hidrolik ders notları 2

BÖLÜM 10

BORULAR İÇERİSİNDE AKIM

Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

10.1. HAREKET DENKLEMİ

v Zamanla değişmeyen akımı

v Hareket denklemini 156

(d)

10.1

c) kendi y (nl L1x) sina, ve d) ha-

reketini engellemeye ve parçaya yanal yüzeyi boyunca etkiyen sürtünme (kayma) ge-

rilmelerinin olan sürtünme kuvveti 't (2mL1x). O halde hareket denklemi:

(p + L1p) m 2- pnr2 - y (m2 L1x) sina - 't (2m L1x) =Kütle x

Boru boyunca O halde, süreklilik denklemi da

boyunca buna göre, ivmesi O halde enkesitlere etkiyen ba-

kuvvetlerinin eksi kuvvetinin. sürtünmeyi

yenmektedir. Denklemin bulunur:

1 (L1P . J't = 2" & - r (10.1)


HAREKET DENKLEMİ

156

(d)

10.1









1 (L1P . J't = 2" & - r (10.1)

DEĞERLENDİRME: -  D = st

-  Süreklilik denklemi

-  V = st SONUÇ: “basınç kuvvetlerinin farkı, eksi ağırlık kuvvetinin.

akım doğrultusundaki bileşeni, sürtünmeyi dengeler”

a = 0


HAREKET DENKLEMİ

156

(d)

10.1









1 (L1P . J't = 2" & - r (10.1)

Boru cidarında kayma gerilmesi:

157

Boru kayma gerilmesinin bulmak için denklemde r =D/2ve bu gerilmeyi 'to ile gösterelim. 'to cidar kayma gerilmesi O

halde (10.1) den:

1 (AP . JD'to = "2 Ax - Y a 2"

(10.1) ve (10.2) den:

(10.2)

ya da; cidardan boru eksenine ölçülen olmak üzere r =(D/2 - y) gözö-

nünde tutularak:

't = 't (1 - -LJo D12

Buna göre't cidardan eksene, 10.1b).

,10.2. AKIM (HAGEN-POISEUILLE AKIMI)

(10.3)

boru içerisindeki laminer laminer ha-

linde, 't kayma gerilmesinin, Newton'un elemanter sürtünme kanunundan

du't=/-l-

dy(10.4)


157


halde (10.1) den:

1 (AP . JD'to = "2 Ax - Y a 2"

(10.1) ve (10.2) den:

(10.2)


nünde tutularak:

't = 't (1 - -LJo D12



(10.3)



du't=/-l-

dy(10.4)

Her iki denklemden:

157


halde (10.1) den:

1 (AP . JD'to = "2 Ax - Y a 2"

(10.1) ve (10.2) den:

(10.2)


nünde tutularak:

't = 't (1 - -LJo D12



(10.3)



du't=/-l-

dy(10.4)

Buna göre τ cidardan eksene doğrusal olarak değişmektedir

w Cidardan boru eksenine doğru ölçülen uzaklık olmak üzere r =(D/2 - y)


10.2. LAMİNER AKIM HALİ (HAGEN-POISEUILLE AKIMI)

- Laminer Akım -  τ kayma gerilmesi: Newton'un elemanter

sürtünme kanunu: AMAÇ: “u hızının kesit içerisinde nasıl değişir?”

157


halde (10.1) den:

1 (AP . JD'to = "2 Ax - Y a 2"

(10.1) ve (10.2) den:

(10.2)


nünde tutularak:

't = 't (1 - -LJo D12



(10.3)



du't=/-l-

dy(10.4)

158

§1.4.2 den biliyoruz. Burada J.l dinamik viskozite u ise

olup, lc de kesit içerisinde Bu bölümde bizim

u kesit içerisinde belirlemektir.

(10.3) ve (10.4) denklemlerinden:

alarak,

II : (Y - sabit

y =O da u =O sabit =O bulunur.

(10.5)

Hemen tekrar dönmek üzere (10.5) denklemini bir kenara önemli yapa-

p kütlesi olmak üzere, Ip bir büyüklüktür; biz bu bü-

u* ile ve u* La kayma

(10.6)

o halde ve (10.6) dan, v =J.l / p (kinematik viskozite da gözönün-

de tutularak, u

Son iki denklemden:


HAGEN-POISEUILLE AKIMI

İntegral alınırsa:

158





alarak,

II : (Y - sabit


(10.5)




(10.6)


de tutularak, u

•  Sınır koşulu: y = 0 è u = 0 Sabit = 0

•  Kayma hızı: ve

•  u hızı:

•  r cinsinden:

158





alarak,

II : (Y - sabit


(10.5)




(10.6)


de tutularak, u

158





alarak,

II : (Y - sabit


(10.5)




(10.6)


de tutularak, u

158





alarak,

II : (Y - sabit


(10.5)




(10.6)


de tutularak, u

159

veya r cinsinden,

(10.7b)

bulunur. Bu bir parabol denklemidir. Olayda eksenel simetri birparaboloid gerekir.

§6.1 de, ortalama

Q f u dAV = _ = -,-,-A__

A ABurada Q debi, A kesit O halde dairesel kesitlibir boru için

ortalama i 0.1d):

0/2J U (2m dr)

V = ...:.:r==O__,..--_

1tD2

4(10.7), (10.8) de yerine konarak:

i V = D U:'. i8v

taraftan, (10.2), (10.6) ve denklemden:

D2 .)

V = 32Jl - 'Y

(10.8)

(10.9)

Bu bize, boru boyunca birim boy için dasöylemektedir.


HAGEN-POISEUILLE AKIMI

Akım ortalama hızı:

159

veya r cinsinden,

(10.7b)


§6.1 de, ortalama

Q f u dAV = _ = -,-,-A__


ortalama i 0.1d):

0/2J U (2m dr)

V = ...:.:r==O__,..--_

1tD2


i V = D U:'. i8v


D2 .)

V = 32Jl - 'Y

(10.8)

(10.9)


159

veya r cinsinden,

(10.7b)


§6.1 de, ortalama

Q f u dAV = _ = -,-,-A__


ortalama i 0.1d):

0/2J U (2m dr)

V = ...:.:r==O__,..--_

1tD2


i V = D U:'. i8v


D2 .)

V = 32Jl - 'Y

(10.8)

(10.9)


Dairesel kesitli bir boru için:

159

veya r cinsinden,

(10.7b)


§6.1 de, ortalama

Q f u dAV = _ = -,-,-A__


ortalama i 0.1d):

0/2J U (2m dr)

V = ...:.:r==O__,..--_

1tD2


i V = D U:'. i8v


D2 .)

V = 32Jl - 'Y

(10.8)

(10.9)


u hız denklemi V denklemine konursa:

Cidardaki kayma gerilmesi & kayma hızı denklemleri ile birlikte:

159

veya r cinsinden,

(10.7b)


§6.1 de, ortalama

Q f u dAV = _ = -,-,-A__


ortalama i 0.1d):

0/2J U (2m dr)

V = ...:.:r==O__,..--_

1tD2


i V = D U:'. i8v


D2 .)

V = 32Jl - 'Y

(10.8)

(10.9)



10.3. TÜRBÜLANSLI AKIM

¤  Küçük hızlarda: laminer ¤  Büyük hızlarda: türbülanslı Akım è

160

10.3. TÜRBÜLANSLI AKIM

Bölüm 6 da laminer ve konusunda bilgi Buna göre, küçük

laminer buna büyük hale geçti-

bu bilginin boru hemen bölgeye ba-

Bu bölgede çok küçüktür (ve nihayet tam cidar üzerinde O halde,

ince bir tabaka halinde tüm bu bölge içerisinde laminer karakterde

Bu bölgeye viskoz alt tabaka Bunun haricinde kalan bölgeyi ise çekirdek böl-

gesi olarak 10.2).

------\

- Çekirdek- _ bölgesi .....-, --. ---_ . - Viskoz alt

tabaka

10.2

1) Bu bölgeye eski literatürde laminer alt tabaka denirdi. Fakat son zamanlarda bu ince tabaka içe-

tisindeki laminer rejimde ancak viskozitenin önemli bir ile laminet

alt tabaka tabiri


10.3.1. Viskoz Alt Tabaka

Viskoz alt tabakanın kalınlığı çok ince: è

161


Viskoz alt çok ince bu tabaka içerisinde't kayma gerilme-

si, tam cidar üzerindeki yani 'to a

(10.10)

taraftan, bu tabaka içerisindeki madem ki laminer karakterde bir o

halde

du't=/l-

dy

(10.10) ve (10.11) den:

(10.11)

Bu denklemin integralini alarak ve u* = 't0/P ve v =).l / p ve y =Oiçin u =Oda gözönünde tutarak, bu ince tabaka içerisindeki y ile

ki bulunur:

(10.12)

gibi, viskoz alt tabaka içerisinde cidardan olan

deneyler bu sonucu Aynca deneyler, bu ka-

161




(10.10)


halde

du't=/l-

dy

(10.10) ve (10.11) den:

(10.11)


ki bulunur:

(10.12)



Akım laminer olduğuna göre: è

161




(10.10)


halde

du't=/l-

dy

(10.10) ve (10.11) den:

(10.11)


ki bulunur:

(10.12)



w İntegralini alınır & sınır koşulu: y = 0 è u = 0 w Bu ince tabaka içerisindeki hızın y ile değişimi:

161




(10.10)


halde

du't=/l-

dy

(10.10) ve (10.11) den:

(10.11)


ki bulunur:

(10.12)




Viskoz Alt Tabaka

✪ DENEYLER: ✔ Viskoz alt tabaka içerisinde hız, cidardan olan uzaklıkla doğrusal değişir.

✔ Bu tabakanın kalınlığı:

✔ δ mertebesi için: 10 cm çaplı font bir borudan Q = 2 lt/s geçerse:

è u* (kayma hızı) = 2 cm/s v = 10-2 cm2/s δ = 0,6 mm

(Not: 10 cm lik çap için son derece ince bir kalınlık !).

162

Ili = 11,6(10.13)

8 mertebesi bir fikir edinebilmek içinri 10 cm font bir borudan 2 lt/s lik bir debinin geçmesi halinde u* kayma=2 cm/s Bu ise, v =10-2 cm2/s 8 =0,6 mm lik bir yerir (10

cm lik çap yamnda son derece ince bir

10.3.2. Çekirdek Bölgesi

Çekirdek bölgesindeki bir kayma gerilmesinin

du -'t =. il - + (-p u'dy

A B (10.14)

§6 dan biliyoruz. Burada u' Ye ile ye radyalrultudaki Üst çizgi ise, u'y' ifade etmektedir. Aterimi, Yiskozitesi B terimi de ile do-

kayma (sürtünme) gerilmesini temsil etmektedir.

Bir boru içerisindeki her bir terimin, toplam kayma gerilmesine (yani't ya)nedir? Deneyler bunun, 10.3 teki gibi göstermektedir. de görüldü-gibi, çekirdek bölgesinde

. duil - « -p U'y' (10.15)dy

o halde (10.14) ye (10.15) den bu bölge içerisinde't == -p Uty' (10.16)



¤  Çekirdek bölgesindeki akım türbülanslıdır.

Türbülanslı bir akımda kayma gerilmesi:

162

Ili = 11,6(10.13)





du -'t =. il - + (-p u'dy

A B (10.14)




. duil - « -p U'y' (10.15)dy


162

Ili = 11,6(10.13)





du -'t =. il - + (-p u'dy

A B (10.14)




. duil - « -p U'y' (10.15)dy


¤ Deneyler çekirdek bölgesinde:

162

Ili = 11,6(10.13)





du -'t =. il - + (-p u'dy

A B (10.14)




. duil - « -p U'y' (10.15)dy


163

y

---_0_- Boru ekseni

Boru_pU'yI cidan

'ti· 'to ·1

10.3

taraftan cidara -p u'olarak sabit kabul bir bölgenin görülecektir; ile bu böl-

ge içerisinde,

't == -p u' == sabit (10.17)

(10.19)

ye "-p u' "nün bu sabit büyük bir 'to a alabiliriz. Sonuç olarakbu bölge içerisinde

(10.18)

Laminer halinde kayma gerilmesinin, cinsinden't = /.l du ya-biliyoruz. halinde ise buna benzeterek dy

du't = /.lT -

dy

§6 da

denklemde /.lT ye türbülans Yiskozitesi ismi yerilmektedir. özellik-leri, boru cidanndan içerilere gittikçe ince tabaka içerisinde


Çekirdek Bölgesi

163

y

---_0_- Boru ekseni

Boru_pU'yI cidan

'ti· 'to ·1

10.3


ge içerisinde,

't == -p u' == sabit (10.17)

(10.19)


(10.18)


du't = /.lT -

dy

§6 da


Cidara yakınlarında değerlerinin yaklaşık olarak sabit kabul edilir. Büyük bir yaklaşıklıkla,

163

y

---_0_- Boru ekseni

Boru_pU'yI cidan

'ti· 'to ·1

10.3


ge içerisinde,

't == -p u' == sabit (10.17)

(10.19)


(10.18)


du't = /.lT -

dy

§6 da


163

y

---_0_- Boru ekseni

Boru_pU'yI cidan

'ti· 'to ·1

10.3


ge içerisinde,

't == -p u' == sabit (10.17)

(10.19)


(10.18)


du't = /.lT -

dy

§6 da


Akımın türbülanslı olması halinin kayma gerilmesinin laminer haldeki formuna benzetirsek: : türbülans viskozitesi : karışım boyu

163

y

---_0_- Boru ekseni

Boru_pU'yI cidan

'ti· 'to ·1

10.3


ge içerisinde,

't == -p u' == sabit (10.17)

(10.19)


(10.18)


du't = /.lT -

dy

§6 da


163

y

---_0_- Boru ekseni

Boru_pU'yI cidan

'ti· 'to ·1

10.3


ge içerisinde,

't == -p u' == sabit (10.17)

(10.19)


(10.18)


du't = /.lT -

dy

§6 da


164

türbülanstan büyük ölçüde laminere benzer bir biraz ön-ce özellikleri cidardan içerilere göre, türbülans vis-kozitesi de cidardan içerilere gittikçe yani JlT, y nin bir fonksiyonu olma-

Gerçekten de, §6 da JlT ile

duIlT = pR2

dy

Burada R boyu ismini ve y ye idi. Rnin ve duldy nin y ye ol-bize JlT nin de y ye göstermektedir. Deneyler ve burada girme-

fiziksel 't == 'to olan bölgede Rnin R=0,4 y göster-mektedir. O halde JlT:

duIlT = 0,16 P y2dy

(l0.20)

tekrar 't == 'to olan bölgeye dönelim. Bu bölge için, (10.19) denkleminde't yerine 'tore JlT yerine (10.20) deki ifade konarak ve = 'to i P

du0,4 Y - - u. = Ody

lenklemi elde edilir. Bu denklemin integrasyonu ile

u =2,5 u. Rn y + sabitdde edilir.

(l0.21)

(10.22)

denklemdeki sabiti ele etmek için bir Çekirdek bölge-sinin alt viskoz alt üst ile Bu üzerinde (l0.12) den:

u2

[ v Jö = --L 11,6 - = 11,6 u.v u.

164



duIlT = pR2

dy



duIlT = 0,16 P y2dy

(l0.20)


du0,4 Y - - u. = Ody



(l0.21)

(10.22)


u2

[ v Jö = --L 11,6 - = 11,6 u.v u.

164



duIlT = pR2

dy



duIlT = 0,16 P y2dy

(l0.20)


du0,4 Y - - u. = Ody



(l0.21)

(10.22)


u2

[ v Jö = --L 11,6 - = 11,6 u.v u.


164



duIlT = pR2

dy



duIlT = 0,16 P y2dy

(l0.20)


du0,4 Y - - u. = Ody



(l0.21)

(10.22)


u2

[ v Jö = --L 11,6 - = 11,6 u.v u.

Çekirdek Bölgesi

163

y

---_0_- Boru ekseni

Boru_pU'yI cidan

'ti· 'to ·1

10.3


ge içerisinde,

't == -p u' == sabit (10.17)

(10.19)


(10.18)


du't = /.lT -

dy

§6 da


164



duIlT = pR2

dy



duIlT = 0,16 P y2dy

(l0.20)


du0,4 Y - - u. = Ody



(l0.21)

(10.22)


u2

[ v Jö = --L 11,6 - = 11,6 u.v u.

164



duIlT = pR2

dy



duIlT = 0,16 P y2dy

(l0.20)


du0,4 Y - - u. = Ody



(l0.21)

(10.22)


u2

[ v Jö = --L 11,6 - = 11,6 u.v u.

164



duIlT = pR2

dy



duIlT = 0,16 P y2dy

(l0.20)


du0,4 Y - - u. = Ody



(l0.21)

(10.22)


u2

[ v Jö = --L 11,6 - = 11,6 u.v u.

164



duIlT = pR2

dy



duIlT = 0,16 P y2dy

(l0.20)


du0,4 Y - - u. = Ody



(l0.21)

(10.22)


u2

[ v Jö = --L 11,6 - = 11,6 u.v u.

Denklemin entegrasyonu:


Sınır koşulu: Çekirdek bölgesinin alt sınırı viskoz alt tabakanın üst sınırı ¤ Bu sınır üzerinde hız:

Çekirdek Bölgesi

164



duIlT = pR2

dy



duIlT = 0,16 P y2dy

(l0.20)


du0,4 Y - - u. = Ody



(l0.21)

(10.22)


u2

[ v Jö = --L 11,6 - = 11,6 u.v u. 165

vbulunur. O halde y =11,6 - da u =11,6 u*u*

sabit = - 2,5 u* fn 11,6 + 11,6 u*u*

(10.23)

bulunur. (10.22) ve (10.23) ten u y ile

elde edilir:

II = LL. (2,5 ln + 5,5J (10.24)

Deneyler, bu tüm kesit içerisinde geçerli kabul gös-

termektedir.

Böylece, bir boru içerisinde hali için kesit içerisinde

(10.12) ve (10.24) denklemleri ile olduk 10.4 e bkz.). bu denk-

lemleri temsil eden olarak bir yu-

bir ile geçilir.

Son olarak, laminer halinde gibi, ortalama Bu

defa (10.8) denkleminde, (10.12) ve (10.24) denklemlerinin yeni ye-

rine koymak gerekecektir. viskoz alt tabaka çok küçük (10.12) ile

verilen (10.8) deki integrale çok küçük söyler.

la sadece (10.24) ifadesinin (10.8) de yerine ile, ortalama V

kilde bulunur:

v = (2,5 ln LL;: + 1.75) LL. (10.25)

165


sabit = - 2,5 u* fn 11,6 + 11,6 u*u*

(10.23)


elde edilir:

II = LL. (2,5 ln + 5,5J (10.24)


termektedir.




bir ile geçilir.






kilde bulunur:

v = (2,5 ln LL;: + 1.75) LL. (10.25)


Çekirdek Bölgesi

¤ u hız dağılımının y ile değişimi:

165


sabit = - 2,5 u* fn 11,6 + 11,6 u*u*

(10.23)


elde edilir:

II = LL. (2,5 ln + 5,5J (10.24)


termektedir.




bir ile geçilir.






kilde bulunur:

v = (2,5 ln LL;: + 1.75) LL. (10.25)

Deneyler è bu hız dağılımının tüm kesit içerisinde geçerli

•  Bu denklemleri temsil eden eğriler şematik olarak gösterilirse:

•  Ortalama Akım Hızı:

166

-- (10.24) denklemi

(10.12) denklemi

Viskozalt tabaka

10.4

10.3.3. Pürüzlü Cidar

kadar boru pürüzsüz kabul ettik. Hidrolikte bu tip cidarlara cilah cidar di-

yoruz. yükseklikleri ks olan bir boru dü-

10.5). Böylece boru (Pratikte ise malzemenin

bizzat kendi ks pürüzlülük çelik boroda 0.05 mm, font

boruda 0.3 - 3 mm, çimento ile boruda 0.3 - 2 mm ve boruda 0.2 - 0.9 mm dir).

viskoz alt tabaka verilen ince bir tabaka ile ve bu

v0= 11,6 -u.

bir önceki bölümde Viskoz alt tabaka Oile, pürüzlülük yüksek-

ks üç bir tanesi mevcut

165


sabit = - 2,5 u* fn 11,6 + 11,6 u*u*

(10.23)


elde edilir:

II = LL. (2,5 ln + 5,5J (10.24)


termektedir.




bir ile geçilir.






kilde bulunur:

v = (2,5 ln LL;: + 1.75) LL. (10.25)

hidrolik ders notları 2

Documents