fizika 2 - fesbadria.fesb.hr/~zmiletic/fizika 2/3. mehanicki valovi. superpozicija... · fizika 2...

Fizika 2

Predavanje 3

Mehanički valovi. Superpozicija valova

Dr. sc. Damir Lelas

([email protected],

[email protected] )

Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje

Razlikovni studiji (910/920/930/940/950)

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

2Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 3

Danas ćemo raditi:(V. Henč-Bartolić i P. Kulišić: “Valovi i optika”, poglavlje 2)

Mehanički valovi Matematički opis valnog gibanjaValna jednadžba jednodimenzionalnog vala

Izvod valne jednadžbe transverzalnog vala na žici brzina transverzalnog vala na žici

brzina longitudinalnog vala u plinu i tekućini

Valna fronta, valne zrake, Huygensov princip

Sferni i ravni val

Snaga i intenzitet harmoničkog vala

Polarizacija transverzalnog vala

Fourierova analiza valnog gibanja

Superpozicija, interferencija valova

3

Predavanje 2: Jednodimenzionalni val (opće rješenje)

Atxf )0,0(

Jednodimenzionalni val putuje na desno brzinom v. U trenutku t=0 oblik deformacije jef(x). Za kasnija vremena t, oblik deformacije se ne mijenja i deformacija u bilo kojojtočci P je y(x,t)=f(x-vt) za širenje vala na desno. Za širenje vala na lijevoy(x,t)=g(x+vt).

Attvtxf ),0(

)(),( vtxftxy )(),( vtxgtxy

Oblik funkcije koji opisuje širenje vala na desno duž + x osi

Oblik funkcije koji opisuje širenje vala na lijevo duž – x osi

Puls u trenutku t=o Puls u trenutku t

Razlikovni studiji, Fizika 2, Predavanje 3

4

Predavanje 2: Harmonički val – matematički zapis

kxtxv

ttx

),(- faza vala,

m

rad

vTv

f

vk

222- valni broj

brzina vala ili fazna brzina tj. brzina kojom se giba pojedina faza vala

fTkdt

dxv

dt

dxkkxt

dt

d

konstkxt

0)(

;


)sin()(sin)(sin),( xv

tAv

xtAttAtxy


Izvod valne jednadžba za transverzalni val na žici

Ako zategnuta žica (u smjeru osi x) ne titra, sile koje djeluju na jedan i drugi kraj se poništavaju.

Promatrajmo element žice duljine l napete silom F (napetost žice). Pretpostavimo da je amplituda vala tako mala da se element

žice moze samo malo otkloniti od osi x, pri prolasku vala. Masa djelića žice duljine :

Dm=Dx, =m/L – linijksa gustoća žice,

m- masa žice, L - duljina žice

Krećemo od II Newtonovog zakona, zanima nas jednadžba gibnja djelića žice Dm, :

Sila u smjeru osi x (za male amplitude vala):

Sila u smjeru osi y ( ):

12 FFam

D

0)cos(coscoscos12 ABABxxx FFFFFF

)()()sin(sin12

AB xxxx

ABAByyyx

y

x

yFtgtgFFFFF

1F

x

y

2F

xl D

xl D

1;sin tg


Izvod valne jednadžba za transverzalni val na žici (2)

Jednadžba gibnja djelića žice Dm=Dx, duž y-osi, je dakle:

yy Fma D

)()()sin(sin

AB xxxx

ABAByx

y

x

yFtgtgFFF

01

)(

lim

)(

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

02

2

2

2

D

DD

D

t

y

vx

y

t

y

Fx

y

x

y

x

x

y

x

y

t

y

F

x

y

x

yFF

t

yxma

AB

AB

xxxx

x

xxxx

yy

Fv Valna Jednadžba 0

12

2

22

2

t

y

vx

y

1F

x

y

2F

xl D

Fazna brzina


Sinusoidalni (harmonički) val

01

2

2

22

2

t

y

vx

y Valna jednadžba 1-dimenzionalnog vala

Posebno rješenje valne jednadžbe je sinusoidalni (harmonički) val.

brzina titranja čestice na mjestu x u trenutku t

akceleracija čestice na mjestu x u trenutku t

naglost promjene deformacije na mjestu x u trenutku t

),()sin(

),(),(),(

)cos(),(

),(

)sin(),(

22

2

2

txykxtAa

t

txy

t

txvtxa

kxtAt

txytxv

kxtAtxy

y

y

y

y

),()sin(),( 22

2

2

txykkxtAkx

txy

2

2

2

22

22

),(

),(v

kxtxy

ttxy


Valna jednadžba za dvodimenzionalni i trodimenzionalni val

Titranje elastične pravokutne membrane je primjer dvodimenzionalnog valnog gibanja.

Rješenje gornje jednadžbe je i daje kolika je deformacija točke x,y na membrani u trenutku t.

Valna jednadžba za trodimenzionalni val u homogenom i izotropnom sredstvu.

0),,(1),,(),,(

2

2

22

2

2

2

t

tyxu

vy

tyxu

x

tyxu

),,( tyxu

0),,,(1),,,(),,,(),,,(

2

2

22

2

2

2

2

2

t

tzyxu

vz

tzyxu

y

tzyxu

x

tzyxu

01

2

2

2

D

t

u

vu

D– Laplace-ov operatorza 3-dimenzije


Širenja valova u različitim sredinama

Brzina širenja vala (fazna brzina) bilo kojeg mehaničkog vala, transverzalnog ili longitudinalnog, ovisi o elastičnosti (za pohraniti potencijalnu energiju) i tromosti sredine (za pohraniti kinetičku energiju) u kojoj se val širi.

Dakle, možemo uopčiti izraz za brzinu transverzalnog vala na napetoj žici, pišući:

Ako je sredstvo zrak i val je longitudinalan (val zvuka), možemo pretpostaviti da je tromost sredine (što odgovara veličini kod valova na žici) volumna gustoća zraka .

Kako zvuk prolazi kroz zrak, potencijalna energija je pridružena periodičkim kompresijama i ekspanzijama malih volumena zraka.

Razumno je dakle pretpostaviti da će volumni modul elastičnosti zraka,

, igrati ulogu elastičnog svojstva sredine u gornjem izrazu.

sredinetromost

sredinesvojstva elasticnav

VV

pB

/D

D


Brzine širenja valova u različitim sredinama

Sličnim razmatranjem kao kod žice, polazeći od Newtonovog zakona gibanja, dolazi se do valne jednadžbe oblika iz koje se onda zaključuje za brzine širenja vala u sredstvu:

Longitudinalni valovi

u plinovima


u čvrstom tijelu


u tekućinama

Transverzalni valovi

na žici

Fv

Ev

Bv

M

RTpv

sredinetromost

sredinesvojstva elasticnav

01

2

2

22

2

t

y

vx

y

(štapa) gustoca volumna-

tielasticnos modul Youngov

3

2

m

kg

m

NE

gustoca linijska-

žicenapetost

m

kg

NF

tekucinegustoca-

tielasticnos modul volumni2

D

D

VV

p

m

NB

plina tielasticnos modul volumni2

m

NpB


Energija harmoničkog vala

Dok se val širi kroz sredstvo, odvija se prijenos energije od izvora vala u smjeru širenja vala.

Ukupna energija čestice koja harmonički titra:

Razmotrimo ukupnu energiju u volumenu V omeđenom

površinom S i duljinom koju val prevali za vrijeme Dt (V=S vDt )

222

2

1

2

1AmkAEEE pk

s

tvD

v

kgmm

nVAVnAmE

DDD

3

2222 cestica broj;

2

1

2

1

Ukupna mehanička energija u volumenu DV jednak je sumi energija svih čestica u volumenu DV koje su pobuđene na titranje zbog vala koji se širi.

n-broj čestica po jedinici volumena, m-masa pojedine čestice

m

k


Energija harmoničkog vala (2)

Gustoća energije, tj. energija po jedinici volumena je:

Snaga, energija u jedinici vremena, prenesna kroz površinu S jednaka je:

Intenzitet (I) – gustoća energijskog toka, energija koju val prenese u jedinici vremena kroz jedinicu površine okomitu na smjer širenja vala:

s

tvD

v

energijegustoca 2

1 22

3

D

D

A

V

E

m

Jw

SvA

s

mvmS

m

JwWP

22

2

3

2

1P

vremenajediniciu prenesena energija- snaga srednja

vAwvS

P

tS

E

sm

JI 22

2 2

1

D

D


Valne fronte i valne zrake

U prirodi se najčešće javljaju trodimenzionalni valovi koji se izizvora vala šire po čitavom prostoru, a širenje vala pobuđuje česticesredstva na titranje.

Geometrijsko mjesto točaka u prostoru koje u danom trenutku imaisto mehaničko stanje, (pomak od ravnotežnog položaja i brzinu(isto stanje titranja)), tj. istu fazu formira plohu u prostoru kojuzovemo valna fronta.

U homogenom i izotropnom prostoru val se širi duž pravca koji suokomiti na valnu frontu.

Pravci normalni na valnu frontu zovu se valne zrake.

Pobuđivanje čestica na titranje kako se val širi može se predočitipomicanjem valnih fronta u smjeru valnih zraka.

Kad se val širi samo duž jednog pravca tada su valne fronte ravninea valne zrake paralelni pravci okomiti na valne fronte, takav val sezove ravni val.


Valne fronte i valne zrake (2)

Ako se val širi iz točkastog izvora u svim smjerovima u homogenomi izotropnom prostoru, valne fronte su sfere (kugline plohe), a valnezrake su pravci koji radijalno izlaze iz izvora vala.

Takav val se zove sferni val.

Sferni se val na velikim udaljenostima od izvora (polumjer sferevelik) može predstaviti u ograničenom dijelu prostora ravnimvalom.

r

ravni val

sferni val


Huygensov principPromatramo li ravni val koji na površini vode nailazi na pukotinu čija je širina manja od valneduljine, iza pukotine ćemo opaziti kuglasti val.

Pukotina se ponaša kao izvor novog kuglastog vala.

Christian Huygens (1629-1695) je postavio opći princip koji se može primijeniti na širenjevalova u nekom sredstvu: svaka točka valne fronte je točkasti izvor sfernog (kuglastog)sekundarnog vala; ovojnica (anvelopa) svih sekundarnih kuglastih valova je nova valna fronta.

valne fronte

valne zrake

sekundarni sferni valovi

15


Huygensov princip (2)

Ako je pukotina široka, mnogo šira od valne duljine, tada iz dijelavalne fronte koja dođe na pukotinu nastaje mnogo sekundarnihvalova čijom superpozicijom iza pukotine nastaju paralelne valnefronte – dobivamo geometrijsku sliku pukotine.

Ako je pukotina reda veličine valne duljine, valovi se ogibaju izapukotine, ulaze u prostor “geometrijske sjene”, to više što jepukotina manja.

U prostoru iza pukotine postoje mjesta gdje je titranjemaksimalno (tzv. maksimumi ogiba) i mjesta gdje titranja nema(minimumi ogiba).

Ogib (difrakcija) tipična je valna pojava i dokaz valne prirodeneke pojave.

Ogibom se upravo i dokazala valna priroda svjetlosti (detaljnije ukasnijim predavanjima...).

16


Sferni val

Izvor vala često možemo smatrati točkastim.

Ako se valovi iz točkastog izvora vala šire kroz homogeno iizotropno sredstvo onda govorimo o sfernim valovima, a valnefronte (plohe) su sfere (kugline plohe).

• Ako izvor sfernog vala emitira stalnusnagu iznosa P u okolni prostor onda jeintenzitet vala na udaljenosti r odizvora vala jednak I = P/4r2.• Snaga P je određena snagom izvora,te se ista snaga raspodjeluje na većojili manjoj površini sfere ovisno onjenom polumjeru.

P1(=I14r12) = P2(=I2 4r2

2)


Sferni val (2)

)sin(),( 0 krtr

Atr

• Dakle, snaga izvora se raspoređuje namanjoj ili većoj površini sfere:

P1(=I14r12) = P2(=I2 4r2

2)

• Očito intenzitet mora opadati skvadratom udaljenosti od izvora vala,da ne bi bio narušen zakon očuvanjaenergije.• Kako je intenzitet razmjeran kvadratuamplitude (stranica 12), slijedi da kodsfernog vala amplituda opada sudaljenošću kao funkcija 1/r.

Jednadžba sfernog (kuglastog) vala na udaljenosti r od izvora koji harmonički titra, y(t) = sin(t + 0)


Polarizacija mehaničkih valovaU ravnini okomitoj na pravac širenja transverzalnog vala imabeskonačno mnogo pravaca duž kojih djelići sredstva moguizvoditi titranje.Longitudinalni val se bitno razlikuje od transverzalnog po tomešto djelići sredstva mogu titrati samo u jednom smjeru dužsmjera širenja vala.Stoga ima smisla govoriti samo o polarizaciji transverzalnihvalova.Vektor elongacije transverzalnog vala može se prikazati kaosuperpozicija dvaju međusobno okomitih vektora, dužsmjerova definiranih s jediničnim vektorima , koji sumeđusobno okomiti i okomiti na os x-smjer širenja vala.

)sin()(),( 2211 kxtnAnAtxu

21,nn


Polarizacija mehaničkih valova (2)

Val je linearno polariziran ako se titranje odvija uvijek dužistog pravca.Val je cirkularno (kružno) polariziran ako se titranje odvija časduž jednog čas duž drugog pravca opisujući kružnicu uravnini okomitoj na smjer širenja vala.Kružno polariziran val se može prikazati superpozicijom dvajulinearno polariziranih jednostavnih harmoničkih valovajednakih amplituda i faza, koji titraju duž dva međusobnookomita pravca a pomaknuti su u fazi za /2:

21 )2

sin()sin(),( nkxtAnkxtAtxu


Ilustracija polarizacije

Polarizacija vala definira pravac titranja čestica sredstva kroz koje se val širi. Ako čestice sredstva titraju uvijek duž istog smjera kaže se da je val polariziran.

)sin(),( kztAtzx

horizontalnopolariziran val

vertikalnopolariziran val

x

y yz z

x

)sin(),( kztAtzy



Francuski fizičar Joseph Fourier je našao lijepu matematičku tehniku kako se bilo koji valni oblik dade izraziti sumom harmoničkih valova.

Svaka periodična funkcija vremena f(t) s periodom T može prikazati kao zbroj harmoničkih titranja frekvencije f, 2f, 3f, ..., nf.

Valno gibanje je također periodična funkcija u vremenu i prostoru te se i na periodičnu funkciju f(t-x/v) može primijeniti Fourierova analiza:

U praksi se amplitude (an i bn) članova višeg reda obično sve više

smanjuju tako da se Fourierov red često sastoji od samo nekoliko prvih članova.

Rastavljanje nesinusne periodične funkcije u njezine harmoničke komponente zove se i spektralna analiza.

)(sin)(cos2

)(11

0

t

vxnb

t

vxna

a

t

vxf

n

n

n

n



Svako valno gibanje se može predočiti odgovarajućom superpozicijom jednostavnih harmoničkih valova.

Ako umjesto zbroja po diskretnom frekventnom spektru integriramo harmoničke valove po svim frekvencijama u području od 1 do 2,

tj. po kontinuiranom području frekvencija, dobit ćemo grupu valova ili, kako se često naziva, valni paket (puls):

Dobiveno je valno gibanje ograničeno u intervalu od Dx i kako vrijeme raste, širi se određenom brzinom kroz prostor.

Što je pritom interval frekvencije D veći, to je širina valnog paketa manja.

dv

xtAtxu )(sin)(),(

2

1


Pravokutni val – Fourierov red

Slika desno ilustrirakako se pravokutni valmože izgraditi sumomharmoničkih valova, čijaje frekvencija neparnivišekratnik osnovnefrekvencije f.


Pitanja za provjeru znanja (mehanički valovi – osnovne osobine)

1. Što je val? Navedite nekoliko podjela valova? Napišite jednadžbu transverzalnog vala na žici i njeno rješenje. Što je fazna brzina vala? Koliko iznose brzina i akceleracija pojedine čestice sredstva? Što su valna fronta i valna zraka? (obavezno)

2. Kako glasi opći matematički zapis vala koji se širi nadesno, odnosno na lijevo

3. Objasnite izraze za brzine širenja:a) transverzalnih poremećaja na zategnutom elastičnom užetu (žici), b) longitudinalnih poremećaja u štapu,c) longitudinalnih poremećaja u plinu,d) longitudinalnih poremećaja u tekućini.

4. Izvedite i objasnite valnu jednadžbu transverzalnog vala na žici. Navedite i objasnite njeno rješenje.

5. Nađite izraze za snagu i intenzitet harmničkog vala.

6. Kako glasi Huygensov princip.

7. Što je to polarizacija vala.

8. Objasnite Fourierovu analizu valnog gibanja.


Superpozicija valova - definicija

Princip superpozicije: U svakoj točki medija na mjestu preklapanja valova ukupna elongacija jednaka je vektorskom zbroju elongacija koje bi imao svaki val za sebe kad ne bi bilo drugog vala.

Svaki val širi se kroz sredstvo tako kao da na danom mjestu i određenom trenutku nikakvo drugo valno gibanje ne postoji.

Matematički: Ako su u1(x,t) i u2(x,t) rješenja valne jednadžbe, tada je i bilo koja linearna kombinacija c1u1(x,t)+c2u2(x,t) također rješenje (posljedica činjenice da je valna jednadžba linearna i homogena).

Fizikalno: valovi koji se preklapaju zbrajaju se da bi proizveli rezultantni val; valovi koji se preklapaju ne utječu na gibanje jedan na drugoga.


Superpozicija valova (ilustracija)

Dva pulsna vala na užetu gibaju sesuprotnim smjerovima.Kad se pulsovi preklope rezultantnaelongacija jednaka je vektorskomzbroju elongacija koje bi proizveosvaki valni puls za sebe kad ne bi bilodrugog pulsa.

Nakon što su prošli kroz mjestopreklapanja pulsovi se daljenastavljaju gibati kao da nema drugogpulsa.


Superpozicija valova – interferencijaSuperpozicija dvaju jednodimenzionalnih valova koji se šire u smjeru + x-osi, jednake amplitude i frekvencije i konstantne razlike u fazi .

)2

sin(2

cos2),(),(),( 21

tkxAtxutxutxu

Amplituda

Oscilirajući član

- fazni pomak Amplituda Tip interferencije

n2, n=0,1,2,3,... 2A Konstruktivna

(2n+1), n=0,1,2,3,... 0 Destruktivna

)sin(),(1 tkxAtxu )sin(),(2 tkxAtxu

2cos

2sin2sinsin


Superpozicija valova – interferencija Dva identična harmonijska vala putuju duž x-osi. Njihovom superpozicijom nastaje rezultantni val, koji se vidi na užetu (donja slika) za tri različite razlike u fazi: 0, , 2/3

- Efekti interferencije će biti uočljivi ako su valovi koheretni,tj. imajujednake frekvencije i razliku u fazi koja je konstantna (ne mijenja setijekom vremena).- U interferenciji se očituje najvažnije svojstvo svih valnih gibanja (nesamo mehaničkih).


11 sinA

22 sinA

22 cosA 11 cosA

Interferencija valova – fazorski prikazU točki P dolazi do preklapanja valova iz izvora S1 i S2, četica sredstva u točki P izvodi harmonijsko titranje koje je rezultat superpozicije dvaju titranja koji izazivaju valovi iz ovih dvaju izvora.

Pomoću fazorskog prikaza lako se nalazi rezultantno gibanja točke P koja je udaljena od izvora prvog vala S1 za x1, a od izvora drugog vala S2 za x2, izvori su koherentni.

)cos()cos(),(

)cos()cos(),(

22222

11111

tAkxtAtPu

tAkxtAtPu

),(),(),( 21 tPutPutPu


Konstruktivna interferencija (A=A1+A2), za , n=0,1,2

Interferencija valovaInterferencija opisuje situaciju kad dolazi do preklapanja dvaju ili više valova u prostoru.

Rezultantna elongacija u bilo kojoj točci, u bilo kojem trenutku, se dobije vektorskim zbrajanjem trenutnih pomaka koje bi proizveo svaki val za sebe kad ne bi bilo drugih valova.

Iz izvora S1 i izvora S2 šire se dva koherentna harmonijska.U točki P elongacija je prema principu superpozicije jednka:

)cos()cos(),(),( 22112211 kxtAkxtAtxutxuurez

)cos( tAurez

)(2

cos2 122122

12 xxAAAAA

2211

2211

coscos

sinsin

AA

AAarctg

11 kx22 kx

nxx 12

Destruktivna interferencija (A=A1-A2), za , n=0,1,22)12(12

nxx

fizika 2 - fesbadria.fesb.hr/~zmiletic/fizika 2/3. mehanicki valovi. superpozicija... · fizika 2...

Documents