fourier [tryb zgodności] - zespół przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 dyskretne widmo...

of 60/60
1 Spis treści 1. Dyskretne widmo sygnałów okresowych 2. Związek między szeregiem i transformacją Fouriera 3. Warunki istnienia i odwracalności transformacji Fouriera 4. Widma sygnałów 5. Własności transformacji Fouriera 6. Przykład transformat Fouriera 7. Uogólniona transformacja Fouriera ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW

Post on 14-Feb-2020

0 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 1

    Spis treści

    1. Dyskretne widmo sygnałów okresowych

    2. Związek między szeregiem i transformacją Fouriera

    3. Warunki istnienia i odwracalności transformacji Fouriera

    4. Widma sygnałów

    5. Własności transformacji Fouriera

    6. Przykład transformat Fouriera

    7. Uogólniona transformacja Fouriera

    ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW

  • 2

    Trochę historiiBaron Jean Baptiste Joseph FOURIER (1768-1830)

    Z wyróżnieniem ukończył szkołę wojskową w Auxerre.

    Został nauczycielem Ecole Normal a potem Politechniki w Paryżu.

    Napoleon mianował go zarządcą Dolnego Egiptu w wyniku ekspedycji z 1798 roku.

    Po powrocie do Francji został prefektem w Grenoble. Baronem został w 1809 roku. Ostatecznie w 1816 roku został sekretarzem Akademii Nauk a następnie jej członkiem w 1817.

    W okresie od 1808 roku do 1825 roku napisał 21 tomowy Opis Egiptu.

    Równaniem ciepła zainteresował się w 1807 roku. W opublikowanej w 1822 roku pracy pokazał jak szereg zbudowany z sinusów i kosinusów można wykorzystać do analizy przewodnictwa ciepła w ciałach stałych. Nad szeregami trygonometrycznymi pracował do końca życia, rozszerzając tę problematykę na transformację całkową.

  • 3

    Dyskretne widmo sygnałów okresowych

    Dla sygnałów spełniających dwa warunki: ),( Cs s t s t T( ) ( )

    s t c c nf tnn

    T n( ) cos

    01

    2

    gdzie f TT 1 / oraz

    c f s t dtTT

    00

    ( ) c a bn n n 2 2

    n n nb a arc tg( )

    a f s t nf t dtn T TT

    2 20

    ( ) cos( ) b f s t nf t dtn T TT

    2 20

    ( ) sin( )

    można utworzyć szereg

    widmo amplitudowe

    widmo fazowe

  • 4

    Od zespolonego szeregu do transformacji

    Fouriera

    s t s enjnf t

    n

    T( )

    2

    gdzie

    s f s t e dtn Tjnf t

    f

    T

    T

    ( ) 20

    1

    T fT 1 /

    Niech fnfT

    czyli ,n fT 0

    Po zmianie granic całkowania s f s t e dtn T j n f tTfT

    fT

    ( ) 2

    12

    12

    s t s enn

    jnt T( ) /

    2

    +

    sT

    s t e dtnT

    j n t T 1

    0

    2( ) /

    +

    s f s fn T ( )Dodatkowo niech

  • 5

    Od szeregu do transformacji Fouriera

    Podstawiając s f s fn T ( ) oraz nf fT

    otrzymujemy ( ) ( )s f s t e dtjft

    2 fT 0dla

    Ze wzoru s t s n f e fT jn f t Tn

    T( ) ( )

    2 oznaczając f dfT

    otrzymujemy s t s f e dfjft( ) ( )

    2

    s f s t e dtn Tj n f tT

    fT

    fT

    ( ) 2

    12

    12

    bo fT 0

  • 6

    Bramka prostokątna i jej widmo Fouriera

    Sygnał

    Czas

    -T 0 T

    0

    1

    s(t)

    -2/T -1/T 0 -1/T 2/T

    0

    1

    s(f)^

    Częstotliwość

    Widmo jest funkcją rzeczywistą

    s tT t T

    t T t T( )

    10

    dladla i

    ( )sin( )

    s f e dtj f

    ef T

    fjft jft

    T

    T

    T

    T

    2 2

    12

    2

    Obliczyć widmo sygnału

    Posługując się definicją transformacji Fouriera

  • 7

    Definicja transformacji Fouriera

    Ogólnie( ) ( )s f s t e dtj f t

    s t s f e dfj f t( ) ( )

    2

    Dla nas 1 i 2

    Często 1 i lub 1 1 2/ i 1

    )(ˆ)( fsts

  • 8

    Warunki odwracalności transformacjiFouriera

    Twierdzenie 1.Niech dany będzie sygnał s L 1( ) taki, że jego transformataFouriera ( )s L 1 , wtedy

    s t e s t e dt dfjft jft( ) ( )

    2 2

    w każdym punkcie t dla którego sygnał s jest ciągły.

    Twierdzenie 2.

    Jeżeli sygnał s L L 1 2( ) ( )

    to wtedy jego transformata ).(ˆ 2 Ls

    dttsLsdf

    )()(1

    dttsLsdf

    )()( 22

  • 9

    Widma sygnałów

    ( ) ( )s f s t e dtjft

    2

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )s f r f j i f s f e A f ej f j f

    ( )s f , A f( ) - widma amplitudowe,( )f , ( )f - widma fazowe,( )r f - widmo rzeczywiste,( )i f - widmo urojone.

    ( ) ( ) ( )s f r f i f 2 2

    )(ˆ)(ˆtgarc)(

    frfif

    - widmo zespolone,

  • 10

    Widma sygnałów

    arc tg : / , / 2 2 / ( ) /2 2f

    A fr f i f

    i ff f

    r f f( )

    ( ) ( )( )

    sin ( ) ( )

    ( ) ( )

    2 2

    0

    0

    dla

    dla

    0)(dla)(0)(dla)(

    )(ˆarg)(

  • 11

    Parzystość widma rzeczywistego i amplitudowegooraz nieparzystość widma urojonego i fazowego

    ( ) ( ) ( ) cos ( ) sin( ) ( ) ( )s f s t e dt s t ft j ft dt r f j i fjft

    2 2 2

    gdzie( ) ( )cos( )r f s t ft dt

    2( ) ( ) sin( )i f s t ft dt

    2

    ( ) ( )( ) ( )r f r fi f i f

    )(ˆ)(ˆtgarc)(

    frfif( ) ( ) ( )s f r f i f 2 2

    )()()(ˆ)(ˆfffsfs

  • 12

    Własności widm

    ( ) ( ) ( )s f r f i f 2 2

    ( ) (( ) ( ))f i f r f arc tg

    Dla sygnału s t s t( ) ( )

    otrzymujemy

    0

    )2cos()(2)(ˆ)(ˆ dtfttsfrfs

    Dla sygnału s t s t( ) ( )

    otrzymujemy

    0

    )2sin()(2)(ˆ)(ˆ dtfttsjfijfs

    ( ) ( ) ( ) cos ( ) sin( ) ( ) ( )s f s t e dt s t ft j ft dt r f j i fjft

    2 2 2

  • 13

    Transformacja Fouriera jest przekształceniem liniowym

    Addytywność s t s t e dt s f s fj f t1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

    Jednorodność a s t e dt as fjft( ) ( )

    2

    Zatem a s t b s t e dt a s f b s fjft1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

  • 14

    Zachowanie iloczynu skalarnego

    Twierdzenie Rayleigha

    s t s t dt s f s f df1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

    Wynika stąd

    0ˆ,ˆ0, 2121 ssss

  • 15

    Zachowanie energii

    Twierdzenie Parsevala

    s sL L2 22 2

    zatem

    s t dt s f df2 2( ) ( )

  • 16

    Zachowanie odległości

    Skoro

    )()()( 21 tststs

    otrzymujemy

    dffsdtts 22 )(ˆ)(

    to przyjmując

    dffsfsdttsts 2212

    21 )(ˆ)(ˆ)()(

    )(ˆ)( fsts bo dla parydzięki liniowości transformacji Fouriera )(ˆ)(ˆ)(ˆ 21 fsfsfs

  • 17

    Dualność transformacji Fouriera

    ( ) ( )s f s t e dtj f t

    2

    ( ) ( )s e s t e dt dfjf j f t

    2 2

    Otrzymujemy zależność zwaną dualnością transformacji Fouriera

    ( ) ( )s s

    ( ) ( ) ( ) ( )s f s t e dt s f s t e dtjft jft

    2 2

    -T 0 T

    0

    1

    s(t)

    -2/T -1/T 0 -1/T 2/T

    0

    1

    s(f)^

    Np.

  • 18

    Początkowa wartość transformaty Fouriera

    ( ) ( )s f s t e dtj f t

    2

    Podobnie, podstawiając do przekształcenia odwrotnego otrzymujemy

    dffsdfefss jf )(ˆ)(ˆ)0( 02

    Podstawiając do przekształcenia0f

    otrzymujemy

    dttss )()0(ˆ

    0t

  • 19

    )()(1 tts

    )()( 322 tts

    2

    2 π2π3sin

    23)(ˆ

    f

    f

    fs

    21 π

    πsin)(ˆ

    fffs

    Zmiana skali czasu sygnału

    s at a s f a( ) ( / ) 1

    )(ˆ)( fsts

  • 20

    Przesunięcie w dziedzinie czasui częstotliwości

    Przesunięcie w dziedzinie czasu

    s t t s f e jft( ) ( ) 02 0

    bo s t t e dtjft( )

    0 2 po podstawieniu t t0 równa się

    s e e djft jf( )

    2 20

    Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości

    s t e s f fjf t( ) ( )2 00

    s t e s f fjf t( ) ( ) 2 00

    2 2 0 0 0s t f t s f f s f f( )cos( ) ( ) ( )

    Sumując obustronnie otrzymujemy

  • 21

    )()( 231 ttts

    ff

    f

    fffs

    j2π

    )πsin(

    π)πsin()(1̂

    )1()1()( 2112 tttsts

    )j2πexp(j2π

    )πsin(

    π)πsin()j2πexp()(ˆ)(ˆ 12 ff

    ff

    ffffsfs

    Przesunięcie w dziedzinie czasu

  • 22

    )12()12()(1 ttts)πcos(

    π2πsin2

    )(1̂ ff

    f

    fs

    )j2πexp()12()12()(2 tttts

    )1π(cos)1π(

    2)1π(sin2

    )1(ˆ)(ˆ 12

    ff

    f

    fsfs

    Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości

  • 23

    Różniczkowanie w dziedzinie czasu

    Jeżeli :

    - sygnał s(t) i jego kolejne pochodne aż do rzędu n-1 są ciągłe,- pochodna rzędu n istnieje prawie wszędzie,- sygnał i wszystkie jego pochodne aż do rzędu n posiadajątransformaty Fouriera, czyli dostatecznie szybko dążą do zera dla t

    d s tdt

    jf s fn

    nn( ) ( ) 2

    to

  • 24

    )()(1 tts

    )1()1()()( 12 ttdttdsts

    2

    1 π)πsin()(ˆ

    fffs

    fffs

    π)π(sinj2)(ˆ

    2

    2

    Różniczkowanie w dziedzinie czasu

    sygnał parzysty

    sygnał nieparzysty

  • Ograniczone nośniki

    Analityczna funkcja - funkcja różniczkowalna, której pochodne sąrównież różniczkowalne. Oznacza to, że funkcja analityczna zmiennej zespolonej może być lokalnie (tzn. w pewnym otoczeniu dowolnego punktu ) przedstawiona w postaci szeregu potęgowego

    T

    jftdtetsfs0

    2)()(ˆ T

    jftdtetstjdf

    fsd

    0

    2)(2)(ˆ

    T

    jftnnn

    n

    dtetstjdf

    fsd

    0

    2)(2)(ˆ 12)(2

    )(ˆ

    0L

    nnnT

    nnnn

    n

    sTdttsTdf

    fsd Oznacza to, że widmo )(ˆ fs jest funkcją analityczną.

    0f

    !)(ˆ)(ˆ 0

    00

    nff

    dfsdfs

    n

    ffnn

    n

    Niech sygnał ma ograniczony nośnik.

  • Zasada nieoznaczoności Heinsenberga

    Oznacza to, że widmo może być lokalnie, tzn. w pewnym otoczeniu dowolnego punktu przedstawione w postaci szeregu potęgowego,0f

    -T 0 T

    0

    1

    s(t)

    -2/T -1/T 0 -1/T 2/T

    0

    1

    s(f)^

    0

    0

    0 !)(ˆ)(ˆ

    0n

    nn

    n

    ffnn

    n

    fan

    ffdf

    sdfs

    czyli nośnik widma nie może być ograniczony!

    Impuls prostokątny i jego widmo amplitudowe.

    Postępując podobnie można udowodnić, że jeżeli nośnik widma jest ograniczony, to nośnik sygnału nie może być ograniczony.

  • 27

    Nieoznaczoność Heinsenberga

    Środek rozłożenia energii sygnału

    dttstst 22* )(

    Środek rozłożenia energii widma sygnału

    dffsfsf 22* )(ˆ

    Unormowane kwadraty odchyleń standardowych dla rozkładów energii, czyli wariancje

    dttsttst )()(22

    *22

    dffsffsf22

    *22 )(ˆ)(

    Zasada Heinsenberga t f 0 5,

  • 28

    Różniczkowaniew dziedzinie częstotliwości

    ( ) ( ) ( )s f r f ji f

    ( ) ( ) ( ) ( )r f r f i f i f

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( )

    1 1nn

    n

    n

    nn

    n

    n

    n

    n

    d r fd f

    d r fdf

    d i fd f

    d i fdf

    n

    nn

    dffsdtsjt )(

    ˆ)()2(

    Warunek wystarczający t s t d tn ( )

    Obustronnie różniczkując otrzymujemy

    Czyli parzyste pochodne zachowują parzystość części rzeczywistej i nieparzystość części urojonej. Czyli sygnał będzie miał wartości rzeczywiste. W przeciwnym wypadku będzie czysto urojony. Można udowodnić, że

  • 29

    Splot w dziedzinie czasu

    s t s s t d( ) ( ) ( )

    1 2 gdy s s L1 2 2, ( , )

    Splot oznaczamy s t s t1 2( ) ( )

    Przemienność splotu

    s t s t s s t d s s t d s t s t1 2 1 2 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    Gdy s t1 0( ) i s t2 0( ) dla t 0 to t

    dtsststs0

    2121 )()()()(

    Musi być t 0 aby s t2 ( ) nie było równe zeru

    )(ˆ)(ˆ)(ˆ)()()( 2121 fsfsfsdttssts

  • 30

    Przykład splotu w dziedzinie czasu

  • 31

    f

    ff

    f

    fstttsj2π

    )πcos(π

    )πsin(

    )(ˆ)()( 11

    fffstts

    π)πsin()(ˆ)()( 22

    ff

    ff

    f

    fsfstttttttstsj2π

    2π)π2sin(

    π)πsin(

    )(ˆ)(ˆ)(2

    )(2

    )(*)(

    2

    1121

    2

    21

    2

    21

    Wzory do rysunków

    Splatane sygnały

    Splot w dziedzinie czasu i jego widmo

    jdffsdtst

    21)(ˆ)(

    bo

  • 32

    Splot w dziedzinie częstotliwościi całkowanie w dziedzinie czasu

    Całkowanie w dziedzinie czasu

    s djf

    s ft

    ( ) ( )

    12

    Warunek ( )s 0 0 s t dt( )

    0

    Splot w dziedzinie częstotliwości

    s t s t s f s f s g s f g dg1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  • 33

    Impuls paraboliczny

    Dla sygnału

    s t t t tt t

    ( )

    6 6 1 1 10 1 1

    2 dladla i

    znaleźć składową parzystą i nieparzystą oraz wyznaczyć ich widma.

  • 34

    Rozłożenie na część parzystą i nieparzystą

    Każdy sygnał można jednoznacznie rozłożyć na sumęs s sp n

    gdziesygnał parzysty s t s t s tp ( ) ( ) ( ) 12sygnał nieparzysty s t s t s tn ( ) ( ) ( ) 12

    tzn.s t s ts t s tn n

    p p

    ( ) ( )( ) ( )

    s t ts t t

    p

    n

    ( )( ) 6 1

    6

    2

    Z teoretycznych rozważań wiemy, że sygnał parzysty ma widmo czysto rzeczywiste a nieparzysty widmo czysto urojone.

    Dla rozważanego przykładu otrzymujemy

  • 35

    Widmo części parzystej

    ( ) ( )s f t e dtpjft

    6 12 21

    1

    Posługując się tożsamością

    t e dt ea a t atat

    at2

    32 2 2 2

    otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste

    ( ) cos( ) sin( )s f ff f f

    fp

    6 2 1 7 3 22 2 2 2

    jfa 2gdzie

  • 36

    Prezentacja części parzystej

    -1 0 1

    0

    5

    sp(t)

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    0

    6

    sp(f)^

    SygnałWidmo

    amplitudowe

    Czas Częstotliwość

  • 37

    Widmo części nieparzystej

    ( )s f t e dtnjft

    6 21

    1

    Posługując się tożsamością

    t e dt ea

    atatat

    2 1

    otrzymujemy widmo czysto urojone

    fff

    fjfsn

    2

    )2sin()2cos()(ˆ

    gdzie jfa 2

  • 38

    Prezentacja części nieparzystej

    -1 0 1

    -5

    0

    5

    sn(t)

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    0

    6

    sn(f)^

    Widmo amplitudoweSygnał

    Czas Częstotliwość

  • 39

    Wykresy do powyższego przykładu

    Widmo amplitudoweSygnał

    Czas Częstotliwość

    -1 0 1

    0

    10

    s(t)

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    0

    6

    s(f)^

  • 40

    Przykład transformaty Fouriera

    Wyznaczyć widmo sygnału s tt t

    tt

    ( )

    2 0 11 1 20

    dladladla pozostałych

    Ze wzoru definiującego transformację Fouriera

    ( )s f t e dt e dtjft jft 2 2 21

    2

    0

    1

    Posługując się tożsamością t e dt ea

    a t atatat

    23

    2 2 2 2 otrzymujemy

    ffff

    fjf

    fff

    ffs

    )2cos()2sin()4cos(

    21)4sin()2sin()2cos(

    21)(ˆ 22

  • 41

    Wykresy do kolejnego przykładu

    Widmo amplitudoweSygnał

    Czas Częstotliwość

    0 1 2

    0

    1

    s(t)

    -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

    1

    s(f)^

  • 42

    Wykresy do kolejnego przykładu

    Widmo amplitudoweSygnał

    Czas Częstotliwość0 0.5 1 2

    0

    1

    s(t)

    -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

    1

    s(f)^

  • 43

    Przykład transformaty Fouriera

    Wyznaczyć widmo sygnału

    s tt

    t( ),

    1 0 0 50

    dla i 1 t 2dla pozostałych

    Posługując się definicją transformacji Fouriera

    ( ),

    s f e dt e dtjft jft 20

    0 52

    1

    2

    1)cos()2cos()4cos()sin()2sin()4sin(21

    fffjffff

  • 44

    Wykresy do kolejnego przykładuWidmo amplitudowe równe modułowi części urojonej

    widmaSygnał

    Czas Częstotliwość

    -T 0 T

    -1

    0

    1

    s(t)

    -5/T -4/T -3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T0

    1

    s(f)^

    Sygnał jest funkcja nieparzystą, więc widmo jest czysto urojone.Dla sygnałów o wartościach rzeczywistych widmo urojone jest funkcją nieparzystą.

  • 45

    Kolejny przykład transformaty Fouriera

    Obliczyć widmo sygnału

    Tt

    TttT

    tsdla0

    0dla10dla1

    )(

    Posługując się definicją transformacji Fouriera

    ( )s f e dt e dtjftT

    jftT

    20

    2

    0

    Po całkowaniu

    ( )s fjf

    ejf

    ejftT

    jftT

    12

    12

    20

    2

    0

    Po podstawieniu granic otrzymujemy widmo czysto urojone

    ( ) sin ( )s f jf

    fT 2 2

  • 46

    Wykresy do kolejnego przykładu

    Widmo amplitudowe równe części rzeczywistej widmaSygnał

    Czas Częstotliwość

    -T 0 T

    0

    1

    s(t)

    -3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T

    0

    1

    s(f)^

    Sygnał jest funkcja parzystą, więc widmo jest funkcją rzeczywistą.Dla sygnałów o wartościach rzeczywistych widmo rzeczywiste jest funkcją parzystą.

  • 47

    Kolejny przykład transformaty Fouriera

    Obliczyć widmo sygnału

    Tt

    TtTttTTt

    tsdla0

    0dla0dla

    )(

    Korzystając z zależności

    s t s t dtT

    t

    ( ) ( )

    i posługując się twierdzeniem o transformacie z całki

    ( ) ( )

    s fs f

    j f

    2otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste

    ( )sin ( )

    s ffT

    f

    2

    2 2

  • 48

    Jeszcze jeden przykład dzisiaj

    Jakie jest widmo sygnału

    s t e tt

    Tt( )

    dladla

    00 0

    Posługując się definicją transformacji Fouriera

    ( ) ( ) ( )s f e dtT jf

    eT jf

    T jf t T jf t

    20

    20

    12

    12

  • 49

    Wykresy do jeszcze jednego przykładu

    Widmo amplitudoweSygnał

    Czas Częstotliwość

    0 T 2T 3T

    0

    1

    s(t)

    -3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T

    0

    1

    s(f)^

  • 50

    Kolejny pouczający przykładtransformaty Fouriera

    Dla sygnału w postaci funkcji Gaussa

    s t t( ) exp ( )

    2 22

    widmo ma postać

    ( ) exps ff

    j f

    22

    2 2

  • 51

    Wykresy do kolejnego pouczającego przykładu

    Sygnał

    Czas

    Częstotliwość

    -1 0 1

    0

    1

    s(t)

    = 2 = 0

    -1 0 1

    0

    1

    s(f)^

    = 2 = 0

    Widmo amplitudowe równe części rzeczywistej widma

    Sygnał jest funkcja parzystą, więc widmo jest funkcją rzeczywistą.Dla sygnałów o wartościach rzeczywistych widmo rzeczywiste jest funkcją parzystą. Funkcja Gaussa jest niezmiennikiem transformacji Fouriera.

  • 52

    Uogólnienie transformacji Fouriera

    lim ( ) ( )

    0s t s t gdzie 0

    lim ( ) ( )

    0s f s f

    ( )s f uogólniona transformata Fouriera,czyli transformata w sensie granicznym

  • 53

    Widma impulsu Diraca i sygnału stałego

    Widmo impulsu Diraca

    s ts tTT

    ( )( )

    2 s tt T T tt T t T

    t T ( )

    dladladla

    00

    0

    lim ( ) ( )T T

    s t t

    0

    ( )sin ( )

    s ffT

    f TT

    2

    2 2 2

    lim ( )T T

    s f

    0

    1

    s t t s f( ) ( ) ( ) 1

    Transformata Fouriera sygnału stałego

    s t s f f( ) ( ) ( ) 1

  • 54

    Transformaty Fouriera sygnałów okresowych

    s t a a nf t b nf tn nn

    ( ) cos( ) sin( )

    0 0 01

    2 2 lub

    s t c enj n f t

    n( )

    2 0

    Widmo )2cos()( 0tnftsc

    s t nf t s f nf s f nf( )cos( ) , ( ) , ( )2 0 5 0 50 0 0

    cos( ) , ( ) , ( )2 0 5 0 50 0 0 nf t f nf f nf

    sin( ) , ( ) , ( )2 0 5 0 50 0 0 nf t j f nf j f nf

    e nf t j nf tjnf t2 0 00 2 2 cos( ) sin( ) e f nfjnf t2 00

    ( )

    1

    000 )()(5,0)()(ˆn

    nnnn nffjbanffjbafafs

    n

    n nffcfs )()(ˆ 0

  • 55

    ttts

    π)πsin()(1

    )π(j2sin)(j2π)( 12 ttstts

    )()(1̂ ffs

    )()()(ˆ 21212 fffs

    Różniczkowanie w dziedzinie częstotliwości

    n

    nn

    dffsdtsjt )(

    ˆ)()2( bo

  • 56

    )1()1(21)(ˆ)π2cos()( 22 fffstts

    Iloczyn w dziedzinie czasu

    fffstts

    )sin()(ˆ)()( 11

    )1π(2)1π(sin

    )1π(2)1π(sin)(ˆ*)(ˆ)()π2cos()()( 2121

    ff

    fffsfstttsts

  • 57

    Iloczyn w dziedzinie czasu

    )1π(2)1π(sin

    )1π(2)1π(sin)(ˆ*)(ˆ)()π2cos()()( 2121

    ff

    fffsfstttsts

  • 58

    Transformacja Fouriera sygnałuz niezerową wartością średnią

    s t s t s( ) ( ) 0

    gdzie )(0 ts spełnia warunki dla klasycznej transformacji Fouriera

    sT

    s t dtT

    T

    T

    lim ( )

    12

    s t s t s s f s f s f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0

    s sygnał o stałej wartości, czy

  • 59

    Transformacja Fouriera sygnału 2-D

    Widmo sygnału dwu-wymiarowego

    dydxeyxsffs yfxfjyx yx)(2),(),(ˆ

    s x y s f f e df dfx yj f x f y

    x yx y( , ) ( , ) ( )

    2

  • 60

    Wielowymiarowe przekształcenia Fouriera

    Jeśli x f n, to

    ( ) ( )s f s x e dx dxj f x nxx

    T

    n

    2 11

    s x s f e df dfj f x nff

    T

    n

    ( ) ( )

    2 11