universitas gunadarma jakarta 2020
TRANSCRIPT
Bahan Ajar Riset Operasi
OLEH
Nurina Yasin, ST,. MT.
UNIVERSITAS GUNADARMA
JAKARTA
2020
ii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah dan puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas
segala rahmat, taufik, dan hidayah-Nya, sehingga setelah melalui proses akhirnya
penyusunan bahan ajar Riset Operasi untuk perguruan tinggi ini dapat terselesaikan.
Penyusunan bahan ajar ini berdasarkan rujukan Satuan Acara Perkuliahan
(SAP) di Universitas Gunadarma. Bahan ajar ini nantinya akan digunakan sebagai
penunjang perkuliahan mahasiswa Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan.
Meskipun bahan ajar ini telah diselesaikan, penulis menyadari bahwa bahan
ajar ini masih jauh dari kesempurnaan, sehingga penulis mengharapkan teguran,
kritik dan saran yang membangun dari para pembaca. Akhir kata penulis berharap
semoga bahan ajar ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pihak dan penulis
mendo’akan kepada pihak – pihak yang telah membantu, semoga Allah SWT
membalasnya dengan pahala dan kebaikan, karena sebaik-baiknya pembalas adalah
Allah swt.
Depok, April 2020
Nurina Yasin, ST,. MT.
iii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i
KATA PENGANTAR ..................................................................................... ii
DAFTAR ISI .................................................................................................... iii
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... vii
BAB 1 METODE SIMPLEKS
1.1 SYARAT METODE SIMPLEKS .......................................... 1
1.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN
METODE SIMPLEKS ........................................................... 2
BAB 2 METODE DUAL SIMPLEKS
2.1 KEGUNAAN METODE DUAL SIMPLEKS ....................... 6
2.2 LANGKAH-LANGKAH METODE DUAL SIMPLEKS ..... 6
BAB 3 METODE GRAFIK
3.1 LANGKAH-LANGKAH METODE GRAFIK ..................... 10
BAB 4 DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS
4.1 HUBUNGAN ANTARA PRIMAL DUAL ........................... 14
4.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN ........................ 15
iv
4.3 MENGINTERPRETASIKAN MODEL PRIMAL ................ 16
4.4 MENGINTERPRETASIKAN MODEL DUAL .................... 17
4.5 ANALISIS SENSITIVITAS .................................................. 17
4.5.1 Analisis dari Dampak Perubahan Koefisien Fungsi
Tujuan ........................................................................ 18
4.5.2 Analisis dari Dampak Perubahan Koefisien Fungsi
Batasan ....................................................................... 19
BAB 5 METODE TRANSPORTASI
5.1 SOAL METODE TRANSPORTASI ..................................... 21
5.2 SOLUSI METODE NWC (NORTH WEST CORNER) ......... 22
5.3 SOLUSI METODE LC (LEAST COST) ................................. 22
5.4 SOLUSI METODE VAM (VOGEL
APPROXIMATION METHOD) ............................................. 23
5.5 SOLUSI METODE RAM (RUSSEL
APPROXIMATION METHOD) ............................................. 23
5.6 SOLUSI OPTIMAL LANGKAH AWAL MODI
(MODIFIED DISTRIBUTION) .............................................. 24
5.7 SOLUSI OPTIMAL LANGKAH KEDUA STEPPING
STONE ................................................................................... 27
v
BAB 6 METODE PENUGASAN (HUNGARIAN)
6.1 KASUS MINIMUM ............................................................... 31
6.1 KASUS MAKSIMUM ........................................................... 34
BAB 7 METODE JARINGAN
7.1 MINIMUM SPANNING TREE ............................................... 36
7.2 ALIRAN MAKSIMUM ......................................................... 37
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... vi
1
BAB 1
METODE SIMPLEKS
TIU: Memahami permasalahan dan membuat mode matematik
TIK:
1. Bentuk umum LP
2. Bentuk baku LP
3. Tujuan, Kendala dan Alternatif dalam RO
4. Pemodelan Matematik
5. Pemodelan matematik kendala / pembatas.
6. Tabel simpleks
7. Penentuan solusi basis /dasar
8. Penentuan solusi optimal
1.1 SYARAT METODE SIMPLEKS
Berikut adalah syarat-syarat metode simpleks dalam menyelesaikan studi
kasus:
1. Fungsi tujuan harus = 0
2. Fungsi kendala harus positif jika – kalikan -1
3. Fungsi kendala ≤ harus diubah kebentuk – dengan menambahkan slack /
surplus.
4. Fungsi kendala ≥ harus diubah ke bentuk ≤ dengan mengalikan -1 lalu diubah
ke bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack. Kemudian karena
nilai kananya (NK) negatif, kalikan dengan -1 dan di tambahkan variabel
artificial (M).
5. Fungsi kendala dengan tanda = harus ditambah artificial (M).
2
1.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN METODE SIMPELEKS
Selesaikan soal dibawah ini dengan menggunakan metode simpleks.
Diketahui :
Fungsi Tujuan
Z = 3X1 +5X2
Fungsi Kendala
1. 2X1 ≤ 8
2. 3X2 ≤ 15
3. 6X1 + 5X2 ≤ 30
1 Mengubah Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala
Fungsi tujuan
Z = 3X1 + 5X2 Z - 3X1 - 5X2 = 0
Fungsi kendala
1) 2X1 ≤ 8 2X1 + X3 = 8
2) 3X2 ≤ 15 3X2 + X4 = 15
3) 6X1 + 5X2 ≤ 30 6X1 + 5X2 + X5 = 30
(X3, X4 dan X5 adalah variabel slack)
2 Menyusun Persamaan-Persamaan ke dalam Tabel
3
3 Memilih Kolom Kunci
Kolom kunci adalah kolom yang mempunyai nilai pada baris Z yang bernilai negatif
dengan angka terbesar
4 Memilih Baris Kunci
Index = Nilai Kanan (NK)
Nilai Kolom kunci angka kunci
Baris kunci adalah baris yang mempunyai index terkecil
5 Menentukan Nilai Baris Baru Kunci
Mengubah nilai-nilai baris kunci dengan cara membaginya dengan angka kunci
Baris baru kunci = baris kunci : angka kunci
4
6 Mengubah Nilai-Nilai Selain Baris Kunci Sehingga Nilai Kolom Kunci (Selain
Baris Kunci) = 0
Baris baru = baris lama – (koefisien angka kolom kunci x nilai baris baru kunci)
Baris Z
Baris lama [ -3 -5 0 0 0 0 ]
NBBK -5 [ 0 1 0 1/3 0 5 ] -
Baris baru -3 0 0 5/3 0 25
Baris X3
Baris lama [ 2 0 1 0 0 8 ]
NBBK 0 [ 0 1 0 1/3 0 5 ] -
Baris baru 2 0 1 0 0 8
Baris X5
Baris lama [ 6 5 0 0 1 30 ]
NBBK 5 [ 0 1 0 1/3 0 5 ] -
Baris baru 6 0 0 -5/3 1 5
Masukkan nilai di atas (langkah 6) ke dalam tabel, sehingga tabel menjadi seperti
berikut:
5
7 Melanjutkan Perbaikan-Perbaikan (Langkah 3-6) Sampai Baris Z Tidak Ada
Nilai Negatif
Hasil penyelesaian akhir dapat dilihat pada table berikut:
6
BAB 2
METODE DUAL SIMPLEKS
TIU:
Memahami penggunaan bentuk solusi awal buatan
TIK:
1. Menjelaskan metode dual simpleks
2. Menjelaskan kasus-kasus khusus
2.1 KEGUNAAN METODE DUAL SIMPLEKS
Berikut adalah kegunaan metode dual simpleks:
1 Prosedur perhitungan yang bergerak pada solusi dasar yang belum optimum
2 Proses untuk mencapai solusi optimum
3 Mendapatkan solusi dasar awal yang baik
4 Artificial Variable digunakan untuk solusi yang layak
2.2 LANGKAH-LANGKAH METODE DUAL SIMPLEKS
Metode ini dapat digunakan dengan syarat jika fungsi kendali ≥
Perhatikan soal dan penyelesaian berikut:
Minimumkan, Z = 4X1 + 2X2
FK 1. 3X1 + X2 ≥ 27
2. X1 + X2 ≥ 21
3. X1 + 2X2 ≥ 30
Lakukan analisis simplek
1 Mengubah persamaan menjadi pertidaksamaan ≤ dengan menambahkan
variable slack.
1 -3X1 – X2 ≤ -27 = -3X1 – X2 + X3 = -27
2 -X1 – X2 ≤ -21 = -X1 – X2 + X4 = -21
3 -X1 – 2X2 ≤ -30 = -X1 – 2X2 + X5 = -30
7
Bentuk diatas adalah Simpleks awal, terlihat variable stack (S1, S2, S3) tidak
memberikan solusi awal yang layak
2 Masukan ke dalam tabel
3 Pilih baris kunci = Pilih NK (-) terbesar
4 Pilih kolom Kunci = Indeks terkecil ( Z / Baris Kunci)
5 Mencari Nilai Baru Baris Kunci
(-1/(-2)), (-2/(-2)), (0/(-2)), (0/(-2)), (1/(-2)), (-30/(-2))
Hasilnya;
NBBK [ 1 2⁄ 1 0 0 - 1 2⁄ 15 ]
6 Mencari Nilai Baru Baris Z, X3, dan X4
• Nilai baru Z = Z – kk [NBBK]
𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 𝑋5 NK
-4 -2 0 0 0 0
-2 [ 1 2⁄ 1 0 0 - 1 2⁄ 15 ] -
-3 0 0 0 -1 30
8
Nilai baru 𝑋3 = 𝑋3 - kk . [NBBK]
𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 𝑋5 NK
-3 -1 1 0 0 -27
-1 [ 1 2⁄ 1 0 0 - 1 2⁄ 15 ] -
-5 2⁄ 0 1 0 -1 2⁄ -12
Nilai baru 𝑋4 = 𝑋4 - kk . [NBBK]
𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 𝑋5 NK
-1 -1 0 1 0 -21
-1 [ 1 2⁄ 1 0 0 - 1 2⁄ 15 ] -
-1 2⁄ 0 0 1 -1 2⁄ -6
7 Masukan Tabel Iterasi Pertamav
Pada tabel iterasi pertama ini dihasilkan solusi yang belum layak, bisa
dilihat dari nilai NK dimana masih ada yang bernilai negatif. Oleh karena itu kita
lakukan lagi pencarian NBBK pada iterasi pertama ini dengan cara yang sama
seperti pencarian NBBK sebelumnya. Ulangi sampai NK positif semua.
9
Berikut merupakan tabel hasik akhir:
Pembuktian
Pada tabel akhir dapat kita lihat bahwa solusi optimal dan layak dengan tidak
adanya bilangan bernilai negatif pada NK, dengan nilai fungsi tujuan adalah 48.
Untuk mengecek apakah hasil tersebut benar maka kita akan lakukan pembuktian
seperti ini.
Z = 48 𝑿𝟏 = 3 𝑿𝟐 = 18
Z = 4𝑿𝟏 + 2𝑿𝟐 (soal)
= 4(3) + 2(18)
48 = 48 (Terbukti)
10
BAB 3
METODE GRAFIK
TIU:
Mengenal, memahami dan menyelesaikan permasalahan menggunakan solusi
grafik
TIK:
1. Memahami soal dengan solusi Grafik
2. Mendapat Solusi Optimum
3.1 LANGKAH-LANGKAH METODE GRAFIK
11
12
13
14
BA B 4
DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS
TIU:
Mengenal dualitas dan Analisa sensitivitas.
TIK:
1. Menjelaskan penyelesaian permasalahan dual
2. Menyebutkan interpretasi solusi permasalahan dual
3. Menjelaskan penggunaan analisa sensitifitas
4.1 HUBUNGAN ANTARA PRIMAL DUAL
1 Variabel dual Y1,Y2,Y3 berhubungan dengan batasan model primal, dimana
untuk setiap batasan dalam primal, terdapat satu variabel dual.
2 Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan dalam model primal merupakan
koefisien fungsi tujuan dual.
3 Koefisien batasan model primal merupakan nilai kuantitas pada sisi kanan
pertidak samaan pada model dual.
4 Pada bentuk standard, model maksimalisasi primal memiliki batasan ,
sedangkan model minimasi dual memiliki batasan .
15
4.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN
Perhatikan contoh soal berikut:
Bentuk Primal
Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 160 x1 + 200 x2
Fungsi batasan :
2x1 + 4x2 40
18x1 + 18x2 216
24 x1 + 12x2 240
x1,x2 0
Bentuk Dual
Fungsi tujuan : Meminimalkan W= 40 y1+216 y2+240 y3
Fungsi batasan :
2 y1+18y2+ 24y3 160
4y1 +18y2 + 12y3 200
y1,y2,y3 0
16
4.3 MENGINTERPRETASIKAN MODEL PRIMAL
(Lihat Contoh 1)
Solusi optimal dari model primalnya adalah sbb :
1 Jumlah produk A yang diproduksi adalah x1 = 4
2 Jumlah produk B yang diproduksi adalah x2 = 8
3 Sisa luas gudang adalah S3 = 48 m2
4 Nilai baris cj-zj di bawah kolom S1 adalah -20. Nilai ini menunjukkan harga
bayangan (shadow prizes=nilai marginal) dari batasan ke 1 (tenaga kerja). Ini
berarti jika tenaga kerja ditambah 1 jam akan menambah laba sebesar $20
5 Nilai baris cj-zj di bawah kolom S2 adalah -20/3 atau -6.667. Nilai ini
menunjukkan harga bayangan (shadow prizes) dari batasan ke 2 (bahan baku)
6 Laba yang diperoleh adalah sebesar $2240
7 Untuk batasan ke 3 (luas gudang) pada tabel optimal terlihat bahwa nilai S3
pada baris cj-zj bernilai nol, artinya bahwa gudang memiliki shadow prizes
sebesar nol, yang berarti tidak akan ada pembayaran tambahan untuk 1 m2 luas
gudang.
17
4.4 MENGINTERPRETASIKAN MODEL DUAL
Solusi optimal dari model dual adalah:
1 Dari batasan dual yang pertama, yaitu 2y1+18y2+24y3 160 laba per produk
A. Artinya nilai dari ketiga sumber yang digunakan untuk memproduksi produk
A, paling sedikit harus sebesar laba yang diperoleh dari produk A.
2 Dari batasan dual yang kedua, yaitu 4y1+18y2+12y3 200 laba per produk B.
Artinya nilai dari ketiga sumber yang digunakan untuk memproduksi produk B,
paling sedikit harus sebesar laba yang diperoleh dari produk B.
3 Fungsi tujuan untuk model dual adalah meminimalkan Z = 40y1+216y2+240y3,
ini berarti nilai total sumber-sumber daya (jam tenaga kerja, bahan baku,
gudang) adalah sebesar : 40.20 + 216 .20/3 + 240.0 = 2240. Artinya, nilai total
minimal untuk kebutuhan sumber adalah 2240.
4.5 ANALISIS SENSITIVITAS
Pada masalah sebelumnya, selalu diasumsikan bahwa parameter dari model
( diantaranya, koefisien fungsi tujuan, nilai kuantitas dari pertidaksamaan fungsi
batasan, dan koefisien batasan ), selalu dianggap pasti, padahal dalam kenyataannya
tidak selalu demikian, karena kadang bisa berubah, untuk itu biasanya si pembuat
keputusan ingin mengetahui dampak yang terjadi pada solusi model, jika
parameternya diubah. Analisis terhadap perubahan parameter dan dampaknya
terhadap solusi optimal model disebut Analisis Sensitivitas. Akan dibicarakan
analisis dari dampak perubahan pada koefisien fungsi tujuan dan nilai kuantitas
dari pertidaksamaan fungsi batasan.
18
4.5.1 Analisis dari Dampak Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan
Perhatikan contoh 1 :
Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 160 x1 + 200 x2
Fungsi batasan :
2x1 + 4x2 40
18x1 + 18x2 216
24 x1 + 12x2 240
x1,x2 0
Pertanyaan :
a. Jika laba untuk produk A (x1) dinaikkan menjadi 170, berapa laba yang di
dapat?
b. Jika laba untuk produk A (x1) dinaikkan menjadi 220, berapa laba yang di
dapat?
Penyelesaian
a. Untuk menentukan laba optimal jika terjadi perubahan pada fungsi tujuan, tidak
perlu diubah dari iterasi 0, tetapi dapat diubah langsung pada tabel optimalnya
saja, yaitu dengan cara :
Laba optimal berubah menjadi $2280
19
b. Jika laba A terus dinaikkan menjadi $220, maka yang akan terjadi adalah :
Dari tabel optimal terlihat jika laba dinaikkan menjadi $220, maka keadaan optimal
tidak terpenuhi lagi, karena pada baris cj-zj terdapat nilai positif. Untuk itu, pada
soal c, akan diselidiki seberapa jauh (range) perubahan yang dapat dilakukan agar
keadaan tetap optimal.
4.5.2 Analisis dari Dampak Perubahan Koefisien Fungsi Batasan
Perhatikan contoh 1 :
Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 160 x1 + 200 x2
Fungsi batasan :
2x1 + 4x2 40 jam tenaga kerja
18x1 + 18x2 216 kg bahan baku
24 x1 + 12x2 240 m2 luas gudang
x1,x2 0
Pertanyaan :
a. Jika jam untuk tenaga kerja diturunkan menjadi 35, berapa laba yang didapat?
b. Jika jam untuk tenaga kerja diturunkan menjadi 30, berapa laba yang didapat?
20
Penyelesaian
a. Untuk menentukan laba optimal jika terjadi perubahan pada nilai kanan fungsi
batasan, tidak perlu diubah dari iterasi 0, tetapi dapat diubah langsung pada tabel
optimalnya saja, yaitu dengan cara.
b. :
Dari tabel optimal dapat dilihat, jika jumlah jam tenaga kerja diturunkan menjadi
35, maka laba juga akan turun menjadi $ 2140.
c. Jika jam tenaga kerja diturunkan lagi menjadi 30, maka :
Karena nilai kuantitas menjadi negatif, maka tidak memenuhi syarat sebagai
simpleks.
21
BAB 5
METODE TRANSPORTASI
TIU:
Memahami penggunaan metode transportasi dan menyelesaikan kasus-kasus
metode transportasi.
TIK:
1. Menjelaskan permasalahan yang dapat diselesaikan dengan metode
transportasi
2. Menjelaskan metode NWC
3. Menjelaskan metode LC.
4. Menjelaskan metode VAM
5. Menjelaskan penentuan solusi yang optimal
5.1 SOAL METODE TRANSPORTASI
22
5.2 SOLUSI METODE NWC (NORTH WEST CORNER)
5.3 SOLUSI METODE LC (LEAST COST)
23
5.4 SOLUSI METODE VAM (VOGEL APPROXIMATION METHOD)
5.5 SOLUSI METODE RAM (RUSSEL APPROXIMATION METHOD)
24
5.6 SOLUSI OPTIMAL LANGKAH AWAL MODI (MODIFIED
DISTRIBUTION)
Metode ini dalam merubah alokasi produk untuk mendapatkan alokasi
produksi yang optimal menggunakan suatu indeks perbaikan yang berdasarkan
pada nilai baris dan nilai kolom.
Kita gunakan soal pada metode transportasi di atas untuk solusi metode
NWC. Pakai tabel terakhirnya.
25
26
27
5.7 SOLUSI OPTIMAL LANGKAH KEDUA STEPPING STONE
Metode ini dalam merubah alokasi produk untuk mendapatkan alokasi
produksi yang optimal menggunakan cara trial and error atau coba – coba.
28
29
30
31
BAB 6
METODE PENUGASAN (HUNGARIAN)
TIU:
Model penugasan menggunakan Metode Hungarian.
TIK:
1 Menjelaskan proses pembentukan tabel penugasan, sampai dengan
pencarian solusi yang optimal
2 Menggunakan metode hungarian, baik untuk jumlah tugas = jumlah pekerja
ataupun jumlah tugas ≠ jumlah pekerja
6.1 KASUS MINIMUM
Sebuah perusahaan kecil mempunyai 4 pekerjaan yang berbeda untuk
diselesaikan oleh 4 karyawan. Biaya penugasan seorang karyawan untuk pekerjaan
yang berbeda adalah berbeda karena sifat pekerjaan berbeda-beda. Setiap karyawan
mempunyai tingkat ketrampilan, pengalaman kerja dan latar belakang pendidikan
serta latihan yang berbeda pula. Sehingga biaya penyelesaian pekerjaan yang sama
oleh para karyawan yang berlainan juga berbeda. Tabel biaya sebagai berikut:
1. Memilih biaya terkecil setiap baris
32
2. Mengurangkan setiap biaya dengan biaya terkecil
3. Mengurangkan kolom pada kolom yang belum mempunyai nilai nol, pilih
yang terkecil
4. Chek optimumnya (menarik garis)
*Jika jumlah garis sama dengan jumlah baris/ kolom maka penugasan telah
optimal. Jika tidak maka harus direvisi.
33
5. Melakukan Revisi matrix (iterasi)
Untuk merevisi total opportunity cost, pilih angka terkecil yang tidak terliput
(dilewati) garis
Kurangkan angka yang tidak dilewati garis dengan angka terkecil
Pada tabel yang dilewati 2 garis ditambah dengan angka terkecil.
6. Kembali ke langkah 4
Jumlah garis = jumlah baris / kolom = OPTIMAL
34
7. Tabel penugasan
6.2 KASUS MAKSIMUM
Untuk penyelesaian kasus maksimum hampir sama dengan minimum hanya
langkah pertama yang berbeda, yaitu memilih biaya TERBESAR.
35
Hasil dari kasus maksimum dapat di lihat pada gambar di bawah ini.
36
BAB 7
METODE JARINGAN
TIU:
Mengenal Teknik-teknik analisis jaringan.
TIK:
1 Menjelaskan arti jaringan
2 Menjelaskan arti istilah pada jaringan
3 Menjelaskan pencarian minimum spanning tree, rute terpendek dan aliran
maksimum
7.1 MINIMUM SPANNING TREE
Minimum Spanning Tree adalah menghubungkan seluruh simpul dalam jaringan
sehingga total panjang cabang dapat diminimumkan. Dengan syarat yaitu :
1 Pilih simpul manapun yang memiliki nilai cabang terkecil
2 Tidak boleh membentuk grup
3 Semua simpul harus dialiri
37
7.2 ALIRAN MAKSIMUM
Aliran Maksimum adalah jumlah titik awal dan titik akhir harus memiliki
jumlah yang sama. Dengan cara yaitu :
1 Pilih titik awal dan titik akhir
2 Titik awal dimulai dari yang memiliki nilai maksimal
38
viii
DAFTAR PUSTAKA
Setyawan, Aris Budi 2010. Riset Operasional 1.
http://arisbudi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/folder/0.1 (diakses pada
tanggal April 2020)
Setyawan, Aris Budi 2010. Riset Operasional 2.
http://arisbudi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/folder/0.1 (diakses pada
tanggal April 2020)