen einen Umkreis?

Mittel zur Präzisierung von Problemstellungen„Wann sind Figuren ähnlich?“ � Ähnlichkeitsabbildung

Lösungshilfe für ProblemeDreieckskonstruktion � Ortslinie

Lösungen von ProblemenSchnittfläche beim Schneiden einer Wurst � Ellipse

Mittel zur Sicherung von ProblemlösungenWo liegen die Orte, von denen man eine Strecke unter einem rechten Winkel sieht? � Thaleskreis


Verstehen eines Begriffs

Lernende haben einen Begriff verstanden, wenn sie

• Bezeichnung des Begriffs kennen,

• Beispiele angeben und jeweils begründen können, warum es sich um ein Beispiel handelt,

• begründen können, weshalb etwas nicht unter einen Begriff fällt,

• charakteristische Eigenschaften des Begriffs kennen,

• Ober-, Unter- und Nachbarbegriffe kennen.


Erarbeiten eines Begriffs

• Erfahrungen zum Begriff sammeln• Handlungen (enaktive Repräsentation)

• Objekte darbieten• Beispiele für Begriffe

(ikonische Repräsentation)• Merkmale entdecken

• Prinzip der Variation• Prinzip des Kontrasts• Sprache (benennen, beschreiben)

• Definition erarbeiten• Charakterisierende Definition• Genetische Definition• Oberbegriff angeben• Definierende Eigenschaft � notwendige und

hinreichende Bedingung für den Begriff• Kritisch Reflektieren

• Definition durch möglichst „schwache“ Forderung• Bezeichnung: Herkunft / evtl. Abgrenzung gegen Umgangssprache


Unterrichtsphasen bei zentralen Begriffen

EinstiegIn einem geeigneten Problemkontext können ersten Vorstellungen vom Begriff entwickelt werden.

ErarbeitungUmfang und Inhalt des Begriffs werden herausgearbeitet.

SicherungBeispiele und Gegenbeispiele helfen den Begriff gegen andere Begriffe abzugrenzen und die Existenzfrage zu klären.

VertiefungEs werden Querverbindungen zu anderen Begriffen hergestellt und Spezialfälle (insbesondere Grenzfälle) betrachtet. (Z. B. auch Variation der definierenden Eigenschaften.)

Vertiefung & Sicherung � Verankerung in der kognitiven Struktur


Einstieg: Wie viele Punkte können ein Kreis und eine Gerade gemeinsam haben?

Erarbeitung:

Ergebnisse:Tangente, Berührpunkt,Sekante, 2 Schnittpunkte,Passante, keine gem. Punkte.

Sicherung: Tangente zeichnen!

Vertiefung: Besitzt die Figur aus Kreis und Tangente eine Symmetrieachse?�Tangente steht senkrecht auf

dem Berührpunktradius.

Wie kann man die Tangentekonstruieren?

Beispiel: Tangente an einen Kreis


M P

Vertiefung: Wie viele Tangenten an den Kreis verlaufen durch den Punkt P?Skizziere Sie!Wie kann man die Tangenten konstruieren?

Beispiel: Tangente an einen Kreis


van-Hiele-Modell

Pierre und Dina van Hiele beschreiben fünf Denkebenen,die bei der Entwicklung des geometrischen Denkens durch-laufen werden.

0. Niveaustufe: Anschauungsgebundenes Denken

1. Niveaustufe: Analysieren geometrischer Figuren und Beziehungen

2. Niveaustufe: Erstes Ableiten und Schließen

3. Niveaustufe: Geometrisches Schließen / Deduktion

4. Niveaustufe: Strenge, abstrakte Geometrie


0. Anschauungsgebundenes Denken

• Räumliche Beziehungen werden nur in der unmittelbaren Umgebung von den Schülern erfasst.

• Geometrische Figuren werden als Ganzheiten gesehen, Einzelheiten oder Eigenschaften werden noch nicht erfasst.

• Geometrische Bezeichnungen bzw. Namen können gelernt werden und anschauliche Unterscheidungen zwischen ebenen Figuren oder Körperformen sind möglich, ohne dass spezifische Eigenschaften miteinander verglichen werden.

• Auf dieser Stufe ist das geometrische Arbeiten weitgehend material-gebunden.


1. Analysieren geom. Figuren & Beziehungen

• Durch Handlungserfahrungen und genaueres Betrachten können Schüler Einzelaspekte geometrischer Figuren unterscheiden und feinere Klasseneinteilungen vornehmen (z. B. zwischen den Dreiecksformen).

• Beziehungen zwischen Figuren (z. B. Rechteck - Quadrat) und Eigenschaften oder Größen (z.B. Umfang - Flächeninhalt) sind noch nicht einsehbar.

• Beispiele: – Geometrische Figuren

durch Aufzählen ihrer Eigenschaften beschreiben.

– Spiegelachsen in Figuren durch Falten, Legen u. a. herstellen bzw. bestimmen.


2. Erstes Ableiten und Schließen

• Beziehungen zwischen den Eigenschaften einer Figur und den Eigenschaften verwandter Figuren können erkannt werden.

• Es sind Klasseninklusionen möglich und geometrische Definitionen verständlich.

• Dieses Verständnis erwächst aus experimentellen Erfahrungen, nicht über geometrische Axiome.

• Beispiele:– Vergleich der Eigenschaften von Quadrat und Rechteck.

� Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck.– Bewusstes Verändern von Viereckformen am Geobrett.


3. Geometrisches Schließen/ Deduktion

• Diese und die nächste Niveaustufe sind für das Geometrie-lernen im Grundschulalter nicht mehr relevant!

• Schlussfolgerungen als Grundlagen eines geometrischen Systems werden verstanden und angewandt.

• Zwischen geometrischen Axiomen, Definitionen, Sätzen, Beweisen u. a. kann unterschieden werden.

4. Strenge, abstrakte Geometrie

• Arbeiten in einem Axiomensystem und Vergleichen bzgl. verschiedener geometrischer Theorien.


van-Hiele-Modell Schlussbemerkungen

• Von besonderer Bedeutung auf den ersten Stufen des geometrischen Denkens ist für die VAN HIELES das Sammeln von Erkenntnissen über Handlungserfahrungen mit konkreten Materialien.

• Falten, Schneiden, Auslegen, Zerlegen, Kleben, Bemalen, Pflastern, Einpassen usw.

• Dabei kommt es darauf an, dass diese Materialien nicht einfach nur Spielzeuge sind, sondern dass die Schüler damit denkend handeln.

• Achtung: – Das Denkniveau ist Kontext- und Aufgabenabhängig!– Eine Zuordnung zu Klassenstufen ist nicht möglich!– Anforderungen müssen dem aktuellen Denkniveau

der Schülerinnen und Schüler angepasst werden!


4.4 Geometrische Kompetenzen bei Grundschülern


Test zu den Geometrischen Fähigkeiten

Richtige Lösungen:

CZ D

97 % 98 %

Richtige Lösungen:

CZ D

68 % 18 %

2 Wochen nach Beginn des 1. Schuljahres



Richtige Lösungen:

CZ D

95 % 82 %

Richtige Lösungen:

CZ D

73 % 55 %




Richtige Lösungen:

CZ D

66 % 57 %

Richtige Lösungen:

CZ D

44 % 44 %



TIMSS-Grundschule3./4. Klasse




4.5 Räumliche Objekte


Die Umwelt ist dreidimensionalen!

• im Raum– an Grenzen Stoßen (Ecken, Kanten, …)

• außerhalb geschlossener Räume– vieles wird nur in Teilen erfasst

• Objekte als Ganzes– geometrische Körperformen– vielfältige Aktivitäten– Eigenschaften analysieren


Körperansichten


Wer sieht was?


Schloss Neuschwanstein


Schloss Neuschwanstein


Karten lesen und herstellen


Geostadt


Karte lesen – Orientierung im Raum


Karte lesen – Orientierung im Raum


Aktivitäten

• Körperformen bauen– mit heterogenem Material– mit homogenem Material

• Körperformen ordnen und sortieren(Modelle, Gebrauchsgegenstände, Bilder, …)– kategoriesuchend– kategoriegeleitet

Mögliche Vorgaben:• Modell oder Abbildung als Prototyp • Begriffswort und /oder klassenbildende Merkmale

Form / Anzahl der Flächen, Größe (Länge der Kanten), Anzahl der Ecken, Größe der Winkel


Mit Würfeln bauen


Mit Würfeln bauen


Mit Würfeln bauen


Körperformen


Würfel, Quader (Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel)

• Herstellen– Vollkörper

(Kartoffel, Holzstab, Knet, Styropor)– Kantenmodell

(Knetkugeln & Zahnstocher, Trinkhalme und Pfeifenputzer,Papier)

– Flächenmodell(Aus Würfelnetzen: Vom Netz

zum Würfel & umgekehrt!)– Erkennen von Würfelnetzen– Würfelschnitte– Netz � Schrägbild

• Schrägbilder– Schatten eines Kantenmodells


Vollkörperwürfel


Soma-Würfel


Würfel – Flächenmodell - Netz


Würfelnetze?


Würfelnetze?


Quader und Würfel


Quader und Würfel


Quader und Würfel


Quader


Quader


Schatten eines Kantenmodells


Körperformen


Körperformen


Körperformen


Platonische Körper

Tetraeder

Hexaeder

Oktaeder

Ikosaeder

Dodekaeder


Platonische Körper


Platonische Körper


4.6 Ebene Figuren


Aktivitäten

• Legen• freies Legen, Legen nach Vorgabe• Auslegen, Umlegen vorgegebener Teile

– Material• heterogen (Postkartenpuzzle, Tangram)• homogen

(identische Quadrate � alle Zwillinge, Drillinge, …)

• Falten– Grundtechniken, – ebene (und räumliche) Objekte, – Faltbücher/-poster

• Spannen am Geobrett


Legen und Zeichnen


Legen mit Quadraten

Bau diese neun Formen aus Quadraten nach.

Welche Formen sind Vierlinge, Drillinge, Zwillinge?


Legen mit Quadraten


Tangram


Tangram


Tangram


Geobrett


Geobrett


Geobrett


Regelmäßige Vielecke – Zeichenuhr




Ähnlichkeit


Ähnlichkeit


4.7 Symmetrie


Symmetrie in der Umwelt


M. C. Escher


M. C. Escher


M. C. Escher


Achsensymmetrie - Spiegeln






Spiegelbuch


Spiegelbuch


Drehsymmetrie


Drehsymmetrie


Drehsymmetrie


Verschieben, Spiegeln, Drehen


Spiegelsymmetrie


Verschiebungssymmetrie


Verschieben, Spiegeln, Drehen


Parkettierung


Parkettierung


4.8 Messen


Stufen bei der Behandlung von Größen

1. Stufe: Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln

2. Stufe: Direktes Vergleichen von Repräsentanten

3. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbst gewählter Maßeinheiten

– ein drittes Objekt als Vermittler benutzen– ein Objekt als selbst gewählte Einheit benutzen

4. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter Maßeinheiten, Messen mit verschiedenen Messgeräten

5. Stufe: Umrechnen: Verfeinern und Vergröbern der Maßeinheiten

6. Stufe: Aufbau von Größenvorstellungen

7. Stufe: Rechnen mit Größen


Messen und Zeichnen

Zeichne Strecken von 3 cm, 5 cm, 6 cm und 9 cm Länge.


Längen messen


Längen messen


Flächen messen

Wie viele Meterfliesen (Quadratmeter) passen ungefähr in das Klassenzimmer?

Wie viele Kinder können sich bequem auf eine Meterfliese stellen?


Flächen messen


Seitenlängenaus R+

Zerlegungs-gleichheit

Ergänzungs-gleichheit

Flächen-messung

Flächen-vergleich

Axiome des Flächeninhalts

Themenkreis Flächeninhalt

Flächeninhalt?!

Seitenlängenaus N

Seitenlängenaus Q+


Axiome des Flächeninhalts

1. Nichtnegativität:Die Maßzahl A des Flächeninhalts ist nicht negativ.

A � 0

2. Normierung:Ein Quadrat der Seitenlänge 1 LE hat den Flächeninhalt

A � 1 LE2.

3. Additivität:Der Flächeninhalt einer Figur ist gleich der Summe derFlächeninhalte der Teilfiguren, in die die Fläche zerlegtwerden kann.

�j �k j � k � Fj � Fk � �

� A(F) � A(F1 … Fn) � A(F1) … A(Fn)

4. Kongruenzaxiom:Kongruente Figuren haben denselben Flächeninhalt.


Rechtecksflächeninhalt

1 LE²

a

bFlächenmessung:

� Auslegen mitEinheitsquadraten.

� b Reihen, zu je aEinheitsquadraten.

� A = a ·b

(a,b � N)


+�Qsr,q

p

Rechtecksflächeninhalt

Flächenmessung:

� Auslegen mit Teilquadraten des Einheitsquadrates.

� p·s Reihen, zu je r·q Teilquadraten.

qp

sr

q sp r( , � Q+)

·s·s

·q·q

Zerlegung des Einheits-quadrates in (qs)² Teil-quadrate des Flächeninhalts : (q·s)²

1 LE²

sr

qp ��

sqrp��

�sqsqqrsp��

� �sq

12�

�qr �� sp ��A��

1

1

qs Teil-strecken

qs Teil-strecken


Rechtecksflächeninhalt (a,b � R)

a1 a2

a3a4

A1A2

A3A4

a

B1B2B3

B4

b1

b2b3

b4b

�Qnnnn B,A,b,amit

� �� nn A;aa� �� nn B;bb

� �� nn A;a� nb nB� abist eine Intervallschachtelungfür den Flächeninhalt.


Flächeninhaltsbestimmung

Rechteck

Dreieck

Polygon

Kreis

• Flächenmessung, d. h. Auslegen mit Einheitsquadraten (bzw. Intervall-schachtelung)

• Flächenvergleich mit dem Rechteck

• Triangulierung (Einteilen in Dreiecke)

• Intervall-schachtelung


Kreisinhaltsbestimmung


Fläche eines Kontinents (Antarktika)

Schätze die Fläche der Antarktis, indem du den Maßstab der Karte benutzt.

Schreibe deine Rechnung auf und erkläre, wie du zu deiner Schätzung gekommen bist.

(Du kannst in der Karte zeichnen, wenn dir das bei deiner Schätzung hilft.)

PISA-Aufgabe0

200 400 600 8001000

Kilometer


Idee: „Auslegen“ mit einer Einheitsfläche

0200 400 600 800

1000

Kilometer

Schätze die Fläche der Antarktis, indem du den Maßstab der Karte benutzt.

Schreibe deine Rechnung auf und erkläre, wie du zu deiner Schätzung gekommen bist.

(Du kannst in der Karte zeichnen, wenn dir das bei deiner Schätzung hilft.)

PISA-Aufgabe

Fläche mit Schelfeistafeln:13 975 000 km2


Parallelogramm


A B

CD EF

Parallelogramm

Parallelogrammflächen, die in der Länge einer Seite und der zugehörigen Höhe übereinstim-men sind zerlegungsgleich.

Beweisidee: �ADF ~ �BCE

A B

CDEF

Voraussetzung: [CD] � [EF] � �


Flächeninhaltsbestimmung beim Trapez


Volumen messen (Größenvorstellung)


4.9 Zeichnen


didaktik der grundschulmathematik ii - landau€¦ · didaktik der grundschulmathematik ii ws...

Documents