1

บทท 1 พนฐานระบบควบคม

ทฤษฎพนฐานระบบควบคม (Control System) มความจ าเปนและส าคญส าหรบการศกษา

ทางดานวศวกรรมศาสตรและวทยาศาสตรเทคโนโลย เนองจากในระบบงานอตสาหกรรมจ าเปนตองมการควบคมกระบวนการท างานของระบบเครองจกร ตวอยาง เชน เครองซเอนซ เตาหลอมเหลก หองอบแหง เปนตน ดงนนการศกษาดานระบบควบคมจงควรท าความเขาใจคณลกษณะโครงสรางการท างานในรปแบบของระบบ (System) ซงจะท าใหเราสามารถเขาใจกระบวนการการท างานของระบบนนและสามารถน าไปประยกตใชในงานตางๆไดในหนวยนจะไดกลาวถงพนฐานความเปนมาของระบบควบคม ประเภทของระบบควบคม รวมถงตวอยางระบบควบคมในงานอตสาหกรรมเพอใหนกศกษามความรพนฐานและมองเหนภาพรวมเกยวกบพนฐานระบบควบคมและการประยกตใชงานกอนทจะท าการศกษาในหนวยตอไป

ความเปนมาของระบบควบคม ทฤษฎระบบควบคมถกน ามาประยกตใช ในงานอตสาหกรรมตงแตอดตถงปจจบนม

พฒนาการโดยแบงออกเปน 3 สมยดงน 1.ระบบควบคมในสมยโบราณเรมจากการใชลกตมเหวยงหนศนยกลางเปนระบบควบคมมมา

แตโบราณกาล ตวอยางเชนนาฬกาน าของกรก (Clepsydra) ชาวเคตสซบออส (Ktesibios) ในเมองอเลกซานเดรย ประเทศอยปต โดยใชการรกษาระดบของน าในถงในการบอกเวลา ถอเปนจดเรมตนของการประยกตใชหลกการของระบบควบคมโดยหลกการท างานของนาฬกาน า ดงแสดงไวในภาพท 1.1

2

ภาพท 1.1 ระบบควบคมการท างานของนาฬกาน า (Clepsydra) ทมา : สมาล อณหวณชย (2545)

ส าหรบในงานอตสาหกรรมไดแกการใชลกตมเหวยงหนศนยกลาง (Centrifugal Governor)

ในการควบคมความเรวในการหมนเครองจกรไอน าทประดษฐขนโดย เจมส วตต ในป ค.ศ. 1788

ภาพท 1.2 เครองจกรไอน าและเจมส วตต ผประดษฐ ทมา : สมาล อณหวณชย (2545)

3

2.ระบบควบคมในสมยใชแบบจ าลองคณตศาสตร ในสมยกอนหนานการออกแบบระบบควบคมนนเปนไปในลกษณะลองผดลองถกไมไดมการ

ใชคณตศาสตรในการวเคราะหออกแบบระบบจนในปค.ศ.1840 นกดาราศาสตรชาวองกฤษจอรจแอร (George Airy) ไดประดษฐอปกรณควบคมทศทางของกลองดดาวโดยอปกรณนจะหมนกลองดดาวเพอชดเชยกบการหมนของโลกโดยอตโนมตในระหวางการออกแบบแอรไดสงเกตถงความไมเสถยรของระบบจงใชสมการเชงอนพนธในการจ าลองและวเคราะหพฤตกรรมของระบบการวเคราะหเสถยรภาพของระบบนเปนหวใจส าคญของทฤษฎระบบควบคม 3.ระบบควบคมในสมยใชทฤษฎเสถยรภาพ

ป ค.ศ. 1868 เจมสเคลรกแมกซเวลล เปนบคคลแรก ทท าการศกษาถงเสถยรภาพของ ลกเหวยงหนศนยกลางของ เจมส วตต โดยใชแบบจ าลองสมการเชงอนพนธเชงเสน(Linear Differential Equation) ทฤษฎเสถยรภาพของระบบเชงเสนของแมกซเวลลน พจารณาเสถยรภาพของระบบจาก รากของสมการคณลกษณะ (Characteristic Equation) ของระบบ

ป ค.ศ. 1875 เฮอรวธ และเราท ค.ศ. 1905 ไดท าการศกษาปญหาของการระบกฎเกณฑเสถยรภาพส าหรบระบบเชงเสน (Linear Eystem)

ป ค.ศ. 1893 เลยปนอฟ นกคณตศาสตรชาวรสเซยไดท าการศกษาถงเสถยรภาพของระบบไมเปนเชงเสน(Nonlinear System) และสรางทฤษฎเสถยรภาพของเลยปนอฟ (Lyapunov Stability) ป ค.ศ. 1749-1827 ลาปลาซ และ ปค.ศ. 1758-1830 ฟรเยรไดท าการศกษาและพฒนากรอบแนวคดทางคณตศาสตรทส าคญส าหรบทฤษฎการวเคราะหระบบ

ป ค.ศ. 1930 มการออกแบบการขยายแบบปอนกลบ ในหองปฏบตการของบรษทเบลโดยอาศยหลกการของผลตอบสนองทางความถ และการวเคราะหตวแปรเชงซอน

ป ค.ศ.1932 ไนควทชไดอภปรายผลในบทความเรอง“ทฤษฎการก าเนดยอนกลบ” (Regeneration Theory) อธบายการค านวณหาคาเสถยรภาพของระบบโดยใชวธการวเคราะหในโดเมนความถและมการศกษาขยายผลเพมเตมโดยโบดและนโคล

ป ค.ศ 1945 ถดจากนน 15 ป สงผลใหเกดการเชอมโยงไปสการพฒนาเทคโนโลยดานระบบควบคม

ป ค.ศ. 1948 อแวน ไดศกษาการออกแบบระบบควบคมโดยอาศยหลกการของแมกซเวลลและเราท โดยท าการศกษาพฤตกรรมทางเดนของราก (Root Locus) ของสมการคณลกษณะ(Characteristic Equation)

4

ป ค.ศ. 1952 สถาบนเทคโนโลยแมซซาชแซส (Massachusetts Institute of Technology) ท าการพฒนาระบบควบคมดวยวธการควบคมเชงเลข (Numerical Control, NC) เพอใชในการควบคมหนยนตแขนกล

ป ค.ศ. 1954 จอรจ เดวอล (George Devol) ไดพฒนาโปรแกรม “Article Transfer” เพอใชในการออกแบบหนยนตอตสาหกรรม

ป ค.ศ. 1960 มการน าเอาวธการออกแบบของเดวอลมาออกแบบหนยนตเพอชวยงานครงแรก

ป ค.ศ. 1970 ระบบควบคมออปตมล และแบบจ าลองของตวแปรสเตต (State Variable Model) ถกน ามาใชในระบบควบคม

ป ค.ศ. 1980 มการศกษาและออกแบบระบบควบคมแบบโรบส (Robust Control) อยางแพรหลาย

ป ค.ศ. 1990 ระบบควบคมแบบอตโนมตถกน ามาใชในโรงงานมากขน ป ค.ศ. 1994 ระบบควบคมแบบปอนกลบถกน ามาใชงานแพรหลายขนเชนในอตสาหกรรม

การผลตรถยนต ตามความตองการในการผลตดวยเครองจกรอนทนสมย

นยามค าศพทพนฐานของระบบควบคม ระบบควบคม (Control System) หมายถง การควบคมระบบหรอสงทผออกแบบตองการ

ควบคมใหไดคาผลลพธในรปแบบของเอาตพตทตองการซงท าไดโดยการปอนคาอนพตใหกบระบบโดยนยามศพทพนฐานของวชาระบบควบคมมดงน 1. อนพต (Input) หมายถง การสญญาณเขาทตองการปอนใหกบระบบรบรซงอาจแสดงในรปแบบของสญญาณทางไฟฟา

2. ระบบ (System) หมายถงสงทตองการหรอระบบทตองการควบคม ซงจะประกอบดวยชดควบคมกระบวนการ (Process) ซงอาจเปนเครองมออปกรณหรอเครองจกร

3. ระบบควบคมวงเปด (Open-Loop Control) หมายถงระบบควบคมทไมไดใชสญญาณจากเอาตพต มาบงบอกถงลกษณะการควบคม

4. ระบบควบคมวงปด (Closed-Loop Control) หรอระบบปอนกลบ (Feedback Control) หมายถงระบบควบคมทใชสญญาณจากเอาตพตมาบงบอกหรอค านวณคาทเหมาะสมส าหรบการควบคม

5. เอาทพต (Output) หมายถง ผลของการท างานของระบบทผานการควบคมซงจะแสดงในรปแบบ ผลตอบสองทางกล (Mechanical Response) และผลตอบสนองทางไฟฟา (Electrical Response)

5

6. ดสเทอบลานซ (Disturbance) หมายถง สงรบกวนทเปนสาเหตท าใหเกดผลลพธทางเอาตพตของระบบเปลยนไปซงอาจอยในรปของสญญาณรบกวน (Noise Signal) ทปนมากบอนพตระบบ

องคประกอบพนฐานของระบบควบคม ในการพจารณางานทตองการประยกตใชการควบคม สามารถเขยนองคประกอบในรปแบบ

ของระบบดงนนพนฐานของระบบควบคมจะมองคประกอบดงภาพท 1.3

ภาพท 1.3 ไดอะแกรมพนฐานองคประกอบพนฐานของระบบควบคม

1. ก าหนดเปาหมายของการควบคม (Set Point) คอการก าหนดคาเปาหมายหรอคาอางอง(Reference Input) ของการควบคมงานทตองการ เชน การควบคมอณหภมของเครองปรบอากาศใหอยทอณหภม 25 Co การควบคมความเรวของมอเตอรสายพานล าเรยงทความเรว 100 รอบตอนาทซงสามารถท าไดโดยการปอนสญญาณเขา (Input) ใหกบระบบ

2. ชดควบคม ( Controller) คอ สวนทท าหนาทควบคมการท างานและประมวลผลระบบซงจะประกอบดวยชดฮารดแวรประกอบดวยวงจรอเลกทรอนกสและชดซอรฟแวรประกอบดวยโปรแกรมค าสงเพอควบคมการท างานของระบบ โดยมเปาหมายใหเกดการตอบสนองคาเอาทพตทตองการซงมทงระบบควบคมทเปนอนาลอกและระบบควบคมดจตอล

3. ชดกระตนระบบ (Actuator) คอสวนทท าหนาทเปลยนสญญาณควบคมใหอยในรปของสญญาณทสามารถปรบเปลยนได โดยอปกรณทท าหนาทเปลยนสญญาณควบคมไปเปนพลงงานตางๆ ทระบบตองการเชนเครองท าความรอน (Heating System) โดยท าการเปลยนสญญาณควบคมทางไฟฟาไปเปนพลงงานความรอน การปรบความเรวรอบของระบบสายพานล าเลยง ( Conveyor System)

4. กระบวนการ (Process) คอ สวนทท าหนาทด าเนนการ (Operation) เมอไดรบสญญาณจากชดกระตนเชน ตวท าความรอน (Heater) มอเตอร (Motor) เปนตน

5. ผลการควบคมระบบ (Output System) คอ สวนทท าหนาทแสดงผลของการควบคมระบบซงอาจแสดงในรปแบบผลตอบสนองของระบบ ท าใหทราบคาเสถยรภาพ (Stability) และคา

6

ความคาดเคลอนของระบบ (Error) เพอใชในการพจารณาประสทธภาพของระบบควบคม

ประเภทของระบบควบคม ระบบควบคมสามารถแบงเปน 2 ประเภทคอ 1.ระบบควบคมแบบเปด (Open Loop Control System) 2.ระบบควบคมแบบปด (Close Loop Control System)

1. ระบบควบคมแบบเปด (Open Loop Control System) คอระบบทมการปอนอนพตซง

อาจอยในรปสญญาณทางไฟฟาเขาทระบบ (System) และไดสญญาณออกหรอเอาทพต โดยไมมการน าสญญาณปอนกลบมาทระบบซงสามารถแสดงในลกษณะของบลอกไดอะแกรมในภาพท 1.4

ภาพท 1.4 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมแบบเปด ตวอยางท 1.1 จงอธบายระบบควบคมแบบเปดส าหรบการควบคมต าแหนงการเคลอนทของแขนกล โดยใชมอเตอรเปนชดขบเคลอนแขนกล

วธท า เขยนบลอกไดอะแกรมของระบบ

(Set point)

(Controller)

(Actuator)

(Process)

(Controlled variablr)

30

(Controllercircuit)

30

ภาพท 1.5 การควบคมต าแหนงการเคลอนทของแขนกล

7

เมอคาเปาหมาย คอ การควบคมต าแหนงการเคลอนท 30 องศาชดควบคม คอ ชดวงจรอเลกทรอนกสชดขบเรา คอ มอเตอรขบเคลอนแขนกลกระบวนการหรออปกรณ คอ แขนกลและการปรบต าแหนงการเคลอนทแขนกลผลการควบคมคอ ต าแหนงการเคลอนทแขนกลอธบายการท างานของระบบมอเตอรหมน 5 องศาตอวนาท ทแรงดนพกดสมมตระบบควบคม โดยตรงจากต าแหนง 0-30 องศาท าใหทราบคณลกษณะของกระบวนการ ชดควบคมจะสงสญญาณพลส 6 วนาท ไปทมอเตอรท าใหต าแหนงของแขนกลเคลอนทต าแหนง 30 องศา ในเวลา 6 วนาท เนองจากในผลทดสอบจรงจะมคาคลาดเคลอน (Error) อยประมาณ 5 องศา เนองจากคาสญเสยจาก การเสยดทานภายในมอเตอรเนองจากระบบเปนระบบเปดจงไมมการน าสญญาณคาคลาดเคลอนกลบคนสระบบท าใหระบบมคาความคลาดเคลอนในการควบคมต าแหนง ตวอยางท 1.2 จงอธบายระบบการควบคมน าประปาในถงอยางงาย วธท า 1. จากภาพโครงสรางของระบบควบคมน าประปาในถง

1

2

ภาพท 1.6 ระบบการควบคมน าประปาในถง อธบายการท างานระบบเปนระบบการควบคมน าระดบน าประปาในถงโดยวาลวตวท 1 ท าหนาทควบคมการไหลเขาของน าในถง ดงนนวาลวตวท 1เสมอนอนพต การควบคมความสงของระดบน าในถงคอกระบวนการ และวาลวตวท 2 คอเอาทพตท าหนาทควบคมการไหลออกของน าในถงการเปดและปดของวาลวตวท 1 จะขนอยกบระดบความสงของน าในถง สวนวาลวตวท 2 จะสงผลตอความสงของระดบน าในถง (เมอเปดใชงาน) ดงนนระบบนจงเปนเสมอนระบบแบบเปดคอไมมการ

8

ตรวจสอบระดบการใชการไหลของน าเพอสงใหวาลวตวท 1 ท างาน ระบบนจงเหมาะสมกบงานทไมตองการความละเอยดมากนกและมตนทนการลงทนต า

2. ระบบควบคมแบบปด (Close Loop Control System) คอระบบทมการปอนอนพต ซงอาจอยในรปสญญาณทางไฟฟาเขาทระบบ (System) และมอปกรณเครองมอวด (Measurement) น าสญญาณเอาทพตปอนกลบสระบบเพอเปรยบเทยบกบผลตอบสนองของสญญาณเอาทพตทตองการซงสามารถแสดงในลกษณะของบลอกไดอะแกรมในภาพท 1.7

ภาพท 1.7 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมแบบปด ตวอยางท 3 จงเขยนไดแกรมและอธบายระบบการควบคมน าประปาในถงแบบอตโนมต วธท า จากภาพโครงสรางของระบบควบคมน าประปาในถงแบบอตโนมต

1

2

ภาพท 1.8 ระบบการควบคมน าประปาในถงแบบอตโนมต

9

อธบายการท างานของระบบ เปนระบบการควบคมน าระดบน าประปาอตโนมตโดยวาลวตวท 1 ท าหนาทควบคมการไหลเขาของน าในถง เมอระดบน าสงถงระดบทก าหนด สวตชวดระดบน าสงจะสงสญญาณไปยงชดควบคมท าใหวาลวตวท 1 ปด ขณะเดยวกนวาลวตวท 2 จะเปดใหน าไหล จนกระทงระดบน าต า สวตชวดระดบน าต าท างานสงสญญาณไปยงชดควบคมเพอสงใหวาลวตวท 2 ปด และวาลวตวท 1 เปด จะสงเกตวาระบบจะท างานแบบวงรอบปด (Close-Loop Control) ดงนนระบบนจงมเสถยรภาพของระบบทดกวา ระบบแบบเปดในตวอยางท 2

ภาพท 1.9 ระบบจะท างานแบบวงรอบปด

ระบบควบคมในงานอตสาหกรรม จากหวขอทผานมาจะเหนไดวาประเภทของระบบควบคมแบบเปดและแบบปด สามารถน ามาประยกตใชในงานตางๆ ไดตามความเหมาะสม ในสวนของงานอตสาหกรรมโดยสวนใหญจะเปนระบบควบคมอตโนมตทมเครองควบคม (Controller) เปนอปกรณทควบคมการท างานของเครองจกรใหเปนไปตามเปาหมายทตองการ โดยตวอยางระบบควบคมอตโนมตดงน 1.ระบบควบคมการหมน (Motion Control) ตวอยางเปนการควบคมการหมนของจานรบสญญาณดาวเทยมโดยมชดควบคมทศทาง(Control Panel) ใชส าหรบปรบทศทางการหมนของจานรบตวควบคม (Controller) ท าหนาทควบคมใหมอเตอรหมนจานรบไปในทศทางเปาหมาย (Set Point) ชดเซนเซอรวดต าแหนง(Position-Sensor) ท าหนาทตรวจสอบต าแหนงและสงสญญาณปอนกลบไปทตวควบคมท าการประมวลผล(Processing) ดงภาพท 1.10

10

ภาพท 1.10 ระบบควบคมการหมนของจานรบสญญาณดาวเทยม ทมา: Kilian (2007)

ภาพท 1.11 ระบบควบคมเครองกด (Milling Machine) ทมา : Kilian (2007) จากภาพท 1.11 เปนระบบเครองกด CNC โดยควบคมการท างานของมอเตอร 4 ตว มอเตอร 3 ตวท าหนาทเลอนชนงานในแนวแกน X แกน Y และแกน Z ใหตรงตามต าแหนงทก าหนดสวนมอเตอรตวท 4 ท าหนาทกดชนงานและจากภาพท 1.11 สามารถเขยนบลอกไดอะแกรมของระบบควบคมไดดงภาพท 1.12

11

Controller Driver MotorSet Point Real Position

Position Sensor

ภาพท 1.12 บลอกไดอะแกรมระบบควบคมการหมน (Motion Control)

2. ระบบควบคมอณหภม (Temperature Control) ตวอยางเปนระบบใช PLC (Programmable Logic Controller) เปนตวควบคม

ระบบโดยเทอรโมคปเปล ท าหนาทตรวจจบอณหภมจากนนท าการแปลงเปนสญญาณดจตอลโดยตวแปลงสญญาณอนาลอกเปนดจตอล (Analog to Digital Converter) และสงผานชดเชอมตอ (Interface) เพอปอนไปท PLC ซงจะท าหนาทเปรยบเทยบคาอณหภมทไดในขณะนน (Real Time)กบคาทตองการ (Set- Point) คาความแตกตางทเกดขนจะถกน ามาประมวลผลเพอหาสญญาณควบคมทเหมาะสมสญญาณควบคมจาก PLC จะถกสงตอไปทยงวงจรขยาย (Amplifier) เพอปรบระดบแรงดนไฟฟาทเหมาะสมตอการท างานของรเลย (Relay) ซงจะควบคมการจายพลงงานไฟฟาเพอปรบเปลยนใหอณหภมในเตาเปลยนแปลงไปสคาเปาหมายทตองการ ระบบการควบคมเตาเผาดงแสดงในภาพท 1.13

PLC

D/AConveter

Amplifier Relay

Electric Fanace

Input

Output

Thermocouple

Heater

ภาพท 1.13 บลอกไดอะแกรมระบบควบคมอณหภม (Temperature Control)

12

สรป ส าหรบในบทน ตองการใหผอานไดทราบถง พนฐานความเปนมาของระบบควบคมและนยามศพทพนฐาน ประเภทของระบบควบคมรวมถงตวอยางการประยกตระบบควบคมในงานอตสาหกรรม เพอเปนพนฐานความเขาใจกอนจะศกษาในหนวยถดไป ซงสามารถสรปประเดนส าคญประจ าบทดงน 1. ยคความเปนมาของระบบควบคมแบงเปน 3 สมย ไดแก ยคโบราณเรมจากจากการใชลกตมเหวยงหนศนยกลางยคระบบควบคมในสมยใชแบบจ าลองคณตศาสตรยคระบบควบคมในสมยใชทฤษฎเสถยรภาพ

2. ระบบควบคม คอ การควบคมหรอสงทผออกแบบตองการควบคมระบบหรออปกรณ ทตอบสนองกบอนพต(Input) เพอใหไดคาผลลพธในรปแบบของเอาตพต(Output)ทตองการ 3. ระบบควบคมสามารถแบงเปน 2 ประเภทคอ ระบบควบคมแบบเปด (Open Loop Control System) และระบบควบคมแบบปด (Close Loop Control System) 4. ระบบควบคมแบบเปด (Open Loop Control System) คอระบบทมการปอนอนพตซงอาจอยในรปสญญาณทางไฟฟาเขาทระบบ (System) และไดสญญาณออกหรอเอาทพต โดยไมมการน าสญญาณปอนกลบมาทระบบ 5. ระบบควบคมแบบปด (Close Loop Control System)คอระบบทมการปอนอนพต ซงอาจอยในรปสญญาณทางไฟฟาเขาทระบบ (System) และมอปกรณเครองมอวด(Measurement) น าสญญาณเอาทพตปอนกลบสระบบเพอเปรยบเทยบกบผลตอบสนองของสญญาณเอาทพตทตองการ 6. ตวอยางระบบควบคมแบบเปด เชน ระบบควบคมน าในถงประปาอยางงาย ระบบควบคมต าแหนงแขนกลทไมใชการปอนกลบ 7. ตวอยางระบบควบคมแบบปด เชน ระบบควบคมระดบน าในถงอตโนมต ระบบควบคมต าแหนงการหมนจานรบสญญาณดาวเทยม ระบบควบคมเครองกด ซเอนซ ระบบควบคมอณหภมของเตาเผาอตสาหกรรม

13

ค าถามทบทวน ใหนกศกษาตอบค าถามตอไปน 1. จงบอกประวตความเปนมาของทฤษฎระบบควบคมโดยสงเขป 2. จงอธบายนยามความหมายของค าศพทเกยวกบระบบควบคมตอไปน 2.1 ระบบ (System) 2.2 กระบวนการ (Process) 2.3 อนพต (Input) 2.4 เอาทพต (Output) 2.5 ระบบควบคมวงรอบเปด (Open loop control system) 3. จงยกตวอยางและอธบายตวอยางระบบควบคมทใชหลกการควบคมแบบวงรอบเปด 4. จงยกตวอยางและอธบายตวอยางระบบควบคมทใชหลกการควบคมแบบวงรอบปด 5. จงเขยนไดอะแกรมของระบบควบคมของกระบวนการควบคมในงานอตสาหกรรมพรอมอธบาย หลกการทสอดคลองกบทฤษฎการควบคม 6. ระบบควบคมในงานอตสาหกรรม มความจ าเปนอยางไรกบเหตการณในปจจบน จงอธบาย 7. องคประกอบพนฐานของระบบควบคมมอะไรบาง พรอมอธบาย 8. ใหยกตวอยางของระบบควบคมการท างานของนาฬกาน า(Clepsydra) มาพอเขาใจ 9. ใครเปนบคคลแรกทท าการศกษาถงเสถยรภาพของลกเหวยงหนศนยกลางของ เจมส วตต 10. เครองจกรไอน าคดคนโดยนกวทยาศาสตรชออะไร และเกดขนทไหน

14

เอกสารอางอง

ศภชย ปลายเนตร. วชาระบบควบคม. (ม.ป.ป.). [ออนไลน]. จากhttp://elearning.npu.ac.th/.

สบคนเมอ 2 พฤษภาคม 2558 เดวดบรรเจดพงศชย.(2551). ระบบควบคมพลวตการวเคราะหการออกแบบและการประยกต. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. สมาล อณหวณชย. (2545). ระบบควบคม(Control System). กรงเทพฯ : บรษท ว. เพชรสกล จ ากด. สวลย กลนความด. (2537). ระบบควบคม. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. K. Ogata. 2000. Modern Control Engineering. 4th edition.Prentice-Hall, Inc. R. C. Dorf and Robert H. Bishop.1995. Modern Control Systems.7th edition.Addison Wesley. R.S. Burn. 2001. Advance Control engineering. Butterworth-Heinemann Linacre House,Jordan Hill.A division of Reed Education and Professional Publishing Ltd. James-watt-large-image. (n.d.). [Online]. Available from http://www.answers.com/topic/james-watt-large-image. Retrieved June , 6 , 2017.

1

บทท 1 พนฐานระบบควบคม

ทฤษฎพนฐานระบบควบคม (Control System) มความจ าเปนและส าคญส าหรบการศกษา

ทางดานวศวกรรมศาสตรและวทยาศาสตรเทคโนโลย เนองจากในระบบงานอตสาหกรรมจ าเปนตองมการควบคมกระบวนการท างานของระบบเครองจกร ตวอยาง เชน เครองซเอนซ เตาหลอมเหลก หองอบแหง เปนตน ดงนนการศกษาดานระบบควบคมจงควรท าความเขาใจคณลกษณะโครงสรางการท างานในรปแบบของระบบ (System) ซงจะท าใหเราสามารถเขาใจกระบวนการการท างานของระบบนนและสามารถน าไปประยกตใชในงานตางๆไดในหนวยนจะไดกลาวถงพนฐานความเปนมาของระบบควบคม ประเภทของระบบควบคม รวมถงตวอยางระบบควบคมในงานอตสาหกรรมเพอใหนกศกษามความรพนฐานและมองเหนภาพรวมเกยวกบพนฐานระบบควบคมและการประยกตใชงานกอนทจะท าการศกษาในหนวยตอไป

ความเปนมาของระบบควบคม ทฤษฎระบบควบคมถกน ามาประยกตใช ในงานอตสาหกรรมตงแตอดตถงปจจบนม

พฒนาการโดยแบงออกเปน 3 สมยดงน 1.ระบบควบคมในสมยโบราณเรมจากการใชลกตมเหวยงหนศนยกลางเปนระบบควบคมมมา

แตโบราณกาล ตวอยางเชนนาฬกาน าของกรก (Clepsydra) ชาวเคตสซบออส (Ktesibios) ในเมองอเลกซานเดรย ประเทศอยปต โดยใชการรกษาระดบของน าในถงในการบอกเวลา ถอเปนจดเรมตนของการประยกตใชหลกการของระบบควบคมโดยหลกการท างานของนาฬกาน า ดงแสดงไวในภาพท 1.1

2

ภาพท 1.1 ระบบควบคมการท างานของนาฬกาน า (Clepsydra) ทมา : สมาล อณหวณชย (2545)

ส าหรบในงานอตสาหกรรมไดแกการใชลกตมเหวยงหนศนยกลาง (Centrifugal Governor)

ในการควบคมความเรวในการหมนเครองจกรไอน าทประดษฐขนโดย เจมส วตต ในป ค.ศ. 1788

ภาพท 1.2 เครองจกรไอน าและเจมส วตต ผประดษฐ ทมา : สมาล อณหวณชย (2545)

3

2.ระบบควบคมในสมยใชแบบจ าลองคณตศาสตร ในสมยกอนหนานการออกแบบระบบควบคมนนเปนไปในลกษณะลองผดลองถกไมไดมการ

ใชคณตศาสตรในการวเคราะหออกแบบระบบจนในปค.ศ.1840 นกดาราศาสตรชาวองกฤษจอรจแอร (George Airy) ไดประดษฐอปกรณควบคมทศทางของกลองดดาวโดยอปกรณนจะหมนกลองดดาวเพอชดเชยกบการหมนของโลกโดยอตโนมตในระหวางการออกแบบแอรไดสงเกตถงความไมเสถยรของระบบจงใชสมการเชงอนพนธในการจ าลองและวเคราะหพฤตกรรมของระบบการวเคราะหเสถยรภาพของระบบนเปนหวใจส าคญของทฤษฎระบบควบคม 3.ระบบควบคมในสมยใชทฤษฎเสถยรภาพ

ป ค.ศ. 1868 เจมสเคลรกแมกซเวลล เปนบคคลแรก ทท าการศกษาถงเสถยรภาพของ ลกเหวยงหนศนยกลางของ เจมส วตต โดยใชแบบจ าลองสมการเชงอนพนธเชงเสน(Linear Differential Equation) ทฤษฎเสถยรภาพของระบบเชงเสนของแมกซเวลลน พจารณาเสถยรภาพของระบบจาก รากของสมการคณลกษณะ (Characteristic Equation) ของระบบ

ป ค.ศ. 1875 เฮอรวธ และเราท ค.ศ. 1905 ไดท าการศกษาปญหาของการระบกฎเกณฑเสถยรภาพส าหรบระบบเชงเสน (Linear Eystem)

ป ค.ศ. 1893 เลยปนอฟ นกคณตศาสตรชาวรสเซยไดท าการศกษาถงเสถยรภาพของระบบไมเปนเชงเสน(Nonlinear System) และสรางทฤษฎเสถยรภาพของเลยปนอฟ (Lyapunov Stability) ป ค.ศ. 1749-1827 ลาปลาซ และ ปค.ศ. 1758-1830 ฟรเยรไดท าการศกษาและพฒนากรอบแนวคดทางคณตศาสตรทส าคญส าหรบทฤษฎการวเคราะหระบบ

ป ค.ศ. 1930 มการออกแบบการขยายแบบปอนกลบ ในหองปฏบตการของบรษทเบลโดยอาศยหลกการของผลตอบสนองทางความถ และการวเคราะหตวแปรเชงซอน

ป ค.ศ.1932 ไนควทชไดอภปรายผลในบทความเรอง“ทฤษฎการก าเนดยอนกลบ” (Regeneration Theory) อธบายการค านวณหาคาเสถยรภาพของระบบโดยใชวธการวเคราะหในโดเมนความถและมการศกษาขยายผลเพมเตมโดยโบดและนโคล

ป ค.ศ 1945 ถดจากนน 15 ป สงผลใหเกดการเชอมโยงไปสการพฒนาเทคโนโลยดานระบบควบคม

ป ค.ศ. 1948 อแวน ไดศกษาการออกแบบระบบควบคมโดยอาศยหลกการของแมกซเวลลและเราท โดยท าการศกษาพฤตกรรมทางเดนของราก (Root Locus) ของสมการคณลกษณะ(Characteristic Equation)

4

ป ค.ศ. 1952 สถาบนเทคโนโลยแมซซาชแซส (Massachusetts Institute of Technology) ท าการพฒนาระบบควบคมดวยวธการควบคมเชงเลข (Numerical Control, NC) เพอใชในการควบคมหนยนตแขนกล

ป ค.ศ. 1954 จอรจ เดวอล (George Devol) ไดพฒนาโปรแกรม “Article Transfer” เพอใชในการออกแบบหนยนตอตสาหกรรม

ป ค.ศ. 1960 มการน าเอาวธการออกแบบของเดวอลมาออกแบบหนยนตเพอชวยงานครงแรก

ป ค.ศ. 1970 ระบบควบคมออปตมล และแบบจ าลองของตวแปรสเตต (State Variable Model) ถกน ามาใชในระบบควบคม

ป ค.ศ. 1980 มการศกษาและออกแบบระบบควบคมแบบโรบส (Robust Control) อยางแพรหลาย

ป ค.ศ. 1990 ระบบควบคมแบบอตโนมตถกน ามาใชในโรงงานมากขน ป ค.ศ. 1994 ระบบควบคมแบบปอนกลบถกน ามาใชงานแพรหลายขนเชนในอตสาหกรรม

การผลตรถยนต ตามความตองการในการผลตดวยเครองจกรอนทนสมย

นยามค าศพทพนฐานของระบบควบคม ระบบควบคม (Control System) หมายถง การควบคมระบบหรอสงทผออกแบบตองการ

ควบคมใหไดคาผลลพธในรปแบบของเอาตพตทตองการซงท าไดโดยการปอนคาอนพตใหกบระบบโดยนยามศพทพนฐานของวชาระบบควบคมมดงน 1. อนพต (Input) หมายถง การสญญาณเขาทตองการปอนใหกบระบบรบรซงอาจแสดงในรปแบบของสญญาณทางไฟฟา

2. ระบบ (System) หมายถงสงทตองการหรอระบบทตองการควบคม ซงจะประกอบดวยชดควบคมกระบวนการ (Process) ซงอาจเปนเครองมออปกรณหรอเครองจกร

3. ระบบควบคมวงเปด (Open-Loop Control) หมายถงระบบควบคมทไมไดใชสญญาณจากเอาตพต มาบงบอกถงลกษณะการควบคม

4. ระบบควบคมวงปด (Closed-Loop Control) หรอระบบปอนกลบ (Feedback Control) หมายถงระบบควบคมทใชสญญาณจากเอาตพตมาบงบอกหรอค านวณคาทเหมาะสมส าหรบการควบคม

5. เอาทพต (Output) หมายถง ผลของการท างานของระบบทผานการควบคมซงจะแสดงในรปแบบ ผลตอบสองทางกล (Mechanical Response) และผลตอบสนองทางไฟฟา (Electrical Response)

5

6. ดสเทอบลานซ (Disturbance) หมายถง สงรบกวนทเปนสาเหตท าใหเกดผลลพธทางเอาตพตของระบบเปลยนไปซงอาจอยในรปของสญญาณรบกวน (Noise Signal) ทปนมากบอนพตระบบ

องคประกอบพนฐานของระบบควบคม ในการพจารณางานทตองการประยกตใชการควบคม สามารถเขยนองคประกอบในรปแบบ

ของระบบดงนนพนฐานของระบบควบคมจะมองคประกอบดงภาพท 1.3

ภาพท 1.3 ไดอะแกรมพนฐานองคประกอบพนฐานของระบบควบคม

1. ก าหนดเปาหมายของการควบคม (Set Point) คอการก าหนดคาเปาหมายหรอคาอางอง(Reference Input) ของการควบคมงานทตองการ เชน การควบคมอณหภมของเครองปรบอากาศใหอยทอณหภม 25 Co การควบคมความเรวของมอเตอรสายพานล าเรยงทความเรว 100 รอบตอนาทซงสามารถท าไดโดยการปอนสญญาณเขา (Input) ใหกบระบบ

2. ชดควบคม ( Controller) คอ สวนทท าหนาทควบคมการท างานและประมวลผลระบบซงจะประกอบดวยชดฮารดแวรประกอบดวยวงจรอเลกทรอนกสและชดซอรฟแวรประกอบดวยโปรแกรมค าสงเพอควบคมการท างานของระบบ โดยมเปาหมายใหเกดการตอบสนองคาเอาทพตทตองการซงมทงระบบควบคมทเปนอนาลอกและระบบควบคมดจตอล

3. ชดกระตนระบบ (Actuator) คอสวนทท าหนาทเปลยนสญญาณควบคมใหอยในรปของสญญาณทสามารถปรบเปลยนได โดยอปกรณทท าหนาทเปลยนสญญาณควบคมไปเปนพลงงานตางๆ ทระบบตองการเชนเครองท าความรอน (Heating System) โดยท าการเปลยนสญญาณควบคมทางไฟฟาไปเปนพลงงานความรอน การปรบความเรวรอบของระบบสายพานล าเลยง ( Conveyor System)

4. กระบวนการ (Process) คอ สวนทท าหนาทด าเนนการ (Operation) เมอไดรบสญญาณจากชดกระตนเชน ตวท าความรอน (Heater) มอเตอร (Motor) เปนตน

5. ผลการควบคมระบบ (Output System) คอ สวนทท าหนาทแสดงผลของการควบคมระบบซงอาจแสดงในรปแบบผลตอบสนองของระบบ ท าใหทราบคาเสถยรภาพ (Stability) และคา

6

ความคาดเคลอนของระบบ (Error) เพอใชในการพจารณาประสทธภาพของระบบควบคม

ประเภทของระบบควบคม ระบบควบคมสามารถแบงเปน 2 ประเภทคอ 1.ระบบควบคมแบบเปด (Open Loop Control System) 2.ระบบควบคมแบบปด (Close Loop Control System)

1. ระบบควบคมแบบเปด (Open Loop Control System) คอระบบทมการปอนอนพตซง

อาจอยในรปสญญาณทางไฟฟาเขาทระบบ (System) และไดสญญาณออกหรอเอาทพต โดยไมมการน าสญญาณปอนกลบมาทระบบซงสามารถแสดงในลกษณะของบลอกไดอะแกรมในภาพท 1.4

ภาพท 1.4 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมแบบเปด ตวอยางท 1.1 จงอธบายระบบควบคมแบบเปดส าหรบการควบคมต าแหนงการเคลอนทของแขนกล โดยใชมอเตอรเปนชดขบเคลอนแขนกล

วธท า เขยนบลอกไดอะแกรมของระบบ

(Set point)

(Controller)

(Actuator)

(Process)

(Controlled variablr)

30

(Controllercircuit)

30

ภาพท 1.5 การควบคมต าแหนงการเคลอนทของแขนกล

7

เมอคาเปาหมาย คอ การควบคมต าแหนงการเคลอนท 30 องศาชดควบคม คอ ชดวงจรอเลกทรอนกสชดขบเรา คอ มอเตอรขบเคลอนแขนกลกระบวนการหรออปกรณ คอ แขนกลและการปรบต าแหนงการเคลอนทแขนกลผลการควบคมคอ ต าแหนงการเคลอนทแขนกลอธบายการท างานของระบบมอเตอรหมน 5 องศาตอวนาท ทแรงดนพกดสมมตระบบควบคม โดยตรงจากต าแหนง 0-30 องศาท าใหทราบคณลกษณะของกระบวนการ ชดควบคมจะสงสญญาณพลส 6 วนาท ไปทมอเตอรท าใหต าแหนงของแขนกลเคลอนทต าแหนง 30 องศา ในเวลา 6 วนาท เนองจากในผลทดสอบจรงจะมคาคลาดเคลอน (Error) อยประมาณ 5 องศา เนองจากคาสญเสยจาก การเสยดทานภายในมอเตอรเนองจากระบบเปนระบบเปดจงไมมการน าสญญาณคาคลาดเคลอนกลบคนสระบบท าใหระบบมคาความคลาดเคลอนในการควบคมต าแหนง ตวอยางท 1.2 จงอธบายระบบการควบคมน าประปาในถงอยางงาย วธท า 1. จากภาพโครงสรางของระบบควบคมน าประปาในถง

1

2

ภาพท 1.6 ระบบการควบคมน าประปาในถง อธบายการท างานระบบเปนระบบการควบคมน าระดบน าประปาในถงโดยวาลวตวท 1 ท าหนาทควบคมการไหลเขาของน าในถง ดงนนวาลวตวท 1เสมอนอนพต การควบคมความสงของระดบน าในถงคอกระบวนการ และวาลวตวท 2 คอเอาทพตท าหนาทควบคมการไหลออกของน าในถงการเปดและปดของวาลวตวท 1 จะขนอยกบระดบความสงของน าในถง สวนวาลวตวท 2 จะสงผลตอความสงของระดบน าในถง (เมอเปดใชงาน) ดงนนระบบนจงเปนเสมอนระบบแบบเปดคอไมมการ

8

ตรวจสอบระดบการใชการไหลของน าเพอสงใหวาลวตวท 1 ท างาน ระบบนจงเหมาะสมกบงานทไมตองการความละเอยดมากนกและมตนทนการลงทนต า

2. ระบบควบคมแบบปด (Close Loop Control System) คอระบบทมการปอนอนพต ซงอาจอยในรปสญญาณทางไฟฟาเขาทระบบ (System) และมอปกรณเครองมอวด (Measurement) น าสญญาณเอาทพตปอนกลบสระบบเพอเปรยบเทยบกบผลตอบสนองของสญญาณเอาทพตทตองการซงสามารถแสดงในลกษณะของบลอกไดอะแกรมในภาพท 1.7

ภาพท 1.7 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมแบบปด ตวอยางท 3 จงเขยนไดแกรมและอธบายระบบการควบคมน าประปาในถงแบบอตโนมต วธท า จากภาพโครงสรางของระบบควบคมน าประปาในถงแบบอตโนมต

1

2

ภาพท 1.8 ระบบการควบคมน าประปาในถงแบบอตโนมต

9

อธบายการท างานของระบบ เปนระบบการควบคมน าระดบน าประปาอตโนมตโดยวาลวตวท 1 ท าหนาทควบคมการไหลเขาของน าในถง เมอระดบน าสงถงระดบทก าหนด สวตชวดระดบน าสงจะสงสญญาณไปยงชดควบคมท าใหวาลวตวท 1 ปด ขณะเดยวกนวาลวตวท 2 จะเปดใหน าไหล จนกระทงระดบน าต า สวตชวดระดบน าต าท างานสงสญญาณไปยงชดควบคมเพอสงใหวาลวตวท 2 ปด และวาลวตวท 1 เปด จะสงเกตวาระบบจะท างานแบบวงรอบปด (Close-Loop Control) ดงนนระบบนจงมเสถยรภาพของระบบทดกวา ระบบแบบเปดในตวอยางท 2

ภาพท 1.9 ระบบจะท างานแบบวงรอบปด

ระบบควบคมในงานอตสาหกรรม จากหวขอทผานมาจะเหนไดวาประเภทของระบบควบคมแบบเปดและแบบปด สามารถน ามาประยกตใชในงานตางๆ ไดตามความเหมาะสม ในสวนของงานอตสาหกรรมโดยสวนใหญจะเปนระบบควบคมอตโนมตทมเครองควบคม (Controller) เปนอปกรณทควบคมการท างานของเครองจกรใหเปนไปตามเปาหมายทตองการ โดยตวอยางระบบควบคมอตโนมตดงน 1.ระบบควบคมการหมน (Motion Control) ตวอยางเปนการควบคมการหมนของจานรบสญญาณดาวเทยมโดยมชดควบคมทศทาง(Control Panel) ใชส าหรบปรบทศทางการหมนของจานรบตวควบคม (Controller) ท าหนาทควบคมใหมอเตอรหมนจานรบไปในทศทางเปาหมาย (Set Point) ชดเซนเซอรวดต าแหนง(Position-Sensor) ท าหนาทตรวจสอบต าแหนงและสงสญญาณปอนกลบไปทตวควบคมท าการประมวลผล(Processing) ดงภาพท 1.10

10

ภาพท 1.10 ระบบควบคมการหมนของจานรบสญญาณดาวเทยม ทมา: Kilian (2007)

ภาพท 1.11 ระบบควบคมเครองกด (Milling Machine) ทมา : Kilian (2007) จากภาพท 1.11 เปนระบบเครองกด CNC โดยควบคมการท างานของมอเตอร 4 ตว มอเตอร 3 ตวท าหนาทเลอนชนงานในแนวแกน X แกน Y และแกน Z ใหตรงตามต าแหนงทก าหนดสวนมอเตอรตวท 4 ท าหนาทกดชนงานและจากภาพท 1.11 สามารถเขยนบลอกไดอะแกรมของระบบควบคมไดดงภาพท 1.12

11

Controller Driver MotorSet Point Real Position

Position Sensor

ภาพท 1.12 บลอกไดอะแกรมระบบควบคมการหมน (Motion Control)

2. ระบบควบคมอณหภม (Temperature Control) ตวอยางเปนระบบใช PLC (Programmable Logic Controller) เปนตวควบคม

ระบบโดยเทอรโมคปเปล ท าหนาทตรวจจบอณหภมจากนนท าการแปลงเปนสญญาณดจตอลโดยตวแปลงสญญาณอนาลอกเปนดจตอล (Analog to Digital Converter) และสงผานชดเชอมตอ (Interface) เพอปอนไปท PLC ซงจะท าหนาทเปรยบเทยบคาอณหภมทไดในขณะนน (Real Time)กบคาทตองการ (Set- Point) คาความแตกตางทเกดขนจะถกน ามาประมวลผลเพอหาสญญาณควบคมทเหมาะสมสญญาณควบคมจาก PLC จะถกสงตอไปทยงวงจรขยาย (Amplifier) เพอปรบระดบแรงดนไฟฟาทเหมาะสมตอการท างานของรเลย (Relay) ซงจะควบคมการจายพลงงานไฟฟาเพอปรบเปลยนใหอณหภมในเตาเปลยนแปลงไปสคาเปาหมายทตองการ ระบบการควบคมเตาเผาดงแสดงในภาพท 1.13

PLC

D/AConveter

Amplifier Relay

Electric Fanace

Input

Output

Thermocouple

Heater

ภาพท 1.13 บลอกไดอะแกรมระบบควบคมอณหภม (Temperature Control)

12

สรป ส าหรบในบทน ตองการใหผอานไดทราบถง พนฐานความเปนมาของระบบควบคมและนยามศพทพนฐาน ประเภทของระบบควบคมรวมถงตวอยางการประยกตระบบควบคมในงานอตสาหกรรม เพอเปนพนฐานความเขาใจกอนจะศกษาในหนวยถดไป ซงสามารถสรปประเดนส าคญประจ าบทดงน 1. ยคความเปนมาของระบบควบคมแบงเปน 3 สมย ไดแก ยคโบราณเรมจากจากการใชลกตมเหวยงหนศนยกลางยคระบบควบคมในสมยใชแบบจ าลองคณตศาสตรยคระบบควบคมในสมยใชทฤษฎเสถยรภาพ

2. ระบบควบคม คอ การควบคมหรอสงทผออกแบบตองการควบคมระบบหรออปกรณ ทตอบสนองกบอนพต(Input) เพอใหไดคาผลลพธในรปแบบของเอาตพต(Output)ทตองการ 3. ระบบควบคมสามารถแบงเปน 2 ประเภทคอ ระบบควบคมแบบเปด (Open Loop Control System) และระบบควบคมแบบปด (Close Loop Control System) 4. ระบบควบคมแบบเปด (Open Loop Control System) คอระบบทมการปอนอนพตซงอาจอยในรปสญญาณทางไฟฟาเขาทระบบ (System) และไดสญญาณออกหรอเอาทพต โดยไมมการน าสญญาณปอนกลบมาทระบบ 5. ระบบควบคมแบบปด (Close Loop Control System)คอระบบทมการปอนอนพต ซงอาจอยในรปสญญาณทางไฟฟาเขาทระบบ (System) และมอปกรณเครองมอวด(Measurement) น าสญญาณเอาทพตปอนกลบสระบบเพอเปรยบเทยบกบผลตอบสนองของสญญาณเอาทพตทตองการ 6. ตวอยางระบบควบคมแบบเปด เชน ระบบควบคมน าในถงประปาอยางงาย ระบบควบคมต าแหนงแขนกลทไมใชการปอนกลบ 7. ตวอยางระบบควบคมแบบปด เชน ระบบควบคมระดบน าในถงอตโนมต ระบบควบคมต าแหนงการหมนจานรบสญญาณดาวเทยม ระบบควบคมเครองกด ซเอนซ ระบบควบคมอณหภมของเตาเผาอตสาหกรรม

13

ค าถามทบทวน ใหนกศกษาตอบค าถามตอไปน 1. จงบอกประวตความเปนมาของทฤษฎระบบควบคมโดยสงเขป 2. จงอธบายนยามความหมายของค าศพทเกยวกบระบบควบคมตอไปน 2.1 ระบบ (System) 2.2 กระบวนการ (Process) 2.3 อนพต (Input) 2.4 เอาทพต (Output) 2.5 ระบบควบคมวงรอบเปด (Open loop control system) 3. จงยกตวอยางและอธบายตวอยางระบบควบคมทใชหลกการควบคมแบบวงรอบเปด 4. จงยกตวอยางและอธบายตวอยางระบบควบคมทใชหลกการควบคมแบบวงรอบปด 5. จงเขยนไดอะแกรมของระบบควบคมของกระบวนการควบคมในงานอตสาหกรรมพรอมอธบาย หลกการทสอดคลองกบทฤษฎการควบคม 6. ระบบควบคมในงานอตสาหกรรม มความจ าเปนอยางไรกบเหตการณในปจจบน จงอธบาย 7. องคประกอบพนฐานของระบบควบคมมอะไรบาง พรอมอธบาย 8. ใหยกตวอยางของระบบควบคมการท างานของนาฬกาน า(Clepsydra) มาพอเขาใจ 9. ใครเปนบคคลแรกทท าการศกษาถงเสถยรภาพของลกเหวยงหนศนยกลางของ เจมส วตต 10. เครองจกรไอน าคดคนโดยนกวทยาศาสตรชออะไร และเกดขนทไหน

14

เอกสารอางอง

ศภชย ปลายเนตร. วชาระบบควบคม. (ม.ป.ป.). [ออนไลน]. จากhttp://elearning.npu.ac.th/.

สบคนเมอ 2 พฤษภาคม 2558. เดวดบรรเจดพงศชย.(2551). ระบบควบคมพลวตการวเคราะหการออกแบบและการประยกต. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. สมาล อณหวณชย. (2545). ระบบควบคม(Control System). กรงเทพฯ : บรษท ว. เพชรสกล จ ากด. สวลย กลนความด. (2537). ระบบควบคม. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. K. Ogata. 2000. Modern Control Engineering. 4th edition.Prentice-Hall, Inc. R. C. Dorf and Robert H. Bishop.1995. Modern Control Systems.7th edition.Addison Wesley. R.S. Burn. 2001. Advance Control engineering. Butterworth-Heinemann Linacre House,Jordan Hill.A division of Reed Education and Professional Publishing Ltd. James-watt-large-image. (n.d.). [Online]. Available from http://www.answers.com/topic/james-watt-large-image. Retrieved June , 6 , 2015.

15

บทท 2 แบบจ ำลองทำงคณตศำสตรของระบบควบคม

ในการศกษาพฤตกรรมทางพลวตของระบบทางกายภาพ สามารถอธบายไดจากสมการทางคณตศาสตรหรอในรปแบบของชดสมการ ในบทนจะกลาวถงแบบจ าลองทางคณตศาสตรของระบบซงมความส าคญมากในการวเคราะหระบบควบคม ทงระบบทเปนเชงเสน และระบบทไมเปนเชงเสน โดยแบบจ าลองสามารถสรางจากคณลกษณะทางกายภาพของระบบนนๆ จากนนจงน ามาวเคราะห ซงจะชวยท าใหเขาใจและสามารถออกแบบระบบพลศาสตรทเหมาะสมได แบบจ ำลองทำงคณตศำสตร โดยทวไประบบควบคมประกอบดวย ระบบเชงเสน ระบบไมเชงเสน ระบบตอเนองทางเวลาและระบบไมตอเนองทางเวลา ในทนขอกลาวถงระบบเชงเสนตอเนองทางเวลาซงแบบจ าลองทางคณตศาสตรสามารถอธบายไดดวย สมการเชงอนพนธ ซงสามารถเขยนใหอยในรปแบบของสมการสเตต หรอฟงกชนถายโอน

1. สมการสเตต การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตรของระบบโดยใชตวแปรเสเตต ท าใหสามารถอธบายพฤตกรรมของระบบ เพราะทกโมด (Mode) ของระบบถกรวมเขาในสมการสเตต โดยสมการสเตตประกอบดวยจ านวนตวแปรทนอยทสดของตวแปร x(t) ทเวลาเรมตน t0 ซงสามารถอธบายพฤตกรรมของระบบทเวลา t ≥ t0 ก าหนดใหสญญาณเขา u(t) ทเวลา t ≥ t0 จ านวนตวแปรและการเลอกตวแปรขนกบระดบของรายละเอยดทตองการของแบบจ าลองท เลอกอธบายระบบ แบบจ าลองของระบบอนดบ n มตวแปรสเตต n ตวทสอดคลองกบสมการเชงอนพนธอนดบทหนง n สมการ สามารถเขยนสมการสเตต ไดดงสมการท 2-1 = (2-1) = . . = สญญาณออกสามารถเขยนในรปแบบของสมการพชคณต ส าหรบระบบทมตวแปรสญญาณออก p ตว สามารถเขยนสมการไดดงสมการท 2-2 = (2-2)

16

(2-5)

= . . =

การเลอกตวแปรสเตตของระบบใด ๆ เลอกไดมากกวาหนงชด โดยทวไปมกจะเลอกตวแปร สเตตทเกยวของกบพลงงานทสะสมไวในสวนประกอบของระบบในเวลาขางหนา เนองจากพลงงานทสะสมไวจะมผลตอบสนองของระบบในเวลาขางหนาในบางระบบจ านวนตวแปรสเตตตางกบจ านวนสวนประกอบทสะสมพลงงานไว เนองจากการตอสวนประกอบในระบบท าให เกดตวแปรเกน ตวแปรสเตตตองเปนตวแปรอสระ นนคอไมสามารถทจะเขยนตวแปรสเตตตวใดในรปของผลบวกเชงเสนของตวแปรสเตตทเหลอ + +……..+ +……….. = 0 (2-3) ส าหรบระบบเชงเสน สมการท (2-1) และ (2-2) เขยนเปนสมการเวกเตอร เมตรกซไดดงน = + (2-4) = +

โดยท x(t) คอ เวกเตอรมต n ทม x1(t) , x2(t) , …..xn(t) เปนสวนประกอบแสดงสเตตของระบบ u(t) คอเวกเตอรมต m แสดงถงสญญาณเขาของระบบ y(t) เปนเวกเตอรมต p แสดงถงสญญาณออกของระบบ A(t) , B(t) , C(t) และ D(t) เปนเมตรกซมต n x n , n x m , n x p และ p x m ตามล าดบ

2. ฟงกชนถายโอน (Transfer Function) ฟงกชนถายโอนใชแสดงความสมพนธ ระหวางสญญาณเขาและสญญาณออกของระบบ

สมการเชงเสนทไมแปรเปลยนตามเวลา เมอพจารณาสมการเชงอนพนธของระบบไมแปรเปลยนตามเวลาจะแสดงดงสมการ (2-5)

ก าหนดให y เปนเอาตพตของระบบและ x เปนอนพตของระบบ ทรานเฟอรฟงกชนระบบสามารถหาไดโดยการแปลงลาปลาซ สมการทง 2 ขาง ภายใตเงอนไขคาเรมตนเปนศนย

[

] (2-6)

17

[

] จะได

[

]

[

] หาความสมพนธของสมการเอาตพตกบสมการอนพต

[ ]

[ ]

2.1 วธการหาทรานเฟอรฟงกชนมล าดบขนตอนดงตอไปน

1. เขยนสมการเชงอนพนธแทนอปกรณในระบบ 2. แปลงลาปลาซสมการเชงอนพนธภายใตเงอนไขคาเรมตนเปนศนย 3. ค านวณหาอตราสวนระหวางสมการทางเอาตพตทลาปลาซแลวกบสมการทางอนพตทลาปลาซรปแบบทว ๆ ไปของทรานเฟอรฟงกชนเขยนไดดงน

2.2 การเขยนแบบจ าลองคณตศาสตรของระบบไฟฟา อปกรณพนฐานในระบบหรอวงจรไฟฟาประกอบดวย แหลงจาย (Source) กระแส

(Current Source) แหลงจายแรงดน (Voltage Source) อปกรณพนฐานทส าคญไดแก ตวตานทาน (Resister) ตวเกบประจ (Capacitor) และขดลวดเหนยวน า (Inductor) นอกจากนนยงรวมถงอปกรณอเลกทรอนกส เชน อปกรณขยายสญญาณทรานซสเตอร (Transisters) ออปแอมป (Opamp) เมอตองการทราบพฤตกรรมของระบบนน จงท าการปอนสญญาณเขา(Input) ใหกบระบบ จากนนท าการวดหรอวเคราะหผลของสญญาณออก (Output) ท าการเปรยบเทยบพฤตกรรมทสมพนธกบคณสมบตทางกายภาพของอปกรณเหลานน ส าหรบวงจรไฟฟามอปกรณพนฐาน 3 ชนด ดงตารางท 2-1

(2-7)

(2-8)

18

ตารางท 2.1 การจ าลองระบบไฟฟาดวยสมการคณตศาสตร

อปกรณพนฐำนวงจรไฟฟำ

สมกำรพนฐำนของระบบ สญลกษณ

ความตานทาน (R)

ขดลวดเหนยวน า (L)

หรอ

ตวเกบประจ (C)

หรอ

ตวอยำงท 2.1 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของวงจรไฟฟาตอไปน

วธท ำ 1. เขยนสมการจากกฎของเคอรชอฟฟ

2. เขยนสมการเชงอนพนธแทนอปกรณในระบบตามกฎทางฟสกส

∫

∫

𝑣𝑜

𝑅 𝑅

𝑣𝑖 𝑖

19

3. ท าการแปลงลาปลาซสมการเชงอนพนธท (1) และ (2) ภายใตเงอนไขเรมตนเปนศนย

∫

4. หาอตราสวนระหวางสมการทางเอาตพตตอสมการทางอนพตทแปลงลาปลาซแลว

ตวอยำงท 2.1 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของวงจรไฟฟาตอไปน

วธท ำ 1. เขยนสมการกฎแรงดนของเคอรชอฟฟจะได

เมอ 2. เขยนสมการเชงอนพนธของอปกรณในวงจรไฟฟา

∫ (1)

𝑅 𝐿

𝐶 𝑣𝑜 𝑖 𝑉

20

∫ (2)

3. ท าการแปลงลาปลาซสมการท (1) และ (2) ภายใตเงอนไขคาเรมตนเปนศนย

4. ท าการหาอตราสวนระหวางสมการทางเอาตพตตอสมการทางอนพตทแปลง ลาปลาซจะได

ตวอยำงท 2.3 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของวงจรขยายสญญาณตอไปน

R1

R2

R3

C Va a

b

Vb

Vi

Vo

วธท ำ 1. เมอแรงดนไฟฟาดานอนพตหรอ เปนแรงดนอางองทจด เขยนเปนสมการไดดงน

21

2. แรงดนไฟฟาดานเอาทพต ก าหนดให เปนแรงดนอางองทจด เขยนเปนสมการไดดงน

3. หาฟงกชนถายโอนจาก

เมอ

4. แทนในสมการท (1) และ (2) ในสมการท (3) จะได

[

]

(1)

(2)

(3)

22

ตวอยำงท 2.4 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของวงจรขยายสญญาณตอไปน

R2 C

a

b

Vi Vo

R1

R3

วธท ำ 1. เมอพจารณาแรงดนไฟฟาทจด a

(1)

2. และจากแรงดนไฟฟาทจด b

(2)

3. หาคาฟงกชนถายโอนจาก

เมอ (3)

23

4. แทนสมการท (1) และ (2) ลงในสมการท (3)

ตอบ

2.3 การเขยนแบบจ าลองระบบทางกลดวยสมการคณตศาสตร ดวยตวแปรทใชในระบบทางกล คอ ระยะทาง (x) ความเรว (v) อตราเรง (a) กฎทใช คอ กฎของนวตน การเขยนสมการเชงอนพนธแทนอปกรณในระบบทางกลจะเขยนตามกฎทางฟสกสของระบบทางกล ตารางท 2.2 การจ าลองระบบทางกลดวยสมการคณตศาสตร

ชนดของอปกรณ กฎพนฐำนของระบบ สญลกษณ

มวล (Mass) m

m v

F

สปรง (Spring) k เมอ คอ คาของสปรง

k

x1 x2

24

ตำรำงท 2.2 การจ าลองระบบทางกลดวยสมการคณตศาสตร(ตอ)

ชนดของอปกรณ กฎพนฐำนของระบบ สญลกษณ

ตวหนวง (Damper) b

Fb

v1 v2

ตวอยำงท 2.5 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของระบบตอไปน

b

m

k

u y

วธท ำ 1. เมอพจารณาสปรง มวลและตวหนวงของระบบรถลาก โดยคา คอระยะขจดของรถลากและเปนอนพตของระบบ 2. ทคา รถลากเคลอนทดวยความเรวคงท หรอคา = คาคงท 3. ระยะขจด ของมวลคอเอาทพตของระบบ (ระยะขจดมความสมพนธกบพนผว) เมอ คอ มวล , คอคาสมประสทธการหนวง, คอคาคงทสปรง, คาแรงสปรงเปนคาของ , คอคาความเรง ,∑ คอผลรวมของแรงทกระท าตอมวล

4. จากกฎขอท 2 ของนวตน เขยนสมการของระบบไดดงน ∑ (1)

25

5. เขยนสมการเชงอนพนธของระบบ

(

) (2)

หรอ

(3)

6. ท าการแปลงลาปลาซในสมการท 3 ทละเทอมจะได

[

]

[

]

[

]

7. เมอก าหนดคาเรมตนเทากบศนย (Initial Condition) หรอก าหนดคา , , น าผลการแปลงลาปลาซ สมการท (3) เขยนสมการใหมดงน

8. เขยนอตราสวนระหวางสมการเอาทพตของระบบตอสมการอนพตของระบบ

ฟงกชนถายโอนของระบบ =

26

ตวอยำงท 2.6 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของระบบสปรงตอไปน

b

m

ky

u

วธท ำ 1. เมอพจารณาโดยก าหนดคาแรงเปนอนพตของระบบหรอคา , คาเอาทพตของระบบหรอคา 2. เขยนสมการเชงอนพนธของระบบไดดงน

(1)

3. ท าการแปลงลาปลาซ ใหกบสมการท(1) จะได (2) 4. จดรปสมการท (2) (3) 5. เขยนอตราสวนระหวางสมการเอาทพตของระบบตอสมการอนพตของระบบ

ฟงกชนถายโอนของระบบ =

2.3.1 การเขยนแบบจ าลองคณตศาสตรของระบบทางกลทเคลอนทดวยการหมนส าหรบระบบทางกลแบบเคลอนทดวยการหมนประกอบดวยตวแปร 3 อยาง คอ ความเรวเชงมม (𝝎), การเคลอนทเชงมม (Ѳ) และอตราเรงเชงมม ( ) โดยมสญลกษณและสมการดงตารางท 2.3

ตอบ

27

ตารางท 2.3 สญลกษณของอปกรณและสมการของระบบทางกลทเคลอนทดวยการหมน

ชนดของอปกรณ สมกำรของระบบ สญลกษณ

โมเมนของมวล

Moment of Inertia

j

สปรง (Spring)

k

ตวหนวง (Damper)

ตวอยำงท 2.7 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของระบบโมเมนของมวล สปรงและตวหนวงตอไปน

k bjT

𝜃 𝜃

𝜔 𝜔 𝑏

28

วธท ำ 1. เขยนสมการเชงอนพนธของระบบ

∑

(1)

2. ท าการแปลงลาปลาซ สมการท (1) จะได (2) 3. จดรปสมการท (2) ใหมจะได (3) 4. เขยนสมการฟงกชนถายโอนของระบบจะไดค าตอบ

ตวอยำงท 2.8 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของระบบมอเตอรกระแสตรงชนด ควบคมดวยกระแสฟลดตอไปน

Lf

วธท ำ 1. จากรปวงจรสมมลของระบบมอเตอรกระแสตรงชนด ควบคมดวยกระแสฟลด โดยคาตวแปรในวงจรมความหมายดงน คอ ความตานทานของขดลวดสนามแมเหลก มหนวยเปน โอหม (Ohm)

𝑅a 𝑅𝑓

𝑣𝑓 𝑖𝑓

𝑣𝑎

𝑗 𝑓 𝜃

29

คอ ความเหนยวน าของขดลวดสนามแมเหลก มหนวยเปน เฮนร (Henry)

คอ กระแสทไหลในขดลวดสนามแมเหลก มหนวยเปน แอมแปร(Ampree)

คอ แรงดนไฟฟาทปอนเขาขดลวดสนามแมเหลก มหนวยเปน โวลต (Volt)

คอ ความตานทานของอารเมเจอร มหนวยเปน โอหม (Ohm) คอ กระแสทไหลในขดลวดอารเมเจอร มหนวยเปน แอมแปร(Ampree) คอ มมทหมนไปของแกนมอเตอร มหนวยเปน เรเดยน (Radial) 2. เขยนสมการแสดงความสมพนธของอปกรณในระบบเมอคาแรงบด มคาแปรผนโดยตรงกบคาผลคณของเสนแรงแมเหลกชองวางอากาศ , กระแสอารมเจอร เขยนสมการไดดงน (1) 3. เมอ มคาคงทและ แปรผนโดยตรงกบกระแสฟลด โดยสมมต

คากระแส คงทเขยนสมการท (1) ใหมไดดงน (2)

4. เมอพจารณาจากวงจรกระแสฟลด เมอ มคาคงท สามารถเขยนสมการไดดงน

(3)

(4)

5. ท าการแปลงลาปลาซ ใหกบสมการท (3) และ (4) โดยสมมตคาเงอนไขเรมตนเทากบศนย (5)

(6)

6. ท าการหาฟงกชนถายโอน ก าหนดให เปนอนพตทปอนใหระบบ และ

เปนเอาทพตของระบบ

( )

30

2.3.2 การเขยนแบบจ าลองระบบควบคมดวยไดอะแกรมแผนภาพ ส าหรบอกวธการหนงทเปนทนยมใชในการอธบายความสมพนธของระบบ

ควบคมคอไดอะแกรมแผนภาพหรอบลอกไดอะแกรม (Block Diagram) โดยสวนประกอบของบลอกไดอะแกรมประกอบดวย สญญาณเขา (Input) ฟงกชนถายโอน (Transfer Function) และสญญาณออก (Output) ไดอะแกรมแผนภาพรปรางพนฐาน ดงภาพท 2.1

G(s)X(s) Y(s)

ภาพท 2.1 บลอกพนฐานของระบบควบคม

เมอ คอ ฟงกชนถายโอน คอ สญญาณเขา (Input)

คอ สญญาณออก (Output)

นอกจากนนบลอกไดอะแกรมพนฐานแลวระบบยงประกอบดวย จดรวมสญญาณ(Summing Point) และกงกาน (Branch Point) ของสญญาณทปอนใหกบจดรวมสญญาณ ดงภาพท 2.2

+X(s)

_X(s)-B(s)

B(s)

� (Summing point)

ภาพท 2.2 ไดอะแกรมแผนภาพจดรวมสญญาณของระบบควบคม เมอจดรวมสญญาณ (Summing Point) คอ จดรวมสญญาณตงแตสองสญญาณขนหรอมากกวาสองสญญาณ จดรวมสญญาณประกอบดวย การบวก (Added) การลบ (Subtracted) จาก

31

ภาพท 2.2 เปนสญญาณปอนกลบลบ และ เปนสญญาณอนพต หรอสญญาณอางอง

ซงท าใหทราบความคลาดเคลอนของสญญาณ(Error Signal) ในเทอมสมการ 2.3.3 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมแบบปด

ส าหรบการอธบายระบบแบบปดคอระบบทน าเอาสญญาณออกปอนกลบมาสจดรวมสญญาณ (Summing Point) เพอน าไปเปรยบเทยบกบสญญาณเขาหรอสญญาณอางอง ซงผลการเปรยบเทยบเราเรยกวาสญญาณผลความคลาดเคลอนของระบบ (Error Signal) โดยสามารถแสดงบลอกไดอะแกรมระบบควบคมพนฐานในภาพท 2.3

G(s)+

X(s)_

B(s)H(s)

Y(s)E(s)

ภาพท 2.3 บลอกไดอะแกรมพนฐานของระบบควบคมแบบปด

เมอ คอ สญญาณอนพตหรอสญญาณอางอง (Input or Reference Signal) คอ สญญาณเอาทพตหรอสญญาณออก (Output Signal) คอ สญญาณผลตางหรอความคลาดเคลอน (Error Signal) คอ ฟงกชนถายโอนดานตรง (Forward Transfer Function) คอ ฟงกชนถายโอนดานปอนกลบ (Reverse Transfer Function) คอ สญญาณดานปอนกลบ (Feedback Signal) 2.3.4 ฟงกชนถายโอนวงปดและอตราขยายลป (Close Loop Transfer Function and Loop Gain) จากภาพท 2.3 สามารถเขยนสมการอตราขยายลปไดดงน

อตราขยายลป (Loop Gain) =

= (2-9)

จากความสมพนธของสญญาณเอาทพต

=

32

= =

แทนคา ในสมการหา จะได =

=

(2-10)

เพราะฉะนนสมการ (2-10) คอสมการฟงกชนถายโอนวงปด (Close Loop Transfer Function) ของระบบในภาพท 2.3 ส าหรบสมการฟงกชนถายโอนของไดอะแกรมแผนผงมสวนประกอบดงน คอฟงกชนถายโอนแบบเปด (Open Loop Transfer Function) เมอก าหนดให (2-11)

สมการท (2-11) เรยกวาสมการคณลกษณะ (Characteristic Equation) และเมอน าสมการท (2-10) มาเขยนไดอะแกรมแผนผงฟงกชนถายโอนลปปด ดงแสดงในภาพท 2.4

X(s) Y(s)

ภาพท 2.4 ไดอะแกรมแผนผงฟงกชนถายโอนลปปด

2.3.5 การลดรปบลอกไดอะแกรม (Block Diagram Reduction) การอธบายพฤตกรรมของระบบ ซงอธบายดวยสมการอนพนธทสมพนธ

กนส งทมความส าคญทตองทราบคอพชคณตของบลอกไดอะแกรม โดยเราสามารถลดรปบลอกไดอะแกรมของระบบทมความซบซอนใหอยในรปอยางงายได เพอลดเวลาในการวเคราะหระบบ ตวอยางตารางการลดรปบลอกไดอะแกรมดงแสดงในตารางท 2.4

𝐺 𝑠

𝐺 𝑠 𝐻 𝑠

33

ตารางท 2.4 การลดรปบลอกไดอะแกรม

บลอกไดอะแกรมตนฉบบ บลอกไดอะแกรมเทยบเคยง

1

2

3

4

5

34

ตำรำงท 2.4 การลดรปบลอกไดอะแกรม (ตอ)

บลอกไดอะแกรมตนฉบบ บลอกไดอะแกรมเทยบเคยง

6

7

+

-G

G

x xG

u uG

xG-uG

8

9

𝑢

𝐺

𝐺

𝐺

35

ตำรำงท 2.4 การลดรปบลอกไดอะแกรม (ตอ)

บลอกไดอะแกรมตนฉบบ บลอกไดอะแกรมเทยบเคยง

10

11

12

G

G

x1

2

+ y

+

G2 G2 G1

x2

1 y

13

G

G

x1

2

+ y

x G1

1 +G1 2G

y

36

ตวอยำงท 2.9 ใหแสดงวธการลดรปบลอกไดอะแกรมและหาฟงกชนถายโอนของระบบในรปดานลางน

+X(s) +

+G1

H1

G 2

H 2

+

G 3

Y(s)

วธท ำ 1. ท าใหอยในรปอยางงายโดยใชวธลดรปบลอกไดอะแกรมในวธท 6 ท าใหไดบลอกดานลาง

+X(s) + +

G

H1

G 2

H2

+

G 3

Y(s)

G1

1

1

2. ใชวธท 13 ลดรปบลอก G1 , G2 และ H1 จะท าใหไดบลอกไดอะแกรมดานลาง

37

+X(s) +

H2

G 3

Y(s)

G1

G1

1 G1 2G

G2

3. ใชวธท 4 และวธท 13 ลดรปบลอกจะท าใหไดบลอกไดอะแกรมดานลาง

X(s) +

3

Y(s)G1

1 G1 2G

G2

H1+G G H1 2 2

G3

4. ใชวธท 4 ลดรปบลอกจะท าใหไดบลอกไดอะแกรมทสามารถหาฟงกชนถายโอน

3Y(s)

G1

1 G1 2G

G2

H1+G G H2 3 2

G3X(s)

G1+ G 2G3

X(s)

Y(s)3

G1

1 G1 2G

G2

H1+G G H2 3 2

G3

G1+ G 2G3

=

38

ตวอยำงท 2.10 ใหแสดงวธการลดรปบลอกไดอะแกรมและหาฟงกชนถายโอนของระบบในรปดานลางน

+X(s)

R1

C1s C1s1 C2 s

R1 +C 2 s 1 C2s1

++

Y(s)

วธท ำ 1. จดรปใหมโดยยายจดแยกหนาบลอก

และยายจดแยกหนาบลอก

จะไดบลอกไดอะแกรมใหมดานลาง

+

R1

C1s C1s1 C2 s

R1 +C 2 s 1 C2s1

++

C2s

C1s

X(s) Y(s)

2. จดรวมดานปอนกลบจะม ผาน และ จะผาน ดงบลอกไดอะแกรมดานลาง

+

R1

C2 s

R1 +C 2 s 1 C2s1X(s) Y(s)+

C 1s C2

1s

C 2 s

R1

1sC

39

3. ใชวธลดรปบลอกขอท 4 และขอท 13 จะลดรปบลอกได

1

R1 +C 1 s 1

1

R2 +C 2 s 1

R1C 2 s

X(s) Y(s)+

4. ใชวธท 4 ลดรปบลอกจะท าใหไดบลอกไดอะแกรมทสามารถหาฟงกชนถาย โอนดงน

Y(s)X(s)1

R1C 1R2C 2s 2+ R1C 1R2C 2 +( R 1C 2 )s +1

สมการฟงกชนถายโอนจะมคาเทากบ

Y(s)X(s)

1R1C 1R2C 2s 2

+ R1C 1R2C 2 +( R 1C 2 )s +1=

2.3.6 การแสดงระบบดวยเสนทางเดนของสญญาณ (Signal Flow Graph Representation)

ส าหรบการหาคาฟงกชนถายโอนของระบบควบคมวงรอบปด โดยใชวธแทนคาดวยสมการทางคณตศาสตรหรอแทนดวยบลอกไดอะแกรม สามารถแกปญหาไดกบระบบทไมยงยากซบซอนในกรณระบบทมความยาก การค านวณโดยใชวธแทนคาดวยสมการทางคณตศาสตรหรอลดรปบลอกไดอะแกรมจงตองใชเวลานาน โดย เอสเจ เมสน (S.J. Mason,1953) ไดน าเสนอวธการ หาคาฟงกชนถายโอนระบบโดยใชกราฟทางเดนของสญญาณ ท าใหสามารถแทนระบบทซบซอนได การใชทางเดนของสญญาณมกแทนระบบใหเปนสมการพชคณตใน เอสโดเมน (S -Domain) โดยจะตองแปลงระบบดวยลาปลาซ ซงสามารถเขยนเสนทางเดนของสญญาณ โดยใชโหนดแทนตวแปรดงน

40

x 1 x2

g1,2

ภาพท 2.5 ไดอะแกรมแผนผงฟงกชนถายโอนลปปด ตารางท 2.5 ความหมายศพทเกยวของกบทางเดนของสญญาณ

ค ำศพทเกยวของ กบทำงเดนของสญญำณ

ควำมหมำย

โหนด (Node) หมายถง จดหรอโหนดใชแทนตวแปรหรอสญญาณ อนพตโหนด (Input Node ) หมายถง โหนดทมเฉพาะเสนสญญาณทางออก ทรานสมตแตนซ (Transmittance) หมายถง อตราขยายระหวางโหนดหรอจด 2 จด สาขา (Branch) หมายถง สาขาหรอเสนตรงทเชอมตอระหวางโหนดหรอจด 2 จด เอาทพตโหนด (Output Node) หมายถง โหนดทมเฉพาะสญญาณพงเขา(กรณตองการใหโหนด

เอาตพตมทงสญญาณพงเขา และพงออกจะตองท าเปนโหนดทรบสญญาณซงเรยกวาดมม โดยสมมตใหมอตราขยายเปนหนงและมทศทางพงเขาโหนดดมม

โหนดรวม (Mixed Node) หมายถง โหนดทมสญญาณพงเขาและพงออก พาธ (Path) หมายถง เสนทางเดนตามทศทางของสาขา (Branch) ถาพาธนน

ผานโหนดใดเพยงครงเดยว จะเรยกวาพาะเปด แตถาพาธเรมตนจากโหนด และวนกลบมาสนสดทโหนดเดม โดยผานโหนดอนเพยงครงเดยว เรยกวา พาธลปปด(Close Loop Path)

ฟอรเวรดพาธ (Forword Path) หมายถง เสนทางจากโหนดอนพตไปยงโหนดเอาตพตไปตามสญญาณตางๆ โดยผานโหนดหนงๆ ในทศทางทผานไปไดไมเกนหนงครง และไมยอนหวลกศร

พาธปอนกลบ(Feed Back Path) หมายถง ลปหรอพาธทเรมตนจากโหนดหนงแลวยอนกลบมายงโหนดเดม โดยทางทผานโหนดตางๆ ไปตองไมเกนหนงครง

41

ตารางท 2.5 ความหมายศพทเกยวของกบทางเดนของสญญาณ (ตอ)

ค ำศพทเกยวของ กบทำงเดนของสญญำณ

ควำมหมำย

ลปตวเอง (Self Loop) หมายถง ลปปอนกลบ ประกอบดวยเสนสญญาณเพยงเสนเดยวจากโหนดเดมและยอนกลบมาทโหนดเดม

อตตราขยายของพาธ (Path Gain) หมายถง ผลคณของเสนสญญาณทมอตราขยายของเสนทางทก าหนด

อตราขยายลป (Loop Gain) หมายถง ผลคณของเสนสญญาณทมอตราขยายของลป ตามทก าหนด

ตารางท 2.6 พชคณตของเสนสญญาณทางเดน

ทำงเดนสญญำณ เสนทำงเดนสญญำณทเทยบเคยง

=

x 1 x2

a

x 1 x2

a b

x 3

x 1 3

ab

x

a

b

x1 x 2

x 1 2

a+b

x

42

ตำรำงท 2.6 พชคณตของเสนสญญาณทางเดน (ตอ)

ทำงเดนสญญำณ เสนทำงเดนสญญำณทเทยบเคยง

x 3 4

c

x

a

b

x 4

ac

bc

x

x

1

2

1

x 2a b

x 3x

c

x 1

3ab x

bc

43

ตำรำงท 2.7 แผนภาพระบบควบคมแบบบลอกไดอะแกรมและเสนสญญาณทางเดน

เสนทำงเดนสญญำณ แผนภำพบลอกไดอะแกรม

X(s) Y(s)

G(s)

G(s)X(s) Y(s)

1 G(s)

-H(s)

X(s) Y(s)

G(s)

H(s)

+ Y(s)E(s)X(s)

1

G (s)

-H(s)

X(s) Y(s)1 G (s)2

N(s)

1

G (s)

H(s)

+ Y(s)E(s)G (s)

+

+1 2

N(s)

X(s)

1

G (s)

-H(s)

X(s) Y(s)C(s)

N(s)

1

E(s)

1

G (s)

H(s)

+ Y(s)E(s) +

+

N(s)

X(s)

44

k=1

ตารางท 2.8 ความสมพนธแผนภาพบลอกไดอะแกรมและเสนสญญาณทางเดน

2.3.7 กฎของเมสน (Mason ‘s Rule) ในการหาฟงกชนถายโอนของระบบ สามารถแทนระบบดวยเสนทางเดนสญญาณ (Signal Flow Graph) ซงจะใชกฎของเมสนในการหาคาฟงกชนถายโอนของระบบจากสมการตอไปน

∑ (2-13)

ตำรำงท 2.8 ความหมายของตวแปรในกฎของเมสน

ตวแปร ควำมหมำย อตราขยายของทางเดน k ระหวางโหนดอนพทและเอาทพต

ดเทอรมแนนทของกราฟซงพจารณาเฉพาะทางเดน k และเปนคาของ ส าหรบสวนนนๆ ของกราฟวงไมแตะทางเดน k

ดเทอรมแนทของกราฟ (Determinant) หาไดจาก ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ผลรวมของเสนทางเดนของลปทงหมด

∑ ผลรวมของเสนทางเดนของลป 2 ลปไมตดกน

∑ ผลรวมของเสนทางเดนของลป 3 ลปไมตดกน

∑ ผลรวมของเสนทางเดนของลป n ลปไมตดกน

เสนทำงเดนสญญำณ แผนภำพบลอกไดอะแกรม

1. โหนดอนพต (Input Node) 2. โหนดเอาทพต (Output Node) 3. สาขา (Branch) 4. ทรานสมตแตนซ (Transmittance)

1. สญญาณอนพต (Input Signal) 2. สญญาณเอาทพต (Output Signal) 3. บลอก (Block) 4. อตราขยายของบลอก (Gain of Block)

45

สรปขนตอนวธการหาฟงกชนถายโอนโดยใชกฎของเมสน 1. หาอตราขยายของทางเดนจากโหนดอนพตไปยงเอาทพต 2. หาลปเดยวๆ ทงหมด 3. หาลป 2 ลป หรอ 3 ลป และ 4 ลป ทไมตดกน 4. หาคาดเทอรมแนนทของสญญาณทางเดน 5. หาดเทอรมแนนทของเสนทาง T1 , T2 , T3 ……. 6. แทนคาในสมการของเมสน ตวอยำงท 2.12 จงเขยนเสนทางเดนสญญาณของกราฟแทนระบบ ซงประกอบดวยสมการตอไปน วธท ำ = + + + (1) = (2) = + (3) = + (4)

เมอเราแทน เปนอนพตและ ก าหนด เปนเอาตพตของระบบ 1. ใหก าหนดตวแปรของระบบในลกษณะของโหนด

x 1 x 2 x 3 x 4 x5

2. เขยนสญญาณทางเดนของกราฟ จากสมการท (1)

x 1 x 2 x3 x4 x 5

a32a42

a52

12a

3. เขยนสญญาณทางเดนของกราฟ จากสมการท (2)

x 1 x 2 x 3 x 4 x5a 23

46

4. เขยนสญญาณทางเดนของกราฟ จากสมการท (3)

x 1 x 2 x 3 x 4 x5

a44

a34

5. เขยนสญญาณทางเดนของกราฟ จากสมการท (4)

x 1 x 2 x 3 x 4 x5

a45

a 35

6. เขยนเสนสญญาณทางเดนของกราฟตามสมการท (2),(3),(4) และ(5) รวมกนจะไดดงรป

a32

a42

a52

12a

a35

a23 a34 a45

a44

7. หาฟงกชนถายโอนโดยใชกฎของเมสน

∑

7.1 หาคาอตราขยายของทางเดนจากโหนดทางเขาไปยงโหนดทางออก

=

12a a23 a34 a45

N

k=1

47

=

12a a23 a35

7.2 หาคาลปทงหมด

=

a23

a32

=

a23

a42

34a

=

a44

=

a23 a34 a45

a52

48

=

a23 35

a52

a

7.3 หาคาลป 2 ลปทไมตดกน =

a23

32a

a44

=

a23 35

a52

aa44

7.4 หาลป 3 ลปทไมตดกนมคาเทากบศนย 7.5 หาคาดเทอรมแนนทของเสนสญญาณทางเดน =

7.6 หาคาดเทอรมแนนทของเสนทาง T1 และ T2

- เมอพจารณาเสนทางท 1 จะเหนวามลปตดเสนทางท 1

49

- เมอพจารณาเสนทางท 2 จะเหนวามลป ไมตดเสนทางท 2

แทนคาในสตรของเมสนจะได

ตวอยำงท 2.13 จงหาคาฟงกชนถายโอนของบลอกไดอะแกรมในรปดานลาง โดยใชวธเสนสญญาณทางเดนของกราฟ

+G1

XG2 G3

H1

G4

H2

+

+ +

+

i Yo

วธท ำ 1. เขยนเสนทางเดนสญญาณของรปดานบน

1 1 G1 G2 G31 1iX Y

O

G 4H

H1

1

H2

N

50

k=1

2. จากกฎของเมสน

∑

3. หาคาอตราขยายของทางเดนจากโหนดทางเขาไปยงโหนดทางออก

แสดงภาพเสนทางเดนสญญาณดานลาง

1 1 G1 G2 G31 1iX Y

O

4. หาคาลปหรอวงรอบปดทงหมด

แสดงภาพเสนสญญาณทางเดน ดานลาง

G1 G2

H1

แสดงภาพเสนสญญาณทางเดน ดานลาง

G2 G3

-H2

51

แสดงภาพเสนสญญาณทางเดน ดานลาง

1 G1 G2 G3

-1

5. หาคาดเทอรมแนนทของเสนสญญาณทางเดน

6. หาคาดเทอรมแนนทของเสนสญญาณทางเดน เมอพจารณาเสนทางท 1 จะเหนวามลปตดเสนทางท 1

7. แทนคาในสตรของเมสนเพราะฉะนน

ตอบ

52

สรป ในบทนไดกลาวถงแบบจ าลองทางคณตศาสตร (Mathematical Model) โดยการแทนระบบดวยสมการทางคณตศาสตร ส าหรบใชในการบรรยายคณลกษณะทางไดนามก (Dynamic Model) ท าไดโดยการใชวธการแทนคาพารามเตอรในระบบดวยสมการดฟเฟอรเรนเซยล จากนนใชการแปลงลาปลาซ เพอหาความสมพนธระหวางสมการทางอนพตกบสมการทางเอาตพท ซงอยในเอสโดเมน ผลลพททไดจะเรยกวาฟงกชนถายโอน(Transfer Function) และน าผลลพท ทไดนไปใชในการวเคราะห ดงนนการจ าลองระบบดวยสมการทางคณตศาสตรทดจะตองเขาใจงาย มความแมนย าใหผลใกลเคยงกบระบบจรง การจ าลองระบบจงมความส าคญมากในการวเคราะหระบบ รปแบบของแบบจ าลองของระบบพอสรปไดดงน - ระบบทางกล (Mechanical System) ระบบทางกลจะแบงออกไดเปน 2 ประเภทใหญ ๆ คอ 1. ระบบทางกลทมการเคลอนทแบบเชงเสน (Mechanical Translational System) 2. ระบบทางกลทมการเคลอนทแบบเชงมม (Mechanical Rotation System) - ระบบทางไฟฟา (Electrical System) ตวแปรทใชในระบบทางไฟฟาม 3 ตว คอ กระแส (I) แรงดน (E) ประจ (Q) การเขยนสมการเชงอนพนธแทนอปกรณใน วงจรไฟฟาพนฐานของระบบมอปกรณ 3 ชนด คอ ตวตานทาน ตวเหนยวน าและตวเกบประจ

- การเขยนแบบจ าลองระบบควบคมดวยไดอะแกรมแผนภาพ ใชในการอธบายความสมพนธของระบบควบคมคอไดอะแกรมแผนภาพหรอบลอกไดอะแกรม (Block Diagram) โดยสวนประกอบของบลอกไดอะแกรมประกอบดวย สญญาณเขา(Input) ฟงกชนถายโอน(Transfer Function) และสญญาณออก (Output)

- พชคณตของบลอกไดอะแกรมคอการลดรปบลอกไดอะแกรมของระบบทมความซบซอนใหอยในรปอยางงายได เพอลดเวลาในการวเคราะหระบบ

- การแสดงระบบดวยเสนทางเดนของสญญาณคอวธการ หาคาฟงกชนถายโอนระบบโดยใชกราฟทางเดนของสญญาณ ท าใหสามารถแทนระบบทซบซอนได การใชทางเดนของสญญาณมกแทนระบบใหเปนสมการพชคณตในเอสโดเมน (S -Domain)

53

𝑣𝑖

ค ำถำมทบทวน ใหนกศกษำแสดงวธท ำและตอบค ำถำมตอไปน 1. จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของวงจรไฟฟาตอไปน

2. จงใชวธการลดรปบลอกไดอะแกรมตอไปนเพอหาความสมพนธของ และ

+X(s) + +

G

H1

G 2

H2

+

G 3

Y(s)

G1

1

1

3. จากแผนภาพบลอกไดอะแกรมตอไปนจงเขยนเสนสญญาณทางเดน

G (s)

H(s)

+ Y(s)E(s)G (s)

+

+1 2

N(s)

X(s)

𝑅 𝐿

𝐶 𝑣𝑜 𝑖

𝑅

54

4. จงเขยนแผนภาพเสนทางเดนสญญาณตอไปนใหอยในรปของบลอกไดอะแกรม

1

G (s)

-H(s)

X(s) Y(s)C(s)

N(s)

1

E(s)

1

5. วธการหาทรานเฟอรฟงกชนมล าดบขนตอนอยางไรบาง 6. ฟงกชนถายโอน (Transfer Function) มลกษณะเปนอยางไร จงอธบายมาพอเขาใจ 7. จงยกตวอยางความหมายศพทเกยวของกบทางเดนของสญญาณ มาอยางนอย 4 ตวอยางพรอมอธบาย 8. การลดรปบลอกไดอะแกรมมวธการอยางไรบาง จงยกตวอยางพรอมอธบาย 9. จงยกตวอยาง แผนภาพระบบควบคมแบบบลอกไดอะแกรมและเสนสญญาณทางเดน อยางนอง 3 ตวอยาง 10. จงสรปขนตอนวธการหาฟงกชนถายโอนโดยใชกฎของเมสน มาเปนขอๆ

55

เอกสำรอำงอง

ศภชย ปลายเนตร. วชำระบบควบคม. (ม.ป.ป.). [ออนไลน]. จากhttp://elearning.npu.ac.th/.

สบคนเมอ 2 พฤษภาคม 2558 เดวดบรรเจดพงศชย.(2551). ระบบควบคมพลวตกำรวเครำะหกำรออกแบบและกำรประยกต. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. สมาล อณหวณชย. (2545). ระบบควบคม(Control System). กรงเทพฯ : บรษท ว. เพชรสกล จ ากด. สวลย กลนความด. (2537). ระบบควบคม. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. K. Ogata. 2000. Modern Control Engineering. 4th edition.Prentice-Hall, Inc. R. C. Dorf and Robert H. Bishop.1995. Modern Control Systems.7th edition.Addison Wesley. R.S. Burn. 2001. Advance Control engineering. Butterworth-Heinemann Linacre House,JordanHill.A division of Reed Education and Professional Publishing Ltd.

15

บทท 2 แบบจ ำลองทำงคณตศำสตรของระบบควบคม

ในการศกษาพฤตกรรมทางพลวตของระบบทางกายภาพ สามารถอธบายไดจากสมการทางคณตศาสตรหรอในรปแบบของชดสมการ ในบทนจะกลาวถงแบบจ าลองทางคณตศาสตรของระบบซงมความส าคญมากในการวเคราะหระบบควบคม ทงระบบทเปนเชงเสน และระบบทไมเปนเชงเสน โดยแบบจ าลองสามารถสรางจากคณลกษณะทางกายภาพของระบบนนๆ จากนนจงน ามาวเคราะห ซงจะชวยท าใหเขาใจและสามารถออกแบบระบบพลศาสตรทเหมาะสมได แบบจ ำลองทำงคณตศำสตร โดยทวไประบบควบคมประกอบดวย ระบบเชงเสน ระบบไมเชงเสน ระบบตอเนองทางเวลาและระบบไมตอเนองทางเวลา ในทนขอกลาวถงระบบเชงเสนตอเนองทางเวลาซงแบบจ าลองทางคณตศาสตรสามารถอธบายไดดวย สมการเชงอนพนธ ซงสามารถเขยนใหอยในรปแบบของสมการสเตต หรอฟงกชนถายโอน

1. สมการสเตต การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตรของระบบโดยใชตวแปรเสเตต ท าใหสามารถอธบายพฤตกรรมของระบบ เพราะทกโมด (Mode) ของระบบถกรวมเขาในสมการสเตต โดยสมการสเตตประกอบดวยจ านวนตวแปรทนอยทสดของตวแปร x(t) ทเวลาเรมตน t0 ซงสามารถอธบายพฤตกรรมของระบบทเวลา t ≥ t0 ก าหนดใหสญญาณเขา u(t) ทเวลา t ≥ t0 จ านวนตวแปรและการเลอกตวแปรขนกบระดบของรายละเอยดทตองการของแบบจ าลองท เลอกอธบายระบบ แบบจ าลองของระบบอนดบ n มตวแปรสเตต n ตวทสอดคลองกบสมการเชงอนพนธอนดบทหนง n สมการ สามารถเขยนสมการสเตต ไดดงสมการท 2-1 = (2-1) = . . = สญญาณออกสามารถเขยนในรปแบบของสมการพชคณต ส าหรบระบบทมตวแปรสญญาณออก p ตว สามารถเขยนสมการไดดงสมการท 2-2 = (2-2)

16

(2-5)

= . . =

การเลอกตวแปรสเตตของระบบใด ๆ เลอกไดมากกวาหนงชด โดยทวไปมกจะเลอกตวแปร สเตตทเกยวของกบพลงงานทสะสมไวในสวนประกอบของระบบในเวลาขางหนา เนองจากพลงงานทสะสมไวจะมผลตอบสนองของระบบในเวลาขางหนาในบางระบบจ านวนตวแปรสเตตตางกบจ านวนสวนประกอบทสะสมพลงงานไว เนองจากการตอสวนประกอบในระบบท าให เกดตวแปรเกน ตวแปรสเตตตองเปนตวแปรอสระ นนคอไมสามารถทจะเขยนตวแปรสเตตตวใดในรปของผลบวกเชงเสนของตวแปรสเตตทเหลอ + +……..+ +……….. = 0 (2-3) ส าหรบระบบเชงเสน สมการท (2-1) และ (2-2) เขยนเปนสมการเวกเตอร เมตรกซไดดงน = + (2-4) = +

โดยท x(t) คอ เวกเตอรมต n ทม x1(t) , x2(t) , …..xn(t) เปนสวนประกอบแสดงสเตตของระบบ u(t) คอเวกเตอรมต m แสดงถงสญญาณเขาของระบบ y(t) เปนเวกเตอรมต p แสดงถงสญญาณออกของระบบ A(t) , B(t) , C(t) และ D(t) เปนเมตรกซมต n x n , n x m , n x p และ p x m ตามล าดบ

2. ฟงกชนถายโอน (Transfer Function) ฟงกชนถายโอนใชแสดงความสมพนธ ระหวางสญญาณเขาและสญญาณออกของระบบ

สมการเชงเสนทไมแปรเปลยนตามเวลา เมอพจารณาสมการเชงอนพนธของระบบไมแปรเปลยนตามเวลาจะแสดงดงสมการ (2-5)

ก าหนดให y เปนเอาตพตของระบบและ x เปนอนพตของระบบ ทรานเฟอรฟงกชนระบบสามารถหาไดโดยการแปลงลาปลาซ สมการทง 2 ขาง ภายใตเงอนไขคาเรมตนเปนศนย

[

] (2-6)

17

[

] จะได

[

]

[

] หาความสมพนธของสมการเอาตพตกบสมการอนพต

[ ]

[ ]

2.1 วธการหาทรานเฟอรฟงกชนมล าดบขนตอนดงตอไปน

1. เขยนสมการเชงอนพนธแทนอปกรณในระบบ 2. แปลงลาปลาซสมการเชงอนพนธภายใตเงอนไขคาเรมตนเปนศนย 3. ค านวณหาอตราสวนระหวางสมการทางเอาตพตทลาปลาซแลวกบสมการทางอนพตทลาปลาซรปแบบทว ๆ ไปของทรานเฟอรฟงกชนเขยนไดดงน

2.2 การเขยนแบบจ าลองคณตศาสตรของระบบไฟฟา อปกรณพนฐานในระบบหรอวงจรไฟฟาประกอบดวย แหลงจาย (Source) กระแส

(Current Source) แหลงจายแรงดน (Voltage Source) อปกรณพนฐานทส าคญไดแก ตวตานทาน (Resister) ตวเกบประจ (Capacitor) และขดลวดเหนยวน า (Inductor) นอกจากนนยงรวมถงอปกรณอเลกทรอนกส เชน อปกรณขยายสญญาณทรานซสเตอร (Transisters) ออปแอมป (Opamp) เมอตองการทราบพฤตกรรมของระบบนน จงท าการปอนสญญาณเขา(Input) ใหกบระบบ จากนนท าการวดหรอวเคราะหผลของสญญาณออก (Output) ท าการเปรยบเทยบพฤตกรรมทสมพนธกบคณสมบตทางกายภาพของอปกรณเหลานน ส าหรบวงจรไฟฟามอปกรณพนฐาน 3 ชนด ดงตารางท 2-1

(2-7)

(2-8)

18

ตารางท 2.1 การจ าลองระบบไฟฟาดวยสมการคณตศาสตร

อปกรณพนฐำนวงจรไฟฟำ

สมกำรพนฐำนของระบบ สญลกษณ

ความตานทาน (R)

ขดลวดเหนยวน า (L)

หรอ

ตวเกบประจ (C)

หรอ

ตวอยำงท 2.1 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของวงจรไฟฟาตอไปน

วธท ำ 1. เขยนสมการจากกฎของเคอรชอฟฟ

2. เขยนสมการเชงอนพนธแทนอปกรณในระบบตามกฎทางฟสกส

∫

∫

𝑣𝑜

𝑅 𝑅

𝑣𝑖 𝑖

19

3. ท าการแปลงลาปลาซสมการเชงอนพนธท (1) และ (2) ภายใตเงอนไขเรมตนเปนศนย

∫

4. หาอตราสวนระหวางสมการทางเอาตพตตอสมการทางอนพตทแปลงลาปลาซแลว

ตวอยำงท 2.1 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของวงจรไฟฟาตอไปน

วธท ำ 1. เขยนสมการกฎแรงดนของเคอรชอฟฟจะได

เมอ 2. เขยนสมการเชงอนพนธของอปกรณในวงจรไฟฟา

∫ (1)

𝑅 𝐿

𝐶 𝑣𝑜 𝑖 𝑉

20

∫ (2)

3. ท าการแปลงลาปลาซสมการท (1) และ (2) ภายใตเงอนไขคาเรมตนเปนศนย

4. ท าการหาอตราสวนระหวางสมการทางเอาตพตตอสมการทางอนพตทแปลง ลาปลาซจะได

ตวอยำงท 2.3 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของวงจรขยายสญญาณตอไปน

R1

R2

R3

C Va a

b

Vb

Vi

Vo

วธท ำ 1. เมอแรงดนไฟฟาดานอนพตหรอ เปนแรงดนอางองทจด เขยนเปนสมการไดดงน

21

2. แรงดนไฟฟาดานเอาทพต ก าหนดให เปนแรงดนอางองทจด เขยนเปนสมการไดดงน

3. หาฟงกชนถายโอนจาก

เมอ

4. แทนในสมการท (1) และ (2) ในสมการท (3) จะได

[

]

(1)

(2)

(3)

22

ตวอยำงท 2.4 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของวงจรขยายสญญาณตอไปน

R2 C

a

b

Vi Vo

R1

R3

วธท ำ 1. เมอพจารณาแรงดนไฟฟาทจด a

(1)

2. และจากแรงดนไฟฟาทจด b

(2)

3. หาคาฟงกชนถายโอนจาก

เมอ (3)

23

4. แทนสมการท (1) และ (2) ลงในสมการท (3)

ตอบ

2.3 การเขยนแบบจ าลองระบบทางกลดวยสมการคณตศาสตร ดวยตวแปรทใชในระบบทางกล คอ ระยะทาง (x) ความเรว (v) อตราเรง (a) กฎทใช คอ กฎของนวตน การเขยนสมการเชงอนพนธแทนอปกรณในระบบทางกลจะเขยนตามกฎทางฟสกสของระบบทางกล ตารางท 2.2 การจ าลองระบบทางกลดวยสมการคณตศาสตร

ชนดของอปกรณ กฎพนฐำนของระบบ สญลกษณ

มวล (Mass) m

m v

F

สปรง (Spring) k เมอ คอ คาของสปรง

k

x1 x2

24

ตำรำงท 2.2 การจ าลองระบบทางกลดวยสมการคณตศาสตร(ตอ)

ชนดของอปกรณ กฎพนฐำนของระบบ สญลกษณ

ตวหนวง (Damper) b

Fb

v1 v2

ตวอยำงท 2.5 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของระบบตอไปน

b

m

k

u y

วธท ำ 1. เมอพจารณาสปรง มวลและตวหนวงของระบบรถลาก โดยคา คอระยะขจดของรถลากและเปนอนพตของระบบ 2. ทคา รถลากเคลอนทดวยความเรวคงท หรอคา = คาคงท 3. ระยะขจด ของมวลคอเอาทพตของระบบ (ระยะขจดมความสมพนธกบพนผว) เมอ คอ มวล , คอคาสมประสทธการหนวง, คอคาคงทสปรง, คาแรงสปรงเปนคาของ , คอคาความเรง ,∑ คอผลรวมของแรงทกระท าตอมวล

4. จากกฎขอท 2 ของนวตน เขยนสมการของระบบไดดงน ∑ (1)

25

5. เขยนสมการเชงอนพนธของระบบ

(

) (2)

หรอ

(3)

6. ท าการแปลงลาปลาซในสมการท 3 ทละเทอมจะได

[

]

[

]

[

]

7. เมอก าหนดคาเรมตนเทากบศนย (Initial Condition) หรอก าหนดคา , , น าผลการแปลงลาปลาซ สมการท (3) เขยนสมการใหมดงน

8. เขยนอตราสวนระหวางสมการเอาทพตของระบบตอสมการอนพตของระบบ

ฟงกชนถายโอนของระบบ =

26

ตวอยำงท 2.6 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของระบบสปรงตอไปน

b

m

ky

u

วธท ำ 1. เมอพจารณาโดยก าหนดคาแรงเปนอนพตของระบบหรอคา , คาเอาทพตของระบบหรอคา 2. เขยนสมการเชงอนพนธของระบบไดดงน

(1)

3. ท าการแปลงลาปลาซ ใหกบสมการท(1) จะได (2) 4. จดรปสมการท (2) (3) 5. เขยนอตราสวนระหวางสมการเอาทพตของระบบตอสมการอนพตของระบบ

ฟงกชนถายโอนของระบบ =

2.3.1 การเขยนแบบจ าลองคณตศาสตรของระบบทางกลทเคลอนทดวยการหมนส าหรบระบบทางกลแบบเคลอนทดวยการหมนประกอบดวยตวแปร 3 อยาง คอ ความเรวเชงมม (𝝎), การเคลอนทเชงมม (Ѳ) และอตราเรงเชงมม ( ) โดยมสญลกษณและสมการดงตารางท 2.3

ตอบ

27

ตารางท 2.3 สญลกษณของอปกรณและสมการของระบบทางกลทเคลอนทดวยการหมน

ชนดของอปกรณ สมกำรของระบบ สญลกษณ

โมเมนของมวล

Moment of Inertia

j

สปรง (Spring)

k

ตวหนวง (Damper)

ตวอยำงท 2.7 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของระบบโมเมนของมวล สปรงและตวหนวงตอไปน

k bjT

𝜃 𝜃

𝜔 𝜔 𝑏

28

วธท ำ 1. เขยนสมการเชงอนพนธของระบบ

∑

(1)

2. ท าการแปลงลาปลาซ สมการท (1) จะได (2) 3. จดรปสมการท (2) ใหมจะได (3) 4. เขยนสมการฟงกชนถายโอนของระบบจะไดค าตอบ

ตวอยำงท 2.8 จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของระบบมอเตอรกระแสตรงชนด ควบคมดวยกระแสฟลดตอไปน

Lf

วธท ำ 1. จากรปวงจรสมมลของระบบมอเตอรกระแสตรงชนด ควบคมดวยกระแสฟลด โดยคาตวแปรในวงจรมความหมายดงน คอ ความตานทานของขดลวดสนามแมเหลก มหนวยเปน โอหม (Ohm)

𝑅a 𝑅𝑓

𝑣𝑓 𝑖𝑓

𝑣𝑎

𝑗 𝑓 𝜃

29

คอ ความเหนยวน าของขดลวดสนามแมเหลก มหนวยเปน เฮนร (Henry)

คอ กระแสทไหลในขดลวดสนามแมเหลก มหนวยเปน แอมแปร(Ampree)

คอ แรงดนไฟฟาทปอนเขาขดลวดสนามแมเหลก มหนวยเปน โวลต (Volt)

คอ ความตานทานของอารเมเจอร มหนวยเปน โอหม (Ohm) คอ กระแสทไหลในขดลวดอารเมเจอร มหนวยเปน แอมแปร(Ampree) คอ มมทหมนไปของแกนมอเตอร มหนวยเปน เรเดยน (Radial) 2. เขยนสมการแสดงความสมพนธของอปกรณในระบบเมอคาแรงบด มคาแปรผนโดยตรงกบคาผลคณของเสนแรงแมเหลกชองวางอากาศ , กระแสอารมเจอร เขยนสมการไดดงน (1) 3. เมอ มคาคงทและ แปรผนโดยตรงกบกระแสฟลด โดยสมมต

คากระแส คงทเขยนสมการท (1) ใหมไดดงน (2)

4. เมอพจารณาจากวงจรกระแสฟลด เมอ มคาคงท สามารถเขยนสมการไดดงน

(3)

(4)

5. ท าการแปลงลาปลาซ ใหกบสมการท (3) และ (4) โดยสมมตคาเงอนไขเรมตนเทากบศนย (5)

(6)

6. ท าการหาฟงกชนถายโอน ก าหนดให เปนอนพตทปอนใหระบบ และ

เปนเอาทพตของระบบ

( )

30

2.3.2 การเขยนแบบจ าลองระบบควบคมดวยไดอะแกรมแผนภาพ ส าหรบอกวธการหนงทเปนทนยมใชในการอธบายความสมพนธของระบบ

ควบคมคอไดอะแกรมแผนภาพหรอบลอกไดอะแกรม (Block Diagram) โดยสวนประกอบของบลอกไดอะแกรมประกอบดวย สญญาณเขา (Input) ฟงกชนถายโอน (Transfer Function) และสญญาณออก (Output) ไดอะแกรมแผนภาพรปรางพนฐาน ดงภาพท 2.1

G(s)X(s) Y(s)

ภาพท 2.1 บลอกพนฐานของระบบควบคม

เมอ คอ ฟงกชนถายโอน คอ สญญาณเขา (Input)

คอ สญญาณออก (Output)

นอกจากนนบลอกไดอะแกรมพนฐานแลวระบบยงประกอบดวย จดรวมสญญาณ(Summing Point) และกงกาน (Branch Point) ของสญญาณทปอนใหกบจดรวมสญญาณ ดงภาพท 2.2

+X(s)

_X(s)-B(s)

B(s)

� (Summing point)

ภาพท 2.2 ไดอะแกรมแผนภาพจดรวมสญญาณของระบบควบคม เมอจดรวมสญญาณ (Summing Point) คอ จดรวมสญญาณตงแตสองสญญาณขนหรอมากกวาสองสญญาณ จดรวมสญญาณประกอบดวย การบวก (Added) การลบ (Subtracted) จาก

31

ภาพท 2.2 เปนสญญาณปอนกลบลบ และ เปนสญญาณอนพต หรอสญญาณอางอง

ซงท าใหทราบความคลาดเคลอนของสญญาณ(Error Signal) ในเทอมสมการ 2.3.3 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมแบบปด

ส าหรบการอธบายระบบแบบปดคอระบบทน าเอาสญญาณออกปอนกลบมาสจดรวมสญญาณ (Summing Point) เพอน าไปเปรยบเทยบกบสญญาณเขาหรอสญญาณอางอง ซงผลการเปรยบเทยบเราเรยกวาสญญาณผลความคลาดเคลอนของระบบ (Error Signal) โดยสามารถแสดงบลอกไดอะแกรมระบบควบคมพนฐานในภาพท 2.3

G(s)+

X(s)_

B(s)H(s)

Y(s)E(s)

ภาพท 2.3 บลอกไดอะแกรมพนฐานของระบบควบคมแบบปด

เมอ คอ สญญาณอนพตหรอสญญาณอางอง (Input or Reference Signal) คอ สญญาณเอาทพตหรอสญญาณออก (Output Signal) คอ สญญาณผลตางหรอความคลาดเคลอน (Error Signal) คอ ฟงกชนถายโอนดานตรง (Forward Transfer Function) คอ ฟงกชนถายโอนดานปอนกลบ (Reverse Transfer Function) คอ สญญาณดานปอนกลบ (Feedback Signal) 2.3.4 ฟงกชนถายโอนวงปดและอตราขยายลป (Close Loop Transfer Function and Loop Gain) จากภาพท 2.3 สามารถเขยนสมการอตราขยายลปไดดงน

อตราขยายลป (Loop Gain) =

= (2-9)

จากความสมพนธของสญญาณเอาทพต

=

32

= =

แทนคา ในสมการหา จะได =

=

(2-10)

เพราะฉะนนสมการ (2-10) คอสมการฟงกชนถายโอนวงปด (Close Loop Transfer Function) ของระบบในภาพท 2.3 ส าหรบสมการฟงกชนถายโอนของไดอะแกรมแผนผงมสวนประกอบดงน คอฟงกชนถายโอนแบบเปด (Open Loop Transfer Function) เมอก าหนดให (2-11)

สมการท (2-11) เรยกวาสมการคณลกษณะ (Characteristic Equation) และเมอน าสมการท (2-10) มาเขยนไดอะแกรมแผนผงฟงกชนถายโอนลปปด ดงแสดงในภาพท 2.4

X(s) Y(s)

ภาพท 2.4 ไดอะแกรมแผนผงฟงกชนถายโอนลปปด

2.3.5 การลดรปบลอกไดอะแกรม (Block Diagram Reduction) การอธบายพฤตกรรมของระบบ ซงอธบายดวยสมการอนพนธทสมพนธ

กนส งทมความส าคญทตองทราบคอพชคณตของบลอกไดอะแกรม โดยเราสามารถลดรปบลอกไดอะแกรมของระบบทมความซบซอนใหอยในรปอยางงายได เพอลดเวลาในการวเคราะหระบบ ตวอยางตารางการลดรปบลอกไดอะแกรมดงแสดงในตารางท 2.4

𝐺 𝑠

𝐺 𝑠 𝐻 𝑠

33

ตารางท 2.4 การลดรปบลอกไดอะแกรม

บลอกไดอะแกรมตนฉบบ บลอกไดอะแกรมเทยบเคยง

1

2

3

4

5

34

ตำรำงท 2.4 การลดรปบลอกไดอะแกรม (ตอ)

บลอกไดอะแกรมตนฉบบ บลอกไดอะแกรมเทยบเคยง

6

7

+

-G

G

x xG

u uG

xG-uG

8

9

𝑢

𝐺

𝐺

𝐺

35

ตำรำงท 2.4 การลดรปบลอกไดอะแกรม (ตอ)

บลอกไดอะแกรมตนฉบบ บลอกไดอะแกรมเทยบเคยง

10

11

12

G

G

x1

2

+ y

+

G2 G2 G1

x2

1 y

13

G

G

x1

2

+ y

x G1

1 +G1 2G

y

36

ตวอยำงท 2.9 ใหแสดงวธการลดรปบลอกไดอะแกรมและหาฟงกชนถายโอนของระบบในรปดานลางน

+X(s) +

+G1

H1

G 2

H 2

+

G 3

Y(s)

วธท ำ 1. ท าใหอยในรปอยางงายโดยใชวธลดรปบลอกไดอะแกรมในวธท 6 ท าใหไดบลอกดานลาง

+X(s) + +

G

H1

G 2

H2

+

G 3

Y(s)

G1

1

1

2. ใชวธท 13 ลดรปบลอก G1 , G2 และ H1 จะท าใหไดบลอกไดอะแกรมดานลาง

37

+X(s) +

H2

G 3

Y(s)

G1

G1

1 G1 2G

G2

3. ใชวธท 4 และวธท 13 ลดรปบลอกจะท าใหไดบลอกไดอะแกรมดานลาง

X(s) +

3

Y(s)G1

1 G1 2G

G2

H1+G G H1 2 2

G3

4. ใชวธท 4 ลดรปบลอกจะท าใหไดบลอกไดอะแกรมทสามารถหาฟงกชนถายโอน

3Y(s)

G1

1 G1 2G

G2

H1+G G H2 3 2

G3X(s)

G1+ G 2G3

X(s)

Y(s)3

G1

1 G1 2G

G2

H1+G G H2 3 2

G3

G1+ G 2G3

=

38

ตวอยำงท 2.10 ใหแสดงวธการลดรปบลอกไดอะแกรมและหาฟงกชนถายโอนของระบบในรปดานลางน

+X(s)

R1

C1s C1s1 C2 s

R1 +C 2 s 1 C2s1

++

Y(s)

วธท ำ 1. จดรปใหมโดยยายจดแยกหนาบลอก

และยายจดแยกหนาบลอก

จะไดบลอกไดอะแกรมใหมดานลาง

+

R1

C1s C1s1 C2 s

R1 +C 2 s 1 C2s1

++

C2s

C1s

X(s) Y(s)

2. จดรวมดานปอนกลบจะม ผาน และ จะผาน ดงบลอกไดอะแกรมดานลาง

+

R1

C2 s

R1 +C 2 s 1 C2s1X(s) Y(s)+

C 1s C2

1s

C 2 s

R1

1sC

39

3. ใชวธลดรปบลอกขอท 4 และขอท 13 จะลดรปบลอกได

1

R1 +C 1 s 1

1

R2 +C 2 s 1

R1C 2 s

X(s) Y(s)+

4. ใชวธท 4 ลดรปบลอกจะท าใหไดบลอกไดอะแกรมทสามารถหาฟงกชนถาย โอนดงน

Y(s)X(s)1

R1C 1R2C 2s 2+ R1C 1R2C 2 +( R 1C 2 )s +1

สมการฟงกชนถายโอนจะมคาเทากบ

Y(s)X(s)

1R1C 1R2C 2s 2

+ R1C 1R2C 2 +( R 1C 2 )s +1=

2.3.6 การแสดงระบบดวยเสนทางเดนของสญญาณ (Signal Flow Graph Representation)

ส าหรบการหาคาฟงกชนถายโอนของระบบควบคมวงรอบปด โดยใชวธแทนคาดวยสมการทางคณตศาสตรหรอแทนดวยบลอกไดอะแกรม สามารถแกปญหาไดกบระบบทไมยงยากซบซอนในกรณระบบทมความยาก การค านวณโดยใชวธแทนคาดวยสมการทางคณตศาสตรหรอลดรปบลอกไดอะแกรมจงตองใชเวลานาน โดย เอสเจ เมสน (S.J. Mason,1953) ไดน าเสนอวธการ หาคาฟงกชนถายโอนระบบโดยใชกราฟทางเดนของสญญาณ ท าใหสามารถแทนระบบทซบซอนได การใชทางเดนของสญญาณมกแทนระบบใหเปนสมการพชคณตใน เอสโดเมน (S -Domain) โดยจะตองแปลงระบบดวยลาปลาซ ซงสามารถเขยนเสนทางเดนของสญญาณ โดยใชโหนดแทนตวแปรดงน

40

x 1 x2

g1,2

ภาพท 2.5 ไดอะแกรมแผนผงฟงกชนถายโอนลปปด ตารางท 2.5 ความหมายศพทเกยวของกบทางเดนของสญญาณ

ค ำศพทเกยวของ กบทำงเดนของสญญำณ

ควำมหมำย

โหนด (Node) หมายถง จดหรอโหนดใชแทนตวแปรหรอสญญาณ อนพตโหนด (Input Node ) หมายถง โหนดทมเฉพาะเสนสญญาณทางออก ทรานสมตแตนซ (Transmittance) หมายถง อตราขยายระหวางโหนดหรอจด 2 จด สาขา (Branch) หมายถง สาขาหรอเสนตรงทเชอมตอระหวางโหนดหรอจด 2 จด เอาทพตโหนด (Output Node) หมายถง โหนดทมเฉพาะสญญาณพงเขา(กรณตองการใหโหนด

เอาตพตมทงสญญาณพงเขา และพงออกจะตองท าเปนโหนดทรบสญญาณซงเรยกวาดมม โดยสมมตใหมอตราขยายเปนหนงและมทศทางพงเขาโหนดดมม

โหนดรวม (Mixed Node) หมายถง โหนดทมสญญาณพงเขาและพงออก พาธ (Path) หมายถง เสนทางเดนตามทศทางของสาขา (Branch) ถาพาธนน

ผานโหนดใดเพยงครงเดยว จะเรยกวาพาะเปด แตถาพาธเรมตนจากโหนด และวนกลบมาสนสดทโหนดเดม โดยผานโหนดอนเพยงครงเดยว เรยกวา พาธลปปด(Close Loop Path)

ฟอรเวรดพาธ (Forword Path) หมายถง เสนทางจากโหนดอนพตไปยงโหนดเอาตพตไปตามสญญาณตางๆ โดยผานโหนดหนงๆ ในทศทางทผานไปไดไมเกนหนงครง และไมยอนหวลกศร

พาธปอนกลบ(Feed Back Path) หมายถง ลปหรอพาธทเรมตนจากโหนดหนงแลวยอนกลบมายงโหนดเดม โดยทางทผานโหนดตางๆ ไปตองไมเกนหนงครง

41

ตารางท 2.5 ความหมายศพทเกยวของกบทางเดนของสญญาณ (ตอ)

ค ำศพทเกยวของ กบทำงเดนของสญญำณ

ควำมหมำย

ลปตวเอง (Self Loop) หมายถง ลปปอนกลบ ประกอบดวยเสนสญญาณเพยงเสนเดยวจากโหนดเดมและยอนกลบมาทโหนดเดม

อตตราขยายของพาธ (Path Gain) หมายถง ผลคณของเสนสญญาณทมอตราขยายของเสนทางทก าหนด

อตราขยายลป (Loop Gain) หมายถง ผลคณของเสนสญญาณทมอตราขยายของลป ตามทก าหนด

ตารางท 2.6 พชคณตของเสนสญญาณทางเดน

ทำงเดนสญญำณ เสนทำงเดนสญญำณทเทยบเคยง

=

x 1 x2

a

x 1 x2

a b

x 3

x 1 3

ab

x

a

b

x1 x 2

x 1 2

a+b

x

42

ตำรำงท 2.6 พชคณตของเสนสญญาณทางเดน (ตอ)

ทำงเดนสญญำณ เสนทำงเดนสญญำณทเทยบเคยง

x 3 4

c

x

a

b

x 4

ac

bc

x

x

1

2

1

x 2a b

x 3x

c

x 1

3ab x

bc

43

ตำรำงท 2.7 แผนภาพระบบควบคมแบบบลอกไดอะแกรมและเสนสญญาณทางเดน

เสนทำงเดนสญญำณ แผนภำพบลอกไดอะแกรม

X(s) Y(s)

G(s)

G(s)X(s) Y(s)

1 G(s)

-H(s)

X(s) Y(s)

G(s)

H(s)

+ Y(s)E(s)X(s)

1

G (s)

-H(s)

X(s) Y(s)1 G (s)2

N(s)

1

G (s)

H(s)

+ Y(s)E(s)G (s)

+

+1 2

N(s)

X(s)

1

G (s)

-H(s)

X(s) Y(s)C(s)

N(s)

1

E(s)

1

G (s)

H(s)

+ Y(s)E(s) +

+

N(s)

X(s)

44

k=1

ตารางท 2.8 ความสมพนธแผนภาพบลอกไดอะแกรมและเสนสญญาณทางเดน

2.3.7 กฎของเมสน (Mason ‘s Rule) ในการหาฟงกชนถายโอนของระบบ สามารถแทนระบบดวยเสนทางเดนสญญาณ (Signal Flow Graph) ซงจะใชกฎของเมสนในการหาคาฟงกชนถายโอนของระบบจากสมการตอไปน

∑ (2-13)

ตำรำงท 2.8 ความหมายของตวแปรในกฎของเมสน

ตวแปร ควำมหมำย

อตราขยายของทางเดน k ระหวางโหนดอนพทและเอาทพต

ดเทอรมแนนทของกราฟซงพจารณาเฉพาะทางเดน k และเปนคาของ ส าหรบสวนนนๆ ของกราฟวงไมแตะทางเดน k

ดเทอรมแนทของกราฟ (Determinant) หาไดจาก ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ผลรวมของเสนทางเดนของลปทงหมด

∑ ผลรวมของเสนทางเดนของลป 2 ลปไมตดกน

∑ ผลรวมของเสนทางเดนของลป 3 ลปไมตดกน

∑ ผลรวมของเสนทางเดนของลป n ลปไมตดกน

เสนทำงเดนสญญำณ แผนภำพบลอกไดอะแกรม

1. โหนดอนพต (Input Node) 2. โหนดเอาทพต (Output Node) 3. สาขา (Branch) 4. ทรานสมตแตนซ (Transmittance)

1. สญญาณอนพต (Input Signal) 2. สญญาณเอาทพต (Output Signal) 3. บลอก (Block) 4. อตราขยายของบลอก (Gain of Block)

45

สรปขนตอนวธการหาฟงกชนถายโอนโดยใชกฎของเมสน 1. หาอตราขยายของทางเดนจากโหนดอนพตไปยงเอาทพต 2. หาลปเดยวๆ ทงหมด 3. หาลป 2 ลป หรอ 3 ลป และ 4 ลป ทไมตดกน 4. หาคาดเทอรมแนนทของสญญาณทางเดน 5. หาดเทอรมแนนทของเสนทาง T1 , T2 , T3 ……. 6. แทนคาในสมการของเมสน ตวอยำงท 2.12 จงเขยนเสนทางเดนสญญาณของกราฟแทนระบบ ซงประกอบดวยสมการตอไปน วธท ำ = + + + (1) = (2) = + (3) = + (4)

เมอเราแทน เปนอนพตและ ก าหนด เปนเอาตพตของระบบ 1. ใหก าหนดตวแปรของระบบในลกษณะของโหนด

x 1 x 2 x 3 x 4 x5

2. เขยนสญญาณทางเดนของกราฟ จากสมการท (1)

x 1 x 2 x3 x4 x 5

a32a42

a52

12a

3. เขยนสญญาณทางเดนของกราฟ จากสมการท (2)

x 1 x 2 x 3 x 4 x5a 23

46

4. เขยนสญญาณทางเดนของกราฟ จากสมการท (3)

x 1 x 2 x 3 x 4 x5

a44

a34

5. เขยนสญญาณทางเดนของกราฟ จากสมการท (4)

x 1 x 2 x 3 x 4 x5

a45

a 35

6. เขยนเสนสญญาณทางเดนของกราฟตามสมการท (2),(3),(4) และ(5) รวมกนจะไดดงรป

a32

a42

a52

12a

a35

a23 a34 a45

a44

7. หาฟงกชนถายโอนโดยใชกฎของเมสน

∑

7.1 หาคาอตราขยายของทางเดนจากโหนดทางเขาไปยงโหนดทางออก

=

12a a23 a34 a45

N

k=1

47

=

12a a23 a35

7.2 หาคาลปทงหมด =

a23

a32

=

a23

a42

34a

=

a44

=

a23 a34 a45

a52

48

=

a23 35

a52

a

7.3 หาคาลป 2 ลปทไมตดกน =

a23

32a

a44

=

a23 35

a52

aa44

7.4 หาลป 3 ลปทไมตดกนมคาเทากบศนย 7.5 หาคาดเทอรมแนนทของเสนสญญาณทางเดน =

7.6 หาคาดเทอรมแนนทของเสนทาง T1 และ T2

- เมอพจารณาเสนทางท 1 จะเหนวามลปตดเสนทางท 1

49

- เมอพจารณาเสนทางท 2 จะเหนวามลป ไมตดเสนทางท 2

แทนคาในสตรของเมสนจะได

ตวอยำงท 2.13 จงหาคาฟงกชนถายโอนของบลอกไดอะแกรมในรปดานลาง โดยใชวธเสนสญญาณทางเดนของกราฟ

+G1

XG2 G3

H1

G4

H2

+

+ +

+

i Yo

วธท ำ 1. เขยนเสนทางเดนสญญาณของรปดานบน

1 1 G1 G2 G31 1iX Y

O

G 4H

H1

1

H2

N

50

k=1

2. จากกฎของเมสน

∑

3. หาคาอตราขยายของทางเดนจากโหนดทางเขาไปยงโหนดทางออก

แสดงภาพเสนทางเดนสญญาณดานลาง

1 1 G1 G2 G31 1iX Y

O

4. หาคาลปหรอวงรอบปดทงหมด

แสดงภาพเสนสญญาณทางเดน ดานลาง

G1 G2

H1

แสดงภาพเสนสญญาณทางเดน ดานลาง

G2 G3

-H2

51

แสดงภาพเสนสญญาณทางเดน ดานลาง

1 G1 G2 G3

-1

5. หาคาดเทอรมแนนทของเสนสญญาณทางเดน

6. หาคาดเทอรมแนนทของเสนสญญาณทางเดน เมอพจารณาเสนทางท 1 จะเหนวามลปตดเสนทางท 1

7. แทนคาในสตรของเมสนเพราะฉะนน

ตอบ

52

สรป ในบทนไดกลาวถงแบบจ าลองทางคณตศาสตร (Mathematical Model) โดยการแทนระบบดวยสมการทางคณตศาสตร ส าหรบใชในการบรรยายคณลกษณะทางไดนามก (Dynamic Model) ท าไดโดยการใชวธการแทนคาพารามเตอรในระบบดวยสมการดฟเฟอรเรนเซยล จากนนใชการแปลงลาปลาซ เพอหาความสมพนธระหวางสมการทางอนพตกบสมการทางเอาตพท ซงอยในเอสโดเมน ผลลพททไดจะเรยกวาฟงกชนถายโอน(Transfer Function) และน าผลลพท ทไดนไปใชในการวเคราะห ดงนนการจ าลองระบบดวยสมการทางคณตศาสตรทดจะตองเขาใจงาย มความแมนย าใหผลใกลเคยงกบระบบจรง การจ าลองระบบจงมความส าคญมากในการวเคราะหระบบ รปแบบของแบบจ าลองของระบบพอสรปไดดงน - ระบบทางกล (Mechanical System) ระบบทางกลจะแบงออกไดเปน 2 ประเภทใหญ ๆ คอ 1. ระบบทางกลทมการเคลอนทแบบเชงเสน (Mechanical Translational System) 2. ระบบทางกลทมการเคลอนทแบบเชงมม (Mechanical Rotation System) - ระบบทางไฟฟา (Electrical System) ตวแปรทใชในระบบทางไฟฟาม 3 ตว คอ กระแส (I) แรงดน (E) ประจ (Q) การเขยนสมการเชงอนพนธแทนอปกรณใน วงจรไฟฟาพนฐานของระบบมอปกรณ 3 ชนด คอ ตวตานทาน ตวเหนยวน าและตวเกบประจ

- การเขยนแบบจ าลองระบบควบคมดวยไดอะแกรมแผนภาพ ใชในการอธบายความสมพนธของระบบควบคมคอไดอะแกรมแผนภาพหรอบลอกไดอะแกรม (Block Diagram) โดยสวนประกอบของบลอกไดอะแกรมประกอบดวย สญญาณเขา(Input) ฟงกชนถายโอน(Transfer Function) และสญญาณออก (Output)

- พชคณตของบลอกไดอะแกรมคอการลดรปบลอกไดอะแกรมของระบบทมความซบซอนใหอยในรปอยางงายได เพอลดเวลาในการวเคราะหระบบ

- การแสดงระบบดวยเสนทางเดนของสญญาณคอวธการ หาคาฟงกชนถายโอนระบบโดยใชกราฟทางเดนของสญญาณ ท าใหสามารถแทนระบบทซบซอนได การใชทางเดนของสญญาณมกแทนระบบใหเปนสมการพชคณตในเอสโดเมน (S -Domain)

53

𝑣𝑖

ค ำถำมทบทวน ใหนกศกษำแสดงวธท ำและตอบค ำถำมตอไปน 1. จงหาสมการฟงกชนถายโอนหรอทรานเฟอรฟงกชนของวงจรไฟฟาตอไปน

2. จงใชวธการลดรปบลอกไดอะแกรมตอไปนเพอหาความสมพนธของ และ

+X(s) + +

G

H1

G 2

H2

+

G 3

Y(s)

G1

1

1

3. จากแผนภาพบลอกไดอะแกรมตอไปนจงเขยนเสนสญญาณทางเดน

G (s)

H(s)

+ Y(s)E(s)G (s)

+

+1 2

N(s)

X(s)

𝑅 𝐿

𝐶 𝑣𝑜 𝑖

𝑅

54

4. จงเขยนแผนภาพเสนทางเดนสญญาณตอไปนใหอยในรปของบลอกไดอะแกรม

1

G (s)

-H(s)

X(s) Y(s)C(s)

N(s)

1

E(s)

1

5. วธการหาทรานเฟอรฟงกชนมล าดบขนตอนอยางไรบาง 6. ฟงกชนถายโอน (Transfer Function) มลกษณะเปนอยางไร จงอธบายมาพอเขาใจ 7. จงยกตวอยางความหมายศพทเกยวของกบทางเดนของสญญาณ มาอยางนอย 4 ตวอยางพรอมอธบาย 8. การลดรปบลอกไดอะแกรมมวธการอยางไรบาง จงยกตวอยางพรอมอธบาย 9. จงยกตวอยาง แผนภาพระบบควบคมแบบบลอกไดอะแกรมและเสนสญญาณทางเดน อยางนอง 3 ตวอยาง 10. จงสรปขนตอนวธการหาฟงกชนถายโอนโดยใชกฎของเมสน มาเปนขอๆ

55

เอกสำรอำงอง

ศภชย ปลายเนตร. วชำระบบควบคม. (ม.ป.ป.). [ออนไลน]. จากhttp://elearning.npu.ac.th/.

สบคนเมอ 2 พฤษภาคม 2558 เดวดบรรเจดพงศชย.(2551). ระบบควบคมพลวตกำรวเครำะหกำรออกแบบและกำรประยกต. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. สมาล อณหวณชย. (2545). ระบบควบคม(Control System). กรงเทพฯ : บรษท ว. เพชรสกล จ ากด. สวลย กลนความด. (2537). ระบบควบคม. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. K. Ogata. 2000. Modern Control Engineering. 4th edition.Prentice-Hall, Inc. R. C. Dorf and Robert H. Bishop.1995. Modern Control Systems.7th edition.Addison Wesley. R.S. Burn. 2001. Advance Control engineering. Butterworth-Heinemann Linacre House,Jordan Hill.A division of Reed Education and Professional Publishing Ltd.

57

บทท 3 ผลตอบสนองเชงเวลา

จากบททผานมาไดท าการศกษาการเขยนแบบจ าลองทางคณตศาสตรของระบบซ ง ท าใหเราสามารถมองเหนภาพระบบในรปแบบของแบบจ าลองทางคณตศาสตรส าหรบ บทน จะกลาวถงหลกการและวธการการวเคราะหผลตอบสนองเชงเวลา (Time Domain Response Analysis) อนไดแก การวเคราะหผลตอบสนองชวขณะ (Transient Response Analysis) และการวเคราะหผลตอบสนองเชงสถต หรอสภาวะคงท (Steady State Response) ซงจะท าใหผอานมความเขาใจพนฐานของการวเคราะหระบบผลตอบสนองเชงเวลา

การวเคราะหผลตอบสนองชวขณะ (Transient Response Analysis) ในการออกแบบระบบควบคมตางๆ สงทส าคญคอการตรวจสอบผลตอบสนอง (Response)

ของระบบตอสญญาณปอนเขาเพอทดสอบคณสมบตของระบบและผลตอบสนอง ท าได โดยปอนสญญาณทมรปรางแนนอนเพอใชเปนสญญาณอางองใหกบระบบแลวจงพจารณาจากผลตอบสนอง ของระบบในโดเมนเวลา (Time Domain) เพอหาผลตอบสนองของระบบ (Transient Response) ความคลาดเคลอนในสภาวะคงท (Steady State Error) และเสถยรภาพของระบบ (Stability) การศกษาถงผลตอบสนอง (Response) ของระบบควบคม นยมใชสญญาณแบบหนงหนวย (Step Function) แบบพลล (Pulse Function) แบบลาด (Ramp Function) และแบบซายน (Sinoslidal Function) เมอก าหนดให เปนผลตอบสนองทางเวลาของระบบ สามารถเขยนสมการระบบไดดงน

(3-1) โดยท คอ ผลตอบสนองชวขณะ คอ ผลตอบสนองสภาวะคงท การวเคราะหผลตอบสนองสภาวะชวขณะจะมคาเขาใกลศนย เมอคาเวลาเขาสคาอนนต ดงสมการ (3-2) ดงนนในการวเคราะหและออกแบบระบบควบคมนนสงทส าคญคอจะตองเขาใจเกยวกบสมการของสญญาณตาง ๆ กบระบบ ส าหรบการวเคราะหในโดเมนเวลาในรปแบบของเวลา เพอจะไดท าการแปลงลาปลาซสมการฟงกชนเหลานน

58

สญญาณปอนส าหรบทดสอบผลตอบสนองของระบบ 1. สญญาณปอนหรออนพตแบบหนงหนวย (Step Function) แสดงไดดวยสมการคณตศาสตรดงน เมอ เมอ ก าหนดให เปนคาคงท (Constant)

- เมอท าการแปลงใหอยในรปสมการลาปลาซจะได (3-3) โดยสญญาณอนพตแบบหนงหนวยมลกษณะดงภาพท 3.1

=X𝑢 ( )

( )

ภาพท 3.1 ลกษณะสญญาณอนพตแบบหนงหนวย (Step Function) 2. สญญาณปอนหรออนพตแบบลาด (Ramp Function) แสดงไดดวยสมการคณตศาสตรดงน เมอ เมอ

ก าหนดให เปนคาคงท (Constant) - เมอท าการแปลงใหอยในรปสมการลาปลาซจะได (3-4)

𝐴

𝑠

𝐴

𝑠2

59

โดยสญญาณอนพตแบบลาดมลกษณะดงภาพท 3.2

=X𝑢 ( )

( )

Slop=Xt

ภาพท 3.2 ลกษณะสญญาณอนพตแบบลาด (Ramp Function) 3. สญญาณปอนหรออนพตแบบพาราโบลค (Parabolic Function) แสดงไดดวยสมการคณตศาสตรดงน 2 เมอ เมอ

ก าหนดให เปนคาคงท (Constant) - เมอท าการแปลงใหอยในรปสมการลาปลาซจะได (3-5)

𝐴

𝑠3

60

โดยสญญาณอนพตแบบพาราโบลค มลกษณะดงภาพท 3.3

( )

ภาพท 3.3 ลกษณะสญญาณอนพตแบบพาราโบลค (Parabolic Function)

รปแบบของระบบควบคมอนดบหนง (Fist Order System) จากพนฐานของบลอกไดอะแกรมของระบบควบคมอนดบหนงดงแสดงในภาพท 3.4 และ

ภาพท 3.5

X(s) + Y(s) 1

𝑇

E(s)

ภาพท 3.4 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมอนดบหนงทมการปอนกลบ

X(s) Y(s)

ภาพท 3.5 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมอนดบหนง

𝑥 𝑡 𝑋𝑡2𝑢𝑠 𝑡

1

𝑇𝑠 1

61

1

𝑠.

1

𝑇𝑠 1

สามารถเขยนสมการแสดงความสมพนธระหวางสญญาณอนพตและสญญาณเอาทพตของระบบไดดงน

1

𝑇 1

ส าหรบการวเคราะหผลตอบสนองของระบบ ท าไดโดยการปอนสญญาณตางๆทไดกลาวมาขางตนใหกบระบบโดยตองก าหนดใหคาเงอนไขเรมตน (Initial Condition) เปนศนย

1. ผลตอบสนองของระบบอนดบหนงจากสญญาณอนพตแบบหนงหนวย ส าหรบผลตอบสนองของระบบอนดบหนงเมอท าการปอนสญญาณอนพตแบบหนงหนวยเมอ

ท าการแปลงลาปลาซแลวจะได ผลตอบสนองของสญญาณจะไดเปน

- ท าการแยกเศษสวนยอย (Partial Fraction) สมการท (3-7) จะได

1

1

𝑇 1

- ท าการแปลงลาปลาซผกผนสมการท (3-8) จะได

1

1.0

T

e(t)

y(t)

1-e-t/T

e-t/T

ภาพท 3.6 ผลตอบสนองของระบบคมอนดบหนงเมอปอนสญญาณอนพตยนตสเตป

(3-6)

1

𝑠

(3-7)

(3-8)

(3-9)

62

พจารณาสมการ (3-9) สงเกตคาเรมตนของสญญาณเอาทพต มคาเปนศนยและคา

สดทายมคาเทากบหนงและท 𝑇 คาของ เทากบ 0.632 หรอ 32% ของการเปลยนแปลงทงหมด ซ งสามารถแสดงไดโดยการแทนคา 𝑇 ในสมการ (3-9) จะได

𝑇 1 .

ลกษณะผลตอบสนองของระบบแสดงในภาพท 3.5 ซงเปนลกษณะของกราฟแบบเอก

โปแนลเชยลทมความชนของกราฟท คอ

1

𝑇 .

1

𝑇

สญญาณความคลาดเคลอน หาไดจาก

จากสมการท (3-11) เมอ เขาสอนนต (Infinity) แลวคา

จะเขาสศนย จะท าใหคาคลาดเคลอน มคาเทากบศนย

1.0

T

e(t)

y(t)

1-e-t/T

y(t)=

2T 3T 4T 5T

0.632

63

.2%

86

.5%

95

%

98

.2%

99

.3%

ภาพท 3.7 ลกษณะของผลตอบสนองของระบบอนดบหนง

(3-10)

(3-11)

63

2. ผลตอบสนองของระบบอนดบหนงตอสญญาณลาด (Unit-Ramp Response of First Order System) - เมอท าการแปลงลาปลาซสญญาณลาด แลวจะได

- จากสมการ (3-6) เขยนผลตอบสนองตอสญญาณเอาตพตของภาพท 3.3 จะไดเปน

.

- จากนนท าการแยกเศษสวนยอยสมการ (3-12) จะได

1

2

𝑇

𝑇2

𝑇 1

- ท าการแปลงลาปลาซผกผนสมการท (3-13)

𝑇 (1 )

- สญญาณความคลาดเคลอน หาไดจาก

𝑇 (1

)

- จากสมการ (3-14) เมอ แลวคา

จะเขาสศนยซงจะท าใหคาความคลาดเคลอน มคาเทากบ 𝑇 หรอ 𝑇

(3-12)

(3-13)

(3-14)

64

2T 4T 6T

2T

4T

6T

x(t)

y(t)

t

x(t)

y(t)e(t

)

ภาพท 3.8 ลกษณะของผลตอบสนองของระบบอนดบหนงตอสญญาณแบบลาด

3. ผลตอบสนองของระบบอนดบหนงตอสญญาณแบบอมพลส (Unit Impulse Response of First Order System)

- เมอปอนสญญาณอนพตแบบอมพลสมสมการ 1 ดงนนสญญาณเอาทพตของระบบจงมคาเทากบ

1

𝑇 1

- ท าการแปลงลาปลาซผกผนสมการท (3-14) จะได

. (

)

(3-15)

𝑦 𝑡 1

𝑇 . 𝑒

𝑇

65

- ลกษณะผลตอบสนองของสมการ (3-15) แสดงดงภาพดานลาง

2T 4T 6T

2T

4T

6T

y(t)

t

ภาพท 3.9 ลกษณะของผลตอบสนองของระบบอนดบหนงตอสญญาณแบบอมพลส

4. ระบบควบคมอนดบสอง (Second Order System) ระบบควบคมอนดบสองคอ ระบบทมคาตวแปรตางๆ อยในรปของสมการอนพนธก าลงสอง

โดยมรปแบบสมการฟงกชนถายโอนคอ

เมอ คอ ความเรวเชงมมในการแกวงตามธรรมชาต (Underdamped Natural Frequency) คอ อตราการหนวงของระบบ (Damping Ratio)

𝑌 𝑠

𝑋 𝑠

𝜔𝑛

𝑠2 𝜔𝑛 𝜔𝑛

2

2 (3-16)

66

X(s) +E(s)

Y(s)

ภาพท 3.10 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมอนดบสอง ฟงกชนถายโอนของลป คอ

เมอสมการคณลกษณะของลปปด คอ การวเคราะหคณสมบตของระบบอนดบสอง จะพจารณาในเทอมของตวแปรสองตวคอ

และ โดยแบงการพจารณาออกเปน 4 กรณคอ

1. กรณ Undamped ( = 0 )

กรณนรากของสมการคณลกษณะหรอ Pole ของลปปดจะอยบนแกนจนตภาพ (Imaginary) ในระนาบ s ซงเอาทพตของระบบจะเกดการแกวง (Oscillate) อยางตอเนอง 2. กรณ Under Damped ( 0 < <1)

กรณนรากของสมการคณลกษณะจะเปนปรมาณเชงซอน (Complex Conjugate) และอยทางครงซายในระนาบ s และระบบจะเปนแบบ Under Damped ซงผลตอบสนองชวครของระบบเกดการแกวงภายใตการหนวง

(3-17)

(3-18)

67

3. กรณ Critical Damped ( =1)

กรณน รากของสมการคณลกษณะจะมคาเทากนและอยบนแกน Real ทางครงซายของระนาบ s ซงผลตอบสนองตอเวลาของระบบจะเหมอนหรอคลายกบผลตอบสนองของระบบอนดบหนงและไมมการแกวง 4. กรณ Over Damped ( >1)

กรณนรากของสมการคณลกษณะจะมคาไมเทากนแตจะบนแกน Real ทางครงซายในระนาบ s ทงหมด และผลตอบสนองตอเวลาของระบบจะเหมอนหรอคลายกบผลตอบสนองของระบบอนดบหนง และไมเกดการแกวง 4.1 รายละเอยดการวเคราะหระบบอนดบสอง (Second-Order System Analysis) ส าหรบผลตอบสนองของระบบอนดบสองตอสญญาณอนพตทเปนแบบ Unit Step (Unit Step Response) แบงการพจารณาดงน 4.1.1 กรณ Undamped ( = 0 ) จากสมการทวไปของฟงกชนถายโอน

ของลปปดคอ

เมอ ( =0 ) จะได

สมการคณลกษณะของลปปดคอ

รากของสมการคณลกษณะคอ

𝑌 𝑠

𝑋 𝑠

𝜔𝑛

𝑠2 𝜔𝑛 𝜔𝑛

2

2

68

นนคอ รากของสมการคณลกษณะจะใหอยบนแกน Imaginary ในระนาบ s โดยมคาเทากบ

และเมออนพตเปน Unit Step มคาเทากบ

จะได

เมอท าการแปลงลาปลาซสมการท (3-19) จะได

นนคอ เมอ t = 0 เอาทพตของระบบจะเกดการแกวงอยางตอเนองกนไป โดยทความถของ

การแกวงคอ 4.1.2 กรณ Underdamped ( 0 < <1)

- เมอสมการคณลกษณะของลปปดคอ

- รากของสมการคณลกษณะคอ

เมอ คอ ตวประกอบการหนวง (Damping Factor) หรอ Damping Constant คอ การหนวงความถธรรมชาต (Damping Natural Frequency) - ดงนน เมอน าไปก าหนดจดไวบนระนาบ จะไดความสมพนธทส าคญคอ

คอคาอตราสวนของการหนวงของระบบ =

(3-19)

(3-20)

69

- เมออนพทเปน Unit Step R(s) มคาเทากบ 1/s จะไดวา

- เมอท าการแปลงลาปลาซผกผนสมการ (3-21) จะได

- ผลตอบสนองของระบบจะเกดการแกวงชวครดวยความถ และแปรคาไปตามอตราความหนวง คาความคลาดเคลอนจะหาไดจาก

- นนคอ คาความคลาดเคลอนของระบบจะเกดการแกวงทมความหนวงและเมอเขาสสภาวะคงท คาความคลาดเคลอนจะมคาเทากบศนย อนงคาของ จะตองนอยกวา เสมอ 3. กรณ Critical Damped ( =1)

- กรณนรากของสมการคณลกษณะจะมคาเทากนนนคอ

- เมอปอนคาอนพทเปน Unit Step จะได

- ท าการแปลงลาปลาซผกผนสมการท (3-24) จะได

(3-21)

(3-22)

(3-23)

(3-24)

(3-25)

70

- ผลตอบสนองเวลาของระบบอนดบสองนไมมการแกวง 4.1.3 กรณ Over Damped ( >-) กรณนรากของสมการคณลกษณะจะ

มคาไมเทากนโดยเปนคาจรงทเปนลบทงสองคาคอ

- เมอปอนคาอนพทเปน Unit Step จะได

- ท าการแปลงลาปลาซผกผนสมการท (3-26) จะได

ผลตอบสนองของระบบอนดบสองในกรณนจะคลายกบผลตอบสนองของระบบอนดบหนง และประกอบไปดวยเทอมของฟงกชนเอกโพเนนเชยล (Exponential) ทลดลงซงอาจจะตดทงไดเพราะมผลตอผลตอบสนองระบบมคานอย ส าหรบการวเคราะหผลการตอบสนองของระบบและคาตางๆ ทใชในการอธบายคณสมบตของระบบแสดงดงภาพท 3.11 จะเหนวาผลการตอบสนองทคาอตราการหนวงของระบบ (Damping Ratio) ในกรณของ Underdamped ถอวาเปนการตอบสนองทดทสดของระบบอนดบสองเนองจากให Rise Time และ Settling Time ทดทสด

(3-26)

(3-27)

71

ภาพท 3.11 ผลตอบสนองตอสญญาณ Unit Step ทคาอตราการหนวงของระบบ

คณลกษณะการวเคราะหผลตอบสนองของระบบควบคมอนดบสอง การวเคราะหผลการตอบสนองโดยทวไปของระบบอนดบสอง (Second Order) เมอปอน

สญญาณอนพตมาตรฐานทเปนแบบสญญาณระดบ (Unit Step Function) โดยสามารถตรวจสอบคณสมบตบางประการของระบบควบคมไดโดยการวเคราะหจากคาตางๆ ดงน

1. เวลาไตขน (Rise Time) Tr คอเวลาทวดจากผลตอบสนองทมขนาดเพมขนจาก 10% ถง 90% ของคาสดทาย

(Final) ส าหรบระบบควบคมอนดบสอง ทอยในสภาวะความหนวงนอย (Underdamped) ปกตจะใช 0% ถง 100% ส าหรบระบบในสภาวะความหนวงมาก (Overdamped) ปกตจะใช 10% ถง 90% 2. เวลาสงสด (Peak Time )

Tp คอเวลาทระบบควบคมมการตอบสนองสงสดค านวณไดจากสมการ

𝑇

√

3. ผลตอบสนองสงสด (Maximum Overshoot ) คอตวบงบอกถงความคลาดเคลอนสงสดระหวางสญญาณอนพตและเอาตพตทสภาวะชวคร (Transient State) และเปนสงทใชประเมนผลเสถยรภาพของระบบควบคม

(3-28)

72

4. เวลาสจดสมดล (Settling Time) เปนเวลาทผลตอบสนองมขนาดลดลงจนอยใกลกบคาเปาหมาย (Set Point) วดไดจากความคลาดเคลอนจากคาสดทาย 2% หรอ 5% ค านวณไดจากสมการ

𝑇 . √1

2

โดยลกษณะการตอบสนองชวขณะของระบบอนดบสองสามารถแสดงดงภาพท 3.12

ภาพท 3.12 คณลกษณะการตอบสนองชวขณะของระบบอนดบสอง

ความสมพนธระหวางต าแหนงของโพลและการตอบสนองของระบบอนดบสอง

ความสมพนธระหวางต าแหนงของโพล (Pole) และการตอบสนองของระบบอนดบสองแบบ Underdamped แบงตามลกษณะของโพล ไดดงน

1. เมอโพลมคาสวนจรงคงท (Constant Real Part) ผลการตอบสนองของระบบตออนพตแบบ Unit Step Function มอตราการลดลงของการตอบสนองเหมอนกน แตการตอบสนองจะมความถของสญญาณซายนทตางกนดงแสดงในภาพท 3.13

(3-29)

73

e(t)

ภาพท 3.13 ผลการตอบสนองของระบบอนดบสองตออนพตแบบ Unit กรณโพลมคาสวนจรงคงท

2. เมอโพลมคาสวนจนตภาพคงท (Constant Imaginary Part) ดงภาพท 3.14 ผลการตอบสนองของระบบตออนพตแบบ Unit Step Function จะมการตอบสนองทมความถของสญญาณซายนทเหมอนกน แตอตราการลดลงของการตอบสนองจะแตกตางกน

ภาพท 3.14 ผลการตอบสนองของระบบอนดบสองตออนพตแบบ Unit กรณโพลมคาสวนจนต ภาพคงท

3. เมอโพลมอตราการแกวงทคงท (Constant Damping Ratio) ดงภาพท 3.15 ผลการตอบสนองของระบบตออนพตแบบ Unit Step Function จะมการตอบสนองทม Overshoot คงท แตมความถของสญญาณซายนและอตราการลดลงของการตอบสนองตางกน

Envelope the same e(t)

t

s-plane

Pole motion

Frequency the same

t

s-plane

Pole motion

e(t)

74

ภาพท 3.15 ผลการตอบสนองของระบบอนดบสองตออนพตแบบ Unit กรณโพลมอตราการแกวง คงท ตวอยางท 3.1 จากภาพขางลาง บลอกไดอะแกรม เมอคา = 0.6 และ = 5 rad/sec จง

แสดงวธการค านวณหาคา เวลาไตขน 𝑇 (Rise Time) , เวลาสงสด (Peak Time) 𝑇 , การ

ตอบสนองสงสด (Maximum Overshoot) และเวลาสมดล (Setting Time) 𝑇 เมอระบบควบคมมสญญาณอนพตแบบอนดบหนง (Unit Step Input)

X(s) +E(s)

Y(s)

วธท า ก าหนดให = 0.6 และ = 5 rad/sec

จะได √1 2

= 4 และ = 3

- คาเวลาไตขน 𝑇 มคา

𝑇

3.

โดยท หาไดจาก

3 .

e(t) Same Overshoot

s-plane

Pole motion

t

75

เพราะฉะนน

𝑇

.1 .

. วนาท

- คาเวลาสงสด 𝑇

𝑇

.1

. วนาท

- คาการตอบสนองสงสด

3 . หรอ .

- คาเวลาสสมดลย 𝑇 หาค าตอบไดสองกรณคอ

- กรณไมเกน 𝑇 3

3

3 1 วนาท

- กรณไมเกน 𝑇

3 1. วนาท

ตวอยางท 3.2 จงออกแบบหาคาอตราขยาย K และคาคงทของการปอนกลบ Kb เพอท าใหระบบซงมสญญาณอนพตเปนแบบสญญาณหนงหนวย มการตอบสนองสงสดเทากบ 0.2 ชวงเวลาการตอบสนองสงสดเทากบ 1 วนาท จงแสดงวธการค านวณคาเวลาไตขน (Rise time) และคาเวลาสสมดลของระบบ

วธท า จากบลอกไดอะแกรมระบบควบคม

X(s) +E(s)

Y(s)

𝐾

𝑆 𝑆 1

1 𝐾𝑏𝑆

76

จะไดฟงกชนถายโอนของระบบเทากบ

2 1 .

เมอเปรยบเทยบกบฟงกชนถายโอนของระบบควบคมอนดบสองโดยทวไปจะมความสมพนธดงน

2 และ

1 .

. √

- หาคา K และคา Kb และเมอตองการ Mp=0.2 และ tp=1 วนาท

√1 2 1. 1

- จากสมการ

1

- หรอ .1

- ดงนน

√ .

- จะท าใหอตราขยาย K มคาเทากบ

2 . 2 1 .

- คาเวลาไตขน (Rise Time) ของระบบหาไดจากสมการ

𝑇

- เมอคา

1. 1.1

- เพราะฉะนนคา 𝑇 . วนาท

77

- คาเวลาสสมดลของระบบเทากบ

- ในกรณ 2% คา 𝑇

. วนาท

- ในกรณ 5% คา 𝑇 3

1. วนาท

การวเคราะหผลตอบสนองเชงสถตหรอสภาวะคงท (Steady State Response) ส าหรบการวเคราะหผลตอบสนองเชงสถตของระบบควบคม คอ ผลการตอบสนองระบบควบคม เมอเวลาผานไปนานมาก ภายหลงจากการเปลยนแปลงของสญญาณอนพตจนระบบควบคมเขาสสภาพสมดลใหม ระบบควบคมทวไปมผลการตอบสนองเชงสถตในลกษณะตางกน เมอไดรบสญญาณอนพตทมลกษณะตางกน เชน ระบบควบคมทไมมความคลาดเคลอนในการควบคมเกดขนเลย เมอสญญาณอนพตเปนสญญาณระดบ แตอาจจะมคาความคลาดเคลอนในการควบคมเกดขนได เมอสญญาณอนพตเปนแบบสญญาณลาด การท าใหระบบควบคมไมมความคลาดเคลอนเกดขน สามารถท าไดโดยการแกไขคณสมบตของระบบควบคมใหม การวเคราะหผลตอบสนองเชงสถต สามารถท าไดโดยพจารณาแบงระบบควบคมออกเปนระบบชนดตาง ๆ ตามลกษณะของฟงกชนถายโอนวงเปด G(s) H(s) ดงน

𝑇 1 𝑇 1 𝑇 1

𝑇 1 𝑇2 1 (𝑇 1)

เทอมของ SN แสดงถง จ านวนโพลทจดก าเนด นนคอ เราจะจ าแนกชนดของระบบ

ควบคมตามจ านวน N ทระบตามฟงกชนถายโอนวงเปดของระบบนนเอง โดยทระบบจะเปนระบบควบคมชนด 0 , ชนด 1, ชนด 2, … ถาจ านวน N = 0, N = 1, N = 2, … ตามล าดบ ซงผลตอบสนองเชงสถตของระบบควบคมจะเปนอยางไรเมอไดรบสญญาณอนพตเปนสญญาณระดบ สญญาณลาด หรอสญญาณลกษณะอน ๆ นน ขนอยกบจ านวนโพลทจดก าเนดของฟงกชนถายโอนวงเปด ระบบควบคมทมจ านวนโพลทจดก าเนดเพมขน จะท าใหความแมนย าในการควบคมของระบบดขน หรอชวยลดความคลาดเคลอนของระบบในการควบคมใหมคานอยลง

78

X(s) +E(s)

Y(s)

ภาพท 3.16 ระบบควบคมปอนกลบแบบเปนหนง (Unity Feedback)

การหาผลตอบสนองระบบจากฟงกชนถายโอนโดยใชโปรแกรม Matlab เมอเราทราบฟงกชนถายโอนของระบบแลว เราสามารถวเคราะห คาความคลาด

เคลอนของระบบ (Steady State Error) โดยท าการปอนสญญาณอนพตแบบตางๆ เชน Step Function, Ramp Function, Impulse Function โปรแกรม Matlab จะมฟงกชนอ านวยความสะดวกใชในการวเคราะห ท าใหการวเคราะหระบบมความงายและรวดเรวมากขน โดยมฟงกชนดงน

1. ผลตอบสนองของระบบตอสญญาณแบบหนงหนวย (Unit Step Function)

ตารางท 3.1 ค าสงส าหรบทดสอบผลตอบสนองตอสญญาณอนพตแบบหนงหนวย (Unit Step)

ค าสง ความหมาย tf(num,den) การสรางฟงกชนถายโอนโดยม num เปนคาสมประสทธ

ของเศษและ den เปนคาสมประสทธของสวน Step(sys) การพลอตผลตอบสนองแบบขนบนได (Step Response)

ของระบบ Step(sys,t) การพลอตผลตอบสนองแบบขนบนได (Step Response)

ของระบบในชวงเวลา t Step(sys1,’color’,sys2,’line’) การพลอตผลตอบสนองแบบขนบนได (Step Response)

ของสองระบบเปรยบเทยบกน

𝐺 𝑠

79

ตวอยางท 3-3 จงใชโปรแกรม Matlab หาคาผลตอบสนองของระบบเมอปอนสญญาณอนพตแบบStep

X(s) +E(s)

Y(s)

วธท า - ระบบนสามารถหาคา Closed Loop Transfer Function จะได

1 1

2 1 1

- ก าหนดคาตวแปรตางๆ บนหนาตางค าสงและหาคาผลตอบสนองตอสญญาณอนพตแบบหนงหนวย (Unit Step Function) - คยค าสงนลงบน Command Windows ของโปรแกรม Matlab >> sys1=tf([10 10],[1 10 10]); >> U1=step(sys1); >> plot(U1); >> axis([0 100 0 1.5]); >> xlabel('t');ylabel('amplitude'); >>title('step-response curves') - จะไดผลตอบสนองของระบบดงภาพขางลาง

0 5 10 15 20 25 30 35

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4step-response curves

𝑆 1

1

𝑆2

80

ตวอยางท 3-4 จงใชโปรแกรม Matlab หาคาผลตอบสนองของระบบตอไปนในชวงเวลา 5 วนาท

เมอก าหนดให

3

วธท า - ก าหนดคาตวแปรตางๆ บนหนาตางค าสงและหาคาผลตอบสนองตอสญญาณอนพตแบบหนงหนวย (Unit Step Function) - คยค าสงนลงบน Command Windows ของโปรแกรม Matlab >>sys2=tf([8],[1 3 9]); >>t=[0:0.01:5]; >>step(sys2,t) - จะไดผลตอบสนองของระบบดงภาพขางลาง

ตวอยางท 3-5 จงใชโปรแกรม Matlab แสดงผลตอบสนองของระบบในตวอยางท 3-3 , 3-4 พรอมกน วธท า - ก าหนดคาตวแปรตางๆ บนหนาตางค าสงและหาคาผลตอบสนองตอสญญาณอนพตแบบหนงหนวย(Unit Step Function) - คยค าสงนลงบน Command Windows ของโปรแกรม Matlab >>sys1=tf([10 10],[1 10 10]); >>sys2=tf([8],[1 3 9]);

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

81

>>t=[0:0.01:5]; >>step(sys1,’r’,sys2,’- -‘,t); - จะไดผลตอบสนองของระบบสองระบบเปรยบเทยบกนดงภาพขางลาง

2. ผลตอบสนองของระบบตอสญญาณอมพลส (Impulse Function)

ตารางท 3.2 ค าสงส าหรบผลตอบสนองของระบบควบคมตอสญญาณอนพตแบบอมพลส

ค าสง ความหมาย tf(num,den) การสรางฟงกชนถายโอนโดยม num เปนคาสมประสทธของ

เศษและ den เปนคาสมประสทธของสวน Impulse(sys) การพลอตผลตอบสนองแบบอมพลส (Impulse Response)

ของระบบ Impulse (sys,t) การพลอตผลตอบสนองแบบอมพลส (Impulse Response)

ของระบบในชวงเวลา t Impulse (sys1,’color’,sys2,’line’) การพลอตผลตอบสนองแบบขนบนได (Step Response)

ของสองระบบเปรยบเทยบกน

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

𝐺 𝑠 1 𝑠 1

𝑠2 1 𝑠 1

𝐹 𝑠

𝑠2 𝑠

82

ตวอยางท 3-6 จาก Closed Loop Transfer Function ตอไปนจงใชโปรแกรม Matlab แสดงคาผลตอบสนองของระบบเมอปอนสญญาณอนพตแบบอมพลส (Impulse Function)

วธท า - จาก Closed Loop Transfer Function

- คยค าสงนลงบน Command Windows ของโปรแกรม Matlab >> sys3=tf([5 10],[1 10 10]); >>impulse(sys3); - จะไดผลตอบสนองของระบบตอสญญาณอมพลสดงภาพขางลาง

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Impulse Response

Time (sec)

Am

plit

ude

83

ตวอยางท 3-7 จาก Closed Loop Transfer Function ตอไปนจงใชโปรแกรม Matlab แสดงคาผลตอบสนองของระบบเมอปอนสญญาณอนพตแบบอมพลส (Impulse Function)

วธท า - จาก Closed Loop Transfer Function

2 2

- คยค าสงนลงบน Command Windows ของโปรแกรม Matlab >> sys4=tf([1 10],[1 2 2 1]); >>t=[0:0.01:5] >>impulse(sys4); - จะไดผลตอบสนองของระบบตอสญญาณอมพลสดงภาพขางลาง

0 2 4 6 8 10 12 14-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Impulse Response

Time (sec)

Am

plit

ude

84

ตวอยางท 3-8 จงใชโปรแกรม Matlab แสดงผลตอบสนองของระบบในตวอยางท 3-6 , 3-7 พรอมกน เมอมการปอนสญญาณอนพตแบบอมพลส วธท า

- เมอระบบในตวอยางท 3-6

- และระบบในตวอยางท3-7

2 2

- คยค าสงนลงบน Command Windows ของโปรแกรม Matlab >> sys3=tf([5 10],[1 10 10]); >> sys4=tf([1 10],[1 2 2 1]); >>t=[0:0.01:10] >>impulse(sys3,’k’,sys4,’- -‘,t); - จะไดผลตอบสนองของระบบตอสญญาณอมพลสของสองระบบดงภาพขางลาง

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2

3

4

5

Impulse Response

Time (sec)

Am

plit

ude

85

สรป ในบทนไดกลาวถงเนอหาวธการการวเคราะหผลตอบสนองเชงเวลา (Time Domain

Response Analysis) อนไดแก การวเคราะหผลตอบสนองชวขณะ (Transient Response Analysis) และ การวเคราะหผลตอบสนองเชงสถต หรอสภาวะคงท (Steady State Response) ของระบบอนดบหนงและระบบอนดบสอง ประเดนส าคญคอความตองการของการศกษาพฤตกรรมของระบบ (Behavior Of System) ตอสญญาณมาตรฐานทปอนทนยมใชสญญาณแบบหนงหนวย (Step Function) แบบอมพลล (Impulse Function) แบบลาด (Ramp Function) และแบบซายน (Sinusoidal Function) ในชวงทายหนวยเปนเนอหาการประยกตใชโปรแกรม Matlab ในการหาคาและแสดงผลตอบสนองของระบบซงชวยในการอ านวยความสะดวกในการวเคราะหผลตอบสนองทางเวลา

- สรปค าสงในโปรแกรม Matlab ทชวยอ านวยความสะดวกในการหาผลตอบสนองของระบบในโดเมนเวลา

- tf(num,den) หมายถง การสรางฟงกชนถายโอนโดยม Num คอคาสมประสทธของตวเศษและคา den คอคาสมประสทธของตวสวน

- step(sys) หมายถง การพลอตผลตอบสนองแบบขนบนได - step(sys,t) หมายถง การพลอตผลตอบสนองแบบขนบนไดในชวงเวลา t - impulse(sys) หมายถง การพลอตผลตอบสนองแบบอมพลส - impulse(sys,t) หมายถง การพลอตผลตอบสนองแบบอมพลสในชวงเวลา t - [z,p,k]=tf2zp(num,den) หมายถง การหาต าแหนงโพล ซโรและคาอตราขยาย (Gain)

ของฟงกชนถายโอน - [num,den]=zp2tf(z,p,k) หมายถง การหาฟงกชนถายโอนเมอก าหนดต าแหนงโพล

และซโร คาอตราขยาย - zplane(zero,pole) หมายถง การพลอตกราฟ โพลและซโร บนระนาบ

86

ค าถามทบทวน ใหนกศกษาแสดงวธท าและตอบค าถามตอไปน 1. จากฟงกชนถายโอนของระบบตอไปนจงแสดงวธการค านวณหาคา ของระบบเมอปอนสญญาณอนพตแบบหนงหนวยซงม มคา 4% คา 𝑇 มคา 2 วนาท

2 2

2. จงหาคา และคา 𝑇 เมอปอนสญญาณเขาแบบหนงหนวยใหกบระบบควบคมปอนกลบ

แบบเปนหนง (Unity Feedback)

. 1

3. จงหาคา ของระบบควบคมแบบปอนกลบเปนหนงจากฟงกชนถายโอนแบบลปปด

1

4. จากบลอกไดอะแกรมของระบบดงภาพ จงแสดงวธการหาคาผลตอบสนองของระบบเมอปอนสญญาณอนพตแบบหนงหนวย

X(s) +E(s)

Y(s)

5. จากบลอกไดอะแกรมของระบบดงภาพ จงแสดงวธการหาคาผลตอบสนองของระบบควบคมปอนกลบแบบเปนหนง (Unity Feedback) โดยก าหนดใหมการปอนสญญาณอนพตแบบหนงหนวย

𝟓𝟎

𝑺 𝑺 𝟑

𝟐𝑺 𝟏

87

X(s) +E(s)

Y(s)

6. จากฟงกชนถายโอนของระบบตอไปนจงแสดงผลตอบสนองของระบบโดยใชโปรแกรม Matlab

2

7. จากขอท 6 จงแสดงผลตอบสนองของระบบเมอมการปอนสญญาณอนพตแบบหนงหนวย (Unit Step Function) 8. จากขอท 6 จงแสดงผลตอบสนองของระบบเมอมการปอนสญญาณอนพตแบบอมพลส (Impulse Function) 9. การสรางฟงกชนถายโอนโดยมค าวา num เปนคาสมประสทธของอะไรในโปรแกรม MATlab 10. การสรางฟงกชนถายโอนโดยมค าวา den เปนคาสมประสทธของสวนของอะไรในโปรแกรม MATlab

𝑺 𝟏

𝟐𝟎

𝑺𝟐

88

เอกสารอางอง

ศภชย ปลายเนตร. วชาระบบควบคม. (ม.ป.ป.). [ออนไลน]. จากhttp://elearning.npu.ac.th/.

สบคนเมอ 2 พฤษภาคม 2558 เดวดบรรเจดพงศชย.(2551). ระบบควบคมพลวตการวเคราะหการออกแบบและการประยกต. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. สมาล อณหวณชย. (2545). ระบบควบคม(Control System). กรงเทพฯ : บรษท ว. เพชรสกล จ ากด. สวลย กลนความด. (2537). ระบบควบคม. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. K. Ogata. 2000. Modern Control Engineering. 4th edition.Prentice-Hall, Inc. R. C. Dorf and Robert H. Bishop.1995. Modern Control Systems.7th edition.Addison Wesley. R.S. Burn. 2001. Advance Control engineering. Butterworth-Heinemann Linacre House,JordanHill.A division of Reed Education and Professional Publishing Ltd.

57

บทท 3 ผลตอบสนองเชงเวลา

จากบททผานมาไดท าการศกษาการเขยนแบบจ าลองทางคณตศาสตรของระบบซ ง ท าใหเราสามารถมองเหนภาพระบบในรปแบบของแบบจ าลองทางคณตศาสตรส าหรบ บทน จะกลาวถงหลกการและวธการการวเคราะหผลตอบสนองเชงเวลา (Time Domain Response Analysis) อนไดแก การวเคราะหผลตอบสนองชวขณะ (Transient Response Analysis) และการวเคราะหผลตอบสนองเชงสถต หรอสภาวะคงท (Steady State Response) ซงจะท าใหผอานมความเขาใจพนฐานของการวเคราะหระบบผลตอบสนองเชงเวลา

การวเคราะหผลตอบสนองชวขณะ (Transient Response Analysis) ในการออกแบบระบบควบคมตางๆ สงทส าคญคอการตรวจสอบผลตอบสนอง (Response)

ของระบบตอสญญาณปอนเขาเพอทดสอบคณสมบตของระบบและผลตอบสนอง ท าได โดยปอนสญญาณทมรปรางแนนอนเพอใชเปนสญญาณอางองใหกบระบบแลวจงพจารณาจากผลตอบสนอง ของระบบในโดเมนเวลา (Time Domain) เพอหาผลตอบสนองของระบบ (Transient Response) ความคลาดเคลอนในสภาวะคงท (Steady State Error) และเสถยรภาพของระบบ (Stability) การศกษาถงผลตอบสนอง (Response) ของระบบควบคม นยมใชสญญาณแบบหนงหนวย (Step Function) แบบพลล (Pulse Function) แบบลาด (Ramp Function) และแบบซายน (Sinoslidal Function) เมอก าหนดให เปนผลตอบสนองทางเวลาของระบบ สามารถเขยนสมการระบบไดดงน

(3-1) โดยท คอ ผลตอบสนองชวขณะ คอ ผลตอบสนองสภาวะคงท การวเคราะหผลตอบสนองสภาวะชวขณะจะมคาเขาใกลศนย เมอคาเวลาเขาสคาอนนต ดงสมการ (3-2) ดงนนในการวเคราะหและออกแบบระบบควบคมนนสงทส าคญคอจะตองเขาใจเกยวกบสมการของสญญาณตาง ๆ กบระบบ ส าหรบการวเคราะหในโดเมนเวลาในรปแบบของเวลา เพอจะไดท าการแปลงลาปลาซสมการฟงกชนเหลานน

58

สญญาณปอนส าหรบทดสอบผลตอบสนองของระบบ 1. สญญาณปอนหรออนพตแบบหนงหนวย (Step Function) แสดงไดดวยสมการคณตศาสตรดงน เมอ เมอ ก าหนดให เปนคาคงท (Constant)

- เมอท าการแปลงใหอยในรปสมการลาปลาซจะได (3-3) โดยสญญาณอนพตแบบหนงหนวยมลกษณะดงภาพท 3.1

=X𝑢 ( )

( )

ภาพท 3.1 ลกษณะสญญาณอนพตแบบหนงหนวย (Step Function) 2. สญญาณปอนหรออนพตแบบลาด (Ramp Function) แสดงไดดวยสมการคณตศาสตรดงน เมอ เมอ

ก าหนดให เปนคาคงท (Constant) - เมอท าการแปลงใหอยในรปสมการลาปลาซจะได (3-4)

𝐴

𝑠

𝐴

𝑠2

59

โดยสญญาณอนพตแบบลาดมลกษณะดงภาพท 3.2

=X𝑢 ( )

( )

Slop=Xt

ภาพท 3.2 ลกษณะสญญาณอนพตแบบลาด (Ramp Function) 3. สญญาณปอนหรออนพตแบบพาราโบลค (Parabolic Function) แสดงไดดวยสมการคณตศาสตรดงน 2 เมอ เมอ

ก าหนดให เปนคาคงท (Constant) - เมอท าการแปลงใหอยในรปสมการลาปลาซจะได (3-5)

𝐴

𝑠3

60

โดยสญญาณอนพตแบบพาราโบลค มลกษณะดงภาพท 3.3

( )

ภาพท 3.3 ลกษณะสญญาณอนพตแบบพาราโบลค (Parabolic Function)

รปแบบของระบบควบคมอนดบหนง (Fist Order System) จากพนฐานของบลอกไดอะแกรมของระบบควบคมอนดบหนงดงแสดงในภาพท 3.4 และ

ภาพท 3.5

X(s) + Y(s) 1

𝑇

E(s)

ภาพท 3.4 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมอนดบหนงทมการปอนกลบ

X(s) Y(s)

ภาพท 3.5 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมอนดบหนง

𝑥 𝑡 𝑋𝑡2𝑢𝑠 𝑡

1

𝑇𝑠 1

61

1

𝑠.

1

𝑇𝑠 1

สามารถเขยนสมการแสดงความสมพนธระหวางสญญาณอนพตและสญญาณเอาทพตของระบบไดดงน

1

𝑇 1

ส าหรบการวเคราะหผลตอบสนองของระบบ ท าไดโดยการปอนสญญาณตางๆทไดกลาวมาขางตนใหกบระบบโดยตองก าหนดใหคาเงอนไขเรมตน (Initial Condition) เปนศนย

1. ผลตอบสนองของระบบอนดบหนงจากสญญาณอนพตแบบหนงหนวย ส าหรบผลตอบสนองของระบบอนดบหนงเมอท าการปอนสญญาณอนพตแบบหนงหนวยเมอ

ท าการแปลงลาปลาซแลวจะได ผลตอบสนองของสญญาณจะไดเปน

- ท าการแยกเศษสวนยอย (Partial Fraction) สมการท (3-7) จะได

1

1

𝑇 1

- ท าการแปลงลาปลาซผกผนสมการท (3-8) จะได

1

1.0

T

e(t)

y(t)

1-e-t/T

e-t/T

ภาพท 3.6 ผลตอบสนองของระบบคมอนดบหนงเมอปอนสญญาณอนพตยนตสเตป

(3-6)

1

𝑠

(3-7)

(3-8)

(3-9)

62

พจารณาสมการ (3-9) สงเกตคาเรมตนของสญญาณเอาทพต มคาเปนศนยและคา

สดทายมคาเทากบหนงและท 𝑇 คาของ เทากบ 0.632 หรอ 32% ของการเปลยนแปลงทงหมด ซ งสามารถแสดงไดโดยการแทนคา 𝑇 ในสมการ (3-9) จะได

𝑇 1 .

ลกษณะผลตอบสนองของระบบแสดงในภาพท 3.5 ซงเปนลกษณะของกราฟแบบเอก

โปแนลเชยลทมความชนของกราฟท คอ

1

𝑇 .

1

𝑇

สญญาณความคลาดเคลอน หาไดจาก

จากสมการท (3-11) เมอ เขาสอนนต (Infinity) แลวคา

จะเขาสศนย จะท าใหคาคลาดเคลอน มคาเทากบศนย

1.0

T

e(t)

y(t)

1-e-t/T

y(t)=

2T 3T 4T 5T

0.632

63

.2%

86

.5%

95

%

98

.2%

99

.3%

ภาพท 3.7 ลกษณะของผลตอบสนองของระบบอนดบหนง

(3-10)

(3-11)

63

2. ผลตอบสนองของระบบอนดบหนงตอสญญาณลาด (Unit-Ramp Response of First Order System) - เมอท าการแปลงลาปลาซสญญาณลาด แลวจะได

- จากสมการ (3-6) เขยนผลตอบสนองตอสญญาณเอาตพตของภาพท 3.3 จะไดเปน

.

- จากนนท าการแยกเศษสวนยอยสมการ (3-12) จะได

1

2

𝑇

𝑇2

𝑇 1

- ท าการแปลงลาปลาซผกผนสมการท (3-13)

𝑇 (1 )

- สญญาณความคลาดเคลอน หาไดจาก

𝑇 (1

)

- จากสมการ (3-14) เมอ แลวคา

จะเขาสศนยซงจะท าใหคาความคลาดเคลอน มคาเทากบ 𝑇 หรอ 𝑇

(3-12)

(3-13)

(3-14)

64

2T 4T 6T

2T

4T

6T

x(t)

y(t)

t

x(t)

y(t)e(t

)

ภาพท 3.8 ลกษณะของผลตอบสนองของระบบอนดบหนงตอสญญาณแบบลาด

3. ผลตอบสนองของระบบอนดบหนงตอสญญาณแบบอมพลส (Unit Impulse Response of First Order System)

- เมอปอนสญญาณอนพตแบบอมพลสมสมการ 1 ดงนนสญญาณเอาทพตของระบบจงมคาเทากบ

1

𝑇 1

- ท าการแปลงลาปลาซผกผนสมการท (3-14) จะได

. (

)

(3-15)

𝑦 𝑡 1

𝑇 . 𝑒

𝑇

65

- ลกษณะผลตอบสนองของสมการ (3-15) แสดงดงภาพดานลาง

2T 4T 6T

2T

4T

6T

y(t)

t

ภาพท 3.9 ลกษณะของผลตอบสนองของระบบอนดบหนงตอสญญาณแบบอมพลส

4. ระบบควบคมอนดบสอง (Second Order System) ระบบควบคมอนดบสองคอ ระบบทมคาตวแปรตางๆ อยในรปของสมการอนพนธก าลงสอง

โดยมรปแบบสมการฟงกชนถายโอนคอ

เมอ คอ ความเรวเชงมมในการแกวงตามธรรมชาต (Underdamped Natural Frequency) คอ อตราการหนวงของระบบ (Damping Ratio)

𝑌 𝑠

𝑋 𝑠

𝜔𝑛

𝑠2 𝜔𝑛 𝜔𝑛

2

2 (3-16)

66

X(s) +E(s)

Y(s)

ภาพท 3.10 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมอนดบสอง ฟงกชนถายโอนของลป คอ

เมอสมการคณลกษณะของลปปด คอ การวเคราะหคณสมบตของระบบอนดบสอง จะพจารณาในเทอมของตวแปรสองตวคอ

และ โดยแบงการพจารณาออกเปน 4 กรณคอ

1. กรณ Undamped ( = 0 )

กรณนรากของสมการคณลกษณะหรอ Pole ของลปปดจะอยบนแกนจนตภาพ (Imaginary) ในระนาบ s ซงเอาทพตของระบบจะเกดการแกวง (Oscillate) อยางตอเนอง 2. กรณ Under Damped ( 0 < <1)

กรณนรากของสมการคณลกษณะจะเปนปรมาณเชงซอน (Complex Conjugate) และอยทางครงซายในระนาบ s และระบบจะเปนแบบ Under Damped ซงผลตอบสนองชวครของระบบเกดการแกวงภายใตการหนวง

(3-17)

(3-18)

67

3. กรณ Critical Damped ( =1)

กรณน รากของสมการคณลกษณะจะมคาเทากนและอยบนแกน Real ทางครงซายของระนาบ s ซงผลตอบสนองตอเวลาของระบบจะเหมอนหรอคลายกบผลตอบสนองของระบบอนดบหนงและไมมการแกวง 4. กรณ Over Damped ( >1)

กรณนรากของสมการคณลกษณะจะมคาไมเทากนแตจะบนแกน Real ทางครงซายในระนาบ s ทงหมด และผลตอบสนองตอเวลาของระบบจะเหมอนหรอคลายกบผลตอบสนองของระบบอนดบหนง และไมเกดการแกวง 4.1 รายละเอยดการวเคราะหระบบอนดบสอง (Second-Order System Analysis) ส าหรบผลตอบสนองของระบบอนดบสองตอสญญาณอนพตทเปนแบบ Unit Step (Unit Step Response) แบงการพจารณาดงน 4.1.1 กรณ Undamped ( = 0 ) จากสมการทวไปของฟงกชนถายโอน

ของลปปดคอ

เมอ ( =0 ) จะได

สมการคณลกษณะของลปปดคอ

รากของสมการคณลกษณะคอ

𝑌 𝑠

𝑋 𝑠

𝜔𝑛

𝑠2 𝜔𝑛 𝜔𝑛

2

2

68

นนคอ รากของสมการคณลกษณะจะใหอยบนแกน Imaginary ในระนาบ s โดยมคาเทากบ

และเมออนพตเปน Unit Step มคาเทากบ

จะได

เมอท าการแปลงลาปลาซสมการท (3-19) จะได

นนคอ เมอ t = 0 เอาทพตของระบบจะเกดการแกวงอยางตอเนองกนไป โดยทความถของ

การแกวงคอ 4.1.2 กรณ Underdamped ( 0 < <1)

- เมอสมการคณลกษณะของลปปดคอ

- รากของสมการคณลกษณะคอ

เมอ คอ ตวประกอบการหนวง (Damping Factor) หรอ Damping Constant คอ การหนวงความถธรรมชาต (Damping Natural Frequency) - ดงนน เมอน าไปก าหนดจดไวบนระนาบ จะไดความสมพนธทส าคญคอ

คอคาอตราสวนของการหนวงของระบบ =

(3-19)

(3-20)

69

- เมออนพทเปน Unit Step R(s) มคาเทากบ 1/s จะไดวา

- เมอท าการแปลงลาปลาซผกผนสมการ (3-21) จะได

- ผลตอบสนองของระบบจะเกดการแกวงชวครดวยความถ และแปรคาไปตามอตราความหนวง คาความคลาดเคลอนจะหาไดจาก

- นนคอ คาความคลาดเคลอนของระบบจะเกดการแกวงทมความหนวงและเมอเขาสสภาวะคงท คาความคลาดเคลอนจะมคาเทากบศนย อนงคาของ จะตองนอยกวา เสมอ 3. กรณ Critical Damped ( =1)

- กรณนรากของสมการคณลกษณะจะมคาเทากนนนคอ

- เมอปอนคาอนพทเปน Unit Step จะได

- ท าการแปลงลาปลาซผกผนสมการท (3-24) จะได

(3-21)

(3-22)

(3-23)

(3-24)

(3-25)

70

- ผลตอบสนองเวลาของระบบอนดบสองนไมมการแกวง 4.1.3 กรณ Over Damped ( >-) กรณนรากของสมการคณลกษณะจะ

มคาไมเทากนโดยเปนคาจรงทเปนลบทงสองคาคอ

- เมอปอนคาอนพทเปน Unit Step จะได

- ท าการแปลงลาปลาซผกผนสมการท (3-26) จะได

ผลตอบสนองของระบบอนดบสองในกรณนจะคลายกบผลตอบสนองของระบบอนดบหนง และประกอบไปดวยเทอมของฟงกชนเอกโพเนนเชยล (Exponential) ทลดลงซงอาจจะตดทงไดเพราะมผลตอผลตอบสนองระบบมคานอย ส าหรบการวเคราะหผลการตอบสนองของระบบและคาตางๆ ทใชในการอธบายคณสมบตของระบบแสดงดงภาพท 3.11 จะเหนวาผลการตอบสนองทคาอตราการหนวงของระบบ (Damping Ratio) ในกรณของ Underdamped ถอวาเปนการตอบสนองทดทสดของระบบอนดบสองเนองจากให Rise Time และ Settling Time ทดทสด

(3-26)

(3-27)

71

ภาพท 3.11 ผลตอบสนองตอสญญาณ Unit Step ทคาอตราการหนวงของระบบ

คณลกษณะการวเคราะหผลตอบสนองของระบบควบคมอนดบสอง การวเคราะหผลการตอบสนองโดยทวไปของระบบอนดบสอง (Second Order) เมอปอน

สญญาณอนพตมาตรฐานทเปนแบบสญญาณระดบ (Unit Step Function) โดยสามารถตรวจสอบคณสมบตบางประการของระบบควบคมไดโดยการวเคราะหจากคาตางๆ ดงน

1. เวลาไตขน (Rise Time) Tr คอเวลาทวดจากผลตอบสนองทมขนาดเพมขนจาก 10% ถง 90% ของคาสดทาย

(Final) ส าหรบระบบควบคมอนดบสอง ทอยในสภาวะความหนวงนอย (Underdamped) ปกตจะใช 0% ถง 100% ส าหรบระบบในสภาวะความหนวงมาก (Overdamped) ปกตจะใช 10% ถง 90% 2. เวลาสงสด (Peak Time )

Tp คอเวลาทระบบควบคมมการตอบสนองสงสดค านวณไดจากสมการ

𝑇

√

3. ผลตอบสนองสงสด (Maximum Overshoot ) คอตวบงบอกถงความคลาดเคลอนสงสดระหวางสญญาณอนพตและเอาตพตทสภาวะชวคร (Transient State) และเปนสงทใชประเมนผลเสถยรภาพของระบบควบคม

(3-28)

72

4. เวลาสจดสมดล (Settling Time) เปนเวลาทผลตอบสนองมขนาดลดลงจนอยใกลกบคาเปาหมาย (Set Point) วดไดจากความคลาดเคลอนจากคาสดทาย 2% หรอ 5% ค านวณไดจากสมการ

𝑇 . √1

2

โดยลกษณะการตอบสนองชวขณะของระบบอนดบสองสามารถแสดงดงภาพท 3.12

ภาพท 3.12 คณลกษณะการตอบสนองชวขณะของระบบอนดบสอง

ความสมพนธระหวางต าแหนงของโพลและการตอบสนองของระบบอนดบสอง

ความสมพนธระหวางต าแหนงของโพล (Pole) และการตอบสนองของระบบอนดบสองแบบ Underdamped แบงตามลกษณะของโพล ไดดงน

1. เมอโพลมคาสวนจรงคงท (Constant Real Part) ผลการตอบสนองของระบบตออนพตแบบ Unit Step Function มอตราการลดลงของการตอบสนองเหมอนกน แตการตอบสนองจะมความถของสญญาณซายนทตางกนดงแสดงในภาพท 3.13

(3-29)

73

e(t)

ภาพท 3.13 ผลการตอบสนองของระบบอนดบสองตออนพตแบบ Unit กรณโพลมคาสวนจรงคงท

2. เมอโพลมคาสวนจนตภาพคงท (Constant Imaginary Part) ดงภาพท 3.14 ผลการตอบสนองของระบบตออนพตแบบ Unit Step Function จะมการตอบสนองทมความถของสญญาณซายนทเหมอนกน แตอตราการลดลงของการตอบสนองจะแตกตางกน

ภาพท 3.14 ผลการตอบสนองของระบบอนดบสองตออนพตแบบ Unit กรณโพลมคาสวนจนต ภาพคงท

3. เมอโพลมอตราการแกวงทคงท (Constant Damping Ratio) ดงภาพท 3.15 ผลการตอบสนองของระบบตออนพตแบบ Unit Step Function จะมการตอบสนองทม Overshoot คงท แตมความถของสญญาณซายนและอตราการลดลงของการตอบสนองตางกน

Envelope the same e(t)

t

s-plane

Pole motion

Frequency the same

t

s-plane

Pole motion

e(t)

74

ภาพท 3.15 ผลการตอบสนองของระบบอนดบสองตออนพตแบบ Unit กรณโพลมอตราการแกวง คงท ตวอยางท 3.1 จากภาพขางลาง บลอกไดอะแกรม เมอคา = 0.6 และ = 5 rad/sec จง

แสดงวธการค านวณหาคา เวลาไตขน 𝑇 (Rise Time) , เวลาสงสด (Peak Time) 𝑇 , การ

ตอบสนองสงสด (Maximum Overshoot) และเวลาสมดล (Setting Time) 𝑇 เมอระบบควบคมมสญญาณอนพตแบบอนดบหนง (Unit Step Input)

X(s) +E(s)

Y(s)

วธท า ก าหนดให = 0.6 และ = 5 rad/sec

จะได √1 2

= 4 และ = 3

- คาเวลาไตขน 𝑇 มคา

𝑇

3.

โดยท หาไดจาก

3 .

e(t) Same Overshoot

s-plane

Pole motion

t

75

เพราะฉะนน

𝑇

.1 .

. วนาท

- คาเวลาสงสด 𝑇

𝑇

.1

. วนาท

- คาการตอบสนองสงสด

3 . หรอ .

- คาเวลาสสมดลย 𝑇 หาค าตอบไดสองกรณคอ

- กรณไมเกน 𝑇 3

3

3 1 วนาท

- กรณไมเกน 𝑇

3 1. วนาท

ตวอยางท 3.2 จงออกแบบหาคาอตราขยาย K และคาคงทของการปอนกลบ Kb เพอท าใหระบบซงมสญญาณอนพตเปนแบบสญญาณหนงหนวย มการตอบสนองสงสดเทากบ 0.2 ชวงเวลาการตอบสนองสงสดเทากบ 1 วนาท จงแสดงวธการค านวณคาเวลาไตขน (Rise time) และคาเวลาสสมดลของระบบ

วธท า จากบลอกไดอะแกรมระบบควบคม

X(s) +E(s)

Y(s)

𝐾

𝑆 𝑆 1

1 𝐾𝑏𝑆

76

จะไดฟงกชนถายโอนของระบบเทากบ

2 1 .

เมอเปรยบเทยบกบฟงกชนถายโอนของระบบควบคมอนดบสองโดยทวไปจะมความสมพนธดงน

2 และ

1 .

. √

- หาคา K และคา Kb และเมอตองการ Mp=0.2 และ tp=1 วนาท

√1 2 1. 1

- จากสมการ

1

- หรอ .1

- ดงนน

√ .

- จะท าใหอตราขยาย K มคาเทากบ

2 . 2 1 .

- คาเวลาไตขน (Rise Time) ของระบบหาไดจากสมการ

𝑇

- เมอคา

1. 1.1

- เพราะฉะนนคา 𝑇 . วนาท

77

- คาเวลาสสมดลของระบบเทากบ

- ในกรณ 2% คา 𝑇

. วนาท

- ในกรณ 5% คา 𝑇 3

1. วนาท

การวเคราะหผลตอบสนองเชงสถตหรอสภาวะคงท (Steady State Response) ส าหรบการวเคราะหผลตอบสนองเชงสถตของระบบควบคม คอ ผลการตอบสนองระบบควบคม เมอเวลาผานไปนานมาก ภายหลงจากการเปลยนแปลงของสญญาณอนพตจนระบบควบคมเขาสสภาพสมดลใหม ระบบควบคมทวไปมผลการตอบสนองเชงสถตในลกษณะตางกน เมอไดรบสญญาณอนพตทมลกษณะตางกน เชน ระบบควบคมทไมมความคลาดเคลอนในการควบคมเกดขนเลย เมอสญญาณอนพตเปนสญญาณระดบ แตอาจจะมคาความคลาดเคลอนในการควบคมเกดขนได เมอสญญาณอนพตเปนแบบสญญาณลาด การท าใหระบบควบคมไมมความคลาดเคลอนเกดขน สามารถท าไดโดยการแกไขคณสมบตของระบบควบคมใหม การวเคราะหผลตอบสนองเชงสถต สามารถท าไดโดยพจารณาแบงระบบควบคมออกเปนระบบชนดตาง ๆ ตามลกษณะของฟงกชนถายโอนวงเปด G(s) H(s) ดงน

𝑇 1 𝑇 1 𝑇 1

𝑇 1 𝑇2 1 (𝑇 1)

เทอมของ SN แสดงถง จ านวนโพลทจดก าเนด นนคอ เราจะจ าแนกชนดของระบบ

ควบคมตามจ านวน N ทระบตามฟงกชนถายโอนวงเปดของระบบนนเอง โดยทระบบจะเปนระบบควบคมชนด 0 , ชนด 1, ชนด 2, … ถาจ านวน N = 0, N = 1, N = 2, … ตามล าดบ ซงผลตอบสนองเชงสถตของระบบควบคมจะเปนอยางไรเมอไดรบสญญาณอนพตเปนสญญาณระดบ สญญาณลาด หรอสญญาณลกษณะอน ๆ นน ขนอยกบจ านวนโพลทจดก าเนดของฟงกชนถายโอนวงเปด ระบบควบคมทมจ านวนโพลทจดก าเนดเพมขน จะท าใหความแมนย าในการควบคมของระบบดขน หรอชวยลดความคลาดเคลอนของระบบในการควบคมใหมคานอยลง

78

X(s) +E(s)

Y(s)

ภาพท 3.16 ระบบควบคมปอนกลบแบบเปนหนง (Unity Feedback)

การหาผลตอบสนองระบบจากฟงกชนถายโอนโดยใชโปรแกรม Matlab เมอเราทราบฟงกชนถายโอนของระบบแลว เราสามารถวเคราะห คาความคลาด

เคลอนของระบบ (Steady State Error) โดยท าการปอนสญญาณอนพตแบบตางๆ เชน Step Function, Ramp Function, Impulse Function โปรแกรม Matlab จะมฟงกชนอ านวยความสะดวกใชในการวเคราะห ท าใหการวเคราะหระบบมความงายและรวดเรวมากขน โดยมฟงกชนดงน

1. ผลตอบสนองของระบบตอสญญาณแบบหนงหนวย (Unit Step Function)

ตารางท 3.1 ค าสงส าหรบทดสอบผลตอบสนองตอสญญาณอนพตแบบหนงหนวย (Unit Step)

ค าสง ความหมาย tf(num,den) การสรางฟงกชนถายโอนโดยม num เปนคาสมประสทธ

ของเศษและ den เปนคาสมประสทธของสวน Step(sys) การพลอตผลตอบสนองแบบขนบนได (Step Response)

ของระบบ Step(sys,t) การพลอตผลตอบสนองแบบขนบนได (Step Response)

ของระบบในชวงเวลา t Step(sys1,’color’,sys2,’line’) การพลอตผลตอบสนองแบบขนบนได (Step Response)

ของสองระบบเปรยบเทยบกน

𝐺 𝑠

79

ตวอยางท 3-3 จงใชโปรแกรม Matlab หาคาผลตอบสนองของระบบเมอปอนสญญาณอนพตแบบStep

X(s) +E(s)

Y(s)

วธท า - ระบบนสามารถหาคา Closed Loop Transfer Function จะได

1 1

2 1 1

- ก าหนดคาตวแปรตางๆ บนหนาตางค าสงและหาคาผลตอบสนองตอสญญาณอนพตแบบหนงหนวย (Unit Step Function) - คยค าสงนลงบน Command Windows ของโปรแกรม Matlab >> sys1=tf([10 10],[1 10 10]); >> U1=step(sys1); >> plot(U1); >> axis([0 100 0 1.5]); >> xlabel('t');ylabel('amplitude'); >>title('step-response curves') - จะไดผลตอบสนองของระบบดงภาพขางลาง

0 5 10 15 20 25 30 35

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4step-response curves

𝑆 1

1

𝑆2

80

ตวอยางท 3-4 จงใชโปรแกรม Matlab หาคาผลตอบสนองของระบบตอไปนในชวงเวลา 5 วนาท

เมอก าหนดให

3

วธท า - ก าหนดคาตวแปรตางๆ บนหนาตางค าสงและหาคาผลตอบสนองตอสญญาณอนพตแบบหนงหนวย (Unit Step Function) - คยค าสงนลงบน Command Windows ของโปรแกรม Matlab >>sys2=tf([8],[1 3 9]); >>t=[0:0.01:5]; >>step(sys2,t) - จะไดผลตอบสนองของระบบดงภาพขางลาง

ตวอยางท 3-5 จงใชโปรแกรม Matlab แสดงผลตอบสนองของระบบในตวอยางท 3-3 , 3-4 พรอมกน วธท า - ก าหนดคาตวแปรตางๆ บนหนาตางค าสงและหาคาผลตอบสนองตอสญญาณอนพตแบบหนงหนวย(Unit Step Function) - คยค าสงนลงบน Command Windows ของโปรแกรม Matlab >>sys1=tf([10 10],[1 10 10]); >>sys2=tf([8],[1 3 9]);

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

81

>>t=[0:0.01:5]; >>step(sys1,’r’,sys2,’- -‘,t); - จะไดผลตอบสนองของระบบสองระบบเปรยบเทยบกนดงภาพขางลาง

2. ผลตอบสนองของระบบตอสญญาณอมพลส (Impulse Function)

ตารางท 3.2 ค าสงส าหรบผลตอบสนองของระบบควบคมตอสญญาณอนพตแบบอมพลส

ค าสง ความหมาย tf(num,den) การสรางฟงกชนถายโอนโดยม num เปนคาสมประสทธของ

เศษและ den เปนคาสมประสทธของสวน Impulse(sys) การพลอตผลตอบสนองแบบอมพลส (Impulse Response)

ของระบบ Impulse (sys,t) การพลอตผลตอบสนองแบบอมพลส (Impulse Response)

ของระบบในชวงเวลา t Impulse (sys1,’color’,sys2,’line’) การพลอตผลตอบสนองแบบขนบนได (Step Response)

ของสองระบบเปรยบเทยบกน

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

𝐺 𝑠 1 𝑠 1

𝑠2 1 𝑠 1

𝐹 𝑠

𝑠2 𝑠

82

ตวอยางท 3-6 จาก Closed Loop Transfer Function ตอไปนจงใชโปรแกรม Matlab แสดงคาผลตอบสนองของระบบเมอปอนสญญาณอนพตแบบอมพลส (Impulse Function)

วธท า - จาก Closed Loop Transfer Function

- คยค าสงนลงบน Command Windows ของโปรแกรม Matlab >> sys3=tf([5 10],[1 10 10]); >>impulse(sys3); - จะไดผลตอบสนองของระบบตอสญญาณอมพลสดงภาพขางลาง

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Impulse Response

Time (sec)

Am

plit

ude

83

ตวอยางท 3-7 จาก Closed Loop Transfer Function ตอไปนจงใชโปรแกรม Matlab แสดงคาผลตอบสนองของระบบเมอปอนสญญาณอนพตแบบอมพลส (Impulse Function)

วธท า - จาก Closed Loop Transfer Function

2 2

- คยค าสงนลงบน Command Windows ของโปรแกรม Matlab >> sys4=tf([1 10],[1 2 2 1]); >>t=[0:0.01:5] >>impulse(sys4); - จะไดผลตอบสนองของระบบตอสญญาณอมพลสดงภาพขางลาง

0 2 4 6 8 10 12 14-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Impulse Response

Time (sec)

Am

plit

ude

84

ตวอยางท 3-8 จงใชโปรแกรม Matlab แสดงผลตอบสนองของระบบในตวอยางท 3-6 , 3-7 พรอมกน เมอมการปอนสญญาณอนพตแบบอมพลส วธท า

- เมอระบบในตวอยางท 3-6

- และระบบในตวอยางท3-7

2 2

- คยค าสงนลงบน Command Windows ของโปรแกรม Matlab >> sys3=tf([5 10],[1 10 10]); >> sys4=tf([1 10],[1 2 2 1]); >>t=[0:0.01:10] >>impulse(sys3,’k’,sys4,’- -‘,t); - จะไดผลตอบสนองของระบบตอสญญาณอมพลสของสองระบบดงภาพขางลาง

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2

3

4

5

Impulse Response

Time (sec)

Am

plit

ude

85

สรป ในบทนไดกลาวถงเนอหาวธการการวเคราะหผลตอบสนองเชงเวลา (Time Domain

Response Analysis) อนไดแก การวเคราะหผลตอบสนองชวขณะ (Transient Response Analysis) และ การวเคราะหผลตอบสนองเชงสถต หรอสภาวะคงท (Steady State Response) ของระบบอนดบหนงและระบบอนดบสอง ประเดนส าคญคอความตองการของการศกษาพฤตกรรมของระบบ (Behavior Of System) ตอสญญาณมาตรฐานทปอนทนยมใชสญญาณแบบหนงหนวย (Step Function) แบบอมพลล (Impulse Function) แบบลาด (Ramp Function) และแบบซายน (Sinusoidal Function) ในชวงทายหนวยเปนเนอหาการประยกตใชโปรแกรม Matlab ในการหาคาและแสดงผลตอบสนองของระบบซงชวยในการอ านวยความสะดวกในการวเคราะหผลตอบสนองทางเวลา

- สรปค าสงในโปรแกรม Matlab ทชวยอ านวยความสะดวกในการหาผลตอบสนองของระบบในโดเมนเวลา

- tf(num,den) หมายถง การสรางฟงกชนถายโอนโดยม Num คอคาสมประสทธของตวเศษและคา den คอคาสมประสทธของตวสวน

- step(sys) หมายถง การพลอตผลตอบสนองแบบขนบนได - step(sys,t) หมายถง การพลอตผลตอบสนองแบบขนบนไดในชวงเวลา t - impulse(sys) หมายถง การพลอตผลตอบสนองแบบอมพลส - impulse(sys,t) หมายถง การพลอตผลตอบสนองแบบอมพลสในชวงเวลา t - [z,p,k]=tf2zp(num,den) หมายถง การหาต าแหนงโพล ซโรและคาอตราขยาย (Gain)

ของฟงกชนถายโอน - [num,den]=zp2tf(z,p,k) หมายถง การหาฟงกชนถายโอนเมอก าหนดต าแหนงโพล

และซโร คาอตราขยาย - zplane(zero,pole) หมายถง การพลอตกราฟ โพลและซโร บนระนาบ

86

ค าถามทบทวน ใหนกศกษาแสดงวธท าและตอบค าถามตอไปน 1. จากฟงกชนถายโอนของระบบตอไปนจงแสดงวธการค านวณหาคา ของระบบเมอปอนสญญาณอนพตแบบหนงหนวยซงม มคา 4% คา 𝑇 มคา 2 วนาท

2 2

2. จงหาคา และคา 𝑇 เมอปอนสญญาณเขาแบบหนงหนวยใหกบระบบควบคมปอนกลบ

แบบเปนหนง (Unity Feedback)

. 1

3. จงหาคา ของระบบควบคมแบบปอนกลบเปนหนงจากฟงกชนถายโอนแบบลปปด

1

4. จากบลอกไดอะแกรมของระบบดงภาพ จงแสดงวธการหาคาผลตอบสนองของระบบเมอปอนสญญาณอนพตแบบหนงหนวย

X(s) +E(s)

Y(s)

5. จากบลอกไดอะแกรมของระบบดงภาพ จงแสดงวธการหาคาผลตอบสนองของระบบควบคมปอนกลบแบบเปนหนง (Unity Feedback) โดยก าหนดใหมการปอนสญญาณอนพตแบบหนงหนวย

𝟓𝟎

𝑺 𝑺 𝟑

𝟐𝑺 𝟏

87

X(s) +E(s)

Y(s)

6. จากฟงกชนถายโอนของระบบตอไปนจงแสดงผลตอบสนองของระบบโดยใชโปรแกรม Matlab

2

7. จากขอท 6 จงแสดงผลตอบสนองของระบบเมอมการปอนสญญาณอนพตแบบหนงหนวย (Unit Step Function) 8. จากขอท 6 จงแสดงผลตอบสนองของระบบเมอมการปอนสญญาณอนพตแบบอมพลส (Impulse Function) 9. การสรางฟงกชนถายโอนโดยมค าวา num เปนคาสมประสทธของอะไรในโปรแกรม MATlab 10. การสรางฟงกชนถายโอนโดยมค าวา den เปนคาสมประสทธของสวนของอะไรในโปรแกรม MATlab

𝑺 𝟏

𝟐𝟎

𝑺𝟐

88

เอกสารอางอง

ศภชย ปลายเนตร. วชาระบบควบคม. (ม.ป.ป.). [ออนไลน]. จากhttp://elearning.npu.ac.th/.

สบคนเมอ 2 พฤษภาคม 2558 เดวดบรรเจดพงศชย.(2551). ระบบควบคมพลวตการวเคราะหการออกแบบและการประยกต. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. สมาล อณหวณชย. (2545). ระบบควบคม(Control System). กรงเทพฯ : บรษท ว. เพชรสกล จ ากด. สวลย กลนความด. (2537). ระบบควบคม. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. K. Ogata. 2000. Modern Control Engineering. 4th edition.Prentice-Hall, Inc. R. C. Dorf and Robert H. Bishop.1995. Modern Control Systems.7th edition.Addison Wesley. R.S. Burn. 2001. Advance Control engineering. Butterworth-Heinemann Linacre House,JordanHill.A division of Reed Education and Professional Publishing Ltd.

88

บทท 4 ผลตอบสนองเชงความถ

ในบททผานมาไดกลาวถงเรองผลตอบสนองทางเวลาของระบบ สงหนงทส าคญในการศกษาวชาระบบควบคม คอผลตอบสนองทางความถ (Frequency Response) ซงเปนความรพนฐานในการวเคราะหระบบควบคม ในบทนน าเสนอเนอหาเกยวกบความรพนฐานเกยวกบผลตอบสนองทางความถ ดวยแผนภาพโบด และการวเคราะหเสถยรภาพของระบบดวยแผนภาพไนควสต การประยกตใชโปรแกรม Matlab ชวยในการท าความเขาใจเกยวกบผลตอบสนองของความถเพมเตมตอไป 4.1 ผลตอบสนองทางความถ (Frequency Response)

ผลตอบสนองทางความถ คอ ผลตอบสนองทสภาวะคงทของระบบควบคมโดยเมอปอนสญญาณอนพตคอในลกษณะสญญาณไซนซอยด (Sinusidal) ทคาความถตาง ๆ กน โดยผลตอบสนองจะมลกษณะเปนสญญาณไซนซอยด เชนเดยวกบสญญาณอนพต แตมขนาดและมมเฟสทเปลยนไปตามความถของสญญาณอนพต และสามารถพสจนไดดงน พจารณาระบบเชงเสนทเสถยรภาพ ดงตอไปน

x(s) Y(s)G(s)

ภาพท 4.1 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมแบบไมแปรเปลยนตามเวลา เมอก าหนดใหสญญาณอนพตซงเปนสญญาณไซนซอยดคอ ( ) (4-1) และฟงชนถายโอนของระบบคอ ( ) ซงอยอยในรปของเศษสวนในตวแปร ดงน เมอท าการแปลงลาปลาซแลวจะไดสญญาณออกคอ

𝐺(𝑠) 𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)

𝑌(𝑠)

(𝑠 + 𝑠1)(𝑠 + 𝑠2)(𝑠 + 𝑠3)… . (𝑠 + 𝑠𝑛) (4-2)

89

( )

(4-3)

จะได

( ) ( ).

(4-4)

และเมอท าการแปลงลาปลาซผกผนกลบจะได โดย

| ( )|

จะเหนวาผลตอบสนองเชงความถของระบบทสภาวะคงท จะเปนฟงกชนไซนซอยดเหมอนกบสญญาณอนพตแตขนาดและมมเฟสเปลยนไปและจะไดขอสรปของผลตอบสนองเชงความถดงน - ผลตอบสนองเชงความถจะเปนฟงกชนไซนซอยด ทความถเชนเดยวกบสญญาณอนพต - อตราขยายเชงความถ | ( )| จะเปลยนแปลงตามความถของสญญาณอนพตดงน

| ( )| | ( )

( )|

มมเฟสของ ( ) จะเปลยนแปลงตามความถของสญญาณอนพตดงน

4.2 กราฟของผลตอบสนองเชงความถ เมอก าหนดให ( )คอฟงชนถายโอนของระบบควบคมใด ๆ จะสามารถเขยน ( )

ใหอยในรปโดเมนความถดงน

𝑦(𝑡) 𝑦𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) (4-5)

(4-6)

(4-7)

(4-8) 𝐺(𝑗𝜔) 𝑌(𝑗𝜔)

𝑋(𝑗𝜔)

90

ภาพท 4.2 แผนภาพระนาบโพลาร

( ) ( ) ( ) + ( ) เมอ ( ) | ( )| คอสวนทเปนคาจรงของ ( ) ( ) | ( )| คอสวนทเปนคาจนตภาพของ ( ) นอกจากนฟงกชนถายโอนของ ( ) ยงสามารถเขยนในรปแบบของขนาดและมมเฟสของ

ไดดงน

( ) | ( ) | | ( )| ( ) โดยขนาดของ ( ) หาไดจากสมการ

| ( )| √ ( )2 + ( )2

Real 𝐺(𝜔) 𝑅(𝜔)

(4-9)

Im𝐺(𝜔) 𝑋(𝜔)

(4-10)

(4-11)

91

มมเฟสของ ( ) หาไดจากสมการ 4-12 ดงนนการเขยนกราฟแสดงผลตอบสนองเชงความถของระบบทมฟงกชนถายโอนคอ จงสามารถหาไดตามสมการ ส าหรบเสนโคงโพลาร คอ เสนกราฟทแสดงผลตอบสนองเชงความถของระบบทเขยนขนโดยอาศยสมการในการหาคาและระบบพกดทใชในกรณนจะใชแกนนอนเปนสวนของคาจรงและแกนตงเปนสวนของแกนจนตภาพของ 4.3 พนฐานของการวเคราะหผลตอบสนองเชงความถ

ในการวเคราะหผลตอบสนองเชงความถโดยทวไปทนยมม 2 แบบคอ การวเคราะหดวยแผนภาพโบด (Bode Plot) และการวเคราะหดวยแผนภาพไนควสต

4.3.1 การวเคราะหดวยแผนภาพโบด (Bode Plot) เฮนดรก ดบบลว น าเสนอหลกการวเคราะหโดยรยกวา แผนภาพโบด ประกอบดวย

- แผนภาพแสดงผลของการเปลยนแปลงขนาดตอความถอนพต (Amplitude Graph) - แผนภาพทแสดงผลของการเปลยนแปลงมมเฟสตอความถอนพต (Phase Graph)

เนองจากตองการใหแผนภาพสามารถวเคราะหผลตอบสนองความถในยานทกวาง ดงนนตวแปรความถในแนวแกนนอนจงถกท าใหมลกษณะการเพมคาเปนแบบลอกสเกล

4.3.2 การเขยนแผนภาพโบด การเขยนแผนภาพโบดท าไดโดยการแยกเทอมของฟงกชนถายโอนทแทนทตวแปรเอส (s)

ดวยความถเชงซอน ( ) ออกเปนหลายๆเทอม แลวสรางแผนภาพโบดยอยของผลตอบสนองของแตละเทอม แลวจงน าผลตอบสนองทกเทอมมารวมเปนแผนภาพเดยวกน ซงเปนแผนภาพผลตอบสนองรวมของทงระบบ เมอพจารณาสมการฟงกชนถายโอนดงน

( ) ( + 1)( + 2)… ( + )

( + 1)( + 2)… ( + )

ขนาดของผลตอบสนองทางความถหรอ ( ) จะมคาเทากบผลคณของขนาดของแตละเทอมดงสมการ

| ( )| | ||( )|| |…| |

| ||( )||( )|…|( )|

สามารถเขยนรปใหม โดยใชการแปลงขนาด (Magnitude) หรอ Gain ของฟงกชนถายโอนใหอยในรปแบบของสเกลลอกการทม (Logarithm Scale) โดยใช dB ในการหาขนาดจากสมการ

ขนาด ( ) 1 | | (4-15)

(4-12) 𝜑(𝜔) 𝑡𝑎𝑛−1𝑋(𝜔)

𝑅(𝜔)

(4-13)

(4-14)

92

ดงนนเมอทราบขนาดของแตละเทอมของสมการฟงกชนถายโอน สามารถเอาขนาดมาบวกลบกนไดเขยนความสมพนธสมการท 4-13 และ 4-15 จะได

20𝑙𝑜𝑔 = 20𝑙𝑜𝑔 +20𝑙𝑜𝑔 + 1+20𝑙𝑜𝑔 + 2+

… 𝑙𝑜𝑔| + | 𝑙𝑜𝑔| |

( 𝑙𝑜𝑔|( + 1)| + 𝑙𝑜𝑔|( + 2)|… + 𝑙𝑜𝑔|( + )|)

ในท านองเดยวกน สวนของมมเฟส (Phase) ของฟงกชนถายโอน G(s) จะหาไดจากมมเฟส

ของแตละเทอมในสมการท 4-14 บวกลบกนจะได

( ) ( + 1 + 2 + )

( + 1 + 2 + )

เมอ จากทน าเสนอมาสามารถแบงลกษณะของเทอมตาง ๆ ของฟงกชนถายโอนแบงเปน 4 รปแบบคอ 1. เมอคา Gain เปนคาคงท K 2. เมอโพลหรอซโรเปนคาบนจดก าเนด (Origin) นนคอ1/s หรอ s 3. เมอโพลหรอซโรเปนคาบนแกนจรง (Real) 4. เมอโพลหรอซโรเปนคาบนจดเปนคาเชงซอน (Complex) ส าหรบการวเคราะหดวยแผนภาพโบดของรปแบบตางๆ มรายละเอยดดงน 4.3.2.1 รปแบบของฟงกชนถายโอนม Gain เปนคาคงท เมอ ( ) และ ( ) จากสมการท 4-15 สามารถค านวณขนาดผลตอบสนองไดจาก | ( )| 1 | | และค านวณมมเฟสจะได

( ) องศา หรอ องศา

93

ตวอยางท 4.1 เขยนแผนภาพโบดของฟงกชนถายโอนกรณเมอคา Gain เปนคาคงท K=10

วธท า จาก ขนาด ( ) 1 | | 1 | |

เขยนแผนภาพโบดไดดงน

40

20

-20

-40-600.01 0.1 1

0

10 100 1000

180

90

-90

-180-270

0.01 0.1 1

0

10 100 1000

(Degree) (dB)

K

K

K=10

4.3.2.2 รปแบบของฟงกชนถายโอนเมอโพลหรอซโรเกดขนบนจดก าเนด (Origin) - เมอโพลของระบบเทากบ ( ) 1

( )

1

สามารถ

ค านวณหาคาขนาดของผลตอบสนองไดจาก | ( )| 𝑙𝑜𝑔1 | | จากผลของสมการ 4-16 จะไดแผนภาพโบดเปนเสนตรงทมความชน -20 dB/decade ดงภาพท 4.3

(4-16)

94

40

20

-20

-40-600.01 0.1 1

0

10 100

� (dB)

1000

ภาพท 4.3 แผนภาพขนาดของผลตอบสนองเมอโพลเกดขนทจดก าเนด

ค านวณมมเฟสของเทอมทมโพลทจดก าเนดไดจาก

( ) ( )−1 จากผลของสมการ 4-17 จะไดมมเฟสตลอดยานความถ มคาเทากบ -90o ดงภาพท 4.4

180

90

-90

-180-270

0.01 0.1 1

0

10 100 1000

(Degree)

ภาพท 4.4 แผนภาพมมเฟสของผลตอบสนองเมอโพลเกดขนทจดก าเนด

(4-17)

95

4.3.2.3 รปแบบของฟงกชนถายโอนเมอซโรเกดขนบนจดก าเนด (Origin)

- เมอ ( ) 1

( ) ( )−

สามารถค านวณหาคาขนาดของผลตอบสนองไดจาก | ( )| 𝑙𝑜𝑔1 | |

จากผลของสมการ 4-16 จะไดแผนภาพโบดเปนเสนตรงทมความชนเทากบ -n20 dB/decade ดงภาพท 4.5

40

20

-20

-40-600.01 0.1 1

0

10 100

� (dB)

1000

n=2

ภาพท 4.5 แผนภาพขนาดของผลตอบสนองเมอซโรเกดขนทจดก าเนด ค านวณมมเฟสของเทอมทมซโรทจดก าเนดไดจาก ( ) ( )−1 + ( )−1+. . . จากผลของสมการ 4-18 จะไดมมเฟสตลอดยานความถ มคาเทากบ -180o ดงภาพท 4.6

(4-18)

96

180

90

-90

-180-270

0.01 0.1 1

0

10 100 1000

(Degree)

ภาพท 4.6 แผนภาพมมเฟสของผลตอบสนองเมอซโรเกดขนทจดก าเนด

4.3.2.4 รปแบบของฟงกชนถายโอนเมอโพลหรอซโรเกดขนบนแกนจรง (Real Axis) - เมอโพลเกดขนบนแกนจรงจะมฟงกชนถายโอนคอ

( )

เมอ ( )

การวเคราะหการตอบสนองความถของระบบจะพจารณายานความถของ ม 2 กรณคอ

1. กรณ นอยกวา a มากๆ ยานความถ นเปนชวงความถต า (Low Frequency) 2. กรณ มากกวา a มากๆ ยานความถ นเปนชวงความถต าสง (High Frequency) ค านวณขนาดผลตอบสนองไดจาก

| ( | (√ + (

)2−1

)

หรอ | ( )| 1 [ + (

)2]

แตถากรณความถของอนพตมคานอยกวาคาความถทจด b มากๆ สมการท 4-19 , 4-20 จะมคา | ( )| 1

(4-19)

(4-20)

(4-21)

97

เชนเดยวกน กรณความถของอนพตมคามากกวาคาความถทจด b มากๆ จะได

| ( )| 1

สามารถเขยนแผนภาพขนาดดงภาพท 4.7

100b10bb0.1b0.01b-60-40

-200

20

1000b

ภาพท 4.7 แผนภาพขนาดเมอคาโพลบนแกนจรง การค านวณหามมเฟสเมอโพลอยบนแกนจรงหาไดจากสมการ

( ) (

+ )

สามารถเขยนแผนภาพมมเฟสเมอโพลอยบนแกนจรงดงภาพท 4.8

0.01a 0.1a a 10a 100a 1000a

0o45o

-45o

90o

-135o

Slop= -45o

/decade

Actual lineEstimate line

(4-22)

Slop=-20dB/decade

(4-23)

98

0.01a 0.1a a 10a 100a 1000a

90o135o

45o

0o

-45o

Actual line

Estimate lineSlop=45o

/decade

ภาพท 4.8 แผนภาพมมเฟสเมอโพลอยบนแกนจรง

4.3.2.5 รปแบบของฟงกชนถายโอนเมอซโรเกดขนบนแกนจรง (Real Axis) -เมอฟงกชนถายโอนมซโรบนแกนจรงจะมสมการดงน

( )

, แทน ,

( )

หาคาขนาด (Magnitude) ของผลตอบสนองจาก

| ( )| √ + (

)2

ถาคา หาคาขนาดไดจาก

| ( )| 1

หรอถาคา หาคาขนาดไดจาก | ( )| 𝑙𝑜𝑔1

(4-24)

(4-25)

(4-26)

(4-27)

99

เขยนแผนภาพโบดเมอซโรมคาบนแกนจรงไดดงภาพท 4.9

20

40

60

0

-200.01b 0.1b b 10b 100b 1000b

Actual line

Estimate line

dB

Conner frequency

ภาพท 4.9 แผนภาพขนาดเมอซโรมคาบนแกนจรง การค านวณมมเฟสของซโรบนแกนจรงหาไดจากสมการ

( ) ( +

)

ถาคา หาคามมเฟสไดจาก

( ) 𝑜

ในกรณซโรวางอยทางดานซายมอของระนาบเอส สมการมมเฟสจะไดเปน

( ) (

) 𝑜

และทางผกผนกนซโรวางอยทางดานขวามอของระนาบเอส สมการมมเฟสจะไดเปน

( ) (

) 𝑜

ในกรณคาความถอนพตมคาเทากบความถทจด a และซโรวางอยดานซายมอของระนาบเอส สมการมมเฟสจะไดเปน

( ) (

)

𝑜

(4-28)

100

และเมอซโรวางอยดานขวามอของระนาบเอส สมการมมเฟสจะไดเปน

( ) (

)

𝑜

เขยนแผนภาพมมเฟสเมอซโรมคาบนแกนจรงไดดงภาพท 4.10

0.01a 0.1a a 10a 100a 1000a

90o135o

45o

0o

-45o

Actual line

Estimate lineSlop=45o

/decade

0.01a 0.1a a 10a 100a 1000a

0o45o

-45o

90o

-135o

Slop= -45o

/decade

Actual lineEstimate line

ภาพท 4.10 แผนภาพมมเฟสเมอซโรมคาบนแกนจรง 4.3.2.6 รปแบบของฟงกชนถายโอนเมอโพลหรอซโรเกดขนบนแกนเชงซอน

(Complex Axis) ฟงกชนถายโอนของระบบทมโพลเชงซอนมสมการดงน

( )

2

แทน ในสมการท 4-29 จะได

( )

2

(4-29)

(4-30)

101

ค านวณหาขนาดไดจาก

| ( )|

√( − ) (2 )

สามารถเขยนแผนภาพขนาดดงภาพท 4.11

-20

20

40

0

-600.01 0.1 10 100

dB

-40Estimate line

ภาพท 4.11 แผนภาพขนาดเมอโพลเปนจ านวนเชงซอน และค านวณมมเฟสไดจากสมการ

( ) (

)

สามารถเขยนแผนภาพมมเฟสดงภาพท 4.12

0.01 0.1 10 100

0o45o

-90o

-180o

-270o

Estimate line

ภาพท 4.12 แผนภาพมมเฟสเมอโพลเปนจ านวนเชงซอน

(4-31)

(4-32)

102

จะเหนไดวาเมอคาอตราหนวงของระบบหรอแดมปงเรโช ทมคาอยในชวง 0< <1 สามารถประมาณคาโดยใชกรณของโพลบนแกนจรงทความถ โดยคามมเฟสจะเพมขนเปน สองเทาของตลอดยานความถ

ตวอยางท 4.2 จงสรางแผนภาพโบดของสมการฟงกชนถายโอนตอไปน

เมอ ( ) 2

2 2

วธท า จากสมการ 4-29

( ) 2

2 + + 2

หาคา จาก

เมอ 2

√ แผนภาพขนาดและเฟสของสมการฟงกชนถายโอนดงรป

-60

-40

-20

0

20

Magnitu

de (

dB

)

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

103

4.4 การเขยนแผนภาพโบดดวยโปรแกรม Matlab ในโปรแกรม Matlab มฟงกชนส าหรบค านวณและพลอตขนาดและมมเฟส เพออ านวยความ

สะดวกส าหรบการพลอตผลตอบสนองทางความถ โดยมฟงกชนดงน

ฟงกชน ความหมาย [z,p,k]=tf2zp(num,den) การหาต าแหนงของโพล ซโรและคาอตราขยายของฟงกชนถาย

โอน bode(sys) การพลอตผลตอบสนองเชงความถของระบบ sys bode(sys,{wmin,wmax}) การพลอตผลตอบสนองเชงความถของระบบ sysในชวงความถ

wmin ถง wmax bode(sys,w) การพลอตผลตอบสนองเชงความถของระบบ sysในชวงความถ w bode(sys1,’r’,sys2’y--‘,sys3,’gx’)

การพลอตผลตอบสนองเชงความถของระบบ sys1,sys2,sys3 เปรยบเทยบกน

ตวอยางท 4.3 จงพลอตแผนภาพโบดเพอหาผลตอบสนองเชงความถของระบบตอไปน

เมอระบบมฟงกชนถายโอนคอ ( ) 3 1

−

วธท า 1. หาโพลและซโรของระบบดวยฟงกชน [z,p,k] = tf2zp (num,den)

พมพค าสง [z,p,k] = tf2zp([1 3 1],[1 6 -6]) บน Command Window จะได

>> [z,p,k]=tf2zp([1 3 1],[1 6 -6])

z =

-2.6180

-0.3820

p =

-6.8730

0.8730

k =

1

104

2. การพลอตผลตอบสนองเชงความถของระบบ sys1

3. ผลการพลอตผลตอบสนองเชงความถของระบบ sys1 ดวยโปรแกรม Matlab

4.5 การวเคราะหผลตอบสนองทางความถดวยวธของไนควสต

ในการวเคราะหระบบควบคมในโดเมนความถเปนวธการแบบเดมทนยมส าหรบการออกแบบและระบบวเคราะหระบบควบคมโดยวธการของไนควสต พจารณาดงนระบบควบคมแบบปอนกลบดงภาพ 4.13

-20

-15

-10

-5

0

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

45

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

>> sys1=tf([1 3 1],[1 6 -6])

Transfer function:

s^2 + 3 s + 1

-------------

s^2 + 6 s - 6

>> bode(sys1)

>> grid

105

R(s) + Y(s)G(s)

H(s)

ภาพท 4.13 ระบบควบคมแบบปอนกลบ จากรปท 4.13 สามารถเขยนสมการฟงกชนถายโอนดงน

( ) ( )

( )

( )

1 ( ) ( )

การตรวจสอบเสถยรภาพของระบบ กรณระบบมเสถยรภาพ รากทงหมดของสมการคณลกษณะจะตองอยบนครงซายของระนาบเอส

+ ( ) ( )

ทางเดนของรากในระนาบเอสไปสระนาบจนตภาพ ( ) ตวอยางเชน ก าหนดใหฟงกชนถายโอนแบบเปด ( ) ( ) เขยนอยในรปอตราสวนของโพลเมยลทเปนฟงกชนของเอสและคาก าลงสงสดของเอสของส วนม คามากกวาหรอเทากบก าลงสงสดของเอสท เศษ กลาวคอ ( ) ( ) จะเปนศนยหรอคาคงทหนง ๆ เทานน เราจะพจารณาตวอยางสมการฟงกชนถายโอนแบบเปดดงตอไปน

( ) ( )

( 1)( 2)

จะไดสมการคณลกษณะเปน ( ) + ( ) ( )

+

( 1)( 2)

(4-33)

(4-34)

106

( + . + . )( + . . )

( + )( + )

แตละจดบนระนาบเอสจะใหคาบนระนาบ F(s) ตางๆ ตวอยางเชน S = 1+j2 จะใหคา F(s) ( ) ( + )

+

(2 2)(3 2)

. . เมอจด S=1+j2 บนระนาบเอสและแมปปงไปเปนจด 1.115-j0.577 บนระนาบ F(s)

1 2

1

2

Imaginary

axis

Real axis-1-2

S-plane

1 2

1

2

Imaginary

axis

Real axis-1-2

1+j2

-1

-2

1.115-j0.577-1

-2

ภาพท 4.14 การแมปปงจากระนาบเอสไปยงระนาบของ F(s) 4.6 ทางเดนของไนควทซ (Nyquist Path) การวเคราะหเสถยรภาพของระบบควบคมดวยวธของนควสตจะสรางเสนทางเดนครบวง (Closed Contour) ทางดานขวามอของระนาบเชงซอนของเอส ทางเดนระกอบดวยแกน จนตภาพทงหมดจาก + และทางครงวงกลมทมรศม r เทากบคาอนนต ทศทางเดนตามเขมนาฬกา ทางเดนทครอบคลมพนททงหมด ทางดานขวามอของระนาบเชงซอนเอส โดยจะมทางเดนครอบคลมต าแหนงของซโรทงหมดของสมการคณลกษณะ F(s) = 1+ G(s) H(s) = 0 ทมสวนจรงเปนบวก โดยมลกษณะดงภาพท 4.15

107

imag

Real

j

j

S-plane

B

AC

Nyquist path

ภาพท 4.15 เสนทางเดนของไนควสตในระนาบเอส

ส าหรบระบบทเสถยร ซโรของ F(s) ทงหมดจะตองอยบนครงซายของระนาบเอส จงจะท าใหไดคาโพลของระบบปดทกตวอยบนครงซายของระนาบเอส หรออาจพจารณาเสถยรภาพของ

ระบบจากการเลอกเสนขอบเขต หรอ s ในระนาบซงอยบนครงขวาของระนาบเอสและตดสนจากซโรของ F(s) อยในเสนขอบเขต r หรอไม จากทฤษฎของคอรเช โดยท าการเขยนเสนขอบเขตลงบนระนาบฟงกชนF(s)จากนนท าการพจารณาจ านวนครงของการวนรอบจดก าเนด เมอทราบจ านวนการวนรอบจดก าเนดจะท าใหทราบซโรของฟงกชน F(s) ทอยภายในเสนขอบเขต r ไนควสตไดอะแกรมสามารถประเมนจากการแมปปงจากไนควสตพารทไปยงระนาบเชงซอน (Complex Plane) ผานการแมปปง G(s)H(s) ดงภาพท 4.16

1

2 3

4

-1

R

1

2

3

4

F(s)=G(s)H(s)

ภาพท 4.16 ไนควสตไดอะแกรมจากการแมปปงจากระนาบเอสไปยงระนาบฟงกชนถายโอน

108

จากภาพท 4.16 สามารถอธบายไดดงน จดท 1 คอ จดเรมตนไนควสตพารทบนระนาบเอส หรอ , ฟงกชนวงเปดของระบบ

มคาเทากบ ( ) ( ) จดท 2 คอ เสนทางไนควสตพารทมคาเปนจนตภาพ หรอ , ฟงกชนวงเปดของ

ระบบมคาเทากบ ( ) ( ) จดท 3 คอ เสนทางไนควสตพารทมคาเปนอนนต หรอ จดท 4 คอ เสนทางไนควสตพารทมคาเปนครงดานต าของแกนจนตภาพ, ฟงกชนวงเปดของ

ระบบมคาเทากบ ( ) ( ) ในการประเมนไนควสตไดอะแกรมจากการแมปปงจากระนาบเอสไปยงฟงกชนถายโอนดงนน

เราสามารถประเมนเสถยรภาพของระบบจากสมการ

+

เมอ คอจ านวนรากของสมการคณลกษณะในครงดานขวาของระนาบเอส หรอเทยบเทากบจ านวนโพลของฟงกชนถายโอนแบบปดของระบบอยดานครงขวาของระนาบ จะท าใหระบบมเสถยรภาพ มคาเปนศนยและไมมคาตดลบ ส าหรบรายละเอยดในการวเคราะหจะกลาวในบทตอไป ตวอยาง 4.4 จงพลอตกราฟผลตอบสนองทางความถไนควสตของระบบตอไปน

H(s) 2S+5S+1

S + 2S2

Y(s)

+3

2

วธท า เพอใหงายตอการวเคราะหระบบ จะใชโปรแกรม Matlab โดยใหพมพฟงกชนตอไปนใน command file

>>sys1=tf([2 5 1],[1 2 3]); Transfer function:

2 s^2 + 5 s + 1 ---------------

s^2 + 2 s + 3 >>nyquist(sys1)

(4-35)

109

จะไดผลการพลอตกราฟของระบบดวยวธการของไนควสต ดงภาพตอไปน

สรป

- ผลตอบสนองทางความถ (Frequency Response) คอการศกษาการตอบสนองของระบบ เชงเสน (Linear System) กบสญญาณอนพตทปอนซงเปนสญญาณรปคลนไซน (Sinusoidal) - การเขยนโพลารพลอตคอการเขยนความสมพนธระหวางอนพตและเอาตพตใหอยในรปของ ขนาด (Magnitude) และมม (Phase) บนแกนโพลาร

- การเขยนโบดพลอตคอการเขยนฟงกชนถายโอน ( )ดวยกราฟ 2 อยางคอกราฟขนาดของ ( ) อยในหนวยของเดซเบลตอความถ และกราฟของมมตางเฟสของ ( ) - การเขยนกราฟผลตอบสนองทางความถวธของไนควสตคอการแสดงความสมพนธระหวาง ฟงกชนถานโอนแบบเปดของผลตอบสนองทางความถ ( ) ( ) กบจ านวนซโรและจ านวนโพลของสมการ + ( ) ( )

- สรปค าสงในโปรแกรม Matlab ทชวยอ านวยความสะดวกในการหาผลตอบสนองของระบบในโดเมนความถ

- tf(num,den) หมายถง การสรางฟงกชนถายโอนโดยม num คอคาสมประสทธของตวเศษและคา den คอคาสมประสทธของตวสวน

- nyquist(sys) หมายถง การพลอตผลตอบสนองทางความถไนควสตของระบบ - nyquist(sys,w) หมายถง การพลอตผลตอบสนองทางความถไนควสตของระบบในชวง ความถทตองการ nyquist(sys) หมายถง การพลอตผลตอบสนองทางความถไนควสตของระบบ

- bode(sys) หมายถง การพลอตโบด ผลตอบสนองทางความถของระบบ - bode(sys,w) หมายถง การพลอตโบด ผลตอบสนองทางความถของระบบในชวงความถท

ตองการ

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

110

ค าถามทบทวน ใหนกศกษาตอบค าถามตอไปน 1. จงเขยนกราฟโพลารของฟงกชนถายโอนตอไปน

( ) ( )

3 + 2 +

2. จงเขยนกราฟของโบดพลอตทประกอบดวยขนาดและมมเฟสของฟงกชนถายโอนแบบปดตอไปนโดยประยกตใชโปรแกรม Matlab ในการชวยในการวเคราะห

2.1 ( ) .

2.2 ( ) 2

2.3 ( )

2.4 ( )

3. จากบลอกไดอะแกรมของระบบควบคมตอไปนจงเขยนกราฟผลตอบสนองของความถ

X(s) Y(s)

4. จงใชโปรแกรม Matlab สรางโบดพลอตของระบบทมฟงกชนถายโอนเทากบ ( ) ( ) ในยานความถตงแต 1Hz – 1000 Hz

X(s) Y(s)

5. จงใชโปรแกรม Matlab สรางโบดพลอตของระบบในขอท 3 และขอท 4 ในยานความถตงแต 1Hz– 1000 Hz 6. จงใชโปรแกรม Matlab สรางไนควสตพลอตของระบบในขอท 3 และขอท 4 7. จงยกตวอยางงานหรอวงจรทสามารถประยกตใชหลกการวเคราะหผลตอบสนองของความถ พรอมเขยนวงจรและบลอกไดอะแกรมของระบบ 8. จงใชโปรแกรม Matlab เขยนกราฟผลตอบสนองระบบดวยโบดพลอต

𝑆2 + 3𝑆 +

𝑆2 + 𝑆

𝑆2 + 𝑆 +

𝑆3 + 𝑆2 + 𝑆 +

111

9. ผลตอบสนองทางความถ (Frequency Response) คออะไร และน าไปใชงานไดในสวนไหนบาง พรอมยกตวอยาง 10. การเขยนโพลารพลอต และการเขยนโบดพลอต ตางกนหรอไม อยางไร

112

เอกสารอางอง

ศภชย ปลายเนตร. วชาระบบควบคม. (ม.ป.ป.). [ออนไลน]. จากhttp://elearning.npu.ac.th/.

สบคนเมอ 2 พฤษภาคม 2558 เดวดบรรเจดพงศชย.(2551). ระบบควบคมพลวตการวเคราะหการออกแบบและการประยกต. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. สมาล อณหวณชย. (2545). ระบบควบคม(Control System). กรงเทพฯ : บรษท ว. เพชรสกล จ ากด. สวลย กลนความด. (2537). ระบบควบคม. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. K. Ogata. 2000. Modern Control Engineering. 4th edition.Prentice-Hall, Inc. R. C. Dorf and Robert H. Bishop.1995. Modern Control Systems.7th edition.Addison Wesley. R.S. Burn. 2001. Advance Control engineering. Butterworth-Heinemann Linacre House,JordanHill.A division of Reed Education and Professional Publishing Ltd.

88

บทท 4 ผลตอบสนองเชงความถ

ในบททผานมาไดกลาวถงเรองผลตอบสนองทางเวลาของระบบ สงหนงทส าคญในการศกษาวชาระบบควบคม คอผลตอบสนองทางความถ (Frequency Response) ซงเปนความรพนฐานในการวเคราะหระบบควบคม ในบทนน าเสนอเนอหาเกยวกบความรพนฐานเกยวกบผลตอบสนองทางความถ ดวยแผนภาพโบด และการวเคราะหเสถยรภาพของระบบดวยแผนภาพไนควสต การประยกตใชโปรแกรม Matlab ชวยในการท าความเขาใจเกยวกบผลตอบสนองของความถเพมเตมตอไป 4.1 ผลตอบสนองทางความถ (Frequency Response)

ผลตอบสนองทางความถ คอ ผลตอบสนองทสภาวะคงทของระบบควบคมโดยเมอปอนสญญาณอนพตคอในลกษณะสญญาณไซนซอยด (Sinusidal) ทคาความถตาง ๆ กน โดยผลตอบสนองจะมลกษณะเปนสญญาณไซนซอยด เชนเดยวกบสญญาณอนพต แตมขนาดและมมเฟสทเปลยนไปตามความถของสญญาณอนพต และสามารถพสจนไดดงน พจารณาระบบเชงเสนทเสถยรภาพ ดงตอไปน

x(s) Y(s)G(s)

ภาพท 4.1 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมแบบไมแปรเปลยนตามเวลา เมอก าหนดใหสญญาณอนพตซงเปนสญญาณไซนซอยดคอ ( ) (4-1) และฟงชนถายโอนของระบบคอ ( ) ซงอยอยในรปของเศษสวนในตวแปร ดงน เมอท าการแปลงลาปลาซแลวจะไดสญญาณออกคอ

𝐺(𝑠) 𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)

𝑌(𝑠)

(𝑠 + 𝑠1)(𝑠 + 𝑠2)(𝑠 + 𝑠3)… . (𝑠 + 𝑠𝑛) (4-2)

89

( )

(4-3)

จะได

( ) ( ).

(4-4)

และเมอท าการแปลงลาปลาซผกผนกลบจะได โดย

| ( )|

จะเหนวาผลตอบสนองเชงความถของระบบทสภาวะคงท จะเปนฟงกชนไซนซอยดเหมอนกบสญญาณอนพตแตขนาดและมมเฟสเปลยนไปและจะไดขอสรปของผลตอบสนองเชงความถดงน - ผลตอบสนองเชงความถจะเปนฟงกชนไซนซอยด ทความถเชนเดยวกบสญญาณอนพต - อตราขยายเชงความถ | ( )| จะเปลยนแปลงตามความถของสญญาณอนพตดงน

| ( )| | ( )

( )|

มมเฟสของ ( ) จะเปลยนแปลงตามความถของสญญาณอนพตดงน

4.2 กราฟของผลตอบสนองเชงความถ เมอก าหนดให ( )คอฟงชนถายโอนของระบบควบคมใด ๆ จะสามารถเขยน ( )

ใหอยในรปโดเมนความถดงน

𝑦(𝑡) 𝑦𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) (4-5)

(4-6)

(4-7)

(4-8) 𝐺(𝑗𝜔) 𝑌(𝑗𝜔)

𝑋(𝑗𝜔)

90

ภาพท 4.2 แผนภาพระนาบโพลาร

( ) ( ) ( ) + ( ) เมอ ( ) | ( )| คอสวนทเปนคาจรงของ ( ) ( ) | ( )| คอสวนทเปนคาจนตภาพของ ( ) นอกจากนฟงกชนถายโอนของ ( ) ยงสามารถเขยนในรปแบบของขนาดและมมเฟสของ

ไดดงน

( ) | ( ) | | ( )| ( ) โดยขนาดของ ( ) หาไดจากสมการ

| ( )| √ ( )2 + ( )2

Real 𝐺(𝜔) 𝑅(𝜔)

(4-9)

Im𝐺(𝜔) 𝑋(𝜔)

(4-10)

(4-11)

91

มมเฟสของ ( ) หาไดจากสมการ 4-12 ดงนนการเขยนกราฟแสดงผลตอบสนองเชงความถของระบบทมฟงกชนถายโอนคอ จงสามารถหาไดตามสมการ ส าหรบเสนโคงโพลาร คอ เสนกราฟทแสดงผลตอบสนองเชงความถของระบบทเขยนขนโดยอาศยสมการในการหาคาและระบบพกดทใชในกรณนจะใชแกนนอนเปนสวนของคาจรงและแกนตงเปนสวนของแกนจนตภาพของ 4.3 พนฐานของการวเคราะหผลตอบสนองเชงความถ

ในการวเคราะหผลตอบสนองเชงความถโดยทวไปทนยมม 2 แบบคอ การวเคราะหดวยแผนภาพโบด (Bode Plot) และการวเคราะหดวยแผนภาพไนควสต

4.3.1 การวเคราะหดวยแผนภาพโบด (Bode Plot) เฮนดรก ดบบลว น าเสนอหลกการวเคราะหโดยรยกวา แผนภาพโบด ประกอบดวย

- แผนภาพแสดงผลของการเปลยนแปลงขนาดตอความถอนพต (Amplitude Graph) - แผนภาพทแสดงผลของการเปลยนแปลงมมเฟสตอความถอนพต (Phase Graph)

เนองจากตองการใหแผนภาพสามารถวเคราะหผลตอบสนองความถในยานทกวาง ดงนนตวแปรความถในแนวแกนนอนจงถกท าใหมลกษณะการเพมคาเปนแบบลอกสเกล

4.3.2 การเขยนแผนภาพโบด การเขยนแผนภาพโบดท าไดโดยการแยกเทอมของฟงกชนถายโอนทแทนทตวแปรเอส (s)

ดวยความถเชงซอน ( ) ออกเปนหลายๆเทอม แลวสรางแผนภาพโบดยอยของผลตอบสนองของแตละเทอม แลวจงน าผลตอบสนองทกเทอมมารวมเปนแผนภาพเดยวกน ซงเปนแผนภาพผลตอบสนองรวมของทงระบบ เมอพจารณาสมการฟงกชนถายโอนดงน

( ) ( + 1)( + 2)… ( + )

( + 1)( + 2)… ( + )

ขนาดของผลตอบสนองทางความถหรอ ( ) จะมคาเทากบผลคณของขนาดของแตละเทอมดงสมการ

| ( )| | ||( )|| |…| |

| ||( )||( )|…|( )|

สามารถเขยนรปใหม โดยใชการแปลงขนาด (Magnitude) หรอ Gain ของฟงกชนถายโอนใหอยในรปแบบของสเกลลอกการทม (Logarithm Scale) โดยใช dB ในการหาขนาดจากสมการ

ขนาด ( ) 1 | | (4-15)

(4-12) 𝜑(𝜔) 𝑡𝑎𝑛−1𝑋(𝜔)

𝑅(𝜔)

(4-13)

(4-14)

92

ดงนนเมอทราบขนาดของแตละเทอมของสมการฟงกชนถายโอน สามารถเอาขนาดมาบวกลบกนไดเขยนความสมพนธสมการท 4-13 และ 4-15 จะได

20𝑙𝑜𝑔 = 20𝑙𝑜𝑔 +20𝑙𝑜𝑔 + 1+20𝑙𝑜𝑔 + 2+

… 𝑙𝑜𝑔| + | 𝑙𝑜𝑔| |

( 𝑙𝑜𝑔|( + 1)| + 𝑙𝑜𝑔|( + 2)|… + 𝑙𝑜𝑔|( + )|)

ในท านองเดยวกน สวนของมมเฟส (Phase) ของฟงกชนถายโอน G(s) จะหาไดจากมมเฟส

ของแตละเทอมในสมการท 4-14 บวกลบกนจะได

( ) ( + 1 + 2 + )

( + 1 + 2 + )

เมอ จากทน าเสนอมาสามารถแบงลกษณะของเทอมตาง ๆ ของฟงกชนถายโอนแบงเปน 4 รปแบบคอ 1. เมอคา Gain เปนคาคงท K 2. เมอโพลหรอซโรเปนคาบนจดก าเนด (Origin) นนคอ1/s หรอ s 3. เมอโพลหรอซโรเปนคาบนแกนจรง (Real) 4. เมอโพลหรอซโรเปนคาบนจดเปนคาเชงซอน (Complex) ส าหรบการวเคราะหดวยแผนภาพโบดของรปแบบตางๆ มรายละเอยดดงน 4.3.2.1 รปแบบของฟงกชนถายโอนม Gain เปนคาคงท เมอ ( ) และ ( ) จากสมการท 4-15 สามารถค านวณขนาดผลตอบสนองไดจาก | ( )| 1 | | และค านวณมมเฟสจะได

( ) องศา หรอ องศา

93

ตวอยางท 4.1 เขยนแผนภาพโบดของฟงกชนถายโอนกรณเมอคา Gain เปนคาคงท K=10

วธท า จาก ขนาด ( ) 1 | | 1 | |

เขยนแผนภาพโบดไดดงน

40

20

-20

-40-600.01 0.1 1

0

10 100 1000

180

90

-90

-180-270

0.01 0.1 1

0

10 100 1000

(Degree) (dB)

K

K

K=10

4.3.2.2 รปแบบของฟงกชนถายโอนเมอโพลหรอซโรเกดขนบนจดก าเนด (Origin) - เมอโพลของระบบเทากบ ( ) 1

( )

1

สามารถ

ค านวณหาคาขนาดของผลตอบสนองไดจาก | ( )| 𝑙𝑜𝑔1 | | จากผลของสมการ 4-16 จะไดแผนภาพโบดเปนเสนตรงทมความชน -20 dB/decade ดงภาพท 4.3

(4-16)

94

40

20

-20

-40-600.01 0.1 1

0

10 100

� (dB)

1000

ภาพท 4.3 แผนภาพขนาดของผลตอบสนองเมอโพลเกดขนทจดก าเนด

ค านวณมมเฟสของเทอมทมโพลทจดก าเนดไดจาก

( ) ( )−1 จากผลของสมการ 4-17 จะไดมมเฟสตลอดยานความถ มคาเทากบ -90o ดงภาพท 4.4

180

90

-90

-180-270

0.01 0.1 1

0

10 100 1000

(Degree)

ภาพท 4.4 แผนภาพมมเฟสของผลตอบสนองเมอโพลเกดขนทจดก าเนด

(4-17)

95

4.3.2.3 รปแบบของฟงกชนถายโอนเมอซโรเกดขนบนจดก าเนด (Origin)

- เมอ ( ) 1

( ) ( )−

สามารถค านวณหาคาขนาดของผลตอบสนองไดจาก | ( )| 𝑙𝑜𝑔1 | |

จากผลของสมการ 4-16 จะไดแผนภาพโบดเปนเสนตรงทมความชนเทากบ -n20 dB/decade ดงภาพท 4.5

40

20

-20

-40-600.01 0.1 1

0

10 100

� (dB)

1000

n=2

ภาพท 4.5 แผนภาพขนาดของผลตอบสนองเมอซโรเกดขนทจดก าเนด ค านวณมมเฟสของเทอมทมซโรทจดก าเนดไดจาก ( ) ( )−1 + ( )−1+. . . จากผลของสมการ 4-18 จะไดมมเฟสตลอดยานความถ มคาเทากบ -180o ดงภาพท 4.6

(4-18)

96

180

90

-90

-180-270

0.01 0.1 1

0

10 100 1000

(Degree)

ภาพท 4.6 แผนภาพมมเฟสของผลตอบสนองเมอซโรเกดขนทจดก าเนด

4.3.2.4 รปแบบของฟงกชนถายโอนเมอโพลหรอซโรเกดขนบนแกนจรง (Real Axis) - เมอโพลเกดขนบนแกนจรงจะมฟงกชนถายโอนคอ

( )

เมอ ( )

การวเคราะหการตอบสนองความถของระบบจะพจารณายานความถของ ม 2 กรณคอ

1. กรณ นอยกวา a มากๆ ยานความถ นเปนชวงความถต า (Low Frequency) 2. กรณ มากกวา a มากๆ ยานความถ นเปนชวงความถต าสง (High Frequency) ค านวณขนาดผลตอบสนองไดจาก

| ( | (√ + (

)2−1

)

หรอ | ( )| 1 [ + (

)2]

แตถากรณความถของอนพตมคานอยกวาคาความถทจด b มากๆ สมการท 4-19 , 4-20 จะมคา | ( )| 1

(4-19)

(4-20)

(4-21)

97

เชนเดยวกน กรณความถของอนพตมคามากกวาคาความถทจด b มากๆ จะได

| ( )| 1

สามารถเขยนแผนภาพขนาดดงภาพท 4.7

100b10bb0.1b0.01b-60-40

-200

20

1000b

ภาพท 4.7 แผนภาพขนาดเมอคาโพลบนแกนจรง การค านวณหามมเฟสเมอโพลอยบนแกนจรงหาไดจากสมการ

( ) (

+ )

สามารถเขยนแผนภาพมมเฟสเมอโพลอยบนแกนจรงดงภาพท 4.8

0.01a 0.1a a 10a 100a 1000a

0o45o

-45o

90o

-135o

Slop= -45o

/decade

Actual lineEstimate line

(4-22)

Slop=-20dB/decade

(4-23)

98

0.01a 0.1a a 10a 100a 1000a

90o135o

45o

0o

-45o

Actual line

Estimate lineSlop=45o

/decade

ภาพท 4.8 แผนภาพมมเฟสเมอโพลอยบนแกนจรง

4.3.2.5 รปแบบของฟงกชนถายโอนเมอซโรเกดขนบนแกนจรง (Real Axis) -เมอฟงกชนถายโอนมซโรบนแกนจรงจะมสมการดงน

( )

, แทน ,

( )

หาคาขนาด (Magnitude) ของผลตอบสนองจาก

| ( )| √ + (

)2

ถาคา หาคาขนาดไดจาก

| ( )| 1

หรอถาคา หาคาขนาดไดจาก | ( )| 𝑙𝑜𝑔1

(4-24)

(4-25)

(4-26)

(4-27)

99

เขยนแผนภาพโบดเมอซโรมคาบนแกนจรงไดดงภาพท 4.9

20

40

60

0

-200.01b 0.1b b 10b 100b 1000b

Actual line

Estimate line

dB

Conner frequency

ภาพท 4.9 แผนภาพขนาดเมอซโรมคาบนแกนจรง การค านวณมมเฟสของซโรบนแกนจรงหาไดจากสมการ

( ) ( +

)

ถาคา หาคามมเฟสไดจาก

( ) 𝑜

ในกรณซโรวางอยทางดานซายมอของระนาบเอส สมการมมเฟสจะไดเปน

( ) (

) 𝑜

และทางผกผนกนซโรวางอยทางดานขวามอของระนาบเอส สมการมมเฟสจะไดเปน

( ) (

) 𝑜

ในกรณคาความถอนพตมคาเทากบความถทจด a และซโรวางอยดานซายมอของระนาบเอส สมการมมเฟสจะไดเปน

( ) (

)

𝑜

(4-28)

100

และเมอซโรวางอยดานขวามอของระนาบเอส สมการมมเฟสจะไดเปน

( ) (

)

𝑜

เขยนแผนภาพมมเฟสเมอซโรมคาบนแกนจรงไดดงภาพท 4.10

0.01a 0.1a a 10a 100a 1000a

90o135o

45o

0o

-45o

Actual line

Estimate lineSlop=45o

/decade

0.01a 0.1a a 10a 100a 1000a

0o45o

-45o

90o

-135o

Slop= -45o

/decade

Actual lineEstimate line

ภาพท 4.10 แผนภาพมมเฟสเมอซโรมคาบนแกนจรง 4.3.2.6 รปแบบของฟงกชนถายโอนเมอโพลหรอซโรเกดขนบนแกนเชงซอน

(Complex Axis) ฟงกชนถายโอนของระบบทมโพลเชงซอนมสมการดงน

( )

2

แทน ในสมการท 4-29 จะได

( )

2

(4-29)

(4-30)

101

ค านวณหาขนาดไดจาก

| ( )|

√( − ) (2 )

สามารถเขยนแผนภาพขนาดดงภาพท 4.11

-20

20

40

0

-600.01 0.1 10 100

dB

-40Estimate line

ภาพท 4.11 แผนภาพขนาดเมอโพลเปนจ านวนเชงซอน และค านวณมมเฟสไดจากสมการ

( ) (

)

สามารถเขยนแผนภาพมมเฟสดงภาพท 4.12

0.01 0.1 10 100

0o45o

-90o

-180o

-270o

Estimate line

ภาพท 4.12 แผนภาพมมเฟสเมอโพลเปนจ านวนเชงซอน

(4-31)

(4-32)

102

จะเหนไดวาเมอคาอตราหนวงของระบบหรอแดมปงเรโช ทมคาอยในชวง 0< <1 สามารถประมาณคาโดยใชกรณของโพลบนแกนจรงทความถ โดยคามมเฟสจะเพมขนเปน สองเทาของตลอดยานความถ

ตวอยางท 4.2 จงสรางแผนภาพโบดของสมการฟงกชนถายโอนตอไปน

เมอ ( ) 2

2 2

วธท า จากสมการ 4-29

( ) 2

2 + + 2

หาคา จาก

เมอ 2

√ แผนภาพขนาดและเฟสของสมการฟงกชนถายโอนดงรป

-60

-40

-20

0

20

Magnitu

de (

dB

)

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

103

4.4 การเขยนแผนภาพโบดดวยโปรแกรม Matlab ในโปรแกรม Matlab มฟงกชนส าหรบค านวณและพลอตขนาดและมมเฟส เพออ านวยความ

สะดวกส าหรบการพลอตผลตอบสนองทางความถ โดยมฟงกชนดงน

ฟงกชน ความหมาย [z,p,k]=tf2zp(num,den) การหาต าแหนงของโพล ซโรและคาอตราขยายของฟงกชนถาย

โอน bode(sys) การพลอตผลตอบสนองเชงความถของระบบ sys bode(sys,{wmin,wmax}) การพลอตผลตอบสนองเชงความถของระบบ sysในชวงความถ

wmin ถง wmax bode(sys,w) การพลอตผลตอบสนองเชงความถของระบบ sysในชวงความถ w bode(sys1,’r’,sys2’y--‘,sys3,’gx’)

การพลอตผลตอบสนองเชงความถของระบบ sys1,sys2,sys3 เปรยบเทยบกน

ตวอยางท 4.3 จงพลอตแผนภาพโบดเพอหาผลตอบสนองเชงความถของระบบตอไปน

เมอระบบมฟงกชนถายโอนคอ ( ) 3 1

−

วธท า 1. หาโพลและซโรของระบบดวยฟงกชน [z,p,k] = tf2zp (num,den)

พมพค าสง [z,p,k] = tf2zp([1 3 1],[1 6 -6]) บน Command Window จะได

>> [z,p,k]=tf2zp([1 3 1],[1 6 -6])

z =

-2.6180

-0.3820

p =

-6.8730

0.8730

k =

1

104

2. การพลอตผลตอบสนองเชงความถของระบบ sys1

3. ผลการพลอตผลตอบสนองเชงความถของระบบ sys1 ดวยโปรแกรม Matlab

4.5 การวเคราะหผลตอบสนองทางความถดวยวธของไนควสต

ในการวเคราะหระบบควบคมในโดเมนความถเปนวธการแบบเดมทนยมส าหรบการออกแบบและระบบวเคราะหระบบควบคมโดยวธการของไนควสต พจารณาดงนระบบควบคมแบบปอนกลบดงภาพ 4.13

-20

-15

-10

-5

0

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

45

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

>> sys1=tf([1 3 1],[1 6 -6])

Transfer function:

s^2 + 3 s + 1

-------------

s^2 + 6 s - 6

>> bode(sys1)

>> grid

105

R(s) + Y(s)G(s)

H(s)

ภาพท 4.13 ระบบควบคมแบบปอนกลบ จากรปท 4.13 สามารถเขยนสมการฟงกชนถายโอนดงน

( ) ( )

( )

( )

1 ( ) ( )

การตรวจสอบเสถยรภาพของระบบ กรณระบบมเสถยรภาพ รากทงหมดของสมการคณลกษณะจะตองอยบนครงซายของระนาบเอส

+ ( ) ( )

ทางเดนของรากในระนาบเอสไปสระนาบจนตภาพ ( ) ตวอยางเชน ก าหนดใหฟงกชนถายโอนแบบเปด ( ) ( ) เขยนอยในรปอตราสวนของโพลเมยลทเปนฟงกชนของเอสและคาก าลงสงสดของเอสของส วนม คามากกวาหรอเทากบก าลงสงสดของเอสท เศษ กลาวคอ ( ) ( ) จะเปนศนยหรอคาคงทหนง ๆ เทานน เราจะพจารณาตวอยางสมการฟงกชนถายโอนแบบเปดดงตอไปน

( ) ( )

( 1)( 2)

จะไดสมการคณลกษณะเปน ( ) + ( ) ( )

+

( 1)( 2)

(4-33)

(4-34)

106

( + . + . )( + . . )

( + )( + )

แตละจดบนระนาบเอสจะใหคาบนระนาบ F(s) ตางๆ ตวอยางเชน S = 1+j2 จะใหคา F(s) ( ) ( + )

+

(2 2)(3 2)

. . เมอจด S=1+j2 บนระนาบเอสและแมปปงไปเปนจด 1.115-j0.577 บนระนาบ F(s)

1 2

1

2

Imaginary

axis

Real axis-1-2

S-plane

1 2

1

2

Imaginary

axis

Real axis-1-2

1+j2

-1

-2

1.115-j0.577-1

-2

ภาพท 4.14 การแมปปงจากระนาบเอสไปยงระนาบของ F(s) 4.6 ทางเดนของไนควทซ (Nyquist Path) การวเคราะหเสถยรภาพของระบบควบคมดวยวธของนควสตจะสรางเสนทางเดนครบวง (Closed Contour) ทางดานขวามอของระนาบเชงซอนของเอส ทางเดนระกอบดวยแกน จนตภาพทงหมดจาก + และทางครงวงกลมทมรศม r เทากบคาอนนต ทศทางเดนตามเขมนาฬกา ทางเดนทครอบคลมพนททงหมด ทางดานขวามอของระนาบเชงซอนเอส โดยจะมทางเดนครอบคลมต าแหนงของซโรทงหมดของสมการคณลกษณะ F(s) = 1+ G(s) H(s) = 0 ทมสวนจรงเปนบวก โดยมลกษณะดงภาพท 4.15

107

imag

Real

j

j

S-plane

B

AC

Nyquist path

ภาพท 4.15 เสนทางเดนของไนควสตในระนาบเอส

ส าหรบระบบทเสถยร ซโรของ F(s) ทงหมดจะตองอยบนครงซายของระนาบเอส จงจะท าใหไดคาโพลของระบบปดทกตวอยบนครงซายของระนาบเอส หรออาจพจารณาเสถยรภาพของ

ระบบจากการเลอกเสนขอบเขต หรอ s ในระนาบซงอยบนครงขวาของระนาบเอสและตดสนจากซโรของ F(s) อยในเสนขอบเขต r หรอไม จากทฤษฎของคอรเช โดยท าการเขยนเสนขอบเขตลงบนระนาบฟงกชนF(s)จากนนท าการพจารณาจ านวนครงของการวนรอบจดก าเนด เมอทราบจ านวนการวนรอบจดก าเนดจะท าใหทราบซโรของฟงกชน F(s) ทอยภายในเสนขอบเขต r ไนควสตไดอะแกรมสามารถประเมนจากการแมปปงจากไนควสตพารทไปยงระนาบเชงซอน (Complex Plane) ผานการแมปปง G(s)H(s) ดงภาพท 4.16

1

2 3

4

-1

R

1

2

3

4

F(s)=G(s)H(s)

ภาพท 4.16 ไนควสตไดอะแกรมจากการแมปปงจากระนาบเอสไปยงระนาบฟงกชนถายโอน

108

จากภาพท 4.16 สามารถอธบายไดดงน จดท 1 คอ จดเรมตนไนควสตพารทบนระนาบเอส หรอ , ฟงกชนวงเปดของระบบ

มคาเทากบ ( ) ( ) จดท 2 คอ เสนทางไนควสตพารทมคาเปนจนตภาพ หรอ , ฟงกชนวงเปดของ

ระบบมคาเทากบ ( ) ( ) จดท 3 คอ เสนทางไนควสตพารทมคาเปนอนนต หรอ จดท 4 คอ เสนทางไนควสตพารทมคาเปนครงดานต าของแกนจนตภาพ, ฟงกชนวงเปดของ

ระบบมคาเทากบ ( ) ( ) ในการประเมนไนควสตไดอะแกรมจากการแมปปงจากระนาบเอสไปยงฟงกชนถายโอนดงนน

เราสามารถประเมนเสถยรภาพของระบบจากสมการ

+

เมอ คอจ านวนรากของสมการคณลกษณะในครงดานขวาของระนาบเอส หรอเทยบเทากบจ านวนโพลของฟงกชนถายโอนแบบปดของระบบอยดานครงขวาของระนาบ จะท าใหระบบมเสถยรภาพ มคาเปนศนยและไมมคาตดลบ ส าหรบรายละเอยดในการวเคราะหจะกลาวในบทตอไป ตวอยาง 4.4 จงพลอตกราฟผลตอบสนองทางความถไนควสตของระบบตอไปน

H(s) 2S+5S+1

S + 2S2

Y(s)

+3

2

วธท า เพอใหงายตอการวเคราะหระบบ จะใชโปรแกรม Matlab โดยใหพมพฟงกชนตอไปนใน command file

>>sys1=tf([2 5 1],[1 2 3]); Transfer function:

2 s^2 + 5 s + 1 ---------------

s^2 + 2 s + 3 >>nyquist(sys1)

(4-35)

109

จะไดผลการพลอตกราฟของระบบดวยวธการของไนควสต ดงภาพตอไปน

สรป

- ผลตอบสนองทางความถ (Frequency Response) คอการศกษาการตอบสนองของระบบ เชงเสน (Linear System) กบสญญาณอนพตทปอนซงเปนสญญาณรปคลนไซน (Sinusoidal) - การเขยนโพลารพลอตคอการเขยนความสมพนธระหวางอนพตและเอาตพตใหอยในรปของ ขนาด (Magnitude) และมม (Phase) บนแกนโพลาร

- การเขยนโบดพลอตคอการเขยนฟงกชนถายโอน ( )ดวยกราฟ 2 อยางคอกราฟขนาดของ ( ) อยในหนวยของเดซเบลตอความถ และกราฟของมมตางเฟสของ ( ) - การเขยนกราฟผลตอบสนองทางความถวธของไนควสตคอการแสดงความสมพนธระหวาง ฟงกชนถานโอนแบบเปดของผลตอบสนองทางความถ ( ) ( ) กบจ านวนซโรและจ านวนโพลของสมการ + ( ) ( )

- สรปค าสงในโปรแกรม Matlab ทชวยอ านวยความสะดวกในการหาผลตอบสนองของระบบในโดเมนความถ

- tf(num,den) หมายถง การสรางฟงกชนถายโอนโดยม num คอคาสมประสทธของตวเศษและคา den คอคาสมประสทธของตวสวน

- nyquist(sys) หมายถง การพลอตผลตอบสนองทางความถไนควสตของระบบ - nyquist(sys,w) หมายถง การพลอตผลตอบสนองทางความถไนควสตของระบบในชวง ความถทตองการ nyquist(sys) หมายถง การพลอตผลตอบสนองทางความถไนควสตของระบบ

- bode(sys) หมายถง การพลอตโบด ผลตอบสนองทางความถของระบบ - bode(sys,w) หมายถง การพลอตโบด ผลตอบสนองทางความถของระบบในชวงความถท

ตองการ

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

110

ค าถามทบทวน ใหนกศกษาตอบค าถามตอไปน 1. จงเขยนกราฟโพลารของฟงกชนถายโอนตอไปน

( ) ( )

3 + 2 +

2. จงเขยนกราฟของโบดพลอตทประกอบดวยขนาดและมมเฟสของฟงกชนถายโอนแบบปดตอไปนโดยประยกตใชโปรแกรม Matlab ในการชวยในการวเคราะห

2.1 ( ) .

2.2 ( ) 2

2.3 ( )

2.4 ( )

3. จากบลอกไดอะแกรมของระบบควบคมตอไปนจงเขยนกราฟผลตอบสนองของความถ

X(s) Y(s)

4. จงใชโปรแกรม Matlab สรางโบดพลอตของระบบทมฟงกชนถายโอนเทากบ ( ) ( ) ในยานความถตงแต 1Hz – 1000 Hz

X(s) Y(s)

5. จงใชโปรแกรม Matlab สรางโบดพลอตของระบบในขอท 3 และขอท 4 ในยานความถตงแต 1Hz– 1000 Hz 6. จงใชโปรแกรม Matlab สรางไนควสตพลอตของระบบในขอท 3 และขอท 4 7. จงยกตวอยางงานหรอวงจรทสามารถประยกตใชหลกการวเคราะหผลตอบสนองของความถ พรอมเขยนวงจรและบลอกไดอะแกรมของระบบ 8. จงใชโปรแกรม Matlab เขยนกราฟผลตอบสนองระบบดวยโบดพลอต

𝑆2 + 3𝑆 +

𝑆2 + 𝑆

𝑆2 + 𝑆 +

𝑆3 + 𝑆2 + 𝑆 +

111

9. ผลตอบสนองทางความถ (Frequency Response) คออะไร และน าไปใชงานไดในสวนไหนบาง พรอมยกตวอยาง 10. การเขยนโพลารพลอต และการเขยนโบดพลอต ตางกนหรอไม อยางไร

112

เอกสารอางอง

ศภชย ปลายเนตร. วชาระบบควบคม. (ม.ป.ป.). [ออนไลน]. จากhttp://elearning.npu.ac.th/.

สบคนเมอ 2 พฤษภาคม 2558 เดวดบรรเจดพงศชย.(2551). ระบบควบคมพลวตการวเคราะหการออกแบบและการประยกต. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. สมาล อณหวณชย. (2545). ระบบควบคม(Control System). กรงเทพฯ : บรษท ว. เพชรสกล จ ากด. สวลย กลนความด. (2537). ระบบควบคม. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. K. Ogata. 2000. Modern Control Engineering. 4th edition.Prentice-Hall, Inc. R. C. Dorf and Robert H. Bishop.1995. Modern Control Systems.7th edition.Addison Wesley. R.S. Burn. 2001. Advance Control engineering. Butterworth-Heinemann Linacre House,JordanHill.A division of Reed Education and Professional Publishing Ltd.

157

บทท 7 มอเตอรไฟฟากระแสสลบและการควบคม

ในบทนจะไดกลาวถงเนอหาทฤษฏมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส แบบพนฐาน โครงสรางและหลกการท างานของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส แตเนอหาในบทนจะกลาวถงเฉพาะระบบไฟฟา 3 เฟส และระบบการควบคมมอเตอรไฟฟากระแสสลบ โดยจะกลาวถงเฉพาะเรอง การควบคมความเรวของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ การควบคมการออกตว การยกตวอยางงานวจย และบทความทางวจยทเกยวของกบงานวจยเพอพฒนา ระบบการควบคมในงานอตสาหกรรมชนบท

7.1 ทฤษฎมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส

มอเตอรไฟฟาเหนยวน า เปนอปกรณท าหนาทเปลยนพลงงานไฟฟาเปนพลงงานกล เนองจากมโครงสรางและหลกการท างานทไมซบซอนจงเปนทนยมใชกนอยางแพรหลายในงานทวไปและในโรงงานอตสาหกรรมตาง ๆ สามารถเปนเครองตนก าลงทมประสทธภาพรวมถงการใชงานใชงานงาย มความแขงแรง ราคาถก และมความตองการบ ารงรกษาต า

โครงสรางของมอเตอรเหนยวน าสามเฟสสามารถแบงออกได 2 สวน คอสวนของสเตเตอร (Stator) ซงเปนสวนทอยกบท และสวนของโรเตอร (Rotor) เปนสวนทหมน ซงแตละสวนมรายเอยดดงน 7.1.1 สเตเตอร (Stator) คอสวนทอยนงกบทมลกษณะโครงสราง ดงภาพท 7.1

ภาพท 7.1 ลกษณะรปรางของสเตเตอรหรอสวนทอยกบท

สเตเตอรประกอบดวยแผนลามเนท ซงท ามาจากเหลกกลาชลกอน อดประกบซอนกนเปนตวถงรปทรงกระบอกเพอท าหนาทเปนสลอต (Slot) เปนทางเดนของสนามแมเหลก มขดลวด

158

อารเมเจอร (Armature) ฝงตวอยในรองสลอตของแกนเหลก โดยขดลวดของแตละเฟสจะมการพนจะจดวางใหกระจายรอบๆ ทรงกระบอก ท าใหสามารถใชแกนเหลกและขดลวดอารเมเจอรอยางมประสทธผล สงผลใหเกดการกระจายตวของสนามแมเหลกและการสรางแรงบดแมเหลกอยางสม าเสมอไดดขน 7.1.2 โรเตอร (Rotor) โรเตอรของมอเตอรเปนสวนของการหมนเปนทรงกระบอก (Cylindrical rotor) สามารถแบงได 2 ประเภทดงน 1. โรเตอรแบบกรงกระรอก (Squirrel Cage Rotor) โรเตอรชนดนแกนของ โรเตอรท าดวยเหลกลามเนท (Laminated Sheet Steel) ภายนอกจะเปนรองสาหรบอดแทงตวน าทองแดงหรออะลมเนยมฝงในรองโรเตอรและปดทายวงแหวนทองแดงหรออะลมเนยม เพอลดวงจรขดลวด เมอน าแกนโรเตอรเขาไปวางแบบพมพ (Mold) แลวฉดอะลมเนยมเหลวเขาไปจะไดครบยนออกไปทงสองขางใชเปนใบพดระบายความรอน รปรางของโรเตอรแบบกรงกระรอก ดงภาพท 7.2

ภาพท 7.2 ลกษณะของโรเตอรของมอเตอรเหนยวน าแบบกรงกระรอก 2. โรเตอรแบบขดลวดพนรอบโรเตอร (Wound Rotor) โรเตอรแบบนแตกตางกบแบบกรงกระรอก คอมขดลวดพนอยในรองสลอตเชนเดยวกบสเตเตอร สวนปลายของขดลวดจะตออยกบแหวนลน (Slip Ring) และมแปรงถานสมผสอยโดยแปลงถานจะตอกบวงจรภายนอกเพอท าการตอวงจรสตารท แบบสตาร หรอเดลตา มอเตอรทมโรเตอรประเภทนมขอจ ากด คอจะตองมจ านวนขวเทากบจ านวนขวของสเตเตอร และไมสามารถหมนดวยความเรวมากไดเนองจากความแขงแกรงทางกลต า นอกจากนราคายงสงเมอเทยบกบโรเตอรแบบกรงกระรอก แตมขอดของโรเตอร ประเภทนคอสามารถก าหนดแรงบดขณะการสตารทโดยอาศยการตอความตานทานภายนอกรปรางของโรเตอรแบบขดลวดพนรอบโรเตอร ดงภาพท 7.3

159

ภาพท 7.3 ลกษณะของโรเตอรแบบขดลวดพนรอบโรเตอร 7.2 หลกการท างานมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส จากภาพท 7.4 เมอปอนแรงดนไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส แบบสมดล ใหกบขดลวดอารเมเจอรทสเตเตอร ทง 3 เฟส คอ เฟส A หรอ เฟส B หรอ และเฟส B หรอ วางท า

มมกน 120 องศาทางไฟฟาหรอ

กระแสไฟฟาทง 3 เฟสดงสมการท (7-1), (7-2), (7-3)

(7-1)

(7-2)

(7-3)

การเกดสนามแมเหลกหมนขนในชองอากาศระหวางสเตเตอรกบโรเตอรดวยความเรวซงโครนส (Synchronouse Speed) และหากเปนโรเตอรชนดวาวลโรเตอรจะประกอบดวยขดลวดสามชดเชนเดยวกนคอ และ แตหากเปนโรเตอรแบบแทงตวน าหรอกรงกระรอกจะมการลดวงจรทปลายของขดลวดตวน าดวยวงแหวน

160

ภาพท 7.4 ระบบไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส 7.2.1 ความเรวซงโครนส ความเรวของโรเตอร และความถของโรเตอร 1. ความเรวซงโครนส เมอจายกระแสไฟฟา 3 เฟสเขาไปทขดลวดสเตเตอร จะท าใหเกดสนามแมเหลกหมนขนในชองวางอากาศระหวางสเตเตอรและโรเตอร สนามแมเหลกหมนนจะหมนรอบสเตเตอรดวยความเรวซงโครนส (Synchronous Speed) ดงสมการท (7-4) จากสมการท (7-4) สามารถอธบายไดวา ความเรวของสนามแมเหลกหมนจะแปรผนโดยตรงกบความถของระบบไฟฟาและแปรผกผนกบจ านวนขวแมเหลกของมอเตอร 2. ความเรวและความถของโรเตอร เมอโรเตอรของมอเตอรหมนดวยความเรวทนอยกวาความเรวสนามแมเหลกหมน ซงความแตกตางระหวางความเรวของสนามแมเหลกหมน กบความเรวของโรเตอรกคอความเรวสลป (Slip-Speed) จะมคา ดงสมการท (7-5)

ความเรวสลปท าการนอรมอลไลซดวยความเรวซงโครนสเรยกวาสลป ดงสมการท (7-6)

คาความเรวสลปจะขนอยกบโหลดนน คอเมอโหลดมากขนจะท าใหโรเตอรหมนชา

ลงสงผลท าใหความเรวสลปมคามากขน ท าใหโรเตอรถกสนามแมเหลกหมนตดดวยอตราเรวมากขน เกดแรงเคลอนไฟฟาเหนยวน าและกระแสไหลในตวโรเตอรมากขน และดวยหลกการเดยวกนกบ

(7-5)

(7-6)

(7-4) 𝑁s 120𝑓

𝑝

161

หมอแปลงเมอกระแสดานทตยภมมคามากขนกสงผลใหกระแสในสเตเตอร ซงเปนกระแสดานปฐมภม มคามากขนดวย ภาระทางกลจะถกสงผานภาระทางไฟฟาในรปของสลปนนเอง จากความแตกตางของอตราระหวางสนามแมเหลกหมนและโรเตอร ท าใหเกดแรงเคลอนเหนยวน าขนทโรเตอร ซงความถของแรงดนทปอนใหกบสเตเตอร จะเปนสดสวนโดยตรงกบความเรวสลป ดงสมการท (7-7)

โดยปกตมกเรยกคาสลปตอหนงหนวยวาสลป เมอสลปเทากบ 0 หมายความวาไมมสลป คอ ความเรวของโรเตอรเทากบความเรวสนามแมเหลกหมนบนโรเตอร ในขณะทคาสลป เทากบ 1 หมายความวา มอเตอรหยดนงไมมการหมน ถามอเตอรมสลปเทากบ 0.5 กคอความถโรเตอรจะมคาเทากบ 50 % ของความถทปอนใหมอเตอรนนเอง

7.2.2 วงจรสมมลของมอเตอรเหนยวน า (Induction Motor Equivalent Circuit) เนองจากมอเตอรไฟฟาแบบเหนยวน าจะอาศยหลกการเชนเดยวกนกบหมอแปลง

แตจะแตกตางกนทขดทตยภมของหมอแปลงไมสามารถเคลอนทได ดงนนจงสามารถเขยนวงจรสมมลของมอเตอรเหนยวน าตอเฟส ดงภาพท 7.5

ภาพท 7.5 วงจรสมมลของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ

7.2.3 การสงผานกาลงของมอเตอรเหนยว 3 เฟส มอเตอรเหนยวน า 3 เฟส มความสมพนธของก าลงไฟฟาดานเขามาจากระบบไฟฟา 3 เฟส สวนก าลงดานออกเปนก าลงทางกลและมก าลงสญเสยในลกษณะตางๆ เมอจายระบบไฟฟา 3 เฟส ใหกบมอเตอรเหนยวน า ก าลงไฟฟาดานเขาเมอกระแสไฟฟาไหลผานขดลวดสเตเตอรท าใหเกดก าลงไฟฟาสญเสยทขดลวดบนสเตเตอร ค านวณไดจากสมการท (7-8)

𝑓𝑟 𝑁𝑠𝑙𝑖𝑝

𝑁𝑠. 𝑓𝑠

𝑁𝑠 𝑁𝑟𝑁𝑠

. 𝑓𝑠 𝑠𝑓𝑠 (7-7)

162

ก าลงสงผานชองอากาศ เรยกอกอยางหนงวาก าลงไฟฟาดานเขาของโรเตอร สามารถหาก าลงสงผานชองอากาศได ดงสมการท (7-10)

หรอคา มคาเทากบก าลงทถกรบไวในคาความตานทานเทยบเคยงของโรเตอร R’2 / s ดงนน

ดงนนก าลงทางกลสามารถหาไดจากสมการ

แรงบดทมอเตอรสรางขนสามารถหาไดจากสมการ

7.3 การควบคมอตราเรวมอเตอรไฟฟากระแสสลบ (Induction Motor Speed Control)

จากสมการของความเรวซงโครนสของมอเตอรเหนยวน า s

เมอ P คอจ านวน

ขวแมเหลกของมอเตอร แสดงวาสามารถปรบจ านวนขวแมเหลกแลวท าใหสามารถควบคมความเรวรอบไดแตวธการดงกลาวเหมาะกบมอเตอรชนดกรงกระรอก (Squire Gage Motor) แตถาเปนโรเตอรชนดพนขดลวดจะมความยงยากเนองจากตองมการปรบทงทขดลวดสเตเตอรและโรเตอร แตวธการนยงมขอจ ากดเนองจากไมสามารถควบคมแบบตอเนองได ในปจจบนไดมวธการพฒนาควบคมหลายวธดงน

7.3.1 การปรบเปลยนแรงดนทขวของมอเตอร แรงบดทถกสรางขนจะเปนสดสวนกบก าลงสองของแรงดนทขวของมอเตอร เมอลดแรงดนทขวของมอเตอรลงจะท าใหเสนโคงแรงบดและอตราเรวลดลงเปนก าลงสองเขนเดยวกน ดงนนวธการ

𝑃𝑖𝑛 𝑉 𝐼 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑃𝑠𝑡𝑙𝑜𝑠𝑠 𝐼 𝑅 (7-9)

(7-10)

(7-11)

(7-12)

(7-13) 𝑇 𝑃𝑚𝜔𝑚

(7-8)

163

นจงสามารถควบคมอตราเรวไดเฉพาะอตราเรวทต ากวาพกดเทานน โดยกราฟแสดงคณสมบตของแรงบดและเสนโคง ดงแสดงในภาพท 7.6

𝑚

� VT L

T0

ภาพท 7.6 กราฟคณสมบตของแรงบดและเสนโคงการปรบเปลยนแรงดนทขวของมอเตอร

7.3.2 การปรบเปลยนความถ (Frequency Adjustable) จากสมการคาความเรวซงโครนส จะพบวาอตราเรวซงโครนสจะเปนสดสวนโดยตรงกบความถ f ของแหลงจาย เมอสามารถควบคมอตราเรวซงโครนสรวมถงอตราเรวของมอเตอรใหมคาทต าหรอสงกวาอตราเรวพกดได เมอเราลดความถลงต ากวาความถพกดโดยคงคาแรงดนไว ผลคอคารแอคแตนซของมอเตอรจะมคาลดลง สงผลใหกระแสมอเตอรเพมสงขนเสนแรงแมเหลกในชองอากาศมปรมาณมากขนและอาจมการอมตวในทสด ดงนนการปรบคาความถและคาแรงดนจะตองปรบเปลยนในอตราสวนทสมดลยกน ไมวาจะเพมความถหรอลดความถกตาม เมอมการปรบความถและแรงดนเปนสดสวนกนแลว ในสภาวะมโหลดจะท าใหอตราเรวของมอเตอรลดลงแตคาแรงบดทไดจะมคาคงท ดงนนคณสมบตของอตราเรวและแรงบดทจะมลกษณะเปนเสนโคงขนานกน

164

ภาพท 7.7 ผลตอบสนองของมอเตอรในสภาวะคงตวเมอมการปรบแรงดนไฟฟาและความถ

ภาพท 7.8 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมความเรวโดยการปรบแรงดนไฟฟาและความถ ดวยอนเวอรเตอร

165

ภาพท 7.9 เสนโคงความเรวและแรงบดแสดงผลจากการปรบความถ แรงบดของโหลด แสดงผลการขบเคลอนในสภาวะอยตว (Steady State) ความเรวและแรงบด เมอความถเพมสงขนความเรวจะมคาเพมสงขนเชนกนดงแสดงทจด 1, 2, 3 และ 4 การควบคมความเรวอยางตอเนองจนถงสภาวะอมตว

7.3.3 การควบคมอตราเรวของมอเตอรดวยวธการปรบความตานทานโรเตอร (Speed Motor Control by Adjust Rotor Resistance)

วธการควบคมความเรวมอเตอรกระแสสลบ ในกรณของมอเตอรเหนยวน าชนดพน โรเตอรนน จะสามารถควบคมความเรวรอบของมอเตอรไดงาย เนองจากสามารถตอวงจรโรเตอรออกมาภายนอกโดยผานทางวงแหวนลน

1. การควบคมความเรวรอบโดยใชคาความตานทานทางดานทตยภมหรอดานโรเตอรเมอตอคาความตานทานเขาสวงจรทางดานโรเตอร จะสามารถปรบคาความตานทานไดท าใหคากระแสทางดานทตยภมเปลยนแปลงไป สงผลใหเกดการเปลยนแปลงคณสมบตความเรวรอบและแรงบด ของมอเตอร ซงจะท าใหสามารถควบคมความเรวรอบของมอเตอรได อยางไรกตามการควบคมความเรวรอบโดยวธน สามารถท าไดสงสดเมอความเรวรอบลดลงประมาณ 50% เทานน เพราะถาควบคมใหลดความเรวรอบลงมากกวาน เมอคาแรงบดโหลดเปลยนแปลงแมเพยงเลกนอยกจะท าใหความเรวรอบเปลยนแปลงไปมากจะท าใหเสถยรภาพของการท างานของมอเตอรไมปกต ขอจ ากดของการควบคมชนดนเปนการควบคมโดยใชคาสลป ดงนนทความเรวรอบต าลงกวาปกตมาก

166

ประสทธภาพของมอเตอรจะลดลงมากดวย เพราะตองการคาความตานทานขนาดใหญขนในวงจรทตยภมท าใหการสญเสยจากคาความตานทานดงกลาวเพมขนมากเกนไป

2. การควบคมความเรวรอบโดยการกระตนดานทตยภมหรอดานโรเตอรการควบคมความเรวรอบโดยใชคาความตานทานดานทตยภมดงกลาวมาแลวไมเปนการประหยดพลงงานโดยทจะมการสญเสยจากคาความตานทานดานทตยภมสวนในการควบคมความเรวรอบโดยการกระตน ดานทตยภมนน จะมอปกรณส าหรบถายปอนก าลงตออยกบวงจรดานทตยภมเพอใหการควบคมความเรวรอบเปนไปอยางมประสทธภาพ และปองกนการสญเสยพลงงานระบบควบคมโดยการกระตนดานทตยภมดงกลาว เชนระบบเซอรเบยส ซงเหมาะส าหรบใชกบโหลดประเภทมสมบตแรงบดคงท โดยทมการปอนก าลงไฟฟากลบเขาสแหลงจายไฟดงภาพท 7.10 และระบบเครมเมอรซงเหมาะส าหรบโหลดประเภทมสมบตก าลงใชงานคงท โดยทมการเพมก าลงทางกลศาสตรใหแกเพลาขบโดยอาศยมอเตอรกระแสตรง ดงแสดงในภาพท 7.11

ภาพท 7.10 ระบบเซอรเบยส

ภาพท 7.11 ระบบเครมเมอร

167

7.3.4 การควบคมแบบวธเวกเตอรคอนโทรล (Vector Control) วธการควบคมแบบเวกเตอร (Vector Control) หรออาจเรยกวา ฟลดออเรยนเตดคอนโทรล (Field Oriented Control) เปนระบบการควบคมความเรวรอบมอเตอร ไฟฟากระแสสลบ ทพฒนามาจากการควบคมจากแบบแรงดนไฟฟาและความถของสญญาณ (V/F) โดยอาศยวธผสมผสาน และหลกการเลยนแบบการควบคมความเรวรอบจาก มอเตอรไฟฟากระแสตรง ชนดขดลวดกระตนแยก (Separated Exciting) เพอใหไดกราฟของแรงบด และก าลงตอความเรวรอบ ใหมความใกลเคยงกนมากทสด โดยทวไประบบควบคมจะท าการจายกระแสสเตเตอรทมองคประกอบ 2 สวน คอสวนทสรางฟลกซแมเหลก (Magnetic Flux) และสวนสรางแรงบด(Torque) ทงนการควบคมทงหมดจะกระท าอยบนแกนอางองทหมนไปพรอมๆ กบฟลกซเวกเตอรทางดานโรเตอร สงทส าคญในการควบคมชนดน คอการหาต าแหนงของฟลกซเวกเตอรมความแมนย ามากเทาไร ซงในทางปฏบตเนองจากนนไมสามารถวดคาฟลกซไดโดยตรง จงตองใชแบบจ าลองทางคณตศาสตรของมอเตอรเหนยวน าชวยในการค านวณหาคาฟลกซเวกเตอรนแทน ดงนนขอดอยของระบบนคอจ าเปนตองทราบคาพารามเตอรของมอเตอรอยางถกตองจงจะไดคณสมบตการควบคมทด ไดอะแกรมพนฐานของระบบควบคมอตราเรว แบบเวกเตอรคอนโทรลแสดงดงภาพท 7.12

ภาพท 7.12 บลอกไดอะแกรมพนฐานระบบควบคมแบบเวกเตอรคอนโทรล

จากภาพท 7.12 กระแส จะถกแปลใหมาอยในรปของ และ หรอเปนการแยกเวกเตอรใหเปน 2 แกนคอ d และ q โดยระบบควบคมจะพยายามรกษาองคประกอบในแกน d ใหมคาคงท และองคประกอบในแนวแกน q จะมคาเปลยนแปลงมาหรอนอยขนอยกบสภาวะของโหลด เมอมอเตอรท างานในยานความเรวรอบทสงกวาความเรวพกด ระบบจะตองลดแรงดนไฟฟาลง เพอท าใหกระแสของฟลดลดลงสงผลใหมอเตอรมความเรวรอบสงขน

168

7.4 การควบคมออกตวของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ (Control Starting of Induction Motor) เมอจายไฟฟาใหกบมอเตอรเหนยวน า มอเตอรจะท าการออกตวดวยกระแสทสง ซงเปนสาเหตใหอปกรณทเปนภาระหรอโหลดทตอกบระบบไฟฟาเกดการเสยหายและสนเปลองพลงงานไฟฟา ดงนนจงตองมวธการควบคมหรอจ ากดคากระแสขณะทมอเตอรออกตวทเหมาะสม โดยวธการทวไปประกอบดวยวธตางๆดงน 1. การออกตวโดยตรง (Direct On Starting) 2. การออกตวดวยระดบแรงดนต า (Low Voltage Starting) 3. การออกตวแบบใชหมอแปลงแบบออโต (Auto-Transformer Starting) 4. การออกตวการออกตวแบบใชหมอแปลงแบบออโต 5. การออกตวดวยระดบความถต า (Low Frequency Starting) 7.4.1 วธการออกตวโดยตรง (Direct On Starting Method) วธการออกตวดวยวธนเหมาะสมกบมอเตอรเหนยวน าทมขนาดเลกพกดต าคอนอยกวา 2 กโลวตต คากระแสในการออกตวมคาขนอยกบคาอมพแดนซของโรเตอรในขณะหยดนงโดยทวไปคากระแสออกตวจะอยท 6 ถง 8 เทาของกระแสพกดของมอเตอร ในขณะเดยวกนคาแรงบด(Torque) มคาอยท 1.5 ถง 2 เทาของแรงบดขณะโหลดเตมพกด ซงเปนสาเหตใหเกดสภาวะแรงดนไฟฟาตก (Voltage Drop) ของแหลงจายไฟซงอาจจะมคาสงถง 10% ของแรงดนพกดโดยวงจรวธการออกตวโดยตรงแสดงในรปท 7.13

Motor

Overload

Fuse

Magnetic

L1 L2 L3

ภาพท 7.13 วงจรการออกตวมอเตอรแบบโดยตรง (Direct On Starting)

169

ภาพท 7.14 คณลกษณะแรงบดกรณคาแรงบดสงส าหรบการออกตวมอเตอร 7.4.2 วธการออกตวดวยระดบแรงดนต า (Low Voltage Starting Method) วธการออกตวดวยวธนกระท าโดยการใหมอเตอรหมนไดความเรวรอบประมาณ 80 เปอรเซนตของความเรวพกด วธการดงกลาวนสามารถลดแรงดนและกระแสประมาณ 0.577 เทา ของกระแสออกตวโดยตรงแตมขอเสยคอแรงบดกจะมคาลดลงประมาณ 0.577 เทาเชนกน ตวอยางวธการออกตวดวยระดบแรงดนต าเชนการควบคมมอเตอรแบบสตารเดลตา (Star Delta Staring Method) วงจรควบคมการออกตวแสดงดงภาพท 7.15

ภาพท 7.15 วงจรการออกตวมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส แบบสตาร เดลตา

170

วธนเหมาะส าหรบการลดคากระแสและแรงบดขณะสตารทของมอเตอรลงโดยทวไปโครงสรางวงจรจะประกอบดวยแมคเนตกสคอนแทคเตอร 3 ตว โอเวอรโหลดรเลย 1 ตว และไทมเมอร 1 ตว ส าหรบตงเวลาในการเปลยนการตอจากสตารเปนเดลตา กระแสขณะสตารทจะลดลงประมาณ 30% ของคากระแสขณะสตารททเกดขน ขณะการสตารทแบบโดยตรงและคาแรงบดจะลดลงประมาณ 25% ของแรงบดทเกดขนจากการสตารทมอเตอรแบบโดยตรง ส าหรบคณสมบตทางไฟฟาและทางกลของการสตารทมอเตอรแบบตอสตาร-เดลตา จากคณสมบตดงกลาวพบวาคากระแสขณะตอนสตารทจะลดลงไดในระดบหนงในชวงการตอขดลวดใหมอเตอรเปนแบบสตาร ซงแรงดนทขวจะลดลงเทากบประมาณ 60% ของแรงดนพกดซงเปนผลท าใหคากระแสกระชากลดลงไปได

7.4.3 การออกตวแบบใชหมอแปลงแบบออโต (Auto-Transformer Starting) วธการนมอเตอรจะถกลดแรงดนโดยใชหมอแปลงออโตขณะสตารท จากนนกท าการ

บายพาสตอตรงกบแหลงจายเพอเพมแรงดนไฟฟาเทากบแรงดนพกด

7.4.4 การออกตวมอเตอรดวยวธนมนวล (Soft Starting Method) วธการออกตวแบบนมนวล เปนเทคโนโลยในการออกตวมอเตอรเหนยวน าอาศย

หลกการรลดแรงดนไฟฟาทแหลงจายของมอเตอรขณะออกตว ใชหลกการควบคมการท างานดวยอปกรณสารกงตวน าแทนหนาสมผส ท าใหสามารถควบคมระดบแรงดนไฟฟาและกระแสทไฟฟามอเตอรได โดยอปกรณดงกลาวคอไทรรสเตอร (Thyristor) หรอทรจกกนดคอ Silicon Controlled Rectifiers (SCRs) ใชท าการควบคมแรงดนไฟฟาและกระแสไฟฟาโดยการจายกระแสเขาขาเกท (Gate) โดยใหน ากระแสทมมตางๆทก าหนด มมทรกจะเปนตวควบคมระดบแรงดนดานออกของวงจร

Contact Runing 1

Contact Starting 1

SCR1CTOL

Contact Runing 2

Contact Starting 2

SCR2CT

Contact Starting 3

SCR3CT

Contact Runing 3

L1

L2

L3

To Motor

To Motor

To Motor

ภาพท 7.16 วงจรควบคมการออกตวมอเตอรดวยวธนมนวล

171

จากการท างานของวงจรไทรรสเตอรซงเปนสวนประกอบหลกของการสตารทมอเตอรแบบนมนวลนน สามารถเขยนคณสมบตดานแรงบดและกระแสกระชากได

7.5 การประยกตใชงานระบบควบคมมอเตอรไฟฟากระแสสลบ

เนองจากความส าคญอตสาหกรรมเครองจกรกลตางๆ จ าเปนตองใชมอเตอรไฟฟาในการขบเคลอนเปนหลก ดงนนการพฒนาระบบควบคมทเหมาะสมจะสงผลใหเกดประสทธภาพดานการประหยดพลงงานตวอยางเชน การใชเทคนคการลดกระแสดวยการตอวงจรควบคมแบบ สตาร-เดลตา โดยขณะเรมเดน จะตอวงจรแบบสตารเพอชวยลดกระแส และเมอมอเตอรหมนไดความเรวตามพกด จงสลบการตอเปนแบบเดลตา การเรมเดนมอเตอรแบบ สตาร-เดลตานชวยลดกระแสลงขณะเรมเดนเครองไดอยางไรกตามขอเสยคอแรงบดกลดลงดวย ขณะเดยวกนเมอมอเตอรท างานทความเรวปกตแลวรบโหลดทางกลมอเตอรจะดงกระแสไฟจากแหลงจายไฟโดยใหแรงบดสงสดตลอดเวลา จะเหนไดวาในทางปฏบตมความจ าเปนตองพจารณาการท างานของเครองจกรนนเพอออกแบบวธ การควบคมมอเตอรทเหมาะสมกบรปแบบของงานนนๆ

Star-Delta

Start

Motor

Tryristor

Set

Cerrent

Transmitor

Voltage

Transmitor

R

S

T

NPhase

angle

control

PLC

Hydrolic Valve

� �

� � ภาพท 7.17 ตวอยางวงจรระบบควบคมเครองตเหลกมดพรา

172

สรป มอเตอรไฟฟากระแสสลบ (Alternating Current Motor ) หรอ มอเตอรไฟฟาชนด

เหนยวน า (Induction Motor) คอ เครองกลไฟฟาทเปลยนพลงงานไฟฟากระแสสลบใหเปนพลงงานกลชนดหมน โดยมอเตอรไฟฟากระแสสลบสามารถแบงออกเปน 2 ชนดหลกๆ ไดแก ซงโครนสมอเตอร (Synchronous Motor) และอะซงโครนสมอเตอร (Asynchronous Motor) โครงสรางสวนประกอบทส าคญคอ สวนทอยกบทหรอสเตเตอร (Stator) สวนเคลอนทหรอโรเตอร (Rotor) และอปกรณอนๆ เชน ตวรองลน (Bearing) ตวโครงมอเตอร (Frame) เปนตน

การควบคมความเรวมอเตอรไฟฟากระแสสลบมวธการตางๆพอสรปไดดงน 1. การปรบเปลยนแรงดนทขวของมอเตอร (Supply Voltage Adjustable Method) 2. การปรบเปลยนความถ (Frequency Adjustable Method) 3. การปรบดวยวธปรบความตานทานโรเตอร (Rotor Resistance Adjustable Method) 4. การควบคมแบบวธเวกเตอรคอนโทรล (Vector Control Method) การควบคมการออกตวมอเตอรไฟฟากระแสสลบมวธการตางๆพอสรปไดดงน 1. การออกตวดวยวธออกตวโดยตรง (Direct on starting method) 2. การออกตวดวยวธระดบแรงดนต า (Low Voltage Starting Method) 3. การออกตวแบบใชหมอแปลงแบบออโต (Auto-transformer Starting) 4. การออกตวมอเตอรดวยวธนมนวล (Soft Starting Method)

173

ค าถามทบทวน ใหนกศกษาตอบค าถามตอไปนใหถกตอง 1. จงอธบายโครงสรางสวนประกอบพนฐานของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส 2. จงบอกวธการควบคมความเรวพนฐานของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส 3. จงอธบายคณลกษณะการควบคมความเรวของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส ในแตละวธ 4. จงเขยนบลอกไดอะแกรมของระบบควบคมความเรวมอเตอรแบบปดของระบบควบคมแบบ V/F 5. จงอธบายหลกการของระบบควบคมความเรวมอเตอรแบบปดของระบบควบคมแบบ V/F 6. จงอธบายหลกการควบคมความเรวมอเตอรไฟฟากระแสสลบแบบเวกเตอรคอนโทรล 7. จงบอกวธการควบคมการออกตวพนฐานของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส 8. จงอธบายคณลกษณะการควบคมการออกตวของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส ในแตละวธ 9. วธการออกตวของมอเตอรแบบโดยตรงเหมาะส าหรบมอเตอรเหนยวน าขนาดเทาไร 10. จงบอกขอดและขอเสยวธการออกตวของมอเตอรแบบโดยตรง 11. วธการออกตวของมอเตอรแบบสตาร-เดลตาเหมาะส าหรบมอเตอรเหนยวน าขนาดเทาไร 12. จงบอกขอดและขอเสยวธการออกตวของมอเตอรแบบแบบสตาร-เดลตา 13. จงอธบายหลกการของระบบควบคมการออกตวแบบนมนวล(Soft starting method) 14. จงอธบายหลกการควบคมความเรวมอเตอรไฟฟากระแสสลบแบบเวกเตอรคอนโทรล

174

เอกสารอางอง บญเลศ โพธข า. (2548). เอกสารประกอบการสอนมอเตอรไฟฟาและการควบคม. นครพนม : วทยาลยเทคนคนครพนม. ธนเจต สครรมย.(2552). มอเตอรไฟฟาและการควบคม. กรงเทพฯ : ส านกพมพศนยสงเสรม อาชวะ. พรจต ประทมสวรรณ. (2547). พนฐานการขบเคลอนมอเตอรไฟฟาดวยอเลกทรอนกสก าลง. กรงเทพฯ : โรงพมพเรอนแกวการพมพ. ธวยษฎ อจวาท.(2545). การควบคมการประหยดพลงงานในการขบเคลอนมอเตอรเหนยวน าดวย

วธปรบตามสนามโดยออม. วทยานพนธวศวกรรมศาสตรมหาบณฑต สาขาวชา วศวกรรมไฟฟา ภาควชาวศวกรรมไฟฟา บณฑตวทยาลย สถาบนเทคโนโลย. พระจอมเกลาพระนครเหนอ.

ศภชย ปลายเนตร ธราธป ภระหงษ ณฐชนนท ปลายเนตร วชต แกนตา.(2555). การพฒนาระบบ พแอลซส าหรบเครองตเหลกมดพราขนาดชมชน. เอกสารสบเนองจากการประชมทาง วชาการประจ าป2555 ส านกงานคณะกรรมการการอดมศกษารวมกบมหาวทยาลยขอนแกน 16-19 กมภาพนธ 2555 หนา 511-516.

Fitzgerald A. E., Kingsley Charles, Mans Stepphen D.(2003). Electric Machine. 6th Edition.New York : McGrawhill Companies,Inc.

Dubay G.K. (1989). Power Semiconductor Controlled Drives.Newjensey: Prentice-Hall,Inc. Bimal K. Bose.(2002). Modern Power Electronic and AC Drives. Prentice-Hall,Inc. Characteristic starting of induction motor. (n.d.). [Online]. Available from http : //

www.hmin.tripod.com/als/andysm/pages/3power08.html#3PHM-87. Retrieved June, 6, 2015.

Induction motor ABB Automation Technology.(n.d.). [Online]. Available from http://www.ab.com. Retrieved June, 6, 2015.

Characteristic starting of induction motor.(n.d.). [Online]. Available from http://www.inverter-china.com. Retrieved June, 6, 2015.

157

บทท 7 มอเตอรไฟฟากระแสสลบและการควบคม

ในบทนจะไดกลาวถงเนอหาทฤษฏมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส แบบพนฐาน โครงสรางและหลกการท างานของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส แตเนอหาในบทนจะกลาวถงเฉพาะระบบไฟฟา 3 เฟส และระบบการควบคมมอเตอรไฟฟากระแสสลบ โดยจะกลาวถงเฉพาะเรอง การควบคมความเรวของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ การควบคมการออกตว การยกตวอยางงานวจย และบทความทางวจยทเกยวของกบงานวจยเพอพฒนา ระบบการควบคมในงานอตสาหกรรมชนบท

7.1 ทฤษฎมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส

มอเตอรไฟฟาเหนยวน า เปนอปกรณท าหนาทเปลยนพลงงานไฟฟาเปนพลงงานกล เนองจากมโครงสรางและหลกการท างานทไมซบซอนจงเปนทนยมใชกนอยางแพรหลายในงานทวไปและในโรงงานอตสาหกรรมตาง ๆ สามารถเปนเครองตนก าลงทมประสทธภาพรวมถงการใชงานใชงานงาย มความแขงแรง ราคาถก และมความตองการบ ารงรกษาต า

โครงสรางของมอเตอรเหนยวน าสามเฟสสามารถแบงออกได 2 สวน คอสวนของสเตเตอร (Stator) ซงเปนสวนทอยกบท และสวนของโรเตอร (Rotor) เปนสวนทหมน ซงแตละสวนมรายเอยดดงน 7.1.1 สเตเตอร (Stator) คอสวนทอยนงกบทมลกษณะโครงสราง ดงภาพท 7.1

ภาพท 7.1 ลกษณะรปรางของสเตเตอรหรอสวนทอยกบท

สเตเตอรประกอบดวยแผนลามเนท ซงท ามาจากเหลกกลาชลกอน อดประกบซอนกนเปนตวถงรปทรงกระบอกเพอท าหนาทเปนสลอต (Slot) เปนทางเดนของสนามแมเหลก มขดลวด

158

อารเมเจอร (Armature) ฝงตวอยในรองสลอตของแกนเหลก โดยขดลวดของแตละเฟสจะมการพนจะจดวางใหกระจายรอบๆ ทรงกระบอก ท าใหสามารถใชแกนเหลกและขดลวดอารเมเจอรอยางมประสทธผล สงผลใหเกดการกระจายตวของสนามแมเหลกและการสรางแรงบดแมเหลกอยางสม าเสมอไดดขน 7.1.2 โรเตอร (Rotor) โรเตอรของมอเตอรเปนสวนของการหมนเปนทรงกระบอก (Cylindrical rotor) สามารถแบงได 2 ประเภทดงน 1. โรเตอรแบบกรงกระรอก (Squirrel Cage Rotor) โรเตอรชนดนแกนของ โรเตอรท าดวยเหลกลามเนท (Laminated Sheet Steel) ภายนอกจะเปนรองสาหรบอดแทงตวน าทองแดงหรออะลมเนยมฝงในรองโรเตอรและปดทายวงแหวนทองแดงหรออะลมเนยม เพอลดวงจรขดลวด เมอน าแกนโรเตอรเขาไปวางแบบพมพ (Mold) แลวฉดอะลมเนยมเหลวเขาไปจะไดครบยนออกไปทงสองขางใชเปนใบพดระบายความรอน รปรางของโรเตอรแบบกรงกระรอก ดงภาพท 7.2

ภาพท 7.2 ลกษณะของโรเตอรของมอเตอรเหนยวน าแบบกรงกระรอก 2. โรเตอรแบบขดลวดพนรอบโรเตอร (Wound Rotor) โรเตอรแบบนแตกตางกบแบบกรงกระรอก คอมขดลวดพนอยในรองสลอตเชนเดยวกบสเตเตอร สวนปลายของขดลวดจะตออยกบแหวนลน (Slip Ring) และมแปรงถานสมผสอยโดยแปลงถานจะตอกบวงจรภายนอกเพอท าการตอวงจรสตารท แบบสตาร หรอเดลตา มอเตอรทมโรเตอรประเภทนมขอจ ากด คอจะตองมจ านวนขวเทากบจ านวนขวของสเตเตอร และไมสามารถหมนดวยความเรวมากไดเนองจากความแขงแกรงทางกลต า นอกจากนราคายงสงเมอเทยบกบโรเตอรแบบกรงกระรอก แตมขอดของโรเตอร ประเภทนคอสามารถก าหนดแรงบดขณะการสตารทโดยอาศยการตอความตานทานภายนอกรปรางของโรเตอรแบบขดลวดพนรอบโรเตอร ดงภาพท 7.3

159

ภาพท 7.3 ลกษณะของโรเตอรแบบขดลวดพนรอบโรเตอร 7.2 หลกการท างานมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส จากภาพท 7.4 เมอปอนแรงดนไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส แบบสมดล ใหกบขดลวดอารเมเจอรทสเตเตอร ทง 3 เฟส คอ เฟส A หรอ เฟส B หรอ และเฟส B หรอ วางท า

มมกน 120 องศาทางไฟฟาหรอ

กระแสไฟฟาทง 3 เฟสดงสมการท (7-1), (7-2), (7-3)

(7-1)

(7-2)

(7-3)

การเกดสนามแมเหลกหมนขนในชองอากาศระหวางสเตเตอรกบโรเตอรดวยความเรวซงโครนส (Synchronouse Speed) และหากเปนโรเตอรชนดวาวลโรเตอรจะประกอบดวยขดลวดสามชดเชนเดยวกนคอ และ แตหากเปนโรเตอรแบบแทงตวน าหรอกรงกระรอกจะมการลดวงจรทปลายของขดลวดตวน าดวยวงแหวน

160

ภาพท 7.4 ระบบไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส 7.2.1 ความเรวซงโครนส ความเรวของโรเตอร และความถของโรเตอร 1. ความเรวซงโครนส เมอจายกระแสไฟฟา 3 เฟสเขาไปทขดลวดสเตเตอร จะท าใหเกดสนามแมเหลกหมนขนในชองวางอากาศระหวางสเตเตอรและโรเตอร สนามแมเหลกหมนนจะหมนรอบสเตเตอรดวยความเรวซงโครนส (Synchronous Speed) ดงสมการท (7-4) จากสมการท (7-4) สามารถอธบายไดวา ความเรวของสนามแมเหลกหมนจะแปรผนโดยตรงกบความถของระบบไฟฟาและแปรผกผนกบจ านวนขวแมเหลกของมอเตอร 2. ความเรวและความถของโรเตอร เมอโรเตอรของมอเตอรหมนดวยความเรวทนอยกวาความเรวสนามแมเหลกหมน ซงความแตกตางระหวางความเรวของสนามแมเหลกหมน กบความเรวของโรเตอรกคอความเรวสลป (Slip-Speed) จะมคา ดงสมการท (7-5)

ความเรวสลปท าการนอรมอลไลซดวยความเรวซงโครนสเรยกวาสลป ดงสมการท (7-6)

คาความเรวสลปจะขนอยกบโหลดนน คอเมอโหลดมากขนจะท าใหโรเตอรหมนชา

ลงสงผลท าใหความเรวสลปมคามากขน ท าใหโรเตอรถกสนามแมเหลกหมนตดดวยอตราเรวมากขน เกดแรงเคลอนไฟฟาเหนยวน าและกระแสไหลในตวโรเตอรมากขน และดวยหลกการเดยวกนกบ

(7-5)

(7-6)

(7-4) 𝑁s 120𝑓

𝑝

161

หมอแปลงเมอกระแสดานทตยภมมคามากขนกสงผลใหกระแสในสเตเตอร ซงเปนกระแสดานปฐมภม มคามากขนดวย ภาระทางกลจะถกสงผานภาระทางไฟฟาในรปของสลปนนเอง จากความแตกตางของอตราระหวางสนามแมเหลกหมนและโรเตอร ท าใหเกดแรงเคลอนเหนยวน าขนทโรเตอร ซงความถของแรงดนทปอนใหกบสเตเตอร จะเปนสดสวนโดยตรงกบความเรวสลป ดงสมการท (7-7)

โดยปกตมกเรยกคาสลปตอหนงหนวยวาสลป เมอสลปเทากบ 0 หมายความวาไมมสลป คอ ความเรวของโรเตอรเทากบความเรวสนามแมเหลกหมนบนโรเตอร ในขณะทคาสลป เทากบ 1 หมายความวา มอเตอรหยดนงไมมการหมน ถามอเตอรมสลปเทากบ 0.5 กคอความถโรเตอรจะมคาเทากบ 50 % ของความถทปอนใหมอเตอรนนเอง

7.2.2 วงจรสมมลของมอเตอรเหนยวน า (Induction Motor Equivalent Circuit) เนองจากมอเตอรไฟฟาแบบเหนยวน าจะอาศยหลกการเชนเดยวกนกบหมอแปลง

แตจะแตกตางกนทขดทตยภมของหมอแปลงไมสามารถเคลอนทได ดงนนจงสามารถเขยนวงจรสมมลของมอเตอรเหนยวน าตอเฟส ดงภาพท 7.5

ภาพท 7.5 วงจรสมมลของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ

7.2.3 การสงผานกาลงของมอเตอรเหนยว 3 เฟส มอเตอรเหนยวน า 3 เฟส มความสมพนธของก าลงไฟฟาดานเขามาจากระบบไฟฟา 3 เฟส สวนก าลงดานออกเปนก าลงทางกลและมก าลงสญเสยในลกษณะตางๆ เมอจายระบบไฟฟา 3 เฟส ใหกบมอเตอรเหนยวน า ก าลงไฟฟาดานเขาเมอกระแสไฟฟาไหลผานขดลวดสเตเตอรท าใหเกดก าลงไฟฟาสญเสยทขดลวดบนสเตเตอร ค านวณไดจากสมการท (7-8)

𝑓𝑟 𝑁𝑠𝑙𝑖𝑝

𝑁𝑠. 𝑓𝑠

𝑁𝑠 𝑁𝑟𝑁𝑠

. 𝑓𝑠 𝑠𝑓𝑠 (7-7)

162

ก าลงสงผานชองอากาศ เรยกอกอยางหนงวาก าลงไฟฟาดานเขาของโรเตอร สามารถหาก าลงสงผานชองอากาศได ดงสมการท (7-10)

หรอคา มคาเทากบก าลงทถกรบไวในคาความตานทานเทยบเคยงของโรเตอร R’2 / s ดงนน

ดงนนก าลงทางกลสามารถหาไดจากสมการ

แรงบดทมอเตอรสรางขนสามารถหาไดจากสมการ

7.3 การควบคมอตราเรวมอเตอรไฟฟากระแสสลบ (Induction Motor Speed Control)

จากสมการของความเรวซงโครนสของมอเตอรเหนยวน า s

เมอ P คอจ านวน

ขวแมเหลกของมอเตอร แสดงวาสามารถปรบจ านวนขวแมเหลกแลวท าใหสามารถควบคมความเรวรอบไดแตวธการดงกลาวเหมาะกบมอเตอรชนดกรงกระรอก (Squire Gage Motor) แตถาเปนโรเตอรชนดพนขดลวดจะมความยงยากเนองจากตองมการปรบทงทขดลวดสเตเตอรและโรเตอร แตวธการนยงมขอจ ากดเนองจากไมสามารถควบคมแบบตอเนองได ในปจจบนไดมวธการพฒนาควบคมหลายวธดงน

7.3.1 การปรบเปลยนแรงดนทขวของมอเตอร แรงบดทถกสรางขนจะเปนสดสวนกบก าลงสองของแรงดนทขวของมอเตอร เมอลดแรงดนทขวของมอเตอรลงจะท าใหเสนโคงแรงบดและอตราเรวลดลงเปนก าลงสองเขนเดยวกน ดงนนวธการ

𝑃𝑖𝑛 𝑉 𝐼 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑃𝑠𝑡𝑙𝑜𝑠𝑠 𝐼 𝑅 (7-9)

(7-10)

(7-11)

(7-12)

(7-13) 𝑇 𝑃𝑚𝜔𝑚

(7-8)

163

นจงสามารถควบคมอตราเรวไดเฉพาะอตราเรวทต ากวาพกดเทานน โดยกราฟแสดงคณสมบตของแรงบดและเสนโคง ดงแสดงในภาพท 7.6

𝑚

� VT L

T0

ภาพท 7.6 กราฟคณสมบตของแรงบดและเสนโคงการปรบเปลยนแรงดนทขวของมอเตอร

7.3.2 การปรบเปลยนความถ (Frequency Adjustable) จากสมการคาความเรวซงโครนส จะพบวาอตราเรวซงโครนสจะเปนสดสวนโดยตรงกบความถ f ของแหลงจาย เมอสามารถควบคมอตราเรวซงโครนสรวมถงอตราเรวของมอเตอรใหมคาทต าหรอสงกวาอตราเรวพกดได เมอเราลดความถลงต ากวาความถพกดโดยคงคาแรงดนไว ผลคอคารแอคแตนซของมอเตอรจะมคาลดลง สงผลใหกระแสมอเตอรเพมสงขนเสนแรงแมเหลกในชองอากาศมปรมาณมากขนและอาจมการอมตวในทสด ดงนนการปรบคาความถและคาแรงดนจะตองปรบเปลยนในอตราสวนทสมดลยกน ไมวาจะเพมความถหรอลดความถกตาม เมอมการปรบความถและแรงดนเปนสดสวนกนแลว ในสภาวะมโหลดจะท าใหอตราเรวของมอเตอรลดลงแตคาแรงบดทไดจะมคาคงท ดงนนคณสมบตของอตราเรวและแรงบดทจะมลกษณะเปนเสนโคงขนานกน

164

ภาพท 7.7 ผลตอบสนองของมอเตอรในสภาวะคงตวเมอมการปรบแรงดนไฟฟาและความถ

ภาพท 7.8 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมความเรวโดยการปรบแรงดนไฟฟาและความถ ดวยอนเวอรเตอร

165

ภาพท 7.9 เสนโคงความเรวและแรงบดแสดงผลจากการปรบความถ แรงบดของโหลด แสดงผลการขบเคลอนในสภาวะอยตว (Steady State) ความเรวและแรงบด เมอความถเพมสงขนความเรวจะมคาเพมสงขนเชนกนดงแสดงทจด 1, 2, 3 และ 4 การควบคมความเรวอยางตอเนองจนถงสภาวะอมตว

7.3.3 การควบคมอตราเรวของมอเตอรดวยวธการปรบความตานทานโรเตอร (Speed Motor Control by Adjust Rotor Resistance)

วธการควบคมความเรวมอเตอรกระแสสลบ ในกรณของมอเตอรเหนยวน าชนดพน โรเตอรนน จะสามารถควบคมความเรวรอบของมอเตอรไดงาย เนองจากสามารถตอวงจรโรเตอรออกมาภายนอกโดยผานทางวงแหวนลน

1. การควบคมความเรวรอบโดยใชคาความตานทานทางดานทตยภมหรอดานโรเตอรเมอตอคาความตานทานเขาสวงจรทางดานโรเตอร จะสามารถปรบคาความตานทานไดท าใหคากระแสทางดานทตยภมเปลยนแปลงไป สงผลใหเกดการเปลยนแปลงคณสมบตความเรวรอบและแรงบด ของมอเตอร ซงจะท าใหสามารถควบคมความเรวรอบของมอเตอรได อยางไรกตามการควบคมความเรวรอบโดยวธน สามารถท าไดสงสดเมอความเรวรอบลดลงประมาณ 50% เทานน เพราะถาควบคมใหลดความเรวรอบลงมากกวาน เมอคาแรงบดโหลดเปลยนแปลงแมเพยงเลกนอยกจะท าใหความเรวรอบเปลยนแปลงไปมากจะท าใหเสถยรภาพของการท างานของมอเตอรไมปกต ขอจ ากดของการควบคมชนดนเปนการควบคมโดยใชคาสลป ดงนนทความเรวรอบต าลงกวาปกตมาก

166

ประสทธภาพของมอเตอรจะลดลงมากดวย เพราะตองการคาความตานทานขนาดใหญขนในวงจรทตยภมท าใหการสญเสยจากคาความตานทานดงกลาวเพมขนมากเกนไป

2. การควบคมความเรวรอบโดยการกระตนดานทตยภมหรอดานโรเตอรการควบคมความเรวรอบโดยใชคาความตานทานดานทตยภมดงกลาวมาแลวไมเปนการประหยดพลงงานโดยทจะมการสญเสยจากคาความตานทานดานทตยภมสวนในการควบคมความเรวรอบโดยการกระตน ดานทตยภมนน จะมอปกรณส าหรบถายปอนก าลงตออยกบวงจรดานทตยภมเพอใหการควบคมความเรวรอบเปนไปอยางมประสทธภาพ และปองกนการสญเสยพลงงานระบบควบคมโดยการกระตนดานทตยภมดงกลาว เชนระบบเซอรเบยส ซงเหมาะส าหรบใชกบโหลดประเภทมสมบตแรงบดคงท โดยทมการปอนก าลงไฟฟากลบเขาสแหลงจายไฟดงภาพท 7.10 และระบบเครมเมอรซงเหมาะส าหรบโหลดประเภทมสมบตก าลงใชงานคงท โดยทมการเพมก าลงทางกลศาสตรใหแกเพลาขบโดยอาศยมอเตอรกระแสตรง ดงแสดงในภาพท 7.11

ภาพท 7.10 ระบบเซอรเบยส

ภาพท 7.11 ระบบเครมเมอร

167

7.3.4 การควบคมแบบวธเวกเตอรคอนโทรล (Vector Control) วธการควบคมแบบเวกเตอร (Vector Control) หรออาจเรยกวา ฟลดออเรยนเตดคอนโทรล (Field Oriented Control) เปนระบบการควบคมความเรวรอบมอเตอร ไฟฟากระแสสลบ ทพฒนามาจากการควบคมจากแบบแรงดนไฟฟาและความถของสญญาณ (V/F) โดยอาศยวธผสมผสาน และหลกการเลยนแบบการควบคมความเรวรอบจาก มอเตอรไฟฟากระแสตรง ชนดขดลวดกระตนแยก (Separated Exciting) เพอใหไดกราฟของแรงบด และก าลงตอความเรวรอบ ใหมความใกลเคยงกนมากทสด โดยทวไประบบควบคมจะท าการจายกระแสสเตเตอรทมองคประกอบ 2 สวน คอสวนทสรางฟลกซแมเหลก (Magnetic Flux) และสวนสรางแรงบด(Torque) ทงนการควบคมทงหมดจะกระท าอยบนแกนอางองทหมนไปพรอมๆ กบฟลกซเวกเตอรทางดานโรเตอร สงทส าคญในการควบคมชนดน คอการหาต าแหนงของฟลกซเวกเตอรมความแมนย ามากเทาไร ซงในทางปฏบตเนองจากนนไมสามารถวดคาฟลกซไดโดยตรง จงตองใชแบบจ าลองทางคณตศาสตรของมอเตอรเหนยวน าชวยในการค านวณหาคาฟลกซเวกเตอรนแทน ดงนนขอดอยของระบบนคอจ าเปนตองทราบคาพารามเตอรของมอเตอรอยางถกตองจงจะไดคณสมบตการควบคมทด ไดอะแกรมพนฐานของระบบควบคมอตราเรว แบบเวกเตอรคอนโทรลแสดงดงภาพท 7.12

ภาพท 7.12 บลอกไดอะแกรมพนฐานระบบควบคมแบบเวกเตอรคอนโทรล

จากภาพท 7.12 กระแส จะถกแปลใหมาอยในรปของ และ หรอเปนการแยกเวกเตอรใหเปน 2 แกนคอ d และ q โดยระบบควบคมจะพยายามรกษาองคประกอบในแกน d ใหมคาคงท และองคประกอบในแนวแกน q จะมคาเปลยนแปลงมาหรอนอยขนอยกบสภาวะของโหลด เมอมอเตอรท างานในยานความเรวรอบทสงกวาความเรวพกด ระบบจะตองลดแรงดนไฟฟาลง เพอท าใหกระแสของฟลดลดลงสงผลใหมอเตอรมความเรวรอบสงขน

168

7.4 การควบคมออกตวของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ (Control Starting of Induction Motor) เมอจายไฟฟาใหกบมอเตอรเหนยวน า มอเตอรจะท าการออกตวดวยกระแสทสง ซงเปนสาเหตใหอปกรณทเปนภาระหรอโหลดทตอกบระบบไฟฟาเกดการเสยหายและสนเปลองพลงงานไฟฟา ดงนนจงตองมวธการควบคมหรอจ ากดคากระแสขณะทมอเตอรออกตวทเหมาะสม โดยวธการทวไปประกอบดวยวธตางๆดงน 1. การออกตวโดยตรง (Direct On Starting) 2. การออกตวดวยระดบแรงดนต า (Low Voltage Starting) 3. การออกตวแบบใชหมอแปลงแบบออโต (Auto-Transformer Starting) 4. การออกตวการออกตวแบบใชหมอแปลงแบบออโต 5. การออกตวดวยระดบความถต า (Low Frequency Starting) 7.4.1 วธการออกตวโดยตรง (Direct On Starting Method) วธการออกตวดวยวธนเหมาะสมกบมอเตอรเหนยวน าทมขนาดเลกพกดต าคอนอยกวา 2 กโลวตต คากระแสในการออกตวมคาขนอยกบคาอมพแดนซของโรเตอรในขณะหยดนงโดยทวไปคากระแสออกตวจะอยท 6 ถง 8 เทาของกระแสพกดของมอเตอร ในขณะเดยวกนคาแรงบด(Torque) มคาอยท 1.5 ถง 2 เทาของแรงบดขณะโหลดเตมพกด ซงเปนสาเหตใหเกดสภาวะแรงดนไฟฟาตก (Voltage Drop) ของแหลงจายไฟซงอาจจะมคาสงถง 10% ของแรงดนพกดโดยวงจรวธการออกตวโดยตรงแสดงในรปท 7.13

Motor

Overload

Fuse

Magnetic

L1 L2 L3

ภาพท 7.13 วงจรการออกตวมอเตอรแบบโดยตรง (Direct On Starting)

169

ภาพท 7.14 คณลกษณะแรงบดกรณคาแรงบดสงส าหรบการออกตวมอเตอร 7.4.2 วธการออกตวดวยระดบแรงดนต า (Low Voltage Starting Method) วธการออกตวดวยวธนกระท าโดยการใหมอเตอรหมนไดความเรวรอบประมาณ 80 เปอรเซนตของความเรวพกด วธการดงกลาวนสามารถลดแรงดนและกระแสประมาณ 0.577 เทา ของกระแสออกตวโดยตรงแตมขอเสยคอแรงบดกจะมคาลดลงประมาณ 0.577 เทาเชนกน ตวอยางวธการออกตวดวยระดบแรงดนต าเชนการควบคมมอเตอรแบบสตารเดลตา (Star Delta Staring Method) วงจรควบคมการออกตวแสดงดงภาพท 7.15

ภาพท 7.15 วงจรการออกตวมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส แบบสตาร เดลตา

170

วธนเหมาะส าหรบการลดคากระแสและแรงบดขณะสตารทของมอเตอรลงโดยทวไปโครงสรางวงจรจะประกอบดวยแมคเนตกสคอนแทคเตอร 3 ตว โอเวอรโหลดรเลย 1 ตว และไทมเมอร 1 ตว ส าหรบตงเวลาในการเปลยนการตอจากสตารเปนเดลตา กระแสขณะสตารทจะลดลงประมาณ 30% ของคากระแสขณะสตารททเกดขน ขณะการสตารทแบบโดยตรงและคาแรงบดจะลดลงประมาณ 25% ของแรงบดทเกดขนจากการสตารทมอเตอรแบบโดยตรง ส าหรบคณสมบตทางไฟฟาและทางกลของการสตารทมอเตอรแบบตอสตาร-เดลตา จากคณสมบตดงกลาวพบวาคากระแสขณะตอนสตารทจะลดลงไดในระดบหนงในชวงการตอขดลวดใหมอเตอรเปนแบบสตาร ซงแรงดนทขวจะลดลงเทากบประมาณ 60% ของแรงดนพกดซงเปนผลท าใหคากระแสกระชากลดลงไปได

7.4.3 การออกตวแบบใชหมอแปลงแบบออโต (Auto-Transformer Starting) วธการนมอเตอรจะถกลดแรงดนโดยใชหมอแปลงออโตขณะสตารท จากนนกท าการ

บายพาสตอตรงกบแหลงจายเพอเพมแรงดนไฟฟาเทากบแรงดนพกด

7.4.4 การออกตวมอเตอรดวยวธนมนวล (Soft Starting Method) วธการออกตวแบบนมนวล เปนเทคโนโลยในการออกตวมอเตอรเหนยวน าอาศย

หลกการรลดแรงดนไฟฟาทแหลงจายของมอเตอรขณะออกตว ใชหลกการควบคมการท างานดวยอปกรณสารกงตวน าแทนหนาสมผส ท าใหสามารถควบคมระดบแรงดนไฟฟาและกระแสทไฟฟามอเตอรได โดยอปกรณดงกลาวคอไทรรสเตอร (Thyristor) หรอทรจกกนดคอ Silicon Controlled Rectifiers (SCRs) ใชท าการควบคมแรงดนไฟฟาและกระแสไฟฟาโดยการจายกระแสเขาขาเกท (Gate) โดยใหน ากระแสทมมตางๆทก าหนด มมทรกจะเปนตวควบคมระดบแรงดนดานออกของวงจร

Contact Runing 1

Contact Starting 1

SCR1CTOL

Contact Runing 2

Contact Starting 2

SCR2CT

Contact Starting 3

SCR3CT

Contact Runing 3

L1

L2

L3

To Motor

To Motor

To Motor

ภาพท 7.16 วงจรควบคมการออกตวมอเตอรดวยวธนมนวล

171

จากการท างานของวงจรไทรรสเตอรซงเปนสวนประกอบหลกของการสตารทมอเตอรแบบนมนวลนน สามารถเขยนคณสมบตดานแรงบดและกระแสกระชากได

7.5 การประยกตใชงานระบบควบคมมอเตอรไฟฟากระแสสลบ

เนองจากความส าคญอตสาหกรรมเครองจกรกลตางๆ จ าเปนตองใชมอเตอรไฟฟาในการขบเคลอนเปนหลก ดงนนการพฒนาระบบควบคมทเหมาะสมจะสงผลใหเกดประสทธภาพดานการประหยดพลงงานตวอยางเชน การใชเทคนคการลดกระแสดวยการตอวงจรควบคมแบบ สตาร-เดลตา โดยขณะเรมเดน จะตอวงจรแบบสตารเพอชวยลดกระแส และเมอมอเตอรหมนไดความเรวตามพกด จงสลบการตอเปนแบบเดลตา การเรมเดนมอเตอรแบบ สตาร-เดลตานชวยลดกระแสลงขณะเรมเดนเครองไดอยางไรกตามขอเสยคอแรงบดกลดลงดวย ขณะเดยวกนเมอมอเตอรท างานทความเรวปกตแลวรบโหลดทางกลมอเตอรจะดงกระแสไฟจากแหลงจายไฟโดยใหแรงบดสงสดตลอดเวลา จะเหนไดวาในทางปฏบตมความจ าเปนตองพจารณาการท างานของเครองจกรนนเพอออกแบบวธ การควบคมมอเตอรทเหมาะสมกบรปแบบของงานนนๆ

Star-Delta

Start

Motor

Tryristor

Set

Cerrent

Transmitor

Voltage

Transmitor

R

S

T

NPhase

angle

control

PLC

Hydrolic Valve

� �

� � ภาพท 7.17 ตวอยางวงจรระบบควบคมเครองตเหลกมดพรา

172

สรป มอเตอรไฟฟากระแสสลบ (Alternating Current Motor ) หรอ มอเตอรไฟฟาชนด

เหนยวน า (Induction Motor) คอ เครองกลไฟฟาทเปลยนพลงงานไฟฟากระแสสลบใหเปนพลงงานกลชนดหมน โดยมอเตอรไฟฟากระแสสลบสามารถแบงออกเปน 2 ชนดหลกๆ ไดแก ซงโครนสมอเตอร (Synchronous Motor) และอะซงโครนสมอเตอร (Asynchronous Motor) โครงสรางสวนประกอบทส าคญคอ สวนทอยกบทหรอสเตเตอร (Stator) สวนเคลอนทหรอโรเตอร (Rotor) และอปกรณอนๆ เชน ตวรองลน (Bearing) ตวโครงมอเตอร (Frame) เปนตน

การควบคมความเรวมอเตอรไฟฟากระแสสลบมวธการตางๆพอสรปไดดงน 1. การปรบเปลยนแรงดนทขวของมอเตอร (Supply Voltage Adjustable Method) 2. การปรบเปลยนความถ (Frequency Adjustable Method) 3. การปรบดวยวธปรบความตานทานโรเตอร (Rotor Resistance Adjustable Method) 4. การควบคมแบบวธเวกเตอรคอนโทรล (Vector Control Method) การควบคมการออกตวมอเตอรไฟฟากระแสสลบมวธการตางๆพอสรปไดดงน 1. การออกตวดวยวธออกตวโดยตรง (Direct on starting method) 2. การออกตวดวยวธระดบแรงดนต า (Low Voltage Starting Method) 3. การออกตวแบบใชหมอแปลงแบบออโต (Auto-transformer Starting) 4. การออกตวมอเตอรดวยวธนมนวล (Soft Starting Method)

173

ค าถามทบทวน ใหนกศกษาตอบค าถามตอไปนใหถกตอง 1. จงอธบายโครงสรางสวนประกอบพนฐานของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส 2. จงบอกวธการควบคมความเรวพนฐานของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส 3. จงอธบายคณลกษณะการควบคมความเรวของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส ในแตละวธ 4. จงเขยนบลอกไดอะแกรมของระบบควบคมความเรวมอเตอรแบบปดของระบบควบคมแบบ V/F 5. จงอธบายหลกการของระบบควบคมความเรวมอเตอรแบบปดของระบบควบคมแบบ V/F 6. จงอธบายหลกการควบคมความเรวมอเตอรไฟฟากระแสสลบแบบเวกเตอรคอนโทรล 7. จงบอกวธการควบคมการออกตวพนฐานของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส 8. จงอธบายคณลกษณะการควบคมการออกตวของมอเตอรไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส ในแตละวธ 9. วธการออกตวของมอเตอรแบบโดยตรงเหมาะส าหรบมอเตอรเหนยวน าขนาดเทาไร 10. จงบอกขอดและขอเสยวธการออกตวของมอเตอรแบบโดยตรง 11. วธการออกตวของมอเตอรแบบสตาร-เดลตาเหมาะส าหรบมอเตอรเหนยวน าขนาดเทาไร 12. จงบอกขอดและขอเสยวธการออกตวของมอเตอรแบบแบบสตาร-เดลตา 13. จงอธบายหลกการของระบบควบคมการออกตวแบบนมนวล(Soft starting method) 14. จงอธบายหลกการควบคมความเรวมอเตอรไฟฟากระแสสลบแบบเวกเตอรคอนโทรล

174

เอกสารอางอง บญเลศ โพธข า. (2548). เอกสารประกอบการสอนมอเตอรไฟฟาและการควบคม. นครพนม : วทยาลยเทคนคนครพนม. ธนเจต สครรมย.(2552). มอเตอรไฟฟาและการควบคม. กรงเทพฯ : ส านกพมพศนยสงเสรม อาชวะ. พรจต ประทมสวรรณ. (2547). พนฐานการขบเคลอนมอเตอรไฟฟาดวยอเลกทรอนกสก าลง. กรงเทพฯ : โรงพมพเรอนแกวการพมพ. ธวยษฎ อจวาท.(2545). การควบคมการประหยดพลงงานในการขบเคลอนมอเตอรเหนยวน าดวย

วธปรบตามสนามโดยออม. วทยานพนธวศวกรรมศาสตรมหาบณฑต สาขาวชา วศวกรรมไฟฟา ภาควชาวศวกรรมไฟฟา บณฑตวทยาลย สถาบนเทคโนโลย. พระจอมเกลาพระนครเหนอ.

ศภชย ปลายเนตร ธราธป ภระหงษ ณฐชนนท ปลายเนตร วชต แกนตา.(2555). การพฒนาระบบ พแอลซส าหรบเครองตเหลกมดพราขนาดชมชน. เอกสารสบเนองจากการประชมทาง วชาการประจ าป2555 ส านกงานคณะกรรมการการอดมศกษารวมกบมหาวทยาลยขอนแกน 16-19 กมภาพนธ 2555 หนา 511-516.

Fitzgerald A. E., Kingsley Charles, Mans Stepphen D.(2003). Electric Machine. 6th Edition.New York : McGrawhill Companies,Inc.

Dubay G.K. (1989). Power Semiconductor Controlled Drives.Newjensey: Prentice-Hall,Inc. Bimal K. Bose.(2002). Modern Power Electronic and AC Drives. Prentice-Hall,Inc. Characteristic starting of induction motor. (n.d.). [Online]. Available from http : //

www.hmin.tripod.com/als/andysm/pages/3power08.html#3PHM-87. Retrieved June, 6, 2015.

Induction motor ABB Automation Technology.(n.d.). [Online]. Available from http://www.ab.com. Retrieved June, 6, 2015.

Characteristic starting of induction motor.(n.d.). [Online]. Available from http://www.inverter-china.com. Retrieved June, 6, 2015.

175

บทท 8 การประยกตใชระบบควบคมในงานอตสาหกรรม

ในบททผานเปนเนอหาเกยวมอเตอรและการควบคมซงเปนอปกรณทส าคญและนยมใชงานอตสาหกรรม ส าหรบบทนจะไดกลาวถง พนฐานระบควบคมพแอลซ การประยกตใชระบบควบคม ซงในทนจะกลาวถงเฉพาะ การประยกตใชพแอลซกบงานควบคมในลกษณะตางๆ หลกการท างานและโครงสรางพนฐานของพแอลซ การควบคมแบบล าดบขน(Sequence Control) การควบคมแบบเปดปด (ON-OFF Control) การควบคมแบบพไอด (PID Control) พรอมทงไดอธบายหลกการท างาน โครงสราง ของของระบบควบคมแตละแบบ และตวอยางการประยกตใช PLC ในงานควบคมระบบไฟฟาส าหรบอตสาหกรรม ตวอยางงานวจยทประยกตใชในระบบงานอตสาหกรรม

8.1 พนฐานระบบควบคมพแอลซ

พแอลซ (Programmable Logic Controller) หรอนยมเรยกสนวา PLC เปนอปกรณทนยมใชในงานระบบควบคมอตสาหกรรม มหลกการท างานคลายกบคอมพวเตอร ใชส าหรบควบคมกระบวนการท างานของเครองจกรอตสาหกรรม เนองจากระบบมความนาเชอถอสง สามารถแกไขปรบปรงระบบไดงายเมอเปรยบเทยบกบระบบควบคมแบบรเลย จากขอไดเปรยบนจงท าให PLCเปนทนยมเนองจาก ในปจจบนราคาลดลงมากท าให โรงงานอตสาหกรรมนยมน ามาใชงาน

โครงสรางพนฐานของ PLC ประกอบดวย หนวยประมวลผลกลาง หนวยความจ า หนวยรบขอมล หนวยแสดงผลขอมล และหนวยโปรแกรม ทงหมดจะถกรวมกนในลกษณะแผงวงจร อเลกทรอนกสและไอซ โดยรายละเอยดของหนวยตางๆมดงน

8.1.1 หนวยประมวลผลกลาง(Central Processing Unit) หรอ CPU เปนสวนประมวลผลของระบบ ภายใน CPU ประกอบไปดวยวงจรลอจก(Logic Gate) ชนดตางๆ ใชส าหรบแทนอปกรณจ าพวกรเลย (Relay) เคานเตอร (Counter) ไทเมอร (Timer) และซเควนเซอร (Sequencers) เพอใหผใชไดออกแบบใชวงจรรเลยแลดเดอรลอจก (Relay Ladder Logic)

8.1.2 หนวยความจ าของ PLC ประกอบดวย หนวยความจ าชวคราวและหนวยความจ า ถาวรหรอนยมเรยก RAM และROM โดยหนวยความจ าชนด RAM ท าหนาทเกบโปรแกรมของผใช และขอมลส าหรบใชในการปฏบตงานของ PLC และ ROM ท าหนาทเกบโปรแกรมส าหรบใชในการปฏบตงานของ PLC

8.1.3 หนวยรบขอมล(Input Unit) หรออนพตท าหนาทตอรวมกบชดควบคมเพอรบ สภาวะและสญญาณตางๆ เชน รบสญญาณหรอสภาวะแลวสงไปยง CPU เพอประมวลผล เมอ CPU ประมวลผลแลวจะสงใหสวนของเอาตพตท าใหอปกรณท างานตามทโปรแกรมทผใชออกแบบไว โดยอปกรณทใชเปนสญญาณอนพต ไดแก พรอกซมตสวตช (Proximility Switch) ลมตสวตช (Limit Switch) ไทเมอร (Timer) โฟโตอเลกรกสวตช (Photoelectric Switch) เอนโคดเดอร(Encoder) เคานเตอร (Counter) เปนตน

176

8.1.4 หนวยแสดงผลขอมล (Output Unit) หรอเอาทพตจะท าหนาทรบคาสภาวะทไดจากการประมวลผลของ CPU แลวน าคาเหลานไปควบคมอปกรณท างาน เชน รเลย โซลนอยด หรอหลอดไฟ เปนตน นอกจากนนแลว ยงท าหนาทแยกสญญาณของหนวยประมวลผลกลาง (CPU) ออกจากอปกรณเอาตพต โดยปกตเอาตพตนจะมความสามารถขบโหลดดวยกระแสไฟฟาประมาณ 1-2 แอมแปร แตถาโหลดตองการกระแสไฟฟามากกวาน จะตองตอเขากบอปกรณขบอนเพอขยายใหรบกระแสไฟฟามากขน เชน รเลยหรอคอนแทคเตอร เปนตน

8.1.5 หนวยโปรแกรม (Programmer Unit) หรออปกรณปอนโปรแกรม (Hand Held) ท าหนาทควบคมโปรแกรมของผใชลงในหนวยความจ าของ PLC นอกจากนยงท าหนาทตดตอระหวางผใชกบ PLC เพอใหผใชสามารถตรวจการปฏบตงานของ PLC และผลการควบคมเครองจกรและกระบวนการตามโปรแกรมควบคมทผใชออกแบบขน โดยโครงสรางพนฐานของ PLC แสดง ดงภาพท 8.1

ภาพท 8.1 โครงสรางพนฐานของ PLC 8.2 การควบคมแบบล าดบขน (Sequence Control) การควบคมแบบล าดบขน คอ การควบคมทประกอบดวยขนตอนยอย ๆ หลายขนตอนท างานเรยงล าดบกนตามทไดก าหนดหรอเราอาจเรยกวาอนกรมกได โดยแบงการควบคมออกเปน 2 แบบคอ แบบเรยงล าดบโดยใชมอ (Manual Sequence Control) และการควบคมแบบเรยงล าดบ

อนพตโมดล

หนวยความจ า โปรเซสเซอร

แหลงจายไฟ

เอาตพต โมดล

สวตช

177

อตโนมต (Automation Sequence Control) ตวอยางเชน การควบคมสายพานล าเลยง การควบคมไฟจราจรและ การควบคมลฟท เปนตน ตวอยางท 8.1 การควบคมมอเตอร 3 เฟสใหท างานแบบเรยงล าดบแบบใชมอ(Manual) เปาหมายเพอควบคมใหมอเตอรตวทหนงท างาน หลงจากนนมอเตอรตวสองท างานโดยเปนไปตามเงอนไข ทก าหนด

วธท า - วงจรก าลงของมอเตอร 3 เฟส 2 ตว ดงภาพดานลาง

- วงจรควบคมดวยระบบรเลยและวงจรควบคมดวยระบบ PLC

178

อธบายการท างาน จากวงจรควบคมรเลย เมอกด S2 รเลย K1 จะท างาน มอเตอรตวท 1 ท างานขณะเดยวกน K2 จะท างาน จะเหนวามอเตอรตวท 1 จะท างานกอนจากนนมอเตอรตวทสองจะท างานจะท างานเชนเดยวกน ส าหรบวงจรควบคมแบบแลดเดอรไดอะแกรมมลกษณะคลายกนจะถกเขยนโปรแกรมและสงใหระบบPLC ท างานแตระบบจะดกวาเนองจากการลดจ านวนสายตอในวงจรและปรบปรงระบบไดงายกวา ตวอยางท 8.2 การควบคมมอเตอรแบบเรยงล าดบแบบอตโนมต ยกตวอยางการควบคมสตารทมอเตอรแบบสตาร-เดลตา

วธท า - วงจรก าลงของมอเตอร 3 เฟสและวงจรควบคมดวยระบบรเลย ดงภาพดานลาง

อธบายการท างาน วงจรควบคมการสตารทมอเตอรแบบสตาร-เดลตา อตโนมตโดยใชรเลยตงเวลา

1. เมอกดสวตซ S2 ท าใหคอนแทคเตอร K2 ท างานตอแบบสตารและรเลยตงเวลา K4T ท างานคอนแทคปด ของ K2 ในแถวท 4 ตดวงจรคอนแทคเตอร K3 และคอนแทค K2 ปกตเปดในแถวท 2 ตอวงจรใหเมนคอนแทค K1 ท างาน

2. หลงจากท K1 ท างานและปลอยสวตซ S2 ไปแลว หนาคอนแทคปกตเปดของ K1 ในแถวท 3 ตอวงจรใหคอนแทคเตอร K2 และตวตงเวลา K4T จะท างานอยตลอดเวลาขณะน มอเตอรหมนแบบสตาร

179

3. รเลยตงเวลา K4T ท างานจนครบเวลาทตงไว คอนแทคเตอร K2 จะถกตดออกจากวงจรดวยหนาคอนแทคของรเลยตงเวลา K4T ในแถวท 1 และหนาสมผสปกตปดของ K2 ในแถวท 4กลบสสภาวะเดม ตอวงจรใหคอนแทคเตอร K3 ท างาน และคอนแทค K3 ในแถวท 1 จะตดคอนแทคเตอร K2 และรเลยตงเวลา K4T ออกจากวงจร จะคงเหลอคอนแทคเตอร K1 และ K3 ท างานรวมกนมอเตอรหมนแบบเดลตา

- วงจรควบคมสตารทมอเตอรแบบสตารเดลตาดวยระบบ PLC

8.3 การควบคมแบบเปดปด (ON-OFF Control) 8.3.1 การควบคมแบบลอจกเปด-ปด (Logic ON-OFF Control) คอระบบควบคมทไมยงยากใชกบกระบวนการมการท างานแคสองสถานะคอเปดและปดโดยระบบประกอบดวยเซนเซอร(Sensor) และตวสงงาน (Actuator) การควบคมแบบลอจกเปด-ปด (Digital Logic ON-OFF Control) จงเปนระบบทเขาใจไดงายและไมซบซอนโดยแสดงตวอยางของระบบดงน

180

ตวอยางท 8.3 ระบบควบคมแบบลอจกเปด-ปด ส าหรบระบบควบคมระดบน าในถงประปา

วธท า จากไดอะแกรมของระบบดงภาพดานลาง

อธบายการท างานของระบบ จากรปเปนการใชระบบควบคมแบบลอจกเปด-ปด ควบคมการเปด-ปดปมส าหรบควบคมการเตมของเหลวลงไปในถงน าอตโนมต โดยชดควบคมจะรบสญญาณอนพตมาจากสวตซสามตวคอ B เปนสวตซเลอก Auto/Manual, C เปนเซนเซอรตรวจวดระดบน า (Level Detector) ทเปน Float Switch และ A สวตซเลอกการท างาน Manually ON/OFF Switch มเอาตพตของตวควบคมหนงตวคอ D เปนสญญาณทไปสงใหเปด-ปดปม โดยในกรณทสวตช B (Auto/Manual) ถกเลอกใหเปนโหมด Manual จะใหอนพตเขามาเปนลอจก‘1’ กจะไปสงเปด-ปดปมโดยใชสวตช A (Manually ON-OFF) และในกรณทสวตช B (Auto/Manual) ถกเลอกใหเปนโหมด Auto จะใหอนพตเขามาเปนลอจก ‘0’ กจะไปสงเปด-ปดปมโดยใชสวตช C (Float Level Switch) ซงถาน ายงไมเตม C กจะใหสญญาณเขามาเปนลอจก ‘1’ และจะไปสงใหเปดปม สวนในกรณทสญญาณเขามาเปนลอจก ‘0’ คอกรณทน าเตมถงแลวกจะไปสงใหปดปมตวควบคมแบบลอจก ON-OFF Control 8.3.2 การควบคมแบบอนาลอกเปด-ปด (Analog ON-OFF Control) คอการควบคมเปดปดแบบตอเนอง เชนในกรณทเครองมอวดคากระบวนการ(Sensor and Transmitter Instruments) สงสญญาณเขามาเปนแบบตอเนอง 0% ถง 100% ตวอยางสญญาณ 4-20 mA, 1-5 V สญญาณเหลานจะไมไดบอกวามสถานะทเปน ON หรอ OFF อยางตรง ๆ ดงนนจงไมสามารถน าสญญาณลกษณะนไปสงเปด-ปดเครองจกรหรอสงตวสงงานใหท างานไดโดยตรง จะตองน าสญญาณทรบไดมาท าการเปรยบเทยบกบคาทเราตงไวเสยกอนโดยตองทราบวาคาของสญญาณทรบเขามาอยในระดบเทาใด จงจะไปสงเปดหรอสงปดเครองจกรการท างานของตวควบคมทเปนวงจรอเลกทรอนกสโดยทวไปจะน าสญญาณทวดมาจากกระบวนการจรง (Process Variable, PV) มาเปรยบเทยบกบคาหรอสญญาณทเราตงไว (Set Point, Sp) โดยน ามาหาคาความแตกตางกน

181

ตวอยางท 8.4 วงจร Difference Amplifier แบบอนาลอก หรอ Error Amplifier อธบายการท างานของวงจร

จากวงจรเปนการน าสญญาณแรงดนของกระบวนการจรง (PV) และสญญาณแรงดนของคาทตองการ (Sp) มาเปรยบเทยบกน โดยน าคาทงสองมาลบกนเพอใหเอาตพตออกมาเปนสญญาณคาผดพลาด (Error, E) หรอสญญาณทบอกคาความแตกตางระหวาง Sp และ PV โดยสญญาณคาผดพลาดนจะน าไปเขาสวงจรในสวนทเปนรปแบบการควบคม (Control Algorithm)

8.4 การควบคมแบบพไอด (PID Control) เนองการควบคมแบบเปดปด (ON-OFF Control) นนจะไมสามารถท าใหคาของกระบวนการ (Process Variable) มคาคงทเทากบคาทเราตองการ(Set point)ได เนองจากเอาตพตของตวควบคม จะท างานเปดปดอยตลอดเวลาท าใหคาของกระบวนการแกวงขนลงไปมาตลอดเวลา ซงการแกวงขนลงไปมาของกระบวนการแบบนเรยกวาออสซเลชน (Oscillation) ถาตองการควบคมใหกระบวนการหยดนงอยทคาทตองการ ดงนนการควบคมนยมน ามาใชในอตสาหกรรมนนคอการควบคมแบบพไอด การควบคมแบบพไอดเปนการควบคมแบบรวมกน โดยอาศยสดสวน (Proportional) ปรพนธ (Integral) และอนพนธ (Derivative) เพอใชเปนตวควบคมระบบเพอท าใหการตอบสนองของระบบมเสถยรภาพทดขน ในการควบคมแบบพไอดจะเปนมรปแบบการควบคมแบบวงปด (Close loop) ประกอบดวย จดรวมสญญาณ (Summing Point) ตวควบคม (Controller), ระบบทตองการควบคม (System) และสญญาณปอนกลบ (Feedback Signal)

182

ภาพท 8.2 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมพไอดแบบวงปด 8.4.1 การควบคมแบบพคอนโทรลเลอร (P Controller) เปนการควบคมโดยก าหนดอตราขยายของตวควบคม หรอเปนการก าหนดสดสวนเอาตพตตออนพต การควบคมแบบพจะควบคมเฉพาะคา สดสวนอตราขยาย (Proportional Gain) เพยงอยางเดยวในกรณทคาอตราขยายมาก จะท าใหระบบเปลยนแปลงไดเรว สงผลใหผลตอบสนองเกดการแกวง ขณะเดยวกนเมอคาอตราขยายมคานอยจะท าใหระบบเกดสภาวะ Offset โดยสมการคาสดสวนของระบบพคอนโทรลเลอรหาไดจากสมการ 8-1

เมอ Kp คอคาคงท เรยกวาอตราขยาย Proportional Gain ซงบางครงเรยกวาเปนอตราขยายของตวควบคม ซงเปนพารามเตอรทแสดงคาอนพตทปอนเขาระบบมการเปลยนแปลงสงใหเอาตพตแปรผนตาม โดยอนพตคอคากระบวนการ (Process Variable) เมอน ามาเปรยบเทยบกบคาทตองการ (Set Point) จะไดเปนคาคลาดเคลอน (Error) ซงจะน าเขาไปเปนคาอนพตในการค านวณแบบสดสวน(Proportional) ดงนนจะไดความสมพนธระหวางคาความผดพลาด (Error)และเอาตพต (Output) บลอกไดอะแกรมแสดงความสมพนธของระบบควบคมพแบบ ดงภาพท 8.2

∆𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 ∝ ∆ 𝑖𝑛𝑝𝑢𝑡

𝐾𝑝 =∆𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡

∆𝑖𝑛𝑝𝑢𝑡 (8-1)

183

ภาพท 8.3 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมพแบบวงปด

0 cb� �

d

ภาพท 8.4 กราฟความสมพนธระหวางคาความผดพลาดและเอาตพตของระบบควบคมพคอนโทรล ตวอยางท 8.5 จากบลอกไดอะแกรมของระบบควบคมแบบพตอไปนจงแสดงผลตอบสนองตอระบบควบคมอนดบหนง (Fist Order)

184

วธท า - จากสมการอนพตของระบบในโดเมนเวลามคาเทากบ ( ) = ( ) (1) เมอระบบทถกควบคมเปนระบบอนดบหนง ดงนนสามารถเขยนฟงกชนถายโอนของระบบในโดเมนความถเทากบ (3) ผลตอบสนองของระบบอนดบหนงโดยใชการควบคมดวยพคอนโทรล อธบายการท างาน

จากกราฟผลตอบสนองของระบบอนดบหนงเมอปอนสญญาณอนพตแบบล าดบขน (Unit step) ผลจากการปรบคาอตราขยายคงทของพคอนโทรล (Gain constant) มผลท าใหผลตอบสนองของระบบเปลยนแปลงโดยเมอปรบคา K เพมขนสงขนจะท าใหการแกวงของระบบลดลง ท าใหคาความคลาดเคลอนของระบบกอนเขาสสภาวะอยตวลดลง (Reduced Steady Stat Error) 8.4.2 การควบคมแบบไอ (Integral) การควบคมแบบไอหรออาจเรยกวาการควบคมแบบปรพนธ (Integral) ใชหลกการท างานคอการใหคาเอาตพตเปลยนแปลงเพมขนหรอลดลงไปเรอย ๆ ถาคาอนพตยงไมเปน 0 การท างานแบบ Integral กจะท าการเปลยนแปลงคาเอาตพต เพมขนหรอลดลงไปจนกวาอนพต

𝐶(𝑠) = 𝑈(𝑠) − 𝑅2(𝑠) (𝐾

1 + 𝑇𝑠)))

𝑈(𝑠) = 𝐾 (𝑅 (𝑠) − 𝐶(𝑠))

(2)

185

จะมคาเปน 0 การท างานแบบ Integral จงจะไมเปลยนแปลงคาเอาตพตอก และ เอาตพตจะหยด อยคาคงทคาหนง โดยแสดงความสมพนธดงรปท 8.6

+

SystemSet Point Error System output

Feedback Signal

Integral

ภาพท 8.5 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมพไอแบบวงปด

จากรปท 8.5 สญลกษณของบลอกไดอะแกรมจะเปนสญญาณทมความลาดชน คอ สญญาณทผานตวควบคมแบบ Integral จะคอยๆเพมขนจนถงจดเปาหมาย (Set Point) เมออนพตมการเปลยนแปลงแบบทนททนใดเอาตพตจะไมเปลยนแปลงทนท แตเอาตพตจะคอยๆเปลยนแปลง เพราะฉะนนการควบคมแบบไอจะใหผลตอบสนองการควบคมไดดกวาการควบคมแบบพ

Output

Error t

t

ภาพท 8.6 กราฟความสมพนธระหวางเอาตพตและคาคลาดเคลอนของระบบควบคมไอคอนโทรล

186

8.4.3 การควบคมแบบด (Derivative) การควบคมแบบด (Derivative) เปนการควบคมแบบอนพนธสญญาณอนพต เมอ

สญญาณผานการอนพนธแลว จะท าใหสญญาณมคาสงสดแลวคอยๆลดลงจนมคาถงเปาหมาย (Set Point) ทก าหนดไว ระบบมการตอบสนองตออนพตรวดเรว แตมขอเสยคอไมสามารถใชแบบเดยวไมไดตองใชรวมแบบพดหรอพไอด ซงบลอกไดอะแกรมของตวควบคมแบบด

+System

Set Point Error System output

Feedback Signal

Derivative

ภาพท 8.7 บลอกไดอะแกรมของตวควบคมแบบดคอนโทรล 8.4.4 การควบคมแบบพไอ (Proportional Plus Integral)

การควบคมแบบพไอ (Proportional Plus Integral) คอการน าเอาวธควบคมแบบพ และไอ มาประกอบรวมกนโดยมเปาหมายคอเพมความสามารถของการควบคมใหมเสถยรภาพทดยงขน ซงบลอกไดอะแกรมการควบคมแบบพไอ แสดงดงในภาพท8.8 ในสวนของการควบคมแบบพไอสามารถตอบลอกไดอะแกรมได 2 แบบ คอ การตออนกรม (Serial Connection) คอผลทไดจะน าเอาสญญาณทผานตวควบคมพและไอ คณกนรปแบบการตอแสดงดงภาพท 8.9 สวนการตอแบบขนาน (Parallel Connection) ผลทไดจะน าเอาสญญาณทผานตวควบคมมาบวกกนดงภาพท 8.10

+ SystemSet Point Error

System output

Feedback Signal

PController

IController System

ภาพท 8.8 การตอบลอกระบบควบคมพและไอแบบอนกรม

187

+

SystemSet Point Error System output

Feedback Signal

PIController

ภาพท 8.9 บลอกไดอะแกรมของตวควบคมแบบดคอนโทรล

+Set Point Error System output

Feedback Signal

PController

IController

System

ภาพท 8.10 การตอบลอกระบบควบคมพและไอแบบขนาน

ErrorSet Point

Error

I

P

t

ภาพท 8.11 กราฟผลตอบสนองของระบบควบคมพไอคอนโทรล

188

จากภาพท 8.11 แสดงกราฟสญญาณเอาตพตของตวควบคมแบบพไอโดยการเปลยนแปลงสญญาณเอาตพตของตวควบคมจะเรมตนเปนเสนตรงซงจะเปนผลของการควบคมแบบพ และในกราฟสวนทลาดชนจะเปนผลของการควบคมแบบไอซงการควบคมแบบพไอท าใหการควบคมเขาส Set Point ไดรวดเรว นนคอผลของการปรบคาพและไอ โดยการปรบคาพชวยแกไขปญหาคาชดเชย (Offset) และการปรบคาไอจะชวยลดการแกวงของระบบ (Oscillation) 8.4.5 การควบคมแบบพไอด (Proportional Plus Integral Plus Derivative)

การควบคมแบบพไอดคอการน าเอาหลกการการควบคมแบบ Proportional, Integral และ Derivative รวมกน การควบคมแบบพไอดนจะท างานรองรบการตอบสนองแบบทนททนใดไดอยางมประสทธภาพกวาการควบคมแบบพไอหรอพดเมอมการเปลยนแปลงของคาเปาหมาย หรอ ระบบทถกควบคมมการเปลยนแปลง ตวควบคมแบบพไอดจะชวยในการควบคมเขาสเปาหมายไดรวดเรว ซงจะลดการเกดการ Offset และการแกวงของระบบได โดยบลอกไดอะแกรมของระบบควบคมแบบพไอด แสดงดงภาพท 8.12

+

SystemSet Point Error System output

Feedback Signal

PIDController

ภาพท 8.12 บลอกไดอะแกรมของตวควบคมแบบพไอดคอนโทรล

189

+Set PointError System output

Feedback Signal

IController

DController

System

PController

ภาพท 8.13 การตอบลอกระบบควบคมพไอดแบบขนาน

ภาพท 8.14 การตอบลอกระบบควบคมพไอดแบบขนาน จากรปท 8.14 แสดงผลตอบสนองของการควบคมแบบพไอดการควบคมแบบนเหมาะกบการควบคมทคาเปาหมาย (Set Point) มการเปลยนแปลงอยตลอดเวลา หรอใชกบระบบ (System) ทมการตอบสนองชา อกทงสามารถใชการควบคมแบบพไอดแกปญหาในกรณทระบบทควบคมไดรบสญญาณรบกวน (Disturbance) จากสญญาณภายนอก สงผลใหระบบมเสถยรภาพมากยงขน ส าหรบขอเสยของระบบนคอถาก าหนดคาพารามเตอรมคามากเกนไปกจะท าใหการตอบสนองในการท างานของตวควบคมตอการเปลยนแปลงของอนพตชาลง

190

8.5 ตวอยางงานวจยการประยกตใชงานระบบควบคม จะเหนไดวาหลกการพนฐานของการควบคมเรมตนจาก การควบคมแบบเปดปด การควบคม

แบบล าดบขน ซงเหมาะสมกบระบบทไมตองการความยงยากซบซอนมากนก ในปจจบนอปกรณทนยมใชงานกนมากคอพแอลซ ซงในปจจบนมการพฒนาอยางมากสามารถใชงานไดครอบคลมไมวาจะเปนระบบแบบอนาลอกหรอดจตอล โดยมตวอยางการประยกตใชงานดงน

ตวอยางท 8.6 การประยกตใช PLC ในงานควบคมระบบไฟฟา

ตวอยางงานวจยของ นพพร พชรประกตและคณะ (2547) ท าการพฒนาระบบควบคมไฟฟาโรงงานทอกระสอบโดยการประยกตใชระบบพแอลซควบคมระบบ ปญหาเนองจากการเรมเดนมอเตอรทอกระสอบไมนมนวลเกดการกระชาก มอเตอรมวนเกบกระสอบไมสามารถปรบความเรวได ผลการพฒนาพบวาวธการดงกลาวสามารถควบคมเครองทอกระสอบไดดขน สามารถเพมคณภาพและปรมาณกระสอบใหสงขน ลดการสญเสยของอปกรณลงได

ภาพท 8.15 ระบบรเลยควบคมเครองทอกระสอบ

191

ตวอยางท 8.7 การประยกตใช PLC ในงานควบคมระบบไฟฟาส าหรบอตสาหกรรมตมดพรา ตวอยางงานวจยศภชย ปลายเนตรและคณะ (2554) ไดท าการพฒนาระบบควบคมเครองตเหลกมดพราโดยการประยกตใชระบบพแอลซควบคมระบบ การเรมเดนมอเตอรมอเตอรเครองตเหลกจ านวน 2 เครอง โดยการตอรวมกบอปกรณเซนเซอรวดกระแสและแรงดนไฟฟา อปกรณปองกนกระแสเกน เพอสงสญญาณใหกบPLC ท าการประมวลผล ผลการพฒนาพบวาวธการดงกลาวสามารถลดการใชพลงงานไฟฟาและสามารถลดการสญเสยของมอเตอรและอปกรณควบคมเครองตเหลก ภาพท 8.18 ระบบควบคมเครองตเหลกมดพราโดยการประยกตใชพแอลซควบคม ทมา : ศภชย ปลายเนตรและคณะ (2555)

192

สรป

1. โครงสรางพนฐานของ PLC ประกอบดวย หนวยประมวลผลกลาง หนวยความจ า หนวยรบขอมล หนวยแสดงผลขอมล และหนวยโปรแกรม

2. การควบคมแบบล าดบขนคอการควบคมทประกอบดวยขนตอนยอย ๆ หลาย ๆ ขนตอนท างานเรยงล าดบกนตามทไดก าหนดหรออาจเรยกวาอนกรม

3. การควบคมแบบลอจกเปด-ปด (Logic ON-OFF Control) คอระบบควบคมทใชกบกระบวนการมการท างานแคสองสถานะคอเปดและปด

4. การควบคมแบบอนาลอกเปด-ปด (Analog ON-OFF Control) คอการควบคมเปดปดแบบตอเนอง

5. สรปขอดและขอเสยของรปแบบวธการควบคมในงานอตสาหกรรมดงตารางดานลางน

รปแบบการควบคม ขอด ขอเสย การควบคมแบบเปดปด ควบคมงายไมม Off Set เกดขน มคา Overshoot และ

Hunting เกดขน

Proportional(P) มคา Overshoot และ Hunting เกดขนเลกนอย

ใชเวลานานกวาระบบจะเขาสเสถยรภาพ(Stable)

Integrate(I) ไมมคา Off Set เกดขนในระบบ -ใชเวลานานกวาแบบ P ในการเขาสเสถยรภาพ

Derivative(D) มการตอบสนองระบบเรว ม Off Set เกดขน -ไมสามารถใชงานได โดยล าพง

PID ควบคมระบบไดแนนอนและตอเนอง

ตอง Set คา PID

193

ค าถามทบทวน ใหนกศกษาตอบค าถามตอไปนใหถกตอง 1. จงบอกโครงสรางและหลกการท างานพนฐานของระบบควบคมพแอลซ 2. จงอธบายหลกการท างานพนฐานของระบบควบคมพแอลซ 3. จงยกตวอยางระบบกลไกเครองจกรทใชพแอลซควบคมพรอมเขยนโปรแกรมควบคมอยางงาย 4. จงอธบายวธการควบคมแบบลอจกปดเปดพรอมยกตวอยาง 5. จงอธบายวธการควบคมแบบอนาลอกเปดปดพรอมยกตวอยาง 6. จงอธบายวธการควบคมแบบพคอนโทรลพรอมบอกขอดและขอเสยของวธการควบคมดวยวธน 7. จงอธบายวธการควบคมแบบไอคอนโทรลพรอมบอกขอดและขอเสยของวธการควบคมดวยวธน 8. จงอธบายวธการควบคมแบบพไอดคอนโทรลพรอมบอกขอดและขอเสยของวธการควบคมดวยวธน 9. จงเขยนกราฟผลตอบสนองของระบบควบคมแบบพไอดคอนโทรล 10. ใหนกศกษายกตวอยางการประยกตใชงานอตสาหกรรมพรอมอธบายหลกการท างานใหเหตผลของการประยกตใชงานระบบควบคม

194

เอกสารอางอง ธนเจต สครรมย.(2552).มอเตอรไฟฟาและการควบคม. กรงเทพฯ : ส านกพมพศนยสงเสรมอาชวะ. ส านกพฒนาเทคโนโลยเพออตสาหกรรม.(2552). ระบบควบคม. ส านกพฒนาเทคโนโลยเพอ

อตสาหกรรม.มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ. ออมรอน อเลคทรอนคส เอกสารประกอบประกอบการฝกอบรมหลกสตรการใช PLC ระดบ 2.

กรงเทพฯ : บรษท ออมรอน อเลคทรอนคส จ ากด. ศภชย ปลายเนตร ธราธป ภระหงษ ณฐชนนท ปลายเนตร วชต แกนตา.(2555). การพฒนาระบบ

พแอลซส าหรบเครองตเหลกมดพราขนาดชมชน. เอกสารสบเนองจากการประชมทาง วชาการประจ าป2555 ส านกงานคณะกรรมการการอดมศกษารวมกบมหาวทยาลยขอนแกน 16-19 กมภาพนธ 2555 หนา 511-516.

Dubay G.K. (1989). Power Semiconductor Controlled. Drives.Newjensey: Prentice-Hall,Inc. Bimal K. Bose.(2002). Modern Power Electronic and AC Drives. Prentice-Hall,Inc. R.S. Burn. (2001). Advance Control engineering. Butterworth-Heinemann Linacre

House, Jordan Hill.A division of Reed Education and Professional Publishing Ltd.

Allen-Bradley home , Auger Dispenser.(n.d.). [Online]. Available from http://www.ab.com\product_apps\auger_a\auger_a.html. Retricved June , 6 , 2015

175

บทท 8 การประยกตใชระบบควบคมในงานอตสาหกรรม

ในบททผานเปนเนอหาเกยวมอเตอรและการควบคมซงเปนอปกรณทส าคญและนยมใชงานอตสาหกรรม ส าหรบบทนจะไดกลาวถง พนฐานระบควบคมพแอลซ การประยกตใชระบบควบคม ซงในทนจะกลาวถงเฉพาะ การประยกตใชพแอลซกบงานควบคมในลกษณะตางๆ หลกการท างานและโครงสรางพนฐานของพแอลซ การควบคมแบบล าดบขน(Sequence Control) การควบคมแบบเปดปด (ON-OFF Control) การควบคมแบบพไอด (PID Control) พรอมทงไดอธบายหลกการท างาน โครงสราง ของของระบบควบคมแตละแบบ และตวอยางการประยกตใช PLC ในงานควบคมระบบไฟฟาส าหรบอตสาหกรรม ตวอยางงานวจยทประยกตใชในระบบงานอตสาหกรรม

8.1 พนฐานระบบควบคมพแอลซ

พแอลซ (Programmable Logic Controller) หรอนยมเรยกสนวา PLC เปนอปกรณทนยมใชในงานระบบควบคมอตสาหกรรม มหลกการท างานคลายกบคอมพวเตอร ใชส าหรบควบคมกระบวนการท างานของเครองจกรอตสาหกรรม เนองจากระบบมความนาเชอถอสง สามารถแกไขปรบปรงระบบไดงายเมอเปรยบเทยบกบระบบควบคมแบบรเลย จากขอไดเปรยบนจงท าให PLCเปนทนยมเนองจาก ในปจจบนราคาลดลงมากท าให โรงงานอตสาหกรรมนยมน ามาใชงาน

โครงสรางพนฐานของ PLC ประกอบดวย หนวยประมวลผลกลาง หนวยความจ า หนวยรบขอมล หนวยแสดงผลขอมล และหนวยโปรแกรม ทงหมดจะถกรวมกนในลกษณะแผงวงจร อเลกทรอนกสและไอซ โดยรายละเอยดของหนวยตางๆมดงน

8.1.1 หนวยประมวลผลกลาง(Central Processing Unit) หรอ CPU เปนสวนประมวลผลของระบบ ภายใน CPU ประกอบไปดวยวงจรลอจก(Logic Gate) ชนดตางๆ ใชส าหรบแทนอปกรณจ าพวกรเลย (Relay) เคานเตอร (Counter) ไทเมอร (Timer) และซเควนเซอร (Sequencers) เพอใหผใชไดออกแบบใชวงจรรเลยแลดเดอรลอจก (Relay Ladder Logic)

8.1.2 หนวยความจ าของ PLC ประกอบดวย หนวยความจ าชวคราวและหนวยความจ า ถาวรหรอนยมเรยก RAM และROM โดยหนวยความจ าชนด RAM ท าหนาทเกบโปรแกรมของผใช และขอมลส าหรบใชในการปฏบตงานของ PLC และ ROM ท าหนาทเกบโปรแกรมส าหรบใชในการปฏบตงานของ PLC

8.1.3 หนวยรบขอมล(Input Unit) หรออนพตท าหนาทตอรวมกบชดควบคมเพอรบ สภาวะและสญญาณตางๆ เชน รบสญญาณหรอสภาวะแลวสงไปยง CPU เพอประมวลผล เมอ CPU ประมวลผลแลวจะสงใหสวนของเอาตพตท าใหอปกรณท างานตามทโปรแกรมทผใชออกแบบไว โดยอปกรณทใชเปนสญญาณอนพต ไดแก พรอกซมตสวตช (Proximility Switch) ลมตสวตช (Limit Switch) ไทเมอร (Timer) โฟโตอเลกรกสวตช (Photoelectric Switch) เอนโคดเดอร(Encoder) เคานเตอร (Counter) เปนตน

176

8.1.4 หนวยแสดงผลขอมล (Output Unit) หรอเอาทพตจะท าหนาทรบคาสภาวะทไดจากการประมวลผลของ CPU แลวน าคาเหลานไปควบคมอปกรณท างาน เชน รเลย โซลนอยด หรอหลอดไฟ เปนตน นอกจากนนแลว ยงท าหนาทแยกสญญาณของหนวยประมวลผลกลาง (CPU) ออกจากอปกรณเอาตพต โดยปกตเอาตพตนจะมความสามารถขบโหลดดวยกระแสไฟฟาประมาณ 1-2 แอมแปร แตถาโหลดตองการกระแสไฟฟามากกวาน จะตองตอเขากบอปกรณขบอนเพอขยายใหรบกระแสไฟฟามากขน เชน รเลยหรอคอนแทคเตอร เปนตน

8.1.5 หนวยโปรแกรม (Programmer Unit) หรออปกรณปอนโปรแกรม (Hand Held) ท าหนาทควบคมโปรแกรมของผใชลงในหนวยความจ าของ PLC นอกจากนยงท าหนาทตดตอระหวางผใชกบ PLC เพอใหผใชสามารถตรวจการปฏบตงานของ PLC และผลการควบคมเครองจกรและกระบวนการตามโปรแกรมควบคมทผใชออกแบบขน โดยโครงสรางพนฐานของ PLC แสดง ดงภาพท 8.1

ภาพท 8.1 โครงสรางพนฐานของ PLC 8.2 การควบคมแบบล าดบขน (Sequence Control) การควบคมแบบล าดบขน คอ การควบคมทประกอบดวยขนตอนยอย ๆ หลายขนตอนท างานเรยงล าดบกนตามทไดก าหนดหรอเราอาจเรยกวาอนกรมกได โดยแบงการควบคมออกเปน 2 แบบคอ แบบเรยงล าดบโดยใชมอ (Manual Sequence Control) และการควบคมแบบเรยงล าดบ

อนพตโมดล

หนวยความจ า โปรเซสเซอร

แหลงจายไฟ

เอาตพต โมดล

สวตช

177

อตโนมต (Automation Sequence Control) ตวอยางเชน การควบคมสายพานล าเลยง การควบคมไฟจราจรและ การควบคมลฟท เปนตน ตวอยางท 8.1 การควบคมมอเตอร 3 เฟสใหท างานแบบเรยงล าดบแบบใชมอ(Manual) เปาหมายเพอควบคมใหมอเตอรตวทหนงท างาน หลงจากนนมอเตอรตวสองท างานโดยเปนไปตามเงอนไข ทก าหนด

วธท า - วงจรก าลงของมอเตอร 3 เฟส 2 ตว ดงภาพดานลาง

- วงจรควบคมดวยระบบรเลยและวงจรควบคมดวยระบบ PLC

178

อธบายการท างาน จากวงจรควบคมรเลย เมอกด S2 รเลย K1 จะท างาน มอเตอรตวท 1 ท างานขณะเดยวกน K2 จะท างาน จะเหนวามอเตอรตวท 1 จะท างานกอนจากนนมอเตอรตวทสองจะท างานจะท างานเชนเดยวกน ส าหรบวงจรควบคมแบบแลดเดอรไดอะแกรมมลกษณะคลายกนจะถกเขยนโปรแกรมและสงใหระบบPLC ท างานแตระบบจะดกวาเนองจากการลดจ านวนสายตอในวงจรและปรบปรงระบบไดงายกวา ตวอยางท 8.2 การควบคมมอเตอรแบบเรยงล าดบแบบอตโนมต ยกตวอยางการควบคมสตารทมอเตอรแบบสตาร-เดลตา

วธท า - วงจรก าลงของมอเตอร 3 เฟสและวงจรควบคมดวยระบบรเลย ดงภาพดานลาง

อธบายการท างาน วงจรควบคมการสตารทมอเตอรแบบสตาร-เดลตา อตโนมตโดยใชรเลยตงเวลา

1. เมอกดสวตซ S2 ท าใหคอนแทคเตอร K2 ท างานตอแบบสตารและรเลยตงเวลา K4T ท างานคอนแทคปด ของ K2 ในแถวท 4 ตดวงจรคอนแทคเตอร K3 และคอนแทค K2 ปกตเปดในแถวท 2 ตอวงจรใหเมนคอนแทค K1 ท างาน

2. หลงจากท K1 ท างานและปลอยสวตซ S2 ไปแลว หนาคอนแทคปกตเปดของ K1 ในแถวท 3 ตอวงจรใหคอนแทคเตอร K2 และตวตงเวลา K4T จะท างานอยตลอดเวลาขณะน มอเตอรหมนแบบสตาร

179

3. รเลยตงเวลา K4T ท างานจนครบเวลาทตงไว คอนแทคเตอร K2 จะถกตดออกจากวงจรดวยหนาคอนแทคของรเลยตงเวลา K4T ในแถวท 1 และหนาสมผสปกตปดของ K2 ในแถวท 4กลบสสภาวะเดม ตอวงจรใหคอนแทคเตอร K3 ท างาน และคอนแทค K3 ในแถวท 1 จะตดคอนแทคเตอร K2 และรเลยตงเวลา K4T ออกจากวงจร จะคงเหลอคอนแทคเตอร K1 และ K3 ท างานรวมกนมอเตอรหมนแบบเดลตา

- วงจรควบคมสตารทมอเตอรแบบสตารเดลตาดวยระบบ PLC

8.3 การควบคมแบบเปดปด (ON-OFF Control) 8.3.1 การควบคมแบบลอจกเปด-ปด (Logic ON-OFF Control) คอระบบควบคมทไมยงยากใชกบกระบวนการมการท างานแคสองสถานะคอเปดและปดโดยระบบประกอบดวยเซนเซอร(Sensor) และตวสงงาน (Actuator) การควบคมแบบลอจกเปด-ปด (Digital Logic ON-OFF Control) จงเปนระบบทเขาใจไดงายและไมซบซอนโดยแสดงตวอยางของระบบดงน

180

ตวอยางท 8.3 ระบบควบคมแบบลอจกเปด-ปด ส าหรบระบบควบคมระดบน าในถงประปา

วธท า จากไดอะแกรมของระบบดงภาพดานลาง

อธบายการท างานของระบบ จากรปเปนการใชระบบควบคมแบบลอจกเปด-ปด ควบคมการเปด-ปดปมส าหรบควบคมการเตมของเหลวลงไปในถงน าอตโนมต โดยชดควบคมจะรบสญญาณอนพตมาจากสวตซสามตวคอ B เปนสวตซเลอก Auto/Manual, C เปนเซนเซอรตรวจวดระดบน า (Level Detector) ทเปน Float Switch และ A สวตซเลอกการท างาน Manually ON/OFF Switch มเอาตพตของตวควบคมหนงตวคอ D เปนสญญาณทไปสงใหเปด-ปดปม โดยในกรณทสวตช B (Auto/Manual) ถกเลอกใหเปนโหมด Manual จะใหอนพตเขามาเปนลอจก‘1’ กจะไปสงเปด-ปดปมโดยใชสวตช A (Manually ON-OFF) และในกรณทสวตช B (Auto/Manual) ถกเลอกใหเปนโหมด Auto จะใหอนพตเขามาเปนลอจก ‘0’ กจะไปสงเปด-ปดปมโดยใชสวตช C (Float Level Switch) ซงถาน ายงไมเตม C กจะใหสญญาณเขามาเปนลอจก ‘1’ และจะไปสงใหเปดปม สวนในกรณทสญญาณเขามาเปนลอจก ‘0’ คอกรณทน าเตมถงแลวกจะไปสงใหปดปมตวควบคมแบบลอจก ON-OFF Control 8.3.2 การควบคมแบบอนาลอกเปด-ปด (Analog ON-OFF Control) คอการควบคมเปดปดแบบตอเนอง เชนในกรณทเครองมอวดคากระบวนการ(Sensor and Transmitter Instruments) สงสญญาณเขามาเปนแบบตอเนอง 0% ถง 100% ตวอยางสญญาณ 4-20 mA, 1-5 V สญญาณเหลานจะไมไดบอกวามสถานะทเปน ON หรอ OFF อยางตรง ๆ ดงนนจงไมสามารถน าสญญาณลกษณะนไปสงเปด-ปดเครองจกรหรอสงตวสงงานใหท างานไดโดยตรง จะตองน าสญญาณทรบไดมาท าการเปรยบเทยบกบคาทเราตงไวเสยกอนโดยตองทราบวาคาของสญญาณทรบเขามาอยในระดบเทาใด จงจะไปสงเปดหรอสงปดเครองจกรการท างานของตวควบคมทเปนวงจรอเลกทรอนกสโดยทวไปจะน าสญญาณทวดมาจากกระบวนการจรง (Process Variable, PV) มาเปรยบเทยบกบคาหรอสญญาณทเราตงไว (Set Point, Sp) โดยน ามาหาคาความแตกตางกน

181

ตวอยางท 8.4 วงจร Difference Amplifier แบบอนาลอก หรอ Error Amplifier อธบายการท างานของวงจร

จากวงจรเปนการน าสญญาณแรงดนของกระบวนการจรง (PV) และสญญาณแรงดนของคาทตองการ (Sp) มาเปรยบเทยบกน โดยน าคาทงสองมาลบกนเพอใหเอาตพตออกมาเปนสญญาณคาผดพลาด (Error, E) หรอสญญาณทบอกคาความแตกตางระหวาง Sp และ PV โดยสญญาณคาผดพลาดนจะน าไปเขาสวงจรในสวนทเปนรปแบบการควบคม (Control Algorithm)

8.4 การควบคมแบบพไอด (PID Control) เนองการควบคมแบบเปดปด (ON-OFF Control) นนจะไมสามารถท าใหคาของกระบวนการ (Process Variable) มคาคงทเทากบคาทเราตองการ(Set point)ได เนองจากเอาตพตของตวควบคม จะท างานเปดปดอยตลอดเวลาท าใหคาของกระบวนการแกวงขนลงไปมาตลอดเวลา ซงการแกวงขนลงไปมาของกระบวนการแบบนเรยกวาออสซเลชน (Oscillation) ถาตองการควบคมใหกระบวนการหยดนงอยทคาทตองการ ดงนนการควบคมนยมน ามาใชในอตสาหกรรมนนคอการควบคมแบบพไอด การควบคมแบบพไอดเปนการควบคมแบบรวมกน โดยอาศยสดสวน (Proportional) ปรพนธ (Integral) และอนพนธ (Derivative) เพอใชเปนตวควบคมระบบเพอท าใหการตอบสนองของระบบมเสถยรภาพทดขน ในการควบคมแบบพไอดจะเปนมรปแบบการควบคมแบบวงปด (Close loop) ประกอบดวย จดรวมสญญาณ (Summing Point) ตวควบคม (Controller), ระบบทตองการควบคม (System) และสญญาณปอนกลบ (Feedback Signal)

182

ภาพท 8.2 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมพไอดแบบวงปด 8.4.1 การควบคมแบบพคอนโทรลเลอร (P Controller) เปนการควบคมโดยก าหนดอตราขยายของตวควบคม หรอเปนการก าหนดสดสวนเอาตพตตออนพต การควบคมแบบพจะควบคมเฉพาะคา สดสวนอตราขยาย (Proportional Gain) เพยงอยางเดยวในกรณทคาอตราขยายมาก จะท าใหระบบเปลยนแปลงไดเรว สงผลใหผลตอบสนองเกดการแกวง ขณะเดยวกนเมอคาอตราขยายมคานอยจะท าใหระบบเกดสภาวะ Offset โดยสมการคาสดสวนของระบบพคอนโทรลเลอรหาไดจากสมการ 8-1

เมอ Kp คอคาคงท เรยกวาอตราขยาย Proportional Gain ซงบางครงเรยกวาเปนอตราขยายของตวควบคม ซงเปนพารามเตอรทแสดงคาอนพตทปอนเขาระบบมการเปลยนแปลงสงใหเอาตพตแปรผนตาม โดยอนพตคอคากระบวนการ (Process Variable) เมอน ามาเปรยบเทยบกบคาทตองการ (Set Point) จะไดเปนคาคลาดเคลอน (Error) ซงจะน าเขาไปเปนคาอนพตในการค านวณแบบสดสวน(Proportional) ดงนนจะไดความสมพนธระหวางคาความผดพลาด (Error)และเอาตพต (Output) บลอกไดอะแกรมแสดงความสมพนธของระบบควบคมพแบบ ดงภาพท 8.2

∆𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 ∝ ∆ 𝑖𝑛𝑝𝑢𝑡

𝐾𝑝 =∆𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡

∆𝑖𝑛𝑝𝑢𝑡 (8-1)

183

ภาพท 8.3 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมพแบบวงปด

0 cb� �

d

ภาพท 8.4 กราฟความสมพนธระหวางคาความผดพลาดและเอาตพตของระบบควบคมพคอนโทรล ตวอยางท 8.5 จากบลอกไดอะแกรมของระบบควบคมแบบพตอไปนจงแสดงผลตอบสนองตอระบบควบคมอนดบหนง (Fist Order)

184

วธท า - จากสมการอนพตของระบบในโดเมนเวลามคาเทากบ ( ) = ( ) (1) เมอระบบทถกควบคมเปนระบบอนดบหนง ดงนนสามารถเขยนฟงกชนถายโอนของระบบในโดเมนความถเทากบ (3) ผลตอบสนองของระบบอนดบหนงโดยใชการควบคมดวยพคอนโทรล อธบายการท างาน

จากกราฟผลตอบสนองของระบบอนดบหนงเมอปอนสญญาณอนพตแบบล าดบขน (Unit step) ผลจากการปรบคาอตราขยายคงทของพคอนโทรล (Gain constant) มผลท าใหผลตอบสนองของระบบเปลยนแปลงโดยเมอปรบคา K เพมขนสงขนจะท าใหการแกวงของระบบลดลง ท าใหคาความคลาดเคลอนของระบบกอนเขาสสภาวะอยตวลดลง (Reduced Steady Stat Error) 8.4.2 การควบคมแบบไอ (Integral) การควบคมแบบไอหรออาจเรยกวาการควบคมแบบปรพนธ (Integral) ใชหลกการท างานคอการใหคาเอาตพตเปลยนแปลงเพมขนหรอลดลงไปเรอย ๆ ถาคาอนพตยงไมเปน 0 การท างานแบบ Integral กจะท าการเปลยนแปลงคาเอาตพต เพมขนหรอลดลงไปจนกวาอนพต

𝐶(𝑠) = 𝑈(𝑠) − 𝑅2(𝑠) (𝐾

1 + 𝑇𝑠)))

𝑈(𝑠) = 𝐾 (𝑅 (𝑠) − 𝐶(𝑠))

(2)

185

จะมคาเปน 0 การท างานแบบ Integral จงจะไมเปลยนแปลงคาเอาตพตอก และ เอาตพตจะหยด อยคาคงทคาหนง โดยแสดงความสมพนธดงรปท 8.6

+

SystemSet Point Error System output

Feedback Signal

Integral

ภาพท 8.5 บลอกไดอะแกรมของระบบควบคมพไอแบบวงปด

จากรปท 8.5 สญลกษณของบลอกไดอะแกรมจะเปนสญญาณทมความลาดชน คอ สญญาณทผานตวควบคมแบบ Integral จะคอยๆเพมขนจนถงจดเปาหมาย (Set Point) เมออนพตมการเปลยนแปลงแบบทนททนใดเอาตพตจะไมเปลยนแปลงทนท แตเอาตพตจะคอยๆเปลยนแปลง เพราะฉะนนการควบคมแบบไอจะใหผลตอบสนองการควบคมไดดกวาการควบคมแบบพ

Output

Error t

t

ภาพท 8.6 กราฟความสมพนธระหวางเอาตพตและคาคลาดเคลอนของระบบควบคมไอคอนโทรล

186

8.4.3 การควบคมแบบด (Derivative) การควบคมแบบด (Derivative) เปนการควบคมแบบอนพนธสญญาณอนพต เมอ

สญญาณผานการอนพนธแลว จะท าใหสญญาณมคาสงสดแลวคอยๆลดลงจนมคาถงเปาหมาย (Set Point) ทก าหนดไว ระบบมการตอบสนองตออนพตรวดเรว แตมขอเสยคอไมสามารถใชแบบเดยวไมไดตองใชรวมแบบพดหรอพไอด ซงบลอกไดอะแกรมของตวควบคมแบบด

+System

Set Point Error System output

Feedback Signal

Derivative

ภาพท 8.7 บลอกไดอะแกรมของตวควบคมแบบดคอนโทรล 8.4.4 การควบคมแบบพไอ (Proportional Plus Integral)

การควบคมแบบพไอ (Proportional Plus Integral) คอการน าเอาวธควบคมแบบพ และไอ มาประกอบรวมกนโดยมเปาหมายคอเพมความสามารถของการควบคมใหมเสถยรภาพทดยงขน ซงบลอกไดอะแกรมการควบคมแบบพไอ แสดงดงในภาพท8.8 ในสวนของการควบคมแบบพไอสามารถตอบลอกไดอะแกรมได 2 แบบ คอ การตออนกรม (Serial Connection) คอผลทไดจะน าเอาสญญาณทผานตวควบคมพและไอ คณกนรปแบบการตอแสดงดงภาพท 8.9 สวนการตอแบบขนาน (Parallel Connection) ผลทไดจะน าเอาสญญาณทผานตวควบคมมาบวกกนดงภาพท 8.10

+ SystemSet Point Error

System output

Feedback Signal

PController

IController System

ภาพท 8.8 การตอบลอกระบบควบคมพและไอแบบอนกรม

187

+

SystemSet Point Error System output

Feedback Signal

PIController

ภาพท 8.9 บลอกไดอะแกรมของตวควบคมแบบดคอนโทรล

+Set Point Error System output

Feedback Signal

PController

IController

System

ภาพท 8.10 การตอบลอกระบบควบคมพและไอแบบขนาน

ErrorSet Point

Error

I

P

t

ภาพท 8.11 กราฟผลตอบสนองของระบบควบคมพไอคอนโทรล

188

จากภาพท 8.11 แสดงกราฟสญญาณเอาตพตของตวควบคมแบบพไอโดยการเปลยนแปลงสญญาณเอาตพตของตวควบคมจะเรมตนเปนเสนตรงซงจะเปนผลของการควบคมแบบพ และในกราฟสวนทลาดชนจะเปนผลของการควบคมแบบไอซงการควบคมแบบพไอท าใหการควบคมเขาส Set Point ไดรวดเรว นนคอผลของการปรบคาพและไอ โดยการปรบคาพชวยแกไขปญหาคาชดเชย (Offset) และการปรบคาไอจะชวยลดการแกวงของระบบ (Oscillation) 8.4.5 การควบคมแบบพไอด (Proportional Plus Integral Plus Derivative)

การควบคมแบบพไอดคอการน าเอาหลกการการควบคมแบบ Proportional, Integral และ Derivative รวมกน การควบคมแบบพไอดนจะท างานรองรบการตอบสนองแบบทนททนใดไดอยางมประสทธภาพกวาการควบคมแบบพไอหรอพดเมอมการเปลยนแปลงของคาเปาหมาย หรอ ระบบทถกควบคมมการเปลยนแปลง ตวควบคมแบบพไอดจะชวยในการควบคมเขาสเปาหมายไดรวดเรว ซงจะลดการเกดการ Offset และการแกวงของระบบได โดยบลอกไดอะแกรมของระบบควบคมแบบพไอด แสดงดงภาพท 8.12

+

SystemSet Point Error System output

Feedback Signal

PIDController

ภาพท 8.12 บลอกไดอะแกรมของตวควบคมแบบพไอดคอนโทรล

189

+Set PointError System output

Feedback Signal

IController

DController

System

PController

ภาพท 8.13 การตอบลอกระบบควบคมพไอดแบบขนาน

ภาพท 8.14 การตอบลอกระบบควบคมพไอดแบบขนาน จากรปท 8.14 แสดงผลตอบสนองของการควบคมแบบพไอดการควบคมแบบนเหมาะกบการควบคมทคาเปาหมาย (Set Point) มการเปลยนแปลงอยตลอดเวลา หรอใชกบระบบ (System) ทมการตอบสนองชา อกทงสามารถใชการควบคมแบบพไอดแกปญหาในกรณทระบบทควบคมไดรบสญญาณรบกวน (Disturbance) จากสญญาณภายนอก สงผลใหระบบมเสถยรภาพมากยงขน ส าหรบขอเสยของระบบนคอถาก าหนดคาพารามเตอรมคามากเกนไปกจะท าใหการตอบสนองในการท างานของตวควบคมตอการเปลยนแปลงของอนพตชาลง

190

8.5 ตวอยางงานวจยการประยกตใชงานระบบควบคม จะเหนไดวาหลกการพนฐานของการควบคมเรมตนจาก การควบคมแบบเปดปด การควบคม

แบบล าดบขน ซงเหมาะสมกบระบบทไมตองการความยงยากซบซอนมากนก ในปจจบนอปกรณทนยมใชงานกนมากคอพแอลซ ซงในปจจบนมการพฒนาอยางมากสามารถใชงานไดครอบคลมไมวาจะเปนระบบแบบอนาลอกหรอดจตอล โดยมตวอยางการประยกตใชงานดงน

ตวอยางท 8.6 การประยกตใช PLC ในงานควบคมระบบไฟฟา

ตวอยางงานวจยของ นพพร พชรประกตและคณะ (2547) ท าการพฒนาระบบควบคมไฟฟาโรงงานทอกระสอบโดยการประยกตใชระบบพแอลซควบคมระบบ ปญหาเนองจากการเรมเดนมอเตอรทอกระสอบไมนมนวลเกดการกระชาก มอเตอรมวนเกบกระสอบไมสามารถปรบความเรวได ผลการพฒนาพบวาวธการดงกลาวสามารถควบคมเครองทอกระสอบไดดขน สามารถเพมคณภาพและปรมาณกระสอบใหสงขน ลดการสญเสยของอปกรณลงได

ภาพท 8.15 ระบบรเลยควบคมเครองทอกระสอบ

191

ตวอยางท 8.7 การประยกตใช PLC ในงานควบคมระบบไฟฟาส าหรบอตสาหกรรมตมดพรา ตวอยางงานวจยศภชย ปลายเนตรและคณะ (2554) ไดท าการพฒนาระบบควบคมเครองตเหลกมดพราโดยการประยกตใชระบบพแอลซควบคมระบบ การเรมเดนมอเตอรมอเตอรเครองตเหลกจ านวน 2 เครอง โดยการตอรวมกบอปกรณเซนเซอรวดกระแสและแรงดนไฟฟา อปกรณปองกนกระแสเกน เพอสงสญญาณใหกบPLC ท าการประมวลผล ผลการพฒนาพบวาวธการดงกลาวสามารถลดการใชพลงงานไฟฟาและสามารถลดการสญเสยของมอเตอรและอปกรณควบคมเครองตเหลก ภาพท 8.18 ระบบควบคมเครองตเหลกมดพราโดยการประยกตใชพแอลซควบคม ทมา : ศภชย ปลายเนตรและคณะ (2555)

192

สรป

1. โครงสรางพนฐานของ PLC ประกอบดวย หนวยประมวลผลกลาง หนวยความจ า หนวยรบขอมล หนวยแสดงผลขอมล และหนวยโปรแกรม

2. การควบคมแบบล าดบขนคอการควบคมทประกอบดวยขนตอนยอย ๆ หลาย ๆ ขนตอนท างานเรยงล าดบกนตามทไดก าหนดหรออาจเรยกวาอนกรม

3. การควบคมแบบลอจกเปด-ปด (Logic ON-OFF Control) คอระบบควบคมทใชกบกระบวนการมการท างานแคสองสถานะคอเปดและปด

4. การควบคมแบบอนาลอกเปด-ปด (Analog ON-OFF Control) คอการควบคมเปดปดแบบตอเนอง

5. สรปขอดและขอเสยของรปแบบวธการควบคมในงานอตสาหกรรมดงตารางดานลางน

รปแบบการควบคม ขอด ขอเสย การควบคมแบบเปดปด ควบคมงายไมม Off Set เกดขน มคา Overshoot และ

Hunting เกดขน

Proportional(P) มคา Overshoot และ Hunting เกดขนเลกนอย

ใชเวลานานกวาระบบจะเขาสเสถยรภาพ(Stable)

Integrate(I) ไมมคา Off Set เกดขนในระบบ -ใชเวลานานกวาแบบ P ในการเขาสเสถยรภาพ

Derivative(D) มการตอบสนองระบบเรว ม Off Set เกดขน -ไมสามารถใชงานได โดยล าพง

PID ควบคมระบบไดแนนอนและตอเนอง

ตอง Set คา PID

193

ค าถามทบทวน ใหนกศกษาตอบค าถามตอไปนใหถกตอง 1. จงบอกโครงสรางและหลกการท างานพนฐานของระบบควบคมพแอลซ 2. จงอธบายหลกการท างานพนฐานของระบบควบคมพแอลซ 3. จงยกตวอยางระบบกลไกเครองจกรทใชพแอลซควบคมพรอมเขยนโปรแกรมควบคมอยางงาย 4. จงอธบายวธการควบคมแบบลอจกปดเปดพรอมยกตวอยาง 5. จงอธบายวธการควบคมแบบอนาลอกเปดปดพรอมยกตวอยาง 6. จงอธบายวธการควบคมแบบพคอนโทรลพรอมบอกขอดและขอเสยของวธการควบคมดวยวธน 7. จงอธบายวธการควบคมแบบไอคอนโทรลพรอมบอกขอดและขอเสยของวธการควบคมดวยวธน 8. จงอธบายวธการควบคมแบบพไอดคอนโทรลพรอมบอกขอดและขอเสยของวธการควบคมดวยวธน 9. จงเขยนกราฟผลตอบสนองของระบบควบคมแบบพไอดคอนโทรล 10. ใหนกศกษายกตวอยางการประยกตใชงานอตสาหกรรมพรอมอธบายหลกการท างานใหเหตผลของการประยกตใชงานระบบควบคม

194

เอกสารอางอง ธนเจต สครรมย.(2552).มอเตอรไฟฟาและการควบคม. กรงเทพฯ : ส านกพมพศนยสงเสรมอาชวะ. ส านกพฒนาเทคโนโลยเพออตสาหกรรม.(2552). ระบบควบคม. ส านกพฒนาเทคโนโลยเพอ

อตสาหกรรม.มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ. ออมรอน อเลคทรอนคส เอกสารประกอบประกอบการฝกอบรมหลกสตรการใช PLC ระดบ 2.

กรงเทพฯ : บรษท ออมรอน อเลคทรอนคส จ ากด. ศภชย ปลายเนตร ธราธป ภระหงษ ณฐชนนท ปลายเนตร วชต แกนตา.(2555). การพฒนาระบบ

พแอลซส าหรบเครองตเหลกมดพราขนาดชมชน. เอกสารสบเนองจากการประชมทาง วชาการประจ าป2555 ส านกงานคณะกรรมการการอดมศกษารวมกบมหาวทยาลยขอนแกน 16-19 กมภาพนธ 2555 หนา 511-516.

Dubay G.K. (1989). Power Semiconductor Controlled. Drives.Newjensey: Prentice-Hall,Inc. Bimal K. Bose.(2002). Modern Power Electronic and AC Drives. Prentice-Hall,Inc. R.S. Burn. (2001). Advance Control engineering. Butterworth-Heinemann Linacre

House, Jordan Hill.A division of Reed Education and Professional Publishing Ltd.

Allen-Bradley home , Auger Dispenser.(n.d.). [Online]. Available from http://www.ab.com\product_apps\auger_a\auger_a.html. Retricved June , 6 , 2015