podstawy cyfrowego przetwarzania sygnałów.adam.mchtr.pw.edu.pl/~slubela/tps/podstawy.pdf ·...

Zakład Elektroniki

I I P i BL a b o r a t o r i u m T e o r i i P r z e t w a r z a n i a S y g n a ł ó w

© mgr inż. Elżbieta Ślubowska

Podstawy cyfrowego

przetwarzania sygnałów.

TEMATYKAĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest przedstawienie i porównanie podstawowych metod cy-frowej obróbki sygnału. Analizowane są dane zebrane przy pomocy prze-twornika położenia, służącego do określenia kolejnych pozycji urządzenia wskazującego (piórka) na aktywnej pomiarowo powierzchni.

WYMAGANEWIADOMOŚCI

Rozdział 1 niniejszej instrukcji: „PODSTAWY CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁÓW.”

LITERATURAPODSTAWOWA

Rozdział 1 niniejszej instrukcji: „PODSTAWY CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁÓW.”

LITERATURAUZUPEŁNIAJĄCA

Notatki z wykładu „Teoria przetwarzania sygnałów”. K.G Beauchamp „Przetwarzanie sygnałów metodami analogowymi i cyfro-

wymi” WNT Warszawa1978.

OBJAŚNIENIA W ćwiczeniu przedstawiono podstawy wstępnego przetwarzania sygna-łów, tj. dyskretyzacji, usuwania trendu, wstępnej filtracji. Następnie opi-sane zostały podstawowe parametry analizy statystycznej: wartość śred-nia, wariancja, odchylenie standardowe, funkcja gęstości rozkładu praw-dopodobieństwa i parametry opisujące jej kształt (skośność i kurtoza) oraz entropia. Oddzielna część ćwiczenia poświęcona została wybranym metodom analizy korelacyjnej i widmowej: funkcji autokorelacji i funkcji widmowej gęstości mocy. Wszystkie wymienione powyżej metody anali-zy są dostępne w postaci modułu programowego, służącego do analizy zebranych w trakcie ćwiczenia danych pomiarowych.

Podstawy cyfrowego przetwarzania sygnałów.

1. PODSTAWY CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁÓW.

1.1 Przetwarzanie wstępne.

Zebrane dane rzadko przedstawiają zmiany wyłącznie interesującego nas parametru lub parametrów. Zawierają one znaczące, wolnozmienne błędy wynikające z metody po-miaru, stałe błędy stanowiska pomiarowego, i przede wszystkim szum różnego pocho-dzenia, np. w wyniku kwantyzacji amplitudy sygnału oraz dyskretyzacji w dziedzinie czasu, lub inne niepożądane składowe. Przetwarzanie wstępne służy takiej modyfikacji danych pomiarowych aby dostosować je do dalszych, wymaganych metod analizy.

1.1.1 Próbkowanie.

Przeprowadzenie próbkowania, a zwłaszcza dyskretyzacji w dużym stopniu wpływa na ostateczny rezultat analizy numerycznej. Przyjęcie zbyt dużej wartości kroku dyskrety-zacji może spowodować uzyskanie błędnych wyników analizy wynikających z tzw. ma-skowania. Z drugiej strony próbkowanie przy zbyt małym kroku dyskretyzacji znacznie zwiększa czas obliczeń np. widma mocy , który to i tak wygładza się poprzez aproksyma-cję.

Wybór wartości odstępu próbkowania jest teoretycznie uzależniony od maksymalnej częstotliwości sygnału :

max2

1

2

1

ffh

g

≤=

gdzie: h – odstęp próbkowania (okres, krok dyskretyzacji), fg – częstotliwość Nyquista (minimum dwie wartości na okres), fmax – maksymalna częstotliwość sygnału.

Kwantyzacją nazywa się przedstawienie szeregu dyskretnych wartości próbek o zmiennych amplitudach w postaci szeregu liczb dyskretnych reprezentujących wartości tych amplitud. Wpływ kwantyzatora (przetwornika A/C) na sygnał wejściowy można uważać za wpływ urządzenia o jednostkowym wzmocnieniu, nie przesuwającego fazy, wprowadzającego szum biały o równomiernym rozkładzie prawdopodobieństwa.

Błąd kwantyzacji jest ściśle związany ze skokiem kwantyzacji q i można go oszaco-wać dzieląc zakres dynamiczny wielkości wejściowej A przez liczbę poziomów wyrażoną jako 2N , przy czym N odpowiada liczbie bitów w reprezentacji binarnej.

1.1.2 Usuwanie trendu.

Spośród wielu niepożądanych informacji zawartych w analizowanym sygnale można wyróżnić liniowy lub wolnozmienny trend (błąd systematyczny) towarzyszący interesują-cemu nas przebiegowi. Zazwyczaj trend jest wprowadzany przez samą metodę zbierania i zapisu danych i wyraża się stałym, jednokierunkowym przesunięciem punktu odniesienia zapisanej zmiennej. Jest to podkład, który można stosunkowo łatwo usunąć, przy założe-niu, że jego wartość jest znana. Jeżeli nie jest znana, to można oszacować jej wartość średnią i odjąć ją od sygnału podczas przetwarzania wstępnego. Bardzo ważne jest usu-nięcie trendu zanim sygnał zostanie poddany operacjom całkowania, takim jak prze-

Dyskretyzacja - w dziedzinie czasu

Kwantyzacja – w dziedzinie amplitudy sy-gnału

Trend – błąd metody zbie-rania i zapisu danych.

Podstawy cyfrowego przetwarzania sygnałów. 3

kształcenie Fouriera. Jeżeli trend zostanie scałkowany to wyznaczenie funkcji gęstości widmowej mocy lub podobne obliczenia obarczone zostaną znacznym błędem.

Należy też zwrócić uwagę na błąd mogący pojawić się w wyniku całkowania stoso-wanego do wyznaczania gęstości widmowej mocy i w tym podobnych obliczeniach. Błąd ten polega na zwiększeniu mocy w zakresie małych częstotliwości. Taki scałkowany szum przybiera postać trendu przypadkowego zmieniającego się stosunkowo wolno w stosunku do zmiany sygnału. Można go usunąć stosując filtr górnoprzepustowy.

W przypadku danych cyfrowych bardzo ważna jest możliwość rozpoznawania obec-ności częstotliwości zerowej lub jej bliskich. Urządzenia analogowe często nie dają od-powiedzi dla częstotliwości bliskich zeru, tak że małe częstotliwości są z reguły odfiltro-wane. Zupełnie inaczej jest w przypadku danych dyskretnych. Nawet w najwęższym pa-

śmie próbkowania o szerokości T

f2

1=∆ , przy czym T jest okresem zapisu, dla często-

tliwości zerowej i jej bliskich zawarta jest pewna moc. Zakłada się, że inne pasma prób-kowania ...3,2 ff ∆∆ ,aż do częstotliwości Nyquista Nffn =∆ zawierają próbki mocy pro-

porcjonalne do badanego sygnału. Przesunięcie danych przy częstotliwości zerowej lub przesunięcie dla bardzo małych częstotliwości może poszerzyć najniższe pasma i znacznie zniekształcić widmową gęstość mocy wyznaczoną z połączonego sygnału. Do usunięcia tych najmniejszych częstotliwości stosuje się filtry górnoprzepustowe, a częstotliwość graniczną filtru dobiera się jako 1/T.

Na podstawie istnienia danego trendu można wnioskować o jego funkcji. Zazwyczaj stosowaną metodą opisu trendu jest metoda najmniejszych kwadratów , aproksymująca wyniki pomiarów wielomianem niskiego stopnia względem t. Jednak często trend jest zbyt wolny, by można go było przedstawić w ten sposób za pomocą wielomianu. W takim przypadku stosuje się metodę ruchomej średniej trendu. Takie postępowanie sprowadza się do uwzględnienia odchyleń zaobserwowanych wartości od ruchomej średniej trendu. Oszacowaniem trendu są wartości tych odchyleń uśrednione w grupach, tak dobrane, by ich suma była równa zeru. Trend można wówczas usunąć odejmując oszacowane warto-ści od sygnału pierwotnego.

Usunięcie trendu sygnału to teoretycznie usuniecie zdeterminowanej składowej har-monicznej o okresie dłuższym od okresu zapisu T.

Operacja usuwania trendu, zwłaszcza liniowego, jest ściśle związana z tak zwanym przekształceniem normującym. Jest to przekształcenie polegające na sprowadzeniu dys-kretnego zbioru wartości charakteryzujących np. odchyłkę alternatywnie do zbioru o :

• zerowej wartości średniej arytmetycznej, • zerowej wartości średniej arytmetycznej i jednostkowym odchyleniu standardowym.

Zbiór dyskretnych wartości o zerowej wartości średniej uzyskuje się obliczając war-

tość średniej arytmetycznej

∑=

=N

iix

Nx

1

1, a następnie odejmując: xxx in −=

Tak otrzymane wartości nxxx ...,,2,1 tworzą dyskretny zbiór wartości o zerowej warto-

ści średniej 0=x .

Trend jest sygna-łem wolnozmien-nym.


1.1.3 Przerzedzanie danych.

Przerzedzanie jest procesem redukcji danych polegającym na wybraniu w równych odstępach z szeregu danych r próbek danych cyfrowych. Taka redukcja może być ko-nieczna, jeżeli szybkość zbierania danych jest zbyt duża dla wybranych metod analizy. W procesie przetwarzania cyfrowego ważne jest zmniejszenie ilości analizowanych danych do realistycznego minimum, gdyż czas obliczeń jest związany z ilością danych, przykła-dowo czas analizy widma jest proporcjonalny do kwadratu liczby analizowanych danych.

Wybranie każdego r-tego punktu z szeregu danych jest operacją prostą, lecz przerze-dzanie jest nieco bardziej złożone z uwagi na konieczność filtracji cyfrowej danych przed wykonaniem rozrzedzenia. Dla szeregu punktów rozstawionych w równych odstępach h

można analizować częstotliwości składowe do wartości h2

1Hz. Jeżeli jest zatrzymywany

każdy r-ty punkt, to nowy odstęp próbkowania będzie wynosił rhh =' i będzie można

wówczas analizować częstotliwości składowe tylko do wartości hr2

1Hz. Jeżeli z danych

nie odfiltruje się częstotliwości większych od tej wartości, to w rzeczywistości zostaną

one przeniesione do pasma )2

1,0(

rhHz, i zarazem zniekształcą rozrzedzony sygnał.

1.1.3.1 Synteza dolnoprzepustowego cyfrowego filtru pierwszego rzędu.

Prosty cyfrowy (rekursywny) filtr dolnoprzepustowy pierwszego rzędu określony jest wzorem:

1−+= iii Kyxy ; i = 1,2,...

Charakterystykę częstotliwościową można otrzymać podstawiając

tiAyt ωsin= , przy czym T

ff2

1,2 == πϖ , T jest okresem próbkowania, skąd

iit xTitiKATitiKAxTtKAy +−=+−= ωωωω sincoscossin)sin(

0sin)2

2(sinsin === ππω i

T

TiTi , ponieważ i jest liczbą całkowitą. Zatem

iii xTiKyy += ωcos

TiKx

yH

i

i

ωω

cos1

1)(

−==

Współczynnik K można dobrać w taki sposób, aby dla zadanej częstotliwości granicznej filtru wzmocnienie mocy spadło do ½

TiKTiKH c ωω

ωcos2cos1

1

2

1)(

22

2

−+== ,

Ponieważ 1cos)2

2(coscos 222 === ππω i

T

TiTi

dla ci ωω = otrzymujemy po przekształceniach:

1cos22 =− TKK cω

Zatem współczynnik K powinien mieć wartość

1coscos 2 ++= TTK cc ωω

Przerzedzanie danych wyma-ga filtracji dol-noprzepusto-wej.

W filtrach rekursywnych sygnał wyjściowy stanowi sumę ważoną sygnału wejściowego i wyjściowego.


Podstawiając tę wartość do wzoru: 1−+= iii Kyxy ; i = 1,2,... otrzymujemy prosty re-

kursywny filtr dolnoprzepustowy . Warto zauważyć, że dla obliczenia pojedynczej warto-ści iy należy wykonać tylko jedno mnożenie i jedno dodawanie.

1.2 Metody statystyczne analizy sygnałów.

W systemach pomiarowych kilku pomiarom tej samej wielkości odpowiadają nieco różne wyniki i w związku z tym do określenia dokładności pomiarowej i do przeprowa-dzenia zaawansowanej analizy sygnału niezbędna jest znajomość podstawowych pojęć z teorii prawdopodobieństwa i statystyki.

1.2.1 Wartość średnia.

Wartość średnia dla dyskretnego zbioru N pomiarów xi ma postać :

∑=

=N

iix

Nx

1

1

1.2.2 Wartość średniokwadratowa.

Charakterystyką liczbową intensywności danych losowych jest wartość średniokwa-dratowa. Jest to średnia kwadratu zaobserwowanego przebiegu czasowego. Dla sygnału dyskretnego mamy zatem:

( )2

1

2 1 ∑=

=N

iix

Nx

1.2.3 Wariancja.

Sygnał może być sumą składowej wolnozmiennej i pewnych składowych szybko-zmiennych. W takim przypadku wartość średnia reprezentuje „przeciętną” wartość po-ziomu podstawowego (odpowiadającego składowej wolnozmiennej), wokół którego oscy-lują składowe szybkozmienne. Miarą intensywności oscylacji sygnału wokół przeciętnej wartości sygnału podstawowego jest wariancja. Dla sygnału dyskretnego ma ona postać :

2

1

2 )(1

var xxN

xN

iix −== ∑

=

σ

1.2.4 Odchylenie standardowe.

Dla scharakteryzowania chwilowego odchylenia sygnału od wartości średniej defi-niuje się odchylenie jako :

xxi −=δ

Ponieważ zwykle suma odchyleń dla wszystkich danych jest równa zeru, więc cha-rakterystyka liczbowa odchylenia całego sygnału wymaga innej definicji. Parametr ten otrzymuje się obliczając pierwiastek z sumy kwadratów odchyleń chwilowych. Taka cha-rakterystyka będzie zawsze liczbą dodatnią. Wartość ta nazywana jest odchyleniem stan-dardowym i stanowi dodatni pierwiastek kwadratowy z wariancji, tzn. :

xS σ= lub ∑=

−=N

ii xx

NS

1

2)(1

dla n > 30.

Odchylenie standardowe sygnału o zerowej wartości średniej jest równe pierwiast-kowi z wartości średniokwadratowej.


1.2.5 Funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa.

Funkcja gęstości opisuje prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w dowolnej chwili czasu zmienna losowa przyjmie wartość należącą do zadanego przedziału zmienności amplitudy. W przypadku rozważania skończonego zbioru wartości, określenie rozkładu prawdopodobieństwa w całym zakresie możliwych wartości sprowadza się bez-pośrednio do podania prawdopodobieństwa wystąpienia każdej z nich, tzn. bada się liczbę wystąpień wartości jednostkowej, podwojonej wartości jednostkowej itp.

W przypadku nieskończonego zbioru wartości ich rozkład wyraża się poprzez roz-kład wartości funkcji gęstości. Ponieważ w praktyce sygnały analizowane są skończone w tym sensie , że dokonuje się skończonego podziału ciągłego zapisu przebiegu czasowego, mówiąc dalej o funkcji gęstości będę mieć na myśli rozkład prawdopodobieństwa. Kon-sekwentnie, mówiąc o funkcji gęstości również wtedy, gdy zmienna losowa przyjmuje wartości dyskretne.

1.2.5.1 Parametry kształtu rozkładu.

W przypadku rozkładów o parametrach 0≠x i 12 ≠S należy oczekiwać, że krzywa gęstości będzie przesunięta względem standaryzowanej oraz że będzie miała

zmieniony kształt. Dla ustalonej wartości S zmiana wartości oczekiwanej x jest równo-

ważna przesunięciu krzywej wzdłuż osi x bez zmiany jej kształtu. Natomiast wartość S ma istotny wpływ na kształt krzywej. Przy wzroście S krzywa staje się bardziej płaska, jeżeli natomiast S maleje, jej kształt zmienia się na ostrzejszy. W praktyce często zdarza się, że mimo iż proces jest gaussowski, otrzymana krzywa gęstości jest zniekształcona.

Dwa podstawowe rodzaje tego zniekształcenia to tzw. skośność i kurtoza. Pierwsze z nich opisuje brak symetrii krzywej względem wartości oczekiwanej, kurtoza natomiast oznacza zwiększoną stromość lub spłaszczenie krzywej w otoczeniu wartości maksymal-nej. Parametry te obliczamy na podstawie przedstawionych poniżej wzorów.

Współczynnik skośności:

31

3

)2)(1(

)(

SNN

xxN

S

N

ii

k −−

−=

∑=

dla rozkładu symetrycznego względem wartości oczekiwanej Sk= 0, Współczynnik kurtozy

)3)(2(

)1(3

)3)(2)(1(

)()1( 2

41

4

−−−−

−−−

=+=

∑=

NN

N

SNNN

xxNN

k

N

ii

określa na ile rozkład jest podobny do rozkładu normalnego (k = 0).

1.2.6 Entropia.

Jednym ze sposobów powiązania zjawisk mechaniki statycznej z chaosem jest zasto-sowanie pojęcia entropii do układów chaotycznych i porównanie wyników z odpowied-nim układem statystycznym (losowym). Rozważmy hipotetyczny układ statystyczny, dla którego wynik pewnego pomiaru mieści się na odcinku jednostkowym. Jeśli odcinek po-dzielony jest na N pododcinków, możemy i-temu pododcinkowi, zawierającemu pewien przedział możliwych wyników, przypisać prawdopodobieństwo pi.

Gęstość roz-kładu szumu losowego ma charakter nor-malny (gaus-sowski).

Skośność opi-suje brak syme-trii względem wartości ocze-kiwanej.

Kurtoza opisuje zwiększoną stromość lub spłaszczeni krzywej w oto-czeniu wartości maksymalnej.


Entropię układu definiuje się wówczas jako : i

N

ii ppS ln

1∑

=

−=

Wielkość tę interpretować można jako miarę stopnia nieporządku w układzie albo jako informację niezbędną do określenia stanu układu. Jeśli podocinki są równoprawdo-podobne, tak że

Npi

1= dla wszystkich i, to entropia wyraża się przez NS ln= , co jak można poka-

zać jest jej maksymalną wartością. Na odwrót, jeśli o wyniku wiadomo, że znajduje się w konkretnym przedziale, to entropia przybiera wartość minimalną 0=S . Kiedy NS ln= , ilość nowej informacji niezbędnej do określenia wyniku pomiaru osiąga maksimum. Z drugiej strony, jeśli 0=S , żadna nowa informacja nie jest potrzebna.

1.3 Wybrane metody analizy korelacyjnej i widmowej.

1.3.1 Funkcja autokorelacji.

Funkcja autokorelacji stanowi dobry sposób identyfikacji przebiegów okresowych ukrytych w szumie dzięki wykorzystaniu zasadniczej różnicy w kształcie autokorelogra-mu dla danych okresowych i losowych. Przy porównaniu szumu o szerokim paśmie z jego wersją przesuniętą czasowo, wystarcza małe przesunięcie by zlikwidować podobień-stwo, które już nie powraca przy większych przesunięciach. W granicznym przypadku hipotetycznego szumu białego autokorelogram stanowi delta Diraca dla przesunięcia

0=τ . Należy zauważyć, że autokorelogram szumu losowego będzie malał ze wzrostem przesunięcia czasowego i stanie się równy zeru dla dużych przesunięć (zakładając sygnał znormalizowany z zerową wartością średnią). Sygnał sinusoidalny ma, dla odmiany, funkcję autokorelacji o znaczącej wartości, która rozciąga się nieskończenie wzdłuż całe-go zakresu opóźnień czasowych. W przypadku przebiegu zawierającego składową losową i okresową, funkcja korelacji wykazuje okresowość dla sygnału periodycznego, podczas gdy zmniejszeniu ulega, z wyjątkiem zakresu minimalnego opóźnienia, wpływ szumu.

Dyskretną funkcję autokorelacji wyznacza się metodą bezpośrednią wprost z zależności:

∑−

=+−

==rN

nrnn yy

rNrhRR

1

1)()(τ , przy czym mr ,...,2,1,0=

rh=τ , mh=maxτ ,

h – krok dyskretyzacji, odstęp próbkowania; r – liczba odstępów w przesunięciu; m – maksymalna liczba odstępów w przesunięciu. Wygodne jest ponadto wykorzystywanie relacji kontrolującej poprawność obliczeń :

)()(1

)0( 22 ySySN

NR ≈−≈

gdzie: )(2 yS – wariancja, kwadrat odchylenia standardowego.

Funkcja autokorelacji może być przedstawiona w postaci tzw. unormowanej (względnej ) funkcji autokorelacji :

Im większa wartość entropii, tym więcej informacji potrze-bujemy do opisu stanu badanego układu.

Autokorelogram zachowuje okreso-wość oryginalnego sygnału, ale bez informacji o fazie.


1)0(

)()( ≤=

R

R ττς

gdzie R(0) jest to wartość funkcji autokorelacji dla zerowego przesunięcia 0=τ . Szczególną wartość autokorelogramu stanowi fakt, że jest to przebieg w dziedzinie

czasu, który daje informację dotyczącą zachowania się analizowanej funkcji w dziedzinie częstotliwości.

Następną funkcją ściśle związaną z funkcją autokorelacji jest funkcja gęstości wid-mowej mocy, a ściślej jednostronna funkcja gęstości widmowej mocy (autospektrum).

1.3.2 Funkcja gęstości widmowej mocy.

Funkcja gęstości widmowej mocy nie zawiera żadnej dodatkowej informacji uzupeł-niającej informację daną w postaci funkcji autokorelacji. Stanowi natomiast inną jej po-stać, w pewnych przypadkach wygodniejszą do interpretacji i wykorzystania praktyczne-go.

Zmienną niezależną w funkcji autokorelacji stanowi przesunięcie. W funkcji jedno-stronnej gęstości widmowej zmienną niezależną jest natomiast częstotliwość lub częstość (pulsacja, częstotliwość kątowa) związane zależnością: fπω 2= . Częstotliwość jest poję-

ciem łatwym do powiązania ze zjawiskami fizycznymi, a zwłaszcza ze zjawiskami kine-matyczno - fizycznymi.

Gęstość widmową mocy wyznacza się metodami analizy numerycznej, stosując dwie podstawowe metody: • metodę analizy konwencjonalną (Blackmana – Tukey’a) polegającą na wyznaczeniu

gęstości widmowej mocy w wyniku zastosowania Transformaty Fouriera funkcji auto-korelacji,

• metodę analizy numerycznej z Szybką Transformatą Fouriera FFT (Cooley’a – Tu-key’a) polegającą na wyznaczeniu gęstości widmowej mocy bezpośrednio z sygnału w wyniku zastosowania Szybkiej Transformacji Fouriera.

Obliczania numeryczne gęstości widmowej mocy metodą konwencjonalną stanowią dalszy ciąg obliczeń funkcji autokorelacji, to znaczy w pierwszym kroku oblicza się od-powiednie wartości funkcji autokorelacji:

)(),...,(),...,2(),1(),0( mhRrhRhRhRR

na podstawie których przeprowadza się opisane dalej obliczenia.

W dalszym kroku określa się dyskretne częstotliwości harmoniczne, dla których bę-dzie wyznaczana gęstość widmowa mocy.

m

kff

g= mk ,...,1,0= h

fg2

1=

k - rząd częstotliwości harmonicznej, h - krok dyskretyzacji, odstęp próbkowania; fg - częstotliwość Nyquista. Mając ustalone powyższe wartości otrzymuje się:

Uwaga !

Opis metody konwencjonalnej.


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=

=

=

mkf

mkm

kf

k

f

g

g

,

1,...,1,

0,0

Następnie wyznacza się dla m+1 częstotliwości harmonicznych

zgrubne estymatory gęstości widmowej mocy :

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++= ∑

−

=

1

1

coscos202)(~ m

r gg f

mfmhR

f

rfrhRRhfG

ππ, lub

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++== ∑−

=

1

1

)()1()cos()(2)0(2)(~

)(~ m

r

kg mhRm

rkrhRRh

m

kfGfG

π

Prawidłowość obliczeń można sprawdzić wykorzystując relację :

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++= ∑−

=

1

10

~5,0

~~5,0

2

10

m

kmk GGG

hmR

Ostatecznie estymatory gęstości widmowej mocy wyznacza się stosując wygładzanie częstotliwościowe np. metodą Hanna, tzw. hanningowanie. Hanningowanie polega na wykorzystaniu następujących wzorów iteracyjnych :

( ) ( )100

~~5,00 GGGG +== , k = 0;

( ) 11

~25,0

~5,0

~25,0 +− ++== kkkk GGGGfG , k = 1,...,m-1;

( ) ( )mmmg GGGfG~~

5,0 1 +== − , k = m.

2. OPIS STANOWISKA LABORATORYJNEGO.

Prezentowane stanowisko badawcze składa się z następujących części: • komputera nadzorującego pomiar i analizę danych, • specjalizowanego przetwornika analogowo – cyfrowego, przetwarzającego położenie

wskaźnika (piórka) w aktywnym pomiarowo obszarze na współrzędne liczbowe, • drukarki jako urządzenia do przygotowania wzorców.

Część programowa systemu składa się z trzech aplikacji - programów wykorzystują-cych wspólne repozytorium.

2.1 Aplikacja do generacji i skalowania wzorców.

Aplikacja ta służy do generowanie torów pomiarowych i wydruku wzorców odpo-wiadających zaprojektowanym torom.

Podczas badania pacjent ma za zadanie odtworzyć kształt wzorca umieszczonego pod przezroczystą podkładką na tabliczce pomiarowej. Przygotowanie wzorca odgrywa istotną rolę w całym procesie pomiarowym, ponieważ już na tym etapie można popełnić błędy, które następnie zniekształcą zbierane dane. Aplikacja umożliwia takie wyskalowa-


nie wydruku, aby zminimalizować błędy wynikające z parametrów mechanicznych zasto-sowanego egzemplarza drukarki.

2.2 Aplikacja do akwizycji danych pomiarowych.

Pierwszym celem powyższej aplikacji jest wyskalowanie położenia wzorca. Po ręcznym ułożeniu wybranego wzorca, na aktywnej pomiarowo powierzchni, ko-

nieczne jest, możliwie najdokładniejsze, określenie położenia wzorca, we współrzędnych przetwornika. Zastosowane skalowanie polega na wskazaniu, przy pomocy piórka, czte-rech punktów kontrolnych (oznaczonych jako: „A”, „B”, „C” i „D”) wydrukowanych na wzorcu. Osoba prowadząca badanie może pozytywnie zakończyć skalowanie tylko po-przez wskazanie każdego punktu z błędem określonym przez graniczny rozrzut wyników poszczególnych wskazań.

Podstawowym zadaniem tej aplikacji jest zebranie z przetwornika danych pomiaro-wych i zapisanie ich, w odpowiedni sposób, do zaprojektowanej w tym celu bazy danych. Pomiary zbierane są ze stałym interwałem czasowym.

Aplikacja umożliwia również wstępne sprawdzenie poprawności zapisanych danych na podstawie wykresu X – Y.

2.3 Aplikacja do analizy wyników.

Pierwszym zadaniem programu służącego do analizy pomiarów jest konwersja współrzędnych pomiarowych z umownej przestrzeni tabletu do przestrzeni milimetrowej. Aby tego dokonać, należy obliczyć współczynniki takiej transformacji. Ponieważ skalo-wanie polega na wskazywaniu punktów wzorca o zadanych współrzędnych milimetro-wych, współczynniki transformacji uwzględniają, z zadaną dokładnością, rzeczywiste położenie wzorca na powierzchni pomiarowej.

Oprócz wizualizacji zapisanych danych w formie wykresów, aplikacja umożliwia przede wszystkim przeprowadzenie i udokumentowanie zaawansowanej analizy cyfro-wej.

2.4 Sposób przeprowadzenia badania.

Przed przystąpieniem do badania należy umieścić na aktywnej pomiarowo po-wierzchni przetwornika przygotowany wcześniej wzorzec, a następnie dokonać skalowa-nia systemu. Ponieważ wzorzec umieszczany jest pod przezroczystą podkładką, to w przypadku, gdy mamy pewność, że od poprzedniego pomiaru nie uległ on przesunięciu, możemy proces skalowania pominąć.

W następnym kroku należy wprowadzić do programu niezbędne informacje o osobie poddawanej testowi. Informacje te są ściśle określone w odpowiednich polach aktywnego okna. Jeżeli jest to kolejne badanie tej samej osoby, to wystarczy wybrać tą osobę z udo-stępnianej listy.

Kolejny etap konfiguracji pomiaru polega na wybraniu odpowiedniego toru, odpo-wiadającego umieszczonemu na powierzchni przetwornika wzorcowi.

Po wykonaniu wyżej opisanych czynności można rozpocząć badanie. Należy zwrócić uwagę, aby w trakcie pomiaru, .wzorzec został odtworzony kilkakrotnie w sposób ciągły, bez odrywania końcówki piórka od powierzchni pomiarowej, bez podpierania przedra-mienia aktywnej (piszącej) ręki.

Po zakończeniu pomiaru można wprowadzić do programu dodatkowe informacje do-tyczące osoby badanej lub testu.


3. PRZEBIEG ĆWICZENIA.

3.1 Zbieranie danych pomiarowych.

Stanowisko pomiarowe uruchomiane jest przez osobę prowadzącą ćwiczenie. Przed przystąpieniem do wykonania pomiarów należy sprawdzić w programie Ba-

dania ustawienia dotyczące wykorzystywanego do zbierania danych portu. W tym celu wybierz z głównego menu Narzędzia/Konfiguracja i ustaw korzystanie z portu COM1.

W następnym kroku wprowadź przy pomocy Narzędzia/Osoby dane dotyczące osoby poddawanej testowi. Wprowadzone dane zapisz do bazy przy pomocy przycisku służącego do wstawienia nowego rekordu, oznaczonego jako +. Następnie przejdź do Pomiary/Zbierz i na pytanie, czy pozostawić poprzednie wartości skalowania odpowiedz twierdząco (Yes). Z rozwiniętej listy wybierz osobę poddawaną testowi i zatwierdź po-prawność tego wyboru przyciskiem OK.

Konfigurację pomiaru kończy wybór Toru z udostępnionej listy. Wskazany Tor po-winien odpowiadać umieszczonemu na powierzchni pomiarowej wzorcowi !

Po wykonaniu powyższych czynności system sygnalizuje gotowość do rozpoczęcia zbierania danych. Test powinien składać się minimalnie z 6 powtórzeń kształtu zadanego wzorca, wykonanych z możliwie największą dokładnością. W trakcie pomiaru łokieć ręki trzymającej piórko powinien być uniesiony do góry wraz z całym przedramieniem. Wskazane jest, aby w trakcie całego pomiaru nie odrywać końcówki piórka od po-wierzchni roboczej tabliczki pomiarowej. Zbieranie danych zakończ przez wskazanie przycisku OK w aktywnym oknie programu Badania.

Po zakończeniu pomiaru uaktywnia się okienko z zapisanymi informacjami doty-czącymi testu. Sprawdź ich poprawność i ewentualnie wprowadź korektę danych lub dodatkowy opis.

Następnie przy pomocy opcji Testy/Rysuj otwórz udostępniony rysunek zebranych danych w formie wykresu Y(X) i w przypadku wystąpienia pojedynczych punktów znacznie odległych od kształtu narysowanej krzywej poinformuj o tym prowadzącego ćwiczenie.

Ponieważ analiza danych wykonywana jest w ćwiczeniu na innym komputerze, nale-ży wyeksportować dane testu korzystając z opcji Testy/Eksport. Przed zakończeniem pracy na stanowisku do zbierania danych zanotuj numer swojego testu!

Tę część należy wykonać dla wszystkich osób w zespole. Pomiary/Koniec kończą pracę modułu do akwizycji danych.

3.2 Analiza danych pomiarowych.

3.2.1 Czynności wstępne.

Włącz zasilanie wskazanego przez prowadzącego stanowiska komputerowego. Po uruchomieniu systemu, z zestawu programów, wyświetlanych w menu Start wybierz Laboratorium TPS. Następnie wskaż przycisk “Podstawy cyfrowego przetwarzania sy-gnałów”. Uruchamiany jest program Analiza, służący do analizy zebranych danych.

Zaimportuj dane do bazy lokalnej wybierając opcję Test /Import. Wczytaj test używając menu Test/Wybierz). Z listy testów za pomocą inicjałów lub

przy pomocy suwaka odszukaj właściwy test. Następnie przejdź do Dane/Zakres danych i zapisz długość testu.

Stanowisko pomiarowe uruchamia osoba prowa-dząca ćwicze-nie !

Narysuj zadany kształt co naj-mniej 6 razy !

Zanotuj numer swojego testu!


Aby sprawdzić poprawność wybranych do analizy danych, skorzystaj z menu Wy-kres/Nowy. Zostanie w ten sposób udostępnione okno: Wybór wykresu, a w nim tabela służąca do konfiguracji wykresów. Nazwy wypisane poziomo odpowiadają odpowiednim wartościom przypisanym do osi poziomej, zaś nazwy rozmieszczone pionowo odpowia-dają wybranym zmiennym, przypisanym do osi pionowej. Aby utworzyć wykres Y(X) wskaż w tabeli komórkę odpowiadającą w poziomie wartościom X, a w pionie zmien-nej Y.

W przypadku wystąpienia, na utworzonym wykresie, pojedynczych punktów znacz-nie odległych od kształtu zadanego wzorca należy zwrócić się o pomoc do prowadzącego ćwiczenie. Po sprawdzeniu danych zamknij otwarty wykres.

3.2.2 Wstępna analiza danych.

Ponownie wybierz Wykres/Nowy i otwórz następujące wykresy, przez zaznaczenie odpowiednich komórek tabeli:

)(tX wykres zebranych wartości X w funkcji czasu;

)(tY wykres zebranych wartości Y w funkcji czasu;

)(tdR wykres odchyłek od kształtu wzorca w funkcji czasu;

Dokładnie przeanalizuj zakresy i kształt wykresów. Wnioski zanotuj w sprawozda-niu. Przed przystąpieniem do następnej części ćwiczenia zamknij wykresy.

3.3 Analiza odchyłek.

W głównym oknie aplikacji wybierz menu Dane, a następnie Odchyłki. W ten spo-sób dalszej analizie będą podlegały nie punkty narysowanej krzywej, ale odchyłki od za-danego wzorca, liczone jako różnica między odległością punktu pomiarowego od punktu centralnego wzorca a promieniem okręgu wzorcowego.

Przed przystąpieniem do analizy sprawdź położenie punktu centralnego. W tym celu wybierz Analiza/Opcje i ustaw parametry:

Domyślne, tj. X= 105, Y= 75, R= 65,00.

3.3.1 Zależność wybranych parametrów analizy od długości analizowanego zbioru.

Wybierz pozycje Analiza/Opcje/Histogram. W otwartym w ten sposób oknie ustaw następujące parametry: • zakres histogramu: –5 do 5mm, symetryczny, • ilość przedziałów: 40,

Następnie wybierz Analiza/Histogram. Po wykonaniu tych czynności pojawi się hi-stogram unormowany analizowanych odchyłek.

Następnie przejdź do głównego menu i wybierz Raport. Zanotuj podstawowe pa-rametry statystyczne analizowanych danych, wszystkie dotyczące analizy odchyłek. Przy pomocy opcji Analiza/Autokorelacja i Analiza/Widmo gęstości mocy wykonaj odpo-

wiednie wykresy. Wyniki analiz zanotuj w Tabeli wyników. Powtórz wszystkie analizy dla ilości danych określonej w Tabeli wyników. Aby

zmienić zakres analizowanych danych przejdź do głównego menu i wybierz Dane/Zakres danych. W odpowiedniej komórce otwartego okna wpisz określoną liczbę, odpowiadającą ilości danych wybranych do analizy (zgodnie z wartością opisaną w Tabeli wyników).

Ustaw parame-try punktu cen-tralnego.

Wyniki analiz zanotuj w Tabeli wyników.


Czy otrzymane różnice w wartościach odpowiadających sobie parametrów analizy statystycznej są znaczące? Czy ta ilość danych jest wystarczająca do przeprowadzenia analizy korelacyjnej i widmowej? Dla jakiej długości analizowanego zbioru ilość danych jest niewystarczająca do przeprowadzenia poprawnej analizy ?

Po zakończeniu tej części ćwiczenia zamknij wszystkie wykresy!

3.3.2 Analiza trendu.

Głównym źródłem znaczących błędów o charakterze wolnozmiennym jest, w tym przypadku, błąd wynikający z ustawienia wzorca na tablecie i błąd wprowadzony przez osobę badaną, wynikający z kąta patrzenia na wzorzec, sposobu trzymania i poruszania piórkiem.

Błąd ustawienia wzorca na aktywnej pomiarowo powierzchni korygowany jest au-tomatycznie przez dostępną w programie Pomiary opcję Skalowanie. Do określenia prawidłowego położenia wzorca wykorzystywane są dodatkowe punkty (A, B, C, D) na-niesione na kartkę z wydrukowanym wzorcem.

Błędy kształtu wprowadzone przez osobę badaną są przedmiotem dalszej analizy. Opisane poniżej analizy wykonaj, na określonym w Tabeli wyników zakresie da-

nych. Ustawienie ilości analizowanych danych dostępne jest w Dane/Zakres danych. Otwórz wykresy dotyczące analizy korelacyjnej i widmowej przez wybór odpo-

wiednio Analiza/Autokorelacja i Analiza/Widmo gęstości mocy. Przesunięcie punktu centralnego narysowanej krzywej w stosunku do punktu cen-

tralnego wzorca wprowadza głównie trend sinusoidalny, który można zaobserwować wybierając Analiza/Trend sin .

Dopasuj położenia punktu centralnego tak aby zminimalizować odchyłki, w tym celu wybierz opcję Analiza/Paralaksa. Zanotuj nowe współrzędne punktu centralnego wi-doczne na dole ekranu lub w oknie Analiza/Opcje. Ponownie zaobserwuj wielkość tren-du o charakterze sinusoidalnym oraz przeprowadź analizę autokorelacyjną, widmową i statystyczną. Opisz otrzymane różnice. Uzupełnij Tabelę wyników. Po zakończeniu tej części zamknij wszystkie wykresy.

Przesunięcie punktu centralnego wzorca oraz niedokładności odwzorowania promie-

nia to jednak nie wszystkie źródła szumu o charakterze wolnozmiennym. Oprócz tego wprowadzone są również błędy odwzorowania kształtu wzorca wynikające ze sposobu rysowania, zmiany wynikające ze zmęczenia ręki itp. Aby w dalszej analizie błędy te wy-eliminować można przeprowadzić analizę nie samych odchyłek, a prędkości zmian od-chyłek promieniowych.

3.4 Analiza prędkości zmian odchyłek.

W głównym oknie aplikacji wybierz menu Dane, a następnie Prędkości R. W ten sposób dalszej analizie będą podlegały nie odchyłki, ale prędkości odchyłek promienio-wych, liczone jako różnica między dwiema kolejnymi odchyłkami. Różnica ta odpowia-da prędkości zmian odchyłek, ponieważ dane zbierane są ze stałym interwałem czaso-wym.

Ustaw ilość analizowanych danych równą długości całego zbioru. Przed przystąpie-niem do analizy sprawdź położenie punktu centralnego. W tym celu wybierz Analiza/Opcje i ustaw parametry:

Domyślne, tj. X= 105, Y= 75, R= 65,00.

Odpowiedzi na pytania umie-ścić należy w sprawozdaniu.

Dalsza analiza dotyczy tylko określonej w Tabeli wyników ilości danych !

Zmień zakres analizowanych danych.


3.4.1 Zależność wybranych parametrów od długości analizowanego zbioru.

Wybierz pozycje Analiza/Opcje/Histogram. W otwartym w ten sposób oknie ustaw następujące parametry: • zakres histogramu: –20 do 20mm, symetryczny, • ilość przedziałów: 40.

W następnym kroku wybierz Analiza/Histogram. Po wykonaniu tych czynności po-jawi się histogram unormowany analizowanych prędkości odchyłek.

Następnie przejdź do głównego menu i wybierz Raport. Zanotuj podstawowe para-metry statystyczne analizowanych danych, wszystkie dotyczące analizy prędkość odchy-łek promieniowych. Przy pomocy opcji Analiza/Autokorelacja i Analiza/Widmo gęsto-ści mocy wykonaj odpowiednie wykresy. Wyniki analiz zanotuj w Tabeli wyników.

Powtórz wszystkie analizy dla ilości danych określonej w Tabeli wyników i zanotuj wyniki analizy.

Czy otrzymane różnice w wartościach poszczególnych parametrów analizy statystycznej są znaczące? Czy różnice te są takie same jak w przypadku analizy odchyłek?

Po zakończeniu tej części ćwiczenia zamknij wszystkie wykresy!

3.4.2 Analiza trendu.

Ustawić długość danych równą wartości wskazanej w Tabeli wyników. Sprawdzić położenie punktu centralnego, tj. wartość środka i promienia powinna być ustawiona na parametry domyślne.

Obejrzyj Trend(sin). Przeprowadzić analizę autokorelacyjną, widmową i statystycz-ną. Następnie skoryguj parametry punktu centralnego wybierając Analiza/Paralaksa. Ponownie przeprowadzić wszystkie opisane powyżej analizy. Uzu-pełnij Tabelę wyników.

Opisz wykres dotyczący analizy widmowej. Opisz różnice w stosunku do otrzymanych poprzednio wykresów dla analizy odchy-

łek. W tym celu można ponownie otworzyć odpowiednie wykresy dla odchyłek w sposób już wcześniej opisany.

Po zakończeniu tej części ćwiczenia należy zamknij wszystkie wykresy. Zakończ pracę programu przez wskazanie Test/Koniec. Nie zamykaj systemu, nie wyłączaj zasilania.

Ustaw parame-try punktu cen-tralnego.

Ponownie zmień zakres analizowanych danych.

4. Tabela wyników. Nr testu Osoba Uwagi Wzorzec Data Opis testu

Parametry statystyczne Parametry częstotliwościowe Analiza odchyłek Średnia Odchyl.

stand. Skośność Kurtoza Entropia Wartości zna-

czące Częstotliwość dla mak. [Hz]

An

aliz

a całe

go

zb

io-

ru d

any

ch.

(....

60

00

.....d

any

ch)

Xc

= 1

05

Y

c =

75

R

c =

65

An

aliz

a o

gra

nic

zo-

neg

o z

bio

ru.

(..3

00

0...

dan

ych

).

Xc

= 1

05

Y

c =

75

R

c =

65

An

aliz

a p

o u

sun

ięci

tr

end

u

(....

30

00

... d

any

ch )

Xc

= ..

......

......

Y

c =

.....

......

...

Rc

= ..

......

......

Parametry statystyczne Parametry częstotliwościowe Analiza prędkości zmian odchyłek

Średnia Odchyl.

stand. Skośność Kurtoza Entropia Wartości zna-

czące Częstotliwość dla mak. [Hz]

An

aliz

a całe

go

zb

io-

ru d

any

ch.

(....

.60

00

....d

any

ch)

Xc

= 1

05

Y

c =

75

R

c =

65

An

aliz

a o

gra

nic

zo-

neg

o z

bio

ru.

(....

30

00

...d

any

ch).

Xc

= 1

05

Y

c =

75

R

c =

65

An

aliz

a p

o u

sun

ięci

tr

end

u

(...3

00

0..

dan

ych

)

Xc

= ..

......

......

Y

c =

.....

......

...

Rc

= ..

......

......

Oświadczenie:

podstawy cyfrowego przetwarzania sygnałów.adam.mchtr.pw.edu.pl/~slubela/tps/podstawy.pdf ·...

Documents