dimenzionisanje preseka prema teoriji granicnih stanja

1

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA

ESPB: 6Semestar: V

Prof. dr Snežana Marinković

Doc.dr Ivan Ignjatović

DIMENZIONISANJE PRESEKA PREMA TEORIJI GRANIČNIH STANJA- Granična stanja nosivosti -

1. Centrično pritisnuti elementi2. Centrično zategnuti elementi3. Mali ekscentricitet - Ekscentrično zategnuti

elementi4. Elementi opterećeni momentima savijanja5. Ekscentrično opterećeni elementi – veliki

ekscentricitet6. “T” preseci7. Mali ekscentricitet – Ekscentrično pritisnuti

elementi. Dijagrami interakcije8. Elementi opterećeni transverzalnim silama9. Elementi opterećeni momentima torzije

2

1. Centrično pritisnuti elementi• Elementi kod kojih sila deluje u težištu poprečnog preseka ili sa

ekscentričnošću e ≤ l/300• Prilikom delovanja sile pritiska => bočna deformacija• Povećanje krivine => dalje povećanje momenta

3

• Nastupa jedan od dva slučaja:

1) Ostvaruje se ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila

2) Ne ostvaruje se ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila; dalje povećanje krivine i momenta => lom elementa

1. Centrično pritisnuti elementi4

1. Centrično pritisnuti elementi λ ≤ 25• Granično stanje nosivosti se dostiže pri εb = εa = 2‰• Uslov ravnoteže spoljašnje granične sile Nu i unutrašnjih sila pritiska u

betonu i armaturi:

• - mehanički koeficijent armiranja ukupnomarmaturom u preseku

• - geometrijski koeficijent armiranja

5

Nu

2‰

εb [‰]

3.5

σb

2.0

fB

1. Centrično pritisnuti elementi λ ≤ 25

• Ako je poznata granična sila loma, Nu:

Nu = ΣγuiNi ; npr. ako deluje Sg i Sp:

Nu = 1.9Ng + 2.1Np

• Dimenzije preseka se određuju usvajajući:

MB (fb), Č(σv), μmin=0.6%

=> b, d, Aa

• μmin=0.6% važi za iskorišćenu nosivost betonskog preseka (σb =fb);ako je σb < fb može se usvojiti μmin=0.3%

6

• Prečnik uzengija φu ≈ φ/3 (6-10 mm), φ - prečnik podužne armature• Razmak uzengija mora biti u sledećim granicama:

b<d

• U područijima gde se uvodi sila, na dužini 1.5b i na mestima preklapanja podužne armature, razmak zatvorenih uzengija iznosi:

• U seizmički aktivnim zonama sa svake strane čvora na dužini 1m, razmak zatvorenih uzengija je maksimalno:

• Na ostalim delovima stuba moguće je usvojiti eu = 15φ ≤ 20cm

1. Centrično pritisnuti elementi λ ≤ 25

• U stubovima sa više od četiri podužne šipke, dodaju se posebne uzengije

• Ako je procenat armiranja visok armatura se može grupisati u uglovima stuba sa najviše do 5 šipki

1. Centrično pritisnuti elementi λ ≤ 25

2. Centrično zategnuti elementi• Celokupnu silu zatezanja prihvata armatura• Beton ima svrhu zaštite armature od korozije i požara • Dimenzije ovakvih elemenata se određuju samo iz uslova da se pravilno

smesti armatura• Armatura se raspoređuje simetrično unutar preseka, sa minimalnim

horizontalnim razmakom od 5cm

10

3. Ekscentrično zategnuti elementi• Kada ekscenrična sila Z deluje između armatura u preseku, presek se računa

po malom ekscentricitetu

11

Zau1

MuZu

y b2

εa1 = 10‰

y b1

b

Aa1

εa2

Gb

"1"

"2"

Aa2Zau2

y a1

y a2

a 2a 1

e

d

2a1a

2a

v

u1a yy

eyZA++

×σ

=

2a1a

1a

v

u2a yy

eyZA+−

×σ

=

v

uaaa

ZAAAσ

=+= 21

4. Elementi opterećeni momentima savijanjaPodsetnik:

• Naponska stanja Ia i Ib karakteriše odsustvo prslina u betonu pa je ceo betonski presek aktivan

• Faza IIa - Prekoračenjem čvrstoće pri zatezanju betona dolazi do pojave prslina, a napon pritiska u betonu odstupa neznatno od pravolinijske raspodele.

• Faza IIb - Povećanjem opterećenja prsline dolaze do neutralne linije, a dijagram pritiska u betonu se znatno krivi

12

eksploatacija

neposrednopred lom

4. Elementi opterećeni momentima savijanja• Proračun se zasniva na fazi IIb

• Uslov ravnoteže momenata:• Spoljašnjie sile: granični moment• Spreg unutrašnjih sila: sila pritiska u betonu, Dbu, sila zatezanja u armaturi, Zau

• Uslov ravnoteže normalnih sila:• Sila pritiska u betonu, Dbu, sila zatezanja u armaturi, Zau

20

Mu

b

Aa

x=s×

h

Zau

Dbu

z=ζ×

hη×

xa

Gb

hda

εa ≤ 10 ‰

εb ≤ 3.5 ‰ σb ≤ fB

h - x

Mu

b

Aa

x=s×

h

Zau

Dbu

z=ζ×

hη×

xa

Gb

hda

εa ≤ 10 ‰

εb ≤ 3.5 ‰ σb ≤ fB

h - x

• Ako je pritisnuta površina betona oblika pravougaonika onda imamo slučaj čistog savijanja pravougaonog preseka!

4. Elementi opterećeni momentima savijanja21

4. Elementi opterećeni momentima savijanja• Zavisno od dilatacija u betonu i armaturi, postoje tri vrste loma:1. Lom po betonu, kada je εb = 3.5‰; 0 ≤ εa <10‰

Napon u betonu

• PODSETNIK: RADNI DIJAGRAM BETONA!

22

εb [‰]

3.5

σb

2.0

fB

Mu

b

Aa

x=s×

h

Zau

Dbu

z=ζ×

hη×

xa

Gb

hda

εa ≤ 10 ‰

εb = 3.5 ‰ σb = fB

h - x

Mu

b

x=s×

h

hda

εa ≤ 10 ‰

εb = 3.5 ‰

h - x

Aa Zau

Gb

4. Elementi opterećeni momentima savijanja• Zavisno od dilatacija u betonu i armaturi, postoje tri vrste loma:

2. Lom po armaturi, kada je 0 ≤ εb <3.5‰; εa = 10‰Napon u betonu:

3. Simultani lom, kada je εb = 3.5‰; εa = 10‰

23

• Uslov ravnoteže normalnih sila:

• Uslov ravnoteže momenata oko težišta zategnute armature:

• Kompatibilnost dilatacija =>• Statička visina? Količina zategnute armature?

4. Elementi opterećeni momentima savijanja24

4. Elementi opterećeni momentima savijanja

• αb – koeficijent punoće naponskog dijagrama:

• Koeficijent armiranja:

• Mehanički koeficijent armiranja:

25

εb [‰]

3.5

σb

2.0

fB

εb [‰]

3.5

σb

2.0

fB

εb [‰]

σb

2.0

fB

4. Elementi opterećeni momentima savijanja• Uslov ravnoteže momenata oko težišta zategnute armature:

• Nakon integracije i sređivanja izraza:

26

Mu

b

Aa

x=s×

h

Zau

Dbu

z=ζ×

hη×

xa

Gb

hda

εa ≤ 10 ‰

εb ≤ 3.5 ‰ σb ≤ fB

h - x

4. Elementi opterećeni momentima savijanja• Krak unutrašnjih sila:

• Bezdimenzionalni koeficijent kraka unutrašnjih sila:

• Bezdimenzionalni koeficijent k:

27

Mu

b

Aax=

s×h

Zau

Dbu

z=ζ×

hη

×x

a

Gb

hda

εa ≤ 10 ‰

εb ≤ 3.5 ‰ σb ≤ fB

h - x

4. Elementi opterećeni momentima savijanja• Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja:I. Slobodno dimenzionisanje

1. Mi (i = g, p, Δ) – POZNATO2. Č (GA, RA), MB, b (25-50 cm) – USVAJA SE3. Dilatacije u betonu i armaturi, εb i εa - USVAJAJU SE

Barem jedna od dilatacija mora dostići graničnu vrednost!εb = 3.5‰; 3‰≤ εa <10‰ lom po betonu

0‰≤ εb < 3.5‰; εa =10‰ lom po armaturi

εb = 3.5‰; εa =10‰ simultani lom

28

4. Elementi opterećeni momentima savijanja• Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja:I. Slobodno dimenzionisanje

3. Dilatacije u betonu i armaturi, εb i εa - USVAJAJU SEOd izbora dilatacija zavisi visina preseka d!Od odnosa dilatacija zavisi visina pritisnute zone xVeće x => veće Dbu => veće Zau (iz uslova ravnoteže normalnih sila)=> što su sile u spregu veće potreban je manji krak da bi spreg bio jednak Mu!=> manji krak sila z => manja visina preseka d!

29

...Kako?

b

x=s×

h

z=ζ×

hη×

xa

hda

εa ≤ 10 ‰

εb = 3.5 ‰ σb = fB

h - x

Aa Zau

Dbu

Gb

4. Elementi opterećeni momentima savijanja• Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja:I. Slobodno dimenzionisanje

3. Dilatacije u betonu i armaturi, εb i εa - USVAJAJU SEUsvajanje εb =3.5‰ (lom po betonu) => najmanje d, ali krti lom!Optimalno εb =3.5‰; 7‰≤ εa <10‰

4. Koeficijenti sigurnosti γui – ODREĐUJU SE ZAVISNO OD εa

5. Koeficijenti i - ODREĐUJU SE IZ TABLICA

30

4. Elementi opterećeni momentima savijanja• Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja:I. Slobodno dimenzionisanje

6. Statička visina h – ODREĐUJE SE IZ IZRAZA

7. Potrebna površina armature – ODREĐUJE SE IZ IZRAZA

8. Usvaja se prečnik i broj šipki armature i armatura se raspoređuje u presekuVoditi računa o razmacima šipki i debljini zaštitnog sloja!Proračun težišta armature (a) => visina preseka d = h+a

31

4. Elementi opterećeni momentima savijanja• Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja:II. Vezano dimenzionisanje

1. Mi (i = g, p, Δ), b, d – POZNATO2. Č (GA, RA), MB – USVAJA SE3. Granični momenat savijanja – ODREĐUJE SE IZ IZRAZA

(koeficijenti sigurnosti se računaju pretpostavljajući εa ≥3‰)4. Težište armature, a – USVAJA SE (a≈0.1d) => h = d-a

5. Koeficijent k – ODREĐUJE SE IZ IZRAZA

(provera da li je εa ≥3‰)6. Potrebna površina armature – ODREĐUJE SE IZ IZRAZA7. Usvaja se prečnik i broj šipki armature i armatura se raspoređuje u preseku

Voditi računa o razmacima šipki i debljini zaštitnog sloja!Proračun težišta armature (a) => kontrola u odnosu na pretpostavljeno a

32

4. Elementi opterećeni momentima savijanja• Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja:II. Vezano dimenzionisanje

Šta ako je εa <3‰?Malo εa i veliko x! Ako je εa malo iz RDČ => σa maloVeliko x => veliko Dbu => potrebna velika sila Zau

=> zbog malog σa potrebna je velika površina armature Aa!S obzirom da je εa <3‰ potrebna je interpolacija koeficijenata sigurnosti!

33

σa [M Pa]

εv

σv

10

εa [‰ ]

σa

εab

x=s×

h

Zau

Dbu

z=ζ×

hη×

xa

Gb

hda

εa1 ≤ 3 ‰

εb = 3.5 ‰ σb = fB

h - x

Aa1

Aa2εa2

x-a 2

a 2

Dau

1 4

4. Elementi opterećeni momentima savijanja• Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja:II. Vezano dimenzionisanje

Šta ako je εa <3‰? => “dvostruko armiranje”=> Računsko određivanje armature u pritisnutoj zoniMbu – moment koji može da prihvati jednostruko armiran presek uz εa =3‰; εb =3.5‰

k* je vrednost pri εa =3‰; εb =3.5‰Razliku momenata ΔMu prihvata spreg Dau i ΔZau

Pretpostavlja se:

34

b

x=s×

h

Zau

a

Gbhd

a

εa1 = 3 ‰

εb = 3.5 ‰

h - x

Aa1

Aa2 εa2

h-a 2

a 2 Dau

*

Aa1

Mu

4. Elementi opterećeni momentima savijanja• Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja:II. Vezano dimenzionisanje

Preporuka:

35

b

x=s×

h

Zau

a

Gbhd

a

εa1 = 3 ‰

εb = 3.5 ‰

h - x

Aa1

Aa2 εa2

h-a 2

a 2 Dau

*

Aa1

Mu

5. Ekscentrično opterećeni elementi – veliki ekscentricitet (složeno savijanje)

• Preseci opterećeni ekscentričnom normalnom silom (N ili Z)• Napadna tačka sile je u osi simetrije preseka• Neutralna linija se nalazi u poprečnom preseku

36

y b2

y b1

Nu

e

b

Aa1

Gb

ha 1

Aa2

d

Nu

Mu

b

x=s×

h

Zau

Dbu

z=ζ×

hη×

xa 1

Nu

y b2

hda 1

y b1

εa1 ≤ 10 ‰

εb ≤ 3.5 ‰

εa2

a 2x-

a 2

h - a

2

σb ≤ fB

h - x

Dau

Aa1

Gb

Aa2

5. Ekscentrično opterećeni elementi – veliki ekscentricitet (složeno savijanje)

• Statički uticaja: Ni, Mi = Ni٠e• Granični uticaji: • Uslovi ravnoteže normalnih sila:

• Uslovi ravnoteže momenata savijanja u odnosu na težište zategnute armature

• NAPOMENA:Znak uz normalnu siluje plus u slučaju norm.sile pritiska, a minus u slučaju norm. sile zatezanja

37

Mu

bx=

s×h

Zau

Dbu

z=ζ×

hη×

xa 1

Nu

y b2

hda 1

y b1

εa1 ≤ 10 ‰

εb ≤ 3.5 ‰

εa2

a 2x-

a 2

h - a

2

σb ≤ fB

h - x

Dau

Aa1

Gb

Aa2

5. Ekscentrično opterećeni elementi – veliki ekscentricitet (složeno savijanje)

• Dolazi se do izraza analognih onima za presek opterećen na čisto savijanje!

• Umesto Mu u izrazima figuriše Mau

Mau = Mu + Nu(d/2 – a1)Mau = Mu - Zu(d/2 – a1)

• Moguće je koristiti iste tablice za dimenzionisanje!• U izrazu za armaturu dodaje se član (-Nu / σv ),

odnosno (+Zu / σv )• Slobodno i vezano dimenzionisanje

38

5. Ekscentrično opterećeni elementi – veliki ekscentricitet (složeno savijanje)

• Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja:I. Slobodno dimenzionisanje

=> d nepoznato => iterativan postupak!U prvom koraku – pretp. Mau = Mu

Drugi korak:

Kada se postigne dovoljna tačnost (dII≈dI±1cm)NAPOMENA: Znak uz normalnu silu je minus u slučaju norm. sile pritiska, a plus u slučaju norm. sile zatezanja

39

5. Ekscentrično opterećeni elementi – veliki ekscentricitet (složeno savijanje)

• Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja:II. Vezano dimenzionisanje

• POZNATO:

• USVAJA SE:

40

5. Ekscentrično opterećeni elementi – veliki ekscentricitet (složeno savijanje)

• Dimenzionisanje preseka za poznati granični moment savijanja:II. Vezano dimenzionisanje

Ako je εa <3‰ => “dvostruko armiranje”=> Računsko određivanje armature u pritisnutoj zoniMabu– moment koji može da prihvati jednostruko armiran presek uz εa =3‰; εb =3.5‰

41

6. ’’T’’ presekPodsetnik:• Nosač T poprečnog preseka čini armiranobetonska greda (rebro), koja je u

svom pritisnutom delu monolitno vezana sa pločom

42

6. ’’T’’ presekPodsetnik:• Normalne napone pritiska prihvataju rebro i sadejstvujući deo ploče na širini

koja se naziva sadejstvujuća aktivna širine ploče b

43

6. ’’T’’ presekPodsetnik:• Aktivna širina ploče na kojoj se vrši osrednjavanje napona – b je

određena pravilnikom BAB 87 kao:

• Za slučaj nesimetričnog T preseka aktivna širina se uzima kao:

44

6. ’’T’’ presek• Ako je neutralna linija u rebru i B ≥ 5b=> zanemaruju se normalni naponi pritiska u rebru (mala greška)Pretpostavlja se da sila pritiska Dbpu deluje u srednjoj ravni pločeOdn. u ploči je konstantan napon pritiska σbs kome odgovara dilatacija εbs

Velika pritisnuta površina => εb≈0.5-1.5‰ => εa=10‰ (lom po armaturi)

45

b

Aa Zau

Dbu

z=ζ×

hη

×x

a

Gb

εa = 10 ‰

εb ≤ 3.5 ‰ σb ≤ fB

h

d

a

d p x εbs

d p/2

x 0

Zau

Dbpu

σbs

d p/2

z=h-

d p/2

B 5b

6. ’’T’’ presekI. Slobodno dimenzionisanje:

• Ako se σbs usvoji => (0.3fb≤ σbs ≤ 0.75fb)

• Provera:x0≥dp/2 ?

• Ako jeste=> “T” presek!

46

b εa = 10 ‰

εb ≤ 3.5 ‰

hda

d p x εbs d p/2

x 0

σbs

d p/2

z=h-

d p/2

Zau

Dbpu

Aa

Gb

B 5b

6. ’’T’’ presekI. Slobodno dimenzionisanje:

• Provera:

47

b εa = 10 ‰

εb ≤ 3.5 ‰

hda

d p x εbs d p/2

x 0

σbs

d p/2

z=h-

d p/2

Zau

Dbpu

Aa

Gb

B 5b

6. ’’T’’ presekII. Vezano dimenzionisanje• POZNATO:

• USVAJA SE: RDB =>

• Ako je x0≥dp/2 onda je “T” presek

48

6. ’’T’’ presekII. Vezano dimenzionisanje• Praktičniji pristup: pretpostaviti neutralnu liniju u ploči!• Dimenzioniše se pravougaoni presek Bxd

• Preko koeficijenta s se određuje položaj neutralne linije: x=sh≤dp?• Ako jeste, presek je pravougaoni Bxd• U svakom slučaju mora se obezbediti minimalna količina armature!

(u odnosu na širinu rebra b!)

• Za GA μmin=0.25%; RA μmin=0.20%

49

7. Mali ekscentricitet – Ekscentrično pritisnuti elementi. Dijagrami interakcije.• Slučaj naprezanja karakterističan za stubove• Ekscentricitet normalne sile je mali, ceo presek je pritisnut; simetrično armiranje! • Granične dilatacije se kreću od εb1=0‰ i εb2=3.5‰ do εb1=εb2=2‰

50

b

Aa1

Gb

y b2

hda 1

y b1

Aa2Nu

e Nu

εb σb = fB

x

3 7 d

Dbu

Dau2

Dau1

b

y b2

hda 1

y b1

e

εb = 2 ‰ σb = fB

Dbu

Dau2

Dau1Aa1

Gb

Aa2NuNu

• Konstruisanje: usvojen oblik i dimenzije preseka, raspored i količina armature, mehaničke karakteristike betona i čelika, stanje graničnih dilatacija u preseku

• Ispisivanje uslova ravnoteže => Mu, Nu

• Najčešće u bezdimenzionalnom obliku:

• Posebni dijagrami za različite odnose a/di različite mehaničke karakteristike betona i čelika

7. Mali ekscentricitet – Ekscentrično pritisnuti elementi. Dijagrami interakcije.

51

52

a a' dc e

g

f

h

ZATEZANJE

b

PRITISAK

C

εb2 εa2

εa1 εb1

2 3.5

3.523 εv 010‰

“a”

“b”

“c”

53

d e

g

f

h

ZATEZANJE PRITISAK

C

εb2 εa2

εa1 εb1

2 3.5

3.523 εv 0

“d”“f”

“h”

7. Mali ekscentricitet – Ekscentrično pritisnuti elementi. Dijagrami interakcije.

54