sebenta calculo

Click here to load reader

Post on 22-Jan-2018

102 views

Category:

Documents

3 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  1. 1. Universidade da Beira InteriorDepartamento de Matemtica a Clculo Ia Folhas de Apoio e Exerccios 2007/2008
  2. 2. ii
  3. 3. Indice1 Sucesses de N meros Reaiso u 11.0.1 Sucesses Limitadas. Sucesses Montonas. Subsucesses. . .oooo21.0.2 Sucesses Convergentes. Limites de Sucesses. Propriedadesoodos Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.0.3 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Sries e 152.1 Sries Numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ee2.1.1 Algumas Sries Notveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 ea2.1.2 Propriedades das Sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19e2.1.3 Sries de Termos No Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ea2.1.4 Sries Alternadas. Convergncia Absoluta. . . . . . . . . . . . 24 ee2.1.5 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Preliminares 353.1 nimo, Supremo e Conjuntos Limitados. Mximo, MaInmo. . . . . . . 353.2 Nooes Topolgicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36co3.3 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Funoes Reais de Varivel Real ca 414.0.1 Funo Exponencial e Logar ca tmica . . . . . . . . . . . . . . . 434.0.2 Funes Trigonomtricas e Trigonomtricas Inversas . . . . . . 46 co e eiii
  4. 4. ivINDICE 4.0.3 Funes Hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50co o 4.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.1 Limites Notveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53a 4.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.1 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 Clculo Diferencial em R a65 5.1 Derivada de Funes Reais de Varivel Real . . . . . . . . . . . . . . 65coa 5.1.1 Regras de Derivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 ca 5.2 Teoremas Fundamentais do Clculo Diferencial . . . . . . . . . . . . . 73 a 5.3 Aplicaoes dos Teoremas Fundamentais do Clculo Diferencial . . . . 77 c a 5.3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3.2 Extremos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3.3 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3.4 Assmptotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826 Clculo Integral em R a95 6.1 Primitivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95ca 6.1.1 Primitivas Imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.1.2 Primitivaao de Funoes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . 97cc 6.1.3 Primitivaao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101c 6.1.4 Primitivaao por Substituiao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102c c 6.2 Integrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106ca 6.2.1 Propriedades dos Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.2.2 Teoremas Fundamentais do Clculo Integral . . . . . . . . . . 108 a 6.2.3 Aplicaoes Geomtricas do Clculo Integral . . . . . . . . . . 110 c e a 6.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
  5. 5. INDICEvBibliograa 126
  6. 6. Cap tulo 1Sucesses de N meros Reaiso uDenio 1.1. Chama-se sucesso de nmeros reais a toda a aplicaao de N em caau cR, ou seja,f :N Rn f (n) un`usualmente representada por (un )nN , ou simplesmente (un ). A expresso que dene aa sucesso, un , chamamos termo geral da sucesso e ao conjunto {un : n N} =aa{u1 , u2 , . . . , un , . . .} chamamos conjunto dos termos da sucesso. aNota 1.1. Na Denio de sucesso de nmeros reais considermos N, mas todos osca auaresultados apresentados podem ser adaptados para o caso de termos N0 , ou mesmoum subconjunto innito de N0 .Exemplo 1.1. So exemplo de sucesses de nmeros reais as sucesses de termo gerala o u onun = n, un = (1)n e un = .n+1 As sucesses podem ser denidas pelo seu termo geral, ou denidas por re-ocorrncia. Ou seja, dado a conhecer alguns dos primeiros termos da sucessoe ea1
  7. 7. 2CAP ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAISe o termo de ordem n denido usando os anteriores. Por exemplo e u =1 1 u =1 1un =, vn = u =5 u 2 n+1 = 3 + 2un u = 3 + 2un n1 un2Denio 1.2. Dadas duas sucesses de nmeros reais (un ) e (vn ), denimos a soma cao ude sucesses (u + v)n , a diferena de sucesses (u v)n e o produto de sucesses o c o o(u.v)n como sendo as sucesses cujo termo geral dado por un + vn , un vn e un vn , oerespectivamente. No caso em que vn = 0 para todo o n N, podemos ainda deniruuno quociente de sucesses ocomo sendo a sucesso cujo termo geral a e.v nvn1.0.1 Sucesses Limitadas. Sucesses Montonas. Subsu-ooocesses.oDenio 1.3. Seja (un ) uma sucesso de nmeros reais. Dizemos que (un ) uma caau esucesso limitada inferiormente se existe a R tal que a < un , para todo o n N.aDizemos que (un ) uma sucesso limitada superiormente se existe b R tal quee aun < b, para todo o n N.Dizemos que (un ) uma sucesso limitada se o for inferiormente e superiormente;e ao que equivalente a dizer que exite c R tal que |un | < c, para todo o n N.eExemplo 1.2. A sucesso de termo geral un = n2 4n + 3 limitada inferiormente, aemas no superiormente, pois un a1, para todo o n N.A sucesso de termo geral un = 1 n limitada superiormente, mas no inferi-aeaormente, pois un 0, para todo o n N. (1)n 1 A sucesso de termo geral un = a limitada, pois 1 e un, para todo n 2o n N.A sucesso de termo geral un = (1)n n no limitada, nem inferiormente, nema a esuperiormente.
  8. 8. 3Denio 1.4. Seja (un ) uma sucesso de nmeros reais. Quanto ` monotonia, caauapodemos dizer que (un ) uma:e sucesso crescente se un aun+1 , para todo o n N. sucesso estritamente crescente se un < un+1 , para todo o n N. a sucesso decrescente se un a un+1 , para todo o n N. sucesso estritamente decrescente se un > un+1 , para todo o n N. aExemplo 1.3. A sucesso de termo geral un = 2n estritamente crescente, j que a eaun+1 un = 2n+1 2n = 2n (2 1) = 2n > 0. A sucesso de termo geral un = 3 n estritamente decrescente, j que un+1 aeaun = 3 (n + 1) (3 n) = 3 n 1 3 + n = 1 < 0. A sucesso de termo geral un = (1)n no montona. a a e oDenio 1.5. Dadas duas sucesses de nmeros reais (un ) e (vn ), dizemos que cao u(vn ) uma subsucesso de (un ) se existir uma sucesso estritamente crescente (wn )eaatal que vn = uwn , para todo o n N.Observao 1.1. Para que a Denio anterior faa sentido, ainda necessrio que ca ca c e awn N, para todo o n N; ou seja, (wn ) tem de ser aquilo a que podemos chamarde sucesso de nmeros naturais. auExemplo 1.4. Consideremos a sucesso de termo geral un = 2n, e temos a sucessoaa 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . . .Se tomarmos a sucesso crescente de termo geral wn = 2n e considerarmos vn = uwnaobtemos a sucessoa4, 8, 12, . . . ,eaque uma subsucesso de (un ). E de notar que a sucesso a2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10, . . .
  9. 9. 4 CAP ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAISe a sucessoa 2, 6, 10, 8, 4, 12, . . .no so subsucesses de (un ). a a o1.0.2 Sucesses Convergentes. Limites de Sucesses. Pro-oopriedades dos Limites.Denio 1.6. Seja (un ) uma sucesso de nmeros reais. Dizemos que (un ) converge caaupara a R, ou que (un ) tende para a R, e escrevemos lim un = a ou un a, separa cada > 0 existe uma ordem p N tal que |un a| < , para todo o n > p.Simbolicamente, pod amos escrever>0 pN nN(n > p |un a| < ) .(un ) uma sucesso convergente se existe a R tal que lim un = a.e aUma ideia intuitiva dizer que a sucesso (un ) converge para a R se escolhidoe aum nmero real > 0 existe sempre uma ordem a partir da qual todos os termosuun so valores aproximados de a.aNota 1.2. Dizer que |un a| < equivalente a ter un ]a , a + [. eDenio 1.7. Uma sucesso no convergente diz-se uma sucesso divergente. ca a a a an + 1Exemplo 1.5. Consideremos a sucesso de termo geral un =a , com a R, nvamos ver que un a. Tomemos > 0, e temos que an + 11 1 1|un a| = a = a + a = < < , n n n p 1basta para isso tomar p > . Assim a sucesso (un ) converge para a.a A sucesso de termo geral un = (1)n divergente.a e
  10. 10. 5Proposio 1.8. Sejam (un ) e (vn ) duas sucesses de nmeros reais convergentes cao upara a e b, respectivamente. Ento:a1. a sucesso de termo geral un + vn converge para a + b. a2. a sucesso de termo geral un vn converge para a b. a3. a sucesso de termo geral Kun converge para Ka, onde K R. a4. a sucesso de termo geral un vn converge para ab. auna5. a sucesso de termo geral a converge para , onde vn = 0 para todo o n Nvnb e b = 0.6. a sucesso de termo geral ak un converge para k a, onde k N.7. a sucesso de termo geral |un | converge para |a|. aProva: Vamos ver a primeira armaao, todas as outras saiem por processos anlogos. c aTomemos > 0 qualquer, xo. Assim, existe p, q N tais que|un a| < , para todo o n > p2e|vn b| < , para todo o n > q.2Tomemos r = max{p, q} e temos |(un + vn ) (a + b)| |un a| + |vn b| r.2 2Teorema 1.9. O limite de uma sucesso convergente unico. aeProva: Vide [1].
  11. 11. 6 CAP ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAISTeorema 1.10. O limite de uma sucesso constante a prpria constante.ae o Prova: E imediato.Teorema 1.11. Toda a sucesso convergente limitada. aeProva: Seja (un ) uma sucesso convergente para a R. Ento, para = 1 existea ap N tal que|un a| < 1, para todo o n > p.Consideremos o conjunto nito U = {u1 , u2 , . . . , up , a 1, a + 1} e sejam c e d om nimo e mximo de U , respectivamente. Ento, todos os termos de (un ) pertencemaaao intervalo [c, d] e portanto, a sucesso limitada.a eNota 1.3. A rec proca do Teorema anterior no verdadeira, exemplo disso a a eesucesso de termo geral un = (1)n , pois limitada, mas no convergente.a eaTeorema 1.12. Toda a sucesso montona e limitada convergente. a oeProva: Consideremos que a sucesso (un ) crescente e limitada. Seja U o conjuntoaedos termos da sucesso (un ), o qual limitado, pelo que tem supremo, seja a Raetal que un a.Tomemos > 0, ento existe p N tal que a < up . Como a sucesso a a ecrescente, para todo o n > p temos a < up un .Conclumos assim que a < un < a + , ou seja a sucesso (un ) convergente aepara a.
  12. 12. 7Nota 1.4. A recproca do Teorema anterior no verdadeira, exemplo disso aa e e1sucesso de termo geral un = (1)n , pois convergente, mas no montona.a e a onObservao 1.2. Na realidade, no Teorema anterior no preciso exigir tanto. Se caa ea sucesso for crescente e limitada superiormente ento convergente. Se a sucessoaa eafor decrescente e limitada inferiormente ento convergente.a eDenio 1.13. Dizemos que a sucesso de nmeros reais (un ) um innitsimo caaueese un 0.Teorema 1.14. O produto de um innitsimo por uma sucesso limitada ume a einnitsimo.eProva: Consideremos que a sucesso (un ) um innitsimo e que a sucesso (vn )aee a limitada. Assim, existe c R tal que |vn | < c, para todo o n N.eTomemos > 0 e temos que existe p N tal que |un | < . Assim,c |un vn | = |un ||vn | < c = , cou seja, a sucesso (u v)n um innitsimo. a ee 1Exemplo 1.6. Consideremos as sucesses de termos gerais un = (1)n e vn = o . A nsucesso (vn ) um innitsimo, a sucesso (un ) no convergente, no entanto, aeea a e e1limitada. Assim, temos que a sucesso de termo geral un vn = (1)n convergente. a enTeorema 1.15. Qualquer subsucesso de uma sucesso convergente ainda con-a aevergente para o mesmo limite.Prova: Vide [1].
  13. 13. 8CAP ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAISExemplo 1.7. Pelo Teorema anterior fcil concluir que a sucesso de termo geral e aaun = (1)n divergente, visto que se fosse convergente todas as suas subsucesses e oteriam de ter o mesmo limite. De facto, se tomarmos a subsucesso dos termos pares atemos a subsucesso de termo geral vn = 1, enquanto que se tomarmos os termos ampares temos a subsucesso de termo geral wn = 1. aTeorema 1.16. (Critrio da Sucesso Enquadrada) Sejam (un ), (vn ) e (wn ) e asucesses de nmeros reais tais que existe uma ordem p tal que, para todo o n > po use tem unwn vn . Suponha-se ainda que (un ) e (vn ) convergem para o mesmoa R. Ento, (wn ) converge para a.aProva: Tomemos > 0, xo. Assim, existem p, q N tais que|un a| < , para todo o n > pe |vn a| < , para todo o n > q.Seja r = max{p, q}, ento aa < unwn vn < a + , para todo o n > r,ou seja, a sucesso (wn ) convergente. aeExemplo 1.8. Consideremos a sucesso de termo geral wn = cn , com 0 < |c| < 1. a1Seja d = > 1, logo d = 1 + h e temos |c| 1 1 10 < |wn | = |cn | = |c|n = n = , d (1 + h)n 1 + nhonde utilizmos a chamadada desigualdade de Bernoulli, (1 + h)n a 1 + nh para1h > 0. Assim, pelo Teorema anterior, com un = 0 e vn =, temos que un 0 1 + nh
  14. 14. 9e vn 0 de onde conclu mos que wn converge para 0.Denio 1.17. Seja (un ) uma sucesso de nmeros reais. Dizemos que (un ) um: ca au e innitamente grande positivo se para todo o k > 0 existe uma ordem p N talque un > k, para todo o p > n. Simbolicamentek>0 pN nN(n > p un > k) .Neste caso escrevemos lim un = + ou un +. innitamente grande negativo se para todo o k > 0 existe uma ordem p N talque un < k, para todo o p > n. Simbolicamente k>0 pN nN(n > p un < k) .Neste caso escrevemos lim un = ou un . innitamente grande em mdulo se para todo o k > 0 existe uma ordem p N taloque |un | > k, para todo o p > n. Simbolicamente k>0 pN nN (n > p |un | > k) .Neste caso escrevemos lim |un | = + ou |un | +.Exemplo 1.9. A sucesso de termo geral un = n2 + 1 um innitamente grande a epositivo. De facto, dado k > 0 temos un = n2 + 1 > p2 + 1 > k, basta para isso tomar p > k 1. A sucesso de termo geral un = 1 n um innitamente grande negativo. De aefacto, dado k > 0 temos un = 1 n < 1 p < k, basta para isso tomar p > k + 1. A sucesso de termo geral un = (1)n n um innitamente grande em mdulo. aeoDe facto, dado k > 0 temos |un | = |(1)n n| = |n| = n > p > k, basta para issotomar p > k.Nota 1.5. Quando a sucesso de nmeros reias (un ) um innitamente grande aue
  15. 15. 10 CAP ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS(positivo/negativo/em mdulo) no se diz que (un ) converge para (), mas sim o aque (un ) tem limite ().Proposio 1.18. Sejam (un ) e (vn ) duas sucesses de nmeros reais, tais que ca o ulim un = + e lim vn = +, entoalim(un + vn ) = lim un + lim vn = +.ou seja, simbolicamente, temos (+) + (+) = +. Da mesma forma, quando(wn ) uma sucesso de nmeros reais tal que lim wn = a R, tambm temos ose aueseguintes resultados: (+) + (+) = +, () + () = (+) + a = +, () + a = (+) (+) = +,(+) () = , () () = + +, se a > 0 , se a > 0 a (+) = a () = , se a < 0 +, se a < 0 a +, se a > 0a , se a > 0== 0+ , se a < 00 +, se a < 0 +, se a > 1 0, se a > 1 a+ =a = 0, se 0 < a < 1 +, se 0 < a < 1 +, se a > 0 ou a = + 0, se a > 0 ou a = + +a =0a = 0, se a < 0 ou a = +, se a < 0 ou a = Observao 1.3. (Indeterminaoes) Para alm das situaoes referidas na Pro- ca c e cposiao anterior, existem ainda outras em que ` partida no podemos determinarcaaqual o resultado do limite, a essas situaes chamamos de indeterminaes e so cocoa
  16. 16. 11elas: 0 0. 1 000 . 0 Teorema 1.19. (Regra da Exponencial) Sejam a R e (un ) uma sucesso de anmeros reais innitamente grande positivo, temos que: u se a > 1, a sucesso de termo geral aun um innitamente grande positivo.a e se a = 1, a sucesso de termo geral aun = 1 converge para 1.a se 1 < a < 1, a sucesso de termo geral aun um innitsimo. a ee se a 1, a sucesso de termo geral aun no tem limite. aaTeorema 1.20. (Nmero de Nepper) Seja (un ) uma sucesso de nmeros reaisu auinnitamente grande em mdulo e K R, entoo aun K lim 1 + = eK . unMais, se (vn ) uma sucesso de nmeros reais convergente para a R, ento e au aun vn lim 1 + = ea . un1.0.3ExercciosExerc cio 1.1. Considere as sucesses de termo geralo 2n + 1n nun =e vn = cos sen. n44Calcule os 5 primeiros termos de cada uma e represente-os geometricamente.n + (1)nExerc cio 1.2. Seja (un ) a sucesso de termo geral un =a .n+1 1. Determine os 4 primeiros termos de (un ). 2. Indique, justicando, o valor lgico das seguintes armaoes: oc 24 (a) pN : up =. 26
  17. 17. 12CAP ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS(b) 0un 1, nN . cio 1.3. Considere a sucesso de termo geral un = 4 + (1)n . Determine osExerc a4 primeiros termos e mostre que limitada.eExerccio 1.4. Estude a monotonia das sucesses de termo geral un = 3n + 5 eo 1vn = . n2 + n u =21Exerccio 1.5. Considere a sucesso (un ) dada pora . u 2n+1 = un (un ) , n>1Estude a monotonia de (un ).Exerc cio 1.6. Seja (un ) uma sucesso de nmeros reais, tal queauun+1 < un e un > 1, para todo o n NA sucesso convergente? Justique.a e2n 5Exerc cio 1.7. Considere as sucesses (un ) e (vn ) de termo geral un =o, comnn2 1n 5 e vn =. 2 1. Mostre que as sucesses so decrescentes.oa 2. As sucesses so limitadas? Justique. oa 3. Justique que (un ) convergente.e 4. Estude a convergncia de (vn ).en+1Exerc cio 1.8. Considere a sucesso un = a 3.n+2 1. Mostre que a sucesso montona. a e o7 2. Mostre que un < 2 para todo o n N.3 3. A sucesso convergente? Justique.a e
  18. 18. 13Exerc cio 1.9. Determine o limite das sucesses de termo geral:o 1n1. an = 8. hn = en + en2n + 2n+2n2n2 + 3 9. in =sen2. bn =n 2+123n + 12 sen (n + 1)3n3 + n2 + 110. jn =3. cn = 2n + 32n3 n 2 3n + 1 + cos n n11. kn =4. dn = n2 + 14n + 1 (1)n + n 3n2 + 1 + n12. ln =5. en =n+13n+1n (2)n + 3n1 5 13. n =6. fn = + (2)n+1 + 3n+1n 4 4 14. n = ln 2n2 + 1 n2 1 n5 + 2 3 n2 + 17. gn = 5 n4 + 2 n3 + 115. n = n n2 + 1 n 1Exerc cio 1.10. Determine o limite das sucesses de termo geral: o n n2 +2 2 n2 + 21. an = 1+5. en = n2n2 3 n 22 n2. bn =1 2 6. fn = 1+ n n n+3n5 n1 2n+13. cn = 7. gn =n+2 n+2 n+4n+5 n2 + 2n 3 n2 3n+24. dn = 8. hn =2n + 1n2 n + 2Exerc cio 1.11. Estude a convegncia da sucesso de termo geral ea1 11 un = ++ ... + . n2 + 1n2 + 2 n2 + n
  19. 19. 14 CAP ITULO 1. SUCESSOES DE NUMEROS REAIS
  20. 20. Cap tulo 2Sries e2.1 Sries Numricas eeSeja (un ) uma sucesso de nmeros reais. O conceito de srie pretende extender a aueoperaao de soma a uma innidade de termos, precisamente os termos da sucesso. c aDenio 2.1. Dada uma sucesso de nmeros reais (un ) chamamos sucesso das caau asomas parciais de (un ) ` sucessoa as1 = u1 , s2 = u1 + u2 , s3 = u1 + u2 + u3 , . . . ,ou seja, a sucesso cujo termo geral dado por a e nsn = uk = u0 + u1 + u2 + . . . + un , k=1a soma dos primeiros n termos da sucesso (un ). aDenio 2.2. Dada uma sucesso de nmeros reais, (un ), denimos a srie de caauetermo geral (un ) como sendo u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . ,15
  21. 21. 16 CAP ITULO 2. SERIES a qual representamos porun ou porun .k=1Denio 2.3. Dizemos que ca un uma srie convergente se a respectiva sucesso eeadas somas parciais for convergente. Neste caso, chamamos soma da srie ao limitee nda sucesso das somas parciais, e escrevemos S = lim sn = lim ask . nnk=1Denio 2.4. Dizemos que uma srie divergente se a respectiva sucesso das caeeasomas parciais for divergente.Denio 2.5. Dizemos que duas srie so da mesma natureza se so ambas con- ca e aavergentes ou ambas divergentes. Entendemos por estudo da natureza de uma srieeo estudo da convergncia ou divergncia da srie. ee eNota 2.1. Em algumas situaes podero susgir sries do tipocoae un , ou at mesmo e n=0un , onde p um qualquer nmero inteiro. Basta nas denioes acima considerareu cn=pas mudanas de varivel k = n + 1 e k = n p + 1, respectivamente.ca 11Exemplo 2.1. A sriee igual ` srie e a e .n=4n2 k=1(k + 3)2 aObservao 2.1. E fcil concluir que dados p1 , p2 N, a srie cae un e un tmen=p1 n=p2a mesma natureza. Ou seja, a natureza de uma srie no se altera se alterarmos ume anmero nito de termos. uExemplo 2.2. Seja (un ) a sucesso de nmeros reais tal que un = 0 para todo o n N,auento aun convergente e tem soma nula. Seja (vn ) a sucesso de nmeros reais e autal que vn = 0 para todo o n > p com p N, ento a un convergente e tem somaeigual a sp = u1 + u2 + . . . + up .2.1.1Algumas Sries NotveiseaVamos agora estudar algumas sries que pela sua simplicidade e por serem bem econhecidas chamaremos de notveis. Este estudo ter grande importncia, vistoa aa
  22. 22. 2.1. SERIES NUMERICAS17que os resultados obtidos sero aplicados no estudo da natureza de sries algo mais aecomplexas. Exemplo 2.3. (Srie Geomtrica) Seja R R e consideremos a srie eeeRn , a Rn=0chamamos razo da srie.ae Supondo que |R| = 1, temos que nk 23 1 Rn+1 n sn =R = 1 + R + R + R + ... + R =.k =0 1R 1 Se |R| < 1, temos que lim Rn+1 = 0 e ento lim sn = a. Assim, neste caso 1R 1a srie convergente e tem soma S = e e .1R Se |R| > 1, temos que lim |sn | = + e, neste caso a srie divergente.e e Supondo que |R| = 1, temos tambm 2 casos.e Se R = 1, temos sn = 1 + 1 + . . . + 1 = n + 1 e ento lim sn = +. Logo a asrie divergente. e e 0, se n e mpar Se R = 1, temos sn = e ento lim sn no existe. Logo a aa 1, se n paresrie divergente. e e aNota 2.2. E fcil ver que para a sriee Rn , com p N as concluses acerca da o n=p Rpnatureza da srie so as mesmas, e que para |R| < 1 a soma da srie e a e e.1R n1 1 A srie geomtrica de razo , ou seja,eea convergente e tem soma 1.e2 n=12Exemplo 2.4. (Srie de Mengoli ou Srie Telescpica) Seja (un ) uma sucesso e eo a de nmeros reais e consideremos uma srie da formaue(un un+1 ). A sucessoan=1das somas parciais tem termo geral Sn = (u1 u2 ) + (u2 u3 ) + . . . + (un un+1 ) = u1 un+1 .Assim, lim Sn = lim u1 un+1 = u1 lim un+1 , pelo que a srie considerada convergee
  23. 23. 18 CAP ITULO 2. SERIESse e s se a sucesso (un ) converge, e nesse caso, a soma da srie S = u1 lim un .oa e eMais geralmente, designamos tambm por srie de Mengoli uma srie da formae ee(un un+q ) que converge se e s se a sucesso (un ) converge e nesse caso temoan=psoma up + up+1 + . . . + up+q1 q lim un . 2n2n + 4 Por exemplo, a sriee convergente e tem soma igual ae n=3n+1 n+36 89u3 + u4 2 lim un = + 2 2 = .4 5 10 1Exemplo 2.5. (A Srie Harmnica) Consideremos a srie eoe a qual designamos n=1 npor srie harmnica. Consideremos ainda a respectiva sucesso das somas parciais eoa ndice da forma 2n , ou seja, ae tomemos a subsucesso dessa com termos com asubsucesso (S2n ): a1 1S2 = 1 +>2 2 1 1 11 1 11S4 = 1 ++ + = S2 + + > S 2 + 2 > 2 2 3 43 4 42 1 1 1 111S8 = S4 + + + + > S4 + 4 > 3 5 6 7 882... k kEm geral, temos S2n >, como lim = , conclu mos que lim Sn = , ou seja, a 2 2srie harmnica diverge. eo1Exemplo 2.6. (Srie de Dirichelet) Seja R e consideremos a srie ee . n=1 nTemos que: se > 1, a srie convergente. e e se 1, a srie divergente. e e1Quando = 1, obtemos a srie harmnica, eo , que como j vimos diver-a en=1ngente. 1 1Por exemplo, a sriee convergente, ao passo que a srieee diver-e n=1 n2 n=1ngente.
  24. 24. 2.1. SERIES NUMERICAS 192.1.2Propriedades das Sries eProposio 2.6. Sejam ca un e vn duas sries convergentes com somas U eeV , respectivamente. Ento a sriea e(un + vn ) convergente e tem soma U + V .eMais, se R, ento a srie a e un tambm convergente e tem soma U . e eObservao 2.2. Se caun uma srie convergente eee vn uma srie divergente,eeento a(un + vn ) uma srie divergente. eeObservao 2.3. Se caun evn so duas sries divergentes, ento ae a(un + vn )e pode ser uma srie divergente ou convergente. E exemplo disso a situao seguinte. ca 11Exemplo 2.7. Consideremos as sriesee , que como sabemos so a n=1 n n=1 n+1ambas divergentes. 1 11 Mas a sriee uma srie de Mengoli com an = e lim un = 0, pelo ee n=1 n n+1nque convergente. Mais, at conhecemos a sua soma, S = u1 lim un = 1.eeProposio 2.7. Se caun uma srie convergente, ento lim un = 0.eeaObservao 2.4. A recca proca da Proposiao anterior falsa, ou seja, lim un = 0c e1un seja convergente. Por exemplo, a srie harmnica, em que lim un = lim = 0 eone a srie divergente. e eObservao 2.5. Nalgumas situaes poder ser conveniente ter presente a contra- ca coa proca da Proposio anterior, ou seja, se lim un = 0 ento a sriereccaa e un edivergente. n n1 1Exemplo 2.8. A sriee1+ divergente, j que lim 1 + ea= e = 0.n n2.1.3Sries de Termos No NegativoseaMuitas vezes no poss estudar a natureza da srie fazendo um clculo directoa evel eano limite da sucesso das somas parciais. Mas existem alguns mtodos que permitem aedeterminar a natureza de uma srie. Nesta secao vamos apresentar alguns dessesec
  25. 25. 20CAP ITULO 2. SERIESmtodos que se aplicam aquilo a que chamamos de sries de termos no negativos, e eaou seja, un , com un 0, para todo o n N0 . n=0E claro que estes mtodos tambm se aplicam a situaoes em que todos os ter- eec a c mos so negativos, fazendo uma pequena adaptaao. E de notar que os mtodos e(critrios) apresentados no servem para calcular o valor da soma da srie, apenas ea epara determinar a natureza da mesma. Numa srie de termos no negativos, e a un temos que a sucesso das somasaparciais crescente, visto que sn+1 sn = un e0. Assim, temos que a srie eeconvergente se e s se (sn ) for uma sucesso limitada (j que montona).oa a eoProposio 2.8. (Critrio da Comparao) Sejam caeca un evn duas sriesede termos no negativos tais que, a partir de certa ordem se tenha un avn . Entoa 1. sevn convergente ento ea un convergente. e 2. seun divergente ento e a vn divergente.eProva: Podemos supor que unvn para todo o n N, pois estamos apenas aalterar um nmero nito de termos, e portanto a natureza da srie no se altera.ue aSejam (su ) e (sv ) as respectivas sucesses das somas parciais, temos quen nos u = u1 + u2 + . . . + unnv1 + v2 + . . . + vn = sv . n Se a srie e vn convergente, (sv ) uma sucesso tambm convergente e logoen e aelimitada. Ento a sucesso (su ) tambm limitada e logo convergente (j que aan e ea emontona). Conclu o mos assim que a srie eun convergente. e O outro caso completamente anlogo.e a
  26. 26. 2.1. SERIES NUMERICAS 21 n11Exemplo 2.9. Consideremos as sucesses de termo geral un =o e vn =. (n + 1)!2 1Como vn a srie geomtrica de razo , logo convergente. Alm disso,ee e aee 2 11(n + 1)! 2n un vn , para todo o n N, de onde conclumos (n + 1)! 2nque un uma srie convergente, usando o Critrio da Comparaao. e e e c 1 1Exemplo 2.10. Consideremos as sucesses de termo geral un =o e vn =. n n1Como un < vn para todo o n N eun uma srie divergente, conclu eemos que vn uma srie divergente, pelo Critrio da Comparaao.ee ec Da Proposiao anterior, poss obter um resultado bastante mais abrangente, ce velo seguinte Corolrio.aCorolrio 2.9. (Critrio do Limite) Sejam ae un e vn duas sries de termoseunno negativos, com vn = 0 para todo o n N. Se existir lim a= L, temos quevn1. Se L for nito e no nulo, as sries tm a mesma natureza. aee2. Se L = 0 e vn convergente ento ea un convergente. e3. Se L = + evn divergente ento e a un divergente.eProva: Consequncia quase imediata da Proposio anterior. Vide [1].eca2n2 + 1Exemplo 2.11. Consideremos a sriee e vamos usar o Critrio do e n5 + 3n2 1 1Limite, comparando esta srie com a srie e e ,n3 2n2 + 1 52 2n5 + n3lim n + 3n 1 = lim 5= 2 = 0,1 n + 3n2 1 n3de onde conclu mos que a srie considerada tem a mesma natureza do que a srie ee1 , ou seja, convergente.en3
  27. 27. 22 CAP ITULO 2. SERIES2n2 + 1Exemplo 2.12. Consideremos a sriee e vamos usar o Critrio do e n5 + 3n2 1 1Limite, comparando esta srie com a srie e e ,n22n2 + 152 2n4 + n2 lim n + 3n 1 = lim 5= 0, 1 n + 3n2 1n21de onde conclumos que como a srie e convergente e o limite 0, ento a ee an3srie considerada convergente. ee2n2 + 1Exemplo 2.13. Consideremos a sriee e vamos usar o Critrio do e n5 + 3n2 11Limite, comparando esta srie com a srie e e,n2n2 + 1522n3 + n lim n + 3n 1 = lim 5= 0, 1 n + 3n2 1 n1mas como a sriee divergente, nada podemos concluir acerca da srie consi-eenderada.Proposio 2.10. (Critrio de dAlembert ou da Razo) Seja caea un uma un+1srie de termos positivos (un > 0) tal que lim e= L. Temos queun 1. Se L > 1 a srie divergente.ee 2. Se L = 1 nada se pode concluir acerca da natureza da srie.e 3. Se L < 1 a srie convergente.eeProva: Se L < 1 podemos escolher R tal que L < R < 1 tal que a partir de certaordem se temun+1 Rn+1un+1un 0, pelo eCritrio do Limite concluemos queun convergente.e O outro caso anlogo.e acn n!Exemplo 2.14. Consideremos a sriee un , onde un =, com c > 0. Vamos nnaplicar o Critrio de dAlembert para determinar a natureza da srie. Temos quee enun+1(n + 1)!nnn1 =c=c =c n, unn! (n + 1)n+1 n+11 1+nun+1 cde onde conclumos que lim = . Assim, se c > e a srie divergente; seee une0 < c < e a srie convergente. e eProposio 2.11. (Critrio de Cauchy ou da Raiz) Sejaca eun uma srie dee termos no negativos tal que lim n un = L. Temos quea1. Se L > 1 a srie divergente. ee2. Se L = 1 nada se pode concluir acerca da natureza da srie. e3. Se L < 1 a srie convergente. eeProva: Se L < 1 podemos escolher R tal que L < R < 1 tal que a partir de certaordem se temnun < R un < R n .Como a srieeRn convergente, pelo Critrio de Comparaao conclue ecmos que un convergente.e O outro caso anlogo.e a
  28. 29. 24 CAP ITULO 2. SERIESn2 n+kExemplo 2.15. Consideremos a sriee un com un =. Comon n n n+kk lim n un = lim= lim 1 + = ek , n npelo Critrio de Cauchy, a srie diverge se ek > 1 k > 0, a srie converge se eeeek < 1 k < 0.Proposio 2.12. Dada uma srie de termos no negativos, qualquer uma outra cae aque resulte desta por reordenamento dos seus termos tem a mesma natureza.Nota 2.3. E necessrio ter algum cuidado, pois o mesmo j no acontece numa sriea a aegenrica, ou seja, numa srie que tambm tenha termos negativos, como veremos e eemais adiante.2.1.4 Sries Alternadas. Convergncia Absoluta. eeVamos agora estudar a natureza de algumas sries que apresentam termos negativos. e Comeamos com um caso particular em que os termos so alternadamente posi- cativos e negativos.Denio 2.13. Uma srie alternada uma srie da forma ca eee (1)n un = u0 u1 + u2 u3 + u4 u5 + . . . , n=0em que un > 0 para todo o n N0 .Proposio 2.14. (Critrio de Leibnitz) Seja (un ) uma sucesso decresente de ca ea termos positivos. A srie e (1)n un convergente se e s se un um innitsimo.e o ee n=0Prova: Vide [1].
  29. 30. 2.1. SERIES NUMERICAS25 1Exemplo 2.16. Consideremos a sriee (1)n un , onde un =com R. Temosn=0 nque un > 0 para todo o n N e a sucesso (un ) decrescente. Para > 0, un ae um innitsimo de onde concluee mos que a srie considerada convergente, pelo eeCritrio de Leibnitz. Para e0, un no tende para 0 de onde conclua mos que asrie diverge, pelo Critrio de Leibnitz. ee 1 Em particular, a chamada srie harmnica alternada eo (1)n convergente.en=0nNota 2.4. No Critrio de Leibnitz o facto de un tender para 0 no assegura a con- e avergncia da srie alternada, mesmo necessrio que un tambm seja decrescente. e eea e 1(1)nBasta pensar na sriee (1)n un , com un = + , fcil ver que lim un = 0,e a n nmas no podemos concluir que a srie convirja, pelo Critrio de Leibnitz. De facto a ee11a srie considerada diverge, uma vez que e(1)n un = (1)n + , onde n na primeira srie convergente (aplicando o Critrio de Leibnitz) e a segunda srie e e ee edivergnte.Denio 2.15. Consideremos a srie cae un , ` sriea e|un | chamamos srie dos emdulos de oun . No caso em que |un | uma srie convergente, dizemos queee un uma srie absolutamente convergente. Se a srieee eun converge, mas arespectiva srie dos mdulos diverge, dizemos quee o un uma srie simplesmente eeconvergente. 1Exemplo 2.17. A srie e (1)n simplesmente convergente, pois j vimos que e a e n 1 1convergente, mas(1)n = divergente. e n n 1Exemplo 2.18. A srie e (1)n n absolutamente convergente, uma vez que temos e211 1(1)n n = na srie geomtrica de razo , e portanto, convergente. e ea2 22Nota 2.5. Qualquer srie convergente de termos no negativos tambm absoluta- e ae emente convergente.Proposio 2.16. Se a srie cae un absolutamente convergente, entoe aun econvergente. Ou seja, se|un | convergente, entoe aun convergente; e temose
  30. 31. 26CAP ITULO 2. SERIESqueun|un |.Prova: Vide [1].Exemplo 2.19. Consideremos a srieenk n , com k R e vamos estudar a con-e vergncia simples e absoluta. E claro que para k = 0 temos a srie nula e portantoeabsolutamente convergente. Para k = 0, tomemos a srie dos mdulose o n|k|n epelo Critrio de dAlembert temos eun+1 (n + 1)|k|n+1 n+1lim= limn = |k| lim = |k|, unn|k| nde onde conclumos que: se |k| < 1, a srie e n|k|n converge, ou seja, a srie enk n converge absolutamente; se |k| > 1, a srieen|k|n diverge, mas a srie enk n pode ser simplesmente convergente ou divergente.No entanto, como para |k| 1 temos que o termo geral nk n no um innitsimo,a e epelo que a srie considerada divergente.eeProposio 2.17. Dada uma srie absolutamente convergente, qualquer uma ou- caetra que resulte desta por reordenamento dos seus termos tambm absolutamentee econvergente e tem a mesma soma.Observao 2.6. A Proposio anterior no verdadeira para sries simplesmente cacaa e econvergentes, como podemos ver no exemplo seguinte.Exemplo 2.20. Vamos apresentar um exemplo em que a srie no absolutamentee a econvergente e que fazendo uma reordenaao dos termos temos uma srie com umacesoma diferente. 1Consideremos (1)n a qual converge simplesmente pelo Critrio de e n=0 n+1
  31. 32. 2.1. SERIES NUMERICAS27Leibnitz. Seja S a soma desta srie e ento temos e a 1 1 1 1 1 1S=(1)n = 1 + + + ...n=0n+12 3 4 5 61 1 11 1=1 + ++ ...2 3 45 611= n=02n + 1 2n + 21 1 11 1 1 1=1+ + + + ...2 3 45 6 7 81111= +n=04n + 1 4n + 2 4n + 3 4n + 4e pod amos dizer que S1 111111+S = + + =22n=0 2n + 1 2n + 2 n=0 4n + 1 4n + 2 4n + 3 4n + 4 111111 =++ = n=04n + 2 4n + 4 4n + 1 4n + 2 4n + 3 4n + 4111 = = n=04n + 1 4n + 3 2n + 2 1 1 1 1 1 =1+ + + + ... = S 3 2 5 7 4o que absurdo, pelo que no podemos trocar a ordem dos termos da referida srie,ea ej que a mesma no absolutamente convergente. aa eProposio 2.18. Sejam ca un evn duas sries absolutamente convergentes, ecom somas U e V , respectivamente. Ento o produto das sries,a eun . vn ainda uma srie absolutamente convergente com soma UV.eeProva: Vide [1].Nota 2.6. A Proposio anterior refere-se ` srie que resulta de fazer o produto de ca a eoutras duas sries, o que usualmente se chama de produto de Cauchy. No confundir e a
  32. 33. 28 CAP ITULO 2. SERIEScom a srie cujo termo geral o produto dos termos gerais de outras duas sries, ou e e eseja, com (un vn ), ` qual se refere a prxima Proposiao.aocProposio 2.19. Sejam ca un e vn duas sries absolutamente convergentes.eEnto a srie cujo termo geral o produto dos termos gerais, ou seja, a e eun v n , eainda uma srie absolutamente convergente. eProva: A sucesso (un ) converge para 0, logo limitada, pelo que existe c R tal aeque |un | c |un vn | c|vn |. Como vn absolutamente convergente, e |vn | convergente o que implica quee c|vn | convergente. Pelo Critrio da Com- e eparao conclucamos que |un vn | convergente, ou seja,eun vn absolutamente econvergente.Observao 2.7. Na Proposiao anterior mesmo necessrio que as sriescaceae un e n(1)vn sejam absolutamente convergentes. De facto, se tivermos un =1e vn =n3(1)n 2 , as sries e un e vn convergem simplesmente, uma vez que convergem n3pelo Critrio de Leibnitz, mas em mdulo obtemos duas sries de Dirichelet, ambase oedivergentes. Mas a srieeun vn diverge, visto que temos a srie harmnica, j que eo a1un vn = .n2.1.5 Exerc ciosExerc cio 2.1. Use a denio de srie numrica para estudar a natureza das se-cae eguintes sries. Em caso de convergncia calcule a sua soma. ee 1 1. a, com a R 4. ln 1 +n=1 n=1n 1 2. (1)n5. ln 1 n=1 n=2n2 12n + 3n 3.6.n=1(2n 1)(2n + 1)n=1 6n
  33. 34. 2.1. SERIES NUMERICAS 29Exerc cio 2.2. Use a condiao necessria de convergncia para vericar que ascaeseguintes sries so divergentes. ea n+1 11.3. n tg n=1 n+2 n=1nnn+12. (2) 4. n=1 n=1nExerc cio 2.3. Determine a natureza das seguintes sries, e em caso de convergncia eedetermine a sua soma. n 11. 27. n=1 n=2 (n 1)(n + 1) 212.8. n=1 3n1n=1 4n2 1n1 2 23.9. n=1 7n+2n=1 n(n + 1)(n + 3)n1 24.n+ en10.cos cos n=06n=1n n+3 32n1 n+1 n5. 11. n=0 23n+1 n=1 n2 + n 6. (1)n 63n 472n 12.nn n+3n+3 n=1 n=1Exerc cio 2.4. Calcule os racionais correspondentes `s seguintes da zimas: (a) 3, 6666 . . . (b) 2, 18181818 . . . (c) 0, 9999 . . .(d) 1, 57141414 . . .Exerc cio 2.5. Determine a natureza das sries usando o Critrio de Comparaao eecou do Limite.
  34. 35. 30CAP ITULO 2. SERIES 1 ln n 1.2+17.n=1n n=1 n 25n + 2n + 3n ln n 2. 8.n=1n3 + 4n n=1 n 2+1 nn+1 3. 3 9.senn=1n(n + 2)n=12n 1 4. 10. tgn=1(2n 1)22n1 n=1 4n 1 1 + cos n 5. 11.n=1ln(n + 1) n=1 2n 1 2n 6.2 + ln n12.n=1n n=11 + 3n anExerc cio 2.6. Estude a natureza da srie eno caso em que: n=1 1 + bn(a) 0 < a < b (b) 0 < ba < 1 (c) 1 b aExerc cio 2.7. Determine a natureza das sries usando o Critrio de dAlembert. ee 2 5 . . . (3n 1)(n + 1)! 1. 5.n=11 5 . . . (4n 3)n=1e3n 3 5 7 . . . (2n 1)10n 2 n! 2. 6.n=1 n!7n n=1(2n)! n2n ((2n)!)2 3. 7.n=1 en n=1n!(3n)! nn en (n + 1)2n+3 4. 8.n=1n!3nn=1(n + 1)!3nExerc cio 2.8. Determine a natureza das sries usando o Critrio de Cauchy. ee