jürgen roth didaktik der geometrie · 2020-01-24 · jürgen roth • didaktik der geometrie 4.7...

4.1Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Didaktik der GeometrieModul 5: Fachdidaktische Bereiche

Jürgen Roth


Inhalt

Didaktik der Geometrie

1 Ziele und Inhalte

2 Begriffsbildung

3 Konstruieren

4 Argumentieren und Beweisen

5 Problemlösen

6 Entdeckendes Lernen


Kapitel 4: Argumentieren und Beweisen

Didaktik der Geometrie


Inhalt


4.1 Beweisen?

4.2 Niveaustufen des Beweisens

4.3 Beispiel: Satzgruppe des Pythagoras

4.4 Beweisen als Tätigkeit


4.1 Beweisen?Kapitel 4: Argumentieren und Beweisen


Was ist ein Beweis?

Ein Beweis …

ist eine „logische Operation, die unter Zuhilfenahme von allgemein akzeptierten Gedankengängen aus schon gegebenen Voraussetzungen neue Erkenntnisse gewinnt.“

Lexikon der Mathematik

eines mathematischen Satzes 𝑆𝑆 ist dessen logische Zurückführung auf andere mathematische Sätze 𝑆𝑆1, 𝑆𝑆2, … , 𝑆𝑆𝑛𝑛.

Ist 𝑆𝑆 mit Hilfe von 𝑆𝑆1, 𝑆𝑆2, … , 𝑆𝑆𝑛𝑛 bewiesen, so folgt die Gültigkeit des Satzes 𝑆𝑆 aus der Gültigkeit der Sätze 𝑆𝑆1, 𝑆𝑆2, … , 𝑆𝑆𝑛𝑛.

Das bedeutet:Wenn 𝑆𝑆1, 𝑆𝑆2, … , 𝑆𝑆𝑛𝑛 wahre Aussagen sind, dann ist auch 𝑆𝑆 eine wahre Aussage.Wenn man die Gültigkeit der Sätze 𝑆𝑆1, 𝑆𝑆2, … , 𝑆𝑆𝑛𝑛 anerkennt, dann kann man die Gültigkeit von 𝑆𝑆 nicht bestreiten.

Holland, G. (2001). Geometrie in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 33


Warum Beweisen?

AnwendungsaspektIst die Allgemeingültigkeit einer Aussage

nicht anschaulich klar, so dient ein Beweis dieser Aussage dazu einzusehen, dassanschaulich klar, dann kann ein Beweis dazu dienen, zu verstehen, warum

die Aussage allgemeingültig ist.

Struktureller AspektSpielt in der Sek. I praktisch keine Rolle

Deduktiver AspektKann man den Satz mit Hilfe bereits bekannter Sätze herleiten? (Prozessziel des Beweisens)

Aspekt des ProblemlösensBeweisfindung – nicht Beweisdarstellung –steht im VordergrundZiel des Beweisens: Beitrag zu Prozesszielen des Problemlösens


4.2 Niveaustufen des BeweisensKapitel 4: Argumentieren und Beweisen


Verschiedene Begründungsweisen

Erfahren von Handlungsspielräumen und Sachzwängen

Probieren

Messen α β γ α + β + γ

31° 44,5° 105° 180,5°51° 92° 36° 179°

Konstruiere ein Dreieck mit folgenden Innenwinkelgrößen:𝛼𝛼 = 40°,𝛽𝛽 = 55°, 𝛾𝛾 = 100°


Verschiedene Begründungsweisen

Sonderfälle

Klassischer Beweis

https://www.geogebra.org/m/nUnkzGpE

α β

γ1 γ2

180° + 180°= 𝛼𝛼 + 90° + 𝛾𝛾1 + 90° + 𝛽𝛽 + 𝛾𝛾2= 𝛼𝛼 + 90° + 𝛾𝛾1 + 90° + 𝛽𝛽 + 𝛾𝛾2= 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 + 𝛾𝛾1 + 𝛾𝛾2

=𝛾𝛾+ 180°

⇒ 180° = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 + 𝛾𝛾

Innenwinkelsumme im Rechteck: 4 � 90° = 360°

Innenwinkelsumme im rechtw. Dreieck: 360°

2= 180°

Winkel-verschiebung

https://www.geogebra.org/m/nUnkzGpE


Niveaustufen des Beweisens

Stufe des Argumentierens

Nur mündliche Argumentation

Bezugnahme auf die Beweisfigur

Veranschaulichende Hilfsmittel

Beweisverständnis wird nicht angestrebt

ZielUnterschied zwischen einer Vermutung und der Einsicht in das „Warum“ erfahren

TätigkeitenArgumente angebenArgumente aufgreifen und weiterführen oder widerlegenBeweisgedanken verstehen & in eigenen Worten wiedergeben



Stufe des inhaltlichen Schließens

Notation als Sequenz von Beweisschritten

Die Schülertätigkeit beschreibende Darstellung

keine lückenlose Angabe der benutzten Sätze

Bezug auf die Beweisfigur bei Aussagen zur Anordnung erlaubt

ZielSicherung und/oder Verständnis der Allgemeingültigkeit

TätigkeitenDie zum Beweis benutzten Sätze angebenEinen Beweis schriftlich reproduzierenFallunterscheidungen durchführeneinfache Beweise selbst finden



Stufe des formalen Schließens

Beweisen hauptsächlich unter dem Gesichtspunkt der Geometrie als formaler Theorie

Ziel:Ein in Beweiszeilen dargestellter Beweis.Jede Zeile ist entweder eine Voraussetzung oder folgt aus darüber stehenden Beweiszeilen.

TätigkeitenAls Sequenz von Beweiszeilen notierenAuf Schlüssigkeit und Lückenlosigkeit überprüfenBeweise durch Einfügen zusätzlicher Schritte verfeinernVerschiedene Beweise zum selben Sachverhalt im Hinblick auf die verwendeten Beweismittel bewerten


4.3 Beispiel: Satzgruppe des Pythagoras



Satz des Pythagoras

Satzgruppe des PythagorasBezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke. Zu ihr gehören folgende Sätze:

Satz des PythagorasBei jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächen-inhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐2

http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

𝑐𝑐𝑎𝑎𝑏𝑏

𝒃𝒃𝒃𝒂𝒂𝒃

𝒄𝒄𝒃

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

𝑐𝑐

𝑎𝑎𝑏𝑏

𝐷𝐷

ℎ

𝑝𝑝𝑞𝑞



Kathetensatz und Höhensatz

KathetensatzBei jedem rechtwinkligen Dreieck hat ein Kathetenquadrat denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.

𝑎𝑎2 = 𝑐𝑐 � 𝑝𝑝 und 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐 � 𝑞𝑞

HöhensatzBei jedem rechtwinkligen Dreieck hat dasHöhenquadrat denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusen-abschnitten.

ℎ2 = 𝑝𝑝 � 𝑞𝑞

𝒄𝒄⋅𝒑𝒑𝒄𝒄⋅𝒒𝒒

𝒃𝒃𝒃𝒂𝒂𝒃𝐶𝐶

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝑎𝑎𝑝𝑝

𝑏𝑏𝑞𝑞

𝑐𝑐𝑐𝑐

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

ℎ𝑝𝑝

𝑞𝑞

𝒉𝒉𝒃

𝒑𝒑⋅𝒒𝒒


Logische Struktur der Satzgruppe

Satz Kehrsatzproblematik!Satz des Pythagoras Ägyptische Seilspanner

Logische Abhängigkeit der Sätze:• Satz des Pythagoras ⇔ Kathetensatz• Satz des Pythagoras ⇒ Höhensatz• Kathetensatz ⇒ Höhensatz• Höhensatz ∧ Satz des Thales ⇒ Satz des Pythagoras• Höhensatz ∧ Satz des Thales ⇒ Kathetensatz

⇔ ⇒?⇐ ∧⇐𝒃𝒃𝒃

𝒂𝒂𝟐𝟐

𝒄𝒄𝒃 𝒄𝒄⋅𝒑𝒑𝒄𝒄⋅𝒒𝒒

𝒃𝒃𝒃𝒂𝒂𝟐𝟐

𝒉𝒉𝒃

𝒑𝒑⋅𝒒𝒒


Übergänge in der Satzgruppedes Pythagoras: Beweisideen

Pythagoras ⇒ Kathetensatz bzw. HöhensatzAnwendung des Satzes des Pythagoras auf die TeildreieckeArithmetische Umformungen

Höhensatz + Satz d. Thales ⇒ Satz d. Pythagoras / KathetensatzEinzeichnen eines geeigneten ThaleskreisesAnwendung des Höhensatzes auf ein geeignetes Teildreieck

Kathetensatz ⇒ HöhensatzMehrfache Anwendung des Kathetensatzes auf (Teil-)Dreiecke

http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/materialien/unterrichtsmaterial/pythagoras/

http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/materialien/unterrichtsmaterial/pythagoras/


Satz des Pythagoras Beweistypen bzw. -methoden

(1) Kongruenzbeweis

(2) Abbildungsbeweis

(3) Prinzip der Zerlegungsgleichheit

(4) Prinzip der Ergänzungsgleichheit

(5) Arithmetischer Beweis

(6) Ähnlichkeitsbeweis

(7) Methoden der analytischen Geometrie




Kongruenz-beweis

Kongruenzbeweis

(I) 𝐴𝐴𝐶𝐶 ∥ 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⇒ 𝐴𝐴Δ𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴Δ𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶(II) 𝐶𝐶𝐿𝐿1 ∥ 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⇒ 𝐴𝐴Δ𝐿𝐿1𝐸𝐸𝐶𝐶 = 𝐴𝐴Δ𝐶𝐶𝐸𝐸𝐶𝐶

(III) Zu zeigen: Δ𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 ≅ Δ𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵(1) 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵(2) ∡𝐵𝐵𝐵𝐵𝐴𝐴 = ∡𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵(3) 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐶𝐶𝑆𝑆𝑊𝑊𝑆𝑆

Δ𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 ≅ Δ𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝐴𝐴Δ𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴Δ𝐶𝐶𝐸𝐸𝐶𝐶

I , II ,(III)𝐴𝐴Δ𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴Δ𝐿𝐿1𝐶𝐶𝐸𝐸

⇒ 𝑎𝑎2 = 𝑐𝑐 ⋅ 𝐿𝐿1𝐵𝐵Analog ergibt sich:𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐 ⋅ 𝐴𝐴𝐿𝐿1

http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/pythagoras4.html

A B

C

L2 E

F

D

G

H

J

L1

Euklid: Die Elemente

A B

C

L2 E

F

D

G

H

J

L1

Euklid: Die Elemente

[Hypotenuse 𝑐𝑐][90° + 𝛽𝛽]

[Kathete 𝑎𝑎]

Beweis:

[Kathetensatz 2. Teil]

[Kathetensatz 1. Teil]

⇒ 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐 ⋅ 𝐿𝐿1𝐵𝐵 + 𝑐𝑐 ⋅ 𝐴𝐴𝐿𝐿1 = 𝑐𝑐 ⋅ 𝐿𝐿1𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐿𝐿1 = 𝑐𝑐 ⋅ 𝑐𝑐 = 𝑐𝑐2 ∎



Abbildungsbeweis (Im Unterricht über Flächeninhaltsvergleiche)


𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

Scherung → Drehung → Scherung



Prinzip der Zerlegungsgleichheit


Stuhl der Braut





Stuhl der Braut



Prinzip der Ergänzungsgleichheit

https://www.geogebra.org/m/yxdhFZuQ

𝒄𝒄𝒃𝒃𝒃𝒃

𝒂𝒂𝒃

Altindischer Ergänzungsbeweis



4

2

31

3

1

4

2



𝒄𝒄𝒃𝒃𝒃𝒃

𝒂𝒂𝒃






3

1

4

2

𝒄𝒄𝒃

4

2

31


4

2

31





Prinzip der ErgänzungsgleichheitPuzzle-Beweis

Roth: Pythagoras – Ergänzungsbeweispuzzle – Arbeitsblatt (Textdatenbank)

http://dms.uni-landau.de/texte/roth_pythagoras_arbeitsblatt_partnerarbeit_ergaenzungsbeweispuzzle.pdf


Arithmetischer Beweis

HinweisEin Beweis wird hier „arithmetisch“ genannt, wenn (evtl. anhand einer vorliegenden Figur) ausschließlich algebraische Umformungen durchgeführt werden.

BeispielKathetensatz ⟹ Satz des PythagorasVor: 𝒂𝒂2 = c ⋅ 𝒑𝒑 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑢𝑢 𝒃𝒃2 = 𝑐𝑐 ⋅ 𝒒𝒒

⇒ 𝒂𝒂2 + 𝒃𝒃2

= 𝑐𝑐 � 𝒑𝒑 + 𝑐𝑐 � 𝒒𝒒

= 𝑐𝑐 � (𝒑𝒑 + 𝒒𝒒)

= 𝑐𝑐 � 𝑐𝑐

= 𝑐𝑐2 ∎



𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝑎𝑎𝑝𝑝

𝑏𝑏𝑞𝑞

𝑐𝑐𝑐𝑐


Arithmetischer Beweis

Beweis von J.A. Garfield (1881 Präsident der U.S.A.)(1) 𝐴𝐴Trapez = 𝐴𝐴Δ1 + 𝐴𝐴Δ2 + 𝐴𝐴Δ3

= 12𝒂𝒂𝒃𝒃 + 1

2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 1

2𝒄𝒄2

= 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 12𝒄𝒄2

(2) 𝐴𝐴Trapez = 𝑎𝑎+𝑐𝑐2⋅ ℎ = 𝒂𝒂+𝒃𝒃

2⋅ (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)

= 12𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 2

= 12𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2

Gleichsetzen der Terme aus (1) und (2) liefert:12𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2 = 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 1

2𝒄𝒄2

𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2 = 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒄𝒄2

𝒂𝒂2 + 𝒃𝒃2 = 𝒄𝒄2

| ⋅ 2

| − 2𝑎𝑎𝑏𝑏∎

𝐴𝐴Trapez: Flächeninhaltdes Trapezes

𝚫𝚫𝟏𝟏

𝒂𝒂

𝒂𝒂𝒃𝒃

𝒃𝒃𝒄𝒄

𝒄𝒄

𝚫𝚫𝟐𝟐

𝚫𝚫𝟑𝟑


Ähnlichkeitsbeweis

Δ𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 ∼ Δ𝐴𝐴𝐶𝐶𝐷𝐷 ∼ Δ𝐶𝐶𝐵𝐵𝐷𝐷 (𝑤𝑤𝑤𝑤)

ℎ𝑝𝑝

= 𝑞𝑞ℎ

𝑏𝑏𝑞𝑞

= 𝑐𝑐𝑏𝑏

𝑎𝑎𝑝𝑝

= 𝑐𝑐𝑎𝑎

Katheten-satz

Höhensatz⇒ ℎ2 = 𝑝𝑝 � 𝑞𝑞

⇒ 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐 � 𝑞𝑞

⇒ 𝑎𝑎2 = 𝑐𝑐 � 𝑝𝑝

⇒

∎𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

𝑐𝑐

𝑎𝑎𝑏𝑏

𝐷𝐷

ℎ𝑝𝑝𝑞𝑞


Welchen Beweistyp würden Sie wählen?


Kriterien zur Auswahl von Beweismethoden

EigentätigkeitGroßteil der Schüler muss in der Lage sein, durch Eigentätigkeit, den Beweis oder die entscheidende Beweisidee selbst zu entdecken bzw. einen wesentlichen Beitrag dazu zu leisten

VielfaltSchüler sollen unterschiedliche Beweismethoden kennen lernen

Anschauen und BegreifenBeweis lässt sich gut visualisieren oder enaktiverarbeiten.

Verständnis fördernBeweis ist leicht durchschaubarBeweis erleichtert eine wichtige ErkenntnisBeispiel:

Satzgruppe des Pythagoras: Aussagen über FlächeninhalteSollte beim Beweis direkt erkennbar sein


Satzgruppe des PythagorasAnwendungen

Ebene GeometrieBerechnungen

Diagonale des Rechtecks Höhe & Flächeninhalt eines gleichseitigen DreiecksAbstand zweier Punkte (im Koordinatensystem)Kreistangenten und SehnenReguläre 𝑛𝑛-EckeKosinussatz

KonstruktionenFlächenverwandlung Strecken der Länge 𝑛𝑛

RaumgeometrieBerechnungen

RaumdiagonalenLängen im Raum

https://www.geogebra.org/m/PJEDcvFx

2

3

https://www.geogebra.org/m/PJEDcvFx



Verwandlung eines Rechtecks in ein inhaltsgleiches Quadrat

https://www.geogebra.org/m/ZuH6749V • https://www.geogebra.org/m/khTUH8CQ

Kathetensatz Höhensatz

l

b

c

q

https://www.geogebra.org/m/ZuH6749V

https://www.geogebra.org/m/khTUH8CQ



Verwandlung eines Rechtecks in ein inhaltsgleiches Quadrat

https://www.geogebra.org/m/ZuH6749V • https://www.geogebra.org/m/khTUH8CQ

Ausgangspunkt:Figur zum Kathetensatz

Kann man ein Quadrat der Figur konstruieren, wenn man ein Rechteck hat?

→ Konstruktion der entsprechenden Kathete.

Welche Schritte sind notwendig?

…

Kathetensatz

c

q



𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝑎𝑎𝑝𝑝

𝑏𝑏𝑞𝑞

𝑐𝑐𝑐𝑐

https://www.geogebra.org/m/ZuH6749V

https://www.geogebra.org/m/khTUH8CQ


4.4 Beweisen als TätigkeitKapitel 4: Argumentieren und Beweisen


Beweisen als Tätigkeit

Beweisen

Beweisfindung= Problemlösen Beweisdarstellung

Vorwärts-arbeiten

Rückwärts-arbeiten

heuristischeHilfsmittel

beschreibend symbolisch

verständlichevtl. unübersichtlich

übersichtlichevtl. unverständlich

Voraussetzung & Behauptung

erschließen

Skizze

Hilfslinien

direktindirekt

SpezialfallAnalogon


Beweisdarstellung

AussageJeder Punkt 𝑃𝑃 der Mittelsenkrechten 𝑚𝑚 einer Strecke [𝐴𝐴𝐵𝐵] ist gleich weit von den beiden Endpunkten der Strecke entfernt.

Voraussetzung(1) 𝑃𝑃 ∈ 𝑚𝑚(2) 𝑚𝑚 ⊥ 𝐴𝐴𝐵𝐵(3) 𝑀𝑀 ∈ 𝑚𝑚 ∩ 𝐴𝐴𝐵𝐵(4) 𝐴𝐴𝑀𝑀 = 𝐵𝐵𝑀𝑀

Behauptung𝐴𝐴𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑃𝑃

𝐴𝐴 𝐵𝐵𝑀𝑀

𝑃𝑃

𝑚𝑚


Beweisdarstellung

BeschreibendWir betrachten die Dreiecke Δ𝐴𝐴𝑀𝑀𝑃𝑃 und Δ𝑀𝑀𝐵𝐵𝑃𝑃 und zeigen deren Kongruenz. 𝑚𝑚 ist Mittelsenkrechte der Seite [𝐴𝐴𝐵𝐵]. 𝑚𝑚 steht also senkrecht auf der Seite [𝐴𝐴𝐵𝐵] und halbiert sie im Schnittpunkt 𝑀𝑀. Damit ist die Seite [𝐴𝐴𝑀𝑀] des Dreiecks Δ𝐴𝐴𝑀𝑀𝑃𝑃genau so lang wie die Seite [𝑀𝑀𝐵𝐵] des Dreiecks Δ𝑀𝑀𝐵𝐵𝑃𝑃.Die bei 𝑀𝑀 liegenden Innenwinkel der beiden Dreiecke sind jeweils rechte Winkel und damit gleich groß. Schließlich ist die Seite [𝑀𝑀𝑃𝑃]beiden Dreiecken gemeinsam. Damit stimmen die beiden Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein, sind also nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent.Da kongruente Dreiecke in allen sich entsprechenden Teilen kongruent sind, stimmen auch die dritten Seiten überein, d. h. die Strecken [𝐴𝐴𝑃𝑃] und [𝐵𝐵𝑃𝑃] sind gleich lang. ∎

SymbolischVor.: a) 𝑃𝑃 ∈ 𝑚𝑚

b) 𝑚𝑚 ⊥ 𝐴𝐴𝐵𝐵c) 𝐴𝐴𝑀𝑀 = 𝐵𝐵𝑀𝑀

Beh.: 𝐴𝐴𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑃𝑃

Bew.: Beweisidee: Δ𝐴𝐴𝑀𝑀𝑃𝑃 ≅ Δ𝑀𝑀𝐵𝐵𝑃𝑃(1) 𝐴𝐴𝑀𝑀 = 𝐵𝐵𝑀𝑀 Vor. c)(2) ∡𝑃𝑃𝑀𝑀𝐴𝐴 = ∡𝐵𝐵𝑀𝑀𝑃𝑃 = 90° Vor. b)(3) |𝑃𝑃𝑀𝑀| = |𝑃𝑃𝑀𝑀| Identität

⇒ Δ𝐴𝐴𝑀𝑀𝑃𝑃 ≅ Δ𝑀𝑀𝐵𝐵𝑃𝑃 (1);(2);(3);SWS

⇒ 𝐴𝐴𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑃𝑃 entspr. Seitenin kongruenten Δ

Lesbarkeitsindex (LIX) - Regensburger Analysetool für Texte (Ratte)

𝐴𝐴 𝐵𝐵𝑀𝑀

𝑃𝑃

𝑚𝑚

∎

https://www.uni-regensburg.de/sprache-literatur-kultur/germanistik-did/downloads/ratte/index.html

https://www.psychometrica.de/lix.html


Beweistechniken

Abkürzungen:𝑝𝑝: Voraussetzung des Satzes𝑞𝑞: Behauptung des Satzes

direkter Beweis

𝑝𝑝 ⇒ 𝑞𝑞

indirekter Beweis(Beweis durch Kontraposition)

¬𝑞𝑞 ⇒ ¬𝑝𝑝

Widerspruchsbeweis

𝑝𝑝 ∧ ¬𝑞𝑞


Widerspruchsbeweis

Satz Eine Gerade, die mit einem Kreis genau einen Punkt gemeinsam hat, ist Lot zum Kreisradius durch diesen Punkt.

Vor.: 𝑔𝑔 ∩ 𝑘𝑘(𝑀𝑀; 𝑟𝑟) = {𝑃𝑃}Beh.: 𝑔𝑔 ⊥ 𝑃𝑃𝑀𝑀

Beweis (Widerspruchsbeweis)Annahme: 𝑔𝑔 ∩ 𝑘𝑘(𝑀𝑀; 𝑟𝑟) = {𝑃𝑃} und ∠(𝑔𝑔,𝑃𝑃𝑀𝑀) ≠ 90°⇒ Der Fußpunkt 𝑄𝑄 des von 𝑀𝑀 auf 𝑔𝑔

gefällten Lotes ist von 𝑃𝑃 verschieden.⇒ Im rechtwinkligen Dreieck Δ𝑃𝑃𝑄𝑄𝑀𝑀 gilt |𝑄𝑄𝑀𝑀| < |𝑃𝑃𝑀𝑀| = 𝑟𝑟,

da dem größten Winkel die längste Seite gegenüberliegt.⇒ Der Punkt 𝑄𝑄∈𝑔𝑔 liegt, wegen |𝑄𝑄𝑀𝑀| < 𝑟𝑟 innerhalb des Kreises.⇒ Die Gerade 𝑔𝑔 schneidet 𝑘𝑘(𝑀𝑀; 𝑟𝑟) in zwei Punkten.⇒ Die Annahme war also falsch und es gilt ∠(𝑔𝑔,𝑃𝑃𝑀𝑀) = 90°. ∎

Widerspruch zur Vor.!!

𝑘𝑘𝑀𝑀

𝑃𝑃

𝑟𝑟

𝑔𝑔𝑄𝑄


Beweisen als lokales Ordnen

Beweisen

Aufbau einer Hierarchie von Sätzen von der Voraussetzung bis hin zur Behauptung der zu beweisenden Aussage.

Das lokale Ordnen besteht in dieser Rückführung der Behauptung auf andere Aussagen.

Suche nach geeigneten Sätzen.

Entschieden, ob eine untergeordnete Aussage bewiesen werden muss.

Voraussetzung: Fähigkeit, zwischen einem Satz und einer Definition zu unterscheiden.


Beweisen als lokales Ordnen

BeispielZu zeigen: In jedem gleichschenkligen Dreiecksind die Winkel an der Basis gleich groß. (Basiswinkelsatz)Aus

„Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten (die dritte Seite heißt Basis).“ (Definition)

folgt„In gleichschenkligen Dreiecken ist die Seitenhalbierende der Basis auch deren Mittelsenkrechte.“ (Beweisen!)

folgt„Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch bzgl. der Mittelsenkrechten der Basis.“ (Beweisen!)

folgtdie Behauptung des Basiswinkelsatzes.


Lokales Ordnen

Weigand et al. (2014): Didaktik der Geometrie in der Sekundarstufe I. Heidelberg: Springer Spektrum, S. 27f


Argumente für das Argumentieren und Beweisen

Beweisen bedingt die Entwicklung vieler für den Alltag wichtiger Fähigkeiten:

Notwendigkeit einer gemeinsamen Argumentationsgrundlage erkennenSchlüssigkeit und Wahrheitsgehalt von Aussagen beurteilenvollständig und richtig argumentierengeneralisieren, spezialisieren, analogisierenProbleme lösenPhantasie und Akribieindividuelle Leistungsbereitschaft und kooperatives DenkenBescheidenheit und SelbstbewusstseinEinsicht in (mathematische) Sachverhalte gewinnen

Beweisen ist eine wesentliche Facette der Mathematik


Methodische Überlegungenzum Beweisen

Erst Satzfindung, dann Beweisfindung!Satz ergibt sich meist aus einem ProblemAuffälliges entdeckenBesonderes ↔ Selbstverständliches

Phasenmodell zum Beweisen im MUVerbalisieren des SatzesEinsicht in die Notwendigkeit einer BegründungBeweisfindungVerbalisieren des BeweisesRückblickSatz einordnenVariieren – Weiterfragen

http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/pythagoras_entdecken.html

http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/pythagoras_entdecken.html

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