4.3. ANALIZA SYGNAŁÓW WA Zasadnicze założenia tkwiące u podstaw analizy sygnałów WA przekazaliśmy już

wcześniej w rozdziale 1.4 mówiąc o charakterystykach opisujących procesy WA. Tutaj zaś skupimy się na praktycznych aspektach wyznaczania takich charakterystyk w dziedzinie czasu widma i amplitudy. Nie będziemy jednak mówić o konkretnych przyrządach jako hardwarowej aproksymacji wzorów z rozdziału 1.4, będziemy zaś mówić o sposobach przeprowadzania takich badań, mając na względzie maksimum uzyskanej informacji i minimum błędu. Kilkanaście lat temu, przy pierwszym pisaniu tego skryptu, w badaniach dominowały wszelkiego typu przyrządy oparte o analogowe przetwarzanie sygnałów, obecnie zaś zaczyna dominować cyfrowe ich przetwarzacie. Omówimy więc oba sposoby analizy sygnałów, analogowe i cyfrowe.

4.3.1. ANALOGOWA ANALIZA WIDMOWA I KORELACYJNA

Analiza widmowa procesów WA jest instrumentalną aproksymacją przekształcenia Fouriera (patrz r. 1.4), czyli instrumentalnym obrazem procesu w dziedzinie częstotliwości. Zasadniczo rozróżniamy dwa typy analizatorów: u stałej względnej szerokości pasma ∆f/f = const oraz o stałej szerokości pasma ∆f = const.

Stała względna szerokość pasma analizy znajduje przede, wszystkim zastosowanie w zagadnieniach zagrożenia hałasowego i drganiowego człowieka i jego otoczenia. Obrazowo można powiedzieć, że jest to implementacja prawa Webera-Fechnera w dziedzinie częstotliwości odczuwania dźwięku i drgań. Tutaj najczęściej używane analizy to oktawowe i tercjowe. Oktawa zaś to pasmo częstotliwości o granicach dolnej fd i górnej fg, których iloraz wynosi fg/fd = 2. Tercja z kolei to pasmo 3 o ilorazie fg/fd = 3 2 . Środkowa częstotliwość takich pasm definiowana jest jako średnia geometryczna fśr = gd ff . Jeśli więc teraz obliczymy względna szerokość pasma, to

będziemy mieli

dla tercji: ( )

%1,23231,0212

6

3

≅=−

=−

==∆

d

d

dg

dg

sr ff

ff

ffff γ

dla oktawy: ( )

%71707,0212

≅=−

=−

==∆

d

d

dg

dg

sr ff

ffff

ff γ

Jak łatwo spostrzec w obu przypadkach , szerokość pasma zwiększa się w miarę wzrostu częstotliwości, gdyż ogólnie ∆f = γf.

Do celów diagnostyki i oceny energetycznej źródeł hałasu i drgań używa się na ogół analizatorów o stałej szerokości pasma: ∆f = const. Analiza taka przedstawia wkład

energetyczny poszczególnych składowych widmowych do ogólnej energii lub emitowanej mocy źródła hałasu lub drgań.

Przechodząc obecnie do analizatorów jako urządzeń realizujących proces analizy widmowej, można je sobie wyobrazić jako pracujące na zasadzie filtra środkowo-przepustowego, zaś sama analiza polega na jego przestrajaniu w skali. częstotliwości i pomiarze amplitudy napięcia zmiennego na wyjściu. Ta amplituda w zależności od sposobu kalibracji i rodzaju filtra będzie zależna od współczynników szeregu Fouriera procesu lub też widma amplitudowego, bądź widma mocy w pewnym paśmie f, czyli

- dla widma

amplitudowego ( ) ( )∫∆+

∆−

=∆∆2/

2/

,ff

ffsru dffXfffX

-dla gęstości

widmowej mocy ( ) ( )∫∆+

∆−

=∆∆2/

2/

,ff

ffusru dffGfffG

Dla uproszczenia zastosowano filtr prostokątny, trudny do zrealizowania. Im bardziej

prostokątny jest filtr, tym bardziej wynik analizy jest podobny do pierwowzoru wynikającego z transformacji Fouriera.

W ogólności palety wyróżnić analizatory równoległe i szeregowe. W pierwszych, będących zbiorem filtrów równoległych, analiza odbywa się równocześnie, zaś w drugim zbiór filtrów jest połączony szeregowo lub filtr jest przestrajany. Wiemy już, że procesy WA mają charakter losowy, więc czas uśredniania wyniku na wyjściu filtra TA odgrywa w analizie pierwszoplanowe znaczenie. Czas ten zależy oczywiście od wielkości błędu εw, jaki dopuszczamy przy danej analizie. Błąd ten dogodnie jest szacować jako wielkość względną w procentach, stąd też na podstawie [20, r. 6; 65, r. 3.5] możemy napisać

%2100

Aw fT∆

=Ε

Wobec tego czas pomiaru w filtrze o szerokości df

sf

Tw

A ∆Ε= 2

2500

Jak stąd widać, czas uśredniania jest odwrotnie proporcjonalny do szerokości pasma ∆f. Dla analizatora równoległego czas analizy widmowej tawr będzie równy czasowi pomiaru w najwęższym filtrze

min

2min2500

fTt

wAawr ∆Ε

==

Czas przestrajania analizatora szeregowego można obliczyć z oczywistego wzoru

Adg

aws Tf

fft

∆−

=

Przy ciągłym przestrajaniu analizatora wystarczy wg [65, r. 3.5] zachowanie warunku TA ∆f >= 4. Wtedy z powyższego wzoru można oszacować [12, s. 100]

( )2

4

ff

t gaws ∆

≥ dla ∆f = const,

d

aws ft 2

4γ

= dla constff =∆=γ

PRZYKLAD A. Obliczmy dla przykładu wymagany czas analizy szeregowej analizatorem

o ∆f = 3 Hz w paśmie fg = 100 Hz:

staws 4443

40002 ≅=

PRZYKLAD B. Jaki musi być czas analizy szeregowej w analizatorze 10%, z początkiem

analizy fd = 10 Hz:

( )staws 40

101,04

2 =≥

Istotnym elementem techniki pomiarowej jest opracowanie i wizualizacja rezultatów badań. Jak już wspomniano, do oceny oddziaływania hałasu i drgań na człowieka używa się

Rys. 4.8. Przykładowe widmo oktawowe hałasu maszyny z naniesioną krzywą N-8O i poziomem dopuszczalnym 8O dB(A) wg PN-84/N-01307 analizatorów tercjowych i oktawowych. Otrzymane za ich pomocą odczyty w dB noszą nazwy poziomów oktawowych i tercjowych. Chcąc następnie otrzymać widmo oktawowe lub tercjowe postępujemy następująco. Na skali poziomej w podziałce równomiernej nanosimy kolejne częstotliwości środkowe pasm analizatorów, np. oktawowego 31,5 ; 63 ; 125 ; 250 ; 500 ; 1000 ; 2000 ; 4000 ; 8000 Hz, zaś na skali pionowej wartości zmierzonych poziomów w paśmie łącznie z filtrami korekcyjnymi A, 8, C oraz poziomem całkowitym (lin = liniowo). Otrzymany w ten sposób ciąg punktów łączymy linią łamaną z wyjątkiem czterech ostatnich pasm. Powstałe w ten sposób widmo oktawowe hałasu można obecnie użyć do oceny zagrożenia hałasowego według wskaźników oceny N lub wg dB(4) (patrz 3.1.3). N a rysunku 4.8 przedstawiono dla przykładu widmo oktawowe hałasu maszyny w porównaniu z poziomem dopuszczalnym 85 dB(A) i odpowiadającą temu krzywą N-80. Widać z rysunku, że analiza widmowa i krzywe N oddają tu duże usługi, jako że widać od razu pasma odpowiedzialne za przekroczenie normowe.

W podobny sposób sporządza się widma tercjowe i inne widma o stałej względnej szerokości pasma γ = const. Jak już wspomniano, widma te nie dają prawdziwego obrazu rozkładu energii w skali częstotliwości. Wystarczy powiedzieć, że jeśli dla pewnego procesu widmo w pasmach półoktawowych jest równomierne w skali częstotliwości, to widmo oktawowe będzie się charakteryzowało poziomem wzrastającym, zaś tercjowe opadającym. Taka sytuacja uniemożliwia porównywanie widm uzyskiwanych z analizatorów różnego typu (tercjowy, oktawowy), zaś z drugiej strony nie daje obiektywnych informacji niezbędnych do celów diagnostycznych i do obliczeń analitycznych obciążenia konstrukcji. Te zadania spełniają analizatory o stałej szerokości pasma ∆f = const, gdyż nie ma tu zmiany charakteru widma. Jednak z uwagi na stosowane różne szerokości pasma ∆f = var, przelicza się niezbędne w diagnostyce analizy do pasma ∆f = 1 Hz. Tak obliczony lub zmierzony. poziom w paśmie 1 Hz nosi nazwę .poziomu widmowego [12, 67]. Praktyczny sposób

przeliczania poziomu w paśmie Lp na poziom widmowy Lw przedstawiają następujące wzory

Lw = Lp - 10 lg∆f , ∆f = const

lub (4.16)

Lw = Lp - 10 lg γfsr , γ = const, gdzie: fsr - średnia geometryczna częstość środkowa pasma, ~ - szerokość względna pasma (np. oktawa γ= 0,707, tercja γ= 0,231). I tak np. sprowadzenie poziomów oktawowych do widmowych wymaga odjęcia 14 dB od poziomu 31,5 Hz poczynając oraz o 3 dB więcej od każdej następnej (spadek o 3dB/oktawę). W przypadku analizy tercjowej odejmujemy 9 d8 dla tej samej częstotliwości oraz powiększamy o 1 d8 dla każdej następnej tercji (spadek o 1 da/tercję). Tak obliczone poziomy widmowe zaleca się prezentować w logarytmicznej skali częstotliwości, gdzie dziesięciokrotny przyrost wartości oznacza przyrost o jedną jednostkę w skali wykresu.

Przeliczenie widma pasmowego wielkości mierzonych w jednostkach absolutnych wymaga nieco innego podejścia, gdyż takie podejście jest niczym innym jak pomiarową wersją wprowadzonej w rozdziale 1.4.3 gęstości widmowej procesu. Jak wiemy relacja między średnim kwadratem amplitudy procesu i jego gęstością widmową ma postać

( )∫∞

=0

2 dffGu uu

Dzieląc całe pasmo na skończoną liczbę N równych pasm analizatora mamy

( ) ( )ii

N

iiiuu

N

ifuffGu 2

11

2

==Σ=∆Σ=

gdzie ( )ifu 2 - średni kwadrat procesu zmierzony w i-tym paśmie o szerokości ∆fi

( ) ( )i

iiiuu f

fufG

∆=

2

Jak widać, dla uzyskania gęstości widmowej mocy Guu(fi) należy wartość skuteczną

zmierzoną w i-tym paśmie podnieść do kwadratu i podzielić przez szerokość tego pasma. Wody oczywiście wymiar tak uzyskanej wielkości będzie identyczny z wymiarem gęstości widmowej mocy procesu.

Jak się wydaje, taka porcja wiedzy o widmowej analizie analogowej jest wystarczająca, przejdziemy więc obecnie do krótkiego omówienia specyfiki analizy korelacyjnej.

Rys. 4.9. Idea analogowego korelatora z przestrajaniem czasu opóźnienia τ

A n a 1 i z a k o r e 1 a c y j n a polega, jak jut wiemy, na badaniu spójności między dwoma fragmentami procesu; tego samego lub dwu generowanych w tym samym czasie (patrz 1.4.2). Sam pomiar funkcji korelacji polega na mnożeniu przesuniętych sygnałów i uśrednianiu rezultatu tak jak na rys. 4.9. Analiza korelacyjna da prawidłowe wyniki, jeśli przy pomiarach spełnione będą warunki na minimum błędu εc, który podobnie jak poprzednio można wyrazić wzorem

%100fTA

c ∆=Ε

gdzie jak poprzednio ∆f - szerokość pasma procesów, TA - czas uśredniania wyniku. Z wzoru tego można obliczyć czas TA niezbędny dla uzyskania zadanej dokładności εc. Z kolei czas całkowity analizy korelacyjnej tac związany jest z maksymalnym opóźnieniem korelatora.

Stad też przy przestrojeniu skokowym z krokiem ∆τ mamy

Aac Ttτ

τ∆

= max

Z kolei przy przestrajaniu ciągłym z liniowym wzrostem czasu opóźnienia tδττ += 0

będziemy mieli

δ

τ max=act

Wybór prędkości przestrajania δ nie jest prosty i zależy od zasady pracy korelatora. Stąd też należy go wybierać zawsze zgodnie z instrukcja wytwórcy.

Jak się wydaje, tyle informacji powinno wystarczyć dla zrozumienia i ewentualnego przeprowadzenia analizy korelacyjnej analogowej. Jeśli zaś chodzi o inne typy analizy czasowej procesów, np. uśrednianie procesów, to trzeba stwierdzić, że w wersji analogowej nie jest prawie wcale wykonywane z uwagi na trudności aparaturowe. Natomiast analiza amplitudowa, tzn. wyznaczanie histogramów gęstości rozkładu amplitudy (1.4.4), jest zawsze dyskretna, bo polega na zliczaniu zdarzeń w poszczególnych przedziałach amplitudowych.

Wystarczy więc, by za przetwornikiem analogowe-cyfrowym był odpowiedni układ zapamiętania, uśredniania i wizualizacji. Jedynym problemem może tu być czas uśredniania wyniku TA. Autorowi nie są znane proste wzory na oszacowanie tego czasu w funkcji błędu. Niemniej można tu zastosować następujące rozumowanie. Aby dobrze odwzorować am-plitudowa ewolucję badanego procesu WA, trzeba skupić uwagę na procesie o najdłuższym okresie T = l/fd. Musi on być zarejestrowany w przetworniku ADC co najmniej N razy. W takim razie czas uśredniania musi spełniać relacje

dA f

NNTT =≈ , ( )8≥N

Dokładniejsze oszacowanie tego czasu i błędu można znaleźć w [20, r. 6] oraz [22, r. 2] 4.3.2. CYFROWA ANALIZA SYGNAŁÓW

Ten coraz bardziej rozwijający się sposób analizy oparty jest na zastosowaniu dyskretnej transformacji Fouriera. Ta wersja przekształcenia zaś wywodzi się z zespolonego szeregu Fouriera funkcji u(t) (patrz (1.80))

( ) ( )∫−

=T

Tkj

k dtetuT

fU0

21 π

, T

f 10 =

( ) ( ) TkTj

kk efUtu

π2

∑∞

−∞=

= , 0kfTkfk ==

Po przejściu sygnału przez przetwornik analogowe-cyfrowy zamiast czasu ciągłego

będziemy mieli czas dyskretny t = n ∆t, gdzie 1/∆t = fs jest częstotliwością próbkowania (sampling) przetwornika. Tak więc po zamianie czasu ciągłego na dyskretny w (4.24) możemy od razu przejść do dyskretnej transformacji Fouriera (ang. DFT) [66, r. 2; 68, r. 5.5]

( ) ( ) ( )∑−

=

∆−∆∆

∆==

1

0

21 N

n

tnT

kj

k tetnutN

kUfUπ

tNT ∆=

czyli transformata DFT

( ) ( )∑−

=

−=

1

0

21 N

n

Nknj

enuN

kUρ

, 1,...1,0 −= Nk

i jej postać odwrotna

( ) ( )∑−

=

1

0

2N

k

Nknj

ekUnuπ

Jednak jednoznaczne wyniki w dziedzinie częstości (prożki) otrzymuje się jedynie dla k =

N/2 - 1, gdyż dla k = N/2 pojawia się częstość Nyquista

NyNy fttN

NT

Nf =∆

=∆

==212/2/

i pozostałe składniki U(k) dla fk > fNy należy uznać jako odbicie zwierciadlane na ujemną oś częstotliwości nie dające żadnej dodatkowej informacji. Jeśli widmo analizowanego procesu nie spełnia twierdzenia Shanona i nie kończy się na fNy/2, to jego widmo po dyskretyzacji ma prążki będące suma odbitych zwierciadlanie wartości oraz pozostałych prążków rzeczywistego widma. Stad też zawsze należy stosować filtrację procesu powyżej częstotliwości Nyquista, by nie nastąpiły efekty przeciekania mocy między prożkami.

Kolejne prążki widmowe są odległe od siebie o

Nf

Nf

tNTf Nys 211 ==

∆==∆

wielkość tę nazywamy rozdzielczością widma dyskretnego. Ten nowy sposób 2nalizy procesów oparty na DFT możemy obecnie zilustrować graficznie (rys. 4.10).

Jako rezultat cyfrowego przetwarzania N próbek sygnału uzyskamy więc zavtsze N/2 linii (prążków) widmowych z częścią rzeczywistą i urojoną, zajmujących pasmo widmowe od zera do częstotliwości Nyquista fNy, czyli do połowy wartości częstości próbkowania fs. Dzieje się tak dlatego, że w DFT zakładamy, że proce s jest T-okresowy. Jego przedstawienie widmowe będzie również okresowe z połową częstości próbkowania dla dodatniej i ujemnej osi częstotliwości. My zaś przyzwyczajeni jesteśmy' i umiemy jedynie mierzyć składowe dla dodatnich częstotliwości. Musimy więc obecnie przeprowadzić skalowanie widma. Jego prążek zerowy U(0) jest niczym innym jak wartością średnia procesu i jest on zwykle bliski zeru, gdyż dla uzyskania minimum błędu przetwarzany proces podlega wstępnemu centrowaniu. Pozostałe prożki widma maja część rzeczywistą i urojoną

Rys. 4.10. Ilustracja dyskretnego przekształcenia Fouriera dla funkcji symetrycznych [6] ( ) kk jbakU += Biorą więc dodatnie i ujemne składowe widmowe, obliczmy wartość skuteczną amplitudy prążka jako ( ) ( )222 kkRMS bakU += Zaś wartość skuteczna przetworzonego fragmentu N próbek sygnału

( ) ( )∑ ∑−

=

−

=

+==1

0

1

0

222N

k

N

kkkRMSRMS bakUU

Dyskretne przekształcenie Fouriera wymaga N2 operacji mnożenia dla N-próbkowego fragmentu sygnału.

Szybkie przekształcenie Fouriera (ang. FFT) polega na odpowiednich subpodziałach i reorganizacji obliczeń tak, te liczba niezbędnych mnożeń spada do N2 / Nlg2N = N / lgN

Przy rozmiarze analizowanego fragmentu 210 = 1024 daje to zmniejszenie liczby mnożeń 102,4 raza. Algorytm FFT jest tak rozpowszechniony i zróżnicowany w przetwarzaniu sygnałów, że nie ma potrzeby podawać tu jednej z jego wersji. Często opisy cyfrowych przyrządów analizujących nawet nie podają jaka wersję FFT stosują; stało się to po prostu częścią ich hardwaru. Zainteresowanych ta sprawa odsyłamy do literatury, np. [66] i [68].

Gdybyśmy mieli do czynienia z deterministycznymi procesami WA,, na tym można by zakończyć część dotyczącą cyfrowej analizy widmowej. Mając zaś składowe losowe w procesach WA, musimy przedyskutować sprawę uśredniania kolejnych widm bieżących. Każdy prątek widmowy (4.27) takiego bieżącego widma reprezentuje w sensie-statystycznym dwa stopnie swobody, jeden dla składowej cosinusowej ak i drugi dla sinusowej bk. Jeśli powtórzymy ten sam proces analizy, znaczy weźmiemy pod uwagę dalsze P fragmentów procesu, to będziemy mieli populację prążków o 2P stopniach swobody każdy. Interesujące byłoby obecnie pytanie, ile fragmentów procesu należy przetworzyć (ile widm bieżących naloty uśrednić), aby ocena amplitudy prążka mogła być przedstawiona z zadaną dokładnością, np. 1 d8, i do tego z zadanym poziomem ufności, np. 95%. Odpowiedź na to pytanie przedstawia rys. 4.11, zaczerpnięty z ~66~, skąd wynika, te aby mieć ocenę amplitudy prążka z dokładnością do ±2 d8 na poziomie ufności 95%, należy pobrać ponad 30 fragmentów procesu. Oczywiście odpowiedź ta jest słuszna przy założeniu przetwarzania bia-łego szumu, więc im bardziej proces będzie zdeterminowany, tym mniej przetworzeń należy uwzględniać przy zadanej dokładności oceny.

Rys. 4.11. Dokładność oceny widma na zadanym poziomie ufności w funkcji liczby analizowanych fragmentów procesu [66J

.

Cyfrowa analiza korelacyjna nie wymaga prawie omówienia, jeśli popatrzymy na dyskretna postać wzoru na funkcję korelacji

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∑∑−

=

−

=

+==∆∆+∆∆∆

=∆=+=T N

nuv

N

nuvuv knvnu

NkKtktnvtnu

TNKKdttvtu

TK

0

1

0

1

0

111 ττττ

Widać więc, że cyfrowa obróbka funkcji korelacji polega na mnożeniu i sumowaniu dyskretnie przesuniętych względem siebie fragmentów procesu. Dokładność oceny mniemy zaś znajdować z rys. 4.11, uwzględniając, te liczba stopni swobody jest równa liczbie powtórzeń (uśrednień) P.

Cyfrowa analiza amplitudowa, jak już wcześniej mówiliśmy, wynika wprost ze swej definicji. Stad wystarczy jedynie uwaga o niezbędnej liczbie uśrednień histogramu gęstości rozkładu. Jeśli najniższa częstość składowa wynosi fd, to najmniejszy rozmiar fragmentu T = 1/fd. I dla tej częstotliwości będziemy mieli dopiero 1 stopień swobody do oceny. Tak więc musimy mieć P stopni swobody (fragmentów, powtórzeń), by móc skorzystać z wykresu 4.11 dla oceny błędu estymacji histogramu (względem najniższej częstotliwości).Jak się wydaje, omówiliśmy jut najważniejsze momenty związane z cyfrowym sposobem przetwarzania sygnałów i możemy obecnie przejść do omówienia ważniejszych procedur badań procesów WA.