POLIEDROSPOLIEDROSEtimolóxicamente, a palabra poliedro (Πoλυεδρos)

deriva dos térmos gregosΠoλυs (moito) y εδρα (plano).

© Jesús Rodriguez© Jesús Rodriguez

“Non entre aquí quen non saiba xeometría”

• Esta frase podíase ler enriba da porta de entrada á Academia de Platón (século IV A.C.) onde se reunían a discutir problemas de filosofía, lóxica, política, arte, etc.

CORPOS SÓLIDOS

• Un corpo sólido é todo o que ocupa lugar no espacio.

• Os corpos xeométricos poden ser de dúas clases: os formados por caras planas (poliedros), ou tendo algunha ou todas as súas caras curvas (corpos redondos).

Actividade

a. ¿Qué características comúns ves a todos eles?

b. Debuxa outros tres corpos coas mesmas características.

c. Sinala 3 obxetos reais que sexan poliedros.

DEFINICIÓN

• Estes corpos chámanse poliedros, e podemos dicir de forma simplificada que son sólidos limitados por caras en forma de polígonos.

Ángulos diedros Dous planos que se cortan, dividen o espacio en

catro rexións. Cada unha delas chamase ángulo diedro o simplemente diedro. Las caras del diedro son os semiplanos que o determinan e a recta común as dúas caras chamase arista.

• Se son tres planos os que se cortan, chamase triedro, se catro, tetraedro, si cinco, pentaedro, etc.

• Ó punto común chámaselle vértice.

Actividade • Observa os seguintes poliedros.

• Se os sitúas nun plano, observa que hai dous que non se poden apoiar sobre todas as súas caras. ¿Cáles son?

DEFINICIÓN

• Ós poliedros que teñen algunha cara sobre a que non se poden apoiar, se lles chama cóncavos e ós demais convexos. Nos vamos a traballar sempre, salvo que se indique o contrario, con poliedros convexos.

Actividade • Na figura seguinte tes pintado un poliedro. Nel

indicanse algúns elementos característicos.a. ¿Cómo definirías cada un destes

elementos?

O número de caras que concorren nun mesmo vértice se lle chama orde do vértice.

b. ¿Cántas caras, vértices e aristas ten este poliedro?

c. ¿Cántas caras téñense que xuntar nun vértice como mínimo?

FÓRMULA DE EULER (1750)

• Nos poliedros da figura, conta o número de caras, vértices e aristas e escríbeos na táboa.

¿Atopas algunha relación entre C, V y A?

CONCLUSIÓN

• En todos os poliedros convexos verificase sempre que o número de caras máis o número de vértices é igual o número de aristas máis dous:

C + V = A + 2

• Hai outros elementos nos poliedros que debes coñecer:

¿Cómo definirías a diagonal dun poliedro?

¿Y o plano diagonal?

¿Cál é o número de diagonais e de planos diagonais do poliedro anterior?

Explica razoadamente cáles das seguintes afirmacións son verdadeiras e cáles son falsas

1. O número de aristas dun poliedro que concorren nun vértice é, como mínimo, 4.

2. As caras dun poliedro son todas iguais.3. Hai poliedros con tres caras.4. En cada vértice dun poliedro concorren sempre o mesmo número de aristas.5. As caras dun poliedro teñen que ser forzosamente polígonos.6. Todos os poliedros de cinco caras teñen 8 aristas y 5 vértices.

7. O número mínimo de caras que concorren nun vértice é 3.

8. O cilindro é un poliedro.

POLIEDROS REGULARES

• Se lles coñece co nome de sólidos platónicos na honra a Platón (século IV a. de C.), pero o certo é que non se sabe en qué época chegaron a coñecerse. Algúns investigadores asignan ó cubo, tetraedro e dodecaedro a Pitágoras e o octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a. de C.)

DEFINICIÓN

• Un poliedro é regular se todas as súas caras son regulares e iguais e todos os seus vértices son do mesmo orde.

TETRAEDRO REGULAR

• Formado por tres triángulos equiláteros. É o que ten menor volume dos cinco en comparación ca súa superficie. Representa o lume. Está formado por 4 caras, 6 aristas e 4 vértices.

LUME

OCTAEDRO REGULAR

• Formado por oito triángulos equiláteros. Xira libremente cando se suxeita por vértices opostos. Por iso, representa o aire en movemento. Está formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vértices.

AIRE

ICOSAEDRO REGULAR

• Formado por vinte triángulos equiláteros. É o que ten maior volume en relación coa súa superficie e representa a auga. Ten 20 caras, 30 aristas e 12 vértices.

AGUA

HEXAEDRO REGULAR OU CUBO

• Formado por seis cadrados. Permanece estable sobre a súa base. Por iso representa a terra. Está formado por 6 caras, 12 aristas e 8 vértices.

TERRA

DODECAEDRO REGULAR

• Formado por doce pentágonos regulares. Corresponde ó Universo, pois as súas doce caras poden acoller os doce signos do Zodíaco. Ten 12 caras, 30 aristas e 20 vértices.

O UNIVERSO

• A finais do século XVI, Kepler imaxinou unha relación entre os cinco poliedros regulares e as órbitas dos planetas do sistema solar entonces coñecidos (Mercurio, Venus, Marte, Xúpiter e Saturno). Segundo Kepler cada planeta movíase nunha esfera separada da contigua por un sólido platónico.

DESENVOLVEMENTO DE POLIEDROS

• Se un poliedro o cortamos por un número suficiente de aristas de forma que quede nunha soa peza e a estendemos no plano, obtemos un desenvolvemento do poliedro.

Un desenvolvemento de cada sólido platónico

Debúxaos nunha cartolina, recórtalos y constrúeos (ver páxinas 204 e 205 do libro de texto): Valoración 1 punto.

Poliedros na vida cotiá• Ornamentacións, en farois, lámpadas, etc.

• Os balóns de fútbol estiveron feitos sempre con 12 pentágonos e 20 hexágonos (icosaedro truncado), aínda que hoxe en día cambiáronse por outra forma poliédrica máis redondeada (o pequeno rombicosidodecaedro) que ten 20 triángulos, 30 cadrados e 12 pentágonos.

• Nas súas formas naturais, moitos minerais cristalizan formando poliedros característicos.

• No ano 1.996 concedeuse o premio Nobel de Química a tres investigadores por o descubrimento do fullereno cuxa forma es un icosaedro truncado.

• Os panais de abellas teñen forma de prismas hexagonais

• O virus da poliomielite e o da verruga teñen forma de Icosaedro

• As células do tecido epitelial teñen forma de Cubos e Prismas

• En pintura, Salvador Dalí, utiliza o dodecaedro nun óleo para enmarcar a súa escena sobre a última cea (con os seus 12 Apóstolos). Tamén utilízao na súa obra Crucifixión (a cruz componse de 8 hexaedros acaroados)

PRISMAS

• Un prisma é un poliedro limitado por dúas caras iguais e paralelas (bases) e tantos paralelogramos (caras laterais) como lados teñen as bases

1. ¿Qué obxectos reais suxírenche a idea de prisma?

2. ¿Cómo definirías cada un dos elementos especificados na figura?

3. Se os polígonos da base son regulares, o prisma chamase regular.

4. ¿Incluirías os prismas regulares entre os poliedros regulares?

• Un prisma chamase recto cando as súas aristas laterais son perpendiculares ás bases e oblicuo no caso contrario.

• A altura dun prisma é o segmento perpendicular as bases comprendido entre estas.

• Se a base do prisma é un triángulo, o prisma chamarase triangular; si é un cadrado, se chamará cuadrangular, etc.

• Hai uns prismas especialmente interesantes dentro dos prismas cuadrangulares. Estes son los paralelepípedos chamados así porque os cuadriláteros das bases son paralelogramos.

•Si un paralelepípedo e recto e os paralelogramos das bases son rectángulos, este recibe o nome de paralelepípedo rectángulo u ortoedro.

PIRÁMIDES• Cando cortamos un ángulo poliedro por un plano,

obtense un corpo xeométrico chamado pirámide. Na figura indícanse os elementos máis notables dunha pirámide. ¿Cómo definirías cada uno deles?

¿É unha pirámide un poliedro regular?

• As pirámides pódense clasificar de forma análoga ós prismas. Así, hai pirámides rectas e oblicuas, segundo que o centro do polígono da base coincida ou non co pe da altura da pirámide, e regulares ou irregulares, segundo que o polígono da base sexa ou non regular.

• Así mesmo, dependendo do número de lados do polígono da base, a pirámide será triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.

TRONCO DE PIRÁMIDE• Si cortamos unha pirámide por un plano,

obtemos un tronco de pirámide, que será recto ou oblicuo, segundo que o plano sexa ou non paralelo á base. Fíxate en que as caras laterais dun tronco de pirámide son trapecios e cando este é regular, entón os trapecios son isósceles iguais e a súa altura coincide ca apotema do tronco de pirámide. Por outra

parte, as bases son polígonos semellantes.

Os ángulos alternos-internos entre paralelas, teñen a mesma medida.

a

b1l

l2

Usando esta propiedade dous e medio séculos A.C., o matemático e astrónomo grego Eratóstenes calculou o radio da Tierra, cunha aproximación asombrosa á da medida que se coñece hoxe. Posiblemente Eratóstenes fixo una figura como a seguinte:

Si entón os ángulos a e b son iguais 1 2l lP

7.2 o

7,2º ...................804 .

360º ..........

Se correspondena Km

Os dacircunferenciaserán L

804 360º =40200km ( )

7,2ºL lonxitudeda circunferencia terrestre

×=

40200 402002 40200 6398,01

2 6,2832Entón r r Kmπ

π= ⇒ = = ≈

A lonxitude da lonxitude terrestre é . O punto A=Alexandría e S=Siena, cuxa distancia é de 804 Km. Nun mesmo intre o sol non proxectaba sombra algunha nunha estaca en Siena, mentres que si o facía en Alexandría, conseguindo medir o ángulo de 7,2º. Entón:

2L rπ=

TRABALLO PARA O FIN DE SEMANA

• Páxina 196-Exercicio 1

• Páxina 197 Exercicios 2 e 3