control automático
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Control Automático 1Profesor: Julio BraslavskyAuxiliar: Virginia Mazzone
Código: CAUT1Característica: Núcleo BásicoClases: Lunes y Miércoles de 19 a 22Consultas: Martes y Jueves de 15 a 18Email: [email protected]: 9.5, Automatización y Control, UNQ F. VarelaTeléfono: 011.4275.7714 / 7717 (int. 220)
CAUT1 Clase 1 1
Panorama de la clase
1. Información práctica sobre la asignatura2. Motivación a Ingeniería de Control3. Tipos de diseños de sistemas de control4. Integración de sistemas5. Ejemplo: control on-off
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Información práctica sobre CAUT1
Esta asignatura es una introducción al control automático. Sepresentan principios, conceptos y técnicas fundamentales pa-ra el análisis y diseño de sistemas de control.
Los sistemas que estudiaremos son lineales e invariantes enel tiempo, descriptos por su función transferencia en transfor-mada Laplace. Nos restringiremos a sistemas de una entraday una salida (SISO: single-input single-output).
Los objetivos de la asignatura: Aprender a
Analizar y diseñar sistemas de control para plantas SISO.
Usar herramientas de software moderno para analizar y re-solver problemas de diseño de control.
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Conocimientos previos: Señales y sistemas, Procesos ymáquinas industriales 1.
Régimen de promoción:
Aprobar los 3 Parciales teórico-prácticos (75 % de la notafinal)Aprobar los 2 Laboratorios (15 % de la nota final)Optativos: 4 o 5 Trabajos prácticos (10 % de la nota final)
Aprobar significa obtener un rendimiento no menor al 60 %.
Recuperatorios: como máximo
2 de los 3 parciales1 de los 2 laboratorios
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Software: MATLAB + SIMULINK + CONTROL SYSTEMS TOOL-BOX
Libros:
? Goodwin, Graebe & Salgado, Control System Design. Pren-tice Hall, 2001.Ogata, Ingeniería de Control Moderna, Prentice Hall, 1980.Franklin, Powell & Emami-Naeini, Control de sistemas diná-micos con realimentación, Addison-Wesley, 1991.
Material en internet:
http://iaci.unq.edu.ar/caut1http://csd.newcastle.edu.au/control
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Temas
1. Introducción al control automático2. Principios de realimentación3. Modelos, señales y sistemas4. Análisis de sistemas realimentados5. Control PID clásico6. Diseño básico de controladores SISO7. Consideraciones prácticas de diseño8. Diseño avanzado de controladores SISO
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Introducción al Control Automático
Motivación a Ingeniería de ControlTipos de diseños de controlIntegración de sistemasEjemplo: control on-off
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Motivación a Ingeniería de Control
El control por realimentación tiene una larga historia que co-menzó con el deseo primordial de los seres humanos de do-minar los materiales y las fuerzas de la naturaleza en su pro-vecho.
Los primeros ejemplos de dispositivos de control incluyen lossistemas de regulación de relojes y los mecanismos paramantener los molinos de viento orientados en la dirección delviento.
Las plantas industriales modernas poseen sofisticados siste-mas de control que son cruciales para su operación correcta.
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Una planta industrial moderna: una sección de la refinería depetróleo austríaca OMV.
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La ingeniería de control ha tenido un enorme impacto ennuestra sociedad.
Åström cita a Wilbur Wright (1901):
« Sabemos como construir aeroplanos.»«Sabemos como construir motores.»
« El no saber cómo equilibrar y maniobrar aún desafía a losestudiantes del problema de vuelo.»
«Cuando esta única dificultad sea resuelta, la era del vuelohabrá arribado, ya que todas las demás dificultades son de
menor importancia.»
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¡Los hermanos Wright resolvieron cómo equilibrar y manio-brar y volaron el Kitty Hawk el 17 de diciembre de 1903!
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De hecho, ninguno de los sistemas modernos (aviones, trenesde alta velocidad, reproductores de CD, etc.) podrían operarsin la ayuda de sofisticados sistemas de control.
Por ejemplo, el regulador centrífugo de Watt tuvo un impac-to fundamental durante la revolución industrial.
La fotografía muestra un reguladorcentrífugo de Watt usado en una má-quina de vapor en una fábrica de te-las cerca de Manchester, en el ReinoUnido. Manchester fue el centro dela revolución industrial. La fábrica detelas está aún en operación.
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Regulador centrífugo de Watt(Figura de Dorf & Bishop, Modern Control Systems, 9a Ed.)
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¿Dónde se usa control?Procesos industrialesTransporte• Autos• Trenes• Barcos• Aviones• Naves espaciales
Generación de energíaTransmisión de energíaMecatrónicaInstrumentaciónArtefactos electrónicosEconomíaMedicina
Un mejor control es la clave tecnológica para lograr
productos de mayor calidadminimización de desperdiciosprotección del medio ambientemayor rendimiento de la capacidad instaladamayores márgenes de seguridad
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Todas estos elementos son relevantes en el control de unaplanta integrada como la planta de amoníaco de la figura.
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Tipos de diseños de control
El diseño de sistemas de control también toma distintas for-mas, cada una de las cuales requiere enfoques ligeramentedistintos.
L@s ingenier@s de control deben resolver problemas en lasdistintas etapas de la «vida» de un sistema de control, porejemplo:
Diseño inicial «de base»Construcción y ajusteRefinamiento y actualizaciónEstudio «forense»
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Integración de sistemas
El éxito en ingeniería de control se apoya en tener un enfoque«global» de los problemas. Algunos de los elementos a teneren cuenta:
la planta, el proceso a ser controladolos objetivoslos sensoreslos actuadoreslas comunicacionesel cómputola configuración e interfaceslos algoritmoslas perturbaciones e incertidumbres
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La planta
La estructura física de la planta es una parte intrínseca delproblema de control.
Por lo tanto, l@s ingenier@s de control deben estar familiari-zados con la «física» del proceso bajo estudio.
Esto incluye conocimientos básicos de balances de energía,balances de masas, y flujo de materiales en el sistema.
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Objetivos
Antes de diseñar sensores, actuadores, o configuraciones decontrol, es importante conocer los objetivos de control.
Estos incluyen
Qué es lo que se pretende alcanzar (reducción de energía,mayor produción, etc.).Qué variables deben controlarse para alcanzar los objeti-vos.Qué nivel de calidad se necesita (precisión, velocidad, etc.).
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Los sensores
Los sensores son los ojos del sistema de control, que le per-miten ver qué está pasando. De hecho, algo que suele decirseen control es:
Si se puede medir, se puede controlar.
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Los actuadores
Una vez ubicados los sensores para informar el estado de unproceso, sigue determinar la forma de actuar sobre el sistemapara hacerlo ir del estado actual al estado deseado.
Un problema de control industrial típicamente involucrará va-rios actuadores distintos (ejemplo: tren de laminación).
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Tren de laminación moderno.
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Las comunicaciones
La interconección de sensores y actuadores requieren el usode sistemas de comunicación.
Una planta típica va a tener miles de señales diferentes queseberán ser transmitidas largas distancias. Así, el diseño desistemas de comunicación y sus protocolos asociados es unaspecto cada vez más importante de la ingeniería de controlmoderna.
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El cómputo
En los sistemas de control modernos la interconección desensores y actuadores se hace invariablemente a través deuna computadora de algún tipo. Por lo tanto, los aspectoscomputacionales son necesariamente una parte del diseñogeneral.
Los sistemas de control actuales usan una gama de dispositi-vos de cómputo, que incluyen DCS (sistemas de control distri-buido), PLC (controladores lógicos programables), PC (com-putadoras personales), etc.
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UNAC-PC: un entorno para implementación rápida de controlde procesos.
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Configuración e interfaces
La cuestión de qué se conecta con qué no es trivial en el di-seño de un sistema de control. Podría pensarse que lo mejorsiempre sería llevar todas las señales a un punto central, demanera que cada acción de control esté basada en informa-ción completa (el denominado control centralizado).
Sin embargo, esta raramente es la mejor solución en la prácti-ca. De hecho, hay muy buenas razones por las que no convie-ne llevar todas las señales a un punto común. Algunas obviasson complejidad, costos, limitaciones en tiempo de cómputo,mantenimiento, confiabilidad, etc.
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Típica jerarquía de control
Nivel Descripción Meta Tiempos Herramienta dediseño típica
4 Optimizaciónglobal de laplanta
Satisfacer los pedidosde los clientes y orga-nizar el suministro demateriales
C/día Optimización está-tica
3 Optimizaciónen régimenpermanente anivel unidadoperacional
Lograr la operación efi-ciente de una unidad(e.g., columna de des-tilación)
C/hora Optimización está-tica
2 Control diná-mico a nivelunidad opera-cional
Lograr los puntos deoperación especifica-dos en el nivel 3 conrápida recuperación deperturbaciones
C/minuto Control multivaria-ble (e.g., controlpredictivo basadoen modelo)
1 Control diná-mico a nivelde actuador
Lograr los caudales deflujo especificados enel nivel 2 mediante ma-nipulación de los actua-dores disponibles
C/segundo Control monova-riable (e.g. PID)
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Algoritmos
Finalmente, llegamos al corazón de la ingeniería de control:los algoritmos que conectan sensores y actuadores. Es muyfácil subestimar este aspecto final del problema.
Como ejemplo simple de nuestra experiencia diaria, conside-remos el problema de jugar tenis a primer nivel internacio-nal. Claramente, se necesita buena visión (sensores) y fuer-za muscular (actuadores) para jugar tenis en este nivel, peroestos atributos no son suficientes. De hecho, la coordinaciónentre ojos y brazo es también crucial para el éxito.
En resumen:
Los sensores proveen los ojos, y los actuadores losmúsculos; la teoría de control provee la destreza.
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Mejores sensores dan mejor visión
Mejores actuadores dan más músculos
Mejor control da más destreza al combinar sensores y ac-tuadores de forma más inteligente
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Perturbaciones e incertidumbre
Uno de los factores que hacen a la ciencia del control intere-sante es que todos los sistemas reales están afectados porruido y perturbaciones externas.
Estos factores pueden tener un impacto significativo en el ren-dimiento del sistema. Como ejemplo simple, los aviones estánsujetos a ráfagas de vientos y pozos de aire; los controladoresde crucero de los automóviles deben adecuarse a diferentescondiciones de la ruta y diferentes cargas del vehículo.
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Homogeneidad
Finalmente, todos los sistemas interconectados, incluyendosistemas de control, sólo pueden ser tan buenos como el ele-mento más débil.
Las consecuencias de este hecho en el diseño de control sonque debe tenderse a que todos los componentes (planta, sen-sores, actuadores, comunicaciones, cómputo, interfaces, al-goritmos, etc.) sean de una precisión y calidad aproximada-mente comparable.
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Análisis costo-beneficioPara poder avanzar en ingeniería de control (como en mu-chas otras disciplinas) es importante saber justificar los gas-tos asociados. Esta justificación usualmente toma la forma deun análisis costo-beneficio . Las etapas típicas incluyen:
Evaluación de un rango de oportunidades de control.Selección de una lista corta a examinar en más detalle.Decidir entre un proyecto de alto impacto económico o almedio ambiente.Consultar personal adecuado (gerencial, de operación, deproducción, de mantenimiento, etc.).Identificar los puntos claves de acción.Obtener información de desempeño de un caso base paracomparación ulterior.Decidir modificaciones a las especificaciones de operación.
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Actualizar actuadores, sensores, etc.Desarrollar de algoritmos.Probar algoritmos vía simulación.Probar de algoritmos sobre la planta usando sistemas dedesarrollo rápido de prototipos.Obtener información de desempeño para comparar con elcaso base.Realizar la implementación definitiva.Obtener información de desempeño final alcanzado.Realizar el informe final del proyecto.
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Resumen
La Ingeniería de Control está presente en virtualmente to-dos los sistemas modernos de ingeniería.El control es una tecnología a menudo «invisible», ya queel éxito mismo de su aplicación la vuelve indetectable.El control es la clave tecnológica para lograr• productos de mayor calidad• minimización de desperdicios• protección del medio ambiente• mayor rendimiento de la capacidad instalada• mayores márgenes de seguridadEl control es multidisciplinario (incluye sensores, actuado-res, comunicaciones, cómputo, algoritmos, etc.)El diseño de control tiene como meta lograr un nivel de ren-dimiento deseado frente a perturbaciones e incertidumbre.
2. Principios de Realimentación
Panorama
Un ejemplo industrial motivadorFormulación básica del problema de controlLa idea de inversión en la solución de problemas de controlDe lazo abierto a lazo cerrado
En este capítulo veremos que la realimentación es la herra-mienta clave que usan l@s ingenier@s en control para mo-dificar el comportamiento de un sistema y así satisfacer lasespecificaciones de diseño deseadas.
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Un ejemplo industrial: proceso de coladacontinua
Presentamos un ejemplo de un problema de control industrialque, aunque simplificado, es esencialmente un problema realauténtico.
Este ejemplo, de un proceso de colada continua, pertenece ala industria siderúrgica. Sin embargo, como veremos, los prin-cipales elementos en la especificación de un comportamientodeseado, el modelado, y la necesidad de dar soluciones decompromiso, son comunes a los problemas de control en ge-neral.
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Parte del procesointegrado deproducción deacero deSIDERAR.
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Máquina industrial de colada continua (BHP Newcastle, Au.)
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Esquema del proceso industrial de colada continua.
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Colada continua: Planchón típico (izquierda) y diagramasimplificado (derecha).
Por ejemplo, los planchones producidos en SIDERAR son de176/180 mm de espesor (t), 560/1525 mm de ancho (w), y5780 mm de longitud máxima (l).
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Debastes colados; cámara secundaria de enfriamiento.
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Especificaciones de desempeño
Las metas principales de diseño para este problema son:
Seguridad: Claramente, el nivel del molde nunca debe co-rrer riesgo de derramarse o vaciarse, ya que cualquiera delas dos situaciones implicaría derramamiento de metal fun-dido, con consecuencias desastrosas.
Rentabilidad: Los aspectos relevantes incluyen:
• Calidad del producto• Mantenimiento• Rendimiento
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Modelado
Para seguir adelante con el diseño del sistema de control senecesita en primer lugar entender el proceso. Típicamente,el conocimiento del proceso se cristaliza en la forma de unmodelo matemático .
Variables relevantes del proceso:
h∗ : nivel de acero de referencia en el molde
h(t) : nivel real de acero en el molde
v(t) : posición de la válvula
σ(t) : velocidad de colado
qin(t) : caudal de material entrante al molde
qout(t) : caudal de material saliente del molde
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Modelo simple como tanque
h(t) =∫ t
−∞(qin(τ)−qout(τ))dτ
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Diagrama de bloques de la dinámica simplificada del procesode colada continua, sensores y actuadores.
&%'$
&%'$
h
h
h
h
h
h- -
?
�
-
?
�
�
∫+−
+
+
Medición deCaudal de salida(velocidad de colada)
Ruido de medición
Nivel de moldeado medido
Caudal de entrada(válvula de control)
velocidad de colada
Nivel de moldeadoh(t)
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Realimentación y predicción
Veremos más adelante que la idea central en control es lade inversión . Por otra parte, convenientemente, la inversiónpuede lograrse a través de dos mecanismos básicos: reali-mentación y predicción .
Estrategia de control sugerida:
f
ff ���� ����
����
f
- -
�
?- -
6
?-
?�
Caudal de salida(velocidad de colada)Medición develocidad de colada
Nivel de moldeado
∫ h(t)
Ruido de medición
Nivel de moldeado medido
Caudal de entrada(válvula de control)
nivelReferencia de
h∗
−
+ + +
+ +
−
K−1
K
Este controlador combina una acción de realimentación conuna acción predictiva.
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Una primer indicación de compromisos dediseño
Simulando la operación del control propuesto para nuestromodelo simplificado de la colada continua para valores deK = 1 y K = 5, vemos que cuanto más pequeña es la gananciade control (K = 1), más lenta resulta la respuesta del sistemaa un cambio en el valor de set-point h∗.
Por otro lado, cuanto mayor es la ganancia de control (K = 5),más rápida es la respuesta obtenida, pero también son mayo-res los efectos del ruido de medición — evidente en oscilacio-nes mayores en la respuesta permanente y los movimientosmás agresivos de la válvula de control.
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Compromisos en diseño: mayor velocidad de respuesta acambios en set-point trae aparejados mayor sensibilidad a rui-do de medición y mayor desgaste del actuador.
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Pregunta
¿Será este compromiso inevitable. . . o podrá mejorarse la si-tuación, por ejemplo con
un mejor modelado, oun más sofisticado diseño de control?
Este será un tema central en el resto de nuestra discusión.
(Nota: de hecho, el compromiso de diseño es fundamental,como veremos más adelante.)
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Definición del problema de control
Abstrayendo del ejemplo anterior, podemos introducir la si-guiente definición.
Problema de Control:El problema central en control es encontrar una formatécnicamente realizable de actuar sobre un determinadoproceso de manera que éste tenga un comportamiento quese aproxime a cierto comportamiento deseado tanto comosea posible.Además, este comportamiento aproximado deberá lograrseaún teniendo incertidumbres en el proceso, y ante lapresencia de perturbaciones externas, incontrolables,actuando sobre el mismo.
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Solución prototipo del problema de control víainversión
Una forma particularmente simple, aunque al mismo tiempoprofunda, de pensar problemas de control es vía la idea deinversión .
Supongamos que sabemos qué efecto produce en la salidadel sistema una acción en la entrada. . .Supongamos además que tenemos un comportamiento de-seado para la salida del sistema. . .Entonces, simplemente necesitamos invertir la relación en-tre entrada y salida para determinar queé acción es necesa-ria en la entrada para obtener el comportamiento de salidadeseado.
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La idea de control conceptual por inversión se representa enel diagrama de bloques
���� ����f
f
f- - - --??
f (◦)f−1(◦)r
d
yu−+ ++
Controlador conceptual Planta
En general, podría decirse que todos los controladores gene-ran implícitamente una inversa del proceso, tanto como seaposible (es decir, una inversa aproximada).
Los detalles en los que los controladores difieren son esen-cialmente los mecanismos usados para generar la inversaaproximada necesaria.
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Realimentación con ganancia elevada einversión
Una propiedad bastante curiosa de la realimentación es quepuede aproximar la inversa implícita de transformaciones di-námicas.
����f f-- - -
�
6
h(◦)r + y
Planta
f (◦)
−
u
z
El lazo implementa una inversa aproximada de f (◦), es decir,u = f−1(r) si
r−h−1(u)≈ r.
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Mas concretamente, del diagrama de bloques anterior,
u = h(r−z)
= h(r− f (u)),
de modo que
h−1(u) = r− f (u),
de donde obtenemos finalmente
u = f−1(r−h−1(u)).
Así, si h−1(u) es pequeño en comparación con r, vemos que
u≈ f−1(r).
Que h−1(u) sea pequeño es lo mismo que decir que h(u) seagrande, es decir, que h(◦) tenga ganancia elevada.
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En conclusión: Puede generarse una inversa aproximada dela planta si colocamos un modelo de la misma en un lazo derealimenación de ganancia elevada.
����f f-- - -
�
6
h(◦)r + y
Planta
f (◦)
−
u
z
f (◦) : modelo de la planta
h(◦) : ganancia directa de lazo
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Ejemplo: Supongamos una planta descripta por el modelo
dy(t)dt
+2√
y(t) = u(t),
y que se necesita una ley de control para asegurar que y(t)siga señales de referencia de variación lenta.
Una forma de resolver este problema es construir una inversadel modelo válida dentro de un rango de bajas frecuencias(señales lentas).
Usando la configuración de control (a lazo abierto)
����f f-- - -
�
6
h(◦)r + y
Planta
f (◦)
−
u
z
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obtenemos una inversa aproximada si h(◦) tiene ganancia ele-vada en el rango de bajas frecuencias.
Una solución simple es elegir h(◦) como un integrador.
La figura muestra la referencia r(t) (sinusoidal) y la correspon-diente salida de la planta y(t) con este control.
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De lazo abierto a lazo cerrado
Desafortunadamente, la configuración de control que hemospresentado no dará un solución satisfactoria general del pro-blema de control, a menos que
el modelo en el que se basa el diseño de control sea unamuy buena representación de la planta,este modelo y su inversa sean estables, ylas perturbaciones y condiciones iniciales sean desprecia-bles.
Esto nos motiva a buscar una solución alternativa del proble-ma de control reteniendo la esencia básica de la solución pro-puesta, pero sin sus limitaciones.
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����f ff- - -
6
�
-+
−
u(t) y(t)r(t) Ganancia derealimentación
Modelo
PlantaA
Controlador a lazo abierto
Control a lazo abierto con inversa aproximada incorporada
����f f f- - - -
6
+
−
r(t)Planta
y(t)A′u(t)
realimentaciónGanancia de
e(t)
Controlador a lazo cerrado
Control a lazo cerrado
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Control a lazo abierto versus control a lazo cerrado:
Si el modelo representa a la planta exactamente, y todasla señales son acotadas (o sea, el lazo es estable), ento-ces ambas configuraciones son equivalentes con respectoa la relación entre r(t) e y(t). Las diferencias principales sedeben a perturbaciones y condiciones iniciales.
En la configuración a lazo abierto, el controlador incorporala realimentación internamente, o sea, se realimenta de A.
En la configuración a lazo cerrado, la señal realimentadadepende directamente de lo que está pasando con la plan-ta, ya que se realimenta la salida real de la planta de A′.
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La configuración a lazo cerrado tiene muchas ventajas, queincluyen
insensibilidad a errores de modelado;insensibilidad a perturbaciones en la planta (no reflejadasen el modelo).
����f f f- - - -
6
+
−
r(t)Planta
y(t)A′u(t)
realimentaciónGanancia de
e(t)
Controlador a lazo cerrado
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Compromisos en la elección de la ganancia derealimentación
De nuestra discusión hasta ahora, podría pensarse que todolo que se necesita para resolver el problema de control es ce-rrar un lazo de ganancia elevada alrededor de la planta. Estoes estrictamente cierto, según lo que discutimos. Sin embar-go, nada en la vida viene sin un costo, lo que también se aplicaal empleo de una ganancia elevada de realimentación.
Por ejemplo, si alguna perturbación afecta a la planta y produ-ce un error e(t) distinto de cero, entonces la ganancia elevadaproduciría una señal de control u(t) muy elevada también. Talseñal puede exceder el rango permitido de los actuadores einvalidar la solución.
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Otro problema potencial con el empleo de ganancia elevadaes que a menudo va acompañada de un riesgo muy consi-derable de inestabilidad. La inestabilidad se caracteriza por lapresencia de oscilaciones sostenidas (o crecientes).
Por ejemplo, una manifestación de inestabilidad resultante dela excesiva ganancia de realimentación es el silbido de altafrecuencia que se escucha cuando un parlante se coloca de-masiado cerca de un micrófono.
CAUT1 Clase 2 29
Una manifestación trágica de inestabilidad fue el desastre deChernobyl.
Otra potencial desventaja del uso de elevada ganancia de lazofue sugerida en el ejemplo de colada continua. Allí vimos queal incrementar la ganancia del controlador incrementábamosla sensibilidad a ruido de medición — lo que resulta ser ciertoen general.
CAUT1 Clase 2 30
En resumen, la elevada ganancia de lazo es deseable desdemuchos aspectos, pero es también indeseable desde otrasperspectivas. En consecuencia, cuando se elige la gananciade realimentación debe arribarse a una solución de compro-miso en forma racional, teniendo en cuenta todos los factoresen juego.
La ganancia de lazo elevada permite obtener una inversaaproximada, que es esencial en control. Sin embargo, en lapráctica, la elección de la ganancia de realimentación es partede un complejo balance de compromisos de diseño. La com-prensión y el balance adecuado de estos compromisos es laesencia del diseño de sistemas de control.
CAUT1 Clase 2 31
Mediciones
Finalmente pasamos a discutir las mediciones, es decir, lo queusamos para generar una señal de realimentación.
La figura siguiente muestra una descripción más adecuadadel lazo de realimentación incluyendo sensores:
����f f f- - - -
�
6
+
−
r(t)Planta
y(t)A′u(t)
realimentaciónGanancia de
Sistema de medicióny transmisión de señales
ym(t)
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Propiedades deseables de los sensoresConfiabilidad. Deben operar dentro de rangos adecuados.Exactitud. Para una variable de valor constante, la medi-ción debe estabilizarse en el valor correcto.Sensibilidad. La medición debe seguir los cambios de lavariable medida. Una medición demasiado lenta puede nosólo afectar la calidad del control sino también inestabilizarel lazo, aún cuando el lazo fuera diseñado para ser estableasumiendo medión exacta de la variable del proceso.Inmunidad a ruido. El sistema de medición, incluyendo lostransmisores, no deben ser significativamente afectadospor señales espúreas como ruido de medición.Linealidad. Si el sensor es no lineal, al menos la alineali-dad debe ser conocida para que pueda ser compensada.No intrusividad. El dispositivo de medición no debe afectaren forma significativa el comportamiento de la planta.
CAUT1 Clase 2 33
En resumen, un lazo de realimentación típico, considerandosensores, presenta la configuración de la figura
Actuadoresf f
f
f
-
-
--
�
6
?
-Controlador
Sensores
Sistema
Referencia:Valor deseado parala salida Señal de
control
Perturbaciones
Salida real
Ruido de medición
Medición
CAUT1 Clase 2 34
Resumen
El control se ocupa de encontrar medios tecnológica, am-biental, y comercialmente realizables de actuar sobre unsistema tecnológico para controlar sus salidas a valores de-seados manteniendo un nivel deseado de rendimiento.
Concepto fundamental en ingeniería de control: inversión.Puede lograrse inversión en forma aproximada medianteuna configuración en realimentación.
Los objetivos de un sistema de control usualmente incluyen
• maximización de rendimiento, velocidad, seguridad, etc.• minimización de consumo de energía, producción de de-
sechos, emisiones, etc.• reducción del impacto de perturbaciones, ruido de medi-
ción, incertidumbres, etc.
CAUT1 Clase 2 35
Hemos presentado una primer indicación de que los ob-jetivos de diseño deseados usualmente están en conflictoentre sí, por lo que es necesario tomar soluciones de com-promiso.
El diseño de un sistema de control es el proceso median-te el cual
• entendemos los compromisos de diseño inherentes alproblema,• tomamos decisiones deliberadas consistentes con estos
compromisos de diseño, y• somos capaces de traducir sistemáticamente el objetivo
de diseño deseado en un controlador.
CAUT1 Clase 2 36
El proceso de realimentación refiere al ciclo iterativo:
• cuantificación del comportamiento deseado,• medición de los valores actuales de variables relevantes
del sistema mediante sensores,• inferencia del estado presente del sistema a partir de las
mediciones,• compararción del estado inferido con el estado deseado,• cálculo de la acción correctora para llevar el sistema al
estado deseado,• aplicación de la acción correctora al sistema por medio
de actuadores, y finalmente,• repetir los pasos anteriores.
3. Modelos, señales y sistemas
Panorama
Modelos en control• El por qué de los modelos matemáticos• Complejidad de modelos• Construcción de modelosLinealización y escalamientoTipos de modelosFunciones transferencia y diagramas de bloques• Estabilidad• Álgebra de bloques
CAUT1 Clase 3 1
Modelos en control
El diseño de un sistema de control típicamente requiere un de-licado balance entre limitaciones fundamentales y solucionesde compromiso. Para poder lograr este balance, es necesariotener una comprensión cabal del proceso en cuestión.
Esta comprensión usualmente se captura en un modelo ma-temático . Teniendo un modelo, es posible predecir el impactode distintos diseños posibles sin comprometer al sistema real.
En este capítulo vamos a discutir brevemente cómo
elegir el nivel adecuado de complejidad de un modelo;linealizar modelos no lineales;obtener experimentalmente modelos elementales.
CAUT1 Clase 3 2
En particular, revisaremos algunas propiedades básicas delas funciones transferencias y los diagramas de bloques ,dos modelos matemáticos muy comúnmente usados en inge-niería de control.
No discutiremos en detalle cómo obtener modelos matemá-ticos en forma analítica. La derivación de modelos matemáti-cos es una disciplina compleja en sí misma, elementos de lacual se estudian, por ejemplo, en Procesos y Máquinas Indus-triales I y II.
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El por qué de los modelos matemáticos encontrol
Recordando el ejemplo de la colada continua, el control delnivel en este proceso sólo tiene tres formas de manipular laválvula: abrirla, cerrarla, o dejarla como está.
Sin embargo, hemos visto también que el modo preciso enque estas acciones se llevan a cabo involucran compromisosdelicados entre objetivos de diseño contrapuestos, tales co-mo la velocidad de respuesta y la sensibilidad a ruido de me-dición.
Para muchos problemas es posible encontrar un controladoradecuado simplemente mediante prueba y error. Sin embar-go, en muchos casos el enfoque de prueba y error no es facti-ble, debido a complejidad, eficiencia, costo, o aún seguridad.
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En particular, es imposible mediante prueba y error respondera cuestiones como las siguientes antes de hacer pruebas:
Dada una planta y un objetivo deseado de operación, ¿quécontrolador puede alcanzarlo? ¿Se puede alcanzar el obje-tivo propuesto con algún controlador?Dados un controlador y una planta, ¿cómo operarán en lazocerrado?¿Por qué un lazo dado opera de la forma que lo hace?¿Puede mejorarse? ¿Con qué controlador?¿Cómo cambiaría la operación si se cambiaran los paráme-tros del sistema, o si las perturbaciones fueran mayores, osi fallara algún sensor?
Para responder sistemáticamente a estas cuestiones necesi-tamos modelos matemáticos.
CAUT1 Clase 3 5
Los modelos matemáticos nos brindan los medios de capturarel comportamiento de un sistema sujeto a condiciones inicia-les, entradas de control y perturbaciones mediante un conjun-to de ecuaciones matemáticas.
La importancia de los modelos matemáticos radica enque pueden ser
simulados en situaciones hipotéticas,ensayados en estados que serían peligrosos en elsistema real, yusados como base para sintetizar controladores.
CAUT1 Clase 3 6
Complejidad de modelos
Al construir un modelo es importante tener en cuenta que to-do proceso real es complejo, por lo que cualquier intento deconstruir una descripción exacta de la planta es usualmenteuna meta imposible de alcanzar.
Afortunadamente, la realimentación usualmente nos permitetener éxito aún con modelos muy simples, siempre y cuandoéstos capturen las características esenciales del problema.
Es importante destacar que los modelos empleados para con-trol usualmente difieren de los utilizados, por ejemplo, paradiseño del proceso.
CAUT1 Clase 3 7
Los sistemas reales pueden ser arbitrariamente complejos,por lo que todo modelo deberá ser necesariamente una des-cripción aproximada del proceso. Introducimos tres definicio-nes para clarificar este enunciado.
Modelo nominal. Es una descripción aproximada de la plan-ta que se usa para el diseño de control.
Modelo de calibración. Es una descripción más exhaustivade la planta. Incluye características no usadas en el diseñode control pero que tienen directa influencia en el desem-peño alcanzado.
Error de modelo. Es la diferencia entre el modelo nominal yel modelo de calibración. Los detalles de este error podríanser desconocidos, pero podrían disponerse de cotas apro-ximadas.
CAUT1 Clase 3 8
Construcción de modelos
Dos enfoques diferenciados para la construcción de modelos:
Experimental. Se basa en pensar al sistema como una cajanegra. En este enfoque se postula una determinada estruc-tura de modelo, a la que que se varían los parámetros, bienvía prueba y error, o bien vía algún algoritmo, hasta que lael comportamiento dinámico del modelo se ajusta al obser-vado en la planta mediante ensayos.
Analítico. Se basa en el uso de leyes físicas (conservaciónde masa, energía y momento). El modelo se obtiene a partirde las leyes fenomenológicas básicas que determinan lasrelaciones entre todas las señales del sistema.
En la práctica es común combinar ambos enfoques.
CAUT1 Clase 3 9
Ejemplo. Consideremos un tanque cilíndrico de área A quedescarga a través de un orificio en el fondo. Los principiosfísicos indican que el flujo de descarga q2 puede modelarserazonablemente como q2(t) = K
√h(t), donde h es el nivel de
líquido en el tanque y K una constante a determinar, por ejem-plo, usando principios físicos.
Figura de Dorf & Bishop (2000).
Por ejemplo, se mide h(t) cada T se-gundos, donde T se elige tal que lavariación |h(t)−h(t−T)| sea peque-ña. Así, q2(t) ≈ |h(t)− h(t − T)|A/T,y K podría estimarse haciendo unaregresión lineal de q2(t) sobre
√h(t)
para distintos valores de t.
Vemos en este ejemplo como el modelo final combina conoci-miento físico con mediciones experimentales.
CAUT1 Clase 3 10
Los modelos relevantes en control son a menu-do bastante simples en comparación al procesoverdadero, y usualmente combinan razonamientofísico con datos experimentales.
Otra consideración de relevancia práctica es la inclusión delactuador en el proceso de modelado. Los actuadores son, engeneral, bastante alineales, y usualmente tienen su propia di-námica que, a veces, puede hasta dominar otras característi-cas del proceso (como suele pasar con válvulas, actuadoreshidráulicos, rectificadores controlados)
Asi, de aquí en más, cuando nos refiramos al modelo de laplanta, entenderemos que este modelo también incluye losactuadores, cuando sea necesario.
CAUT1 Clase 3 11
Linealización
Aunque casi todo sistema real tiene características no linea-les, muchos sistemas pueden describirse razonablemente pormodelos lineales — al menos dentro de ciertos rangos de ope-ración.
Como normalmente un sistema de control opera en las cerca-nías de un equilibrio, se hace una linealización alrededor deeste equilibrio. El resultado es un modelo lineal, mucho mássimple, pero adecuado para el diseño de control.
Para un mismo sistema no lineal, la linealización alrededor dedistintos puntos de equilibrio dará, en general, distintos mo-delos linealizados.
CAUT1 Clase 3 12
Consideramos la linealización del modelo general en ecua-ciones de estado
x(t) = f(x(t),u(t)
)y(t) = g
(x(t),u(t)
) (1)
alrededor de un punto de equilibrio , o punto de operación .
Un punto de equilibrio está definido por un triplo de valoresconstantes (x∗,u∗,y∗) que satisfacen (1), es decir que
0 = f(x∗,u∗
)y∗ = g
(x∗,u∗
).
Vamos a considerar la linealización del sistema alrededor deun punto de equilibrio (alternativamente, también podría seralrededor de una trayectoria).
CAUT1 Clase 3 13
Si las funciones f y g son suficientemente regulares, las ecua-ciones (1) pueden aproximarse por
x(t)≈ f (x∗,u∗)+∂ f∂x
∣∣∣∣x∗,u∗
∆x(t)+∂ f∂u
∣∣∣∣x∗,u∗
∆u(t),
y(t)≈ g(x∗,u∗)+∂g∂x
∣∣∣∣x∗,u∗
∆x(t)+∂g∂u
∣∣∣∣x∗,u∗
∆u(t),(2)
donde ∆x(t) .= x(t)−x∗ y ∆u(t) .= u(t)−u∗.
Como f (x∗,u∗) = 0 = x∗ y g(x∗,u∗) = y∗, de (2) obtenemos final-mente el sistema (incremental) linealizado
∆x(t) = A∆x+B∆u
∆y = C∆x+D∆u.(3)
CAUT1 Clase 3 14
Si las variables x∈ Rn, u∈ Rm, y∈ Rp, entonces A,B,C,D sonmatrices — las matrices Jacobianas de f y g evaluadas enel punto de operación, es decir,
A.=
∂ f∂x
∣∣∣∣x∗,u∗∈ Rn×n, B
.=∂ f∂u
∣∣∣∣x∗,u∗∈ Rn×m,
C.=
∂g∂x
∣∣∣∣x∗,u∗∈ Rp×n, D
.=∂g∂u
∣∣∣∣x∗,u∗∈ Rp×m. (4)
Si las variables x, u, e y son escalares(o sea, ∈R), entonces A,B,C y D sontambién escalares y representan laspendientes de las superficies f y g enel punto de operación.
CAUT1 Clase 3 15
Ejemplo: levitador magnético. La figura muestra el esque-ma de un sistema de suspensión magnética, en el que unabola de material ferromagnético de masa m se “levita” me-diante un electroimán controlado por fuente de corriente.
El movimiento de la bola se puede aproxi-mar por la ecuación diferencial no lineal
y(t)−g+L0a
2m(a+y(t))2[i(t)]2 = 0, (5)
donde g es la aceleración de la gravedad, y(t) es la posiciónde la bola, e i(t) la corriente de excitación del electroimán. Losparámetros L0 y a son constantes positivas.
Deseamos obtener un modelo incremental linealizado alrede-dor de un punto de equilibrio definido por la corriente i(t) = i∗.
CAUT1 Clase 3 16
Solución:
Punto de equilibrio. En el punto de equilibrio inducido por lacorriente constante i(t) = i∗, necesariamente y(t) = constante,es decir, y(t) = 0 = y(t). Así, de (5) obtenemos
0 =L0a
2m(a+y∗)2[i∗]2−g ⇒ y∗ =
√L0a2mg
i∗−a.
Ecuaciones de estado NL. Definiendo las variables de estadox1.= y, x2
.= y, y la entrada u.= i, obtenemos de (5) las ecuacio-
nes de estado en la forma (1),
[x1(t)x2(t)
]=
x2(t)
g− L0a2m(a+x1(t))2
[u(t)]2
=[
f1(x2(t))f2(x1(t),u(t))
]y(t) = x1(t) = g(x1(t)).
(6)
CAUT1 Clase 3 17
Jacobianos y modelo linealizado.
∂ f∂x
=
∂ f1∂x1
∂ f2∂x2
∂ f2∂x1
∂ f2∂x2
=
0 1
L0au2
m(a+x1)30
, ∂g∂x
=[
∂g∂x1
∂g∂x2
]=[1 0
]∂ f∂u
=
∂ f1∂u
∂ f2∂u
=
0
− L0aum(a+x1)2
, ∂g∂u
= 0
Con los valores numéricos L0 = 0,01H, a = 0,05m, m= 0,01kg,g = 9,81m/s2, y i∗ = 2A, obtenemos y∗ = 0,050963. Con x1 = y∗
y u = i∗ en (4), obtenemos el modelo incremental lineal
∆x =[
0 1194,327 0
]∆x+
[0
−9,81
]∆u
∆y(t) =[1 0
]∆x.
CAUT1 Clase 3 18
Escalamiento 1
Un factor importante antes de trabajar con un modelo es haceruna buena selección de los factores de escala (unidades) paralas variables y el tiempo.
Un buen escalamiento hará los cálculos más simples y másprecisos y disminuirá enormemente los problemas de simula-ción en computador.
1Ver §2.6 en Franklin, Powell & Emami-Naeini (1991), Control de sistemas dinámicoscon retroalimentación. Addison-Wesley Iberoamericana.
CAUT1 Clase 3 19
Ejemplo. Volvamos al ejemplo anterior para ilustrar el proce-dimiento en concreto. Las ecuaciones del sistema incrementallineal obtenido pueden escribirse de la forma
∆x1 = ∆x2
∆x2 = 194,327∆x1−9,81∆u.(7)
Para este sistema tan simple las magnitudes de los paráme-tros no están tan mal, pero aún así es bueno en la prácticatratar de tener constantes entre 0,1 y 100, o entre 0,1 y 10 sies posible, mediante una cuidadosa selección de escala, esdecir las unidades en que medir las variables.
Definamos las variables normalizadas
z1 =∆x1
x01, z2 =
∆x2
x02, v =
∆uu0, τ = ω0t. (8)
CAUT1 Clase 3 20
El escalamiento de tiempo cambia la diferenciación:
d∆xdt
=d∆x
d(τ/ω0)= ω0
d∆xdτ
.
Este escalamiento en ∆x1 y ∆x2 y el uso de (8) en (7) da
(ω0x01)dz1
dτ
= x02z2
(ω0x02)dz2
dτ
= (194,327x01)z1− (9,8u0)v,
o sea,
dz1
dτ
=x02
ω0x01z2
dz2
dτ
=194,327x01
ω0x02z1−
9,8u0
ω0x02v.
CAUT1 Clase 3 21
Si tomamos la posición en cm, resulta x01 = 0,01; la velocidaden dm/s da x02 = 0,1. Así, si elegimos ω0 = 10, tenemos
dz1
dτ
= z2
dz2
dτ
= 1,94327z1− (9,81u0)v.
Finalmente, tomando u0 = 1/9,81= 0,102, llegamos al sistemanormalizado
dz1
dτ
= z2
dz2
dτ
= 1,94327z1−v,
que es un modelo con parámetros bastante mejor escaladosque el original. Mucho mejor para manipulación y simulacióndigital. Cualitativamente, ambos modelos son equivalentes.
CAUT1 Clase 3 22
Tipos de modelosAtributo Atributo antagónico Determina si. . .
SISO MIMO . . . las ecuaciones del modelotienen una entrada y una sali-da.
Lineal No lineal . . . las ecuaciones del modeloson lineales en las variablesdel sistema.
Estacionario Inestacionario . . . los parámetros del modeloson constantes.
Continuo Discreto . . . las ecuaciones del modelodescriben su comportamientoen cada instante de tiempo, osólo en muestras discretas.
Entrada-salida Espacio de estados . . . las ecuaciones dependensólo de las entradas y las sa-lidas, o también de variablesde estado.
CAUT1 Clase 3 23
Sistemas lineales, estacionarios, en tiempocontinuo
Los sistemas que vamos a considerar están descriptos pormodelos lineales, estacionarios, en tiempo continuo. Éstospueden siempre representarse por una ecuación diferencialordinaria de la forma
dny(t)dtn
+an−1dn−1y(t)
dtn−1+ · · ·+a0y(t) = bm
dmu(t)dtm
+ · · ·+b0u(t). (9)
CAUT1 Clase 3 24
Transformada de Laplace
Para una señal en tiempo continuo y(t) definida para t ∈ [0,∞),se define la transformada de Laplace
L {y(t)}= Y(s) =∫ ∞
0−e−sτ y(τ)dτ.
Una propiedad muy útil de la transformada de Laplace es lade la transformada de la derivada de una función,
L {y(t)}= sY(s)−y(0−).
CAUT1 Clase 3 25
Funciones transferencia
Asumiendo condiciones iniciales nulas — y(0−) = 0, y(0−) =0, . . . ) — si aplicamos la transformada de Laplace a la ecua-ción diferencial (9) la convertimos en la algebraica
snY(s)+an−1sn−1Y(s)+ · · ·+a0Y(s) = bmsmU(s)+ · · ·+b0U(s),
que puede expresarse alternativamente como
Y(s) = G(s)U(s), donde G(s) =N(s)D(s)
, y donde
N(s) = bmsm+bm−1sm−1+ · · ·+b0, D(s) = sn+an−1s
n−1+ · · ·+a0.
La función G(s) es la función transferencia del sistema. Esun modelo entrada-salida .
CAUT1 Clase 3 26
Algunas definiciones pertinentes a funciones transferencia:
Ceros del sistema: son las raíces de N(s) = 0.
Polos del sistema: son las raíces de D(s) = 0.
Grado relativo: es la diferencia en grados n−m entre nume-rador y denominador.
Función transferencia propia: si m≤ n.
Función transferencia estrictamente propia: si m< n.
Función transferencia bipropia: si m= n.
Función transferencia impropia: si m> n.
CAUT1 Clase 3 27
Función transferencia y ecuaciones de estado
Dadas las ecuaciones de estado
x(t) = Ax(t)+Bu(t)
y(t) = Cx(t)+Du(t),(10)
si les aplicamos L {◦} obtenemos las ecuaciones algebraicas
sX(s)−x(0−) = AX(s)+BU(s)
Y(s) = CX(s)+DU(s),
de donde X(s) = (sI−A)−1x(0−)+(sI−A)−1BU(s)
Y(s) = [C(sI−A)−1B+D]U(s)+C(sI−A)−1x(0−).
Así, G(s) = C(sI−A)−1B+D es la función transferencia delsistema (10).
CAUT1 Clase 3 28
Función de transferencia de sistemas conretardo
En general, vamos a considerar funciones transferencia racio-nales y propias, que corresponden a sistemas lineales, esta-cionarios y de dimensión finita (orden finito).
Una excepción de gran importancia en la práctica es el casode sistemas con retardo entre entrada y salida. Estrictamen-te, estos sistemas tienen dimensión infinita . Sin embargo,su representación mediante función transferencia es aún tra-table, aunque deja de ser racional.
La función transferencia de un retardo de T segundos es dela forma
G(s) = e−sT⇔ y(t) = u(t−T).
CAUT1 Clase 3 29
Ejemplo: Sistema intercambiador de calor. Un ejemplosimple de un sistema con retardo es el intercambiador de ca-lor de la figura.
La función tranferenciaentre la entrada (ten-sión aplicada al elemen-to calefactor) y la sali-da (temperatura sensa-da) es aproximadamen-te de la forma
G(s) =Ke−sT
(τs+1).
Notar que K,T y τ dependen de la velocidad del ventilador,que puede ser variable. Aunque muy simple, este tipo de mo-delo es muy común en aplicaciones de control de procesos.
CAUT1 Clase 3 30
Estabilidad de funciones transferencia
Estabilidad entrada-salida. 2 Decimos que un sistema es es-table entrada-salida, o BIBO estable, si toda entrada acotadaproduce una salida acotada.
Teorema. [Estabilidad entrada-salida] Un sistema lineal,estacionario y de tiempo continuo es estable entrada-salidasi todos los polos de su función transferencia tienen parte realnegativa.
Estabilidad Inestabilidad
0 σ
jω
Región de estabilidad entrada-salida para los polos de G(s).
2También Estabilidad BIBO, del inglés Bounded-Input Bounded-Output, (entrada aco-tada/salida acotada).
CAUT1 Clase 3 31
Desafío: Asumiendo una función transferencia racional y pro-pia, demostrar el Teorema. Ayuda:
1. Mostrar que si todos los polos de G(s) tienen parte real ne-gativa, entonces la antitransformada g(t) (respuesta al im-pulso del sistema) es absolutamente integrable, es decir,∫ ∞
0|g(τ)| dτ <M; para alguna M > 0.
2. Mostrar que si g(t) es absolutamente integrable, entoncespara toda entrada acotada u(t) la salida
y(t) = L −1{G(s)U(s)}
=∫ t
0g(t− τ)u(τ)dτ =
∫ t
0g(τ)u(t− τ)dτ
es acotada — o sea, el sistema es estable entrada-salida.
CAUT1 Clase 3 32
Diagramas de bloques
Capturan la esencia del sistema en un formalismo gráfico abs-tracto de simple manipulación. Representan el flujo y proce-samiento de las señales dentro del sistema.
Figura del curso ME155A, Prof. Åström, UCSB 2001.
Los diagramas de bloquespermiten ver la similaridadesencial entre distintos tiposde sistemas (independizan deldominio físico).
Otro formalismo gráfico conesta propiedad son los diagra-mas de enlaces (bond graphs).
CAUT1 Clase 3 33
Álgebra de bloques
Ejemplo de Dorf & Bishop(2000)
CAUT1 Clase 3 34
Resumen
Para poder diseñar en forma sistemática un controlador pa-ra un sistema es necesario disponer de una descripciónformal — aunque posiblemente simple — del mismo. Estadescripción es el modelo matemático del sistema.Los modelos matemáticos pueden obtenerse en forma ex-perimental o analítica, y en general, en la práctica, medianteuna combinación de ambos métodos.En general, los modelos matemáticos involucran un con-junto de ecuaciones diferenciales no lineales. En muchoscasos, estas ecuaciones pueden linearizarse alrededor deun punto de operación, con lo que se obtiene un modeloincremental lineal mucho más tratable.
CAUT1 Clase 3 35
La elección de unidades adecuadas (escalamiento) de lasvariables y el tiempo permite mejorar los modelos desde elpunto de vista computacional.Las funciones transferencia describen las propiedadesentrada-salida de los sistemas en forma algebraica en eldominio Laplace.Una función transferencia es estable entrada-salida (entra-da acotada/salida acotada) si todos sus polos tienen partereal negativa.
3. Modelos, señales y sistemas
Panorama
Obtención experimental de modelosRespuesta en frecuenciaDiagramas de Bode
CAUT1 Clase 4 1
Obtención experimental de modelos
Muchos sistemas en la práctica pueden describirse aproxima-damente con un modelo muy simple, de primer o segundoorden. A menudo estos modelos simples son suficientes pararealizar un primer diseño de control.
Estos modelos simples pueden obtenerse mediante ensayosexperimentales sobre el sistema. La idea es proponer la es-tructura apropiada, por ejemplo un primer orden con retardo
G(s) =Ke−sT
τs+1,
y luego inferir los valores de los parámetros K,T,τ de la res-puesta del sistema a lazo abierto del sistema. Es común em-plear la respuesta al escalón.
CAUT1 Clase 4 2
Existen técnicas más advanzadas de estimación de modelomediante ensayos experimentales, conocidas como técnicasde identificación de sistemas .
Estas técnicas permiten estimar en forma optimizada tanto losparámetros como la estructura más apropiada para un modelodel sistema, inclusive para sistemas inestables a lazo abierto.
Para un tratamiento actualizado de identificación de siste-mas ver por ejemplo
Lennart Ljung, System Identification, 2nd edn. Prentice Hall,1999.
y el toolbox de identificación de MATLAB.
Veremos ahora cómo identificar en forma elemental sistemasde primer y segundo orden a partir de la respuesta al escalón.
CAUT1 Clase 4 3
Primer orden con retardo
0 2 3 4 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
T63Tδ
T0
y0
u0
uf
yfMedir:
u0 nivel inicial de entrada.uf nivel final de entrada.y0 nivel inicial de salida.yf nivel final de salida.T0 tiempo de cambio de la
entrada.T
δtiempo en que la salida co-mienza a responder.
T63 tiempo en que la salida al-canza el 63,2% de yf −y0.
Calcular:
K =yf −y0
uf −u0; τ = T63−T
δ;
Tr = Tδ−T0
Transferencia estimada:
G(s) =Ke−sTr
τs+1
CAUT1 Clase 4 4
Segundo orden subamortiguado
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
y0
u0
uf
yf
A1
An
Tω
Medir:
u0 nivel inicial de entrada.uf nivel final de entrada.y0 nivel inicial de salida.yf nivel final de salida.A1 amplitud de un pico arbi-
trario.An amplitud del pico No. n
contando desde el pico 1.Tω tiempo entre dos picos su-
cesivos.Calcular:
ζ =1
n−1 log(A1/An)√4π
2 +[
1n−1 log(A1/An)
]2;
Tn =Tω
2π
√1− ζ
2; K =yf −y0
uf −u0.
Transferencia estimada:
G(s) =K
T2n s2 +2ζ Tns+1
CAUT1 Clase 4 5
Segundo orden sobreamortiguado(Método de Harriott)
0 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
y′
y73
T73T ′T0
yf
uf
y0
u0
Medir:
u0 nivel inicial de entrada.uf nivel final de entrada.y0 nivel inicial de salida.yf nivel final de salida.T0 tiempo de escalón de en-
trada.T73 tiempo en que la salida al-
canza 73%de yf −y0.y′ nivel de salida en el tiempo
T ′ = T0 + T73−T02,6 .
Calcular:
K =yf −y0
uf −u0; τtot =
T73−T0
1,3; yf r =
y′−y0
yf −y0
CAUT1 Clase 4 6
Obtener τrat de yf r del gráfico
Nota: si yf r resultamayor a 0,39 omenor a 0,26,la respuesta esprobablemente desegundo ordensubamortiguada, ode orden mayor.
Calcular
τ1 = τrat τtot y τ2 = τtot− τ1.
Transferencia estimada:
G(s) =K
(τ1s+1)(τ2s+1)
CAUT1 Clase 4 7
Respuesta en régimen permanente
La respuesta en régimen permanente de un sistema es laseñal yrp(t) a la que tiende la respuesta y(t) del sistema unavez extinguidos los transitorios — es decir, para valores su-ficientemente grandes de t,
y(t)t↑−→ yrp(t)
El concepto de respuesta en régimen permanente sólo tienesentido si el sistema es estable (BIBO) .
Típicamente, la respuesta en régimen permanente se estudiapara entradas de tipo escalón o sinusoidal.
CAUT1 Clase 4 8
Respuesta en frecuencia
La respuesta en régimen permanente de un sistema a señalessinusoidales en un rango de frecuencias es lo que se conocecomo la respuesta en frecuencia del sistema.
El interés de tratar entradas sinusoidales está en que la res-puesta del sistema a estas señales contiene información so-bre la respuesta a señales más generales.
De hecho, toda señal periódica puede descomponerse en unaserie de senos y cosenos, por el Teorema de Fourier. Cono-ciendo la respuesta del sistema a las componentes sinusoi-dales de la señal de entrada, puede reconstruirse por Fourierla señal de salida.
CAUT1 Clase 4 9
Teorema. (Respuesta en RP a entradas sinusoidales )Consideremos una función transferencia estable G(s) de or-den n (o sea, con n polos, todos ellos con parte real negativa).Entonces, la respuesta en régimen permanente a una entrada
u(t) = Asen(ωt)
es
(1) yrp(t) = A|G( jω)|sen(ωt + φ(ω)) ,
donde G( jω) = |G( jω)|ejφ(ω), es decir,
|G( jω)| : magnitud de G( jω),
φ(ω) : fase de G( jω).
CAUT1 Clase 4 10
Demostración: La entrada sinusoidal puede escribirse
(2) Asen(ωt) = Aejωt−e− jωt
2 j.
Entonces, si obtenemos la respuesta del sistema a las entra-das u(t) = ejωt y u(t) = e− jωt, aplicando superposición encon-traremos la respuesta a la entrada sinusoidal (2).
La transformada Laplace de ejωt es L {ejωt}= 1s− jω . Así,
Y(s) = G(s)1
s− jω
=G( jω)s− jω
+n
∑i=1
r i
s− pi, en fracciones simples,(3)
donde pi, i = 1. . .n son los polos de G(s) y r i los correspon-dientes residuos r i = l ıms→pi
(s−pi)G(s)s− jω .
CAUT1 Clase 4 11
Antitransformando (3) obtenemos
y(t) = L −1
{G( jω)s− jω
}+
n
∑i=1
L −1
{r i
s− pi
}= G( jω)ejωt +
n
∑i=1
r iepit
t↑→G( jω)ejωt = |G( jω)|ej(ωt+φ(ω)).
De igual forma calculamos la respuesta a e− jωt. Superponien-do ambas respuestas se obtiene la ecuación (1), que es loque se quería demostrar. �
La respuesta en régimen permanente de un sistema G(s) auna senoide de frecuencia ω es una senoide de igual fre-cuencia, con amplitud multiplicada por la magnitud de G( jω)y desfasaje igual a la fase de G( jω).
CAUT1 Clase 4 12
Diagramas de Bode
Los diagramas de Bode consisten de un par de gráficas:
1. La magnitud |G( jω)| versus la frecuencia angular ω.2. La fase φ(ω), también como función de ω.
Los diagramas de Bode se suelen graficar en ejes especiales.
El eje de abscisas es logarítmico en ω, es decir, lineal enlog(ω), donde el logaritmo es de base 10 . Así se consi-gue una representación compacta sobre un rango ampliode frecuencias. La unidad del eje es la década , es decir, ladistancia entre ω y 10ω para cualquier valor de ω.La magnitud de la respuesta en frecuencia se mide en de-cibeles [dB], es decir, unidades de 20log|G( jω)|.La fase se mide en escala lineal en radianes o grados.
CAUT1 Clase 4 13
Ejemplo:
G(s) =18s+100
s2 +6,06s+102,01
CAUT1 Clase 4 14
Gráfico aproximado de los diagramas de Bode
Los programas como MATLAB y SCILAB poseen comandos es-peciales 1 para calcular y graficar diagramas de Bode. Sin em-bargo, existen reglas muy simples que permiten esbozar estosdiagramas prácticamente sin hacer cálculos.
Dada la función transferencia
G(s) = KΠm
i=1(βis+1)skΠn
i=1(αis+1), entonces
(4) 20log|G( jω)|= 20log|K|−20k log|ω|
+m
∑i=1
20log|βi jω +1|−n
∑i=1
20log|αi jω +1|
1Por ejemplo: bode, ltiview .
CAUT1 Clase 4 15
Por otro lado, la fase de G( jω) resulta
(5) ^G( jω) = ^K−kπ
2+
m
∑i=1
^(βi jω +1)−n
∑i=1
^(αis+1)
Así vemos de (4) y (5) que el diagrama de Bode de cualquierfunción transferencia puede obtenerse sumando y restandomagnitudes (en dB) y fases de factores simples.
Una ganancia simple K tiene magnitud y fase constantes. Eldiagrama de magnitud es una línea horizontal en 20log|K|dB y la fase es una línea horizontal en 0 rad (si K > 0).
El factor sk tiene un diagrama de magnitud que es una línearecta con pendiente igual a 20k dB/década, y fase constanteigual a kπ/2. Esta línea cruza el eje horizontal de 0 dB enω = 1.
CAUT1 Clase 4 16
El factor αis+ 1 tiene un diagrama de magnitud que puedeaproximarse asintóticamente de la siguiente manera:
• para |αiω|� 1, 20log|αi jω +1| ≈ 20log(1) = 0 dB, es decir,para bajas frecuencias la magnitud es una línea horizon-tal (la asíntota de baja frecuencia ).• para |αiω| � 1, 20log|αi jω +1| ≈ 20log|αiω| dB, es decir,
para altas frecuencias la magnitud es una línea recta dependiente 20 dB/década que corta el eje de 0 dB en ω =|αi|−1 (la asíntota de alta frecuencia ).• el diagrama de fase es más complicado. Aproximadamen-
te cambia a lo largo de dos décadas. Una década por de-bajo de |αi|−1 la fase es ≈ 0 rad. Una década por arribade |αi|−1 la fase es ≈ signo(αi)π/2 rad. Uniendo ambospuntos por una línea recta da ≈ signo(αi)π/4 para la faseen ω = |αi|−1. Es una aproximación basta.
CAUT1 Clase 4 17
Para αi complejo, ai = ℜ(αi) + jℑ(αi), la fase del diagramade Bode del factor (αis+1) corresponde a la fase del núme-ro complejo [1−ωℑ(αi)]+ jωℜ(ai)
Ejemplo: Consideremos la función transferencia
G(s) = 640(s+1)
(s+4)(s+8)(s+10).
Para dibujar la aproximación asintótica del diagrama de Bodeprimero llevamos a G(s) a una forma en que los polos y losceros no aporten ganancia estática,
G(s) = 2(s+1)
(0,25s+1)(0,125s+1)(0,1s+1).
Usando las reglas aproximadas obtenemos el diagrama si-guiente.
CAUT1 Clase 4 18
Diagrama de Bode exacto (línea gruesa) y aproximado (líneafina).
CAUT1 Clase 4 19
Filtrado
En un amplificador ideal la respuesta en frecuencia deberíaser constante, G( jω) = K, ∀ω, es decir, toda componentede frecuencia debería pasar sin cambio de fase ni distorsiónde amplitud.
Definimos:
La banda de paso es el rango de frecuencias sobre el cualla amplificación (o atenuación) es aproximadamente cons-tante, con un corrimiento de fase aproximadamente propor-cinal a ω.
la banda de corte es el rango de frecuencias que son fil-tradas. En este rango de frecuencias |G( jω)| tiene un valorpequeño comparado con el valor sobre la banda de paso.
CAUT1 Clase 4 20
la(s) banda(s) de transición son los rangos de frecuenciasintermedias entre una banda de paso y una de corte.
la frecuencia de corte ωc es el valor de frecuencia tal que|G( jω)|= G/
√2, donde G es respectivamente
• |G(0)| para filtros pasa-bajos y corta-bandas,• |G(∞)| para filtros pasa-altos,• el máximo valor de |G( jω)| en la banda de paso, para
filtros pasa-bandas.
el ancho de banda Bω es una medida del rango de fre-cuencias en la banda de paso (o de corte). Se define comoBω = ωc2−ωc1, donde ωc2> ωc1≥ 0. En esta definición ωc1 yωc2 son las frecuencias de corte a cada lado de la banda depaso o de corte. Para filtros pasa-bajos ωc1 = 0.
CAUT1 Clase 4 21
Respuesta en frecuencia de un filtro pasa-bandas.
CAUT1 Clase 4 22
Resumen
La identificación de sistemas es una disciplina que estu-dia la obtención experimental de modelos matemáticos desistemas.
Sistemas estables que se comportan como sistemas linea-les de primer o segundo orden pueden identificarse en for-ma simple de la respuesta al escalón.
La respuesta en régimen permanente de un sistema es-table es la señal a la que tiende la salida una vez extingui-dos los transitorios. Típicamente se estudia la respuesta aescalones y a sinusoides.
CAUT1 Clase 4 23
La respuesta en régimen permanente de un sistema a si-nusoides en un rango de frecuencias es la respuesta enfrecuencia del sistema . Se basa en la propiedad de lossistemas lineales que responden a sinusoides de entradacon una sinusoide de igual frecuencia en la salida.
Los diagramas de Bode grafican magnitud y fase de G( jω),y representan la respuesta en frecuencia del sistema. Nor-malmente se grafican en escala logarítmica, lo que permiteaproximar en forma sencilla el diagrama a partir de la su-perposición de asíntotas de la respuesta en frecuencia delos factores en que se descompone la función transferenciaconsiderada.
4. Análisis de SistemasRealimentados
Panorama: Dados un controlador y una planta conectadosen realimentación, vamos a plantear y contestar lassiguientes preguntas:
¿Es el lazo cerrado estable?¿Cuáles son las sensibilidades a distintas perturbaciones?¿Cuál es el impacto de errores de modelado?
Además, introduciremos herramientas de análisis como
El Lugar de las RaícesEl criterio de estabilidad de Nyquist
CAUT1 clase 5 1
Estructuras de realimentación
La realimentación puede tener muchas propiedades desea-bles, tales como la capacidad de reducir el efecto de pertur-baciones, disminuir la sensibilidad a errores de modelado, oestabilizar un sistema inestable.
Sin embargo, es posible también con realimentación mal apli-cada inestabilizar un sistema previamente estable, incorporaroscilaciones en una respuesta previamente suave, o generaralta sensibilidad a ruido de medición.
Comenzamos el análisis de sistemas en realimentación con laestructura de control SISO de la Figura 1, llamada de un gra-do de libertad , pues hay sólo una transferencia modificablepara alcanzar los objetivos deseados: la del controlador K(s).
CAUT1 clase 5 2
Inicialmente analizaremos el lazo nominal , o sea, el formadocon el modelo nominal de la planta G0(s). Más tarde vere-mos el efecto de considerar errores de modelado.
h?
h?
� ��
� ��h
h
h� �� � �� h--
6
6
?-
+
+
+..- - -
�
Dm(s)
R(s)
D0(s)
G0(s)+ + Y(s)+
−K(s)
+U(s)
Di(s) x0
Figura 1: Sistema de control de un grado de libertad
Usamos funciones transferencia y transformadas Laplace pa-ra describir las relaciones entre las señales en el lazo: la en-trada de referencia R(s), las perturbaciones Di(s),Do(s),Dm(s),el estado inicial de la planta x0, la salida Y(s) y el control U(s).
CAUT1 clase 5 3
En particular, K(s) y G0(s) representan las funciones transfe-rencia del controlador y el modelo nominal de la planta, quepueden representarse en forma racional en la forma
(1) K(s) =P(s)L(s)
, G0(s) =B0(s)A0(s)
.
Tomamos como salidas de interés en el lazo la salida per-turbada de la planta, Y(s), y la señal de control U(s), que serelacionan a las entradas a través de las ecuaciones
U(s) =K(s)
1+G0(s)K(s)
[R(s)−Dm(s)−G0(s)Di(s)−
f (s,x0)A0(s)
](2)
Y(s) =1
1+G0(s)K(s)
[G0(s)K(s)(R(s)−Dm(s))+Do(s)(3)
+G0(s)Di(s)−f (s,x0)A0(s)
]
CAUT1 clase 5 4
Funciones de sensibilidad nominales
T0(s) =G0(s)K(s)
1+G0(s)K(s)=
B0(s)P(s)A0(s)L(s)+B0(s)P(s)
S0(s) =1
1+G0(s)K(s)=
A0(s)L(s)A0(s)L(s)+B0(s)P(s)
Si0(s) =G0(s)
1+G0(s)K(s)=
B0(s)L(s)A0(s)L(s)+B0(s)P(s)
Su0(s) =K(s)
1+G0(s)K(s)=
A0(s)P(s)A0(s)L(s)+B0(s)P(s)
T0(s): Función de sensibilidad complementariaS0(s): Función de sensibilidadSi0(s): Función de sensibilidad a perturbación de entradaSu0(s): Función de sensibilidad de control
CAUT1 clase 5 5
Las funciones de sensibilidad están relacionadas algebraica-mente:
S0(s)+T0(s) = 1(4)
Si0(s) = S0(s)G0(s) =T0(s)K(s)
(5)
Su0(s) = S0(s)K(s) =T0(s)G0(s)
(6)
Con las funciones de sensibilidad y bajo condiciones inicialesnulas, (2) y (3) pueden expresarse en la forma compacta(7)[Y(s)U(s)
]=
[G0(s)K(s) G0(s) 1 −G0(s)K(s)
K(s) −G0(s)K(s) −K(s) −K(s)
]1+G0(s)K(s)
R(s)Di(s)Do(s)Dm(s)
CAUT1 clase 5 6
Estabilidad de lazo cerrado en base alPolinomio Característico
Lazo nominal es el resultante de conectar un controlador almodelo nominal de la planta.
Estabilidad interna. Decimos que el lazo nominal es interna-mente estable si las ocho funciones transferencia en (7) sonestables.
Esta definición es equivalente a pedir que todas las seña-les en el lazo sean acotadas para cada conjunto de entradasr(t),di(t),do(t) y dm(t) acotadas.
CAUT1 clase 5 7
Teorema. [Estabilidad interna nominal] Dado el lazo ce-rrado de la Figura 1 con el controlador y modelo definidospor (1). Entonces el lazo cerrado es internamente estable siy sólo si todas las raíces de la ecuación característica a lazocerrado
(8) A0(s)L(s)+B0(s)P(s) = 0
tienen parte real negativa. �
La idea de estabilidad interna implica más que la estabilidadde la referencia a la salida. Además se requiere que no hayacancelaciones de polos inestables entre planta y controlador.
La ecuación característica (8) es de la forma p(s) = 0, dondep(s) es el polinomio característico del lazo cerrado.
CAUT1 clase 5 8
Ejemplo 1. Dadas
G0(s) =3
(s+4)(−s+2), K(s) =
−s+2s
,
puede verse que la función de sensibilidad complementarianominal
T0(s) =3
s2 +4s+3es estable. Sin embargo, la sensibilidad a perturbación de en-trada nominal
Sio(s) =3s
(−s+2)(s2 +4s+3)
es inestable. Por el Teorema de estabilidad interna nominal,el lazo cerrado no es internamente estable, ya que A0(s)L(s)+B0(s)P(s) = (−s+2)(s2 +4s+3). �
CAUT1 clase 5 9
Estabilidad y análisis polinomial
Consideremos el polinomio p(s) definido por
(9) p(s) = sn +an−1sn−1 + · · ·+a1s+a0, donde ai ∈ R.
El problema a estudiar es determinar si p(s) tiene alguna raízcon parte real no negativa. Obviamente, podemos respondera esta cuestión calculando las n raíces de p(s). Sin embargo,en muchas aplicaciones interesa estudiar la relación entre laposición de las raíces y ciertos coeficientes del polinomio.
Polinomio Hurwitz. Los polinomios que tienen todas sus raí-ces con parte real negativa se dicen polinomios Hurwitz.
CAUT1 clase 5 10
Algunas propiedades polinomiales de interés:
Propiedad 1 El coeficiente an−1 satisface
an−1 =−n
∑i=1
λi, donde λ1,λ2 . . . ,λn son las raíces de p(s).
Propiedad 2 El coeficiente a0 satisface
a0 = (−1)nn
∏i=1
λi.
Propiedad 3 Si todas las raíces de p(s) tienen parte real ne-gativa, entonces necesariamente ai > 0, i ∈ {0,1, . . . ,n−1}.
Propiedad 4 Si cualquiera de los coeficientes del polinomioes no positivo (negativo o cero), entonces al menos una delas raíces tiene parte real no negativa.
CAUT1 clase 5 11
El criterio de Routh-Hurwitz
Es uno de los métodos más usados para determinar si unpolinomio es Hurwitz o no basándose en sus coeficientes. Esparticularmente útil para polinomios de grado elevado.
El procedimiento es el siguiente:
1. Escribir el polinomio en la forma
a0sn +a1s
n−1 +a2sn−2 + · · ·+an−1s+an.
2. Si cualquiera de los coeficientes es cero o negativo y almenos uno de los coeficientes positivo, entonces existe almenos una raíz que es imaginaria o tiene parte real positiva(el polinomio no es Hurwitz).
CAUT1 clase 5 12
3. Si todos los coeficientes son positivos, ordenarlos en filas ycolumnas según el siguiente arreglo numérico,
sn a0 a2 a4 a6 . . .sn−1 a1 a3 a5 a7 . . .sn−2 b1 b2 b3 b4 . . . con b1 = a1a2−a0a3
a1, b2 = a1a4−a0a5
a1, . . .
sn−3 c1 c2 c3 c4 . . . con c1 = b1a3−a1b2b1
, c2 = b1a5−a1b3b1
, . . .... ... ... ... ...s2 d1 d2
s e1
s0 f1
El criterio de Routh-Hurwitz establece que el número de raí-ces con parte real positiva es igual al número de cambiosde signo en la primera columna de la tabla. Un polinomioHurwitz tiene todos sus coeficientes, y también todos lostérminos de la primera columna de la tabla, positivos.
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Lugar de las raícesA menudo en un problema de diseño es necesario tener unesbozo rápido del comportamiento a lazo cerrado del sistema.Este es el tipo de información que da el Lugar de las Raíces.
El Lugar de las Raíces permite examinar la ubicación de lasraíces del polinomio característico en función de un parámen-tro variable (una ganancia, un cero del controlador, etc).
Consideremos la ecuación
(10) 1+ λF(s) = 0 donde F(s) =M(s)D(s)
= ∏mi=1(s−ci)
∏ni=1(s− pi)
,
donde λ ≥ 0 y M(s),D(s) tienen grados m,n respectivamen-te. La solución del problema del lugar de las raíces requiereencontrar todos los puntos del plano complejo que son solu-ciones de (10) para todos los valores de λ .
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Pasos para construir a mano el LR 1
Hay 7 pasos para construir el LR:
1. Dibujar los polos y ceros de F(s) (lazo abierto).2. Dibujar la parte del LR sobre el eje real.3. Determinar el centroide y esbozar las asíntotas .4. Determinar los puntos de bifurcación.5. Determinar los ángulos de salida/llegada.6. Calcular los cruces con el eje imaginario.7. Dibujar el resto del LR.
Sólo es necesario dibujar el LR en el semiplano superior al ejereal, ya que el LR es siempre simétrico respecto del mismo.
1Esta sección está basada en las clases on-line del Dept. of Mechanical Engineeringdel MIT http://www-me.mit.edu/Lectures/RLocus/3-goals.html .
CAUT1 clase 5 15
Vamos a ir viendo la aplicación de las reglas sobre un ejemplo.Consideramos la función transferencia
F(s) = K(s)G0(s),
K(s) =(s+3)
s2 +4s+5, G0(s) =
100(s−0,5)(s+4)
,
donde K(s) representa un controlador y G0(s) el modelo nomi-nal de la planta.
Estudiaremos el LR de 1+ λF(s), que representa los polosdel lazo cerrado nominal formado con K(s) y G0(s) para dis-tintos valores de λ , que representa en este caso la gananciavariable del controlador.
CAUT1 clase 5 16
1. Dibujar los polos y ceros a lazo abierto
Como el LR representa la posi-ción de los polos a lazo cerradoa medida que λ varía, comenza-mos con los polos de lazo abierto,que corresponden a λ = 0.
Cada línea en el LR empieza en un polo de lazo abierto (λ = 0)y termina en un cero a lazo abierto (λ → ∞).
Si el sistema a lazo abierto tiene más polos que ceros, algu-nas de las ramas del LR terminan en (ceros en) infinito.
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2. Dibujar la parte del LR sobre el eje real.
Muchos LR tienen partes so-bre el eje real. Las porcionesdel eje real que pertenecen alLR se determinan según la si-guiente regla:
Si hay un número impar de polos y ceros a lazo abierto ala derecha de un punto en el eje real, entonces el puntopertenece al LR.
CAUT1 clase 5 18
3. Determinar el centroide y esbozar las asíntotas .
Las asíntotas indican a dóndetenderán los polos a medidaque la ganancia tiende a infi-nito.Para sistemas con más polosque ceros, el número de asín-totas es igual al grado relativon−m (número de polos menosnúmero de ceros).
En algunos sistemas no hay asíntotas; cuando el grado relati-vo es 0, toda rama del LR termina en un cero (finito).
Las asíntotas son simétricas respecto al eje real, y parten deun punto σ definido por las magnitudes relativas de los polosy ceros a lazo abierto. Este punto es el centroide .
CAUT1 clase 5 19
El centroide se obtiene con la fórmula
σ = ∑ni=1 pi−∑m
i=1ci
n−m.
Los ángulos de las asíntotas son η1,η2, . . . ,ηn−m, dados por
ηk =(2k−1)π
n−m; k = 1,2, . . . ,n−m.
CAUT1 clase 5 20
4. Determinar los puntos de bifurcación.
Los puntos de bifurcación seproducen donde dos o másramas del LR se encuentrany luego divergen. Aunque esmás común encontrarlos sobreel eje real, pueden ocurrir encualquier parte del plano com-plejo.
Los puntos de bifurcación son puntos donde se da un polomúltiple para algún valor de λ .
La forma más simple de encontrarlos es por prueba y errorreemplazando valores de s en un entorno del posible puntode bifurcación en la ecuación característica, dependiente deλ , hasta encontrar un mínimo.
CAUT1 clase 5 21
Para un cálculo más preciso, dada la ecuación del LR
1+ λ
M(s)D(s)
= 0,
los puntos de bifurcación pueden calcularse de la ecuación
dλ
ds=
D(s)M′(s)−D′(s)M(s)D2(s)
= 0.
Si λ es real y positivo en algún valor de s que satisfaga estaecuación, entonces el punto es un punto de bifurcación.
Siempre hay un número par de ramas en un entorno de unpunto de bifurcación, ya que por cada rama que entra al puntode bifurcación debe haber una que salga de él.
CAUT1 clase 5 22
5. Determinar los ángulos de salida/llegada.
Los ángulos de salida/llegadaen qué dirección se muevenlas raíces a medida que λ vade 0 a ∞ (salida en los polosa lazo abierto; llegada en losceros de lazo abierto). Se cal-culan se calculan en c/u de lospolos y ceros complejos a lazoabierto.
Ángulo de salida: En cada polo complejo sumar los ángulosθi desde los ceros al polo, luego restar los ángulos φi desdelos otros polos al mismo:
αp = 180◦+m
∑i=1
θi−n−1
∑i=1
φi .
CAUT1 clase 5 23
Ángulo de llegada: En cada cero, sumar los ángulos φi desdelos polos al cero, y restar los ángulos θi desde los otros cerosal mismo:
αp = 180◦−m
∑i=1
θi +n−1
∑i=1
φi .
Por convención, los ángulos de salida/llegada se miden enrelación al eje real, de modo que el eje real es 0.
Los polos y ceros realessiempre tendrán ángulos desalida/llegada de 0◦ o 180◦,debido a la simetría de lasraíces complejas.
CAUT1 clase 5 24
6. Calcular los cruces con el eje imaginario.
Los puntos de cruce con el ejeimaginario marcan valores deλ para los que el sistema a la-zo cerrado es marginalmenteestable . El lazo cerrado seráinestable para valores de λ pa-ra los que el LR está en el se-miplano derecho de C.
No todo LR intersecta el eje jω, por lo que primero hay quedeterminar, si es posible, si definitivamente se cruza el eje (porejemplo, cuando hay más de dos asíntotas), o si hay buenaschances de que se cruce (por ejemplo, si hay polos o ceroscerca del eje jω y los ángulos de salida/llegada indican quepodría haber un cruce).
CAUT1 clase 5 25
Hay tres formas de encontrar los cruces del eje jω:
Por prueba y error, buscando los puntos del eje jω dondela fase de F( jω) es 180◦.Por el criterio de Routh-Hurwitz, determinando el valor deλ que hace al lazo cerrado inestable (y luego el correspon-diente valor de s= jω).Planteando la ecuación característica en s = ω, igualandoparte real e imaginaria a cero, y luego resolviendo los valo-res de λ y ω.
Cual método debe usarse depende de cuan precisamente de-ban conocerse los puntos de cruce.
CAUT1 clase 5 26
7. Dibujar el resto del LR.
Para finalizar el LR comenza-mos de los polos a lazo abier-to, conectando las porcionesen el eje real, los puntos debifurcación, los cruces del ejeimaginario, terminando en losceros finitos, o bien hacia infi-nito siguiendo las asíntotas.
En general, los ceros tienden a «atraer» las ramas del LR,mientras que los polos las «repelen».
El conocimiento del LR exacto sólo es necesario cerca del ejejω, o en regiones donde se necesite particular conocimien-to detallado del comportamiento del sistema. Las funcionesrlocus y rltool de MATLAB calculan el LR exacto.
4. Análisis de SistemasRealimentados
Parte 2
Panorama:
Estabilidad y respuesta en frecuenciaEl criterio de estabilidad de NyquistMárgenes de estabilidadRobustez
CAUT1 Clase 6 1
Estabilidad y respuesta en frecuenciaUna herramienta clásica y durable para determinar la estabili-dad de un lazo de realimentación es el criterio de estabilidadde Nyquist . En el criterio de Nyquist, la estabilidad del siste-ma a lazo cerrado se determina a partir de la respuesta enfrecuencia del sistema a lazo abierto, G0(s)K(s), que se grafi-ca en un diagrama polar .
Ejemplo:
G0(s)K(s) =k0
(τ1s+1)(τ2s+1)G0( jω)K( jω)
ω = +∞ k0 0◦ω = 0
ω ↑
−90◦
−180◦
−270◦
Diagrama polar de G0(s)K(s)
CAUT1 Clase 6 2
Sobre el trazado de diagramas polares
Consideramos el diagrama polar de una función transferenciageneral de la forma
F(s) =k0∏m
i=0(βis+1)sk∏n
i=1(αis+1)
1. Extremo de bajas frecuencias, ω→ 0. Depende del númerode polos en 0 de F(s):
Si k = 0, el diagrama comienza en el valor reall ım
ω→0F(s) = k0, con la fase de k0 (0 o π rad).Si k≥ 1, el diagrama comienza en ∞ con fase −k0
π
2 rad.
2. Extremo de altas frecuencias, ω→∞. Para funciones trans-ferencia estrictamente propias, el diagrama termina en elorigen, con una fase que tiende a −(n+k−m)π
2.
CAUT1 Clase 6 3
Diagrama polar para distin-tos números de polos en elorigen, pero un mismo gra-do relativo.
k0 0◦ω = 0
−180◦
k = 0k = 2
k = 3
ω = +∞
k = 1
−90◦
−270◦
−180◦
−90◦
−270◦
ω = +∞
ω → 0+
F( jω)
0◦
Ejemplo: 1 polo en el origen ygrado relativo 4.
F(s) = k0s(τ1s+1)(τ2s+1)(τ3s+1)
CAUT1 Clase 6 4
Bases del criterio de Nyquist
Para explicar el criterio de estabilidad de Nyquist considere-mos primero una función genérica F(s), no necesariamenterelacionada a un lazo de control.
Supongamos que se tiene una curva cerrada orientada Cs enel plano s que encierra Z ceros y P polos de la función F(s).Asumimos que ningún polo se encuentra sobre la curva Cs.
0 0
imags
reals
F(s)imagF(s)
realF(s)
CsCF
Al recorrer la curva Cs
en una dirección, lafunción F(s) mapearáCs en otra curva ce-rrada orientada CF enel plano F .
CAUT1 Clase 6 5
Mostraremos que el número de veces que CF encierra al ori-gen del plano F está dado por la diferencia entre P y Z.
Será útil recordar que cada vuelta en sentido horario (antiho-rario) alrededor del origen de una variable compleja implicaque la fase de esta variable cambia en −2π rad (2π rad).
Para empezar, supongamos que
F(s) = s−c,
donde c es un punto en el plano s. Esta es una función simplecon un único cero finito en c. Distinguimos dos casos:
1. El punto c está dentro de Cs. A medida que s recorre Cs
en sentido horario, la fase de F(s) cambia en −2π rad. Esdecir, la curva CF encierra al origen del plano F una vezen sentido horario.
CAUT1 Clase 6 6
2. El punto c está fuera de Cs. A medida que s recorre Cs ensentido horario, la fase de F(s) cambia en 0 rad. Es decir,la curva CF no encierra al origen del plano F .
c c
(s−c)
(s−c)
planos planos
Cs Cs
CAUT1 Clase 6 7
De forma similar, si la función es
F(s) = (s− p)−1,
podemos ver que a medida que s recorre Cs en sentido ho-rario, la fase de F(s) cambia en +2π rad si p se encuentradentro de Cs, y 0 rad si se encuentra fuera de Cs (¡pensarlo!).
En el caso general en que
(1) F(s) = k∏m
i=1(s−ci)∏n
l=1(s− pl)
cualquier cambio neto en la fase de F(s) surge de la sumade los cambios de fase debidos a los factores (s− ci) menosla suma de los cambios debidos a los factores (s− pl). Ensíntesis,
CAUT1 Clase 6 8
Versión del Principio del Argumento. Sea la funciónF(s) dada por (1) y una curva cerrada Cs en el plano s.Sea Z el número de ceros, y P el número de polos deF(s) dentro de la regíon encerrada por Cs. Entonces, amedida que s recorre en sentido horario Cs, la curva CF
mapeada por F(s) encierra Z−P veces en sentido horarioal origen del plano F .
Para aplicar esta versión del Principio del Argumento a estu-diar estabilidad de sistemas a lazo cerrado, consideramos enparticular la función
(2) F(s) = 1+G0(s)K(s).
CAUT1 Clase 6 9
Los ceros de F(s) son los polos a la-zo cerrado del sistema de control.Los polos de F(s) son los polos a la-zo abierto del sistema de control; esdecir, los polos de G0(s)K(s).
Asumimos G0(s)K(s) estrictamentepropia, es decir, l ım|s|→∞ F(s) = 1.Para analizar la existencia de polos enel semiplano derecho (SPD), usamoscomo Cs el contorno de Nyquist .
Cr
planos
r → ∞Ci
Contorno de Nyquist
El contorno de Nyquist es la unión de las curvas Ci (eleje imaginario) y Cr (un semicírculo de radio infinito). Comol ım|s|→∞ F(s) = 1, el mapeo de Cr a través de F(s) se reduce alpunto (1,0), por lo que sólo es necesario graficar la respuestaen frecuencia F( jω).
CAUT1 Clase 6 10
A medida que s recorre el contorno de Nyquist, el númerode vueltas en sentido horario del mapeo F(s) = 1+ G0(s)K(s)alrededor del origen determina el número de ceros en el SPD(polos inestables del sistema a lazo cerrado).
De hecho, típicamente se grafica F(s) = G0(s)K(s), se correel origen a −1 y se cuenta el número de vueltas en sentidohorario alrededor del punto (−1,0).
Teorema 1. [Criterio básico de Nyquist] Si una función trans-ferencia propia a lazo abierto G0(s)K(s) tiene P polos en el se-miplano derecho abierto (SPDA), y ninguno sobre el eje ima-ginario, entonces el sistema a lazo cerrado tiene Z polos en elSPDA si y sólo si el diagrama de Nyquist de G0(s)K(s) encie-rra N = Z−P veces en sentido horario al punto (−1,0). �
CAUT1 Clase 6 11
Implicaciones del Criterio de Nyquist
Si el sistema es estable a lazo abierto, para que el lazocerrado sea internamente estable es necesario y suficienteque no haya cancelaciones inestables y que el diagrama deNyquist de G0(s)K(s) no encierre al punto (−1,0).Si el sistema es inestable a lazo abierto, con P polos en elSPDA, entonces para que el lazo cerrado sea internamenteestable es necesario y suficiente que no haya cancelacio-nes inestables y que el diagrama de Nyquist de G0(s)K(s)encierre P veces en sentido antihorario al punto (−1,0).Si el diagrama de Nyquist de G0(s)K(s) pasa por el punto(−1,0), existe una frecuencia ω0 ∈ R tal que F( jω0) = −1,es decir, el lazo cerrado tiene polos exactamente sobre eleje imaginario. Esta situación se conoce como condiciónde estabilidad crítica .
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¿Cómo aplicar el criterio de Nyquist cuando existen polos alazo abierto exactamente sobre el eje jω, por ejemplo, en elorigen?
En estos casos no puede usarse elcontorno de Nyquist visto — no podríacalcularse el cambio de fase al pasars = 0 — y debe usarse un contornode Nyquist modificado .
El contorno de Nyquist modificado secompone de tres curvas: Cr,Ci y Cε. Amedida que ε → 0 y r → ∞, la regiónencerrada aún se expande a el SPDA,excepto por un área infinitesimal.
Cr
planos
r → ∞Ci
ε
Contorno de Nyquistmodificado
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Teorema 2. [Criterio de Nyquist] Dada una función transfe-rencia propia G0(s)K(s) con P polos en el SPDA, entonces ellazo cerrado tiene Z polos en el SPDA si y sólo si el diagramade Nyquist de G0(s)K(s) encierra N = Z−P veces en sentidohorario al punto (−1,0) cuando s recorre el contorno de Ny-quist modificado.
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Ejemplo: Consideremos el sistema
G0(s)K(s) =k0
s(τ1s+1)(τ2s+1).
Este sistema puede ser inestable si se aumenta suficiente-mente la ganancia k0.
−90◦
−270◦
ω = +∞ω =−∞
planos
r → ∞
ω = 0−
ω = 0+
0◦−180◦−1
ε
P = 0N = 2Z = N +P = 2
Sistema a lazocerrado inestable
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Estabilidad relativa: Márgenes de estabilidad
En el diseño de sistemas de control a menudo se necesita irmás allá de la cuestión de estabilidad a lazo cerrado. En par-ticular, usualmente es deseable obtener alguna medida cuan-titativa de cuan lejos de ser inestable está un lazo nominal; esdecir, cuantificar la estabilidad relativa del lazo .
Esta cuantificación puede lograrse definiendo medidas quedescriban la distancia de la respuesta en frecuencia nominalal punto de estabilidad crítica (−1,0).
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Márgenes de ganancia y faseDefinimos margen de ganancia Mg y margen de fase M f
Mg,−20log10(|a|)(3)
M f , φ(4)
|a|
φ
−1 0
G0( jω)K( jω)
ω = ωp
Márgenes de ganancia yfase.
El margen de ganancia marca laganancia adicional que llevaríael lazo cerrado a la condición deestabilidad crítica.
El margen de fase cuantifica el re-tardo de fase puro que deberíaagregarse para alcanzar la mismacondición de estabilidad crítica.
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Pico de sensibilidadUn indicador alternativo de estabilidad relativa es el pico dela función de sensibilidad . Notemos que el vector desde elpunto (−1,0) a G0( jω)K( jω), para ω = ω1, corresponde a
1+G0( jω)K( jω) =∣∣S0( jω1)
∣∣−1.
−1 0
G0( jω)K( jω)
ω = ωsη
Pico de sensibilidad
El radio η del círculo tangente algráfico de G0( jω)K( jω) es la recí-proca del pico de la sensibilidadnominal . Cuanto mayor sea estepico, más cerca de la inestabilidadestará el lazo.
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El pico de sensibilidad es un indicador de estabilidad relativamás confiable que los márgenes de fase y ganancia: un siste-ma puede tener buenos márgenes de fase y ganancia y aúnestar cerca de ser inestable.
Por otro lado, un bajo valor del pico de sensibilidad garantizamárgenes de ganancia y fase mínimos.
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Márgenes de estabilidad y diagramas de Bode
Los márgenes de estabilidad pueden describirse y cuantificar-se también en diagramas de Bode.
−2
10−1
100
101
10
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
.
Magnitud
Hz
db
−2
10−1
100
101
10
90
110
130
150
170
190
210
230
250
270
.
Fase
Hz
grados
ωg
M f
Mg
ωp
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Robustez
Hasta ahora sólo hemos considerado el efecto que el con-trolador tiene sobre el lazo cerrado formado con el modelonominal de la planta. Sin embargo, en la práctica no sólo nosinteresa este desempeño nominal, sino también el desempe-ño realmente alcanzado cuando el controlador se aplique a laplanta real.
Esta es la así llamada cuestión de robustez . Veremos cómolas funciones de sensibilidad nominal brindan información so-bre las sensibilidades reales del lazo.
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Error multiplicativo de modelado
Introducimos el modelo de error multiplicativo (MEM), quese define por
G(s) = G0(s)(1+G∆(s)
),
es decir, el error entre modelo nominal G0(s) y modelo decalibración G(s) es
G∆(s) =G(s)G0(s)
−1.
El error G∆(s) es en general desconocido, pero muchas veceses posible cuantificar una cota conocida del tipo∣∣G∆( jω)
∣∣< ε(ω).
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Funciones de sensibilidad alcanzadas
Contrastamos las sensibilidades derivadas anteriormente conlas realmente alcanzadas (o verdaderas) cuando el controla-dor se aplica al modelo de calibración G(s).
T(s) =G(s)K(s)
1+G(s)K(s)=
B(s)P(s)A(s)L(s)+B(s)P(s)
S(s) =1
1+G(s)K(s)=
A(s)L(s)A(s)L(s)+B(s)P(s)
Si(s) =G(s)
1+G(s)K(s)=
B(s)L(s)A(s)L(s)+B(s)P(s)
Su(s) =K(s)
1+G(s)K(s)=
A(s)P(s)A(s)L(s)+B(s)P(s)
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Funciones de sensibilidad reales y error demodelado con MEM
Las funciones de sensibilidad reales pueden escribirse en tér-minos de las nominales.
S(s) = S0(s)S∆(s)
T(s) = T0(s)(1+G∆(s)
)S∆(s)
Si(s) = Si0(s)(1+G∆(s)
)S∆(s)
Su(s) = Su0(s)S∆(s)
donde
S∆(s),1
1+T0(s)G∆(s),
con G∆(s) el modelo de error multiplicativo.
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Estabilidad robusta
Consideramos el caso en que el modelo nominal y la plantaverdadera difieren. En este caso es necesario que, además dela estabilidad nominal, debamos chequear si la estabilidad semantiene cuando la verdadera planta se controle controladorque alcanzaba estabilidad del lazo nominal.
Cuando un controlador mantiene la estabilidad del lazo al apli-carse a la planta verdadera, decimos que el controlador pro-vee estabilidad robusta .
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Teorema 3. [Estabilidad robusta] Sea una planta con mo-delo nominal G0(s) y transferencia real G(s). Supongamos queK(s) es un controlador que alcanza estabilidad interna nomi-nal. Supongamos además que G(s)K(s) y G0(s)K(s) tienen elmismo número de polos inestables. Entonces si
(5)∣∣T0( jω)G∆( jω)
∣∣< 1
el controlador K(s) alcanza además estabilidad del lazo real.�
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Notemos que la condición (5) puede escribirse de la forma
(6) |G0( jω)K( jω)G∆( jω)|< |1+G0( jω)K( jω)|.
Es decir, la estabilidad es robusta frente a un MEM G∆(s) si elpunto de estabilidad crítica (−1,0) se encuentra fuera del dis-co de centro G0( jω)K( jω) y radio G0( jω)K( jω)G∆( jω) paratodo ω.
0
G0( jω)K( jω)
−1
G0( jω)K( jω)G∆( jω)
Vemos que un pico eleva-do de sensibilidad hace |1 +G0( jω)K( jω)| pequeño en (6),disminuyendo la tolerancia aerror de modelado MEM parapreservar estabilidad robusta.