CAPITULO 1

CONCEPTOS GENERALES

1.1 Introducción. El control automático de procesos nace por la necesidad de generar productos más uniformes y de más alta calidad, con una mayor exactitud, lo cual representa por lo general mayores beneficios.

El control automático tiene también grandes ventajas en ciertas operaciones remotas, peligrosas o rutinarias.

Debido a que la calidad y la reducción de costos en un proceso es por lo común la

ventaja más importante que se busca al aplicar el control automático. La calidad del control y el costo se deben comparar con los beneficios económicos esperados y los objetivos técnicos del proceso. Los beneficios económicos incluyen la reducción de los costos de operación, mantenimiento y producto fuera de especificaciones, junto con el mejoramiento de la funcionalidad del proceso y una mayor producción. Las razones principales para usar control automático de procesos, son las siguientes: • Mantener los niveles de producción de la planta en valores iguales o superiores a los

establecidos. • Mantener la calidad del producto (composición, pureza, color, etc.). • Evitar lesiones al personal de la planta o daño al equipo. La seguridad debe ser

considerada como prioridad. La optimización del proceso en términos generales se obtiene si se logra maximizar los beneficios y/o minimizar los costos sujetos a las restricciones físicas impuestas por el proceso. Como un primer paso en la aplicación de esquemas de control automático, es importante manejar la terminología y los conceptos básicos necesarios. Este capitulo, introduce los mismos.

En todo proceso se presenta una causa y un efecto (causalidad) como se puede observar en la figura 1.1, las causas representan las variables de entradas y los efectos son aquellos que genera el proceso como respuesta a las variables de entrada.

ProcesoCausa Efecto

Variables Variables

Figura 1.1. Causalidad del Proceso.

1.2 VARIABLES. Las entradas y salidas de un proceso son denominadas variables, debido a que están interrelacionadas con el mismo en una forma estática y/o dinámica. Para nuestros fines es importante clasificar los diferentes tipos de variables que intervienen en un proceso, estas son: variables manipuladas, variables controladas, variables no controladas y perturbaciones, como se observa en la figura 1.2, en la cual se utiliza como ejemplo una columna de destilación.

F, Flujo de Alimentación

XF, Composición de Entrada

Var

iabl

esM

anip

ulad

as Composición del Destilado, XD

Composición del Fondo, XB

Presión

Temperatura en el Plato # 5

Temperatura en el Plato # 10

Var

iabl

esC

ontro

lada

sV

aria

bles

No

Con

trola

das

TE, Temperatura de Entrada

Pertu

rbac

ione

s

R, Reflujo

QR, Calor del Reactor

D, Destilado

B, Flujo en el fondo

Figura 1.2. Variables que pueden intervenir en un proceso. 1.2.1 VARIABLES MANIPULADAS: Variables que nosotros podemos cambiar o mover para garantizar que la variable controlada presente el valor deseado. 1.2.2 VARIABLES CONTROLADAS: Variables que queremos controlar, bien sea tratando de mantenerlas constantes (Control Regulatorio) o tratando de seguir alguna trayectoria deseada (Servocontrol), ejemplos de estas pueden ser, flujos, composiciones, temperaturas, presión, nivel, etc.

1.2.3 VARIABLES NO CONTROLADAS: Son aquellas variables sobre las cuales no se ejerce control, en algunos casos estas variables no afectan o no ejercen ningún efecto sobre el proceso. 1.2.4 PERTURBACIONES: Flujos, temperaturas, composiciones que entran al proceso (pueden ser de salida algunas veces). No todo el tiempo pueden ser medidas, pero el sistema de control debe ser capaz de regular el proceso en presencia de ellas (premisa que en algunas ocasiones no se logra), tales como temperaturas, presión, concentración, etc. 1.3 COMPONENTES BÁSICOS DE UN SISTEMA DE CONTROL. En los procesos industriales encontramos ciertas convenciones y arreglos en los sistemas de control así como la distribución de dispositivos de medidas y funciones de control en varias piezas de hardware. En la figura 1.3a, se puede apreciar la constitución de un lazo de control; en la cual existe una sala de control, que es donde se encuentran los controladores, y además, tiene que ser supervisado por un operador que se encarga de vigilar la operación normal del proceso; la manipulación local es representada por una válvula de control con acción manual, para el paso del flujo frío al calentador; el indicador local que sirve para visualizar los valores de temperatura de salida en campo con la finalidad de poder ejercer un control manual, como por ejemplo para arranque o parada de planta; el transmisor de temperatura, se encarga de convertir la temperatura medida en una señal eléctrica (4-20 mA) o neumática (3-15 psi) y luego la envía por medio de un cableado a la sala de control.

En la figura 1.3b se representa el diagrama de bloques de un sistema de control en lazo cerrado.

Sala de control central

Cableado de alimentación

Manipulaciónlocal Indicador

local

Transmisor

Operador

Figura 1.3a. Constitución de un Lazo de Control.

Proceso

Transmisor

Perturbaciones

EstaciónManual - Automática

ElementoFinal de Control Elemento Primario

de Medida Proceso oCorriente Útil

Controlador

Referencia

Figura 1.3b. Diagrama en Bloques de un sistema de control en lazo cerrado.

1.3.1 Elemento primario de medida (Transductores): Son los dispositivos encargados de realizar la medición de las variables en un proceso. Existen diferentes tipos de transductores, los cuales están asociados al tipo de variable que se está midiendo (temperatura, presión, nivel, flujo, composición, etc.), y las condiciones de la medición (exactitud, linealidad, sensibilidad, temperatura de operación, rango de medida, etc.), tales como: termopares, termistores, RTD, pirómetros, para medir temperatura; tubo de Bourdon, diafragma, fuelle, capacímetro, LVDT, piezoeléctrico, potenciómetrico, Strain Gage etc., para medir presión ; varilla con gancho, regla graduada, flotador, para medir nivel. La combinación de algunos de ellos sirven para medir otras variables, por ejemplo el diafragma con un elemento secundario cualquiera sirve para medir presión, al medir la presión diferencial de un fluido que circula en una tubería se puede encontrar el flujo; o al medir la presión diferencial en el fondo de un tanque se obtiene el nivel de ese fluido. 1.3.2 Transmisores: Los transmisores son dispositivos que se conectan al elemento primario en algunos casos se encuentra integrado al transductor, el mismo produce la señal para la transmisión. Se clasifican en: Transmisores Neumáticos y Transmisores Electrónicos. Ellos presentan una constante de tiempo y un tiempo muerto (posteriormente se definirán), que depende del tipo de transmisor y de la variable que está midiendo. En el caso de los transmisores neumáticos la señal transmitida es de 3 a 15 psi, y en el caso de los transmisores electrónicos dicha señal es de 4 a 20 mA. 1.3.3 Estación manual: Muchos lazos de control de procesos han sido provistos de un control manual para que el operador humano pueda ejercer control durante la puesta en marcha, parada o emergencias del proceso.

1.3.4 Controlador: Es el encargado de decidir el tipo de acción sobre el elemento final de control. El controlador tiene dos funciones esenciales: • Comparar la variable medida con la de referencia deseada (punto de operación o Set

Point), para determinar el error que existe entre ellas. • Enviar una señal al elemento final de control con el objeto de modificar su acción en el sentido adecuado para reducir el error. 1.3.5 Elemento final de control: El elemento final de control más común es una válvula que se describirá mas adelante, pero puede ser una bomba, un compresor, o un elemento de calentamiento eléctrico. 1.3.6 Válvula de control: Son los elementos finales de control más usados en los procesos, son encargadas de regular el flujo que circula a través de ellas.

En el control automático de los procesos industriales la válvula de control juega un papel muy importante en el lazo de regulación. Realiza la función de variar el flujo de la variable manipulada, para con ello modificar el valor de la variable controlada.

Figura 1.4. Válvula de Control.

El cuerpo de la válvula contiene en su interior el obturador y los asientos, está provista de rosca o bridas para conectarla con la tubería. El obturador es quien realiza la función de control de paso del fluido y puede actuar en la dirección de su propio eje o bien tener un movimiento rotativo. Está unido a un vástago que pasa a través de la tapa del cuerpo y que es accionado por el servomotor.

Figura 1.5. Partes de una Válvula de Control.

La válvula debe tener una “posición a falla”, en la que se coloca cuando ocurre una

falla en el suministro de la energía de accionamiento. Para determinar cual es su posición en el momento de una falla, se debe tomar en cuenta el factor seguridad, es decir, cuando por razones de seguridad se requiere que al ocurrir una falla la válvula se cierre, se dice que la válvula es “Falla Cerrada” (FC – Fail Close) o también conocida como “Aire para Abrir” (AA) ; por el contrario, cuando se necesita que la válvula se abra al ocurrir una falla se dice que es “Falla Abierta” (FA o FO - Fail Open) o “Aire para Cerrar” (AC).

Para determinar la acción del controlador, se debe conocer: los requerimientos de control del proceso y la acción de la válvula de control.

La acción de control está sujeta a la acción de la válvula, es decir, cuando la señal de error aumenta (cuando por ejemplo aumenta la presión), el controlador aumentará la señal de control si la válvula es FA o Aire para Cerrar (AC), o disminuirá si la válvula es FC o Aire para Abrir (AO).

Figura 1.6. Actuadores de Válvulas en posición de falla: FO y FC.

En la tabla 1.1 se puede observar de una manera simplificada, una descripción de los

componentes básicos de los sistemas de control, con ciertas características de cada uno de ellos, como su rango típico y la respuesta dinámica al 63%. Tabla 1.1. Descripción de los Componentes básicos de un Sistema de Control.

Elemento Función Rango Típico Respuesta dinámica al 63%

Salida del Controlador Inicia la señal a una estación remota para ser aplicada al elemento final de control

Operador / 0-100% -

Transmisor Responsable de la señal desde el controlador al elemento final de control, y desde el sensor al controlador.

Neumático: 3-15 psi Electrónico: 4-20 mA

Neumático: 1-5 s Electrónico: Instantáneo

Convertidor de Señales Cambia la señal que viene del transmisor para ser usada posteriormente al elemento final de control, o al controlador

Electrónico a neumático: 4-20 mA a 3-15 psi Transductor a electrónico: de mV a 4-20 mA

0,5 - 1,0 s

Elemento final de control

Responsable de implementar el cambio deseado al proceso.

Válvula: 0-100% 1 - 4 s

Transductor Mide la variable controlada

Escala dada para tener una buena exactitud, por ejemplo: 150°C - 300°C

Típicamente de unos pocos segundos a varios minutos.

1.4 SELECCIÓN Y DISEÑO DE LOS ESQUEMAS DE CONTROL. Las operaciones básicas que están presentes en todo sistema de control, asociadas a los elementos básicos anteriormente descritos, son las siguientes: • Medición (M): la medición de la variable que se controla se realiza por medio del

transductor y el transmisor. • Decisión (D): basado en la medición realizada, el controlador decide qué hacer para

mantener la variable en el valor que se desea. • Acción (A): como resultado de la decisión que toma el controlador, se debe efectuar

una acción en el sistema, generalmente esta acción es realizada por el elemento final de control (válvula u otro elemento final de control).

Para seleccionar y diseñar esquemas de control se deben seguir tres pasos esenciales: 1.4.1 Conocer bien el proceso, variables de entrada/salida (manipuladas, controladas, no-

controladas y perturbaciones), dinámica, régimen estacionario, etc. 1.4.2 Modelar o identificar adecuadamente el proceso. 1.4.3 La mejor estrategia de control es la más sencilla de implementar, con la que se pueda

controlar el proceso. En el desarrollo de los sistemas de control de proceso, se debe hacer especial hincapié en la definición del resultado final deseado y en la determinación de cuando se ha logrado tal resultado. El diseño del sistema de control para cualquier unidad debe encaminarse al empleo de índices de funcionamiento como punto de referencia. 1.5 PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS DE UN PROCESO: 1.5.1 Ganancia del Proceso. La ganancia se define como la tasa de cambio en la salida o variable de respuesta controlada, para un cambio en la entrada o función forzada. Matemáticamente, esta ganancia se expresa de la siguiente manera:

K = QI

SalidaEntrada

Variable de RespuestaFunción Forzada

∆∆

∆∆

∆∆

= = (1.1) Según este concepto, la ganancia explica qué tanto varía salida por unidad de cambio en la entrada; en otras palabras, qué tan sensible es la salida con un cambio en la ntrada. Para el tanque de gas en la figura 1.6.

e

FI, scfm F, scfm

vp, %

P, psig

Figura 1.6. Tanque de Gas.

La ganancia es:

K =PvP

psi%vP

∆∆

= (1.2)

Esto explica qué tanto varía la presión del tanque por un cambio de unidad en

porcentaje de la posición de la válvula. Como en ejemplos previos, la ganancia nos dice cuál es la sensibilidad de la variable controlada ante un cambio en la variable de entrada.

El valor numérico: en las unidades de cada proceso existen diferentes tipos de ganancias, considérese el ejemplo del tanque de gas. La figura 1.7 proporciona la ganancia o sensibilidad, relacionando la presión del tanque y la posición de la válvula. Si se cambia el flujo de entrada al tanque, la posición de la válvula se mantiene constante y la presión responderá, como se muestra en la figura 1.7.

Fi, scfm

Tiempo

∆Fi

Entrada

P, psig

Tiempo

∆P

Salida

Figura 1.7. Respuesta de la Presión en el tanque con un cambio escalonado en el Flujo de

entrada. Para este caso la ganancia es dada por:

scfmpsi ,

FFPK = (1.3)

La ganancia solamente relaciona valores de estado estacionario o estable; es decir,

qué tanto cambia la salida en función de la entrada. La ganancia no dice la rapidez con que ocurre el cambio. En otras palabras, la ganancia es una característica de estado estacionario del proceso. 1.5.2 Constante de Tiempo del Proceso (τ). La constante de tiempo se define como la cantidad de tiempo que toma la variable controlada para alcanzar el 63,2% de un cambio total. Este tiempo se cuenta desde el momento en que la variable comienza a responder. La constante de tiempo se relaciona con

la velocidad de respuesta del proceso. Mientras más rápido sea un proceso, más breve será la unidad de tiempo, y a la inversa. La unidad de tiempo normalmente usada es el minuto.

En síntesis, la constante de tiempo (τ) nos indica con qué rapidez ocurre un proceso, una vez que comienza a responder ante un cambio en la entrada. De este modo, la constante de tiempo es una característica relacionada con la parte dinámica del proceso. 1.5.3 Tiempo Muerto (to). Es la cantidad finita de tiempo entre el cambio en la entrada y el cambio desde que la salida comienza a responder. La mayoría de los procesos tienen cierta cantidad de tiempo muerto, siendo esto un limitante para conseguir un control adecuado, ya que proporciona un gran efecto adverso sobre cualquier sistema de control. En la figura 1.8 se ilustra gráficamente la constante de tiempo y el tiempo muerto en un proceso.

Fi, scfm

Tiempo

∆Fi

Entrada

P, psig

Tiempo

∆P

Salida

to τ

63,2%

Figura 1.8. Constante de Tiempo y Tiempo Muerto de un Proceso.

1.6 CONTROL REALIMENTADO Las figuras 1.9a y 1.9b muestra el sistema de control a lazo cerrado, la información sobre la variable controlada se vuelve a alimentar como base para controlar una variable del proceso. En la figura 1.9c se aprecia un ejemplo del Sistema de Control Realimentado.

Entrada Proceso Salida

Retroalimentación

Figura 1.9a. Esquema de un Sistema de Control Realimentado.

Controlador

Transductor

Proceso

ElementoFinal

Perturbaciones Otras Salidas

VariableControlada

VariableManipulada

Valor Deseado(Set Point)

Figura 1.9b. Diagrama de Bloques de un Sistema de Control Realimentado.

TI

TC

AceiteCaliente

F

Flujo

Producto

Figura 1.9c. Ejemplo de un Control Realimentado (TI: Indicador de Temperatura; TC: Controlador de Temperatura; F: Medidor de Flujo).

En el control a lazo cerrado, la información sobre la variable controlada se vuelve a

alimentar como base para manipular una variable del proceso.

Los controladores por retroalimentación son aquellos que toman decisiones para mantener el punto de operación, mediante el cálculo de la salida con base a la diferencia entre la variable que se controla y el punto de control o “Set Point”, como se aprecia en la figura 1.9b.

La principal desventaja de los sistemas de control por retroalimentación es que, para compensar la entrada de perturbaciones, la variable controlada se debe desviar del punto de control, se actúa sobre un error entre el punto de operación y la variable controlada, lo cual significa que, una vez que una perturbación entra al proceso y afecta la calidad del

producto, se debe esperar que el sistema opere con esa señal para luego ejercer una acción correctiva.

La ventaja del control por retroalimentación consiste en que es una técnica muy simple, que compensa todas las perturbaciones. Cualquier perturbación puede afectar a la variable controlada, cuando esta se desvía del punto de control, el controlador cambia su salida para que la variable regrese al punto de control. Los controladores por retroalimentación más utilizados son: controlador Proporcional (P), controlador Proporcional – Integral (PI) y el controlador Proporcional – Integral – Derivativo (PID). 1.7 CONTROL POR ACCIÓN PRECALCULADA (FEED FOWARD). En un sistema de control por acción precalculada, las perturbaciones se compensan antes de que afecte a la variable controlada, se miden las perturbaciones antes de que entren al proceso y se calcula el valor que se requiere de la variable manipulada para mantener la variable controlada en el valor que se desea o punto de operación (Set Point). En la Figura 1.7 se ilustra un esquema de control por acción precalculada.

FT TT

Controlador por acciónPrecalculada TY

Vapor

Ti (t)Q(t)

T(t)

Figura 1.7. Esquema del Controlador por Acción Precalculada. 1.8 CONTROL ROBUSTO La robustez de un controlador viene medida por la capacidad de respuesta ante los cambios de los parámetros nominales del proceso, sin modificar los parámetros de sintonización del proceso, tales cambios afectan el proceso. Se dice que un controlador es muy robusto cuando esos cambios no afectan en gran medida las variables controladas, y se mantiene un nivel de control adecuado del proceso. 1.9 LINEALIZACIÓN Y VARIABLES DE DESVIACIÓN Las respuestas dinámicas obtenidas en la mayoría de los procesos industriales presentan el inconveniente de no ser lineales, por tal motivo no se pueden representar mediante ecuaciones lineales. Desafortunadamente, con la transformada de Laplace solo podemos analizar sistemas lineales, otro problema que se presenta es que no existe una técnica

sencilla y universal para analizar un sistema no lineal con el que se pueda generalizar para una amplia variedad de sistemas físicos.

Para que una ecuación sea lineal, ninguno de sus términos debe contener más de una variable o derivada y esa variable debe estar a la primera potencia.

Las ecuaciones no lineales se pueden aproximar a ecuaciones lineales por medio de la técnica de linealización, las cuales se pueden analizar mediante transformadas de Laplace (que se estudiara mas adelante), la suposición básica es que la respuesta de la aproximación lineal representa la respuesta del proceso en la región cercana al punto de operación alrededor del cual se realiza la linealización.

Para facilitar el manejo de las ecuaciones linealizadas se utilizan las variables de desviación o perturbación. 1.9.1 Variable de desviación La variable de desviación es la diferencia que existe entre el valor de la variable o señal y el valor en el punto de operación, en otras palabras, la variable de desviación es la desviación de una variable respecto a su valor de operación o base como se puede apreciar en la figura 1.8. ( ) ( ) xtxtX −= (1.4)

Donde: Es la variable de desviación. ( ):tX Es la variable absoluta correspondiente. ( ):tx :x Es el valor de x en el punto de operación.

Figura 1.8. Variable de desviación.

La principal ventaja de la utilización de la variable de desviación se deriva del hecho de que el valor base x es generalmente, el valor inicial de la variable y además el punto de operación está generalmente en estado estacionario, es decir, las condiciones iniciales de las variables de desviación y sus derivadas son todas cero. 1.9.2 Linealización aproximada. Considérese la ecuación diferencial de primer orden

( )( ) ( )( ) ktxftxdtd

+= (1.5)

Donde es una función no lineal de x, y k es una constante. La expansión por series de Taylor de alrededor del valor

( )( ),txf( )( ,txf ) x , está dada por:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .....!3

1!2

13

3

2

2

+−⋅+−⋅+−⋅+= xtxxdxdxtxx

dxdxtxx

dxdxftxf (1.6)

La aproximación lineal consiste en eliminar todos los términos de la serie, con excepción de los dos primeros:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) xtxxdxdxftxf −⋅+= (1.7)

Al sustituir la definición de variable de desviación X(t) de la ecuación (1-4) se tiene:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) xtxxdxdxftxf −⋅=− (1.8)

En la figura 1.9 se da la interpretación gráfica de esta aproximación. La aproximación lineal

es una línea recta que pasa por el punto ( )( )xfx, con pendiente ( )( xfdxd ); esta línea es,

por definición, tangente a la curva ( )xf en x . Nótese que la diferencia entre la aproximación lineal y la función real es menor en las cercanías del punto de operación x , y mayor cuando se aleja de este. Es difícil definir la región en que la aproximación lineal es lo suficientemente exacta como para representar la función no lineal; tanto más no lineal es una función cuanto menor es la región sobre la que la aproximación lineal es exacta. De la substitución de la Ec. 1.8 de aproximación lineal en la Ec. (1.4), tenemos:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ktXxdxdxftxf +⋅+= (1.9)

En la figura 1.9 se puede apreciar la interpretación gráfica de esta aproximación:

Figura 1.9. La aproximación lineal.

La aproximación lineal es una línea recta que pasa por el punto ( )( xfx, ) , con

pendiente ( )( xfdxd ); esta línea es tangente a la curva ( )xf en x .

Se puede observar que la diferencia entre la aproximación lineal y la función real es

menor en las cercanías del punto de operación x , y mayor cuando se aleja de este.

Los siguientes son ejemplos de algunas funciones no lineales más usadas en los modelos de proceso:

1. Dependencia de Arrhenius de la tasa de reacción de la temperatura.

( ) RTE

ekTk−

⋅= 0 (1.10)

Donde k0, E y R son constantes.

2. Presión de vapor de una sustancia pura (ecuación de Antoine).

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

= CTBA

eTp º (1.11)

Donde A, B y C son constantes.

3. Equilibrio vapor - liquido por volatilidad relativa.

( ) ( )xxxy

11 −+=

αα (1.12)

Donde α es una constante.

4. Caída de presión a través de accesorios y tuberías.

( ) 2kFFP =∆ (1.13) Donde k es una constante.

5. Razón de transferencia de calor por radiación ( ) 4ATTq εσ= (1.14)

Donde ∈,σ y A son constantes.

6. Entalpía como función de la temperatura. ( ) 432

0 DTCTBTATHTH ++++= (1.15) Donde H0, A, B, C y D son constantes. 1.9.2.1 Linealización de Funciones con dos o más variables. Considérese la función no lineal de dos variables f[x(t), y(t)]; la expansión por series de Taylor alrededor de un punto )y ,x( , está dada por:

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ..........,!2

1,!2

1

,,,,

22

22

2

2

+−⋅+−⋅+

+−⋅+−⋅+=

ytyyxfdxdxtxyxf

dxd

ytyyxfdxdxtxyxf

dxdyxftytxf

(1.16)

La aproximación lineal consiste en eliminar los términos de segundo orden o

superior, para obtener:

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ytyyxfdxdxtxyxf

dxdyxftytxf −⋅+−⋅+= ,,,, (1.17)

El error de esta aproximación lineal es pequeño para x e y, en la vecindad de

y e x . En general, una función con n variables x1, x2, . . ., xn, se linealiza mediante la fórmula:

( ) ( ) nnn

nn xxdxdfxx

dxdfxx

dxdfxxxfxxxf −++−+−+=

___

222

___

111

___

2121 ....,......,,......,

( ) ( ) ∑=

−+=n

kkk

knn xx

dxdfxxxfxxxf

1

___

2121 ,......,,......, (1.18)

Donde kdx

df___

, designa las derivadas parciales que se evalúan en ( )nxxx ,......, 21 .

1.9.3 La Transformada de Laplace. La transformada de Laplace consiste en un tipo de transformación lineal, reversible, mediante la cual se transforma una función en el dominio tiempo f(t) en una función en el dominio “s” F(s). La ecuación que realiza la transformada de Laplace es la siguiente:

( ) ( ) ( ) dtetfsLsfT

st∫ −==0

(1.19)

Existen varías propiedades que cumple la transformada de Laplace, tales como: • Linealidad:

( ){ } ( ){ } (sFktfLktfkL ⋅=⋅=⋅ ) (1.20) • Teorema de la diferenciación real:

( )( ) ( ) (0fsFstfdtdL −⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ) (1.21)

• Teorema de la integración real:

( ) ( )sfs

dttfLt 1

0

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∫ (1.22)

• Teorema de la diferenciación compleja:

( ){ } ( )( )sFdsdtftL −=⋅ (1.23)

• Teorema de la translación real:

( ){ } sFettfL ts 00

⋅−=− ( ) (1.24) • Teorema de la traslación compleja:

( ){ } ( )asFtfeL at −= (1.25) • Teorema del valor final:

( ) ( )sFsLimtfLimst

⋅=→∞→ 0

(1.26) • Teorema del valor inicial:

( ) ( )sFsLimtfLimst

⋅=∞→→0

(1.27) En la tabla 1.2 se puede apreciar las funciones más comunes de la transformada de Laplace. Tabla 1.2. Funciones Comunes de la Transformada de Laplace.

f(t) F(s) = L{f(t)} ∂(t) 1 u(t) 1/s T 1/s2

tn n!/sn+1

e-at 1/(s+a) te-at 1/(s+a)2

tne-at n!/(s+a)n+1

Sen (ωt) ω/(s2+ω2) Cos (ωt) s/(s2+ω2) e-atSen (ωt) ω/{(s+a)2+ω2} e-atCos (ωt) (s+a)/{(s+a)2+ω2} 1.10 Tipos de Procesos: Los procesos pueden clasificarse en dos tipos, entre los cuales se tienen: • Procesos Auto regulables. • Procesos no Auto regulables.

Procesos Auto regulables Son aquellos procesos que con cambios forzados (escalón) en la entrada, la salida alcanzan condición de operación estable.

Ti, °C

Tiempo

∆Ε

Entrada

T, °C

Tiempo

∆S

Salida

Figura 1.10. Respuesta de un proceso auto regulable. Procesos no Autorregulables Son aquellos que con un cambio forzado (escalón) en la entrada, las salidas del proceso no alcanzan, en principio una nueva condición de operación. Como se nota en la figura 1.11, la condición final será una condición extrema de operación.

Tiempo

∆E

Entrada

Tiempo

∆S

Salida

Proceso

Figura 1.11. Respuesta de un Proceso no Auto regulable. 1.11 ESTABILIDAD DEL CIRCUITO DE CONTROL Un sistema es estable si su salida permanece limitada. La mayoría de los procesos industriales son estables a lazo abierto, es decir, son estables cuando no forman parte de un circuito de control por retroalimentación; esto equivale a decir que la mayoría de los procesos son autorregulables, o sea, la salida se mueve de un estado estable a otro, debido a los cambios en las señales de entrada. Un ejemplo típico de proceso inestable a circuito abierto es el tanque exotérmico de reacción con agitación, en el cual algunas veces existe un punto de operación inestable en el que al incrementar la temperatura, se produce un

incremento en la tasa de reacción, con el consecuente incremento en la tasa de liberación de calor, lo cual, a su vez, ocasiona un mayor incremento en la temperatura. Aun para los procesos estables a circuito abierto, la estabilidad vuelve a ser considerable cuando el proceso forma parte de un circuito de control por retroalimentación, debido a que las variaciones en las señales se refuerzan unas a otras conforme viajan sobre el circuito, y ocasionan que la salida - y otras señales en el circuito – se vuelvan ilimitadas.

Los circuitos de control por retroalimentación son esencialmente oscilatorios, es decir, de ensayo y error. En algunas circunstancias, las oscilaciones se pueden incrementar en magnitud, de lo cual resulta un proceso inestable. La ilustración más sencilla de un circuito de retroalimentación inestable es el controlador cuya dirección de acción es opuesta a la que debería ser, por tal motivo se debe tener cuidado en seleccionar si el controlador debe ser de acción directa o de acción inversa. Sin embargo, aun con el controlador de acción adecuada, el sistema se puede volver inestable, debido a los retardos en el circuito, lo cual ocurre generalmente cuando se incrementa la ganancia del circuito. En consecuencia, la ganancia del controlador a la que el circuito alcanza el umbral de inestabilidad es de gran importancia en el diseño de un circuito de control con retroalimentación. Esta ganancia máxima se conoce como ganancia última. 1.11.1 Criterio de estabilidad. La respuesta de un circuito de control a una cierta entrada se puede representar mediante la siguiente ecuación: ( ) tr

ntrtr nebebebtc +++= ........21

21 +(términos de entrada) (1.29) Respuesta sin forzamiento Respuesta forzada Donde: c(t) es la salida del circuito o variable controlada. r1, r2,................., rn son las raíces de la ecuación característica del circuito.

Si se supone que los términos de entrada permanecen limitados conforme se incrementa el tiempo, la estabilidad del circuito requiere que también los términos de la respuesta sin forzamiento permanezcan limitados conforme se incrementa el tiempo; esto depende únicamente de las raíces de la ecuación característica, y se puede expresar como sigue: Para raíces reales: Si r < 0, entonces ert → 0 conforme t → ∞ Para raíces complejas: r = σ + iωert = ert(cos(ωt) +isen(ωt)) Si σ < o, entonces ert(cos(ωt) +isen(ωt)) → 0 conforme t → ∞

En otras palabras, la parte real de las raíces complejas, así como las raíces reales, deben ser negativas para que los términos correspondientes de la respuesta de la tiendan a cero. A este resultado no le afectan las raíces repetidas, ya que únicamente se introduce un polinomio de tiempo en la solución, que no suprime el efecto del término exponencial de

decaimiento. Es de notar que, si cualquier raíz de la ecuación característica es un número real positivo o un número complejo con parte real positiva, en la respuesta [ecuación(1-28)] ese termino no estará limitado y la respuesta completa será ilimitada, aun cuando los demás términos tiendan a cero; esto lleva al siguiente enunciado del criterio de estabilidad para un circuito de control.

Para que el circuito de control con retroalimentación sea estable todas las raíces de su ecuación característica deben ser números reales negativos o números complejos con partes reales negativas.

Si ahora se define el plano complejo “s” como una gráfica de dos dimensiones con el eje horizontal para la parte real de las raíces y el vertical para la parte imaginaria, se puede hacer el siguiente enunciado gráfico del criterio de estabilidad en la figura 1.12.

Real

Imaginario

Plano Izquierdo Plano Derecho

Estable Inestable

Plano s

Figura 1.12. Plano s en que se ilustran las regiones de estabilidad e inestabilidad, según la ubicación de las raíces de la ecuación característica.

Para que el circuito de control con retroalimentación sea estable, todas las raíces de

su ecuación características deben caer en la mitad izquierda del plano “s” que también se conoce como “plano izquierdo”.

Cabe hacer notar que ambos enunciados del criterio de estabilidad en el dominio de Laplace se aplican en general a cualquier sistema físico, y no solamente a circuitos de control con retroalimentación. En cada caso la ecuación característica se obtiene por igualación a cero del denominador de la forma lineal de la función de transferencia del sistema. 1.11.2 Prueba de Routh La prueba de Routh es un procedimiento para determinar el número de raíces de un polinomio con parte real positiva sin necesidad de encontrar realmente las raíces por

métodos iterativos. Puesto que para que un sistema sea estable se requiere que ninguna de las raíces de su ecuación característica tenga parte real positiva, la prueba de Routh es bastante útil para determinar la estabilidad.

Con la disponibilidad que se tiene actualmente de programas de computadora para encontrar las raíces de los polinomios, la prueba de Routh no sería útil si el problema fuera exclusivamente encontrar si un lazo de realimentación es estable o no, una vez que se especifican todos los parámetros del circuito; sin embargo, el problema más importante es determinar los límites de un parámetro específico del circuito –generalmente la ganancia del controlador- dentro de los cuales el circuito es estable, y la prueba de Routh es de lo más útil para resolver dicho problema.

El procedimiento para efectuar la prueba de Routh se presenta en la ecuación (1-29); dado un polinomio de grado n:

0 a sa . . . . sa sa 01

11-n

1-nn

n =++++ (1.29) Donde an, an-1, . . . ., a1, a0 son los coeficientes del polinomio; se debe determinar cuántas raíces tienen parte real positiva. Para realizar la prueba, primero se debe preparar el siguiente arreglo: Fila 1 an an-2 an-4 …….. a1 0 Fila 2 an-1 an-3 an-5 …….. a0 0 Fila 3 b1 b2 b3 …….. 0 0 Fila 4 c1 c2 c3 …….. 0 0

.

.

. Fila n d1 d2 0 …….. 0 0 Fila n+1 e1 0 0 …….. 0 0 En el cual los datos de la fila 3 a la n+1 se calculan mediante:

aaaaab

1-n

3-nn2-n1-n1

- = ,

aaaaab

1-n

5-nn4-n1-n2

- = , ………..

bbaabc

1

21-n3-n11

- = ,

bbaabc

1

31-n5-n12

- = , ………….

Y así sucesivamente, el proceso continúa hasta que todos los términos nuevos sean

cero. Una vez que se completa el arreglo, se puede determinar el número de raíces con parte real positiva del polinomio, mediante el conteo de la cantidad de cambios de signo en la

columna extrema izquierda del arreglo; en otras palabras, para que todas las raíces del polinomio estén en el plano “s” izquierdo, todos los términos en la columna izquierda del arreglo deben tener el mismo signo.

1.12 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LAZO ABIERTO Y DE LAZO

CERRADO La figura 1.13, muestra el diagrama de bloques general de un lazo de control de retroalimentación, en el cual el proceso tiene una función de transferencia Gp(s); la válvula de control, una función de transferencia Gv(s); el controlador, una función de transferencia Gc(s); y el transductor/transmisor, una función de transferencia H(s).

Gc (s) Gv (s) Gp (s)

H(s)

Gl (s)

Va(s) +

-

e(s) m(s) F(s) ++

C(s)

L(s) U(s)

O(s)

Figura 1.13. Diagrama de Bloques General de un Lazo de Control por Retroalimentación.

La función de transferencia Gp(s) relaciona a la variable controlada C(s) con la

variable manipulada F(s). En tanto que la función de transferencia Gl(s) relaciona la variable controlada C(s) con la variable de perturbación L(s). Estas dos son las funciones de transferencia de lazo abierto del proceso. En lazo abierto (cuando no hay control), la respuesta del proceso depende solamente de Gp(s) y de Gl(s).

Sin embargo, en lazo cerrado, cuando el proceso opera con un sistema de control automático como el descrito en la figura 1.13, la respuesta del proceso depende de todas las funciones de transferencia que intervienen en el lazo de control. La función de transferencia de lazo cerrado (para cambios en el valor deseado) C(s)/Va(s), se puede determinar a partir del diagrama de bloques de la figura 1.13, utilizando la siguiente relación: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sLsGsFsGpsC ⋅+⋅= 1 (1.30)

Si no se presentan cambios en L(s) se obtiene que: Si no se presentan cambios en L(s) se obtiene que: ( ) ( ) ( )sFsGpsC ⋅= (1.31)

Ya que U(s) = Gl(s).L(s) = 0. Seguidamente del diagrama de bloques, se puede obtener: ( ) ( ) ( )sFsGpsC ⋅= (1.32)( ) ( ) ( )smsGvsF ⋅= (1.33)( ) ( ) ( )sesGcsm ⋅= (1.34)( ) ( ) ( )sOsVase −= (1.35)( ) ( ) ( )sCsHsO ⋅= (1.36)

Resolviendo para hallar la función de transferencia ( )( )sVasC , se tiene:

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sHsGcsGvsGp

sGcsGvsGpsVasC

⋅⋅⋅+⋅⋅

=1

(1.37)

La función de transferencia de lazo cerrado, con respecto a la variable de perturbación L(s), C(s)/L(s), se determina también a partir del diagrama de bloques de la figura 1.13, de la siguiente manera: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )sLsGsCsHsVasGcsGvsGpsLsGsFsGpsC ⋅+⋅−⋅⋅=⋅+⋅= 11

sin cambios en Va(s), es decir, Va(s) = 0, la ecuación resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sLsGsCsHsGcsGvsGpsC ⋅+⋅⋅⋅⋅−= 1

hallando C(s)/L(s) se tiene: ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )sHsGcsGvsGp

sGsLsC

⋅⋅⋅+=

11 (1.38)

Siendo el denominador de la ecuación 1.38 la ecuación característica del sistema de control.