piotr leśniewski dyskretne ślizgowe sterowanie wybraną ... · zasilające silniki elektryczne w...

Click here to load reader

Post on 01-Mar-2019

214 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Streszczenie rozprawy doktorskiej

Piotr Leniewski

Dyskretne lizgowe sterowanie wybran klas

obiektw z opnieniem w torze wejciowym

Promotor

Prof. dr hab. in. Andrzej Bartoszewicz

d, 2016

2

1. Wstp

Gwnym zaoeniem sterowania lizgowego jest ograniczenie trajektorii stanu ukadu do hiperpowierzchni w przestrzeni stanu. Hiperpowierzchnia ta jest tak dobierana, aby w trakcie ruchu po niej punktu opisujcego, ukad zamknity posiada podan dynamik. Poniej przypomniane zostanie znaczenie pewnych podstawowych poj z zakresu teorii sterowania. Stan ukadu dynamicznego, oznacza najmniej liczny zbir sygnaw, ktry naley okreli dla danej chwili, aby znajc przysze wartoci sygnaw sterujcych moliwe byo jednoznaczne okrelenie zachowania si ukadu dla wszystkich kolejnych chwil. Poszczeglne z tych sygnaw nazywane s zmiennymi stanu. W przypadku ukadw elektromechanicznych mog by one wybrane jako prdkoci i pooenia. W przeanalizowanych w mojej pracy systemach logistycznych, jest to ilo towarw w magazynie oraz wielkoci niezrealizowanych zamwie. Liczba zmiennych stanu, zalena od stopnia skomplikowania danego systemu, zwykle oznaczana jest liter n. Przestrze stanu okrela si jako n-wymiarow przestrze, ktrej kolejnymi wsprzdnymi s zmienne stanu. W takim opisie kademu stanowi panujcemu w rozwaanym systemie w danym momencie, mona jednoznacznie przyporzdkowa pojedynczy punkt (tzw. punkt opisujcy) w przestrzeni stanu. Dynamicznemu zachowaniu ukadu w okrelonym przedziale czasu odpowiada natomiast trajektoria w przestrzeni stanu.

Stanem zadanym ukadu nazywamy stan, ktry powinien zosta osignity. Moe to by np. okrelona konfiguracja przestrzenna manipulatora przemysowego (wraz z wartociami prdkoci zczowych rwnych zero) pozwalajca na uchwycenie kolejnego elementu. Uchybem jest natomiast rnica midzy stanem zadanym, a aktualnym stanem systemu. Najczciej spotykanym zadaniem w automatyce jest dobr regulatora dla ukadu zamknitego, ktry na podstawie znajomoci uchybu wygeneruje sygna sterujcy, doprowadzajcy system do stanu zadanego. Sygnaem sterujcym mog by np. napicia zasilajce silniki elektryczne w ukadach elektromechanicznych. Liczb sygnaw sterujcych w ukadzie zwykle oznacza si liter m. Zdecydowanie rzadziej spotyka si ukady otwarte, w ktrych zmienne stanu nie s mierzone, a sygna sterujcy zostaje wyznaczony tylko na podstawie stanu zadanego. Czysto teoretycznie, jeli dysponowalibymy dokadnym modelem ukadu, to moliwe byoby wyznaczenie takiego przebiegu sygnau sterujcego, ktry doprowadzi ukad do stanu zadanego. W praktyce jednak, w kadym ukadzie wystpuj zakcenia, takie jak np. tarcie, czy zmienne obcienie. Bez wykorzystania sprzenia zwrotnego, zakcenia te nie mog zosta odpowiednio skompensowane, powodujc, e stan zadany w ukadzie otwartym nie zostanie osignity.

Ukady dynamiczne mog by opisane w czasie cigym lub dyskretnym. Opis w czasie cigym oznacza, e warto wektora stanu jest okrelona dla kadej chwili. Posugujemy si wtedy rwnaniami rniczkowymi, wicymi pochodne zmiennych stanu z wartociami tych zmiennych oraz z sygnaami zakcenia i sterowania. Przykadem opisu w czasie cigym moe by temperatura wody w bojlerze regulowana przez termostat. Sygnay opisane w czasie dyskretnym s okrelone wycznie w dyskretnych momentach. Dynamika ukadu jest wtedy przedstawiona za pomoc rwna rnicowych, wyraajcych wartoci sygnaw w chwilach nastpnych jako funkcje wartoci sygnaw w chwili obecnej. Potrzeba takiego opisu wynika z wprowadzenia cyfrowych urzdze (mikrokontrolerw, sterownikw PLC itp.) do ptli sterowania. Algorytm sterowania w takich urzdzeniach moe by w skrcie opisany w trzech krokach. Pierwszym krokiem jest otrzymanie pomiarw

3

dokonanych przez czujniki. Nastpnie, na otrzymanych wartociach dokonywane s pewne operacje matematyczne, okrelone w trakcie projektowania regulatora. Ostatecznie wyznaczony sygna sterujcy jest wysyany do aktuatorw oddziaujcych na obiekt. Oznacza to, e sygna sterujcy moe by wyznaczony tylko co pewien, ograniczony z dou przez moliwoci sprztowe procesora, czas T (okres dyskretyzacji). W wikszoci przypadkw sygna sterujcy wykorzystany jest nastpnie do sterowania obiektem cigym, co oznacza, e jego warto musi by przeksztacona do czasu cigego. Najczciej stosowany jest wtedy ekstrapolator zerowego rzdu (ang. zero order holder, ZOH), ktry utrzymuje sta warto sygnau sterujcego wyznaczon w chwili kT a do chwili (k + 1)T, w ktrej bdzie wyznaczona nastpna warto sterowania.

Kolejnym kryterium okrelajcym systemy dynamiczne jest podzia na ukady liniowe i nieliniowe. W ukadach liniowych rwnania rniczkowe/rnicowe zawieraj wycznie liniowe funkcje zmiennych stanu i sterowania. W ukadach nieliniowych, wystpuj rwnie nieliniowe funkcje tych zmiennych. Nieliniowo moe by zwizana z samym obiektem. Czsto stosowanym przykadem dydaktycznym jest problem stabilizacji odwrconego wahada, w ktrym wystpuj funkcje trygonometryczne. Nieliniowo moe rwnie wynika z zastosowania nieliniowego regulatora, ktrego przykadem jest regulator lizgowy.

Jedn z technik projektowania regulatorw jest sterowanie lizgowe. Metoda ta jest od dawna stosowana w automatyce. Jej podstawy zostay opracowane w latach 50-tych i 60-tych ubiegego wieku przez badaczy rosyjskich [5]. Najwiksz zalet tej metody jest jej dua odporno na zakcenia [4]. Gwn ide sterowania lizgowego jest wybr tzw. hiperpaszczyzny przecze w przestrzeni stanu, do ktrej za pomoc odpowiednio wybranego sygnau sterujcego bdziemy chcieli ograniczy ruch punktu opisujcego. Paszczyzna ta jest najczciej opisywana nastpujcym rwnaniem

, (1)

w ktrym s(kT) jest tzw. zmienn lizgow, c to wektor parametrw dobrany tak, aby speni warunek cTb 0, a e(kT) = xd x(kT) oznacza uchyb ukadu zamknitego. Dobr wektora parametrw c bdzie mia istotne znaczenie dla waciwoci otrzymanego ukadu zamknitego. Wyboru tego mona dokona np. metod lokowania biegunw lub jedn z metod sterowania optymalnego. Nastpnym zadaniem jest takie zaprojektowanie regulatora, aby punkt opisujcy, z dowolnego moliwego pooenia (odpowiadajcego warunkom pocztkowym panujcym w ukadzie), w trakcie fazy osigania trybu lizgowego, w skoczonym czasie zbiega do hiperpaszczyzny. Nastpnie, w trakcie fazy lizgowej, punkt opisujcy powinien pozosta na hiperpaszczynie lub w moliwie najmniejszym jej otoczeniu, do koca procesu sterowania. Wanie od tego lizgania si po paszczynie pochodzi nazwa sterowania lizgowego. W tym momencie mona zauway jedn z zalet sterowania lizgowego: jeeli uda nam si wymusi w ukadzie idealny ruch lizgowy, to w jego trakcie, zachowanie ukadu nie zaley od wartoci dziaajcych na niego zakce. Ponadto, opis dynamiki jest uproszczony, poniewa ograniczylimy ruch punktu opisujcego do paszczyzny, zmniejszajc w ten sposb rzd rozwaanego systemu.

2. Reguy osigania trybu lizgowego

W klasycznym sterowaniu lizgowym, projektowanie algorytmu sterowania rozpoczyna si od doboru paszczyzny lizgowej, zapewniajcej podane waciwoci

( ) ( ) 0Ts kT kT= =c e

4

dynamiczne ukadu w trakcie ruchu lizgowego. Nastpnie, proponowany jest regulator lizgowy. Ostatnim krokiem jest udowodnienie, e zastosowanie tego regulatora zapewnia zbieno i istnienie stabilnego ruchu lizgowego. Pewn wad tej metody jest to, e nie zapewnia ona kontroli dynamiki ukadu w trakcie fazy osigania trybu lizgowego. Oznacza to, e zakcenia dziaajce na ukad mog spowodowa wykroczenie poza dopuszczalny stan pracy ukadu (np. przekroczenie dopuszczalnych prdkoci obrotowych skutkujce uszkodzeniem mechanicznym silnika). Alternatywn metod projektowania regulatorw lizgowych jest wykorzystanie tzw. predefiniowanego przebiegu zmiennej lizgowej, ktre to podejcie zastosowaem w mojej rozprawie. Kolejno dziaa w tej metodzie jest w pewnym sensie odwrotna do tej w poprzednim podejciu. Zaczyna si bowiem od okrelenia podanego sposobu w jaki zmienna lizgowa zbiega do zera, co odpowiada fazie osigania trybu lizgowego. Najczciej zbieno ta dla ukadw dyskretnych zdefiniowana jest przez podanie zalenoci midzy aktualn wartoci zmiennej lizgowej, a jej wartoci w nastpnej chwili dyskretyzacji. Dla ukadw cigych naley natomiast okreli pochodn zmiennej lizgowej jako funkcj wartoci tej zmiennej. Drugim etapem jest wykorzystanie rwna opisujcych dany system do zaprojektowania regulatora, ktry zapewni podany przebieg zmiennej lizgowej. Oczywicie, zakcenia nadal bd miay pewien wpyw na zachowanie ukadu w trakcie fazy osigania trybu lizgowego. Jednak, dziki wykorzystaniu predefiniowanego przebiegu zmiennej lizgowej, mona w atwy sposb ograniczy szybko zbienoci tej zmiennej. W wielu ukadach pozwala to na spenienie ogranicze zwizanych z rzeczywistym obiektem (np. wczeniej wspomnianego ograniczenia prdkoci obrotowej).

3. Reguy osigania trybu lizgowego w dziedzinie czasu cigego

Predefiniowany przebieg zmiennej lizgowej zosta po raz pierwszy zaproponowany w artykule [6] dla ukadw cigych. W artykule tym zaprojektowane zostay trzy przykadowe reguy:

1) Regua o staej szybkoci zbienoci (ang. constant rate reaching), w ktrej

.

2) Regua o szybkoci zbienoci bdcej sum wyrae: staego oraz proporcjonalnego do wartoci zmiennej lizgowej (ang. constant plus proportional

rate reaching), czyli .

3) Regua o potgowej szybkoci zbienoci (ang. power rate reaching):

, gdzie parametr , i = 1, 2, , m.

W powyszych wzorach Q i K oznaczaj diagonalne macierze o wymiarach m x m, ktrych elementy znajdujce si na diagonali s wiksze od zera, s(t) reprezentuje wektor zmiennych lizgowych, ki oznacza wzmocnienie zwizane z i-t zmienn lizgow.

( ) ( )sgnt t= s Q s

( ) ( )sgnt t= s Q s Ks

( ) ( ) ( )sgn

i i i is t k s t s t= ( )0,1

5

4. Reguy osigania trybu lizgowego w dziedzinie czasu dyskretnego

W dzisiejszych czasach niemal wszystkie algorytmy sterowania s implementowane w urzdzeniach cyfrowych. Z tego powodu, podejcie przedstawione w artykule [6] zostao w pracy [7] przeksztacone dla zastosowania w ukadach dyskretnych. Poniewa w ukadach dyskretnych idealny ruch lizgowy jest niemoliwy, w artykule [7] przyjto wymaganie ruchu quasi-lizgowego, zdefiniowanego nastpujco:

1) Punkt opisujcy ukadu, z kadego moliwego pooenia pocztkowego, powinien porusza si monotonicznie w kierunku paszczyzny lizgowej i w skoczonym czasie przeci j.

2) Po pierwszym przekroczeniu paszczyzny lizgowej, punkt opisujcy powinien j przekracza w kadym kolejnym kroku dyskretyzacji.

3) Amplituda wynikajcych z pkt. 2 oscylacji nie moe narasta, przez co trajektoria ukadu pozostaje w znanym z gry otoczeniu paszczyzny.

Nastpnie, przeanalizowany zosta przypadek, w ktrym wymagana szybko zmian zmiennej lizgowej jest sum wyraenia proporcjonalnego do jej wartoci i staego parametru (czyli odpowiednika drugiej reguy opracowanej w pracy [6]). Przebieg zmiennej s dla ukadu bez zakce jest opisany rwnaniem

, (2)

gdzie > 0 i s parametrami. Natomiast dla ukadu z zakceniami

i niepewnociami modelu przebieg zmiennej lizgowej opisuje zaleno

, (3)

gdzie , oznaczaj nieznane wpywy niepewnoci modelowania i zakce zewntrznych na zmienn lizgow, S1, F1 reprezentuj rednie wartoci tych wyrazw, a S2, F2 oznaczaj maksymalne odstpstwa od rednich wartoci.

W artykule [2] pokazano, e parametry reguy przedstawionej w pracy [7] musz spenia warunek

(4)

aby zapewni istnienie ruchu quasi-lizgowego.

Reguy opracowane w artykule [7] s czsto stosowane w aktualnych pracach w postaci oryginalnej [10], [11] oraz zmodyfikowanej [8], [9], [12], [13], [14], [15], [16].

W referacie [10] przeanalizowany zosta problem sterowania fragmentem struktury zoonej z tzw. inteligentnych materiaw, ktre skadaj si z warstwy nonej, na ktr naoone zostaj warstwy czujnikw i siownikw. W takich ukadach najwaniejsze jest tumienie oscylacji zblionych do czstotliwoci drga wasnych (najczciej kilku rnych)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 sgns k T qT s kT T s kT+ = ( )0,1q T

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 11 1 sgns k T qT s kT S F s kT S F S F+ = + + + +

S F

( ) 2 22 1qTT

S FqT

> +

6

struktury. Z tego powodu, zaproponowano zmodyfikowany kwadratowy wskanik jakoci sterowania. Na jego warto oscylacje zblione do pewnych czstotliwoci, maj wikszy wpyw ni oscylacje o innych czstotliwociach. Aby zaprojektowa regulator optymalizujcy ten wskanik, konieczne jest rozszerzenie przestrzeni stanu o dodatkowe zmienne, bdce wyjciami filtrw pasmowo przepustowych. Do takiego rozszerzonego ukadu dobierana jest nastpnie paszczyzna lizgowa minimalizujca klasyczny kwadratowy wskanik jakoci, z odpowiednio wikszymi wagami dla sygnaw wyjciowych filtrw. Dodatkowo, poniewa w takich ukadach zmienne stanu (znieksztacenia elementw) s trudne do pomiaru, wykorzystane zostao rno-okresowe sprzenie od wyjcia, ktre na podstawie wyjcia ukadu estymuje wartoci zmiennych stanu. Ostatnim krokiem, jest zaprojektowanie regulatora, zapewniajcego istnienie ruchu lizgowego. W pracy [10] w tym celu, zastosowana zostaa regua osigania trybu lizgowego opracowana w artykule [7]. Wykonane zostay symulacje komputerowe oraz eksperymenty na stanowisku laboratoryjnym z wykorzystaniem opracowanego regulatora.

W pracy [11] przeanalizowano wpyw okresu dyskretyzacji na lizgowe sterowanie ukadem o wielu wejciach i wielu wyjciach. Autorzy zaczli od rozwaenia sytuacji, w ktrej kady z elementw macierzy sprze zwrotnych zmienia si midzy dwiema wartociami, w zalenoci od wartoci odpowiedniej zmiennej lizgowej. Wartoci te nie mog by zbyt mae, gdy musz przeciwdziaa zakceniom dziaajcym na ukad, ani zbyt due, poniewa (co nie wystpuje w ukadach cigych) spowodowaoby to przejcie punktu opisujcego na drug stron paszczyzny i wzbudzenie oscylacji w ukadzie. Pokazano, jak zachowuj si te ograniczenia, w zalenoci od dugoci okresu dyskretyzacji. Gdy ten okres dy do zera, waciwoci ukadu dyskretnego zbliaj si coraz bardziej do waciwoci ukadu cigego, co oznacza, e jedno z ogranicze dy do . W miar zwikszania okresu dyskretyzacji, ograniczenie to zblia si do wartoci drugiego, bdcego gwnie funkcj amplitudy zakce dziaajcych na ukad. Przy pewnej wartoci okresu dyskretyzacji ograniczenia te staj si sobie rwne, przez co niemoliwe jest zapewnienie stabilnego ruchu lizgowego dla wikszych okresw dyskretyzacji. W pierwszym z zaproponowanych regulatorw, cz sygnau sterujcego pochodzi od liniowych sprze zwrotnych, a cz jest funkcj niecig, zapewniajc zbieno do paszczyzny, pomimo dziaajcych na ukad zakce. Nastpnie, autorzy proponuj rozwizanie bazujce na regule osigania trybu lizgowego opracowanej w artykule [7] oraz jej modyfikacji poprzez zastpienie funkcji signum funkcj nasycenia, w celu zmniejszenia chatteringu. Przedstawili rezultaty symulacji komputerowych, w ktrych porwnano dziaanie trzech opisanych wyej regulatorw.

W artykule [8] zaproponowano regu osigania trybu lizgowego, w ktrej szybko zbienoci zmiennej lizgowej do zera jest opisana pewn funkcj tej zmiennej. Funkcja ta w pobliu paszczyzny jest liniowa, co pozwala wyeliminowa chattering. Przeanalizowany zosta wpyw zakce na zachowanie ukadu, wyznaczono rozmiar obszaru otaczajcego paszczyzn lizgow, do ktrego trajektoria stanu bdzie zbiega. Jako przykad wykorzystano funkcj, ktra w duej odlegoci od paszczyzny odpowiada zastosowaniu reguy przedstawionej w pracy [7], a w pobliu paszczyzny jest proporcjonalna do wartoci

7

zmiennej lizgowej. Rezultaty s potwierdzone przez sterowanie pooeniem wau silnika prdu staego na stanowisku laboratoryjnym, w trakcie ktrego przeanalizowano rwnie wpyw okresu dyskretyzacji na dokadno regulacji.

Rozwizanie zaproponowane w artykule [8] zostao rozbudowane w pracy [12] poprzez wprowadzenie dodatkowego integratora w kanale zmiennej lizgowej. Dziki temu, otrzymany regulator umoliwia podanie za trajektori paraboliczn dla serwomechanizmu z napdem DC. Aby unikn nasycania si integratora (znanego jako efekt wind-up), jego dziaanie jest wczane dopiero w bliskim otoczeniu paszczyzny lizgowej. Dodatkowo, przez odpowiedni kompensacj zakcenia sprzeniem w przd (ang. feedforward), moliwe jest wierne odtwarzanie trajektorii trzeciego rzdu (zalecej od trzeciej potgi czasu). Autorzy wyznaczaj analitycznie uchyb w stanie ustalonym i porwnuj go do otrzymanego w podstawowym algorytmie przedstawionym w pracy [8].

W pracy [9] autorzy projektuj lizgowy regulator stabilizujcy napicie w sieciach prdu staego. Rozwaone jest bezporednie zastosowanie reguy zaproponowanej w artykule [7], jednak prowadzioby ono do nadmiernego chatteringu. Z tego powodu, zostaje wprowadzona modyfikacja dziaania tej reguy w pobliu paszczyzny lizgowej. Gdy warto bezwzgldna zmiennej lizgowej spadnie poniej pewnej wartoci granicznej, staa warto

parametru w rwnaniu (2) zostaje zastpiona wyrazem gdzie i reprezentuj

stae parametry. Poniewa wyraz ten maleje w miar zbliania si do paszczyzny, zmiana ta powoduje wyranie zmniejszenie chatteringu. Autorzy pokazuj, e w przypadku braku zakce zapewniony jest ruch quasi-lizgowy zdefiniowany w artykule [7]. Ponadto, poniewa wikszo fazy osigania trybu lizgowego ma miejsce poza pasmem granicznym, zaproponowana modyfikacja nie wydua znaczco czasu zbienoci do paszczyzny. Przedstawione zostay wyniki symulacji komputerowych oraz eksperymentw na stanowisku laboratoryjnym z zastosowaniem opracowanego regulatora lizgowego.

W pracy [14] zaproponowano nastpujc regu osigania trybu lizgowego

. (5)

Staa warto w artykule [7] zostaa tutaj zastpiona przez wyraenie |s(kT)|/p. Wzr (5) jest jednak niepotrzebnie skomplikowany, poniewa jego praw stron mona zapisa jako (q + 1/p)Ts(kT). Oznacza to, e nie ma potrzeby wybierania niezalenie dwch parametrw q i p, poniewa na dziaanie ukadu bdzie miaa wpyw tylko warto (q + 1/p). Mona wic rozway rwnanie (5) jako regu opracowan w artykule [7], w ktrej wybieramy = 0 i dopuszczamy moliwo qT > 1. Autorzy porwnuj dziaanie regulatora zapewniajcego przebieg zmiennej lizgowej (5) oraz regulatora zaproponowanego w pracy [7], metod symulacji komputerowych.

W pracy [15] autorzy rozwaaj sterowanie silnikiem indukcyjnym, zakadajc, e pozycja wirnika jest odczytywana za pomoc enkodera, a na podstawie tego pomiaru prdko obrotowa jest estymowana metod Eulera. Proponuj oni regu osigania trybu

( )

s kT

( ) ( ) ( )( )

( )1 sgns kT

s k T s kT qTs kT T s kT

+ =

8

lizgowego, ktra rozdziela przestrze stanu na dwa obszary. W pierwszym z nich, do ktrego nale punkty lece od paszczyzny dalej ni pewna warto progowa, wymagana prdko zmian jest dua, a w pobliu paszczyzny maa. Odpowiada to regule (2) przy wyborze q = 0 i przeczaniu parametru midzy dwiema wartociami, w zalenoci od moduu zmiennej lizgowej. Dziki temu, moliwe jest zapewnienie krtkiego czasu zbienoci, otrzymanego dziki wikszej wartoci , przy jednoczesnym ograniczeniu zjawiska chatteringu, poniewa w okolicy paszczyzny warto zostaje zmniejszona. Wyniki teoretyczne zostay zweryfikowane badaniami na stanowisku laboratoryjnym.

W artykule [16] zaproponowano regu osigania trybu lizgowego zawierajc dwie funkcje potgowe:

, (6)

gdzie 1, 2 oznaczaj dodatnie parametry, , , > 1. Dziki takiej

konstrukcji, powysze rwnanie, w zalenoci od wartoci zmiennej lizgowej, przechodzi

pynnie midzy dwiema rnymi reguami potgowymi. Kiedy , dominuje wyraz

zawierajcy parametr , a gdy , wiksze wartoci przyjmuje wyraenie zawierajce

. Dodatkowo, parametr q, ktry we wszystkich opisanych wyej reguach by stay, moe

przyjmowa dwie rne wartoci dla i . Mona na to rozwizanie

spojrze, jako na bardziej zoon wersj reguy zaproponowanej w pracy [9]. Rnic jest to, e przeczanie midzy dwiema rnymi szybkociami zbienoci jest bardziej pynne. Ponadto w pracy [9] w jednym z obszarw funkcja potgowa bya zastpowana sta wartoci. Autorzy udowodnili, e wykorzystanie zalenoci (6) zapewnia istnienie ruchu lizgowego, w przypadku braku zakce. Nastpnie, przeanalizowany zosta czas trwania obu fragmentw osigania trybu lizgowego, od warunkw pocztkowych do okolicy s(kT) = 0 i drugi, od tej okolicy do zera. Aby moliwe byo zastosowanie tej reguy dla rzeczywistych ukadw, autorzy pracy [16] rozbudowali j o sie neuronow, suc do estymowania wartoci zakcenia. Wykonane zostay symulacje komputerowe pokazujce zalety tego rozwizania. Porwnane w nich zostay cztery reguy: regua (2), regua zawierajca jedn funkcj potgow (czyli wzr (6) przy przyjciu 2 = 0) oraz regua (6) w wersji podstawowej oraz rozbudowanej o estymacj zakce.

W pracy [13] zastosowana zostaa regua opracowana w artykule [7], dodatkowo rozszerzona o kompensacj zakce. Kompensacja ta bazuje na zaoeniu ograniczonej szybkoci zmian zakcenia. Autorzy zagodzili warunek mwicy o tym, e punkt opisujcy musi przekracza paszczyzn w kadym kroku sterowania. Zamiast tego, podali grne ograniczenie czasu, ktry moe upyn midzy kolejnymi przejciami przez paszczyzn. Te zmiany, w porwnaniu do rozwizania przedstawionego w artykule [7], pozwoliy na uzyskanie wszego pasma ruchu quasi-lizgowego, co bezporednio przekada si na wiksz odporno ukadu na zakcenia. Zostao to zweryfikowane na drodze symulacji komputerowych.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 sgn sgn

s k T s kT qTs kT T s kT s kT T s kT s kT =

( )0,1q T ( )0,1

( ) 1s kT

( ) 1s kT > ( ) 1s kT

9

Jako punkt odniesienia do regulatorw zaprojektowanych z wykorzystaniem regu osigania trybu lizgowego opracowanych w rozprawie wykorzystany zosta regulator dead-beat. Ma on za zadanie sprowadzi stan ukadu do otoczenia paszczyzny lizgowej w pojedynczym kroku. Oznacza to konieczno spenienia wzoru

. (7)

Sygna sterujcy zapewniajcy taki przebieg zmiennej lizgowej dany jest wzorem

. (8)

Zastosowanie tego typu regulatora zapewnia bardzo dobr dynamik ukadu zamknitego, lecz wymaga nadmiernej wartoci sygnau sterujcego pierwszej chwili dyskretyzacji. Wanie z tego powodu w pracy [7] zaproponowano definicj przeczajcego ruchu quasi-lizgowego, ktr przedstawiono wczeniej.

5. Reguy przeczajce

Wyraz w regule zaproponowanej w pracy [7] zwiksza wystpujcy w ukadzie chattering. Powinien wic by wybrany jako najmniejszy, speniajcy warunek (4). Ze wzorw (2), (3) wida, e z tego powodu wyznaczona prdko zmian s bdzie w przyblieniu proporcjonalna do wartoci tej zmiennej. Oznacza to, e w przypadku duej wartoci zmiennej s, wystpujcej kiedy stan pocztkowy ley daleko od paszczyzny przecze, wymagana szybko zbienoci zmiennej przeczajcej jest bardzo dua. To z kolei przekada si na generowanie wysokiej wartoci sygnau sterujcego. Z drugiej strony, pod koniec fazy osigania trybu lizgowego, szybko zbienoci wyznaczona w tym podejciu jest bardzo maa. Powoduje to niepotrzebne wyduenie fazy osigania trybu lizgowego i zmniejszenie odpornoci ukadu na zakcenia. W trakcie doboru parametrw regulatora zaprojektowanego zgodnie z t regu, naley wic znale kompromis midzy generowaniem dopuszczalnej wartoci sygnau sterujcego na pocztku procesu sterowania i szybkoci zmian zmiennej przeczajcej, gdy jest ju ona bliska zeru.

Z tego powodu w rozprawie, zmodyfikowaem regu osigania trybu lizgowego opracowan w artykule [7], tak aby wymagana szybko zmian zmiennej lizgowej (a wic rwnie generowany sygna sterujcy) nie bya proporcjonalna do wartoci tej zmiennej, lecz zwizana z ni jedn z trzech wybranych funkcji nieliniowych.

Opracowane reguy przeczajce to:

1) Regua podstawowa, dana wzorem

(9)

gdzie

( ) ( ) ( )1s k T F kT S kT+ =

( ) ( ) ( )1T Tu kT kT= dc b c x Ax

( ) ( ){ } ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2

1 1 sgn

sgn ,

s k T q s kT s kT s kT

S kT F kT S F S F s kT

+ = +

+ + +

10

. (10)

2) Regua zawierajca funkcj arctg()

(11)

3) Regua zawierajca funkcj tanh(), opisana rwnaniem

(12)

Otrzymane rezultaty s dokadnie opisane w rozdziale 3 rozprawy. Wartoci bezwzgldne wybranych funkcji s ograniczone, dziki czemu dla dowolnie duej wartoci pocztkowej zmiennej lizgowej mona zapewni znane z gry ograniczenie szybkoci jej zmian. Ponadto, funkcje te malej bardzo wolno dla niewielkich wartoci tej zmiennej. Oznacza to, utrzymanie wyranego wpywu sygnau sterujcego, nawet w pobliu paszczyzny lizgowej. W mojej pracy udowodniem, e opracowane reguy osigania trybu lizgowego umoliwiaj szybsz zbieno i wiksz odporno na zakcenia od rozwiza znanych w literaturze, przy zaoeniu ograniczenia do tej samej maksymalnej wartoci sygnau sterujcego. Wybr pomidzy jednym z trzech opracowanych predefiniowanych przebiegw zmiennej lizgowej jest uzaleniony od wymaga danego systemu co do odpornoci na zakcenia i ogranicze naoonych na zmienne stanu oraz szybko zmian sygnau sterujcego.

6. Reguy nieprzeczajce

W pracy [7] przyjto, e w trakcie ruchu lizgowego, punkt opisujcy powinien przekracza paszczyzn lizgow w kadym okresie dyskretyzacji. W dalszej modyfikacji postanowiem, podobnie jak w pracach [1], [3], pomin ten warunek, wymagajc jedynie, aby punkt opisujcy pozostawa w pewnym, z gry okrelonym, otoczeniu paszczyzny lizgowej. Zmiana ta pozwolia na wyeliminowanie oscylacji w trakcie ruchu lizgowego. Opracowane zostay nastpujce trzy reguy nieprzeczajce

1) Regua podstawowa, opisana wzorem

, (13)

gdzie q[s(kT)] dane jest zalenoci (10).

2) Regua zawierajca funkcj arctg()

(14)

( )( )

0

0

sq s kT

s kT s= +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

1 arctg

sgn ,

s k T s kT g s kT g S F

S F s kT S kT F kT

+ = + + +

+ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 11 tanh sgn ,s kT

s k T s kT r F S s kT F kT S kT F Sr

+ = + + + +

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) 1 11 1 s k T q s kT s kT S kT F kT F S+ = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 arctg ,s kT

s k T s kT g S kT F kT F Sg

+ = + +

11

3) Regua zawierajca funkcj tanh(), dana rwnaniem

. (15)

Dla kadej z nich wyznaczono rozmiar otoczenia paszczyzny lizgowej, do ktrego punkt opisujcy bdzie zbiega, a po jego osigniciu pozostanie w tym otoczeniu. Rezultaty s podsumowane w Tabeli 1.

7. Porwnanie waciwoci opracowanych regu

W pracy dla kadej z regu wyznaczono szeroko pasma quasi-lizgowego, zapewnion przy jej zastosowaniu. Szeroko ta jest jednoznacznie powizana z odpornoci ukadu zamknitego na zakcenia. W miar zmniejszania tej szerokoci ruch quasi-lizgowy jest coraz bardziej zbliony do idealnego ruchu lizgowego, co oznacza coraz wiksz odporno. Ponadto, wykazano, e kada z opracowanych regu (w przeciwiestwie do lizgowego regulatora typu dead beat oraz reguy Gao i wspautorw) zapewnia ograniczenie prdkoci zmian s(kT), niezalene od warunkw pocztkowych. Jest to istotne, poniewa w wikszoci ukadw dynamicznych wymaganie szybkich zmian zmiennej lizgowej przekada si na konieczno stosowania duego sygnau sterujcego. Otrzymane rezultaty zostay podsumowane w Tabeli 1. Jak mona zauway, wszystkie reguy przeczajce zapewniaj szeroko pasma quasi-lizgowego dan tym samym wyraeniem. Jednak zastosowanie regu opracowanych w rozprawie pozwala na wybr mniejszej wartoci parametru (co zostao przedstawione w rozdziale 6 pracy) przy tym samym ograniczeniu wartoci sygnau sterujcego. Oznacza to otrzymanie wikszej odpornoci na zakcenia zaproponowanych rozwiza.

Tabela 1. Podsumowanie waciwoci zaproponowanych regu osigania trybu lizgowego

Regua

Szeroko pasma quasi-

lizgowego Maks. szybko zmian

s

Regulator dead-beat S2

+

F

2 s(0)

Prz

ec

zaj

ce

Regua Gao i wspautorw

+

2S

2

+

2F

2 Proporcjonalna do s(0)

Podstawowa +

2S

2

+

2F

2

+ 2S

2

+

2F

2

+

s

0

Z funkcj artg(.)

+ 2S

2

+

2F

2

+ 2S

2

+

2F

2

+

(g/2)

Z funkcj tanh(.) +

2S

2

+

2F

2

+ 2S

2 +

2F

2 +

r

Nie

prze

cz

ajc

e Podstawowa s0(S2

+

F

2)/[s

0

(S

2

+

F

2)] 2S

2 +

2F

2 +

s

0

Z funkcj artg(.) gtg[(S2

+

F

2)/g] 2S

2 +

2F

2 +

(g/2)

Z funkcj tanh(.) r[ln(r

+

S

2

+

F

2)

ln(r

S

2

F

2]/2

2S2

+ 2F

2 +

r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 tanhs kT

s k T s kT r F kT S kT F Sr

+ = + +

12

8. System logistyczny

W pracy, jako przykad zastosowania opracowanych dyskretnych regulatorw lizgowych wykorzystany zosta system logistyczny. Poniej przedstawiony zostanie jego model.

Analizowany ukad logistyczny skada si z pojedynczego magazynu, oferujcego towary klientom. Magazyn jest uzupeniany transportami towarw od m odlegych dostawcw. Kade poczenie midzy dostawc p a magazynem jest scharakteryzowane przez wspczynnik strat p (kade p (0, 1]) oraz opnienie Lp zwizane z czasem pakowania i transportu. Ponadto, kady z dostawcw moe wysa maksymalnie umaxp towarw w czasie jednego okresu dyskretyzacji.

Regulator, stanowicy element strategii zarzdzania magazynem, ma za zadanie wygenerowanie zamwie. Jego sygna wyjciowy u okrela sum iloci towarw zamwionych u wszystkich dostawcw. Ta warto jest dzielona pomidzy dostawcw, proporcjonalnie do ich moliwoci, tzn. kady dostawca p otrzymuje zamwienie na

towarw. Schemat blokowy ukadu przedstawiony jest na rysunku 1.

Zaoono, e kade opnienie Lp jest wielokrotnoci okresu dyskretyzacji T, tzn. Lp = pT, gdzie p jest liczb naturaln. Zapotrzebowanie klientw na towar modelowane jest jako a priori nieznana funkcja czasu d(kT). Tylko maksymalna warto tej funkcji, oznaczona przez dmax, znana jest z gry. Poniewa ilo towarw w magazynie, oznaczona jako y(kT), moe by niewystarczajca do penego zaspokojenia zapotrzebowania na towar, wprowadzona zostaje dodatkowa funkcja h(kT) odpowiadajca iloci sprzedanych towarw. Zatem, dla dowolnego k 0

. (16)

Pierwsze zamwienie jest generowane w chwili kT = 0, a magazyn jest pusty przed pocztkiem procesu sterowania, tzn. u(kT < 0) = 0 i y(kT < 0) = 0. Ilo towaru w magazynie moe zosta wyraona w postaci rnicy midzy iloci dostarczonych i sprzedanych towarw

. (17)

Rys.1 Schemat blokowy ukadu logistycznego

max max1

i m

p iiu u u

=

=

( ) ( ) max0 h kT d kT d

( ) ( ) ( )1 1

max

1 0 0max

1

m k kp

p pm

p j ji

i

uy kT u jT L h jT

u

= = =

=

=

13

W celu uproszczenia zapisu, dostawcy o tych samych opnieniach zostan zastpieni przez pojedynczego zastpczego dostawc. Ilo towarw dostarczona do magazynu od tego dostawcy bdzie rwna aiu, gdzie parametr ai dany jest wzorem

, (18)

dla i = 1, 2, , n 1, przy czym n = max(p) + 1. Jeeli nie ma dostawcw, ktrych opnienie wynosi iT, to odpowiadajcy im wspczynnik ai jest rwny zero. Po tym przeksztaceniu, ilo towaru w magazynie moe zosta wyraona nastpujco

. (19)

W celu zaprojektowania regulatora powysze rwnanie naley zapisa w przestrzeni stanw

(20)

gdzie A reprezentuje macierz stanu o wymiarach n n

, (21)

a b, o i p oznaczaj nastpujce wektory o wymiarach n 1

(22)

Pierwszy element wektora stanu x1(kT) = y(kT) odzwierciedla ilo towaru w magazynie, a pozostae elementy tego wektora reprezentuj opnione wartoci sygnau sterujcego

(23)

Przyjmujemy, e w stanie zadanym xd = [yd 0 0], tj. ilo towarw w magazynie jest rwna wartoci zadanej yd, i nie ma adnych nadchodzcych transportw.

W pracy wyznaczyem warto sygnaw sterujcych otrzymanych przy zastosowaniu kadej z zaproponowanych regu. Wyniki s podsumowane w Tabeli 2. Mona zauway, e w przeciwiestwie do regulatora dead-beat i reguy Gao i wspautorw kada

max max: 1p

m

i p p i

p i i

a u u= =

=

( ) ( ) ( )1 1 1

1 0 0

n k k

i

i j j

y kT a u j i T h jT

= = =

=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1

,Tk T kT u kT h kT

y kT kT

+ = + +

=

x Ax b o

p x

1 2 11

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

n na a a

=

0 1 1

0 0, , .

0

1 0 0

= = =

b o p

( ) ( )1 .ix kT u k n i T= +

14

z opracowanych regu zapewnia grne ograniczenie sygnau sterujcego, niezalene od warunkw pocztkowych. Wartoci tych ogranicze zostay przedstawione w Tabeli 3.

Tabela 2. Sygnay sterujce wyznaczone przy zastosowaniu zaproponowanych w rozprawie regu osigania trybu lizgowego, dla ukadw logistycznych

Regua Sygna sterujcy u(kT)

Regulator dead-beat

( ) 11

n

jjs kT a

=

Prz

ec

zaj

ce

Regua Gao i wspautorw

( ) ( ) ( ){ } 1max max 12 sgn 2n

jjqs kT d s kT d a

=+ + +

Podstawowa ( ) ( )( ) ( ) ( ){ } 10 0 max max 12 sgn 2n

iis s kT s s kT d s kT d a

=+ + + +

Z funkcj arctg(.) ( ) ( ) ( ){ }

1

max max 1arctg 2 sgn 2

n

iig s kT g d s kT d a

=+ + +

Z funkcj tanh(.) ( ) ( ) ( ){ }

1

max max 1tanh 2 sgn 2

n

iir s kT r d s kT d a

=+ + +

Nie

prze

cz

ajc

e Podstawowa ( ) ( ){ } 1max 12n

jjq s kT s kT d a

=+

Z funkcj arctg(.)

( ){ } 1max 1arctg 2n

jjg s kT g d a

=+

Z funkcj tanh(.)

( ){ } 1max 1tanh 2n

jjr s kT r d a

=+

Tabela 3. Warto sygnau sterujcego dla s

Regua warto u(kT) gdy s

Regulator dead-beat

Prz

ec

zaj

ce

Regua Gao i wspautorw

Podstawowa ( ) 1max 0 1n

jjd s a

=+ +

Z funkcj artg(.) ( ) 1max 12n

jjd g a

=+ +

Z funkcj tanh(.) ( ) 1max 1n

jjd r a

=+ +

Nie

prze

cz

ajc

e

Podstawowa ( ) 10 max 12n

jjs d a

=+

Z funkcj artg(.) ( ) 1max 12 2n

jjg d a

=+

Z funkcj tanh(.) ( ) 1max 12n

jjr d a

=+

15

Rezultaty symulacji

Dziaanie regulatorw bazujcych na opracowanych reguach osigania trybu lizgowego, zostao w rozprawie zilustrowane symulacjami komputerowymi ukadu opisanego rwnaniem (20). W analizowanym przypadku wybrany zostaje okres dyskretyzacji T = 1 dzie. Parametry ukadu badanego symulacyjnie przedstawione s w Tabeli 4. Jak wida z tabeli, dostawcy mog w sumie wysa 125 sztuk towaru w pojedynczym okresie dyskretyzacji. Oznacza to, e sygna sterujcy nie powinien przekroczy tej wartoci. Najwikszym opnieniem jest 3T = 9 dni, zatem stopie ukadu n = 10. Parametry ai wynikajce z danych zawartych w tabeli, przyjmuj nastpujce wartoci a4 = 0,196, a6 = 0,304, a9 = 0,4608, a pozostae s rwne zero. Najwiksza moliwa warto popytu na towar to dmax = 105 sztuk. Przebieg popytu przyjtego w symulacjach jest przedstawiony na rysunku 2.

Tabela 4. Parametry ukadu

p umaxp [sztuk] p Lp [dni] 1 25 0.98 4 2 40 0.95 6 3 60 0.96 9

Rys. 2. Zapotrzebowanie klientw na towar.

10. Zastosowanie regu przeczajcych

W pracy wykazano, e dla ukadu (20), wykorzystanie przeczajcych regu osigania trybu lizgowego bdzie prowadzio do wygenerowania ujemnego sygnau sterujcego, co uniemoliwia ich zastosowanie dla systemu logistycznego. Model w przestrzeni stanw wyraony wzorem (20) moe jednak przedstawia rwnie inne obiekty dynamiczne, dla ktrych generowanie ujemnych wartoci sygnau sterujcego jest dopuszczalne. Zatem, aby mc porwna dziaanie regulatorw lizgowych zaprojektowanych z zastosowaniem obu typw regu, symulacje komputerowe zostan wykonane rwnie dla przeczajcych regu osigania trybu lizgowego. Poniewa rozwaany poniej jest obiekt dynamiczny opisany rwnaniem (20), lecz nie bdcy ukadem logistycznym, parametry regulatorw bd podane

16

jako bezwymiarowe. Zadaniem kadego z regulatorw jest utrzymanie wyjcia ukadu na staym poziomie yd = 1000, przy ograniczeniu sygnau sterujcego do wartoci 690. Dla kadej z rozwaonych regu dokonano wyboru wartoci parametrw zapewniajcych najmniejszy poziom chatteringu. Sposb doboru zosta dokadnie wyjaniony w pracy, wybrane wartoci parametrw przedstawiono w Tabeli 5. Jak mona zauway, reguy opracowane w pracy pozwalaj na wybranie znacznie mniejszych wartoci niecigej czci sygnau sterujcego. Na rysunkach 3, 4 i 5 przedstawiono porwnanie rezultatw otrzymanych przy zastosowaniu reguy Gao i wspautorw oraz reguy z funkcj tanh(.). Jak wida z rysunku 3, odpowiedni wybr parametrw obu regu pozwoli na ograniczenie sygnau sterujcego do zadanego poziomu 690. Ponadto, sygna sterujcy otrzymany przy zastosowaniu zaproponowanego rozwizania wykazuje wyranie mniejsze oscylacje. Jak wida na rysunku 4, skutkuje to zmniejszeniem oscylacji wyjcia. Ponadto, zastosowane rozwizanie pozwala utrzyma warto wyjciow bliej wartoci zadanej. Jak wida na rysunku 5 obie reguy zapewniaj istnienie przeczajcego ruchu quasi-lizgowego (zmienna lizgowa zmienia znak w kadym kolejnym okresie dyskretyzacji). Zaproponowana w rozprawie regua zapewnia mniejsz szeroko pasma quasi-lizgowego, co oznacza otrzymanie wikszej odpornoci na zakcenia.

Tabela 5. Parametry regu przeczajcych wybrane do symulacji

Regua Parametry

Regua Gao i wsp. q = 0,4 = 158

Podstawowa s0 = 1210 = 10,44

Z funkcj artg(.) g = 500 = 4,38

Z funkcj tanh(.) r = 597 = 1,42

Rys. 3. Sygna sterujcy otrzymany przy zastosowaniu reguy opracowanej w artykule [7] (czarny) i zaproponowanej w rozprawie reguy z funkcj tanh(.) (czerwony).

17

Rys. 4. Przebieg wyjcia ukadu otrzymany przy zastosowaniu reguy opracowanej w artykule [7] (czarny) i zaproponowanej w rozprawie reguy z funkcj tanh(.)(czerwony).

Rys. 5. Przebieg zmiennej lizgowej otrzymany przy zastosowaniu reguy opracowanej w artykule [7] (czarny) i zaproponowanej w rozprawie reguy z funkcj tanh(.) (czerwony).

11. Zastosowanie regu nieprzeczajcych

Nastpnie, w rozprawie przeanalizowane zostao zastosowanie regulatora dead-beat oraz trzech regulatorw zaprojektowanych zgodnie z nieprzeczajcymi reguami osigania trybu lizgowego do systemu logistycznego. Dla kadego z regulatorw wyznaczona zostaa ilo towarw w magazynie ymax, ktra nie zostanie przekroczona. Jeeli rozmiar magazynu zostanie wybrany jako wikszy bd rwny tej wartoci, to uniknite zostanie ryzyko przepenienia magazynu i wynikajca z niego konieczno stosowania kosztownych magazynw awaryjnych. Ponadto, dla kadej z regu wyznaczono minimaln zadan ilo towarw yd, przy ktrej zapewnione zostanie pene zaspokojenie popytu. Rezultaty zostay podsumowane w Tabeli 6. Wartoci parametrw regu, zadane iloci towarw oraz wymagany rozmiar magazynu przedstawiono w Tabeli 7.

18

Tabela 6. Waciwoci systemu logistycznego przy zastosowaniu regu nieprzeczajcych

Regua Minimalna warto yd Wymagany rozmiar magazynu

Regulator dead-beat

( )1 1max 1 11n n

i ii id a i a

= =+ dy

Podstaw. ( )1 1max 0 max 0 max1 1 2n n

i ii id ia a s d s d

= =+ ( )0 max 0 max2dy s d s d+

Z f. artg(.)

( )1 1max max1 1 tg 2n n

i ii id ia a g d g

= =+ ( )maxtg 2dy g d g+

Z f. tanh(.) ( ) ( )

1 1

max 1 1

max maxln 2 ln 2

n n

i ii id ia a

r r d r d

= =+

+ +

( ) ( )max maxln 2 ln 2dy r r d r d+ +

Rezultaty otrzymane dla regulatora dead-beat przedstawiono na rysunkach 6, 7 i 8. Jak

wida z rysunku 7, ilo towarw w magazynie nie przekracza wartoci zadanej, a po dostarczeniu pierwszej dostawy nigdy nie spada do zera. Oznacza to, e nie ma ryzyka przepenienia magazynu, a popyt jest zaspokojony w caoci. Jak mona zauway z rysunku 8, regulator typu dead-beat zapewnia rwnie zbieno punktu opisujcego do otoczenia paszczyzny lizgowej w pojedynczym okresie dyskretyzacji, a nastpnie pozostanie w tym otoczeniu. Na rysunku 6 mona jednak zauway znaczc wad tego regulatora, czyli generowanie bardzo duej wartoci sygnau sterujcego w pierwszej chwili dyskretyzacji. Porwnanie wynikw otrzymanych przy zastosowaniu nieprzeczajcych regu osigania trybu lizgowego pokazane zostao na rysunkach 9, 10 i 11. Jak mona zauway, wszystkie regulatory generuj zamwienia nie przekraczajce moliwoci dostawcw. Podstawowa regua osigania trybu lizgowego wymaga zastosowania najwikszego magazynu, ale zapewnia najbardziej wygadzony przebieg zamwie. Regua bazujca na funkcji tanh(.) charakteryzuje si najmniejszym wymaganym rozmiarem magazynu, ale generuje zamwienia zmieniajce si niemal rwnie gwatownie jak popyt na towar. Oznacza to, e w tym przypadku niekorzystny efekt byczego bicza (ang. bullwhip effect) zosta tylko nieznacznie zmniejszony. Regua zawierajca funkcj arctg(.) ma waciwoci porednie w porwnaniu do powyej wymienionych regu. Wybr pomidzy jedn z trzech opracowanych regu powinien by wic podyktowany kompromisem pomidzy kosztami magazynowania, a moliwociami realizacji przez dostawcw szybko zmieniajcych si zamwie.

Tabela 7. Wartoci parametrw wybranych do symulacji

Regua Parametry yd[sztuk] ymax[sztuk]

Regulator dead-beat

850 850

Podstawowa s0 = 73 937 1124

Z funkcj artg(.) g = 44,59 858 965

Z funkcj tanh(.) r = 67,725 815 885

19

Rys. 6. Sygna sterujcy regulatora dead-beat.

Rys. 7. Ilo towarw w magazynie przy zastosowaniu regulatora dead-beat.

Rys. 8. Przebieg zmiennej lizgowej otrzymany przy zastosowaniu regulatora dead-beat.

20

Rys. 9. Sygna sterujcy regulatorw zaprojektowanych z zastosowaniem nieprzeczajcych regu osigania trybu lizgowego.

Rys. 10. Ilo towarw w magazynie przy zastosowaniu nieprzeczajcych regu osigania trybu lizgowego.

Rys. 11. Przebieg zmiennej lizgowej przy zastosowaniu nieprzeczajcych regu osigania trybu lizgowego.

21

Mimo tego, e w pracy skupiono si na konkretnym przypadku ukadw logistycznych, opracowane reguy osigania trybu lizgowego mog zosta wykorzystane dla dowolnych liniowych systemw dyskretnych, na ktre oddziauj zakcenia oraz w ktrych mog wystpowa niedokadnoci w modelowaniu.

Bibliografia

[1] G. Bartolini, A. Ferrara i V. I. Utkin, Adaptive sliding mode control in discrete-time systems, Automatica, vol. 31, nr 5, str. 769773, 1995.

[2] A. Bartoszewicz, Remarks on Discrete-time variable structure control systems, IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 43, nr 1, str. 235238, 1996.

[3] A. Bartoszewicz, Discrete time quasi-sliding mode control strategies, IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 45, nr 4, str. 633637, 1998.

[4] B. Draenovi, The invariance conditions in variable structure systems, Automatica, vol. 5, nr 3, str. 287295, 1969.

[5] S. V. Emelyanov, Variable Structure Control Systems. Nauka, Moskwa, Rosja, 1967.

[6] W. Gao i J. Hung, Variable structure control of nonlinear systems: A new approach, IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 40, nr 1, str. 4555, 1993.

[7] W. Gao, Y. Wang i A. Homaifa, Discrete-time variable structure control systems, IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 42, nr 2, str. 117122, 1995.

[8] G. Golo i . Milosavljevi, Robust discrete-time chattering free sliding mode control, Systems & Control Letters, vol. 41, nr 1, str. 1928, 2000.

[9] B. Liu, Z. Ding, H. Zhao i D. Jin, Active power filter DC bus voltage piecewise reaching law variable structure control, Mathematical Problems in Engineering, Article ID 835720, 2014.

[10] A. Mehta i B. Bandyopadhyay, The design and implementation of output feedback based frequency shaped sliding mode controller for the smart structure, Proc. IEEE International Symposium on Industrial Electronics, str. 353358, 2010.

[11] S. Mija i T. Susy, Reaching law based sliding mode control for discrete MIMO systems, Proc. IEEE International Conference on Control, Automation, Robotics and Vision, str. 12911296, 2010.

[12] . Milosavljevi, B. Perunii-Draenovi, B. Veseli i D. Miti, A new design of servomechanisms with digital sliding mode, Electrical Engineering, vol. 89, nr 3, str. 233244, 2007.

[13] S. Qu, X. Xia i J. Zhang, Dynamics of discrete-time sliding-mode-control uncertain systems with a disturbance compensator, IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 61, nr 7, str. 35023510, 2014.

[14] Y. Ren, Z. Liu, X. Liu i Y. Zhang A chattering free discrete-time global sliding mode controller for optoelectronic tracking system, Mathematical Problems in Engineering, Article ID 951492, 2013.

[15] B. Veseli, B. Perunii-Draenovi I . Milosavljevi, Improved discrete-time sliding-mode position control using euler velocity estimation, IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 57, nr 11, str. 38403847, 2010.

[16] Y. X. Zhao, T. Wu i Y. Ma A double power reaching law of sliding mode control based on neural network, Mathematical Problems in Engineering, Article ID 408272, 2013.