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3.1Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Didaktik der GeometrieModul 5: Fachdidaktische Bereiche

Jrgen Roth

3.2Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Inhalt

Didaktik der Geometrie

1 Ziele und Inhalte

2 Begriffsbildung

3 Konstruieren

4 Argumentieren und Beweisen

5 Problemlsen

6 Entdeckendes Lernen

3.3Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Kapitel 3: KonstruierenDidaktik der Geometrie

3.4Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Inhalt

Kapitel 3: Konstruieren

3.1 Was bedeutet Konstruieren?

3.2 Konstruktionsaufgaben

3.3 Konstruktionsbeschreibung

3.4 Konstruieren mit einem dynamischen Geometrie-System (DGS)

3.5Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

3.1 Was bedeutet Konstruieren?Kapitel 3: Konstruieren

3.6Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Konstruieren?!

Praktische Bedeutung rumliches Vorstellungs-vermgenArchitekturMaschinenbau

theoretische BedeutungKonstruktionsprobleme haben wesentliche Fortschritte in der Geometrie initiiertKonstruieren kann des Verstndnis von Begriffen, untersttzen

3.7Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Konstruieren?!

Konstruieren im engeren Sinn

Zeichnen nach bestimmten Regeln

Zeichenschritte werden nur mit jeweils zugelassenen Zeichengerten ausgefhrt (z. B. Zirkel und Lineal)

Zeichengerte werden nur zum Ausfhren bestimmter Grundfunktionen benutzt(z. B. Lineal nur zum Verbinden zweier vorhandener Punkte)

Beschrnkung auf Zirkel und Lineal historisch begrndet

Auch eine Beschrnkung auf andere Werkzeuge wre denkbar

http://www-madin.math.uni-wuppertal.de/madin/weigandh/didaktik_geometrie/konstruieren/zul/theorie/andere.html

http://www-madin.math.uni-wuppertal.de/madin/weigandh/didaktik_geometrie/konstruieren/zul/theorie/andere.html

3.8Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Konstruieren?!

Es gibt viele mit Zirkel und Lineal nicht lsbare Konstruktionsprobleme.

Quadratur des KreisesWinkeldreiteilungregelmiges 7-Eck

Erweiterung der erlaubten WerkzeugeWinkel- und Lngenmessskalen(gegebene Gren als Mae angeben)Geodreieck als Modulsammlung

http://realmath.de/Neues/Klasse6/winkel/winkelmessen2.html

GrundfunktionenSchwierigkeiten im Umgang

https://www.geogebra.org/m/XXrAKDJ2https://www.geogebra.org/m/nwkUE8uhhttp://realmath.de/Neues/Klasse6/winkel/winkelmessen2.html

3.9Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Konstruieren?!

Reines Konstruierenz. B. nur mit Zirkel und Lineal als Werkzeug

Modulares KonstruierenBereits durchgefhrte Konstruktionen knnen als Bausteine (Module) in an-deren Konstruktion verwendet werden. Dynamische Geometrie-Systeme (DGS):Als Makros bzw. Werkzeuge gespeicherte Konstruktionen (Module) knnen in anderen Konstruktionen verwendet werden.Elemente des Euklid: Konstruktions-beschreibungen verweisen auf bereits gelste Konstruktionsaufgaben Verwendung von Modulen

https://www.geogebra.org/geometry

https://www.geogebra.org/geometry

3.10Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Konstruieren?!

Konstruktion ProzessOft wird zu viel Wert auf die fertige Zeichnung gelegt.

Konstruktionsbeschreibung (Konstruktionsplan)Erklrung (Verbalisierung) des Prozesses.

Schritte des KonstruktionsprozessesVergleichbar mit den Schritten beim Auflsen einer Gleichung, die am Rand notiert werden: 2 + 4 = 8 | 2Die sequenziell notierte Lsung einer Gleichung ist auch ohne die Randbemerkung nachvollziehbar.Der fertigen Konstruktion sieht man ihren Ablauf nicht an.Die Konstruktionsbeschreibung ist insbesondere auch fr das Nachvollziehen und das Verstndnis einer Konstruktion hilfreich und notwendig.

3.11Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Beispiele fr grundlegende Konstruktionen

KonstruierenWinkel an Halbgerade antragenBildpunkt bei einer AchsenspiegelungSymmetrieachse zu zwei PunktenParallele zu einer Geraden

HalbierenStreckeWinkel

Lotvon einem Punkt (auerhalb einer Geraden) auf eine Gerade fllenin einem Geradenpunkt auf einer Geraden errichten

Kreise am DreieckUmkreisInkreis

https://www.geogebra.org/m/yVVaBY7Whttps://www.geogebra.org/m/XtHZEqquhttps://www.geogebra.org/m/D98sSfZDhttps://www.geogebra.org/m/XtHZEqquhttps://www.geogebra.org/m/vxwksyRahttps://www.geogebra.org/m/eZwP8Gdfhttps://www.geogebra.org/m/D98sSfZDhttps://www.geogebra.org/m/bYkMHVf4https://www.geogebra.org/m/qFVuPqbqhttps://www.geogebra.org/m/qFVuPqbq

3.12Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

3.2 KonstruktionsaufgabenKapitel 3: Konstruieren

3.13Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Grundkonstruktionen

Grundkonstruktionen sindEindeutig (Zu jeder Anfangs- gibt es genau eine Zielkonfiguration.) und in einem Schritt durchfhrbar (mit dem zugelassenen Zeichengert)

Grundkonstruktionen mit Zirkel und LinealZu zwei verschiedenen gegebenen Punkten

die Verbindungsgerade zeichnen,eine Halbgerade zeichnen, die in einem derPunkte beginnt und durch den anderen verluft,eine Strecke zeichnen, die in einem der Punktebeginnt und im anderen endet,einen Kreis zeichnen dessen Mittelpunkt einer der Punkte ist und der durch den anderen Punkt verluft.

3.14Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Konstruktionsaufgaben

Aufgabe: Von einer Ausgangs- zu einer Zielkonfiguration kommen.Konfiguration: Menge geometrischer Objekte + System von BedingungenZu einer Anfangskonfiguration kann es keine, genau eine(eindeutig lsbar) oder mehrere Zielkonfigurationen gibt.

Finden der LsungPlanfigur, heuristische Strategien

DarstellungKonstruktionsbeschreibungKonstruktion

RichtigkeitZeigen, dass jeder Konstruktionsschritt durchfhrbar ist.

https://www.geogebra.org/m/yZmynFqz

https://www.geogebra.org/m/yZmynFqz

3.15Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Durchfhren von Konstruktionsaufgaben

Analyse Finden der KonstruktionPlanfigurWelche Teile sind in welcher Reihenfolge konstruierbar?Evtl. Hilfslinien einzeichnen bzw. zunchst TeilkonstruktionenEs entsteht ein Lsungsplan der die Begrndungfr die Durchfhrbarkeit der Konstruktion enthlt.

Ausfhrung Darstellen der KonstruktionKonstruktionsbeschreibungKonstruktionszeichnungBegrndung der Richtigkeit

DeterminationDiskussion der Anzahl der Lsungen (evtl. unter verschiedenen Bedingungen fr die Ausgangsgren)

heuristische Phase

algorithmische Phase

analytischePhase

https://www.geogebra.org/m/x82N6kk2https://www.geogebra.org/m/WBMHuKW5

3.16Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Didaktische Funktionen von Konstruktionsaufgaben

Einfhren neuer BegriffeKonstruiere ein Viereck, bei dem gegenberliegende Seiten parallel zueinander sind. Parallelogramm

Entdecken von Stzen und ihren BeweisenKonstruiere zu einem gegebenen Dreieck einen Kreis durch die drei Eckpunkte. Satz:

In jeden Dreieck schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt.

Thematisieren anschaulich evidenter StzeKonstruiere ein Dreieck aus den Seitenlngen = 1 cm, = 3 cm und = 5 cm. Dreiecksungleichung

https://www.geogebra.org/m/yZmynFqz

https://www.geogebra.org/m/yZmynFqz

3.17Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

3.3 KonstruktionsbeschreibungKapitel 3: Konstruieren

3.18Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Konstruktionsbeschreibung

Verbalisieren als bergreifendes Lernzielsprachliche Korrektheit und Verwendung der Fachsprachekorrekte Reihenfolge von Argumentationsschrittensinnvolle Schrittweite von ArgumentationsschrittenVollstndigkeit der Angaben

Typische Fehler bei KonstruktionsbeschreibungenErlebnisbericht

Zunchst nehme ich den Zirkel zur Hand. Dann steche ich im Punkt A ein

Fehlende Konstruktionsparameterz. B. Kreise ohne Angabe von Mittelpunkt und/oder Radius

Es werden keine Module verwendet!z. B. werden bei der Inkreiskonstruktion nicht die Winkel-halbierenden angegeben, sondern wie man sie konstruiert

3.19Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Konstruktionsbeschreibung

https://www.geogebra.org/m/xu4BFgpa

https://www.geogebra.org/m/xu4BFgpa

3.20Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Konstruktionsbeschreibung mit GeoGebra

Gegeben:Dreieck ABC

Gesucht:Inkreis von ABC

Konstruktionsbeschreibung:Winkelhalbierende ,, = Winkelhalbierende ,, = schneide , = Senkrechte , = schneide , = Kreis , Strecke , = Der Kreis ist der gesuchte Inkreis.

https://www.geogebra.org/m/qFVuPqbq

https://www.geogebra.org/m/qFVuPqbq

3.21Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Konstruktionsbeschreibung im Heft

Gegeben:Dreieck ABC

Gesucht:Inkreis von ABC

Konstruktionsbeschreibung:(1) ist der Schnittpunkt

der Winkelhalbierenden von mitder Winkelhalbierenden von .

(2) ist der Schnittpunkt des von auf gefllten Lotes fmit der Dreiecksseite .

(3) Der Inkreis , ist der Kreis um mit der Strecke [] als Radius.

https://www.geogebra.org/m/qFVuPqbq

https://www.geogebra.org/m/qFVuPqbq

3.22Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

3.4 Konstruieren mit einem dynami-schen Geometrie-System (DGS)

Kapitel 3: Konstruieren

3.23Jrgen Roth Didaktik der Geometrie

Vorteile des Konstruierens mit einem DGS

ZugmodusErstellte Konstruktionen knnen variiert werden.Jede DGS-Konfiguration umfasst eine ganze Klasse von Figuren die so konstruiert werden knnen. (zugfest)

OrtslinienfunktionBei der Variation von Konstruktionen knnen Ortslinien von Punkten erstellt werden.

MakrosMakros erlauben ein modulares Konstruieren, also das Zurckgreifen auf bereits erstellte Konstruktionen

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