Control automático de procesos industriales

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  • Control automtico de procesos industriales

    Con prcticas de

    simulacin y anlisis por ordenador PC

    Alfredo Roca

  • Alfredo Roca Cusid, 2014 (Versin papel)

    Alfredo Roca Cusid, 2014 (Versin electrnica)

    www.alfredoroca.com www.alfredoroca.com/libro.htm Diseo de portada: Alfredo Roca Maquetacin: Alfredo Roca Reservados todos los derechos.

    Queda prohibida, salvo excepcin prevista en la ley, cualquier forma de reproduccin, distribucin, comunicacin pblica y transformacin de esta obra sin contar con la autorizacin de los titulares de propiedad intelectual. La infraccin de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (art.270 y siguientes del Cdigo Penal). El Centro Espaol de Derechos Reprogrficos (CEDRO) vela por el respeto de los citados derechos.

    Ediciones Daz de Santos Email:ediciones@editdiazdesantos.com www.editdiazdesantos.com ISBN: 978-84-9969-874-8 (Libro electrnico) ISBN:978-84-9969-780-2 (Libro en papel)

  • Contenido V

    Contenido 1 Introduccin ............................................................................................ 1

    1.1 Concepto de sistema ............................................................................ 1 1.2 Concepto de bloque ............................................................................ 1 1.3 Diagrama de bloques .......................................................................... 2 1.4 Funcin de transferencia o transmitancia ........................................... 2 1.5 Sistema controlado .............................................................................. 5 1.6 Control manual en lazo cerrado .......................................................... 1.7 Control automtico en lazo cerrado .................................................... 1.8 Cambios de carga y perturbaciones .................................................... 1.9 Realimentacin ................................................................................... 8 1.10 lgebra de bloques ............................................................................. 9

    1.10.1 Reglas algebraicas ................................................................... 10 2 La transformada de Laplace ........................................................... 17

    2.1 Qu es y para qu sirve ..................................................................... 17 2.2 Propiedades y teoremas

    de la transformada de Laplace .......................................................... 18 2.2.1 Enumeracin de las propiedades y teoremas ......................... 19 2.2.2 Aplicacin del teorema de la derivacin real ........................ 23 2.2.3 Antitransformada de fracciones impropias ............................ 26

    2.3 Transmitancia operacional ................................................................ 27 2.4 Transformacin de ecuaciones diferenciales .................................... 30 2.5 Ejemplos de clculo .......................................................................... 33

    2.5.1 Clculo con condiciones iniciales ......................................... 35 2.6 Conversin de una funcin laplaciana

    en una ecuacin diferencial ............................................................... 37

  • VI Control de procesos

    3 Variables y parmetros ...................................................................... 39

    3.1 Es necesario tipificar ......................................................................... 39 3.2 Variables ........................................................................................... 40

    Potencial o fuerza impulsora ...................................................... 40 Flujo o corriente ......................................................................... 40 Carga o cantidad ......................................................................... 40

    3.3 Parmetros ........................................................................................ 41 Resistencia y conductancia ......................................................... 42 Capacidad ................................................................................... 43 Inertancia .................................................................................... 44

    3.4 Analogas .......................................................................................... 47 4 Elementos bsicos ................................................................................ 51

    4.1 Formas o funciones elementales de excitacin ................................. 51 4.1.1 Escaln unitario ..................................................................... 51 4.1.2 Impulso unitario .................................................................... 53 4.1.3 Rampa unitaria ...................................................................... 54 4.1.4 Funcin senoidal .................................................................... 54

    4.2 Componentes bsicos de un sistema controlado ............................... 54 4.2.1 Componentes activos ............................................................. 55 4.2.2 Elementos de primer orden .................................................... 56 4.2.3 Retardo de primer orden resistencia-capacidad ..................... 56 4.2.4 Retardo de primer orden resistencia-inertancia ..................... 59 4.2.5 Estudio de elementos retardo de primer orden.

    Metodologa de clculo ......................................................... 62 4.2.5.a Filtro o elemento R-C (resistencia-capacidad) ....... 63 4.2.5.b Elemento bulbo de temperatura .............................. 64 4.2.5.c Concentracin en un tanque agitado ....................... 66 4.2.5.d Temperatura en un tanque agitado .......................... 68 4.2.5.e Reaccin de primer orden ....................................... 69 4.2.5.f Nivel de un tanque con restriccin de descarga.

    Linealizacin de funciones de nivel ........................ 71 4.2.5.g Recipiente con gas a presin provisto de una

    restriccin. Linealizacin de funciones de sistemas con gases a presin ........................................................ 76

    4.2.5.h Recipiente con gas a presin con dos restricciones . 80 4.2.6 Elemento capacidad pura o integrador .................................. 84

    4.2.6.a Nivel en tanque con salida constante ...................... 85 4.2.6.b Masa aislada provista de caldeo elctrico ............... 87 4.2.6.c Pistn hidrulico ..................................................... 88

  • Contenido VII

    4.2.7 Elementos ajustables ............................................................ 89 4.2.7.a Ganancia ajustable. Multiplicador ......................... 90 4.2.7.b Reostato o potencimetro ...................................... 91 4.2.7.c Vlvula de control .................................................. 92 4.2.7.d Bomba centrfuga .................................................. 97

    4.2.8 Elementos de segundo orden ................................................. 102 4.2.8.a Circuito elctrico R-L-C serie ................................ 104 4.2.8.b Masa suspendida de un resorte con

    amortiguacin ........................................................ 107 4.2.8.c Sismgrafo ............................................................. 110 4.2.8.d Acelermetro ......................................................... 113 4.2.8.e Dos retardos de primer orden en serie ................... 115 4.2.8.f Dos sistemas de nivel conectados en serie ............. 117 4.2.8.g Dos filtros R-C conectados en serie ...................... 120 4.2.8.h Bulbo de temperatura con vaina ............................ 121 4.2.8.i Tanque encamisado ................................................ 124 4.2.8.j Dos tanques a presin en serie ............................... 127

    4.2.9 Elemento tiempo muerto ..................................................... 127 4.2.10 Elemento adelanto-retardo ................................................... 130 4.2.11 Elemento anticipativo .......................................................... 132 4.2.12 Controladores ...................................................................... 136

    4.2.12.a Proporcional (P) .................................................. 136 Banda proporcional ........................................ 137 Ganancia ......................................................... 138 Desviacin permanente .................................. 138 Reajuste manual .............................................. 138 Ecuacin del controlador ................................ 143

    4.2.12.b Integral (I) ............................................................ 144 Ecuacin del controlador ................................ 144 Transmitancia operacional .............................. 146

    4.2.12.c Proporcional-integral (PI) .................................... 147 Accin integral (Reset) .................................. 147 Velocidad de reajuste ...................................... 147 Repeticiones por minuto ................................. 147 Tiempo integral .............................................. 148 Ecuacin del controlador ................................ 148

    4.2.12.d Proporcional-derivativo (PD) .............................. 149 Accin derivativa (Rate) ................................ 149 Tiempo derivativo .......................................... 150 Ecuacin del controlador ................................ 150

    4.2.12.e Proporcional-integral-derivativo (PID) ............... 150 Ecuacin del controlador ................................ 151 Transmitancia operacional .............................. 151 Ejecuciones especiales .................................... 153

    Nota sobre la seal de error o desviacin ............................. 155

  • VIII Control de procesos

    5 Respuesta temporal de los componentes bsicos ..................... 157

    5.1 Sistemtica de clculo ...................................................................... 157 5.1.1 Respuesta al impulso ............................................................ 158 5.1.2 Respuesta al escaln unitario ................................................ 159 5.1.3 Respuesta a la rampa unitaria ............................................... 160

    5.2 Respuesta de un retardo de primer orden ......................................... 160 5.2.1 Respuesta indicial ................................................................. 161

    Prctica n 5.1 ................................................................ 167 Prctica n 5.2 ............................................................... 168

    5.2.2 Respuesta impulsiva ............................................................. 169 Prctica n 5.3 ............................................................... 172 Prctica n 5.4 ............................................................... 173

    5.2.3 Respuesta a la rampa ............................................................ 174 Prctica n 5.5 ............................................................... 177

    5.3 Respuesta de un retardo de segundo orden ...................................... 178 5.3.1 Respuesta indicial ................................................................. 179

    Caso subamortiguado .................................................... 179 Caso oscilatorio puro .................................................... 182 Caso sobreamortiguado ................................................. 183 Caso crticamente amortiguado ..................................... 184

    Prctica n 5.6 ........................................................ 185 Prctica n 5.7 ........................................................ 186 Prctica n 5.8 ........................................................ 186

    5.3.2 Respuesta impulsiva ............................................................. 187 Caso subamortiguado .................................................... 188 Caso oscilatorio puro .................................................... 188 Caso sobreamortiguado ................................................. 189 Caso crticamente amortiguado ..................................... 189

    Prctica n 5.9 ........................................................ 190 5.3.3 Respuesta a la rampa ............................................................ 190

    Caso subamortiguado .................................................... 191 Caso oscilatorio puro .................................................... 195 Caso sobreamortiguado ................................................. 195 Caso crticamente amortiguado ..................................... 196

    Prctica n 5.10 ...................................................... 196 5.4 Respuesta de un bloque tiempo muerto ........................................... 197

    Prctica n 5.11 ........................................................................ 197 5.5 Respuesta de un bloque adelanto-retardo ........................................ 198

    5.5.1 Respuesta indicial ................................................................. 198 Caso adelanto ................................................................ 199 Caso retardo .................................................................. 199

    Prctica n 5.12 ...................................................... 200 Prctica n 5.13 ...................................................... 201

  • Contenido IX

    5.5.2 Respuesta impulsiva ............................................................. 202 Prctica n 5.14 ............................................................. 202

    5.5.3 Respuesta a la rampa ............................................................ 203 Prctica n 5.15 ............................................................. 205

    5.6 Respuesta de un bloque anticipativo ................................................ 206 5.6.1 Respuesta indicial ................................................................. 206 5.6.2 Respuesta impulsiva ............................................................. 206 5.6.3 Respuesta a la rampa ............................................................ 207

    Prctica n 5.16 ............................................................. 208 5.7 Respuesta de un controlador P+D ................................................... 208

    5.7.1 Respuesta indicial ................................................................ 209 5.7.2 Respuesta a la rampa ............................................................ 210

    Prctica n 5.17 .............................................................. 212 5.8 Respuesta de un controlador P+I ..................................................... 212

    5.8.1 Respuesta indicial ................................................................. 213 Prctica n 5.18 ............................................................. 214

    5.8.2 Respuesta a la rampa ............................................................ 215 Prctica n 5.19 .............................................................. 216

    5.9 Respuesta de un controlador P+I+D ............................................... 217 5.9.1 Respuesta indicial ................................................................. 218 5.9.2 Respuesta a la rampa ............................................................ 219

    Prctica n 5.20 ............................................................. 220 5.10 Respuesta de un controlador integral .............................................. 221 Nota sobre representacin grfica de impulsos ........................................ 222

    6 Respuesta frecuencial de los componentes bsicos .................. 223

    6.1 Conceptos de base ........................................................................... 223 6.1.1 El decibelio .......................................................................... 224 6.1.2 La octava y la dcada ........................................................... 226 6.1.3 Las unidades dB/octava y dB/dcada ................................... 227 6.1.4 Nmeros complejos y vectores ............................................. 228

    Nmeros complejos conjugados ...................................... 232 Operaciones con nmeros complejos .............................. 233

    6.1.5 Vectores giratorios (fasores). Ondas senoidales ................... 237 6.2 Respuesta frecuencial ...................................................................... 241

    6.2.1 Obtencin de la respuesta frecuencial .................................. 244 6.3 Tipos de representaciones grficas .................................................. 246

    6.3.1 Diagrama de Bode ................................................................ 246 6.3.2 Diagrama de Nyquist ............................................................ 248 6.3.3 Diagrama de Black ............................................................... 249

  • X Control de procesos

    6.4 Determinacin de la respuesta frecuencial ....................................... 250 6.4.1 Mdulo K o constante K ....................................................... 250 6.4.2 Factores del tipo s ................................................................ 252 6.4.3 Factores del tipo Ts +1 ......................................................... 254

    Prctica n 6.1 ............................................................... 263 6.4.4 Factores del tipo T 2s2 +2Ts +1 .......................................... 265

    Prctica n 6.2 ............................................................... 276 Prctica n 6.3 ............................................................... 278 Prctica n 6.4 ............................................................... 279

    6.4.5 Factores del tipo e-Ts ............................................................. 280 Prctica n 6.5 ............................................................... 281

    6.4.6 Elemento adelanto-retardo .................................................... 282 Prctica n 6.6 ............................................................... 286 Prctica n 6.7 ............................................................... 286

    6.4.7 Elemento anticipativo ........................................................... 287 Prctica n 6.8 ............................................................... 289

    6.4.8 Controlador P ....................................................................... 290 6.4.9 Controlador P+D .................................................................. 290

    Prctica n 6.9 ............................................................... 293 6.4.10 Controlador P+I ................................................................... 294

    Prctica n 6.10 ............................................................. 296 6.4.11 Controlador P+I+D ............................................................... 297

    Prctica n 6.11 ............................................................. 302 Prctica n 6.12 ............................................................. 303 Prctica n 6.13 ............................................................. 305

    6.4.12 Controlador integral ............................................................. 306 7 Control automtico en lazo cerrado ............................................. 309

    7.1 Realimentacin ................................................................................ 309 7.2 Concepto de estabilidad ................................................................... 309 7.3 Criterios de optimizacin ................................................................. 311 7.4 Respuesta frecuencial y estabilidad ................................................. 316 7.5 Margen de ganancia y margen de fase.

    Estabilidad relativa .......................................................................... 319 7.5.1 Margen de ganancia ............................................................. 320 7.5.2 Margen de fase ..................................................................... 321 7.5.3 Estabilidad relativa ............................................................... 322

    7.6 Interpretacin grfica de los mrgenes de ganancia y de fase ....................................................................... 322 7.6.1 Ejemplo de clculo de los mrgenes

    de ganancia y de fase ............................................................ 324

  • Contenido XI

    7.7 Criterios de estabilidad .................................................................... 326 7.7.1 Criterio de estabilidad de Nyquist ........................................ 329 7.7.2 Criterio de estabilidad de Bode ............................................ 330 7.7.3 Ampliacin del criterio de estabilidad de Nyquist ............... 330

    7.8 Respuesta frecuencial en lazo cerrado ............................................. 337 7.9 Manejo de las perturbaciones .......................................................... 342 7.10 Estrategias de control ....................................................................... 347

    8 Control en lazo cerrado simple ...................................................... 349

    8.1 Aplicacin ....................................................................................... 349 8.2 Diagrama de bloques ....................................................................... 349

    Prctica n 8.1 .......................................................................... 351 8.3 Simulacin y anlisis de sistemas controlados ................................ 351

    8.3.1 Respuesta generalizada de un lazo con perturbacin ............ 352 Generalizacin de las funciones de transferencia en lazo cerrado .................................... 356

    8.3.2 Control proporcional de un proceso retardo de primer orden ........................................................ 357

    Respuesta frente a cambios en el punto de consigna .... 358 Prctica n 8.2 ........................................................ 361

    Respuesta frente a perturbaciones ................................. 365 Prctica n 8.3 ........................................................ 366

    8.3.3 Control proporcional de un proceso formado por dos retardos de primer orden ........................... 367

    Respuesta frente a cambios en el punto de consigna .... 368 Prctica n 8.4 ........................................................ 371

    Respuesta frente a perturbaciones ................................. 373 Prctica n 8.5 ........................................................ 376 Prctica n 8.6 ........................................................ 377

    8.3.4 Control proporcional de un proceso formado por tres retardos de primer orden ........................... 379

    Prctica n 8.7 .............................................................. 382 8.3.5 Control en modo integral de un proceso

    formado por un retardo de primer orden .............................. 389 Prctica n 8.8 .............................................................. 391

    8.3.6 Control proporcional-integral de un proceso formado por un retardo de primer orden .............................. 393

    Prctica n 8.9 .............................................................. 394 8.3.7 Control proporcional-integral de un proceso

    formado por dos retardos de primer orden ........................... 395 Prctica n 8.10 ............................................................ 397

    8.3.8 Control proporcional-integral de un proceso formado por tres retardos de primer orden ........................... 401

    Prctica n 8.11 ............................................................ 403

  • XII Control de procesos

    8.3.9 Control proporcional-integral-derivativo de un proceso formado por dos retardos de primer orden .............. 406

    Prctica n 8.12 ............................................................. 409 8.4 Efecto de un retardo de tiempo en la medida ................................... 410

    Prctica n 8.13 ........................................................................ 414 8.5 Efecto de un tiempo muerto en un sistema ...................................... 416

    8.5.1 Efecto del tiempo muerto en la medida ................................ 416 Prctica n 8.14 ............................................................. 418

    8.5.2 Efecto del tiempo muerto en el proceso ............................... 420 Prctica n 8.15 ............................................................. 421

    8.5.3 Mejoras que aporta la accin derivativa ............................... 423 Prctica n 8.16 ............................................................. 424 Prctica n 8.17 ............................................................. 425

    8.6 Efecto de las alinealidades en un sistema ........................................ 426 Prctica n 8.18 ........................................................................ 428

    9 Controles complejos en lazo cerrado ........................................... 433

    9.1 Control en cascada ........................................................................... 433 Prctica n 9.1 .......................................................................... 441 Prctica n 9.2 .......................................................................... 447 Prctica n 9.3 .......................................................................... 474

    9.1.1 Prediccin de la desviacin permanente .............................. 478 9.2 Control en adelanto ......................................................................... 482

    9.2.1 Ecuaciones del control en adelanto ...................................... 484 Prctica n 9.4 ............................................................... 495 Prctica n 9.5 ............................................................... 503

    Apndices A-1 Tabla de transformadas de Laplace ........................................ 519 A-2 Escalado de procesos

    y normalizacin de variables para el ordenador ........................... 529

    1 Introduccin .................................................................................. 529 2 Mrgenes de operacin .................................................................. 529

  • Contenido XIII

    3 Normalizacin de variables ........................................................... 530 4 Escalado del tiempo ....................................................................... 535 5 Resumen ........................................................................................ 537 6 Manejo de los parmetros Valor de base Be y Bs ....................... 539 7 Manejo del parmetro Elevac./Supres. de cero Z ..................... 549 8 Manejo del parmetro Valor de referencia R ............................. 552

    A-3 Composicin de la respuesta temporal de un sistema ....... 555 A-4 Regla de Mason

    para el clculo de la transmitancia entre dos puntos de un sistema ........................................................ 565

    A-5 Bibliografa ..................................................................................... 575 Anexo 1

    Gua de manejo del programa ..................................................... 579 1 Requisitos para uso del programa .............................................. 579

    1.1 Se requiere ...................................................................................... 579 1.2 Notas sobre la resolucin de pantalla ............................................. 579

    2 Instalacin del programa ............................................................... 580

    2.1 Obtencin del fichero para la instalacin ........................................ 580 2.2 Modos de instalacin ...................................................................... 580 2.2.1 Instalacin manual ............................................................... 580 2.2.2 Instalacin automtica .......................................................... 580 2.3 Uso del programa ............................................................................ 580

    3 Arranque del programa .................................................................. 581

  • XIV Control de procesos

    4 Men principal de Windows ......................................................... 582

    Estructura de los mens ..................................................................... 582

    5 Descripcin de las principales opciones .................................... 584

    5.1 Anlisis de componentes bsicos .................................................... 584 5.2 Simulacin de lazos de control ....................................................... 584 5.3 Mens de opciones .......................................................................... 584

    5.3.1 Men Frecuencial .................................................................. 585 Diagrama Real .............................................................. 585 Diagrama de Bode ........................................................ 585 Diagrama de Nyquist ..................................................... 585 Diagrama de Black ........................................................ 585 Todos los diagramas ...................................................... 586 Marcas de frecuencia ..................................................... 586 Frecuencia crtica (resonancia) ..................................... 586 Frecuencia de cruce de ganancia ................................... 586 Frecuencia de pico de resonncia .................................. 586

    5.3.2 Men Temporal ..................................................................... 587 a) Para Componentes bsicos ........................................... 587

    Impulso .......................................................................... 587 Escaln .......................................................................... 587 Rampa .......................................................................... 587

    b) Para Lazos de control ................................................... 587 Escaln condiciones iniciales ....................................... 588 Rampas programadas .................................................... 588

    5.3.3 Men Cambios ...................................................................... 588 Parmetros del componente .......................................... 589 Lmites de las escalas de frecuencia .............................. 589 Duracin de la respuesta temporal ................................ 589 Constantes (Componentes bsicos) ............................... 589 Programacin de las rampas (Lazos de control ) ........... 589 Modos (Lazos de control ) ............................................. 590 a) Modo del lazo en la respuesta frecuencial .............. 590 b) Modo de presentacin de la respuesta temporal ..... 591 Frecuencia de muestreo (Lazos de control ) .................. 592

    5.3.4 Men Misceln ...................................................................... 593 Borrar pantalla ............................................................... 593 Vista anterior ................................................................. 593 Ver Diagrama de bloques .............................................. 593 Ver parmetros de los bloques activos (Lazos de c.) ..... 594 Hacer nulos los bloques (Lazos de control ) .................. 594

  • Contenido XV

    5.4 Otros mens .................................................................................... 594 5.4.1 Men Archivo ........................................................................ 595

    Imprimir ........................................................................ 595 Preferencias ................................................................... 595

    5.4.2 Men Men general .............................................................. 596 5.4.3 Mens especiales .................................................................. 596

    Cambios Color de fondo ............................................. 596 Misceln Calculador ABACUS .................................. 596 Misceln Calculadora de Windows ............................. 597 Misceln Preferencias de trabajo ................................ 597

    5.4.4 Men Informacin ................................................................. 597 5.4.5 Mens redundantes ............................................................... 597 5.4.6 Otras opciones en la ejecucin de una

    Respuesta temporal .............................................................. 598 6 Control de errores ............................................................................ 599 7 Ficheros del programa .................................................................... 600

    7.1 Ficheros generados en la instalacin ............................................... 600 7.2 Ficheros generados por el usuario ................................................... 600

    8 Miscelneos.

    Peculiaridades de un programa de simulacin ................................... 601

    8.1 Generalidades .................................................................................. 601 8.2 Tiempo muerto virtual oculto en el sistema .................................... 602 8.3 El problema de las variables discontnuas ...................................... 603

    PRECAUCIN ! .............................................................. 604

    Nota: El fichero conteniendo exclusivamente la Gua de manejo del programa, en los formatos Word y PDF, puede descargarse en la direccin:

    http://www.alfredoroca.com

  • 1

    1 Introduccin 1.1 Concepto de sistema

    Un sistema es un conjunto de elementos, interrelacionados entre s, los cuales se caracterizan por poseer unos parmetros inherentes que los definen, y por mostrar unas condiciones fsicas asociadas, susceptibles de evolucionar con el tiempo.

    Los parmetros caractersticos, especficos de cada elemento, son considerados normalmente constantes e invariables con el tiempo y se les denomina parmetros del sistema.

    Las condiciones fsicas de cada componente, cambiantes con el tiempo, deter-minan el estado del sistema en todo momento, y se expresan mediante las denomi-nadas variables del sistema. Sus magnitudes y su evolucin vienen regidas por leyes especficas, en funcin del tiempo, de la configuracin de los componentes y de los parmetros de los mismos. 1.2 Concepto de bloque

    En Teora de control, cada uno de los componentes elementales o bsicos en que puede descomponerse un sistema, constituye un bloque. Asimismo, un conjunto de bloques contiguos puede reagruparse formando un nico bloque.

    Un bloque puede representarse grficamente por un rectngulo, con una flecha de entrada y otra de salida, las cuales significarn las seales de entrada y salida, respectivamente, a dicho bloque (fig. 1.1).

    - Apdos. 1.1 - 1.2Captulo 1

  • 2 Captulo 1 - Introduccin

    Fig. 1.1 Representacin grfica de un bloque La seal de entrada corresponder a una variable fsica, o variable de entrada, la cual ser convertida o manipulada por el bloque, proporcionando o generando, como resultado, una seal de salida, es decir, la variable de salida.

    La forma como se realiza esta conversin depende de las caractersticas espe-

    cficas del bloque, y ser representada por una ecuacin matemtica, denominada funcin de transferencia, que podr ser inscrita en el rectngulo.

    La entrada es la causa, la excitacin, la accin o el estmulo que actan sobre el bloque; mientras que la salida es el efecto, la respuesta, la reaccin o la consecuencia de aquella entrada sobre el bloque representado por la funcin de transferencia. 1.3 Diagrama de bloques

    La representacin grfica del conjunto de bloques que componen un sistema formar el diagrama de bloques. Los bloques se unen mediante lneas, que con sus flechas sealan la direccin del flujo de informacin o seales que circulan a lo largo del sistema (fig. 1.3, pg. 7).

    La adicin algebraica o comparacin de seales se representar por un pequeo crculo o sumatorio, y se anotar junto a cada seal de entrada el signo con el que se halle operando.

    Un diagrama de bloques es una forma convencional de representar grficamente las interrelaciones entre las variables significativas del sistema, as como las carac-tersticas (parmetros) de los componentes que lo forman. 1.4 Funcin de transferencia o transmitancia

    Toda variable que evoluciona con el tiempo siguiendo una determinada ley, podr ser representada por una ecuacin matemtica en funcin de una serie de parmetros y de la variable tiempo; es decir, por una funcin temporal.

  • 3

    La expresin o ecuacin matemtica que, en un bloque, relaciona la variable de salida con la de entrada, se denomina funcin de transferencia o tambin transmi-tancia del bloque. sta ser, por tanto, el cociente entre la funcin temporal de la salida y la de la entrada. La transmitancia no es ms que un modelo matemtico representativo del comportamiento dinmico de un componente, frente a una seal de entrada. Un sencillo ejemplo de funcin de transferencia puede ser la de un bloque cons-tituido por una resistencia elctrica (resistor). Podemos definir como variable de entrada la tensin en bornes de este resistor, y como variable de salida la intensidad que circular por el mismo.

    Escribiremos

    en donde la notacin (t) significa que las variables que la contienen son temporales, es decir, que varan con el tiempo. Vemos que R, la resistencia elctrica del elemen-to, no es una funcin temporal, pues, en efecto, no es una variable sino un parmetro constante en el tiempo. Este parmetro define precisamente el componente en cues-tin y, por tanto, su comportamiento o respuesta frente a determinada entrada.

    La funcin de transferencia del bloque ser, segn se ha dicho, la razn entre las funciones de entrada y salida. Llamando G(t) a esta funcin, se tendr

    es decir, la inversa de la resistencia o, lo que es lo mismo, la conductancia del re-sistor.

    Veamos ahora cmo se aplica, de un modo general, el conocimiento de la trans-mitancia de un bloque para calcular la salida, dada una determinada entrada.

    La salida (respuesta), ser el resultado de multiplicar la transmitancia por la entrada (excitacin), esto es,

    Supongamos que la tensin de entrada obedece a una funcin del tipo

    i tv t

    R( )

    ( )

    G ti t

    v t R( )

    ( )( )

    1

    i t G t v t( ) ( ) ( )

    Apdos. 1.2 - 1.3 - 1.4

  • 4 Captulo 1 - Introduccin

    entonces

    Es preciso aclarar que la definicin que se ha dado de transmitancia, basada en

    la relacin de funciones temporales, slo es prctica en caso de relaciones sencillas, como la que hemos visto en el ejemplo. Cuando las seales de entrada y salida estn relacionadas por una ecuacin ntegrodiferencial, es poco prctico tratar de estable-cer la funcin de transmitancia del modo indicado, y el rigor matemtico nos obli-gara a definiciones complejas y operaciones engorrosas, fuera del alcance de este libro, y, sobre todo, carentes de inters. Porque, como se ver en el captulo siguien-te, al estudiar la transformada de Laplace, estos conceptos se manejan de forma sorprendentemente sencilla. Lo que se ha pretendido hasta aqu es dar una visin anticipada del concepto transmitancia, dada su implicacin con los diagramas de bloques. Lo importante es percatarse de que un bloque puede significar cualquier elemen-to, componente, dispositivo o sistema, capaz de responder de una forma caracters-tica frente a una determinada excitacin, y esta forma queda definida precisamente por la transmitancia del bloque. Asimismo, un conjunto de bloques concatenados puede reagruparse para formar un solo bloque, reuniendo entonces las caractersticas de cada uno de los bloques que lo forman.

    Tomemos los siguientes dos ejemplos, bien dispares entre s, basados en el esquema general:

    Entrada [Bloque (Transmitancia)] Salida

    Una masa responde con una aceleracin cuando se le aplica una fuerza. Aqu la

    entrada es la fuerza, la transmitancia depender de la masa, y la salida ser la aceleracin (o la velocidad, o la distancia recorrida), sin menoscabo de que la fuerza sea una variable cambiante con el tiempo.

    Un horno por el que circula un producto qumico para su calentamiento, respon-der con una temperatura de salida de este producto, en funcin del caudal de combustible que le sea suministrado. En este caso el caudal de combustible ser la entrada, la temperatura de producto la salida, mientras que la transmitancia dependera del diseo del horno, de las caractersticas del producto, de las del combustible, etc.

    v t A t( ) sen

    i tR

    A t( ) sen 1

  • 5

    Es cierto que en este ltimo ejemplo la temperatura de salida podr depender en la prctica de otros factores, cambiantes con el tiempo, tales como el caudal y la tem-peratura inicial del producto a calentar, la calidad del combustible, la temperatura ambiente, etc., pero ello ser objeto de estudio detallado ms adelante. 1.5 Sistema controlado Un proceso es un conjunto de equipos o dispositivos, ya sean mecnicos, elc-tricos, electrnicos, informticos, neumticos, hidrulicos, fsicos, qumicos, tr-micos, o de cualquier otra ndole, dispuestos de tal modo que en conjunto puedan realizar las operaciones necesarias con el fin de lograr un determinado objetivo.

    Un ejemplo de proceso podra ser el horno para calentamiento, citado anterior-mente, en el que el objetivo final sera conseguir mantener constante, en un valor prefijado, la temperatura del fluido circulante a la salida.

    Pero para conseguir este objetivo es evidente que son precisos una serie de dis-positivos adicionales, que de alguna manera lleven a cabo el control o regulacin del proceso.

    Estos dispositivos reciben el nombre de sistema de control.

    Se denomina sistema controlado al conjunto formado por el proceso y el siste-ma de control.

    En este ejemplo, ser necesario, como mnimo, disponer de una informacin continua de la temperatura que se est controlando y de un dispositivo capaz de mo-dificar o ajustar el caudal de aportacin de combustible. Prcticamente hablando, de un termmetro situado en la tubera de salida de producto y de una vlvula situada en la tubera de aporte de combustible al horno.

    1.6 Control manual en lazo cerrado

    Con el montaje descrito podramos intentar ya efectuar un control manual del proceso, operando del siguiente modo:

    Segn que la temperatura indicada por el termmetro (TI) est por debajo o por encima del valor deseado, abriramos o cerraramos, respectivamente (en mayor o menor medida, segn la diferencia observada), la vlvula de aportacin de combus-tible, a efectos de corregir el caudal aportado. A continuacin, esperaramos hasta poder evaluar el efecto producido en el proceso por tal correccin, y obraramos en consecuencia, ajustando nuevamente la apertura de la vlvula, hasta conseguir esta-blecer la temperatura en el valor deseado (fig. 1.2).

    Apdos. 1.4 - 1.5 - 1.6

  • 6 Captulo 1 - Introduccin

    Fig. 1.2 Control manual en lazo cerrado

    Vemos que el flujo de informacin que se efecta en el control de este proceso, circula cerrndose sobre s mismo a travs del ser humano, siguiendo la secuencia cerrada siguiente:

    sin que pueda decirse cul de estos componentes est en primer lugar. Forman un anillo o control en lazo cerrado, sin principio ni fin.

    1.7 Control automtico en lazo cerrado

    El modo de regulacin manual descrito en el apartado anterior tiene, como es obvio, numerosos inconvenientes. El principal es que precisa la atencin permanen-te humana, lo que hace que sea costoso. Otros inconvenientes, en general, derivados del ya citado, son que es lento, inseguro y poco preciso. Es de destacar el riesgo que pueda comportar una eventual distraccin humana, por ejemplo, por fatiga.

    La regulacin o control automtico en lazo cerrado consiste en sustituir la accin del elemento humano por un dispositivo llamado controlador o regulador, el cual gobierna el elemento final de regulacin, normalmente una vlvula de control, a efectos de corregir la variable manipulada de entrada al proceso.

    El conjunto que forman los componentes que llevarn a cabo el control auto-mtico de un proceso se llama sistema de control automtico.

  • 7

    Fig. 1.3 Disposicin bsica de un proceso controlado automticamente

    La figura 1.3 muestra un diagrama de bloques de la disposicin bsica de los componentes que forman un proceso con control automtico en lazo cerrado. Obsr-vese que el flujo de seales se cierra sobre s mismo, y que el sistema tiene como seal de entrada el punto de consigna (tambin llamado valor deseado o set point en ingls) y como seal de salida la variable controlada.

    El dispositivo comparador entre las seales de consigna y medida, generador de la seal de error o desviacin, suele formar parte del controlador.

    1.8 Cambios de carga y perturbaciones

    El controlador acta continuamente para corregir los efectos de desajuste que producen en la regulacin los cambios inevitables a los que el proceso est sometido. Estos cambios pueden ser de tres categoras, perfectamente diferenciadas, a saber:

    a) Cambios en valor deseado de la variable controlada. Suelen ser llamados cambios del punto de consigna (valor deseado).

    b) Cambios debidos a exigencias o condiciones especficas del proceso que, sin afectar al punto de consigna, modifican alguna de sus variables prin-cipales; es decir, son alteraciones en el flujo de energa (o material) de entrada o salida del proceso, relacionadas directamente con el mismo. Son los llamados cambios de carga.

    c) Cambios producidos por alteraciones ajenas a las exigencias del proceso y, en muchos casos, de origen externo al mismo. Este tipo de cambios son de-nominados perturbaciones. No obstante, cualquiera de los tres casos puede ser denominado, genricamente, con esta misma expresin.

    Apdos. 1.6 - 1.7 - 1.8

  • 8 Captulo 1 - Introduccin

    Los de la primera categora no merecen apenas comentario; son debidas a nece-sidades especficas de operacin, al precisarse un cambio en el valor de la variable controlada.

    En nuestro ejemplo del horno, pertenecera a la segunda categora un cambio en el caudal del producto circulante. Es evidente que un aumento en la demanda de dicho caudal tender a producir, en principio, un enfriamiento que ser mostrado por el medidor de temperatura instalado a la salida del horno. Es un caso claro de cambio de carga del sistema.

    A la tercera categora perteneceran, por ejemplo, un cambio en la presin o en la calidad del combustible, o un cambio en la temperatura ambiente. Seran perturba-ciones al proceso.

    La distincin entre la segunda y la tercera categora no siempre es evidente y puede ser muy sutil. Por ejemplo, una alteracin en la temperatura de entrada del producto ser del tipo cambio de carga, si las condiciones normales del proceso son las de caudal constante y temperatura de entrada variable, que es precisamente la que se quiere controlar a la salida. Por el contrario, si las condiciones normales de opera-cin son de caudal variable y temperatura de entrada constante, entonces la altera-cin de esta temperatura corresponder a una perturbacin. No obstante, no es tan importante la distincin en s, sino ms bien su evaluacin, debido a que, en cual-quier caso, produce efectos perniciosos sobre la controlabilidad y comportamiento del proceso, por lo que puede ser necesario, en algunos casos, un diseo especial del sistema de control que evite o minimice estos efectos. 1.9 Realimentacin

    Los cambios citados en el apartado anterior, acontecen constantemente, en mayor o menor grado, causando, segn se ha dicho, alteraciones en la variable controlada, como consecuencia de los desequilibrios producidos en los balances energticos, msicos, qumicos, dinmicos, etc.

    En el control automtico en lazo cerrado, las diferentes etapas de que se compo-ne una accin correctora pueden enumerarse como sigue: a) Medicin de la variable controlada y transmisin de la seal de medida al

    controlador. Esta misin es llevada a cabo por el transmisor, el cual inclu-ye o tiene asociado el elemento primario o sensor del proceso.

    b) Comparacin entre el valor del punto de consigna prefijado (valor deseado

    o set point) y la seal de medida, efectuando la diferencia entre ambos para establecer la denominada seal de error o desviacin. La lleva a cabo el dispositivo comparador, y suele estar contenido en el propio controlador.

  • 9

    c) Partiendo de la seal de error, el controlador elabora su seal de salida o seal de control, de acuerdo con determinado algoritmo o ecuacin. El con-trolador analiza la seal de error, teniendo en cuenta su signo, magnitud, duracin y tendencia o velocidad de cambio.

    d) La seal de salida del controlador es conducida al elemento final de control

    o regulacin, por lo general una vlvula de control, que efectuar la corres-pondiente correccin en la variable manipulada de entrada al proceso.

    e) Reaccin del proceso, con la consiguiente modificacin del valor de la

    variable controlada, acercndose o igualando al punto de consigna. f ) Nueva seal de medida, segn la etapa a), con lo que se cierra el circuito.

    Cualquier perturbacin que se introduzca en algn punto del circuito (lo que sucede principalmente en el proceso), acabar afectando a la variable controlada y, por tanto, ser detectada por el medidor (transmisor), entrando en la secuencia de correccin.

    Esta secuencia se ejecuta simultneamente en todo el circuito y su accin es con-tinua en el tiempo, tendiendo a restablecer las condiciones de regulacin deseadas, esto es, a igualar la medida con la consigna, anulando la seal de error.

    Es importante notar que en esta serie de acciones concatenadas, hay un flujo de seales que estn circulando constantemente desde la salida del proceso hacia su entrada, a travs del sistema de medida, del controlador y del elemento final de control (vase la figura 1.3). A este fenmeno de circulacin hacia atrs del flujo de informacin y de acciones se le llama realimentacin; es el denominado feedback en ingls. Los efectos de esta realimentacin fluyen hacia delante, a travs del con-trolador, de la vlvula y del proceso, para as cerrar el circuito del flujo de seales, con lo que se establece un anillo o lazo cerrado de causas y efectos. Otras posibles denominaciones, menos usuales, son retroalimentacin y retroaccin.

    1.10 lgebra de bloques Dada la importancia que tendr en futuros captulos el planteamiento de los sistemas de control mediante diagramas de bloques, a continuacin estudiaremos las reglas que rigen la manipulacin y transformacin de estos diagramas.

    Las reglas aqu indicadas son vlidas siempre que se trate de elementos lineales. Si la transmitancia de un bloque no es lineal, es posible, en general, linealizar su funcin en el punto de trabajo, lo que resulta una buena aproximacin a efectos de llevar a cabo cualquier anlisis del sistema. Sin embargo, para ello habr que tener en cuenta determinadas consideraciones que sern vistas ms adelante.

    Apdos.Apdos. 1.8 - 1.9 - 1.10

  • 10 Captulo 1 - Introduccin

    Las variables se representarn con letras minsculas, mientras que las mays-culas significarn las transmitancias de los bloques.

    Debe recordarse que la transmitancia de un bloque es siempre la relacin entre las seales de salida y entrada, por lo que si llamamos G a la transmitancia de un bloque, x a su entrada, e y a su salida, podr escribirse

    ; y

    G y Gxx

    En todo momento podrn aplicarse las leyes conmutativas, asociativas y distri-butivas, igualmente vlidas en lgebra de bloques. De hecho, las reglas del lgebra de bloques se basan en estas leyes, que podemos resumir as:

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    G F F G

    G F F G

    G x G y G x y

    G x F x G F x

    x y x y x y

    Por otra parte, un bloque con ganancia unitaria puede siempre ser suprimido, dejando solamente la lnea de flujo. As, por ejemplo, se podra efectuar la siguiente simplificacin:

    1.10.1 Reglas algebraicas Las principales reglas algebraicas son las siguientes: a ) Bloques en serie. Pueden ser sustituidos por un nico bloque, cuya transmitancia

    sea el producto de las transmitancias de cada bloque. ; ; y Gx z Fy z GFx

  • 11

    b ) Bloques en paralelo. Su equivalente ser un bloque con una transmitancia igual a la suma de transmitancias.

    ( )z Gx Fx G F x

    c ) Desplazamiento de un punto de suma detrs de un bloque. ( )z x y G Gx Gy

    d ) (a) Desplazamiento de un bloque detrs de un punto de suma.

    ; ( )z Gx y x y G G Gx y

    (b) Desplazamiento de un bloque delante de un punto de suma.

    ( ) ; ( )z G x y Gx Gy G x y

    Apdos. 1.10 - 1.10.1

  • 12 Captulo 1 - Introduccin

    e ) (a1 a2) Desplazamiento de un punto de derivacin detrs de un bloque. ; (1 ) ; ; ( )z Gx Gx G x y Fx Gx F G y (b1 b2) Desplazamiento de un punto de derivacin delante de un bloque.

    ; z Gx y GFx

    f ) Desplazamiento de un bloque detrs de un punto de derivacin. z Gx

    /

    /

  • 13

    g ) Desplazamiento de un punto de suma detrs de un punto de derivacin. z x y

    h) Desplazamiento de una derivacin detrs de un punto de suma. ; z x y x y y x

    i ) Desdoblamiento de puntos de suma de mltiples entradas. Reagrupamiento de mltiples entradas en un solo punto de suma. z x y v

    j ) Insercin de un bloque delante de un punto de derivacin.

    1

    x G xG

    Apdo. 1.10.1

  • 14 Captulo 1 - Introduccin

    k ) Insercin de un bloque detrs de un punto de suma. ; ( ) ( )z x y x y G G x y z

    l ) Transformacin de un lazo sencillo de realimentacin en un bloque nico.

    ; ; ; 1

    Gz G e e x m m H z z x

    G H

    m) Traslacin de un bloque dentro de un lazo de realimentacin.

    ( ) ; ; 1

    F Gz G F x m m H z z x

    G H

    n ) Extraccin de un bloque de realimentacin del interior de un lazo de realimen-tacin.

    ; ; ; 1

    Ge x m m H z z G e z x

    F H

  • 15

    o) Extraccin de un bloque de avance del interior de un lazo de realimentacin.

    ; ; ; 1

    Ge x m m H z z G e z x

    F H

    p) Transformacin de un bloque en un lazo con realimentacin unitaria. ; (1 )z Gx e x z x Gx x G

    q ) Transformacin de un bloque en un lazo con avance unitario.

    1

    ; 1z G x m zG

    1

    1x m x G x x x G x zG

    Apdo. 1.10.1

  • 16 Captulo 1 - Introduccin

    r ) Cambio de signo en bloques y puntos de suma (tres ejemplos). ( ) ( 1 ) ( 1)z Fx Gy v F x G y v

  • 17

    2 La transformada de Laplace 2.1 Qu es y para qu sirve

    La transformada de Laplace es un artificio o herramienta matemtica que provee un mtodo sistemtico y relativamente sencillo de resolucin de ecuaciones diferenciales lineales. Se trata de un mtodo operacional.

    Por mediacin de este mtodo, una ecuacin diferencial es transformada en una ecuacin algebraica, en la que la variable compleja s sustituye al tiempo como varia-ble independiente. Resolviendo esta ecuacin algebraica y llevando a cabo la trans-formacin inversa, tambin llamada antitransformada, se obtiene la solucin de la ecuacin diferencial original. Ambas operaciones resultan ser sorprendentemente sencillas, segn el lector tendr ocasin de comprobar.

    Puesto que existe una abundante bibliografa que trata a fondo este tema, nos limitaremos a dar una visin, o repaso, fundamentalmente prctico del mismo.

    En Instrumentacin, la ventaja de trabajar con las transformaciones de Laplace es que existen tablas de conversin muy extensas que cubren prcticamente la tota-lidad de las funciones que puedan surgir al analizar los sistemas controlados. En el apndice 1 se da una tabla de pares de conversin de Laplace de las funciones ms usuales en Instrumentacin. La respuesta de un sistema puede, de este modo, ser obtenida fcilmente sin ms que consultar dichas tablas y con un pequeo trabajo adicional algebraico.

    - Apdo. 2.1Captulo 2

  • 18 Captulo 2 - La transformada de Laplace

    Otra importante razn para utilizar la transformada de Laplace es que la res-puesta de frecuencia de un sistema se obtiene directamente de la funcin de trans-ferencia (transmitancia) del mismo.

    Existen todava otras ventajas: las entradas discontinuas y los tiempos muertos se manejan fcilmente. Se obtienen simultneamente las componentes permanente y transitoria de la respuesta temporal (vase el apndice 3). Las condiciones iniciales se manejan con facilidad.

    En general, las expresiones

    significan que F(s) es la funcin transformada de Laplace de la funcin temporal f (t), donde el smbolo es el operador que denota la transformacin; mientras que -1 es el smbolo de la transformacin inversa (tambin llamada antitransformada), por lo que la expresin -1[F(s)] denota la transformacin inversa de F(s), la cual equivale a f (t).

    La funcin de transferencia o transmitancia de un sistema puede ahora ser expresada utilizando la transformada de Laplace, y se denomina funcin de trans-ferencia operacional o transmitancia operacional, del mismo modo que se hizo con funciones temporales; solamente que ahora se obtendr como la razn algebraica entre la funcin transformada de la salida y la funcin transformada de la entrada. En el apartado 2.3 se desarrolla este concepto. 2.2 Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace

    Existen una serie de propiedades de las transformadas de Laplace, algunas de ellas enunciadas como teoremas, las cuales son de gran utilidad para la resolucin de ecuaciones, as como para operar con diagramas de bloques, especialmente si se conjugan con las reglas del lgebra de bloques, vistas en el apartado 1.10.1 (pg. 10).

    En los siguientes enunciados se asumir que

    y, por lo tanto

    -1f t F s F s f t( ) ( ) ; ( ) ( )

    f t F s( ) ( )

    -1 F s f t( ) ( )

  • 19

    2.2.1 Enumeracin de las propiedades y teoremas

    1. Linealidad

    Si K es una constante, entonces

    La laplaciana del producto de una constante por una funcin temporal es igual al producto de la constante por la transformada de la funcin.

    2. Superposicin

    -1 -1 -11 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F s F s F s F s f t f t

    La transformada de la suma de dos funciones temporales es igual a la suma de las transformadas de las funciones.

    La antitransformada de la suma de dos funciones laplacianas es la suma de las transformadas inversas de dichas funciones.

    3. Multiplicacin por t. Derivacin compleja

    Llamada tambin multiplicacin potencial.

    La transformada del producto del tiempo por una funcin temporal equivale a la derivada de la funcin transformada con signo cambiado.

    En general, para n entero se tiene

    donde F (n)(s) es la n-sima derivada de F(s).

    K f t K f t K F s( ) ( ) ( )

    f t f t f t f t F s F s1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f t f t f t f t F s F s1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )dt f t F s F' sds

    ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )n

    n nn nn

    dt f t F s F sds

    Apdos. 2.1 - 2.2 - 2.2.1

  • 20 Captulo 2 - La transformada de Laplace

    4. Divisin por t. Integracin compleja

    La transformada de una funcin dividida por el tiempo equivale a la inte-gracin respecto a s en la funcin transformada.

    5. Traslacin en el tiempo o tiempo muerto

    Si a es un nmero real positivo, que significa un tiempo, entonces

    La transformada de una funcin temporal trasladada en la direccin positiva del tiempo, en una magnitud a, es igual a la transformada de la funcin multiplicada por la exponencial e-as.

    De aqu que un bloque del tipo tiempo muerto se represente por la funcin de transferencia e-as.

    Se asume que para t a, entonces f (t a) 0, es decir, que la funcin que realmente se transforma habra que escribirla como u (ta) f (t a). El producto por la funcin escaln unitario, desplazado en t a, anula cual-quier valor de la funcin previo a este tiempo.

    6. Cambio de escala de tiempos

    Si a es una constante real positiva

    o tambin

    Esta propiedad es muy til cuando se desea normalizar la escala de tiempos a efectos de comparar distintos sistemas, pero con funciones matemticas equivalentes. Por ejemplo, un circuito electrnico y un dispositivo mec-

    e-f t a F sas( ) ( )

    f a t a Fsa( )

    1

    f ta a F as

    ( )

    ( ) ( )

    s

    f tF s ds

    t

  • 21

    nico con propiedades (formulacin matemtica) anlogas, el primero de ellos operando en la escala de milisegundos, mientras que el mecnico en la de los segundos. Otro ejemplo sera el tratamiento de modelos a escala.

    7. Amortiguacin

    Es el llamado teorema de traslacin compleja o traslacin en el campo s.

    La multiplicacin de una funcin temporal por la funcin extincin expo-nencial o amortiguacin, e-at, tiene por efecto reemplazar la variable s por (s+a) en la funcin transformada.

    8. Teorema de la derivacin real

    El trmino f (0+) es el valor de la funcin f (t) evaluada en t0, pero teniendo en cuenta que cuando la funcin tiene una discontinuidad en este punto (por ejemplo, un escaln), debe tomarse el valor de la funcin en el lado positivo del tiempo. Este valor corresponde a las condiciones iniciales del sistema.

    La transformada de la segunda derivada es

    en donde f '(0+) es el valor de la primera derivada de f (t) evaluada en el instante t0, en el lado positivo del tiempo, que corresponde igualmente a las condiciones iniciales del sistema.

    La transformada de la derivada n-sima de una funcin es

    -12-2

    -3-12-2

    (0 ) (0 ) (0 )nn

    nnn

    d d ds f s f fdt dt dt

    dn

    e-at f t F s a( ) ( )

    f t d

    dtf t s F s f( ) ( ) ( ) ( )0

    f t s F s s f f( ) ( ) ( ) ( )2 0 0

    ( ) -1 -2 ( ) ( ) ( ) (0 ) (0 )n

    n n nnn

    d df t f t s F s s f s fdtdt

    Apdo. 2.2.1

  • 22 Captulo 2 - La transformada de Laplace

    o, en forma ms compacta

    en donde son contemplados los valores de la funcin y de sus sucesivas derivadas para t0, evaluados en el lado positivo del tiempo, y que, otra vez ms, corresponden a las condiciones iniciales del sistema.

    9. Teorema de la integracin real

    donde f (-1)(0+) es la integral de f (t )dt calculada en t0, es decir, la cons-tante de integracin o condicin inicial.

    La transformada de la integral de orden n ser

    10. Teorema del valor final

    Si f (t) tiende a un valor definido cuando t , entonces

    Este teorema establece que el valor de f (t) en rgimen permanente o estado estacionario (tiempo infinito o, prcticamente, tiempos grandes) es igual al producto s F(s) en la proximidad de s0.

    Ntese que este teorema no puede aplicarse a funciones tales como las de

    tipo senoidal, que carecen de lmite para t .

    (-

    f t dt F ssf

    st

    ( )( ) ( ))

    0

    1 0

    f lim f t lim sF st s

    ( ) ( ) ( ) 0

    ( ) -3 (2)2- -1 ( ) ( ) (0) (0) (0)n nn nn 'f t s F s s f s f s f

    ( ) ( ) ( )2- - - -1 1(0) (0) (0)n n ni is f s f f ) ( )) ( )n i ((s f ( )) (0) (0)( )( )( )( )))n - ( )( )( )( )i ((( s f (0) (0)(0)

    (- ) (-2) (- )1(- )

    -1

    ( ) (0) (0) (0) ( )

    nn

    n n n

    F s f f ff t ss s s

    f

  • 23

    11. Teorema del valor inicial

    Este teorema permite calcular el valor de f (t) para t0, en el lado positivo del tiempo, directamente de la funcin transformada.

    Las propiedades descritas por este teorema, juntamente con las del teorema del valor final, son de gran utilidad porque permiten predecir ciertos as-pectos fundamentales de la respuesta del sistema (clculo del valor de arranque y del valor en estado estacionario, respectivamente), sin necesidad de calcular la transformada inversa de la solucin. Por otra parte, facilitan un medio para verificar que la solucin obtenida en el dominio temporal (la antitransformada) ha sido muy probablemente bien calculada.

    12. Funcin peridica

    Toda funcin peridica satisface la condicin f (t + nT ) f (t), donde n es un nmero entero positivo y T el periodo.

    Si se representa a la funcin del primer periodo aislado por (t), el cual queda definido entre los tiempos 0 y T, y si, por otra parte, se conoce la transformada de esta funcin, esto es

    entonces

    2.2.2 Aplicacin del teorema de la derivacin real

    Las funciones laplacianas del tipo fraccin impropia

    f f t s F st s

    ( ) ( ) ( )00

    lim lim

    ( ) ( )t s

    F s f t t dt sTs stT

    Ts( ) ( ) ( ) ( )

    e e e--

    -

    1

    1

    1

    10

    F s sa s a s a s a

    n

    nn

    nn( ) 1 1 1 0

    Apdos. 2.2.1 - 2.2.2

  • 24 Captulo 2 - La transformada de Laplace

    en las que el numerador y el denominador son del mismo grado, no suelen estar comprendidas en las tablas de pares de transformadas de Laplace. La solucin tem-poral de este tipo de expresiones tiene la peculiaridad de incluir siempre un impulso en t 0.

    Sin embargo, es fcil resolverlas aplicando el teorema de la derivacin real, visto ms atrs.

    Este teorema establece que si

    entonces la transformada de la derivada de la funcin es

    y de aqu podemos escribir

    Tomando la antitransformada de cada miembro de esta igualdad tenemos

    pero como la antitransformada de la transformada de una funcin es ella misma, es decir,

    queda finalmente una importante identidad, valiosa por su aplicacin prctica:

    en donde el ltimo trmino, -1[ f (0+)], una vez hecha la transformacin, ser un impulso de magnitud f (0+), es decir, del valor que tiene la funcin f (t) para t 0 en el lado positivo del tiempo. Recurdese que -1[A] A(t). La funcin f (t) ser normalmente una funcin auxiliar en el proceso de clculo.

    Ello nos sirve para hallar la antitransformada de las funciones del tipo fraccin impropia, que se indicaban ms atrs, segn los siguientes dos ejemplos:

    Supongamos que queremos hallar

    f t F s( ) ( )

    f t s F s f( ) ( ) ( )0

    s F s f t f( ) ( ) ( ) 0

    - - -1 1 1s F s f t f( ) ( ) ( ) 0

    -1 f t f t( ) ( )

    - -1 1s F s f t f( ) ( ) ( ) 0

    y t ss

    ( )

    -12

    2 2

  • 25

    La tcnica consiste en seguir los siguientes pasos:

    a) Descomponer la expresin dentro del corchete en dos factores, de tal mane-ra que el primero de ellos sea la variable s, y el segundo sea, obviamente, el resultado de dividir la expresin por s. Al segundo factor le llamamos F(s). En nuestro ejemplo tendremos

    b) Se define la funcin auxiliar f (t)-1[F(s)], y la resolvemos directamente de las tablas, esto es,

    c) Recordar la identidad, demostrada ms atrs

    d) Identificndola con el problema, resolver cada uno de los dos trminos de la derecha, teniendo en cuenta que f (t) cos t

    e) Obtener, por simple sustitucin, el resultado buscado

    el cual contiene un impulso unitario en t0. Otro ejemplo de sumo inters, que nos har falta tener resuelto ms adelante, es

    hallar la ecuacin temporal

    Primeramente haremos la descomposicin necesaria para tener dos fraccio-nes con un solo trmino en el numerador (ver apdo. 2.2.3 en la pg. siguiente).

    y t s ss s F s( ) ( )

    - -1 1

    2 2

    f t F s ss t( ) ( ) cos

    - -1 1

    2 2

    - -1 1s F s f t f( ) ( ) ( ) 0

    f t ddt

    t t( ) cos sen

    - - -1 1 10 0 1f t( ) cos ( )

    y s F s f t f t t - -1 1( ) ( ) ( ) sen ( )0

    y t T sT s

    ( )

    -1 1

    2

    11

    Apdo. 2.2.2

  • 26 Captulo 2 - La transformada de Laplace

    en donde la antitransformada del ltimo trmino se halla directamente de las tablas, mientras que la del primero la resolveremos segn se ha indicado ms atrs, para lo cual definimos la funcin auxiliar f (t) -1[F (s)]:

    en la que haciendo t0, obtenemos f (0+)

    y su antitransformada

    Entonces, la solucin del primer trmino resulta

    Ahora, incorporando el ltimo trmino, la solucin buscada es

    la cual contiene, en t 0, un impulso de magnitud T1

    T2. 2.2.3 Antitransformada de fracciones impropias No obstante lo visto en los dos ejemplos que se acaban de resolver, el lector debe saber que dispone de otros mtodos para hallar la antitransformada de las funciones basadas en una fraccin impropia, es decir, aquella en la que el grado del numerador es mayor o igual al del denominador. En estas fracciones es posible efectuar la divi-sin polinmica entre ambos (reduccin), de tal manera que resultar un polinomio

    T sT s

    s TT s T s

    1

    21

    2 2

    11

    11

    11

    f t F s T T sTT

    t T( ) ( )

    e

    - - -1 11

    2

    1

    2

    11

    2

    f TT

    ( )0 12

    - -1 1f TTTT

    t( ) ( )0 12

    1

    2

    e- - -1 1s F s f t f ddtTT

    TT

    tt T( ) ( ) ( ) ( ) 0 12

    1

    2

    2

    TT T

    TT

    t TT

    TT

    tt T t T12 2

    1

    2

    1

    22

    1

    2

    2 2e -1 e- - ( ) ( )

    y TT

    TT

    tT T

    TT

    TT

    tt T t T t T

    122

    1

    2 2 2

    1

    2

    1

    2

    2 2 21 1 1e e e- - - ( ) ( )

  • 27

    en s, ms una fraccin propia (numerador con menor grado que el denominador, en este caso un grado menos), la cual podr resolverse sin ninguna dificultad. Veamos un ejemplo. Tratemos de resolver

    Al reducir la fraccin, mediante una divisin polinmica entre numerador y denominador, resulta

    en donde las transformadas de cada trmino las obtenemos directamente de las tablas, y nos queda

    2.3 Transmitancia operacional

    Habamos anticipado que la transmitancia operacional de un bloque o sistema es la relacin algebraica entre la funcin transformada de la entrada y la funcin transformada de la salida.

    As, para un determinado bloque, escribiremos

    donde: G(s) Funcin de transferencia o transmitancia operacional.

    X(s) [x (t)] Transformada de la funcin de entrada. Y(s) [y (t )] Transformada de la funcin de salida.

    Por tanto, una vez conocidas la transmitancia de un bloque y su seal de entrada,

    la salida la calcularemos haciendo

    y t s ss

    ( )

    -1 3 13 63 1

    2

    y t ss

    ( )

    -1 4 23 1

    y t t t t( ) ( ) ( ) 4 23

    3e-

    G s Y sX s

    ( )( )( )

    y t Y s( ) ( ) -1

    Apdos. 2.2.2 - 2.2.3 - 2.3

  • 28 Captulo 2 - La transformada de Laplace

    es decir,

    o bien

    Es preciso aclarar que la definicin dada de transmitancia asume unas condicio-nes iniciales del bloque o sistema nulas, es decir, que para t 0, todas sus variables, sus derivadas sucesivas y las constantes de integracin valen cero. Veamos esto con ms detalle, apoyndonos en un ejemplo.

    Fig. 2.1 Circuito R-L-C

    Supongamos un circuito elctrico R-L-C serie que tenga conectada una fuente de

    tensin v(t) en sus extremos, tal como se muestra en la figura 2.1. Vamos a con-siderar como variable de entrada la tensin v(t) y como variable de salida la inten-sidad i(t) en el circuito. Para mayor comodidad, obviaremos aqu las notaciones (t ) y (s). La ecuacin diferencial que define su comportamiento es, por la segunda ley de Kirchoff

    esto es,

    Tomemos ahora laplacianas en ambos miembros de la igualdad, para lo cual debemos transformar cada uno de los trminos

    y t G s X s( ) ( ) ( ) -1

    y t G s x t( ) ( ) ( ) -1

    v R i L didt C

    i dtt

    1 0

    R L Cv v v v

  • 29

    en donde, segn los teoremas de la derivacin y de la integracin, vistos anterior-mente, se contemplan las siguientes condiciones iniciales:

    i (0+) : Intensidad en t 0, a la que llamaremos i0. i (-1)(0+) : Valor de la integral en t 0, es decir, la constante de integracin,

    que en nuestro ejemplo sera la carga inicial del condensador a la que llamaremos q0.

    Estas proposiciones no deberan extraar, puesto que nada impide que por causa

    de la propia fuente, entre otras, existieran una intensidad y una carga presentes, previas al momento que hemos llamado t 0; sera lo que podramos llamar un resumen de la historia del circuito (vase el apndice 3).

    Entonces podemos escribir la funcin transformada

    o, reagrupando trminos

    y de aqu

    sCi

    sCIdti

    C

    iLIsLdtdiL

    IRiR

    Vv

    )0(1

    )0(

    ][

    ][

    )-( 1

    sCq

    sCIiLIsLIRV 00

    V I R L sC s

    Li qC s

    10

    0

    IR L s

    C s

    VL i

    qC s

    R L sC s

    I C sL C s R C s

    V L C s i qL C s R C s

    11 1

    1 1

    00

    2

    0 02

    Apdo. 2.3

  • 30 Captulo 2 - La transformada de Laplace

    en donde al resolver la antitransformada del miembro de la derecha, el primer trmi-no nos dara la parte de la respuesta debida a la fuente y el segundo la parte debida a las condiciones iniciales.

    El coeficiente de la variable V en la ecuacin anterior es la funcin de trans-ferencia operacional, llamada tambin funcin de transferencia o transmitancia operacional, o, simplemente, transmitancia. Es evidente que no contempla las con-diciones iniciales del sistema, las cuales vienen representadas, segn se ha dicho, por el ltimo trmino de la ecuacin. La transmitancia de este sistema la escribiramos, por tanto, as

    Ntese que en el caso de que la ecuacin temporal hubiera tenido algn trmino conteniendo la segunda derivada, tal como

    al transformar aparecera un componente del tipo

    donde recordemos que i'(0+) es el valor de la derivada de la variable i, para t 0, a la que llamaramos i'0, y entonces el segundo y tercero de estos trminos correspon-deran a las condiciones iniciales. 2.4 Transformacin de ecuaciones diferenciales Existe una forma muy cmoda de efectuar la transformacin de ecuaciones dife-renciales, a efectos de obtener la transmitancia de un sistema.

    Si v(t) es una variable temporal, es lcito escribir

    El procedimiento consiste en sustituir el cociente diferencial d

    dt, que en reali-dad es un operador matemtico aplicado a la variable v (t ), por el operador laplacia-no s, y sustituir la variable en s misma, v (t ), por su expresin transformada V(s).

    G s I sV sC s

    L C s R C s( )

    ( )( )

    2 1

    A d idt

    2

    2

    A s I A si Ai2 0 0 ( ) ( )

    2 2

    2 2; ;

    n n

    n ndv d d v d d v dv v vdt dt dt dtdt dt

    n

    d v

  • 31

    Lo que expresaremos as

    Y, por tanto, las sustituciones sern

    v(t) ! V(s)

    Asimismo, puesto que la funcin inversa de la diferenciacin es la integracin, la operacin integral deber ser sustituida por 1

    s, es decir,

    As, en nuestro ejemplo visto en el apartado anterior (fig. 2.1, pg. 28), que recordemos era

    tendremos, obviando las notaciones (t) y (s), las siguientes transformaciones:

    con lo que, sustituyndolas en la ecuacin temporal, obtendremos

    de donde la transmitancia ser

    v R i L didt C

    i dtt

    1 0

    V R I L s I IC s

    I R L sC s

    1

    G IV R L s

    C s

    C sL C s R C s

    11 12

    22

    2( ) ( ) ; ; ;

    nn

    nd d dv t V s s s sdt dtdt

    ! ! ! !n

    dd

    22

    2( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( )

    nn

    nd d dv t sV s v t s V s v t s V sdt dt dt

    ! ! !d

    1 1 y, por tanto, ( ) ( )dt v t dt V sss! !

    0

    t

    v Vi I

    di sIdt

    Ii dt s

    !

    !

    !

    !

    Apdos. 2.3 - 2.4

  • 32 Captulo 2 - La transformada de Laplace

    en coincidencia con la que se haba obtenido.

    Ms adelante el lector ver que estas ecuaciones, y en particular su denomina-dor, se simplifican notablemente al introducir los conceptos de constante de tiempo y factor de amortiguacin, cuestiones que sern estudiadas extensamente.

    Veamos otro ejemplo sobre el clculo de la transmitancia del bloque represen-tado en la figura 2.2, compuesto por una inductancia y un resistor.

    Fig. 2.2 Circuito R-L

    Asumiremos que la tensin e(t ) es la entrada del bloque, y que la cada de ten-sin vR (t ) v (t ) en la resistencia es la salida. Obviaremos la notacin (t ).

    Aplicando la segunda ley de Kirchoff, resulta

    Si i es la intensidad que circula por L y R

    y puesto que i v

    R

    Por tanto, efectuando las debidas sustituciones, y teniendo en cuenta que v vR, la ecuacin diferencial que relaciona las variables de entrada y salida ser

    e v vL R

    v L didtL

    didt R

    dvdt

    1

    e LR

    dvdt

    v

  • 33

    Efectuando ahora las sustituciones de transformacin, segn el mtodo indicado, obtendremos

    de donde

    Y llamando T a la relacin L

    R, que ms adelante veremos que es la constante de tiempo, se obtiene finalmente la transmitancia

    2.5 Ejemplos de clculo

    Obtngase la salida v(t ) del circuito de la figura 2.2, visto ltimamente, al ser excitado con seal de entrada e(t ), en forma de escaln, de amplitud A. Ello equi-valdra, en la prctica, a conectar bruscamente en sus bornas de entrada una fuente de tensin continua de magnitud A.

    Diremos

    en donde

    y, por otra parte, en el apartado anterior acabamos de calcular que

    A continuacin hallaremos la antitransformada

    que nos proporcionar la respuesta buscada.

    E LR

    sV V V LR

    s

    1

    G VE LR s

    1

    1

    G T s 1

    1

    G sT s

    ( )

    11

    ( ) ( )E s e t

    ( ) ( ) ( )V s E s G s

    -1( ) ( )v t V s

    Apdos. 2.4 - 2.5

  • 34 Captulo 2 - La transformada de Laplace

    La funcin de la entrada es un escaln de amplitud A, esto es

    y, por tanto, de las tablas de transformadas, y sin olvidar que A es una constante, obtenemos

    Prescindiendo de la notacin (s), y sustituyendo en la primera ecuacin

    Y de las tablas de conversin obtenemos la respuesta buscada

    que corresponde a una funcin exponencial creciente, de amplitud A, segn vamos a demostrar.

    Primeramente calculemos el valor de esta funcin para tiempo cero y para tiem-po infinito.

    Sin embargo, estos valores podan haber sido calculados sin necesidad de resolver la ecuacin. Simplemente aplicando los teoremas sobre la transformacin de Laplace, nmeros 10 y 11 (teorema del valor final y teorema del valor inicial, pgs. 22 y 23). Ello resulta muy til en ocasiones, ya sea para verificar que la solucin ha sido probablemente bien calculada, o bien porque, con frecuencia, slo interesa conocer estos dos valores de la funcin, que corresponden al valor de arranque (para t 0+) y al valor en estado estacionario (para t ) de la solucin. Veamos estos clculos aplicando los mencionados teoremas.

    Para t0

    V As TsA

    s Ts

    1

    11

    1( )

    " #v V A t T e- -1 1

    v v t sV s A ss T st s s

    ( ) lim ( ) lim ( ) lim( )

    01

    00

    ( ) ( )e t Au t

    Para 0 (0) (1 1) 0

    Para ( ) (1 0)

    t v A

    t v A A

    ( ) ( ) ( ) AE s e t Au t s

  • 35

    Para t

    que coinciden con los calculados anteriormente. 2.5.1 Clculo con condiciones iniciales

    El lector podr preguntarse cmo se contemplara el hecho de que el circuito estuviera sometido a unas condiciones iniciales, no nulas, tal como sucedera si hubiera estado conectado permanentemente a una fuente de tensin continua de magnitud A0 y, repentinamente, sta aumentara en escaln hasta alcanzar un valor A. Es evidente que en estas condiciones, antes de producirse el escaln se tendra una intensidad en el circuito y, en consecuencia, una tensin en la salida.

    Es fcil calcular estos valores iniciales, asumiendo que el circuito se encuentra en estado estacionario, lo que se desprende del anunciado anterior, cuando se ha dicho conectado permanentemente. La totalidad de la tensin de la fuente A0 podr medirse en bornas de la resistencia y, por tanto,

    Ahora debemos reconsiderar la transformacin laplaciana de la ecuacin tempo-ral de equilibrio

    tomando la transformada de cada trmino, pero teniendo en cuenta la existencia de condiciones iniciales.

    En general hay que atenerse a lo indicado en los teoremas de la derivacin real y de la integracin real, vistos en el apartado 2.2 de este mismo captulo (pgs. 21 y 22), en lo referente a condiciones iniciales.

    Entonces se tiene

    y puesto que

    v lim v t lim sV s lim A ss T s

    At s s

    ( ) ( ) ( )( )

    0 0 1

    e LR

    dvdt

    v

    E LR

    sV LR

    v V ( )0

    0 0v A

    Apdos. 2.5 - 2.5.1

  • 36 Captulo 2 - La transformada de Laplace

    entonces

    de donde

    en la que al sustituir E por su expresin A

    s, se obtiene

    El primer trmino de la respuesta obviamente coincide con el que habamos calculado para el caso de condiciones iniciales nulas. Ahora, adems, tenemos que incorporar la transformada inversa del segundo trmino, que es el que contiene la parte de la respuesta debida a las condiciones iniciales, segn las hemos planteado

    y, simplificando, obtenemos finalmente la siguiente respuesta, expresada de diversas formas, que permiten variadas interpretaciones:

    la cual corresponde a una curva de crecimiento exponencial, similar a la que haba-mos obtenido, pero partiendo de un valor para t0 de A0 en vez del valor 0 que tenamos sin condiciones iniciales. En ambos casos, el valor para t es de A, por-que, en cualquier caso, el valor final de salida converge asintticamente hacia el valor de entrada. Ntese, en la ltima de las formas, el crecimiento exponencial con-secuencia del escaln A A0, as como el valor inicial de salida A0 (haciendo t0).

    Hay algo muy importante que no debera pasar desapercibido: hemos aplicado una entrada correspondiente a un escaln de amplitud A, mientras que el verdadero salto producido en la fuente ha sido solamente de A A0. Ello es debido que en la definicin de transformada de Laplace se considera nulo todo valor de una funcin para t0, y esto afecta, obviamente, a las funciones de excitacin. De aqu que hayamos tenido que considerar el escaln total A. Ha sido el manejo de las condi-

    E V T s T v ( )1 0

    V ET s

    T AT s

    11 1

    0

    V As T s

    T AT s

    11 1

    0

    " #-1 - -0 1 1 e et T t Tv V A T A T

    " # " #" #0 - - -0 0 01 1 e e 1 et T t T t TAv A A A A A A AA

    0 0(0 )v v A

  • 37

    ciones iniciales (y as es en general), antes de efectuar la transformacin inversa, lo que ha permitido introducir las mismas en la funcin de la respuesta; en nuestro caso, el efecto previo del escaln parcialmente ejecutado hasta el valor A0. 2.6 Conversin de una funcin laplaciana en una ecuacin diferencial

    Dada una funcin transformada de Laplace, es fcil efectuar la conversin a su ecuacin diferencial equivalente. Para ello emplearemos, en sentido inverso, la tc-nica descrita en el apartado 2.4 (pg. 30); es decir, que sustituiremos el operador laplaciano s por el operador diferencial d

    dt aplicado a la variable temporal x(t), as como la variable laplaciana X(s) por la variable temporal en s misma x(t). Recur-dese que cuando el operador laplaciano apareca en la forma 1 s se sustitua por el operador integral. Por ejemplo, hallemos la ecuacin diferencial correspondiente a la siguiente funcin de transferencia

    de donde

    y efectuando las citadas sustituciones, tenemos

    Tambin podamos haber optado, antes de la sustitucin, por el camino de divi-dir por Ts en ambos miembros de la igualdad, y entonces

    de donde

    la cual equivale a la hallada anteriormente, ya que es el resultado de integrar ambos miembros de la igualdad. Generalizando, y como consecuencia del teorema de la

    G VE

    T sT s

    1

    V T s E T s

    T sV V T s E

    ( )

    1

    VT s

    V E 1

    vT

    v dt e 1

    dv deT v Tdt dt

    Apdos. 2.5.1 - 2.6

  • 38 Captulo 2 - La transformada de Laplace

    derivacin real y del teorema de la integracin real (nmeros 8 y 9 del apartado 2.2.1 de este captulo, pgs. 21 y 22), podemos establecer la siguiente propiedad:

    Si en la transformada de Laplace de una ecuacin ntegro-diferencial se multiplican o dividen ambos miembros de la igualdad por el operador s, el resultado es equivalente a diferenciar o integrar, respectivamente, cada uno de los trminos de la ecuacin original.

    Resolvamos adems el ejemplo correspondiente a la figura 2.1 (pg. 28), cuya

    transmitancia se calcul en el apartado 2.4 (pg. 31), y result ser

    en donde haramos

    y de aqu, haciendo las sustituciones debidas, obtendremos la ecuacin diferencial buscada

    o bien, dividiendo ambos miembros de la igualdad por Cs, antes de la sustitucin, se tendra

    de donde, haciendo ahora las sustituciones, se obtendra

    que coincide con la ecuacin diferencial que se tena del circuito de la figura 2.1 (pg. 28).

    G IV

    C sL C s R C s

    2 1

    C sV L C s I R C s I I 2

    C dvdt

    L C d idt

    R C didt

    i 2

    2

    V L s I R IC s

    I 1

    v L didt

    R iC

    i dt 1

  • 39

    3 Variables y parmetros 3.1 Es necesario tipificar

    En primer lugar debemos constatar la diversidad de sistemas con los que pode-mos tratar, y de la infinidad de tipos de variables y parmetros diferentes que se nos pueden presentar. Sistemas elctricos, electrnicos, neumticos, hidrulicos, mecni-cos, qumicos, trmicos, nucleares, etc. En ellos nos aparecern parmetros tan dispares como inductancia, masa, volumen, constante elstica, calor especfico, viscosidad, conductividades diversas, etc., y variables de toda ndole, como tensin, intensidad, carga elctrica, caudal, velocidad, aceleracin, temperatura, pH, nivel, presin, concentracin, opacidad, etc. Dicho esencialmente, puesto que ms adelante se desarrollan ampliamente estos conceptos, la diferencia entre variables y parmetros consiste en que las primeras son, como su nombre indica, magnitudes cambiantes con el tiempo, las cuales determinan el estado del sistema; mientras que los segundos permanecen constantes: podra decirse que los parmetros reflejan las propiedades o caractersticas inherentes de los componentes. De este modo, en las ecuaciones de equilibrio, las variables se muestran con la notacin (t), mientras que los parmetros aparecen como constantes paramtricas (coeficientes). No obstante, es preciso aclarar que una determinada propiedad de un componente puede ser clasificada como variable o parmetro, segn la funcin que realice en el sistema. As, por ejemplo, si estamos controlando la densidad de una mezcla, tendremos que la densidad inicial y final del producto ser considerada como una variable; mientras que la densidad del agente regulador puede ser considerada como un parmetro, por ser de valor constante.

    Sin embargo, es posible sintetizar toda esta gama amplsima de tipos de datos y tipificarla en unos pocos conceptos elementales, que nos permitirn efectuar analo-gas, similitudes o comparaciones entre diversos sistemas, parmetros y variables, y finalmente tipificar y estudiar el comportamiento de los sistemas de manera sencilla y generalizada.

    - Apdo. 3.1Captulo 3

  • 40 Captulo 3 - Variables y parmetros

    Veremos que, bsicamente, podemos tipificar las variables y los parmetros segn un nmero muy limitado de tipos diferentes.

    3.2 Variables

    Las variables representan las magnitudes que determinan el estado de un compo-nente, bloque o sistema. Su valor, normalmente cambiante con el tiempo, puede ser expresado por una funcin temporal. Distinguiremos tres tipos bsicos:

    Potencial o fuerza impulsora

    Son las fuerzas generadoras o impulsoras de todos los fenmenos. Las que generan el tipo de variable flujo, que se describe seguidamente. En realidad, cuando se habla de potencial, se hace referencia a una diferencia de potenciales, puesto que todo potencial tiene que estar necesariamente referido a otro. Es por ello que utilizaremos indistintamente las dos expresiones.

    Pertenecen a este tipo de variables, entre otras, el potencial elctrico o ten-

    sin, la presin, la temperatura y la fuerza fsica.

    Flujo o corriente

    Estas variables son generadas, segn se ha dicho, por las del tipo potencial. De alguna manera dan una idea de transporte, ya sea msico, energtico o de algn tipo de caracterstica, propiedad o estado cuantificable (como densidad, concentracin, temperatura o pH).

    Pertenecen a este tipo el caudal de un fluido, la intensidad elctrica, el flujo

    calrico, la velocidad de desplazamiento, la velocidad angular, etc.

    Carga o cantidad

    Son consecuencia de la integracin o acumulacin en el tiempo, de las va-riables del tipo flujo.

    Son de este tipo el volumen acumulado de un fluido, el nivel, la carga elc-

    trica, la cantidad de calor, el desplazamiento, el ngulo de giro, etc. El lector podr percatarse de la existencia de conceptos derivados, tales como que el producto de un flujo por el potencial bajo el que opera, equivale a una potencia, y que el producto de una carga por el potencial al que est sometido, representa una energa.

    As, se podran establecer otros tipos de variables tales como potencia y energa, pero en principio, las consideraremos como variables derivadas. En todo caso, siempre ser posible tra-tarlas como de alguno de los tres tipos definidos, en funcin de las variables asociadas.

  • 41

    Sin embargo, una variable determinada puede pertenecer a categoras diferentes, segn el contexto en que se la considere. As, por razones ms bien histricas e intui-tivas, se ha mencionado la tensin elctrica dentro de la categora de las de potencial, y la intensidad dentro de las de flujo. Pero, por ejemplo, si se dispone de una fuente de intensidad, esta variable puede manejarse como si fuera del tipo potencial, y las tensiones que genere en el circuito a la que est conectada sern variables del tipo flujo. En Teora de circuitos, esto entrara en el concepto denominado dualidad, y es debido a consideraciones de ndole conceptual y matemtico. 3.3 Parmetros

    Los parmetros son magnitudes constantes que definen las caractersticas fun-damentales, inherentes de los componentes ms simples de un sistema. Para su tipifi-cacin estableceremos un criterio basado en el anlisis de la relacin causa-efecto entre las variables de entrada y salida del componente.

    Un parmetro no es ms que la expresin de la transmitancia de un componente bsico o elemental, en funcin de determinadas variables de entrada y salida, por lo que se cumplirn las igualdades

    o en expresin laplaciana

    en donde

    g, G Parmetro (transmitancia) x(t), X(s) Variable de entrada y(t), Y(s) Variable de salida

    Sera ms correcto escribir g(t) y G(s), pero como por el momento estamos suponien-

    do elementos simples, cuya transmitancia puede expresarse por una constante numrica, omitiremos esta notacin.

    Puesto que estamos considerando sistemas lineales (caractersticas invariables con el tiempo y con el estado del sistema), los parmetros se expresarn, por tanto, mediante valores constantes, los cuales representaremos, en general, con una letra mayscula.

    g y tx t

    y t g x t ( )( )

    ; ( ) ( )

    GY sX s

    Y s G X s ( )( )

    ; ( ) ( )

    Apdos. 3.2 - 3.3

  • 42 Captulo 3 - Variables y parmetros

    No siempre ser posible efectuar, de forma sencilla, la relacin indicada, utilizando funciones temporales, porque alguna de ellas, con componentes ms complejos, podr ser una ecuacin diferencial o integral, pero siempre podr realizarse utilizando transformadas laplacianas.

    En cierta medida, la propiedad que define un parmetro va tan fuertemente asociada al componente, que a veces puede ser confundida con l mismo. As por ejemplo, encon-tramos que la expresin capacidad suele usarse en la prctica tanto para designar el componente fsico condensador, como para designar su caracterstica elctrica capacitancia. Algo parecido sucede con masa, que puede significar tanto el cuerpo fsico, como la expresin de la caracterstica o propiedad que le relaciona con la gravedad y con las fuerzas de inercia.

    Tngase en cuenta que habitualmente se tiende a identificar un componente como algo material y tangible; pero esto no siempre es as, sino que a veces se trata de algo abstracto, conceptual o virtual, pero que podemos manejar como un bloque dentro de un sistema. Lo importante es poder definir un modelo matemtico que identifique sus caractersticas y comportamiento. Pueden establecerse los siguientes tipos de parmetros: Resistencia, o su recproco, la conductancia

    Es la caracterstica de aquellos componentes que poseen una relacin pro-porcional entre la diferencia de potencial a la que se encuentran sometidos, y el flujo circulante. Son incapaces de almacenar carga alguna y, en todo caso, son disipadores de energa.

    La expresin matemtica de la resistencia ser

    donde

    R Resistencia (t ) Flujo considerado como variable de entrada p (t ) Diferencia de potencial como variable de salida

    O bien, si se intercambian entre s las variables de entrada y salida,

    en donde 1

    R es la conductancia (recproco de la resistencia).

    R p tt

    p t R t ( )( )

    ; ( ) ( )

    ( ) ( )tR

    p t 1

  • 43

    Son de este tipo, entre otros, la resistencia elctrica, la friccin viscosa, la conductancia calorfica, la resistencia que ofrece una restriccin al paso de un fluido, etc.

    La diferenciacin entre los dos parmetros recprocos resistencia y conductancia es

    conceptual, y debe basarse en que la primera se aplicara a la propiedad de un componente pasivo, de determinar la diferencia de potencial generada como consecuencia de un flujo circulante impuesto; mientras que la segunda se aplicara a la propiedad de determinar el flujo circulante, como consecuencia de una diferencia de potencial impuesta.

    Ntese que en el caso de una resistencia elctrica, por razones histricas, suele consi-

    derarse intuitivamente que la variable de entrada ms razonable es la diferencia de poten-cial o tensin, la cual provoca como consecuencia (variable de salida) una intensidad de corriente, pero estrictamente hablando el parmetro implicado sera la conductancia. El par-metro resistencia debera aplicarse para determinar la tensin generada dada una intensidad.

    Capacidad

    Es la caracterstica de aquellos componentes que muestran la propiedad de almacenar una carga, como consecuencia de la integracin en el tiempo del flujo circulante. A su vez, esta carga almacenada se manifiesta como una diferencia de potencial. Una carga sometida a una diferencia de potencial implica una energa almacenada, la cual tiende a liberarse, reduciendo la carga y el potencial.

    Las relaciones entre las variables citadas se expresan del siguiente modo:

    pero como, segn se dijo, la carga es la integral del flujo

    entonces

    donde

    C Capacidad q (t) Carga (variable intermedia)

    (t) Flujo (variable de entrada) p (t) Diferencia de potencial (variable de salida)

    C q tp t

    p tC

    q t ( )( )

    ; ( ) ( )1

    q t dt( )

    p tC

    dt( ) 1

    Apdo. 3.3

  • 44 Captulo 3 - Variables y parmetros

    Son parmetros de este tipo, la capacidad (capacitancia) elctrica, la capa-cidad volumtrica, la capacidad calorfica, etc.

    Inertancia

    Define la propiedad de aquellos componentes que se caracterizan por presentar una inercia a los cambios de flujo. El potencial es proporcional a la velocidad de cambio del flujo circulante, por lo que ste se mantiene invariable siempre que no exista ningn potencial.

    Estrictamente hablando, hay que partir de una variable intermedia, como

    suceda con el parmetro capacidad, pero no tan obvia, a la que llamaremos carga inercial q, y que satisface

    Pero esta carga es la integral del potencial

    luego

    donde

    L Inertancia q (t) Carga inercial (variable intermedia) p (t) Diferencia de potencial (variable de entrada)

    (t) Flujo (variable de salida)

    aunque suele preferirse presentar esta ecuacin, y as lo haremos en general, bajo la forma

    a efectos de mostrar claramente la dependencia entre el potencial y las varia-ciones de flujo.

    Pertenecen a este tipo, entre otras, la inductancia de una autoinduccin elc-

    trica, o la propiedad inercial de una masa fsica.

    L q tt

    tL

    q t ( )( )

    ; ( ) ( )

    1

    q t p dt( )

    ( )tL

    p dt 1

    p t L ddt

    ( )

  • 45

    Los parmetros capacidad e inertancia, son asimismo conceptualmente inversos, ya que, dependiendo de las variables que se consideren implicadas, pueden ser considerados de uno u otro tipo, de acuerdo con el principio de la dualidad. As, hay que considerar, en rigor, que la variable independiente (entrada) de un parmetro del tipo capacidad es el flujo, el cual genera una diferencia de potencial como variable dependiente (salida). En contraposicin, la variable independiente de un parmetro del tipo inertancia ser la diferencia de potencial, la cual causar un flujo como variable dependiente. Sin embargo, es perfectamente admisible en una capacidad, considerar como variable de entrada un potencial, a lo que responder con un flujo como variable de salida, oponindose a las variaciones del potencial de entrada; es decir, comportndose como un elemento del tipo inertancia. Podra hablarse del concepto dual equivalente en cuanto a un parmetro del tipo inertancia, el cual, segn las variables que se consideren, muestra un comportamiento del tipo capacitivo (acumula energa).

    Aclaremos al lector, a ttulo de ejemplo, que la variable que hemos denominado carga

    inercial sera, para el caso de una autoinduccin, el flujo magntico (Li), y para el caso de una masa sometida a una fuerza de empuje sera la cantidad de movimiento (Mv). Trate el lector de identificar las variables y ecuaciones vistas anteriormente, con las que correspon-deran a estos dos ejemplos citados.

    Es preciso tambin puntualizar el hecho de que algunos procesos fsicos carecen del

    parmetro del tipo inercial. Este es el caso de los procesos trmicos, en los que cualquier inercia aparente (inercia trmica) se debe al calor acumulado en las capacidades, que es cedido progresivamente a travs de las resistencias.

    En la figura 3.1 se muestra la representacin de los bloques resistencia y

    conductancia, ambos en versin elctrica, as como las relaciones entre las variables tensin y corriente.

    Fig. 3.1 Bloques resistencia y conductancia. Relacin entre variables

    La figura 3.2 representa el componente capacidad en la versin elctrica, y sus correspondientes diagramas de bloques, as como las relaciones entre las variables tensin y corriente. Se ha detallado la variable intermedia carga elctrica Q(s), como resultado de la integracin de la intensidad I(s) en el bloque [1

    s], o como carga debida a un potencial V(s) en un bloque [C ].

    Apdo. 3.3

  • 46 Captulo 3 - Variables y parmetros

    Fig. 3.2 Diagrama de bloques de una capacidad. Relacin entre variables

    Fig. 3.3 Diagrama de bloques de una inductancia. Relacin entre variables

  • 47

    En la figura 3.3 se representa el componente inertancia en la versin elctrica inductancia, y sus correspondientes diagramas de bloques, as como las relaciones entre las variables corriente y tensin. Se ha detallado la variable intermedia flujo magntico (carga inercial), como integracin de la diferencia de potencial V(s), en un bloque [1/ s], o como efecto de la intensidad I(s) en un bloque [L].

    El lector evitar la confusin que pueden causar los smbolos y , utilizados para el flujo magntico de una autoinduccin, y para el flujo en trminos genricos, cuando se describa el parmetro inertancia. En una resistencia elctrica (resistor) el flujo correspondera a la intensidad de corriente. El flujo magntico de una autoin-duccin se corresponde con la carga inercial en la descripcin genrica de inertancia.

    3.4 Analogas Dos componentes o sistemas sern anlogos si estn descritos por ecuaciones de equilibrio con la misma forma matemtica; es decir, por expresiones idnticas en las que solamente cambian los nombres o smbolos de los parmetros y de las variables.

    Veamos unos ejemplos, agrupados segn los cuatro tipos de parmetros, en don-de se ha incluido la funcin temporal y su transformada.

    Resistencia o conductancia

    Friccin viscosa

    Resistor

    Resorte v t

    Bf t( ) ( ) 1

    i t

    Rv t( ) ( ) 1

    d t

    Kf t( ) ( ) 1

    V s

    BF s( ) ( ) 1

    I s

    RV s( ) ( ) 1

    D s

    KF s( ) ( ) 1

    B Coef. fricc. viscosa v, V Velocidad f, F Fuerza

    R Resistencia i, I Intensidad v, V Tensin

    K Constante elstica d, D Desplazamiento f, F Fuerza

    Capacidad

    Nivel en tanque

    Condensador

    Autoinduccin

    n t

    Aq dt( ) 1

    v t

    Ci dt( ) 1

    i t

    Lv dt( ) 1

    N sA s

    Q s( ) ( ) 1

    V s

    C sI s( ) ( ) 1

    I s

    L sV s( ) ( ) 1

    A rea del tanque n, N Nivel q, Q Caudal aporte neto

    C Capacidad v, V Tensin i, I Intensidad

    L Inductancia i, I Intensidad v, V Tensin

    Apdo. 3.3 - 3.4

  • 48 Captulo 3 - Variables y parmetros

    Inertancia

    Masa

    Autoinduccin

    Condensador f t M dv

    dt( )

    v t L di

    dt( )

    i t C dv

    dt( )

    F s M sV s( ) ( )

    V s L s I s( ) ( )

    I s C sV s( ) ( )

    M Masa f , F Fuerza v, V Velocidad

    L Inductancia v, V Tensin i, I Intensidad

    C Capacidad i, I Intensidad v, V Tensin

    No debera sorprender hallar incluido en el grupo de parmetros del tipo capa-cidad una autoinduccin, o que en el tipo inertancia se encuentre un condensador. Es la funcin matemtica la que clasifica el componente, porque sta define su com-portamiento, que es justamente lo que se est tipificando. Obsrvese que un mismo componente responde segn una ecuacin de distinta forma, dependiendo de qu variables se consideren como de entrada y de salida.

    Veamos como los elementos ficcin viscosa, resorte, masa, autoinduccin y condensador pueden pertenecer a cada uno de los cuatro tipos de parmetros, sin ms que asignar diferentes variables de entrada y salida.

    E L E M E N T O

    Parmetro $

    Fricc. viscosa

    Resorte

    Masa

    Autoinduc.

    Condensador

    Resistencia

    v

    Bf 1

    x

    Kf 1

    a

    Mf 1

    i

    L 1

    v

    Cq 1

    Conductancia f B v f K x f M a Li q C v Capacidad

    x

    Bf dt 1

    f K v dt

    v

    Mf dt 1

    i

    Lv dt 1

    v

    Ci dt 1

    Inertancia

    f B dx

    dt

    vK

    dfdt

    1

    f M dv

    dt

    v L di

    dt

    i C dv

    dt

    Parmetro:

    B Coef. fricc. v Velocidad f Fuerza x Recorrido

    K Const.elst. x Recorrido f Fuerza v Velocidad

    M Masa a Aceleracin f Fuerza v Velocidad

    L Inductancia i Intensidad Flujo magn. v Tensin

    C Capacidad v Tensin q Carga i Intensidad

    As pues, llamando x a la entrada del componente o bloque, e y a la salida del mismo, tendremos, para resumir, la siguiente tabla de expresiones para cada tipo de componente, en la que se han omitido las notaciones (t ) y (s).

  • 49

    Parmetro

    Ecuacin de equilibrio Transmitancia

    Tipo

    Valor

    Temporal

    Laplaciana G Y X

    Resistencia

    R

    y R x

    Y R X

    G R

    Conductancia

    1 R

    yR

    x 1

    YR

    X 1

    GR

    1

    Capacidad

    C

    1y x dtC

    1Y X

    C s

    GC s

    1

    Inertancia

    L

    y L dx

    dt

    Y L s X

    G L s

    A continuacin se presenta una tabla de analogas de variables y parmetros, entre distintos sistemas fsicos y tecnolgicos.

    S I S T E M A

    Elctrico

    (Voltaje)

    Elctrico (Corriente)

    Mecnico (Traslacin)

    Mecnico (Rotacin)

    Fluidos

    Trmico

    Potencial

    Tensin

    Intensidad

    Fuerza

    Par (torsin)

    Presin

    Temperatura

    Flujo

    Intensidad

    Tensin

    Velocidad

    Velocid. ang.

    Caudal

    Flujo calorf.

    Carga

    Carga elctr.

    Flujo magnt.

    Desplazamto.

    ngulo

    Cantidad

    Cant. calor

    Resistencia

    Resistencia

    Conductanc.

    Coef. fric.visc.

    Coef. fric.visc.

    Resistencia

    Resistencia

    Conductanc.

    Conductanc.

    Resistencia

    Inverso " "

    Inverso " "

    Inverso "

    Conductanc.

    Capacidad

    Capacidad

    Inductancia

    Const. elstica

    Cte. elst. rot.

    Volum., rea

    Capac. calorf.

    Inertancia

    Inductancia

    Capacidad

    Masa

    Mom. inercia

    Inercia

    (No tiene)

    Quizs en este captulo habra que dedicar unas pocas lneas a las constantes. En honor a su grandeza hay que mencionarlas: el nmero pi (%) y el nmero e lide-ran, sin duda, los fundamentos de las Matemticas; pero le siguen una mirada de constantes universales, de gran importancia, utilizadas por diversas ciencias y por la tecnologa. Lo dems... son variables o parmetros.

    Apdo. 3.4

  • 51

    4 Elementos bsicos

    Antes de adentrarnos en el anlisis y el estudio detallado del comportamiento de los sistemas controlados, ser necesario conocer detenidamente los elementos bsicos en que se fundamentan estos estudios. Se vern, por tanto, en primer lugar, las diversas formas elementales de excitacin, y a continuacin se describirn los componentes bsicos de un sistema controlado. 4.1 Formas o funciones elementales de excitacin

    El anlisis de la Respuesta temporal, ya sea de un componente elemental, ya sea de un sistema complejo, precisa utilizar unas formas o funciones elementales de seal, con las que excitar dichos componentes o sistemas, y analizar las respuestas frente a estos estmulos. 4.1.1 Escaln unitario

    Significa un cambio instantneo de la magnitud de la variable, desde un valor nulo a un valor igual a la unidad, en el que permanece constante. Se asume que este cambio se produce en el tiempo cero.

    Su representacin grfica se muestra en la figura 4.1(a).

    Esta funcin se simboliza por u (t ), y tiene la siguiente evaluacin:

    Para t 0: u (t ) 0

    Para t 0: u (t ) 1

    - Apdos. 4.1 - 4.1.1Captulo 4

  • 52 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Fig. 4.1 Funciones elementales de excitacin

    Debe notarse que para t0, el valor de la funcin es indefinido, debido a que se tiene una discontinuidad. En este tipo de funciones, se utiliza la expresin f (0+), para indicar que se toma el valor de la funcin en t0, pero evaluada en el lado positivo del tiempo, es decir, para el tiempo tendiendo a cero desde t 0. Lo mismo puede decirse de la expresin f (0-), pero referido al lado negativo del tiempo. De este modo, cabe aadir dos evaluaciones adicionales de la funcin escaln unitario, que al refundirlas con las que tenamos inicialmente queda:

    Para t 0: u (t ) 0 Para t 0, t 0: u (0-) 0 Para t 0, t 0: u (0+) 1 Para t 0: u (t ) 1

    Prcticamente, y a ttulo de ejemplo, consideramos que se produce un escaln,

    cuando cerramos un interruptor que conecta una fuente de tensin continua constante a una resistencia pura. Tanto la tensin en bornas de la misma, como la intensidad, sufrirn un salto o escaln de una magnitud acorde con la tensin de la fuente y con el valor de la resistencia. As, llamando V a la tensin, i(t ) a la intensidad, y R a la resistencia, se tendra

    i (t) I u (t)

    donde IV

    R sera la magnitud del escaln de intensidad.

  • 53

    Y, por lo tanto, puesto que el producto de I por la funcin u(t ) hace nulo todo valor de i (t) para t0, se tiene:

    Para t 0: i(t ) 0

    Para t 0: i(t ) I 4.1.2 Impulso unitario

    La funcin impulso unitario se simboliza por (t ), y es conocida tambin como funcin delta de Dirac. Es la derivada de la funcin escaln unitario.

    En rigor matemtico, no es correcto hablar de la derivada del escaln unitario, puesto que dicha funcin no est definida para t 0, en donde existe un punto de discontinuidad. No obstante, ser vlido para nuestro propsito y, en todo caso, la siguiente explicacin clarificar el concepto con mayor precisin.

    Se entender mejor su significado si consideramos la derivada de un escaln unitario imperfecto, tal como el dibujado en la figura 4.1(b), cuya ecuacin, en el tramo que va desde t 0 hasta tT, es f (t ) t / T. La derivada de esta funcin, mostrada en la figura 4.1(c), es un pulso de amplitud 1/ T, y de duracin T. Cuanto menor sea sta, mayor ser la amplitud del pulso, de tal manera que la superficie encerrada por esta funcin derivada se mantiene constante e igual a la unidad, inde-pendientemente del valor de T. Si ahora imaginamos que ste se hace cada vez ms pequeo, hasta que, en el paso al lmite, vale cero, entonces la funcin se convierte en un escaln unitario perfecto, segn se muestra en la figura 4.1(d), y su derivada es un pulso de duracin nula y amplitud infinita, pero la superficie seguir valiendo la unidad, es decir, tendremos un impulso unitario, como muestra la figura 4.1(e).

    Un ejemplo prctico de lo que se considerara un impulso puede ser el impacto de un golpe de martillo sobre una masa. Se desarrolla una fuerza de empuje muy grande durante un tiempo muy pequeo, y la energa cedida tiene un valor espec-fico, determinada por leyes elementales de la Fsica.

    Otro ejemplo puede ser la intensidad de carga de un condensador, en el instante

    que es conectado a una fuente de tensin continua. Se produce un pico de intensidad de muy breve duracin, pero de gran amplitud. Idealmente hablando, la carga del condensador se efecta instantneamente (duracin nula) por mediacin de una corriente infinita. La carga transferida (integral o superficie encerrada por el impul-so), sabemos que vale Q VC. La funcin que expresara este impulso ideal sera i (t ) Q(t ). Ni que decir que en la prctica, debido a la resistencia e inductancia inevitables del circuito, la intensidad de carga adopta una forma de campana con un valor de pico finito y una duracin no nula.

    Apdos. 4.1.1 - 4.1.2

  • 54 Captulo 4 - Elementos bsicos

    4.1.3 Rampa unitaria

    Consiste en un cambio constante e uniforme de la magnitud de la variable, a razn de una unidad de medida por unidad de tiempo, a partir del instante t 0. Esto equivale a decir que la variable cambia a una velocidad constante igual a la unidad. Corresponde a la integral de la funcin escaln unitario. Se representa en la figura 4.1(f ).

    Su expresin es:

    Para t & 0: r(t ) 0

    Para t ' 0: r(t ) t Y, por tanto, en todo momento se cumple la expresin

    r(t ) tu(t ) ya que el efecto de multiplicar cualquier funcin por u(t ) es hacer nulo todo valor para t 0.

    La funcin parablica equivale a la integral de la funcin rampa unitaria. 4.1.4 Funcin senoidal

    Al utilizarse una forma de onda senoidal como funcin de excitacin en un sistema, ste responder siempre con una funcin tambin senoidal de la misma frecuencia, pero de amplitud y fase diferentes, lo que la hace que sea de gran inters para el anlisis frecuencial. Su expresin es la conocida funcin trigonomtrica

    f (t ) sen(t ) 4.2 Componentes bsicos de un sistema controlado

    Todo sistema controlado puede considerarse compuesto por una serie de com-ponentes bsicos, interconectados entre s, de tal manera que, en general, la salida de cada uno pasa a ser la entrada del siguiente, con la excepcin de las entradas y salidas exteriores, as como de posibles puntos de suma intermedios.

    Para analizar un sistema controlado es necesario el conocimiento de estos com-ponentes, con relacin a sus comportamientos y respuestas individuales.

  • 55

    Podramos desglosarlos en componentes activos o fuentes, y en componentes pasivos. Los componentes activos pueden ser ajustables. Los pasivos se desglosan en simples y compuestos.

    Los componentes simples son aquellos componentes elementales cuya transmi-tancia se corresponde con alguno de los tres tipos de parmetros vistos en el captulo anterior. Los compuestos son aquellos que estn formados por dos o ms elementos simples, pero que, ya sea fsica o conceptualmente, forman un conjunto indivisible. Los ajustables son los que pueden modificar el valor de alguno de sus parmetros, dependiendo de una determinada seal de mando.

    Vamos a identificar en los procesos y sistemas reales cules son estos compo-nentes y cmo estn constituidos. Determinaremos sus caractersticas y, as, podre-mos estudiar ms tarde su respuesta temporal y su anlisis frecuencial.

    4.2.1 Componentes activos

    Un componente activo no es ms que una fuente capaz de generar, por s misma, una variable determinada, y de una magnitud definida de acuerdo con una funcin temporal especfica.

    Considerado como bloque, un componente activo carece de variable de entrada y, por tanto, se integrar en un diagrama de bloques como una seal (del tipo poten-cial o de flujo) entrante al sistema.

    Sin embargo, en la prctica, puede recibir una seal de mando (ya sea remota o manual), capaz de gobernar las caractersticas de la funcin de salida. Incluso, como veremos sobradamente, esta seal puede proceder de alguno de los bloques del sistema, correspondindose, por tanto, con alguna de sus variables. En este caso, se integrar en el diagrama de bloques, interconectndolo debidamente, y asignndole una funcin de transferencia equivalente, segn el principio convencional de relacin salida /entrada.

    Unos sencillos ejemplos prcticos son una fuente de alimentacin elctrica, una fuente de calor debida a una combustin, o una bomba hidrulica generadora de presin. Los componentes activos, por lo general, aportan o absorben energa del sistema, mientras que los elementos pasivos o bien la consumen o la acumulan o la transforman. Una resistencia elctrica, una inductancia o un condensador son los ejemplos tpicos de elementos pasivos simples.

    Apdos. 4.1.3 - 4.1.4 - 4.2 - 4.2.1

  • 56 Captulo 4 - Elementos bsicos

    4.2.2 Elementos de primer orden

    Los elementos de primer orden son aquellos cuya ecuacin de equilibrio viene representada por una ecuacin diferencial de primer orden, y, por tanto, su transmi-tancia, expresada en notacin laplaciana tiene la forma general

    El numerador puede tener, adems, la forma as o simplemente 1.

    Estos elementos son pasivos compuestos y se caracterizan por presentar respues-tas del tipo adelanto o retardo, segn veremos con suficiente detalle a continuacin.

    4.2.3 Retardo de primer orden resistencia-capacidad

    Este elemento puede sintetizarse por una combinacin de resistencia y capa-cidad. La energa o masa fluye a travs de la resistencia, debido al potencial o varia-ble de entrada, y se acumula en forma de carga en la capacidad (o se descarga desde ella), elevando (o disminuyendo) su potencial. El caudal de masa o flujo de energa que fluye a travs de la resistencia es proporcional a la diferencia de potenciales entre la entrada y la capacidad, por lo que ste ltimo tiende a igualarse de forma progresiva con el primero. El potencial de la capacidad es, o bien la variable de sali-da, o una variable relacionada directamente con este potencial.

    En la figura 4.2 se muestra un diagrama de bloques generalizado de un retardo de primer orden, formado por una resistencia y una capacidad.

    Fig. 4.2 Diagrama de bloques de un elemento retardo de primer orden basado en una resistencia seguida de una capacidad

    Se ha utilizado la notacin laplaciana, con los siguientes significados:

    1 0

    1 0

    1( ) , o bien ( )

    1

    a sa s aG s G s Kb s b bs

  • 57

    X(s) : Variable de entrada, del tipo potencial, procedente de alguna fuente o de un componente previo.

    Y(s) : Variable de salida, del tipo potencial. R : Parmetro resistencia. C : Parmetro capacidad. P(s) : Diferencia de potencial a la que se halla sometida la resistencia.

    Es igual a la diferencia entre el potencial de entrada X(s) y el potencial existente en la capacidad. Este ltimo es precisamente la variable de salida Y(s); es decir, P(s) X(s) Y(s).

    Esta diferencia es una variable intermedia, generada en el sumatorio, y puede ser considerada como el resultado de una realimentacin nega-tiva interna, inherente del propio componente.

    (s) : Flujo que se producir en la resistencia, como consecuencia de la dife-rencia de potencial P(s) a la que est sometida. Este flujo ser inte-grado (acumulado) por la capacidad C, generando la variable de salida Y(s), de tipo potencial.

    Q(s) : Carga en la capacidad. Es otra variable intermedia, no mostrada en el

    grfico, representativa de la carga producida en la capacidad C como consecuencia de la integracin del flujo en la misma. Podra ser mostrada, si desdoblsemos el bloque [1/ Cs] en dos bloques, [1/s] y [1/ C ], segn se vio al estudiar los parmetros en el captulo anterior (fig. 3.2, pg. 46). Entonces se tendra: Q(s) (s) /s y Y(s) Q(s) / C.

    Un sistema de este tipo podra ser un circuito elctrico compuesto por una resis-

    tencia y un condensador, tal como el representado en la figura 4.3, donde se han obviado las notaciones (t ) para las variables temporales del circuito, y (s) para las variables transformadas del diagrama de bloques.

    Fig. 4.3 Circuito R-C como retardo de primer orden

    Apdos. 4.2.2 - 4.2.3

  • 58 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Comprubese cmo la correspondencia entre la nomenclatura genrica de las variables de la figura 4.2, y la nomenclatura particular del circuito elctrico de la figura 4.3, es la siguiente

    Sigamos paso a paso el estado de las variables de estos diagramas de bloques, incluidas de las variables intermedias. A efectos de generalizar, operaremos con las transformadas de Laplace, tal como se indican en el bloque de la figura 4.2.

    Obviando la notacin (s), tendremos

    de donde, partiendo de esta ltima, y efectuando las debidas sustituciones, tendremos

    y, finalmente, obtendremos la transmitancia

    Al producto T RC, se le llama constante de tiempo. Ms adelante se ver detalladamente su significado. Debemos tener en cuenta ahora que son posibles diversas combinaciones de estos dos componentes bsicos resistencia y capacidad. Por una parte, podemos configurarlos tanto en serie como en paralelo. En el primer caso, se considerar que

    YC s R

    X Y

    R C s Y X Y

    X R C s Y Y Y R C s

    1 1

    1

    ( )

    ( )

    G XY R C s T s

    11

    11

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    C

    R

    X s V sY s V sP s V s

    s I s

    (!

    (!

    (!

    (!

    1

    1

    P X Y

    PR

    YC s

  • 59

    la variable de entrada es un potencial; en el segundo un flujo. Por otra parte, pode-mos considerar como variables de salida el flujo o el potencial en cada uno de los componentes fundamentales.

    Asumir como variable de entrada un flujo para un circuito serie, o un potencial para uno paralelo, carece de inters, ya que los componentes fundamentales pueden tratarse por separado.

    Ello nos conduce a un total de seis configuraciones diferentes, las cuales son mostradas en la figura 4.4, junto con sus respectivos diagramas de bloques. Para mayor facilidad de comprensin, se asume la versin elctrica, la cual ser fcilmen-te asimilable, por analoga, a cualquier otro tipo de sistema.

    Segn veremos, algunas de las combinaciones corresponden a sistemas de ade-lanto.

    El lector podr fcilmente comprobar la transmitancia de cada una de las confi-guraciones, aplicando la regla l ) del apartado 1.10.1 (pg. 14), relativa al lgebra de bloques.

    Todos los sistemas o componentes del tipo retardo de primer orden, se carac-terizan por tener en el denominador de la expresin de su transmitancia la forma Ts 1, si bien pueden presentar numeradores con formas diferentes, dependiendo de la configuracin que se est analizando y de las variables de entrada y salida con-sideradas. 4.2.4 Retardo de primer orden resistencia-inertancia

    Este elemento puede sintetizarse por una combinacin de resistencia e inertan-cia. Es un elemento caracterstico de los sistemas elctricos y mecnicos. La iner-tancia corresponde en los primeros a la inductancia de una autoinduccin, y en los segundos a la masa de los cuerpos fsicos.

    La inercia que presenta la inertancia a los cambios de flujo hace que un poten-cial aplicado, cuando los dos componentes estn en serie, tienda a ser absorbido por la inertancia, la cual permite modificar su flujo progresivamente, hasta que la tota-lidad del potencial es absorbido por la resistencia.

    Cuando los componentes estn en paralelo, la imposicin de un flujo hace que inicialmente la totalidad del mismo circule por la resistencia, lo que ocasiona un po-tencial que hace que la inertancia permita ir absorbiendo progresivamente la tota-lidad del flujo. La figura 4.5 muestra las posibles combinaciones de un circuito elc-trico formado por resistencia y autoinduccin.

    Apdos. 4.2.3 - 4.2.4

  • 60 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Fig. 4.4 Retardos de primer orden formados por una combinacin R-C

  • 61

    Fig. 4.5 Retardos de primer orden formados por una combinacin R-L

    Apdo. 4.2.4

  • 62 Captulo 4 - Elementos bsicos

    El lector podr fcilmente comprobar la transmitancia de cada una de las confi-guraciones, aplicando la regla l) del apartado 1.10.1 (pg.14), donde se describe el lgebra de bloques.

    Puede observarse que, al igual que suceda con el elemento R-C, los retardos de primer orden R-L tambin se caracterizan por tener en el denominador de la expre-sin de su transmitancia la forma Ts1, si bien pueden presentar numeradores con formas diferentes, dependiendo de la configuracin y de las variables de entrada y salida consideradas.

    Es importante notar que ahora la constante de tiempo del elemento R-L tiene una expresin diferente de la del elemento R-C

    4.2.5 Estudio de elementos retardo de primer orden.

    Metodologa de clculo Hasta aqu hemos efectuado el desarrollo matemtico partiendo de las relacio-nes indicadas en el diagrama de bloques. sta es la forma como debemos intentar resolver, en general, estos problemas. Es conveniente, sin embargo, ver el tratamien-to matemtico particular de algunos ejemplos, basndose en la ecuacin de equilibrio expresada como una ecuacin diferencial temporal.

    Las ecuaciones de partida para establecer la ecuacin de equilibrio se basarn en las siguientes expresiones:

    siendo:

    ( )

    ( )

    diferencia de potencialdR Resistencia

    d flujo

    Constante de tiempo T LR

    :

    1 2

    ( ) ( )

    ( )

    entradas salidas acumulacin

    diferencia de potencialesflujo de circulacin

    RR

    d dflujo de acumulacin energa o masa Cdt dt

    ) )

  • 63

    1 2

    ( )

    y

    d energa o masaC Capacidad

    d

    Potenciales

    En este contexto, la resistencia debe ser entendida como un coeficiente que relaciona el incremento de la diferencia de potencial con el incremento del flujo.

    La capacidad es un coeficiente que indica el incremento de la energa o masa acumulada por unidad de incremento en la variable potencial (o diferencia de poten-ciales).

    La capacidad puede ser expresada de formas muy diversas, dependiendo del tipo de variable que se est referenciando. As, con relacin al nivel en un tanque unifor-me vertical, se expresar en m3/m, lo que es lo mismo que la superficie de su sec-cin horizontal. Con relacin a la temperatura de un cuerpo, la capacidad trmica es el producto de la masa del cuerpo por su calor especfico, y se expresar en cal /grado. Refirindonos a la tensin de un condensador, la capacidad se expresara como culombios /voltio, en coincidencia con la unidad convencional el faradio.

    Tomando como referencia un sistema trmico, justificaremos, de forma general, la asignacin de un trmino Cd/dt a un flujo de acumulacin, en este caso de calor. Llamando F a dicho flujo, y haciendo entonces Cd Fdt, es evidente que inte-grando ambos miembros de la igualdad, se obtendra del primero el incremento de la cantidad de calor acumulado (capacidad calorfica multiplicada por un incremento de temperatura), y del segundo la cantidad de calor aportado (un flujo multiplicado por un incremento de tiempo).

    Veamos diversos casos prcticos de elementos retardo de primer orden. 4.2.5.a) Filtro o elemento R-C (resistencia-capacidad)

    Sea un circuito R-C tal como el dibujado en la figura 4.6, y consideremos las tensiones de entrada v1 y de salida v2, como variables de entrada y salida del bloque.

    La tensin de salida v2 vC es la que aparece en el condensador. Por tanto, por la segunda ley de Kirchhoff, en todo momento debe cumplirse que

    v t v t v t

    v t R i t v t

    R C

    C

    1

    1

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    Apdos. 4.2.4 - 4.2.5 - 4.2.5.a

  • 64 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Fig. 4.6 Filtro R-C como retardo de primer orden pero

    Sustituyendo este ltimo valor, queda:

    Tomando la transformada de Laplace en ambos miembros de la igualdad, y sacando factor comn, obtenemos

    de donde, teniendo en cuenta que V2 VC, y haciendo T RC, la funcin de trans-ferencia o transmitancia ser

    tal como ya habamos visto con anterioridad.

    Recurdese que el producto T RC, es la constante de tiempo. 4.2.5.b) Elemento bulbo de temperatura

    Consideremos un termmetro de mercurio o de cualquier otro lquido de llena-do. Asumamos que la capacidad calorfica del cristal es despreciable, y que el mer-curio se encuentra a una temperatura uniforme 2. Repentinamente, sumergimos el termmetro en un bao de agua que se encuentra a la temperatura 1. En este siste-ma 1 es la variable de entrada y 2 es la variable de salida.

    V R C sV V V R C sC C C1 1 ( )

    G VV T s

    2

    1

    11

    1 ( ) ; ( )C Cdv dv

    i t i t Cdt C dt

    1( ) ( )C

    Cdv

    v t RC v tdt

  • 65

    En todo momento el flujo de calor que atraviesa la pared de cristal debido a la diferencia de temperaturas es acumulado por el mercurio y, por tanto, debe cum-plirse la ecuacin de equilibrio flujo de calor trasvasado flujo de acumulacin

    donde

    U *Coeficiente de transmisin de calor A *Superficie de conduccin de calor M *Masa del mercurio cp *Calor especfico del mercurio C *Capacidad calorfica del mercurio M cp

    Reordenando la ecuacin obtenemos

    y haciendo pM c

    TU A

    (T constante de tiempo)

    obtenemos

    Efectuando la debida transformacin laplaciana, la transmitancia ser

    tal como ya se haba generalizado.

    Es interesante notar la analoga con el circuito R-C en lo referente al concepto resistencia-capacidad. La capacidad ya ha quedado justificada y la resistencia equi-vale en este caso a la inversa del producto UA. Siendo este producto una conduc-tancia calorfica, es evidente que su inversa puede ser considerada como una resis-tencia. Es, en efecto, la resistencia al paso del calor.

    U A M c ddt

    C ddtp

    ( ) 1 2 2 2

    M cU A

    ddt

    p 2 2 1

    T ddt 2 2 1

    2

    1

    11

    GTs

    Apdos. 4.2.5.a - 4.2.5.b

  • 66 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Podemos decir, por tanto, para los sistemas trmicos

    Trate el lector de identificar este elemento con los diagramas de bloques de las figs. 4.2 y 4.6 (pgs. 56 y 64), hallando las analogas entre las diversas variables. 4.2.5.c) Concentracin en un tanque agitado

    Supongamos un tanque, idealmente agitado, que contiene agua con una concen-tracin c2 de un determinado producto no reactivo. El tanque, de volumen V, es ali-mentado por un caudal de entrada constante q con dicha concentracin, y el nivel se mantiene constante por mediacin de un rebosadero, por el que fluye el mismo caudal q.

    Repentinamente, la concentracin de entrada sufre un cambio a un valor c1, sin modificar el caudal. Aqu, c1 es la variable de entrada y c2 es la de salida (vase el croquis de la figura 4.7).

    Fig. 4.7 Fig. 4.8 Concentracin en tanque agitado Temperatura en tanque agitado

    Podemos establecer una ecuacin de balance del producto concentrado, referido a caudales, de tal manera que

    entrada salida acumulacin

    1:

    : p

    Resistencia RU A

    Capacidad C M c

    2

    1 2

    dcqc qc V

    dt

  • 67

    La justificacin del caudal de acumulacin de producto concentrado, en la forma Vdc/dt, es inmediata si se tiene en cuenta que, por definicin, c Vc /V, donde Vc y V son los contenidos en volumen de concentrado y total, respectivamente, por lo que Vc Vc, y de aqu, llamando qc al caudal de concentrado, qc dVc /dt Vdc/dt.

    Tomando transformadas de la ecuacin de balance obtenemos

    reordenando nos queda

    y la transmitancia del sistema ser

    en donde si hacemos

    queda la ya conocida forma de transmitancia

    Aqu, la interpretacin del concepto resistencia-capacidad nos lleva a considerar como resistencia a la inversa del caudal q. Cuanto mayor sea ste, menor ser la resistencia a transferir la nueva concentracin a la capacidad V. El diagrama de bloques de la figura 4.9 (pg. 70), correspondiente a una reaccin de primer orden, clarifica estos conceptos.

    Es notorio que el valor de la constante de tiempo es precisamente el denominado tiempo de residencia o de permanencia. Es el tiempo medio en que cada molcula o partcula del fluido permanece en el recipiente; es decir, el tiempo medio de trnsito desde la entrada hasta la salida. Es fcil constatar que este tiempo (V/q) es igual al tiempo de llenado (o tambin de vaciado) del tanque, si slo existiera uno de los dos caudales.

    Tambin aqu el lector debera tratar de identificar este sistema con los diagra-mas de bloques de las figuras 4.2 y 4.6 (pgs. 56 y 64).

    q C q C V s C1 2 2

    q C C V s q1 2 ( )

    G CC

    qV s q V

    q s

    2

    1

    1

    1

    T Vq T constante de tiempo tiempo de residencia ( )

    G CC T s

    2

    1

    11

    Apdos. 4.2.5.b - 4.2.5.c

  • 68 Captulo 4 - Elementos bsicos

    4.2.5.d) Temperatura en un tanque agitado

    Supongamos un tanque, idealmente agitado, tal como se describi en ejemplo anterior, que contiene agua a una temperatura 2. El tanque, de volumen V, es ali-mentado por un caudal de entrada constante q a la misma temperatura, y el nivel se mantiene constante por mediacin de un rebosadero por el que fluye el mismo caudal q. Sbitamente, la temperatura del fluido de entrada se eleva a un valor 1, sin que se modifique el caudal (ver fig. 4.8, pg. 66).

    Podemos establecer una ecuacin de balance de flujo calrico de tal manera que

    entrada salida acumulacin

    Para mayor simplicidad se supondr que la densidad y el calor especfico c del agua son constantes (se observar que en este caso no importan sus valores). Ntese que q es un caudal msico, y V es una masa. Esto es

    Para justificar la expresin V cd/dt como flujo calrico, remitirse a lo dicho en el apartado 4.2.5, en Metodologa de clculo, pgs. 62 y 63, teniendo en cuenta que M V. Simplificando la ecuacin y efectuando su transformacin obtenemos

    reordenando nos queda

    y la transmitancia del sistema ser

    en donde si, una vez ms, hacemos

    queda la repetida forma de transmitancia

    q c q c V c ddt

    1 2 2

    q q V s 1 2 2

    q V s q 1 2 ( )

    G qV s q V

    q s

    2

    1

    1

    1

    T Vq T constante de tiempo tiempo de residencia ( )

  • 69

    2

    1

    11

    GT s

    4.2.5.e) Reaccin de primer orden

    Muchas reacciones qumicas son efectuadas en tanques agitados, llamados reac-tores qumicos. Para simplificar, supondremos un reactor continuo, de volumen V, al que fluye un caudal constante q de un fluido solvente, con una concentracin c1 de reactante, para transformarse en un producto de inters. Un caudal equivalente es constantemente extrado del reactor, con una menor concentracin c2 de reactante. Asumiremos que la reaccin es trmicamente neutra (isoterma).

    La cantidad que estar reaccionando por unidad de tiempo y volumen es propor-cional a la constante de reaccin k y a la concentracin c2 del reactante en el reac-tor. Por tanto, la velocidad de reaccin, o cantidad total que estar reaccionando, qr , por unidad de tiempo (caudal), ser el producto de la constante de reaccin k por la concentracin c2 y por el volumen del reactor V.

    La figura 4.9(a) muestra el diagrama de bloques del sistema. En (b) se ha redu-cido sensiblemente, aplicando las reglas e) y d) del lgebra de bloques (pgs. 11-12).

    La cantidad que estar reaccionando por unidad de tiempo es asimilable a un caudal y valdr

    Ntese que ahora manejamos concentraciones masa/volumen, a diferencia del elemento Concentracin en un tanque agitado (apdo. 4.2.5.c, pg. 66), en donde hacamos volumen/volumen, si bien, en este contexto, ello resulta irrelevante.

    La ecuacin de balance msico para el reactante, en trminos de caudal, puede establecerse como

    entrada salida reaccin acumulacin

    puesto que el caudal de acumulacin ser el producto del volumen V por la veloci-dad de cambio de la concentracin dc2 dt. Vase la justificacin dada en el elemento Concentracin en un tanque agitado (al principio de la pg. 67).

    -1 3 32[ ] [ ] [ ][ ]kg/s s kg/m mr Vq k c

    2

    1 2 2

    dcqc qc kc V V

    dt

    Apdos. 4.2.5.d - 4.2.5.e

  • 70 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Fig. 4.9 Diagrama de bloques para una reaccin de primer orden

    Hay una importante diferencia con relacin al caso visto anteriormente de la concentracin en tanque agitado, y consiste en que ahora, cuando el sistema se en-cuentre en equilibrio, la concentracin de salida nunca ser igual a la concentracin de entrada, debido precisamente al fenmeno de la reaccin.

    Efectuando las debidas operaciones, se obtiene la transmitancia

    en donde la constante de tiempo T vale

    G CC

    KT s

    2

    1 1

  • 71

    y, en este caso, el sistema muestra una ganancia esttica K

    Debido al efecto de la reaccin qumica, la constante de tiempo es menor que el tiempo de llenado del reactor, de tal manera que para valores de k muy grandes, la constante de tiempo se aproxima a 1/k, es decir, se hace muy pequea.

    Es interesante analizar el diagrama de bloques para constatar diversos aspectos:

    El bloque caudal de circulacin [q] acta como un parmetro del tipo con-ductancia, tal como se coment en el ejemplo visto anteriormente Concen-tracin en un tanque agitado.

    El bloque [kV ] en (a) o [ k ] en (b) ha de ser considerado como un elemento

    activo. La salida de este bloque representa el caudal que est reaccionando. En (a) vemos que es kc2V, segn se defini al principio; pero al reducir el diagrama en (b), comprobamos otra forma de definir este caudal, como el producto de la cantidad acumulada por la constante de reaccin k. La su-presin de este bloque (equivaldra a hacer k 0), supondra que no hay reaccin, y el sistema se convertira en el citado en el ejemplo anterior.

    El producto del caudal por una concentracin tiene el sentido de un caudal

    de reactante. La integracin del caudal neto de reactante en un bloque [1/s ] da la cantidad acumulada de reactante. Al dividir sta por el volumen del reactor (en el bloque [1/V ]) nos proporciona la concentracin de salida.

    4.2.5.f ) Nivel de un tanque con restriccin de descarga.

    Linealizacin de funciones de nivel Sea un tanque vertical abierto, provisto de algn tipo de orificio o restriccin de descarga en su parte inferior, tal como una vlvula, que en este estudio considera-remos constante. El tanque, de seccin horizontal A, tiene un caudal de aporte q1 por su parte superior, y un caudal de salida q2 a la atmsfera, por el orificio mencionado (fig. 4.10).

    Es intuitivo el hecho de que, para una caudal de entrada constante, el nivel se estabilizar en un punto determinado, cuando la salida se iguale con la entrada, ya que a mayor nivel, mayor caudal de salida, y viceversa.

    VTkV q

    qK

    kV q

    Apdos. 4.2.5.e - 4.2.5.f

  • 72 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Fig. 4.10 Nivel en tanque con restriccin de salida constante

    El caudal que fluye por una restriccin sigue, bsicamente, una ley cuadrtica con la presin diferencial, pues se asume rgimen turbulento.

    En nuestro caso, un tanque abierto a la atmsfera, la presin diferencial en la

    restriccin de salida es debida a la presin hidrosttica existente como consecuencia del nivel de lquido en el tanque.

    Si h es la altura del lquido, y k es un coeficiente dependiente de la geometra de la restriccin y de la densidad del lquido, el caudal de salida ser

    La ecuacin de balance msico de caudales puede establecerse como: entrada - salida acumulacin Puesto que dV/dt es un caudal, y, por otra parte, dV Adh, se tendr

    o bien

    Observamos aqu que hemos obtenido una funcin no lineal. Realmente es sen-cillo el clculo de la altura de equilibrio h, dado un determinado caudal q1, ya que

    q k h2

    q q A dhdt1 2

    q k h A dhdt1

  • 73

    entonces q2 q1, y por lo tanto h (q1

    k)2. Pero el clculo se complica para condi-ciones transitorias, cuando q2 + q1, y, por otro lado, este elemento puede formar parte de un sistema, ms o menos complejo, en donde una ecuacin no lineal, combinada con otras ecuaciones, complicara excesivamente los clculos.

    Es por ello, que en estos casos se procede a linealizar la funcin del caudal, mediante alguna forma de ecuacin aproximada, de tal manera que la ecuacin del caudal de salida es sustituida por una ecuacin lineal. Para ello, se define un valor medio de h, preferentemente el nivel normal de trabajo, al que llamaremos nivel medio hm, y se opera con una funcin que corresponda a la ecuacin de una recta tangente a la funcin original en el punto [hhm, q2qm]. La ecuacin as obtenida ser la funcin linealizada que se aplicar en los clculos.

    Los valores medios, para el nivel medio (normal de trabajo) hhm, sern:

    Pendiente m de la recta tangente:

    Caudal medio de salida qm :

    por lo que

    Sin embargo, a partir de este momento, es preciso operar con los valores de las variables referenciadas al valor definido como medio; es decir, con las desviaciones de los valores normales. Matemticamente, esto equivale a efectuar un cambio de coordenadas a [hm, qm]. Vase la figura 4.11, en donde representaran los valores absolutos de las variables, y q2 y h las desviaciones (variables de trabajo).

    De este modo, de acuerdo con la figura 4.11, diremos

    con lo que la ecuacin de balance msico queda

    mdqdh

    khh h mm

    2 12

    1

    q k hm m

    kqh

    mqh

    m

    m

    m

    m y, por tanto,

    2

    y q hq hy h

    22

    dqq mh h

    dh

    Apdos. 4.2.5.f

  • 74 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Fig. 4.11 Linealizacin de la funcin caudal. Cambio de coordenadas

    Reordenando y tomando laplacianas

    la transmitancia ser

    donde

    Esto nos permitir identificar y definir la resistencia y la capacidad de un sis-tema de nivel, cuando se refiera a un tanque atmosfrico, de seccin horizontal A, operando con una altura de nivel hm, medida desde la posicin de una restriccin u orificio de descarga, a travs del cual escapa a la atmsfera un caudal qm.

    Puesto que T RC y ahora tenemos T A /m, identificando trminos entre estas dos ecuaciones y razonando que T ha de ser proporcional al factor A (la relacin entre la variacin del contenido y la variacin de nivel) obtendremos:

    G HQ A s m

    mA sm

    KT s

    1

    11

    11

    2 21Ganancia del sistema

    (Constante de tiempo ver su desarrollo ms adelante)

    m m

    m

    h hK qm k

    AT m

    1 ( )Q As H mH H As m

    1dhq mh Adt

  • 75

    La resistencia R de una restriccin es un coeficiente que indica la relacin entre la variacin de nivel y la variacin de caudal de salida, es decir, la dependencia del caudal (flujo) con el nivel (potencial).

    Y, asimismo: CA

    La capacidad C es la superficie de la seccin horizontal del tanque.

    Resumiendo:

    Ntese que la capacidad C es la superficie horizontal A del tanque y no su volumen, lo que equivale a decir que es la relacin entre la variacin del contenido y la variacin de nivel [m3

    m m2]. En efecto, es la seccin horizontal la que integra las entradas o salidas de lquido mediante el cambio de nivel.

    Ms an, podemos expresar T de la siguiente forma:

    donde Vm Ahm es el volumen del tanque hasta el nivel medio. Por tanto, la cons-tante de tiempo de un tanque abierto con descarga a la atmsfera, es el doble del tiempo de llenado hasta el nivel de trabajo si se llevara a cabo con el caudal medio. En general, si se tratase de un tanque cerrado (fig. 4.12), bajo una presin h0, y descargando sobre una presin hs, tendramos que la presin diferencial neta en la descarga valdra h h0 hs. Las presiones son expresadas en trminos de columna de lquido.

    Entonces la salida sera

    con lo que, para h hm, se obtiene

    :

    : (seccin horizontal del tanque)

    variacin de nivelResistencia Rvariacin de caudal

    Capacidad C A

    1 dhR m dq

    2 2: m m

    m m

    h VAConstante de tiempo T Am qq

    02 sq k h h h

    Apdo. 4.2.5.f

  • 76 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Fig. 4.12 Nivel en tanque presurizado y con restriccin de descarga constante y efectuando los mismos clculos hechos para el caso particular anterior, la ganancia y la constante de tiempo resultaran ser

    Tambin aqu operaramos con las desviaciones del valor estimado como medio, tal como se ilustr en la figura 4.11.

    4.2.5.g) Recipiente con gas a presin provisto de una restriccin. Linealizacin de funciones de sistemas con gases a presin

    Los sistemas que manejan gases a presin presentan similitudes con los de nivel,

    en tanto que las funciones de caudal no son lineales con la presin o diferencia de presiones a travs de una restriccin. Es por ello que ser preciso linealizar las ecua-ciones de caudal de descarga de gases, tal como se hizo en el estudio de niveles.

    Sin embargo, el problema se complica ligeramente porque las descargas gaseo-sas pueden presentarse de tres maneras diferentes: flujo laminar, flujo turbulento y descarga snica (derrame o caudal crtico). Desestimaremos el flujo laminar, el cual presentara una funcin lineal (proporcionalidad) con la presin diferencial.

    El problema puede simplificarse razonablemente, haciendo las siguientes consi-deraciones:

    K mh h h

    kh h h

    q

    T A m Ah h h

    q

    m s m s

    m

    m s

    m

    1 2 2

    1 2

    0 0

    0

    ( )

    0

    0

    ; mm smm s

    qq k h h h k

    h h h

  • 77

    Expresaremos las presiones en trminos de presin absoluta y las cantidades o caudales en volumen normal (referido a condiciones normales, 1 atm, 0,C).

    Definimos como resistencia R de una restriccin al coeficiente o relacin d (p1p2) /dq

    donde p1 y p2 son las presiones aguas arriba y aguas abajo de la restriccin, y qes el caudal. Es decir, la relacin entre la variacin de presin diferencial y la variacin del caudal.

    Es evidente que, desde el momento en que para definir un parmetro se toma la

    derivada en un punto de la curva, se est linealizando la ecuacin que la define. Por tanto, habr que tener en cuenta que nos estaremos refiriendo a cambios o desviaciones de las variables en torno a un punto, que definiremos como punto medio, preferentemente el valor normal de trabajo, esto es:

    variacin de la presin diferencialRvariacin de caudal

    Definimos como capacidad C de un recipiente, a la relacin dM/dp entre el cambio de la cantidad almacenada de gas por unidad de cambio de presin. Tambin en este caso nos estamos refiriendo a desviaciones de las variables y supondremos, para simplificar, que las temperaturas se mantienen constantes:

    variacin de la cantidad de gas contenidoC variacin de la presin en el recipiente

    Planteado de este modo, la capacidad C, para el gas a presin atmosfrica y temperatura ambiente, coincide con el volumen V del tanque, ya que, por defini-cin, la cantidad de un gas, al ser expresada en condiciones normales, coincidir con el volumen ocupado; pero ello tambin es cierto, cualquiera que sea la pre-sin, si asumimos gases perfectos. Cada incremento en una unidad de presin, aumenta el contenido en una cantidad que se expresara por V.

    Generalizando, si la temperatura absoluta de trabajo es T, la capacidad vendr

    expresada como

    En rigor, la constante 273 debera ser exactamente 273,15, que es el valor de la temperatura absoluta (K) correspondiente a 0,C. La unidad de temperatura absoluta en el Sistema Internacional de Unidades (SI) es el kelvin (no el grado kelvin), cuyo smbolo es K (no ,K). El punto triple del agua se encuentra en 273,16 K (0,01,C).

    C VT

    273

    Apdos. 4.2.5.f - 4.2.5.g

  • 78 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Para flujo turbulento tenemos que la ecuacin del caudal es

    de donde

    pero en la condicin definida como media (q qm, p1p1m)

    luego

    y, por tanto, la constante de tiempo para flujo turbulento ser

    Cuando, en un gas, la presin aguas arriba de una restriccin es mayor que dos veces, aproximadamente, la de aguas abajo, sabemos que se produce el denominado caudal crtico o descarga snica o derrame crtico, en donde el caudal no depende ya de la presin aguas abajo, sino que es directamente proporcional a la presin aguas arriba. Ahora, la ecuacin del caudal es una funcin lineal con dicha presin.

    En estas condiciones, definimos la resistencia como

    y, por tanto, la constante de tiempo para caudal crtico ser

    As pues, en cada caso tomaremos la constante de tiempo que corresponda, y cuando, debido a las variaciones en la presin, se prevean condiciones mixtas, se calcular un valor promedio estimado, entendiendo por ello el valor considerado como normal de trabajo.

    q k p p 1 2

    p qk

    p dpdq

    qk1

    2

    2 21

    2

    2 ;

    k qp pm

    m

    22

    1 2

    R dpdq

    p pqm

    m

    1 1 22 ( )

    T R CV p p

    qm

    m

    2 1 2( )

    R pq1

    T R C V pq 1

  • 79

    Hay que recordar que estaremos trabajando con los valores de las variables rela-tivos a su valor medio, es decir, con desviaciones, por lo que al hablar de un caudal a travs de una restriccin diremos

    en la que tanto p como q son desviaciones, mientras que el valor de R se habr cal-culado con alguna de las dos frmulas dadas anteriormente, las cuales usan valores absolutos medios.

    En la figura 4.13 se ha representado el croquis de un recipiente alimentado con un caudal q de gas, y provisto de una restriccin de salida que descarga un caudal q2 a una presin p2 constante. Analizaremos la dependencia de la presin p1 y del caudal q2 con el caudal de entrada q.

    Fig. 4.13 Recipiente a presin con una restriccin de salida

    La ecuacin de balance de caudales de gas (balance msico) ser acumulacin entrada salida

    y la transmitancia ser

    y puesto que Q2 P1 /R

    q pR

    Cdpdt

    q q qpR

    R C s P Q R P

    P R C s Q R

    12

    1

    1 1

    1 1

    ( )

    PQ

    RT s

    1

    1

    Apdo. 4.2.5.g

  • 80 Captulo 4 - Elementos bsicos

    en las que deberamos calcular los valores R y T, segn lo indicado anteriormente, y de acuerdo con las condiciones especficas del problema. 4.2.5.h) Recipiente con gas a presin con dos restricciones

    La figura 4.14 muestra el croquis de un recipiente de capacidad C, al que fluyen los caudales q1 y q2 a travs de las restricciones R1 y R2, por causa de las presiones p1 y p2. La presin en el recipiente ser p, y los caudales sern entrantes o salientes segn la diferencia relativa entre las presiones. Como variable de entrada pueden asimilarse tanto p1 como p2. Asignaremos a la presin p, en el recipiente, como variable de salida. El dibujo contiene tambin los diagramas de bloques, detallado y reducido, mostrando cmo la presin p depende de las presiones de entrada. Consi-deraremos caudales positivos aquellos que entran en el depsito y como negativos los que salen.

    Fig. 4.14 Recipiente a presin con dos restricciones

    La ecuacin de balance de caudales de gas (balance msico) ser

    acumulacin caudales *q1 q2

    Si asumimos que

    QQ T s

    2 11

  • 81

    al linealizar las funciones tendremos (referido a desviaciones)

    y aplicando la ecuacin de balance

    de donde

    Si ahora hacemos

    (como si se tratara de resistencias en paralelo y divisores de presin), nos queda

    y tomando laplacianas

    podemos finalmente escribir

    R d p pdq

    R d p pdq1

    1

    12

    2

    2

    ( ) ( )y

    Rp p

    q qp p

    R

    Rp p

    q qp p

    R

    11

    11

    1

    1

    22

    22

    2

    2

    ;

    ;

    C dpdt

    p pR

    p pR

    1

    1

    2

    2

    Cdpdt

    pR R

    pR

    pR

    1 1

    1 2

    1

    1

    2

    2

    1 2

    1 2

    21 1

    1 2

    12 2

    1 2

    (constante de tiempo comn)

    (ganancia de la presin )

    (ganancia de la presin )

    R RT C

    R R

    RK p

    R R

    RK p

    R R

    T dpdt

    p K p K p 1 1 2 2

    T s P P P T s K P K P ( )1 1 1 2 2

    Apdos. 4.2.5.g - 4.2.5.h

  • 82 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Recordando que las variables se refieren a sus desviaciones con relacin al punto medio, podemos obtener las transmitancias individuales para cada presin haciendo nula, en cada caso, la presin considerada constante:

    Es notorio el efecto interactivo entre las dos restricciones, de tal manera que las constantes de tiempo, con relacin a las dos presiones, son iguales, y equivalen al valor de las dos resistencias en paralelo combinadas con la capacidad. Del mismo modo, las ganancias parciales, debidas a cada presin, p1 y p2, toman un valor como el que dara un divisor de tensin formado por las dos resistencias, R1 y R2. De hecho, hemos diseado un divisor de presin, ajustable por las dos resistencias, e independientemente de cuan pequea se haga la capacidad, que slo definir la cons-tante de tiempo de la respuesta.

    Ntese que si las presiones p1 y p2 son diferentes, uno de los dos caudales ser de salida en trminos absolutos (su valor medio negativo); pero al tratar con las desviaciones de las variables, un caudal positivo significar una disminucin del valor medio absoluto de un caudal de salida, y, viceversa, un caudal negativo significar, igualmente, una disminucin del valor medio absoluto, pero de un caudal de entrada.

    Sera fcil generalizar el problema para un tanque con mltiples entradas y sali-das, sin ms que aplicar de forma general la sistemtica que aqu se ha expuesto.

    Fig. 4.15 Diagrama de bloques para caudales como variables de salida

    P P KT s

    P KT s T s

    P K P K

    1 1 22

    1 1 2 21 11

    1( )

    PP

    KT s

    PP

    KT s

    1

    1

    2

    2

    1

    1

  • 83

    La figura 4.15 presenta el diagrama de bloques redibujado para obtener cual-quiera de los caudales de entrada al recipiente, como variable de salida, consideran-do cualquiera de las presiones como posible variable de entrada.

    A partir de aqu, vamos a suponer que nos interesamos en conseguir la transmi-tancia que relaciona el caudal q1 con la presin de salida p2 (sta como variable de entrada y aqul como variable de salida).

    Fig. 4.16 Diagrama de bloques para caudal de entrada en funcin de la presin de salida. Reducciones sucesivas del diagrama hasta obtener un solo bloque.

    Entonces redibujamos nuevamente el diagrama de bloques (fig. 4.16), pero teniendo en cuenta que hacemos nula p1, si bien el punto de suma sobre el que acta hace que p cambie de signo, ya que dicha variable llega al sumatorio restando. Este hecho lo materializamos interponiendo un bloque de ganancia 1, cuya consecuen-cia ya podemos anticipar que significar que un aumento de la variable de entrada p2 implicar una disminucin en la variable de salida q1. Ntese en el diagrama de

    Apdo. 4.2.5.h

  • 84 Captulo 4 - Elementos bsicos

    bloques de la figura 4.16, cmo la interaccin existente se destaca con mayor clari-dad que en el diagrama genrico de la figura 4.15.

    Se han utilizado las reglas del lgebra de bloques (apdo. 1.10.1, pg. 10), para reducir el diagrama a un solo bloque. La regla d) nos permite desplazar el bloque [1 R2] detrs del punto de suma, introduciendo en la rama de realimentacin supe-rior el bloque [R2] (con signo negativo). Mediante la regla i), agrupamos en un solo punto de suma la concurrencia de tres seales, de paso que, de acuerdo con la regla r), cambiamos los signos en el bloque [R2] y en su seal de salida a la entrada del sumatorio. En la rama de realimentacin inferior, empleamos la regla e) para despla-zar la derivacin de P detrs de los bloques [-1] y [1 R1], introduciendo los bloques [-1] y [R1] (ver figura 4.16.b).

    A continuacin (fig. 4.16.c), reunimos en un solo bloque, por una parte la rama de avance y, por la otra, aplicando la regla b), las dos ramas de realimentacin que confluyen sobre el mismo punto de suma.

    Finalmente (fig. 4.16.d), por mediacin de la regla l ), reducimos definitiva-mente a un nico bloque, en el que expresamos la transmitancia

    en donde el signo negativo significa, tal como se anticip, que un aumento en la pre-sin p2 causar una disminucin en el caudal q1, lo que es bien evidente por simple inspeccin visual. La constante de tiempo T es la que se indic ms atrs.

    El lector debera efectuar los ejercicios grficos y algebraicos equivalentes, para deducir las transmitancias Q1 P1, Q2 P1 y Q2 P2, partiendo del diagrama de blo-ques de la figura 4.15 y aplicando las reglas del lgebra de bloques. 4.2.6 Elemento capacidad pura o integrador

    No hay que perder de vista que, en la prctica, no existe ningn elemento, del tipo que fuere, absolutamente puro. En este caso, al hablar de capacidad pura, este hecho toma especial relevancia, dado que se habla de condiciones en las que una variable tiende a infinito. Seamos, pues, conscientes de que la expresin terica infinito tendr el significado prctico de muy grande o, sencillamente, que los componentes fsicos alcanzaran su estado de saturacin o su deterioro, en los que cesara el fenmeno. Un elemento constituido por una capacidad pura se comporta como un integrador. A continuacin se ver algn ejemplo del elemento capacidad pura.

    211

    2 1 2 1 2

    --1 es decir, ( ) ( 1) ( ) ( 1)

    PQQ

    P R R T s R R T s

  • 85

    4.2.6.a) Nivel en tanque con salida constante

    Supongamos un sistema de nivel, como el representado en la figura 4.17, en el que el contenido de un tanque, de seccin horizontal A, es extrado por una bomba de caudal constante, independientemente de la altura del nivel del tanque. Podemos imaginar una situacin de equilibrio en la que el caudal de aporte q1 es exactamente igual que el de evacuacin q2, impuesto por la bomba. Si en un momento dado el caudal de aporte se ve incrementado en una cantidad q, resulta intuitivo que el nivel ir incrementndose a una velocidad constante, hasta alcanzar el rebose (o su vaciado total si q es negativo). Es decir, nunca se llegar a una nueva condicin de equilibrio, como ocurra cuando el vaciado se produca mediante una restriccin. Se trata, pues, de un proceso inestable, sin autorregulacin.

    Fig. 4.17 Elemento capacidad pura

    Debe notarse, por el diagrama de bloques, que este sistema no posee realimen-tacin interna, que es la caracterstica necesaria para que un sistema sea autorregula-ble, es decir, que frente a cualquier cambio de condiciones, tienda a un nuevo estado de equilibrio. En este ejemplo, acabara por llenarse o vaciarse completamente.

    La ecuacin de balance msico (balance de materia) de este sistema es acumulacin entrada salida

    pero como se ha hecho

    A dhdt

    q q q 1 2

    Apdos. 4.2.5.h - 4.2.6 - 4.2.6.a

  • 86 Captulo 4 - Elementos bsicos

    q1 q2 entonces

    Tomando laplacianas

    la transmitancia ser

    Obviamente, no se puede hablar de constante de tiempo, que, en todo caso, sera infinita, de acuerdo con el ejemplo que se presenta ms adelante.

    Despejando dh en la ltima ecuacin diferencial tenemos

    en la que integrando ambos miembros de la igualdad se obtiene

    De aqu que un elemento capacidad pura pueda ser considerado como un elemento integrador.

    Despejando ahora la constante A, se obtiene

    y haciendo h1 y q1 (constante), e integrando entre los lmites 0 y obtenemos

    A -

    que debe ser interpretada del siguiente modo: cuando el caudal neto de aportacin (o extraccin) al tanque es de valor unitario (q 1), el tiempo que tarda el nivel en

    A dhdt

    q

    A s H Q

    HQ A s

    1

    dhA

    q dt 1

    hA

    q dt 1

    Ah

    q dt 1

  • 87

    aumentar (o disminuir) en una unidad de longitud (.h1) es igual a la constante A (rea de la seccin horizontal del tanque). De aqu que a esta constante se la llame tiempo de integracin. Generalizando, puede decirse:

    El tiempo de integracin de un elemento capacidad pura es el tiempo ne-cesario para que la variable de salida se incremente en una unidad, cuando la variable de entrada es constante e igual a la unidad.

    Habitualmente, expresaremos la ecuacin del comportamiento de un elemento

    capacidad pura como

    en donde:

    x Variable de entrada y Variable de salida Ti Tiempo de integracin

    4.2.6.b) Masa aislada provista de caldeo elctrico

    Otro ejemplo de capacidad pura sera un sistema trmico consistente en una masa, perfectamente aislada del ambiente exterior, a la que se le aplicara una apor-tacin de calor mediante una resistencia elctrica de caldeo. Cualquier potencia que se suministrase, provocara un progresivo aumento de la temperatura, la cual tende-ra a infinito. Prcticamente hablando, se producira el deterioro del equipo por alta temperatura. Sucede, en la realidad, que no existe ningn aislamiento perfecto, por lo que la resistencia finita de conduccin de calor al exterior, convertira el sistema en uno de retardo de primer orden. Con todo ello, podemos efectuar las siguientes ase-veraciones:

    La temperatura alcanzada ser muy alta. La necesaria para evacuar el ca-lor aportado a travs de una elevada resistencia (alto aislamiento trmico).

    La constante de tiempo es muy grande. En el lmite, cuando la resistencia

    se hace infinita, la constante de tiempo RC es tambin infinita y el sistema es del tipo capacidad pura.

    Veamos el doble clculo paralelo, segn ambas condiciones, ideales y reales,

    basndonos en la ecuacin de balance trmico:

    1

    iy x dt

    T

    Apdos. 4.2.6.a - 4.2.6.b

  • 88 Captulo 4 - Elementos bsicos

    acumulacin aportacin prdidas

    Ideales

    Reales

    M c ddt

    hp 0

    M c ddt

    hRp

    a

    donde h es el flujo de aportacin de calor por el elemento calefactor, y a la tempe-ratura del medio exterior al sistema, a la que, para mayor facilidad, asignaremos un valor de cero (recurdese que esto es totalmente vlido, cualquiera que sea el valor en cuestin, ya que las variables de temperatura las podemos referir como desviacio-nes al valor a). Los dems smbolos ya han sido descritos en ejemplos anteriores.

    Tomando laplacianas y reordenando (seguimos con la comparacin entre condi-ciones ideales y reales), obtenemos

    C s H

    R C s R H

    de donde las transmitancias sern

    H C s

    1

    H

    RR C s

    1

    Vemos que en la segunda transmitancia, correspondiente a un retardo de primer orden, el sistema presenta una ganancia R, que hemos supuesto muy alta. Por otra parte, la constante de tiempo RC ser muy grande, por serlo R. Asimismo, se puede verificar que para R la transmitancia se convierte en la de un elemento capaci-dad pura, 1 Cs. 4.2.6.c) Pistn hidrulico

    Un accionador hidrulico del tipo cilindro-pistn, tendr un comportamiento del tipo capacidad pura, siempre que consideremos como variable de entrada al caudal de fluido hidrulico, y como variable de salida el desplazamiento o carrera del vsta-go accionador. Cualquier caudal de entrada (o salida), por pequeo que sea, al cilin-dro, har que el pistn se desplace paulatinamente hasta alcanzar su tope mecnico, independientemente del esfuerzo que tenga que efectuar (ver pg. 133 y sigtes.).

    Siguiendo los mismos razonamientos que en el caso del nivel en tanque con salida constante (apdo. 4.2.6.a, pg. 85) llegaramos a la misma transmitancia

    XQ A s

    1

  • 89

    donde

    x Carrera del vstago q Caudal de entrada al cilindro A rea del pistn

    4.2.7 Elementos ajustables

    Para el control de procesos se precisa algn dispositivo capaz de variar su carac-terstica de ganancia, al aplicarle una seal de control. Tambin existen dispositivos que son ajustados manualmente, ya sea de forma local o remota.

    En muchos casos son componentes del tipo activo, ya que pueden aportar o absorber energa del proceso. Recurdese aqu, que la expresin energa debe ser entendida en el sentido ms amplio posible. Por ejemplo, un dosificador de deter-minada sustancia qumica modificar alguna caracterstica del proceso, tal como concentracin, acidez, densidad, etc. Es decir, aportar o sustraer algo al proceso, incrementando o disminuyendo determinada propiedad o variable del mismo. El an-logo en un proceso trmico sera el aporte de calor mediante una resistencia calefac-tora. En este caso ya es ms evidente que se trata de una energa, debido a que la variable calor s es energa en el sentido convencional estricto. Del mismo modo, un refrigerador absorbera energa del proceso.

    A continuacin se relacionan una serie de dispositivos de este tipo, que pueden encontrarse formando parte de un sistema controlado.

    Reostatos o potencimetros (resistencias ajustables) Amplificadores elctricos, electrnicos, neumticos, etc. Convertidores de seal Fuentes regulables de tensin o corriente Vlvulas de control Posicionadores Accionamientos elctricos, neumticos, hidrulicos, etc. labes de regulacin, persianas (lamas) Bombas hidrulicas Compresores Ventiladores, soplantes Eyectores Motores, servomotores, turbinas Dosificadores Humidificadores, atemperadores

    Apdos. 4.2.6.b - 4.2.6.c - 4.2.7

  • 90 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Secadores, deshumectadores Calefactores, refrigeradores Velocidad de reaccin controlada

    4.2.7.a) Ganancia ajustable. Multiplicador

    El bloque ganancia ajustable podramos representarlo, en primera instancia, segn se muestra en la figura 4.18, en donde se ha querido dar cierto nfasis al aspecto multiplicador del bloque, atribuyendo a la variable k la caracterstica de variable multiplicadora, porque ser normal que as acte una de las dos variables de entrada, es decir, como una constante de multiplicacin ajustable.

    Fig. 4.18 Elemento ganancia ajustable

    La ecuacin de este elemento es tan simple como s k e

    Sin embargo, vemos que se trata, a efectos prcticos, de un elemento no lineal. Para linealizarlo, debemos en primer lugar definir los valores normales o medios de operacin, em, km y sm, y luego operar con las desviaciones (incrementos) de estas variables en torno a su valor medio o normal de operacin.

    Entonces escribiremos:

    Para k constante: s km e Para e constante: s em k

    de donde obtenemos la expresin

  • 91

    En la figura 4.19 se representan el juego de curvas paramtricas y el diagrama de bloques correspondientes a esta ecuacin.

    Fig. 4.19 Curvas paramtricas y diagrama de bloques de una ganancia ajustable 4.2.7.b) Reostato o potencimetro

    Es el elemento ajustable ms simple, y corresponde a un caso particular en que la ganancia k puede variar exclusivamente entre los lmites 0...1. Su misin es entregar a la salida una fraccin de la tensin de entrada (fig. 4.20).

    Si consideramos que una vez fijada la posicin del cursor ya no ser modificada, su transmitancia ser la de una constante del tipo ganancia, comprendida entre 0 y 1, realmente una atenuacin.

    G s V sV s

    k( ) ( )( )

    21

    lo que significam m m ms k e e k s k e e k. . .

    Apdos. 4.2.7 - 4.2.7.a - 4.2.7.b

  • 92 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Si el mando del reostato fuera comandado por un servomotor (k variable), en-tonces deberamos aplicar lo dicho en el apartado anterior Ganancia ajustable.

    Fig. 4.20 Elemento reostato o potencimetro 4.2.7.c) Vlvula de control

    Es el elemento final de control ms comn en los procesos industriales. Su misin, tal y como se describi en el captulo 1 (pgs. 6 a 9), es la de permitir un mayor o menor paso de un fluido regulador (variable manipulada), a efectos de modificar la aportacin de energa o materia (masa) al proceso, con el fin ltimo de mantener la regulacin deseada (variable regulada igual al punto de consigna).

    Bsicamente un vlvula se compone de la parte motriz, denominada servomotor o actuador, el cuerpo, y el conjunto asiento-obturador.

    El actuador va unido al cuerpo mediante un yugo o puente, fijado a la tapa del cuerpo.

    El cuerpo de la vlvula contiene solidario el asiento (a travs del cual circula el fluido controlado), sobre el que acta el obturador, variando la apertura (rea de paso) y en consecuencia el caudal circulante. El obturador es accionado mediante un vstago por el actuador. La carrera o recorrido del vstago y del obturador (lo que normalmente llamamos posicin de la vlvula) es proporcional a la seal de control que el actuador recibe del controlador; si bien, en algunos casos, cuando conviene, esta dependencia puede ser modificada por el posicionador, caracterizando la rela-cin entre la seal de control y la seal al actuador.

    Existen numerosos tratados y manuales de los fabricantes que exponen detalla-damente la descripcin y las caractersticas constructivas y funcionales de las vlvu-las de control. Desde el punto de vista de Teora de control, nos centraremos solamente en los tres siguientes aspectos tericos de una vlvula de control: el coeficiente de caudal Cv, la caracterstica de caudal y el coeficiente de regulacin.

  • 93

    1 gal USA 3,785411784 dm3; 1 psi 6,8947573 kPa 0,070306958 kp cm2

    Esta definicin, arbitraria en cuanto a unidades empleadas, puede justificarse fcilmente:

    El gasto de un fluido por un orificio o por una restriccin viene dada por la conocida frmula de fluidodinmica

    o bien

    donde

    qv Caudal volumtrico qp Caudal ponderal (en peso) C Coeficiente de gasto o de descarga A rea de paso g Aceleracin de la gravedad Peso especfico del fluido h Carga (presin diferencial en altura de columna de lquido) p1 p2 Presin diferencial

    Estas frmulas son homogneas (la constante C es adimensional), y por lo tanto

    sern universales si se utilizan unidades acordes (todas las variables expresadas en el mismo sistema de unidades). En la prctica suele interesar el empleo de un sistema de unidades convencionales, y entonces la frmula requiere una constante de conver-sin o adaptacin, a la vez que puede simplificarse

    o bien

    1 22 ( )2vg p p

    q C A g h C A

    1 22 ( )pq CA g p p

    21( )pq k C A p p

    1 2v

    p pq k C A

    Apdos. 4.2.7.b - 4.2.7.c

    Por definicin, el coeficiente de caudal o Cv de un orificio, o restriccin en general, es la cantidad de galones USA de agua (densidad 1) que pasaran por minuto, estando el orificio sometido a una presin diferencial de 1 psi.

  • 94 Captulo 4 - Elementos bsicos

    en las que k engloba las constantes de conversin de unidades y el factor 2 g

    Si ahora hacemos

    resulta

    o bien

    y la definicin de Cv , dada anteriormente, utilizando unidades anglosajonas, se ob-tendra haciendo: qv 1 gal USA, *1 y p1 p2 1 psi, con lo que se tendra Cv *1.

    El coeficiente de caudal es, por tanto, un parmetro que depende exclusivamente de la geometra de la restriccin (orificio de paso) y de su entorno inmediato, y no depende del fluido manipulado.

    De este modo, conociendo el Cv nominal de una vlvula, el cual se refiere siem-pre a su mxima apertura, puede calcularse la capacidad de paso mxima para unas condiciones determinadas de operacin (peso especfico y presin diferencial).

    Llamamos caracterstica de caudal a la expresin matemtica o a la curva gr-fica que proporciona el coeficiente de caudal de una vlvula, a lo largo de todo el recorrido o carrera de su vstago (posicin).

    Es evidente que conocido el Cv nominal de una vlvula y su caracterstica de caudal, podremos saber su coeficiente de caudal o Cv correspondiente a una carrera cualquiera. Es decir, que para una seal de control y unas condiciones de operacin determinadas, podremos calcular el caudal de paso.

    Consideraremos las dos principales caractersticas de caudal: la lineal y la isoporcentual.

    La caracterstica lineal es aquella en la que el coeficiente de caudal, Cv , para cualquier apertura de la vlvula, es proporcional a la carrera de la misma, y, a lo largo de todo su recorrido; esto es Cv Cvm y

    1 2vv

    p pq C

    1 2( )p vq C p p

    vC k CA

  • 95

    y para una presin diferencial constante, se tendr q Qm y con lo que la transmitancia ser

    donde

    y Carrera expresada como fraccin de la carrera total (0 ... 1) Cv Coeficiente de caudal instantneo (a la apertura y) Cvm Coeficiente de caudal nominal (a la mxima apertura, y1) q Caudal instantneo (a la apertura y) Qm Caudal mximo (a la mxima apertura)

    La caracterstica isoporcentual tiene la propiedad de que al cambiar la carrera

    del vstago en incrementos sucesivos de igual magnitud, se producen incrementos relativos iguales en el coeficiente de caudal, esto es, incrementos de igual porcen-taje con relacin al valor anterior, de donde se deriva su nombre. As, pues:

    Integrando ambos miembros de la ltima igualdad se tiene

    y haciendo

    obtenemos la ecuacin general

    Es preciso notar que en teora, cuando y 0, el valor del Cv no es nulo, lo que significa que en la posicin de totalmente cerrada existe un caudal mnimo no nulo.

    Para determinar las constantes C y k nos basaremos en los dos casos particu-lares siguientes:

    QY

    Qm

    o bien v v

    v v

    C dCk y k dy

    C C.

    .

    ln

    e e e

    v

    k y c k y cv

    C k y c

    C

    e constantecC

    ek yvC C

    Apdo. 4.2.7.c

  • 96 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Vlvula totalmente cerrada

    y 0 (carrera cero) Cv Cv0 (coeficiente de caudal mnimo terico no nulo) C Cv0 (puesto que ek y e0 1)

    Vlvula totalmente abierta

    y 1 (carrera o apertura mxima) Cv Cvm (coeficiente de caudal a mxima apertura) Cvm Cv0 ek (coeficiente de caudal nominal) ln Cvm ln Cv0 k k ln Cvm ln Cv0 ln (Cvm Cv0)

    Ahora definimos el coeficiente de regulacin:

    es decir, que R es el coeficiente de regulacin, llamado rangeability en ingls, y significa la relacin entre los valores de Cv mximo y mnimo o tambin la relacin entre el caudal mximo nominal y el caudal mnimo regulable a .p constante (lo que equivale a un margen dinmico), con valores tpicos de 25 ... 50. De aqu resulta

    k ln R

    Luego, sustituyendo en la ecuacin general obtendremos

    o bien

    y para una presin diferencial constante el caudal podr expresarse como

    Se observa claramente que tenemos una funcin no lineal, concretamente del tipo exponencial, y, por tanto, para obtener la transmitancia deberamos proceder a linealizar la funcin, tal como ya se ha hecho en otras ocasiones.

    ( )ln0 0e

    yR yv v vC C C R

    1-

    vm vmyv y

    C CC R

    R R

    1-

    1m ym y

    Qq R Q

    R R

    0

    vm

    v

    CR

    C

  • 97

    Sin embargo, la existencia de vlvulas con este tipo de caracterstica se debe a la necesidad de instalarlas en circuitos con resistencias en serie (por ejemplo inter-

    vlvula y por tanto va aumentando el caudal, se produce como consecuencia un incremento en la cada de presin en el resto del circuito (con posible disminucin de la presin de la bomba), con lo que la presin diferencial disponible en la vlvula va disminuyendo. Esto se traduce en lo que se llama caracterstica efectiva de caudal, que es la funcin que nos da el caudal real en el circuito con relacin a la seal de mando a la vlvula (posicin); en contraposicin con la caracterstica inherente, que se refiere a la vlvula sometida a una presin diferencial constante. El efecto de las resistencias en serie hace que la caracterstica efectiva de una vlvula isoporcentual tienda a linealizarse. Por ello, existe la posibilidad de considerar como un solo blo-que, en cuanto a ganancia esttica, el conjunto formado por la vlvula y el resto del circuito, tratndolo como lineal. Cuando la vlvula dispone de una presin diferen-cial ms o menos constante, lo ms idneo es que sea del tipo de caracterstica lineal, en cuyo caso es fcil definir la transmitancia.

    La accin de una vlvula ser directa o inversa, segn que un aumento de la seal de mando (carrera de la vlvula) produzca un aumento o una disminucin de su apertura, respectivamente. Se trata de una cuestin de diseo mecnico. No obstante, la accin puede invertirse mediante el uso de un posicionador. 4.2.7.d) Bomba centrfuga

    Es sin duda el tipo de bomba hidrulica ms usada en la industria. Se denomina curva caracterstica a la relacin entre la presin que genera y el caudal que impulsa (realmente se refiere a la presin diferencial o elevacin de presin). Esta curva se caracteriza por mostrar la mxima presin para caudal nulo, y va decreciendo a me-dida que aumenta el caudal.

    Si consideramos que puede ser movida por un motor de velocidad ajustable, como es el caso de una turbina de vapor, se tendr una curva caracterstica diferente para cada velocidad de motor. La curva se desplazar en el sentido de mayor caudal y presin cuanto mayor sea la velocidad de giro (revoluciones por minuto).

    La figura 4.21 muestra un ejemplo de curvas caractersticas de una bomba, para diferentes velocidades de giro (n1 n2 n3) como parmetro.

    Habitualmente, las presiones se representan en trminos de altura de columna de lquido, lo que independiza el trazado de las curvas de la densidad del fluido que manejan, puesto que la presin generada es proporcional a dicha densidad (la poten-cia terica necesaria aumenta igualmente en la misma proporcin).

    Vemos, pues, que, considerada una bomba como un bloque generador de presin incorporado en un sistema, puede tener dos entradas:

    Apdos. 4.2.7.c - 4.2.7.d

    cambiadores, tuberas con accesorios, etc.), en donde a medida que va abriendo la

  • 98 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Fig. 4.21 Curvas caractersticas de una bomba centrfuga para distintas velocidades de giro

    a) El caudal. Si bien es cierto que es la presin generada la que ocasionar dicho caudal, ello no impide que por medio de una realimentacin podamos considerar este caudal como variable de entrada, que, a su vez, determinar la presin. Tiene que existir un punto de trabajo en equilibrio que satisfaga la curva caracterstica para ambas variables, ya que, por ejemplo, un au-mento fortuito de caudal provocara, segn dicha curva, una disminucin de presin que se traducira en una reduccin del caudal, contrarrestando el supuesto aumento. Es un proceso con autorregulacin.

    b) La velocidad. Entendiendo como tal la velocidad de giro, expresada usual-

    mente en trminos de revoluciones por minuto (r.p.m.). En este caso, la variable o seal de entrada procedera de algn dispositivo controlador del propio sistema (por ejemplo una turbina) o de una seal de mando manual.

    En la figura 4.22 representamos separadamente las dos funciones. En (a) hemos supuesto que la velocidad n es constante y, por tanto, la curva podra ser la rplica de una de las curvas paramtricas dibujadas en la figura 4.21. En (b) se ha supuesto que el caudal q es constante, y entonces la curva puede dibujarse deducindola, por puntos, de la citada figura 4.21, siempre que para ello haya suficientes curvas para-mtricas representadas (o interpolando entre ellas).

    En ambos casos se trata de funciones no lineales y que, una vez ms, habr que linealizar, a efectos de incorporarlas en un diagrama de bloques. Las respectivas

  • 99

    pendientes de las rectas se deducirn de las grficas, normalmente facilitadas por el fabricante de la bomba.

    Fig. 4.22 Linealizacin de las curvas caractersticas de una bomba centrfuga

    Recordemos, otra vez, que estaremos trabajando con variables que significarn las desviaciones de los valores medios establecidos como de operacin normal.

    Llamaremos pm, qm y nm a los valores medios de las variables, y mQ y mN a las pendientes de las rectas tangentes a las curvas en aquellos valores.

    Entonces tendremos la funcin de la presin como una superposicin de los efectos debidos a los cambios de caudal (a velocidad constante) y a los cambios de velocidad (a caudal constante). Ntese que, estrictamente hablando, estamos apli-cando el concepto de derivadas parciales, pero que al no disponer explcitamente de la funcin, no resulta posible hacerlo por esta va. La funcin ser:

    o en notacin laplaciana

    De aqu puede dibujarse el diagrama de bloques correspondiente (fig. 4.23).

    Habr que recordar que una de las dos entradas ser considerada como seal, mientras que la otra ser una perturbacin o una realimentacin interna. Asimismo, tngase presente que el valor del coeficiente mQ es negativo.

    p m q m nQ N

    P m Q m NQ N

    Apdo. 4.2.7.d

  • 100 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Fig. 4.23 Diagrama de bloques de una bomba centrfuga

    Aprovecharemos para representar un diagrama de bloques parcial, de un supues-

    to proceso en el que se controla la velocidad de la bomba, la cual impulsa el fluido a travs de un elemento resistencia R. Se tendr, por tanto, como variable de entrada la velocidad N, y como variable de salida se representar tanto la presin P como el caudal Q (fig. 4.24).

    Fig. 4.24 Diagrama de bloques para una bomba centrfuga, controlada por velocidad y descargando sobre una resistencia R

    Vamos a deducir en este ejemplo la funcin de transferencia entre la velocidad y la presin o el caudal. En la figura 4.25 redibujamos el diagrama de bloques para tal fin, cambiando de signo el bloque [mQ] a efectos de dejar un lazo de realimentacin negativa.

    Aplicando las reglas a) y l ) del lgebra de bloques que, recordemos, son

    y 1

    GZ ZGFX X GH

  • 101

    Fig. 4.25 Diagramas de bloques para velocidad como variable de entrada, y presin o caudal como variables de salida

    obtenemos las dos funciones de transferencia:

    Para la presin

    Para el caudal

    Segn se ha visto, mQ refleja una pendiente de naturaleza negativa, por lo que en estas ecuaciones el trmino (-mQ) ser positivo. Por otra parte, mN y mQ son de un valor constante (punto de operacin normal) y R es un parmetro constante. Esto prueba que un aumento de la velocidad (N ) producir un aumento tanto de presin como de caudal, lo que puede observarse grficamente en la figura 4.21 (pg. 98).

    Si la presin de aspiracin de la bomba, Pa, o la presin final, Pf, donde descar-ga la resistencia, no son constantes, debemos introducir estas variables en el diagra-ma de bloques, quedando entonces segn la figura 4.26. La presin de impulsin o descarga P, se ve entonces incrementada por la presin de aspiracin Pa, y la dife-rencia de presin disponible en la resistencia se ve disminuida por la presin final Pf . Ambas presiones pueden ser consideradas como perturbaciones al sistema, en tanto no dependan del caudal.

    ; N N

    Q Q

    m mR RP P Nm R m RN

    ; N N

    Q Q

    m mQQ N

    m R m RN

    Apdo. 4.2.7.d

  • 102 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Fig. 4.26 Inclusin de la presin de aspiracin y de la presin final

    4.2.8 Elementos de segundo orden

    Los elementos de segundo orden pueden originarse simplemente por la conca-tenacin en serie de dos elementos de primer orden. Sin embargo, en el caso general, el elemento se caracteriza por estar formado por una combinacin de resistencia, capacidad e inertancia, con la particularidad de que entre estas dos ltimas pueden trasvasarse mutuamente energa previamente acumulada.

    Por ejemplo, en un circuito elctrico del tipo R-L-C, puede acumularse energa tanto en el condensador como en la inductancia, y trasvasrsela entre s en los fen-menos oscilatorios.

    Del mismo modo, un sistema mecnico, compuesto por un resorte soportado en un extremo, y provisto de una masa en el otro, es capaz de acumular energa elstica (por compresin o distensin) en el resorte, y energa cintica (por movimiento) en la masa, intercambiando estas energas en los movimientos oscilatorios.

    Consideremos un circuito elctrico R-L-C serie. Asignemos a la variable de entrada la tensin entre extremos del circuito Ve. Sin definir de manera especfica la variable de salida, la figura 4.27 representar el diagrama de bloques genrico, en el que se contemplan todas las variables internas. Ntese que los tres bloques podran intercambiarse libremente entre s, sin ms que adecuar el nombre de las variables asociadas.

    Tal como se presenta el grfico, podemos tomar como variable de salida cual-quiera de las variables representadas, y efectuar las debidas operaciones para calcular la transmitancia del bloque. Supongamos que nos conviene asignar a la intensidad I (s) como variable de salida.

  • 103

    Figura 4.27 Diagrama de bloques de un retardo de segundo orden

    En la figura 4.28(a) redibujamos el grfico, y en (b) y (c) efectuamos las reduc-ciones precisas, aplicando las reglas del lgebra de bloques dadas en el captulo 1 (pg. 10 y sigtes.), hasta llegar a la expresin de la transmitancia, G *I V.

    Fig. 4.28 Diagrama de bloques para el circuito R-L-C serie, tomando la intensidad I como variable de salida

    Para obtener la primera reduccin definimos un bloque como suma de los blo-ques [Ls] y [1/ Cs] (segn la regla b) pg. 11). Para la segunda reduccin aplicamos la regla l) (pg. 14). De este modo reducimos a un bloque nico, cuya funcin corres-ponde a la transmitancia buscada. En efecto:

    Apdos. 4.2.7.d - 4.2.8

  • 104 Captulo 4 - Elementos bsicos

    en donde, por definicin, hemos hecho

    Los conceptos constante de tiempo T y factor de amortiguacin sern vistos ampliamente ms adelante.

    La transmitancia correspondiente a un retardo de segundo orden y, en general, la de los sistemas de segundo orden, se caracteriza por tener el denominador de la misma forma, tal como la que acabamos de ver; si bien, dependiendo de la configu-racin de los tres componentes y de las variables consideradas como de entrada y salida, diferir el numerador. Ello podr comprobarse en los ejemplos que siguen a continuacin.

    En estos ejemplos, sin embargo, efectuaremos los clculos partiendo de las ecua-ciones de equilibrio, en su expresin temporal, lo que ser til para una mejor com-prensin del fenmeno, y poder afrontar cualquier caso particular que se presente. 4.2.8.a) Circuito elctrico R-L-C serie

    Consideraremos el caso general de un circuito serie R-L-C, tal como el mostrado en la figura 4.29 (idntico al de la figura 4.27), en el que, visto como bloque, la en-trada es la tensin de la fuente. En primer lugar supondremos tambin que nos inte-resa que la salida sea la intensidad que circule por los componentes. Posteriormente, lo haremos con la tensin en bornas de la resistencia y con la del condensador.

    Llamando i a la intensidad, y v a la tensin de la fuente, la ecuacin general del circuito es, segn la segunda ley de Kirchhoff

    G IV

    R

    RL s

    C sL s

    C sR

    G C sL C s R C s

    C sT s T s

    1

    1 1 1

    11

    1 2 12 2 2

    v v v vR L C

    2 ;

    2 ; 2

    T LC T constante de tiempo LC

    CRT RC factor de amortiguacinL

  • 105

    es decir,

    Fig. 4.29 Circuito R-L-C serie De aqu podemos tomar directamente laplacianas

    con lo que la transmitancia del sistema ser

    y si, como antes, hacemos

    nos queda

    Insistimos, una vez ms, que en la transmitancia de todos los elementos de retar-do de segundo orden aparece siempre la misma forma en el denominador, y es el polinomio de segundo grado

    v R i L didt Ci dt 1

    V R i L s I IC s

    I R L sC s

    1

    G IV

    C sL C s R C s

    2 1

    G IV

    C sT s Ts

    2 2 2 1

    T s T s2 2 2 1

    2 ;

    2 ; 2

    T LC T constante de tiempo LC

    CRT RC factor de amortiguacinL

    Apdos. 4.2.7.d - 4.2.8.a

  • 106 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Este polinomio y, ms concretamente, los parmetros T y , son los que carac-terizan el elemento y determinan la forma de respuesta del mismo, lo cual veremos con suficiente detalle ms adelante.

    Consideraremos ahora el mismo circuito serie R-L-C, pero asumiendo que la salida es la tensin en la resistencia (fig. 4.30).

    Fig. 4.30 Circuito R-L-C serie

    La ecuacin general del circuito hemos visto que era

    pero

    luego

    Tomando laplacianas

    la transmitancia ser

    v v L didt C

    i dtR 1

    ivR

    didt R

    dvdt

    i dtR

    v dtR R R ; ;1 1

    v v LR

    dvdt R C

    v dtR R R 1

    V V LR

    s VR C

    Vs

    V V LR

    sR C s

    R RR

    R

    1

    1 1

  • 107

    la cual vemos que tiene el mismo denominador que en el caso anterior, una vez se ha efectuado la sustitucin de los valores de T y , segn las expresiones dadas ante-riormente.

    Resolvamos ahora el caso en que consideramos que la salida es la tensin en bornas del condensador. Puesto que

    sustituyendo en la ecuacin general, teniendo en cuenta que ,Rv iR

    y tomando laplacianas, obtenemos

    de donde la transmitancia ser

    y una vez ms observamos que el denominador tiene la misma forma que la vista en los casos anteriores. Asimismo, se habr notado que se ha hecho la sustitucin, efec-tuada repetidamente con anterioridad, de los valores de T y . 4.2.8.b) Masa suspendida de un resorte con amortiguacin

    Sea una masa suspendida de un resorte y a su vez sometida a algn tipo de fric-cin viscosa o amortiguacin (fig. 4.31.a).

    G VV

    R C sL C s R C s

    R 2 1

    vC

    i dtdvdt C

    i

    i C dvdt

    didt

    Cd vdt

    CC

    C C

    1 1

    2

    2

    ;

    ;

    v R C dvdt

    L C d vdt

    vC C C 2

    2

    V R CsV L Cs V V V R Cs L CsC C C C 2 2 1( )

    G VV L Cs R Cs T s T s

    C

    11

    12 12 2 2

    2 2 2 1

    RC sGT s T s

    Apdos. 4.2.8.a - 4.2.8.b

  • 108 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Una fuerza exterior f aplicada sobre la masa se ver equilibrada en todo mo-mento, como consecuencia de la ley de Newton para sistemas de traslacin, por la suma de la fuerza de aceleracin fa debida a la inercia de la masa, a la fuerza fK de la tensin del resorte, y a la fuerza fB de la friccin viscosa del amortiguador. Vase la figura 4.31(b).

    Fig. 4.31 Una masa suspendida de un resorte forma un sistema de segundo orden

    En efecto f fa fK fB en donde

    Fuerza exterior f Fuerza del resorte fK K x Fuerza de friccin fB B v B dx /dt Fuerza de aceleracin fa M a M d2x /dt2

    en las que

    x Desplazamiento v Velocidad dx/dt a Aceleracin d2x /dt2 M Masa K Constante elstica del resorte B Coeficiente de friccin viscosa del amortiguador

    Dando valores a la ecuacin general de equilibrio nos queda

  • 109

    Consideraremos que en este dispositivo la fuerza f es la entrada, y el desplaza-miento x es la respuesta o salida (fig. 4.32).

    Fig. 4.32 Diagrama de bloques para un sistema de masa suspendida de un resorte y con amortiguacin

    Tomando laplacianas se tiene

    de donde la transmitancia ser

    y haciendo

    se tiene finalmente

    f M d xdt

    B dxdt

    K x 2

    2

    F M s X B s X K X X M s B s K 2 2( )

    G XF M s B s K

    KMK

    s BK

    s

    11

    12

    2

    2 ;

    2 ; 2

    M MT T constante de tiempoK K

    B BT factor de amortiguacinK K M

    Apdo. 4.2.8.b

  • 110 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Obsrvese nuevamente la forma caracterstica del denominador.

    En la figura 4.32 se muestra el diagrama de bloques de este dispositivo, teniendo como variable de entrada la fuerza f aplicada a la masa y como variable de salida el desplazamiento x de la misma. 4.2.8.c) Sismgrafo

    Una variante del sistema anterior es el sismgrafo. En su concepcin ms ele-mental, el extremo del resorte opuesto a la masa est fijado a una carcasa solidaria con el suelo, y la masa contiene una plumilla para registrar directamente los despla-zamientos sobre un papel grfico, es decir, los movimientos ssmicos. Se espera que la masa, por efecto de la inercia, mantenga invariable, lo mejor posible, su posicin absoluta en el espacio y, por tanto, al ser la carcasa la que se mueve, sean registra-dos estos movimientos en el papel. Ver la figura 4.33. Ntese que estamos conside-rando solamente uno de los tres ejes en el espacio. En la prctica, este instrumento es triaxial, es decir, existe un dispositivo para cada eje ortogonal X, Y, Z en el espacio, lo que permite efectuar una composicin vectorial de los movimientos.

    Es digno de hacer mencin el hecho de que este principio es utilizado para sus-pender aparatos en los que se desea evitar que reciban las vibraciones del suelo o de la mesa sobre la que reposan (instrumental o balanzas de precisin, giradiscos, etc.).

    Fig. 4.33 Un sismgrafo constituye un sistema de segundo orden

    G XF

    KT s T s

    1

    2 12 2

  • 111

    Ms an, el sistema de suspensin de un vehculo automvil, no es ms que un ejemplo prctico del caso. Lo que hemos denominado carcasa seran las ruedas, en contacto con los movimientos irregulares (relativos) del suelo, mientras que la masa sera la carrocera con sus pasajeros; de aqu que a aqullas se las denomine masas no suspendidas y, a esta ltima, masa suspendida.

    En el caso del sismgrafo, la variable de entrada es el desplazamiento de la car-casa, y la variable de salida es la posicin de la masa con respecto a la carcasa (el movimiento de la masa visto por la carcasa).

    Definimos

    x Desplazamiento de la carcasa (variable de entrada) xm Desplazamiento de la masa en el espacio y x - xm Desplazamiento relativo (variable de salida) M Masa B Coeficiente de friccin viscosa del amortiguador K Constante elstica del resorte

    La figura 4.34 muestra el correspondiente diagrama de bloques.

    Fig. 4.34 Diagrama de bloques para un sismgrafo

    Dado que no se aplica directamente ninguna fuerza a la masa, la ecuacin de equilibrio de este sistema se halla igualando a cero las fuerzas que actan sobre la masa, debidas a la aceleracin, a la tensin del resorte y a la friccin viscosa, actuan-do estas dos ltimas en oposicin a la primera; esto es,

    f f fa K B 0

    Apdos. 4.2.8.b - 4.2.8.c

  • 112 Captulo 4 - Elementos bsicos

    y, puesto que xm x - y, derivando se tendr que

    por lo que sustituyendo en la ecuacin de equilibrio

    tomando laplacianas, obtenemos

    de donde la transmitancia ser

    y si otra vez hacemos

    se tiene finalmente la transmitancia

    f f f

    M d xdt

    Bdydt

    K y

    a B K

    m

    2

    20

    d xdt

    d xdt

    d ydt

    m2

    2

    2

    2

    2

    2

    M d xdt

    Md ydt

    Bdydt

    K y

    M d xdt

    M d ydt

    B dydt

    K y

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    0

    M s X M s Y B s Y K Y

    M s X Y M s B s K

    2 2

    2 2

    ( )

    G YX

    M sM s B s K

    MK

    s

    MK

    s BK

    s

    2

    2

    2

    2 1

    2 ;

    2 ; 2

    M MT T constante de tiempoK K

    B BT factor de amortiguacinK K M

  • 113

    Como los sismgrafos se construyen de tal manera que la relacin M K es muy grande; esto es

    2 21; ; 1MT T T TK

    entonces podemos hacer la simplificacin

    1YGX

    /

    y, por lo tanto

    de donde resulta que la seal de salida (registro ssmico) ser aproximadamente igual a la de la entrada (movimiento ssmico), aparte de algn posible factor de proporcio-nalidad, debido a algn dispositivo amplificador adicional.

    La simplificacin efectuada es vlida slo bajo determinadas condiciones que, no obstante, se satisfacen en la realidad: las seales de entrada a considerar han de ser del tipo senoidal, con una frecuencia e >>1/T, lo cual, dado que T es muy grande, permite abar-car desde frecuencias relativamente bajas. Y por otra parte, los movimientos ssmicos son de tal naturaleza que pueden ser descompuestos en una suma de ondas senoidales, segn un espectro de frecuencias, las cuales satisfacen la condicin antes citada. Segn se ver ms adelante, 1/T es la frecuencia natural no amortiguada n del sistema, muy baja en el caso de los sismgrafos. Una vez se haya estudiado la Respuesta frecuencial, en prximos captulos, ser fcil comprender los motivos de lo que se acaba de exponer. 4.2.8.d) Acelermetro

    Otra variante del dispositivo que se acaba de estudiar es el instrumento que se denomina acelermetro (o acelergrafo). La diferencia es de orden conceptual, pues lo que se pretende medir es la aceleracin (no el desplazamiento) de la carcasa. sta ir normalmente anclada sobre alguna pieza mecnica, tal como un soporte de coji-nete o una estructura, de la que se desea medir las vibraciones a las que est some-tida, expresndolo en trminos de aceleracin. Tngase presente que un movimiento siguiendo una ley senoidal tiene su mxima aceleracin en las crestas y valles (son los momentos en que se producen los mximos esfuerzos), y queda determinada si se conocen la frecuencia y la amplitud de las oscilaciones. Se trata, pues, de conocer la aceleracin a partir de los desplazamientos relativos registrados por la plumilla. La figura 4.35 presenta el diagrama de bloques de un acelermetro.

    G YX

    T sT s T s

    2 2

    2 2 2 1

    Y X/

    Apdos. 4.2.8.c - 4.2.8.d

  • 114 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Fig. 4.35 Diagrama de bloques de un acelermetro

    En este caso, tomando la ecuacin de equilibrio vista anteriormente

    y llamando a a la aceleracin de la carcasa (variable de entrada)

    podemos escribir

    de donde tomando laplacianas, obtenemos

    y si, como en los casos anteriores, hacemos

    se obtiene la transmitancia

    M d xdt

    M dxdt

    Bdydt

    K y2

    20

    a d xdt

    2

    2

    M a M d xdt

    B dxdt

    K y 2

    2

    M A Y M s Bs K ( )2

    2 ;

    2 ; 2

    M MT T constante de tiempoK K

    B BT factor de amortiguacinK K M

  • 115

    Como estos instrumentos se construyen de tal manera que la relacin M/K es muy pequea (contrariamente a los sismgrafos); esto es

    2 21; 1;MT T T TK

    entonces podemos hacer la simplificacin

    y, por lo tanto

    de donde resulta que la seal de salida (registro de las aceleraciones) ser apro-ximadamente proporcional a la que hemos considerado como variable de entrada (aceleracin del sistema). El hecho de que el factor de proporcionalidad (ganancia del sistema) sea pequeo (M K), se subsana con algn dispositivo de amplificacin.

    Al igual que en el sismgrafo, la simplificacin efectuada es vlida slo bajo deter-minadas condiciones que, no obstante, se satisfacen en la realidad: las seales de entrada a considerar han de ser del tipo senoidal, con una frecuencia e

  • 116 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Generalicemos primeramente el caso de dos elementos seriados no interactivos. Sabemos que la transmitancia del conjunto ser el producto de las respectivas trans-mitancias, G1G2.

    Si la constante de tiempo del primer retardo es T1, y la del segundo es T 2 , la transmitancia conjunta ser

    Demostraremos ahora, desarrollando el producto de las dos fracciones, que este producto es la transmitancia de un retardo de segundo orden.

    haciendo

    nos queda la clsica transmitancia de segundo orden

    Hay que hacer notar que en estos dispositivos, formados por dos retardos de primer orden en serie, se cumple que

    factor de amortiguacin ' 1

    En efecto, valdr 1 cuando T1T2T. En los dems casos, cuando T1+T2, ser superior a la unidad; nunca puede ser inferior. Ms adelante, cuando analicemos las respuestas temporal y frecuencial, veremos el significado que esto tiene.

    Tngase presente que para 1 se tiene que la transmitancia del elemento retardo de segundo orden puede expresarse como

    G G GT s T s

    1 2 1 2

    11

    11

    GT s T s T T s T T s

    11 1

    1

    11 2 1 2 2 1 2( ) ( ) ( )

    GT s T s

    12 12 2

    21 2 1 2

    1 21 2

    1 2

    ;

    2 ; 12

    T T T T constante de tiempo T T

    T TT T T factor de amortiguacin

    T T

    '

  • 117

    acorde con el hecho de que las dos constantes de tiempo de ambos retardos de pri-mer orden de que est compuesto son iguales, T1T2T.

    A continuacin se analizarn diversos sistemas conectados en serie, tanto en su conexin interactiva como no interactiva. 4.2.8.f ) Dos sistemas de nivel conectados en serie

    En la figura 4.36, pueden verse dos sistemas de nivel conectados segn las dos versiones, no interactiva e interactiva, junto con los correspondientes diagramas de bloques.

    Asumimos que los sistemas se han linealizado, y que, por tanto, los caudales son proporcionales a la presin diferencial, e inversamente proporcionales a las resis-tencias de paso R.

    Inmediatamente vemos la diferencia entre los dos casos. En la conexin inter-activa, el caudal q1 se ve afectado por el nivel h2, lo que no sucede en la conexin no interactiva.

    Veamos en primer lugar la solucin para el caso no interactivo. Recordemos que la capacidad de un tanque era, en este contexto, el rea de su seccin horizontal.

    Para el tanque 1 tendremos

    Sustituyendo q1 en la primera y transformando, resulta

    de donde

    Para el tanque 2, siguiendo el mismo razonamiento

    GT s Ts Ts

    1

    2 1

    1

    12 2 2( )

    q q C dhdt

    q hRe

    1 11

    11

    1;

    Q C s H HR

    H C sRe

    1 1

    1

    11 1

    1

    1

    HQ

    RR C s

    RT se

    1 1

    1 1

    1

    11 1

    Apdos. 4.2.8.e - 4.2.8.f

  • 118 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Fig. 4.36 Diagramas de bloques de dos niveles conectados en serie

    La funcin de transferencia entre el nivel en el tanque 2 y el caudal de entrada en el tanque 1 ser H2 Qe, y se obtendr despejando Qe y H2 de las dos ecuaciones anteriores

    pero como

    1 1 1Q H R /

    HQ

    RR C s

    RT s

    2

    1

    2

    2 2

    2

    21 1

    HQ

    R QT s

    RT s He

    2 2 1

    2

    1

    1 11 1

    ( )

  • 119

    y recordando que

    la transmitancia buscada ser

    Con razonamientos similares hallaramos la transmitancia entre caudal de salida y caudal de entrada (o bien simplemente teniendo en cuenta que H2 Q2 R2 y susti-tuyendo en la anterior):

    Vemos que la transmitancia es el producto de dos transmitancias de retardo de primer orden en serie.

    Veamos ahora estas transmitancias referidas al montaje interactivo. Las ecuacio-nes de equilibrio del proceso son:

    Para el tanque 1

    Para el tanque 2

    Efectuando las debidas transformaciones y eliminando las variables Q1 y H1 entre estas funciones nos queda la funcin transmitancia

    y tambin

    HQ

    RT s T s

    RT s T se

    2 2

    1 2

    22 21 1 2 1

    ( ) ( )

    QQ T s T s T s T se

    2

    1 22 2

    11 1

    1

    2 1

    ( ) ( )

    q q C dhdt

    q h hRe

    1 11

    11 2

    1;

    q q C dhdt

    q hR1 2 2

    22

    2

    2 ;

    HQ

    RT s T s R C se

    2 2

    1 2 2 11 1

    ( ) ( )

    QQ T s T s R C se

    2

    1 2 2 1

    11 1

    ( ) ( )

    21 2 1 2y 2T T T T T T

    Apdo. 4.2.8.f

  • 120 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Vemos que el caudal q1 del tanque 1 depende del nivel del tanque 2 (adems de su proio nivel). El denominador de estas funciones contiene ahora el trmino adicio-nal R2 C1 s, como consecuencia de la interaccin entre niveles.

    Para convertir estas funciones de transmitancia a la forma tipificada de un siste-ma de segundo orden, desarrollaramos el denominador y nos quedara

    o bien

    en donde

    y ahora el factor de amortiguacin vale

    Observamos que la interaccin existente entre los tanques afecta al factor de amortiguacin , hacindolo mayor que en la conexin no interactiva, en la cantidad representada por el segundo sumando, por lo que ahora ser siempre mayor que la unidad. 4.2.8.g) Dos filtros R-C conectados en serie

    Un sistema elctrico comparable al que se acaba de ver es el mostrado en la figura 4.37, compuesto por dos filtros R-C conectados en serie.

    Los dos filtros estarn conectados de forma no interactiva si lo hacen por medio de un amplificador separador de ganancia 1. Si la conexin es directa se produce interaccin, debido a que el segundo circuito carga con una intensidad i2 procedente del primero, sustrayndola al condensador C1, en el cual se tiene ic1 *i1 - i2.

    La solucin para el montaje interactivo puede verse, por analoga, en el anlisis del bulbo de temperatura que se realiza a continuacin.

    T T s T T R C s1 2 2 1 2 2 1 1 ( )

    T s Ts2 2 2 1

    21 2 1 2

    1 2 2 1

    ;

    2 ;

    T T T T constante de tiempo T T

    nfT T T R C actor de amortiguaci

    2 11 2

    1 2 1 2

    12 2

    R CT T

    T T T T

  • 121

    Fig. 4.37 Conexin interactiva y no interactiva de dos filtros R-C

    4.2.8.h) Bulbo de temperatura con vaina

    Es normal en la industria que un bulbo o sensor de temperatura se halle instala-do, por razones de diversa ndole, dentro de una funda protectora o vaina. Veremos cmo este sistema equivale a un retardo de segundo orden, originado por dos retar-dos de primer orden en serie con conexin interactiva.

    Fig. 4.38 Sistema trmico de bulbo de temperatura con vaina y su anlogo elctrico

    Apdos. 4.2.8.f - 4.2.8.g - 4.2.8.h

  • 122 Captulo 4 - Elementos bsicos

    La figura 4.38 muestra un croquis de este dispositivo. Dada su absoluta analoga con el circuito elctrico formado por dos filtros R-C en serie, en su configuracin interactiva, se dibuja asimismo este circuito, en el que se han anotado todas sus variables. Tambin se representa el correspondiente diagrama de bloques, habindo-se esbozado, adems, el desglose de un bloque del tipo [1 Cs] en los bloques [1 s] y [1 C ]. Esto permite considerar la variable intermedia cantidad de calor h, como resultado de la integracin del flujo calrico f (o, anlogamente, la carga elctrica q, como consecuencia de la integracin de la intensidad i). El resultado de la divisin de la cantidad de calor h por la capacidad C proporciona la temperatura (o su anlogo: la carga q dividido por la capacidad C es igual a la tensin v).

    Las variables anlogas entre los dos sistemas son las que se indican en la tabla siguiente, en la que en las columnas Smbolos se ha indicado con letras minscu-las las variables en su expresin temporal, y con maysculas su expresin laplaciana. Por razones diversas, en este texto la letra mayscula (Fi) se halla en correspon-dencia con la letra minscula (Theta).

    Sistema trmico

    Sistema elctrico

    Variable

    Smbolos

    Variable

    Smbolos

    Temperatura

    Tensin

    v

    V

    Flujo calrico f

    F

    Intensidad

    i

    I

    Cantidad de calor h H Carga elctrica q Q

    Las ecuaciones de equilibrio trmico de este sistema son las siguientes:

    Para el bulbo de temperatura (ver la definicin de las variables en la descripcin de este elemento, efectuada anteriormente, pgs. 64 a 66), se tendr

    recordando que Mcp C y que UA 1 R, queda

    M c ddt

    U Ap2 2 2 2 2 1 2 ( )

    22 2 2 1

    2 2 2 1

    2 2 1

    ( )1

    ( )1

    dR C

    dt

    R C s

    T s

  • 123

    Para la vaina, el balance trmico cumplir la igualdad flujo de acumulacin flujo de entrada flujo hacia el bulbo f 1 f esto es

    o bien

    11 1 21

    1 2

    21 1 1

    1 2 1 2

    1 1

    e

    e

    dC

    dt R R

    C sR R R R

    Eliminando la variable 1 entre esta ltima ecuacin y la del bulbo, quedara

    y, finalmente, operando de manera similar a como ya se hizo al estudiar el montaje interactivo de dos niveles conectados en serie

    queda la funcin transmitancia

    Es preciso hacer notar que la resistencia R2 del bulbo no es aqu la misma que cuando se analiz el bulbo sin vaina, ya que ahora esta resistencia se ve notable-mente incrementada por la cmara existente entre las paredes de la vaina y el bulbo. Esto hace que la constante de tiempo T2R2C2 sea mayor en la misma proporcin. La consecuencia es una respuesta mucho ms lenta (aparte de la existencia de R1C1 ). Es por esta razn que se procura reducir al mnimo la separacin entre vaina y bulbo, y aun rellenar este espacio con algn material conductor del calor, tal como silicato de almina en polvo, o bien emplear otras tcnicas para facilitar la transmisin de

    M c ddt

    U A U Ap e1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 ( ) ( )

    22 2

    12 1e T s T s

    21 2

    1 2 1 22

    T T T

    T T T R C

    21 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2

    21 2 1 2 1 2 2

    ( ) 1

    ( ) 1

    e

    e

    R C R C s R C R C R C s

    T T s T T R C s

    Apdo. 4.2.8.h

  • 124 Captulo 4 - Elementos bsicos

    calor. De lo contrario, y tal como veremos en las prcticas de simulacin, el control de un proceso puede hacerse extremadamente difcil.

    Digamos tambin que la resistencia R1 disminuir con la agitacin del medio exterior. Un mayor rgimen turbulento reducir el coeficiente de pelcula, debido a la reduccin de la fina capa de fluido en contacto con una superficie que, por carecer de movimiento convectivo, es responsable de la mayor parte de la resistencia a la trans-misin del calor. Por otra parte, esta resistencia se ve incrementada por la rugosidad de la superficie (aumenta el grosor de la capa de fluido en contacto), y de aqu que sea conveniente un buen pulido de las superficies. 4.2.8.i) Tanque encamisado

    Es otro ejemplo de un sistema compuesto por dos retardos de primer orden interactivos. La figura 4.39 muestra un croquis de un tanque agitado y recubierto por una camisa por la que circula un fluido trmico, producindose intercambio de calor entre los dos fluidos.

    Fig. 4.39 Tanque encamisado con intercambio de calor

    Se ha dibujado, asimismo, el diagrama de bloques, de tal modo que muestra el flujo de seales considerando dos posibles variables de entrada, la temperatura 1 y la temperatura 3. Igualmente, se han representado como posibles variables de sa-lida las temperaturas 2 y 4. Se ha indicado como Ft a la variable interna cuyo significado es el flujo de calor transferido entre camisa y tanque. Recurdese el desglose de [1/ Cs] en [1/s] y

  • 125

    [1/ C ], en los que, entrando con flujo de calor, se genera entre ambos la variable intermedia cantidad de calor, para dar temperatura a la salida.

    Asumiremos que tanto el fluido de la camisa como el del tanque se hallan a tem-peratura homognea y que la capacidad calorfica de la pared del tanque es despre-ciable en comparacin con la del contenido. Los caudales de ambos fluidos se su-pondrn constantes.

    La ecuacin de balance trmico para el contenido de la camisa lo basaremos en la igualdad acumulado entrada - salida - trasvase

    La ecuacin para el contenido del tanque se basar en acumulado entrada- salida + trasvase

    Recordemos que, en general

    Entonces, sustituyendo en las dos ecuaciones anteriores

    o bien, tomando laplacianas y reordenando, obtenemos

    M c ddt

    q c q c U Ap p p1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 4 ( )

    M c ddt

    q c q c U Ap p p2 2 4 2 2 3 2 2 4 2 4 ( )

    M c C U A q c Rp p ; 1

    C ddt R R1

    2 1 2

    1

    2 4

    2

    C ddt R R2

    4 3 4

    3

    2 4

    2

    C sR R R R2 2 3

    42

    2

    3

    3

    1 1

    C sR R R R1 1 2

    21

    1

    4

    2

    1 1

    Apdos. 4.2.8.h - 4.2.8.i

  • 126 Captulo 4 - Elementos bsicos

    A partir de aqu, tenemos la posibilidad de calcular cuatro funciones de transfe-rencia diferentes, dependiendo de qu variables se consideren de entrada y salida. Si, por ejemplo, asignamos a 1 y a 3 como posibles entradas y 4 como salida, para mostrar la relacin entre temperatura de salida del tanque y la temperatura de entra-da, habr que eliminar la variable 2 entre las dos ltimas ecuaciones.

    El lector podra comprobar que haciendo (por definicin)

    de las dos ltimas ecuaciones laplacianas obtendramos la siguiente ecuacin:

    Ahora ya podemos obtener cualquiera de las dos transmitancias buscadas, sin ms que anular el trmino que contenga la variable que no quiera considerarse como de entrada. Esto es:

    y tambin

    El hecho de haber anulado aquellos trminos en que la variable que contenan se asuma de valor constante, se justifica porque, como ya se ha dicho en otras oca-siones, una funcin de transferencia puede considerarse que relaciona las desvia-

    T R C R C RR R R

    T T K T R C T R C

    T R C R R C R R C R R C RR R R

    K RR R R

    K R RR R R

    T C R RR R

    2 1 1 2 2 3

    1 2 31 2 1 1 1 1 2 2 2

    1 1 3 1 1 2 2 2 3 1 2 3

    1 2 3

    13

    1 2 3

    21 2

    1 2 3

    12 11 2

    1 2

    2

    ( ; )

    4 2 2 1 1 3 2 122 1 1( ) ( )T s Ts K K T s

    4

    1

    12 2 2 1

    KT s T s

    4

    3

    2 122 2

    12 1

    K T sT s T s

    ( )

  • 127

    ciones de las variables a partir de un valor de referencia (condiciones iniciales). Sucede, sin embargo, que, debido a que se est tratando con funciones lineales, es posible trabajar con los valores absolutos de las variables, debido al principio de superposicin. Ms adelante desarrollaremos ampliamente estos conceptos, y vere-mos cmo, para hallar las respuestas temporales de un sistema, es preciso incorporar a la respuesta los valores de las condiciones iniciales o de referencia. 4.2.8.j) Dos tanques a presin en serie

    La figura 4.40 representa un croquis de dos tanques de gas, de capacidades C1 y C2, unidos entre s por una restriccin, R2. Cada uno de ellos se halla conectado, a travs de sendas restricciones, R1 y R3, a sus respectivas fuentes de presin, p1 y p3. Se dibuja tambin el circuito elctrico anlogo, asumiendo que se han linealizado las resistencias del sistema neumtico.

    Fig. 4.40 Dos tanques a presin en serie y su anlogo elctrico.

    Estos sistemas son absolutamente anlogos al del tanque encamisado, visto lti-mamente, aunque no sea evidente a primera vista. Un anlisis detenido nos mostrar que pueden ser representados por el mismo diagrama de bloques, sin ms que ade-cuar los nombres de las variables. En consecuencia, por analoga, son igualmente vlidas las ecuaciones de partida y las transmitancias obtenidas. 4.2.9 Elemento tiempo muerto El tiempo muerto es una caracterstica de aquellos procesos fsicos en donde existe un transporte de materia a lo largo de un determinado trayecto y a una veloci-dad finita. Cualquier cualidad de la materia transportada, expresada por alguna varia-

    Apdos. 4.2.8.i - 4.2.8.j - 4.2.9

  • 128 Captulo 4 - Elementos bsicos

    ble (como temperatura, concentracin, densidad, pH, etc.) se ir desplazando a lo largo del trayecto, invirtiendo un tiempo entre dos puntos cualesquiera del mismo. Este tiempo no depender ni de la naturaleza ni de la magnitud de la variable, sino exclusivamente de la velocidad de transporte y de la distancia entre los dos puntos del recorrido.

    As, por ejemplo, sea un tanque en el que se produce un determinado cambio de temperatura y que tiene situado el sensor (termmetro) a cierta distancia, aguas aba-jo, en la tubera de salida de producto. Dicho cambio no podr ser detectado hasta un tiempo ms tarde, cuando el producto, con las nuevas condiciones de temperatura, haya alcanzado realmente el punto de medicin.

    En la figura 4.41(a) y (b) se representa un ejemplo de este fenmeno, en donde si la temperatura del tanque evoluciona segn una funcin (t) f (t), la tempe-ratura en el punto de medicin ser m (t) f (t - Tm), siendo Tm el tiempo muerto, es decir, el tiempo que tarda una partcula del fluido en trasladarse desde el tanque al punto de medida. Este tiempo es fcilmente calculable si se conocen el caudal q, el dimetro interno de la tubera D y la distancia implicada d.

    Un tiempo muerto es representado en un sistema mediante un bloque con la funcin de transferencia e-Tms (fig. 4.41.c).

    En efecto, si la seal de entrada (t) satisface, segn se ha dicho, una funcin cualquiera f (t), esto es, (t) f (t), tendremos, tomando laplacianas, (s) F(s), y entonces la seal de salida, m(s), ser el producto

    y efectuando la transformacin inversa

    Como veremos ms adelante, los tiempos muertos suelen dificultar la controla-bilidad de los sistemas, debido precisamente al retardo puro que ocasionan en el flujo de seales. Cualquier reaccin no es percibida en absoluto (no causa ningn efecto) en el siguiente bloque hasta pasado un tiempo; pero durante este tiempo el sistema sigue evolucionando. No debe pensarse lo mismo de los retardos de tiempo vistos con anterioridad, en donde los cambios en las respuestas se manifiestan paulatina-mente desde el primer momento (la segunda derivada en t0 no es nula). En simulacin de procesos mediante dispositivos analgicos, resulta prctica-mente muy complicado simular con cierta precisin un bloque tiempo muerto, a menos que se recurra a un engorroso dispositivo de grabacin y reproduccin en

    m T ss F sm( ) ( ) e-

    m mt f t T( ) ( )

  • 129

    cinta magntica de la seal, efectuado mediante dos cabezales debidamente separa-dos, y controlando la velocidad de la cinta.

    Fig. 4.41 Tiempo muerto debido al tiempo de transporte

    Por el contrario, la simulacin de un tiempo muerto en un ordenador resulta

    sencilla y precisa. Dado que todas las seales son digitalizadas, es fcil introducirlas en una memoria circular y recuperar su valor un tiempo ms tarde. El nico in-conveniente es que ser preciso reservar memoria suficiente para almacenar el valor

    Apdo. 4.2.9

  • 130 Captulo 4 - Elementos bsicos

    de cada variable implicada, tantas veces como unidades elementales de tiempo (inter-valos de discretizacin) estn comprendidas en el tiempo muerto que se trate de simular. La cantidad de memoria utilizada es tanto mayor cuanto mayores sean el tiempo muerto y la frecuencia de muestreo. Por ejemplo, dada una variable sometida a un tiempo muerto de 60 segundos y operando a 16 muestras por segundo, se tienen 960 valores retenidos constantemente, que a razn de 12 bits (tpicamente) por cada valor resulta un total de 11.520 bits (1.440 bytes), solamente para el valor de una variable a 12 bits. Sin embargo, con los ordenadores y las tcnicas de programacin modernas, este inconveniente se salva sin dificultad, como bien podr comprobar el lector cuando realice los ejercicios prcticos con el ordenador.

    Nota aclaratoria El programa ControlP maneja los datos en el formato de coma flotante de 8 bytes (64 bits). Esto permite operar internamente con el equivalente de 15016 dgitos decimales signifi-cativos de precisin, es decir, con una resolucin del orden de una parte por 1015, y en un margen dinmico de 5,0110-324 a 1,7110308, tanto para valores positivos como negativos.

    4.2.10 Elemento adelanto-retardo

    Este elemento es poco frecuente encontrarlo en los sistemas reales, si se excep-tan los sistemas electrnicos. Raramente, aunque es posible, podran encontrarse en sistemas mecnicos.

    Precisamente si ofrece inters su estudio es porque es muy sencillo sintetizarlo con componentes electrnicos, y esta es su utilidad y aplicacin: estos dispositivos se emplean en los sistemas de control como elementos de compensacin en la regula-cin, segn veremos ms adelante.

    En la figura 4.42 se muestra la disposicin de un circuito electrnico que forma una red de adelanto. La red se ha provisto de una amplificacin adicional, de valor 2 (R1 + R2) / R2, a efectos de que la ganancia esttica global sea unitaria.

    Fig. 4.42 Red electrnica de adelanto

  • 131

    Si se definen

    en donde puede apreciarse que la constante de tiempo T es debida a la combinacin del condensador C1 con las resistencias R1 y R2 en paralelo, entonces se demuestra que la funcin de transferencia de este circuito es

    En la figura 4.43 se muestra el circuito electrnico que formara una red de retardo.

    Fig. 4.43 Red electrnica de retardo

    Si se definen

    en donde puede apreciarse que la constante de tiempo T es debida a la combinacin del condensador C2 con las resistencias R1 y R2 en serie, entonces se demuestra que la funcin de transferencia de este circuito es

    Podemos observar que las funciones de transferencia de ambos elementos, adelanto y retardo (sera ms exacto decir predominio de adelanto y predominio de

    2

    R RR

    T R RR R

    C1 22

    1 2

    1 211 ;

    VV

    T sT s

    2

    1

    11

    2

    2

    RR R

    T R R C21 2

    1 2 21 ; ( )

    VV

    T sT s

    2

    1

    11

    2

    Apdos. 4.2.9 - 4.2.10

  • 132 Captulo 4 - Elementos bsicos

    retardo), tienen la misma forma, pero con una importante diferencia: el coeficiente 2 es en el primer caso mayor que la unidad, mientras que en el segundo es menor.

    Entonces, si definimos las constantes de tiempo

    que satisfacen la condicin

    podremos escribir la forma general de la funcin de transferencia, vlida para ambos elementos, adelanto y retardo:

    en donde se dar la distincin:

    Segn se ver ms adelante, T T2 es la constante de tiempo natural en ambos elementos. Tambin se vern sus respuestas, tanto temporal como frecuencial.

    En ningn caso sern equivalentes a un componente adelanto o a un retardo. Es evidente que en el caso de T1T2 y, por tanto, 2 1, la funcin se convierte en una ganancia pura de valor unitario, por ser iguales numerador y denominador. 4.2.11 Elemento anticipativo

    Tampoco es frecuente encontrar este elemento en los sistemas reales, con excep-cin de los sistemas electrnicos y de los sistemas mecnicos formados por amorti-guador y resorte.

    Al igual que suceda con los elementos adelanto-retardo, vistos anteriormente, su inters estriba en su utilizacin como elemento de compensacin en los sistemas de control, dada su facilidad de sintetizarlo electrnicamente. La figura 4.44 muestra un circuito electrnico de este tipo.

    Su funcin de transferencia es

    T T

    T T

    2

    1

    2

    TT

    1

    2 2

    VV

    T sT s

    VV

    T sT s

    2

    1

    1

    2

    2

    1

    11

    11

    o bien2

    1 2

    1 2

    : ; 1

    : ; 1

    Elemento con predominio de adelanto T T

    Elemento con predominio de retardo T T

    2

    2

  • 133

    Fig. 4.44 Red electrnica anticipativa donde

    Recurdese que esta funcin haba sido vista al estudiar los elementos de primer orden.

    Estudiemos tambin el sistema mecnico anlogo. Pero en primer lugar veamos el principio de funcionamiento del componente amortiguador, cuyo parmetro es del tipo resistencia.

    Fig. 4.45 Esquema de un amortiguador hidrulico y su smbolo La figura 4.45 presenta un boceto de este dispositivo. Cuando se aplica una fuer-za f al vstago, se genera una presin diferencial .p p1 p2 entre las dos caras del mbolo o pistn, que fuerza a que el aceite de relleno fluya a travs de la restriccin R de un lado al otro del mismo, lo que permite su progresivo desplazamiento. Debi-

    VV

    T sT s

    2

    1 1

    T R C constante de tiempo ( )

    Apdos. 4.2.10 - 4.2.11

  • 134 Captulo 4 - Elementos bsicos

    do al diseo especfico de la restriccin, el flujo de circulacin q se producir en rgimen laminar, por lo que obedecer a una funcin lineal de descarga.

    En efecto, tendremos

    Si llamamos v a la velocidad de desplazamiento del mbolo

    y definimos

    2: f

    Coeficiente de friccin viscosa B RAv

    tendremos la ecuacin del amortiguador:

    Es decir, que para una geometra determinada, la velocidad de desplazamiento del vstago y del mbolo es proporcional a la fuerza aplicada al vstago.

    El sistema mecnico, anlogo al electrnico de la fig. 4.44, que se haba enun-ciado, se esquematiza en la figura 4.46.

    Fig. 4.46 Elemento mecnico anticipativo

    v qA

    fR A

    2

    vB

    f 1

    1 2 ( rea del mbolo)

    ( flujo de circulacin)

    fp p p A

    A

    p fq q

    R RA

    .

    .

  • 135

    El desplazamiento x del vstago (variable de entrada) arrastra consigo el con-junto del amortiguador. Ello implica una fuerza exterior, f , la cual se transmite al resorte, comprimindolo. La fuerza antagnica de reaccin del resorte tratar paula-tinamente de anular el desplazamiento y del cilindro (variable de salida), sobre el que se apoya, provocando un trasvase de aceite de uno al otro lado del pistn. Esto se traduce en un deslizamiento entre s de ambos componentes, ocasionando que sus desplazamientos sean diferentes, pudiendo incluso llegar a ser de sentido opuesto.

    Llamemos x al desplazamiento absoluto del conjunto vstago-pistn e y al des-plazamiento del cilindro. El movimiento del pistn con relacin al cilindro ser x - y, por lo que la velocidad relativa a la que deberemos aplicar la ecuacin del amorti-guador, vista anteriormente, ser

    esto es,

    pero llamando K a la constante elstica del resorte, y teniendo en cuenta que la fuer-za f se transmite ntegramente al mismo, diremos

    con lo que sustituyendo a f en la ecuacin anterior obtendremos

    y tomando laplacianas, obtendremos

    con lo que la funcin de transferencia ser

    vd x y

    dtdx dy

    dtdxdt

    dydt

    fBx y( , )

    ( )

    dxdt

    dydt

    fB

    K fy f K y ;

    dxdt

    dydt

    KB

    y

    s X s Y KB

    Y Y s KB

    YX

    s

    s KB

    BK

    s

    BK

    s

    1

    Apdo. 4.2.11

  • 136 Captulo 4 - Elementos bsicos

    y si definimos la constante de tiempo

    obtendremos finalmente

    que coincide con el circuito anlogo electrnico. 4.2.12 Controladores

    Como ya se ha dicho, el controlador es el dispositivo responsable de elaborar la seal correctora que constantemente es enviada al elemento final de control del proceso, con el fin ltimo de alcanzar, restablecer o mantener las condiciones de regulacin deseadas; es decir, hacer que la medida se mantenga en un valor lo ms prximo posible al punto de consigna. Esta seal correctora, o salida del controlador, es establecida por ste en funcin de la seal de error, llamada tambin desviacin (la diferencia entre consigna y medida), y puede tener en cuenta su signo, magnitud, duracin y tendencia. Todo ello se ir viendo en los apartados siguientes.

    Los diversos modos de actuacin que determinan la salida del controlador se llaman modos de control y son debidos, a su vez, a la incorporacin combinada de diferentes acciones de control.

    En este texto analizaremos exclusivamente aquellos modos de control que con-tienen acciones de control basadas en funciones lineales, y consideraremos equiva-lentes la salida del controlador y la posicin de la vlvula. 4.2.12.a) Proporcional (P)

    El modo proporcional o control proporcional es aquella en que el elemento final de control efecta, con referencia a una posicin inicial correspondiente a una seal de error nula, un movimiento o carrera proporcional a la magnitud de la desviacin. El factor de proporcionalidad es ajustable. Con ello ha quedado definida la accin proporcional.

    Con relacin a la accin proporcional, debemos distinguir los siguientes concep-tos y definiciones que caracterizan este modo de control:

    T BK

    constante de tiempo ( )

    YX

    T sT s

    1

  • 137

    Banda proporcional (BP) Es el tanto por ciento de escala que la medida (variable controlada) debe reco-rrer para mover el elemento final de control (salida del controlador) de una posicin extrema a la otra (la totalidad de la carrera). Si se asume que el punto de consigna es constante, hablar de variaciones de la medida equivale a hablar de variaciones de la seal de error de la misma magnitud. Si lo que cambia es la consigna, y la medida se mantiene constante, en esta definicin hay que sustituir medida por consigna, y en cualquier caso puede sustituirse por seal de error (o desviacin).

    Con una banda proporcional estrecha slo se requieren un pequeo cambio en la medida para que la vlvula efecte la totalidad de su carrera. Por el contrario, con una banda ancha, un gran cambio de la medida producir un pequeo movimiento en la posicin de la vlvula. Con una banda proporcional del 100% los cambios en la vlvula sern de la misma magnitud en porcentaje que los de la medida.

    Fig. 4.47 Representacin grfica de la banda proporcional

    Apdos. 4.2.11 - 4.2.12 - 4.2.12.a

  • 138 Captulo 4 - Elementos bsicos

    En la figura 4.47 se representa la relacin entre la medida y la salida del contro-lador para diferentes valores de la banda proporcional. En este grfico se asume que el punto de consigna se halla en el 50% de la escala, y que para una desviacin nula la posicin de la vlvula sera tambin del 50%. Hay que tener en cuenta el signo de la seal de desviacin, que en este caso se ha hecho e m c. Ms adelante se ver el concepto de accin directa y accin inversa.

    Ntese que con una banda proporcional superior al 100 % ya no es posible que la

    vlvula efecte el recorrido completo, aun cuando la variable controlada recorra la totalidad del intervalo de operacin.

    Ganancia (G ) Es el concepto inverso del de banda proporcional. Se define como la relacin entre variacin de salida del controlador (movimiento de la vlvula) y la variacin de la entrada que la ha causado (medida, consigna o desviacin). En este texto se utili-zar preferentemente la ganancia antes que la banda proporcional. Las relaciones entre ganancia y banda proporcional son:

    100 1; 100G BPBP G

    Desviacin permanente (Offset ) Es obvio que cualquier cambio de carga en el proceso o cualquier perturbacin requiere una nueva posicin de la vlvula, para compensarlo por mediacin de la variable manipulada. Pero, como se ha visto, es preciso cierto cambio en el valor de la medida y, por tanto, en la desviacin, para obtener una nueva posicin en la vlvula (a menos que se modifique el punto de consigna). Esto significa que, si partamos de una desviacin nula, entonces en las nuevas condiciones de equilibrio necesariamente existir una desviacin residual o permanente (offset en ingls). El modo de control proporcional puede producir una accin correctora exacta (sin des-viacin permanente) solamente en unas condiciones particulares del proceso (punto de consigna y carga); en las dems persistir una desviacin permanente una vez alcanzada la estabilizacin.

    Reajuste manual Si en un control proporcional se pretende corregir la desviacin permanente y llevar la medida (o ms concretamente, la variable controlada) al valor exacto que se desea, deber reajustarse manualmente el punto de consigna, desplazndolo en

  • 139

    direccin contraria a la desviacin de la medida, una cantidad que depender de la ganancia esttica total del lazo. Con ello se conseguir (probablemente con ms de un intento) que la medida se site en el valor que realmente se desea, quedando una desviacin permanente ficticia. Por ejemplo, si con un punto de consigna del 60% el proceso se estabiliza en el 63%, situaremos el punto de consigna en el 57% (como primera aproximacin), con lo que en este caso finalmente se tendra una desviacin aparente del 3%, pero el proceso se encontrar en el valor realmente deseado del 60% (es posible que convenga hacer algn intento ms).

    Cabe tambin intervenir en el sistema de equilibrio esttico del controlador, ya sea electrnico o neumtico (operacin llamada alineacin), provocando un despla-zamiento en la recta representativa de la banda proporcional, con lo que se modifica el valor de salida correspondiente a una desviacin nula. Obviamente, esta alteracin se hace extensiva para cualquier valor de desviacin. Con ello se consigue posicionar la vlvula en la apertura precisa para que satisfaga unas condiciones particulares del proceso, con una desviacin nula. Hay que insistir, sin embargo, que estos reajustes son vlidos solamente para unas determinadas condiciones de carga en el proceso. Como se indica ms adelante, no es una buena solucin.

    En la figura 4.48 se representan los dos modos de reajuste manual. Se ha elegido

    una recta de banda proporcional del 50% (ganancia igual a 2).

    Fig. 4.48 Grficas de dos modos de reajuste manual

    Apdo. 4.2.12.a

  • 140 Captulo 4 - Elementos bsicos

    En (a) se ha modificado el sistema de equilibrio esttico del controlador para que en condiciones de desviacin nula la salida sea del 70% (lnea contnua). Ntese cmo la recta original (a trazos) se ha desplazado hacia arriba en un 20%.

    En (b) se ha cambiado el punto de consigna al 60%, desplazando la recta un 10% a la derecha, de tal manera que con una medida del 50% (desviacin del 10%) la salida sea del 30%; es decir, un 20% menos, ya que la ganancia es de 2. El equilibrio esttico del controlador se mantiene centrado en el 50%; por esta razn, con una desviacin nula (medida al 60%) se obtiene una salida del 50%. Notar cmo la escala inferior de desviacin se ha desplazado a la derecha en una magnitud del 10%.

    Hay que insistir, sin embargo, que ambos reajustes son vlidos solamente para unas determinadas condiciones de carga en el proceso. Tan pronto surja un cambio de carga o de punto de consigna se producir de nuevo una desviacin permanente.

    El fenmeno de la desviacin permanente debida a un cambio de carga, y su compensacin por reajuste manual, ya sea mediante la modificacin del punto de consigna, o bien por la intervencin en el sistema de equilibrio del controlador, pue-de verse en la figura 4.49.

    Se han representado, concatenadas por las seales, en un bucle cerrado, las cur-vas caractersticas de respuesta del controlador, las del conjunto formado por la vl-vula y el proceso, las del medidor y las del comparador (generador de seal de error o desviacin). Para mayor claridad, se han supuesto todos los componentes lineales y con una ganancia individual unitaria (el incremento de salida es de igual magnitud que el incremento de entrada).

    En lnea fina de trazo continuo se muestra una hipottica situacin de equilibrio, en la que todas las variables y sus seales, incluido el punto de consigna, estn en el 50 %, siendo nula la desviacin. En un momento dado se introduce un cambio de carga en el proceso, con lo que su recta caracterstica se desplaza y pasa a ser la que se dibuja a trazos gruesos. Ntese que ahora, con la misma seal de salida del con-trolador (posicin de vlvula), se tendra un valor menor de la variable controlada. La nica situacin de equilibrio posible, y que se alcanzara de manera natural (gra-cias a los retardos de tiempo), es la representada por las lneas de puntos. Obser-vamos que la variable controlada ha sufrido un decremento que se traduce en una desviacin permanente (10%), la cual provoca un incremento en la posicin de la vlvula (al 60%), compensando (slo parcialmente) el efecto del cambio de carga.

    El reajuste manual podra ser efectuado aumentando el punto de consigna (al 70%), segn la caracterstica dibujada a trazos gruesos, figura 4.49, en donde la nueva situacin de equilibrio es la representada en lnea fina de trazos. Ahora la salida del controlador (posicin de la vlvula) se ha incrementado al 70% y la varia-ble controlada retorna al verdadero valor deseado (50 %), con lo que la desviacin real (prctica) es nula; si bien la desviacin aparente (consignamedida) se ha dupli-cado (20%). En la figura 4.50(a) se resalta con lnea extragruesa el trazado de las condiciones de equilibrio, en un diagrama idntico al de la figura 4.49.

  • 141

    Fig. 4.49 Reajuste manual para compensar un cambio de carga La segunda posibilidad, sera desplazar la curva de respuesta del controlador,

    segn la lnea de trazos gruesos en la figura 4.49, modificando el equilibrio esttico del controlador. La salida del controlador aumenta y la variable controlada retorna al valor deseado, con una desviacin nula. Puede parecer una buena solucin, y terica-mente lo es; pero tener que retocar el controlador cada vez que acontece un cambio de carga o bien que se requiera un cambio en el punto de consigna, no es aceptable desde un punto de vista prctico. En la figura 4.50(b) se resalta con lnea extragruesa el trazado de las condiciones de equilibrio.

    Apdo. 4.2.12.a

  • 142 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Fig.

    4.5

    0 T

    raza

    dos p

    artic

    ular

    es d

    e re

    ajus

    te m

    anua

    l par

    a co

    ndic

    ione

    s de

    equi

    libri

    o

  • 143

    Finalmente, hay que destacar que si partiendo de unas condiciones iniciales de equilibrio con desviacin nula, se efecta un cambio en el punto de consigna, surge igualmente el fenmeno de la desviacin permanente. Ello podr ser fcilmente comprobado sobre los grficos de la figura 4.49. Supongamos que partimos de las condiciones iniciales indicadas en lnea fina de trazo continuo (consigna en el 50%), y cambiamos el punto de consigna al 70% (lnea de trazos gruesos en el diagrama del comparador). Puede verificarse que en las nuevas condiciones de equilibrio (no mostradas en el grfico) la variable controlada se estabilizara en el 60%, quedando, por tanto, una desviacin permanente del 10%.

    Ecuacin del controlador La salida del controlador (posicin de la vlvula) en funcin de la seal de entrada (medida), vendr dada por

    o bien

    donde

    y Salida del controlador c Punto de consigna m Seal de medida B Banda proporcional G Ganancia 100 / B N Constante (posicin de la vlvula para desviacin nula)

    La cantidad encerrada entre parntesis, c m, es precisamente la seal de error

    o desviacin.

    El signo de la seal de salida del controlador debe ser el adecuado para que se produzca el movimiento de la vlvula en la direccin apropiada para disminuir o anular la desviacin. Esto depender del tipo de proceso (por ejemplo, el aumento de un caudal puede calentar o enfriar, segn el caso) y del tipo de vlvula (un aumento de seal de mando la abre o la cierra). La adecuacin del signo se consigue gracias a que en el comparador el signo de la seal de entrada de la medida puede ser negativo (e cm) o positivo (em c). En el primer caso un aumento en la consigna provo-ca un aumento en la salida del controlador y decimos que el controlador es de accin inversa, y en el segundo el aumento de salida es ocasionado por un aumento de la medida y decimos que es de accin directa. Con ello se consigue una realimentacin

    yB

    c m N 100 ( )

    y G c m N ( )

    Apdo. 4.2.12.a

  • 144 Captulo 4 - Elementos bsicos

    global negativa; lo cual es una condicin imprescindible (aunque no suficiente) para que el control automtico de un sistema sea estable. Vase en la pgina 155 la Nota sobre la seal de error o desviacin.

    4.2.12.b) Integral (I)

    Este modo de control es llamado tambin flotante de velocidad proporcional. El controlador hace que el elemento final de control se mueva a una velocidad que es proporcional a la seal de error. En otras palabras, cuanto mayor es la desviacin, mayor es la velocidad de desplazamiento de la vlvula. El factor de proporcionalidad es ajustable, con lo que la vlvula puede moverse a distinta velocidad, para una misma seal de error.

    El hecho de primordial importancia en este tipo de control, es que mientras haya seal de error persistir una accin correctora, tanto menos enrgica cuanto ms se vaya reduciendo dicha seal. La accin correctora, pues, responde tanto a la magni-tud como a la duracin y signo de la desviacin. De este modo, para cualquier per-turbacin o cambio de carga, la accin correctora persiste hasta haber producido la correccin necesaria y precisa para restablecer en el proceso las condiciones de equilibrio, anulando totalmente la desviacin.

    El control integral tiene el inconveniente de que es poco enrgica en los instantes que siguen a la aparicin brusca de una desviacin, ya que su efecto es paulatino. Ntese el contraste con el control proporcional, en el que permanece una desviacin permanente, pero, sin embargo, presenta una respuesta enrgica e instantnea desde el primer momento en que surge un cambio en la desviacin.

    Ecuacin del controlador Se determina a partir de la definicin que se ha dado:

    donde

    y Salida del controlador c Punto de consigna m Seal de medida e c m Seal de error o desviacin v dy/dt Velocidad del cambio de la salida Ti Tiempo de integracin (factor de proporcionalidad inversa)

    vdydt T

    c mT

    ei i

    1 1( )

  • 145

    De la ecuacin anterior, por integracin se obtiene

    en la que K es la constante de integracin, equivalente en este caso a la posicin ini-cial de la vlvula (valor de y para t0).

    Otra forma ms idnea de representar esta ecuacin ser

    en donde y0K, es decir, el valor de la salida inicial para t0, y el trmino que contiene la integral es la variacin de la seal de salida producida en el tiempo t.

    Queda demostrado que se trata de una accin integral. El factor Ti puede inter-pretarse como el tiempo necesario para que la salida del controlador efecte un cambio de igual magnitud al de la desviacin (en el supuesto que sta se mantuviera constante). O, dicho de otro modo, es la relacin entre la seal de error y la veloci-dad de desplazamiento de la vlvula, expresadas ambas ya sea como fraccin unitaria o en tanto por ciento.

    En efecto, resolviendo la integral anterior para un valor de e constante, obtene-mos

    01

    iy y et

    T

    01

    iy y y et

    T.

    y, por tanto,

    ieT ty.

    en donde si asumimos la condicin .y e; es decir, una variacin en la salida igual a la seal de error, entonces confirmamos la interpretacin que se haba efectuado:

    Asimismo, de la primera ecuacin obtenemos directamente Ti e/v, de donde

    y yT

    e dti

    t 0 0

    1

    T ti y e .

    1

    iy e dt K

    T

    Apdos. 4.2.12.a - 4.2.12.b

  • 146 Captulo 4 - Elementos bsicos

    y si ahora hacemos e 1; esto es, una seal de error unitaria, obtendremos

    que permite la siguiente interpretacin:

    El factor 1/ Ti, recproco del tiempo de integracin, es la velocidad de cambio de la salida del controlador cuando la seal de error vale la unidad; o, lo que es lo mismo, es el factor de proporcionalidad de la velocidad de movimiento de la vlvula, con relacin a la desviacin.

    Transmitancia operacional La transmitancia de un controlador integral ser

    esto es

    Ntese que en un controlador integral no se precisa hablar de ganancia, dado que sta queda englobada en el factor tiempo de integracin, Ti. En efecto, si aplicamos una ganancia K a la funcin de transferencia de este controlador, tendremos la siguiente expresin:

    quedando una ecuacin semejante a la original, en la que ahora se tiene un tiempo de integracin efectivo T'i , definido como

    lo cual resulta evidente si se tiene en cuenta que el efecto multiplicador de un factor de ganancia K, en la respuesta debida a una accin integral, es equivalente al que se obtiene dividiendo el tiempo integral por K, que es tanto como decir que su accin se

    1T

    vei

    YE T si

    1

    Y ET si

    KT s T

    Ks T si i i

    1 1 1

    T TKi

    i

    11

    ei

    vT

  • 147

    hace K veces ms enrgica. La velocidad de la respuesta, frente a un cambio en escaln de magnitud e, ahora sera

    4.2.12.c) Proporcional-Integral (PI)

    Este modo de control rene las caractersticas de los modos de control propor-cional e integral, aprovechando las ventajas y obviando los inconvenientes de ambos modos. Contendr, por tanto, la accin proporcional y la integral.

    Distinguiremos los siguientes conceptos:

    Accin integral (Reset) Esta accin correctora, proporcionada por el modo de control flotante de veloci-dad proporcional, se superpone a la accin proporcional.

    Ahora ya no ser necesaria la operacin manual de reajuste, despus de un cam-bio de carga o de un cambio en el punto de consigna, puesto que la accin integral la efectuar de forma automtica. De aqu que a esta accin se la denomine tambin reajuste automtico.

    Tendremos, pues, que en los instantes que siguen a un cambio de carga o de punto de consigna, la accin proporcional facilitar inmediatamente un cambio en la salida del controlador que tender de manera aproximada a ajustar el proceso. Finalmente, la accin integral proporcionar paulatinamente la correccin suple-mentaria exacta hasta anular la desviacin. Una vez que el proceso recupera el equi-librio y se estabiliza, la vlvula habr adoptado la posicin necesaria y precisa para satisfacer la demanda debida a los nuevos requisitos impuestos por el cambio de carga. La curva caracterstica del controlador se habr desplazado, tal como veamos en la figura 4.48, pero ahora de manera automtica, hasta alcanzar las condiciones finales de equilibrio con desviacin nula.

    Velocidad de reajuste. Repeticiones por minuto

    La accin integral hemos dicho que proporciona el reajuste automtico como complemento de la accin proporcional. La velocidad a la que la vlvula se mueve, por efecto de la accin integral, en respuesta a una desviacin, se llama velocidad de reajuste o velocidad integral.

    v eT

    eT K

    K eTi i i

    Apdos. 4.2.12.b - 4.2.12.c

  • 148 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Esta velocidad ha sido tradicionalmente expresada en repeticiones por minuto, y significa, en el supuesto de la aparicin repentina de una desviacin que se mantu-viera constante, el nmero de veces por minuto que el movimiento inicial de la vl-vula, debido al efecto de la accin proporcional, es repetido por la accin integral.

    Tiempo integral

    Es el valor recproco de las repeticiones por minuto. Puede definirse como el tiempo en minutos que tarda la accin integral en repetir el movimiento de la vlvula debido a la accin proporcional, frente a un cambio en escaln de la desviacin, si sta se mantuviera constante. Los valores de la velocidad de reajuste, o del tiempo integral, son independientes del valor de la desviacin. A mayor desviacin corres-ponden unos efectos igualmente mayores de las correcciones debidas a las acciones proporcional e integral, mantenindose la relacin de proporcionalidad entre los tres valores.

    Ecuacin del controlador. Transmitancia operacional

    La respuesta global es la suma algebraica de las respuestas de cada una de las dos acciones individuales

    en la que ; 1i iT Tiempo integral T Velocidad de reajuste /

    y los dems smbolos ya han sido definidos previamente. Ntese, sin embargo, que hemos trasvasado la constante K dentro del parntesis, lo que implica haber dividido su valor original por G. Asimismo, hemos definido la transmitancia operacional. El trmino de la accin integral viene multiplicado por la ganancia, lo que signi-fica que el efecto integral es proporcional a la ganancia y a la velocidad de reajuste y, obviamente, a la integral del error. Si queremos expresar la velocidad de movimiento de la vlvula, ms bien que su posicin, tendremos, diferenciando la ecuacin anterior

    1

    i

    dy dev G edt dt T

    1 1 de donde 1i i

    Yy G e e dt K GT E sT

  • 149

    en donde podemos comprobar que la velocidad de la vlvula, debida a la accin inte-gral, es proporcional a la ganancia, a la velocidad de reajuste y a la desviacin, tal como se haba enunciado. Por el contrario, si la desviacin permanece constante, la accin proporcional no contribuye en el movimiento de la vlvula. En efecto, si el proceso no reacciona, es decir, si la medida m se mantiene constante, a pesar de las correcciones que recibe la vlvula, entonces de/dt 0, y la ecuacin anterior queda

    y, por lo tanto, la vlvula se mueve a velocidad constante hasta alcanzar su lmite o tope mecnico. 4.2.12.d) Proporcional-Derivativo (PD)

    Al modo de control proporcional, con o sin accin integral, se le puede aadir una accin llamada derivativa, que, como se ver a continuacin, responde sola-mente a la magnitud de la velocidad de cambio de la desviacin, de tal manera que se opone a ella, mostrando un comportamiento corrector anticipativo a los cambios de la desviacin. Es por ello que esta accin aporta un fuerte efecto estabilizador en la controlabilidad de un sistema.

    Accin derivativa (Rate)

    Es aquella en la que la posicin del elemento final de control adopta, con rela-cin a una posicin original correspondiente a una desviacin constante, un despla-zamiento instantneo proporcional a la velocidad de cambio de la desviacin; esto es, a la pendiente de la seal de medida.

    Es decir, que suponiendo el punto de consigna constante, el desplazamiento de la vlvula es proporcional a la primera derivada de la medida (de aqu viene su nom-bre). Dicho movimiento es en sentido tal, que su efecto sobre la variable controlada (a travs de la vlvula y del proceso), tiende a oponerse al cambio que se est produ-ciendo en la misma. Este efecto es independiente de que la medida se encuentre por encima o por debajo del punto de consigna. No tiene en cuenta, por tanto, ni la mag-nitud ni el signo de la desviacin, sino slo su tendencia. En consecuencia, tampoco ser sensible a una desviacin permanente constante, que no intentar corregir.

    Matemticamente, la funcin que define el valor de la correccin aplicada a la vlvula, sobre la posicin inicial, debido a la accin derivativa, ser

    ddey GTdt

    .

    en la que Td es el factor de proporcionalidad que vamos a ver a continuacin.

    v GT

    ei

    1

    Apdos. 4.2.12.c - 4.2.12.d

  • 150 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Tiempo derivativo Es el valor del factor de proporcionalidad de la accin derivativa, y se expresa en unidades de tiempo. Para un cambio de la desviacin en forma de rampa, eltiempo derivativo Td es el intervalo de tiempo en que la respuesta (movimiento en rampa de la posicin de la vlvula) va anticipada, por efecto de la accin derivativa, a la que se obtendra exclusivamente por la accin proporcional.

    Es importante notar que el efecto anticipativo que la accin derivativa produce en la respuesta equivale a lo que podra considerarse como una prediccin, con un determinado tiempo de antelacin, de los valores de la variable controlada, a la vista de la tendencia que presenta.

    El valor del tiempo derivativo Td, o de anticipacin, es independiente de la velo-cidad de cambio (pendiente) de la desviacin. A mayor velocidad corresponden unos efectos igualmente mayores de las acciones proporcional y derivativa, mantenin-dose la relacin de proporcionalidad entre los tres valores.

    Ecuacin del controlador. Transmitancia operacional

    Sumando algebraicamente las ecuaciones de cada accin, tendremos

    en la que

    dT Tiempo derivativo y los dems smbolos ya han sido definidos previamente. El valor original de N ha sido dividido por G, a efectos de introducirlo dentro del parntesis. 4.2.12.e) Proporcional-Integral-Derivativo (PID)

    Las tres acciones hasta aqu descritas pueden ser combinadas en un mismo con-trolador, para obtener todas sus ventajas y superar sus inconvenientes.

    Resumiremos aqu las caractersticas y el comportamiento de cada una de las tres acciones.

    La accin proporcional corrige la posicin de la vlvula en una cuanta proporcional a la desviacin. Es de efecto instantneo y enrgico, pero suele presentar desviacin permanente.

    de donde (1 )d dde Yy G e T N G sT

    Edt

  • 151

    La accin integral mueve la vlvula a una velocidad proporcional a la seal de error o desviacin. Es de efecto lento y progresivo, pero sigue actuando hasta anular la desviacin permanente.

    La accin derivativa corrige la posicin de la vlvula en una cantidad pro-

    porcional a la velocidad de cambio (pendiente) de la desviacin. Ello produce un efecto anticipativo al tener en cuenta la tendencia de la variable contro-lada, independientemente de su valor actual y del signo de la desviacin.

    Ecuacin del controlador

    Sumando algebraicamente las ecuaciones de cada una de las tres acciones de control se tiene

    donde

    y Salida del controlador c Punto de consigna m Seal de medida e c-m Seal de error o desviacin G Ganancia Ti Tiempo integral Td Tiempo derivativo K Posicin inicial de la vlvula (dividida por G )

    Tambin aqu podramos expresar la ecuacin en la forma

    en la que y0 es la salida inicial del controlador, para t 0, y el segundo trmino es la variacin de la salida en el tiempo t ; esto es, .y y y0.

    Transmitancia operacional

    La transmitancia de un controlador PID ser

    YE

    GT s

    T si

    d

    1

    1

    1d

    i

    dey G e e dt T KT dt

    00

    1 td

    i

    dey y G e e dt TT dt

    Apdos. 4.2.12.d - 4.2.12.e

  • 152 Captulo 4 - Elementos bsicos

    y, por tanto,

    1 11 o bien d di i

    Y GE sT Y G E G E G ET ssT T s

    en la que se distinguen claramente los trminos proporcional, integral y derivativo, todos ellos igualmente afectados por la ganancia G y por la desviacin E.

    Tngase en cuenta que al operar con laplacianas estamos tratando con desvia-ciones de las variables con relacin a un punto de referencia o de condiciones inicia-les. En este caso la salida y queda referida al valor y0, que corresponde a las condi-ciones iniciales que se tenan para t 0. Por tanto, la variable laplaciana Y se refiere a la variacin en la salida del controlador, y tiene su correspondencia con la variable real .y y y0, la cual es nula para t 0, en que y y0. Con la variable e sucede otro tanto, pero ahora, por definicin, partimos de unas condiciones iniciales de desvia-cin nula, puesto que para t 0 se tiene cm, o bien e0.

    La transmitancia para los dems controladores podr deducirse fcilmente de sta, sin ms que suprimir, en cada caso, el trmino o los trminos correspondientes a las acciones no contenidas.

    /

  • Apdo. 4.2.12.e - Ejecuciones especiales 153

    Ejecuciones especiales La accin derivativa, tal como se ha expuesto hasta aqu, tiene un notable incon-veniente, que consiste en el hecho de que al actuar sobre la seal de error, e c-m, es igualmente sensible tanto para las variaciones de la medida m como para las del punto de consigna c.

    Puesto que los cambios de este ltimo, cuando son efectuados manualmente, suelen ser muy bruscos (velocidad de cambio muy rpida), se produce entonces un gran salto en la seal de salida del controlador. Para subsanar este inconveniente, los controladores se suelen disear de tal manera que la accin derivativa se aplica exclusivamente a la seal de medida m. Entonces la ecuacin del controlador PID se convierte en

    y su expresin laplaciana es

    Para el controlador PD tendramos las mismas expresiones, pero suprimiendo el trmino integral:

    /

    Y G E G ET s

    G M T s

    Y G ET s

    G M T s

    id

    id

    1

    1 1

    Y G E G M T s

    Y G E M T s

    d

    d

    ( )

    1d

    i

    dmy G e e dt T KT dt

  • 154 Captulo 4 - Elementos bsicos

    Nota muy importante A partir de aqu, y en especial en los ejercicios prcticos por ordenador, consideraremos exclusivamente este tipo de controlador, segn lo acaba-mos de ver; que es, precisamente, el que maneja el programa ControlP. Esto significa que la accin derivativa se aplicar exclusivamente a la seal de medida, es decir, con independencia y sin tener en cuenta los cambios del punto de consigna.

    Otras posibles ejecuciones satisfacen las siguientes ecuaciones:

    En las dos ltimas ecuaciones, la fraccin cuyo denominador contiene el factor 3 hace que la respuesta debida a la accin derivativa sea limitada frente a una seal de error en escaln (la ganancia tiende a un valor lmite para altas frecuencias). 3 es un factor que tpicamente vale entre 1/ 5 y 1/ 20. Ntese que para 3 0 se tendra una accin derivativa pura sobre la seal de error. Con la introduccin del denominador 3 Td s 1, lo que se ha hecho es aadir a la accin derivativa un retardo de primer orden, con una constante tiempo, 3 Td , varias veces menor (entre 5 y 20) que el tiempo derivativo, Td , lo cual, no obstante, es suficiente para limitar el impulso inicial de respuesta al escaln, convirtindolo en un pico de amplitud limitada seguido de un decaimiento, segn se ver al estudiar la respuesta al impulso de un retardo de primer orden.

    /

    Y G ET s

    T s

    Y G ET s

    T sT s

    Y G ET s

    T sT s

    id

    i

    d

    d

    i

    d

    d

    1 1 1

    1 111

    1 11

    ( )

    3

    3

  • Notas 155

    Nota sobre la seal de error o desviacin

    Hasta aqu hemos asignado a la seal de error o desviacin la diferencia e c m

    De este modo, tenemos que, segn hemos visto, la ecuacin de un controlador que contenga las tres acciones posibles es

    esto es,

    que tambin podramos escribir como

    en donde se ha hecho .y y y0 y e c-m.

    Es decir, que un incremento en la desviacin implica un aumento en la seal de salida; pero tal incremento puede ser interpretado como consecuencia de un decre-mento en la medida. Entonces el controlador reacciona aumentando la salida para que, a su vez, lo haga la variable controlada (a travs de los componentes interme-dios) tendiendo as a recuperar las condiciones previas. Obviamente, si uno de estos componentes (o un nmero impar de ellos) tiene una ganancia negativa, habr que asignar una ganancia negativa al controlador, pues los componentes del lazo cerrado deben mostrar, globalmente, una ganancia positiva, para que con la inversin de signo que aporta el comparador se obtenga una realimentacin negativa, lo que segn se ha dicho, es condicin necesaria, aunque no suficiente, para que el control de un sistema sea estable.

    No obstante, nada impide considerar la seal de error en la forma: e m c

    Entonces, la ecuacin del controlador se convierte en

    y y G c mT

    c m dt T ddt

    c mi

    dt

    0 0

    1( ) ( ) ( )

    00

    1 td

    i

    dey y G e e dt TT dt

    0

    1 td

    i

    dey G e e dt TT dt

    .

  • 156 Captulo 4 - Elementos bsicos

    ( )y G e. )

    o bien

    Es evidente que no hemos hecho ms que una simple manipulacin aritmtica de signos. Ahora en el sumatorio de entrada al controlador, esto es, en el dispositivo que llamamos comparador, el punto de consigna entra restando, mientras que la medida se introduce sumando. Este cambio de signos lo compensamos invirtiendo el signo de la ganancia del controlador (la realimentacin ha de seguir siendo negativa).

    Todo esto tiene la siguiente importancia conceptual: al asumir esta filosofa se tiene que la seal de error o desviacin es positiva cuando la medida supera el va-lor de la consigna y, por consiguiente, es negativa cuando la medida es inferior a la consigna, lo cual parece ms intuitivo desde un punto de vista prctico. No obstante, muchos autores no adoptan tal consideracin.

    Lo que s es universalmente aceptado es que un controlador se denomina de accin directa cuando un aumento en la variable de medida causa un aumento de la salida y, contrariamente, se denomina de accin inversa si un aumento en la medida ocasiona una disminucin de la salida. Como regla mnemotcnica suele decirse que en la accin directa salida sigue a medida, y en la accin inversa salida sigue a consigna.

    A lo largo de este texto manejaremos indistintamente cualquiera de las dos formas, segn ms nos convenga. Anticipemos que la informacin digital que da en pantalla el programa ControlP se basa en el modo descrito ltimamente.

    ( )y G e. )

  • 157

    5 Respuesta temporal de los componentes bsicos

    En este captulo se vern las respuestas temporales de los distintos componentes elementales que se han descrito, al ser sometidos a las diversas formas elementales de excitacin, tambin descritas: impulso, escaln y rampa. En el prximo captulo se vern las correspondientes respuestas frecuenciales.

    A partir de ahora, y por mediacin del programa ControlP, se efectuarn suce-sivas prcticas con el ordenador, a efectos de comprobar cuntas conclusiones se vayan deduciendo, y de experimentar diversas respuestas, tras la modificacin de valores de los distintos parmetros y constantes de trabajo.

    Se invita al lector a que ensaye y experimente por su cuenta, ms all de los ejercicios propuestos en el texto, los cuales debern servirle de introduccin. 5.1 Sistemtica de clculo

    La deduccin de las respuestas a las distintas seales de entrada la efectuaremos de la forma ms simple posible: mediante la aplicacin del Clculo operacional.

    En captulos anteriores hemos visto que, por definicin, la transmitancia opera-cional de un componente, o bloque en general, es

    G s Y sX s

    ( )( )( )

    - Apdo. 5.1Captulo 5

  • 158 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    y que, por tanto, la seal de salida ser

    donde

    G(s) Transmitancia operacional del bloque X(s) [x(t)] Transformada de la seal de entrada x (t) Y(s) [y (t)] Transformada de la seal de salida y (t)

    Conocidas, por tanto, la transmitancia y la seal de entrada, es sencillo el clculo

    de la seal de salida. Las tablas de transformadas de Laplace nos facilitarn, si es preciso, la transformada de la funcin de la seal de entrada. La respuesta temporal la hallaremos buscando, en las mismas tablas, la correspondiente antitransformada.

    La secuencia de clculo la podemos expresar as:

    o si se prefiere en una expresin nica, obtenida por sustituciones sucesivas

    A continuacin veremos, de forma generalizada, el clculo de la respuesta de un bloque o sistema para cada una de las tres seales de entrada impulso, escaln y rampa. 5.1.1 Respuesta al impulso

    Es llamada tambin respuesta impulsional o impulsiva. Es la respuesta tempo-ral de un bloque o sistema, sometido a la seal de entrada de una funcin impulso unitario. Vase la nota al final del presente captulo con relacin a la representacin grfica de impulsos. La expresin temporal de un impulso unitario (apdo. 4.1.2, pg. 53) vimos que es

    Y s X s G s( ) ( ) ( )

    x t t( ) ( )

    -1

    1. ( ) ( ) Hallar la transformada de ( ) en las tablas

    2. ( ) ( ) ( ) Sustituir ( ) para hallar ( )

    3. ( ) ( ) Hallar la antitransformada de ( ) en las tablas

    X s x t x t

    Y s X s G s X s Y s

    y t Y s Y s

    -1( ) ( ) ( )y t x t G s

  • 159

    y su transformada

    Por tanto,

    de donde la expresin temporal de la respuesta ser

    En conclusin:

    La respuesta al impulso unitario de un bloque o sistema es igual a la trans-formada inversa de su transmitancia.

    5.1.2 Respuesta al escaln unitario (repuesta indicial)

    Tambin llamada respuesta indicial. Es la repuesta de un bloque o sistema, al ser sometida su entrada a una seal escaln unitario.

    La expresin temporal del escaln unitario es, segn vimos

    y su transformada

    Por tanto,

    y la expresin temporal de la respuesta se hallara haciendo

    1- 1( ) ( )y t G ss

    Es decir, que podemos enunciar:

    La respuesta al escaln unitario de un bloque o sistema es igual a la trans-formada inversa de su transmitancia dividida por s.

    X s x t t( ) ( ) ( ) 1

    Y s G s G s( ) ( ) ( ) 1 1

    y t G s( ) ( ) -1

    x t u t( ) ( ) 1

    X s x t u t s( ) ( ) ( ) 1

    Y s s G s( ) ( )1

    Apdos. 5.1 - 5.1.1 - 5.1.2

  • 160 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    5.1.3 Respuesta a la rampa unitaria

    Es la repuesta de un bloque o sistema, al ser excitada su entrada con una seal del tipo rampa unitaria.

    La expresin temporal de la rampa unitaria es, segn vimos

    y su transformada

    Por tanto

    y la expresin temporal de la respuesta se hallara haciendo

    Por lo tanto, enunciaremos:

    La respuesta de un bloque o sistema a una entrada en rampa unitaria es igual a la transformada inversa de su transmitancia dividida por s2.

    5.2 Respuesta de un retardo de primer orden Un bloque retardo de primer orden tiene, como se recordar, la siguiente fun-cin de transmitancia

    Aplicando ahora las conclusiones vistas en los apartados anteriores, podremos deducir fcilmente las distintas respuestas de este componente. Para mayor simpli-cidad obviaremos las notaciones (t ) y (s), por ser prcticamente innecesarias, dado que la distincin entre variables temporales y operacionales queda determinada por el tipo de letra utilizado en su denominacin, minscula o mayscula, respectiva-mente.

    x t t u t( ) ( )

    X s x t t u t s( ) ( ) ( ) 12

    Y ss

    G s( ) ( ) 12

    y ts

    G s( ) ( )

    -1 12

    G sT s

    ( )

    11

  • 161

    5.2.1 Respuesta indicial

    La salida del bloque retardo de tiempo de primer orden, para una seal de exci-tacin del tipo escaln unitario ser, segn lo dicho en el apartado 5.1.2,

    La correspondiente funcin temporal, la obtenemos directamente de las tablas de transformadas de Laplace, en donde encontramos que la transformada inversa de la expresin anterior resulta ser

    -1 t /Ty e

    Esta ecuacin se representa grficamente por la clsica curva de crecimiento exponencial, segn veremos a continuacin.

    Antes de proseguir e iniciar nuestra primera prctica con el ordenador, haremos

    el sencillo ejercicio de calcular el valor inicial (para t 0) y el valor final (para t ) de la funcin. Por ser de sumo inters didctico, lo resolveremos de las dos posibles maneras: por sustitucin directa en la ecuacin temporal, y por aplicacin de los teoremas del valor inicial y del valor final a la funcin transformada de la respuesta, vistos en el captulo 2, pgs. 22 y 23.

    Para t0:

    Por sustitucin en la funcin temporal tenemos

    Por aplicacin del teorema del valor inicial

    en coincidencia con el anterior. Para t :

    Ys T s

    11( )

    y y t sY s ss T st s s

    ( ) lim ( ) lim ( ) lim( )

    01

    10

    lims T s1

    11 0

    -0(0 ) 1 e 1 1 0/Ty

    Apdos. 5.1.3 - 5.2 - 5.2.1

  • 162 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Por sustitucin en la funcin temporal

    Por aplicacin del teorema del valor final

    en coincidencia con el valor anterior.

    Queda con ello comprobado que el valor final (estado estacionario) se alcanza,

    en teora, tras un tiempo infinito. Se trata de un acercamiento asinttico.

    La figura 5.1 muestra una curva de este tipo, en la que se ha hecho T1.

    Fig. 5.1 Respuesta al escaln de un bloque retardo de primer orden

    Tngase en cuenta que hemos partido de una seal escaln unitario. Si el escaln tuviera una magnitud distinta de la unidad, por ejemplo igual a un valor A, entonces diramos que la seal de excitacin es

    y, por el teorema de la linealidad, sabemos que el resultado se vera multiplicado por el factor A. Por tanto, la respuesta tendra la expresin

    y y t sY s ss T st s s

    ( ) lim ( ) lim ( ) lim( )

    0 0

    11

    1

    x t A u t( ) ( )

    -( ) 1 e 1 0 1/ Ty

  • 163

    ( 1)AY

    s T s

    " #-1 e t /Ty A Veamos una caracterstica muy importante de este tipo de curvas, que propor-ciona un sentido real y prctico de la constante de tiempo.

    Hemos visto que la curva tiende asintticamente al valor 1 (en realidad al valor A, cualquiera que sea). Calculemos ahora cuanto tiempo debera transcurrir para que la respuesta alcanzase este valor, en el supuesto de su velocidad de crecimiento se mantuviera constante e igual al valor que presenta en el momento inicial. Dicho gr-ficamente, si trazamos una tangente a la curva de respuesta en el origen, justo cuan-do t 0, debemos medir la distancia horizontal que va desde el origen hasta el punto donde esta tangente corta a la recta horizontal, y A, asntota de la curva. Esta dis-tancia representar el tiempo buscado.

    Analticamente, la ecuacin de esta recta tangente ser la de una recta que pasa por el origen de coordenadas, con una pendiente igual a la derivada de la funcin para t 0, es decir, y mt, donde

    por tanto, tendremos que la ecuacin de la recta es

    y puesto que el tiempo buscado se cumplir cuando yA, entonces

    Concluimos, pues, que para la respuesta al escaln de un retardo de primer orden:

    La constante de tiempo es el tiempo que tardara la salida en alcanzar el valor final, si mantuviera su velocidad de crecimiento constante e igual a la del momento inicial de la respuesta.

    Vamos a calcular ahora cul es la salida que realmente se alcanza cuando se cumple t T, es decir, una vez transcurrido un tiempo equivalente a una constante de tiempo.

    y AT

    t

    t TA

    y Ty A

    -0

    0

    e ( 1 )t / T tt

    dy Am A / Tdt T

    Apdo. 5.2.1

  • 164 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Sustituyendo en la ecuacin de respuesta temporal, obtenemos

    esto es, un 63,2 % del valor final A.

    Es interesante calcular en qu momento la curva pasa por la mitad de su valor final. Para ello calcularemos el valor de t que da a la funcin el valor y 0,5 A. Des-pejaremos primeramente el trmino exponencial de la ecuacin de la respuesta

    Tomando logaritmos neperianos, obtenemos

    de donde

    lo que significa que tiene que transcurrir un tiempo equivalente al 69,3 % de la cons-tante de tiempo para que la respuesta alcance el 50 % del valor final.

    Es fcil constatar que a partir de un momento dado cualquiera, un avance en el tiempo igual al valor de una constante de tiempo, significar un aumento en la salida del 63,2 % de la cantidad restante para alcanzar el valor final. La tangente geomtri-ca a la curva, en cualquier punto, cortar a la asntota de la curva (lnea del 100%) una constante de tiempo ms all.

    Esta propiedad es muy til para dibujar las curvas a mano, ya que en todo mo-mento la tangente a la curva debe apuntar a la asntota en un punto que se halle a una distancia de una constante de tiempo hacia delante. Especialmente, esto se tendr en cuenta en el origen de la curva, cuando t0, en que apuntar a t 1.

    Todo ello nos conduce a poder validar la curva de respuesta de la figura 5.1 como de aplicacin universal, es decir, tipificada para cualquier valor de la constante A y para cualquier valor del parmetro T, siempre que normalicemos el grfico teniendo en cuenta los siguientes cambios de escala:

    1. La escala de ordenadas (de 041) deber leerse como fraccin del valor final A, es decir, y /A. Por ejemplo, el valor 1 (el 100 % del grfico) deber ser ledo como A, el valor 0,5 (50 %) como 0,5 A, etc.

    " # " #1- -( ) 1 e 1 e 0,63212...T / Ty T A A A 5

    ln 0,5 0,6931...t /T

    0,6931t T

    - 0,5e 1 1 1 0,5 0,5t /Ty AA A

  • 165

    2. La escala de abscisas deber leerse en trminos de constantes de tiempo, es decir, t / T, por lo que las unidades de la escala significarn los tiempos equi-valentes a T, 2T, 3T, etc.

    En general, la tipificacin de una curva, resultante de una ecuacin matemtica,

    se consigue de la siguiente manera:

    a) Reescribimos la ecuacin original pasando los parmetros y las constantes generales que hubiere, al miembro de la izquierda de la igualdad.

    b) Escribiremos la ecuacin tipificada tomando la original, pero dando a todos

    los parmetros y constantes el valor unidad y renombrando las variables dependiente e independiente. Por ejemplo, en nuestro caso, y y t, las re-nombramos a y* y t*, respectivamente. En este caso hemos aadido un as-terisco, pero podramos utilizar cualquier otra nomenclatura.

    c) Por identificacin de trminos entre ambas ecuaciones [las obtenidas en

    a) y en b)], estableceremos las igualdades necesarias para poder definir las nuevas variables en funcin de las originales (en realidad se trata, matemti-camente hablando, de un cambio de variables).

    d) Estas definiciones de variables nos darn las unidades de cada eje de coor-

    denadas del grfico de la curva tipificada, as como de posibles variables paramtricas de la ecuacin.

    As, por ejemplo, en nuestro caso, hacemos

    ecuacin original : " #-1 e t /Ty A Trasvasando la constante general A al miembro de la izquierda queda

    ecuacin tipificada: *-* 1 e ty

    Igualando entre s cada uno de los miembros homlogos de las dos ecuaciones anteriores, es decir, identificando trminos, obtenemos

    *

    *

    yy

    A

    ttT

    -1 e t /TyA

    Apdo. 5.2.1

  • 166 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Lo que significa que las unidades de la escala de amplitudes (eje de ordenadas) indicarn el valor y /A, y las unidades de la escala de tiempos (eje de abscisas) indi-carn t / T. A efectos prcticos, para convertir las lecturas sobre las escalas en valo-res reales de las variables, se efectuarn las sencillas operaciones:

    *

    *

    y A y

    t T t

    En la figura 5.2 se representa la misma curva con las escalas tipificadas. Se han acotado los distintos valores de la salida para tiempos correspondientes a sucesivas constantes de tiempo, y se han dibujado sus tangentes.

    Fig. 5.2 Respuesta al escaln, tipificada, de un bloque retardo de primer orden

    En la tabla de la pgina siguiente se muestra una serie de valores alcanzados y valores restantes, correspondientes a diversos tiempos singulares, en especial mlti-plos de la constante de tiempo T. Ntese que para un tiempo 5T se ha alcanzado ya el 99,33 % , en donde prcticamente se considera que ha sido alcanzado el valor final. Procedamos a efectuar nuestra primera prctica de ordenador con el programa ControlP. El lector habr ledo el anexo1, Gua de manejo del programa, y no tendr, por tanto, ninguna dificultad en arrancarlo. Es conveniente proveerse de una tira de papel o cartulina fina, de unos 2 cm de ancho por unos 25 o 30 cm de largo (lo ideal es que sea de plstico transparente).

  • 167

    Tiempo (T cte. tpo.)

    Valor

    alcanzado (%)

    Valor

    restante (%)

    0

    0,000

    100,000

    0,5 T

    39,347

    60,653

    0,6931 T

    50,000

    50,000

    T

    63,212

    36,788

    2 T

    86,466

    13,534

    3 T

    95,021

    4,979

    4 T

    98,168

    1,832

    5 T

    99,326

    0,674

    10 T

    99,995

    0,0045

    Prctica n 5.1

    Por razones de eficiencia y comodidad asumiremos que el manejo de programa ser efectuado por mediacin del teclado. Obviamente, puede operarse a la manera tradicional usando el ratn mediante los mens de la barra de mens de Windows.

    El smbolo indica intervencin del usuario a efectuar en el programa. Seleccionar la opcin Retardo primer orden del MEN GENERAL. Pulsar C/P, es decir, Cambios/Parmetros. Introducir el valor:

    Constante de tiempo T 1 Pulsar C/C, es decir, Cambios/Constantes. Introducir los siguientes valores:

    Escaln 100 Valor inicial 0 Duracin 5

    Ejecutar la grfica de la respuesta temporal al escaln pulsando: T/E, es decir, Temporal/Escaln

    En pantalla aparecer una grfica equivalente a la mostrada en la figura 5.1.

    Comprobar, con ayuda de la tira de papel o de plstico, apoyndola sobre la pantalla, como si de una regla se tratara, los valores correspondientes de la salida para los sucesivos valores del tiempo, teniendo en cuenta que se ha seleccionado una cons-tante de tiempo igual a la unidad.

    Cambiar la constante de tiempo al valor 2 y ejecutar la nueva grfica. Cambiar otra vez la constante de tiempo a 0,5 y volver a ejecutar la grfica.

    Apdo. 5.2.1 - Prct. 5.1

  • 168 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Tendremos en pantalla un total de tres curvas de respuesta similares, pero expandidas en el tiempo segn los factores 0,5; 1,0 y 2,0. As, por ejemplo, paraT 2, el valor del 63,2 % no se alcanza hasta que hayan transcurrido 2 unidades de tiempo. Ntese que es irrelevante la unidad de tiempo que queramos considerar, pero en todo caso la escala de abscisas deber ser interpretada en las mismas unidades a las que se refiera el parmetro T. Prctica n 5.2 Seguimos en la opcin Retardo de primer orden con la misma configuracin

    que tenamos en la prctica anterior. Pulsar C/P, e introducir:

    Constante de tiempo 1 Pulsar C/C, y modificar:

    Duracin 3 Ejecutar la grfica pulsando T/E (Escaln). Pulsar C/C y modificar:

    Escaln 50 Ejecutar la grfica pulsando /.

    Ahora tendremos en pantalla dos curvas de respuesta con la misma constante de tiempo, de valor 1, pero con amplitudes de 1 (100 %) y de 0,5 (50 %), respectiva-mente.

    Con ayuda de la tira de papel o de plstico, trazar sobre la pantalla unas rectas imaginarias, tangentes a las curvas en los puntos que cortan las marcas verticales de los tiempos 0 (origen), 1 y 2, (si la tira no es transparente colocarla por encima de las rectas, a efectos de leer por el borde inferior de la misma). Comprobar que estas

    rectas tangentes cortan a la asntota respectiva 1 unidad de tiempo ms all (puesto que la constante de tiempo es 1). Cambiar ahora, haciendo C/P, el valor Constante de tiempo 0,5 y ejecutar la

    curva. Cambiar, haciendo C/C, el valor Escaln 100 y ejecutar la curva. Efectuar con las curvas recientes las mismas comprobaciones que se han descri-to en el prrafo anterior, pero verificando que las tangentes sealan 0,5 unidades de tiempo ms all, de acuerdo con la ltima constante de tiempo de 0,5, que se acaba de introducir.

    Experimente el lector con otros valores. La constante Valor inicial, elevar o descender el origen de las curvas (ensyese tambin con valores negativos).

  • 169

    Mediante la opcin A/B, Auxiliares/Borrar, puede limpiarse la pantalla cada vez que se desee. La opcin A/A, Auxiliares/Anterior, permitir recuperar el grfico anterior, incluso despus de haberlo borrado. 5.2.2 Respuesta impulsiva

    La salida del bloque retardo de tiempo de primer orden, para una seal de exci-tacin impulso unitario ser, de acuerdo con lo dicho en el apartado 5.1.1 (pg. 158).

    La correspondiente funcin temporal la obtenemos directamente de las tablas de transformadas de Laplace, en donde encontramos que la transformada inversa de la expresin anterior resulta ser

    Si el impulso tuviera un valor distinto de la unidad, por ejemplo igual a un valor A, entonces diramos que la seal de excitacin es

    y, por el teorema de la linealidad, sabemos que el resultado se vera multiplicado por el factor A y se tendran las ecuaciones

    -

    1

    e t /T

    AYT s

    AyT

    Esta ltima se representa por la clsica curva de extincin exponencial, mostrada en la figura 5.3. Teniendo en cuenta las consideraciones expuestas en el apartado anterior se ha dibujado la curva en su versin tipificada, es decir, vlida para cual-quier valor de la constante A y para cualquier valor del parmetro T. En ella se ha hecho A1 y T1, con lo que el valor inicial A/ T (para t 0) pasa a ser 1. As pues, la escala de abscisas debe leerse como yT/A. Por tanto, para convertir la lectura y* sobre la escala de amplitudes al valor real de y, haremos, segn lo dicho sobre tipificacin de grficos en el apartado anterior,

    YT s

    11

    x t A t( ) ( )

    -1 e t /TyT

    Apdos. 5.2.1 - 5.2.2 - Prcts. 5.1 - 5.2

  • 170 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Igualmente podramos suponer que la variable de entrada ya tena, antes del impulso, un determinado valor. En condiciones estacionarias (para t ), sabemos que este valor se reproduce en la salida. Llamndole y0, entonces para t 0, y y0, y aplicando el teorema de la superposicin se tendr

    es decir, que la respuesta debida al impulso queda desplazada en una cantidad igual al valor de las condiciones iniciales.

    Fig. 5.3 Respuesta al impulso de un retardo de primer orden

    Ahora los valores alcanzados en las sucesivas constantes de tiempo son los com-plementarios a 1 de los de la curva de crecimiento exponencial, tal como corres-ponde a una curva de extincin exponencial. De este modo, para la primera cons-tante de tiempo la salida ha descendido al 36,8 %, es decir, un 63,2 % del valor de cada total.

    Calcularemos el valor inicial (para t 0) y el valor final (para t ) de la fun-cin, tal como hemos hecho anteriormente. Para t0:

    Por sustitucin en la funcin temporal tenemos

    -0 e

    t /TAy yT

    Ay yT

    6

  • 171

    Por aplicacin del teorema del valor inicial

    valor en coincidencia con el anterior. Para t :

    Por sustitucin en la funcin temporal, tenemos

    Por aplicacin del teorema del valor final

    en coincidencia con el anterior.

    Al igual que hicimos en el apartado anterior, efectuaremos el estudio de la recta tangente que pasa por el origen de la curva, calculando en qu punto corta al eje de abscisas, que es precisamente la asntota a la curva. Analticamente, la ecuacin de esta tangente geomtrica ser la de una recta que pasa por las coordenadas [0; A T ] y con una pendiente igual a la derivada de la funcin para t 0, es decir, que la ecuacin ser

    donde

    -

    200

    1e t /Ttt

    AnT

    dy A AmT Tdt T

    Por tanto, tendremos

    yT T

    T( )0 1 10 e-

    y y t s Y s sT s T s

    Tt s s s( ) lim ( ) lim ( ) lim lim0 1

    11

    11

    0

    yT

    T( ) 1 0e-

    y y t sY s sT st s s

    ( ) ( ) ( )

    lim lim lim

    0 0

    11

    0

    y n m t

    Apdo. 5.2.2

  • 172 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    y, puesto que el tiempo buscado se cumplir cuando y0, entonces se tendr

    Concluimos, en este caso, que para la respuesta al impulso de un retardo de primer orden:

    La constante de tiempo es el tiempo que tardara la salida en alcanzar el valor final, si mantuviera su velocidad de decrecimiento constante e igual a la del momento inicial de la respuesta.

    Calculemos ahora cul es el valor de salida que realmente se alcanza cuando se

    cumple t T, es decir, una vez haya transcurrido un tiempo igual a una constante de tiempo.

    Sustituyendo en la ecuacin de respuesta temporal, obtenemos

    es decir, un 36,8 % o, lo que es lo mismo, el valor de salida habr descendido en un 63,2 %, valor que nos es familiar para el caso del crecimiento exponencial, lo cual es consecuencia de que ambas funciones son complementarias entre s.

    Es fcil constatar que a partir de un momento dado cualquiera, un incremento en el tiempo de una constante de tiempo, significar una disminucin en la salida del 63,2 % de la cantidad restante para alcanzar el valor final o, dicho de otro modo, se alcanzar un nivel equivalente al 36,8 % del valor restante. La tangente geomtrica a la curva en cualquier punto cortar a la asntota de la curva (eje de abscisas en este caso), una constante de tiempo ms all. Prctica n 5.3 Se asume que se est en la opcin Retardo de primer orden. Pulsar C/P, es decir, Cambios/Parmetros. Introducir el valor:

    Constante de tiempo 7* 1 Pulsar C/C, es decir, Cambios/Constantes.

    y AT

    AT

    t AT

    tT

    2

    1

    1 0 tT

    t T;

    1- -( ) e e 0,36787...T/ TAy A ATT

    1

  • 173

    Introducir los siguientes valores: Impulso 100 Valor inicial 0 Duracin 5

    Ejecutar la grfica pulsando: T/I, es decir, Temporal/Impulso.

    En pantalla aparecer una grfica como la mostrada en la figura 5.3. Comprobar,

    con ayuda de la tira de papel, los valores correspondientes de la salida para los suce-sivos valores del tiempo, teniendo en cuenta que se ha seleccionado una constante de tiempo igual a la unidad. Cambiar la constante de tiempo al valor 2 y ejecutar la nueva grfica. Cambiar otra vez la constante de tiempo a 0,5 y volver a ejecutar la grfica. Se

    observar que la parte inicial de este ltimo grfico se sale de pantalla, puesto que, segn podemos fcilmente calcular, su valor inicial es del 200 %.

    Tendremos en pantalla un total de tres curvas de respuesta similares, pero ex-

    pandidas en el tiempo y, recprocamente, en amplitud, segn los factores 0,5; 1,0 y 2,0. As, por ejemplo, para T 0,5, vemos que la respuesta, una vez transcurrida una constante de tiempo (t 0,5), vale

    y efectuando el clculo para t1 (2 constantes de tiempo), obtenemos

    Comprobar, con la tira de papel o de plstico, que la tangente en cualquier punto de una curva seala una constante de tiempo ms all sobre la recta asntota del valor final (en este caso el eje de abscisas). Prctica n 5.4 Pulsar C/P, es decir, Cambios/Parmetros. Introducir el valor:

    Constante de tiempo 0,25 Pulsar C/C, es decir, Cambios/Constantes.

    -0,5 0,51(0,5) e 0,7358 73,6%0,5

    /y 8

    -1 0,51(1) e 0 ,2707 27,1%0 ,5

    /y 8

    Apdo. 5.2.2 - Prcts. 5.3 - 5.4

  • 174 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Introducir los siguientes valores: Impulso 12,5 Valor inicial 20 Duracin 1

    Ejecutar la grfica para Impulso.

    Justifique el lector por qu el valor inicial de la respuesta vale 70. 5.2.3 Respuesta a la rampa

    La salida del bloque retardo de tiempo de primer orden, para una seal de exci-tacin rampa unitaria ser, de acuerdo con lo dicho en el apartado 5.1.3 (pg. 160)

    La correspondiente funcin temporal, la obtenemos directamente de las tablas de transformadas de Laplace, en donde encontramos que la transformada inversa de la expresin anterior resulta ser

    - -e 1 et /T t /Tty t T T TT

    Si la rampa tuviera una pendiente de valor A, distinto de la unidad, entonces diramos que la seal de excitacin es

    y, por el teorema de la linealidad, sabemos que el resultado se vera multiplicado por el factor A, por lo que entonces se obtendran las ecuaciones

    " #- -e 1 et /T t /Tty A t T T AT T

    Esta ltima se representa por una curva de seguimiento a la rampa con acerca-miento exponencial y es mostrada en la figura 5.4. Atendiendo a las consideraciones expuestas en apartados anteriores, se ha dibujado la curva en su versin tipificada, es decir, vlida para cualquier valor de la constante A y para cualquier valor del par-metro T. En ella se ha hecho A1 y T1.

    Ys T s

    112 ( )

    x t A t u t( ) ( )

    Y As T s

    2 1( )

  • 175

    Fig. 5.4 Respuesta a la rampa de un retardo de primer orden

    Es interesante desarrollar las operaciones de tipificacin del grfico, tal como hemos hecho en el apartado 5.2.1 (pg. 165):

    ecuacin original: -1 e t /Tty ATT

    en la que trasvasando las constantes AT al miembro de la izquierda, queda

    -1 e t /Ty t

    AT T

    y de aqu obtenemos la

    ecuacin tipificada: -1 e ty t 66 6

    de donde el cambio de variable de las escalas ser

    Calcularemos el valor inicial (para t0) y el valor final (para t ) de la fun-cin, tal como hemos hecho en ocasiones anteriores; pero, adems, calcularemos la pendiente geomtrica de la curva en estos puntos. Para t0:

    yy

    A Tt t

    T6 6;

    Apdo. 5.2.3 - Prct. 5.4

  • 176 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Por sustitucin en la funcin temporal tenemos

    Por aplicacin del teorema del valor inicial

    valor en coincidencia con el anterior.

    La pendiente de la curva ser el valor de la derivada

    que para t0 ser, sustituyendo

    Es decir, que la curva arranca en el origen con una pendiente nula.

    Para t :

    Haciendo las oportunas sustituciones veramos que la curva tiende a infinito, lo mismo que la rampa que la genera. Veamos cul es su pendiente. Para ello sustitui-mos directamente en la ecuacin de la derivada.

    es decir, la misma pendiente que la rampa, que de haber sido de un valor A, distinto de 1, habramos obtenido dicho valor A, puesto que todas las ecuaciones se veran afectadas en igual manera por este factor. Podemos afirmar, por tanto, que la curva de respuesta tiende asintticamente a una recta paralela a la rampa. Pero ahora hay que preguntarse a qu distancia lo hace (es decir, cul es la separacin), tanto en ordenadas como en abscisas. La diferencia de ordenadas vendr dada por

    en la que si tenemos en cuenta que para t el trmino e-t / T se extingue, nos queda finalmente

    y y t sY s ss T st s s

    ( ) lim ( ) lim ( ) lim( )

    0 11

    00 2

    -0(0 ) 0 e 0Ty T T /

    " #- -1 e ( 1 ) 1 e' t T t Tdyy T / Tdt / /

    -0(0 ) 1 e 1 1 0' Ty /

    -( ) 1 e 1 0 1' Ty /

    " # " #- -e et T t Tx y At A t T T A T / /

  • 177

    Es decir, que la curva de respuesta tiende a situarse asintticamente distanciada en una magnitud AT por debajo de la rampa generadora. Esto implica que en una curva tipificada, la separacin ser 1.

    A esta separacin entre los valores de una funcin generadora y su respuesta, para tiempos grandes, se le llama error estacionario.

    En un retardo de primer orden, el error estacionario de la respuesta a una rampa de pendiente A, es igual al producto de la pendiente por la constante de tiempo, AT. En una curva tipificada este error vale 1.

    Comprese con la respuesta al escaln, en donde el error estacionario es nulo.

    Nos queda por resolver el clculo de la separacin, en el sentido del tiempo,

    entre la asntota y la rampa de excitacin. Ello equivale a preguntar cunto tiempo tardar la respuesta, en estado estacionario, en alcanzar el mismo valor que en un momento determinado tena la rampa o, lo que es lo mismo, con qu retraso la res-puesta, en estado estacionario, seguir a la rampa. Para ello debemos igualar los valores de cada funcin, haciendo que el tiempo en la rampa de entrada sea t y el tiempo en la respuesta sea t +-, donde - es el retraso buscado.

    Puesto que para tiempos grandes (t ) podemos despreciar el trmino extin-guible e-t / T , la igualdad propuesta ser

    de donde T-

    y ello independientemente del valor de A.

    Concluimos, en este caso, que:

    En la respuesta a la rampa de un retardo de primer orden, el tiempo en que la salida va retrasada con relacin a la entrada, para tiempos grandes, es igual a la constante de tiempo T, independientemente de la magnitud de la pendiente de la rampa. En una curva tipificada este retraso vale 1.

    Prctica n 5.5

    Se asume que se est en la opcin Retardo de primer orden.

    limt

    x y AT

    ( )

    A t A t T ( )-

    Apdo. 5.2.3 - Prct. 5.5

  • 178 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Pulsar C/P e introducir el valor: Constante de tiempo 1

    Pulsar C/C e introducir los siguientes valores: Rampa 0,2 Valor inicial 0 Duracin 8

    Ejecutar la grfica para Rampa. Observar como a medida que el tiempo crece el retraso se va aproximando a 1 unidad de tiempo y la diferencia entre la rampa y la salida se hace igual al producto AT 0,2. Pulsar C/C e introducir:

    Rampa 0,1 Ejecutar la grfica.

    Verificar lo dicho anteriormente, referido al nuevo valor. Pulsar C/P e introducir:

    Constante de tiempo 0,5

    Verificar nuevamente los resultados. 5.3 Respuesta de un retardo de segundo orden

    Un bloque retardo de segundo orden tiene, como se recordar, la funcin trans-mitancia

    si bien, cuando un bloque de este tipo es consecuencia de dos bloques en serie de elementos retardo de primer orden, entonces se cumple que el factor de amortigua-cin 1. En este caso, el denominador posee dos races reales y puede ser facto-rizado de acuerdo con sus funciones de origen:

    en la que las constantes T1 y T2 son las constantes de tiempo respectivas de cada bloque retardo de primer orden.

    G sT s T s

    ( )

    1

    2 12 2

    G sT s T s

    ( )( ) ( )

    11 11 2

  • 179

    Aplicando las conclusiones vistas en los apartados 5.1.1 a 5.1.3 (pginas 158 a 160), podremos deducir las distintas respuestas de este componente. 5.3.1 Respuesta indicial

    La salida o respuesta del bloque retardo de tiempo de segundo orden, para una seal de excitacin del tipo escaln unitario ser

    Para mayor simplicidad asumiremos en todos los casos un escaln unitario. Cualquier otro valor que queramos aplicar a la amplitud del escaln aparecer mul-tiplicando a la respuesta, de acuerdo con el teorema de la linealidad.

    La figura 5.5 muestra diversas respuestas para diferentes valores del factor de amortiguacin (tipificadas para un escaln de amplitud A). Como veremos seguida-mente, la respuesta puede ser o no oscilatoria, dependiendo ello, exclusivamente, del factor de amortiguacin, debindose distinguir cuatro casos:

    Subamortiguado (0 1) Oscilatorio puro ( 0) Sobreamortiguado ( 1) Crticamente amortiguado ( 1)

    Caso subamortiguado (0 1)

    La correspondiente funcin temporal la obtenemos directamente de las tablas de transformadas de Laplace, en donde encontramos que la antitransformada de la ecuacin anterior es

    o bien

    Ys T s T s

    12 12 2( )

    yT

    tT

    tt T

    1

    1

    1

    12

    2

    2

    e-

    cos sen

    yT

    tt T

    1 1

    1 1

    2

    21

    2e- -

    sen tan

    Apdos. 5.2.3 - 5.3 - 5.3.1 - Prct. 5.5

  • 180 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Esta ltima expresin tiene la ventaja de que puede ser escrita en la forma ms sencilla y convencional:

    donde

    Se ve claramente que es una funcin oscilatoria amortiguada, porque contiene una funcin senoidal multiplicada por una funcin exponencial decreciente.

    Fig. 5.5 Respuesta al escaln de un retardo de segundo orden

    El valor final alcanzado (estado estacionario) lo obtenemos fcilmente al hacer t en las ecuaciones y vale 1; es decir, el valor del escaln. Ntese que el trmino que contiene la exponencial se ha extinguido. Obtendramos el mismo valor aplican-do el teorema del valor final a la funcin transformada de la transmitancia.

    Calcularemos el valor inicial (para t 0), as como la pendiente geomtrica de la curva en este punto, y para t , tal como hemos hecho para el elemento retardo de primer orden.

    y B tn t d 1 e- 9sen ( )

    BTn d n

    1

    1

    1 12

    2

    ; ;

    9

    tan-1 -1

    1 2cos

  • 181

    Para t0:

    La sustitucin en la funcin temporal no es complicada, pero es ms sencillo aplicar el teorema del valor inicial a la funcin transformada de la transmitancia

    La pendiente de la curva sera el valor de la derivada de la funcin temporal, pero el clculo es algo engorroso, por lo que lo haremos de un modo ms sencillo operando con laplacianas. Recordemos que la transformada de la derivada y '(t), de una funcin y(t), es (vase tabla de transformadas de Laplace o apartado 2.2.1, punto 8, Teorema de la derivacin real, pg. 21)

    Ahora aplicaremos a esta funcin el teorema del valor inicial para obtener direc-tamente el valor de la pendiente cuando t 0. El trmino y(0+)0, valor inicial de la respuesta, lo acabamos de calcular, por lo tanto

    en donde la resolucin del lmite habr sido inmediata, viendo que el numerador y el denominador son de segundo y tercer grado en s, respectivamente. Vemos, pues, que la curva arranca en el origen con una pendiente nula. Es evidente que esta conclusin es vlida cualquiera que sea el valor del factor de amortiguacin.

    Dada su importancia, es preciso insistir en las dos ltimas conclusiones obteni-das, resaltando sus efectos prcticos:

    La curva de respuesta arranca con un valor nulo y con una pendiente nula, lo que significa que en los primeros instantes la respuesta aparenta no reaccionar ante la brusquedad del cambio presentado por el escaln de excitacin.

    Sin embargo, podramos comprobar que la segunda derivada, en t (0+), no es nula (vale 1 / T 2), lo que prueba que realmente la respuesta reacciona desde el primer momento en que es aplicado el escaln.

    Para t :

    y y t sY s ss T s T st s s

    ( ) ( ) ( )( )

    0 12 1

    02 2

    lim lim lim0

    y t ddt y t s Y s y' ( ) ( ) ( ) ( )

    0

    y y t s sY s ss T s T st s s

    '( ) '( ) ( )( )

    02 1

    00

    2

    2 2

    lim lim lim

    Apdo. 5.3.1

  • 182 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Ya habamos dicho que la respuesta tiende asintticamente al valor del escaln. Aplicando ahora el teorema de valor final, vamos a confirmar que su pendiente es nula:

    Pero antes de ver grficamente como es este tipo de respuesta, vamos a estudiar el significado de las cuatro identidades que anteriormente se han definido para sim-plificar la ecuacin de la respuesta; y para ello, veremos en primer lugar el siguiente de los casos anunciados. Caso oscilatorio puro ( 0)

    Realmente es un caso lmite del anterior. La ecuacin que define la respuesta podra ser la misma, pero ahora puede simplificarse en gran manera. Hganse las debidas sustituciones, teniendo en cuenta que

    y queda

    Salta a la vista que se trata de una oscilacin mantenida, al no contener ningn factor decreciente que extinga la funcin cosenoidal.

    A la frecuencia de esta oscilacin se la llama frecuencia natural o, ms precisa-mente, frecuencia natural no amortiguada, por ser la frecuencia a la que oscila un sistema cuando se hace nulo su factor de amortiguacin. Expresada en trminos de pulsacin, vale

    frecuencia natural : 1 ( es el )n T periodo naturalT

    mientras que en el caso subamortiguado la frecuencia de la oscilacin, llamada frecuencia amortiguada, tambin expresada en trminos de pulsacin, viene alterada por el factor de amortiguacin, esto es

    frecuencia amortiguada : 21d n

    Asimismo, podemos ahora definir:

    y y t s sY s ss T s T st s s

    '( ) '( ) ( )( )

    lim lim lim0 0

    2

    2 2 2 10

    y tT

    1 cos

    -1tan 2 ( 90 ) y sen( 2) cos/ a / a,

  • 183

    ngulo de fase: 2

    - -1 11

    tan cos

    9

    Amplitud de la oscilacin: 2

    1

    1B

    Queda claro que en el caso particular de la respuesta oscilatoria mantenida,

    cuando el factor de amortiguacin es cero, la oscilacin tiene las siguientes caracte-rsticas:

    Es una cosenoide de periodo igual a T (frecuencia natural n 1/ T ) El ngulo de fase es nulo

    La amplitud (valor de pico) es del mismo valor que el escaln

    El punto medio de la oscilacin coincide con el valor del escaln

    Recuerde el lector que la frecuencia f , expresada en trminos de Hz (ciclos / s),

    y la pulsacin (en radianes / s) estn relacionadas por la ecuacin

    Caso sobreamortiguado ( 1) La funcin antitransformada la obtenemos directamente de las tablas de trans-formadas

    donde

    Basndonos en la factorizacin del denominador, de manera equivalente a dos retardos de primer orden en serie, con las constantes de tiempo T1 y T2, la ecuacin de la respuesta puede expresarse, segn obtenemos tambin de las tablas, como

    Puede observarse que en este tipo de respuesta no existe ningn trmino de caracterstica oscilatoria. La funcin se aproxima al valor final, igual al valor del escaln, de manera asinttica, parecida a la de un retardo de primer orden.

    y s ss t T s t T

    1

    1

    2 12

    1 2

    1 2e e- -

    " #1 2- -1 21 2

    11 e et /T t /Ty T TT T

    2 f %

    2 21 21 ; 1s s

    Apdo. 5.3.1

  • 184 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Precisamente, cuando la diferencia entre las dos constantes de tiempo es muy grande, por ejemplo, T1T2, ocurre que el trmino exponencial que contempla a T2 se extingue mucho ms rpidamente que el que contiene a T1, con lo que transcu-rrido cierto tiempo la respuesta es similar a la de un retardo de primer orden, con constante de tiempo T1. Recurdese que para dos elementos retardo de primer orden en serie, el factor de amortiguacin es

    lo que significa que su valor ser tanto mayor que la unidad cuanto mayor sea la relacin entre las dos constantes de tiempo, y ser igual a la unidad solamente cuan-do dichas constantes sean iguales. Dicho en otras palabras:

    Para un factor de amortiguacin notablemente mayor que la unidad (cuando la relacin entre las dos constantes de tiempos es grande), la respuesta es muy parecida a la que tendra el retardo de primer orden que posee la mayor de las constantes de tiempo. Especialmente, una vez transcurrido cierto tiempo, a partir del cual se puede considerar extinguido el efecto del retardo debido a la menor de las constantes de tiempo.

    Caso crticamente amortiguado ( 1) Equivale al caso de dos retardos de primer orden en serie con ambas constantes de tiempo iguales. Pertenece al caso frontera entre el sub y el sobreamortiguado. Cualquiera de las ecuaciones sera vlida al resolverla en el paso al lmite. Al hacer-lo se simplifican y queda, segn vemos en las tablas de transformadas de Laplace

    la cual tampoco contiene ningn trmino oscilatorio, y el valor final, igual al valor del escaln, se alcanza de manera asinttica. Ello se demuestra hallando el lmite de la funcin anterior para t , o tambin aplicando el teorema del valor final a la funcin de transferencia de la respuesta:

    A los mismos resultados habramos llegado tomando la funcin de la respuesta general. Recurdese que para 1 se tiene el denominador

    'T TT T

    1 2

    1 221

    yT

    tt T

    1 1 1e-

    y y t sY s ss T st s s

    ( ) ( ) ( )( )

    lim lim lim0 0

    11

    12

    T s Ts Ts2 2 22 1 1 ( )

  • 185

    Se llama crticamente amortiguado porque una ligera disminucin del factor de amortiguacin ( 1) producir ya un sobreimpulso, rebasndose en algn momento el valor final correspondiente al estado estacionario. Prctica n 5.6

    A efectos de facilitar la interpretacin de las grficas, vamos a hacer que la fre-cuencia natural del componente a ensayar sea de 1 Hz. Asumamos que la escala de tiempos est en segundos (podramos operar igualmente en minutos y entonces la frecuencia sera de 1 ciclo / minuto). Entonces, llamando fn a la frecuencia natural, tendremos

    Por lo tanto, la constante de tiempo cuya frecuencia natural es de 1 Hz ser

    Instrucciones Seleccionar la opcin Retardo de segundo orden del MEN GENERAL. Pulsar C/P, e introducir los siguientes parmetros:

    Constante de tiempo 0,159155 Factor de amortiguacin 0

    Pulsar C/C e introducir: Escaln 50 Valor inicial 0 Duracin 2,5

    Ejecutar la grfica para Escaln.

    Obsrvese cmo la respuesta es, en efecto, una cosenoide de frecuencia 1 Hz, de amplitud 50 (la del escaln) y desplazada (centrada) sobre el valor 50 del propio escaln. Efectuar repetidas ejecuciones de la grfica, asignando sucesivamente al par-

    metro Factor de amortiguacin los siguientes valores: 0,05; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,6; 0,8; 1 y 2.

    Ntese cmo las oscilaciones son ms amortiguadas a medida que aumenta el factor de amortiguacin, y que a partir del valor 1 ya no se produce sobreimpulso.

    1; 2 2nn nf f % %

    1 1 0,159155 segundos2n

    T

    %

    Apdo. 5.3.1 - Prct. 5.6

  • 186 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Sin embargo, esto ltimo lo vamos a observar con lupa en el ejercicio prctico que sigue a continuacin. Prctica n 5.7 Borrar la pantalla pulsando A/B (o por el men Misceln de Windows) Introducir las constantes:

    Escaln 10000 (diez mil!) Valor inicial -9950

    Con ello haremos que el valor final de la respuesta se centre sobre el valor 50 %

    de la grfica (-9950 +1000050), pero con una desmesurada amplitud del escaln aplicado, para provocar el efecto lupa en una zona de gran inters de la curva de

    respuesta. De este modo, la altura total del grfico visible en pantalla (0 ..100 %) no representa ms que un 1% de la magnitud del escaln. Ahora ejecutar las grficas para cada uno de los siguientes valores del parmetro

    Factor de amortiguacin: 0,9; 0,95; 1 y 1,1.

    Puede comprobarse que con el factor de amortiguacin de 0,95 todava se tiene sobreimpulso, pero no con 1,0. Este sobreimpulso es tan insignificante que no habra sido posible distinguirlo con un escaln del 50 o del 100 % de amplitud. Prctica n 5.8

    Ensayaremos ahora la respuesta de un retardo de segundo orden, formado por dos retardos de primer orden en serie con constantes de tiempo muy dispares entre s, y la compararemos con la respuesta del retardo de primer orden que tiene la cons-tante mayor.

    En los elementos retardo de primer orden asignaremos las siguientes constantes de tiempo individuales: T11 y T2 0,05, las cuales presentan una importante rela-cin de magnitudes de 20:1. Entonces tendremos que para el retardo de segundo orden equivalente, la constante de tiempo combinada y el factor de amortiguacin valdrn

    T T T

    T TT T

    1

    1 2

    1 2

    1 2

    1 0 05 0 223607

    2

    1 05

    2 0 052 34787

    , ,

    ,

    ,,

  • 187

    Instrucciones

    Se asume que estamos en la opcin Retardo de segundo orden. Borrar la pantalla pulsando A/B. Mediante las opciones C/P y C/C, introducir los siguientes valores:

    Constante de tiempo 0,223607 Factor de amortiguacin 2,34787 Escaln 100 Valor inicial 0 Duracin 6

    Ejecutar la grfica de respuesta temporal para Escaln. No borrar y pulsar Esc. Se estar en el MEN GENERAL. Seleccionar Retardo de primer orden. Introducir:

    Constante de tiempo 1 Ejecutar la grfica para Escaln.

    Ahora efectuaremos la comparacin entre las dos respuestas pulsando, de manera repetida, las opciones A/A (Misceln /Anterior), con lo que en pantalla irn apareciendo alternativamente ambas respuestas. Observando con atencin ser fcil comprobar que son casi iguales, especialmente a partir de un tiempo de 3 unidades. 5.3.2 Respuesta impulsiva

    La salida o respuesta de un bloque retardo de tiempo de segundo orden, para una seal de excitacin del tipo impulso unitario ser

    Para mayor simplicidad asumiremos en todos los casos un impulso unitario. Cualquier otro valor que queramos aplicar a la amplitud del impulso aparecer multi-plicando a la respuesta, de acuerdo con el teorema de la linealidad. La figura 5.6 muestra diversas curvas de respuesta, correspondientes a distintos valores del factor de amortiguacin (tipificadas para un impulso de amplitud A). Como veremos seguidamente, la respuesta puede ser o no oscilatoria, dependiendo ello, exclusivamente, del factor de amortiguacin. Pueden distinguirse los mismos cuatro casos que vimos anteriormente:

    Apdos. 5.3.1 - 5.3.2 - Prcts. 5.7 - 5.8

    2 2

    1

    2 1Y

    T s T s

  • 188 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Fig. 5.6 Respuesta impulsiva de un retardo de segundo orden Caso subamortiguado (0 1)

    La correspondiente funcin temporal, la obtenemos directamente de las tablas de transformadas de Laplace, en donde encontramos que la antitransformada de la ecua-cin anterior es

    o bien

    en donde se han aplicado las equivalencias de n y d definidas anteriormente.

    Es fcil ver que se trata de una funcin senoidal amortiguada, que parte del valor cero y se anula para tiempo infinito. Caso oscilatorio puro ( 0)

    Es un caso lmite del anterior. La ecuacin que define la respuesta podra ser la misma que la del caso subamortiguado, pero ahora, en estas condiciones particulares, se simplifica y queda, segn obtenemos de las tablas de transformadas de Laplace

    2-e sen( )nn t d

    dy t

    2-

    2

    11 e sen1

    t Ty tTT

  • 189

    1 sen tyT T

    o bien

    sen( )n ny t

    Caso sobreamortiguado ( 1)

    La funcin antitransformada la obtenemos directamente de las tablas

    donde

    Basndose en la factorizacin del denominador, de manera equivalente a dos retardos de primer orden en serie, con las constantes de tiempo T1 y T2, la ecuacin de la respuesta puede expresarse, segn obtenemos tambin de las tablas, como

    Puede observarse que en este tipo de respuesta no existe ningn trmino de caracterstica oscilatoria. La funcin se aproxima al valor final, nulo, de manera asin-ttica, parecida a la de un retardo de primer orden. Vase lo dicho en el mismo caso para la respuesta indicial. Caso crticamente amortiguado ( 1)

    Equivale al caso de dos retardos de primer orden en serie con ambas constantes de tiempo iguales. Pertenece al caso frontera entre el sub y el sobreamortiguado. Cualquiera de las ecuaciones sera vlida al resolverla en el paso al lmite. Al efectuarlo se simplifican y queda, segn vemos en las tablas de transformadas de Laplace

    o bien

    " #yT

    s t T s t T

    1

    2 122 1

    e e- -

    yT

    tt T 12

    e-

    2 -e n tny t

    " #1 2- -1 2

    1 e et T t TyT T

    2 21 21 ; 1s s

    Apdo. 5.3.2

  • 190 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    la cual tampoco contiene ningn trmino oscilatorio, y el valor final, nulo, se alcanza de manera asinttica. Ello se demuestra hallando el lmite de la funcin anterior para t , o tambin aplicando el teorema del valor final a la funcin de transferencia de la respuesta

    A los mismos resultados habramos llegado tomando la funcin de la respuesta general. Recurdese que para 1 se tiene el denominador

    correspondiente a dos retardos de primer orden en serie, con T1 T2 T. Prctica n 5.9

    Se asume que estamos en la opcin Retardo de segundo orden. Borrar la pantalla si hay algn dibujo. Introducir los valores:

    Constante de tiempo 0,5 Factor de amortiguacin 0 Impulso 25 Valor inicial 50 Duracin 7

    Ejecutar la grfica de respuesta temporal para Impulso.

    Comprobar el carcter oscilatorio mantenido. Notar que la senoide tiene un periodo de 3,14 unidades de tiempo (al completar el primer periodo de oscilacin lo hace en t 3,14 %, el segundo en t6,282%, etc.). Averige el lector la razn. Introducir sucesivamente los siguientes factores de amortiguacin, ejecutando

    la grfica cada vez: 0,25; 0,6; 1 y 2

    Analizar los resultados, teniendo en cuenta que en todos los casos el impulso es de 0,25 ( 25 %) 5.3.3 Respuesta a la rampa

    La salida o respuesta de un bloque retardo de tiempo de segundo orden, para una seal de excitacin del tipo rampa unitaria ser

    y y t s Y s sT st s s

    ( ) ( ) ( )( )

    lim lim lim0 0

    11

    02

    T s Ts Ts2 2 22 1 1 ( )

  • 191

    Para mayor simplicidad asumiremos en todos los casos una rampa unitaria. Cualquier otra magnitud que queramos aplicar a la rampa aparecer multiplicando a la respuesta, de acuerdo con el teorema de la linealidad.

    Como veremos seguidamente, la respuesta puede, o no, contener componentes oscilatorios, dependiendo ello, exclusivamente, del factor de amortiguacin. Podrn distinguirse los cuatro casos que ya conocemos:

    Caso subamortiguado (0 1) La correspondiente funcin temporal, la obtenemos directamente de las tablas de transformadas de Laplace, en donde encontramos que la transformada inversa de la ecuacin anterior resulta ser

    o bien, expresndola en una forma ms convencional y compacta

    donde

    El significado de estas identidades ha sido visto en el apartado anterior, con excepcin de la primera, , la cual veremos a continuacin.

    Calcularemos el valor inicial (para t 0) y el valor final (para t ) de la fun-cin, as como la pendiente geomtrica de la curva en estos puntos, tal como hemos hecho para el elemento retardo de primer orden. Para t 0:

    La sustitucin en la funcin temporal no es complicada, pero es ms sencillo aplicar el teorema del valor inicial a la funcin transformada de la transmitancia

    Ys T s T s

    1

    2 12 2 2( )

    y t T TT

    tt T

    2 1

    12

    1

    2

    2 2

    e tan-

    -1sen

    -e sen ( )n t dy t B t - 9

    2-2 1

    12 ;

    11 ; 1 ; 2 tan

    d

    n nd

    T B

    T

    -

    9

    Apdos. 5.3.2 - 5.3.3 - Prct. 5.9

  • 192 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    La pendiente de la curva sera el valor de la derivada de la funcin temporal, pero el clculo es algo engorroso por lo que lo haremos de un modo ms sencillo operando con laplacianas. Recordemos, que la transformada de la derivada y '(t) de una funcin y(t) es (vase tabla de transformadas de Laplace o apartado 2.2 del captulo 2, Teorema de la derivacin real, pg. 21)

    Ahora aplicaremos a esta funcin el teorema del valor inicial para obtener direc-tamente el valor de la pendiente cuando t 0. El trmino y(0+) 0, valor inicial de la respuesta, lo acabamos de calcular; entonces

    en donde la resolucin del lmite habr sido inmediata, viendo que el numerador y el denominador son de segundo y cuarto grado en s, respectivamente.

    Es decir, que la curva arranca en el origen con una pendiente nula. Es evidente que esta conclusin es vlida cualquiera que sea el valor del factor de amortiguacin. Para t :

    Aplicando el teorema de valor final, veramos que la curva tiende a infinito, lo mismo que la rampa que la genera.

    Veamos cul es su pendiente. Para ello aplicaremos el mismo teorema a la fun-cin transformada de la derivada, calculada ltimamente:

    es decir, la misma pendiente que la rampa, que de haber sido de un valor A distinto de 1, habramos obtenido dicho valor A, puesto que todas las ecuaciones se veran afectadas en igual manera por este factor. Podemos afirmar, por tanto, que la curva de respuesta tiende asintticamente a una recta paralela a la rampa, de una forma similar a como ocurra para retardo de primer orden. No hay que olvidar que el tr-mino exponencial se extingue con el tiempo. Esta conclusin es igualmente vlida para cualquier valor del factor de amortiguacin.

    y y t sY s ss T s T st s s

    ( ) ( ) ( )( )

    0 1

    2 10

    2 2 2

    lim lim lim

    0

    y t ddt y t s Y s y' ( ) ( ) ( ) ( )

    0

    y y t s sY s ss T s T st s s

    '( ) '( ) ( )( )

    02 1

    00

    2

    2 2 2

    lim lim lim

    y y t s sY st s

    '( ) '( ) ( )

    lim lim0

    1

  • 193

    Calculemos a qu distancia lo hace (es decir, cul es la separacin), lo que habamos definido como error estacionario. Puesto que para tiempos grandes po-demos despreciar el trmino que contiene la exponencial extinguible -( )e ...n tB , y dado que se haba definido - 2 T (pg. 191), la diferencia de ordenadas entre la rampa de excitacin y la respuesta, para t , vendr dada por

    ( ) 2x y At A t A A T- -

    Es decir, que la curva de respuesta tiende a situarse asintticamente una cantidad A- 2A T por debajo de la rampa generadora. Esto es, en una curva tipificada, la separacin ser -. Podemos anticipar que en todos los casos, para cualquier valor de factor de amortiguacin mayor que cero:

    En un retardo de segundo orden, el error estacionario de la respuesta a una rampa de pendiente A vale 2A T A-. En la curva tipificada este error vale 2 .

    Nos queda por calcular, aqu tambin, la separacin de la asntota en el sentido

    del tiempo, es decir, el tiempo que tardar la respuesta en alcanzar el valor que tena la rampa o, lo que es lo mismo, el retraso con que la respuesta seguir a la rampa. Para tiempos grandes (t ) tambin aqu podemos despreciar el trmino que con-tiene la exponencial extinguible.

    Para efectuar el clculo, debemos igualar los valores de las funciones rampa y respuesta, haciendo que el tiempo en la rampa sea t (valor de la rampa At ), y que el tiempo en la respuesta sea t , donde es el retraso buscado [valor de la res-puesta A(t - )]. Es decir, diferencia de abscisas (t ) para la misma ordenada:

    ( )At A t - de donde

    - que, como se ve, es independiente del valor de A.

    Concluimos, en este caso, que para una respuesta a la rampa de un retardo de segundo orden:

    Para tiempos grandes, el lapso de tiempo en que la salida va retrasada con relacin a la entrada es igual al producto 2T -. En la curva tipificada, este valor es 2 .

    La figura 5.7 muestra diversas curvas de esta respuesta, con distintos valores del

    factor de amortiguacin , incluidos los valores 1 y 2, los cuales sern estudiados ms adelante.

    Apdo. 5.3.3

  • 194 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Fig. 5.7 Respuesta a la rampa de un bloque retardo de segundo orden

    Efectuando las operaciones de tipificacin que hemos hecho en apartados ante-riores, resulta

    Es interesante analizar la ecuacin de la respuesta desde el siguiente punto de vista. Observamos que est formada por la suma algebraica de tres trminos, lo que tiene que traducirse grficamente como la suma geomtrica de las tres curvas repre-sentativas de cada trmino, a saber:

    El primero de ellos corresponde a la ecuacin de la propia rampa, lo que

    justifica el carcter de seguimiento asinttico a una recta paralela a la mis-ma.

    El segundo, con signo negativo, sera la ecuacin de una recta horizontal

    desplazada un valor - por debajo del eje de abscisas, lo que explica el error estacionario de una magnitud igual a dicho valor.

    El tercero corresponde claramente a una funcin senoidal extinguible.

    Puede comprobarse que para t 0, el segundo y el tercer trmino se com-pensan; de aqu que la respuesta arranque juntamente con la rampa.

    y yA T

    t tT

    6 6 ;

  • 195

    Caso oscilatorio puro ( 0)

    Es un caso lmite del anterior. La ecuacin que define la respuesta podra ser la misma que la del caso subamortiguado, pero ahora, en estas condiciones particu-lares, se simplifica y queda, segn obtenemos de las tablas de transformadas de Laplace

    Vemos fcilmente que la respuesta consta de dos componentes. La primera es idntica a la propia rampa y la segunda es una senoide de amplitud y periodo T (frecuencia natural n). La lnea media de la oscilacin se sita, por lo tanto, sobre la rampa.

    Caso sobreamortiguado ( 1)

    La funcin antitransformada la obtenemos directamente de las tablas:

    donde

    Ntese cmo los dos primeros trminos de esta respuesta coinciden con los del caso subamortiguado; pero ahora el tercer trmino es, a su vez, una composicin de dos trminos exponenciales, ambos extinguibles con el tiempo. Esto significa que esta curva es igualmente asinttica a una recta paralela a la rampa, y que tanto el error estacionario como el retraso en el tiempo, para tiempos grandes, tendrn la misma expresin que habamos calculado, es decir, que para una rampa de pendiente A se tendr:

    Error estacionario: 2 A T A -

    Retraso para tiempos grandes: 2 T -

    Una de las curvas mostradas en la figura 5.7 corresponde a esta respuesta.

    Ntese cmo el error estacionario y el retraso son mayores que para cualquier otro caso con menor factor de amortiguacin.

    y t T tTt T tn sen sen ( )

    y t T T s ss t T s t T

    22 1

    2 1 2 12

    1 22 1

    ( ) ( )e e- -

    2 21 21 ; 1s s

    Apdo. 5.3.3

  • 196 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Caso crticamente amortiguado ( 1)

    Pertenece al caso frontera entre el sub y el sobreamortiguado.

    Cualquiera de las ecuaciones sera vlida al resolverla en el paso al lmite. Al efectuarlo se simplifican y queda, segn vemos en las tablas de transformadas de Laplace

    Una de las curvas mostradas en la figura 5.7 corresponde a esta respuesta.

    A continuacin vamos a efectuar un ejercicio prctico para comprobar la res-puesta puramente oscilatoria en torno a la rampa de entrada, cuando el factor de amortiguacin es cero, as como el error estacionario y el retraso de tiempo, cuando dicho factor vale la unidad. Prctica n 5.10

    Se asume que estamos en la opcin Retardo de segundo orden. Borrar la pantalla si hay algn dibujo. Introducir los valores:

    Constante de tiempo 1 Factor de amortiguacin 0 Rampa 0,1 Valor inicial 0 Duracin 12

    Ejecutar la grfica para Rampa.

    Comprobar el carcter oscilatorio en el seguimiento a la rampa. Introducir:

    Factor de amortiguacin 1 Ejecutar Rampa y comprobar que para tiempos grandes el error estacionario es

    Comprobar que el retraso es de

    y t T T tT

    t T

    2 2 1

    2e-

    2 2 0 1 1 1 0 2 20A T 1 1 1 8, , %

    2 2 1 1 2 T 1 1

  • 197

    5.4 Respuesta de un bloque tiempo muerto

    Un bloque tiempo muerto puro tiene, como se recordar, la siguiente funcin de transferencia

    Las respuestas a las seales de excitacin que venimos considerando sern, en la expresin operacional y temporal, respectivamente

    Respuesta al impulso: -e ; ( )mT s mY y t T

    Respuesta al escaln: -e ; ( )

    mT s

    mY y u t Ts

    Respuesta a la rampa: -

    2

    e ; ( ) ( )mT s

    m mY y t T u t Ts

    Esta ltima ecuacin pudiera necesitar alguna aclaracin. El factor aparente-mente extrao u(t Tm) es necesario para forzar que la funcin sea nula para todo valor de t Tm. Precisamente dicho factor corresponde a una funcin escaln unita-rio en t Tm y, por definicin, el valor de un escaln es nulo para tiempos anteriores a la discontinuidad. Recurdese, tambin, lo dicho en el apartado 4.1.3 (pgina 54), con relacin a la rampa unitaria, la cual era definida mediante la funcin temporal r (t) tu (t). Utilizando esta definicin, ahora la respuesta a la rampa podra expre-sarse en la forma y (t) r (t Tm). Prctica n 5.11 Partiendo del MEN GENERAL, entrar en la opcin Tiempo muerto. Introducir los valores:

    Tiempo muerto 2,5 Escaln 50 Valor inicial 20 Duracin 8

    Ejecutar la grfica para Escaln. Comprobar el retraso de 2,5 unidades de tiempo. Introducir:

    Tiempo muerto 2 Rampa 0,2

    Ejecutar la grfica para Rampa.

    G s T sm( ) e-

    Apdos. 5.3.3 - 5.4 - Prcts. 5.10 - 5.11

  • 198 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Modificar: Tiempo muerto 3 Rampa 0,1

    Ejecutar la grfica y verificar los resultados. 5.5 Respuesta de un bloque adelanto-retardo

    Un bloque adelanto-retardo tiene, segn se vio en el apartado 4.2.10 (pg. 130), la funcin de transferencia (recurdese que T2 T ; T1 2T ; 2 T1 / T2):

    en donde se deca que el comportamiento era de predominio de adelanto o de retardo, segn cuales fueran los valores de las constantes de tiempo o, ms concretamente, segn la relacin entre las mismas 2 T1 / T2 :

    Caso adelanto: T1 T2 o bien 2 1

    Caso retardo: T1 T2 o bien 2 1 5.5.1 Respuesta indicial

    La salida o respuesta de un bloque adelanto-retardo para una seal de excita-cin del tipo escaln unitario ser:

    cuya transformada inversa obtenida de las tablas es

    Vayamos por partes. Lo primero que debemos observar es que la respuesta se compone de dos trminos. El primero es una magnitud constante igual a la unidad, y el segundo es una funcin extinguible con el tiempo. La conclusin, para t , es evidente:

    La respuesta tiende asintticamente a un valor final igual al del propio escaln. El error estacionario es, por tanto, nulo.

    G s T sT s

    G s T sT s

    ( ) ( )

    1

    2

    11

    11

    o bien 2

    " #y TTt T t T

    1 1 1 112

    2e e- -2

    1

    2

    1 1 o bien

    ( 1) ( 1)

    T s TsY Ys T s s T s

    2

  • 199

    El segundo trmino est compuesto, a su vez, por dos factores; uno de ellos es la clsica exponencial decreciente, con una constante de tiempo TT2, y el otro es un coeficiente que implica la relacin entre las dos constantes de tiempo. Este coefi-ciente es precisamente el factor de escala de la exponencial.

    Veamos ahora el valor inicial de la respuesta, para t 0

    que nos conduce a la siguiente conclusin:

    El valor de arranque de la respuesta (para t 0) es igual a la relacin entre las constantes de tiempo T1 / T2 2. Ser, por tanto, superior al valor del escaln para el caso adelanto, e inferior para el caso retardo.

    Analizaremos ahora el factor de escala de la exponencial, el cual ser positivo o

    negativo, segn corresponda al caso adelanto o retardo, respectivamente. Caso adelanto (T1 T2; 2 1)

    Entonces el factor valdr

    es decir, que el factor de escala de la exponencial es positivo, lo que significa que el valor de arranque de la respuesta y(0) rebasa al escaln en una magnitud igual al valor de dicho factor. En la figura 5.8 se muestra esta respuesta, en donde se ha hecho T12 y T2 1, con lo que el factor vale 1 o, lo que es lo mismo, la respuesta arranca con un valor y(0) 11 2.

    Caso retardo (T1 T2; 2 1)

    Ahora el factor vale

    es decir, que en este caso el factor de escala de la exponencial es negativo, pero mayor que 1, lo que significa que el valor de arranque de la respuesta y(0), queda por debajo del escaln, pero siempre por encima de cero.

    y TT

    TT

    ( )0 1 1 112

    1

    2

    1 2

    TT

    1

    21 1 0 2

    1 1 1 012

    TT

    2

    Apdos. 5.4 - 5.5 - 5.5.1 - Prct. 5.11

  • 200 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    La figura 5.8 muestra tambin esta respuesta, en donde se ha hecho T1 0,5 y T2 1, con lo que el citado factor vale 0,5 y, por lo tanto, la respuesta arranca con un valor y(0) 1 0,5 0,5. En ambas curvas la constante de tiempo de la expo-nencial es la misma, por serlo T2, que es la constante de tiempo natural de ambos elementos.

    Fig. 5.8 Respuesta indicial de un bloque adelanto-retardo

    En ambos casos podemos ver el efecto corrector, anticipativo o retardante, de un bloque de este tipo, instalado estratgicamente en un sistema de control, lo que ser ms obvio al estudiar la respuesta a la rampa. Por esta razn, a las constantes de tiempo T1 y T2 las llamamos tiempo de adelanto y tiempo de retardo, respectiva-mente, si bien ello debe conducir a una interpretacin ms bien conceptual o cualita-tiva, que no rigurosa.

    Ms adelante, en el apartado 5.5.3, veremos cules son los verdaderos tiempos de adelanto y retardo en la respuesta a una rampa. Prctica n 5.12 Partiendo del MEN GENERAL, entrar en la opcin Adelanto-retardo. Introducir los valores:

    Tiempo adelanto, T1 2 Tiempo retardo, T2 1

  • 201

    Escaln 50 Valor inicial 0 Duracin 3

    Ejecutar la grfica para Escaln. Modificar:

    T1 1 T2 0,5

    Ejecutar la grfica. Modificar:

    T1 0,5 T2 0,25

    Ejecutar la grfica.

    Comprobar que la constante de tiempo de la exponencial vale siempre T2, y que los valores de arranque de la respuesta dependen de la relacin entre las dos cons-tantes de tiempo, T1 / T2, que en estos ejemplos ha sido de 2 en todos los casos. Prctica n 5.13 Se asume que estamos en la opcin Adelanto-retardo. Introducir los valores:

    Tiempo de adelanto, T1 10 Tiempo de retardo, T2 2 Escaln 20 Valor inicial 0 Duracin 10

    Ejecutar la grfica para Escaln. Modificar:

    T1 0,4 T2 2 Escaln 100

    Ejecutar la grfica. Modificar:

    T1 0,2 T2 1

    Ejecutar la grfica.

    Comprobar el efecto de la relacin 5:1 en la primera de las respuestas, y el efecto de la relacin 1:5 en las otras dos. Sin embargo, la constante de tiempo en las dos primeras es de 2, mientras que en la tercera es de 1.

    Apdo. 5.5.1 - Prcts. 5.12 - 5.13

  • 202 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    5.5.2 Respuesta impulsiva

    La salida o respuesta de un bloque adelanto-retardo para una seal de excita-cin del tipo impulso unitario ser

    La transformada inversa no la obtenemos de manera inmediata en las tablas, por tratarse de una fraccin impropia. En el apartado 2.2.2, Aplicacin del teorema de la derivacin real (al final de la pg. 25), se detalla su resolucin en un ejemplo, y es

    en la que se observa una funcin impulso en t 0, de magnitud T1 / T2, seguida de una exponencial extinguible. Prctica n 5.14

    Se asume que estamos en la opcin Adelanto-retardo. Introducir los valores:

    Tiempo de adelanto, T1 ** 1 Tiempo de retardo, T2 0,5 Impulso 25 Valor inicial 100 Duracin ** 3

    Ejecutar la grfica para Impulso. Modificar:

    T1 1,5 Ejecutar la grfica. Modificar:

    T1 3 T2 1

    Ejecutar la grfica. Sin olvidar que partimos de un valor inicial o de referencia igual a 100, compro-bar en cada caso, por mediacin de la tira de papel, que la constante de tiempo de la exponencial es igual a T2 y que el factor de escala de la misma vale

    Y T sT s

    Y T sT s

    1

    2

    11

    11

    o bien 2

    y TT

    tT

    TT

    t T

    1

    2 2

    1

    2

    1 1 2 ( ) e-

  • 203

    el cual se comprueba por el pico de respuesta en t 0 (prescindiendo del impulso inicial). As por ejemplo, en el segundo caso, donde Impulso 0,25 (25 %), T1 1,5; T2 0,5, tendremos como valor de pico

    Modificar Tiempo de adelanto, T1 ** 0,1 Tiempo de retardo, T2 0,5 Impulso 50 Valor inicial 0

    Borrar la pantalla. Ejecutar la grfica.

    Verificar que ahora el pico vale

    Calcular y comprobar qu sucedera si duplicamos ambos tiempos. 5.5.3 Respuesta a la rampa

    La salida o respuesta de un bloque adelanto-retardo para una seal de excita-cin del tipo rampa unitaria ser

    y de las tablas obtenemos la respuesta temporal

    A estas alturas tenemos ya la suficiente experiencia para saber interpretar esta ecuacin sin necesidad de demasiados anlisis matemticos. Vemos que el primer trmino es la ecuacin de la propia rampa. En consecuencia, la respuesta diferir de la rampa en lo que importe el segundo trmino, el cual es una exponencial creciente

    AT

    TT

    1 12

    1

    2

    0 25 10 5

    11 50 5

    1 100,,

    ,,

    %

    8

    0 5 10 5

    10 10 5

    0 8 80,,

    ,,

    , %

    8

    YT s

    s T s

    1

    22

    1

    1( )

    " #y t T T t T ( )1 2 1 2e-

    Apdos. 5.5.2 - 5.5.3 - Prct. 5.14

  • 204 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    con un factor de escala T1 T2. Al completarse esta exponencial, para t , es este factor de escala el que define el error estacionario, siendo positivo o negativo, segn se trate del caso adelanto o retardo. No olvidemos que si la pendiente de la rampa fuese de un valor A, la funcin entera se vera multiplicada por este valor, lo mismo que el error estacionario, que valdra

    Error estacionario: 1 2( )A T T

    Nos queda efectuar la evaluacin, para tiempos grandes, del tiempo de adelanto (o de retraso) de la curva de respuesta, con relacin a la rampa generadora. Un sen-cillo anlisis geomtrico o matemtico, permite ver que el tiempo buscado vale

    el cual puede ser positivo o negativo, y es independiente del valor de la rampa.

    Fig. 5.9 Respuesta a la rampa de un bloque adelanto-retardo

    Si se pretende tipificar las curvas de respuesta, la ecuacin de la respuesta tem-poral podr ser reescrita como

    con lo que se tendr

    - T T1 2

    " #yA TtT

    TT

    t T

    2 2

    1

    21 1 2

    e-

  • 205

    y se podrn dibujar las curvas parametrizadas en funcin del factor T1 / T2 12 1.

    En la figura 5.9 se muestran dos respuestas a una rampa de pendiente 0,25, para diferentes tiempos de adelanto y retardo. Prctica n 5.15

    Se asume que estamos en la opcin Adelanto-retardo. Introducir los valores:

    Tiempo de adelanto, T1 1,5 Tiempo de retardo, T2 ** 0,5 Rampa ** 0,25 Valor inicial 0 Duracin 4

    Ejecutar la grfica para Rampa.

    Comprobar hacia el final de la grfica que el error estacionario vale

    0,25 (1,5 0,5) 0,25 (825 % por encima)

    y que el adelanto de tiempo es de

    1,5 0,5 1,0 Modificar:

    T1 0,1 Ejecutar la grfica.

    Comprobar que ahora se produce un retraso.

    El error estacionario es

    0,25 (0,1 0,5) 0,1 (810 % por debajo)

    Comprobar que el retraso de tiempo vale (el signo negativo significar retraso)

    0,1 0,5 0,4

    yy

    A Tt t

    T6 6

    2 2;

    Apdo. 5.5.3 - Prct. 5.15

  • 206 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    5.6 Respuesta de un bloque anticipativo

    Un bloque anticipativo vimos que tiene la funcin de transferencia

    5.6.1 Respuesta indicial

    La salida o respuesta de un bloque anticipativo para una seal de excitacin del tipo escaln unitario ser

    La solucin temporal es similar a la estudiada en la respuesta impulsiva de un retardo de primer orden

    que como se ve, se trata de una exponencial decreciente. Esto significa que una vez que la seal de entrada se ha estabilizado a un determinado nivel y se ha extinguido el transitorio de respuesta, la salida de este bloque es nula, independientemente del nivel alcanzado por la entrada. Vase la figura 4.44 (pg. 133), en donde la tensin de salida acaba siendo nula, o la figura 4.46 (pg. 134), en donde despus de un des-plazamiento del mbolo el cilindro acaba volviendo a su posicin original. 5.6.2 Respuesta impulsiva

    La salida o respuesta de un bloque anticipativo para una seal de excitacin del tipo impulso unitario ser

    La antitransformada no la obtenemos de manera inmediata de las tablas. En un ejemplo del apartado 2.2.2, Aplicacin del teorema de la derivacin real (pg. 26), se detalla su resolucin y, teniendo en cuenta que ahora las dos constantes de tiempo (numerador T1 y denominador T2) son iguales, resulta ser

    G s T sT s

    ( ) 1

    Y T sT s

    1

    -e t Ty

    -1( ) e t Ty tT

    ( 1) 1

    T s TYs T s T s

  • 207

    en la que observamos un impulso unitario en t 0, seguido de una exponencial decreciente con signo negativo, de forma similar a la respuesta al impulso del ele-mento adelanto-retardo, cuando las constantes de tiempo lo hacen de adelanto. 5.6.3 Respuesta a la rampa

    La salida o respuesta de un bloque anticipativo para una seal de excitacin del tipo rampa unitaria ser

    Fig. 5.10 Respuesta a la rampa de un bloque anticipativo

    La transformada inversa nos la proporciona de manera inmediata las tablas de transformadas, y es

    en la que una vez extinguida la exponencial transitoria decreciente, vemos que nos queda una salida constante de valor T, o AT si la rampa tuviera una pendiente A (fig. 5.10). Es equivalente a una accin derivativa, pero con retardo. En efecto, la transmitancia puede descomponerse en tres bloques en serie:

    Y T ss T s

    Ts T s

    2 1 1( ) ( )

    " #-1 e t Ty T

    Apdos. 5.6 - 5.6.1 - 5.6.2 - 5.6.3

  • 208 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    el primero de los cuales es una ganancia (mdulo T ), el segundo una funcin deri-vada pura, y el tercero un retardo de primer orden con una constante de tiempo T.

    La pendiente de la respuesta en el origen es la misma que la de la rampa. Puede comprobarse derivando la funcin y haciendo t0:

    - -' e ( 1 ) et T t Ty T /T / /

    -0'(0 ) e 1Ty / Prctica n 5.16 Entrar en la opcin Anticipativo a partir del MEN GENERAL. Introducir los valores:

    Tiempo de adelanto 1 Rampa ** 0,25 Valor inicial 0 Duracin 8

    Ejecutar la grfica para Rampa. Modificar:

    Tiempo de adelanto 2 Ejecutar la grfica. Comprobar que en ambos casos las curvas arrancan con la misma pendiente que la rampa, y que el valor final es el producto AT, donde A 0,25. La figura 5.10 muestra el tipo de grficas que deben ser obtenidas. 5.7 Respuesta de un controlador P+D

    En el captulo anterior vimos que la transmitancia de un controlador PD es

    y que, por tanto, la respuesta vendr dada por la ecuacin

    G s T s T s( ) [ ] [ ]

    11

    YE

    G T sd ( )1

    Y G E T s G E G E T sd d ( )1

  • 209

    Puesto que la ecuacin est compuesta de dos sumandos, la respuesta temporal deberemos hallarla efectuando la suma de las antitransformadas de cada trmino. 5.7.1 Respuesta indicial

    La respuesta a un escaln de amplitud :, aplicado a la seal de error del contro-lador PD ser

    y, por tanto,

    esto es

    es decir, que a la salida del controlador se tendr una seal compuesta por:

    Un escaln de amplitud G: (el escaln de entrada ha sido multiplicado por el factor ganancia), efecto de la accin proporcional.

    Un impulso, en t 0, de magnitud G:Td, por la accin derivativa.

    Es obvio que estamos considerando exclusivamente el efecto producido por la

    aplicacin de un escaln en la seal de error o, lo que es lo mismo, variaciones de la salida en torno al punto de trabajo (reposo) previo al escaln. La solucin hallada es la seal de correccin que se superpondr a la salida inicial y0 del controlador, cuando t***0. La verdadera salida del controlador (posicin de la vlvula) sera

    en donde

    y0 Salida inicial del controlador .y Variacin en la salida debida al escaln

    Vemos la aparicin de un impulso debido a que hemos aplicado el escaln en la

    seal de error, sin considerar si era debida a un salto en la medida o en la consigna. Si se asume que el salto procede del punto de consigna, y se aplica la ecuacin de la ejecucin especial, mencionada al final del captulo anterior, entonces se tiene

    Y G s T sd : ( )1

    y Gs G Td

    -1 : :

    y G G T t G T td d : : : ( ) ( )1

    y y y y G T td 0 0 1. : ( )

    Apdos. 5.6.3 - 5.7 - 5.7.1 - Prct. 5.16

  • 210 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    y puesto que M es nula (para todas las variables estamos considerando variaciones en torno al punto de trabajo), entonces

    en donde solamente se manifiesta el efecto de la accin proporcional. La accin deri-vativa no ha participado en la respuesta en cuanto a las variaciones en el punto de consigna.

    Vase la Nota sobre representacin grfica de impulsos en la pgina 222. 5.7.2 Respuesta a la rampa

    La respuesta a una rampa de pendiente R, aplicada a la seal de error del con-trolador PD ser, recordando que -1[R t]R /s2,

    y, por tanto,

    esto es, efectuando la transformacin inversa de cada trmino

    es decir, que a la salida del controlador se tendr una seal compuesta por:

    Una rampa de pendiente GR (la pendiente de la rampa de entrada ha sido multiplicado por el factor ganancia), debida al efecto de la accin propor-cional.

    Un escaln, en t 0, de magnitud GRTd, debido al efecto de la accin deri-

    vativa. Ntese cmo el parntesis (t + Td) muestra el adelanto en el tiempo.

    Es obvio que sin la accin derivativa (controlador P), la salida sera una rampa tal como

    y Gs G M Td

    -1 :

    y G :

    Y Rs

    G T sd 2 1( )

    y G Rs

    G R Ts

    d

    -12

    y G R t G R T G R t Td d ( )

  • 211

    Comprobemos la anticipacin debida a la accin derivativa, lo que equivale al desplazamiento horizontal entre las grficas de respuesta (con o sin accin deriva-tiva) o, dicho de otro modo, con qu antelacin se alcanzar un valor cualquiera de salida debido a la accin derivativa.

    Llamemos t al tiempo necesario para alcanzar una determinada salida en el con-trolador P, y t- al tiempo en que el controlador PD alcanzar esta misma salida, donde - es el tiempo de anticipacin buscado. Puesto que las salidas son iguales, podemos igualar las dos expresiones

    de donde se obtiene

    es decir, que:

    El tiempo de anticipacin en la respuesta a la rampa de un controlador PD, debida a la accin derivativa, es precisamente el tiempo derivativo Td ; y es independiente de la ganancia del controlador y de la pendiente de la rampa.

    Ello coincide con lo enunciado al describir la accin derivativa en el apartado

    4.2.12.d (pg. 149).

    Fig. 5.11 Anticipacin debida a la accin derivativa en la respuesta a una rampa de un controlador PD

    y G R t

    G R t G R t G R Td ( )-

    - Td

    Apdos. 5.7.1 - 5.7.2

  • 212 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    La figura 5.11 muestra grficamente el anlisis que acabamos de realizar. Prctica n 5.17 Entrar en la opcin Controlador P+D. Introducir los valores:

    Rampa 0,1 Valor inicial 20 Duracin 3 Ganancia 2 Tiempo deriv. 0

    Ejecutar la grfica para Rampa.

    Observar que la respuesta corresponde a un controlador P (sin accin derivati-va), puesto que hemos hecho nulo el tiempo derivativo. Repetir la grfica para los valores de Tiempo derivativo: 0,5 y 1

    Comprobar que la pendiente de cualquiera de las respuestas es doble de la rampa de excitacin. Verificar que el tiempo de anticipacin de las dos ltimas respuestas, con relacin a la respuesta de un controlador P (primera grfica), coincide con el tiempo derivativo asignado.

    Efectuar otros ensayos cambiando la ganancia y la pendiente de la rampa.

    5.8 Respuesta de un controlador P+I

    Sabemos que la transmitancia de un controlador PI es

    y que, por tanto, la respuesta vendr dada por la ecuacin

    Puesto que la ecuacin est compuesta de dos sumandos, la respuesta temporal deberemos hallarla efectuando la suma de las antitransformadas de cada trmino.

    YE

    GT si

    1

    1

    Y G ET s

    G E G ET si i

    1

    1 1

  • 213

    5.8.1 Respuesta indicial

    La respuesta a un escaln de amplitud :, aplicado a la seal de error del contro-lador PI ser

    y, por tanto

    esto es,

    es decir, que a la salida del controlador se tendr una seal compuesta por:

    Un escaln de amplitud G: (el escaln de entrada ha sido multiplicado por el factor ganancia), efecto de la accin proporcional.

    Una rampa de pendiente G: / Ti , debida a la accin integral.

    La solucin hallada es la seal de correccin que se superpondr a la salida ini-

    cial y0 que tena el controlador cuando t 0. La verdadera salida del controlador (posicin de la vlvula) sera

    en donde

    y0 Salida inicial del controlador .y Variacin en la salida debida al escaln

    Ahora calculemos cada cuanto tiempo la salida del controlador se ve incremen-

    tada, por efecto de la accin integral, en una cantidad igual a la variacin instant-nea que se produce debido a la accin proporcional. Para ello, igualaremos los dos trminos de la respuesta (el proporcional y el integral), llamando - al tiempo buscado

    Y G s T si

    : 1 1

    y GsGT si

    -1: :

    2

    y G GT

    t GT

    ti i

    : : :1 1 1

    y y y y GT

    ti

    0 0

    1 1. :

    G GTi

    : : - 1

    Apdos. 5.7.2 - 5.8 - 5.8.1 - Prct. 5.17

  • 214 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    de donde

    es decir, que:

    El tiempo en que la accin integral de un controlador PI tarda en repetir la variacin instantnea de salida producida por la accin proporcional, en respuesta a una seal de error en escaln, es precisamente el tiempo inte-gral Ti ; y es independiente del valor de la ganancia del controlador y de la magnitud del escaln.

    Lo que coincide con lo enunciado al describir la accin integral, en el apartado 4.2.12.c (pg. 147). La figura 5.12 muestra grficamente el anlisis que acabamos de realizar.

    Fig. 5.12 Respuesta de un controlador PI al escaln de error Prctica n 5.18 Entrar en la opcin Controlador P+I. Introducir los valores:

    Escaln 10 Valor inicial 20 Duracin 4 Ganancia 2 Tiempo integral 9999999 (prcticamente anulado)

    Ejecutar la grfica para Escaln.

    - Ti

  • 215

    Modificar: Ganancia 0,5 y ejecutar la grfica.

    Observar cmo las dos respuestas corresponden a un controlador P, puesto que hemos dado al tiempo integral un valor prcticamente infinito, lo que significara un tiempo de integracin igualmente infinito, que es tanto como decir una accin nula. Borrar la pantalla. Modificar Ganancia 1 y ejecutar la grfica para cada uno de los siguientes

    valores del Tiempo integral : 2; 1; 0,5 y 0,25.

    Verificar que, en cada caso, el tiempo que tarda la respuesta en repetir el salto inicial es Ti. Verlo desde el punto de vista de repeticiones por minuto, 1/ Ti , es decir, 0,5; 1; 2 y 4, respectivamente. Observar qu sucede en un minuto. 5.8.2 Respuesta a la rampa

    La respuesta a una rampa de pendiente R, aplicada a la seal de error del con-trolador PI ser, recordando que -1[Rt] R /s2,

    y, por tanto,

    esto es, efectuando la transformacin inversa de cada trmino

    es decir, que a la salida del controlador se tendr una seal compuesta por:

    Una rampa de pendiente GR (la pendiente de la rampa de entrada ha sido multiplicada por el factor ganancia), debida al efecto de la accin propor-cional.

    Una parbola (con coeficiente proporcional a la ganancia y a la pendiente de

    la rampa de excitacin, e inversamente proporcional al tiempo integral), como consecuencia de la integracin (por la accin integral) de una seal de error progresivamente en aumento.

    Y G Rs T si

    2 1

    1

    y G Rs

    G RT si

    -1 2 3

    y G R t G RT

    t G R tT

    ti i

    12

    12

    2 2

    Apdos. 5.8.1 - 5.8.2 - Prct. 5.18

  • 216 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Es evidente que sin la accin integral (controlador P), la salida sera una rampa con la expresin

    La figura 5.13 muestra una respuesta de un controlador PI, en donde la pendien-te de la rampa de excitacin es de 0,1, la ganancia del controlador es 1 y el tiempo integral 1.

    Fig. 5.13 Respuesta de un controlador P I a una seal de error en rampa

    Prctica n 5.19 Entrar en la opcin Controlador P+I. Introducir los valores:

    Rampa 0,1 Valor inicial 0 Duracin 3 Ganancia 2 Tiempo integral 9999999 (prcticamente anulada la accin)

    Ejecutar la grfica para Rampa. Modificar:

    Ganancia 0,5

    y G R t

  • 217

    Observar cmo las respuestas corresponden a un controlador P, puesto que hemos dado al tiempo integral un valor prcticamente infinito. Borrar la pantalla. Modificar:

    Ganancia 1 Tiempo integral 1

    Ejecutar la grfica.

    Ahora podemos obsevar como el efecto integral introduce una parbola en la respuesta. Modificar:

    Tiempo integral 0,5 Ejecutar la grfica. Modificar:

    Ganancia 2 Ejecutar la grfica.

    Estudiar y analizar detenidamente las grficas.

    5.9 Respuesta de un controlador P+I+D

    Este controlador rene las caractersticas de cada uno de los dos hasta aqu estu-diados. La respuesta ser una combinacin de las tres acciones.

    Sabemos que la transmitancia de un controlador PID es

    y que, por tanto, la respuesta vendr dada por la ecuacin

    Puesto que la ecuacin est compuesta de tres sumandos, la respuesta temporal deberemos hallarla efectuando la suma de las antitransformadas de cada uno de los tres trminos.

    YE

    GT s

    T si

    d

    1

    1

    Y G E G ET s

    G E T si

    d 1

    Apdos. 5.8.2 - 5.9 - Prct. 5.19

  • 218 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    5.9.1 Respuesta indicial

    La respuesta a un escaln de amplitud :, aplicado a la seal de error del contro-lador PID ser

    y, por tanto,

    esto es,

    o bien

    es decir, que a la salida del controlador se tendr una seal compuesta por el resul-tado de las tres acciones: Un escaln de amplitud G: (el escaln de entrada ha sido multiplicado por

    el factor ganancia), efecto de la accin proporcional. Una rampa de pendiente G: / Ti , debida a la accin integral. Un impulso de magnitud G: Td, debido a la accin derivativa.

    Una vez ms vemos que este impulso no existir si adoptamos la variante de

    controlador cuya accin derivativa es sensible solamente a las variaciones de la me-dida, y siempre que asumamos que el escaln de entrada sea debido a un cambio en el punto de consigna.

    La solucin hallada es la seal de correccin que se superpondra a la salida inicial y0 que tena el controlador cuando t 0. La verdadera salida del controlador (posicin de la vlvula) sera

    0 011 ( )d

    iy y y y G t T t

    T. :

    en donde

    Y G s T sT s

    id

    : 1 1

    y GsGT s

    G Ti

    d

    -1: : :

    2

    y G GT

    t G T ti

    d : : : 1 ( )

    y GT

    t T ti

    d

    : 1 1 ( )

  • 219

    y0 Salida inicial del controlador .y Variacin en la salida debida al escaln

    Ntese que la anulacin del efecto integral slo puede conseguirse dando al

    parmetro Ti , tiempo integral, un valor infinito (o, prcticamente hablando, muy grande). Su recproco, cero, significara cero repeticiones por minuto. Por el contra-rio, la anulacin del efecto derivativo se consigue dando un valor nulo al parmetro Td, tiempo derivativo, lo que significa una anticipacin nula.

    La respuesta al escaln del controlador PID difiere, con relacin al PI, nica-mente en el posible impulso inicial. La figura 5.12 (pg. 214) puede servir igual-mente como modelo de respuesta. 5.9.2 Respuesta a la rampa

    La respuesta a una rampa de pendiente R, aplicada a la seal de error del con-trolador PID ser, recordando que -1[R t] R /s2

    y, por tanto,

    esto es, efectuando la transformacin inversa de cada trmino

    es decir, que a la salida del controlador se tendr una seal compuesta por el resul-tado de las tres acciones: Una rampa de pendiente GR (la pendiente R de la rampa de entrada ha sido

    multiplicada por el factor ganancia), debida al efecto de la accin propor-cional.

    Una parbola (con coeficiente proporcional a la ganancia y a la pendiente de la rampa de excitacin), como consecuencia de la integracin (por la accin integral) de una seal de error progresivamente en aumento.

    Un escaln, en t 0, de magnitud GRTd, por efecto de la accin derivativa.

    Y G Rs T s

    T si

    d

    2 1

    1

    y G Rs

    G RT s

    G R Tsi

    d

    -12 3

    y G R t G RT

    t G R T G R tT

    t Ti

    di

    d

    12

    12

    2 2

    Apdos. 5.9.1 - 5.9.2

  • 220 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    La figura 5.14 muestra una respuesta a la rampa de un controlador PID, en donde la pendiente de la rampa de excitacin es de 0,1, y los parmetros ganancia, tiempo integral y tiempo derivativo valen 1.

    Fig. 5.14 Respuesta de un controlador P ID a una rampa Prctica n 5.20 Entrar en la opcin Controlador P+I+D. Introducir los valores:

    Rampa 0,1 Valor inicial 0 Duracin 3 Ganancia 1 Tiempo integral 1 Tiempo derivat. 0

    Ejecutar la grfica para Rampa.

    Observar cmo la respuesta es la de un controlador PI. Volver a ejecutar la grfica, para los siguientes valores del

    Tiempo derivativo: 0,5; 1; 2 y 4

  • 221

    Analizar los resultados, notando cmo las curvas son idnticas, pero desplaza-das en altura, con una separacin acorde con el valor de Td. Borrar la pantalla. Modificar:

    Tiempo derivativo 1 Ejecutar la grfica para los siguientes valores del

    Tiempo integral: 0,25; 0,5; 1; 2 y 4

    Observar ahora el efecto de las modificaciones en la accin integral. Borrar la pantalla Modificar:

    Tiempo integral 1 Tiempo derivativo 1

    Ejecutar las grficas para cada uno de los siguientes valores de Ganancia: 0,5; 1 y 2

    Ahora puede verse el efecto de los cambios en el parmetro ganancia.

    5.10 Respuesta de un controlador integral

    Dado que este controlador posee exclusivamente accin integral, podremos deducir fcilmente su respuesta si partimos de la del controlador P+I y anulamos el trmino debido a la accin proporcional. Habr que tener la precaucin de asignarle una ganancia igual a uno y en la respuesta restar dicho efecto proporcional, el cual ser igual a la seal de error.

    Recurdese que en este tipo de controlador no se precisa hablar del parmetro ganancia, dado que, de haberla, podra quedar englobada en el factor tiempo de inte-gracin. En efecto, si a la accin integral le agregamos una ganancia G, tendremos que la transmitancia ser G (1/ Ti ) 1/ T'i y, por lo tanto, se tendra un Tiempo de integracin efectivo: T'i Ti /G equivalente a un controlador integral con ganancia unitaria, y con un tiempo de in-tegracin G veces menor (G veces ms rpido), por la accin de la ganancia suple-mentaria introducida.

    Apdos. 5.9.2 - 5.10 - Prct. 5.20

  • 222 Captulo 5 - Respuesta temporal de los componentes bsicos

    Nota sobre representacin grfica de impulsos

    En el captulo 4 se vio que un impulso unitario tiene una amplitud infinita y una duracin infinitesimal (ver fig. 4.1, pg. 52). Matemticamente, es el resultado del paso al lmite, para - 0, de un pulso de duracin y amplitud 1/-. El rea que queda encerrada bajo el pulso es de - (1/- ) 1, y este mismo valor unitario es pre-servado por el rea terica que encierra el impulso unitario. Obviamente, si se parte de un pulso cuya rea es distinta de la unidad, supongamos que de valor A (como sera, por ejemplo, de duracin - y amplitud A/-, o de duracin A- y amplitud 1/- ), se tendr, en el paso al lmite, un impulso de rea A, es decir, de magnitud A, que no debe ser confundida con su amplitud (altura), que en todos los casos es infinita.

    Es evidente, por tanto, que un impulso no puede ser representado grficamente, respetando una determinada escala. No obstante, en el programa ControlP, los impulsos se representan por una lnea vertical de longitud o altura equivalente a la magnitud del impulso. Con ello, se facilita en muchos casos la informacin visual e intuitiva sobre dicha magnitud; lo que no sucedera si, obrando estrictamente, dibu-jsemos una lnea que en todos los casos se saldra de los lmites de pantalla, con la consiguiente ambigedad.

  • 223

    6 Respuesta frecuencial de los componentes bsicos

    En este captulo se estudiar y analizar la llamada Respuesta frecuencial o Respuesta de frecuencia de los distintos componentes elementales que conocemos, vistos en los anteriores captulos. Tambin suele ser llamada Respuesta espectral.

    El inters de este tipo de anlisis, al que llamamos Anlisis frecuencial, estriba en que proporciona informacin muy importante sobre un sistema controlado en es-tudio, con relacin a su comportamiento dinmico, permitiendo su optimizacin por mera inspeccin de los resultados. As, por ejemplo, podemos saber si un sistema es o no estable y en qu grado lo es, y qu correcciones debemos efectuar, ya sea para mejorar su estabilidad o para contrarrestar su inestabilidad.

    Tambin aqu, utilizaremos el programa ControlP para comprobar y ensayar, de un modo prctico y verstil, cuantas conclusiones vayamos obteniendo.

    Pero, una vez ms, antes de entrar en el estudio de sistemas controlados, empe-zaremos por efectuar un anlisis de los componentes bsicos. 6.1 Conceptos de base

    Como es costumbre en el presente texto, no entraremos en profundizaciones

    matemticas que nos conduciran a complejas disquisiciones tericas, que creemos innecesarias. Sin embargo, no debemos sustraernos a utilizar un mnimo de nociones imprescindibles que nos ayuden a comprender mejor los fenmenos fsicos que esta-

    - Apdo. 6.1Captulo 6

  • 224 Captulo 6 - Respuesta frecuencial de los componentes bsicos

    mos estudiando y a manejar con soltura los problemas que se nos presenten. Por ello, empezaremos por dar un breve repaso a los sencillos conceptos bsicos, cons-tantemente aplicados en el estudio de la Respuesta frecuencial. 6.1.1 El decibelio (dB)

    Si un valor g expresa la ganancia esttica de un bloque, como cociente entre las amplitudes de la seal de salida A2 y la de entrada A1, de tal manera que

    entonces, por definicin, el valor g, expresado en dB, es, operando con logaritmos decimales,

    es decir,

    lo que podemos representar grficamente, sobre una escala logartmica, como

    en donde, como era de esperar, se aprecia que la escala en dB es lineal.

    Para la conversin de dB a valor real haremos la operacin inversa

    As por ejemplo, para un valor g 2 tendremos

    y la operacin inversa sera

    g AA

    21

    g gdB log 20

    g AAdB

    log 20 21

    dB 20( )10 gg

    6,0206 20( )10 2g /

    dB 20 log 2 6,0206 6g /

  • 225

    o, si se prefiere, puesto que g A2 /A12

    En general, el producto de dos ganancias, o el de una ganancia por un factor constante, se convierte, al manejarlo en unidades de decibelios, en la suma de cada uno de los valores expresados en decibelios. En efecto, si

    entonces

    pero

    y

    por tanto, sustituyendo, tendremos

    Por otra parte, es evidente que la divisin se convertir en una resta, como corresponde al operar con logaritmos.

    Considerando los valores 2 y 10, tenemos, al expresarlos en dB

    20 log2 6 ; 20 log10 20/

    Podemos afirmar que el hecho de duplicar una magnitud equivale a sumar 6 dB a la expresin de esta magnitud en decibelios. Inversamente, para dividir por 2, se tendr que restar 6 dB. Y, asimismo, cuando una magnitud se multiplica por 10, su expresin en decibelios queda aumentada en 20 dB, o disminuida en esta cantidad si se trata de una divisin.

    Por ejemplo, sea una ganancia de 150, que equivale a 43,5dB. Si mediante algn dispositivo duplicamos esta ganancia, y pasa a ser de 300, la ganancia final en dB ser de 43,5 6 49,5dB. Si lo que hacemos es multiplicar por 10, entonces la

    A A A A A A

    AA

    2 1 2 1 2 1

    2

    1

    20 20 20

    20 20 2 6

    ,dB ,dB log log (log log )

    log log

    /

    g g g 1 2

    g g g g g g gdB log ( ) (log log ) log log 20 20 20 201 2 1 2 1 2

    g g1 120,dB log

    g g2 220,dB log

    g g gdB ,dB ,dB 1 2

    Apdos. 6.1 - 6.1.1

  • 226 Captulo 6 - Respuesta frecuencial de los componentes bsicos

    ganancia sera 43,5 20 63,5dB. Si ahora consideramos una ganancia de 100, es decir, 40dB, entonces la ganancia mitad, o sea, 50, se expresar como 40634 dB; todo lo cual puede comprobarse aplicando la frmula de conversin a dB. Muy importante: Tngase presente que suele trabajarse con los valores redondea-dos que se derivan de asumir las siguientes aproximaciones:

    20 log 2 6 (cuyo valor es 6,02059991...)

    20 log 4 12 (cuyo valor es 12,04119982...), etc. 6.1.2 La octava y la dcada

    Una banda de frecuencias queda determinada cuando se especifican los valores de las frecuencias extremas (lmites inferior y superior) de esta banda. Se habla tam-bin de intervalo de frecuencias. La primera expresin es la utilizada normalmente en comunicaciones y electrnica en general.

    Cuando la relacin o cociente entre los valores de dos frecuencias es de 2, deci-mos que existe un intervalo de una octava entre las mismas. Es decir, que se tendr un intervalo de una octava, entre las frecuencias f1 y f2, si se cumple que f2 / f12. Cada vez que duplicamos la frecuencia extrema alta, de una banda de frecuencias, expandimos la banda en una octava. Lo mismo sucede si dividimos por 2 la frecuen-cia extrema baja. As, cuando la relacin entre las frecuencias extremas es de 4 se tiene un intervalo de 2 octavas, si la relacin es 8 se tienen 3 octavas, etc.

    Ntese que las frecuencias de 1 y 2 Hz estn separadas por una octava, lo mismo que 2 y 4 Hz, o que 500 y 1000 kHz, o que 0,03 y 0,06 Hz. Por otra parte, no importa si expresamos la frecuencia en Hz, en ciclos / minuto, rad / s, en rad / minuto

    Si llamamos n al nmero de octavas que separan dos frecuencias, se tendr

    de donde, el nmero de octavas comprendido entre dos frecuencias cualesquiera, ser, tomando logaritmos en base 2

    pero para evitar el manejo de logaritmos en base 2 hacemos la conversin

    ff

    n2

    12

    n de octavas log2 nff

    2

    1

  • 227

    Cuando la relacin entre dos frecuencias es de 10, es decir, si se cumple que f2 / f1 10, entonces se dice que estn separadas por un intervalo de una dcada o, lo que es lo mismo, que la banda comprendida es de una dcada.

    Si llamamos n al nmero de dcadas que separa dos frecuencias, tendremos la relacin

    y, por tanto, el nmero de dcadas comprendido entre dos frecuencias cualesquiera satisface la igualdad

    El nmero de octavas comprendida en una dcada ser, puesto que f2 10 f1

    La expresin octava tiene su origen en la Msica, por las ocho teclas blancas com-

    prendidas entre la misma nota de dos escalas contiguas en un teclado de piano (cada escala duplica la frecuencia de la anterior). En Msica se habla tambin de tercera, quinta, etc., pero ya sin equivalencia usual en Tecnologa. La dcima musical (las 10 teclas en el lmite del alcance simultneo de la mano humana) no tiene nada que ver con nuestra dcada. 6.1.3 Las unidades dB/octava y dB/dcada

    En Anlisis frecuencial es corriente que ciertas funciones, al ser representadas en un grfico semilogartmico (dB en funcin del logaritmo de la frecuencia), resulten lneas rectas. Entonces surge la necesidad de expresar sus pendientes en las unidades dB/octava y dB/dcada. La conversin entre ambas, de acuerdo con el factor de equivalencia que acabamos de calcular, ser

    dB/dcada 3,3219dB/octava

    n de octavaslog

    n

    ff f

    f

    2

    1 2

    123 3219

    log, log

    ff

    n2

    110

    n de dcadas n ff

    log 21

    octavas/dcada log

    logloglog

    ,

    10

    2102

    3 3219

    1

    1

    ff

    Apdos. 6.1.1 - 6.1.2 - 6.1.3

  • 228 Captulo 6 - Respuesta frecuencial de los componentes bsicos

    Un valor muy tpico es 6 dB/octava 20 dB/dcada, el cual indicar una pen-diente en la que la ganancia se hace doble o mitad (6 dB) por cada intervalo de una octava, o bien que se multiplica o divide por 10 (20 dB) por cada intervalo de una dcada. Ntese que esta equivalencia es vlida al asumir el redondeo 20 log 2 6. 6.1.4 Nmeros complejos y vectores

    Una de las operaciones que pueden practicarse con la clase de nmeros reales es la extraccin de la raz cuadrada. Sucede que cuando se extrae la raz cuadrada de un nmero real negativo, el resultado no puede ser un nmero real, ya que no puede existir un nmero real cuyo cuadrado sea un nmero negativo. Esta dificultad se subsana mediante la introduccin de la clase de nmeros llamados imaginarios, con los cuales se puede operar con las mismas reglas de los nmeros reales.

    Siendo A un nmero real positivo, queremos hallar

    Para ello diremos

    con lo que no queda ms que definir un nmero j , que satisfaga

    o bien

    y entonces se tendr, en general, que si

    entonces

    El nmero j es la unidad imaginaria, la cual nos permite operar con nmeros imaginarios.

    Tngase presente, cuando convenga, que

    a A

    a A A ( )1 1

    j 1

    j2 1

    N N nj j

    ( real positivo)n N N

  • 229

    Si x e y son nmeros reales, la expresin

    representar que A es un nmero complejo, en el cual x es la parte real e y es la parte imaginaria del nmero. Es la representacin cartesiana de un nmero comple-jo. Hay que insistir que tanto x como y son nmeros reales. En Matemticas, los nmeros complejos suelen representarse con maysculas y en letra negrita.

    Sabemos que un nmero real (positivo o negativo) puede ser referenciado sobre un eje o escala, por su situacin sobre el mismo (distancia con relacin al punto defi-nido como origen) y, viceversa, cualquier punto sobre un eje tendr una correspon-dencia en un nmero real.

    Un nmero complejo podr ser referenciado sobre un plano o sistema de coor-denadas cartesianas, es decir, dos ejes perpendiculares entre s, haciendo que uno de ellos represente el eje de la parte real y el otro el de la parte imaginaria. Ello es evidente, puesto que cada punto sobre un plano cartesiano queda definido por dos nmeros reales (coordenadas), y tanto la parte real como la imaginaria de un nmero complejo son nmeros reales.

    El plano sobre el que se representan los nmeros complejos se llama plano complejo, y a sus ejes de coordenadas se les denomina eje real y eje imaginario, de acuerdo con la parte que estn representando. Normalmente, el eje real ser el hori-zontal (abscisas) y el eje imaginario ser el vertical (ordenadas).

    Fig. 6.1 Representacin del radio vector Ax + jy en el plano complejo

    11j

    j

    j

    jj

    2

    A x yj

    Apdos. 6.1.3 - 6.1.4

  • 230 Captulo 6 - Respuesta frecuencial de los componentes bsicos

    De este modo, un nmero complejo A x j y puede tener una interpretacin geomtrica semejante a un radio vector, sin ms que trazar una recta desde el origen de coordenadas hasta el punto en que queda representado el nmero en el plano complejo (fig. 6.1).

    Los puntos coincidentes sobre el eje real (y 0), sern nmeros reales puros y los coincidentes sobre el eje imaginario (x 0), sern nmeros imaginarios puros. Ambos pueden ser considerados como casos particulares de los nmeros complejos.

    Si hemos podido representar un nmero complejo en un sistema de coordenadas cartesianas, tambin podremos hacerlo en uno de coordenadas polares, y entonces el nmero complejo A x j y se escribir en su representacin polar como

    en donde

    a Mdulo o valor absoluto de A Argumento o ngulo

    El mdulo a puede ser tambin representado por ;A; (valor absoluto de A).

    La relacin entre las expresiones en ambos tipos de coordenadas es

    y, por tanto, puede escribirse

    cos

    sen

    x a

    y a

    con lo que otra posible forma de expresar un nmero complejo ser la representa-cin trigonomtrica, la cual se desprende de la figura 6.1:

    Y, por ltimo, tenemos la representacin exponencial

    A

  • 231

    A continuacin se expone la demostracin, que puede obviarse si se desea.

    En efecto, en la expresin trigonomtrica podemos hacer ( )a f A

    donde

    En el plano complejo, f () es la expresin de un punto situado sobre una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y de radio unidad o, lo que es lo mismo, representa un nmero complejo de mdulo 1 y ngulo , lo que en expresin polar sera f ( ) 1

  • 232 Captulo 6 - Respuesta frecuencial de los componentes bsicos

    de donde, transponiendo trminos, obtenemos la expresin

    je 1 0

    la cual rene exclusivamente los cinco nmeros ms importantes de las Matemticas. (El lector har bien si, de momento, no pretende encontrar el significado prctico de esta expresin).

    Recopilemos las cuatro formas de representar un nmero complejo A:

    Cartesiana Polar Trigonomtrica Exponencial

    x+ j y a

  • 233

    Operaciones con nmeros complejos

    Operar con nmeros complejos es semejante a operar con vectores, y, por tanto, se tienen las operaciones: Adicin

    Si los nmeros nos vienen dados en la forma exponencial o polar, podremos hallar la suma, expresndola en cualquiera de las formas, haciendo

    en las que debemos hallar el valor de a y el de haciendo

    en donde

    Ntese cmo la parte real del resultado es la suma de las partes reales de los sumandos, y lo mismo sucede con la parte imaginaria; esto es,

    La suma de dos nmeros conjugados es un nmero real. En efecto,

    A

    A

    1

    2

    x y

    x y

    1 1

    2 2

    j

    j

    A A A 1 2 ( ) ( )x x y y x y1 2 1 2j j

    A A A < <

    <

    1 2 a a a a

    a x y a a

    1 2 1 1 2 21 2e e

    e j j

    j j

    j

    (cos sen )

    a x y

    yx

    2 2

    tan-1

    x x x a a

    y y y a a

    1 2 1 1 2 2

    1 2 1 1 2 2

    cos cos

    sen sen

    Re Re Re

    Im Im Im

    1 2

    1 2

    A A A

    A A A

    Apdo. 6.1.4

  • 234 Captulo 6 - Respuesta frecuencial de los componentes bsicos

    que, segn vemos, carece de parte imaginaria Sustraccin

    Si los nmeros nos vienen dados en la forma exponencial o polar, remitirse a lo dicho en Adicin, pero, obviamente, teniendo en cuenta el cambio de signo donde corresponda.

    Ntese cmo la parte real del resultado es la diferencia de las partes reales de los

    sumandos, y lo mismo sucede con la parte imaginaria; esto es,

    Multiplicacin

    es decir,

    A

    A

    6

    x y a

    x y a

    j j

    j j

    (cos sen )

    (cos sen )

    A A 6 ( ) ( ) cosx x y y x aj 2 2

    A

    A

    A A A

    1

    2

    1 2

    x y

    x y

    x x y y x y

    1 1

    2 2

    1 2 1 2

    j

    j

    j j( ) ( )

    Re Re Re

    Im Im Im

    1 2

    1 2

    A A A

    A A A

    A

    A

    1

    2

    <

    <

    x y a a

    x y a a

    1 1 1

    2 2 2

    1

    2

    j e

    j e

    j

    j

    A A A

    <

    1 2 ( ) )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    x x y y x y y x

    a a a a

    1 2 1 2 1 2 1 2

    1 2 1 2 1 21 2

    j (

    e j

  • 235

    donde

    Ntese el producto de mdulos y la suma de ngulos. Por otra parte, al expresar el mdulo del resultado en dB, se tiene que el producto se convierte en suma

    o bien, si designamos con la letra g a los mdulos respectivos, expresados en dB (ganancias), y hacemos g 20 loga , g1 20 loga1 y g2 20 loga2, tendremos

    El producto de dos nmeros conjugados es un nmero real. En efecto

    o tambin

    Divisin

    es decir,

    donde

    A < a a e j

    a a a

    1 2

    1 2

    A A A A1 2 1 2dB dB dB

    g g g 1 2

    A A6 ( ) ( )x x y y x y y x x y aj 2 2 2

    A A6 < a a a a a( ) ( ) e j 2

    A AA

    1

    2

    x x y yx y

    y x x yx y

    aa

    aa

    1 2 1 2

    22

    22

    1 2 1 2

    22

    22

    1

    21 2

    1

    2

    1 2

    j

    e j( ) ( )

    A < a a e j

    Apdo. 6.1.4

  • 236 Captulo 6 - Respuesta frecuencial de los componentes bsicos

    Ntese el cociente de mdulos y la resta de ngulos. Y, por otra parte, al expre-sar el mdulo del resultado en dB, se tiene que la divisin se convierte en una resta

    o bien, designando con la letra g a los respectivos mdulos, expresados como ga-nancia en dB; esto es, g 20 loga , g120 loga1 y g2 20 loga2

    Inverso

    El valor inverso o recproco de un nmero es el resultado de dividir la unidad entre dicho nmero. Esto es igualmente vlido para nmeros complejos; por tanto, si tratamos la unidad real como

    el inverso de

    ser

    es decir, que el valor del mdulo es el inverso del mdulo original, y el ngulo es el mismo, pero cambiado de signo. Es til tener presente que

    2 2

    2 2

    1

    1

    xx y

    y

    x y

    Re

    Im

    A

    A

    a aa

    1

    2

    1 2

    AA

    A A12

    1 2dB dB dB

    g g g 1 2

    1 0 1 0 1 0 < j e j

    A < x y a aj e j

    1 1 12 2 2 2A

  • 237

    Al expresar el mdulo del resultado en dB, se tiene

    o bien, llamando g al mdulo de A y gi al del inverso 1/A, ambos expresados como ganancias en dB, y llamando y i a sus respectivos ngulos

    Potencias y races

    j

    1 j1 1 1

    e [(cos ( ) j sen ( )]

    e [cos ( ) j sen ( )]

    n n n nn

    n /n /n/n /n /n

    a a n a n n

    a a /n a /n /n

    <

    <

    A

    A A

    En general, hay que tener en cuenta que en nmeros complejos la adicin o sus-traccin al ngulo, de un mltiplo de 2% (360,), no modifica el nmero que estamos considerando; es decir, si k es un entero

    o bien

    lo que resulta ms evidente en la representacin trigonomtrica

    Logaritmo

    6.1.5 Vectores giratorios (fasores). Ondas senoidales

    Con lo que hemos visto, podemos afirmar que un nmero complejo de mdulo unitario podr expresarse como

    1 0A

    A AdB dB dB dB

    g gi i ;

    " #ln ln ln ln lnA a a ae e jj j

    ( 2 )a a k < <

    j j( 2 )e e k

    cos( 2 ) j sen( 2 )a k k

    Apdos. 6.1.4 - 6.1.5

  • 238 Captulo 6 - Respuesta frecuencial de los componentes bsicos

    je cos j sen (ecuacin de Euler)

    en la que es un nmero real, significando un ngulo expresado en radianes.

    Si ahora hacemos que este ngulo sea una funcin del tiempo, de la forma

    estando expresada en radianes /segundo, entonces tendremos

    la cual vemos que es una funcin exponencial compleja temporal, cuyas partes real e imaginaria son las funciones (temporales) coseno y seno, respectivamente

    lo que nos permite representar grficamente esta relacin, segn se muestra en la figura 6.2.

    Fig. 6.2 Representacin del vector ejt

    En todo momento, para cualquier valor de t, el valor de la funcin ejt podr ser representada sobre una circunferencia de radio unidad y con centro en el origen de coordenadas, pudindose trazar el vector unitario correspondiente. La parte real Re ejt cost es la proyeccin del vector sobre el eje real, y la parte imaginaria Im ejt sent es la proyeccin sobre el eje imaginario.

    t

    e jj t t t cos sen

    Re

    Im

    e

    e

    j

    j

    t

    t

    t

    t

    cos

    sen

  • 239

    Vemos, pues, que la funcin e jt representa un vector unitario que gira a la velocidad en sentido antihorario (conforme a la convencin trigonomtrica). Si es negativo, el sentido de giro es a derechas. La expresin aejt representa un vector giratorio de mdulo a. A este tipo de vectores giratorios se les llama fasores.

    Fig. 6.3 Suma de dos nmeros conjugados

    Vemoslo de la siguiente manera: supongamos que hacemos la composicin de dos vectores giratorios unitarios (vase la figura 6.3), tales que representen a dos nmeros complejos conjugados

    y

    Si sumamos miembro a miembro estas dos igualdades obtendremos

    de donde

    Ntese que los dos fasores giran a la misma velocidad, rad /seg, pero en sen-tido contrario.

    Vemos que:

    e j senj t t t cos

    e j sen-j t t t cos

    e ej -j t t t 2 cos

    " #cos t t t t 12 e e ej -j jRe

    Apdo. 6.1.5

  • 240 Captulo 6 - Respuesta frecuencial de los componentes bsicos

    La semisuma de los fasores que representan a dos nmeros conjugados, es equivalente a una funcin cosenoidal de amplitud igual a la del mdulo de los fasores.

    Y en consecuencia:

    La parte real del nmero que representa a un fasor, es equivalente a una funcin cosenoidal de amplitud igual al mdulo del fasor.

    Si consideramos un desfase en el ngulo, tenemos igualmente

    " #j ( ) -j ( ) j ( )12

    cos ( ) e e et t tt 9 9 9 9 Re

    Es decir, que acabamos de comprobar la estrecha relacin que existe entre las funciones exponenciales y las senoidales. Una funcin senoidal podr asociarse a un nmero complejo, que la representar. Tengamos en cuenta que siempre podremos hacer

    ( )sen cos /2t t %

    Esto nos permite realizar fcilmente la adicin de vectores giratorios. En efecto, consideremos las siguientes funciones cosenoidales, con la misma frecuencia, pero con diferente amplitud y ngulo

    y hallemos la funcin suma de las dos funciones

    Para ello escribiremos

    que tambin podemos escribir como

    Luego, puesto que la suma de las partes reales de dos nmeros complejos es igual a la parte real de la suma de los dos nmeros, tendremos

    f t f t f t( ) ( ) ( ) 1 2

    " # " #f t A At t( ) ) ) Re Re1 2e ej ( + j ( +1 2 9 9

    " # " #f t A At t( ) Re Re1 21 2e e e ej j j j 9 9

    1 11

    2 22

    ( ) cos ( )

    ( ) cos ( )

    f t A t

    f t A t

    9

    9

  • 241

    donde la cantidad dentro del parntesis es la suma de dos vectores fijos, de mdulo y ngulo diferentes, que darn como resultado un tercer vector, que podemos definir como

    y que deberemos resolver remitindonos a la suma de nmeros complejos, para ha-llar el valor de las constantes A y 9

    en donde

    con lo que, una vez halladas las dos constantes A y 9, tendremos

    que haremos corresponder con la funcin suma buscada

    6.2 Respuesta frecuencial

    Cuando un componente o sistema lineal estable es excitado con una seal de entrada del tipo senoidal, la seal de salida, una vez extinguido el transitorio inicial, tendr siempre la forma de una onda tambin senoidal y de la misma frecuencia. En general, la amplitud de la senoide de salida ser diferente de la de la entrada, y pre-sentar un desfase angular con relacin a la misma.

    Es decir, que para una entrada

    obtendramos una salida

    " # f t A A t( ) Re 1 2e e ej j j1 29 9

    A x y

    yx

    2 2

    9 tan-1

    x x x A A

    y y y A A

    1 2 1 2

    1 2 1 2

    1 2

    1 2

    cos cos

    sen sen

    9 9

    9 9

    " # " #f t A At t( ) ) Re Ree e ej j j (9 9

    f t A t( ) cos ( ) 9

    x A t 1 sen

    1 2j j j1 2e e eA A A9 9 9

    Apdos. 6.1.5 - 6.2

  • 242 Captulo 6 - Respuesta frecuencial de los componentes bsicos

    con lo que podemos establecer las siguientes identidades:

    2

    1

    :

    :

    AGanancia G

    A

    ngulo de fase =

    El signo del ngulo determinar si corresponde a un adelanto o a un retraso, segn sea positivo o negativo, respectivamente.

    Los valores de la ganancia G y del ngulo de fase = , dependern, para un de-terminado componente o sistema, de una funcin especfica de la frecuencia.

    Podemos pensar, por tanto, que para todo sistema excitado con una seal senoi-dal, existir una funcin de transferencia frecuencial o espectral (expresin de la respuesta frecuencial) que proporcione el valor de la ganancia G y del ngulo de fase =, en funcin de la frecuencia y de los parmetros del sistema. En principio, se precisarn dos funciones: una para la ganancia, G g (), y otra para el ngulo, = f ().

    Esto es, a cada frecuencia le corresponder una ganancia y un ngulo de fase,

    perfectamente definidos, aplicables a la seal senoidal de entrada.

    Sabemos que una seal senoidal queda definida por la frecuencia , la amplitud A y el ngulo de fase = , y que esta seal puede ser representada, en general, por el vector giratorio

    Por otra parte, vimos que en el producto de dos vectores los mdulos se multi-plican y los ngulos se suman. Es decir, puesto que la seal de entrada puede ser representada por

    y la de salida por

    entonces, la funcin de transferencia frecuencial debe poder representarse por un vector (especfico para cada frecuencia ), tal como

    A t1 e j

    A t2 e j( ) =

    G e j=

    2 sen( )y A t =

    j( )e tA =

  • 243

    cuyo mdulo sea la ganancia GA2 /A1 y el ngulo sea =, de tal manera que se cumplir

    es decir,

    o en notacin polar

    esto es,

    sin olvidar, segn se ha dicho, que G y = son funciones de .

    As pues:

    La funcin de transferencia frecuencial o espectral expresa, para cada frecuencia, una magnitud compleja (y, por tanto, asimilable a un vector), la cual queda definida por un mdulo y por un ngulo. El mdulo indica la ganancia o relacin entre las amplitudes de las senoides de salida y de entrada, y el ngulo indica el desfase angular entre las mismas.

    La notacin utilizada para las funciones frecuenciales es (j), como por ejem-

    plo G(j), por razones que se comprendern ms adelante.

    Esencialmente, la respuesta de frecuencia de un componente o de un sistema se obtendra excitando su entrada con una onda senoidal que, lenta y progresivamente, efectuase un barrido comprendiendo una banda de frecuencias de inters, ms o menos amplia. Para cada frecuencia, se ira anotando el mdulo (o la ganancia) y el ngulo de fase de la respuesta obtenida (seal de salida).

    Vemos que el concepto de respuesta de frecuencia coincide con el de funcin de transferencia frecuencial, por lo que ambos trminos se consideran equivalentes.

    Es preciso aclarar que la expresin frecuencia, usualmente se refiere a la pulsacin, tambin llamada frecuencia angular (expresada en rad /segundo o rad /minuto), y no a la verdadera frecuencia, que se expresara en ciclos /segundo (Hz) o bien en ciclos /minuto. La relacin entre ambas es bien sabida: 2 f.

    G AA

    AA

    t

    tee

    eej

    j

    jj=

    =

    =

    2

    1

    2

    1

    ( )

    22

    1 1

    ( ) AA tG

    A t A =

    = =

    < < Hacer nulos (neutros) los bloques (A/N por teclado) ejecutan este trabajo de manera automtica en todos los bloques. Tambin se consigue pulsando el botn [Bloques nulos] en el Diagrama de bloques. Se ver con detalle ms adelante.

  • 351

    Para la implantacin de un controlador P, es decir, slo proporcional, seleccio-naremos un Controlador P+D y daremos al parmetro Tiempo derivativo Td el valor 0, lo que anula la accin derivativa; de hecho, igualmente se podra lograr mediante un Controlador P+I+D, pero entonces la anulacin de la accin integral requiere dar al parmetro Tiempo integral Ti un valor infinito, lo que prcticamente se consigue introduciendo un valor muy grande, como por ejemplo 9999999. Para implantar un controlador P+I se seleccionar un Controlador P+I+D e igualmente se dar alTiempo derivativo Td un valor 0 (accin derivativa nula).

    A continuacin se propone un ejercicio prctico, que, no obstante, puede pospo-nerse hasta el momento en que vaya a realizarse la prctica n 8.2. Prctica n 8.1 Entrar en la opcin Control en lazo cerrado simple.

    En pantalla aparecer un grfico como el de la figura 8.1.

    Pulsar en el bloque [C-1], ya sea en la cabecera (ristra superior) o en el mismo diagrama de bloques, y obsrvense las tres opciones posibles de controlador.

    Mediante las teclas de cursor (flechas) o bien con el ratn, moverse entre dichas opciones y seleccionar el Controlador P+I+D, para lo cual se pulsar la tecla Intro cuando la opcin se halle marcada o haciendo doble clic sobre la misma o pulsando en el botn [Ver o modificar parmetros].

    Siguiendo las instrucciones del fondo de la pantalla, modificar algunos valores.

    Aceptar y comprobar las opciones disponibles para cada bloque, del mismo modo que se ha hecho con el bloque [C-1]. Se trata de practicar unos minutos. Si involuntariamente se cierra el Diagrama de bloques, se recupera con AltX.

    8.3 Simulacin y anlisis de sistemas controlados

    Mediante el programa ControlP vamos a estudiar diversas configuraciones de sistemas controlados, y nos introduciremos en diversos aspectos:

    Estudio terico de la Respuesta temporal, y su simulacin y verificacin con el ordenador.

    Anlisis del efecto producido debido a cambios en los parmetros de los componentes.

    Estudio del efecto de las diversas perturbaciones sobre la variable contro-lada, segn el punto de entrada al proceso.

    Apdos. 8.2 - 8.3 - Prct. 8.1

  • 352 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Estudios sobre la estabilidad del sistema, y la influencia que ejercen sobre la misma las acciones del controlador.

    Optimizacin de la regulacin de un sistema mediante el auxilio de la Res-puesta frecuencial.

    Prediccin de la respuesta temporal mediante el Anlisis frecuencial, tanto en lazo abierto como en lazo cerrado.

    Influencia sobre la estabilidad del sistema debida a cambios en los distin-tos parmetros de los componentes.

    Consecuencias de la inclusin de un retardo de tiempo en la medida. Consecuencias de la inclusin de un tiempo muerto en la medida. Efecto de la introduccin de un tiempo muerto en algn punto del lazo. Efectos de la no linealidad de algn componente.

    Normalmente trabajaremos con la totalidad de las variables tipificadas, esto es,

    adimensionales, y operando en el margen de 0...100%; aunque los algoritmos de clculo las manejan en el margen de 0...1. Segn ya se ha dicho, el ordenador opera internamente con 15 a 16 dgitos decimales significativos; si bien la introduccin de valores en pantalla puede contener un mximo de 7 caracteres numricos (el signo menos [-] y la coma [ , ] o el punto decimal [.] no consumen ningn carcter), lo que en todos los casos es ms que suficiente. Los parmetros de los componentes sern introducidos segn su valor real: los tiempos en minutos (las constantes de tiempo de los elementos retardo de tiempo, las acciones integral y derivativa de los controladores, los tiempos anticipativos, etc.). Se exceptan los tiempos muertos y en las perturbaciones los tiempos de Espera, que van en segundos, a efectos de poder especificarlos con comodidad y precisin. El factor de amortiguacin de los retardos de segundo orden es adimensional y, por tanto, no ofrece duda. Asimismo, las ganancias sern tratadas, en general, como magnitudes adimensionales, aunque ms adelante ya veremos que no siempre es as.

    En ejemplos avanzados consideraremos procesos reales con variables tecnol-gicas reales (caudal, presin, temperatura, nivel), para lo que tendremos que efectuar el necesario escalado y la normalizacin de dichas variables, con el fin de adaptarlas al ordenador. En el apndice 2 se exponen los fundamentos con relacin al escalado de procesos y a la normalizacin de variables para simulacin por ordenador. 8.3.1 Respuesta generalizada de un lazo con perturbacin

    Sea el diagrama de bloques mostrado en la figura 8.2. En la rama de avance se ha representado un nico bloque, de transmitancia G, el cual incluira las transmi-tancias del controlador, la vlvula y el proceso. En la rama de realimentacin se

  • 353

    encuentra un bloque, de transmitancia Gm, que representara la cadena de medicin de la variable controlada, incluido el sensor. Un tercer bloque, de transmitancia Gu , representa la transmitancia debida a una perturbacin o cambio de carga en el pro-ceso. Las variables de entrada C y U representan el punto de consigna y la variable perturbadora, respectivamente. M es la seal de medida. La variable de salida Y es la variable controlada.

    La seal de salida del bloque perturbacin se suma o se resta a la de la salida del bloque G, en el sumatorio, segn que el tipo de perturbacin sea aditiva o sustrac-tiva, respectivamente. Es decir, que un aumento en la variable perturbadora puede producir un aumento o una disminucin de la variable controlada, dependiendo del tipo de perturbacin. Por ejemplo, si en un control de nivel de un tanque la variable perturbadora es un caudal de lquido de aporte, entonces cuando dicho caudal au-mente, el nivel del tanque tender a subir; pero si el caudal es de extraccin, enton-ces el nivel tender a bajar. En el primer caso tendramos una perturbacin aditiva y en el segundo una sustractiva.

    Fig. 8.2 Generalizacin de un proceso controlado sometido a una perturbacin

    Dependiendo de si la perturbacin es aditiva o sustractiva, el signo en el suma-torio debe ser asimismo positivo o negativo. En el programa ControlP se prev que las perturbaciones sean de tipo aditivo (signo positivo en el sumatorio); sin embargo, para simular perturbaciones sustractivas no hay ms que dar signo negativo al par-metro Ganancia del componente Perturbacin.

    Vamos a deducir la expresin general de la respuesta temporal, debida tanto a cambios del punto de consigna como a cambios en la variable perturbadora.

    Con relacin a la figura 8.2, podemos establecer las siguientes ecuaciones:

    Apdos. 8.3 - 8.3.1

  • 354 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    que combinadas dan

    en la que distinguimos claramente la componente debida al punto de consigna y la debida a la perturbacin. Ntese cmo en ambos casos el denominador es el mismo, por lo que podramos expresarla como

    en donde en los trminos contenidos entre parntesis se destaca la ganancia directa aplicada a cada una de las seales, y en el segundo trmino se muestra el efecto de la realimentacin negativa, comn a ambas seales.

    Si consideramos solamente la respuesta debida a los cambios de consigna pode-mos escribir

    y si consideramos la respuesta debida a los cambios de carga o perturbacin

    Vamos a generalizar esta metodologa para el caso general en que la rama de avance contiene varios bloques, tales como el controlador, la vlvula y el proceso. A su vez, ser necesario, en muchos casos, descomponer ste ltimo en varios bloques elementales. Asimismo, cada uno de estos bloques puede contener su propia pertur-bacin.

    En la figura 8.3 se muestra un diagrama de bloques en el que se han representa-do los bloques controlador, vlvula y proceso (ste ltimo descompuesto en dos blo-ques), con sus perturbaciones. Se muestra tambin el bloque medidor.

    :

    :

    C M

    Y G U G

    M Y G

    u

    m

    Y C GG G

    U GG Gm

    u

    m

    1 1

    Y C GG Gm

    1

    Y U GG G

    u

    m

    1

    " # 11

    um

    Y GC G UG G

  • 355

    Fig. 8.3 Diagrama de bloques generalizado del control de un proceso con perturbaciones

    Ahora, haciendo G GcGvG1G2, esto es, el producto de las transmitancias de la rama de avance, podremos escribir la expresin de la respuesta en funcin de cada una de las tres variables de entrada, es decir, del punto de consigna y de las perturbaciones

    Ntese especialmente la diferencia entre los numeradores de los diversos trmi-nos, correspondientes al punto de consigna y a cada perturbacin.

    As pues, la transmitancia para cada una de las seales de entrada con relacin a la salida se obtendr haciendo nulas las dems, esto es: Para el punto de consigna C:

    Para la perturbacin Uv:

    Para la perturbacin U1:

    m

    u

    m

    u

    m

    vuv

    m GGGU

    GGGGU

    GGGGGU

    GGGCY

    11112

    221

    121

    YC

    GG Gm

    1

    1 2

    1uv

    v m

    G G GYU GG

    1 2

    1 1u

    m

    G GYU G G

    Apdo. 8.3.1

  • 356 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Para la perturbacin U2:

    Si suponemos que los dos bloques perturbacin, U1 y U2, dibujados en la figura 8.3, representan las dos maneras posibles de introducir una misma perturbacin o cambio de carga en un diagrama de bloques, tal como se describi en el apartado 7.9 (fig. 7.18, pg. 345), entonces se tendra que U1U2 (variable perturbadora) y, adems, debera cumplirse que Gu1 Gu2 / G2, con lo que, como era de esperar, las dos transmitancias en cuestin (Y/U1 e Y/U2) resultaran idnticas.

    Estas ecuaciones nos servirn como punto de partida para la resolucin particu-lar de cualquier sistema controlado, sin ms que sustituir las expresiones particulares que se tengan de cada una de las transmitancias de los bloques.

    No obstante, vamos a indicar un mtodo muy cmodo y elegante para la deduc-cin de la funcin de transferencia, cualquiera que sea la seal de entrada a conside-rar. Este mtodo no es ms que una consecuencia de la aplicacin de la denominada regla de Mason, la cual determina la transmitancia entre dos puntos cualesquiera de un sistema. En el apndice 4 se expone la regla de Mason con suficiente detalle y con diversos ejemplos de aplicacin. Generalizacin de las funciones de transferencia en lazo cerrado

    Una tcnica muy sencilla para deducir fcilmente la funcin de transferencia, con relacin a la variable controlada, para cada una de las entradas (punto de consig-na o perturbaciones), en un lazo realimentado (fig. 8.3), viene dada por las siguien-tes dos reglas:

    1. El denominador de la funcin de transferencia, para cualquier entrada, es

    siempre el mismo y viene dado por la expresin: 1 producto de todas las transmitancias del lazo

    es decir,

    que, como puede observarse, no incluye las transmitancias de los bloques no contenidos en el circuito que forma el lazo cerrado (perturbaciones).

    YU

    GG G

    u

    m2

    2

    1

    1 21 c v mG G G G G

  • 357

    2. El numerador de una funcin de transferencia es igual al producto de las transmitancias de los bloques comprendidos en el camino directo, desde la entrada que se est considerando hasta la variable controlada de salida. El paso, con signo negativo, por un sumador produce un cambio de signo en el producto.

    As, en el ejemplo de la figura 8.3 se tienen los siguientes numeradores:

    Para el punto de consigna C:

    Para la seal de perturbacin Uv:

    Para la seal de perturbacin U1:

    Y para la seal de perturbacin U2:

    En cada perturbacin se habr tenido en cuenta el signo que corresponda, segn sea aditiva o sustractiva.

    8.3.2 Control proporcional de un proceso retardo de primer orden

    Supondremos el sencillo caso en el que el proceso consta exclusivamente de un bloque retardo de primer orden y que va ha ser regulado por un controlador P. Tanto la vlvula como el medidor sern elementos del tipo ganancia, con K1, lo que significa que la seal de salida es igual a la de entrada. Se asumir un bloque perturbacin el cual introducir su seal perturbadora, ya sea delante o detrs del bloque proceso. El correspondiente diagrama de bloques se muestra en figura 8.4.

    De acuerdo con lo dicho en los apartados 7.9 (fig. 7.18, pg. 345) y 8.3.1 (pg. 352), los efectos debidos a una misma perturbacin entrando por U1 o por U2 son iguales entre s, si se cumple que

    G G G Gc v 1 2

    G G Guv 1 2

    G Gu1 2

    Gu2

    K KKu

    u

    p1

    2

    Apdos. 8.3.1 - 8.3.2

  • 358 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    ya que fsicamente significan el mismo fenmeno, expresado segn dos modelos diferentes, con resultados idnticos; es decir, que puede afirmarse que ambos mode-los son equivalentes.

    Fig. 8.4 Control proporcional de un proceso retardo de primer orden sometido a perturbaciones

    Respuesta frente a cambios en el punto de consigna

    Veamos en primer lugar la respuesta temporal del sistema frente a un cambio del punto de consigna en escaln, y sin perturbacin alguna.

    La transmitancia la obtendremos haciendo las debidas sustituciones en las fr-mulas dadas en el apartado anterior, 8.3.1, y asumiendo que U1 U2 0 (sin per-turbaciones), con lo que resultar

    en donde si hacemos K Kc Kp (ganancia esttica de la rama de avance) y utiliza-mos el factor K1 para reducir la expresin a una de las formas ms comunes, nos queda la funcin de transferencia

    YC

    KK

    T s

    K KT s

    K KT s K K

    cp

    cp

    c p

    c p

    1

    11

    1

    YC

    KK T s

    K

    KK T s

    1

    1

    11

    11

    1

  • 359

    en la que hemos definido una nueva constante de tiempo T', a la que llamaremos

    Constante de tiempo efectiva: 1

    TT'K

    Observamos que la transmitancia del sistema se corresponde con la de un ele-mento retardo de primer orden (como lo es el proceso), pero con una constante de tiempo menor, T'T, y con un factor asociado K / (K1) 1.

    La ecuacin de la respuesta a una entrada en escaln la obtendremos sustitu-yendo a C (punto de consigna) por su expresin laplaciana; esto es, puesto que se trata de un escaln, al que asignaremos una amplitud A, tendremos CA/s y, por tanto

    de donde la respuesta temporal se obtendr directamente de las tablas

    que sabemos corresponde a una curva tpica de crecimiento exponencial, similar a la respuesta al escaln de un retardo de primer orden, pero con las siguientes pecu-liaridades: la amplitud A del escaln de entrada se encuentra ahora multiplicada por el factor K / (K1) 1 y, asimismo, la constante de tiempo T lo ha sido por el factor 1/(K1) 1, quedando en T', que segn hemos dicho es la constante de tiempo efectiva. El valor final alcanzado es, para t ,

    por tanto, no alcanza nunca el valor del escaln de entrada; es decir, que se tiene un error o desviacin permanente, p, cuyo valor es

    la cual vemos que es tanto menor cuanto mayor sea la ganancia K. Esto significa que el sistema, al estar controlado, mejora su velocidad de respuesta (la constante de tiempo efectiva se hace ms pequea), pero a costa de presentar una desviacin per-manente.

    Y AsK

    K T s

    11

    1

    " #y A KK t T 1 1 e-

    ( )1

    Ky A AK

    1( )1 1

    pKA y A A A

    K K:

    Apdo. 8.3.2

  • 360 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Ntese, una vez ms, que estamos considerando solamente las variaciones de las variables en torno al punto de reposo. El verdadero valor de salida se hallara sumando el valor calculado al valor que se tena antes de aplicar el escaln (condi-ciones iniciales).

    La figura 8.5 muestra diversas curvas de respuesta, en funcin de distintos valo-res de K, de un sistema con una constante de tiempo T. Las grficas han sido tipifi-cadas con relacin al escaln de entrada A y a la constante de tiempo T. Recurdese que, en todo momento, la informacin del verdadero valor de salida lo obtendramos multiplicando el valor ledo por A y el valor ledo del tiempo por T.

    Fig. 8.5 Respuesta tipificada de un sistema formado por un retardo de primer orden y un controlador P, frente a un cambio en escaln del punto de consigna

    Puede observarse que a medida que K se hace mayor, la desviacin permanente y la constante de tiempo efectiva son cada vez menores. As por ejemplo, para K 4, la desviacin permanente p (tipificada) vale 1/ (41) 0,2; es decir, que el valor final alcanzado es de 1 0,2 0,8; mientras que la constante de tiempo efectiva se ha hecho de T' T/ (41) T/ 5 (es decir, K15 veces menor), que al tipificarla queda en T'/ T 1 / 5 0,2.

    La respuesta vemos que es siempre estable, independientemente del valor de los parmetros, lo que corroboraremos en el ejercicio prctico que sigue a continuacin, por mediacin de la respuesta frecuencial. Puede sorprender la conclusin de que con una ganancia del controlador tan grande como se quiera, el sistema sea estable; pero debe tenerse en cuenta que un

  • 361

    proceso real difcilmente estar compuesto por un solo retardo de tiempo. En gene-ral, existirn pequeos retardos de tiempo y tiempos muertos (por muy pequeos que sean) distribuidos en todos sus componentes, que harn que el sistema sea inestable a partir de cierto valor de la ganancia, segn veremos ms adelante.

    Nota importante

    El lector notar que en las prcticas de ordenador que realizaremos a partir de ahora, se introducen saltos del punto de consigna y de los cambios de carga o perturbaciones notablemente grandes, incluso hasta del 100%. Asimismo, en muchas ocasiones, la seal de salida del controlador u otras variables adoptan valores negativos o realizan excursiones fuera de los mrgenes de trabajo. Con ello se facilita la visualizacin del efecto de dichos cambios en la respuesta temporal. Tngase presente que, dado que en general operamos con elementos lineales, existir una proporcionalidad entre estmulo y respuesta. As por ejem-plo, supongamos que en un proceso real, estabilizado en el punto de consigna del 60%, efectuamos un cambio del mismo al 65% y estamos interesados en analizar el efecto exacto que produce este cambio. Podemos hacer la simulacin dando una consigna inicial del 0% y cambiarla al 100%. El transitorio obtenido mostrar una amplitud 20 veces superior al real, ya que (100-0) / (65-60) 20, con lo que la respuesta real se obtendra sumando al valor de la consigna inicial (60%), los valores mostrados por el transitorio divididos por 20. De aqu que, adems de las razones didcticas que se exponen en otra parte de este texto, carezca de importancia el hecho de que ciertas variables adopten, en determina-dos momentos y circunstancias, valores fuera de escala.

    Prctica n 8.2

    Se habr realizado la prctica n 8.1 (pg. 351). Entrar en la opcin Control de un lazo cerrado simple. Pulsar el botn [Bloques nulos] y a continuacin [Ver todos], a efectos de obser-

    var la configuracin vigente y los valores de los parmetros. Ntese que tanto la configuracin como los bloques son lo ms sencillos o neutros posible.

    Pulsar el botn [Editar] y pulsar el bloque [C-1], ya sea en lazo del diagrama de bloques o en la cabecera del mismo. Seleccionar el Controlador P+D. Entrar a modificar sus parmetros e introducir los siguientes valores:

    Ganancia G 1 Tiempo derivativo Td 0 Consigna C 70 Consigna anterior Ca 20 (consigna anterior para t0)

    Apdo. 8.3.2 - Prct. 8.2

  • 362 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Notas sobre configuracin de componentes en el programa ControlP

    A partir de ahora, las instrucciones relativas a la asignacin de un tipo de componente dentro de un elemento (bloque) y la correspondiente edicin de sus parmetros, tal como la que se acaba de hacer, se expresar del siguiente modo, el cual tomamos como ejemplo:

    C-1P+D; G 1 / Td 0 / C 70 / Ca 20

    A los parmetros Be y Bs, de los bloques Proceso, se les fijar siempre el

    valor 0 (valor por defecto), salvo que se indique otra cosa.

    Los bloques que no se mencionen habrn sido hechos nulos, segn lo dicho en el apartado 8.2, pg. 350 (con teclado usar la opcin A/N o con ratn el men Misceln/Hacer nulos..., o bien [Bloques nulos] sobre el diagrama).

    Introducir:

    P-1Retardo de primer orden; T 2 / K 1 / Be 0 / Bs 0 Entrar en Cambios/Duracin, e introducir:

    Duracin 5 Entrar en Cambios/Lmites e introducir los siguientes mrgenes para las escalas

    frecuenciales: Escala de ganancia : 0 0 2; -6 0 +6 Escala de ngulos : -90 0 +90 Frecuencia inicial : 0,001; -3 Freuencia final : 100; +2

    Pulsar C/M, es decir, Cambios/Modos, y en la ventana de la derecha seleccionar la opcin:

    Medida Ejecutar la grfica para Respuesta temporal.

    Comprobar que la desviacin permanente vale pA / (K1) 50 / 225 y que

    debe medirse hasta el punto donde la tangente a la curva en el origen corta a la asntota del valor final y no a la lnea del punto de consigna). Ntese que el valor de la variable controlada o salida del proceso coincide con la medida, puesto que el dispositivo de medicin no introduce modificacin alguna en la seal. Repetir sucesivamente la grfica, fijando en el Controlador los siguientes valo-

    res del parmetro Ganancia G: 2; 4 y 9.

    Ntese cmo la constante de tiempo efectiva ha ido disminuyendo desde 1 a 2 / 3, 2 / 5 y 2 /10 de mn., respectivamente, de acuerdo con la ecuacin T' T/ (K1). Otro tanto sucede con la desviacin permanente. Los valores finales alcanzados valen AK / (K1) ms el valor inicial (Ca); esto es:

    la constante de tiempo efectiva es de T/ (K1)2 /2 tngase en cuenta que sta 1 (

  • 363

    Para K1: y ()205011/ 2 45%; (p25%) Para K2: y ()205012 / 3 53,3%; (p16,7%)

    Para K4: y ()205014 / 5 60%; (p10%) Para K9: y ()205019/ 10 65%; (p5%)

    cada vez ms prximos al punto de consigna del 70%. Introducir nuevamente el valor 1 para la Ganancia del Controlador. Ejecutar la grfica para el Diagrama de Nyquist de la Respuesta frecuencial.

    Asegurarse de que la respuesta corresponde a Lazo abierto (queda indicado en la parte superior derecha de la pantalla); en caso contrario, acceder a Cambios/Modos y seleccionar dicha opcin.

    Repetir la grfica asignando valores crecientes a la Ganancia del Controlador.

    Observar que la estabilidad del sistema queda siempre asegurada, puesto que por muy grande que se haga la ganancia global del lazo, la curva siempre queda a la de-recha del punto [-1; 0]; es decir, que siempre se dispone de un margen de ganancia, que en este caso es infinito, y de cierto margen de fase. Si se desea ver la curva com-pleta, cmbiese la escala de ganancias por otra ms amplia. Nota: Si se ejecuta la respuesta temporal con valores muy grandes de ganancia, es

    posible que en pantalla se muestre un mensaje de error debido a que se re-basan los lmites de trabajo de ciertas variables (recurdese que se permite una excursin de hasta 10 veces el margen de operacin nominal). Para ms detalles, vase en el Anexo 1, Gua de manejo del programa, el apartado 6, Control de errores (pg. 599). No obstante, ser posible obtener la res-puesta disminuyendo drsticamente la diferencia C-Ca; esto es, operando con saltos muy pequeos del punto de consigna.

    Sera interesante que el lector comprobase que las respuestas temporales obte-

    nidas se corresponden con las de un elemento retardo de primer orden, para lo cual deber hacer lo siguiente:

    1. Pulsar C/U (Cambios/Muestreo), elegir una Frecuencia de muestreo de 16 muestras /segundo (para tener buena precisin) y obtener en pantalla las cuatro respuestas temporales con la ganancia del Controlador de 1; 2; 4 y 9. Salir al MEN GENERAL y entrar en Componentes bsicos, Retardo de primer orden.

    2. En la opcin Cambios/Constantes asignar:

    Valor inicial 20 Duracin 5

    Apdo. 8.3.2 - Prct. 8.2

  • 364 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    3. Asignar sucesivamente, para los valores de K1; 2; 4 y 9, una Constante de tiempo (en este caso efectiva) al elemento, de acuerdo con la ecuacin

    esto es, T'1; 0,6666667; 0,4 y 0,2, a la vez que se fija, en cada caso, el valor Escaln de acuerdo con la expresin

    esto es, 25; 33,33333; 40 y 45, y ejecutar la Respuesta temporal al Escaln para cada caso (no borrar; mantener las cuatro en pantalla).

    4. Mediante la repeticin de la opcin Misceln /Anterior (pulsar repetida-mente la tecla A) podr hacerse la comparacin de esta pantalla con la que se tena como respuesta del lazo.

    Nota importante

    El lector habr notado que el salto en el punto de consigna, pasando del valor Ca (consigna anterior) al valor C (consigna actual), se produce justamente en el tiempo t0. Deber tenerse en cuenta a partir de ahora que el programa genera la respuesta temporal de un sistema controlado, asumiendo que ste se halla estabilizado y en condiciones iniciales de equilibrio, desde tiempos negativos hasta el momento t0, justo hasta el instante anterior en que se produce el salto del punto de consigna. Por lo tanto, en esta situacin se tiene una desviacin nula, y todo ello independientemente del grado de estabilidad del sistema y del tipo de controlador. Esto significa que, tanto la posicin inicial de la vlvula (salida del controlador), como el resto de las variables del sistema, son calcu-ladas por el ordenador para que se satisfagan las condiciones de equilibrio, respetando la relacin entre las variables de entrada y salida de los bloques, impuesta por las transmitancias de los mismos. Se trata de un problema de determinacin de condiciones iniciales, partiendo de unos valores del punto de consigna y de la medida iguales a Ca, cuya solucin es nica. Ello es factible gracias a la posibilidad que presenta un controlador de poder entregar un valor de salida cualquiera con una seal de error nula (vase, en el apartado 4.2.12.a, Controlador proporcional, Reajuste manual, alineacin, en la pg. 139 y sigtes., y en el 4.2.12.c, Controlador proporcional-integral, Accin integral, reajuste automtico, en la pg. 147 y sigtes.).

    Dependiendo del conjunto de valores de los parmetros fijados en los bloques, cabe en lo posible que para satisfacer las condiciones tericas de equilibrio ini-

    2 ( 1; 2 ; 4 y 9 ; 2)1 1

    TT' K TK K

    50 ( 1; 2 ; 4 y 9 )1

    K KK

  • 365

    cial, sea preciso que alguna de las variables adopte un valor fuera de mrgenes (valores negativos o mayores del 100%). En estos supuestos el programa mos-trar una tabla indicando de qu variables se trata, y si el rebasamiento de mr-genes es por alto o por bajo. No obstante, ello no impedir la presentacin de la respuesta, despus de haber elegido, entre las opciones que se ofrecen: modi-ficar valores o proseguir a pesar de la supuesta anomala.

    Respuesta frente a perturbaciones

    Ahora supondremos que se introduce un cambio de carga o perturbacin despus del bloque proceso; es decir, haremos que, en un momento determinado, estando el sistema estabilizado, la seal U2 de las figuras 8.3 y 8.4 adopte un cambio en esca-ln. Recordemos que se obtendran los mismos resultados si esta perturbacin fuese introducida por U1, habiendo configurado debidamente los parmetros de dicho bloque perturbacin.

    De la ecuacin general de la respuesta tomamos el trmino correspondiente a la perturbacin U2 y obtenemos:

    de donde, haciendo K Kc Kp y T' T / (K1), obtenemos

    y de aqu, al igual que hemos hecho en otras ocasiones, sustituiremos la expresin laplaciana de U2 por su valor A/s (entrada en escaln de amplitud A), con lo que obtendremos finalmente

    cuya expresin temporal, obtenida de las tablas, es

    " #2 -1 e1u t T 'A Ky

    K

    2

    22 2

    1

    11

    1

    u

    u

    p c pc

    KKT sY U U

    K T s K KK

    T s

    22

    11 1

    uKY UK T' s

    2 11 ( 1)uA KY

    K s T' s

    Apdo. 8.3.2 - Prct. 8.2

  • 366 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Comprese con la expresin obtenida para el caso de cambio en el punto de consigna. Se observar que la respuesta es del mismo tipo, pero con la diferencia de que la amplitud del escaln ha quedado multiplicada por la ganancia esttica Ku2 del bloque perturbacin, en vez de la ganancia K de la rama de avance; no obstante, en ambos casos queda dividida por el factor K1. Ntese que la constante de tiempo efectiva sigue siendo la misma; esto es, T' T/ (K1), consecuencia de que el deno-minador de las transmitancias, para las distintas entradas, es siempre el mismo.

    As pues, el valor final alcanzado por la variable controlada ser

    expresin que debemos entender del siguiente modo: Este valor final es precisamente la desviacin permanente causada por el cam-

    bio de carga; esto es, p y (). El efecto multiplicativo de la ganancia esttica Ku2, viene disminuido por el

    factor K1, lo que no sucedera si no existiese regulacin (o bien cuando se tiene K 0 ), en cuyo caso la desviacin permanente sera de AKu2.

    Cuanto mayor sea la ganancia del controlador, menor ser la desviacin perma-nente. En el lmite, para K , la desviacin sera nula.

    Queda patente la ventaja de la regulacin: acelera la velocidad de la respuesta, al

    disminuir la constante de tiempo efectiva, y reduce la desviacin permanente que causaran las perturbaciones; si bien, en principio, el precio ha sido la desviacin permanente que se origina con los cambios del punto de consigna, lo que no sucede-ra sin regulacin. Prctica n 8.3

    Efectuar la misma configuracin que en el ejemplo anterior, 8.2 (pg. 361), siguiendo los mismos pasos, hasta llegar a ejecutar la Respuesta temporal, inclusive. Modificar:

    C-1 : Consigna C 20 (igual a Ca) Asignar:

    U-1Retardo primer orden; T2 / K1 / U50 / Ua 0 / Espera15

    Con ello hemos hecho nulo el cambio de punto de consigna, al igualar la actual con la anterior. Asimismo, hemos asignado un bloque perturbacin con un salto de la

    2( )1

    uKy AK

  • 367

    variable perturbadora del 50%, de igual magnitud que el que se haca con el punto de consigna (70- 20), y que actuar a los 15 segundos. La ganancia esttica es igual a la del proceso, y el bloque es del mismo tipo, con la misma constante de tiempo. Ejecutar la Respuesta temporal.

    Notar que la grfica de respuesta de la variable controlada, debida a la perturba-cin, es idntica a la originada por el cambio de punto de consigna, aunque desplaza-da en 15 segundos. (Si el lector ejecuta la grfica en alguno de los modos que mues-tran la salida del controlador, har caso omiso al hecho de que sta adopte valores negativos. Con escalones ms moderados ello no sucedera, pero sera ms difcil la apreciacin de las respuestas. Es obvio que en la prctica la vlvula no puede ir ms all del cierre total, lo que en teora podra interpretarse como caudal negativo). Modificar:

    C-1 : Ganancia G 3 Ejecutar la grfica.

    Notar que la desviacin permanente vale ahora

    Modificar: U-1 : K 2

    Ejecutar la grfica.

    Notar que la desviacin permanente ha sido doblada, con relacin a la anterior, debido al efecto multiplicativo de la ganancia esttica Ku2 del bloque perturbacin.

    Efectuar otros ensayos (borrar la pantalla si es preciso), verificando claramente que el factor Ku2 / (K1) es aplicado al escaln A de la perturbacin, para dar el valor de la desviacin permanente. 8.3.3 Control proporcional de un proceso

    formado por dos retardos de primer orden

    La figura 8.6 muestra un diagrama de bloques de un lazo compuesto por dos retardos de primer orden, y que va a ser regulado por un controlador proporcional. Se han omitido los bloques vlvula y medidor, a los que se les atribuye una ganancia unitaria, y se ha incluido un posible cambio de carga o perturbacin en cada uno de los bloques del proceso.

    2 50 1 12,51 3 1u

    pA KK

    : 1

    Apdos. 8.3.2 - 8.3.3 - Prct. 8.3

  • 368 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Fig. 8.6 Control proporcional de un proceso compuesto por dos retardos de primer orden sometidos a perturbaciones

    Respuesta frente a cambios en el punto de consigna

    En primer lugar veremos la respuesta temporal del sistema frente a un cambio en escaln del punto de consigna y sin que acte perturbacin alguna.

    De acuerdo con las reglas dadas ms atrs la transmitancia correspondiente al punto de consigna ser

    de donde, haciendo KKcK1K2 (ganancia esttica de la rama de avance) y tomando el factor K1 para dar al denominador la forma usual, obtendremos

    y de aqu, haciendo

    YC

    K K KT s T s

    K K KT s T s

    c

    c

    1 2

    1 2

    1 2

    1 2

    1 1

    11 1

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    YC

    KK T T

    Ks T T

    Ks

    11

    1 111 2 2 1 2

    T T TK

    T TT T K

    1 2

    1 2

    1 2

    1

    2

    1

    1

  • 369

    obtenemos finalmente la forma de ecuacin ms usual, correspondiente a un sistema de segundo orden

    la cual, segn podemos ver en las tablas de transformadas de Laplace, observamos que corresponde a la transmitancia de un retardo de segundo orden; en este caso formado por dos elementos retardo de primer orden en serie, pero afectada por una ganancia K / (K1) 1. Asimismo, tanto la constante de tiempo T, como el factor de amortiguacin , se ven multiplicados por el factor 1/ (K1)1/2 1, precisamente debido al efecto de la regulacin.

    Es evidente que esta ecuacin es igualmente vlida para un proceso formado por un retardo de segundo orden. En efecto, efectuando un clculo similar al anterior para un proceso cuya transmitancia sea

    entonces obtendramos

    en la que tenemos la ganancia esttica de la rama de avance

    as como una constante de tiempo efectiva y un factor de amortiguacin efectivo

    Si en la ecuacin genrica de la respuesta que hemos hallado, sustituimos a C por la expresin de un escaln de amplitud A, esto es A/s, tendremos la expresin laplaciana de la respuesta buscada

    Y C KK T s T s

    1

    12 12 2

    GK

    T s Tsp

    2 2 2 1

    Y C KK T s T s

    1

    12 12 2

    K K Kc p

    T TK

    K

    1

    1

    1

    1

    Y A KK s T s T s

    1

    12 12 2( )

    Apdo. 8.3.3

  • 370 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    La respuesta temporal la obtendremos directamente de las tablas de transfor-madas de Laplace, la cual, segn caba esperar, vemos que corresponde a la respues-ta al escaln de un retardo de segundo orden.

    La forma de la respuesta depende del factor de amortiguacin y, en definitiva, de los valores de T1, T2 y K. Tngase en cuenta que las ecuaciones halladas en las tablas deben multiplicarse por el factor AK / (K1), por lo que puede ser convenien-te tipificarlas.

    Vemos que en todos los casos (con 1, 1 o 1) todava se trata de un sistema estable, independientemente de los valores de los parmetros K, T1 y T2. Sin embargo, cuando 1 aparecen oscilaciones amortiguadas. Ntese que si no exis-tiese regulacin, el factor de amortiguacin sera siempre '1; pero con regulacin es posible hacer 1. Podemos decir, en principio, que la regulacin tiende a la inestabilidad, pero, en este caso, sin alcanzarla. Obsrvese que aun siendo diferentes las dos constantes de tiempo T1 y T2, al intercambiar el orden en el que estn situa-das en el lazo, no cambia la respuesta. Ntese que si T1 T2 entonces

    por lo que la respuesta presentar, segn se ha dicho, oscilaciones amortiguadas.

    Fig. 8.7 Respuesta al cambio de consigna en escaln de un control proporcional de un proceso formado por dos retardos de tiempo de primer orden

    11

    1K

  • 371

    El valor final alcanzado lo obtendremos con facilidad aplicando a la funcin laplaciana de la respuesta el teorema del valor final, esto es,

    Como sucede con todo control proporcional, presenta una desviacin perma-nente, cuyo valor es

    La figura 8.7 muestra diversas respuestas temporales de este tipo para diferentes combinaciones de K, T1 y T2, y para un salto de consigna en escaln de 0 al 50%. Prctica n 8.4 Entrar en la opcin Control de un lazo cerrado simple (Diagrama de bloques). Pulsar el botn [Bloques nulos]. (Habr quedado marcada la opcin P+D del bloque [C-1]). Preparar la siguiente configuracin:

    C-1P+D; G1 / Td0 / C50 / Ca0 P-1Retardo de primer orden; T0,5 / K1 P-2Retardo de primer orden; T0,1 / K1

    Aceptar.

    Pulsar C/D, es decir, Cambios/Duracin, e introducir: Duracin 3

    Seleccionar: Escala de ganancia : 002; 60+6 Escala de ngulos : 180 0 +180 Frecuencia inicial : 0,1; 1 Frecuencia final : 100; +2

    Pulsar C/M, es decir, Cambios/Modo, y seleccionar: Medida

    Ejecutar la grfica para Respuesta temporal.

    Verificar que la desviacin permanente vale pA/ (K1)50/ 225. Modificar:

    P-1 : T1 P-2 : T0,25

    1( )1 1

    pKA y A A A

    K K:

    0( ) lim ( )

    1sKy s Y s A A

    K

    Apdo. 8.3.3 - Prct. 8.4

  • 372 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Comprobar que la respuesta temporal converge hacia el mismo valor que se tena antes, lo que prueba que la desviacin permanente es independiente del valor de las constantes de tiempo T1 y T2.

    Repetir la grfica asignando a la Ganancia del controlador los siguientes valo-res: 2; 4 y 15.

    Verificar en cada caso el valor de la desviacin permanente.

    Reasignar a la Ganancia del controlador el valor 1 y ejecutar el diagrama de Nyquist. Repetirlo con valores crecientes de dicha ganancia y comprobar que por grande que sea sta, la grfica nunca pasa por la izquierda del punto [-1; 0], lo que demuestra que el sistema siempre es estable. Lo mismo sucede cuales-quiera que sean los valores de las constantes de tiempo.

    Pulsar C/M y seleccionar En lazo cerrado. Asignar sucesivamente los valores de Ganancia del controlador: 1; 2; 4; 9 y 18;

    ejecutando en cada caso el Diagrama Real de la respuesta frecuencial. Ejecutar la respuesta temporal correspondiente a los valores de ganancia antes

    citados y en el mismo orden (1; 2; 4; 9 y 18).

    Pulsando repetidamente la tecla A (opcin Misceln/Anterior), obsrvese, de acuerdo con lo dicho en el apartado 7.8, pg. 341, que el valor del mdulo para bajas frecuencias de la respuesta frecuencial se corresponde con la desviacin permanente de la respuesta temporal. Asimismo, se observar cmo a partir de una ganancia igual a 2 se muestra un pico de resonancia Mr (ver figura 7.16), indicativo de un sobreimpulso en la respuesta temporal. La frecuencia de las oscilaciones es igual a la frecuencia de resonancia r. Recurdese que

    (2)f /

    Para una ganancia igual a 2 tenemos:

    7217,012

    125,012

    25,01

    11

    2 21

    21 1

    KTT

    TT

    Para averiguar cul es la ganancia correspondiente a * > (amortiguamiento crtico) haremos

    11

    12 21

    21

    KTT

    TT

    de donde despejando K se obtiene

  • 373

    2 2

    1 2

    1 2

    1 0,251 1 0,5625

    2 2 1 0,25

    T TK

    T T

    1

    Para ganancias ligeramente mayores ya se producen oscilaciones, puesto que * 1, pero son tan imperceptibles que la limitada resolucin grfica de una pantalla, o la precisin de un trazado cualquiera, no permite observarlas.

    Respuesta frente a perturbaciones

    Si la perturbacin es introducida en el ltimo bloque de proceso, podemos calcular fcilmente la transmitancia, aplicando las reglas que se han citado anterior-mente, y obtendremos

    )1()1(1

    1

    21

    21

    2

    2

    2

    sTsTKKK

    sTK

    UY

    c

    u

    de donde, haciendo 1 2cK K K K (ganancia esttica de la rama de avance) y toman-do el factor K1 para dar al denominador la forma usual, obtendremos

    111

    11 21221

    12

    2

    s

    KTTs

    KTT

    sTKK

    UY u

    y de aqu, haciendo como antes

    1 2

    1 2

    1 2

    1

    1

    2 1

    T TT

    K

    T T

    T T K

    obtenemos finalmente la forma de ecuacin ms usual, correspondiente a un sistema de segundo orden (segundo grado en s del denominador):

    2 12 2 2

    1

    1 2 1

    uK T sY UK T s T s

    Apdo. 8.3.3 - Prct. 8.4

  • 374 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Comprese esta ecuacin con la obtenida para cambios en el punto de consigna y vanse los comentarios que all se hicieron. Si en la ecuacin anterior sustituimos a U2 por la expresin de un escaln de amplitud A, que se formular como A/s, tendremos la expresin laplaciana de la res-puesta buscada, esto es

    2 1

    2 2

    1

    1 ( 2 1)

    uK T sY AK s T s T s

    La respuesta temporal la obtendremos por transformacin inversa, directamente de las tablas. La forma de la solucin depende del valor del factor de amortiguacin , el cual es fcil comprobar que para K finito ser siempre mayor que 0: Para 1 la respuesta es oscilatoria amortiguada.

    Para 1 la respuesta es crticamente amortiguada. Para 1 la respuesta es sobreamortiguada.

    El valor final alcanzado (desviacin permanente) lo obtendremos con facilidad

    aplicando el teorema del valor final a la funcin laplaciana de la respuesta, esto es,

    0

    2( ) lim ( )1

    u

    s

    Ky sY s A

    K

    la cual vemos que queda dividida por el factor K+1, con relacin al valor que se alcanzara si no existiese regulacin.

    En la figura 8.8 se muestran diversas respuestas correspondientes a un cambio de carga del 50% (introducido en escaln directo despus del ltimo bloque), de un sistema con T10,25 y T21, para distintas ganancias Kc del controlador. Las ga-nancias del resto de los componentes del lazo valen la unidad, por lo que KKc. Se ha anotado, como parmetro de las curvas, los valores de K (Kc) y del factor de amortiguacin , el cual, como se ha visto, es una funcin de T1, T2 y Kc.

    Si el cambio de carga se aplica sobre el primer bloque de proceso (fig. 8.6), podemos calcular fcilmente que la transmitancia es

    )1()1(1

    )1()1(

    21

    21

    21

    21

    1

    sTsTKKKsTsT

    KK

    UY

    c

    u

  • 375

    Fig. 8.8 Respuesta al cambio de carga en escaln, despus del ltimo bloque, del control proporcional de un proceso formado por dos retardos de tiempo de primer orden de donde haciendo otra vez K KcK1K2, y tomando el factor K+1 para dar al deno-minador la forma usual, obtendremos

    y de aqu, haciendo, una vez ms

    obtenemos finalmente la ecuacin correspondiente a un sistema de segundo orden

    YU

    K KK T T

    Ks T T

    Ks

    u

    1

    1 2

    1 2 2 1 211

    1 11

    Y U K KK T s T s

    u

    11 2

    2 2112 1

    1 2

    1 2

    1 2

    1

    1

    2 1

    T TT

    K

    T T

    T T K

    Apdo. 8.3.3

  • 376 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    la que, al igual que suceda para la respuesta de un cambio en el punto de consigna, observamos que corresponde a la transmitancia de un retardo de segundo orden, formado por dos elementos retardo de primer orden en serie, pero afectada por una ganancia Ku1 K2 / (K1). Asimismo, tanto la constante de tiempo T como el factor de amortiguacin , se ven multiplicados por el factor 1/ (K1)1/2 1, precisamente debido al efecto de la regulacin.

    Es evidente que esta ecuacin es igualmente vlida para un proceso formado por un retardo de segundo orden, siempre que apliquemos los factores de correccin para la constante de tiempo y el factor de amortiguacin, tal como se hizo en Respuesta frente a cambios en el punto de consigna, en este mismo apartado (pg. 358).

    Si en la ecuacin anterior sustituimos a U1 por la expresin de un escaln de amplitud A, esto es A/s, tendremos la expresin laplaciana de la respuesta buscada

    )12(1

    1 2221

    sTsTsKKKAY u

    La respuesta temporal ser similar a la que obtuvimos para un cambio en el punto de consigna, con excepcin del factor de amplitud. Prctica n 8.5 Entrar en la opcin Control de un lazo cerrado simple (Diagrama de bloques). Pulsar el botn [Bloques nulos].

    Nota: En adelante, la anotacin Esp o Espera sustituye a Tiempo de espera.

    Preparar la siguiente configuracin. C-1 P+D; G1 / Td0 / C0 / Ca0 P-1 Retardo de primer orden; T1 / K1 P-2 Retardo de primer orden; T0,25 / K1 U-2 Retardo de primer orden; T0,25 / K1 / U100 / Ua0 / Esp0

    Introducir: Duracin 3

    Pulsar C/M, es decir, Cambios/Modo, y seleccionar: Medida

    Vemos que en esta configuracin se introduce un cambio de carga del 100% en el tiempo cero, estando el proceso estabilizado para una variable de salida igual a cero. Esta situacin, un tanto anormal aunque no imposible, permite, sin embargo, observar limpiamente el efecto de la perturbacin.

  • 377

    Ejecutar la grfica para Respuesta temporal. Modificar:

    U-2 Ganancia; (la perturbacin queda anulada) U-1 Ganancia; K1 / U100 / Ua0 / Espera0

    Ejecutar otra vez la grfica.

    Puede comprobarse que el resultado es el mismo, debido a que hemos hecho la implantacin equivalente de perturbacin, segn se estudi en el apartado 7.9, figu-ra 7.18 (pg. 345).

    Verificar que el valor final (desviacin permanente) vale:

    5011

    10011

    2

    KKA up:

    Modificar:

    P-1 : T0,5 P-2 : T0,1 Ejecutar la grfica.

    Se observa que la respuesta temporal converge hacia el mismo valor que se tena antes, lo que prueba que la desviacin permanente es independiente del valor de las constantes de tiempo T1 y T2.

    Repetir la grfica asignando a la Ganancia del controlador los siguientes valo-res: 2; 4; 9 y 19.

    Verificar en cada caso el valor de la desviacin permanente

    Reponer la Ganancia del controlador a 4. Borrar y ejecutar la grfica.

    Cambiar el valor de la Ganancia del bloque perturbacin [U-1] a 0,5 y luego a 2, y observar qu sucede al ejecutar las respuestas.

    Prctica n 8.6

    Ahora introduciremos la perturbacin en el primer bloque de proceso. Se est en la opcin Control de un lazo cerrado simple. Pulsar el botn [Bloques nulos].

    Preparar la siguiente configuracin: C-1 P+D; G1 / Td0 / C 0 / Ca0 P-2 Retardo de primer orden; T1 / K1

    Apdo. 8.3.3 - Prcts. 8.5 - 8.6

  • 378 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    P-3 Retardo de primer orden; T0,25 / K1 U-2 Retardo de primer orden; T1 / K1 / U100 / Ua0 / Esp0 Duracin 3

    Pulsar C/M, es decir, Cambios/Modo, y seleccionar: Medida

    Al igual que en el ejercicio anterior, vemos que en esta configuracin se intro-duce un cambio de carga del 100 % en el tiempo cero, estando el proceso estabili-zado para una variable de salida nula.

    Ejecutar la grfica para Respuesta temporal.

    Verificar que el valor final (desviacin permanente) vale

    2 3 1100 501 1 1

    up

    K KA

    K:

    Modificar:

    P-2 : T 0,5 P-3 : T 0,1 U-2 : T 0,5

    Otra vez comprobamos que la Respuesta temporal converge hacia el mismo va-lor que se tena antes, lo que prueba que la desviacin permanente es independiente del valor de las constantes de tiempo T1 y T2.

    Repetir la grfica asignando a la Ganancia del controlador los siguientes valo-

    res: 2; 4; 9 y 19. Verificar en cada caso el valor de la desviacin permanente.

    Cambiar el valor de la ganancia del bloque perturbacin [U-2] y observar qu sucede.

    Reponer la Ganancia del controlador a 4.

    Comparar estas respuestas con las que se tendran frente a un cambio del punto de consigna. Hacer la comparacin anulando la perturbacin y fijando en el bloque controlador un valor de consigna C100. Notar que la desviacin permanente, cuando la ganancia del bloque perturbacin vale la unidad, es la misma (no confun-dir con el valor final).

    Demuestre el lector que se puede implementar la perturbacin en el bloque [U-1], al igual que se hizo en la prctica anterior, sin que cambien los resultados.

  • 379

    8.3.4 Control proporcional de un proceso formado por tres retardos de primer orden

    La figura 8.9 muestra un diagrama de bloques de un lazo compuesto por tres

    retardos de primer orden, y que va a ser regulado por un controlador proporcional. Se han omitido los bloques vlvula y medidor, a los que se les atribuye una ganancia unitaria, y se ha incluido un posible cambio de carga o perturbacin en cada uno de los bloques del proceso.

    Fig. 8.9 Control proporcional de un proceso compuesto por tres retardos de primer orden sometidos a perturbaciones

    El estudio analtico de un sistema controlado con tres o ms elementos de primer orden en serie, presenta tediosas y notables dificultades de clculo, por lo que nos limitaremos a dar un esbozo de lo que resultara.

    Si nos ceimos a un sistema con tres elementos de primer orden, y calculamos el denominador de las funciones de transferencia, para cualquiera de sus entradas, obtendremos, haciendo K Kc K1 K2 K3 (ganancia esttica de la rama de avance):

    el cual puede ser factorizado en un trmino de primer orden y uno de segundo, ade-ms de un factor K+1, con lo que se obtiene

    en donde habra que distinguir los tpicos casos en los que es mayor, igual o menor que 1, e incluso el caso 0, que ahora puede surgir.

    K T s T s T s ( ) ( ) ( )1 2 31 1 1

    " #( ) ( )T s T s T s Ka b b 1 2 1 12 2

    Apdos. 8.3.3 - 8.3.4 - Prct. 8.6

  • 380 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    En realidad, este denominador se halla dividido por el producto de los factores (T1s1) (T2 s1) (T3 s1), los cuales, por tanto, pasarn al numerador de la funcin de transferencia, en donde, por simplificacin, sern parcial o totalmente suprimidos, segn se ver a continuacin.

    La constante general y el numerador de la funcin dependern de si se trata de la respuesta a cambios del punto de consigna o de cambios en alguna de las pertur-baciones. En este ltimo caso depender de cul de ellas. Si trasvasamos el factorK + 1 para que pase a formar parte de la constante general, nos queda que el deno-minador adopta la forma

    con lo que entonces el conjunto formado por la constante general y el numerador de las funciones de transferencia, para cada una de las distintas seales de entrada, re-sulta ser:

    Para el punto de consigna : 1

    KK

    Para la perturbacin U1 : 1 2 3

    1

    uK K K

    K

    Para la perturbacin U2 : 2 3

    1( 1)1

    uK K T sK

    Para la perturbacin U3 : 3

    1 2( 1) ( 1)1

    uK T s T sK

    La resolucin de las respectivas ecuaciones, una vez introducida la funcin de la

    seal de entrada, nos dara, en cada caso, la respuesta temporal del sistema. Hacerlo por la va analtica es casi impensable, dada su complejidad. Y para resolverlo por transformacin inversa sera preciso disponer de unas tablas de transformadas de Laplace muy completas; y aun as hay que tener en cuenta que una misma funcin puede presentarse de diferentes formas equivalentes. Por ejemplo, el factor (Ts 1) puede tomar las formas (s) o (s/1). Con un factor cuadrtico an se com-plica ms: el factor (T 2s2 2 Ts1) puede tomar las formas (s2 2 s2 ) o (s2/2 2 s/ 1) o [(sa)2 b2] y, obviamente, en cada caso acompaadas de constantes diferentes. Por todo ello, y teniendo en cuenta que aparecern combi-naciones variadas de estos factores, tanto en el numerador como en el denominador, la identificacin de la ecuacin obtenida con la de las tablas y su correcta aplicacin puede requerir importantes manipulaciones algebraicas. Ntese que en el apndice 1 se hallan incluidas diversas ecuaciones duplicadas por estos conceptos. No se pre-tende aqu desanimar al lector, sino simplemente mostrarle que la resolucin anal-

    " #2 2( 1) 2 1a bbT s T s T s

  • 381

    tica de estos problemas puede no ser una tarea sencilla. El programa ControlP, que venimos manejando, nos ayudar a su resolucin grfica de manera muy simple.

    A ttulo de ejemplo, la respuesta temporal a un escaln de amplitud A, introdu-cido por la perturbacin U2, para un sistema subamortiguado (0 1), tendra la siguiente forma

    en donde los factores B, C, , d, = y T seran funciones de Ta , de Tb y de los diversos parmetros del sistema.

    Un sistema es inestable si la ganancia esttica total KKcK1K2K3 excede de un determinado valor de ganancia mxima, al que llamaremos Kmax, en el que se tendra el lmite de estabilidad (oscilaciones de amplitud constante). Esto se dar, como es sabido, cuando se produzca la condicin 0. Se demuestra que entonces la ganan-cia mxima y la frecuencia crtica, valen

    Resulta interesante plantear la ecuacin que se ha dado de Kmax (si fcilmente la despejsemos) en la siguiente forma equivalente

    en la que

    y en donde TA, TB y TC toman, respectivamente, los valores de las tres constantes de tiempo, T1, T2 y T3, asignadas en cualquier orden. As, por ejemplo, puede hacerse TA T3, TB T1 y TC T2.

    Es fcil constatar ahora que la ganancia mxima Kmax ser muy grande cuando una de las constantes de tiempo sea o muy grande o muy pequea, con relacin a las otras dos; lo que equivale a decir dos muy grandes o dos muy pequeas, con relacin a la otra. En efecto, en cualquiera de los casos, podemos asignar a TC la constante

    " #y A K KK B t Cu t d t T 2 31 1 e e- - =sen ( )

    K T T T T T T T T TT T Tmax

    1 1 2 3 1 2 1 3 2 31 2 3

    ( ) ( )

    cT T T

    T T T 1 2 3

    1 2 3

    K R RR RA B A B

    max

    1 1 1 1 1( )

    R TT

    R TTA

    A

    CB

    B

    C ;

    Apdo. 8.3.4

  • 382 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    que sea muy diferente de las otras. Entonces, RA y RB resultarn o muy grandes o muy pequeas. En el primer caso se har muy grande el primer factor (primer pa-rntesis) de la ecuacin de Kmax; en el segundo lo ser el otro (segundo parntesis). Ntese que en ambos supuestos, el factor no favorecido ser, no obstante, algo mayor que la unidad.

    Se deduce fcilmente que si las tres constantes de tiempo son iguales entre s se tendr la menor Kmax posible, esto es,

    max max1; 1 (1 1 1) (1 1 1) 9; 8A BR R K K

    As pues, la estabilidad del sistema depende de la ganancia esttica global K y de la relacin entre constantes de tiempo T1, T2 y T3. Puede resumirse del siguiente modo, generalizable a cualquier sistema:

    K Kmax; 0 Supercrtico Inestable (oscilaciones crecientes) K Kmax; 0 Crtico Lmite de estabilidad (oscilaciones mantenidas) K Kmax; 0 Subcrtico Estable. Tres variantes:

    0 1 Subamortiguado Oscilaciones amortiguadas 1 Crticamente amortiguado Sin oscilaciones 1 Sobreamortiguado Acercamiento asinttico lento

    Hay que recordar que la respuesta crticamente amortiguada es precisamente la respuesta asinttica ms rpida posible sin rebasamiento; es decir, con el mnimo tiempo de establecimiento (vase apartado 7.3, pg. 313). En cuanto se hace lige-ramente inferior a 1 ya se tiene rebasamiento, por nfimo que sea. En la respuesta sobreamortiguada el acercamiento es ms lento que en la crticamente amortiguada; podramos decir que es un acercamiento perezoso.

    Veamos un ejemplo mediante una prctica de simulacin.

    Prctica n 8.7

    Prepararemos un proceso formado por tres elementos retardo de primer orden en serie, cada uno de ellos con una constante de tiempo de 0,25 minutos. Ya hemos visto que cuando las tres constantes de tiempo son iguales, entonces se tiene que la ganancia mxima es Kmax 8. Calculemos la frecuencia crtica c, de acuerdo con las ecuaciones indicadas ms atrs:

    1 2 3

    1 2 3

    0,25 0,25 0,256,928203 rad mn./

    0,25 0,25 0,25c

    T T TT T T

    1 1

  • 383

    que corresponde a una frecuencia de

    6,92821,1027 ciclos mn./

    2cf

    %

    y un periodo de

    1 1 0,9069 minutos1,1027cf

    Es decir, que deberemos comprobar que con una ganancia esttica global de 8 el sistema entra en oscilaciones mantenidas y lo hace con una frecuencia de 1,1027 ciclos/minuto. Instrucciones Entrar en la opcin Control de un lazo cerrado simple. Pulsar el botn [Bloques nulos].

    Preparar la siguiente configuracin: C-1 P+D; G8 / Td0 / C50 / Ca25 P-1 Retardo de primer orden; T0,25 / K1 P-2 Retardo de primer orden; T0,25 / K1 P-3 Retardo de primer orden; T0,25 / K1 U-1 Retardo de primer orden; T0,25 / K1 / U100 / Ua0 / Esp0 U-2 Retardo de primer orden; T0,25 / K1 / U100 / Ua0 / Esp0 U-3 Retardo de primer orden; T0,25 / K1 / U100 / Ua0 / Esp0

    Cambiar la asignacin de los bloques Perturbacin: U-1 Ganancia U-2 Ganancia U-3 Ganancia

    Con estas operaciones hemos anulado las perturbaciones, pero las dejamos pre-

    paradas para actuar como retardos de primer orden, sin ms que seleccionarlas en el momento que nos convenga. Proseguir con los siguientes ajustes:

    Duracin 5 Escala de ganancia : 002; -60+6 Escala de ngulos : -360 0 +360 Frecuencia inicial : 0,1; -1 Frecuencia final : 100; +2

    Pulsar C/M, es decir, Cambios/Modo, y seleccionar: Medida

    Apdo. 8.3.4 - Prct. 8.7

  • 384 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Ejecutar la grfica de Respuesta temporal.

    Vemos que, segn lo esperado, presenta una oscilacin de amplitud constante.

    Si se desea comprobarlo con ms precisin, pulsar C/U (Cambios/Muestreo) y seleccionar un valor de frecuencia de muestreo mayor, por ejemplo, 8. Seleccionar una duracin de 12 minutos y repetir la grfica, para corroborar que, efectivamente, la amplitud se mantiene constante. Notar cmo en la parte superior, justo por encima del grfico, queda constancia de la frecuencia de muestreo con la que se est operando, mediante la indicacin F.M. 8. Reponer las condiciones anteriores (Duracin5; F.M.1), dado que no necesitamos tanta precisin y preferimos ms rapidez en la presentacin de la respuesta. Ejecutar la Respuesta frecuencial en la opcin Todos (los grficos), pulsando

    F/T. Asegurarse de que se est en la opcin Lazo abierto (ver indicacin en la pantalla, por encima y a la derecha del grfico); en caso contrario, cambiarla mediante la opcin C/M (Cambios/Modo), borrar y repetir la respuesta.

    Observar que se cumple la condicin de criticidad con mdulo 1 (ganancia 0dB)

    para un ngulo de -180,, lo que corresponde a un margen de ganancia y un margen de fase nulos. Ejecutar el diagrama de Nyquist.

    Se observa con ms detalle que la grfica pasa por el punto [-1; 0]. Si se desea

    ver la curva en su totalidad, aumentar la escala de ganancias a 0010; -200+20. Una vez observada, reponer la escala anterior, as como el grfico de Nyquist.

    Pulsar F/M (Marcas) e introducir el valor 6,928203 que hemos calculado an-teriormente como frecuencia crtica. Pulsando nos aparecer en el diagrama de Nyquist la correspondiente marca, precisamente sobre el punto [1; 0], as como los datos correspondientes a esta frecuencia, en la ventana inferior; esto es: Mdulo 1, Ganancia 0dB y ngulo -180,. Ntese que el valor mostrado de ganancia es muy pequeo, pero no cero, a pesar de que el mdulo es exactamente 1; esto es debido a la imprecisin de clculo que se produce por no ser exacto el valor introducido de la frecuencia, el cual hemos visto que es un nmero irracional y lo hemos truncado a seis decimales.

    Pulsar para evitar fijar la marca. Ejecutar F/C (Crtica) y F/U (Cruce) y comprobar que en ambas variantes,

    Frecuencia crtica y Frecuencia de cruce de ganancia, se obtienen los mismos resultados; ahora con mayor precisin (se obtiene exactamente mdulo 1 y ga-nancia 0 dB), por estar operando con mayor nmero de dgitos en el valor de la frecuencia (internamente con 15016) que cuando era introducida por teclado

  • 385

    (ahora puede leerse 6,9282032). Recurdese que en un sistema crtico las frecuencias crtica y de cruce de ganancia coinciden, pues se tiene un valor nulo tanto para el margen de ganancia como para el de fase.

    Pulsar o (ya no importan las marcas). Pulsar C/M (Cambios/Modos) para seleccionar el modo En lazo cerrado. Seleccionar (mediante C/L) la escala de ganancias de 0016; -240+24. Ejecutar el Diagrama Real de la respuesta frecuencial.

    Observar el pico de resonancia, tericamente de valor infinito, justamente en la

    frecuencia crtica, as como un cambio brusco de 180, en la trayectoria de la grfica angular. Para comprender este fenmeno es preciso acudir a la figura 7.11 en donde pueden efectuarse las siguientes consideraciones:

    El vector V(j)1 parte del punto [-1; 0] y apunta en todo momento, a medida que progresa la frecuencia, a la curva de respuesta en lazo abierto, representada por el lugar geomtrico sealado por el extremo del vector

    V(j) A(j)R(j).

    Cuando el vector V(j), en su desplazamiento al ir variando la frecuencia, pasa por el punto [-1; 0], el vector V(j)1 pasa por el valor de mdulo cero, y su ngulo sufre un cambio brusco de 180,.

    El vector V(j)1 representa el denominador de la ecuacin de la res-puesta frecuencial en lazo cerrado.

    El valor de dicha ecuacin pasar, por tanto, por un valor infinito (pico de resonancia infinito) y su ngulo sufrir igualmente una discontinuidad de 180, (en la divisin los ngulos se restan).

    Para apreciar mejor la frecuencia de resonancia de /6,9 cambiar, mediante la opcin C/L, la escala del ngulo de fase a -180, 0 180,, la Frecuencia inicial a 1 (log 0), y ejecutar el Diagrama Real. A continuacin, mediante la op-cin C/M (Modos), establecer el modo En lazo abierto y volver a ejecutar la grfica, superponindola a la anterior.

    Se habr notado que la curva angular siempre est presente (nunca sale fuera de

    escala), por el principio de que a todo ngulo se le puede sumar o restar un mltiplo de 2% rad (360,), lo que permite en todo momento, en cuanto sale de mrgenes, arrastrarla dentro de un grfico que como mnimo incluya un margen total de 360, (por ejemplo, se tiene que 181, 8 -179,; en general, 180, x 8*-180, x).

    Modificar: Duracin 12

    Apdo. 8.3.4 - Prct. 8.7

  • 386 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Ejecutar nuevamente la Respuesta temporal y comprobar que la frecuencia de las oscilaciones es de un periodo de /0,9 minutos, tal como se haba calculado (podemos contar que se producen 10 ciclos cada 9 minutos).

    Modificar: C-1 : G4 / C70 / Ca20 Duracin 5

    Seleccionar: Escala de ganancia : 002; -60+6.

    Ejecutar F/T (Todos) de la respuesta frecuencial (para lazo abierto) y calcule el lector cules son el margen de ganancia y el margen de fase.

    Sugerencia: observar, en los diagramas Real y de Bode, a qu frecuencias se producen las condiciones de ngulo igual a -180, y mdulo igual a 1 (o ganancia igual a 0dB); esto es, la frecuencia crtica y la de cruce de ganancia. Mediante las opciones Crtica y Cruce dichos valores podrn hallarse cmodamente y con gran precisin en cualquiera de los diagramas.

    Pregntese el lector si puede deducirse el margen de ganancia del conocimiento de la ganancia actual del controlador, igual a 4, con relacin al valor de 8 que se te-na para condicin crtica.

    No obstante, pinsese en lo siguiente: puesto que la respuesta angular (en lazo abierto) no depende de las ganancias estticas, y habamos calculado que la frecuen-cia crtica c se produca a 6,9282 rad/minuto, sta ser la frecuencia que tiene que producir un ngulo de -180,; es decir, que seguir siendo la frecuencia crtica.

    Ejecutar la Respuesta temporal y notar que ahora es oscilatoria amortiguada. Verificarlo con el Diagrama de Nyquist con la opcin En lazo abierto. Seleccionar:

    Escala de ganancia : 0 0 4; -12 0 +12 Cambiar a la opcin En lazo cerrado y ejecutar Diagrama Real.

    *Ahora puede notarse que el pico de resonancia es de amplitud limitada, acorde

    con el sobreimpulso del primer rebasamiento de la respuesta temporal. Mediante la opcin Pico podemos comprobar que el pico de resonancia es de mdulo /2,4 (ganancia / 7,6 dB), con una frecuencia de resonancia r / 5,4 rad/mn.

    Modificar: C-1 : G10 / C50 / Ca 35

    Seleccionar: Escala de ganancias : 0 0 16; -24 0 +24 Escala de ngulos : -360, 0 +360,

  • 387

    Comprobar qu sucede, tanto en la respuesta temporal como en la frecuencial (opcin Todos, en lazo abierto y en lazo cerrado). En estas condiciones, la curva angular para Lazo cerrado en los diagramas Real, de Bode y de Black, muestra una discontinuidad de 360, en la transicin por la lnea de 0,(8360,), tanto si la escala angular es de 180, como si es de 360,. Ello nos advierte de la condicin de sistema supercrtico, a pesar de que el pico de resonancia sea finito. El diagrama de Nyquist, debido a su naturaleza circular, no presenta tal discontinuidad; pero nos advierte igualmente de la citada condicin, si observamos directamente la transicin de la grfica por la lnea de 0,. Todo ello se comprender mejor efectuando los pasos que se indican a continuacin:

    Borrar la pantalla.

    Asegurarse de que se est en la opcin Lazo cerrado. Ejecutar la respuesta frecuencial (opcin Todos) en Lazo cerrado, dando suce-

    sivamente una ganancia del controlador de 8; 6,5 y 10; es decir, situando el sistema en condicin crtica, y por debajo y por encima de la misma. Primera-mente se efectuar con la escala de ngulos de 360, y a continuacin con la de 180,. Utilizar repetidamente la opcin A/A para comparar ambas pantallas.

    Ahora modificaremos una de las tres constantes de tiempos para observar el

    efecto sobre el sistema.

    Modificar. C-1 : G 8 P-1 : T 1

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Se observa que presenta oscilaciones amortiguadas. Ahora Kmax 12,5.

    Verificar el clculo de Kmax y comprobar que para tener oscilaciones mantenidas es preciso asignar al controlador una ganancia de 12,5. Del mismo modo, se puede fijar en el controlador una ganancia de 1 y a la de cualquier otro bloque del lazo (V-1, P-1, etc.) un valor de 12,5.

    Comprobar que se obtienen los mismos resultados asignando el retardo de tiem-po de 1 minuto a uno cualquiera, pero slo a uno, de los bloques de proceso, manteniendo T 0,25 en los otros dos.

    Comprobar qu sucede si uno de los bloques tiene una constante de tiempo mucho menor que los otros dos (asignando, por ejemplo, T1 0,25; T20,25 y T30,05).

    Ver qu sucede para otros valores de las constantes de tiempo T1, T2 y T3, pero siendo iguales entre s.

    Apdo. 8.3.4 - Prct. 8.7

  • 388 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Vamos a verificar el comportamiento del sistema frente a cambios de carga o perturbaciones. Para ello repondremos las mismas condiciones indicadas al principio de la presente prctica, excepto:

    Modificar: C-1 : G 4 / C 25 / Ca 25 (anulamos el salto en consigna)

    Seleccionar: U-1 Retardo de primer orden (activamos la perturbacin U-1)

    Borrar la pantalla.

    Ejecutar la grfica de Respuesta temporal. Seleccionar:

    U-1 Ganancia (anulamos la perturbacin U-1) U-2 Retardo de primer orden (activamos la perturbacin U-2)

    Ejecutar la grfica de Respuesta temporal. Seleccionar:

    U-2 Ganancia (anulamos la perturbacin U-2) U-3 Retardo de primer orden (activamos la perturbacin U-3)

    Ejecutar la grfica de Respuesta temporal.

    Vemos que siendo todas las respuestas del mismo tipo (oscilaciones amortigua-das, con la misma razn de amortiguacin), la perturbacin causa ms impacto cuanto ms hacia el final del proceso es introducida, manteniendo, no obstante, la misma desviacin permanente.

    Ahora vamos a comprobar la equivalencia en la traslacin de una perturbacin delante de un bloque de proceso.

    Borrar la pantalla.

    Ejecutar nuevamente la ltima grfica.

    Seleccionar: U-3 Ganancia U-2 Ganancia; K 1 / U 100 / Ua0 / Esp0

    Ejecutar la grfica y comprobar que la respuesta ha sido idntica a la anterior.

    Hemos efectuado la implantacin equivalente, segn se estudi en el apartado 7.9, figura 7.18 (pg. 345).

    Se insiste en que son dos formas diferentes (dos modelos matemticos) de consi-derar el mismo fenmeno fsico, ya que tanto la variable normal como la perturba-dora transitan a travs del mismo elemento, y lo hacen de acuerdo con el Principio de superposicin, por ser dicho elemento lineal (la respuesta total es la suma de las respuestas individuales que producira cada entrada).

  • 389

    8.3.5 Control en modo integral de un proceso formado por un retardo de primer orden

    El control exclusivamente integral es escasamente utilizado en la prctica, pero

    en todo caso su estudio es de sumo inters, dado que la accin integral suele acom-paarse como complemento de la accin proporcional.

    Supongamos un proceso formado exclusivamente por un retardo de primer orden y que va ha ser regulado por un controlador integral. Tanto la vlvula como el medidor sern elementos de tipo ganancia con K1, por lo que no sern consi-derados en el supuesto. Se asumir un bloque perturbacin el cual introducir su seal perturbadora detrs del bloque proceso. El correspondiente diagrama de blo-ques se muestra en figura 8.10.

    Fig. 8.10 Control integral de un retardo de primer orden La funcin de transferencia del sistema, con relacin al punto de consigna, ser

    en la que haciendo

    nos queda

    YC

    KT s T s

    KT s T s

    KT T s T s K

    i

    i

    i i

    1

    1

    1

    1

    1

    12

    1

    1

    11

    ( )

    ( )

    T T TK

    TK T

    i

    i

    1

    1

    1 1

    12

    (

    (

    constante de tiempo efectiva)

    factor de amortiguacin )

    Apdos. 8.3.4 - 8.3.5 - Prct. 8.7

  • 390 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    la cual corresponde exactamente a la transmitancia de un elemento retardo de segundo orden. La respuesta debida a un cambio en escaln ha sido sobradamente estudiada en todas sus variantes, y nos demuestra que ahora no tendremos desvia-cin permanente y que el sistema siempre ser estable, puesto que 0. La caracte-rstica oscilatoria del sistema sabemos que depende del factor de amortiguacin , el cual es, en este caso, una funcin de Ti, K1 y T1. La constante de tiempo efectiva T, depende, asimismo, de estos tres parmetros.

    Para amortiguamiento crtico, 1, se tendr

    La funcin de transferencia considerando la perturbacin ser

    en la que, teniendo en cuenta las definiciones de T y vistas anteriormente, nos queda

    Para hallar la respuesta frente a un cambio en escaln de amplitud A, de la seal de perturbacin U, multiplicaremos la transmitancia por A/s, lo que nos proporciona la siguiente ecuacin

    que vemos que corresponde a la respuesta impulsiva de un retardo de segundo orden (ver las tablas de conversin de Laplace), afectada ahora por un factor de amplitud de A KuTi /K1. Para t la respuesta decae a cero, lo que nos indica que no habr desviacin permanente.

    La figura 8.11 muestra la respuesta temporal de un sistema como el que se est describiendo, para distintos valores de Ti, frente a un cambio de carga en escaln del 50 %. Se ha hecho K11 y T11. Una de las curvas corresponde a 1.

    YC T s T s

    12 12 2

    T K Ti 4 1 1

    YU

    KT s

    KT s T s

    K T sT T s T s K

    u

    i

    u i

    i i

    1

    1

    1

    12

    1

    1

    11( )

    YU

    K TK

    sT s T s

    u i 1 2 2 2 1

    Y A K TK T s T su i

    1 2 21

    2 1

  • 391

    Fig. 8.11 Respuesta a los cambios de carga con control integral de un proceso formado por un retardo de primer orden

    Una aplicacin prctica de este tipo de regulacin es aquella en la que se tiene un tanque pulmn, a efectos de suavizar las variaciones ms o menos bruscas de un caudal. ste es vertido dentro del tanque en el cual se implanta una regulacin de nivel mediante un controlador integral. La vlvula de control se encuentra en la lnea de impulsin de la bomba que extrae el lquido del tanque. El controlador se ajustar para un factor de amortiguacin 1 (amortiguacin crtica) o superior (sobreamor-tiguado). Vemoslo con un ejemplo mediante el ejercicio de una prctica. Prctica n 8.8

    Prepararemos un sistema compuesto por un proceso formado por un elemento retardo de primer orden con una constante de tiempo de 1 minuto (un recipiente cuya variable de proceso se va a controlar) y por un controlador integral al que no se le efectuarn cambios en el punto de consigna. El proceso vendr afectado por cambios de carga, consistentes en variaciones bruscas en escaln del caudal de aporte al recipiente. Se pretende suavizar dicho caudal de aporte.

    La salida de la vlvula es el caudal de extraccin del recipiente (variable mani-pulada, que en este caso coincidir con la salida del controlador). El caudal de aporte es la variable perturbadora (de tipo aditivo: un aumento de caudal provoca un au-mento de la variable controlada). En condiciones de caudal de aporte constante, una vez estabilizado el proceso, ambos caudales, aporte y extraccin, debern coincidir. Entrar en la opcin Control de un lazo cerrado simple.

    Apdo. 8.3.5 - Prct. 8.8

  • 392 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Pulsar el botn [Bloques nulos]. Preparar la siguiente configuracin:

    C-1 Integral; Ti -4 / C 50 / Ca50 (Ti negativo hace una ganancia negativa) P-1Retardo de primer orden; T 1 / K -1 / Be 50 / Bs 50

    (K negativo: un aumento de extraccin disminuye la variable controlada) U-1Retardo de primer orden; T 1 / K 1 / U 80 / Ua 50 / Esp 0 Duracin 30

    Entrar en la opcin Rampas (C/R) y asignar: Bloque | Seal U-1 Perturbacin | Retardo 1er. orden Tiempos (mn.) : t1 1 / t2 1 / t3 15 / t4 15

    Seleccionar en Cambios/Modos (C/M ): Medida y Salida Controlador

    Hemos configurado un cambio de carga de tal manera que en el minuto 1 presentar un salto en escaln del 30% (del 50 al 80%) y en el minuto 15 volver, tambin en escaln, al valor del 30%. No existe salto en el punto consigna. El con-trolador tiene asignado un tiempo integral Ti de 4 minutos (el signo negativo invier-te la accin a negativa) que corresponde a una amortiguacin crtica, puesto que, segn se ha visto, para 1, se tiene Ti 4 K1 T1 41111 4. Ejecutar, pulsando T/R, la opcin Rampas programadas correspondiente a la

    Respuesta temporal.

    En principio, es de poco inters la respuesta de la variable controlada mostrada en lnea continua. Es ms interesante observar la salida del controlador (lnea de puntos), indicativa de la posicin de la vlvula y, por tanto, del caudal de extraccin. Debe ser comparado con la lnea de trazos (el escaln de subida en el minuto 1 y de bajada en el minuto 15), que pertenece al caudal de entrada, el cual se ha pretendido suavizar a la salida. En efecto, la extraccin inicial del 50%, se va aproximando paulatinamente al 80% una vez se inicia el escaln de subida de la perturbacin. Ello ha sido necesario para compensar el incremento de caudal de aporte al recipiente, que ha pasado del 50 al 80%. Despus, la extraccin vuelve a decaer lentamente, en cuanto el aporte retorna al valor inicial del 50% en el escaln de bajada. Asignar al controlador los valores de Tiempo de integracin Ti de -8 y -16,

    repitiendo, en cada caso, la respuesta temporal para Rampas programadas.

    Los respectivos factores de amortiguacin del sistema habrn sido: Para Ti 8: 1,41 Para Ti 16: 2,0

    Ti 4 para amortiguac. crtica.Entonces se tiene: **>

  • 393

    Ntese que cuanto mayor es el factor de amortiguacin (mayor el tiempo de inte-gracin Ti, en valor absoluto), mayor es el efecto de suavizado en el caudal de sa-lida. Sin embargo, con un aumento desmesurado de este factor, se tendra un control demasiado perezoso y podra conducir un excesivo aumento o disminucin de la variable controlada frente a determinados cambios en la carga, lo que no suceder con factores ms moderados. Es preciso llegar a un valor de compromiso, que depen-der de la magnitud de los cambios de carga y, ms concretamente, de la velocidad de variacin de dichos cambios, as como de las desviaciones admisibles en la varia-ble controlada. Podemos comprobar que, en efecto, el pico de sobreimpulso de dicha variable es mayor cuanto mayor es el factor de amortiguacin. 8.3.6 Control proporcional-integral de un proceso

    formado por un retardo de primer orden

    La figura 8.12 muestra un diagrama de bloques de un lazo compuesto por un retardo de primer orden, y que va a ser regulado por un controlador P+I. Se han omitido los bloques vlvula y medidor, a los que se les atribuye una ganancia unita-ria, y se ha incluido un cambio de carga o perturbacin.

    Fig. 8.12 Control P+I de un retardo de primer orden

    El lector podr aqu calcular las transmitancias tanto para un cambio de punto de consigna como para un cambio en la perturbacin. Nos limitaremos a dar la expre-sin laplaciana de la respuesta, para un cambio en escaln de amplitud A en la perturbacin, la cual puede observarse que es similar a la respuesta impulsiva de un retardo de segundo orden, esto es,

    en donde

    Y A K TK T s T su i

    1

    2 12 2

    Apdos. 8.3.5 - 8.3.6 - Prct. 8.8

  • 394 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    K Kc K1 (producto de las ganancias estticas de la rama de avance)

    1

    1

    1

    (constante de tiempo efectiva)

    1 (factor de amortiguacin)2

    i

    i

    T TT

    K

    TKK T

    Comprese con las ecuaciones obtenidas para control integral, teniendo en cuenta que all sera KK1. Es obvio que la respuesta no presentar desviacin permanente, lo cual, como sabemos, es una caracterstica de toda regulacin que contenga accin integral. Por otra parte, es fcil ver que el factor de amortiguacin ser siempre 0; es decir, el sistema ser siempre estable, cualquiera que sea la combinacin de valores K, Ti y T1.

    En efecto, puede demostrarse que el valor de K que hace mnimo es K1. Entonces se tiene

    con lo que si Ti T1 se tendr 1 (amortiguamiento crtico, no hay oscilaciones). Si K1 y Ti T1, entonces 1 y la respuesta es subamortiguada y muestra osci-laciones; y si Ti T1, entonces 1 y la respuesta es sobreamortiguada. Curiosa-mente, todo incremento (o disminucin) de la ganancia del controlador har que la respuesta tienda a ser ms estable, pues provocar un aumento del factor de amorti-guacin. No obstante, tngase en cuenta, una vez ms, que un proceso real conten-dr siempre pequeos retardos de tiempo que pueden hacer que el sistema sea de un orden superior, por lo que puede tenerse inestabilidad. Efectuemos un ejercicio prctico. Prctica n 8.9 Entrar en la opcin Control de un lazo cerrado simple. Pulsar el botn [Bloques nulos].

    Preparar la siguiente configuracin: C-1P+I+D; G 1 / Ti0,5 / Td0 / C 50 / Ca50 P-2Retardo de primer orden; T 0,5 / K 1 U-1Ganancia; K 1 / U 100 / Ua0 / Espera30

    (Hemos transferido la perturbacin delante del bloque de proceso) Duracin 5

    TT

    i

    1

  • 395

    Seleccionar en Cambios/Modos: Medida

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    En estas condiciones tenemos que 1 y, por tanto, se tiene amortiguacin crtica, con el consecuente acercamiento asinttico al valor final.

    Superponer diversos grficos de Respuesta temporal, dando a la ganancia del

    controlador los valores 0,5; 2; 4 y 8. Las respuestas son siempre con acerca-miento asinttico. De hecho, excepto la primera (para G1), las dems son sobreamortiguadas. Si se aumentase la ganancia a valores muy grandes, por ejemplo a 50, sera preciso aumentar la frecuencia de muestreo.

    Pruebe el lector de ejecutar las grficas temporales con diversas combinaciones

    de los parmetros significativos, verificando los resultados mediante la Respuesta frecuencial. 8.3.7 Control proporcional-integral de un proceso

    formado por dos retardos de primer orden

    La figura 8.13 muestra un diagrama de bloques de un lazo compuesto por dos retardos de primer orden, que va a ser regulado por un controlador P+I. Se han omitido los bloques vlvula y medidor, a los que se les atribuye una ganancia uni-taria, y se ha incluido un posible cambio de carga o perturbacin en cada uno de los bloques que forman el proceso.

    Fig. 8.13 Control P+I de un proceso compuesto por dos retardos de primer orden sometidos a perturbaciones

    Apdos. 8.3.6 - 8.3.7 - Prct. 8.9

  • 396 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    La complejidad de las ecuaciones de una regulacin con accin integral de un proceso con dos retardos de primer orden, es similar a la de una regulacin propor-cional de un proceso con tres retardos, visto en el apartado 8.3.4 (pg. 379). Vanse los comentarios que all se hicieron y recurdese que era preciso factorizar un tr-mino de tercer orden para determinar la respuesta temporal del sistema.

    Aqu solamente presentaremos la funcin de transferencia correspondiente a una perturbacin introducida despus del segundo bloque de proceso:

    en donde

    K Kc K1K2

    Vemos que, efectivamente, el sistema es de tercer orden, por tener el denomi-nador de la funcin de tercer grado. Al factorizar el polinomio cbico, obtendramos el factor de amortiguacin del sistema, en una expresin de la forma

    Slo a ttulo de curiosidad, para que el lector pueda constatar la notable com-plejidad de la ecuacin temporal de la respuesta, se ofrece a continuacin dicha ecua-cin para el caso subamortiguado, 0 1, con relacin a una entrada en escaln de amplitud A

    de la que se obtiene

    2 212 1 -

    2 22

    21 -

    2 2

    1 2e sen ( )

    1 21

    ( ) e

    1 2a

    i u td

    a a

    a t T

    aa

    T TT Ky A t

    K T T

    T T

    T T

    =

    donde

    YU

    K TK

    s T sT T T

    Ks

    T T TK s

    T KK

    s

    u i

    i i i2

    2 1

    1 2 3 1 2 2

    11

    1

    ( )( ) ( )

    " #( )T s T s T sa b b 1 2 12 2

    " #y As

    T KK

    s T sT s T s T s

    i u

    a b b

    -1 2 12 2

    1

    1 2 1

    ( )

    ( )

  • 397

    =

    1 11 1

    2 1

    1TT

    TT

    Tbd

    d a d

    a; ; tan tan- -1 1

    El tiempo integral Ti que hara 0, es decir, en el lmite de estabilidad, sera

    que nos indica que el mnimo tiempo integral que podemos fijar en el controlador, para que el sistema sea estable ser siempre algo menor que la menor de las constan-tes de tiempo que forman el proceso. Ntese que para constantes de tiempo con magnitudes muy dispares entre s, la segunda fraccin se aproxima (por defecto) al valor de la menor de las constantes.

    Tambin nos demuestra que en determinados casos no existe un lmite para la ganancia del controlador, que pueda hacer el sistema crtico. En efecto, si el tiempo integral satisface

    el sistema siempre ser estable, puesto que entonces se cumplir que

    La frecuencia crtica puede expresarse en funcin de Kmax; esto es, del producto de las ganancias estticas del lazo (mdulo global) que hara el sistema crtico, y vale

    la cual, aparentemente, no incluye al tiempo integral Ti ; pero hay que tener en cuen-ta que Kmax depende de Ti , de tal manera que aumentndolo, es decir, disminuyendo la accin integral, aumentar Kmax y, por tanto, tambin lo har c.

    Obviamente, si se da la condicin Ti Ti,min, entonces no existe Kmax (es infini-ta) y no puede hablarse de frecuencia crtica, ya que el sistema nunca puede hacerse crtico. Prctica n 8.10 Entrar en la opcin Control de un lazo cerrado simple. Pulsar el botn [Bloques nulos].

    T KK

    T TT Ti,min

    1

    1 2

    1 2

    T T TT Ti

    '

    1 2

    1 2

    T Ti i ,min

    cK

    T T max 1

    1 2

    Apdo. 8.3.7 - Prct. 8.10

  • 398 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Preparar la siguiente configuracin: C-1P+I+D; G 1 / Ti 0,1 / Td 0 / C 50 / Ca 50 P-1Retardo de primer orden; T 1 / K 1 P-2Retardo de primer orden; T 0,25 / K 1 U-1Ganancia; K 1 / U 50 / Ua 0 / Esp 0

    (Ntese que la perturbacin U-1 acta realmente sobre el segundo bloque de proceso P-2).

    Duracin 22 Escala de ganancias : 0 0 40; -32 0 +32 Escala de ngulos : -180 0 +180 Frecuencia inicial : 0,1; -1 Frecuencia final : 10; +1

    Seleccionar en Cambios/Modos: Medida

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Vemos que, una vez superado el transitorio inicial, se produce una oscilacin mantenida ( 0), ya que tenemos Ti Ti,min. En efecto,

    Verificarlo ejecutando el Diagrama de Black de la Respuesta frecuencial en lazo abierto. El diagrama de Black permite observar muy limpiamente la posi-cin de la interseccin de la curva con las lneas de -180, y de 0dB si se elige una escala de ganancias adecuada, al margen de la facilidad que ofrece la opcin F/C (Crtica).

    En la Respuesta temporal, se puede observar que el periodo de las oscilaciones

    mantenidas es de 2,222 minutos (se tienen 9 ciclos justos en los 20 minutos que van del minuto 2 al 22); es decir, que se tiene una frecuencia crtica que vale

    lo que est conforme (valores casi idnticos) con la expresin del clculo terico:

    max

    1 2

    1 1 1 2,828 rad/mn.1 0,25

    cK

    T T

    1

    Verificar este dato mediante la opcin Crtica sobre el diagrama de Nyquist.

    T KK

    T TT Ti,min

    1

    1

    11 1

    1 0 251 0 25

    0 11 21 2

    ,,

    ,

    22,827 rad/mn.

    2,222c

    %

  • 399

    Tambin podemos leer la frecuencia crtica, con bastante aproximacin, ejecu-tando el diagrama de Bode o Real en lazo cerrado. Vemoslo. Modificar:

    Escala de ganancia : 0 0 16; -24 0 +24 Seleccionar en Cambios/Modos la opcin En lazo cerrado. Ejecutar el Diagrama Real.

    Se observa que, en efecto, la curva angular muestra un salto brusco en la fre-cuencia de / (2,828427). Seleccionar en Cambios/Modos la opcin En lazo abierto. Ejecutar el Diagrama Real superponindolo al anterior.

    Ntese que la curva angular corta a la lnea de -180, justo donde la curva del mdulo corta a la lnea de mdulo 1, en la frecuencia crtica, coincidiendo con la lnea del salto brusco, antes citada. Modificar:

    C-1 : G 4 / Ti 0,16 Duracin 12

    Ahora se tiene igualmente Ti Ti,min0,16. Ejecutar la Repuesta temporal, veri-

    ficando, al igual que antes, que la respuesta es oscilatoria mantenida.

    Comprubese que si se cumple

    la respuesta es siempre estable, por grande que sea el valor de la ganancia G del controlador. Modifique el lector diversos parmetros y observe los resultados.

    Es importante comprender por qu en unos casos s y en otros no, existe una limitacin en el valor de la ganancia que asegure la estabilidad del sistema. Sabemos que un sistema es inestable si el ngulo de fase alcanza el valor de -180, para ga-nancias superiores a la unidad. El ngulo de fase introducido por un retardo de tiempo (de primer orden) es nulo a bajas frecuencias y se aproxima a -90, a altas frecuencias. Por lo tanto, un lazo con control slo proporcional ser preciso que contenga por lo menos tres retardos de tiempo para presentar inestabilidad, siempre que la ganancia del lazo sea suficientemente alta. Con control integral puro, el con-

    T T TT Ti

    '

    1

    1 21 2

    1 0 251 0 25

    0 2,,

    ,

    Apdo. 8.3.7 - Prct. 8.10

    2,8 rad /mn., coincidiendo con el pico de resonancia

  • 400 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    trolador introduce un retraso adicional de 90,, por lo que un sistema con dos retar- dos puede ser inestable con una accin integral fuerte (tiempo integral pequeo), ya que para el ngulo se hace de -270, y, por tanto, existe una frecuencia finita en la que el ngulo vale -180,. En un sistema con dos retardos y control P+I, el retraso de fase introducido por el controlador, al ir aumentando la frecuencia, cambia de 90 a 0, (es decir, el ngulo va de -90 a 0,), con lo que un ngulo total de -180, slo ser posible para determinados valores del tiempo integral. Dicho de otro modo: el retraso de 90, introducido por la accin integral es en bajas frecuencias, mientras que el retraso de 180, de los dos componentes retardo de primer orden es en altas frecuencias. Es por ello que, segn lo separadas que estn las frecuencias de tran-sicin, no siempre se tendr una zona media con un ngulo total que rebase los 180, de retraso. Vemoslo con el ejemplo que sigue. Modificar:

    C-1 : G 1 / Ti 0,2 Escala de ganancia : 0 0 2; -6 0 +6 Escala de ngulos : -360 0 +360 Frecuencia inicial : 0,01; -2 Frecuencia final : 1000; +3

    Ejecutar el Diagrama Real de la respuesta frecuencial en lazo abierto.

    Observar que la curva del ngulo se acerca asintticamente a la lnea de -180,. Nos queda cierto margen de ganancia y de fase. Para un mdulo igual a 1 el ngulo no llega a -180,. La respuesta temporal ser estable. Modificar:

    C-1 : G 10 (diez veces mayor) Ejecutar el Diagrama Real, superponindolo al anterior.

    La curva angular es la misma (recurdese que es independiente de la ganancia), y si bien la curva del mdulo se ha desplazado (en realidad sus valores para cada frecuencia se han multiplicado por 10), sigue quedando un pequeo margen de ganancia y de fase. Esto es vlido cualquiera que sea la ganancia del controlador; en todos los casos se tiene que Ti Ti,min. Modificar:

    C-1 : G 0,25 / Ti 0,1 Ejecutar nuevamente la Respuesta frecuencial.

    La curva angular, a partir de determinada frecuencia ( / 3), est por debajo de -180,; pero en este punto el mdulo es menor que 1 (queda margen de ganancia). El sistema es estable. Tambin se cumple que Ti Ti,min. Recurdese que la frecuencia

  • 401

    en la que en lazo abierto el ngulo vale -180, se llama frecuencia crtica o de reso-nancia (vase el apartado 7.4 en la declaracin de la pgina 318). Modificar:

    C-1 : G 3 Ejecutar otra vez la Respuesta frecuencial.

    Ahora, cuando el ngulo es de -180,, el mdulo es mayor que 1 (lo que sucede para toda ganancia del controlador G 1). El margen de ganancia es negativo. Comprubese ejecutando el Diagrama de Nyquist, y a continuacin, mediante la

    opcin Crtica (F/C), hallar la frecuencia crtica.

    Por tanto, vemos que se tiene inestabilidad, con oscilaciones crecientes en la respuesta temporal; ahora Ti Ti,min. 8.3.8 Control proporcional-integral de un proceso

    formado por tres retardos de primer orden

    Las ecuaciones que surgen de un sistema como ste resultan, como puede supo-nerse, excesivamente complejas para tratar de exponerlas. Tngase en cuenta que aparece un denominador de cuarto grado. No obstante, podremos analizar el sistema valindonos de la simulacin por ordenador.

    Ahora no puede hablarse de un Ti,min, ya que, como sabemos, en un sistema con tres retardos es posible tener inestabilidad, aun sin accin integral, si la ganancia es lo suficientemente elevada.

    La frecuencia crtica en funcin de Kmax es

    La figura 8.14 nos muestra, de forma genrica, diversas grficas de la respuesta temporal a un cambio en el punto de consigna, de la misma magnitud para todos los casos. En las curvas de la columna de la izquierda la ganancia del controlador vale Kc0,4KcP,max, donde KcP,max es la ganancia del controlador que hace crtico el lazo cuando el controlador es slo proporcional. Se muestran las respuestas para control proporcional puro y para un tiempo integral alto, medio y bajo. Puede observarse que sin accin integral la respuesta es relativamente buena, pero presenta desviacin permanente. Si la accin integral es dbil (tiempo integral grande), la recuperacin es demasiado lenta (perezosa), si bien presenta pocas oscilaciones. Y, finalmente, si la

    max

    1 2 1 3 2 3

    1c

    KT T T T T T

    Apdos. 8.3.7 - 8.3.8 - Prct. 8.10

  • 402 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    accin integral es demasiado enrgica (tiempo integral pequeo) las oscilaciones duran excesivamente, e incluso el sistema podra volverse inestable. En las curvas de la derecha la ganancia del controlador es Kc 0,6KcP,max, en donde observamos que en todos los casos las oscilaciones persisten demasiado tiempo y que incluso son crecientes (sistema inestable) con un tiempo integral pequeo. Ello es debido a que se ha fijado una ganancia demasiado grande.

    Fig. 8.14 Efecto de la accin integral en un sistema con tres constantes de tiempo. En la pgina 432 se muestran los datos de configuracin de este sistema

    De acuerdo con lo dicho en el apartado anterior (ver la prctica 8.10), en un sistema con tres o ms retardos de tiempo, el ngulo de fase total tender a -270, cuando la frecuencia tienda a infinito. Esto significa que, aun con una accin integral nula, es posible alcanzar la inestabilidad si la ganancia esttica total del lazo excede de un determinado valor (Kmax), lo que ya se estudi en el apartado 8.3.4 (pg. 379). En cualquier caso, la accin integral introduce un efecto desestabilizador en el sis-tema, tanto mayor cuanto ms enrgica sea (Ti pequeo); en contrapartida, anula la

  • 403

    desviacin permanente y lo hace tanto ms rpidamente cuanto mayor es la accin integral. En general, es preciso llegar a un valor de compromiso, siguiendo alguno de los criterios que se mencionaron en el apartado 7.3 (pg. 311). Uno de los criterios prcticos que tiene mayor aceptacin es el de hacer que la respuesta presente una razn de amortiguacin de 1/4; esto es, cuando la relacin entre las magnitudes de dos picos consecutivos del mismo signo mantiene dicha proporcin. Ms adelante veremos la forma de alcanzar este tipo de optimizacin.

    Prctica n 8.11 Entrar en Control de un lazo cerrado simple y anular todos los bloques (opcin

    A/N de teclado o botn [Bloques nulos] del diagrama de bloques). Preparar la siguiente configuracin y guardarla en el disco duro:

    C-1P+I+D; G 1 / Ti 9999999 / Td 0 / C 50 / Ca 0 P-1Retardo de primer orden; T 1 / K 1 P-2 Retardo de primer orden; T 0,25 / K 1 P-3 Retardo de primer orden; T 0,5 / K 1 Duracin 15

    Seleccionar en Cambios/Modos: Medida

    Seleccionar las siguientes escalas: Escala de ganancia : 0 0 2; -6 0 +6 Escala de ngulos : -360 0 +360 Frecuencia inicial : 0,01; -2 Frecuencia final : 100; +2

    Hemos configurado un controlador P, a efectos de hallar el valor de KcP,max

    (ganancia del controlador que hace el sistema crtico utilizando solamente accin proporcional). La razn es que vamos a tratar de optimizar el control basndonos, en principio, en las frmulas denominadas de Ziegler-Nichols. Es un mtodo de apli-cacin prctica que consiste en ir aumentando en saltos progresivos la ganancia del controlador (provisto solamente de accin proporcional) hasta provocar en el sistema una oscilacin mantenida; esto es, hasta llevarlo a condicin crtica (en la prctica, despus de cada cambio de ganancia, se acta en el punto de consigna dando un pe-queo escaln en sentido opuesto al que se dio la vez anterior). En este momento, se anota la ganancia Gu (la que hemos llamado KcP,max) que presenta el controlador (tradicionalmente equivaldra a la llamada banda proporcional ltima, BPu), y se mide el perodo de la oscilacin, llamado periodo ltimo, Pu. Entonces, los par-metros del controlador que presumiblemente darn una respuesta temporal con una razn de amortiguacin de 1/4 (relacin entre dos picos consecutivos del mismo signo), sern los siguientes:

    Apdo. 8.3.8 - Prct. 8.11

  • 404 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Controlador P : 2

    uGG

    Controlador P+I: ;2,2 1,2

    u ui

    G PG T

    Controlador P+I+D: ; ;1,7 2 8

    u u ui d

    G P PG T T

    Cuando menos, el mtodo resulta til como punto de partida, si bien, en muchas ocasiones es preciso efectuar algunas correcciones para terminar de optimizar la res-puesta. En particular, el mtodo no resulta satisfactorio en aquellos sistemas que contengan algn componente del tipo integrador. Tngase presente que estas frmu-las fueron desarrolladas para un determinado modelo de proceso y, por tanto, no son realmente universales; pero, adems, la optimizacin de un sistema variar segn se est pensando en la respuesta a cambios en el punto de consigna o a perturbaciones. Por otra parte (recurdese el apartado 7.3, pg. 311, Criterios de optimizacin), segn el criterio elegido variarn los parmetros ptimos del controlador. En otras palabras, la solucin no es tcnicamente nica y puede depender hasta de gustos o criterios personales.

    Por ejemplo, cuando una solucin, con relacin a otra, disminuye ligeramente la amplitud de las oscilaciones a costa de hacerlas algo ms duraderas, y en ambos casos no se rebasa la limitacin especfica del proceso en ninguno de los dos aspec-tos, entonces podramos decir que ambas soluciones son igualmente vlidas.

    Aqu nos apoyaremos en la Respuesta frecuencial para determinar rpidamente la condicin crtica. Ejecutar el Diagrama de Nyquist (F/N). Vemos que Kt presenta un valor muy bajo; la respuesta temporal sera muy

    amortiguada. Cambiemos la ganancia del controlador a 10 y probemos nueva-mente. Ahora vemos que Kt / 0,8889 (comprobarlo con la opcin Crtica) y, por tanto, el margen de ganancia es

    1 1 1,125

    0,8889g

    tM

    K

    de donde

    ,max 10 1,125 11,25 11cK 1 /

  • 405

    El lector podra argumentar que se acaba antes continuando con los tanteos, y desde luego mucho antes mediante las opciones Crtica o Cruce; pero en este caso pretendemos aplicar un mtodo ms convencional (no siempre se dispone de un programa de apoyo por ordenador, y entonces es preciso resolverlo convencional-mente). Adems, con dichas opciones hallaramos estos valores con absoluta pre-cisin, si bien es innecesario para nuestros propsitos. Por tanto, la nueva ganancia que hay que fijar en el controlador para hacer el sistema crtico ser de Gu 11,25 (en la prctica, el valor 11 sera una aproximacin aceptable). Ejecutar la Respuesta temporal con G 11,25 y comprobar que, en efecto, se

    est en condiciones crticas (lmite de estabilidad). Observamos que el periodo ltimo de las oscilaciones, Pu , es de unos 1,7 minutos.

    Ejecutar el Diagrama de Nyquist (F/N) y ejecutar la opcin Crtica o Cruce (recurdese que en condiciones crticas, la frecuencia crtica o de resonancia coincide con la de cruce de ganancia y con la frecuencia de las oscilaciones).

    En el panel inferior de datos numricos puede leerse una frecuencia de 0,5955 ciclos/mn., lo que equivale a un periodo ltimo, Pu 1/ 0,5955 1,679 mn. (/ 1,7).

    Ahora aplicaremos las frmulas de Ziegler-Nichols dadas ms atrs y obten-dremos

    Fijar estos valores en el controlador y observar la respuesta temporal. Es acep-table, pero debe mejorarse. Es importante que el lector ensaye otros valores. Las modificaciones conviene hacerlas en uno solo de los parmetros a la vez, obser-vando los efectos producidos en la respuesta; de lo contrario, modificando varios parmetros simultneamente, puede ser difcil evaluar la contribucin individual, de cada uno de los cambios, en los resultados.

    Ver qu sucede cuando la accin integral es demasiado fuerte o demasiado dbil;

    por ejemplo, con Ti 0,5 y despus con Ti 4. Obsrvese la respuesta frecuencial en lazo cerrado. Probar con los valores G2,6 y Ti 2, y tambin G1 y Ti 1,3.

    Ensyense las frmulas de Ziegler-Nichols para un controlador P+I+D, introdu-ciendo accin derivativa.

    G G

    T P

    u

    iu

    2 2112 2

    5

    1 21 71 2

    1 4

    , ,

    ,,,

    ,

    Apdo. 8.3.8 - Prct. 8.11

  • 406 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    8.3.9 Control proporcional-integral-derivativo de un proceso formado por dos retardos de primer orden

    La accin derivativa produce una correccin que es proporcional a la velocidad

    de variacin de la variable controlada, oponindose a dicha variacin. La caracters-tica principal de esta accin es que, frente a cambios en la variable controlada, se anticipa en el tiempo, efectuando una correccin que la accin proporcional sola no producira hasta ms tarde. El signo y la magnitud de la seal de error no son tenidos en cuenta por este tipo de accin, sino solamente la direccin en la que se est pro-duciendo el cambio, y la velocidad a la que lo hace; es decir, el signo y la magnitud de la derivada. Cuando la seal de error se mantiene constante (aunque sea distinta de cero) no ejerce ningn tipo de correccin. La accin derivativa se emplea general-mente complementando el control proporcional o el proporcional-integral.

    La adicin de la accin derivativa no modifica el orden del sistema.

    La figura 8.15 muestra un diagrama de bloques de un sistema con dos retardos de primer orden, con posibles perturbaciones en los mismos, regulado por un con-trolador P+I+D.

    Fig. 8.15 Control P+I+D de un proceso compuesto por dos retardos de primer orden sometidos a perturbaciones

    Aqu solamente presentaremos la funcin de transferencia correspondiente a una perturbacin introducida despus del segundo bloque de proceso.

    en donde se ha hecho

    YU

    K TK

    s T sT T T

    Ks T T T K T

    Ks T K

    Ks

    u i

    i i d i2

    2 1

    1 2 3 1 2 2

    11

    1

    ( )( ) ( )

  • 407

    Ntese que esta ecuacin es similar a la del control P+I (apdo. 8.3.7, pg. 395), ya que slo difiere en el factor T1+T2, que ahora es T1+T2+KTd.

    El tiempo integral Ti que hara el sistema crtico es

    que nos indica que el mnimo tiempo integral que podemos fijar en el controlador, para asegurar que el sistema sea estable, ser tanto menor (accin ms enrgica) cuanto mayor sea el tiempo derivativo. De donde se deduce que la accin derivativa ejerce un efecto estabilizador, cosa que permite utilizar tanto una mayor ganancia como un menor tiempo integral (ntese el producto KTd).

    Tambin nos demuestra que en determinados casos no hay lmite en la ganancia del controlador. En efecto, si el tiempo integral satisface

    el sistema siempre ser estable.

    Esta ltima ecuacin puede inducir a pensar que no hay lmite en el valor que puede asignarse al tiempo derivativo; pero tngase presente, una vez ms, que los procesos reales nunca son tan puros, lo que impone limitaciones reales al valor de dicho parmetro. De hecho, desde el punto de vista del margen de ganancia, existe, en general, un valor ptimo de tiempo derivativo en el que se consigue el mximo margen de ganancia. Por debajo y por encima de este ptimo el margen de ganancia se reduce, de tal manera que aumentando indiscriminadamente el tiempo derivativo el sistema se hace inestable. Esto ser visto con mayor detalle en la prctica 8.16, del apartado 8.5.3.

    La frecuencia crtica puede expresarse en funcin de Kmax; es decir, del mdulo global del lazo que hace el sistema crtico, y vale

    y para un sistema con tres retardos de tiempo vale

    K K K Kc 1 2

    T KK

    T TT T K Ti d

    ,min 11 2

    1 2

    T T TT T K Ti d

    '

    1 2

    1 2

    cK

    T T max 1

    1 2

    cK

    T T T T T T

    max 1

    1 2 1 3 2 3

    Apdo. 8.3.9

  • 408 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    las cuales, aparentemente, no incluyen ni a Ti ni a Td; pero debe tenerse en cuenta que Kmax depende de ambos parmetros, de tal manera que al aumentar cualquiera de ellos aumentar Kmax y, por tanto, tambin lo har c.

    Obviamente, si en un sistema con dos retardos de tiempo se da la condicin Ti Ti,min , entonces no existe Kmax (es infinita) y no puede hablarse de frecuencia crtica, ya que el sistema nunca puede hacerse crtico. Por el contrario, en un sistema con tres o ms retardos de tiempo siempre existir un valor finito de Kmax que har el sistema crtico. Recurdese que por estas mismas razones, tampoco en este caso se puede hablar de un valor Ti,min.

    La accin derivativa mejora la estabilidad de los sistemas con tres o ms retar-dos de tiempo. Un control ideal con tres retardos podra ser estabilizado, cualquiera que sea la ganancia del controlador, empleando un tiempo integral elevado y un tiempo derivativo mayor que la menor de las constantes de tiempo.

    Queremos llamar la atencin del lector, en el sentido de que el programa Con-trolP permite la simulacin, en la opcin Control de un lazo cerrado simple, de un proceso que contenga hasta tres retardos de tiempo de segundo orden, lo que, como es sabido, equivale a seis retardos de primer orden. Adems, en la rama de medida pueden asignarse dos retardos (uno de primer orden y otro de segundo). Cuando se utilice un retardo de segundo orden para simular dos retardos de primer orden en serie, habr que prestar atencin al fijar el factor de amortiguacin , recordando que debe ser mayor o igual a la unidad (ver apartado 4.2.8.e, pg. 115).

    La accin derivativa no suele emplearse en procesos rpidos, tales como un control de caudal, dado que estos sistemas generan normalmente seales con un im-portante contenido de ruido (variaciones rpidas que equivalen a altas frecuencias), el cual es fuertemente amplificado por la accin derivativa.

    La figura 8.16 presenta el diagrama de bloques de un sistema de cuarto grado, en el que es introducida una perturbacin en escaln delante del segundo bloque.

    Fig. 8.16 Sistema controlado de cuarto orden con una perturbacin

  • 409

    La figura 8.17 muestra dos respuestas temporales debidas a esta perturbacin, ambas optimizadas; una de ellas para un controlador P+I y la otra para un contro-lador P+I+D. Puede observarse claramente que en el segundo caso, gracias a la accin derivativa, tanto la amplitud como la duracin de las oscilaciones se ven nota-blemente disminuidas.

    Fig. 8.17 Respuestas del sistema de la figura 8.16, optimizadas con un controlador P+I y con un controlador P+I+D

    Prctica n 8.12 Preparar la simulacin del un sistema segn se indic en la prctica anterior,

    8.11 (pg. 403), recuperndola del disco duro. Optimizar la respuesta con el controlador P+I. Anotar los parmetros obtenidos

    para el controlador.

    Optimizar la respuesta con un controlador P+I+D (tngase en cuenta que los valores Gu11 y Pu1,7 son, obviamente, los mismos, pues en ambos casos se refieren a un controlador P).

    Una buena optimizacin puede ser:

    Para el control P+I : G 1; Ti 1,3 Para el control P+I+D : G 4,5; Ti 2,9; Td 0,33

    Con los parmetros que se acaban de indicar, superponer ambas respuestas tem-porales.

    Apdo. 8.3.9 - Prct. 8.12

  • 410 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Notar la mejora en la respuesta, lograda al incorporar la accin derivativa. El tiempo de establecimiento se ha reducido aproximadamente a la mitad.

    Si como respuesta optimizada para un controlador P+I hubisemos considerado los parmetros G 2,6 y Ti 2, entonces la ventaja de la accin derivativa estara en que tanto la amplitud de las oscilaciones como su duracin se veran drsticamente reducidas. Ejecutar la Respuesta frecuencial en lazo cerrado para ambos controladores,

    superponindolas, y sacar las conclusiones oportunas. 8.4 Efecto de un retardo de tiempo en la medida

    Hasta ahora hemos visto que la salida del proceso o variable controlada era rea-limentada directamente al controlador, sin ningn tipo de retardo. Tampoco fijba-mos a los bloques una ganancia esttica distinta de la unidad, pero, en todo caso, la asignacin de ganancias a los bloques, es de inters slo cuando se efecta un esca-lado a partir de los datos tomados de un proceso real.

    En muchos casos, el retardo de tiempo en la medida es una de las constantes de tiempo significativas del lazo. Cuando, por ejemplo, se est controlando una tempe-ratura, el elemento primario (sensor) suele ser un bulbo termomtrico, el cual mos-trar unas caractersticas de retardo de primer o segundo orden, con constantes de tiempo elevadas, especialmente si no se han tomado las debidas precauciones a la hora del diseo y de la fabricacin (ver apdo. 4.2.8.h, penltimo prrafo, pg. 123).

    Recordemos, en la figura 8.18, el diagrama de bloques de un sistema controlado en el que el bloque de medida tiene asignada una determinada transmitancia Gm (ver apartado 8.3.1, pg. 352).

    Fig. 8.18 Sistema controlado con retardo de tiempo en la medida

  • 411

    La expresin general de la respuesta temporal debida a cambios del punto de consigna y de la variable perturbadora vimos que es

    en la que distinguimos claramente la componente debida al punto de consigna y la debida a la perturbacin.

    Si consideramos solamente la respuesta debida a los cambios de consigna pode-mos escribir

    y si consideramos la respuesta debida a los cambios de carga o perturbacin

    Ntese que Y es la variable controlada, cuyo valor no ser reflejado exactamente por la seal de medida M, debido a que entre ambas se interpone el bloque medidor. En efecto, de la figura 8.18 deducimos

    con lo que sustituyendo esta expresin en las dos anteriores, se obtiene

    y tambin

    Si redibujamos la figura 8.18, transformndola en la 8.19, comprenderemos inmediatamente que el sistema deber mostrar un comportamiento similar al que se tendra en otro sistema cualquiera, con realimentacin unitaria, en el supuesto que se hubiera aadido en la rama de avance un bloque con la funcin de transferencia Gm.

    As, por ejemplo, vamos a suponer un sistema formado por un retardo de primer orden, un controlador proporcional y un sistema de medida, tambin retardo de pri-mer orden (fig. 8.20).

    Y C GG G

    U GG Gm

    u

    m

    1 1

    YC

    GG Gm

    1

    YU

    GG G

    u

    m

    1

    M Y G Y MGm m

    ;

    MC

    G GG G

    m

    m

    1

    MU

    G GG Gu m

    m

    1

    Apdos. 8.3.9 - 8.4 - Prct. 8.12

  • 412 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Fig. 8.19 Presentacin redibujada del sistema de la figura 8.18

    Fig. 8.20 Sistema controlado con retardo de tiempo en la medida

    La respuesta temporal debida a una perturbacin ser

    en la que llamando K a la ganancia esttica global del lazo; esto es KKc Kp Km

    y tomando el factor K+1 para dar al denominador la forma usual, obtendremos

    y de aqu, haciendo como en otras ocasiones

    YU

    GG G

    KT s

    K KT s

    KT s

    u

    m

    u

    cp m

    m

    11

    11 1

    1

    1

    YU

    KK

    T sT TK

    s T TK

    s

    u m

    m m

    11

    1 111 2 1

  • 413

    obtenemos finalmente la ecuacin correspondiente a un sistema de segundo orden, lo que no significa, en este caso, un retardo puro (vase el numerador).

    Comprese esta ecuacin con las obtenidas en el apartado 8.3.3, al tratar de un Control proporcional de un proceso con dos retardos de primer orden, Respuesta frente a perturbaciones (pg. 373). Ntese que es similar a la que se refera a un cambio de carga (perturbacin) introducido en el ltimo bloque del proceso.

    Fig. 8.21 Efecto de un retardo de tiempo en la medida

    La figura 8.21 muestra la respuesta frente a un cambio de carga de un sistema como el que estamos tratando, en donde se ha hecho Tm T1 1 y se ha dado al controlador una ganancia de 20,7, lo que produce una respuesta amortiguada, con una relacin de amortiguacin 1/4. El grfico presenta la evolucin de la medida junto con la de la variable controlada. Hay que hacer notar que en los procesos

    T T TK

    T TT T K

    m

    m

    m

    1

    1

    1

    1

    2

    1

    1

    Y U KK

    T sT s Ts

    u m

    1

    1

    2 12 2

    Apdo. 8.4

  • 414 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    reales, difcilmente podemos conocer el verdadero valor de la variable controlada, ya que nuestra nica referencia de la misma es a travs de la medicin, y, sin embargo, en este grfico podemos observar que la amplitud de las oscilaciones del proceso (variable controlada) es notablemente mayor que la mostrada por la medida. En par-ticular, el primer sobreimpulso pudiera haber rebasado los lmites tolerables, sin que ello haya sido denunciado por la medida. Segn comprobaremos ms adelante, este fenmeno se agrava cuanto mayor es la relacin Tm / T1. Esto nos conduce a una simple y clara conclusin:

    Los retardos de tiempo en el dispositivo de medida perjudican la regulacin de un proceso, ya que enmascaran el verdadero valor de la variable contro-lada, la cual puede contener oscilaciones y desviaciones cuyas magnitudes sean notablemente mayores que las mostradas por su medicin.

    Tambin comprobaremos que para procesos ms complejos, el retardo de tiempo

    en la medida tiende a desestabilizar el sistema (los mrgenes de ganancia y de fase disminuyen). Prctica n 8.13

    Sea un sistema controlado compuesto por una vlvula, un calentador de aire y un bulbo de temperatura, los cuales tienen unas constantes de tiempo de 0,1; 0,3 y 1 minuto, respectivamente. La regulacin es llevada a cabo por un controlador P+I. El sistema sufre fuertes cambios de carga en el proceso. Alguien demuestra que el sistema mejora su respuesta si se introduce el bulbo en una vaina (funda), a efectos de aumentar la constante de tiempo TM del medidor. Se asume que la constante de tiempo ha sido doblada, pasando a ser de 2 minutos. La demostracin se basa en los registros grficos que se dispone de la respuesta, frente a perturbaciones simila-res, con y sin la vaina en cuestin.

    Fig. 8.22 Sistema controlado de la prctica 8.13

    En efecto, se observa que las variaciones de temperatura han sido reducidas aproximadamente en un tercio. Sabemos, sin embargo, que el aumento en el retardo

  • 415

    de tiempo del medidor no puede mejorar la regulacin. Hay que demostrar, seria-mente, que las conclusiones que se han obtenido son errneas, a pesar de las apa-riencias.

    La figura 8.22 muestra la configuracin correspondiente a este problema. Ntese la perturbacin del tipo sustractivo. Los parmetros Kc y Ti del controlador son determinados en cada caso para optimizar la respuesta frente a una perturbacin y se conviene que son los siguientes:

    Para TM 1: Kc 2,2; Ti 0,75 Para TM 2: Kc 3,3; Ti 0,85

    Instrucciones Entrar en la opcin Control de un lazo cerrado simple. Pulsar el botn [Bloques nulos]. Preparar la siguiente configuracin:

    C-1P+I+D; G 2,2 / Ti 0,75 / Td 0 / C 50 / Ca 50 P-1Retardo de primer orden; T 0,1 / K 2 P-2Retardo de primer orden; T 0,3 / K 1 U-1Ganancia; K -1 / U 60 / Ua 0 / Esp 0 M-1Retardo de primer orden; T 1 / K 1 / Z 0 Duracin 6

    Importante: Seleccionar en Cambios/Modos: Medida (*Esto es importante

    Ejecutar la Repuesta temporal.

    El grfico nos presenta la respuesta debida al cambio de carga, para el caso en que el bulbo se halla desprovisto de su vaina (TM 1). Modificar:

    C-1 : G 3,3 / Ti 0,85 M-1 : T 2 (caso con vaina, TM 2)

    Ejecutar la Respuesta temporal, superponindola a la anterior.

    Esta es la respuesta para el caso en que se halla incluida la discutida vaina. Dado que ambas respuestas estn optimizadas, parece confirmarse que la regulacin ha mejorado, puesto que las oscilaciones causadas por la misma perturbacin son ahora de menor amplitud. Sin embargo, esto es solamente cierto en cuanto a la variable medida, que es la mostrada por los registros. Lo que debemos analizar es qu ha sucedido con la verdadera variable controlada; es decir, con la temperatura real del proceso, la cual nunca ser mostrada (observada) en un sistema real.

    Apdo. 8.4 - Prct. 8.13

  • 416 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Seleccionar en Cambios/Modos: Medida y Variable controlada (*Esto es importante

    Ejecutar nuevamente la Respuesta temporal. Entrar los parmetros correspondientes a la instalacin sin vaina, haciendo la

    modificacin: C-1 : G 2,2 / Ti 0,75 M-1 : T 1

    Ejecutar la Respuesta temporal, superponindola a la anterior.

    Los grficos de color verde corresponden a la respuesta sin vaina, y los de color rojo a la respuesta con vaina. Para cada caso, las lneas de trazo continuo muestran la medida y las de puntos la variable controlada (proceso).

    Puede comprobarse fcilmente que las oscilaciones de la temperatura del proce-so son algo mayores en el caso con vaina y, por otra parte, tardan ms tiempo en estabilizarse. La frecuencia de sus oscilaciones es menor (el periodo es ms largo), lo cual puede confirmarse ejecutando el Diagrama de Bode o Real, en lazo abierto, superponiendo las curvas de ambos casos y observando las respectivas frecuencias de resonancia (donde la curva angular corta a la lnea de -180,). Tambin puede verificarse sobre el Diagrama de Nyquist, mediante la bsqueda de la frecuencia crtica, en la opcin Crtica.

    8.5 Efecto de un tiempo muerto en un sistema

    Otros ejemplos son la cinta transportadora, o el analizador continuo que tiene que recibir la muestra a analizar a lo largo de una pequea conduccin de mayor o menor longitud (vase el apartado 4.2.9, Elemento tiempo muerto, pg. 127).

    8.5.1 Efecto del tiempo muerto en la medida

    En principio, resulta evidente que el controlador recibe constantemente una informacin obsoleta, lo que equivale a decir que las decisiones que toma en cada momento, las toma con retraso. Desde el instante en que se produce un deter-minado cambio o reaccin del proceso, hasta el momento en que el controlador reci-

    Recordemos que los tiempos muertos se producen en los procesos reales debido a un fenmeno de transporte de materia. En muchos casos es una propiedad o cua-lidad de esta materia la que se desea controlar, y que, por tanto, se precisa medir(temperatura, densidad, pH, etc.). Un caso muy tpico es el de la medida de la tempe-ratura basada en un bulbo o sensor, situado en una conduccin, a cierta distancia (por razones constructivas) de donde realmente interesara medir. El tiempo que tarda el fluido en recorrer la distancia que separa ambos puntos es un tiempo muerto. Cual-quier variacin de temperatura que se produzca en el proceso, no empezar a ser percibida por el medidor y, por tanto, por el controlador, hasta un tiempo ms tarde.

  • 417

    be la correspondiente informacin, el sistema ha seguido evolucionando. Recurdese la diferencia fundamental con los retardos de tiempo, en los que los cambios se manifiestan desde el primer momento en que se producen. De aqu que a veces se utilice la expresin tiempo muerto puro.

    Segn podremos comprobar a continuacin, los tiempos muertos tienden a desestabilizar cualquier sistema, o en todo caso hacen ms difcil su controlabilidad. La razn es muy clara: segn se estudi en el apartado 6.4.5 (pg. 280), el ngulo de fase de un tiempo muerto es -T, lo que implica un retardo que crece ilimitada-mente con la frecuencia; en otras palabras, para , entonces -. Esto signi-fica que cualquier sistema al que se le aada un tiempo muerto ver incrementado su ngulo de retardo en una magnitud tanto mayor cuanto mayor sea la frecuencia, de tal manera que los mrgenes de ganancia y fase se vern siempre disminuidos. Si la ganancia del lazo es lo suficientemente elevada, el sistema podr hacerse inestable. Cualquier proceso que contenga un tiempo muerto tiene una frecuencia crtica y una ganancia mxima finitas. Tngase presente que esto es igualmente vlido incluso para aquellos sistemas que sin la presencia de tiempo muerto son estables para cual-quier valor de ganancia; lo cual sucede cuando el ngulo de fase tiende asinttica-mente a -180, a altas frecuencias. En estas condiciones el margen de ganancia es infinito e igualmente lo es la ganancia mxima, pero al incorporar el tiempo muerto ambos parmetros pasan a tener un valor finito.

    Fig. 8.23 Influencia del tiempo muerto en la respuesta frecuencial mostrada por un diagrama de Nyquist

    Apdos. 8.4 - 8.5 - 8.5.1 - Prct. 8.13

  • 418 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    La figura 8.23 muestra el diagrama de Nyquist de un sistema, tal como el que se acaba de describir, y del mismo sistema con un tiempo muerto adicional.

    Se observa claramente que en el segundo caso el sistema a pasado a ser ines-table. El efecto del tiempo muerto en un diagrama de Nyquist es modificar la grfica y convertirla en una espiral en la zona de altas frecuencias, de tal manera que no existe acercamiento asinttico a ninguno de los ejes cuando la frecuencia tiende a infinito. Este fenmeno puede apreciarse mejor en el diagrama de Bode de la figura 8.24, en el que se muestran las mismas respuestas. Puede observarse que para bajas frecuencias la influencia del tiempo muerto es despreciable (su colaboracin en el retardo total es escasa); pero a medida que crece la frecuencia, mientras que el siste-ma sin tiempo muerto tiende asintticamente a -270, (por tres constantes de tiempo), el sistema con tiempo muerto muestra un retardo creciente de manera ilimitada. N-tese que la curva de ganancia no se ve afectada por la presencia de un tiempo muerto, lo cual resulta obvio si se piensa que ste no modifica la amplitud de una seal.

    Fig. 8.24 Influencia del tiempo muerto en la respuesta frecuencial, mostrada por un diagrama de Bode

    Prctica n 8.14 Entrar en la opcin Control de un lazo cerrado simple. Pulsar el botn [Bloques nulos].

    Preparar la siguiente configuracin: C-1 P+D; G 8 / Td 0 / C 50 / Ca 20 P-1 Retardo de primer orden; T 0,5 / K 1

  • 419

    M-2 Retardo de primer orden; T 0,5 / K 1 Duracin 8

    Seleccionar en Cambios/Modos: Medida

    Seleccionar las siguientes escalas: Escala de ganancia : 0 0 2; -6 0 +6 Escala de ngulos : -360 0 +360 Frecuencia inicial : 0,01; -2 Frecuencia final : 100; +2

    Ejecutar el Diagrama de Nyquist.

    Resulta evidente que cualquiera que sea la ganancia asignada al controlador el sistema siempre ser estable. No existe un valor finito de Kmax. El margen de ganan-cia es infinito. Modificar:

    M-1 Tiempo muerto; Tm 12 (Mantener M-2 como Retardo de primer orden)

    Ejecutar nuevamente el Diagrama de Nyquist.

    Se observa que con la adicin del tiempo muerto el sistema ha pasado a ser ines-table. Modificar:

    C-1 : G 4 P-2 Retardo de primer orden; T 0,5 / K 1 M-1 Ganancia; K 1 Escala de ganancia : 0 0 4; -12 0 +12 Frecuencia final : 1000; +3

    Ejecutar el Diagrama de Nyquist.

    El lazo tiene un total de tres retardos de primer orden, sin tiempo muerto en la medida, y presenta ya una frecuencia crtica y un margen de ganancia de 2. Si ahora introducimos el bloque Tiempo muerto pasar a ser inestable. Ejecutar el Diagrama Real de la Respuesta frecuencial, sin y con tiempo muer-

    to. Para ello, en el bloque M-1, asignar los componentes Ganancia y Tiempo muerto, respectivamente.

    Observar que, sin tiempo muerto, la curva angular tiende asintticamente a

    -270,, mientras que con tiempo muerto el ngulo se va haciendo progresivamente ms negativo a medida que aumenta la frecuencia. Ntese que cada vez que la curva al salirse por el fondo del grfico es arrastrada dentro del mismo, reentrando por

    Apdo. 8.5.1 - Prct. 8.14

  • 420 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    la parte superior, implica una acumulacin de -720, en la nueva lectura con respecto a la anterior. No obstante, el mdulo tiende a cero como consecuencia de la atenua-cin que presentan los retardos de tiempo, la cual no es modificada por el tiempo muerto. Identificar este fenmeno con la espiral que muestra el diagrama de Nyquist, y que va a ser visto con mayor detalle a continuacin. Modificar:

    M-1 Tiempo muerto; Tm 180 Frecuencia final : 10; +1

    Ejecutar el Diagrama de Nyquist. Modificar:

    M-1 Ganancia Ejecutar nuevamente el Diagrama de Nyquist. 8.5.2 Efecto del tiempo muerto en el proceso

    Si el tiempo muerto se halla contenido en el proceso, el efecto con relacin a la estabilidad del sistema es idntico al que se tena cuando se hallaba en la medida. Ello resulta evidente si se atiende al Anlisis frecuencial, basado normalmente en la respuesta de frecuencia en lazo abierto, puesto que la forma de dicha respuesta resul-ta ser independiente del orden en el que se hallan colocados los bloques. Es cierto que ahora el controlador no recibe la informacin obsoleta; pero en el fondo el fenmeno sigue siendo el mismo: en algn momento, el flujo de una determinada informacin o accin correctora se retrasa durante cierto tiempo, mientras que el proceso en s sigue evolucionando. Dicho en otras palabras, las acciones de control emitidas por el controlador son aplicadas con retraso en algn punto del proceso.

    Un caso tal como este se produce, por ejemplo, cuando la adicin del producto corrector (variable manipulada) en un control de mezcla (control de proporcin o de alguna propiedad) viaja a travs de una cinta transportadora, ms o menos larga, hasta ser vertido en el flujo principal (por ejemplo, adicin de ciertos aditivos granu-lares a un flujo de detergente en polvo). Otro ejemplo sera una toma de muestra con-ducida hasta un analizador que se encuentra a cierta distancia. La realidad es que muchos procesos (por no decir la mayora) llevan tiempos muertos ocultos de mayor o menor magnitud en su propia naturaleza: un intercambiador de calor, un reactor qumico, un reactor nuclear, un horno, una torre de refrigeracin, una colum-na de destilacin, un analizador, etc. En todos ellos existe un flujo msico (caudal circulante) el cual transporta un producto a velocidad finita y que, por tanto, retrasa el inicio de las acciones que le son propias (calentamiento, reaccin, evaporacin, anlisis, etc.), en vez de hacerlo de manera instantnea (al margen de la actuacin progresiva de los retardos de tiempo que se hallen implicados).

    Nota: Debera utilizarse la palabra retardo para referirse a retardos de tiempo (de cualquier orden), y retraso para referirse a tiempos muertos.

  • 421

    Es preciso aclarar que un proceso, incluida la medida, compuesto exclusiva-mente por un tiempo muerto puro (fsicamente ello no es posible de manera rigu-rosa) sera incontrolable para toda ganancia esttica global del lazo superior a la unidad. Con ganancia global igual a la unidad el controlador acta siempre de tal modo que causa una oscilacin en forma de pulsos cuadrados de amplitud constante. Esto es debido a que tanto la medida como la accin correctora se mueven de mane-ra repetitiva, cada una de ellas, entre dos niveles invariables (la salida del controla-dor se halla en contrafase con la medida). Si la ganancia es menor que la unidad, estos dos niveles se van aproximando hasta alcanzar un equilibrio carente de oscila-ciones. Si la ganancia es superior a la unidad, los dos niveles van distancindose hasta la saturacin. Esto podr comprenderse con el ejercicio que sigue a continua-cin. Es perfectamente admisible incluir accin integral en el controlador, pero la accin derivativa, tal como la estudiamos en este texto, provoca picos de amplitud infinita, debido al escarpado de los pulsos de la seal de medida. La regulacin me-diante un controlador integral (modo flotante de velocidad proporcional), permite un control muy suave del sistema, debido a que desde el primer momento se evitan los saltos bruscos que ocasiona la accin proporcional, por lo que resulta ser el modo de control ms recomendable. La adicin de algn retardo de tiempo en el lazo, en este caso mejora notablemente la controlabilidad del sistema. Prctica n 8.15 Entrar en la opcin Control de un lazo cerrado simple. Pulsar el botn [Bloques nulos]. Preparar la siguiente configuracin:

    C-1 P+D; G 1 / Td 0 / C 75 / Ca 25 P-1 Tiempo muerto; Tm 15 Duracin 3

    Seleccionar las siguientes escalas frecuenciales: Escala de ganancia : 0 0 2; -6 0 +6 Escala de ngulos : -180 0 +180 Frecuencia inicial : 0,01; -2 Frecuencia final : 100; +2

    Ejecutar el Diagrama de Nyquist.

    Ntese que el sistema se halla en situacin crtica. La grfica pasa por el punto [-1; 0]. Ejecutar los diagramas de Black, Real y de Bode para ver claramente el estado del sistema.

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Apdos. 8.5.1 - 8.5.2 - Prcts. 8.14 - 8.15

  • 422 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Se comprueba que, en efecto, las oscilaciones, en forma muy parecida a pulsos cuadrados de 15 segundos de duracin, son de amplitud constante. Las seales de medida y salida del controlador estn siempre en oposicin. Se comprender mejor si se repite la grfica para una duracin de 1,1 minutos. Reponer la duracin de 3 minutos y obtener nuevamente la grfica.

    La separacin aparente entre los pulsos es debida a la discretizacin del tiempo en los clculos y, por tanto, en la presentacin (ahora se tiene 1 segundo, puesto que la frecuencia de muestreo es 1). Para salvar este relativo inconveniente es preciso aumentar la frecuencia de muestreo. Seleccionar en Cambios/Muestreo (C/U):

    Frecuencia de muestreo: 16 Ejecutar la Respuesta temporal. Compararla con la grfica anterior pulsando de manera repetitiva la tecla A

    (opcin Misceln/Anterior). Modificar:

    P-1 : Tm 10 M-1 Tiempo muerto; Tm 5 Frecuencia de muestreo: 1 (opcin C/U)

    Ahora el tiempo muerto total del lazo sigue siendo el mismo (15 segundos). La

    respuesta ser similar, pero al haber introducido un bloque Tiempo muerto en la medida, podremos visualizar la variable proceso (la seal de medida ir retrasada 5 segundos con relacin al proceso). Ejecutar la Respuesta temporal.

    Sugerencia: asignar el bloque M-2 como Ganancia con K 1; Z 15 y repetir la grfica. Esto introduce una elevacin de cero en la transmisin, con lo que la medida queda desplazada verticalmente y se visualiza mejor. Modificar:

    P-2 Retardo de primer orden; T 0,2 / K 1

    Analizar las repuestas frecuencial y temporal, extrayendo las pertinentes con-clusiones por haber introducido un retardo de tiempo en el sistema. Ntese especial-mente que el sistema ha dejado de ser crtico. Modificar:

    P-2 Ganancia C-1 : G 0,7

  • 423

    Ejecutar el Diagrama de Nyquist y a continuacin la Respuesta temporal.

    Se observa que el sistema es perfectamente controlable. Devolver el valor de Z 0 en el bloque M-2. Modificar:

    C-1 P+I+D; G 1 / Ti 0,25 / Td 0 / C 75 / Ca 25 Ejecutar el Diagrama de Nyquist. Se observa claramente el efecto, en bajas frecuencias, de la adicin de la accin

    integral. El sistema sera inestable. Sin embargo, hacemos

    C-1 : G 0,7

    Ahora podemos ver en el diagrama de Nyquist que el sistema es estable y la respuesta temporal ya no presenta desviacin permanente.

    El lector puede verificar que la adicin de accin derivativa sera inadmisible.

    Ahora demostraremos la superioridad del controlador integral, cuando en el sistema predominan los tiempos muertos. Modificar:

    C-1 Integral; Ti 0,6 / C 75 / Ca 25 Analcense las repuestas frecuencial y temporal. Ensayar con otros valores de

    Ti, por ejemplo 0,2; 0,15 y 1,2, aumentando la duracin cuando sea necesario. Asignar el bloque de Proceso P-2 como Retardo de primer orden, dando diver-

    sos valores a la constante de tiempo T y comparar, en cada caso, el comporta-miento respectivo del Controlador P+I e Integral. Repetir la experiencia aa-diendo al sistema otros bloques Retardo de tiempo (de primer o segundo orden); por ejemplo los bloques V-1, P-3 y M-2.

    Nota importante

    Recurdese que, en principio, en un bloque retardo de segundo orden el factor de amortiguacin debe ser 1; lo contrario significara un componente subamortiguado (con facultad de oscilacin propia), el cual puede introducir inestabilidad en el sistema. En el captulo 9 se tratar este aspecto.

    8.5.3 Mejoras que aporta la accin derivativa

    La accin derivativa puede mejorar sensiblemente la controlabilidad de un siste-ma con tiempo muerto, con la condicin de que ste no sea dominante con relacin a

    Apdos. 8.5.2 - 8.5.3 - Prct. 8.15

  • 424 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    las constantes de tiempo. No obstante, cuando el tiempo muerto es importante, el beneficio obtenido es escaso, debido a que no es posible fijar un tiempo derivativo demasiado grande sin perjudicar la estabilidad. La respuesta frecuencial ofrece una buena ayuda para determinar la efectividad de la accin derivativa.

    Asimismo, la adicin de accin integral, tiene el inconveniente que sigue actuan-do aun cuando la variable controlada haya alcanzado el valor de la consigna, debido al retraso con que la medida enva la informacin al controlador, ya sea por retardos de tiempo o por tiempo muerto. Es por ello que hay que utilizar la accin integral con mucha prudencia y, en todo caso, conjugarla muy bien con la accin derivativa. Prctica n 8.16

    Un mtodo de trabajo que ayuda a investigar y comprender el efecto de la va-riacin de un determinado parmetro o componente, sobre la estabilidad del sistema, apoyndose en el Anlisis frecuencial, consiste en modificar la ganancia del contro-lador hasta hacer el sistema crtico. Cualquier cambio que se introduzca mostrar inmediatamente, en el diagrama de Nyquist o el de Black, si el sistema ha mejorado su estabilidad, pasando a ser subcrtico o, por el contrario, lo empeora hacindolo supercrtico. Despus, se repondr el valor de ganancia que corresponda.

    En esta prctica utilizaremos este mtodo para analizar el efecto de la accin derivativa en la mejora de la respuesta en un sistema con tiempo muerto, y para determinar, en un ejemplo concreto, cual es el valor ptimo que puede aplicarse. Instrucciones Entrar en la opcin Control de un lazo cerrado simple. Pulsar el botn [Bloques nulos]. Preparar la siguiente configuracin:

    C-1 P+D; G 4 / Td 0 / C 50 / Ca 20 P-2 Retardo de primer orden; T 0,5 / K 1 P-3 Retardo de primer orden; T 0,5 / K 1 M-1 Tiempo muerto; Tm 12 M-2 Retardo de primer orden; T 0,5 / K 1 / Z 0 Duracin 8

    Seleccionar en Cambios/Modos: Medida

    Seleccionar las siguientes escalas: Escala de ganancia : 0 0 2; -6 0 +6 Escala de ngulos : -180 0 +180

  • 425

    Frecuencia inicial : 0,01; -2 Frecuencia final : 10; +1

    Ejecutar el Diagrama de Nyquist.

    Se tiene un sistema crtico. El lector ir aumentando progresivamente el valor del tiempo derivativo del controlador (empezar por Td 0,05), y podr comprobar que aproximadamente para Td 0,3 se consigue el mximo margen de ganancia posible; es decir, el mximo grado de estabilidad del sistema (ptimo relativo). Para Td 0,9 el sistema vuelve a ser crtico, y para valores mayores pasa a ser inestable.

    Una vez obtenido este ptimo relativo se procedera a la verdadera optimizacin del lazo. La condicin crtica ha servido como punto de referencia de precisin. Prctica n 8.17

    Cuando un sistema tiene gran cantidad de retardos de tiempo, la accin derivati-va es escasamente eficaz, aunque siempre introducir alguna mejora, segn veremos a continuacin en un sistema de orden dcimo. Instrucciones Entrar en la opcin Control de un lazo cerrado simple. Pulsar el botn [Bloques nulos]. Preparar la siguiente configuracin:

    C-1 P+D; G 2,1 / Td 0 / C 50 / Ca 20 V-1 Retardo de segundo orden; T 0,5 / S 1,2 / K 1 P-1 Retardo de segundo orden; T 1,0 / S 1,2 / K 1 P-2 Retardo de segundo orden; T 1,0 / S 1,2 / K 1 P-3 Retardo de primer orden; T 0,5 / K 1 M-1 Retardo de primer orden; T 0,25 / K 1 / Z 0 M-2 Retardo de primer orden; T 1,0 / S 1,2 / K 1 / Z 0

    Seleccionar las siguientes escalas: Escala de ganancia : 0 0 2; -6 0 +6 Escala de ngulos : -180 0 +180 Frecuencia inicial : 0,1; -1 Frecuencia final : 10; +1

    Ejecutar el Diagrama de Nyquist.

    Se observa que el sistema es crtico. Si ahora vamos aumentando paulatinamente el tiempo derivativo del controlador, alcanzaremos un margen de ganancia mximo, aproximadamente para Td 1,2. Sin embargo, hay que convenir que el beneficio ha sido escaso.

    Apdo. 8.5.3 - Prcts. 8.16 - 8.17

  • 426 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    8.6 Efecto de las alinealidades en un sistema

    En los apartados 4.2.5.f y g (pgina 71 y sigtes.) se estudiaron componentes de caractersticas no lineales y se vio de qu manera se poda linealizar su funcin, a efectos de poder aplicarles un tratamiento matemtico como a cualquier elemento lineal. Se recordar que para la validez de la linealizacin se asuma que las variables implicadas se movan en un entorno prximo al punto medio de trabajo o punto de reposo; es decir, que las desviaciones con relacin al punto normal de trabajo eran de pequea magnitud.

    Sin embargo, en muchos procesos reales sucede que, como consecuencia de grandes cambios de carga, los componentes operan en puntos notablemente distan-ciados, dentro de su margen de trabajo. En un componente no lineal esto implica, cuando menos, que su ganancia esttica ser diferente segn el punto en que est operando. Es evidente que si en un determinado punto o zona de trabajo los parme-tros del controlador se encuentran optimizados, al cambiar este punto corresponder otra ganancia del controlador que compense la variacin de ganancia del compo-nente no lineal. Con ello, la ganancia global del lazo permanecer constante, y se obtendr el mismo tipo de respuesta. En la prctica, esto se traduce en que un lazo optimizado puede volverse inestable si el cambio se ha producido hacia una regin con mayor ganancia o, por el contrario, puede volverse lento de respuesta si el cambio ha sido en sentido contrario. En otras palabras, las alinealidades pueden afectar severamente a la estabilidad de un sistema, haciendo que sta dependa fuer-temente del punto de trabajo.

    Un ejemplo tpico de alinealidad se produce en los medidores de caudal basados en la medida de presin diferencial que se produce en un elemento primario de tipo deprimgeno (placa de orificio, tubo Venturi, tobera, tubo de Pitot, tubo Annubar, disco de impacto, codo, etc.). Como es sabido, estos sensores se rigen por una ley cuadrtica (teorema de Bernouilli), de tal manera que se tiene h cq2, donde h es la variable medida (presin diferencial), q el caudal y c una constante. Con estos dis-positivos la ganancia esttica del medidor, con la ecuacin tipificada (c1), sera

    Es decir, que cuando q 0,25, entonces K 0,5, y para q 0,75, se tiene que K 1,5. La relacin entre estas dos ganancias es de 3, lo que significa que si ope-rando el lazo en el primer punto de trabajo se tuviera un margen de ganancia de 3 (valor muy sobrado), al pasar a operar en el segundo punto el margen de ganancia se quedara en 1 (0dB); esto es, el lazo pasara a condicin crtica (lo comprobaremos en el siguiente ejercicio). No obstante, debe tenerse en cuenta que q sera la variable controlada, por lo que si queremos hablar en trminos de variable medida o punto de consigna, es decir, h, se tendra que para h 0,25 (q 0,5), entonces K1, y para h 0,75 (q 0,866), entonces resulta K1,732.

    K dhdq

    q h 2 2

  • 427

    En la prctica, la alinealidad de un componente puede ser compensada con la adicin de un bloque que ejecute la funcin inversa. As por ejemplo, en el caso del medidor de caudal, tendramos que la ecuacin del medidor (tipificada) es

    y, por tanto, un bloque con la funcin inversa debera expresarse por y x , esto es, un extractor de raz cuadrada, por lo que en este caso se tendra finalmente una seal de medida lineal proporcional al caudal:

    2qy h q

    Debe tenerse en cuenta que por funcin inversa entendemos aquella que se pro-duce al intercambiar abscisas por ordenadas en un grfico cartesiano representativo de la funcin tipificada. Esta aclaracin es necesaria porque las alinealidades no siempre pueden ser expresadas por una funcin matemtica sencilla. En muchos casos la caracterstica de respuesta del componente se conoce, aunque sea de manera aproximada, con relacin a una serie de puntos dentro del margen de trabajo. Con ello puede construirse un grfico, a base de tramos o segmentos de recta (lnea poli-gonal), que muestre la relacin entre salida y entrada del componente. Por tanto, un bloque con la funcin inversa se obtendra intercambiando entre s los ejes cartesia-nos entrada-salida.

    En instrumentacin electrnica se dispone de unos mdulos o tarjetas, llamadas caracterizadoras, que ofrecen la posibilidad de definir su caracterstica de respuesta, representada grficamente mediante una serie de puntos unidos entre s por segmen-tos de recta (caracterizacin por tramos).

    Desde el punto de vista del clculo operacional, un componente alineal puede siempre ser descompuesto, si es preciso, en dos o ms bloques, de tal manera que uno de ellos contemple exclusivamente la ganancia esttica (en el sentido de que no incluye ningn trmino dinmico). En cada punto de trabajo esta ganancia tendr un valor K (pendiente de la grfica). Entonces, es evidente que la ganancia del bloque funcin inversa mostrar una ganancia 1/K (la pendiente de la caracterizadora es, por construccin, del valor recproco), con lo que el producto de las dos ganancias ser la unidad, cualquiera que sea el punto de operacin. Ntese que ambos bloques tendrn un punto de trabajo diferente, es decir, que la fraccin del intervalo de ope-racin ser distinta.

    Una fuente muy importante de alinealidades en los procesos reales se genera en la vlvula de control debido a su caracterstica efectiva no lineal. Esto significa que una vlvula de caracterstica inherente lineal presenta una respuesta no lineal en el proceso, al considerar la relacin caudal /seal de entrada. Ello es debido a que las

    h q 2

    Apdo. 8.6

  • 428 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    variaciones de la cada de presin que se producen en las resistencias del resto del circuito con la variacin de caudal, modifican la presin diferencial disponible en la vlvula. Esto suele ser compensado en buena medida mediante el uso de vlvulas con caracterstica isoporcentual (vase apartado 4.2.7.c, pg. 92). No obstante, uno de los errores que comnmente se cometen es el de instalar una vlvula isoporcentual, en vez de una lineal, en un proceso que permite operar a la vlvula bajo una presin diferencial constante (por ejemplo en un trasvase de lquido entre dos recipientes a presin constante). En estas condiciones, con una vlvula isoporcentual, la caracte-rstica efectiva de la vlvula no se ve modificada por su entorno, con lo que entonces se tiene un sistema con ganancias muy variables, en funcin del punto de trabajo, lo que no sucedera con una vlvula de caracterstica lineal.

    Hay que hacer notar el hecho de que la caracterstica efectiva de una vlvula de caracterstica inherente lineal, con importantes resistencias en el resto del circuito, adopta una forma del tipo apertura rpida; esto es, la caracterstica se deforma de tal manera que en la zona de apertura inicial de la vlvula el caudal aumenta muy rpidamente, muy por encima de lo que le corresponde en proporcin a su carrera. As por ejemplo, en el 20% de apertura el caudal alcanza el 75% del que tendr en su apertura mxima. La forma exacta de la caracterstica depende de la relacin entre la cada de presin disponible en la vlvula, a caudal mximo, y la cada de presin total en el circuito. Por otra parte, una vlvula isoporcentual, a la que corresponden incrementos lentos de caudal al principio de su carrera, modifica su respuesta de tal manera que tiende a linealizarse, en mayor o menor medida, segn sea la relacin antes citada. La caracterstica cuadrtica de un medidor de caudal con un elemento primario del tipo deprimgeno (seal proporcional a la presin diferencial) presenta tambin una respuesta lenta al principio de su intervalo de medida (un 10% del cau-dal genera slo un 1% de .p, un 20% de caudal genera un 4% de .p, etc.), lo que hace que tienda a compensarse con la caracterstica efectiva de apertura rpida de una vlvula lineal, en las condiciones mencionadas al principio de este prrafo. Prctica n 8.18

    Vamos a configurar un lazo en el que el medidor es de respuesta cuadrtica, y mediante el apoyo del anlisis frecuencial demostraremos que su grado de estabili-dad es dependiente del punto de trabajo.

    NOTA

    El programa ControlP opera en el clculo de la Respuesta frecuencial lnea-lizando los componentes no lineales en el punto de reposo correspondiente al punto de consigna final; es decir, que la ganancia esttica asignada a los mismos es la que corresponde a la tangente de su caracterstica en el punto de trabajo

  • 429

    perteneciente a las condiciones finales ideales (aquellas que adquiere un sistema controlado estable, una vez transcurrido el tiempo suficiente para alcanzar el rgimen permanente, y con una desviacin permanente nula). En consecuencia, no se tienen en cuenta las perturbaciones. Sin embargo, en la respuesta temporal se considera la caracterstica real de entrada-salida del componente, de acuerdo con la funcin que tenga asignada y, obviamente, en todo momento son tenidas en cuenta las perturbaciones.

    Instrucciones Entrar en la opcin Control de un lazo cerrado simple. Pulsar el botn [Bloques nulos].

    Preparar la siguiente configuracin: C-1 P+D; G 2 / Td 0 / C 25 / Ca 25 P-1, P-2 y P-3 Retardo de primer orden; T 0,25 / K 1 U-2 Ganancia; K 1,0 / U 20 / Ua 0 / Esp 0 M-1 Cuadrtico; K 1 M-2 Retardo de primer orden; T 0,25 / K 1 / Z 0 Duracin : 8

    Seleccionar en Cambios/Modos: Medida

    Seleccionar las siguientes escalas: Escala de ganancia : 0 0 2; -6 0 +6 Escala de ngulos : -180 0 +180 Frecuencia inicial : 0,01; -2 Frecuencia final : 100; +2

    Ejecutar el Diagrama de Nyquist.

    Se observa una ganancia del lazo a la frecuencia crtica Kt 0,5, lo que equivale a un margen de ganancia de 2. Modificar:

    C-1 : C 75 / Ca 75 Ejecutar el Diagrama de Nyquist

    Ahora tenemos que Kt 0,866; es decir, que el margen de ganancia es de slo Mg 1/ 0,8661,15 (81,21dB), lo que nos permite afirmar que el sistema est pr-ximo a las condiciones de criticidad y, por tanto, de inestabilidad. Ejecutar la Respuesta temporal para las dos condiciones antes citadas.

    Apdo. 8.6 - Prct. 8.18

  • 430 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Calculemos ahora qu ganancia hay que dar al controlador, con el punto de con-signa del 75%, para tener las mismas condiciones de estabilidad que se tienen con una consigna del 25%.

    La ganancia esttica del lazo, puesto que la ganancia de todos los bloques vale 1 (excepto la del controlador y la del medidor M-1), ser:

    Luego, si para una consigna del 75% queremos hacer K75K252; esto es, 75 1 2 0,75 2c m cK K K K 1 1 , la ganancia del controlador deber ser

    Modificar: C-1 : G 1,1547

    Ejecutar la Repuesta temporal.

    Observamos que, en efecto, ahora las respuestas son de forma similar. La no coincidencia exacta se debe a que la medida sufre excursiones en torno al valor del punto de reposo, en los cuales ya no se dan exactamente las condiciones de clculo, puesto que la ganancia esttica del medidor es ligeramente cambiante. Es obvio que si con esta ganancia del controlador cambiamos el punto de consigna al 25%, la respuesta mostrar una recuperacin mucho ms amortiguada. Verificarlo. Pero la principal razn de la discrepancia es la siguiente: cuando el punto de consigna es del 75%, el efecto de la perturbacin tambin guarda la proporcin 2:1,1547, ya que se encuentra delante del medidor, cuya ganancia es mayor, justo en dicha proporcin. El efecto real sobre el proceso es, no obstante, el mismo. Por tanto, sin borrar la panta-lla, hagamos: Modificar:

    C-1 : G 1,1547 / C 75 / Ca 75 U-2 : U 11,547 (2011,1547/ 2)

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Ahora la respuesta es casi idntica a la que se tena cuando la consigna era del 25%, con una ganancia de 2 y con una perturbacin del 20%.

    Ntese cmo, adems de los inconvenientes del cambio de estabilidad, los ele-mentos no lineales hacen que el impacto producido por una perturbacin sea de magnitud diferente segn el punto de trabajo.

    Para

    Para

    consigna K K K

    consigna K K K

    c m

    c m

    1 1

    1 1

    25 2 2 0 25 2

    75 2 2 0 75 3 464

    25 1

    75 1

    % : ,

    % : , ,

    2 1,15472 0,75

    cK

  • 431

    Ejecutar las correspondientes grficas de Nyquist para las cinco condiciones que hemos estado manejando. Ahora se tiene la coincidencia exacta entre las respuestas para G 2; C Ca 25% y para G 1,1547; C Ca 75%, debido a que los cl-culos para la representacin de las grficas se hacen con relacin a los respectivos puntos de reposo.

    El lector puede intentar hacer un anlisis similar con una vlvula isoporcentual (recurdese que se ha dicho que la instalacin de una vlvula de este tipo puede sig-nificar, en determinadas circunstancias, un error de diseo importante). La situacin es todava ms grave que la que provoca un medidor cuadrtico, debido a que los cambios de ganancia esttica son mucho mayores. A modo de referencia, para los clculos que se precisen realizar, a continuacin se muestran las ecuaciones tipifica-das para este tipo de vlvulas.

    Llamando x a la entrada del bloque (seal de control) e y a la salida (caudal), expresados en fraccin (0 .. 1), se tiene

    en donde

    1- x estar comprendido en el margen de 0..1 R Coeficiente de regulacin o rangeability (valores tpicos: 25 .. 50)

    y su ganancia vendra dada por la expresin

    As, por ejemplo, asumiendo un valor de R50, la ganancia para un caudal del 25% ( y 0,25) tiene un valor de 0,978, mientras que para un caudal del 75% ( y 0,75) vale 2,93. Si queremos referirnos a la seal de salida del controlador (seal de mando a la vlvula), tendremos que para una seal del 25% (x 0,25) la ganancia es de 0,208, y para una seal del 75% (x 0,75) la ganancia es de 1,47. Como puede verse, las diferencias son importantes.

    y RR R

    x

    x 11-

    Gdydx

    RR

    y Rx ln ln1-

    Apdo. 8.6 - Prct. 8.18

  • Accin anulada)

    grupado en una sola figura.

    Tiempo integral,

    432 Captulo 8 - Control en lazo cerrado simple

    Anotaciones Datos de configuracin del sistema que genera los grficos de la figura 8.14 en la pgina 402. Todos los grficos se han obtenido con el programa ControlP y poste-riormente se han a Opcin: Control de un lazo cerrado simple Controlador (C-1): Tipo: P+I+D: Ganancia, K: Ver tabla Ti: Ver tabla Tiempo derivativo, Td 0 (

    Consigna, C 50 (Salto en escaln del 50%)Consigna anterior, Ca 0

    Proceso 1 (P-1), Proceso 2 (P-2) y Proceso 3 (P-3) iguales entre s:Tipo: Retardo de primer ordenConstante de tiempo, T 0,25 mn.Ganancia, K 1

    Resto de bloques: Tipo Ganancia, con K1Resulta una ganancia crtica, KcP,max 8Duracin de la respuesta 5,95 minutos

    Kc 0,4 KcP,max Ganancia, K Tiempo integral, TiAccin integral nula 3,2 9999999Tiempo integral grande 3,2 2Tiempo integral mediano 3,2 1Tiempo integral pequeo 3,2 0,5

    Kc 0,6 KcP,maxAccin integral nula 4,8 9999999Tiempo integral grande 4,8 2Tiempo integral mediano 4,8 0,8Tiempo integral pequeo 4,8 0,54

    Tabla de parmetros de configuracin ( fig. 8.14, pg. 402)

  • 433

    9 Controles complejos en lazo cerrado

    El comportamiento de un sistema controlado viene determinado, entre otras cosas, por la naturaleza del proceso, la situacin y la amplitud de las perturbaciones, y las caractersticas y ajustes del controlador. En muchas ocasiones, y debido princi-palmente a que el proceso est sometido a grandes cambios de carga o perturbacio-nes, el comportamiento de un sistema, con la configuracin de control como la que hemos estudiado en el captulo anterior, no se considera satisfactorio. Entonces hay que recurrir a modificar la estrategia de control para mejorar la respuesta. En este captulo estudiaremos las estrategias denominadas control en cascada y control en adelanto. 9.1 Control en cascada

    La configuracin de control en cascada se utiliza cuando la variable manipu-lada sufre importantes perturbaciones que afectan en exceso a la variable controlada. Por ejemplo, si la presin disponible aguas arriba de la vlvula de control est some-tida a variaciones ms o menos bruscas, se tendrn, a su vez, variaciones del caudal (variable manipulada), las cuales afectarn al proceso (variable controlada), antes de que se produzca alguna accin correctora.

    La estrategia consiste en implantar un lazo de control secundario (anidado) dentro del lazo principal, a efectos de controlar, de manera independiente, la propia variable manipulada. Para la simulacin de un sistema controlado en cascada, el programa ControlP permite efectuar una configuracin como la mostrada en la figura 9.1, que pertenece a la que se presenta en pantalla al entrar en esta opcin.

    - Apdo. 9.1Captulo 9

  • 434 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Supongamos un horno de gas o fuel-oil para calentamiento de un producto que va a ser enviado a una torre de destilacin. La variable controlada sera la tempera-tura del producto a la salida del horno. La variable manipulada sera el caudal de combustible. En principio podramos establecer un sistema de control como el mos-trado en la figura 9.2. La temperatura del proceso sera transmitida al controlador, el cual en funcin de la seal de error corregira la posicin de la vlvula para ajustar la cantidad precisa de combustible.

    Fig. 9.1 Diagrama de bloques de un control en cascada

    Sin embargo, veamos qu sucedera si, por cualquier causa, la presin en la lnea de combustible sufre un cambio (perturbacin), supongamos una disminucin. Como primera consecuencia disminuira el caudal de combustible, a continuacin esto provocara un descenso en la temperatura del producto que sera detectada por el transmisor. Estos sucesos vendran afectados por el retardo de tiempo y el tiempo muerto inherentes a la dinmica del horno, as como por el retardo de tiempo del sensor de temperatura, y tambin por un pequeo tiempo muerto debido a la situa-cin fsica del sensor. Con ello, el controlador modificara su seal de salida, lo que provocara una mayor apertura de la vlvula, a efectos de compensar la disminucin en la presin de combustible, tendiendo as a recuperar el caudal inicial. Aun asu-miendo que el sistema se hallase perfectamente optimizado, es evidente que la variable controlada se vera alterada como consecuencia de la perturbacin. Precisa-mente si hay accin correctora es porque hay seal de desviacin.

    El comportamiento dinmico de un horno puede ser representado aproximada-mente por la siguiente funcin de transferencia:

  • 435

    la cual muestra los siguientes parmetros:

    Kp Ganancia esttica, o relacin (incremental) entre la temperatura de salida y el caudal de combustible (en estado estacionario).

    Tm Un tiempo muerto, funcin del tiempo medio de residencia. T1, T2 Constantes de tiempo, dependientes de la concepcin (diseo) y de

    la dinmica del horno.

    Fig. 9.2 Control de temperatura en un horno

    La figura 9.3 muestra el diagrama de bloques de este sistema. Ntese que un

    cambio en la presin genera instantneamente un cambio en el caudal de la vlvula, mientras que sta presenta un pequeo retardo de primer orden con relacin a la seal de control. Detrs del sumatorio se tendra el caudal de combustible. La ganancia Ku se calculara linealizando la funcin en el punto de trabajo. Se recuerda una vez ms que las variables representadas por una notacin operacional se refieren a las desviaciones de su punto de trabajo, con lo que la salida del bloque pertur-bacin ser nula cuando la presin en la lnea de combustible sea la normal. Es decir, que el valor de la variable presin a la entrada del bloque perturbacin debe ser entendido como la diferencia entre la presin instantnea y la normal. Esto significa que la ganancia Ku sera la variacin del caudal de combustible por unidad de cambio de presin en el punto de operacin normal. Del mismo modo, la ganan-

    GK

    T s T spp

    T sm

    e-

    ( ) ( )1 21 1

    Apdo. 9.1

  • 436 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    cia esttica Kp del horno sera la variacin de temperatura a la salida del horno por unidad de variacin de caudal de combustible. Algo similar podramos decir de las ganancias Kv y Km . En el apndice 2 se desarrollan estos conceptos, con el fin de efectuar el correcto escalado para su simulacin y la correspondiente representacin cuantificada en un diagrama de bloques. El programa ControlP permite fijar los parmetros necesarios para llevar a cabo la simulacin de este tipo de bloques.

    Fig. 9.3 Diagrama de bloques del sistema de la figura 9.2

    Nota

    El bloque vlvula debe ser entendido en realidad como una composicin de dos elementos: la vlvula en s, como un componente mecnico, y un pequeo proceso de caudal. La vlvula tendra como variable de entrada la seal de control, y como variable de salida la posicin de su vstago (ms exactamente, su capacidad de paso). El proceso de caudal tendra como variable de entrada la posicin del vstago (capacidad de paso) de la vlvula, y como variable de salida el caudal. A este proceso le asignamos implcitamente un bloque ganancia, con K1, por lo que no es preciso dibujarlo. La perturbacin que hemos descrito acta realmente en el proceso de caudal; y es por esta razn que le asignamos un bloque del tipo ganancia (como el del proceso), y no un bloque retardo como el de la vlvula (ver figura 9.4). Tener en cuenta lo siguiente: la vlvula presenta un retardo en posicionarse con relacin a su seal de control; pero el caudal sigue instantneamente la correspondiente posicin del vstago y, del mismo modo, un cambio de presin en la lnea de combustible causa instantneamente un cambio en el caudal. Tngase presente, no obstante, que, en la prctica, la variacin de caudal con relacin a la apertura de la vlvula, sufrira un pequeo retardo debido al efecto de inercia que presenta un cambio de caudal (recurdese el fenmeno denominado golpe de ariete, en este caso con un efecto inverso).

    Si la alteracin sufrida por la variable controlada, debido a un cambio de pre-sin del combustible, es inadmisible, una posible solucin sera controlar, en un lazo separado, la presin de la lnea de combustible; pero por diversas razones ello no siempre es factible o conveniente. Seguidamente veremos una mejor solucin.

  • 437

    Fig. 9.4 Descomposicin de un bloque vlvula

    Recordemos tambin que, por otra parte, la linealidad de la caracterstica efec-tiva de la vlvula no es lo buena que sera de desear. Tngase en cuenta que cuando el controlador enva su seal a la vlvula, se espera que el caudal siga una ley lineal con la seal de control; pero dado que la caracterstica de la vlvula no lo es, se tiene una fuente de alinealidades, que, segn vimos en el captulo anterior, son nocivas.

    La solucin est en la implantacin de un sistema de control segn una configu-racin en cascada (fig. 9.5). En general, consiste en regular la variable manipulada creando un lazo secundario (tambin suelen usarse los vocablos interno, subordi-nado o anidado). En este caso, ser preciso instalar una medida del caudal de com-bustible cuya seal ser enviada a un controlador de caudal, el cual, a su vez, ser quien gobierne la vlvula de control. El punto de consigna de este nuevo controla-dor, llamado controlador secundario o esclavo, proceder de la seal de salida del controlador de temperatura, llamado ahora controlador principal o maestro. La

    funcin de la seal de error de temperatura) representa ahora, por tanto, la demanda de caudal de combustible al controlador secundario. Es evidente que cualquier variacin del caudal de combustible, debida a una variacin de presin, ser corregida rpidamente por el controlador secundario, sin esperar a que la perturbacin afecte a la temperatura controlada y a la totalidad del lazo principal, como sucedera si no existiese el lazo secundario. La figura 9.5 muestra la nueva configuracin y la figura 9.6 su diagrama de bloques.

    Una de las caractersticas de este tipo de configuracin es que el lazo secun-dario suele ser muy rpido en comparacin con el principal. El controlador secunda-rio puede ser slo de accin proporcional. Tngase presente que no importar que el lazo secundario mantenga una desviacin permanente, ya que, con relacin al con-trol de temperarura, este error ser perfectamente compensado por la accin integral del controlador principal. Sin embargo, es posible tambin incorporar accin inte-gral en el controlador secundario; pero es poco usual dotarlo de accin derivativa, precisamente por el hecho de tratarse de un lazo de respuesta rpida y cuya medida puede contener ruido, que sera amplificado por la accin derivativa.

    Apdo. 9.1

    seal de salida de este controlador (

  • 438 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Fig. 9.5 Control en cascada de la temperatura en un horno

    Fig. 9.6 Diagrama de bloques de un control en cascada correspondiente a la figura 9.5

  • 439

    En la figura 9.7 se ha introducido un bloque de perturbacin al proceso, como podra ser la temperatura del producto a la entrada del horno o la variacin del caudal de dicho fluido. Veamos cul sera la ganancia Kup en cada uno de estos dos casos.

    1. Temperatura e del producto a la entrada:

    La ganancia esttica Kup sera la variacin de temperatura a la salida del horno, por cada grado de variacin de temperatura a la entrada. Puesto que una ligera variacin en la temperatura de entrada repercutira aproximadamente en la misma cuanta en la temperatura de salida, se tendra, como valor prctico:

    y sera una perturbacin de tipo aditivo.

    2. Caudal de producto qf :

    La ganancia esttica Kup sera la variacin de temperatura a la salida del horno, por unidad de variacin de caudal de producto. De una manera aproxi-mada, el incremento total de temperatura del producto en el horno sera, asumiendo el resto de condiciones constantes, proporcional al caudal de com-bustible qc e inversamente proporcional al caudal de producto qf . Es decir, que considerando la temperatura normal de entrada como valor de referencia 0, y llamando al incremento total de temperatura que se produce en el horno, se tendra

    y, por tanto,

    en donde vemos que en este caso resulta una funcin no lineal, pues la ganancia depende del punto de operacin. El signo negativo nos indica, como era de esperar, que se trata de una perturbacin sustractiva (un aumento de caudal pro-voca una disminucin de temperatura). Prcticamente linealizaramos la fun-cin asumiendo las condiciones normales de operacin y haciendo

    kqq

    c

    f

    K ddq

    k qq qup f

    cf f

    12

    K qupn

    f n

    1upe

    K ..

    Apdo. 9.1

  • 440 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    en donde n y qfn son, respectivamente, la temperatura de salida y el caudal de producto, ambos referidos a condiciones normales de operacin.

    Fig. 9.7 Diagrama de bloques del control del horno con una perturbacin en el proceso

    Vemos que esta perturbacin se introduce fuera del lazo secundario, entrando directamente en el proceso o lazo principal y, por tanto, no podr evitarse que afecte a la variable regulada. No obstante, se demuestra que una configuracin en cascada mejora la controlabilidad del lazo, de tal manera que las desviaciones causadas por una perturbacin de este tipo son menores que si se tratara de un lazo sencillo.

    La optimizacin de una regulacin en cascada se consigue optimizando en pri-mer lugar el lazo secundario y despus el lazo principal. El lazo secundario, por contener escasos elementos, con constantes de tiempo pequeas, suele admitir ganancias muy grandes del controlador, antes de volverse crtico, por lo que normal-mente suele ensayarse una ganancia elevada. Por esta razn, en general es suficiente un controlador P, ya que la desviacin permanente ser pequea y, en todo caso, sta carece de importancia (no se est interesado en la variable manipulada, y la pequea desviacin permanente resultante ser compensada por el controlador principal). En la prctica, debido a la presencia de diversos retardos de tiempo de pequeo valor, siempre habr una ganancia mxima que hara el sistema secundario crtico. Un valor razonable de fijacin de la ganancia ser la mitad de la mxima. La optimiza-

  • 441

    cin del lazo principal, una vez efectuada la del secundario, se lleva a cabo como en un lazo simple, pero teniendo activada la conexin en cascada del controlador secundario. El lazo secundario, pasa a ser, como conjunto, un bloque ms del lazo principal. Citemos que incluso siendo el lazo secundario inestable, el sistema global puede ser estable (ver prctica n 9.3), pero es una situacin que hay que evitar, debido a que el controlador principal puede ser conmutado a control manual y entonces se tendran oscilaciones crecientes en el lazo secundario. Si a pesar de todo lo dicho hay que fijar una baja ganancia en el controlador secundario, puede ser conveniente asignarle accin integral. La accin derivativa en este controlador ya hemos dicho que en principio no es recomendable, especialmente si se trata de un lazo rpido y portador de ruido (por ejemplo un lazo de caudal); pero para sistemas lentos, con tres o cuatro constantes de tiempo y sin tiempo muerto importante, la accin derivativa puede incrementar notablemente la frecuencia crtica, mejorando el comportamiento del lazo. Prctica n 9.1

    Analizaremos la respuesta de una regulacin en cascada frente a perturbaciones en el lazo secundario, segn la figura 9.6, y la compararemos con la que se tendra en un lazo simple, bajo las mismas condiciones. Para ello, procederemos a efectuar los siguientes pasos: De acuerdo con los parmetros que nos proporciona la figura 9.6, configurare-

    mos un sistema controlado basado en un lazo simple y, por tanto, sin el contro-lador secundario ni su medidor.

    Optimizaremos el sistema para cambios en el punto de consigna. Para una determinada perturbacin en la vlvula, analizaremos el efecto que

    causa en el proceso (variable controlada) y en la medida. Configuraremos un sistema basado en un control en cascada, con los mismos

    componentes y parmetros del lazo simple, y lo optimizaremos. Analizaremos el efecto que causa, sobre el proceso y la medida, la misma per-

    turbacin que se aplicaba al lazo simple. Compararemos ambos resultados, para diversos ajustes del controlador secun-

    dario. La simulacin del horno la efectuaremos asignando a P-1 el elemento tiempo muerto de 0,1 minutos (86 s), y asignando a P-2 un bloque retardo de segundo orden, equivalente a los dos retardos de primer orden, 1 / (0,3s+1) y 1 / (s+1). Es evidente que podramos asignar a P-2 y P-3 los bloques retardo de primer orden citados, pero efectuando la equivalencia practicaremos un principio que puede ser

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.1

  • 442 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    de inters en otras simulaciones que haga el lector y, concretamente, nos ser til ms tarde en esta misma prctica. Recordemos que segn vimos en el apartado 4.2.8.e, Elementos de segundo orden, subapartado Dos retardos de primer orden en serie (pg. 115), podemos hacer:

    por lo que el retardo de segundo orden equivalente tendra la transmitancia

    El coeficiente de s podamos haberlo calculado directamente en virtud de la equivalencia vista en captulos anteriores, 2 T T1+T2 1,3.

    Instrucciones

    Entrar en la opcin Control de un lazo cerrado simple. Pulsar el botn [Bloques nulos]. Preparar la siguiente configuracin:

    C-1 P+D; G 4,01757 / Td 0 / C 50 / Ca 40 V-1 Retardo de primer orden; T 0,05 / K 1 P-1 Tiempo muerto; Tm 6 (0,1 mn. *8 6 s) P-2 Retardo de segundo orden; T 0,547723 / S 1,18673 / K 1 U-v Retardo primer orden; T 0,05 / K 1 / U 30 / Ua 0 / Esp 60 M-1 Tiempo muerto; Tm 3 (0,05 mn. 83 s) M-2 Retardo de segundo orden; T 0,5 / S 1,2 / K 1 / Z 0

    Por el momento anularemos la perturbacin seleccionando: U-v Ganancia; G 1 / U 0 / Ua 0 / Espera 0

    (La activaremos ms tarde, cuando nos convenga, sin ms que seleccionar el elemento retardo de primer orden, ya definido). Continuar con:

    Duracin 20 Seleccionar las escalas:

    Escala de ganancias : 0 0 2; -6 0 +6 Escala de ngulos : -180 0 +180 Frecuencia inicial : 0,01; -2 Frecuencia final : 10; +1

    T constante de tiempo T T

    factor de amortiguacinT T

    T T

    1

    1

    1 2

    1 2

    1 2

    0 3 1 0 547723

    2

    0 3 1

    2 0 3 1118673

    , ,

    ,

    ,,

    Ks s

    Ks s

    p p

    0 3 2 0 5477 1 1867 1 0 3 1 3 12 2, , , , , 1 1

  • 443

    Este sistema se encuentra en el lmite de estabilidad, con una frecuencia crtica c1,58122 rad/minuto, lo cual podemos comprobar ejecutando el Diagrama de Nyquist o el de Black y hallando a continuacin, mediante la opcin Crtica, la frecuencia crtica o la frecuencia de cruce de ganancia. Ejecutar la Respuesta temporal, verificando que se producen oscilaciones man-

    tenidas. Ahora fijaremos una ganancia del controlador, G2, que corresponde aproxi-

    madamente a la mitad de la ganancia mxima, por lo que podr esperarse tener un sistema con una respuesta adecuada. Modificar:

    C-1 P+D; G 2 Ejecutar la Respuesta temporal.

    Vemos que, en efecto, se obtiene una respuesta aceptable. La desviacin perma-

    nente (prescindiendo del signo) vale, segn la teora:

    %33,3124050

    y, por tanto, el valor final valdr: %67,4633,350 Si se desea observar el fenmeno con ms detalle, asignar los valores C100 y Ca0, aumentando la duracin a 35 minutos o ms, a efectos de dar tiempo para que se estabilice el sistema. En este caso se tendra una desviacin permanente del 33,33% con un valor final del 66,67%. Comprobarlo marcando la casilla Muestra valores finales en la parte superior derecha de la pantalla (o en el men Temporal) antes de ejecutar la grfica, con lo que, una vez finalizado el trazado, se mostrarn los valores alcanzados en estado estacionario.

    A continuacin anularemos el salto del punto de consigna y activaremos la per-turbacin. Reponer los valores de consigna a 50 y 40, as como la duracin a 20. Modificar:

    C-1 P+D; Ca 50 (con lo que consigna consigna anterior) U-v Retardo de primer orden (los parmetros han sido fijados ms atrs)

    Ejecutar la Respuesta temporal. Podemos observar un sobreimpulso (primer rebasamiento) del 19% en el pro-ceso (lnea roja) y de un 15% en la medida (lnea verde). Si se tienen dudas sobre el

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.1

  • 444 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    significado de cada lnea en la interpretacin de los colores, activar la opcin A/D(Misceln/Diagrama) o Alt+X y ver la leyenda en la esquina superior izquierda.

    La desviacin permanente ha quedado en el 10 %. Esta ha sido, pues, la conse-cuencia de una perturbacin del 30 % en la vlvula. Ahora veremos qu sucede en idnticas condiciones con una configuracin en cascada.

    Pulsar , para salir al MEN GENERAL, y entrar en la opcin Control en cascada.

    Pulsar el botn [Bloques nulos]. Preparar la siguiente configuracin:

    C-1 P+D; G 8,58503 / Td 0 / C 50 / Ca 45 C-s P+D; G 1 / Td 0 V-1 Retardo de primer orden; T 0,05 / K 1 P-1 Tiempo muerto; Tm 6 (0,1 mn.*8 6 s) P-2 Retardo de segundo orden; T 0,547723 / S 1,18673 / K 1 U-v Retardo 1er. orden; T 0,05 / K 1 / U 30 / Ua 0 / Espera 60 M-s Retardo de primer orden; T 0,05 / K 1 / Z 0 M-1 Tiempo muerto; Tm 3 (0,05 mn. 8 3 s) M-2 Retardo de segundo orden; T 0,5 / S 1,2 / K 1 / Z 0

    Por el momento anularemos la perturbacin seleccionando: U-v Ganancia; K 1 / U 0 / Ua 0 / Espera0 (Notar que era Retardo de primer orden con Espera 60)

    Ntese cmo, en general, hemos preparado una configuracin idntica a la an-

    terior, con la excepcin de haber introducido el controlador y el medidor secundario. Se trata de un controlador P, al que, por el momento, hemos asignado una ganancia de G1. El medidor secundario (bloque M-s) ha quedado como un bloque retardo de primer orden con una pequea constante de tiempo de 3 segundos (0,05 mn.).

    Continuar con: Duracin 20

    Seleccionar las escalas: Escala de ganancias : 0 0 2; -6 0 +6 Escala de ngulos : -180 0 +180 Frecuencia inicial : 0,01; -2 Frecuencia final : 10; +1

    Este sistema se encuentra igualmente en el lmite de estabilidad, con una fre-

    cuencia crtica c1,64773 rad /mn., lo que podemos comprobar ejecutando el Diagrama de Nyquist o el de Black y hallando a continuacin, mediante las opcio-nes Crtica o Cruce, la frecuencia crtica o la frecuencia de cruce de ganancia.

  • 445

    Podemos ya observar una diferencia fundamental: la ganancia del controlador principal es ms del doble de la que se tena en la configuracin de lazo sencillo. Esto nos permite anticipar que tendremos una respuesta ms enrgica, con menor desviacin permanente.

    Ejecutar la Respuesta temporal, verificando que se producen oscilaciones man-tenidas.

    Ahora fijaremos una ganancia del controlador principal, G4,3, que corres-ponde aproximadamente a la mitad de la ganancia mxima, por lo que esperamos tener un sistema con una respuesta aceptable.

    Modificar: C-1 : G 4,3

    Ejecutar la Respuesta temporal

    A continuacin anularemos el salto del punto de consigna y activaremos la perturbacin. Es una perturbacin del 30%, al igual que se hizo con la configuracin en lazo sencillo.

    Modificar: C-1 : Ca 50 (con lo que consigna consigna anterior) U-v Retardo de primer orden; (los parmetros han sido fijados ms atrs)

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Podemos observar un sobreimpulso en el proceso del 9,3% en vez del 19% que se haba obtenido anteriormente y, en la medida, de un 7,1% en vez de un 15%. La desviacin permanente ha quedado en el 4,8% en vez del 10%. Si se desea observar estos valores con ms precisin, fijar en el controlador principal CCa0, y en el bloque U-v fijar U 300 /Ua0 (equivale a un efecto lupa de 10 aumentos). En estas condiciones pueden apreciarse ms claramente los valores de sobreimpulso, desviacin, etc., puesto que la consigna es cero. Recurdese, asimismo, que se dis-pone de una opcin que permite mostrar los valores finales.

    La mejora parece importante, pero es insignificante con la que realmente puede

    obtenerse si se saca mejor partido del lazo secundario. Este lazo, con dos bloques dinmicos con pequeos retardos de tiempo, es muy rpido comparado con el lazo principal. En teora no hay lmite de ganancia que lo haga crtico (no existe una fre-cuencia crtica), pero ya hemos dicho en otras ocasiones que en la prctica esto no es as, debido a otros retardos todava ms pequeos que limitan la ganancia mxi-ma. As pues, fijaremos en el controlador secundario una ganancia relativamente elevada, como por ejemplo G10.

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.1

  • 446 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Modificar: C-s : G 10

    Ahora el sistema es menos estable, lo que podemos comprobar ejecutando el

    Diagrama de Nyquist. Podramos buscar el valor de la ganancia mxima del contro-lador principal y dividir nuevamente por 2. Esto nos dara aproximadamente 2,6; por tanto, hagamos: Modificar:

    C-1 : G 2,6 Seleccionar Frecuencia de muestreo: 2 (opcin C/U ) Ejecutar la Respuesta temporal.

    Comprobamos que el efecto causado por la perturbacin sobre la variable con-

    trolada y la medida es muy limitado. La desviacin permanente es igualmente muy pequea (de un 0,8%). Ha quedado demostrada la principal ventaja del control en cascada.

    Es conveniente aqu que el lector experimente el efecto de la modificacin de la frecuencia de muestreo.

    Modificar: Duracin 2 Frecuencia de muestreo 4

    Ejecutar la Repuesta temporal.

    Obsrvese con detalle la respuesta del lazo secundario.

    Modificar: Frecuencia de muestreo 1

    Ejecutar nuevamente la Respuesta temporal.

    Puede observarse, pulsando repetidamente la tecla A (opcin Vista anterior), que la representacin de la respuesta es deficiente debido a que estamos operando con retardos muy pequeos, prximos al intervalo de muestreo, que ahora es de 1 segundo. Es por ello que cuando el lector observe respuestas anormales, con oscila-ciones inesperadas, e incluso, en algunos casos, reciba la advertencia Valores no vlidos o fuera de mrgenes aceptables, debido a amplitudes extremadamente cre-cientes, debe probar inmediatamente de aumentar la Frecuencia de muestreo. Si con ello no se corrige la anomala, entonces es preciso investigar en los valores fijados en los parmetros de los componentes (la anomala es real).

  • 447

    Como ejemplo de aplicacin de lo dicho, probar de asignar accin derivativa en el controlador secundario. Puede comprobarse que con cambios en escaln del pun-to de consigna la salida del controlador secundario se saturara (se tendra un pico infinito) y sera imposible la asignacin de este tipo de accin, independientemente de la frecuencia de muestreo que se aplique. Sin embargo, sern admisibles pe-queos saltos en escaln de la perturbacin, debido a que son suavizados por el retardo de la medida. En este caso la frecuencia de muestreo puede jugar un papel importante en la consecucin del grfico (depender, como es lgico, de la amplitud del salto, de la ganancia del controlador, del tiempo derivativo y de la constante de tiempo del medidor, entre otros). Ello aparte, en ningn caso es aconsejable la inclu-sin de accin derivativa en el controlador secundario, cuando se trata de un lazo rpido de respuesta.

    Y por ltimo, se recomienda experimentar la respuesta del sistema efectuando diversas modificaciones en la asignacin de componentes y sus parmetros. En es-pecial, resultar de inters asignar accin integral en cada uno de los controladores.

    Experimntese tambin comprobando qu suceder si la perturbacin entra ms all del lazo secundario; es decir, en el proceso principal (ver figura 9.7, pg. 440). Hgase la comparacin con la respuesta en el caso de que la misma perturbacin se aplicase a un lazo de control simple.

    Sugerencia: en nuestro ejemplo podra ser un cambio en la temperatura del flui-do a la entrada del horno. Entonces, segn se ha dicho, se tendra que en la figura 9.7 (pg. 440), Kup**1.

    El lector deber concluir que la respuesta mejora visiblemente en el caso de control en cascada. Prctica n 9.2

    En la implantacin de un sistema de control en cascada, el lazo secundario no necesariamente tiene que ser un lazo rpido. En determinados casos puede ser un lazo con retardos de tiempo importantes, incluso con valores prximos a los del lazo principal. En estos supuestos todava se saca partido de la configuracin del control en cascada.

    La figura 9.8 muestra un sistema de control de temperatura de un reactor qumi-co encamisado y su diagrama de bloques. El controlador principal acta segn la di-ferencia entre en punto de consigna y la temperatura medida del producto en la vasi-ja, siendo su salida la seal de punto de consigna del controlador secundario. Este ltimo ajusta el caudal del fluido trmico a efectos de mantener la temperatura de la camisa en el valor determinado por el controlador principal. Los retardos de tiempo

    Apdo. 9.1 - Prcts. 9.1 - 9.2

  • 448 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Fig. 9.8 Control de temperatura en cascada de un reactor encamisado

  • 449

    ms importantes se originan en las capacidades trmicas del fluido de la camisa, de la pared de la vasija y del producto contenido en la vasija, as como en los bulbos de medida de temperatura.

    En la figura 9.8 (y ms adelante en la 9.9) se indican, junto al nombre de cada variable, los lmites de la escala y el valor de operacin normal segn este esquema:

    A efectos de simplificar el diagrama y el estudio cualitativo que sigue, los tres retar-dos del reactor se tratan como bloques independientes, sin ningn tipo de interaccin mutua, si bien en la realidad formaran un sistema interactivo. Asimismo, en cuanto a mr-genes de operacin, por el momento confundiremos las seales de transmisin con sus respectivas variables, lo cual no afecta al escalado del sistema simulado.

    Consideremos en primer lugar el efecto de un incremento repentino en la tem-peratura del fluido trmico, lo cual corresponde a una perturbacin U2 en la figura 9.8. Asumiendo que el fluido en la camisa est perfectamente homogeneizado, la temperatura de sta empezar a incrementarse inmediatamente. Este incremento ser detectado progresivamente, pero desde el primer momento, por el medidor secunda-rio, y provocar el cierre paulatino de la vlvula. De este modo, disminuir el caudal del fluido y, por tanto, tambin disminuir la temperatura del mismo en la camisa (cuanto menor sea el caudal, mayor ser el descenso de la temperatura del fluido). La temperatura de la camisa se ir recuperando en un tiempo relativamente breve, hasta recobrar el valor inicial (o un valor prximo al mismo). La recuperacin ser total o parcial (con desviacin permanente) segn que el controlador secundario contenga o no accin integral. El periodo de las oscilaciones del lazo secundario, si las hay, depender de la frecuencia natural del mismo. Las fluctuaciones de temperatura que sufrir el producto de la vasija sern de mucha menor amplitud que las de la camisa, debido al efecto amortiguador de la pared de la vasija y de su propio contenido (asimlese un retardo de tiempo como un filtro pasa bajos).

    Si no existiese el lazo secundario, el efecto de la perturbacin no sera detectado por el controlador hasta despus de atravesar las cuatro constantes de tiempo en serie (contenido de la camisa, pared, contenido de la vasija y bulbo), mientras que con el control en cascada slo se tienen dos constantes de tiempo. Con control en lazo simple, antes de que el controlador inicie las acciones correctoras, la temperatu-ra de la camisa sera notablemente ms alta, y entonces, la masa ms caliente de fluido trmico acumulado en la camisa conducira a una gran desviacin en la tem-peratura del producto de la vasija. Tanto la desviacin mxima como el periodo de las oscilaciones y, por tanto, el tiempo total de recuperacin, seran mucho mayores que con el control en cascada. Todo ello, sin menosprecio de los riesgos o inconve-nientes que podra comportar un excesivo calentamiento del producto en la vasija.

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.2

    {vn Origen de la escala / Operacin normal / Fondo de escala Unidad(Operacin normal %)

  • 450 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Los cambios en el caudal o en la temperatura de la alimentacin al reactor que-dan representadas, en la figura 9.8, por la perturbacin U1. Los efectos iniciales de tales cambios son detectados casi inmediatamente por el bulbo de temperatura y por el controlador principal, pero el efecto de la accin correctora es retardado por los otros componentes del lazo. La desviacin mxima es mucho mayor que para cam-bios equivalentes en U2, y pueden ser slo ligeramente menores que en un sistema de control en lazo cerrado simple. No obstante, el periodo de oscilacin es siempre

    frecuencia crtica mayor), debido a que el lazo de realimentacin interno tiende a reducir el tiempo de retardo en la camisa (recurdese la constante de tiempo efectiva) y, por tanto, el error integral debido a un cambio en U1 queda tambin disminuido.

    Con relacin a la camisa, en esta prctica asumiremos las caractersticas y con-diciones de trabajo que se dan en el ejemplo del apndice 2, apartado 5 (fig. A2.2, pg. 541), en donde se efecta un estudio detallado del correspondiente escalado de las variables para el ordenador. Ms adelante, y para mayor comodidad, los clculos son reproducidos nuevamente, con la nomenclatura de la figura 9.8. Se aade, adems, el supuesto de que se tengan cambios en la presin del fluido trmico.

    Como ya se ha dicho en otras ocasiones, un cambio en la presin diferencial en una vlvula de control implica, virtualmente, un cambio instantneo en el caudal que circula por la misma. Si, para simplificar, asumimos que la caracterstica inhe-rente de la vlvula coincide con la caracterstica efectiva ( lo cual en nuestro caso sucedera si la presin aguas abajo se mantuviera constante, independiente del caudal), tenemos que, para el resto de parmetros constantes y para una misma aper-tura, el caudal es proporcional a la raz cuadrada de la presin diferencial de la vlvula. Puesto que operaremos siempre en trminos de presin diferencial, la llamaremos p. Entonces:

    de donde la ganancia del bloque perturbacin sera

    Asumiremos que la presin (diferencial) de operacin normal es de 18 bar, en un margen de operacin de 0...25 bar. Con estos datos, y recordando que el caudal normal de fluido trmico es de 117 l /mn., podemos calcular

    q k pa

    kdqdp

    kp

    qpu p

    a a( )

    2 2

    kq

    pu pa

    ( ) , 1

    2117

    2 183 25

    menor con control en cascada (

  • 451

    esto es, se produce un cambio de 3,25 l /mn. por cada bar de variacin en la presin (recurdese que nos referimos a la funcin linealizada).

    Supondremos ahora que se trata de una vlvula de caracterstica lineal, de tal manera que en las condiciones de presin normal sea capaz de entregar un caudal de 180 l /mn. en su apertura total; es decir, que al 100 % de apertura de vlvula el caudal es tambin del 100 %. Para facilitar nuestra labor, asignaremos a las seales de instrumentacin un margen de operacin de 0 ...100 %. La ganancia kv de la vlvula, ser entonces

    lo que significa que por cada incremento del 1% de seal, el incremento de caudal es de 1,8 l /mn.

    Asimismo, la seal de salida y2, del controlador secundario, en condiciones normales de operacin ser

    en coincidencia con el caudal normal de fluido trmico.

    A continuacin se exponen los datos de funcionamiento de la totalidad del sistema, con objeto de efectuar el clculo del escalado para su simulacin en el ordenador (vase el ejemplo prctico del apartado 6 del apndice 2 (pg. 541), con relacin a los datos de la camisa). 1. Condiciones normales de operacin

    Fluido trmico y camisa:

    1.a) Caudal de operacin, qa : 117 l /mn. 1.b) Temperatura de la camisa, c : 220 ,C 1.c) Temp. del fluido trmico, a : 275 ,C 1.d) Presin del fluido trmico, p : 18 bar

    Reactor (conjunto pared-vasija):

    1.e) Temperatura, s : 158 ,C 1.f ) Temperatura de entrada, f : 42 ,C 1.g) Caudal de producto, qf : 50 l/mn.

    kv 180100

    1 8,

    y21171 80

    65 ,

    %

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.2

  • 452 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Salida controlador secundario y posicin de vlvula:

    1.h) Seal y posic. de vlvula, y2 : 65 %

    2. Efectos de los cambios de carga y perturbaciones

    Efecto sobre qa de los cambios de seal y de presin:

    2.a) Por seal, y2 : 1,8 l /mn. por cada 1% de variacin de y2 2.b) Por presin, p : 3,25 l /mn. por cada bar de variacin de p

    Efecto sobre c de los cambios en el fluido trmico:

    2.c) Por caudal, qa : 2,5,C por cada l /mn. de incremento de qa 2.d) Por temp., a : 0,75,C por cada ,C de incremento de a

    Efecto sobre s de los cambios en el proceso y de las perturbaciones:

    2.e) Por temperatura de la camisa, c : 0,84,C por cada ,C de c 2.f) Por temperatura de entrada, f : 0,97,C por cada ,C de f 2.g) Por caudal de producto, qf : -1,95,C por cada l /mn. de qf

    3. Escalas o mrgenes de operacin en el sistema real

    3.a) Presin fluido trmico, p : 0 ... 25 bar 3.b) Temp. fluido trmico, a : 50 ... 350 ,C 3.c) Caudal fluido trmico, qa : 0 ... 180 l /mn. 3.d) Temperatura camisa, c : 100 ... 250 ,C 3.e) Temperatura vasija, s : 100 ... 200 ,C 3.f) Temperatura entrada, f : 0 ... 60 ,C 3.g) Caudal de producto, qf : 0 ... 80 l /mn. 3.h) Seales de instrumentacin : 0 ... 100 %

    4. Escalas y mrgenes en el sistema simulado

    4.a) Escalas de procesos : 0 .. 100 % 4.b) Seales de instrumentacin : 0 .. 100 %

    Lo primero que se har ahora es deducir las ecuaciones de funcionamiento del sistema real.

  • 453

    La ganancia esttica de un bloque, linealizado en un punto cualquiera de trabajo, sabemos que es el cociente entre los incrementos de la seal de salida y la de entrada. Segn los datos del punto 2 (Efectos de los cambios), tendremos que las ganancias estticas de los bloques son: Vlvula

    Para la seal de control:

    2

    1,8avq

    ky

    .

    .

    Para una perturbacin de un cambio de presin:

    ( ) 3,25a

    u pq

    kp

    ..

    Camisa

    Para el proceso camisa:

    2,5cca

    kq

    .

    .

    Para una perturbacin de un cambio de temperatura del fluido trmico:

    ( ) 0,75ac

    ua

    k ..

    Reactor

    Para el proceso pared-vasija:

    0,84src

    k..

    Para una perturbacin de un cambio de temperatura de entrada:

    ( ) 0,97fs

    uf

    k ..

    Para una perturbacin de un cambio del caudal de circulacin:

    ( ) 1,95fs

    quf

    kq

    .

    .

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.2

  • 454 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    El componente pared ser considerado como un elemento pasivo (retardo de tiempo, resistencia-capacidad) con ganancia unitaria. Segn el punto 2.d el conjunto pared-vasija presenta una ganancia esttica que ser asignada, por tanto, al compo-nente vasija.

    Ntese que se prepara la posibilidad de considerar cualquiera de las dos per-turbaciones que afectan directamente al reactor. Afortunadamente, el programa ControlP nos permitir simultanear ambas en una nica configuracin.

    Lo visto hasta aqu nos permite escribir las siguientes funciones incrementales (vase apndice 2, pg. 542 y sigtes.):

    Ntese que la funcin incremental de la temperatura de la vasija incluye las dos perturbaciones. El incremento de temperatura .s (variable controlada) ser, por el principio de superposicin, la suma aritmtica de los incrementos (efectos) debidos a las variaciones de la temperatura de la camisa .c , de la temperatura de entrada .f y del caudal circulante .qf . Algo similar diramos de la temperatura c y del caudal qa . Sustituyendo los valores de las ganancias obtenemos:

    Pero segn los valores de operacin normal dados en el punto 1 tendremos:

    . y2 y2 - 65 .p p -18 .qa qa -117 .a a -275 .c c - 220

    21,8 3,25

    2,5 0,75

    0,84 0,97 1,95

    a

    c a a

    s c f f

    q y p

    q

    q

    . . .

    . . .

    . . . .

    2 ( )

    ( )

    ( ) ( )

    a

    f f

    a v u p

    c c a u a

    s r c u f u q f

    q k y k p

    k q k

    k k k q

    . . .

    . . .

    . . . .

  • 455

    .s s - 158 .f f - 42 .qf qf - 50

    por lo que las ecuaciones completas de funcionamiento esttico del sistema real sern:

    Para la vlvula:

    Para la camisa:

    Para la vasija:

    en las que en todas pueden distinguirse claramente los trminos correspondientes a los bloques contenidos en el lazo cerrado (vlvula y procesos), y a los bloques per-turbacin. Los trminos independientes deber entenderse asociados a los bloques de proceso.

    Efectuemos los clculos del escalado para la implantacin del sistema simu-lado en el ordenador.

    Se tendr en cuenta que todas las escalas estarn basadas en el margen del 0 % (en caso de duda vase el apndice 2).

    Las ganancias estticas de los bloques valdrn: Para la vlvula:

    q y p

    q y p

    a

    a

    117 1 8 65 3 25 18

    1 8 3 25 18

    2

    2

    , ( ) , ( )

    , , ( )

    c a a

    c a a

    q

    q

    220 2 5 117 0 75 275

    2 5 117 220 0 75 275

    , ( ) , ( )

    , ( ) , ( )

    kv

    1 8 100 0180 0

    1,

    158 0,84 ( 220) 0,97 ( 42) 1,95 ( 50)

    0,84 ( 220) 158 0,97 ( 42) 1,95 ( 50)

    s c f f

    s c f f

    q

    q

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.2

    ...100

  • 456 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Para la perturbacin de presin:

    Para la perturbacin de la temperatura del fluido trmico:

    Para el proceso de la vasija:

    Para la perturbacin de temperatura de entrada:

    Para la perturbacin de caudal circulante:

    Los valores de operacin normal sern los siguientes:

    Seal a la vlvula:

    (que se corresponde con la del caudal qa) Presin de fluido trmico:

    Caudal de fluido trmico:

    ku p( ) , ,

    3 25 25 0180 0

    0 451389

    ku a( ) , ,

    0 75 350 50250 100

    1 5

    kr

    0 84 250 100200 100

    1 26, ,

    ku f( ) , ,

    0 97 60 0200 100

    0 582

    ku qf( ) , ,

    1 95 80 0200 100

    1 56

    y2 65 %

    p

    ( ) %18 0 100 025 0

    72

    qa

    ( ) %117 0 100 0180 0

    65

  • 457

    Temperatura del fluido trmico:

    Temperatura de la camisa:

    Temperatura de la vasija:

    Temperatura de entrada:

    Caudal circulante:

    Las ecuaciones de funcionamiento esttico sern:

    las cuales al ser desglosadas para cada uno de los bloques nos proporcionan las siguientes ecuaciones individuales:

    Vlvula:

    Perturbacin de presin:

    a

    ( ) %275 50 100 0350 50

    75

    c

    ( ) %220 100 100 0250 100

    80

    s

    ( ) %158 100 100 0200 100

    58

    f

    ( ) %42 0 100 060 0

    70

    q f

    ( ) , %50 0 100 080 0

    62 5

    q y p

    q

    q

    a

    c a a

    s c f f

    2 0 451389 72

    3 65 80 1 5 75

    1 26 80 58 0 582 70 1 56 62 5

    , ( )

    ( ) , ( )

    , ( ) , ( ) , ( , )

    q ya 2

    0,451389 ( 72)aq p.

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.2

  • 458 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Proceso de camisa:

    Perturbacin de temperatura de fluido trmico:

    Proceso de vasija:

    Perturbacin de temperatura de entrada:

    Perturbacin de caudal circulante:

    Nota:

    El lector se habr podido percatar de que se trata de un reactor de pequeas dimensiones (100 litros de capacidad de vasija y 35 de camisa). Nada impide, en teora, multiplicar todos los caudales por un mismo factor (cualquiera que sea su valor), con lo que las capacidades quedaran igualmente multiplicadas por dicho factor. Resulta irrelevante el hecho de que en tal supuesto algunos parmetros caractersticos del reactor, as como los del sistema simulado, se veran modificados, pero los principios de operacin y los clculos a efectuar seguiran siendo los mismos.

    La relacin entre los valores de las variables reales y las simuladas, ser, de acuerdo con las ecuaciones descritas en el apndice 2 (pg. 533), y con los clculos aqu efectuados:

    Seal del controlador secundario:

    Caudal de fluido trmico:

    y yo2 2

    q q

    q q

    ao a

    a ao

    0 5556

    1 8

    ,

    ,

    1,5 ( 75)c a.

    1,26 ( 80) 58s c

    0 ,582 ( 70)s f.

    1,56 ( 62 ,5)fs q.

    3( 65) 80c aq

  • 459

    Presin del fluido trmico:

    Temperatura del fluido trmico:

    Temperatura de la camisa:

    Temperatura de la vasija:

    Temperatura de entrada a la vasija:

    Caudal circulante en la vasija:

    La implantacin simultnea de las dos perturbaciones en el sistema simulado puede conseguirse gracias a la propiedad, vista en otras ocasiones, de poder despla-zar un bloque perturbacin delante del bloque de proceso (vase la figura 7.18 del apartado 7.9, pg. 345). En el ejemplo que ahora nos ocupa, ambas perturbaciones se ven afectadas, desde el punto de vista dinmico, por la funcin dinmica de la vasija (la pared queda excluida); de hecho, conceptualmente son el resultado de una misma causa. En esta prctica haremos que la perturbacin debida a la temperatura de entrada acte delante del bloque vasija, mientras que la perturbacin debida al caudal circulante actuar detrs (nada impedira hacerlo al revs). Ello nos obliga a recalcular la ganancia esttica que habr que fijar a la primera:

    p p

    p p

    o

    o

    0 25

    4

    ,

    ao a

    a ao

    0 3333 16 667

    3 50

    , ,

    co c

    c co

    0 6667 66 667

    1 5 100

    , ,

    ,

    so s

    s so

    100

    100

    fo f

    f fo

    1 6667

    0 6

    ,

    ,

    q q

    q q

    fo f

    f fo

    1 25

    0 8

    ,

    ,

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.2

  • 460 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Ganancia modificada

    y, como es sabido, la perturbacin trasladada actuar como ganancia pura (sin funcin dinmica).

    Asumiremos los siguientes tipos de elementos y sus parmetros dinmicos:

    Camisa : Retardo de primer orden Constante de tiempo : Tc0,3 mn.

    Bulbo camisa : Retardo de primer orden Constante de tiempo : Tbc 0,15 mn.

    Pared : Retardo de primer orden Constante de tiempo : Tp0,25 mn.

    Vasija : Retardo de primer orden Constante de tiempo : Tv2 mn.

    Bulbo vasija : Retardo de segundo orden Constante de tiempo : Tbv 0,25 mn. Factor de amortig. : bv1,15

    Con toda esta informacin ya podemos definir los valores de los parmetros

    que hay que fijar en los bloques del sistema simulado, para las condiciones norma-les de operacin; es decir, cuando no existe ningn tipo de perturbacin y, por tanto, todas las variables se hallan en su valor normal (vase ms atrs el desglose de las ecuaciones de funcionamiento).

    Vlvula:

    Tipo: Lineal

    Ganancia : K 1

    Perturbacin de presin:

    Tipo: Ganancia Ganancia : K 0,451389 Entrada (carga) : U 72 Entrada anterior : Ua 72

    kk

    kuu

    rf

    f( )

    ( ) ,,

    , 0 582

    1 260 461905

    ( )fuk'

  • 461

    Camisa:

    Tipo: Retardo de primer orden Constante de tiempo : T 0,3 Ganancia : K 3 Valor base entrada : Be 65 Valor base salida : Bs 80

    Perturbacin de temperatura de fluido trmico:

    Tipo: Retardo de primer orden Constante de tiempo : T 0,3 Ganancia : K 1,5 Entrada (carga) : U 75 Entrada anterior : Ua 75

    Pared:

    Tipo: Retardo de primer orden Constante de tiempo : T 0,25 Ganancia : K 1 Valor base entrada : Be 0 Valor base salida : Bs 0

    Vasija:

    Tipo: Retardo de primer orden Constante de tiempo : T 2 Ganancia : K 1,26 Valor base entrada : Be 80 Valor base salida : Bs 58

    Perturbacin de temperatura de entrada de producto:

    Tipo: Ganancia Ganancia : K 0,461905 Entrada (carga) : U 70 Entrada anterior : Ua 70

    Perturbacin de caudal circulante:

    Tipo: Retardo de primer orden Constante de tiempo : T 2

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.2

  • 462 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Ganancia : K -1,56 Entrada (carga) : U 62,5 Entrada anterior : Ua 62,5

    Medidor secundario:

    Tipo: Retardo de primer orden Constante de tiempo : T 0,15 Ganancia : K 1 Elevac./Supres. de cero : Z 0

    Medidor principal:

    Tipo: Retardo de segundo orden Constante de tiempo : T 0,25 Factor de amortiguac. : 1,15 Ganancia : K 1 Elevac./Supres. de cero : Z 0

    Cuando se desee introducir una perturbacin, esto es, la simulacin de un cam-bio en alguna de las variables perturbadoras (presin del fluido trmico p, tempe-ratura de entrada del fluido trmico a, temperatura de entrada del producto f o caudal circulante del producto qf ), se modificar el valor de Entrada (carga) U, del correspondiente bloque perturbacin utilizando la relacin de equivalencia perti-nente, hallada ms atrs; esto es,

    Ntese que a los medidores se les ha asignado una ganancia K1. Este valor es consecuencia del hecho de atribuir a los bloques transmisores del sistema simulado un margen de operacin del 0...100%, tanto para la entrada como para la salida. Vemoslo con cierto rigor. Si nos remitimos al apartado 3 del apndice 2 (pg. 534), la ganancia del medidor real sera

    Ky yx xM

    max min

    max min

    y la ganancia del medidor en el sistema simulado:

    0 ,25

    0 ,3333 16 ,667

    1,6667

    1,25

    o

    ao a

    fo f

    fo f

    p p

    q q

  • 463

    K K x xy yv vu uM Mo

    max min

    max min

    max min

    max min1

    En la pgina siguiente, la figura 9.9 muestra el diagrama de bloques completo (tal como aparecer en la pantalla del ordenador), con indicacin de los mrgenes de las variables y de sus valores normales de operacin. Asimismo, se indican los pa-rmetros que se han estado calculando (vase tambin la figura 9.8, pg. 448).

    Los controladores se irn definiendo a medida que progrese el ejercicio prcti-co, para verificar las ventajas e inconvenientes de cada una de las acciones. Asimis-mo, se efectuarn diversos anlisis del efecto de la incorporacin de tiempos muer-tos en distintos puntos del lazo. Se ver tambin la eficacia del control en cascada, incluso cuando los retardos de tiempo de lazo secundario son similares a los del lazo principal. Igualmente, se efectuar un estudio sobre alinealidades, comprobando el efecto producido por cambiar la vlvula de tipo lineal por una isoporcentual.

    Instrucciones

    Analizaremos en primer lugar el comportamiento del lazo secundario como un sistema independiente.

    Entrar en la opcin Control de un lazo cerrado simple. Pulsar el botn [Bloques nulos].

    Preparar la siguiente configuracin: C-1 P+D; G 4 / Td 0 / C 80 / Ca 80 P-1 Retardo de primer orden; T 0,3 / K 3 / Be 65 / Bs 80 U-v Ganancia; K 0,451389 / U 72 / Ua 72 / Espera 30 U-1 Ret.1er. orden; T 0,3 / K 1,5 / U 75 / Ua 75 / Espera 30 M-1 Retardo de primer orden; T 0,15 / K 1 / Z 0

    Prestar atencin a las ganancias que se han dado para los bloques, y ntese que

    no hemos fijado ningn salto en el punto de consigna ni en las perturbaciones.

    Continuar con: Duracin 4,5

    Pulsar C/U y seleccionar: Frecuencia de muestreo : 2 (opcin C/U )

    Seleccionar las escalas: Escala de ganancia : 0 0 2; -6 0 +6 Escala de ngulos : -180 0 +180 Frecuencia inicial : 0,1; -1 Frecuencia final : 100; +2

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.2

  • 464 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Fig.

    9.9

    D

    iagr

    ama

    de b

    loqu

    es d

    el c

    ontro

    l de

    tem

    pera

    tura

    de

    un re

    acto

    r enc

    amis

    ado

    (Pr

    ctic

    a n

    9.2

    , fig

    . 9.8

    , pg

    . 447

    y si

    gtes

    .)

  • 465

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Vemos que se obtienen dos lneas planas (el sistema est en equilibrio, tanto antes como despus del tiempo cero; CCa y UUa). La lnea del 80% corres-ponde a la medida (igual a la consigna), de acuerdo con los valores que habamos definido dentro de las condiciones de operacin normal. Lo mismo sucede con la lnea del 65% de salida del controlador, esto es, de posicin de la vlvula y, por tanto, de caudal de fluido trmico ( la vlvula es de tipo lineal con ganancia 1).

    Modificar. C-1 : C 70

    Entrar en la opcin Rampas (C/R) y asignar: Bloque | Seal C-1 Consigna | P+D Tiempos (mn.) : t1 0,5 / t2 0,5 / t3 2,5 / t4 2,5

    Ejecutar la opcin Rampas programadas de la Respuesta temporal.

    Observamos un comportamiento aceptable. En el instante del primer salto en escaln del punto de consigna, que va del 80 al 70%, se observa que la salida del controlador pasa del 65 al 25%. Trate el lector de averiguar el porqu de este ltimo valor.

    En efecto, en este momento la seal de error es de : 80-70 10%. Luego, el salto que deber producirse en la salida del controlador (estaba en equilibrio) ser de .Y -G: -4110 -40 y, por tanto, se tendr una salida neta de 65 - 40 25.

    La desviacin permanente, cuando C70, es muy pequea; concretamente su valor es

    Recurdese que K es el producto de todas las ganancias estticas del lazo, en

    este caso 41312. Si se desea observar en pantalla la desviacin permanente con mayor precisin, hacer:

    Modificar. C-1 : C 15

    Ejecutar nuevamente la Respuesta temporal. Ahora se tiene

    80 15 5%13

    p:

    : :p K

    11013

    0 769, %

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.2

  • 466 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Teniendo en cuenta que este controlador actuar como esclavo del principal, veamos su comportamiento en seguimiento a la rampa. Esto es, haremos que el pun-to de consigna cambie de acuerdo con unas rampas que programaremos, en vez de mantenerse constante a partir de t0.

    Modificar: C-1 : C 40 (mantener Ca 80) Duracin 10

    Entrar en la opcin Rampas y modificar: Tiempos (mn.) : t1 2 / t2 4 / t3 6 / t4 8 (mantener la seleccin Bloque | Seal C-1)

    Ejecutar la opcin Rampas programadas de la Respuesta temporal.

    Confirmamos que el comportamiento es aceptable, mostrando un buen segui-miento a la rampa.

    Ahora analizaremos la respuesta frente a perturbaciones. Probaremos en primer lugar una perturbacin en la presin del fluido trmico. Supondremos que sta cam-bia bruscamente desde los 18 bar de operacin normal hasta 10,5 bar, lo que repre-senta un descenso del 30% con relacin al fondo de escala. En la simulacin esto significar cambiar del 72 al 42%. Comprubese por mediacin de las relaciones de equivalencia entre variables reales y simuladas que se han dado ms atrs.

    Modificar: C-1 : C 80 (anulamos el salto de consigna) U-v : U 42 (simulamos la perturbacin de presin) Duracin 3 (hacer caso omiso a la advertencia que se mostrar)

    Ejecutar la Respuesta temporal al Escaln.

    Resulta igualmente una respuesta aceptable.

    Ahora supondremos que la perturbacin es debida a un cambio en la tempera-tura del fluido trmico, pasando de los 275,C de operacin normal a 185,C; esto es, del 75 al 45%, significando, al igual que en el caso de la perturbacin de presin, un descenso del 30%.

    Modificar: U-v : U 72 (anulamos la perturbacin de presin) U-1 : U 45 (simulamos la perturbacin de temperatura)

    Ejecutar la Respuesta temporal al Escaln.

  • 467

    Otra vez obtenemos una buena respuesta.

    El lector ensayar con diversas ganancias del controlador y la adicin de accin integral. Mediante el Anlisis frecuencial se podr comprobar que con un controla-dor proporcional, en teora, el sistema siempre es estable por grande que sea la ganancia. No sucede lo mismo si se aade accin integral, en cuyo caso el sistema puede hacerse inestable si Ti se hace suficientemente pequeo.

    Visto el comportamiento aislado de lo que ser el lazo secundario, entraremos a experimentar el sistema en su totalidad, pero todava sin implementar la configura-cin en cascada. De este modo comprobaremos los efectos que causan en el sistema las perturbaciones y, en especial, las que afectan directamente a la variable manipu-lada, es decir, los cambios en la presin y la temperatura del fluido trmico. Poste-riormente, lo compararemos con la configuracin de control en cascada.

    Las comparaciones las haremos bajo las siguientes tres premisas:

    El controlador principal ser siempre del tipo proporcional, con una ganan-cia de aproximadamente la mitad de la que hara el sistema crtico.

    Activaremos una a una las cuatro posibles perturbaciones, provocando un

    salto del 50% del intervalo de operacin, y tomaremos nota de los valores del primer pico de rebasamiento de la variable controlada y de la medida, as como del valor final alcanzado y de la desviacin permanente.

    Las diferencias entre los valores de los citados picos y la consigna (o el

    valor final, si bien aqu sern referidos a la consigna) seran los valores de rebasamiento mximo, los cuales dan una buena medida del impacto produ-cido por la perturbacin. Tambin, en estas condiciones, en las que no se aplica accin integral, la desviacin permanente es un buen indicador.

    Para ensayar el sistema como lazo de control simple utilizaremos la opcin de

    control en cascada, anulando el lazo secundario. Para ello basta con asignar al con-trolador secundario (slo proporcional) una ganancia igual a 1, y al medidor secun-dario una ganancia 0.

    Salir al MEN GENERAL. Entrar en la opcin Control en cascada. Pulsar el botn [Bloques nulos].

    Preparar la siguiente configuracin: C-1 P+D; G 0,8 / Td 0 / C 58 / Ca 58 C-s P+D; G 1 / Td 0 P-s Retardo de primer orden; T 0,3 / K 3 / Be 65 / Bs 80 P-1 Retardo de primer orden; T 0,25 / K 1 / Be 0 / Bs 0

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.2

  • 468 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    P-2 Retardo de primer orden; T 2 / K 1,26 / Be 80 / Bs 58 U-v Ganancia; K 0,451389 / U 72 / Ua 72 / Espera 60 U-s Ret. 1er. orden; T 0,3 / K 1,5 / U 75 / Ua 75 / Espera 60 U-1 Ganancia; K 0,461905 / U 70 / Ua 70 / Espera 60 U-2 Ret. 1er. orden; T 2 / K -1,56 / U 62,5 / Ua 62,5 / Esp60 M-s Ganancia; K 0 / Z 0 M-2 Retardo de segundo orden; T 0,25 / S 1,15 / K 1 / Z 0 (Atencin a la ganancia negativa de U-2 y a la ganancia 0 de M-s)

    Asignar: Duracin 25

    Seleccionar las escalas: Escala de ganancia : 0 0 2; 6 0 +6 Escala de ngulos : 180 0 +180 Frecuencia inicial : 0,1; 1 Frecuencia final : 100; +2

    Verificar con el Diagrama de Nyquist que la ganancia del controlador principal es de aproximadamente la mitad de la que hara el sistema crtico (esto es, que se tiene una margen de ganancia de 2). No obstante, la respuesta temporal nos dara tres lneas planas que sern analizadas con detalle ms adelante.

    Nota importante para esta Prctica

    Antes de ejecutar una Respuesta temporal debern estar activados los modos Paso a paso y Mostrar valores finales. Para ello, pueden marcarse dichas casi-llas en la parte superior derecha de la pantalla (deber estar seleccionada la op-cin Temporal en el men de teclado del fondo de la pantalla) y tambin pueden activarse desde el men Temporal de Windows. El modo Paso a paso se utilizar pulsando repetidamente la tecla o mantenindola pulsada. Se ir tomando nota de los valores de rebasamiento citados anteriormente. Una vez concluida la grfica de la Respuesta, los valores finales mostrados corres-pondern a la desviacin permanente y al valor final alcanzado. Puede ser con-veniente efectuar una primera ejecucin de la grfica en modo normal, con el fin de poder observar en qu tiempos, aproximadamente, se producen los picos.

    Modificar: U-v : U 22 (activamos la perturbacin de cambios en la presin)

    Ejecutar la Respuesta temporal, segn se ha indicado en la nota anterior.

    Se han podido tomar los siguientes datos: Primer pico del proceso P / 24,6 Primer pico de la medida M / 27,1 Valor final alcanzado M P / 36,8 Desviacin permanente :p / 21,2

  • 469

    Modificar: U-v : U 72 (anulamos la perturbacin de presin) U-s : U 25 (activamos la perturbacin de temperatura del fluido trmico)

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Se han podido tomar los siguientes datos:

    Primer pico del proceso P / 21,0 Primer pico de la medida M / 23,8 Valor final alcanzado M P / 34,5 Desviacin permanente :p / 23,5

    Modificar: U-s : U 75 (anulamos la perturbacin de temperatura del fluido trmico) U-1 : U 20 (activamos la perturbacin de temperatura de entrada de producto)

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    * Se han podido tomar los siguientes datos: Primer pico del proceso P / 45,8 Primer pico de la medida M / 46,8 Valor final alcanzado M P / 50,8 Desviacin permanente :p / 7,23

    Modificar: U-1 : U 70 (anulamos la perturbacin de temperatura de entrada de producto) U-2 : U 12,5 (activamos la perturbacin de caudal de entrada de producto)

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Se han podido tomar los siguientes datos:

    Primer pico del proceso P / 90,7 Primer pico de la medida M / 88,0 Valor final alcanzado M P / 77,4 Desviacin permanente :p / 19,4

    Ahora repetiremos estos mismos pasos, pero con la configuracin de control en cascada, para poder llevar a cabo las oportunas comparaciones.

    Modificar: C-1 : G 6 C-s : G 4 M-s Retardo de primer orden; T 0,15 / K 1 / Z 0 U-2 : U 62,5 (anulamos la perturbacin)

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.2

  • 470 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Ntese en C-1 el valor CCa58% que, segn hemos visto, corresponde al valor de operacin normal de la temperatura de la vasija. Por otra parte, el valor de salida del controlador secundario, en condiciones normales, vendr determinado automticamente por el resto del sistema; pero ya sabemos, por el ejercicio que aca-bamos de efectuar, que ser del 65% (que corresponde al caudal de fluido trmico, por ser la vlvula un elemento lineal de ganancia 1). Notar asimismo que no hemos fijado ni salto en el punto de consigna ni en las perturbaciones. Ello nos servir para comprobar los puntos de reposo (valores de operacin normal). Es de destacar que ahora tenemos una ganancia del controlador de 6, en vez del 0,8 que tenamos con la configuracin en lazo cerrado simple, para obtener en ambos casos el mismo margen de ganancia.

    Modificar: Duracin 3

    Verificar con el Diagrama de Nyquist que la ganancia del controlador principal es de aproximadamente la mitad de la que hara el sistema crtico (esto es, que se tiene una margen de ganancia de 2).

    Ejecutar la Respuesta temporal en modo Paso a paso y mantener pulsada la tecla hasta que las grficas avancen un minuto aproximadamente.

    Vemos que se obtienen tres lneas planas que es preciso analizar. El sistema est

    en equilibrio, tanto antes como despus del tiempo cero, y no existen variaciones del punto de consigna y tampoco se tienen variaciones en las variables perturbadoras. Lnea verde del 58%:

    Corresponde a la medida M, y es igual a la consigna. La propia lnea, por ser la de mxima prioridad en la representacin, oculta a la lnea de la variable controlada P (roja), y tambin a la lnea a trazos de las consignas. El orden de prioridades, a efectos de superposicin, es el mostrado en la leyenda de la parte superior izquierda de la pantalla. Ver el diagrama de bloques ( ).

    Lnea azul claro del 65%:

    Corresponde a la salida de vlvula V, y es igual al caudal de fluido trmico. Oculta a la lnea Ys (gris), de seal de salida del controlador secundario.

    Lnea amarilla del 80%: Es la salida Y del controlador principal. Esta seal es la consigna del con-

    trolador secundario y, por tanto, la demanda de temperatura de la camisa. Oculta a la lnea de medida secundaria Ms (azul oscuro) y a la lnea de la variable con-trolada secundaria Ps (lila).

  • 471

    Pulsar repetidamente la tecla y observar que el panel inferior de visualizacin digital nos muestra siempre una seal de error nula, abundando en el hecho de que el sistema se encuentra en equilibrio y sin desviacin permanen-te, desde el momento t0. Tambin nos permite comprobar los valores que se han citado para cada variable.

    Pulsar para permitir que finalice la construccin de las grficas. Para comprobar las ocultaciones que se han descrito, y poder examinar las su-

    perposiciones que se han producido, deshabilitar el modo Avanza paso a paso (desmarcar la segunda casilla en la esquina superior derecha) y hacer:

    C-1 : C 59 (C es ahora ligeramente distinto de Ca, que vale 58) Ejecutar la Respuesta temporal. Pulsar repetidamente la tecla A (vista anterior alternada) y comparar.

    Vamos a observar las diferentes respuestas, frente a las distintas perturbaciones

    que iremos activando.

    Reponer: C-1 : C 58 (anulamos otra vez el salto de la consigna)

    Modificar: U-v : U 22 (activamos la perturbacin de cambios en la presin) Duracin 16

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Se han podido tomar los siguientes datos: Primer pico del proceso P / 56,4 Primer pico de la medida M / 56,7 Valor final alcanzado M P / 57,2 Desviacin permanente :p / 0,82

    Modificar: U-v : U 72 (anulamos la perturbacin de presin) U-s : U 25 (activamos la perturbacin de temperatura del fluido trmico)

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Se han podido tomar los siguientes datos: Primer pico del proceso P / 56,3 Primer pico de la medida M / 56,6 Valor final alcanzado M P / 57,1 Desviacin permanente :p / 0,91

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.2

  • 472 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Modificar: U-s : U 75 (anulamos la perturbacin de temperatura del fluido trmico) U-1 : U 20 (activamos la perturbacin de temperatura de entrada del producto)

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Se han podido tomar los siguientes datos: Primer pico del proceso P / 50,7 Primer pico de la medida M / 52,2 Valor final alcanzado M P / 54,3 Desviacin permanente :p / 3,6

    Modificar: U-1 : U 70 (anulamos la perturbac. de temperatura entrada producto) U-2 : U 12,5 (activamos la perturbacin de caudal de entrada de producto)

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Se han podido tomar los siguientes datos: Primer pico del proceso P / 77,5 Primer pico de la medida M / 73,6 Valor final alcanzado M P / 67,8 Desviacin permanente :p / 9,78

    A continuacin se expone un resumen de las caractersticas de las respuestas que

    hemos obtenido, incluyendo los valores de rebasamiento mximo referenciados al valor de la consigna C del 58%. (Ntense los picos: [$] valle; [?] cresta).

    Tipo de perturbacin Variables registradas Variables calculadas

    Control en lazo simple

    Control en

    cascada

    Perturbacin de presin Primer pico del proceso, P [$] 24,6 56,4 Rebasamiento del proceso, P-C -33,4 -1,6 Primer pico de la medida, M [$] 27,1 56,7 Rebasamiento de la medida, M-C -30,9 -1,3 Valor final alcanzado, MP 36,8 57,2 Desviacin permanente, :p P-C -21,2 -0,8

    Perturbacin temperat. fluido trmico Primer pico del proceso, P [$] 21,0 56,3 Rebasamiento del proceso, P-C -37,0 -1,7 Primer pico de la medida, M [$] 23,8 56,6 Rebasamiento de la medida, M-C -34,2 -1,4 Valor final alcanzado, MP 34,5 57,1 Desviacin permanente, :p P-C -23,5 -0,9 (Contina...)

  • 473

    Perturbacin temperat. del producto Primer pico del proceso, P [$] 45,8 50,7 Rebasamiento del proceso, P-C -12,2 -7,3 Primer pico de la medida, M [$] 46,8 52,2 Rebasamiento de la medida, M-C -11,2 -5,8 Valor final alcanzado, MP 50,8 54,3 Desviacin permanente, :p P-C -7,2 -3,6

    Perturbacin de caudal de producto Primer pico del proceso, P [?] 90,7 77,5 Rebasamiento del proceso, P-C 32,7 19,5 Primer pico de la medida, M [?] 88,0 73,6 Rebasamiento de la medida, M-C 30,0 15,6 Valor final alcanzado, MP 77,4 67,8 Desviacin permanente, :p P-C 19,4 9,8

    La tabla expresa por s misma las ventajas de la configuracin de control en cascada. Cuando en este tipo de control las perturbaciones entran por el lazo secun-dario, los valores de los rebasamientos y de la desviacin permanente son reducidos drsticamente. Cuando las perturbaciones entran por el lazo principal, son reducidos aproximadamente a la mitad, lo que demuestra que el control en cascada mejora la respuesta incluso para este tipo de perturbaciones. Si se aumenta la ganancia del controlador secundario, los resultados son todava ms espectaculares.

    A partir de aqu se recomienda al lector que ensaye las variantes y las modifica-ciones de parmetros, que se citan a continuacin, comprobando si es o no ventajosa la configuracin en cascada. En muchos casos ser conveniente la ayuda que presta el Anlisis frecuencial para determinar la optimizacin del sistema.

    Introducir accin integral en uno y otro de los dos controladores, y accin derivativa en el principal. Recurdese que, en general, no es admisible la accin derivativa en el secundario.

    Aumentar la constante de tiempo de alguno de los componentes del lazo

    secundario hasta valores similares a la mayor constante de tiempo del lazo principal.

    Introducir un tiempo muerto, ya sea en algn proceso o en el medidor del

    lazo principal. En el primer caso ser preciso reagrupar dos retardos de tiempo de primer orden en uno de segundo, tal como se hizo en la prctica n 9.1 (pg. 441). Efectuar un solo cambio a la vez.

    Introducir una alinealidad en el lazo secundario, seleccionando la vlvula de tipo isoporcentual.

    Introducir una alinealidad en el lazo principal, seleccionando el bloque

    medidor M-1 de tipo cuadrtico. Probar con distintos valores de consigna.

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.2

  • 474 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Modificar diversas ganancias y parmetros de los bloques Proceso, as como de los bloques Perturbacin (un solo cambio a la vez).

    Comprobar, en todos los casos, la respuesta frente a la aparicin de las

    perturbaciones en forma de rampa, utilizando la opcin C/R y ejecutando la respuesta en la opcin Rampas programadas. Tngase en cuenta que, como aproximacin, esta es una situacin bastante frecuente en los procesos reales y que puede ser considerada como normal.

    Se ensayarn tambin los efectos producidos en ambos tipos de configura-

    cin cuando cambia la fsica de alguno de los bloques; lo que se traducira, por ejemplo, en cambios de la ganancia esttica de algn componente, en la conversin de un retardo de primer orden en uno de segundo, etc.

    Prctica n 9.3

    En este mismo captulo se ha mencionado que en un sistema de control en cascada el lazo secundario puede ser inestable y, no obstante, el sistema global ser estable. Debemos ahora aadir que, en este supuesto, el comportamiento del citado lazo secundario pasa a ser el de un lazo estable; es decir, que ninguna de sus varia-bles presenta oscilacin alguna o, si las presenta, despus de una perturbacin, son oscilaciones amortiguadas. Algo as como si se contagiara de la estabilidad global (ms bien podra hablarse de una inmunizacin). Dado lo curioso del fenmeno y que, por otra parte, no resulta ni mucho menos intuitivo, y s muy didctico, creemos interesante proponer un ejercicio prctico sobre este particular.

    En la prctica 8.7 (pg. 382) vimos que un control proporcional de un proceso formado por tres retardos de tiempo de primer orden, con idntico valor de la cons-tante de tiempo en cada uno, se encuentra situacin crtica si la ganancia esttica del lazo vale 8; es decir, se tiene Kmax 8. Esto significa que si, por ejemplo, se asigna al controlador una ganancia de 10 (asumiendo una ganancia esttica igual a 1 en el res-to de los bloques del lazo), se tendr un sistema claramente inestable.

    Vamos a configurar un sistema de control en cascada, en el que el lazo secunda-rio se corresponda con esta descripcin, y verificaremos que es posible hacer que el sistema sea estable.

    Entrar en la opcin Control en cascada. Pulsar el botn [Bloques nulos]. Preparar la siguiente configuracin:

    C-1 P+D; G 1 / Td 0 / C 50 / Ca 40 C-s P+D; G 8 / Td 0 V-1 Retardo de primer orden; T 0,25 / K 1

  • 475

    P-s Retardo de primer orden; T 0,25 / K 1 / Be 0 / Bs 0 P-1 Retardo de primer orden; T 0,25 / K 1 / Be 0 / Bs 0 M-s Ganancia; K 0 / Z 0 (atencin a K 0)

    Asignar: Duracin 6

    Seleccionar las escalas: Escala de ganancia : 0 0 2; 6 0 +6 Escala de ngulos : 180 0 +180 Frecuencia inicial : 0,01; 2 Frecuencia final : 100; +2

    Ntese K0 en el medidor secundario M-s. Esto significa que hemos anulado

    la realimentacin del lazo secundario. Por otra parte, el controlador principal es slo proporcional con ganancia 1, mientras que el controlador secundario tiene una ganancia 8. Podramos intercambiar, entre ambos controladores, los valores de estas ganancias sin modificar el funcionamiento del sistema (lo importante es que el pro-ducto de las ganancias estticas de la totalidad de los bloques del lazo cerrado sea 8, sin contar con el bloque M-s). Con todo ello, la configuracin que hemos efectuado equivale a la de un lazo sencillo en el lmite de estabilidad (tenemos tres retardos de tiempo de primer orden iguales, con una ganancia global de 8). En efecto:

    Ejecutar el Diagrama de Nyquist. Ejecutar la Respuesta temporal.

    Comprobamos que, segn lo esperado, el sistema es crtico. Ahora asignaremos

    al medidor secundario M-s, un bloque Retardo de primer orden, con T0,25 y una ganancia esttica K1, lo que convertira al lazo secundario, visto como sistema ais-lado, en un sistema crtico. Si, adems, incrementamos la ganancia de su controlador C-s a 10, entonces lo habremos convertido en un lazo inestable. Vamos a demostrar que globalmente el sistema puede ser estable, en cuyo caso el lazo secundario exhibe igualmente un comportamiento estable.

    Modificar: C-1 : Td 0,25 C-s : G 10 Duracin 3

    Asignar: M-s Retardo de primer orden; T 0,25 / K 1 / Z 0

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Podemos comprobar que aun aumentando a valores importantes la ganancia del controlador principal, as como la del secundario, el sistema sigue siendo estable.

    Apdo. 9.1 - Prcts. 9.2 - 9.3

  • 476 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Ejecutar el Diagrama de Nyquist.

    Observamos cmo queda la curva con relacin al punto [-1; 0], pero no se apre-cia claramente cul es su forma global, por lo que hacemos:

    Modificar: Escala de ganancia : 0 016; 24 0 +24

    Ejecutar el Diagrama de Nyquist. Es ahora de sumo inters comprobar que se cumple el criterio de estabilidad de Nyquist, de acuerdo con la metodologa explicada en el apartado 7.7.3 (pg. 330). Para ello, y tal como all se detalla, dibujaremos de manera grosera, sobre un papel, el diagrama mostrado en la pantalla, respetando aproximadamente la posicin rela-tiva de la curva con relacin al punto [-1; 0] (paso 4 del apdo. 7.7.3). A continua-cin dibujaremos la curva simtrica con respecto al eje horizontal y marcaremos, mediante unas flechas sobre ambas curvas, la direccin creciente de frecuencias (en pantalla se muestra esta direccin). La curva es cerrada por s misma, debido a que, segn se indica en el paso 5, no hay ningn bloque integrador ni hay accin integral, por lo cual podemos obviar este paso. Ahora debemos determinar la cantidad de polos positivos, para lo cual aplicaremos lo dicho en el paso 6. El lazo secundario, considerado como bloque, presenta, segn lo visto en el apartado 8.3.4 (pg. 379), una transmitancia con el denominador de la forma

    el cual puede ser factorizado en un trmino de primer orden y uno de segundo, esto es,

    y, puesto que sabemos que se trata de un bloque inestable, entonces 0. En otras palabras, tenemos que el nmero de polos positivos es P2.

    Desde un punto de vista estrictamente matemtico, el nmero de polos positivos es la canti-dad de races complejas con la parte real positiva que se obtendran del trmino cuadrtico, tenien-do en cuenta que su coeficiente en s es negativo por serlo . A su vez, ello es consecuencia de que la expresin del valor Kmax de un sistema, tal como el que forma el lazo secundario, se deduce igualando las dos expresiones anteriores y haciendo 0. Cuando se tiene K Kmax (sistema ines-table), se cumple necesariamente que 0 y, en consecuencia, se obtienen dos polos positivos. Este es precisamente nuestro caso, en el que tenemos K 10 y Kmax 8, esto es, K Kmax. El paso siguiente (paso 7) es contar el nmero de rodeos netos que da la curva en torno al punto [-1; 0]. Vemos que podemos dar dos rodeos a izquierdas, que son considerados negativos, esto es, N 2.

    1 2 3( 1) ( 1) ( 1)K T s T s T s

    " # " # " #2 21 2 1 1a bT s T s T s K

  • 477

    Finalmente, de acuerdo con los pasos 8 al 10, hacemos:

    No obstante, en un sistema real hay que evitar esta situacin, debido a que podra presentarse un problema de ndole prctico: si conmutsemos el controlador principal a control manual , entonces el lazo secundario entrara en oscilacin cre-ciente, transmitindola a la totalidad del sistema.

    Es notable el hecho de que el sistema se vuelve inestable si se reduce suficiente-mente la ganancia del controlador principal. En efecto:

    Modificar: C-1 : G 0,1 Escala de ganancia : 0 0 2; 6 0 +6 Duracin 6

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Puede observarse una respuesta con oscilaciones mantenidas. Se est en condi-cin crtica. En realidad es el lazo secundario quien impone la inestabilidad.

    Ejecutar el Diagrama de Nyquist. Modificar:

    C-1 : G 0,05 Repetir el Diagrama de Nyquist.

    Si ahora tratamos de aplicar el criterio de estabilidad de Nyquist, con la misma

    metodologa que se ha empleado ms atrs, nos encontraremos que la nica diferen-cia est en el nmero de rodeos netos que da la curva en torno al punto [-1; 0]. Aho-ra no da ningn rodeo, es decir, N0, y, por tanto, se tiene:

    lo que podemos confirmar ejecutando la respuesta temporal.

    Ntese que la conmutacin del controlador principal a control manual equi-vale a asignar una ganancia nula en el mismo. En estas condiciones es posible ejecu-tar la respuesta temporal, pero no la frecuencial, debido a que se producira un error de mquina en el clculo de la ganancia del lazo en dB, al intentar hacer la operacin [Log 0], cuyo resultado terico es . Nos queda el recurso de asignar, en vez del valor 0, un valor de ganancia muy pequeo, tal como 0,0000001. Ser fcil com-probar la inestabilidad del lazo en estas condiciones. En efecto:

    2 ( 2 ) 0Z P N El sistema es estable

    2 0 2Z P N El sistema es inestable

    Apdo. 9.1 - Prct. 9.3

  • 478 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Modificar: C-1 : G0 / Td 0,25 / C 50 / Ca 50 (Notar G 0; C Ca 50) U-v Ganancia; K 1 / U 10 / Ua 0 / Espera 30

    Entrar en la opcin Rampas (C/R) y asignar: Bloque | Seal U-v Perturbacin | Ganancia Tiempos (mn.) : t1 0,7 / t2 0,7 / t3 0,75 / t4 0,75 Duracin : 7 (desde la misma ventana de Rampas)

    Ejecutar la opcin Rampas programadas de la Respuesta temporal.

    Notar que tras una perturbacin de escasa duracin, introducida en el lazo se-cundario, el sistema entra en oscilacin creciente, a pesar de que la ganancia del lazo principal es nula. La situacin es equivalente a la operacin en control manual del controlador principal. El controlador secundario recibe como consigna una seal constante (igual al valor de C ). La inestabilidad de su lazo se transmite al sistema, va proceso principal.

    9.1.1 Prediccin de la desviacin permanente

    La figura 9.10 muestra, en sntesis, un diagrama de bloques de un control en cascada con una perturbacin U2 en el lazo secundario y una perturbacin U1 en el lazo principal.

    Fig. 9.10 Diagrama de bloques de un control en cascada con perturbaciones

    Para una perturbacin U2, en el lazo interno, podemos escribir

    1 1 4 1 1 1 4

    2 1 3 2 2

    0

    ( ) ( )

    ( )

    C H K K H C

    H K

  • 479

    3 2 2 3 1 3 2 2 3 2 3

    1 2 3 3 2 2 3 2 3

    ( ) ( )U G H K G U G

    K G H K G U G y, por tanto,

    3 3 2 2 3 3 2 2 3 1 2 3 2 31 H K G H K G K G U G( )

    de donde

    en la que si sustituimos 1 por el valor hallado en la primera de las ecuaciones, obtenemos

    y de aqu puede deducirse la relacin entre la variable controlada y la perturbacin

    Si ahora asumimos que los bloques de realimentacin (medidores), con una transmitancia H1 y H2, tienen una ganancia esttica igual a 1, y llamamos K3 y K4 a las ganancias estticas de las transmitancias G3 y G4, podremos decir que en estado estacionario, una vez estabilizado el sistema, la relacin entre la variable controlada y la perturbacin es

    Pero la variable controlada, en estado estacionario, es precisamente la desvia-cin permanente. Recurdese, una vez ms, que el clculo laplaciano opera con las desviaciones de las variables con relacin a los valores iniciales (los que se tengan cuando t0). El miembro de la derecha de esta igualdad es, por tanto, el factor por el que se debe multiplicar la magnitud de la perturbacin para obtener la desviacin permanente. Este factor nos muestra claramente el efecto que causa sobre la desvia-cin permanente la ganancia de los controladores, K1 y K2.

    31 2 3 2 3

    2 2 3

    4 3 41 2 3 4 2 3 4

    2 2 3

    1

    1

    K G U GH K G

    G K G G U G GH K G

    41 1 2 3 4 4 2 3 4

    2 2 31

    K H K G G U G GH K G

    42

    3 4

    2 2 3 1 1 2 3 41UG G

    H K G K H K G G

    42

    3 4

    2 3 1 2 3 41UK K

    K K K K K K

    Apdos. 9.1 - 9.1.1 - Prct. 9.3

  • 480 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Para una perturbacin U1 en el lazo principal, siguiendo un procedimiento de clculo similar, obtendramos

    y en estado estacionario

    Los clculos efectuados sirven igualmente para un control en lazo cerrado sim-ple con los mismos componentes (obviamente omitiendo el controlador secundario y su medidor), sin ms que hacer H20 y K21, con lo que se obtiene

    Hay que hacer notar que estas frmulas podran haberse deducido de manera ms cmoda, segura y elegante, mediante la aplicacin de la regla de Mason, la cual se expone con suficiente detalle en el apndice 4. Ntese que las reglas simplificadas que se dieron al final del apartado 8.3.1 (pg. 356), no son aplicables en un caso como este, en el que el diagrama de bloques contiene un lazo anidado.

    No obstante, para pequeas modificaciones en el diagrama de bloques no ser preciso efectuar un nuevo clculo, sino que bastar introducir los cambios directa-mente en la frmula previamente calculada. Por ejemplo, supongamos que justo delante del sumatorio de la perturbacin U2 se inserte un bloque con una transmitan-cia G5 (con ganancia esttica K5). Entonces este nuevo bloque podra asociarse al bloque K2, con lo que para el control en cascada las ecuaciones quedaran modifi-cadas como sigue

    4 3 4

    2 2 3 5 1 2 3 4 5

    4 54 2 3

    1 2 3 5 1 2 3 4 5

    1

    ( )1

    1

    K KU K K K K K K K K

    KK K KU K K K K K K K K

    y si en cambio el bloque se hallara justo antes del sumatorio de la perturbacin U1, con una transmitancia G6 (con ganancia esttica K6), entonces se tendra

    41

    4 2 2 3

    2 2 3 1 1 2 3 4

    11U

    G H K GH K G K H K G G

    ( )

    41

    4 2 3

    2 3 1 2 3 4

    11U

    K K KK K K K K K

    ( )

    4

    2

    3 4

    1 3 4

    4

    1

    4

    1 3 4

    1

    1

    UK KK K K

    UK

    K K K

  • 481

    Hay que hacer notar que estos factores proporcionan tambin una medida rela-tiva de los picos de rebasamiento.

    En el ejemplo de la prctica 9.2 (pgina 447), se tendra que para control en cascada (K1 *6), la perturbacin de presin (perturbacin U2 en la figura 9.10, pg. 478), causara una desviacin permanente de

    que concuerda con lo que se haba observado en la ejecucin de la respuesta (vase tabla resumen al final de dicha prctica, pgs. 472 y 473).

    Esta misma perturbacin en el sistema de control simple (K1 0,8) nos dara

    tambin en concordancia con las observaciones.

    Se habr notado que el salto del 50% en la perturbacin de presin ha sido multiplicado por la ganancia de dicho bloque, debido a que las expresiones que se aplican contemplan el valor del salto en la entrada del sumatorio.

    La relacin entre ambos valores de desviacin permanente (lazo simple y con-trol en cascada) sera el factor de mejora conseguido por la implantacin de la configuracin en cascada con relacin a la de control simple (para esta perturbacin en concreto), y la podramos calcular directamente hallando la relacin entre ambos factores, calculados ms arriba (:p(s) /:p(c) *21,20 / 0,8225) o formalmente haciendo:

    (simple) (casc.)1 1

    2 3 1 2 3 4 cascada

    1 2 3 control simple

    0,8; 6

    [1 ]

    [1 ]

    1 4 3 6 4 3 1,26( )25,775

    1 0,8 3 1,26K K

    K K K K K Kf

    K K K

    1 1 1 1

    1 1

    Ya hemos comprobado que cuando nos referimos a una perturbacin que entra en el lazo principal, la mejora no es tan importante, pero todava ofrece un notable

    4 3 4 6

    2 2 3 1 2 3 4 6

    4 4 2 3

    1 2 3 1 2 3 4 6

    1

    (1 )

    1

    K K KU K K K K K K K

    K K KU K K K K K K K

    ( )3 1,26

    50 0,451389 21,20 %1 0,8 1 3 1,26

    p s:1 1

    1 1 1

    ( )3 1,26

    50 0,451389 0,8225 %1 4 3 6 4 3 1,26

    p c:1

    1 1 1 1 1

    Apdo. 9.1.1

  • 482 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    inters, especialmente porque al aumentar la frecuencia crtica del sistema la estabili-zacin se alcanza con mayor rapidez y disminuye considerablemente el error inte-gral. En la propia prctica 9.2 se ha visto que el tiempo necesario para poder leer la desviacin permanente (con la suficiente estabilidad en la lectura), se reduca de manera considerable en el control en cascada.

    Concretamente, el factor de mejora para la desviacin permanente, con rela-cin a la perturbacin de temperatura de entrada del producto, sera

    que, segn podemos comprobar, concuerda con los datos obtenidos, expuestos en la tabla de comparacin (pgs. 472 y 473.).

    9.2 Control en adelanto La configuracin de control en adelanto, tambin llamado control anticipatorio (feedforward en ingls), se utiliza cuando en los procesos lentos actan fuertes cambios de carga o perturbaciones que hacen difcil o imposible mantener la varia-ble controlada dentro de unos mrgenes de desviacin especificados. Como ya es sobradamente conocido, cuando se produce una perturbacin en un control reali-mentado en lazo sencillo, el controlador no inicia las acciones correctoras hasta que el proceso sufre el efecto de la perturbacin y ello es detectado por el dispositivo medidor (sensor y transmisor). Sucede que, en determinados casos, en procesos de evolucin lenta o con tiempo muerto importante, esta accin llega demasiado tarde, cuando la desviacin ya ha alcanzado valores inadmisibles.

    La solucin est en anticiparse al efecto nocivo que produce la perturbacin, contrarrestndola antes de que alcance al proceso. Para ello, el control en adelanto utiliza la medida directa de la perturbacin (variable perturbadora) para ajustar el valor de la variable manipulada, de tal manera que se compense o mitigue, dentro de lo posible, el citado efecto. Tngase en cuenta que una perturbacin es un cambio inevitable y sin control en una entrada del sistema, mientras que la variable mani-pulada es una variable sometida a control (por el controlador y la vlvula). Es por estas razones que esta configuracin de control puede ser llamada, ms estricta-mente, control con compensacin en adelanto.

    Es, por tanto, condicin imprescindible que las perturbaciones o los cambios de carga puedan ser identificados y medidos. Por las razones que se vern ms adelante, el control en adelanto es siempre un complemento del control en realimentacin.

    (simple) (casc.)1 1

    4 4 2 3

    1 3 4 simple cascada2 3 1 2 3 4

    0,8; 6

    (1 )

    1 1

    1 4 3 6 4 3 1,26( )1,9827

    (1 0,8 3 1,26) (1 4 3)K K

    K K K Kf

    K K K K K K K K K

    1 1 1 1

    1 1 1

  • 483

    De manera muy esquemtica y conceptual, y a efectos comparativos, la figura 9.11 muestra la filosofa del funcionamiento de un control en realimentacin (lazo sencillo) y de un control en adelanto, ambos afectados por una perturbacin.

    Fig. 9.11 Comparacin entre un control en realimentacin y un control en adelanto

    Ntese que en la configuracin de control en adelanto, no existe ningn tipo de realimentacin (y en particular desde la variable controlada al sistema de control). Es un control en lazo abierto. Esto significa que cualquier otra perturbacin que al-cance al proceso causar alteraciones en el mismo, que no sern detectadas por el sistema de control. Por otra parte, la instrumentacin presenta siempre cierto grado de imprecisin intrnseca y de calibracin, derivas con el tiempo, etc. Por estas razo-nes, y por la necesidad de poder fijar cmodamente el punto de consigna, es por lo que, en general, es preciso complementar el control en adelanto con el control en realimentacin, en una configuracin compuesta. En este texto, y as se hace co-mnmente, entenderemos por control en adelanto la citada combinacin. La figura 9.12 muestra, en sntesis, la conjugacin de ambos mtodos.

    La vlvula de control, reguladora de la variable manipulada, recibe la seal correctora de un sumador, compuesta por la seal del controlador en realimentacin y por la seal del controlador en adelanto. De este modo, las correcciones oportunas para compensar la perturbacin son anticipadas por el controlador en adelanto, y si por cualquier causa (incluso por las imperfecciones del propio control en adelanto) surge una desviacin en la variable controlada, el controlador en realimentacin convencional se ocupa de efectuar la correccin adicional pertinente.

    Si bien estamos utilizando la expresin controlador en adelanto, este disposi-tivo no ser necesariamente un controlador en el sentido convencional, sino que puede ser cualquier dispositivo de clculo (analgico o digital) capaz de generar una seal correctora adecuada a partir de la seal de medida de la variable perturbadora,

    Apdos. 9.1.1 - 9.2

  • 484 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    de acuerdo con un algoritmo o funcin matemtica especfica. Dicha funcin depen-der de la composicin y de las caractersticas de los bloques que forman el sistema; en definitiva, de la relacin funcional entre la respuesta de la variable controlada y la variable perturbadora, segn veremos a continuacin.

    Fig. 9.12 Combinacin de control en realimentacin y control en adelanto

    9.2.1 Ecuaciones del control en adelanto

    Se trata de hallar la ecuacin o funcin matemtica que debe llevar a cabo el dispositivo de compensacin del control en adelanto.

    Fig. 9.13 Diagrama de bloques de un control en adelanto

  • 485

    La figura 9.13 muestra esquemticamente un diagrama de bloques generalizado de un sistema con control en adelanto, en el que pueden observarse los bloques con la siguientes transmitancias: Gc @ Controlador (en realimentacin) Gv @ Vlvula de control Gp @ Proceso H @ Medidor de la variable controlada Gu @ Perturbacin Gm @ Medidor de la variable perturbadora Ga @ Compensador del control en adelanto (controlador)

    Vemos que la seal perturbadora U sigue dos caminos diferentes para llegar a la salida P: el que podramos llamar camino normal, a travs del bloque perturbacin, Gu , y el camino a travs del sistema de compensacin, Gm y Ga. La ecuacin que relacionar la salida P con la perturbacin U, contemplar, por el principio de su-perposicin, la composicin de las seales procedentes de los dos caminos; es decir, la suma de los dos efectos.

    El efecto debido al camino normal, sabemos que es

    ( )1

    uu

    c v p

    GP U

    G G G H

    y, recordando las sencillas reglas dadas en el apartado 8.3.1 (pg. 355), obtenemos la expresin del efecto producido por el camino de compensacin en adelanto

    ( )1

    m a v pa

    c v p

    G G G GP U

    G G G H

    de donde el efecto combinado ser la suma de ambos

    ( ) ( )1u m a v p

    u ac v p

    G G G G GP P P U

    G G G H

    Ahora, y esto es lo importante, si se consigue que la fraccin de la expresin anterior, esto es, el coeficiente de U , sea nulo, significar que se habr compensado totalmente el efecto de la perturbacin, pues entonces PU100. Para ello, basta con que el numerador sea nulo, es decir,

    G G G G Gu m a v p 0

    Apdos. 9.2 - 9.2.1

  • 486 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    por tanto,

    u m a v pG G G G G que nos muestra que las transmitancias para cada uno de los dos caminos deben ser iguales entre s (lo que resulta intuitivo si se piensa que ambas seales deben cance-larse mutuamente, y que en uno de los sumatorios se est invirtiendo el signo de una de ellas). Pero el nico factor que podemos alterar con relativa facilidad, para que se cumpla esta igualdad, es precisamente Ga; es decir, el dispositivo de compensacin de control en adelanto. Por tanto, su ecuacin deber ser

    ua

    m v p

    GG

    G G G

    Si se consigue sintetizar un dispositivo que satisfaga exactamente esta expre-sin de transmitancia, se tendr una compensacin rigurosamente exacta; es decir, que la perturbacin no causara el ms mnimo efecto sobre el proceso ni, por tanto, sobre la variable controlada. Normalmente, se tratar de una expresin compleja que no siempre ser posible sintetizar y, por otra parte, nunca se tiene un conocimiento totalmente preciso de la composicin y los parmetros de los procesos reales, por lo que la expresin hallada ser slo aproximada. No obstante, se procurar encontrar la mejor aproximacin. Por otra parte, en la prctica, no es necesaria una compen-sacin exacta, puesto que las pequeas deficiencias o imprecisiones de la compen-sacin en adelanto, dada su menor cuanta, sern posteriormente neutralizadas por el controlador en realimentacin.

    Cuando decimos que no siempre es posible sintetizar la expresin hallada, no es tan slo debido a que pudiera ser muy compleja, sino porque puede ser fsicamente irrealizable. Supongamos, por ejemplo, que en la propia medida de la perturbacin se tiene un tiempo muerto inevitable. Puesto que en la expresin que tratamos de sintetizar, la transmitancia Gm de este medidor se encuentra en el denominador, el resultado contendr una funcin inversa a la de un tiempo muerto. Esto equivale a una expresin del tipo 1/e-Ts , esto es, eTs, que fsicamente significa un tiempo muerto negativo; o lo que es lo mismo, un dispositivo capaz de conocer valores fu-turos. Obviamente, cuando estos valores no siguen ninguna ley conocida esto no es factible (en la Bolsa tenemos un ejemplo cotidiano) y, si bien es cierto que pueden hacerse predicciones, cuanto mayor sea el intervalo de tiempo futuro a predecir mayor ser el error probable ( la prediccin del tiempo/clima es un buen ejemplo).

    El bloque perturbacin sabemos que suele tener la misma funcin dinmica que el bloque de proceso al que va asociado, lo que nos permite trasladar el sumatorio delante de ste ltimo, segn vimos en el apartado 7.9, figura 7.18 (pg. 345), sin ms que recalcular la ganancia esttica, y dejar el bloque perturbacin como una

  • 487

    ganancia pura (sin funcin dinmica). En este caso podemos redibujar la figura 9.13 y se nos convierte en la figura 9.14. Para rehacer los clculos de la ecuacin del dispositivo compensador bastar con determinar que la seal compuesta a la entrada del bloque proceso, como consecuencia de una perturbacin, sea nula; o, lo que es igual, que las transmitancias de los dos caminos sean iguales. Entonces obtendremos

    la cual vemos que concuerda con la anterior, y puesto que

    entonces

    Fig. 9.14 Versin modificada del diagrama de bloques de un control en adelanto

    Veamos un sencillo ejemplo. Supongamos un recipiente en el que se pretende mantener el nivel constante (variable controlada) con la mayor precisin posible (por ejemplo, el domo de una caldera de vapor). El recipiente est sometido a un caudal de salida indiscriminado (variable perturbadora; el consumo de vapor). La reposicin de nivel se lleva a cabo mediante un aporte controlado por una vlvula de control (variable manipulada; agua de alimentacin). Puesto que el caudal de salida (perturbacin) es medible, podemos implantar un control en adelanto (fig. 9.15).

    G KG Ga

    u

    m v

    K GGu

    u

    p

    G GG G Ga

    u

    m v p

    Apdo. 9.2.1

  • 488 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Fig. 9.15 Control de nivel en adelanto y su diagrama de bloques

    Asumiremos las siguientes caractersticas del proceso:

    Superficie horizontal del tanque : 2 m2 Margen de caudal de salida : 0 .. 0,2 m3/minuto Capacidad de operacin de la vlvula : 0 .. 0,25 m3/minuto Intervalo de la medida de nivel : 0,4 m

  • 489

    Se supondr que tanto los transmisores de caudal y nivel, como la vlvula, son de caracterstica lineal y sin retardos de tiempo.

    En las condiciones de este proceso el tanque opera como una capacidad pura (ver apartado 4.2.6, pg. 84). La seal U es el caudal de salida del tanque y acta como perturbacin sustractiva (aumentando el caudal disminuye el nivel). La salida del sumador p (entrada del bloque proceso) es el balance neto de caudal de entrada al tanque (aporte debido a la vlvula, menos salida de consumo).

    Asumiremos como margen de operacin nominal de los caudales (entrada, salida y neto) el mismo que el del caudal de salida, es decir, 0 ..0,2 m3/mn. Esto nos permite definir la ganancia esttica del bloque perturbacin

    Asumiendo que las seales de instrumentacin operan todas en el rango nominal del 0..100%, la ganancia de la vlvula se obtendr teniendo en cuenta que al 100% de apertura dara un caudal de 0,25 m3/mn, esto es,

    La ganancia del bloque proceso (en este caso ser el factor de integracin) deber medirse en trminos de velocidad de variacin de nivel [m /mn] en el tanque, por unidad de variacin de caudal neto [m3/mn], esto es,

    y, por tanto, la transmitancia del bloque ser

    Justificaremos estos clculos recordando que la velocidad de variacin de nivel en un tanque, en funcin del caudal neto q y de la superficie de la seccin horizontal A, es

    y, por tanto, despejando dh e integrando ambos miembros de la igualdad, tendremos que la ecua-cin del nivel ser

    0,5pG s

    1h qdtA

    1uK

    0 ,250 ,0025

    100vK

    -3 21 1 [ ]0,5 m/m m2

    pdh dt/K q A

    1dh qAdt

    Apdo. 9.2.1

  • 490 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    y expresndolo en transformadas de Laplace (tambin podra haberse hecho directamente a partir de la primera ecuacin)

    Pero un bloque integrador unitario presenta la transmitancia operacional 1/s y, por tanto, el factor 1/A podra ser extrado en un bloque aparte, y presentar la transmitancia como el producto (1/A)1(1/s), por lo que el factor 1/A puede ser interpretado como una ganancia esttica aplicable a la funcin dinmica 1/s.

    Recordemos que el factor A es llamado tiempo de integracin Ti (vase apar-tado 4.2.6.a, pg. 85), que en este caso viene expresado en minutos. Puesto que en la simulacin se maneja este parmetro, definiremos

    Si suponemos que la escala indicadora del nivel est en el margen del 0..100% para cubrir el intervalo de 0,4 m, entonces la ganancia esttica H del medidor ser

    y la ganancia del medidor de caudal

    Ntese que al ser la perturbacin del tipo sustractivo, la compensacin debe actuar como aditiva en el sumatorio a .

    Con estos datos ya puede calcularse la ecuacin (transmitancia) del dispositivo compensador

    que corresponde a un bloque ganancia pura, con Ka0,8.

    Para llevar a cabo la simulacin por ordenador tenemos que efectuar previa-mente el correspondiente escalado. Asumiremos que todos los mrgenes de opera-cin son del 0..100%. En el diagrama de bloques de la figura 9.15 los parmetros escalados se indicarn entre parntesis.

    Las ganancias estticas en el sistema simulado sern:

    H QA s

    HQ A s

    1 1

    ; o bien

    Km 1000 2

    500,

    100 2500,4

    H

    2iT

    1 0,8500 0,0025

    ua

    m v

    KG

    G G

    1

  • 491

    El tiempo de integracin Ti ser

    y la transmitancia del bloque compensador

    valor idntico al obtenido para el sistema real; lo que era de esperar dado que en ambos casos se manejan seales con el mismo margen de operacin.

    El diagrama de bloques de la figura 9.15, pg. 488, muestra las transmitancias de cada bloque (entre parntesis cuando estn referidas al sistema simulado).

    Supongamos ahora que alguno de los bloques del camino de compensacin (el

    medidor o la vlvula) presente una funcin dinmica. Asumiremos que, por ejem-plo, la vlvula es un elemento retardo de primer orden, con una constante de tiempo de 0,2 minutos; es decir, que se tendra

    Entonces la transmitancia del bloque compensador debera ser

    TKi p

    1 10 25

    4,

    G KG Ga

    u

    m v

    11

    1 1 250 8

    ,,

    Gsv

    1 25

    1 0 2,

    ,

    1000,0025 1,25

    0,2

    0,20,5 0,25

    0,4

    0,21 1

    0,2

    0,2500 1

    100

    0,4250 1

    100

    v

    p

    u

    m

    K

    K

    K

    K

    H

    Apdo. 9.2.1

  • 492 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    que corresponde a la transmitancia de un controlador proporcional-derivativo de ejecucin normal, es decir, con la accin derivativa actuando sobre la seal de error. En este caso dicha seal es la medida de la perturbacin, la cual entrar al contro-lador como si se tratara de una seal de desviacin. Los parmetros del controlador sern, por tanto, Ganancia 0,8 y Tiempo derivativo 0,2 minutos.

    Opcionalmente, el sumatorio de la seal de compensacin puede situarse delan-te del controlador principal (figura 9.16), prcticamente actuando en el mismo su-matorio de la seal de error. Entonces la ecuacin del dispositivo de compensacin queda como sigue

    La decisin sobre cul de las dos alternativas conviene adoptar depender del resultado de analizar y comparar, entre ambos casos, la ecuacin de compensacin que pueda ser sintetizada ms fcilmente. Sin embargo, es importante tener en cuen-ta que, en la segunda alternativa, es imprescindible que el sistema de compensacin resulte ser un bloque cuya seal sea extinguible; es decir, que despus de un salto en escaln en la perturbacin, la seal de compensacin tienda a cero con el paso del tiempo. De lo contrario, si en estado estacionario, la seal mantiene un valor rema-nente, este valor permanecer aadido (o sustrado) a la seal de error, provocando una desviacin permanente (imposible de eliminar) en la variable controlada; es como si se hubiese alterado el punto de consigna en una cantidad igual a la del cita-do valor. El programa ControlP permite elegir cualquiera de las dos variantes.

    Fig. 9.16 Alternativa en la situacin del sumatorio de la seal de compensacin

    G KG G

    s

    sa um v

    1

    1

    11 25

    1 0 2

    0 8 1 0 2,

    ,

    , ( , )

    G GG G G Ga

    u

    c m v p

  • 493

    Ntese que la transmitancia del controlador se encuentra en el denominador de la ecuacin del compensador. Si el controlador es del tipo PD, su transmitancia, Gc 1Td s, tender a cancelar cualquier otra transmitancia del tipo 1

    (1- s), co-rrespondiente a un retardo de primer orden, de alguno de los bloques que tambin se encuentran en el denominador (Gm , Gv o Gp). Con ello, puede simplificarse el dispositivo de compensacin. Aun en el caso de un controlador P+I+D se tendr cierta cancelacin.

    Originalmente, el control en adelanto fue ideado para mejorar el comportamien-to en la relacin (variable controlada) (punto de consigna); es decir, para hacer que la respuesta de la variable controlada siga lo ms fielmente posible a los cam-bios en el punto de consigna. La figura 9.17 muestra la disposicin de los bloques.

    Fig. 9.17 Montaje de control en adelanto para mejorar la respuesta a los cambios del punto de consigna

    La relacin (variable controlada) (punto de consigna) la hallaramos, por el principio de superposicin, como resultado de la suma de los dos caminos: el del dispositivo de compensacin y el del controlador principal; esto es, Para el camino de compensacin:

    Para el camino del controlador principal:

    PC

    G G GG G G H

    a v p

    c v p

    Compens 1

    PC

    G G GG G G H

    c v p

    c v p

    Control 1

    Apdo. 9.2.1

  • 494 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    y la suma de ambas:

    El seguimiento perfecto de la variable controlada a las variaciones del punto de consigna implica la condicin PC; es decir, P/ C1 y, por tanto, en la expresin anterior deben igualarse el numerador con el denominador. Esto es

    de donde la transmitancia o ecuacin del compensador sera

    Sin embargo, una vez se llevan a cabo las correspondientes sustituciones por las transmitancias de cada bloque, normalmente queda una expresin excesivamente compleja para poderse realizar (incluso lo ms probable es que sea fsicamente irre-alizable). Entonces puede adoptarse una solucin muy simple, que es asignar trans-mitancias tan sencillas como

    que corresponde a un controlador proporcional-derivativo de ejecucin normal. Otra posible transmitancia es

    que pertenece a un elemento anticipativo (vase el apartado 4.2.11, pg. 132). Este componente tiene la ventaja sobre el controlador P+D que, frente a una entrada en escaln, los picos que produce son de amplitud limitada; mientras que el citado controlador generara, tericamente, un pico infinito.

    Otra posibilidad se tiene con un elemento adelanto-retardo, de transmitancia

    A pesar de la simplicidad de estas transmitancias, en comparacin con las que idealmente se necesitaran, el seguimiento de la respuesta a los cambios del punto de consigna puede mejorar notablemente. La experimentacin dir cul hay que elegir. No habra que descartar una combinacin de elementos.

    PC

    G G G GG G G H

    v p a c

    c v p

    ( )1

    G G G G G G G Hv p a c c v p( ) 1

    GG G G H

    G Gac v p

    v p

    1 1( )

    G K T sa a a ( )1

    G K T sT sa a

    a

    a

    1

    G KT sT sa a

    11

    1

    2

  • 495

    Prctica n 9.4

    Efectuaremos un ejercicio prctico de simulacin, tomando el ejemplo que se vio ms atrs, segn se muestra en la figura 9.15 (pg. 488). Resumiendo los datos significativos, se tiene:

    Datos de diseo:

    Margen de caudal de salida : 0 .. 0,20 m3/mn. Capacidad de operacin de la vlvula : 0 .. 0,25 m3/mn. Intervalo de la medida de nivel : 0,40 m

    Operacin normal: Sistema real Sistema simulado

    Caudal de salida U 0,15 m3/mn 75 % Posicin vlvula V 60 % 60 % Proceso (nivel) P 0,20 m 50 %

    Transmitancias de los bloques: Sistema real Sistema simulado

    Vlvula Kv 0,0025 1,25 Proceso Gp 1/ (2s) 1/ (4s) Perturbacin Ku 1 1 Medidor perturb. Km 500 1 Medidor principal H 250 1 Compensador Ga 0,8 0,8

    Configuracin de los bloques:

    Vlvula V-1

    Tipo: Lineal (ganancia) Ganancia K 1,25

    Proceso P-2

    Tipo: Integrador Tiempo de integracin Ti 4 Valor de referencia R 75 (caudal de equilibrio)

    Apdo. 9.2.1 - Prct. 9.4

  • 496 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Perturbacin U-1 Tipo: Ganancia (lineal)

    Ganancia K 1 Entrada actual (carga) U 75 (caudal de consumo actual) Entrada anterior Ua 75 (caudal de consumo normal)

    Medidor de perturbacin M-u Tipo: Ganancia (lineal) Ganancia K 1 Elevac./Supres. de cero Z 0 Selector U 0 (desconectado desde el Diagrama de bloques)

    Medidor principal M-1 Tipo: Ganancia (lineal) Ganancia K 1 Elevac./Supres. de cero Z 0

    Compensador A-2

    Tipo: Controlador P+D Ganancia K 0,8 Tiempo derivativo Td 0 Selector A 0 (desconectado desde el Diagrama de bloques)

    Ntese que por el momento dejaremos la posicin de ambos selectores (medi-

    dor de perturbacin U y selector del punto de compensacin A) en 0, lo que sig-nifica que la accin compensadora quedar desactivada. Esto nos permite observar la respuesta del sistema, desprovisto de compensacin, y luego compararla con la respuesta que se obtiene una vez es activada la compensacin.

    Nota importante

    Hay que hacer notar que la medida de la perturbacin se representa en pan-talla (lnea color gris) segn su valor absoluto y se refiere a la medida de la diferencia AU-UaA. De este modo, aparece siempre en pantalla, sea cual fuere su signo. Por otra parte, la seal de compensacin (lnea color azul oscuro) se representa desplazada positivamente, tomando como referencia cero el 50% de la escala; es decir, que cuando su valor es nulo se sita en la mitad de la escala, de tal manera que los valores positivos y negativos quedarn representados por encima y por debajo del 50%, respectivamente. De esta forma, tambin queda siempre representada en pantalla si su valor se halla comprendido entre los

  • 497

    lmites -50% ...50% (razonablemente, puede esperarse que, por lo general, se encuentre dentro de este intervalo). Tngase presente que la seal de compen-sacin puede ser tanto positiva como negativa, lo cual producir un aumento o una disminucin, respectivamente, de la seal del controlador principal, segn corresponda por la perturbacin de cada momento y por toda la dinmica aso-ciada. En la prctica, se aade a la seal una desviacin fija (bias) del 50%, que luego es deducida en el sumador, evitndose as trabajar con seales negativas. No obstante, en el panel inferior de visualizacin digital de los valores de las variables, dichas seales son mostradas, en todos los casos, con su verdadero valor y signo.

    Instrucciones

    Entrar en la opcin Control en adelanto (feedforward). Pulsar el botn [Bloques nulos]. Preparar la siguiente configuracin:

    C-1 P+D; G 1 / Td 0 / C 50 / Ca 50 V-1 Lineal; K 125 P-2 Integrador; T 4 / R 75 U-1 Ganancia; K -1 / U 75 / Ua 75 / Espera 60 (K negativo!) M-u Ganancia; K 1 / Z 0 M-1 Ganancia; K 1 / Z 0 A-2 Controlador P+D; K -0,8 / Td 0 (K negativo!) Selector A 0 y Selector U** 0 (desde el Diagrama de bloques)

    Los signos negativos en las ganancias de U-1 y A-2 son necesarios porque la perturbacin es de tipo sustractivo y, en consecuencia, la compensacin tiene que ser aditiva; mientras que los signos que el programa ControlP tiene asumidos por defecto, son precisamente los contrarios a estos (ver el Diagrama de bloques).

    Asignar: Duracin 20

    Seleccionar las escalas: Escala de ganancia : 0 0 2; -6 0 +6

    Escala de ngulos : -180 0 +180 Frecuencia inicial : 0,1; -1 Frecuencia final : 100; +2

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Se obtienen unas lneas planas que nos muestran los valores de las variables estando el sistema en equilibrio, sin cambios en el punto de consigna y sin perturba-cin alguna.

    Apdo. 9.2.1 - Prct. 9.4

  • 498 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Ntese especialmente cmo el caudal de aportacin (lnea azul claro de salida de la vlvula) es del 75%, correspondiente al Valor de referencia R del bloque P-2. Este valor es idntico al de consumo (fijado en el bloque U-1, como UUa75). Vase la descripcin del significado del parmetro Valor de referencia R, en el apartado 8 del apndice 2, pg. 552.

    Modificar: U-1 : U 50

    Con ello originamos una perturbacin del 25%; esto es, disminuimos el caudal de consumo del 75% al 50%.

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Se observa que el sistema se encamina progresivamente a otro estado de equili-brio, con unos valores diferentes de operacin de las variables, y presentando una desviacin permanente. El impacto causado por la perturbacin ha sido importante. Aun en el supuesto de que se implante un controlador con accin integral (como de hecho debera hacerse en la prctica), a efectos de eliminar la desviacin perma-nente, no podr evitarse un transitorio de oscilaciones amortiguadas de notable duracin.

    Vamos a activar el control de compensacin en adelanto.

    Desde el Diagrama de bloques, modificar la posicin de los selectores: Selector U 1 Selector A 2

    Ahora, el medidor leer el salto en la perturbacin del bloque U-1, y la seal de

    compensacin ser introducida en el sistema por el sumatorio -a, a la salida del controlador.

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Vemos que, en efecto, se produce una compensacin perfecta, como consecuen-cia de la simplicidad de los componentes, que nos ha permitido un diseo ideal de la compensacin.

    Es interesante observar la Respuesta frecuencial.

    Modificar: U-1 : Espera 2 Duracin 1

    Ejecutar nuevamente la Respuesta temporal, pero invocando la respuesta pul-sando simultneamente las teclas (o tambin marcando la casi-

  • 499

    lla Avanzar paso a paso, arriba a la derecha), a efectos de que el panel de visualizacin digital nos muestre los valores congelados de las variables en las condiciones iniciales, antes de que se haga efectiva la perturbacin. A conti-nuacin, pulsar tres veces la tecla . El tiempo habr avanzado en 3 segundos, con lo que la perturbacin se hace efectiva. Ahora pueden leerse las acciones correctoras de compensacin, que a partir de este momento permane-cern invariables a lo largo del tiempo (pulsar varias veces la tecla ).

    Es recomendable que el lector investigue en ambos casos, con y sin compensa-cin, para tratar de justificar los valores de las variables en estado estacionario.

    Supongamos ahora que la vlvula presenta un retardo de primer orden, con una constante de tiempo de 0,2 minutos. Ms atrs se ha desarrollado el clculo de la ecuacin del compensador para este supuesto, y result ser

    G sa 0 8 1 0 2, ( , )

    ecuacin que es satisfecha por un controlador P+D, con una ganancia de 0,8 y un tiempo derivativo de 0,2 minutos. Es preciso hacer notar que, en estas aplicaciones, estos controladores se caracterizan por generar una seal de salida del 50% cuando la seal de entrada (equivalente a la seal de error) es nula. Recurdese que este es un ajuste manual que poseen los controladores, llamado ajuste de alineacin. Poste-riormente, en el sumador, se deduce este exceso del 50% (vase ms atrs la nota de la pgina 496), de tal modo que puede tenerse una compensacin comprendida entre -50% y 50%.

    Aclaremos un aspecto importante. Ya se ha dicho en este captulo que la utiliza-cin de un controlador P+D como dispositivo compensador tiene el inconveniente, como consecuencia de la accin derivativa, de generar picos de gran amplitud cuan-do la entrada presenta cambios bruscos. No obstante, no por ello su empleo queda proscrito, pues la mayora de los procesos reales raramente muestran variaciones bruscas (ruido aparte), sino que, por lo general, la forma con la que se presentan los cambios ms bien se parece a una rampa que no a un escaln. Para evitar el citado inconveniente, que sin duda se manifestara al generar una perturbacin en escaln, utilizaremos la opcin Rampas programadas, con el fin de observar el comporta-miento del sistema frente a una perturbacin en rampa, en vez de en escaln.

    Pero antes comprobaremos la respuesta con una compensacin deficiente; esto

    es, modificando la vlvula y manteniendo la misma compensacin.

    Modificar: V-1 Retardo de primer orden; T 0,2 / K 1,25 Selector A 0 (desconectamos la compensacin en el Diagrama de bloques)

    Apdo. 9.2.1 - Prct. 9.4

  • 500 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Entrar en la opcin Rampas (C/R) y asignar: Bloque | Seal U-1 Perturbacin | Ganancia Tiempos (mn.) : t1 1 / t2 13 / t3 25 / t4 25 Duracin 25 (desde la misma ventana de Rampas)

    Hemos desactivado la compensacin poniendo a 0 el selector A del bloque

    A-2. No obstante, no se ha desconectado el medidor M-u (su selector U sigue en la posicin 1), por lo que la Respuesta temporal mostrar el trabajo del sistema de compensacin, pero sin hacerlo efectivo en el sumador -a. Por esta razn, el pro-grama generar un aviso de advertencia por si ello fuera un descuido del usuario, que en este caso no lo es. Si fuera preciso, vase el Diagrama de bloques.

    Ejecutar la Respuesta temporal en su opcin Rampas programadas, haciendo caso omiso del citado aviso de advertencia.

    Modificar (desde el Diagrama de bloques): Selector A 2 (activamos la compensacin).

    Ejecutar nuevamente la Respuesta temporal.

    Por comparacin con la respuesta anterior (pulsar repetidamente la tecla A), puede observarse que a pesar de no tener optimizado el dispositivo de compensa-cin la respuesta mejora notablemente.

    Modificar: A-2 : Td 0,2 (incorporamos la accin derivativa).

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Observar cmo nuevamente tenemos una compensacin perfecta. Para com-prender cmo se lleva a cabo la compensacin, efectuar el siguiente ensayo.

    Modificar: V-1 : T 4 A-2 : Td 4

    Vase nuevamente la Respuesta temporal y analcense las grficas. Si es preci-so, aumentar (por un igual) los dos valores modificados ltimamente.

    Observacin:

    Si el retardo de primer orden (en este caso la vlvula) se cambia por un retado de segundo orden, o bien si se presenta un segundo bloque adicional de primer orden (por ejemplo el medidor de perturbacin), entonces es fcil calcular que la transmitancia del dispositivo de compensacin ideal sera un controlador con accin en la segunda derivada (lo que equivale a decir en la derivada de la deri-

  • 501

    vada). Tericamente es factible su construccin: bastara con implantar dos controladores P+D en serie; pero en la prctica, la elaboracin de la segunda derivada de una seal comportara una amplificacin desmesurada del ruido, cuyos efectos seran probablemente inadmisibles (obviamente, la instalacin de filtros no es aceptable, en principio, porque modificaran la ecuacin). En estos casos se recomienda, como aproximacin, un controlador P+D con un tiempo derivativo igual a la suma de las dos constantes de tiempo implicadas en los retardos. Si se trata de un retardo de segundo orden, la suma de las dos constan-tes de tiempo en las que puede descomponerse ser T1T2 2 T (ver apartado 4.2.8.e, pg. 115, Dos retardos de primer orden en serie). Tngase presente que si en esta prctica se ensaya una vlvula del tipo retardo de segundo orden, habr que mantener su ganancia esttica en el valor que se haba calculado para una vlvula lineal: K1,25.

    En efecto, si por ejemplo, en la fig. 9.14 (pg. 487), tenemos las transmitancias

    KKsT

    GsT

    G uv

    vM

    m

    ;

    11 ;

    11

    entonces la transmitancia del dispositivo de compensacin ser

    )1()1( sTsTKGG

    KG vMvm

    ua

    que podra lograrse de forma tericamente perfecta con dos controladores P+D, con tiempos derivativos TM y TV, respectivamente, y una ganancia combinada K. Pero segn hemos dicho, nos inclinaramos por un solo controlador P+D con un tiempo derivativo Td TM TV.

    El lector efectuar los ensayos oportunos para verificar la validez de todos estos supuestos.

    Verificar los beneficios de una compensacin en adelanto, aun en el supuesto de

    que el controlador principal sea del tipo P+I o P+I+D.

    Comprubese que la efectividad del control en adelanto no depende, en este caso, de la caracterstica del bloque proceso. Hgase los ensayos pertinentes, asig-nndole un retardo de segundo orden o un tiempo muerto.

    El programa nos permite ensayar la configuracin para mejorar la relacin (variable controlada) (punto de consigna) de la figura 9.17 (pg. 493), en el su-puesto de un salto en escaln. Para ello hay que valerse de la siguiente estrategia:

    Apdo. 9.2.1 - Prct. 9.4

  • 502 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Definir un salto en escaln en el punto de consigna, C + Ca . Asignar a un bloque perturbacin cualquiera, un elemento del tipo ganancia. En este bloque fijar: una ganancia K 0, un salto en escaln de la misma mag-

    nitud y signo que el aplicado en la consigna (esto es, U-Ua C-Ca), y un tiempo de espera igual a cero.

    Asignar al bloque medidor de perturbacin M-u un elemento del tipo ganancia, con K1, y conectar su selector al bloque perturbacin previamente elegido.

    Asignar a los bloques A-1 y A-2 aquellos elementos dinmicos de compensa-cin que por clculo o por tanteos se compruebe que mejoran la respuesta (por ejemplo, el elemento anticipativo en el bloque A-1).

    Dar a la ganancia del elemento seleccionado en el bloque A-2 el signo contrario al de la ganancia del controlador y conectar su selector A a la posicin 2.

    Es evidente que lo que se ha hecho es emular la medicin del punto de consigna

    por el medidor de perturbacin, sin que realmente sta afecte al proceso, al haber asignado una ganancia nula en el bloque perturbacin. Reponer la configuracin indicada al principio de esta prctica.

    Modificar: C-1 : C 75 / Ca 50 U-1 : K 0 / U 75 / Ua 50 / Esp 0 (mismo salto que la consigna) A-1 Anticipativo; K 10 / Td 0,29 A-2 Ganancia; K -1 / Selector A 0 (en el Diagrama de bloques) Duracin 12 (Ntese K 0 en U-1 y K -1 en A-2)

    Seleccionar en Cambios/Modos: Medida

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Esta es la respuesta sin ningn tipo de compensacin. El acercamiento de la misma al punto de consigna es una curva exponencial con una constante de tiempo de 3,2 minutos.

    Calculemos, a modo de ejercicio prctico, esta constante de tiempo. La configu-racin del sistema, sin perturbaciones ni compensacin, puede ser reducida a un lazo con realimentacin unitaria conteniendo un bloque en la rama de avance cuya transmitancia es

    ssGGG pv 2,3

    1425,1

    de donde, la relacin (variable controlada) (punto de consigna) ser

  • 503

    YX

    G GG G sv p

    v p

    11

    1 3 2,

    Para una entrada X en escaln de amplitud A, cuya funcin laplaciana es As, se tiene que la respuesta es

    Y Xs

    As s

    11 3 2 1 3 2, ( , )

    la cual, de acuerdo con las tablas de transformadas de Laplace, proporciona la res-puesta temporal

    " #y A t 1 3 2e- , que nos confirma el tipo de respuesta exponencial con una constante de tiempo de 3,2 minutos, lo cual habr sido evidente desde el momento en que se tena la expre-sin laplaciana de la relacin Y X.

    Modificar (desde el Diagrama de bloques): Selector U 1 (conectamos la compensacin) Selector A 2 (la aplicamos despus del Controlador)

    Ejecutar nuevamente la Respuesta temporal y efectuar la comparacin.

    Se observa que la respuesta es ms enrgica, y que muestra una exponencial con una constante de tiempo menor y, por tanto, ms parecida al escaln. El seguimiento no es perfecto, porque tampoco lo es el sistema de compensacin, pero ha mejorado notablemente. Prctica n 9.5

    Sea un calentador en el que se pretende calentar, mediante vapor, un producto en circulacin. El proceso est sometido a fuertes cambios de carga y perturbacio-nes, debido a que se producen importantes variaciones, tanto del caudal de circula-cin del producto como de su temperatura de entrada. Puesto que ambas variables perturbadoras son perfectamente medibles, se implantar un control de temperatura con compensacin en adelanto de las dos perturbaciones, segn se esquematiza en la figura 9.18. En ella que se muestra una configuracin que sera comn para ambas perturbaciones. Obviamente, en un caso se tendr un transmisor de caudal (FT-2) y en el otro un transmisor de temperatura (TT-2).

    Se hallar la solucin del correspondiente dispositivo de compensacin para

    cada una de las dos perturbaciones. Las respuestas se analizarn por separado, tal

    Apdo. 9.2.1 - Prcts. 9.4 - 9.5

  • 504 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    como se ha hecho en prcticas anteriores. Es evidente que en un sistema real que contemplase simultneamente las dos opciones, el sumatorio recibira, adems de la seal de salida del controlador principal, las seales de cada uno de los dispositivos de compensacin (sumatorio con tres entradas). La posicin de la vlvula sera la originada por el efecto combinado de las tres acciones correctoras: a) por realimen-tacin, va controlador, como consecuencia de la desviacin; b) por cambios de caudal de circulacin, y c ) por cambios de temperatura de entrada.

    Fig. 9.18 Control de temperatura en adelanto en un calentador

  • 505

    El comportamiento dinmico del calentador puede ser aproximado por las si-guientes funciones de transferencia:

    en donde

    KP , KU (qa), KU (a) Ganancias estticas T1, T2 Constantes de tiempo (primer orden) Tm Tiempo muerto

    A continuacin se exponen las condiciones de operacin y los datos de funcio-

    namiento del sistema, con el fin de efectuar el clculo del escalado para su simula-cin en el ordenador.

    1. Condiciones normales de operacin

    Caudales y temperaturas:

    1.a) Caudal de producto, qa : 60 l /minuto 1.b) Temperatura de entrada, a : 70 ,C 1.c) Temperatura de salida, : 160 ,C 1.d) Temperatura del vapor, v : 250 ,C

    Salida Controlador y posicin de vlvula:

    1.e) Seal y posicin de vlvula, y : 72 % 2. Efectos de los cambios de carga y perturbaciones

    Efecto sobre de los cambios de caudal y de temperatura:

    2.a) Por caudal, qa : -0,625 ,C por cada l /mn. de variacin de qa 2.b) Por temperatura, a : 0,5 ,C por cada ,C de variacin de a 2.c) Por posic. vlvula, y : 1,25 ,C por cada 1% de variacin de y

    -

    1 2

    -( )

    ( )1 2

    (

    ( )

    e

    ( 1) ( 1)

    e

    ( 1) ( 1)

    m

    ma

    a

    a

    T sp

    Pv

    T sU q

    U qa

    UU

    a

    Ktemperatura de salidaG

    caudal de vaporQ T s T s

    Ktemperatura de salidaG

    caudal de productoQ T s T s

    Ktemperatura de salidaG

    temperatura de entrada

    -

    )

    1 2

    e

    ( 1) ( 1)

    ma

    T s

    T s T s

    Apdo. 9.2.1 - Prct. 9.5

  • 506 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    3. Escalas o mrgenes de operacin

    3.a) Caudal de producto, qa : 0 .. 80 l /minuto 3.b) Temperatura de entrada, a : 50 .. 100 ,C 3.c) Temperatura de salida, : 50 .. 200 ,C 3.d) Seales de instrumentacin : 0 .. 100 %

    4. Escalas en el sistema simulado

    4.a) Escalas de procesos : 0 .. 100 % 4.b) Seales de instrumentacin : 0 .. 100 %

    Justificaremos aqu, brevemente y haciendo ciertas simplificaciones, los valores

    que se han dado, relativos al efecto de las perturbaciones sobre la variable contro-lada.

    La ecuacin de transferencia de calor de un calentador, utilizando la misma nomenclatura que venimos usando, es

    calor absorbido calor cedido

    en donde .Tm es la diferencia media de temperaturas entre el vapor y el producto circulante, esto es

    U es el coeficiente de transferencia de calor, y A es el rea de transferencia. El

    producto UA representa el flujo de calor transferido por cada grado de temperatura diferencial. Asumiendo cp constante, podremos despreciarlo en los clculos. Calcu-lemos el producto UA en condiciones normales de operacin:

    135

    ( )( ) 60 160 7040

    135

    m

    a a

    m

    Tq

    U AT

    .

    .

    ,

    Ahora supondremos una pequea variacin del caudal y teniendo en cuenta el cambio de temperatura que provocar, de acuerdo con el coeficiente dado en el punto 2.a, calcularemos el nuevo producto UA y lo compararemos con el hallado anteriormente.

    ( ) ( )

    2 2v v a a

    m vT

    .

    ( )a p a mq c U A T .

  • 507

    Supongamos un incremento de caudal .qa de 1,6 l /mn. El incremento de tem-peratura sera

    0,625 1,6 1 C. , 1

    esto es,

    160 1 159 C ,

    de donde

    135,5 C

    61,6 l mn.

    ( ) ( )61,6 159 7040,4605

    135,5

    m

    a

    a a

    m

    Tq

    qU A

    T

    .

    .

    ,

    /

    Luego, el incremento relativo del producto UA habr sido

    mientras que la variacin relativa de caudal es

    y la relacin entre ambos factores es, a su vez,

    que es un valor perfectamente aceptable (es un coeficiente que tiene que valer entre 0 y 0,8, y depende de la fraccin de la resistencia total de transferencia de calor, atribuible a la pelcula interna del lado del producto).

    Para una pequea variacin en la temperatura a , el producto UA tiene que mantenerse prcticamente invariable (A es constante y U es un coeficiente poco de-pendiente de la temperatura). En efecto, si suponemos un incremento de a de 1,C, el incremento en la salida , de acuerdo con el coeficiente dado en el punto 2.b, ser de

    40,4605 400,01151 1,151%

    40

    8

    1,60,02667 2,667 %

    60 8

    1,1510,43

    2,667

    1 0,5 0,5 C. , 1

    Apdo. 9.2.1 - Prct. 9.5

  • 508 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    de donde

    y, puesto que ahora a 71, se tiene

    el cual, tal como esperbamos, es un valor idntico al que se tena antes del incre-mento de temperatura.

    En cuanto al coeficiente dado en 2.c) de 1,25,C de variacin de temperatura de salida por cada 1% de cambio de la posicin y de la vlvula, se est asumiendo una vlvula lineal, dimensionada de tal manera que en su apertura total producira un incremento de 125,C en la temperatura del producto; es decir, que con la tempe-ratura normal de entrada de 70,C, la temperatura de salida, a vlvula totalmente abierta, sera de 195,C. Esto equivale a decir que la ganancia esttica combinada del conjunto vlvula-proceso es de 1,25,C /1% o, lo que es lo mismo, si lo refe-rimos a la escala en porcentaje, del 0,8333 % /1%. Ntese que la posicin de la vlvula equivale a la seal combinada de salida de los controladores.

    Para este calentador asumiremos los siguientes parmetros dinmicos :

    Tm 5 segundos T1 21 segundos T2 6 segundos

    Ahora calcularemos las ganancias estticas de los bloques para el sistema real:

    Para el conjunto proceso-vlvula :

    Para las perturbaciones :

    )

    ( )

    (

    0,625

    0,5

    a

    a

    U qa

    Ua

    Kq

    K

    .

    ...

    160 0,5 160,5 C ,

    134,25 C

    ( ) ( )60 160,5 7140

    134,25

    m

    a a

    m

    Tq

    U AT

    .

    .

    ,

    1,25vV Pv

    qK K

    y q y. . .. . .

  • 509

    Para los medidores de perturbacin:

    Deberamos calcular la posicin de la vlvula en condiciones de operacin nor-mal, justificando as el valor dado en 1.e).

    El valor de la medida de las perturbaciones en condiciones de operacin nor-

    mal, ser:

    Para el caudal:

    Para la temperatura:

    Con todo ello podemos escribir las siguientes funciones incrementales:

    Para el proceso:

    Para los medidores de perturbacin:

    Las ecuaciones de funcionamiento del sistema las obtendremos sustituyendo los incrementos en las ecuaciones anteriores por su equivalente con relacin a los valores de operacin normal.

    m a( )( )

    %

    100 70 50

    100 5040

    160 70 72%1,25

    y

    ( )

    ( )100 60 075%

    80 0aqm

    ( ) ( )

    1,25 0,625 0,5a aV P U q a U a

    a a

    K y K K q K

    y q. . . .

    . . . .

    ( )( )

    ( )( )

    100 1,2580 0

    100 2100 50

    a

    a

    a

    a

    qM q

    a

    Ma

    mK

    qm

    K

    .

    ..

    .

    ( )

    ( )

    1,25

    2a

    a

    q a

    a

    m q

    m

    . .

    . .

    Apdo. 9.2.1 - Prct. 9.5

  • 510 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Para el proceso:

    o bien

    1,25 ( 72) 160 0,625 ( 60) 0,5 ( 70)a ay q

    Para el medidor de caudal qa:

    ( )

    ( )

    75 1,25 ( 60)

    1,25

    a

    a

    q a

    q a

    m q

    m q

    Para el medidor de temperatura a:

    ( )

    ( )

    40 2 ( 70 )

    2 ( 50)

    a

    a

    a

    a

    m

    m

    Escalado del sistema

    Los clculos de escalado para la implantacin del sistema simulado en el orde-nador sern:

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    100 01,25 0,83333200 50

    80 00 ,625 0,33333200 50

    100 500,5 0,16667200 50

    80 01,25 1100 0

    100 502 1100 0

    a

    a

    a

    a

    V P

    U q

    U

    M q

    M

    K K

    K

    K

    K

    K

    Los valores de operacin normal son:

    160 1,25 ( 72) 0,625 ( 60) 0,5 ( 70)a ay q

  • 511

    100 60 75%80

    100 ( 70 50 )40%

    100 50

    100 (160 50 )73,333%

    200 50

    a

    a

    q

    1

    ( )

    ( )

    72%

    75%

    40%

    a

    a

    q

    y

    m

    m

    Las ecuaciones de funcionamiento esttico:

    1 2 3

    ( )

    ( )

    0,8333 0,3333 0,1667

    a

    a

    V aa

    aa

    q a

    a

    K K y K q K

    y q

    m q

    m

    . . . .

    . . . .

    . .

    . .

    en las que sustituyendo los incrementos por su equivalente con relacin a los valores hallados de operacin normal tendremos:

    Para el proceso y las perturbaciones :

    73,333 0,8333 ( 72) 0,3333( 75) 0,1667 ( 40)aay q

    o bien

    0,8333 ( 72) 73,333 0,3333( 75) 0,1667 ( 40)aay q

    en la que podemos distinguir el siguiente desglose:

    Bloque proceso :

    0,8333 ( 72) 73,333y

    Apdo. 9.2.1 - Prct. 9.5

  • 512 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Bloque perturbacin de caudal:

    0,3333( 75)aq.

    Bloque perturbacin de temperatura :

    0,1667 ( 40)a.

    Tendremos tambin:

    Bloque medidor de caudal :

    ( )aqM ay q

    Bloque medidor de temperatura :

    ( )aM ay

    Ntese que hemos estado operando con la ganancia esttica combinada KV KP , pertenecientes a dos bloques contiguos, vlvula y proceso. Podremos, por tanto, asignar a la vlvula un bloque lineal con ganancia K1, y asignar la ganancia KV KP al bloque proceso. Ello nos ha liberado de tener que operar con el caudal de vapor.

    Vamos a recalcular la ganancia esttica del bloque perturbacin para que acte delante del bloque proceso

    ( )

    ( )

    0,333330,4

    0,83333

    0,166670,2

    0,83333a

    aU q

    U

    K'

    K'

    Nos conviene tambin convertir los dos retardos de tiempo de primer orden, que forman parte de la expresin de la transmitancia del calentador, en un retardo de se-gundo orden.

    Entonces tendremos

    T T T

    T TT

    1

    1

    1 2

    1 2

    21 6 11 225

    221 6

    2 11 2251 2027

    ,

    ,,

    s = 0,1871 mn.

  • 513

    Queda pendiente hallar la transmitancia del dispositivo controlador de compen-sacin. Para ello es necesario definir las caractersticas dinmicas del medidor de perturbacin y del medidor principal:

    Medidor de caudal qa: Tipo: Ganancia

    Ganancia, K 1

    Medidor de temperatura a: Tipo: Retardo de primer orden

    Ganancia, K 1 Constante de tiempo, T 12 s (80,2 mn.)

    Medidor de temperatura :

    Tipo: Retardo de primer orden Ganancia, K 1 Constante de tiempo, T 12 s (80,2 mn.)

    Recurdese que con seales simuladas (variables de proceso e instrumentacin)

    con mrgenes del 0..100%, la ganancia de los medidores siempre resulta ser de 1.

    Las transmitancias para el dispositivo de compensacin sern:

    Para compensacin de caudal:

    ( ) 0,4

    )0,4 (controlador P1

    aU qa

    m v

    K'G

    G G

    Para compensacin de temperatura:

    ( ) 0,2

    )0,2 (0,2 1) (controlador P+D1

    0,2 1

    aUa

    m v

    K'G s

    G Gs

    Con toda esta informacin podemos ya definir los valores de los parmetros de que hay que fijar en los bloques del sistema simulado, para las condiciones norma-les de operacin:

    Vlvula (V-1): Tipo: Lineal (ganancia)

    Ganancia, K 1

    Apdo. 9.2.1 - Prct. 9.5

  • 514 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Proceso (primer bloque, P-2): Tipo: Retardo de segundo orden

    Ganancia, K 0,8333 Constante de tiempo, T 0,1871

    Factor de amortiguac., 1,2027 Valor base entrada, Be 72 Valor base salida, Bs 73,333

    Proceso (segundo bloque, P-3):

    Tipo: Tiempo muerto Tiempo muerto, Tm 5

    Perturbacin de caudal (U-1):

    Tipo: Ganancia Ganancia, K -0,4 Entrada (carga), U 75 Entrada anterior, Ua 75

    Perturbacin de temperatura (U-1):

    Tipo: Ganancia Ganancia, K 0,2 Entrada (carga), U 40 Entrada anterior, Ua 40

    Medidor de caudal qa (M-u):

    Tipo: Ganancia Ganancia, K 1 Elevac./Supres. de cero, Z 0

    Medidor de temperatura a (M-u):

    Tipo: Retardo de primer orden Ganancia, K 1 Constante de tiempo, T 0,2 Elevac./Supres. de cero, Z 0

    Medidor de temperatura (medidor principal, M-1):

    Tipo: Retardo de primer orden Ganancia, K 1 Constante de tiempo, T 0,2 Elevac./Supres. de cero, Z 0

  • 515

    Compensador de caudal qa (A-2): Tipo: Controlador P+D

    Ganancia, K -0,4 Tiempo derivativo, Td 0

    Compensador de temperatura a (A-2): Tipo: Controlador P+D

    Ganancia, K 0,2 Tiempo derivativo, Td 0,2

    Iniciemos la prctica. El programa ControlP no permite simultanear la compen-sacin de dos perturbaciones distintas (existe un solo medidor y en todo caso no es recomendable, desde un punto de vista didctico, tener una multiplicidad de efectos perturbadores), por lo que en primer lugar configuraremos el sistema para una per-turbacin de caudal de producto y posteriormente trabajaremos con la configuracin de perturbacin de temperatura de entrada de producto.

    Instrucciones

    Entrar en la opcin Control en adelanto (feedforward). Pulsar el botn [Bloques nulos]

    Preparar la siguiente configuracin: C-1 P+D; G 1 / Td 0 / C 73,3333 / Ca 73,3333 V-1 Lineal; K 1 P-2 Retardo de segundo orden;

    T 0,1871 / S 1,2027 / K 0,833333 / Be 72 / Bs 73,3333 P-3 Tiempo muerto; Tm 5 U-1 Ganancia; K -0,4 / U 75 / Ua 75 / Espera U 60 M-u Ganancia; K 1 / Z 0 / Selector U 0 (en Diagrama bloques) M-1 Retardo de primer orden; T 0,2 / K 1 / Z 0 A-2 Controlador P+D; K -0,4 (K negativo!) / Td 0 (nulo) Desde el mismo Diagrama de bloques, modificar: Selector A 0 Duracin 4

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Se observa que aparecen las lneas planas, al igual que en prcticas anteriores, como consecuencia de que no se tiene perturbacin alguna. El lector puede compro-bar, pulsando la barra en cualquier momento del desarrollo grfico, los valores de operacin normal.

    Modificar: U-1 : U 50

    Apdo. 9.2.1 - Prct. 9.5

  • 516 Captulo 9 - Controles complejos en lazo cerrado

    Ejecutar nuevamente la Respuesta.

    El efecto de la perturbacin es notorio, como era de esperar de un sistema controlado solamente por realimentacin. Activemos ahora los dispositivos de compensacin en adelanto.

    Desde el Diagrama de bloques, modificar: Selector U 1 Selector A 2

    Ejecutar la Respuesta.

    La compensacin es perfecta. En el minuto 1, a pesar de que se introduce la per-turbacin, la variable controlada no se ve afectada en absoluto. Ello ha sido factible debido a que la simplicidad de los componentes del sistema nos ha permitido sinteti-zar un dispositivo de compensacin exacto. Las grficas muestran el trabajo de dicho dispositivo. Analcese los valores mostrados durante la compensacin por el medidor (lnea Mu, gris) y por la salida del controlador A-2 (lnea A, azul oscuro). La perfeccin del resultado es independiente de los parmetros del proceso y del medidor de temperatura principal, puesto que la compensacin ha sido efectuada antes de que la perturbacin alcance el proceso. Obviamente, si operamos sin acti-var la compensacin, resultar que a medida que se aumente el tiempo muerto o la constante de tiempo del proceso o la constante de tiempo del medidor principal, se irn obteniendo mayores desviaciones. Incluso el sistema puede dejar de ser estable.

    Nota Una vez alcanzada la inestabilidad del sistema, cuando se halla sin compensa-cin, podr observarse que, aparentemente, se consigue la estabilidad por el hecho de activar la compensacin. Esta sera una conclusin errnea. Lo que sucede es que en un sistema simulado y, por lo tanto, carente de ruido, no existe ninguna causa que inicie las oscilaciones. Prubese, sino, de hacer el sistema inestable, aumentando suficientemente la ganancia, y de introducir una pequea perturbacin adicional (por pequea que sea) o un pequeo salto en el punto de consigna. Se recuerda, una vez ms, que los procesos reales presentan siempre ruido (alta frecuencia) y pequeas derivas (muy baja frecuencia), que pueden ser consideradas como perturbaciones.

    Pasaremos ahora a ensayar la compensacin para el caso de perturbaciones en

    la temperatura de entrada de producto.

    Modificar: U-1 : K 0,2 / U 40 / Ua 40 / Espera 60 M-u Retardo de primer orden; T 0,2 / K 1 / Z 0 A-2 Controlador P+D; K 0,2 / Td 0,2

  • 517

    Desde el Diagrama de bloques, modificar: Selector U 0 Selector A 0

    Ejecutar la Respuesta temporal.

    Una vez ms, tenemos la conocida respuesta plana. Verificar los valores de ope-racin normal.

    Modificar: U-1 : U 65

    Ejecutar la Respuesta.

    Tambin se observan importantes desviaciones, consecuencia de la perturba-cin, a partir del minuto 1.

    Desde el Diagrama de bloques, modificar: Selector U 1 Selector A 2

    Ejecutar la Respuesta.

    Otra vez tenemos compensacin exacta. El lector proseguir con otros ensayos, haciendo, por ejemplo, que el medidor

    de compensacin presente un retardo de segundo orden. Recurdese que cuando se precise una compensacin basada en la segunda derivada (es el caso de dos retardos de primer orden o de uno de segundo orden), se recomienda un controlador P+D con el tiempo derivativo igual a la suma de las dos constantes de tiempo. Si se trata de un retardo de segundo orden, ser la suma de las dos constantes de tiempo en las que puede descomponerse (vase apdo. 2.8.2.e, pg. 115). O, lo que es lo mismo, se aplicar un tiempo derivativo al controlador P+D igual a la suma de tiempos de cada una de las acciones derivativas correspondientes a cada retardo de primer orden, segn se detall en Observacin en la pgina 500 y siguiente.

    Apdo. 9.2.1 - Prct. 9.5

  • Apndice 1 Tabla de transformadas de Laplace

  • 520 Apndice 1 Anotaciones

    La transmitancia de un bloque o sistema se define como:

    en la que

    G(s) Funcin de transferencia o transmitancia operacional. X(s) [x(t)] Transformada de la funcin de entrada. Y(s) [y(t)] Transformada de la funcin de salida.

    La funcin de salida y(t) de un bloque, conocidas la funcin de entrada x(t) y la transmitancia G(s), se calcular mediante la siguiente secuencia de operaciones:

    o bien, englobadas en una nica expresin:

    Ntese como algunas expresiones de la tabla de transformadas se muestran con dos e incluso con tres variantes distintas debido a las formas equivalentes de los polinomios caractersticos con que pueden presentarse en el denominador de la funcin laplaciana (con distinto numerador). Por ejemplo, la funcin senoidal se muestra con las siguientes formas equivalentes en el denominador:

    (T 2s2+1) y (s2+2)

    que corresponden a funciones temporales del mismo tipo. Vase al final de este apndice (pgina 528) las equivalencias de los polinomios caractersticos de primer y segundo orden.

    G s Y sX s

    ( )( )( )

    1

    2)

    3) -1

    ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    X s x t

    Y s X s G s

    y t Y s

    y t x t G s( ) ( ) ( ) -1

  • Tabla de transformadas de Laplace 521

    Tabla de transformadas de Laplace

    f (t) para t0 F(s) Observaciones

    )(t s Doble impulso unitario

    )(t 1 Impulso unitario en t 0

    1 o u(t) s1 Escaln unitario en t 0

    A o Au(t) sA Escaln A en t 0 ( [A 1] A [1] A [u( t)])

    u(t a) ssa-e Escaln unitario en t a

    u(t) u(t a) ssa-e1 Pulso en t 0

    de duracin a

    u(t a) u(t b) ssbsa -- ee Pulso desde a hasta b

    t 21s

    Rampa unitaria

    t2 32s

    Parbola

    tn 1!ns

    n Parbola de orden n (n entero y positivo)

    u(t a) (t a) 2

    -es

    sa Rampa unitaria en t a

    f (t L) )(e- sFsL Tiempo muerto L

    ta-e as 1

    Extincin exponencial Tt

    T-e1

    11sT

    " #taa-e11

    )(1

    ass

    Crecimiento exponencial Tt-e1 )1(

    1sTs

  • 522 Apndice 1

    f (t) para t0 F(s) Observaciones

    " #1 12a a t

    a t e-

    12s s a( ) Seguimiento a la

    rampa (Asntota paralela) TtTTt -e

    112s T s( )

    tsen

    s2 2

    Funcin senoidal

    1 sen t

    22

    1s

    1T

    tT

    sen

    112 2T s

    cos t s

    s2 2 Funcin cosenoidal

    tT

    cos 12

    122 sT

    s

    e-at tsen

    ( )s a 2 2 Senoide amortiguada

    e-at tcos s a

    s a

    ( ) 2 2

    Cosenoide amortiguada

    f (t) s F (s) f0 Funcin derivada

    f (t) s2 F (s) s f0 f 0 Segunda derivada

    t tdtf0

    )( s

    fssF )0()( )1-(

    Funcin integral

    1

    d

    td te- sen

    22 2

    1 ss )1P ara (

    21

    d

    " #21 --21

    ee1 TtTtTT

    11 11 2( ) ( )T s T s

    Respuesta impulsiva de un retardo de segundo orden (2 retard. 1er. orden en serie)

    " #21 -2-121

    ee11 TtTt TTTT

    )1()1(

    121 sTsTs

    Respuesta al escaln de un retardo de segundo orden (2 retard. 1er. orden en serie)

  • Tabla de transformadas de Laplace 523

    f (t) para t0 F(s) Observaciones

    12 12 2T s T s

    Respuesta impulsiva retardo segundo orden

    1

    1

    12

    2

    T Ttt T

    e- senTd

    21

    (Para 0 *1)

    1T

    tT

    sen

    (Para 0)

    1

    2Ttt Te-

    (Para 1)

    T s T s T s2 2 22 1 1 ( )

    " #TtsTtsT

    12 --

    2ee

    12

    1

    1 ; 1 :siendo2

    22

    1 ss

    (Para 1)

    " #1

    2 12 2s T s T s

    Respuesta al escaln retardo segundo orden

    21-

    2

    2

    -

    2

    2

    2-

    1tan

    1sen

    1

    1e1

    1sen

    1

    1cose1

    tT

    tT

    tT

    Tt

    Tt

    (Para 0 1)

    21

    d T

    2

    -11

    tan

    1 cos tT

    (Para 0)

    (Para 1) 2 2 22 1 ( 1)T s T s Ts

    2

    -

    1

    -

    2

    21 ee

    12

    11 ssTtsTts

    1 ; 1 :siendo2

    22

    1 ss

    (Para 1)

    t

    TTt 11e1 -

  • 524 Apndice 1

    f (t) para t0 F(s) Observaciones

    2 2 2

    12( 1)s ss T T

    Respuesta a la rampa retardo segundo orden

    t T TT

    tt T

    2 1

    12

    12

    2 2

    e- -1sen tan (Para 0 1)

    t T tT

    sen

    (Para 0)

    t T TT

    tt T

    2 2 1

    12

    e-

    (Para 1)

    T s T s T s2 2 22 1 1 ( )

    t T T s ss t T s t T

    22 1

    2 1 2 12 1

    22 1

    ( ) ( )e e- -

    2 221siendo: 1 ; 1s s

    (Para 1)

    T s

    s T s T sa

    1

    2 12 2( )

    2

    2-

    2

    1 21

    1 e sen1

    a a

    t T

    T TT T t

    T

    siendo:

    tan tan-1 -1

    1 12 2

    T

    Ta

    (Para 0 1)

    -

    21 1 e

    a t TT T tT

    (Para 1)

    T s T s T s2 2 22 1 1 ( )

    1 12 1

    2

    2 1

    1 2

    T TT T

    T TT T

    a t T a t Te e- - (Para 1)

    T s T s T s T s2 2 1 22 1 1 1 ( ) ( )

  • Tabla de transformadas de Laplace 525

    f (t) para t0 F(s) Observaciones

    )(sen e1

    1 -2

    9

    tdt

    22 2 sss

    (Para 1)

    donde:

    9 1-2

    1-2 cos1

    tan ; 1

    d

    )(sen e1

    11 -2

    9

    tdt )2( 22

    2

    sss (Para 1)

    donde:

    9 1-2

    1-2 cos1

    tan ; 1

    d

    1 1

    ab

    t be-

    a s

    s b s11( )

    ab

    ab

    bt

    1 e-

    s a

    s s b( )

    " #1a b t a t b e e- -

    11 1( ) ( )a s b s Dos retardos

    de primer orden en serie

    " #1b a at bt e e- -

    1( ) ( )s a s b

    " #1a b a b a bt b t a( ) e e- -

    sa s b s( ) ( ) 1 1

    " #1a b a bat bt e e- -

    ss a s b( ) ( )

    1

    2Tt t Te-

    1

    1 2( )T s Dos retardos de primer orden iguales en serie ( 1)

    t ate- 1

    2( )s a 1

    3TT t t T( ) e-

    sT s( ) 1 2

    ( )1 a t ate- s

    s a( ) 2

  • 526 Apndice 1

    f (t) para t0 F(s) Observaciones

    " #11 e e- t a - t ba bb a 1

    ( 1) ( 1)s a s b s

    1 1

    a ba b

    b a

    bt at

    e e- -

    1

    ( ) ( )s s a s b

    " #t a b t b ( ) 1 e- a s

    s b s1

    12 ( )

    " #ab t a b bt

    1 1 1 e-

    s as s b

    2 ( )

    1 1

    tT

    t Te-

    11 2s T s( )

    " # 1 1 12a t aat ate e- -

    12s s a( )

    ab

    b ab

    t t b2 3

    e-

    a sb s

    1

    1 2( )

    1 12

    a bb

    t t be-

    a ss b s

    1

    1 2( )

    a t2 2 9sen ( )

    2 2

    s as

    1tan- a

    9

    1T

    tT

    sen

    112 2T s Retardo de segundo orden

    con 0 1 sen t

    12 2s

    1 cos tT " #2 2

    1

    1s T s Respuesta al escaln

    de un retardo de segundo orden con 0 " #1 12 cos t " #

    12 2s s

    t tsen " #2

    2 22

    s

    s

  • Tabla de transformadas de Laplace 527

    f (t) para t0 F(s) Observaciones

    t tcos " #s

    s

    2 2

    2 22

    sen ( ) 9t 9 9

    cos sen

    s

    s2 2

    cos ( ) 9t s

    scos sen9 9

    2 2

    sen2 t 2

    4

    2

    3 2

    s s

    cos2 t s

    s s

    2 2

    3 2

    24

    sen tt

    tan-1 s

    e sen ( )-at t 9 9 9

    cos ( ) sen

    ( )

    s as a 2 2

    e cos( )-at t 9 ( ) cos sen

    ( )

    s as a

    9 9

    2 2

    a bt- 1

    s b a ln

    1T

    a t T-

    1T s a ln

    12

    2t ate-

    13( )s a

    tT

    t T2

    32e-

    11 3( )T s

    tT

    tT

    t T3

    2

    42

    e

    -

    sT s( ) 1 3

    t a t at

    2

    2 e-

    ss a( ) 3

  • 528 Apndice 1 Anotaciones Simplificaciones del polinomio T 2s2+2Ts+1: Para 0: T 2s2+2Ts+1 T 2s2+1 Para 1: T 2s2+2Ts+1 (Ts+1)2 Para 1: T 2s2+2Ts+1 (T1s+1) (T2 s+1) donde:

    " # " #1 ; 1

    2 ; 22

    ;

    22

    21

    2121

    21

    2121

    TTTT

    TTTTTT

    TTTTTTT

    Equivalencias de polinomios caractersticos, siendo T1

    Ts s s 1 1 1 1 ( )

    " #T s Ts s s s s2 2 2 2 2 2 22 1 1 2 1 1 2

    )1(1 ; )12(12 222

    2222

    222 sT

    TssTsT

    Tss

    22

    2

    2222

    2

    22 11 ;

    2121

    ssTsssTsT

    (s + a)2 + b2 = (s + a + jb) (s + a - jb) s2 + 2as + (a2 + b2)

    " #2222

    2222

    ; 1 :donde 121

    baaTa

    baTsTsT

    T

    1-2

    1- cos1

    tan

  • 529

    Apndice 2 Escalado de procesos y normalizacin de variables para el ordenador 1 Introduccin

    Entendemos aqu por escalado, la determinacin de las transmitancias que deben ser asignadas a los bloques de un sistema simulado en el ordenador, en funcin de las transmitancias que definen cada uno de los bloques que componen el sistema real, y de los mrgenes de operacin (escalas) de las variables y seales en ambos sistemas. 2 Mrgenes de operacin

    Las seales manipuladas por la instrumentacin de un sistema controlado operan dentro de unos mrgenes normalizados de trabajo, definidos por un lmite inferior (origen de escala) y uno superior (fondo de escala) de determinadas especies de variables fsicas, tales como 4..20 mA; 1..5 V; 0..10 V; 0,2..1,0 bar; 3..15 psi, etc. Segn su funcionalidad podrn contemplarse bsicamente tres tipos de seales:

    Seales de medida. Aquellas que son generadas por los transmisores de medida de las variables.

    Seales de control. Las que van desde el controlador hasta el elemento final de regulacin (o hasta un segundo controlador en control en cascada).

    Seales intermedias. Son las restantes, y se utilizan por el sistema de control para relacionar entre s los distintos componentes que lo forman.

    - Apdos. 1 - 2Apndice 2

  • 530 Apndice 2 - Escalado de procesos

    En un mismo sistema de control pueden coexistir seales de distinta especie y con diferentes mrgenes de trabajo. As, por ejemplo, un convertidor intensidad/pre-sin (I / P) recibir una seal de 4..20 mA y la convertir en 0,2..1,0 bar. Ello de-pender, obviamente, de la tecnologa que se est utilizando en cada caso particular.

    Los procesos reales operan de acuerdo con variables fsicas o tecnolgicas, para las que empleamos unidades tales como m3/h para un caudal o grados centgrados (,C) para una temperatura, en funcin de la naturaleza de la variable.

    Para cada variable de un proceso se determinan unos mrgenes de operacin, definidos tambin por un lmite inferior y uno superior. Ello es necesario, entre otras razones, porque hay que establecer una correspondencia entre cada variable del proceso y la seal de transmisin de la medida de la misma. Por ejemplo, un trans-misor de temperatura operar en un margen de 100 a 300 ,C, entregando una seal proporcional de 4 a 20 mA. Por otra parte, aunque una variable no est sometida a transmisin, en todo caso estar relacionada con otras variables por mediacin de los componentes del proceso, y convendr, por tanto, establecer las respectivas corres-pondencias y, a su vez, los mrgenes de operacin que las relacionan entre s.

    Llamaremos intervalo de una variable o de una seal a la diferencia entre los valores de los lmites superior e inferior del margen de operacin. En el ejemplo del prrafo anterior se tendra un intervalo de 300 - 100 200,C para la variable de proceso, y un intervalo de 20 - 4 16 mA para la seal de medida.

    3 Normalizacin de variables

    Cuando se construye el diagrama de bloques de un sistema controlado, es pre-ciso expresar en el mismo, y de manera coherente, las relaciones entre las distintas variables y seales, mediante las funciones de transferencia que correspondan a cada bloque.

    La manipulacin de seales o variables por un ordenador que opere en alta pre-cisin, es llevada a cabo mediante variables internas del tipo llamado real o de coma flotante. En el programa ControlP los nmeros reales pueden operar en el margen de 5,0110-324 a 1,7110308, tanto en positivo como en negativo, y con 15 a 16 dgitos significativos de precisin. No obstante, el margen de operacin nominal interno de las seales y variables es de 0,0..1,0; independientemente de que, atendiendo a ra-zones histricas y prcticas, sean mostradas grficamente en una escala de 0..100% (en la prctica, muchos de los rollos de papel grfico de los registradores muestran este tipo de escala y otro tanto sucede con los grficos en monitores).

    En consecuencia, debemos efectuar una normalizacin de todas las variables y

    seales del sistema para que puedan ser debidamente manejadas por el ordenador.

  • 531

    Esta normalizacin implicar una manipulacin en las constantes y parmetros de las transmitancias, tanto en su magnitud como en sus dimensiones, de tal manera que el margen de operacin de las variables y seales, a la vez que sean entendidas por el ordenador, mantengan una relacin conocida con lo que seran sus valores en el sistema real.

    Toda funcin de transferencia se caracteriza por presentar una ganancia esttica y una funcin dinmica. Entendemos por ganancia esttica la relacin entre las magnitudes de la variable de salida y la de entrada, en estado estacionario y en con-diciones estables (ms estrictamente entre los incrementos de ambas variables). La funcin dinmica mostrar el tipo de relacin temporal entre la salida y la entrada. En el dominio temporal vendra, por lo general, expresada por una ecuacin del tipo ntegro-diferencial, que al aplicarle la transformacin de Laplace quedara una expre-sin polinmica (o relacin de polinomios) conteniendo los parmetros procedentes de la ecuacin temporal.

    Por ejemplo, si nos referimos a un horno de calentamiento de un producto me-diante combustible fueloil, y sabemos que una vez estabilizado el proceso, el aumen-to de temperatura del producto es de 15,C por cada 1000 kg / h de incremento de caudal de combustible, podr decirse que la ganancia esttica es de 0,015,C5h / kg. La funcin dinmica podra ser aproximada mediante un tiempo muerto puro y un retardo de segundo orden, con lo que en su definicin se tendran tres parmetros; esto es, un tiempo muerto, una constante de tiempo y un factor de amortiguacin. Como se ve, en este caso la ganancia esttica es una constante dimensional, cuyas unidades seran [,C5h5kg-1], y la funcin dinmica contiene dos parmetros con uni-dades de tiempo y un parmetro adimensional (factor de amortiguacin). Con todo ello podramos describir la transmitancia de este horno con la expresin

    en la que Tm es el tiempo muerto, T la constante de tiempo y el factor de amor-tiguacin. El bloque representativo tendra como variable de entrada el caudal de combustible, expresado en kg / h, y como variable de salida la temperatura, expre-sada en ,C.

    Es evidente que toda variable o seal del proceso real tendr su correspondencia en el diagrama de bloques que construyamos para su simulacin en el ordenador. En este diagrama debern constar, por tanto, los bloques significativos con su funcin de transferencia. Se trata pues de determinar en primer lugar las relaciones funcionales del proceso (transmitancias) y, posteriormente, asignar a cada bloque del sistema simulado la funcin de transferencia que le corresponda. Para ello se proceder a operar en dos pasos:

    -

    2 2

    0,015 e

    2 1

    mT s

    GT s T s

    Apdos. 2 - 3

  • 532 Apndice 2 - Escalado de procesos

    Determinar en cada bloque del proceso real la relacin funcional entre la seal de salida y la seal de entrada del mismo, lo que se traducir en una funcin de transferencia la cual contendr los factores ganancia esttica y funcin dinmica.

    Determinar, tambin para cada bloque, la funcin de transferencia corres-pondiente en el diagrama de bloques. Estar compuesta igualmente por una ganancia esttica y por una funcin dinmica. Si no se efecta un escalado del tiempo (segn se ver en el apartado 4), sta ltima ser siempre exacta-mente igual a la que se ha hallado para el proceso real, por lo que de mo-mento nos ocuparemos solamente de calcular la ganancia esttica.

    Veamos en primer lugar la correspondencia entre una variable cualquiera de pro-

    ceso y su homloga en el diagrama de bloques para la simulacin.

    Llamemos:

    x : Variable del proceso real u : Variable del proceso simulado xmax : Lmite superior de la variable del proceso real xmin : Lmite inferior de la variable del proceso real umax : Lmite superior de la variable simulada umin : Lmite inferior de la variable simulada x' : Fraccin de la variable x dentro de su intervalo xmax xmin u' : Fraccin de la variable u dentro de su intervalo umax umin

    Normalmente haremos que el margen de operacin de la variable simulada sea

    del 0,0..1,0 o del 0..100%. El programa ControlP presenta, segn se ha dicho, las escalas en este ltimo margen, pero nada impide que sea interpretado con otros valo-res diferentes. Estos sern, por tanto, los valores de umax y de umin.

    Tendremos

    o bien

    x x xx x

    u u uu u

    min

    max min

    min

    max min

    x x x x x

    u u u u u

    ( )

    ( )

    max min min

    max min min

  • 533

    en donde debe notarse que las expresiones de los parntesis corresponden a los inter-valos de operacin, y sern, por tanto, valores constantes.

    Pero en todo momento ha de cumplirse

    Por tanto, la relacin de equivalencia entre los valores de la variable real y la simulada ser

    o bien

    y tambin

    Por ejemplo, supongamos una variable temperatura cuyo margen de operacin asignado sea de 50 .. 250,C, y con un margen en el sistema simulado de 0 ..100%. Cuando la temperatura sea de 130,C, se tendr:

    Valor de la variable de proceso: 130 Cx ,

    Fraccin de las variables: 130 50 0,4250 50

    x' u'

    Valor de la variable simulada: 0,4 100 0 40%u 1

    Equivalencia entre variables: 2 50x u

    0,5( 50) 0,5 25u x x

    Aclarados estos aspectos, veamos cmo manejar las funciones de transferencia de un bloque.

    u x

    u x x u ux x u ( )min

    max min

    max minmin

    u x u u u ( )max min min

    x u u x xu u x

    x u x x x

    ( )

    ( )

    minmax min

    max minmin

    max min min

    Apdo. 3

  • 534 Apndice 2 - Escalado de procesos

    Llamemos:

    x : Variable de entrada del proceso real y : Variable de salida del proceso real u : Variable de entrada del proceso simulado v : Variable de salida del proceso simulado

    La ganancia esttica del bloque en trminos de proceso; esto es, la relacin

    incremental entre las variables de salida y de entrada, ser

    La ganancia esttica referida al bloque del sistema simulado ser

    pero basndonos en que los incrementos relativos entre una variable de proceso y su simulada tienen que ser iguales, diremos

    y, por tanto

    Vemoslo con un ejemplo. Supongamos un bloque representativo de un sistema trmico, en el que la variable de entrada es un caudal de determinado fluido y la variable de salida es una temperatura. Se conocen los siguientes datos:

    k yxp

    ..

    k vu

    ..

    . .

    . .

    xx x

    uu u

    yy y

    vv v

    max min max min

    max min max min

    k kx x v vy y u up

    ( ) ( )( ) ( )

    max min max min

    max min max min

    Margen de caudal: q 0 .. 50 m3 h Margen de temperatura: T 150 .. 400,C Escalas de caudal y temperatura en el simulador: 0 .. 100% Incremento de temperatura a la salida del

    bloque, debida a un incremento de caudal a la entrada: 2T q. .

  • 535

    Es decir, que para cada m3/h de aumento en el caudal de entrada, el incremento de temperatura es de 2,C (se asume que las seales de los transmisores son linea-les). Luego, la ganancia esttica de este proceso ser

    y, por tanto, la ganancia esttica que habr que asignar al bloque simulador del pro-ceso en el ordenador ser

    La funcin dinmica asociada ser, segn se ha dicho, la misma que presente el proceso real. Si, por ejemplo, se trata de un retardo de primer orden, con una cons-tante de tiempo de 1,5 minutos, la transmitancia del bloque simulador sera

    La equivalencia entre el valor de las variables del proceso real y la indicacin en el ordenador ser:

    Hay que tener en cuenta, finalmente, que al considerar dos o ms bloques conca-tenados, es preciso que el margen de la seal de salida de un bloque sea el mismo que el margen de la entrada del siguiente. Es el bloque el que efecta la conversin de unidades y manipulacin de amplitudes; y es evidente que una lnea de seal que enlaza dos bloques tendr los mismos mrgenes de operacin en cada uno sus extre-mos (es la misma seal y en esencia es un nico punto o nodo). Esto es vlido tanto para el sistema real como para el simulado.

    4 Escalado del tiempo

    En primer lugar es preciso aclarar que cuando aqu hablamos de tiempo o dura-cin no nos referimos al tiempo que tarda el ordenador en calcular y presentar una respuesta temporal en pantalla (que en todos los casos ser relativamente breve), sino a la variable tiempo (t ) mostrada en las abscisas del grfico. Este tiempo sera el que discurrira en el proceso real en el transcurso de la respuesta ensayada.

    k Tqp

    ..

    2

    Gs

    0 41 5 1

    ,,

    q q q q

    T T T T T

    r i i r

    r i i r r

    0 5 2

    2 5 150 0 4 150 0 4 60

    , ;

    , ; , ( ) ,

    max min max min

    max min max min

    ( ) ( ) ( ) ( )50 0 100 02 0,4

    ( ) ( )( ) ( ) 400 150 100 0p

    x x v vk k

    y y u u

    Apdos. 3 - 4

  • 536 Apndice 2 - Escalado de procesos

    El escalado del tiempo, es decir, la modificacin de la variable tiempo en el programa de un ordenador, con relacin al tiempo en el proceso real, es de sumo inters cuando quiere simularse un proceso con constantes de tiempo ya sean muy grandes, ya sean muy pequeas. En efecto, si un determinado proceso presenta cons-tantes de tiempo de, por ejemplo, 30 minutos, sera preciso asignar una duracin de la respuesta de quizs varias horas para observar la evolucin de la misma. Por el contrario, con constantes de tiempo de, por ejemplo, 1 segundo, seran suficientes unos pocos segundos.

    El programa ControlP permite ajustar la duracin de la respuesta en un margen comprendido entre 1 y 120 minutos y, por otra parte, no admite asignar constantes de tiempo menores de 0,05 minutos (3 segundos) cuando la frecuencia de muestreo sea de 1 segundo, si bien a medida que sta es aumentada las constantes de tiempo pue-den hacerse ms pequeas, en proporcin inversa. Con constantes de tiempo muy pequeas puede presentarse una prdida importante de precisin en el clculo de la respuesta temporal (no en la respuesta frecuencial), as como ciertas anomalas en la presentacin del grfico de la misma, debido a la similitud entre estos tiempos y el tiempo de discretizacin en los clculos (la respuesta real puede contener oscilacio-nes cuyo periodo sea prximo al de muestreo o, en todo caso, mostrar evoluciones muy rpidas, que no pueden ser seguidas por un muestreo muy espaciado). De aqu que, en estos supuestos, sea recomendable aumentar la frecuencia de muestreo, dis-minuyendo as el tiempo de discretizacin. El valor mnimo admisible que puede asignarse a una constante de tiempo de un componente retardo de primer orden es igual a 0,05/ frecuencia muestreo [minutos] o 3 / frecuencia muestreo [s]. No obstante, se recomienda adoptar valores ms conservadores, ya sea aumentando la constante de tiempo, mediante el escalado o, ms fcil, aumentando la frecuencia de muestreo.

    Es sabido que si un mismo proceso contiene constantes de tiempo con valores muy dispares entre s, es admisible despreciar las constantes pequeas, dado que su trascendencia sobre la respuesta global es de escasa entidad.

    Matemticamente se demuestra que si en un determinado sistema se multiplican todos los parmetros expresados con unidades de tiempo (constantes de tiempo, tiempos muertos, tiempos de integracin, adelanto-retardo, anticipativos, e integral y derivativo de los controladores) por un mismo factor de escalado, la respuesta temporal mantiene la misma forma, con idnticas amplitudes en la evolucin de sus variables, pero sufre una expansin (o contraccin) en el tiempo, proporcional a dicho factor; en definitiva, es como si hubisemos cambiado el patrn o la unidad de medida del tiempo. Algo parecido sucede con la respuesta frecuencial, en donde las frecuencias (inversamente proporcionales a su periodo) son asimismo inversamente proporcionales al citado factor. Ntese que una expansin de la respuesta temporal equivale a una compresin de la escala de tiempos, y una expansin en las frecuen-cias equivale a una compresin en la escala de las mismas.

  • 537

    Con el escalado del tiempo podemos, por tanto, manejar sin dificultad constan-tes de tiempo grandes o pequeas, sin ms que multiplicarlas por un factor de esca-lado cmodo. Si, por ejemplo, en el sistema real tenemos constantes de tiempo del orden de 1 segundo podremos multiplicarlas por 60 (con lo que se tendran valores de 60 segundos 1 minuto) y entonces no tendremos ms que interpretar la escala de tiempos de tal manera que las lecturas en minutos del sistema escalado, represen-tarn segundos del proceso real. En cuanto al anlisis frecuencial, las frecuencias ledas como rad /minuto correspondern a rad /segundo, de tal manera que si, por ejemplo, el sistema escalado muestra un pico de resonancia en la frecuencia de 2 rad /minuto tendr que ser interpretado como de 2160 120 rad /minuto, lo que equivale a 2 rad /segundo.

    Hay que insistir que el escalado hay que efectuarlo en la totalidad de los bloques dinmicos del sistema (los que implican una referencia al tiempo), incluidas las acciones integral y derivativa de los controladores. Igualmente se tendrn en cuenta los bloques perturbacin y los bloques dinmicos que hubiese en un sistema de control en adelanto ( feedforward ). Obviamente, parmetros adimensionales tales como el coeficiente de amortiguacin de los retardos de segundo orden, o la ganan-cia de los controladores, o las ganancias estticas en general, no se vern modifi-cados por este escalado; incluso aquellas que hagan alguna referencia al tiempo, como por ejemplo ,C5h/kg. Una variable expresada en % (o bien como fraccin en el margen 0...1), debe ser considerada adimensional. En un lazo cerrado el producto de las unidades de las variables de cada uno de los nodos que forman el lazo es adi-mensional; es decir, que las unidades se cancelan entre s.

    Si se desea efectuar algn clculo terico, ya sea en el dominio temporal, ya sea por transformadas de Laplace, se aplicar el mismo criterio. Por ejemplo, y conti-nuando con el mismo supuesto (factor de escalado igual a 60), si un retardo de pri-mer orden, con T 0,2 , tiene la expresin original

    habra que operar con la expresin escalada a T 0,2160 12, esto es

    5 Resumen

    Para obtener la transmitancia operacional de un bloque en el sistema simulado, partiendo de la transmitancia del sistema real, se tendr en cuenta por una parte la ganancia esttica y, por la otra, la funcin dinmica.

    10 2 1, s

    112 1s

    Apdos. 4 - 5

  • 538 Apndice 2 - Escalado de procesos

    La determinacin de la ganancia esttica k se obtendr haciendo

    En general, si llamamos t a la variable tiempo de cualquier expresin del siste-ma real y a la variable tiempo en la simulacin, diremos:

    en donde el factor 3 representa el factor de escalado; esto es, el nmero de segun-dos del sistema simulado, por cada segundo del sistema real (o cualquier otra unidad de tiempo). Si 3 1 el sistema simulado es ms lento, y si 3 1 es ms rpido. En nuestro ejemplo anterior tenamos 3 60, con lo que, en efecto, nuestra simulacin sera 60 veces ms lenta, pues convertira en minutos lo que son segundos (recur-dese lo dicho al principio del apartado 4, en la pg. 535, con relacin al significado del tiempo y, por extensin, de la rapidez).

    Entonces, si la respuesta temporal del sistema real es

    la respuesta simulada en el ordenador ser ( )sy f - 3

    Ntese que aqu no se considera ninguna normalizacin o escalado de las varia-bles de proceso; simplemente, en las ecuaciones, sustituimos a la variable t por - /3.

    Cualquier frecuencia sr del sistema real aparecer como ss en el sistema simulado, de tal manera que

    del mismo modo que cualquier lapso de tiempo .tr (o cualquier otro periodo), en el sistema real, se mostrar como .ts en el simulado, cumplindose

    Las constantes de tiempo de los retardos de tiempo, los tiempos muertos, los tiempos de integracin, los tiempos integral y derivativo de los controladores, etc., se manejarn del mismo modo que la variable tiempo; es decir, se har t- 3

    k kx x v vy y u up

    ( ) ( )( ) ( )

    max min max min

    max min max min

    - 3 t

    ( )ry f t

    sr ss 3

    sr

    tt

    ..

    3

  • 539

    La funcin dinmica en las transformadas de Laplace se obtendr tomando la del sistema real, y sustituyendo la variable s por 3 s.

    Si, por ejemplo, la transmitancia de un bloque del sistema real es

    y se tiene 3 60, la transmitancia en el sistema simulado ser

    6 Manejo de los parmetros Valor de base Be y Bs

    En los componentes del tipo Ganancia o Retardo de tiempo de los bloques de Proceso se dispone de unos parmetros denominados Valor de base entrada Be y Valor de base salida Bs. Estos parmetros permiten un desplazamiento de cero (bias) en las variables de entrada y salida del bloque, segn veremos a continuacin.

    En los bloques del tipo Perturbacin se dispone, asimismo, de los parmetros Entrada (carga) y Entrada anterior, que, como se ver, estn relacionados con el concepto Valor de base. Su utilizacin es especialmente interesante cuando se pre-tende simular procesos no lineales, en los que se conoce su comportamiento en un determinado punto de trabajo. Entendemos aqu por comportamiento la relacin en-tre el cambio que se produce a la salida de un bloque, frente a un cambio incremental en la entrada, una vez alcanzado el estado estacionario, es decir, la ganancia esttica, o pendiente de la curva de respuesta, en aquel punto de trabajo. No consideraremos aqu la funcin dinmica, por ser independiente de la ganancia esttica. Descarta-remos tambin los componentes del tipo Integrador y Tiempo muerto, que sern vistos aparte.

    Nota: El lector puede sentirse confundido si se considera que en los tratados de Electrnica a este concepto se le suele llamar ganancia dinmica; mientras que por ganancia esttica se entiende la relacin ente los valores absolutos de las variables (no de sus incrementos). Al fin y al cabo, esta ltima es un caso particular de la primera, en donde la respuesta del elemento puede representarse por una recta que pasa por el origen de coordenadas.

    La ecuacin de que se dispone en los bloques de Proceso es

    S k E B Be s ( )

    10,02 1

    rG s

    11,2 1

    sG s

    Apdos. 5 - 6

  • 540 Apndice 2 - Escalado de procesos

    en donde

    E Entrada S Salida k Ganancia esttica

    Be Valor de base entrada Bs Valor de base salida

    La aparente incoherencia entre los signos de Be y Bs, no es tal, pues lo que se

    pretende es hacer

    esto es

    Grficamente podramos sintetizar el bloque segn se muestra en la figura A-2.1.

    Fig. A-2.1 Bloque Proceso segn la funcin S k (E Be) + Bs

    En los bloques de compensacin (A-1 y A-2) de la opcin Control en adelanto del programa ControlP se dispone tambin del parmetro Valor de base B, que en este caso aplica slo a la salida, por lo que la ecuacin queda reducida a

    No obstante, esta ecuacin es suficiente para efectuar un desplazamiento de entrada y de salida a la vez. En efecto, la ecuacin

    puede desarrollarse de la siguiente manera:

    S B k E Bs e ( )

    k S BE B

    s

    e

    S k E B

    S k E B Be s ( )

  • 541

    en donde, para un determinado valor de k, hacemos

    y, por tanto,

    siendo sta, precisamente, la ecuacin que hemos dicho se dispone en los bloques de control en adelanto, en donde B ser el valor de base que deberemos aplicar, refe-rido a la salida del bloque.

    Todo ello se comprender mejor con el ejemplo prctico que se expone a conti-nuacin.

    Fig. A-2.2 Camisa de un reactor qumico y su diagrama de bloques

    Sea la camisa de un reactor qumico por la que circula un fluido trmico cuyo objetivo es calentar el producto reactante en circulacin por el reactor (fig. A-2.2). Se asume que el fluido trmico en la camisa est perfectamente homogeneizado. Las condiciones de circulacin del reactante (caudal, temperatura de entrada, etc.) se suponen constantes a los efectos del presente estudio. En el sistema controlado, del que forma parte este encamisado, la variable controlada es el caudal de fluido tr-mico. Por tanto, la temperatura de este ltimo, a la entrada de la camisa, deber ser reconocida como una perturbacin al sistema. Obviamente, cuando se deban consi-

    S k E k B B

    S k E k B B

    e s

    e s

    ( )

    B k B Be s

    S k E B

    Apdo. 6

  • 542 Apndice 2 - Escalado de procesos

    derar, ya sea el caudal o la temperatura del reactante, se tendran otras perturbacio-nes (cambios de carga) que podran ser tratadas por separado. Asimismo, nos intere-saremos solamente por la ganancia esttica, a sabiendas de que la funcin dinmica ser tratada aparte.

    Se conocen los siguientes datos de funcionamiento, con relacin al fluido trmico y a la temperatura de la camisa:

    1. Condiciones normales de operacin:

    1.a) Caudal de operacin, q1 : 117 l /mn. (litros /minuto) 1.b) Temperatura, 1 : 275 ,C 1.c) Temperatura de la camisa, 2 : 220 ,C

    2. Efectos sobre 2 de los cambios en el fluido trmico:

    2.a) Por caudal : 2,5 ,C por cada l /mn. de incremento de q1 2.b) Por temperatura : 0,75 ,C por cada ,C de incremento de 1

    3. Escalas o mrgenes de operacin:

    3.a) Caudal q1 : 0 .. 180 l /mn. 3.b) Temperatura 1 : 50 .. 350 ,C 3.c) Temperatura 2 : 100 .. 250 ,C

    4. Escalas en el sistema simulado:

    4.a) Todas las escalas estn basadas en el margen del 0 .. 100%

    Lo primero que haremos es deducir las ecuaciones de funcionamiento del sis-

    tema real.

    Segn los datos del punto 2 tendremos que las ganancias estticas de los bloques proceso y perturbacin sern, respectivamente,

    y, por tanto, podemos escribir la funcin incremental

    kq

    k

    p

    u

    .

    .

    .

    .

    2

    1

    2

    1

    2 5

    0 75

    ,

    ,

  • 543

    pero segn los valores de operacin normal dados en el punto 1 tendremos

    por lo que la ecuacin completa de funcionamiento ser

    o bien

    en la que se distinguen claramente el trmino debido al proceso y el trmino debido a la perturbacin, adems de un trmino independiente. El trmino independiente 220, hay que asignarlo al bloque proceso. Tngase en cuenta que la variable de salida de cada bloque es una variable oculta (no observable) del sistema, puesto que en el sistema real la variable 2 solamente puede ser observada despus del suma-torio (ver figura A-2.2). Por tanto, si bien es cierto que podra pensarse en asignar el trmino independiente a cualquiera de los dos bloques, e incluso repartirlo entre ellos, parece razonable asignarlo al bloque proceso. De este modo, cuando no exista perturbacin alguna; es decir, cuando se cumpla 1275,C, el bloque perturbacin no introduce ninguna seal en el sumatorio y entonces coinciden la variable de salida del bloque proceso con la de salida del sumatorio 2. Slo cuando se tenga una perturbacin en la que 1 + 275,C, la salida del bloque perturbacin ser distinta de cero, modificando la salida del bloque proceso en el sumatorio. Antes de efectuar el desglose, debemos entrar en el detalle de la funcin implementada en los bloques perturbacin.

    La ecuacin de un bloque Perturbacin, considerando solamente el aspecto relativo a ganancia esttica, es

    en donde

    Su Salida del bloque ku Ganancia esttica

    . . .2 1 12 5 0 75 , ,q

    .

    .

    .

    q q1 1

    1 1

    2 2

    117

    275

    220

    2 1 1220 2 5 117 0 75 275 , ( ) , ( )q

    2 1 12 5 117 0 75 275 220 , ( ) , ( )q

    )( auu UUkS

    Apdo. 6

  • 544 Apndice 2 - Escalado de procesos

    U Entrada actual del bloque (carga) Ua Entrada anterior (valor normal de operacin)

    Aqu se entiende que en un determinado momento del desarrollo de la respuesta temporal (denominado Espera en la asignacin de valores al bloque) se produce un salto en la entrada, desde Ua hasta U, representativo de la perturbacin cuyos efectos queremos analizar. Normalmente haremos que el valor de Ua sea el correspondiente a las condiciones normales de operacin, es decir, aquellas en las que se considera que no existe perturbacin. Con todo ello, la salida Su podr ser interpretada como un incremento (positivo o negativo) que se producir en la variable 2, como conse-cuencia de una perturbacin; en otras palabras

    De aqu que, momentneamente, en nuestro ejemplo podamos escribir la ecua-cin del bloque perturbacin como

    Nota: El lector se habr percatado de que los fundamentos que aqu se estn estudiando no son exclusivos del programa ControlP, sino que son aplicables a cualquier tipo de simulacin que pretenda efectuarse, ya sea mediante un sistema anal-gico, ya sea mediante uno digital.

    As pues, efectuaremos el siguiente desglose:

    Para el bloque Proceso:

    Para el bloque Perturbacin:

    la cual se identifica con la ecuacin 2 ku (U Ua), vista anteriormente, de tal manera que como entrada actual U del bloque se tendr la temperatura actual 1 del fluido trmico y como entrada anterior Ua se tendr la temperatura correspondiente a las condiciones normales de dicho fluido, en nuestro caso 275,C.

    La ecuacin global del conjunto ser la suma de los dos valores, esto es

    .2 Su

    . 2 k U Uu a( )

    2 12 5 117 220 , ( )q

    .2 10 75 275 , ( )

    2 1 12 5 117 220 0 75 275 , ( ) , ( )q

  • 545

    en coincidencia con la que se haba deducido, y haciendo que el trmino indepen-diente quede asociado al bloque proceso.

    Ahora ya podemos efectuar los clculos del escalado de los parmetros y de las variables para el sistema simulado por ordenador, lo que nos permitira su asignacin en los correspondientes bloques.

    Las ganancias estticas de los dos bloques en el sistema simulado sern, de acuerdo con las ecuaciones dadas en este apndice:

    Para el Proceso:

    Para la Perturbacin:

    Los valores de operacin normal en el sistema simulado sern:

    Para el caudal de fluido trmico:

    Para la temperatura del fluido trmico:

    Para la temperatura de la camisa:

    Con todo ello podemos establecer ya la ecuacin de funcionamiento para el sistema simulado

    y al desglosarla para cada uno de los bloques nos queda:

    k p

    2 5180 0 100 0

    250 100 100 03 0,

    ( ) ( )( ) ( )

    ,

    ku

    0 75350 50 100 0250 100 100 0

    1 5,( ) ( )( ) ( )

    ,

    q1 117 0100 0180 0

    0 65 0

    ( ) , %

    1 275 50100 0350 50

    0 75 0

    ( ) , %

    2 220 100100 0

    250 1000 80 0

    ( ) , %

    2 1 13 0 65 0 1 5 75 0 80 0 , ( , ) , ( , ) ,q

    Apdo. 6

  • 546 Apndice 2 - Escalado de procesos

    Para el bloque Proceso:

    Para el bloque Perturbacin:

    con lo que ya podemos definir los valores de los parmetros que hay que fijar en los bloques del sistema simulado, para las condiciones normales de operacin; es decir, cuando no existe ningn tipo de perturbacin y, por tanto, todas las variables se hallan en su valor normal.

    Para el bloque Proceso:

    Ganancia K 3 Valor base entrada Be 65 Valor base salida Bs 80

    Para el bloque Perturbacin:

    Ganancia K 1,5 Entrada (carga) U 75 Entrada anterior Ua 75

    Fig. A-2.3 Conjunto formado por un bloque Proceso y su Perturbacin

    2 13 0 65 0 80 0 , ( , ) ,q

    .2 11 5 75 0 , ( , )

  • 547

    Obviamente, cuando se desee introducir una perturbacin, esto es, la simulacin de un cambio en la temperatura de entrada 1 del fluido trmico, se modificar el valor de Entrada (carga) U, utilizando la correspondiente relacin de equivalencia, calculada ms abajo, 1s 0,33331 - 16,667.

    La figura A-2.3 muestra de manera esquemtica la operacin conjunta de un blo-que Proceso y su Perturbacin.

    La relacin de equivalencia entre los valores de las variables reales y las simu-ladas ser, de acuerdo con las ecuaciones vistas en este apndice

    de donde, resolviendo y reagrupndolas, nos proporcionan las siguientes relaciones de equivalencia:

    Para el caudal de fluido trmico:

    Para la temperatura del fluido trmico:

    Para la temperatura de la camisa:

    q qs

    s

    s

    1 1

    1 1

    2 2

    0 100 0180 0

    0

    50 100 0350 50

    0

    100 100 0250 100

    0

    ( )

    ( )

    ( )

    q q

    q q

    s

    s

    1 1

    1 1

    0 5556

    1 8

    ,

    ,

    1 1

    1 1

    0 3333 16 667

    3 50

    s

    s

    , ,

    2 2

    2 2

    0 6667 66 667

    1 5 100

    s

    s

    , ,

    ,

    Apdo. 6

  • 548 Apndice 2 - Escalado de procesos

    Todo ello se comprender mejor si analizamos las grficas de la figura A-2.4, en donde se han representado grficamente las ecuaciones de funcionamiento de cada bloque, tanto para el sistema real como para el simulado. Puede observarse que las grficas son idnticas entre s en ambos sistemas; la diferencia est en las escalas, en sus unidades y en las ecuaciones que las relacionan. Por otra parte, en la prctica 9.2 del captulo 9 (pg. 447), se desarrolla el estudio del sistema en su totalidad.

    Fig. A-2.4 Grficos de respuesta de los sistemas real y simulado, relativos a los bloques Proceso y Perturbacin

  • 549

    7 Manejo del parmetro Elevac./Supres. de cero Z

    En los componentes del tipo Ganancia o Retardo de tiempo de los bloques Medida se dispone de un parmetro denominado Elevac. / Supres. de cero Z. Este parmetro permite la supresin o elevacin (deslizamiento) del margen de operacin de la variable de entrada, con relacin al margen de medida. Ello es equivalente a la denominada supresin o elevacin de margen. Dependiendo de los fabricantes de instrumentos se utiliza una u otra nomenclatura, que, en cualquier caso, suele pres-tarse a confusiones. En el programa ControlP se ha optado por la primera de las nomenclaturas, Elevacin / Supresin de cero, cuyo significado vamos a clarificar mediante un ejemplo prctico.

    Supongamos la clsica medida de nivel de un depsito cerrado, mediante un transmisor de presin diferencial con conexiones directas (sin membranas separa-doras). La conexin de la toma inferior del depsito (rama de alta*), as como el transmisor, se hallan por debajo del nivel mnimo o de referencia (nivel definido como del 0 %), mientras que la conexin de la toma superior (rama de baja*) est por encima del nivel mximo (nivel definido como del 100 %). Vase la figura A-2.5. (*) Forma popular de decir rama de alta presin o rama de baja presin.

    Fig. A-2.5 Medicin de nivel por presin diferencial

    Bsicamente existen dos posibilidades, dependiendo de que en el depsito se produzcan, o no, vapores condensables. En el primer caso la rama de baja se llenar espontneamente de lquido condensado hasta el punto ms alto de la conduccin ( lo que se denomina rama hmeda) y, por tanto, por encima del que hemos llamado nivel mximo. En el segundo caso, dicha rama permanecer vaca (seca). Es obvio que en ambos casos la rama de alta estar siempre llena.

    Apdos. 6 - 7

  • 550 Apndice 2 - Escalado de procesos

    Asumiendo, para simplificar, un lquido de densidad relativa 1, la siguiente tabla muestra las presiones diferenciales netas recibidas por el transmisor; en ambos casos, para los niveles del proceso definidos como mnimo (0 %) y mximo (100 %).

    Nivel 0% Nivel 100 %

    Condensables h0 h1 H h0 h1

    No condensables h0 H h0

    En el caso de vapores condensables vemos que la presin diferencial neta es siempre negativa, incluso cuando el nivel se halla en su mximo valor del 100 %; es decir, que h1 (Hh0) o bien (Hh0 h1) 0. En el otro caso, para vapores no condensables, la presin diferencial es siempre positiva, incluso cuando el nivel est en el mnimo del 0%. Las grficas de la figura A-2.6 muestran estas presiones en funcin del nivel, y las seales de transmisin que van a proporcionar.

    El intervalo de presin diferencial es en ambos casos el mismo, precisamente el valor de la altura H, pero se encuentra desplazado, en un caso hacia el lado negativo, y en el otro hacia el positivo. Si el transmisor generase una seal proporcional al valor real de la presin diferencial que recibe, es evidente que en los dos casos se tendra una seal completamente falseada. Es preciso efectuar un desplazamiento en la seal de transmisin; pero es ms racional decir que dicho desplazamiento hay que efectuarlo en el propio margen de medida (y as es como se logra en la prctica). Podemos imaginar que a la cmara de alta del transmisor le aadimos o sustrae-mos, de alguna manera (por ejemplo mediante un resorte), una presin adicional, sin interferir en el proceso; es decir, que elevamos o suprimimos, respectivamente, en cierta cuanta, el lmite inferior o cero del margen de medida (desplazndolo en su totalidad ), hasta conseguir que para nivel cero la presin diferencial neta (virtual ) en el transmisor sea nula.

    As, en nuestro ejemplo, en el caso de vapores condensables debemos elevar el cero de la medida, justo en la cantidad ;;h0h1; h1 h0, con lo que para un nivel mnimo tendremos una presin diferencial (virtual) nula, y con un nivel mximo una presin diferencial (virtual) de valor H. Con ello, la seal de medida, proporcional a estas presiones, ya ser representativa de la variable nivel. Por el contrario, en el caso de vapores no condensables, tenemos que suprimir el cero de la medida, justo en la cantidad h0, para conseguir los mismos efectos (vase la figura A-2.6).

    Ntese que en todos los casos, es irrelevante la posicin de la toma de alta, con la condicin de que est situada por debajo del nivel mnimo. Asimismo, el campo o intervalo de medida del transmisor (span) ser en cualquier caso de valor H, lo que se comprueba efectuando la diferencia entre las dos columnas de la tabla.

  • 551

    En la prctica, los transmisores de presin diferencial pueden venir preparados para llevar a cabo esta funcin. En el programa de ControlP lo podemos simular fijando el valor del parmetro Elevac./ Supres. de cero Z, una vez determinado el escalado, segn se ha visto en este apndice. Para conseguir un efecto de elevacin se dar al parmetro un valor positivo, y para conseguir un efecto de supresin se le asignar un valor negativo.

    Fig. A-2.6 P y seales del transmisor de nivel

    Apdo. 7

  • 552 Apndice 2 - Escalado de procesos

    Si la densidad relativa del lquido del depsito es distinta de 1 o si la densidad del lquido de llenado de la rama hmeda es distinta de la del depsito (en ciertos casos se rellena artificialmente con algn lquido diferente del contenido en el depsito), habr que efectuar las debidas correcciones en los clculos de presin diferencial aqu mostrados, pero aplicando los mismos fundamentos; esto es, habr que multiplicar en cada caso la altura por la densidad relativa del lquido implicado. Incluso puede darse el hecho de que la rama de alta se rellene con un lquido dife-rente a partir de la vlvula de conexin al depsito. Entre las posibles razones para todo ello est el evitar la posibilidad de congelacin o excesivo espesamiento del lquido en las ramas.

    La ecuacin de la respuesta del bloque (transmisor), en cuanto a la ganancia esttica, ser, por tanto,

    en donde

    S Seal de salida E Nivel Z Elevacin o supresin de cero k Constante (parmetros fsicos del nivel)

    Grficamente podra sintetizarse segn se muestra en la figura A-2.7.

    Fig. A-2.7 Bloque Medidor, segn la funcin S k (E + Z) 8 Manejo del parmetro Valor de referencia R

    En los componentes del tipo Integrador de los bloques de Proceso se dispone de un parmetro denominado Valor de referencia R. Puesto que este componente efecta una integracin en el tiempo de la seal de entrada, puede ser necesario referir esta seal a un determinado valor distinto de cero. En otras palabras, es desea-ble que la funcin integral que realiza sea de la forma

    ( )S k E Z

  • 553

    en donde

    S Salida E Entrada R Referencia Ti Tiempo de integracin C Salida inicial

    La constante C (condiciones iniciales) ser el valor de la salida del bloque en el

    momento t 0. En un sistema simulado por el programa ControlP, este valor queda fijado automticamente, dependiendo del punto de consigna del controlador, segn se explica ms adelante. La figura A-2.8 muestra una sntesis del bloque. Veamos un ejemplo prctico. Supongamos que como parte de la cadena del proceso tenemos un tanque cilndrico en posicin vertical, que contiene lquido hasta un determinado nivel. La variable de entrada al bloque es un caudal de aportacin (o extraccin) al tanque (otros caudales de entrada o salida pueden proceder de una perturbacin) y la variable de salida del bloque es el nivel. Un componente de este tipo acta como integrador. La velocidad de aumento (o disminucin) de nivel es proporcional, entre otros factores, al caudal neto de aportacin (o extraccin) al tanque (caudal neto entradas salidas), independientemente del valor actual del nivel. Cuando este balance sea nulo, esto es, cuando los caudales de aportacin sean iguales a los de extraccin, el nivel permanecer constante (en equilibrio) en el valor en que se encuentre en aquel momento. Con slo el conocimiento de los caudales instantneos no puede deducirse, en ningn momento, el valor del nivel; y, viceversa, del conocimiento del nivel instantneo no pueden saberse los caudales.

    0

    . 1

    ( ) t

    i

    Fig A- 2.8Bloque Integrador segn la funcin S E R dt C

    T

    ST

    E R dt Ci

    t

    10( )

    Apdos. 7 - 8

  • 554 Apndice 2 - Escalado de procesos

    Antes de iniciar la presentacin de la respuesta temporal (cuando tiempo0), el programa ControlP se ocupa, de forma automtica, de ajustar los valores de todas las variables para que el sistema est en equilibrio, en coherencia con el punto de consigna y con la totalidad de los parmetros de los componentes del sistema y su configuracin. Concretamente, la seal de medida se hace igual al valor del punto de consigna anterior Ca (el que se haya fijado para t 0, antes del salto en escaln). Para ello, la salida del controlador queda ajustada al valor preciso para satisfacer las citadas condiciones de equilibrio. En este ejemplo, la variable de salida del bloque (la variable nivel) vendra definida, por tanto, por el punto de consigna. Esto se con-sigue ya sea directamente por ser la variable controlada, cuando se trata del ltimo bloque de proceso, ya sea indirectamente, a travs de los bloques que le siguen, hasta llegar al ltimo de la cadena, el cual proporciona la variable controlada. Sin embar-go, en principio existe la ambigedad de que no puede calcularse la magnitud de la variable de entrada (el caudal) que mantiene el nivel en equilibrio. El valor de este caudal (magnitud de la variable de entrada para t 0) es el que definimos mediante el parmetro Valor de referencia R, y que forzar al controlador, a travs de los bloques intermedios, a que ajuste su salida para que se cumplan estas condiciones.

  • Composicin de la respuesta temporal 555

    Apndice 3

    Composicin de la respuesta temporal

    de un sistema

    En general, estamos interesados en conocer la respuesta temporal de un sistema

    a partir del momento en que es sometido a algn tipo de perturbacin. A este instan-te le atribuimos, precisamente, el tiempo t 0. El pasado o la historia previa a este momento se condensa en lo que denominamos condiciones iniciales. No im-porta lo que le sucedi exactamente al sistema con anterioridad al instante t 0, sino en qu condiciones se encontraba (cul era su estado) en dicho momento.

    Por analoga con un circuito electrnico, el fenmeno equivalente a la aparicin de una perturbacin en un sistema sera la conexin o activacin de una fuente en un determinado momento.

    La respuesta temporal vendr determinada por tres elementos fundamentales:

    Caractersticas propias del sistema (configuracin y parmetros)

    Condiciones iniciales (estado del sistema para t 0) Caractersticas de la perturbacin (forma, magnitud y lugar)

    Vamos a estudiar, mediante un ejemplo basado en un sencillo circuito electr-

    nico, una respuesta temporal, descomponindola segn diversos criterios.

  • 556 Apndice 3

    La figura A-3.1(a) muestra este circuito. La fuente genera una tensin consisten-te en una rampa de pendiente A, esto es

    y recordando que u(t) hace nulos todos los valores para t 0, tenemos:

    Fig. A-3.1 Circuitos electrnicos con fuente

    Es preciso recordar que una fuente de tensin ideal tiene una impedancia interna nula, lo que equivale a decir que para t 0 la fuente se presenta como un cortocir-cuito. La nica constancia que nos queda del pasado del circuito son las condicio-nes iniciales, las cuales ser preciso conocer (estado en el tiempo t 0, justo en el momento en que aparece la tensin v(t) en la fuente). No debe pensarse que dada la apariencia del circuito, estas condiciones son nulas: el circuito poda contener otras fuentes que se han extinguido y que, por tanto, ahora nos son desconocidas, pero que han producido unas tensiones y corrientes todava no extinguidas. Puede imaginarse un condensador descargndose a travs de una resistencia, o una induccin habida en una bobina la cual sigue descargando su energa magntica, etc.

    En general, el conocimiento de las condiciones iniciales precisa una informacin de la magnitud de las variables y de sus derivadas (el orden mximo de stas depen-de del grado de la ecuacin de equilibrio).

    La figura A-3.1(b) muestra el circuito anlogo tensin-corriente, cuya fuente generara una rampa de corriente de pendiente A, de ecuacin

    v t At u t( ) ( )

    Para

    Para

    t v t

    t v t A t

    &

    '

    0 0

    0

    : ( )

    : ( )

  • Composicin de la respuesta temporal 557

    En este caso habr que recordar que una fuente de corriente ideal exhibe una impedancia interna infinita (conductancia cero), y que, por tanto, para t 0 la fuente se presenta como un circuito abierto.

    En el ejemplo que desarrollaremos en este apndice se hallar la respuesta del circuito por mediacin del clculo laplaciano, incluida la incorporacin de las condi-ciones iniciales en la solucin.

    Segn veremos, la respuesta del circuito est formada por distintos componen-tes, de acuerdo con los siguientes criterios de descomposicin:

    a) Segn la causa

    Componente de la respuesta debida a la fuente. Transitoria. Permanente.

    Componente de la respuesta debida a las condiciones iniciales.

    b) Segn el modo

    Componente transitoria de la respuesta. Debida a la fuente. Debida a las condiciones iniciales.

    Componente permanente de la respuesta.

    Ntese que la componente transitoria de la respuesta debida a la fuente est

    presente en ambos criterios.

    La ecuacin de equilibrio del circuito de la figura A-3.1(a) es

    de la que tomando laplacianas obtenemos

    en donde i0 corresponde a las condiciones iniciales del circuito; esto es, la intensidad que circulaba por el mismo en el instante t0, justamente cuando se activa la fuente

    i t A t u t( ) ( )

    v t v v L didt

    R i tL R( ) ( )

    " #V s L s I s i R I s( ) ( ) ( ) 0

  • 558 Apndice 3

    de tensin. Es preciso recordar que para la obtencin de esta ecuacin se ha tenido en cuenta que la transformada de una funcin derivada es (vase el apndice 1, Tabla de transformadas de Laplace, pg. 522, y el apartado 2.2, teorema 8, pg. 21):

    en donde

    f (t) Cualquier funcin temporal continua f '(t) Funcin derivada de f (t) F(s) Transformada de Laplace de f (t) f0 f (0+) Valor de la funcin f (t) en t 0+

    (condiciones iniciales), en nuestro caso i0 Por tanto, haremos

    Puesto que la ecuacin de la fuente es v(t)Atu(t), tenemos que

    de donde, sustituyendo en la transformada de la ecuacin de equilibrio y obviando a partir de ahora las notaciones (t ) y (s), tenemos

    de la que obtenemos

    y haciendo T L

    R (constante de tiempo), nos queda

    La solucin temporal de la ecuacin la encontramos en las tablas de transforma-das de Laplace (pgs. 521 y 522), para cada uno de los dos trminos:

    f t s F s f( ) ( ) 0

    didt

    s I s i

    ( ) 0

    V s As

    ( ) 2

    As

    L I s L i R I2 0

    I As L s R

    L iL s R

    2

    0

    ( )

    I AR s Ts

    TiTs

    2

    0

    1 1( )

  • Composicin de la respuesta temporal 559

    o bien

    que tambin puede presentarse as

    en donde se distinguen claramente las distintas componentes de la respuesta. Es obvio que los trminos afectados por la exponencial extinguible e-t / T deben ser con-siderados como pertenecientes a la componente transitoria de la respuesta. Por otra parte, el trmino que contiene a i0 ser la componente de la respuesta debida a las condiciones iniciales. Asimismo, el trmino o trminos que sean constantes, o bien una funcin no extinguible del tiempo, pertenecern a la componente permanente de la respuesta. Y, por ltimo, los trminos que contengan el factor A sern las com-ponentes de la respuesta debidas a la fuente.

    A continuacin se detallan las distintas componentes que pueden observarse. Se tendr en cuenta que algunos trminos se encuentran presentes formando parte en ms de una componente, debido a los dos criterios de descomposicin.

    a) Segn la causa

    Componente de la respuesta debida a la fuente:

    Transitoria:

    Permanente:

    Componente de la respuesta debida a las condiciones iniciales:

    " #i AR t T T it T t T e e- -0

    i AR

    t T AR

    T i t T

    ( ) 0 e-

    i AR

    t T AR

    T it T t T ( ) e e- -0

    " #i AR t T T t T e-

    i AR

    T t T e-

    i AR

    t T ( )

    i i t T 0 e-

  • 560 Apndice 3

    b) Segn el modo

    Componente transitoria de la respuesta:

    Debida a la fuente:

    Debida a las condiciones iniciales:

    Componente permanente de la respuesta:

    Por lo general, a la componente transitoria de la respuesta se la llama sencilla-mente respuesta transitoria, y a la componente permanente de la respuesta se la denomina respuesta permanente. La suma o composicin de ambas es la denomi-nada respuesta total o respuesta completa.

    La figura A-3.2, en las pginas siguientes (a doble pgina), muestra grficamen-te cada una de las componentes de la respuesta, desglosadas y agrupadas de acuerdo con los criterios y el anlisis que acabamos de efectuar.

    Ntese que los seis grficos se encuentran representados a la misma escala y con

    el apropiado rigor matemtico y geomtrico en su trazado, lo que facilita su anlisis y comprensin.

    i AR

    T i t T

    0

    e-

    i AR

    T t T e-

    i i t T 0 e-

    i AR

    t T ( )

  • Composicin de la respuesta temporal 561

    Observaciones: 1. Los criterios de descomposicin y su nomenclatura, aqu presentados, no son

    nicos. Existen, por tanto, otras formas posibles de llevarlo a cabo. 2. Para la resolucin del circuito mostrado en la figura A-3.1(b), en la pgina 556,

    se seguira el mismo procedimiento, sin ms que tener en cuenta las reglas de la dualidad tensin-corriente (pg. 45 y sigtes.), esto es, en este caso:

    v(t) i(t) L C i0 v0 T L/R T RC R 1/R Ri v/R L di/dt C dv/dt

    por lo que obtendramos la ecuacin de equilibrio

    con v0 como condiciones iniciales (tensin en bornas de los componentes en el instante t0).

    3. Se habr podido observar que las condiciones iniciales se incorporan a la solu-

    cin temporal debido a que, en general (vase en el captulo 2, apartado 2.2.1, el teorema 8, pg. 21), la transformada de una funcin derivada de orden n es

    ( ) -1 -2 -3 (2)

    ( -2) ( -1)

    ( ) ( ) (0) (0) (0) ...

    ... (0) (0)

    n n n n n

    n n

    f t s F s s f s f ' s f

    s f f

    y, asimismo, la transformada de una funcin integral (teorema 9, pg. 22 y tam-bin en la Tabla de transformadas, pg. 522) incorpora el valor de la constante de integracin en t 0, esto es, en este caso:

    i t i i C dvdt R

    v tC R( ) ( ) 1

    (-1)

    0

    ( ) (0) ( )

    t F s ff t dt ss

    Circuito serie L-R Circuito paralelo R-C

  • 562 Apndice 3

    Fig. A-3.2

  • Composicin de la respuesta temporal 563

    Descomposicin de la respuesta temporal

  • 564 Apndice 3

    Anotaciones:

  • Regla de Mason 565

    Apndice 4

    Regla de Mason para el clculo de la transmitancia

    entre dos puntos de un sistema

    La regla de Mason permite determinar la transmitancia entre cualquier seal de entrada y cualquier seal de salida o entre dos puntos cualesquiera de un sistema, por complejo que ste sea, si se conoce su diagrama de bloques. El sistema puede conte-ner mltiples entradas y salidas, lazos anidados y conexiones interactivas.

    Antes de exponer el mtodo, deberemos definir algunos trminos y conceptos bsicos, aplicables a cualquier diagrama de bloques.

    Lnea o Nodo

    Es un segmento o trazo del diagrama de bloques, representativo de una seal o variable del sistema. Contiene una flecha que indica la direccin de circulacin del flujo de seales. Toda lnea conecta entre s alguno de los siguientes pares de elementos:

    a) [Bloque][Bloque]. La seal de salida de un bloque pasa a ser la seal

    de entrada del siguiente. b) [Sumador][Bloque]. La salida de un sumador es introducida como

    seal de entrada de un bloque. c) [Bloque][Sumador]. La seal de salida de un bloque pasa a formar

    parte de una de las entradas de un sumador. d) [Sumador][Sumador]. La seal de salida de un sumador se introduce

    en otro sumador.

  • 566 Apndice 4

    e) [Seal de entrada al sistema][Bloque o sumador]. Toda seal de entrada al sistema es introducida en un bloque o en un sumador.

    f ) [Bloque o sumador][Seal de salida del sistema]. Toda seal de salida de un sistema procede de un bloque o de un sumador.

    Todo bloque tendr una nica lnea de entrada y una nica de salida. Un

    sumador puede contener ms de dos entradas; no obstante, se recomienda representarlo con una sola salida. En todo caso, cualquier lnea podr ser ramificada en la direccin del flujo, si fuera necesario.

    Trayecto

    Es el camino o recorrido directo y sin prdida de continuidad entre dos lneas del diagrama, transitando a travs de los distintos bloques, sumadores y otras lneas de interconexin. El recorrido debe seguir, en todo momento, el sentido de las flechas y no debe pasar ms de una vez por una misma lnea (ni, por tanto, por un mismo bloque o sumador). Entre dos lneas cua-lesquiera pueden existir uno o ms trayectos o puede no existir ninguno.

    Lazo

    Es un trayecto que se cierra sobre s mismo; es decir, aquel recorrido que partiendo de una lnea y atendiendo las reglas de todo trayecto regresa a la misma lnea.

    Lazos adjuntos

    Son lazos adjuntos aquellos que contienen alguna lnea comn, es decir, que comparten algn tramo del diagrama.

    Lazos no adjuntos

    Son lazos no adjuntos o disjuntos aquellos que no poseen ninguna lnea comn, es decir, que no se tocan.

    Ganancia de trayecto

    Es el producto de las transmitancias de los bloques que contiene un trayec-to. El paso por una entrada sustractiva de un sumador cambia el signo del producto (equivale a un bloque de ganancia -1).

    Ganancia de lazo

    Es el producto de las transmitancias de los bloques que contiene un lazo. El paso por una entrada sustractiva de un sumador cambia el signo del pro-ducto (equivale a un bloque de ganancia -1).

  • Regla de Mason 567

    La regla de Mason permite determinar la transmitancia entre dos lneas cuales-quiera (variables) de un sistema (diagrama), aplicando la siguiente ecuacin:

    donde:

    Ti Ganancia del i-simo trayecto de los n posibles entre las dos lneas. . Determinante del diagrama 1 - [suma de todas las ganancias de lazos distintos posibles]

    [suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos no adjuntos] -

    - [suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos no adjuntos]

    4

    siendo

    ,

    , ,

    Suma de todas las ganancias de lazos distintos posibles.

    Suma de los productos de las ganancias de todas lascombinaciones posibles de no adjuntos.

    Suma de los produc

    aa

    b cb c

    d e fd e f

    L

    L Ldos lazos

    L L L

    B

    B

    B tos de las ganancias de todas lascombinaciones posibles de no adjuntos.tres lazos

    . i Cofactor de Ti : Es el determinante del resto del diagrama que queda cuando se suprime el trayecto que produce Ti ; esto es, el determinante que se obtendra, en estas condiciones, aplicando la ecuacin dada ms arriba para el determi-nante general .. Por tanto, . i podr obtenerse de ., eliminando aquellos trminos o productos que contengan algn lazo adjunto al trayecto de Ti .

    Cuando el trayecto toca a todos los lazos del diagrama, o cuando ste no contiene ningn lazo, . i es igual a la unidad.

    En la prctica, la aplicacin de la regla de Mason es mucho ms sencilla de lo

    que induce a pensar la aparente complejidad de su descripcin. Ello podr compro-barse a continuacin con unos ejemplos.

    , , ,

    1 ...a b c d e fa b c d e f

    L L L L L L B B B

    1

    1n

    i ii

    G T ..

    B

  • 568 Apndice 4

    Ejemplo 1

    La figura A-4.1 muestra el diagrama de bloques de un sistema de lazos mlti-ples, el cual contiene un anidamiento y una interaccin. Se va a determinar la trans-mitancia entre la entrada y la salida:

    Fig. A-4.1 Diagrama de bloques de un sistema de lazos mltiples

    Este sistema posee un solo trayecto entre la entrada y la salida. La ganancia de este trayecto es

    Su cofactor .1 vale la unidad, puesto que al suprimir el trayecto no queda nin-gn lazo, esto es,

    Se observan tres lazos distintos posibles, cuyas ganancias son

    G YX

    T G G G G1 1 2 3 4

    .1 1

    L G G G G H

    L G G H

    L G G H

    1 1 2 3 4 1

    2 2 3 2

    3 3 4 3

  • Regla de Mason 569

    en donde deben notarse los signos negativos como consecuencia del paso de las seales de salida de los bloques H1 y H3 por entradas sustractivas en los respectivos sumadores.

    Todos los lazos tienen un tramo en comn; es decir, que no existen lazos dis-juntos, por lo que tampoco hay ninguna combinacin posible de dos o ms lazos no adjuntos. Por lo tanto, el determinante general . valdr

    de donde, la transmitancia buscada resulta ser

    Ejemplo 2

    Este ejemplo lo extraemos de la figura 4.39 del captulo 4 (pg. 124), en donde se representaba el diagrama de bloques de un tanque encamisado, el cual volvemos a reproducir en la figura A-4.2(a), con su nomenclatura simplificada.

    En la figura A-4.2(b) se ha redibujado el diagrama para su mejor comprensin, considerando solamente las dos variables que nos van a interesar, X1 e Y2.

    Deduciremos la transmitancia entre la entrada X1 y la salida Y2, esto es,

    Este sistema posee un nico trayecto entre la entrada y la salida. La ganancia de

    este trayecto es

    Su cofactor .1 vale la unidad, puesto que al suprimir el trayecto no queda nin-gn lazo (el trayecto toca a todos los lazos), esto es,

    Se observan cuatro lazos distintos posibles, cuyas ganancias son

    G YX12

    2

    1

    T G G G G1 1 2 3 4

    .1 1

    1 2 3 41 1

    1 2 3 2 3 4 31 2 3 41

    G G G GTYGX H G G H G G HG G G G

    ..

    1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 2 3 4 31 ( ) 1L L L G G G G H G G H G G H.

  • 570 Apndice 4

    L G G

    L G G

    L G G

    L G H

    1 1 2

    2 2 3

    3 3 4

    4 4 1

    Fig. A-4.2 Diagrama de bloques de un tanque encamisado segn la figura 4.39

    Existen tres combinaciones posibles de dos lazos no adjuntos:

    cuyo producto de las respectivas ganancias ser

    L L L L L L1 3 1 4 2 4, ; , ; ,

  • Regla de Mason 571

    No existe ninguna combinacin posible de tres lazos no adjuntos. Por tanto, el

    determinante del diagrama ser

    en la que sera sencillo sustituir los correspondientes valores. Finalmente, la transmi-tancia buscada es

    Ejemplo 3

    Y, por ltimo, expondremos un ejemplo de sumo inters didctico, al contener tres trayectos entre la entrada y la salida, con cofactores distintos de la unidad. Sea la figura A-4.3, en la que se muestra un diagrama de bloques, relativamente complejo, del que hay que hallar la transmitancia GY/ X.

    Fig. A-4.3 Diagrama de bloques de un sistema complejo de lazos mltiples

    L L G G G G

    L L G G G H

    L L G G G H

    1 3 1 2 3 4

    1 4 1 2 4 1

    2 4 2 3 4 1

    1 2 3 4 1 3 1 4 2 41 ( ) ( )L L L L L L L L L L.

    2 1 1 1 2 3 412

    1 1 2 3 4 1 3 1 4 2 41 ( ) ( )

    Y T G G G GG

    X L L L L L L L L L L..

  • 572 Apndice 4

    Para el estudio de este ejemplo es recomendable disponer de una o varias copias del diagrama de bloques de la figura A-4.3, con el fin de marcar con diferentes colores los distintos trayectos y lazos del mismo.

    Este sistema, segn se ha dicho, posee tres trayectos entre la entrada y la salida. Las respectivas ganancias son

    Al suprimir el trayecto que produce T1 queda el lazo formado por los bloques

    G4 H2, y lo mismo sucede con el trayecto T2, por lo que sus cofactores sern

    Al suprimir el trayecto que produce T3 no queda ningn lazo (el trayecto toca a todos los lazos), por lo que su cofactor ser, por definicin

    Se observan cuatro lazos distintos posibles, cuyas ganancias son

    Existen dos combinaciones posibles de dos lazos no adjuntos:

    cuyo producto de las respectivas ganancias ser

    .3 1

    L L L L1 4 2 4, ; ,

    1 2 4 2 4 21 ( ) 1G H G H. .

    1 1 2 1

    2 3 2 1

    3 3 4 1

    4 4 2

    L G G H

    L G G H

    L G G H

    L G H

    1 1 2

    2 3 2

    3 3 4

    T G G

    T G G

    T G G

    1 4 1 2 4 1 2

    2 4 2 3 4 1 2

    L L G G G H H

    L L G G G H H

  • Regla de Mason 573

    No existe ninguna combinacin posible de tres lazos no adjuntos. Por tanto, el determinante del diagrama ser

    Finalmente, la transmitancia buscada se obtendra sustituyendo los valores que se acaban de calcular, en la siguiente expresin

    Nota

    Es evidente que este mtodo no ofrecer dificultad alguna para hallar la trans-mitancia entre una entrada cualquiera del sistema, tal como una perturbacin, y una salida cualquiera.

    Cuando sea preciso considerar como variable de salida una variable intermedia cualquiera del diagrama de bloques, bastar con efectuar una derivacin de salida pinchando (conexin por soldador) en la lnea que represente a dicha variable.

    La figura A-4.2 es un ejemplo en el que se tienen dos entradas y dos salidas, y en donde se ha redibujado el diagrama de bloques para que el trayecto entre las seales de inters (la entrada X1 y la salida Y2) se muestre como un tramo recto, directo y sin quiebros, entre las dos variables. En la versin redibujada se ha supri-mido tanto la entrada X2 como la salida Y1, las cuales no intervienen en el problema. Dicha entrada puede ser suprimida porque en el anlisis se asume que el valor de la variable que representa es nulo; es decir, que no presenta variaciones en torno al punto de operacin normal o reposo. No obstante, puede observarse la insercin, en el diagrama, de un bloque adicional con ganancia -1, el cual suple el efecto de la entrada sustractiva del sumador suprimido, )-2, por el que circula la seal Y2 en el diagrama original antes de entrar en el bloque H1. Se habra logrado el mismo efecto cambiando el signo con el que la seal de salida de dicho bloque se introduce en el ltimo sumador del diagrama redibujado o tambin cambiando el signo de la trans-mitancia de H1.

    Es preciso advertir que no es imprescindible, ni apenas recomendable, redibujar el diagrama, segn se ha hecho en la figura A-4.2(b), lo cual puede entraar ciertas dificultades, adems del riesgo de cometer algn error de conexionado. Cuando se

    trabaje con diagramas complejos, ser preferible proveerse de una o varias copias del mismo, con el fin de marcar con diferentes colores los distintos trayectos y lazos que se observen.

    1 1 2 2 3 3T T TG. . .

    .

    1 2 3 4 1 4 2 41 ( ) ( )L L L L L L L L.

  • Bibliografa 575

    Apndice 5 Bibliografa

    AHO, A.V.; HOPCROFT, J.E.; ULLMAN, J.D. Estructuras de datos y algoritmos. Mxico, Addison-Wesley Iberoamericana, 1988. ALONSO, F.; MORALES, A. Tcnicas de programacin. Paraninfo, Madrid, 1988.

    BRENNER, E.; JAVID, M. Anlisis de Circuitos Elctricos. Ediciones del Castillo, Madrid, 1971. COHEN. Anlisis numrico. Barcelona, Revert, 1977. COLLADO, M.; MORALES, R.; MORENO, J.J. Estructuras de datos. Madrid, Daz de Santos, 1987. D'AZZO, J.J.; HOUPIS, C.H. Sistemas lineales de control. Madrid, Paraninfo, 1977. D'AZZO, J.J.; HOUPIS, C.H. Sistemas realimentados de control. Madrid, Paraninfo, 1970.

  • 576 Apndice 5

    DEMIDOVICH, B.P.; MARON. I.A. Clculo numrico fundamental. Madrid, Paraninfo, 1977. DEMIDOVICH, B.P.; MARON, I.A.; SCHUWALOWA, E.S. Mtodos numricos de anlisis. Madrid, Paraninfo, 1980. DISTEFANO, III, J.J.; STUBBERUD, A.R.; WILLIAMS, I.J. Retroalimentacin y sistemas de control. Mxico, McGraw-Hill, 1972. GERALD, CURTIS F. Anlisis numrico. Mxico, Representaciones y Servicios de Ingeniera, S.A., 1987. HARRIOT, P. Process Control. Nueva York, McGraw-Hill Book Company, 1964. LUYBEN, W.L. Process modeling, simulation and control for chemical engineers. USA, Chemical Engineering Series, McGraw-Hill Company, 1973. MERRITT, F.S. Matemticas aplicadas a la Ingeniera. Barcelona, Labor, 1976. OGATA, K. Ingeniera de Control moderna. Mxico, Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., 1988. RAS, E. Mtodos en Teora de circuitos. Barcelona, Marcombo, 1971. SHINSKEY, F.G. Process-Control Systems. Nueva York, McGraw-Hill Book Company, 1979. STEPHANOPOULOS, G. Chemical Process Control. Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall Inc., 1984.

  • Bibliografa 577

    THALER, G.J. Elementos en la Teora de servosistemas. Barcelona, Labor, 1970. TYNER, M.; MAY, F.P. Process Engineering Control. Nueva York, The Ronald Press Company, 1968.

  • Gua de manejo del programa 579

    Anexo 1

    Gua de manejo del programa

    1 Requisitos para uso del programa ControlP 1.1 Se requiere

    Un ordenador PC o compatible, con los siguientes mnimos: Sistema operativo: Windows 2000/XP/Vista /7/8 /8.1 o superior. Se ir actualizando a las futuras versiones de Windows.

    Memoria RAM: cantidad irrelevante. Tarjeta grfica/monitor: resolucin 1024x768 pxels o mayor. Disco duro: espacio disponible no significativo (unos 3 MB). El programa es portable. Puede ser instalado en cualquier dispositivo de

    almacenamiento extrable, tal como una memoria lpiz USB o un disco duro porttil (basta con unos 3 MB de capacidad disponible).

    Impresora a color: recomendable (para impresin de grficos en color).

    1.2 Notas sobre resolucin de pantalla

    El programa se ajusta automticamente a la resolucin vigente en el mo-mento de su ejecucin. Ocupa toda la pantalla salvo la barra de tareas de

    Windows. No obstante, en los mens se dispone de una opcin que permite

    ocultar la barra de tareas, as como la barra de ttulo del propio programa, con

    el fin de disponer de un espacio extra para los grficos.

  • 580 Anexo 1

    2 Instalacin del programa

    2.1 Obtencin del fichero para la instalacin

    El fichero de instalacin puede descargarse gratuitamente, va Internet, desde:

    http://www.alfredoroca.com

    Se dispone de dos opciones: Instalacin manual o instalacin automtica.

    2.2 Modos de instalacin

    2.2.1 Instalacin manual 1.- Descargar el archivo "FicherosControlP.zip" en cualquier carpeta, p. ej.: C:\Archivos de programa\ControlP

    (El tamao de este fichero es de 740 KB, aproximadamente).

    2.- Desempaquetarlo con doble clic y ya puede ejecutarse el programa (Fichero ejecutable: ControlP.exe). Tambin puede instalarse en un pendrive (memoria lpiz USB) o en un disco externo. Es portable.

    2.2.2 Instalacin automtica 1.- Descargar el archivo "InstalaControlP.exe" en cualquier carpeta, p. ej.: C:\Archivos de programa\ControlP

    (El tamao de este fichero es de 785 KB, aproximadamente).

    2.- Ejecutarlo con doble clic y seguir las instrucciones.

    Nota importante Vanse siempre las recomendaciones que hubiese con relacin a la versin de

    Windows en la zona de descarga de la pgina Web.

    2.3 Uso del programa

    Este programa es de libre difusin para usos no comerciales. No obstante, el autor se reserva los derechos de propiedad intelectual (copyright) que le perte-necen. En los ficheros Licencia.txt y Leame.txt (ubicados en la carpeta de insta-lacin) se expresan las condiciones, limitaciones y precauciones que debern ser tenidas en cuenta para uso del programa.

    La aplicacin prctica, en un proceso o sistema real, de las conclusiones obteni-das ensayando su simulacin con el programa ControlP, deber efectuarse con mucha prudencia y ser importante e inexcusable la lectura previa del apartado PRECAUCIN, localizado en ambos ficheros de texto y al final de esta Gua.

  • Gua de manejo del programa 581

    3 Arranque del programa Si se ha efectuado la instalacin en su opcin automtica, acceder al men de

    Inicio > Programas (o Todos los programas), localizar la lnea conteniendo el nombre o la carpeta ControlP y proseguir con el modo habitual de operar con Windows. Si la instalacin se ha efectuado con la opcin manual, acceder a la carpeta de instalacin del programa, localizar el fichero ControlP.exe y ejecutarlo con doble clic.

    En breves instantes se mostrar en pantalla el

    MEN GENERAL DE OPCIONES

    a partir del cual se podr entrar en las distintas opciones que ofrece el programa.

    Conviene recordar que para disponer de un icono de acceso directo en el Escritorio de Windows, basta con arrastrar el icono de la lnea de acceso del men Inicio > Programas y soltarlo sobre una zona vaca del Escritorio, mientras se mantiene pulsada la tecla (para evitar mover). O tambin puede hacerse: Botn derecho > Enviar a > Escritorio (crear acceso directo).

    Para conseguir la mxima eficiencia y comodidad en el manejo del programa, se permite la navegacin entre las opciones del men situado en la parte inferior de la pantalla. Esto se lleva a cabo de manera muy simple utilizando el teclado, de acuerdo con las breves indicaciones que aparecen normalmente en la citada zona, acordes con el contexto del momento. En dicho men se contemplan las opciones ms usuales del programa.

    Obviamente, en todo momento puede operarse a la manera convencional de Windows, mediante el ratn, utilizando los tpicos mens desplegables de la parte superior de la pantalla (barra de mens). Algunas de las opciones del programa, las menos usuales, slo estn disponibles desde este men.

    A continuacin se describen de manera resumida las principales caractersticas de manejo y operacin del programa.

    Para obtener el mximo rendimiento del mismo, puede seguirse, a modo de curso o de consulta, el libro Control automtico de procesos industriales y en especial las prcticas que en l se desarrollan (vase el Contenido del libro o el men Informacin del propio programa).

    No obstante, el programa ControlP permite analizar, ejecutar y resolver muchos de los ejemplos, ejercicios y problemas que se plantean en numerosos libros y tratados sobre

    Teora de control automtico de procesos y sistemas controlados.

  • 582 Anexo 1

    4 Men principal de Windows

    Los mens y opciones disponibles son diferentes segn se haya entrado en una opcin de Componentes bsicos o en una de Lazos de control, segn se mues-tra en la siguiente tabla. Algunas de las opciones son comunes a ambos casos.

    Estructura de los mens Componentes bsicos Lazos de control Archivo Archivo

    Cargar configuracin propia... Cargar configuracin propia... Cargar configuracin original... Cargar configuracin original... Guardar configuracin actual... Guardar configuracin actual...

    Imprimir * * Imprimir Grfico + datos de configuracin... Grfico + datos de configuracin...

    Slo el grfico... | Slo los datos... Slo el grfico... | Slo los datos...

    Preferencias... Preferencias... Color de fondo | Separador decimal Color de fondo | Separador decimal Puntero del ratn | Sonidos Puntero del ratn | Sonidos Salvapantallas | Barra de tareas Salvapantallas | Barra de tareas

    Salir (Alt+F4) Salir (Alt+F4) Men general Men general

    Men general de opciones (Esc)... Men general de opciones (Esc)... Componentes bsicos Lazos de control

    Retardo de primer orden Control de un lazo cerrado simple Retardo de segundo orden Control en cascada Tiempo muerto Control en adelanto (feedforward) Adelanto-retardo Anticipativo Controlador P+D Controlador P+I Controlador P+I+D Frecuencial Frecuencial

    Diagrama Real Diagrama Real Diagrama de Bode Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist Diagrama de Nyquist Diagrama de Black Diagrama de Black Todos los diagramas Todos los diagramas Marcas de frecuencia... Marcas de frecuencia...

    Frecuencia crtica (resonancia)... Frecuencia de cruce de ganancia... Frecuencia de pico de resonancia...

    Lmites de las escalas de frecuencia... Lmites de las escalas de frecuencia...

    Modo de Respuesta frecuencial En lazo abierto

    Borrar al cambiar de componente En lazo cerrado

  • Gua de manejo del programa 583

    Temporal Temporal Respuesta al impulso Respuesta al escaln condiciones iniciales Respuesta al escaln Respuesta a las rampas programadas Respuesta a la rampa Cambiar parmetros del componente... Cambiar parmetros de los componentes... Constantes de la Respuesta temporal... Cambiar duracin de la Respuesta... Cambiar duracin de la Respuesta... Programacin de las rampas... Cambiar frecuencia de muestreo (F.M.)...

    Borrar al cambiar tipo de Respuesta Modo presentacin de la Resp. temporal Borrar al cambiar de Componente Todas las variables | Medida y salida controlador

    Medida y variable controlada Medida | Variable controlada

    Ver progresar ejecucin de los grficos Ejecucin avanza paso a paso Muestra valores finales de las variables

    Cambios Cambios Parmetros del componente... Parmetros de los componentes... Lmites de las escalas de frecuencia... Lmites de las escalas de frecuencia... Duracin de la Respuesta temporal... Duracin de la Respuesta temporal... Constantes de la Respuesta temporal... Programacin de las rampas... Modo del lazo en Respuesta frecuencial

    En lazo abierto | En lazo cerrado Modo presentacin de la Resp. temporal (Vase el men Temporal) Frecuencia de muestreo (F.M.)...

    Color de fondo... Color de fondo...

    Misceln. (Comn)

    Borrar pantalla (Borrar los grficos presentes en pantalla) Vista anterior (Alternar la vista con el grfico anterior) Ver Diagrama de bloques (Deshabilitado para Componentes bsicos) Ver parmetros de los bloques activos (Deshabilitado para Componentes bsicos) Hacer nulos (neutros) los bloques... (Deshabilitado para Componentes bsicos) Activar navegacin por teclado Calculadora ABACUS Calculadora de Windows Mostrar/Ocultar barra de tareas *Por defecto | Ocultar Comportamiento del puntero del ratn *Normal | Inteligente Definir separador decimal *Coma ( , ) | Punto ( . ) Habilitar/Silenciar sonidos de aviso *Habilitar | Silenciar Permitir/Desactivar salvapantallas *Permitir | Desactivar

    Otras opciones... (Otras opciones de acceso por teclado) Preferencias... (Vase esta misma opcin en el men Archivo) Informacin (Comn)

    Informacin... | Comprobar actualizacin Actualizacin gratuita... | Acerca de ControlP...

  • 584 Anexo 1

    5 Descripcin de las principales opciones 5.1 Anlisis de los componentes bsicos

    Permitir el estudio y anlisis de los componentes bsicos o elementos funda-mentales, constituyentes de un sistema controlado. Analizados como elementos aislados nos proporcionan las funciones bsicas en las que un sistema puede desglosarse.

    Se contemplan los siguientes componentes bsicos:

    Retardo de primer orden

    Retardo de segundo orden

    Tiempo muerto

    Adelanto-retardo

    Anticipativo

    Controlador P+D

    Controlador P+I

    Controlador P+I+D

    5.2 Simulacin de lazos de control

    Se podrn simular y analizar los tres tipos principales de lazos o sistemas de control en lazo cerrado:

    Control de un lazo cerrado simple

    Control en cascada

    Control en adelanto (feedforward)

    5.3 Mens de opciones

    Una vez se ha seleccionado del MEN GENERAL cualquiera de las opciones disponibles y se ha aceptado el Diagrama de bloques en el caso de Lazos de control, se manejarn bsicamente cuatro mens, ya sean convencionales de Windows o por mediacin del teclado (otros mens sern vistos ms adelante):

    Frecuencial

    Temporal Cambios Misceln. (Miscelneos)

    A continuacin se describen las principales caractersticas de estas opciones.

  • Gua de manejo del programa 585

    5.3.1 Men Frecuencial

    Permite efectuar el anlisis frecuencial del componente seleccionado.

    La frecuencia viene siempre representada en escala logartmica, expresada en trminos de pulsacin ( 2 f ), y tiene como unidad el radin por minuto (rad/mn). Por defecto se anota precisamente el valor de su logaritmo decimal (log ); as, por ejemplo, la cifra 0 significa 1 rad/mn, 1 para 10 rad/mn, 1 para 0,1 rad/mn, 2 para 100 rad/mn, etc. Los lmites de las escalas de frecuencia pueden ajustarse entre los valores de 4 a +3, lo que equivale a 0,0001 y 1.000 rad/mn, respectivamente, esto es, de 0,265 Hz a 2,65 Hz. Ntese que el primer valor significa un periodo de 43,6 das, es decir, una frecuencia notablemente baja.

    La ganancia se representar en escalas lineales o logartmicas, segn el tipo de grfico, y

    podr ser ajustada entre una amplitud mnima de 4 a +4 dB a una amplitud mxima de 60 a +60 dB, en las escalas logartmicas, o entre un mnimo de mdulo 0 a 1 y un mximo de 0 a 1.000, en las escalas lineales.

    El ngulo de fase vendr representado siempre en escala lineal y en grados sexagesimales,

    pudiendo elegirse los mrgenes de 90, a +90,, 180, a +180, o 360, a +360,. Se presentan las siguientes opciones (Men teclado Men Windows):

    Real Diagrama Real

    Muestra la respuesta frecuencial del componente, en una escala lineal para la amplitud o mdulo de la ganancia, y logartmica para la frecuencia. Muestra tambin, en lnea de puntos, el ngulo de fase, en una escala lineal para el ngulo.

    Bode Diagrama de Bode

    Traza la respuesta frecuencial en coordenadas logartmicas, tanto para la ganancia (dB), como para la frecuencia. Tambin muestra el ngulo de fase en lnea de puntos, en una escala lineal para el ngulo.

    Nyquist Diagrama de Nyquist

    Representacin de la respuesta frecuencial en coordenadas polares. La punta de una pequea flecha dibujada sobre la curva, muestra la posicin

    correspondiente a la frecuencia 1. Unas marcas formadas por pequeos crculos indican las posiciones de las frecuencias potencias de 10. La flecha seala el sentido del orden creciente de frecuencias.

    Black Diagrama de Black

    La respuesta frecuencial queda representada en un grfico cartesiano en que las abscisas muestran el ngulo de fase, y las ordenadas la ganancia en dB. Asimismo, se muestran una flecha y unas marcas, segn se han descrito para el diagrama de Nyquist en el punto anterior.

  • 586 Anexo 1

    Todos Todos los diagramas Se presentan simultneamente en pantalla los cuatro grficos que se han citado, en una disposicin de escalas coherentemente alineadas.

    Marcas Marcas de frecuencia Una vez obtenido un grfico de respuesta frecuencial, esta opcin efec-tuar una marca parpadeante sobre la curva de respuesta, correspondiente a la frecuencia (pulsacin) que sea introducida desde teclado. Al fondo de la pantalla, se muestran numricamente, en formato ptimo para cada variable, los valores resultantes del mdulo, la ganancia en dB y el ngulo de fase en radianes y grados, as como el valor de la propia frecuencia y del periodo equivalente. Cualquiera de dichos valores puede ser copiado al portapapeles de Windows, mediante el botn vertical [COP].

    La marca podr suprimirse pulsando las teclas o o bien fijarla en el grfico pulsando (o tambin mediante botones).

    Cuando la posicin de la marca se localice fuera de los lmites del marco de pantalla establecido para el grfico, el programa dar el oportuno aviso; pero, no obstante, se mostrarn igualmente los valores numricos resultantes.

    Crtica Frecuencia crtica (resonancia) Esta opcin slo aplica a Lazos de control en lazo abierto. Permite hallar, de manera rpida y cmoda, el valor de la frecuencia crtica o de resonan-cia, indicando las magnitudes del mdulo, la ganancia y el ngulo. Vase lo dicho en el apartado Marcas.

    La frecuencia crtica o de resonancia es aquella en la que se tiene un ngulo de fase de 180,*"% rad).

    Cruce Frecuencia de cruce de ganancia Esta opcin slo aplica a Lazos de control en lazo abierto. Permite hallar, de manera rpida y cmoda, el valor de la frecuencia de cruce de ganan-cia, indicando las magnitudes del mdulo, la ganancia y el ngulo. Vase lo dicho ms atrs en el apartado Marcas.

    La frecuencia de cruce de ganancia es aquella en la que el mdulo vale la unidad (ganancia 0 dB).

    Pico Frecuencia de pico de resonancia Esta opcin slo aplica a Lazos de control en lazo cerrado. Permite hallar, de manera rpida y cmoda, el valor de la frecuencia de pico de resonan-cia (si lo hay), indicando las magnitudes del mdulo, la ganancia y el ngulo correspondientes a la frecuencia del pico. Vase lo dicho ms atrs en el apartado Marcas.

  • Gua de manejo del programa 587

    Para la obtencin de estas frecuencias conviene introducir un valor tentativo o apro-ximado o de la frecuencia (normalmente sirve cualquier valor), en torno al cual el programa iniciar la bsqueda de una solucin. Una vez encontrada, se efectuar una marca sobre el grfico y se mostrarn los correspondientes valores, como si de la opcin Marcas se tratara.

    Tngase presente que determinados sistemas tienen mltiples soluciones para cualquie-ra de dichas frecuencias de cruce o de pico de resonancia. En estos casos la solucin encontrada depender del valor tentativo que se haya introducido para iniciar la bs-queda (normalmente se encontrar la solucin ms cercana al valor tentativo).

    Existe la posibilidad de que el programa presente un mensaje indicando que no se ha podido hallar ninguna solucin. Ello puede ser debido a que realmente no existe solu-cin alguna. La ejecucin de las opciones Real, Bode o Todos podr servir de ayuda para determinar los valores aproximados de prueba. El diagrama de Nyquist muestra de manera inequvoca la existencia o no de alguna solucin (cruce de la curva con el eje real o con el crculo de mdulo 1). La bsqueda de la solucin se efecta, en ltimo extremo, exhaustivamente dentro de los mrgenes de frecuencias de 10-5 a 104 rad /mn., independientemente de los lmites de frecuencia con los que se est operando.

    5.3.2 Men Temporal

    a) Para Componentes bsicos

    Ejecuta la respuesta temporal frente a tres posibles formas o funciones de excitacin, cuya magnitud podr ser especificada, y son:

    Impulso Escaln Rampa

    La respuesta es representada en un grfico del tipo papel rayado continuo, teniendo

    como abscisas la escala de tiempos y como ordenadas la magnitud de la variable en %.

    El tiempo o duracin de la simulacin, en trminos del proceso, puede seleccionarse entre 0,1 y 60 minutos y, dependiendo de este valor, se mostrarn lneas divisorias del tiempo de distinto intervalo de separacin. En todos los casos el tiempo vendr expre-

    sado en minutos (en realidad sera con la unidad de tiempo asignada a los parmetros).

    La escala de los valores de las variables es lineal y opera entre los mrgenes del 0% al 100%, con divisiones cada 10%. La grfica de respuesta podr rebasar aproximada-mente en un 1,5% los lmites de los mrgenes citados; es decir, que el margen real de representacin de las respuestas estar comprendido entre 1,5 y 101,5%. Aquellos valores que salgan de estos mrgenes no sern representados grficamente.

    b) Para Lazos de control

    Ejecuta la respuesta temporal del lazo frente a dos posibles formas o fun-ciones de excitacin, segn se describen ms adelante.

  • 588 Anexo 1

    La respuesta es representada en un grfico del tipo papel rayado continuo, y tiene

    como abscisas la escala de tiempos y como ordenadas la magnitud de las variables.

    El tiempo o duracin de la simulacin, en trminos del proceso, puede seleccionarse entre 1 y 120 minutos y, en funcin de este valor, se mostrarn lneas divisorias del tiempo con distinto intervalo de separacin. En todos los casos, el tiempo vendr expre-

    sado en minutos (en realidad sera con la unidad de tiempo asignada a los parmetros).

    La escala de los valores de las variables es lineal y opera entre los mrgenes del 0% al 100%, con divisiones cada 10%. La grfica de respuesta podr rebasar aproximada-mente en un 1,5% los lmites de los mrgenes citados; es decir, que el margen real de representacin de las respuestas estar comprendido entre 1,5 y 101,5%. Aquellos valores que salgan de estos mrgenes no sern representados grficamente.

    Las dos posibles formas de excitacin son:

    Escaln condiciones iniciales

    Se mostrar la respuesta temporal del sistema controlado al ser some-tido a un salto en escaln, en el tiempo cero, definido por los valores asignados a los parmetros Consigna C y Consigna anterior Ca, co-rrespondientes al punto de consigna del controlador.

    Asimismo, se ejecutarn los correspondientes escalones definidos por los valores fijados en los campos Entrada actual (carga) U y Entrada anterior Ua de los bloques perturbacin, y sern aplicados en los res-pectivos instantes definidos en el campo Tiempo de espera de dichos bloques.

    * Rampas programadas

    En este caso, el sistema mostrar su respuesta temporal segn se ha indicado en el punto anterior, con la excepcin de que se aplicar como seal de excitacin, en el bloque que a tal efecto se haya seleccionado, unas rampas programables en tiempo y en amplitud (ver ms adelante la opcin Rampas).

    5.3.3 Men Cambios

    Permite visualizar o efectuar cambios en los valores de los parmetros de los componentes, lmites de las escalas de frecuencia, duracin de la respuesta, escalas y constantes de trabajo, valores de los tiempos en la programacin de las rampas, etc.

    Se presentan las siguientes opciones (Men teclado Men Windows):

  • Gua de manejo del programa 589

    Parmetros Parmetros del componente o componentes

    a) En Componentes bsicos

    Esta opcin permite cambiar el valor los parmetros que definen al compo-

    nente seleccionado, por ejemplo: ganancia, tiempo integral, constante de

    tiempo, tiempo muerto, factor de amortiguacin, etc.

    b) En Lazos de control

    En el caso de lazos de control, la ejecucin de esta opcin presenta en

    pantalla el Diagrama de bloques correspondiente al lazo seleccionado. Esto permite modificar, tanto la asignacin del tipo de componente a cada

    bloque (por ejemplo: controlador P+I, P+I+D o integral; retardo de primer

    orden o de segundo orden; etc.), como del valor de los parmetros de estos

    componentes (por ejemplo: ganancia, tiempo integral, tiempo derivativo,

    constante de tiempo, factor de amortiguacin, etc.).

    Lmites Lmites de las escalas de frecuencia

    Esta opcin permitir modificar las escalas de trabajo para el anlisis fre-cuencial:

    Amplitud de las escalas de mdulo y ganancia

    Amplitud de la escala del ngulo de fase

    Lmites de frecuencia (mrgenes inicial y final) del anlisis

    Duracin Duracin de la respuesta temporal

    Cambio de la duracin de la respuesta temporal expresada en minutos.

    * Constantes Constantes de la respuesta temporal (para Comp. bsicos)

    Cambio de las constantes de trabajo para respuesta temporal:

    Valores del impulso, escaln y pendiente de la rampa Valor inicial o de base (origen de referencia) Duracin de la respuesta en minutos

    Rampas Programacin de las rampas (para Lazos de control)

    Esta opcin mostrar una ventana en la que se mostrar un croquis acotado de las Rampas programables, las cuales constituirn la seal de excitacin o entrada al bloque que sea seleccionado para tal efecto.

  • 590 Anexo 1

    Asimismo, en dicha ventana se mostrarn unos cuadros que permitirn

    efectuar las siguientes operaciones:

    Asignar el bloque que se desea someter a la accin de las rampas en el transcurso de la respuesta temporal. La seleccin del tipo de compo-nente asociado a dicho bloque, as como los niveles de seal y de los parmetros de los componentes, puede ser efectuada previa o poste-riormente a la asignacin del bloque, procediendo segn se ha indicado

    ms atrs en la opcin Parmetros, o tambin desde el correspondiente acceso [Editar] en esta misma ventana.

    Definir la distribucin de los tiempos de inicio y terminacin de cada uno de los tramos de las rampas y, por tanto, su duracin, pendiente y separacin entre ellos. Ello permitir simular, adems, las funciones pulso, impulso, escaln, rampa, triangular, diente de sierra, trapecio...

    situadas en cualquier momento a lo largo del transcurso de la respuesta.

    Se tendr acceso a la edicin del valor de la Duracin, cuyo valor podr ser modificado mediante el botn [Editar].

    Sern mostrados, asimismo, los niveles de seal de la amplitud de las rampas; esto es, los valores lmite inferior y superior de las mismas, los cuales pertenecern a los valores anterior y actual de la seal de excitacin del componente asociado al bloque seleccionado (cambio del punto de consigna para el bloque controlador o cambio de

    carga para un bloque del tipo perturbacin).

    El programa advertir cuando se seleccione un bloque cuyos lmites inferior y superior

    sean iguales, dado que ello significara la definicin de unas rampas de amplitud nula.

    Asimismo, el programa no permitir una asignacin de tiempos incoherentes y avisar

    si se fijan tiempos superiores al valor del tiempo asignado a la Duracin.

    Si el bloque seleccionado es una perturbacin, la respuesta contendr, adems, los

    efectos producidos por los cambios del punto de consigna en el controlador, es decir,

    que se superpondrn los efectos debidos a la perturbacin con los efectos debidos al cambio del punto de consigna. Estos ltimos podrn anularse haciendo C = Ca en los valores del bloque Controlador [C-1].

    Modos (para Lazos de control)

    a) Modo del lazo en la respuesta frecuencial

    Permite seleccionar entre las dos modalidades siguientes:

    En lazo abierto En esta opcin los clculos (y los correspondientes grficos) sern

    efectuados considerando el lazo de control abierto.

  • Gua de manejo del programa 591

    En lazo cerrado Los clculos (y los correspondientes grficos) sern efectuados considerando el lazo de control cerrado.

    Ser posible superponer las grficas de respuesta frecuencial, independientemente de los cambios de modo que se efecten, es decir, que los grficos no se borrarn debido a estos cambios de modo.

    El modo vigente con el que se va a ejecutar la grfica de respuesta frecuencial se indica en la pantalla en el selector de botones de la esquina superior derecha (que a su vez sirve para seleccionarla) as como en la zona del men de teclado. En la leyenda del lado contrario quedar reflejado el color de la ltima grfica efectuada.

    b) Modo de presentacin de la respuesta temporal

    Permite seleccionar entre las cinco modalidades siguientes:

    Todas las variables

    Representacin de las principales seales y variables del sistema, indicadas en el diagrama de bloques (cuatro o siete, segn el lazo seleccionado).

    Las grficas sern en lnea continua, cada una de ellas en distinto color, permitiendo as una fcil identificacin. La Consigna anterior y la Consigna actual sern en lnea de puntos. Si aplica, las lneas de las Rampas programadas, sern dibujadas en lnea de trazo discon-tinuo, igualmente en colores fcilmente identificables. (Las lneas de las Consignas se muestran con una mayor separacin entre sus puntos).

    Cada nueva grfica de respuesta borrar la anterior, a efectos de evitar confusio-nismo en la interpretacin de los resultados. Cuando se desee hacer compara-ciones deber recurrirse a la opcin Misceln. > Vista anterior (o tambin pulsando repetidamente la tecla ). Las opciones que se describen a conti-nuacin efectan siempre la superposicin de respuestas sucesivas.

    Medida y Salida Controlador

    Representacin grfica de la seal de Medida en lnea continua y de la seal de Salida del Controlador, la Consigna anterior y la actual en lnea de puntos. Si aplica, se dibujarn en lnea de trazo discon-tinuo las Rampas programadas. Todas sern del mismo color, cam-biante para cada nueva respuesta y superponible a las anteriores.

    Medida y Variable controlada

    Representacin grfica de la seal de Medida en lnea continua y de la Variable controlada en lnea de puntos. Vase lo indicado en el prrafo anterior para Consignas, Rampas programadas y colores.

  • 592 Anexo 1

    Medida

    Representacin grfica nicamente de la seal de Medida en lnea continua. Del mismo modo que en los dos casos anteriores, se repre-

    sentan la Consigna anterior, la actual y la Rampas programadas.

    Variable controlada

    Representacin grfica nicamente de la Variable controlada en lnea continua. Del mismo modo que en los tres casos anteriores, se

    representan las Consignas y las Rampas programadas.

    En las cuatro ltimas modalidades, aunque se efecte algn cambio en la asignacin de

    bloques o en los valores de los parmetros de sus componentes, cada nueva respuesta

    no borrar las anteriores; sino que simplemente se ir superponiendo a las mismas, pero cambiando cada vez de color, en un ciclo o rueda de 10 colores diferentes. Ello permite una precisa identificacin y comparacin entre las sucesivas respuestas.

    En todos los casos, una pequea leyenda, en la parte superior izquierda de la pantalla, indicar la correspondencia entre cada lnea grfica y su seal o variable asociada del sistema. En el modo de presentacin Todas las variables, el orden en que se mues-tran las letras de las variables es el orden de prioridad, en caso de producirse superposi-ciones entre las grficas. La ejecucin de la opcin Diagrama podr ser clarificadora.

    Muestreo Frecuencia de muestreo (para Lazos de control)

    Esta opcin permite elegir la frecuencia de muestreo (F.M.), esto es, las veces que durante un segundo de tiempo simulado se actualizan los valores de las variables (refresco de la totalidad de las variables del sistema). Se

    expresa en muestras/segundo. El intervalo del tiempo de muestreo ser, por tanto, (1 F.M.). Tambin es llamado periodo de muestreo o periodo de discretizacin del tiempo. En cada uno de estos periodos el sistema es totalmente recalculado, actualizndose el progreso de su representacin

    grfica en pantalla.

    La eleccin est limitada a valores fijos que van de 1 a 16, en potencias de 2. Cuanto menor sea esta frecuencia, mayor ser la rapidez en la ejecucin de las grficas, pero

    menor la precisin de los resultados, como consecuencia de una discretizacin del

    tiempo ms grosera. Por el contrario, cuanto mayor se elija la frecuencia de muestreo se

    tendr una menor rapidez, pero una mayor precisin en los clculos y, por tanto, en la

    representacin grfica. Sin embargo, normalmente la frecuencia de 1 muestra /segundo (frecuencia por defecto) es adecuada, dado que los algoritmos empleados en los clcu-

    los son altamente precisos y eficientes.

    Podr ser necesario aumentar dicha frecuencia en aquellos casos en que se hayan asig-nado valores de constantes de tiempo muy pequeas, prximas al propio intervalo de muestreo (1/ F.M.).

  • Gua de manejo del programa 593

    5.3.4 Men Misceln (Miscelneos)

    Permite efectuar operaciones miscelneas o auxiliares. Se dispone de las si-guientes opciones (Men teclado Men Windows):

    Borrar Borrar pantalla

    Para borrar de la pantalla el dibujo actual.

    El dibujo puede ser recuperado mediante la opcin Misceln Vista anterior, de acuer-do a cmo se indica en la opcin que sigue a continuacin.

    Anterior Vista anterior

    Permite ver en pantalla el dibujo anterior al presente. Ntese que pulsando repetidamente la tecla puede alternarse, en rpida sucesin, la visua-lizacin de la pantalla actual con la anterior. Resulta muy til para efectuar comparaciones entre distintas respuestas que, no obstante, no se desea (o no es posible) mezclar o superponer en un mismo grfico.

    Diagrama Ver Diagrama de bloques (para Lazos de control)

    Muestra el Diagrama de bloques del mismo modo que lo hace la opcin Parmetros (o el atajo de teclado + ), lo que permite modificar la configuracin del lazo (bloques asignados y parmetros).

    En la parte inferior del panel se muestran una serie de botones provistos de las etiquetas y las acciones que se indican a continuacin:

    [Ver todos]: Muestra una relacin de los componentes asignados a los bloques que conforman el lazo, as como los valores de sus parmetros. Ofrece, adems, la posibilidad de imprimir la configuracin del sistema (bloques asignados y el valor de sus parmetros).

    [Guardar config.]: Guarda en disco la configuracin actual del sistema.

    [Recuperar config.]: Carga una configuracin guardada en el disco.

    [Bloques nulos]: Carga una configuracin neutra, segn se describe ms adelante en la opcin Nulos.

    [Config. original]: Carga la configuracin original de fbrica.

    En las cuatro opciones de operaciones en disco que se acaban de mencionar, se entiende

    por configuracin (config.) el conjunto de los valores y caractersticas del sistema (bloques, parmetros, duracin, lmites, rampas, etc.), segn se describen y detallan al

    pulsar en las opciones equivalentes del men Archivo de la barra de mens.

  • 594 Anexo 1

    Asimismo, en la parte superior derecha del Diagrama se encuentra el botn [ Info condiciones iniciales] que al ser pulsado muestra una descripcin gen-rica de los requisitos que debe satisfacer el estado de equilibrio de las varia-

    bles en las condiciones iniciales de un sistema (cuando t 0), y se describe cmo opera el programa para ajustarlas automticamente, antes de empren-der la Respuesta temporal.

    Ver parmetros Ver parmetros de los bloques activos (Lazos de control)

    Muestra una relacin de los componentes asignados a los bloques que con-forman el lazo, as como los valores de sus parmetros.

    Equivale a la opcin [Ver todos], antes mencionada en Diagrama.

    Nulos Hacer nulos los bloques (para Lazos de control)

    Establece una configuracin neutra que hace que queden seleccionados los componentes ms sencillos de cada bloque (controlador P+D, vlvula lineal; procesos, medidores y perturbaciones del tipo ganancia, etc.), y les asigna unos valores a sus parmetros de tal manera que hace nulos (lo ms simples posible) los bloques. Importante: Despus de ejecutar esta opcin, se tiene la seguridad de que no existe ningn bloque previamente configurado (especialmente de pertur-bacin), que introduzca efectos inadvertidos en el sistema. Las siguientes variables y condiciones del entorno de trabajo se mantienen inalteradas con relacin a cmo se encontraban con anterioridad a la ejecu-cin a dicha opcin:

    Duracin de la Respuesta temporal Lmites de las escalas en Anlisis frecuencial Frecuencia de muestreo de la Respuesta temporal Modo del lazo en la Respuesta frecuencial Modo de presentacin de la Respuesta temporal

    Nota: En estas condiciones no es posible ejecutar una Respuesta temporal, debido a que todos los bloques del lazo son de tipo ganancia, por lo que es preciso efectuar las debidas asignaciones de bloques y de parmetros. En todo caso, el programa lanza la oportuna advertencia.

    5.4 Otros mens

    A continuacin se describen los mens y opciones que no se encuentran acce-sibles mediante la navegacin por men de teclado.

  • Gua de manejo del programa 595

    5.4.1 Men Archivo Este men convencional de Windows, muestra las opciones de guardar y cargar

    configuraciones del disco duro, las cuales conducen al Diagrama de bloques,

    segn se ha descrito previamente. Ofrece, adems, las siguientes opciones:

    Imprimir

    Permite imprimir las pantallas grficas, los datos de configuracin del sis-

    tema o la combinacin de ambos. Hay que destacar que si se activa el cuadro

    de dilogo Imprimir > Propiedades, que aparece al solicitar los servicios de impresin, y se configura la impresora para papel en Orientacin horizontal (hoja apaisada), los grficos son ampliados para ajustarse a la superficie

    disponible de papel, con lo que queda mejorada la resolucin de los mismos.

    En una impresora en color, los grficos son reproducidos sobre el papel con

    los mismos colores que se muestran en pantalla, tras pequeos ajustes por

    razones de contraste. El color de fondo de pantalla, cualquiera que sea, siempre es interpretado como correspondiente al color del papel (blanco), es

    decir, que no produce aportacin alguna de tinta al papel.

    Preferencias

    Permite la configuracin de preferencias del entorno de trabajo, como son:

    Color de fondo de los grficos (fondo de pantalla). Esta opcin est relacionada con la del men Cambios > Color de fondo, que permite definir con precisin el color de fondo de pantalla.

    Separador decimal. Permite establecer como separador decimal el punto,

    la coma o el smbolo que tenga Windows por defecto.

    Windows establece la utilizacin y presentacin de los nmeros con un smbolo como separador decimal (normalmente la coma o el punto), el cual se determina en: Panel de control > Configuracin regional > Personalizar/ Nmero > Smbolo decimal

    En todos los casos, al introducir un valor, es indiferente teclear la coma o el punto decimal, ya que ser convertido instantneamente al smbolo que corresponda a lo que

    se tenga establecido.

    Puntero del ratn. Puede elegirse el comportamiento normal o una va-riante inteligente en la que al abrir una ventana o cuadro de dilogo el

    puntero se posiciona sobre el botn que con mayor probabilidad va a tener que accionarse. Esta es la opcin por defecto.

  • 596 Anexo 1

    Sonidos de aviso de error. Puede optarse por silenciar los sonidos que Windows genera cuando se produce un error. Estos sonidos se determinan en: Panel de control > Dispositivos de sonido/Sonidos (o algo similar).

    Salvapantallas. Permite deshabilitar el salvapantallas. Barra de tareas. Es posible ocultar la barra de tareas (al fondo de la

    pantalla), lo que proporciona espacio adicional para los grficos y en

    consecuencia se tiene una mejora en la resolucin. La otra alternativa es

    establecer el estado por defecto de Windows (botn derecho sobre la barra de tareas > Propiedades > Ocultar automticamente la barra de tareas).

    Notas: La seleccin de preferencias que se efecte quedar memorizada de manera permanente al salir del programa. Se aplicar cada vez que se entre en el mismo, hasta que sea nuevamente modificada. Si se desea aplicar alguna de las opciones solamente durante la sesin en curso, puede recurrirse al men desplegable Misceln de la barra de mens de Windows (cabecera pantalla).

    Al salir del programa se restablecen las condiciones que se tenan antes de entrar en el mismo (estado de la barra de tareas, estado del salvapantallas, puntero del ratn, habilitacin de sonidos y separador decimal).

    5.4.2 Men Men general

    Valga la redundancia de esta cabecera porque este men conduce a desplegar el cuadro denominado MEN GENERAL DE OPCIONES, a partir del cual se puede entrar en las distintas opciones que ofrece el programa. La pulsacin de la tecla , repetidamente, conduce siempre a desplegar este cuadro, desde el que, adems, es posible salir directamente del programa (botn [Salir] o ).

    5.4.3 Mens especiales

    Entre los mens desplegables que no estn disponibles mediante la navegacin por teclado, y slo desde la barra de mens, se encuentran los siguientes:

    Cambios > Color de fondo Permite disear el color de fondo con absoluta precisin y determinar que sea el color por defecto cada vez que se entre en el programa.

    Misceln > Calculadora ABACUS Abre el calculador tcnico-cientfico Abacus que permite efectuar cualquier tipo de clculo matemtico que se precise. El calculador puede cerrarse sin

  • Gua de manejo del programa 597

    prdida de datos: cada vez que se reabre (dentro de una misma sesin) se encuentra en las mismas condiciones que cuando se cerr. Dispone de las funciones Copiar y Pegar desde y hacia el portapapeles de Windows.

    Misceln > Calculadora de Windows

    Abre la calculadora de Windows.

    Misceln > (Cinco lneas de preferencias de trabajo)

    Se dispone de la posibilidad de aplicar las opciones sobre preferencias del

    entorno de trabajo slo durante la sesin en curso. Por ejemplo, ocultar o

    mostrar la barra de tareas, definir el separador decimal, etc. Las selecciones

    que aqu se hagan se pierden al salir del programa. Para mantenerlas memo-

    rizadas debe recurrirse al men Preferencias, descrito anteriormente, el cual tambin se encuentra accesible desde este mismo men Misceln.

    5.4.4 Men Informacin

    Facilita una sinopsis y un ndice del libro Control de procesos e informa-cin sobre las entidades editoras del mismo (en Espaa y en Latinoamrica).

    A efectos de la descarga o actualizacin gratuita del programa ControlP, tambin ofrece un enlace con la direccin Web de Internet.

    5.4.5 Mens redundantes

    Puede comprobarse fcilmente que son bastantes las opciones a las que se

    puede acceder desde distintos mens. Esto facilita al usuario la navegacin

    por el programa y la bsqueda de una determinada funcin. Por ejemplo, la

    funcin Cambiar la duracin de la Respuesta temporal se localiza tanto en el men Temporal como en el men Cambios, adems de poder accederse desde el men de teclado ( + ); o sea Cambios > Duracin. Por otra parte, al abrir determinadas ventanas de dilogo, como por ejemplo la de Programacin de las rampas o la del Diagrama de bloques se dispone de botones de acceso a funciones que se corresponden con opciones exis-tentes en los mens desplegables o de teclado (Editar, Duracin, etc.). Es por ello que algunas opciones no han sido mencionadas ms que en una sola ocasin, por lo que se recomienda al usuario que compruebe por simple inspeccin todas las posibilidades existentes. Tngase en cuenta que los

    mens y opciones correspondientes a Componentes bsicos difieren sensi-blemente de los de Lazos de control los cuales son mucho ms amplios.

  • 598 Anexo 1

    En el apartado 4 de este mismo anexo (pg. 582 y sigte.), se ha detallado la relacin de todas las opciones disponibles en los mens desplegables.

    5.4.6 Otras opciones en la ejecucin de una Respuesta temporal **

    Cuando se ejecuta una respuesta temporal correspondiente a una opcin de Lazos de control, aparece en la esquina superior derecha de la pantalla un cuadro con tres casillas de verificacin, con las siguientes tres opciones:

    Ver el progreso grfico Avanzar paso a paso Muestra valores finales

    Si se marca la casilla Ver el progreso grfico (marcada por defecto) se mos-trar la evolucin en la generacin de los grficos durante la ejecucin de la respuesta temporal. Si se desmarca, el grfico ser mostrado una vez comple-tada su ejecucin. En este caso lo har ms rpidamente, pero, no obstante, las diferencias slo sern apreciables si se ha establecido una duracin muy larga y acaso con una frecuencia de muestreo elevada.

    Al marcar la casilla Avanzar paso a paso, el grfico temporal progresa en modo paso a paso el cual consiste en que la evolucin de la grfica per-manece congelada y en la ventana inferior se visualizan, en modo numrico, las magnitudes instantneas de las variables del sistema (incluida la des-viacin), as como el tiempo transcurrido. Cada vez que se pulsa brevemente la tecla , el tiempo se incrementa en un intervalo igual al periodo de muestreo, se actualiza la grfica y queda nuevamente congelado a la espera de una nueva pulsacin. Si se mantiene pulsada la tecla se irn sucediendo de manera continua los citados incrementos de tiempo. En ambos casos, para cada sucesivo intervalo de tiempo (paso), se irn actua-lizando tanto la progresin de las grficas como la visualizacin numrica de las magnitudes de las variables. En cualquier momento puede optarse por proseguir de manera normal o por interrumpir la ejecucin. El modo paso a paso permite conocer los valores de las variables en el estado inicial de equilibrio, cuando t 0, y todava no se han hecho efectivos los cambios ni en el punto de consigna ni en las perturbaciones (la presentacin en pantalla queda congelada justo al inicio de la respuesta, cuando el tiempo vale cero). Hay que hacer notar que la respuesta temporal tambin puede invocarse en el modo paso a paso pulsando simultneamente las teclas + , cuando ya est marcada la lnea inferior del men de teclado (segundo nivel).

    La casilla Muestra valores finales activada provoca que una vez finalizada la ejecucin de la grfica de respuesta temporal se muestren los valores finales alcanzados en todas las variables del sistema, incluida la desviacin final.

  • Gua de manejo del programa 599

    En la zona del men de teclado se muestra la informacin del estado de activacin de los modos Avanzar paso a paso y Muestra valores finales.

    Nota: Estas opciones tambin estn disponibles en el men Temporal des-plegable de la barra de mens (en las opciones de Lazos de control).

    6 Control de errores

    El programa ControlP tiene un filtrado de datos de entrada y de pulsacin de teclas, que impide la comisin de la mayora de los errores ms usuales. En algunos casos, simplemente queda a la espera de una pulsacin vlida o bien responde con un mensaje de aviso. En otros casos, como consecuencia de la entrada de un dato numrico fuera de lmites admisibles, muestra un panel indicando qu variables se encuentran afectadas y de qu modo, o bien muestra un mensaje indicando el tipo de error cometido y los lmites aceptables del valor a introducir, solicitando la oportuna correccin.

    Tambin informa con un mensaje de advertencia si detecta algn tipo de posible incoherencia entre determinadas opciones seleccionadas, pero que por no tratarse de un verdadero error y no poder conocer las intenciones del usuario (cuando ste insiste: A pesar de todo, esto es lo que deseo... ), el programa prosigue su marcha normal, salvo en alguna ocasin que presenta la opcin de modificar los datos o continuar.

    Sin embargo, no siempre es posible conocer a priori si el valor introducido de un parmetro o una combinacin de tales valores, puede producir respuestas (espe-cialmente las temporales) que, en un momento determinado, ocasionen que la magnitud de las variables rebase los mrgenes razonables de trabajo, o incluso que produzcan el desbordamiento de la capacidad de clculo del procesador. En un proceso real, ello significara, en ambos casos, la saturacin o el deterioro de algn equipo o componente. En estos supuestos, el programa, debido a su carc-ter esencialmente didctico, permite una excursin de las variables de hasta 10 veces el margen nominal, tanto en el sentido positivo como en el negativo; es decir, que puede operar entre los valores 1.000% ... +1.000 %.

    Esto implica que si la salida de un controlador es negativa tambin lo ser la apertura de la vlvula y, por tanto, la accin correctora del caudal ser de signo contrario al normal. Esta concesin sera, en general, absolutamente inconcebible y carente de sentido en la prctica (aunque podra argumentarse que, con matices, este es el comportamiento de un control en rango partido). Como excepcin, tanto en el tipo de vlvula isoporcentual como en el medidor cuadrtico, la variable de salida queda limitada a valores nulos o positivos. No obstante, debe tenerse en cuenta que fijando una variacin del punto de consigna o cambio de carga lo suficientemente pequea, se evitaran estos rebasamientos, pero desde el punto de vista didctico, resulta prctico fijar estas variaciones con amplitudes importantes, con el fin de observar ms cmodamente los efectos producidos por la perturbacin (provocamos un efecto lupa, dada la proporcionalidad entre causa y efecto en los sistemas lineales).

  • 600 Anexo 1

    Una vez se haya rebasado alguno de estos lmites, o bien se haya producido un desbordamiento de mquina en algn clculo intermedio, el programa abandona el proceso normal de progresin en los clculos y de presentacin en pantalla, e informa de la anomala mediante un mensaje, invitando a modificar los valores introducidos. No especifica cul es el dato causante del error, por no ser posible determinarlo, dado que puede ser debido al efecto de una combinacin inade-cuada de diversos parmetros, sin que ninguno en particular sea el culpable.

    Se espera que en ningn caso y en ninguna circunstancia el programa termine inesperadamente o bloquee al ordenador. Siempre ser posible reanudar el trabajo, una vez efectuadas las correcciones pertinentes.

    7 Ficheros del programa A continuacin se relacionan los ficheros que se obtendrn en el disco duro, una

    vez efectuada la instalacin del programa, as como la especificacin de los

    ficheros que sern generados por el propio usuario en las operaciones de archi-

    vo de configuraciones.

    7.1 Ficheros generados en la instalacin

    ControlP.exe Programa ejecutable principal. CnfgOrig.LC? Ficheros de configuracin original. (*) BlqNulos.LC? Ficheros de configuracin de bloques nulos. (*) Historico.txt Fichero de seguimiento histrico de las revisiones. Leame.txt Recomendaciones interesantes (importante!). Posibilidad de que incluya anotaciones de ltima hora. Licencia.txt Condiciones de uso del programa y precauciones.

    (*) El smbolo comodn ? se corresponde, segn el tipo de lazo a que se haga referencia, con el siguiente carcter:

    1 para Control de un lazo cerrado simple (extensin .LC1) 2 para Control en cascada (extensin .LC2) 3 para Control en adelanto (extensin .LC3)

    7.2 Ficheros generados por el usuario

    Preferen.cfg Fichero de configuracin de preferencias de usuario. Se genera al salir por primera vez del programa y puede eliminarse

    en cualquier momento sin ms consecuencias que la prdida de la configuracin de preferencias de usuario (volver a generarse en la siguiente sesin).

  • Gua de manejo del programa 601

    Cuando se guarda un fichero de configuracin de sistema, el cuadro de dilogo que aparece al pulsar el botn [Guardar config.] permite asignar un nombre cualquiera, estndar de Windows, al fichero. La extensin ser colocada auto-mticamente como LC1, LC2 o LC3, segn el tipo de lazo al que pertenezca, tal como se ha indicado en al apartado anterior. Un ejemplo para un lazo de control en cascada podra ser: Caudal torre .LC2, en cuyo caso slo habra que teclear Caudal torre, dado que el programa aadira la extensin, .LC2.

    8 Miscelneos. Peculiaridades de un programa de simulacin

    8.1 Generalidades

    Antes que nada hay que sealar que el objetivo del programa ControlP, es efectuar una simulacin por ordenador PC de sistemas controlados, totalmente analgicos; es decir, la presentacin de las respuestas temporal y frecuencial que se obtendran en un sistema real con todos sus componentes analgicos. No

    debe confundirse, por tanto, con la simulacin de un control digital de proce-sos, en donde se asumira que los algoritmos de control a utilizar seran los especficos para estos casos, as como la existencia de un determinado periodo

    de muestreo en la lectura y actualizacin de los valores de las variables.

    Por otra parte, y refirindonos a la respuesta temporal, en toda simulacin

    puede optarse por operar en tiempo real, o bien por la obtencin de la respuesta lo antes posible. En el primer caso, y en especial cuando se tratase de un sistema lento de respuesta, se requeriran largos tiempos de espera para la

    consecucin de resultados. En el programa ControlP se ha optado por el segundo criterio (lo antes posible). Con ello, una respuesta temporal de, por ejemplo, 30 minutos de duracin, es obtenida en escasos segundos de tiempo natural o incluso en menos de 1 segundo. En especial, si se desmarca la casilla Ver el progreso grfico el tiempo de presentacin de la grfica temporal es todava mucho menor.

    En una simulacin por ordenador se ejecutan una serie de operaciones secuen-

    ciales con el propsito de que nos muestren grficamente qu sucedera en el

    sistema real. No hay una relacin significativa entre la variable tiempo del siste-ma simulado y el tiempo natural en el progreso de la presentacin en pantalla.

    Todo control digital de un proceso real comporta una serie de imperfecciones e imprecisiones inherentes a la propia metodologa, que, no obstante, carecen de importancia prctica (apenas pueden ser verificadas); mientras que en una simulacin, y en especial si es con fines didcticos, son puestas de manifiesto por el Anlisis frecuencial.

  • 602 Anexo 1

    8.2 Tiempo muerto virtual oculto en el sistema

    Toda simulacin digital de un sistema en lazo cerrado, en la que la variable tiempo es discretizada, conlleva implcito un tiempo muerto virtual, oculto en el sistema, equivalente a la mitad del intervalo del tiempo de discretizacin (periodo de muestreo). Ello es debido a que cada vez que se incrementa la variable tiempo (al final de cada ciclo de escrutacin secuencial de todos los componentes y de la ejecucin de los clculos pertinentes), la informacin que se dispone de las variables pertenece al tiempo anterior al recin actualizado. Es como si la informacin llegara a todos los puntos con un pequeo retraso.

    En un sistema analgico real (o simulado analgicamente), la totalidad de las variables evoluciona simultneamente y de forma continua en el tiempo (equi-vale a decir que el periodo de muestreo es infinitesimal), de tal manera que el fluir de las acciones es continua y simultnea en todos sus componentes. En un sistema digital, puesto que hay que recurrir a mtodos de clculo numrico, el clculo de la actualizacin de los valores de las variables hay que efectuarlo de forma secuencial, progresando de bloque en bloque y siguiendo el circuito del lazo hasta completarlo (incluyendo el resto de los componentes no contenidos en el mismo). El valor de la variable de salida de un bloque ser el de entrada del bloque siguiente. Siempre habr, necesariamente, un punto o bloque inicial (inicio de la secuencia), a partir del cual el clculo de las variables se ir propa-gando hasta alcanzar nuevamente el bloque inicial, con lo que se completar el ciclo. En este momento, hay que incrementar la variable tiempo y repetir el ciclo con los nuevos valores calculados. Por todo ello, la informacin que recibe el bloque inicial pertenece, inevitablemente, al tiempo anterior; dicho ms exac-tamente, corresponde al momento intermedio entre ambos, puesto que en un proceso real las variables habran ido evolucionando de forma continua a lo largo de este intervalo de tiempo. Este fenmeno equivale a la interposicin de un tiempo muerto virtual, indeseado, igual a la mitad del tiempo de discretiza-cin, y es independiente del mtodo de clculo numrico empleado. Es obvio que antes de comenzar la ejecucin de la respuesta es preciso definir los valores iniciales de todas las variables (condiciones iniciales, en las que se asume que el sistema est en equilibrio). Estos valores tienen que ser coherentes con la configuracin y parmetros del sistema, as como con los valores de las varia-bles fijadas por el usuario (por ejemplo, puntos de consigna). El programa ControlP efecta esta operacin de manera automtica, antes de emprender la Respuesta temporal.

    Ntese que este fenmeno es independiente tambin de la velocidad de clculo del ordenador utilizado. El tiempo de discretizacin en una simulacin hay que fijarlo a priori, y no tiene relacin con la velocidad de clculo y de presentacin de la respuesta, que s dependen de la velocidad del ordenador. Por el contrario, en el control de procesos por ordenador, cuanto mayor sea la velocidad de cl-culo, menor ser el tiempo necesario para efectuar un ciclo de clculo completo

  • Gua de manejo del programa 603

    y, por tanto, menor podr ser el periodo de muestreo; si bien, en la prctica, suele estar predeterminado. Es evidente que en una simulacin podemos dismi-nuir este periodo tanto como se desee, pero a costa de hacer ms lenta la presen-tacin de la respuesta en pantalla. En el lmite, con un tiempo de discretizacin infinitesimal, la duracin de la presentacin sera infinita (a menos que se inventara un ordenador infinitamente veloz); aunque, en contrapartida, se tendra una respuesta exactamente representativa de la del sistema analgico simulado, sin ningn tipo de imprecisin. En simulacin es ms correcto hablar de tiempo de discretizacin o, mejor an, de intervalo de discretizacin del tiempo, que no de periodo o intervalo de muestreo, el cual debera reservarse para operaciones en tiempo real.

    El inconveniente que se ha descrito, si no se resuelve satisfactoriamente, puede

    causar un notable falseamiento en la respuesta temporal. As, por ejemplo, dado

    un sistema que, por clculo terico o por anlisis frecuencial, se sepa que est en

    el lmite de estabilidad, es decir, crtico, se manifestara como ligeramente ines-

    table en la respuesta temporal, mostrando oscilaciones de amplitud creciente en

    vez de sostenida. En el programa ControlP, este inconveniente se resuelve en gran medida por la aplicacin de algoritmos de correccin especiales, cuya des-

    cripcin, por tediosa, ser aqu omitida.

    8.3 El problema de las variables discontinuas

    Otro inconveniente que surge en el diseo de un programa de simulacin digital

    de sistemas dinmicos, es que los algoritmos o mtodos convencionales de inte-

    gracin numrica, que necesariamente hay que utilizar (incluso los ms sofis-

    ticados, como los de Runge-Kutta, Adams-Moulton, Milne, etc.), no responden

    correctamente en los instantes que siguen a los cambios bruscos en la variable

    de entrada (funciones discontinuas de la variable independiente), tales como un

    salto en escaln o un cambio de entrada en rampa; situaciones que acontecen

    con la sbita aparicin de perturbaciones en el proceso. El programa ControlP emplea un mtodo prctico de correccin, con resultados satisfactorios, cuya

    descripcin, tambin por tediosa, ser igualmente omitida.

    No obstante, si en algn caso particular se desea una mayor precisin, tngase

    presente que la reduccin del tiempo de discretizacin (aumento de la frecuencia

    de muestreo) mejorar, como ya se ha dicho, la fidelidad de la respuesta en cual-

    quiera de los dos casos citados; si bien, a costa de aumentar la duracin (en

    tiempo natural) de la ejecucin de la misma. Por lo general, ser satisfactorio el

    empleo de un intervalo de discretizacin de 1 segundo, pero puede elegirse entre valores que van desde 1 hasta 1/16-avo de segundo; es decir, una frecuencia de muestreo de 1 a 16 muestras/segundo.

  • 604 Anexo 1

    PRECAUCIN !

    El programa ControlP es un programa esencialmente didctico y se ha diseado exclusivamente para tal fin. La aplicacin prctica, en un proceso o sistema real, de las conclusiones obtenidas ensayando su simulacin con el programa, deber efec-tuarse con mucha prudencia. En los sistemas o plantas reales difcilmente se conocen con absoluta exactitud los valores de los parmetros de sus componentes. Asimismo, son inevitables las imprecisiones e incertidumbres en la calibracin de los instru-mentos (inherentes en todo dispositivo prctico, incluidos los patrones utilizados). Y, por otra parte y esto es lo ms importante, los sistemas reales suelen contener gran cantidad de elementos, ms o menos ocultos, que no se habrn tenido en cuenta en la simulacin, tales como pequeos retardos y tiempos muertos, histresis, holguras o bandas muertas, fricciones, discontinuidades, parmetros distribuidos, no lineali-dades, deriva errtica de parmetros, efectos inerciales, desajustes mecnicos o de instrumentacin, perturbaciones impredecibles, influencias del entorno o ambien-tales, seales inducidas, seales parasitarias o con ruido, ruidos inherentes del propio proceso, fatiga o envejecimiento de equipos, desgaste o degradacin de materiales, fugas de fluidos, fugas trmicas, fugas elctricas, estratificaciones, etc.; lo que, en conjunto, puede provocar que los comportamientos de ambos sistemas real y simulado sean sensible o notablemente diferentes entre s.

    En cualquier caso, el usuario utilizar el programa bajo su entera responsabilidad y en ningn caso el autor ni la sociedad editora del libro asumirn responsabilidad alguna por los daos o perjuicios, directos o indirectos, que se puedan derivar del uso del programa, incluso si son debidos a cualquier deficiencia o anomala que pueda surgir en su funcionamiento. Asimismo, ni el autor ni la sociedad editora estn obligados a subsanar, en ningn momento y de ningn modo, ninguna de las citadas deficiencias o anomalas. Sin embargo, el programa se halla muy depurado y es alta-mente improbable la aparicin de tales inconveniencias.

    El programa se suministra tal como es, con sus alcances y sus limitaciones, y no se asumir, en firme, reclamacin o exigencia alguna para la inclusin de funciones que actualmente no estn implementadas o para modificar las que lo estn.

    No obstante, se agradecer y ser gratamente recibida y gustosamente considerada cualquier sugerencia que proponga una mejora del programa. Asimismo, se agrade-cer cualquier informacin de una posible anomala detectada en su funcionamiento:

    aroca@alfredoroca.com

    El fichero conteniendo la presente Gua puede descargarse en la direccin:

    http://www.alfredoroca.com

    Gua de manejo del programa Alfredo Roca Cusid

    Control automtico de procesos industriales. Con prcticas de simulacin y anlisis por ordenador PCPgina legal

    Contenido1. Introduccin1.1 Concepto de sistema1.2 Concepto de bloque1.3 Diagrama de bloques1.4 Funcin de transferencia o transmitancia1.5 Sistema controlado1.6 Control manual en lazo cerrado1.7 Control automtico en lazo cerrado1.8 Cambios de carga y perturbaciones1.9 Realimentacin1.10 lgebra de bloques1.10.1 Reglas algebraicas

    2. La transformada de Laplace2.1 Qu es y para qu sirve2.2 Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace2.2.1 Enumeracin de las propiedades y teoremas2.2.2 Aplicacin del teorema de la derivacin real2.2.3 Antitransformada de fracciones impropias

    2.3 Transmitancia operacional2.4 Transformacin de ecuaciones diferenciales2.5 Ejemplos de clculo2.5.1 Clculo con condiciones iniciales

    2.6 Conversin de una funcin laplacianaen una ecuacin diferencial

    3. Variables y parmetros3.1 Es necesario tipificar3.2 VariablesPotencial o fuerza impulsoraFlujo o corrienteCarga o cantidad

    3.3 ParmetrosResistencia, o su recproco, la conductanciaCapacidadInertancia

    3.4 Analogas

    4. Elementos bsicos4.1 Formas o funciones elementales de excitacin4.1.1 Escaln unitario4.1.2 Impulso unitario4.1.3 Rampa unitaria4.1.4 Funcin senoidal

    4.2 Componentes bsicos de un sistema controlado4.2.1 Componentes activos4.2.2 Elementos de primer orden4.2.3 Retardo de primer orden resistencia-capacidad4.2.4 Retardo de primer orden resistencia-inertancia4.2.5 Estudio de elementos retardo de primer orden.Metodologa de clculo4.2.5.a) Filtro o elemento R-C (resistencia-capacidad)4.2.5.b) Elemento bulbo de temperatura4.2.5.c) Concentracin en un tanque agitado4.2.5.d) Temperatura en un tanque agitado4.2.5.e) Reaccin de primer orden4.2.5.f ) Nivel de un tanque con restriccin de (...) 4.2.5.g) Recipiente con gas a presin provisto de una restriccin (...)

    4.2.5.h) Recipiente con gas a presin con dos restricciones

    4.2.6 Elemento capacidad pura o integrador4.2.6.a) Nivel en tanque con salida constante4.2.6.b) Masa aislada provista de caldeo elctrico4.2.6.c) Pistn hidrulico

    4.2.7 Elementos ajustables4.2.7.a) Ganancia ajustable. Multiplicador4.2.7.b) Reostato o potencimetro4.2.7.c) Vlvula de control4.2.7.d) Bomba centrfuga

    4.2.8 Elementos de segundo orden4.2.8.a) Circuito elctrico R-L-C serie4.2.8.b) Masa suspendida de un resorte con amortiguacin4.2.8.c) Sismgrafo4.2.8.d) Acelermetro4.2.8.e) Dos retardos de primer orden en serie4.2.8.f ) Dos sistemas de nivel conectados en serie4.2.8.g) Dos filtros R-C conectados en serie4.2.8.h) Bulbo de temperatura con vaina4.2.8.i) Tanque encamisado4.2.8.j) Dos tanques a presin en serie

    4.2.9 Elemento tiempo muerto4.2.10 Elemento adelanto-retardo4.2.11 Elemento anticipativo4.2.12 Controladores4.2.12.a) Proporcional (P)Banda proporcional (BP)Ganancia (G)Desviacin permanente (Offset)Reajuste manualEcuacin del controlador

    4.2.12.b) Integral (I)Ecuacin del controladorTransmitancia operacional

    4.2.12.c) Proporcional-Integral (PI)Accin integral (Reset)Velocidad de reajuste. Repeticiones por minutoTiempo integralEcuacin del controlador. Transmitancia operacional

    4.2.12.d) Proporcional-Derivativo (PD)Accin derivativa (Rate)Tiempo derivativoEcuacin del controlador. Transmitancia operacional

    4.2.12.e) Proporcional-Integral-Derivativo (PID)Ecuacin del controladorTransmitancia operacionalEjecuciones especiales

    Nota muy importante

    5. Respuesta temporal de los componentes bsicos5.1 Sistemtica de clculo5.1.1 Respuesta al impulso5.1.2 Respuesta al escaln unitario (repuesta indicial)5.1.3 Respuesta a la rampa unitaria

    5.2 Respuesta de un retardo de primer orden5.2.1 Respuesta indicialPrctica n 5.1Prctica n 5.2

    5.2.2 Respuesta impulsivaPrctica n 5.3Prctica n 5.4

    5.2.3 Respuesta a la rampaPrctica n 5.5

    5.3 Respuesta de un retardo de segundo orden5.3.1 Respuesta indicialCaso subamortiguado (0 1)Caso crticamente amortiguado (= 1)Prctica n 5.10

    5.4 Respuesta de un bloque tiempo muertoPrctica n 5.11

    5.5 Respuesta de un bloque adelanto-retardo5.5.1 Respuesta indicialCaso adelanto (T1 > T2; 2 >1)Caso retardo (T1 < T2; 2 < 1)Prctica n 5.12Prctica n 5.13

    5.5.2 Respuesta impulsivaPrctica n 5.14

    5.5.3 Respuesta a la rampaPrctica n 5.15

    5.6 Respuesta de un bloque anticipativo5.6.1 Respuesta indicial5.6.2 Respuesta impulsiva5.6.3 Respuesta a la rampaPrctica n 5.16

    5.7 Respuesta de un controlador P+D5.7.1 Respuesta indicial5.7.2 Respuesta a la rampaPrctica n 5.17

    5.8 Respuesta de un controlador P+I5.8.1 Respuesta indicialPrctica n 5.18

    5.8.2 Respuesta a la rampaPrctica n 5.19

    5.9 Respuesta de un controlador P+I+D5.9.1 Respuesta indicial5.9.2 Respuesta a la rampaPrctica n 5.20

    5.10 Respuesta de un controlador integralNota sobre representacin grfica de impulsos

    6. Respuesta frecuencial de los componentes bsicos6.1 Conceptos de base6.1.1 El decibelio (dB)6.1.2 La octava y la dcada6.1.3 Las unidades dB/octava y dB/dcada6.1.4 Nmeros complejos y vectoresNmeros complejos conjugadosOperaciones con nmeros complejos

    6.1.5 Vectores giratorios (fasores). Ondas senoidales

    6.2 Respuesta frecuencial6.2.1 Obtencin de la respuesta frecuencial

    6.3 Tipos de representaciones grficas6.3.1 Diagrama de Bode6.3.2 Diagrama de Nyquist6.3.3 Diagrama de Black

    6.4 Determinacin de la respuesta frecuencial6.4.1 Mdulo K o constante K6.4.2 Factores del tipo s6.4.3 Factores del tipo Ts+1Prctica n 6.1

    6.4.4 Factores del tipo T2s2 + 2 Ts+1Prctica n 6.2Prctica n 6.3Prctica n 6.4

    6.4.5 Factores del tipo e-TsPrctica n 6.5

    6.4.6 Elemento adelanto-retardoPrctica n 6.6Prctica n 6.7

    6.4.7 Elemento anticipativoPrctica n 6.8

    6.4.8 Controlador P6.4.9 Controlador P+DPrctica n 6.9

    6.4.10 Controlador P+IPrctica n 6.10

    6.4.11 Controlador P+I+DPrctica n 6.11Prctica n 6.12Prctica n 6.13

    6.4.12 Controlador integral

    7. Control automtico en lazo cerrado7.1 Realimentacin7.2 Concepto de estabilidad7.3 Criterios de optimizacin7.4 Respuesta frecuencial y estabilidad7.5 Margen de ganancia y margen de fase.Estabilidad relativa7.5.1 Margen de ganancia7.5.2 Margen de fase7.5.3 Estabilidad relativa

    7.6 Interpretacin grfica de los mrgenesde ganancia y de fase7.6.1 Ejemplo de clculo de los mrgenes de ganancia y de fase

    7.7 Criterios de estabilidad7.7.1 Criterio de estabilidad de Nyquist7.7.2 Criterio de estabilidad de Bode7.7.3 Ampliacin del criterio de estabilidad de Nyquist

    7.8 Respuesta frecuencial en lazo cerrado7.9 Manejo de las perturbaciones7.10 Estrategias de control

    8. Control en lazo cerrado simple8.1 Aplicacin8.2 Diagrama de bloquesPrctica n 8.1

    8.3 Simulacin y anlisis de sistemas controlados8.3.1 Respuesta generalizada de un lazo con perturbacinGeneralizacin de las funciones de transferencia en lazo cerrado

    8.3.2 Control proporcional de un proceso retardo de primer ordenRespuesta frente a cambios en el punto de consignaPrctica n 8.2

    Respuesta frente a perturbacionesPrctica n 8.3

    8.3.3 Control proporcional de un procesoformado por dos retardos de primer ordenRespuesta frente a cambios en el punto de consignaPrctica n 8.4

    Respuesta frente a perturbacionesPrctica n 8.5Prctica n 8.6

    8.3.4 Control proporcional de un procesoformado por tres retardos de primer ordenPrctica n 8.7

    8.3.5 Control en modo integral de un procesoformado por un retardo de primer ordenPrctica n 8.8

    8.3.6 Control proporcional-integral de un proceso (...)

    Prctica n 8.9

    8.3.7 Control proporcional-integral de un proceso (...)

    Prctica n 8.10

    8.3.8 Control proporcional-integral de un (...)

    Prctica n 8.11

    8.3.9 Control proporcional-integral-derivativo de un proceso (...)

    Prctica n 8.12

    8.4 Efecto de un retardo de tiempo en la medidaPrctica n 8.13

    8.5 Efecto de un tiempo muerto en un sistema8.5.1 Efecto del tiempo muerto en la medidaPrctica n 8.14

    8.5.2 Efecto del tiempo muerto en el procesoPrctica n 8.15

    8.5.3 Mejoras que aporta la accin derivativaPrctica n 8.16Prctica n 8.17

    8.6 Efecto de las alinealidades en un sistemaPrctica n 8.18

    9. Controles complejos en lazo cerrado9.1 Control en cascadaPrctica n 9.1Prctica n 9.2Prctica n 9.39.1.1 Prediccin de la desviacin permanente

    9.2 Control en adelanto9.2.1 Ecuaciones del control en adelantoPrctica n 9.4Prctica n 9.5

    Apndices

    Apndice 1.Tabla de transformadas de LaplaceApndice 2.Escalado de procesosy normalizacin de variablespara el ordenador1 Introduccin2 Mrgenes de operacin3 Normalizacin de variables4 Escalado del tiempo5 Resumen6 Manejo de los parmetros Valor de base Be y Bs7 Manejo del parmetro Elevac./Supres. de cero Z8 Manejo del parmetro Valor de referencia R

    Apndice 3.Composicinde la respuesta temporalde un sistemaApndice 4.Regla de Masonpara el (...)

    Apndice 5.Bibliografa

    Anexo 1.Gua de manejo del programa1 Requisitos para uso del programa ControlP1.1 Se requiere1.2 Notas sobre resolucin de pantalla

    2 Instalacin del programa2.1 Obtencin del fichero para la instalacin2.2 Modos de instalacin2.2.1 Instalacin manual2.2.2 Instalacin automtica

    2.3 Uso del programa

    3 Arranque del programa4 Men principal de WindowsEstructura de los mens

    5 Descripcin de las principales opciones5.1 Anlisis de los componentes bsicos5.2 Simulacin de lazos de control5.3 Mens de opciones5.3.1 Men FrecuencialReal Diagrama RealBode Diagrama de BodeNyquist Diagrama de NyquistBlack Diagrama de BlackTodos Todos los diagramasMarcas Marcas de frecuenciaCrtica Frecuencia crtica (resonancia)Cruce Frecuencia de cruce de gananciaPico Frecuencia de pico de resonancia

    5.3.2 Men TemporalComponentes bsicosImpulsoEscalnRampa

    Lazos de controlEscaln condiciones inicialesRampas programadas

    5.3.3 Men CambiosParmetros Parmetros del componente o componentesLmites Lmites de las escalas de frecuenciaDuracin Duracin de la respuesta temporalConstantes Constantes de la respuesta temporalRampas Programacin de las rampas Modosa) Modo del lazo en la respuesta frecuencialb) Modo de presentacin de la respuesta temporal

    Muestreo Frecuencia de muestreo

    5.3.4 Men MiscelnBorrar Borrar pantallaAnterior Vista anteriorDiagrama Ver Diagrama de bloquesVer parmetros Ver parmetros de los bloques activosNulos Hacer nulos los bloques

    5.4 Otros mens5.4.1 Men ArchivoImprimirPreferencias

    5.4.2 Men Men general5.4.3 Mens especialesCambios > Color de fondoMisceln > Calculadora ABACUSMisceln > Calculadora de WindowsMisceln > (Cinco lneas de preferencias de trabajo)

    5.4.4 Men Informacin5.4.5 Mens redundantes5.4.6 Otras opciones en la ejecucin de una Respuesta temporal

    6 Control de errores7 Ficheros del programa7.1 Ficheros generados en la instalacin7.2 Ficheros generados por el usuario

    8 Miscelneos. Peculiaridades de un programa de simulacin8.1 Generalidades8.2 Tiempo muerto virtual oculto en el sistema8.3 El problema de las variables discontinuas

    Precaucin