Teoria Sygnałów

III rok Informatyki Stosowanej

Teoria sygnałów (zakres materiału)

Wstępne wiadomości z analizy funkcjonalnej, przestrzenie Hilberta, operatory. Reprezentacje

sygnałów w dziedzinie czasu, reprezentacje analogowe (ciągłe). Ciągła transformacja

Fouriera. Analiza sygnałów ciągłych w dziedzinie częstotliwości. Transformacja Hilberta.

Teoria próbkowania, reprezentacje dyskretne. Analiza sygnałów dyskretnych w dziedzinie

czasu. Transformacja „Z” sygnałów dyskretnych. Analiza sygnałów w dziedzinie widmowej

oraz w dziedzinie „Z”. Konstrukcja filtrów cyfrowych.

2

3

Podstawowa literatura:

1. Tomasz P. Zieliński Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do

zastosowań, WKŁ, 2009

2. Richard G. Lyons, Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów,

WKŁ, 2010 (wyd. 2 rozszerzone)

3. Zdzisław Papir Analiza częstotliwościowa sygnałów, Wyd. AGH, 1995.

4. Jerzy Szabatin Podstawy teorii sygnałów, WKŁ, 1982 i późniejsze

5. Ron Bracewell Przekształcenie Fouriera i jego zastosowania, WNT 1968

6. Andrzej Wojnar Teoria sygnałów, WNT, 1988

7. B.P.Lathi Teoria sygnałów i układów telekomunikacyjnych, PWN, 1970

8. R.K.Otnes, L. Enochson, Analiza numeryczna szeregów czasowych, WNT,

1978

Sygnał = proces zmian pewnej wielkości fizycznej lub stanu obiektu fizycznego w

czasie lub w przestrzeni. Sygnał generalnie przekazuje jakąś informację (tj. jest

nośnikiem informacji). Sygnał może być również syntetyzowany do celów komunikacji.

Kilka przykładów sygnałów 1D

Mapa anomalii grawitacyjnych

Australii

Zdjęcie z satelity ALOS - Tokyo City

Radiografia cyfrowa

Przykłady sygnałów 2D

Przetwarzanie sygnałów - zastosowania:

•nauka (astronomia, fizyka, geofizyka),

•przemysł rozrywkowy (audio, wideo),

•telekomunikacja (kodowanie),

•medycyna (rozpoznawanie, klasyfikacja obrazów medycznych),

•wojsko (radary),

•przemysł (w tym przemysł wydobywczy i przetwórczy).

Aplikacje:

•specjalizowane (drogie) - wojsko, medycyna, przemysł,

•szeroko dostępne (tanie) - przemysł rozrywkowy.

Szybki rozwój cyfrowego przetwarzania sygnałów nastąpił dzięki równoległemu rozwojowi:

•teorii,

•aplikacji,

•sprzętu (technologii).

Typowe zagadnienia przetwarzania sygnałów dotyczą:

•przetwarzanie jednego sygnału w celu otrzymania drugiego (np. demodulacja),

•interpretacji sygnału (np. rozpoznawanie mowy).

6

Reprezentacje sygnałówCzęsto zamiast korzystać z bezpośredniej reprezentacji funkcyjnej korzysta się z pewnej

reprezentacji sygnału. Przykładem najczęściej spotykanym jest reprezentacja Fouriera (kolejno

rzeczywista i zespolona):

( ) ( )∑∞

=

++=1

000 sincosk

kk tkbtkaatx ωω

( )

00 2

0

T

eXtxk

tik

k

πω

ω

=

= ∑∞

−∞=

Ważne!

Współczynniki w obu szeregach tworzą

reprezentację

lub reprezentacja zespolona sygnału:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) titetz

tztytztx

etztiytxtz

ti

tzi

00

arg

sincos

ImRe

0 ωωω +==

==

=+=

Wynika stąd reprezentacja zespolona sygnału harmonicznego:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )txtyarctgtz

tytxtz

=

+=

arg

22 Widmo amplitudowe

Widmo fazowe

7

Modele matematyczne sygnałów :

• Funkcje rzeczywiste jedno lub wielowymiarowe

• Funkcje zespolone

• Dystrybucje

Operowanie modelami matematycznymi sygnałów umożliwia ich formalną analizę metodami

matematycznymi w oderwaniu od fizycznej natury sygnałów. Ułatwiona jest ponadto ich

jednoznaczna klasyfikacja.

Przykłady innych reprezentacji to : transformacja Laplace’a, szereg Kotielnikowa-Shannona, sygnał

analityczny. Ten ostatni definiujemy jako:

( ) ( ) ( )

( ) ( )τ

τπd

t

txtx

txitxtz

∫∞

∞−−

=

+=

1ˆ

ˆ

Wartość główna Cauchy’ego może być określona dla funkcji rzeczywistej f(x) jako

jeżeli całki po prawej stronie istnieją dla każdego ε oraz istnieje granica dla

.

Ostatni wzór określa tzw. transformatę Hilberta, przy czym wartość ostatniej całki jest rozumiana

w sensie wartości głównej Cauchy’ego. Sygnał analityczny stanowi uogólnienie koncepcji sygnału

zespolonego na sygnały nieharmoniczne.

+= ∫∫∫

+

−

→

c

b

b

a

c

a

dxxfdxxfdxxfvpε

ε

ε)()(lim)(

0

ε → 0

(franc. valeur principale)

8

Klasyfikacje sygnałów:

1. ze względu na przewidywalność zmian – sygnały deterministyczne i losowe (stochastyczne)

2. ze względu na dziedzinę – sygnały ciągłe (określone dla wszystkich ) i dyskretne,

określone dla wybranych punktów . Poza tymi punktami sygnały są nieokreślone.

],[ bax ∈nTxn =

Sygnały ciągłe będziemy oznaczać jako y(x) lub y(t). Sygnały dyskretne oznaczamy jako y[xn] lub

jako y[n] .

9

3. Ze względu na przeciwdziedzinę (zbiór wartości

funkcji). Zbiór ten może być ciągły (sygnał ciągły w

amplitudzie) lub dyskretny (albo skończony gdy

liczba wartości przyjmowanych przez funkcję jest

równa N). W drugim wypadku sygnał nazywamy

skończonym w amplitudzie.

Obok przykład sygnału ciągłego i dyskretnego dla

N=2. Sygnały takie nazywamy binarnymi.

Sygnały dyskretne w czasie powstały w wyniku

próbkowania sygnałów ciągłych z określonym krokiem próbkowania ∆.

10

3. Ze względu na czas trwania sygnału: sygnały o

nieskończonym czasie trwania i o skończonym

czasie trwania (potocznie sygnały impulsowe).

Obok przedstawiono sygnały ciągłe i dyskretne o

nieskończonym i skończonym czasie trwania.

Sygnał impulsowy to niekoniecznie impuls !!

11

Parametry sygnałów ciągłych

Są to globalne charakterystyki liczbowe sygnałów użyteczne w ich klasyfikacji. Definicje poszczególnych

parametrów różnią się w zależności od tego czy sygnały są ciągłe czy dyskretne. Najistotniejsze z tych

parametrów to:

Wartość średnia :

sygnału impulsowego określonego w przedziale [a,b]:

sygnału o nieskończonym czasie trwania

sygnału okresowego

( )∫−=

b

a

dxxyab

x1

( )∫−

∞→=

T

TT

dxxyT

x2

1lim

( )∫+

=

Tx

x

dxxyT

x0

0

1

Wielkość graniczna

!!

12

Energia :

Moc średnia:

Moc średnia sygnału okresowego :

Wartość skuteczna:

( )∫−

∞→=

T

TT

x dxxyT

P2

2

1lim

( )∫∞

∞−

= dxxyEx

2

( )∫+

=Tx

x

xdxxy

TP

0

0

21

xskPy =

Ponieważ zakładamy, że sygnały są

wielkościami bezwymiarowymi energia

ma wymiar to energia ma wymiar

tożsamy z wymiarem x-ów (czas lub

długość). Moc jest wielkością

bezwymiarową.

Jeśli to sygnał nazywamy sygnałem o

ograniczonej energii. Podobnie

definiujemy sygnał o skończonej mocy.

Wnioski:

• moc sygnałów o ograniczonej energii

jest równa zeru

• energia sygnałów o ograniczonej mocy

jest nieskończona

• sygnał impulsowy o ograniczonej

amplitudzie ma ograniczoną energię

• sygnały o nieograniczonym czasie

trwania mogą mieć ograniczoną energię

bądź moc

• sygnały o ograniczonej amplitudzie i

mocy mają nieskończony czas trwania

(np. sygnały okresowe)

13

Kilka przykładów sygnałów analogowych

Sygnał (impuls) prostokątny

( ) ( )

11

210

212

1

211

==

>

=

<

=Π=

yEy

xdla

xdla

xdla

xxy

( ) ( )

3121

210

2121

==

>

<−=Λ=

yEy

xdla

xdlaxxxy

Sygnał (impuls) trójkątny

14

( )

0

0

0

0

0

01

0sin

Sa

ωπ

ω

ωω

==

=

≠==

yEy

xdla

xdlax

x

xxy

( ) ( )

0

2

0

0

2

0

2

320

01

0sin

Sa

ωπ

ω

ωω

==

=

≠==

yEy

xdla

xdlax

x

xxy

Sygnał (impuls) Sa (od ang. sampling) lub Sinc

Sygnał (impuls) Sa2 lub Sinc2

15

Sygnał harmoniczny

( ) ( )2

0

000

210

sin

XPy

xxXxy

y ==

∞<<∞−+= ϕω

Sygnał harmoniczny o modulowanej amplitudzie

(AM)

( ) ( )0

sin)( 00

=

∞<<∞−+=

y

xxxAxy ϕω

16

Fala prostokątna bipolarna

2

00 XPy y ==

Fala prostokątna unipolarna

2

0

0

0

0

XT

TPX

T

Ty y ==

X0

X0

T0

T

17

( ) ( )

2121

00

02

1

01

==

<

=

>

==

yPy

xdla

xdla

xdla

xxy u

( ) ( )

10

01

00

01

sgn

==

<−

=

>

==

yPy

xdla

xdla

xdla

xxy

Sygnał Sgn(x)

Sygnał jednostkowy 1(x)

18

Modele deterministyczne sygnałów dyskretnych

( )

=∞+

≠=

0

00

t

ttδ ( )∫

∞

∞−

= 1dttδ

– funkcja Diraca jest definiowana jako obiekt matematyczny o następujących własnościach:

( )

=∞+

≠=−

0

0

0

0

tt

ttttδ ( )∫

∞

∞−

=− 10 dtttδ

δ

( ) ( )∑∞

−∞=

−=n

T nTtt δδ

Okresowy ciąg impulsów Diraca (tzw. dystrybucja grzebieniowa)

- tzw. dystrybucja Sza:

Impulsowy sygnał spróbkowany:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

−==n

TT nTtnTxttxtx δδ

19

( )εδ ,t

( )

=∞+

≠=

+→ 0

00,lim

0 t

tt εδ

ε( )∫

∞

∞−

= 1, dtt εδ

Opis własności δ - funkcji może być prowadzony w oparciu o tzw. funkcje aproksymujące. Są to funkcje dwóch zmiennych o postaci określone dla i które spełniają warunki:( )∞∞−∈ ,t 0⟩ε

( )22

1,

tt

+=

ε

ε

πεδ

( )

( )

( )

⟩

≤≤−

⟨≤−+

=

ε

εεε

εεε

εδ

t

tt

tt

t

0

011

011

,

( ) ( ) ( )ε

εεεδ

2,

−−+=

tutut

( ) ( )tt ,lim0

εδδε +→

=

Tym samym przyjmujemy, że - funkcja

jest granicą funkcji aproksymującejδ

20

W oparciu o funkcje aproksymujące można wyjaśnić szereg własności δ -funkcji, np. podstawową własność

orzekającą, że energia δ - funkcji jest skończona. Mianowicie:

( ) ( ) ( )∫∫∫∞

∞−→

∞

∞−→

∞

∞−

===++

1,lim,lim00

dttdttdtt εδεδδεε

Wykonywanie działań na δ - funkcji rozumiemy w ten sposób, że wykonujemy te działania na funkcji

aproksymującej δ(t,ε) a następnie obliczamy granicę przy ε dążącym do zera.

Własności δ - funkcji:

( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

=⋅=⋅ kdttkdttk δδ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )0000000 tttftttftftttftttf −=−−+−=−⋅ δδδδ

( )∫∞−

⟩

⟨=

t

t

td

01

00ττδ ( )( ) ( )ttu

dt

dδ=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ =−=−2

1

2

1

0000

t

t

t

t

tfdttttfdttttf δδ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

=−= tfdtfttf ττδτδ*

Mnożenie przez stałą

Mnożenie przez funkcję f(t)

Całkowanie dystrybucji Diraca

Sploty dystrybucji Diraca

21

Impuls Kroneckera - jest on odpowiednikiem analogowej (!!!) δ - funkcji

[ ] [ ]

11

00

01

==

≠

===

xEx

ndla

ndlannx δ

22

Wartości średnie sygnałów impulsowych

( )

( )

( )∑

∑

∑

−+

=

−=∞→

=

−=

+=

+−=

1

0

12

00

0

2

1

1

1

12

1lim

1

1

Nn

nn

N

Nnn

n

nn

nxN

x

nxN

x

nxnn

x

Parametry „energetyczne”

( )

( )

( )

xsk

Nn

nn

x

N

Nnn

x

n

x

Px

nxN

P

nxN

P

nxE

=

=

+=

=

∑

∑

∑

−+

=

−=∞→

∞

−∞=

12

0

2

2

00

0

1

12

1lim

…o skończonym czasie trwania

…o nieskończonym czasie trwania

…okresowy

…energia

…moc średnia

…moc średnia sygnału okresowego

…wartość skuteczna

23

Impuls Kroneckera

[ ] [ ]

11

00

01

==

≠

===

xEx

ndla

ndlannx δ

[ ]

121

0

1

+==

>

≤=

NEx

Nndla

Nndlanx

x

[ ]

N

NE

N

Nx

Nndla

NndlaN

n

nx

x3

12

12

0

1

2 +=

+=

>

≤−=

Impuls prostokątny

Impuls trójkątny

Sygnał wykładniczy

[ ]

21

10

100

aEx

ananx

x

n

−==

<<≥=

Sygnał Sa(x)

[ ] [ ]

θ

π

θ

θθ

==

=

≠==

xEx

ndla

ndlan

n

nnx

0

01

0sin

Sa

Sygnał skoku jednostkowego

[ ] [ ]

2121

00

01

==

<

≥==

xEx

ndla

ndlannx 1

24

Dziękuję

( ) ( )∫∞−

=t

dtttu εδε ,,

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞− ∞−

→→===

++

t t

tuddtu ττδτετδεεε

,lim,lim00

( )( ) ( )εδε ,, ttut

=∂

∂ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tttut

tudt

dtu

dt

dδεδεε

εεε==

∂

∂==

+++ →→→,lim,lim,lim

000

By uzasadnić związki całkowe funkcji skoku jednostkowego u(t) i dystrybucji Diraca przyjmijmy definicję funkcji δ(t,ε) aproksymującej funkcję skoku jednostkowego w sposób następujący:

Funkcja ta aproksymuje u(t) gdyż

Z kolei pochodna funkcji aproksymującej u(t,ε) jest równa:

więc otrzymujemy związek

( )επ

εt

artu ctg1

2

1, +=

( )

⟩

⟨≤

−+

⟨≤−

++

⟨−∞⟨

=

ε

εεε

εεε

ε

ε

t

ttt

ttt

t

tu

1

02

12

1

02

12

1

0

,

( )

⟨∞≤

⟨≤−+

⟨−∞⟨

=

t

tt

t

tu

ε

εεε

εε

ε

12

0

,

Odpowiednie funkcje aproksymujące funkcję u(t) mają postać:

25

Dodatek matematyczny – nieobowiązkowy

( ) ( )εδεδ ,,' tt

t∂

∂=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )εδεδεδδδεεε

,'lim,lim,lim'000

ttt

tdt

dt

dt

dt

+++ →→→=

∂

∂===

( )22

1,

tt

+=

ε

ε

πεδ ( )

( )222

2,'

t

tt

+⋅−=

ε

ε

πεδ

3

ε±=t

Aby obliczyć pochodną z δ-funkcji należy obliczyć granicę z ciągu pochodnych funkcji aproksymujących tj.

Jako uzasadnieniem można posłużyć się następującym rozumowaniem:

Na przykład dla ciągłej i różniczkowalnej funkcji parametru „t” otrzymujemy:

Ekstrema tej funkcji znajdują się w punktach

Dla ε→0 wartości funkcji aproksymującej dążą do

zera, zaś dla dowolnego t≠0

Analogicznie można skonstruować wzory aproksymujące

wyższe pochodne.

( ) 0,'lim0

=→

εδε

t

26