probabilidades (sebenta)

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Probabilidades e Estat´ ıstica C Probabilidades Maria de F´atima Miguens Ano Lectivo 2009/2010

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ProbabilidadeseEstatsticaCProbabilidadesMariadeFatimaMiguensAnoLectivo2009/2010Conte udo1 TeoriadasProbabilidades 41.1 Introdu c ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Espa coderesultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Probabilidadeeaxiom aticadasprobabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Espa codeacontecimentoseacontecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Axiom aticadasprobabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Probabilidadecondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.1 Teoremadaprobabilidadetotal;TeoremadeBayes . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Independenciadeacontecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 VariaveisAleat orias 142.1 Deni c ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Vari avelaleat oriadiscreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Vari avelaleat oriacontnua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Fun c aodedistribui c ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.1 Afun c aodedistribui c aodeumavari avelaleat oriadiscreta . . . . . . . . . . . 192.4.2 Afun c aodedistribui c aodeumavari avelaleat oriacontnua . . . . . . . . . . . 212.5 Vectoresaleat orios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.1 Paraleat oriodiscreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5.2 Paraleat oriocontnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 MomentoseParametros 283.1 Valormedioouesperan camatem atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.1 Propriedadesdovalormedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Vari anciaedesviopadr ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.1 Propriedadesdavari ancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Covari anciaecoecientedecorrela c ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.1 Propriedadesdacovari ancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.2 Propriedadesdocoecientedecorrela c ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Outrosvaloresesperadossobreumparaleat orio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Outrospar ametrosdelocaliza c aodeumavari avelaleat oria . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.1 Amediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.2 Quantil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.3 Amoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Outrospar ametrosdedispers aodeumavari avelaleat oria . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6.1 Odesviomedio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714 Distribui c oesImportantes 384.1 Distribui c oesdiscretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.1 Distribui c aoHipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.2 Distribui c aoBinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.3 Distribui c aodePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.4 ProcessodePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Distribui c oescontnuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.1 Distribui c aoUniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.2 Distribui c aoExponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.3 Distribui c aoNormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 TeoremaLimiteCentral 545.1 Aplica c oesparticularesdoT.L.C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.1 Distribui c aoBinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.2 Distribui c aodePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59AnexoA:Fun caoGeradoradeMomentos 61AnexoB:Fun caoGeradoradeMomentoseMomentosdeDistribui c oesImportantes 64AnexoC:AlgumasDemonstra c oes 66ListadeFiguras4.1 Fun c aodensidadedadistribui c aoUniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2 Exemplosdefun c oesdensidadedadistribui c aoExponencial . . . . . . . . . . . . . . . 494.3 Exemplosdefun c oesdensidadedadistribui c aoNormal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4 Fun c aodistribui c aoNormalreduzida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5 ConsequenciadasimetriadadensidadedeZparaasuafun c aodedistribui c ao . . . . 525.1 Ilustra c aodoTeoremaLimiteCentral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Ilustra c aodaaproxima c aodadist. Binomialpeladist. Normalparan = 2en = 10 . 585.3 Ilustra c aodaaproxima c aodadist. Binomialpeladist. Normalparan = 30 . . . . . . 585.4 Ilustra c aodaaproxima c aodadist. Binomialpeladist. Normalparan = 50 . . . . . . 595.5 Ilustra c aodaaproxima c aodadist. Poissonpeladist. Normalpara = 1, 5, 10e20. . 603Captulo1TeoriadasProbabilidades1.1 Introdu caoAteoriadas probabilidadestemcomoobjectivoaformula c aodemodelosdefen omenosemqueintervemoacaso.Fen omenos aleat orioss aoos fen omenos sujeitos ` ainuenciadoacasoe, comotal, n aocon-trol aveispelohomem.Deni cao1.1. D a-seonomedeexperiencia aleat oriaatodooprocedimentocujoresultado eimpre-visvel (fen omenoaleat orio),masque podemos repetir umgrande n umerode vezes nas mesmas condi c oes (ouemcondic oes muitosemelhantes); comalongarepetic aodaexperienciaosresultadospatenteiamumaregularidadedeobserva c ao; conhecemosoconjuntodetodososresultadospossveisdeocorrerem.Exemplo1.1.E1: Lan camentodeumdadoeobserva c aodon umerodepintasdafacequecaviradaparacima;E2: N umerodepecasdefeituosasfabricadasporumam aquinadurante24horas;E3: Tempodevidadeumapessoas,emanos;E4: N umerodepecasfabricadasporumam aquinaateseobservarem10defeituosas;E5: Tipodeaproveitamento(qualitativo)deumalunodaFCT/UNL.1.2 Espa coderesultadosDeni cao1.2. D a-seonomedeespa coderesultadosouuniversodeumaexperienciaaleat oria(erepresenta-sepor),aoconjuntodetodosospossveisresultadosdessaexperiencia.41. TeoriadasProbabilidades 5Exemplo1.2. Nacontinuac aodoexemplo1.1E1: = {1, 2, 3, 4, 5, 6};E2: = {0, 1, 2, . . . , N},sendoNototal depecasproduzidasem24horas;E3: = {1, 2, . . .} = N;E4: = {10, 11, 12, . . .};E5: = {Faltou, Desistiu, Aprovado, Reprovado}.1.3 ProbabilidadeeaxiomaticadasprobabilidadesN ao sendo possvel prever ou controlar os resultados de uma experiencia aleat oria, o nosso prop ositoeestudaroseugraudeincertezatentantoquantic a-loatravesdoc alculodaprobabilidadedeseremobservados.ConceitoClassicodeProbabilidadeAprimeiradeni c aodeprobabilidadedeve-seaLaplace(1982),habitualmentedesignadaporLeideLaplaceoudeni caoclassicadeprobabilidade:Deni cao1.3(Lei de Laplace). Seoespacoderesultadosdeumaexperienciaaleat oria econstitudoporumn umeroNnitoderesultadosigualmenteprov aveisemutuamenteexclusivos,eseNAdessesresultadostemumcertoatributoA,ent aoaprobabilidadedeA,P (A),edadaporP (A) =NAN=nocasosfavor aveis` aobserva c aodeAnocasospossveisdeobservarnaexperienciaExemplo1.3. Consideremosaexperienciaaleat oriaqueconsistenolan camentodeumdadodecorazul, seguidodolan camentodeoutrodadodecorvermelha, eregistodon umerodepintasdasfacesviradasparacimadedoisdados. Ouniversoeoconjuntodepares = {(i, j) : i, j= 1, 2, . . . , 6}Considerem-seosacontecimentos:A-Sadadeumn.ototal depintaspar e B-Sadadeumn.ototal depintasmenorque5eC-Sadadeumn.ototal depintasparemenorque5.A = {(1, 1) , (1, 3) , (1, 5) , (2, 2) , (2, 4) , (2, 6) , (3, 1) , (3, 3) , (3, 5) , (4, 2) , (4, 4) , (4, 6) , (5, 1) ,(5, 3) , (5, 5) , (6, 2) , (6, 4) , (6, 6)}B= {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (3, 1)}C= {(1, 1) , (1, 3) , (2, 2) , (3, 1)}P (A) =1836=12, P (B) =636=16, P (C) =436=191. TeoriadasProbabilidades 6ConceitoFrequencistadeProbabilidadeEseosresultadosdaexperiencianaoforemigualmenteprovaveis?...Deni cao1.4(Deni c aoFrequencista). AprobabilidadedoacontecimentoAeavaliadaatravesdeinforma c aoexistentesobreA, sendoigual ` apropor c aodon umerodevezesemqueseobservouaA,nA,numn umeronsucientementegrandederealizac oesdaexperienciaaleat oria,istoe,P (A) =limnnAnTambemesteconceitodeProbabilidaden aoesucientementevasto. Porumlado, existemex-perienciasaleat oriasquen aopodemserrepetidason umerosucientedevezesquepermitaoc alculodeprobabilidadeseporoutro,aprobabilidadepodeservirparaexprimirograudecredibilidadequequeremosassociaracertosacontecimentosequen aotemdesernecessariamenteigualparatodasaspessoas. Neste sentido, foi muito importante a contribui c ao de Kolmogorov (1933) que apresentou umconceitoaxiom aticodaprobabilidade, formulando-acomoumamedidanormadaquanticadoradaspossibilidadesdeobserva c aodeumresultadoaleat orio.ConceitoAxiomaticodeProbabilidadeNestaapresenta c aomaisgenericadaprobabilidade,precisamosdesaberquaisosacontecimentosaquepodemosassociarumaprobabilidade.1.3.1 Espa codeacontecimentoseacontecimentosDeni cao1.5(Espa codeacontecimentos). Opar(, S)diz-seoespacodeacontecimentosdeumaexperienciaaleat oria,se:1. eoespacoderesultados(universo)associado` aexperiencia;2. Seuma- algebradeacontecimentos,istoe:(a) S;(b) SeApertencea S,ent aoAtambempertencea S( AeoconjuntocomplementardeA);(c) SeA1, A2, . . . , An, . . . S,ent ao+i=1Ai S.TerminologiaeNotas1QualquerconjuntoA Sdiz-seumacontecimento.2Diz-se que um acontecimento A ocorreuou se realizou, se o resultado da experiencia for um elementodeA.3Umacontecimentocomapenasumelementodiz-seumacontecimentoelementar.4Aoconjuntochamamosacontecimentocerto.5Oconjunto edesignadoporacontecimentoimpossvel.6DadosdoisacontecimentosAeB, auni aodeAcomBeoacontecimentoqueocorrequandoserealizampelomenosumdeleserepresenta-seporA B.1. TeoriadasProbabilidades 77Intersecc aodeAcomB, AB, e o acontecimento que se realiza se, e s o se realizam em simult aneoosacontecimentosAeB.8DadoumacontecimentoA,d a-seonomedeacontecimentocomplementardeA,aoacontecimentoqueserealizasemprequen aoocorreAerepresenta-seporA.9AdiferencaA B=A B,eoacontecimentoquerealizasempreque, emsimult aneo, ocorreAn aoocorreB.10A esub-acontecimentodeBseA B,ouseja,seaocorrenciadeAimplicaaocorrenciadeB.11DoisacontecimentosAeBdizem-sedisjuntos oumutuamenteexclusivos, sen aotemelementosemcomum,isto e,seA B= .12Quando e um conjuntocom um n umero nito de elementos, e muito frequente Sser o conjuntodetodasaspartesde, S= P ().Exemplo1.4.E1: A=Sadadefacecomumn umeropardepintascorrespondeaA = {2, 4, 6}E3: B=Umapessoaviverateaos60anoscorrespondeaB= {1, 2, . . . , 60}E5: C=AlunossemnotacorrespondeaC= {Faltou, Desistiu}.Exemplo1.5. Considere-seaexperienciaaleat oriadescritanoexemplo1.3eosacontecimentos:A-Sadadeumn.ototal pardepintas e B-Sadadeumtotal depintasmenorque5.A = {(1, 1) , (1, 3) , (1, 5) , (2, 2) , (2, 4) , (2, 6) , (3, 1) , (3, 3) , (3, 5) , (4, 2) , (4, 4) , (4, 6) , (5, 1) ,(5, 3) , (5, 5) , (6, 2) , (6, 4) , (6, 6)}B= {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (3, 1)}OacontecimentoC-Sadadeumn.ototal depintasparmenorque5,correspondeaC= A B= {(1, 1) , (1, 3) , (2, 2) , (3, 1)}.OacontecimentoD-Sadadeumn.ototal depintasparoumenorque5,eexpressoporA BeeconstitudopeloelementosD = {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (1, 5) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 4) , (2, 6) , (3, 1) , (3, 3) , (3, 5) , (4, 2) , (4, 4) ,(4, 6) , (5, 1) , (5, 3) , (5, 5) , (6, 2) , (6, 4) , (6, 6)}OacontecimentoE-Sadadeumn.ototal depintasmenorque5e mpar,correspondeaE= B A = {(1, 2) , (2, 1)}.AocorrenciadoacontecimentoEimplicaaocorrenciadoacontecimentoBpoisE B.OacontecimentoF-Sadadeumn.ototal depintas mpar n aoemaisdoqueA = A.1. TeoriadasProbabilidades 81.3.2 AxiomaticadasprobabilidadesDeni cao1.6. Seja(, S)umespa codeacontecimentos. Chama-seprobabilidade,aumaaplica c aoP:S [0, 1]quesatisfazosseguintesaxiomas:A1P (A) 0 A S;A2P () = 1;A3SeA1A2, . . . , An, . . . Seumasucess aodeacontecimentosdisjuntos(Ai Aj= , i = j),P

+i=1Ai

=+i=1P (Ai) .Deni cao1.7. D a-seonomedeespa codeprobabilidadesaotriplo(, S, P).Consequenciasimediatasdaaxiomaticadasprobabilidades1. P

A

= 1 P (A) , A (, S, P);2. P () = 0;3. A B P (A) P (B) , A, B (, S, P);4. P (A) 1, A (, S, P);5. P (AB) = P (A) P (A B)ouP

AB

= P (A) P (A B) , A, B (, S, P);6. P (A B) = P (A) +P (B) P (A B) , A, B (, S, P);7. P

ni=1Ai

=ni=1P (Ai) i=jP (Ai Aj) +i=j=kP (Ai Aj Ak) . . . +(1)n1P

ni=1Ai

, A1, A2, . . . , An (, S, P)Deni cao1.8. DoisacontecimentosA, B (, S, P)dizem-seincompatveisseP (A B) = 0.UmacontecimentoA (, S, P)diz-sequaseimpossvelseA = eP (A) = 0.UmacontecimentoA (, S, P)diz-sequasecertoseA = eP (A) = 1.Exemplo1.6. Consideremosaexperienciaqueconsistenoregistodon umerototaldepintasexibidasnasfacesviradasparacimadedoisdados, ap ososeulan camentoemsimult aneo. Admitamosqueosdadoss aoequilibrados(istoe,emambos,aprobabilidadedesadadequalquern umerodepintaseigual).Oespa coderesultadose = {2, 3, 4, . . . , 10, 11, 12}Os resultadosdesteespa cos aomutuamenteexclusivosmasn aos aoigualmenteprov aveis. Porex-emplo,P ({2}) = 1/21eP ({7}) = 3/21.Consideremosdenovoosacontecimentos:1. TeoriadasProbabilidades 9 A-Sadadeumn.ototal depintaspar; B-Sadadeumn.ototal depintasmenorque5; C=-Sadadeumn.ototal depintasdivisvel por4cujasprobabilidadess aoP (A) = 12/21, P (B) = 4/21 e P (C) = 6/21.Sabemostambemque:P (A B) = 3/21, P (A C) = 6/21, P (B C) = 2/21 e P (A B C) = 2/21.Determinemosaprobabilidadedosacontecimentos: D-Sadadeumn.ototal depintasparoumenorque5; E-Sadadeumn.ototal depintasmenorque5e mpar; F-Sadadeumn.ototal depintas mpar. G-Sadadeumn.ototal depintasparoumenorque5oudivisvel por4Pelasconsequenciasdaaxiom aticadasprobabilidades, P (D) = P (A B) = P (A) +P (B) P (A B) = 13/21 P (E) = P (B A) = P (B) P (A B) = 1/21 P (F) = P

A

= 1 P (A) = 9/21 P (G) = P (A B C) == P (A) +P (B) +P (C) P (A B) P (A B) P (B C) +P (A B C) = 13/21OutrosExemplos1. Suponha que inadvertidamente de misturaram duas l ampadas defeituosas com 4 l ampadas boas.(a) Seretirarmosaoacasoduasl ampadas,qualaprobabilidadedeambasseremboas?(b) Seretirarmosaoacasotresl ampadas,qualaprobabilidadesdetodasseremboas?(c) Retir amosumal ampadaeveric amosqueeboa. Qual aprobabilidadedeseremboasasduasl ampadasqueaseguirviermosaextrair?2. Napr oximajornadadefutebol asequipasdosCraquesedosInvencveisv aojogarjogossepa-rados. OsCraquestemumaprobabilidadede0.4devenceroseuadvers arioenquantoqueosInvencveispoder aovenceroseuoponentecom0.3deprobabilidade. Umjogadordototobolasabequeambasasequipasvencer aocomprobabilidade0.1.Qualaprobabilidadede,nomdajornada,(a) Algumadestasequipasterganho?(b) Nenhumadelasterganho?(c) SomenteosInvencveisganharemorespectivodesao?1. TeoriadasProbabilidades 103. Alguns alunos de uma determinada escola praticam uma ou mais de 3 modalidades desportivas,nomeadamente,futebol,basqueteboleandebol. S aoconhecidasasseguintespropor c oes: 30%praticamfutebol; 20%praticambasquetebol; 20%praticamandebol; 5%praticamfutebolebasquetebol; 10%praticamfuteboleandebol; 5%praticambasqueteboleandebol; 2%praticamtodasestasmodalidades.(a) seescolhermosumalunoaoacaso,qualaprobabilidadedeser:i. Umjogadordefuteboloudeandebol?ii. Apenasjogadordefutebol?iii. Umpraticantedealgumadestasmodalidades?(b) Seescolhermosumalunoquepraticaalgumadestasmodalidades,qualaprobabilidadedeser:i. Apenasjogadordefutebol?ii. Umjogadordefuteboloudeandebol?1.4 ProbabilidadecondicionalNumsupermercados aovendidasembalagensdecafedetresmarcasA, BeC. Algumasembal-agensest aoforadoprazodevalidade(F). Noquadroquesesegue, apresentam-seaspropor c oesdeembalagensdecafe,segundoamarcaeoestadodevalidade.A B C TotalF 0.02 0.10 0.00 0.12F 0.38 0.40 0.10 0.88Total 0.40 0.50 0.10 1.00Qual a probabilidade de uma embalagemde cafe, escolhidaaoacaso, estar forado prazodevalidade?P (F) = 0.12DeentreasembalagensdecafedamarcaB, qual aprobabilidadedeescolherumaforadoprazodevalidade?H aquetomarematen c aoquequeremosapropor c aodeembalagensforadoprazodevalidade,considerandoapenasoconjunto(oupopula c ao)dasembalagensdamarcaB,logoarespostaser a0.100.50= 0.2Pretendeu-seconheceraprobabilidadedoacontecimentoEmbalagemdecafeforadoprazodevalidade, sabendoqueoacontecimentoEmbalagemdecafedamarcaBocorreu. Quandovamos1. TeoriadasProbabilidades 11calcularaprobabilidadedoacontecimentoEmbalagemdecafeforadoprazodevalidade, s ointer-essar aoasembalagensquesatisfa camacondi c aoEmbalagemdecafedamarcaB. SignicaqueonossouniversodeEmbalagensdecafedevesersubstitudopelonovouniversoEmbalagemdecafedamarcaB. Estamodica c aoobriga-nosaumarepresenta c aodiferentedoacontecimentoEmbal-agem de cafe fora do prazo de validade, sabendo que o acontecimento Embalagem de cafe da marcaB ocorreue,queser aF |BA nota c ao |Bserve para informar que o espa co de resultados foi alterado de - Todas as embalagensdecafe paraB-EmbalagensdamarcaB.Reparetambemqueoquocienteapresentadonoc alculodaprobabilidade,correspondeaP (F B)P (B)Deni cao1.9. SejamAeBacontecimentosde(, S, P), comP (B)>0. AprobabilidadedeserealizarAsabendoque(dadoque, se)Bserealizou, designa-sepor probabilidadecondicional deAdadoB,edene-seporP (A|B) =P (A B)P (B).Exerccio1.1. ProvarqueseBeumacontecimentode(, S, P),tal queP (B) > 0,ent aoP ( |B)eumaprobabilidade.Teorema1.1(Teoremadaprobabilidadecomposta). Seja(, S, P)umespacodeprobabilidadeseA, B StaisqueP (A) > 0eP (B) > 0. Ent ao,P (A B) = P (A|B) P (B) = P (B|A) P (A)Exerccio1.2. Mostrarque, seA, BeCs aoacontecimentosdoespacodeprobabilidades(, S, P)taisqueP (A) > 0,P (B) > 0eP (C) > 0,ent aoP (A B C) = P (C |A B) P (B|A) P (A) .1.4.1 Teoremadaprobabilidadetotal; TeoremadeBayesTeorema 1.2 (Teorema da probabilidade total).Seja (, S, P) um espaco de probabilidades e {B1, B2, . . . , Br}umaparti c aodoespa coderesultados1,comBi SeP (Bi) > 0,i = 1, 2, . . . , r. DadoumqualqueracontecimentoA S,tem-seP (A) = P (A|B1) P (B1) +P (A|B2) P (B2) +. . . +P (A|Br) P (Br) .Demonstra c ao: Se {B1, B2, . . . , Br}e umaparti c aode , ent aoB1 B2 . . . Br=eBi Bj= , i = j. Podemosent aofazeraparti c aodoacontecimentoA,A = (A B1) (A B2) . . . (A Br)1ri=1 Bi=eBi Bj = ,i =j, i, j=1, 2, . . . , r1. TeoriadasProbabilidades 12Comoosacontecimentos(A B1) , (A B2) , . . . (A Br)s aotodosdisjuntos,peloaxiomaA3,P (A) = P (A B1) +P (A B2) +. . . +P (A Br)Mas,peloteoremadaprobabilidadecomposta,P (A Bi) = P (A|Bi) P (Bi) , i = 1, 2, . . . , rlogoP (A) = P (A|B1) P (B1) +P (A|B2) P (B2) +. . . +P (A|Br) P (Br)Teorema1.3(TeoremadeBayes). Seja(, S, P) umespacodeprobabilidades e {B1, B2, . . . , Br}uma parti c ao do espa co de resultados ,,com Bi Se P (Bi) > 0,i = 1, 2, . . . , r. Dado um qualqueracontecimentoA S,comP (A) > 0,tem-seP (Bi|A) =P (A|Bi) P (Bi)rj=1P (A|Bj) P (Bj), i = 1, 2, . . . , rDemonstra c ao: Peloteoremadaprobabilidadetotalepeloteoremadaprobabilidadecomposta,P (Bi|A) =P (Bi A)P (A)=P (A|Bi) P (Bi)rj=1P (A|Bj) P (Bj), i = 1, 2, . . . , rExemplo1.7. CertaempresaobtemosseusfornecimentosdetresorigensB1, B2eB3, cujaspro-por c oes de fornecimento e percentagens de fornecimento de lotes defeituosos se apresentam no seguintequadro:Fornecimento %dedefeituososB10.45 5%B20.25 7%B30.30 10%{B1, B2, B3}constituiumaparti c aode. SejaDoacontecimentoloteserdefeituoso.Probabilidadesconhecidas:P (B1) = 0.45,P (B2) = 0.25,P (B3) = 0.30P (D|B1) = 0.05,P (D|B2) = 0.07,P (D|B3) = 0.10. Qual aprobabilidadedeseencontrarumlotedefeituoso,deentreofornecimentototal?P (D) = P (D|B1) P (B1) +P (D|B2) P (B2) +P (D|B3) P (B3) = 0.07 Umloteedefeituosoen aosesabeasuaproveniencia. Qual aorigemaquesedeveapresentarareclamac ao?P (B1|D) =P (D|B1) P (B1)P (D)= 0.32P (B2|D) =P (D|B2) P (B2)P (D)= 0.25P (B3|D) = 1 P (B1|D) P (B2|D) = 0.43DevemosreclamaraorigemB3.1. TeoriadasProbabilidades 131.5 IndependenciadeacontecimentosDeni cao1.10. Dados dois acontecimentos AeBdeumespacodeprobabilidade(, S, P), comP (B)>0, seoconhecimentodequeBocorreun aoalteraaprobabilidadedequeAviraacontecer,istoe,seP (A|B) = P (A)dizemosqueosacontecimentosAeBs aoindependentes.Mas,P (A|B) = P (A) P (A B)P (B)= P (A) P (A B) = P (A) P (B)Deni cao 1.11. Dois acontecimentos Ae Bde umespacode probabilidades (, S, P), dizem-seindependentesse,es ose,P (A B) = P (A) P (B) .Teorema1.4. SeAeBs aoacontecimentosindependentesdeumespacodeprobabilidades(, S, P),tambemos aoAeB,AeBeaindaAeB.Exemplo1.8. Aprobabilidadedeumatiradoracertarnoalvoemcadatiroede0.6, independente-mentedotiro. Qual aprobabilidadede:a) Seremnecess ariosexactamente10tirosparaacertarumavez?b) Emtrestirosacertarumavez?c) Acertarpelaterceiravezaoquintotiro?d) Necessitarde,pelomenos4tiros,paraacertarduasvezes?Captulo2VariaveisAleatorias2.1 Deni caoNuma experiencia aleat oria os elementos do espa co de resultados podem ser n umeros reais. Porexemplo, o registo do nvel de polui c ao a uma dada hora numa zona urbana, o registo da temperaturamaximadiaria, otempodefuncionamentoate` aprimeiraavariadeumaparelho, ototal depontosobtidos com o lan camento de dois dados,etc. J a o mesmo n ao se passa se quisermos registar em cadadia,seoceuest amuito,poucooun aonublado,ouseumaequipadefutebolganha,perdeouempataumjogo,etc.Quandon aoeconstitudoporelementosdecar acterquantitativo, anecessidadedeaplica c aodeprocedimentosestatsticosobrigaaumaatribui c aodevaloresnumericosacadaelementode.Essaatribui c aopodeserarbitr ariaoun ao.Exemplo2.1. Seconsiderarmosaexperienciaaleat oriadelan camentoaoardeumamoedaeregistodafacequecaviradaparacima,oespa coderesultados e = {Cara, Coroa}aquepodemosassociarosvalores0e1,doseguintemodo: X ()Cara 1Coroa 0Eevidentequepodemosdenirdiversascorrespondenciassobreomesmouniverso.Exemplo2.2. Consideremosumapopula c aodeempresas, dasquaisseescolheumaaoacaso. Seexistiremmempresas,ent aoouniversoe = {1, 2, . . . , m}ondeirepresentaaempresai.Sobre este universo de empresas podemos denir v arias correspondencias (ou vari aveis aleat orias): X (),sendoX ()on umerodeempregadosdaempresa; Y(),sendoY()ovaloranual dosimpostoscobrados` aempresa; Z (),sendoZ ()ovolumedevendasanual daempresa;emuitasmais.Pensandos onumacorrespondenciasobre, seassociarmosacadaelemento umn umerorealX (),estamosadenirumafun c aoX: R.SendoAumacontecimentodoespa codeacontecimentos(, S),chamamosimagemdeAporX,aoconjuntodevaloresqueXassumeparaoselementosdeA,isto e,X (A) = {X () : A}142. Vari aveisAleat orias 15Por outrolado, acadasubconjuntoER, podemos fazer corresponder osubconjuntoX1(E)formadoportodososelementos taisqueX () E,X1(E) = {: X () E}X1(E)denomina-seimageminversadeEporX.Exemplo 2.3. No lan camento sucessivo de dois dados, interessa-nos saber o valor da soma das pintasdasfacesviradasparacima. Oespa coderesultadosser a = {(i, j) : i, j= 1, 2, 3, 4, 5, 6}edena-seaaplicac aoX: R,porX (i, j) = i +jSeA = {(1, 1) , (1, 2) , (2, 1)},aimagemdeAporXeX (A) = {2, 3}.Para o subconjunto real E1= {3, 11}, a imagem inversa de E1 por Xe o acontecimento X1(E1) ={(1, 2) , (2, 1) , (5, 6) , (6, 5)}.ParaosubconjuntorealE2= [3, 4],aimageminversadeE2porXeoacontecimentoX1(E2) ={(1, 2) , (2, 1) , (1, 3) , (3, 1) , (2, 2)}.Para o subconjunto real E3= [2, +[, a imagem inversa de E3 por X e o acontecimento X1(E3) =.Para o subconjunto real E4=], 0.7], a imageminversa de E4por Xe o acontecimentoX1(E4) = .Deni cao 2.1.Seja (, S) o espa co de acontecimentos associado a uma experiencia aleat oria. Chama-sevari avel aleat oria(abreviadamente,v.a.) aumafunc aoX: Rtal que, x R,Ax= { : X () x} eumacontecimento (istoe,Ax S).Exemplo2.4. Oespa coderesultados associadoaolan camentosucessivodeumamoedapor tresvezespodeserexpressopor: = {(FFF) , (FFC) , (FCF) , (CFF) , (FCC) , (CFC) , (CCF) , (CCC)}representandoC-sadadecoroaeF-sadadecara.Considere-seaseguintevari avel aleat oria: X= n.odecoroasobtidasnostreslan camentos.Estav.a. temcomocontradomnioosubconjunto {0, 1, 2, 3}deRe,admitindoqueaprobabilidadede sair coroa em cada lan camento e de 1/3 e que estes se processam independentemente uns dos outros,P (X= 0) = P ({(FFF)}) =827P (X= 1) = P ({(CFF) , (FCF) , (FFC)}) =1227P (X= 2) = P ({(CCF) , (CFC) , (FCC)}) =627P (X= 3) = P ({(CCC)}) =1272. Vari aveisAleat orias 16Podemos ainda determinar a probabilidade de muitos outros acontecimentos. Por exemplo, aprobabilidadedeseobservarempelomenos2coroas:P (X 2) = P ({(CCF) , (CFC) , (FCC)} {(CCC)}) == P ({(CCF) , (CFC) , (FCC)}) +P ({(CCC)}) == P (X= 2) +P (X= 3) =727Eaprobabilidadedeseobservaremmenosde3coroas:P (X< 3) = 1 P (X= 3) =2627Proposi cao2.1. SeX1, X2, . . . , Xms aomv.a.sdenidasnoespacoderesultados(, S),eh eumafunc aocontnuadeRmemR,ent aoY= h(X1, X2, . . . , Xm)eumav.a..2.2 Variavel aleatoriadiscretaDeni cao2.2. SejaXumavari avel aleat oriadenidaem(, S, P)eDoconjuntoD = {a R : P (X= a) > 0} .Avari avel aleat oriaXdiz-sedotipodiscretoquandoDeumconjuntonitoouinnitonumer aveleP (X D) = 1.OconjuntoDedesignadoosuportedav.a. X.Deni cao 2.3.Seja Xuma v.a. discreta denida em (, S, P). Chama-se fun c aodeprobabilidade(f.p.) de X` afunc aodenidanosuporte de X, D= {a1, a2, . . .}, que, acadavalor ai DfazcorresponderaP (X= ai). Umarepresenta c aousual paraafunc aodeprobabilidadedav.a. X,e:X

a1a2. . . ai. . .P (X= a1) P (X= a2) . . . P (X= ai) . . .Propriedadesdafun caodeprobabilidade1. P (X= ai) > 0, ai D;2.+i=1P (X= ai) = 1CalculodeprobabilidadesDadoumqualquerintervaloreal,I,P (X I) =aiDIP (X= ai)Exemplo2.5. Retomemosoexemplo2.4. Av.a. X-nodecoroasobservadasnostreslan camentos,eumav.a. discretaeasuafunc aodeprobabilidadeser a:X

0 1 2 38/27 12/27 6/27 1/27P (X< 2) = P (X= 0) +P (X= 1) = 20/27P (0.7 X< 2.6) = P (X= 1) +P (X= 2) = 18/272. Vari aveisAleat orias 172.3 Variavel aleatoriacontnuaDeni cao2.4. Umav.a. Xdenidaem(, S, P),diz-secontnua(oucommaiorrigorabsoluta-mentecontnua)seoconjunto{a R : P (X= a) > 0} = eexisteumafunc aon aonegativafX,tal que,paraqualquerintervaloIreal,P (X I) =

IfX (x)dxAfunc ao fXe designada por fun c ao densidade de probabilidade, (f.d.p.), ou simplesmentefun c ao densidade. AoconjuntoD= {x R : fX (x) > 0}e dadoonome de suportedav.a.X.Propriedadesdafun caodensidadedeprobabilidade1. fX (x) 0, x R;2.

+fX (x)dx = 1CalculodeprobabilidadesNota1J afoi ditoque, seXev.a. contnuacomfun c aodensidadedeprobabilidadefX, dadoumqualquerintervaloreal,I,P (X I) =

IfX (x)dxComo se trata do integral convergente de uma fun c ao n ao negativa, ent ao P (X I) correspondeaovalordaareadelimitadapelointervaloIepelosvaloresdafun c aofXnesseintervalo.Nota2Se o intervalo I for (com a < b) I= [a, b] ou I= ]a, b] ou I= [a, b[ ou ainda I= ]a, b[, o valordasuaprobabilidade esempreigual,ouseja,P (X I) =

bafX (x)dxObserva caoAfun c aodensidadeexpressaamaioroumenortendenciaparaavari avel aleat oriatomarvaloresnavizinhan cadeumponto.Exemplo2.6. Suponhamosqueotempodevida(emhoras)deumdeterminadotuboder adio,X,eumav.a. comfunc aodensidadedeprobabilidade:fX (x) =

c/x2x > 1000 restantesvaloresdexa) cpodeterumqualquervalorreal?1. ComofX (x) 0, x R c 02. Vari aveisAleat orias 182. Como

+fX (x)dx = 1,ent ao

+fX (x)dx =

1000 dx +c

+1001x2dx = c1x

+100=c100= 1 c = 100b) Qual aprobabilidadedeumtubodurarmaisde500horas?P (X> 500) =

+500100x2dx = 1001x

+500= 0.22.4 Fun caodedistribui caoOutroprocessodedaraconheceradistribui c aodeumav.a. X,isto e,osseusvaloresobserv aveisearespectivaprobabilidadedeocorrencia, passapeloconhecimentooudetermina c aodafun c aodedistribui c ao.Deni cao2.5. Designa-seporfun c aodedistribui c aodavari avel aleat oriaX,afunc aoFX: R [0, 1]denidapor:FX (x) = P (X x) = P (X ], x]) , x R.Estafun c aoacumulaprobabilidadespois, dadosdoisvaloresreaisxey, comx a) = 1 P (X a) = 1 FX (a) , a RP (X a) = 1 P (X< a) = 1 FX

a

, a RP (a < X b) = P (X b) P (X a) = FX (b) FX (a) , a, b R, a < bP (a X b) = P (X b) P (X< a) = FX (b) FX

a

, a, b R, a < bP (a X< b) = P (X< b) P (X< a) = FX

b

FX

a

, a, b R, a < bP (a < X< b) = P (X< b) P (X a) = FX

b

FX (a) , a, b R, a < bP (X= a) = P (X a) P (X< a) = FX (a) FX

a

, a R2.4.1 Afuncaodedistribuicaodeumavariavel aleatoriadiscretaSeXeumavari avelaaleat oriadiscretacomfun c aodeprobabilidadeX

a1a2. . . ai. . .P (X= a1) P (X= a2) . . . P (X= ai) . . .asuafun c aodedistribui c ao edeterminadaporFX (x) = P (X x) =aixP (X= ai) , x R.Exemplo2.7. Retomemos oexemplo2.4ondeav.a. X-n.odeobtidas nos tres lan camentos damoeda,temfunc aodeprobabilidadeX

0 1 2 38271227627127epassemosaoc alculodarespectivafunc aodedistribui c ao. Parax < 0,FX (x) = P (X x) = 0; Parax = 0,FX (0) = P (X 0) = P (X= 0) = 8/27; Para0 < x < 1,FX (x) = P (X x) = P (X 0) +P (0 < X x) = FX (0) + 0 = 8/27; Parax = 1,FX (1) = P (X 1) = P (X= 0) +P (X= 1) = 20/27; Para1 < x < 2,FX (x) = P (X x) = P (X 1) +P (1 < X x) = FX (1) + 0 = 20/27; Parax = 2,FX (2) = P (X 2) = P (X< 2) +P (X= 2) = limx2FX (x) +627==2027+627= 26/27;2. Vari aveisAleat orias 20 Para2 < x < 3,FX (x) = P (X x) = P (X 2) +P (2 < X x) = FX (2) + 0 = 26/27; Parax = 3,FX (3) = P (X 3) = P (X< 3) +P (X= 3) = limx3FX (x) +127=2627+127= 1; Parax > 3,FX (x) = P (X x) = P (X 3) +P (3 < X x) = FX (3) + 0 = 1.Assim,FX (x) =

0, x < 08/27, 0 x < 120/27, 1 x < 226/27, 2 x < 31, x 3Constatequeestafun c aogozadaspropriedadesatr asenunciadas,nomeadamente:limxFX (x) =0; limx+FX (x) =1; e umafun c aocontnua` adireitaemR; e umafun c aon aodecrescenteemR.Contudo, por ser a fun c ao de distribui c ao de uma vari avel discreta, possui outras propriedades queimportareal car: Trata-sedeumafun c aoemescada; Os valores reais onde ocorremas descontinuidades (saltos), s aoos valores observ aveis davari avel aleat oriaeporissooconjuntodetodosvaloresondeseregistamdescontinuidadeseosuporte Ddav.a.. A amplitude do saltonum ponto de descontinuidade a, corresponde ` a probabilidade P (X= a),porqueP (X= a) = P (X a) P (X< a) = FX (a) limxaFX (x) = FX (a) FX

a

.As tres ultimas propriedades, permitem-nos determinar a fun c ao de probabilidade de uma vari avelaleat oriadiscreta, apartirdoconhecimentodarespectivafun c aodedistribui c ao. Oexemploquesesegueilustra-o.Exemplo2.8. SejaXumavari avel aleat oriacomfunc aodedistribuic ao,FX (x) =

0, x < 0.60.2, 0.6 x < 20.8, 2 x < 5.71, x 5.7 Reconhecendoqueestafunc ao eumafunc aoemescada,camosasaberqueavari avelaleat oriaassociadaedotipodiscreto; Ossaltosocorremnosvaloresreais-0.6, 2e5.7. Assims aoestesosvaloresobserv aveisdavari avel aleat oriaXeporissoosuportedeXeD = {0.6, 2, 5.7}; A amplitude dos saltos, corresponder ao ` a probabilidade de observa c ao daqueles valores. Assim,P (X= 0.6) = FX (0.6) FX (0.6) = 0.2 0 = 0.2P (X= 2) = FX (2) FX (2) = 0.8 0.2 = 0.6P (X= 5.7) = FX (5.7) FX (5.7) = 1 0.8 = 0.22. Vari aveisAleat orias 21eafunc aodeprobabilidadedeXe,X

0.6 2 5.70.2 0.6 0.2Exemplo2.9. Continuandooexemplo2.7,determinemosalgumasprobabilidades,usandoexclusiva-menteafunc aodedistribuic ao.P (X 0.5) = FX (0.5) = 8/27;P (X 1) = 1 P (X< 1) = 1 FX

1

= 1 8/27 = 19/27;P (1 < X 2.7) = P (X 2.7) P (X 1) = FX (2.7) FX (1) = 26/27 20/27 = 6/27P (1 < X< 3) = P (X< 3) P (X 1) = FX

3

FX (1) = 26/27 20/27 = 6/26;P (0 X< 2) = P (X< 2) P (X< 0) = FX

2

FX

0

= 20/27 0 = 20/27.2.4.2 Afuncaodedistribuicaodeumavariavel aleatoriacontnuaSeXeumavari avelaleat oriacontnuacomfun c aodensidadedeprobabilidadefX,asuafun c aodedistribui c ao eFX (x) = P (X x) =

xfX (t)dt, x R.Exemplo2.10. Retomemosoexemplo2.6ondeav.a. X-tempodevida(emhoras)detuboder adio,temfunc aodensidadedeprobabilidadefX (x) =

0, x 100100/x2, x > 100epassemosaoc alculodarespectivafunc aodedistribui c ao. Parax 100,FX (x) = P (X x) =

xfX (t)dt =

x0 dt = 0; Para x > 100, FX (x) = P (X x) =

xfX (t) dt =

1000dt+

x100100t2dt =

100t

x100= 1100x;Assim,FX (x) =

0, x < 1001 100/x, x 100Constatequeestafun c aogozadaspropriedadesatr asenunciadas,nomeadamente:limxFX (x) =0; limx+FX (x) =1; e umafun c aocontnua` adireitaemR; e umafun c aon aodecrescenteemR.Contudo, porserafun c aodedistribui c aodeumavari avel contnua, possui outraspropriedadesqueimportadestacar: Trata-sedeumafun c aocontnuaemR. Acontinuidade` adireitaeasseguradapelassuaspro-priedadesgenericas. Acontinuidade` aesquerdaemR,implicaquesetenhaFX (a) = FX (a) , a R. OraFX

a

= P (X< a) = P (X a). .. .=FX(a)P (X= a). .. .=0= FX (a) , a RporqueXev.a. contnuaeportantoP (X= a) = 0, a R.2. Vari aveisAleat orias 22 ComoFX (x) =

xfX (t)dt,amenosdeumacontecimentoquaseimpossvel,afun c aodensi-dadefX, eaderivadadafun c aodistribui c ao:fX (x) =ddxFX (x) . SeFXforderiv avelemx R,fX (x) =ddxFX (x) =limdx0FX (x +dx) FX (x)dx=limdx0P (x < X x +dx)dxeportanto,paradx 0positivo,fX (x)dx P (x < X x +dx) ,ou seja, a probabilidade de X assumir valores num intervalo innitesimal ]x, x +dx] e aproximadapelaareadeumrect angulodelarguradxealturafX (x).Exemplo2.11. Continuandooexemplo2.10,determinemosalgumasprobabilidades,usandoexclusi-vamenteafunc aodedistribuic ao.P (X 110) = FX (110) = 1 100/110 = 1/11;P (X 110) = 1 P (X< 110) = 1 FX (110) = 10/11;P (90 < X 120) = P (X 120) P (X 90) = FX (120) FX (90) = 1 100/120 0 = 1/6P (110 < X< 120) = P (X< 120) P (X 110) = FX (120) FX (110) == 1 100/120 (1 100/110) = 5/66.2.5 VectoresaleatoriosExemplo2.12. Consideremosumapopula c aodeempresas, dasquaisseescolheumaaoacaso. Seexistiremmempresas,ent aoouniversoe = {1, 2, . . . , m}ondeirepresentaaempresai.Sobre este universo de empresas podemos denir v arias correspondencias (ou vari aveis aleat orias): X (),sendoX ()on umerodeempregadosdaempresa; W (),sendoW ()oencargototal anual emsal ariosdaempresa; Y(),sendoY()ovaloranual dosimpostoscobrados` aempresa; Z (),sendoZ ()ovolumedevendasanual daempresa;emuitasmais.Quando se pretende estudar diversas caractersticas num mesmo elemento do espa co de resultados, faz-se corresponder a cada um desses elementos um ponto (x1, x2, . . . , xp) de Rp, isto e, considera-seaaplica c aow (X1 () , X2 () , . . . , Xp ())quesubstituioespa coderesultadosporRp.Deni cao2.6. Separaqualquerponto(x1, x2, . . . , xp) Rp,oconjuntode,{w : X1 (w) x1, X2 (w) x2, . . . , Xp (w) xp}2. Vari aveisAleat orias 23eumacontecimento,diz-sequeX () = (X1 () , X2 () , . . . , Xp ())ounumanotac aomaisabreviadaX= (X1, X2, . . . , Xp)eumvectoraleat oriodedimens aop.Quando se pretende estudar em simult aneo duas vari aveis aleat orias, necessitaremos de um vectoraleat oriodedimensao2ditotambemparaleat orio.Representemospor(X, Y )esseparaleat orio.Classica caodeumparaleat orio (X, Y ) eumparaleat oriodiscretoseasv.a.sXeY s aodotipodiscreto. (X, Y ) eumparaleat oriocontnuoseasv.a.sXeY s aodotipocontnuo. (X, Y )eumparaleat oriomistoseumadasv.a.sXeY edotipodiscretoeaoutradotipocontnuo.2.5.1 ParaleatoriodiscretoDeni cao2.7. Seja(X, Y )umparaleat oriodiscretoerepresentemosporDXeDYosuportedasv.a.sXeY , respectivamente. Chama-sefun c aodeprobabilidadeconjunta(f.p.c)de(X, Y )` afunc aodenidanoconjuntoD DX DY= {(xi, yj) : xi DX, yj DY, i, j= 1, 2, . . .}que, acadavalor(xi, yj) D,associaarespectivaprobabilidadedeobserva c ao:pij= P (X= xi; Y= yj) , i, j= 1, 2, . . .vericandoasseguintescondic oes:1. 0 pij 1, (xi, yj) D2.+i=1+j=1pij= 1OconjuntoDedesignadoporsuportedoparaleat orio.Eusualarepresenta c aodafun c aodeprobabilidadeconjuntadoparaleat orio(X, Y )naseguinteforma:X \Y y1y2. . . yj. . .x1p11p12. . . p1j. . . p1x2p21p22. . . p2j. . . p2.....................xipi1pi2. . . pij. . . pi.....................p1p2. . . pj... 12. Vari aveisAleat orias 24Deni cao 2.8.Dado um par aleat orio discreto (X, Y ) dene-se fun c aodeprobabilidademarginaldeXefun c aodeprobabilidademarginal deY por:pi= P (X= xi) =+j=1P (X= xi; Y= yj) =+j=1pij, i = 1, 2, . . .pj= P (Y= yj) =+i=1P (X= xi; Y= yj) =+i=1pij, j= 1, 2, . . .Estasduasfun c oess aofun c oesdeprobabilidadedevari aveisaleat oriasunidimensionaiseporissosatisfazemascondi c oes:X Ypi> 0, i = 1, 2, . . . pj> 0, j= 1, 2, . . .+i=1pi= 1+j=1 pj= 1Exemplo2.13. Seja(X, Y )umparaleat oriodiscreto,representando X-on.odecarrosquechegamaumparquedeestacionamento,numdadomomento Y-on.odelugaresvagosnesteparque,nomesmomomentoFUNC AODEPROBABILIDADECONJUNTADE(X, Y )X \Y 1 2 31 0.05 0.03 0.02 0.1 P (X= 1)2 0.1 0.06 0.04 0.2 P (X= 2)3 0.15 0.09 0.06 0.3 P (X= 3)4 0.2 0.12 0.08 0.4 P (X= 4)0.5 0.3 0.2 1P (Y= 1) P (Y= 2) P (Y= 3)probabilidadede, numdadomomento, chegaremaoparquedoiscarroses ohaverlugarparaumP (X= 2; Y= 1) = 0.1probabilidadede, numdadomomento, os lugares vagos sereminsuficientes paraosautom oveisquechegamP (X> Y ) = P (X= 2; Y= 1) +P (X= 3; Y= 1) ++ P (X= 3; Y= 2) +P (X= 4; Y= 1) ++ P (X= 4; Y= 2) +P (X= 4; Y= 3) == 0.1 + 0.15 + 0.09 + 0.2 + 0.12 + 0.08 = 0.74probabilidadede, numcertomomento, chegaremtr esautom oveisP (X= 3) = P (X= 3; Y= 1) +P (X= 3; Y= 2) ++ P (X= 3; Y= 3) = 0.15 + 0.09 + 0.06 = 0.32. Vari aveisAleat orias 25probabilidadede, numcertomomento, haverapenasumlugarvagoP (Y= 1) = P (X= 1; Y= 1) +P (X= 2; Y= 1) ++ P (X= 3; Y= 1) +P (X= 4; Y= 1) == 0.05 + 0.1 + 0.15 + 0.2 = 0.5FUNC AODEPROBABILIDADEMARGINALDEXX

1 2 3 40.1 0.2 0.3 0.4FUNC AODEPROBABILIDADEMARGINALDEYY

1 2 30.5 0.3 0.2Independenciaentreasvariaveisdeumparaleat oriodiscretoConsideremos os acontecimentos (X= xi) e (Y= yj). Pelo que sabemos sobre a independencia deacontecimentos,poderemosarmarqueaquelesdoisacontecimentoss aoindependentesse,es ose,P ((X= xi) (Y= yj)) = P (X= xi) P (Y= yj)P (X= xi; Y= yj) = P (X= xi) P (Y= yj)pij= pipjTeorema2.3. Seja(X, Y )umparaleat oriodiscreto. Asv.a.sXeY dizem-seindependentes(oudiz-sequeoparaleat orioeindependente)se,es ose,P (X= xi; Y= yj) = P (X= xi) P (Y= yj) , (xi, yj) Dounumanotac aosimplicada,se,es ose,pij= pipj, i, j= 1, 2 . . .Exemplo2.14. Nacontinuac aodoexemplo2.13,P (X= 1; Y= 1) = 0.05 e P (X= 1) P (Y= 1) = 0.1 0.5 = 0.05logoP (X= 1; Y= 1) = P (X= 1) P (Y= 1)P (X= 1; Y= 2) = 0.03 e P (X= 1) P (Y= 2) = 0.1 0.3 = 0.03logoP (X= 1; Y= 2) = P (X= 1) P (Y= 2)Omesmosepassaparatodososoutrosvaloresdosuportedoparaleat orio(X, Y ).Portantoas v.a.s XeY s aoindependentes, ousejaonodecarros quechegamaoparquedeestacionamento,numdadomomento,n aotemqualquerrelac aocomonodelugaresvagos,nomesmomomento.2. Vari aveisAleat orias 262.5.2 ParaleatoriocontnuoDeni cao2.9. Umparaleat orio(X, Y )diz-secontnuo(ouabsolutamentecontnuo)seocon-junto{(x, y) : P (X= x; Y= y) > 0} = eexisteumafunc aon aonegativaf(X,Y ),tal que,paraqualquerintervaloIdeR2,P ((X, Y ) I) = If(X,Y ) (x, y)dxdyAfunc aof(X,Y )e designadapor fun c ao densidade de probabilidade conjunta, (f.d.p.c), ousimplesmentefun c aodensidadeconjuntaedevesatisfazerasseguintescondic oes:1. f(X,Y ) (x, y) 0, (x, y) R2;2.

+

+f(X,Y ) (x, y)dxdy= 1Interpreta caodaprobabilidadeComo,paraumqualquerintervaloIdeR2,P ((X, Y ) I) = If(X,Y ) (x, y)dxdye f(X,Y )e uma fun c ao n ao negativa, ent ao a P ((X, Y ) I) corresponde ao valor do volume do espa codelimitadopelafun c aodensidadeconjuntaepelointervaloI.Deni cao2.10. Dadoumparaleat oriocontnuo(X, Y )epossvel denirafun c aodensidadedeprobabilidade marginal deXeafun c ao densidade de probabilidade marginal deY , doseguintemodo:fX (x) =

+f(X,Y ) (x, y) dy, x RfY(y) =

+f(X,Y ) (x, y) dx, y REstasduasfunc oess aofunc oesdensidadedeprobabilidadedevari aveisaleat oriasunidimensionais.Independenciaentreasvariaveisdeumparaleat oriocontnuoDeni cao2.11. Seja(X, Y )umparaleat oriocontnuo. Asv.a.sXeY dizem-seindependentes(oudiz-sequeoparaleat orioeindependente)se,es ose,f(X,Y ) (x, y) = fX (x) fY(y) , (x, y) R2Exemplo2.15. Ostemposdevida, emcentenasdehoras, dasduascomponentesprincipaisdeumsistemadecontrolos aov.a.s(X, Y )comfunc aodensidadeconjuntaf(X,Y ) (x, y) =

cx2y 0 < x < 3, 0 < y< 20 outrosvaloresde (x, y) R2, c R2. Vari aveisAleat orias 27a) Qual ovalordec?f(X,Y ) (x, y) 0, (x, y) R2 c 0

+

+f(X,Y ) (x, y) dxdy= 1

30

20cx2y dxdy= 1 c = 1/18b) Qual aprobabilidadedecadaumadascomponentesdurarmaisde100horas?P (X> 1; Y> 1) =

31

21118x2y dxdy=1318c) Qual aprobabilidadeda1acomponentedurarmaisde100horas?P (X> 1) =

+1

+f(X,Y ) (x, y)dxdy=

31

201118x2y dxdy=2627oudeoutromodoP (X> 1) =

31fX (x) dx =?fX (x) =

+f(X,Y ) (x, y) dy=

20118x2y dy=x29, 0 < x < 3P (X> 1) =

31x29dx =2627d) Ostemposdevidadascomponentess aoindependentes?fY(y) =

+f(X,Y ) (x, y) dx =

30118x2y dx =y2, 0 < y< 2fY(y) =

y/2 0 < y< 20 o. v. deyfX (x) =

x2/9 0 < x < 30 o. v. dexf(X,Y ) (x, y) =

118x2y 0 < x < 3, 0 < y< 20 o. v. (x, y)= fX (x) fY(y)e) Comainforma c aodaalneaanterior,aalneab)poder-se-iaresolverdeoutromodo:P (X> 1; Y> 1) = P (X> 1) P (Y> 1) =2627 34=1318P (Y> 1) =

21fY(y) dy=

21y2dy=34Captulo3MomentoseParametros3.1 Valormedioouesperan camatematicaExemplo3.1. Umaempresadealuguerdeavi oessabequeaprocuradi ariaXtemcar acteraleat orioeestimaasuafunc aodeprobabilidadeporX

0 1 2 30.25 0.35 0.30 0.10Qual on umeromediodeavi oesprocuradosdiariamente?Arespostaser a0 0.25 + 1 0.35 + 2 0.30 + 3 0.10 = 1.25avi oes,aqued aonomedevalormedioouesperan camatem aticadeXequeserepresentaporE (X).Segundo a segunda designac ao,a quantidade que acab amos de calcular tambem pode ser enunciadapor:On umeroesperadodeavi oesprocuradosdiariamenteede1.25.Admitamosqueoutraempresadealuguerdeavi oesapresentaaseguintefunc aodeprobabilidadeparaaprocuradi ariaY ,Y

1 2 3 4 50.10 0.35 0.30 0.15 0.10On umeromediodeavi oesprocuradospordiaedeE (Y ) = 1 0.10 + 2 0.35 + 3 0.30 + 4 0.15 + 5 0.10 = 2.8avi oes.0 1 2 3 ?E (X)1 2 3 4 5 ?E (Y )283. MomentosePar ametros 29O valor medio e uma medidadelocaliza cao (ou um parametrodelocaliza cao) da v.a. a queseaplica.Deni cao3.1. SeXeumav.a.,dene-seovalormedioouesperan camatem aticadeX,pora) E (X) =i=1xiP (X= xi),casoXsejaumav.a. discretacomvaloresemD = {x1, x2, . . .};b) E (X) =

+xfX (x) dx, caso Xseja uma v.a. contnua com func ao densidade de probabilidadefX.Exemplo3.2. Suponhaque oseumedicolhe aconselhaque fa caumadietaparaemagrecimento,durante2semanas. Considerandoasuaestruturafsica,pressup oequeopeso(emkg)quevaiperdersesitua,comigual probabilidade,entre2e4kg. Quantosquilosesperaperdernasduassemanas?fX (x) =

1/2 2 x 40 o.v. dexE (X) =

+xfX (x)dx =

42x12dx = 3kgSuponhaqueomedicolheprop oeoutrotipodedieta,informando-odequeadistribuic aodopesoediferenteebemdescritopelafunc aodensidadedeprobabilidadefY(y) =

38 (y 4)22 y 40 o.v. deyE (Y ) =

+yfY(y)dy=

42y38 (y 4)2dy= 2.5kg-62 4 ?E (X)X1/2fX (x)- &2 4 Y6?E (Y )3/2fY(y)Nota: Ovalormedios oexistedesdequeasoma(casodiscreto) ouointegral (casocontnuo)sejamabsolutamenteconvergentes.Porexemplo,seconsiderarmosotempodevidadotuboder adioreferidonoexemplo2.6,E (|X|) =

+100x100x2dx = 100

+1001xdx = 100 [lnx]+100= +eporisso,av.a. Xn aotemvalormedio3. MomentosePar ametros 30Deni cao3.2. SejaXumav.a. eumafunc aoreal devari avel real. Dene-seovalormedioouesperan camatem aticade(X),pora) E [(X)] =i=1(xi) P (X= xi), caso Xseja uma v.a. discreta com valores em D = {x1, x2, . . .};b) E [(X)] =

+(x) fX (x) dx, casoXsejaumav.a. contnuacomfunc aodensidadedeprobabilidadefX,(desdequeexistam)Exemplo3.3. Consideremos o exemplo 3.1,e admitamos que o ganho obtido,quando s ao procuradosXavi oespordia,e(X) = 500Xeuros. Oganhomediodi arioser adeE

500X

= 500 0 0.25 + 500 1 0.35 + 500 2 0.30 ++ 500 3 0.10 = 473.7345747euros.Consideremosoexemplo3.2edeterminemosovalormediode(X) = X2.E

X2

=

+x2fX (x)dx =

42x212dx =283kg23.1.1 PropriedadesdovalormedioProposi cao3.1. SejamXeY v.a.s,aebconstantesreaiseefunc oesreaisdevari avel real. E (b) = b; E (aX +b) = aE (X) +b; E (X Y ) = E (X) E (Y ); E [(X) (Y )] = E [(X)] E [(Y )]; SeXeY s aov.a.sindependentes,E (XY ) = E (X) E (Y ).Exemplo3.4. Relativamente` asv.a.sdescritasnoexemplo3.2eaosvaloresmediosdeterminadosnoexemplo3.3,E

2X +Y 3X2+ 10

= 2E (X) +E (Y ) 3E

X2

+ 10 = 9.7Relativamente` aprimeirapartedoexemplo3.3,E

X

= E

1500500X

=1500E

500X

= 0.9474691493. MomentosePar ametros 313.2 VarianciaedesviopadraoExemplo3.5. Retomemosoexemplo3.1, econsideremosoutraempresadealuguerdeavi oes, paraaqual afunc aodeprobabilidadedaprocuradi ariaWe,W

0 1 2 3 4 50.27 0.35 0.3 0.04 0.02 0.02Se quisermos utilizar ovalor medioparaanalisar aprocuradi ariade avi oes nestae naprimeiraempresa,istoe,asv.a.sXeW,constatamosqueE (X) = 1.25avi oeseE (W) = 1.25avi oes.Ovalor medio einsuciente para descrever ascaractersticas de Xede W. Asduasvari aveis temomesmopontodeequilbrio. Contudo,av.a. Waparentaterumamaiordispers ao.0 1 2 3 ?E (X)X E (X)0 1 2 3 4 5 ?E (W)W E (W)Deni cao3.3. SeXeumav.a.,dene-seavari anciadeXporV(X) = E

(X E (X))2

(desdequeexista).Exemplo3.6.V(X) = E

(X 1.25)2

= (0 1.25)20.25 + (1 1.25)20.35 ++ (2 1.25)20.30 + (3 1.25)20.10 = 0.8875 no2deavi oesV(W) = E

(W 1.25)2

= (0 1.25)20.27 +. . . + (5 1.25)20.02 == 1.1675 no2deavi oesProposi cao3.2. SeXeumav.a.,paraaqual existevari ancia,ent aoV(X) = E

X2

E2(X)Exemplo3.7.E

X2

= 020.25 +. . . + 320.10 = 2.45 no2deavi oesV(X) = 2.45 1.252= 0.8875 no2deavi oesE

W2

= 020.27 +. . . + 520.02 = 2.73 no2deavi oesV(W) = 2.73 1.252= 1.1675 no2deavi oes3. MomentosePar ametros 32Avari anciaeodesviopadr aos aomedidasdedispersao(ouparametrosdedispersao)dav.a. aqueseaplicam.Reparounaescalademedi caodavariancia?Deni cao3.4. SeXeumav.a.,paraaqual existevari ancia,dene-seodesviopadr aodeXpor (X) =

V(X)Exemplo3.8. (X) =0.8875 0.9421 avi oes (W) =1.1675 1.0805 avi oesTeorema3.1. (DesigualdadedeChebychev)SeXeumav.a. paraaqual existevari anciaec > 0eumaconstantereal,ent aoP (|X E (X)| c (X)) 1c2Nota: Parac = 2,podemosdizerqueaprobabilidadedav.a. Xassumirvaloresnointervalo(E (X) 2 (X) , E (X) + 2 (X)) esuperiora1 1/4 = 0.75. Parac = 3,podemosdizerqueaprobabilidadedav.a. Xassumirvaloresnointervalo(E (X) 3 (X) , E (X) + 3 (X)) esuperiora1 1/9 = 0.89.Exemplo3.9. Paraav.a. W, podemosdizerqueemmaisde75%dosdiasaprocuradeavi oessesituanointervalo

1.25 2 1.1675, 1.25 + 2 1.1675

= (0.9110, 3.4110) avi oes3.2.1 PropriedadesdavarianciaProposi cao3.3. SejamXeY v.a.s,aebconstantesreais. V(b) = 0; V(aX +b) = a2V(X); V(X Y ) = V(X) +V(Y ) 2 cov (X, Y ); SeXeY s aov.a.sindependentes,V(X Y ) = V(X) +V(Y ).3. MomentosePar ametros 333.3 CovarianciaecoecientedecorrelacaoExemplo3.10. Retomemosoexemplo2.13relativoaoparaleat oriodiscreto(X, Y )com X-on.odecarrosquechegamaumparquedeestacionamento,numdadomomento Y-on.odelugaresvagosnesteparque,nomesmomomentoeadmitamosagoraqueesteparaleat oriotemumcomportamentoprobabilsticodiferente,istoe,temumafunc aodeprobabilidadeconjuntaFUNC AODEPROBABILIDADECONJUNTADE(X, Y )X \Y 1 2 31 0.05 0.13 0.12 0.32 0.1 0.06 0.14 0.33 0.15 0.05 0.05 0.254 0.1 0.02 0.03 0.150.4 0.26 0.34 1Comosepodeconstatar,asv.a.sXeY n aos aoindependentesporque,porexemplo,P (X= 1; Y= 1) = 0.05 e P (X= 1) P (Y= 1) = 0.12Existindoumarelac aoentreXeY ,podemostentarquanticaressarelac aocomumanovamedidaaquesed aonomedecovari ancia.ConsideremosovaloresperadodeXeovaloresperadodeY ,E(X) = 1 0.3 + 2 0.3 + 3 0.25 + 4 0.15 = 2.25E(Y ) = 1 0.4 + 2 0.26 + 3 0.34 = 1.94Semarcarmosestesvaloresnoquadrorepresentativodafun c aodeprobabilidadeconjuntade(X, Y ),estesurgedivididoem4zonas:X \Y 1 2 31A B23C D4quesepodeminterpretardoseguintemodo: sepensarmos queos valores deXmenores queoseuvaloresperadoE (X), s aoosvaloresmaispequenosdeXequeosvaloresdeXmaioresqueoseuvaloresperadoE (X), s aoosvaloresmaioresdeX, einterpretarmosdomesmomodoosvaloresdeY ,ent ao: AzonaAcorrespondeaosvaloresmenoresdeXques aoacompanhadospelosvaloresmenoresdeY ; AzonaBcorrespondeaosvaloresmenoresdeXques aoacompanhadospelosvaloresmaioresdeY;3. MomentosePar ametros 34 AzonaCcorrespondeaosvaloresmaioresdeXques aoacompanhadospelosvaloresmenoresdeY ; AzonaDcorrespondeaosvaloresmaioresdeXques aoacompanhadospelosvaloresmaioresdeY .Ent aoaszonasAeDs aoaszonasemqueasv.a.sXeY temidenticosentidodecrescimento,nosentidoemque,quandoumacresce,aoutratambemcresce. AszonasBeCs aoaszonasemqueasv.a.sXeY temsentidosdecrescimentoopostos, nosentidoemque, quandoumacresce, aoutradecresce.Tambemseconstataque: Na zona A, XE (X) tem sinal negativo e Y E (Y ) tem sinal negativo, logo (X E (X)) (Y E (Y ))temsinal positivo; Na zona B, XE (X) tem sinal negativo e Y E (Y ) tem sinal positivo, logo (X E (X)) (Y E (Y ))temsinal negativo; Na zona C, XE (X) tem sinal positivo e Y E (Y ) tem sinal negativo, logo (X E (X)) (Y E (Y ))temsinal negativo; Na zona D, XE (X) tem sinal positivo e Y E (Y ) tem sinal positivo, logo (X E (X)) (Y E (Y ))temsinal positivo.Emresumo, naszonasAeD, (X E (X)) (Y E (Y ))temsinal positivoesecompararmoscomoqueanteriormentefoiditosobreestasduaszonas,essesinal correspondeaocasoemqueasv.a.sXeYtemidenticosentidodecrescimento.NaszonasBeC,(X E (X)) (Y E (Y ))temsinalnegativo,correspondendoaocasoemqueasv.a.sXeY temsentidosdecrescimentoopostos.Assim, seponderarmososvaloresde(X E (X)) (Y E (Y ))pelasrespectivasprobabilidadesdeocorrenciaesomarmosparatodososvaloresdoparaleat orio,caremosasaber,emmedia,qualosinal preponderante, ouseja, caremosasaber, qual osentidodecrescimentopreponderanteentreasv.a.s.Comotal,dene-seacovari anciadeumparaleat orio(X, Y )porDeni cao3.5. Se(X, Y )eumparaleat orio,dene-secovari anciade(X, Y )porcov (X, Y ) = E [(X E (X)) (Y E (Y ))](desdequeexista).Nesteexemplo,cov (X, Y ) = (1 2.25) (1 1.94) P (X= 1; Y= 1) ++ (2 2.25) (1 1.94) P (X= 2; Y= 1) +. . . ++ (4 2.25) (3 1.94) P (X= 4; Y= 3) = 0.295Masacovari anciaadmiteaindaoutraexpress ao,Proposi cao3.4. Seja(X, Y )eumparaleat oriocov (X, Y ) = E (XY ) E (X) E (Y )(desdequeexista).3. MomentosePar ametros 35que emuitoutilizadaparaefeitosdec alculo.Exemplo3.11. Nonossoexemplo,asuaaplicac aoresultaemE (XY ) = 1 1 P (X= 1; Y= 1) + 2 1 P (X= 2; Y= 1)+ 3 1 P (X= 3; Y= 1) + 4 1 P (X= 4; Y= 1) +. . . ++ 4 3 P (X= 4; Y= 3) = 4.07cov (X, Y ) = E (XY ) E (X) E (Y ) = 4.07 2.25 1.94 = 0.295A an alise do valor obtido para a covari ancia permite-nos dizer que, sendo esta negativa, e existindoumatendenciaderela c aolinearentreasv.a.s,nestarela c aoasvari aveistemsentidosdecrescimentoopostos,isto e,quandoovalordeXaumenta,comgrandeprobabilidade,ovalordeY diminui.3.3.1 PropriedadesdacovarianciaProposi cao3.5. SejamX,Y ,WeZv.a.s,a,b,cedconstantesreais. SeXeY s aov.a.sindependentes,ent aocov (X, Y ) = 0; cov (a +bX, c +dY ) = bd cov (X, Y ); cov (aX +bY, cZ +dW) = ac cov (X, Z) +ad cov (X, W) +bc cov (Y, Z) +bd cov (Y, W).Contudo, paraquanticar afor cadaassocia c aolinear entreduas vari aveis, n aoconvemusarunicamenteacovari ancia, jaqueestamedidan aoelimitadae, comotal, n aopermitequesefa camarma c oesdotipoacovari anciaegrandeouacovari anciaepequena. Assimprecisamosdeumamedidadaassocia c aolinearentreasvari aveisXeY ,quesejanormada(limitada).Deni cao3.6. Se(X, Y )eumparaleat orio,dene-secoecientedecorrela c aode(X, Y )por (X, Y ) =cov (X, Y )

V(X) V(Y )(desdequeexista).3.3.2 PropriedadesdocoecientedecorrelacaoProposi cao3.6. Seja(X, Y )umparaleat orio, 1 (X, Y ) 1; | (X, Y )| = 1se,es ose,P (Y= a +bX) = 1,sendoaebconstantesreais; SeXeY s aov.a.sindependentes, (X, Y ) = 0.Nota: Comoregraemprica, estabelece-sequeocoecientedecorrela c aoespelhaumarela c aolinearforteentreasv.a.sXeY ,se | (X, Y )| 0.70.Exemplo3.12. Voltandoaonossoexemplo,V(X) = 1.0875 V(Y ) = 0.7364 (X, Y ) = 0.3296480365eassimconclumosquen aoepossvel queexistaumarelac aolinearentreXeY .3. MomentosePar ametros 363.4 OutrosvaloresesperadossobreumparaleatorioDeni cao3.7. Seja(X, Y )umparaleat orioe (x, y)umafunc aorealdevari aveisreais. Dene-sevalormedioouvaloresperadode (X, Y )por E [ (X, Y )] =i=1j=1 (xi, yj) P (X= xi; Y= yj), casoopar sejadiscretocomvalores emD = {(x1, y1) , (x2, y2) , . . .}; E [ (X, Y )] =

+

+ (x, y) f(X,Y ) (x, y)dx dy,casooparsejacontnuocomfunc aoden-sidadedeprobabilidadeconjuntaf(X,Y ).(desdequeexistam).3.5 Outrosparametrosdelocalizacaodeumavariavel aleatoria3.5.1 AmedianaDeni cao3.8. SejaXumav.a. contnua. Designa-sepormedianadeX, ovalormedeXqueverica,P (X me) = 1/2Exemplo3.13. Paraav.a. contnuaapresentadanoexemplo2.6, amedianadeXter aovalorme= 200,porqueP (X me) = 1/2

mefX (x)dx = 1/2

me100100x2dx = 1/2 1 100me= 1/2 me= 200Caso Xseja uma v.a. discreta, pode n ao existir um valor metal que P (X me) seja exactamenteiguala1/2. Daumadeni c aodiferentedemedianaparaestetipodev.a.s.Deni cao3.9. SejaXumav.a. discreta. AmedianadeX,querepresentamosporme,eomenorvalorxqueverica,P (X x) 1/2Exemplo3.14. Paraav.a. discretaY ,apresentadanoexemplo3.1,amedianatemovalorme= 3.3.5.2 QuantilDeni cao3.10. SejaXumav.a. contnua. Designa-seporquantildeprobabilidadep,aovalorxpdeXqueverica,P (X xp) = p3. MomentosePar ametros 37Exemplo3.15. Paraav.a. contnuaapresentadanoexemplo2.10, oquantil deprobabilidade0.9ter aovalorx0.9= 1000,porqueP (X x0.9) = 0.9 FX (x0.9) = 0.9 1 100x0.9= 0.9 x0.9= 1000CasoXsejaumav.a. discreta,poden aoexistirumvalor xptalqueP (X xp)sejaexactamenteigualap. Daumadeni c aodiferentedequantilparaestetipodev.a.s.Deni cao3.11. SejaXumav.a. discreta. Oquantildeprobabilidadep,querepresentamosporxp,eomenorvalorxqueverica,P (X x) pExemplo3.16. Paraav.a. discretaY , apresentadanoexemplo3.1, oquantil deprobabilidade0.2temovalory0.2= 2.3.5.3 AmodaTalcomoadesigna c aosugere,amoda eovalormaisfrequentedeumav.a.,ousejaovalorqueocorrecommaiorprobabilidade.Deni cao3.12. Amodadav.a. X,eovalormotal quea) maxxiDP (X= xi) = P (X= mo), caso Xseja uma v.a. discreta com valores em D = {x1, x2, . . .};b) maxxRfX (x)=fX (mo), casoXsejaumav.a. contnuacomfunc aodensidadedeprobabilidadefX.desdequeseja unico.Exemplo3.17. Paraav.a. discretaY doexemplo3.1,amodatemovalormo= 2.Paraav.a. contnuadescritanoexemplo2.6amodatemovalormo= 100.3.6 Outrosparametrosdedispersaodeumavariavel aleatoria3.6.1 OdesviomedioDeni cao3.13. SejaXumav.a.. Dene-seodesviomediodeXpor,E (|X E (X)|)(desdequeexista).Captulo4Distribui coesImportantes4.1 Distribuicoesdiscretas4.1.1 DistribuicaoHipergeometricaNumaqu arioexistem9peixes,dosquais5est aosaud aveis(S)eosrestantes4est aodoentes(D).Considere-se a seguinte experiencia aleat oria: extrac c ao ao acaso e semreposi cao de 3 peixes doaqu arioeregistodoseuestadodesa ude.Associada a esta experiencia aleat oria, considere-se a seguinte vari avel aleat oria: X- n.ode peixessaudaveisnaamostrade3peixes.Nota: Reparenanaturezadicot omicadascaractersticasemobserva c aonospeixes: saud aveloun aosaudavel.Pretendemosdeduzirafun c aodeprobabilidadedestav.a..ComecemosporrelacionarosresultadosdaexperienciacomoscorrespondentesvaloresdeX.Resultadosdaexperiencia ValoresdeX(S, S, S) 3(S, S, D) 2(S, D, S) 2(D, S, S) 2(S, D, D) 1(D, S, D) 1(D, D, S) 1(D, D, D) 0Parajapodemoscompletarafun c aodeprobabilidadedeXcomosvaloresobserv aveisdestav.a.X

0 1 2 3Passemos ao c alculo das probabilidades. Por exemplo, se considerarmos o acontecimento X= 2, veri-camos que e equivalente a ter sido extrada uma das amostras do conjunto, {(S, S, D) , (S, D, S) , (D, S, S)}(deelementosmutuamenteexclusivos),peloqueP (X= 2) = P (S, S, D) +P (S, D, S) +P (D, S, S)384. Distribui c oesImportantes 39OraP (S, S, D) =59 48 47P (S, D, S) =59 48 47P (D, S, S) =49 58 47

P (X= 2) = 3 59 48 47=

32

59 48 47Ofactode3correspondera

32

,compreender-se- asepensarmosque3eon umerodeamostrasemqueseobservam2peixessaudaveis. Estemesmon umeropoder aserdeterminadopensandoqueon umero de amostras com 2 peixes saud aveis resulta do total de escolhas de 2 posi c oes onde colocar ospeixessaudaveis,deentreas3disponveis,istoa1a,a2aoua3anoternoquerepresentaaamostraextrada. Assimototal deamostrascomdoispeixessaud aveiseototal deconjuntosde2posi c oesseleccion aveisdeentre3,ouseja

32

.Se repetirmos este processo de c alculo das probabilidades para os restantes valores de X, obter-se- aafun c aodeprobabilidadeX

0 1 2 3

30

493827

31

594837

32

594847

33

594837Contudo,podemosadoptaroutroraciocniodec alculodasprobabilidades. Naverdade,sepensarmosbem,aordemporquesaemospeixesn aotemqualquerinteressej aques oestamosacontaron.odepeixessaudaveisdeentre3extrados. Assimpodemosconsiderarqueoresultadodaexperiencias aoconjuntosde3peixes. Comestaabordagemosdiferentesconjuntosquevamosobservars ao:Resultadosdaexperiencia ValoresdeX{S, S, S} 3{S, S, D} 2{S, D, D} 1{D, D, D} 0AsprobabilidadespodemagorasercalculadasusandoaleideLaplace. On umerodecasospossveiseototal deconjuntosde3peixesqueepossvel escolherapartirdos9queexistemnoaqu ario, ouseja

93

. Paraoacontecimento {X= 2},on umerodecasosfavor aveis eototaldeconjuntosdotipo{S, S, D}quepodemosformarapartirde5peixessaud aveisdeumtotalde9peixes,isto e,

52

9 53 2

Ent aoP (X= 2) =

52

9532

93

Concluindo,afun c aodeprobabilidadedav.a. XtambempodeserescritaX

0 1 2 3(50)(9530)(93)(51)(9531)(93)(52)(9532)(93)(53)(9533)(93)Estavari avel Xdiz-seterdistribui c aoHipergeometricadeparametros (9, 5, 3)ou, emescritaabreviada,X H(9, 5, 3).4. Distribui c oesImportantes 40Caractersticasgeraisdadistribui caoHipergeometricaNuma popula c ao nita constituda por Nelementos, sabemos que Mgozam de uma caractersticaAequeosrestantesN Mn aogozamdestacaractersticaA. Considere-seaexperienciaaleat oriaqueconsisteemseleccionaraoacasoesemreposi caoumaamostradenelementosdapopula c ao.Associada a esta experiencia aleat oria, dena-se a v.a. X-n.ode elementos coma caractersticaA, naamostraseleccionadasemreposi c ao. Estav.a. Xtemumafun c aode probabilidade, queresumidamente,sepodeescreverP (X= k) =

Mk

NMnk

Nn , max (0, n +M N) k min (n, M)ediz-seterdistribui c aoHipergeometricadepar ametros(N, M, n)(obviamenteM Nen N).Dizemos que a distribui c ao tempar ametros (N, M, n), porque s ao as quantidades que e funda-mental conhecermos para podermos calcular qualquer probabilidade relativa ` a v.a. X. AfraseXtemdistribui c aoHipergeometricade par ametros (N, M, n), pode ser escritaabreviadamenteX H (N, M, n).CoecientesimportantesE (X) = nMNV(X) = nMN

1 MN

N nN 1Observa c oes S opodemosseleccionarumn umeronitodeelementosdapopula c ao,isto e,1 n N. Oresultadodassucessivasextrac c oesdeelementosdapopula c aoparaaamostran aos aoin-dependentes. Melhor dizendo, aprobabilidade de numaextrac c aosair umelementocomacaractersticaAdependedon umerodeelementoscomacaractersticaAquesaramanterior-mente. Naturezadicot omicadoquevamosobservarnoselementosextradosdapopula c ao, istoe, setemcaractersticaAousen aotemcaractersticaA. Nestescasos, seestamosinteressadosemobservarapresen cadacaractersticaA,dizemosque,quando eobservada,sed aumsucessoeque,quandon ao eobservada,sed auminsucesso.4.1.2 DistribuicaoBinomialRetomemosoexemploapresentadoparaadistribui c aoHipergeometrica.Numaqu arioexistem9peixes,dosquais5est aosaud aveis(S)eosrestantes4est aodoentes(D).Experienciaaleat oria: extrac c aoaoacasoecomreposi caode3peixesdoaqu arioeregistodoseuestadodesa ude.Consideremosavari avelaleat oria: X-n.odepeixessaud aveisnaamostraextradade3peixes.Pretendemosdeduzirafun c aodeprobabilidadedestav.a. X.4. Distribui c oesImportantes 41ComecemosporrelacionarosresultadosdaexperienciacomoscorrespondentesvaloresdeX.Resultadosdaexperiencia ValoresdeX(S, S, S) 3(S, S, D) 2(S, D, S) 2(D, S, S) 2(S, D, D) 1(D, S, D) 1(D, D, S) 1(D, D, D) 0Parajapodemoscompletarafun c aodeprobabilidadedeXcomosvaloresobserv aveisdestav.a.X

0 1 2 3Passemos ao c alculo das probabilidades. Por exemplo, se considerarmos o acontecimento X= 2, veri-camos que e equivalente a ter sido extrada uma das amostras do conjunto, {(S, S, D) , (S, D, S) , (D, S, S)}(deelementosmutuamenteexclusivos),peloqueP (X= 2) = P (S, S, D) +P (S, D, S) +P (D, S, S)OraP (S, S, D) =59 59 49P (S, D, S) =59 49 59P (D, S, S) =49 59 59

P (X= 2) = 3 59 59 49=

32

59

2

49

32Se repetirmos este processo de c alculo das probabilidades para os restantes valores de X, obtem-seafun c aodeprobabilidadeX

0 1 2 3

30

494949

31

594949

32

595949

33

595959ouaindaX

0 1 2 3

30 59

0

49

30 31 59

1

49

31 32 59

2

49

32 33 59

3

49

33Estavari avelXdiz-seterdistribui c aoBinomialdeparametros

3,59

ou,abreviadamente,X B

3,59

.Ovalordoprimeiropar ametrocorrespondeaotamanhodaamostraextrada,istoen = 3peixesextradoseosegundopar ametrocorresponde` aprobabilidadede, emcadaextrac c ao, sairumpeixesaudavel,isto ep =59.Evidentementequeconsideramosaprobabilidadep=59desairumpeixesaud avel emcadaex-trac c ao,porqueanossav.a. Xfazacontagemdepeixessaud aveisnaamostrade3peixes.Observa c oes:4. Distribui c oesImportantes 42 Repare que, mesmo sendo nito o n.ode peixes no aqu ario, como a extrac c ao da amostra e feitacomreposi c ao, ospeixesdisponveisnuncaseesgotam. Podemosent aodizerque, paraefeitosdeextrac c ao,temosumn.oinnitodepeixes. Tambemdevidoaometododeextrac c aocomreposi c ao, mantem-seconstanteaprobabilidadedesairumpeixesaudavel,paraqualquerextrac c ao. Tambemdevidoaometododeextrac c aocomreposi c ao,osresultadosdassucessivasextrac c oess aoindependentes.Caractersticasgeraisdadistribui caoBinomialAorealizarmosumaexperienciaaleat oria, estamosapenasinteressadosemvericarseumdeter-minadoacontecimentoAserealizaoun ao(realiza c aodeAoudeA).Ehabitual dizer-seque, quandoseobservaA, sedeuumsucessoequandon aoserealizaA, sedeuuminsucesso.Admitamos que e conhecida a probabilidade de realiza c ao de A, ou seja e conhecida a probabilidadedesedarumsucesso,queaquirepresentamosporp,p = P (A) = P (sucesso)Consideremosagora,nrepeti c oesdaexperiencia,nasseguintescondi c oes: Mantem-seconstanteovalordep = P (A) = P (sucesso)emtodasasexperiencias; Osresultadosdasexperienciass aoindependentes.Associemosaosresultadosdasnexperienciasav.a.X= nodesucessosobservadosnasnexperienciasouX= nodevezesqueseobservaAnasnexperienciasEstav.a. Xtemumafun c aodeprobabilidade,P (X= k) =

nk

pk(1 p)nk, k = 0, 1, 2, . . . , nediz-seterdistribui c aoBinomialdeparametros(n, p).AfraseXtemdistribui c aoBinomialdepar ametros(n, p),podeserescritademodoabreviado,X B(n, p).CoecientesimportantesE (X) = np V(X) = np (1 p)Observa c oes Podemosseleccionarumn umeroinnitodeelementosdapopula c aoeassimpodemosdizerqueapopula c ao einnita(nuncaseesgota);4. Distribui c oesImportantes 43 Oresultadodassucessivasextrac c oesdeelementosdapopula c aos aoindependentes. Melhordizendo, a probabilidade de numa extrac c ao sair um elemento com a caracterstica A n ao dependedon umerodeelementoscomacaractersticaAquesaramanteriormente; Naturezadicot omicadoquevamosobservarnoselementosextradosdapopula c ao, istoe, setemcaractersticaA(sucesso)ousen aotemcaractersticaA(insucesso). Uma experiencia que consiste na observa c ao da ocorrencia de um sucessoou um de insucesso,edesignadaprovadeBernoulli. Umasucessaodenprovas deBernoulli eumaexperienciaaleat oriacomas seguintes carac-tersticas:Consisteemnrepeti c oesdeumaprovadeBernoulli;Aprobabilidadesucessop esempreamesmaemcadaprovadeBernoulli.OsresultadosnprovasdeBernoullis aoindependentes.Teorema 4.1. Se X1, X2, . . . , Xks ao v.a. independentes tais que Xi B(ni, p) , i = 1, . . . , k, ent aoX1 +X2 +. . . +Xk B(n1 +n2 +. . . +nk, p)Diferen casfundamentaisentreasdistribui c oesHipergeometricaeBinomialHipergeometrica BinomialPopula c aonitaconstitudaporNelementos Popula c aoinnitaExtrac c aosemreposi c ao Extrac c aocomreposi c aoSucessivasextrac c oess aon aoindependentes Sucessivasextrac c oess aoindependentesAproxima caodadistribui caoHipergeometricapeladistribui caoBinomialPensemos agoranumlagocomN=1000peixes dos quais M=50est aosaud aveis (S) e osrestantesN M= 950est aodoentes(D).Experienciaaleat oria: extrac c aoaoacasoesemreposi caoden = 30peixesdoaqu arioeregistodoseuestadodesa ude.Considere-seav.a.X= nodepeixessaudaveisnaamostraextradade30peixesEvidentementequeav.a. Xtemdistribui c aoHipergeometricadepar ametros (1000, 50, 30), XH (1000, 50, 30).Sequisermoscalcularaprobabilidadede10dospeixesseleccionadosseremsaud aveis,temosP (X= 10) =

5010

95020

100030 ==

3010

501000499994899847997469964599544994439934299241991. .. .10factores (4.1.1)950990949989948988947987 . . . 932972931971. .. .20factores4. Distribui c oesImportantes 44O efectivo c alculo desta probabilidade pode constituir um problema porque est ao envolvidos n umerosdeelevadagrandeza. Estamosperanteumasitua c aoemquesabemoscomocalcularaprobabilidademasn aoapodemoscalcularcomexactid ao. Ent aoomelhorser acalcularmosumvaloraproximado,usandoummetodoquepermitacontrolaraqualidadedessaaproxima c ao. Vejamoscomoofazer.Reparequenaexpress ao4.1.1,49999 501000,48998 501000, . . . ,41991 501000Tambem950990 9501000,949989 9501000, . . . , 931971 9501000AssimP (X= 10)

3010

501000

10

9501000

20==

3010

501000

10

1 501000

3010Constatamosqueaaproxima c aodovalordaprobabilidadedoacontecimentoX=10corresponde`aprobabilidadedomesmoacontecimentodeterminadacomadistribui c aoBinomial depar ametrosn = 30ep = P (peixesaudavel) =501000Conclusao: Podemosaproximarovalordasprobabilidadesreferentesaumadistribui c aoHiper-geometrica pelo valor das probabilidades referentes a uma distribui c ao Binomial (evidentemente, paraummesmoacontecimentoX= k).P (X= k) =

Mk

NMnk

Nn

nk

pk(1 p)nk,parap =MNe max (0, n +M N) k min (n, N)Aqualidadedaaproxima c aoerazo avelseotamanhondaamostraqueseleccionamos danossapopula c aodeNelementos, n aoformuitogrande. Comoregra, podemosdizerqueistoacontecesen/N 0.1.Observa c oes Reparequeaaproxima c aoresultadeaproximarmosoc alculodaprobabilidadedeumacontec-imentoresultantedeumaamostragemsemreposi c aopelocalculodaprobabilidadedomesmoacontecimentocomoseeleresultassedeumaamostragemcomreposi c ao; Apopula c aoque, nocasodadistribui c aoHipergeometrica, enita, passa, naaproxima c ao` adistribui c aoBinomial,aconsiderar-seinnita; Osresultadosdassucessivasextrac c oesque,nocasodadistribui c aoHipergeometrica,s aoacon-tecimentos n ao independentes, passam, na aproxima c ao ` a distribui c ao Binomial, a considerar-seindependentes.4. Distribui c oesImportantes 454.1.3 DistribuicaodePoissonExemplo4.1. Sabe-seque,dosindivduosquetemseguroparaumdeterminadotipodeacidenteA,numano,0.0005morremdesteacidente.Qual aprobabilidadedenumano, acompanhiadesegurospagaraindemniza c aoporocorrenciadoacidenteA,a12dos10000seguradoscomap olicesquecobremestetipodeacidente.Dena-seav.a. X=n.odeseguradosquemorremnumano,deentreos10000.Xeumav.a. comdistribuic aoB(10000, 0.0005)eP (X= 12) =

1000012

(0.0005)12(1 0.0005)1000012=??Problema: Sabemos como calcular a probabilidade mas podemos ter diculdades devido aoelevadovalorde

1000012

etambemdevidoaotipodepotenciasenvolvidas.Comoresolveroproblema?Seja {Xn}umasequenciadev.a.staisqueXn B(n, pn).Suponhamosque, `amedidaquenaumenta, ovalordepndiminuidemodoaqueoprodutonpnsemantenhaest avel,isto econstante,comumvalor. Ditodeoutromodo,suponhamosquelimn+pn= 0 mas limn+npn= > 0Que efeito e que esta condi c ao produzir a se quisermos calcular probabilidades para uma v.a. Xn, comngrande?Seconsiderarmospn= /n,P (Xn= k) =

nk

(pn)k(1 pn)nk==

nk

n

k

1 n

nk==n!k! (n k)!

1 n

n

1 n

k

n

k==n(n 1) . . . (n k + 1)nk

1 n

n

1 n

kkk!==1

1 1n

. . .

1 k+1n

1 n

k

1 n

nkk!Oralimn

1 n

n= e,limn1

1 1n

. . .

1 k+1n

1 n

k= 1eportantolimnP (Xn= k) = ekk! , k = 0, 1, 2, . . .Esteresultadopermiteduasconclus oesimportantes:4. Distribui c oesImportantes 461. Se considerarmos uma v.a. Yque registe o node sucessos numa sucess ao innita de experienciaseasuafun c aodeprobabilidadeforP (Y= k) = ekk! , k = 0, 1, 2, . . .dizemos que Ytem distribui c ao de Poisson com parametro e, escrevemos de modo abreviadoY P().Exerccio4.1. Vericarquesetratadefactodeumafunc aodeprobabilidade.CoecientesimportantesE (Y ) = V(Y ) = 2. SeXeumav.a. comdistribui c aoB(n, p),emquen emuitogrande ep emuitopequeno,P (X= k) =

nk

pk(1 p)nk ekk! , k = 0, 1, . . . , nsendo = np.Istosignicaqueadistribui c aobinomialpodeseraproximadapeladistribui c aodePoisson.Napr atica,sen 30emin (np, n(1 p)) 5,considera-serazo avelestaaproxima c ao.Paranalizaroexemplo4.1,com = 10000 0.0005 = 5,P (X= 12) e551212!= 0.00343Teorema4.2. SeY1, Y2, . . . , Yks aov.a. independentestaisqueYi P (i) , i = 1, . . . , k,ent aoY1 +Y2 +. . . +Yk P (1 +2 +. . . +k)Observa c oes Pelo facto da distribui c ao de Poisson aproximar a distribui c ao Binomial quando p = P (sucesso)e muito pequena, ou seja quando o sucessoe um acontecimento raro, a distribui c ao de Poissonetambemdesignadapordistribui c aodosacontecimentosraros. Opar ametropodeserinterpretadocomoumataxaderealiza c aodesucessosporunidade. Adistribui c aodon umerodesucessosregistadosemv ariasunidadesouemfrac c oesdaunidade,continua a ser Poisson e a correspondente taxa ser a determinada como a taxa de sucessos nessasvariasunidadesounafrac c aodaunidade.Poexemplo, se durante ahorade almo co(das 12` as 14horas) achegadade autom oveis aumparqueseprocessaaumataxade180autom oveisporhoraetemdistribui c aodePoisson,ent aoadistribui c aodon.odeautom oveisquechegamem15minutos ePoissoncompar ametro = 180/4 = 45 autom oveis. Por sua vez a distribui c ao do n.ode autom oveis que chegam duranteahoradoalmo co ePoissondepar ametro = 2 180 = 360autom oveis.4. Distribui c oesImportantes 474.1.4 ProcessodePoissonConsideremosumavari avel t (comt R+0 )n aoaleat oriadestinadaaregistarumdeterminadon umerodeunidadesemobserva c ao,porexemplo,umperododetempo,uma area,umcomprimento,etc.SejaN (t)umav.a. queregistaon umerodesucessosobservadosemtunidadesdeobserva c ao.Se,paracadavalorxot,P (N (t) = k) = et(t)kk!, k {0, 1, 2, . . . , } , R+,istoe, separacadavalor xot, N (t) tiver distribui c aodePoissondepar ametrot, dizemos que{N (t)}t0eumprocessodePoissondeparametro.O par ametro pode ser interpretado como a taxa media de ocorrencia de sucessos por cada unidadedeobserva c ao.Exemplo4.2. Numprocessodefabricac aodeplacasdevidroproduzem-sepequenasbolhasquesedistribuemaleatoriamentepelasplacas,comumadensidademediade0.4bolhas/m2. AdmitamosqueN (t)registaon umerodebolhasobservadasemplacascomtm2eque {N (t)}t0eumprocessodePoissondepar ametro= 0.4bolhas/m2.Aprobabilidadede,numaplacacom1.5 3.0m2= 4.5m2,haverpelomenosumabolha,eP (N (4.5) 1) = 1 P (N (4.5) = 0) = 1 e0.44.5(0.4 4.5)00!= 0.834701Emmedia,observar-se- ao10.8bolhasemplacascom6m2,porqueE (N (6)) = 6 = 0.4 6 = 10.8.4.2 Distribuicoescontnuas4.2.1 DistribuicaoUniformeEsta distribui c ao utiliza-se quando os valores de certa vari avel aleat oria contnua X, ocorrem numintervalolimitadofechado(abertoousemi-aberto) [a, b] (]a, b[, ]a, b], [a, b[), e quaisquer dois sub-intervaloscomamesmaamplitudetemamesmaprobabilidade.Diz-se ent aoque Xtemdistribui c aoUniforme no intervalo [a, b] (abreviadamente, escreve-seX U(a, b))easuafun c aodensidadedeprobabilidade efX (x) =

1bax [a, b]0 x/ [a, b]CoecientesimportantesE (X) =a +b2V(X) =(b a)2124. Distribui c oesImportantes 48Figura4.1: Fun c aodensidadedadistribui c aoUniforme-6a b ?E (X)X1/ (b a)f (x)Noexemplo3.2utiliz amosestadistribui c aoparadescreveropesoperdidocomoprimeirotipodedieta. Xtinhadistribui c aoUniformenointervalo[2, 4].4.2.2 DistribuicaoExponencialO modelo exponencial aplica-se frequentemente quando se pretende estudar tempos ate ` a ocorrenciadefalhas, porexemplo, emcomponenteselectr onicas, emqueseadmitequeotempoqueacompo-nentevai durareindependentedotempoqueestaj adurou. Portanto, eespecialmenteadequadoacomponentesquen aoenvelhecemnemrejuvenescem. Istosignicaqueumcomponentecujotempode vida Xe medido a partir de zero e segue um modelo exponencial, tem a mesma qualidade ao longodotempo,ousejaXvericaapropriedadeP (X s +t |X s) = P (X t) , s, t 0Deni cao 4.1. Uma v.a. Xtem distribuic aoExponencialcompar ametros(, ), se a sua func aodensidadedeprobabilidadeforfX (x) =

0, x < 1e(x)/x eescreve-sedemodoabreviado,X E(, ). edever aoservaloresreaise> 0.O par ametro e particularmente importante porque permite modelar a fun c ao densidade de modoaexpressaralongevidadedacomponente.CoecientesimportantesE (X) = + V(X) = 2Fun caodedistribui caoFX (x) P (X x) =

0, x < 1 e(x)/, x 4. Distribui c oesImportantes 49Figura4.2: Exemplosdefun c oesdensidadedadistribui c aoExponencial0 2 4 6 8 100.00.51.01.52.0Densidade exponencialxfExemplo 4.3.Considere a v.a. Xque representa o tempo de espera, em minutos, para ser atendido aoalmo co na cantina da FCT/UNL. Admitamos que Xtem distribuic ao Exponencial e que o tempo mediodeesperaede15minutosdosquais1minutodeesperaesempregarantido. Qual aprobabilidadede,emdoisdecincodias uteisdasemana,conseguirterumtempodeesperasuperiora29minutos?Como=1minutoeE (X)= + =15minutos, ent ao=14minutos. Reparequeodesviopadr aoede14minutos.Calculemosaprobabilidadede,numqualquerdia,esperarmaisde29minutos.p = P (X> 29) =

+29114e(x1)/14dx = 1 e2= 0.865Consideremosagoraav.a. Y=n.odediascomtempodeesperasuperiora29m,deentre5. SabemosqueY temdistribuic aoBinomial depar ametros(5, 0.865). Ent aoaprobabilidadepedidatemovalor,P (Y= 2) =

52

(0.865)2(1 0.865)52= 0.01840914Rela caoentreadistribui caoexponencialeoprocessodePoissonAdmitamosque {N (t)}t0eumprocessodePoissondeparametroeque, paravalorxot,N (t) eav.a. queregistaon umerodesucessosemtunidadesdeobserva c ao.Porsimplicidadedeexposi c ao,suponhamosquetrepresentatperodosdetempo.AssociadoaesteprocessodePoisson, consideremosav.a. Tquemedeotempodecorridoentresucessosconsecutivos. EvidentementequeTeumav.a. contnuaeosseusvaloresobserv aveiss aoosreaismaioresouiguaisa0.CalculemosagoraaprobabilidadedeTassumirvaloresnointervalo]t, +] , t > 0.P (T> t) = P (T ]t, +]) = P (n aoocorreremsucessosemtperodosdetempo) == P (N (t) = 0) = et(t)00!= et4. Distribui c oesImportantes 50Podemosagoradizerqueafun c aodedistribui c aodeTeP (T t) P (T t) =

0, t < 01 et, t 0quecorresponde`afun c aodedistribui c aodeumadistribui c aoExponencialdepar ametros

0,1

,istoe,conclumosqueT E

0,1

.EmresumoSe {N (t)}t0 e um processodePoissondeparametro que regista o n umero de sucessos em tperodos de observa c ao,ent aoa v.a. T que mede os perodos decorridos entre sucessosconsecutivostemdistribui c aoExponencialdeparametros(0, 1/).4.2.3 DistribuicaoNormalA distribui c ao Normal tem grande import ancia na teoria das probabilidades e em estatstica e istoacontecepordiversasrazoesdeentreasquaisdestacamosasseguintes: Nanaturezas aoin umerososfen omenosques aobemdescritosporestadistribui c ao. Porex-emplo,medi c oesdepesos,volumes, areas,alturas,etc,deelementosdeumagrandepopula c ao.Tambemoserrosquesecometemaofazermedi c oestemfrequentementeestadistribui c ao. Adistribui c ao da soma de v.a.s emgrande n umero e independentes temuma distribui c aoaproximadamente Normal. Este resultado de grande import ancia na estatstica, ser a apresentadomaistardecomadesigna c aodeTeoremaLimiteCentral. Aspropriedadesmatem aticasdafun c aodensidadedeprobabilidadedestadistribui c ao, s aodetal modoimportantesque, muitometodosestatsticoss opodemutilizadoscasoseapliquemafen omenosquetemdistribui c aoNormal.Estadistribui c aotambemeconhecidapordistribui c aodeGauss,emhomenagemaomatem aticoefsicoalem aoCarlGauss(1777-1855)queaapresentou.Deni cao4.2. Diz-se que a v.a. Xtemdistribui c aoNormaldepar ametros

, 2

e escreve-sedemodoabreviado,X N

, 2

,seasuafunc aodensidadedeprobabilidadefor,fX (x) =12e12(x)2, x ROspar ametrosedever aosatisfazer, Re> 0.O par ametro e ponto de simetria da densidade e o par ametro expressa a dispers ao da densidade.Naguraquesesegue, ogrupodastresdensidades` aesquerdatememcomumomesmovalor=0eogrupodastresdensidades`adireitatememcomumomesmovalor=2. Ascurvasdamenosachatada` amaisachatada,correspondema= 0.5,= 1ea= 2,respectivamente.Quando = 0e= 1adistribui c aodiz-sedistribui c aoNormalreduzidaenormalmenteav.a.associadaaestadistribui c aoerepresentadaporZ,istoe,Z N(0, 1). Comoveremosadiante,estadistribui c aotemumpapel muitoimportantenoc alculodeprobabilidadesdequalquerdistribui c aoNormal.4. Distribui c oesImportantes 51Figura4.3: Exemplosdefun c oesdensidadedadistribui c aoNormal10 5 0 5 100.00.20.40.60.8Densidade distribuio normalxfCoecientesimportantesE (X) = V(X) = 2CalculodeprobabilidadesAdmitamosqueX N

, 2

equeremoscalcularaP (X b).P (X b) =

b12e12(x)2dxContudo,n aosendoconhecidaumaexpress aoanalticademanejoc omodoparaaprimitivadafun c aodensidade, n aoepossvel calcularointegral pelosmetodosusuais. Ter aodeserutilizadastecnicasnumericasdec alculo,queapresentamadesvantagemdeserempesadasemorosas.Usandoestas tecnicas numericas dec alculo, podemos ter acessoaovalor deprobabilidades dadistribui c aoNormal reduzida, istoe, paraav.a. Z N (0, 1). Algunsdessesvaloresencontram-setabeladosnumatabeladitatabeladafun c aodedistribui c aoNormalreduzida.Nestatabelaencontramososvaloresdafun c ao(z) = P (Z z) =

z12et22dt, z Rdesignadaporfun caodedistribui caoNormalreduzida.Exemplo4.4.P (Z 1.27) = (1.27) = 0.8980P (Z 0.88) = 1 P (Z 0.88) = 1 (0.88) = 1 0.8106 = 0.18944. Distribui c oesImportantes 52Figura4.4: Fun c aodistribui c aoNormalreduzidaeP (Z 1.27) =?Seja Z N (0, 1) e z R. Devido ` a simetria em torno de 0 da func ao densidade,podemos deduzirP (Z z) = P (X z) P (Z z) = 1 P (Z z) (z) = 1 (z)Figura4.5: ConsequenciadasimetriadadensidadedeZparaasuafun c aodedistribui c aoP (Z 1.27) = 1 (1.27) = 1 0.8980 = 0.1020Comocalcularprobabilidadesparaumav.a. NormalnaoreduzidaTeorema4.3. SeX N

, 2

,av.a.X N (0, 1).Exemplo4.5. AdmitamosqueX N (1, 4).P (X 2.98) = P

X 122.98 12

= P (Z 0.99) = (0.99) = 0.8389P (0.40 X< 2.98) = P

0.40 12X 122.98 12

= P (0.30 Z< 0.99) == P (Z 0.99) P (Z 0.30) = (0.99) (0.30) == (0.99) (1 (0.30)) = 0.8389 1 + 0.6179 = 0.45684. Distribui c oesImportantes 53Outraspropriedadesdadistribui caoNormalOpr oximoteoremageneralizaoanterior.Teorema4.4. SeX N

, 2

ea, bs aoconstantesreais, coma =0, ent aoav.a. Y =aX+ btemdistribuic aoN

a +b, a22

.ReparequeE (Y ) = E (aX +b) = aE (X) +b = a +bV(Y ) = V(aX +b) = a2V(X) = a22Teorema 4.5. SejamX1, X2, . . . , Xkv.a.s independentes comdistribuic aoXiN

i, 2i

, i =1, 2, . . . , k. Considerem-sea1, a2, . . . , ak, bconstantesreais,comalgumai = 0. Av.a.Y= a1X1 +. . . +akXk +b N

a11 +. . . +akk +b, a2121 +. . . +a2k2k

ReparequeE (Y ) = E

ki=1aiXi +b

=ki=1aiE (Xi) +b =ki=1aii +bV(Y ) = V

ki=1aiXi +b

=ki=1a2iV(Xi) =ki=1a2i2iExemplo4.6. Ummoldedeplanica c ao

A---B CD -econstitudoportrespartescujaslargurasA,BeC(emmm)temasseguintescaractersticas:A N (10, 0.1) B N (2, 0.05) C N (2, 0.05)es aoindependentes.Qual aprobabilidadedalargurainteriordomolde,D,serinferiora5.9mm?OraD = AB Cter adistribuic aoN (E (D) , V(D)). ComoE (D) = E (AB C) = E (A) E (B) E (C) = 10 2 2 = 6V(D) = V(AB C) = V(A) +V(B) +V(C) = 0.1 + 0.05 + 0.05 = 0.2ent aoD N (6, 0.2).P (D < 5.9) = P

Z 5.9 60.2

= (0.22) = 1 (0.22) = 1 0.5871 = 0.4129Captulo5TeoremaLimiteCentralOTeoremaLimiteCentral temumaenormeimport ancianaTeoriadaProbabilidadeseemEs-tatstica porque permite, em condi c oes muito gerais, determinar de modo aproximado, probabilidadesrelativas asomaouamedias devari aveis aleat orias. Istoepossvel, mesmoquesedesconhe caadistribui c aoexactadessasvari aveisaleat orias.Teorema5.1(TeoremaLimiteCentral).SejaX1, X2, . . . , Xi, . . .umasucess aodev.a.sindependenteseidenticamentedistribudas(i.i.d.),comvalormedioevari ancia2= 0.Considere-seasucess aodassomasparciais,Sn=ni=1Xi, n = 1, 2, . . ..Ent aolimn+P

Snnn x

= P (Z x) = (x)ou seja a v.a.Snnntem uma distribui c ao que converge para a distribuic ao Normal reduzida, quandon +. Ditodemodoabreviado,Snnntemumadistribuic aoassint oticaN (0, 1):Snnna N (0, 1)Notamuitoimportante: QuandosedizqueSnnnaN (0, 1), entenda-sequeafun c aodedistribui c aodeSnnneaproximadapelafun c aodedistribui c aodeZ N (0, 1). Istosignicaqueasaproxima c oesdevemseraplicadassobreasfun c oesdedistribui c ao. Nomeadamente,P

Snnn x

P (Z x) = (x) .Notas:1E (Sn) = E (n1=1Xi) =ni=1E (Xi) =ni=1 = n2V(Sn) = V(n1=1Xi) =ni=1V(Xi) =ni=12= n2545. TeoremaLimiteCentral 553OquocienteSnnn n ao emaisdoqueapadroniza c aodev.a. Sn,demodoaquepassemosaterumav.a. comvalormedionuloevari anciaiguala1.Observa c oes: Napr atica,usa-seoteoremaparavaloresn 30. Esteteorematemmuitoimport anciaemestudosestatsticoseparatalemaisconvenientequepossaserenunciadoparaumamediaaritmeticadevari aveisaleat orias.Figura5.1: Ilustra c aodoTeoremaLimiteCentral3 2 1 0 1 2 30.00.10.20.30.4xun (x)Abordeaux,castanho,azuleverde,est aoesbo cadasasfun c oesdensidadedasoma(padronizada)de1,2,3e4v.a.scomdistribui c aoUniformeem[0, 1],respectivamente. Avermelhoest aesbo cadaadensidadedadistribui c aoN (0, 1).Teorema5.2(TeoremaLimiteCentral).SejaX1, X2, . . . , Xi, . . .umasucess aodev.a.sindependenteseidenticamentedistribudas(i.i.d.),comvalormedioevari ancia2= 0.Considere-seasucess aodasmediasparciaisXn=1nni=1Xi, n = 1, 2, . . ..Ent aolimn+P

Xn/n x

= P (Z x) = (x)5. TeoremaLimiteCentral 56ou seja a v.a.Xn/ntem uma distribui c ao que converge para a distribuic ao Normal reduzida, quandon +. Ditodemodoabreviado,Xn/ntemumadistribuic aoassint oticaN (0, 1):Xn/na N (0, 1)Nestecaso,podemosenunciaroteoremadizendoqueav.a.Xn/ntemdistribui c aoassint oticaNormalreduzida.Notamuitoimportante: QuandosedizqueXn/naN (0, 1), entenda-sequeafun c aodedistribui c aodeXn/neaproximadapelafun c aodedistribui c aodeZ N (0, 1). Istosignicaqueasaproxima c oesdevemseraplicadassobreasfun c oesdedistribui c ao. Nomeadamente,P

Xn/n x

P (Z x) = (x) .Notas:1E

Xn

= E

1nn1=1Xi

=1nE (Sn) =nn= 2V

Xn

= V

1nn1=1Xi

=1n2V(Sn) =n2n2=2n3OquocienteXnnn n aoemaisdoqueapadroniza c aodev.a. Xn,demodoaquepassemosaterumav.a. comvalormedionuloevari anciaiguala1.Exemplo 5.1. Num estudo sobre vendas num hipermercado, concluiu-se que a procura di aria de arroz(emkg)eumav.a. comvalormediode40kgedesvio-padr aode5kg.Tendo sido encomendados 14 500kg de arroz para venda no pr oximo ano, qual a probabilidade destestockcobriraprocuradearroznesseperodo?(Considere-seumanocom364dias).Sejam Xi=procura de arroz no dia i, i=1,2,. . . ,364 e admitamos que estas v.a.s s ao independenteseidenticamentedistribudas.Sabemosque:E (Xi) = 40kg, i = 1, 2, . . . , 364V(Xi) = 25kg2, i = 1, 2, . . . , 364Aprocuradearrozduranteumanoser aS364=364i=1XiequeremoscalcularaP (S364 364).Ignoramos qual a distribuic ao de S364, mas como se trata de uma soma de v.a.s em grande n umero(364 > 30),esendosatisfeitasascondic oesdoT.L.C.,ent aoS364364 40364 5=S36414560364 55. TeoremaLimiteCentral 57temumadistribuic aobemaproximadapeladistribuic aoNormal reduzida. Assim,P (S364 14500) = P

S36414560364 514500 14560364 5

P (Z 0.63) = (0.63) == 1 (0.63) = 1 0.7357 = 0.2643Conclus ao: Erecomend avel comprarmaisarroz!5.1 AplicacoesparticularesdoT.L.C.5.1.1 DistribuicaoBinomialTeorema5.3. SejaXumav.a. comdistribuic aoBinomial depar ametros(n, p). Sen 30eptalquemin (np, n(1 p)) > 5,ent aoX E (X)

V(X)=X np

np (1 p)a N (0, 1)Observa cao: Com aproximamos a distribui c ao de uma v.a. discreta pela distribui c ao de uma v.a.contnua, e particularmente importante que a aproxima c ao seja feita entre fun c oes de distribui c ao. Porisso,devemosaplicaraaproxima c aosobreprobabilidadesdeacontecimentosdotipoX k,sendokumn umerointeiron aonegativo,nomeadamente,P (X k) = P

X np

np (1 p)k np

np (1 p)

P

Z k np

np (1 p)

, k = 0, 1, . . .Exemplo5.2. Suponhamos queX B

100, 14

equequeremos calcularaP (16 X 30) eaP (X= 27). Comomin (np, n(1 p)) = min

1004, 10034

= min (25, 75) = 25 > 5P (16 X 30) = P (X 30) P (X< 16) == P (X 30) P (X 15) == P

X 2518.7530 2518.75

P

X 2518.7515 2518.75

P (Z 1.15) P (Z 2.31) == (1.15) 1 + (2.31) = 0.8749 1 + 0.9896 = 0.8645P (X= 27) = P (X 27) P (X< 27) == P (X 27) P (X 26) == P

X 2518.7527 2518.75

P

X 2518.7526 2518.75

P (Z 0.46) P (Z 0.23) == (0.46) (0.23) = 0.6772 0.5910 = 0.08625. TeoremaLimiteCentral 58Figura5.2: Ilustra c aodaaproxima c aodadist. Binomialpeladist. Normalparan = 2en = 10Figura5.3: Ilustra c aodaaproxima c aodadist. Binomialpeladist. Normalparan = 305. TeoremaLimiteCentral 59Figura5.4: Ilustra c aodaaproxima c aodadist. Binomialpeladist. Normalparan = 505.1.2 DistribuicaodePoissonTeorema5.4. SejaXumav.a. comdistribuic aodePoissondepar ametro. Se > 5,X E (X)

V(X)=X a N (0, 1)Observa cao: A aproxima c ao deve ser aplicada ` a fun c ao de distribui c ao de X, isto e a P (X k),sendokumn umerointeiron aonegativo.P (X k) = P

X k

P

Z k

, k = 0, 1, . . .Exemplo5.3. SuponhaqueX P (230)equequeremoscalcularP (X= 241).Estandosatisfeitasascondic oesdoteorema5.4,(X 230) /230a N (0, 1). Assim,P (X= 241) = P (X 241) P (X< 241) == P (X 241) P (X 240) == P

X 230230241 230230

P

X 230230240 230230

P (Z 0.73) P (Z 0.66) == (0.73) (0.66) = 0.7673 0.7454 = 0.02195. TeoremaLimiteCentral 60Figura5.5: Ilustra c aodaaproxima c aodadist. Poissonpeladist. Normalpara = 1, 5, 10e20AnexoA: Fun caoGeradoradeMomentosDeni cao5.1. Afunc aogeradorademomentos(f.g.m.) deumav.a. Xeumafunc aoreal denidaporMX (t) = E

etX

, t GemqueGeoconjuntodevaloresreaisparaosquaisexisteE

etX

.Teorema5.5. Seexistiraf.g.m. deumav.a. X,elae unica.Teorema5.6. SeXeumav.a. comf.g.m. MXdenidanumavizinhancade0,ent aoktkMX (t) |t=0= E

Xk

, k NTeorema5.7. SeXeumav.a. comf.g.m. MXdenidaemGea, bs aoconstantesreais,MaX+b (t) = ebtMX (at) , at G.Demonstrac ao. MaX+b (t) = E

et(aX+b)

= E

eat Xebt

= ebtMX (at)Teorema5.8. SejamXeY v.a.scomf.g.m. MXeMYdenidasemGXeGY , respectivamente.SeXeY s aov.a.sindependentes,ent aoMX+Y(t) = MX (t) MY(t) , t GX GY.Demonstrac ao. MX+Y(t) = E

et(X+Y )

= E

etXetY

= E

etX

E

etY

= MX (t) MY(t)61AnexoB: Fun caoGeradoradeMomentoseMomentosdeDistribui coesImportantesDistribuicaoBinomialFun caogeradorademomentos, ValormedioeVarianciaSeX B(n, p),asuaf.g.m. eMX (t) =

pet+ 1 p

n, t R,E (X) = npeV(X) = np (1 p).MX (t) = E

etX

=nk=0etkP (X= k) =nk=0etk

nk

pk(1 p)nk==nk=0

nk

etp

k(1 p)nk=

pet+ 1 p

n, t RtMX (t) = npet

pet+ 1 p

n1E (X) =tMX (t) |t=0= np2t2MX (t) = npet

pet+ 1 p

n1+n(n 1) p2e2t

pet+ 1 p

n2E

X2

=2t2MX (t) |t=0= np +n(n 1) p2V(X) = E

X2

E2(X) = np (1 p)Distribui caodasomadev.a.sindependentescomdistribui caoBinomialSeX B(n, p)eY B(m, p)s aov.a.sindependentes,ent aoX +Y B(n +m, p).MX+Y(t) = MX (t) MY(t) =

pet+ 1 p

n

pet+ 1 p

m=

pet+ 1 p

n+m, t R62AnexoB 63DistribuicaodePoissonFun caogeradorademomentos, ValormedioeVarianciaSeX P (),asuaf.g.m. eMX (t) =

pet+ 1 p

n, t R,E (X) = eV(X) = .MX (t) = E

etX

=+k=0etkP (X= k) =+k=0etkekk!== e+k=0

et

kk!= eeet= e(et1), t RtMX (t) = ete(et1)E (X) =tMX (t) |t=0= 2t2MX (t) = ete(et1)+2e2te(et1)E

X2

=2t2MX (t) |t=0= +2V(X) = E

X2

E2(X) = Distribui caodasomadev.a.sindependentescomdistribui caodePoissonSeX P (1)eY P (2)s aov.a.sindependentes,ent aoX +Y P (1 +2).MX+Y(t) = MX (t) MY(t) = e1(et1)e2(et1)= e(1+2)(et1), t RAnexoB 64DistribuicaoNormalFun caogeradorademomentos, ValormedioeVarianciaSeX N

, 2

,asuaf.g.m. eMX (t) = et+2t2/2, t R,E (X) = eV(X) = 2.MX (t) = E

etX

=

+etxfX (x)dx =

+etx12 e122 (x)2dx ==

+12 e122(x22x+222tx)dx ==

+12 e122(x22x(+2t)+2)dx ==

+12 e122

(x(+2t))2(+2t)2+2

dx == e122

(+2t)22 +12 e122(x(+2t))2dx. .. .=1== et+2t2/2, t RtMX (t) =

+2t

MX (t)E (X) =tMX (t) |t=0= 2t2MX (t) = 2MX (t) +

+2t

2MX (t)E

X2

=2t2MX (t) |t=0= 2+2V(X) = E

X2

E2(X) = 2Distribui caodeumatransformadalinearsobreumav.a. comdistribui caoNormalSeX N

, 2

,a, bs aoconstantesreaisea = 0,ent aoaX +b N

a +b, a22

.MaX+b (t) = ebtMX (at) = ebteat+2a2t2/2= e(a+b)t+2a2t2/2Distribui caodasomadev.a.sindependentescomdistribui caoNormalSeX1 N

1, 21

eX2 N

2, 22

s aov.a.sindependentes,ent aoX +Y N

1 +2, 21 +22

.MX1+X2 (t) = MX1 (t) MX2 (t) = e1t+22t2/2e2t+22t2/2== e(1+2)t+(21+22)t2/2AnexoC: AlgumasDemonstracoesTeorema. SeXeumav.a. comvalormedioe,a, b Rs aoconstantes,ent aoE (aX +b) = aE (X) +b.Demonstrac ao. AdmitamosqueXeumav.a. discretacomfun c aodeprobabilidadepi= P (X= xi) , xi D = {x1, x2, . . .}.E (aX +b) =+i=1(axi +b) pi= a+i=1xipi. .. .E(X)+b+i=1pi. .. .=1= aE (X) +bA