itap ders notları
DESCRIPTION
İstastisticTRANSCRIPT
IARS
ISTATISTIK MEKANIK VE KARMASIKLIK SERISI
ILERI ISTATISTIK MEKANIK
VE
KARMASIKLIK
CALISTAYI DERS NOTLARI
02-20 Temmuz 2007
Marmaris Kuramsal ve Uygulamalı Fizik
Arastırma Enstitusu
( ITAP )
Turunc- MARMARIS
ONSOZ
i
ICINDEKILER
ONSOZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
ICINDEKILER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
BOLUM BIR - KLASIK ISTATISTIK MEKANIK . . . . . . . . 3
1.1 GIRIS - ISTATISTIKSEL FIZIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 TERMODINAMIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Termodinamigin Kanunları . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 KLASIK ISTATISTIKSEL MEKANIK . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Mikrokanonik Topluluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2 Kanonik Topluluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.3 Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.3.4 Grand Kanonik Topluluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.5 Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.3.6 Etkilesen Parcacıklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.3.7 Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.3.8 Faz Gecisleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.3.9 Landau-Ginzburg Teorisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.3.10 Olcekleme Hipotezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.3.11 Ising Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.3.12 Problemler Icin Ipucları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
BOLUM IKI- ISTATISTIK FIZIKTE SAYISAL YONTEMLER 112
2.1 Bilgisayar Simulasyonları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.1.1 Bilgisayar Kullanım sekillleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.1.2 Model Sistemler ve Etkilesim Potansiyelleri . . . . . . . . . 113
2.1.3 Indirgenmis Birimler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.1.4 Periyodik Sınır Kosulları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.1.5 Uc Boyutta Simulasyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.2 Numerik Integrasyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
ii
2.2.1 Hareket Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.3 Verlet Algoritması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.3.1 Verlet Algoritmasının Ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.4 Molekuler Dinamigin Incelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.4.1 Hucre Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.5 Sabit Basınc Algoritması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.6 Kaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.6.1 Kaosun Ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.6.2 Kaos Sistemlerinin Analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.6.3 Lojistik Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.6.4 Lorenz Cekicisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.6.5 Duffing Osilatoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.6.6 Sonumlu Surulmus Harmonik Salınıcı . . . . . . . . . . . 137
2.6.7 Iki Boyutlu Kare Orgude Ising Modeli . . . . . . . . . . . 138
BOLUM UC- KAOS GECIS ESIGINDEKI DINAMIK SISTEMLER 147
3.1 Kaotik Sistemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.1.1 Giris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.1.2 Dogrusal ve Dogrusal Olmayan Sistemler . . . . . . . . . . 149
3.1.3 Dogrusal Olmamanın Onemi . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.1.4 Dogrusal Olmama ve Kaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.1.5 Onemli Sorular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.1.6 Biyolojik Populasyon Buyumesi Modeli . . . . . . . . . . . 153
3.1.7 Sabit Noktaların Onemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.1.8 Daha Karmasık Davranıs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.1.9 Lyapunov Ustelleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.1.10 Determinizm, Kestirilemezlik ve Yorungelerin Iraksaması . 168
3.2 Kaosun Evrenselligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.2.1 Giris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.2.2 Feigenbaum Sayıları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.2.3 Kestirimde δ’nın Kullanımı . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.2.4 Feigenbaum Buyukluk Olceklenmesi . . . . . . . . . . . . . 176
3.2.5 Kendine Benzerlik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
iii
3.2.6 Diger Evrensel Ozellikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.3 Dusuk Boyutlu Dinamik Sistemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.3.1 z-Lojistik Harita Ailesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.3.2 Diger Cevrimler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.3.3 Ilk Kosullara Kuvvetli Baglılık . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.3.4 Entropi Artıs Hızı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.3.5 Durulma Dinamigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.3.6 Merkezsel Limit Kuramı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3.3.7 Ilk Kosullara Zayıf Baglılık . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.4 Kaos Gecis Esigindeki Dusuk Boyutlu Dinamik Sistemler . . . . . 205
3.4.1 Entropi Artıs Hızı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3.4.2 Durulma Dinamigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.4.3 Merkezsel Limit Kuramı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
iv
KLASIK ISTATISTIK MEKANIK
Alkan KABAKCIOGLU
KOC UNIVERSITESI
DERS ASISTANLARI :
Nese ARAL (Koc Universitesi)
Murat TUGRUL (Koc Universitesi )
DERS NOTU ASISTANLARI :
Yusuf YUKSEL (Dokuz Eylul Universitesi)
Sevil SARIKURT (Dokuz Eylul Universitesi)
1
Asagıdaki notlar IARS yaz okulu kapsamında Temmuz 2007’de Turunc/Marmaris’te
verilmis olan Ileri Istatistiksel Fizik dersine aittir; ticari amacla kullanılamazlar;
kopyalanmaları ve dagıtılmaları serbesttir. Dersi alan ogrencilerin notları arasından
okul organizasyon komitesi tarafından secilerek gozden gecirilen bu notlar (der-
sin icerigi gibi) MIT OpenCourseWare kaynak alınarak hazırlanmıstır, ancak bu
kaynagın birebir tercumesi degildir.
Kaynak:
Prof. Mehran Kardar, 8.333, Statistical Mechanics I: Statistical Mechanics of
Particles, Fall 2005 (MIT OpenCourseWare: Massachusetts Institute of Technol-
ogy),
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Physics/8-333Fall-2005/CourseHome/index.htm
License: Creative commons BY-NC-SA
Telif hakları ve kullanım kosulları icin bakınız:
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/web/help/faq3/index.htm
2
BOLUM BIR
KLASIK ISTATISTIK MEKANIK
1.1 GIRIS - ISTATISTIKSEL FIZIK
Cok sayıda ozdes parcacık ya da alt sistem iceren makroskobik sistemlerin
fiziksel ozelliklerini inceler. Bir tane elektronun ozellikleriyle degil, bunlardan
pek cogu bir araya geldigi zaman bu sistem nasıl davranır onunla ilgileniyoruz.
Burada cok sayıdan kasıt Avogadro sayısı kadar yani yaklasık 1023 parcacık ya
da alt sistemdir. Istatistiksel fizikte, incelenen fiziksel ozellikler makroskobik
ozelliklerdir ve bunlar genelde ortalamalardır.
Istatistiksel fizikte makroskobik ve mikroskobik perspektif olmak uzere iki du-
rum soz konusudur. Makroskobik perspektif, sistemin ortalama ozelliklerini in-
celer ve onemlidir. Mikroskobik ozellikler ise genellikle onem arz etmez.
Makroskobik sistem; yaklasık 1023 tane parcacık iceren sistemlerdir.
Bunun karsıtı olarak bir de mikroskobik tanımdan bahsederiz. 1023 tane parcacık
iceren bu makroskobik sistemin mikroskobik bir tanımını verebiliriz.
Makroskobik sistemlere baktıgımız zaman pek cok ozellik aslında mikroskobik
detaylardan bagımsızdır. Ornegin; bir odanın icerisindeki gaza baktıgımız zaman
bunun belli bir hacim kapladıgını, duvarlara belli bir basınc uyguladıgını biliy-
oruz. Bu ozellikler hangi parcacıgın nerede olduguyla cok fazla ilgili degil. Aslında
gozlemledigimiz bunların ortalamasıdır. Bu ortalamalar, mikroskobik detaylar-
dan bagımsız olarak, ortalama degerleri sabit degerlerdir. Aslında istatistik fizik
yaptıgımız zaman bu makroskobik ozelliklere dair birseyler soylemeye calısıyoruz
ve bunların arasındaki iliskileri belirlemeye calısacagız.
3
4
Mikroskobik sistem; 1023 tane parcacıgın her birinin konumlarını (~ri) ve mo-
mentumlarını (~pi) verir. Dolayısıyla fazla detaylı ve gereksizdir. Bu momentum
ve konumlara ihtiyac yoktur. Fakat onemli olan bunların ortalamalarıdır. Bu de-
taylar uzerinden ortalamalar alınarak sadece makroskobik duzeyde bazı degiskenler
(ornegin: basınc, hacim, sıcaklık) cinsinden bu sistem tanımlanabilir.
Temel nokta aslında; mikroskobik seviyede sistemi bilmeden makroskobik davranısı hakkında
hala birseyler soyleyebilmemiz.
Istatistiksel fizige iki farklı bakıs acısı soz konusudur:
• Termodinamik : Buhar makinasının icadıyla baslamıstır. O zamanlar daha
belki cok detaylı olarak atomik seviyede maddenin davranısına dair fikrimiz
yoktu. Termodinamik; mikroskobik detaylara hic bakmadan, sadece deney-
sel gozlemlere dayalı olarak bazı makroskobik degiskenler arasındaki ilisileri
tutarlı bir matematiksel yapıya oturtan bir teoridir. Su anda uzerinde her-
hangi bir arastırma yoktur. Tamamen deneysel gozlemlere dayalıdır.
• Istatistiksel mekanik : Mikro duzeyden makro duzeye tasıyan bir terimdir.
Mikroskobik gozlenebilirler ile makroskobik gozlenebilirler arasındaki iliskiyi
kurma imkanı verir. Makroskobik ozelliklerin (sistemin mıknatıslanması,
gazların makroskobik ozellikleri, basınc, sıcaklık arasındaki iliskileri, ... vb.)
mikroskobik ozelliklerden nasıl ortaya cıktıgını sorgular. Dolayısıyla, cok
daha temel bir bakıs acısıdır. Istatistiksel mekanigin, mikroskobik ozelliklerden
baslayarak termodinamigin tamamen deneysel gozlemlere dayalı olarak buldugu
matematiksel yapıyı uretebilmesi gerekiyor.
5
1.2 TERMODINAMIK
Termodinamikte yaptıgımız sey; deneysel gozlemlere dayalı olarak makrosko-
bik degiskenler arasındaki iliskileri bulmaya calısmak ve deneylerle buldugumuz
bu iliskileri daha sonra matematiksel bir formda ifade etmeye calısmaktır. Bunu
yaparken kuramsal olarak termodinamik degiskenler (koordinatlar) tanımlamalı,
onlar uzerinden islem yapılmalıdır.
Ilgilenilen sistemlere gore termodinamik koordinatlara ornek:
• Gaz icin : Basınc (P ) ve Hacim (V )
• Ince bir film icin : Yuzey Gerilimi (σ) ve Alan (A)
• Sicim, elastik ip icin : Gerginlik (T ) ve Uzunluk (L)
• Manyetik sistem icin : Manyetik Alan (B) ve Mıknatıslanma (M) :
Bunları birbirine baglayan denklem ”Durum Denklemi” dir:
T = f(P, V,N) T : sıcaklık
Durum denklemi, termodinamik koordinatlar arasında bir esitliktir.
Bu tanımları verdikten sonra, deneysel gozlemler sonucunda termodinamigin
dayandıgı, ozetlendigi temel kanunlara bakalım.
1.2.1 Termodinamigin Kanunları
Esasen butun termodinamigi 4 temel kanundan turetebiliriz.
6
0. Kanun :
Iki sistem bir ucuncu ile dengede ise kendi aralarında da dengede olurlar. Yani;
A, B, C sistemlerinden A ile B dengede, A ile C dengede ise B ile C dengededir.
Bu kanun durum denkleminin varlıgını soyler ve sıcaklıgı tanımlar.
TA = TB , TA = TC ⇒ TB = TC
A sistemi ile B sisteminin dengede olma durumunu niteleyen esitligi yazalım:
fAB(Ai, Bi) = 0 (1.2.1)
(Ai, Bi sırasıyla A sisteminin ve B sisteminin termodinamik koordinatlarıdır.
Sistemlerin makroskobik durumları bu koordinatlar cinsinden veriliyor.)
Aynı sekilde A sistemi ile C sistemi icin;
fAC(Ai, Ci) = 0 (1.2.2)
Sıfırıncı Kanuna gore B ile C nin dengede olması gerekir:
fBC(Bi, Ci) = 0
1.2.1 ve 1.2.2 denklemlerinde 1 nolu termodinamik koordinatı secelim;
A1 = FAB(Ai\A1, Bi) (1.2.3)
7
A1 = FAB(Ai\A1, Ci) (1.2.4)
Dolayısıyla 1.2.3 ve 1.2.4 denklemlerinin birbirine esit olması gerekir . Bu iki
denklemden A koordinarları elenebilirse;
θB(Bi) = θC(Ci)
denge kosulu elde edilir. (θ : termodinamik nicelik, θ = θB(Bi) durum den-
klemi.)
Yani, denge durumunda saglanması gereken esitlik;
θB(Bi) = θC(Ci) = θA(Ai) (1.2.5)
I. Kanun :
Enerji korunumu ile ilgilidir. 0. kanunda sistemi bir denge konumundan diger
bir denge konumuna tasıdık. Farklı denge konumları arasındaki donusumlere
bakalım. Bu esnada sisteme iki farklı sekilde enerji aktarılabilir:
1. W (is olarak) : makroskobik serbestlik dereceleriyle oynayarak
2. Q (ısı olarak) : mikroskobik serbestlik dereceleriyle oynayarak.
Eger sistem adyabatik olarak izole edilmis ise yani dıs cevreyle ısı alısverisi
yoksa yapılan is ile aktarılan enerji yoldan bagımsızdır (korunumlu). Adyabatik
sistemlerde; ∆W = ∆E oldugundan yapılan isin tamamı sistemde induklenen
enerji olacaktır.
∆W = ∆E = E(Xs)− E(Xi)
8
Enerji de bir durum fonksiyonudur. Sistemin o anki makroskobik durumuna
bakılarak bulunabilir.
Adyabatik olmayan donusumler icin sistemin enerjisi hem ısı hem de is olarak
induklenecektir.
∆Q = ∆E −∆W (1.2.6)
Sonsuz kucuk degisimler icin;
dQ = dE − dW (1.2.7)
(Q ve W yola baglı, E yoldan bagımsız.)
Sistem uzerinde yaptıgımız ise bakalım. Eger sistem uzerinde yaptıgımız donusum
quasi-statik1 ise ;
dW =∑
i
Ji · dxi (1.2.8)
Ji : genel kuvvet (ornegin; basınc, manyetik alan)
dxi : genel kuvvete yanıt veren yerdegisimi (ornegin; hacim)
Ji ve dxi dengede tanımlı nicelikler oldugu icin sistemin quasi-statik olması gerekir.
Genellestirilmis
Kuvvetler
Genellestirilmis
Yerdegistirmeler
Sicim T (Gerilme) L (Uzunluk)
Ince film σ (Yuzey gerilimi) A (Alan)
Akıskan −P (Basınc) V (Hacim)
Mıknatıs H (Dıs manyetik alan) M (Mıknatıslanma)
−P ; gerilme gibi denge durumuna cagırıcı nitelikte olmadıgı icin (-) dir. Sis-
tem tarafından degil sistem uzerine yapılan ise bakıyoruz. Sistem uzerine yapılan
1sistemi cok yavas bir sekilde baslangıc noktasından bitis noktasına goturuyoruz, her noktadadengede kabul ediyoruz.
9
is (−∆W ), sistem tarafından yapılan is (+∆W ).
Bir sistemin ozelliklerini, davranısını incelemek istiyorsak o sistemi uyarırız
ve sistemin verdigi cevaba bakarız. Bu asamada karsımıza ”cevap fonksiyonları”
cıkar.
Cevap Fonksiyonları:
Isı Sıgaları: Sisteme bir ısı transferi yapılırsa sistemin sıcaklıgının ne
kadar degiseceginin yanıtını verir.
CV =dQ
dT
∣∣∣∣V
=dE − dW
dT
∣∣∣∣V
=dE
dT
∣∣∣∣V
+PdV
dT
∣∣∣∣V
=dE
dT
∣∣∣∣V
(1.2.9)
CP =dQ
dT
∣∣∣∣P
=dE − dW
dT
∣∣∣∣P
=dE
dT
∣∣∣∣P
+ PdV
dT
∣∣∣∣P
(1.2.10)
Kuvvet Sabitleri : Sisteme bir basınc uygularsak hacimdeki degisim
yanıt olarak incelenir.
Mekanik sistemlerde;
κT =1
V
−∂V
∂P
∣∣∣∣T
(es sıcaklık sıkısabilirligi) (1.2.11)
Manyetik alan uygularsak mıknatıslanmadaki degisim incelenir.
10
Manyetik sistemlerde;
χT =1
V
∂M∂B
∣∣∣∣T
(manyetik alınganlık) (1.2.12)
Termal Cevap :
αP =1
V
∂V
∂T
∣∣∣∣P
(genlesebilirlik) (1.2.13)
ORNEK : Ideal gaz icin genlesebilirligi kullanarak CV ve CP arasındaki
iliskiye bakalım. Bunun icin ideal gazda enerjinin sadece sıcaklık ile iliskili ol-
masından yararlanıyoruz (E = E(T )).
PV ∝ T
∂E
∂T
∣∣∣∣P
=∂E
∂T
∣∣∣∣V
olmalı. Cunku E, P ile V ye baglı degil. O halde;
CP − CV =
∂E
∂T
∣∣∣∣P
+ P∂V
∂T
∣∣∣∣P
−
∂E
∂T
∣∣∣∣V
= P
∂V
∂T
∣∣∣∣P
(1.2.14)
Denklem 1.2.13 ile verilen genlesebilirligin tanımından;
CP − CV = PV αP (1.2.15)
PV ∝ T ⇒ PV = c · T (1.2.16)
⇒ V =c · TP
⇒ ∂V
∂T
∣∣∣∣P
=c
P
⇒ αP =c
PV=
1
T(1.2.17)
11
1.2.17 esitligi 1.2.15 denkleminde yerine yazılırsa;
CP − CV = PV1
T(1.2.18)
1.2.18 esitligi aynı zamanda su sekilde de yazılabilir:
CP − CV = PV1
T= kBN ⇒ PV = NkBT (1.2.19)
1.2.19 esitligi ideal gaz icin durum denklemidir. (kB = 1.4× 10−23 J/K)
II. Kanun :
Bu yasada ısı akısı incelenir.
Isı makinesi ; is uretir. Sıcak rezarvuardan bir miktar ısı alır, aldıgı ısının bir
kısmını ise cevirir bir kısmını da soguk rezervuara iletir. Ideal bir ısı makinesi
aldıgı tum ısıyı ise cevirir.
Sekil 1.1: Isı makinesi
Bir ısı makinesinin ne kadar iyi bir makine oldugu verimlilikten hesaplanabilir.
Verimlilik;
η =W
QH
(1.2.20)
12
Buzdolabının yaptıgı is; soguktan alıp sıcak rezervuara iletmektir.
Sekil 1.2: Buzdolabı
ω =Qc
W(1.2.21)
KELVIN : Hic bir makine aldıgı ısının tamamını ise ceviremez.
CLAUSIUS : Isı baska hicbir seyin yardımı olmadan tek basına soguk sistem-
den sıcak sisteme gecemez.
Gercekte Kelvin ve Clausius ifadeleri aynı seylerdir.
KELVIN = CLAUSIUS
Kelvin ifadesine uyan bir makine varsa Clausius ifadesine uyan bir makina elde
edilebilir. Kelvin ifadesinden Clausius ifadesine gecelim.
ISPAT 1 : Isının tumunu enerjiye cevirebilen bir makine oldugunu, Kelvin
ifadesinin yanlıs oldugunu kabul edelim. Bu durumda; %100 verimle calısan bir
makineden elde edilen isi Clausius prensibine gore calısan bir buzdolabına ak-
taralım.
13
Sekil 1.3:
Bu durumda; Kelvin’ in yanlıs oldugunu cıkartan bir makine Clausius’ u da
yanlıs cıkartır.
ISPAT 2 : Clausius ifadesinin yanlıs oldugunu ve bir buzdolabının enerji al-
madan ısıyı sıcaktan soguk sisteme tasıdıgını dusunelim.
Bu durumda Carnot makinesi ortaya cıkar.
Carnot Makinesi : Tersinebilir (surtunmesiz) bir dongu icinde calısan
ve sadece TH ve TC sıcaklıklarında ısı alısverisi yapan makinedir.
Teorem : Hicbir ısı makinesi Carnot ısı makinesinden daha verimli degildir.
Bu teoremin ispatı; Carnot makinesi olmayan bir makineyi, diger bir ısı maki-
nesine ters baglayarak yapılabilir.
1− ηCE =TC
TH
(1.2.22)
14
Sekil 1.4: Carnot makinesi
ηCE ; Carnot makinesinin verimi.
Entropi :
Sekil 1.5:
Makroskobik sistem uygun koordinatlarda bu dongu boyunca hareket etsin.
Sistemde hem ısı alısverisi var hem de sistem uzerine is yapılıyor.
T0 sıcaklıgında bir rezervuar olsun. Carnot makinesi, bu rezervuardan gerektigi
kadar ısı alsın, dısarıya is versin ve bir miktar ısıyıda sisteme geri versin.
15
Sekil 1.6: Sistem
Sistem bir donguyu tamamladıgında aynı enerjiye sahip olur. Yol boyunca
sisteme ısı seklinde giren enerji ile is seklinde giren enerjinin toplamı sıfırdır.
∑i
dQi +∑
i
dWi = 0
dQResi = dQi + dWCE
i
(dQi ; toplam rezervuardan cekilen enerji.)
QResi = −
∑i
dQi +∑
i
dWCEi = W
(W ; dısarıya verilen toplam is)
Carnot makinesinin verimliligi;
1− ηCE =TC
TH
=QC
QH
= 1− W
QH
dQRes
dQi
=T0
Ti
16
QResi = −
∑i
dWi +∑
i
dWCEi
⇒ QResi = W bulduk.
Ancak, Kelvin ifadesine gore W ≤ 0 olmalı.
Verimlilik ifadesi kullanılırsa;
QRes =∑
i
dQResi = T0
∑i
dQi
Ti
≤ 0
∑i
dQi
Ti
≤ 0
Bu adımlar cok kucuk oldugu icin;
∮dQ
T≤ 0
Sistemde surtunme, enerji kaybı yoksa dongu tersten de gidilebilir. Tersinebilir
(surtunmesiz) bir dongu icin; ∮dQ
T= 0
olmalıdır.
Sekil 1.7:
17
∫ B
A(1)
dQ
T+
∫ A
B(2)
dQ
T= 0
∫ B
A(1)
dQ
T−
∫ B
A(2)
dQ
T= 0
∫ B
A(1)
dQ
T=
∫ B
A(2)
dQ
T= S(B)− S(A) (1.2.23)
S ≡ entropi : durum fonksiyonu. O durumun nicelikleri cinsinden hesaplanan
ve o durumu niteleyen fonksiyon.
Tersinebilir surecler icin;
dQ = T · dS
dE = dQ + dW = TdS +∑
i
Jidxi = (TdS − PdV︸ ︷︷ ︸ideal gaz icin
)
1
T=
∂S
∂E
∣∣∣∣V
− P =∂E
∂V
∣∣∣∣S
Eger sistemde enerji degisimi yoksa;
T
P= −∂V
∂S
∣∣∣∣E
Kapalı bir sistem dusunelim. Bu sistem bircok alt durumdan olussun. Alt
sistemler kendi aralarında ısı alısverisi yapsınlar. Bu nedenle dQ = 0 olmalı.
Fakat toplam entropi degisimi sıfırdan farklı olmalı.
dQ = 0
∫dQ
T≤ dS ⇒ 0 ≤ dS
18
Sekil 1.8:
Tersinmez bir yoldan A’ dan B’ ye gidip, B-A tersinir yolundan geri donelim.
Sekil 1.9:
∫ B
A(1)
dQ
T+
∫ A
B(2)
dQ
T≤ 0
1.2.23 denklemindeki esitlikten
∫ A
B(2)
dQ
T= S(B)− S(A) yazılabileceginden;
∫ B
A
dQ
T≤ S(B)− S(A) = ∆S
Eger sistem dısarıdan adyabatik olarak izole edilmis ise entropi degisimi sıfır
olur.
Termodinamik Potansiyeller :
Sistemin, belli kosullar altında minimize etmeye calıstıgı parametrelere ter-
modinamik potansiyel denir.
19
> Adyabatik izolasyon ve sabit kuvvet sartları altında sistem dengeye geliy-
orsa dengeye gelme kosulu entropinin maksimum degere ulasmasıdır.
Kuvvet sabitse sistem uzerinde yapılan is;
dW ≤ Jdx (surtunmeden dolayı kayıp var.)
dQ = 0
dE = dW + dQ ≤ Jdx veya d(E − Jx︸ ︷︷ ︸H
) ≤ 0
H; entalpi, termodinamik potansiyel.
dH = d(E − Jx) = TdS + Jdx− (Jdx + xdJ)
dH = TdS − xdJ (1.2.24)
Ideal gaz icin; dH = TdS + V dP
> Izotermal ve sıfır is (T sabit, dW = 0) sartları altında;
dQ ≤ TdS
dE = dQ + dW ⇒ dE = dQ ⇒ dE ≤ TdS
d(E − TS︸ ︷︷ ︸A
) ≤ 0
20
A = E − TS : Helmholtz serbest enerjisi. Dengede minimum olur.
dA = dE − d(TS) = −SdT + Jdx (1.2.25)
> Izotermal ve sabit kuvvet
dQ ≤ TdS
dW ≤ Jdx
dE = dQ + dW ≤ TdS + Jdx
d(E − TS − Jx︸ ︷︷ ︸G
) ≤ 0
G; Gibbs serbest enerjisi. Dengede minimum.
dG = −SdT − xdJ (1.2.26)
> Kimyasal Is:
dW = µdN µ : Kimyasal potansiyel
(Kimyasal potansiyel; sisteme o cins parcacıklardan bir tane daha eklemek icin
yapılması gereken is)
Ni : i cinsinden parcacıkların sayısı
Sistem uzerine yapılan is sıfırsa ve sistem sabit sıcaklıkta ise;
dE ≤ TdS + µdN ⇒ d(E − TS − µN︸ ︷︷ ︸Grand potansiyel
) ≤ 0
21
Grand potansiyel, sistem dengeye gelirken minimuma yaklasır.
dΦ = −SdT −Ndµ (1.2.27)
> Helmholtz Serbest Enerji
dA = −SdT − PdV (ideal gaz)
−S =∂A
∂T
∣∣∣∣V
− P =∂A
∂V
∣∣∣∣T
∂S
∂V
∣∣∣∣T
= − ∂2A
∂V ∂T= − ∂2A
∂T∂V=
∂
∂T
(−∂A
∂V
)
T
=∂P
∂T
∣∣∣∣V
Dolayısıyla buradan;∂S
∂V
∣∣∣∣T
=∂P
∂T
∣∣∣∣V
(1.2.28)
1.2.28 daki denklem Maxwell bagıntılarından birisidir.
Ornek : CP − CV =?
Entropinin, sıcaklıgın ve hacmin fonksiyonu oldugunu kabul edelim.
S = S(T, V )
dS =
(∂S
∂T
)
V
dT
(∂S
∂V
)
T
dV ⇒ dS
dT
∣∣∣∣P
=
(∂S
∂T
)
V
+
(∂S
∂V
)
T
(∂V
∂T
)
P
22
CP =dQ
dT
∣∣∣∣P
= TdS
dT
∣∣∣∣P
= T∂S
∂T
∣∣∣∣V︸ ︷︷ ︸
CV
+ T∂S
∂V
∣∣∣∣T
∂V
∂T
∣∣∣∣P
Denklem 1.2.28 ile verilen Maxwell bagıntısı kullanılırsa;
CP − CV = T∂P
∂T
∣∣∣∣V
∂V
∂T
∣∣∣∣P
Zincir kuralı;∂P
∂T
∣∣∣∣V
∂T
∂V
∣∣∣∣P
∂V
∂P
∣∣∣∣T
= −1
Bu zincir kuralını kullanırsak (CP − CV ) ifadesini cevap fonksiyonları cinsinden
yazmak mumkun olacaktır:
CP − CV = −T
(∂P
∂V
)
T
(∂V
∂T
)2
P
= −T1
VV2 V
(∂P
∂V
)
T︸ ︷︷ ︸1/κP
(∂V
∂T
)2
P
1
V2
︸ ︷︷ ︸α2
P
CP − CV =TV
κP
α2P (1.2.29)
III. Kanun :
T = 0’ da bir sistemin entropisi sıfırdır (S(T = 0) = 0). Isı sıgası biliniyorsa
sistemin entropisi hesaplanabilir.
dQ = TdS ⇒ S(T ) =
∫dQ
T ′
23
=
∫ T
0
C(T ′)T ′ dT ′ + S(T = 0)︸ ︷︷ ︸
=0
S(T ) =
∫ T
0
C(T ′)T ′ dT ′ (1.2.30)
Entropiyi kesin olarak denklem 1.2.30’ den bulmak mumkundur.
1.2.2 Problemler
1) Foton Gazı: Karacisim ısımasının enerjisinin sıcaklıgın dorduncu kuvvetiyle
orantılı oldugunu gosteriniz (E(T, V ) ∝ V T 4). Carnot cevrimi kullanarak
bulunuz.
a) Carnot cevriminde yapılan bu isi dP ve dV nin fonksiyonu olarak
bulunuz.
W = W (dP, dV ) =?
b) Bir izoterm egrisi boyunca sistemin aldıgı ısıyı(Q) PdV ve E(T, V )
nin turevi cinsinden bulunuz.
c) Carnot cevriminin veriminden yaralanarak W,Q ve T, dT arasında bir
bagıntı bulunuz.
d) Foton gazının basıncını (P = AT 4) kullanarak foton gazının enerjisini
bulunuz.
e) Adyabatik egriler nedir?
2) a) Bir superiletkenin, manyetik alan olmadıgı kosulda termodinamigin III.
yasasını kullanarak, superiletken ve normal fazının entropisini bu-
lunuz.
b) Iki faz arasındaki gecis sıcaklıgını α, β ve γ nın fonksiyonu olarak
bulunuz (α, β, γ : sabit).
24
c) T = 0 da Copper baglarının olusması sebebiyle ic enerjide V ∆ kadar
bir dusme gozlenir. Buradan yararlanarak superiletken faz ve normal
faz icin ic enerjiyi hesaplayınız (∆ : Birim hacim icin enerji azalması).
d) Her iki fazdaki Gibbs enerjilerini karsılastırarak ∆ icin α, β, γ cinsin-
den bir bagıntı bulunuz.
e) Bir B manyetik alanının varlıgında superiletken faz bir diyamanyetik
gibi davranır ve Ms = −V B
4πseklinde bir mıknatıslanma uretir. Bc(T ) =
B0
(1− T 2
T 2c
)den daha buyuk manyetik alanda superiletken fazın nor-
mal faza dondugunu gosteriniz.
3) Sıcaklık Skalaları :
Ideal gaz icin Carnot cevrimini kullanarak ideal gaz sıcaklık skalası θ ile
termodinamik skala T ’nin birbirine esit oldugunu kanıtlayınız. Ideal gaz,
PV = NkBθ esitligine uyar ve ic enerjisi E, sadece θ sıcaklıgının bir fonksiy-
onudur. Bununla beraber, E ∝ θ kabulunu yapmak yerine su yolu da izleye-
bilirsiniz:
a) QC ve QH ısılarını θH , θC ve hacim terimlerinin fonksiyonu olarak
hesaplayınız.
b) Adyabatik surecteki hacimce genisleme katsayısını θ’nın fonksiyonu
olarak hesaplayınız.
c)QH
QC
=θH
θC
oldugunu gosteriniz.
4) Durum Denklemleri :
a) dE = TdS − PdV esitliginden baslayarak durum denkleminin PV =
NkBT oldugunu ve E’nin sadece T sıcaklıgına baglı olabilecegini gosteriniz.
b) Sadece sıcaklıga baglı bir ic enerji ile uyumlu olan bir durum den-
kleminin en genel formu nasıl yazılabilir?
25
c) Van der Waals gazı icin ısı kapasitesi CV ’nin sadece sıcaklıgın bir
fonksiyonu oldugunu gosteriniz.
1.3 KLASIK ISTATISTIKSEL MEKANIK
µ : Bir sistemin belli bir andaki mikroskobik durumu.
Ornegin; sistemin butun parcacıklarının momentumları (~pi) ve konumları (~ri)
M : Makroskobik durum. Sadece makroskobik gozlenebilirler cinsinden verilir.
Ornegin; (E, T, V, P ).
Topluluk (ensemble) : Belli bir makroskobik durumla tutarlı mikroskobik du-
rumların tumu. Her topluluk icin mikroskobik durumların dagılımlarıolmasıgerek.
Topluluk icindeki olasılık dagılımıPM(µi) olmak uzere;
∑i
PM(µi) = 1
1.3.1 Mikrokanonik Topluluk
Adyabatik ve mekanik2 olarak izole edilmis (yalıtılmıs) bir sistem dusunelim.
Bu sistemin enerjisi E olsun.
Bu sistemin makrodurumunu M(E, ~x) ile gosterelim. Bu M makrodurumu ile
tutarlı olan bircok µi mikrodurumu soz konusu.
H(µi) = E
2Mekanik olarak izole edilmis : Hacim sabit, is yapılmıyor.
26
olmalı (H:Hamiltoniyen). Yani her mikrodurumda aynı enerjiyi vermesi gerekir.
Istatistiksel mekanigin temel varsayımı; tum mikrodurumlar aynı duzeyde esit
enerjiye sahip. Konfigurasyonlar aynı olasılıkta bulunur.
Dengede E enerjili her mikrodurum esit olasılıga sahiptir. Bu makrodurumla
tutarlı olan butun mikrodurumların sayısı;
PM(µi) =1
Γ(E, ~x)=
1 H(µi) = E
0 H(µi) 6= E
Γ(E, ~x) : µ uzayında H(µi) = E oldugu yuzeyin alanı.
H =∑
i
~p2i
2m+ U(~xi)
E enerjisi yerine E−∆ ile E+∆ aralıgındaki durumlar soz konusu olabilir. Bu
durumda 6 − N boyutlu momentum uzayında bir kabugun hacminden bahsede-
biliriz. Kabuk cok ince ise bir alan olur.
Γ yı kullanarak entropiyi tanımlarsak;
S = kB ln Γ(E, ~x) (1.3.1)
Entropiyi mikroskobik durumlara baglamıs olduk.
Bir boyutta hareket eden tek bir parcacıgın enerjisinin sabit oldugu durumlara
bakalım. Parcacık L boyunda bir kutunun icerisinde sınırlandırılmıs olsun.
27
Sekil 1.10:
V (x) =
0 |x| ≤ L
∞ |x| > L
Bu uzayda H(p, x) = E oldugu durumları bulmaya calısalım.
E = H(p, x) =p2
2m+ V (x) ⇒ p2 = 2mE
Iki parcacık varsa;
p21
2m+
p22
2m= E ⇒ p2
1 + p22 = 2mE
Uzay, yarıcapı√
2mE olan bir cember olur. Bu cember uzerindeki tum noktalar
girilebilir. Her noktanın enerjisi E’ dir.
28
Sekil 1.11:
Termodinamigi bu mikrokanonik topluluktan yeniden turetmeye calısalım.
Termodinamgin Yeniden Turetilmesi
0. Kanun :
Sekil 1.12:
29
Alt sistem dısarıyla sadece ısı alıs-verisinde bulunabilir.
E = E1 + E2 = sabit (E2 = E − E1)
Toplam Γ yuzeyinin alanına bakalım. (1) ve (2) nolu alt sistemlerin olası mikro-
durumları uzerinden yuzey alanını yazmaya calısalım.
Γ(E) =
∫dE1Γ1(E1)Γ2(E2) (1.3.2)
(1) nolu sistemin enerjisi degistiginde (2) nolu sistemin enerjisinin tum olası du-
rumlarınıhesaba katıyoruz, olası tum konfigurasyonları hesaplıyoruz. Bu integrali
hesaplamak icin Saddle-Point yontemini kullanacagız.
Saddle-Point Metodu :
Ilk once toplamlar icin Saddle-Point yontemine bakalım. Ornegin
∑i
eNφ(xi)
toplamına bakalım (N : makroskobik sistemdeki parcacık sayısı). Bu toplamın
icndeki φ(xi) lerden buyuk olan φ(xmax) terimini dısarı alalım.
∑i
eNφ(xi) = eNφ(xmax)1 +∑
i6=imax
eN [φ(xi)−φ(xmax)]
︸ ︷︷ ︸NÀ ise =0olur.
Integrale bakalım;
I =
∫dxeNφ(x) =
∫dx exp
(N
[φ(x∗) +
dφ
dx
∣∣∣∣x∗
(x− x∗) +1
2
d2φ
dx2
∣∣∣∣x∗
(x− x∗)2
])
30
φ(x) i minimum ya da maksimum civarında acıyoruz. Bu nedenle birinci duzeltme
terimid2φ
dx2dir.
Sekil 1.13:
I = eNφ(x∗)∫
dx exp
(−N
|φ′′|2
(x− x∗)2
)→ Gaussian bir integral
Gauss integrali; ∫ +∞
−∞e−ax2
dx =
√π
a(1.3.3)
O halde;
I =
√2π
N |φ′′|eNφ(x∗) (1.3.4)
olur. Buna Saddle-Point integrasyonu denir.
Denklem 1.3.2 ile verilen Γ(E) nın logaritmasına bakalım.
S = kB ln Γ(E) = kB ln
∫dE1 exp
S1(E1) + S2(E2)︸ ︷︷ ︸
j
1
kB
(S1(E1) = kB ln Γ1(E1))
Saddle pointe gore j ile belirtilen parantez icini maksimum yapan deger integral
31
dısında yazılabilir.
S = kB ln
[exp
(S1(E
∗1) + S2(E
∗2)
1
kB
)]
Yukarıda E∗2 = E − E∗
1 yazdık.
Toplamı maksimize eden enerjiyi E∗1 civarında seri acalım.
∂
∂E1
(S1(E1) + S2(E − E1))|E1=E∗1= 0
∂S1
∂E1
∣∣∣∣∗− ∂S2
∂E2
∣∣∣∣∗
= 0 ⇒ ∂S1
∂E1
∣∣∣∣∗
=∂S2
∂E2
∣∣∣∣∗
⇒ 1
T1
=1
T2
⇒ T1 = T2
0. kanun bulundu. Denge durumunda sıcaklıkların esit olması gerekir.
I. Kanun :
Denge durumundaki donusumlere bakacagız. Hacmi biraz degistirip (δx
kadar) entropideki degisime bakalım.
δ~x → S(E, ~x)
dW = Jdx
∆S = S(E + ~Jd~x, ~x + d~x)− S(E, ~x)
Cok kucuk degisimler oldugu icin Taylor acılımı yapılır:
∆S = S(E, ~x) +∂S
∂E
∣∣∣∣~x
~J · d~x +∂S
∂~x
∣∣∣∣E
d~x− S(E, ~x)
Eger E ve ~x bir denge noktası ise birinci dereceden duzeltmeler sıfır verir. Ilk
32
duzeltmeler ikinci dereceden gelir.
∂S
∂E
∣∣∣∣~x︸ ︷︷ ︸
1T
~J +∂S
∂~x
∣∣∣∣E
δx = 0 ⇒ −~J
T=
∂S
∂~x
∣∣∣∣E
S = S(E, ~x) ⇒ dS =∂S
∂E
∣∣∣∣~x
dE +∂S
∂~x
∣∣∣∣E
d~x
dS =∂S
∂E
∣∣∣∣~x
dE −~J
Td~x =
dE
T−
~J
Td~x
dE = TdS + ~Jd~x (1.3.5)
II. Kanun :
Iki sistem olsun:
Γ1(E1, ~x1), Γ2(E2, ~x2)
(1) ve (2) sistemleri temas haline gecsin. Enerji alısverisi baslasın. Dolayısıyla E1
ve E2 degisecek.
Yeni durum;
Γ1(E∗1 , ~x1) · Γ2(E
∗2 , ~x2)
(E1 + E2 = E∗1 + E∗
2)
Yeni durumun mikrodurumu cok daha fazladır.
∫dE1Γ1(E1, ~x1)Γ2(E2, ~x2)
Saddle-Point teroreminden
Γ = Γ1(E∗1 , ~x1)Γ2(E
∗2 , ~x2)
33
Entropi degisimi;
δS = S1(E∗1) + S2(E
∗2)− S1(E1)− S2(E2) ≥ 0
Dengeye gelmeden hemen onceki duruma baktıgımızı kabul edelim. Yani E1 ile
E∗1 , E2 ile E∗
2 arasındaki fark cok kucukse (S1(E∗1) ' S1(E1), S2(E
∗2) ' S2(E2));
δS =∂S1
∂E1
∣∣∣∣~x1
δE1 +∂S2
∂E2
∣∣∣∣~x2
δE2 ≥ 0
δE2 = −δE1
⇒(
1
T1
− 1
T2
)δE1 ≥ 0
Bu denklem enerji transferinin yonu hakkında bilgi verir.
δE1 ≥ 0 ise ((1). sistem enerji almıssa) T1 < T2 olur. T1 sıcaklıgındaki (1).
sistem soguk sistem olur. Yani enerji sıcaktan soguga akar.
III. Kanun :
S(T = 0) = 0 ⇒ Γ(T = 0) = 1
Yani T = 0 da tek bir durum sozkonusu. Temel durum 1 tane olmalı.
Ornek : V hacimli bir kutu icerisindeki ideal gaz:
H =∑
i
|~pi|22m
+ U(~xi)
34
Potansiyel terimini tanımlayalım;
U(~xi) =
0 ~xi ∈ V
∞ ~xi 3 V
Parcacıkların toplam enerjilerinin E’ ye esit oldugu alan (6N boyutlu uzayda) ne
kadardır?
Γ(E) =
∫d3Npd3Nx δ (H(~pi, ~xi)− E)
Bu ifade, Γ uzayında sabit enerji yuzeyinin alanına karsılık geliyor.
Noktalar hacim icerisinde oldugu surece x’ lerin katkısı sıfırdır (hacim icinde
U(~xi) = 0).
Γ(E) =
∫d3Np δ
( |~pi|22m
− E
) ∫d3Nq
~qi ∈ V ⇒∫
d3Nq = V N
∑i |~pi|2 = 2mE → 3N boyutlu uzayda yarıcapı
√2mE olan kurenin yuzeyi
Γ(E) = V N
∫∑
p2i =2mE
d3Np = V N
2π3N/2
(3N2− 1
)!
︸ ︷︷ ︸S3N
(2mE)3N/2−1
(∑
p2i = 2mE :
√2mE yarıcaplı 3N boyutlu kurenin yuzey alanı
S3N : 3N boyutlu birim yarıcaplı kurenin yuzey alanı)
Γ(E) ' V N(2mE)3N/2S3N (1.3.6)
S(E, V, N) = kB ln Γ(E, V,N)
S
kB
= N ln[V (2mE)3/2
]+ ln S3N
35
ln S3N = ln
2π3N/2
(3N2
)!
= N ln π3/2 − ln
(3N
2!
)
︸ ︷︷ ︸ln N ! = N ln N −N : Stirling yaklasımı
Stirling yaklasımını Saddle-point integrasyonu ile gosterebiliriz:
∫ ∞
0
xne−xdx = n!
ln S3N = N ln
(π3/2
N3/2e3/2
)
⇒ S
kB
= N ln
[V
(4eπmE
3N
)3/2]
(1.3.7)
Entropiyi kullanarak termodinamik potansiyelleri bulabiliriz. Ornegin enerjiyi
bulalım.1
T=
∂S
∂E
∣∣∣∣V,N
= kB3N
2E⇒ E =
3
2NkBT (1.3.8)
Durum Denklemi :
dE = TdS − PdV
Sabit E altında TdS = PdV olur.
P
T=
∂S
∂V
∣∣∣∣E,N
=kbN
V⇒ PV = NkBT
Bu ifade, sadece ideal gaz icin gecerli olan durum denklemidir.
Gibbs Paradoksu
T sıcaklıgında iki tane gaz ornegi olsun: N1, V1, T ; N2, V2, T
36
Sekil 1.14:
Iki farklı cins gaz atomu. Parcacıklar karısınca, aradaki engel kalkar, entropinin
artması gerekir.
Sistemler birlesmeden onceki ve sonraki enerji farkı;
∆E = E1+2 − E1 − E2
=3
2(N1 + N2)kBT − 3
2N1kBT − 3
2N2kBT = 0
Entropi;
∆S = S1+2 − S1 − S2
S(E) = NkB ln
V
(4eπmE
3N
)3/2
︸ ︷︷ ︸
Bu denklemdeki ln ifadesi toplam olarak yazılırsa entropi farkı alınırken parantez
icerisindeki ifadeden herhangi bir katkı gelmez.
∆S = (N1 + N2) ln(V1 + V2)−N1 ln V1 −N2 ln V2
= N1 ln(
VV1
)+ N2 ln
(VV2
)≥ 0
(V = V1 + V2)
Bu denklem farklı gazlar icin dogrudur. Fakat; aynı gazlar icin problemlidir.
Iki gaz aynı parcacıklardan olusuyorsa makroskobik olarak ayırtedilemezlik prob-
lemi ortaya cıkar.
37
Bir konfigurasyonda aynı tip iki atomun yeri degistokus edildiginde konfigurasyonu
iki defa saymıs oluruz. N tane atom varsa N ! kadar fazla saymıs oluruz. Bunu
duzeltmek icin Γ → Γ/N ! yazılır. Bu durumda;
S
kB
→ S
kB
−N ln N
S = NkB ln
[V
N
(4πmeE
3N
)3/2]
(1.3.9)
Entropi dogru tanımlandı. Dogru entropi tanımı extensive olmalı.
Kontrol : (N1, V1) + (N2, V2) aynı cins gazlar, sabit T , sabit P
P : sabit → N1
V1
=N2
V2
=N1 + N2
V1 + V2
= α
∆S
kB
= (N1 + N2) ln
(V1 + V2
N1 + N2
)−N1 ln
V1
N1
−N2 lnV2
N2
∆S
kB
= (N1 + N2) ln α−N1 ln α−N2 ln α = 0
saglandı. Buraya kadar ilk duzeltmeydi.
Ikinci duzeltme :
Γ =∫
d3Npd3Nq → birimlerden kurtarılmalı. Γ bir sayı olmalı.
Γ → Γ/h3N h : birimi (p, q)
Sonuc olarak;
Γ =1
N !
∫1
h3Nd3Npd3Nq
yazılmalı.
38
1.3.2 Kanonik Topluluk
Burada T, V, N sabit olup N → ∞ icin mikrokanonik sonucla uyumludur.
Makrosistemi farklı termodinamik nicelikler cinsinden tanımlayacagız.
Dısarıdan izole edilmis bir sistem ele alalım. Bu sistemin enerjisi Etoplam olsun.
Sekil 1.15:
P (µS+R) =1
ΓS+R(Etoplam)=
1 HS + HR = E
0 HS + HR 6= E
Kucuk sistemin mikrodurumunu bulalım.
P (µS) =∑µR
P (µS+R) =ΓR(Etop −HS(µS))
ΓR+S(Etop)∝ ΓR(Etop −HS(µS))
∝ e1
kBSR(Etop−HS)
= exp
1
kB
SR(Etop)− 1
kB
∂SR
∂ER
∣∣∣∣x︸ ︷︷ ︸
1/TR
HS
∝ e−HS/(kBTR)
Topluluk buyuk bir rezervuar ile temas halinde oldugu icin farklı mikrodurumlar
farklı enerjilerle karsımıza cıkıyor.
39
Yeni topluluktaki bir mikrodurumun olasılıgı:
P (µS) =e−HS/(kBT )
∑µS e−HS/(kBT )
Z =∑
µSe−H(µS)/(kBT ) Bolusum fonksiyonu
Mikrodurumlar ~pi, ~qi seti ile verilsin.
Z =1
N !
∫ N∏i=1
(d3pid
3qi
h3
)e−H(qi,pi)/kBT (1.3.10)
Bolusum fonksiyonunu butun enerjiler uzerinden bir toplam olarak yazalım.
Z =∑
ε
Γ(ε)e−ε/kBT Γ(ε) : ε enerjili duzeylerin sayısı
=∑
ε
Γ(ε)eS(ε)/kB−ε/kBT
Yine Saddle-point yontemine basvuralım:
Z =∑
ε
Γ(ε)eF (ε)/kB F (ε) = ε− TS(ε)
A yı maksimize ya da minimize eden ε degerini secelim:
Z(T, ~x,N) = e−A(T,~x,N)/kBT ≡ Helmholtz Serbest Enerjisi
A = F (ε∗)
40
Soru : A ile termodinamikten bildigimiz serbest enerji aynı mıdır?
1 =∑
µeβ(A(T,~x)−H) β =
1
kBT
β ya gore turev alalım:
0 =∑
µ
[A(T, ~x)−H + β
∂A
∂β
∣∣∣∣x
]eβ(A−H)
β∂A
∂β= β
∂A
∂T
∂T
∂β= − 1
kBβ
∂A
∂T
⇒ A(T, ~x)− E − 1
kBβ
∂A
∂T
∣∣∣∣x
= 0
A(T, ~x) = E + T∂A
∂T
∣∣∣∣x
∂A
∂T
∣∣∣∣x
= −S
⇒ A = E − TS
Eger A Helmholtz enerjisi ise;
E = TdS − PdV
d(E − TS︸ ︷︷ ︸A
) = −SdT
Sistemin enerjisi sabit degil degisiyor.
A = −kBT ln Z
41
Ortalama enerji;
E = 〈H〉 =
∑µS HSe−βHS
∑e−βHS
=
∑µS HSe−βHS
Z= −∂ ln Z
∂β
Basınc;
P = − ∂A
∂V
∣∣∣∣T
= kBT∂ ln Z
∂V
∣∣∣∣T
Enerji Salınımları:
Enerji ortalama degerinden ne kadar sapmaya ugrar?
〈(H − 〈H〉)2〉 = 〈H2〉 − 〈H〉2
=1
Z
∑
µSH2
Se−βHS − 1
Z
∑
µSHSe−βHS
2
=1
Z
∂2Z
∂β2−
[1
Z
∂Z
∂β
]2
=∂
∂β
[1
Z
∂Z
∂β
]
︸ ︷︷ ︸∂ ln Z
∂β
=∂2 ln Z
∂β2
∂ ln Z
∂β= −〈H〉 = E
⇒ 〈(H − 〈H〉)2〉 = −∂E
∂β= −∂E
∂T
∂T
∂β= kBT 2Cx
Cx : Isı sıgası, sistemdeki enerji salınımları hakkında bilgi verir.
σ =√〈(H − 〈H〉)2〉 =
√kBT 2Cx ∝
√N
42
Sekil 1.16:
Goreceli enerji salınımları ∝√
N
N=
1√N
Kanonik topluluk N →∞ icin mikrokanonik ile aynı olur.
Gaussian dagılımı;
P (x) =e−x2/2σ2
√2πσ2
P (ε) = exp
(−(ε− 〈H〉)2
2kBT 2Cx
)1√
2πkBT 2Cx
N →∞ iken P (ε) → δ(ε) olur.
UYGULAMA
Soru : Entropiyi neden ln li bir fonksiyon olarak alıyoruz?
Mikrodurum sayısı; Γ1(E1)Γ2(E2) , E2 = E − E1
43
E1 in hangi degeri icin Γ1 maksimum oluyor?
∂Γ1(E1)
∂E1
∣∣∣∣E1=E∗1
Γ2(E∗2) + Γ1(E
∗1)
∂Γ2(E2)
∂E2
∂E2
∂E1︸︷︷︸=−1
(E∗1 : mikrodurum sayısını maksimum yapan enerji degeri)
Yukarıdaki denklemi1
Γ1Γ2
ile carpıp duzenlersek;
∂Γ1
∂E1
1
Γ1
=∂Γ2
∂E2
1
Γ2
β1 =∂ ln Γ1
∂E1
=∂ ln Γ2
∂E2
= β2 → denge kosulu
Kucuk farklar halinde yazarsak;
∆ ln Γ
∆E1
=∆ ln Γ
∆S
∆S
∆E︸︷︷︸1/T
= β
∆S
∆(ln Γ)=
1
βT⇒ ∆S = kB∆(ln Γ) (1.3.11)
n Boyutlu Hiperkure :
x21 + x2
2 + . . . + x2n = r2 olacak sekilde bir kure tanımlayabiliriz. Bu kurenin
diferansiyel hacmi;
V =
∫ ∫. . .
∫
x21+x2
2+...+x2n=r2
dx1dx2dx3 . . . dxn
44
Hacim, uzayın boyutuyla orantılıdır. n boyuttaki bir hacim icin;
Vn = cnRn cn : uzayın boyutuna baglı bir sabit.
ya da
Vn =
R∫
0
Sndr Sn : alan
Yuzey alanı icin su bagıntıyı yazabiliriz:
Sn =dVn(r)
dr= ncnr
n−1
⇒ Vn =
R∫
0
ncnrn−1dr = ncn
R∫
0
rn−1dr =
∫ ∫. . .
∫
x21+x2
2+...+x2n=r2
dx1dx2dx3 . . . dxn
(1.3.12)
Kartezyen koordinatları kuresel koordinatlara cevirmek gerek. 1.3.12 denklem-
inin sag tarafını kuresel koordinatlara cevirecegiz.
∫dx1 . . . dxn =
∫rn−1drdΩn−1
= ncn
R∫
0
rn−1dr(1.3.13)
Ornegin 3-boyutta
dV = r2dr sin θdθdφ
Butun acılar uzerinden alınan integral o integralin onundeki katsayıyı verir.
n− 1 tane acı tanımlıyoruz.
1.3.13 denkleminden; ∫dΩn−1 = ncn
45
buluruz.
Soyle bir fonksiyon alalım:
e−(x21+x2
2+...+x2n) = e−r2
+∞∫
−∞
. . .
+∞∫
−∞
e−(x21+x2
2+...+x2n)dx1 . . . dxn =
∞∫
0
rn−1dr
∫dΩn−1e
−r2
+∞∫
−∞
e−x21dx1
︸ ︷︷ ︸√π
+∞∫
−∞
e−x22dx2
︸ ︷︷ ︸√π
. . .
+∞∫
−∞
e−x2ndxn
︸ ︷︷ ︸√π
= ncn
∞∫
0
rn−1e−r2
dr
︸ ︷︷ ︸I
(1.3.14)
I ile tanımlanan integral ifadesine kısmi integrasyon uygulanırsa;
I =1
2Γ
(n
2
)
elde edilir. 1.3.14 denklemini yeniden duzenlersek;
πn/2 = ncn1
2Γ
(n
2
)
n2Γ
(n2
)= Γ
(n2
+ 1)
olduguna gore;
cn =πn/2
Γ(
n2
+ 1) (1.3.15)
Hacim;
V = cnrn =πn/2rn
Γ(
n2
+ 1) (1.3.16)
Yuzey alanı;
Sn = nπn/2
Γ(
n2
+ 1)rn−1
46
denklemini 2 ile carpıp bolersek
Sn =2n
2πn/2
Γ(
n2
+ 1)rn−1
Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n− 1)!
esitligini yuzey alanı icin yazdıgımız denklemde kullanıp yeniden duzenlersek;
Sn =2πn/2rn−1
(n2− 1
)!
elde ederiz.
Bu kurede ince bir kabuk alalım. Bu ince kabugun hacminin butun kure
hacimine oranı ne olur?
Sekil 1.17:
∆Vn
Vn
=?
Bu oran yarıcaplarla orantılı oldugu icin;
∆Vn
Vn
=rn0 − (r0 −∆r)n
rn0
= 1−[r0 −∆r
r0
]n
= 1−[1− ∆r
r0
]n
limn→∞∆Vn
Vn
= 1
Bu durumda sadece kabuk yuzeyine yakın mikrodurumlar yeterli. E0 ile E0 +∆E
aralıgındaki mikrodurumları almak yeterli.
47
1.3.3 Problemler
1) Klasik Harmonik Osilator : Bir boyutta salınım yapan N tane harmonik
osilatorden olusan sistemin mikro durum sayısı(Γ(E, N)), entropisi (S), en-
erjisi (E) ve ısı kapasitesi (C) nedir?
2) Harmonik Salınıcılar Sistemi : N tane bagımsız ve ayırdedilebilir kuantum
mekaniksel harmonik salınıcıdan olusan bir sistemi goz onune alınız.
H(ni) =N∑
i=1
~ω(
ni +1
2
)
a) Sistemin entropisini toplam enerjinin bir fonksiyonu olarak bulunuz.
(S(E))
b) Sistemin T sıcaklıgını hesaplayınız, enerjiyi ve ısı kapasitesini T ve N
nin fonksiyonu olarak yazınız.
c) Salınıcıların herhangi bir n. duzeyde bulunma olasılıgını hesaplayınız.
3) Hiperkure : N parcacıktan olusan bir sistemin hacminin
V3N =
∫
0≤∑Ni=1 ri≤R
(N∏
i=1
4πr2i dri
)=
(8πR3)N
(3N)!
oldugunu gosterin. Bu esitligi kullanarak uc boyutta hareket eden N parcacıklı ve
E = pc enerjili ekstrem rolativistik gazın sıcaklıgını, basıncını ve ısı kapa-
sitesini hesaplayınız.
4) Serbest Parcacık : Bir boyutta hareket eden bir parcacıgın hareketi,
u(x) =
0, 0 < x < L
∞, diger durumlar
potansiyeli ile sınırlandırılıyor. Kanonik topluluk formalizmini kullanarak
parcacıgın bolusum fonksiyonu Z(T, L) icin bir esitlik yazınız.
48
Kanonik Topluluk - Ideal Gaz
H =N∑
i=1
|~pi|22m
+ U(~qi)
Z(T, V, N) =1
h3NN !
∫ N∏i=1
d~pid~qie−βH(~pi,~qi)
=V N
h3NN !
∫d~p1d~p2 . . . d~pNe
−βN∑
i=1
|~pi|22m
=V N
h3NN !
∫d~p1e
−|~p1|2/(2mkBT )
︸ ︷︷ ︸I
∫d~p2e
−|~p2|2/(2mkBT )
︸ ︷︷ ︸I
. . .
=V N
h3NN !IN (1.3.17)
I =
∫dpxdpydpze
−(p2x+p2
y+p2z)/(2mkBT ) = (2πmkBT )3/2
esitligini 1.3.17 denkleminde yerine yazarsak;
Z(T, V, N) =1
N !V N
(2πmkBT
h2
)3N/2
esitligini elde ederiz.
T sıcaklıgındaki m kutleli bir parcacık icin termal dalgaboyu:
λ(T ) =h√
2πmkBT(1.3.18)
⇒ Z(T, V,N) =1
N !
(V
λ3
)(1.3.19)
Bu denklem ideal gaz icin kanonik bolusum fonksiyonudur.
49
V
λ3: V hacmi icerisinde tek bir ideal gazın alabilecegi durum sayısı olarak
tanımlayabiliriz.
Serbest enerji;
A(T, V, N) = −kBT ln Z = −NkBT
ln
(V
λ3
)− ln N + 1
A(T, V, N) = −NkBT ln
(V e
Nλ3
)
Entropi;
S = − ∂A
∂T
∣∣∣∣V,N
= NkB ln
(V e
Nλ3
)− 3NkBT
λ
∂λ
∂T
1.3.18 denkleminden;∂λ
∂T= − 1
2Tλ
⇒ S = NkB ln
(V e
Nλ3
)+
3
2NkB
= −A
T+
3
2NkB = −A
T+
E
T
⇒ A = E − TS
Ic enerji;
E = −∂lnZ
∂β= − ∂
∂β
[N ln
(eV
Nλ3
)]
= − ∂
∂T
[N ln
(eV
Nλ3
)]∂T
∂β
Parantez icerisindeki ifadenin turevine bakalım:
−N∂
∂Tln
(eV
Nλ3
)= −N
∂
∂Tln
(1
λ3
)= N
∂
∂Tln λ3
50
= 3N∂
∂Tln λ =
3N
λ
∂λ
∂T=
3N
λ
(− λ
2T
)
= −3
2
N
T
⇒ E = −3
2
N
T
∂T
∂β= −3
2
N
T(−kBT 2)
E =3
2NkBT (1.3.20)
Durum denklemi:
Bunun icin P − V iliskisine bakmalıyız.
P = − ∂A
∂V
∣∣∣∣T,N
=NkBT
V
PV = NkBT
Ideal gaz icin kimyasal potansiyel:
µ =∂A
∂N
∣∣∣∣T,V
=A
N+ kBT =
E − TS
N+
PV
N
E = TS − PV + µN
dE = TdS + SdT − PdV − V dP + µdN + Ndµ (1.3.21)
A = −NkBT ln
(V
N
e
λ3
)
51
Serbest enerji ifadesini kimyasal potansiyel esitliginde kullanırsak:
µ = −kBT ln
(V e
Nλ3
)+ kBT = −kBT ln
(V
Nλ3
)
µ = kBT ln
(Nλ3
V
)(1.3.22)
Bu sistem icin;
dE = dQ + dW = TdS − PdV + µdN
1.3.21 denklemi ile bu denklemi karsılastırırsak;
TdS + SdT − PdV − V dP + µdN + Ndµ = TdS − PdV + µdN
⇒ SdT − V dP + Ndµ = 0
1.3.21 denkleminde gelen ek terimler sıfırdır.
1.3.4 Grand Kanonik Topluluk
Bu sistemlerde parcacık alısverisi sozkonusu. Isı banyosu ile sistem arasında
ısı alısverisi var.
Toplam hacim : V = VR + VS
Toplam parcacık sayısı : N = NR + NS
Kanonik bolusum fonksiyonu;
ZN(T, V ) =
∫d3Nqd3Np
N !h3Ne−β(HR+HS) (1.3.23)
52
Sekil 1.18:
H = HR + HS: Toplam Hamiltoniyen
Kabul : Toplam Hamiltoniyen, ısı banyosundaki parcacıkların konum ve mo-
mentumları ile sistemin konum ve momentumlarının bir toplamıdır. Yuzey ter-
imlerini ihmal ediyoruz.
ZN(T, V ) =1
N !h3N
∫d3Nqd3Npe−βH(q,p)
ZN(T, V ) =1
N !h3N
∫d3Nqd3Npe−β(HR+HS) (1.3.24)
Kac parcacık sistemde, kac parcacık ısı banyosunda belli degil. Bu nedenle
tum parcacıklar uzerinden toplam alınır.
Z =1
N !h3N
N∑NS=0
N !
NS!NR!
∫d3NSqSd3NSpSE−βHS ×
∫d3NRqRd3NRpRe−βHR
(1.3.25)
Burada N tane parcacık icinden NS tanesini kac farklı sekilde secebilecegimizi
hesaba katmak icin esitligi NS!NR! ile bolduk.
ZNR(VR, T ) =
1
NR!h3NR
∫dq3NRdp3NRe−βHR (1.3.26)
53
1.3.26 esitligini 1.3.25 esitliginde kullanarak grand kanonik topluluk icin olasılık
bagıntısı su sekilde yazılır:
P ( ~pS, ~qS, NS) =e−βHS
NS!h3NSZNR
(VR, T ) (1.3.27)
Toplam olasılık 1’e normalize edilirse,
P ( ~pS, ~qS, NS) =
e−βHS
NS !h3NSZNR
(VR, T )
ZN(T, V )(1.3.28)
ZN(T, V ) = e−βA(N,T,V ) (1.3.29)
Isı banyosu icin,
ZNR(T, VR) = e−βA(N−NS),T,(V−VS) (1.3.30)
Isı banyosunun, sisteme gore cok buyuk oldugunu kabul ediyoruz:
ZNR(T, VR) = e
−β[A(N,T,V )−NS( ∂A
∂N )T,V
−VS( ∂A∂V )
N,T
](1.3.31)
1.3.29 ve 1.3.31 esitlikleri 1.3.28’da kullanılırsa,
P ( ~pS, ~qS, NS) =e−βHS+βµNS+βPVS
NS!h3NS(1.3.32)
Sistemin hacmi sabit (βPVS = sbt), parcacık sayısı (βµNS) ve enerji (βHS)
54
degisken oldugu icin olasılık,
P ∝ e−βHS+βµNS
NS!h3NS(1.3.33)
olarak elde edilir.
Normalizasyon terimi;
Ξ =N∑
NS=0
d3NSqSd3NSpS
NS!h3NSe−βHS+βµNS (1.3.34)
Standart uygulama : z = eβµ secelim.
Ξ =N∑
NS
zNSe−βHS
NS!h3NS(1.3.35)
Bu esitlikte iki cesit toplam vardır ve zNS teriminde konum ve momentum baglılıgı yok-
tur.
Ξ =N∑NS
zNS
∫d3NqSd3NpS
NS!h3NSe−βHS (1.3.36)
Boylece kanonik bolusum fonksiyonu cinsinden grand kanonik bolusum fonksiy-
onu;
Ξ(µ, T, V ) =N∑
NS=0
zNSZ(NS, T, VS) (1.3.37)
Sistemde NS tane parcacık olma olasılıgı;
P (NS) =zNSZ(NS, T, V )∑N
NS=0 zNSZ(NS, T, V )(1.3.38)
55
Ortalama parcacık sayısı;
〈NS〉 =N∑
NS=0
NSP (NS) =
∑NNS=0 NSeβµNSZ(NS, T, V )
Ξ=
(∂ ln Ξ
∂(βµ)
)
T,V
(1.3.39)
Parcacık Sayısındaki Dalgalanmalar
〈(NS− < NS >)2〉 =∂2 ln Ξ
∂(βµ)2=
∂
∂(βµ)
(∂ ln Ξ
∂(βµ)
)=
∂ < NS >
∂(βµ)(1.3.40)
σ ∼√
NS
σ
NS
∝ 1√NS
Termodinamik limitte (NS → ∞) icin σ/NS → 0 olur. Bu limitte kanonik ve
grand kanonik topluluklar icin elde edilen her sonuc ozdes olur.
Ξ(µ, T, V ) =N∑
NS=0
eβµNSZ(NS, T, V ) (1.3.41)
1.3.41 esitligine ”Saddle-Point” yontemini uygulayalım.
eβµN∗S−βA(N∗
S ,T,V ) = e−β(E−TS−µN∗) (1.3.42)
Ξ = e−βΦG (1.3.43)
ΦG = E − TS − µN = −PV : Grand Potansiyel.
56
dΦG = −PdV − SdT −Ndµ (1.3.44)
S =
(−∂ΦG
∂T
)
V,µ
P =
(∂ΦG
∂V
)
T,µ
N =
(∂ΦG
∂µ
)
V,T
(1.3.45)
Grand Kanonik Kumede Ideal Gaz
Ξ(T, V, µ) =∞∑
N=0
eβµN
N !
∫d3Nqd3Npe−β
∑Ni=1 P 2
i /2m (1.3.46)
Integralin sonucu kanonik bolusum fonksiyonunu verir.
Ξ(µ, V, T ) =∞∑
N=0
eβµN 1
N !
(V
λ3
)N
=∞∑
N=0
1
N !
(eβµV
λ3
)N
= eeβµV λ3
(1.3.47)
ΦG = −kBT ln Ξ = −kBTeβµV
λ3= −PV (1.3.48)
1.3.48 esitliginden;
P =kBT
λ3eβµ (1.3.49)
Bu esitligi kimyasal potansiyel cinsinden degil de parcacık sayısı cinsinden yazsaydık
57
PV = NkBT esitligini elde ederdik.
Parcacık sayısı:
N =
(−∂ΦG
∂µ
)
T,V
= eβµ V
λ3(1.3.50)
1.3.49 ve 1.3.50 esitlikleri birlestirilirse,
P =kBTN
V⇒ PV = NkBT (1.3.51)
ile verilen ideal gazın durum esitligi elde edilir.
Kanonik kumede parcacık sayısı sabit oldugu icin bolusum fonksiyonunu hesapla-
mak cogu zaman zordur bu nedenle grand kanonik kumede, parcacık sayısının
degisken olması daha basit bir matematiksel yaklasım kullanmamızı saglar.
1.3.5 Problemler
1) Bir boyutlu polimer : Esnek, bir boyutlu bir polimer, N monomerden her
biri yatay veya dikey olacak sekilde modellenebilir.
Monomer uzunluklarıyatay durumda a, dikey durumda sıfır olsun.
a) Polimerin boyu L iken entropisi nedir? (L = mNa)
b) Entropiyi maksimize ederek polimerin tipik uzunlugunu (L∗) bulunuz.
c) Enerji terimi olmadıgıicin sabit sıcaklıkta serbest enerji A = −TS
ile verilir. L → L∗ + 4L icin gerilimi hesaplayınız ve yay sabitini
bulunuz.
58
2) Clausius-Clapeyron Denklemi: Kaynama sıcaklıgının basınca baglılıgınıgosteren
bir denklemdir. Bir mol su kullanan bir Carnot makinası dusunelim. Sabit
(P, T ) ile L gizli ısısı girisiyle, su buhara cevrilsin (hacim artacak). Ardından
basınc, adyabatik olarak (P−dP )’ye dusurulsun. (P−dP, T−dT )’de buhar
yeniden yogunlassın (bkz. Sekil 1.19).
Sekil 1.19:
a) (P, T ) ve (P−dP, T−dT )’de ayrıayrıµsu = µbuhar olmalı. dPdT
’yi entropi
ve hacim farkları cinsinden yazın.(Vsıvı = 0 alın)
b) Bir dongude yapılan isin dW = V dP oldugunu gosteriniz.
c) η = 1− TC
TH’den, Clausius-Clapeyron denklemini elde ediniz:
dP
dT=
L
TV
1.3.6 Etkilesen Parcacıklar
Onceki kısımlarda etkilesmeyen parcacıklardan olusan sistemleri ele almıstık.
Bu kesimde parcacıklar arasındaki etkilesimleri ve bu etkilesimlerin istatistiksel
mekanikteki rolunu anlamaya calısacagız. Bu tip sistemler icin en genel Hamil-
59
toniyen;
HN =N∑
i=1
|~Pi|22m
+ U(~q1, ~q2, ..., ~qN) (1.3.52)
seklindedir. Sistemin N parcacıktan olustugunu kabul ederek bu Hamiltoniyen
icin kanonik bolusum fonksiyonunu yazalım:
Z(T, V, N) =
∫ N∏i=1
d3qid3pie
−βH
N !h3N=
1
N !λ3N
∫ N∏i=1
d3qie−βU(~q1,~q2,...,~qN ) (1.3.53)
Hesaplarımızda kolaylık saglaması acısından
U(~q1, ~q2, ..., ~qN) =∑i<j
ν(~qi − ~qj)
seklinde bir potansiyel tanımlayalım. Boylece parcacıklar arasındaki konum farkından
kaynaklanan bir potansiyel etkilesme tanımlamıs olduk. Bu potansiyel ifadesini,
ilk terimi etkilesme barındırmayan bir seriye acılmalıdır. Eger iki parcacık bir-
birine yaklasırsa itici etkilesme, mesafe uzayınca ise sıfır etkilesme olsun:
fij = e−βν(~qi−~qj)
Boylece fij, -1 ile 0 arasında bir deger alabilecek sekilde secilmis olur. Bolusum
fonksiyonunu fij etkilesme terimi cinsinden yazalım;
Sekil 1.20: Molekuller arası νij potansiyeli ve fij fonksiyonu
60
Z(T, V, N) =1
N !λ3N
∫ N∏i=1
d3qie−β
∑i<j ν(~qi−~qj) =
1
N !λ3N
∫ N∏i=1
d3qi
∏i<j
(1 + fij)
(1.3.54)
∏i<j(1 + fij) ifadesinin ilk terimi yukarıdaki esitlige V N katkısı verir. Daha
sonra ise duzeltme terimleri gelir. Sistemdeki parcacık sayısını degisken tutarak
kanonik bolusum fonksiyonundan grand kanonik bolusum fonksiyonuna gecelim.
Grand kanonik bolusum fonksiyonu;
Ξ(µ, T, V ) =∞∑
N=0
eβµN
N !λ3NSN (1.3.55)
SN =
∫ N∏i=1
d3qi
[1 +
∑i<j
fij +∑i<j
∑
k<l
fijfkl
](1.3.56)
SN =
∫ N∏i=1
d3qi [1 + (f12 + f13 + ...) + (f12f13 + f12f14 + ...) + ...] (1.3.57)
Bu acılımdaki butun terimleri saymanın uygun bir yolu, her bir terimi bir cizge
ile iliskilendirmektir. N parcacıktan olusan bir cizge, 1, 2, ..., N seklinde nu-
maralandırılmıs N tane farklı cemberin bir toplamıdır. Ornegin, eger birbirine
farklı hatlarla baglanan farklı ciftler α, β, ..., λ ciftleri ise, o halde soz konusu
cizgenin terimleri su sekilde olacaktır:
∫ N∏i=1
d3qifαfβ...fλ (1.3.58)
Mesela, actıgımız terimlerden birisi f23f56f67 olsun. Bu terim, 2 ile 3, 5 ile 6
ve 6 ile 7 indisli parcacıklar arasındaki etkilesmeyi temsil eder. Bu duruma ait
cizgenin sekli asagıdaki sekilde gorulmektedir.
61
Bu cizgenin etkilesme terimleri su sekilde olmalıdır:
∫d3q1
∫d3q2
∫d3q3f(~q2 − ~q3)
∫d3q4
∫d3q5
∫d3q6
∫d3q7f(~q5 − ~q6)f(~q6 − ~q7)
(1.3.59)
Degisik turden ikili, uclu, dorlu,... cizgeler soz konusu olabilir. i < j sartını her
bir etkilesmeyi bir defa saymak icin kullanıyoruz.
Sekilde gosterilen iki yapının terimleri farklıdır ancak integrallerin sonucları aynıdır.
Burada yeni bir parametre tanımlayalım:
bl : l tane parcacık iceren baglı cizgeler uzerinden toplam.
b1 : tek baglı cizgi. ∫d3q = V
b2 : iki parcacıklı baglı cizgi.
∫d3q1d
3q2f(~q1 − ~q2)
Eger cizgede en az iki parcacık etkilesiyorsa bl parametresinin hesabı icin f
fonksiyonu tam olarak bilinmelidir. Son esitlikte yazılan iki degiskenli integral
tek degiskene baglı olarak yazılabilir. Parcacıklar arası mesafeyi degistirmeden
62
agırlık merkezi uzerinden integral hesaplamak mumkundur.
q1 + q2
2= qcm
q1 − q2
2= q12
∫d3q1d
3q2f(~q1 − ~q2) =
∫dqcm
∫dq12f12 = V
∫dq12f(q12) (1.3.60)
Uc parcacıklı baglı cizgeler (Sekil 1.21):
Sekil 1.21:
∫dq1dq2dq3[f(q1 − q2)f(q1 − q3) + f(q1 − q3)f(q2 − q3)
+f(q1 − q2)f(q2 − q3) + f(q1 − q2)f(q2 − q3)f(q1 − q3)]
63
Simdi bu esitligi agırlık merkezi koordinatlarına gore yazalım:
= V
∫d3q12d
3q13[f(~q12)f(~q23) + f(~q12 + ~q23)f(~q23)
+f(~q12)f(~q12 + ~q13) + f(~q12)f(~q13)f(~q12 + ~q13)]
Son yazdıgımız integralde ~q1 − ~q2 ve ~q1 − ~q3 seklinde iki degisken sectik ve
asagıdaki esitliklerden faydalandık.
~q1 − ~q3 = (~q1 − ~q2) + (~q2 − ~q3)
~qcm =~q1 + ~q2 + ~q3
3
~q12 = ~q1 − ~q2
~q23 = ~q2 − ~q3
Yukarıdaki esitlikte yer alan acılımda ilk uc integral aynı sonucu verir, dorduncusu ise
farklıdır.
(1.3.57) esitligi ile verilen SN ifadesi butun bl terimlerini icinde barındırır.
Ilk terim tek bir parcacıgı, ikinci terim bir cizgi ile birlestirilmis iki parcacıgı,
ucuncu terim ise iki cizgi ile birlestirilmis uc ya da daha fazla parcacıgı ... temsil
eder.
Simdi su sorunun cevabını arayalım: ”N tane noktayı kactane l’lik cizgeler
gruplarının bir araya gelmesi ile yazabiliriz?” Ornegin az onceki tartısmalarımızda
7 tane noktayı(yani parcacıgı) iki tane tek cizgi cinsinden yazmıstık. SN ifadesini
su sekilde yazarsak bu sorunun cevabınıkısmen elde etmisoluruz:
SN =∑
nl
∏
l
bnll (1.3.61)
64
Goruldugu uzere, bu acılımın ilk terimleri daha baskındır. Bu esitlikte; l, nokta
(parcacık) sayısını, n ise bu noktalardan kac cesit oldugunu temsil eder.
Parcacıklara index ataması yaparken N tane parcacık icin N ! kadar farklı index
ataması yapılabilir. Her bl terimi icin l! kadar fazla sayma yapılır. Eger nl tane l
boylu cizge varsa; ∏
l
(l!)nl
kadar duzeltme yapılır.
Aynı sayıda parcacık iceren gruplar degis-tokus yapılırsa, yine fazladan sayım
yapılır. Bunu onlemek icin de nl! ile bolmek gerekir. Boylece (1.3.63) esitliginin
yeni hali soyle elde edilir:
SN =∑
nl
(∏
l
bnll
)(N !∏
l nl!(l!)nl
)(1.3.62)
Buradan grand kanonik bolusum fonksiyonu icin su esitlik elde edilir;
Ξ =∞∑
N=0
(eβµ
λ3
)N1
N !
′∑
nl
(∏
l
bnll
)N !∏
l nl!(l!)nl(1.3.63)
Bu esitlikte dikkat edilmesi gereken onemli husus, nl setlerinin keyfi olarak
secilemeyecegidir. Bu nedenle (1.3.63) esitliginde ikinci toplam uzerindeki ′ sim-
gesi sınırlı toplam yapıldıgını belirtir.∑
l lnl = N bagsartınıda kullanarak artık
kanonik bolusum fonksiyonundan grand kanonik bolusum fonksiyonuna gecilir:
Ξ =∑
nl
∏
l
1
nl!
[(eβµ
λ3
)lbl
l!
]nl
(1.3.64)
65
Son esitlikte carpım ve toplamın yeri degistirilirse ustel bir ifade elde edilir.
Ξ =∏
l
exp
[(eβµ
λ3
)lbl
l!
]= exp
[ ∞∑
l=0
(eβµ
λ3
)lbl
l!
](1.3.65)
Elde edilen son esitlik kullanılarak ideal gazın durum denklemi yeniden yazılabilir:
ln Ξ = −βΦ =PV
kBT=
∞∑
l=0
(eβµ
λ3
)lbl
l!(1.3.66)
Buradan, ideal gazın durum esitligine gelen duzeltme terimleri elde edilmis olur.
Toplam parcacık sayısı;
N =∂ ln Ξ
∂(βµ)=
∞∑
l=0
l
(eβµ
λ3
)lbl
l!(1.3.67)
bl terimleri hacime baglı terimlerdir. bl = V bl yazarak durum denklemine gele-
cek duzeltmeler yogunluk cinsinden yazılmıs olur. µ teriminden kurtulmak icin
eβµ/λ3 = x seklinde secerek,
N =∞∑
l=0
lxlVbl
l!(1.3.68)
N
V= n =
∞∑
l=0
lxl bl
l!(1.3.69)
βP =∞∑
l=0
xl bl
l!(1.3.70)
(1.3.70) esitligindeki parametrik denklem x cinsinden cozulurse;
x = n− b2x2 − b3
2x3 + ... (1.3.71)
66
elde edilir. Simdi bu esitlikten adım adım gidilerek;
x1 = n (1.3.72)
x2 = n− b2n2 (1.3.73)
x3 = n− b2(n− b2n2)2 − b3
2n3 = n− b2n
2 + (2b22 −
b3
2)n3 (1.3.74)
x1, x2 ve x3 terimlerini elde ederken kısaca su yol izlenir: Bir onceki cozumde elde
edilen x cozumubir sonraki x esitliginde (ornegin x1 cozumu x2’de) yerine yazılır.
x1 birinci terime kadar, x2 ikinci terime kadar, x3 ucuncuterime kadar acılır.
Boylece parcacıklar arasıetkilesimler soz konusu oldugunda ideal gazın durum
esitligi icin;
βP = x+b2
2x2+
b3
6x3 = n− b2n
2+(2b2− b3
2)n3+
b2
2
(n2 − 2b2n
3)+
b3
6n3 (1.3.75)
βP = n− b2
2n2 +
(b22 −
b3
3
)n3 (1.3.76)
Son olarak, en genel haliyle bu esitlik daha kısa bir bicimde yazılabilir:
βP = n(1 + B2n + B3n
2 + ...)
(1.3.77)
Bu esitlikteki Bi katsayılarına virial katsayılar adı verilir. Bu katsayılar, durum
denklemine etkilesmelerden gelen katkıları temsil eder.
Ikinci virial katsayısına bakılacak olursa;
B2 = − b2
2(1.3.78)
b2 teriminin ikili cizgeler uzerinden alınan toplam oldugunu daha once belirtmistik.
67
Bu terimin integral ifadesi kullanılarak su sonuca varılır:
B2 = −1
2
∫dqf(q) = −1
2
∫dq
[e−ν(q)/kBT − 1
](1.3.79)
Yani sistemin ν(q) potansiyeli bilinirse ikinci virial katsayısı kolayca hesaplan-
abilir.
1.3.7 Problemler
1. Paramanyetizma: Kanonik topluluk formalizmini kullanarak bir ~H dıs manyetik
alanına yerlestirilmis ~µ dipol momentli N tane parcacıktan olusan sistemin
M mıknatıslanmasını hesaplayarak T → 0 ve T → ∞ limitlerini yorum-
layınız.
2. Iki Boyutlu Ideal Gaz: Ic yuzey alanı Y olan V hacimli bir kapta N
tane etkilesmeyen parcacık bulunmaktadır. Kabın yuzeyinde sogurulan
parcacıklar ε kadar enerji kaybına ugrarlar. Sistemin sıcaklıgının sabit
oldugunu ve bu kabın icerisindeki parcacıkların iki boyutlu ideal gaz gibi
davrandıgını dusunerek yuzeyde sogurulan parcacıkların sayısı Ns’yi hesaplayınız.
3. Virial Katsayıları: d- boyutlu bir uzayda komsu ciftleri arasında V (r)
merkezcil potansiyeli ile etkilesen gazı ele alınız.
V (r) →∞, 0 < r < a
V (r) = −ε, a < r < b
V (r) = 0, b < r < ∞
• Ikinci virial katsayısı B2(T )’yi hesaplayarak dusuk ve yuksek sıcaklık
limitlerindeki davranısını yorumlayınız.
68
• κT = − 1
V
∂V
∂P|T,N ile verilen izotermal sıkısabilirlik esitligine birinci
dereceden gelen duzeltmeyi hesaplayınız.
• Yuksek sıcaklık limitinde sistemin durum denklemini Van der Waals
formunda yazarak Van der Waals parametrelerini belirleyiniz.
4. Kimyasal Denge: A ve B parcacıklarının tepkimeye girerek AB bilesigini
olusturdugunu dusununuz (A + B AB). Herhangi bir t = t0 anında her
uc cesit parcacıgın derisimleri n0A, n0
B, n0AB ve tek parcacık bolusum fonksiy-
onları sırası ile Z(1)A , Z
(1)B ve Z
(1)AB ise sistemin toplam bolusum fonksiyonunu
yazarak
nAB
nAnB
= VZ
(1)AB
Z(1)A Z
(1)B
oldugunu gosteriniz.
1.3.8 Faz Gecisleri
Etkilesimli bir sistemde etkilesmeler zayıf degilse (dusuk sıcaklıklarda parcacıklar
arası etkilesmeler siddetli olur) sistem bir makro durumdan baska bir makro du-
ruma gecebilir. Bu gecis makroskobik degiskenlerin belli degerlerinde aniden or-
taya cıkar. Bu kesimde detaylardan arınmıs bir perspektif kullanarak, manyetik
sistemleri inceleyecegiz.
Faz Gecisleri: Maddenin birbirinden cok farklı durumları arasındaki gecislerdir.
Faz gecislerine ornek olarak;
• sıvı-gaz arası gecis
• normal metal-superiletken arası gecis
69
• paramagnet-ferromagnet arası gecis
gibi durumları verebiliriz.
Makroskobik ozellikler, serbest enerjiden elde edilebildigi icin faz gecisleri serbest
enerjinin tekil noktaları ile iliskilidir. Normal durumda bolusum fonksiyonu Z(T, V, N)
tekillik gostermez.
Sıvı-Gaz Arası Faz Gecisleri :
Sabit basıncta sıcaklıgı arttırdıgımızda sıvı fazdan gaz faza ani bir gecis mey-
dana gelir.
Kritik Nokta : Birlikte bulunma egrisinin sonlandıgı nokta.
70
Sekil 1.22: Bu sekildeki bir durum T = Tc = sbt ve basıncın degisken oldugu durumlardaortaya cıkar.
Milyonlarca parcacıgın aynı anda hareket ediyor olmaları soz konusu oldugu
icin kritik noktada, her olcekte salınımlar gozlenebilir.
Korelasyon Mesafesi: Sistemdeki bir parcacıgın, kendisine gore en uzak-
taki parcacıkla etkilesmesinin bir olcusudur.
Spinlerin sadece yukarı ve asagı olmak uzere iki sekilde yonelebildigi manyetik
bir sistemi goz onune alalım. Sistem uzerine dıs alan uygulanmıyorsa mıknatıslanma
her iki yone bakabilir.
Sekil 1.23: Duzen parametresi faz gecisi sırasında ani bir degisim gosterir.
71
Ferromanyetik faz ile paramanyetik fazı ayıran parametreye duzen parametresi
denir. Duzen parametresi farklı fazlarda degisik degerler alan bir termodinamik
fonksiyondur. Tipik olarak, bir fazda sıfır iken diger faza gecildiginde sıfırdan
farklı olur.
Ergodic Hipotezi: Mikrodurumlar uzerinden alınan ortalamalar, zaman or-
talamaları ile cogu zaman aynıdır.
Parcacık basına mıknatıslanma, duzen parametresinin yogunlugu olarak dusunulebilir.
m(T ) =1
VlimH→0
M(T, H) (1.3.80)
H : dıs alan.
d-boyutlu bir uzayda tum mikrodurumlar ele alınırsa,
M =
∫dd~xm(~x) (1.3.81)
yazmak mumkundur.
Kritik nokta civarında
m(T, H = 0) =
0, T > Tc
|t|β, T < Tc
(1.3.82)
t =Tc − T
Tc
: kritik noktadan ne kadar uzakta bulunuldugunu gosterir.
β: Kritik ustel olarak adlandırılır. Kritik usteller pek cok farklı turden etk-
ilesimlerin oldugu sistemlerde aynı cıkar, yani evrensel ozellik tasırlar.
m(Tc, H → 0) ∼ H1/δ (1.3.83)
72
δ: Kritik ustel.
χ(T, H = 0) ∼ |t|γ (1.3.84)
γ: Bir diger kritik ustel.
Korelasyon Mesafesi: Bu niceligi bir fonksiyon yardmıyla tanımlıyoruz:
Korelasyon fonksiyonu.
G(~r, ~r′) =⟨m(~r)m(~r′)
⟩(1.3.85)
Gc : Herhangi bir korelasyon yoklugundaki korelasyon fonksiyonu olsun.
Gc(~r − ~r′) = G(~r − ~r′)−m2 (1.3.86)
χ =∂M
∂H= β
∂2 ln Z
∂H2=〈M2〉 − 〈M〉2
kBT(1.3.87)
M =
∫dd~rm(~r) (1.3.88)
kBTχ =
⟨∫dd~rdd~r′m(~r)m(~r′)
⟩−
⟨∫dd~rm(~r)
⟩⟨∫dd~r′m(~r′)
⟩(1.3.89)
kBTχ =
∫dd~rdd~r′
[⟨m(~r)m(~r′)
⟩− 〈m(~r)〉
⟨m(~r′)
⟩](1.3.90)
kBTχ =
∫dd~rdd~r′
[⟨m(~r)m(~r′)
⟩−m2
]=
∫dd~rdd~r′Gc(~r − ~r′) (1.3.91)
kBTχ = V
∫dd~rGc(~r) (1.3.92)
Tipik olarak korelasyon fonksiyonları;
Gc(~r) ∼ e−r/ξ (1.3.93)
seklinde degisir.
73
ξ: Korelasyon mesafesi
ξ ∼ |t|−ν (1.3.94)
ν: Kritik ustel.
1.3.9 Landau-Ginzburg Teorisi
Landau-Ginzburg teorisi bir noktadaki lokal manyetizasyonu, bir alan olarak
kabul eder. Sisteme bakısolceginin, parcacıklar arasımesafeden daha uzun oldugu
kabul edilir. Istatistiksel alan teorisini baz alan bir teoridir.
Bir manyetik sistemdeki lokal duzen parametresi ~m(~x) olsun. Uzaydaki her
noktada bir lokal mıknatıslanma oldugu icin manyetizasyonun her yonde yonelebildigini
kabul ederek vektorel bir nicelik olarak tanımlıyoruz.
~x : Spinlerin kacboyutlu bir uzayda yer aldıgını gosterir.
~x = x1, x2, x3, ..., xd
~m = m1,m2,m3, ..., md
Sisteme ait Hamiltoniyen genel olarak,
βH(~m) =
∫dd~xΦ[~m(~x)] (1.3.95)
seklinde yazılır. Lokal olarak mıknatıslanmadan enerjiye gelen katkı integre edil-
erek toplam Hamiltoniyen yazılmıs olur. Burada sistemin duzgun ve izotropik
yapıda oldugunu kabul ediyoruz. Yani sistem degil de butun lokal mıknatıslar
degistirilirse toplam enerjinin degismemesi gerekir. Cunku goreceli olarak bir
mıknatıs digerini aynı sekilde gorecektir.
74
H[Rn ~m(~x)] = H[~m(~x)] (1.3.96)
Φ[~m(~x)] = a~m(~x) seklinde yazılabilir ise ancak m = −m kosulunda enerji
degisir. Bu durumda enerji terimi ~m(~x)’e baglıolamaz. Bu durumu saglayan
kosulun bir nokta carpım formunda olması gerekir. Bu nedenle simetriden dolayıΦ[~m(~x)],
~m(~x)’in ve ∇~m(~x)’in cift terimlerini icerbilirken tek terimlerini iceremez. Ayrıca
sistemin kritik nokta civarındaki davranısı ile ilgilendigimiz icin ~m(~x)’in sıfıra
yakın oldugunu kabul ediyoruz. Bu durumda yuksek mertebeli ~m(~x) terimlerinin
yaptıgımız hesaba katkısı ihmal edilebilir duzeyde kalacaktır. Tum bu durum-
ları goz onunde tutarak Φ[~m(~x)] icin su esitligi yazmak mumkun olacaktır;
Φ[~m(~x)] =t
2m2(~x) + um4(~x) +
K
2
[~∇~m(~x)
]2
+ ...− ~h.~m(~x) (1.3.97)
(1.3.97) esitligindeki son terim, sisteme ~h dıs alanı uygulandıgında simetri bozul-
masından gelen katkıyı belirtir.
[~∇~m(~x)
]2
=∑
α
∑i
∂mi
∂xα
∂mi
∂xα
(1.3.98)
Boylece, Landau-Ginzburg Hamiltoniyeni icin
− βH =
∫ddx
t
2m2(~x) + um4(~x) +
K
2
[~∇~m(~x)
]2
− ~h.~m(~x)
(1.3.99)
Bu esitlige bir noktada mikroskobik hamiltoniyen parametreleri girmeli.
t, u, K, ... : fenomenolojik parametreler.
75
Bu parametreler mikroskobik degiskenler ve dıs degiskenlerin bir fonksiyonudur.
Sistemin her noktasındaki ~m(~x) degeri bir degisken oldugu icin sonsuz sayıda
degisken soz konusudur. Bu durumda sistem icin yazacagımız bolusum fonksiy-
onu bir cesit fonksiyonel integral formunda olmalıdır.
Z =
∫ [D~m(~x)e−βH[~m(~x)]
](1.3.100)
Eger uzerinde calıstıgımız uzay surekli degil de bir orgu seklinde olsaydı, her
bir orgu noktası icin bir integral yazmak gerekirdi.
Orgu uzerindeki mi mıknatısları icin,
D~m(~x)F
[m(x),
∂m
∂x, ...
]→
∫ N∏i=1
dmiF
[mi,
mi+1 −mi
a
](1.3.101)
notasyon degisikligi yapılmalıdır.
a : orgudeki atomlar arasıuzaklık.
Hamiltoniyeni maksimize eden ~m(~x) konfigurasyonunu arıyoruz. Bu nedenle
bu noktada ”Saddle-Point” metoduna basvurabiliriz.
Etkilesme nedeniyle tum spinler aynı yone bakmaya calıstıkları icin K < 0 ve
Hamiltoniyendeki gradyent terimi buyuk olmalı.
Mıknatıslanmanın duzgun oldugunu kabul edelim:
~m(~x) = ~m
Z =
∫d~me−βψ(~m) (1.3.102)
76
Hamiltoniyen esitliginde m sabit oldugu icin geri kalan kısmın integrali hacmi
verir.
ψ(~m) =t
2m2 + um4 + ...− ~h~m (1.3.103)
− ln Z = V β min ψ(~m)m = βA (1.3.104)
Burada, ψ(~m) serbest enerji fonksiyonu adını alır. Bu fonksiyonun minimum
oldugu deger serbest enerjiyi verir.
~m = m∗h (1.3.105)
• h=0 durumu:
Tc civarında m kucuk degerler almalı.
• t < 0 icin u > 0 olmalı. Cunkuψ →∞ olamaz.
t = a (T − Tc) + O (T − Tc)2 (1.3.106)
u = u0 + u1 (T − Tc) + ... (1.3.107)
• h 6= 0 ise (1.3.103) esitligi geregince
77
Sekil 1.24: Farklı sıcaklıklardaki Landau serbest enerjisi. t < 0 icin ortaya cıkankendiliginden simetri kırılması, t = 0’da ikinci dereceden bir faz gecisine yol acar.
tm∗ − h = 0
m∗ = h/t
χ = − 1
V
∂m∗
∂h∼ 1
t→∞ (1.3.108)
Yani sonuc olarak ψ(m), t ve u analitik olmasına ragmen χ sureksizlik gosterir.
Mıknatıslanma:
(h = 0),∂ψ(m)
∂m|m=m∗ = 0 (1.3.109)
tm∗ + 4um3 − h = 0 (1.3.110)
h = 0 oldugu icin,
m∗ (t + 4um∗2) = 0 (1.3.111)
m∗ =0, t > 0√−t4u
, t < 0(1.3.112)
Bu esitlikte elde edilen ikinci koke bakarak Landau-Ginzburg teorisinin β usteli
tahmini elde edilir:
m∗ ∼ |t|1/2 → β = 1/2 (1.3.113)
78
Isı Sıgası:
C = T∂S
∂T=
−T
∂2A
∂T 2
h
(1.3.114)
βA
V= min ψm(m) =
0, t > 0
−t
8u, t < 0
(1.3.115)
C ∼ ∂2
∂t2
(βA
V
)=
0, t > 0
1
4u, t < 0
(1.3.116)
Bu sonuctan goruyoruz ki ısı kapasitesi sonlu bir degerden (0), baska bir sonlu
degere (1/4u) sıcrama yapıyor. Burada bir sureksizlik soz konusudur ancak bu
sonlu bir sureksizliktir.
C ∼ t0 → α = 0 (1.3.117)
Manyetik Alınganlık:
(1.3.103) esitliginde elde ettigimiz Saddle-Point cozumunden manyetik alınganlık
hesaplanırsa,
• h 6= 0
∂ψ(m)
∂m
m∗= tm∗ + 4um∗3 − h = 0 (1.3.118)
h = tm∗ + 4um∗3 (1.3.119)
χ−1 =
∂h
∂m
h=0
= t + 12um∗2 (1.3.120)
m∗ =
(− t
4u
)1/2
(1.3.121)
79
χ−1 =
t, t > 0
−2t, t < 0(1.3.122)
Yani hem sagdan, hem de soldan yaklasıldıgında χ ∼ 1/t oldugu gorulur. Bu
sonucu soyle yazmak daha uygun olur:
χ± = A±|t|−γ± → γ± = 1 (1.3.123)
Ayrıca;A+
A−= 2 (1.3.124)
seklinde katsayılar oranının da evrensel oldugunu gorebiliriz.
Simdi de manyetik alan ve mıknatıslık arasındaki iliskiyi, yani manyetik sis-
temin durum denklemini ele alalım:
∂ψ
∂m
t=0,m=m∗= 0 = 4um∗3 − h (1.3.125)
m∗ =
(h
4u
)1/3
∼ h1/3 = h1/δ (1.3.126)
δ = 1/3 (1.3.127)
Buraya kadar faz gecislerini veren bir ortalama alan teorisi gelistirdik ve kritik
ustelleri hesapladık. Kritik usteller icin elde edilen deneysel verileri ortalama alan
teorisinin sonuclarıile kıyaslamak icin su tabloyu incelemekte yarar vardır:
80
Deney α β γ
Ferromanyetik -0.1 0.4 1.3
Superakıskan 0 0.3 1.3
Sıvı-gaz gecisi 0.1 0.3 1.2
Superiletken 0 1/2 1
Ortalama Alan T. 0 1/2 1
1.3.10 Olcekleme Hipotezi
Landau-Ginzburg teorisinden yola cıkarak;
ψ(m∗) = f(t, h) ∼ −t2/u, h = 0, t < 0
−h4/3/u1/3, h 6= 0, t = 0(1.3.128)
ψ(m∗)h=0,t6=0 =t
2m∗2 = − t2
8u(1.3.129)
ψ(m∗)h=0,t6=0 = um∗4 − hm∗ (1.3.130)
Kritik nokta civarında m∗4 → 0 oldugunu kabul etmistik. Diger terim icin
daha once elde edilen (1.3.126) esitligi kullanılırsa,
ψ(m∗)h=0,t6=0 = −h4/3/(4u)1/3 (1.3.131)
bulunur.
f(t, h) fonksiyonunu bir homojen fonksiyon olarak yazabiliriz.
• Homojen Fonksiyon:
81
f(x1, x2, ...) = b−pf f(bp1x1, bp2x2, ...) (1.3.132)
seklinde yazılabilen fonksiyonlardır.
Ornegin, f(x) = x−1 fonksiyonu homojen bir fonksiyondur, cunku;
f(bx) = b−1x−1 = b−1f(x) (1.3.133)
seklinde yazılabilir.
f(t, h) = |t|2gf
(h/|t|4)
(1.3.134)
Eger, f(t, h) fonksiyonu homojen bir fonksiyon ise,
f(t, h) = bpf f (bptt, bphh) (1.3.135)
formunda yazılabilen bir fonksiyon olmalıdır.
b = t−1/pt yazalım. (Bu secimi tamamen keyfi olarak uyguluyoruz.)
f(t, h) = t−pf /ptf(1, t−ph/pth
)(1.3.136)
Bu analizleri kritik nokta civarında yapıyoruz.
f(t, h) = t−pf /ptf(1, h/tph/pt
)= |t|2gf
(h/|t|4)
(1.3.137)
• t < 0
limx→0
gf (x) = sbt =−1
uf(t < 0, h) (1.3.138)
• t=0
limx→∞
gf (x) = x4/3 ⇒ |t|2|t|44/3
= sbt (1.3.139)
82
Buradan,
4 = 3/2 (1.3.140)
elde edilir. Ortalama alan teorisi ile olcekleme hipotezi uyumlu olarak
calısmaktadır.
Daha genel olarak ortalama alan teorisinin de otesinde gecerli olan bir esitlik
yazabiliriz;
ftekil(t, h) = |t|2−αgf
(h/|t|4)
(1.3.141)
Ctekil ∼ −∂2f
∂t2(1.3.142)
f : serbest enerji yogunlugu.
(1.3.141) esitligi (1.3.142)’de kullanılırsa,
Ctekil ∼ ∂
∂t
[(2− α)t1−αgf −4h
t(2−α)
t4+1g′f
](1.3.143)
Esitlik duzenlenirse,
Ctekil ∼ ∂
∂tt(1−α)
[(2− α)gf
(h
t4
)−4 h
t4g′f
(h
t4
)](1.3.144)
u
(h
t4
)=
[(2− α)gf
(h
t4
)−4 h
t4g′f
(h
t4
)](1.3.145)
Sonuc olarak,
C ∼ t−αW
(h
t4
)(1.3.146)
83
Burada W ve u homojen fonksiyonlardır.
Ozel durum olarak, h = 0 icin;
C(h = 0) ∼ t−α (1.3.147)
sonucuna varılabilir.
Mıknatıslanma:
m(t, h) ∼ df
dh∼ t2−α−4g
′f
(h
t4
)(1.3.148)
h = 0 → m(t) ∼ tβ ⇒ β = 2− α−4 (1.3.149)
g′f (x →∞) ∼ xp
olsun. Bu durumda,
t2−α−4g′f = t2−α−4
(h
t4
)p=1/δ
(1.3.150)
m ∼ h1/δ, (t = 0)
idi.
Buradan,
2− α−4 = p4β
4 =1
δ→ δ =
4β
(1.3.151)
84
Manyetik Alınganlık:
χ(t, h) ∼ ∂m
∂h∼ t2−α−24g
′′f
(h
t4
)(1.3.152)
χ(t, h = 0) ∼ t−γ=2−α−24 (1.3.153)
γ = −2 + α + 24
α + 2β + γ = α + (4− 2α− 24)− 2 + α + 24 = 2
α + 2β + γ = 2 (1.3.154)
(1.3.154) esitligine Rushbrooke esitligi adı verilir.
δ − 1 =4
2− α−4 − 1 =−2 + α + 242− α−4 =
γ
β(1.3.155)
δ − 1 =γ
β(1.3.156)
(1.3.156) esitligi ise Widom esitligi olarak bilinir.
Tum bu esitlikleri elde ederken yaptıgımız hesaplamalarda serbest enerjinin
kendi icerisinde olcek barındırmayan homojen bir fonksiyon oldugunu kabul ettik.
85
1.3.11 Ising Modeli
Faz gecislerini teorik olarak tanımlamak oldukca guc bir istir. Istatistiksel
mekanik temelinde ele alınabilecek belli baslı modellerden birisi, Lenz (1920)
tarafından ileri surulen ve daha sonra ogrencisi Ising (1925) tarafından daha de-
taylı bir calısma ile gelistirilen bir modeldir. Bu model ilk once Curie sıcaklıgındaki
ferromagnetlerin faz gecisini acıklamaya yonelik olarak kesfedilmisse de model
uzerinde kucuk degisiklikler yapılarak ikili alasımlardaki duzen-duzensizlik arasıgecisler
gibi diger pek cok faz gecisini acıklamak icin de uygulanmıstır.
Ising modelini kısaca su sekilde dusunebiliriz: Bir orgualalım ve her bir orgunoktasına
bir spin degiskeni si = ±1 yerlesirelim. Genellikle, boyle bir model manyetik
bir sistem icin tasarlansa da, aynızamanda bir gazın herhangi bir mikroduru-
munun modeli de bu sekilde sureksiz bir uzayda tanımlanabilir. Kısa mesafeli
etkilesimleri goz onunde bulundurarak Hamiltoniyen esitligini su sekilde yazabil-
iriz:
H =∑<ij>
B(Si, Sj) (1.3.157)
Bu Hamiltoniyen esitliginde B, spinler arasındaki etkilesmeleri temsil eden her-
hangi bir fonksiyondur. < ij > ise sadece komsu spinlerin birbiriyle etkilestigini
gosterir.
B(Si, Sj) = B0 + B1(Si + Sj) + B2(Si.Sj) + B3(s2i Sj) (1.3.158)
S2i = S2
j = 1 oldugu icin uclu terimlerin bir anlamı olmaz. Bu nedenle
86
Hamiltoniyen B0, B1 ve B2 katsayılı terimlerden meydana gelir. B0 terimi sabit
olup Hamiltoniyene katkıvermez. Boylece Hamiltoniyen esitliginin su sekilde
yazılmasında bir sakınca olmaz:
H = −J∑<ij>
SiSj − h∑
i
Si (1.3.159)
−J terimi etkilesimin turunu belirten bir sabittir. J > 0 durumu ferromanyetik
etkilesmeyi, J < 0 ise paramanyetik etkilesmeyi temsil eder.
87
Diger Modeller:
• x-y modeli:
Si = ±1 yerine ~Si = (Sxi , Sy
i ) yazılır.
Sx2
i + Sy2
i = 1 (1.3.160)
• Heisenberg Modeli:
Si = ±1 yerine ~Si = (Sxi , Sy
i , Szi ) yazılır.
∑α
(Sαi )2 = 1 (1.3.161)
• Potts Modeli:
Si = ±1 yerine Si = 1, 2, ... yazılır.
Hamiltoniyen esitligi x− y ve Heisenberg modellerinde,
H = −J∑<ij>
~Si~Sj − ~h
∑i
~Si (1.3.162)
Potts modelinde ise,
H = −J∑ij
δSiSj− h
∑i
δSi,1 (1.3.163)
seklindedir.
88
Ortalama Alan Teorisi
Sekil 1.25: Ortalama alan yaklasımında her bir spinin komsularıile dogrudan degil,komsu spinlerin ortalama oryantasyonundan kaynaklanan bir ortalama alan ile etk-ilestigi kabul edilir.
Bu teorinin ana dusuncesi, merkezdeki Si spininin diger dort komsusu ile
−J∑
α SiSα seklinde etkilesmesi uzerine kurulmustur. Ising modelinden farkı ise,
komsu spinlerin ortalama degerlerinin hesaba katılmasıdır. Boyel bir sistem icin
bolusum fonksiyonu,
Z =∑
SieβJ
∑<ij> SiSj+βh
∑i Si (1.3.164)
Merkezdeki spinin dort komususunun ortalama degerleri icin < Si >= m
yazılırsa bolusum fonksiyonu
Z '∑
SieβJmd
∑i Si+βh
∑i Si (1.3.165)
esitligi ile verilir.
d : (1.3.164) esitligindeki ilk toplamda dort tane etkilesim oldugu icin spin
89
basına d tane etkilesim oldugunu kabul ediyoruz. Bolusum fonksiyonu uzerinde
gerekli duzenlemeleri yaparak son esitligi su sekilde yazalım:
Z =∑
Si
N∏i=1
eβ(Jmd+h)Si =N∏
i=1
( ∑Si=±1
eβ(Jmd+h)Si
)(1.3.166)
Z =N∏
i=1
2 cosh β(Jmd + h) (1.3.167)
Buradan, bolusum fonksiyonu icin en son denklem;
Z = 2N [cosh β(Jmd + h)]N (1.3.168)
Helmholtz serbest enerjisi;
A = −kBT ln Z = −NkBTln 2 + ln cosh[β(Jmd + h)] (1.3.169)
Spin basına mıknatıslanma:
− 1
N
∂A
∂h
h=0
= −M
N= m (1.3.170)
m = kBTβ tanh[β(Jmd + h)] (1.3.171)
m = tanh[β(Jmd + h)] (1.3.172)
90
Eger dısalan yoksa, (h=0) bu durumda esitlik,
m = tanh(βJmd) (1.3.173)
halini alır. (1.3.173) esitligi transendental bir denklemdir. Bu denklemi grafiksel
olarak cozmek uygundur.
Sekil 1.26: (1.3.173) esitligi icin grafiksel cozum.
tanh(x) fonksiyonunun y = x dogrusunun egimine gore aldıgı degerler farklıdır.
Yani baska bir deyisle tanh(x) fonksiyonu T sıcaklıgına baglı olarak degisim
gosterir.
βJ = K secersek, T = Tc kritik degerinde βJd = 1, ve
Kc = 1/d (1.3.174)
Iki boyutlu Ising modeli icin Kc = 0.5 sonucu elde edilir.
91
Bir Boyutlu Ising Modeli: Kesin Cozum
Sekil 1.27: Bir boyutlu Ising zinciri.
Z =∑
Sie
∑Ni=1 B(Si,Si+1) (1.3.175)
Elimizde etkilesen bir sistem oldugu icin bolusum fonksiyonunu carpım halinde
ayırmak mumkun degildir.
Bir transfer matrisi tanımlayalım:
Tij =< Si|T |Si+1 >=
eB(++) eB(+−)
eB(−+) eB(−−)
(1.3.176)
Periyodik sınır kosullarıkullanılır. Bir boyutlu zincirde en bastaki spinin (S1)
sol komsusu en sondaki spin (SN), en sondaki spinin sag komsusu (SN+1) ise en
bastaki spin olarak kabul edilir. Boylece spinlerden olusan kapalı bir halka elde
edilir.
SN+1 = S1
j → i + 1 yazmak, bir etkilesimi iki defa sayma probleminin onune gecer.
92
Bolusum fonksiyonunun bir diger tanımı:
Z = tr[TN
](1.3.177)
seklindedir. N →∞ termodinamik limitinde sadece en buyuk ozdeger yasar.
Z =(λN
+ + λN−
)= λN
+
(1 +
λN−
λN+
)' λN
+ (1.3.178)
βJ = K (1.3.179)
Hamiltoniyen;
− βH = K∑
i
SiSi+1 + βh
2
∑i
(Si + Si+1) (1.3.180)
Transfer matrisinin ozdegeri;
T =
eK+h − λ e−K
e−K eK−h − λ
(1.3.181)
λ+ = eK cosh h +√
e2K cosh2 h + 2 sinh 2K (1.3.182)
Mıknatıslanma:
m(h = 0) =
(− 1
Nβ
∂ ln Z
∂h
)
h=0
∼ ∂ ln Z
∂h∼ ∂ ln λ+
∂h(1.3.183)
Z = N ln λ+ (1.3.184)
93
Gerekli turev hesplanırsa,
m = 0 (1.3.185)
elde edilir. Bu esitlikten, sonlu bir sıcaklıkta bir boyutlu Ising modelinde faz
gecisi gozlenmedigi sonucuna varılır. Hamiltoniyende kısa mesafeli etkilesimler
bulundugu icin bir boyutlu Ising modelinde faz gecisi gozlenmez.
Bir boyutlu model haricinde, iki boyutlu Ising modeli Onsager tarafından anal-
itik yontemle tam olarak cozulmustur. Analitik olarak ucboyutta bilinen kesin
bir cozum bulunmamaktadır.
Seri Acılımları
Dusuk Sıcaklık Acılımı:
T = 0 civarında acıyoruz.
Sekilde gosterilen durum butun spinlerin aynı yonelime sahip oldukları en
olası durumdur.
Bir spin uyarıldıgında Sekil 1.28’ deki durum olusur.
94
Sekil 1.28:
Hamiltoniyen:
− βH = K∑<ij>
SiSj (1.3.186)
Bir spin uyarıldıgı zaman eski konfigurasyon ile yeni konfigurasyon arasındaki
enerji farkı:
4E = 2J.2d (1.3.187)
Uyarılabilecek spin sayısı: N .
Bir spin daha uyarılırsa ikinci en dusuk enerjili konfigurasyon Sekil 1.29’da
goruldugu gibi meydana gelir.
Sekil 1.29:
95
Bu durumda eski ve yeni konfigurasyonlar arasındaki enerji farkı;
4E = 2J(4d− 2) (1.3.188)
Bu durumların sayısı N.d ile verilir.
Bir diger durum ise uyarılmıs durumdaki iki spinin yan yana olmadıgıkonfigurasyonda
karsımıza cıkar. Bu konfigurasyon ise asagıdaki sekilde (Sekil 1.30) gorulmektedir.
Sekil 1.30:
(1.3.186) esitliginden yararlanarak bolusum fonksiyonunu yazalım:
Z =∑
Sie−βH = 2eNdK
[1 + Ne−4dK + Nde−4(2d−1)K + N
N − 2d− 1
2e−8dK + ...
]
(1.3.189)
Bu esitlikte ustel terimlerin basındaki N parcacık sayısına baglıkatsayılar yan
yana olmayan spinlerin kacfarklısekilde secilebilecegini anlatır.
Z = 2eNdK∑
b.a.k.
e−2K×TC (1.3.190)
b.a.k: butun adacık konfigurasyonları.
96
T C: adacıkların toplam cevresi
Bu notasyon ileriki hesaplamalarımız acısından cok faydalı olacaktır.
− βA
N=
ln Z
N= Kd +
1
Nln
[1 + Ne−4dK + Nde−4(2d−1)K + ...
](1.3.191)
x << 1 kosulu altında ln(1 + x) ≈ x yaklasımını kullanarak,
− βA
N= Kd + e−4dK + de−4(2d−1)K− 2d+1
2e−8dK+... (1.3.192)
Burada N2/2 yerine (2d + 1)/2 terimi kalıyor.
Butun adacık konfigurasyonlarıuzerinden alınan toplamın logaritması sadece
baglı cizgeler uzerinden bir toplam verir. Daha onceki kısımlarda grand kanonik
bolusum fonksiyonunu virial katsayıları cinsinden hesaplarken de benzer yontemi
uygulamıstık.
Son esitlikte N2 ile orantılıolan her terim yok olmalı. Cunku serbest enerji
parcacık sayısına baglı (extensive) olmalı.(N3, N4,... terimleri de bu esitlikte yer
alamaz.)
E
N= − 1
N
∂ ln Z
∂β= −J
∂
∂K
(ln Z
N
)(1.3.193)
Bu esitligi yazarken K = βJ esitliginden yararlandık.
97
Parcacık basına enerji:
E
N= −Jd
(1− 4e−4dK − 4(2d− 1)e−4(2d−1)K + ...
)(1.3.194)
Ozgul ısı:C
NkB
=1
NkB
∂E
∂T= −K2
NJ
∂E
∂K(1.3.195)
C
NkB
= 16dK2[de−4dK + (2d− 1)2e4(2d−1)K + ...
](1.3.196)
Beklenti: Bu acılımın kritik davranıs icin elde edecegimiz acılım ile benzer
olması.C
NkB
=∑
alul (1.3.197)
u = e−4K
C ∼ A
(1− u
uc
)−α
(1.3.198)
olmasını bekliyoruz.
Peki; C ∼ (Tc − T )−α esitligini(1− f(T )
f(tc)
)−α
seklinde yazabilir miyiz?
Bunun icin bir Taylor acılımı yaparsak,
≈(
1− f(Tc) + (T − Tc)f′
f(Tc)
)−α
≈[(T − Tc)
(− f
′
f(Tc)
)](1.3.199)
C ∼ A
(1− u
uc
)−α
= A
(1 + α
u
uc
+α(α + 1)
2!
u2
u2c
+ ...
)(1.3.200)
=∑
alul (1.3.201)
al
al−1
≈ α + l − 1
luc
(1.3.202)
(1.3.202) esitligi asimptotik olarak ardısık terimler arasındaki beklenen oran olarak
98
tanımlanabilir.
al
al−1
= u−1c
(1 +
α− 1
l
)(1.3.203)
Dusuk sıcaklık limiti icin Ising modelinde bu acılımı yapabiliyoruz. x − y
modelinde bu yontem ise yaramaz. Cunku butun spinlerin aynı yonelimli oldugu
konfigurasyon en dusuk enerjili konfigurasyon oldugu icin bu konfigurasyonda spin
yonelimlerinin cok yavas degistirilmesi cok uzun dalga boylu uyarımlara sebep
olur. Bu etki sonucunda m = 0 olur. Bu durum Heisenberg modeli icin de
gecerlidir. Her iki modelde de spinler surekli bir serbestlik derecesine sahiptirler.
Yuksek Sıcaklık Acılımı:
Bolusum fonksiyonunu β cinsinden acıyoruz.
Z =∑
SieK
∑<ij> SiSj (1.3.204)
eKSiSj =eK + e−K
2+
eK + e−K
2SiSj = cosh K[1 + tSiSj] (1.3.205)
t = tanh K (1.3.206)
⇒ Z =∑
Si
∏<ij>
cosh K(1 + tSiSj) (1.3.207)
99
= cosh KNb=Nd ×∑
Si
∏<ij>
(1 + tSiSj) = 2N(cosh K)Nd ×∑
b.p.d
tC (1.3.208)
b.p.d: butun kapalı patika durumları.
C: toplam patika cevresi.
Z = 2N(cosh K)Nd
[1 +
d(d− 1)
2Nt4 + d(d− 1)(2d− 3)t6 + ...
](1.3.209)
Bir boyutlu Ising zincirinde hic kapalı patika olmadıgı icin periyodik sınır
kosullarını kullanıp kapalı bir halka elde edilmis olur. (=bir adet kapalı patika)
Boylece d = 1 icin, periyodik sınır kosulu yoksa;
Z = 2N(cosh K)N−1 (1.3.210)
periyodik sınır kosulu var ise;
Z = LN(cosh K)N(1 + tN) (1.3.211)
elde edilir.
100
Iki Boyutlu Ising Modelinde Oz-Eslik
• Dusuk sıcaklık acılımı:
Z = e2NK∑
b.a.k.
e−2K×TC (1.3.212)
b.a.k: butun adacık konfigurasyonları.
T C: adacıkların toplam cevresi
• Yuksel sıcaklık acılımı:
Z = 2N cosh K2N ×∑
b.p.d
tanh KC (1.3.213)
b.p.d: butun kapalıpatika durumları.
C: toplam patika cevresi.
Bu iki esitlikteki toplamlar aynı konfigurasyonlar uzerinden alınır.
ln∑ → g(x) fonksiyonu olsun.
x =
e−2K , T ¿
tanh K, T À(1.3.214)
ln Z
N=
2K + g(e−2K), T ¿
ln 2 + 2 ln cosh K + g(tanh K), T À(1.3.215)
Bolusum fonksiyonundaki tekillik g fonksiyonunun icersinde olmalı.
101
Dusuk sıcaklıklarda K → K olsun.
e−2K = tanh K donusumu yapalım.
K =1
2ln tanh K (1.3.216)
Boylce yuksek sıcaklıklardaki K degiskenini dusuk sıcaklıklarda K ile iliskilendirmis olduk.
Sistemde K artıyorsa K azalır.
sinh 2K = 2 sinh K cosh K = 2 tanh K cosh2 K (1.3.217)
=2 tanh K
1− tanh2 K=
2e−2K
1− e−4K=
2
e2K − e−2K=
1
sinh 2K(1.3.218)
Burada sinh 2K sinh 2K = 1 bagıntısını kullandık.
Sistemin bir Kc, bir de Kc’de tekil noktası var.
e−2Kc = tanh Kc =1− e−2Kc
1 + e−2Kc(1.3.219)
Bu esitlik;
x =1− x
1 + x(1.3.220)
formundadır.
x2 + 2x− 1 = 0 → x =−2 +
√4 + 4
2=√
2− 1 = e−2Kc
102
Boylece,
Kc = −1
2ln(√
2− 1) (1.3.221)
Kc =1
2ln(√
2 + 1) = 0.441 (1.3.222)
sonucu elde edilir.
Uygulama: Kendiliginden Mıknatıslanma
Bu kesimde herhangi bir dıs alan yoklugunda Ising modelini kullanacagız.
Modele gore sistem dıs alan yoklugunda kendiliginden mıknatıslanır. Iki boyutlu
bir kare orgude keyfi bir konfigurasyon ele alalım.
Sistemde;
N− : asagı yonelimli spinlerin sayısını,
N+ : yukarı yonelimli spinlerin sayısını
belirtmektedir.
Dıs alan yoklugundaN−N
oranının 1/2 olması beklenir. Bizim buradaki amacımız
bu oranın 1/2’den daha farklı olması gerektigini gostermek olacaktır.
Sekil 1.31: Iki boyutlu Ising modelinde adacık duvarları.
103
Yukarı yonlu spinleri +, asagı yonlu spinleri ise− isareti ile gosterelim. Orgu nok-
talarına rastgele yerlesen spinler kendi aralarında ayrı ayrı gruplara ayrılırlar ve
birbirinden bagımsız kapalı adacıklar yukarı ve asagı yonlu spinleri birbirinden
ayırır. Bir kapalı adacık, yukarı ve asagı yonlu spinleri birbirinden ayıran surekli
bir cizgiden meydana gelir. Farklı adacıkların duvarları birbirleri ile kesismemektedir.
Duvarların bir kısmı kapalı bir sekil olustururken, bir kısmı da orgunun sınırlarında
baslayıp biterler.
Boylece keyfi bicimli bir poligon elde etmisoluruz. b uzunlugundaki bir du-
var kapalıbir poligondur ve b tane birim uzunluklu yatay ve dikey segmentten
olusur. Simdi bu poligonu, bir kenarının uzunlugu b/4 birim olan bir karenin
icine yerlestirelim.
Bu durumda,
A(poligon) <b2
16(1.3.223)
olur. b uzunlugundaki cizgi sayısını (ya da adacık duvarlarının sayısı) m(b) ile
gosterelim ve simdi orgunun sınırlarında butun spinlerin yukarı yonelimli olduk-
larını kabul edelim. Bu bir cesit sınır kosulu teskil eder ve sistem uzerinde bir
104
dıs alan etkisi gostermesine ragmen sonsuz orgu limitinde oldukca zayıf bir etki
yaratır. Bu sınır kosulu aynı zamanda, yukarı ve asagı yonlu spinlerin meydana
getirdigi simetriyi bozma ozelligine de sahiptir.
Sistemde kendiliginden mıknatıslanmanın varlıgını kanıtlamak icin, oldukca
dusuk ve sonlu sıcaklıklarda asagı yonlu spinlerin ortalama sayısının 12’den daha
az oldugunu gostermek gerekir. Bir kapalı cizgi setinde cizgiler b uzunluguna ve
verilen bir uzunluk sınıfındaki duvarların i sayısına gore sınıflandırılırlar. Yani
herhangi bir adacık duvarı (b, i) etiketi ile karakterize edilir.
Sekil 1.32: Orgunun sınırlarındaki spinler yukarı yonlu ol-sun.
m(b) sayısına bir sınır koymak icin birim uzunluktaki b tane cubugu yatay
veya dikey sekilde, N tane orgu noktasına sahip genisbir kare orgude arka arkaya
yerlestirerek surekli bir cizgi insa ettigimizi hayal edelim. Bu isi yapabilecegimiz
farklı yolların sayısı m(b) sayısından daha buyuktur. Ayrıca, insa ettigimiz surekli
cizginin kapalı bir cizgi olması da sart degildir. Yerlestirecegimiz ilk cubuk N
farklı noktaya gidebilir. Geriye kalan b−1 tane cubuk sekildeki gibi ucfarklı yonde
gelisebilir.
105
m(b) ≤ N3b−1 (1.3.224)
Orgu sınırlarındaki spinlerin tumu + oldugu icin, butun − spinlerin etrafı en
az bir adacık duvarı ile cevrilidir. Belirli bir konfigurasyon icin,
X(b, i) = 1: eger adacık duvarı(b, i) bu konfigurasyonda yer alıyorsa,
X(b, i) = 0: eger (b, i) konfigurasyon dısında ise.
Boyle bir konfigurasyonda − spinlerin sayısı su esitligi saglamalıdır:
N− ≤∑
b
(b2
16
) m(b)∑i=1
X(b, i) (1.3.225)
Simdi X(b, i)’nin termal ortalamasını hesaplayalım:
〈X(b, i)〉 =
∑′s e−βεs
∑s e−βεs (1.3.226)
(b, i) adacıgını icersinde barındıran konfigurasyondaki butun spinleri ters cevirelim
(yani butun + spinler −, − spinler ise + olsun).
C : eski konfigurasyonu,
C : yeni konfigurasyonu gostersin.
Eski ve yeni konfigurasyonlar arasında sadece sınırlardaki etkilesme enerjileri
farklıdır. Yani sınırlarda C = −E ise C = E olur.
106
4E = 2E : tek bir etkilesmenin enerji farkı.
Cevre: b
Bu durumda toplam enerji farkı: b.2E
Ec = Ec + 2Eb (1.3.227)
(1.3.226) esitliginde tum durumlarısaymak yerine C → C durumuna gectikten
sonra elde edilebilecek olası konfigurasyonları sayalım:
〈X(b, i)〉 =e−βEC1 + e−βEC2 + e−βEC3 + ...
e−βEC1 + e−βEC2 + e−βEC3 + ...(1.3.228)
〈X(b, i)〉 = e−2Eb
(e−βEC1 + ...
e−βEC1 + ...
)(1.3.229)
〈X(b, i)〉 ≤ e−2Eβb ≤ e−βEb (1.3.230)
m(b) = N3b−1 (1.3.231)
N− ≤∑
b
b2
12
m(b)∑i=1
e−2βEb =∑
b
b2
16N3b−1e−2Eb (1.3.232)
N− ≤∑
b
b2
12N3b−1e−2Eβb (1.3.233)
N− ≤∑
b
b2
16N3b−1Ne−Eβb (1.3.234)
N−N
≤ 1
48
∑
b=4,6,8,...
b23be−2βEb (1.3.235)
b = 2l
l = 2, 3, 4, 5, ...
107
∑b23be−βEb =
∑
l=2
(2l)29le−βEl
∞∑
l=0
El =1
1− E(1.3.236)
∑b23be−βEb =
∂2
∂(βE)2
∞∑
l=2
(9e−2βE
)l(1.3.237)
∞∑
l=2
xl =1
1− x− 1− x, x < 1
N−N
≤ 1
48
∂2
∂(βE)2
(1
1− x− x− 1
)(1.3.238)
N−N
≤ x2
3(1− x)3
(1− 3
4x +
1
4x2
)(1.3.239)
x = 9e−2βE
Cok buyuk ve sonlu β degerleri icin bu oran 1/2’den kucuktur.
N−N
≤ 1
2(1.3.240)
Problemler
1. Bir Boyutlu Ising Modeli: Bir boyutta birinci ve ikinci komsu etk-
ilesimleri iceren Ising modeli icin Hamiltoniyen esitligi;
−βH = K
N∑i=1
SiSi+1 + L
N∑i=1
SiSi+2
ile verilir. Periyodik sınır kosullarınıkullanarak
108
• 4× 4’luk transfer matrisini olusturun.
T 3412 =
++ +− −+ −−+− . . .
−+ . . .
−− . . .
• λmax’a karsılık gelen ozvektorun
1
a
a
1
formunda oldugunu varsayarak, parcacık basına dusen serbest enerjiyi(−β ln Z
N
)hesaplayınız.
2. Bir Boyutlu Potts Modeli: Bir boyutta ucdurumlu Potts modeli icin,
−βH = K
N∑i=1
δSi,Si+1(Si = 1, 2, 3) ise, (K > 0)
transfer matris metodu ile serbest enerji yogunlugunu(f = −kBT
Nln Z
)hesaplayın.
(Gerekli matris ozvektorleri matrisin simetrisine bakarak tahmin edilebilir.)
3. Klasik Heisenberg Modeli: Ortalama alan teorisine gore;
−βH = K∑<ij>
~Si. ~Sj + ~h∑
i
Si
(K > 0, ~Si = (Sx
i , Syi , Sz
i ), |~Si|2 = 1)
ve her bir spinin 2q tane komsusu olsun.
M ≡ 〈∑
i
~Si〉, ve, ~M = M.h,
(h =
~h
h
)olmalı.
109
• ~Si. ~Sj → ~Si.〈 ~Sj〉 yaklasımıile M icin bir denklem yazınız.
• Simetri geregi kritik noktada Hc = 0 alarak, Tc’yi hesaplayınız.
1.3.12 Problemler Icin Ipucları
• Paramanyetizma: Bir dipolun sahip oldugu enerji:
Ei = −~µi~H = −µiH cos θi
Mıknatıslanma:
M = N〈µ cos θ〉
Bu ortalamayı, kanonik topluluk formalizmi ile hesaplayın, tek parcacık
bolusum fonksiyonunu elde edin. Bu bilgileri kullanarak herhangi bir sıcaklıktaki
mıknatıslanma icin
M = Nµ
coth x− 1
x
formunda bir denklem elde etmelisiniz.
• Iki Boyutlu Ideal Gaz: Yuzeydeki parcacıkların enerjisini Es = p2
2m−ε, V
hacmindeki parcacıkların enerjisini ise H = p2
2mseklinde secerek iki durumun
kimyasal denge kosulunu ele alınız.
• Virial Katsayıları: Ikinci virial katsayısınıhesaplamak icin (1.3.79) esitligini
kullanabilirsiniz.
• Kimyasal Denge: Sistemin bolusum fonksiyonunu yazdıktan sonra Saddle-
Point yontemini kullanarak istenen sonucelde edilebilir. Ikinci bir yol olarak
kimyasal potansiyel kullanılabilir.
• Bir Boyutlu Ising Modeli:
x = eK ve y = e2L olmak uzere transfer matrisi,
110
T =
x2y x 1/x 1/y
1/x y/x2 1/y x
x 1/y y/x2 1/x
1/y 1/x x x2y
En buyuk ozdeger icin parcacık basına serbest enerji;
− f
kBT=
1
2ln 2+ln
eK cosh(K + 2L) + cosh K
(√e4L cosh2 K + 1− e2L cosh K
)
• Bir Boyutlu Potts Modeli: Transfer matrisi;
T =
eK 1 1
1 eK 1
1 1 eK
Simetri kosulu:
V1 =
1
1
1
, V2 =
1
0
−1
Transfer matrisinden serbest enerjiye gecmek icin
Z1 = Tr(T )
esitligini kullanın.
• Klasik Heisenberg Modeli: Hamiltoniyen esitligini kullanarak bolusum
fonksiyonu icin,
Z ≈[∫
d(cos θ)dφe(Kmq+H) cos θ
]N
denklemini elde etmelisiniz. Integrali hesaplayarak bolusum fonksiyonundan
kolayca mıknatıslanmaya gecilir.
ISTATISTIK FIZIKTE SAYISALYONTEMLER
Mehmet SAYAR
KOC UNIVERSITESI
Ekrem AYDINER
DOKUZ EYLUL UNIVERSITESI
DERS NOTU ASISTANI :
Aysegul DULGER (Dokuz Eylul Universitesi)
BOLUM IKI
ISTATISTIK FIZIKTE SAYISAL YONTEMLER
2.1 Bilgisayar Simulasyonları
2.1.1 Bilgisayar Kullanım sekillleri
• Teorik bir modele yaklasık bir cozum bulmak
• Denklemi olan ama cozumuolmayan modelleri cozmek
• Teorik modellerin test edilmesi, gelistirilmesi ve deney sonuclarıyla karsılastırılmasında
bilgisayar simulasyonlarıkullanılabilir.
1. Karsılastırılması sonrası model sıvıya tekrar donulur ve sonuclar karslastırılır,
birbirine benzetilmeye calısılır. Bu yontem bir cesit geri besleme yontemidir.
2. Karsılastırmadan sonra gercek sıvıya geri besleme yapılır. Bu mekanizmanın
sayesinde deneysel ve teorik sonuclar karsılastırılma imkanı bulunur. Teorik
olarak calısanların simulasyonlara, deneysel calısanların hem simulasyonlara
hem de teorik sonuclara ihtiyacı vardır.
112
113
• Teorik olarak calısılması zor, uc noktalarda deney yapmanın imkansız oldugu
durumlarda bilgisayar simulasyonları kullanılabilir.
• Simulasyonlar atomik duzeyde tam detaylı sonuclar verir.
Bilgisayar simulasyonları,
• Molekuler dinamik
• Monte Carlo
olmak uzere iki gruba ayrılır. Ilk simulasyonlar Metropolis, Rosenbluth, Teller
and Teller tarafından Los Alamos’ da yapılmıstır.(1953)
2.1.2 Model Sistemler ve Etkilesim Potansiyelleri
Klasik mekanigin gecerli oldugu durumları, diger bir degisle, Born- Oppeheinel
varsayımına gore; elektronların hızlı titresimlerinin ortalama alındıgını dusunelim.
- Hamiltonyen denklemler (N adet molekul icin) yazılırsa;
H(−→q ,−→P ) = K(
−→P ) + U(−→q ) (2.1.1)
Genellestirilmis koordinatlar ;
−→q = (−→q1 ,−→q2 , ...,−→qN)
Genellestirilmis momentum;
−→P = (
−→P1,
−→P2, ...,
−→PN)
114
- Hamiltonyen denlemleri kullanılarak sistemin kinetik enerjisi yazılırsa,
K =N∑
i=1
∑α
P 2i α/2mi (2.1.2)
Teorik olarak bir sistemin hamiltonyeni yazılabiliyorsa,verilen denklemler cozulebilir,
ancak tam olarak analitik bir cozum elde etmek mumkun degildir.Dolayıyısıyla
baslangıc kosullarıbilinen N parca cıklı kapalı bir sistem icerisinde calısıldıgı varsayılarak,
ve sistemin hamiltonyen denklemlerinden yola cılarak Newton hareket denklemleri
elde edilebilir. Elde edilen denklemler numerik olarak entegre edilir ve boylece sis-
tem icin yaklasık bir yorunge elde edilmis olur. Bu sayede elde edilen buyuklukler
deneysel veya teoriksel sonuclarla karsılastırılabilinir.
Hamiltonyen denkleminin ikinci kısmında, etkilesim potansiyeli V vardır.
- Atomik bir sistem icin bu etkilesim potansiyeli kartezyen koordinatlarda virial
acılım metoduyla ;
V =∑
i
Vi(−→ri )
︸ ︷︷ ︸1
+∑
i
∑j>1
V2(−→ri ,
−→ri
︸ ︷︷ ︸2
+∑
i
∑j>1
∑
k>j>1
V3(−→ri ,
−→rj ,−→rk )
︸ ︷︷ ︸3
... (2.1.3)
seklinde yazılır. Burada;
1. terim: Dıs etkilesimleri
2. terim: Parcacık ciftlerinin etkilesimleri
rij = |−→ri −−→rj |
115
3. terim: Ucparca cıktan kaynaklanan etkilesimleri
ifade etmektedir.Ikinci terime ornek olarak; Argon sıvısındaki parcacık ciftleri
etkilesimleri parcacıklar arasındaki mesafeye baglı olacak sekilde deneysel olarak
olculmeye calısılırsa;
1. Terim: Uzun mesafeli cok kucuk fakat sonlu cekici etkilesimler (Van der
Walls kuvvetleri, London kuvvetleri)
2. Terim: Kısa mesafede elektron bulutlarının direkt olarak etkilesmesi sonucu
cok buyuk itici etkilesimler
3. Terim: Minumum etkilesim duzeyinde baglanma enerjisi
Denklem (2.1.2) de verilen V3 terimi ucuncu parcacıktan kaynaklanan etk-
ilesimlerdir. Ve ideal gazlarda etkilesimin yaklasık olarak %10’u bu teriminden
kaynaklanmaktadır. Etkilesim sayısı ise N3 ile orantılıdır.Ancak hesaplama za-
manını cok arttıgından genel olarak simulasyonlarda 3. terimler hesaba katılmaz.
Esas olarak bu hesaplamada yapılmak istenen ortalama etkin bir potansiyel bula-
bilmektir.Bunun icin sonsuz parcacıklı bir sistemde secilen iki parcacıgın konum-
larısabit tutulur, diger butun parcacıkların uzayda serbest olarak dolasmasına izin
116
verilirse, serbest haldeki bu parcacıkların olası butun durumları uzerinden orta-
lama alınarak bu iki parcacık arasndaki ortalama etkin potansiyel hesaplanmıs ol-
unur. Buna ortalama etkilesim potansiyeli denir.
• Lennard-Jones etkilesim potansiyeli, iki parcacık arasındaki mesafeye baglı olan
etkilesim potansiyelidir.
Bu potansiyel;
V Lj(r) = 4ε((σ
r)12 − (
σ
r)6) (2.1.4)
seklinde yazılır.Denklemdeki ε terimi enerjinin minumum degerini, (σr)12 terimi
yakın mesafelerdeki itici kuvvetleri,(σr)6 terimi uzak mesafelerdeki cekici kuvveti
ifade etmektedir.Denklemdeki σ terimi grafikte verilen rmin degeriyle iliskili ol-
malıdır. Bu iliskiyi elde etmek icin denklemin turevi alınır ve sıfıra esitlenir
boylece rmin = 21/6σ = 1.12σ ifadesi elde edilmis olur.
2.1.3 Indirgenmis Birimler
Lennard-Jones sıvısısimule edilmek isteniyor olsun, bu Simulasyonu hazırlanmadan
once bir takım parametrelerin belirlenmesi gerekir. Bu sayede hesaplanmak iste-
nenler bu parametreler cinsinden ifade edilir. Lennard-Jones etkilesim potansiyeli
icin belirlenmesi gereken birimler;
• Uzunluk birimi, σ
• Enerji birimi, ε
• Kutle birimi, m
117
dir. Burada σ,ε ve m indirgenmis birimlerdir. Bu birimler sayesinde zaman ve
sıcaklık ifade edilebilir.Buna gore;
- Zaman birimi; t∗ = σ√m
ε
- Sıcaklık birimi; T ∗ = εkB
seklindedir. Ornek: Ar T=60K ρ = 840kg/m3 Xe T=112K ρ = 1617kg/m3
verilen iki sisteme Lennard-Jones modeli kapsamında bakarsak; ρ∗ = 0.5 T ∗ = 0.5
denk duser yani bu iki sistem aynı seyi ifade etmektedir. Boylece Ar ve Xe tek
bir simulasyonda gosterilebilir. Bu, indirgenmis birimler sayesinde olur.
Polimerler
Polimer, en basit tanımıyla monomer denilen kucuk molekullerin birbirlerine ek-
lenmesiyle olusan uzun zincirli, buyuk molekul agırlıklı bilesiklerdir. Yunanca
mer parca, poly cok anlamına gelir.
Sekil 2.1: Polimer
Bir polimer sistem simule edilmek isteniyor olsun. Bunun icin sekilde gosterilen
polimer yapının parcaları arasındaki etkilesimler gozlenir. Bu yapıbirimleri arasındaki
baglar kovalent baglardır ve bu baglar harmonik potansiyel ile temsil edilebilr. Iki
parcacık arasındaki mesafeye baglı olarak elde edilen etkilesim potansiyeli Sekil
118
Sekil 2.2: harmonikpotansiyel
2.4 te gosterilmistir. Bu, literaturde yer alan FENE (Finitely Extensible Non-
linear Elastik Model) adı verilen en basit etkilesim tipidir.FENE yalnızca itici
Lennard-Jones modeliyle birlikte kullanılır.
Acısal Potansiyel(Uc Parcacıgı Ilgilendiren etkilesimler)
Virial dagılım metodunda 3. ve 4. terimler hesaba katılmaz ancak polimer zinciri
bu durumun bir istisnasıdır.Polimer zincirindeki yapılar arası bagların hesaplan-
masıicin zincirde bulunan herhangi birbirine baglı uc parcacık secilir ve bunları il-
gilendiren bir acı terimi bulmaya calısır.Buna acısal potansiyel denir.
Sekil 2.3: Yapı birimi
Sekilde (2.5)’te gosterilen yapı birimleri arasındaki θ acısı kullanılarak yeni
bir bagıntı yazılır; L uzunlugunda M tane zincirden N tane parcacık meydana
gelir ve bu 3’ lu yapının acısal potansiyeli O(L − 2) olur. Istisnai bu durumun
hesaplamalarda kullanılmasının iki sebebi vardır;
1. Bu terimin katkısı gozardı edilmeyecek kadar buyuktur. Bu etkilesimler sis-
119
temin statik ve dinamik ozelliklerini cok degistiren etkilesimlerdir. Bu etk-
ilesimlerin hesaba katılmaması durumunda sistemler cok farklı davranırlar.
2. Numerik olarak bakıldıgında ise bu etkilesimlerin hesaba katılmasının hesaplama
acısından cok da kotu olmadıgı gorulur.
Dihedral Potansiyeli
Dihedral potansiyeli dort parcacıgın koordinatlarına baglı potansiyellerdir. Bu
potansiyellerde parcacıklar aralarında φ acısı olacak sekilde iki farklıduzlem uzerine
yerlestirilir ve dortlubu yapı icin (L− 3) tane dihedral potansiyeli hesaplanabilir.
φ acısına baglı olarak degisen potansiyel icin cizilen grafik sekilde verilmistir.
Simulasyon calısmalarında yapılmaya calısılan, minumum serbestlik derecesinde
maksimum gercekligi saglamaktır. Bu yuzden sistemler hakkında detaylıbir in-
celeme yapılmak isteniyorsa, acısal ve dihedral potansiyellerinin hesaba katılması gerekir.
2.1.4 Periyodik Sınır Kosulları
Simule edilmek istenen sistem, sonsuz buyuuklukteki bir sistem icerisinde sınır
etkilerinden etkilenmeyen bir bulk sistemi olarak secilirse, bu sistemden elde
120
Sekil 2.4: Iki boyutlu sistem
edilen simulasyon sonuclarının gercege yakınlıkları belirlenebilir. Sistemin bir
bulk gibi davranabilmesi icin parcacık sayısı arttırılabilir. Ancak bu simulasyon
zamanını arttırır. Bu durumu iyilestirmenin bir yolu periyodik sınır kosullarını kul-
lanmaktır. Bunun icin Sekil (2.7)’deki gibi iki boyutlu bir sistem dusunulur. Bu
sistemde ana kutu 5 numaralı kutudur ve iki boyutta calısıldıgından bu kutuya
komsu 8 adet kutu vardır. 5 numaralı kutuda yer alan parca¸ıkların koordi-
natları komsu kutulara kopyalanır. Yani komsu kutularda yer alan parcacıklar
birbirinden bagımsız parcacıklar degil, birbirlerinin sanallarıdır. ; Periyodik sınır
kosullarının kullanıldıgı simulasyon modellerindeki varsayıma gore; ana kutudan
diger bir komsu kutuya hareket eden parccıga karsılık, sanalıda aynı hareketi
yapar. Sonuc olarak kutudaki parccık sayısı degismez, butun parcacıklar birbir-
leriyle etkilesir ve boylece 5 numaralı kutu icin sınır kosulları ortadan kalkmıs olur.
Simulasyon yapımında diger onemli bir konu da parcacıkların ne kadar mesafede
birbirleriyle etkilestigidir. Lennard-Jones potansiyeli goz onune alınırsa; potan-
siyelin sıfıra yalastıgı ,ancak sıfır olmadıgı gorulur ve bu durumun hesaplamalara
az da olsa bir etkisi vardır. Simulasyonlarda kullanılan aritmetik, bilgisayar
aritmetigidir. Yani, sonlu sayıda basamak mevcuttur. Dolayısıyla Lennard-
Jones potansiyelinin tam sıfır olmayısının etkisinden kurtulmak icin bir varsayım
yapılır. Model sisteme gore yapılmıs bu varsayıma gore; Lennard-Jones modeli
kaydırılmalıdır. Bunun ıcin Lennard-Jones potansiyeli uzerinde modele baglı olarak
121
bir rcut parametresi secilir. Bu noktadaki enerji Emin hesaplanarak, potansiyel
degeri uzerine eklenir. Boylece Lennard-Jones potansiyeli sekil (2.8) 2’de gosterildigi
gibi kaydırılmıs olur. Bu, parcacıklar arası mesafenin rcut’dan kucuk olması du-
rumunda parcacıkların Lennard-Jones potansiyeline uygun sekilde etkilesecegi,
buyuk olması durumunda etkilesemeyecegi ve dolayısıyla etkilesim potansiyel-
lerinin sıfır olacagı anlamına gelir.
Sekil 2.5: 1.Lennard Jones potansiyeli. 2. Kaydırılmıs Lennard Jones potansiyeli
Simulasyonda kullanılan periyodik sınır kosullarına gore‘kutuların her bir boyutu
L olarak alınırsa L > rcut olmalıdır. Boylece kutu ıcerisinde meydana gelen etk-
ilesim potansiyeli yine kutu icerisinde kalır. Eger L < rcut olarak alınırsa parcacık
kendisiyle etkilesir. Bu durum, yeni hesaplamalar getirir ki bu da simulasyonlar
icin uygun bir durum olusturmaz. Dolayısıyla bu tur modeller icin rcut kutunun
boyutundan kucuk olacak sekilde secilmelidir. Bu sayede aynı parcacık ikinci kez
goz onune alınmamıs ,ve sonsuz sayıda kutu kullanılmamıs olur.
2.1.5 Uc Boyutta Simulasyon
Bir molekul yapısıetrafında bulk ozelliklerini tasıyacak kalınlıkta bir su tabakası ol-
sun. Periyodik sınır kosullarını kullanabilmek icin bu sistemin sekil (2.10)’daki
gibi kubik bir kutu icerisine konuldugu varsayılsın. Simulasyon zamanını azalt-
122
mak icin parcacık sayısı minimize edilmelidir. Bu yuzden kutunun boyutları minu-
mum olacak sekilde secilmelidir. Bu amacla, daha az sayıda parcacıkla ve daha
dolu hacimli simulasyonlar yapmak icin uc boyutta optimum degerleri veren,
- Truncated octahedron
- Rhombic dodecahedron
sekilleri kullanılır.
2.2 Numerik Integrasyon
2.2.1 Hareket Denklemleri
Amac: t anındaki sistem kosullarının bilindigi varsayılarak (t + ∆t) anın daki
sistemin durumunu bulmak.
- Lagrange metodu kullanılarak genellestirilmis koordinatlar cinsinden hareket
denklemleri yazılırsa;
L = K − V (2.2.1)
d
dt(∂L
∂ ~qk
)− (∂L
∂ ~qk
) = 0 (2.2.2)
123
Ornek: Kartezyen koordinat sisteminde atomlardan olusan bir sistem icin
mirk = ~Fi (2.2.3)
dir. Genellestirilmis koordinat sisteminde parcacıgın momentumu yazılırsa;
~Pk =∂L
∂qk
(2.2.4)
H(~p, ~q) =∑
~qk − L(~q, ~q) (2.2.5)
Sonuc olarak cozulmek istenen sistem;
~ri =~Pi
mi
(2.2.6)
~Pi = −∇~riV = ~Fi (2.2.7)
dir. Sistemin enerjisi korunmak isteniyorsa, hamiltonyen denkleminin zamana
baglı olmaması gerekir. Bu sayede zamanla enerji korunur. Eger herhangi bir
dıs etki veya kuvvet yoksa enerjinin korunması icin gerekli kosul;
dH
dt= 0 (2.2.8)
dır. Eger sistemin toplam momentumunun sabit kalması isteniyorsa; sisteme hız
verildiginde sistemin kutle merkezinin hızı bulunup tum parcacıklar uzerinden
toplam alınmalıdır.
124
2.3 Verlet Algoritması
Amac : t anındaki sistem kosullarından (t + ∆t) anındaki durumu elde etmek.
Taylor acılımı kullanarak parcacıgın (t + ∆t) koordinatları;
~r(t + ∆t) = ~V (t) + ~V ∆t +f(t)
2m∆t2 +
∆t3
3!
...r + O(∆t4) (2.3.1)
Aynı acılım terse dogru yapılırsa;
~r(t−∆t) = ~V (t)− ~V ∆t +f(t)
2m∆t2 − ∆t3
3!
...r + O(∆t4) (2.3.2)
Iki terim birbirleriyle toplanırsa;
~r(t + ∆t) + ~r(t−∆t) = 2~r(t) +f(t)
m∆t2 + O(∆t4) (2.3.3)
Seklinde olur. Burada ∆t terimi simulasyonda kullanılacak zaman adımıdır.
Yukarıdaki denklemler t ve (t + ∆t)anındaki koordinatlar cinsinden yazılmıstır
ve bu denklemler dorduncu dereceden bir hata terimine sahip oldukları gorulur.
Bu hata terimini yok etmek icin ∆t teriminin cok kucuk secilirse;
~r(t + ∆t)− ~r(t−∆t) = 2~r(t) +f(t)
m∆t2 + O(∆t3) (2.3.4)
Bu denklemden hız terimi secilirse;
~V (t) =~r(t + ∆t)− ~r(t−∆t)
2∆t+ O(∆t2) (2.3.5)
olur. Burada ∆t2 terimi hata terimidir. Klasik olarak duzenlenen Verlet
algoritmasında hata terimi daha buyuk olabilir.Algoritma hesabnn efektif ol-
125
ması hesaplamalar acısından buyuk onem tasımaktadır. Daha hassas bir algo-
ritma icin turev derceleri arttırılabilinir. Ancak bu hesaplamada zaman kaybına
neden olur. Verlet algoritmasında gosterilen noktada hassas hesaplama yapılmak
isteniyorsa, ∆t cok kucuk tutulur ve daha sonra tekrar buyutulur.
2.3.1 Verlet Algoritmasının Ozellikleri
• Hafıza acısından Verlet algoritması oldukca hesaplıdır.
• - Hassaslık acısından koordinatlarda O(∆t4), hızlarda O(∆t2) gibi bir has-
saslık saglar. Ote yandan ∆t’ yi secerken hız acısından mumkun oldugunca
buyuk degerler secilmek istenir. Ancak hassaslık acısından ∆t kucuk tut-
mak gerekir
• Uzun zamanlarda enerji korunumu acısından Verlet algoritması cok basarılıdır.
Molekuler dinamik simulasyonlarında simulasyon suresi, istatiksel olarak yeterli
data toplanabilecek suredir. Bu sure parcacıgın rotasının hassas bir sekilde hesa-
planabilecegi sureden cok daha uzundur. Molekuler dinamik simulasyonlarında
amac gercek rotayı hesaplamak degil, istatistik tahminler yapmaktadır.
• Verlet algoritması faz uzayında alan korunumunu saglar. Verlet algorit-
ması diger algoritmalara gore enerji korunumu acısından daha tutarlıdır.
2.4 Molekuler Dinamigin Incelikleri
2.4.1 Hucre Sistemi
Calısılan sistem bir Lennard-Jones sistemi ve bu sisteme ait N tane parcacık
126
oldugu varsayılsın.
Sekil 2.6: a.Lennard Jones potansiyeli,b. N parcacıklı sistem
t anından t + ∆t anına gidildiginde kuvvet hesaplanmak isteniyor. Bu yuzden
oncelikle sekil 2.9 b’ de gosterilen daire icerisinde kac parcacık olduguna bakılmalıdır.
∆t = 10 adımda rcut’ ı belli bir sistemin gidebilecegi maksimum uzaklık olarak
hesaplansın. Bu durumda iki parcacık arasındaki mesafe rcut+10∆t olur. Parcacıklar
dogrusal ise bu parcacıklar on adım sonra etkileseklerdir. Yani on adım sonra
parcacıklar arası mesafe tekrar olculmelidir. Bu islemde yapılmak istenen, en
kotu durumda parcacıkların birbirlerini nezaman ilk olarak gorecegini hesaplaya-
bilmektir. Sekilde verilen kutunun boyutu rcut +10∆t olsun. Bu kutu icerisindeki
parcacıkların 10∆t zamanında kac parcacıkla etkilestigine bakılmak isteniyor;
kırmızı kutudaki parcacıklar ancak komsu kutulardaki parcacıklarla etkilesebilirler.
Boylece butun parcacıkların kontrol edilmesine gerek kalmaz. Cunku bu parcacıkların
arasındaki mesafe rcut + 10∆t’ den buyuktur. Bu sayede hesaba katılacak olan
parcacık sayısı sırlandırılmıs olur. Yani kullanılan hucre sistemi hesaplamalarda
kullanılan zaman acısından kullanıslı bir sistemdir. Ote yandan sekildeki sistem
icin kullanamyız. Bu sisteme ait bir rcut olamamasının yanı sıra sistem uzak
mesafeli bir sistemdir. Dolayısıyla bu sistem icin hucre sistemi yontemi uygun
degildir.
Eloktrostatik bir sistem goz onune alınsın. Ve bu sistemdeki Coulomb etk-
127
ilesimleri uzak ve yakın mesafeler olarak ikiye ayrılsın. Grafikte gosterilen potan-
siyellerin etkilesmemesi icin her yukun altına gaussiyen bir yuk konur ve bu yuk
dagılımının toplamı sekilde gosterildigi gibi ustundeki (+1)yukunu verir.Boylece
en uzaktaki yuk toplam yuku sıfır olarak gorur. Bu elektrostatik sistemde bu-
lunan yukler arasında cok uzak mesafeler olsa da bu yukler etkilesir. Bu du-
rumu engellemek icin sistem ”sanal uzay”, gercek uzay” olarak ikiye ayrılır. Bu
yonteme ”Ewald Summation” denir. Yukarıda verilen sistemde yakın mesafelerde
calısılacagından rcut’ ı kullanabiliriz. Ve verilen algoritmaya gore toplam enerji,
gercek uzaydaki parcacıkların enerjisi ile sanal uzaydaki parcacıkların enerjisinin
toplanmasıyla elde edilir. Bu yontemde dikkat edilmesi gereken yuklerin gercek
uzay ve sanal uzay arasında ne oranda dagıtıldıdgıdır.
128
2.5 Sabit Basınc Algoritması
Oncelikle sekildeki sistemin kapagının sabit oldugu farzedilir. Parcacıklardan
Sekil 2.7: Pistonlu kap
dolayı kapak uzerine bir basınc uygulanır ve bu basınc ;∑
Firi dır.Burada yapılmak
istenen basıncı sabit tutmaktır. Ancak m kutleli piston hareketsiz oldugunda
iceride bulunan parcacıklar ccarpısarak kapaga basınc uygularlar. Bu durumun
etkisini kaldırabilmek icin sabit basıncta sanki dısarıdan da bir kuvvet uygu-
lanıyormus gibi bir durum olusturulur.
Diger bir durum incelenecek olursa;
Sekil 2.8: Yalıtık bir kutu
Sekilde gosterilen dısarıdan yalıtık kutu icerisinde bulunan parcacıklar rez-
ervuarla etkilesim icerisindedir. Sistem rezervuarla etkilestıginden ortalama ve
sabit bir sıcaklık elde edilir.
129
2.6 Kaos
Doga tamamen dinamik sistemlerden olusmustur. Dinamik sistemlerin davranıslarıkontrol
edildiginde zaman icinde gerceklesen evrim gozlenebilir. Dogadaki dinamik sis-
temler farkı salınımlar yaparlar. Salınım hareketinin periyoduna ve frekansına
bakılarak sistemin kaotik mi periyodik mi olduguna karar verilir. Sistemin kaotik
olmasıicin oncelikle sistemin lineer olmaması gerekir. Cunku lineer sistemler kaos
olusturmazlar. Ayrıca sistemin kaotik olması icin diger gerekli sart; sistemin
sonumlu olmasıdır. Sistemin kimligini analiz etmek icin yukarıda verilen temel
ayrımlar yapılır. Bu sistemlerin davranısları ; periyodik, random, aperiyodik,
kaotik seklindedir.
2.6.1 Kaosun Ozellikleri
• Kaotik sistemler baslangıc kosullarına hassas sekilde baglıdır.
Sistemin baslangıckosulları az da olsa degistirilirse, sistemin trajectorysi
alt ust olabilir.
• Sistemin zaman icindeki evrimi kestirilemez.
Ornegin sistem belli bir µ ’la evrime baslamıs olsun. t1 anında yapılan
gozlemle olasılıklar dahilinde sistemin t2 anında nerde oldugu kesin olarak
bilinemez, Ancak kucuk bir kısmı tahmin edilebilir.
2.6.2 Kaos Sistemlerinin Analizi
Sistemin, faz uzayındaki analizi yapılarak kaotik olup olmadıgı anlssılabilir. An-
cak, bir diferansiyel denklemi cozerek elde edilen grafik uzerindeki degerler difer-
ansiyel denklemin cozum kumesini olusturur. Diferansiyel bir denklem lineer ise
bu denklemi analitik olarak cozmek mumkundur. Diferansiyel denklem lineer
130
degilse bu denklem anlatik olarak degil numerik olarak cozulebilir. Diferansiyel
denklem kokleri sabit noktalar(fix pointler) civarında evrim yapar. Eger diferan-
siyel denklemiin cozumleri sabit noktaya yakınsa sistem bu noktada evrim grecirir
ve lineerdir. Buna sistemib cekici bolgesi denir. Sistem u bolge etrafında evrim
gecirir. Sistemin faz uzayındaki akısına bakarak sabit noktalara yaın noktalarda
evrim gecirip gecirmedigine bakılabilir. Bir sistem zaman icinde evrim gecirirken
sistemin periyodik salımını bozulabilir ve bunun ardından tamamen kaotik ola-
bilir. Yani sistem aynıanda iki farkı periyotta calısmaya baslayabilir. Buna periy-
odik katlanma(catallanma)(bifurcation)denir. Kaos sistemlerinin analizlerini yap-
mak icin;
- Faz uzayı analizleri
- Koklerin bulunması
- Periyodik katlanması
- Lyapunov ustelinin hesabı
islemleri yapılmalıdır. Asagıda okaos analizi yapılan cesitli ornekler ve acıklamalar
verilmıstir.
2.6.3 Lojistik Map
Lojistik map ve biyolojik populasyon modeli
Biyolojik populasyon modeli kaos teorisinin gelismesinde onemli bir kilometre
tasıdır. Mayıs 1976’ da biyolog R.M. May bu ve benzeri modellerin sasırtıcı davranıslarını in-
celeyen bir makale yayınladı (May,1976). Subat 1978’ de Mitchell Feigenbaum bu
makalede bazı numerik olarak hesaplanabilir evrensel nicelikler oldugunu gordu .
131
Kendi ismi verilen bu nicelikler kaos calısmalarının temel taslarından oldu (Feigen-
baum,1978). Daha sonra bu evrensel nicelikler hakkında kabaca bilgi verilecektir.
Simdilik biyolojik evrim modelini ifade eden standart lojistik maple ilgilenilecek-
tir. Map fonksiyonu
xn+1 = 1− axn (2.6.1)
seklindedir. Denklemdeki fonksiyonda x’ in tanım uzayı |xn| >; n = 0, 1, 2...a
parametresi 0 < a < 2; seklinde tanımlıdır.
Sabit Noktalar ve Kaos
Iterasyondan elde edilen x degerlerinin tanım uzayında olusturdugu sekle yorunge
denir. Bu yorungeler uzerinde bazı noktalar digerlerinden farklıdır. Bu noktalara
sabit noktalar denir ve
x∗ = f(x∗) (2.6.2)
seklinde ifade edilir. Sabit noktalar a parametresine baglı olarak degisirler. Sabit
nokta geometrik bir yontem kullanılarak basitce bulununabilir. f (x)’in x’ e
karsılık grafigi cizilir. Bu egriye ek olarak bir x = y dogrusu cizilir ve sekilde
goruldugu gibi herhangi bir xo noktasından baslanarak egriye bir dik cizilir.
Boylece f(x0) bulunur. Bu noktadan x = y dogrusuna bir dik cizilerek f(x0)
degeri bir sonraki x yani x1 olarak alınır. Egriye tekrar dik cizilip f(x1) degeri
bulunur ve yine y = x dogrusuna bir dik cizilerek bir sonraki x degeri bulunur.
Islem pek cok kez tekrarlanarak x∗ degerine istenilen duyarlılıkta yaklasılır. Sekil
2.9 da a = 0.5 ve z = 2 icin sabit noktanın degeri x=0.73205... dir. Lojistik map
p icin a = 0.75 degerine kadar her a icin tek bir degere yakınsar daha sonra bu
tek deger kararsız hale gelir ve yorunge ikiye yarılır, periyod-ciftlenmesi meydana
gelir. a = 0.75 degerinde x∗1 = 0.70763... ve x∗2 = 0.62444... noktaları arasında
salınım baslar. Bu iki nokta ikili cevrimin cekici sabit noktalarıdır. Bu matem-
atiksel olarak;
132
Sekil 2.9: a = 0.5 icin geometrik olarak sabit nokta tayini
x∗2 = f(x∗1) x∗1 = f(x∗2) (2.6.3)
seklinde gosterilebilir. Daha iyi anlasılması icin,
f 2(x) = f(f(x)) (2.6.4)
seklindeki f nin ikinci iterasyonuna bakalılsın. Bir x degerine karsılık gelen f(x)
degerini tekrar aynı fonksiyona x deeri olarak koyarak f 2(x) bulunur. Sekil 2.9da
gosterildigi gibi a < 0.75 ise f 2(x) grafiginde tek bir sabit nokta bulunur. a degeri
0.75’in hemen uzerindeyken iki tane sabit nokta arasında salınım yaptıgı sekil
2.10’dan gorulebilir.
Sekil 2.10: a = 0.3 icin f2(x) grafigi
133
Bu iki cevrim noktas. x∗1 ve x∗2 ikinci iterasyonun sabit noktalarıdır.
x∗1 = f 2(x∗1) x∗2 = f 2(x∗2) (2.6.5)
Denklemden de gorulecegi gibi ikinci iterasyonun bu iki sabit noktası kararlı sabit
noktalardır. Her iki cevrimde bir kendilerini tekrar ederler. a parametresi buyudukce
belirli bir degere kadar bu noktaların degeri degisir fakat davranıs aynı kalır.
Tıpkı a = 0.75 durumunda tek bir sabit noktaya yaklasıp bu degerin uzerinde
yarılma oldugu gibi a nın belirli bir degerinden sonra bu iki noktada kararsız
hale gelir ve yarılırlar. a arttıkca sabit noktaların turevleri -1 olur ve yarılmalar
sonsuza dek devam eder. a nın kritik deger denilen bir degrinden sonra periy-
odik tekrarlar ortadan kalkar ve sistem kaosa gider. Bunu sekil 2.11’deki dal-
lanma grafiginden gorebiliriz. Lyapunov ve dallanma grafiklerine dikkatli bakılırsa
yarılmaların ve kaos gecisinin Lyapunov ustelinin sıfır degerinde oldugu gorulebilir
(Hilborn, 1994).
Sekil 2.11: a = 0.9 icin f2(x) grafigi
Kaos ve Lyapunov Usteli
Kaosun temel gorunumlerinden biri yakın iki yorungenin zamanla birbirinden
ayrılmasıdır. x0 gibi bir nokta alınır ve ε kadar yanında da x0 + εnoktasınıalıp
134
map icinde n defa itere edelirse, bu iki nokta arasındaki fark soyle yazılabilir;
dn = |fn(x0 + ε)− fn(x0)| (2.6.6)
Eger davranıs kaotikse fark ustel olarak buyuyecektir;
dn =|fn(x0 + ε)− fn(x0)|
ε= eλn (2.6.7)
Burada λ yalnız bırakılırsa;
λ =1
nln|fn(x0 + ε)− fn(x0)|
ε(2.6.8)
Sekil 2.12: z = 2 icin dallanma ve Lyapunov usteli grafikleri
bulunur. ε →a durumunda turevin tanımından yararlanarak ve f(n) icin zincir
kuralınıda kullanarak λ’yı asagıdaki gibi yazılabilir;
λ =1
nln(|f ′(x0)||f ′(x1)|...|f ′(xn)|) (2.6.9)
135
Carpımlar toplam halinde yazılırsa;
λ =1
n(ln|f ′(x0)|+ (ln|f ′(x1))|+ ... + (ln|f ′(xn)|) (2.6.10)
sonucu elde edilir. Goruldugu gibi Lyopunov ustelinin pozitif cıkmas turevin
birden buyuk olması demektir ve birbirine yakın iki noktanın birbirinden uza-
klastıgı anlamına gelir (Hilborn, 1994).
2.6.4 Lorenz Cekicisi
1960ların basında Edward Lorenz MIT’ de atmosfer hareketlerini modellemeye
calısırken kazara ilk kosullarla hassas baglılgı kefetti.
dx
dt= σ(y − x) (2.6.11)
dy
dt= −xz + rx− y (2.6.12)
dz
dt= xy − bz (2.6.13)
Lorenz yukarıda verilen uc sade denklemle bir hava hareketi tanımlamladı .
Model, donen uzun bir silindirin alt ucunda havanın ısındıgı ve ust ucunda sogudugu
fikrine dayanıyordu. x-y duzlemindeki sekli kelebege benzedigi icin kelebek cekicisi
de denen bu cekicinin kaos veren parametre degerleri olarak verilir. Denklemlerde
x donusun hızını ,y asagıya ve yukarıya dogru hareket eden akıskanlar arasındaki
ısı farkını , z ise dikey sıcaklık dogrusallgından sapmayı gosterir. Sırası ile Rayleigh,
Prandtl sayıları ve silindirin yuzleri arasındaki orandır. Sekil’de x=1,y=2,z=3 ilk
kosullarından baslanarak ve ustteki parametre degerleri kullanılarak elde edilmis Lorenz
cekicisinin degisik grafikleri verilmistir. Zamana baglı grafiklere bakılarak sis-
136
temin bu degerler icin kaotik oldugu rahatlıkla soylenebilir.
Sekil 2.13: Lorenz Cekicisi
2.6.5 Duffing Osilatoru
Duffing salınıcısının denklemi altta verildigi gibidir. Salınıcı k1, k2degerlerine gore
(pozitif ve negatif olmalarına gore) dort farklı potansiyel ve dort farklı tipte
kuvvet etkisi altında kalır.k1 = 0k2 = 1 ve ϕ = 1 halinde Udea cekicisine doner.
Sekilde konum hız ve zaman grafikleri kombinasyonu verilmistir. Sistemin kaotik
davrandıgı bu grafiklere bakılarak kolayca soylenebilir.
Sekil 2.14: Duffing salınıcısı icin degisik grafikler
137
d2x
dt2+ b
dx
dt+ k1x + k2x
3 = Asinϕt (2.6.14)
2.6.6 Sonumlu Surulmus Harmonik Salınıcı
Fizikte basitmis gibi gorulen fakat kaotik davranıs sergileyebilen bir baska sis-
temde harmonik salınıcıdır. Bir surucu kuvvetin etki ettigi sonumlu bir salınıcı alt-
taki gibi ifade edilebilir. Sistem sonum katsayısı ve surucu kuvvet katsayısının
degisik degerleri icin degisik durumlar ortaya koyabilir. Sekilde sistemin a) hz-
konum, b) zaman-konum grafikleri verilmistir.
d2x
dt2+ b
dx
dt+ w2x = a sin ϕt (2.6.15)
Sekil 2.15:
138
2.6.7 Iki Boyutlu Kare Orgude Ising Modeli
Ilk olarak Lenz (1920) tarafından ortaya atılan model daha sonra analitik olarak
Ising (1925) tarafından cozulmustur. Ferromanyetik malzemelerin kritik sıcaklıktaki
faz gecislerini acıklar. Bu model gunumuzde, spin camlarıgibi cok parcacıklı mod-
ern fizik problemlerine uygulanmaktadır. Ising modelinde yukarı (+1) ve asagı (-
1)olmak uzere bir spin sadece iki duruma sahiptir. Spin degıs keni Si sembolu ile
gosterilir. Spinin orgusundeki konumu i indisi ile ifade edilir. Iki boyutlu bir kare
orgu alınır. Orgudeki secilen herhangi bir Si spininin sadece en yakın komsuları ile
etkilesti gi kabul edilir. Eger sisteme dıs bir manyetik alan uygulanırsa sistemin
hamiltonyen denklemi;
H = −J∑
SiSj − h∑
Si (2.6.16)
Esitlikteki ilk toplam herhangi bir spinin en yakın komsuları uzerinden alınır.
Bu terim, sistemin koordinasyon sayısına (en yakın komsu sayısına) baglıdır.
Ikinci toplam ise spinlerin ic manyetik momentlerinin dıs manyetik alanla etk-
ilesimini temsil eder. h dıs manyetik alan siddeti, J ise spin-spin etkilesme
siddetinin
Sekil 2.16: Kare orgudeki en yakın komsu etkilesimleri
bir olcusudur. J¿0 ise sistem ferromanyetik duzende, J¿0 ise anti-ferromanyetik
139
duzendedir. Ferromanyetik konfigurasyonda tum spınleri yukarı yonelimlidir.
Buna soguk konfigurasyon denir. Spinlerin rasgele yerlesimi soz konusu ise buna
sıcak konfigurasyon denir.
Monte Carlo Simulasyon Yontemi
Monte Carlo yontemi kullanılarak Ising modelinin simulasyonu su adımlarla yapılır:
1. Bilgisayarda rasgele sayı ureteci kullanılarak rasgele bir spin yerlesimi ku-
rulur.
2. Sistemdeki bir spin ters cevrilir. Ya rasgele bir spin secilir ve bu spinin isaret
degıstirmesi saglanır yada orgudeki tum spinler sırayla ters cevrilir. Bir spin
ters cevrildiginde olusan yeni yerlesimin enerjisi ile spin ters cevrilmeden
onceki yerlesimin enerjisi arasındaki enerji farkı∆E hesaplanır.
3. ∆E < 0 ise spinin ters donmesi kabul edilir ve yeni sekillenim elde edilir.
Bu durumda sistem daha dusuk enerjili bir duruma gecmis olur.
4. ∆E > 0 ise w = exp(−β)∆E olasılıgı hesaplanır. [0,1] aralıgında bir rasgele
r sayısı uretilir. Eger w > r ise spinin ters donmesi kabul edilir. w < r ise
spinin ters donmesi reddedilir ve sistemin yerlesimi degismemis olur.
5. Secilen spinin ters donusu kabul edilse de edilmese de manyetizasyon, enerji,
ısı kapasitesi ve manyetik alınganlık gibi nicelikler hesaplanır.
6. Bu islemler her bir spin icin ortalama 1000 defa tekrarlanır ve tum orgu bu
islemlerden gecirilir.
Ornek simulasyon uygulamaları yapılırsa; iki boyutlu ising modeli manyetizasyon-
zaman sekillenimlerini sekil 2.17 deki gibi olur;
140
Sekil 2.17: 10x10’luk kare orgu icin cesitli sıcaklıklarda manyetizsayon-zamansekillenimleri
Simulasyon Sonucları
Bu dort grafikte, normalize manyetizasyon cizilmistir. Yani M = 1 tum spin-
lerin yukarı yonelimli oldugu durumdaki spin basına manyetizasyondur. Dusuk
sıcaklılarda manyetizasyon, tum spinlerin paralel oldugu saturasyon degerine cok
yakındır. Manyetizasyondaki dalgalanmalar oldukca kucktur. Sıcaklık T = 2.0’a
yukseltildiginde manyetizasyonun ortalama degeri baslangıc degerinin (tum spin-
lerin yukarı yonelimli oldugu degerin) yuzde doksanına kadar duser. Burada
Boltzmann faktoru sistemin enerjisini yukseltir. Ama sistem yine de ferromanyetik
duzendedir. Fakat baslangıca gore daha duzensiz bir durumdadır. Ayrıca dal-
galanma siddeti belirgin bir sekilde artmaktadır. Bu dalgalanmalar, bir kritik
nokta olarak da bilinen ikinci dereceden bir faz gecisine yaklasıldıgının sinyalini
verir. Kritik noktada bulunan bir sistem kucuk perturbasyonlara karsı asırı has-
sas davranır ve termodinamik ozellikleri sıcaklık ya da manyetik alan degısimi
ile birlikte ani ve hızlı bir degisime ugrar. Sistemi T = 2.25’e kadar ısıttıgımızda
dalgalanmalar daha buyuk olur. Kare orgudeki Ising modeli icin analitik hesapla-
141
malar kritik sıcaklık icin Tc = 2ln(1+
√2)≈ 2.269 sonucunu verir.
Sekil 2.18: a.10x10 kare orgude manyetizasyon-sıcaklık degisimi. b.10x10 kareorgude sıcaklıga karsılık ortalama termal enerji grafıgi.
Bunedenle T =2.25, kritik sıcaklıga cok yakındır. Sıcaklıgı arttırmaya devam
ettigimizde goruyoruzki , T = 4.0’te dalgalanmaların siddeti azalır ve M ∼ 0
civarında merkezlenir. Artık kritik sıcaklıgın oldukca uzerinde olan sistem para-
manyetik faza gecmistir. En buyuk dalgalanmalar kritik sıcaklık Tc civarında
gorulur. Farklı sıcaklıklarda simulasyonlar yapıp, manyetizasyonun zaman uzerinden
alınan ortalamalarınıhesaplayarak manyetizasyonu sıcaklıgın fonksiyonu olarak
elde edebiliriz. Sonuclar sekil 2.19’da gorulmektedir. Manyetizasyon, kritik sıcaklıgın
analitik olarak bilinen degeri ile uyumlu bir sekilde dogrudan sıfıra duser. Simulasyonlarda
Monte Carlo adım sayısı (Monte Carlo dongu uzunlugu) ne kadar uzun tutulursa,
hesaplamalarda yapılan istatistiksel hatalar 1√mcs
oranında indirgenmis olur. Bu-
rada mcs, simulasyonda kullanılan Monte Carlo zaman adımlarının sayısıdır. Su
ana kadar sadece manyetizasyon uzerinde durduk. Enerjinin sıcaklıkla degisimi
sekil-19-b’de gorulmektedir. Dusuk sıcaklıklarda tum spinler aynı yonde iken,
butun spinler her bir dort en yakın komsusu ile -J etkilesme enerjisine sahip-
tir. Bu nedenle T = 0’da toplam enerji −4NJ/2 olmalıdır. Burada N, hesaba
katılan toplam spin sayısıd ır. Her bir etkilesmeyi sadece bir defa saymak icin bu
enerjiyi 2 ile bolmek gerekir. Boylece N spin icin sistemin ortalama baslangıc en-
erjisi J = 1 icin -2 olur. Diger taraftan oldukca yuksek sıcaklıklarda spinler
142
rasgele yonelimlere sahip olurlar. Burada her bir spinin iki komsusu paralel,
iki komsusu antiparalel oldugu icin toplam enerjinin ortalaması sıfır olur. Enerji-
sıcaklık grafiginden goruldugu gibi < E >, Tc civarında cok genis bir egime sahip-
tir. Aslında sonsuz genis bir sistem icin d < E > /dT turevi T = Tc’de belirsizdir.
Bu nedenle, ısı kapasitesi T = Tc’de sonsuza yaklasır.Isı kapasitesinin davranısının
incelenmesinde bir yol d < E > /dT turevini hesaplamaktır. Diger bir yol ise
enerjideki dalgalanmalara bakmaktır. Isı kapasitesinin davranısı sekil2.20 a’da
gorulmektedir. Cv, T = Tc’de sivri bir pik olusturmaktadır.
Cv =(∆E)2
kbT 2(2.6.17)
(∆E)2 =< E2 > − < E >2 (2.6.18)
Dalgalanma-sonumleme bagıntısı kullanılarak manyetik alınganlık χ hesaplan-
abilir. Alınganlık, bir manyetik alan uygulandgında induklenen manyetizasyonun
bir olcusudur. Dalgalanma-sonumlenme teoremine gore,
χ =(∆M)2
kbT(2.6.19)
(∆M)2 =< M2 > − < M >2 (2.6.20)
ile verilir. Burada (∆M)2 ,M’ nin varyansıdır. Bu varyans, manyetizasyon-
zaman grafiklerindeki verilerden elde edilebilir. Kritik nokta civarında χ’de de
sivri bir pik gozlenmektedir.
Yaptıgımız simulasyonlarda enerji ve manyetizasyon ortalamalarının ne kadar
sıklıkta hesaplanacagı onemlidir. Ornegin sistemde sadece bir spinin ters donmesi
sonucu manyetizasyonda fazla bir degisiklik olmayacaktır. Hesapladıgımız orta-
lama degerlere ait konfigurasyonların istatistiksel olarak birbirinden bagımsız ol-
maları gerekir. Bunun icin ortalamasını hesaplamak istedigimiz herhangi bir A
143
Sekil 2.19: a.Dalgalanma-sonumlenme baıgıntısı kullanılarak 10x10 kare orgu icinhesaplanan ısı kapasitesi. Burada spin basına ısı kapasitesi Cv/N, J = 1icin cizdirilmistir. b.Dalgalanma-sonumlenme bagıntısı kullanılarak 10x10 kareorgu icin hesaplanan manyetik alınganlık
niceliginin ”otokorelasyon” fonksiyonunu hesaplayabiliriz.
CA(t) =< A(t + t0)A(t0) > − < A >2
< A2 > − < A >2(2.6.21)
Bu hesabı yapabilmek icin enerji ya da manyetizasyonun zaman serisi kullanılır.
Zaman serisinde sistemin dengeye gelmesi icin gecen zaman goz ardı edilerek
denge durumu saglandıktan sonra her bir zaman adımındaki nicelik degeri sırayla
baslangıc secilerek tum olası durumlar uzerinden ortalama alınır. t = 0 anında
CA(0) = 1’dir. t →∞ limitinde ise < A(t + t0)A(t0) >=< A >2 olur ve CA(t →∞) → 0 olur. Yani genel olarak CA(t),τA korelasyon zamanı ile ustel olarak azalır.
Ilgili grafikler asagıda gorulmektedir.
Son olarak kritik usteller uzerinde duracagız. Kritik usteller, manyetizasyon,
ısı kapasitesi, manyetik alınganlık gibi termodinamik ozelliklerin Tc kritik sıcaklık
civarındaki davranıslarını anlamamızı saglar. Kritik ustelleri hesaplamak icin kare
orgude sırasıyla L = 2, 4, 8, 16 secilir ve Cv,M ve χ’nin lineer boyut L ile degi
144
Sekil 2.20: Enerji ve manyetizasyon icin otokorelasyon fonksiyonları
simi elde edilir. Logaritmik grafiklerin egimi aranan usteli verir. Kritik ustelleri
hesaplamak icin,
m(T ) ∼ (Tc − T )β → L−β/ν (2.6.22)
C(T ) ∼ (T − Tc)−α → Lα/ν (2.6.23)
χ(T ) ∼ (T − Tc)γ → Lγ/ν (2.6.24)
esitlikleri kullanılır. Manyetizasyon, ısı kapasitesi ve manyetik duygunluk icin
elde edilen grafikler asagıda gorulmektedir. Burada ν = 1 oldugu varsayılmıstır.
Sekil 2.21: Manyetizasyon ve manyetik alınganlık icin kritik usteller
145
Kritik usteller icin analitik sonuclar; β = 1/8, γ = 7/4 Simulasyon beticesinde
γ = 1.77 ve β = 0.17 sonucları teorik hesaplamalar ile uyum icerisindedir.
KAOS GECIS ESIGINDEKI DINAMIKSISTEMLER
Ugur TIRNAKLI
EGE UNIVERSITESI
TURKIYE
DERS ASISTANLARI :
Barıs BAGCI (Texas Woman’s University)
DERS NOTU ASISTANI :
Bahadır Ozan AKTAS (Dokuz Eylul Universitesi)
146
BOLUM UC
KAOS GECIS ESIGINDEKI DINAMIK SISTEMLER
3.1 Kaotik Sistemler
(?)(?)(?)
3.1.1 Giris
Kaos, basit sistemlerin gorunuste karmasık davranısını betimlemede kullanılan
bir terimdir. Kaotik davranıs ilk bakısta, dıs etkenlerden ya da rastgele gurultuden
kuvvetlice etkilenen bir sistem ya da bircok serbestlik derecesine sahip bir sistemin
karmasık davranısı gibi, hatasal ve hemen hemen rastgele gorunur. Oysa kaotik
olarak isimlendirilen davranıs son derece basit sistemlerde de gozlenmektedir. Bu
tip sistemler aslen deterministik sistemlerdir. Yani belli bir anda sistemin icinde
bulundugu kosullar tumuyle biliniyorsa, en azından prensip olarak, sistemin gele-
cekteki davranısı tam olarak kestirilebilir. Kaosu anlamadaki sorunsal, gorunuste
birbiri ile celisen rastgelelik ve determinizm gibi iki nosyonu bagdastırmaktır.
Bu anlayıs icin temel olgu dogrusal olmama nosyonudur. Dogrusal olmama
fikrinin anlasılması bakımından soyle bir ornek verilebilir. Bir sisteme herhangi
bir etki uygulanır ve sistemin bu etkiye yanıtı gozlenirse, etki iki katına cıkarıldıgın-
da ne olacagı sorulabilir. Eger sistemin yanıtı da iki katına cıkar ise sistemin
dogrusal3 oldugu4 soylenir. Eger yanıt iki katına cıkmadıysa sistemin davranısı dog-
rusal degildir.5 Dogrusal olmayan davranısın incelendigi saha dogrusal olmayan
dinamik olarak isimlendirilir.
3Linear.4Ya da en azından uygulanan etki bolgesi icin.5Nonlinear.
147
148
Bilim insanları neden kaos ile ilgilenmekteler?
• Kaosun calısılması, karmasık davranısın sınıflandırılmasını ve anlasılmasını saglayan
yeni kavramsal ve kuramsal araclar saglamıstır.
• Kaotik davranıs evrensel gibi gorunmektedir. Ornegin kaos, mekanik salınıcılardan
elektrik devrelerine, kimyasal tepkimelerden sinir hucrelerine ve daha bircok
farklı sisteme kadar sayısız sistemde ortaya cıkar. Daha onemlisi bu kaotik
davranıs, nitelik ve nicelik bakımından evrensel bir gorungudur.6 Bu
evrenselligin anlamı, basit bir sistemin incelenerek kaotik davranıs hakkında
edinilen bilginin daha karmasık sistemlerin kaotik davranısının anlasılmasında
kullanılabilecegidir.
Bu asamada bir sistem ve bu sistemin eitli davransları ele alınarak kaos calısmalarının
bazıtemel kavramları tanıtılacaktır. Ele alınan cesitli davransların oldukca karmasık
oldugu ancak bu karmasıklıgın hem nitelik hem de nicelik olarak benzer oldugu
gorulecektir.
Aslen bu son tumce, kaos hakkında edinilecek temel bilginin iki temasının kısa
ozetidir:
• Dogrusal olmayan dinamik kuramı, bu tip sistemlerin karmasık davranısının
tanımlanmasına ve sınıflandırılmasına olanak tanır.
• Kaos kuramı, bu karmasıklıkların altında yatan duzen ve evrenselligin gorulmesini
saglar.
6Phenomena.
149
3.1.2 Dogrusal ve Dogrusal Olmayan Sistemler
Kaos sozcugu, sistemin davranısındaki ozel bir karmasıklık tipini ifade et-
mekte kullanılan bir deyistir. Gercekte de kaos, bu sekildeki sistemlerde sergile-
nen davranısların sadece bir tipidir. Bu tip sistemlerin calısıldıgı alana7 daha
genel olarak dogrusal olmayan dinamik denir.
Bu durumda dogrusal olmayan sistem nedir?
> Zaman evrimi denklemleri dogrusal olmayan bir sistem dogrusal degildir.
Yani sistemin ozelliklerini tanımlayan dinamik degiskenler8 denklemlerde dogrusal
olmayan bir sekilde ortaya cıkarlar.
Bu tanım mekanikten iki ornek ile betimlensin. Bir boyutta Newton’un ikinci
yasası,
Fx(x, t) = max = md2x
dt2(3.1.1)
ve bunun yanısıra Hooke yasası,
Fx(x, t) = −kx (3.1.2)
seklindedir. Bu durumda da denklem (3.1.1) ve denklem (3.1.2)’nin denklik-
lerinden basitce parcacıgın konumu icin zaman evrimi denklemi,
d2x
dt2= − k
mx (3.1.3)
olacaktır. Burada denklem x cinsinden dogrusaldır. O halde sistem de dogrusaldır.
7Yani dogrusal olmayan bir sistemin zaman icindeki dinamik davranısının calısılmasına.8Konum, hız, ivme, basınc vb...
150
Eger kuvvet daha karmasık bir x bagımlılıgına sahip ise, ornegin
Fx(x) = bx2 (3.1.4)
ise, bu baglamda denklem (3.1.4), denklem (3.1.2) gibi kullanılarak,
d2x
dt2=
b
mx2 (3.1.5)
bulunur. Bu durumda denklem x cinsinden dogrusal degildir ve dolayısıyla sis-
temin kendisi dogrusal degildir.
3.1.3 Dogrusal Olmamanın Onemi
Dogrusal olmamanın onemi suradadır: Dogrusal bir sistemi tanımlayan bir
parametre degistirilirse,9 salınımların frekans ve genligi degisecektir, ancak davranısın10
dogası aynı kalacaktır. Yani, konum ve zaman eksenleri uygun bicimde yeniden
olceklendirilerek herhangi bir k degeri icin bulunan davranıs baska bir k degeri
icin gerceklesen davranısa tamamen benzer kılınabilir. Oysa dogrusal olmayan
sistemlerde, parametredeki kucuk bir degisiklik sistemin hem niteliksel hem de
niceliksel davranısında dramatik degisimlere yol acabilir. Bir parametre degeri
icin davranıs periyodik iken, bir oncekinden cok az farklıbir parametre degeri icin
sistemin davranısı tamamen aperiyodik olabilir.
Ayrıca belirtilmesi gereken onemli bir konu da, hemen hemen butun gercek
sistemlerin dogrusal olmadıgıdır. Yani dogrusal davranıs, dogrusal olmayan
davranıstan cok daha yaygın ve geneldir.
9Ornegin k yay sabiti.10Bu ornekte basit harmonik hareket.
151
3.1.4 Dogrusal Olmama ve Kaos
Dogrusal olmayan sistemlerdeki bazıani ve dramatik degisimler kaos ismi
verilen karmasık davranısa yol acabilir. Kaos ismi ve kaotik sıfatı, sistemin
davranısı aperiyodik11 ve gorunuste rastgele ya da gurultu oldugunda sistemin
zaman icindeki davranısını tasvir etmekte kullanılır.
Buradaki anahtar sozcuk gorunuste sozcugudur. Bu gorunusteki kaotik rast-
geleligin altında yatan, sistemi tanımlayan denklemler tarafından belirlenen bir
duzendir. Aslında, calısılacak sistemlerin cogu deterministiktir. Genel olarak,
sistemin davranısını belirlemek icin uc seye gereksinim duyulur:
• Zaman evrimi denklemleri
• Sistemi tanımlayan parametrelerin degerleri
• Ilk kosullar
Eger zaman evrimi denklemlerinin, sistemi tanımlayan parametrelerin ve ilk
kosulların bilinmesi prensip olarak sistemin ilerki davranısını tam olarak belirlerse,
boyle bir sistem deterministiktir. Sorunsal, determinizm ile gorunuste acık olan
rastgeleligin nasıl bagdasacagıdır. Bu sorunsal kaos oncesi bir bilim insanıgibi ele
alınabilir. Bu durumda, karmasık rastgele tipli bir davranıs gosteren bir sistem
goruldugunde bu, ya gurultu ya da karmasıklık kavramına dayanan argumanlarla
acıklamaya calısılacaktır.
• Gurultu argumanına gore, karmasık davranıs, mekanikte titresimler ya
da sıcaklık dalgalanmaları gibi kontrol edilemeyen dıs etkiler nedeniyle or-
11Yani hicbir zaman tam olarak tekrar etmeyen.
152
taya cıkmaktadır. Bu dıs etkiler kontrolsuz olarak degistiginden sistemin
davranısı rastgele gorunur.
• Karmasıklık argumanına gore, biyoloji, fizik ve kimyadaki bircok gercek sis-
temin milyarlarca atom ve/veya molekulden olustugu bilinmektedir. Bun-
ların butununun davranısı tam olarak kontrol edilemeyeceginden,12 bu kon-
trol eksikliginin sistemin butun davranısında dalgalanmalara ve rastgelelige
yol acması surpriz olmayacaktır.
Kaosun en buyuk onemi, bu gorunen rastgelelik icin alternatif bir acıklama
saglamasıdır. Bu acıklama ne gurultuye ne de karmasıklıga dayanır. Kaotik
davranıs, tamamen gurultusuz ve gorece basit sistemlerde de ortaya cıkar.
3.1.5 Onemli Sorular
• Kaotik sistemlerin tamamı dogrusal degildir. Fakat bunun tersi de gecerli
degildir. Yani dogrusal olmayan butun sistemler de aynızamanda kaotiktir
denilemez. Bir kısmı kaotik olmayabilir. Bu baglamda akla su sekilde bir
soru gelir: Hangi tur dogrusal olmayan sistemler kaotik davranıs sergiler?
• Eger sistemi betimleyen parametreler degisirse dogrusal olmayan bir sis-
temin davranısı nasıl degisir?
• Bir sistemin gercekten kaotik olduguna nasıl karar verilir ve kaos nicelik
bakımından nasıl tanımlanır?
• Bircok dogrusal olmayan sistemde gorulen evrensel ozellikler nelerdir? Bu
ozellikler tam olarak evrensel midir yoksa kaosun farklı turleri mi vardır?
• Sozkonusu evrensellik nasıl saptanır?
12Hatta betimlenemeyeceginden.
153
• Bilimsel ve teknik olarak kaos calısmalarının basarıları nelerdir?
• Kaosun filozofik ve metedolojik belirtileri nelerdir?
3.1.6 Biyolojik Populasyon Buyumesi Modeli
Bu modelin matematiksel yanı kaos kuramının gelismesinde tarihsel oneme
sahiptir. 1970’lerin ortasında R. May, bu ve diger basit modeller tarafından
sergilenen karmasık davranısların bir kısmını tanımlayan bir makale yayımladı.(?)
Hemen ardından, M. Feigenbaum bu modele dayanan sayısal hesaplamalarla
bazı evrensel nicelikleri kesfetti. Bu evrensel nicelikler cagdas kaos calısmalarının
cıkıs noktası olmustur.
Model basit olarak su sekildedir: Bireyleri aynı sezonda dogup olen sinek gibi
bir canlı ele alınsın. Bir yıl icindeki sinek sayısı N1’in orijinal sinek sayısı N0 ile
nasıl ilintili oldugu saptanmak istenir ise, en basit halde,
N1 = AN0 (3.1.6)
olacagı tahmin edilebilir. Burada A cevre kosullarına13 baglı bir ekolojik sabittir.
Eger A > 1 ise, sineklerin sayısı artacaktır. Eger A < 1 ise, sinek sayısı aza-
lacaktır. Ilerleyen nesillerde A aynı kalır ise, A > 1 durumunda Malthusyan
populasyon patlamasına goturecek sekilde artıs devam edecek, A < 1 duru-
munda ise populasyon yok olmaya dogru gidecektir. Oysa eger populasyon cok
fazla buyurse, biyolojik populasyonu destekleyecek yeterli besin kaynagı olmay-
acagı ya da belki ilgili avcıların sinekleri tuketmesinin kolaylasacagı ve bu nedenle
populasyon artısının sınırlı olacagı bilinmektedir. Bu sınırlama ozelligi modele bir
baska terim eklenerek saglanabilir. Bu terim, N ’nin kucuk degerleri icin onemsiz
13Besin kaynakları, su, hava kosullarıvb...
154
ancak N arttıgında daha basat hale gelecek sekilde olmalıdır. Ornegin:
N1 = AN0 −BN20 (3.1.7)
Eger B ¿ A ise, ikinci terim N yeterince buyuk olana kadar onem kazanmay-
acaktır. Bu terimin negatif olması populasyonun azaltması anlamına gelir. Bu
denklem tekrar tekrar kullanılarak her yıl N ’nin nasıl degistigi bulunur:
N1 = AN0 − BN20
N2 = AN1 − BN21
N3 = AN2 − BN22
. . .
. . .
. . .
seklinde iteratif olacaktır. Simdi denklem (3.1.7) biraz degistirilsin. Bu denkleme
gore maksimum bir olası populasyon sayısı vardır:
Nmax =A
B
Buradan model icin populasyonu, maksimum olasıpopulasyon kesri olarak verecek
yeni bir degisken tanımlanabilir:
Xn =Nn
Nmax
Modelin tanımı geregi, x degiskeni [0, 1] aralıgında olmalıdır. Bu tanım kul-
lanılarak denklem (3.1.7),
Xn+1 = AXn(1−Xn) ≡ fA(Xn) (3.1.8)
olur. Burada Xn, n. yıldaki populasyondur. fA fonksiyonu, iterasyon fonksiyonu
olarak anılır. Farklı A degerleri icin bu fonksiyon sekil 3.1.6’de verilmistir.
155
Sekil 3.1: Farklı A degerleri icin iterasyon fonksiyonu.
Bu modelin, populasyon kesri X’in uzun donem14 degeri hakkında ne ifade
ettigi ve bu uzun donem degerinin A’ya nasıl baglı oldugu saptanacak olursa
dogrusal algıya yatkın olan sezgiler, cevre kosulları15 sabit kaldıgından X’in belirli
bir degere gitmesi gerektigi yonunde olacaktır. Ayrıca, eger A yavas yavas degistirilirse,
bu degerin de yavasca degisecegi beklenebilir.
Hesap su sekilde yapılır: Herhangi bir X0 degeri ile baslanır, X1 hesaplanır,
14Bircok sezon sonra.15Burada A parametresi ile temsil edilirler.
156
sonra X1 kullanılarak X2 hesaplanır ve bu sekilde devam edilir yani,
X1 = fA(X0)
X2 = fA(X1)
X3 = fA(X2)
. .
. .
. .
Buna bir iterasyon dizisi denir. fA(x) itere edilmisharita fonksiyonu olarak isim-
lendirilir. Cunku fA(x), 0 ≤ X ≤ 1 aralıgındaki bir X degerini16 aynı aralıktaki
baska bir degerine goturur.17 Bu iterasyon islemi ile elde edilen X degerleri
dizisi yorunge olarak isimlendirilir. Acıkca, yorungenin ilk birkac noktası X’in
baslangıc degerine baglıdır. Cok acık olmayabilecek sey, yorungenin sonuc davranısının
belli bir A icin 0 ile 1 arasındaki neredeyse butun baslangıc noktaları icin aynı ol-
masıdır.
Ote yandan, bazı baslangıc noktaları digerlerinden farklıdır. Ornegin, X0 = 0
secilir ise, fA(X = 0) = 0 olur ve yorunge butun ilerleyen iterasyonlarda X = 0’da
kalır. Bir X degeri,18
X∗A = fA(X∗) (3.1.9)
veriyorsa, itere edilmis haritanın sabit noktası olarak isimlendirilir. A indisi X∗
degerinin A’ya baglı oldugunu gosterir. Bu harita icin genel olarak iki sabit nokta
vardır. Bunlardan ilki basitce gorulecegi uzere,
X∗A = 0 (3.1.10)
16X0 olsun.17Tabi eger A parametresi 0 ≤ A ≤ 4 seklinde ise.18X∗ olsun.
157
ve digeri ise,
fA(X∗) = X∗A = AX∗
A − AX∗A
2
1 = A− AX∗A
AX∗A = A− 1
X∗A =
A− 1
A
seklinde bulunacagı uzere,
X∗A = 1− 1
A(3.1.11)
olacaktır. A < 1 icin X∗A = 0 yegane sabit noktadır.19 A > 1 icin iki sabit nokta
da tanımlı bolge icerisindedir. Bu durum sekil 3.1.6’de gorulmektedir.
3.1.7 Sabit Noktaların Onemi
Sekil 3.1.7 kullanılarak, eger A < 1 ise, 0’dan farklı bir X degerinden baslayan bir
yorungenin nasıl 0’a yaklastıgı gorulebilir. Izlek20 soyledir: X ekseni uzerindeki
X0 baslangıc degerinden fA egrisine dogru dikey bir cizgi cizilir. Bu kesim nok-
tası X1 degerini verir. Sonra kesim noktasından X degerine paralel olarak Y = X
dogrusuna bir cizgi cizilir. Y = X dogrusunu kesen noktadan fA egrisine ikinci
bir dikey cizgi cizilir. fA egrisiyle kesisme noktası X2’yi belirler. Bu sekilde devam
edilerek grafiksel olarak iterasyon islemi gerceklestirilmis olur.
[0, 1] aralıgındaki baslangıc noktaları icin A < 1 oldugunda butun yorungeler
X = 0 son degerine gittiklerinden X = 0 noktası bu yorungeler icin cekici21
olarak isimlendirilir. 0 ≤ X ≤ 1 aralıgı da bu cekici icin cekim havzası22 olarak
isimlendirilir. Cekim havzası olarak isimlendirilmesinin nedeni bu aralıgın icinde
19Tanımlı 0 ≤ X ≤ 1 bolgesinde.20Procedure.21Ceker.22Cekim havuzu, cekim tabanı.
158
Sekil 3.2: A = 0.6 degeri icin X0 = 0.7’den baslayan iterasyonun grafik gosterimi.
159
yer alan her yorungenin, iterasyon sayısı arttıgında, X = 0’a gitmesidir. Biyolojik
model dusunuldugunde, eger A < 1 ise, sezon sayısı arttıgında populasyonun yok
oldugu sonucuna varılır.
Daha genel olarak; cekici, iterasyon sayısı sonsuza giderken yorungelerin yaklastıgı nok-
talar kumesidir. Daha karmasık sistemler icin gorulecegi gibi, verilen bir parame-
tre degeri icin sistem birden fazla cekiciye sahip olabilir. Bir cekici icin cekim
havzası, iterasyon sayısı sonsuza gittiginde, her biri cekiciye yaklasan bir yorungeye
goturen X0 ilk noktalar kumesinden olusur.
3.1.8 Daha Karmasık Davranıs
Sekil 3.3: A = 1.5 degeri icin X’e karsılık f(X).
A > 1 durumunda ne olur? Sekil 3.1.8’te A = 1.5 ile fa(X) egrisi ve Y = X
dogrusu verilmistir. Geometrik yorunge belirleme yontemi ile, X = 0.10’dan
160
Tablo 3.1: A = 3.1 ve X0 = 0.250 degerleri icin lojistik haritada yorungeler.
n Xn Xn Xn
0 0.250 11 0.5611 0.581 12 0.7642 0.755 13 0.5593 0.574 14.5 0.7644 0.758 15 0.5595 0.569 16 0.7646 0.760 17 0.5597 0.565 18 0.7648 0.762 19 0.5589 0.562 20 0.76410 0.763 21 0.558
baslayan bir yorungenin sabit noktasının X∗A = 1 − 1/A = 1/3 oldugu bulunur.
Aslında, 0 < X < 1 aralıgında baslayan her yorunge aynı cekiciye gider.
Bu noktada biyolojik modelin ne ifade ettigi anlasılabilir: 0 ile 1 arasında
bulunan her X0 ilk degeri icin, eger A > 1 ise, populasyon kesri sonucta ceken
sabit noktaya yani X∗A = 1− 1/A’ya gider. A > 1 icin X∗ = 0 iten sabit noktaya
donusur. Cunku X = 0 civarında evrimine baslayan yorungeler bu degerden
uzaklasırlar. Ancak bu basit modelde surprizler de mevcuttur. Ilk surpriz, A
parametresi 3’ten buyuk oldugunda ortaya cıkar. Tablo (3.1), A = 3.1 ile X0 =
0.25 degerinden baslayan yorunge icin degerleri listeler.
Goruldugu gibi yorunge tek bir cekici degerine gitmez. Bu durum icin yorunge
degerleri X = 0.558... ve X = 0.764... gibi iki deger arasında ileri geri salınır.
Biyolojik model icin bu durum populasyon kesrinin bir yıl yuksek, ertesi yıl dusuk,
sonra yeniden yuksek vb... olması demektir. Populasyon kesri her iki yılda bir
aynı degere geri dondugunden bu davranısa periyot-2 davranısı denir. Periyot-
1 davranısından periyot-2 davranısına degisim periyot ciftlenim yarılması olarak
isimlendirilir.
161
Sekil 3.4: Iki nokta cekicisine goturen bir yorungenin grafiksel elde edilisi.
162
Yarılma iki parcaya ayrılmayı ifade eder. Yarılma terimi, dogrusal olmayan
dinamik calısmalarında, bir parametre degistiginde sistemin davranısındaki her-
hangi bir ani degisimi tanımlamakta kullanılır. Yani yarılma, sistemin davranısının
iki bolgeye ayrılmasına karsılık gelir. Bu bolgelerden biri degisimin ortaya cıktıgı ozel
parametre degerinin ustunde digeri altındadır. A = 3 parametre degerinde bir
periyot ciftlenim yarılması oldugu soylenir. A < 3 icin cekici tek bir nok-
tadan yani X = 1 − 1/A degerinden ibarettir. A parametresi 3’ten biraz buyuk
oldugunda cekici artık iki noktadan olusur ve bu iki deger A degistikce degisir.
Sekil 3.1.8 iki nokta cekicisine goturen bir yorungenin grafiksel elde edilisini
gosterir. A = 3.44948... degerinde baska bir periyot ciftlenim yarılması ortaya
cıkar. Bu degerin biraz ustunde cekici dort noktadan meydana gelir. Ornegin A =
3.45 icin, yorungede ortaya cıktıkları sıra ile, cekici degerleri 0.852, 0.433, 0847
ve 0.447 seklindedir. Bu degerlerin onemli bir ozelligi vurgulanmalıdır. Degerler
su sırayla ortaya cıkmaktadır: En buyuk, en kucuk, sonraki en buyuk ve sonraki
en kucuk vb... Eger A parametresi daha fazla arttırılırsa, A’nın giderek kuculen
arttırımlarında ortaya cıkan periyot-8, periyot-16 vb... yarılmaları gorulur. A’nın
3.5699...’dan biraz buyuk degerleri icin yorunge degerleri hicbir zaman tekrar
etmez gibi gorunur. Davranıs kaotiktir.
Modelin davranısı bir yarılma diyagramı cizilerek ozetlenebilir. Yani, belli bir
A degeri icin, bir baslangıc noktasından itibaren yorunge hesaplanır ve sonra A
parametresinin fonksiyonu olarak bu yorunge icin cekici noktalar cizilir. Pratikte,
yorunge sonuc cekiciye 50-100 iterasyon sonra yeterince yakın olur.
Sekil 3.1.8, bir A degeri ve 0 ile 1 arasında bir baslangıc degeri olarak sonra
yorungenin cekici degerlerine yaklasması icin harita fonksiyonu 100 kere itere
edilip, ardından X’in sonraki 100 degeri cizdirilerek elde edilmistir. Goruldugu gibi
periyot ciftlenimleri kaosa goturmektedir ve geniskaotik bolgeler pencerelere bolunmustur.
Bu harita icin gorulen kaotik davranıs gercek kaos mudur yoksa iterasyon
163
Sekil 3.5: 0 < A < 4 aralıgında 100 iterasyon icin X.
164
Tablo 3.2: A = 3.99 degeri icin lojistik haritada yorungeler.
n Xn Xn Xn n Xn Xn Xn
0 0.4000 0.4010 0.4005 8 0.9971 0.9456 0.98141 0.9576 0.9584 0.9580 9 0.0117 0.2052 0.07272 0.1620 0.1591 0.1605 10 0.0462 0.6507 0.26913 0.5417 0.5338 0.5377 11 0.1758 0.9069 0.78474 0.9906 0.9929 0.9918 12 0.5781 0.3368 0.67405 0.0373 0.0280 0.0324 13 0.9731 0.8912 0.87676 0.1432 0.1085 0.1250 14 0.1043 0.3870 0.43147 0.4894 0.3860 0.4365 15 0.3727 0.9465 0.9787
izleginden kaynaklanan sayısal bir etki midir? Kaosun varlıgını sınamanın yol-
larından biri, birbirine yakın yorungelerin ıraksamasını kontrol etmektir. Ornegin
tablo (3.2), A = 3.99 icin uc farklı yorunge degerlerini listeler. Yorungeler
sırasıyla X = 0.400, X = 0.401 ve X = 0.4005’ten baslar. Sadece 10 it-
erasyondan sonra ilk iki yorunge birbirinden 0.6 kadar uzaklasmıstır. Yani A =
3.99 icin haritanın yakın yorungelerinin ıraksama gosterdigi sonucuna varılır.
Eger yorungeler arasındaki ilk fark 0.001’den 0.0005’e dusurulurse ne olur? Iki
yorungenin aynı miktarda birbirinden uzaklasması oncekine gore iki kat zaman
mı alır? Tablo (3.2)’den goruldugu gibi yanıt hayır!
Su ana kadar, dogrusal olmayan davranısın gorulen baslıca ozellikleri sunlardır:
• Parametreler yavasca degistirildiginde sistemin nitel davranısında ani degisiklikler
gozlenir. Ornegin, periyot-1 birdenbire periyot-2’ye donusur.
• Duzenli, periyodik davranıstan aperiyodik davranısa iyi tanımlıve tekrar
uretilebilir degisimler mevcuttur.
• Kaos, birbirine yakın yorungelerin ıraksamasına bakılarak gurultulu davranıstan
ayırdedilebilir.
165
Tablo 3.3: Ozdeger ve Lyapunov usteli arasndaki farklılıklar.
Ozdeger Lyapunov usteliYerel bir buyukluk Global bir buyukluk
Sabit deger Ortalama degerKarmasık sayı Gercel sayı
Genellikle ortogonal degil Genellikle ortogonal
3.1.9 Lyapunov Ustelleri
Kaos hakkında tam bir evrensel kanının olmaması ile birlikte, bilindigi uzere
bircok kisi tarafından kaos, aperiyodik, uzun bir zaman aralıgına yayılmıs, sınırlandırılmıs ve
en onemlisi baslangıc kosullarına hassas baglı bir gorungu olarak betimlenmek-
tedir. Buna karsın, rastgele degiskenlerden olusmamıs esitliklerin betimledigi,
aperiyodik, sınırlandırılmıs ve kestirilebilir bir sistem gorece daha anlasılırdır ve
birim zaman aralıklarınca numerik olarak cozulebilir. Baslangıc kosullarına has-
sas baglı bir sistemi saptamak cok daha zordur. Bundan dolayıdır ki, sozkonusu
hassas baglılıgın niceligi belirlenmelidir. Bu baglamda A. M. Lyapunov tarafından,
baslangıcta birbirine yakın yorungelerin, ilgili parametrece evrimleri sırasında bir-
birinden uzaklasma hızının saptanması amacı ile bir ustel tanımı ortaya atılmıstır.
Lyapunov ustelleri ismi, aynı zamanda ilk kuzeni olan esi otuziki yasında tuberkulozdan
olmeden uc gun once kendisini vuran ve ardında esiyle birlikte yakılmasına dair
bir not bırakan buyuk Rus matematikcisi A. M. Lyapunov’a atfen 1968 yılında
Oseledec tarafından verilmistir.
Pozitif Lyapunov usteline sahip sınırlandırılmıs bir sistem kaotiktir ve bu ustel
sistemdeki kesitirimin kaybını tanımlar. Lyapunov ustelleri ozdeger konusu ile
yakından ilintilidir. ozdegerlerin hesaplanmasında izlenen yontemlere benzer yontemler
kullanılarak hesaplanırlar. Buna karsın aralarında onemli farklarda mevcuttur ve
bunlar tablo (3.3)’te gosterilmistir.
166
Ozdeger genellikle durum uzayında bir noktada hesaplanır ve buda sıklıkla
denge noktasıolur. Oysa, Lyapunov ustelleri ise geometrik olarak yorunge boyunca
ortalama alınarak hesaplanır. Lyapunov ustelleri daima gercel sayıdır23 ve ilgili
dogrultuları karsılıklı olarak ortogonal oldugu halde, dogrultular yorungenin uzay-
daki hareketine gore degisim gosterebilmektedir. Her iki nicelik te Jacobian matris
ile hesaplanır. D boyutlu bir sistem D tane Lyapunov usteline ve aynızamanda
her noktada D tane de ozdegere sahiptir.
Sekil 3.6: Secilen birbirine yakın iki ilk kosul ve evrimleri.
Bir boyutlu haritalar icin Lyapunov usteline bakılacak olursa basit olarak lo-
jistik haritanın incelenmesi isabetli olacaktır. Sırasıyla birbirine cok yakın X0
ve X0 +4X0 gibi iki baslangıc kosulu secilsin. Bir iterasyon sonra bu noktalar
temsili olarak sekil 3.1.9’da gosterildigi bicimde su sekilde ayrısır,
4X1 = f(X0 +4X0)− f(X0) ∼= 4X0f′(X0) (3.1.12)
23Real number.
167
Burada f ′ = df/dX turevidir. Bundan sonra X0’da λ gibi ayrısmayı betimleyen
bir Lyapunov usteli tanımlansın, eλ = |4X1/4X0| seklinde ya da,
λ = ln |4X1/4X0| ∼= ln |f ′(X0)| (3.1.13)
gibi bir ifade olacaktır. |4X1/4X0| buyuklugu yerel Lyapunov usteli olarak
isimlendirilir ve bu buyukluk X − X0’daki gerilmedir. Mutlak deger bu Lya-
punov ustelinin pozitif olmasınıtemin eder ve boylece logaritma gercel kılınır.
Eger 4X1/4X0 negatif ise, bu demek olur ki, iterasyonda karsılıklı olarak mer-
tebesini degis tokus eden iki tane yakın nokta vardır.
Lyapunov ustelini hesaplamak ozdegerleri hesaplamakla bircok benzerlik gosterir.
Aslında, bir harita icin, yerel Lyapunov sayıları ozdegerlerin mutlak degeridir.24
Yerel Lyapunov ustelinin25 uzayı nasıl sekillendirdigini bilmek, kucuk baslangıc kosullarındaki
zayıf kestirimler ile cekici bolgesinin tanımlanmasına olanak saglar. Nicolis ve
ark. (1983) tarafından yerel Lyapunov ustellerinin dagılımından sapma olarak
betimlenen bir dogrusallıkdısı faktoru26 tanımlanmıstır.(?)
Global Lyapunov ustelinin eldesi icin denklem (3.1.13)’un bircok iterasyon son-
raki ortalamasına bakılır:
λ = limN→∞
1
N
N−1∑n=0
ln |f ′(Xn)| (3.1.14)
Yorungemsiler periyodik ise, yorungenin cekici noktada bir periyot boyunca donusunun
ortalaması yeterli olacaktır. Ortalama gerilme faktoru eλ global Lyapunov ustelidir.
Ozdeger yerel Lyapunov usteli global Lyapunov usteli icin aynı simge27 kul-
lanılmaktadır. Literaturde de bu iki ustel birlikte anılır. Tumuyle farklı ozelliklere
24Moduli.25Ya da sayısının.26Nonuniformity factor-NUF.27λ.
168
sahiptirler ve bunlar sıklıkla karıstırılır. Global Lyapunov usteli birbirine cok
yakın iki baslangıc kosulunun ortalama ustel oranlarını ya da baska bir deyisle
uzaydaki ortalama gerilmeyi saptar. Pozitif bir Lyapunov usteli kaosun varlıgına
isarettir. Eger Lyapunov usteli negatif ise sistemde kararlı noktaların ya da limit
cevrimlerin varlıgından soz edilebilir.
Global Lyapunov usteli X = 0.5 icin bir lojistik haritada negatif ve dallanma
ya da sonsuz olabilir. Ayrıca yorunge bazen uzun bir sure icin sabit bir bolgede,
oldugu gibi kalabilir, periyodik bir durumla cakısık hale gelebilir, sabit nokta ola-
bilir ya da sonsuza kacabilir. Bu durum gecici kaostur.28 Her durumda uzun
hesaplamalar dogru olmayan sonuclardan kacınılmayıgerektirir. Gerci ne kadar
uzun sure hesap yapıldıgı onemli degil, cunku numerik hesaplardan emin oluna-
maz.
3.1.10 Determinizm, Kestirilemezlik ve Yorungelerin Iraksaması
Yakın yorungelerin ıraksamasının onemi nedir? Bu ozelligin kaotik olarak
isimlendirmek umulan davranıs cesidinin bir gostergesi oldugunu ve kaostan kay-
naklanan aperiyodik davranıs ile dıs gurultuden kaynaklanan aperiyodik davranıs arasında
ayrım yapilabilmesini sagladıgı one surulmustu.
Yakın yorungelerin ıraksamasının onemi sudur: Eger bir sistem parametre
degerlerinin bir bolgesinde yakın yorungelerin ıraksamasıdavranısı sergiliyorsa, bu
durumda o sistemin davranısı temel olarak kestirilemez hale gelir. Oysa sistem
halen deterministiktir. Burada deterministik su anlamdadır: Eger bir yorungenin
ilk kosu lları tam olarak bilinseydi, bu durumda sistemin zaman evrimi den-
klemleri integre edilerek o yorungenin gelecekteki davranısı kestirilebilirdi. Oysa
bu ilk kosullarda en kucuk bir degisim bile yapılsa, yorunge cabucak tamamen
28Transient chaos.
169
farklı bir yol izler. Herhangi bir gercek deney ya da gercek sayısal hesapta
ilk kosulları belirlemekte her zaman bir miktar duyarsızlık oldugundan, kaotik
bir sistem icin gelecekteki davranısın aslında kestirilemez oldugu gorulur. Bu
noktanın daha iyi belirtilmesi icin kaotik bir sistemin geleceginin, sistem de-
terministik dahi olsa, belirlenemez oldugu soylenebilir. Bu kestirilemezlik, sis-
temi tanımlamakta kullanılan dogrusal olmayan denklemler icin kapalı formda bir
cozumun yazılamayacagı gercegi ile ilgilidir. Kapalı formda bir cozum, X(t) =
X0 tanh π(at2) gibi bir bagıntı, ya da belki X(t) = a1(t)+a2(t)+... seklinde sonsuz
terimli bir seri cozumudur. Boyle kapalı formda bir cozum bulunabilse, sistemin
gelecekteki davranısı, gelecekteki bir ana karsılık gelen bir t degeri icin bagıntıdan
kestirilebilir. Ilk kosulların cok az farklı bir kumesi icin sadece bagıntı bu yeni ilk
kosullar icin tekrar hesaplanır. Bagıntı tahminen parametrelere ve ilk kosullara
baglılıgında surekli oldugundan bu parametre ve ilk kosullardaki kucuk degisimler
X(t)’de de kucuk degisimlere yol acacaktır. O halde, ilk kosullarda kucuk degisimler
yapıldıgında kaotik bir sistem icin ortaya cıkan X(t)’deki buyuk degisimler ka-
palı formda bir cozum ile temsil edilemez. Kaotik bir sistemde, gelecekteki bir
davranısın saptanması icin denklemler adım adım itere edilmeli. Yani aslen,
ne olacagının bulunması icin deneyin gerceklesmesinin saglanması gerekmekte-
dir. Yakın yorungelerin ıraksaması, ilk kosulların belirlenmesindeki herhangi bir
kucuk hatanın, denklemlerin integre edilir iken buyumesi demektir ve bu olgu
kelebek etkisi29 olarak anılır. Boylece, ilk kosullardaki kucuk bir degisim, sis-
temin buyuk olcude farklı bir uzun donem davranısına goturur ve uygulamada
bu uzun donem davranısı ayrıntılı olarak kestirilemez.
Determinizm ve karsıtı ozgur irade30 sorunsalı, felsefede uzun zamandır suregelen
bir sorunsaldır. Newtonyan mekanik insanogluna deterministik, saat gibi isleyen
bir evren portresi sunar gorunumdedir. Bu evrenin icinde butun gelecek, onu
olusturan nesnelerin kuvvet yasaları ve ilk kosullarından belirlenir. Bu bakıs acısına
29Butterfly effect.30Free will.
170
gore, butun aksiyomlar tamamen belirlenmistir ve serbest irade yoktur. Bu de-
terministik bakısı 1812’de P. S. Laplace cok iyi resmetmistir:
¨ Belli bir anda dogada etkiyen butun kuvvetleri ve evreni olusturan
butun nesnelerin konumlarını bilen bir Zeka.31 Bu Zeka icin hicbir sey belirsiz
degildir. Gecmis ve gelecek onun icin asikardır.
Laplace’ın gorusune gore, yalıtılmıs bir sistemin ilk durumu, sistemin sonraki
davranısının dogdugu sonuctur. Ornegin, diferansiyel denklemlerle ifade edilen
fiziksel yasalar, sebep ve onun etkileri arasındaki ilintiyi saglar. Fiziksel yasaların
varlıgı, gecmisve gelecek arasındaki deterministik bir ilinti saglar. Sans ve ozgur
iradeye yer yoktur!
Oysa goruldugu gibi, dogrusal olmayan sistemler ve ozel olarak kaotik sistem-
ler Laplace’ın Zeka’sının hesaplamasını olanaksız kılar. Bu Zeka’ya sunulan ilk
kosulların belirlenmesindeki en kucuk duyarsızlık bile kaotik bir sistemin gelecek-
teki davranısı icin kestirimleri olanaksız hale getirir. Yani, Tanrı dahi gelecekte
ne olacagını gormek icin bu kaotik sistemlerin evrimini beklemelidir.
3.2 Kaosun Evrenselligi
(?)(?)(?)
3.2.1 Giris
Su asamada dogrusal olmayan sistemlerin hem kaosa yaklasma yolunda hem
de kaotik davranıslarında bircok evrensel niceliksel ozellik gosterdikleri ve buna
31Intelligence.
171
ek olarak bircok dogrusal olmayan sistemde ortak olan bazı niteliksel ozelliklerin
varlıgı bilinmektedir. Simdi bu bilgiler dahilinde niceliksel evrensel ozelliklerin
bazılarına kısa bir giris verilecektir.
Soz konusu evrensel ozellikler cok onemlidir. Her dogrusal olmayan sistem,
kendi yoluna gore kendi davranısını gosterseydi, o zaman dogrusal olmayan sis-
temlerin islemesi uygulamalı fen olarak kalarak, uygulamalar icin onem arz ed-
erdi, fakat yeni genel ilkeler vermezdi. Sonuc olarak, temel bilimlerde gelismelere
yol acan bu genel ilkelerdir. Herkesi sasırtan sey, dogrusal olmayan sistemlerin
davranısında kesfedilen cok sayıdaki ortak ozelliktir. Bu ozellikler, periyodik
davranısı kaotik davranısa baglayan yarılmalar dizisini de icerir. Bu yarılmaların
tamamen beklenmeyen ozellikleri incelenen sistemin fiziksel, kimyasal ya da biy-
olojik ayrıntılarından buyuk olcude bagımsız gorunur. Bu evrensellik, dogrusal
olmayan dinamigi gercek bir disiplinlerarası calısma alanı kılmıstır.
3.2.2 Feigenbaum Sayıları
Sekil 3.7: Lojistik harita icin yarılma diyagramının bir kısmı.
Populasyon modelinin belli kosullar altında kaosa dogru periyot ciftlenim yolu
172
Sekil 3.8: Xn+1 = B sin(πXn) seklinde bir haritanın yarılma diyagramı.
izledigi bilinmektedir. Elbette, sistemin periyodikten kaotik davranısa gecmesi
icin periyot ciftlenimi yolunun yanısıra baska yollar da mevcuttur. Ancak bu
evrensel niceliksel ozelliklerin ilki, M. Feigenbaum tarafından lojistik haritada
periyot ciftlenimi calısmalarında kesfedilmistir.(?) (?) (?)
Kaosun altında yatan birtakım evrenselliklerin olabilecegi hakkında ilk ipucu,
itere edilmis harita olarak kullanıldıgında bircok farklı fonksiyonun yarılma diya-
gramında aynı yakınsamaya goturdugu gozlemidir.32 Feigenbaum’un kesfinin
anlasılması icin sekil 3.2.2 ve sekil 3.2.2’e bakılmalıdır. Ilk sekilde,
Xn+1 = AXn(1−Xn) (3.2.1)
lojistik harita icin yarılma diyagramının bir kısmı, ikincisinde ise,
Xn+1 = B sin(πXn) (3.2.2)
seklindeki sinus fonksiyonunu kullanan bir haritanın yarılma diyagramı verilmistir.
32Yani bir dizi periyot ciftlenimi ile periyodik davranıstan kaotik davranısa gidisin.
173
Iki durumda da kaosa dogru periyot ciftlenimi yolu gorulur. Iki dizinin ıraksama
hızının iki farklı harita icin aynı oldugunu ilk kez M. Feigenbaum kesfetmistir.
Boyle bir durumda ilk yapılacak sey, geometrik bir yakınsama oranı aramaktır.
Eger yakınsama geometrik ise, ardısık periyot ciftlenimlerinin ortaya cıktıgı parame-
tre degerlerinin farklarının oranı butun yarılmalar icin aynı olmalıdır. Hesap
su sekilde yapılır: A1, periyot-1’den periyot-2’ye gecis noktası; A2, periyot-
2’den periyot-4’e gecis noktası vb... olsun. Genel olarak, periyot-2n periyodunun
dogdugu noktanın parametre degeri An ile gosterilir. Boylece,
δn =An − An−1
An+1 − An
(3.2.3)
oranıincelenir.
M. Feigenbaum, bu oranın butun n degerleri icin yaklasık olarak aynı oldugunu
ayrıca daha onemli ve sasırtıcı olarak, buyuk n degerleri icin bu oranın her iki
harita fonksiyonu icin aynısayıya yaklastıgını bulmustur. Bu sayıgunumuzde onu
kesfeden kisiye atfen Feigenbaum δ sayısıolarak anılır:
δ = limn→∞
δn = 4.669201... (3.2.4)
Bu sayıfizikteki evrensel sabitlerden biri olarak yerini almıstır. Elbette, hemen
hemen ozdes iki oranı gormek bu sayıların evrenselliginin ispatı degildir. Daha
sonra M. Feigenbaum, maksimum degeri civarında parabolik bir sekle sahip her
itere edilmisharita fonksiyonunun aynı yakınsama oranına sahip olacagını gostermeyi
basardı.
δ’nın evrenselligini acıklamakta M. Feigenbaum’un gelistirdigi kuram, aslında
oranların hesabında kullanılan parametre degerlerinin biraz farklıbir tanımdan
yola cıkılarak olusturulan bir algoritmadır. Bir yarılmanın meydana geldigi parame-
tre degeri yerine, harita fonksiyonun maksimum noktasının yatay eksendeki izdusum
degerinin belli bir periyodiklik icin yorungenin bir parcası oldugu parametre
174
Tablo 3.4: Lojistik harita ve sinus harita icin yarılma ve supercevrim degerleri.
n An ASn BS
n
1 3.00000 3.23607 0.777342 3.4931 3.49856 0.846383 3.54402 3.55463 0.861454 3.56437 3.56667 0.864695 3.56875 3.56924 0.86539∞ 3.569946 . . . - -
degerleri secilmistir. Bu yorungeler supercevrim33 olarak isimlendirilir. O halde,
Asn degeri Xmax’ın periyot-2 yorungesinin bir parcası oldugu A degeridir. Her
iki tanımında yuksek dereceli yarılmalar limitinde aynı degeri vermesi geometrik
olarak makuldur. Sayısal hesaplamalar icin supercevrim tanımı daha kolaydır.
Bazı supercevrim degerleri tablo (3.4)’te verilmistir.
3.2.3 Kestirimde δ’nın Kullanımı
Deneylerden bulunan ile M. Feigenbaum tarafından matematiksel bir mod-
elden elde edilen δ degerleri arasındaki sayısal uyum, altta yatan bir birligi isaret
eder. Daha gercekci olarak, δ gibi evrensel bir sayının varlıgı, sistemi tanımlayan
denklemler cozulmese bile, dogrusal olmayan bir sistemin davranısı hakkında ni-
cel kestirimler yapılabilmesine olanak tanır. Daha onemlisi, bu durum sistemin
temel denklemlerinin ne oldugu bilinmese bile dogrudur. Ornegin, belli bir sis-
temin bir A1 parametre degerinde periyot-1’den periyot-2’ye ve bir A2 degerinde
periyot-2’den periyot-4’e periyot ciftlenim yarılmasına ugradıgı gozleniyorsa, δ
kullanılarak A3 degeri tahmin edilebilir:
A3 =A2 − A1
δ+ A2 (3.2.5)
33Supercycle.
175
δ ayrıca periyot ciftlenim dizisinin yakınsadıgı ve kaosun basladıgı parametre
degerinin tahmin edilmesinde kullanılabilir. Bunun icin once A4 icin yukarıdakine
benzer bir ifade yazılmalı:
A4 =A3 − A2
δ+ A3 (3.2.6)
Denklem (3.2.5), denklem (3.2.6)’de yerine konularak,
A4 = (A2 − A1)
(1
δ+
1
δ2
)+ A2 (3.2.7)
elde edilir. A5, A6... degerlerini hesaplamak icin bu isleme devam edilerek.
1/δ’nın kuvvetlerini iceren daha fazla terim elde edilir. Bu geometrik bir seridir
ve bu seri toplanarak,
A∞ = (A2 − A1)1
δ − 1+ A2 (3.2.8)
elde edilir. Yani, bir sistemdeki ilk iki periyot ciftlenimi gozlendikten sonra,
kaosun ortaya cıkması gereken parametre degeri kestirilebilir. Ote yandan, bu
kestirimin kesin olması beklenemez cunku:
• Bu kestirim deneysel olarak belirlenmis A1 ve A2’ye dayanıyor.
• Butun yarılma oranlarının aynı δ sayısı ile belirlendigi varsayıldı.
Yine de bu kestirim, kaosun basladıgı bolgeye makul olculerde yakın bir sonuc verir.
Tablo (3.4)’teki degerler kullanılarak lojistik harita icin kaos gecis esigi A∞ =
3.572 gibi yarılma degerlerinden ya da A∞ = 3.563 supercev rim degerlerinden
bulunur. Esas deger A∞ = 3.5699...’dur. Tam bir uyum olmadıgı gorulmektedir.
Fakat yine de, sistemin dinamigiyle ilgili hicbir ayrıntılı hesabın yapılmadıgı dusunulurse
uyum sasırtıcı bicimde iyidir.
176
Sekil 3.9: Feigenbaum buyukluk oranını veren sekil.
3.2.4 Feigenbaum Buyukluk Olceklenmesi
Lojistik harita gibi basit harita fonksiyonlarının sayısal arastırmasının bir parcası olarak
M. Feigenbaum, her ardısık periyot ciftlenim yarılmasının, daha fazla yarılma
dallarıyla, onceki yarılmanın daha kucuk bir kopyası34 oldugunu farketmistir
ve bu gozlem, periyot ciftlenim dizisinde evrensel bir buyukluk olceklenmesi ola-
bilecegini gostermistir. Sekil 3.2.4 buyukluk oranının tanımınıverir. Buna Feigen-
baum α denir:
α = limn→∞
dn
dn+1
= 2.5029... (3.2.9)
Burada dn periyot-2n+1’e girmeden once periyot-2n’in yarılma deseninin buyuklugudur.
Oran, yarılma deseninin karsılık gelen parcaları icin d degerlerini icerir. Ornegin,
periyot-4 parcalarının en buyugunun buyuklugu, en buyuk periyot-8 parcasının
34Replica.
177
buyuklugu ile kıyaslanır.
Esasen M. Feigenbaum, α’nın belirlenmesinde dn’nin biraz farklı bir tanımını kul-
lanmıstır. δ’nın tanımında oldugu gibi, d degerleri, Xmax noktası yorungenin bir
parcası oldugunda, yarılma diyagramındaki mesafelere karsılık gelir.
Sekil 3.10: Feigenbaum α’nın hesaplanmasında kullanılan ilgili uzaklıklar.
α sabitinin hesaplanması icin, sekil (3.10)’da kullanılan ilgili uzaklıklardan yola
cıkılarak X0 = Xmax ile 2k supercevrimi X0, X1, X2, ..., X2k−1 ve ozel olarak Xm
ve onun ikizi Xm+2k−1 noktaları arasındaki dk,m uzaklıkları ele alınsın:
dk,m = Xm+2k−1 − Xm
dk,m = f(m+2k−1)Ak
(Xmax)− f(m)Ak
(Xmax)
αk = − dk,0
dk+1,0
178
seklinde bulunacagı uzere,
α = limn→∞
αk (3.2.10)
olacaktır.
3.2.5 Kendine Benzerlik
Sekil 3.11: Yarılma diyagramının bir bolumu.
Iki Feigenbaum sayısı, periyot ciftlenim dizisi hakkında cok onemli birsey an-
latır: Yarılma diyagramının farklı parcaları, diger parcaların daha kucuk kopy-
alarıdır. Uygun buyultmeler altında bu kopya eden davranısa sahip geometrik bir
yapının kendine benzer35 oldugu soylenir. Her altparca, uygun bicimde buyutuldugunde,
daha buyuk bir parcaya benzerdir. Bu kendine benzerlik δ ve α’nın evrenselligi
kuramında anahtar rol oynar.
35Self similar.
179
Sekil 3.12: Bir onceki sekilde belirtilen bolgenin buyultulmus olarak yarılma diya-gramının daha kucuk olcekteki bir bolumu.
Kendine benzerlik neden cok onemlidir? Temel fikir sudur: Eger geometrik
bir yapı kendine benzerlik gosteriyorsa, bu yapı dogal36 buyukluk olcegine sahip
degildir. Yani bu yapının bir buyultme seviyesinde, bir altbolumune bakılacak
olursa, baska bir buyultme seviyesindeki herhangibir baska altbolume benzedigi
gorulur. Bir altbolume bakılarak hangi uzunluk olceginin goruldugunun saptanma
olanagı yoktur. Bu kayda deger ozellik, geometrik yapının bircok ozelliklerinin
modelin ayrıntılarından bagımsız olması gerektigi anlamına gelir. Kendine benz-
erlik olgusu sekil 3.2.5 ve sekil 3.2.5’de gorulmektedir.
36Inherent.
180
3.2.6 Diger Evrensel Ozellikler
Feigenbaum sayıları hicbir sekilde dogrusal olmayan sistemlerde kesfedilmis evrensel-
lik sahasını etraflıca ortaya koymaz. Bundan baska diger evrensellik kestirimleri
de mevcuttur. Ote yandan, tedbirli bir arastırmacı sormalıdır: Bu niceliksel
ozellikler butun dogrusal olmayan sistemler icin gecerli midir? Yanıt suphesiz
hayır olacaktır. Ancak, Feigenbaum sayılarının ve onların cesitli genellestirmeleri,
iyi niceliksel tanımlamalar sagladıgı dogrusal olmayan sistemlerin sınıfları oldugu
anlasılır.
3.3 Dusuk Boyutlu Dinamik Sistemler
3.3.1 z-Lojistik Harita Ailesi
Daha once bahsedilen lojistik haritanın genellestirilmis bicimi kapalı formda,
Xn+1 = f(Xn) (3.3.1)
ve bu esitlik z gibi bir parametre ile acık olarak,
Xn+1 = 1− A|Xn|z (3.3.2)
seklinde olacaktır. Burada −1 ≤ X ≤ 1 ve 0 < A ≤ 2 aralıklarında ve z > 1
olacaktır.
Daha onceleri goruldugu gibi bu harita fonksiyonuna ait grafik z’nin cesitli
degerlerine gore konkavlıgı degisen bilindik bir formda olacaktır ve sekil 3.3.1’te
gorulmektedir. Yalnızca harita fonksiyonun formu biraz farklıdır. Soyle ki; onceki
formda z parametreleri bir aile tanımlanamamaktadır. z’nin degisimiyle haritanın
181
Sekil 3.13: Farklı birkac z degeri icin z-lojistik haritalar.
metrik ozellikleri ve dolayısıyla Feigenbaum sayıları degismektedir. Bunun sonu-
cunda farklı z degerlerine gore haritalar farklı evrensellik sınıflarına denk duser.
Ancak topolojileri aynıdır ve hepsinin yarılma diyagramları aynı yapıdadır. Cesitli
kaynaklarda karsılasılan farklı formdaki butun lojistik haritalar izomorfiktir.
Aslına bakılırsa z = 2 ozel durumu beylik lojistik harita olmaktadır. Bu ozel
durumda−1 ≤ X ≤ 1 ve 0 < A ≤ 2 aralıklarında olacaktır. Yarılma diyagramı ve
Lyapunov usteline bakılır ise, lojistik harita icin, f(X) = AX(1−X) ve f ′(X) =
A(1 − 2X) seklindedir. Bu hesap denklem (3.1.12) kullanılarak numerik olarak
yapılmalıdır. Bu durumda,
λ = limN→∞
N−1∑n=0
ln |A(1− 2Xn)| (3.3.3)
182
olur. X = 0.5’te,37 logaritma−∞ olur. Bu noktadaki tekillikler ortadan kaldırılmaya
calısılırken cifte hassasiyet38 kullanılmalıdır. X = 0.5 civarındaki degerler sonucu
carpıtacaktır. Yerel Lyapunov usteli X = 0 ve X = 1’de en fazla gerilmeye
ugrayacaktır. ln |A| ve yerel Lyapunov usteli −∞ iken X = 0.5’te sıkıstırılmıs ola-
caktır. Bunun yanısıra denklem (3.3.3) ortalama, her A degeri icin yakınsaktır.
Sekil 3.14: A = 4 icin N artarken Lyapunov ustelinin yakınsaması.
Sekil 3.3.1 ’te A = 4 icin N artarken Lyapunov ustelinin yakınsaması acıkca
gorulmektedir. N = 108 iterasyon degerinden sonra, artık yedi basamak an-
lamlı dijit sayısıolarak karsımıza cıkar. Sekil 3.3.1, A’nın her degeri icin bir mi-
lyon iterasyondaki degisimi gostermektedir. Ustelin pozitif oldugu durumda, sekil
3.3.1’daki yarılma diyagramı kaosu belirtir. Fakat sonlu miktarda sekildeki periy-
odik pencereler olabilir. Bu kaosun acık bir olcutu degildir. Bu olcut icin ozenli
bir ispat M. V. Jakobson (1981) tarafından yapılmıstır.(?)
37Parabolun piki.38Double presicion.
183
Sekil 3.15: A’nın her degeri icin bir milyon iterasyondaki degisimi.
Tablo 3.5: Periyot-6’ya kadar olan superkararlı yorungemsiler.
Periyot Yaklasık A degeri1 2.0 (kesin deger)
2√
5 + 1 = 3.2360679774997897...3 3.83187405528331564 3.4985616993277015, 3.96027012722115265 3.738914912970685, 3.905706469831283, 3.9902670469737016 3.62755753, 3.84456878, 3.93753644, 3.97776642, 3.99758311
184
Sekil 3.16: Periyodik pencereler.
185
Cozum karasızlıgın esiginde iken, ustel, her yarılma noktasıicin 0 olacaktır. Her
0 arasında Lyapunov ustelinin −∞ oldugu A degerleri vardır. f ′ = 0 iken X =
0.5’te, bu superkararlı39 supercevrimler periyodik yorungemsilere donusurler ve
cozum yaklastıkca baslangıc kosullarıda hızlıca cekim havzasına dogru cekilirler.
Dinamiklerin herseyden once kaotik oldugu durumda, 3.57 < A < 4 aralıgında
bu noktaların sayısı cokludur. Bu superkararlıyorungemsiler periyot-6’ya kadar
tablo (3.5)’te gorulmektedir. Bu yorungemsiler Feigenbaum sayısının hesabında
kullanılır.(?) Her bir kararlı cevrimin f ′ = 1 iken dogum ve f ′ = −1 iken olumleri
arasında yarıyolda uzanırlar.
A = 4 icin, Lyapunov usteli lojistik harita icin analitik olarak olasılık dagılım
fonksiyonundan hesaplanabilir:
λ =
1∫
0
P (X) ln |f ′(X)|dX =1
π
1∫
0
ln |4(1− 2X)|[X(1−X)]1/2
dX (3.3.4)
Bu demek degildir ki, yorunge boyunca ortalama ile uzaya dogru agırlıklı orta-
lama aynı sonucu verir. Fakat ispat topolojik gecislilik ile mumkundur. X =
sin2(πY/2) donusumu yapılır ise;
λ =
1∫
0
ln |4 cos(πY )|dY = ln 2 (3.3.5)
olur. Bu sonucikili kayma harita ve A = 2 icin cadır harita ile aynısonucu verir.
Sekil 3.3.1’ye bakılır ise yarılma diyagramı ile Lyapunov usteli olcekli bicimde
alt alta koyulmustur. Lyapunov ustelinin pozitif ya da negatif degerler aldıgı du-
rumlarda yarılma diyagramında kaotik ve periyodik durumlara karsılık geldigi
gorulmektedir. Ancak, acık olarak kaotik duruma ilk gecildigi sırada Lyapunov
usteli de ilk kez pozitif deger almaktadır. Daha sonra kısa sureli periyodik du-
39Superstable.
186
Sekil 3.17: Yarılma diyagramı ve Lyapunov ustelinin olcekli grafiginde kaos gecis esigi.
187
rumlara gecisler gozlenir. Iste bu acıkca kaotik duruma ilk kez gecildigi kritik
A degeri Ac olarak gosterilir ve bu nokta kaos gecis esigi olarak bilinir. Degeri,
Ac = 1.40115... seklindedir.
3.3.2 Diger Cevrimler
Sekil 3.18: Yarılma diyagramında kendine benzerlik olgusu.
Kendine benzerlik olgusu gorsel olarak yarılma diyagramında kolayca sap-
tanabilir. Soyle ki, sekil 3.3.2’e bakılacak olursa lojistik harita icin bayagı bir
yarılma diyagramı gorulmektedir. Ancak verilerden elde edilecek olan yarılma
diyagramı yuksek cozunurlukte kaydedilip herhangibir periyodik pencere uygun
bicimde buyultulur ise sozkonusu periyodik pencerelerin icinde de kucuk yarılmalar
goze carpar. Hatta bu kucuk yarılamaların beraberinde kaosa gecilen bir kritik
nokta yani bir baska bir kaos gecis esigi bulunur. Sekilde gorulen ilgili periyodik
pencere icin bu kritik A degeri Ac = 1.779818...’dir.
188
Daha onceleri su argumanlar belirtilmisti: Yarılma diyagramının farklı parcaları,
diger parcaların daha kucuk kopyalarıdır. Uygun buyultmeler altında bu kopya
eden davranısa sahip geometrik bir yapının kendine benzer oldugu soylenir. Her
altparca, uygun bicimde buyutuldugunde, daha buyuk bir parcaya benzer oldugu
gorulecektir.Dolayısıyla burada, lojistik harita icin kendine benzerlik acıkca gorulmektedir.
3.3.3 Ilk Kosullara Kuvvetli Baglılık
Onceleri sozkonusu ilk kosullara baglılıgın onemi ve kendisi uzerinde du-
rulmustu. Su asamada bu olgunun daha nicel olarak incelenmesi icin anlasılırlık
acısından yine lojistik harita ele alınacaktır. A = 2 degeri icin X0 baslangıc kosulundaki
cok cok kucuk bir degisimin ilerleyen iterasyonlarda fonksiyonun evriminde ne
denli etkili olduguna bakılmak istenmektedir. Bu irdeleme icin sekil 3.3.3’a
bakılmalıdır. Xn’nin n’ye karsı degisimi X0 = 0.4 ve X0 = 0.4001 gibi 0.0001
kadar birbirinden farklı iki baslangıc kosulu icin cakısık bicimde gorulmektedir.
Goruldugu uzere ilk besn degeri icin fonksiyon gozle gorulemeyecek kadar bir-
birine yakın veriler basmıstır. Daha sonra takip edilecek olursa altıncıveriden
baslayan gozle gorulur kucuk sapmalar mevcuttur. Ancak ilerleyen iterasyonlarda
artık bu iki davranısın birbiriyle hicbir benzer yanı kalmamıstır ve kesitirelemez
niteliktedirler.
Bu gozlemin ardından akla su soru gelmektedir: Ilk kosullara baglılık niceliksel
olarak saptanabilir mi? Bu soruya yanıt olarak duyarlılık fonksiyonu tanımıortaya
atılmıstır ve bu saptamaya olanak tanır. Duyarlılık fonksiyonu su sekildedir:
ξ(t) = lim4X(0)→0
4X(t)
4X(0)(3.3.6)
Aslında bu limit durumda zaten su sekilde,
ξ(t) = exp λt (3.3.7)
189
Sekil 3.19: Ilk kosullardaki 0.0001’lik degisimin etkisi.
190
daha onceleri incelenen Lyapunov ustelini icinde barındırır ve dogrudan onunla
ilintilidir. Haritalar icin Lyapunov ustelinin pozitif oldugu bolge kaotik, negatif
oldugu bolge de periyodik idi.
Sekil 3.20: Ac kritik degerinin hemen altında ve ustunde duyarlılık.
Peki bu duyarlılık, periyodik bolgede yani kaos gecis esigi altında, kaos gecis esiginin
kendisinde ve kaotik bolgede yani kaos gecis esigi ustunde nasıldır? Bir baska
deyisle bu esas iki bolgede ve Ac degerinde ilk kosullara duyarlılık mevcut mudur?
Bu irdeleme icin kritik A degerinin hemen altında A = Ac − 10−3, ve hemen
ustunde A = Ac+10−3 duyarlılık fonksiyonun iterasyona gore degisimine bakılmalıdır.
Zira bu bolgeler bu baslık altında incelemeye dahildir. Tam olarak kaos gecisesiginin
kendisindeki duyarlılık daha sonra incelenecektir. Sekil 3.3.3’ye bakılacak olursa,
logaritmik olarak ln(n)’e karsıln(ξ) gorulmektedir. Acıkca, λ < 0 seklinde periy-
odik bolgede kuvvetli duyarsızlık, λ > 0 seklinde ise kaotik bolgede kuvvetli du-
yarlılık hukum surmektedir. Yani nitel olarak grafiklerde baslangıcta gozlenen iki
nokta sırasıyla periyodik ve kaotik bolgede, ustel olarak birbire dogru yaklasmakta
191
ya da ustel olarak birbirinden uzaklasmaktadır.
Buradan, nicel olarak 0.0001 hassasiyetle degisen ilk kosullara gore verilerdeki
sapmanın kaotik bolgede ne denli etkili oldugu gorulmektedir. Bu da zaten,
onceleri bahsi gecen kelebek etkisinin nicel gorungusu olarak karsımıza cıkar.
3.3.4 Entropi Artıs Hızı
Kaotik bir sistemde entropiden bahsedilebilmesi icin, sistemin zamana gore
evrilmesi gerekir. Dolayısıyla iterasyonun n gibi temsili bir adım parametresi
yerine kesikli zaman aralıkları seklinde t olarak alınması daha isabetli olacaktır.
Sekil 3.21: Entropi artıs hızı icin ilgili algoritma.
Lojistik harita icin bir boyutlu [−1, 1] aralıgında bir faz uzayı mevcuttur. Bu
faz uzayı ω tane kucuk kutuya bolunsun. Daha sonra bu kutulardan birinin
192
icinde N tane ilk kosuldan olusan bir kume ele alınsın. t = 0 anında bu kosullar
altında hersey biliniyor ve entropi sıfırdan baslıyor. Daha sonra harita fonksiyonu
isletilsin ve t = 1 anında N bu faz uzayında rastgele bicimde dagılsın. Bu islem
bircok iterasyon icin yapılsın. Daha sonra t’nin fonksiyonu olarak her bir kutuda
bulunan ilk kosullar sayılsın. Bu durumda basit olasılık hesabına gore,
pi = Ni(t)/N ; (i = 1, 2, ..., ω) (3.3.8)
biciminde bir olasılık kumesi elde edilir. Dolayısıyla bu sekilde bir olasılık kumesi
mevcut ise arzu edildigi bicimde istenen her tur entropi hesaplanabilir. Yani ozetle
sistemin entropisi baslangıcta sıfır olacak ve zamanla artmaya baslayacaktır.
Sekil 3.22: Farklı bolme sayısı degerleri icin entropi artısları.
Sekil 3.3.4’de boyle bir sistemde entropi artıs hızıgorulmektedir.A = 2 ve z = 2
durumu icin yani bayagı lojistik harita uc tane entropi karlılastırmalı olarak za-
mana karsılık cizilmistir. Grafikteki saturasyon bolgesi islemler numerik olarak
193
yapıldıgı icin vardır. ω bolmeleri sıfıra dogru kucultur iken, bir baska deyisle son-
suz tane bolme alınır ise saturasyon sonsuzda olacaktır yani ortadan kalkacaktır.
Elbette bu saturasyon numerik hesap yapılıyorsa herzaman olacaktır ve olculurse
ln(ω) cıkacaktır. Sonucolarak bu sistemden kaynaklanan bir olgu degildir ve bu
saturasyon ile ilgilenilmemektedir. Burada ilginc olan bir entropinin sıfıra gitmesi,
birinin ıraksaması40 ve bir tanesininde yakınsamasıdır.41 Bu baglamda bunların
hangi entropiler oldukları bilinmektedir.
Burada ideal durum iterasyon t, bolum sayısı ω ve alınan ilk kosul N ’nin
sonsuza gittigi durumdur. Bu duruma uyan entropi Kolmogorov entropisidir ve
su sekildedir:
K = limt→∞
limω→∞
limN→∞
entropi
t(3.3.9)
Dolayısıyla islemlerde bu ideal duruma yaklasılmaya calısılır. Numerik hesapta t
iterasyonu uygun bicimde cok uzun alınabilir. Diger iki deger genellikle, ω = 106
ve ilk kosullar genellikle bolme sayısının on katıkadar N = 107 alınır.
K entropisinin bir t, ω,N kumesinde ıraksadıgı, bir digerinde yakınsadıgı ve
bir digerinde de sıfıra gittini tekrar belirtmekte fayda vardır.
Sekil 3.3.4’te goruldugu gibi, ideal olarak ω = 105 alınan entropinin egimi,
K = λ = 0.69’dur ve A = 2 icin ln(2) ∼= 0.69 oldugu da bilinmektedir. Dolayısıyla
Lyapunov usteli bu hesap icin Kolmogorov entropisi ile esit cıkmaktadır. Daha
onceleri bahsedilen Pesin ozdesligi,
K = λ; λ > 0
K = 0; λ ≤ 0(3.3.10)
seklindedir. Bu ozdeslik Kolmogorov entropisi ile Lyapunov ustelinin bir sekilde
ilintili oldugunu ifade eder. Baska sekilde de ifade edilebilir ancak incelenen sistem
40Sonsuza gitmesi.41Sonlu bir degere gitmesi.
194
Sekil 3.23: Ideal bolme sayısına karsılık entropi artısı.
195
tek boyutta oldugu icin, Kolmogorov entropisi, Lyapunov usteli sıfırdan buyuk
ise bu ustelin kendisine esittir, diger durumlarda sıfırdır.
Sekil 3.24: Kaotik bolgede olmayan bir sistem icin entropiye iterasyon ile her bolmedenesit oranda katkı gelmeme durumu.
Eger sistem kaotik bolgede degilse entropiye iterasyon ile her bolmeden esit
oranda katkı gelmemektedir. Kimi ilk kosullar bircok iterasyon sonunda bile
halen aynı bolmede kalabilmektedirler. Cunku yorungelerin birbirinden uza-
klasması A = 2’de yani kaotik bolgede oldugu gibi ustel degil ve bu durumda ilk
kosullar faz uzayında yeterince hızlı dagılmamaktadırlar.(?) Bu olgu sekil 3.3.4’te
gorulmektedir. Burada yatay eksende ω sıfır ile altmıs bin arasındadır ancak bu-
rada son yarısımevcuttur. Dusey eksende de dolu bolmelerin sayısı verilmistir.
Goruldugu gibi bu dolu bolmelerin sayısı bazıω degerlerinde cok fazla bazılarında
da 102’nin de altındadır. Ornegin ω yaklasık kırkbes bin civarında alınırsa en-
tropiye hic katkısı olmayacaktır. Dolayısıyla rastgele elli tane iterasyon yaptıgında
bu uygunsuz bolmelerde ise entropi artısı iyi gorulmeyecektir. Bu yuzden dolulugu
196
uygun bolmelerin secilmesinde fayda vardır ki entropideki artıs saglıklı bicimde
gozlenebilsin.
Butun bunlardan cıkan sonuc dogru entropi fonksiyoneli, faz uzayının tipi ya
da isgalinin geometrisi tarafından belirlenir. Dogru entropi kaotik bolgede q = 1
durumundaki entropidir.
Faz uzayının isgalinin geometrik yapısısistemin iki ozelligine baglıdır:
• Sistemin uydugu mikroskobik dinamik
• Sistemin yerlestirildigi ilk kosullar
Mikroskopik dinamik sistemin yasamasına izin verilen yeri, ilk kosullar ise sis-
temin yasamaya egilimli oldugu yeri belirler. Kullanılacak entropi fonksiyonelini
belirlemenin bir yolu yoktur. Kaotik bolgedeki bu tip sistemler icin dogru entropi
fonksiyoneli Boltzmann-Gibbs entropisidir:
SBG = −kβ
ω∑i=1
pi ln pi (3.3.11)
Esolasılık durumu icin (pi = 1/ω, ∀i), Boltzmann-Gibbs entropisi:
SBG = kβ ln ω (3.3.12)
Bu, J. C. Maxwell (1860), L. Boltzmann (1872) ve D. Gibbs’in (1902) onceleri
inceledikleri ergodik sistemler icin dogru entropi formudur ve aynı zamanda Boltz-
mann prensibi olarak bilinir. Ergodik sistemler, esit olasılık ile izinli olan butun
mikroskopik durumları mikroskopik olarak ziyaret ederler. Baska bir deyisle, izinli
oldugu bolgenin her yerinde yasamayı esit oranda seven sistemlerdir. Aslen bu,
Boltzmann’ın molekuler kaos hipotezidir.
197
3.3.5 Durulma Dinamigi
Sekil 3.25: Entropi artıs hızı icin ilgili algoritma.
Lojistik harita icin bir boyutlu [−1, 1] aralıgında mevcut olan faz uzayında
yapılan islemler bu kez kucuk bir fark ile yapılacaktır. Soyle ki: Yine bu faz uzayıω
tane kucuk kutuya bolunsun. Daha sonra bu kutulara daha onceki yapılandan
farklı olarak rastgele bicimde N tane ilk kosul dagıtılsın. t = 0 anında bu kosullar
rastgele bicimde dagılmıstır ancak [−1, 1] aralıgındaki butun kutuları ideal olarak
dolduracak sayıda baslangıc kosulu bulunmaktadır. Yani bu aralık t = 0 anında
tumuyle doludur. Daha sonra harita fonksiyonu isletilsin ve t = 1 anında N
bu faz uzayında tekrar rastgele bicimde dagılsın. Bu islem bircok iterasyon icin
yapılsın. Dolayısıyla ilk kosullar tarafından doldurulan hacmin zaman icerisinde
nasıl degistigine bakılmalıdır. Burada basitce kaotik bolge icin uygun entropi
198
artıs hızı ve bu baglamda Kolmogorov entropisi:
K =1
tlim
ω→∞[SBG(t)− SBG(0)] (3.3.13)
Esolasılık tanımı ile, topluluk tarafından doldurulan hacmin zaman evrimi:
ω(t) = ω(0)eKt (3.3.14)
Uygun durulma dinamigine bakılacak parametre aslında bir tur hacim elemanıdır
ve Ω ile temsil edilir. Bu, t anındaki doldurulmus hacmin t = 0 anındaki doldu-
rulmus hacme oranı olarak tanımlanır ve bu oran ustel olarak gidecektir.
Ω =ω(t)
ω(0)= e−t/τ (3.3.15)
Kaotik bolgede bu hacimde herhangi bir buzulme olmayacagı icin K = 0 ve,
ω(t)
ω(0)≡ sabit
seklinde olacaktır. Cunku kaotik bolgede bolmelerden giden ilk kosulların yer-
ine her iterasyonda bir baska ilk kosul gelmektedir. Herhangi bir cekiciye dogru
yorungeler cekilmemektedir. Bu hacimdeki sabit kalıs sekil 3.3.5’da gorulmektedir.
3.3.6 Merkezsel Limit Kuramı
Merkezsel Limit Kuramı olasılık kuramında cok onemli bir kavramdır ve aslen
istatistik fizigin temelinde onemli rol oynar. Merkezsel Limit Kuramı ya da kısaca
MLK temelde, bagımsız ve ozdes olarak dagılmıs rastgele degiskenlerin, uygun bir
carpanla olceklendiginde, N → ∞ limitinde Gaussyan bir dagılım sergiledigini
soyler. Yani:
Y =1√N
N∑i=1
f(Xi) (3.3.16)
199
Sekil 3.26: Kosullar ile dolu bolmelerin zamanla degisimi.
200
Bu ifade N →∞ iken,
ρ(Y ) =1√
2πσ2exp
(− Y 2
2σ2
)(3.3.17)
seklinde olacaktır. Burada Xi rastgele degisken, f(Xi) uygun bir duzgun fonksiyon
ve σ2 varyanstır.
Sekil 3.27: Rastgele karıstırma kosulu altında Y ’ye karsı ρY (Y ).
Ornek olarak lojistik harita ele alınsın. A = 2 degeri icin harita,
f(X) = Xn+1 = 1− 2X2n
olacaktır. Bu durumda,
Y =1√N
N∑i=1
(Xi − 〈X〉) (3.3.18)
201
Sekil 3.28: Farklı A degerleri icin Gaussyan form.
202
olur ve halen kapalı olarak N →∞ iken,
ρ(Y ) =1√
2πσ2exp
(− Y 2
2σ2
)(3.3.19)
seklindedir. A = 2 durumu icin, bagımsız ve ozdes olarak dagıtılmıs rastgele
degisken kosulu yeter derecede kuvvetlice karıstırma42 kosulu ile degistirilirse, ve
〈X〉 = 0, σ2 = 1/2 durumunda,
ρ(Y ) =1√π
exp(−Y 2
)(3.3.20)
seklinde olacaktır. Denklem (3.3.20)’un Y ’ye karsı degisimi sekil 3.3.6’de gorulmektedir.
Burada N = 2× 106 ve ni = 2× 106’dır. Benzer olarak denklem (3.3.17)’in Y ’ye
karsı degisimi ise yine aynı N , ni, farklı A ve farklı σ degerleri icin sekil 3.3.6’de
gorulmektedir.(?)
3.3.7 Ilk Kosullara Zayıf Baglılık
Ilk kosullara kuvvetli baglılık konusunda ele alınan lojistik harita uzerinden
yola cıkılacaktır. Daha onceleri kaos gecis esiginin hemen altında ve hemen
ustunde ilk kosullara baglılık olgusu irdelenmistir. Burada ise kaos gecis esiginde
Ac degerinde bu irdeleme yapılacaktır. Bunun icin denklem (3.3.6) ve denklem
(3.3.7)’de gorulen duyarlılık fonksiyonuna bakılacak olursa, q ustel formda du-
yarlılık fonksiyonu su sekildedir:
ξ(t) = expq λqt (3.3.21)
Buradan acıkca su saptanabilir ki, sistemde λ = 0 ve λq > 0 ise ilk kosullara
zayıf duyarlılık, λ = 0 ve λq < 0 ise ilk kosullara zayıf duyarsızlık mevcuttur.
Sekil 3.3.7’da da goruldugu uzere, bu olgu Lyapunov ustelinin sıfıra temas ettigi
42Mixing.
203
eksende q indisli Lyapunov usteli ile belirlenmektedir.
Sekil 3.29: Lyapunov ustelinin 0 oldugu noktalarda zayıf baglılık.
Ilk kosullara zayıf baglılık olgusu Tsallis ve ark. (1997), Costa ve ark. (1997)
ve Baldovin ve ark. (2002) tarafından etraflıca irdelenmistir.(?) (?) (?) Bu
baglamda duyarlılık fonksiyonunun davranısına bakılacak olursa,
ξ(t) = expq λqt = [1 + (1− q)λqt]1/(1−q) (3.3.22)
fonksiyonuna ait sekil 3.3.7 incelenmelidir. Burada Ac = 1.401155... degeri icin ξ,
t’ye karsı cizdirilmistir. Burada egim 1/1− q seklindedir ve dolayısıyla,
qsen = 0.2445... (3.3.23)
degerindedir. Sonucta tipik olarak kaos gecis esiginde duyarlılık olcutu,
ξ = expqsen(λqsent); (qsen ≤ 1) (3.3.24)
204
Sekil 3.30: Lyapunov ustelinin 0 oldugu durumda duyarlılık fonksiyonu.
205
olacaktır.
3.4 Kaos Gecis Esigindeki Dusuk Boyutlu Dinamik Sistemler
3.4.1 Entropi Artıs Hızı
Daha onceleri yapılan simulasyon Lyapunov ustelinin sıfır oldugu durum icin
yani kaos gecis esiginde tekrar isletilsin. Iterasyon yine kesikli zaman aralıklarıdır
ve lojistik harita bu durumda t alt indisli olacaktır. A = 1.4011552, N = ω =
2.5 × 106 ve iterasyon sayısı t = 15115 alınarak cizilen ucentropi sekil 3.4.1’deki
gibidir.
Sekil 3.31: Kaos gecis esiginde farklı q degerleri icin entropi artısları.
Bu asamada ergodik olmayan sistemleri tanımlamakta fayda var. Ergodik ol-
mayan sistemler, izinli olan butun mikroskopik durumları dinamik olarak ziyaret
etmez. Baska bir deyisle, izinli oldugu bolgenin her yerinde yasamayı esit olarak
206
sevmeyen sistemlerdir. Dolayısıyla Boltzmann’ın molekuler kaos hipotezi bu sis-
temlerde dogrulanmaz. Kaos gecis esigi gibi standart Lyapunov ustelinin sıfır
oldugu kritik noktalarda dogru entropi fonksiyoneli icin onerilen form:(?)(?)(?)
Sq = kβ
1−ω∑
i=1
pqi
q − 1; (qε<) (3.4.1)
Bu ifade, Boltzmann-Gibbs entropisini q → 1 icin ozel bir durumu kılar. Daha
kapsamlıdır ve ekstensif olmayan entropi ya da Tsallis entropisi olarak anılır. Bu
entropi ifadesi esolasılık durumunda,
Sq = kβω(1−q) − 1
1− q= kβ lnq ω (3.4.2)
seklinde verilir. Bu entropi genel olarak su ozelliginden oturu ekstensif olmayan
entropi olarak bilinir:
Sq(A + B) = Sq(A) + Sq(B) + (1− q)Sq(A)Sq(B) (3.4.3)
Burada A ve B bagımsızdır. Ancak q∗ = 1− [1/γ] olmak uzere:
if Sq(A)ω = 2N ⇒ SBG = Nkβ ln 2 → SBG ∝ N
if ω ∼ Nγ ⇒ SBG ∼ ln N → SBG N
if ω ∼ Nγ ⇒ Sq = lnq ω ∼ Nγ(1−q) → Sq∗ ∝ N
(3.4.4)
Daha once gosterilen entropi artıs grafigi ucentropi icin cizilmistir. Bunlar
q = 0.1, q = 0.2445... ve q = 0.5 degeri icin cizilen Sq entropileridir. Bunlar
icin Kolmogorov entropisi sırasıyla ıraksamakta, kaybolmakta ve sonlu bir deger
almaktadırlar ve,
qsen = 0.2445... (3.4.5)
207
Sekil 3.32: Continental Havayolları ABD seferleri.
208
degerini alır.
3.4.2 Durulma Dinamigi
Sekil 3.33: Entropi artıs hızı icin ilgili algoritma.
Daha once yapılan simulasyon tekrar yapılacaktır. Yani, Lojistik harita icin bir
boyutlu [−1, 1] aralıgında faz uzayı ω tane kucuk kutuya bolunur. Daha sonra bu
kutulara N tane ilk kosul rastgele dagıtılır. Ancak onceleri belirtildigi gibi bu ilk
kosullar hicbir boskutu kalmayacak sekilde yeterince fazla sayıdadır. t = 0 anında
bu kosullar altında hersey biliniyor ve entropi yine sıfırdan baslıyor. Devamında
harita fonksiyonu isletilir ve t = 1 anında N bu faz uzayında rastgele bicimde
dagıtılır. Bu islem bircok iterasyon icin yapılır. Sonuc olarak kaos gecis esigi icin
uygun entropi artıs hızı,
K =1
tlim
ω→∞[Sq(t)− Sq(0)] (3.4.6)
olacaktır. Burada Boltzmann-Gibbs entropisi yerine genellestirilmis entropi ve
bunun icinde de ln ω yerine lnq ω kullanılmıstır. Esolasılık tanımı ile, topluluk
209
tarafından doldurulan hacmin zaman evrimi,
ω(t) =[ω(0)1−q + (1− q)Kqt
]1/(1−q)(3.4.7)
seklinde asimptotik olarak kuvvet yasasına uyan bir ifade elde edilir. Bunun icin
sekil 3.4.2’e bakılacak olursa, t’ye karsılık bolme basına ω(t) cizilmistir ve acıkca
bu kuvvet yasasına uyan buzulme gorulmektedir.(?)
Sekil 3.34: Kosullar ile dolu bolmelerin zamanla buzulmesi.
Eger ilk kosullar yeterince fazla degilse bir sure sonra ω’ya baglıolarak sat-
ure eder. Ancak ideal durumda; ki burada ideal durumdan kastedilen bolme
sayısının sonsuz olmasıdır; bu sonsuza kadar gidecektir. Haliyle ilk kosullar
arttırılırsa bu saturasyon azami olcude indirgenecektir. Ilk kosullar yeterince
fazla olmalıdır ki, baslangıcta faz uzayınıbir kapsama ve sonrasında buzulme
gozlenebilsin. Buradaki her bir periyodik salınımın karsılık geldigi nokta sekil
210
3.4.2’te gosterilmistir.(?) Buradan anlasıldıgı uzere, bu noktalar periyodik pencerelerin
acıldıgı noktaya karsılık gelmektedir.
Sekil 3.35: Periyodik salınımın karsılık geldigi periyodik pencereler.
Buzulmeyi gosteren egrinin egimi, 1/(1−qrel) = −0.73’tur ve buradan, durulma
icin q,
qrel = 2.41 (3.4.8)
bulunacaktır. Buradan da bu ilk kosulların q ustel olarak cekiciye dogru gidecegi
gorulur.
3.4.3 Merkezsel Limit Kuramı
Daha once bahsedilen MLK kapsamında lojistik harita kaos gecis esiginde in-
celenecek olursa, bilindigi gibi Ac = 1.401155... noktasında inceleme yapılmalıdır.
211
ρ(Y ) fonksiyonu β = 13 olmak uzere,
ρ(Y ) =[1 + β(q − 1)Y 2
]−1/(q−1)(3.4.9)
olacaktır.
Sekil 3.36: ρ(Y/σ) degisimindeki acık Gaussyan dagılım.
Sekil 3.4.3’de N = 215 ve ni = 16×106 degerleri icin yapılan deneye ait Y/σ’ya
karsılık ρ(Y/σ) fonksiyonu gorulmektedir. Burada da acıkca q = 1.75 degeri icin
q Gaussyan dagılım gorulmektedir.(?)
Ozet olarak y(0) = 1 baslangıc kosulu ile su sekilde paradigmatik bir diferan-
siyel denklem gozonune alınır ise,
dy
dx= ayq
212
Tablo 3.6: Sozkonusu genellestirilmis formalizme gore surecler.
x a y(x)Duragan hal dagılımı Ei −βqstat Zqstatp(Ei) (qstat ≥ 1)
Ilk kosullara duyarlılık t λqsen ξ = eλqsen tqsen (qsen ≤ 1)
O gozlenebilirinin tipik durulması t −1/τqrelΩ = e
−t/τqrelqrel (qrel ≥ 1)
bu denklemin cozumu su sekilde olacaktır:
y = expq(ax) ≡ [1 + (1− q)ax]1/(1−q)
Bu formalizmden yola cıkılarak, sırasıyla duragan hal dagılımı, ilk kosullara
baglılık O gozlenebiliri icin tipik durulma sureci tablo (3.6)’da gorulmektedir.
Eger bu paradigma ile entropi su sekilde tanımlanır ise,
Sq = kβ
1−ω∑
i=1
pqi
q − 1
ergodik olmayan sistemler icin de gecerli olacagı kuvvetle muhtemeldir. Bu du-
rumda doluluk formalizmi icin dagılım ve beraberinde bolusum fonksiyonu,
pi =expq (−βq(Ei − Uq))
Zq
Zq ≡ω∑
j=1
expq (−βq(Ej − Uq))
olacaktır.