01 testr sebenta cap1 introducao
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Licenciatura em Engenharia Civil
TEORIA DE ESTRUTURASApontamentos das Aulas TericasJos Filinto Castro Trigo Manuel Trigo Neves Maro 2012
Captulo 1 - Verso 3Teoria de Estruturas 03
ndice:1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.8.1 1.8.2 1.8.3 1.9 1.10 1.10.1 1.10.2 1.10.3 1.10.4 1.10.5 1.10.6 1.10.7 INTRODUO. ................................................................................................ 1 CONCEITOS GERAIS............................................................................................... 1 HIPTESES E PRINCPIOS FUNDAMENTAIS ............................................................... 2 GRAUS DE LIBERDADE DE UM CORPO RGIDO.......................................................... 3 LIGAES AO EXTERIOR........................................................................................ 3 ESTRUTURAS PLANAS E ESPACIAIS......................................................................... 4 ESTRUTURAS RETICULADAS .................................................................................. 4 PRINCPIO GERAL DO EQUILBRIO........................................................................... 5 DETERMINAO DO GRAU DE HIPERSTATICIDADE EM ESTRUTURAS RETICULADAS PLANAS ................................................................................................................ 6 Introduo ........................................................................................................... 6 Estruturas contnuas ............................................................................................ 7 Estruturas articuladas (sistemas articulados rgidos planos, estruturas articuladas indeformveis ou trelias) ................................................................. 8 SOLICITAES EXTERIORES .................................................................................. 9 ESTUDO DAS PEAS PRISMTICAS ....................................................................... 10 Definies.......................................................................................................... 10 Reduo da solicitao a uma seco ................................................................ 10 Esforos internos ............................................................................................... 11 Expresso da solicitao interna normal ........................................................... 12 Expresso das solicitaes internas tangenciais ................................................ 13 Estado de tenso................................................................................................ 14 Estado de deformao elstica lei de Hooke generalizada .............................. 15
___________________________________________________________________________ Bibliografia: Structural Analysis R. C. Hibbeler Apontamentos de Estruturas I do Bacharelato em Engenharia Civil do ISEP Jos Carvalho e Manuel Trigo Neves Apontamentos de Resistncia de Materiais da FEUP Mota Freitas ___________________________________________________________________________
Teoria de Estruturas 03
ii
1 1.1
Introduo. Conceitos gerais. A Teoria de Estruturas estuda a resistncia mecnica oferecida pelas estruturas
reticuladas, isto , os corpos constitudos por peas lineares, realizadas com materiais istropos, contnuos e homogneos, deformando-se em regime de elasticidade perfeita, com deformaes muito pequenas em relao s dimenses do corpo em que ocorrem e ligados entre si e com o exterior de certas formas peculiares. As Teorias da Elasticidade e da Plasticidade estudam a resistncia mecnica oferecida aco das solicitaes pelos corpos slidos de quaisquer natureza e forma e de qualquer maneira ligados ao exterior. Nas barras de eixo curvilneo a Teoria de Estruturas ou a Resistncia dos Materiais conduzem a resultados que diferem aproximadamente de 5% dos valores correctos oferecidos pela Teoria Matemtica da Elasticidade se:
H 1 P 7
Figura 1.1 Barras de eixo curvilneo E conduzem a erros inferiores a 5%, quando aplicadas a barras rectilneas se:
H 1 L 5
Figura 1.2 Barras de eixo rectilneoH 1 H 1 H 1 em barras de beto armado e a em barras de ao. L 10 L 20 L 301
Geralmente
Teoria de Estruturas 03
A Esttica e a Resistncia dos Materiais tratam das estruturas isostticas. A Teoria de Estruturas trata das estruturas isostticas e das hiperstticas.
1.2
Hipteses e princpios fundamentaisHipteses fundamentais relativas constituio da matria: Continuidade Homogeneidade Isotropia Hipteses fundamentais relativas natureza das deformaes:
Proporcionalidade com as tenses - Lei de Hooke ( = E ) Grandeza muito pequena em relao s dimenses do corpo em que ocorrem Destas duas hipteses decorre o Princpio da Sobreposio de Efeitos:F1 F1
F2
F2
Figura 1.3 Princpio da sobreposio dos efeitos
Princpio de Saint-Venant A distribuio das tenses e das deformaes na seco S1 , desde que esta se encontre suficientemente afastada das aces exteriores, uniforme, funo da resultante das aces exteriores, independentemente do seu nmero, da sua distribuio e da forma como actuam.Teoria de Estruturas 03
2
Figura 1.4 Princpio de Saint-Venant
Hiptese de Bernoulli-Navier As seces transversais mantm-se planas aps a deformao:
Antes
Depois
Figura 1.5 Hiptese de Bernoulli-Navier
1.3
Graus de liberdade de um corpo rgidoNo espao 6 (3 translaes e 3 rotaes) No plano 3 (2 translaes e uma rotao)
1.4
Ligaes ao exteriorApoios. Ligaes ao exterior:
Teoria de Estruturas 03
1 ordem: 2 ordem: 3 ordem:
ou
(biela)
3
1.5
Estruturas planas e espaciais
Enquanto que nas estruturas planas os eixos das peas e as solicitaes pertencem a um plano, nas estruturas espaciais os eixos referidos podem ou no pertencer a um s plano:y
y
x
x
y
x z y z
x
x
Figura 1.6 Estruturas planas e espaciais
1.6
Estruturas reticuladasEstruturas reticuladas so estruturas constitudas por peas lineares (barras), ligadas
entre si e com o exterior por: 1. Articulaes sem atrito (estruturas articuladas)
2
3 1Figura 1.7 Estruturas articuladas
Teoria de Estruturas 03
4
As extremidades das barras concorrentes num n tm todas os mesmos 1 e 2, mas diferentes 3. 2. Ligaes de continuidade (estruturas contnuas)
Figura 1.8 Estruturas contnuas As extremidades das barras concorrentes num n tm todas os mesmos 1, 2 e 3. Enquanto que nas estruturas articuladas os ns no transmitem momentos flectores (s transmitem esforos axiais), nas estruturas contnuas os ns transmitem esforos axiais, esforos transversos e momentos flectores: 3. Ligaes dos dois tipos (estruturas mistas)
Figura 1.9 Estruturas mistas
1.7
Princpio geral do equilbrioOs corpos objecto de estudo so considerados em equilbrio esttico sob a aco das
foras exteriores que os solicitam: foras directamente aplicadas e reaces dos apoios. A condio de equilbrio esttico fornece seis equaes gerais de equilbrio; suficientes para a determinao das reaces dos apoios nos corpos ditos isostticos e insuficientes nos hiperstticos.Teoria de Estruturas 03
5
No plano estas equaes reduzem-se a trs.
1.8
Determinao do grau de hiperstaticidade em estruturas reticuladas planas
1.8.1 IntroduoAs estruturas podem classificar-se em: Isostticas Hipostticas Hiperstticas
Condio para um sistema (estrutura) ser isosttico:
N. de ligaes ao exterior = N de equaes de equilbrio fornecidas pela condio de equilbrio esttico
Mas esta condio no suficiente, existindo excepes:
Figura 1.10 Equilbrio instvel
Nesta estrutura o deslocamento horizontal possvel, pelo que o equilbrio instvel.
Teoria de Estruturas 03
6
1.8.2 Estruturas contnuas
Para a determinao do grau de hiperstaticidade em estruturas contnuas suprimem-se ligaes, de modo a obter uma estrutura isosttica a partir da estrutura dada. Como cada corte corresponde a eliminar um momento flector, um esforo axial e um esforo transverso, por cada corte so eliminadas trs incgnitas hiperstticas.
3 3 3
Grau de liberdade = 3 cortes x 3 incgnitas por corte = 9 Figura 1.11 Grau de hiperstaticidade em estruturas contnuas Podem tambm constituir-se arcos de trs rtulas que so, tambm, estruturas isostticas.
Figura 1.12 Grau de hiperstaticidade em estruturas contnuas
Regra prtica:O grau de hiperstaticidade de uma estrutura reticulada contnua, com todos os apoios encastrados, pode obter-se multiplicando por 3 o nmero de polgonos formados pelas barras da estrutura e por barras fictcias, ligando os apoios.Teoria de Estruturas 03
7
1.8.3 Estruturas articuladas (sistemas articulados articuladas indeformveis ou trelias)
rgidos
planos,
estruturas
Nas estruturas articuladas, em cada n podem estabelecer-se duas equaes de equilbrio de foras concorrentes e complanares. Designando por: a nmero de componentes de reaces nos apoios, b nmero de barras e n nmero de ns, resultaro 2n equaes a (a+b) incgnitas. Se b = 2n a - estrutura articulada interiormente isosttica. Estruturas articuladas deformveis assumem configuraes de equilbrio compatveis com as foras exteriores. Pode acontecer que as foras exteriores sejam equivalentes a 0 (R=0 e M R = 0 ) e o sistema no fique em equilbrio sob a aco arbitrria inicial. A condio de
equilbrio das foras exteriores, que necessria e suficiente para corpos rgidos indeformveis, ainda uma condio necessria, mas no suficiente, para o equilbrio dos sistemas articulados deformveis. A condio necessria e suficiente de rigidez de uma estrutura articulada que
b = 2n 3 , sendo esta construda a partir de um tringulo, composto por trs barras, eadicionando a este um novo n e duas novas barras, sequencialmente. Se b > 2n 3 - trelia indeformvel e interiormente hipersttica (Figura 1.13);
Figura 1.13 Trelia indeformvel e interiormente hiperstticaTeoria de Estruturas 03
8
Se b < 2n 3 - trelia deformvel e interiormente hiposttica (Figura 1.14).
Figura 1.14 Trelia deformvel e interiormente hiposttica
1.9
Solicitaes ExterioresSo as aces capazes de provocar num corpo um estado de tenso e de deformao:
Figura 1.15 Solicitaes exteriores Podendo apresentar-se como exemplos: Foras de massa; Variaes de temperatura; Foras de superfcie (vento, etc.); Assentamentos; etc..
Estas solicitaes instalam no corpo:
Um estado de Tenso: Teoria de Estruturas 03
9
Um estado de Deformao: 1.10 Estudo das Peas Prismticas
1.10.1 Definies Peas PrismticasP P' S G' PP' - Fibra Eixo Longitudinal (Fibra Neutra)
G
Figura 1.16 Pea prismtica
Nota: A seco S pode no ser constante, desde que assuma uma variao contnua elenta.
1.10.2 Reduo da solicitao a uma secoR
Ry F1 F3 F1
x Rx Rz F3 -R z II F4
I F2 S
II F4 F2
I y
Figura 1.17 Reduo da solicitao a uma seco
R - resultante dos esforos internos da seco S do lado I-R - resultante dos esforos internos da seco S do lado II
R e -R esto em equilbrio
Teoria de Estruturas 03
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f F1 A
x
z I F2 y
Figura 1.18 Reduo da solicitao a uma seco
A - rea elementar f - esforo interno elementar
f = - Tenses ( e ) AR = dA
1.10.3 Esforos internosNo caso geral, a resultante R pode: a) ter trs componentes: R x - Esforo Transverso ( Tx )R y - Esforo Transverso ( Ty )Ry R x Rx z Rz y
R z - Esforo Normal ( N z )
Figura 1.19 Foras
Teoria de Estruturas 03
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b) provocar trs momentos: M x - Momento Flector M y - Momento Flector M z - Momento TorsorMy x Mx z Mz y
Figura 1.20 Momentos
N z = z dA M x = z y dA
Tx = zx dA M y = z x dA
Ty = zy dA M z = ( zx y zy x ) dA
Notao de Karman:
zyz Eixo perpendicular superfcie
y Eixo paralelo superfcie
No plano, estes esforos resumem-se a trs: Um esforo normal N Um esforo transverso T Um momento flector M
1.10.4 Expresso da solicitao interna normalO caso mais geral o de Flexo Composta Desviada:
z =
My Iy
x
Mx N y z Ix A
Teoria de Estruturas 03
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1.10.5 Expresso das solicitaes internas tangenciais
Duas componentes para o esforo transverso:Ty
Tx zx =
Tx Q y a Iy
b zy Tx a x
Ty zy =
Ty Q x b Ix
y zx
Figura 1.21 Tenses tangenciais
Resultando numa tenso tangencial total de:
z = zx 2 + zy 2
zy
z
zxFigura 1.22 Tenses tangenciais
Teoria de Estruturas 03
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E a contribuio do momento torsor:
M z z =
Mz It
dA x
yFigura 1.23 Momento torsor
1.10.6 Estado de tensoConsidere-se um ponto P de um corpo submetido a solicitaes exteriores e considerese, ainda nesse ponto P , trs elementos de superfcie, infinitesimais, paralelos aos eixos coordenados:
y
z
yzP yx zy zx xz zy
yz
x yx
xy yz y yx xz
x z
zx xy
O
z x
Figura 1.24 Estado de tenso
Teoria de Estruturas 03
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As tenses nesses elementos tm por componentes:
x xz
y yx yz
z zx
xy
zy
Facilmente se conclui que apenas seis componentes so independentes, uma vez que:
xy = yx ; zx = xz ; zy = yz(Reciprocidade dos ndices) Em cada ponto existem, pelo menos, trs direces ortogonais entre si tais que nos elementos de superfcie a elas perpendiculares apenas ocorrem tenses normais ( ), sendo as tenses de corte ( ) nulas. Essas direces designam-se por Direces Principais.
1.10.7 Estado de deformao elstica lei de Hooke generalizadaFy Fx Fz y x Fx O Fy z Fy Fx Fz Fz Fz
Fx Fy
Figura 1.25 Lei de Hooke generalizada
y =
y
E x = z = y
z E x = y = z z =
x E y = z = x x =
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E - Mdulo de elasticidade longitudinal ou de Young - Coeficiente de Poisson G - Mdulo de elasticidade transversal ou de Coulomb
G=
E 2 (1 + )
As extenses ficam expressas por:
x =
( y + z ) = 1 + x ( y + z ) = x ( y z ) x E E E E 1 y = y ( x + z ) E 1 z = z ( x + y ) E
e as distores, caso existam tenses de corte, resultam:
yz =
yz G
xz =
xz G
xy =
xy G
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