Control Automático de Procesos(Corripio)

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A Y PRCTICA

CARLOS A. SMITH

CONTROL AUTOMTlCODEPROCESOSTEORA Y PRCTICACarlos A. Smith University of South Florida Armando B. Corripio Louisiana State University

Versin espaiiola:

SERGIO D. MANZANARES BASURTO Ingeniero en Comunicaciones y Electrnica de la Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Electrnica del Instituto Politcnico Nacional de Mxico Revisin: CARLOS A. SMITH ARMANDO B. CORRIIIO

EDITORIALMXICOl

LIMUSAESPAA l COLOMBIAl

VENEZUELA PUERTO RICO

l

ARGENTINA

Versin autorizada en espaol de la obra publicada en ingls por John Wiley & Sons, con el ttulo: PRINCIPLES AND PRACTICE OF AUTOMATIC PROCESS CONTROL 0 John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-47 1-88346-8 Inc.

Elaboracin: SISTEMAS EDITORIALES TCNICOS, S.A. de C. V. La presentacin y disposicin en conjunto de CONTROL AUTOMTICO DE PROCESOS Teora y prctica son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o transmitida, mediante ningn sistema o mtodo, electrnico o mecnico (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, ki grabacin o cualquier sistema de recuperacin y almacenamiento de informacin), sin consentimiento por escnto del editor. Derechos reservados: @ 1991, EDITORIAL LIMUSA, S.A. de C.V. Balderas 95, Primer piso, 06040 Mxico, D.F. Telfono 52 1-50-98 Fax 5 12-29-03 Tlex 1762410 ELIME Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro nmero 12 1

Primera edicin: 1991Impreso en Mxico

(5942)

ISBN 968-18-3791-6

Con todo cario a los Smith: Cristina, Cristina M., Carlos A., Jr. y Sr. Ren Smith y Sra. los Corripio: Connie, Bernie, Mary, Consuelo Michael y

y a nuestra querida tierra natal, Cuba

Prlogo

El propsito principal de este libro es mostrar la prctica del control automtico de proceso, junto con los principios fundamentales de la teora del control. Con este fin se incluye en la exposicin una buena cantidad de anlisis de casos, problemas y ejemplos tomados directamente de la experiencia de los autores como practicantes y como consultores en el rea. En opinin de los autores, a pesar de que existen muchos libros buenos en los que se tratan los principios y la teora del control automtico de proceso, en la mayora de ellos no se proporciona al lector la prctica de dichos principios. Los apuntes a partir de los cuales se elabor este libro se han utilizado durante varios aos en los cursos finales de ingeniera qumica y mecnica en la University of South Florida y en la Louisiana State University. Asimismo los autores han utilizado muchas partes del libro para impartir cursos cortos a ingenieros en ejercicio activo en los Estados Unidos y en otros pases. El inters se centra en el proceso industrial y lo pueden utilizar los estudiantes del nivel superior de ingeniera, principalmente en las ramas de qumica, mecnica, metalurgia, petrleo e ingeniera ambiental; asimismo, lo puede utilizar el personal tcnico de procesos industriales. Los autores estn convencidos de que, para controlar un proceso, el ingeniero debe entenderlo primero; a ello se debe que todo el libro se apoye en los principios del balance de materia y energa, el flujo de lquidos, la transferencia de calor, los procesos de separacin y la cintica de la reaccin para explicar la respuesta dinmica del proceso. La mayora de los estudiantes de los grados superiores de ingeniera tienen las bases necesarias para entender los conceptos al nivel que se presentan. El nivel de las matemticas que se requieren se cubre en los primeros semestres de ingeniera, principalmente el calculo operacional y las ecuaciones diferenciales. En os captulos 1 y 2 se definen los t&minos y los conceptos matemticos que se utilizan en el estudio de los sistemas de control de proceso. En los captulos 3 y 4 se explican los principios de la respuesta dinmica del proceso. En estos captulos se utilizan nu7

8

PRLOGO

merosos ejemplos para demostrar el desarrollo de modelos de proceso simples y para ilustrar el significado fsico de los parmetros con que se describe el comportamiento dinmico del proceso. En el captulo 5 se estudian algunos componentes importantes del sistema de control; a saber: sensores, transmisores, vlvulas de control y controladores por retroalimentacin. Los principios de operacin prctica de algunos sensores, transmisores y vlvulas de control comunes se presentan en el apndice C, cuyo estudio se recomienda a los estudiantes que se interesen en conocer el funcionamiento de los instrumentos de proceso. En los captulos 6 y 7 se estudian el diseo y anlisis de los sistemas de control por retroalimentacin. El resto de las tcnicas importantes del control industrial se tratan en el captulo 8; stas son: control de razn, control en cascada, control por accin precalculada, control por sobreposicin, control selectivo y control multivariable. Se usan numerosos ejemplos para ilustrar la aplicacin industrial de dichas tcnicas. Los principios de los modelos matemticos y la simulacin por computadora de los procesos y sus sistemas de control se presentan en el captulo 9. En este captulo se presenta una estructura modular de programa muy til, la cual se puede utilizar para ilustrar los principios de respuesta dinmica, estabilidad y ajuste de los sistemas de control. De acuerdo con la experiencia de los autores, en un curso de un semestre se deben incluir los primeros seis captulos del libro, hasta la seccin 6-3, as como la seccin acerca de control por accin precalculada del captulo 8; posteriormente, segn la disponibilidad de tiempo y las preferencias del instructor, se, pueden incluir las secciones sobre rels de cmputo, control de razn, control en cascada, lugar de raz y respuesta en frecuencia, las cuales son independientes entre s. Si en el curso se incluye un laboratorio, el material del captulo 5 y del apndice C es un excelente apoyo para los experimentos de laboratorio. Los ejemplos del captulo 9 se pueden usar como gua para experimentos de simulacin por computadora que complementarn a los experimentos reales de laboratorio. Si se dispone de dos semestres o cuatro trimestres para el curso es posible cubrir todo el texto en detalle. En el curso se debe incluir un proyecto final en el cual se pueden utilizar los problemas de control de proceso del apndice B, que son problemas industriales reales yproporcionan al estudiante la oportnidad de disear desde el principio, el sistema de control para un proceso. Los autores estamos convencidos de que dichos problemas son una contribucin importante de este libro. En la presente obra se prefiri el uso exclusivo del mtodo de funcin de transferencia en lugar del de variable de estado, por tres razones: pri)ilera, consideramos que es ms factible hacer comprender los conceptos del control de proceso mediante las funciones de. transferencia; segunda, no tenemos conocimiento de algn plan de control cuyo diseo se basa en el mtodo de variable de estado y que actualmente se utilice en la industria; finalmente, el mtodo de variable de estado requiere una base matemtica ms slida que las funciones de transferencia. En una obra de este tipo son muchas las personas que contribuyen, apoyan y ayudan a los autores de diferentes maneras; nuestro caso no fue la excepcin y nos sentimos bendecidos por haber tenido a estas personas a nuestro alrededor. En el camp industrial ambos autores deseamos agradecer a Charles E. Jones de la Dow Chemica USA, Louisiana Division, por fomentar nuestro inters en la prctica industrial del control de proceso y

PRLOGO

9

por alentarnos a buscar una preparacin acadmica superior. En el campo acadmico, encontramos en nuestras universidades la atmsfera necesaria para completar este proyecto; deseamos agradecer al profesorado y al alumnado de nuestros departamentos por despertar en nosotros un profundo inters en la instruccin acadmica, as como por las satisfacciones que hemos recibido de ella. Ser el instrumento para la preparacin y desarrollo de las mentes jvenes en verdad es una labor muy gratificante. El apoyo de nuestros alumnos de posgrado y de licenciatura (las mentes jvenes) ha sido invaluable, especialmente de Tom M. Brookins, Vanessa Austin, Sterling L. Jordan, Dave Foster, Hank Brittain, Ralph Stagner, Karen Klingman, Jake Martin, Dick Balhoff, Terrell Touchstone, John Usher, Shao-yu Lin y A. (Jefe) Rovira. En la University of South Florida, Carlos A. Smith desea agradecer al doctor L. A. Scott su amistad y su consejo, que han sido de gran ayuda durante estos ltimos diez aos. Tambin agradece al doctor J. C. Busot su pregunta constante: iCundo van a terminar ese libro?, la cual realmente fue de ayuda, ya que proporcion el mpetu necesario para continuar. En la Louisiana State University, Armando B. Corripio desea agradecer a los doctores Paul W. Murrill y Cecil L. Smith su intervencin cuando l se inici en el control automtico de proceso; no solo le ensearon la teora, sino tambin inculcaron en l su amor por la materia y la enseanza de la misma. Para terminar, los autores deseamos agradecer al grupo de secretarias de ambas universidades por el esmero, la eficiencia y la paciencia que tuvieron al mecanografiar el manuscrito. Nuestro agradecimiento para Phyllis Johnson y Lynn Federspeil de la USF, as como para Janet Easley, Janice Howell y Jimmie K,eebler de la LSU. Carlos A. Smith Tampa, Florida Armando B Corripio Baton Rouge, Louisiana

Contenido

Captulo 1 Introduccinl - l El sistema de control de procesos 1-2 Trminos importantes y objetivo del control automtico de proceso 1-3 Control regulador y servocontrol 1-4 Seales de transmisin 1-5 Estrategias de control Control por retroalimentacin Control por accin precalculada 1-6 Razones principales para el control de proceso 1-7 Bases necesarias para el control de proceso 1-8 Resumen

1717 20 20 21 21 21 23 25 25 26 27 27 27 31 41 42 44 59 59 64

Captulo 2 Matemticas necesarias para el anlisis de los sistemas de control2-1 Transformada de Laplace Definicin Propiedades de la transformada de Laplace 2-2 Solucin de ecuaciones diferenciales mediante el uso de la transformada de Laplace Procedimiento de solucin por la transformada de Laplace Inversin de la transformada de Laplace mediante expansin de fracciones parciales Eigenvalores y estabilidad Races de los polinomios Resumen del mtodo de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferencialesll

12

CONTENIDO

2-3

Linealizacin y variables de desviacin Variables de desviacin Linealizacin de funciones con una variable Linealizacin de funciones con dos o ms variables 2-4 Repaso del lgebra de nmeros complejos Nmeros complejos Operaciones con nmeros complejos 2-5 Resumen Bibliografa Problemas

65 66 67 71 76 76 78 81 82 82 91 92 101 104 104 105 114 116 121 126 126 127 128 129 131 139 139 147 152 160 161 167 169 170 170 177 177 180 180

Captulo 3 Sistemas dinmicos de primer orden 3-1 Proceso trmico 3-2 Proceso de un gas 3-3 Funciones de transferencia y diagramas de bloques Funciones de transferencia Diagramas de bloques 3-4 Tiempo muerto 3-5 Nivel en un proceso 3-6 Reactor qumico 3-1 Respuesta del proceso de primer orden a diferentes tipos de funciones de forzamiento Funcin escaln Funcin rampa Funcin senoidal 3-8 Resumen Problemas Captulo 4 4-1 4-2 4-3 4-4 . -;B Sistemas dinmicos de orden superior Tanques en serie-sistema no interactivo Tanques en serie-sistema interactivo Proceso trmico Respuesta de los sistemas de orden superior a diferentes tipos de funciones de forzamiento Funcin escaln Funcin senoidal 4-5 Resumen Bibliografa Problemas Componentes bsicos de los sistemas de control Sensores y transmisores Vlvulas de control Funcionamiento de la vlvula de control

Captulo 5 5-1 5-2

CONTENIDO

13

Dimensionamiento de la vlvula de control Seleccin de la cada de presin de diseo Caractersticas de flujo de la vlvula de control Ganancia de la vlvula de control Resumen de la vlvula de control 5-3 Controladores por retroalimentacin Funcionamiento de los controladores Tipos de controladores por retroalimentacin Reajuste excesivo Resumen del controlador por retroalimentacin 5-4 Resumen Bibliografa Problemas Captulo 6 Diseo de sistemas de control por retroalimentacin con un solo circuito 6-1 Circuito de control por retroalimentacin Funcin de transferencia de circuito cerrado Ecuacin caracterstica del circuito Respuesta de circuito cerrado en estado estacionario 6-2 Estabilidad del circuito de control Criterio de estabilidad Prueba de Routh Efecto de los parmetros del circuito sobre la ganancia ltima Mtodo de substitucin directa Efecto del tiempo muerto 6-3 Ajuste de los controladores por retroalimentacin Respuesta de razn de asentamiento de un cuarto mediante el mtodo de ganancia ltima Caracterizacin del proceso Prueba del proceso de escaln Respuesta de razn de asentamiento de un cuarto Ajuste mediante los criterios de error de integracin mnimo Ajuste de controladores por muestreo de datos Resumen 6-4 Sntesis de los controladores por retroalimentacin Desarrollo de la frmula de sntesis del controlador Especificacin de la respuesta de circuito cerrado Modos del controlador y parmetros de ajuste Modo derivativo para procesos con tiempo muerto Resumen 6-5 Prevencin del reajuste excesivo 6-6 Resumen

181 186 190 196 198 198 201 203 216 219 219 219 220

225 226 229 230 238 251 252 253 257 259 263 265 266 270 272 283 285 294 296 297 297 298 299 304 311 311 316

14

CONTENIDO

Bibliografa Problemas Captulo 7 Diseo clsico de un sistema de control por retroalimentacin 7-1 Tcnica de lugar de raz Ejemplos Reglas para graticar los diagramas de lugar de raz Resumen del lugar de raz 7-2 Tcnicas de respuesta en frecuencia Diagramas de Bode Diagramas polares Diagramas de Nichols Resumen de la respuesta en frecuencia 7-3 Prueba de pulso Realizacin de la prueba de pulso Deduccin de la ecuacin de trabajo Evaluacin numrica de la integral de la transformada de Fourier 7-4 Resumen Bibliografa Problemas Captulo 8 8-1 8-2 8-3 8-4 Tcnicas adicionales de control Rels de cmputo Control de razn Control en cascada Control por accin precalculada Ejemplo de un proceso Unidad de adelanto/retardo Diseo del control lineal por accin precalculada mediante diagrama de bloques Dos ejemplos adicionales Respuesta inversa Resumen del control por accin precalculada 8-5 Control por sobreposicin y control selectivo 8-6 Control de proceso multivariable Grficas de flujo de seal (GFS) Seleccin de pares de variables controladas y manipuladas Interaccin y estabilidad Desacoplamiento 8-7 Resumen Bibliografa Problemas

316 317 341 343 343 349 361 361 370 393 401 401 402 403 405 407 410 411 411 419 420 430 439 447 448 457 459 465 471 472 472 479 479 490 . 503 505 515 515 516

CONTENIDO

15

Captulo 9 Modelos y simulacin de los sistemas de control de proceso 9-1 Desarrollo de modelos de proceso complejos 9-2 Modelo dinmico de una columna de destilacin Ecuaciones de bandeja Bandeja de alimentacin y superior Rehervidor Modelo de condensador Tambor acumulador del condensador Condiciones iniciales Variables de entrada Resumen 9-3 Modelo dinmico de un horno 9-4 Solucin de ecuaciones diferenciales parciales 9-5 Simulacin por computadora de los modelos de procesos dinmicos Ejemplo: Simulacin de un tanque de reaccin con agitacin continua Integracin numrica mediante el mtodo de Euler Duracin de las corridas de simulacin Eleccin del intervalo de integracin Despliegue de los resultados de la simulacin Muestra de resultados para el mtodo de Euler Mtodo de Euler modificado Mtodo Runge-Kutta-Simpson Resumen 9-6 Lenguajes y subrutinas especiales para simulacin 9-7 Ejemplos de simulacin de control 9-8 Rigidez Fuentes de rigidez en un modelo Integracin numrica de los sistemas rgidos 9-9 Resumen Bibliografa Problemas Apndice A Smbolos y nomenclatura para los instrumentos Apndice B Casos para estudio Caso 1 Sistema de control para una planta de granulacin de nitrato de amonio Caso II Sistema de control para la deshidratacin de gas natural Caso III Sistema de control para la fabricacin de blanqueador de hipoclorito de sodio

537 538 540 541 544 545 549 551 554 555 556 556 561 563 564 568 569 571 572 574 576 583 584 584 587 601 602 609 613 613 613 627 633 633 635 636

*

16

CONTENIDO

Caso IV Sistema de control en el proceso de refinacin del azcar Caso V Eliminacin de CO2 de gas de sntesis Caso VI Proceso del cido sulfrico Apndice C Sensores, transmisores y vlvulas de control Sensores de presin Sensores de flujo Sensores de nivel Sensores de temperatura Sensores de composicin Transmisores Transmisor neumtico Transmisor electrnico Tipos de vlvulas de control Vstago recproco Vstago rotatorio Accionador de la vlvula de control Accionador de diafragma con operacin neumtica Accionador de pistn Accionadores electrohidrulicos y electromecnicos Accionador manual con volante Accesorios de la vlvula de control Posicionadores Multiplicadores Interruptores de lmite Vlvulas de control, consideraciones adicionales Correcciones de viscosidad Vaporizacin instantnea y cavitacin Resumen Bibliografa Apndice D Programa de computadora para encontrar races de polinomios ndice

638 639 644 647 647 651 659 663 669 671 671 674 674 675 678 680 680 682 682 683 684 684 688 688 688 688 692 699 701 703 711

CAPTULO

1Introduccin

El propsito principal de este captulo es demostrar al lector la necesidad del control auto.mtico de procesos y despertar su inters para que lo estudie. El objetivo del control automtico de procesos es mantener en determinado valor de operacin las variables del proceso tales como: temperaturas, presiones, flujos y compuestos. Como se ver en las pginas siguientes, los procesos son de naturaleza dinmica, en ellos siempre ocurren cambios y si no se emprenden las acciones pertinentes, las variables importantes del proceso, es decir, aquellas que se relacionan con la seguridad, la calidad del producto y los ndices de produccin, no cumplirn con las condiciones de diseo. En este captulo se presentan asimismo, dos sistemas de control, se examinan algunos de sus componentes, se definen algunos de los trminos que se usan en el campo del control de procesos y finalmente, se exponen las bases necesarias para su estudio.

l-l.

EL SISTEMA DE CONTROL DE PROCESOS

Para aclarar ms las ideas expuestas aqu, considrese un intercambiador de calor en el cual la corriente en proceso se calienta mediante vapor de condensacin, como se ilustra en la figura l-l. El propsito de la unidad es calentar el fluido que se procesa, de una temperatura dada de entrada T(t), a cierta temperatura de salida, T(t), que se desea. Como se dijo, el medio de calentamiento es vapor de condensacin y la energa que gana el fluido en proceso es igual al calor que libera el vapor, siempre y cuando no haya prdidas de calor en el entorno, esto es, el intercambiador de calor y la tubera tienen un aislamiento perfecto; en este caso, el calor que se libera es el calor latente en la condensacin del vapor. En este proceso existen muchas variables que pueden cambiar, lo cual ocasiona que la temperatura de salida se desve del valor deseado, si esto llega a suceder, se deben17

18

INTRODUCCIN

Figura l-l. Intercambiador de calor.

emprender algunas acciones para corregir la desviacin; esto es, el objetivo es controlar la temperatura de salida del proceso para mantenerla en el valor que se desea. Una manera de lograr este objetivo es primero, medir la temperatura T(t), despus comparar sta con el valor que se desea y, con base en la comparacin, decidir qu se debe hacer para corregir cualquier desviacin. Se puede usar el flujo del vapor para corregir la desviacin, es decir, si la temperatura est por arriba del valor deseado, entonces se puede cerrar la vlvula de vapor para cortar el flujo del mismo (energfa) hacia el intercambiador de calor. Si la temperatura est por abajo del valor qye se desea, entonces se puede abrir un poco ms la vtivula de vapor para aumentar el flujo de vapor (energia) hacia el intercambiador.. Todo esto lo puede hacer manualmente el operador y puesto que el proceso es bastante sencillo no debe representar ningn problema. Sin embargo, en la mayora de las plantas de proceso existen cientos de variables que se deben mantener en algn valor determinado y con este procedimiento de correccin se requerira una cantidad tremenda de .operarios, por ello, sera preferible realizar el control de manera automtica, es decir, contar co? instrumentos que controlen las variables sin necesidad de que intervenga el operador. Esto es lo que sigkica el controlautomtico de proceso.

Para lograr este objetivo se debe disear e implementar un sistema de control. En la figura 1-2 se muestra un sistema de control y sus compone@es bsicos. (En el apndice A se presentan los simbolos e identificacin de los diferentes instrumentos utilizados en el sistema de control automtico.} El primer paso es medir la temperatura de salida de la corriente del proceso, esto se hke mediante un sensor (termopar, dispositivo de resistencia trmica, termmetros de sistema lleno, termistores, etc.). El sensor se conecta fsicamente al transmisor, el cual capta la salida del sensor yV la convierte en una seal lo suficientemente intensa como para transmitirla al controlador, El controlador recibe la seal, que est en relacin con la temperatura, la compara con el valor que se desea y, segn el resultado de la comparacin, decide qu hacer para mantener la temperatura en el valor deseado. Con base en la decisin, el controlador enva otra seal al elementojnul de control, el cual, a su vez, maneja el flujo de vapor.

EL SISTEMA DE CONTROL DE PROCESOS

Elemento final de control

Figura 1-2. Sistema de control del intercambiador de calor.

En el parrafo anterior se presentan los cuatro componentes bsicos de todo sistema de control, stos son: 1. Sensor, que tambkn se conoce como elemento primario. 2. Trunsmisor, el cual se conocecomo elemento secundario. 3. Contrdtzdor, que es el cerebro! del sistema de control. 4. Elementojkul de control, frecuentemente se trata de una vlvula de control aunque no siempre. Otros elementos finales de control comnmente utilizados son las bombas de velocidad variable, los transportadores y los motores elctricos. / La importancia de estos componentes estriba en que reulizun las tres operaciones bdsicas que deben estar presentes en todo sistema de control; ,estas operaciones son: , $8 1. Medicin (M): la medicin de la variable que se controla se hace generalmente mediante la,combinacin de sensor y transmisor. 2. Decisibn (D): con base en la medicin, el controlador decide qu6 hacer para mantener la variable en el valor que se desea. 3. Accin (A): como resultado de la decisin del controlador se debe efectuar una ., acci6n en el sistema, generahnente sta es reahzada por el elemento final de control. Como se dijo, estas tres operaciones, M, D y A son obligatorias para rodo sistema de control. En,.algunos sistemas, la toma de decisin es sencilla, mientras que en otros es ms compleja: en este libro se estudian muchos de tales sistemas. El ingeniero que disea el sistema de control debe asegurarse que las acciones que se emprendan tengan su efecto en la variable controlada, es decir, que la accin emprendida repercuta en el valor que se mide; de lo contrario el sistema nocontrola y puede ocasionar ms perjuicio que beneficio.

20

INTRODUCCIdN

1-2.

TRMINOS IMPORTANTES Y OBJETIVO DEL CONTROL AUTOMATICO DE PROCESO

Ahora es necesario definir algunos de los t&minos que se usan en el campo del control automtico de proceso. El primer t&mino es variable controlada, sta es la variable que se debe mantener o controlar dentro de algn valor deseado. En el ejemplo precedente la variable controlada es la temperatura de salida del proceso T(t). El segundo trmino es punto de control, el valor que se desea tenga la variable controlada. La variable manipulada es la variable que se utiliza para mantener a la variable controlada en el punto de control (punto de fijacin o de rgimen); en el ejemplo la variable manipulada es el flujo de vapor. Finalmente, cualquier variable que ocasiona que la variable de control se desve del punto de control se define como perturbacin o trastorno; en la mayora de los procesos existe una cantidad de perturbaciones diferentes, por ejemplo, en el intercambiador de calor que se muestra en la figura 1-2, las posibles perturbaciones son la temperatura de entrada en el proceso, T(t), el flujo del proceso, q(t), la calidad de la energfa del vapor, las condiciones ambientales, la composjcin del fluidoqtiese procesa, la contaminacin, etc. Aqu lo importante es comprender que en la industria de procesos, estas perturbaciones son la causa mas comn de que se requiera el control automtico de proceso; si no hubiera alteraciones4 prevakcerfan las condiciones de operaci6n del diseo y no se necesitarfa supervisar continuamente~el proceso. L Los siguientes t&minos tambin son importaz~&~. Circuito abierto o lazo ubiefto, se refiere a la situacin en la cual se desconecta el controlador del sistema, es decir, d controlador no realiza ninguna funcin relativa a c&nomantener la variable controlada en el punto de control; otro ejemplo en el que existe control de circuito abierto es cuando la accin (A) efectuada por el controlador no afecta a la medicin (M). De hecho, sta es una deficiencia t?mdamental del diseo del sistema de control. Confrol de circuito cerrado se refiere a la situacin en la cual- se conecta el controlador al proceso; .elcgntrolador compara el punto de control (la referencia) con la variable controlada y determina la accin correctiva. c> _ Con la definicin de estos tkminos, el objetivo del control automatice de proceso ., se puede.establecer como sigue: IEl objetivo del sistema de control automtico de proceso es utitizar.la.variable manipulada para mantener a la variable controlada.en el punto de control a pesar de las perturbaciones. / / ld. CQNTROL,iEGi$ADOR Y SWOCChf4fiii)L

.I

En algunos procesos la variable controlada se desva, del punto, dec&&l a causa de ias perturbaciones. El @mino control reguZq&r se utiliza para referirse a los sistemas diseados para compensar las perturbaciones. A veces la perturbacin ms ~mportkte es el punto de control mismo, esto es, el punto de control puede cambiar en funcin dei tiempo (lo cual es tpico de los procesos por lote), y en consecuencia, la variable controlada debe

< . 2 I 1. Evitar lesiones al personal de la planta o d&o al equipo. La seguridad siempre debe estar en la mente!le todos, *sta es-la considercin ms importante. 2. Mantener la calidad del producto~composicidi, pureza, color, etc:) en un nivel continuo y con un costo mfnimo? 3 . Mantener, la, tasa de produccin d Ia planta al costo rnfnimo . ,n-l l- . ., + 2 s - r,+ . 1 Ak + -

(2-39) s -, rk

= ___ (s - rdm

Para evaluar los coeficientes Al, AZ, . . . , A, se aplican en orden las siguientes frmulas:A, = lm l(s - rl) WI

s-r,

A2 = h, $ [(s - rl)ln Y(s)] A, = lm L - [(s - r,) Y(s)] s-tr, 2! das* (2-40)

Una vez que se evalan los coeficientes, la inversin de la ecuacin (2-39) con el uso de la tabla 2-1 da como resultado lo siguiente:A,F A2tm-* ~ (m - l)! + (m - 2)! + . . + A,] e + . + Ake (2-41)

yO) =

Para el raro caso de los pares repetidos de races complejas conjugadas se puede ahorrar trabajo si se considera que los coeficientes son pares de complejos conjugados. De la ecuacin (2-32) se tieneA, = B, + iC, AI = B, - iC,

donde Af es el conjugado de Al. Por lo tanto, de la combinacin de la ecuacin (2-36) y (2-41) se puede escribir. . . + 2B,, cos wt 1 + 2c,,

11sen$vt

(2-42)

+ : . f Akwk

Ejemplo 2-8. Dada la ecuacin diferenciald3c(t) + 3 d2c(t) - + 3 y + c(t), y 2&) dt3 dt ~

SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

53

con condiciones iniciales cero c(O) = 0; $ (0) = 0; $ !O = 0

encontrar, mediante la aplicacin del mtodo de transformada de Laplace, la funcin c(t) que satisface a la ecuacin. Solitcin. Paso 1. Se transforma la ecuacA.s3 C(s) + 39 C(s) + 3s C(s) + C(s) = 2U(s)

Paso 2. Se resuelve para C(s) y se substituye U(s) de la tabla 2-1. ; C(s) = ($3 -l- 39 + 3s + 1) s Paso 3. Se invierte para obtener:c(t). Las raices son:(s3 + 39 + 3s + ,j., s = 0r1.2.5

2

1

,.

= - 1 , - 1 , -1i

1, = 0

Se expande en fracciones parciales2 Al A2 A3 A4 -=- c(s) = (s + 1)s (s + 1)3 + (s + l)* + (s + 1) + T

Se evalan los coeficientes mediante el uso de la ecuacin (2-40):

=lfmI 4$d-, 2 s3

[1

=-.2

54

MATEMTICAS NECESARIAS PARA EL ANLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

2 A4 = lm s r+O (s+=2 2 2 2 2 C(s) = - ------...--+(s + 1) (s + I)? (s + I ) s

Al invertir, con ayuda de la ecuacin (241) y de la tabla 2-1, se obtienec(t) = - [t? + 2t + 21 e- + 2u(t)

Ntese que con el uso de la tabla 2-1 se puede obtener el mismo resultado mediante la inversin directa de cada trmino. Caso 4. Tiempo muerto El uso de la t6cnica de expansin en fracciones parciales se restringe a los casos en que la transformada de Laplace se puede expresar como una relacin de dos polinomios. Como se vio en el teorema de traslacin real, ecuacin (2-9), cuando la transformada de Laplace contiene tiempo muerto (retardo de transporte o tiempo de retraso), en la funcin transformada aparece el tfkmino exponencial e -% donde t. es el tiempo muerto y, puesto que el exponencial es una funcin trascendental,el procedimiento de inversin se deb ., modificar de manera apropiada. Si la funcin exponencial aparece en el denominador de la transformada de Laplace, no se puede hacer la inversin por expansin en fracciones parciales, porque ya no se tiene un nmero finito de rafces y, en consecuencia, habr un nmero infinito de fracciones en la expansin. Por otro lado, los trminos exponenciales en el numerador se pueden manejar, como se ver enseguida. Considrese primeramente el caso en que la transformada de Laplace consta de un termino exponencial que se multiplica por la relacin de dos polinomios:

e-r',l = e-"'('[Y,(s)]

(2-43)

El procedimiento consiste en expandir en fracciones parciales nicamente la relacin de los polinomios.4 4 Y,(s) = Ng = -+ -f + s - r, s - r, 4 s - rl

(2-44)

Para esta expansin se requiere la aplicacin de alguno de los tres primeros casos; a continuacin se invierte la ecuacin (2-44) para obtenerY,(t) = Ale + AId + . . . + A@ -.

SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

55

Para invertir la ecuacin (2-43) se hace uso del teorema de traslacin real, ecuacin (2-9). Y(s) = e-s( Al invertir esta ecuacin resulta y(t) = ce- [Y(s)1 = y,(r - t) = A,e~- + A2er2-d . . + ,,Q-o{2-46)Y,(s) = ce [y,(r - ro)]

(2-45)

Es importante subrayar el efecto de la eliminacin del t&mino exponencial del procedimiento de expansin en fracciones parciales; si se expande la funcin original, ecuacin (2-43), se obtiene-rlO A,e-c Ake -rn Ale Y(s) = -+-=--+...+-

s - r,

s - r7

s - rk

A pesar de que parece funcionar en ciertos casos, esto es fundamentalmente incorrecto. A continuacin se considera el caso de mltiples retardos, lo que introduce ms de una funcin exponencial en el numerador de la transformada de Laplace, cuyo procedimiento implica manejar la funcin algebraicamente como una suma de tkminos, de manera que cada uno comprenda el producto de un exponencial por la relacin de dos polinomios.

= [Y,(s)] e -m + jY2(.s)] e-(~2

+ .

(2-47)

Porteriormente se expande cada relacin de polinomios en fracciones parciales y se invierte para obtener un resultado de la formay(r) = y,(t -,f",) + ygt - t"?) + . .(2-48)

Los retardos mltiples pueden ocurrir cuando el sistema se sujeta a diferentes funciones de forzamiento, cada una con diferente periodo de retardo. Ejemplo 2-9. Dada la ecuacin diferencialy +

2c(t) = J(f)

con c(O) = 0, encontrar la respuesta de salida para: a) El cambio de un escaln unitario-en t = 1: f(t) = u(t - 1)

56

MATEMTICAS NECESARIAS PARA EL ANALISISDE LOS SISTEMAS DE CONTROL

b) Una funcin secuencial de escalones unitarios que se repitenf(f) = u(t - 1) + u(t - 2) + u(t - 3) +

cada unidad de tiempo

Estas funciones se muestran en la figura 2-3. Solucidn .

Paso 1. Se transforma la ecuacin diferencial y la funcin de entrada:: SC(s) + 2cy.s) = F(s) Se utilizan el teorema de la traslacin real y la tabla 2- ,l , de donde se obtiene

1 3

I 4 (b)

I 5

I 6

t

Figura 2-3. Funciones de entrada para el ejemplo 2-9. a) Escaln unitario con retardo. b) Secuencia de escalones unitarios.

SOLUCIN (b)

DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE LAPLACE F(s) = Y!(u(t - 1) f u(t - 2) + u(t = J-t + e-2 + e-3r + . ,) s

57

3) + -. . .1

Paso 2. Se resuelve para C(s).

C(s) = -$ F(s)Paso 3. Se invierte para obtener c(t). (a) C(s) = &!c-,s = C,(s)e-S

A2 =lmsS-MI C,(s) = (s +

1

= -12)s 2

2 4 1 --: 13

g+ _-

-+

_j

112 LL+s+2 s

Se invierte para obtenerc,(t) = -b + f UO) 2

Se aplica la ecuacin (2-46):

.

c(t) = c,(t - 1) = &t - l)[l - cT-3-)1 Ntese que el escaln unitario u (t - 1) se debe multiplicar tambiCn por el tbrmino exponencial, para indicar que c(r) = 0 cuando t < 1. b) Para la funcin escalera se ve que

C(s)

= [

& 3 (Cs + e-2s 1

+ ee3,$

+ . . .)

= C,(s)e- +-C,(s)edZs + Cl(s)em3

+ . , .-

58

MATEMTICAS NECESARIAS PARA EL ANLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

Es notorio que C,(s) es la misma de la parte (u) y, por tanto, el resultado de los pasos de expansin e inversin es el mismo. De la aplicacin de la ecuacin (2-46) a cada miembro resultac(r) = c,(t - 1) + c,(t - 2) + c,(t - 3) + . * . = iu(t - l)[l - e- 2kIl] + + - 2)(, - e-2(r-2)] + iu(t - 3)[1 - e-2(r-3)] + .

Si ahora se desea evaluar la funcin en t = 2.5, la respuesta es42.5)

= k(l),1 - e-2(2.5-1)] + -!-(l)[l - e-2(2.5-2)]+ -+)[l - e-22.5-3] + . . . = i(O.950) + i(O.632) = 0.791 -

Ntese que, despus de los dos primeros, todos los trminos son cero. En la tabla 2-2 se resumen los cuatro casos precedentes. Puesto que con todos estos casos se cubren esencialmente todas las posibilidades de solucin de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, la correspondencia uno a uno en la tabla 2-2 hace innecesaria la inversin real de la transformada de Laplace de la variable dependiente, debido a que generalmente se pueden reconocer los trminos de la funcin del tiempo y(t) en la transformada de Laplace Y(s).

Tabla 2-2 Relacin entre la transformada de Laplace Y(s)

y su inversa y(t)., Trmino de y(t) Ae,en(6 cos wt + C sen W)

Denominador de Y(s)1. Raz real no repetida 2. Par de races complejas conjugadas 3. Raiz real que se repite

TBrmino de la fraccidn parcialAs - r

B(s - r) + Cw(s - r) + w*

veces

m,

$ ,=, (s - r)

t/-1 ,(g A-T

:

,=, (1 - l)!

TBrmino de tiempo muerto en el numerador de Y(s)

TRrmino

de y(t)

4. Y,(s)eeoS

Y,U - 44

SOLUCIdN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

59

Eigenvalores

y estabilidad

Al revisar la tabla 2-2 es evidente que las raices del denominador de la transformada de Laplace Y(s) determinan la respuesta y(t); tambin se puede ver que, de la ecuacin (2-20), algunas de las races del denominador de Y(s) son las de la siguiente ecuacin: a,,s + a ,,-, Sr- + . 0) u oscilan (T, es compleja) se determina completamente por las races de la ecuacin caracterstica. Este concepto se utilizar en la siguiente seccin para determinar la estabilidad del circuito. j Con los dos ejemplos siguientes se ilustra el efecto de un controlador puramente proporcional y de uno puramente integral sobre la respuesta de circuito cerrado de un proceso de primer orden; se ver que con el controlador puramente proporcional se acelera la respuesta de primer orden, lo que da por resultado una desviacin o error de estado estacionario, como se estableci en el capwlo 5. Por otro lado, con el controlador integral se produce una respuesta de segundo orden que cambia de sobreamortiguada a subarnortiguada conforme se incrementa la ganancia del controlador y, como se estableci .en el captulo 4, la respuesta subamortiguada es oscilatoria. * < Ejemplo 6-1. Control proporcional de un proceso de primer orden. En la figura 6-4a se muestra el diagrama de bloques para un proceso simple; el proceso se puede representar mediante un retardo de primer orden:

Se debe determinar la funcin de transferencia de circuito cerrado y la respuesta a un cambio escaln unitario en el punto de control de un controlador proporcional:G,.(s) = K,

Solucidn. La funcin de transferencia de circuito cerrado se obtiene del,hlgebra

para

diagramas de bloques:G(s)G,.(s) C(s) -= .:R(s) 1 + C(s).* ..

Figura 6-4~. Diagrama de bloques para el ejemplo 6-1.

CIRCUITO DE CONTROL POR RETROALIMENTACIdN

233

Entonces se substituye la funcin de transferencia del proceso y se simplifica:

5G,.(s) C(s) -= R(s) , + --& G,.(s)K G,.(s)= 1 + TS + KG,.(s)

Para un controlador proporcional G,(S)

= K,; ;.

al substituir, se tiene

KK, KK,.I(I + KK,.) C(s) K' -= =I + KK,. + 7s = [d(l + KK,)]s + 1 T's,+ 1 R(s)

Se ve fcilmente que la ganancia de estado estacionarioK' = KK,.I(l + KK,.) i. ;

siempre es menor que la unidad; y que la constante de tiempo de circuito cerrado7 = 7 -

1 + KK,

siempre es menor que la constante de tiempo de circuito abierto r; en otras palabras, el circuito siempre responde ms rpido que el sistema original, pero no coincide completamente con el punto de control, en estado estacionario; es decir, hay una desviacin. Para un cambio escal6n unitario en el punto de control, de la tabla 2-1, se tiene

Se substituye en la funcin de transfereneia y se expande por fracciones parciales para obtener .K' 1 K' K'T' C(s) = - - c m - s 7's + I s 7's + 1

Al invertir, resultac(t) = K'(I - e-"l') _ e-tl+KKM?].I.,

< : Condiciones di? diseiio 0; / , En las condiciones de diseo, el flujo de alimenta&nfes,de l~pies$&, a una temperatura Ti de 1OOOF. El contenido del tanquesedebe mantener a una temperatura T de ~ 150OF. Las posibl$s perturbaciones s& can$ios en la tasa de alimentacin y en la temperatura. >.

CIRCUITO DE CONTROL POR RETROALIMENTACI6N

245

Sensor y transmisor de temperatura El sensor de temperatura se calibra para un rango de 100 a 200F y una constante he tiempo rt de 0.75 min...

Vailvula de control La vlvula de control se disea con una sobrecapacidad del lOO%, i las variaciones en la cada de presin ,se pued~g despr@r., La vGlyula eS,< iguq,porcentaje, COQ un parmetro de ajuste deiango d 50; la constante de tiempo 7, del actuador es de 0.20 min. Solucih El m&odo que se utiliza es obtener primeramente las ecuaciones con que se describe el comportamiento dinmico del tanque, la vlvula de control, el sensor-transmisor y el controlador; entonces se linealizan y se obtiene su transformada de Laplace, para .i obtener el diagrama de bloques del kircuita. .A iProceso ,, I i : ,

Del bsllancb dk!:Wgfa para el liquido eti eI+ tanque; ai se SupOne que las prdidas de calor sbn d&preciabh3; Ia mezcla es p&feCl&y el vhmen y laS propiedades f.Gicas son cons i s :s I > tantes, resulta la siguiente ecuMn:,/ i &@ 4r(-

p dt

= f(t)pC,T,(t)I , .., nr,o CM dt = w(t)h 7 WTslt) - TM1 I ,

2 ecuaciones, 3 incgnitas Iw)

246

DISEO

DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALJMENTACIdN

donde: w(t) es la tasa del vapor, lb/min CM e.s la capacidad calorficadel metal del serpeki, Btu?F Puesto que la tasa de vapor es la salida de la vlvula de control y una entrada al proI ceso, el modelo del proceso est completo. . : I La ecuaciti para tina &l#ida de!prcentaje igual con presin de &radi y cada de pre 2. sin constantks, se puede escribir como 3 ecuaciones, 4 incgnitas (vp) f i _ donde: .: .,: ./ $1 ., i .:: i ,. :. Wmax es ei flujo mximo a travs de la vkula, lblmin , . , ,. /. ,(S)

6 ecuaciones, 6 incgnitas donde K, es la ganancia del kontrolador, TI el tiempo 8e,nte&raci6n y ~0 el tiempo de : I .,; i / : derivacin. Con esto se completa la obtencin de la ecuacin para el circuito de control de temperatura. El siguiente paso es linealizar las ecuaciones del modelo y sus transformadas de Laplace para obtener el diagrama de bloques del circuito. : : ,, , : 1.Lhealizacin y transformadas de Luplace

Mediante los mtodos que se aprendieron en la seccin 2-3, se obtienen las ecuaciones del modelo del tanque en forma lideal y en tCrm&os de las variables de desviacin

vpcjy = fpC,T,(r) + pcpS + 1)

7, * 72

se deben determinar los parmetros de un modelo de primer orden ms tiempo muerto (POMTM)

se debe utilizar el mtodo tres en funcin de la relacin r2/r1. Solucidn: Primeramente se obtiene la respuesta escaln unitario para el proceso real: 6 M(s) = f -

AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACl6N K1)(7g +

281 1

C(s) = -

(7,s +

1) s

Por expansin de fracciones parciales, para el caso T] > r2: C(s) = 5 - -+-- + A71 _. l Tl 72 s+ IIr2 KT, 1

Se invierte, con ayuda de una tabla de transformada de Laplace (tabla 2-l), para obtener

Como I--+X y puesto que .Am = IK+K

Ac -+ K

Para el mtodo 3, en tl = ti + 713Ac=< -e - ~)K = K 1 [

yent2 = t + 7

r

(4 (B) Para el caso en que r1 = r2, mediante expansin de fracciones parcialesC(S) = K KK I(T,S + I )G = s - 5,

I -K1 s + 71

282

DISEO

DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACION

Se invierte, con ayuda de una tabla de transformadas de Laplace

1

(tabla 2-l), para obtener

de lo que resultae-

[ 7, + ' e -"'T' 1 e-1 = [ 7, + l e-'Z'T' 1113 = ?l

(C) (D)

t2

A partir de las ecuaciones (A) y (B) o (C) y (D), se debe resolver, por ensayo y error, para tl y r2. Entonces, de la ecuacin (6-44) 3 7 = *t; 02

- fl)

=

t2

- 7

Para resolver este problema, Martinc3) utiliz un programa de computadora; los resultados se grafican en la figura 6-18. Como se puede ver en esta figura, el mximo tiempo muerto efectivo tiene lugar cuando las dos constantes de tiempo son iguales:

Figura 6-18. Modelo POMTM del tiempo muerto y la constante de tiempo para la aproximacin del mtodo 3 al sistema sobreamortiguado de segundo orden. (Se reproduce con la debida autorizacin de la referencia bibliogrfica 3.)

AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACIN

283

Para 7, = 7? Para Ti

6T

I

I

7T

8T

.9T

10T

1lT

f

Figura 6-23. La respuesta de un controlador por muestreo de datos (computadora) se mantiene , . . , : : constante durante cada perodo de muestreo Ti _ K, =/ 33.8 = 3.8 %l% (0.80)( Il .2) 0

PREVENCIN

DEL REAJUSTE EXCESIVO

311

rc/SintesIs

Ajuste para la razn de asentamiento de un cuarto

$E mnima pa;a cambiar el punto -9;

(5% del sobrepaso)

!i

de cont;ol

.-

zj

I

4. .

b.

:

28

10

12 ,t

Tiempo, min.

Figura 6-27. Respuesta de circuito cer&do, de un& planta de segundo orden y controlador PI a un cambio en el punto de control. Los parmetros del modelo son: r = 3.7 min, r, = 0.53 min, K = 1. (Reproduccin autorizada de la referencia bibliogrfica 8, 0, ISA, 1976).

Se utiliz una aproximacin estndar dePad para simular el tiempo muerto. En la figura 6-27 se ilustran las repuestas que resultan. En la comparacin de las respuestas se observa que con las f&&las ie sntesis del controlador para un sobrepaso del 5 % se obtiene una respuesta muy cehna a la respuesta de IAE mnima para el punto de control. Estas respuestas son superiores a la. de razn de asentamiento de un cuarto, en trminos de estabilidad y tiempo de,sentamiento para cambios en el punto de control.

En esta seccin se present la tcnica de sfntesis. De los controladores sintetizados resultantes se obtuvo una nueva visin de las funcines de los modos proporcional, integral y derivativo; tambin se obtuvo un conjutito de relaciones de ajuste para los controladores PID. 1 .i

p

.>

Figura 6-+., Tanque .calen,tado por v+por,

PREVENCl6N

DEL REAJUSTE EXCESIVO

313

Sobrepaso

debido

a

la vly~la 3 - 0 Cerrado t

. Figura 6-2% Reajuste excesivb al inicializar el tanque calentado p& vapor.

lador esta al valor de la presin de alimentacin, que es de 20 psig. A pesar de que el controlador se satura, la vlvula de vapor se mantiene completamente abierta; .esta estrategia s la correcta para calentar en tiempo mfnimo el contenido del tanque hasta el punto de controi. El problema de exceso empieza a aparecer cuando la temperatura del tanque alcanza el punto de control (punto de rdgimen, refere-ncia o fijaci6n) y en ese instante la salida del controlador esm(r) = Z + K,.e(t) + -. e ( r ) dr 71 I = 20 psig .

Esto se debe a que, con la accin de integracin, la salida del controlador se lleva al valor de la presin de alimentacin. (Se notara que esto equivale a igualar con 20 psig el valor de desviacin y el t6rmino de integracin a cero.) Puesto que la vlvula de control del vapor no se empieza a cerrar sino hasta que la salida del controlador alcanza 15 psig, se requiere un error negativo grande para provocar un descenso de 5 psig en la salida del controlador. Por ejemplo, cuando se tiene nicamente accin proporcional y se supone una banda de proporcionalidad de 25 % (K, = 4), el error mnimo requerido para empezar a cerrar la vlvula esM = 20 + K,.e psig

e = -=K,

m - 20

psig (- 10.4% de rango)

ste es un error significativo e indica que la temperatura continuar subiendo por arriba del punto de control mientras la vlvula de vapor permanezca completamente abierta; pa-

314

DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR R~TROALIMENTACIN

recer que el controlador no responde a la elevacin en la temperatura, entonces se dice que est excedido . Con la accin de integracin se puede empezar a,,reducir la salida del controlador tan pronto como el error se hace negativo, de manera que el error puede alcanzar un pico con valor inferior al que se estim con anterioridad (- 10.4%). Sin embargo, si no fuera por la accin de integracin, en primer lugar, el valor de desviacin TFi no hubiera llegado a 20 psig. Como se vio en el captulo 5, la frmula para un controlador proporcional es m(t) = iii + K+?(r) Si se considera un valor de desviacin Zi de 9, con el controlador proporcional se empieza a cerrar la vlvula de vapor antes de que la temperatura alcance el punto de control. Por lo tanto, la accin de integracin es la causa de que exista un gran sobrepaso de temperatura, como se ilustra en la figura 6-28b y, puesto que ese efecto es allente indeseable, jcmo se puede evitar? Una forma de evitar el gran sobrepaso que ocasiona el reajuste excesivo es mantener el controlador en manual hasta que la temperatura llegue al punto de control, y cambiarlo entonces a automtico. En este caso la vlvula de vapor se mantiene completamente abierta mediante el ajuste manual de la salida del controlador,a 15 psig, con lo cual se garantiza que la vlvula de control se comenzar a cerrar tan pront?como el controlador se cambia a autmtico. Una segunda alternativa es instalar un limitador de la salida del controlador para evitar que llegue a valores ms all del rango de la vlvula de control, es decir, arriba de 15 psig o abajo de 3 psig, pero, Les que esto funciona? Para responder esta pregunta se divide el diagrama de bloques del controlador en sus respectivas partes. La funcin de transferencia del controlador PI se expresa mediante

/ M(s) = K, 1 + & E(s) I 3 [= K,.E(s) + M,(sj

, r7i

donde:

i r< Ws) = +(S) I I % , ,.

:, Figura 6-29~. LA implantacin directa,de un controlador PI es diftcil de limitar.

PREVENCIN DEL REAJUSTE EXCESIVO

315

Limitador de la senal absoluta

Figura 6-296. La implntacin limitar.

del reajikkpor r&tYoalimhtacin 8.. i,

de un controlador PI es fcil de

En la figura 6.29u se ilustra una.construccin directa con base en esta funci6n de transferencia, :en diagrama de bloques. En.4 diagrama se muestra por qu. al instalar un l.imitador a la salida del controlador no se evita el problema de exceso: la salida de la accin de interaccin, M&), an se ir ms al& de las lmites de la salida del controlador y causar el exceso. En otras palabras, para evitar el exceso, se debe limitar de alguna manera la salida de la accin de integracin; en los controladores analgicos neumticos y electrnicos se logra esta limitacibn dbun:nianera muy ingeniosa: primero, a partir de la definicin de MI(s), se tiene ,*: ,. ~ * )!..-, r,sM,(s) : = K,.E(s) .,i. ~

(6-78) I.

2

;

'!

,

')

,

,\T'

;

Al resolver para KJX((s); de laecuacibn (66-73, se~titne , ;,; ,, ,

A. )(6-79)

., >l , : De combinar las ecuaciones (6178) y (6-79):.&&denar, ret&a ., -, 1.

1 M/(S) = -1 M(s) [ 71s + 1

.

(6-80)

f *I T,< :.oy ?, ::. Esta construccin para la accin de integracin se representa en el diagrama de bloques de la figura 6-293, en el cual se puede abfiervar que, si el limitador se coloca como se muestra, MAS) se limita autom&icament@ l$to se.;debea queN&) siempre esta en retardo respecto a ,&(s), c@r una~ganancia~&1 .&y, una constante de tiempo ajustable rI; por 10 tanto, nunca estar fuera del rango a que se limita M(S). Enotras palabras, si M(s) alcanza uno de sus:lmites, M,(s)se acercar. a ese lmite, es decir, 15, psig; entonces, en el momento en que el error se uelve,raegativo,, la salida del controlador se hace ,. ,fi I 1: : _, , /G m(t) = 15 + K,e(t) < 15.psip ya"que e(t)'< 0 :;

316

DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

Esto es, la salida del controlador llega fuera del lmite y cierra la vlvula de control, len el instante en que la variable controlada pasa por el, punto de control! Se observa que en estado estable el error debe ser cero, ya queM = MI .= M, + K,.e :.e = 0

Y, por lo tanto, no debe existir desviacin. El limitador que se muestra en la figura 6-2913 se conoce algunas veces como conmutador por lotes (butch switch) porque en los procesos por lotes se presentan situaciones de exceso con suficiente frecuencia como para justificar el gasto extra por el limitador. Actualmente, en los controladores que se construyen con microprocesadores, el limitador es una caracterstica de control estndar. La estructura de retroalimentaci6n de reajuste? de la figura 6-29b tiene la ventaja que proporciona, de una manera muy limpia y directa, la eliminacibn del reajuste excesivo en los sitemas de control por .superposicin y en cascada. En las secciones en que se ,L , cubren tales tpicos se har mencin a esto.. .6-6. RESUMEN

El control por retroalimentacin es la estrategia bsica del control de procesos industriales. En este captulo se presentaron mtodos para determinar la respuesta linealizada de un circuito de control por retroalimentacin y sus lmites de estabilidad; tambin se presentaron varias tecnicas para ajustar 1~s controladores con retroalimentacin y se abord el problema del reajuste excesivo y la manera de prevenirlo en circuitos simples. Hasta el momento se expusieron dos metodos para analizar la estabilidad de un circuito de control, la prueba de Routh y la substitucin directa, as como un mtodo para medir la dinmica del proceso: la prueba de escaln. En el captulo siguiente se estudiaran dos mtodos clsicos para analizar las respuestas del circuito de control: el lugar de rafz y la respuesta en frecuencia; tambitn se presentar un mtodo ms eficaz para la identificacin del proceso: la prueba de pulso.BIBLIOGRAFA .3i 1.

/j_.

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PROBLEMAS

317

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6-1.

En el diagrama de bloques de la figura 64~ se representa un circuito de control con retroalimentacin; en el proceso se puede representar con dos retardos en serie: 1 ,.1.,G(s)

K = ;, (7, .+ M72.s + 1)