Estudo dos Poliedros

PoliedrosPoliedros (poli =

muitos; edros = faces) são sólidos

delimitados por regiões planas (polígonos) que constituem as

denominadas faces. Os segmentos de reta que

limitam as faces designam-se por

arestas e os pontos de encontro destas por

vértices. 

Poliedro convexo e poliedro côncavo

Observe os sólidos representados abaixo.

A

B C

D

E F

Todo plano que contém qualquer de suas faces deixa todas as outras num mesmo semi-espaço.

Dizemos, por isso, que eles são poliedros convexos.

Poliedro convexo e poliedro côncavo

Observe agora o sólido representado abaixo.

M NPQ

O plano que contém a face MNPQ, por exemplo, deixa as faces do poliedro em semi-espaços diferentes.Dizemos, por isso, que ele é um poliedro côncavo.

Classificação dos poliedros Os poliedros recebem nomes especiais, de acordo

com o numero n de suas faces (F).

octaedro8icosaedro20heptaedro7dodecaedro12hexaedro6decaedro10pentaedro5eneaedro9tetraedro4

PoliedroFPoliedroF

Veja alguns desses poliedros

Hexaedro (P1)Octaedro (P2)

Eneaedro (P3) Heptaedro (P4)

Relação de Euler Existe uma relação muito importante entre o

número de faces (F), vértices (V) e arestas (A) de um poliedro convexo.

15710P4

1699P3

1286P2

1268P1

AFVPoliedro

V + F – A = 2

Poliedros regulares

Poliedro regular é todo poliedro em que:

Todas as faces são polígonos regulares, congruentes entre si;

De cada vértice, parte o mesmo número de arestas.

Existem apenas cinco classes de poliedros regulares.

Poliedros de Platão

Todas as faces são formadas por polígonos com o mesmo número de lados.

Em cada um dos vértices, concorre o mesmo número de arestas.

Somente cinco.

Tetraedro

  Faces constituídas por triângulos equiláteros

Número de Faces: 4 Número de Arestas:

6 Número de Vértices 4

Hexaedro (Cubo)

Faces constituídas por quadradosNúmero de faces: 6Número de vértices: 8Número de arestas: 12

Octaedro

Faces constituídas por triângulosNúmero de faces: 8Número de vértices: 6Número de arestas:12

Dodecaedro

 Poliedro regular com

faces formadas por pentágonos

Número de Faces: 12 Número de

Arestas:30 Número de Vértices: 20

Icosaedro

Poliedro regular com faces formadas por faces triangulares.Número de faces: 20Número de arestas: 30Número de vértices: 12

O prisma e suas formas

O prisma e suas formas Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de

poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma.

Definição Observe a animação.

r

O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma.

Elementos principais do prisma

O prisma tem dois tipos de faces

AB C

D

EF

A’

B’ C’D’

E’F’

bases (polígonos congruentes).

faces laterais (paralelogramos).

Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma.

Elementos principais do prisma

O prisma tem dois tipos de arestas

AB C

D

EF

A’

B’ C’D’

E’F’

arestas das bases(AB, A’B’, ..., FA, F’A’).

arestas laterais(AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).

Elementos principais do prisma

h

AB C

D

EF

A’

B’ C’D’

E’F’

A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.

Nomenclatura dos prismas Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que

constitui suas bases.

P. hexagonalhexágono

P. pentagonalpentágono

P. quadrangularquadrilátero

P. triangulartriângulo

PrismaPolígonos das bases

Veja alguns desses prismas

Prisma triangular Prisma Pentagonal

Classificação dos prismas Um prisma pode ser classificado, também, pela

posição das arestas laterais em relação ao plano da base.

Dizemos que ele é:

prisma reto, se as arestas laterais são perpendicu-lares aos planos das bases;

prisma oblíquo, se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Nos prismas retos, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos.

Classificação dos prismas

Prisma triangular reto

Prisma Pentagonal

oblíquo

hh

Prisma regular Todo prisma reto cujas bases são polígonos

regulares é chamado de prisma regular.

O prisma é reto eABC é triângulo eqüilátero

⇒

A

B

C

Prisma triangular regular

O prisma é reto e aBase é hexágono regular

⇒

Prisma hexagonal regular

Prisma quadrangulares

Prismas quadrangulares Todo prisma cujas bases são paralelogramos é

chamado paralelepípedo.

Paralelepípedo

Prismas quadrangulares Se as bases de um paralelepípedo reto são

retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo.

Paralelepípedo retângulo ou ortoedro

Prismas quadrangulares Se todas as arestas de um paralelepípedo

retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular.

Cubo ou hexaedro regular

Estudo do cubo

Estudo do cubo O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um

prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base.

a → medida de cada uma das arestasa

aa

a

aa

Diagonais no cubo Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.

a → medida de cada uma das arestas

d

Dd → diagonal da face

D → diagonal do cubo

Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a

da aresta.

a

aa

d

D

a

d2 = a2 + a2

⇒ d = 2a2

⇒ d = a√2

Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a

da aresta.

a

aa

d

Da

D2 = a2 + d2

⇒ D = a2 + 2a2

⇒ D = 3a2

⇒ D = a√3

Área da superfície total do cubo Planificando a superfície total de um cubo de

aresta a, obtemos a figura.

aa

a

a

a

a

a

AT = 6a2

O cubo como unidade de volume

V = a3

a a

a a

Se a unidade de comprimento é 1 m, a unidade de volume é 1 m3.

Se a unidade de comprimento é 1 dm, a unidade de volume é 1 dm3.

Estudo do Paralelepípedo retângulo

Estudo do paralelepípedo retângulo O paralelepípedo retângulo é um prisma

quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes.

a, b e c → As dimensões do paralelepípedo.

ac

b

Suas doze arestas são quatro a quatro congruen-tes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.

ba

Diagonal do paralelepípedo Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento

cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face.

d → diagonal da face inferior

D → diagonal do paralelepípedo

c

d

D

b

a

Cálculo da diagonal do paralelepípedo Obtendo o valor de D em função das dimensões a,

b e c do paralelepípedo.

c D

d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2

d

D2 = a2 + b2 + c2 ⇒ D = √a2 + b2 + c2

Área da superfície total do paralelepípedo Planificando a superfície total de um

paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura.

ac

b

a

b

c

ab

ab

ac

ac

bc bc

AT = 2ab + 2ac + 2bc

AT = 2(ab + ac + bc)

Volume do paralelepípedo retângulo Analise as duas figuras a seguir.

cubo unitárioV = 1 u3

V = 5.3.4 = 60 u3

5 u3 u

4 u

De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é dado por

V = a.b.c

Observação Podemos interpretar o volume de um

paralelepípedo retângulo de outra forma. Veja a figura a seguir.

V = abc

V = AB.h

ab

c

A = ab

= (ab)c = (área da base) . (altura relativa)

Estudo geral do prisma

Estudo geral do prisma Vamos aprender a calcular áreas e volumes em

prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que

As arestas laterais são alturas; As faces laterais são retângulos;

A

B

C

Áreas no prisma No prisma as áreas.

Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos;

Área da base (AB) – Área do polígono da base;

Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases

AT = AL + 2AB

Exemplo A figura a seguir mostra um prisma triangular reto,

com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma.

3

5

64

AL = 3.6 + 4.6 + 5.6AL = 18 + 24 + 30 = 72

AB = (3.4)/2 = 6

AT = AL + 2.AB

AT = 72 + 2.6 = 84

Princípio de Cavalieri

Princípio de Cavalieri Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do

século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou contribuições importantes nas áreas de óptica e geometria.

Princípio de Cavalieri Dados dois ou mais sólidos apoiados em um

mesmo plano , se

Todos têm a mesma altura; Todo plano paralelo a e que corte os sólidos

determina, em todos eles, seções planas de mesma área;

Então os sólidos têm o mesmo volume.

Princípio de Cavalieri A figura abaixo ilustra o princípio de Cavalieri.

Volume do prisma Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do

volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o princípio de Cavalieri.

V = AB.h