YILDIZ TEKNK NVERSTES NAAT MHENDSL BLM MEKANK ANABLM DALI

STATK 042 13 12 DERS NOTLARI UBAT 2008

Prof. Dr. Turgut KOCATRK

1. Giri ve ana ilkeler 2. Vektrler ve kuvvetler, maddesel noktalarn statii Tanmlar Vektr ilemleri ve kuvvetler Maddesel noktalarn statii Rijit cisimler. D ve i kuvvetler Bir noktaya gre moment Varignon teoremi Bir eksene gre moment Kuvvet iftinin momenti Edeer kuvvet iftleri Bir kuvveti baka bir noktada etkiyen bir kuvvet ile bir kuvvet iftine dntrme Bir kuvvetler sisteminin bir kuvvet ve bir kuvvet iftine indirgenmesi Bir kuvvetler sisteminin bir kuvvet vidasna indirgenmesi Edeer kuvvet sistemleri Giri Dzlem alan ve erilerin arlk merkezi Bileik plak ve teller Pappus-Guldinus teoremleri boyutlu cisimlerin arlk merkezi Rijit cisimlerin dengesi Serbestlik derecesi ki boyutlu yaplarda eitli mesnet ve ba tipleri Dzlemsel yap sistemleri Dzlemsel yap sistemlerine etkiyen eitli yk tipleri ki boyutlu yapsal sistemlerin mesnetlenmesi ok paral yapsal sistemlere giri boyutlu yaplarn mesnet ve balarndaki kuvvetler boyutlu yaplarn mesnetlenmesi ubuklardaki i kuvvetler ubuklarda normal kuvvet, kesme kuvveti ve eilme momenti Yk, normal kuvvet, kesme kuvveti ve eilme momenti arasndaki

3. Rijit cisimler. Edeer kuvvet sistemleri

4. Arlk merkezleri, statik moment

5. Rijit cisimlerin dengesi

6. Dzlem tayc ubuk elemanlardaki i statik byklkler-Kesit tesirleri

bantlar

7. Dzlem ve uzay kafes sistemler 8. Kablolar Tekil yk etkisindeki kablolar Yayl yk etkisindeki kablolar Kafes sistemin tanm Basit kafes sistemler Bileik kafes sistemler Kafes sistemlerin zm yntemleri (Dm noktalar yntemi, kesim yntemi) Uzay kafes sistemler ve zm yntemleri

2

Parabolik kablo Zincir erisi kablo Tanmlar Paralel eksenler teoremi Asal eksenler ve asal atalet momentleri. Eksenlerin dndrlmesi. Mohr emberi Ktlelerin atalet momentleri

9. Atalet momentleri

10. Virtel i. Potansiyel enerji. Dengenin kararll (Stabilite)

3

1. GR1.1 Mekanik Mekanik, kuvvetlerin etkisi altnda cisimlerin denge ve hareket artlarn anlatan ve inceleyen bilim daldr. Mekanik ksma ayrlabilir: 1.Rijit cisimler mekanii: ekil deitirmeyen cisimler mekanii: a. Statik : Dengede bulunan cisimleri inceleyen bilim daldr. b. Dinamik: Hareket halindeki cisimleri inceleyen bilim daldr. 2. ekil deitiren cisimlerin mekanii a. Mukavemet 3. Akkanlar mekanii a. Skabilen b. Skamayan 1.2 Statiin Konusu Statik, uzayda kuvvetler etkisi altndaki cisimlerin denge koullarn inceler. Tanmndan da anlalaca zere statikte temel byklk olup, bunlar aada verilmitir: Uzay: Fiziksel olaylarn meydana geldii geometrik bir blgedir. ncelenen problemin trne gre uzay bir boyutlu, iki boyutlu ve boyutlu olabilir. Kuvvet: Hareketin nedeni olarak dnlen fiziksel etkenin matematik modelidir. Bir kuvvet uygulama noktas, dorultusu, yn ve iddeti ile bir btndr. Bu zelliklere sahip byklklerin vektrel byklkler olduu matematikten bilinmektedir. Cisim: Fiziksel olayn etkilerinin lld geometrik blgeye verilen addr. Statikte cisimler aada verilen iki ana idealletirmeyle tanmlanrlar: 1. Maddesel nokta(Parack): ncelenen statik problemin karakteri nedeniyle boyutlar ihmal edilebilecek mertebede kk olan cisme verilen addr. Maddesel nokta olarak dikkate alnabilen cismin ktlesi bir noktada toplanm olarak kabul edilir. 2. Rijit cisim: Kuvvetler etkisinde boyutlar deimedii kabul edilen, dier bir deyimle herhangi iki noktas arasndaki uzaklk daima sabit kalan, ok sayda maddesel noktann bileimi olan ideal bir cisimdir. eitli etkiler altnda kat cisimlerin

4

boyutlarndaki deime kk olduunda, boyut deiimiyle ilgilenilmeyen durumlarda yaplan bir kabul olup, bu kabul ilemlerde ok byk kolaylklar salar. 1.3 Birimler Newton mekaniinde kullanlan temel byklkler uzay, zaman, ktle ve kuvvettir. Sz konusu mekanikte uzay, zaman ve ktle, birbirinden bamsz, mutlak kavramlardr. Metre, kilogram ve saniye dnyann her hangi bir yerinde, hatta baka bir gezegende bile kullanlabilir. Bunlarn anlam her yerde ayn kalr. Newton mekaniinde, F = ma temel denklemi kullanlrken bu byklkler keyfi olarak seilemez. Eer yle yaplrsa F kuvvetinin iddeti ma arpmnn iddetine eit olamaz. O halde drt birimden istenildii gibi seilebilir; drdncs ise Newton un ikinci hareket kanunu olan F = ma salanacak ekilde seilmelidir. Bu durumda birimler kinetik adan uyuurlar. Kinetik adan uyumlu birimler seilirken baz byklkler temel, dierleri ise tretilen birimler olarak alnrlar. Uzay, zaman, ktle temel birimler, kuvvet tretilen birim olarak alnrsa bu ekilde oluturulan birim sistemlerine salt (mutlak) birim sistemleri; uzay, zaman, kuvvet temel birimler, ktle tretilen birim olarak alnrsa bylesi birim sistemlerine de ekimsel birim sistemleri denir. Mhendislikte uzun yllar ekimsel birim sistemleri kullanlmasna karn gnmzde salt birim sistemlerinin kullanm artk tm dnyada bir zorunluluk haline gelmektedir. Metrik salt birimler sistemleri olan MKS (Metre-uzunluk, Kilogram-ktle, Saniye-zaman) ve SI (the International System of Units) birim sistemlerinde kuvvetin iddeti Newton olup yle tanmlanr: 1 Newton, 1 kg ktlesindeki bir cisme 1 m/sn2 lik ivme kazandran bir byklktr. Metrik ekimsel birimler sisteminde kuvvet birimi kilogramdr. Burada kilogram ktle birimi deil, kuvvet birimidir. Bu nedenle bir karkla meydan verilmemesi iin kg kuvvet birimi olarak kullanldnda kgf olarak gsterilecek ve kilogram kuvvet olarak okunacaktr. Bu kuvvet, ktlesi 1 kg olan bir cismin deniz dzeyinde ve 45o enlemdeki arl olarak tanmlanr. Byle bir yerde serbest den bir cismin ivmesi 9,81 m/sn2 olduundan 1 kilogramkuvvetin 1 kilogramlk ktleye 9,81m/sn2 lik ivme verdii grlr. O halde metre, kilogram kuvvet, saniye ve kilogram ktle kinetik olarak uyuan bir birim sistemi oluturmaz. Bununla beraber, bu kitapta Tablo 1.1 Birim sistemleri. Sistemler CGS MKS SI ngiliz Uzunluk cm m m ft Ktle gr kg kg lb Kuvvet Din (gr. cm. /sn2) N (kg. m. /sn2) N (kg. m. /sn2) Poundal (lb. ft. /sn2)

salt birimler sistemi kullanlacandan bu konu zerinde daha fazla durulmayacak, yalnz, tanmndan da anlald zere 1 kg kuvvet 9,81 N olduu not edilmekle yetinilecektir.

5

eitli salt birim sistemleri Tablo 1.1 de verilmitir. Ayrca gerekli olabilecek baz birim evirmeleri de Tablo 1.2 de verilmitir. Tablo 1.2 Birim evirmeleri. 1 lb=453,59 Din 1 kgf=2,2046 lb 1 psi=0,0703 kgf/cm2=6,894kPa=6,894 N/m2 1 in=2.54cm 1 kgf. m=9,81 J 1 ft=12 in=30,48 cm

1 N.m=Joule; 1 kgf=9,81 N; 1 Pa=1 N/m2; psi=lb/in2 ; J=Joule; Pa= Pascal Kinetikte i birimi olarak kullanlan Joule 1 Newtonluk kuvvetin 1 metre yol almas durumunda yapt i olarak tanmlanmaktadr. Birim alana gelen kuvvet (gerilme) birimi 1 pa = 1 N / m 2 dir. 1.4 Statiin Temel lkeleri 1) Kuvvet paralelkenar ilkesi: Bir rijit cisimde bir noktaya etkiyen iki kuvvet yerine bir kuvvet konulabilir. Bu kuvvet, kenarlar eit olan paralelkenarn kegenini izerek elde edilir ve bu iki kuvvetin bilekesi olarak anlr. Bileke kuvvet gz nne alnan iki kuvvetin vektrel toplamdr, ekil 1.1.R = F1 + F2F1 A R F2 F2 A B F1

Statik drt temel ilkeye dayanr:

(1.1)

ekil 1.1

ekil 1.2

Tersine olarak paralelkenar ilkesi, verilen bir kuvveti verilen iki dorultuda belli iki kuvvete (bileenlerine) ayrmak iin de kullanlabilir.2) Denge ilkesi: Bir rijit cisme etkiyen iki kuvvetin dengede olabilmeleri iin tesir izgilerinin ayn, iddetlerinin eit ve ynlerinin zt olmas gerekir. rnein F1 = F2 ise ekildeki kuvvetler dengede olurlar, ekil 1.2. 3) Sperpozisyon ilkesi: Rijit bir cisme etkiyen bir kuvvet sistemine, dengedeki bir kuvvet sistemini eklemek veya karmak rijit cismin durumunu deitirmez.

kinci ve nc ilke birletirilerek, rijit cisim statiinde kuvvetin bir kayan vektr olduu, yani ayn tesir izgisi zerinde, ayn iddet, dorultu ve ynde baka bir noktaya etkiyen bir kuvvet olarak gz nne alnabilecei grlebilir. ekil 1.3 de bu kolayca grlmektedir.

6

F1 A

F2 A -F 2

F 1

ekil 1.3 4) Etki tepki ilkesi: Birbirlerine deen iki cismin deme noktalarnda etki ve tepki kuvvetleri ayn iddette, ayn tesir izgisi zerinde ve zt yndedirler, ekil 1.4.

ortak teet R AB R BA A B Ortak teet Etki=Tepkiekil 1.4 1.5 Statiin Problemleri ve Yntemi

R BA= RAB

Statik problemlerinde aadaki gibi durumla karlalabilir:1. Bileke aranmas: Kuvvetler sisteminde kuvvetlerin saysn azaltmak hesaplarda nemli kolaylklar salar. Eer kuvvetler sistemi bir tek kuvvete indirgenebilirse bu kuvvet aranan bileke olur. 2. Bileenlere ayrma: Baz durumlarda bir kuvvetin kendisi yerine belirli dorultulardaki bileenlerinin kullanlmas daha elverili olabilir. Bu durumda bileenlere ayrma problemi ile karlalabilir. 3. Denge problemi: Kuvvetler sisteminin dengede olmas iin salamas gereken koullarn incelenmesidir.

Statik problemleri incelenirken, problemdeki cisimlerin hepsi iin, her birine etkiyen kuvvetleri aka gsteren ayr ayr diyagramlar izilmelidir. Dengesi incelenecek olan sistemin ya da cismin zerine etkiyen btn kuvvetlerin gsterildii diyagramlara serbest cisim diyagramlar (SCD) denir. Bu diyagramlarn elde edilebilmesi iin,a) incelenecek olan cisim balarndan ve dier cisimlerden ayrlr, b) balardan ve dier cisimlerden ayrlan cismin serbest cismi zerine uygulanan kuvvetler gsterilir,

7

c) serbest cisim birka paradan oluuyorsa, tm cismin SCD da, bu paralarn birbirlerine uygulad kuvvetler gz nne alnmamaldr, d) bilinen d kuvvetler iddet ve dorultularyla SCD da izilir, e) ba kuvvetleri (mesnet tepkileri veya mesnet reaksiyonlar) de, ban zelliine gre SCD da cisim zerine etkitilir.

Bylece elde edilen SCD da denge denklemleri yazlarak bilinmeyenler hesaplanabilir. Baz SCD lar ekil 1.5 de grlmektedir.

FA B HA

A V A V B

B

F

Fq A R1 q B R2

F

HA V A V B

ekil 1.5

8

2. VEKTRLER VE KUVVETLER2.1 Tanmlar

Ktle, uzunluk, zaman, bir cismin younluu ve herhangi bir say gibi sadece bykl olan ifadelere skaler denmekte olup, mekanikte en sade ifadeler skalerlerdir. Mekanik problemlerin incelenmesinde skaler tanm yeterli olmayp, buna ek olarak vektr tanmna ihtiya vardr.

Vektrel byklkler: Hz, ivme ve kuvvet gibi hem yn, hem dorultusu, hem de iddeti olan byklklere vektr ad verilir. Bir F vektrnn iddeti F ya da F

ile simgelenir. Vektr dorultusunu bir doru, ynn de bir ok belirler, ekil 2.1. ekil 2.1 deki A( x A , y A , z A ) ve B( x B , y B , z B ) vektr dorultusu zerindeki iki nokta olup, bu noktalar koordinatlaryla verilmilerdir; dolaysyla vektrn dorultusu belirlidir.y

FA(xA,yA,zA)

B(x B,yB,z B) x

z

ekil 2.1

Vektrler aadaki gibi guruplandrlabilirler:1. 2. Serbest vektr: Yn ve iddeti korunmak artyla uzayda serbeste hareket edebilen vektr. Kayan vektr: Ayn dorultu zerinde olmak kouluyla istenilen noktaya uygulanabilen vektr. Statikte kuvvetler kayan vektrlerdir. Statikte kuvvetlerin kayan vektrler olduu sperpozisyon ve denge ilkeleri yardmyla gsterilebilir. ekil 2.2a da, A noktasna etkiyen F kuvveti ele alnsn. Denge ilkesinden cisim ierisindeki bir B noktasna F kuvveti ile ayn tesir izgisi zerinde olan, ynleri ters, iddetleri F olan iki kuvvet yerletirilebilir, ekil 2.2b. Sperpozisyon ilkesi

kullanlarak A noktasndaki F kuvveti ile B noktasndaki F kuvveti kaldrlabilir.

9

Sonu olarak A noktasna etkiyen F kuvveti cisim zerindeki B noktasna tanm olur, ekil 2.2c.

F A B(a) 3. 4.

F F A B(b) ekil 2.2

-F

F A B(c)

Sabit vektr: Uygulama noktas sabit olan vektr. Birim vektr: Bu vektrler burada simgesi ile gsterilecek olup, boylar, yani

iddetleri birim olan = 1 vektrlerdir, ekil 2.3. ekil 2.3 den de grld gibi dik kartezyen koordinat takmnda birim vektr x dorultusu ile x , y dorultusu ile y ve z dorultusu ile z alarn yapmaktadr. Birim vektr konusunda daha ayrntl alma ksm 2.2 de yaplacaktr.y y x z xi

(

)

yj

Oz k

x

z

ekil 2.3 2.2 Vektrel lemler ve Kuvvetler

Statikte btn ilemler vektrel olarak yaplabilmesine karn, boyutlu problemlerde vektrel hesap sonuca daha kolay gtrdnden zellikle tercih edilmektedir. Bu aamada statikte kullanlacak olan baz temel vektrel ilemlerden sz edilecektir. Paralelkenar ilkesi: Vektrler bu ilke ile toplanrlar, ekil 2.4. Bu ilkenin matematik gsterimi

R = F1 + F2

(2.3)

eklindedir.

10

F2

R F2 F1 A F1

F1

R F2

A

ekil 2.4

ekil 2.5

gen ilkesi: F1 ve F2 vektrleri birbirlerinin ucuna eklenerek ekil 2.5 de gsterildii gibi bilekenin bulunmas mmkndr.

Vektrlerin bir sabit ile arpm: A noktasna uygulanm bir F vektr a gibi bir skalerle arplrsa, a > 0 P = aF ve Q = aF iin P ve Q vektrleri ekil 2.6 da grld gibi elde edilir. (2.4)

Qekil 2.6

F

P

Kuvvetin vektrel gsterimi: Bir kuvvetin, uygulama noktas, iddeti, dorultusu ve yn ile belirlendiine daha nce deinilmi ve kuvvetin vektrel bir byklk olduu ifade edilmiti. Bu aamada bir F vektr kuvvet olarak gz nne alnsn. boyutta verilen bir kuvvetin dik bileenleri, ekil 2.7,

y B Fy O Fz z E (a) F x Fx C A x D z E O Fz B

y B Fy yF Fx C (b)ekil 2.7

y Fy F x D z E (c) O F Fz z x C D x

A

A

11

Fx i = F . cos x . i F y j = F . cos y . j Fz k = F . cos z . k

(2.5)

olur. Bu durumda kuvvetF = Fx i + Fy j + Fz k

(2.6)

eklini alr. (2.5) in sa tarafndaki ifadeler cinsinden kuvvetF = F (cos x i + cos y j + cos z k )

(2.7)

eklinde yazlabilir, ekil 2.7a,b,c. cos x , cos y , cos z lere dorultman kosinsleri denir ve bunlar, ekil 2.8,y

Fy j (Siddet=1)coszj

F=F xcoszi

coszk

Fx i

z

Fz kekil 2.8

x = cos xeklinde gsterilir. Burada

y = cos y

z = cos z

(2.8)

= x i + y j + z keklinde bir ifade tanmlanrsa, bu durumda F kuvvetiF = F

(2.9)

(2.10)

olarak yazlr. Burada F kuvvetin iddetini gsterir, ise dorultu ve yn gsteren birim yer vektrdr. Birim yer vektr iin izleyen bantlar geerlidir:

12

2 + 2 + 2 = 1 x y zcos 2 x + cos 2 y + cos 2 z = 1 (2.11)

=1

= = 2 + 2 + 2 x y z

iddeti ve tesir izgisi zerindeki iki nokta ile tanmlanan kuvvet: Uygulamalarn bir ounda, F kuvvetinin dorultusu, tesir izgisi zerindeki M ( x1 , y1 , z1 ) ve N ( x 2 , y 2 , z 2 ) gibi iki noktasnn koordinatlar yardmyla tanmlanr, ekil 2.9. Bu kuvvetin Fx , Fy , Fz bileenleri (2.7) den

N(x2,y2 ,z2) F y d y=y2-y1 dz=z 2-z 1 0 kararl denge (ekil 10.9a)

(10.33a)

=0,

2Ep2 1

< 0 kararsz denge (ekil 10.9b)

(10.33b)

=0,

2Ep2 1

= 0 tarafsz denge (ekil 10.9c)

(10.33c)

olur. E p fonksiyonunun serbest deikene gre deiimine rnek olarak ekil 10.9a kararl denge, ekil 10.9b kararsz denge ve ekil 10.9c de tarafsz denge iin gsterilebilir. ncelenen sistem ok serbestlik dereceli de olabilir. Bu durumda ok deikenli fonksiyonlar teorisinden yararlanlr. rnein iki serbestlik dereceli bir sistemde (10.33) denklemleri yerine,

E p 1

=

E p 22

=0

(10.34a)

2Ep 1 2 2Ep 12 >0

2Ep 2Ep 0

(10.34c)

bantlar srasyla salanyorsa denge kararldr ve E p potansiyeli minimumdur.

O (a)

1

O (b)

1

O (c)

1

ekil 10.14 119

Ek 1: Trev Operatr Nabla Nabla bir trev operatr olup, vektrel ve skaler fonksiyonlara uygulanr. Simgesel gsterimi dr. Operatrn ak yazlm ise,

=

i + j+ k x y z

(E1.1)

dir. Nabla, vektr zelliklerine sahip olup, bununla uygulamada grad, diverjans, curl olarak karlalmaktadr. Gradyan: ( x, y, z ) biimindeki bir tretilebilir fonksiyona uygulandnda, bir vektr alan tanmlar: = x i + y j + z k = x i + y j + z k

(E1.2)

Eer , gibi bir birim vektrle skaler arplrsa, . ,

dorultusunda

( x, y, z ) nin deiimini verir. = grad biiminde de yazlabilir. Ayrca , c bir sabit olmak zere, ( x, y, z ) = c yzeyine dik bir vektr olur.Diverjans: A= x i + y j + z k Ax i + Ay j + Az k

(

)(E1.3)

=

Ay Ax A i+ j+ zk y z x

bulunur. Yalnz unu da belirtelim ki, A A Ayrca A = diveryans A biiminde yazlabilir.

Curl: A ( x, y, z ) biimindeki bir tretilebilir vektrle, vektrel arplrsa,i A= x Ax j y Ay k z Az

(E1.4)

olur. A = curl A diye de yazlabilir.

( x, y, z ) , ( x, y, z ) fonksiyonlar ile, A B vektrleri tretilebilir olmak kouluyla, trev operatrnn baz zellikleri:1. ( + ) = + 2. ( A + B) = . A + .B 3. ( A + B) = A + B 4. . ( A) = ( ). A + ( A)

120

5. (A) = ( ) A + ( A) 6. .( A B) = B.( A) + A.( B) 7. ( ) = 0 8. ( A) = 0 9. ( A) = .(. A) 2 A

Burada 2 ye Laplacien denir ve ak yazlm, 2 2 2 2= 2 + + 2 x y2 z

dir.Ek 2. Skaler arpmn Distribtif Olduunun spat

Skaler arpmn distribtif de olduunu gstermek iin u bant ispatlanmaldr:P.(Q1 + Q2 ) = P.Q1 + P.Q2

(E2.1)

Genellii bozmadan P nin y ekseni dorultusunda olduu kabul edilebilir, ekil E2.1. Q ile Q1 ve Q2 nin toplamlarn, y ile de Q nun y ekseni ile yapt a gsterilirse (E2.1) in sol yan yle ifade edilebilir: y Qy . PQ1 y

Q Q2 x

z

ekil E2.1

P.(Q1 + Q2 ) = P.Q = P.Q. cos y = P.Q y

(E2.2)

burada Q y , Q nun y bileenidir. (E2.1) in sa yan da benzer ekilde yle ifade edilebilir:P.Q1 + P.Q2 = P(Q1 ) y + P(Q2 ) y

(E2.3)

Q , Q1 ile Q2 nin toplam olduundan, y bileeni de Q1 ve Q2 nin y bileenlerinin toplamna eit olacaktr. Bylece (E2.2) ve (E2.3) de elde edilen ifadeler birbirine eit ve dolaysyla (E2.1) ispatlanm olur.

121

KAYNAKLAR

1. Mhendisler in Vektr Mekanii, Statik, F. P. Beer, E. R. Johnston, E. R. Eisenberg (evirenler . Gndodu, H. R. z, O. Kopmaz, zmir Gven Kitabevi, Eyll 2007. 2. Mhendisler in Mekanik, Statik, M. H. Omurtag, Birsen Yaynevi, 2007. 3. zml Statik Problemleri, H. Engin, E. Ergven, Beta Basm Yaym Datm A. ., 1995.

1. hafta bir kuvvet iftinin momentine gelindi

122