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Kapitel 2: Algebraisieren des Anschauungsraums • 2.1Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie

Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen GeometrieModul 12a: Fachdidaktische Bereiche

Jürgen Roth

juergen-roth.de/lehre/did_linalg_anageo/

http://www.juergen-roth.de/lehre/did_linalg_anageo/


Inhalte

Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie

0 Organisatorisches

1 Ziele und Inhalte

2 Algebraisieren des Anschauungsraums

3 Modellieren und Angewandte Mathematik

4 Skalarprodukt – Längen und Winkel messen

5 Kegelschnitte


Kapitel 2: Algebraisieren des AnschauungsraumsDidaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra


Inhalte

Kapitel 2: Algebraisieren des Anschauungsraums

2.1 Strategien des Algebraisierensdes Anschauungsraums

2.2 Schülerschwierigkeiten mit dem Vektorbegriff

2.3 Modelle für Vektoren

2.4 Darstellung der Addition

2.5 Aufgabenbeispiele


Strategien des Algebraisierensdes Anschauungsraums

VektorisierungErfassen von Strecken mit Hilfe von Vektoren

Kollinearität oder VielfachheitVektorielle Beschreibung der Parallelität von Geraden untereinander

KomplanaritätVektorielle Beschreibung für die Parallelität von Geraden zur selben Ebene

SkalarproduktGrundlage von Längen-, Abstands- und Winkelberechnungen nach der Vektorisierung

Zurückführen räumlicher Probleme auf ebene Probleme

Schnittfiguren eines Körpers (einer Fläche) mit einer Ebene Projizieren eines Körpers (einer Fläche) in eine KoordinatenebeneFolge: Einfachere Berechnung unbekannter Größen (Verfahren der ebenen Geometrie nutzbar.)

KoordinatisierungWahl eines günstigen Koordinatensystems

ParametrisierungBeschreiben von Bahnkurven durch Parametergleichungen


Inhalte








Schülerschwierigkeiten mit dem Vektorbegriff

Einige typische SchülerschwierigkeitenSchwierigkeit mit PfeilklassenAlgebraische Auffassung von Vektoren fehlt(„Vektor“ → „Schalter wird auf Geometrie gestellt“)Deutung von Zahlenpaaren als PfeileSchwierigkeiten mit dem Nullvektor„Learning without Understandig“ (Rosnick, Clement)Vektorformeln aufstellenProblem: Ortsvektor

Malle (2005): Schwierigkeiten mit dem Vektorbegriff. mathematik lehren 133, S. 16-19


Schwierigkeit: Pfeilklassen

A: Ein Vektor ist etwas Einzelnes. Es gibt natürlich mehrere Vektoren, das sind dann mehrere Pfeile, aber eine Gesamt-heit? Das kann ich mir nicht vorstellen.

I: Was ist für dich ein Vektor?

A: Etwas Einzelnes, womit man rechnen kann oder eben zeichnen. Jeder Einzelne dieser vier Pfeile ist ein Vektor.

I: Diese Pfeile sind gleich lang, parallel und gleich orientiert. Handelt es sich immer um ein und denselben Vektor?

A: Nein! Wenn es ein und derselbe Vektor wäre, dann würde ja nur ein Vektor [gemeint: Pfeil] da sein.


Interviewer (I): Was stellst du dir unter einem Vektor vor?

Alexandra (A): Einen Pfeil in einem Raum.

I: Jemand sagt: „Ein Vektor ist die Gesamtheit dieser Pfeile.“ Was sagst du dazu?

A: Stimmt nicht.

I: Warum?


Schwierigkeit: Pfeilklassen

A: Ich würde Vektor 𝑏𝑏 auf Vektor �⃗�𝑎 so lange verschieben, bis ich zum Punkt 𝐵𝐵 komme, und dann habe ich den Vektor 𝐵𝐵𝐵𝐵 ... Das ist eigentlich genau derselbe Vektor wie 𝑏𝑏,nur von einem anderen Punkt zu einem anderen Punkt.

I: Kann man behaupten: 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑏𝑏?

A: Nein, weil 𝐵𝐵𝐵𝐵 geht von einem anderen Punkt als 𝑏𝑏 aus.


Interviewer (I): Jemand sagt: „Ein Vektor ist die Gesamtheit dieser Pfeile.“ Was sagst du dazu?

Richard (R): Diese vier Vektoren kann man aneinanderreihen und kommt dann auf einen Vektor, einen Gesamtvektor.

I: Bitte zeichne das auf.

R: (fertigt eine Zeichnung an):

𝐴𝐴𝐵𝐵

𝐵𝐵

𝑏𝑏�⃗�𝑎

𝐷𝐷


Schwierigkeit:Algebraische Auffassung von Vektoren

I: Sind die Vektoren 15070 und 70

150 gleich oder verschieden?

A: (fertigt eine Zeichnung an):

I: Du erkennst die Ungleichheit dieser Vektoren aufgrund einer Zeichnung. Kannst du das auch ohne Zeichnung begründen?

A: Nein.


Interviewer (I): Was stellst du dir unter einem Vektor vor?

Michaela (M): Ich weiß nicht. Ich habe überhaupt keine Ahnung. Ein Vektor ist für mich nur ein Buchstabe mit oben einem Pfeil.



AufgabeBei den vier Spielen eines Fußballcups wurden von folgenden Spielern Tore geschossen.

1. Spiel: Müller (2), Schmid (1), Kaiser (2)2. Spiel: Maier (3), Schmid (2), Eder (1)3. Spiel: Müller (1), Eder (2), Schmid (1)4. Spiel: Kaiser (4)

Ordne jedem Spieler einen Vektor zu, der angibt, wie viele Tore er in jedem Spiel geschossen hat.


Richard

Sandra

Schülerlösungen

Alexandra



AufgabeBei den vier Spielen eines Fußballcups wurden von folgenden Spielern Tore geschossen.

1. Spiel: Müller (2), Schmid (1), Kaiser (2)2. Spiel: Maier (3), Schmid (2), Eder (1)3. Spiel: Müller (1), Eder (2), Schmid (1)4. Spiel: Kaiser (4)

Ordne jedem Spieler einen Vektor zu, der angibt, wie viele Tore er in jedem Spiel geschossen hat.


Natascha

Christian

Schülerlösungen


Schwierigkeit:Deutung von Zahlenpaaren als Pfeile

Interviewer: Stellt das Zahlenpaar 34 einen

Pfeil oder einen Punkt dar?

Christian: So wie es da steht mit dieser Spaltenform ist es ein Pfeil. Wenn (3|4) da stehen würde, wäre es ein Punkt.


Natascha (N): (3|4) sind die Koordinaten von einem Punkt im ebenen Koordinatensystem im Zweidimensionale.

Interviewer (I): Kann dieses Zahlenpaar auch einen Pfeil darstellen?

N: Nein, da bräuchte ich noch ein zweites Koordinatenpaar, um den Pfeil darzu-stellen. Aber ich habe nur eines gegeben, also kann es nur einen Punkt darstellen.

Zahlenpaare können …in der Regel als Punkte gedeutet werden.häufig nicht als Pfeile gedeutet werden.


Schwierigkeit: Nullvektor

I: Warum nicht?

K: Es ist kein Pfeil. Es steckt keine Verbindung drinnen.

I: Das wäre also ein Zahlenpaar, das man nicht als Pfeil interpretieren kann?

K: Ja.


Kathi (K): [Schreibt] 0 � a = 00

Dann ist es ein Punkt.

Interviewer (I): Dann ist es ein Punkt?

K: Ja, der Nullpunkt.

I: Kann es auch ein Pfeil sein?

K: Nein!

NullvektorGrenzfall eines VektorsEntarteter Pfeil der Länge Null (das ist aber ein Punkt)Weil Schüler Vektoren häufig mit Pfeilen identifizieren, ist der Nullvektor für sie kein Vektor.


Schwierigkeit: Nullvektor

D: ... Ja, er muss im Koordinatenursprung liegen. Ah nein, es ist ein Vektor!!!! Richtig. D.h. es ist der Punkt, wo der Vektor �⃗�𝑎 weggehen würde, also der Schaft ... Ja der kann auch irgendwo anders liegen, aber der Punkt muss da liegen [Er zeichnet ein Achsenkreuz und zeigt auf den Ursprung]. Aber nein, der kann überall liegen. Denn wenn der Vektor überall liegen kann, kann der Punkt überall liegen.


SituationEs geht um den Vektor 𝑟𝑟 � �⃗�𝑎.

Interviewer (I): Und wenn r = 0?

Daniel (D): Dann gibt's den Vektor nicht.

Christoph (C): Es ist der Nullpunkt.

I: Es ist der Nullpunkt?

C: Ja.


Schwierigkeit: Fehlendes (Grund-)Verständnis

I: Warum stellt das eine Gerade dar?

M: Weiß ich nicht!

I: Was bedeutet 56 ? Ist das auch ein

Punkt?

M: Das ist der Parameter.

I: Was ist das Lambda?

M: Das Lambda gehört eben dazu. Da gibt es auch eine Normalform. Die ist halt ohne Lambda.

I: Aber warum stellt das eine Gerade dar?

M: Ich weiß es nicht!


SituationViele Schüler benutzen Vektoren ohne zu verstehen was sie tun.

Interview 1: Michaela (M)

I: Kennst du die Parameterdarstellung einer Geraden?

M: Ja. [Sie schreibt:]

𝑔𝑔 =24

+ 𝜆𝜆 �56

Das ist zum Beispiel irgendein Punkt, zum Beispiel 2

4 plus Lambda mal 56

ist gleich die Gerade 𝑔𝑔.


Schwierigkeit: Fehlendes (Grund-)Verständnis


F: Für 𝑡𝑡 kann man auch Lambda schreiben.


F: Weiß ich nicht!


SituationViele Schüler benutzen Vektoren ohne zu verstehen was sie tun.

Interview 2: Florian (F)

I: Kennst du die Parameterdarstellung einer Geraden?

F: Ich glaube, das hat etwas mit diesem großen 𝑋𝑋 zu tun. 𝑋𝑋 ist gleich irgendeinem Punkt 𝐴𝐴 plus 𝑡𝑡 mal 𝐴𝐴𝐵𝐵. [Er schreibt:]

𝑋𝑋 = 𝐴𝐴 + 𝑡𝑡 � 𝐴𝐴𝐵𝐵


Schwierigkeit: Vektorformeln aufstellen

ProblemeIm Prinzip wird so gedacht: „Ich gehe von 𝐴𝐴 aus, füge die Hälfte von 𝐴𝐴𝐵𝐵 dazu und komme zu 𝑀𝑀“.Wie kann der Gedankengang mit Hilfe der Vektorsymbolik aufgeschrieben werden?Unverständnis des VektorbegriffsEs fehlt eine „Typkontrolle“ (Pfeil ↔ Punkt).


SchülerlösungenAlle Befragten gingen von derselben Skizze aus.

Sie schrieben aber unterschiedliches auf:

Izabela (15): M = 𝐴𝐴+𝐵𝐵2

Florian (15): 𝑀𝑀 = 𝐴𝐴𝐵𝐵2

Martin (15): 𝑀𝑀 = 𝐴𝐴+𝐴𝐴𝐵𝐵2

Karin (15): 𝑀𝑀 = 𝐴𝐴−𝐵𝐵2

AufgabeStelle eine Formel auf, für den Mittelpunkt 𝑀𝑀 einer Strecke 𝐴𝐴𝐵𝐵.


Schwierigkeit: „Ortsvektoren“

SchülerlösungChristian rechnet richtig: 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴 = 5 6Er zeichnet die Punkte 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵einigermaßen richtig in ein Koordinatensystem ein.Anschließend stellt er den Vektor 𝐴𝐴𝐵𝐵aber als Ortspfeil dar.


AufgabeBerechne den Vektor 𝐴𝐴𝐵𝐵 und veranschauliche ihn an einer Skizze:𝐴𝐴 = 8 6 , 𝐵𝐵 = (13|12)


Inhalte








Sind Vektoren sinnvoll für die Analytische Geometrie?

Antwort 2: Ja (Fortsetzung)In der Analytischen Geometrie denkt man in Punkten und Pfeilen (Bewegungen). Mit Vek-toren besser beschreibar.Vektoren sind primär Darstel-lungs- und keine Rechenmittel.Vektoren in ℝ𝑛𝑛 fassen 𝑛𝑛 reelle Zahlen zu einem neuen Denk-objekt zusammen. (Bezeichnung: z. B. 𝐴𝐴 oder �⃗�𝑎)Rechenanweisungen (Vektor-terme) und Beziehungen (Vektorformeln) können knapp und übersichtlich dargestellt werden, ohne alle Einzelschritte angeben zu müssen.

Malle (2005): Neue Wege in der Vektorgeometrie. mathematik lehren 133, S. 8-14

Antwort 1: NeinAnalytische Geometrie gab es in der Schule schon vor Einführung der Vektorrechnung (ab 1960). Man konnte in etwa die gleichen Aufgaben lösen. Vektoren sparen keine Rechen-arbeit: Konkreten Rechnungen erfolgen koordinatenweise.

Antwort 2: JaVektorrechnung: Knappere und übersichtlichere Darstellung von Rechnungen und Beziehungen.Vektorgeometrie: Liegt beim Aufgabenlösen oft näher am tatsächlichen Denken als die Koordinatengeometrie.


Pfeilklassenmodell?

Was ist ein Vektor?Es gibt viele Antworten auf diese Frage.

HochschulmathematikEin Vektor ist ein Element eines Vektorraums.Axiomatischer Zugang über die Struktur

SchulmathematikInhaltliche Vorstellungen zu Vektoren entwickeln.Pfeilklassenmodell

Erfüllen Vektorraumaxiome, aber Probleme mit der Definition der Rechengesetze über Repräsentanten Nur in der Schulmathematik etabliert.„Unbrauchbar“ für die Analytische Geometrie und Physik.Einführung der Rechenoperationen und Beweise der Rechengesetzte kompliziert ⇒ Konsequente und saubere Anwendung des Pfeilklassenmodells findet oft nicht statt.



Vektoren als Pfeilklassen

Ein Vektor ist eine Klasse gleich langer,paralleler und gleich orientierter Pfeile.

Rechenoperationen für Pfeilklassen sind über Repräsentanten definiert.


Bei jeder Definition muss die Unabhängigkeit von

den gewählten Repräsen-tanten gezeigt werden!

Definition der Addition durch Repräsentanten

Definition der Vervielfachung durch Repräsentanten (für 𝑟𝑟 > 0)


Pfeilklassen unbrauchbar fürdie Analytische Geometrie


AufgabeVon einem Parallelogramm 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷kennt man die Eckpunkte 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 und 𝐷𝐷.Bestimme die Koordinaten des Eckpunkts 𝐵𝐵.


Pfeilklassen unbrauchbar für die Physik


Wo greift die Zugkraft an?

Kraftpfeile dürfen nicht beliebig verschoben werden.

�⃗�𝐹

�⃗�𝐹

𝐹𝐹1

𝐹𝐹2


Von Koordinaten zu Vektoren

Idee: Sachverhalte mit Koordinaten und Vektoren darstellen

Thermometer, Wasserstandsanzeiger, … Skalen als Beispiele für eindimensionale Koordinaten

Stadtpläne, Schachbrett, Fahrtenschreiber, Festlegung von Geländepunkten…Beispiele für zweidimensionale Koordinaten

Stückzahlen in einem Lager, Testergebnisse…Beispiele für mehrdimensionale Koordinaten

Malle (2005): Von Koordinaten zu Vektoren. mathematik lehren 133, S. 4-7


Von Koordinaten zu VektorenMalle (2005): Von Koordinaten zu Vektoren. mathematik lehren 133, S. 4-7


Aufgaben zu Zahlenpaaren und Zahlentripeln

Aufgabe 1Beate und Dora haben zwei Tests absolviert.Bei jedem Test konnte man 20 Punkte erreichen.Beate erhielt auf den ersten Test 15 Punkteund auf den zweiten 18 Punkte. Dora erhieltjedes Mal zwei Punkte weniger als Beate.

Gib ein Zahlenpaar an, das …

Beates Punktzahlen bei den beiden Tests angibt.

Doras Punktzahl bei den beiden Tests angibt.

die Punktzahlen der beiden Mädchen beim ersten Test angibt.

Die Punktzahlen der beiden Mädchen beim zweiten Test angibt.


(15|18)

(15 − 2|18 − 2)

(15|15 − 2)

(18|18 − 2)


Aufgaben zu Zahlenpaaren und Zahlentripeln

Aufgabe 2Eine Firma erzeugt drei Waren. Die Stückpreise der Waren sind 115 €, 135 € und 140 €.Im Lager befinden sich von diesen Waren 728, 644 bzw. 840 Stück, bestellt wurden 411, 433bzw. 596 Stück. Es fallen Produktionskostenvon 65 €, 70 € bzw. 72 € pro Stück an.Beschreibe die Stückpreise, den Lagerbestand, die Bestellzahlen und die Produktionskosten jeweils durch ein Zahlentripel.Die Produktionskosten steigen um 5 € pro Stück. Deshalb erhöht die Firma die Stückpreise ebenfalls um 5 € pro Stück. Dadurch sinken die Bestellungen für die erste Ware um 56 Stück, für die zweite Ware im 112 Stück und für die dritte Ware um 134 Stück. Um weitere Kosten zu sparen, wird der Lagerbestand um ein Viertel gesenkt. Wie lauten jetzt die einzelnen Zahlentripel?


Stückpreise: (115€ 135€ 140€)

Lagerbestand: (728 644 840)

Bestellzahlen: (411 433 596)

Produktionskosten: (65€ 70€ 72€)


Vektormodell der 𝑛𝑛-Tupel(Zahlenpaare, -tripel, …)

Was ist ein Vektor?Ein Vektor ist ein 𝑛𝑛-Tupel (Zahlenpaar, …).

Was ist ein Punkt?Ein Punkt ist ein 𝑛𝑛-Tupel (Zahlenpaar, Zahlentripel, …).

Geometrische Darstellung Vgl. die Abbildungen

Addition, Subtraktion, VervielfachungKomponentenweise erklärt Formeln von ℝ auf ℝ𝑛𝑛 übertragen

SkalarproduktAm Beispiel (Stückpreis, Stückzahl) einführen. 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 ⋅ 𝑏𝑏1 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎1 ⋅ 𝑏𝑏1 + 𝑎𝑎2 ⋅ 𝑏𝑏2


𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 ± 𝑏𝑏1 𝑏𝑏2= 𝑎𝑎1 ± 𝑏𝑏1 𝑎𝑎2 ± 𝑏𝑏2

𝑟𝑟 ⋅ 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 = 𝑟𝑟 ⋅ 𝑎𝑎1 𝑟𝑟 ⋅ 𝑎𝑎2

𝑏𝑏 = 1,2 ⋅ 𝑛𝑛𝐵𝐵 = 1,2 ⋅ 𝑁𝑁


Vektoren als Zahlentupel

Zahlenpaar 𝐴𝐴 = 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2als Punkt in der Ebene.

Zahlenpaar �⃗�𝑎 = 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2als Pfeil in der Ebene.

Vektor 𝐴𝐴𝐵𝐵 gegeben durch Anfangs- und Endpunkt.

𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝑏𝑏1 − 𝑎𝑎1 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2= 𝑏𝑏1 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2= 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴

⇒ 𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐵𝐵

Zahlenpaare geometrisch als Punkte oder Pfeile deuten.

𝐴𝐴𝐵𝐵 + 𝐵𝐵𝐵𝐵= 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 − 𝐵𝐵= 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴= 𝐴𝐴𝐵𝐵

𝑎𝑎2

𝑎𝑎1

𝐴𝐴𝑏𝑏2

𝑎𝑎2𝑎𝑎1 𝑏𝑏1

5

3

𝐴𝐴𝐵𝐵

𝐵𝐵

𝐴𝐴

𝑎𝑎2

𝑎𝑎1

𝐴𝐴𝐵𝐵

𝐵𝐵

𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐴𝐴𝐵𝐵

𝐴𝐴𝐵𝐵


Vektorterme und Vektorformelnaufstellen und interpretierenMalle (2005): Von Koordinaten zu Vektoren. mathematik lehren 133, S. 4-7


Vektormodell der 𝑛𝑛-Tupel(Zahlenpaare, -tripel, …)

Rechengesetze für ZahlenpaareFür alle 𝐴𝐴,𝐵𝐵,𝐵𝐵 ∈ ℝ2 und alle 𝑟𝑟, 𝑠𝑠 ∈ ℝ gilt:

𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 + 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 + 𝐵𝐵𝐴𝐴 + 𝑂𝑂 = 𝐴𝐴 𝑂𝑂 = (0|0) ist der Nullvektor.𝐴𝐴 + −𝐴𝐴 = 𝑂𝑂 −𝐴𝐴 = −𝑎𝑎1 −𝑎𝑎2 ist der

Gegenvektor zu 𝐴𝐴 = 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2𝑟𝑟 ⋅ 𝑠𝑠 ⋅ 𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 ⋅ (𝑠𝑠 ⋅ 𝐴𝐴)𝑟𝑟 ⋅ 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = 𝑟𝑟 ⋅ 𝐴𝐴 + 𝑟𝑟 ⋅ 𝐵𝐵𝑟𝑟 + 𝑠𝑠 ⋅ 𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 ⋅ 𝐴𝐴 + 𝑠𝑠 ⋅ 𝐴𝐴

1 ⋅ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴



Inhalte








Darstellungen der AdditionMalle (2005): Neue Wege in der Vektorgeometrie. mathematik lehren 133, S. 8-14

Punkt-Pfeil-Darstellung Pfeildarstellung

32

5

3

2 5

6

1

4 7

5

3

35

76

41

41

5

3

35

76

41


Schwerpunkt eines Dreiecks

𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑂𝑂𝐴𝐴 + 23 ⋅ 𝐴𝐴𝑀𝑀

= 𝑂𝑂𝐴𝐴 + 23 ⋅ 𝑂𝑂𝑀𝑀 − 𝑂𝑂𝐴𝐴

= 13 𝑂𝑂𝐴𝐴 + 2

3 𝑂𝑂𝑀𝑀

= 13 𝑂𝑂𝐴𝐴 + 2

3 ⋅12 ⋅ 𝑂𝑂𝐵𝐵 + 𝑂𝑂𝐵𝐵

= 13 𝑂𝑂𝐴𝐴 + 1

3 𝑂𝑂𝐵𝐵 + 𝑂𝑂𝐵𝐵

= 13 𝑂𝑂𝐴𝐴 + 𝑂𝑂𝐵𝐵 + 𝑂𝑂𝐵𝐵


𝑂𝑂 = 𝐴𝐴 + 23 ⋅ 𝐴𝐴𝑀𝑀

= 𝐴𝐴 + 23 ⋅ 𝑀𝑀 − 𝐴𝐴

= 13 ⋅ 𝐴𝐴 + 2

3 ⋅ 𝑀𝑀

= 13 ⋅ 𝐴𝐴 + 2

3 ⋅12 ⋅ 𝐵𝐵 + 𝐵𝐵

= 13 ⋅ 𝐴𝐴 + 1

3 𝐵𝐵 + 𝐵𝐵

= 13 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 + 𝐵𝐵

23 ⋅ 𝐴𝐴𝑀𝑀


Teilung einer Strecke

1. Lösungsmöglichkeit𝑇𝑇 = 𝐴𝐴 + 1

3 ⋅ 𝐴𝐴𝐵𝐵⇔ 𝑇𝑇 = 𝐴𝐴 + 1

3 ⋅ 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴⇔ 𝑇𝑇 = 1

3 ⋅ (2𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)

2. Lösungsmöglichkeit𝐴𝐴𝑇𝑇 = 1

3 ⋅ 𝐴𝐴𝐵𝐵⇔ 𝑇𝑇 − 𝐴𝐴 = 1

3 ⋅ (𝐵𝐵 − 𝐴𝐴)⇔ 𝑇𝑇 = 1

3 ⋅ (2𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)


Koth (2005): Vektorbeweise in der Dreiecksgeometrie. mathematik lehren 133, S. 44-49

AufgabeDie Strecke 𝐴𝐴𝐵𝐵 wird durch den Punkt 𝑇𝑇 im Verhältnis 1 ∶ 2 geteilt. Drücke 𝑇𝑇 durch 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵 aus.


Schwerpunkt

Koth, M. (2005). Vektorbeweise in der Dreiecksgeometrie. Mathematik lehren 133, S. 44-49

SatzIn jedem Dreieck schneiden sich die drei Seitenhalbierenden in einem gemeinsamen Punkt 𝑂𝑂, dem Schwerpunkt.

Zwischen den Eckpunkten 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐵𝐵und dem Schwerpunkt 𝑂𝑂 besteht die Lagebeziehung 3 ⋅ 𝑂𝑂 = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 + 𝐵𝐵.


Schwerpunkt

BeweisDie Seitenhalbierenden 𝑠𝑠𝑎𝑎 und 𝑠𝑠𝑏𝑏 sind gegeben durch

𝑠𝑠𝑎𝑎:𝑋𝑋 = 𝐴𝐴 + 𝑡𝑡 ⋅ 𝐴𝐴𝑀𝑀𝑎𝑎 und 𝑠𝑠𝑏𝑏:𝑋𝑋 = 𝐵𝐵 + 𝑢𝑢 ⋅ 𝐵𝐵𝑀𝑀𝑏𝑏.Es gibt reelle Zahlen 𝑡𝑡 und 𝑢𝑢, so dass für den Schnittpunkt 𝑂𝑂 dieser Seitenhalbierenden gilt:

𝐴𝐴 + 𝑡𝑡 ⋅ 𝐴𝐴𝑀𝑀𝑎𝑎 = 𝑂𝑂 = 𝐵𝐵 + 𝑢𝑢 ⋅ 𝐵𝐵𝑀𝑀𝑏𝑏

Richtungsvektoren 𝐴𝐴𝑀𝑀𝑎𝑎 und 𝐵𝐵𝑀𝑀𝑏𝑏 als Linear-kombinationen von 𝐵𝐵𝐴𝐴 und 𝐵𝐵𝐵𝐵 schreiben:

𝐴𝐴𝑀𝑀𝑎𝑎 = 𝐴𝐴𝐵𝐵 + 12⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐵𝐵𝑀𝑀𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝐴𝐴 + 12⋅ 𝐴𝐴𝐵𝐵

= 12⋅ 𝐵𝐵𝐴𝐴 + 1

2⋅ 𝐵𝐵𝐴𝐴 + 1

2⋅ 𝐴𝐴𝐵𝐵

= 12⋅ 𝐵𝐵𝐴𝐴 + 1

2⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵

= −𝐵𝐵𝐴𝐴 + 12⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵

= 12⋅ 𝐵𝐵𝐴𝐴 + 1

2⋅ 𝐵𝐵𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐵𝐵


Schwerpunkt

Beweis (Fortsetzung)Wir erhalten damit:

𝐴𝐴 + 𝑡𝑡 ⋅ 𝐴𝐴𝑀𝑀𝑎𝑎 = 𝐵𝐵 + 𝑢𝑢 ⋅ 𝐵𝐵𝑀𝑀𝑏𝑏

⇔ 𝐴𝐴 + 𝑡𝑡 ⋅ −𝐵𝐵𝐴𝐴 + 12⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 + 𝑢𝑢 ⋅ 1

2⋅ 𝐵𝐵𝐴𝐴 + 1


⇔ 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 − 𝑡𝑡 ⋅ 𝐵𝐵𝐴𝐴 − 𝑢𝑢2⋅ 𝐵𝐵𝐴𝐴 = 𝑢𝑢

2⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝑡𝑡


⇔ 1 − 𝑡𝑡 − 𝑢𝑢2⋅ 𝐵𝐵𝐴𝐴 = 𝑢𝑢

2− 𝑡𝑡


Weil 𝐵𝐵𝐴𝐴 und 𝐵𝐵𝐵𝐵 nicht parallel sind, ist diese Bedingung nur dann erfüllt, wenn 1 − 𝑡𝑡 − 𝑢𝑢

2= 0 und 𝑢𝑢

2− 𝑡𝑡

2= 0.

Lösen dieses Gleichungssystems ergibt: 𝑢𝑢 = 𝑡𝑡 = 23

Als Schnittpunkt 𝑂𝑂 von 𝑠𝑠𝑎𝑎 und 𝑠𝑠𝑏𝑏 erhält man also:

𝑂𝑂 = 𝐴𝐴 + 23⋅ 𝐴𝐴𝑀𝑀𝑎𝑎 = 𝐴𝐴 + 2

3⋅ 1

2⋅ 𝐵𝐵 + 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴 = 1

3⋅ 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 + 𝐵𝐵


Schwerpunkt

Beweis (Fortsetzung)Aus 𝑂𝑂 = 1

3⋅ 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 + 𝐵𝐵 folgt durch nachrechnen:

𝑂𝑂 = 𝐵𝐵 + 23⋅ 𝐵𝐵𝑀𝑀𝑐𝑐

Folglich liegt 𝑂𝑂 auch auf der dritten Seitenhalbierenden 𝑠𝑠𝑐𝑐 des Dreiecks.Damit ist der erste Teil des Satzes bewiesen.Der zweite Teil des Satzes folgt direkt aus𝑂𝑂 = 1

3⋅ 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 + 𝐵𝐵 .

⇔ 3 ⋅ 𝑂𝑂 = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 + 𝐵𝐵■


Inhalte








Von Koordinaten zu VektorenMalle (2005): Von Koordinaten zu Vektoren. mathematik lehren 133, S. 4-7

Koth, M.; Malle, G. (2005). Koordinaten. Mathe-Welt 133, S.14


Würfel und Kuboktaeder

Die Mittelpunkte der zwölf Würfelkantensind die Eckpunkte eines Körpers, der vonsechs Quadraten und acht gleichseitigenDreiecken begrenzt wird und Kuboktaederheißt.


3. Achse

1. Achse

2. Achse


Würfel und Oktaeder

Die Mittelpunkte der sechs Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte einer vonacht gleichseitigen Dreiecken begrenzten Doppelpyramide, eines sogenannten regelmäßigen Oktaeders.


3. Achse

1. Achse

2. Achse


Rhombendodekaeder

Errichtet man über jeder der sechs Flächen eines Würfels eine gerade quadratische Pyramide, deren Höhe der halben Kantenlänge des Würfels entspricht, so erhält man einen Rhombendodekaeder. Dies ist ein von zwölf zueinander kongruenten Rhomben (Rauten) begrenzter Körper.


3. Achse

1. Achse

2. Achse


Flächenberechnungen


Es soll der Flächeninhalte eines Fünfecks 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷𝐴𝐴 bestimmt werden, von dem wir die Koordinaten der Eckpunkte kennen (Rasterquadrate haben die Seitenlänge 1.). Führe die beiden Lösungsansätze weiter aus.

Sandras LösungsvorschlagAFünfeck = 𝐴𝐴𝐼𝐼 + 𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼 + 𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 + 𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼 + 𝐴𝐴𝐼𝐼 + 𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼

Olivers LösungsvorschlagAFünfeck = 𝐴𝐴𝑃𝑃1𝑃𝑃2𝑃𝑃3𝑃𝑃4 − (𝐴𝐴𝐼𝐼 + 𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼 + 𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 + 𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼)


Flächenberechnungen


Berechne die Flächeninhalte der Vierecke. Drücke die Koordinaten der Eckpunkte und die Flächen-inhalte der Figuren mit den gegebenen Variablen aus.

jürgen roth didaktik der linearen algebra und analytischen ... · analytische geometrie gab es in...

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