antologia de algebra

SAETA ALGEBRA

INDUCCÍON

Bienvenido al mundo maravilloso, de las literales y los números, en este material autoinstruccional encontraras el que y el por que de las incógnitas además las formas de explicar mas fácilmente, las operaciones matemáticas con las cuales convives. La antología está estructurada de tal forma que te resultará fácil el uso, en ella encontrarás al principio de cada unidad una o varias secuencias didácticas, las cuales de manera personal desarrollaras, cada unidad tiene una pequeña inducción al tema de estudio, desarrollo, actividades de aprendizaje, autoevaluación, y en algunos casos actividades remédiales. Pon mucha atención en cada uno de los aspectos y si tuvieras alguna duda consúltalo inmediatamente con tu asesor. Para profundizar más en tus conocimientos consulta la bibliografía que se te presenta al final de la unidad.

Finalmente, el éxito o fracaso de este trabajo se sustentará en la obtención de resultados y en la relevancia de los cambios que se generen, asimismo en la adquisición de habilidades y destrezas evidenciadas en el desarrollo de tus capacidades.¡ TODOS TENEMOS HABILIDADES MATEMÁTICAS, DESCUBRÁMOSLAS JUNTOS Ahora tienes en tus manos una de las herramientas más importantes en

tu formación. Al conocerla te darás cuenta de su utilidad, práctica y sobre

todo lo ameno que te parecerá. Con la seguridad de tu dedicación y

empeño demostrado como estudiante del SAETA, te decimos

solamente...

¡SI SE PUEDE ¡ LOS SAETOS NOS DIVERTIMOS CON EL ALGEBRA ¡

0

SAETA ALGEBRA

ALGEBRA

PROPÓSITO.Sentar las bases que te permitan apropiarte de los conocimientos del Álgebra, para aplicar modelos matemáticos en apoyo a otras disciplinas y en la solución de problemas reales.

El razonamiento diferencia al hombre de los

Demás seres vivos, la base del razonamiento

Son las matemáticas.

C. E. N. C.

1

SA

ET

A

ÁLGEBRA

SAETA ALGEBRA

Cuando las cantidades son representadas por medio de letras para lograr la generalización, se habla de Álgebra. El hombre al contextualizar abstractamente el número, después de muchos siglos que empezara a medir y contar, crea las bases para la formación de la ciencia algebraica.

Se pretende, que te familiarices poco a poco con conocimientos más abstractos del número, partiendo de los antecedentes preliminares para el conocimiento y resolución de problemas en donde se presenten valores por medio de letras.

En la vida diaria es frecuente el uso de símbolos para simplificar anotaciones y facilitar las operaciones. Como el signo $ que significa pesos, el símbolo que significa que nos aproximamos a una curva, el símbolo °, que significa grados y otros que vemos en cada momento; pero los más usados son simples abreviaturas en las que la primera letra de una palabra reemplaza a toda la palabra, por ejemplo m (metro), l (litro), r (radio), c.p. (código postal), Ha (hectárea), P.M. (pasado meridiano) y varios más que son de uso común.

A continuación observarás el total de contenidos que aprenderás, representados en el siguiente diagrama:

2

SA

ET

A

ÁLGEBRA

SAETA ALGEBRA

ÁLGEBRA

.

3

Suma y resta de polinomios

Exponentes y radicales

Multiplicación y división

De de polinomios

Productos notables

Factorización

Ecuaciones de primer grado

Despeje de formulas.

Métodos de solución

Sistema de ecuaciones con 2 y 3 incógnitas de primer grado

Métodos de solución

NotaciónPropiedades de

las desigualdades

Solución de inecuaciones

TerminologíaLenguaje

comúnLenguaje

algebraico

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

OPERACIONES FUNDAMENTALES

ECUACIONES

LINEALES

ECUACIONES CUADRÁTICA

S

SISTEMA DE ECUACIONES

INECUACIONES

ECUACIONESLENGUAJE ALGEBRAICO

ÁLGEBRA

SAETA ALGEBRA

TERMINIOLOGÍA

Las expresiones separadas por un signo (más ó menos), se le llama término, los términos sólo contienen productos y cocientes de números y de letras.Como podemos ver, cada término en una expresión algebraica está formado por varios elementos, por ejemplo:

- 7 m2, si lo separamos en sus elementos, ¿Cuántos obtendrías? ____________, efectivamente 4 y son: - , 7, m, 2, en donde cada uno recibe un nombre específico: el signo, coeficiente numérico, parte literal y exponente. No necesariamente en un término algebraico tienen que aparecer todos los elementos, puesto que algunos se sobre entiendenAverigua que representa cada uno de los elementos (signo, coeficiente, exponente, literal o base).

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

I. Indica el número de términos que contiene cada expresión algebraica.

a) 8c ____________________

b) 4f + f y - 1 + z ____________________ 2 c) 8p + 4n2 ____________________

d) 11x - 1 + 2x2 ____________________ 4f

Las expresiones algebraicas las podemos clasificar según el número de términos que posean:

a) Monomio: Expresión algebraica que consta de un sólo término, ejemplos: -8p3, 1 m3 n2, 4z 3, etc. 3 3w

b) Binomio: Expresión algebraica de dos términos, ejemplos: 5x - 1, 3x2 + 2mx, 4z 2 + 5x 2 , etc. 3 y2

c) Trinomio: Expresión algebraica de tres términos, ejemplo: 2x + 3y - 5, 3x2 - 5x + 17, 1 m2 + 3 mn - n2, etc. 16 4

d) Polinomio: Expresión algebraica de más de un término, ejemplos:

x + 2, 7y2 + 4x -y3, 4m -7n - 5 mn + 1, etc. 4

4

SAETA ALGEBRA

LENGUAJE COMUN

TEMA INTEGRADOR: DEL LENGUAJE COMUN A ALGEBRAICO.

OPERACIONES DE APERTURA:

En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en proposición con lenguaje algebraico,

1. Comprender el lenguaje escrito para pasarlo al lenguaje algebraico

2. analizar materiales escritos y relacionarlos con el lenguaje algebraico, haciendo

la expresión algebraica correspondiente.

3. Integrados en equipos de 3 o 4 integrantes, hacer planteamientos sencillos de

lenguaje coloquial o común a lenguaje algebraico.

4. Utilizar los signos de agrupación en expresiones algebraicas sencillas

PROBLEMA:

Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras relacionadas por los símbolos de operación suma, resta, multiplicación, división, potencia, raíces, etc.; que sirva como modelo para representar algunos problemas de la vida real. Realiza las expresiones algebraicas siguientes:

EXPRESIÓN VERBAL


1. El peso de tu Profesor

2. La suma de dos números

3. La diferencia de dos números

4. El producto de dos números

5. La mitad de un número más otro número

6. La tercera parte de la suma de dos números

7. El cuadrado de la diferencia de dos números

5

SAETA ALGEBRA

8. El cociente de dos números

5. En forma individual determina una estrategia de solución para conocer la

expresión algebraica de cada frase en lenguaje común.

6. Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas señalando

coincidencias y diferencias.

7. Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo

8. Presenta la estrategia al grupo.

9. Discusión del grupo por la estrategias y resultados obtenidos en el problema.

ACTIVIDADES DE DESARROLLO:

1. Analizar los materiales escritos en lenguaje común y pasarlos al lenguaje

algebraico y con los contenidos que puedan corresponder al tema integrador

por equipo como son:

a) Lenguaje algebraico.

b) Expresión algebraica

c) Signos de agrupación

2. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados, con el material

analizado.

3. Socializar en el equipo y exponer al grupo los conceptos y principios utilizados

en la

solución del problema.

4. Ejemplificación de procedimientos de representación de enunciados en forma

Algebraica y operaciones con expresiones algebraicas.

ACTIVIDADES DE CIERRE:

1. Plantear por equipos las diferentes formas de representar el lenguaje

algebraico y de realizar problemas similares

.

1. Plantear por equipos un problema semejante al grupo para su solución.

6

SAETA ALGEBRA

2. Resolver los ejercicios propuestos por el profesor

3. Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. INSTRUCCIONES.- Escribe en lenguaje algebraico dentro del rectángulo de la derecha, las siguientes expresiones verbales.

a) El precio de 1m. de tela

b) La leche que da una vaca

c) La leche que dan 5 vacas

d) El maíz que produce una hectárea de terreno, 2 hectáreas y 9 hectáreas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

e) La suma de dos números

f) La suma de dos números al cuadrado

g) La 1/5 parte de la producción total de huevo en una granja avícola.

II. INSTRUCCIONES: Identifica la expresión algebraica que corresponda a cada una de las expresiones verbales. El doble del cubo de un número: ( )

a) 2 a b) 2a3 c) a/2

Un número más el cuádruplo del mismo número es igual a 25: ( )

a) x + 4x = 25 b) x + x = 25 c) x + x/4 = 25

El cuadrado de un número disminuido en 8 es igual a la tercera parte de otro número.( )a) 2m - 8 = 3n b) ( 2m - 8 ) = n/3 c) m2 - 8 = n/3

La mitad de un número más otro número ( )

a) a/2 + a b) a/2 - c c) a/2 + m

El cuadrado de un número más su mitad ( )

7

SAETA ALGEBRA

a) a/2 + a b) a2 + a2 c) a2 + a/2

El cubo de un número más el cuadrado de otro número ( )

a) c3 + a/2 b) c3 + c2 c) c3 + a2

- LENGUAJE ALGEBRAICO

TEMA INTEGRADOR: DEL LENGUAJE ALGEBRAICO A COMUN


En álgebra es muy importante comprender perfectamente las expresiones algebraicas en una proposición con lenguaje coloquial o común y viceversa.

1. Comprender el lenguaje algebraico para pasarlo al lenguaje escrito

2. analizar las expresiones algebraicas y relacionarlos con el lenguaje común,

haciendo la expresión verbal correspondiente.


lenguaje algebraico a lenguaje común.


PROBLEMA:

Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras relacionadas por los símbolos de operación suma, resta, multiplicación, división, potencia, raíces, etc.; que sirva como modelo para representar algunos problemas de la vida real. De las expresiones algebraicas siguientes, pásalas a lenguaje común:

a) a/2 + b = __________________________________________________ b) 3ª - h = __________________________________________________

c) 2x = __________________________________________________

d) 3 (a – b) = __________________________________________________

e) x/4 + y/3 = __________________________________________________

f) 2m – 4n = __________________________________________________

g) ( a – c )2 = __________________________________________________

8

SAETA ALGEBRA

5. En forma individual determina una estrategia de solución para conocer lo que

nos dice la expresión algebraica y expresarla en lenguaje común o coloquial.







1. Analizar los materiales escritos en lenguaje algebraicos y pasarlos al lenguaje

común y con los contenidos que puedan corresponder al tema integrador por equipo

como son:





analizado.


en la solución del problema.


Algebraica y con las expresiones comunes.


1) Plantear por equipos las diferentes formas de representar el lenguaje

algebraico y

de realizar problemas similares.

2) Plantear por equipos un problema semejante al grupo para su solución.

3) Resolver los ejercicios propuestos por el profesor

4) Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo.

9

SAETA ALGEBRA


I.- INSTRUCCIONES: Escribe en lenguaje verbal las siguientes expresiones algebraicas.

a) a/2 + b = __________________________________________________

b) 3a - h = __________________________________________________

c) 2x = __________________________________________________

d) 3 (a - b) = __________________________________________________

e) x/4 + y/3 = __________________________________________________

f) 2m - 4n = __________________________________________________

g) ( a - c )2 = __________________________________________________

II. INSTRUCCIONES: Identifica la expresión verbal que corresponde a cada una de las siguientes expresiones algebraicas, colocando dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta correcta. (Valor 2 cómputos c/u )

1. m/2 ( )

a) El doble de un número.

b) El cuadrado de un número.

c) La mitad de un número.

2. 2x + c ( )

a) El doble de la suma de dos números.

b) El doble de un número aumentado en otro.

c) La suma del doble de dos números.

3. b/4 - 5 ( )

a) La cuarta parte de un número disminuido en 5.

b) El cuádruplo de un número disminuido en 5.

c) La diferencia de la cuarta parte de dos números.

4. 2a + a2 ( )

a) El doble de un número más el mismo número

b) El doble de un número más su mitad

c) El doble de un número más su cuadrado

5. a/2 + b/2 ( )

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SAETA ALGEBRA

a) La suma de la mitad de dos números

b) la suma del cuadrado de dos números

c) La mitad de un número más otro número

NOTACION ALGEBRAICA

TEMA INTEGRADOR: ELEMENTOS DE UN TERMINO.


En álgebra, a cada una de las siguientes expresiones separadas por un signo (más ó menos), se le llama término, los términos sólo contienen productos y cocientes de números y de letras.

1) analizar las expresiones algebraicas que se te indican y definir cuantos

términos tienen.

2) Integrados en equipos de 3 o 4 integrantes, hacer planteamientos sencillos de

lenguaje algebraico con pocos términos

3) Utilizando los signos de agrupación hacer expresiones algebraicas sencillas.

PROBLEMA:

Cuatro elementos máximo pueden formar un término: el signo, coeficiente numérico, parte literal y exponente. No necesariamente en un término algebraico tienen que aparecer todos los elementos, puesto que algunos se sobre entienden. Indica el número de términos que contiene cada expresión algebraica.

a) 5x ________________________________

b) 3x + x2 y - 1/3 + z ________________________________ c) 7y + 2m2 ________________________________

d) 8m - 7/4n + 2x2 ________________________________

4) En forma individual determina una estrategia de solución para conocer cuántos

términos tiene cada expresión algebraica.

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SAETA ALGEBRA

5) Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas señalando


6) Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo

7) Presenta la estrategia al grupo.

8) Discusión del grupo por las estrategias y resultados obtenidos en el problema.


1. Analizar los materiales escritos en lenguaje algebraicos y pasarlos al

lenguaje común y con los contenidos que puedan corresponder al tema

integrador por equipo como son:

a) Definición de término algebraico

b) Elementos de un término

c) Tipos de Expresiones algebraicas

d) Signos de agrupación


analizado.


en la solución del problema.

4. Ejemplificación de procedimientos de representación de términos algebraicos y

el nombre de las expresiones algebraicas de acuerdo al número de términos

que tienen


1) Plantear por equipos las diferentes formas de representar los términos

algebraicos y realizar problemas similares.

2) Plantear por equipos los nombres de los elementos de cada término algebraico

y definir en grupo el nombre que recibe de acuerdo al número de términos que

tiene




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SAETA ALGEBRA

I.- INSTRUCCIONES: Coloca sobre las líneas de cuantos términos están formadas cada una de las siguientes expresiones algebraicas

a). -8p3, b). 1 m3 n2, c). 4z 3, 3 3w__________________ _________________ _______________

d) 5x - 1 e) 3x2 + 2mx f) 4z 2 + 5x 2 , 3 y2

__________________ _________________ ________________

g) 2x + 3y - 5 h) 3x2 - 5x + 17 i) 1 m2 + 3 mn - n2

16 4__________________ _________________ ________________

j) x + 2 k) 7y2 + 4x -y3 l) 4m -7n - 5 mn + 1 4 _________________ _________________ ________________

II.- INSTRUCCIONES: Indica el número de ELEMENTOS que contiene cada término algebraico. a) 5x2 _____________________________________

b) 3x + x2 y - 1/3m + z _____________________________________ c) 7y + 2m2 _____________________________________

d) 8m - 7/4n + 2x2 _____________________________________ e) 7y2 + 4x -y3 ______________________________________

f) wxb ______________________________________

g) mx + y _______________________________________

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SAETA ALGEBRA

LENGUAJE ALGEBRAICO

BLOQUES ACTIVIDADESRecolecta una serie de productos que contengan sal de diversos tipos, Elabora un listado de alguna similitud entre los componentes de las sustancias.Cuando haya sido identificada la sal, escribe varios ejemplos de usos de la sal.Ahora escribe como representarías las diferentes sustancias con símbolos.

Desarrollo

Investiga por tu cuenta la representación simbólica de las sustancias.Durante la asesoría compara tus respuestas con la de tus compañeros y elabora conclusiones sobre lo que expresan los símbolos y que tipo de lenguaje representan aquellos donde se utilizan números y letras Lee cuidadosamente el contenido de tu antología sobre el significado de lenguaje algebraico y su terminología.En la lectura identifican los conceptos que integran el lenguaje algebraico.Elabora una tabla presentando los principales conceptos del lenguaje algebraico y su definición para que lo expongas durante la asesoría.Observa las diferentes exposiciones para identificar ideas que no hayan considerado en su definición.

La parte de las matemáticas que se encarga de generalizar y simplificar las cuestiones relativas a los números representándolos por medio de letras es el álgebra. El álgebra se desarrolló a partir de las reglas y operaciones de la aritmética.

En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en proposición con lenguaje algebraico, observa como las literales sustituyen a los conceptos.

Por ejemplo: Un productor agrícola siembra 5 hectáreas de frijol, 8 hectáreas de maíz y 3 hectáreas de calabacitas, tendríamos: 5f + 8m + 3c, esta es una expresión algebraica compuesta por signos numéricos y letras, de donde: 5f representa las 5 hectáreas de frijol. 8m representa las 8 hectáreas de maíz. 3c representa las 3 hectáreas de calabacitas.

“ALGO PRÁCTICO”

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SAETA ALGEBRA

Supón que un solar en forma rectangular tiene una superficie (área) de 4 500 m2., sabiendo que el ancho mide 30 m. ¿Cuánto mide el largo?

Como es sabido, para calcular el área de un rectángulo empleamos la fórmula: área, es igual, al producto del largo por el ancho, de aquí surge la necesidad de utilizar un lenguaje más práctico para una expresión verbal a una expresión con símbolos, por ejemplo, en el caso anterior quedaría A = (L) (a) donde: A = representa el área.

L = representa el largo.a = representa el ancho.

De esta misma forma existen muchas situaciones en las que se emplean literales para expresar cantidades.


Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras relacionadas por los símbolos de operación suma, resta, multiplicación, división, potencia, raíces, etc. ; que sirva como modelo para representar algunos problemas de la vida real.

SECUENCIA DIDÁCTICA BLOQUES ACTIVIDADES

AperturaDar la bienvenida a los alumnos de SAETADespués de haber leído el tema de expresión algebraica Contesta las siguientes preguntas:

Desarrollo De acuerdo al análisis y ejemplos presentados en la lectura anterior1) ¿Cómo definen la palabra álgebra?2) ¿De que manera aplican el álgebra en su vida cotidiana, mencionen un ejemplo?3) ¿Mencionen cual es el uso que le darían a los signos de mas (+), menos (-), Multiplicación (X), división ( /) en tu vida diaria? Explica tu respuesta 4) ¿Por qué crees que son importantes las letras y los números en álgebra,? Explica tu respuestas. 5) A continuación se presenta una vivencia real con tres amigas (Laura, Maria y Lupita) que van a graduarse y necesitan comprarse su aguar. Por lo que se requiere saber por medio de una encuesta cuantos artículos compro cada una de ellas y de que manera se puede representar algebraicamente las compras realizadas.a) Laura la más pobre únicamente, le alcanzo para comprarse un vestido de 250 pesos de color rosa y bordado. b) Maria se compro el vestido de color rojo con valor de 300 pesos

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SAETA ALGEBRA

y las zapatillas doradas con valor de 200 pesos.c) Lupita se compro un vestido con valor de 500 pesos, zapatos de 300 pesos, además se compro dos accesorios, aretes con valor de 100 pesos y un collar de perlas con valor de 300 pesos.El asesor en todo momento aclarara dudas de los estudiantes así mismo mencionara la importancia de álgebra, las expresiones algebraicas y su notación.

CierreDurante la asesoría compararas tus respuestas con la de tus compañeros y lo expondrás en una plenaria general y se realizaran ejercicios propuestos.

EXPRESIÓN VERBAL EXPRESIÓN ALGEBRAICA

1. La producción de trigo x2. La suma de dos números a + b3. La diferencia de dos números x - y4. El producto de dos números m. n5. La mitad de un saco de frijol X/26. La tercera parte de la suma de dos números r + h

37. El cuadrado de la diferencia de dos números (m - n) 2

8. El cociente de dos números f/g9. Un gavilán vio un grupo de palomas volando y les dijo:

“Adiós cien palomas “, a lo que una de ellas, respondió: “No vamos cien pero, nosotras más nosotras, más la mitad de nosotras juntas y usted sumamos cien “.

X + X + X +X + 1= 1002

Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras relacionadas por los símbolos de operación suma, resta, multiplicación, división, potencia, raíces, etc.; que sirva como modelo para representar algunos problemas de la vida real.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:I. INSTRUCCIONES: Identifica la expresión algebraica que corresponda a cada una de las expresiones verbales.

1. El doble del cubo de un número: ( )

a) 2 a b) 2a3 c) a 2

2. Un número más el cuádruplo del mismo número es igual a 25: ( )

a) x + 4x = 25 b) x + x = 25 c) x + x = 25 4

3 El cuadrado de un número disminuido en 8 es igual a la tercera parte de otro número. ( )a) 2m - 8 = 3n b) ( 2m - 8 ) = n c) m2 - 8 = n

16

SAETA ALGEBRA

3 3

II. INSTRUCCIONES: Identifica la expresión verbal que corresponde a cada una de las siguientes expresiones algebraicas.

1. m ( ) 2 a) El doble de un número. b) El cuadrado de un

número.c) La mitad de un número.

2. 2x + c ( )a) El doble de la suma de

dos números.b) El doble de un número

aumentado en otro.c) La suma del doble de

dos números.

3. b - 5 ( ) 4

a) La cuarta parte de un número disminuido en 5.

b) El cuádruplo de un número disminuido en 5.

c) La diferencia de la cuarta parte de dos

números.

La familia López González esta integrada por cuatro personas: Juan Carlos, Julián, Carmen Alicia y Lucia. Si lo clasificamos algebraicamente tenemos que:

López González es la expresión algebraica.

Juan CarlosJuliánCarmen AliciaLucía

Si tomamos un término de la familia por ejemplo: Juan Carlos López González este está formado por cuatro elementos que son:

Juan, Carlos, López y González.

¡Ahora bien! ¿Cuántos elementos encontramos en Julián, Carmen Alicia y en Lucia? ___________________________________________________________

Para determinar el grado de una expresión algebraica se procede de la siguiente forma:

17

Son los términos de la expresión.

SAETA ALGEBRA

a) Si es monomio: se suman todos los exponentes de la parte literal del término, por ejemplo: el grado de 8x2 y es del tercer grado porque 2 + 1 = 3.

b) Si es un polinomio: Es el correspondiente al término de mayor grado cuyo coeficiente sea distinto de cero, por ejemplo: 4x2 y3 + 3xy4 - 2x4 y2 son 5, 5 y 6, respectivamente, por consiguiente, el grado del polinomio es 6.

LENGUAJE COMUN

BLOQUES ACTIVIDADES

Apertura

Comentar sobre la contaminación ambiental. En que lugar se encuentra el basurero publico, si saben y Conocen los derechos de la fábrica que existen en el pueblo. Hay basura tirada en su casa.

Desarrollo Buscar puntos de contaminaciónIdentificarloIndagar lugares contaminados.

Cierre Presentación textual de trabajos

En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en proposición con lenguaje algebraico, observa como las literales sustituyen a los conceptos.

Por ejemplo: Un productor agrícola siembra 5 hectáreas de fríjol, 8 hectáreas de maíz y 3 hectáreas de calabacitas, tendríamos: 5f + 8m + 3c, esta es una expresión algebraica compuesta por signos numéricos y letras, de donde:

5f representa las 5 hectáreas de fríjol.

8m representa las 8 hectáreas de maíz.

3c representa las 3 hectáreas de calabacitas.

LENGUAJE ALGEBRAICO.

Es aquel donde las literales sustituyen a los conceptos. Y donde los números se representan por medio de letras.

18

SAETA ALGEBRA

BLOQUES ACTIVIDADES

Apertura

1. Presentar por escrito o verbalmente una anécdota como la siguiente: “Doña Juanita va de compras muy tempranito al supermercado del puesto de Don Lupe, y, se encuentra con que los granos están mezclados. Cuando Doña Juanita le pide, 1 kg de arroz, 3 kg de frijol y 4 kg de trigo , al dueño del puesto se le dificulta poder despachar rápidamente”.

2. Dar respuesta a las preguntas formuladas en el escrito, en forma individual.

¿Por qué? ¿Cómo le ayudarías a resolver este problema?

3. Presentar y discutir las soluciones individuales para compararlas y analizarlas y se llegue a una en común durante tu asesoría.

4. pregúntate ¿Habrá alguna forma de poder clasificar y representar los objetos y las cantidades?

5. Escribe las posibles soluciones para presentarlas en tu asesoría ante el grupo.

6. Recuperar saberes mediante consenso grupal.

Desarrollo

1. Investiga la historia del álgebra y notación algebraica para su análisis en forma individual.

2. Compara los lo que sabes con el análisis de las lecturas.3. Anota las coincidencias y diferencias utilizados en la solución

del problema.4. Representan la información del problema planteado en forma

algebraica.1. Redacta enunciados en lenguaje algebraico.2. Escribe problemas similares para presentarlos al grupo

durante la asesoría para su solución.5. Enlistar diferentes alternativas para resolver los problemas.6.

Cierre

1. Resolver ejercicios propuestos en la antología.3. Elaborar un mapa conceptual y presentarla al grupo.4. Presentar al facilitador un trabajo escrito el cual contendrá

desarrollo, procedimiento y conclusiones.


I. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales.

h) El precio de 1m. de tela

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SAETA ALGEBRA

i) La leche que da una vaca j) La leche que dan 5 vacas k) El maíz que produce una hectárea de terreno, 2 hectáreas y 9

hectáreas l) La suma de dos números m) La suma de dos números al cuadrado n) La 1/5 parte de la producción total de huevo en una granja

avícola.

II. Escribe en lenguaje verbal las siguientes expresiones algebraicas. a) a + b = __________________________________________________ 2b) 3a - h = __________________________________________________c) 2x = __________________________________________________d) 3 (a - b) = __________________________________________________e) x + y = __________________________________________________ 4 3f) 2m - 4n = __________________________________________________g) ( a - c )2 = __________________________________________________

NOTACION ALGEBRAICA

TEMA INTEGRADOR: TERMINOS SEMEJANTES


Distinguir los términos semejantes es muy importante, porque en álgebra sólo podemos efectuar las operaciones de suma o resta, cuando los términos sean semejantes. 1. Comprender que es un término semejante.

2. analizar las expresiones algebraicas y definir cuales son los términos

semejantes

existentes en ella.

20

SAETA ALGEBRA


términos semejantes.

4. Utilizar términos semejantes y hacer su reducción

PROBLEMA:

Distinguir los términos semejantes es muy importante, porque en

álgebra sólo podemos efectuar las operaciones de suma o resta, cuando los términos

sean semejantes, a esto se le llama reducción de términos semejantes. En cada una

de las siguientes expresiones subraya los términos semejantes:

a) 7m2 , 6m3 , 4m2 , 2m , 11m2

b) 7a2 b, 8ab2, 5a2 b, 3a4

c) 3x2 y, 8xy2, 14x2 y, 18x2 y

5. En forma individual determina una estrategia de solución para conocer cuales

son los términos semejantes.



7.Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo


9.Discusión del grupo por la estrategias y resultados obtenidos en el problema.


1. Analizar cada uno de los términos algebraicos para determinar si cumplen

con los requisitos para ser término semejante.

2. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados, con el

material

analizado.

21

SAETA ALGEBRA

3. Socializar en el equipo y exponer al grupo los conceptos y principios

utilizados en la solución del problema.

4. Ejemplificación de procedimientos de representación de términos

semejante


1) Plantear por equipos las diferentes formas de términos semejantes con

diversos elementos.

2) Plantear por equipos un problema semejante al grupo para su solución.



ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:

I.- INSTRUCCIONES: En cada una de las siguientes expresiones subraya los términos semejantes.

a) 7m2 , 6m3 , 4m2 , 2m , 11m2

b) 7a2 b, 8ab2, 5a2 b, 3a4

c) 3x2 y, 8xy2, 14x2 y, 18x2 y

d) ¼ a, ¾ b, ½ c, 1/3 a, 5/8 d, a2,

II.- INSTRUCIONES: Reducir los siguientes

a) 7m2 + 6m3 - 4m2 + 2m - 11m2 = ___________________________

b) 7a2 b + 8ab2 - 5a2 b + 3a4 = ____________________________ c) 3x2 y + 8xy2 + 14x2 y - 18x2 y = ___________________________

d) 3a + 5b - 5a + 4b - 13a = ____________________________

e) 3x2 y - 12xy2 + 5xy2 + 6x2 y + 9xy2= ____________________________f) 5 m2 + 2 m2 - 1 m = ____________________________ 3 5 2 III.- INSTRUCCIONES: De las siguientes expresiones algebraicas: (Coloca sobre las líneas la respuesta correcta ) ( Valen 1 cómputo cada una )

¿Cuántos términos tiene? ¿Cuáles factores?

a).- ax + 7ax - 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .___________,. . . . . . . . __________

22

SAETA ALGEBRA

b).- x2 + x + 3x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ___________, . . . . . . . .________

c).- m3n2 – 2m2n + n2 . . . . . . . . . . . . . . .___________, . . . . . . ...__________

d).- xy + 5z + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .___________, . . . . . . ...__________

e).- 4a + 3b – ab + 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ___________ . . . . . . .__________

f).- y3 – x2 + 2x3 – y3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ___________ . . . . . . __________

g).- pq – 9pq2 + p3 – q5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ___________ . . . . . . . . __________

- NOTACION ALGEBRAICA

TEMA INTEGRADOR: REDUCCION TERMINOS SEMEJANTES


Distinguir los términos semejantes es muy importante, porque en álgebra sólo podemos efectuar las operaciones de suma o resta, cuando los términos sean semejantes. 1. Comprender que es un término semejante.

2. analizar las expresiones algebraicas y definir cuales son los términos

semejantes

existentes en ella y hacer la reducción de los mismos.


términos semejantes.

4. Utilizar términos semejantes y hacer su reducción

PROBLEMA:

La reducción de términos semejantes es una operación que consiste en

convertir en un sólo término, dos o más términos semejantes, en una expresión, si es

que los hay, lo cual lo hacemos sumando y/o restando los coeficientes numéricos

aritméticamente, añadiendo al resultado la literal o literales con su respectivo

exponente. Realiza la reducción de los siguientes términos semejantes:

a) 7m2 + 6m3 - 4m2 + 2m - 11m2 = __________________________

b) 7a2 b + 8ab2 - 5a2 b + 3a4 = __________________________c) 3x2 y + 8xy2 + 14x2 y - 18x2 y = __________________________

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SAETA ALGEBRA

d) 3a + 5b - 5a + 4b - 13a = __________________________

e) 3x2 y - 12xy2 + 5xy2 + 6x2 y + 9xy2 = ________________________ f) 5 m2 + 2 m2 - 1 m = ____________________________ 3 5 2

5. En forma individual determina una estrategia de solución para conocer cuales

son los términos semejantes.







1. Analizar cada uno de los términos algebraicos para determinar si cumplen con los

requisitos para ser término semejante y hacer su reducción

2. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados, con el

material analizado. Socializar en el equipo y exponer al grupo los conceptos y

principios utilizados en la solución del problema.

3. Ejemplificación de procedimientos de reducción de términos semejante


1. Plantear por equipos las diferentes formas de términos semejantes con

diversos elementos y hacer su reducción.



4. Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo.

I.- INSTRUCCIONES: Efectúa la siguiente reducción de términos a).- 3a + 2b + b + 5a = . . . .. . . . . . . : ____________________

b).- 2xy + xy – 6xy =. . . . . . . . . . . . : ____________________

c).- 9x3 + 9y3 + 8x – 4y3 = . . . . . . . .:____________________

24

SAETA ALGEBRA

d).- 3x + 3x2 – 4x3 + 9x2 = . . . . . . . .: ____________________

e).- 6a2 + 9b + 5a2 – 7b = . . . . . . . . : ____________________

II.- INSTRUCCIONES: De las siguientes expresiones algebraicas realiza la reducción de términos semejantes, Colocando sobre las líneas la respuesta correcta.

a).- 2ax + 7ax - 5ax + 3ax – 9ax . . . . . . . . . .___________ _______,

b).- x2 + 2x + 3x2 – 3x + x = . . . . . . . . . .....__________________,

c).- 4m3n2 – 2m2n - 5m3n2 + 2m2n = . . . . . . . . ._________________,

d).- 10xy - 5z – 9xy + 4z + z = . . . . . . . . . . . . .__________________,

e).- 4ab + 3bc – 5ab + 8bc – 10bc + ab .. . . . __________________,

III.- INSTRUCCIONES: Representa algebraicamente las fórmulas que obtendríamos para definir los siguientes perímetros de las figuras que a continuación se te indican:

Figura Nombre Perímetro

s

s s Cuadrado ___________________

s

w Rectángulo __________________

m

a b Triángulo ___________________

c

a

b c Trapecio ___________________

dOPERACIONES FUNDAMENTALES.

En álgebra, también se agrupan los términos semejantes que contiene una expresión algebraica y esto facilita su reducción. Los términos semejantes son aquellos que están formados por las mismas literales y mismos exponentes pero diferente signo y coeficiente, ejemplo:

25

SAETA ALGEBRA

Los términos semejantes de:

a) 7m son: m, -5m, 1 m, 2

4b) 3 ab2 c3 son: -11ab2 c3, 9b2 ac3, 2 c3ab2. 3

c) 7m2, 8m, 3 m3 no son términos semejantes. 5

d) 7a3 - 8b3 + 7 c3 no son términos semejantes. 5

¿Podrías decir por qué razón los términos de los ejemplos c) y d) no son términos semejantes? En efecto, a pesar que tienen los mismos exponentes, no poseen las mismas literales.

Distinguir los términos semejantes es muy importante, porque en álgebra sólo podemos efectuar las operaciones de suma o resta, cuando los términos sean semejantes, a esto se le llama reducción de términos semejantes.

En cada una de las siguientes expresiones subraya los términos semejantes:

a) 7m2 , 6m3 , 4m2 , 2m , 11m2

b) 7a2 b, 8ab2, 5a2 b, 3a4

c) 3x2 y, 8xy2, 14x2 y, 18x2 y

La reducción de términos semejantes es una operación que consiste en convertir en un sólo término, dos o más términos semejantes, en una expresión, si es que los hay, lo cual lo hacemos sumando y/o restando los coeficientes numéricos aritméticamente, añadiendo al resultado la literal o literales con su respectivo exponente.

En cada una de las expresiones anteriores, el grupo de los términos semejantes se pueden reducir, mientras que los otros términos permanecen igual, ejemplo:

a) 7m2 + 6m3 - 4m2 + 2m - 11m2 = - 8m2 + 6m3 + 2m

b) 7a2 b + 8ab2 - 5a2 b + 3a4 = 2a2 b + 8ab2 + 3a4

c) 3x2 y + 8xy2 + 14x2 y - 18x2 y = - x2 y + 8xy2

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SAETA ALGEBRA

En una expresión algebraica pueden mantenerse varios grupos de términos semejantes, los cuales se reducirán, para hacer más sencilla la expresión, ejemplo:

a) 3a + 5b - 5a + 4b - 13a = - 15a + 9b

b) 3x2 y - 12xy2 + 5xy2 + 6x2 y + 9xy2 = 9x2 y + 2xy2

c) 5 m2 + 2 m2 - 1 m = 31 m2 - 1 m 3 5 2 15 2

Bueno, hasta aquí ya conoces que son los términos semejantes y como se reducen. Estás en condiciones para realizar operaciones con ellos ¿Listo?

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS.

BLOQUES ACTIVIDADES

Apertura

En 3 hojas de distintos colores (rojo, verde y amarillo). realiza lo siguiente:

La hoja roja la vas a dividir doblando sin cortarla, en 4 partes, la verde en 8 partes y la amarilla en 16 partes, a cada hoja le vas escribir con un marcador el numero de la fracción de la parte que le corresponda de acuerdo a como fue dividida

Nota: puedes, tener otras opciones diferentes de dividir en las hojas en las fracciones que tu elijas.

Desarrollo A continuación se realizan las siguientes preguntas para ser contestadas en forma individula.

1)¿Cuántas cuartas partes tiene la hoja roja o cuantas partes tiene la hoja?2)¿Cuántos octavos o partes tiene la hoja verde?3) ¿Cuantos dieciseisavos o partes tiene la hoja amarilla?4)¿Cuál crees que sea la suma de las partes en que se dividió cada una de las hoja?5)¿De que manera representarías algebraicamente uno, tres y dos partes de la hoja roja, escríbelo con números y letras?6)¿De que manera representarías cinco, cuatro y siete partes de la hoja verde, escríbelo con número y letra?7)¿De que manera representarías algebraicamente tres, ocho y doce partes de la hoja amarilla escríbelo con número y letras?8)¿Crees que se puedan sumar y restar cada una de las fracciones en que se dividieron las hojas de los diferentes colores por separado? Si o no Si tu respuesta es positiva, resuelve la representaciones

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SAETA ALGEBRA

algebraicas realizadas en las preguntas 5 ,6 y 7 Si la respuesta es no, justifica tu respuesta9)¿Crees que se puedan sumar y restar todas las representaciones algebraicas juntas de las tres hojas ? Si o NoCualquiera que haya sido tu respuesta anterior justifícala.

Cierre

Se analizara el cuestionario con preguntas abiertas en asesoría para su análisis y pasaran al pizarrón a ejemplificar sus respuestasSe realizaran ejercicios propuestos en antología.


Para sumar dos o más expresiones algebraicas del tipo que sea ( monomio y polinomio ) Se colocan los términos semejantes uno a continuación del otro, respetando los signos o en columna si son varios, para reducirlos y se reducen los términos semejantes, si los hay

Sumar: 3x2 , -2x + 1, -2x2 - 3x + 2

a) Planteamiento: Se escriben las expresiones entre paréntesis y conectadas entre si con el signo de la suma (+)

( 3x2 ) + ( -2x + 1) + ( -2x2 - 3x + 2) =

b) Se eliminan los paréntesis:3x2 - 2x + 1 - 2x2 - 3x + 2

c) Se reducen los términos semejantes, si los hay:x2 - 5x + 3

Por lo tanto: ( 3x2 ) + ( -2x + 1) + ( - 2x2 - 3x + 2 ) = x2 - 5x + 3

Para restar dos expresiones algebraicas, se debe tomar en cuenta que intervienen dos cantidades, la primera que se escribe, es el minuendo y es la cantidad a la que se le va a quitar la segunda llamada sustraendo. El planteamiento de una resta es (minuendo) - (sustraendo) igual a diferencia.

Ejemplos:

Restar: 3a - 2b + 5c de 7a + 3b - 2c

a) Planteamiento: ( 7a + 3b - 2c ) - ( 3a - 2b + 5c ) =

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SAETA ALGEBRA

b) Eliminación de paréntesis: 7a + 3b - 2c - 3a + 2b - 5c =

c) Se reducen términos semejantes, si los hay: 4a + 5b - 7c

Por lo tanto: ( 7a + 3b - 2c ) - ( 3a - 2b + 5c ) = 4a + 5b - 7c

¿Te quedó claro? Entonces ¡ Adelante !


I.- INSTRUCCIONES: Sumar las siguientes expresiones algebraicas.

1). 12x - 7y - 4z ; - 5z + 4 y - 7x ; - 3y + 4z - 4x

2). - 6a + 4b + 11c ; - 4c - 4b + 7a ; - 7b - 15c – a

3). 2a2 b - ab2 + 5ab ; - 3ab - 4a2 b + 7ab2 ; a2 b - 5ab2 + 3ab

4). 2a - 3x + 1 ; 5x - 3a - 5 ; 7a - 7 + 3x

II.- INSTRUCCIONES: Restar las siguientes expresiones algebraicas.

1). De 4x - 3y + 2 restar 5x + 7y – 6

2). De 7a - 4b - 5c restar 4c - 6a + 8b

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SAETA ALGEBRA

3). Restar 5m - 8n - 4p de - 3n - 4p + 6m

4). Restar - 8a + 7x - 3m de 3a - 8m - 5x


I. Reducir términos semejantes.

1). 3a + 2b + a + b = _____________________________

2). 7xy - 5xy - 8yx = _____________________________

3). 2 m + 1 n + 1 m - 2 n = _____________________________

3 5 4 7

4). 4x3 - 10x2 + 5x + 8 + 12x2 - 9x - 1 = ___________________________

5). 1 a3 - 3 ab2 + 3 b3 + 3 ab2 - 2b3 + a3 = ___________________

2 4 5 8

II. Sumar las siguientes expresiones algebraicas.1). 3x - 7y - 4z ; - 5z + 4 y - 7x ; - 3y + 4z - 9x =___________________________2). - 6a + 4b + 11c ; - 4c - 4b + 7a ; - 7b - 15c – a =___________________________3). 2a2 b - ab2 + 5ab ;- 3ab - 4a2 b + 7ab2 ; a2 b - 5ab2 + 3ab =_________________4). 2a - 3x + 1 ; 5x - 3a - 5 ; 7a - 7 + 3x = __________________________________

III. Restar las siguientes expresiones algebraicas.1). De 4x - 3y + 2 restar 5x + 7y – 6 = _________________________________2). De 7a - 4b - 5c restar 4c - 6a + 8b =_________________________________3). Restar 5m - 8n - 4p de - 3n - 4p + 6m = _____________________________4). Restar - 8a + 7x - 3m de 3a - 8m - 5x = _____________________________

IV. Resuelve los siguientes problemas utilizando la reducción de términos semejantes.

1). Calcular el perímetro de un hexágono regular de 3 b metros de lado.

2). ¿Cuál es el área total de un cubo que tiene (a + b) m2 en cada una de sus caras ?

Como ya aprendiste a sumar y a restar polinomios, ahora te invitamos a conocer el procedimiento para multiplicarlos y dividirlos.

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SAETA ALGEBRA


I.- INSTRUCCIONES: Sumar las siguientes expresiones algebraicas.

1). 12x - 7y - 4z ; - 5z + 4 y - 7x ; - 3y + 4z - 4x

2). - 6a + 4b + 11c ; - 4c - 4b + 7a ; - 7b - 15c – a

3). 2a2 b - ab2 + 5ab ; - 3ab - 4a2 b + 7ab2 ; a2 b - 5ab2 + 3ab

4). 2a - 3x + 1 ; 5x - 3a - 5 ; 7a - 7 + 3x

II.- INSTRUCCIONES: Restar las siguientes expresiones algebraicas.

1). De 4x - 3y + 2 restar 5x + 7y – 6

2). De 7a - 4b - 5c restar 4c - 6a + 8b

3). Restar 5m - 8n - 4p de - 3n - 4p + 6m

4). Restar - 8a + 7x - 3m de 3a - 8m - 5x

EXPONENTES Y RADICALES

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SAETA ALGEBRA

Problema:“El número de habitantes de una ciudad puede duplicarse en cierto número de años. Por ejemplo, si la población de Santiago Ixcuintla Nayarit, es de 50,000 habitantes y se duplica cada 6 años, entonces, ¿cuál será la población en 3 años?

1. De manera individual los estudiantes analizarán y resolverán el problema.2. Discutir las soluciones en asesoría.3. Concensar la solución para presentarla al grupo.4. Contrastar en el grupo las soluciones y seleccionar la más adecuada.5. Recuperación de saberes.

actividades1. Analizar material escrito en antología relacionado con exponentes.2. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados con el material

analizado.3. Exponer al grupo las coincidencias de conceptos y principios recuperados.4. Ejemplificar.5. Resolver ejercicios propuestos en antología

1. En forma individual, plantear un problema 2. Presentar trabajo de Investigación por escrito referente a los problemas

relacionados.3. Resolver ejercicios para autoevaluación

.Exponentes

Si n es un entero positivo, la notación exponencial an que se define en la tabla, representa el producto del número real a multiplicado n veces por si mismo. La expresión an se lee a a la enésima potencia o simplemente a a la n . El entero positivo se llama exponente y el número real a, base.Notación exponencial

Caso general(n es cualquier entero positivo)

Casos especiales

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SAETA ALGEBRA

Ejemplos:

Es importante observar que si n es un entero positivo, entonces una expresión como 3an significa 3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama coeficiente de an en la expresión 3an.

Ejemplo:

Ahora ampliamos la definición de an a exponentes no positivos.

Exponente cero y negativo

Definición (a diferente de 0)

Ejemplo

Si m y n son enteros positivos, entonces

En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n, esta expresión

es igual a am+n ; es decir,

De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que muestran a continuación:

Ley Ejemplo

33

SAETA ALGEBRA

|

Las leyes de los exponentes pueden generalizarse:

Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en que cada numero real aparece solo una vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero.

Simplificar:

a)

b)

Solución:

a)

b)

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SAETA ALGEBRA

El teorema que viene es útil para la solución de problemas con exponentes negativos.

Simplificación de expresiones con exponentes negativos.

Simplifica:

Solución:

Radicales

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SAETA ALGEBRA

A continuación definiremos la principal raíz enésima de un número real.

Definición deSean n un número entero positivo mayor de 1 y a, un número real.

1) Si , entonces

2) Si , entonces es el número real positivo b tal que .

3) a) Si y n es non, entonces es el número real negativo b tal que .

b) Si y n es par, entonces no es un número real.

Si n = 2 se escribe en lugar de y se llama raíz cuadrada principal de o

simplemente raíz cuadrada de a. El número es la raíz cúbica de a.

Ilustraciones:

Observa que porque, por definición, las raíces de números reales positivos son positivas. El símbolo se lee "más o menos".

Para completar nuestra terminología, la expresión es un radical, el número a se

llama radicando y n es el índice del radical. El símbolo es el signo radical.

Si , entonces ; esto es, .

En general se presenta la siguiente tabla de propiedades.

Propiedades de (n es un entero positivo).

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SAETA ALGEBRA

Propiedad Ejemplo

De esta última propiedad vemos que: para todo número real x. En particular,

si entonces sin embargo si , entonces , que es positiva.

Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre que existan las raíces indicadas; es decir, siempre que las raíces sean números reales.

Ley Ejemplo

Advertencias respecto a errores comunes:

Simplificar un radical quiere decir eliminar factores del radical hasta que el radicando contenga sólo exponente igual o mayor que el índice del radical y el índice sea tan pequeño como sea posible.

Eliminación de factores de radicales.Simplifica el radical (todas las letras denotan números reales positivos):

a) b) c)

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SAETA ALGEBRA

Solución

a)

b)

c)

Si al denominador de un cociente contiene un factor de la forma con k < n y a > 0

entonces al multiplicar numerador y denominador por eliminaremos el radical

del denominador porque:

Este proceso se llama racionalización del denominador.

Factor en el denominador

Multiplicar numerador y denominador por

Factor resultante

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SAETA ALGEBRA

Ejemplos

Racionalización de denominadoresRacionaliza:

a) b)

Solución a)

b)

Este proceso algebraico, en cursos avanzados puede complicar el cálculo para la resolución del problema, es por ello que se recomienda analizar y seleccionar el procedimiento adecuado.

Definición de exponentes racionales

Sea m/n un numero racional, donde n es un entero positivo mayor de 1. Si a es un

numero real tal que existe , entonces

Nota:Las leyes de los exponentes son ciertas para exponentes racionales e irracionales.

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SAETA ALGEBRA

Simplificación de potencias racionalesSimplifica:

a) b)

Solución a)

b)

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SAETA ALGEBRA

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS.

. Mediante la lectura “Don José y su tienda” el estudiante de SAETA logrará recordar los temas vistos con anterioridad.2. Don José tiene la tienda más grande de la localidad de Marte R. Gómez, el cual, para ofrecer productos de calidad y a bajo precio se dedica a adquirir estos en los poblados aledaños a su localidad. En Pueblo Yaqui, compra a una persona gallinas y huevos; posteriormente se desplaza al Ej. Pancho Villa en el que compra el mismo número de gallinas y huevos que en Pueblo Yaqui y al mismo número de personas que el de gallinas y huevos. Luego se dirige a Quetchehueca donde adquiere el doble de gallinas y de huevos que en Pueblo Yaqui al mismo número de personas.3. En forma individual representar algebraicamente el número de gallinas y de huevos.4. Consensa sus representaciones personales en asesoría

Actividades de aprendizaje

. En base a la lectura anterior determina individualmente:a) Si en Pueblo Yaqui compró 2 gallinas, ¿cuál es total de gallinas compradas en

todo el recorrido?b) Representa el resultado obtenido en forma algebraica como producto.

Además comprobar que la representación algebraica, se cumpla.c) Si en el Ejido Pancho Villa, el número de huevos que ha adquirido en su

compra fue de 5, ¿cuánto es el total de huevos que obtuvo en cada poblado?. El resultado anterior represéntalo algebraicamente. Verificar que la expresión

algebraica se cumpla como un productoResuelve los siguientes ejercicios, en forma individual.

a) (2x) (5x) =_____________________________________________________

b) (x2) ( ) =______________________________________________________

c) (xy) (x2y3) = ____________________________________________________d) (rst) (r2s3t4) (r4s3t2) =______________________________________________e) (2x) (5x2 + 3x – 2) =______________________________________________f) (1/3 mn) (5/2 m2n3 – ¼ mn2) =______________________________________g) (a2 + b2) (3a + 4b3 – ab) =__________________________________________

Con la finalidad de realizar un cierre a esta pequeña aventura en el pueblo yaqui 1.Analiza tus resultados obtenidos y consensalos con los de tus compañeros de asesoría.

41

SAETA ALGEBRA

2. Con los resultados anteriores obtener los conceptos de las partes de un término algebraico.

a) Signosb) Coeficientec) Literald) Exponente

4. Plasmar sus conclusiones por equipo en hoja rotafolio y presentarla para su análisis y discusión grupal.5. Después de obtener los conceptos de la multiplicación y sabiendo que la división es la operación inversa de la multiplicación efectúa la siguiente operación:

6. De la misma forma como lo has venido haciendo; analiza y consensa el cociente resultante de la división y multiplícalo por el divisor. Explica lo que observaste.

Para realizar la multiplicación de polinomios se aplican las leyes de los exponentes, ley de los signos, y la propiedad distributiva.

1. Ley de los Exponentes: a) am . an = am + n (Se suman los exponentes)

b) (am ) n = am n (Se multiplican los exponentes)

c) (ab) m = am bm (Se multiplican los exponentes)2. Ley de los signos: + por + = + - por - = + + por - = - - por + = -

3. Ley Distributiva: La cual nos indica que el monomio se multiplica por cada uno delos términos del polinomio.

a ( b + c ) = ab + ac

monomio polinomioEn álgebra para indicar multiplicación generalmente usamos paréntesis y punto. por ejemplo. 5 X 4 en aritmética (5) (4) y 5 4 en álgebra

Al desarrollar la multiplicación de expresiones algebraicas procedemos a lo siguiente. multiplicar (4a) (5ax)

a) Multiplicamos los coeficientes : (4) (5) = 20

42

SAETA ALGEBRA

b) Ponemos las letras una al lado de la otra, (indicando multiplicación). 20 (a) (ax)

c) Usando las leyes de los exponentes: en este caso utilizamos am . an = a( m + n ) por lo que: 20 a2 x

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:

Para multiplicar dos monomios tomarás muy en cuenta dos aspectos importantes: las leyes de los exponentes y la ley de los signos. Ejemplos:

1. (3x ) (4x ) = (3) (4) (x) (x) = 12x2

2. (- 7m2 n3 ) (10mn4 ) = - 70 m3 n7

3. (- 8ab2 ) (- 2a3 b) = 16a4 b3

4. (- 3 x3 y5 ) ( 1 xy2 ) = - 3 x4 y7 2 5 10

5. (15x2 y3 ) (- 1 xy) = - 5x3 y4 3

Para realizar la multiplicación de un monomio por un polinomio: se aplica la propiedad distributiva, leyes de los exponentes, ley de los signos.

Ejemplos: monomio polinomio1) 5x ( 3x2 - 6x + 7 ) = 15x3 - 30x2 + 35x

Solución: (5x) (3x2 ) = 15x3

(5x) (-6x) = -30x2 = 15x3 - 30x2 + 35x (5x) ( 7 ) = 35x

2) -8a ( 3ab3 - 4b + 5 ) = - 24a2 b3 + 32ab - 40a Solución: (-8a) (3ab3 ) = - 24a2 b3

(-8a) (-4b) = 32ab (-8a) ( 5 ) = - 40a

3) 6xy ( 3x3 y2 - 7xy + 2 ) = 18x4 y3 - 42x2 y2 + 12xy

4) 3 x ( 1 xy2 - 2 y ) = 3 x2 y2 - 6 xy 5 2 3 10 15

Simplificado = 3 x2 y2 - 2 xy 10 5

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SAETA ALGEBRA

PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS:

Para realizar esta operación será necesario que utilices las leyes anteriores.

Ejemplo:

1) ( 3x + 8y ) ( 2x + 4y ) = 6x2 + 28xy + 32y2

Solución: Podemos obtenerla de dos maneras:

1º Desarrollo Horizontal.

a) Se multiplica cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio y se procede igual para el segundo, tercero. términos del primer polinomio.

( 3 x + 8y ) ( 2x + 4y ) = ( 3x ) ( 2x ) + ( 3x ) ( 4y ) + ( 8y ) ( 2x ) + ( 8y ) ( 4y ) = = 6x2 +12xy + 16xy + 32y2

b) Reducir términos semejantes : 6x2 + 28xy + 32y2

2º Desarrollo en columna. Productos Parciales. 3x + 8y 2x ( 3x + 8y ) = 6x2 + 16xy 2x + 4y 4y ( 3x + 8y ) = 12xy + 32y2

16xy + 12xy = 28xy 6x2 + 16xy + 12xy + 32y2

6x2 + 28xy + 32y2

NOTA: Se ordenan en columna los términos semejantes y se reducen.

2) ( 3x + 5 ) ( 6x2 - 8x + 2 ) = 18x3 + 6x2 -34x + 10

Solución :1º Desarrollo Horizontal:

a) ( 3x + 5 ) ( 6x2 - 8x + 2 ) = (3x) (6x2) + (3x) (-8x) + (3x) (2) + (5) (6x2 ) + (5) (-8x) + (5) (2) = 18x3 - 24x2 + 6x + 30x2 - 40x + 10 b) Reduciendo términos semejantes: 18x3 + 6x2 - 34x + 10

2º Desarrollo en columna: 6x2 - 8x + 2 Productos parciales: 3x + 5 3x ( 6x2 - 8x + 2 ) = 18x3 - 24x2 + 6x

44

Son términos semejantes.

SAETA ALGEBRA

18x3 - 24x2 + 6x 5 ( 6x2 - 8x + 2 ) = 30x2 - 40x + 10

30x 2 - 40x + 10 tomando los términos semejantes y reduciéndolos.

18x3 + 6x2 - 34x + 10 - 24x2 + 30x2 = 6 x2 y 6x - 40x = - 34x

Ya conociste como multiplicar: monomio por monomio, monomio por polinomio y polinomio por polinomio. Ahora puedes realizar cualquier tipo de multiplicación algebraica; realizando las:


I. Encuentra los productos de las siguientes expresiones algebraicas:

1. (3a2) (5a2+3a2+2a2) =

2. (xy2) (-5x3y3) =

3. ( x3 - 3x4 + 5x2 ) ( 5x2 + 8x - 7 ) =

4. 2ab (a2+2a-3b+5) =

5. (2x - 3 ) ( 4x2 + 6x + 9 ) =

6. (-2m) (-8m2) =

7. ( mn3 + 1 ) ( mn3 - 1 ) = 4 5

8. (-7a) (-1ab) = 6 39. 4xy (1x2-1xy3+4) = 2 4II.- Observa las siguientes figuras y calcula sus áreas

3x

4x 2a3 x+1 8x

DIVISIÓN O COCIENTE DE POLINOMIOS:

Para realizar la división de polinomios seguimos un procedimiento similar al utilizado en la multiplicación, sin olvidar las leyes de los exponentes y la ley de los signos:

1. Ley de los exponentes:

45

SAETA ALGEBRA

A) am an = am-n (Se restan exponentes) esta ley presenta tres casos:

a) a5 a2 = a3 exponente positivo

b) a 8 = a( 8 - 8 ) = a0 = 1 exponente cero a8

c) a 3 = a( 3 - 7 ) = a-4 = 1 exponente negativo a7 a4

2. Ley de los signos: + + = + - - = + + - = - - + = -

DIVISIÓN DE MONOMIOS:

Ejemplo 1: Dividir ( 36m4 ) ( 9m2 ) ó también lo podemos expresar 36m 4 9m2

Solución: 4m2

Explicación: a) Dividimos los coeficientes ( 36 ) ( 9 ) = 4

b) Dividiendo las literales, utilizando las leyes de los exponentes. m 4 = m4- 2 = m2

m2

Entonces el resultado es: 4m2

Ejemplo 2: Dividir 6ab 2 = 3ab La división de monomios también es común 2bc c expresarla en columna, en forma racional (fracción).

Explicación: a) Dividimos los coeficientes ( 6 ) ( 2 ) = 3

b) Dividir: a = a , b 2 = b2-1 = b1 1 = 1 1 b c c Entonces el resultado es: 3ab c

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO:

Se aplica la propiedad distributiva de la división; es decir, cada término del polinomio se divide entre el monomio, utilizando las leyes de los exponentes y de los signos.

46

SAETA ALGEBRA

Ejemplo 1: Dividir 24x 3 - 16x 2 + 8x = 4xRecordarás que hay que dividir cada término del polinomio entre el monomio.

= 24x 3 - 16x 2 + 8x = 6x2 - 4x + 2 4x 4x 4x

Ejemplo 2: Dividir 45a 3 b 2 + 15ab 2 = 45a 3 b 2 + 15ab 2 = 3a2 + 1 15ab2 15ab2 15ab2

Ejemplo 3: Dividir 280x 4 y 3 - 160x 3 y 2 + 40x 2 y 2 = -40x2y2

= 280x 4 y 3 - 160x 3 y 2 + 40x 2 y 2 = -7x2y + 4x - 1 -40x2y2 -40x2y2 -40x2y2

DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS:

Ejemplo: Dividir 7x + x 2 + 10 x + 2 Solución: a) Se ordena el dividendo y el divisor con relación a una misma letra. x 2 + 7x + 10 x + 2b) Se escribe otra vez el problema de la división. (cociente)

x + 2 x2 + 7x + 10 (divisor) (dividendo)

c) Se divide el primer término del dividendo (x2) entre el primer término del divisor (x), el resultado será el primer término del cociente.

x x 2 = x entonces x + 2 x2 + 7x + 10 xd) El primer término del cociente (x) se multiplica por todo el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo colocándola debajo de su término semejante para su reducción (pasa cambiando el signo). (x) (x) = x2 x (x) (2) = 2x x + 2 x2 + 7x + 10 -x 2 - 2x . 5x + 10 (residuo)

e) Dividir el primer término del residuo 5x entre el primer término del divisor (x). El producto es el segundo término del cociente con su signo. x + 5 5x = +5 (resultado) entonces x + 2 x2 + 7x + 10 x -x 2 - 2x .

47

SAETA ALGEBRA

5x + 10

f) El segundo término del cociente (5) se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. El producto se coloca debajo de su término semejante para su reducción (como en el paso d).

( 5 ) ( x ) = 5x x + 5 ( 5 ) ( 2 ) = 10 entonces x + 2 x2 + 7x + 10 - x 2 - 2x . 5x + 10 -5x - 10 residuo 0

g) Efectuar la comprobación de la división.

cociente por divisor = dividendo

( x + 5 ) ( x + 2 ) = x2 + 7x + 10

Como ya conoces los diferentes tipos de división algebraica, te reto a resolver correctamente las siguientes:


I. Realiza la división de los siguientes ejercicios:

1). (-18a3b2) ÷ (6ab) = 6). 3xyz+6xyz 2 -9x 3 y 5 z 7 = - 6xy2). 2x 2 + 13x + 15 = 7). 9x 3 - 3x 2 - 3x + 4 = x + 5 3x + 2

3). 2x 4 - 8x 3 + 19x 2 - 33x + 15 = 8). (-15x2y4) ÷ (-15x2y4) = x2 - x + 54). 6x 2 y-12x 3 y 2 +9y 3 = 9). 4x 2 y -6x 4 y 3 -8x 5 y 2 +10x = -2xy2 2xy2

5) (-2x3y5) ÷ (4 xy) = 5 7AUTOEVALUACIÓN.

INSTRUCCIONES: Escribe dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta correcta:

1. La reducción de términos semejantes de 4a - 3b + 7a - 5c es: ( )

48

SAETA ALGEBRA

a) 3a + 8c - 5b b) 11a - 3b - 5c c) 11a + 8b - 2c

2. La reducción de términos semejantes de 6 m - 4 n + 2 m + 2 n es: ( ) 7 3 5 9 a) 8 m - 2 n b) 12 m - 8 n c) 44 m - 10 n 12 6 35 27 35 9

3. Al sumar las expresiones algebraicas 2m - 3p + 7n ; 3p - 4n - 8m ; 5n - 7m - p ;el resultado es ( ) a) -13m - p + 8n b) -13m - 7p - 16n c) 17m - 7p - 12n

4. Al sumar las expresiones algebraicas 2a + 4b - 5 ; 7a - 4 - 3b ; -4a + 8b + 3 el resultado es: ( )

a) -13a - 15b - 6 b) 9a + 9b - 6 c) 5a + 9b - 6

5. Al restar 7x3 - 8x2 + x de -x + x2 + 2x3 el resultado es: ( ) a) -5x3 + 9x2 - 2x b) 5x3 - 9x2 + 2x c) 9x3 - 7x2

6. De 6a3 - 7a + 14 restar 9a3 - 8a + 11 el resultado es: ( ) a) -15a3 - 15a + 3 b) -3a3 + a + 3 c ) 3a3 - a - 3

7. El resultado de multiplicar ( -3x2y ) ( xy3z ) es: ( )

a) 2 xy2z b) 2x3y4 c) -2x3y4z 38. El resultado de multiplicar ( 2m - 5n + 7 ) ( -m2n ) es: ( ) a) -2m3n + 5m2n2 - 7m2n b) mn + 6m2n2 - 7m2 c) -2mn + 5m2n - 7m2n

9. El resultado de multiplicar ( 2a - 3b ) ( 5a - 7b ) es: ( ) a) 10a2 - a + 10b2 b) 10a2 - 29ab + 21b2 c) 10a2 + 29ab - 10b2

10. El resultado de multiplicar ( x - 3y ) ( 2x2 - 5xy + 7y2 ) es: ( )

a) 2x3 + 11x2y + 22xy2 - 4y3 b) 2x3 - 11x4y2 + 22x2y4 - 21y3 c) 2x3 - 11x2y + 22xy2 - 21y3

11. El resultado de dividir ( -9x3y2m ) entre ( 3xy ) es: ( ) a) -3x2ym b) 6x2ym c) - 3x 2 y m

12. El resultado de dividir ( 4x8 - 10x6 - 5x4 + 2x3 ) entre ( 2x3 ) es: ( ) a) 2x5 - 5x3 - 5 x + 10 b) 2x5 - 8x3 - 3x c) 2x5 - 5x3 - 5 x + 1 2 213. El resultado de dividir ( 6 + a2 + 5a ) entre ( a + 2 ) es: ( ) a) a + 7 b) a + 3 c) a - 3 +

49

2 3

SAETA ALGEBRA

Las operaciones algebraicas nos ayudan a resolver problemas de nuestra vida cotidiana. Como en el caso del Sr. Díaz que trabaja en dos empresas diferentes. En una de ellas tiene un sueldo de 2x pesos y en la otra 5x pesos diarios. Como esta persona desafortunadamente no sabe contar, necesita que le ayudes y le digas:

a) ¿ Cuánto le pagaron por una semana de trabajo ?

b) ¿Cuántos días necesita trabajar para ganar 441x pesos?

1.2.4 PRODUCTOS NOTABLES.

Se le llaman notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas en la que no es necesario realizar la multiplicación para conocer el resultado.

BLOQUES ACTIVIDADES

Apertura

1. Presentar al estudiante el problema siguiente:A Pepito, en su clase de matemáticas, se le pide realizar la siguiente actividad: De una cartulina rectangular de 10 cm de ancho y de 14 cm de largo se corta en cada esquina un cuadrado de lado x, y se forma una caja rectangular abierta en la parte superior. Ayúdale a calcular el área de su base y el volumen de la caja.2. En forma individual representar gráficamente el problema planteado.

Desarrollo

1. En base al problema anterior en forma individual determina:d) Usando la representación gráfica que realizaste en el punto

anterior determina la nueva dimensión del ancho.e) Realiza la misma actividad que el inciso anterior pero para

la dimensión del largo.f) Determina la altura de dicha caja.g) Anota algebraicamente el área de la caja.h) Representa algebraicamente el volumen de la caja

considerando las tres dimensiones que obtuviste con anterioridad.

Cierre

EL TRUCO DE PEDRO

Pedro necesita conocer el área cuadrada de un terreno rural donde establecerá un huerto, pero para tomar medida cuenta sólo con un cordón. Pedro decide tomar medidas y más tarde en la ciudad medirá el cordón en metros.

50

SAETA ALGEBRA

Al medir el cordón únicamente alcanza para una parte de la longitud de uno de los lados, por lo que para la parte que le falta, utiliza el cordón nuevamente poniéndole una marca . Fíjate en la figura siguiente.

a: primera medida b: segunda medida

Pedro no conoce de fórmulas para resolver problemas, pero utilizó un truco que le permitió salir avante en esta situación. Tienes la oportunidad de conocer que el truco que Pedro usó, se puede expresar algebraicamente.Tú sabes que el área de un cuadrado es igual a lado por lado, por lo que en el ejemplo anterior : Área del cuadrado = lado por lado. como: un lado = a + b entonces área del cuadrado = ( a + b ) ( a + b )

La anterior expresión también puede ser escrita como : ( a + b )2

Como consta de dos términos recibe el nombre de Binomio afectado por el exponente 2. BINOMIO AL CUADRADO:

Para realizar el producto de un binomio al cuadrado o producto de dos binomios iguales se puede aplicar la propiedad distributiva. Por ejemplo los siguientes productos :

1. ( a + b )2 = ( a + b ) ( a + b )

Realizando las multiplicaciones :

51

a b

SAETA ALGEBRA

= a2 + ab + ab + b2.

Reduciendo términos semejantes : = a2 + 2ab + b2

2. ( x + y )2 = ( x + y ) ( x + y )

Realizando las multiplicaciones correspondientes : = x2 + xy + xy + y2 = x2 + 2xy + y2

3. ( 3m + 4n )2 = ( 3m + 4n ) ( 3m + 4n )

Realizando las multiplicaciones correspondientes : = 9m2 + 12mn + 12 mn + 16 n2 Reduciendo términos semejantes : = 9m2 + 24 mn + 16n2 Observa con cuidado cada uno de los ejemplos desarrollados anteriormente, notarás que en el resultado aparecen ciertas semejanzas :El primer término del resultado es el cuadrado del primer término, en seguida se suma .El segundo término del resultado es el doble producto del primer término del binomio por el segundo término, en seguida sumar.El tercer término del resultado es el cuadrado del segundo término del binomio.

No tiene caso realizar la multiplicación pues el párrafo anterior nos indica una regla para desarrollar la suma de dos cantidades al cuadrado. Por ejemplo, aplicando la regla en cada uno de los ejercicios 1 y 2 que anteriormente resolvimos.

1. ( a + b )2 Primer segundo Término término

Cuadrado del primer término ------------------------ ( a )2 --------------- = a2 Doble producto del primero por el segundo ---- 2( a ) ( b ) ------------- = 2 ab Cuadrado del segundo término ----------------------- ( b )2 --------------- = b2

El resultado final es = a2 + 2ab + b2

2. ( x + y )2

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SAETA ALGEBRA

primer segundo término término

Cuadrado del primer término ------------------------ ( x )2 --------------- = x2 Doble producto del primero por el segundo ---- 2( x ) ( y ) -------------- = 2 xy

Cuadrado del segundo término ----------------------- ( y )2 --------------- = y2

El resultado final es = x2 + 2xy + y2

El resultado de elevar un binomio al cuadrado recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.

No todos los binomios al cuadrado son sumas . Existen binomios que son diferencias de dos cantidades elevadas al cuadrado. Ejemplo :

1. ( a - b )2 = ( a - b ) ( a - b )

Aplicando la propiedad distributiva : = a2 - ab - ab + b2

Reduciendo términos: = a2 - 2ab + b2

2. ( x - y )2 = ( x - y ) ( x - y )

Aplicando la propiedad distributiva : = x2 - xy - xy + y2

Reduciendo términos semejantes: = x2 - 2xy + y2

3. ( 3m - 4n )2 = ( 3m - 4n ) ( 3m - 4n )

Aplicando la propiedad distributiva: = 9m2 - 12mn - 12mn + 16n2

Reduciendo términos semejantes = 9m2 - 24mn + 16n2

Como puedes observar en los resultados de cada caso, lo que cambia es el signo del segundo término del resultado. Entonces la regla para la diferencia de dos cantidades

53

SAETA ALGEBRA

al cuadrado es la misma, que para la suma de dos cantidades al cuadrado y sólo varía el signo del segundo término:

1. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

( a - b )2 = a2 – 2ab + b2

2. ( x + y )2 = x2 + 2xy + y2

( x - y )2 = x2 – 2xy + y2

3. ( 3m+ 4n )2 = 9m2 + 24mn + 16n2

( 3m -4n )2 = 9m2 – 24mn + 16n2

En general el cuadrado de un binomio es : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

( a - b )2 = a2 – 2ab + b2

Refuerza tus conocimientos.


Desarrolla los siguientes Binomios :

1. ( m + a )2 = 6. ( m - a )2 =

2. ( x + 9 )2 = 7. ( a2 - 4 )2 =

3. ( 4ax + 1 )2 = 8. ( 2a + x2)2 =

4. ( x2 +1 )2 = 9. ( x2 - 1 )2 =

5. ( mn + 4 )2 = 10. ( Xm - Yn)2 =

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades ( a + b ) ( a - b ), también conocidos como binomios conjugados .

Al desarrollar ( a + b ) ( a - b ) aplicando la propiedad distributiva tendremos :

( a + b ) ( a - b ) = a2 - ab + ab - b2

54

SAETA ALGEBRA

Reduciendo términos semejantes: a2 - b2

Ahora realizando el mismo procedimiento con otro ejemplo :

( 2a + 3b ) ( 2a - 3b ) = 4a2 - 6ab + 6ab - 9b2

Reduciendo términos semejantes: 4a2 - 9b2

En conclusión : La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia, también conocida como binomios conjugados es igual al cuadrado del minuendo ( en la diferencia ) menos el cuadrado del sustraendo.

Por ejemplo : al desarrollar: diferencia

a) ( 2m + 9 ) ( 2m - 9 ) = 4m2 - 81 minuendo sustraendo

diferencia b) ( 2a - 1 ) ( 1 + 2a ) = 4a2 - 1 minuendo sustraendo

diferencia c) ( a3 - b2 ) ( a3 + b2 ) = a6 - b4

minuendo sustraendoContinùa retroalimentando tu aprendizaje en este tema, efectuando las siguientes:ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.Determine el producto de los siguientes binomios conjugados aplicando la regla anterior: 1. ( x + y ) ( x - y ) = 6. ( 6x2 - m2x ) ( 6x2 + m2x ) =

2. ( m - n ) ( m + n ) = 7. ( 11 - ab ) ( 11 + ab ) =

3. ( x2 + a2 ) (x2 - a2 ) = 8. ( x2 + 13 ) ( 13 - x2) =

4. ( 3a + 4b ) ( 3a - 4b ) = 9. ( 3ab - 5b2 ) ( 3ab + 5b2 ) =

5. ( 1 - 8xy ) ( 1 + 8xy ) = 10. ( ax - 6 ) ( 6 + ax ) =

CUBO DE UN BINOMIO:

La expresión ( a + b )3 , representa el cubo de la suma de dos cantidades:

( a + b )3 = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b )

Aplicando la regla del cuadrado de un binomio ( a2 + 2ab + b2 )

Utilizando la propiedad distributiva:

55

SAETA ALGEBRA

( a2 + 2ab + b2) ( a + b ) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

reduciendo términos semejantes = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

En este caso también es más práctico aplicar una regla, que aplicar la propiedad distributiva. La regla es la siguiente:

“ El cubo de la suma de dos cantidades, es igual, al cubo de la primera cantidad, más el triple del cuadrado de la primera cantidad por la segunda, más el triple de la primera cantidad por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda cantidad.“

Ejemplo: Al desarrollar ( 3 m + 2 n )3 aplicando la regla anterior tendremos que:

Cubo de la primera cantidad ..................................... ( 3m )3 = 27m3

El triple del cuadrado de la primera cantidad por la segunda cantidad .................................... 3 ( 3m )2 ( 2n ) =

= 3 ( 9m2 ) ( 2n ) = 54 m2n El triple de la primera cantidad por el cuadrado

de la segunda cantidad .......................................... 3 ( 3m ) ( 2n )2 = = 3 ( 3m ) ( 4n2 ) = 36mn2

El cubo de la segunda cantidad ............................ ( 2n )3 = 8n3

Entonces: ( 3m + 2n )3 = 27m3 + 54m2n + 36mn2 + 8n3

No desmayes, lo que estás aprendiendo es muy importante. Continúa afianzando tus conocimientos y realiza las siguientes:ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.Desarrolla los siguientes binomios al cubo, aplicando la regla.1). ( x + 2y )3 =

2). ( 3a + 8 )3 =

3). ( 5ab + 10c )3 =

4). ( 7 + x )3 =

5). ( 12 + xy )3 =

En caso de la diferencia de dos cantidades al cubo, la regla se sigue de la misma forma que en el caso de la suma de dos cantidades al cubo, pero en este caso varían los signos:

¡ F Í J A T E B I E N !

( a - b )3 = ( a - b ) ( a - b ) ( a - b )

Aplicando la regla de la diferencia de un binomio

56

SAETA ALGEBRA

al cuadrado.

= ( a - b )2 ( a - b ) = [ a2 - 2ab + b2 ] ( a - b )

Utilizando la propiedad distributiva:

= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Comparando este resultado con un binomio al cubo de la forma ( a + b )3

( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Sólo cambian el segundo y el cuarto término en su signo. Si sigues los pasos en forma progresiva como en la regla anterior y sólo cambias los signos que ya observaste, podrás aplicar esta regla siempre que sea necesario.

Ahora pon tu mayor esfuerzo y haz lo que se te indica:


Realiza los siguientes binomios al cubo aplicando la regla:

1. ( x - y )3 =

2. ( a - 3 )3 =

3. ( 2ab - 4 )3 =

4. ( 8 - 6y2 )3 =

5. ( a4b2 - 2x )3 =

PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA ( x + a ) ( x + b ) :

Para este caso es necesario que observes la multiplicación de dos binomios con la característica de que el primer término en ambos binomios es el mismo (ó término común). Ejemplo:

Aplicando la propiedad distributiva ( x + a ) ( x + b ) = x2 + ax + bx + ( a b ) = x2 + ( a + b ) x + ab

57

SAETA ALGEBRA

( x + 2 ) ( x + 3 ) = x2 + 3x + 2x + = x2 + ( 3 + 2 ) x + = x2 + 5x + 6

Como notarás en el trinomio resultante, el primer término viene siendo el cuadrado del mismo (hay que aclararte que este es el término común de dicho producto), los valores a y b representarían cualesquier cantidad diferente del primer término, de tal forma que la simple suma de ambos, por el primer término, resultará el segundo término del trinomio, y por último el tercer término resulta del producto de los dos términos no comunes o diferentes.

¡ E n e f e c t o !

Esta es la regla de la multiplicación de dos binomios con un término común. Ejemplo:

Aplicando la regla anterior:

1. ( m + 4 ) ( m + 5 ) = ( m )2 + ( 4 + 5 )m + ( 4 . 5 ) = m2 + 9m + 202. ( y + 6 ) ( y - 3 ) = ( y )2 + ( 6 - 3 )y + ( 6 ) (-3 ) = y2 + 3y - 183. ( a2 - 1 ) ( a2 - 3 ) = ( a2 )2 + ( -1 - 3 )a2 + ( -1 ) ( -3 ) = a4 - 4a2 + 3

Con esto concluye este tema, para reforzarlo ejercita lo aprendido. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.Resuelve los siguientes productos de binomios aplicando la regla:

1. ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 6. ( y + 7 ) ( y - 1 ) =

2. ( a + 4 ) ( a + 3 ) = 7. ( n + 12 ) ( n + 5 ) =

3. ( m - 7 ) ( m - 1 ) = 8. ( x2 + 3 ) ( 5 + x2 ) =

4. ( mn + 10 ) ( mn - 2 ) = 9. ( 5 - z ) ( 3 - z ) =

5. ( xy - a ) ( xy + c ) = 10. ( a2y3 + 12 ) ( -12 + a2y3 ) =

AUTOEVALUACION.

INSTRUCCIONES: Escribe dentro del paréntesis la letra de la respuesta correcta, en cada uno de los siguientes productos notables. Aplique la regla que corresponde:

1. El producto de (x + 3) (x + 2) es: ( )

a) x2 + x - 6 b) x2 + x + 6 c) x2 - x - 6

2. El producto de ( 6xy - 7 )2 es: ( )

a) 36x2y2 + 84xy + 49 b) 36x2y2 + 84xy - 49 c) 36x2y2 - 84xy + 49

58

5x+3

5x+3

SAETA ALGEBRA

3. El producto de ( 3xy + 6 ) ( 3xy - 6 ) es: ( )

a) 9x2y2 - 36 b) 9x2y2 + 36 c) 36 - 9x2y2

4. El producto de ( 2 - 5y2 ) ( 5y2 + 2 ) es: ( )

a) 25y4 + 4 b) 4 - 25y4 c) 25y4 - 4

5. El producto de ( 4x + 3 )2 es igual a: ( )

a) 16x2 + 24x + 9 b) 16x - 24x + 9 c) 16x2 + 24x2 + 9

6. El producto de ( 7ab + 2 )2 es igual a: ( )

a) 49ab + 28ab + 4 b) 49a2b2 + 14ab + 4 c) 49a2b2+ 28ab+4

7. El producto de ( 4x + y )3 es: ( )

a) 64x3 + 48x2y + 12xy2 + y3 b) 64x3 - 48x2y + 12xy2 + y3

c) 64x3 - 48x2y + 12xy2 - y3

8. El producto de ( 7x - 2y )3 es: ( )

a) 343x3 + 294x2y - 84xy2 - 8y3 b) 343x3 - 294x2y - 84xy2 + 8y3

c) 343x3 - 294x2y + 84xy2 - 8y3

9. El producto de ( x + 4 ) ( x - 2 ) es: ( )

a) x2 - 2x - 8 b) x2 + 2x + 8 c) x2 + 2x - 8

10. El producto de ( y + 6 ) ( y + 3 ) es: ( )

a) y2 + 9y + 18 b) y2 - 9y + 18 c) y2 + 9y - 18

La aplicación de los productos notables nos ayudan en la solución de problemas prácticos como los siguientes:a) Calcular el área de un terreno cuadrado cuyo lado mide

b) Calcular el recorrido de un automóvil en (20x + 5) horas, si avanza a (20x + 9) km/hr.

59

SAETA ALGEBRA

c) Calcular lo que gana un obrero en (3x + 5) horas de trabajo, si le pagan a (3x + 5) pesos la hora.

FACTORIZACIÓN.

BLOQUES ACTIVIDADES

Apertura

Dibuja en forma individual como te gustaría que fuera su casa.

Dibujala en rotafolios y para presentarla al grupo. Compara tu dibujo con el de tus compañeros y ve ¿Cuál fue

la más y menos completa ? Anótala la respuesta a lo siguiente ¿Creé que porque uno de

los dibujos tuvo menos partes que otros dejará de ser casa? Toma una casa el equipo e identifica ¿Cuáles son los

espacios comunes y cuáles individuales? Colorear los espacios comunes e individuales de diferente

color. Elabora conclusiones sobre lo que acabas de realizar y como

le llamarías en un lenguaje matemático. De manera similar, las diferentes expresiones algebraicas

“casa” también se puede descomponer en sus partes.

Desarrollo

Investiga e identifican los diferentes tipos de expresiones que a su vez se factorizan de diferente manera por no ser similares.

Resuelve los ejercicios de la antolgía de factorización, considerando de forma particular cada una de ellas.

Cierre

Se resuelven ejercicios propuestos en la antología. Se intercambian las respuestas para su análisis durante la

asesoría

Factorizar quiere decir descomponer en factores.

60

SAETA ALGEBRA

Expresar el concepto de factorización.

Lo que hay que aprender es:

Cierto día un asesor del SAETA planteó el siguiente problema a sus alumnos: "En un centro comercial se van a formar locales rectangulares, de tal manera que dichos locales tengan un área de 60m2 . ¿Cuáles son las dimensiones que puedan tener dichos locales, si los lados deben medir metros completos y no deben exceder de 15m? Al resolver dicho problema los estudiantes encontraron las siguientes respuestas:

Lo que ellos hicieron para encontrar dichas respuestas fue buscar dos números que multiplicados dieran 60. Así:

60 = 4 x 15 60 = 5 x 12 60 = 6 x 10 factores factores factores

En otras palabras ellos factorizaron el número 60, es decir, lo descompusieron en factores.

Observa que un número puede ser factorizado de distintas maneras, por ejemplo, el número 60 puede factorizarse en 6 formas diferentes, así:

60 = 4 x 15 60 = 60 x 1

61

SAETA ALGEBRA

60 = 5 x 12 60 = 30 x 2 60 = 6 x 10 60 = 20 x 3

Sólo que los alumnos encontraron como respuesta únicamente las 3 factorizaciones de la izquierda porque en el problema se pedía la condición de que las medidas no excedieron de 15m.

Aplicaremos la factorización en las expresiones algebraicas, ya que frecuentemente se utiliza para resolver con mayor facilidad algunas operaciones.

La factorización de una expresión algebraica consiste en expresarla como producto de factores o producto indicado.

Antes de entrar a los diferentes tipos de factorización algebraica que existen, empezaremos por ilustrar dicha factorización con auxilio de figuras:

Consideremos un rectángulo, cuyas dimensiones son m+n de largo y p de ancho.

m n

mp p m + n

Como el área de un rectángulo se calcula multiplicando largo por ancho, en este caso, está dada por la expresión:

A = ( m + n ) p ------------------1

Por otro lado te das cuenta que el área de este rectángulo es igual a la suma de las dos áreas que lo integran, o sea:

A = mp + np ------------------ 2

Relacionando las expresiones 1 y 2 se tiene:

mp + np = ( m + n ) p

De esta manera , podrás advertir que la expresión mp + np, a quedado factorizada y que sus factores son: m + n y p.

62

np

SAETA ALGEBRA

La expresión mp + np se puede factorizar en forma más directa, si aplicamos la propiedad distributiva. Puesto que p es factor común de cada término, se puede expresar como:

mp + np = ( m + n ) p

POLINOMIOS QUE TIENEN UN FACTOR COMÚN:

Lo que hay que aprender es:

Factorizar polinomios que tienen un factor común.

Así como factorizamos un número también podemos factorizar un polinomio, es decir, lo podemos descomponer en factores; para lograrlo nos vamos a auxiliar de

la propiedad distributiva. Recordemos que usamos la propiedad distributiva para multiplicar, así:

a ( b + c ) = a b + a c Producto suma

Si leemos la igualdad anterior de derecha a izquierda tendremos:

ab + ac = a ( b + c ) Suma Producto

Así, mediante el uso de la propiedad distributiva el polinomio ab+ac se ha transformado en un producto, es decir, se ha factorizado a (b + c). Un polinomio puede factorizarse mediante el uso de la propiedad distributiva sólo cuando sus términos tienen un factor común.

Llamaremos factor común al factor que aparece en todos los términos de un polinomio.

Ejemplos : ② x + ② y 2 Ⓧ - Ⓧ y 2 ( x + y ) x ( 2 - y )

Así, para factorizar un polinomio procedemos como en el siguiente ejemplo:

Factorizar el polinomio 5x + 5y F a c t o r c o m ú n 1. Buscamos el factor común y ese elemento

será uno de los factores. ⑤ x + ⑤ y = 5 ( ) falta encontrar . este factor

2. Para encontrar el otro factor dividimos cada término del polinomio entre el 5 x + 5 y = 5 ( x + y )

63

SAETA ALGEBRA

factor común.

A veces no es tan fácil encontrar el factor común, por ejemplo en el polinomio: 2x + 4y aparentemente no hay factor común pero dicho polinomio puede escribirse de la siguiente manera:

2x + 4y factor común luego podemos factorizar 2x + 2 (2y) dicho polinomio así: 2x + 4y = 2 ( x + 2y )factor común

Al igual que un número, un mismo polinomio puede ser factorizado de distintas maneras, por ejemplo el polinomio 8x2 + 4x puede ser factorizado de las siguientes formas:1) 8x • Ⓧ + 4 Ⓧ = Ⓧ ( 8x + 4 ) 2) 8x2 + 4x factor común 4 (2x2 ) + 4x = 4 (2x2 + x) 3) 8x2 + 4x

2x (4x) + 4x (1)

factores = 4x (2x + 1)De las tres factorizaciones obtenidas, la más completa es la tercera, ya que en las otras dos, las expresiones " 8x + 4 " y " 2x + x " aún tiene un factor común, lo cual no sucede en el último caso, debido a que encontramos el máximo factor común.

El máximo factor común es el mayor de los factores comunes. Para obtenerlo encontramos al máximo común divisor de los coeficientes y escogemos las literales que aparezcan en todos los términos con su menor exponente.

Ejemplo:1. Factorizar el polinomio: 12 x2y3 + 24 x3y2 - 6 x4yI)

Obtener el máximo factor

común

a) Encontramos el máximo común divisor de los coeficientes

12 24 6 2 6 12 3 3 2 4 1 2 . 3 = 6

6 es el m.c.d.b). Escoger las literales que aparezcan en todos los términos con su menor exponente

En todos aparecen la x y y y los menores exponentes que tienen son:2 y 1: en la x es x2, 2 y en la y es y, 1

c). El máximo factor común es 6x2y

64

SAETA ALGEBRA

II) Encontramos el otro factor dividiendo cada término del polinomio entre el máximo factor común obtenido.

factorización

12x2y3+24x3y2-6x4y=6x2y(2y2+4xy-x2)2

12x2y3 6x2y = 2y2

24x3y2 6x2y = 4xy- 6x4y 6x2y = - x2

12x2y3 + 24x3y2 - 6x4y = 6x2y ( 2y2 + 4xy - x2 )

Podemos comprobar nuestra respuesta si efectuamos la multiplicación y obtenemos el polinomio dado, así: 6x2y ( 2y2 + 4xy - x2 ) = 12x 2 y 3 + 24x 3 y 2 - 6x 4 y Es el polinomio dado por lo que la factorización es correcta.

2. Factorizar el polinomio 10xy + 5y2 - 15yz I) Obtenemos el máximo factor común: a) Encontramos el m.c.d. de los coeficientes 10 5 15 5 Es el m.c.d. Ya no tienen 2 1 3 factores comunes

b) Escogemos las variables que aparezcan en todos los términos con su menor exponente. 10xy + 5y2 - 15yz

Sólo la “ y “ aparece en todos los términos y su menor exponente es 1. Por lo tanto, el máximo factor común es 5y

II) Dividimos todos los términos por 5y para encontrar el otro factor.

10xy + 5y2 - 15yz = 5y ( 2x + y - 3z )

10xy 5y = 2x 5y2 5y = y- 15yz 5y = - 3z


1. Encuentra el máximo común divisor y el máximo factor común de cada uno de los conjuntos de números:

a) { 2, 4, 6, } _______ b) { 12, 24, 36 } ________ c) { 5, 10 } _________ d) { 8, 36 } _______ e) { 24, 40, 50 } ________ f) { 9, 21 } _________

2. Encuentra el máximo común divisor de cada uno de los siguientes conjuntos:

a) { a, a2, a3 } b) { x2y, xy2 } c) { ab2c, b3c2, ab3c2 }

d) { m2, m3, m5 } e) { x3y, xy } f) { a2, ab, ab2 }

3. Efectúa las siguientes divisiones

65

SAETA ALGEBRA

a) x 5 = b) -12x 2 y 3 = c) 28a 3 b 2 = d) -5x 5 = x2 4xy2 - 7ab 5x5

4. Encuentra el máximo factor común de los polinomios siguientes y luego factorizarlos.

POLINOMIO MÁXIMO FACTOR COMÚN FACTORIZACIÓN

a) 2x + 3x + 5x

b) 5x + 10

c) 16x2 - 4x3 + 8x4

d) 12x3y + 4x2 - 6y2

e) 25xy2 + 30x3y2 + 15y2x4

f) 42x2y - 7x3 + 14y3x2

2. DIFERENCIA DE CUADRADOS

Lo que hay que aprender es:Factorizar diferencias de cuadrados.

Recordemos que al multiplicar binomios conjugados obtenemos como resultado una diferencia de cuadrados.

( x + y ) ( x - y ) = x2 - y2

Binomio diferencia de conjugados cuadrados

66

SAETA ALGEBRA

Si leemos la igualdad anterior de derecha a izquierda, tenemos:

x2 - y2 = ( x + y ) ( x - y )

Es decir, que podemos factorizar una diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados.

No olvidemos que el minuendo de la diferencia de cuadrados era obtenido al elevar al cuadrado el término común de los binomios, por lo que si le extraemos raíz cuadrada a dicho minuendo obtendremos el término común, así :

x2 - y2 = ( x ) ( x )

minuendo Término común

x2 = x

Para obtener términos opuestos de los binomios extraemos raíz cuadrada al sustraendo así: x2 - y2 = ( x + y ) ( x - y )

sustraendo Términos opuestos

y2 = y

De donde podemos concluir lo siguiente:

Para factorizar una diferencia de cuadrados formamos binomios conjugados, obteniendo su término común al extraer la raíz cuadrada al minuendo, y los términos opuestos al extraer raíz cuadrada al sustraendo.

Ejemplo : Minuendo Sustraendo 9x2 - 4y2

9x2 = 3x 4y2 = 2y

Luego 9x2 - 4y2 = ( 3x + 2y) (3x - 2y)

Término Términos común opuestosExtraer raíz cuadrada equivale a encontrar uno de los factores iguales del número al cual se desea extraer raíz.

Ejemplos : 2 factores iguales

1) x4 = ( x2 ) ( x2 ) =

67

SAETA ALGEBRA

2) 81r6 = (9r3 ) (9r3 ) =

3) 0.09 = (0.3) (0.3) = 0.3

¡CLARO YO SI PUEDO!


1. Calcula mentalmente la raíz cuadrada de las siguientes expresiones.

a) 81x4 b) 121x2y2 c) r10 d) x10 y4 z2 e) 16m10 f) 9y6

2. Relaciona las columnas asociando cada binomio con su factorización.

( ) x2 - 49 a) ( y+4) ( y-4) ( ) m2 - 4m4 b) (m+3) ( m-3) ( ) m2 - 9 c) ( x+7) ( x-7) ( ) y4 -16 d) ( y2+4) (y2-4) ( ) 25 - 9p6 e) ( y2+8) (y2-8)

f) ( m+2m2) ( m-2m2)g) (5+3p3) ( 5-3p3)

3. Completa los espacios vacíos con la expresión que haga falta para que las igualdades se cumplan.

a) x4 - 81 = ( x2 + ) ( x2 - ) b) y2 - 4 = ( y + ) ( y - )c) r6 - 49 = ( +7 ) ( - 7) d) x4 - = ( + 1 ) ( - 1)

4. Los polinomios siguientes son diferencia de cuadrados, factorízalos .

a) r2 -52 b) m6 - 4 c) x2 - 9 d) 16a6 - 4b4

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Sabes ahora lo que continua es más fácil tu si puedes :

Factorizar un trinomio cuadrado perfecto.

Hemos visto que el resultado de elevar un binomio al cuadrado recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.

( x+y )2 = x2+ 2xy + y2

( x-y )2 = x2- 2xy + y2

Si leemos las igualdades anteriores de derecha a izquierda, tenemos :

x2 + 2xy + y2 = ( x + y )2

x2 - 2xy + y2 = ( x - y )2

68

SAETA ALGEBRA

Por lo que podemos afirmar que un trinomio cuadrado perfecto puede factorizarse en un producto de 2 binomios iguales. Antes de averiguar cómo encontramos dicho binomio debemos identificar si un trinomio es cuadrado perfecto o no, para lo cual recordaremos las características de un trinomio cuadrado perfecto.

1er. término ( x + y )2 = x2 + 2xy + y2

2do. término

Por ejemplo: Observemos si el trinomio: 4x2 + 16xy + 16y2 cumple con las características anteriores :

1º) 4x2 es el cuadrado de 2x 2º) 16y2 es el cuadrado de 4y

3º) ¿Es 16xy el doble de (2x)(4y) ?Veamos, 2 (2x)(4y) = 16xy ¡ Si lo es ! por lo que afirmamos que el trinomio 4x2 + 16xy + 16 y2 es cuadrado perfecto. Observa que para encontrar extraemos raíz cuadrada a los término 4x2 y 16y2, así :

= 2x = 4y

Algunas veces los trinomios no aparecen ordenados, entonces para poderlos analizar es necesario que primero los ordenemos en forma decreciente con respecto a una variable, por ejemplo :

x2 + y2 + 2xy x2 + 2xy + y2 ordenando en forma decreciente respecto a “x”

Al ordenar en forma decreciente el exponente de la variable se debe escribir de mayor a menor. Para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto veamos los siguientes pasos :

¿ Es 36x2 + 100y2 - 120xy un trinomio cuadrado perfecto?1º. Ordenamos el trinomio en orden decreciente

respecto a una variableOrden decreciente con respeto a “x”

36x2 - 120xy + 100y2

2º. Extraemos raíz cuadrada al 1er. y 3er. término 1er. Término 3er. Término36x2 - 120xy + 100y2

6x 10y3º Verificamos si el término central es el doble

producto de las raíces obtenidas.36x2 - 120xy + 100y2

6x 10y2(6x) (10y) = 120xy

Por lo tanto, el trinomio 36x2 - 120xy + 100y2 es cuadrado perfecto.

En resumen: Un trinomio es cuadrado perfecto si después de ordenarlo en forma decreciente respecto a una variable, se cumple que el término central

69

El cuadrado deller. término

El doble del 1ero. Por el 2do.por el 2do. término

El cuadrado del2do. término

SAETA ALGEBRA

es el doble del producto de las raíces cuadradas del 1er. y 3er. término del trinomio.

Ejemplos:

a) 9 + x2 + 6x ordenando queda x2 + 6x + 9

x2 + 6x + 9 ¿ es 2(x) (3) = 6x ? Por lo que x2 + 6x + 9 es cuadrado perfecto x 3 ¡ Si lo es !

b) x2 + 4p - 16 ordenando queda p2 + 4p - 16

p2 + 4p - 16 ¿ es 2(p) (4) = 8p ? Por lo que p2 + 4p - 16 no es cuadrado perfecto p 4 ¡ No lo es ! ¡ Aplica tus conocimientos !ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

1. Escribe dentro del paréntesis una ( X ) si el trinomio es cuadrado perfecto.

a) x2 + xy + y2 ( ) b) y2 + z2 + 2yz ( )

c) 4x2 + 32x + 64 ( ) d) x2 - 8x + 4 ( )

2. Escribe dentro del cuadro el término que falte para completar un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: a) x2 - 8x + b) x2 + + 25

x ? c) b2 + 12b + luego 2(x) (?) = 8x ? = 8x d) +14x + 49 2x ? = 4 e) 4x2 + + 16 de donde el término que falta es 16 f) y2 - 16y +

3. Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos.

a) x2 + 8x + 16 = ________________ b) y2 - 16y + 64 = __________

c) 16x2 + 40x + 25 =________________ d) 100z2 - 100z + 25 = _________

4. Resuelve el siguiente problema:

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SAETA ALGEBRA

a) ¿ Cuánto mide de lado un cuadrado cuya área es x2 + 4x + 4 ?

¡ Continuemos !

TRINOMIOS DE LA FORMA x2 + bx + c

Lo que hay que aprender:

Factorizar un trinomio de la forma x2 + bx +c en dos binomios con término común.

1. Dicho trinomio no tiene un factor común diferente de 1. x2 + 7x + 10

x . x 7 . x 5 . 2 No hay un factor que aparezca en los 3 términos

2. Tampoco podemos factorizarlo en un producto de dos binomios conjugados, debido a que dicho trinomio no es una diferencia de cuadrados.

3. Además, no es un trinomio cuadrado perfecto, por que 7x no es el doble de ( x ) ( 10 ), lo cual significa que no podemos factorizarlo en un binomio al cuadrado.

Pero recordemos que al multiplicar dos binomios con término común, obtenemos un trinomio cuadrático de la forma x2+bx+c; donde b representa la suma algebraica de los términos no comunes y c el producto de los mismos.

( x + p ) ( x + q ) = x2 + bx + c b = p + q c = p . q

Término Términos no Suma de Producto de común. comunes. los no comunes. los no comunes.

Por lo que: Un trinomio de la forma x2 + bx + c puede factorizarse en un producto de binomios con término común.Regresemos al trinomio x2+7x+10, éste es de la forma x2+bx+c. Hagamos la comprobación de ambos:

x2 + 7x + 10 7 = bdonde

10 = c x2 + bx + c

71

SAETA ALGEBRA

Lo cual quiere decir que para factorizar el trinomio x2 + 7x + 10, debemos encontrar dos binomios que tengan un término común. ¿ Cómo lo hacemos ?

1. El término común lo podemos obtener si extraemos raíz cuadrada al término cuadrático ( x2 ).

x2 + 7x + 10 = ( x ) ( x )

x término común

2. Para encontrar los términos no comunes buscamos dos números que cumplan las siguientes condiciones:

p + q = 7 ( sumados den 7 )p . q = 10 ( multiplicados den 10 )

Primero veamos los factores de 10 Ahora veamos cuáles de los factorespositivo, ambos factores son los dos anteriores suman 7.positivos o los dos negativos. 10 10 . ( 10) . ( 1 ) ( 10 ) . ( 1 ) ---------- 10 + 1 = 11 ( 5 ) . ( 2 ) ( 5 ) . ( 2 ) 5 + 2 = 7 (-10 ) . (-1 ) (-10 ) . (-2 ) (-10)+(-2) = -12 ( -5 ) . (-2 ) ( -5 ) . (-2 ) ( -5 )+(-2) = -7

Luego 5 y 2 cumplen las condiciones, por lo que:x2 + 7x + 10 = ( x + 5 ) ( x + 2 )

Por lo tanto: Al factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c formamos un producto de binomios con término común, donde:

1. El término común es obtenido al extraer la raíz cuadrada al término cuadrático (x2 ).

2. Los términos no comunes se obtienen al encontrar dos números que cumplan las siguientes condiciones:

p + q = b y p . q = c

Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios.

1. x2 - 5x + 6 a) Checamos que dicho trinomio sea de la forma x2 + bx + c

x2 + bx + c

72

SAETA ALGEBRA

x2 - 5x + 6

observa que el coeficiente del término cuadrático debe ser 1.

b) Obtenemos el término común x2 - 5x + 6 = ( x ) ( x )

x término común c) Como b = -5 y c = 6 Buscamos dos números que multiplicados nos de 6 y sumados -5, para encontrar los términos no comunes.

( ) ( ) = 6 y ( ) + ( ) = -5

Luego como 6 es positivo, tenemos que los factores pueden ser los dos positivos, o los dos negativos, así:

6 ¿ Cuáles de dichos factores suman -5 ?Veamos

luego Los términos comunes son:-3 y -2

( 6 ) . ( 1 )(- 6 ) . (- ¡ )( 3 ) . ( 2 )

( 6 ) + ( 1 ) = 7( - 6 ) + ( - 1 ) = -7( 3 ) + ( 2 ) = 5(- 3 ) + ( - 2 ) = -5

Por lo que el trinomio puede factorizarse así: x2 - 5x + 6 = ( x - 3 ) ( x - 2 )

2. y2 + y - 30

a) Como es de la forma x2+bx+c, encontramos el término común. y2 + y - 30 = ( y ) ( y )

b) Buscamos dos números tales que: ( ) . ( ) = -30 y ( )+ ( ) = 1; como el producto ( -30 ) es negativo un factor debe ser positivo y el otro negativo; y como la suma ( 1 ) es positiva el mayor de los factores es positivo, luego tenemos las siguientes posibilidades:

30 ¿ Cuál es la suma ? 30 + ( -1 ) = 29( 30 ) . ( 1 ) Veamos: 15 + ( -2 ) = 13( 15 ) . (-2 ) 10 + ( -3 ) = 7( 6 ) . (-5 ) 6 + ( -5 ) = 1

Por lo que los términos no comunes son 6 y 5, de donde:

y2 + y - 30 = ( y + 6 ) ( y - 5 )

No todos los términos que tienen la forma x2+bx+c son factorizables en el conjunto de los números enteros, por ejemplo: x2 + 3x + 5 es de la forma x2 + bx + c

Si tratamos de encontrar dos números que multiplicados nos den 5, tenemos:

5 Pero ( 5 ) . ( 1 ) 5 + 1 = 6

73

SAETA ALGEBRA

(-5 ) . (-1 ) ( -5 ) + ( -1 ) = -6

Por lo que no existen dos números enteros que multiplicados nos de 5 y sumados 3, cuando esto sucede decimos que dicho trinomio no es factorizable en el conjunto de los números enteros.SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

Ejemplo:

Factorar

La raíz cúbica de es X ; la raíz cúbica de 1 es 1. Según la regla anterior

= ( X + 1) =

1er. paso 2º paso resultado

Ejercicio:

1)

2)

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

Ejemplo :

1er. Paso 2º paso resultado

Ejercicio: 1) 2)

TRINOMIOS DE LA FORMA a x + bx +cSon trinomios de esta forma :

que se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior en que el primer termino tiene un coeficiente distinto de 1.

74

1º la suma de sus raíces cúbicas. 2º el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

1º La diferencia de sus raíces cúbicas .2º El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

SAETA ALGEBRA

Ejemplo: 2x2 +11x + 5

Se factoriza de la siguiente manera .

1.- Se indica la multiplicación de cada uno de los términos de la expresión por el coeficiente del término cuadrático.

2.- Se efectúa la multiplicación del 1º y del 3º término y del 2º los coeficientes se invierten

pero 4x2 = (2x)2

Ahora el trinomio queda así

3.- Descomponiendo este trinomio según se vio en el caso anterior, el 1º termino de cada factor será la raíz cuadrada del 1er término del trinomio, o sea 2x:

(2x ) (2x ).

4. Los otros términos se encontraran buscando los números que multiplicado nos den el 3º término del trinomio y sumado el coeficiente del segundo término.

2 x 5 = 10 2 + 5 = 710 x 1 = 10 10 + 1 = 11-2 x –5 =10 -2+(-5)= -7-10 x –1 = 10 -10+ (-1)=-11(2x + 10) (2x+1)

5.- Como la expresión se multiplica por 2 ahora se divide entre este mismo número . Pero factorizado.

(2x + 10) (2x+1) 2 x 1

Resultado: (x + 5 ) (2x + 1)

Actividad de aprendizaje:

1.- Factorizar los siguientes trinomios

a)b)c)

Ya que analizaste y comprendiste los ejemplos anteriores, te invitamos a resolver las

75

Son los números buscados

SAETA ALGEBRA


1. Encuentra dos números "p" y "q" tales que cumplan con las condiciones que se señalan. Observa el ejemplo.

p . q p + q p q p . q p + q p qa) 12 8 6 2 d) 12 - 7b) 20 9 e) -15 - 2c) 56 15 f) - 32 4

2. Factoriza los siguientes trinomios

a) x2 - 3x - 10 = ____________ d) x2 + 9x - 36 = ___________

b) m2 + 9m + 14 = ___________ e) x10 - 10x5 + 24 = __________

c) y2 - 8y + 12 = ____________ f) y4 - y2 _ 2 = ____________

3¿ Cuáles serán las dimensiones de un rectángulo cuya área es de y2 - 5y + 6 ?

A = Largo x ancho

A = y2 - 5y + 6

¡ Demuestra lo que aprendiste!Actividades de aprendizaje

I. Anota en el paréntesis de la derecha la letra que corresponde a la respuesta que complete correctamente lo que se pide:1. Es el término que debe agregarse a la expresión " x 2 + 12x + " para formar un trinomio cuadrado perfecto ............................................................( )

a) 16 b) 36 c) 144 d) 9

2. Es el máximo factor común del trinomio 8x2y + 24yz + 12y2z ............. .( )

a) 8xyz b) 2xy c) 4x d) 4y

3. Es la factorización del trinomio x2 - 13x - 30 .. .................. ....................( )

a) ( x2 - 3 ) ( x - 10 ) b) ( x - 10 ) ( x + 3 ) c) ( x + 5 ) ( x - 6 ) d) ( x - 15 ) ( x + 2 )

4. Es el polinomio que representa la medida del lado de un cuadrado cuya área es x2 - 18x + 81 ................................................... .................................( ) a) x - 9 b) x + 9 c) x2 - 9 d) ( x - 9 )2

76

a +

3

SAETA ALGEBRA

II. Factoriza los siguientes polinomios. Te recomendamos los siguientes pasos:

1º Observa si tiene factor común 2º Si es un binomio, analiza si es una diferencia de cuadrado3º Si es un trinomio, analiza si es cuadrado perfecto4º En caso de que el trinomio no sea cuadrado perfecto observa si es de la forma x2 + bx + c y si es factorizadle en el conjunto de los número enteros.

a) x2 + 6x + 9 = __________ e) 8a2 + 6a - 12a3 = ___________

b) x2 + 4x = ___________ f) y2 - 36z2 = ____________

c) m2 - 25 = ___________ g) x2 - 2x - 15 = ____________

d) y2 + 6y + 8 = ___________ h) y2 - 15y + 36 = ____________

III. Resuelve el siguiente problema aplicando factorización: ? ¿ Cuánto mide de largo un rectángulo si tiene una superficie de a2 + 7a + 12 y su ancho mide (a + 3 )

Largo = ___________________

¿Has oído la siguiente frase? “La duda es el principio del conocimiento“.

Te será de gran utilidad el consultar con tu asesor este tema. Una vez aclaradas tus dudas, te invitamos a discutirlas, resolviendo estas actividades:

ACTIVIDADES REMEDIALES.

a) Si sabemos que d = vt, encuentra la velocidad de un automóvil si recorre una distancia de ( x2-50x+600 ) km en un tiempo de ( x-30 ) hrs.

t = x - 30

x2 - 50x + 600

b) ¿ Cuánto mide de lado el cuadrado de la derecha si tiene un área de x2-14x+49?

77

a2 + 7a + 12

SAETA ALGEBRA

Lado = ______________

( ECUACIONES CON UNA INCOGNITA )

TEMA INTEGRADOR: EL SALARIO.


1. Comprender el lenguaje escrito para pasarlo al lenguaje algebraico

2. analizar materiales escritos y relacionarlos con el lenguaje algebraico, haciendo

la expresión algebraica correspondiente.


lenguaje coloquial a lenguaje algebraico.


PROBLEMA:

Tres muchachos ganaron $ 960.00. Enrique ganó $ 24.00 menos que

Eduardo y Esteban ganó 10 veces lo que enrique.

¿ Cuánto ganó cada uno de ellos ?

78

x2 - 14x + 49

SAETA ALGEBRA

5. En forma individual determina una estrategia de solución para conocer cuanto

ganó

cada uno de ellos.





9. Discusión del grupo por las estrategias y resultados obtenidos en el problema.


10 Analizar los materiales escritos relacionados con el lenguaje algebraico y con

los contenidos que puedan corresponder al tema integrador por equipo como son:




d) Leyes de los signos

e) Operaciones algebraicas

11.Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados, con el material

Analizado.


en la

solución del problema.


Algebraica y operaciones con expresiones algebraicas.


79

SAETA ALGEBRA

14. Plantear por equipos las diferentes formas de representar el lenguaje

algebraico y de realizar operaciones algebraicas.



17.Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo.

PROBLEMA:

Tres muchachos ganaron $ 960.00. Enrique ganó $ 24.00 menos que

Eduardo y Esteban ganó 10 veces lo que Enrique.

¿ Cuánto ganó cada uno de ellos ?

ANALISIS DE LA INFORMACION Y PLANTEAMIENTO

Tres muchachos ganaron $ 960.00

+ + = $ 960.00

Enrique Eduardo EstebanGanó $24.00 menos ganó “x” ganò 10 veces Lo que ganaron que Eduardo lo que Enrique los tres muchachos

Lenguaje algebraico:

X – 24 + _X _ + 10 ( x – 2 4) = $ 960.00

80

SAETA ALGEBRA

Eliminamos el paréntesis:

X – 24 + _X _ + 10x – 240) = $ 960.00

Pasamos al 2º miembro de la igualdad los valores y obtenemos:

X + _X _ + 10x = $ 960.00 + 24 + 240

Reducimos y obtenemos:

12 X = $ 1,224.00

Despejamos la X

X = $ 1,224.00 = $ 102.00 12

Sustituimos las incognitas por los valores:

+ + = $ 960.00

Enrique Eduardo EstebanGanó $24.00 menos ganó “x” ganò 10 veces Lo que ganaron que Eduardo lo que Enrique los tres muchachos

X – 24 + _X _ + 10 ( x – 2 4) = $ 960.00 $ 78.00 + $ 102.00 + $ 780.00 = $ 960.00

PROBLEMA:

Un obrero gana $ 50.00 a la quincena, si cada año aumenta su sueldo el triple, por la

inflación económica que existe en su país.

¿ Cuál sería su sueldo al 5º año ?

¿ Cuál será la expresión algebraica para conocer el sueldo del obrero en “n”

años ?

ANALISIS DE LA INFORMACIÓN Y PLANTEAMIENTO:

81

SAETA ALGEBRA

A ñ o s

1 2 3 4 5 6 “n”

Incremento: Triple Triple Triple Triple Triple

Sueldo: $ 50.00 $ 150 $ 450.00 $ 1,350.00 $ 4,050.00 $ 12,150.00 ¿?

Su sueldo en el quinto año sería

1. Hagamos una tabla apoyándonos en el dibujo anterior, en donde “x” es el salario

AÑOS

Lenguaje algebraico ( Salarios )

1 x

2 3 x3 3 ( 3 x )4 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 x )5 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 x )6 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 x )

......

n 3 ( n – 1 ) x

la expresión algebraica para conocer el sueldo del obrero en “n” años es:

2. ECUACIONES LINEALESHablemos de cine ya que tú eres un experto en el séptimo arte y para comenzar realiza una reseña sobre la última película de moda en el cine (Ejemplo Spiderman II), sobre la cantidad de gente que asistió, el tipo de servicios, siguiente estreno, Enfatizar sobre el gran consumo de bebidas, palomitas, etc. Pregúntate cuanto ganará la empresa por la venta de palomitas.

De la misma forma hablemos de los temas siguientes1.- Determinar los requerimientos para la fabricación de palomitas de maíz.2. ¿Que equipo se requiere? 3. ¿Cuál es el costo de dicho equipo?4.- ¿Cuál es el costo de materia prima para una bolsa de palomitas? 5.- Obtener los costos para producir 1 bolsa, 2, 3, 4, 5...10.

82

SAETA ALGEBRA

Contestar:6. ¿Cuántas bolsas elevarán el costo a 3900? 7.- ¿Cuanto nos cuesta producir 40 bolsas?

Si quisiéramos establecer una empresa de este tipo tendríamos que investigar sobre:

8. Reflexiona sobre la inversión necesaria para llevar a cabo una microempresa9. Realiza el a un análisis por escrito sobre el comportamiento de una ecuación lineal10. Visualiza que puede realizar otra ecuación lineal para otro ejemplo de otro tipo o área11. Intercambien respuestas dadas a los ejercicios en la asesoría.

Cada uno de ustedes se ha encontrado indudablemente con prestidigitadores que pueden adivinar números. Como regla un prestidigitador propone realizar operaciones del siguiente carácter: pensar un número cualquiera, adicionar dos, multiplicar el resultado por tres, restar cinco, restar el número pensando etc; en total cinco o una decena de operaciones. Luego el prestidigitador pide que le comuniquen el resultado y, al obtener la respuesta, enseguida comunica el número pensado.

Claro está que el secreto de la prestidigitación es muy fácil y se basa en las mismas ecuaciones. Supongamos que el prestidigitador te haya propuesto a ti a utilizar un programa de operaciones indicado en la columna izquierda de la tabla siguiente:

piensa un número xadiciona dos x+2el resultado multiplícalo por tres 3x+6resta cinco 3x+1resta el número pensado 2x+1 multiplica por dos 4x+2resta uno 4x+1

Luego el prestidigitador pide que le comuniquen el resultado final y, al obtenerlo, dice al instante el número pensado. ¿ Cómo lo hace?Para comprender esto, hay que mirar la columna derecha de la tabla donde las indicaciones del prestidigitador están traducidas al idioma del álgebra. Mirando esta columna se puede comprender, que si tu has pensado cualquier número, entonces realizadas todas las operaciones se obtendrá 4x + 1. Conociendo este resultado no es difícil adivinar el número.

Supongamos, por ejemplo, que tú hayas dicho al prestidigitador que el resultado es 33. Entonces el prestidigitador resuelve mentalmente muy rápido la ecuación 4x + 1= 33, y obtiene la respuesta x = 8. Es decir, hace falta restar uno del resultado final ( 33-

83

SAETA ALGEBRA

1=32 ) y luego el número obtenido se divide entre 4 ( 32/4 = 8 ), el resultado de esta división es el número pensado ( 8 ). Si el resultado final es 25, entonces el prestidigitador hace mentalmente las siguientes operaciones 25-1=24, 24/4 = 6 y te comunica que has pensado el número 6. Como se ve todo es muy fácil. El prestidigitador sabe de antemano que hacer al resultado para obtener el número pensado.“Mejor que no le permita dividir pues la división complica mucho la prestidigitación”.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

En este momento haremos un paréntesis y hablaremos de temas de interés para todos ustedes empesaremos por :

Dar a conocer el calendario del nuevo modelo curricular del SAETA.Que el estudiante programe el tiempo que va a durar para contestar esta asignatura.Se le pide al alumno SAETANO que realice una tabla de actividades diarias y semanales, en que asistirá a asesorías.Pedir que tome en cuenta los días festivos y las vacaciones

Ahora les toca a ustedes determinar lo siguiente1.-.Determinar en base al calendario de actividades los días que asistirán a asesoría y los días que no vendrán tiempo completo.2.- Hacer comparaciones en equipo.3.- Determinar en forma individual y grupal el gasto económico que realizan en el mes para asistir a asesorías.4.- ¿Cuánto gastarían en el semestre y en el año?.5.- ¿Cuánto se ahorrarán por los días que no asistirán a las asesorías?6.- ¿Cuánto se ahorraran en el mes, al semestre y al año?7.- ¿Para cuantos días les alcanzaría venir a asesoría con $600.00?8.- ¿Cuántos días se tendrían que suspender asesorías para que se ahorren $200.00 al mes?9.- ¿Cuántos días tendrían que tomar raite para ahorrarse $800.00 en 6 meses?

Para concluir con este apasionante tema realicemos lo siguiente1.- piensa analíticamente , sobre lo que estas invirtiendo económicamente para asistir a la escuela 2.- Realiza un análisis de las operaciones efectuadas en el desarrollo del problema.

84

SAETA ALGEBRA

3.- Resolver ecuaciones propuestas en antología.4.- Intercambiar respuestas con tus compañeros durante la asesoría.5.- Exposición de resultados.

Entrando en materia diremos una ecuación es una afirmación matemática que utiliza un signo de igual para establecer que dos expresiones representan el mismo número o son equivalentes.Aquella ecuación que contiene únicamente números puede ser cierta o falsa, por ejemplo: 24 + 6 = 30 es cierto, pero 24 + 6 = 31 es falso. Una ecuación que contiene al menos una variable es una afirmación abierta y no es ni cierta ni falsa, por ejemplo: x+6=30 no es ni cierta ni falsa, porque la variable “x” no ha sido sustituida por ningún número.

Al conjunto de números de donde se puede elegir los valores para la variable se llama " Conjunto de reemplazo”. El sustituto de la variable que hace que la ecuación sea

cierta se llama " Solución de la ecuación". Podemos resolver una ecuación encontrando todas las soluciones. La colección de todas las soluciones se llama " Conjunto solución " de la ecuación.Ejemplo: Resolver x + 38 = 42

Conjunto de reemplazo {1, 2, 3, 4, 5,}

Solución: Sustituye la variable "x" por cada número del conjunto de reemplazo.

x + 38 = 42 Entonces el número que hace cierta la 1 + 38 = 42------Falsa ecuación es la solución x = 4.2 + 38 = 42------Falsa 3 + 38 = 42------Falsa4 + 38 = 42------Cierta5 + 38 = 42------Falsa

Esta parte de las matemáticas en que ahora nos encontramos se refiere a las ecuaciones cuyas variables representan cantidades desconocidas, a estas variables se les llama “Incógnitas ” , que generalmente se representan por las últimas letras del alfabeto: (v, x, y, z).CONCLUSIÓN: En una ecuación con incógnitas (no en todas las ecuaciones), la igualdad sólo es cierta para uno o algunos valores de la variable, ( no para todos ). Nuestra tarea es descubrir ese o esos valores.

En efecto, es necesario que tú obtengas esos valores y encuentres en ello la utilidad de las ecuaciones. Para esto pon atención a lo siguiente:

Ejemplo:

* La población “P” de una comunidad aumentó 5, 689 personas durante cierto año, haciendo un total de 157, 743. ¿Cuántas personas había en tu comunidad antes del aumento?

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SAETA ALGEBRA

Resolver la ecuación:

P + 5, 689 = 157, 743 P = 157,743-5,689 Despejando nos queda: P = 152,054

En toda ecuación podemos distinguir dos miembros :

3x + 4 - 6x = 8x - 9 - 3x.

Primer miembro: Todos los términos que están antes del signo igual.

3x + 4 - 6x

Segundo miembro: Todos los términos que están después del signo igual.

8x - 9 -3x

Signo igual (= ): Es el que separa a los miembros de una ecuación

Para aprovechar esto en nuestro estudio, necesitas familiarizarte con las siguientes propiedades de las ecuaciones.

a) Si multiplicamos los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero, obtenemos una nueva ecuación, que tiene la misma solución que la ecuación original.

b) Si dividimos los dos miembros de una ecuación entre un mismo número distinto de cero, obtenemos otra ecuación, pero ambas tienen la misma solución.

Ejemplo: Si consideramos la ecuación (m) (15) = 165 , cuya solución es 11.

a) Multiplicamos sus 2 miembros por 10. (m) (15) (10) = (165) (10)

Obtenemos la ecuación. (m) (150) = 1650

Cuya solución también es el número 11, pues (11) (150) = 1650

b) Dividimos los 2 miembros de nuestra ecuación entre 5: (m) (15) = 165 5 5

Esta nueva ecuación, aunque distinta de la primera también tiene por solución 11, pues al hacer la sustitución tenemos que: (11) (15) = 165 5 5

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SAETA ALGEBRA

Existen diferentes tipos de ecuaciones, es el momento de que las conozcas.

2.1.2. DESPEJE DE FORMULAS

Para el desarrollo de este tipo de ecuaciones es necesario realizar los siguientes pasos:

Si retomamos la ecuación 3x + 4 - 6x = 8x - 9 - 3x Primer Paso:Agrupar en el primer miembro a todos los términos que contienen la incógnita y en el segundo miembro agrupar a todos los términos independientes o que no contienen a la incógnita.

Cuando cambies a un término de un miembro a otro, siempre cambiará de signo.3x - 6x - 8x + 3x = - 9 - 4

Observa que los términos 8x-3x estaban en el segundo miembro y al pasar al primero cambian de signo.El término 4 que estaba en el primer miembro pasó al segundo miembro con un signo contrario.Cuando bajamos a un término de un miembro, al mismo miembro pasará con el mismo signo.

Segundo paso:

Agrupados los términos en el primero y segundo miembro realizamos una reducción de términos semejantes en ambos miembros:

3x - 6x - 8x + 3x = - 9 - 4 - 8x = - 13 Reducción de términos semejantes. x = - 13 despejamos la incógnita. - 8

x = 13 Simplificar el producto y su signo en 8 caso de tener la posibilidad. En este caso aplicamos la ley de los signos (-) (-) en la fracción y obtendremos que el signo será positivo.

Ejemplo:Si multiplicamos un número por 32 obtenemos 576 ¿ Cuál es ese número ? Ecuación: x . 32 = 576 Solución: x = 576 32 Respuesta: x = 18

Nota: Es necesario que sepas que además de las ecuaciones lineales y con números enteros, existen también las lineales fraccionarias.

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SAETA ALGEBRA

Ejemplo:

2 + 3 = 7 3x 5x

Utiliza lo aprendido sobre ecuaciones y resuelve los problemas que se te plantean


Resuelve los problemas usando ecuaciones de primer grado.

a) Al dividir un número entre 45 se obtiene 1080 como cociente ¿Qué número es Ese ?

b) La séptima parte de un número es 105 ¿Cuál es ese número ?

c) El número 90 es 6 veces mayor que un número X ¿Qué número es X ?

d) El número 21 es el cociente de “n” entre 42 ¿Qué número es n?

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA, APLICADAS A PROBLEMAS REALES.

Trabajaremos ahora de lo que se compra en la tienda comercial Realiza un listado de productos que compraste el día de hoy en la tienda comercial

de tu localidad. Determina el total de artículos que compraste. Anota el costo de cada uno de los artículos. Al momento de pagar, ¿te regresaron cambio? ¿Cuál fue la cantidad que te

regresaron?¿Como crees que el cajero acertó en la cantidad que tu pagaste? Acude a un libro de Álgebra y lee el contenido del tema “ecuaciones lineales con una incógnita”

Los gastos efectuados en tres compras consecutivas en el supermercado fueron $87.00, $91.00 y $82.00 ¿Cuánto tendrá que ser su gasto en una cuarta compra para tener un promedio de $80.00?

¿Qué te piden encontrar? ¿Cuál es el dato conocido?

88

SAETA ALGEBRA

Comprueba tu resultadoCompara tus resultados con otros estudiantes

Elabora los ejercicios de la antología

Desde luego que ya sabes el manejo correcto de las ecuaciones lineales ahora observa el problema siguiente

Ejemplo: Don José desea vender un hato de ganado vacuno el cual pesa 6 veces más que el hato de Don Luis. Si el hato de Don José pesa 18 toneladas ¿Cuánto pesará el hato de Don Luis? 6x = 18 toneladas. x = 18

6 x = 3

A continuación se te presentan varios problemas, plantea su solución en forma de ecuación.

PROBLEMAS.

1. Observando un objeto con una lupa, se ve 4 veces mayor que lo que mide en la realidad. Si la imagen de un objeto en la lupa mide 76mm. ¿Cuántos milímetros mide realmente el objeto?

2. Una granja produce "N" huevos cierto día y se llenan 90 cajas al empacarlos. Si en cada caja caben 360 huevos ¿Cuál fue el número de huevos que se produjo en ese día?

3. Después de entregar 2,575 prendedores publicitarios para la campaña, al político le quedaron 4,925 ¿Cuántos prendedores publicitarios tenía al principio de su campaña?

4. En la hora en que poca gente ve la T.V., un comercial cuesta $ 235,650. Esto es $ 195,750 menos que su costo durante la mejor hora. ¿Cuál será el costo del comercial durante la mejor hora ?

¡DEMUESTRA LO APRENDIDO!


1. Resuelve y verifica mentalmente las siguientes ecuaciones: n + 2 = 8 t - 300 = 700 8 + b = 9 24 = 5 + y a + 4 = 9 125 + z = 200 0 = n - 3

89

SAETA ALGEBRA

2. En el siguiente cuadro, la suma de los números que aparece en cada fila, columna o diagonal es la misma.

x 2 14 12 9 y n 16 7

Plantea las ecuaciones necesarias y resuélvelas para encontrar x, y, n.

3. Usar las variables a y b para completar esta generalización sobre la solución de ecuaciones de la forma x - a = b para x: x = _____ ? _____

4. Plantea y resuelve ecuaciones en donde la suma sea 2,475 y 1,697, se sume a un número representado por la variable "n".

5. Plantea y resuelve una ecuación en donde 3,478 se reste al número representado por la variable "y" para producir la diferencia 5,607.

¿TIENES DUDAS?

Si se presentara algunas dudas recuerda que tus tutores están contigo para apoyarte en esta gran aventura.

2.2 ECUACIONES CUADRATICAS.En nuestra vida diaria nos encontramos con problemas que no podemos resolver mediante ecuaciones de primer grado. En este apartado te invito a conocer un nuevo tipo de ecuaciones de gran utilidad humana.

Los precios de algunos productos en el campo están muy bajos es por eso que todos los productores requieren de una buena planeación de sus cultivos.

Investiga el aumento del precio de trigo que tuvo durante el mes de julio del 2004 así como sus modificaciones de precio alcanzando máximos y a su vez como decreció en sus precios durante un periodo de un mes.

Determinar máximos y mínimos de precios. Costo de los aumentos Al subir y bajar los precios hubo cambios ¿Cuántos? Como se obtuvieron los resultados Comparar métodos de resultados y solución Recuperar los conocimientos adquiridosEs muy importante realizar un intercambio de resultados Compara tus anotaciones con la de tus compañeros en la asesoría.

90

= 27

SAETA ALGEBRA

Forma un equipo con los que encuentres similitud en tus respuestas y de manera conjunta elaboren una sola propuesta

Expongan sus resultados al grupo.

Con la finalidad de encontrar algunas respuestas a este gran problema :

En forma grupal durante la asesoría realicen un análisis de las causas principales que llevaron a las diversas respuestas.

Unas de las solicitudes de asesoria que solicita la gente de la comunidad a esta escuela son las relacionadas a enfermedades en sus animales y algunos casos como el siguiente

El Sr. Curry de Villa Juárez Nayarit desea iniciar el cultivo de un huerto de verduras de 100 metros cuadrados. Puesto que sólo tiene 30 metros de cerca de alambre para pollos, sólo cerca 3 lados de un rectángulo y utiliza la pared de su gallinero como cuarto lado del cercado. ¿ Qué ancho tiene el huerto ?.Al tratar de resolver un problema, puedes hacer uso de varios recursos, como son figuras que muestren la situación real.

x x

30 - 2x

Sea x = número de metros de ancho.

30 - 2x = lo largo en metros x ( 30 - 2x ) = área en mts2

Es decir:x ( 30 - 2x ) = 100 ó también 30x - 2x2 - 100 = 0

Esta última ecuación te representa la situación real de la que habla el problema, y si tú la resuelves estarás dando respuesta a la pregunta¿Qué ancho tiene el huerto (x = ?)

91

G A L L I N E R O

SAETA ALGEBRA

2.2.1. METODOS DE SOLUCIÓN

Existen varios métodos para resolver este tipo de ecuaciones. Antes de abordarlos es importante que conozcas la siguiente información:

Las ecuaciones donde la incógnita aparece con exponente 2, se llaman Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas; con ellas podrás dar solución a muchos problemas prácticos.

BLOQUES ACTIVIDADES

Apertura

1. Leer cuidadosamente el siguiente problemaDon José tiene dos máquinas que producen tortillas de diferentes radios, el radio de la tortilla grande es 3 unidades mayor que el radio de la tortilla chica. Sabiendo que el área de la tortilla grande es el doble del área de la tortilla chica; queremos saber el radio de cada tortilla.

2. Investiga la fórmula para calcular el área de un círculo.3. Tu asesor te proporcionara la fórmula general.

Desarrollo

1. Determina las áreas de cada tortilla y relaciónalas entre si y trata de obtener una ecuación (una ecuación cuadrática o de segundo grado)

2. La ecuación que obtengas la expondrás anate tus compañeros en la asesoría y el asesor concluirá al final el tema.

3. En la asesoría los alumnos identificarán los elementos de la ecuación de 2do. grado (término cuadrático, lineal e independiente).

4. En la asesoría los estudiantes aplicarán la fórmula general para obtener la respuesta (individualmente).

5. Un alumno del grupo expondrá el desarrollo de la aplicación de la fórmula general para obtener el radio.

CierreLos alumnos individualmente resolverán ecuaciones de segundo grado utilizando la fórmula general.

Ecuaciones cuadráticas:

La ecuación ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) es una ecuación de 2º grado ó cuadrática. Ejemplo: a) x2 - 4 = 0 a = 1; b = 0; c = - 4 b) x2 - x - 6 = 0 a = 1; b = - 1; c = - 6 c) 8x2 - 2x = 1 a = 8; b = - 2; c = ? d) x2 = 6x - 2 a = 1; b = ?; c = ?

92

SAETA ALGEBRA

NOTA: Las ecuaciones c y d no encajan en el patrón ax2 + bx + c = 0, pero se pueden transformar y darles la forma de éste, así: 8x2 - 2x = 1, puede escribirse en la forma 8x2 - 2x = 0 y la ecuación x2 = 6x - 2 puede escribirse x2 - 6x + 2 = 0

1. Resolver la ecuación ax2 + bx + c = 0 a) Dividir entre a: ax 2 + bx = - c a a a

x2 + b x = - c a a

b) Se agrega la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado (en ambos miembros): para completar un trinomio cuadrado perfecto.

x2 + b x + ( b )2 = - c + ( b )2

a 2a a 2a

T. C. P.

c) Se factoriza el T.C.P. formado y se simplifica el 2º miembro :

( x + b )2 = - c + b 2 . 2a a 4a2

( x + b )2 = - 4ac + b 2 . 2a 4a2

d) Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros:

( x + b )2 = + - 4ac + b 2 . 2a 4a2

x + b = + - 4ac + b 2 . 2a 2a

e) Se despeja “ x “:

x = - b + b 2 - 4ac . 2a 2a

93

SAETA ALGEBRA

x = -b + b2 - 4ac 2a

Esta última expresión es la fórmula general para resolver cualquier ecuación de 2º grado, pero el valor de b2 - 4ac tendrá que ser un número mayor o igual a cero, ( es decir que no sea negativo ), ya que la raíz cuadrada de un número negativo no existe.La aplicación de esta fórmula es el primer método que conocerás para resolver una ecuación cuadrática.

¡Retomemos el problema inicial!

Y resolvamos la ecuación -2x2 + 30x - 100 = 0, utilizando la fórmula general para obtener el valor de x ( ancho del huerto )

- 2x2 + 30x - 100 = 0 a = -2; b = 30; c = - 100 ax2 + bx + c = 0

Fórmula: x = - b b2 - 4ac 2a Sustitución: x = -1 (30) (30)2 - 4 (-2) (-100) 2 (- 2) x = - 30 900 - 800 - 4

x = - 30 100 - 4

x = - 30 + 10 - 4

x1 = - 30 + 10 = - 20 = + 5 - 4 - 4

x2 = - 30 - 10 = - 40 = + 10 - 4 - 4

Respuesta: x1 = 5 metros de ancho del huerto. x2 = 10 metros de ancho del huerto.

94

+

+

+

+

SAETA ALGEBRA

Es decir, se pueden construir 2 huertos diferentes con medidas de 5 m de ancho por 20 m de largo, y otro de 10 m de ancho por 10 m de largo.


Resuelve las siguientes ecuaciones, por la fórmula general:1. 6x2 - 11x - 10 = 0

2. x2 + 5x - 1 = 0 33. 2x2 + 5x + 7 = 0

4. 3x2 - 2x - 6 = 0

Te invitamos a resolver el siguiente problema:" Un terreno rectangular de 13.23 m2 es tres veces más largo que ancho. Se divide en un rectángulo que es el doble de largo que de ancho y un cuadrado, hallar las dimensiones de cada uno. "( lo largo y lo ancho )

2x

Respuesta x

3xOtro método de resolución de ecuaciones de 2º grado es el método de factorización:

Este método es recomendable, cuando la ecuación de 2º grado es incompleta, es decir, que tenga la forma ax2 + bx = 0 ( c = 0, puesto que no aparece )

Ejemplos:

Resolver las ecuaciones siguiente por el método de factorización 1. x2 + 2x = 0 a = 1; b = 2; c = 0

a) Se factoriza el 1er miembro: x ( x + 2 ) = 0

b) Se iguala a cero cada factor y se resuelven por separado las ecuaciones

95

13.23 m2

SAETA ALGEBRA

resultados: x = 0 x + 2 = 0

x = 2

Por lo tanto, las respuestas son: x = 0 y x = 2

2. 2x2 6x = 0

a) 2x ( x 3) = 0

b) 2x = 0 x 3 = 0 x = 0 x = 3 2 x = 0

La solución es: x = 0 y x = 3

3. 5x2 3x = 0

a) x ( 5x - 3 ) = 0

b) x = 0 5x 3 = 0 5x = 3 x = 3 5 La solución es: x = 0 y x = 3 5

El tercer método de resolución de ecuaciones de 2º grado es el de " Simple despeje”

Este procedimiento, se aplica cuando la ecuación tiene la forma ax2 + c = 0, ( es decir b = 0).

Ejemplo: Resolver:

1. 2x2 - 8 = 0 x2 = 4 2x2 = 8 x = + 4 x = 2 ; x = - 2

2. 3x2 - 5 = 0 3x2 = 5 x2 = 5 x = + 5 3 3

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SAETA ALGEBRA

x = + 5 x = - 5 3 3

3. 2x2 + 18 = 0 2x2 = -18 x2 = -18 2 x2 = -9 x = - 9 Esta no tiene solución, por que la raíz de un número Negativo no existe.

¡CONFIA EN TI !

Te invito a analizar y resolver el siguiente problemaEl terreno donde esta el C.B.T.a. No.108 de Villa Juárez Nayarit es de forma rectangular, donde el largo es 20 m mayor que el ancho y además se sabe que el área es de 12,000 m2.¿Cuáles son las dimensiones?(Largo y ancho) de dicho terreno.Realizara dibujos en relación al problema.Expresar en lenguaje algebraico el enunciado del problema

Ahora sí te invitamos a resolver el siguiente problema y las actividades de aprendizaje

" Un terreno rectangular de 13.23 m2 es tres veces más largo que ancho. Se divide en un rectángulo que es el doble de largo que de ancho y un cuadrado, hallar las dimensiones de cada uno. "( lo largo y lo ancho )

2x

Respuesta x

3x


1) 4x2 = -32x 5) 5x2 - 9 = 46

2) 5x2+4 = 2 (x+2) 6) (x+5) (x-5) = -7

97

13.23 m2

SAETA ALGEBRA

3) (x-3)2 - (2x+5)2 = -16 7) 3 (x+2) (x-2) = (x-4)2+8x

4) (4x-1) (2x+3) = (x+3) (x-1) 8) (2x-1) (x+2)-(x+4) (x-1) + 5 = 0

Actividades de aprendizaje1.- A continuación se te proporcionan algunos ejercicios, Resuélvelos con el método más adecuado, de acuerdo a lo que aprendiste en las lecturas anteriores .a) x2 = 49

b) 4x2 - x = 0

c) x2 = 8x - 15

d) 8w2 + 10w - 3 = 0

2.- Resuelve los siguientes problemas:

a) Un terreno tiene 50 mts. de largo y 30 de ancho; y lo circunda una calle de anchura uniforme. Si el área de la calle es de 600 mts2, encuentra el ancho de esta calle.

b) La longitud de una sala excede a su ancho de 4 metros. Si cada dimensión aumenta en 4 mts. el área será triple. Halla las dimensiones de la sala.

c) Los gastos de una graduación de alumnos son $9,000. si tres alumnos deciden no participar, cada uno de los restantes tendrá que pagar $100 más. ¿Cuántos alumnos van a asistir a la graduación y cuánto paga cada uno ?

d) La suma de 2 números es 9 y la suma de sus cuadrados 53 hallar los números.

e) El área de un campo rectangular es de 216 m2; y su perímetro es de 60 mts. calcúlense las dimensiones.

f) La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 47 mts., y la hipotenusa mide 37 mts. Hállese las longitudes de los catetos.

Si tienes dificultades en algunos aspectos relativos al tema de ecuaciones de 2º grado, te recomendamos hacer:

98

SAETA ALGEBRA

ACTIVIDADES REMEDIALES.

1.- Lee de nuevo este tema, y te sugiero que resuelvas los ejercicios que se te presentan:

2.- Forma círculos de estudio con tus compañeros de estudio.

3.- Consulta a tu asesor.

4.-Resuelve los siguientes problemas:

a) Hallar dos números que tengan 65 por suma y 1050 por producto.

b) Un tanque puede ser llenado por dos llaves juntas en 3 horas 3 cuartos. La llave mayor podría llenarlo solo en 4 horas menos que la otra. ¿En cuántas horas lo llenaría cada una separadamente?

c) La circunferencia de una rueda delantera de un carruaje tiene 4 pies menos que la de una rueda trasera. Después de recorridos 1200 pies, la rueda delantera ha dado 25 vueltas más que la trasera. Hállese la circunferencia de cada rueda.

d) Un andarín ha recorrido 105 kms. si hubiera andado 2 kms. más por hora, su viaje habría durado 6 horas menos ¿ Cuántos kms. recorrió por hora ?.

e) La superficie de un triángulo es 150 m2; y la hipotenusa mide 2.5 más. Calcúlese la longitud de los catetos.

SISTEMA DE ECUACIONES

“Sistema de ecuaciones lineales, es el conjunto de 2 ó más ecuaciones con 2 ó más incógnitas cada una, y en el cual todas las ecuaciones se satisfacen con el mismo valor de cada incógnita. A los sistemas definidos también se les conoce con el nombre de ecuaciones simultáneas”.

Pregunta de los cien mexicanos dijeron .cuantos animales susceptibles de ser empleados como animales de carga en el mundo.

1. elabora una lista de animales susceptibles de ser empleados como animales

de carga en el sector rural.

2. Seleccione dos especies pecuarias del listado anterior, que considere las màs

fornidas para el traslado de costales.

3. Integrados en equipos de tres a cuatro estudiantes, escoger una pareja de las

especies seleccionadas anteriormente.

99

SAETA ALGEBRA

4. Contesta la siguiente pregunta:

¿Quien crees que pueda más costales un caballo o un burro ?

PROBLEMA: EL CABALLO Y EL BURRO

¿Me podrías decir cuantos sacos llevaba el caballo y cuantos el burro ?

5. En forma individual analiza la información y determina una estrategia de

solución para conocer cuántos sacos llevaba cada uno de los animales.

6. Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas, señalando


7. Selecciona una estrategia por equipo para exponerla al grupo.


9. Discusión del grupo de las estrategias y resultados obtenidos en el problema.


1. Proporcionar al estudiante material impreso sobre los diferentes métodos de

resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas:

a) Método suma y resta.

b) Método de igualación.

c) Método de sustitución.

2. Resuelve el problema planteado haciendo únicamente uso de dos de los

métodos propuestos.

3. Socializar ante equipo y grupo los diferentes métodos de solución que se

emplearon.

100

Un caballo y un burro caminaban juntos, llevando

sobre sus lomos pesados sacos. Lamentàbase el

caballo de su enojosa carga, a lo que el burro le dijo:

“¿ De que te quejas, hermano ?, si yo te tomara un

saco, mi carga serìa el doble de la tuya; en cambio, si

yo te doy un saco, tu carga se igualarìa a la mìa.”

SAETA ALGEBRA


1. Por equipos resolver un ejercicios que involucre un sistema de ecuaciones

lineales.

2. Por equipo formula y resuelve sistemas de ecuaciones lineales.

3. Socializa los métodos y resultados en el grupo.

4. Realiza la búsqueda de problemas que se puedan resolver mediante la

aplicación de lo anteriormente visto y preséntalos al grupo.

En la siguiente hoja tienes el

ANALISIS DE LA INFORMACIÒN Y PLANTEAMIENTO:

PROBLEMA: EL CABALLO Y EL BURRO

Un caballo y un burro caminaban juntos, llevando sobre sus lomos pesados

sacos. Lamentàbase el caballo de su enojosa carga, a lo que el burro le dijo: “¿ De

que te quejas, hermano ?, si yo te tomara un saco, mi carga serìa el doble de la tuya;

en cambio, si yo te doy un saco, tu carga se igualarìa a la mìa.” ¿Cuantos sacos

llevaba cada uno?

ANALISIS DE LA INFORMACIÒN Y PLANTEAMIENTO:

Burro = B, Caballo = C

Obtenciòn de la 1ª. ecuaciòn

B + 1 = 2 ( C – 1 )

Quitamos el parèntesis:

B + 1 = 2 C – 2

101

¿ De que te quejas hermano?, Si yo te tomara un saco

Mi carga serìa el doble que la tuya

Obtenciòn de la 2ª ecuaciòn

B – 1 = C + 1Pasamos las incognitas al primer

miembro de la igualdad y los valores al 2º miembro y

obtenemos:

B – C = 1 + 1

Simplificamos y obtenemos:

SAETA ALGEBRA

Pasamos las incognitas al primer

miembro de la igualdad y los valores al 2º. Mienbro y obtenemos

Lenguaje algebràico: B – 2C = - 2 - 1

B + 1 C – 1 B + 1 = 2 ( C – 1 ) Simplificamos y Obtenemos:

B – 2C = - 3

Lenguaje algebràico:

B - 1 C + 1 B – 1 = C + 1

Utiliza cualquier mètodo para su soluciòn a) Método suma y resta.

b) Método de igualación.

c) Método de sustitución.

SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS Y TRES INCOGNITAS DE PRIMER GRADO

BLOQUES ACTIVIDADESApertura

Realiza un listado de los productos y precios mas comunes que se encuentran en el supermercado de tu localidad.

Reúnete con otros compañeros e identifiquen dos de los productos mas comunes que se consumen en su familia y proporcionen respuestas a las preguntas siguientes:

a) Cuánto costará la suma de un kilogramo de cada uno de los productos seleccionados?

b) Establezcan un método que de el resultado de la suma de dos o mas kilogramos de los dos productos.

Reflexiona en el siguiente planteamiento: Si en cierta ocasión dos amigos fueron al mismo supermercado por

102

En cambio dijo el burro, si yo te doy un saco

Tu carga se igualarìa a la mìa

SAETA ALGEBRA

separado, a realizar compras y resulta que compraron los mismos dos productos de la siguiente forma. El primero de ellos compra un refresco y tres sabritas a un costo total de 39 pesos y el segundo compra 3 refrescos y cuatro sabritas a un costo total de 77 pesos. ¿Cuánto cuesta un refresco y cuanto cuesta una sabrita?

Desarrollo

Pregunta a tu asesor la respuesta correcta al problema en la asesoría.

Investiga los métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Compara con otro compañero la investigación que realizaste.

Cierre

Realiza una lista de los campos de acción donde se aplique este sistema de ecuaciones.

Plantea y explica a tu asesor y a tu grupo en la asesoría las respuestas a diferentes problemas de tu entorno en donde se emplean los sistemas de ecuaciones lineales.

Lee y contesta los ejercicios de la antología.

Ejemplo: Si las ecuaciones 2x + y = 10 3x - y = 5

Lo anterior forma un sistema lineal de ecuaciones, o bien son ecuaciones simultáneas; x = 3, y = 4 satisfacen ambas ecuaciones. Sustituye esos valores para que tú mismo verifiques.

2.3.2 METODOS DE SOLUCIÓN

Resolver esos sistemas es lo que ahora nos preocupa, existen varios métodos de resolución de ese tipo de sistemas, te mostraremos más adelante los más importantes.

103

Sistemas deEcuación lineal(2, 3 ecuación)(2, 3 incógnita)

Métodode

Resolución

Reducción

Sustitución

Igualación

SAETA ALGEBRA

MÉTODO DE REDUCCIÓN.

Ejemplo : Si tenemos las siguientes ecuaciones:

3x + 4y = 2 primera ecuación 5x - 6y = 3 segunda ecuación incógnitas x, y

Observa que aparece un signo negativo en la ecuación dada, si no existe lo agregamos, esto es con el fin de eliminar a una incógnita y obtener el valor de la otra.

Para su resolución te sugerimos lo siguientes pasos:

1. Cambiaremos al extremo izquierdo los coeficientes de la misma literal que tenga signo contrario, se llevara a cabo en forma cruzada.

(6) 3x + 4y = 2(4) 5x - 6y = 3 Observa que entre los coeficientes de las literales solamente ocupamos a un coeficiente con signo negativo.2. Cada uno de los coeficientes antepuestos multiplicará cada ecuación.

(6) 3x + 4y = 2(4) 5x - 6y = 3 18x + 24y = 12 20x - 24y = 12 38x = 24 sumamos los términos y eliminamos a (y) x = 24 ----------- despejamos la incógnita 38 x = 12 ----------- simplificamos la expresión 19 así obtuvimos el valor de la primera incógnita (x ).

¡ MUY BIEN !

Para obtener el valor de la segunda incógnita tomaremos a una de las dos ecuaciones y en ella sustituimos a la incógnita ya resuelta.

3x + 4y = 2

3(12) + 4y = 2 Sustituimos la ecuación. 19 36 + 4y = 2 19

4y = 2 - 36 Llevamos acabo una transposición de términos del primer 19 miembro al segundo.

Sumamos las fracciones y obtenemos el producto. 4y = 2 - 36 = 38 - 36 = 2 1 19 19 19

104

SAETA ALGEBRA

4y = 2 19

Despejamos "y" por medio de una fracción compleja. 2 y = 2 Simplificamos el producto y = 19 76 4 y = 1 --- Producto 1 38

Transposición de términos: Quiere decir pasar de un miembro a otro de una ecuación.

COMPROBACIÓN DE LA ECUACIÓN:

Al igual que una operación aritmética de dividir, multiplicar, restar, etc. las ecuaciones tienen un proceso de comprobación en el cual la igualdad del primer miembro con el segundo existe.

Ejemplo: 3x + 4y = 2 --------- Primera ecuación.

Sustituimos a cada incógnita por su valor en la ecuación. 3x + 4y = 2 3 (12) + 4 (1) = 2 Multiplicamos los términos 19 38 36 + 4 = 2 19 38

Sumamos 36 + 4 = 72 + 4 = 76 = 2 = 2 ------- Igualdad.fracciones 19 38 38 38

5x - 6y = 3 ---------Segunda ecuación.Sustituimos a cada incógnita por el valor. 5 (12) - 6 (1) = 3 -------Multiplicamos los términos 19 38

Sumamos 60 - 6 = 120 - 6 = 114 = 3 = 3 ------ Igualdad. fracciones 19 38 38 38Cuando exista igualdad en ambos miembros la ecuación está correcta.

¡ADELANTE!


I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y comprueba sus soluciones utilizando el método de reducción

1) 3x + y = 17 x =_____ y =_____ x + y = 9

105

SAETA ALGEBRA

2) 4x + y = 11 x =_____ y =_____ 4x + 2y = 2

3) 3x - 5y = 2 x =_____ y =_____ x - 5y = 14

4) 3a + 5b = 21 x =_____ y =_____ 8a - 5b = 1

II. Representa cada uno de los siguientes problemas por medio de un sistema de ecuaciones lineales, resuelve el sistema y luego da la respuesta correcta.

1) La suma de 2 números es 30 y su diferencia es 4.¿Cuáles son dichos números?

2) Dos albañiles construyeron la barda de tu escuela con 500 ladrillos; el primero colocó 50 ladrillos menos que el segundo. ¿Cuántos ladrillos colocó cada uno?

2) Si sumamos el número de litros de leche que tiene el recipiente A, con el número de litros de leche del recipiente B, el resultado que se obtiene es 430. Si el recipiente A contiene 120 litros más que el B. ¿Cuántos litros contiene A y cuántos B ?

“x” litros “y” litros

MÉTODO POR SUSTITUCIÓN:Sean las ecuaciones:

ecuación (1) 3x + 4y = 5 ecuación (2) 6x - 2y = 4Resolvámoslo

Primer Paso: Despejar "x" de la ecuación "1". 3x + 4y = 5 x = 5 - 4y Observa que existe una transposición de términos ( 4y ) que 3 estaba en el primer miembro, al pasar al segundo miembro queda (- 4y) y el coeficiente de la "x" que estaba multiplicando pasa dividiendo.

Segundo Paso : Se sustituye al valor de “ x “ en la ecuación 2.

ecuación (3) 6 (5 - 4y) - 2y = 4 3

106

BA

SAETA ALGEBRA

30 - 24y - 6y = 12 Agrupación y Reducción de términos - 24y - 6y = 12 - 30 semejantes. - 30y = -18 y = - 18 Aplicamos la ley de los signos y simplificamos - 30 la fracción. y = 3 5

Tercer Paso: Obtenemos el valor de la siguiente incógnita "x" con el despeje de "x" de la primera ecuación. x = 5 - 4y 3 x = 5 - 4 (3) Sustituimos a "y" por su valor. 5 3Convertimos la fracción a quintos y obtenemos su producto. x = 5 - 12 = 25 - 12 = 13 Obtendremos ahora el valor de esta 1 5 5 5 fracción compleja. Aplicando la ley 3 3 de la tortilla, multiplicando el 1 extremo por el extremo y el centro con centro. x = 13 15¡APLICA TUS CONOCIMIENTOS!

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método por sustitución: 1. 5x + 7y = -1 2. x - 5y = 8 3. 2x + 3y = 6 -3x + 4y = -24 -7x +8y =25 x - 5y = 8

MÉTODO POR IGUALACIÓN:La secuencia que estudiaremos a continuación trata de otro método para resolver ecuaciones lineales o de primer grado.

Aplicaremos el método por igualación despejando una de las incógnitas de ambas ecuaciones e igualando los valores resultantes. Resolvamos el sistema de ecuaciones: Sea: 2x + 3y = 8 (1) 3x - y = 1 (2)

Primer Paso: Despejamos una de las incógnitas: por ejemplo, la "x" en ambas ecuaciones:

a) Despejamos "x" en (1)

107

SAETA ALGEBRA

2x + 3y = 8 x = 8 - 3y 2 b) Despejamos "x" en (2) 3x - y = 1 x = 1 + y 3Segundo Paso: Ahora igualamos entre sí los dos valores de "x" que obtuvimos en el Primer paso. 8 - 3y = 1 + y 2 3

Hasta aquí hemos simplificado el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, en una sola ecuación con una incógnita. Resolvamos entonces ésta única ecuación.

Obtendremos el valor de "y" por medio de una multiplicación cruzada. (8 - 3y) = (1 + y) 2 3 3 (8 - 3y) = (1 + y) 2 Multiplicamos ambos miembros. 24 - 9y = 2 + 2y -2y - 9y = 2 - 24 Agrupamos y simplificamos a los términos semejantes de cada miembro. -11y = - 22 y = - 22 Despejamos la incógnita, simplificamos la - 11 fracción, y aplicamos la ley de los signos. y = 2

Tercer Paso: Sustituyendo y = 2 en la primera ecuación, obtenemos el valor de "x" 2x + 3y = 8 2x + 3(2) = 8 2x + 6 = 8 2x = 8 - 6 Transposición de términos. 2x = 2 x = 2 Despejamos la incógnita y simplificamos la fracción. 2 x = 1NOTA: Toda comprobación se lleva acabo sustituyendo cada incógnita por su valor, en los métodos de: Reducción, Sustitución e Igualación.


1. Resuelve el siguiente problema usando el método de igualación.

Con 25 pesos se van a comprar estampillas cuyo precio son de $2.00 y $5.00 respectivamente. Si han de comprarse 8 estampillas en total ¿Cuántas de cada precio deben pedirse?No. de estampillas $ 2.00 x

108

SAETA ALGEBRA

No. de estampillas $ 5.00 yTotal de estampillas x + y = 8Costo de estampillas de $ 2.00 2xCosto de estampillas de $ 5.00 5yGasto total 2x + 5y = 25

Bien, ya conociste los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas y sus métodos de solución. Ahora conocerás los sistemas de ecuación con una incógnita más.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS

Bien, ya conociste los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas y sus métodos de solución. Ahora conocerás los sistemas de ecuación con una incógnita más.

BLOQUES ACTIVIDADES

Apertura

Apóyate en el listado de los productos y precios que adquiriste en el supermercado de tu localidad y en base a tu experiencia en ecuaciones lineales con una y dos incógnitas ¿Cómo te plantearías problemas donde se utilicen tres incógnitas?

Reúnete con otros SAETANOS e intercambia experiencias.

Desarrollo

En un centro comercial Toño encontró qué: 5 Kilos de azúcar, 3 de café y 4 de frijoles, cuestan $118; 4 de azúcar, 5 de café y 3 de frijol cuestan $145; 2 de azúcar, 1 de café y 2 de frijoles cuestan $46.

Realiza los cálculos necesarios para encontrar la solución de:¿Cuál es el costo de cada artículo?¿Cuál es el costo total de los tres paquetes?¿Cuál es el costo del total del azúcar?¿Cuál es el costo del total de café?¿Cuál es el costo del total del frijol? Investigar el tema “ecuaciones lineales con tres incógnitas” Investigar ejercicios o problemas, donde interviene el

sistema de ecuaciones con tres incógnitas.a Exponer o platicar el tema al asesor.

109

SAETA ALGEBRA

Cierre

Resuelve los ejercicios de la antología. Plantea tus respuestas a los demás compañeros y al asesor. En el salón de clases y durante ala asesoría redacta un

problema en donde interviene un sistema de ecuaciones con tres incógnitas.

Observa la forma de resolver este tipo de ecuaciones

Si tenemos las ecuaciones: x + 3y + 2z = 13 (1) 5x - 2y + z = 4 (2) 3x + 4y - 3z = 2 (3)

Utilizando el método mas sencillo(Reducción) para resolver este sistema de ecuación es con tres incógnitas.

Primer Paso: Con la primera y segunda ecuación y usando el método de reducción, se eliminará una literal, en este caso la “ y “, cuyo resultado dará una nueva ecuación con dos incógnitas (cuarta ecuación ).

(2) x + 3y + 2z = 13 (ecuación 1) (3) 5x - 2y + z = 4 (ecuación 2) Multiplicamos a cada ecuación por los coeficientes de las "y", porque en ellas se 2x + 6y + 4z = 26 encuentran diferentes signos. 15x - 6y + 3z = 12 17x + 7z = 38 ------------- Cuarta ecuación.

Segundo Paso: Al igual que en el primer paso, utiliza la segunda y tercera ecuación, eliminando la misma incógnita ( y ). el resultado será otra ecuación con dos incógnitas (quinta ecuación ). (4) 5x - 2y + z = 4 ( ecuación 2) (2) 3x + 4y - 3z = 2 ( ecuación 3) 20x - 8y + 4z = 16 6x + 8y - 6z = 4 26x - 2z = 20 ---------- Quinta ecuación.

Tercer paso: Ahora formaremos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, la cual la conformaremos con la cuarta y la quinta ecuación. (2) 17x + 7z = 38 (7) 26x - 2z = 20 34x + 14z = 76

110

SAETA ALGEBRA

182x - 14z = 140 216x = 216

x = 216 Despejamos la "x" 216 x = 1 Producto.

Ahora obtendremos el valor de la siguiente incógnita "z" sustituyendo en una de las 2 ecuaciones el valor de la "x".

26x - 2z = 20 26(1) - 2z = 20 Sustituimos en la ecuación. 26 - 2z = 20 - 2z = 20 - 26 Transponemos términos - 2z = - 6 z = - 6 Aplicamos la ley de los signos y simplificamos la - 2 expresión. z = 3 Resultado.

Cuarto Paso: Con una de las tres ecuaciones dadas (en este caso la 1) obtendremos el valor de la tercera incógnita.

x + 3y + 2z = 13 1 + 3y + 2 (3) = 13 Sustituimos en la ecuación

1 + 3y + 6 = 13 3y = 13 - 1 - 6 Transponemos términos del primero al segundo 3y = 13 - 7 miembro. 3y = 6 y = 6 3 y = 2 Resultado.

COMPROBACIÓN DE LA ECUACIÓN:

La comprobación se lleva a cabo sustituyendo en la ecuación a la literal por su valor, cuando exista una igualdad la ecuación estará correcta.

Ejemplo: x + 3y + 2z = 13 3x + 4y - 3z = 2 1 + 3(2) + 2(3) = 13 (1) 3(1) + 4(2) - 3(3) = 2 (2) 1 + 6 + 6 = 13 3 + 8 - 9 = 2 13 = 13 Igualdad. 2 = 2 Igualdad.

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SAETA ALGEBRA

5x - 2y + z = 4 5(1) - 2(2) + 3 = 4 (3) 5 - 4 + 3 = 4 4 = 4 Igualdad.

¡ DEMUESTRA TU APRENDIZAJE !


1. Resuelve los siguiente sistemas de ecuaciones:(a) x + y + z = 2 (c) 2x - 5y = 13 x + 3y - 4z = 3 4y - z = -8 3x - 4y + 3z = 1 x - y - z = -2 .

(b) x + 4y - z = 6 (d) x + y + z = 6 2x + 5y - 7z = - 9 x - y + 2z = 5 3x - 2y + z = 2 x - y - 3z = -10

2. Resuelve los siguientes problemas planteándolos mediante sistemas de ecuaciones de tres incógnitas.

a) 5 kilogramos de azúcar, 3 de café y 4 de frijol cuestan $118.00; 4 de azúcar; 5 de café y 3 de frijol cuestan $145.00; 2 de azúcar, 1 de café y 2 de frijol cuestan $46.00. Hallar el precio de 1 kilogramo de cada mercancía.

b) La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. El mayor excede al menor en 35º y el menor excede en 20º a la diferencia entre el mayor y el mediano. Hallar los ángulos.

c) Un ganadero tiene 110 animales entre vacas, caballos y terneros, 1/8 del número de vacas más 1/9 del número de caballos más 1/5 del número de terneros equivalen a 15, y la suma del número de terneros con el de vacas es 65 ¿Cuántos animales de cada clase tienen?

2.4 INECUACIONES

Analiza la siguiente lectura un comerciante que tenia un negocio de confección de túnicas y tiendas de campaña, que cada año consumía 100 piezas de algodón paquistaní y 200 piezas de hilo de cáñamo, pero, Nepomuceno no estaba contento con las compras que hacia, y se preguntaba así mismo ¿si había alguna forma de

112

SAETA ALGEBRA

ahorrar gastos en los transportes y comprar solamente lo justo para el consumo anual? Y cuenta la historia que si el comerciante hubiese tenido conocimiento del planteamiento y resolución de inecuaciones el podría haber resuelto su problema fácilmente.

1. Plantea las posibles soluciones al problema de la lectura.2. Investiga todo sobre los números reales, los intervalos, semirrectas eje de

coordenadas para las inecuaciones con dos incógnitas, además deberá saber trazar rectas en las coordenadas, conocer y resolver ecuaciones.

3. Resuelve los ejemplos de la antología.

4. Comparar resultados para que realicen las correcciones posibles.se discutirán los resultados de cada ejercicio en una plenaria, utilizando hojas de rota folio, marcadores, graficas, cuadros de análisis, etc. 5. se discutirán los resultados de cada ejercicio en una plenaria, utilizando hojas de rotafolio , marcadores ,graficas ,cuadros de análisis, etc.

6. Comparar los saberes recuperados con el análisis de las lecturas en forma individual.7. Exponer las coincidencias y diferencias utilizados en la solución de las inecuaciones de cualquier tipo.

Ejemplificar el resultado por pasos hasta su resultado final

8 Presentar al grupo otras inecuaciones, para verificar su comprensión.9. Proponer otros ejercicios con su solución a su manera de expresarlas.10.Enlistar diferentes alternativas para resolver los problemas.11.Resolver problemas de las actividades de aprendizaje de la antología.12.Elaborar un mapa conceptual y presentarla al grupo, sobre el tema visto.

Presentar al asesor un trabajo escrito el cual contendrá desarrollo, procedimiento y conclusiones, como parte de la evaluación. La mayor parte de nuestro interés en este apartado está en las ecuaciones o igualdades, es necesario considerar ciertas condiciones que pueden existir entre expresiones que no son igualdades. Es necesario conocer a fondo tales situaciones para comprender la expresión algebraica de manera completa. Además, hay problemas complejos que se pueden resolver sólo en términos de desigualdad; tales problemas, pertenecen al campo de las matemáticas aplicadas.

Como recordarás lo visto anteriormente, las desigualdades son formas especiales de escribir conjuntos de números.

NOTACIÓN

Una desigualdad es una afirmación de que una cantidad es mayor que o menor que otra cantidad. Los símbolos de desigualdad se utilizan para comparar las posiciones relativas de dos números en una recta numérica o bien los tamaños relativos de dos o

113

SAETA ALGEBRA

más expresiones. El símbolo > en 4 > -5 indica que 4 es mayor que -5. Como observarás en la figura, la posición del número 4 en la recta numérica con respecto al -5, el número 4 está a la derecha del -5.

Una manera fácil de leer desigualdades es recordar que el pico del símbolo siempre está más cerca del número menor y la parte ancha está más cerca del número mayor.

Se tienen cuatro símbolos de desigualdad:

Símbolo Significado

< Es menor que (a la izquierda de otro número sobre la recta numérica).

> Es mayor que (a la derecha de otro número sobre la recta numérica).

≤ Es menor o igual que.

≥ Es mayor o igual que.

Coloca el símbolo de desigualdad correcto entre las dos expresiones.

a). 7 -8 b).-5 + 4 c). -3 -3 d).½ - ⅛ e.) -⅛ -⅞

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas propiedades.Propiedades:1. Todo número positivo es mayor que cero.Ejemplo:

5 > 02. Todo número negativo es menor que ceroEjemplo:

-9 < 0 3. Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;Ejemplo:-10 > -30 Una desigualdad simultánea son dos desigualdades en un enunciado. Escribimos x ≥ 0 y x ≤ 20 juntos como 0 ≤ x ≤ 20. Esto se lee de la siguiente manera: x es el conjunto de números entre 0 y 20, incluyendo a 0 y a 20. Ejercicios.

Escribe cada par de desigualdades como una desigualdad simultánea, utilizando únicamente < o ≤.

114

0 4-5

SAETA ALGEBRA

a. x < 0 y x > -3 b. x ≤ -5 y x > -2

c. x > 0 y x ≤ 3 d. x < y x ≥

Es recomendable, como una buena costumbre, colocar el número más pequeño a la izquierda.

Entonces las desigualdades podemos describirlas con palabras, por ejemplo:

Desigualdad Palabras

0 ≤ x ≤ 20 El conjunto de números mayores que o igual a 0 y menores que o iguales a 20.

20 < x ≤ 500 El conjunto de números mayores que 20 y menores que o iguales a 500.

x > 250 El conjunto de números mayores que 250.

x < -12 El conjunto de números menores que -12

También podemos enunciar desigualdades como intervalos. Un intervalo es un conjunto que contiene a todos los números entre sus extremos además de un extremo, ambos extremos o ninguno de los extremos. Los intervalos indican la inclusión o exclusión de los extremos mediante el uso de corchetes o paréntesis. Los corchetes, [ ], indican que los puntos extremos se incluyen en el conjunto. Los paréntesis, ( ), se utilizan cuando los extremos se excluyen del conjunto. Podemos mezclar corchetes y paréntesis en un mismo intervalo, como se muestra en la siguiente tabla.

Desigualdad

Intervalo Descripción

8 ≤ x ≤ 10 [8, 10] El conjunto de números entre 8 y 10, incluyendo 8 y 10.

8 ≤ x < 10 [8, 10) El conjunto de números entre 8 y 10, incluyendo 8.

8 < x ≤ 10 (8, 10] El conjunto de números entre 8 y 10, incluyendo 10.

8 < x < 10 (8, 10) El conjunto de números entre 8 y 10.

115

SAETA ALGEBRA

Si se usan para el intervalo: [ , ] es un intervalo cerrado; [ , ) o ( , ] son intervalos semiabiertos por la derecha y por la izquierda respectivamente y ( , ) es un intervalo abierto.

Retomando lo anterior, podemos utilizar o expresar en intervalos las siguientes expresiones de desigualdad:

Desigualdades Intervalos

0 ≤ x ≤ 20 x en [0, 20]

20 < x ≤ 500 x en (20, 500]

x > 500 x en (500, + )

x < 500 x en (- , 500)

Para incluir tanto a 0 como el 20, escribimos x incluido en [0, 20]. Los corchetes, [ ], incluyen a los extremos.Para describir el conjunto de números desde 20 hasta 500, pero sin incluir el 20, escribimos x incluido en (20, 500]. Excluimos al extremo 20 al utilizar un paréntesis. El tercer intervalo, x en (500, + ), describe todos los números mayores que 500. No existe número mayor, así que necesitamos un símbolo para decir que los números aumentan sin límite. Lo mismo en el último intervalo, x en (- , 500), describe todos los números menores que 500. No existe número menor, así que necesitamos un símbolo para decir que los números disminuyen sin límite. Utilizamos un símbolo de infinito, . Siempre escribiremos intervalos con el número más pequeño a la izquierda. Ya sea para 9 > x o x < 9, escribiremos (- , 9) en lugar de (9, - ). Infinito significa sin límite. El infinito describe un concepto, no un número. Los números en una recta numérica se prolongan hacia la derecha e izquierda para siempre. Al colocar un signo positivo antes del símbolo de infinito significa el infinito hacia la derecha en la recta numérica; un signo negativo indica infinito hacia la izquierda, como se muestra en la siguiente figura:

En ocasiones es útil hacer un diagrama de una desigualdad o intervalo. Utilizamos una gráfica lineal (recta numérica) para ello, por ejemplo:

a). La gráfica de la desigualdad 1 ≤ x ≤ 4 o el intervalo [1, 4] es una gráfica lineal con puntos o círculos cerrados en 1 y 4 y un segmento de línea que los une. (También se pueden usar corchetes en la recta numérica en lugar de los puntos cerrados).

116

- ++0

- ++1 4● ●

SAETA ALGEBRA

b). La gráfica de 1< x < 4 o su intervalo (1, 4) tiene puntos o círculos abiertos en los extremos en 1 y 4, y un segmento de recta que los une. También se puede utilizar paréntesis en lugar de círculos abiertos).

Ejercicios. Escribe cada desigualdad como un intervalo, exprésalo con palabras y dibuja una gráfica lineal.

a. -2 < x ≤ 4 b. -3 ≤ x < 4

c. x < 4 d. x ≥ -4

En resumen, observa el uso de los paréntesis con <, >, o el símbolo de infinito ( ) y el uso de corchetes con ≤ o ≥, indicado en la siguiente tabla.

Símbolos empleados en desigualdades e intervalos.

Símbolo de desigualdad

Notación de intervalo

SignificadoNotación de gráfica

lineal< ( , ) Es menor que Círculo abierto o ( , )> ( , ) Es mayor que Círculo abierto o ( , )= Es igual a Punto≤ [ , ] Es menor que o igual

a Punto o [ , ]

≥ [ , ] Es mayor que o igual a

Punto o [ , ]

+ , + ) Infinito positivo- (- , Infinito negativo

La notación de intervalos puede parecerse a las coordenadas de un punto, por lo que lee con cuidado cuando te encuentres con una expresión (a, b) para ver si se trata de un punto de coordenadas o un intervalo.

Ejercicios.

Completa la siguiente tabla.

Desigualdad

Intervalo Descripción Gráfica lineal

-1 ≤ x < 3(-4, -1]

117

- ++1 4o o

SAETA ALGEBRA

x está entre -3 y 5, incluyendo -3

x < -4

x -2x es mayor que -4 y menor o igual a 2

[-3, + )

Inecuaciones o desigualdades lineales con una variable.

Así como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; así también hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.

Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella

Ejemplo:a2+ 3 > a

Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales:Ejemplo:

2x - 8 > 0

que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x.

Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

Una inecuación o desigualdad lineal con una variable puede escribirse ax + b < c, donde a, b y c son números reales y a es diferente de 0.

La definición anterior y las propiedades que siguen son válidas también para otros símbolos de desigualdad, >, ≤ y ≥.

Resolver una desigualdad significa obtener el conjunto de valores para la variable de entrada que hacen que la desigualdad sea un enunciado verdadero. Pero antes daremos un vistazo a las propiedades de las desigualdades.

118

•o5-3

SAETA ALGEBRA

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES O INECUACIONES.

1. Propiedad aditiva. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se suma o se resta un mismo número en ambos lados.

Sentido de una desigualdad. Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:

a = b + c

Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:a + m = b + c + m

Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta: a + m > b +m

Ejemplos:9 > 5

9 + 2 > 5 + 211 > 7

-2 > -6-2 -3 > -6 -3

-5 > -9

Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.Ejemplo:

6x -2 > 4x + 46x -4x > 4 + 2

2. Propiedad multiplicativa (por un número positivo). Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + cMultiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta:

am = bm + cm.

Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:am > bm

Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta

119

SAETA ALGEBRA

propiedad

Ejemplos: 12 > 7

(12) (3) > (7) (3)36 > 21

15 > -2515 ÷ 5 >(-25) ÷ 5

3 > -5

3. Propiedad multiplicativa (por un número negativo). Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + cMultiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:

-an = -bn -cn

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,-an < -bn

Si -n es recíproco de un número negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado.

Ejemplos:3 > -15

3(-4) < (-15)(-4)-12 < 60

64 < 8064 ÷ (-4) >80 ÷ (-4)

-16 > -20

Consecuencia de esta propiedad: pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.

Ejemplo:-7x + 130 < 9 -5x7x - 130 > -9 + 5x

4. Propiedad de la potencia (números positivos en ambos lados). Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.

Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta:

ab < b2

En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto:

a2 < b2

Ejemplo:

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SAETA ALGEBRA

7 < 1073 < 103

343 < 1000

5. Propiedad de la potencia (números negativos en ambos lados). Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.

Sea la desigualdad -a < -ba) Multiplicando sus dos miembros por b2 se obtiene:

-ab2 < -b3

En el primer miembro, reemplazando b2 por a2, la desigualdad se refuerza; luego se puede escribir:

-a3 < -b3

b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo análogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus términos cambian de signo, y se tiene:

a2 > b2

Ejemplos:-3 > -6

(-3)3 > (-6)3

-27 > -216

-8 < -4(-8)2 > (-4)2

64 > 16

6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas.

Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b"Se puede escribir:

a = b + ca' = b' + c'a" = b" + c"

Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente:a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c"

a + a' + a" > b + b' + b"

Ejemplo:Dado: 2x > 10 y 7x > 26

se obtiene: 9x > 36

121

SAETA ALGEBRA

7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.

Sean las desigualdades a > b y c < dInvirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene

a > bd > c

a + d > b +c

Restando d + c de cada miembro, resulta:a - c > b -d

Ejemplo:Dado: 7x < 12 y 5x > 16,

se obtiene: 2x < -4

2.4. 3 SOLUCIÓN DE INECUACIONES.

SECUENCIA DIDÁCTICA BLOQUES ACTIVIDADES

Apertura

1. Hacer un listado de las estaturas de los integrantes del grupo en cm.

2. Sacar promedio de estaturas.3. Expresar c/u de las estaturas incluyendo al promedio de

manera algebraica.

Desarrollo

1. Establecer relaciones de cada una de las estaturas con el promedio y elaborar un registro.

2. Investigar el nombre de las expresiones formadas así como las propiedades que tienen.

3. Del registro obtenido en el paso 1, trasformar las expresiones en ecuaciones o inecuaciones según sea el caso.

4. Intercambio de las experiencias en asesoría con el resto del grupo.

CierreSolución de problemas que involucren ecuaciones e inecuaciones en

122

SAETA ALGEBRA

Resolver una inecuación, es hallar los valores que la verifican. Cuando resolvimos ecuaciones con notación algebraica, obtuvimos ecuaciones equivalentes en cada paso de la solución. De manera similar, se siguen los pasos al resolver las inecuaciones o desigualdades, es decir, se aplican las mismas propiedades de las ecuaciones, con la diferencia de que existe una muy importante de las desigualdades vistas anteriormente que es la propiedad multiplicativa de las desigualdades (por un número negativo).

En muchos de los casos podemos evitar multiplicar y dividir por un número negativo si mantenemos positivo el coeficiente de la variable.

Ejemplo de resolución de una inecuación.

Ejemplo 1: Desigualdad que involucra división entre un número negativo.

Resolver la inecuaciónResta 6 de cada lado:

divide entre -2 cada miembro e invierte el símbolo:

Finalmente:

6 - 2x ≤ 126 - 6 - 2x ≤ 12 – 6

-2x ≤ 6-2x/-2 ≥ 6/-2

x ≥ -3

Ejemplo 2:

Resolver la inecuaciónRéstese 2x de cada miembro:Réstese 6 de cada miembro:

Finalmente:

4x + 6 > 2x -74x -2x + 6 > 2x -2x -7

2x +6 -6 > -7 -6x > -13/ 2x > - 6.5

Ejemplo 3: Desigualdad que involucra fracciones y división entre un número negativo.

Resolver la inecuaciónMultiplíquese por 15 cada miembro

Réstese 15x de cada miembro:Réstese 30 de cada miembro:

Divídase entre -10 cada miembro

Finalmente:

(6 + x)/ 3 < (5x - 7)/ 530 + 5x < 15x -21

30 + 5x -15x < 15x -21 -15x30 -10x -30 < -21 -30(-10x)÷-10 > (-51)÷-10

x > 5.1

123

SAETA ALGEBRA

Ejemplo 4: Manteniendo positivo el coeficiente de la variable.

Resolver la inecuaciónSuma 3x a cada miembroResta 3 de cada miembro:

Divide entre 5 cada miembro:

Finalmente:

2x + 3 ≤ -3x - 2 2x + 3+ 3x ≤ -3x - 2+ 3x

5x + 3 - 3 ≤ - 2 - 3 5x/5 ≤ - 5/5

x ≤ - 1

Mantener positivos los coeficientes de la variable se puede hacer en la mayoría de las desigualdades y tiene la ventaja de eliminar la necesidad de invertir o cambiar el sentido del símbolo de desigualdad.

Las soluciones están expresadas en desigualdad, pero también las podemos expresar en notación de intervalo, descriptiva o en palabras y en forma de gráfica lineal.

En resumen, para la solución de inecuaciones o desigualdades lineales con una variable mediante notación algebraica, considera lo siguiente:

1. Como lo hiciste en las ecuaciones lineales, usa la adición, resta, multiplicación y división para aislar la variable.

2. Cuando multiplicas o divides entre un número negativo, invierte el símbolo de desigualdad.

3. Trata de mantener positivo el coeficiente de la variable para evitar errores que tienden a aparecer cuando multiplicas o divides entre un número negativo y tienes que invertir el símbolo de la desigualdad.

4. Recuerda que el conjunto solución de una desigualdad es una desigualdad y que puedes expresarla en diferentes notaciones.

Actividades de aprendizaje.

I. Resuelve cada inecuación o desigualdad lineal utilizando notación algebraica. Escribe los conjuntos solución en todas sus diferentes notaciones.

1. -3 > -3x + 3 2. 0 < -3x + 3

3. –x + 4 < x +1 4. -1 < -3x +2

5. 4 – 2x ≥ x - 2 6. 4 – 3x ≤ 8 + x

7. 3x – 4 < -2x + 1 8. 3x – 3 > -x + 1

9. 2(x + 3) < 5x 10. 3(x – 1) ≤ 4x

124

SAETA ALGEBRA

II. Para cada problema, escribe una desigualdad y resuélvela.

1. Un estudiante obtuvo 78, 84, y 72 puntos en exámenes parciales y 5 puntos por proyectos y tareas. ¿Está en posibilidad de obtener una calificación de B o mayor (80%)?

2. La sala de boliche Bolerama cobra $ 5.50 por niño para permitir que se organice en sus instalaciones una fiesta. Jimmy tiene que comprar un pastel que cuesta $17 y tiene un presupuesto de $16; muestra con una desigualdad el número de niños que puede invitar.

3. Supongamos que una llamada telefónica da larga distancia cuesta 36¢ los primeros tres minutos y 11¢ cada minuto adicional. ¡Durante cuántos minuto puede hablar una persona con menos de $2?

Desigualdad o inecuación lineal compuesta.

Como anteriormente se analizó, para expresar que x está entre -3 y 8, escribimos la desigualdad -3 < x < 8, que se lee “menos 3 es menor que x, y x es menor que 8”. A esta doble desigualdad se le llama desigualdad compuesta, por ser una combinación de las dos desigualdades siguientes:

-3 < x y también x < 8

También se nos pueden presentar este tipo de desigualdades para resolver, como por ejemplo:

Resolver la desigualdad compuesta -3 ≤ 2x + 5 ≤ 7

Solución: esta desigualdad expresa que 2x + 5 es mayor o igual que -3 pero menor o igual que 7, es decir, está entre -3 y 7. Podemos resolverla dejando sola a x entre los símbolos de desigualdad.

Empezando con los términos que están en el centro -3 ≤ 2x + 5 < 7 Restar 5 de las tres partes -3 - 5 ≤ 2x + 5 - 5 < 7 - 5 Dividir las tres partes entre 2 -8 ≤ 2x < 2 Finalmente -4 ≤ x < 1

El conjunto solución es el intervalo [-4, 1).

Habrá ocasiones en que no se pueda dejar sola a x entre los símbolos de la desigualdad como se presenta a continuación:Resolver la desigualdad compuesta x + 3 < 2x – 1 < 4x - 3

125

SAETA ALGEBRA

Solución: En este caso es imposible dejar sola a x entre los símbolos de desigualdad, por lo cual resolveremos por separado cada desigualdad lineal componente.

x + 3 < 2x – 1 y 2x – 1 < 4x - 34 < x 2 < 2x 1 < x

Sólo los números x tales que x > 4 y x > 1 están en el conjunto solución, cuyo intervalo es (4, ) ∩ (1, ), simplificado es (4, ) porque todos los números mayores que 4 también son mayores que 1, las soluciones son los números x tales que x > 4.

Actividades de aprendizaje.

I. Resuelve cada inecuación o desigualdad lineal compuesta utilizando notación algebraica. Escribe los conjuntos solución en todas sus diferentes notaciones.

1. 15 > 2x – 7 > 9 2. -6 < -3(x – 4) ≤ 24

3. -4 ≤ -2(x + 8) < 84. -6 ≤ x + 1 < 0

5. 0 ≤ ≤ 26. -2 ≤ ≤ 2

7. x + 3 < 3x – 1 < 2x + 2 8. x – 1 ≤ 2x + 4 ≤ 3x - 1

Ilustra en una recta numérica los conjuntos denotados por las siguientes desigualdades:1. -2 < x < 6

2. 0 < x < 4

3. x > -5

4. x < -3

5. -1 < x < 2

¡ DEMUESTRA LO APRENDIDO!

Hallar y marcar sobre la recta numérica la solución de las desigualdades siguientes:

126

SAETA ALGEBRA

1. 3x - 8 > 7 solución x > 5 ¿ ? 02. x - 7 < x solución x > -7 ¿ ? 4 3 03. 8x + 14 < 3x - 6 solución x < - 4 ¿ ? 04. 4x - 3 > 2x + 4 solución x < -15 ¿ ? 3 2 05. 3 < 4x + 7 < 15 solución -1 < x < 2 ¿ ? 0

Se han resuelto problemas mediante métodos planteados en apartados anteriores. El primer paso ayuda a determinar lo que se desea encontrar. Para abordar el segundo paso se debe saber que datos del problema son dados y por tanto, preguntarse lo siguiente:

¿ Qué pide el problema ? ¿ Qué datos ofrece ?

INTÉNTALO ¡ TÚ PUEDES !

hora vas a tratar de resolver este problema:.

1. Una cooperativa que fabrica y vende camas tiene gastos generales cada semana, incluyendo salarios y costo de planta, de $27,200.00. El costo de los materiales por cada cama es de $ 320 y se venden en $ 1,600. ¿ Cuántas camas deben fabricarse y venderse cada semana a fin de que la cooperativa obtenga utilidades?

2. Horacio y Saúl van de pesca. Como Horacio es el dueño del bote conviene en que él tomaría 5 pescados más que Saúl. si en total pescaron 19 peces. ¿ Cuántos pescados reciben cada uno ?

¡CONTINUA ESFORZÁNDOTE !

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SAETA ALGEBRA


Resuelve los siguientes problemas .

1. Una bala en 1960 tenia 8 veces la longitud de la uña del dedo meñique. La bala tenía una longitud de 27 cm. ¿ Qué longitud tenía la uña ?

2. El número de maestros en una comisión especial debe ser tres veces mayor que el número de maestras. Si hay 12 maestros en la comisión, mostrar sobre la recta numérica los posibles valores del número de maestras.

3. La anotación de goles de Simón fue 3 menos que la de Pedro. Si Jesús anotó 89 .

¿ Cuántos anotó Pedro ?

SI PERSISTEN LAS DUDAS.....CONSULTA TU FACILITADOR

G L O S A R I O

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Se llama expresión algebraica a las combinaciones de números, literales, variables y signos de operación (+ , - , x, ).

TÉRMINO Se llama término o monomio a una expresión algebraica que no está enlazada por los signos de operación ( + , - ).

COEFICIENTE Es el factor o factores que indican el número de sumandos iguales.

TÉRMINOS SEMEJANTES. Se dice que dos o más términos son semejantes cuando difieren únicamente en el coeficiente, pero tienen iguales el resto de sus factores (que contienen las mismas literales y exponentes).

POTENCIA. Se llama potencia a la representación de un producto de factores, iguales entre sí.

BASE. Se llama base de una potencia al factor que se repite tantas veces como lo indica el exponente.

EXPONENTE. El exponente es el número que se escribe en la parte superior derecha de la base, y el cual indica las veces que ésta se repite como factor.

BINOMIO. Es la expresión algebraica que tiene dos términos y están relacionados por un signo de operación.( + , - ).

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SAETA ALGEBRA

TRINOMIO. Es la expresión algebraica que contiene tres términos enlazados por los signos de operación.( + , - ).

POLINOMIO Se llama a la expresión algebraica que consta de dos o más términos enlazados por los signos de operación ( + , - )..

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. Cuando determinamos la suma de dos o más fracciones y las debemos cambiar por otras equivalentes con un denominador común y el cual sea mínimo.

FACTOR COMÚN Se llama al mismo factor que aparece en cada uno de los términos de un polinomio

IDIOMA O LENGUAJE MATEMÁTICO

Conjunto de símbolos y reglas que sirven para expresar proposiciones.

TRADUCIR A LENGUAJE MATEMÁTICO

Proceso por el cual se pasa del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático.

ECUACIÓN. Es una expresión algebraica que tiene una igualdad condicionada para ciertos valores de la variable.

RESOLVER LA ECUACIÓN Proceso de despejar la variable o incógnita.GRADO DE LA ECUACIÓN Es el mayor exponente al que se encuentra

elevada la variable.

DESIGUALDADES O INECUACIONES

Son los problemas que al simbolizarse algebraicamente contienen mayor que, menor que o diferente a.

SOLUCIÓN DE INECUACIONES O DESIGUALDADES

Es el proceso de encontrar el conjunto solución, el cual generalmente es infinito.

ECUACIONES FRACCIONARIAS

Son las expresiones algebraicas que tienen, por lo menos en algún denominador, a la variable cuyo conjunto solución se está buscando.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

Dos o más ecuaciones de la forma: Ax + By + C = 0 .

CONJUNTO SOLUCIÓN. Conjunto de pares ordenados que satisfacen una ecuación o un sistema de ecuaciones.

SISTEMA DE ECUACIONES CON TRES VARIABLES

Dos o más ecuaciones de la forma Ax + By + Cz + D = 0 .

DESIGUALDADES LINEALES. Toda expresión de la forma Ax + By + C > 0 ó Ax + By + C < 0 .

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SAETA ALGEBRA

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antologia de algebra

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