akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych - iti.pk.edu.pliti.pk.edu.pl/~chmaj/apsc/w05.pdf ·...

Akwizycja i przetwarzanie

sygnałów cyfrowych

Tadeusz Chmaj

Instytut TeleinformatykiITI PK Kraków

21 luty 2011

Tadeusz Chmaj Wykład II

Analiza czestotliwosciowa sygnałów dyskretnych

Do tej pory - dwie metody analizy czestotliwosciowejsygnałów

szereg Fouriera - do analizy periodycznych ciagłych funkcjiczasu; wynik - przeliczalny ciag współczynnikówtransformata Fouriera - całkowe przekształcenie, zamieniaciagła funkcje czasu na ciagła funkcje czestosci

powyzsze metody - choc daja wyniki analityczne -uciazliwe w stosowaniu, o sporej złoznosci

najbardziej popularne podejscie - analiza numeryczna zwykorzystaniem komputerow i specjalizowanych układówmikroprocesorów (DSP - digital signal procesor)

podstawowe narzedzie analityczne - dyskretneprzekształcenie Fouriera (DFT)

zanim to zrobimy, wprowadzmy pojecie transformatyFouriera sygnału dyskretnego (DTFT - discrete timeFourier transform)


Definicja DTFT

Niech x [nTs] – dyskretny sygnał – wynik okresowegopróbkowania sygnału w chwilach n ∗ Ts, gdzie Ts - odstepczasowy miedzy próbkami

zwykłe (proste) przekształceniem Fouriera sygnałudyskretnego (DTFT) okreslamy wzorem:

X (ejωTs) =∞∑

n=−∞

x(nTs)e−jnωTs

transformata DTFT – przyporzadkowanie sygnałowidyskretnemu x(nTs) ciagłej funkcji zespolonej X (e−jωTs)zmiennej rzeczywistej ω

zwyczajowo (by podkreslic dyskretnosc sygnału) argumenttej funkcji zapisujemy jako ejωTs (zamiast ω).

funkcja X (ejωTs) - okresowa funkcja zmiennej ω o okresieωs = 2π/Ts. Powód: dla ω + ωs wykladnik eksponentyulega zwiekszeniu o 2πni co pociaga teze.


Własnosci DTFT

Okresowosc widm – podstawowa cech sygnałówdyskretnych.Inny opis spróbkowanego sygnału analogowego -traktujemy go jako ciagły sygnał analogowy, widmo –

ciagła transformata Fouriera Xδ(jω) =∞∫

−∞

xδ(t)e−jωtdt =

∞∫

−∞

x(t)∞∑

n=−∞

δ(t − n∆t)e−jωtdt =∞∑

n=−∞

x(n∆t)e−jnω∆t –

dokładnie równowazne formule DTFT.Czesto DTFT rozpatruje sie nie jako funkcje pulsacji ω tylkopulsacji θ unormowanej wzgledem okresu próbkowania Ts,θ = ωTs (lub czestotliwosci próbkowania fs, θ = ω/fs). Wtych zmiennych – widmo to funkcja okresowa o okresie 2π.DTFT jako funkcja pulsacji unormowanej:

X (ejθ) =∞∑

n=−∞

x(n)e−jnθ


Od DTFT do DFT

Odwrotne przekształcenie DTFT:

x(n) =1

2π

π∫

−π

X (eiΩ)einΩdΩ

Typowe zagadnienie analizy widmowejsygnał dostepny w skonczonym przedziale czasowym [0, T ]próbkowany z ustalonym odstepem czasowym Ts wchwilach tn = n ∗ Ts, n = 0, 1, . . . N − 1;gdy czas w jednostkach Ts to x(tn) → x(n) o skonczonymczasie trwania N = T/Ts - dyskretny sygnał okresowy ookresie N : x(n + N) = x(n)

DFTF wymaga znajomosci ∞-wielu próbek; dajeperiodyczne widmo ciagłeidea DFT - wezmy sko nczony zbiór próbek czasowychsygnału i ma jego podstawie okreslmy widmo wsko nczonej ilosci wartosci pulsacji (czestotliwosci)


Definicja DFT

DFT: w oparciu o dyskretny zbiór N próbek sygnałuczasowego x(n) okreslamy przepis na widmo X dla Ndyskretnych wartosci pulsacji unormowanej θn

widmo X (ejθ) – okresowa funkcja zmiennej θ o okresie 2 π– wystarczy okreslic je o przedziale [0, 2π); obliczamywidmo X (ejθn) dla θn = 2π

N nto prowadzi do formuły na dyskretna transformate Fouriera(DFT):

X (ejθk ) = X (k) =

N−1∑

n=0

x(n)exp(−j2π

Nkn)

oraz relacji odwrotnej :

x(n) =1N

N−1∑

k=0

X (k)exp(j2π

Nnk)


Własnosci DFT

Okresowosc: X (k + N) = X (k)Dowód: dla kazdego składnika sumy wyznaczjacej X (k)od indeksu k (numerujacego próbke czestosci) zalezy tylkoczynnik fazowy F (k , n) = exp(−j 2π

N kn). Spełnia on relacje:F (k + N, n)= exp(−j 2π

N (k + N)n)=exp(−j 2π

N kn)

exp(−j 2π

N Nn) = F (k , n)exp(−j2πn) = F (k , n).To pociaga za soba okresowosc widma.Symetria DFT dla rzeczywistych sygnałów: gdyx(n)∗ = x(n), to X (k) = X ∗(N − k)Dowód: dla rzeczywistych x(n) mamy: X (k) =N−1∑

n=0x(n)exp(−j 2π

N nk) = [N−1∑

n=0x(n)exp(j 2π

N nk)]∗ = X ∗(−k).

Z tej relacji oraz z okresowosci widma mamy:X ∗(N − k) = X ∗(N − k − N) = X ∗(−k) = X (k)Gdy x(t) rzeczywiste, a N parzyste, to mamy:X (N

2 + k) = X ∗(N2 − k)


Parametry DFT

dziedzina czasowa:ilosc N próbek czasowych ,odstep czasowy pomiedzy kolejnymi próbkami Ts,długosc sygnału (N − 1) ∗ Ts,okresowosc danych czasowych T = NTs

dziedzina czestotliwosci:maksymalna czestosc - zadana przez maksymalna wartoscpulsacji unormowanej:2π = θmax = ωmax Ts = 2πfmax Ts → fmax = 1

Ts; dodatkowo

musimy uwzglednic symetrie sygnału, co daje:

Fmax =1

2 ∗ Ts

odległosc miedzy kolejnymi prazkami widmafs = fmax 1/N = 1/(NTs) = 1

T ,okresowosc spektrum Fp = Nfs = 1/Ts


Własnosci DFT - c.d.

Dla rzeczywistych danych x(n):N wartosci prazków (liczb zespolonych) jest zadanychprzez N liczb rzeczywistych (symetria wzgledem N/2)

zerowy prazek widma rzeczywisty i równy X(0) =N−1∑

n=0x(n)

Liniowosc:DFT (a x(n) + b y(n)) = a DFT (x(n)) + b DFT (y(n))

Własnosc splotu: niech X (k), Y (k) – widma DFT sygnałówx(k), y(k), niech Z (k) = X (k)Y (k). Wtedy, gdy okreslimyz(n) jako IDFT widma Z (k), to dostajemy:

x(m) =N−1∑

n=0x(n)y(m − n), czyli widmo DFT splotu

czasowego dwóch dyskretnych sygnałów N-okresowychjest równe iloczynowi ich widm DFT

Własnosc iloczynu: widmo DFT iloczynu = splot widm


DFT jako aproksymacja FT

DFT moze byc uzyta jako aproksymacja ciagłejtransformaty

dla transformaty wyrazonej jako funkcja czestotliwoscimamy, sygnału kauzalnego (x(t) = 0 dla t < 0) mamy:

X (f ) =∞∫

0x(t)e−j2πftdt

zastepujemy wielkosci ciagłe próbkowanymi wielkosciamidyskretnymi: t → nTs, dt → Ts, f → kfs= k

NTsco prowadzi

do:

X (k

NTs) = Ts

N−1∑

n=0

x(nTs)e−j 2πfN nk

tak mozna uzyskac niezłe przyblizenie widmaamplitudowego funkcji szybko spadajacej

problemy z widmem fazowym


Definicja układów LTI

Układ - obiekt - czarna skrzynka na której wejscie podajesie sygnał wejsciowy x (pobudzenie) a z wyjscia pobierasygnał wyjsciowy y (odpowiedz

Opis transmisyjny: układ – operator T wykonujacy pewnaoperacje na sygnale y = T [x ]

Niech X - zbiór dopuszczalnych wejsc, Y - zbiórdopuszczalych wyjsc - dziedzina i zbiór wartosci operatoraT .

gdy X , Y sygnały ciagłe w czasie - układy analogowegdy X , Y sygnały dyskretne w czasie - uklady dyskretne

szczególna grupa układów - układy LTI, czyli układy:liniowe: T [ax + by ] = aT [x ] + bT [y ]stacjonarne (niezmienne w czasie): jezeli odpowiedzia nax(t) jest y(t), to odpowiedzia na x(t − t0) jest y(t − t0)


Analogowe układy LTI

Działanie analogowych układów LTI:

opis w dziedzinie czasu: y(t) =∞∫

−∞

h(τ)x(t − τ)dτ ; h(t) -

odpowiedz impulsowa – odpowiedz układu na impuls

Diraca: y(t) =∞∫

−∞

h(τ)δ(t − τ)dτ = h(t)

uzasadnienie: x(t) =∞∫

−∞

x(τ)δ(t − τ)dτ

x(t) → y(t), prawa strona to suma przesunietych w czasie(t − τ) i przeskalowanych w amplitudzie (* x(τ )) sygnałówδ(t) - z liniowosci i stacjonarnosci dostajemy prawa stronegórnej relacjiopis w dziedzinie czestotliwosci: Y (ω) = H(ω)X(ω), dlaimpulsu Diraca Y (ω) = H(ω)∆(ω) = H(ω)


Projekt układu , transmitancja

Jak dobrac h(t)? Odpowiedz w dziedzinie czestotliwosci:

Wiemy, ze Y (ω) = H(ω)X (ω)

Zasada: gdy chcemy osłabic sygnał dla pulsacji ωkladziemy H(ω) → 0, gdy dana pulsacje przepuszczamy –kładziemy H(ω) = 1

układy LTI - w dziedzinie czasu opisywane przez liniowerównania rózniczkowe:

N∑

n=0

andny(t)

dtn =

M∑

m=0

bmdmx(t)

dtm

Wazna własnosc transformaty Fouriera: gdy x(t) ↔ X (ω),to dmx(t)

dtm ↔ (iω)nX (ω)


Projekt układu , transmitancja c.d.

Ostatnia relacja daje równanie na transformaty:

N∑

n=0

an(iω)nY (ω) =M

∑

m=0

bm(iω)mX (ω)

Skad - transformata Fouriera odpowiedzi impulsowej(transmitancja Fouriera)

H(ω) =Y (ω)

X (ω)=

M∑

m=0bm(iω)m

N∑

n=0an(iω)n

Projekt ukladu - okreslenie rzedów równan M, N orazstałych ai , bj


Metodologia projektowania

Transmitancja Fouriera - ułamek, którego licznik imianownik - wielomiany zmiennej (iω)

nazywam: z1, z2, . . . , zM miejsca zerowe licznikatransmitancji (zera transmitancji), zas p1, p2, . . . , pN

miejsca zerowe mianownika transmitancji (biegunytransmitancji)W tym jezyku mamy:

H(ω) =Y (ω)

X (ω)=

bM(iω − z1)(iω − z2) . . . (iω − zM)

bN(iω − p1)(iω − p2) . . . (iω − pN)

2

4

6

8

10

12

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2

Im s

Re s


Metodologia projektowania c.d.

Zasady projektowaniaby wyzerowac transmitancje dla pewnej pulsacji ωdobieramy parametry tak by jednen z czynników (iω − zm)był równy 0 dla tej wartosci ωpodobnie – wzmocnienie gdy w interesujacym nasobszarze jest jeden z biegunów transmitancji

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0.1 1 10 100 1000

20 lo

g 10

|H(ω

)|

ω [rd/s]

H(ω)=(z0-iω)/(pk-iω)

z0=-10+i*10

pk=-10+i*ωk

ωk124610

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0.1 1 10 100 1000

20 lo

g 10

|H(ω

)|

ω [rd/s]

H(ω)=(zk-iω)/(p0-iω)

p0=-10+i*10

zk=-10+i*ωk

ωk124610


Metodologia projektowania c.d.

Projekt - ustalenie N, M, pozycji zer i biegunówtransmitancjiOgraniczenia projektowe - stabilnosc (odpowiedz nasygnałem o ograniczonej amplitudzie ma byc sygnał oograniczonej amplitudzie)

rzad mianownika conajmniej równy rzedowi licznika N ≥ Mgdy współczynnki ai , bj rzeczywiste – bieguny i zerawystepuja jako sprzezone paryzera transmitancji - moga byc wszedziebieguny transmitancji tylko w lewej półpłaszczyznie (Reomega)<0

Sprawdzenie - obliczenie transmitancji wzdłuz osi urojonejwszystkich charakterystyk układu

wyliczenie odpowiedzi impulsowej jako odwrotnejtransformaty Fouriera transmitancji


Warunki stabilnosci

Załozenie - transmitancja ma rozład na sume składników zjednym biegunem (czyli bieguny sa jednokrotne)

postac transmitancji:

H(ω) =bM

aN

(

c1

iω − p1+

c2

iω − p2+ · · · +

cN

iω − pN

)

parametryzacja biegunów pk = σk + iωk

Transformata odwrotna:h(t) ∼ ck e(σk +iω)t lub:h(t) + h∗ ∼ eσt cos(ωt + β)

w obu przypadkach gdy σ > 0 - niestabilnosc


Asymptotyka transmitancji

Gdy |ω| ≫ |zk | oraz |ω| ≫ |pk |, to dostajemy:

20log10(H(ω)) = 20log10bM

aN+

M∑

m=1

20log10|ω|−

N∑

n=1

20log10|ω|

asymptotycznie (dla duzych pulsacji):kazde zero transmitancji - wzrost nachyleniacharakterystyki amplitudowej o 20 dB/dekadekazdy biegun transmitancji - spadek nachyleniacharakterystyki amplitudowej o 20 dB/dekade

wykresy charakterystyki amplitudowej (w dB) w funkcjilogarytmu pulsacji - wykresy Bodego


Przyklad pojektowania – metoda zer i biegunów

Zadanie - zaprojektowac filtr górnoprzepustowyAnaliza - wymagania:

- filtr górnoprzepustowy - asymptotycznie (duze pulsacje)nachylenie charakterystyki powinno dazyc do zera =⇒ takasama liczba zer co biegunów- pulsacja ω = 0 ma nie przechodzic =⇒ punkt z1 = (0, 0)powinien byc zerem transmitancjigórnoprzepustowosc =⇒ zera transmitancji rozmieszczonena osi urojonej w okolicy z = (0, 0)kazde zero skompensowane lezacym w poblizu biegunemdla małych pulsacji - osłabienie

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

Im(s

)

Re(s)

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

Im(s

)

Re(s)


Przyklad pojektowania – metoda zer i biegunów

Wyniki - zaleznosc od rzedu modelu

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

Im(s

)

Re(s)

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0.1 1 10 100 1000

20 lo

g 10

|H(ω

)|

ω [rd/s]

-160

-150

-140

-130

-120

-110

-100

-90

-80

10 100 1000 10000 100000

20 lo

g 10

|H(ω

)|

ω [rd/s]

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0.1 1 10 100 1000

20 lo

g 10

|H(ω

)|

ω [rd/s]


Metoda zer i biegunów - podsumowanie

Metoda intuicyjnie prosta, ale o małej wydajnosciWymaga wielu prób, brak deterministycznego algorytmuprowadzacego do poprawy rozwiazaniaTrudno uzyskac rozwiazania spełniajace wymagania:

liniowosc pasma przepuszczaniaduze tłumienie w pasmie zaporowymduza stromosc zboczy charaktrystykamplitudowo-czestotliwosciowych

Bardziej wydajne podejscie - stosowanie modeli(aproksymacji) filtrów (np. Butterwortha, Czebyszewa I,Czebyszewa II, eliptyczny.wybór prototypu - narzucenie rozkladu zer i biegunówtransmitancji – wstepne okreslenie charakterystyk filtraIstotny element procesu projektowania - transformacjaczestotliwosci, która pozwala na transformacje wybranegotypu filtra (który umiemy zaprojektowac) na taki, który jestwymagany.


akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych - iti.pk.edu.pliti.pk.edu.pl/~chmaj/apsc/w05.pdf ·...

Documents