guía 9 - sólidos geométricos i poliedros y poliedros regulares

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  • GEOMETRA

    267

    Nace Isaac Newton enLincolnshire, Inglaterra.

    Virrey del Per Jos de Armendriz,marqus de Castelfuerte.

    1687

    1643

    1706

    1676

    1704

    Virrey del Per, Melchor de Navarra yRocafull, quien fortific Lima y Trujillopara defenderlos de los piratas.

    PublicaArithmeticauniversalis.

    Virrey del Per, Miguel Nuez deSanabria (oidor decano de la RealAudiencia de Lima).

    La Royal Society reconstruye con xito elexperimento de Newton (composicin de laluz y los colores) en su propia sede.

    Publica Philosophiaenatural i s pr inc ip iamathematica.

    Publica Enumeracin de lascurvas de tercer orden.

    Publica ptica.

    Virrey del Per,Baltasar de la CuevaHenrquez.

    Vi rrey del Per,Pedro lvarez deToledo y Leiva.

    1727

    Fallece IsaacNewton.

  • ACTUALIZACIN DOCENTE 2010

    268

    Slidos Geomtricos IPoliedros y Poliedros

    Regulares

    Slido GeomtricoEs aquella porcin del espacio separadodel espacio inmediato por un conjuntode puntos que conforman la superficiedel slido.Un slido de acuerdo a su superficiepuede ser: poliedro (pirmide, prisma,etc.) o cuerpo redondo (esfera, cilindro,etc.).

    Cuerpo redondo(Esfera)

    Poliedro(Pirmide)

    PoliedroEs aquel slido geomtrico cuyasuperficie est formada por cuatroo ms regiones poligonales planas alas cuales se les denomina caras delpoliedro.Al lado comn de dos caras sele denomina arista y al punto deconcurrencia de las aristas, vrtice delpoliedro.

    DIAGONAL DEL POLIEDROEs el segmento cuyos extremos son dosvrtices ubicados en caras distintas.

    * Los poliedros se nombran de acuerdoa su nmero de caras y pueden ser:

    - Tetraedro ......... (4 caras)- Pentaedro ......... (5 caras)- Hexaedro ......... (6 caras)

    Tipos de Poliedros

    Teorema de Euler1. En todo poliedro, el nmero de

    caras ms el nmero de vrticeses igual al nmero de aristasaumentado en dos.

    C: Nmero de caras.V: Nmero de vrtices.A: Nmero de aristas.

    Poliedros convexos

    Poliedros no convexos

    C+V=A+2

    2. En todo poliedro, la suma de lasmedidas de los ngulos internos detodas las caras es igual a 360 porel nmero de vrtices disminuidoen dos.

    Scaras: Suma de medidas de losngulos internos de todas lascaras.

    V: Nmero de vrtices.

    S caras=360(v-2)

    3. Para calcular el nmero de artistasde un poliedro, usaremos lasiguiente frmula:

    Donde:a : Cantidad de caras de m lados.b : Cantidad de caras de n lados.c : Cantidad de caras de p lados.. . .. . .. . .

    N. de Aristas= a.m+b.n+c.p+...2

    Diagonal delPoliedro

    Aristas

    VrticeCaras

  • GEOMETRA

    269

    1. Tetraedro regular:

    POLIEDROS REGULARES

    Son aquellos poliedros cuyas caras sonpolgonos regulares. Solamente existen5 poliedros regulares y son:

    Poliedro formado por cuatro tringulosequilteros.

    a

    Forma de cara(Tringuloequiltero)

    4

    4

    6

    a a

    a

    2. Hexaedro regular o cubo:Poliedro formado por seis cuadrados.

    a

    3. Octaedro regular:Poliedro formado por ocho tringulosequilteros.

    8

    6

    12

    a a

    a

    a

    a

    4. Dodecaedro regular:Poliedro formado por doce pentgonosregulares.

    a

    a

    5. Icosaedro regular:Poliedro formado por veinte tringulosequilteros.

    20

    12

    30

    a a

    a

    a

    a

    . Tetraedro regular:

    P R O P I E DA D E S D E LO SPOLIEDROS REGULARES

    a

    Baricentro de la base

    a

    aa

    h

    h=a 63

    V= a3 212

    A=a2 3

    h: alturaA: reaV: volumen

    Forma de cara(cuadrado)

    6

    8

    12

    a aa

    a

    Nmero de carasC

    Nmero devrtices

    V

    Nmero de aristasA

    12

    20

    30

    a

    a

    a

    aaForma de cara

    (Pentgono regular)

    Nmero de carasC

    Nmero devrtices

    V

    Nmero de aristasA

    Nmero de carasC

    Nmero devrtices

    V

    Nmero de aristasA

    Forma de cara(Tringuloequiltero)

    Nmero de carasC

    Nmero devrtices

    V

    Nmero de aristasA

    Forma de cara(Tringuloequiltero)

    Nmero de carasC

    Nmero devrtices

    V

    Nmero de aristasA

  • ACTUALIZACIN DOCENTE 2010

    270

    Nivel I

    1) Un poliedro est formado por12 tringulos y 8 cuadrilteros,entonces el nmero de aristas y elnmero de vrtices del poliedroes:

    a) 24 y 18 d) 34 y 16b) 26 y 18 e) 48 y 24c) 32 y 14

    Calcula el nmero de aristas yvrtices que tiene un poliedro queest formado por 6 tringulos, 8cuadrilteros y 10 pentgonos.

    . Octaedro regular:

    d: diagonal delslido

    A: reaV: volumen

    a

    aa a

    a

    d

    V= a3 23

    d=a 2

    A=2a2 3

    . Hexaedro regular (cubo):

    d: diagonal delcubo

    A: reaV: volumen

    d=a 3

    A=6a2

    da

    a

    a

    a

    a

    V=a3

    POLIEDROS CONJUGADOSSon conjugados aquellos poliedrosregulares en los que el nmero de carasde uno, es igual al nmero de vrticesdel otro (uniendo los centros de lascaras de uno, se obtiene el otro). As,por ejemplo, el conjugado del hexaedroes el octaedro.

    Resolucin:

    C=6+8+10=24

    A=

    A=50

    Teorema de Euler: C+V=A+2

    24+V=50+2V=28

    (6x3)+(8x4)+(10x5)2

    La superficie de un cubo es T,entonces la diagonal de dicho cuboes igual.

    Resolucin:

    Da

    aa

    D=a 3= 3a2 ............. (1)

    Dato: 6a2=T 3a2=

    En (1): D= =

    T2

    T2

    2T2

    El volumen del octaedro que seobtiene al unir los centros de lascaras contiguas de un cubo de ladoL es:

    Resolucin:

    F

    DB

    E

    ChL

    hA

    L2

    L2

    ABCD es cuadrado

    BA= ; h=

    V=

    V= .

    V=

    L2

    L 22

    2(SABCD.h)3

    23

    L2

    L 22( )

    2

    L36

    Resolucin:

    2

    O

    A

    C

    B

    H

    NM

    2

    2

    2

    3

    3

    En AOC: OH=2 3ABC: BH=2 3HOB: ON=NH; OM=MB

    x= (Teorema puntos medios)

    \ x= 3

    BH2

    En un tetraedro regular O-ABC dearista 4 u, calcula la distancia entrelos puntos medios de OB y OH (Hpunto medio de AC).

  • GEOMETRA

    271

    2) Un poliedro est formadopor 2K pentgonos, 4Kcuadrilteros y 6K tringulos.Calcula K si el nmero devrtices es 62.

    a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

    3) La suma entre el nmero decaras, vrtices y aristas de unpoliedro convexo es 98. Calculael nmero de caras, sabiendo quela suma de los ngulos internosde todas sus caras es igual a7200.

    a) 28 b) 30 c) 24d) 22 e) 32

    4) Halla el rea y la diagonal de uncubo, sabiendo que la suma detodas sus aristas es 60 u.

    a) 300 y 10 3 d) 384 y 8 3b) 150 y 5 3 e) 600 y 10 3c) 216 y 6 3

    5) El volumen de un cubo equivalea K veces el cubo de lo quemide su diagonal. Calcula K.

    a) 3 b) 3/3 c) 3/6d) 3/9 e) 3

    6) Calcula el volumen de untetraedro regular en el cual laaltura de una de sus caras mide

    3u.

    a) 2/3u3 b) 2 2/3u3 c)8 2/3u3

    d)6 2/3u3 e) N.A.

    7) El rea total de un octaedroregular es 18 3u 2. Halla lalongitud de su diagonal.

    a) 2 u b) 3 u c) 2 3 ud) 3 2 u e) 2 2 u

    8) La arista de un cubo mide 2u.Calcula la distancia desde unvrtice hacia el centro de la caraopuesta.

    a) 3 u b) 5 u c) 6 ud) 2 3 u e) 2 2 u

    9) Calcula el volumen del octaedroregular que se forma al unirlos centros de las caras de unhexaedro regular de arista 6m.

    a) 36m3 b) 72m3 c) 216m3

    d) 36 2m3 e) 72 2m3

    10) Halla la altura de un tetraedroregular cuya rea total es 6 3u2.

    a) 1 u b) 2 u c) 3 ud) 4 u e) 6 u

    11) En el cubo mostrado, O es elcentro de la cara EFGH. Calculael rea del tringulo AOC.

    a) 80 2u2 b) 10 2u2 c) 50 2u2

    d) 20 2u2 e) 25 2u2

    12) En un cubo, la distancia desde unvrtice a la diagonal del mismomide 6. Halla el volumen y elrea del slido.

    a) 8 y 24 d) 2 2 y 12b) 27 y 54 e) 3 3 y 18c) 64 y 96

    13) La arista de un tetraedro regularmide a. Un plano pasa por unaarista y el punto medio de laarista opuesta. Calcula el reade la seccin determinada.

    a) a2 2 b) a2 2/2 c) a2 2/4d) a2 3/2 e) N.A.

    14) La altura de un tetraedro regularmide 6. Calcula el rea de lasuperficie total de su respectivopoliedro conjugado.

    a) 3m2 b) 2 3m2 c) 3m2

    d) 6m2 e) 3 3m2

    15) Calcula el nmero de diagonalesde un poliedro que est formadopor 6 tringulos, 8 cuadrilterosy 4 pentgonos.

    a) 36 b) 66 c) 100d) 106 e) 126

    Nivel II

    16) Cuntas caras tiene aquelpoliedro que tiene 20 aristas y12 vrtices?

    a) 5 b) 10 c) 15d) 12 e) 20

    17) Halla la diferencia entre elnmero de aristas y vrtices deun icosaedro.

    a) 16 b) 17 c) 18d) 20 e) 24

    18) Un poliedro est formado por 8tringulos y x cuadrilteros.Halla x si el nmero de aristases 28.

    a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 20

    B

    A E

    H

    GC

    F

    O10 u

    D

  • ACTUALIZACIN DOCENTE 2010

    272

    Nivel III

    19) Halla el ngulo formado porlas diagonales de dos carascontiguas de un cubo si ambasdiagonales parten del mismovrtice.

    a) 30 b) 60 c) 45d) 15 e) 75

    20) El rea total de un tetraedroregular es 9 3 u2. Calcula elvolumen de dicho tetraedro.

    a) 9 2/2 u3 d) 9 2/4 u3

    b) 7 2/2 u3 e) 9 2/5 u3

    c) 8 2/3 u3

    21) Halla la relacin en la que seencuentran las reas totalesde un tetraedro regular y unoctaedro regular si la aristadel primero es el doble delsegundo.

    a) 1:2 b) 2:1 c) 3:2d) 3:1 e) 4:1

    22) Calcula el volumen del cubo siel rea sombreada es 2 2 u2.

    a) 2 u3 b) 2 u3 c) 2 2 u3

    d) 4 u3 e) 4 2 u3

    23) El rea de una cara de untetraedro regular es de 40 cm2.Cul es el rea del polgonoque se obtiene al unir los puntosmedios de tres aristas que partende un mismo vrtice?

    a) 20 c

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