ekonometri2 ders notlari

7/31/2019 Ekonometri2 Ders Notlari

1/181

Ekonometri 2

Ders Notlar

A. TALHA YALTA

TRKIYE BILIMLER AKADEMISIAIK DERS MALZEMELERI PROJESI

SRM 2.0EKIM 2011


2/181


3/181

Iindekiler

1 Dizey Cebirinin Gzden Geirilmesi 8

1.1 Dizeylere Iliskin Temel Kavramlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.1 Tanmlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2 Dizey Trleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Dizey Islemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Temel Islemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Belirleyen ve Dizey Tersi Alnmas . . . . . . . . . . . . . 14

2 Dogrusal Baglanm Modeline Dizey Yaklasm 182.1 Dizey Yaklasm ile Dogrusal Baglanm Modeli . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 k Degiskenli Modelin Dizey Gsterimi . . . . . . . . . . . 182.1.2 KDBM Varsaymlarnn Dizey Gsterimleri . . . . . . . . . 20

2.2 Dizey Yaklasm ile Tahmin Sorunu . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 SEK Tahmincilerinin Bulunmas . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2 Varyans-Kovaryans Dizeyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Dizey Yaklasm ile karsama Sorunu . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.1 Bireysel Katsaylarn nsav Snamalar . . . . . . . . . . . 282.3.2 Varyans zmlemesi ve F Snamalar . . . . . . . . . . . 292.3.3 Dizey Gsterimi ile Kestirim . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 okluesdogrusallk 343.1 okluesdogrusallgn Niteligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.1 okluesdogrusallk Kavram . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.2 okluesdogrusallk Varken Tahmin . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 okluesdogrusallgn Sonular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.1 Kuramsal Sonular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.2 Uygulamaya Iliskin Sonular . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3 Aklayc rnek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 okluesdogrusallg Saptamak ve Dzeltmek . . . . . . . . . . . . 453.3.1 Var Olup Olmadgn Anlamak . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.2 okluesdogrusallg Dzeltici nlemler . . . . . . . . . . . 48


4/181

IINDEKILER A. Talha Yalta (2007 - 2011)

4 Farklserpilimsellik 55

4.1 Farklserpilimselligin Niteligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.1 Nedenleri ve Sonular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.2 Genellemeli En Kk Kareler . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.3 Farklserpilimsellik Altnda SEK . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Farklserpilimselligi Saptamak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.1 Biimsel Olmayan Yntemler . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.2 Biimsel Yntemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 Farklserpilimselligi Dzeltmek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3.1 Agrlkl En Kk Kareler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3.2 Verilerin Dnstrlmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 zilinti 755.1 zilintinin Niteligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.1 zilintinin Nedenleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.1.2 zilintinin SEK Tahminlerine Etkisi . . . . . . . . . . . . . 79

5.2 zilintiyi Saptamak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2.1 izim Yntemi ve Dizilim Snamas . . . . . . . . . . . . . 835.2.2 Durbin-Watson d Snamas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2.3 Breusch-Godfrey Snamas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.3 zilintiyi Dzeltmek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.3.1 Biliniyorsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.3.2 Bilinmiyorsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6 Ekonometrik Modelleme 956.1 Belirtim Hatalarnn Niteligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.1.1 Belirtim Hatas Trleri ve Bunlarn Sonular . . . . . . . . 966.2 Belirtim Hatalarnn Snanmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.2.1 Kalntlarn Incelenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2.2 Katsay Anlamllk Snamalar . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2.3 RESET ve L Snamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.3 Modellemeye Iliskin Konular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.3.1 Yuval-Ds Modellerin Snanmas . . . . . . . . . . . . . . 1096.3.2 Model Seim ltleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.3.3 Dsadsenler ve Eksik Gzlemler . . . . . . . . . . . . . . 113

7 Nitel Tepki Baglanm Modelleri 1177.1 Nitel Tepki ve Dogrusal Olaslk Modeli . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.1.1 Nitel Bagml Degiskenler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.1.2 Dogrusal Olaslk Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.1.3 DOM Tahminindeki Glkler . . . . . . . . . . . . . . . . 119

http://yalta.etu.edu.tr


5/181


7.2 Dogrusal-Ds Yaklasm ve Olabirim Modeli . . . . . . . . . . . . . 123

7.2.1 Dogrusal Olaslk Modelinin Almasklar . . . . . . . . . . 1237.2.2 Olabirim Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.3 Diger Nitel Tepki Modelleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.3.1 Logbirim Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.3.2 Tobirim Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.3.3 Ileri Model ve Konular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8 Esanl Denklem Modelleri 1378.1 Esanl Denklem Modellerinin Niteligi . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.1.1 Esanl Denklem Modelleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.1.2 zdesleme Sorunu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.1.3 Esanl Denklem Yanllg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.2 Tek Denklemli Modellerde Esanl l k . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.2.1 Ara Degiskenler Yaklasm . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.2.2 Esanllk Yanllgn Saptamak . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.3 Esanl Denklem Yntemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.3.1 Iki Asamal Enkk Kareler Tahmini . . . . . . . . . . . . 150

9 Zaman Serileri Ekonometrisine Giris 1559.1 Baz Temel Kavramlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

9.1.1 Duraganlk ve Duragan-Ds l k . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.1.2 Duraganlg Snamak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1599.1.3 Dzmece Baglanm ve Estmlesim . . . . . . . . . . . . . 164

9.2 Box-Jenkins Yntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1699.3 Yney zbaglanm Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176



6/181


7/181


Benimsemis oldugum yntemin izim, izelge, ve tahmin ktlar gibi gr-

sel gelere dayal uygulamal bir bilim olan ekonometriyi gretmede elverislioldugunu dsnyorum.

A4 dzenine getirildiginde, her bir konu ortalama 15 - 20 sayfa tutmaktadr.Bu sekilde hazrlanms olan bir kitap srm de ilgilenenler iin ayrcasunulmaktadr.

Konu anlatmlarnn yan sra, ikiser takm snav soru ve yantlar da ak dersmalzemeleri iinde yer almaktadr. Bu ek belgeler de A4 sayfa boyutundadr.

Kullanlan Terminoloji

Trke terimler konusunda esitli akademisyenlerin degerli katklar bulun-makla birlikte, yerlesmis ve kendi ierisinde tutarl bir ekonometrik termino-lojinin eksikligi bir gerektir.

Ders notlarnda kullanlan Trke konusunda byk titizlik gsterilmis ve e-sitli ekonometri kaynaklar taranarak daha nce farkl yazarlarca nerilmiskarslklara dayal, anlam ve dilbilgisi ynnden dogru bir terimler seti ha-zrlanmstr. Bu konuda yerli ve yabanc dilbilimci ve ekonometricilerden deska yardm alnmstr.

esitli ekonometrik terimlerin Ingilizce karslklarnn metin ierisinde d-zenli olarak verilmesi, notlarnn bir zelligidir.

Iki szckten olusan ancak tek bir kavrama karslk gelen ve terim zelligigsteren szcklerin bitisik yazlmas ise bilinli bir seimdir. (rnek: Band-width = Kusakgenisligi)

Terminolojide Yararlanlan KaynaklarDers notlarnda kullanlan terminolojide yararlanlan baslca kaynaklar sunlar-

dr:

Akaln H. vd., TDK Ekonometri Szlg, http://www.emu.edu.tr/mbalcilar/eets/Ana\_Sayfa.html

Ceyhan I. vd., Istatistik Terimleri Szlg, Trk Dil Kurumu, 1983. GrisS.veE.aglayan, Ekonometrik Terimler Szlg, Derin Yaynevi, 2007. Kutlar A., Uygulamal Ekonometri, 2. b., Nobel Yayn Dagtm, 2005.



8/181


Senesen . ve G. G. Senesen, Temel Ekonometri, 4. b., Literatr Yaynclk,

2006.

Tar R., Ekonometri, 4. b., Kocaeli niversitesi Yaynlar, 2006.

Terim Seimine rnek

Kullanmakta oldugum terimler konusunda srarc degilim. te yandan, bellibir terim iin su szck kullanlmaldr denilecek olursa bunu nedeninin gs-terilebilmesi gerek diye dsnyorum.

rnek olarak, asymptote terimi iin Trke kaynaklarda kavusmaz, so-nusmaz, ve yanask gibi karslklarn kullanlms oldugu grlmektedir.Diger yandan, -is -s eki Trkede yalnzca fiillerin sonuna geldigi iin so-nusmaz szcg dilbilgisi ynnden yanlstr.

Terimin kavramsal ierigine dikkat ederek ve Trk Dili ve Edebiyat B-lmnden hocalarma dansarak kavusmaz terimini yegledim ve tm aka-demisyen arkadaslarma da bir neri olarak sundum.

Buna benzer rnekleri ogaltmak mmkndr.

Olas Yanlslar KonusundaByk titizlikle hazrladgm notlarm zaman ierisinde ok kez gzden ge-

irme frsatm oldugu iin mutluyum. Ayrca, bu ders malzemeleri TBA Ak DersMalzemeleri Projesi kapsamnda anonim ekonometriciler tarafndan da incelenmis-tir. En ufak bir yazm yanls bile olmamas gereken bu malzemelerde bir hata g-rrseniz, dzeltmem iin ltfen benimle baglantya geiniz.

A. Talha Yalta, Ekim 2011http://yalta.etu.edu.tr



9/181

Blm 1

Dizey Cebirinin Gzden Geirilmesi

1.1 Dizeylere Iliskin Temel Kavramlar

1.1.1 Tanmlar

Dizey cebiri kullanmakszn k degiskenli bir baglanm modeliyle ugrasmakson derece karmask bir istir.

Burada, dogrusal baglanm modelini dizey yaklasm ile ele alabilmek iingerekli temel altyap sunulacaktr.

DizeyM N boyutlu bir dizey (matrix), M satr ve N stun biiminde dzenlenmissaylar ya da gelerin dikdrtgen bir dizgesidir.

A = [aij] =

a11 a12 . . .a21 a22 . . .

......

. . .

aij burada A dizeyinin iinci satr ve jinci stununda grlen geyi anlat-

maktadr. 2 3 boyutundaki bir dizeye rnek:

A23 =

2 3 56 1 3

SaylSayl (scalar), tek bir gerek saydr ve 1 1 boyutunda bir dizey kabul edilir.

8


10/181

Dizey Cebirinin Gzden Geirilmesi A. Talha Yalta (2007 - 2011)

Sayla rnek:

B11 = [5]

Stun YneyiTek bir stunu ve M sayda satr olan dizeye stun yneyi (column vector) denir.

Stun yneyine rnek:

A41 =

3459

Satr YneyiTek bir satr ve N sayda stunu olan dizeye satr yneyi (row vector) denir.

Satr yneyine rnek:B14 =

1 2 5 4

AltdizeyM N boyutundaki bir A dizeyinin r sayda satr ile s sayda stununun dsn-daki tm geleri silinirse elde edilen r s boyutlu dizey, Aya ait bir altdizey(submatrix) olur.

rnek olarak, asagda verilen A dizeyinin nc satryla ikinci stununusilersekAnn 2 2 boyutundaki bir B altdizeyini bulmus oluruz:

A33 =

3 5 78 2 1

3 2 1

B22 =

3 78 1

1.1.2 Dizey Trleri

Kare DizeySatr says stun says ile ayn olan dizeye kare dizey (square matrix) denir.

Kare dizeye rnek:

A33 =

3 5 78 2 1

3 2 1

9 http://yalta.etu.edu.tr


11/181


Ksegen Dizey

Asal (sol st kseden sagaltkseye uzanan) ksegeninde en az bir sfrdan farkl gebulunan ve bu ksegen ds tm geleri sfr olan dizeye ksegen dizey (diagonalmatrix) denir.

Ksegen dizeye rnek:

B33 =

2 0 00 0 0

0 0 5

Sayl DizeyKsegeni zerindeki gelerinin hepsi ayn olan ksegen dizeye sayl dizey (scalarmatrix) denir.

Sayl dizeye rnek:

A33 =

2 0 00 2 00 0 2

Birim DizeyKsegeni zerindeki gelerinin hepsi 1 olan ksegen dizeye birim dizey (identity

matrix) denir ve I ile gsterilir.

Birim dizeye rnek:

I33 =

1 0 00 1 0

0 0 1

Baksml DizeyAsal ksegeni zerindeki geleri, asal ksegeni altndaki gelerinin baksm olandizeye baksml dizey (symmetric matrix) denir. Devrigi kendisine esittir.

Baksml dizeye rnek:

A33 =

9 1 31 8 2

3 2 7

Esit DizeylerA veB gibi iki dizeyin boyutlar aynysa ve karslkl geleri birbirine esitse (aij =bij), bu dizeyler esittir.



12/181


Esit dizeylere rnek:

1 05 10 17 4

=

1 05 10 17 4

Bos DizeyBtn geleri sfr olan dizeye bos dizey (null matrix) denir ve 0 ile gsterilir.

Bos dizeye rnek:

033 = 0 0 0

0 0 00 0 0

Bos YneyBtn geleri sfr olan satr ya da stun yneyine bos yney (null vector) denirve 0 ile gsterilir.

Bos yneye rnek:014 =

0 0 0 0



13/181


1.2 Dizey Islemleri

1.2.1 Temel Islemler

Dizey Toplamas ve karmasA ve B dizeylerinin toplam ya da fark, karslkl gelerinin toplam ya da farkalnarak elde edilir. Bu dizeylerin toplama ya da karma iin uyumlu olabilmeleriiin boyutlar ayn olmaldr.

Dizey toplamasna rnek:

A32 +B32 =

3 41 00 8

+ 3 06 0

7 1

= 6 47 0

7 9

Bir Dizeyin Bir Sayl ile arpm ya da BlmBir A dizeyini R sayl ile arpmak ya da blmek iin, dizeyin btn geleri ile arplr ya da = 0a blnr.

Dizeyler arpmBoyutu M N olanA ve boyutu N P olanB dizeylerininAB arpm, M Pboyutunda ve asagdaki gibi bir C dizeyi olur.

cij =N

k=1

aikbkj i = {1, 2, . . . , M } j = {1, 2, . . . , P }

Diger bir deyisle Cnin iinci satr ve jinci stun gesi, Ann iinci sa-trndaki gelerinin Bnin jinci stunundaki karslkl geleri ile arplp,arpmlarn toplanmas ile bulunur.

Dizeyler arpm islemi asagdaki zellikleri tasr:

1. Dizey arpm degismeli olmak zorunda degildir. Ksaca dizeylerin arpmsralamas nemlidir: AB = BA

2. AB veBAnn sonu dizeyleri ayn boyutta olmayabilir:

AKLBLK = CKK BLKAKL = DLL

3. A1K satr yneyiyle nden arplan BK1 stun yneyi bir sayl olur.



14/181


4. AK

1 stun yneyiyle nden arplan B1

K satr yneyi bir dizey olur.

5. Dizey arpm birlestiricidir: (AB)C = A(BC)

6. Dizey arpm toplama bakmndan dagtcdr:

A(B+C) = AB+AC

Dizey Devrigi AlmaM N bir A dizeyinin A ile gsterilen devrigi (transpose), Ann satr ve s-tunlarna yer degistirterek, yani Ann iinci satrn Ann iinci stunu yaparak

elde edilen N M dizeyidir.

A32 =

4 53 1

5 0

A23 =

4 3 55 1 0

Bir satr yneyinin devrigi stun yneyi olup, bir stun yneyinin devrigi desatr yneyidir.

Devrik dizey dnsmnn baz zellikleri sunlardr:

1. Devrik bir dizeyin devrigi ilk dizeydir: (A) = A

2. Iki dizey toplamnn devrigi, devriklerin toplamdr:

(A+B) = A +B

3. Dizey arpmnn devrigi, bu dizeylerin devriklerinin ters srada arpmdr:(ABCD) = DCBA

4. Birim dizey Inn devrigi kendisidir: I = I

5. Bir sayln devrigi kendisidir. bir sayl olsun: =

6. bir sayl olsun: (A) = A = A = A

7. A dizeyi egerA = A olacak sekilde kare dizeyse,A baksml bir dizey olur.



15/181


1.2.2 Belirleyen ve Dizey Tersi Alnmas

Bir Dizeyin Belirleyeni

Her kare dizey A iin, belirleyen (determinant) diye bilinen ve |A| seklindegsterilen bir sayl vardr.

Bir dizeyin belirleyeninin hesaplanmas, iyi tanml bir dizi islem ile gerek-lestirilir.

rnek olarak 2 2 boyutundaki bir dizeyin belirleyeni, asal ksegen zerin-deki gelerin arpmndan diger ksegen gelerinin arpmnn kartlmas

ile bulunur. Herhangi bir derecedeki belirleyenin almnda, terimler dnsml olarak

+ ve isaret alrlar. 3 3 bir belirleyenin almnda 6 terim bulunur. Genel olarak, N N bir

belirleyenin almnda N! terim vardr.

Buna gre, 55 bir dizeye ait belirleyenin almnda 54321 = 120terim bulunur.

Belirleyenin zellikleri asagdaki gibidir:

1. Belirleyeni sfr olan dizeye tekil dizey (singular matrix) denir. Bir tekildizeyin tersi bulunamaz.

2. Ann herhangi bir satrndaki tm geler sfrsa, belirleyeni de sfr olur.

3. A ile devrik Ann belirleyenleri ayndr: |A| = |A|4. A dizeyinin herhangi iki satr ya da stunu yer degistirirse, |A|nn isareti

degisir.

5. Ann iki satr ya da stunu aynysa, belirleyeni sfr olur.

6. Ann bir satr ya da stunu baska bir satr ya da stununun bir kat ya dadogrusal bir birlesimiyse, belirleyeni sfrdr.

7. Ann bir satr ya da stunundaki tm geler bir sayl ile arplrsa, |A| da ile arplr.

8. Iki dizeyin arpmnn belirleyeni dizeylerin ayr ayr belirleyenlerinin arp-mna esitir: |AB| = |A||B|



16/181


Bir Dizeyin Derecesi

Bir dizeyin derecesi (rank), belirleyeni sfr olmayan en byk alt dizeyinin bo-yutudur.

rnek olarak, asagda verilen dizeyin 1. satrnn 2. ve 3. satrlarn dogrusalbir birlesimi oldugu grlmektedir:

A33 =

3 6 60 4 5

3 2 1

Buna gre, A tekil bir dizeydir ve |A| = 0 olmaktadr. Diger taraftan, Ann derecesi 2dir nk 2 2 boyutlu altdizeylerinden bi-

rinin belirleyeni sfrdan farkldr:

B22 =

4 52 1

MinrN N boyutundaki bir A dizeyinin iinci satr ile jinci stunu silinirse, kalanaltdizeyin belirleyenine aij gesinin minr (minor) denir ve |Mij| ile gsterilir.

rnek olarak asagda verilen dizeyi ele alalm:

A33 =

a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

Burada a11in minr sudur:

|M11| = a22 a23

a32 a33 = a22a33 a23a32

EsarpanNNboyutlu birA dizeyinin aij gesinin esarpan (cofactor) syle tanmlanr:cij = (1)i+j|Mij|

Bir baska deyisle esarpan isaretli bir minrdr ve isareti de (i + j) toplamiftse art, tekse eksidir.



17/181


Esarpan Dizeyi

Ann esarpan dizeyi (cofactor matrix), aij gelerinin yerine esarpanlar koyu-larak elde edilir ve (cofA) ile gsterilir.

Ek DizeyEk dizey (adjoint matrix), esarpan dizeyinin devrigidir ve (adj A) ile gsterilir.

Dizey Tersi HesaplamaA tekil olmayan (|A| = 0) bir dizeyse, A1 ters (inverse) dizeyi su sekildebulunur:

A1 =

1

|A

|(adjA)

Dizey tersi hesaplama isleminin admlar asagdaki gibidir:

1. Ann belirleyeni hesaplanr.

2. Ann aij gelerinin yerine esarpanlar koyularak esarpan dizeyi (cofA)elde edilir.

3. Esarpan dizeyin devrigi alnarak ek dizey (adj A) bulunur.

4. Son olarak ek dizeyin tm geleri |A|ya blnr.

Dizeylerde Trev AlmaDizeylerde trev almaya iliskin iki nemli kural sunlardr:

1. Eger a 1 N boyutunda bir satr yneyi ve x de N 1 boyutlu bir stunyneyi ise, asagdaki esitlik geerlidir:

(ax)

x= a

2. EgerA N N boyutunda bir kare dizeyse, asagdaki esitlikler geerlidir:(xAx)

x= 2Ax = 2xA



18/181


nmzdeki Dersin Konusu ve dev

devKitaptan Appendix B Rudiments of Matrix Algebra okunacak.

nmzdeki DersDogrusal Baglanm Modeline Dizey Yaklasm



19/181

Blm 2

Dogrusal Baglanm Modeline Dizey

Yaklasm

2.1 Dizey Yaklasm ile Dogrusal Baglanm Modeli

2.1.1 k Degiskenli Modelin Dizey Gsterimi

Dizey Yaklasmnn nemi

Y bagml degiskeni ile (k

1) sayda aklayc degisken (X2,X3, . . . , X k)

ieren k degiskenli dogrusal baglanm modelini ele almak iin en dogru yak-lasm dizey cebiridir.

Dizey cebirinin sayl (scalar) cebirine stnlg, herhangi bir sayda de-gisken ieren baglanm modellerini ele alstaki yaln ve z yaklasmdr.

k degiskenli model bir kez kurulduktan ve dizey cebiri ile zldkten sonrabu zm ok sayda degiskene kolaylkla uygulanabilir.

k Degiskenli Baglanmn Dizey Gsterimi

k degiskenli anaktle baglanm islevini anmsayalm:

Yi = 1 + 2X2i + 3X3i + + kXki + ui Burada i rneklem byklg olduguna gre, elimizdeki ABI su n saydaki

esanl denklemin ksa yazlsdr:

Y1 = 1 + 2X21 + 3X31 + . . . + kXk1 + u1Y2 = 1 + 2X22 + 3X32 + . . . + kXk2 + u2...

......

......

......

.... . .

......

......

Yn = 1 + 2X2n + 3X3n + . . . + kXkn + un

18


20/181

Dogrusal Baglanm Modeline Dizey Yaklasm A. Talha Yalta (2007 - 2011)

Yukardaki denklem setini syle de gsterebiliriz:

Y1Y2...

Yn

=

1 X21 X31 . . . X k11 X22 X32 . . . X k2...

......

. . ....

1 X2n X3n . . . X kn

12...

k

+

u1u2...

un

Ya da ksaca Yn1 = XnkBk1 + un1.

X,Y,B veunun boyutlarnn karsklga yol amayacag durumda, dogrusalbaglanm modelinin dizey gsterimi asagdaki gibi olur:

Y = XB+ u

BuradaY bagml degisken gzlemlerinin n 1 boyutlu stunyneyini,XX2den Xkye kadar olan k 1 degiskenin n saydakigzleminin n k boyutlu dizeyini,B 1, 2, . . . , k anaktle katsaylarnn k 1 boyutlustun yneyini,u ise ui bozukluk (disturbance) teriminin n 1boyutundaki stun yneyini

gstermektedir.

rnek olarak daha nce incelemis oldugumuz iki degiskenli tketim-gelir mo-delinin dizey yaklasm ile gsterimi sudur:

70659095

110115120140155150

=

1 801 1001 1201 1401 1601 1801 2001 2201 2401 260

12

+

u1u2u3u4u5u6u7u8u9

u10

Bu da ksaca syle yazlabilir:

Y101 = X102B21 + u101



21/181


2.1.2 KDBM Varsaymlarnn Dizey Gsterimleri

Dizey cebiri yaklasm, nceden grms oldugumuz klasik dogrusal baglanm mo-deli (KDBM) varsaymlarn incelemede byk kolaylk saglamaktadr. Simdi bubes varsaym dizey yaklasm ile ele alalm:

1. Varsaymu bozukluk yneyinin tm geleri iin beklenen deger sfrdr. Ksaca hata terimininbeklenen degeri sfrdr: E(u) = 0.

Daha ak olarak E(u) = 0 su demektir:

E

u1

u2...

un

=

E(u1)

E(u2)...

E(un)

=

0

0...0

2. Varsaymui hatalar, sfr ortalama ve sabit bir varyans ile normal daglrlar: u N(0, 2I).

u burada n 1 boyutlu stun yneyi, 0 ise ayn boyutlu bir bos yneydir. Bu varsaym, baglanmn tahmin edilmesinden sonra esitli nsav snamala-

rnn yaplabilmesi iin gereklidir.

3. VarsaymHatalar arasnda zilinti yoktur: E(uu) = 2I.

Bu varsaymn daha nce saysal olarak ele alnan varsaymn ksa ve zanlatm oldugu syle gsterilebilir:

E(uu) = E

u1u2...

un

u1 u2 . . . un

= E

u21

u1u2 . . . u1unu2u1 u

22 . . . u2un

......

. . ....

unu1 unu2 . . . u2

n

Dizeyin her bir gesinin beklenen degerini alalm:

E

u21 u1u2 . . . u1unu2u1 u22 . . . u2un

......

. . ....

unu1 unu2 . . . u2n

=

E(u21) E(u1u2) . . . E (u1un)E(u2u1) E(u22) . . . E (u2un)

......

. . ....

E(unu1) E(unu2) . . . E (u2n)

Hata terimi ortalamas sfr varsayldr: E(ui) = = 0



22/181


Varyans ve kovaryansn formllerini anmsayalm:

var(X) = E(X2) 2, cov(X, Y) = E(XY) XY

Bu durumda, ui hatalarnn varyans-kovaryans dizeyi (variance-covariancematrix) nc varsayma gre syle olmaldr:

E(uu) =

2 0 . . . 00 2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 2

= 2

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

= 2I

4. Varsaymn n boyutluX dizeyi olaslksal degildir.

Diger bir deyisle X2i, X3i, . . . , X ki degismeyen saylardan olusmaktadr. Basta belirtildigi gibi, elimizdeki baglanm zmlemesi X degiskenlerinin

verili degerlerine bagl bir kosullu baglanm zmlemesidir.

5. VarsaymXin derecesi kdir: (X) = k. k burada Xin stun says olup, gzlem saysnden kktr.

Diger bir deyisle, X degiskenleri arasnda tam bir dogrusal iliski ya da ok-luesdogrusallk (multicollinearity) yoktur.

Eger bu varsaym gereklesmez ise, baglanma ait XX dizeyinin belirleyenisfr olur ve zmlemede gerekli olan tersi bulunamaz.



23/181


2.2 Dizey Yaklasm ile Tahmin Sorunu

2.2.1 SEK Tahmincilerinin Bulunmas

B yneyini tahmin etmek iin sradan enkk kareler (SEK) ya da enokolabilirlik (EO) gibi farkl yaklasmlar kullanlabildigini biliyoruz.

Biz dikkatimizi SEK yntemi zerinde toplayacagz. Baglanmn SEK tahminini bulmak iin nce k degisken ieren rneklem bag-

lanm islevini yazalm:

Yi = 1 + 2X2i + 3X3i + + kXki + ui

BIyi dizey gsterimiyle ak olarak syle gsterebiliriz:

Y1Y2...

Yn

=

1 X21 X31 . . . X k11 X22 X32 . . . X k2...

......

. . ....

1 X2n X3n . . . X kn

12...

k

+

u1u2...

un

Ya da ksaca

Yn1 = XnkBk1 + un1

Bilindigi gibi SEK tahmincileri hata kareleri toplamnn enazlanmas yolu ilebulunmaktadr.

yleyse yukardaki esitligi su sekilde de yazabiliriz:

u = Y XB Hata kareleri toplamnn asagdaki gsterim biimine dikkat edelim:

uu =

u1 u2 . . . un

u1u2

...un

= u12 + u22 + + un2 =

ui2

Buna gre uunun dizey gsterimi asagdaki gibidir:

u = Y XBuu = (Y XB)(Y XB)

= YY 2BXY + BXXB



24/181


Dikkat: Burada YXB bir sayl oldugu iin, kendi devrigi olan BXYye

esittir.

uu = YY 2BXY + BXXB esitligini enazlamak iin, bu esitliginBya gre ksmi trevini alr ve sfra esitleriz.

Bu islem bize normal denklemler (normal equations) denilen k bilinme-yenli k esanl denklemi verir:

1n + 2

X2i + 3

X3i + + k

Xki =

Yi1

X2i + 2

X22i

+ 3

X2iX3i + + k

X2iXki =

X2iYi1

X3i + 2X3iX2i + 3

X23i

+ + kX3iXki =

X3iYi...

.

.....

.

.....

.

.. . . ....

.

.....

.

..1

Xki + 2

XkiX2i + 3

XkiX3i + + k

X2ki

=

XkiYi

Yukardaki denklem takmnn dizey gsterimi sudur:

n

X2i

X3i . . .

XkiX2i

X22i

X2iX3i . . .

X2iXki

X3i

X3iX2i

X23i

. . .

X3iXki...

......

. . ....

Xki

XkiX2i

XkiX3i . . .

X2

ki

123...

k

=

1 1 . . . 1X21 X22 . . . X 2nX31 X32 . . . X 3n

......

. . ....

Xk1 Xk2 . . . X kn

Y1Y2Y3...

Yn

Bu da ksaca (XX)kkBk1 = XknYn1 diye yazlr.Normal denklemlerin dizey gsteriminde yer alan asagdaki (XX) dizeyi nem-

lidir.

XX =

n

X2i

X3i . . .

XkiX2i

X22i

X2iX3i . . .

X2iXki

X3i

X3iX2i

X23i

. . .

X3iXki...

......

. . ....

Xki

XkiX2i

XkiX3i . . .

X2ki

Bu dizeyin su zelligine dikkat edelim:

1. (XX) dizeyi k k boyutundadr ve olaslksal degildir.2. Asal ksegen geleri ham kare toplamlarn, ksegen ds geler ise ham ap-

raz arpm toplamlarn gsterir.

3. X2iX3i apraz arpm X3iX2i apraz arpmna esit oldugu iin dizey bak-smldr.

Sonu olarak, k degiskenli modelin SEK tahmincilerini elde etmek iin nor-mal denklemlerin dizey gsterimini yazalm:



25/181


(XX)B = XY

Eger (XX) dizeyinin tersi varsa, yukardaki denklemin her iki yann bu tersdizeyle nden arparak sunu bulabiliriz:

(XX)B = XY

(XX)1(XX)B = (XX)1XY

IB = (XX)1XY

Buna gre SEK kuramnn temel denkleminin dizey gsterimi sudur:

B = (XX)1XY

Yukardaki esitlik, eldeki verilerden B yneyinin nasl tahmin edileceginigsterir.

2.2.2 Varyans-Kovaryans Dizeyi

Herhangi bir i varyans yannda tm i ve jlar arasndaki kovaryanslardizey yntemi ile kolayca gsterebiliriz.

Bu varyans ve kovaryanslar esitli istatistiksel karsama islemleri iin nem-lidir.

Bnn varyans-kovaryans dizeyi (variance-covariance matrix) su sekildetanmlanmstr:

varcov(B) = E

[BB][BB]

Buna gre varcov(B) aslnda su dizeydir:

varcov(B) =

var(1) cov(1, 2) . . . cov(1, k)cov(2, 1) var(2) . . . cov(2, k)

......

. . ....

cov(k, 1) cov(k, 2) . . . var(k)



26/181


varcov(B) Dizeyinin Tretilmesi

varcov(B)y tretmede Y = XB+ u esitliginden yararlanlr.

sttekini B = (XX)1XY temel denkleminde yerine koyarsak sunu elde ederiz:

B=(XX)1X(XB+ u)=(XX)1XXB+ (XX)1Xu=B+ (XX)1Xu

Demek ki B B = (XX)1Xu. varcov(B) varyans-kovaryans dizeyi ise tanmgeregi syledir:

varcov(B)=E([BB][BB])=E

[(XX)1Xu][(XX)1Xu]

=E

(XX)1XuuX(XX)1

Xlerin olaslksal olmadgna dikkat edilerek su bulunabilir:

varcov(B) = (XX)1XE(uu)X(XX)1

= (XX)1X2IX(XX)1

= 2(XX)1

Dikkat: Yukarda E(uu) = 2I varsaym kullanlmstr.

Tretilmesinden de anlaslacag gibi varyans-kovaryans dizeyi asagdaki gibigsterilmektedir:

Varyans-kovaryans Dizeyi

varcov(B) = 2(XX)1

(XX)1

burada B SEK tahmincilerini veren esitlikte yer alan ters dizeydir. 2 ise uinin sabit varyansdr. Uygulamada 2 yerine yansz tahminci 2 kul-

lanlr.

k degiskenli durumda 2 asagdaki esitlikten bulunabilir:

2 =

ui

2

n k =uu

n k



27/181


uu, ilke olarak tahmin edilen kalntlardan bulunabilse de uygulamada su

yolla dogrudan hesaplanabilir:ui

2 = KKT = TKT BKT Toplam kareleri toplam asagdaki sekilde gsterilir:

Toplam kareleri toplam yi

2 = YY nY2

nY2 terimi burada ortalamadan sapma kareleri toplamnn bulunmas iin ge-reken dzeltme terimidir.

Baglanm kareleri toplamnn dizey gsterimi ise syledir:Baglanm kareleri toplam

2

yix2i + + k

yixki = BX

Y nY2

Kalnt kareleri toplam KKT ise TKT ve BKTnin dizey gsterimleri kulla-nlarak asagdaki gibi bulunur:

Kalnt kareleri toplam

KKT = TKT

BKT

uu = (YY nY2) (BXY nY2)= YY BXY

uu bulunduktan sonra 2yi kolayca hesaplayabiliriz. 2yi hesapladktan sonra ise varyans-kovaryans dizeyini tahmin edebiliriz.

SEK Tahmincilerinin zellikleri

SEK tahmincilerinin en iyi dogrusal yansz tahminci ya da ksaca EDYT(BLUE) olduklarn biliyoruz.

Bu zellik elbette dizey yaklasmyla bulunan B iin de geerlidir. Buna gre B yneyinin her bir gesi bagml degisken Ynin dogrusal islevi-

dir.

B yanszdr. Diger bir deyisle tm gelerinin beklenen degeri genin kendi-sine esittir: E(B) = B.

SEK tahmincisi B, tm B tahmincileri iinde en iyi, enaz varyansl tahmin-cidir.



28/181


Belirleme Katsaysnn Dizey Gsterimi

Belirleme katsays R2yi daha nce syle tanmlamstk:

R2 =BKT

TKT

Buna gre belirleme katsaysnn dizey gsterimi de syledir:

R2 =BX

Y nY2

YY nY2

Ilinti Dizeyi

Dizey yaklasmnda, k degiskenli durum iin, degiskenler arasndaki sfrncdereceden ilinti katsaylarn veren ilinti dizeyi (correlation matrix) asag-daki gibi tanmlanr:

R =

r11 r12 r13 . . . r1kr21 r22 r23 . . . r2k

......

.... . .

...

rk1 rk2 rk3 . . . rkk

=

1 r12 r13 . . . r1kr21 1 r23 . . . r2k

......

.... . .

...

rk1 rk2 rk3 . . . 1

Burada 1 alt imi bagml degisken Yyi gsterir. rnek olarak, Y ile X2 ara-sndaki ilinti katsays r12dir.

Asal ksegen zerindeki 1ler ise bir degiskenin kendisiyle olan ilinti katsa-ysnn her zaman 1 olmasndandr.

Ilinti dizeyi R kullanlarak birinci dereceden ve daha yksek dereceden ilintikatsaylarn da elde etmek olasdr.



29/181


2.3 Dizey Yaklasm ile karsama Sorunu

2.3.1 Bireysel Katsaylarn nsav Snamalar

Tahmin sonrasnda karsama yapabilmek iin, ui hatalarnn sfr ortalama vesabit varyans 2 ile normal dagldklarn varsayyoruz:

u N(0, 2I)

u burada n 1 boyutlu stun yneyi, 0 ise bos yneydir.

Buna gre, SEK tahmincileri ilar da asagda gsterilen sekilde normal da-

glrlar:

B N[B, 2(XX)1]

Demek ki Bnn her gesi, gerek B gesiyle esit ortalama ile ve (XX)1ters dizeyinin asal ksegenindeki uygun ge arp 2ye esit varyans ile nor-mal daglmaktadr.

2(XX)1in varyans-kovaryans dizeyi olduguna dikkat ediniz.

Uygulamada 2 bilinmedigi iin t daglmna geilir ve 2 tahmincisi kulla-nlr.

Bu durumda Bnn her gesi n k sd ile t daglmna uyar:

t =i ih(i)

i burada Bnn bir gesidir. Demek ki t daglmn kullanarak herhangi bir inn gven aralgn bulmak

ve esitli snamalar yapmak olanakldr.



30/181


2.3.2 Varyans zmlemesi ve F Snamalar

Varyans zmlemesinin Dizey Gsterimi

Tm baglanm katsaylarnn esanl olarak sfra esit oldugu nsavn snamakya da bir degiskenin ek katksn lmek iin VARZ ynteminin kullanl-dgn anmsayalm.

TKT, BKT ve KKTnin dizey gsterimleri kullanlarak asagdaki gibi birVARZ izelgesi dzenlenebilir:

Degisimin Kaynag KT sd OKT

Baglanmdan (BKT) BXY nY2 k 1 BXYnY2k1

Kalntlardan (KKT) YY BXY n k YYBXYnk

Toplam (TKT) YY nY2 n 1

Buna gre:

F =(BXY nY2)/(k 1)(YY BXY)/(n k)

F ve R2 degerlerinin yakn iliskili oldugunu biliyoruz. Buna gre VARZ izelgesinin R2 gsterimi de syledir:

Degisimin Kaynag KT sd OKT

Baglanmdan (BKT) R2(YY nY2) k 1 R2(YYnY2)

k1

Kalntlardan (KKT) (1 R2)(YY nY2) n k (1R2)(YYnY2)

nk

Toplam (TKT) YY nY2 n 1

Demek ki:

F =R2/(k 1)

(1 R2)/(n k)

Bu gsterimin stnlg, tm hesaplamalarn yalnz R2 ile yaplabilmesi vesadelestirme sonras ortadan kalkacak olan (YY nY2) terimiyle ilgilen-meye gerek kalmamasdr.



31/181


F Snamasnn Dizey Gsterimi

Genel olarak, F snamasnn amac bir ya da birden fazla anaktle katsayszerine konulan dogrusal snrlamalar snamaktr.

Bu snamann dizey karslgn tretebilmek iin asagdaki tanmlardan yarar-lanalm:

uS : Snrlamal SEK baglanmnn kalnt yneyiuSM : Snrlamasz SEK baglanmnn kalnt yneyiuSuS =

u2S : Snrlamal baglanma ait KKT

uSMuSM = u2SM : Snrlamasz baglanma ait KKT

m : Dogrusal snrlama saysk : Sabit terim dahil anaktle katsaylarnn saysn : Gzlem says

Genel F snamasnn dizey gsterimi asagdaki gibidir:

F =(uSuS uSMuSM)/m

(uSMuSM)/(n k)

Yukarda gsterilen istatistik, m ve (nk) serbestlik derecesi ile F daglmnauyar.

Hesaplanan F degeri eger kritik F degerinden bykse, snrlamal baglanmsfr nsav reddedilir.

2.3.3 Dizey Gsterimi ile Kestirim

Tahmin edilen bir baglanm islevi, belli bir X0 degerine karslk gelen Yyikestirmek iin kullanlabilir.

Iki trl kestirim vardr: Ortalama kestirimi (mean prediction) ve bireyselkestirim (individual prediction).

Ortalama kestirimi, seili X0 degerlerine baglanm dogrusu zerinde yakst-rlan noktann tahmin edilmesi demektir.

Bireysel kestirim ise X0n karslg olan Y degerinin kendisidir. Bu iki kestirim biimi de Y iin ayn nokta tahmini verir. Diger yandan bireysel kestirimin varyans, lnl hatas ve bunlara bagl

olarak da gven aralg ortalama kestirime gre daha yksektir.



32/181


Ortalama Kestiriminin Dizey Gsterimi

Ortalama kestirimini dizey cebiri ile gstermek iin, tahmin edilen oklu bag-lanmn sayl gsterimini anmsayalm:

Yi = 1 + 2X2i + 3X3i + + kXki

Yukardaki esitligin dizey gsterimi ksaca syledir:

Yi = xiB

xi = [1, X2i, X3i, . . . , X ki] burada bir satr yneyidir.

B ise tahmin edilen lar gsteren bir stun yneyidir. Buna gre, verili bir x0 = [1, X20, X30, . . . , X k0] yneyine karslk gelen Y0

ortalama kestirimi asagdaki biimi alr:

(Y0|x0) = x0B

Burada x0lar verili degerlerdir.

Ortalama kestirimi ayrca yanszdr: E(x0B) = x0B. Ortalama kestiriminin varyans ise syledir:

var(Y0|x0) = 2x0(XX)1x0

x0 burada kestirim yapmada kullanlan X degiskenlerinin verili degerleriniieren satr yneyidir.

(XX)1 ise oklu baglanm tahmininde kullanlan dizeydir.

Uygulamada, hata teriminin sabit varyans 2 yerine yansz tahmincisi 2 ko-yularak forml su sekilde yazlr:

var(Y0|x0) = 2x0(XX)1x0

Yukardaki esitlik kullanlarak,x0 veriliyken Y0 ortalama kestiriminin %100(1) gven aralg bulunabilir.



33/181


Bireysel Kestirimin Dizey Gsterimi

Ynin bireysel kestirimi (Y0|x0), ortalama kestirimi (Y0|x0) ile ayndr:

(Y0|x0) = x0B

Diger yandan, bireysel kestirimin varyans ortalama kestiriminin varyansn-dan daha byktr:

var(Y0|x0) = 2

[1 + x0(XX)1

x0]

var(Y0|x0) burada E[Y0 Y0|X]2 demektir. Uygulamada, ortalama kestiriminde oldugu gibi, 2 yerine yansz tahmincisi

2 kullanlr.



34/181


35/181

Blm 3

okluesdogrusallk

3.1 okluesdogrusallgn Niteligi

3.1.1 okluesdogrusallk Kavram

Klasik dogrusal baglanm modelinin (KDBM) varsaymlarndan biri, modele kat-lan degiskenler arasnda okluesdogrusallk (multicollinearity) olmadg ynn-dedir. Gzlem saysnn aklayc degisken saysndan ok oldugu ve aklaycla-rn yeterince degiskenlik gsterdigi varsaymlar da okluesdogrusallgn olmadgvarsaymnn tamamlayclardr. Bu blmde su sorulara yant arayacagz:

1. okluesdogrusallgn niteligi nedir?

2. okluesdogrusallk gerekten bir sorun mudur?

3. Uygulamada dogurdugu sonular nelerdir?

4. Varlg nasl anlaslabilir?

5. Dzeltmek iin ne gibi nlemler alnabilir?

Esdogrusallk kavramn ilk kez 1934 ylnda Ragnar Frisch ne srmstr. nceleri bu terim bir baglanm modelinin tm ya da baz aklayc degis-

kenleri arasnda kusursuz (perfect) ya da tam (exact) bir dogrusal iliskioldugu anlamna geliyordu.

Asagdaki rnegi ele alalm:

1X1 + 2X2 + + kXk = 0

34


36/181

okluesdogrusallk A. Talha Yalta (2007 - 2011)

Yukardaki esitlikte yer alan herhangi bir X, rnek olarak X2, digerlerinin

dogrusal islevi olarak gsterilebilir:

X2 = 12 X1 32 X3 k2

Xk

Diger bir deyisle bu rnekteki herhangi bir X degiskenini digerlerinin dogru-sal bir bilesiminden tretmek olasdr.

Bugn okluesdogrusallk hem tam okluesdogrusallg hem de X degisken-lerinin genel olarak birbirleriyle iliskili olduklarn gsteren daha genis bir

anlam iermektedir:

1X1 + 2X2 + + kXk + vi = 0

vi burada olaslksal hata terimidir. rnek olarak X2 su sekilde yazlabilir:

X2 = 12 X1 32 X3 k2

Xk 12 vi

Buna gre X2, diger X degiskenlerinin kusursuz olmayan bir dogrusal bile-simidir.

Tanmladgmz sekliyle okluesdogrusallk, yalnzca Xler arasndaki dog-rusal iliskileri anlatmaktadr.

rnek olarak asagdaki okterimli (polynomial) baglanm modelini ele ala-lm:

Yi = 0 + 1Xi + 2X2i + 3X3i + ui

Burada Xi, X2i ve X3i n islevsel iliski iinde oldugu aktr. Ancak bu iliski dogrusal olmadg iin okluesdogrusallgn olmadg varsa-

ymn ignemez.

Uygulamada ise Xi, X2i , ve X3i arasnda hesaplanan ilinti katsays yksekkacak ve bu da anaktle katsaylarnn tahmin edilmesini glestirecektir.



37/181


Tam ve tamdan az esdogrusallk arasndaki fark daha iyi grebilmek iin,

asagdaki varsaymsal verileri inceleyelim:

X1 X2 X

2

10 50 5215 75 7518 90 9724 120 12930 150 152

Bu rnekte X2 = 5X1 oldugu iin, X1 ile X2 arasnda tam esdogrusallkbulunmaktadr.

Diger bir deyisle ilinti katsays r12 = 1dir. X2 degiskeni ise X2ye rastsal saylar izelgesinden alnan {2, 0, 7, 9, 2} sa-

ylarnn eklenmesiyle bulunmustur.

X1 ile X2 arasnda bir tam esdogrusallk olmamakla birlikte ok gl birilinti (r12 = 0,9959) bulunmaktadr.

okluesdogrusallgn Nedenleriokluesdogrusallk su etmenlere bagl olabilir:

1. Veri derleme yntemi: rnek olarak, bir Xin anaktlede aldg degerlerinsnrl bir aralgndan rneklem almak.

2. Anaktle kstlamalar: rnek olarak, elektrik tketiminin gelir ve konut b-yklgne gre baglanmnda grlen yksek gelirli ailelerin byk evlerdeoturmalar durumu.

3. Model kurma hatas: rnek olarak, bir X degiskeninin gzlenen aralg dar-ken baglanm modeline X2 gibi terimler eklemek.

4. Asr belirtimli model: Modelin gzlem saysna gre ok fazla sayda degis-ken iermesi.

3.1.2 okluesdogrusallk Varken Tahmin

Tam Esdogrusallk

Tam okluesdogrusallk durumunda baglanm katsaylar belirsizdir. Ayrca katsaylarnn lnl hatalar da sonsuz olur.



38/181


Bunu grebilmek iin degiskenli modeli sapmalar biiminde yazalm:

yi = 2x2i + 3x3i + ui

Tahmin edilen degistirgeleri asagdaki gibidir:

2 =(

yix2i)(

x23i)(

yix3i)(

x2ix3i)

(

x22i)(

x23i)(

x2ix3i)2

3 =(

yix3i)(

x22i)(

yix2i)(

x2ix3i)

(

x22i)(

x23i)( x2ix3i)2

Simdi, X3i = X2i diyelim ve = 0 olsun. Bu durumda tahmin edilen degistirgeler suna indirgenir:

2 = 3 = =(

yix2i)(2

x22i)(

yix2i)(

x22i)

(

x22i)(2

x22i)2(

x22i)2 =

00

Yukardaki gsterimin belirsiz olmasnn nedeni, X2i ile X3inin tam esdog-

rusallktan dolay birbirlerinden ayrlamamasdr. X2i degisince X3i de arpanyla degisir, sabit tutulamaz. Uygulamada bu durum ykc olur nk btn ama zaten X2i ve X3inin Yi

zerindeki ksmi etkilerini ayrstrmaktr.

Tam okluesdogrusallgn yol atg belirsizlik sorununu grmek iin X3i =X2i zdesligini modele yerlestirelim:

yi = 2x2i + 3(x2i) + ui= (2 + 3)x2i + ui= x2i + ui

Demek ki degeri iin tek bir tahmin yaplabilirken, 2 ile 3 iin ayr ayriki tahmin yaplamaz:

= (2 + 3) 2 = 3



39/181


Yksek Esdogrusallk

Tam okluesdogrusallk u bir durumdur. Iktisadi verilerde genellikle tamdogrusal iliskiye rastlanmaz.

Yksek okluesdogrusallk durumu iin su iliskiye bakalm:

x3i = x2i + vi

Burada = 0dr. vi ise x2iden bagmsz (

x2ivi = 0) bir olaslksal hataterimidir.

Yukarda gsterilen yksek okluesdogrusallk durumunda, 2 ve 3 katsay-larnn tahmin edilmesi olanakldr:

2 =(

yix2i)(2

x22i+

v2i

)(

yix2i+

yivi)(

x22i)

(

x22i)(2

x22i+

v2i

)(

x22i)2

Yukardakine benzer bir gsterim 3 iin de karlabilir. Demek ki yksek okluesdogrusallk durumunda tahmin yaplmasn engel-

leyen bir durum yoktur.



40/181


3.2 okluesdogrusallgn Sonular

3.2.1 Kuramsal Sonular

okluesdogrusallk tama yakn olsa bile SEK tahmincileri yansz ve enaz var-yansldrlar.

Diger bir deyisle, okluesdogrusallk durumunda da SEK tahmincileri EDYTdirler. okluesdogrusallgn tek etkisi, lnl sapmas dsk tahminler yapmay

glestirmesidir.

Kuramsal anlamda (1) okluesdogrusallk, (2) az sayda gzlem ve (3) yksekvaryansl bagmsz degiskenler kavramlar ayn sorunun farkl sekilde dilegetirilmesidir.

Goldberger gibi baz ekonometriciler, rneklem byklg konusunu vurgu-lamak iin okluesdogrusallk terimi yerine mikrosaydalk (micronumero-sity) szcgn yeglerler.

okluesdogrusallk temelde bir rneklem ya da rneklem baglanm olgusu-dur.

Diger bir deyisle, X degiskenleri anaktlede dogrusal iliskili olmasalar bile

eldeki rneklemde dogrusal iliskili olabilirler.

ABIyi tahmin etmek zere kullanlan bir rneklemdeki Xler yksek bir ok-luesdogrusallk gsterir ise bunlarn Y zerindeki tekil etkilerini ayrmak zor-lasr.

Ksaca eldeki rneklem tm Xleri zmlemeye katmaya yetecek kadar zen-gin olmayabilir.

rneklemin yeterliligi sorununa rnek olarak asagda verilen tketim-gelirrnegini ele alalm:

Tketim = 1 + 2Gelir + 3Servet + ui

Iktisat kuramna gre gelir ve servet, tketim harcamalarn aklamada nemliiki degiskendir.

Ancak veriler derlendiginde bu iki degisken tam olmasa bile yksek iliskilikar.



41/181


Diger bir deyisle, gelir ve servetin tketim harcamalar zerindeki etkilerini

rneklemde ayrmak zor olabilir.

Bu ayrm yapabilmek iin ise geliri az ama serveti ok olan ve geliri okama serveti az olan kimselerin yeterli sayda rneklem gzlemini edinebilmekgereklidir.

Kesit verilerinde bunu saglamak mmkn olabilse de toplu zaman serilerindebuna erismek neredeyse imkanszlasr.

3.2.2 Uygulamaya Iliskin Sonular

Tama yakn okluesdogrusallk durumlarnda, uygulamada su sonularla karslas-labilir:

SEK tahmincileri, EDYT olmalarna kars yksek varyans ve kovaryansldr-lar.

Yksek varyanslar nedeniyle gven aralklar genis olma egilimindedir. Genis gven aralklar ise katsay tahminlerine iliskin sfr nsavlarnn red-

dedilememesine ve birok t orannn istatistiksel olarak anlaml olmamasnayol aar.

Bir ya da daha ok katsaynn anlaml olmamasna karsn btnn yaksmaiyiliginin ls R2 yksek olabilir.

SEK tahminleri saglam (robust) olmayabilirler. Diger bir deyisle, veriler-deki kk degismelere duyarl olabilirler.

Yksek Varyans ve Kovaryans Sorunu

Yksek varyans ve kovaryans sorununu grebilmek iin l baglanma aitsu iliskileri anmsayalm:

var(2) =2

x22i(1 r223)

var(3) =2

x23i(1 r223)

cov(2, 3) =r232

(1 r223)

x22i

x23i



42/181


Buradaki r23 terimi X2 ile X3 arasndaki ilinti katsaysdr.

Esdogrusallk dzeyi ykselirken, diger bir deyisle r23 1e yaklasrken, ikitahmincinin varyanslarnn artarak sonsuza yaklastgna dikkat ediniz.

okluesdogrusallk altnda varyans ve kovaryanslarn byme hzn grmekiin varyans sisme arpan (variance inflating factor) kavramndan yarar-lanlabilir:

VS =1

(1 r223)

Yukardaki formle gre r23 1e yaklasrken VS degeri de sonsuza yaknsa-maktadr.

VS tanm kullanlarak 2 ve 3nn varyanslar syle gsterilebilir:

var(2) =2

x22iVS

var(3) =2

x23iVS

r

23artarken varyans ve kovaryanslarn bymelerine iliskin bir rnek olarak,

su izelgeyi inceleyelim:

izelge: r23teki Artsn Etkisi

r23 Degeri VS var(2) cov(2, 3)

0,00 1,00 1 00,50 1,33 1,33 0,670,70 1,96 1,96 1,370,80 2,78 2,78 2,220,90 5,76 5,76 4,730,95 10,26 10,26 9,740,97 16,92

16,92

16,41

0,99 50,25 50,25 49,750,995 100,00 100,00 99,500,999 500,00 500,00 499,50

izelgede grldg gibi, yksek bir lnl hata anaktle katsaylarnn g-ven aralklarnn genis olmasna neden olmaktadr.

rnek olarak r23 = 0,95ken 2nin gven aralgda r23 = 0 durumuna oranla10,26 ya da yaklask 3 kat byktr.



43/181


Ayrca, tahmin edilen lnl hatalardaki arts t degerlerini de kltmekte-

dir.

Bu yzden anaktleye ait gerek katsaynn sfr olduguna iliskin varsaymlardaha az reddedilir.

Son olarak, katsaylar istatistiksel olarak anlaml olmasa bile kovaryansnyksek olmasndan dolay R2 de yksek, rnek olarak 0,90n stnde ola-bilir.

Demek ki anlaml olmayan t degerleriyle birlikte grlen yksek bir R2, ok-luesdogrusallgn belirtilerinden biridir.

Kk Degismelere Duyarllk Sorunu

okluesdogrusallk durumunda, baglanm tahminleri ve bunlarn lnl ha-talar verilerdeki kk degismelere yksek duyarllk gsterirler.

Bunu grmek iin su iki varsaymsal veri setine bakalm:

Y X2 X3 Y X2 X3

1 2 4 1 2 42 0 2 2 0 23 4 12 3 4 04 6 0 4 6 125 8 16 5 8 16

Iki veri seti arasndaki tek fark X3n nc ve drdnc gzlemlerinin yerdegistirmis olmasdr.

Birinci veri setine dayanarak su sonular bulunur:Yi = 1,1939 + 0,4463 X2i + 0,0030 X3ih (0,7737) (0,1848) (0,0851)t (1,5431) (2,4151) (0,0358) R2 = 0,8101

r23 = 0,5523 cov(2, 3) = 0,0087 Ikinci veri seti ise asagdaki baglanm bulgularn verir:

Yi = 1,2108 + 0,4014 X2i + 0,0270 X3ih (0,7480) (0,2721) (0,1252)t (1,6187) (1,4752) (0,2158) R2 = 0,8143

r23 = 0,8285 cov(2, 3) = 0,0282 Grldg gibi sonular nemli farkllklar sergilemektedir.



44/181


3.2.3 Aklayc rnek

okluesdogrusallga bir diger rnek olarak, Trkiyenin farkl illerinde faali-yet gsteren sehirleraras otobs firma saylarn inceleyen asagdaki modeliele alalm.

Yi = 1 + 2X2i + 3X3i + ui

BuradaY ilde faaliyet gsteren otobs firma saysn (adet),X2 ildeki toplam otomobil says (bin adet),X3 ise ildeki yetiskin nfusu (milyon kisi)

gstermektedir.

Dikkat: Ildeki nfus ile otomobil says arasnda yksek bir esdogrusallk gz-lenecegi aktr.

Otobs firmalarnn otomobil saylar ve nfus ile olan iliskisinin dogrusaloldugunu varsayarsak sunu buluruz:

Yi = 26,6672 + 0,1859 X2i 1,0990 X3ih (3,7763) (0,0693) (14,5375)t (7,0617) (2,6808) (0,0756) R2 = 0,7455

Sonular, otomobiller ve nfusun birlikte firma saylarndaki degisimin yak-lask %75ini akladgn gstermektedir.

Diger yandan, nfusun egim katsays istatistiksel olarak anlaml degildir vestelik isareti de yanlstr.

Ayrca, 2 = 3 = 0 nsavn snamak iin bir ortak gven aralg belirlendi-ginde bu nsav reddedilmez.

Bunu grmek iin bildik F snamasna basvurulabilir. F snamas yerine X2 ile X3n gven elipsinin 0 noktasn ierip iermedi-

gine de baklabilir.



45/181


Gven elipsinin dogruyu andran seklinin X2 ile X3 arasnda tama yakn biresdogrusallg gsterdigine dikkat ediniz.

zmlemeyi bir adm ileriye gtrr ve X3n X2ye gre baglanmn he-saplarsak asagdaki sonular elde ederiz.

X3i = 0,1620 + 0,0047 X2ih (0,0228) (9,25e-05)t (7,0913) (50,7795) r2 = 0,9703

Buna gre X3 ile X2 arasnda olduka yksek bir esdogrusallk bulunmakta-dr.

Ayrca Ynin X2 ve X3e gre ayr ayr ikili baglanmlarn alacak olursak,egim katsaylarnn isaretlerinin dogru ve anlamllk dzeylerinin de yksekoldugunu grrz.

Bu da gsterir ki yksek okluesdogrusallk gsteren X degiskenlerinden bi-rini modelden kartmak, ogu zaman diger(ler)inin istatistiksel olarak an-laml kmasn saglar.



46/181


3.3 okluesdogrusallg Saptamak ve Dzeltmek

3.3.1 Var Olup Olmadgn Anlamak

Bir baglanmda okluesdogrusallgn varlgn anlama konusu ile ilgili olarak sunoktalara dikkat edilmelidir:

okluesdogrusallk nitelik degil nicelik sorunudur. Anlaml bir ayrm oklu-esdogrusallgn esitli dereceleri arasnda yaplmaldr.

okluesdogrusallk rneklemin bir zelligi oldugu iin okluesdogrusallgailiskin bir snama yaplamaz. Ancak derecesi llebilir.

okluesdogrusallgn var olup olmadgn anlamak ve eger varsa derecesinilmek iin tek bir yntem yoktur. Bunun yerine izlenebilecek birka gevsekkural vardr.

okluesdogrusallgn var olup olmadgn anlamak iin kural olarak yararlanla-bilecek baz belirtiler sunlardr:

1. Yksek R2ye kars anlaml olmayan t oranlar

2. Degisken iftleri arasnda yksek ilinti

3. Yksek dereceli ksmi ilintilerin yksek olmas

4. Yardmc baglanmlarda grlen gl iliskiler

5. Dsk zdegerler ya da yksek kosul endeksi degeri

6. Yksek varyans sisme arpanlar

Kural 1: Yksek R2ye kars anlaml olmayan t oranlarKsmi egim katsaylar tekil olarak sfrdan farkl degilken R2 degerinin yksek (r-negin 0,8 ve zeri) bulunmas.

Bu klasik belirtinin kt yan asr gl olmasdr. Diger bir deyisle, bu tan ancak Xlerin Y zerindeki tm etkileri birbirinden

ayrt edilemeyecek noktadaysa okluesdogrusallg zararl sayar.

yleyse bu durum okluesdogrusallgn varlg iin yeterli ama gerekli degil-dir.



47/181


Kural 2: Degisken iftleri arasnda yksek ilinti

Iki aklayc degisken arasndaki ilinti katsaysnn 0,8 gibi yksek bir deger ol-mas.

Bu ltteki sorun ise yalnzca sfrnc dereceden ilintilere bakmann tek ba-sna yeterli olmamasdr.

Ikiden fazla aklayc degisken olmas durumunda, basit ilintiler tekil olarakdsk (rnegin 0,5 ve alt) olsa bile okluesdogrusallk ciddi derecede yksekolabilir.

Kural 3: Yksek dereceli ksmi ilintilerSfrnc dereceden ilintilere gven sorunu nedeniyle baklan yksek dereceli ksmiilinti katsaylarnn yksek kmas.

rnek olarak Ynin X2, X3, X4e gre baglanmnda yksek bir R21.234 amadsk r212.34, r

213.24, r

214.23 degerleri bulmak.

Byle bir durum; X2, X3 ve X4n kendi aralarnda yksek ilintili oldugu vedolaysyla bunlardan en az birinin gereksiz oldugu izlenimini verir.

okluesdogrusallk bir ya da daha ok degiskenin diger degiskenlerin tam yada tama yakn bir dogrusal bilesimi demek oldugu iin, ok karmask sekil-lerde olusabilir.

Dolaysyla ksmi ilintileri incelemek yararldr ama bu da yanlmaz bir gs-terge degildir.

Kural 4: Yardmc baglanmlarda grlen gl iliskilerHangi Xin diger Xler ile iliskili oldugunu bulmak amacyla her bir Xi degiskeni-nin digerlerine gre baglanmn tahmin etmek ve buna karslk gelen R2i degerinihesaplamak.

Bu baglanmlara yardmc (auxiliary) baglanm denir. rnek olarak, X2i = a1 + a3X3i + a4X4i + + akXki + ui baglanmndan

R2X2 elde edilir.

Daha sonra (k-2) ve (n-k+1) sd ile F daglmna uyan su istatistik hesaplanr:

Fi =R2xi.x2x3...xk/(k 2)

(1 R2xi.x2x3...xk)/(n k + 1)



48/181


Bulunan Fi eger kritik degeri asyorsa, X2inin diger Xlerle okluesdogrusal

oldugu nsav reddedilmez.

Yardmc baglanm ynteminde eger hesaplanan bir Fi anlamlysa, ilgili Xininkartlp kartlmayacagna ayrca karar vermek gereklidir.

ok sayda karmask dogrusal iliski varsa karslkl iliskileri saptamak golacagndan, bu yntem pek yararl olmaz.

Btn R2i leri tek tek snamaya almask olarak Kleinn basparmak kural(Kleins rule of thumb) da uygulanabilir.

Bu kurala gre bir yardmc baglanmdan elde edilen R2

btnn R2

sindenbykse, okluesdogrusallk dikkate alnmaya degecek kadar yksek demek-tir.

Diger kurallar gibi bu kural da dikkatli kullanlmaldr.

Kural 5: Dsk zdegerler ya da yksek kosul endeksi degeriDogrusala yakn bagmllklarn bir isareti olarak bir degiskene ait zdeger (eigenvalue) byklgnn dsk olmas.

Ekonometri yazlmlar ile kolayca bulunabilen zdegerler kullanlarak ko-sul says (condition number) k ve kosul endeksi (condition index) KEdegerleri syle hesaplanr:

k = En Yksek zdegerEn Dsk zdeger

, KE=

k

okluesdogrusallk, k eger 100 ile 1000 arasndaysa orta ya da gl derece-dedir. Eger 1000i asyorsa da ciddidir.

Almask olarak, okluesdogrusallk eger KE10 ile 30 arasndaysa orta ya da

gldr. 30u asyorsa da ciddidir.

Bu gevsek kural da digerleri gibi dikkatli kullanlmaldr.

Kural 6: Yksek varyans sisme arpanlarXinin diger degiskenlerle iliskisi artarken varyans sisme arpan (variance inf-lation factor) ya da ksaca VS (VIF) degerinin de artmasnn bir lt olarakkullanlmas.



49/181


k degiskenli modeldeki bir ksmi baglanm katsaysnn varyans, VS cin-

sinden su sekilde gsterilebilir:

var(i) =2

x2i

1

1 R2i

=

2x2i

VSi

i ve R2i degerleri burada Xinin ksmi baglanm ve belirleme katsaylardr.VSi ise varyans sisme arpandr.

Bir basparmak kural olarak, bir degiskenin VS degeri 10dan bykse ok-luesdogrusallg da yksektir denebilir.

Baz ekonometriciler VS yerine almask olarak hosgr (tolerance), k-saca HOS (TOL) degerini kullanrlar:

Hosgr

HOSi =1

VSi= (1 R2i )

Buna gre Xi diger degiskenlerle tam iliskiliyse HOSi = 0, iliskisizse deHOSi = 1 olur.

var(i) tanmndan, yksek bir HOSi degerinin dsk bir 2 ya da yksek birx2i ile dengelenebildigi grlmektedir.

Dolaysyla kk bir HOS (ya da byk bir VS) yksek lnl hatalarbulmak iin ne yeterli ne de gereklidir.

3.3.2 okluesdogrusallg Dzeltici nlemler

okluesdogrusallgn nasl giderilecegine iliskin kesin kurallar yoktur. Uygulanabi-lecek gevsek kurallardan bazlar sunlardr:

1. nsel bilgilere basvurmak

2. Havuzlamal verilerden yararlanmak

3. Baz degiskenleri brakmak

4. Verileri dnstrmek

5. Ek ya da yeni veriler derlemek



50/181


6. Diger iyilestirici nlemler

Yntem 1: nsel bilgilere basvurmakokluesdogrusallk sorununu gidermek iin, modele nsel bilgilere dayal snrla-malar getirilebilir.

Asagdaki modeli ele alalm:

Yi = 1 + 2X2i + 3X3i + ui

Burada Yi tketimi, X2i geliri, X3i de serveti gstermektedir. Gelir ile servetyksek derecede esdogrusaldr.

3 = 0,12 oldugunu nsel (a priori) olarak bildigimizi varsayalm. Bun-dan yararlanarak sunu elde edebiliriz:

Yi = 1 + 2X2i + 0,12X3i + ui= 1 + 2X4i + ui

Burada X4i = X2i + 0,1X3idir. 2 bir kez bulunduktan sonra 3 da 2 ile 3 arasnda var oldugu dsnlen

iliskiden kolayca bulunabilir.

nsel bilgiden yararlanabilmek iin katsaylar arasndaki iliskiye ait byle birbilginin ncelikle var olmas gereklidir.

nsel bir bilgi daha nceki grgl alsmalardan ya da modelin gerisindeyatan kuramdan gelebilir.

rnek olarak, Cobb-Douglas tr retim islevine dayanan bir modelde legegre sabit getiri olmas bekleniyorsa, 1 + 2 = 1 snrlamas geerli olur.

Diger yandan, modele snrlama getirmek konusunda dikkatli olunmaldr.

ncelikli amacmzn kuramn ileri srdg nsel bilgileri modele zorla sok-mak degil, bu beklentilerin kendisini snamak oldugunu unutmamalyz.

Yntem 2: Havuzlamal verilerden yararlanmakDssal ya da nsel bilginin bir biimi de havuzlamal veriler (pooled data) kul-lanmak, diger bir deyisle yatay kesit ve zaman serisi verilerini bir araya getirmektir.

Asagdaki baglanm ele alalm:



51/181


ln Yt = 1 + 2 ln Pt + 3 ln It + ut

Burada Y sats saysn, P ortalama fiyat, I geliri ve t ise zaman gstermek-tedir.

Zaman serisi verilerinde fiyat ve gelir degiskenleri yksek bir esdogrusallkgsterme egilimindedir.

Diger yandan, zaman ierisinde tek bir noktada derlenen kesit verilerinde fiyatok degisiklige ugramadg iin bu sorunla fazla karslaslmaz.

Yatay kesit verileri kullanlarak 3n gvenilir bir tahmini bulunduktan sonra,

zaman serisi baglanm syle yazlr:

Yt = 1 + 2 ln Pt + ut

Burada Y = ln Y 3 ln I dnstrmesi kullanlmstr. Gelir etkisinden arndrmal Y degerleri kullanlarak, artk 2 tahmin edilebi-

lir.

Yatay kesit ve zaman serisi verilerini bir araya getirmenin baz yorum sorun-lar dogurabilecegi unutulmamaldr.

rnek olarak, burada kesit verileriyle bulunan esnekligin zaman serisiyle bu-lunan degere esit oldugu rtk olarak varsaylmaktadr.

Yntem 3: Baz degiskenleri brakmakCiddi bir okluesdogrusallkla karslasnca izlenebilecek bir diger yol da degisken-lerden bir ya da birkan brakmaktr.

Diger yandan, modelden degisken kartmak bir model belirtim yanllg(specification bias) ya da belirtim hatas (specification error) sorununa yol

aabilir.

rnek olarak, dogru model asagdaki gibi olsun:

Yi = 1 + 2X2i + 3X3i + ui

Yanlslkla asagdaki modeli yakstrms olalm:

Yi = b1 + b12X2i + ui



52/181


Bu durumda syle bir yanllk ortaya kar:

E(b12) = 2 + 3b32

b32 burada X3n X2ye gre baglanmndaki egimdir.

rnekte gsterilen b12, 2nin yanl (biased) tahmincisidir. Diger bir deyisle b12 katsays, 3b32 arpmnn isaretine bagl olarak 2yi

dsk ya da yksek tahmin eder.

Bu noktada, tama yakn okluesdogrusallk varken bile SEK tahmincilerinin

EDYT oldugunu anmsayalm.

okluesdogrusallk modeldeki anaktle katsaylarnn keskin olarak tahminedilmesini engellemektedir.

Bir degiskeni kartmak ise yanllga yol aarak anaktle katsaylarnn ger-ek degeri konusunda bizi yanltabilir.

Demek ki baz durumlarda ila hastalktan daha kt olabilmektedir.

Yntem 4: Verileri dnstrmek

okluesdogrusallk, verileri dnstrerek de yok edilebilir.

Uygulamada ska kullanlan veri dnstrme yollarndan biri, oran dn-sm (ratio transformation) yntemidir.

Asagdaki modeli ele alalm:

Yi = 1 + 2X2i + 3X3i + ui

Burada Yi tketim, X2i milli gelir ve X3i de toplam nfustur.

Toplam gelirin nfus ile esdogrusallk gstermesi sorunu, modelin kisi basnaolarak belirtilmesiyle zlebilir:

YiX3i

= 1

1

X3i

+ 2

X2iX3i

+ 3 +

ui

X3i

Buradaki sorunsa ilk baglanmdaki ui terimi sabit varyansla daglyor olsabile dnstrmeli baglanmndaki ui/X3inin farklserpilimsellik (heteros-cedasticity) gstermesidir.



53/181


Bir diger dnstrme yntemi olarak su modeli ele alalm:

Yt = 1 + 2X2t + 3X3t + ut

Buradaki gelir (X2t) ve servetin (X3t) esdogrusallklarnn bir nedeni, bunla-rn zaman iinde birlikte degismeleridir.

Zamann ilk noktas t istege bagl oldugu iin su yazlabilir:

Yt1 = 1 + 2X2,t1 + 3X3,t1 + ut1

Yukardaki ikinci denklemi birinciden kartrsak, modeli birinci fark (first

difference) biiminde yazms oluruz:

Yt Yt1 = 2(X2t X2,t1) + 3(X3t X3,t1) + vt Bu islem esdogrusallk sorununu azaltr nk X2 ile X3n farklarnn es-

dogrusal olmas iin nsel bir neden yoktur.

Ancak birinci fark dnsm gzlemlerin sral olmadg yatay kesit verileriiin uygun degildir.

Ayrca, fark alma nedeniyle bastaki gzlem yitirildigi iin serbestlik derecesi

de bir azalr.

Yntem 5: Yeni veriler derlemekokluesdogrusallk bir rneklem zelligi olduguna gre, daha byk ya da ayndegiskenlerin yer aldg farkl bir rneklemde daha az ciddi olabilir.

degiskenli model iin varyans formln anmsayalm:

var(2) =2

x22i(1 r223)

Grldg gibi, rneklem byrken x22i de bymekte ve buna kosut ola-rak azalan var(2) degeri 2nin daha kesin tahmin edilmesini saglamaktadr.

Ancak, iktisadi alsmalarda ek veriler bulabilmek ya da daha iyi verilerderleyebilmek her zaman kolay degildir.

Yntem 6: Diger dzeltici nlemlerokluesdogrusallg gidermeye ynelik baska dnstrme ve tahmin yntemleri debulunmaktadr.



54/181


rnek olarak, aklayc degiskenlerin esitli stlerle girdigi okterimli (poly-

nomial) modellerde, okluesdogrusallg azaltmann bir yolu Xleri sapmalarbiiminde kullanmaktr.

Bunlarn dsnda, okluesdogrusallk sorununu zmedeetmen zmlemesi (factor analysis),bas bilesenler (principal components),srt baglanm (ridge regression)

gibi yntemler de ska kullanlr.

Bunlar daha ileri dzeydeki bir tartsmann konusudur.



55/181


nmzdeki Dersin Konusu ve dev

devKitaptan Blm 10 Multicollinearity: What Happens if the Regressors Are Corre-lated? okunacak.

nmzdeki DersFarklserpilimsellik



56/181

Blm 4

Farklserpilimsellik

4.1 Farklserpilimselligin Niteligi

4.1.1 Nedenleri ve Sonular

Klasik dogrusal baglanm modelinin nemli bir varsaym, hata teriminin sabit var-yans ile daglmakta oldugudur. Bu varsaym her zaman geerli olmayabilir. Bu b-

lmde su sorulara yant arayacagz:

1. Farklserpilimselligin niteligi nedir?

2. Uygulamada dogurdugu sonular nelerdir?

3. Varlg nasl anlaslabilir?

4. Dzeltmek iin ne gibi nlemler alnabilir?

Aynserpilimsellik (homoscedasticity) varsaymna gre verili Xi aklaycdegiskenlerine bagl olarak Yinin kosullu varyans sabittir:

E(u2i ) = 2 i = 1, 2, . . . , n

Farklserpilimsellik (heteroscedasticity) durumunda ise Xi degistike Yinin

kosullu varyans da degisir:

E(u2i ) = 2i

Farklserpilimsellige bir rnek olarak tasarruflarn varyansnn gelirle birlikteartmasn verebiliriz.

Yksek gelirli ailelerin tasarruflar, dsk gelirli ailelere oranla hem ortalamaolarak daha oktur hem de degisirligi daha fazladr.

55


57/181

Farklserpilimsellik A. Talha Yalta (2007 - 2011)

Farklserpilimselligin Nedenleri

Hata terimi varyansnn degisken olma nedenlerinden bazlar sunlardr:

1. Hata-grenme (error-learning) modellerine gre insanlar baz konular g-rendike daha az hata yaparlar. Buna gre 2nin de zamanla klmesi bek-lenir. rnek olarak, daktilo kullanma sresi arttka hem daktilo hatalar hemde bunlarn varyans azalr.

2. Gelir dzeyi arttka gelirin harcanabilecegi seenekler de genisler. Bylece,gelir dzeyi ile birlikte hem harcamalarn hem de bunlarn varyansnn artmasbeklenir.

3. Zaman ierisinde veri derleme tekniklerinin gelismesine kosut olarak 2

i dedsebilir.

4. Farklserpilimsellik, dsadsen (outlier) gzlemlerin bir sonucu olarak daortaya kabilir. Byle gzlemlerin alnmas ya da braklmas, zellikle derneklem kkken sonular nemli lde degistirebilir.

5. Farklserpilimselligin bir diger nedeni model belirtim hatasdr. zellikle denemli bir degiskenin modelden kartlmas farklserpilimsellige yol aabilir.

6. Farklserpilimsellik sorunu yatay kesit verilerinde zaman serisi verilerine oranladaha fazla grlebilmektedir. Bunun nedeni, zaman serilerinde degiskenlerinzaman ierisinde yakn byklklerde olma egilimidir.

Farklserpilimselligin SEK Tahminlerine Etkisi

2i seklindeki farklserpilimsellik altnda SEK tahmincilerinin varyanslarnnne sekilde etkilenecegini grmek iin, iki degiskenli modeli ele alalm:

Yi = 1 + 2Xi + ui

Aynserpilimsellik durumunda varyans forml syledir:

Aynserpilimsellik

var(2) =2

x2i

Bu da farklserpilimsellik altndaki formlden farkldr:

Farklserpilimsellik



58/181


var(2) =

x2i

2i

( x2i )2

Her bir i iin, 2i = 2 olmas durumunda iki formln ayn olacagna dikkatediniz.

KDBMnin tm varsaymlar geerli oldugu zaman SEK tahmincisi 2nnEDYT oldugunu anmsayalm.

2 tahmincisinin aynserpilimselligin geerli olmadg durumda bile dogrusalve yansz oldugu gsterilebilir.

Ancak, byle bir durumda SEK tahmincileri artk en iyi ya da enaz var-yansl olma zelliklerini kaybederler. yleyse, farklserpilimsellik durumunda tahmincilerin EDYT olabilmesi iin

SEKten ayr bir yntem izlemek gerekir.

4.1.2 Genellemeli En Kk Kareler

Xinin farkl dzeylerinde farklserpilimsellik gzleniyorsa, tahmin srecindebu bilgiden yararlanmak gerekir.

rnek olarak, dsk gelir snflarna ait harcamalar daha dsk varyansl isebu gruplardan gelen gzlemlere daha ok agrlk verilmesi istenir.

Bunun nedeni, dsk varyansl gruplarn kendi ortalamalar evresine dahayakn daglarak ABInin daha dogru tahmin edilmesini saglamalardr.

SEK yntemi, tm gzlemlere esit agrlk verdigi iin farklserpilimsellik du-rumunda etkin tahminciler retemez.

Varyanstaki degisim bilgisinden yararlanan ve bu nedenle tahmincileri EDYTolan yntem ise genellemeli en kk kareler (generalized least squares)

ya da ksaca GEK (GLS) yntemidir.

GEKin farklserpilimsellik bilgisini nasl kullandgn grmek iin iki degis-kenli modeli syle yazalm:

Yi = 1X0i + 2Xi + ui

Burada her bir i iin X0i = 1dir.



59/181


Farklserpilimsel varyanslar (2i ) biliniyor olsun. Yukardaki denklemi iye

blersek sunu elde ederiz:Yii

= 1

X0ii

+ 2

Xii

+

uii

Bunu da gsterim kolaylg bakmndan syle yazabiliriz:

Yi = 1 X

0i +

2 X

i + u

i

Buradaki yldz isaretli dnstrlms degiskenler, bastaki degiskenlerin iyeblnms halleridir. Ikinci modele ait katsaylar farkl olacag iin lar da

yldz ile gsterilmistir. zgn modeli neden dnstrdgmz grmek iin hata terimi ui n su

zelligine dikkat edelim:

var(ui ) = E(ui )

2 = E

uii

2

=1

2iE(u2i ) (

2i bilindigi iin)

=1

2i(2i ) = 1

Demek ki dnstrlen hata terimi ui n varyans sabittir ve 1e esittir.

Grldg gibi GEK, KDBM varsaymlarn saglayan dnstrlms degis-kenlere uygulanan SEK yntemidir.

Uygulamada, 1 ve 2 tahmin etmek iin dnstrlen modelin BIsi kul-lanlr:

Yi = 1 X

0i +

2 X

i + ui

Daha sonra hata kareleri toplam ui2 enazlanr. GEK tahmincisi 2 ve bunun varyans var(2 ) syledir:

2 =(

wi)(

wiXiYi)(

wiXi)(

wiYi)(

wi)(

wiX2i

)(

wiXi)2

var(2 ) =

wi(

wi)(

wiX2i )(

wiXi)2

Burada wi = 1/2i yi gstermektedir.



60/181


SEK ile GEK Arasndaki Fark

Bilindigi gibi SEK, hata kareleri toplamn enazlar:

ui2 =

(Yi 1 2Xi)2

GEK yntemi ise asagdaki dnstrmeli hata kareleri toplamn enazlamak-tadr:

wiui

2 =

wi(Yi 1 2 Xi)2

Buna gre GEK wi = 1/2i byklg ile agrlklandrlan kalnt kareleri

toplamn enazlarken, SEK de agrlksz ya da esit agrlkl KKTyi enazla-maktadr.

GEKte her gzleme verilen agrlk i ile ters orantldr. Elimizdeki yntem agrlklandrmal bir KKTyi enazlamaya dayandgna gre

agrlkl en kk kareler (weighted least squares) ya da AEK (WLS)diye de adlandrlabilir.

Demek ki AEK, daha genel bir tahmin yntemi olan GEKin zel bir duru-mudur.

4.1.3 Farklserpilimsellik Altnda SEK

Farklserpilimselligi Gz nne Alan SEK

Farklserpilimsellik altnda SEK tahmini, farklserpilimselligi gz nne ala-rak ya da gz ard ederek yaplabilir.

Yaplan tahminler iki sekilde de hatal ya da yanltc olabilir. Farklserpilimselligi gz nne alan SEK tahmincisini ele alalm.

Gstermis oldugumuz gibi, SEK tahmincisi 2nn ve GEK tahmincisi 2 nher ikisi de yansz tahmincilerdir.

Ancak enaz varyansl olan tahminci GEK tahmincisi 2 dr. Bu durum SEK tahmincisine dayanan gven aralklarnn gereksiz yere byk

kacag anlamna gelir.

Demek ki SEK tabanl anlaml olmayan bir katsay, GEK ile hesaplanmsdogru bir gven aralg kurulursa anlaml kabilir.



61/181


Farklserpilimselligi Gz Ard Eden SEK

Farklserpilimsellik altnda, aynserpilimsellige ait varyans formln kullan-may srdrmek ciddi sorunlar yaratabilir.

2nn varyansnn aynserpilimsellik ve farklserpilimsellik varsaym altn-daki formllerini anmsayalm:

Aynserpilimsellik

var(2) =2

x2i

Farklserpilimsellik

var(2) =

x2i

2i

(

x2i

)2

Farklserpilimsellik durumunda, yukarda verilen formllerden sagdaki sol-dakinin yanl bir tahmincisi olur.

Genellikle bu yanllgn yukar dogru mu yoksa asag dogru mu oldugu dabilinemez.

Demek ki farklserpilimsellik altnda bildik snama srecini kullanmada sraretmek yanltc sonulara yol aabilir.

SEK Kullanmann Sonular

rnek olarak, Davidson ve MacKinnonn yapms olduklar bir Monte Carloalsmasn ele alalm.

Yazarlar, iki degiskenli baglanm modelini kullanarak ve 1 = 2 = 1 ve ui N(0, Xi ), diger bir deyisle hata teriminin aklayc degisken Xin ss

degeriyle iliskili oldugu varsaymn yaparak su sonular elde etmislerdir:

1nn lnl hatas 2nn lnl hatas

SEK SEKfs GEK SEK SEKfs GEK

0,5 0,164 0,134 0,110 0,285 0,277 0,2431,0 1,142 0,101 0,048 0,246 0,247 0,1732,0 0,116 0,074 0,0073 0,200 0,220 0,1093,0 0,100 0,064 0,0013 0,173 0,206 0,0564,0 0,089 0,059 0,0003 0,154 0,195 0,017



62/181


SEKfs burada farklserpilimselligi gz nne alan SEKtir.

(...devam)

Bulgular, farklserpilimselligi gz nne alan SEKfs ve almayan SEK lnlhatalarnn GEKinkilerden yksek oldugunu, ksaca GEKin en dsk var-yansl oldugunu gstermektedir.

Ayrca, farklserpilimselligi gz ard eden yanl SEKin varyans SEKfsninvaryansndan byk ya da kk olabilmektedir.

Buna gre, farklserpilimsellik durumunda GEK ynteminin stnlg ak-

tr.

Ancak GEKi uygulayabilmek her zaman kolay degildir.



63/181


4.2 Farklserpilimselligi Saptamak

Farkltrel (heterogeneous) birimler ieren yatay kesit verilerinde, farkl-serpilimsellik asla sra ds degildir.

rnek olarak kk, orta ve byk firmalar eger birarada rneklenmisse fark-lserpilimsellik genellikle beklenir.

Belli bir durumda farklserpilimselligin varlgn anlamann kesin bir yoluyoktur. esitli basparmak kurallar vardr.

Bunun nedeni, 2i yi bilebilmek iin btn Y anaktlesini bilmenin gerekliolmasdr.

Ancak ogu iktisadi alsmada belli Xdegerlerine karslk tek bir Y rneklemdegeri bulunur.

Bu nedenle, farklserpilimselligin varlgn anlamak iin kullanlabilecek bi-imsel ve biimsel olmayan yntemlerin ogu ui SEK kalntlarnn incelen-mesine dayanr.

Yalnzca uilar gzlenebildigi iin de bunlarn gerek uilerin iyi birer tah-mincisi olduklar umulur.

4.2.1 Biimsel Olmayan Yntemler

izim Yntemi

ogu durumda farklserpilimselligi saptamak bir sezgi, egitimli bir tahmin yada bir nsel grgl deneyim konusudur.

Biimsel bir yntem olmayan izim ynteminde, baglanm zmlemesi nceaynserpilimsellik varsaym ile yaplr.

Sonra,

ui2 kalnt karelerinin dzenli bir grnt sergileyip sergilemediklerine

baklr.

Bunun iin, ui2lerin Yi ve esitli Xi degiskenleri ile iliskileri izit zerindegrntlenir.

Eger rneklem yeterince bykse, ui2ler u2i lerle ayn sey olmasa da onlarnyerine kullanlabilirler.



64/181


Eger bu islem ui

2ler ile Yi ya da Xi arasnda dogrusal ya da ikinci derece

bir iliski gsterirse, bu bilgi kullanlarak veriler farklserpilimsellik sergile-meyecek biimde dnstrlr.

4.2.2 Biimsel Yntemler

Park Snamas

R. E. Park (1966), 2i nin aklayc degisken Xinin bir islevi oldugunu ilerisrerek izim yntemini biimsellestirir.

Snama iin ne srlen iki islev kalb sudur:



65/181


2i = 2Xi e

vi

ya da ln 2i = ln 2 + ln Xi + vi

Park, 2i bilinmedigi iin yerine ui2yi kullanmay nerir:

ln ui2 = ln 2 + ln Xi + vi

= + ln Xi + vi

Demek ki nce farklserpilimsellige bakmadan bir baglanm bulunur. Sonra,kalntlardan ikinci baglanm hesaplanr.

Eger anlamlysa bu farklserpilimselligin gstergesidir. Anlaml degilse, ay-nserpilimsellik sfr nsav reddedilmez.

Glejser Snamas

H. Glejser (1969) tarafndan ne srlms olan Glejser snamas znde Parksnamasna benzer.

Glejser, ui kalntlarnn mutlak degerlerini kullanan su islev biimlerini ne-rir:

|ui| = 1 + 2Xi + v1i|ui| = 1 + 2

Xi + v2i

|ui| = 1 + 2 1Xi + v3i|ui| = 1 + 2 1Xi + v4i|ui| =

1 + 2Xi + v5i

|ui| =

1 + 2X2i + v6i

vji (j = {1, . . . ,6}) burada hata terimini gstermektedir.

Grgl olarak ekici grnmelerine karsn Park ve Glejser snamalarnn bazsorunlar da vardr.

ncelikle, snama baglanmlarnda kullanlan hata terimi vinin ortalamassfr olmayabilmekte ve bu viler zilinti ya da farklserpilimsellik gsterebil-mektedir.

Diger bir deyisle Park ve Glejser snamalarnn kendileri de SEK varsaymla-rn saglamayabilmektedir.



66/181


Ayrca, Glejser islemindeki son iki islev biimi katsaylarda dogrusal-ds ol-

dugundan SEK ile tahmin edilemez.

yleyse uygulamada bu iki snamann birer sorgulayc yntem olarak kulla-nlmas daha dogrudur.

Spearman Sra Ilintisi Snamas

Spearman sra ilintisi (Spearmans rank correlation) su sekilde tanmlanr:Sra ilintisi

rs = 1 6 d2i

n(n2 1)

di degeri burada iinci kisi ya da olgunun iki farkl zelligine verilen sranumaralar arasndaki fark gstermektedir.

n ise sralanan kisi ya da olgu saysdr. rnek olarak, ders alsma ve snavlardaki basar ilintisini bulmak iin gren-

ciler haftada ka saat ders alstklarna gre ve snavda aldklar puana gresraya sokulur. Daha sonra, iki sralama arasndaki farkn kareleri hesaplanr.

Yi = 1 + 2Xi + ui ikili baglanmn alalm. Farklserpilimselligi Spearmansra ilintisi ile snamak iin su admlar izlenir:

1. Veriler baglanma yakstrlp kalntlar elde edilir.

2. |ui| mutlak degerleri bulunur.3. Hem |ui| hem de Xi yneyleri artan ya da azalan bir sraya dizilir ve Spearman

sra ilinti katsays rs hesaplanr.

4. Anaktle sra ilintisi s = 0 ve n > 8 varsaymlar altnda, (n 2) sd ile tdaglmna uyan su istatistik hesaplanr:

t =rs

n 2

1 r2s5. Eger hesaplanan t degeri kritik t degerinden byk ise, aynserpilimsellik sfr

nsav reddedilir.

6. Baglanm modeli eger birden ok X degiskeni ieriyorsa, rs her bir X iinayr ayr hesaplanp snanmaldr.



67/181


Goldfeld-Quandt Snamas

Yi = 1 + 2Xi + ui ikili baglanmn ele alalm. Ayrca 2i ve Xi arasnda 2i =2X2i biiminde bir iliski oldugunu da varsayalm. Goldfeld-Quandt snamasnnadmlar asagdaki gibidir:

1. Xi gzlemleri kkten byge dogru sralanr.

2. Ortadaki c sayda gzlem rneklemden karlr.

3. Kalan (n c) gzlem ortadan iki esit bege blnr.4. Iki bek ayr ayr SEK baglanmna yakstrlr, KKT1 ile KKT2 elde edilir ve

su oran hesaplanr:

F = KKT2/sd

KKT1/sd

5. F daglmna uyan bu istatistigin pay ve payda sdsi ayndr ve [(n c)/2] kye esittir. Eger hesaplanan deger kritik Fden bykse, aynserpilimselliksfr nsav reddedilir.

Goldfeld-Quandt snamasnda, ortadaki c sayda gzlemin dslanma amac,kk varyansl bek ile byk varyansl bek arasndaki fark keskinlestir-mektir.

yleyse cnin nasl seilecegi nemlidir. rneklem byklg yaklask 30 iken cnin 4 ve rneklem byklg 60 iken

de cnin 10 olmas yeterli saylmaktadr.

Modelde birden fazla aklayc degisken var ise, bunlar uygun oldugu ds-nlen Xe gre sralanr ya da snama her bir X iin ayr ayr yaplr.

Breusch-Pagan-Godfrey Snamas

Goldfeld-Quandt snamasnn bir sakncas, sonularn gzlemleri sralamada

kullanlan X degiskeninin seimine bagl olmasdr.

Bu da Breusch-Pagan-Godfrey snamas ile giderilebilir. Asagdaki k degiskenli baglanm modelini ele alalm:

Yi = 1 + 2X2i + + kXki + ui 2i hata varyansnn, olaslksal olmayan Z degiskenlerinin dogrusal bir islevi

oldugunu varsayalm:



68/181


2i = 1 + 2Z2i +

+ mZmi

Z degiskeni olarak Xlerin tm ya da birka kullanlabilir. Eger 2 = 3 = . . . = m = 0 ise 2i = 1 olur. Demek ki BPG snamas, 2i nin sabit olup olmadgn anlamak iin 2 =

3 = . . . = m = 0 varsaymn snar.

Breusch-Pagan-Godfrey snamasnn admlar syledir:

1. Baglanm SEK ile tahmin edilir ve kalntlar elde edilir.

2. 2nin EO tahmincisi 2 =

ui2/n degeri hesaplanr.

3. pi = ui2/2 degiskeni olusturulur.

4. pilerin Zlere gre baglanm bulunur:

pi = 1 + 2Z2i + + mZmi + vi5. Baglanm kareleri toplam (BKT) bulunarak su hesaplanr:

= (BKT)/2

6. uinin normal dagldg ve aynserpilimsellik varsaym altnda ve rneklembyklg sonsuza dogru artarken, degeri de (m 1) sd ile ki-kare dagl-mna uyar.

7. Buna gre, hesaplanan eger kritik 2 degerini asyorsa aynserpilimselliksfr nsav reddedilir.

White Genel Farklserpilimsellik SnamasYi = 1 + 2X2i + 3X3i + ui l baglanmn ele alalm. White genel farkl-

serpilimsellik snamas syle yaplr:

1. Veriler SEK baglanmna yakstrlr ve kalntlar alnr.

2. Asagdaki yardmc baglanm hesaplanr:

ui2 = 1 + 2X2i + 3X3i + 4X

22i + 5X

23i + 6X2iX3i + vi

Ksaca kalnt karelerinin Xler, Xlerin kareleri ve apraz arpmlarna grebaglanm bulunur. Ilk baglanmda sabit terim olmasa bile burada sabit terimkullanlr.



69/181


3. Yardmc baglanma ait R2 ve rneklem byklg arplr:

R2 n

4. Bu istatistik, yardmc baglanmdaki (sabit terim hari) aklayc degiskensays kadar sd ile 2 daglmna uyar.

5. Eger bulunan 2 degeri seili anlamllk dzeyindeki kritik degerden bykse,aynserpilimsellik sfr nsav reddedilir.

Goldfeld-Quandt snamasnn sakncas, gzlemlerin hangi X degiskeninegre sraya sokulduguna bagl olmasdr.

BPG snamasnn sakncas da hata teriminin normalligi varsaymna duyarlolmasdr.

White snamas ise hem normallik varsaymna dayanmaz hem de uygulamaynnden basittir.

Ancak bu snama da dikkatli uygulanmaldr. Eger modelde ok sayda degisken varsa bunlar, bunlarn kareleri ve apraz

arpmlar serbestlik derecesini tketir.

Ayrca baz durumlarda test istatistiginin anlaml olmasnn nedeni farklser-pilimsellik olmayp, model belirtim hatas olabilmektedir.

yleyse White snamas farklserpilimselligi, model belirtim hatasn ya daher ikisini birden snamada kullanlabilir.



70/181


4.3 Farklserpilimselligi Dzeltmek

Farklserpilimsellik, SEK tahmincilerinin yanszlk ve dogrusallk zellikle-rini bozmamaktadr.

Ancak bu tahmincilerin etkinlik yoksunlugu nsav snama islemlerini kuskuluduruma sokar.

Dolaysyla dzeltici nlemlerin gerekli oldugu aktr. Sorunu dzeltmede izlenecek yaklasm, farklserpilimsel 2i varyanslarnn

bilinip bilinmedigine bagldr.

Eger 2i biliniyorsa agrlkl en kk kareler kullanlr. 2i bilinmedigi zaman ise White varyanslar ya da esitli veri dnstrme is-

lemleri uygulanr.

4.3.1 Agrlkl En Kk Kareler

AEK yntemini gstermek iin asagdaki iki degiskenli BIyi ele alalm:

Yi = 1 + 2Xi + ui, E(ui2) = 2i

Farklserpilimsel 2i varyanslar biliniyor olsun. Yukardaki denklemin her ikiyann agrlk degiskeni 1/i ile arpalm:

Yii

= 1

1

i

+ 2

Xii

+

uii

Yukardaki dnstrmeli modelin hata teriminin varyans artk sabit ve 1

ekonometri2 ders notlari

Documents