análisis dimensional y modelado · dimensiones y unidades • todas las dimensiones no-primarias...

Análisis Dimensional y Modelado

Juan Manuel Rodríguez Prieto I.M., M.Sc., Ph.D.

Dimensiones y unidades Dimensión: Es una medida de una cantidad física (sin valores numéricos). Unidad: Es una manera de asignar un número a dicha dimensión. La longitud es una dimensión Los metros (m), centímetros (cm), kilómetros(km) son unidades de longitud

Dimensiones primarias

Dimensiones y unidades

•  Todas las dimensiones no-primarias se pueden formar por cierta combinación de las siete dimensiones primarias

•  Ejemplo: La fuerza tiene dimensiones de masa por aceleración, en términos de unidades primarias queda como

Dimensiones y unidades

Ejemplo: La tensión superficial tiene dimensiones de fuerza por unidad de longitud, en términos de dimensiones primarias queda como

Homogeneidad dimensional

Todo termino aditivo en una ecuación debe tener las mismas dimensiones. Es aconsejable escribir todas las unidades de los términos aditivos para evitar sumar cantidades que se encuentran en unidades diferentes.

Homogeneidad dimensional

Ejemplo: Homogeneidad dimensional de la ecuación de Bernoulli.

Verifique que cada término aditivo de la ecuación de Bernoulli tiene las mismas dimensiones

Homogeneidad dimensional Ejemplo: Homogeneidad dimensional de la ecuación de Bernoulli. Verifique que cada término aditivo de la ecuación de Bernoulli tiene las mismas dimensiones

Eliminación de dimensiones de las ecuaciones

Considere la ecuación de movimiento que describe la elevación z de un objeto que cae por gravedad a través del vacío. La ubicación inicial es objeto es z0, su velocidad inicial es w0 en la dirección z


Variables dimensionales: cantidades dimensionales que cambian o varían en el problema Variables adimensionales: cantidades que cambian en el problema, pero que no tienen dimensiones (ej: el ángulo de rotación) Constante dimensional: tienen unidades pero son fijas para el problema especifico Parámetros = Variables dimensionales + variables adimensionales + constantes dimensionales


Se eligen z0 y w0 como parámetros de escalamiento, con el objetivo de eliminar las dimensiones de z y t de la ecuación diferencial 1)  Listo las dimensiones primarias de todas las variables dimensionales y

constantes dimensionales del problema


Se eligen z0 y w0 como parámetros de escalamiento, con el objetivo de eliminar las dimensiones de z y t de la ecuación diferencial 2) Usar los dos parámetros de escalamiento para eliminar las dimensiones de z y t


Escribiendo la ecuación diferencial en términos de z* y t*, queda como sigue El agrupamiento de las constantes dimensionales de la ecuación diferencial es el cuadrado del llamado número de Froude La anterior ecuación expresa la variable z* en términos del tiempo adimensional t*


¿cuál es la ventaja de eliminar las dimensiones de la ecuación? •  En el ejemplo de caída libre las ventajas de eliminar las

dimensiones no son tan claras porque la ecuación diferencial se pudo integral analíticamente.

•  En problemas más complicados, las ecuaciones diferenciales no se pueden integrar de modo analítico y los ingenieros deben integrar las ecuaciones numéricamente o realizar experimentos para obtener los resultados deseados, y ambos pueden tomar considerable tiempo y recursos económicos. En la anterior circunstancia, los parámetros adimensionales pueden ahorrar mucho esfuerzo y gastos a largo plazo


¿cuál es la ventaja de eliminar las dimensiones de la ecuación? •  Aumenta la compresión acerca de la relación entre los

parámetros del problema. En el ejemplo de caída libre, por ejemplo la solución adimensional revela que duplicar w0 tiene el mismo efecto que disminuir z0 en un factor de 4.

•  Reduce el número de parámetros en el problema.

•  En el problema con dimensiones, se tiene una variable independiente t, una variable dependiente z y tres constantes dimensionales z0, w0, g.

•  El problema adimensional, tiene un parámetro dependiente z*, un parámetro independiente t*, y el parámetro adicional (número de Froude)


Estudio de caída libre en el vacío sin números adimensionales. (a)  Se mantiene fija la velocidad inicial w0, se varia la altura inicial z0 (b)  Se mantiene fija la altura inicial z0, y se varia la velocidad inicial w0


Los resultados de las graficas de la diapositiva anterior son adimensionalizados y trazados en una nueva grafica

Análisis Dimensional y Similitud

Análisis Dimensional y Similitud

Propósitos del análisis dimensional •  Generar parámetros adimensionales que ayuden en el

diseño de experimentos y en el reporte de resultados experimentales

•  Obtener leyes de escalamiento de modo que se pueda predecir el desempeño de prototipo a partir del desempeño del modelo

Análisis Dimensional y Similitud Similitud

Existen tres condiciones necesarias para similitud completa entre un modelo y un prototipo. 1.  Similitud geométrica: el modelo debe tener la misma forma del

prototipo, pero se puede escalar por algún factor de escalamiento constante.

2.  Similitud cinemática: la velocidad en cualquier punto en el flujo del modelo debe ser proporcional a la velocidad en el punto correspondiente en el flujo del prototipo

3.  Similitud dinámica: Ocurre cuando todas las fuerzas en el flujo del modelo se escalan por un factor constante a fuerzas correspondientes en el flujo del prototipo

La similitud completa entre el modelo y el prototipo se logra sólo cuando existen similitud geométrica, cinemática y dinámica.

Método de repetición de variables Teorema de PI DE Buckingham

Método para generar números adimensionales Método popularizado por Edgar Buckingham y publicado por primera vez por Dimitri Riabouchinsky. Se puede considerar una receta para obtener parámetros adimensionales, que consta fundamentalmente de 6 pasos


Considere nuevamente la bola que cae al vacío. Suponga que no conoce la ecuación diferencial que describe la caída libre, ni que conoce mucha física de los objetos que caen Todo lo que sabes es que la elevación instantánea z es función del tiempo t, de la velocidad inicial w0, de la elevación inicial 0 y de la constante gravitacional En en análisis dimensional, solo se necesitan conocer las dimensiones primarias de cada una de dichas cantidades


Paso 1: Haga una lista con los parámetros (variables dimensionales + variables adimensionales + constantes dimensionales) del problema y cuente su numero total n


Paso 2: Haga una lista con las dimensiones primarias de cada uno de los n parámetros (SE RECOMIENDA ESCRIBIR CADA DIMENSIÓN CON EXPONENTES PORQUE ESTO AYUDARÁ DESPUES CON EL ALGEBRA)


Paso 3 :Establezca j como el número de dimensiones primarias presentes en el problema: Calcule el numero esperado de números adimensionales k como k=n-j El numero de dimensiones primarias representadas en el problema son L y t. Por tanto j=2 Por tanto el número esperado de numero adimensionales es: k=n-j=5-2=3


Paso 4 : Elija j parámetros repetitivos Para el ejemplo de la bola en caída libre, la elección apropiada de dos parámetros repetitivos es w0, z0 Lineamientos para elegir parámetros repetitivos en el paso 4 del MRV 1.  Nunca tome la variable dependiente 2.  Los parámetros repetitivos elegidos no deben ser susceptibles de

formar ellos mismo un grupo adimensional. Por ejemplo, no elegir t, w0, z0, porque solos pueden formar el numero adimensional (tw0)/z0

3.  Los parámetros repetitivos elegidos deben representar todas las dimensiones primarias del problema

4.  Nunca escoja parámetros adimensionales 5.  Nunca escoja dos parámetros con las mismas dimensiones


Paso 4 : Elija j parámetros repetitivos Para el ejemplo de la bola en caída libre, la elección apropiada de dos parámetros repetitivos es w0, z0 Lineamientos para elegir parámetros repetitivos en el paso 4 del MRV 6.  Elija constantes dimensionales sobre variables dimensionales, de

modo que solo un numero adimensional contenga la variable dimensional

7.  Escoja parámetros comunes porque ellos aparecen en cada uno de los números adimensionales. Ejemplo: escoja una longitud, una velocidad y una masa, no escoja la viscosidad o la tensión superficial como parámetro repetitivo.


Paso 5 : Construya las k (números adimensionales) y manipule según sea necesario Ahora se combinan dichos parámetros repetitivos en productos con cada uno de los parámetros restantes, uno a la vez para crear las PI. La primera PI siempre es la PI dependiente y se forma con la variable dependiente z Las dimensiones primarias del paso 2 se aplican a la ecuación anterior, y se fuerza a la PI a ser adimensional cuando se establece el exponente de cada dimensión primaria en 0.


Paso 5 : Construya las k (números adimensionales) y manipule según sea necesario Se igualan los exponentes de cada dimensión primaria de manera independiente para resolver los exponentes a1 y b1 De donde se obtiene nuestro primer número adimensional


Paso 5 : Construya las k (números adimensionales) y manipule según sea necesario De manera similar se crea la primera PI independiente PI2, por medio de la combinación de los parámetros repetitivos con la variable independiente t Se fuerza a PI2 a ser adimensional cuando se establece el exponente de cada dimensión en 0 Igualando los exponentes


Paso 5 : Construya las k (números adimensionales) y manipule según sea necesario Se llega al segundo número adimensional PI2 Finalmente, se crea la segunda PI independiente PI3 cuando se combinan los parámetros repetitivos con g y se fuerza al PI a ser adimensional Igualando exponentes


Paso 5 : Construya las k (números adimensionales) y manipule según sea necesario Se llega al tercer número adimensional PI3 PI y PI2 corresponden a las z* y t* determinadas previamente: Sin embargo la tercera PI se debe elevar a la potencia de -1/2 para coincidir con el número de Froude


Paso 5 : Escriba la relación funcional final El método de repetición de variables no puede predecir la forma matemática exacta de la ecuación,

Algunos números adimensionales Coeficientedearrastre

Coeficientedesustentación

NúmerodeMach

NúmerodeReynolds

Ejemplo 1 Sustentación de una ala Unos estudiantes de ingeniería mecánica desean diseñar un aeroplano y quieren predecir la sustentación que produce el nuevo diseño de ala. Suponga que todo lo que se sabe es que la sustentación depende de la velocidad del fluido, de la longitud de cuerda, de la densidad del fluido, de la viscosidad dinámica, la velocidad del sonido en el fluido y el ángulo de ataque del ala. Los ingenieros deciden enfrentar el problema con el uso del análisis dimensional Emplearemos el método de repetición de variables paso a paso. Paso 1: Haga una lista de los parámetros del problema y cuente el número total de parámetros n

Ejemplo 1 Sustentación de una ala Paso 2: Haga una lista con las dimensiones primarias de cada uno de los n parámetros (recuerde que el ángulo de ataque es adimensional) Paso 3: Como primera suposición, j se hace igual a 3, el número de dimensiones primarias representadas en el problema (m, L y t) Si el valor de j es el correcto, el número esperado de PI es de k=n-j=7-3=4

Ejemplo 1 Sustentación de una ala Paso 4: Elija j parámetros repetitivos •  No se puede escoger la variable dependiente FL •  Tampoco se puede escoger el ángulo de ataque porque ya es adimensional •  No se pueden elegir simultáneamente v y c, porque sus dimensiones son

idénticas •  No seria deseable que la viscosidad apareciera en todos los números

adimensionales •  Las opciones que quedan de los parámetros repetitivos son:

•  Densidad, longitud de cuerda, velocidad de fluido •  Velocidad del sonido, longitud de cuerda y densidad

•  La primera es la mejor opción porque la velocidad del sonido solo aparece en unos de los números adimensionales disponibles en la literatura

•  Los parámetros repetitivos son:

Ejemplo 1 Sustentación de una ala Paso 5: Construya los números adimensionales (los PI) y manipule según sea necesario. Se genera la PI dependiente Se calculan los exponentes cuando se fuerza que PI1 sea adimensional. De donde se obtiene De manera similar, se genera la primera PI independiente El anterior numero adimensional lo reconocemos con el inverso del número de Reynolds

Ejemplo 1 Sustentación de una ala Paso 5: Construya los números adimensionales (los PI) y manipule según sea necesario. La tercera PI se forma con la velocidad del sonido, de donde se obtiene Finalmente, dado que el ángulo de ataque ya es adimensional, es por tanto un grupo adimensional por su propia cuenta Paso 6: Escriba la relación funcional final.

Ejemplo 2 Fricción en un tubo Considere el flujo de un fluido incompresible de densidad y viscosidad conocidas, a través de un tubo redondo de diámetro D. Debido a las fuerzas de fricción entre el fluido y la pared del tubo, existe un esfuerzo de corte sobre la superficie interior del tubo. Dicho esfuerzo es función de la velocidad media del fluido, la rugosidad de la interna del tubo, la densidad del fluido, la viscosidad y el diámetro interno del tubo. Estudie el problema usando números adimensionales Paso 1: Haga una lista con los parámetros del problema y cuente el número total n Paso 2: Haga una lista con las dimensiones primarias de cada uno de los n parámetros Paso 3: Establezca j como el número de dimensiones básicas presentes en el problema. Calcule k, el numero esperado de números adimensionales como k=n-j

j=3 k=6-3=3 (números adimensionales)

Ejemplo 2 Fricción en un tubo Paso 4: Elija j parámetros repetitivos •  No se puede elegir la variable dependiente (el esfuerzo cortante) •  No se pueden elegir simultáneamente la rugosidad y el diámetro porque tienen las

mismas unidades •  No seria deseable que la viscosidad ni la rugosidad apareciesen en todas las PI •  La mejor elección de parámetros es por tanto

Ejemplo 2 Fricción en un tubo Paso 5: Construya las k y manipule según sea necesario Se genera la PI dependiente: De donde se obtiene que El parámetro adimensional establecido más similar a PI1 es el factor de fricción de Darcy De manera similar se generan las dos PI independientes

Ejemplo 2 Fricción en un tubo Paso 6: Escriba la relación funcional final

Ejemplo 3 caída de presión que sufre un fluido al pasar por una obstrucción Se quiere determinar la caída de presión que sufre un fluido al pasar por una obstrucción (slider plate). Qué parámetros interfieren en este fenómeno?. Estudie el problema usando números adimensionales

Ejemplo 4 Cable que cuelga de dos soportes Un cable es instalado entre dos soportes. Un fluido pasa a través de este y genera una deflexión δ en el centro del cable. Asuma que: donde l es la longitud del cable, d es su diámetro, V es la velocidad del aire y E el modulo de elasticidad del material del cuál esta fabricado el cable. Encuentre los un números adimensionales. Ayuda: E[=]Pa.

Ejemplo 5 La potencia requerida para accionar una bomba es función del caudal Q, el diámetro del rotor D, la velocidad de rotación ω y la densidad y viscosidad dinámica del flujo. Determine los números adimensionales del problema

Ejemplo 6 En 1940, expertos en explosivos concluyeron que el alcance máximo de la onda expansiva de una bomba nuclear (R), era función de la energía total liberada (E), la densidad del aire (ρ) y el tiempo (t). Calcule los números adimensionales del problema.

Ejemplo 7 Una placa delgada de ancho W y altura h se expone a un flujo, que se mueve de manera normal a la superficie. Asuma que la fuerza de arrastre D es función de la viscosidad dinámica, la densidad y la velocidad del fluido, así como de las características geométricas de la placa. Determine los números adimensionales del problema.

Similitud Existen tres condiciones necesarias para similitud completa entre un modelo y un prototipo. 1.   Similitud geométrica: el modelo debe tener la misma forma del

prototipo, pero se puede escalar por algún factor de escalamiento constante.

2.   Similitud cinemática: la velocidad en cualquier punto en el flujo del modelo debe ser proporcional a la velocidad en el punto correspondiente en el flujo del prototipo

3.   Similitud dinámica: Ocurre cuando todas las fuerzas en el flujo del modelo se escalan por un factor constante a fuerzas correspondientes en el flujo del prototipo

La similitud completa entre el modelo y el prototipo se logra sólo cuando existen similitud geométrica, cinemática y dinámica.

Los números adimensionales en el modelo deben ser iguales a los números adimensionales en el prototipo

Similitud

Similitud

a)  Prototipo b)  modelo

Similitud

Similitud

a)  Prototipo b)  modelo

Similitud: ejemplo 1 Un componente estructural de un puente tiene una sección elíptica, y cuando el flujo de aire pasa a través de este elemento estructural largo se presenta una alteración en el flujo que puede generar vórtices a una frecuencia especıfica. Dado que estos vórtices pueden crear fuerzas armónicas sobre la estructura, es importante determinar la frecuencia ω de dichos vórtices.

Similitud: ejemplo 1 Para este caso en particular, se tienen unas dimensiones de D = 0.1 m, H = 0.3 m y una velocidad representativa del viento de unos 50 km/hr. Para determinar la frecuencia de los vórtices se usa un puente a escala para ser puesto a prueba en un túnel de agua en el laboratorio; para este modelo se tiene una dimensión Dm = 20 mm y el agua se encuentra a una temperatura de 20◦C. La frecuencia ω encontrada en el modelo fue de 49.9 Hz, Cuál es la frecuencia en el prototipo?.

Similitud: ejemplo 1 Para este caso en particular, se tienen unas dimensiones de D = 0.1 m, H = 0.3 m y una velocidad representativa del viento de unos 50 km/hr. Para determinar la frecuencia de los vórtices se usa un puente a escala para ser puesto a prueba en un túnel de agua en el laboratorio; para este modelo se tiene una dimensión Dm = 20 mm y el agua se encuentra a una temperatura de 20◦C. La frecuencia ω encontrada en el modelo fue de 49.9 Hz, Cuál es la frecuencia en el prototipo?.

Agua1atm(agua) Aire1atm(proto>po)

Similitud: ejemplo 2 Una capa delgada de partículas descansa en el fondo de un tubo horizontal como se muestra en la figura. Cuando un fluido incompresible fluye a través del tubo, se observa que algunas partículas comienzan a moverse a través de la tubería cuando se alcanza cierta velocidad crıtica en el flujo. Asuma que esta velocidad, Vc, es función del diámetro del tubo, D, del diámetro de las partículas, d, de la densidad y viscosidad del flujo, de la gravedad y de la densidad de las partículas ¿Cuál será la velocidad crıtica en el prototipo, si el modelo está diseñado a escala 1:2 y la velocidad crıtica medida en este fue de 15 m/s?. Asuma que la densidad del fluido y de las partículas es igual en modelo y prototipo.

Similitud: ejemplo 3 A través de una tubería de 0.91 m de diámetro se bombea aceite SAE 30 a 288.7K a un régimen de 403L/s. Se piensa diseñar un modelo de esta tubería usando un tubo de 0.0762 m de diámetro y agua a 288.7K como fluido de trabajo. A fin de mantener la semejanza de los números de Reynolds entre modelo y prototipo, ¿qué velocidad del fluido se requiere en el modelo?. SGSAE = 1.2.

Similitud: ejemplo 4 Se debe predecir la fuerza aerodinámica de arrastre de un auto deportivo nuevo a una velocidad de 50 mi/h a una temperatura del aire de 25ºC. Los ingenieros automotrices construyen un modelo a un quinto de escala del auto para probarlo en un túnel de viento. Es invierno y el túnel de viento se localiza en un edificio donde la temperatura del aire es de 5ºC. Determine que tan rápido deben correr los ingenieros el aire en el túnel de viento con la finalidad de lograr similitud entre el prototipo y el modelo.

Similitud: ejemplo 4 propiedades del aire

Similitud: ejemplo 5 Este ejemplo es una continuación del ejemplo 4. Suponga que los ingenieros corren el túnel de viento a 221 mi/h para lograr similitud entre el modelo y el prototipo. La fuerza aerodinámica de arrastre sobre el auto modelo se mide con una balanza de arrastre. Se registraron varias lecturas de fuerza de arrastre y resulta que la fuerza promedio sobre el modelo es 94.30 N. Prediga la fuerza de arrastre sobre el prototipo ( a 50 mi/h y 25ºC)

Similitud: ejemplo 6 Sustentación de una ala Unos estudiantes de ingeniería mecánica desean diseñar un aeroplano y quieren predecir la sustentación que produce el nuevo diseño de ala. La longitud de cuerda del ala es 1.12 m y su área del ala es 10.7 m2 . El prototipo debe volar a 52m/s cerca del suelo .donde T=25ºC. Los ingenieros construyen un modelo de ala a un decimo de escala para probarla en un túnel de viento presurizado. El túnel de viento se puedo presurizar máximo a 5 atm. ¿ A qué velocidad y presión debe correr el túnel de viento con la finalidad de requerir similitud dinámica? Para lograr similitud dinámica, es necesario que el número de Reynolds, el número de Mach y el ángulo de ataque empaten entre el modelo y el prototipo

Similitud: ejemplo 6 Sustentación de una ala Para lograr similitud dinámica, es necesario que el número de Reynolds, el número de Mach y el ángulo de ataque empaten entre el modelo y el prototipo Empatar a la vez Reynolds y Mach a la vez es difícil porque: •  Suponga que el túnel de viento corre a la misma temperatura y presión del

prototipo. La similitud en el número de Reynolds se lograría al hacer la velocidad del aire en el túnel de viento sea 10 veces la del prototipo (es decir 520 m/s)

•  Al comparar el número de Mach se obtiene un valor 0.15 (subsónico) para el prototipo y de 1.15 para el modelo (supersónico)

•  Ahora si empato el número de Mach, el número de Reynolds del modelo seria 10 veces más pequeño

Similitud: ejemplo 6 Sustentación de una ala Para lograr similitud dinámica, es necesario que el número de Reynolds, el número de Mach y el ángulo de ataque empaten entre el modelo y el prototipo Empatar a la vez Reynolds y Mach a la vez es difícil porque: •  La similitud dinámica se puede lograr empatado el número de Reynolds

mientras el número de Mach se mantiene por debajo de 0.3 (compresibilidad despreciable)

•  Utilizando una presión de 5 atm y una temperatura de 25ºC en el túnel de viento, la densidad del modelo sería 5 veces la densidad del prototipo. Igualando el número de Reynolds se llega a que la velocidad del modelo debe ser 2 veces la velocidad del prototipo.

•  Con la anterior velocidad del aire se obtiene un número de Mach menor a 0.3 (el fluido se puede considerar incompresible)

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