Fizika Auditorne vježbe – 10

Titranje

Ivica Sorić

(Ivica.Soric@fesb.hr)

Kemijsko – tehnološki fakultet Sveučilišta u Splitu

Stručni studij kemijske tehnologije i materijala

Stručni studij prehrambene tehnologije

2

Ponavljanje

Materijalna točka mase m jednostavno titra oko položaja ravnoteže pod utjecajem elastične ili harmonijske sile.

Ta sila vraća tijelo u položaj ravnoteže i ima oblik gdje je k konstanta elastičnosti (npr. opruge), a s elongacija, tj. udaljenost tijela od položaja ravnoteže.

Jednadžba gibanja harmoničkog oscilatora ima oblik

Opće rješenje glasi: gdje je A amplituda, 0 početna faza, a kružna frekvencija.

Frekvencija titranja jednaka je recipročnoj vrijednosti titrajnog vremena (perioda titranja), a vrijede i sljedeće relacije:

xkF

0xktd

xdm

2

2

)tcos(Ax 0

k

m2Tf2

T

1f

3

Primjer 1 Blok mase m = 680 g pričvršćen je za oprugu konstante elastičnosti

k = 65 N/m. Ako se blok se izvuče na udaljenost x = 11 cm, s obzirom na ravnotežni položaj x = 0 cm i pusti iz stanja mirovanja u trenutku t = 0 s nađite:

a) Kolika je kružna frekvencija, frekvencija i period titranja?

b) Kolika je amplituda titranja?

c) Kolika je početna faza titranja?

d) Kolika je maksimalna brzina titranja i na kojoj udaljenosti od položaja ravnoteže se nalazi blok u trenutku maksimalne brzine?

e) Kolika je maksimalna akceleracija titranja?

s643,0f

1Ts556,1

2f

s777,9kgm

1

s

mkg588,95

kg68,0

m

N65

m

k

1

1

2

m11,0xA max

0xtj,0tsinodnosno,1tcos:jekadnajvecajebrzina

s

m075,1s777,9m11,0Av

tcosAv

1

max

2

10sin

AxtsinA:vrijedi0tza max

2

212

max

2

s

m515,10s777,9m11,0Aa

tsinAa

4

Primjer 2

U trenutku t = 0 s, elongacija bloka mase m pričvršćenog na oprugu konstante k, iznosi x(0) = -8,5 cm. U istom trenutku brzina iznosi v(0) = -0,920 m/s, a akceleracija a(0) = 47 m/s2. a) Kolika je kružna frekvencija sistema? b) Kolika je početna faza, a kolika amplituda titranja?

Rezultat: a) = 23,5 rad/s, b) 0 = 155o, A = 9,4 cm.

5

Primjer 3

Ako uteg mase 5 kg objesimo na oprugu, ona se produži za 49 cm. a) Kolika je konstantna opruge? b) Uteg izvučemo iz ravnotežnog položaja za 10 cm i pustimo da titra. Koliki je period, kružna frekvencija i frekvencija sistema? c) Gdje se nalazi uteg i kolika mu je brzina i akceleracija 0,35 s nakon početka titranja? Kolikom silom opruga djeluje na uteg u tom trenutku?

Rezultat: a) k = 100 N/m, b) T = 1,4 s, f = 0,71 s-1, = 4,5 s, c) x = 0 m, v = -0,45 m/s, a = 0 m/s2, F = 0 N.

6

Primjer 4

Uteg mase 0,1 kg visi na opruzi konstante k = 1,6 N/m (i zanemarive mase). Ako uteg izvučete 10 cm izvan položaja ravnoteže i pustite da titra (bez početne brzine), odredite: a) jednadžbu gibanja utega, b) period i frekvenciju titranja, c) elongaciju utega kao funkciju vremena, d) položaj, brzinu i akceleraciju utega u t = 1 s nakon početka titranja; e) riješite isti zadatak, ali uz drugačije početne uvjete, tj. neka je t = 0 s, x = 0 m i v = 0,4 m/s te za t = 0 s, x = 0,1 m i v = 0,2 m/s.

Rezultati: a) d2x/dt2 + 16s-2·x = 0, b) T = 1,57 s, f = 0,637 Hz, c) x(t) = 0,1cos(4s-1 ·t), d) x(t=1 s) = -6,5 cm, v(t=1 s) = 30,3 cm/s, a(t=1 s) = 105 cm/s2

7

Primjer 5

Na oprugu konstante elastičnosti k obješena je zdjelica s utegom. Period titranja koje nastane kad se zdjelica pomakne iz ravnotežnog položaja u vertikalnom smjeru i pusti iznosi T1=0.5 s. Ako se u zdjelicu doda još jedan uteg, period se promijeni i iznosi T2=0.6 s. Za koliko se izdužila opruga kad je dodan drugi uteg?

Rezultat: Δy=2.786 mm

m10786,24

T44,0

T

2m

m44,0

k

gmx

xkgm

m44,0m

m44,1mm

44,1T

T

m

mm

2

Tkmm

k

mm2T

2

Tkm

k

m2T

3

2

2

1

2

1

2

1

2

2

22

2

11

8

Ponavljanje – Prigušeno titranje

Prigušeno titranje: uz pretpostavku da je sila trenja proporcionalna brzini (Ftr = -bv), gdje je b konstanta trenja, jednadžba gibanja za prigušeno titranje je:

gdje je faktor prigušenja, a 02=k/m vlastita frekvencija neprigušenog

oscilatora.

Rješenje jednadžbe gibanja je:

uz

0xtd

xd2

td

xd0x

m

k

td

xd

m

b

td

xd 2

02

2

2

2

)tsin(Ae)t(x 0

t

22

0

9

Primjer 6

Uteg mase m=0,5 kg obješen o oprugu konstante elastičnosti k=32 N/m prigušeno titra. Odredite period titranja sustava, ako se za vrijeme unutar kojeg uteg napravi dva puna titraja, amplituda titranja smanji 20 puta.

Rezultat: T = 0,807 s

10

Ponavljanje – energija titranja

Pri titranju materijalne točke kinetička energija stalno prelazi u

potencijalnu, i obratno, i pri tom vrijede sljedeće relacije:

Ukupna energija je:

)t(cosA2

kkx

2

1E

)t(sinA2

mmv

2

1E

0

222

p

0

2222

k

2

pk kA2

1EEE

11

Primjer 7

Odredite masu tijela koje izvodi harmonijsko titranje amplitude A=0,2 m, frekvencije f=4 Hz, ako je ukupna energija tijela 7,7·10-2 J. U početnom trenutku tijelo se nalazi u položaju maksimalnog pomaka. Kroz koliko će vremena od početka titranja potencijalna energija tijela biti jednaka kinetičkoj?

Rezultat: m = 6.01 g

12

Ponavljanje - njihala

Kruto tijelo koje se može okretati oko horizonstalne osi koja ne prolazi kroz njegovo težište zove se fizičko njihalo.

Ako se takvo tijelo izvuče iz položaja ravnoteže za kut i prepusti samo sebi, ono se njiše pod utjecajem momenta težine.

Za mali kut titranje je harmoničko s periodom T gdje je I moment tromosti s obzirom na os, a d udaljenost osi rotacije od težišta tijela.

Sitno tijelo mase m obješeno o nit stalne duljine l, a zanemarive težine zove se matematičko njihalo.

Izvedemo li tijelo iz položaja ravnoteže u stranu za kut i prepustimo ga samom sebi, ono se njiše.

Za mali kut titranje je harmoničko s periodom

Reducirana duljina fizičkog njihala lr je duljina matematičkog njihala koje ima isti period kao (pripadno) fizičko njihalo

g

l2T

mgd

I2T

md

Ilr

13

Primjer 8

Za koliko moramo produljiti matematičko njihalo duljine l da bi ono imalo isti period titranja u dizalu koje se podiže akceleracijom a = g/2, kao u dizalu koje miruje.

Rezultat: l = 0,5 l

2

ll

l3l2l2

g

l

g3

l2l2

g3

ll22

2

gg

ll2T

:podizesekojedizaluu

g

l2T

:mirujekojedizaluu

14

Primjer 9

Matematičko njihalo mase m = 0,1 kg i duljine l = 1 m titra harmonijski. Ako se kut između niti njihala i vertikale može prikazati zakonom =0,25sin(t), nađite silu u niti u trenutku t = T/2 i t = T/4.

Rezultati: F(T/2) = 1,0423 N

F(T/4) = 0,9505 N

15

Primjer 10

Koliki je period fizičkog njihala u obliku homogenog štapa dužine L = 1 m, ako se njiše oko osi koja prolazi a) jednim njegovim krajem, b) kroz točku udaljenu za d = L/6 od sredine štapa, c) kroz točku udaljenu za d = L/4 od sredine štapa? d) kroz točku udaljenu za d = L/3 od sredine štapa? e) Koliko mora biti udaljena os od sredine štapa da bi njihalo titralo najvećim, a koliko da bi titralo najmanjim mogućim periodom?

Rezultati: a) T = 1,638 s, b) T = 1, 638 s, c) T = 1,532 s, d) T = 1,532 s e) d = 0 T = , d = T = Tmin= 1,524 s 6/3L

s638,1

s

m81,93

m122

g3

L22

mgL

mL6

31

2T

2

Lmg

2

LmmL

12

1

2mgd

I2T

:)aslucaj

2

2

2

2

16

Primjer 11 (domaći rad)

Ravni štap duljine l i mase m njiše se kao fizičko njihalo oko svojega kraja. Po štapu se može pomicati uteg mase . Na kojoj je udaljenosti r od osi njihanja potrebno učvrstiti uteg da to fizičko njihalo ima najkraći period.

Rezultat:

1

m3

41

2

mlr