fizik ii ders notlari

7/25/2019 Fizik II Ders Notlari

http://slidepdf.com/reader/full/fizik-ii-ders-notlari 1/351

GENEL FİZİK II

DERS NOTLARI

Hazırlayanlar:

Prof. Dr. Mustafa POLAT

. .



-

Elektrik Yükü

Bu bölümde, maddenin özelliklerinden birisi olan “elektrik yükü” ile

tanışacağız.

omu mey ana ge ren e e ron, pro on ve n ron nun y er nöğreneceğiz ve devamında da şu konulara değineceğiz:

• Elektrik yükünün çeşitleri• İki ük arasındaki kuvvet Coulomb asası•

Yükün kuantalığı

• Yükün korunumu

(21-1)



Bir kumaş parçası ile ovuşturulan kehribar ın tüy gibihafif nesneleri çektiği antik çağlardan beri bilinen bir

şeydir. Bu olgu, maddenin yeni bir özelliği olan“ ” . ,elektrik yükünün varlığını göstermiştir: pozitif (renk

“ ”.ve “negatif” isimleri Benjamin Franklin taraf ındanverilmiş isimlerdir.

Cam bir çubuğu ipek bir kumaşla ovuşturduğumuzda,

ikisi de elektrik ükü kazanır. Cam ubu un kazandı ı

yükün işareti pozitif olarak tanımlanır.

,

ovuşturduğumuzda, ikisi de elektrik yükü kazanır.Plastik ubu un kazandı ı ükün i areti ne atif olarak tanımlanır.

(21-2)



Yüklü cisimlerle yapılan bir çok deneysel çalışmalardanelde edilen sonuçlar şu şekilde özetlenebilir:

1. nı i aretli ükler her ikisi de ozitif ve a ne atif birbirlerini iterler (Şekil-a).

. ,negatif) birbirlerini çekerler (Şekil-b).

Yükünün işareti bilinen bir cisimle, yükünün işareti

bilinmeyen cisim arasındaki etkileşme kuvvetininyönünden yararlanarak, bilinmeyen cismin yükününişaretini belirleyebiliriz.

Aynı işaretli yükler birbirini iter.

Zıt işaretli yükler birbirini çeker.

(21-3)



n em:

İ pek bir kumaşla ovuşturulan cam çubuğun pozitif yüklü olduğunu biliyoruz. Bu çubuğu, yükükaybolmayacak ve etraf ında serbestçe dönebilecek

şe e ortasın an asa ım. onra a, yü ünü bilmediğimiz bir cismi cam çubuğa doğru

.

Mümkün olan iki durum söz konusudur:Şekil- a: İki cisim birbirini iter. Bu durumda

bilinmeyen yük pozitif işaretlidir.

Şekil- b: İki cisim birbirini çeker. Bu durumda bilinme en ük ne atif i aretlidir.

(21-4)



Benjamin Franklin zamanında (18. yy) elektrik ,

olduğu kabul ediliyordu. 20. yy başlar ında ErnestRutherford’ un atomun yapısı üzerinde yürüttüğüaraştırmalar, maddenin ne şekilde meydanageldiğini ortaya koydu ve bileşenlerinin sahip

olduklar ı yüklerin belirlenmesini sağladı.Atomlar elektronlardan ve çekirdekten oluşur.Çekirdeğin kendisi de, proton ve nötronlardan

oluşur.

Atomun çapı 510-10 m.- .

Elektronlar negatif yüklü, protonlar pozitif yüklü, nötronlar ise yüksüzdür.

Bu durumda elektrik yükü, atomu oluşturan parçacıklar ın (elektron, proton,

nötron) temel bir özelliğidir.

(21-5)



Nötron (n) : Kütle m = 1.67510-27 kg; Yük q = 0- -. .Elektron (e) : Kütle m = 9.1110-31 kg; Yük q = -1.60210-19 C

ot- : e tron ve protonun yü er ç n, sırasıy a, -e ve +esembolleri kullanılır. Bunlar temel yük olarak bilinirler .

Not-2: Bir atomdaki elektron ve proton sayılar ı eşitse, atom elektriksel

olarak “nötr” olarak adlandır ılır. Bu sayı “atom numarası (Z)” dır.Not-3: Bir atomdaki proton ve nötron sayılar ının toplamı ise“kütle numarası (A)” dır.

Gösterim: Z = 92 = elektron/proton sayısı23592 U

= =pro on n ron sayısı

(21-6)



Yükün Quantalanması :

Bir nesnenin toplam yükü, o nesnedeki temel parçacıklar ın sayısına

(elektron, proton, nötron) bağlıdır. Elektron sayısı , proton sayısıe

N

p n , 0Q eN eN N e N N ne

olur. Burada, ve tamsayı

dı

r. Bu, net yükün elektron p en N N

yükünün tamsayı katlar ı kadar olacağını gösterir. Yani yük dır.quantalı

Np

e

Nn

(21-7)



Yükün Korunumu:

Her ikisi de yüksüz olan cam bir çubuk ile ipek bir .

ovuşturduğumuzda, cam çubuk pozitif yüklenir.nı anda to lam ük sıf ır olacak ekilde i ek

kumaş da eşit miktarda negatif olarak yüklenir.Buradan, ovuşturma işleminin herhangi bir yük oluşturmadığı ancak, birinden diğerine yük ak ışı

sağladı

ğı

anlaşı

lı

r. Yükün korunumu şöyleze ene r: er ang r ş em n nces n etoplam yük, işlemden sonraki toplam yüke eşittir ”.

Önceki Net Yük = Sonraki Net Yük

i f

(21-8)



İletkenler ve Yalıtkanlar :

malzemelerdir. Bak ır, aliminyum, civa bunlardan bazılar ıdır.

,

malzemelerdir. Plastik, lastik, cam, seramik bunlardan bazı

lar ı

dı

r.letkenlerde, atomun son yörüngesindeki bir veya daha fazla elektron

kolayca atomdan ayr ılı p serbest hale gelebilir ve iletken içinde hareket

eder. Bunlara iletim elektronlar ı diyoruz. İletim elektronlar ı geridei on dedi imiz ozitif üklü atomlar bırak ırlar. İletkenin i inde sadece

iletim elektronlar ı serbestçe hareket edebilir, pozitif yüklü iyonlar ın

. .

(21-9)



Bir İletkeni İndüksi on Yolu la Yüklemek :Şekil- ' da bir iletken yaltkan bir iple asılmıştır ve başlangıçta

üksüzdür. Ne atif üklü lastik ubu u ava a akla tıralım.

a

Plastik yalıtkandır ve üzerindeki negatif yükler hareketsizdir.

Ancak iletken i indeki ne atif ükleri sa uca do ru itecektir.

İletkenin sol ucunda elektron boşluğu meydana geldinden pozitif

- '.

oluşturulmuş, böylece elektronlar ın toprağa akması sağlanmıştır.

,

iletken çubuk pozitif yüklenmiş olacaktır.

- ,

yükü ile ters işaretlidir. .-

(21-10)



Coulomb Yasası :

1 2Aralar ındaki mesafe olan, ve yükleri olsun. Bu yükler

birbirlerine, aşağıda özellikleri verilen kuvvetler uygularlar.

r q q

Kuvvetler, yükleri birleştiren doğru boyuncadır.

Yükler

1.

2. aynı işaretliyse, kuvvet iticidir.

Yükler zıt işaretliyse, kuvvet çekicidir. Kuvvetin büyüklüğü, Coulomb Yasası olarak bilinen3.

1 2 q q

F k

1 2

2

0

olmak üzere, eşitliği ile verilir.1

4

q qk F k

r

r 0ura a ,

-12 2 2

oş u un veya avanın e e tr se geç rgen

olarak bilinir ve değeri 8.85 10 N m /C dir.

Coulomb kuvveti ve Newton'un gravitasyonel kuvveti aynı1 22

m mF G

r . ,

bir kuvvettir. Buna kar şın Coulomb kuvveti, yüklerin işaretine

.

(21-11)



Hidrojen atomunda çekirdekteki proton ile yörüngedeki elektron arasındakiÖrnek :

uzaklık ortalama 5.3 10 m' dir. Bunlar arasındaki elektriksel ve gravitasyonel

kuvvetlerin büyüklüklerini bulunuz.

2

Coulomb yasasından, bu iki yük arasındaki kuvvetin büyüklüğü:

9 8

22 111.6 109 10 8.2 10 N.5.3 10

E eF k r

İki kütle arasındaki çekim kuvvetinin büyüklüğü, Newton' un gravitasyon

asasından:

2

e p

g

m mF G

31 27

11 47

2

9.11 10 1.67 106.7 10 3.6 10 N.

.

Atomik boyutta, parçacıklar arasındaki kütle çekim kuvveti önemsenmeyecek

düzeyde küçüktür.

(21-12)

Ü İ



Coulomb Yasası ve Üstüste Binme İlkesi:r y gru unun e r r y e uygu a ı ı ne uvve ,

tüm yüklerin uyguladığı kuvvetlerin vektörel toplamınaeşittir.

2 3 1 1

1 21 31

Örneğin, ve yükleri taraf ından yüküne uygulanan net kuvvet ( ),

q q q F

F F F

21 31 2 3 1ile verilir. Burada, ve sırasıyla ve yüklerinin yüküneF F q q q

1.

durumunda ise net kuvvet,

1 21 31 41 1 12... n i

iF F F F F F

e a e e r.

1 12 14F F F

(21-13)



Şekildeki gibi üç nokta yük, dik kenarlar ınınÖrnek :

1 3 2

uzunluğu 10 cm olan ikizkenar üçgenin köşelerine

yerleştirilmiştir. 5 C ve 2 C olduğuna

a =

q = q = q =

3göre yüküne etkiyen net kuvveti bulunuz.q

1 2 3, büyüklükleri:6 6

1 3 913 2 2

5 10 5 109 10 11 N

2 0.1

q qF k

6 6

2 3 92 10 5 10q q

23 22

0.1ˆ

a

ˆ ˆ ˆ 13 23net

2 2 1 o

. .

7.91.1 7.9 8 N ; tan =98Fnet

.

(21-14)

Ş kild ki ibi ü k ük k i ü iÖ k



Şekildeki gibi üç nokta yük, -ekseni üzerine

'

x

= =

Örnek :

1

2 3

. ,

C'luk yük ise orijinde bulunmaktadı

r. noktaq = 6 q - ,

etkiyen net kuvvet sıf ır olsun?

1 2 3ve yükleri aynı işaretli olduğu için, işareti ne olursa olsun yükü bunlar ın arasına konulmalıdır. Bu durumda:q q q

1 3 2 3

13 232 2

;q q q q

F k F k x

1 2 213 23 2 2

3 8 8 0q q

F F x x

0.775

x x

x

m

bulunur.

(21-15)



2Aynı noktadan asılmış, kütleleri 3 10 kg olanÖrnek :

o

yüklü iki özdeş küre şekildeki gibi dengededirler. plerin

boyu 15 cm ve 5 olduğuna göre, kürelerin yükü nedir?=

.

dengede olduğuna göre:

2 sin ; cos

2

qT k T mg

a

2

2 22 tan 2

qk

a mg a

8

an .q

mg k

.

bulunur.

(21-16)

K l l i kl i d 2 lQ QÖ k



1 2Kütleleri , yükleri de ve 2 olanm q = Q q = QÖrnek :

olarak ası

lı

halde dengededirler. Yükleri ası

lı

olduklar ı

1 2

çok küçüktür. Bu iki açı arasındaki ilişkiyi ve yükler arasındaki mesafeyi bulunuz.

1 11 1

1 1

sin yükü için tancos

E E T F F q

T mg mg

1 22 2

22

sin

tanyükü için cos

E E T F F

q mT m

1 11 1 1

sin 2 sin 2 tan tan

r L r r L L

2 21/32 22 4Q r kQ L

E 1 2

2

bulunur.

r L mg

(21-17)

Ö



Yükleri olan iki özdeş parçacık, aralar ındaki mesafe olacak + q d Örnek : - .

üçüncü bir parçacı

k ise, iki yükün ortası

ndan dik olarak geç

en eksen, .

bu eksen üzerinde rahatça hareket edebilmektedir. durmunda, Q x d

. .

3/22 2 2 2

, .

2

yüküne etkiyen geri çağı

r ı

cı

kuvvet: 2 sin

qQ kqQx

Q F k

2 16kqQx kqQ x d F

x

3 2( / 2) 1 (2 / )d x d

3

d

16kqQ

(21-18)

Ö



Yükleri olan dört özdeş parçacık, -düzleminde+ q xyÖrnek :u unan, enar uzun u u o an r aren n şe er ne şe e

gibi sabitlenmişlerdir. yüküne sahip başka bir parçacık ise,Qaren n mer ez n en o ara geçen -e sen zer n e, are

merkezinden kadar uzaktaki bir noktaya konuluyor. yükü

z

z Q

.

2 2+ yüklerinden birisinin yüküne uyguladığı çekici kuvvet:

qQq Q F k

2 22 2 / 2 / 2 / 2a L L L

2 2 cos

z

z a

3/22 2

ˆ 4 cos k net net

q z

F F F z a

bulunur.

(21-19)



-

Elektrik AlanlarBu bölümde durgun yüklerin oluşturduğu elektrik alan ( ) kavramıyla E

tanışacağız. Yüklerin durgun olması halinde, yükler arasındakietkileşmeleri belirlemek için Coulomb yasası yeterlidir. Yükler durguno masay ı, u et eşme er e r eme ç n aş a a ternat yo ar u magerekirdi. Bu konu kapsamında şu konulara değinilecektir:

• Nokta yükün oluşturduğu elektrik alanın bulunması

• Nokta ük ru larının ve sürekli ük da ılımlarının olu turdu u

elektrik alanların bulunması

• Elektrik alan içindeki yüke etkiyen kuvvetin bulunması

• “elektrik dipol” kavramını öğrenmek. Düzgün elektrik alan içindekidipole etkiyen kuvveti, bu kuvvetin oluşturduğu torku ve dipolün

po ans ye ener s n e r eme .

(22-1)



Aralar ında r mesafesi olan q1 ve q2 nokta yükleri arasındaki etkileşmekuvveti Coulomb yasasına göre,

1 2 1 2

2 2

1

4

q q q q F k

r r

ba ıntısına sahi tir. okta ükler arasında herhan i bir temas olmadı ı

halde, yüklerin birbirlerine kuvvet uygulamalar ını nasıl açıklayabiliriz? q1

yükü, yak ınlar ında q2 yükünün bulunduğunu nerden biliyor? Bu noktaancak, yeni bir kavram olan “elektrik alan” vektörü ile aydınlatılabilir. q1

nokta yükü q2 üzerine doğrudan kuvvet uygulamaz. Bunun yerine, q2’ ninu un u u no a a r e e r a an o uş urur ve uvve u a an uygu ar.

1 , 2

(22-2)

El k ik Al V k ö ü ü T



Elektrik Alan Vektörünün Tanımı :Yandaki pozitif yüklü çubuğu ele alalım. Çubuğu

evrele en uza daki tüm noktalar ında elektrik P

alan vektörü ( ) şöyle bulunur: E

0no ası

na r es y oq. poz0

nur. Yüklü çubuğun test yüküne uyguladığı q F 2.

kuvveti ölçülür.

N/C F

.

0

Görüldü ü ibi ile a nı öndedir.

q

F F

E

0 test yükü, çubuktaki yük qNot: dağılımını0q

.

(22-3)



Nokta Yükün Elektrik Alan :Şekildeki pozitif yükünü ele alalım.q

0en a ar uza a es y ne

etkiyen kuvvet ve ' ın bulunduğu

r q

q

noktadaki elektrik alan:

0

2

q q F k

r

0q q q F

2 2

0 0q q r r

e ver r. , y n en ışar ı o ru ur. no a y

n if l ı k r l r

q q

(22-4)



Nokta Yük Grubunun Oluşturduğu Elektrik Alan:

r no ta y gru unun o uştur u u net e e tr a an , er r y n

oluşturduğu elektrik alanlar ın vektörel toplamına eşittir.Yukar ıda verilen nokta yük grubunun orijinde oluşturduğu elektrik alan,

1 2 3

olur. Burada ve sırası la ve üklerinin ori inde E E E

oluşturduklar ı elektrik alan vektörleridir.

(22-5)

Ş kild ö t ildiği ibi 7 0 C' l k bi ükÖ k



1Şekilde gösterildiği gibi, 7.0 C' luk bir yük q = Örnek :

2orijinde ve 5.0 C' luk diğer bir yük ise 0.3 m

noktasındadır. Koordinatlar ı (0;0.4) olan noktasındaki

q = x =

P

elektrik alanını bulunuz.

1 2

elektrik alanlar ın büyüklükleri, sırasıyla,

1 25 51 22 2

1 2

3.9 10 N / C ; 1.8 10 N / C P P

q q E k E k

r r

değerlerine sahiptir. Buradan da noktasındaki net elekt P

5 5 5

rik alan,

ˆ ˆ

1 2

5 5

. . .

ˆ ˆ1.08 10 i + 2.46 10 j N / C E

51 o

5

. 2.46 10cos 0.6 tan ( ) 66.3

. bulunur.(22-6)



Yükü kütl i l bi kÖrnek :



Yükü ve kütlesi olan bir parçacık,q mÖrnek :şekilde gösterildiği gibi, -ekseni yönünde+ x

z

hızsız serbest bırak ılıyor. Cismin hareketini

tanımlayınız. (Yer-çekimi kuvvetini ihmal ediniz).

x x

qE ma qE a

m

0 ve 0 olduğundan,i i x v

2 2

;2 2 s x s x x a t t v a t t m m

W =

l n r

s F x K K qEx

(22-8)

5ˆBir proton elektrik alanının 6 10 i old ğ bir bölge eE Örnek :



5Bir proton, elektrik alanının 6 10 i olduğu bir bölgeye E = Örnek :ekseni yönünde f ırlatılıyor. Proton duruncaya kadar elektrik alan

i inde 7 cm ol alı or. Protonun ivmesini ilk hızını ve ne kadar

+x -

sürede

durduğunu bulunuz. (Yer-çekimi kuvvetini ihmal ediniz).

ma qE

5 16 2

27

1.6 10 ˆ ˆ= ( 6 10 i) = 5.75 10 i m / s

1.67 10

qE a

m

2 2 2 16 72 0 2 5.75 10 0.07 9 10 m / s s i i iv v a x v v

9

16

9 101.57 10 =1.57 ns5.75 10

i s i x

x

vv v a t t a

ulunur.

(22-9)

Bir noktadan ağırlıksız iple asılmış yüküne veqÖrnek :



,

ˆ ˆi j (N/C) ile verilen düzgün bir elektrik alan içinde E = A + B

dengededir. ve pozitif B sabitlerdir. Kürenin yükünü ve

ipte oluşan gerilmeyi bulunuz.

0 F

sin tantan

cos tan

xT qE qA qA mg q

T qB mg mg qB A B

sinT qA

sin sin tan cos tanT

A B A B

u unur.

(22-10)

Elektrik Dipol :



Elektrik Dipol :Aralar ında uzaklığı olan, eşit ve zıt işaretli iki

" "

d

elektrik dipol moment

.

H (er el )ektrik dipol, " " p

vektörü ile tanımlanır. Büyüklüğü p = q ve yönüde dur. Su molekülü- ükünden üküne do ru

d

2(H O) gibi birçok molekül kendiliğinden bir dipol

momen e sa p r. s en a omu e r eo n

atomu arasındaki ba 10 de erlik elektron a la ımı ile sa lanır 8 tane

O' dan, 1' er tane de H' den). Bu 10 değerlik elektronu O atomuna yak ıno ma e m n e r. u ne en e su mo e n e, nun u un u u ara

H atomlar ının bulunduğu tarafa göre daha negatiftir.

(22-11)

Dipolün Oluşturduğu Elektrik Alan :



Dipolün Oluşturduğu Elektrik Alan :Dipolü oluşturan yüklerin P noktasında oluşturduklar ı

elektrik alanlar ın büyüklükleri:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1 ve

4 4 net

q q E E E E E

r r

1 1q q

q q

04 4ner r 0

2 2

/ 2 / 2 z d z d

20

1 14 2 2net E

z z z

2

1 yaklaşımı yapılırsa :2 1 21d z

x x

32 3

11 1 =net

q d d qd p E

(22-12)

Sürekli Yük Dağılımlarının Oluşturduğu Elektrik Alan:



ğ ş ğQ , A

dq

d A

Q , V

dqdV

d

(C/m) L dl (C/m ) A dA mV dV

yükü uzunluğunda bir çubuğa düzgün dağılmış ise,- Q L

çizgisel yük dağılımı söz konusudur.

-

ise, yüzeysel yük dağılımı söz konusudur.

yük - Q ü hacmine sahip katı bir cisme düzgün dağılmış ise,V

.(22-13)



alalım. Bu yük dağılımının noktasında oluşturduğu P elekrik alanı hesaplamak için izlenmesi gereken yol

ş ye zet ene r: a ı ımını, acm o an sonsuz ç e eman ara ayıra ım.

Her eleman yüküne sahiptir ve noktası yükündendq dV P dq

.

kadar uzaktadır.r

yü ünü no ta yü a u e ere no taq P 2. sın a o uştur uğu

elektrik alanını az ve ük da ılımı üzerinden inte ralini al to la .

E

1ˆ

dq dV dE E r

0 0r r

(22-14)

Homojen yüklü sonsuz uzunluktaki bir çubuk Örnek :



şe e g -e sen zer n e u unma a ır. u u

çizgisel yük yoğunluğuna sahip ise, çubuktan kadar

x

y uzaktaki bir noktada elektrik alan ifadesini bulunuz.

d dx

2 2 2r x y

3/2 3/222 2 2 2cos

1 /

x x E dE k y

y x y x y

2

2 3/2

tan / 1 tancos

x y d k k d

tan

2 20

sin2

E E y y y y x y

bulunur.

(22-15)

Uzunluğu olan homojen yüklü bir çubuk şekildeki LÖrnek :



ğ j y ç ş

gibi -ekseni üzerinde bulunmaktadır. Çubuk çizgisel yük

yoğunluğuna sahip ise, çubuğun orta noktasından kadar

x

y

uzaktaki bir noktada elektrik alan ifadesini bulunuz.

d dx

2 2 2r x y

3/ 2 3/ 222 2 2 2

/ 2 / 2

cos

1 / L L

x x E dE k y

y x y x y

2

2 3/ 2

tan / 1 tancos

x y d k k d

/ 2

tan

L

2 2 2 2

/2

sin/ 2

L

E E y y x y y L y

bulunur.(22-16)

Uzunluğu olan homojen yüklü bir çubuk LÖrnek :



- .

Çubuk çizgisel yük yoğunluğuna sahip ise, orijinden kadar uzaktaki ( ) bir noktasında elektrik

alan if

x x > L P

adesini bulunuz.

22''

dq dxdE k k

'' L u x xdx k du

2 20

'' L

du dx u x x

0' E k k k

u x x x L x

( ) E

x x L

bulunur.(22-17)

-ekseni üzerinde bulunan, uzunluğu olan bir çubuk x LÖrnek :



ç zg se yü yoğun uğuna sa pt r. poz t r, se

çubuğun ortasından olan uzaklıktır. Çubuğun ortasından kadar

x x

y

uzaktaki bir noktada elektrik alan ifadesi nedir?

dq dx xdx

2 2 2 2 2r x y x y

3/2 3/2

2 2 2 2

cos 2 xdx xdx

E dE kAy kAy

1/ 22 2 du u

3/2

1 / 2u

2 2 22

12 2 1 bulunur.

y E kAy kA

0 y

(22-18)

Homojen yüklü ince bir çubuk, yar ıçaplı RÖrnek :



çemberin bir parçası olacak şekilde bükülüyor. Şekilde

verildi i ibi a ı ören a ı ' dir. Ya ın iz isel ük yoğunluğu ise, çemberin merkezindeki (O noktası)

e e r a an ne r

dq dl Rd k 2 2 2

/ 2

r R R R

/ 2

/ 2

cos cos sin E dE d R R

2 2 ˆsin sin i bulunur.k k E E

2ˆ

k

(22-19)

Yüklü ince bir çubuk bükülerek, şekildekiÖrnek :



g yar ıçapı o an yar ım çem er a ne ge r yor.

Çubuk üzerindeki bir noktadaki yük yoğunluğu, onoktanın konum vektörü ile düşey arasındaki açıya

= .

elektrik alan nedir?

2 2 2

coscos

dq dl Rd kAdE k k kA d

/2 /22 1 cos 22 2kA kA

0 0/2 2 R

0 0

s n ˆ ̂j bulunur.2 2 8

E E R R R

(22-20)

yükü yar ıçaplı bir çember üzerine düzgünQ RÖrnek :



o ara a ı mış ır. em er n mer ez n en o ara

geçen -ekseni üzerinde ve merkezden kadar uzaktaki z z noktasında elektrik alanı ( ) bulunuz. Ha P E ngi z değerinde

elektrik alan maksimum olur?

2 2 2 ; sin 0 ve cos yatay z dq dqdE k k dE dE dE dE r z R

3/2 3/2 3/2

2 2 2 2 2 2

Q

z z z

zdq z zQdE k E dE k dq k

ˆ ˆ zQ Q

3/2 22 2

z z R

2 2 2

5/2 2

30

z R z dE kQ

dz z R

max2 2

02 6 3

R Q z E

R

(22-21)

Yar ıçapı olan ince bir disk düzgün yüzey R Örnek :



yük yoğunluğuna sahiptir. Diskin merkezinden dik olarak

e en eksen üzerinde ve merkezden kadar uzaktaki bir z

noktasında elektrik alanı ( ) bulunuz. P E

3/ 2 3/ 2 3/ 2

2 zQ zdq z rdr

E k dE k k

2 2 R

z z r z r

u z r rdr z du

3/ 2 3/ 22 200

;42

z udu rdr z r

1/ 2

2 2 2 21 ˆ1 k

R

z u z z E E

0

k̂ z R E

0

(22-22)

Yar ıçapı ve yüksekliği olan ince silindirik R hÖrnek :



, -

yerleştirilmiştir. Silindir düzgün yük yoğunluğuna sahip olduğuna göre, ekseni üzerindeki herhangi bir noktadaki

( ) elektrik alanı bulunuz. P

3/ 2 3/ 2 3/ 22 2 2 2

' ' 2 '

z z dq z z Rdz zQ E k dE k k

2 2

' ' '

h

z z z z z

z z dz u z z R R

3/ 22 20 0

2 2 ' ''

h

du z z dz z z R

1/ 2

3/ 2 2 20 0 0

1

4 4 ( 1 / 2) 2 '

R du R u R E E

u z z R

0

1 R

E

1 ˆ

k 0

h

z = E

02 z 2 2 22 2 z Rh R (22-23)

Yar ıçapı ve yükünün üzerine düzgün dağıldığı çembersel bir R QÖrnek :



a anın mer ez ne yü üne sa p no tasa r parçacı yer eşt r m şt r.

yükünü, çemberin merkezinden geçen dik eksen boyunca

q

q z

olacak R

şekilde çekip serbest bırakalım. yükünün basit harmonik hareket

a aca ını österiniz ve hareketinin eri odunu bulunuz.

q

zQ z

3/2 3/22 2 2 2

z R z R

.

cisim basit harmonik haraket a ı or.kqQ

z R F z

z

32kqQ kqQ mR 3 3mR T mR kqQ

(22-24)

İlk kez 19. yy' da Michael Faraday taraf ındanElektrik Alan Çizgileri :



elektrik alan vektörünü resmetmek için ortaya konmuştur. Elektrik alan

1. Herhangi bir P noktasında, elektrik alan vektörü E elektrik alan

çizgisine teğettir.

. , .

(22-25)

Sonsuz geniş yüklü plakanın oluşturduğu elektrik alanÖrnek :



ç zg er .

1. Plakanın her iki taraf ında elektrik alan şiddeti sabittir.2. Elektrik alan vektörü plakaya diktir.

Plaka negatif yüklü olsaydı, elektrik alan vektörünün Not :

y n p a aya o ru o ur u.

(22-26)

pozitif yüklerden negatif yüklerde3. Elektrik alan çizgileri çıkarak

l l



Örnek :

sonlanırlar.

q yükünün oluşturduğu elektrik alan çizgil :eri

2r

-Elektrik alan çizgileri yüke doğrudur.

- e r a an ç zg er n n y n , n n

yönünü verir.

-Birim yüzeyden geçen elektrik alan ,

artmaktadır.

(22-27)



elektrik alan çizgileri:

elektrik alan çizgileri:

(22-28)

Düzgün Elektrik Alan İçinde Elektrik Dipol:



Yanda - ekseni yönünde düzgün bir elektrik alan

i inde bulunan elektrik di olünü ele alalım. Pozitif

x

ve negatif yüklere, sırasıyla, ve+ = qE F = qE

. ,

olacaktır.0net F = qE qE =

+Dipolün kütle merkezine göre ve kuvvetlerinin oluşturduğu F F

ne or se,

d d = = = =

olur ve formunda azılabilir. Bu da düz ün elektrik

+ +2 2

τ = × E

alan içindeki dipolün ötelenemeyeceğini ancak, kütle merkezi

e ra ın a nece n g s er r.(22-29)

Düzgün Elektrik Alandaki Elektrik Dipolünün Potansiyel Enerjisi :



sin ' ( azalma yönündedir)U d pE d d

90 90

90

= p

p E min .e aynı yön e

Sistem kararlı den e durumundadır.

p p

p

maxe ers y n e

Sistem kararsız denge durumundadır.

. p p

(22-30)

Düzgün Elektrik Alan İçindeki Elektrik Dipolü



Üzerinde Dış Kuvvetin Yaptığı İş :

zg n r e e r a anı ç n e, a an a açısı

yapan bir elektrik dipolü olsun (Şekil- ). Bir dışi

p a

kuvvetin yardımıyla dipolü Şekil- ' deki gibi ileb E

.

yaptığı iş, dipolün son durumdaki potansiyel enerjisi s

ile ilk durumdaki potansiyel enerjisi arasındaki fark

kadardır:

W cos cos s i s iU U pE pE cos cosi s p

(22-31)

1 2Yükleri 2.0 C ve 2.0 C, aralar ındakiq = q = Örnek : ,



,

olacak şekilde -ekseni üzerinde konmuştur. -eksenine dik z z ve dipolün merkezinden 1.5 m uzaktaki bir noktada elektrik

alan nedir?

82 22 2

k̂ 1 10 C m ; ;q q p qd E k E k

cos cos 0 x E E E

sin sin 2 sin y

E E E E

3/2 3/22 22 2

k k / 2 / 2 y

E E k p

d x d x

ˆ26.7k N / m E

(22-32)

19

5

Yükleri 1.6 10 C ve aralar ındaki mesafeq =

=

Örnek :

. ,



olan düzgün bir elektrik alan içine şekilde görüldüğü gibi

. .

Elektrik dipol momentini, dipole etkiyen torku ve dipolün potansiyel enerjisini

u unuz. po , e e tr a an tara ın an en s y e aynı yön e o uncaya a ar

döndürülür. Elektrik alanın yaptığı iş ne olur?

19 9 29

29 5

1.6 10 0.125 10 = 2.0 10 C m ( yükten + yüke doğru) p qd

24

.

5.7 10 N m (sayfa düzleminden dışar ı doğru)

2cos145 2.0 10U p E U pE

9 5

24

5 10 cos145

29 5

.

W = (cos145 cos 0) 2.0 10 5 10 ( 1.82)U W pE

23 1.82 10 JW (22-33)

BÖLÜM-23G Y



Gauss Yasasıu m apsamın a şu onu ara e n ece r:

• Elektrik ak ısı (Φ)• Simetri• Gauss yasası

Gauss yasasını uygulayarak;

•

Düz ün üklü sonsuz eni alıtkan lakanın • Düzgün yüklü sonsuz uzun yalıtkan çubuğun,• Düzgün yüklü küresel kabuğun ve kürenin

oluşturduğu elektrik alanlar ı

hesaplayacağı

z. Gauss yasası

nı

kullanarak,iletkenlerin i inde ve dı ındaki elektrik alanlar da hesa lanacaktır.

(23-1)

Hızı olan bir hava ak ımı, yüzey alanına sahip bir ˆüze e do ru eli or olsun ve hız vektörü ile üze in normali arasındaki

v A

v n

Bir Vektörün Ak ısı :



açı da olsun. İlgili yüzeyden geçen , v ak ı cos bağıntısı ile verilir ve

" "

A

.

Hava ak ımının hızı, geldiği yüzeyin normali ile aynı yöndeyseNot-1:, yüzeye a ı ma s mum ur . ız yüzey nv v norma ne se

( , yüzeye paralel) ak ı sıf ırdır.v

cos biçiminde yazılabilir. Burada vektörü,

üze in normali ile a nı

önde, bü üklü ü olan bir vektördür. İsmine

vA v A A Not-2:

yüzey alan ve" " diyebiliktörü riz.

(23-2)

Elektrik Alan Ak ısı :



düşünelim. Bu yüzeyden geçen elektrik ak ısı şöyle

1. Yüzeyi, alanına sahip sonsuz küçük elemanlara A

ayıra ım.

2. Her elemandan geçen ak ı cos olacaktır. E A E A

3. Toplam ak ı; olarak bulunur.

4. 0 durumundaki limit, yüzeyden geçen ak ı

ya eşittir.

E A

2 (N m / C)S

E dA

İntegral semboNot-1: lü üzerindeki çember, integralin

kapalı yüzey üzerinden alınacağını gösterir.

Elektrik ak ısı ( ), yüzeyden geçen elektrik alan

iz ilerinin sa ısı la orantılıdır.

Note 2 :

(23-3)

Yükü 1.0 C olan noktasal bir parçacığın, Örnek : E

merkezinde bulunduğu 1 0 m yarıçaplı küresel bir dA



merkezinde bulunduğu 1.0 m yar ıçaplı küresel bir

üze den e irdi i elektriksel ak ı ı hesa la ınız.

rq

elektrik alan, kendisinden dışar ı doğrudur ve büyüklüğü,

2 E k

r

. ,

cos0 q

d E dA EdA k dA

r

qk dA 6 22 51 10 N m4 1.13 10q qk r

S

r 0 8.85 10

bulunur.

r

(23-4)

Kenar uzunluğu olan bir küp, şekildekiaÖrnek :

g , poz -e sen y n n e zg n r e e r x



g p y g

alanı

içinde bulunmaktadı

r. Küpün yüzeylerindengeçen toplam elektrik ak ısı nedir?

Yüzey alan vektörleri y-ekseni (3 ve 4 nolu yüzeyler) ve z-ekseni

doğrultusunda olan yüzeyler (ön ve arka yüzeyler), elektrik alan

vektörüne diktir. Bu üze ler ak ı

a katk ı

etirmezler. To lam ak ı

,1 ve 2 nolu yüzeylerden katk ılanır:

1 2

1 2 c os c osS S

a a

bulunur.

a

(23-5)

Büyüklüğü 3.5 kN/C olan ve pozitif -ekseni yönünde yönelmiş xÖrnek :düzgün bir elektrik alan içine, uzunluğu 0.70 m ve genişliği 0.35 m olan



g ç , ğ g ş ğ

dikdörtgen şeklinde bir plaka konuluyor. Aşağıdaki durumlar için plakadangeçen ak ıyı hesaplayınız.

laka ve düzlemlerinde bulunu orsaa z x

o) plaka normali -ekseni ile 40 açı yapıyor ve -ekseni plakab x y

3 2

0.35 0.7 245 10 m

2

3 3 N mˆ) i 3.5 10 245 10 857.5a E A EA

ˆ ˆ ˆ k i k 0 x E A EA

2 N mˆ ˆ cos 40i sin 40k cos 40 657b E A A EA

(23-6)

Kare prizma şeklindeki kapalı bir yüzey,Örnek : ,



2(3 2 ) ifadesi ile değişen bir elektrik alanı E = + x

ç n e u unma a ır. . m ve . m

olduğuna göre

a = = c =

, kare prizmanın yüzeyinden geçen

toplam elektrik ak ısı nedir?

Yüzey alan vektörleri -ekseni ve -ekseni doğrultusunda olan yüzeyler z

(bir kenar ı olan dikdörtgensel yüzeyler) elektrik alan vektörüne diktir.c

. ,katk ılanır:

1 2

1 2 cos cos x a x a c

S S

a a

2 22 2 m

(3 2 ) 3 2 2 2 0.27ab a a c ab a c aC

u unur.(23-7)

Pozitif q yüklü bir parçacık, şekildeki gibi,Örnek : yar ıçap ı r re a u unun mer ez n e r. e e

R



gösterildiği gibi, yükün gördüğü 2 ' lı

k bir katı

açı

nı

n q

gördüğü yüzeyden geçen ak ıyı bulunuz.

halkadan geçen ak ı,

2 cos ' 2

qd E dA EdA k rdr

R

2 sin ' ' sin ' '

2 2

q qd R Rd d

sin ' ' cos ' (1 cos )q q qd

0 0 00

q

q

0 2 0 (23-8)

Gauss Yasası :



0

Herhangi bir yüzeyden geçen ak ı = yüzeyin içindeki net yük ε

0 0Φ iç iç

S

ε = q ε E dA q

Not -1: Gauss yasası

her kapalı

yüzey için geçerlidir. Not -2: Kapalı yüzey içindeki net yükü belirlerken,

n̂

ˆ

yüklerin işaretlerini dikkate almak gerekir.

-n ,olmadığı için yüzeyin dışındaki yükler işleme

ˆ

a ı maz.

Yandaki şekil için;

1 0 1 2 0 2yüzeyi : , yüzeyi :

yüzeyi : 0, yü

S q S q

S S

zeyi: 0q q

(23-9)

Gauss Yasası ve Coulomb Yasası :Gauss yasası ve Coulomb yasası, durgun elektrikte elektrik



Gauss yasas ve Coulomb yasas , durgun elektrikte elektrik

yükü ile elektrik alan arasındaki ilişkiyi farklı biçimlerdeaçıklayan bağıntılardır. Her ikisi de birbirinden türetilebilir.

Örne in, Coulomb asasını Gauss asasından türetelim:

nokta yükünden kadar uzaktaki bir noktasındaki elektrik alan Gaussq r P

yasasından bulunabilir. yükünü merkez kabul eden yar ıçaplı küresel bir

Gaussiyen yüzey seçelim. Gaussiyen yüzeyi, yüzey alanı

q r

olan sonsuzdA

küçük elemanlara bölelim. Herbir elemandan geçen ak ı,

cos0d EdA EdA

2

bulunur. Buradan da,

4 EdA E dA E r

20 iç 0 2 2

4

S S

q qq q E r q E k

0

sonucuna ulaşılır.(23-10)

Simetri: Bir cisme uygulanan fiziksel bir işlem (döndürme, öteleme gibi)sonucun a, c s m aynı a ıyorsa s me r r en r.



er ez n en geçen üşey e sen e ra ın a ser es çedönebilen bir küre düşünelim. Gözlemci gözlerini

.

Gözlemci gözlerini açtığında, kürenin döndürülüpdöndürüldü ünü anla abilir mi?

Ekseni etraf ında serbestçe dönebilen bir silindir

.ekseni etraf ında çevirelim. Gözlemci gözlerini açtığında,silindirin döndürülü döndürülmedi ini anla abilir mi?

Cevap her iki örnek için de “hayır” olacaktır. Bu,göre simetriktir deriz.

(23-11)

Ötelenme Simetrisi:

S i bi dü l dü ü li U h l



Sonsuz geniş bir düzlem düşünelim. Uçan halı

sabit bir yükseklikte olsun. Gözlemci gözlerinikapattıktan sonra bir miktar ötelensin. Gözlerini

açtı

ğı

nda, hareket edip etmediğini anlayabilir mi?Cevap “hayır” olacaktır. Bu durumda, düzlemötelenme simetrisine sahiptir deriz.

auss asası ygu anır en z enece o :

• .•

Yük dağı

lı

mı

nı

n simetrisini ve elektrik alanı

na etkisini belirleyiniz.• Gauss asası her ka alı üze i in e erlidir. ak ısının en kolahesaplanabileceği en uygun yüzeyi belirleyiniz.

• Elektrik alanı hesaplamak için Gauss yasasını uygulayınız.

(23-12)

Sonsuz Uzunlukta Düzgün Yüklü Çubuğun Oluşturduğu Elektrik Alan:

Şekilde düzgün çizgisel yük yoğunluğuna sahip bir çubuk



verilmiştir. Çubuğun simetrisi dikkate alı

nı

rsa, oluşturduğuelektrik alanın kendinden dışar ı doğru ve uzaklığındaki

tüm noktalarda şiddetinin

r

de aynı olduğu ortaya çıkar. Bu

yüzden, çubuğu eksen alan yar ı

çaplı

, yüksekliğindesilindirik bir üze Gaussi en üze olarak se ilebilir.

r h

1Gaussiyen yüzeyi üç farklı yüzeyin birleşimi gibi düşünebiliriz: Üst yüzey , yanalS

2 3 1 2 3

1 3

y zey ve a an y zey . zey en geçen ne a ı, o aca ır. ve yüzeylerinde, yüzey normali ile elS S

ektrik alan vektörleri birbirlerine dik

1 3

2

o uğu ç n ve a ı ar ı sı ır ır. Bu urum a net a ı,

2 cos0 2 EdA E rh rhE

2

içGauss asasından:2

S

q h k

0 0 0

2 r r

(23-13)

Yar ıçapı ve düzgün hacimsel yük RÖrnek : dE

yoğunluğu olan bir kürenin içinde ve dışındaki r dA



yoğu uğu o b ü e ç de ve d ş d

R .

dE

dA

0 0

3

cosS S

r

r

R

3 2

0 0

43 3 3içq r E r E

R

E

0 0

cos0iç iç

S S

q qr R E dA E dA

30

3 33 2

2

4 4 43 3 3iç

R

q R E r E r

r R

(23-14)

Yar ı a ı ve ükünün üze ine düz ünÖrnek :dağıldığı ince küresel bir kabuğun içinde ve dışındaki



dağıldığı ince küresel bir kabuğun içinde ve dışındaki

ge er e e e r a anını u unuz.

0

iç

S r R E dA

0 0 olduğundan 0içq dA E

0 0

cos0iç iç

S S

r R E dA E dA

2 2 2 4iç

Q Q Qq Q E r E k

0 0

(23-15)

İç yar ıçapı , dış yar ıçapı ve düzgüna bÖrnek : dE dA

Q

y y u u u u a



için, ; ve bölgelerindekir a a r b r b b

elektrik alanını bulunuz. dA

Q

a

r

0

iç

S E dA

dE

b

3 3

0 0 olduğundan 0

4

içr a q dA E

A

a

r

2

20 0

343

r aa r b E r E

r

E

3 3

3 3

2

4

3 4 b a b ar b E r E

(b3-a3)

30 r 2

0 0r r a b

(23-16)

Yar ıçapı ve hacimsel yük yoğunluğu RÖrnek : dE

dA

0 olan bir kürenin içinde ve dışındakir r

R



R

.içq

E dA

r

dE

dA

0

2 2 4' ' ' ' '

S

r r

R

0 0

0 0

4 2

iç

r r

E

0 R2

40

0 0 4

R

r

r R

2 2 40 0

0 0

4 ' ' ' 4 ' 'içr R q r dr r r dr R

2 0 0

20 0

44

R R E r E

r

(23-17)

Yar ıçapı R olan sonsuz uzunluktaki bir Örnek :s n r n zg n ac mse y yo un u u ur.



silindirin içinde ve dı

şı

ndaki noktalarda elektrik alanını bulunuz.

1 3

,

olarak silindir seçilir. S ve S yüzeylerinden ak ıya

hiçbir katk ı gelmez ( ). Bu durumda:

iç

dA E

q

2 0S

0 02 2

r r

r R E rh E

2r R E rh

2 2 R h R

E

0 0

(23-18)

hacimsel yük yoğunluğu ile veriliyor bir sabitr



0 0

hacimsel yük yoğunluğu ile veriliyor. bir sabitr

ve ' de silindir ekseninden olan uzaklıktır. Silindirin içinder

ekseninden olan uzaklığa kar şı değişimini çiziniz.

İç yar ıçapı , dış yar ıçapı olan düzgün yük a b ÖDEV:yoğunluğuna sahip sonsuz uzunlukta bir silindirin ekseni

,

çubuk yerleştirilmiştir. ;r a a r b ; bölgelerinder > b

elektrik alanlar ını bulunuz.

(23-19)

Sonsuz Geniş, Yalıtkan, Yüklü Plakanınuş ur u u e r an :



sahip olduğunu varsayalım. Simetri nedeniyle elektrik

,

aynıdır. Şekildeki gibi, plakanın ortadan kestiği, kesit .

Silindiri üç farklı yüzeyden oluşmuş gibi düşünebiliriz:

1 2 3

1 2

a es , yana y zey ve so es . zey engeçen net ak ı, 3 olacaktır.

1 3 2cos ve =

2 EA

i

0 0

ç

0

Gauss yasasından: . 2

E q

(23-20)



1 1Yüzeysel yük yoğunluklar ı ve - olan sonsuz geniş paralel iki iletken plaka olsun.Plakalar birbirine akla tır ılırsa ükler lakalar ın birbirine bakan üze lerinde to lanır.

Plakalar arasındaki bölgede elektrik alanını bulmak için, kesit alanı olan silindirik bir

Gaussi en üze S se erek Gauss asası

nı

u ula abiliriz:

A

iç 1 1

2

2q A

E E A

0 00

Plakalar ı

n dı

şı

ndaki bölgelerdeki elektrik alanı

için de, kesit alanı

olan S' silindirik A'

iç 1 1

0 0 q

A E E

0 0

(23-21)

Şekilde gösterildiği gibi, yar ıçapı 2aÖrnek : y

ve üzgün ac mse yü yo un u u o an r a



küreden yar ıçaplı bir bölge çıkar ılmıştır.a 2a x

Çıkar ılan k ısmın tam ortasındaki elektrik alan

ne r

Verilen ük da ılımını ve düz ün ük a a

yoğunluklar ına sahip 2 ve yar ıçaplı ikia a 2a

ren n op amı g ş ne r z. o ayısı

ile, ilgili noktadaki toplam elektrik alan:

'r r E

= a 0 0r a 0' 0

olarak bulunur.r

(23-22)

Bir İletken İçindeki Elektrik Alan:



Soldaki iletkeni gözönüne alalı

m. İletkenler, içinde serbestçedolaşabilen çok sayıda elektron bar ındıran malzemeler olarak

tanımlanır. İletkenin içinde olduğunu d0 üşünelim:

Bu durumda, iletkenin içindeki elektronlar sı

f ı

rdan farklı

.

elektronlar ivmeli bir hareket yapacak ve dolayısıyla bir elektrik ak ımı

oluşturmalar ı gerekecektir. Böyle olması durumunda da;

(a) İletkenin ısınması gerekir.

(b) İletken çevresinde bir manyetik alan oluşmalıdır.

Şu ana kadar böyle etkiler hiç gözlenmemiştir. Buradan da,

"Bir iletkenin içindeki durgun elektrik alan sıf ırdır." sonucunu çıkarabiliriz. E

(23-23)

İzole Edillmiş Yüklü İletken :an a op am y o an r e en ver m ş r. ,

iletkende nasıl dağılmıştır? Bu soruyu yanıtlamak için,

q



ğ ş y y ç ,

et en n emen ç n e r auss yen yüzey seçe m ve

Gauss yasasını uygulayalım. İletkenin içinde 0 E

olduğundan,

iç

0

Φ = Δ = 0 (Eş -1) ve Gauss yasasından :Φ = (Eş -2).S

q E A

ε

içBu iki eşitlik birleştirilirse iletkenin içindeki yük sıf ırdır ( = 0). İletkeninq

,

"

iletkenin yüzeyinde bulunabileceği sonucuna ulaşı

r ı

z., .

Ancak yüzeyinde bulunabilirler."

(23-24)

İçinde Boşluk Bulunan Yalıtılmış Yüklüİletken:

Yanda toplam yükü olan bir iletken verilmiştir. Boşluğunq



,yardımıyla cevaplayabiliriz. Bunun için, şekildeki gibi

boşluğun hemen dışında bir Gaussiyen yüzey seçebiliriz.

İletkenin içinde 0 olduğundan,

içq

0 - - .

S

içBu iki eşitlik birleştirilirse seçilen Gaussiyen yüzeyin içindeki yük sıf ırdır ( = 0).q

,

"İletken içindeki boşluğun duvarlar ında yük bulunamaz. Tüm yük iletkenin dış

.

"

(23-25)

.

Yüklü İletkenin Hemen Dışındaki Elektrik Alan:

Bir iletkenin içindeki elektrik alan sıf ırdır. Ancak,

ı ı ı ı



dı

şı

ndaki elektrik alan sı

f ı

r değildir. Yüzeyin her noktasında yüzeye diktir. Böyle olmasaydı, elektrik

alanın yüzeye paralel bir bileşeni olurdu ve yüzeyde

bulunan yüklerin ivmelenmesine sebep olurdu. Buise " " kabullenmemize adur u k ır ın e olle ur ktrik du.

Gauss yasasını uygulamak için, şekideki gibi silindirik bir Gaussiyen yüzey

1 2 3. , . Net ak ı, bu yüzeylerden geçen ak ılar ın toplamı o 1 2 3lacaktır: .

1iç iç

2

cos1

cos90 0 q q

EA EA E

3

iç

0

q

0, , . A

(23-26)

Yar ıçapı olan 2 düzgün yüküne sahip bir küre,a QÖrnek :şekildeki gibi iç yar ıçapı ve dış yar ıçapı olan yüküne

ı

b c Q



sahip iletken bir küre kabuğunun merkezinde bulunmaktadı

r.1, 2, 3 ve 4 nolu bölgelerdeki elektrik alanını bulunuz.

0S

E dA

2

3 30

2 21 nolu bölge: 4

Qr Qr E r E k

a a

2

2

2 22 nolu bölge: 4

Q Q E r E k

0

3 nolu bölge: 0 (İletkenin içinde yük bulunamaz. İletkenin E iç çeperinde 2 dış çeperinde yQ Q ükü birikir.)

20 no u ge: r r

(23-27)

BÖLÜM-24Elektrik Potansiyel



Bu bölümde, elektrik alanla ilgili elektrik potansiyel (V ) kavramını öğreneceğiz. Bu bağlamda aşağıdaki konulara değineceğiz:

Elektrik alandan potansiyelin bulunması. Potansiyelden elektrik alanın bulunması.

Nokta yük ve yük grubunun oluşturduğu potansiyel. Sürekli yük dağılımlarının oluşturduğu potansiyel.Yük sistemlerinin potansiyel enerjisi.Eş-potansiyel yüzeyler ve elektrik alan çizgileri.İzole bir iltekenin oluşturduğu potansiyel.

(24-1)

Korunumlu bir kuvvetin yaptığı iş, cismin potansiyel

enerjisindeki değişimin negatif işaretlisidir. Korunumlu

bir kuvvetin etkisiyle cisim noktasından noktasınai s

x x

Elektrik Potansiyel Enerji :

( )s

i

x

x

U F x dx∆ = −∫



hareket e

0

0

tmişse,

( )

yazılır. nokta yükü, bilinen bir elektr ik alanı

( ) içinde, elektrik kuvvetinin etkisiyle

noktasından noktasına gitsin. Yükün potansiyel

enerjisindeki d

f

i

x

f i

x

U U U W F x dx

q

E F q E

A B

∆ = − = − = −

=

∫

0

0

eğişim,

olacaktır. Bu değişim yüküne bağlıdır.

s s

i iU F dl q E dl

q

∆ = − ⋅ = − ⋅

∫ ∫

0

s

i

U q E ds∆ = − ⋅∫

(24-2)

ve noktalar ı arasındaki elektrik potansiyel fark

( ), bu noktalar arasında taşınan birim yük başına

potansiyel enerji değişimi olarak tarif edilir:

A B

V ∆

Elekrik Potansiyel ( ) :V



0 0

p y j ğ ş

s i

U W V V V V

q q

∆∆ = = − → ∆ = − = −

s

i

E dl⋅∫

Noktalardan birisinin potansiyeli biliniyorsa, diğer noktanın elektrik potansiyeli

bulunabilir. Genellikle, yükten çok uzaktaki bir noktanın potansiyeli sıfır alınır

( 0). Bu durumda, herhangi biri

V V ∞= = noktasının potansiyeli,

ifadesiyle verilir. SI sistemindeki birimi J/C (volt)' dir.

P

PV E dl

P

∞

= − ⋅∫

(24-3)

4Bir proton, şekilde gösterildiği gibi büyüklüğü 8 10 V/m

olan pozitif -ekseni yönündeki düzgün bir elektrik alan içinde durgun

halden serbest bırakılıyor. Proton elektrik alan yönünde 0.5 m gitt

x

×Örnek :

iğinde,

) ve noktalar ı arasındaki elektriksel potansiyel fark ne kadard ır.a A B−



) Bu iki nokta arasında, protonun potansiyel enerjisinde ne kadarlık bir değişim olmuştur?

) Proton B noktasına

b

c

−

− ulaştığındaki hızı ne olur?

( )

( ) ( )

4

4

19 4 15

2 15 6

) cos 0 8 10 (0.5)

4 10

) 1.6 10 4 10 6.4 10 J

1) 0 6.4 10 2.77 10 m / s

2

B B

B A

A A

B A

p

a V V E dl Edl Ed

V V V

b U q V U

c K U m v v

− −

−

− − = − ⋅ = − = − = − × ⋅

− = − ×

− ∆ = ∆ → ∆ = × ⋅ − × = − ×

− ∆ + ∆ = → = × → = ×

∫ ∫

(24-4)

Şekildeki gibi, yönünde büyüklüğü

325 V/m olan düzgün bir elektrik alan vard ır.

Koordinatı ( 0.2, 0.3) m olan noktası ile

y

A

−

− −

Örnek :



koordinatı (0.4,0.5) m olan noktası arasındaki potansiyel fark ını bul

Bunuz.

( )

( )( )

( )

2 2

cos(90 ) sin

0.6 0.8 1 m

325 1 0.8 260 V0.8sin = = 0.8

1

cos180 cos90

325(0.8) 260 V

B B

B A

A A

B A

C B C B

B A

A C A C

B A

V V E dl Edl = E AB

AB

V V

V V E dl E dl Edl Edl

V V E AC

θ θ

θ

− = − ⋅ = − +

= + =

→ − = =

− = − ⋅ − ⋅ = − −

− = = =

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(24-5)

0

Orijinde bir nokta yükü bulunsun. Yükten kadar

uzaktaki noktasının potansiyelini bulmak için,

test yükünü noktasından sonsuza götürmemiz gerekir.

q R

P q

P

Nokta Yükün Potansiyeli :



y g

Böylece,

cos 0P

R R R

V V E dl Edr Edr ∞ ∞ ∞

∞ − = − ⋅ = − = −∫ ∫ ∫

2 2

0 0 0

0

0

1 4 4 4

1

4

bulunur. nokta yükünün kendisinden kadar uzaktaoluşturduğu elektrik potansiyel:

1

4

P

R R

P

q q dr q E V r r r

qV

R

q r

q qV k

r r

πε πε πε

πε

πε

∞∞

= → − = − = −

=

= =

∫

(24-6)

Şekilde üç nokta yükten oluşan bir sistem verilmiştir. Bu

yüklerin herhangi bir noktasında oluşturduklar ı elektrik

i l h bi i i il ili k d l

P

Nokta Yük Grubunun Oluşturduğu Potansiyel :



potansiyel, her birinin ilgili noktada oluşturduğu potansiyellerin toplamıdır.

31 2

1 2 30 1 0 2 0 3

1 2 3

Her bir yükün P noktasında oluşturduklar ı elektrik potansiyeller bulunur:

1 1 1

; ;4 4 4

Tüm yüklerin oluşturdukları potansiyeller toplanır:

1

4

qq q

V V

V

V r r

V V V

r πε πε πε = =

= +

=

+ =

1.

2.

1 2

10 1

31 2

0 1 0

2 0

0

0 0

2 3

tane nokta yükten oluşan bir sistem için bu ifade şöyle yazılır:1 1 1 1

...4

1

4

1

4 4

4 4

nn i

in i

n

q qq qV

r

qq q

r r

r r

r

r π

πε πε πε

ε πε πε πε =

=

+

+ + + =

+

∑

(24-7)

Şekilde gösterildiği gibi, ikizkenar bir üçgenin

köşelerine üç nokta yük yerleştirilmiştir. yüklerinin

bulunduğu doğrunun tam orta noktasındaki elektrik

t i li i h l

q−

Örnek :

)



potansiyelini hesaplayınız. ( 7 C alımıq µ = z).

( ) ( )

2 2

9 6

22

5 7

4 1 15 cm

2 2

1 29 10 7 10

1 1015 10

163 10 2 1.1 10 V

15

q q

q

h = =

q qV V V k k h r

V

V =

+ −

−

−

−−

−

= + + = −

= × ⋅ × − ××

× − = − ×

(24-8)

1

2

Şekilde gösterildiği gibi, 2 C' luk yük

orijinde ve 6 C' luk yük ise 3 m noktasında

bulunmaktad ır. Bu iki yükün, 4 m noktasında ( )

l d kl l l k ik i l k d d

q

q y

x P

µ

µ

=

= − =

=

Örnek :

?

r 2



oluşturdukları toplam elektrik potansiyel ne kadard ı3

r?3 C' luk üçüncü bir yükü noktasına getirmek

için yapılması gereken işi bulunuz.

q Pµ =

( )

( ) ( )

1 21 2

1 2

6 69 3

6 3 33

2 10 6 109 10 6.3 10 V

4 5

3 10 6.3 10 0 18.9 10 JP

q q

V V V k k r r

V

W = q V V

− −

− −∞

= + = +

× ×= × ⋅ − = − ×

− = × − × − = − ×

(24-9)

Şekilde gösterildiği gibi, , 2 venokta yükleri -ekseni üzerine aralar ındaki mesafe

olacak şekilde yerleştirilmişlerdir. olmak

üzere, -ekseni üzerindeki herhangi bir noktadaki

l k ik

Q Q Q

x

a x a

x

−

>

Örnek :

i li i b l d d ki



elektrik potansiyelini bulunuz. durumundaki

potansiyel ifadesini türetiniz.

x a

( )

( )

31 2

1 2 31 2 3

2

2 2 3 2

2 2

33 2 2

1 2 1 2 2 2

2 2

1 /

qq q

V V V V k k k r r r

x kQaV kQ kQ

x a x x a x a x x a x

kQa kQa x a V

x x a x

= + + = + +

= − + = − = + − − −

→ = ≈−

(24-10)

Solda bir elektrik dipolü verilmiştir. Dipolü oluşturan nokta

yüklerin noktasında oluşturdukları potansiyelini bulalım.

noktası dipolün merke i olan no

P V

P O

Elektrik Dipolünün Oluşturduğu Potansiyel :

ktasından kadar aktar



noktası, dipolün merkezi olan noP O

( ) ( )

( ) ( )

0 ( ) ( ) 0 ( ) ( )

ktasından kadar uzaktave doğrusu dipol ekseni ile açısı yapsın. Bu durumda

noktasındaki potansiyel:

1.

4 4

olur. dipolü oluşturan yükler

r

OP P

r r q q qV V V

r r r r

d

θ

πε πε

− +

+ −

+ − − +

−= + = − =

2

( ) ( )

( ) ( )

2 2

0 0

arasındaki mesafe olmak üzere,

yaklaşımı yapılırsa , dik üçgeninden de

cos yazılabilir. Bu durumda,

cos 1 cos,

4 4

sonucuna ulaşılır. Burada, kısaltması

r d r r r ABC

r r d

q d pV

r r

p qd

θ

θ θ

πε πε

− +

− +

≈

− ≈

≈ =

=

yapılmıştır.

(24-11)

Şekildeki sürekli yük dağılımına sahip bir cisim verilmiştir.

Yük dağılımının herhangi bir noktada oluşturduğu elektrik

i l ü ü bi ilkV

Sürekli Yük Dağılımlarının Oluşturduğu Potansiyel:

i l kild b l



potansiyel üstüste binme ilkesV iyle şu şekilde bulunur:

Cisim, sonsuz küçük yüküne sahip elemanlara bölünür.

çizgisel yük dağılımı

yüzeysel yük dağılımı

hacimsel yük dağılımı

yükünün noktasında oluşturduğu p

dq

dq d

dq dA

dq dV

dq P dV

λ

σ

ρ

→ =

→ =

→ =

1.

2.

0

0

otansiyeli yazılır:

Tüm yüklerin katk ısı, yük dağılımı üzer inden integral alınarak bulunur:

1

4

1

4

dqdV

r

dqV

r

πε

πε

=

= ∫3.

(24-12)

Şekilde uzunluğunda ve düzgün yük yoğunluğunasahip ince bir çubuk verilmiştir. Çubuğun sol ucundan, çubuğa

dik doğrultuda kadar yukardaki bir nok tasındaki elektrik

potansiyelini bulunuz.

L λ

d P

k : Örne



2 2

2 2

2 2

0

Çubuğun sol ucundan kadar ötede seçilen elemanının yükü

ve noktasına uzaklığı da olduğundan,

yükünün noktasında oluşturduğu elektrik potansiyeli:

L

x dx

dq dx P r d x

dq P

dq dxdV k k

r d x

dxV k

d x

λ

λ

λ

= = +

= =+

=+

( )2 2

2 2

0

ln ln

bulunur.

L L d Lk x d x k

d λ λ

+ + = + + =

∫

(24-13)

( )2 2

2 2ln

dx x d x

d x= + +

+∫

Şekilde uzunluğunda ve yük yoğunluğunasahip ince bir çubuk verilmiştir. Burada pozitif bir sabit ve

çubuğun sol ucundan olan uzaklıktır. Çu buğun sol ucundan

yatay doğrultuda kadar u

L λ = x

x

d

α α

Örnek :

zaklıkta bir noktasındaki elektrik

potansiyeli bulunuz.

P



Çubuğun sol ucundan kadar ötede seçilen elemanının yükü

ve noktasına uzaklığı da olduğundan,

yükünün noktasında oluşturduğu elektrik potansiyeli:

x dx

dq dx P r x d

dq P

dq xdx xdxdV k k k

r x d x d

xdxV k

λ

α α

α

= = +

= = =+ +

= ( )00

ln ln

bulunur.

L L L d

k x d x d k L d

x d d

α α +

= − + = − + ∫

(24-14)

( )ln xdx

x d x d x d

= − ++∫

Şekilde uzunluğunda ve yük

yoğunluğuna sahip ince bir çubuk verilmiştir.

Burada pozitif bir sabit ve çubuğun sol

ucundan olan uzaklıktır Çubuğun ortasından

L λ = x

x

α

α

ÖDEV:



ucundan olan uzaklıktır. Çubuğun ortasındandik doğrultuda kadar uzaklıb kta bir

noktasındaki elektrik potansiyeli bulunuz.

P

(24-15)

Homojen yüklü ince bir çubuk, yar ıçaplıçemberin bir parçası olacak şekilde bükülüyor. Şekilde

verildiği gibi, yayı gören açı ' dir. Yayın çizgisel yük

yoğunluğu ise, çemberin merkezindeki (O

R

φ

λ

Örnek :

noktası)

elektrik potansiyeli nedir?



0

0

Yay üzerinde seçilen elemanının yükü dir.

noktasındaki toplam elektrik potansiyeli:

olur.

(yar ım çember) 4

2 (tam çember)

dl dq dl

O

dq dl Rd dV k k k k d V k d k r R R

V k

φ

λ

θ λ λ λ θ λ θ λφ

λ

φ π λπ ε

φ π

=

= = = = → = =

= → = =

= →

∫

0

22

V k λ

λ π ε

= =

elektrik potansiyeli nedir?

(24-16)

yükü yar ıçaplı bir çember üzerine düzgün

olarak dağılmıştır. Çemberin merkezinden dik olarak

geçen -ekseni üzerinde ve merkezden kadar uzaktaki

noktasında elektrik potansiyelini bulunuz.

Q R

z z

P

Örnek :

Ç b ü i d il l üküdl



2 2

Çember üzerinde seçilen elemanının yükü

ile verilir.

noktasındaki toplam elektrik potansiyeli:

1 ;

2 2

0

( /

2 )

2

;

dq dl Q R dl

d

QV k

dl

P

dq Q dl Q QdV k k V k dl k

r R

z R

r R r r l R

Q z V k

π π

λ π

π = = → = =

=

= =

=

→ =

=+

∫ ∫

( )

0 0 0

/ 2

4 2 2

(nokta yükün potansiyeli)

Q RQ

R RQ

z V k z

π λ

πε ε ε

= = =

→ ∞ → =

(24-17)

Yar ıçapı olan ince bir disk düzgün yüzey

yük yoğunluğuna sahiptir. Diskin merkezinden dik olarak

geçen eksen üzerinde ve merkezden kadar uzaktaki bir

noktasında elektrik potansiyelini bulun

R

z

P

σ Örnek :

uz.



ında elektrik potansiyelini bulun

2 2 2 2

2 200 0

2 2 2 2

00 0

2

2

2 2

R R

R

dq rdr dV k k

z r z r

rdr V dV

z r

V z r z R z

σ π

σ

ε

σ σ

ε ε

= =+ +

= =+

= + = + −

∫ ∫

(22-18)

2 2

2 2

xdx x a

x a

= +

+

∫

2 2Toplam yükü Q olan bir çemberin potansiyeli :

QV k

z r =

+Seçilen çemberin toplam yükü ,potansiyeli dir.dq dV

İç yarıçapı ve dış yarıçapı olan ince

bir disk düzgün yüzey yük yoğunluğuna sahiptir.

Diskin merkezinden dik olarak geçen eksen üzerinde

ve merkezden kadar uzaktaki bir noktasındal kt ik

a b

z P

σ

Örnek :

t i li i b l

z



ındaelektrik potansiyelini bulunuz.

2 2 2 2

2 20

2 2 2 2 2 2

0 0

2

2

2 2

b b

a a

b

a

dq rdr dV k k

z r z r

rdr V dV z r

V z r z b z a

σ π

σ

ε

σ σ

ε ε

= =+ +

= =+

= + = + − +

∫ ∫

(24-19)

2 2

2 2

xdx x a

x a

= +

+∫

2 2 Topl

Seçi

am yükü

len çemb

Q olan bir çembe

erin toplam yükü

rin potans

,pota

iyeli :

nsiyeli dir.

QV

r

dV

k z

dq

=+

Yar ıçapı olan ince bir disk

ile değişen yüzey yük yoğunluğuna sahiptir.

pozitif bir sabit ve disk merkezinden olan

uzaklıktır. Diskin merkezinden dik olarak geçeneksen ü erinde e merke d

R Cr

C

r

σ =ÖDEV:

en kadar aktaki bir



geksen üzerinde ve merkezd en kadar uzaktaki bir

noktasında elektrik potansiyelini bulunuz.

x

P

(24-20)

Yar ıçapı ve yüksekliği olan ince silindirik bir kabuk, -düzlemine tabanı orijinde olacak şekilde

yerleştirilmiştir. Silindir düzgün yük yoğunluğuna sahip

olduğuna göre, ekseni üzerindeki he

R h xy

σ

Örnek :

rhangi bir noktadaki

( ) elektrik potansiyelini bulunuz.PT l ükü Q l bi b i t i li

QV k



( ) ( )

( )

( )

2 22 2

2 200 0

2 22 2

2 20

2 '

' '

'

2 '

ln 2 ( ') ' ln( )

h h

h

dq RdzdV k k

z z R z z R

R dzV dV

z z R

z R zV z z R z z

z h R z h

σ π

σ

ε

= =− + − +

= =− +

+ + = − − + + − = − + + −

∫ ∫

(22-21)

2 2 Topl

Seçi

am yükü

len çemb

Q olan bir çembe

erin toplam yükü

rin potans

,pota

iyeli :

nsiyeli dir.

QV

r

dV

k z

dq

=+

( )2 2

2 2ln 2 ( )

( )

dxa x b a x

a x b

= − − + + − − +

∫

Yar ıçapı olan bir küre düzgün

hacimsel yük yoğunluğuna sahiptir. Sonsuzun

potansiyelini sıfır kabul ederek, küre dışında

ve küre içinde elektrik potansiyelini bulunuz.

R ρ Örnek :

r r



( )

( )

2 2

3 3 3

22

2

3 2( ) 3 ;

2

2

2

M M M r r r

M R M

R R R

M M

Qr kQ kQV V Edr k dr rdr r

kQ r V r

R R R R

kQ kQV r r R

R R R

R R

=

− = − = − = −

− <

= − −

= − − →

∫ ∫ ∫

(24-22)

( ) [ ]

( ) ( ) 2

cos 180 ;

= 1 =

1=

P P

P P P

P

r r

P

r r r

P

r

P

P

V V E dl Edl dl dr

dr

V V E dr Edr kQ r

QV kQ k

r r

∞

∞ ∞

∞∞ ∞ ∞

∞

− = − ⋅ = − = −

− − − − − = −

− =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

( ) ;Q

V r k r Rr

= >

2

2 2

Su molekülü (H O) gibi birçok molekül kendiliğinden bir dipol

momente sahiptir. Bu tür moleküllere " " moleküller denir.

Aksine, O , N , ... gi

polar

bi moleküllerin dipol momentl

İndüklenmiş Dipol Moment :

eri sıfırdır.

Bunlara da " " moleküller denir. Şekil- ' da böyle polar olmayan a



bir molekül resmedilmiştir. Pozitif yük ile çevresindeki negatif

yük bulutu aynı merkezli olduğu için dipol momenti sıfırdır.

Şekil- ' de, elektrik alan içindeki polar olmayan molekülde ne

gibi bir değişim olduğu resmedilmiştir. Merkezleri çak ışık olan pozitif yük ve negatif yük bulutu, elektrik kuvvetinin etkisi

altında ayrışm

b

ıştır.

Böylece, polar olmayan molekül elektrik alan etkisiyle sıfırdan farklı bir dipol momente sahip hale gelmiştir. Buna " " ve molek indüklenmiş dipol moment

kutupl

üle de

" " tır denir. Elektrik alananmış kald ırıldığında, kutuplanma da ortadan

kalkar ve dipol moment tekrar sıfır olur .(24-23)

Potansiyelleri aynı olan noktaların oluşturduğu

yüzeye denir. Şekilde dört

farklı eş-potansiyel yüzey verilmiştir. Aralar ındakipotansiyel farkının olduğu iki n

eş-p

okta arasında,

otansiyel yüzey

V∆

Eş - Potansiyel Yüzeyler :



potansiyel fark ının olduğu iki nokta arasında,

yükü

V

q

∆

nü bir noktadan diğerine götürmek için

elektrik alan taraf ından yapılan iş: .W q V = − ∆

( )

( )

I

II

III 2 1

IV 2 1

I numaralı yol : 0 olduğundan, 0 olur.

II numaralı yol : 0 olduğundan, 0 olur.

III numaralı yol : .

IV numaralı yol : .

Bir yükü, eş-potansiyel bir

V W

V W

W q V q V V

W q V q V V

∆ = =∆ = =

= ∆ = −

= ∆ = −

Not : ( )yüzeyde 0 hareket ettirmek için

elektrik alan taraf ından herhangi bir iş yapılmaz ( 0).

V

W

∆ =

=

(24-24)

Potansiyeli olan bir eş-potansiyel yüzey olsun.

Herhangi bir yükünü elektrik alan yard ımıyla,

yüzey üzerindeki bir yol boyunca noktasındannoktasına götürelim yol üzerinde seçilmiş

V

q

AB r∆

Elektrik Alan Eş-Potansiyel Yüzeylere Diktir :

E,



noktasına götürelim. , yol üzerinde seçilmiş

bir uzunl

B r ∆

uk elemanıdır.

Herhangi bir anda elektrik alan vektörü ile arasındakiaçıya dersek, elektrik alan tarafından yapılan iş,

cos

bulunur. ve noktalar ı eş-potansiyel bir yüzey üzerinde

oldu

E r

W F r qE r qE r

A B

θ

θ

∆

= ⋅ ∆ = ⋅ ∆ = ∆

9ğ

0u için, 0 ve böylece, cos 0 olmalıdır.

Buradan da , yani, elektrik alan eş-potansiyel yüzeye

dik olmalıdır.

W qE r θ

θ

= °= ∆ =

(24-25)

Eş - Potansiyel Yüzeyler ve Elektrik alan Çizgileri :Düzgün Elektrik Alan İzole Nokta Yük Elektrik Dipol



(24-26)

0 0 sabit sabit4 4

nokta yükünü merkez alan yar ıçaplı kür esel yüzeyler, eş-potansiyel yüzeylerdir .

q q

V r r V

q r

πε πε = = → = =

Nokta Yükü için Eş - Potansiyel Yüzeyler :q

Şu ana kadar, elektrik alanını bildiğimizi kabul ederek elektrik potansiyelini

bulduk. Şimdi de durumu tersine çevirelim. Elektrik potansiyeli bildiğimizi

varsayı

Potansiyelden Elektrik Alanın Bulunması :

p, elektrik alanını bulacağız. Potansiyelleri sırasıyla ve olan

aralar ında mesafesi bulunan iki eş-potansiyel yüzey olsun. Elektrik alanı,

V V dV

dl

+



0 nokta yükünü doğrultusu boyunca eş-potansiyeq dl V l yüzeyinden

eş-potansiyel yüzeyine taşısın. Elektrik alan taraf ından yapılan iş iki şekilde

verilir:

V +dV

0

0

0 0

(Eş-1)

cos cos (Eş-2)

cos cos

bulunur. dik üçgeninden cos teriminin, elektrik

alanının doğrultusundaki bileşen

W q dV

W Fdl Eq dl

dV

Eq dl q dV E dl

PAB E E

l

θ θ

θ θ

θ

= −

= =

= − → = −

i olduğu görülür.

(24-27)

"Elektrik alanın herhangi

bir yöndeki bileşeni, o yönde elektriksel potansiyelin konuma göre

değişim hızının negatif işaretlisidi

Böylece, sonucuna ulaşılır.

Eğer doğrultusu sırasıyla,

,

r".

l

V E

l

l

x

∂= −∂

ve -ekseni alınırsa, elektrik alan bileşenleri: y z



Elektrik potansiyeli konumun bir fonksiyonu ( , , ) ise, elektrik

alan vektörünün x, y ve z bileşenle

; ;

y

V x y z

V V V E E E z x y x y z

∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂ ∂

ri bulunabilir ve birim vektörler

cinsinden:

şeklinde ifade edilebilir.

ˆˆ ˆV V V E i j k x y z∂ ∂ ∂= − − −∂ ∂ ∂

(24-28)

Yar ıçapı olan iletken bir kürenin potansiyeli

,

( )

,

kli d t l d İl tk kü i i i d d d ki l kt ik

RkQ

r R R

V r kQ

r Rr

<

= >

Örnek :



şeklinde tanımlıdır. İletken kürenin içinde ve d ışındaki elektrik

alanını bulunuz.

2 2

( ) 0

ˆ( )

l

r

r

dV E dl

d kQr R E

dr Rd kQ kQ kQ

r R E E r dr r r r

= −

< → = − =

> → = − = → =

(24-29)

2 2

Uzayın belli bir bölgesindeki elektrik potansiyeli,

( , , ) 5 3 2 (V) ile veriliyor. Bölgedeki

elektrik alan bileşenlerini bulunuz. (1, 0, 2) noktasındaki

elektrik alan şiddetini hesaplayı

V x y z x x y yz= − +

−

Örnek :

nız.



( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

(5 3 2 ) 5 6

(5 3 2 ) 3 2

(5 3 2 ) 4

(1, 0, 2) 5 V/m ; 3 2 * 4 5 V/m ; 0

5 5 0 25 2 V/m

x

y

z

x y

l

z

d E x x y yz xy

dx

d E x x y yz x zdy

d E x x

dV E

y yz yz

d

d

l

z

E E E

E

= − − + = − +

= − − + = −

= − − + = −

− → = − = − = − =

= − + − + =

= − →

(24-30)

2 2

0

Yar ıçapı olan ve düzgün yüzey yük yoğunluğuna sahip bir diskin, merkezinden dik olarak geçen ekseni üzerinde oluşturduğu

potansiyel

( ) 2

R

z -

V z z R z

σ

σ

ε

= + −

Örnek :



ile verilmektedir. Diskin bu eksen üzerinde oluşturduğu elektrik alanını

bulunuz.

( )

2 2

0

1/22 2

0

2 20

2

1 = 2 1

2 2

12

z

z

z

l

dV E

d

d E z R z

dz

E z R z

z E

z R

l

σ

ε

σ

ε

σ

ε

−

= − + −

= − →

− + −

= − +

(24-31)

Nokta yük grubunun elektrik potansiyel enerjisi

( ), tek tek tüm yüklerin sonsuzdaki bir noktadan

alınıp bulundukları yere getirilmesi için yapılmasık t l i l k t l

U

Nokta Yük Sisteminin Potansiyel Enerjisi ( ):U



gereken toplam iş olarak tanımlanır.

(24-32)

Herhangi bir yükünü aralar ındaki potansiyel fark ınınolduğu iki nokta arasında, bir noktadan diğerine taşımak

için yapılması gereken iş ile verilir. Buna uygun

olarak, nokta yük grubunu birara

q V

W = q V

∆

∆

ya getirecek şekilde yükleri

teker teker bulunduklar ı noktalara getir erek yapılan işleri

bulmamız ve net işi bulmak için de hepsini toplamamız gerekir.



( )

( )

( )

1 1 1

2 12 2 2 12

0 12

1 3 2 33 3 3 13 23

0 13 23

in getirilmesi : 0

nin getirilmesi : 04

1 ün getirilmesi : 0

4

q W q V

q qq W q V r

q q q qq W q V V

r r

πε

πε

= ∆ =

= − =

= + − = +

(24-33)

2 3 1 31 2

0 12 0 0

3

3

1

2 13

24 4 4

q q q qq qW

r W W W

r r W

πε πε πε = + += + + →

2 3 1 31 2

0 12 0 23 0 134 4 4

q q q qq qU

r r r πε πε πε = + +

tane nokta yükten oluşan bir sistemin elektrik potansiyelenerjisini matematiksel olarak,n



, 10

j ,

ifadesi ile verebiliriz. Bu ifadedeki , ve nokta yükleri

arasın

1

daki mesafed

4

ir.

ni j

i ji

ij j

j

i

i j

r q q

q qU

r πε =<

= ∑

Her yük ikilisinin yalnızca bir defa yazılması gerektiğinedikkat ediniz. Bu nedenle, kesikli toplama işlemi yapılırken

k ısıtlaması getirilmiştir

.i j<

Not:

(24-34)

Şekildeki dört noktasal yükü biraraya

getirmek için gerekli işi hesaplayınız.

( 5.0 alınız).q C µ =

Örnek :



( )( )

1 3 2 3 3 41 2 1 4 2 4

12 13 14 23 24 34

2 2

2 2

29 6

2

+ + + + +

2 3 2 6 4 6 4 1110 3 5 4 4 5 3 10 3 5

9 10 5 10 23 8

1 22.5 12 J10 15 15

q q q q q qq q q q q qU k k k k k k

r r r r r r

kq kqU

U

− −

−

−

=

= + − + − − = − + −

× ×

= − = − = −

(24-35)



Yar ıçapı olan homojen yüküne sahip bir halkanınmerkezine, kütlesi olan bir nokta yükü yerleştirilmiştir.

Halka ekseni boyunca, nokta yükü çok az bir miktar çekilip

durgun halden serbest

R Qm q

q

Örnek :

bırakılırsa, ulaşabileceği maksimum hız

ne olur? nokta yükünün bulunduğu ilk noktanın elektrik potansiyeli:q



ifadesine sahiptir. Sonsuzdaki bir noktanın potansiyeli de 0olduğundan, nokta yükü üzerinde yapılan iş:

( )

i

dq kQV k

R R

V q

W U q V V

∞

∞

= =

=

= −∆ = − − =

∫

2

bulunur. eşitliği yardımıyla:

1 2 0

2

bulunur.

kQq

R

W K

kQq kQqmv v

R mR

= ∆

= − → =

(24-37)

İzole bir İletkenin Potansiyeli :Bir iletkenin üzerindeki veya

içerisindeki ve notalar ını

düşünelim. Bu noktalar arasındaki

potansiyel farkı şu eşitlikle

A B

V V−



Bir iletkenin içindeki elektrik alanının ( ) sıfır

olduğunu biliyoruz. Dolayısı ile, yukarıdaki integral

de sıfırdır ve bulunur. "iletken

eş-potansiyel b

Ö

ir yüze

zetle

r .

,

ydi " B A

E

V V =

(24-38)

potansiyel fark ı şu eşitlikle

verilir: B A

V V −

B

B A A

V V E dl− = − ⋅∫

1 2Yar ıçapları ve olan iki iletken küre, yar ıçaplarınagöre, birbirinden çok uzaktad ır. Daha sonra küreler, şekildeki gibi,

iletken bir telle birbirine bağlanıyor. Küreler dengeye ulaştıktan

son

r r Örnek :

1 2

1 2

ra üzerlerindeki yükler sırasıyla ve oluyor. Dengeye

ulaşıldıktan sonra, küre yüzeylerindeki elektrik alan şiddetlerininoranını ( / ) bulunuz.

q q

E E



1 2

1 2 1 2

11 2

1 1 1 2

2 2 2 12 2

2

Denge durumuna ulaşıldığında, kürelerin potansiyelleri aynı olur:

Küre yüzeylerindeki elektrik alan şiddetlerinin oranı da:

q qV V k k

r r

q E k

r E q r

q E q r E k r

= → =

=

→ = =

2 2

1 2 2

2 1 1

olur.

r r r

r r r

= =

(24-39)

Bir iletkenin yüzeyinin eş-potansiyel olduğunu

ve elektrik alan çizgilerinin de eş-potansiyel

yüzeylere dik olduğunu biliyoruz. Yanda, elektrik

alan içine konmuş bir iletken verilmiştir. Elektrik

Dış Elektrik Alan İçinde İzole İletken :



ç ş ş

alan çizgilerinin iletken yüzeyine dik olduğu ve

iletkenin içinde elektrik alanın sıfır olduğu açıkça görülmektedir.İletkendeki tüm yükler, iletken içindeki elektrik alanı sıfır yapacak

yeni bir düzenlenme içerisine girerler. İletkenin hemen yüzeyin

d ış

0

deki

elektrik alan ile verilir. E σ ε

=

(24-40)

Yüklü Bir İletkenin İçinde veDışındaki Elektrik Alan ve

Potansiyel (ÖZET):

Tüm yük iletkenin yüzeyindedir1



iç

dış

0

Tüm yük iletkenin yüzeyindedir.

İletkenin içinde elektrik alan sıfırdır : 0.

İletkenin hemen dışındaki elektrik alan: .

İletkenin hemen dışındaki elektrik alan iletken yüzeyine d

E

E σ

ε

=

=

1.

2.

3.

4.

iktir.

İletkenin içinde ve yüzeyindeki tüm noktalar aynı potansiyele sahiptir. İletken eş-potansiyel bir yüzeydir.

5.

(24-41)

0

1

4 0

qr R V

R E

πε

< → =

=

Yarıçapı R, Yükü Olan Küresel İletkeninElektrik alanı ve Potansiyeli :

q



0

20

1

4

1

4

qr R V

r

q E

r

πε

πε

> → =

=

(24-42)

B L M-25

Kapasitörler



• İzole iki iletkenden olu an sistemin sı ası C .• Basit geometrilere sahip bazı kapasitörlerin sığalarının hesabı.• Seri ve paralel bağlı kapasitörlerde eşdeğer sığa.

• Kapasitörde depolanan enerji.• Plakaları arası dielektrikle doldurulmuş kapasitörler.• e e r n var ı ın a auss yasası.

(25-1)

Sığa (Kapasitans) :

Birisi ve diğeri de - yüküne sahip, aralar ında hava ya da

boşluk bulunan iki izole iletkenden oluşan sisteme "kapasitör"

q q

denir. Elektrik devrelerdeki sembolik gösterimi, iletken plakalar ı

il d l l iki i idi Bi k i ö ü ükü d ili



temsil eden aralel iki iz idir. Bir ka asitörün ükü denilince

plakalardaki yükün mutlak değeri anlaşılır. Şekilde görüldüğü

,

bir elektrik alan oluşur. Pozitif ve negatif yüklü plakalar ın potansiyelleri, sırasıyla, ve ' dir. Böylece, plakalar arasındaki potansiyel fark ı daV V V V V V

ifadesiyle verilir. Bir kapasitörün yükü ( ), plakalar ı arasındaki potansiyel fark ( )

ile doğru orantılıdır. Orantı sabiti de, o kapasitörün sığasıdır ve birim potansiyel fark

q V

başına yük olarak tarif edilir.

q

(25-2)

V

Paralel Plakalı Kapasitör :



paralel p

Plakalar ı

lakalı ka

nın yüzey alanı ve aralar ında mesafesi bulunan iki paralel plakadan oluşan

sisteme " " denir. Plakalar ın boyutlar ı, plakalar arası mesafeye pasitör

A d

göre çok büyüktür. Bu nedenle, plakalar arasındaki bölgede elektrik alan düzgün, kenar

k ısımlar ına yak ın bölgelerde ise düzgün değildir. Plakalar ın dışındaki bölgelerde elektrik

sıf ır alan " " dır.Bataryalar :

batarya

ucu arasın a sa t r potans ye ar o uşturan ve unu süre

k ılan cihazlara " " diyoruz. Elektrik devrelerinde biri uzun

er ısa para e ç zg e sem o ze e r er. zun ç zg

potansiyelin pozitif olduğu ucu, k ısa çizgi de potansiyelin negatif

o u u ucu g s er r.

(25-3)

Kapasitörün Yüklenmesi :Yanda bir kapasitörün doldurulması için basit bir devre

ucundan kapasitörün "2" nolu plakasına elektron sürer.



" " ,

elektronu toplar. Böylece, plakalardaki yük ve plakalar

başlar. Sonuç olarak, bataryanın birim zamanda topladığı

ve sür ü ü yü aza ı

r. ü a ı

şı

, apas törün p a a ar ı

arasındaki potansiyel fark bataryanın uçlar ı arasındaki

potansiyel farka eşit olana kadar devam eder ve sonra

durur.

(25-4)

Sığanın Hesaplanması :Bir kapasitörün sığası, plakalar ının boyutlar ına,

,geometrisine, bağlıdır. Sığa hesabı için aşağıda



a a ar ın ve yü ü oq q . u ar ı varsayı ır.

Plakalar arası bölgedeki elektrik alan Gauss2.

0 iç yasasından bulunur .ε E dA q

Plakalar arasındaki potansiyel fark, eşitliği kullanılarak hesaplanır.V E dl

3.

Hesaplanan potansiyel fark, eşitliğinde yerine konur ve sığa bulunur.q

C V

4.

(25-5)

Paralel Plakalı Kapasitörün Sığası :e e p a a ar ın yüzey a anı ve ara ar ın a mesa e

olsun. Üstteki plakanın yükü , alttaki plakanın yüküd q

se ur. a a e aynı es a anına sa p ve p a ayı

ortasına alan dikdörgen prizmq

a şeklinde bir Gaussiyen



.

Gauss yasasını uygularsak, plakalar arasındaki bölgedeki elektrik alanı:

0 0

cos 0q q

EA EA E A

u unur. ura an a, p a a arasın a po ans ye ar ç n,

cos180 qd

V Edl E dl Ed

0

bağı

ntısı elde edilir. Dolayısıyla, paralel plakalı bir kapasitörün sığası:

0

0 /

C d

q qC

V qd A

o ara u unur.

(25-6)

2Plakalar ı arası hava dolu olan paralel plakalı bir kapasitörün plakalar ının

'Örnek :

. . .

fark 20 V ise,

) plakalardaki yüzey yük yoğunluğunub



bulunuz.

3

3

20) 16 10 V / m

1.25 10

V a V = Ed E = = =

d

12 3 7 20

0

) 8.85 10 16 10 1.416 10 C / mb E E

12 4

1203

8.85 10 7.6 10) 5.381 10 F

1.25 10

Ac C

d

12 125.381 10 20 107.62 10 CQ

C = Q = CV =V

(25-7)

Plakalar ı

arası

hava dolu olan paralel plakalı

bir kapasitörün plakalar ı

arasına 150 V' luk otansi el fark u ulandı ında lakalardaki üze sel ük Örnek :

2

yoğunluğu 30 nC/cm oluyor.

2 ) Plakalar ın yüzey alanı 4 cm ise, kapasitörün sığasını ve plakalardaki yük b



.

= = 0

12

8.85 10 150V

9 4

12 4

. m(30 10 /10 )= = =

100

6

9

.) 8 10 F

4.425 10b C

d

4 9

44 10 120 10 C

10 = Q = A =

A

(25-8)

Ağırlıksız bir iple paralel plakalı kapasitörün pozitif Örnek :

dengededir. Plakalar arasındaki potansiyel fark ını bulunuz.

y , u



Denge durumunda, nokta yükü üzerine etkiyen net

V = Ed

qkuvvet sıf ır olmalıdır:

sin tantancos

T qE qE mg V d T mg mg q

Q QqtanV mgd

(25-9)

Silindirik Kapasitör :

silindirik kapasi

Aynı uzunluğuna sahip, ve yar ıçaplı eş-eksenli iki silindirik

kabuktan oluşan sisteme " " diyoruz. Silindirlerintör

L a b

boyu yar ıçaplar ının yanında çok büyüktür. Silindirlerle ayn uı uz nluğa

sahip, ( ) yar ıçaplı silindirik bir Gaussiyen yüzey seçerek,r a<r<b



ara bölgedeki elektrik alanını bulabiliriz:

2 cos0 2 Q QrLE rLE E 0 0

2 rL

Bu durumda, içteki ve dıştaki silindirler arasındaki potansiyel fark:

0

cos180 ( ) cos1802

a

b

Q dr V Edl E dr L r

0 0

ln ln2 2

a

b

Q Q br

L L a

0

bulunur ve buradan da sığa:/ 2 ln /

C V Q b a L

C

ln /b a(25-10)

Uzunluğu 50 m olan koaksiyel bir kablolonun içÖrnek :iletkenin yar ıçapı 1.3 mm ve taşıdığı yük 8 C' tur. Dış

iletkeninin ise iç yar ıçapı 3.8 mm ve yükü 8 C' tur. İki

iletkenin arasındaki bölgenin hava ile dolu olduğunu kabul

ederek, kablonun kapasitansını ve iletkenleri arasındaki



p

potansiyel fark ını bulunuz.

0

ln /C

b a

1292(3.14)(50)(8.85 10 )

.

ln(3.8 /1.3)

63

9

8 103.09 10 V

2.591 10

Q QC V

V C

(25-11)

Küresel Kapasitör :Yar ıçaplar ı ve olan eş-merkezli iki küresel kabuktan

oluşan sisteme " " denir. olacak küresel kapasit r ö

a b

a r b

şekilde küresel bir Gaussiyen yüzey seçerek, ara bölgedeki

elektrik alanını bulabiliri :z



4

2

2 2

0cos0 4 4

q q

r E r E E r

Bu durumda, içteki ve dıştaki küreler arasındaki potansiyel fark:a

20

cos180 cos180 4b

V Edl E dr r

0 0

1 1 1

4 4b

q q

r a b

bulunur ve buradan da sığa:1 1

q qC

qV

04 ab

C b a

04 a b

(25-12)

Küresel bir kapasitör, yar ıçaplar ı 7 cm ve 14 cm olanÖrnek :eş-mer ez et en üre en o uşmuştur. apas törün sı asını

hesa la ınız. Kürelerin ta ıdı ı ük 4 C ise, küreler arasındaki

potansiyel fark ını bulunuz.

Kü l bi k i ö ü ğ



Küresel bir kapasitörün sığası:

ab0

b a

412 12

. ,

(7 14) 10

2

. . .(14 7) 10

654 10Q Q

12

.

15.56 10V C

(25-13)

Yar ıçapı d olan çok uzun iki silindir, şekilde gösterildiğiÖrnek :g r r er ne para e r ve e sen er arasın a mesa e r.

Silindirler zıt işaretli yükleri taşıdığına göre, iki silindirdenQ

oluşan bu sistemin birim uzunluğunun sığası ne olur? ( ,d). D

Gauss asası kullanılarak silindirlerin bulundu u düzlemde ve



silindirler arasındaki bölgede elektrik alan:

2 2k k poz t yü ten negat yü e oğru

( ) Lr L D r

2 1 1cos180

D d D d kQ

V V V E dl dr

2 4

ln ln ln

d d

kQ D d d kQ D d

V

0Q L C C

4 ln lnk d d

(25-14)

Eşdeğer Kapasitör:

Sayfanın her iki yanında, bir batarya ve

verilmiştir. Amacımız, her iki devrede de

m apas r er ems e e ece e



eş

m apas r er ems e e ece e

bir kapasitörün sığasının ne olmasıC

gerektiğini bulmak.

- ,

nedeniyle, bataryanın devreye sürdüğü yük miktar ı aynıdır. Aynı

urum sa a res m ç n e geçer r. aş a ey ş e, şe - a

verilen

a

1 2 3 eşsığalar ı ( , , ) ve şekil- ' deki sığayı ( ) ayr ı ayr ıC C C b C

kapalı kutulara alsak ve birtak ım elektriksel ölçümler yapsak,

ölçümler arasında bir fark bulamazdık.

(25-15)

Paralel Bağlı Kapasitörler :e - a r atarya ve r r ne para e a ı ç ar ı

kapasitörden oluşan bir devre verilmiştir. Paralel bağlı

a

, bataryanın uçlar ı arasındaki potansiyel fark ın eşit olduğu

- '. ,



koşuluyla, birbirine paralel bağlı bu üç kapasitöre eşdeğer

tek bir ka asitör ba lamak isti oruz.

Her üç kapasitörün plakalar ı arasında vardır. Her biri üzerindekiaynı potansiyel fark ıV

1 1 2 2 3 3, , . ,

devreye sürülen toplam yük v

e eşdeğer sığa:

1 2 31 2 3 1 2 3 eş 1 2 3

qq q q q C C C V C C C C

V V

. ,

...eş 1 2n

C C C C C n

(25-16)

Seri Bağlı

Kapasitörler :Şekil- ' da bir batarya ve birbirine seri bağlı üç farklı kapasitörden

oluşan bir devre verilmiştir. Bu, kapasitörlerin aynı hat üzerinde ard

a

ar a sıra an ığı an amına ge me te r. Bu om nasyonun ucuna bir batarya ile gerilimi uygulanmıştır. Şekil- ' deki gibi, bataryaV b

aynı a ma oşu uy a, r r ne ser a ı u ç apas re eş e er



aynı a ma oşu uy a, r r ne ser a ı u ç apas re eş e er

tek bir kapasitör bağlamak istiyoruz.

sahip olacaktır. Böylece kapasitörlerin uçlar ı arasındaki gerilimler,

sırası la / / ve / olacaktır. Kombinas-V C V C V C

yonun iki ucu arasındaki toplam potansiyel fark ve eşdeğer sığa:

eq 1 2

1 2 3

1 3

eş

2 3

1 1 1

1 111qV V V V q C

C C C V C C C C

zetle, birbirine paralel bağlı tane kapasitörden oluşan devrenin eşdeğer sığası:

1 1=

n

n

(25-17)

1eş i i

Genellikle, kapasitörlerden oluşan bir devre

kendi içlerinde paralel ve seri bağlı küçük

alt gruplar içerir. Böyle durumlarda, önce

alt gruplar ın eşdeğer sığalar ı bulunur ve

sonra da ana ruba e ilir.



Yukar ı

da basit bir devre verilmiştir. ve uçlar ı

arası

ndaki eşdeğer sı

ğayı

bulmak A C s eye m:

1 2 12 1 2

12 3

ve para e a ı ır şe -

seri bağlıdır (şe

1 1 1 ve kil- )

a

bC C

123 12 3

eş

C

1 2 312 3

123

C C C C C

C

12 3 1 2 3

.

(25-18)

Kapasitörlerden oluşan yandaki devrenin vea bÖrnek :uşlar ı arasındaki eşdeğer sığasını hesaplayınız.

2 3 23

4 5 45

.

ile paralel 8 F.C C C

ile seri + 2 FC C C



1 23 123

123

ile seri + 2 F.4 4 2

C C C C

45 6 456

456

ile seri + 4 F.8 8 4

C C C C

123 456 eş .

(25-19)

Kapasitörlerden oluşan yandakiÖrnek :devrenin ve uşlar ı arasındaki eşdeğer a b

.

1 1 1 1 3 C



4 5 6 456

1 1 1 1 3

, ve seri +

C

C C C C 456

1 1 1 2 C 2 3 23

23

2C C C C

1 23 456 eş, ve paralel +2 3 6

C C C C C C

(25-20)



Elektrik Alanda Depolanan Enerji:Sığası olan bir kapasitörü yüklemek için yapılması gereken

iş ne kadardır? Bunu hesaplamanın yolu da, dolan kapasitörün

C

herhangi bir andaki resmini çekmektir. Plakalar ı arasındaki

gerilimin ve yükünV' ün de olduğu bir an düşünelim. Plaka-q'

l ükü ü k d k i i l k id '



lar ın yükünü kadar artırmak için yapılması gereken iş,dq'

q qC

ile verilir. Kapasitörü toplam yükü ile yüklemek için yapılması gerekenq

2 2

toplam iş:qq

0 0

2 2

W V dq q dq W C C C

2

.

veya1 1

W CV W q CV qV

(25-22)

Kapasitörü yüklemek için harcadığımız enerji, kapasitörde potansiyel

Kapasitörde Depolanan Potansiyel Enerji :

2 2

enerji olarak depolanmıştır:

q CV qV

2 2 2Bu enerji, kapasitörün boşaltılmasıyla tekr

C ar kazanılabilen bir enerjidir.

Enerji Yoğunluğu :



Kapasitörün plakalar ı arasındaki bu bölgede / ifadesi ile verilen düzgün bir

E V d

Enerji Yoğunluğu :

elektrik alan olduğu düşünülürse, enerjinin bu elektrik alanda depolandığını söylemek

yanlış olmaz. Başka deyimle, elektrik alan boş uzayda enerji depolar.

Enerji yoğunluğu ( ), birim hacimdeki potansiyel enerji olarak tanımlanır: .U

u u Hacim

22 2

,

yüzey alanı ve plakalar arasındaki mesafe olmak üzere olduğundan:d Hacim Ad

20

0 0 2 2 2 2

u Hacim Ad Ad d Ad d

u E

(25-23)

. .

1 2Sığalar ı ve olan iki kapasitör, zıt kutuplu ve

plakalar ı arasında aynı gerilimi olacak şekilde dolduruluyor.i

C C

V

Örnek :

Daha sonra bu kapasitörler bataryadan sökülerek yandaki devre

kuruluyor ve her 1 2iki anahtar da (S ve S ) aynı anda kapatılıyor.

) ve noktalar ı arasındaki gerilim fark ı ne olur?) Sistemin, anahtarlar kapatılmadan önce ve sonraki toplam enerjisini bulunuz.

sa a b V

b

s em n son ener s n n ener s ne oranı ne r



1 1 2 21 2 1 2

ve)

i i i i

i i s s

Q C V Q C V

a Q Q Q Q Q

1 1 2 2

1s 1 1 2 11 2 2 2 1

( 1) ve

s s s s

s s s s s

Q C C C C Q Q Q Q Q Q Q Q

C C C C C C

1 21

1 1 2 1 2

s

s s i

C C Q QV V

C C C C C

1 2

1)

2ib U C C V

2

1 22 2 21 2

1 2

1 1 ve

2 2i s s i

C C U C C V V

C C

2

21 22

1 2

1

2 i

s

C C V

C C U C C

2 1 2

1 2

1

2i

i

U C C

C C V

(25-24)

Yükü ve plaka alanı olan paralel plakalı bir kapasitörün plakalar ıQ AÖrnek :arasındaki etkileşme kuvvetini bulunuz.

Herhangi bir anda plakalar arasındaki mesafe olsun. Plakalar arasındakimesafenin olması için yapılması gereken iş:

x

x dx2 21 1Q Q



1 1

2 2i s

Q QdW U

C C

02i

AC

x x dx x

2

0 0 02 s

A A AC x dx

02

x

A

2

02

QdW Fdx F

A

(25-25)

Dielektriğin Varlığında Kapasitörler:Michael Faraday 1837 yılında, kapasitörün plakalar ı arasındaki

,

olan etkisini incelemiştir. Yaptığı birçok denemeler sonucunda,



havahavaönceki sı

ğası

( ) arası

nda eşitliği ile verilen bir C C C

ilişki olduğunu farketti. Burada sabiti, plakalar arasına konan

yalıtkan malzemenin die

lektrik sabitidir ve birimsizdir. Hava ya

da boşluk için , bunun dışındaki yalıtkanlar için ' dir.Faraday deneylerini iki farklı şekilde yapmıştır:

1 1= >

Sabit bir gerilim altındayken (batarya bağlı 1. iken), plakalar

arasına alıtkan bir malzeme erle tirmi tir ekil- .a Batarya bağlı değilken, plakalar ındaki yük sabit iken,

-

2.

.

(25-26)

Şekil - : Sabit Gerilimi Altındaki Sığa : a V

Plakalar arasında dielektrik malzeme yokken, plakalardaki

yük ve plakalar arasındaki potansiyel fark olduğundan,q V

havakapasitörün sığası / ile verilir. FC q V araday, plakalar

arasına dielektrik malzeme erle tirdikten sonra, lakalardaki

yükün çarpanı kadar arttığını gözlemiştir ( )q q



yükün çarpanı kadar arttığını gözlemiştir ( .)q q

havaBu yeni durumdaki sığa: C κ κ C V V V

-

Faraday, bataryadan izole edilimiş yükü sabit olan kapasitörün

,

plakalar arasındaki potansiyel fark ın 1/ oranında azaldığını

g z em ş r

Bu eni durumdaki sı a:

.

q q qC C

V V V

(25-27)

Bir bölge, dielektrik sabiti olan yalıtkan bir

0malzeme ile tamamen kaplanmışsa, terimini

i eren bütün elektrostatik e itliklerde erine

0 yazılmalıdır.

Ö ği di l kt ik bi t d kt ükü



Örneğin, dielektrik bir ortamda nokta yükün

2

1.

q E

0

dışındaki elektrik alan ifadesi:

0

. E

(25-28)

Plaka alanı ve plakalar ı arası uzaklığı olan paralel A d Örnek : ,

sahip, kalınlığı olan yüksüz metal bir dilim konuyor.

Ka asitörün

a

a enisı asını bulunuz.

) Dilimin çok ince olması durumunda, sığanın içi hava dolu bir kapasitöre dönüştüğünü

ve dilimin nereye konulduğunun önemsiz olduğunu gösteriniz.

b

Dilim iletken olduğu için içindeki elektrik alan sıfırdır Dolayısıyla iletken dilim eş potansiyel



Dilim iletken olduğu için içindeki elektrik alan sıf ırdır. Dolayısıyla, iletken dilim eş-potansiyel

yüzeydir. Dilimin dışında kalan bölgeler birbirine seri bağlı iki kapasitör gibi düşünülebilir:

C

a

01

0( ) / 2 1 1 1

A

d a Ad a d a d aC

0 1 2 0 0 0

2

2 2

( ) / 2

e ş

e ş A C C C A A A d a

C d a

0 0

0) 0 durumda, lim (plakalar ı arası hava dolu paralel plakalı kapasitör)

Dilimi, üst yüzeyi ile

e şa

b a C d a d

üst plaka arası

ndaki mesafe b olacak şekilde yerleştirirsek:0

1 2 0 0 0

1 1 1 ( şıkk ı ile aynı sonuç bulunur)e ş

e ş

Ab d b a d aC a

C C C A A A d a

(25-29)

Paralel plakalı

bir kapasitör, kenar uzunluğu olan vearalar ında mesafesi bulunan kare eklinde iki aralel lakadan

l d Örnek :

oluşmuştur. Şekilde gösterildiği gibi, dielektrik sabiti olan bir

dilimin

kadarlık bir bölümü plakalar arasındadır. x

) Kapasitörün sığasını bulunuz.) Plakalar arasındaki potansiyel fark ise, kapasitörde depolanan enerji ne kadardır?

a

b V

) Dili i l k l d k l k il l k l d k l b k bi bi i



) Dilimin plakalar arasında kalan k ısmı ile plakalar arasında kalan boş k ısım, birbirine

aralel ba lı iki ka asitör ibi dü ünülebilir:

a

01

lxC

d

0 0l l

02

( )

e ş

l l xC d

1 2

2

d d

0 0

2

0 0

0 e ş x C

d d

l A

2 20

1) 1

e ş

e ş

d d

l b U C V U x l V

(25-30)

Alanı ve aralar ındaki mesafe olan paralel iki metal A dÖrnek : plaka arasına, şekilde gösterildiği gibi, dielektrik sabiti , kalınlığı

/3 ve plakalarla aynı yüzey alanına sahip olan dielektrik bird

0 . ,dielektrik malzeme konulmadan önceki sığa ( ) cinsinden bulunuz.C

Plakalar arasında dielektrikle dolu olan kısım ile boş olan kısım, birbirine seri bağlı



Plakalar arasında dielektrikle dolu olan k ısım ile boş olan k ısım, birbirine seri bağlı

iki kapasitör gibi düşünülebilir:

01 1 1 1 2 1/ 3 2

AC

d d d d d

1 2

0 1 2 0 0 0

2 2 / 3e ş

C d

0

3

0

2 1

3

e ş

d

A

2 1e ş

d

(25-31)

Alanı ve aralar ındaki mesafe olan paralel iki metal A dÖrnek :1 2

3

, , ,

ve olan dielektrik malzemeler yerleştirilmiştir.

u şe e o uş uru an apas r n sı

ası

nı

u unuz.2 3Dielektrik sabitleri ve olan malzemelerle dolu bölgeler birbirine seri bağlı

1kapasitörler gibi değerlendirilebilir. Bu birleşik bölge de, dielektrik sabiti olan



bölge ile paralel bağlıymış gibi düşünülebilir.1 0

1

/ 2 AC

d

2 32 0

223 2 3 2 0 3 0 0 2 3 / 2

/ 2C C C C A A Ad

3

0 2 3 0 2 31

/ 2d

A A

23 1 23

2 3 2 3

2

e ş

d d

2 e ş

d

1 2 3

2 3

;2

e ş

d

(25-32)

Eş-merkezli iki iletken küresel kabuktan içtekinin yar ıçapı ,'

aÖrnek :

1

. ,

bölgesi dielektrik sabiti olan bir malzeme ile,a r b b r c

Bu şekilde oluşturulan kapasitörün sığasını bulunuz.

Küreler arasında farklı dielektrik malzemelerle dolu olan k ısımlar, birbirine seri bağlı iki



, ğ

kapasitör gibi düşünülebilir:

1 1 041 1 1

abC

b a c bb a

1 b a c b

1 2 1 0 2 0

2 2 04 e şc a c

C c b

0 1 2a c

0 1 2 0 1 2

1 2 0

4 4

4

e şC b ac b ac

abc

2 1

0 0

( ) ( )

4 4 1 =

e ş

c b a a c b

abc abcC

04=

ac

c a a c c a c a

(25-33)

Yar ıçaplar ı ve olan iki metal kürenina bÖDEV:mer ez er arasın a uza ı r ve .

Şekilde gösterildiği gibi, kürelerin yükleri ve

a

+Q

se, s s em n sı

ası

nı

u unuz.

Gauss yasası kullanılarak, küre merkezlerinin bulunduğu düzlemde ve

küreler arasındaki bölgede elektrik alan:



ozitif ükten ne atif üke do rukQ kQ ( )

Burada , negatif yüklü kürenin merkezind

r d r

r

en olan uzaklıktır.

221 1 cos180d a d a

b b

V V V E dl kQ dr r d r

1 1 1 1 1 1 2

4

QV kQ

d a b a d a a b d a

0 04 4

1 1 2 1 1 2

QC

V

a b d a a b d

(25-34)

Paralel plakalı

bir kapasitörün plakalar ı

nı

n kenar 'ÖDEV: .

Plakalar arasındaki bölge, şekilde gösterildiği gibi, köşeden

,

şeye ç z en a a1 2

ye nm ş ve e e r sa er ve olan malzemelerle doldurulmuştur. Bu şekilde

o uş uru an apas r n sı asını u unuz.

Wd



1 01

WdxdC

2 0 1 2 0 1 22

;e ş

y y y

Wdx dC dC dC WdxdC

y

x L

0 1 2 1 20

1ln

L L

e ş

W dx xC W

1 2 1 1 20 1 2 0

1 1 2

x L

0 1 2 1

1 2

lne ş

W C

d

20 0

1

2

; ln 1

e ş

W W C

d d

(25-35)

Dielektrikler : Atomik Bak ı

şD e e tr er, " " ve " " ye sını a

ayr ılır. Polar dielektrikler, elektrik alan sıf ır olsa bile

po ar po ar o mayan

yapılar ındaki yük dağılımlar ının simetrik olmayışındandolayı sıf ırdan farklı dipol m 2omente sahiplerdir (H O).

Elektrik alan sıf ırken dipollerin yönelimleri gelişigüzel



-

.

uygulandığında (Şekil- ), minimum enerji durumunab

ar şı ı ge ğ ç n po er e e tr a an a p

a nı önde önelme i tercih edeler. Termal hareketlilik nedeni le

bu yönelim tam olarak gerçekleşemez. Ancak, bu k ısmi yönelim

en s n o uş uran ış e e r a an a zı y n e r ç e e r a an

oluşt 0urur. Bu nedenle, net elektrik alan dışardan uygulanan E E

(25-36)alanından daha .

zayı

ftı

r

Polar olmayan dielektrikler, elektrik alanın olmadığı

durumda herhangi bir dipol momente sahip değildir

(Şekil- ). Plakalar ı arasında düzgün elektrik alanınına

0 olduğu paralel plakalı bir kapasitörün p E

lakalar ı

0 ,

alanı kendisiyle aynı yönde yönelmiş bir elektrikp



alanı kendisiyle aynı yönde yönelmiş bir elektrik p

- .

dielektriğin içinde net bir yük oluşturmazlar. Ancak,

dielektriğin plakalara yak ın yüzeylerinde net bir yük

birikimi olu ur. İndüklenen bu ükler di olün ne atif ve ozitif u lar ından

kaynaklanır ve yak ın olduklar ı plakanın yükü ile ters işaretlidir. Bu yükler,

0 -

ve bunun sonucunda da, kapasitörün plakalar ı arasındaki net elektrik alan E

(25-37)

0daha zayıftır /( ). E E

Dielektriğin Varlığında Gauss Yasası :

amamen e e tr e ap ı r ortam a auss yasası nası

ifade edilir? Plakalar ı arası hava dolu olan paralel plakalı bir

kapasitörün (Şekil- ) plakalar ı arasındaki bölgede elektrik alan, Gauss yasasınd

aan,

0 0 q q

E A E



0 0

0 0 A ifadesine sahiptir.

(Şekil- ) ise, dielektriğin plakalara yak ın yüzeylerinde indüklenen yük olmak üzere:b q 0

0 0

EA E A

0 A

0

E d q q A

.

(25-38)

q

0

Bu sonuç paralel plakalı kapasitör için türetilmiş olsa da, tüm diğer durumlar için dedoğru ve geçerlidir.



Ak ı ifadesi dielektrik sabiti Not 1: ' ı i ermektedir.Dielektriğin varlığında yazılan Gauss yasasındaki yükü kapasitörün yüküdür,qNot 2:

.

Gauss yüzeyinNot 3: in her yerinde sabit olmayabileceği genel durumu düşünülerek, .

(25-39)

BÖLÜM-26Ak ım ve Direnç

Bu bölüm kapsamında şağıdaki konulara yer verilecektir:

• Elektrik ak ımı (i )

• ı J



•

Elektrik ak ı

m yoğunluğu• Sürüklenme hızı

•

( ) J

d ( )

v

• Ohm yasası, ohmik ve ohmik olmayan iletkenler•

Elektrik devrelerinde Güç

(26-1)

Elektrik Ak ımı :

Soldaki ilk resimde (Şekil- ), içinde ve yüzeyindeki her

noktanı

n aynı

potansiyelde olduğu bir iletken verilmiştir.

a

letkenin içindeki serbest elektronlar gelişigüzel hareket

ettiklerinden, herhangi bir yönde net yük ak ışı yoktur.



İletkenin belirli bir noktadan kesilip araya bir batarya

oy u umuzu varsaya ım e - . u son urum a

ve noktalar ı arasında, batarya gerilimine eşit, A B

B V V

.

ve iletkenin içinde belirli bir doğrultuda net bir yük ak ışı

" ". ,

denir.

(26-2)

Şekilde, bir bataryaya bağlı ve içinden ak ım geçen iletkenin

r parçası g r me e r. ; veya e g s er en

kesitlerden herhangi birisini ele alalım. Elektrik ak ımı ,

aa cc

i

edilir. Başka deyimle, ilgili kesitteki olarak bilinir. Matematik olarak:yük ak ış hızı

dq,



ifadesine sahiptir.dt

İletkenlerde ak ımın yönü okla ( ) gösterilir ve ak ımı oluşturan

Ak ımın Yönü :

üklü parçacıklar ın işareti ile şu şekilde ilişkilidir:

Ak ım yüklerin hareketinden kaynaklanıyorsa, yönüpositive1.

.

Ak ım yüklerin hareketinden kaynaklanıyorsa, yönüüklerin hızı ile ters öndedir.

2 negativ. e

v

(26-3)

Ak ım yoğunluğu vektörel bir niceliktir veAk ım Yoğunluğu :

2

y ,

(A/m )i

J A

ile verilir. Ak ım yönüne dik olan birim kesitten geçen ak ım miktar ı

olarak tarif edilir ve elektrik ak ımı ile aynı yöndedir. Bir iletkenden

,



ile verilir.

i J dA

Ak ım yoğunluğu vektörel bir nicelik olduğu halde, ak ımın

0 1

. ,

bir parça verilmiştir. noktasına gelen toplam ak ımı,

ve olam üzere iki

a i i

i e a r ılmı tır. Yükün korunumu ere i

0 1 2 olacaktır. Dikkat edilirse, toplam ak ımı bulmak için herhangi bir vektörel toplama işlemi yapılmamıştır.i i i

(26-4)

Yükü 8.0 nC olan bir nokta yük, çembersel bir yörüngedeÖrnek :100 rad/s' lik bir açısal frekansla dönmektedir. Nokta yükün bu

dönü hareketi nedeniyle oluşan ak ımı hesaplayınız.

2 22 0.02 s

100 f T = =

T

8.0 10q



74.0 10 A0.02

qi = i = =

t

2 5Kesit alanı 2 cm olan bir telden geçen yük ( ) 4 +5 +6 C

ile veriliyor. 1 s anında telden geçen ak ımı ve teldeki ak ım yoğunluğunu

q t t t

t

rnek :

bulunuz.

4dq

5 2

4

251.25 10 A / m

dt

i J

(26-5)

Bir telden geçen ak ım ( ) 100sin(120 ) ifadesinei t = t Örnek :sahiptir. Burada, saniye cinsinden ve ak ım amper cinsindendir.

0 ile 1/240 s arasında telin kesitinden geçen toplam yük

t

t = t =miktar ını bulunuz. Ak ımı oluşturan yüklü parçacıklar elektronlarsa,

bu kadar sürede telin kesitinden ka tane elektron e mi tir?



100 sin(120 ) dq

i dq idt t dt

1/2401/2401

100 sin 120 100 cos 120 t dt t 0

5 5=

19

.

6 2 6 2.618

19. . .

1.6 10

e

(26-6)

)Sürüklenme Hızı ( :d v

r e en en a ım geçmes , e e r a anın e s y e

y er n

belirli bir yönde akması anlamına gelir. Bu ak ış, "sürüklenme

"

.

iletken içinde gelişigüzel hareket etmeye devam ederken, aynı

zamanda da sürüklenirler.



Şekilde kesit alanı olan bir iletken verilmiştir. Ak ımı oluşturan yüklü parçacıklar ınelektronlar ve iletkenin birim hacmindeki serbest elektron sa ısının da oldu unu

A

n

varsayalım.

İletkenin uzunlu L ğundaki bir parçası

ndaki toplam yük: ile verilir ve bu bölgedeki tüm yük / kadarlık bir sürede

kesitinden geçer. Bu durumda iletkenden geçen ak ım ve iletkendeki ak ım yoğunluğu:

d t L v Aq nA e L

q n

t

ALe

i L ;/ d

d d

d

nAv ei

nAv e J nevv A A

ım yo un u u e e e tron ar ın ızı ters yön ü o u un an

şeklinde yazılır.

d J nev(26-7)

6 2Kesit alanı 3.31 10 m olan bak ır bir telden 10 A şiddetinde

ak ım e mektedir. Her bir bak ır atomunun elektronlar ından sadece birisi

Örnek :

ak ımın oluşumuna katk ı verdiğine ve bak ır ın yoğunluğu 8.95 g/ 3cm

, .

molar kütlesi: 63.5 g/mol).

63.5m



31 mol bak ır ın hacmi: = =7.09 cm8.95V d

mo a ır a . tane a ır atomu o u una göre,

elektron yoğunluğu:

28 3

6

6.02 108.49 10 elektron/m

7.09 10n

28 198.49 10 1.6 10 3.31 10d v ne neA

6

42.23 10 m / sd

v

(26-8)

Bir iletkenin iki ucu arasına, şekildeki gibi, potansiyel fark ı

Direnç:V

uygulanırsa o iletkenden ak ım ı geçer. Direnç, bir iletkenin

içinden geçen ak ı

ma, başka deyimle içindeki yük ak ı

şı

na kar şı

i

gösterdiği tepki ya da kar şı koyuşun bir ölçüsüdür. Matematik

olarak:

(V/A ohm, ) R



eşitliği ile verlir. Elektrik devrelerindeki sembolik gösterimii

şekil-b'de verilmiştir.

:ÖzdirenDurgun elektriğin tersine, iletkenin içinde elektrik alan artık sıf ır değildir. İletkenin

içindeki elektrik alan iletkendeki ak ım yoğunluğu ile doğru oratılıdır ve orantı sabitine

de o iletkenin " " denir . SI sistemindeki birimi:özdirencV/m V

i ( )

E J E

(26-9)

2 .

A

/m A

J

İletkenlik ( ) :

1

( m) ' dir. Bir iletkenin elektriği ne kadar iyi

iletti inin bir öl üsüdür. Elektri i i i iletebilen

malzemelerin iletkenlikleri de o denli büyüktür.

, , ,



J E

.

ak ım yoğunluğu birlikte değerlendirilirse, bir iletkenin direnci ( ) ile özdirenci ( ) R

,

/V

E E V L V A A

L

/i J i A i L L J A

= ρ

A

ile verilen bir ilişki olduğu ortaya çıkar.

(26-10)

4 2

10

Kesit alanı 2.00 10 m ve uzunluğu 10.0 cm silindirik bir aliminyumÖrnek :

e n renc n esap ayınız. ynı oyu ara sa p, z- renc . m o an

cam bir silindir için yukar ıdaki hesabı tekr

8ar yapınız. ( 2.82 10 m) Al

8 5

4

0.12.82 10 1.41 10

2.00 10

0.1

Al Al

L R

A L R

A L

4. .

cam cam R

A



2.00 10 A

.

direncini hesaplayınız. 1 m uzunluğundaki nikrom telin uçlar ı arasınan 10 V' luk

6 , . Ni Cr

22 3 7 20.321 10 3.24 10 m A r

7

1.5 10

4.6 /m3.24 1010

R

L A

V

.

4.6 (1) R

(26-11)

Farklı malzemelerden yapılmış, kenar uzunluğuÖrnek :

5

3 mm olan kare kesitli iki tel şekildeki gibi birleştirilmiştir.

Birinci tel 25 cm uzunluğunda ve öz-direnci 4 10 m,

ikincisi ise 40 cm uzunluğunda ve öz-direnci 6 10 m'dir.

Birleşik telin toplam direncini hesaplayınız.

50.25 10

4 10 L

R



5 234 10 93 10

A A R A

L

5

23

0.40 24

6 1093 10

B B

L A R

A

Teller birbirine eklendiği için, toplam direnç:

10 24 343.78

9 9 9 A B R R R

(26-12)

Şekilde, iç iletkeninin yar ıçapı 0.5 cm, dış iletkenininyar ıçapı 1.75 cm ve uzunluğu 15 cm olan koaksiyel bir kablo

a

b L

Örnek :

verilmiştir. Koaksiyel kablolar, ak ım kablo boyunca akacak şekilde

tasarlanırlar. İletkenler arası bölge, ak ım kaçaklar ını önlemek için

.

hesaplayınız. İletkenler arasına 12 V' luk bir potansiyel fark uygulanırsa,

ka ak ak ım miktar ı ne kadardır? 640 m

K bl d ki k k kı ö ü d l d ğ lt d dı Y i i il tk d



Kablodaki kaçak ak ım yönü radyal doğrultudadır. Yani, iç iletkendendış iletkene doğrudur. Kablo ile aynı eksenli ve aynı boyda, yar ıçapı

ve kalınlığı olan silindirik bir kabuğun direnci:

r dr

L

R

dr

dR

ifadesine sahiptir. Dolayısı ile silikonla kaplı bölgenin toplam direnci ve kaçak ak ım:

640 1.75b bdr dr b

2 2 2 2 (0.15) 0.5

1214.1 mA

a arL L r L a

V I

olarak bulunur.

(26-13)

Şekilde öz-direnci , uzunluğu , iç yar ıçapı ve dışa L r Örnek : .

arasına gerilim fark ı uygulandığında, ak ım silindir ekseni boyunca

akma

b

ktadır. Bu u lar arasında silindirin direncini bulunuz.

Silindir ile a nı eksenli ve uzunlu undaki bir kesitin direnci:dL

L dLR dR



2 2 L dL R dR A b a

ifadesine sahiptir. Silindir ekseni boyunca bu dirençleri üst üste toplarsak,

toplam direnç:

2 2 20

LdL

Rb a b

2 2 20

L L

dLa b a

olarak bulunur.

(26-14)



Şekilde, tabanının yar ıçapı ve tavanının yar ıçapı

-

b aÖDEV:

bir cisim verilmiştir. Bu cismin tavanı ile tabanı arasındaki

direncini bulunuz.Tavan yüzeye paralel ve kadar uzakta, kalınlığı olan bir

plakanın direnci:

z dz

22 ; L dz dz

R dRb a y a



22 ; R dR A y b L za

z a

ifadesine sahiptir. Tavan yüzeyinden taban yüzeyine kadar bu

,

1

L

Ldz L L

2

0

0

b ab a abb a z a z a L L

olarak bulunur.

(26-16)

Özdirencin Sıcaklıkla Değişimi:

e e a ır ın öz renc n n sıca ı a

nası

l değiştiği verilmiştir. Bu değişimneredeyse çizgiseldir ve birçok iletken

i in benzerdir.

Birçok pratik uygulamalarda özdirencin sıcaklığa bağlılığı matematiksel



Birçok pratik uygulamalarda, özdirencin sıcaklığa bağlılığı matematiksel

0 0

o ara ,

1 T T bağı özdirencintısı ile verilir. Buradaki sabitine " "

denir. kelvin cinsinden

n sıcaklık katsayı

od

sı

T

a sıcaklı ı 293 K ve ' da iletkenin oda

8sıcaklığındaki özdirencidir. Örneğin, bak ır ın oda sıcaklığındaki

'o . .

(26-17)

o

Bir ampülün içindeki tungsten telin direnci, ampül yanmıyorkenÖrnek :

0

3

,yanıyor en ur.

mp yanıyor en sıca ı ı ne

kadardır? ( 4.5 10 ).tungsten

=

=

0 01 ; L

T T R A

0 0

1 140 1R



o0 3

1 140 11 1 20 1435 C

RT T T

0 .

(26-18)

Ohm Yasası :

kil d bi di i d k di i l d ki i lb



Şekil- ' de bir direnç üzerinden geçen ak ımının, direncin uçlar ı arasındaki potansiyelb i V

fark ına bağlı değişimi verilmiştir. Ak ım-gerilim ( - eğrisi) karakteristiği denilen bu eğri,

orijinden geçen

i V

bir doğrudur. Bu tür iletklenlere " " iletkenler adı verilir ve ohmOhmik

yasasına uyar ar. anım o ar r e en en geçen a ım, sa r sıca ı a,

iletkenin iki

a o m yas

ucu arasın

as

daki potan

ı:

". Her iletkenohm yasasına

" " '

siyel farkla doğru orantılıdır

. . , -

yar ı-iletken bir diyotun ak ım-gerilim karakteristiği ver

ilmiştir. Görüldüğü gibi / ( )V i R

(26-19)

Ohm Yasasına Mikroskopic Bir Bak ış:

e en azı c s m er n o m yasasına uy u unu an ama

için, iletimin nasıl gerçekleştiğine atomik düzeyde bakmak

. ,

yandaki şekilde gösterilmiştir. İletken içindeki serbest

elektronlar ın eli i üzel hareketleri akla ık olarak

6

10 m/s mertebesindeki hızlarla olur ve sürekli olarak



10 m/s mertebesindeki h zlarla olur ve sürekli olarak bak ır atomlar ı la çar ışırlar.

Serbest elektronun bir iletken içindeki ve noktalar ı arasında izlediği yol A B

yu ar ı a şe e gr es ç zg er e g s er m ş r. zg n r e e r

alanı uygulandığında, elektronun izlediği yol ise aynı şekil üzerinde yeşil renkte

. ,

doğru küçük bir sürüklenme hızı kazanmış ve noktasına ulaşmıştır.d v B

(26-20)

İletken içindeki serbest elektronlardan sadece birini düşünelim. Ardışık çarpışmalar arasında

geçen ortalama süre olsun. Üzerinde etkiyen elektriksel kuvvet elektron ivme kazanır:

F eE

F eE am m

,

sürüklenme hızı,

E -1eE

v a

olur. akım yoğunluğuna sahip bir iletkende elektronların sürüklenme hızı,

m

J



olur. ak m yoğunluğuna sahip bir iletkende elektronlar n sürüklenme h z , J

-

eşitliği ile verilir. Bu iki eşitlik birleştirilirse,

d d ne

2

sonucu elde edilir. Bu son eşitlikten:

d v E J

ne m ne

2

bağıntısı elde edilir. Eğer elektrik al

E m

ne

J

ana bağlı değilse, iletkenin özdirenci değişmez ve

ohm yasası ile uyumludur.

(26-21)

Elektrik Devrelerinde Güç:

Şekilde verilen elektrik devresini düşünelim. Bir

cihazın (direnç, motor, ...) ve uçlar ı arasınaa b

batarya ile gerilimi uygulanmıştır. Devreden

geçen ak ımı nedeniyle cihazın bir ucundan

V

i

ğer ne t a ar ı r zaman a a ar

bir yük geçer

q t



bir yük geçer.

Potansiyel enerjideki azalma kadardır. Bu enerji batarya

taraf ı

ndan cihaza aktar ı

lı

r. Bataryadan cihaza enerji aktar ı

lma hı

zı

" "

dU Vdq Vidt

güçolarak tanımlanır ve

dU Vidt

dt dt

ifadedine sahiptir.

,

2 2

Ohmik bir direnç üzerinde açığa çıkan güç ifadesinde eşitliği kullanılarak

/ olarak yazılabilir.

V iR

P iV i R V R

(26-22)

Direnci 8 olan nikrom bir telin uçlar ı arasına 120 V' luk bir Örnek : poatns ye ar uygu anara r e e tr ısıtıcısı yapı ıyor. Te en geçen

ak ımı ısı üretilme hızını bulunuz.

2 2

12015 A

8

15 8 1800 J/s

V i

R

P i R

240 V' luk bir gerilim altında çalışan ve 20 A akım çeken bir fırındaÖrnek :



240 V luk bir gerilim altında çalışan ve 20 A ak ım çeken bir f ır ındaÖrnek : saa oyunca p ş r en r yeme ç n enece e e r parası ne a ar ır

(elektriğin kW-saat' i 15 kuruştur).

20 240 4800 W 4.8 kW

4.8 4 19.2 kW-saat

P iV

Enerji W P t

. .

(26-23)

-Devreler

Bu bölümde aşağıda listelenen konulara değinilecektir:

Elektromotor kuvvet (emk)



Kirchhoff’ un çevrim kuralı

’

Çok halkalı

devrelerSeri bağlı dirençlerParalel bağlı dirençlerBir kapasitörün dolması ve boşalması, RC devresi

(27-1)

Bir iletkende ak ımın sürekli olması için, iki ucu arasına potansiyelfark uygulamak gerekir. İletken içinde oluşan elektrik alan, sürekli

olarak bir ucundan diğerine yük pompalar. Bir iletkenin iki ucu

aemk k rası

n aynağda sürekli bir potansiyel fark oluşturmaya yarayan cihaza" " adı verilir. Bir üretecin emk' sı, elektromotorı kuvvet

kaynağı taraf ından yük taşıyıcılar ı üzerine birim yük başına yaptığı iş ( )

olarak tanı

mlanı

r. Birimi J/C veya volt' tur. Batarya, pil, akü birer emk kaynağı

dı

r.

= dW / dq

Bu cihazlar sanki bir "yük pompası" gibi çalışırlar Potansiyelin düşük olduğu uçtan



y y , p , y ğBu cihazlar sanki bir "yük pompası" gibi çalışırlar. Potansiyelin düşük olduğu uçtan

potansiyelin yüksek olduğu uca doğru sürekli olarak yük pompalarlar. Aşağıdaki

şekilde, sistemin mekanik eşdeğeri verilmiştir. Buradaki pompa, suyu alçaktaki bir

de odan üksekteki ba ka bir de o a om alamaktadır ve

elektrik devresindeki emk kaynağına kar şılık gelir. Depolar

arası

ndaki boru elektrik devresindeki direnci de olar da direncin yüksek ve düşük potansiyele sahip uçlar ını temsil

(27–2)

Bir emk kaynağının kutbu, bir ucunda küçük çember olan bir okla gösterilir. Okun yönü kaynağın negatif ucundan pozitif

ucuna doğrudur. Bir devreye bağlandığında, kendi içindeki

pozitif yükler negatif uçtan pozitif uca doğru akar ve devredede bir ük ak ı ı olu masına sebe olur. Bunu a arken d

yükü üzerinde ile verilen bir iş yapar. Kaynağın

batar a olması durumunda erekli ener i batar a i in

dW dq

deki



kimyasal reaksiyonlardan; jeneratör olması durumunda, mili

güneşten sağlanır. Yandaki devrede, B kaynağında depolanmış .

enerjiye, bir k ısmı direnç üzerinde ısıya ve kalan k ısmı da A

ayna ın a myasa ener ye n ş r.

(27–3)

Yandaki devrede (Şekil- ), direnici bir emk kaynağı

nı

na R ve uçlar ına bağlıdır.a b

İdeal Batarya:

ve uçlar ı arasındaki gerilimi, üzerinden geçen ak ımınaa b V i

a ı e se em ayna ı ea r en

r e - .



y

Gerçek Batarya:

ve uçlar ı arasındaki gerilimi, üzerinden geçen ak ımıyla

-

a b V i

.Bu ifadedeki , emk kaynağının iç direnc" " dii r.r

(27–4)

Tek Halkalı

Bir Devredeki Ak ı

m:Şekilde tek halkalı bir devre verilmiştir. Kaynağın ideal ve bağlantı

kablolar ının ihmal edilebilir dirence sahi oldu unu varsa alım.

Devrede saat ibreleri yönünde bir ak ımı akar.i

kadarlık bir zamanda devreden kadarlık bir yük akar. Bu durumda bataryadt dq idt

a es e ver en r ş yapar. Ener n n orunumu gereğ u ener W q i t



ş y p g ğ

direnç üzerinde ısı enerjisi olarak a

q

çığa çıkar:

2 0iidt Ri dt R Ri

Bu son eşitlik, Kirchhoff' un çevrim kuralı olarak bilinir. Daha açık bir ifadeyle;

"Bir elektrik devresindeki herhangi bir çevrim boyunca tüm elemanlar

üzerindeki potansiyel değişimlerinin toplamı sıf ırdır".

şeklinde tarif edilebilir.

(27-5)

İç direnci 0.25 ve emk' sı

13 V olan bir batarya,r = =

Örnek :

u r renc n uç ar ına a anmıştır.=

) Devreden geçen ak ı

mı

ve bataryanı

n çı

k ı

ş gerilimini) Bataryanın devreye sağladığı gücü,ab

dirençler üzerinde

birim zamanda açığa çıkan ısı enerjisini hesaplayınız.

) 4 Aa i



) 4 A0.25 3

a ir R

veya .

) 4 13 52 Wbatarya

= i = = ir =

b P i

22

2

4 3 48 W R P = i R =

.r = r =

(27-6)

İ direnci ve emk' sı olan bir batar a, ekildekir Örnek :

gibi direncinin uçlar ına bağlanmıştır. Hangi direncinde,

üzerinden ekilen ü maksimum olur?

R R

2

2 R

i P

r r R



2

4

0 0 2 0= = r R R R r

dR r R

2 2

max 2 4

R P

r r R

r

(27-7)

Direnç Kuralı :Bir direnç üzerinden geçen ak ımla hareket

ediyorsak, direnç üzerindeki potansiyel değişimi:

aynı yöndeV iR

Bir direnç üzerinden geçen ak ımla hareketV iR ters yönde

ediyorsak, direnç üzerindeki potansiyel değişimi:

V iR



EMK Kuralı :

deal bir kaynak üzerinde, hareket

ediyorsak, kaynak üzerindeki potansiyel değişimi:

emk' nın yönünde

İdeal bir kaynak üzerinde, hareket

emk' nın tersi yönde

e yorsa , ayna zer n e po ans ye e ş m :V

(27-8)

Şe - ' a ver en evrey e e a a ım. Batarya, ç renç gerçe r atarya ır.

Bu çevrim için, noktasından başlar ve saat ibreleri yönünde tam bir tur atarak

a r

a

Kirchhoff' un çevrim kuralını uygularsak:



0ir iR i

buluruz.

R r

Şekil- de, noktasından noktasına saat ibreleri yönünde giderken çevriminb' a b

her noktasındaki potansiyeli çizilmiştir. Batarya üzerinde negatif uçtan pozitif uc

V

a gittiğimiz için, potansiyel değişimi pozitiftir. Ak ımla aynı yönde hareketV

ettiğimiz için, her iki direnç üzerindeki potansiyel değişim negatiftir.V

(27-9)

Şekilde iki batarya ve iki dirençten oluşan tek Örnek :halkalı bir devre verilmiştir. Bataryalar ın iç direçleri

ihmal edilebilir. Devreden geçen ak ımı, dirençlere

aktar ı

lan güçleri ve 12 V' luk bataryanı

n devreyesağladığı gücü hesaplayınız.

1 2

6 12 10 8 10 0 A

18 3

V I I I

Negatif işaret akımın ters yönde aktığını göstermektedir



2

Negatif işaret, ak ımın ters yönde aktığını göstermektedir.

1

2

1

8 0.89 W3 9 R

P I R

2

22

1 1010 1.11 W

3 9 R P I R

2 2

112 4 W P I

(27-10)

Çok Halkalı Devreler:

Şekilde iki halkalı bir devre verilmiştir. Bu devre ,

ve olmak üzere üç kolludur. Her koldan geçen ak ıma bir

bad bdc

bd

isim verilir ve keyfi bir yön seçilir. Yapılan işlem sonucundaak ım için negatif bir değer bulunabilir. Bu durum bize, ilgili

ak ımın yönünü başlangıçta yanlış seçtiğimizi bildirir.

,



1 2 3, ve isimleri verilmiş ve ak ımlar için seçilen yönler devre üzerindei i i

göster m şt r. ve no ta ar ı rer avşa tır. ü

1 3 1 32 2

ün orunumu gereğ ,

noktasına gelen ve ak ımlar ının toplamı ak ımına eşittir ( ).i i id i i i

Bu, Kirchhoff' un kavşak kuralı olarak bilinir ve daha açık bir ifadeyle;

"Bir kavşağa gelen ak aıml r ın toplamı, o kavşağı terkeden ak ımlar ın

ekl

topl

inde

amına eş

tarif e

itti

di

r".

lir.

(27-11)

1 2 3Devredeki , ve ak ımlar ını belirlemek için üçi i idenkleme ihtiyacımız vardır. Bunlardan birincisi,

noktasına uygulanan kavşak kuralından bulunur:d

1 3 2 (Eş-1)i i i ,

hareket edilerek Kirchhoff' un çevrim kuralının uygulanmasıyla bulunur:

1 1 1 3 3 i i 0 (E 3)bd i R i R



3 3 2 2 2için: 0 (Eş-3)bdc i R i R

1 2 3ç nmeyen u ç en em n ç z m n en, evre e , ve a ım ar ı

bulunabilir. Herhangi bir ak ımın değerinin negatif bulunması, ilgili ak ım için başlangıçta seçilen yönün yanlış olduğu anlamına gelir. halkası için de

çevrim kuralı uygulanarak dördüncü bir eşitlik daha bulunabilir. Ancak, bu

abcd

yeni eşitlik bize yeni bir bilgi vermez. Bu yeni eşi

1 1 1 2 2 2

tlik, için: 0 (Eş-4)abcd i R i R

ile verilir ve Eş-2 ile Eş-3' ün toplamından başka bir şey değildir.

(27-12)

Yanda verilen devrenin kollar ından geçenÖrnek :

1 2 3, ve a ım ar ını, rc o un çevr m ve avşa

kurallar ını kullanarak bulunuz.

'

1 1 2 2 1 2

halkası için: 12 3 5 4 0 2 3 4 (Eş-1)

-

abcf I I I I I I

2 2 3 2 3 k ğ i i (E 3)I I I



1 2 3kavşağı için: (Eş-3)c I I I

' '- 1 3

2 1 3

- , - ,

6 17 11 A A A I I I

1 3 2 bulunur. ve ak ımlar ının başlangıç yönleri doğru, ak ımının başlangıç I I I

y n se ers seç m ş r.

(27-13)

'

kullanarak, yanda verilen devredeki tüm dirençlerden

geçen ak ımlar ı bulunuz.

Kirchhoff' un çevrim ve kavşak kurallarınıÖDEV:



Kirchhoff un çevrim ve kavşak kurallar ınıÖDEV:,

geçen ak ımlar ı bulunuz. 200 ' luk direncin uçlar ıarasındaki potansiyel fark ı hesaplayınız.

(27-14)

Bir Devrede İki Nokta Arasındaki Potansiyel Fark:

.

arasındaki potansiyel fark ı,b aV V

no tasın an no tasına are et e er en,

tüm elemanlar üzerindeki potansiyelb a

a

V V V

değişimlerinin toplamı

işlemiyle bulunur.

a noktasını b noktasına bağlayan iki farklı yol bulunmaktadır potansiyelbV V



a noktasını b noktasına bağlayan iki farklı yol bulunmaktadır. potansiyelb aV V

b aV V ir Saat ibreleri yönünde :

aa re er n n er

Bu devre için Kirchhoff' un çevrim kuralı uygulanırsa, 0b a

ir iR

Not-1:

s y n n e:

bulunur. Bu da, anlamınayoldangelir.

İki nokta arasındaki potansiyel fa ak br ğ

ir iR N 2 :ot -

ımsızdır .

(27-15)

Şekilde iki halkalı

bir devre verilmiştir. DevredekiÖrnek :1 2 3kollardan geçen , ve ak ımlar ını bulunuz. ve

noktalar ı arasındaki potansiyel fark ını ( ) üç farklıca c a

I I a c

V V V

yolu takip ederek hesaplayı

nı

z.Kirchhoff' un evrim ve kav ak kurallar ından

1 3 1 3halkası için: 10 6 2 0 3 5 (Eş-1)

-

abcd I I I I

1 2 3

kavşağı için: (Eş-3)c I I I



1 2 3kavşağı için: (Eş 3)

-

c I I I

- ' - '2 3

1 2 3

, ,

2 A 3 A 1 A I I I 1 2 3. ,

yönleri ise ters seçilmiş.

3 a c c a 3

1 1

yolu: 10 6 10 6 10 6(2) 2 Va c c aabc V I V V V I

2 2 a c c a

(27-16)

3Şekilde iki halkalı bir devre verilmiştir. kolundan geçenbe I Örnek :

1 2 , ,

üzerindeki bataryanın emk' sını bulunuz. ve noktalar ı a

a d rasındaki

.da d a

Kirchhoff' un çevrim ve kavşak kurallar ından,

3 2 2

3 1 1 1

halkası için: 5 2 0 2 10 (Eş-1)

5

halkası

için: 5 15 7 0 7 15 10 A

befa I I I

bedc I I I I

1 2 3kavşağı için: 2 (Eş-2)b I I I



1 2 3ş ğ ç ( ş )

5 91 n e 1 2 2er ş- e u anı ırsa:

7 7

9 882 10 10 2 V bulunur. I

2

9 88 yolu: 2 2( ) 10 V

7 7a d d aafed V I V V V

3yolu: 5 5(2) 10 Va d d aabed V I V V V

5

a 7

a

(27-17)

Eşdeğer Direnç:

Yanda, birbirine farklı şekilde bağlanmış üç adet

.

direnç içeren bu gruba elektriksel olarak eşdeğer

eştek bir direnç bağlayabiliriz. Bunun anlamı,

e -kil

R

' da diren rubunun u lar ı

arası

na u ulananaeşgerilimi, şekil- ' deki direncinin uçlar ı arasınaV b R



eşg , ş ç

.

1 2 3 eş, , ,

kutular içine alınırsa, bu devrelerde yapılacak elektriksel ölçümlerle

bunlar ı birbirinden ayırd etmek imkansızdır.

(27–18)

Seri Bağlı Dirençler :

Şekil- ' da, seri bağlı üç dirençten oluşan bir devre verilmiştir.

Bu dirençlerden ak ımı geçer. Üzerlerindeki gerilimlerin

a

iaynı

1 2 3toplamı kaynağının gerilimine eşittir ( + ). Şekil- 'deseri ba l

V V V = b

ı ü dirence e de er tek diren li bir devre verilmi tir.

Her iki devre için de, başlangıç noktası seçilir ve saat ibreleri

'

a



1 2 3

1 2 3eş 1 2 3

0iR iR iR

R R R R

i

R R R

eş

eş

0iR i R

u unur. tane renc n ser a anması urumun a se eş e er renç:

ifadesine sahi. olur . ..n

R

n

R R

(27-19)

eş1

n

i

Paralel Bağlı Dirençler :e - a para e a ı a ı üç rençten o uşan r evre

verilmiştir. Dirençlerin uçlar ı arasındaki gerilimler ( ),

a

aynı

1 2 3sağladığı ak ıma eşittir ( ). Şekil- ' de paraleli i i i b .

Her iki devre için de noktasında Kirchhoff' un kavşak a

1 1 1



1 1 1i

eq 1 2 3

1 2 31 2 3

1 2 3

; ; olmak üzere,i i i

R R R R R R R i

eş

bulunur. tane direncin paralel bağlanması durumunda ise eşdeğer direnç:n

1eş 1 2

. . .i i n R R R R R

ifadesine sahip olur.

(27-20)

Şekilde verilen devrenin, ve uçlar ıa bÖrnek :arasındaki eşdeğer direncini bulunuz.

56

56 34563, 4 ve dirençleri birbirine seri: 40 R R



56 3456, ç

3456 23456

234561 ve dirençleri seri: 40ab R R

(27-21)

Şekilde verilen devrenin, ve uçlar ıa bÖrnek :arasındaki eşdeğer direncini bulunuz.

12 89

e ve e no u renç er ser :

12 ve 12 R R

12 89

124 789

e ve e renç er para e :

6 ve 4 R R

789 6789

6789

ve renç er ser :

5 ve dirençleriR

56789paralel: 6R



67895 ve dirençleri R 56789 paralel: 6 R

56789 356789

124 356789

ve renç er ser :

ve paralel: 4ab R R R

(27-22)

Ampermetre ve Voltmetre:, .

iletkenden geçen ak ımı ölçmek için, iletken belli bir

yer n en es r ve es en u uç ar amperme ren n

giriş ve çık ış uçlar ına bağlanır. Böylece, iletkendeki

ak ımın ampermetre üzerinden akması sağlanmış olur.

Yandaki devrede ampermetre, iletken üzerindeki a

ve noktalar ı arasına yerleştirilmiştir.b



A

A 1 A 2

,

ve .r R r R

o tmetre se, r evre e er ang no ta arasın a potans ye ar ını ö çen

bir cihazdır. Yukar ıdaki 1devrede voltmetre direncinin iki ucuna ( ve noktalar ı) R c d

V

V 1 V 2

bağlanmıştır. Voltmetrenin iç direnci ( ), devredeki diğer dirençlerden çok büyük olmalıdır ve .

r

r R r R

(27-23)

Voltmetre:o me re a ı e en:

Voltmetre bağlandıktan sonra, ak ımının bir k ısmı voltmerenin

gerçek

i

u un u u o an a aca ır. rc o un çevr m ve avşa

kurallar ından:

1 2

1 2

V r i

i i i

1 1

V V V gerçek

V V V

r r r i V i R iR V

R r R r R r

o me ren n gerçe ger m çmes ç n: o ma ı ır.V r

Ampermetre:



Ampermetre:

Ampermetre bağlı değilken: gerçek i R

Ampermetre bağlandıktan sonra, devreden geçen ak ım:

R

Ampermetrenin gerçek ak ımı ölçmesi için: olmalıdır.

gerçek A A R r R r

r R

(27-24)

RC Devresi : Bir Kapasitörün Dolması :

Yanda verilen devreyi ele alalım. 0 anında

ka asitörün bo oldu unu ve S anahtar ının

t

a

noktasına temas ettirildiğini kabul edelim.,

yüklemeye başlar.

Buradaki amacımız, kapasitörde biriken yükü zamanın bir fonksiyonu olarak



bulmaktır. Bunun i in batar adan ne atif ucundan ba lar ve saat ibreleri

yönünde hareket ederek çevrim kuralı

nı

uygularsak: 0 0iR R

C dt C dt C

. ,lineer bir diferansiyel denklemdir.

(27-25)

q t dq q C q dq dt dq dt

R

/ln ( ) 1 t C q t q t e

C RC

çözümü elde edilir. Burada ' dir ve devrenin " "olarak tan

zaman sabiımlanır. Bu süre içinde kapasitö i

tirdek

RC yük maksimum

1/2değerinin 0.632 katına ulaşır. Bir diğer nicelik ise,

eşitliği ile tanımlanan " " dır ve kapasitörün yar ı

ln(2)

yar ılanma zamanı

T RC

yar ıya dolması için geçen süre olarak tanımlanır. Kapasitör üzerinde

biriken yükün zamana bağlı değişimi şekil- ' da verilmiştir.a



biriken yükün zamana bağlı değişimi şekil da verilmiştir.a

/

Devreden geçen ak ım ise,

t dq

ile verilir ve zamana bağlı değişimi şekil- ' deki gibidir. 0 anında devredeki

dt R

b t

ak ım maksimumdur ve kapasitörde yük biriktikçe azalır. Devreni

1/2

n zaman sabiti ve yar ılanma süresi aynıdır. Ak ımın, maksimum değerinin 1/e' sine RC T

(27-26)

1/2düşmesi için geçen süre , yar ısına düşmesi için geçen süre olarak tanımlanır.T

Sığası olan yüksüz bir kapasitör, emk' sı olanC Örnek :

5

r a arya e, şe e g , renc zer n en y en yor.

5 F, 8 10 ve 12 V olduğuna göre, devreninC = R = =

, ,

yükü ve devredeki maksimum ak ımı bulunuz. Anahtar kapatıldıktan kadar sonra,

/ /( ) 1 ve ( )t t q t e i t e

5 68 10 5 10 4 s RC



1/ 2

6max

n n . s

12 5 10 60 Cq

5max 5

121.5 10 A 15 A

8 10i

R

6 / 6 1

/

( ) 12 5 10 1 60 10 1 37.9 C

1

q t e e

1 52

R 5

. .8 10

(27-27)

Yanda verilen devredeki S anahtar ı, kapasitör tamamen doluncayaÖrnek :

2

.

yükü bulunuz. 0 anında anahtar açılırsa, direnci üzt = R erinden geçen ak ımı

zamanın fonksiyonu olarak bulunuz ve kapasitör üzerindeki yükün maksimum

değerinin 1/5' ine düşmesi için geçen süreyi hesaplayınız.

2

, .

12 k ve dirençleri üzerinden aynı ak ım geçer: R

3 10 0.33 mA27 10 3

1

i



1 2

3C mqC

t

0 anında anahtar açılırsa, kapasitör birbirine seri bağlı 15 k ve 3 k ' luk

/ /

dirençler üzerinden boşalacaktır.

e ş e şt R C t R C mqdq

/ 3 6e ş

me ş

t R C m

dt R C

q 3 =

5 m e ş .

(27-28)



Kararlı denge durumunda, yandaki devrede gösterilenÖrnek :

.

ne kadardır?

5 4 1

Devre kararlı duruma ulaştığında, kapasitörün bulunduğu

koldan ak ım geçmez. Yani, 0 ve olur. I I I

2 3 2 3

Kirchhoff' un çevrim ve kavşak kurallar ından,

halkası için: 4 3 5 0 3 5 4 (Eş-1)defc I I I I

gbc 2 1 1 2

1 2 3

halkası için: 8+3 5 0 5 3 8 (Eş-2)

kavşağı için: (Eş-3)

f I I I I

c I I I



1 2 3ğ ( )

3 1

2 2

Eş-1' den ve Eş-2' den çekilip Eş-3' te yerine konursa:

8 3 4 3 11 4 4 A

I I

I I I I I 5 5 5 5 11

48 3

44 3

21 5 I 23A ve A5 55 5 5 55 I

a ası ç n:ma g q

C

(27-30)

RC Devresi : Bir Kapasitörün Boşalması :

0

.

yükün olduğunu varsayalım ve S anahtar ının noktasınaq b

. ,

kapasitör direnci üzer R inden boşalmaya başlar. Başlangıcı

kuralını uygularsak:

0 0 alınmıştır!!!iR R iC dt C dt



Bu eş t , r nc erece en, omo en, neer r erans ye en em r.

q t dq q dq dt dq dt

0 0

- /

qdt RC q RC q RC

q t t

0 0

Kapasitör üzerindeki yük eksponansiyel olara

q RC

k azalmakta ve durumunda sıf ırat

1/2ulaşmaktadır. Devrenin zaman sabiti ve yar ılanma süresi aynıdır. RC T

(27-31)

Sığası C olan bir kapasitörün R direnci üzerinden boşaldığını varsayalım.Örnek :) Kapasitördeki yük ne kadar zamanda maksimum değerinin 1/4' üne düşer.

) Kapasitördeki enerji ne kadar zamanda maksim

a

b

um değerinin 1/4' üne düşer.

/ /) ( ) ln 44t RC t RC m

m mq t a q t q e q e RC

2 2 / 2 2 2 /2

ln 4 1.39 1.39

1 ( ) t RC t RC

m m m

t RC RC

q e q q eq t

2 2 4(2 ) 2

2ln 4 ln 4 ln 2 0 693 0 693

C C C C

t RC t RC RC



ln 4 ln 4 ln 2 0.693 0.693t RC RC 2 RC

(27-32)

Sığası olan bir kapasitör emk' sı olan batarya ile yükleniyor C Örnek :

ve a a sonra a, atarya an sö ü üp r renc üzer n en oşa tı ıyor.

Kapasitör tamamen boşalıncaya kadar, direnci üzerinde

R

R açığa çıkan ısı

enerjisi miktar ı ne kadardır?

/ / /

( ) ( )t RC t RC t RC

mq t q e Ce i t e

2

2 2 2 / 2 /( ) ( ) ;

2 /t RC

ı sı ı sı

u t RC dE i t Rdt E i t Rdt R e dt

du dt RC



2 /du dt RC

2 /2 2

20

1t RC

u eı sı RC C E e du e C

0

(27-33)

BÖLÜM-28Manyetik Alan

Bu bölümde aşağıda listelenen konulara değinilecektir:

Manyetik alan vektörü ,

Hareket eden üklü ar acı

a etki en man etik kuvvet

B

Manyetik alan çizgileriDüzgün manyetik alanda yüklü parçacığın hareketi



Ak ım taşıyan tele etkiyen manyetik kuvvet

Ak ım halkasına etki eden tork , ,Hall etkisi

(28-1)

Manyetik Alanın Kaynağı :

Manyetik alan oluşturmanın iki yolu vardır:

İçinden elektrik ak ımı geçirilen iletken tel (elektromagnet)

Kalıcı mıknatıslanmaya sahip malzemeler (mıknatıs)

Hem elektromagnet hem de mıknatıs ince demir tozlar ını



.

dönebilen hafif bir çubuk mı

knatı

s, kendisini Güney-Kuzey .

ak ım taşıyan tel hem de mıknatıs, çevrelerinde "manyetik

o uş urur ve ena an manye uvvee r nuygulayarak hissettirirler.

B

(28-2)

Manyetik Alanı

nı

n Tanı

mı

:

B

Manyetik alan vektörü, hızına sahip bir yüküne uyguladığı

man etik kuvveti cinsinden tanımlanır. üküne sahi arçacık Bv q F

gelişigüzel doğrultularda manyetik alan B

ına gönderilir ve manyetik

.

sıf ır olduğu tek bir doğrultu vardır. manyetik alanı bu doğrultuya

B

B

paraleldir. Bunun dışındaki tüm doğrultularda kuvveti sıf ırdan

farklıdır ve bü üklü ü ile verilir. Burada ilesin

B

F vB

F

v B



farklıdır ve bü üklü ü ile verilir. Burada ilesin F vB v B

arasındaki açıdır. Vektörel olarak bu kuvvet ifadesine B F qv B

sa pt r ve sağ-e ura ına göre, v e n n o uştur uğu üz eme

diktir. Manyetik alanın SI sistemindeki birimi:

N N= = teslaC (m/ s

) A m

(28-3)

Vektörel Çarpma: ve vektörleri arasındaki vektörel çarpma işlemi,a b c a b

.

ile verilir vsi e ile vektörlerinin oluştur uğn d uc a a bb

düzleme diktir. Yönü " " ile belirlenir:sağ-el-kuralı

. .ii. vektörünü parmak uçlar ınız onun yönünü gösterecek a



şekilde sağ avuç içine yatır ınız.

iii. vektörünü kü ük a ı önünde 'nin üzerine sü ürünüz.a b

iv. Baş parmağınız vektörünün yönünü verir.c

Vektörel çarpım, çarpım olarak "cross" da bilinir.

(28-4)

Bileşenleri Cinsinden Vektörel Çarpma : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi j k i j k x y z x y z a b a a a b b b

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi i j j k k 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

;

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆk i j ; i k jolduğundan

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j k i ; k j i

ˆ

ˆ ˆ



y z z y z a a a a x x z x y y xa a a

i k

, .

; a a a x y z a b a b b a Not:

x y z

(28-5)

Elektrik alan ile elektrik alan çizgileri arasındaki ilişkiManyetik Alan Çizgileri :gibi, manyetik alan ile manyetik alan çizgileri arasında da benzer bir ilişki vardır:

1. Herhangi bir P noktası

nda, manyetik alan vektörü B manyetik alan çizgisine teğettir.

2. Manyetik alan şiddeti, manyetik alan çizgilerinin yoğunluğu ile orantılıdır.



B B

(28-6)

Kalıcı Bir Mıknatısın Manyetik Alan Çizgileri:

Şekil-a' da, kalıcı bir mıknatısın manyetik alan çizgileri

gösterilmiştir. Bunlar, bir k ısmı mıknatısın içinden geçen

halkalar şeklindedir. Pozitif yükte başlayı p negatif

yükte sonlanan elektrik a

kapalı

lan çizgileri gibi, başlangıç ve

bitiş noktalar ı yoktur. Kapalı halka şeklindeki manyetik

alan çizgileri, mıknatısın bir ucundan girer diğer ucundan

çıkarlar. Alan çizgilerinin çık ış yaptıklar ı uç mıknatısın

, giriş yaptıklar ı uç ise olarak kuzey kutbu güney kutbu



bilinir. Bu kutuplar ı bağımsız olacak şekilde mıknatıstan

ayıramayız. İkisi birlikte bir " " oluştururlar.magnetic dipole

Şekil-b' de, at nalı şeklinde bükülmüş bir çubuk mıknatısın

man etik alan iz ileri verilmi tir. ekilden de anla ılaca ı

gibi, kutuplar arasında ve kutuplar ın birbirine yak ın olduğu

erlerde man etik alan ok iddetlidir.

(28-7)

6

Şekilde görüldüğü gibi, bir televizyon tüpü içerisindeki elektronlar

-ekseni önünde 8 10 m/s' lik bir hızla ekrana dik do rultuda elmektedir.+x

Örnek :

Tüpü çevreleyen kangallar ın oluşturduğu manyetiko

alan -düzleminde, -ekseni

ile 60 ' lik açı yapmakta ve büyüklüğü de 25 mT' dır. Elektronlara etkiyen

xy x

manyetik kuvvetin büyüklüğünü ve elektronun ivmesini hesaplayınız.

19 6 3sin 1.6 10 8 10 25 10 sin 60 B B F qv B F evB

14 2.77 10 N (sağ-el kuralına göre, yönünde) B F z

16 2

31. 3.04 10 m/s

9.11 10

B

e

F ma am

- '

, . ,



o 6

, ,

ile 37 ' lik açı yapacak şekilde 3 10 m/s hızla hareket etmektedir. Protona etkiyen

man etik kuvvetin bü üklü ünü ve rot

onun ivmesini hesa la ınız.

19 6sin 1.6 10 3 10 0.3 sin 37 B B F qv B F evB

14

1413 2

8.7 10 N

8.7 10

B

B

F

F

27. m s

1.67 10 p

ma am

(28-8)

Kinetik enerjisi 5 MeV olan ve -ekseni yönünde giden protonlar,

şekildeki gibi, 0 ile 1 m aralı

ğı

nda etkin, büyüklüğü 0.05 T olan ve

+ x

x x B

Örnek :

sayfa düzleminden dışar ı doğru yönelmiş düzgün bir manyetik alan bölgesine

giriyor. Protonlar manyetik alan bölgesini hangi hızla terkederler. e . .

132 6 19 71 16 10

5 10 1.6 10 3.1 10 m/sm v v

27

0 0

2 1.67 10

sin90

p

B p y F qv B m a ev B

Proton çok hızlı olduğu için merkezcil kuvvetin yatay yöndeki bileşeninin etkisi

ihmal edilebilir.



191.6 10 3.1 10 ya

7

14 2

27

0.05

1.5 10 m/s (sağ-el kuralına göre, yönünde)1.67 10 y 7

0 0

8

3.1 10 m/s0 1

3.22 10 s

x x x x

x

v v a t v v

a x v t t

14 8 60

3.1 101.5 10 3.22 10 4.83 10 m/s y y y y yv v a t v a t

ˆ ˆ3.1i 0.483 jv 7 1 o0.483

10 m/s ve tan 8.863.1

(28-9)



Düzgün Manyetik Alanİçinde Yüklü Parçacığın Hareketi(Dairesel hareket=cyclotron hareketi):

Kütlesi olan bir nokta yükü, hızıyla düzgün manyetik alan

içine dik olacak şekilde girerse, düzgün dairesel hareket yapar.

m q v

Manyetik alana dik olarak giren bir elektronun yaptığı dairesel

hareket yanda verilmiştir. Böyle bir hareketi sağlayan merkezcil

kuvvet ile verilen manyetik kuvvettir. B F qv B

Bö le bir hareketin ar ı

a ı

eri odu ve frekansı

:2

B

mvr

B

v F q vB ma m

r



2 2 12

2 q B q BmT f

r mvT f f

Hareketin periyodu hızına bağlı değildir. Aynı yüke ve kütleye sahip tümvNot 1 :

, , .

Hızlı parçacıklar büyük yar ıçapta çemberler üzerinde dolanırken, yavaşNot 2 :

.

(28-11)

Yanda, iyonlar ı kütle-yük oranlar ına göre ayırd etmeye yarayan

" " nin ematik österimi verilmi tir. Ka naktan ıkanKütle s ektrometresi

Örnek :

iyonlar dar bir yar ıktan geçirilerek, birbirine dik elektri

0 1

k ( ) ve manyetik

( ) alan olan bir bölgeden geçirilir ve düzgün başka bir manyetik alan ( )

E

B B

bölgesine dik olarak girerler. İyonlar bu bölgede yar ıçaplı yar ım bir

çember çizerek fotografik bir yüz

r

eye çarparlar. İyonlar ın kütle-yük oranını

a e e en a ıntıyı türet n z.

0

E

E v B E vB v

0

2

B

v mv F v B vB m r

r qB



1

0 11

r qB

rB BrBm

Bu ifade kullanılarak, iyonlar ın kütle-yük oranı deneysel olarak belirlenir.

q v

(28 12)

Spiral (sarmal) Yörünge :

zg n manye a anına, ızı e manye

alanı arasında açısı olacak şekilde giren yüklü

v

r parçacı o sun. Parçacığın ızını, manyet

alana dik ve paralel olan bil

v

eşenlere ayıralım. Bu

bileşenler yanda gösterilmiştir: ve

. Parçacık bağımsız iki hareket yapar.

cos

sin

v v

v v

Bunlardan birisi, manyetik alana dik olan düzlemde yar ıçapı ve periyodu,

;r T



;r T q B q B

.

Diğeri ise, manyetik alan yönünde sabit hızıyla yapılan ötelenme hareketidv

ir.

u are e n r eş m sp ra şe n e r ve sp ra n sarma a ı

mı

:2 cos

p

mvTv

q

(28 13)

Bir proton, büyüklüğü 0.35 T olan düzgün bir manyetik alan içerisinde, yar ıçapı 14 cm

olan çembersel bir yörünge üzerinde düzgün dairesel hareket yapmaktadı

r. Protonun yörüngedeki

Örnek :

çizgisel hızını bulunuz. Aynı manyetik alan içerisinde bir elektron, aynı çizgisel hızla düzgün

dairesel hareket yapsaydı, yörüngesinin yar ıçapı ne olurdu?2

19 21.6 10 14 10 0.35

B F qv B evB m

r erB

27

31 6

6

4.7 10 m s1.67 10

9.11 10 4.7 10

vm

mv

19 . .1.6 10 0.35eB

350 V' luk bir potansiyel fark altında durgun halden hızlandır ılan elektronlar, düzgün bir Örnek :manyetik alan içerisine dik olarak giriyor ve yarıçapı 7 5 cm olan çembersel bir yörünge üzerinde



manyetik alan içerisine dik olarak giriyor ve yar ıçapı 7.5 cm olan çembersel bir yörünge üzerinde

hareket ediyor. Manyetik alanın büyüklüğünü, elektronlar ın açısal hızını ve periyodunu bulunuz.

19

2 19 6

31

700 1.6 101350 1.6 10 11.1 10 m/s

2 9.11 10em v v

2

40 19 2

. .8.43 10 T

1.6 10 7.5 10e

B e m vv F qv B evB m Br er

8

2 8

.1.48 10 rad/s ; 4

7.5 10 1.48 10

vT

r T

8.25 10 s 42.5 ns

(28 14)

19Yükü 3.2 10 C olan bir parçacık, düzgün bir elektrik ve manyetik alan olan

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

q Örnek :

bölgeye 2i 3j k m/s hızla giriyor. 4i j 2k V/m ve 2i + 4j+k T

olduğuna göre, parçacığa etkiyen n

v E B

et kuvveti bulunuz. Bu kuvvet x-ekseni ile ne kadarlık bir

açı yapar

F E v B

ˆ ˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 1 3 4 i 2 2 j 8 6 k = 7i 4 j 2k v B

19 19

2 4 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3.2 10 4i j 2k 7i 4j 2k 3.2 10 11i 5j N F



1 o5

tan 24.411

(28 15)

Ak ım Taşıyan Tele Etkiyen Manyetik Kuvvet:

Şekilde, kesit alanı olan ve ak ımı taşıyan uzun bir

tel verilmiştir. Telin uzunluğundaki bir k ısmı, sayfa

i

L

düzleminden dışar ı doğru yönelmiş düzgün bir manyetik

alan içinde olsun. manyetik alanı B

taraf ından tele dik

doğrultuda bir kuvveti uygulanır. Bu kuvvet, telin B F L

kuvvetlerin vektörel toplamına eşittir. Telin uzunluğunda L

,



d LQ it i Qv iL

osin90

d

v B v B v B

i i

F iLB B

(28 16)

Telin ak ım yönünün, manyetik alanı ile herhangi B

-

kuvvet vektörel formda, şeklinde yazılabilir. B F iL B

Burada vektörü, büyüklüğü telin uzun L luğuna

eşit, ak ımla aynı yönde bir vektördür.

Manyetik alanın düzgün olmadığı ve ak ım taşıyan

telin doğrusal olmadığı durumlarda (Şekil-b) ak ım

taşıyan tel, doğrusal kabul edilebilecek sonsuz küçük

uzundL luğundaki elemanlara bölünür Her bir dL



uzundL luğundaki elemanlara bölünür. Her bir

elemanına etki en man etik kuvvet

dL

dF idL B =

olduğundan, net kuvvet:

şeklinde yazılır.

B

(28 17)



Yandaki devrenin tabanındaki iletken telin uzunluğu 5 cm

' '

L =

= =

Örnek :

.24 V' tur. Manyetik alan yokken yaylardaki uzama miktar ı 0.5 cm i= ken,

sayfa düzleminden dışar ı doğru düzgün bir manyetik alan uygulandığında B

0.8 cm oluyor. Uygulanan manyetik alanın şiddeti nedir?

0 .

24Devreden geçen ak ım: 2 A (saat ibrelerinin tersi yönünde)

12 I

R

0Manyetik alan yokken: 2 (Eş-1)ky mg

1 -



Eş-2 ve Eş-1' i taraf tarafa oranlarsak,

3

1 12

0 0

10 10 100.81 1 0.6 T

0.5 2 (5 10 )

y ymg ILB mg B

y mg y IL

(28 19)

Birim uzunluğunun kütlesi olan ve ak ımı I Örnek :taşıyan et en r çu u ucun an a ır ı sız p er e

asılmıştır. Çubuğun bulunduğu bölgede yukar ı yönde

zg n manye a anı uygu an ı ın a, çu u u aşıyan

ipler düşeyle açısı yapacak şekilde çubuk dengede

a ıyor. anye a anın ş e n u unuz.

.

-

cos (Eş 2)T mg Lg



cos (Eş-2)T mg Lg

Eş-2 ve Eş-1' i taraf tarafa oranlarsak,

tan tan ILB g B Lg I

(28 20)

Kütlesi ve yar ıçapı olan iletken bir çubuk, şekildekim RÖrnek :

,iletken ray üzerinde durmaktadır. İletkenden ak ımı geçtiğinde vei

manyetik alanı

uygulandı

ğı

nda, iletken durgun halden sağa doğruka madan uvarlanmaktadır. İletken a lar ı han i hızla terkeder?

(sağ-el kuralına göre sağa doğru) B F idL B F iBd

=

2 21 1

2 2W K mv I

21Burada silindirin eksenine göre eylemsizlik momentidir ( )I I mR



Burada , silindirin eksenine göre eylemsizlik momentidir ( ).

2

I I mR

2 2 2 21 1 1 1 1 3

2 2 2 2 4 4

vW F L mv mR mv mv mv

R

2

4 43 3 FL iBdLvm m

(28 21)

Ak ım Halkasına Etki Eden Manyetik Tork:

Şekil-a' da ve kenar uzunluklar ına

sahip, ak ımı taşıyan dikdörgen şeklinde

a b

i

bir ak ım halkası verilmiştir. Ak ım halkası,

ˆyüzey normali , manyetik alanı ilen B

açısı yapacak şekilde manyetik alanı içine

.etkiyen manyetik kuvvetler kendi içlerinde eşit büyüklükte ve ters yöndedirler:

1 3 s nia ia



2 4 sin( F F ibB 90 ) cosibB net 1 3Bu kuvvet çiftlerinin vektörel toplamı sıf ırdır ( 0). Ancak, ve kuvvetleri,

halkanın merkezi C noktasına göre sayfadan içeri doğru bir tork oluşturur (halkayı

F F

saat yönünde döndürür) ve büyüklüğü de:iabB iabB

1 3 2 2

(28 22)

Sar ım sa ısı olan ve ak ımı ta ı an bir ak ım halkasıi

Manyetik Dipol Moment :

manyetik alanı içine konulduğunda üzerine etkiyen B

.

ma

olarak, nyetik dipol" " olamoment ( )

rak bilinen yeni .

ile verilir ve halka düzlemine dik doğrultudadır. Yönü

sağ e ura ına göre e r en r. ağ e m z n parma uç ar ı a ım yönünü gösterece şe ehalkayı kavrarsak, baş parmağımızın yönü manyetik dipol momentinin yönü olur.

e arasındaki açı olmak ü ere tork sinBB



ve arasındaki açı olmak üzere tork, sin B B

.

Halkanın potansiyel enerjisi ise, cosU B

eş e ver r.

0 , potansiyel enerji mnimumdur ( denge konumu).U B kararlı

(28 23)

180 , potansiyel enerji maksimumdur ( denge konumu).

Her iki konumda da halkaya etkiyen net tork sı

fı

rdı

r ( 0)

U B

kara

Not:

rsız

Kenar uzunluklar ı 5.4 cm ve 8.5 cm olan 25 sar ımlı dikdörgen şeklindekiÖrnek :

. .alan, halkanın yüzeyine paralel olacak şekilde uygulanıyor. Halkanın dipol momentini,

y y u v y u u uz.

o yüzeye paralel, yüzeye dik olduğuna göre, ile arasındaki açı 90 dir. B B

3 4 3 2

3 4

( ) 25 15 10 5.4 8.5 10 1.72 10 A m

sin 1.72 10 0.35 sin 90 6.02 10 N m

N iA

B B

s 0coU B U B

o o , ,

halkaya etkiyen tork ve halkanın potansiyel enerjisi ne olur?



halkaya etkiyen tork ve halkanın potansiyel enerjisi ne olur?o o o o' '

o

3 4

30

, ,

sin 1.72 10 0.35 sin 30 3.01 10 N m B

o

o

3 4

30

3cos 1.72 10 0.35 cos30 5.21 10 J

sin 1.72 10

U B

B

0.35 sin 0 0

(28 24)

o

3 4

0cos 1.72 10 0.35 cos0 6.02 10 JU B

Kenar uzunluklar ı 0.4 m ve 0.3 m olan 100 sar ımlıÖrnek :

o , ,

-ekseni üzerinde, k ısa kenar ıda -ekseni ile 30 açı yapacak y x

. , -

etraf ında rahatça dönebilmektedir. Halkanın 1.2 A ak ım .

manyetik alan uygulanması durumunda halkaya etkiyen torku bulunuz.

o o

Sağ-el kuralına göre, halkanın dipol momenti doğrultusu ile

30 ' lik a ı ve do rultusu ile 60 ' lik a ı a ar.

z

+ x

2( ) 100 1.2 0.4 0.3 14.4 A mN iA



( ) 100 1.2 0.4 0.3 14.4 A m N iA - ,

Halka, ekseni etraf ında saat ibreleri yönünde döner. y

. . s n m

cos B U BU

14.4 0.8 cos 60 5.76 JU

(28 25)

Uzunluğu 60 cm olan ve 20 A ak ım taşıyan iletken bir tel, kapalı halkaÖrnek :

a ne get r ere , norma . üyü ü ün e manyet a ana o aca şe e

manyetik alan içine konuyor. Halka, ) eşa -kenar bir üçgen, ) kare ve ) çemberb c

se, zer ne e yen or u u unuz. ang urum a a aya e yen or ma s mum ur.

) Eş-kenar üçgen: 3 60 20 cma d d

22 2 21 1 3

/ 2 0.0173 m2 2 4

A dh d d d d

2 20 0.0173 0.346 A m 0.346 0.5 0.173 N miA B

22 2



0.15 0.0225 m A d

20 0.0225iA 0.45 A m 0.45 0.5 0.225 N m

) Çember: 2 60 9.55 cmc d d

2

2 2

2

0.0955 0.0287 m20 0.0287 0.574 A m 0.574 0.5 0.287 N m

A d

iA B

(28 26)

Çembere etkiyen tork maksimum olur.

Kütlesi 0.1 kg ve toplam uzunluğu 4 m olan bir tel, kenar ÖDEV:uzunluğu 0.1 m olan kare şeklindeki halka etraf ına sar ılarak bir

kangal elde ediliyor. Halka, bir kenar ı yatay eksen üzerinde olacak

şekilde ası

lmı

ştı

r ve bu eksen etraf ı

nda rahatça dönebilmektedir.,

içinde iken, üzerinden 3.4 A' lik ak ım geçirilmektedir.

) Ha a enge e en, ya üzey e manyet a an arasın a açı ne r?) Halka dengede iken, manyetik alan taraf ından etkiyen tork ne olur?b



(28 27)

Hall Etkisi :

Edvin Hall, 1879 yılında metallerde iletimin negatif yüklü

.

Bu deney sayesinde, metaldeki elektron yoğunluğunu ( ) dan. ,

olan bak ır bir dilim kullanmıştır. Bu dilim, şekildeki gibit

ak ımı taşımaktadır. Elektronlar, manyetik B

alanı nedeniyle

(R) itilirler ve böylelikle dilimin sağ tarafı sol tarafına (L) B



(R) itilirler ve böylelikle, dilimin sağ taraf ı sol taraf ına (L)

.

nedeniyle bir elektrik alanı oluşur ve elektronlara kuvvet E

uygu amaya aş ar. r s re sonra, e e ron ar zer ne e yen

net kuvvet sıf ır olur.

(28 28)

(Eş-1) E B H d H d F F eE ev B E v B

i i

ş-d d nev vne neA netd

Yandaki bak ır dilimin noktası ile noktası arasındakia c

Hall potansiyeli ile verilir. Bu durumda,

(Eş-3)

H H

H H

d

V E d

V i E v B B

Bin

sonucu elde edilir. H ne e



Üstteki şekilde olduğu gibi, yük

taşıyıcılar ı elektronlar olduğu durumdaÜstteki şekilde olduğu gibi, yük

ta ı ıcılar ı rotonlar oldu u durumda

H c aV V V negatiftir. H c aV V V pozitiftir.Dilimin kenarlar ından hangisinin pozitif hangisinin negatif olduğundan yola çık ılarak,

(28 29)

yük taşıyıcılar ının cinsi belirlenebilir. Deneysel olarak ölçülen Hall potansiyeli

Eş-3' te kullanılarak, yükt H V

aşıyıcılar ının yoğunluğu bulunur.

Genişliği 1.5 cm ve kalınlığı 0.1 cm olan dikdörgen şeklindeki bak ır bir Örnek :

. , , .olan bir manyetik alan içinde ise, Hall vol

28 3

tajını hesaplayınız. (Bak ır ın elektron

. .

1.2 5 h Bi Bin V

7

. . .

4.42 10 0.44 V

h

h

e n e

V

Kalınlığı 0.33 mm olan bir şerit, yüzeyine dik yönde, büyüklüğü 1.3 TÖrnek :olan düzgün bir manyetik alan içinde 50 A ak ım taşımaktadır. Şeritin uzun kenarlar ı



arasında ölçülen Hall voltajı 9.6 V ise, şeritteki elektron yoğunluğunu bulunuz.

6 3 19

1.3 50 Bin

28 3

. . .

12.82 10 elektron/m

h

n

(28 30)

Cyclotron Parçacık Hızlandırıcı :

Cyclotron hızlandır ıcısı, şekildeki gibi birbirine ters

bakan "D" şeklinde, içi boş iki adet iletkenden oluşur.

D' ler arasındaki boşlukta, frekansıyla titreşen bir

elektrik alanı, D' lerin bulunduğ

E f

E u düzleme dik yöndede düzgün bir manyetik alanı oluşturulur. Şekilde bir

roton hızlandır ıcısı österilmi tir. Protonlarmv

r

yar ıçaplı çembersel bir yörüngede frekansı

eBeB

f



ile dönerler. Bu frekans (cyclotron frekansı) ile elektrik alanın değişim frekansı

( ) eşit olduğunda, protonlar D' ler arasındaki boşlukta elektrik alan taraf ından

hızlandır ılır. Protonlar hızlandıkç E

f

a yörünge yar ıçaplar ını artır ırlar. Elektrik alan

protonlar ın hızını artır ırken, manyetik alan onlar ı çembersel yörüngede dönmeyezorla acak ekilde hızlar ının önünü de i tirir.

(28 31)

BÖLÜM-29Elektrik Ak ımlarının Oluşturduğuanye an ar

u ö üm e, e e tr a ımı e o uştur u u manyet a an arasın a ş yanlamaya çalışacağız. Bunun için, problemin simetrisine bağlı olarak iki

.

Simetrinin dü ük oldu u durumlarda Biot-Savart asasını üksek oldu udurumlarda ise Amper yasasını kullanacağız.



her iki yaklaşımla da bulunabilir. Ayr ıca, birbirine paralel iki iletkenarasındaki man etik kuvveti de hesa la aca ız.

(29 1)

Bu yasa, ak ımı taşıyan uzunluğundaki bir iletkenin, kendisindeni dl

Biot -Savart Yasası :

a ar uza a r no a a o uş ur u u manye a anını ver r.Solda ak ımı taşıyan bir tel verilmiştir. Tel üzerinde ak ımla a

r

i ynı

yönde, sonsuz küçük uzunlukta bir vektörü seçilir. ak ımı taşıyan

bu parçanın, kendisinden kadar uzaktaki noktasında oluşturduğu

dl i

r P

manyetik alan:

0i dl r

3

ifadesi ile verilir. Burada vektörü, iletken üzerinde seçilen vektör elemanından4

r dl

r

07P noktasına çizilen vektördür. 4 10 T m/A ile verilen bir sabittir ve hava



ya da boşluğun manyetik geçirgenliğidir. , ile vektörleri arasındaki açı olmak dl r

üzere, manyetik alanının büyüklüğü de:dB

2

4ile verilir.

Br

(29 2)



Şekildeki tel üzerinde ak ımla aynı yönde bir elemanıdl

0

.

alan sayfadan içeri doğrudur ve büyüklüğü,i dl r

dB

02

sin i dl dB

r

ile verilir. Ak ım taşıyan tel sonsuz uzunlukta ise,

02

sin

i dl

B dB

2 2 2 2

r



sin sin / /r l R R r R l R

0 0 0 03/2 3/2

i i i i R dl R dl l B

0 0

dx x

(29 4)

3/ 2 2 2 22 2 a x a x a

Yarı Sonsuz Telin Manyetik Alanı :

Sonsuz uzun tel için yapılan işlemlerin aynısı burada da

tekrarlanacaktır. Telin ba lan ıcını ori in olarak kabul

edersek, tele dik yönde orijinden kadar uzaktaki bir R

B dB 02

0 04 r

sin sin / /r l R R r R l R



0 0 0

3/2 2 22 20 0

4 4 4 B

R Rl Rl R

dx x

(29 5)

2 2 22 2 a x a x a

Sonlu Telin Manyetik Alanı :

e e te zer n e a ım a aynı y n e r e emanı

seçelim. Bu elemanın noktasında oluşturduğu manyetik P

0

a an say a an çer oğru ur ve üyü üğü,

sin i dl dB 4

ile verilir. Ak ım taşıyan ter

lin uzunluğu ise, telin ortasından L

/ 2 /20

a ar uza a r no asın a o uşan manye a an:sin L L

i dl B dB

/ 2 /24 L L

r



2 2 2 2 sin sin / /r l R R r R l R

/2/2 /20 0 0 0

L L L

i i i i R dl R dl l L

2 2 22 2 2 2 2

/2 0 04 2 2 4

/ 2 L

Rl Rl R l R L R

(29 6)

3/2 2 2 22 2 a x a x a

Üzerinden kararlı ak ımı geçen,iÖrnek :

uzun u u o an nce r e , şe e g r gibi -ekseni üzerindedir. ve olmak x x > L x < L

üzere, -ekseni üzerinde herhangi bir ( ,0)

noktasındaki manyetik alan

x P x

ı bulunuz.

034

i dl r dB

r

uzunluğundaki tel üzerinde seçilen sonsuz küçük elemanı ile, buradan L dl

o

açı 0 olduğundan, 0 olur ve -ekseni üzerindl r x

de, şartını sağlayan x L



m no a ar a manye a an sı ır ır.

o

Benzer bir durum 0 için de geçerlidir. vektörü ile vektörleri arasındaki

açı 180 olduğundan, 0 olur ve -ekseni üzerinde,

x dl r

dl r x

0 şartını sağlayan x

tüm noktalarda manyetik alan sıf ırdır.

(29 7)

Kenar uzunluğu 0.4 m olan kare bir halka,l =Örnek :

şekildeki gibi, saat ibreleri yönünde 10 A şiddetinde bir

ak ım taşımaktadır. Karenin merkezindeki manyetik

alanın büyüklüğünü ve yönünü bulunuz.

uzunluğunda, ak ımı taşıyan bir telden kadar uzaktaki L i r

0

manyetik alan:i L

2 24 / 2r L r



0 0 0

2 22 4 / 2 2 2/ 2 / 2 2

r Bl l l l l

764 10 10

4 4 28.28 10 T B

2l

(29 8)



Kapalı bir halka gibi değerlendirebileceğimizÖrnek :

yandaki kangal ak ımı taşımaktadır. noktasındaki

manyetik alan ifadesini bulunuz.

A

/22ç L L B B B B

0 0

/2

,4 2ç

L

B R L

0 0 0/2 2 2 2 2

0

/ 2 ,4 4 ( / 2) 2 2/ 2 / 2

Li i il L B

R L Ll R L L

/2

0 0 0

L

L

i i il LB



0 0 0 , L B /2

0 0 0 0

/ 2 / 2

1

L L L

i i i i

2

2 22 2 2 L L L L

,

2

(29 10)

Yanda verilen kapalı halka ak ımı I Örnek :taşımaktadır. noktasındaki manyetik alan P

.

ve yar ıçaplı yaylar P noktasında manyetik alan oluşturur.a b

0

b a B B B

i

4 yay

i i

R



i i ,4 3 12

bb b

i i

,4 3 12

a

a a

i b a B ,

12 12a b B Ba b ab

(29 11)



Yar ıçapı olan çembersel bir halka üzerinde düzgün RÖrnek :dağılmış toplam yükü taşımaktadır. Halka, merkezinden geçen

ve yüzeyine dik eksen etraf ında sabit açısal hızı ile dönmektedir.

q

Çember ekseni üzerinde ve çemberden /2 kadar uzaktaki bir

noktada oluşan manyetik alan nedir?

z = R

Çemberin z-ekseni etraf ında dönmesi ile oluşan ak ım:

2 / 2

q q q qi i

t T

2 2 20 0

3/2 3/2322

0

3/22 2

i iR iR

B

R

B



3/2 3/23223/22 2 B B

0 0 04 4 2i qq

3 3 3

25 5 5 R R R

(29-13)

İç yar ıçapı ve dış yar ıçapı olan bir disk a bÖrnek :

. ,merkezinden geçen ve yüzeyine dik olan -ekseni z

etra ın a sa t açısa ızı e önme te r. s n

eks

eni üzerinde ve disk merkezinden kadar uzaktaki z

noktasında oluşan manyetik alanını ve diskin

manyetik dipol momentini bulunuz.

P

olacak şekilde, disk üzerinden kalınlığında bir a r b dr

halka seçelim. Bu halkadan geçen ak ımı:

2 2

di

rdr rdr



2 2rdr rdr 2 /

i i r r t T

2

003/2 3/22 2 2 2

2

03/22 2

r rdr r didBiR B

(29-14)

30

3/2

br dr

B dB

3 2 2

3/2

2 x dx x a

2 2 2 2 2 2

a

b

r z x a x a

2 2 2 2 2 22 2a

Br z b z a z

ak ımı taşıyan yar ıçaplı halkanın manyetik dipol momenti,di r

2d di r



. ,

2 3 4 4

b b

4a a

(29-15)

Ak ım dağılımının bilindiği durumda,Amper Yasası :

-üstüste binme ilkesini kullandık. Ak ım dağılımındaki

s me r y se se, o - avar yasasının yer ne ş em er n

kolaylığı nedeniyle Amper yasasını kullanacağız.

Amper yasasını, Biot-Savart yasasından türetebiliriz. Şekilde ak ımı taşıyani

.

bir halka üzerinden ' nin çizgi integrali: B

0 00 0cos0 2

2 2 iç B dl dl r i B l

r r d i



u unur. n egra sonucunun, seç en a anın geome r s n en a ımsız o u una

dikkat ediniz. Bu son bağıntı Amper yasası olarak bilinir ve şöyle tanımlanır:

0 "Herhangi bir kapalı

eğri boyunca integrali, ile kapalı

halka içindeki net ak ımın ar ımına e ittir".

dl

Kapalı eğri " " olarak isimlendirili .r Amper halkası(29-16)

Amper Yasasının Uygulanması :

1 2 integralinin belirlenmesi. Kapalı halka , , ..., ndl l l l 1.

1 1

gibi tane elemana bölünür ve cos toplamı

n n

i i i i i

i i

n B l B l

hesaplanır. Burada , . elemanın bulunduğu yerdeki manyei i tik

alandır. durumunda bu toplam:n

1

lim olur.n

i in

i

B dl B l

0 iç

B dl i

iç' in hesaplanması. Sağ-el parmak uçlar ı kapalı halka

üzerindeki hareket yönünü gösterecek şekilde halka kavranı

r

i2.



ç

üzerindeki hareket yönünü gösterecek şekilde halka kavran r.

Halka içinde baş parmağımızla aynı yönde olan ak ımlar alınır.pozitif

Halka içinde baş parmağımızla ters yönde olan ak ımlar alınır.

Halka dışındaki ak ımlar ın .hiçbir

negatif

katk ısı yoktur

Şekildeki örne iç 1 2kte: i i i

(29-17)

Uzun Bir Telin Dışındaki Manyetik Alan:

ak ımı taşıyan sonsuz uzun bir telin oluşturduğu manyetik

alan iz ilerinin, teli merkez kabul eden emberler eklinde

i

olduğunu biliyoruz. Problem silindirik simetriye sahiptir

ve teli merkez alan ar r ı a lı bir ember Am er halkası

olarak seçilebilir. Manyetik alanın büyüklüğü çemberin

.

alan,

0

cos

i

r



i 0 iç 0

olarak bulunur.2 r

Amper yasası herhangi bir kapalı halka için geçerlidir. Hesa lamalarda kola lık sa laması a ısından en basitNot:

(29-18) halkayı seçmek daha uygundur.

Sonsuz uzunlukta dört tel, yandaki gibi, kenar Örnek :

uzun u u . m o an r aren n şe er ne yer eş r m ş,sayfa düzleminden içeri ve dışar ı doğru 5 A şiddetinde

ak ım taşımaktadırlar. Karenin merkezindeki net manyetik

alanı hesaplayınız.

2 2 01 2

0.2 0.2 m ; A B C D

ir B B B B

0 sin 45 sin 45 sin 45 sin 45 0 x

i B

0 0 022

4 cos 45 4 y

i i i

B



4 cos 45 4 B

7

50 ˆ ˆ ˆ

j j 2 10 j2 B r

(29-19)

Yanda, bir koaksiyel kablonun kesitiÖrnek :

verilmiştir. Merkezdeki iletkenin taşıdığı ak ımsayfa düzleminden dışar ı doğru 1 A, dıştakinin

taşıdığı ak ım ise sayfa düzleminden içeri doğru

3 A' dir. İç ve dış iletkenler plastikle kaplanmışlardır.

Şekilde gösterilen ve noktalar ındaki manyetik

alanlar ı bulunuz.

a b

0i

7

0 4

2

4 10 1iç

r

i



4 10 1i 3

7

2 2 1 10

aa

0 4

3 1.33 10 T (saat ibreleri yönünde)2 2 3 10

iç

b B b

(29-20)

Uzun Bir Telin İçindeki Manyetik Alan:

Teldeki ak ımın, tel kesitine düzgün dağıldığını kabul edelim.

Telin ta ıdı ı ak ım ve ar ı a ı dir. Tel ile a nı merkezli,i R

( ) yar ıçaplı bir Amper halkası seçelim. Manyetik r r R

ve yönü çembere teğettir. Bu durumda manyetik alan,

2 2r

r r

iç 2 2

2

i

R R

r

r r



0 22 2r

R Rr

0 iç 0

ve telin dışındaki manyetik alan:

(29-21)

0 ifadesine sahip ol2

ur. Br

Yar ıçapı olan silindir şeklindeki bir iletken, şekilde RÖrnek :

g ster g top am a ımı taşıma ta ır. e n es t n eak ım yoğunluğu, pozitif bir sabit olmak üzere, ifadesib J br

e ver me e r. e n ç n e ve ışın a manye a an ar ı

bulunuz ve tel ekseninden olan uzaklıkla değişimini çiziniz.

3

2

0 0

22 2 (toplam ak ım)

3

R RbR

I J rdr b r dr

: cos 0 2 B dl Bdl B dl rBr R

2 00 iç 0 0

0 0

2 23

r i J rdr b r dr

2 3b r b II



2 2 20 0 0 03 3

2 3 2

3 3 2 3 2

b r b I I rB B r r r

R R

r

3: cos 0 2

1 B dl Bdl B dl rB

I bR R

0 iç 0 0

2 3i r

r r

(29-22)

Yar ıçapı olan silindir şeklindeki bir iletken telden toplam ak ımı R I ÖDEV:

0

2

akmaktadır. Telin kesitindeki ak ım yoğunluğu, pozitif bir sabit olmak üzere, J

0 2 1 J J

R

a es e ver me te r. e n ç n e ve ışın a ö ge er e manyet a an ar ı

bulunuz ve tel ekseninden olan uzaklıkla değişimini çiziniz.



(29-23)

Genişliği olan çok uzun metal bir şerit, şekildekil Örnek :

- .-ekseni üzerinde ve şeritin kenar ından kadar uzaktaki bir y b

.

Metal şerit boyunca kalınlığı olan sonsuz uzun ince bir tel seçelim. Bu telindy

0

taşıdığı ak ım ( / ) ve P noktasında oluşturduğu manyetik alan:

-

di I l dy

di

0

2 l b y

I

l u l b ydy

2 0

0 0

l l

du dyl l b y

I I du

02 2l l



00

0 0

2 2l u l

I I b l b

2 2l l b l b

(29-24)

Sonsuz genişlikte ve sonsuz uzunlukta çok ince metalÖrnek :

-ak ımı taşımaktadır. Şeritten kadar yukar ıdaki bir noktasında z P

.

Metal şeritteki kesitinde, -ekseninden kadar uzakta kalınlığı olan sonsuz z x dx

uzun ince bir tel seçelim. Bu telin taşıdığı ak ım ifadesine sahiptir ve

noktasında oluşturduğu manyetik alan:

di Kdx P

dB

0 0

2 2

sin 0 ;

2

z B dBdi Kdx

r

0 02cos x

K K dx z dx

B B dB

x z x z x z



2/2 /20 0

tan / 1 tan

x x

x z d K K B d

/ 2 /21 tan / 2 1 tan 2d dx z

/ 20 0 Ne atif do rultusunda K K

B B x

/ 22 2

(29-25)

Paralel İki İletken Tel Arasındaki Manyetik Kuvvet :

Manyetik alan içinde bulunan ak ım taşıyan bir tel üzerine

ifadesi ile tanımlanan manyetik bir kuvvet etkidiğini biliyoruz.

F = I l × B

Yanda, aralar ında mesafesi bulunan, aynı yönlerdea

1 2

verilmiştir. Her bir tel diğer telin bulunduğu yerde

r manye a an o uş urur. u ne en e e r r er üzerine manyetik kuvvet uygularlar.

2 1

1

ak ımı taşıyan telin, ak ımı yaşıyan telin bulunduğu yerde oluşturduğu

manyetik alan ve bu alan nedeniyle ak ımı yaşıyan telin birim uzunluğuna

I I

I ki ik k l



etkiyen manyetik kuvvet, sırasıyla,

I I I I F 2

2 a

21 1 s n

2 2ifadelerine sahi tir. Sa -el kuralına öre bu kuvvet bir kuvvetidir.

a L a

ekim

Tellerin zıt yönlerde ak ım taşıması durumunda ise bu kuvvet dir.itici(29-26)

Sonsuz uzunlukta ak ımı taşı an bir tel, şekilde I Örnek :

2gösterildiği gibi, düzgün geometriye sahip ak ımı taşıyan I

.

tel çak ı

şı

k olduğuna göre, halkaya etkiyen net manyetikuvve u unuz.

1 ak ımı taşıyan sonsuz uzun telin oluşturduğu manyetik alan saat ibrelerinintersi yönünde çevreseldir. Bu nedenle, kapalı halkanın çembersel k ısımlar ına I

kuvvet etki etmez. Halkanın düz olan uzunluğu L ndaki k ısımlar ına etkiyen

manyetik kuvvet:I



0 12

0 1

(sağa doğru)2 sol

I F I L

I R

0 1

2

2

(sağa doğru)2 sa ğ

R F I L R

0 1 2 (sağa doğru) sol sa ğ F F F F R

(29-27)

Boyu yar ıçapının yanında çok büyük olan yalıtkan bir silindir üzerine yüzlerce

Solenoid (bobin):

veya binlerce defa helis şeklinde sık ıca sar ılmış iletken telden oluşur. Böylecesolenoid an ana sıralanmı ok sa ıda embersel halkadan olu mu bir

sistem gibi düşünülebilir. Solenoidten ak ımı geçtiğinde, solenoidin içindei



bulunur. Sağ elin parmak uçlar ı ak ım yönünü gösterecek şekilde solenoidi

sa avuç ç ne a ı ımız a, aş parma ımız so eno n ç n e o uşan manye

alanın yönünü gösterir. Solenoidin dışındaki manyetik alan ise çok zayıftır

ve ideal solenoid için yaklaşık sıf ır alınabilir.

(29-28)

Solenoidin içindeki manyetik alanı bulmak için Amper

yasasını kullanabiliriz. İdeal bir solenoid için, solenoidin

içindeki manyetik alan düzgün, dışındaki manyetik alan

ise sıf ır kabul edilebilir. Solenoidin birim uzunluğundaki

sar ım sayısı olsun.n

Amper halkası olarak şekilde gösterilen dikdörtgensel halkasını alalım.abcd

diğeri ise dışındadır. Amper yasasından:b c d a

a b c d

B dl B dl B dl B dl B dl

0 0B dl Bdl B dl Bh B dl B dl B dl



cos 0 ve 0a a a b c d

B dl Bdl B dl Bh B dl B dl B dl

iç

;

B ni

B dl Bh i nhi

B dl i Bh nhi

Toplam sar ım sayısı ve silindirin boyu olmak üzere ir./ dn N L N L

(29-29)

Toroid:

oro , ea r so eno n ere s m şe ne ge r mesile oluşturulabilir. Kesiti aynı olmak koşuluyla, herhangi bir

geome r ye sa p o a r. a ımı aşıyan sar ım sayısına

sahip bir toroid olsun. Toroid içinde manyetik alan çizgileri,toro e aynı mer ez çem er er r ve manyet a an er

noktada çemberlere teğettir. Yönü sağ-el kuralıyla bulunur.

Sağ-e parma uç ar ı

a ı

m yönünü gösterece şe e torokavrarsak, baş parmağımız manyetik alan yönünü gösterir.

Toroidin dışında ise manyetik alan yaklaşık olarak sıf ırdır.



içcos0 2 ve B dl Bdl B dl rB i Ni

00 2 2 rB Ni Ni B r

bulunur.

(29-30)

Manyetik Dipolün Oluşturduğu Manyetik Alan:

ak ımı taşıyan yar ıçaplı çembersel bir halkanın, merkezinden

dik olarak e en -ekseni üzerinde merkezden kadar uzaktaki

i R

z z

2

bir noktasında oluşturduğu manyetik alan, P

0

3/22 2

2 B

R z

bağı

ntı

sı

ile2 2 20 0 0 0 0

verilir. Çemberden çok uzak noktalarda ( ) :

z RiR iR i R iA

B

2 2 2 2 2olur. Burada , halkanın manyetik dipol momentidir. Vektörel

z z z z z

orm a manyet a an:



0 B z

ol

z

ur. Halkanın oluşturduğu manyetik alan, çubuk mıknatısıno uş ur u u manye a an a aynı orm a ır.

(29-31)

B L M-30

Bu bölümde aşağıdaki konulara yer verilecektir:

Faraday indüksiyon yasası

Lenz kuralı

anye a an a e ş m e n enen e e r a anÖz-indüktans ve karşılıklı indüktans

Manyetik alanda depolanan enerji



Manyetik alanda depolanan enerji

(30–1)

Faraday' ın Yaptığı Deneyler ve

Faraday İndüksiyon Yasası :

1830' lu yıllarda, İngiltere'de Michael Faraday ve Amerika

Birleşik Devletleri'nde Joseph Henry, batarya kullanmadan

elektrik ak ımı üretilebilen önemli deneyler yaptılar. Aşağıda

" " olarak bilinen bağıntıyı eldeFaraday indüksiyon yasası

etmede yardımcı olabilecek bazı deneyler anlatılacaktır.

Yukar ıda, du arlı bir am ermetrenin ba lı oldu u ka alı halka şeklinde bir devre

verilmiştir. Devreye kalıcı bir mıknatıs yaklaştırdığımızda, ampermetreden bir ak ım

geçtiği görülür. Yapılan birçok denemeden çıkan sonuçlar şöyle özetlenebilir:

Halka ile mıknatıs birbirine göre hareketli ise, halkada ak ım oluşmaktadır.1. Hareket ne kadar hızlı ise, ak ım o denli şiddetli olmaktadır.2.



e e e d se, o de ş dde o d .

Hareket yönü t

.

3. ersine çevrilirse veya mıknatısın kutbu değiştirilirse, halkadaki

ak ım da yön değiştirerek ters yönde akar.

Bu şekilde oluşturulan ak ıma " ", halkada oluşan emk' ya

" " ve

indüklenen ak ım

indüklenen emk olayın kendisine de " " denir.indüksiyon (30–2)

Yandaki şekilde kar şılıklı duran iki halka verilmiştir.

no u a anın u un u u evre e ana ar ı kapatıldığında veya kapalı iken açıldığında, 2 nolu

a aya a ı amperme re en a ım geç g r r.

1 nolu halkadaki ak ı

m sabit olduğu sürece, 2 nolua a an er ang r a ım geçmez.

Bu iki indüksiyon deneyinde, manyetik alan ya mıknatısla

Faraday yaptığı bu deneylerin sonucunu " " olarak Faraday' ın indüksiyon yasası

ya a a ım geç r en r te e o uşturu a me te r.

bilinen aşağıdaki ifade ile özetlemiştir:

Ka alı bir halkadan e en man etik alan iz ilerinin sa ısı de i irsehalkada bir emk oluşur (emk indüklenir)



halkada bir emk oluşur (emk indüklenir).

Faraday yasası sadece indüksiyonu açıklamakla kalmaz aynı zamanda indüksiyonun

tarifini de yapar. Maxwell' in elektromanyetizma ile ilgili dört denkleminden birisidir.

(30–3)

) :Manyetik Ak ı (Φ B

Kapalı bir halkanın sınırladığı bir yüzeyden

e en man etik ak ı u ekilde bulunur:

Ka alı halkanın sınırladı ı üze alanı olan sonsuz kü ük üze elemanına bölünür.dA1.

B B dA

Her bir yüzey elemanından geçen manyetik ak ı hesaplanır: cos .

Burada , elemanının bulunduğu

Bd BdA

dA

2.

ˆnoktada yüzeyin normali ile manyetik n

2

alan arasındaki açıdır.

Tüm ak ılar toplanır: (T m Wb).cos B

BdA B

B

dA 3.

Eğer halkanın sınırladığı yüzeyden geçen manyetik alan düzgün ise

.

manyetik ak ı

ifadesi ile bulunur co s . B A BA

Faraday indüksiyon yasası şu şekilde de tarif edilir:



'

Faraday indüksiyon yasası şu şekilde de tarif edilir:

) Bd dt

,

manyetik ak ının (Φ zamanla değişim hızına eşittir. B

sar ım sayısına sahip bir kangalda indüklenen emk: Bd

N N dt

(30–4)

Bir halkadan e en ak ı ı de i tirmenin olu :

Manyetik alan içerisinde bulunan bir halkadan geçen manyetik ak ı : B

cos

genel ifadesine sahiptir. Bu ifadeye göre, halkadan geçen manyetik

B

ak ıyı

değiştirmenin üç yolu vardır:

Halkanın i inde bulundu u man etik alanın bü üklü ünü de i tirmek.1.

Manyetik alan içindeki halkanın yüzey alanını değiştirmek.

ˆ

2.

.

değiştirmek.



(30–5)

Kenar uzunluğu 18 cm olan kare şeklindeki bir kangalın sar ım sayısı

'

Örnek :

.alanın şiddeti 0.8 s içinde 0' dan 0.5 T' ya düzgün olarak artır ılmaktadır. Kangalda

'

y v y z.

2 20 0.5 0.18 0.0162 T m B A

. . .

200 0.0162 4.05 4.05 V 2 A

s s

ind ind ind

N i

.

0

içine konuyor. Manyetik alanın şiddeti, bir sabit olmak üzere, e at a B B

' , .



d 0 . 0 0

0

e e e

Burada manyetik alanın maksimum değeri,

ind a a

dt B

0 ise indüklenen emk'nın maksimum değeri.aAB

(30–6)

Uzunluğu olan bir iletkeni, şekilde gösterildiği LÖrnek :

gibi, sayfa düzleminden içeri doğru olan düzgün bir manyetik alan içinde alana dik yönde sağa doğru sabit bir hızıylav

hareket ettirelim. letkenin iki ucu arasında oluşan potansiyel

fark ını bulunuz.

İletken sağa doğru sabit bir hızla hareket ettiğinde, elektronlar aşağıya

iki ucu arasında bir yük ayr ışması oluşur. Yük ayr ışması son

B

ucunda da

e en n uç ar ı arasın a r po ans ye ar ı o uşur. u şe e e en n

uçlar ı arasında manyetik kuvvete zıt yönde bir elektrik kuvveti oluşur.

Yük kutuplanmasının artışı ile elektrik kuvvetinin değeri de artar.



Kararlı denge durumu oluştuğunda:

B E ind

V F F evB eE e V BLv L

bulunur. Bu potansiyel farka indüklenmiş emk denir.

(30–7)

Uzunluğu ve kütlesi olan bir iletken, şekilde L mÖrnek :

göster g , say a üz em n en çer o ru o an üzgün bir manyetik alan içinde, sürtünmesiz iki iletken ray üzerinde

alana dik yönde sağa do 0ğru ilk hızıyla harekete başlıyor.

İletkenin hızını zamanın fonksiyonu olarak bulunuz. İletken

v

telde indüklenen ak ımı ve emk' yı bulunuz.

2 2

ind

F ma m ILB LB LB dt dt R R v mR

0

0

00

ln ( )

vt

mR

v

dv B L v B Ldt t v t v e

v mR v mR

2 2

B LtBLv BL



0

t mR

BLv BL I v e

2 2

B L t mR IR BLv e

(30–8)

Bd

Lenz Kuralı :

Faraday yasasında yer alan ( ) işareti, indükleme

yoluyla oluşan ak ımın yönü ile ilgilidir. ndükleme

ile oluşan ak ım ya da emk' nın yönü Lenz kuralınaİndüklenmiş ak ımın

oluşturduğu indüklenmiş

göre belirlenir. Lenz kuralı:i manye a an ç zg er

,

engelleyecek şekilde bir manyetik alan oluşturacak yöndedir.

Şekilde, halkaya yaklaştır ılan bir mıknatıs verilmiştir. İndüklenen ak ım şekilde

. ,

manyetik alan oluşturması gerekir Halka kuzey kutbu mıknatısın kuzey kutbuna



manyetik alan oluşturması gerekir. Halka, kuzey kutbu mıknatısın kuzey kutbuna

. ,

getirdiği manyetik ak ıdaki artışı engelleyebilmek için kendisine yaklaşan mıknatısı

tece t r.

(30–9)

halkaya yaklaştır ılması.

-

Çubuk mıknatıs halkaya yaklaştır ıldıkça, halkanın merkezinde sola doğru

Moluşturduğu manyetik alanının şiddeti zamanla artar. Böylece, halkadan B

geçen manye a ısı a ar

ar. enz ura ına g re, B

n enen a ım saa

ibrelerinin tersi önde akarak sa a do ru indüklenmi man etik alanını B

oluşturur ve halkanın merkezindeki net manyetik alan olurB B B



net Moluşturur ve halkanın merkezindeki net manyetik alan olur.i

B B B

Böylece, indüklenen ak ım manyetik ak ıdaki artışı engellemiş olur.

(30–10)

halkadan uzaklaştır ılması.

-

Çubuk mıknatıs halkadan uzaklaştır ıldıkça, halkanın merkezinde

Msola doğru oluşturduğu manyetik alanının şiddeti zamanla azalır. B

, .

kuralı

na

B

göre, indüklenen ak ı

m saat ibreleri yönünde akarak soladoğru manyetik alanını oluşturur ve halkanın merkezindeki net

i B



ğ y şi

net Mmanyet a an o ur. y ece, n enen a ım

manyetik ak ıdaki azalm

i

ayı engellemiş olur.

(30–11)



u u mı natısın ut unun halkadan uzaklaştır ılması.

rne - :

M

u u mı

natı

s a a an uza aştı

r ı ı

ça, a anı

n mer ez n esağa doğru oluşturduğu manyetik alanının şiddeti zamanla azalır. B

Böylece, halkadan geçen manyetik ak ısı da azalır. Lenz kuralına B

,

doğru manyetik alanını oluşturur ve halkanın merkezindeki netB



doğru manyetik alanını oluşturur ve halkanın merkezindeki neti

B

net Mmanyetik alan olur. Böylece, indüklenen ak ı

m manyetik i B B B

.

(30–13)

İndüksiyon ve Enerji Transferi :

Lenz kuralına göre, indüklenen ak ım kendisini doğuran

dış etkiye bir tepki olarak doğar. Bu nedenle, dış etki

manyetik alan-halka sistemi üzerine bir iş yapar. Bu iş

halkanın direnci üzerinde ısı enerj R isi olarak açığa çıkar.

Şekilde genişliği olan iletken bir halka verilmiştir. L

Halkanın bir bölümü düzgün B manyetik alanı içindedir ve sabit bir hızıyla alan dışına çıkar ılıyor. Herhangiv

bir anda, halkadaki manyetik ak ı ' dir.

Halkadaki ak ının azalma hızı (indüklenen emk) ve

B BA BLx

indüklenen ak ım sırasıyla,



B BLvd dx

ifadelerine sahiptir.

dt Rdt R

(30–14)

direnci üzerinde birim zamanda açığa çıkan ısı enerjisi, R

2 2 22

ısı (Eş-1) BLv B L vP i R R

R R

2

e ver r. Ha anın enar ar ına et yen manyet uvvet er

şekil üzerinde gösterilmiştir. F

3ve kuvvetlerinin toplamıF

1

2 2

sıf ırdır. Halkaya etkiyen tek manyetik kuvvet kuvvetidir:F

BLv B L v

1 1

Bu durumda, halkayı sabit bir hızıyla alan dışına çekmek R R

v

için eşit büyüklükte ve ters yönde bir dış kuvvet uygulamak

gerekir. Bu kuvvetin birim zamanda yapacağı iş:2 2 2

dış 1 (Eş-2) B L v

P FvR



R

ş- ve ş- ar şı aş ır ı ırsa, a ayı a an ışına çı arma

için uygulanan dış kuvvetin yaptığı işin, halka üzerinde ısı

ener s ne n ş g r me e r.

(30–15)



İki kapalı bölmeden oluşmuş iletken bir halka,Örnek :

,doğru yönelmiş bir manyetik alan içindedir. 65 cma =

'

3

. .

Manyetik alan şiddeti (1 10 T/s) ifadesine B t

,

ak ımını bulunuz.

2

1 1Büyük halka: 2 0.1 halka çevresi=0.1*6 0.6d dBa R a adt dt

311

1

2 2 (0.65)1 10 2.17 mA (saat ibrelerinin tersi yönünde)

0.6 0.6

a dBi

R dt

2

2 2Küçük halka: 0.1 4 0.4d dB

a R a adt dt



dt dt

2

22

a

i R

3(0.65)

1 10 1.63 mA (saat ibrelerinin tersi yönünde)0.4 0.4

dB

dt

1 2kolundaki ne ak ım: 0.54 mA (saat ibrelerinin tersi yönünde)PQ i i i

(30–18)

solenoidten geçen ak ım zamanla ( ) (1 )t

m I t I e

a es ne uygun o ara e şme e r. o eno n

merkezinde ve solenoid ile aynı eksenli sar ım N

'

bulunuz.

arar ı a ımı taşıyan sonsuz uzun r te e

kenar uzunluğu ve olan bir kangal, şekildeki gibi,l a

:

aralar ındaki mesafe olacak şekilde aynı düzlemde

durmaktadır. Kangal sabit bir hızıyla, ak ı

r

v m taşıyan



du d . g s b b y ,v ş y

tele paralel kalacak şekilde hareket ettirilirse, kangalda

indüklenen emk ne olur?

(30–19)

Kesitinin kenar uzunluklar ı 2 cm ve 3 cm, iç

=

a = b =

=

Örnek :

50sin 120 ifadesi ile değişmektedir. Burada, saniye I t = t t

' . ,

sar ımlı dikdörtgen şeklindeki halkada oluşan indüksiyon emk' sını

.

0Toroidin içindeki manyetik alan: IN

B

Toroidin kesitinden geçen manyetik ak ı:

R b

r

0 0 0. ln2 2 2

R

a ar d BdA a dr

r r R

0 ln2

a

dt R dt

50*120 cos 120dI

t dt



.ln

2

50 120 cos 120

4t

. cos

(30–20)

İndüklenen Elektrik Alanlar:

Şekilde, yar ıçaplı bak ır bir halka verilmiştir. Halka,

R yar ıçaplı bir bölgede etkin olan, sayfa düzleminden

r

içeri doğru yönelmiş ve şiddeti zamanla artan düzgün

bir man etik alan i indedir. Halkadan e en man etik

ak ıdaki değişim nedeniyle indüklenen ak ımın yönü saat

.

İletken halkada bir ak ımının olması, iletkenin içindeki elektronlar ın hareketi

etmesini sağlayan bir elektrik alanının varlığı anlamına gelir. Bu son yorumun

da ı ı ı altında Farada asası:

E

Değişen manyetik alan bir elektrik alan indükler.



ğ ş y

biçiminde de ifade edilebilir. , .

(30–21)

Soldaki şekilde, bak ır halka yerine yar ıçaplı çemberselr

bir yol çizilmiştir. Bu yol boyunca indüklenen emk,

(Eş-1) E dl

ile verilir. Aynı emk Faraday yasası ile de verilebilir:

d

dt (Eş-2)

Bu iki eşitlik birleştirilirse,

d E dldt

bağıntısı elde edilir. Çember üzerinde elektrik alan,

cos0 2 E dl Edl E dl rE

2 2

2

d dBr B r

d

r

t dt

E dt



d t dt

olarak bulunur.

(30–22)

Birim uzunluğundaki sar ım sayısı olan yar ıçaplın RÖrnek :

uzun r so eno ten geçen a ım cos a es negöre değişmektedir. Solenoidin içinde ve dışındaki noktalarda

m I t = I t

indüklenen elektrik alanını bulunuz.

2

0

2 2

. cos 2r R E dl E r nI R

dt dt dt

0 0

2 2

sin2 2 m E I t r dt r

0 0 sin sin ;2 2

m m

m m E t E t E

r r

r R E dld

2

0.2 E r nI r

t dt dt

r dI r



r dI r 0 0

0 0

s n2 2

m

m m

n n t dt

nr I nr I

2 2m m

(30–23)

İndüktans:

Toplam sar ım sayısı , kesit alanı ve uzunluğu olan

bir solenoidten ak ımı geçtiğinde, içindeki manyetik alan

N A l

i

0 ve solenoidten geçen net manyetik ak ı

ile verilir. Burada , solenoidin bi

B B ni NBA

n

rim uzunluğundaki sar ımsayısıdır ( ).n N / l

2

0 0

op am sar ım sayısı o u un an ne manye a ı,

( ) B

n

N BA N niA n lA i

olacaktır. Net manyetik ak ının, solenoidten geçen ak ımıyla doğru orantılı olduğuna

dikkat ediniz. Solenoi

i

d için bulunan bu sonuç, herhangi bir indüktör için de geçerlidir

ve net manyetik ak ı: formundadır. Orantı sabiti , indüktörün " " ı

olarak tarif edilir ve ilgili indüktörü

indüktans

n geometrisine

B L Li

bağlıdır. Bu durumda solenoidin



g g ğ

22 20

indüktansı,

B n lAi

0 .

olur.

i i

(30–24)

Öz - İndüksi on :Sağdaki resimde, 1 nolu halkadaki

ak ımın de i mesi le 2 nolu halkadan

geçen manyetik ak ıdaki değişimin bir

emk indükledi ini daha önce ördük.

Bir indüktör üzerinden geçen ak ım zamanla değişiyorsa,

,

bağıntısı uyar ınca zamanla değişir. Böylece, Faraday

" "

B

-

bilinen bir emk indüklenir:



B L

dt dt

(30–25)

RL Devreleri :

verilmiştir. ' nin açık ucu emk' sı olan bir bataryaya, R' nin L

Başlangıçta açık olan anahtar 0 anında noktası ile temas

ettirilerek devre tamamlanı or. noktasından ba la arak saat

t a

x

ibreleri yönünde Kirchhoff' un çevrim kuralını uygularsak,

di di i

dt

i

dt

0 0

t t

dt L iR L iR L

/

0

1 ln ( ) 1 t i

i t e R

t iR

R L



1/2

Burada, ile verilir ve devre zamansinin " " dir. niceliği isesabiti = ln2 RL L / R T R

.

(30–26)

/

o ma üzere, er ang r anın a,

Devreden e en ak ım: 1 t i t e

t

/

Direncin uçlar ı

arası

ndaki gerilim: 1

t

R

R

V iR e

/İndüktörün uçlar ı arasındaki gerilim: t

L

diV L e

dt

bağı

ntı

lar ı

ile verilir. 0 anı

nda, beklentilere uygun bir şekilde devreden geçen ak ım sıf ırdır ( 0). Anahtar

t

i

max

kapatıldıktan uzunca bir süre sonra ( ), devredeki

ak ı

m / ile verilen maksimum değerine ulaşı

r.

t

i R

Tam bu noktada indüktörün k ısa devre gibi davrandığını

sö lemek anlı olmaz.



sö lemek anlı olmaz.

(30–27)

Manyetik Alanda Depolanan Enerji:

Bir kapasitörün palakalar ı arasındaki bölgede elektrik alandaenerji depolayabildiğimizi biliyoruz. Benzer bir mantıkla, bir

indüktörün içindeki manyetik alanda da enerji depolayabiliriz.

Yandaki devre için Kirchhoff ' un çevrim kuralı

nı

uygularsak,

2 di di

iR L i i R Lidt dt

2 bulunur. terimi, bataryanın birim zamanda devreye sağladığı enerjiye kar şılık gelir.

terimi, birim zamanda direnç üzerinde açığa çıkan ısı enerjisini temsil eder.i

i R

Son

terim ise, enerjinin korunumu gereği, birim zamanda indüktörde depolanan manyetik

enerjiye kar şı

lı

k gelir. Bu durumda indüktörde depolanan enerji, B

B

dU di Li dU Lidi

dt dt



21

2 B oU Li di L i

21

indüktörde depolanan manyetik e ner i2

ii

o

BU Li ifadesi ile verili .r

(30–28)

Manyetik Alanda Enerji Yoğunluğu:

Yanda, birim uzunluğunda sar ım bulunan, kesiti ve

boyu olan bir solenoid verilmiştir. Solenoidten ak ımı

n A

l i

0geçtiğinde, içinde oluşan manyetik alan ile

verilmektedir. Solenoidin dışındaki man

B ni

yetik alan iseyaklaşık sıf ırdır.

1 10o eno te epo anan top am ener ,

2 2olduğundan, solenoidin içindeki bölgede birim hacimdeki enerji miktar ı, diğer

B n

bir deyişle enerji yoğunluğu,

2 2 2 2 2 2

0 0 0 2 2

B

B

n Ali n i nU u

hacim Al

2 2

0 02 2 B

i Bu



olarak bulunur. Solenoid özel durumu için hesaplanmasına rağmen, genel bir

bağıntıdır ve manyetik alanın olduğu her durumda doğrudur.

(30–29)

Şekildeki gibi, birbirlerinin oluşturduklar ı manyetik

Karşılıklı İndüktans:

alan çizgilerinden etkilenebilecek kadar yak ın iki

indüktör olsun. ekil-a' da verilen 1 nolu halkadan

1geçen ak ımı, 2 nolu halkanın bulunduğu bölgi ede

man etik alanını olu turur. Bunun sonucu olarak B

2 21 12 nolu halkadan geçen manyetik ak ı olur. M i

2 1

1 ak ı

mı

zamanla değişirse, 2 nolu halkadan geçen ak ı

da değişir ved di

i

2 12

ile verilen bir emk indüklenir. Benzer bir yaklaşım kullanılarak, 2 nolu halkadan

d dt t

2geçen ak ımının zamanla deği

1 12 2

işmesi durumunda (şekil-b), 1 nolu halkadan

geçen ak ı olmak üzere, 1 nolu halkada indüklenen emk, M i



1 2

1 12

d di

M d dt t

yazılabilir.

(30–30)

21 12

12 21

,

geometrilerine bağlı sabitlerdir ve biribirine eşittir ( ). M M

, iki indüktör arasındaki " " olarak bilinir.

SI

M karşılıklı indüktans

sistemindeki birimi "henr H " dir. Bu durumda indükterlerde

indüklenen emk ifadeleri aşağıdaki gibi verilir:

2di

dt

12 1 2

di Mi M

dt



(30–31)

B L M-31

veAlternatif Ak ım

Bu bölüm ka samında a a ıdaki konulara de inilecektir:

LC deverelerinde elektromanyetik salınımlar

RCL devrelerinde rezonansAC devrelerinde Güç



(31-1)

LC Salınımları :

Şekilde bir kapasitörü ve bir indüktöründen oluşandevre verilmiştir. Kapasitör başlangıçta doludur ve

C L

yükü ' dur. 0 anında S anahtar ının kapatılmasıyla,

devreden zamanla değişen bir ak ımı geçe

Q t =

i r ve kapasitör indüktör üzerinden boşalmaya başlar.

er ang r an a, apas tör üzer n e yü ve evre en geçen a ım se,

devrenin toplam enerjisi, kapasitör ve indüktördeki enerjilerin toplamı olur:

q i

2 2

2 2 E B

q LiU U U

C

Devredeki iletim kablolar ının direnci ihmal edilirse, toplam enerji sabittir.

dq

2



2

22 0 0

1

0

dU q dq di dt

Lidt C dt dt di d q

d q

L qdt C

2

dt dt (31-2)

2

2 2

2 1 0 (Eş-1)

10

d qd q L q q

Bu ikinci dereceden, homojen bir diferansiyel denklemdir ve çözümü daha önce

. -

sisteminin hareket denklemi ve çözümü aşağıdaki gibidir:

2

2 (Eş-2)0 ( ) cos( )

m

x x x t x t

dt

- - ,

görülebilir. Buradan hareketle, devresini betimleyen ve Eş-1 ile verilen denklemin LC

ç z m n en, o ma zere, apas r zer n e y ve evre en geçen

ak ım sırasıyla,

( ve) cosq t Q t sinq

dt i Q t

.



.

Burada maksimum yük ( 0 anında kapasitördeki yük miktar ı), salınımın fazt Q .

(31-3)

Herhangi bir anda kapasitördeki ve indüktördeki

2 2

enerjiler sırasıyla:

2 2 2 22 2

cos2 2 E

t C C

Li L Q Q

2 2 2

ile verilebilir. Böylece herhangi bir anda toplam enerji:

BC

E BU U U

2 2 1cos sin

2 2

Q QU t t

C C

2

olur. Toplam enerji sabittir: " ".

3 1T T Q

enerji korunur

2 2 2 C



2 2 2

3 5 .... indüktördeki ener i

C

T T T t

21maksimumdur .Q4 4 4 2 C

(31-4)



(31-5)

Alternatif Ak ım :

emk' sı sabit olan bir batarya, belli bir doğrultudasabit bir ak ım üretir. Bu tür ak ımlara " "doğru ak ım

veya "Direct Current - " adı verilir.DC

Sar ım sayısı ve yüzey alanı olan bir halka, şekildeki gibi düzgün bir manyetik

alan içinde iken ekseni etraf ında açısal hızıyla döndürülsün. Halkadan geçen ak ı

N A

ve indükleme yoluyla halkada oluşan emk sı

rası

yla,d

'

cos s n s n B mt t t

dt

. , .

ak ımın doğrultusu ile verilen bir frekansla periyodik olarak değişiyorsa,

m

f



bu tür gerilim kaynaklar ına "alternatif ak ım" veya "Alternating Current - "

adı verilir. ehir ebekesinde kullanılan erilimin maksimum de eri 310 V

AC

(31-6)frekansı ise 50 Hz' tir. f

AC devresinde direnç:

Şekil- ' da bir AC üretecine bağlı R direnci verilmiştir.Üreteç gerilimi ( ) sin şeklinde değişmektedir.

m

a

t t

Kirchhoff' un çevrim kuralı uygulanırsa:

t R

m

bulunur. Maksimum ak ım / ifadesine sahiptir.

m

m m

Ri R

Direncin uçlar ı arasındaki gerilim de ( ) sin

ile verilir. Şekil- ' de, direnç üzerinden geçen ak ım vem

V t t

b

direncin uçlar ı arasındaki gerilim zamanın fonksiyonu

olarak çizilmiştir. Her iki nicelik de aynı zamanlarda



maksimum ve minimum değerlere sahip olduklar ından

" " dır denir.a nı fazda

(31-7)

AC devrelerinde ak ım ve erilim, ekil- ' deki ibic

" " ile gösterilir. Direnç üzerindekifazör diyagramı

,

ismine " " denilen dönen vektörlerle göster fazör ilir.

Fazör diyagramının çizilmesinde aşağıdaki noktalara dikkat edilmelidir:

Fazörler saat ibrelerinin tersi önünde a ısal hızı ile dönerler. 1.

Her fazörün uzunluğu, kendi genliği ile orantılıdır.2.

. az r n şey e sen zer n e eşen , o n ce n an ı e er ne eşittir.

Her fazörün dönme açısı o niceliğin fazına eşittir4



Her fazörün dönme açısı, o niceliğin fazına eşittir

Yukar ıdaki örnek i in faz ' dir .t

4.

(31-8)

Direnç için ortalama güç :2

2 1sin

T

mP t i t V t t P P t dt

0

2 2

T

R T

T

0

sin2

mmP tdt R T

P R

2

0

sin2

tdt

1/ 2 1/ 22

AC gerilimin "kare ortalaması

nı

n karekökü" (kok değeri):T T

2 2

0 0

kok ( ) sin2mmV t dt tdt V

T T

ile veri2

kok lir. Bu durumda, bulunur. Bu ifade DCV

P



ile aynıdır ve direnç üzerinde ısıya dönüşür.

(31-9)

Bir üretecin çık ışındaki gerilim ( ) 200sin ifadesine sahiptir.t = t Örnek :

ura a, san ye ve vo c ns n en r. u re eç u r renc n

ucuna bağlanırsa, direnç üzerinden geçen ak ımın "k

t

ok" değeri nedir?

( ) 200

( ) sin 2 sin 2 A100 m

t i t t t i

R

1.41 V2 2

mkok

i

Bir üretecin çı

k ı

şı

ndaki gerilim ( ) sin ifadesine sahiptir.Bu üreteç, bir anahtar vasıtasıyla, 70 ' luk bir direncin iki ucuna bağlanmıştır.

mt = t Örnek :

Anahtar kapatıldıktan sonra 0.01 s anında dir t = encin uçlar ı arasındaki gerilim

=0.25 ise, üretecin açısal frekansı nedir? Direncin uçlar ı arasındaki gerilim R m

V

ne kadar zaman sonra aynı değere sahip olur?

t

s n . s n . raR m m mt t t t R



0.25 2 2

R m m m R

.

0.01 25T

(31-10)

AC devresinde kapasitör :

Şekil- ' da, AC üretecine bağlı sığasına sahip bir kapasitör verilmiştir. Üreteç gerilimi ( ) sin ifadesi ile verilsin.m

a C t t


( )q t mC

( ) cos ( ) sin 90m m

dqi t C t i t i t

bulunur. Maksimum ak ım ifadesine sahiptir.mm mi C

1/ sığasalBurada, niceliği " "

olarak tanı

mlanı

r ve birimi

direnç (kapasitif rea

ohm

ktans)C X C

dur.Üreteç frekansı çok yüksek ( ) ise kapasitörün k ısa devre,

ok dü ük ise 0 a ık devre oldu unu österir. ekil- ' deb

k itö k k itö ili i f k i l k



kapasitör ak ımı ve kapasitör gerilimi zamanın fonksiyonu olarak

izilmi ti oak ım erilimr. Görüldü ü in 90 önündi e bi dir.

(31-11)

Kapasitör için ortalama güç:

2( ) ( ) sin cosmP i t V t t t

2

C

m 2

C

T T

X

0 0( ) sin 2 02

m

C P P t dt P tdt T X T

. titreşimin belli bir zaman diliminde AC üretecinden enerji

soğurur kalan zaman diliminde ise bu enerjiyi kaynağa



soğurur, kalan zaman diliminde ise bu enerjiyi kaynağa

. , .

(31-12)

Sığası 8 F olan bir kapasitör, kok değeri 150 V ve 60 Hz frekansında Örnek :.

devreden geçen ak ımın kok değerini bulunuz.

6

1 1 1332

2 2 60 8 10C

X

C fC

150

0.452 A332

kok kok

i X

Bir AC üretecinin maksimum ık ı erilimi 48 V ve frekansı da=Örnek :

90 Hz' tir. Bu üreteç, sığası 3.7 F olan kapasitörün plakalar ına bağlanırsa, f =

( ) ( ) sin ( ) sinm m m mq t C t C t i t C t i C

62 2 90 3 7 10 48 0 1 Ai fC



2 2 90 3.7 10 48 0.1 Am mi fC

(31-13)

AC devresinde İndüktör (bobin):

Şekil- ' da, AC üretecine bağlı indüktansı olan bir indüktör verilmiştir. Üreteç gerilimi ( ) sin ifadesine sahiptir.m

a Lt t


( ) mdi di t dt dt L L

sin cos sin 90m mi t tdt t i t i t

bulunur. Maksimum ak ım / ifadesine sahiptir. Burada,

m

m m

L L

i L

n ce o n n ü t rea tarenc - o ara n r

ve birimi ohm ( ) dur.

ns L

tere ç frekansı çok yüksek ( ) ise indüktörün açık devre,çok düşük ise ( 0) k ısa devre olduğunu gösterir. Şekil- ' deb

indüktör ak ımı ve indüktör gerilimi zamanın fonksiyonu olarak



çizilmiştir. Şekilden de oak ım gerilimdegörüldüğü gibi n 90,geridedir.

(31-14)

2m

2

L X

2sin cos sin sin22

2 m

L

P t X

2

1 1( ) sin 2 0

T T

mP P t dt P tdt

0 0

İndüktör ortalamada herhangi bir güç kaybına yol a

L

Not : çmaz.

titreşimin belli bir zaman diliminde AC üretecinden enerji

,



yeniden verir. Böylece, ortalama olarak güç kullanmaz.

(31-15)

İndüktansı 25 mH olan bir indüktör, kok değeri 150 V ve 60 HzÖrnek :

re ansı

n a ça ı

şan r re ec n u up ar ı

na a anmı

ş ı

r. evren n nreaktansını ve devreden geçen ak ımın kok değerini bulunuz.

32 2 60 25 10 9.425 L X L fL

15.9 A9.425

kok kok

L

i X

Bir devresinde AC üretecinin çalışma frekansı 50 Hz ve ürettiği

gerilimin maksimum değeri 100 V' tur. Devreden geçen ak ımın maksimum

RLrne :

değeri 7.5 A ise, indüktörün indüktansını bulunuz.

0.0424 42.4 mH

2 2 50 7.5m m

m

m

i L L fi

Hangi açısal frekansta maksimum ak ım 2.5 A olur?



100m

(31-16)

.

2.5 0.0424mi L

evreElemanı

r a amaGüç

ea ans

(Direnç)

ımın azı a s mum

Gerilim

Direnç

R

Ak ım gerilimle

a nı fazda , R m mV i R R

2m

RP

Kapasitör Ak ım gerilimden1 iC 90o öndeC

C ,C m m C

C

C

L

90o geride L X L , L m m L mV i X i L 0 LP



(31-17)

Seri bağlı Devresi: RLC

Şekil- ' da seri bağlı bir devresi verilmiştir. AC'

a RLC

olarak değişmekte ve devreye sağladığı ak ım da

m

şe n e e şme te r. reteç

gerilimini

s nm

i t i t

n ve devreye sağladığı ak ımının fazörleri

şekil- ' de verilmiştir. Devreden geçen ( ) ak ı

mı

diren ka asitör ve indüktör i in ortaktır. ekil- ' deb i t

c

direnç, kapasitör ve indüktörün uçlar ı arasındaki

.üzerindeki gerilim ak ımla aynı fazda, kapasitör

üzerindeki gerilim ak ımdan 90 geride ve indüktör



üzerindeki gerilim ak ımdan 90 öndedir.

(31-18)

devresine Kirchhoff' un evrim kuralı u ulanırsa: RLC t V t V t V t

, ,

bulunur. Bu eşitlik yukar ıda fazör formunda da verilmiştir. ve zıt yönde

oldu undan bile kesi olur. Bö l

L m C mV V

V V ece dik ü eninden:OAB

, , m m

2

2 2 22 2 2 2, , ,

m R m L m C m m m L m C m L C V V V i R i X i X i R X X

2 22

2

veya

1

m mm m

L C

i i

R X X

R L

bulunur. Paydadaki terim, devresinin " " dır ve ile gösterili

C

RLC Z

empedansı r:

222 2 1

veyaZ R X X Z R L



veya

L C Z R X X Z R L

C

birimi 'dur.

(31-19)

, , dik üçgeninden: tan L m C m m L m C L C V V i X i X X X

OAB

,

bulunur. Devrenin fazı, ve ' nin alacağı değerlere bağlıdır:

R m m

C L X X

ımın azı ger m n azın an ger e r, evre n r. L C

.

2. Ak ımın fazı gerilimin fazının önündedir, devre0 kapasitiftir.C L X X

ım ve ger m aynı az a ır.C L .



(31-20)

Bir devresinde AC üretecinin çalışma frekansı 60 Hz ve ürettiği RLC Örnek :gerilimin maksimum değeri 120 V' tur. Devrede 200 , 4 F ve

değişkendir. ' nin hangi değerinde, kapasitörün uçlar ı arası

R = C = L

L

ndaki gerilim üretecinogeriliminden 30 geride kalır?

Ka asitörün u lar ı arasındaki erilimin üretecin

o

o

geriliminden 30 geride kalması demek, devredeki

olması demektir.

tan tan L C L C

X X R R

2 2 fL R

fC

tan tan2 2 L R

f fC

6

200 tan 60 0.84 H L



6

2 60 2 60 4 10

(31-21)

Maksimum gerilimi 150 V olan ve çalışmaÖrnek :re ansı 50 Hz o an r AC üretec şe e

devresinin ve uçlar ına bağlanmıştır. - ; - ; -

RLC

a d a b b c c d

ve - uçlar ı arasındaki maksimum gerilimleri bulunuzb d .

2 2 50 0.185 58

1 1 149

L X L L

X

2 2 50 65 10

150m

C C

2 2 22.

40 58 49

3.66 40 146.4 V

m

L C R X X

V i R

,

, 3.66 58 212.3 V L m m LV i X

, . .C m m L



(31-22)

Bir devresinde; 150 , 250 mH, 2 F, RLC R L = C = Örnek :

üretecin maksimum gerilimi 210 V ve çalışma frekansı 50 Hz' tir. , ,

maksimum ak ımı ve ak ımla gerilim arasındaki faz açısını bulunuz.

2 2 50 0.25 78.5 L X L fL

6

1592.42 2 50 2 10C

X C fC

2 2 22 150 78.5 1592.4 1521.3

L C Z R X X

22

0.138 A 138 mA1521.3

mm

L C

i R X X

1 1 o78.5 1592.4tan tan 84.4 L C X X



150 R

(31-23)

Bir devresinde; 425 , 1.25 H, 3.5 F, RLC R L = C = ÖDEV:

üretecin maksimum gerilimi 150 V ve açısal frekansı 377 rad/s' dir. , ,

maksimum ak ımı ve ak ımla gerilim arasındaki faz açısını bulunuz.



(31-24)

Rezonans:e e ver en evres n e re ec n açısa re ansı

olsun ve çok düşük bir değerden yukar ı doğru sürekli

o ara ar ır ı sın. evre en geçen a ımın gen ,

m m

i

22 1 L C R X X

R LC

1

eşitliği ile verildiğinden, 0 olduğunda ak ımın L C genliği en büyük olur. Bu durum üretecin açısal frekansı ,

0devrenin doğal frekansı değerine eşit olduğunda gerçekleşir. Buna LC

rezurumu en r. ezonans urumun a, a ımın gen o ur. m

rezonans



Üreteç frekansına kar şı çizilen ak ım genliğ "i rezonan " olarak bilinir.s eğrisi

(31-25)

Devresinde Güç: RLC

AC devrelerinde kapasitör ve indüktör taraf ındankullanılan ortalama gücün sıf ır olduğunu daha önce

gördük. Ortalama güç direnç üzerinde harcanır ve

ö le hesa lanır:

22

( ) ( ) sin

mP t i t R i t R

ort

1 P

2 22 2

kok

0 0sin 2

T T

m m

i R i RPdt t dt i RT T

kok ort kok kok kok kok kok kok kok cos

RP i Ri i R i i

Z Z

Bu ifadedek güç faktör i cos , devrenin " " olarak

bilinir. 0 durumu rezonans artıdır ve

ü

X X

bu durumda, devrede harcanan güç maksimumdur.



T

(31-26)

2

0

sin2

t dt

Bir devresinde; 8 , 50 mH, 5 F ve frekansı RLC R L = C = Örnek :

değiştirilebilen AC kaynağı

nı

n maksimum gerilimi 400 V' tur. Kaynağı

nfrekansı rezonans frekansının yar ısına eşit olduğunda, devreye sağlanan

ortalama güç ne kadardır?

kok kok

03 6

cos

1 12000 rad/s

ort

220

1000 rad/s 150.212 200

L

L C

C

Z R X X X

400 82.66 A ; cos

150.2 150.2m

m

Ri

Z Z

kok kok cos com mort

iP i

0.2 (400) 8s 28.3 W



2 2 2 150.2

(31-27)

Bir devresinde; 150 , 20 mH, üretecin kok değeri RLC R L = Örnek : ve re ansı ra s r. evre e a ımın ma s mum o a mes

için, bağlanması gereken kapasitörün sığası ne olmalıdır? Devredeki ak ımın

kok değerini hesaplayınız.

evre e a ım rezonans urumun a ma s mum o ur.

1 1 X X L

0

61 15000 2 10 2 F

LC

C

3 5000 20 1020 10

30

C

. ezonans urumun a r.150kok Z



(31-28)

Bir devresinde; 400 , 0.5 mH, 5 F ve AC RLC R L = C = Örnek :

üretecin gerilimi ( ) 100sin 1000 ile veriliyor. Burada saniye vevolt cinsindendir. Kaynağın devreye sağladığı ortalama gücü bulunuz.

t t t

kok kok cosort P i

22

0.5

1000 rad/s 4471200

L

L C

C

X L

Z R X X X

100 4000.22 A ; cosmm

Ri

kok kok

0.22 (100) 400cos cos 10 W

2 4472 2m m

ort

iP i



(31-29)

iletim

ısı

55 MWP

l

Enerji İletim Hattı :

ç e m a ının renc : asarru ç n, ç es a anına sa p nce e er,

yukar ıdaki örnekte 220 olarak seçilmiştir). A

R

ısı kok İletim hattında açığa çıkan güç: P i 2

iletim kok kok kok

(kaybın en az olması için, ak ım düşük olmalı).

İletilmek istenen güç: (maksimum güç iletmek için, artır ılmalı).

R

P i

kok Yukar ıdaki örnekte, iletim hattından geçen ak ım en fazla 500i A' dir. Dolayısıyla,

kok iletim hattının girişinde, 736 kV olmalıdır. Şehir şebekesi gerilimi yaygın olarak

ı ı



kok 220 V olduğundan, iletim hattının sonunda değeri düşürülmelidir. Bunun için de,

AC geriliminin genliğini artıracak veya azaltacak cihazlara ihtiyaç duyulur.

(31-30)

Bir enerji istasyonu, 1 km uzaktaki bir kasabaya 20 MW' lık güç sağlamak

'

Örnek :.

çıkar ılıyor. İletim hattının toplam direnci 2 ve elektriğin kilowatt- saat' i 0.2 TL, .

için aynı hesabı tekrar yapınız.

6

3

22

87 A230 10

P I V I V

Bir günlük toplam kayı p 15 kW 24 saat 360 kW-saat

ısı

Ma yet 360 W-saat

İstasyon çı

0.

k ış

2 TL 72 TL

ında

transformatör kullanılmasaydı :

6

320 10 910 A22 10

PP I V I

V

letim hattında harcanan (ısıya dönüşen) güç: 910 2 1656 kW

i l k l k ı k k

ısıP I R



Bir günlük toplam kayı p 1656 kW 24 saat =39744 kW-saat Maliyet 39744 kW-saat 0.2 TL 7950 TL

(31-31)

Transformatör :

AC gerilimlerin genliklerini değiştirmeye yarayan" " .

Şekildeki gibi, aynı demir çekirdek üzerinde farklı

.

" " , .

Transformatör çık ışının bağlı olduğu, sar ım sayısı olan halkaya ise " "

P

S N sekonder .

em r çe r e n ro , r a anın manye a an ç zg er n n er a a an ageçmesini sağlamaktır. Primer halkanın girişine gerilimi uyguladığımızı, sekonder

PV

halkanın çık ışından gerilimi aldığımızı varsayalım. HalkaS V lar ın kesit alanı ve

h iki h lk d ki ik l d l P i k d h lk l d

A

B



her iki halkadaki manyetik alan da olsun. Primer ve sekonder halkalardan geçen B

manyetik ak ılar ile bunlar ın uçlar ı arasındaki gerilimler:

(31-32)

E -1Pd dB N BA V N A

(Eş-2)S S S S S

dt dt

d dB N BA V N A

bulunur. Bu iki eşitliği taraf tarafa oranlarsak:

S PS

S

S

S

P P

N AV N dt

dBV N N A

V V

N

S

S P

PP

N V V

N N

dt

sonucuna ulaşılır. Halkalar ın birbirlerine göre sar ım sayılar ına bağlı olarak transformatörler ar ı şe e s m en r r er:

1 , bu " transS S P S P

N N N V V yükseltici formatör" adını alır.

P

1 , bu " transformatör" adını alır.S S P S P

N N N V V düşürücü

Uzak noktalara enerji iletiminde her iki transformatör türü de kullanılmaktadır.P



(31-33)

= (Eş-1)S PV V

V N V N

Yandaki devrede S anahtar ı kapatıldığında, primer S P

a a a a ımı yanın a se on er a a a a r

ak ımı oluşur. Transformatörün " " olduğunuP

S

I

I ideal

yani ısınma nedeniyle enerjinin kaybolmadığını varsayarsak:

(Eş. 2)P P S S V I V I

yazılabilir. Eş-2 ve Eş-1' i taraf tarafa bölersek,

V I V I N

bul

S P

P S S P S

P P S S V N V N N

unur.

Yükseltici transformatörlerde ( ), sekonder halkada oluşan ak ım primer

halkadaki ak ımdan kü üktür .S P N N

I I

Düşürücü transformatörlerde ( ), sekonder halkada oluşan ak ım primer S P N N



.S P

(31-34)

Bir transformatörün primer ve sekonder halkalar ındaki sar ım sayılar ı 350 veP

N Örnek :

r. r mer a anın g r ş ne cos a es e e şen r ger m

uygulanırsa, sekonder halkanın çık

S P =

ışındaki gerilimin kok değeri ne olur?

175cos350

S S PS P

S P P

V V t N N N

1000 cos 707.1 V2

S S kok V t V

'

gerilimin kok değeri 25 V' tur. Üreteç geriliminin kok değeri 80 V ve primer ile

S

S pV = V ==

. ,P S P

2.5 (25) 62.5 VS P PP S

V V N V V

Ürete erilimi 80 V oldu una öre otansi el dü mesi 17.5 V olur.

S P S

V

225

0 2 A62 5 50S S S

P P S S P S

V V V

V I V I I IV V R



0.2 A62.5 50P P S V I V I I I V V R

17.587.5

0.2 D

P

P

V R

I

(31-35)

devrelerinde sönümlü titreşim : RLC

Şekildeki gibi, devresine bir direnç eklenirse, direnç

üzerinde kayı p olacağı için enerji denklemini yeniden

LC

2

yazma gere r. renç üzer n e r m zaman a ısıya

dönüşen enerji miktar ının olddU

i R uğunu biliyoruz.

Herhangi bir anda kapasitördeki yük , devreden geçen ak ım ise,q i

2 2

2 2

2 21

E B

q q qU U U Li Li i R

C dt C dt dt d di d d d

2 2 ve 0

Bu denklem sönümlü harmonik hareket d

i L R qdt dt dt dt dt C

enklemi ile aynı formdadır.

2 2

/2

2 2 0 ( ) cos ;

4bt m

m

d x dx k bm b kx x t x e t

dt dt m m

2/2

Bu benzerlikten dolayı, devre denkleminin çözü

1cos

mü şöyedir:

Rt L Rt e t

RLC



/2 1 cos Rt e t 4 LC L

(31-36)

/ 2 Rt Le( )q t

/ 2 Rt L

( )q t Q

2

/ 2 Rt LQeQ 24 LC L

/2

Bu eşitlik, maksimum genliği ifadesi ile değişen bir harmonik hareketi"

Rt L

Qe

.

" isimlendirmesi yapılmıştır harmonik hareket . Sönümlü harmonik hareketin

2

açısal frekansı, sönümün olmadığı durumdakinden daima daha küçüktür.

1 1 R2

2 2

4 LC L LC



2 2 , .

(31-37)

DERS NOTLARININ

YARARLANILAN KAYNAK K İTAPLAR



Fiziğin Temelleri (Ders Kitabı)(David HALLIDAY, Robert RESNICK, Jearl WALKER)



Üniversite Fiziği (Yardımcı Kitap)(Hugh D. YOUNG ve Roger A. FREEDMAN)



Fen ve Mühendislik İçin FİZİK (Yardımcı Kitap)(Raymond A. SERWAY ve John W. JEWETT)

fizik ii ders notlari

Documents