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  • 5.1Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Didaktik der GeometrieModul 5: Fachdidaktische Bereiche

    Jrgen Roth

  • 5.2Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Inhalt

    Didaktik der Geometrie

    1 Ziele und Inhalte

    2 Begriffsbildung

    3 Konstruieren

    4 Argumentieren und Beweisen

    5 Problemlsen

    6 Entdeckendes Lernen

  • 5.3Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Kapitel 5: ProblemlsenDidaktik der Geometrie

  • 5.4Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Inhalt

    Kapitel 5: Problemlsen

    5.1 Was ist ein Problem?

    5.2 Problemtypen im Geometrieunterricht

    5.3 Beispiele fr Problemaufgaben

    5.4 Beispiel: Problemlsestunde aus Japan

  • 5.5Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    5.1 Was ist ein Problem?Kapitel 5: Problemlsen

  • 5.6Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Was ist ein Problem?http://www.juergen-roth.de/lehre/skripte/did_grundlagen/fachdidaktische_grundlagen.pdf

    Weiteres zum Problemlsen: Siehe Skript Fachdidaktische Grundlagen

    Anfangszustand Zielzustand

    (Routine-)Aufgabe

    Algorithmus

    Anfangszustand Zielzustand

    Problem

    ?

    Ein Problemlser kennt keine Lsung der Aufgabe, also weder einen Operator noch eine Operatorkette, die den Anfangszustand in den Zielzustand berfhrt.

    http://www.juergen-roth.de/lehre/skripte/did_grundlagen/fachdidaktische_grundlagen.pdf

  • 5.7Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    5.2 Problemtypen im Geometrieunterricht

    Kapitel 5: Problemlsen

  • 5.8Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Im Geometrieunterricht:Nur Interpolationsprobleme

    Inte

    rpol

    atio

    nspr

    oble

    m

    obje

    ktiv

    subj

    ektiv

    1. Anfangszustand (das Gegebene) ist genau definiert.

    2. Zielzustand (das Gesuchte) ist genau definiert.

    3. Problemlser verfgt ber Operationen, die eine Lsung des Problems gestatten.

  • 5.9Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Interpolationsproblem?

    Zeige: rot + blau = 45

  • 5.10Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Interpolationsproblemtypenin der Geometrie

  • 5.11Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Berechnungsprobleme

    ThemenbereicheWinkelbeziehungen in FigurenFlcheninhalte von Polygonen und KreisenSatzgruppe des PythagorasStrahlenstzeTrigonometrie

    Lsungsfindung durchVorwrtsarbeitenRckwrtsarbeitenLsen eines Gleichungssystems

    SchwierigkeitenMangelnde Kenntnis von OperatorenErkennen der Anwendbarkeit eines OperatorsFalsche Anwendung eines OperatorsAnwenden heuristischer Strategien

  • 5.12Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Konstruktionsprobleme

    ThemenbereicheKongruenzabbildungenDreiecke und ViereckeZentrische Streckung

    ProblemanalyseFallunterscheidung durchfhren

    Lsbarkeitsbedingungen untersuchenverschiedene Flle nacheinander lsen

    berlegungsfigur zeichnenGegebenes und Gesuchtes mit verschiedenen Farben markieren

    Lsungsfindung(Heuristische Strategien)

    Weglassen einer Bedingung( 1)-MethodeKonstruktion einer TeilkonfigurationReduktion auf ein BerechnungsproblemHilfslinie einzeichnen

  • 5.13Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Umgang mit Schwierigkeiten

    Mangelnde OperatorenkenntnisAnwenden in einfachen bungsaufgaben mit Problemcharakter (vgl. Goldberg)Liste mit bentigten Operationen anfertigen(Bilder, Formeln, )

    Erkennen der Anwendbarkeit eines OperatorsErkennen von (Teil-)Konfigurationen ben

    Falsche Anwendung eines OperatorsVereinbarung: Eigenschaften von Teilfiguren drfen nicht der Anschauung entnommen werden

    Anwenden heuristischer StrategienZunchst nur Vorwrts- und Rckwrtsarbeiten einsetzen

    Goldberg (1992). Beweisen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I. MU 38(6), S. 33-46

    Anzahl der Trapeze?

    http://www.dms.uni-landau.de/texte/Goldberg_Beweisen_im_Mathematikunterricht_der_Sek_I.pdf

  • 5.14Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Umgang mit mangelnder Operatorkenntnis

    Beweis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel-Satz

    Vor.: ist Umfangswinkel ber ist Mittelpunktswinkel ber

    Beh.: = 2

    Bew.: (1) = (Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck)

    (2) = + (Auenwinkelsatz)

    (3) = + (1) und (2)

    (4) = 2

    (5) = 2 (Umfangswinkelsatz)

    Goldberg (1992). Beweisen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I. MU 38(6), S. 33-46

  • 5.15Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Umgang mit mangelnder Operatorkenntnis

    VorbereitungsaufgabenGeg.: = 20; = 40Ges.: Ls.: = 20 + 40 = 60 (Auenwinkelsatz)

    Geg.: = 15Ges.: Ls.: = = 15 (Basiswinkelsatz)

    Geg.: = 30Ges.: Ls.: (1) = = 30 (Basiswinkelsatz)

    (2) = 30 + 30 = 60 (Auenwinkelsatz)

    Geg.: = 27Ges.: Ls.: = = 27 (Umfangswinkelsatz)

    Goldberg (1992). Beweisen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I. MU 38(6), S. 33-46

  • 5.16Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Ein Beweis?

    ParadoxonJedes Dreieck ist gleichschenklig.

    Beweis: Im Dreieck halbiere den Winkel bei und sei Mittelsenkrechte von [].Dann ist nach Kongruenzsatz WSW. nach Kongruenzsatz SWS.Aus = , = und = = 90 folgt mit SsW: BDF

    Also ist = ||.Damit ist = ||. ist gleichschenklig.

  • 5.17Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    5.3 Beispiele fr ProblemaufgabenKapitel 5: Problemlsen

  • 5.18Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Einem Dreieck ein Quadrat einbeschreiben

    AufgabeKonstruieren Sie zum spitzwinkligen Dreieck ein Quadrat mit ,[], [] und [].

    HinweisNutzen Sie die ( 1)-Strategie.

    https://www.geogebra.org/m/CKPpUnUr

    https://www.geogebra.org/m/CKPpUnUr

  • 5.19Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Dreieckskonstruktion

    https://www.geogebra.org/m/WBMHuKW5 https://www.geogebra.org/m/x82N6kk2

    https://www.geogebra.org/m/x82N6kk2https://www.geogebra.org/m/WBMHuKW5

  • 5.20Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Kirchenfenster

    1. VorwrtsarbeitenWas ist bekannt? Symmetrie!

    2. Rckwrtsarbeiten!Wie bekommt man den Kreis? Mittelpunkt Wie bekommt man ? Radius oder Hhe Wie bekommt man bzw. ? ???

    3. Hilfslinien einzeichnen!Wie liegt der neue Kreis zu den alten? Weitere Hilfslinie?Wie bekommt man bzw. ?

    4. Berechnen!

    , 4

    Berhren! Ja

    4

    +

    (2) (4 ) = + (2)

    (1) = ( + )

    4 2 = + 2 2 + (2)

    Einsetzen von (1) in (2) liefert:

    = 65

  • 5.21Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Maximale Anzahl von Schnittpunkten bei Geraden

    1

    0

    2

    1

    3

    3

    4

    6

    5

    10

    Anzahl der Geraden

    max. Anzahl der Schnittpunkte

    Bei Geraden ( > 1)kann es maximal

    = 1 + 2 + + ( 1)Schnittpunkte geben.

    10 = 1 + 2 + 3 + 4

  • 5.22Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Was stimmt hier nicht?http://www.brefeld.homepage.t-online.de/dreieck.html

    https://www.geogebra.org/m/ADWhG253

    https://www.geogebra.org/m/ADWhG253

  • 5.23Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Was stimmt hier nicht?http://www.brefeld.homepage.t-online.de/dreieck.html

    https://www.geogebra.org/m/ADWhG253

    https://www.geogebra.org/m/ADWhG253

  • 5.24Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    5.4 Beispiel: Problemlsestunde aus Japan

    Kapitel 5: Problemlsen

  • 5.25Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Einstieg

    Thema: hnlichkeitDie Stunde ist Teil einer Unterrichts-sequenz zur hnlichkeit geometrischer Figuren.

    Einstieg Wiederholung der Strahlenstze im Lehrervortrag

    (Keine Hausauf-gabenbesprechung)

    || || = || ||

    = || |||| || = || ||

    || || = || ||

    || || = || ||

  • 5.26Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Erarbeitung und Sicherung

    ErarbeitungAnschlieend wird ein Spezialfall eingefhrt und durch zwei Schlerbewiesen.

    SicherungDas Theorem wird zur Berechnung von Strecken genutzt, die die Schenkel gegebener Dreiecke und Trapeze halbieren.

    MittelpunktverbindungstheoremWenn im Dreieck der Punkt der Mittelpunkt der Seite [] und der Mittelpunkt der Seite [] ist, dann gilt:

    und|| = 1

    2 ||

  • 5.27Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Vertiefung

    open-ended problem solvingZur Frderung des logischen Denkens verwenden japanische Lehrer den methodischen Ansatz des open-ended problemsolving, der sich durch Erarbeitung unterschiedlicher Lsungsanstze in Einzel- und Gruppenarbeit auszeichnet.

    Aufgabe fr die GruppenarbeitBestimmt die Lnge der Mittelparallelen eines Trapezes mit bekannten Lngen der parallelen Seiten.

    Der Lehrerklrt die Problemstellung und teilt die Klasse in Vierergruppen ein.

    Die Schler/innen tauschen ihre Ideen aus.

    http://mste.illinois.edu/users/aki/open_ended/WhatIsOpen-ended.html

    A

    B C

    D

    E F

    10 cm

    6 cm

    http://mste.illinois.edu/users/aki/open_ended/WhatIsOpen-ended.html

  • 5.28Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

    Vertiefung

    Whrend der Gruppenarbeit:Die Lehrperson

    beantwortet Fragenbert oder hilft, merkt sich die Lsungender Schler/innenbereitet die anschlieende Besprechung an der Tafel vor.

    SicherungVier der sieben verschiedenen von Schlern gefundenen Lsungen, werden an der Tafel dargestellt.

    2

    2

    + 2

    A

    B C

    D

    EF

    10 cm

    6 cm

    P

    A

    B C

    D

    E F

    10 cm

    6 cm

    P

    Q

    A

    B C

    D

    E F

    10 cm

    6 cm

    P

    A

    B C

    D

    E F

    5 cm

    6 cm

    P 5 cm

    Q R

    Didaktik der GeometrieInhaltKapitel 5: ProblemlsenInhalt5.1Was ist ein Proble

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