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  • 8/17/2019 ejercicios primarias

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    Nombre del Profesor: jajajajajaj Guía N° 1

    Nombre del Estudiante:  ___________________________________ Nivel: NM3

    Sector de Aprendizaje: Matemática.

    Unidad: Lógica de proposiciones.

    En esta unidad:

     Reconocerás y aplicarás los conectores lógicos en distintas proposiciones ormuladas.  Resol!erás a tra!"s de ta#las de !erdad la !erosimilitud de distintas proposiciones.  Resol!erás desaíos $ue in!olucren los contenidos de lógica en su resolución.

    LOGIA !A"E!A"IA.

    %.& '(N')*+(, -N/0M)N+0L),.

    Francisco Arratia Camus

    Página 1   Raíces

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    %.1.& /)-%N%'%(N. La Lógica Matemática es una R0M0 más de L0, M0+)M0+%'0, como lo son por ejemplo La 0ritm"tica )l 0lge#ra La Geometría etc.2 con sus elementos propios de tra#ajo con sus operaciones particulares #ien deinidas y $ue solo son !álidas en su conteto y con sus pro#lemas especíicos y $ue es lo $ue en conjunto caracteri4a a cada una de ellas.

    %.5.& )L)M)N+(, /) +R0607(. Los elementos de tra#ajo de La Lógica Matemáticas es decir los entes matemáticos con  los cuales y so#re los

    cuales !a a operar  son las *R(*(,%'%(N),. Las proposiciones son a la Lógica Matemática lo $ue los Naturalesson a la 0ritm"tica2 los Racionales al 0lge#ra2 las -unciones al 'álculo etc. y al igual $ue en estos casos las proposiciones tienen su deinición $ue es8

    *R(*(,%'%(N),8 na *roposición es un enunciado $ue puede ser -also 9-: o !erdadero 9;: 

    pero N( am#as cosas a la !e4 o ninguna de ellas en orma simultánea.

    )n general las proposiciones se indican mediante las letras min por ejemplo8

    p8 )l ? es un n es limitada entonces se utili4an los su#índices en cada una de ellas para ampliar nuestra disponi#ilidad de elementos. *or ejemplo8

    p18 ,on las B de la tarde. p58 )sta clase es de -%,%'0. p38 n polinomio es deri!a#le en todos los reales. p?. )l n

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    OPE#AION $INA#IA%

    Una Operaci&n $inaria es una #e'la de orrespondencia

    mediante la cual a cada par ordenado de un conjunto 00

    le corresponde uno y solo un elemento del mismo conjunto 0.

    Se'(n la definici&n anterior) una Operaci&n $inaria se define para los elementos de un onjunto A * solamente ser+ v+lida para ellos% As, a cada Par de elementos del onjunto le corresponder+ UNO *

    SOLO UN elemento del mismo conjunto% Es lo -ue se llama una Operaci&n errada% .iene a ser una funci&n -ue tiene como dominio al producto cartesiano A/A * como codominio al conjunto A% Es

    decir:

     8 0×0→0

    Ejemplos:

    p0: La suma NO es cerrada en el conjunto de los Impares%

      La suma de /(, impares nos da un n

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    p - p ∨

     -

    ; ; ;

    ; - ;

    - ; ;

    - - -

    ON2UNION%

    La onjunci&n es una Operaci&n $inaria de la L&'ica !atem+tica 

    deinida entre /(, proposiciones y $ue da como resultado otra  proposición $ue será ;)R/0/)R0 si y solo sí las 

    proposiciones operadas son !erdaderas simultáneamente.

    0nálisis de la /einición8

    1.& Nue!amente esta deinición se /0 y se acepta '(M( !álida de acuerdo a lo aclarado en el punto 1 del análisis para la disyunción. 5.& ,e deine entre /(, proposiciones = p = y = $ =. 3.& ,e represente mediante el sím#olo = ∧ = y se lee como = y =. 0sí8 p ∧ $8 se lee como8 =p y $ =. ?.& )l resultado es (+R0 proposición característica Heredada por ser una (peración 6inaria.

    @.& ,iendo el resultado de una conjunción otra proposición por deinición esta puede ser - o ;. A.& 0si esta (peración se deine a partir de !alidar la proposición resultante. B.& La $ue es ; si am#as = p y $ = son ; simultáneamente en caso contrario es -. D.& -inalmente tam#i"n en este caso podemos construir una ta#la de !erdad la $ue nos deine es$uemáticamente "sta operación en la orma siguiente8

    p - p ∧  -

    ; ; ;

    ; - -

    - ; -

    - - -

    7unto con esta /(, operaciones 6inarias se deine otra operación $ue se aplica so#re una sola proposición es decir N( es una operación #inaria. +al operación es la N)G0'%(N la $ue se deine en los t"rminos siguientes8

    NEGAION

    La ne'aci&n de una proposici&n 3 p 3 dada) es otra proposici&n 

    $ue será ; si la proposición operada es - y !ice!ersa

    es - si la original es ;. )sta operación se representa mediante  el sím#olo = ∼  = y se lee como = No > 

     

    Francisco Arratia Camus

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  • 8/17/2019 ejercicios primarias

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    La correspondiente ta#la de !erdad es8

    p   ∼

    p

    ; -

    - ;

     

    )jemplos8 )ect

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    conocimiento matemáticos. )s decir solamente proposiciones $ue in!olucren conocimiento de las matemáticas serán los $ue estudiaremos y e!entualmente !alidaremos. 0Hora #ien 'ómo sa#er si un ra4onamiento es correcto. /ado $ue el resultado de un ra4onamiento !a a estar epresado mediante una proposición y esta proposición !a a ser acti#le de epresar mediante las operaciones lógicas entonces si la ta#la de !erdad asociada a la operación es correcta el ra4onamiento tam#i"n lo será desde el punto de !ista de la lógica.

    0+)N'%(NO. +odo conocimiento como resultado de un ra4onamiento de#e ser

    epresa#le mediante las operaciones de la lógica matemática.

    )s decir toda epresión de la lógica matemática $ue in!olucre proposiciones conjunciones disyunciones yPo negaciones representa un ra4onamiento y como ya lo Hemos mencionado la !alidación de tales operaciones se reali4a mediante la correspondiente ta#la de !erdad por lo tanto8

    N R0J(N0M%)N+(8 

    • ,erá ;)R/0/)R( si su ta#la de !erdad lo es tam#i"n independientemente de los !alores de !erdad o 

    alsedad de las proposiciones in!olucradas en "l. 9Ra4onamiento +autológico o +autología:.

    • ,erá -0L,( si su ta#la de !erdad lo es tam#i"n independientemente de 

    los !alores de !erdad o alsedad de las proposiciones in!olucradas en "l.

    9Ra4onamiento 'ontradictorio o 0#surdo:.

    • 0Hora $ue si su !alor de !erdad depende de los !alores de las  proposiciones in!olucradas se dice $ue el ra4onamiento es 'ontingente.

     *or lo anteriormente dicHo solamente los ra4onamientos tautológicos serán de nuestro inter"s.

    *ero8 'ómo podemos modelar un ra4onamiento.

    *ara lograr lo anterior es necesario identiicar en primera instancia el ra4onamiento M0, elemental $ue pueda eistir. )sto signiica algo así como identiicar el ra4onamiento mínimo posi#le $ue se pueda dar. +al ra4onamiento mínimo es la %N-)R)N'%0 M0+)R%0L llamada tam#i"n simplemente inerencia lógica la cual se deine como8

    %N-)R)N'%0 M0+)R%0L.

    )s la orma más elemental $ue adopta una Ra4onamiento en la Lógica Matemática. ,e deine entre /(, 

    proposiciones8 na la primera llamada 0ntecedente o Qipótesis y otra la segunda 'onsecuente o +esis. /ado  $ue es la coneión entre /(, proposiciones entonces nos da como resultado otra proposición $ue será ; si am#as 

    son ; o si el 0ntecedente es - independientemente del 'onsecuente. ,e representa mediante el sím#olo = →  = y 

    se lee8 =,i . . .)ntonces . . . > así en la inerencia =p → 

     $> la leemos8 ,i p entonces $.

    /e acuerdo con la deinición anterior tendremos la siguiente +a#la de ;erdad $ue nos permite !alidar una %nerencia.

    p - p → -

    ; ; ;

    ; - -

    Francisco Arratia Camus

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    - ; ;

    - - ;

    )jemplo8

    'on las siguientes proposiciones construya las %nerencias $ue se piden. ;alídelas.

    p8 ? y 1E son n

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    ,i empleamos las deiniciones $ue Hemos dado para o#tener la +a#la de ;erdad de esta epresión !eremos $ue es id"ntica a la de la %nerencia Lógica por lo tanto am#as son e$ui!alentes por lo $ue la %nerencia la podemos epresar para eectos de análisis mediante esta ecuación.

    )7)R'%'%(, No. ?.

    (#teniendo la +a#la de ;erdad !erii$ue la identidad entre la %nerencia Lógica y la )cuación anterior.

    0Hora sí ya estamos en posi#ilidad de Modelar Ra4onamientos. ,in em#argo8 'ómo podemos traducir un ra4onamiento a una )cuación de la Lógica. )sto lo !eremos en el punto siguiente.

    %.@.& L0 L(G%'0 /) L0 /)M(,+R0'%(N.

    La Lógica de la /emostración es una de las pocas ramas de las Matemáticas $ue Han trascendido a tra!"s del desarrollo de la Humanidad y tiene como o#jeti!o8

    '(N-)R%RL) 0 L(, '(N('%M%)N+(, 

    M0+)M0+%'(, L0 '0+)G(R%0 /) ;)R/0/), 

    06,(L+0, )N , *0R+%'L0R '(N+)S+(.

    )sto signiica $ue todo conocimiento matemático $ue se desarrolla y por consecuencia se enuncia como nue!o a medida $ue la ciencia a!an4a or4osamente de#e ca#er en el pa$uete cognosciti!o $ue en su momento e