tek predavanja

SADRZAJ

UVOD 9

1.1 Osnovni pojmovi i definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Podjela elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Ulazna i izlazna snaga elementa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Uslov pasivnosti elementa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Rezistivni elementi sa jednim pristupom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1 Klasifikacija otpornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.2 Otpornost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.3 Ulazna snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.4 Uslov pasivnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.5 Ulazna snaga i uslov pasivnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 Otvorena i kratka veza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7 Idealna dioda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7.1 Osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8 Idealni naponski generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8.1 Definicija i karakteristike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8.2 Osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9 Strujni generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9.1 Definicija i karakteristike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9.2 Osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.10 Singularni element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10.1 Nulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10.2 Norator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.11 Kapacitivni elementi sa jednim pristupom - kondenzatori . . . . . . . . . . . . 23

1.11.1 Klasifikacija kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.11.2 Kapacitivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.11.3 Akumulisana energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.11.4 Ulozena energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


1.11.6 Teorema o neprekidnosti napona kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . 27

1

2

1.11.7 Akumulisana i ulozena energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


1.12 Induktivni elementi sa jednim pristupom - kalemovi . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.12.1 Klasifikacija kalemova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.12.2 Napon kalema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.12.3 Akumulisana energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.12.4 Ulozena energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


1.12.6 Linearan vremenski nepromjenljiv kalem . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.12.7 Teorema o neprekidnosti struje kalema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.12.8 Akumulisana i ulozena energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34


1.13 Rezistivni elementi sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.13.1 Definicija elemenata sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.13.2 Rezistivni elementi sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.13.3 Klasifikacija rezistivnih elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.14 Zavisni ili kontrolisani izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

ELEMENTI TEORIJE GRAFOVA I ANALIZA ELEKTRICNIH KOLA 40

2.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2 Graf mreze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3 Topološke matrice grafa elektricnog kola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.1 Matrica kontura Ba∼

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.2 Matrica nezavisnih kontura B∼

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.3 Matrica skupova (presjeka) Qa∼

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.4 Matrica nezavisnih presjeka (snopova) Qn×b∼

. . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.5 Matrica cvorova (incidencije) Aa∼

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4 Veze izmeu topoloških matrica. Centralna topološka teorema . . . . . . . . . 55

2.5 Kirhofovi zakoni i nezavisne promjenljive elektricnog kola . . . . . . . . . . . . 62

2.6 Karakteristike elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

EKSITACIJE U ELEKTRICNIM KOLIMA 70

3.1 Osnovni vremenski oblici eksitacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.1.1 Hevisajdova funkcija (Heviside function) . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.1.2 Funkcija sgnt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.1.3 Funkcija pa(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.4 Usponska funkcija r(at) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.5 Hevisajdov naponski i strujni generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.1.6 Predstavljanje nekih eksitacija H-ovom funkcijom . . . . . . . 76

3

3.2 Predstavljanje proizvoljne funkcije preko zbira Heaviside-ove funkcije . . . . . 82

3.3 Prostoperiodicna eksitacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.3.1 Periodicna (slozenoperiodicna) funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4 Pseudoperiodicna eksitacija -prigušena periodicna eksitacija . . . . . . . . . . 84

3.5 Impulsna funkcija i eksitacija (Dirakova funkcija) . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.6 Predstavljanje eksitacija impulsnom funkcijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.7 Impulsne funkcije višeg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.8 Svojstvo odabiranja impulsne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.9 Osobine D-ove impulsne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.9.1 Aproksimacije D-ove impulsne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.9.2 H-ova funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

INDUKTIVNO SPREGNUTA KOLA 96

4.1 Izvoenje jednacina linearnog transformatora razlaganjem fluksa na fluks rasi-

panja i ukupni meusobni fluks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2 Savršeni transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3 Prikaz linearnog transformatora preko savršenog transformatora . . . . . . . . 102

4.4 Idealni transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4.1 Snage idealnog transformatora i posledice . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.5 Ekvivalentne šeme linearnog preko idealnog transformatora. . . . . . . . . . . 108

USTALJENI SLOZENOPERIODICNI REZIM 117

5.1 Kompleksni oblik Furijeovog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2 Veza izmeu slozenoperiodicne funkcije i koeficijenata njenog Furijeovog reda . 124

5.3 Funkcija odabiranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.4 Analiza kola sa slozenoperiodicnim strujama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.4.1 Efektivna vrijednost slozenoperiodicnih velicina . . . . . . . . . . . . . 133

5.4.2 Analiza elektricnih kola sa slozenoperiodicnim strujama i naponima . . 136

5.4.3 Snage u kolu slozenoperiodicnih velicina . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

MREZE SA DVA PARA KRAJEVA 144

6.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.2 Jednacine i parametri mreza sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.3 Ulazne impedanse otvorene i kratko spojene mreze . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.4 Simetricne mreze sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.5 Sekundarni parametri mreza sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.6 Transmitansa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.6.1 Prenosna funkcija napona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.6.2 Prenosna funkcija struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4

6.6.3 Prenosna funkcija mreze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.7 Izbor sekundarnih parametara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.8 Karakteristicni parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.9 Iterativni parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.10 Imaz parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.11 Specijalne mreze sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.11.1 "T" - mreza sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.11.2 Karakteristicni parametri simetricne "T" mreze . . . . . . . . . . . . . 176

6.11.3 "Π" mreza sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.11.4 Karakteristicni parametri simetricne "Π" mreze . . . . . . . . . . . . . 178

6.11.5 Rešetkasta mreza sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.11.6 Karakteristicni parametri simetricne rešetkaste mreze . . . . . . . . . . 181

6.11.7 Premoštena "T" mreza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.11.8 Karakteristicni parametri simetricne premoštene "T" mreze . . . . . . 182

6.11.9 "L" mreza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.12 Ekvivalentne mreze sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.12.1 Ekvivalentna "Π" - mreza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.12.2 Ekvivalentnost "T" i "Π" mreze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.12.3 Ekvivalentnost simetricne "T" mreze i simetricne rešetkaste mreze . . . 191

6.12.4 Ekvivalentnost simetricne premoštene "T" mreze i simetricne "T" mreze 192

6.13 Vezivanje mreza sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.13.1 Redna veza mreza sa dva para krajeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.13.2 Paralelna veza mreza sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.13.3 Redno-paralelna veza mreza sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.13.4 Paralelno-redna veza mreza sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.13.5 Povratna sprega (veza) mreza sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . 202

6.13.6 Kaskadna veza mreza sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6.14 Konvertori impedansi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6.15 Inverotri impedansi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.16 Kontrolisani izvori - T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.16.1 Naponom kontrolisani naponski izvor (NKNI) . . . . . . . . . . . . . . 215

6.16.2 Strujom kontrolisani naponski izvor (SKNI) . . . . . . . . . . . . . . . 216

6.16.3 Naponom kontrolisani strujni izvor (NKSI) . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.16.4 Strujom kontrolisani strujni izvor (SKSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.17 Osnovne podjele konvertora i invertora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

6.17.1 Podjela konvertora: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

6.17.2 Podjela invertora: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5

6.18 Idealni operacioni pojacavac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

6.19 Riordanov zirator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.20 Realni elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6.21 Teorija aktivnih mreza sa dva pristupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.21.1 Negativni konvertor izrazen preko kontrolisanih izvora . . . . . . . . . . 236

6.21.2 Nulator i Norator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.21.3 L - mreze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

6.22 FILTRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.22.1 Opis i karakteristicni parametri filtra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.22.2 Osnovne jednacine filtra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

6.22.3 Propusni i nepropusni opseg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.22.4 K-filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

ANALIZA SLOZENIH ELEKTRICNIH KOLA 272

7.1 Metode formiranja sistema jednacina elektricnih kola . . . . . . . . . . . . . . 272

7.2 Sistemi jednacina promjenljivih grana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

7.3 Sistem jednacina struja grana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

7.4 Sistem jednacina napona grana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

7.5 Sistemi jednacina nezavisno promjenljivih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

7.5.1 Sistem jednacina nezavisnih struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

7.5.2 Sistem jednacina nezavisnih napona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

7.6 Premještanje nezavisnih generatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

7.7 Dualnost. Princip dualnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

7.7.1 Dualni grafovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

7.8 Analiza slozenih elektricnih kola u vremenskom domenu . . . . . . . . . . . . . 286

7.9 Metod nezavisnih struja. Operatorski oblik u vremenskom domenu uzimajuci

u obzir i pocetne uslove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

ODZIVI U ELEKTRICNIM KOLIMA 293

8.1 Klasicna metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

8.2 Princip superpozicije: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

8.3 Specificnosti primjene teorije diferencijalnih jednacina na linearna kola . . . . 297

8.4 Sopstveni odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

8.5 Komutacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

8.6 Opšti slucaj kola drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

8.7 Osnovne osobine sopstvenog odziva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

8.8 Odziv usled djelovanja generatora (odziv ukljucenja) . . . . . . . . . . . . . . 309

8.9 Odziv na impulsnu ekscitaciju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

8.10 Interpretacija odziva na impulsnu eksitaciju kao odziva usled akumulisane energije321

6

8.11 Izmjena pocetnih uslova pri djelovanju impulsne eksitacije . . . . . . . . . . . 324

8.12 Osobine odziva ukljucenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

8.13 Potpuni (kompletan) odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

8.13.1 Direktno rješavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

8.13.2 Rješavanje superpozicijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

8.13.3 Opšti zakljucak za klasicnu metodu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

JEDNACINE STANJA - MODEL STANJA 341

9.1 Nacini rešavanja jednacina stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

FURIJEOVA TRANSFORMACIJA 349

10.1 Direktna Furijeova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

10.1.1 Osnovni uslovi za egzistenciju direktne Furijeve transformacije . . . . . 349

10.2 Inverzna Furijeova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

10.3 Drugi oblik za DFT i IFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

10.4 Treci oblik za DFT i IFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

10.5 Osobine Furijeove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

10.6 Funkcija prozora (W F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

10.7 Primjena Furijeove transformacije u analizi elektriocnih kola . . . . . . . . . . 364

10.8 Vrste odziva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

10.8.1 Odziv usled akumulisane energije (pocetnih uslova) . . . . . . . . . . . 365

10.8.2 Odziv ukljucenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

10.8.3 Kompletan (potpun) odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA TRANSFORMACIJA 374

11.1 Osobine i svojstva Laplasove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

11.2 Inverzna Laplasova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

11.3 Neke Laplasove Transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

11.4 Osobine Laplasove Transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

11.5 Primjena Laplasove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

11.6 Metod konturnih struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

11.6.1 Laplasova transformacija - metod nezavisnih struja za elektricna kola

bez spregnutih elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

11.7 Metod nezavisnih napona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

11.7.1 Laplasova transformacija - metod nezavisnih napona za elektricna kola

bez spregnutih elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

11.8 Operatorske šeme za spregnuto kolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

7

FUNKCIJA KOLA 402

12.1 Definicija i oblik funkcije kola u kompleksnom domenu . . . . . . . . . . . . . 402

12.2 Osobine funkcije kola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

12.3 Funkcije kola u vremenskom domenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

12.3.1 Indiciona funkcija kola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

12.3.2 Grinova funkcija (impulsna karakteristika) . . . . . . . . . . . . . . . . 409

12.4 Veza izmeu funkcija kola u kompleksnom i vremenskom domenu . . . . . . . 410

12.5 Primjena funkcije kola za odreivanje ustaljenog odziva

[S-S R ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

12.5.1 Prostoperiodicni ustaljeni rezim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

12.5.2 Pseudoperiodicni ustaljeni rezim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

12.5.3 Rezonantni odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

12.5.4 Odziv u kolu kada su polovi eksitacije blizu polova funkcije kola . . . . 424

12.5.5 Odziv kada se polovi funkcije kola i eksitacije poklapaju - rezonantni odziv426

SPECIJALNE METODE RJEŠAVANJA ELEKTRICNIH KOLA 428

13.1 Odreivanje odziva ukljucenja pomocu konvolucionog integrala . . . . . . . . . 428

13.2 Odreivanje odziva ukljucenja pomocu superpozicionog (DuHamel-ov) integrala 429

VODOVI 438

14.1 Parcijalne diferencijalne jednacine voda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

14.2 Kompleksne diferencijalne jednacine voda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

14.3 Koeficijent prostiranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

14.4 Opšte rješenje kompleksnih diferencijalnih

jednacina voda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

14.5 Neogranicen vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

14.5.1 Kompleksne jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

14.5.2 Efektivne vrijednosti napona i struje i njihove pocetne faze . . . . . . . 448

14.5.3 Efektivna vrijednost na mjestu x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

14.5.4 Pocetne faze (t = 0) na mjestu x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

14.5.5 Fazna razlika izmeu napona i struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

14.5.6 Fazorski dijagram napona i struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

14.5.7 Trenutne vrijednosti napona i struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

14.6 Vod bez gubitaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

14.7 Vod prikljucen na vremenski konstantan izvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

14.8 Vod prikljucen na izvor veoma visoke ucestanosti . . . . . . . . . . . . . . . . 453

14.9 Opšte jednacine ogranicenog voda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

14.10Vod zatvoren proizvoljnom impedansom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

14.11Otvoren vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

8

14.12Trenutne vrijednosti napona i struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

14.13Vod u kratkom spoju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

14.14Impedansa voda zatvorenog proizvoljnom impedansom Zp . . . . . . . . . . . 461

14.15Slucaj vrlo dugackog voda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

14.16Vod zatvoren karakteristicnom impedansom Zp = Zc . . . . . . . . . . . . . . 462

14.17Prirodna snaga voda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

14.18Prostiranje talasa napona i struje duz voda. Brzina prostiranja . . . . . . . . . 464

14.19Zavisnost izmeu talasne duzine i brzine prostiranja kog neogranicenog voda . 466

14.20Zavisnost v, α i β od poduznih parametara i ucestanosti . . . . . . . . . . . . 466

14.21Vod Hevisajdovog tipa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

14.22Razlaganje napona i struje na direktnu i reflektovanu komponentu . . . . . . . 468

14.23Brzine prostiranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

14.24Trenutne vrijednosti direktne i reflektovane komponente . . . . . . . . . . . . . 471

14.25Ulazna impedansa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

14.26Stojeci talasi u ogranicenom vodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

14.27Stojeci talasi ogranicenog voda u kratkom spoju . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

DODATAK 477

UVOD

Bez obzira na veliku raznolikost elektrotehnickih sistema, postrojenja, ureaja i aparata

savremene elektronike i elektrotehnike u cjelini, zajednicko za sve njih je to što se u njima

odvijaju fizicki procesi koji se podcinjavaju jednim te istim zakonima elektromagnetizma. U

proizvoljnom elektrotmagnetskom sistemumi imamo posla sa kretanjem naelektrisanih cestica,

s kojim je neraskidivo povezano vremenski i prostorno promjenljivo elektromagnetsko polje.

Teorija elektromagnetskog polja je osnovna teorija koja opisuje i objašnjava fizicke procese

u elektricnim sistemima. Elektromagnetski procesi praceni su meusobnim transformisanjem

energije elektricnog i magnetskog polja ili transformisanje elektromagnestke energije u druge

vidove energije.

Tacna analiza tih procesa, koji se opisuju Maksvelovim jednacinama, zahtijeva slozeni

matematicko-teorijski aparat, jer se radi o parcijalnim diferencijalnim jednacinama. Anali-

ticko rješavanje tih jednacina predstavlja prakticno veoma slozen problem, koji se teško razr-

ješava cak i u prostim slucajevima. Ali za inzinjerske proracune i projektovanje sistema i

ureaja neophodna je kvantitativna analiza. Zato se javlja potreba za formiranjem pribliznih

metoda analize, koje bi sa dovoljnim stepenom tacnosti omogucile rješavanje širokog spek-

tra inzinjerskih zadataka. Takve metode razrauju se i u teoriji elektricnih kola kao speci-

jalan slucaj teorije elektromagnetskog polja. Ova teorija za karakterisanje elektromagnetskih

procesa umjesto diferencijalnih i vektorskih velicina elektromagnetskog polja, koje zavise od

prostornih koordinata i vremena, uvodi integralne skalarne velicine (struju, napon, snagu,

energiju, kolicina elektriciteta, magnetski fluks i dr.) koje su samo funkcije vremena.

Za priblizno predstavljanje procesa transformacije elektromagnetske energije i signala u

teoriji elektricnih kola uvode se idealizovani elementi sa dva ili više krajeva (polova) kroz koje

tece elektricna struja. Takvi elementi su na primjer: kalem ili induktivitet koji modeluje aku-

mulisanje energije u magnetskom polju, kondenzator koji modeluje akumulisanje energije u

elektricnom polju, otpornici ili rezistori pomocu kojih se uzima u obzir nereverzibilni proces

transformacije elektromagnetske energije u druge vidove energije. Za uzimanje u obzir transfor-

macije energije neelektricne prorode (hemijske, mehanicke toplotne i td.) u elektricnu energiju

uvode se elementi koji nazivamo nezavisnim izvorima (generatorima). Spajajuci meusobno

na odgovarajuci nacin te idealne elemente, dobijamo elektricno kolo, koje priblizno odrazava

elektromagnetske procese u bilo kojem sistemu, ureaju, aparatu i sl. Izdvajajuci odreene

sklopove, u kojima se ispoljavaju ove ili one osobenosti elektromagnetskog polja u svojstvu

9

10

elemenata elektricnog kola dobijamo mogucnost da koristimo teoriju elektricnih kola za izradu

novijih slozenih sklopova i ureaja koji ispunjavaju zadate funkcije.

Teorija elektricnih kola imala je i ima izuzetno brz razvoj blagodareci sledecim njenim

prednostima:

• Ona daje relativno jednotavna rješenja (dovoljne tacnosti) za veliku klasu problema

koja bi inace bila vrlo komplikovana i skoro nerješiva kada bi se koristila stroga teorija

elektromagnetskog polja.

• Mnogi korisni sistemi postaju manje komplikovani ako ih opišemo pomocu elektromag-

netskih pojava koje se dešavaju na krajevima elektricnih elemenata i komponenti koji

cine sistem.

• Teorija elektricnih kola je znacajna i po tome što je u mnogome doprinijela razvoju i

drugih inzenjersko teorijsko strucnih disciplina.

• U teoriji elektricnih kola fizicki procesi se opisuju pomocu integralnih velicina (napon,

struja, energija, rad, snaga, kolicina elektriciteta, magnetski fluks i slicno).

• Teorija elektricnih kola moze se koristiti u onim slucajevima u kojima su prostorne

dimenzije ureaja ili sistema u poreenju sa brzinom prostiranja elektromagnetskih

procesa takve da se moze smatrati da se procesi dešavaju trenutno u posmatranom sis-

temu. Za takve sisteme koristimo termin “sistem (kolo) sa kancentrisanim parametrima”

da bi smo naglasili da prostorne dimenzije sistema ne ulaze u model kola.

Da li problem pripada modelu kola ili modelu polja odreuje se na osnovu utvrivanja

talasne duzine prostiranja elektromagnetskog signala λ i prostornih dimenzija sistema.

Primjer: Ocjena granica primjenljivosti teorije elektricnih kola.

λ =v

f

gdje je: v = v0 = 3 × 108msbrzina prostiranja signala koja je jednaka brzini prostiranja

svjetlosti u vakuumu a f ucestanost signala u Hz.

a) Elektroenergetski sistemi

f = 50Hz ⇒ λ =v

f=

3× 108

50m = 6000 km

Svi ureaji, postrojenja i sl. koji imaju znatno manje prostorne dimenzije od 6000 km

mogu se analizirati pomocu teorije elektricnih kola. Vodovi za prenos elektricne energije i

signala su sistemi sa rasporeenim parametrima.

11

b) Radio sistemi

f = 109Hz ⇒ λ =v

f=

3× 108

109m = 0.3m

i u ovom slucaju se koristi model polja.

Teorija elektricnih kola sastoji se iz dvije meusobno povezane naucne discipline:

— Analize elektricnih kola.

— Sinteze elektricnih kola.

3

2

1

Slika 1.1:

U blok dijagramu prikazanom na slici 1.1. imamo sledece oznake koje predstavljaju:

1 - pobudu ili eksitaciju

2 - elektricno kolo

3 - odziv

Kod analize elektricnih kola postavka problema je: dato je 1 i 2 treba odrediti 3 .

Kod sinteze elektricnih kola postavka problema je: dato je 1 i 3 treba odrediti 2 .

Ovaj kurs posvecen je u stvari analizi elektricnih kola tj. formiranju metoda analize lin-

earnih pasivnih i aktivnih kola. Uloga teorije elektricnih kola kao cjeline za inzenjere elek-

trotehnicke struke je neobicno velika. Ona definiše vaznije pojmove i analiticki aparat, koji

se koristi za proracun i dizajn ne samo elektrotehnickih sistema vec i drugih fizicko-tehnickih

sistema. Znanje steceno u okviru kursa teorije elektricnih kola je neophodno za uspješno us-

vajanje i savladavanje sadrzaja svih strucnih disciplina. Ono je neophodno takoe za uspješan

rad savremenih inzenjera pri istrazivanju, proracunu i projektovanju novih ureaja i sistema.

Teorija elektricnih kola formira temelj na kojem se bazira sva profesionalna i stvaralacka dje-

latnost savremenog inzenjera elektrotehnicke struke. Garancija uspjeha u ovoj djelatnosti je

dobro ovladavanje aparatom i metodama analize i sinteze elektricnih kola i umijece njihove

primjene za rješavanje prakticnih problema.

12

1.1 Osnovni pojmovi i definicije

Element elektricnog kola jeste osnovni dio kola koji vrši odreenu funkciju. Element moze

biti prost (iz jednog sastavnog dijela, npr. otpornik, kalem, kondenzator, dioda i slicno) ili

slozen (iz više sastavnih djelova, npr. integrisano kolo, transformator i slicno), ali takav da

se ne moze razloziti a da pri tome ne izgubi svoju osnovnu funkciju. Element ima izvedene

krajeve (prikljucke) pomocu kojih se vezuje za druge elemente u kolu. Krajevi elemenata se

nazivaju i cvorovima. Elementi eleketricnih kola su idealizovani modeli za opisivanje nekih

fizickih procesa u djelovima realnih elektricnih sistema. Elementi kojima se bavi teorija elek-

tricnih kola, predstavljaju idealizovane modele fizickih komponenti. Idealizacija se vrši na

taj nacin što se fizickim komponentama zadrzavaju samo osnovne (dominantne) funkcije a

zanemaruju ostale uzgredne pojave. Tako se, na primjer, kalem uzima kao element u kome se

samo akumuliše magnetska energija. Isto tako, kondenzator se smatra elementom za akumu-

laciju elektricne energije. Idealizovani elementi se uvode da bi se uprostila analiza elektricnih

kola. Prevashodni cilj idealizovanja jeste da se zadrze samo osnovni faktori koji opisuju, sa

zadovoljavajucom tacnošcu, suštinu pojava i procesa u sistemu.

1.2 Podjela elemenata

Klasifikacija (podjela) elemenata moze se vršiti na razne nacine, zavisno od usvojenih kriteri-

juma. Na osnovu broja prikljucaka (krajeva) odnosno na osnovu pristupa, elementi mogu biti

sa dva kraja (sa jednim pristupom), sa tri kraja (najviše sa dva nezavisna pristupa) i elementi

sa više krajeva (pristupa) i oni su prikazani na slici 1.2.

1 1′ 1

1′

2

2′

1

1′

n

n ′

)a )b )c

Slika 1.2: a) Element sa dva kraja ili sa jednim pristupom (otpornik, kalem, kondenzator i dr.);b) Element sa cetiri kraja ili sa dva pristupa (dva para krajeva); c) Element sa n - pristupa

Na osnovu fizickih procesa koji se odvijaju u elementu moze se vršiti druga znacajna pod-

jela. U realnom, fizickom elementu se uvijek jednovremeno dešavaju razni procesi. Svaki

realan element mozemo modelovati (manje ili više uspješno) pomocu idealizovanih elemenata

kod kojih smatramo da se dešava samo jedan fizicki proces: nepovratni “gubitak” energije, aku-

mulisanje magnetske energije i stvaranje magnetskog polja, odnosno akumulisanje elektricne

13

energije i stvaranje elektricnog polja. Navedeni idealizovani elementi se nazivaju rezistivnim,

induktivnim i kapacititvnim, respektivno. Ovi elmenti se mogu opisati algebarskim relacijama

izmeu elektricnih velicina na pristupima i to na sledeci nacin:

1. Rezistivni elementi su opisani algebarskim vezama napona ui i struje ii na pristupima.

Za element sa jednim pristupom ta je relacija oblika:

F (ui, ii; t) = 0

Za posmatrani rezistivni element napon i struja na pristupu nijesu nezavisni, vec moraju

zadovoljiti gornju relaciju. Ta relacija, dakle, karakteriše posmatrani element te se krace

naziva karakteristikom elementa. Ako se karakteristika ne mijenja sa vremenom ona

je oblika:

F (ui, ii) = 0

Rezistivni elementi nemaju sposobnost akumulisanja energije. Oni se nazivaju i ned-

inamickim elementima, ili elementima bez memorije. Ako se jednacina karakteristike

moze napisati u obliku u = f(i, t) za rezistivni elemet kazemo da je kontrolisan strujom.

Ako se karakteristika jednacine moze napisati u obliku i = g(u, t) za rezistivni element

kazemo da je kontrolisan naponom.

2. Induktivni elementi su opisani algebarskim vezama izmeu struja ij i magnetskih fluk-

seva Φj na pristupima. Za element sa jednim pristupom ta relacija, koja predstavlja

karakteristiku induktivnog elementa je oblika:

F (Φj, ij; t) = 0

Sa prakticnog stanovišta je prakticnije uspostaviti vezu izmeu napona i struje na pris-

tupu. Kako je uj =dΦj

dt, to je napon na pristupu induktivnog elementa odreen izvodom

struje pristupa po vremenu. Ova karakteristika moze se pisati i kao:

Φ = f(i, t)

i = g(Φ, t)

3. Kapacitivni elementi su opisani algebarskim relacijama izmeu napona uk i kolicina

elektriciteta qk na pristupima. Za element sa jednim pristupom, ta je relacija oblika:

F (qk, uk; t) = 0

što predstavlja karakteristiku kapacitivnog elementa. I ovdje je pogodnije uspostaviti

14

vezu izmeu napona i struje na pristupu. Kako je struja odreena sa ik = dqkdt, struja

kapacitivnog elementa ce, znaci, zavisiti od izvoda napona elementa po vremenu.

Induktivni i kapacitivni elementi imaju sposobnost akumulisanja energije, a nazivaju se još

i elementima sa memorijom, odnosno dinamickim elementima. Na sledecem dijagramu (slika

1.3.) simbolicki je prikazana odgovarajuca (algebarska) veza izmeu elektricnih velicina koje

karakterišu navedene elemente.

REZISTIVNI

MEMRISTORI

KA

PA

CIT

IVN

I

IND

UK

TIV

NI

u i

Φq

Slika 1.3: Podjela elemenata prema fizickim procesima u njima

Primijetimo da u praksi nijesu poznati elementi koji bi bili opisani algebarskom vezomΦ−q.

Njih je uveo C. L. O. 1971. godine za teorijska uopštavanja u teoriji elektricnih kola. Kao

što smo vidjeli, karakteristike elemenata mogu biti promjenljive sa vremenom. Takve elemente

nazivamo vremenski promjenljivim. Ako se karakteristika ne mijenja sa vremenom, takvi

elementi su vremenski nepromjenljivi. Za vremenski promjenljive/nepromjenljive elemente

koriste se i termini vremenski varijantni/invarijantni kao i nestacionarni/stacionarni.

Algebarske relacije koje opisiju element mogu biti linearne i nelinearne. Podjela eleme-

nata se moze vršiti i na osnovu drugih kriterijuma: na osnovu pasivnosti, reciprocnosti i slicno

o cemu ce rijeci biti u narednim izlaganjima. Saglasno vrsti elemenata od kojih je formirano

elektricno kolo povezano sa nezavisnim izvorima (generatorima) vrši se i njihova podjela:

— Rezistivna kola, ako u njima postoje samo rezistivni elementi. Ako ima i drugih eleme-

nata rijec je o dinamickoj mrezi.

— Linearna kola, ako su sastavljena samo od linearnih elemenata. U protivnom kolo je

nelinearno.

— Vremenski nepromjenljiva kola, ako sadrze samo vremenski nepromjenljive elemente. U

protivnom kolo je vremenski promjenljivo.

— Pasivno kolo, ako sadrzi samo pasivne elemente. Kolo koje nije pasivno aktivno je.

15

u

i

Slika 1.4: Referentni smjerovi napona i struje

— Kola sa koncentrisanim parametrima, ako sadrze samo elemente sa koncentrisanim para-

metrima, tacnije, ako su dimenzije kola mnogo manje od odgovarajuce talasne duzine

primijenjenih signala u kolu. U protivnom rijec je o kolu sa rasporeenim parametrima.

Elektricno kolopredstavlja konacan skup meusobno povezanih elemenata u kome se vrši

izmjena energije izmeu njihovih elemenata. Na pristupu elementa posmatramo dvije pot-

puno definisane velicine: napon i struju. Struja predstavlja protok kolicine elektriciteta kroz

element. Struja na jednom kraju jednaka je po intenzitetu struji na drugom kraju. Napon

elementa jednak je razlici potencijala izmeu njegovih krajeva. Naponu i struji pripisuju se

referentni (pozitivni) smjerovi. Referentni smjer struje prikazuje se strelicom a referentni sm-

jer napona znakom + na jednom kraju. Referentni smjerovi napona i struje su nezavisni jedan

od drugog i mogu se proizvoljno birati. Iz prakticnih razloga je, meutim, korisno primijeniti

usaglašene (pridruzene) referentne smjerove kao što je to prikazano na slici ?? U tom slucaju

se smatra da je znak + (plus), koji odreuje referentni smjer za napon, na kraju od njega je

usmjerena strelica za struju.

1.3 Ulazna i izlazna snaga elementa

Za pridruzene referentne smjerove za struju i napon, ulazna snaga elementa sa jednim pris-

tupom je data proizvodom napona i struje:

p(t) = u(t)i(t)

Snaga predstavlja brzinu kojom se ulaze elektricni rad u element. Ulozeni rad od trenutka t0

do trenutka t dat je sledecom relacijom:

a(t0, t) =

t∫

t0

p(τ )dτ =

t∫

t0

u(τ )i(τ)dτ

Kada je ulazna snaga negativna, element ne prima, vec daje energiju. U tom slucaju se moze

odrediti izlazna snaga, tj. brzina kojom se daje energija. Ona je jednaka negativnoj vrijednosti

ulazne snage:

pi(t) = −p = (−u)i = u(−i)

16

1.4 Uslov pasivnosti elementa

Za proizvoljni element kazemo da je pasivan ako je ulozena energija u njega uvijek nenegativna

tj:

w(t) =

t∫

−∞

p(τ )dτ =

t0∫

−∞

p(τ )dτ +

t∫

t0

p(τ )dτ = w(t0) + a(t0, t) ≥ 0 (1.1)

i to:

1. Za svaki trenutak vremena t0.

2. Za svaki trenutak t ≥ t0.

3. Za sve vremenske varijacije napona i struje.

U relaciji (1.1) je: w(t0) - akumulisana energija elementa u trenutku t = 0; a(t0, t) - ulozeni

rad koji se spolja ulaze u element u intervali od t0 do t ≥ t0. Element koji nije pasivan je

aktivan.

1.5 Rezistivni elementi sa jednim pristupom

Osnovni predstavnik ovih elemenata je otpornik ili rezistor. Njegov graficki simbol je

ili .

1.5.1 Klasifikacija otpornika

Imamo cetiri osnovna tipa otpornika koji su prikazani na slici 1.5 i to:

)a )b )c )d

Slika 1.5: Tipovi otpornika

1. Linearni vremenski nepromjenljiv otpornik - slika 1.5a) .

2. Linearni vremenski promjenljiv otpornik - slika 1.5b).

3. Nelinearni vremenski nepromjenljiv otpornik - slika 1.5c).

4. Nelinearni vremenski promjenljiv otpornik - slika 1.5d).

17

1.5.2 Otpornost

Otpornost otpornika je njegov osnovni parametar i u opštem slucaju definisan je parcijalnim

izvodom:

R =∂u

∂i= R(u, i, t)

Ona je predstavljena koeficijentom pravca tangente u odgovarajucoj tacki karakteristike

R = tanα što je prikazano na slici 1.6. U opštem slucaju otpornost zavisi od vrijednosti

napona i struje kao i vremena.

u

i

α

P

0

Slika 1.6:

1.5.3 Ulazna snaga

Ulazna snaga otpornika je data proizvodom p(t) = u(t)i(t). Ona je predstavljena šrafiranim

pravougaonikom koji koordinate radne tacke P obrazuju u trenutku t i ravni i−u karakteristike

prema slici 1.7. Radna tacka P odgovara vrijednostima napona i struje na pristupu otpornika.

Kada je otpornik kontrolisan strujom, snaga se moze izraziti u obliku:

u

i

α

P

0 ( )i t

( )u t

Slika 1.7:

p(t) = f(i, t)i(t)

a kada je kontrolisan naponom u obliku:

p(t) = u(t)g(u, t)

18

Ulozena energija u otpornik od trenutka t0 do trenutka t izrazava se po sledecem obrazcu:

a(t0, t) =

t∫

t0

p(τ )dτ =

t∫

t0

u(τ )i(τ)dτ

1.5.4 Uslov pasivnosti

Rezistivni element je pasivan, ako je ulozena energija u njega a(t0, t) ≥ 0 i to za svaki pocetni

trenutak t0, za svako t ≥ t0 i za sve vremenske varijacije napona i struje. Navedeni uslov

bice zadovoljen, ako i samo ako je ulazna snaga u svakom trenutku i za sve moguce varijacije

vrijednosti napona i struje p(t) = u(t)i(t) ≥ 0. Jer kada je ovaj uslov zadovoljen, navedeni

integral sigurno nije negativan i obrnuto, ako ovaj integral nije negativan za svako t0 i t, ne

moze ni snaga p(t) biti negativna ni u kakvom intervalu (t1, t2). u Protivnom slucaju on bi

bio negativan tj:t2∫

t1

p(τ)dτ < 0

što je u suprotnosti sa postavljenim uslovima. Stoga pasivan otpornik nikad ne odaje energiju.

Rezistivan element koji nije pasivan naziva se aktivnim. Kada je radna tacka na karakteristici

u I i III kvadrantu i − u ravni, ulazna snaga je pozitivna. Kada je ona u II i IV kvadrantu

snaga je negativna. Stoga je otpornik pasivan, ako i samo ako mu se karakteristika nalazi u

svakom trenutku u I i III kvadrantu, ukljucujuci u njih i koordinatne ose (slika 1.8).U ovom

u

i0

u

i0

)a )b

Slika 1.8: Uslov pasivnosti: a) pasivan otpornik; b) aktivan otpornik

kursu mi cemo raditi uglavnom sa linearnim, vremenski nepromjenljivim otpornicima. Njihova

karakteristika je linearna funkcija (slika 1.9.)

u = Ri

i = Gu

19

u

i

u

i0

α

Slika 1.9:

G - je provodnost i ona je jednaka G = 1

R.

R =∂u

∂i= tanα

1.5.5 Ulazna snaga i uslov pasivnosti

p(t) = Ri2 = Gu2

a(t0, t) = R

t∫

t0

i2(τ)dτ = G

t∫

t0

u2(τ )dτ

što je ekvivalentno uslovu R ≥ 0. Drugim rijecima, potreban i dovoljan uslov da ovakav

otpornik bude pasivan jeste da nema negativnu otpornost.

1.6 Otvorena i kratka veza

Otvorena veza je element sa jednim pristupom, cija struja ima vrijednost nula za svaku vri-

jednost napona (slika 1.10.).Karakteristika otvorene veze se poklapa sa osom napona. Njena

u

i

u

i0

Slika 1.10:

jednacina je i = 0. Otpornost ovog elementa je R = ∞ a provodnost G = 0. Stoga se otvorena

veza moze smatrati linearnim vremenski nepromjenljivim otpornikom. Ulazna snaga otvorene

veze je u bilo kom trenutku p = ui = 0, te ovaj element spada u grupu pasivnih elemenata.

20

Kratka veza je element sa jednim pristupom, ciji napon ima vrijednost nulu za svaku vri-

jednost struje (slika 1.11.).Karakteristika kratke veze poklapa se osom struje. Njena jednacina

u

i

u

i0

Slika 1.11:

je u = 0. Kratka veza se moze smatrati linearnim vremenski nepromjenljivim otpornikom

R = 0. Njena provodnost je G = ∞. Ulazna snaga kratke veze je u bilo kom trenutku takoe

p = ui = 0.Stoga je kratka veza pasivni element.

1.7 Idealna dioda

Idealna dioda je element sa jednim pristupom, koji se za pozitivne struje ponaša kao kratka

veza. Za negativnu struju se ponaša kao otvorena veza, jer napon moze da uzme bilo koju

negativnu vrijednost. Pri tome se podrazumijeva da su usvojeni oni referentni smjerovi, koji su

uobicajeni za element sa jednim pristupom. Negativne struje nedopušta. Idealna dioda je fik-

tivni element i predstavlja idealizovani model elektronske cijevi diode. Predstavlja se grafickim

simbolom prikazanim na slici 1.12. Karakteristika idealne diode sastoji se iz pozitivnog dijela

u

i

u

i0

Slika 1.12:

ose struje i negativnog dijela ose napona.

1.7.1 Osobine

Idealna dioda spada u grupu nelinearnih vremenski nepromjenljivih rezistivnih elemenata.

Ona nije ni strujom ni naponom kontrolisana. Za i = 0, napon moze imati svaku vrijednost

kojanije pozitivna. Takoe, za u = 0 struja moze imati svaku vrijednost koja nije negativna.

21

1.8 Idealni naponski generator

1.8.1 Definicija i karakteristike

Naponski generator je element koji ima na svome pristupu specificiranu varijaciju napona,

nezavisno od struje. Ova varijacija moze biti i konstantna. Naponski generator je fiktivni

element, koji se koristi za obrazovanje modela fizickih generatora. Tako naponski generator

konstantnog napona, predstavlja idealizovani model elektricne baterije sa vrlo malom un-

utrašnjom otpornošcu. Šematski prikaz ovog elementa je prikazan na slici 1.13.Karakteristika

u

i

( )gu t

u

i

E

Slika 1.13:

naponskog generatora je u opštem slucaju promjenljiva, ali uvijek prava paralelna osi struje

(slika 1.14.). Njena jednacina je u(t) = ug(t). Parametar ovog elementa je njegov napon

ug(t).Kratka veza se moze interpretirati kao naponski generator nultog napona.

u

i

1( )gu t1( )t

2( )t

3( )t

0

Slika 1.14:

1.8.2 Osobine

Naponski generator je nelinearan element, jer mu karakteristika ne prolazi kroz koordinatni

pocetak. U opštem slucaju naponski generator je vremenski promjenljiv element, jer mu se

karakteristika mijenja po odreenom zakonu sa vremenom. Kada se ug(t) mijenja po prostope-

riodicnom zakonu i generator je prostoperiodican. Kada je ug(t) konstantno i generator je

konstantan ili jednosmjeran. Naponski generator je aktivan element, jer mu karakteristika

prolazi kroz drugi ili cetrvti kvadrant. To je element koji daje energiju ostalim elementima sa

kojim je povezan. Stoga za ovaj element obicno odreujemo izlaznu snagu pg = ugi. Otpornost

idealnog naponskog generatora je nula u svim tackama karakteristike.

22

1.9 Strujni generator

1.9.1 Definicija i karakteristike

Strujni generator je element koji na svome pristupu ima specificiranu vremensku varijaciju

struje, nezavisnu od napona. Ova varijacija moze biti i konstantna. Strujni generator je

takoe fiktivan element, koji se koristi za obrazovanje modela fizickih generatora. Strujni gen-

erator, konstantne struje je idealizovani model elektricne baterije sa vrlo velikom unutrašnjom

otpornošcu. Šematski prikaz strujnog generatora je dat na slici 1.15. Karakteristika stru-

u

i

( )gi t

Slika 1.15:

jnog generatora je promjenljiva prava paralelna osi napona. Njeno rastojanje od ove ose

mijenja se po odreenom zakonu sa vremenom (slika 1.16.). Jednacina ove karakteristike je

i(t) = ig(t).Parametar strujnog generatora je baš njegova struja ig(t).Otvorena veza se moze

u

i

1( )t2( )t3( )t

0

1( )gi t

Slika 1.16:

interpretirati i kao strujni generator nulte struje.

1.9.2 Osobine

I strujni generato je, kao i naponski, nelinearni element. On je vremenski promjenljiv element

u opštem slucaju. Kada se ig(t) mijenja po prostoperiodicnom zakonu i strujni generator je

prostoperiodican. Strujni generator je aktivan element. Njegova karakteristika takoe prolazi

kroz drugi ili cetvrti kvadrant. I ovaj element daje energiju ostalim elementima sa kojima je

povezan, te i za njega odreujemo izlaznu snagu koja je jednaka pg(t) = uig(t). Otpornost

strujnog generatora u svim tackama njegove karakteristike je beskonacno velika.

23

1.10 Singularni element

1.10.1 Nulator

Nulator je element na cijem pristupu su vrijednosti struje i napona uvijek jednake nuli. Karak-

teristika nulatora sastoji se samo iz jedne tacke, tj. koordinatnog pocetka. Ona je data

jednacinom: u = 0 i i = 0 (slika 1.17.).

u

i

u

i0

Slika 1.17:

1.10.2 Norator

Norator je element koji dopušta na svome pristupu sve parove obrazovane od svih vrijednosti

napona i struje. Šema ovog elementa prikazana je na slici 1.18. Karakteristika noratora se

sastoji iz cijele i− u ravni: napon u - proizvoljan; struja i - proizvoljna.

u

i

u

i0

Slika 1.18:

1.11 Kapacitivni elementi sa jednim pristupom - kon-

denzatori

1.11.1 Klasifikacija kondenzatora

Kondenzatore, slicno otpornicima, dijelimo na linearne i nelinearne. Kondenzator je linearan,

ako mu je karakteristika u svakom trenutku prava linija kroz koordinatni pocetak. U suprot-

nom on je nelinearan. Takoe razlikujemo vremenski promjenljive i vremenski nepromjenljive

24

kondenzatore. Karakteristika vremenski nepromjenljivog kondenzatora je fiksna linija, dok se

karakteristika promjenljivog kondenzatora mijenja sa vremenom. Prema pomenutim osobi-

nama razlikujemo cetiri osnaovna tipa kondenzatora koji su prikazani na slici 1.19. i to:

)a )b )c )d

Slika 1.19: Tipovi kondenzatora

1. Linearni vremenski nepromjenljiv kondenzator - slika 1.19a).

2. Linearni vremenski promjenljiv kondenzator - slika 1.19b).

3. Nelinearni vremenski nepromjenljiv kondenzator - slika 1.19c).

4. Nelinearni vremenski promjenljiv kondenzator - slika 1.19d).

Struja kondenzatora na njegovom pristupu izrazava se pomocu njegovog opterecenja izvodom:

i(t) =dq(t)

dt

gdje je q(t) - kolicina elektriciteta ploce kondenzatora.

1.11.2 Kapacitivnost

Kapacitivnost kondenzatora je definisana parcijalnim izvodom:

C =∂q

∂u= C(q, u, t)

Ona je predstavljena koeficijentom pravca tangente u tacki karakteristike, koja za apscisu ima

napon na pristupu (slika 1.20.).

q

u

β

0

( )t( )q t

( )u t

tanC β=

Slika 1.20:

25

1.11.3 Akumulisana energija

Da bi smo izracunali akumulisanu energiju elektricnog polja u kondenzatoru, zamislimo sledeci

ogled. U uocenom trenutku t zamrznemo karakteristiku kondenzatora, pa ga ispraznimo preko

jednog linearnog vremenski nepromjenljivog otpornika (slika 1.21.). Akumulisana energija

Ru u=

i

Ri

C

R

Slika 1.21:

kondenzatora se tada sva pretvara u toplotu u otporniku. Ta energija je data integralom:

w(t) =

∞∫

t

uR(τ )iR(τ )dτ

Kako je u datom prostom kolu:

uR(τ ) = u(τ) = g [q(τ), t]

iR(τ) = −i(τ) = −dq(τ)

dτ

Ova energija se moze izraziti i u obliku:

w(t) =

q(∞)∫

q(t)

g [q(τ ), t] dq(τ)

Kako porastom vremena nestaje energije, te i kolicine elektriciteta u kondenzatoru, to je:

q(∞) = limε→0

q(τ) = 0 pa izraz za akumulisanu energiju u trenutku t postaje:

w(t) =

q(t)∫

0

g [q(τ), t] dq(τ ) (1.2)

Primijetimo da je t u irazu (1.2) fiksni parametar jer je karakteristika u tom trenutku zam-

rznuta. Stoga, akumulisana elektricna energija, pored opterecenja q eksplicitno zavisi i od

26

vremena t :

w(t) = h(q, t)

Dobijeni izraz nam pokazuje da je akumulisana energija kondenzatora graficki predstavljena u

ravni u−q površinom koju njegova karakteristika zaklapa sa q− osom od koordinatnog pocetka

do radne tacke, koja odgovara vrijednostima napona i opterecenja. Pri tome se mora uzeti

kriva kojom je karakteristika predstavljena u istom trenutku u kojem se posmatra akumulisana

energija prema slici 1.22.

q

u0

( )t( )q t

( )u t

Slika 1.22:

1.11.4 Ulozena energija

Ulozenu energiju u kondenzatoru izracunavamo pomocu ulazne snage. Kako je ova snaga data

izrazom:

p(t) = u(t)i(t) = g [q(t), t]dq(t)

dt

pa je ulozena energija od trenutka t0 do trenutka t data integralom:

a(t0, t) =

t∫

t0

p(τ)d(τ)

odnosno:

a(t0, t) =

t∫

t0

g [q(t), t]dq(t)

dtd(τ )

Za vremenski nepromjneljive kondenzatore ulozena energija je jednaka promjeni akumulisane

energije. Za vremenski promjenljive kondenzatore, ona je jednaka zbiru promjene akumulisane

energije i mehanickog rada koji izvrše elektricne sile pri promjeni konfiguracije kondenzatora.

27


Za kondenzator kazemo da je pasivan ako zbir akumulisane energije u trenutku t0 i ulozene

energije od trenutka t0 do trenutka t nije nikad negativan tj.:

w(t0) + a(t0, t) ≥ 0 (1.3)

i to:

- za svaki pocetni trenutak t0.

- za svaki trenutak t ≥ t0 i

- za sve vremenske varijacije napona.

Kondenzator koji nije pasivan naziva se aktivnim. U ovom kursu mi cemo uglavnom raditi

sa linearnim vremenski nepromjenljivim kondenzatorima. Karakteristika ovog kondenzatora

je fiksna prava kroz koordinatni pocetak u ravni u − q kao što je prikazano na slici 1.23.

Jednacina karakteristike je:

u

i

q

0

β

C

u

Slika 1.23:

q = Cu

gdje je C− kapacitivnost kondenzatora koja je jednaka (slika 1.23.) C = tan β. Reciprocna

vrijednost kapacitivnosti S = 1/C naziva se elastansa kondenzatora.

i =dq

dt= C

du

dt=

1

S

du

dt

u(t) = u(0) +1

C

t∫

0

i(τ )dτ

1.11.6 Teorema o neprekidnosti napona kondenzatora

Ako je struja linearnog vremenski nepromjenljivog kondenzatora za vrijeme zatvorenog in-

tervala [t1, t2], napon na njegovom pristupu je neprekidna vremenska funkcija u otvorenom

28

intervalu (t1, t2) . To znaci, drugim rijecima, da napon ne moze imati skokove, ako je struja u

navedenom intervalu ogranicena.

Dokaz: Dokaz teoreme izvešcemo na taj nacin što cemo pokazati da priraštaj napona tezi

nuli kada priraštaj vremena tezi ka nuli, za svako t iz posmatranog intervala. Znaci, kada

∆t → 0 priraštaj kolicine elektriciteta je jednak:

∆q = q (t+∆t)− q(t)

Izraz:

∆q =

t+∆t∫

t

i(τ )dτ

takoe tezi nuli jer i površina odreena ovim integralom tezi nuli, pošto je struja ogranicena.

Stoga i priraštaj napona:

∆u =1

C∆q → 0

za svako t iz posmatranog intervala. Time je teorema dokazana.

1.11.7 Akumulisana i ulozena energija

Kao je za linearni nepromjenljivi kondenzator (slika 1.24.):

q

u0

( )t( )q t

( )u t

P

Slika 1.24:

u(τ) = g [q(τ )] =1

Cq(τ)

to je akumulisana energija na osnovu opšteg obrasca data integralom:

w(t) =

q(t)∫

0

1

Cq(τ )dτ =

q2(t)

2C=

1

2Cu2(t)

29

Kako je ulazna snaga linearnog vremenski nepromjenljivog kondenzatora:

p(t) = u(t)i(t) =1

Cqdq

dt

to je ulozena energija u njega od trenutka t0 do trenutka t data integralom:

a(t0, t) =1

C

q(t)∫

q(t0)

q(τ)dq(τ) =q2(t)

2C−

q2(t0)

2C

ili:

a(t0, t) =1

2Cu2(t)−

1

2Cu2(t0)

Kako u vremenski nepromjenljivom kondenzatoru osim akumulisanja elektricne energije ne-

mamo drugih pojava, ulozena energija jednaka je promjeni akumulisane enrgije tj.:

a(t0, t) = w(t)− w(t0)

što nam i dobijeni rezultat pokazuje. Ako je u trenutku t0 kondenzator neopterecen, tj. ako

je q(t0) = 0 ulozena energija predstavljace ujedno i akumulisanu energiju a(t0, t) = w(t).


Prema izrazu za ulozenu energiju, uslov pasivnosti izrazen relacijom (1.3) za linearni vremenski

nepromjenljiv kondenzator se svodi na uslov:

w(t) =1

2Cu2(t) ≥ 0

Akumulisana energija u svakom trenutku t i za sve vremenske varijacije napona ne smije biti

negativan da bi ovakav kondenzator bio pasivan. Prema izrazu za akumulisanu energiju ovaj

uslov ce biti zadovoljen ako i samo ako je kapacitivnost C ≥ 0.

1.12 Induktivni elementi sa jednim pristupom - kale-

movi

Kalem je drugo ime za induktivni element sa jednim pristupom. Osnovna funkcija ovog

elementa je akumulisanje magnetske energije. Kalemovi predstavljaju idealizovane modele

fizickih kalemova, u kojima pored akumulisanja magnetske energije imamo i niz drugih pojava.

Fizicki kalem je sastavljen od namotaja provodne zice na nekom jezgru. Karakteriustika

30

kalema je oblika:

F (Φ, i; t) = 0

Cesto je karakteristika kalema predstavljena rastucom krivom linijom kroz koordinatni pocetak

(slika 1.25.). U tom slucaju se njena jednacina moze pisati u obliku:

Φ

i0

P

Slika 1.25:

Φ = f(i, t)

i = g(Φ, t)

1.12.1 Klasifikacija kalemova

Razlikujemo cetiri osnaovna tipa kalemova koja su prikazana na slici 1.26. i to:

)a )b )c )d

Slika 1.26:

1. Linearni vremenski nepromjenljiv kalem - slika 1.26a).

2. Linearni vremenski promjenljiv kalem - slika 1.26b).

3. Nelinearni vremenski nepromjenljiv kalem - slika 1.26c).

4. Nelinearni vremenski promjenljiv kalem - slika 1.26d).

31

1.12.2 Napon kalema

Napon na pristupu kalema izrazava se pomocu obuhvacenog magnetskog fluksa prema Faraday-

ovom zakonu izvodom:

u(t) =dΦ(t)

dt

Induktivnost kalema je definisana parcijalnim izvodom:

L =∂Φ

dt= L(Φ, i, t)

Ona je data koeficijentom pravca tangente u radnoj tacki karakteristike.

1.12.3 Akumulisana energija

Magnetska energija akumulisana u kalemu u trenutku t, odreuje se na slican nacin kao i

akumulisana energija u kondenzatoru. Zamisli se da je karakteristika kalema zamrznuta u

trenutku t, pa se kalem isprazni preko jednog linearnog vremenski nepromjenljivog otpornika

kao što to pokauje slika 1.27. Akumulisana energija se tada sva pretvori u toplotu te je data

Ru u=

i

Ri

L

R

Slika 1.27:

integralom:

w(t) =

∞∫

0

uR(τ )iR(τ )dτ

S obzirom da je sada:

uR(τ ) = u(τ ) =dΦ(τ )

dτ

i

iR(τ ) = −i(τ ) = −g [Φ(τ), t]

ova energija se moze izraziti u obliku:

w(t) =

Φ(t)∫

0

g [Φ(τ); t] dΦ(τ ) = h(Φ, t)

32

uzimajuci da je Φ(∞) = 0. U ravni i−Φ akumulisana energija je predstavljena površinom koja

zaklapa karakteristika kalema u trenutku t sa Φ− osom od koordinatnog pocetka do radne

tacke.

1.12.4 Ulozena energija

Ulozena energija u kalem od trenutka t0 do trenutka t odreena je integralom:

a(t0, t) =

t∫

t0

p(τ)dτ =

t∫

t0

g [Φ(τ); t]dΦ(τ)

dτdτ

Analogno ulozenoj energiji kondenzatora, za vremenski nepromjenljive kalemove ona je jednaka

promjeni akumulisane magnetske energije. Za vremenski promjenljive kalemove, ova energija

je jednaka zbiru promjene akumulisane energije i mehanickog rada koji izvrše elektrodinamicke

sile u kalemu.


Uslov pasivnosti za kalem je identican sa uslovom pasivnosti za kondenzator:

w(t0) + a(t0, t) ≥ 0 (1.4)

Naime, kalem je pasivan, ako zbir akumulisane energije u trenutku t0 i ulozene energije u

trenutku t0 do trenutka t nije negativan i to:

- za svaki pocetni trenutak t0.

- za svaki trenutak t ≥ t0 i

- za sve vremenske varijacije struje.

1.12.6 Linearan vremenski nepromjenljiv kalem

U ovom kursu uglavnom cemo se baviti ovim kalemom. Njegova karakteristika je prava kroz

koordinatni pocetak što je prikazano na slici 1.28.

Φ = Li

L = tanα

33

Φ

i0

( )t( )tΦ

( )i t

Slika 1.28:

Γ =1

L

Parametar induktivnost L za linearan vremenski nepromjenljiv kalem je konstanta. Veza

izmeu napona i struje je data sledecim relacijama:

u =dΦ

dt= L

di

dt=

1

Γ

di

dt

i(t) = i(0) +1

L

t∫

0

u(τ )dτ (1.5)

Prema ovim relacijama vidimo da je ovakav kalem potpuno odreen sa dvije velicine: pocetnom

vrijednosšcu struje i(0) i induktivnošcu L. Integlal:

t∫

0

u(τ )dτ = Li(t)− Li(0) = Φ(t)−Φ(0)

koji se javlja u relaciji (1.5) predstavlja promjenu magnetskog fluksa kalema.

1.12.7 Teorema o neprekidnosti struje kalema

Ako je napom linearnog vremenski nepromjenljivog kalema ogranicen u zatvorenom vremen-

skom intervalu [t1, t2], njegova struja je neprekidna vremenska funkcija u otvorenom intervalu

(t1, t2). Struja ne moze imati skokove dok god je napon ogranicen.

Dokaz: Dokaz teoreme izvršicemo na taj nacin što cemo pokazati da priraštaj struje tezi

ka nuli, kada priraštaj vremena tezi ka nuli, za svako t iz posmatranog intervala. Znaci, kada

∆t → 0 priraštaj fluksa ∆Φ = Φ(t+∆t)−Φ(t) koji je dat integralom:

∆Φ =

t+∆t∫

t

u(τ )dτ → 0

34

takoe tezi ka nuli, jer i površina odreena ovim integralom tezi nuli, pošto je napon ogranicen.

Stoga i priraštaj struje:

∆i =∆Φ

L→ 0

za svako t iz posmatranog intervala. Time je teorema dokazana.

1.12.8 Akumulisana i ulozena energija

Kako je za ovaj kalem:

i(τ) =1

LΦ(τ)

magnetska energija akumulisana u njemu je data opštim obrascom:

w(t) =

Φ(t)∫

0

g [Φ(τ); t] dΦ(τ) =1

L

Φ(t)∫

0

Φ(τ )dΦ(τ) =Φ2(t)

2L=

1

2Li2(t)

Ulozena energija u ovaj kalem od trenutka t0 do trenutka t je prema obrascu:

a(t0, t) =1

L

Φ(t)∫

Φ(t0)

Φ(τ )dΦ(τ) =Φ2(t)

2L−

Φ2(t0)

2L=

1

2Li2(t)−

1

2Li2(t0) (1.6)

jednaka promjeni akumulisane energije.


Prema izrazu za ulozenu energiju, uslov pasivnosti za posmatrani kalem se moze izraziti u

sledecem obliku:

w(t) =1

2Li2(t) ≥ 0

Navedeni uslov ce biti zadovoljen ako i samo ako je induktivnost kalema:

L ≥ 0

Stoga je linearan vremenski nepromjenljiv kalem pasivan ako i samo ako mu karakteristika

prolazi kroz I i III kvadrant. U suprotnom on je aktivan.

35

1.13 Rezistivni elementi sa dva pristupa

1.13.1 Definicija elemenata sa dva pristupa

Element iz koga su izvucena dva para krajeva naziva se elementom sa dva pristupa.Svaki od

ova dva para krajeva obrazuju po jedan pristup elementu za koji se vezuju drugi elementi.

Bitno je da se oni ne mogu vezivati za krajeve koji pripadaju razlicitim pristupima, vec uvijek

za krajeve istog pristupa. Šematski se ovakav element predstavlja kao na slici 1.29. Na

1u

1i1

1′

2u

2i 2

2′2i1i

Slika 1.29:

pristupima elemenata razlikujemo napone i struje za koje su uobicajeni referentni smjerovi

prema šemi. Aksiomatski se podrazumijeva da su struje u oba kraja jednog pristupa iste

velicine a suprotnog smjera. Ulazna snaga elementa sa dva pristupa je zbir ulaznih snaga na

njegovim pristupima:

p = u1i1 + u2i2

1.13.2 Rezistivni elementi sa dva pristupa

Rezistivni element sa dva pristupa je karakterisan sa dvije algebarske relacije izmeu napona

i struja na njegovim pristupima. Ove relacije se mogu mijenjati tokom vremena. Analiticki se

one izrazavaju:

F1(u1, i1, u2, i2; t) = 0

F2(u1, i1, u2, i2; t) = 0

Ako se jednacine karakteristika mogu pisati u obliku:

u1 = f1(i1, i2, t)

u2 = f2(i1, i2, t)

za rezistivni element kazemo da je kontrolisan strujom. A ako se jednacine karakteristike mogu

napisati u obliku:

i1 = g1(u1, u2, t)

36

i2 = g2(u1, u2, t)

onda kazemo da kontrolisan naponom. Rezistivan element moze imati obje ove osobine

odnosno, on moze biti kontrolisan i strujom i naponom.

1.13.3 Klasifikacija rezistivnih elemenata

Najprije prema obliku jednacina karakteristika, analogno elementima sa jednim pristupom

vršimo i klasifikaciju rezistivnih elemenata sa dva pristupa. Element je linearan ako su mu jed-

nacine karakteristika u svakom trenutku linearne. U suprotnom slucaju on je nelinearan. Ako

jednacine karakteristika ne zavise eksplicitno od vremena, vec u svakom trenutku zadrzavaju

svoj oblik, rezistivni element sa dva pristupa je vremenski nepromjenljiv. Jednacine karakter-

istika vremenski nepromjenljivog elementa su:

F1(u1, u2, i1, i2) = 0

F2(u1, u2, i1, i2) = 0

Ako se pak u ovim jednacinama pojavljuje vrijeme eksplicitno, element je vremenski prom-

jenljiv. Prema znaku ulazne snage rezistivane elemente dijelimo na pasivne i aktivne. Element

je pasivan, ako mu ulazna snaga nije negativna

p(t) = u1i1 + u2i2 ≥ 0

ni u jednom trenutku i za sve moguce vrijedbnosti napona i struja koje mogu postojati na

pristupima elementa. Specijalni slucaj pasivnog rezistivnog elementa je element bez gubitaka

za koji je ulazna snaga u svakom trenutku

p(t) = 0

Elment koji nije pasivan naziva se aktivnim elementom.

1.14 Zavisni ili kontrolisani izvori

Zavisni ili kontrolisani generatori (izvori) spadaju u grupu rezistivnih elemenata sa dva pris-

tupa, jer su okarakterisani sa dvije algebarske jednacine izmeu napona i struja na pristupima.

Zavisne generatore dijelimo na naponske i strujne zavisne generatore. Napon naponskog gen-

eratora u2 ne zavisi od njegove struje i2,ali nasuprot obicnom naponskom generatoru, on zavisi

od ulazne struje i1 ili ulaznog napona u1. U stvari struja i1, odnosno napon u1 mogu biti struja

37

i napon neke grane u kolu. Ubacivanjem kratke, odnosno otvorene veze sa posmatranim gener-

atorom obrazujemo tada element sa dva pristupa, na cijem ulazu se pojavljuje struja, odnosno

napon te grane.

Kada u sastav elementa ulazi strujni generator, njegova struja i2 ne zavisi od napona u2 ali

ona zavisi od struje kratke veze ili napona otvorene veze na ulazu. Ulazni pristup se stoga zove

kontrolišuci a izlazni kontrolisani pristup. Kada je ulazni pristup obrazovan od kratke veze,

napon u1 je jednak nuli, a kada je on obrazovan od otvorene veze struja i1 je jednaka nuli.

U zavisnosti od prirode kontrolisane i kontrolišuce velicine razlikujemo cetiri vrste zavisnih

generatora:

1. Naponom kontrolisani naponski izvor NKNI

2. Strujom kontrolisani naponski izvor SKNI

3. Naponom kontrolisani strujni izvor NKSI

4. Strujom kontrolisani strujni izvor SKSI

Kontrolisani izvori se koriste za modelovanje elektronksih komponenti tako da u prvoj

aproksimaciji dioda postaje strujni generator kontrolisan naponom a tranziastor sa uzeml-

jenom bazom strujni generator kontrolisan strujom.

1. Naponom kontrolisan naponski izvor (NKNI)

Šema naponom kontrolisanog naponskog izvora prikazana je na slici 1.30.

1uµ1u 2u

1i 2i

2′

21

1′

Slika 1.30: Naponom kontrolisani naponski izvor

a njegove jednacine su:

i1 = 0

u2 = µu1

Ovo je aktivan element i cesto se naziva idealni naponski pojacavac. U literaturi se cesto

nalazi, pored navedene i šematska predstava data slikom 1.31.

2. Strujom kontrolisan naponski izvor (SKNI)

38

1uµ1u 2u

1i 2i

2′

21

1′

21µili

Slika 1.31:

1ri1u 2u

1i 2i

2′

21

1′

Slika 1.32: Strujom kontrolisani naponski izvor

Šema strujom kontrolisanog naponskog izvora prikazana je na slici 1.32.


u1 = 0

u2 = ri1

On spada u grupu aktivnih elemenata sa dva pristupa.

3. Naponom kontrolisan strujni izvor (NKSI)

Šema naponom kontrolisanog strujnog izvora prikazana je na slici 1.33

1gu1u 2u

1i 2i

2′

21

1′

Slika 1.33: Naponom kontrolisani strujni izvor


i1 = 0

i2 = gu1

I ovo je aktivan element sa dva pristupa.

39

4. Strujom kontrolisan strujni izvor (SKSI)

Šema strujom kontrolisanog strujnog izvora prikazana je na slici 1.34.

1iα1u 2u

1i 2i1

1′ 2′

2

Slika 1.34: Strujom kontrolisani strujni izvor


u1 = 0

i2 = αi1

I ovaj element spada u grupu aktivnih elemenata sa dva pristupa. Cesto se naziva i idealnim

strujnim pojacavacem.

5. Idealni operacioni pojacavac (OP)

Šema idealnog operacionog pojacavaca je prikazana na slici 1.35.

On je opisan relacijama:

u3 = A(u1 − u2)

pri cemu vazi da ako pojacanje A → ∞, i1 = i2 → 0 i u1 − u2 → 0. To ima za posledicu da je

ulazna otpornost beskonacna a izlazna otpornost nula. Kada se idealni operacioni pojacavac

veze u elektricno kolo, napon u3 zadrzava konacnu vrijednost. Mnogi ovaj element nazivaju

nulor da bi ga razlikovali od fizickog operacionog pojacavaca (vazne komponente u mnogim

elektricnim sklopovima). Ostale elemente sa dva pristupa upoznacemo u narednim poglavljima

ovog kursa (idealni transformatori, ziratori, konvertori i invertori impedanse i td.).

1u

3u

2u

1i

2iA

Slika 1.35: Operacioni pojacavac

ELEMENTI TOPOLOGIJE

GRAFOVA I ANALIZA

ELEKTRICNIH KOLA

2.1 Uvod

Teorija grafova je posebna, savremena matematicka disciplina. Svoj neobicno intezivan razvoj,

primjenu u najrazlicitijim naucnim i tehnickim disciplinama i veliku popularnost, teorija

grafova dozivjela je u drugoj polovini prošlog vijeka zahvaljujuci, posredno ili neposredno,

sve vecoj proizvodnji i primjeni elektronskih racunara.

Na taj nacin, graf je od pomocnog dijagrama kojim su se slikovito predstavljali razni prob-

lemi postao objekat obimne matematicke teorije. Uz to se pokazalo da pojam grafa spada

u grupu osnovnih matematickih pojmova, ako što su binarne relacije, funkcije, operacije i

slicno. Govoreci apstraktnim matematickim jezikom, graf je konacan skup snadbjeven bina-

rnom relacijom. U primjenama pojam grafa dobija svoju punu vrijednost kada se skupovi

i relacije nad njima predstavljaju geometrijskim figurama koje su obrazovane od niza tacaka

spojenim krivim linijama. Teorija grafova proucava osobine svih figura koje ostaju invarijantne

pri kontinualnim deformacijama, tj. neprekidnim preslikavanjima.

Gipkost aparata teorije grafova omogucava da se brojni problemi sa konacnim skupo-

vima, iz veoma raznorodnih naucnih oblasti formulišu i rješavaju na jedinstven nacin. Prim-

jena teorije grafova i njenih metoda zauzima danas znacajno mjesto u teoriji elektricnih kola,

teoriji sistema, teoriji sistema automatskog upravljanja, operacionim istrazivanjima, teoriji in-

formacija, zatim u hemiji, ekonomskim naucnim disciplinama, biologiji, sociologiji i dr. Glavni

razlog za ovako širok raspon primjena lezi, u prvom redu, u jasnoj geometrijskoj predstavi koju

graf sadrzi i koja je bliska intuitivnoj predstavi koju covjek ima o osbinama i ponašanju ob-

jekata koji se predstavljaju grafom.

Jednu od najvaznijih primjena teorija grafova nalazi u analizi slozenih fizickih i tehnickih

sistema koji su predstavljeni modelom elektricne mreze. Prije više od jednog vijeka i to

[1847 g.] njemacki fizicar G R K [1824− 1887] je prvi koristio neke

kombinatorno-topološke pojmove za rješavanje jednacina elektricnih mreza. U ono vrijeme,

40

41

teorija grafova nije postojala kao posebna matematicka disciplina, pa su njegove ideje ostale

dugi niz godina nedovoljno iskorišcene i razvijene. Znatno kasniji fundamentalni radovi na

polju savremene teorije grafova, vršili su snazan uticaj i na fizicko-tehnicke naucne oblasti,

narocito na teoriju elektricnih kola i sistema. Mada je znacaj modela elektricne mreze bio

još odavno uvazen kao mocno sredstvo za tretiranje sa jedinstvenog stanovišta širokog kruga

tehnickih problema, moze se reci da intezivno i sistematsko proucavanje elektricnih mreza u

okviru teorije grafova pocinje šezdesetih godina prošlog vijeka. To je vrijeme u kome do tada

razvijene metode analize dobijaju strogo opravdanje, razvijaju se i nove metode što sve do-

prinosi boljem upoznavanju osobina mreza, odnosno razvijanju savršenijih postupaka analize,

sinteze i projektovanja. Prilagoavanje aparata teorije grafova koji se koristi u elektricnim

mrezama na proizvoljne fizicke sisteme, stvorilo je osnovu za njihovo proucavanje u okviru

savremene teorije sistema.

Kao posebna motivacija za primjenu metoda zasnovanih na teoriji grafova, javlja se prim-

jena savremenih digitalnih racunara u analizi i projektovanju elektricnih mreza za koje su ove

metode posebno pogodne. Analiza elektricnih kola (mreza) se, u krajnjoj liniji, svodi na dva

osnovna pitanja:

a) Formulisanje sistema nezavisnih jednacina cije rješenje odreuje sve napone i struje

elemenata kola, i

b) Rješavanje (efektivno) ovog sistema jednacina.

2.2 Graf mreze

Za rješavanje oba pomenuta pitanja presudnu ulogu igra nacin na koji su elmenti meusobno

povezani. Ta povezanost se izrazava “geometrijskom” strukturom mreze, odnosno topologijom

ili grafom mreze. Stoga u svim pitanjima koja su vezana za graf elektricne mreze priroda

elemenata je irelevantna i ona se potpuno moze apstrahovati. Tako dolazimo do pojma grafa

mreze koji cemo jednostavno dobiti zamjenom svakog elementa mreze jednim orjentisanim

linijskim segmentom koji zovemo granom grafa. U grafu je sacuvana potpuna informacija

o meusobnom povezivanju elemenata, ne ulazeci u fizicku prirodu samih elemenata. Na

osnovu grafa elektricnog kola mogu se jednostavno izraziti zakoni povezivanja elemenata. Na

primjer, graf mreze na slici 2.36. prikazan je na slici 2.37. Prije detaljnog razmatranja zakona

povezivanja definisacemo neke osnovne pojmove iz topologije.

Grana je linija grafa koja odgovara pristupu elementa koji se predstavlja. Za elemente

sa dva kraja (jednim pristupom) grana odgovara samom elementu, dok se element sa više

krajeva predstavlja pomocu onoliko grana koliko elemnt ima pristupa. Nekada, jednom granom

se moze predstaviti i veza više elemenata, ako za to postoji neki valjani razlog (detaljno

objašnjeno u poglavlju Karakteristike elemenata). Grane se oznacavaju na pogodan nacin.

42

21 3

45

1( )gu t

( )gu t

2 3

45

6

78

1

1( )gi t

Slika 2.36: Elektricno kolo

2

1 3

2 3

45

6

8

5 4

7

1

Slika 2.37: Graf elektricnog kola

Cvor je mjesto gdje se vrši spajanje krajeva grana. Drugim rijecima krajevi grana su

cvorovi. U grafu se oni predstavljaju kruzicima, slicno kao u elektricnim šemama. Cvorovi se

takoe, da bi se razlikovali, oznacavaju na pogodan nacin. Na osnovu prethodnih definicija

grane i cvora, mozemo reci da graf predstavlja skup grana i cvorova.

Orjentisani graf (Di graf) je onaj graf koji ima orjentisane grane.

Subgraf (pod graf) je dio grafa. Odvojenim djelovima se smatraju i pojedini izolovani

cvorovi, tj. cvorovi za koje nije vezana nijedna grana.

Incidencija pokazuje meusobni odnos grane i cvora. Ako je k−ti cvor krajnja tacka l−te

grane, tada kazemo da su oni incidentni. Jedna grana moze moze biti incidentna najviše sa dva

cvora, dok jedan cvor moze biti incidentan sa proizvoljnim brojem grana. Prema meusobnoj

vezi grana i cvorova definišu se i pojmovi susjednosti, kao i stepen cvora. Dva cvora su

susjedna ako su spojena granom. Za neki k−ti cvor stepen cvora je broj grana koji se sticu u

njemu. Dvije ili više grana su susjedne ako imaju zajednicki cvor. Od svih mogucih subgrafova

koji se mogu obrazovati od jednog povezanog grafa, narocito su vazni put (putanja, lanac),

43

kontura, stablo i snop.

Put izmeu cvorova j i k je subgraf koji predstavlja ureeni niz meusobno povezanih

grana sa svojstvom da je svaki unutrašnji cvor stepena dva., a krajnji (spoljašnji) cvorovi j i

k su stepena jedan. Put se moze orjentisati od polaznog ka krajnjem cvoru.

Kontura (petlja) je zatvoren put: polazni i krajnji cvor su isti, znaci svaki cvor je stepena

dva. Kontura se takoe, moze orjentisati u smjeru kazaljke na satu ili u suprotnom smjeru.

Povezani graf je onaj u kome postoji put izmeu bilo koja dva cvora. Ako to nije

ispunjeno, graf je nepovezan - ima odvojene djelove.

Planarni graf je onaj koji se moze predstaviti u ravni, tako da se grane ne sijeku nigje

osim u cvorovima. Pitanje planarnosti je veoma vazno za savremenu elektroniku (VLSI - kola).

Stablo grafa je povezan subgraf obrazovan od grana koje povezuju sve cvorove grafa ali

ne obrazuju konture. Za jedan graf od c−cvorova svako stablo sadrzi tacno n = c− 1 grana.

Ako graf G ima ukupno b−grana, tada svako stablo T dijeli grane grafa u dva skupa: n = c−1

grana koje se nalaze u stablu i m = b− n = b− c+ 1 grana koje se ne nalaze u njemu. Ovih

m grana cine spojnice datog stabla T . Za njih se kaze da obrazuju komplement stabla, ili

krace ko-stablo L. Za definiciju stabla dovoljne su tri osobine od mogucih cetiri:

1. Stablo T je povezan graf.

2. Sadrzi n = c− 1 granu.

3. Sadrzi c cvorova.

4. Ne sadrzi konture.

Na primjer na slici 2.37. subgrafovi (1, 2, 4, 6), (2, 3, 5, 7) i (4, 5, 6, 8) su stabla grafa.

Subgraf (3, 5, 7, 8) je ko-stablo za stablo (1, 2, 4, 6), subgraf (1, 4, 6, 8) je ko-stablo za stablo

(2, 3, 5, 7) i subgraf (1, 2, 3, 7) je ko-stablo za stablo (4, 5, 6, 8). Za jedan graf moze se

formirati veci broj stabala. Relacije n = c − 1 i m = b − n = b − c + 1 su u teoriji grafova

poznate pod nazivom Ojlerove relacije [L E 1707-1883]. U slucaju da graf nije

povezan, vec se sastoji iz s izolovanih djelova, za svaki od djelova se moze obrazovati stablo,

odnosno ko-stablo. Skup svih stabala pojedinih subgrafova obrazuje šumu. Broj grana šume

jednak je broju grana svih pojedinih stabala.

Snop grafa je subgraf koji sadrzi minimalni broj grana koje je potrebno ukloniti iz grafa

G da bi se ovaj rastavio tacno na dva dijela. Pri tome jedan ili oba rastavljena dijela mogu

biti cvorovi. Tada se govori o snopovima oko cvorova. Na primjer, subgrafovi (1, 2, 5, 6),

(4, 5, 7, 8) i (2, 3, 5, 7) su snopovi grafa na slici 2.37. pri cemu je (1, 2, 4) snop oko cvora 1,

a (2, 3, 5, 7) snop oko cvora 2. Nalazenje nekog snopa u grafu G vrši se jednostavno ako se

snop svih cvorova V podijeli na dva disjunktna podskupa V1 i V2 [V1 ∪ V2 = V, V1 ∩ V2 = 0].

Tada se grane ciji se jedan kraj nalazi u V1 a drugi u V2 sacinjavaju snop. Drugi je nacin

da se graf presijece nekom zatvorenom površinom tako da jedna grupa cvorova bude unutar

44

površine a druga van nje. Ova površina koja se naziva presjekom sijece grane koje obrazuju

jedan snop [neki autori upotrebljavaju termin “presjek” da oznace kako presjecnu površinu

tako i same presjecene grane (=snop)]. Snop se orjentiše prema orjentaciji presjeka koji ga

definiše. Na slici 2.38. isprekidanim linijama su oznacene površi koje definišu gore navedene

snopove. Strelice na slici prikazuju orjentacije presjeka odnosno snopova.

2

1 3

2 3

45

6

8

5 4

7

11ν

2ν

4ν

3ν

Slika 2.38: Orjentacija snopa

Ako se u nekom grafu G izabere jedno stablo T , odnosno njemu odgovarajuce ko-stablo L,

tada je iz samih definicija ocigledno da proizvoljna kontura mora da sadrzi bar jednu spojnicu

ko-stabla L, a proizvoljni snop barem jednu granu stabla T . Od svih mogucih kontura i snopova

od narocitog (znacaja) interesa su konture koje sadrze samo jednu granu ko-stabla L, odnosno

snopovi (presjeci) koji sadrze samo jednu granu stabla T . U odnosu na stablo T , osnovna

kontura definisana spojnicom s predstavlja jedinstvenu konturu koju ova spojnica zatvara sa

nekim granama stabla T . Osnovna kontura se orjentise u istom smjeru kao i spojnica koja

je definiše. Ako je b broj grana grafa G, a broj grana stabla n (n = c − 1), tada je broj

osnovnih kontura m = b− n = b− c + 1. Broj n se naziva rangom grafa ρ(G) = n, a broj m

nultošcu grafa η(G) = m. Na slici 2.39. prikazane su sve cetiri osnovne konture u odnosu na

izabrano stablo T = 4, 5, 7, 8 i ko-stablo L = 1, 2, 3, 6; µ1= 1, 4, 5, 7, 8, µ2 = 2, 4, 5 ,

µ3= 3, 7, 8 i µ

4= 5, 6, 7 .

U odnosu na stablo T , osnovni snop (presjek) definisan granom stabla T predstavlja

jedinstveni snop koji sadrzi samo ovu granu stabla i neke spojnice. Osnovni snop se orjentiše

prema pozitivnoj orjentaciji grane stabla koja ga definiše. Na slici 2.40. prikazana su sva

cetiri osnovna snopa u odnosu na stablo T = 4, 5, 7, 8 ; ν1 = 4, 1, 2, ν2 = 5, 1, 2, 6,

ν3 = 7, 1, 3, 6 i ν4 = 8, 1, 3. Neka osnovna kontura definisana spojnicom s sadrzi one i

samo one grane stabla koje definišu osnovne snopove što sadrze spojnicu s. Isto tako, neki

45

2

1 3

2 3

4

5

6

8

5 4

7

1

4µ

1µ

2µ 3µ

Slika 2.39: Cetiri osnovne konture u odnosu na izabrano stablo T = 4, 5, 7, 8 ; L =1, 2, 3, 6

osnovni snop, definisan granom stabla T , sadrzi one i samo one spojnice koje definišu osnovne

konture što sadrze granu stabla T . Definicija osnovnih (glavnih, fundamentalnih) kontura i

osnovnih (glavnih, fundamentalnih) presjeka (snopova) je znacajna iz prostog razloga što se

proizvoljna kontura u jednom grafu moze dobiti linearnom kombinacijom osnovnih kontura.

Isto tako proizvoljni presjek se moze dobiti linearnom kombinacijom osnovnih presjeka.

2

1 3

2 3

45

6

8

5 4

7

1

2ν

1ν

3ν

4ν

Slika 2.40: Cetiri osnovna snopa u odnosu na izabrano stablo T = 4, 5, 7, 8

Rang grafa ρ(G) = n = c − 1 je u vezi sa pojmom nezavisnih presjeka. Nezavisnim

presjecima zovemo skup od n presjeka koji se ne mogu dobiti nikakvom kombinacijom jedan iz

drugoga, ali se iz njih mogu mogu dobiti linearnom kombinacijom svi ostali presjeci. Osnovni

presjeci se specijalan slucaj nezavisnih presjeka. Rang grafa jednak je broju nezavisnih presjeka

u jednom grafu.

46

Pojam nultosti grafa je u vezi sa nezavisnim konturama. Nezavisne konture su one koje se

ne mogu jedna pomocu druge izraziti nikakvom kombinacijom ali se pomocu njih mogu izraziti

sve ostale konture. Specijalan slucaj nezavisnih kontura su osnovne konture. Broj nezavisnih

kontura jednak je nultošcu grafa η(G) = m = b − n = b − c + 1. Ako je graf sastavljen od s

djelova onda imamo: n = c− s i m = b− n. Ovo su osnovne topološke relacije jednog grafa.

2.3 Topološke matrice grafa elektricnog kola

U ovom poglavlju uvesti cemo algebarsko-matricno karakterisanje relacija pripadnosti, inci-

dencije, susjedstva koje postoje izmeu grana grafa, kontura, presjeka i cvorova.

2.3.1 Matrica kontura Ba

∼

To je matrica u kojoj vrste (redovi) odgovaraju proizvoljnim konturama a kolone (stupci)

granama grafa. To je pravougaona matrica razmjere p× b.

Ba∼

= [bik]p×b

gdje je p− broj kontura a b− broj grana. Funkcija bik, element matrice na presjeku i− te

vrste i k− te kolone definisana je na sledeci nacin:

bik =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1 ako grana “k” pripada konturi “i” a orjentacija grane se poklapa sa

orjentacijom konture

−1 ako grana “k” pripada konturi “i” a orjentaciuja grane je suprotna

orjentaciji konture

0 ako grana “k” ne pripada konturi “i”

Sve vrste u ovoj matrici nijesu meusobno nezavisne. Neke se iz njih mogu dobiti linearnom

kombinacijom ostalih. Skupovi nezavisnih vrsta, pomocu kojih se mogu izraziti sve ostale vrste

odgovaraju nezavisnim konturama. Broj nezavisnih kontura je m.

2.3.2 Matrica nezavisnih kontura B∼

Matrica nezavisnih kontura B∼

je pravougaona matrica razmjere m× b gdje vrste odgovaraju

nezavisnim konturama a kolone granama grafa.

B∼

= [bik]m×b

47

1 2

3 4

2µ

3µ

1µ

a

b

c

de

f

Slika 2.41:

Na primjer za graf prema slici 2.41. matrica nezavisnih kontura je:

a b c d e f

B∼

=

µ1

µ2

µ3

⎡⎢⎣ 0 0 0 1 −1 0

1 1 0 0 1 0

0 −1 −1 0 0 −1

⎤⎥⎦

Za nezavisne konture odabrana su takozvana “okca” (engleski izraz “mesh”) tj. konture

unutar kojih nema grana. Specijalni slucaj matrice nezavisnih kontura je matrica glavnih

(osnovnih kontura) Bf∼

. Za posmatrani graf prikazan na slici 2.42. i izabrano stablo T =

a, b, c, L = d, e, f ta matrica bila bi:

a b c d e f

Bf∼

=

µ1

µ2

µ3

⎡⎢⎣ 1 1 0 1 0 0

1 1 0 0 1 0

0 1 1 0 0 1

⎤⎥⎦

1 2

3 4

2µ

3µ

1µ

a

b

c

de

f

Slika 2.42:

Osnovne konture (engleski izraz “loop”- proizvoljna kontura) su orjentisane u smjeru spo-

48

jnica (grana ko-stabla) koje ih definišu. Svaki red (vrsta) ove matrice odgovara jednoj osnovnoj

konturi u odnosu na jedno izabrano stablo T . Ako u matrici nezavisnih kontura B∼

za izabrano

stablo T grafa grane uredimo tako da prvo imamo grane stabla a potom grane ko-stabla

(spojnice) onda matricu B∼

mozemo razbiti na dva bloka:

B∼

=[BT∼

| BL∼

]stablo︸︷︷︸ spojnice︸︷︷︸

BT∼ m×n

- submatrica matrice B∼

cije grane odgovaraju granama izabranog stabla T.

BL∼ m×m

- submatrica matrice B∼

cije grane odgovaraju granama pripadnog ko-stabla L (spo-

jnicama).

Ako se to primijeni na matricu osnovnih kontura ona se moze napisati u takozvanom

kanonicnom obliku:

Bf∼

=

[BfT∼

| 1mm∼

]1mm∼

- jedinicna matrica reda m.

BfT∼

- submatrica matrice osnovnih kontura Bf∼

cije grane odgovaraju granama izabranog

stabla T.

Rang jedne matrice jednak je broju nezavisnih vrsta u njoj. Iz kanonicnog oblika jasno se

vidi da je rang matriceBf∼

jednak nultosti grafa η G = m. To nam omogucava da formulišemo

vaznu teoremu o rangu matrica kontura.

Teorema 1. (Formulacija bez dokaza)

Za jedan povezani graf G koji ima c cvorova i b grana vazi:

r

(Ba∼

)= r

(B∼

)= r

(Bf∼

)= η (G) = m = b− n = b− c+ 1

Matrica nezavisnih kontura B∼

moze se dobiti pomocu jedne nesingularne transformacije

matrice Bf∼

, tj.

B∼

= K∼

Bf∼

K∼

- nesingularna matrica m− tog reda ciji su elementi 1,−1, 0. Specijalni slucaj te matrice

je matrica BL∼

, B∼

= BL∼

Bf∼

(dokaz slijedi kasnije). Iz kanonicnog oblika matrice osnovnih

kontura Bf∼

, Bf∼

= [BfT∼

| 1mm]∼

se vidi da matrica sadrzi jedinicnu submatricu m− tog reda

koja odgovara spojnicama ili ko-stablu. Ovo je samo specijalni slucaj nesingularne submatrice

BL∼

matrice nezavisnih kontura B∼

za koju vazi sledeca teorema.

Teorema 2. Kvadratna submatrica m− tog reda (m = b − c + 1) matrice nezavisnih

kontura B∼

povezanog grafa od b grana i c cvorova je nesingularna ako i samo ako kolone ove

submatrice odgovaraju nekom ko-stablu L (spojnicama).

49

Dokaz. Na osnovu Teoreme 1. i definicije matrice B∼

, matrice B∼

i Bf∼

imaju isti rang m.

Kada se na matricnu relaciju B∼

= BL∼

Bf∼

primijeni Silvesterova teorema koja kaze da je rang

proizvoda matrice Kp×q∼

i matrice Lq×r∼

zadovoljava relacije:

rK∼

L∼

≥ r

(K∼

)+ r

(L∼

)− q

rK∼

L∼

≤ min

[r(K∼

), r

(L∼

)]dobija se:

r

BL∼

Bf∼

≥ r

(BL∼

)+ r

(Bf∼

)−m

r

BL∼

Bf∼

≤ min

[r

(BL∼

), r

(Bf∼

)]

r

(Bf∼

)= m; r

(B∼

)= r

(BL∼

Bf∼

)= m

r

(BL∼

Bf∼

)≥ r

(BL∼

)+m−m

r

(BL∼

Bf∼

)≤ min

[r

(BL∼

), m

]⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭⇒

m ≥ r

(BL∼

)m ≤ r

(BL∼

)⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ ⇒ r

(BL∼

)= m

Iz obje nejednakosti slijedi: r

(BL∼

)= m što znaci da je ona nesingularna. Formiranje jednog

sistema nezavisnih kontura neposrednim pregledom grafa nije uvijek ocigledno i, osim sistema

osnovnih kontura, moze se prikazati da sledeci postupak dovodi do jednog sistema nezavisnih

kontura, tj. takvih kontura cija matrica ima maksimalni rang m = b− c+ 1. U grafu G treba

proizvoljno izabrati jednu konturu, koja se potom razara prekidanjem jedne proizvoljne grane.

U preostalom grafu se ponovo izabere jedna kontura koja se potom razara prekidanjem jedne

grane. Postupak se tako nastavlja sve dok se ne iscrpu sve konture. Lako je vidjeti da su

prekinute konture spojnice za neko stablo. Meutim, dobijene konture u opštem slucaju nece

biti osnovne za ovo stablo, jer za razliku od osnovnih kontura, ovdje jedna spojnica moze biti

sadrzana u više od jedne konture.

2.3.3 Matrica skupova (presjeka) Qa

∼

Ova matrica opisuje odnos izmeu snopova (presjeka) i grana. Matrica Qa

∼

= [qik]s×b ima b -

kolona i onoliko redova s koliko ima snopova u grafu G. Funkcija qik koja predstavlja element

te matrice definisana je na sledeci nacin:

50

qik =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1 ako grana “k” pripada snopu “i” i njena orjentacija se poklapa sa

orjentacijom snopa

−1 ako grana “k” pripada snopu “i” i njena orjentaciuja je suprotna od

orjentacije snopa

0 ako grana “k” ne pripada snopu “i”

U ovoj matrici sve vrste nijesu nezavisne. Neke od njih se mogu dobiti linearnom kombinacijom

od drugih. Ako imamo n - nezavisnih presjeka neki proizvoljni presjek se moze definisati kao

linearna kombinacija ovih nezavisnih presjeka.

ν = β1ν1 + β

2ν2 + ...+ β

kνk + ...+ β

nνn

βk = 1,−1, 0

2.3.4 Matrica nezavisnih presjeka (snopova) Qn×b

∼

Matrica nezavisnih presjeka je pravougaona matrica razmjere n × b gdje vrste odgovaraju

nezavisnim presjecima a kolone granama kola. Na primjer, za prilozeni graf prikazan na slici

2.43. i nezavisne presjeke ν1, ν2 i ν3 ta matrica bila bi:

a b c d e f

Q∼

=

ν1

ν2

ν3

⎡⎢⎣ 1 0 0 −1 −1 0

1 −1 1 0 0 0

0 0 −1 0 0 1

⎤⎥⎦

Matrica osnovnih presjeka Qf∼

ima n vrsta i b kolona. Svaki red odgovara jednom osnovnom

presjeku u odnosu na izabrano stablo T . Za isti graf prikazan na slici 2.44. i za isto izabrano

stablo ta matrica bila bi:

a b c d e f

Qf∼

=

ν1

ν2

ν3

⎡⎢⎣ 1 0 0 −1 −1 0

0 1 0 −1 −1 −1

0 0 1 0 0 −1

⎤⎥⎦

Ako se prvo napišu grane stabla T a potom grane ko-stabla (spojnica) Lmatrica nezavisnih

51

1 2

3 4

a

b

c

de

f

1ν

2ν

3ν

Slika 2.43:

1 2

3 4

a

b

c

d ef

1ν

2ν

3ν

Slika 2.44:

presjeka se moze razbiti na blokove:

Q∼

=[QT∼

| QL∼


QT∼ n×n

- submatrica matrice Q∼

cije grane odgovaraju granama stabla T.

QL∼ n×m

- submatrica matrice Q∼

cije grane odgovaraju spojnicama.

Ako se ovo primijeni na matricu osnovnih presjeka dobijamo takozvani kanonicni oblik te

matrice za izabrano stablo T .

Qf∼

=

[1nn∼

| QfL∼

]

52

1nn∼

- jedinicna matrica n - tog reda.

QfL∼ n×m

- submatrica matrice Qf∼

cije grane odgovaraju ko-stablu L.

Iz kanonicnog oblika matrice Qf∼

neposredno se vidi da je r

(Qf∼

)= n = c − 1 tj. rang

matrice Qf∼

jednak je rangu grafa G :

r

(Qf∼

)= ρ (G) = n = c− 1

To je samo specijalni slucaj teoreme o rangu matrice presjeka.

Teorema 3. Za povezani graf G od c cvorova imamo da je:

r

(Qa∼

)= r

(Q∼

)= r

(Qf∼

)= ρ (G) = n = c− 1

Takoe se matrica Q∼

moze dobiti ako nesingularna transformacija matrice Qf∼

, tj. Q∼

=

T1∼

Qf∼

gdje je T1

∼

− nesingularna matrica n− tog reda ciji su elementi 1,−1, 0. Specijalan slucaj

te matrice jeste submatrica QT∼

(dokaz slijedi kasnije).

Teorema 4. Kvadratna matrica n− tog reda matrice nezavisnih presjeka Q∼

jednog

povezanog grafa G od c− cvorova je nesingularna ako i samo ako n− njenih kolona odgo-

vara granama nekog stabla.

Dokaz: Dokaz se izvodi na osnovu Teoreme 3. i Silvesterove teoreme primijenjene na

proizvod matrica QT∼

Qf∼

= Q∼

.

r

(Q∼

)= r

(Qf∼

)= n

r

(Q∼

)= r

(QT∼

Qf∼

)= m ≥ r

(QT∼

)+ r

(Qf∼

)− n

r

(Q∼

)= r

(QT∼

Qf∼

)= m ≤ min

[r

(QT∼

), r

(Qf∼

)]Iz gornjih nejednakosti slijedi:

r

(QT∼

)= n

I ovdje se postavlja pitanje da li se mogu odrediti i drugi sistemi nezavisnih snopova naposred-

nim pregledom grafa. Ovdje cemo samo navesti jedan od mogucih nacina izbora sistema

nezavisnih snopova. U grafu G proizvoljno se izabere jedan snop i u njemu se sazima jedna

proizvoljna grana. U preostalom grafu se ponovo bira jedan snop i u njemu se sazima jedna

grana. Postupak se ponavlja sve dok se graf ne svede na jedan cvor. Sazimljene grane sacin-

javaju jedno stablo, ili dobijeni snopovi nijesu osnovni za ovo stablo jer neki od njih sadrze

više od jedne grane stabla.

53

2.3.5 Matrica cvorova (incidencije) Aa

∼

Relacija incidencije izmeu grana i cvorova jednog grafa se moze izraziti algebarski pomocu

matrice incidencije cvorovi-grane, ili krace matrice cvorova. Znaci to je pravougla matrica

razmjere c× b u kojoj vrste predstavljaju cvorove a kolone grane. Predpostavlja se da svaka

grana ima dva razlicita kraja, odnosno da grana nema petlji:

Aa

∼

= [aik]c×b

Funkcija koja definiše element matrice aik odreuje se na sledeci nacin:

aik =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1 ako je grana “k” vezana za cvor “i” i orjentisana je od cvora

−1 ako je grana “k” vezana za cvor “i” i orjentisana je ka cvoru

0 ako grana “k” nije incidentna cvoru “i”

Na primjer za graf prikazan na slici 2.45. matrica incidencije je:

2

1 3

b c

de

f

h

5 4

g

a

Slika 2.45:

a b c d e f g h

Aa

∼

=

1

2

3

4

5

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 0 −1 0 0 0 0

0 −1 −1 0 1 0 1 0

−1 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 −1 −1

0 0 0 1 −1 −1 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

54

Vidi se da u svakoj koloni matrice Aa

∼

postoje samo dva elementa koji nijesu nula: jedan je +1

a drugi −1. Osim toga, pošto je graf povezan, on nema izolovanih cvorova, pa mogu postojati

vrste ciji su elementi samo nule (nula-vrste), a pošto graf nema petlji, ne mogu postojati ni

nula-kolone. Zbir ma kojih q (q < c) vrsta matrice Aa

∼

jednog povezanog grafa sadrzi bar jedan

element +1 ili −1. Ako se u matrici Aa

∼

izostavi jedna vrsta dobija se nova matrica A∼

razmjere

n × b. Ova matrica, koja u potpunosti karakteriše graf kao i matrica Aa

∼

naziva se matricom

nezavisnih cvorova a izostavljeni cvor referentnim ili stozernim cvorom. Ako u predhodnom

primjeru izostavimo cvor 5 onda je on referentni cvor a matrica A∼

je:

a b c d e f g h

A∼

=

1

2

3

4

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 0 −1 0 0 0 0

0 −1 −1 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 1 −1 −1

0 0 0 1 −1 −1 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Matrica cvorova Aa

∼

se moze posmatrati kao specijalni slucaj matrice Qa

∼

ako se presjeci uzmu

oko cvorova i svi orjentišu od cvora.

Teorema 5. Rang matrice Aa

∼

jednog povezanog grafa je n = c− 1 tj.

r

(Aa

∼

)= r

(A∼

)= ρ (G) = n = c− 1

Teorema 6. Kvadratna submatrica AT

∼

reda n = c−1matrice nezavisnih cvorova A∼

jednog

povezanog grafa G koji ima c cvorova je nesingularna ako i samo ako n kolona submatrice AT

∼

odgovaraju granama nekog stabla.

A∼

=[AT

∼

| AL

∼


Dokaz: Neka je T jedno stablo grafa G. Tada je AT

∼

matrica cvorova jednog povezanog

grafa koji ima c cvorova i n = c − 1 grana. Na osnovu teoreme 5 r

(AT

∼

)= n = c − 1

tj. matrica AT

∼

je nesingularna. Obratno, predpostavimo da je AT

∼

nesingularna submatrica

n = (c − 1)− og reda matrice A∼

. Tada je AT

∼

matrica cvorova jednog subgrafa G koji ima

sledece osobine:

a) ima c cvorova.

b) ima c− 1 grana

c) povezan je (jer je AT

∼

po predpostavci nesingularna) tj. ranga n = c − 1 pa je broj

55

komponenti p = 1.

Ove tri osobine su upravo potrebne i dovoljne da subgraf bude stablo T , što dokazuje

teoremu. Ova teorema je od osnovnog znacaja u teoriji grafova i u njenim primjenama, is-

ticuci osnovnu ulogu stabla kao jednog subgrafa cija je matrica cvorova nesingularna. Posled-

ica ove teoreme je da determinanta neke nesingularne submatrice matrice A∼

ima vrijednost

det

AT

∼

= 1 ili −1.

2.4 Veze izmeu topološkihmatrica. Centralna topološka

teorema

Ako se za jedan isti graf kolone matrice presjeka (cvorova) i kolone matrice kontura Ba

∼

pišu u

istom redosledu tada izmeu ove dvije matrice postoji fundamentalna relacija koja se formuliše

centralnom topološkom teoremom.

Teorema 7. Proizvod matrice presjeka Qa

∼

i transponovane matrice kontura Bt

a

∼

je nula

matrica.

Qa

∼

Bt

a

∼

= 0∼

Aa

∼

Bt

a

∼

= 0∼

Ba

∼

Qt

a

∼

= 0∼

Ba

∼

At

a

∼

= 0∼

Dokaz: Oznacimo sa C∼

= Qa

∼

Bt

a

∼

. Matrica Qa

∼

je matrica razmjere s× b; s - broj presjeka

(snopova), b - broj grana. Matrica Ba

∼

je matrica razmjere p × b; p - broj kontura, b - broj

grana. Bt

a∼

- transponovana matrica matrice Ba∼

razmjere b× p. Prema tome, matrice Qa∼

i Bta∼

ispunjavaju uslove za mnozenje (broj kolona prve matrice u proizvodu jednak je broju vrsta

druge matrice u proizvodu). Element matrice C∼

= [cik]s×p na presjeku i− te vrste i k− te

kolone cik bio bi:

cik =

b∑j=1

qijbjk

gdje je: i = 1, 2, ..., s; k = 1, 2, ..., p. Vidjeli smo da elementi qij i bjk mogu poprimati

vrijednosti (1,−1, 0). Da bi jedan ovakav element postojao potrebno je da se odgovarajuce

56

grane nalaze i na i− tom presjeku i na k− toj konturi, inace odgovarajuci element je nula.

Uzmimo jednu konturu. Neka je to k− ta kontura (slika 2.46.).

jβ

rβ

kµ

iν

Slika 2.46:

Na njoj je j− ta grana βj. Ali, ako postoji neka grana na k− toj konturi i na i− tom

presjeku, onda postoji, mora da postoji i još jedna grana na toj konturi koja ce se presjeci tim

presjekom. Dakle, pojavice se parovi:

cik = qijbjk + qirbrk = 1 · (−1) + 1 · 1 = 0

Moze se desiti da su grane βk i βr druge orjentacije kao što je prikazano na slici 2.47. Sada

imamo:

cik = qijbjk + qirbrk = (−1) · 1 + 1 · 1 = 0

jβ

rβ

kµ

iν

Slika 2.47:

Moze se pojaviti i kombinacija prikazana na slici 2.48. Tada je:

cik = qijbjk + qirbrk = 1 · (−1) + (−1) · (−1) = 0

Najzad i cetvrta kombinacija (imamo ukupno cetiri kombinacije) je prikazana na slici 2.49.

57

jβ

rβ

kµ

iν

Slika 2.48:

Imamo da je:

cik = qijbjk + qirbrk = (−1) · 1 + (−1) · (−1) = 0

jβ

rβ

kµ

iν

Slika 2.49:

Prema tome, elementi matrice C∼

, cik su nula pa je matrica C∼

- nul matrica a proizvod

Qa∼

Bta∼

= 0∼

. Time je ova teorema dokazana. Ovo je jedna od najvaznijih topoloških relacija u

teoriji grafova. Kao posledica ove teoreme moze se generisati citav niz veoma vaznih relacija:

Q∼

Bt

∼

= 0∼

; Q∼

Btf∼

= 0∼

; Qf∼

Btf∼

= 0∼

Qf∼

Bt

∼

= 0∼

; A∼

Bt

∼

= 0∼

; A∼

Btf∼

= 0∼

Koristeci ove relacije uradicemo nekoliko vaznih primjera.

Primjer 1: Data je matrica osnovnih presjeka Qf∼

. Odrediti matricu osnovnih kontura.

Qf∼

=

[1nn∼

| QfL∼

]; Bf

∼

=

[BfT∼

| 1mm∼

]

58

Qf∼

Btf∼

= 0∼

ili Bf∼

Qtf∼

= 0∼

Qtf∼

=

⎡⎢⎣ 1nn

∼

QtfL∼

⎤⎥⎦

[BfT∼

| 1mm∼

]⎡⎢⎣ 1nn∼

QtfL∼

⎤⎥⎦ = BfT

∼

+ QtfL∼

= 0∼

BfT∼

= − QtfL∼

Pa imamo:

Bf∼

=

[− Qt

fL∼

| 1mm∼

]Odnosno ako je data matrica Bf

∼

a trazi se Qf∼

imamo da je:

Qf∼

=

[1nn∼

| −BtfT∼

]

Primjer 2: Data je matrica Q∼

. Odrediti matricu osnovnih kontura Bf∼

.

Q∼

=

[QT∼

| QL∼

]; Bf

∼

=

[BfT∼

| 1mm∼

]

Bf∼

Qt

∼

= 0∼

;

Qt

∼

=

⎡⎢⎣ Qt

T∼

QtL∼

⎤⎥⎦

[BfT∼

| 1mm∼

] ⎡⎢⎣ Qt

T∼

QtL∼

⎤⎥⎦ = 0

∼

BfT∼

QtT∼

+QtL∼

= 0∼

BfT∼

QtT∼

= −QtL∼

/

(QtT∼

)−1

59

BfT∼

= −QtL∼

(QtT∼

)−1

= −QtL∼

(Q−1T∼

)t

= −

(Q−1T∼

QL∼

)t

Bf∼

=

[BfT∼

| 1mm∼

]=

[−

(Q−1T∼

QL∼

)t

| 1mm∼

]

Matrica se odreuje jednostavno za izabrano stablo T i pripadno ko-stablo L.

Primjer 3: Data je matrica nezavisnih kontura B∼

. Odrediti matricu Qf∼

.

Qf∼

=

[1nn∼

| QfL∼

]; B

∼

=

[BT∼

| BL∼

]

Qf∼

Bt

∼

= 0∼

[1nn∼

| QfL∼

]⎡⎢⎣ BtT∼

BtL∼

⎤⎥⎦ = 0

∼

BtT∼

+QfL∼

BtL∼

= 0∼

QfL∼

BtL∼

= −BtT∼

/

(BtL∼

)−1

QfL∼

= −BtT∼

(BtL∼

)−1

= −BtT∼

(B−1L∼

)t

= −

(B−1L∼

BT∼

)t

Qf∼

=

[1nn∼

| QfL∼

]=

[1nn∼

| −

(B−1L∼

BT∼

)t]

Matrica se odreuje jednostavno za izabrano stablo T i pripadno ko-stablo L.

Primjer 4: Data je matrica Q∼

. Odrediti matricu B∼

.

B∼

=

[BT∼

| BL∼

]; Q

∼

=

[QT∼

| QL∼

]

B∼

Qt

∼

= 0∼

[BT∼

| BL∼

]⎡⎢⎣ QtT∼

QtL∼

⎤⎥⎦ = 0

∼

60

BT∼

QtT∼

+BL∼

QtL∼

= 0∼

BT∼

QtT∼

= −BL∼

QtL∼

/

(QtT∼

)−1

BT∼

= −BL∼

QtL∼

(QtT∼

)−1

= −BL∼

QtL∼

(Q−1T∼

)t

= −BL∼

(Q−1T∼

QL∼

)t

B∼

=

[BT∼

| BL∼

]=

[−BL

∼

(Q−1T∼

QL∼

)t

| BL∼

]= BL

∼

[−

(Q−1T∼

QL∼

)t

| 1mm∼

]︸︷︷︸

Bf∼

Dobili smo vaznu relaciju koju smo koristili u predhodnim izvoenjima a sada smo je eksplicitno

pokazali:B∼

= B∼

LBf∼

; Bf∼

= B−1L∼

B∼

Primjer 5: Data je matrica B∼

. Odrediti matricu Q∼

.

Q∼

=

[QT∼

| QL∼

]; B

∼

=

[BT∼

| BL∼

]

Q∼

Bt

∼

= 0∼

[QT∼

| QL∼

]⎡⎢⎣ BtT∼

BtL∼

⎤⎥⎦ = 0

∼

QT∼

BtT∼

+QL∼

BtL∼

= 0∼

QL∼

BtL∼

= −QT∼

BtT∼

/

(BtL∼

)−1

QL∼

= −QT∼

BtT∼

(BtL∼

)−1

= −QT∼

BtT∼

(B−1L∼

)t

= −QT∼

(B−1L∼

BT∼

)t

Q∼

=

[QT∼

| QL∼

]=

[QT∼

| QT∼

(B−1L∼

BT∼

)t]= QT

∼

[1nn∼

| −

(B−1L∼

BT∼

)t]

︸︷︷︸Qf∼

Dobili smo vaznu relaciju koju smo koristili u predhodnim relacijama a sada smo je eksplicitno

61

dokazali:Q∼

= Q∼

TQf∼

; Qf∼

= Q−1T∼

Q∼

Primjer 6: Data je matrica nezavisnih cvorova A∼

. Odrediti matricu nezavisnih kontura

B∼

.

A∼

=

[AT∼

| AL∼

]; B

∼

=

[BT∼

| BL∼

]

B∼

At

∼

= 0∼

[BT∼

| BL∼

]⎡⎢⎣ AtT∼

AtL∼

⎤⎥⎦ = 0

∼

BT∼

AtT∼

+BL∼

AtL∼

= 0∼

BT∼

AtT∼

= −BL∼

AtL∼

/

(AtT∼

)−1

BT∼

= −BL∼

AtL∼

(AtT∼

)−1

= −BL∼

AtL∼

(A−1T∼

)t

= −BL∼

(A−1T∼

AL∼

)t

B∼

=

[BT∼

| BL∼

]=

[−BL

∼

(A−1T∼

AL∼

)t

| BL∼

]= BL

∼

[−

(A−1T∼

AL∼

)t

| 1mm∼

]︸︷︷︸

Bf∼

Bf∼

=

[−

(A−1T∼

AL∼

)t

| 1mm∼

]

Primjer 7: Data je matrica nezavisnih cvorova A∼

. Odrediti matrice osnovnih Qf∼

i neza-

visnih presjeka Q∼

.

Qf∼

Bf∼

= 0∼

Matricu Bf∼

smo u predhodnom primjeru izrazili preko matrice A∼

:

Bf∼

=

[−

(A−1T∼

AL∼

)t

| 1mm∼

]

62

[1nn∼

| QfL∼

]⎡⎢⎣ −A−1T∼

AL∼

1mm∼

⎤⎥⎦ = 0

∼

−A−1T∼

AL∼

+QfL∼

= 0∼

QfL∼

= A−1T∼

AL∼

Qf∼

=

[1nn∼

| QfL∼

]=

[1nn∼

| A−1T∼

AL∼

]

A∼

=

[AT∼

| AL∼

]= AT

∼

[1nn∼

| A−1T∼

AL∼

]︸︷︷︸

Qf∼

A∼

= AT∼

Qf∼

; Qf∼

= A−1T∼

A∼

Q∼

= QT∼

Qf∼

= QT∼

A−1T∼

AL∼

= T∼

A∼

2.5 Kirhofovi zakoni i nezavisne promjenljive elektricnog

kola

Pojmovi razvijeni u predhodnim izlaganjima omogucavaju nove, potpune, stroge i vrlo oper-

ativne formulacije kirhofovih zakona. Ako se svakom elementu kola (grani grafa elektricnog

kola) pridruze dvije promjenljive, napon i struja, onda za b− elemenata (grana) imamo matrice

kolone:

u∼

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

u1

u2...

ub

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ; i

∼

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

i1

i2...

ib

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Koristeci topološke matrice, Kirhofovi zakoni se mogu napisati u vrlo kompaktnom i jednos-

tavnom obliku. KZS (Kirhofov zakon za struje):

Qa

∼

i∼

= 0∼

Aa

∼

i∼

= 0∼

63

Algebarska suma struja svakog presjeka (snopa) ili cvora jednaka je nuli za sve vremenske

varijacije struja i za svaki trenutak vremena t. KZN (Kirhofov zakon za napone):

Ba

∼

u∼

= 0∼

Osobine topoloških matrica grafa elektricnog kola omogucavaju nam da pišemo Kirhofove

zakone u obliku minimalnog broja nezavisnih jednacina.

Teorema 8: Broj nezavisnih jednacina po KZS je n = c − 1 = ρ (G), a broj nezavisnih

jednacina po KZN je m = b− n = b− c+ 1 = η (G) .

Dokaz: Neposredna je posledica teorema o rangovima odgovarajucih matrica, buduci da

rang matrica Qa

∼

(Aa

∼

) odreuje broj nezavisnih jednacina po KZS, a rang matrice Ba

∼

broj

nezavisnih jednacina za KZN. Ova teorema nam daje pravo da mozemo pisati za KZS:

Q∼

i∼

= 0∼

ili A∼

i∼

= 0∼

gdje imamo n− nezavisnih jednacina. Za KZN mozemo pisati:

B∼

u∼

= 0∼

gdje imamo m− nezavisnih jednacina. Ove jednacine nam kazuju da je dovoljno da Kirhofovi

zakoni budu zadovoljeni za samo n nezavisnih presjeka - snopova (cvorova) i za samo m

nezavisnih kontura da bi ovi zakoni bili zadovoljeni za sve presjeke - snopove (cvorove) odnosno

za sve konture.

Buduci da b struja i∼

(rješenje ovog sistema) zadovoljava n nezavisnih jednacina, to se struje

i∼

mogu izraziti u funkciji samo m = b − n struja. Ovih m struja koje odreuju sve struje

u mrezi nazivaju se nezavisnim strujama. Isto tako, buduci da b napona u∼

zadovoljava

m− nezavisnih jednacina to se naponi u∼

mogu izraziti u funkciji samo n = b − m napona.

Ovih n - napona koji odreuju sve napone kola nazivaju se nezavisnim naponima. Prema

tome, odreivanje svih struja i svih napona elemenata kola moze se svesti u krajnjoj liniji na

odreivanje samo nezavisnih struja ili na odreivanje samo nezavisnih napona.

Teorema 9: Struje spojnica i naponi grana stabla su nezavisne velicine.

Dokaz:

64

Q∼

i∼

= 0∼

Q∼

=

[QT

∼

| QL

∼

]; i∼

=

⎡⎢⎣ iT

∼

iL∼

⎤⎥⎦

[QT

∼

| QL

∼

]⎡⎢⎣ iT∼

iL∼

⎤⎥⎦ = 0

∼

QT

∼

iT∼

+QL

∼

iL∼

= 0∼

QT

∼

iT∼

= −QL

∼

iL∼

/

(Q−1T

∼

)iT∼

= −Q−1T

∼

QL

∼

iL∼

i∼

=

⎡⎢⎣ iT

∼

iL∼

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣ −Q−1

T

∼

QL

∼

iL∼

iL∼

⎤⎥⎦

i∼

=

⎡⎢⎣ −Q−1

T

∼

QL

∼

1mm∼

⎤⎥⎦

︸︷︷︸Btf∼

iL∼

⇒ i∼

= Btf∼

iL∼

B∼

u∼

= 0∼

B∼

=

[BT∼

| BL∼

]; u∼

=

⎡⎢⎣ uT

∼

uL∼

⎤⎥⎦

[BT∼

| BL∼

]⎡⎢⎣ uT∼

uL∼

⎤⎥⎦ = 0

∼

BT∼

uT∼

+BL∼

uL∼

= 0∼

BL∼

uL∼

= −BT∼

uT∼

/

(B−1L∼

)uL∼

= −B−1L∼

BT∼

uT∼

u∼

=

⎡⎢⎣ uT

∼

uL∼

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣ uT

∼

−B−1L∼

BT∼

uT∼

⎤⎥⎦

u∼

=

⎡⎢⎣ 1nn

∼

−B−1L∼

BT∼

⎤⎥⎦

︸︷︷︸Qt

f∼

uT∼

⇒ u∼

= Qtf∼

uT∼

Struje spojnica iL∼

i naponi grana stabla uT∼

su samo jedan od mogucih skupova nezavisnih

struja i nezavisnih napona kola. Naredne dvije teoreme obrazlazu uvoenje drugih skupova

nezavisnih napona i nezavisnih struja kola.

Teorema 10. KZS ekvivalentan je relaciji:

i∼

= B∼

tj∼

gdje je j∼

proizvoljan sistem nezavisnih struja oblika:

j∼

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

j1

j2...

jm

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Dokaz:

Q∼

i∼

= 0∼

65

Q∼

Bt

∼︸︷︷︸0∼

j∼

≡ 0∼

Teorema 11: KZN ekvivalentan je relaciji:

u∼

= Q∼

tv∼

ili u∼

= A∼

tv∼

gdje je v∼

proizvoljan sistem nezavisnih napona oblika:

v∼

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

v1

v2...

vn

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Dokaz:

B∼

u∼

= 0∼

B∼

Q∼

t

︸︷︷︸0∼

v∼

≡ 0∼

Teorema 12: TELLEGENOVA TEOREMA

Naponi i struje elemenata zadovoljavaju Kirchhoffove zakone bez obzira na fizicku

prirodu elemenata. Ovi zakoni iskljucivo zavise od nacina meusobnog vezivanja elemenata u

mrezi, koji je sa svoje strane opisan grafom mreze. Pored Kirchhoffovih zakona, naponi i struje

elemenata zadovoljavaju još jednu interesantnu relaciju koja takoe zavisi iskljucivo od grafa

mreze, odnosno posledica je Kirchhoffovih zakona. Teorema 12 (B. D. H. T) glasi:

Za jednu proizvoljnu mrezu naponi uk i struje ik pristupa elemenata zadovoljavaju relaciju:

b∑k=1

ukik = 0

Dokaz: Lijeva strana se moze napisati u obliku:

p =b∑

k=1

ukik =[u1 u2 · · · ub

]⎡⎢⎢⎢⎢⎣

i1

i2...

ib

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ = ut

∼

i∼

66

u∼

= Qt

∼

v∼

; i∼

= Bt

∼

j∼(

Qt

∼

v∼

)t(Bt

∼

j∼

)= v∼

t

(Q∼

Bt

∼

)j∼

≡ 0

Ova teorema izrazava cinjenicu da je ukupna trenutna snaga mreze jednaka nuli, odnosno

da se ukupna trenutna snaga mreze odrzava. Ovo je jedna od rijetkih opštih teorema koje

vaze za sve mreze. Danas ona nalazi mnogobrojne primjene. Posebno je interesantna njena

primjena na odreivanje osjetljivosti kola u odnosu na promjenu parametara elemenata kola.

Vazno je podvuci da su u pokazivanju teoreme korišceni samo Kirchhoffovi zakoni. Stoga

je ona posledica zadovoljavanja tih zakona. Samim tim ona vazi za mreze obrazovane od

bilo koje vrste elemenata, linearnih, nelinearnih, stacionarnih ili nestacionarnih i za sve vrste

rezima u kolu.Stoga ona ima fundamentalni karakter, ima snagu postulata i moze zamijeniti

jedan od Kirchhoffovih zakona.

Primjer 8: Polazeci od KZS i Tellegenove teoreme izvesti KZN.

Q∼

i∼

= 0∼

odnosno i∼

= Bt

∼

j∼

ut

∼

i∼

= ut

∼

Bt

∼

j∼

=(B∼

u∼

)t

j∼

= 0∼

Iz predhodne relacije slijedi da je:

B∼

u∼

= 0∼

Primjer 9: Polazeci od KZN i Tellegenove teoreme izvesti KZS.

B∼

u∼

= 0∼

odnosno u∼

= Qt

∼

v∼

ut

∼

i∼

=

(Qt

∼

v∼

)t

i∼

= v∼

t

(Q∼

i∼

)= 0∼

Iz predhodne relacije slijedi da je:

Q∼

i∼

= 0∼

2.6 Karakteristike elemenata

Do sada smo razmatrali samo pitanja koja se odnose na meusobno vezivanje elemenata u

mrezu. Ova pitanja smo mogli da rješavamo potpunoi nezavisno od fizicke prirode elemenata

mreze buduci da Kirhofovi zakoni i Telegenova teorema ne zavise od njihovih karakteristika.

Tako smo ustanovili neke topološke osobine mreze vezane za formulaciju Kirhofovih zakona

i pisanje nezavisnih jednacina po Kirhofovim zakonima, koristeci pri tome samo graf mreze

67

i njegove topološke matrice. Utvrdili smo minimalni broj nezavisnih jednacina koje daju

Kirhofovi zakoni, nezavisne promjenljive mreze kao i neke “koordinate sistema” mreze tj.

nezavisne presjeke i nezavisne konture u kojima su jednacine po ovim zakonima nezavisne.

Za elektricno kolo sa b - grana imamo 2b - promjenljivih: b - struja i b - napona. Kirhofovi

zakoni na osnovu topološke informacije gtafa kola daju b - nezavisnih jednacina. Da bi smo

mogli formulaisati potpuni sistem jednacina mreze, potrebno je Kirhofovim zakonima pridodati

karakteristike elemenata. Svaki element je karakterisan nekom relacijom izmeu napona i

struje koja se naziva karakteristika elementa. Elektricna mreza se sastoji od nekoliko vrsta

elemenata koji su na pogodan nacin meusobno povezani preko svojih krajeva. U vecini

slucajeva krajevi elemenata se grupišu u parovima koji se zovu i pristupi elemenata. Svakom

paru krajeva se pridruzuju dvije promjenljive: napon i struja. Naponi i struje su funkcije

vremena t i orjentisane su velicine. Za isticanje orjentacije, svaki par krajeva se predstavlja

jednim orjentisanim linijskim segmentom.

Odreenu kombinaciju elemenata nazivamo standardnim elementima mreze. Elementi su

modeli pojedinacnih djelova na koji se posmatrani fizicki sistem moze rastaviti. Za oblik

eksitacije uzecemo uopšteni eksponencijalni oblik koji obuhvata sve glavne oblike eksitacije u

elektricnim mrezama:

u(t) = Uest

i(t) = Iest

gdje je s - kompleksna velicina i ima prirodu ucestanosti. Imamo cetiri vrste standardnih

elemenata sa jednim pristupom i to:

I. Element prikazan na slici 2.50. cija je karakteristika:

U = Z(s)I

I = Y (s)U

( )I s

[ ]( ) ( )Z s Y s( )U s ( )I s ( )U s

Slika 2.50:

68

II. Element prikazan na slici 2.51. cija je karakteristika:

U(s) + Ug(s) = Z(s)I(s)

( )U s

( )I s

( )I s ( )U s

( )Z s

( )gU s

Slika 2.51:

III. Element prikazan na slici 2.52. cija je karakteristika:

I(s) + Ig(s) = Y (s)U(s)

( )U s ( )I s ( )U s( )Y s( )gI s

Slika 2.52:

IV. Element koji nazivamo generalisana grana koji je prikazan na slici 2.53. a cija je

karakteristika:

U(s) + Ug(s) = Z(s)

(I(s) + I

g(s)

)I(s) + I

g(s) = Y (s)

(U(s) + U

g(s)

)Predhodna tri oblika su specijalni slucaj generalisanog elementa (grane). Ako u mrezi

ima ukupno b - generalisanih elemenata (grana) tada se njihove karakteristike mogu pisati u

matricnom obliku:

U∼

+ Ug

∼

= Z∼

(I∼

+ Ig∼

)

69

( )gI s

( )gU s ( )Z s( )I s

( )U s

( )U s

( )I s

Slika 2.53:

I∼

+ Ig∼

= Y∼

(U∼

+ Ug

∼

)Predhodne relacije predstavljaju matricni oblik karakteristika elemenata generalisane grane

ili Omov zakon u matricnom obliku gdje su: U∼

, Ug

∼

, I∼

, i Ig∼

matrice kolone (b × 1) napona i

struja nezavisnih generatora i napona i struja grana; Z∼

i Y∼

su kvadratne dijagonalne matrice

razmjere (b × b) impedansi i admitansi grana. Za slucaj kola bez induktivne sprege imamo

da je[Z∼

= Y∼

−1; Y∼

= Z∼

−1

]. Ako postoji induktivna sprega izmeu pojedinih grana tada ce

postojati elementi i van glavne dijagonale. Formulisanje jednacina elektricne mreze karakteris-

tike elemenata zajedno sa Kirchhoff-ovim zakonima obrazuju jedan potpun sistem nezavisnih

jednacina, cijim se rješavanjem uz date pocetne uslove. Uslove odreuju naponi U∼

i struje

I∼

svih elemenata. Polazne jednacine su:

Q∼

I∼

= 0∼

n− nezavisnih jednacina (2.7)

A∼

I∼

= 0∼

n− nezavisnih jednacina (2.8)

B∼

U∼

= 0∼

m− nezavisnih jednacina (2.9)

U∼

+ Ug

∼

= Z∼

(I∼

+ Ig∼

)b− nezavisnih jednacina (2.10)

I∼

+ Ig∼

= Y∼

(U∼

+ Ug

∼

)b− nezavisnih jednacina (2.11)

Dakle, imamo na raspolaganju sistem od ukupno n+m+ b = 2b nezavisnih jednacina za isto

toliko napona i struja.

EKSITACIJE U ELEKTRICNIM

KOLIMA

Eksitacije (pobude) u elektricnim kolima date su naponima i strujama nezavisnih generatora.

U intervalu vremena dok djeluju u kolu, eksitacije se mogu mijenjati sa vremenom na razlicite

nacine. Upoznacemo se sa osnovnim vremenskim oblicima eksitacija, uz napomenu da se

pomocu ovih elementarnih funkcija, mogu aproksimirati i druge slozene funkcije.

3.1 Osnovni vremenski oblici eksitacija

3.1.1 Hevisajdova funkcija (Heviside function)

Ova funkcija se još naziva i jedinicna funkcija, odskocna funkcija, step funkcija a prikazana je

na slici 3.54. Oznacavacemo je sa h(t). Hevisajd je definisao kao:

h (t) =

0, t < 0

1, t > 0

(3.12)

1

( )h t

t

Slika 3.54: Hevisajdova funkcija h(t)

Ova funkcija nam omogucava da preko nje izrazimo druge funkcije sa jedinstvenim anali-

tickim izrazom a sa druge strane ona modeluje idealni prekidac. Do sada, kao prekidac smo

imali kondezator. Posmatrajmo kolo na slici 3.55. U trenutku t = 0 ukljucimo DC struju

(napon). Poslije nekog vremenskog intervala napon na kondezatoru ce biti jednak E.

70

71

E

C

0t =

Slika 3.55: Ukljucivanje eksitacije u trenutku t = 0

Znaci treba definisati trenutak t = 0 analiticki. Definiciju ne bi mogli uraditi bez Hevisaj-

dove funkcije. Njenim korišcenjem imamo:

e (t) =

0, t < 0

E, t > 0

(3.13)

tj. analiticki (jedinstven) izraz bi bio:

e (t) = Eh (t) (3.14)

gdje je e(t) - napon na kondezatoru. U opštem slucaju funkcijef(t) imamo:

f(t)h (t) =

0, t < 0

f(t), t > 0

(3.15)

Definišimo i pomjerenu Hevisajdovu funkciju kao:

h (t− T ) =

0, t < T

1, t > T

(3.16)

1

( )h t T−

T t

Slika 3.56: Hevisajdova funkcija h(t− T )

72

U opštem slucaju funkcije f(t) imali bi:

f(t)h (t− T ) =

0, t < T

f(t), t > T

(3.17)

Funkcije h(−t) i h(T − t) imale bi grafik:

11

t tT

( )h T t−( )h t−

Slika 3.57: Hevisajdove funkcije h(−t) i h(T − t)

3.1.2 Funkcija sgnt

Finkcija sgnt ili funkcija znaka prikazana je na slici 3.58 a opisana je sa

sgnt =

−1, t < 0

1, t > 0

(3.18)

1

t

sgn t

1−

Slika 3.58: Funkcija znaka

U opštem slucaju funkcije f(t) imali bi:

f(t)sgn t =

−f(t), t < 0

f(t), t > 0

(3.19)

Veza izmeu Hevisajdove funkcije i funkcije znaka je:

h (t) =1

2+

1

2sgn t (3.20)

73

3.1.3 Funkcija pa(t)

Funkcija pa(t) se naziva pravougaoni (video) impuls

1

( )a

p t

ta− a

Slika 3.59: Pravougaoni impuls

pa(t) =

1

0

−a < t < a

|t| > a

(3.21)

3.1.4 Usponska funkcija r(at)

Usponska ili “rampa” funkcija je definisana kao:

r (at) =

0, t < 0

at, t > 0

(3.22)

t

1

1

( )r t

Slika 3.60: Jedinicna usponska funkcija

Usponska funkcija jedinicnog nagiba (a = 1) tzv. jedinicna usponska funkcija, prikazana je

na slici3.60. Na osnovu relacija (3.12) i (3.22) zakljucujemo da izmeu Hevisajdove i jedinicne

usponske funkcije postoji veza

r (t) =t∫−∞

h(τ)dτ = th (t) (3.23)

Hevisajdovu funkciju mozemo izraziti preko “rampa” funkcije kao:

h (t) =dr (t)

dt(3.24)

74

Pomjerena “rampa” funkcija za neko T prikazana je na slici 3.61.

tT

( )r t

45

Slika 3.61: Pomjerena “rampa” funkcija

a definisana je na sledeci nacin

r (t− T ) = (t− T )h (t− T ) (3.25)

3.1.5 Hevisajdov naponski i strujni generator

Napon nezavisnog generatora sa eksitacijom koja je oblika Hevisajdove funkcije naziva se

Hevisajdov naponski generator i predstavlja se sa

ug (t) = Uh (t) (3.26)

odnosno to je naponski generator konstantnog napona U koji ukljucujemo u trenutku t = 0

(slika 3.62). Ovaj naponski generator kao što vidimo proizvodi DC napon.

U

( )gu t

t

Slika 3.62: Hevisajdov naponski generator

Struja nezavisnog generatora sa eksitacijom koja je oblika Hevisajdove funkcije naziva se

Hevisajdov strujni generator i predstavlja se sa

ig (t) = Ih (t) (3.27)

75

I

( )gi t

t

Slika 3.63: Hevisajdov strujni generator

odnosno to je strujni generator konstantne struje I koji ukljucujemo u trenutku t = 0 (slika

3.63). Ovaj strujni generator proizvodi DC strujnu.

ModelH-ovog naponskog generatora i ekvivalentno kolo prikazani su na slici 3.64.

( )Uh t U Π

0t =

( )Uh t

( )a ( )b

Slika 3.64: (a) Hevisajdov naposki generator; (b) ekvivalentno kolo

Model H-ovog strujnog generatora i ekvivalentno kolo prikazani su na slici 3.65.

( )Ih t

( )Ih t

Π

0t =

( )Ih t

( )a ( )b

Slika 3.65: (a) Hevisajdov strujni generator; (b) ekvivalentno kolo

Ukljucivanje H-ovog naponskog generatora u t = 0 i ekvivalentno kolo prikazani

su na slici 3.66. Ukljucivanje H-ovog strujnog generatora u t = 0 i ekvivalentno kolo

prikazani su na slici 3.67.

76

U

Π

0t =

( )u t

ELEKTRIČNOKOLO

( ) 0

za 0

u t

t

⎡ = ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥<⎢ ⎥⎣ ⎦

( )Uh tELEKTRIČNO

KOLO

( )a ( )b

Slika 3.66: (a) Ukljucivanje naponskog generatora u trenutku t = 0; (b) ekvivalentno kolo

IΠ

0t =

ELEKTRIČNOKOLO

( ) 0

za 0

i t

t

⎡ = ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥<⎢ ⎥⎣ ⎦

( )Ih tELEKTRIČNO

KOLO

( )i t

( )a ( )b

Slika 3.67: (a) Ukljucivanje strujnog generatora u trenutku t = 0; (b) Ekvivalentno kolo

3.1.6 Predstavljanje nekih eksitacija Heaviside-ovom funkcijom

Ako bi imali napon oblika (ili struju):

U

( )gu t

tT

tada bi njegov jedinstveni analiticki izraz preko Hevisajdove fnukcije bio :

ug(t) = Uh(t− T ) ∀ t


77

U

( )gu t

t1T 2T


ug(t) = U [h(t− T1)− h(t− T2)] ∀ t


U

( )gu t

t

T 2T

U−


ug(t) = Uh(t)− 2Uh(t− T ) + Uh(t− 2T ) ∀ t


U

( )gu t

t

T 2T

U−


ug(t) = Uh(t)− 2Uh(t− T ) + 2Uh(t− 2T ) ∀ t


78

I

( )gi t

t

T 2T 3T

2

I−


ig(t) = Ih(t)− 3

2Ih(t− T ) +

1

2Ih(t− 3T ) ∀ t


U

( )gu t

tT 2T

2U


ug(t) = Uh(t) + Uh(t− T )− 2Uh(t− 2T ) ∀ t


I

( )gi t

tT


ig(t) =I

T[th(t)− (t− T )h(t− T )] ∀ t

ig(t) =I

T[r(t)− r(t− T )] ∀ t

79


U

( )gu t

t1T 2T


ug(t) =U

T1r(t)− U

T1r(t− T1)− Uh(t− T2) ∀ t


U

( )gu t

tT


ug(t) =U

Tr(t)− U

Tr(t− T )− Uh(t− T ) ∀ t


I

( )gi t

tT 2T

I−


ig(t) =I

T[r(t)− 2Th(t− T )− r(t− 2T )] ∀ t


80

I

( )gi t

tT


ig(t) = Ih(t)− I

Tth(t) +

I

T(t− T )h(t− T ) ∀ t

ig(t) = Ih(t)− I

Tr(t) +

I

Tr(t− T ) ∀ t


I

( )gi t

t

2

T T

I−


ig(t) = Ih(t)− 2I

Tr(t) +

2I

Tr(t− T ) ∀ t


U

( )gu t

t1T 2T


ug(t) = U

[h(t)− r (t− T1)

T2 − T1+

r (t− T2)

T2 − T1

]∀ t


81

I

( )gi t

tT 2T


ig(t) =I

Tth(t)− 2I

T(t− T )h(t− T ) +

I

T(t− 2T )h(t− 2T ) ∀ t

ig(t) =I

Tr(t)− 2I

Tr(t− T ) +

I

Tr(t− 2T ) ∀ t


1KT

( )gu t

t1T 2T 3 1 2T T T= +


ug(t) = K [th(t)− (t− T1)h(t− T1)− (t− T2)h(t− T2) + (t− T3)h(t− T3)] ∀ t

ug(t) = K [r(t)− r(t− T1)− r(t− T2) + r(t− T3)] ∀ t


( )e t

t

2

π

ω

2π

ω

0

mE

82


e(t) = (Em sinωt)h(t)−[Em cosω

(t− π

2ω

)]h(t− π

2ω

)∀ t

e(t) =

Em sinωt

0

0 ≤ t ≤ τ

t ≤ 0 i t > τ

e(t) = Em sinωt [h(t)− h(t− τ )]

sinωt = sin [ω (t− τ) + ωτ ] = cosωτ sinω(t− τ) + sinωτ cosω(t− τ)

pa je:

e(t) = Em sinωth(t)−Em cosωτ sinω(t−τ )h(t−τ )+Em sinωτ sin(ωt− π

2− τ

)h(t−τ) ∀ t

Ako se prostoperiodicna eksitacija e(t) = Em cos(ωt + θ) ukljucuje u trenutku t0 = 0 ona je

opisna izrazom:

e1(t) = Em cos(ωt+ θ)h(t)

a ako se ukljucuje u trenutku t0 = 0 ona je data sa:

e2(t) = Em cos [ω(t− t0) + θ] h(t− t0) = e1(t− t0)

3.2 Predstavljanje proizvoljne funkcije preko zbira Heaviside-

ove funkcije

Upošte, mozemo bilo kakvu funkciju izraziti preko Hevisajdove funkcije. Posmatrajmo proizvoiljnu

vremensku funkciju prikazanu na slici 3.68.

Funkcija koja je predstavljena stepenastom linijom moze se izraziti zbirom Heaviside-ovih

funkcija:

u(t) ≈ u(0)h(t) +τ=t−∆τ∑

τ=0

∆u(τ)h(t− τ −∆τ ) (3.28)

gdje je ∆u(τ) = u(τ+∆τ)−u(τ ). Zbir predstavljen relacijom (3.28) ce tacno predstavljati

funkciju u(t) kada ∆τ → 0 :

u(t) = lim∆τ→0

[u(0)h(t) +

τ=t−∆τ∑τ=0

∆u(τ )h(t− τ −∆τ )

]

U granicnom prelazu zbir prelazi u integral a priraštaj∆u(τ ) u diferencijal du(τ) = u′(τ)dτ

83

( )u t

tττ∆

( )u τ ( )u τ τ+ ∆

( ) ( ) ( )u u uτ τ τ τ∆ = + ∆ −

( ) ( )u h tτ τ τ∆ − −∆

(0) ( )u h t

(0)u

t

Slika 3.68: Proizvoljna vremenska funkcija

pa je:

u(t) = u0h(t) +

t∫0

u′(τ)h(t− τ )dτ (3.29)

Relacija (3.29) predstavlja Dijamelov (D H) superpozicioni integral. Da ova relacija

predstavlja identitet lako se uvia ako se uzme u obzir da je: h(t− τ ) = 1 za t− τ > 0, to jest

za 0 < τ < t.

3.3 Prostoperiodicna eksitacija

Prostoperiodicna eksutacija je eksitacija koja se moze predstaviti u obliku

ug(t) = Um cos(ωt+ θ) (3.30)

ili

ug(t) = Um sin(ωt + θ) (3.31)

Ako je poznata frekvencija ω, tada je napon ug(t) u potpunosti odreen sa amplitudom Um i

fazom θ. Ove velicine se mogu predstaviti u kompleksnom obliku kao

U = Umejθ (3.32)

84

Velicina U se naziva fazor ili kompleksna amplituda. Eksitaciju ug(t) = Um cos(ωt+θ)mozemo

sada zapisati u formi

ug(t) = ReUme

jθejωt= Um cos(ωt+ θ) (3.33)

Ova eksitacija je periodicna tj.

ug(t+ T ) = ug(t)

a perioda je jednaka

T =2π

ω; f =

1

T=

ω

2π; ω = 2πf

cos(ωt− π

2

)= sinωt

sin(ωt +

π

2

)= cosωt

Ovakva eksitacija naziva se neprigušena eksitacija (sinusoida).

3.3.1 Periodicna (slozenoperiodicna) funkcija

Funkcija koja se periodicno ponavlja sa periodom T ; e(t + nT ) = e(t) za n = 0, 1, 2, 3... ali

nije prostoperiodicna naziva se slozenoperiodicnom funkcijom.

3.4 Pseudoperiodicna eksitacija -prigušena periodicna

eksitacija

Eksitacija oblika:

u(t) = Umeαt cos(ωt+ θ) (3.34)

naziva se pseudoperiodicna ili prigušena eksitacija. Na slici 3.69. prikazana je ova eksitacija

za razlicite vrijednosti parametara σ i ω.

Ekscitaciju u obliku prigušene sinusoide je moguce zapisati i u formi

u(t) = ReUme

σt ej(ωt+θ)= Re

Ume

θt ej(σ+ωt)

(3.35)

Ako definišemo velicinu s = σ+jω koji nazivamo kompleksna ucestanost (ili generalisani broj)

zadnju relaciju mozemo zapisati kao

u(t) = ReUest

(3.36)

85

( )gu t

t

( )u t

t

( )u t

t

( )u t

t

( )u t

t

( )u t

t

( ) 0a σ <

( ) 0b σ >

( ) 0c σ =

( ) 0; 0e σ ω> =

( ) 0; 0d σ ω< =

( ) 0; 0f σ ω= =

Slika 3.69: Eksitacija u(t) = Umeαt cos(ωt+ θ) za razlicite vrijednosti σ i ω

86

gdje je: U = Umejθ fazor. Fazor U(s) koji odgovara naponu u(t) naziva se generalizovani

fazor, a s generalizovana frekvencija. Meutim, pošto je s kompleksan broj, cesto se

naziva i komplesna ucestanost sa komponentama σ = Re s Np

si ω = Im s rad

s. Ako se

funkcija moze zapisati u obliku

f(t) = K1es1t +K2e

s2t + · · ·+Knesnt (3.37)

gdje su Ki i si velicine nezavisne od vremena, onda je ona okarakterisana sa kompleksnim

ucestanostima. Na primjer, ako izraz

u(t) = Umeσt cos(ωt + θ) (3.38)

zapišemo u obliku

u(t) = Umeσt

(ej(ωt+θ) + e−j(ωt+θ)

2

)(3.39)

rezultira sa

u(t) = K1e(σ+jω)t +K2e

(σ−jω)t (3.40)

gdje jeK1 = Umejθ/2 iK2 = Ume

−jθ/2 = K∗

1 . Prema tome, velicina u(t) ima dvije kompleksne

ucestanosti: s1 = σ + jω i s2 = σ − jω = s∗1. Ako imamo kompleksni par polova, onda i

njihovi koeficijenti u razvoju su takoe kompleksno konjugovani. Na primjer, ako F (s) ima

pol s = α± jβ odgovarajuci razvoj je

F (s) =A

s− α− jβ+

B

s− α− jβ(3.41)

Tada je

A = (s− α− jβ)F (s)|s=α+jβ (3.42)

B = (s− α + jβ)F (s)|s=α−jβ (3.43)

Iz relacija (3.42) i (3.43) vidimo da je B = A∗. Inverzna transformacija je

f(t) = Ae(α+jβ)t + A∗e(α−jβ)t (3.44)

Prema tome

f(t) = 2ReAe(α+jβ)t

(3.45)

Ako je A = |A| ejθ onda je

f(t) = 2Re|A| eαtej(βt+θ) = 2 |A| eαt cos (βt+ θ) (3.46)

Primjer 1: Neka je u = 25e−t cos 2t V . Odrediti generalisani fazor i kompleksnu uces-

87

tanost.

Rešenje:

U = 25∠0

s = −1 + j2

Primjer 2: Ako je i = Imeσt cos(ωt + θ) , a napon je dat izrazom u = Ldi

dt+Ri dokazati

da je napon takoe oblika prigušene sinusoide i iste ucestanosti.

Rješenje: Definišimo napon u1 = Uest, tada je naš trazeni napon:

u = ReUest

Struja i1 = Iest pa slijedi da je i = Re Iest, pri cemu je fazor struje I = Imax∠0

. Kada se

ove relacije uvrste u relaciju u = Ldidt+ Ri dobija se:

Uest = LsIest +RIest

Diferenciranje u vremenskom domenu ekvivalentno je mnozenju sa s u kompleksnom domenu.

Sreivanjem prethodne relacije dobija se:

U = (R+ sL) I

Sa druge strane : U = |U |∠θ, odnosno:

U = Im

√(R+ σL)2 + ω2L2ej(arctan

ωL

R+σL+θ)

pa je naš trazeni napon:

u = ReUest

= Im

√(R + σL)2 + ω2L2eσt cos

(θ + arctan

ωL

R+ σL+ωt

)

Primjer 3: Ako je U= 6∠30 i s = −3 + j2 odrediti u(t) =?

Rješenje: u(t) = 6e−3t cos(25 + 30)

3.5 Impulsna funkcija i eksitacija (Dirakova funkcija)

Jedinicna Hevisajdova i jedinicna impulsna funkcija predstavljaju idealizacije koje nam omogucavaju

da priblizno matematicki opišemo neke vazne realne signale. Njihovo uvoenje je posledica

uvoenja idealnih naponskih i strujnih generatora, idealnih elemenata (R,L, C) a takoe i ide-

alnih prekidaca. Impulsnu funkciju uveo je P D i ona nosi njegovo ime a oznacava se sa

δ(t). Impulsnu Dirakovu funkciju definisacemo preko niza tzv. “udarnih” funkcija. Udarnim

88

funkcijama nazivamo one vremenske funkcije koje traju samo izvjesno vrijeme (veoma kratko)

ε (slika 3.70). Drugim rijecima, to su funkcije koje imaju vrijednost nula za svako t, sem u

konacnom intervalu širine ε. Integral

( )tεδ

tε

Slika 3.70: Vremenski oblik impulsa

J =

ε∫0

δε (t) dt (3.47)

naziva se jacinom udara udarne funkcije δε (t) i predstavlja površinu koju δε (t) zaklapa sa

vremenskom osom. Efekat udarne funkcije zavisi samo od integrala J a irelevantan je oblik te

funkcije u vremenskom inervalu. Ako je jacina udara jedinica i udarna funkcija je jedinicna.

Impulsna funkcija je idealizovamo priblizno predstavljanje impulsnog signala cije je trajanje

veoma malo u poreenju sa vremenskom konstantom kola pri cemu je oblik signala nebitan u

okviru tog intervala tj. bitna je samo njegova površina sa vremenskom osom. Dakle, impulsna

Dirakova funkcija bi imala zapis:

δ(t) = limε→0

δε (t)

odnosno

δ (t) =

⎧⎪⎨⎪⎩

0, t < 0

∞, t = 0

0, t > 0

⎫⎪⎬⎪⎭ (3.48)

ali tako da je:∞∫−∞

δ (t) dt = 1 (3.49)

Prema tome, površina odnosno jacina udara jednaka je jedinici. Zato se i zove jedinicna

impulsna funkcija. Graficki je predstavljamo kao na slici 3.71:

Pomjerena Dirakova funkcija bi imala grafik:

89

( )tδ

t

1

Slika 3.71: Dirakova funkcija

( )t Tδ −

tT

Slika 3.72: Pomjerena Dirakova funkcija

Za razliku od Hevisajdove funkcije (koja nema fizicku vrijednost) Dirakova funkcija ima

fizicku vrijednost s−1 . Ovo se zakljucuje posmatranjem relacije (3.49). Veza izmeu Hevisaj-

dove i Dirakove funcije je:

δ (t) =dh (t)

dt(3.50)

bez obzira što h(t) nije neprekidna ali ima skok. Integriranjem relacije (3.50) u intevalu

(−∞, t) dobijamo

h (t) =

t∫−∞

δ (τ ) dτ (3.51)

δ(t) = limε→0

h(t)− h(t− ε)

ε

3.6 Predstavljanje eksitacija impulsnom funkcijom

90

Impulsni naponski generator: ug(t) = Φδ(t).

( ) ( )gu t tδ= Φ

t tT

Φ Φ

( ) ( )gu t t Tδ= Φ −

Impulsni strujni generator: ig(t) = Qδ(t).

( ) ( )gi t Q tδ=

t tT

Q Q

( ) ( )gi t Q t Tδ= −

Eksitacija oblika: ig(t) = Q0δ(t) +Q1δ(t− t1) +Q2δ(t− t2).

( ) ( )gi t Q tδ=

t

0Q

1Q

2Q

U elektrotehnici smo ovu funkciju morali uvesti iz razloga rješavanja cak i elementarnih

problema. Na primjer, posmatrajmo kolo kao na slici 3.73:

( )gu t C

( )i t

0t =

Slika 3.73: Kondenzator pri djelovanju Hevisajdovog naponskog generatora

U trenutku t = 0 je

ug (t) = Uh (t) (3.52)

91

Treba odrediti i(t) =? u t = 0. Po definiciji:

i (t) = Cdug (t)

dt= C

d

dt[Uh (t)] = CU

dh (t)

dt= CUδ(t) (3.53)

Relacija (3.53) pokazuje da se struja trenutno uspostavlja a njena udarna vrijednost je CUδ(t)

(znaci u t = 0 kondezator prestavlja kratak spoj a u stacionarnom stanju je prekid). Ovo

vazi samo za idealni kondezator C. Takoe, drugi elementarni problem bi bio idealni kalem.

Posmatrajmo kolo prikazano na slici 3.74:

( )gi t L( )u t0t =

Slika 3.74: Kalem pri djelovanju Hevisajdovog strujnog generatora

U trenutku t = 0 je

ig (t) = Ih (t) (3.54)

U trenutku t = 0 otvorimo prekidac i trazimo vrijednost napona. Po definiciji je

u = Ldi

dt= L

d

dt[Ih (t)] = LIδ (t) (3.55)

Proizvod LI je udarna vrijednost fluksa. Pomocu funkcije δ (t) mozemo opisati idealne impul-

sne strujne i naponske generatore:

ig(t) = Qδ (t) (3.56)

gdje je Q - kolicina elektriciteta.

ug(t) = Φδ (t) (3.57)

gdje je Φ - fluks.

3.7 Impulsne funkcije višeg reda

Ako impulsna funkcija djeluje u kolima sa dinamickim elementima, mogu se pojaviti i njeni

izvodi po vremenu - funkcije koje se nazivaju i impulsnim funkcijama višeg reda.

δ(n)(t) =d(n)δ(t)

dtn

92

Prvi izvod Dirakove funkcije naziva se i impulsnim dubletom (jer se javljaju dva impulsa -

pozitivan i negativan), drugi izvod Dirakove funkcije je impulsni triplet itd.

3.8 Svojstvo odabiranja impulsne funkcije

Ovo svojstvo je, mozda najznacajnije za impulsnu funkciju, a koristi se u raznim digitalnim

kolima, posebno za digitalni prenos informacija. Posmatrajmo proizvod proizvoljne neprekidne

i ogranicene funkcije f(t) i Dirakove funkcije

+∞∫−∞

f (t) δ (t) dt = f (0) (3.58)

+∞∫−∞

f (t) δ (t− T ) dt = f (T ) (3.59)

Za δ (t− 0) imamo vrijednost f (t) u okolini koordinatnog pocetka f (0) i to je konstanta

f (0)

∞∫−∞

δ (t) dt = f (0) 1 = f (0) (3.60)

Znaci, formiranjem proizvoda date funkcije f(t) i Dirakove funkcije postavljene u zeljeni trenu-

tak t0 i integriranjem tog proizvoda, dobija se samo uzorak funkcije f(t0), tj. odabrali smo

vrijednost u zeljenom trenutku. Ako u trenutku t = T funkcija f(t) ima prekid prve vrste

odnosno ima skok od vrijednosti f(T−) na vrijednost f(T+) integral dat relacijom (3.59) je

jednak:∞∫−∞

f(t)δ(t− T )dt =1

2

[f(T−) + f(T+)

]= f(T ) (3.61)

3.9 Osobine Dirac-ove impulsne funkcije

1.

δ(at) =1

|a|δ(t)

93

Dokaz: Koristeci vec navedene osobine:

∞∫−∞

δ(t)dt = 1

∞∫−∞

ϕ(t)δ(t)dt = ϕ(0)

i uvodeci smjenu x = at dobijamo:

∞∫−∞

ϕ(t)δ(at)dt =1

|a|

∞∫−∞

ϕ(xa

)δ(x)dx =

ϕ(0)

|a| =1

|a|

∞∫−∞

ϕ(t)δ(t)dt =1

|a|δ(t)

Posledica: Posledice ove osobine je zakljucak da je Dirack-ova funkcija parna: ako je

a = −1 dobijamo δ(−t) = 1|−1|

δ(t) = δ(t).

2.∞∫−∞

ϕ(τ)δ(t− τ )dt =

∞∫−∞

ϕ(τ )δ(τ − t)dt = ϕ(t)

Dokaz: Uvodeci smjenu τ − t = x dobijamo:

∞∫−∞

ϕ(τ)δ(t− τ )dt =

∞∫−∞

ϕ(t+ x)δ(x)dx = ϕ(t)

Posledica:

ϕ(t) ∗ δ(t) = ϕ(t)

ϕ(t) ∗ δ(t− a) = ϕ(t− a)

3.∞∫−∞

ϕ(τ )δ(n)(τ )dτ = (−1)nϕn(0) (3.62)

Dokaz: Diferencirajuci izraz:

ϕ(t) =

∞∫−∞

ϕ(τ)δ(τ − t)dt

n - puta dobijamo:

(−1)n∞∫−∞

ϕ(τ)δ(n)(τ − t)dτ = ϕn(t) (3.63)

94

Uvrštavajuci vrijednost t = 0 u relaciju (3.63) dobijamo relaciju (3.62).

4. Ako je g(t) neprekidna funkcija za t = a onda vazi:

g(t)δ(t− a) = g(a)δ(t− a)

Dokaz:∞∫−∞

ϕ(t)g(t)δ(t− a)dt = ϕ(a)g(a)

∞∫−∞

ϕ(t)g(a)δ(t− a)dt = ϕ(a)g(a)

5.dh(t)

dt= δ(t)

Dokaz:

∞∫−∞

ϕ(t)dh(t)

dtdt = ϕ(t)h(t)|∞−∞ −

∞∫−∞

h(t)ϕ′(t)dt = ϕ(∞)−∞∫0

ϕ′(t)dt =

= ϕ(∞)− [ϕ(∞)− ϕ(0)] = ϕ(0)

6.

f(t)δ(n)(t) =n∑

k=0

(−a)k

(n

k

)f (k)(0)δ(n−k)(t)

f(t)δ′(t) = f(0)δ′(t)− f ′(0)δ(t)

7.

∞∫−∞

δ′(t)dt = 0

δ′(−t) = −δ′(t)

tδ′(t) = −δ(t)

t2δ′(t) = 0

δ

(t− t0a

)= |a| δ(t− t0)

∞∫−∞

ϕ(t)δ(n)(t)dt = −(1)nϕ(n)(0)

95

3.9.1 Aproksimacije Dirac-ove impulsne funkcije

1.

δ(t) = limc→0

1

c√πe−

t2

c2

2.

δ(t) = limc→0

sin(t

c

)πt

; δ(t) = lima→∞

sin at

πt

3.

δ(t) = limc→0

1

c√jπ

ejt2

c2

4.

δ(t) =1

2π

∞∫−∞

ejωtdω

5.

δ(t) = limλ→0

f(t, λ) =λ

π(1 + λ2t2)

6.

δ(t) = limε→0

h(t)− h(t− ε)

ε

7.

δ(t) = limε→0

1

εe−

t

εh(t)

8.

δ(t) = limε→0

1

2εe−

|t|ε

9.

δ(t) = limε→0

1

π

ε

ε2 + t2

3.9.2 Heaviside-ova funkcija

1.

h(t) = limλ→0

f(t, λ) =1

2+

1

πarctanλt

2. h(t) = limλ→0

f(t, λ) = 1

1+e−λt

INDUKTIVNO SPREGNUTA KOLA

Spregnuta kola su kola izmeu kojih je moguca razmjena energije putem polja. Ako je ta

sprega ostvarena preko magnetnog polja u pitanju su induktivno spregnuta kola. Ako je

sprega ostvarena provodnikom tada su to galvanski spregnuta kola.

4.1 Izvoenje jednacina linearnog transformatora razla-

ganjem fluksa na fluks rasipanja i ukupni meusobni

fluks

Šema linearnog transformatora je prikazana na slici 4.75. a njegove jednacine kada imamo

saglasne krajeve su:

a. za primar

R1i1 +d

dt(N1φ1r

) = u1 (4.64)

b. za sekundar

R2i2 +d

dt(N2φ2r) = −u2 (4.65)

1i 2i

1u 2u

1R 2R

1L 2L

12k

Slika 4.75: Linearni transformator

96

97

Clan d

dt(N1φ1r

) predstavlja varijaciju rezultujuceg fluksa primara, dok clan d

dt(N2φ2r

) pred-

stavlja varijaciju rezultujuceg fluksa sekundara. Ove jednacine napisane su na osnovu Farade-

jevog i Kirhofovih zakona. Ukupni rezultujuci fluks razlazemo na fluks rasipanja i ukupni

meusobni fluks.

φ1r = φ

11+ φM

φ2r

= φ22+ φ

M

φM = φ12+ φ

21

Ukupan meusobni fluks jednak je zbiru pojedinih meusobnih flukseva. Sada zamjenom u

jednacine linearnog transformatora dobijamo:

R1i1 +d

dt(N1φ11

) +d

dt(N1φM) = u1

R2i2 +d

dt(N2φ22

) +d

dt(N2φM) = −u2

Induktivnosti usled rasipanja su:

N1φ11= Lσ1

i1

i

N2φ22= Lσ2

i2

gdje su: Lσ1− induktivnost usled rasipanja od primara, Lσ2

− induktivnost usled rasipanja

od sekundara. Sada su jednacine linearnog transformatora:

R1i1 + Lσ1

di1dt

+N1

dφMdt

= u1

R2i2 + Lσ2

di2dt

+N2

dφM

dt= −u2

Ovo su jednacine linearnog transformatora za proizvoljne varijacije napona i struje i koje su

dobijene razlaganjem rezultujuceg fluksa na fluks rasipanja i ukupni meusobni fluks. Ako pos-

matramo prostoperidicne struje i napone i rezim rada transformatora u stacionarnom stanju,

tada koristeci simbolicki (kompleksni) metod i predstavnike mozemo preci na kompleksne jed-

nacine: u1 → U1, u2 → U2, i2 → I2, i2 → I2 i φM

→ ΦM, pa sada jednacine imaju

oblik

98

R1I1 + jωLσ1I1+ jωN1ΦM

= U1

R1I2 + jωLσ2I2+ jωN2ΦM

= −U2

Ako uvedemo impedansu usled rasipanja (Zσ) tada je:

Zσ1

= jωLσ1

Zσ2

= jωLσ2

i

UM1

= jωN1ΦM

UM2

= jωN2ΦM

jednacine dobijaju oblik:

R1I1 + Zσ1

+ UM1

= U1

(4.66)

R2I2 + Zσ2

+ UM2

= −U2

(4.67)

Ovaj tip jednacina linearnog transformatora našao je veoma veliku primjenu, narocito u oblasti

elektroenergetskih sistema (transformatora i mašina).

4.2 Savršeni transformator

Definicija: Linearni transformator bez gubitaka i bez rasipanja naziva se savršeni transforma-

tor. Bez gubitaka podrazumijeva da je bez elemenata gdje se troši aktivna snaga, dakle bez

termogenih otpornosti. (za posmatrani slucaj R1 = 0 i R2 = 0). Bez rasipanja Lσ1= 0 i

Lσ2= 0. Prevedimo ovo na koeficijente rasipanja

k1 = k2 = k = 1

Polazeci od jednacina linearnog transformatora u vremenskom domenu:

R1i1 +d

dt(N1φ1r

) = u1

99

R2i2 +d

dt(N2φ2r

) = −u2

Za opšti slucaj (i saglasni i nesaglasni krajevi) vazi da je ukupni meusobni fluks:

φM

= φ12± φ

21

pa je ukupan rezultujuci fluks primara jednak

φ1r

= φ11+ φ

M

a ukupan rezultujuci fluks sekunadara

φ2r

= φ22± φ

M

Imajuci ovo u vidu dobijamo:

R1i1 +d

dt(N1φ11

) +d

dt(N1φM) = u1

R2i2 +d

dt(N2φ22

)± d

dt(N2φM) = −u2

Uvodeci Lσ1i Lσ2

dobijamo sledece relacije:

R1i1 + Lσ1

di1dt

+N1

dφM

dt= u1 (4.68)

R2i2 + Lσ2

di2dt

±N2

dφMdt

= −u2 (4.69)

Za savršen transformator koji je prikazan na slici 4.76. vazi R1 = R2 = 0 i Lσ1= Lσ2

= 0 pa

su jednacine savršenog transformatora za proizvoljne vremenske varijacije i jednacine napona

i struje:

N1

dφM

dt= u1

±N2

dφM

dt= −u2

Za slucaj prostoperiodicnih struja i napona u ustaljenom rezimu rada mozemo preci na

kompleksne jednacine preko kompleksnih predstavnika:

jωN1ΦM= U

1

100

1I 2I

1U 2U1L 2L

1k =

Slika 4.76: Savršeni transformator - saglasni krajevi

±jωN2ΦM = −U2

Za slucaj saglasnih krajeva

ΦM

= Φ12+Φ

21(4.70)

Kako je fluks rasipanja primara i sekundara Φ11

= 0 i Φ22

= 0, slijedi da je

Φ1= Φ

11+Φ

12= Φ

12

Φ2= Φ

22+Φ

21= Φ

21,

te kada to uvrstimo u jednacinu (4.70) dobijamo:

ΦM

= Φ1+Φ

2

Jednacine savršenog transformatora sa saglasnim krajevima:

jωN1ΦM = U1

+jωN2ΦM = −U2,

pa je odnos napona

U1

U2

=−jωN1ΦMjωN2ΦM

= −N1

N2

= −m

gdje je m prenosni odnos (odnos broja navojaka primara i sekundara). Za slucaj saglasnih

krajeva savršenog transformatora vazi: U1

U2

= −m. Za slucaj nesaglasnih krajeva (slika 4.77.)

ΦM

= Φ12−Φ

21, a kako je fluks rasipanja Φ

11= 0 i Φ

22= 0, slijedi da je: Φ

M= Φ

1−Φ

2a

jednacine su oblika:

101

1L 2L

1k =2I1I

1U 2U

Slika 4.77: Savršeni transformator - nesaglasni krajevi

jωN1ΦM = U1

−jωN2ΦM = −U2

pa je za odnos napona za slucaj nesaglasnih krajeva savršenog transformatora:

U1

U2

= m

Veza izmeu sopstvenih i meusobnih induktivnosti data je jednacinama:

k1L1 = mL12

k2L2 =L12

m

Za savršen transformator vazi da je k1 = k2 = 1, pa su ove relacije:

L1 = mL12

L2 =L12

m

Dijeljenjem ovih dvaju relacija dobijamo:

mL12

1

mL12

=L1

L2

odnosno

L1

L2

= m2

m =

√L1

L2

Za savršen transformator postoji ova veza izmeu prenosnog odnosa m i induktivnosti L1 i

102

L2.

4.3 Prikaz linearnog transformatora preko savršenog trans-

formatora

Postavlja se pitanje kako linearni transformator prikazati preko savršenog. Da bi to uradili

prvo cemo izraziti sopstvenu induktivnost preko induktivnosti usled rasipanja i meusobne

induktivnosti. Polazeci od cinjenice da su fluksevi koje proizvodi ista struja u fazi, mozemo

preci sa trenutnih na efektivne vrijednosti.

Φ1 = Φ11 +Φ12 Φ2 = Φ22 + Φ21

Izrazavajuci flukseve preko struja i induktivnosti imamo:

L1I1N1

=Lσ1I1N1

+L12I1N2

(4.71)

L2I2N2

=Lσ2I2N2

+L21I2N1

(4.72)

Mnozenjem relacije (4.71) sa N1

I1i relacije (4.72) sa N2

I2dobijamo:

L1 = Lσ1 + L12

N1

N2

L2 = Lσ2 + L12

N2

N1

Uzimajuci u obzir da je N1

N2

= m dobijamo:

L1 = Lσ1 +mL12

L2 = Lσ2 +1

mL12

pa mozemo pisati:

L1 = Lσ1 + L′

1(4.73)

L2 = Lσ2 + L′

2(4.74)

gdje su L′

1= mL12 i L′

2= 1

mL12. Dakle polazeci od osnovne šeme linearnog transformatora za

slucaj saglasnih krajeva koji je prikazan na slici 4.78. mozemo preci na šemu koja je prikazana

103

na slici 4.79. Odavde je:

k′ =L′

12√L′

1L′

2

odnosno

L′

12= k′

√L′

1L′

2= 1

√mL12

1

mL12 = L12

dakle dobijamo da je:

L′

12= L12

1R 2R

1L 2L

12L 2I1I

1U 2U

Slika 4.78:

1R 2R

1L′2L′

12L ′1

Lσ 2

Lσ

12Φ

2I

2U

1I

1U

Slika 4.79:

Sa šeme na slici 4.78. sada mozemo preci na šemu koja je prikazana na slici 4.80.

1R 2R

1L′2L′

12L

1Lσ 2

Lσ

1k =

1I 2I

2U1U

Slika 4.80:

Ovo je prelazak sa linearnog na savršeni transformator. Fluks rasipanja se zatvara samo

104

kroz induktivnosti Lσ1i Lσ2

(to su fluksevi Φ11 i Φ22) jer je Lσ1− induktivnost usled rasipanja

primara a Lσ2− induktivnost usled rasipanja sekundara.

4.4 Idealni transformator

Do pojma idealni transformator doci cemo apstrakcijom i daljem analizom od linearnog trans-

formatora. Definicija: Idealan transformator je savršeni transformator u koga je rezultujuca

magnetno pobudna sila jednaka nuli. Pošto je transformator idealan to za prostoperidicne

struje i napone vazi:

U1

U2

= ±m (4.75)

Iz relacije (4.75) proizilazi da je odnos napona primara i sekundara fiksiran prenosnim odno-

som, bez obzira u kakvom je rezimu rada transformator, dok struje primara i sekundara zavise

od rezima rada i prikljucenih ureaja na primar i sekundar. Za prostoperiodicne struje i

napone za idealni transformator, po definiciji, magnetnopobudna sila je jednaka nuli:

ΘM = N1I1 ±N2I2 = 0

pa odavde vazi:

I1

I2

= ± 1

m.

Na osnovu predhodnog dolazimo do jednacina idealnog transformatora:

U1

U2

= ±m (4.76)

iI1

I2

= ± 1

m(4.77)

Zbog toga se u šemama idealni transformator predstavlja sa dva kalema. Za idealni transfor-

mator dovoljno je znati:

- prenosni odnos m

- oznake saglasnih krajeva

- referentne smjerove napona i struja

Za idealni transformator sa slike 4.81 je:

U1

U2

= −m

105

: 1m

2I1I

1U 2U

Slika 4.81: Idealni transformator (saglasni krajevi)

iI1

I2

= − 1

m

jer su krajevi saglasni. Drugi prototip idealnog transformatora prikazan je na slici 4.82. (ne-

saglasni krajevi):

: 1m

2I1I

1U 2U

Slika 4.82: Idealni transformator (nesaglasni krajevi)

U1

U2

= m

iI1

I2

=1

m

Za druge referentne smjerove napona i struja moramo se prilagoditi jednacinama (recimo za

druge smjerove napona ili struja moramo promijeniti znak). Razmotrimo slucaj prikazan na

slici 4.83.

: 1m

2I1I

1U 2U

Slika 4.83: Idealni transformator

106

Pošto su krajevi saglasni to jeU

1

U2

= −m

ali je U2 suprotno orjentisan pa jeU

1

−U2

= −m

Uvodeci idealni transformator mozemo ovu klasu induktivno spregnutih kola rješavati na preko

R, L, C, m elemenata.

4.4.1 Snage idealnog transformatora i posledice

1. Ako sa S1oznacimo kompleksnu snagu koju uzima idealni transformator, dobijamo:

S1= U

1I∗1= (+mU

2) (+I∗

2) = U

2I∗2= S

2

Kao posledica relacija idealnog transformatora, snaga koja ulazi u idealni transformator jed-

naka je snazi koju on predaje na izlazu. Kako je:

S1= P1 + jQ1

i

S2= P2 + jQ2

iz S1= S

2slijedi da je P1 = P2 i Q1 = Q2. Idealni transformator ne troši aktivnu ni reaktivnu

snagu pa je stoga idealan ureaj.

2. Ako definišemo ulaznu impedansu sa strane primara (slika 4.84.):

: 1m

2I1I

1U 2U

ulZ ′

2Z

Slika 4.84: Ulazna impedansa sa strane primara

Z ′

ul=

U1

I1

107

odnosno

Z ′

ul=

±mU2

± 1

mI2

= m2U

2

I2

a kako je U2= Z

2I2dobijamo:

Z ′

ul= m2Z

2.

Dakle što se tice ulazne impedanse sa strane primara , idealni transformator mozemo pred-

staviti šemom prostog kola kao što je prikazano na slici 4.85.Ovakvi ureaji koji zavise od

1I

1U

ulZ ′

2

2m Z

Slika 4.85:

impedanse na izlazu nazivaju se konvertori (konvertuju impedansu u impedansu. Iste vrste ali

razlicite vrijednosti, koja zavisi od stepena konverzije). Za slucaj kada je ulazna impedansa

sa strane sekundara (slika 4.86.):

: 1m

2I1I

1U 2U

ulZ ′′

1Z

Slika 4.86: Ulazna impedansa sa strane sekundara

−Z1I1+ U

1= 0

Z ′′

ul= −U

2

I2

= −± 1

mU

1

±mI1

= − 1

m2

U1

I1

odnosno:

Z ′′

ul=

1

m2Z

1

108

Dakle što se tice impedanse idealnog transformatora sa strane sekundara mozemo je zamijeniti

sa šemom prostog kola kao na slici 4.87. Idealni transformator nije fizicki elemenat nego model

2I

2U

ulZ ′′

12

1Z

m

Slika 4.87:

kojim se ilustruje neki realni fizicki proces. Ako bi postavili pitanje kolika je magnetna perme-

abilnost jezgra namotaja transformatora da bi on bio idealan, to jest da bi magnetnopobudna

sila bila jednaka nuli, po Kap-Hopkinsonovom zakonu, dobili bi: ΘM = RMΦM , gdje je RM

magnetni otpor. Za idealni transformator je ΘM = 0 i ΦM = 0 odakle slijedi:

ΦM =ΘMRM

=0

0⇒ RM = 0.

Sa druge strane: RM = lµs

= lµ0µrs, pa pošto ovo treba da bude jednako nuli, trebalo bi da

je µr= ∞, što nije moguce ostvariti u praksi. Imamo dobrih magnetnih modela sa veoma

velikim µr, ali ne i sa µ

r= ∞. Zbog toga je idealni transformator idealan (apstraktan) ureaj.

4.5 Ekvivalentne šeme linearnog preko idealnog trans-

formatora.

I nacin: Razlaganje struje primara na komponente.

Predpostavimo da struje I1 i I2 obrazuju sledeci fazorski dijagram prikazan na slici 4.88.:

2I

1I

1I ′

MI

MΦ

12Φ

21Φ

Slika 4.88: Fazorski dijagram struja I1i I

2

Ako su ovo fazori struja I1 i I2, tada su fluksevi Φ12 i Φ21

u fazi sa strujama, a fluks

ΦM

= Φ12+Φ

21. Struju primara razlazemo na:

109

a) I ′

1− komponentu u pravcu struje I2.

b) IM

− komponentu u pravcu vektora ΦM (ukupnog meusobnog fluksa). Prema tome

vazi da je:

I1= I ′

1+ I

M. (4.78)

Iz slicnosti trouglova meusobnih flukseva i trougla struja i komponenti struja imamo (po

intenzitetu):

I ′

1

I1=

Φ21

Φ12

=L21

I2

N1

L12I1

N2

=N2

N1

I2I1

=1

m

I2I1

jer je L12 = L21. Dakle, vidi se da je intenzitet struje I ′

1jednak

I ′

1=

1

mI2

Pošto je struja I ′

1istog pravca, ali suprotnog smjera u odnosu na struju I

2mozemo kompleksni

predstavnik struje I ′

1predstaviti:

I ′

1= − 1

mI2

(4.79)

Znak minus posledica je suprotnih smjerova struja I ′

1i I

2. Nadalje nam treba još pomocnih

relacija pa iz:

ΦM

= Φ12+ Φ

21=

L12I1N2

+L21I2N1

=L12

N2

(I1+

N2

N1

I2

)=

L12

N2

(I1+

1

mI2

)(4.80)

Uvrstimo 1

mI2= −I ′

1iz jednacine (4.79) i dobicemo:

ΦM

=L12

N2

(I1− I ′

1)

pa kada ovdje uvrstimo jednacinu (4.78) dobijamo:

ΦM

=L12

N2

IM

i konacno:

IM

=N2

L12

ΦM. (4.81)

Struje IM

i I ′

1su fiktivne struje (ne postoje u realnom procesu) i zato smo ih jednacinama

(4.79) i (4.81) izrazili preko realnih velicina I2i Φ

M. Sada mozemo izvesti ekvivalentnu šemu.

110

Polazimo od jednacina linearnog transformatora u kompleksnom domenu i proširujemo taj

sistem sa novodobijenim jednacinama:

R1I1 + jωLσ1I1 + jωN1ΦM = U1

(4.82)

R2I2 + jωLσ2I2 + jωN2ΦM = −U2

(4.83)

I1= I ′

1+ I

M(4.84)

Relacija (4.84) se moze shvatiti kao jednacina po Kirhofovom zakonu za struje za cvor u koji

se sticu tri struje.

UM1

−UM2

= −m (4.85)

I ′

1

I2

= − 1

m(4.86)

Relacije (4.85 ) i (4.86 ) predstavljaju jednacine idealnog transformatora koji na krajevima

ima napone UM1

i UM2

i struju primara i sekundara I ′

1i I

2.

IM

=N2ΦML12

(4.87)

Sistem jednacina (4.82), (4.83), (4.84), (4.85), (4.86) i (4.87) predstavlja jednacine lin-

earnog transformatora dobijene razlaganjem fluksa na fluks rasipanja i ukupni meusobni

fluks, proširen jednacinama dobijenim razlaganjem njegove struje primara na komponente

I ′

1i I

M. Pošto linearnom transformatoru, ovim jednacinama, nije nametnut ni jedan uslov

(naponi i struje na pristupima transformatora ostaju nepromijenjeni) zakljucujemo da ekviva-

lentna šema koja odgovara ovim jednacinama odgovara i linearnom transformatoru. Polazeci

od šeme linearnog transformatora koji je prikazan na slici 4.89. i datog sistema jednacina

mozemo doci do šeme kao na slici 4.90.:

2Z

1R 2R

1L 2L

12L 2I1I

1U 2U

Slika 4.89:

Postavlja se pitanje šta predstavlja impedansa ZM

na slici 4.90? Sa slike vidimo da je:

111

1R 2R1Lσ 2

Lσ

: 1m

1I 2I

2U1U1M

UMZ2M

U−2Z

Slika 4.90:

ZM

=UM1

IM

=jωN1ΦMN2ΦM

L12

=N1

N2

jωL12

dakle ZM

= jωmL12 je cista reaktansa (kalem). Ako bi sekundarni krajevi bili zatvoreni

impedansom Z2imali bi sledece: Na osnovu šeme na slici 4.90 vidimo da su sekundarni kra-

jevi idealnog transformatora zatvoreni impedansom: R2 + jωLσ2 + Z2(redna veza na sekun-

daru idealnog transformatora). Koristeci svojstvo idealnog transformatora da ako je sekundar

zatvoren nekom impedansom, tada je ulazna impedansa m2 puta veca od te impedanse, ovdje

cemo sve elemente sekundarne impedanse pomnoziti sa m2. Tada mozemo sa šeme na slici

4.90 preci na šemu prikazanu na slici 4.91.:

1R 1Lσ

1I

1U 1MU12mL

1U ′2

2m Z

MI

1I ′ 2

2m L

σ

2

2m R

Slika 4.91:

Dakle dobili smo šemu linearnog transformatora bez spregnutih elemenata. Napon U ′

1

odreujemo sa slike 4.91. jer je to sada neka nova vrijednost napona na impedansi m2Z2.

U ′

1= m2Z

2I ′

1(4.88)

Uvrstimo jednacinu (4.79) (I ′

1= − 1

mI2), u relaciju (4.88) pa dobijamo:

U ′

1= −mZ

2I2

(4.89)

Sa slike 4.90. vidimo da je U2= Z

2I2, pa kada to uvrstimo u relaciju (4.89) dobijamo:

112

U ′

1= −mU

2(4.90)

Na osnovu ovako dobijenog napona U ′

1mozemo ekvivalentnu šemu linearnog transforma-

tora prikazanu na slici 4.90. dalje uprostiti iskljucujuci napone UM1

i UM2

i to preko jednacina

napona U ′

1i struja, to jest:

U ′

1

U2

= −m (4.91)

I ′

1

I2

= − 1

m(4.92)

Ove jednacine predstavljaju jednacine idealnog transformatora koji na svojim krajevima

ima napone U ′

1i U

2i struje primara i sekundara I ′

1i I

2. Ovakav raspored elemenata

(impedansi) naziva se “T” šema (slika 4.92.).

1Lσ 2R 2

Lσ

12mL

Slika 4.92:

Šema linearnog transformatora prikazana na slici 4.89. zamijenjena je takozvanom “T”

šemom prikazanom na slici 4.91. bez spregnutih elemenata, koju je moguce prema potrebi

transformisati i/ili fizicki realizovati što se cesto i radi kada se transformator nalazi u sklopu

neke slozenije mreze. U šemi na slici 4.91. sve sekundarne velicine sa šeme na slici 4.89.

svedene su na primarnu stranu pa se nazivaju: m2R2 i m2Lσ2svedeni sekundarni parametri

na primarnu stranu, U ′

1− svedena vrijednost sekundarnog napona U

2na primarnu stranu,

I ′

1− svedena vrijednost sekundarne struje I

2na primarnu stranu. Pošto su svedene vrijednosti

sekundarnog napona i struje U ′

1i I ′

1povezane sa stvarnim vrijednostima ovih velicina U

2i I

2

preko jednacina idealnog transformatora izrazene relacijama (4.91) i (4.92) šema na slici 4.91.

se proširuje vezivanjem idealnog transformatora i to prema slici 4.93.

Impedansa na šemi za napon U ′

1je m2Z

2, što je ulazna impedansa primara idealnog trans-

formatora koji je na sekundaru zatvoren impedansom Z2. Cijeli proracun se odvija za šemu

na slici 4.91. to jest za primarne velicine i svedene vrijednosti sekundarnih velicina U ′

1i

I ′

1.Proširena šema na slici 4.93. koristi se samo na kraju da bi odredili stvarne vrijednosti

velicina U2i I

2. Dakle, polaznoj šemi linearnog transformatora koja je prikazana na slici 4.89.

odgovara kompletna šema prikazana na slici 4.93. koja je mnogo pogodnija za proracun U2i

113

1R 1Lσ

1I

1U 12mL1U ′

MI

2

2m L

σ

2

2m R

1U ′ 2Z

: 1m

1I ′2I

Slika 4.93:

I2preko šeme na slici 4.91. i jednacina idealnog transformatora (4.91) i (4.92) nego šeme na

slici 4.90.

II nacin: Razlaganje na komponente sekundarne struje

Analogan postupak kao i za I nacin. Neka struje I1 i I2 obrazuju sledeci fazorski dijagram

prikazan na slici 4.94.:

2I

1I

MI ′

MΦ

12Φ

21Φ

2I ′

Slika 4.94:

Struju I2razlazemo na komponente: I ′

M− u pravcu vektora ukupnog meusobnog fluksa

ΦM, I ′

2− u pravcu vektora struje I

1. Sa fazorskog dijagrama se vidi da je:

I2= I ′

2+ I ′

M

Struje I ′

Mi I ′

2su fiktivne struje ( ne postoje u stvarnosti) i treba ih izraziti preko realnih

vrijednosti (m, N1, L12, ΦM , I1). Iz slicnosti trouglova struja i trouglova flukseva imamo:

I ′

2

I2=

Φ12

Φ21

=L12I1

N2

L12I2

N1

=N1

N2

I1I2

= mI1I2

Po intenzitetu je I ′

2= mI1, a pošto je kao fazor suprotnog smjera od struje I

1to je:

I ′

2= −mI

1

Slicno je za flukseve:

114

ΦM

= Φ12+Φ

21=

L12I1N2

+L21I2N1

=L12

N1

(N1

N2

I1+ I

2

)=

L12

N1

(mI1+ I

2)

Ako sada uvrstimo jednacine I ′

2= −mI

1i I

2= I ′

2+ I ′

M, dobijamo:

ΦM

=L12

N1

I ′

M

odnosno:

I ′

M=

N1

L12

ΦM

Izrazili smo fiktivne vrijednosti struja I ′

Mi I ′

2preko realnih velicina. Sada cemo izvesti ekvi-

valentnu šemu linearnog transformatora, polazeci od jednacina u kompleksnom obliku.

R1I1 + jωLσ1I1 + jωN1ΦM = U1

(4.93)

R2I2 + jωLσ2I2 + jωN2ΦM = −U2

(4.94)

I2= I ′

2+ I ′

M(4.95)

Relaciju (4.95) mozemo shvatiti kao Kirhofov zakon za struje za cvor sa tri grane.

UM1

−UM2

= −m (4.96)

I1

I ′

2

= − 1

m(4.97)

Relacije (4.96) i (4.97) predstavljaju jednacine idealnog transformatora, koji na primaru i

sekundaru ima napone UM1

i UM2

i struje primara i sekunadara I1i I ′

2.

I ′

M=

N1

L12

ΦM

(4.98)

Nije nametnut nikakav novi uslov linearnom transformatoru (naponi i struje ostaju nepromi-

jenjeni na pristupima) pa je šema koja odgovara sistemu jednacina (4.93), (4.94), (4.95), (4.96),

(4.97), (4.98):

Ako pretpostavimo da su primarni krajevi zatvoreni impedansom Z1, pa je tada primar

idealnog transformatora prikljucen na impedansu:

R1 + jωLσ1 + Z1

Polazeci od svojstva idealnog transformatora da ako je primar zatvoren impedansom na sekun-

daru se moze zamijeniti sa 1

m2 puta manjom impedansom, to jest u našem slucaju sa impedan-

115

2R1R 2Lσ1

Lσ

: 1m

2I1I

1U 1U2M

U−MZ ′

1MU

1Z

2I ′

MI ′

Slika 4.95:

som:

R1

m2+

jωLσ1

m2+

Z1

m2

Sa šeme na slici 4.95. odredimo Z ′

M.

Z ′

M=

UM1

I ′

M

=jωN2ΦMN1ΦM

L12

= jN2

N1

ωL12 = jωL12

m

Z ′

M= jω

L12

m

dakle, to je kalem.Sa šeme na slici 4.96 odredimo U ′

2.

2R2Lσ

2I

2U2MU−

2U ′1

2

Z

m

MI ′

2I ′

1

2

L

m

σ1

2

R

m

12L

m

2I ′

Slika 4.96:

U ′

2= −Z

1

m2I ′

2= −Z

1

m2( −mI

1)

odnosno kako je I ′

2= −mI

1i U

1= −z

1I1dobijamo:

U ′

2=

1

mz1I1= −U

1

m

Velicine U ′

2i I ′

2su primarne velicine svedene na sekundarnu stranu i povezane sa stvarno

sekundarnim velicinama gore izvedenim relacijama, to jest:

116

U ′

2= −U

1

m

I ′

2= −mI

1

odnosno:

U ′

2

U1

= −m

I ′

2

I1

= − 1

m

Dvije gornje jednacine predstavljaju i jednacine idealnog transformatora koji na primaru ima

napon U1i struju I

1a na sekundaru U ′

2i I ′

2. R1

m2 i Lσ1m2 su svedeni primarni parametri na

sekundarnu stranu. Imajuci ovo u vidu mozemo proširiti šemu sa slike 4.96. na šemu prikazanu

na slici 4.97. Sav proracun se odnosi na šemu sa slike 4.96 a šema prikazana na slici 4.97 nam

2R2Lσ

2I

1U12L

m2U ′

MI ′

1

2

R

m

1

2

L

m

σ

1U1Z

: 1m

2I ′2I

Slika 4.97:

koristi da bi odredili stvarne vrijednosti primarnih velicina. I i II nacin su potpuno teorijski

ravnopravni.

USTALJENI SLOZENOPERIODICNI

REZIM

Naponi i struje izrazeni relacijama

ug(t) = ug(t + T ) (5.99)

ig(t) = ig(t + T ) (5.100)

nijesu prosto periodicne vec slozeno periodicne velicine. Realni generatori proizvode elektro-

motorne sile cija funkcija nije prostoperiodicna velicina vec neka slozenoperiodicna velicina.

tT

0E

0E−

( )e t

Slika 5.98: Slozenoperiodicna funkcija

Dosadašnja izucavanja prostoperiodicnih struja i prostoperiodicnih napona su od bitne

vaznosti za proucavanje slozenoperiodicnih struja i napona, pošto se svaka slozenoperiodicna

funkcija moze predstaviti redom prostoperiodicnih funkcija cije ucestanosti rastu po arit-

metickoj progresiji. Francuski fizicar Furije je pokazao da ako neka slozenoperiodicna vri-

jednost ima period T

u(t) = u(t+ T )

da se ona moze predstaviti redom oblika

u(t) = co + c1 cos(ωt+ θ1) + c2 cos(2ωt+ θ2) + · · ·+ ck(kωt + θk) + · · · (5.101)

117

118

gdje je

ω =2π

T

ucestanost osnovnog harmonika a co je konstantni clan.

c1 cos(ωt + θ1) (5.102)

Relacija (5.102) predstavlja osnovni (prvi) harmonik i njegov period jednak je periodu date

slozenoperiodicne velicine. Za prvim harmonikom slijedi drugi, treci itd. Clan kω se naziva

k-tim harmonikom. Relaciju (5.101) mozemo zapisati i na sledeci nacin

u(t) = co +∞∑k=1

ck cos(kωt + θk) (5.103)

Koristeci pravila trigonometrije mozemo napisati

u(t) = co+A1 sinωt+A2 sin 2ωt+· · ·+Ak sin kωt+· · ·+B1 cosωt+B2 cos 2ωt+· · ·+Bk cos kωt+· · ·(5.104)

ili u sazetom obliku

u(t) = co +∞∑k=1

(Ak sin kωt +Bk cos kωt) (5.105)

Jednacina (5.103) je I oblik a jednacina (5.105) je drugi oblik Furijeovog reda sa prelazima

(I) =⇒ (II) Ak = −ck sin θk Bk = ck cos θk

(II) =⇒ (I) ck =√A2

k+B2

kθk = arctan

(−Ak

Bk

)

Da bi funkciju razvili u Furijeov red, ona treba da zadovoljava uslove Dirihlea: da je difer-

encijabilna, da ima prekide prve vrste i taj skup prekida je konacan i integral je konacan.

Koeficijenti Furijeovog reda se odreuju

co =1

T

to+T∫to

u(t)dt (5.106)

Ak =2

T

to+T∫to

u(t) sin kωtdt (5.107)

Bk =2

T

to+T∫to

u(t) cos kωtdt (5.108)

119

trenutak to mozemo proizvoljno birati. U nekim udzbenicima Furijeov red se predstavlja kao

f(t) =Ao

2+∞∑n=1

(An cosnωt +Bn sinnωt)

An =2

T

to+T∫to

f(t) cosnωtdt f(t) = f(t+ T ) n = 0, 1, 2, ....

Bn =2

T

to+T∫to

f(t) sinnωtdt n = 1, 2, 3, ....

Obrasci za odreivanje koeficijenata nam pokazuju da je potrebno poznavati vrijednosti funkcije

za cijelu periodu da bi se mogli odrediti koeficijenti Furijeovog reda. Pri tome funkcija moze

biti definisana i sa više analitickih izraza. U tom slucaju se integrali rastavljaju i izracunavaju

odvojeno za svaki interval koji odgovaraju pojedinom analitickom izrazu. Na primjer, ako je

data periodicna funkcija

u(t) =

u1(t) to < t < t1

u2(t) t1 < t < to + T

onda je

Ak =2

T

⎡⎣ t1∫

to

u1(t) sin kωtdt+

to+T∫t1

u2(t) sin kωtdt

⎤⎦

Obrasci za razvijanje u Furijeov red mogu se primjeniti i za neperiodicne funkcije. U tom

slucaju dobijeni red predstavljace funkciju samo u intervalu koji je uzet za odreivanje ko-

eficijenata reda. Za ostale vrijednosti Furijeov red predstavljace periodicnu funkciju koja

se poklapa sa neperiodicnom u posmatranom intervalu. Na intervalu [0− T ] (slika 5.99.)

tT0

( )u t

2T 3T

( )u t

( )v t ( )v t

Slika 5.99: Neperiodicna funkcija

mozemo datu funkciju predstaviti Furijeovim redom uz koeficijent koji se dobija na tom in-

tervalu. Dobijeni Furijeov red predstavljace v(t) na 0 < t < ∞ , a aproksimirace u(t) samo u

[0− T ] . Ovdje je ν(t) - slozeno periodicna, a u(t) - neperiodicna funkcija. Furijeov red spada

u beskonacne redove ali se u praksi uvijek radi sa konacnim brojem clanova zavisno od zeljene

120

tacnosti. Zato konacni Furijeov red priblizno predstavlja datu slozenoperiodicnu funkciju. U

matematici se pokazuje da je predstavljanje konacnim redom bolje preko Furijeovog reda, nego

aproksimacija Tajlorovim redom.

Primjer 1: Odrediti Furijeov red funkcije:

f(t) =

⎧⎪⎨⎪⎩

0 −2 < t < −1

6 −1 < t < +1

0 +1 < t < 2

⎫⎪⎬⎪⎭

Pošto je f(t) = f(t+ 4) odavde slijedi da je period funkcije T = 4. Osnovni harmonik

t

2−

1− 1

2

3 4 5 6

( )f t

4T =

Slika 5.100: Funkcija f(t)

ω =2π

T=

π

2

an =2

T

to+T∫to

f(t) cosnωtdt, n = 0, 1, 2, 3, .....

bn =2

T

to+T∫to

f(t) sinnωtdt, n = 1, 2, 3, .....

ao =2

4

1∫−1

6 dt +2

4

3∫1

0 dt = 6

an =2

4

1∫−1

6 cosnπ

2tdt+

2

4

3∫1

0 cosnπ

2tdt =

12

nπsin

nπ

2

bn =2

4

1∫−1

6 sinnπ

2tdt+

2

4

3∫1

0 sinnπ

2tdt = 0

121

Sada je

f(t) = 3 +12

π

(cos

πt

2− 1

3cos

3πt

2+

1

5cos

5πt

2+ · · ·

)

f(t) = 3 +12

π

∞∑n=1

(−1)n−1 cos(2n− 1)πt

2

1

2n− 1

Primjer 2: Odrediti Furijeov red funkcije

f(t) = t − π < t < π

f(t+ 2π) = t T = 2π

Napomena: Testerasta kriva - slozenoperiodicna

tπ− π

2

2π 3π 4π

( )f t

2π−


Ucestanost osnovnog harmonika

ω =2π

T= 1

ao =1

π

π∫−π

tdt = 0

an =1

π

π∫−π

t cosntdt =1

n2π(cosnt+ nt sinnt)

∣∣∣∣π−π

= 0

bn =1

π

π∫−π

t sinntdt =1

n2π(sinnt− nt cosnt)

∣∣∣∣π−π

=−2 cosnt

n=

2(−1)n+1

n

Furijeov red bi izgledao

f(t) = 2

(sin t

1− sin 2t

2+

sin 3t

3− · · ·

)

122

Primjer 3: Pokazati da je Fourijeov red funkcije

f(t) =

4 0 < t < 1

−4 1 < t < 2

f(t) = f(t+ 2) =⇒ T = 2

( )f t

t

4

4−

0 1 2


jednak:

f(t) =16

π

∞∑n=1

sin(2n+ 1)πt

2n− 1

Tablica integrala i funkcija

1.∫t sin btdt = 1

b2sin bt− t

bcos bt+ C

2.∫t cos btdt = 1

b2cos bt+ t

bsin bt+ C

3.2π/ω∫0

sin(ωt + α)dt = 0

4.2π/ω∫0

cos(ωt + α)dt = 0

5.2π/ω∫0

sin(nωt+ α)dt = 0; n− cio broj

6.2π/ω∫0

cos(nωt + α)dt = 0; n− cio broj

7.2π/ω∫0

sin(nωt+ α) cos(mωt + α)dt = 0; n,m− cijeli brojevi

8.2π/ω∫0

sin2(ωt+ α)dt = πω

123

9.2π/ω∫0

cos2(ωt+ α)dt = πω

10.2π/ω∫0

cos(nωt + α) cos(nωt+ β)dt =

0

π cos(α−β)ω

m = n

m = nn,m− cijeli brojevi

11. cos 2nπ = 1

12. sin 2nπ = 0

13. cosnπ = (−1)n

14. sinnπ = 0

15. cosnπ2=

(−1)n/2,

0,

n = parno

n = neparno

16. sinnπ2=

(−1)(n−1)/2,

0,

n = neparno

n = parno

17. ej2nπ = 1

18. ejnπ = (−1)n

19. ejnπ/2 =

(−1)n/2,

j(−1)(n−1)/2,

n = parno

n = neparno

5.1 Kompleksni oblik Furijeovog reda

Ako poemo od izraza

u(t) = co +∞∑k=1

Ak sin kωt +∞∑k=1

Bk cos kωt (5.109)

i iskoristimo izraze

sin kωt =ejkωt − e−jkωt

2j

cos kωt =ejkωt + e−jkωt

2

cijom zamjenom u relaciju (5.109) dobijamo

u(t) = co +∞∑k=1

ejkωt − e−jkωt

2jAk +

∞∑k=1

Bkejkωt + e−jkωt

2

u(t) = co +∞∑k=1

Bk − jAk

2ejkωt +

∞∑k=1

Bk + jAk

2e−jkωt (5.110)

124

Ako oznacimo

ck =Bk − jAk

2=⇒ c∗k =

Bk + jAk

2

Ako iskoristimo relacije za izracunavanje Ak i Bk

ck =Bk − jAk

2=

1

T

to+T∫to

u(t) (cos kωt− j sin kωt) dt =1

T

to+T∫to

u(t)e−jkωtdt

c∗k =Bk + jAk

2=

1

T

to+T∫to

u(t)ejkωtdt

Sada je red

u(t) = co +∞∑k=1

ckejkωt +

∞∑k=1

c∗ke−jkωt

Pošto se clanovi c∗k mogu dobiti iz ck i pošto se i clan

co =1

T

to+T∫to

u(t)dt

moze dobiti iz izraza za

ck =1

T

to+T∫to

u(t)e−jkωtdt

stavljajuci k = 0 mozemo dobiti kompaktan zapis

u(t) =

k=+∞∑k=−∞

ckejkωt (5.111)

5.2 Veza izmeu slozenoperiodicne funkcije i koeficije-

nata njenog Furijeovog reda

1) Slozenoperiodicna funkcija je parna ako zadovoljava uslove

f(t) = f(−t)

f(t) = f(t+ T )

125

tada je slozenoperiodicna funkcija parna. Grafik slozenoperiodicne funkcije je simetrican u

odnosu na ordinatnu osu, pa je njen red:

u(t) = co +∞∑k=1

Ak sin kωt+∞∑k=1

Bk cos kωt (5.112)

u(−t) = co −∞∑k=1

Ak sin kωt+∞∑k=1

Bk cos kωt (5.113)

Iz uslova da je

u(t) = u(−t)

vidimo da mora biti

Ak = 0 (k = 1, 2, 3, .....) (5.114)

Bk =4

T

π

2∫0

u(t) cos kωtdt (5.115)

2) Ako slozenoperiodicna funkcija zadovoljava uslov

f(t) = −f(t)

f(t) = f(t+ T )

onda je slozenoperiodicna funkcija neparna i grafik je simetrican u odnosu na koordinatni

pocetak. Iz izraza za u(t) i u(−t) vidimo da je u(t) = u(−t) pa mora biti

co = 0 (5.116)

Bk = 0 (k = 1, 2, 3, .....) (5.117)

Ak =4

T

π

2∫0

u(t) sin kωtdt (5.118)

3) Ako je negativna polovina ciklusa slozenoperiodicne funkcije ogledalski lik pozitivne

polovine ciklusa u odnosu na apscisnu osu, tada slozenoperiodicna funkcija zadovoljava

uslov

u

(t+

T

2

)= −u(t)

−u(t) = −co −∞∑k=1

Ak sin kωt−∞∑k=1

Bk cos kωt

126

( )u t

t

U

U−

0

2

T T

Slika 5.103:

u

(t+

T

2

)= co − A1 sinωt+ A2 sin 2ωt− A3 sin 3ωt + · · ·

−B1 cosωt+B2 cos 2ωt−B3 cos 3ωt + · · ·

Da bi uslov bio zadovoljen treba da su svi clanovi jednaki nuli, tj.

co = 0 (5.119)

A2n = 0 (5.120)

B2n = 0 (5.121)

A2n+1 =4

T

π

2∫−

π

2

u(t) sin(2n + 1)ωtdt, n = 1, 2, 3 (5.122)

B2n+1 =4

T

π

2∫−

π

2

u(t) cos(2n + 1)ωtdt (5.123)

4. Ako funkcija ispunjava uslov iz 3) i uz to je simetricna u odnosu na koordinatni pocetak

tj. neparna, tada njen Furijeov red ima samo neparne clanove (sa sinusima)

u(t) = A1 sinωt+ A3 sin 3ωt+ A5 sin 5ωt+ ....

A2n+1 =8

T

π

4∫0

u(t) sin(2n + 1)ωtdt

u(t) =4U

π

(sinωt+

1

3sin 3ωt+

1

5sin 5ωt+ ....

)

127

( )u t

t

U

U−

0

2

T T

Slika 5.104:

Primjer 4: Odrediti kompleksni oblik Furijeovog reda funkcije

f(t) =

4 0 < t < 1

−4 1 < t < 2

Ucestanost osnovnog harmonika je T = 2 pa oslijedi da je ωo =2π

T= π.

f(t) =

∞∑k=−∞

ckejkωot

ck =1

T

T

2∫−

T

2

f(t)e−jkωotdt

ck =1

2

1∫−1

f(t)e−jkωotdt =1

2

0∫−1

(−4)e−jkωotdt+1

2

1∫0

4e−jkωotdt

ck =4

jkπ[1− (−1)n] (5.124)

co =1

2

1∫−1

f(t)dt =1

2

0∫−1

4dt− 1

2

1∫0

4dt = 0

Iz izraza za ck u relaciji (5.124) ako je:

ck = 0

ck =8

jkπ

k − parno

k − neparno

Sada je Furijeov red:

f(t) =8

jπ

∞∑k=−∞

1

2k − 1ej(2n−1)πt

128

Primjer 5:

f(t) =

1 −1 < t < 1

0 1 < |t| < 2

Imamo da je

T = 4

ωo =2π

T=

π

2

Kada se sve izracuna dobijamo:

f(t) =1

2+

1

π

∞∑k=−∞

sin(k π

2

)k

ejkπt

2

ovo ima smisla za

K = 0

5.3 Funkcija odabiranja

Funkcija odabiranja se definiše kao

Sa(x) = sinx

x

Sa(0) = 1

za x = 0

za x = 0

Kao varijantu ove funkcije imamo funkciju "sinc" koja se definiše kao

sincx =sin πx

πx= Sa(πx)

Sada za primjer 5. imamo

co = limk−→∞

ck=⇒ f(t) =

1

2

∞∑k=−∞

Sa(kπ

2)e

jkπt

2

Primjer 6.

f(t) =

1 − δ

2< t < δ

2

0 δ2< |t| < π

2

f(t+ T ) = f(t) tj T je period

Ovo je uopštavanje primjera 6. Tada je

f(t) =δ

T

∞∑k=−∞

Sa(kπδ

T)e

j2kπt

T

129

gdje je δ−proizvoljan cijeli broj a T − proizvoljni period.

Primjer 7. Ako je funkcija f(t) parna funkcija koeficijent ck je jednak

ck =2

T

T2∫0

f(t) cos kωotdt

Ako je funkcija f(t) neparna funkcija koeficijent ck je jednak

ck =2

T

T2∫0

f(t) sin kωotdt

Ovo se lako dokazuje polazeci od opštih relacija za koeficijente. Ako imamo dvije funkcije:

f1(t) i njen Furijeov red f1(t) =∞∑

n=−∞

anejnωot i funkciju f2(t) i njen Fourijeov red f2(t) =

∞∑m=−∞

bmejmωot sa zajednickom ωo =

2πT

:

Teorema 1: Ako su date dvije funkcije f1 i f2 sa gore navedenim osobinama kada je

1

T

T

2∫−

T

2

f1(t− τ )f2(τ )dτ =∞∑

n=−∞

anbmejnωot

Ovo je teorema o konvoluciji Furijeovih redova.

Teorema 2:

1

T

T

2∫−T

2

f1(t)f2(t)e−jnwotdt =

∞∑m=−∞

ambn−m

Dokaz teoreme 1: Polazeci od relacije 1T

T

2∫−T

2

f1(t − τ )f2(τ )dτ u koju uvrstimo Fourijeov red

funkcije f1(t) ali za t− τ dobijamo:

1

T

T

2∫−T

2

f1(t− τ)f2(τ)dτ =1

T

T

2∫−T

2

∞∑n=−∞

anejnωo(t−T )f2(τ)dτ =

=∞∑

n=−∞

anejnωot

1

T

T

2∫−T

2

f2(τ )e−jnωoτdτ =

∞∑n=−∞

anbnejnωot

130

Dokaz teoreme 2: Polazeci od proizvoda

f1(t)f2(t) =∞∑

m=−∞

amejmωot

∞∑k=−∞

bkejkωot =

∞∑m=−∞

∞∑k=−∞

ambkej(m+k)ωot =

=∞∑

m=−∞

(∞∑

k=−∞

an−kbk

)ejnωot (5.125)

gdj je m+ k = n. Iz relacije (5.125) slijedi neposredan dokaz teoreme 2.

Posledice: Kao posljedice ove dvije teoreme imamo dvije teoreme sa specificnom prim-

jenom.

Teorema Parsevala:

1

T

T

2∫−T

2

f1(t)f∗

2(t)dt =

+∞∑m=−∞

amb∗m

(5.126)

U relaciji (5.126) funkcije f1(t) i f ∗2 (t) mogu da imaju svoj imaginarni i realni dio. Dokaz

je direktna posljedica teoreme 2 ako stavimo b∗−m

i n = 0 dobijamo da je b∗m

= b−m

dok su

koeficijenti jednaki

am=

1

T

T

2∫−T

2

f1(t)e−jωm

bm =1

T

T

2∫−T

2

f2(t)e−jωn

Teorema Releja: Ako je

f1(t) = f2(t) = f(t)

tada je

1

T

T

2∫−T

2

(f |t|)2 dt =∞∑

n=−∞

|an|2

Ova se teorema još naziva i Energy-teorema. Ova teorema povezuje f |t| sa koeficijentima

kompleksnog Furijeovog reda.

Dokaz: Ako u Parservalovu relaciju stavimo da je f1(t) = f2(t) = f(t) .

Do relacija iz ovih teorema moguce je doci polazeci od Furijeovih redova ovih funkcija.

Polazeci od Furijeovih redova funkcija

f(t) = Adc +∞∑n=1

An cos (nωot + φn)

131

g(t) = Bdc +∞∑

m=1

Bm cos (mωot+ θm)

i ako formiramo integral proizvoda

1

T

T∫0

f(t)g(t)dt =1

T

T∫0

AdcBdcdt+∞∑n=1

AnBdc

T

T∫0

cos(nωot+ φn)dt

︸︷︷︸=0 na intervalu 0−T

+

+∞∑m=1

AdcBm

T

T∫0

cos (mωot + θm) dt

︸︷︷︸=0 na intervalu 0−T

+

+∞∑n=1

∞∑m=1

AnBm

T

T∫0

cos (mωot + θm) cos(nωot + φn)dt

Koristeci tablicu integrala koji se najcešce koriste dobijamo

1

T

T∫0

f(t)g(t)dt =

T∫0

cos (mωot + θm) cos(nωot + φn)dt = · · ·

0 za n = mπ cos(θm+φn)

ω0

za n = m

Tada je

1

T

T∫0

f(t)g(t)dt = AdcBdc +∞∑n=1

AnBn

2cos(φn − θn)

jer je n = m. Ako ovim funkcijama damo fizicki smisao

f(t) = u(t)

g(t) = i(t)

Adc = Udc − jednosmjerni napon

Bdc = Idc − jednosmjerna struja

An = Un

Bn = In

132

tada je po definiciji srednja snaga:

P =1

T

T∫0

u(t)i(t) = VdcIdc +∞∑n=1

VnIn2

cos(φn− θn)

P = Pdc +∞∑n=1

Pn

Ako je f(t) = g(t), tada vaze jednakosti: Adc = Bdc, An = Bn i φn= θn pa dobijamo

1

T

T∫0

f 2(t)dt = A2

dc+∞∑n=1

A2

n

2

što predstavlja Parsevalovu jednacinu. Ako je fizicki smisao f(t) = i(t) (slika 5.105)

( )u t

( )i t

1R = Ω

Slika 5.105:

tada Parsevalova jednacina ima oblik

1

T

T∫0

i2(t)dt = Idc +∞∑n=1

I2n2

(5.127)

Relacija (5.127) predstavlja energiju koja se izdvaja u otporniku R = 1Ω za vrijeme jednog

perioda T. Snaga koja se izdvaja u otporniku R = 1Ω

P =1

T

T∫0

f 2(t)dt =∞∑

n=−∞

|cn|2 (5.128)

a ovo je Parsevalova teorema (Relejeva teorema). Ovdje f(t) moze biti

f(t) = u(t) =⇒ f2(t)

Rf(t) = i(t) =⇒ f 2(t)R

gdje je R = 1Ω.

II nacin do Parsevalove teoreme:

133

Ako je Furijeov red red funkcije f(t) jednak

f(t) =∞∑

n=−∞

cnejnωot

tada je

f2(t) =∞∑

n=−∞

∞∑m=−∞

cncmejnωotejmωot (5.129)

Ako relaciju (5.129) uvrstimo u relaciju (5.128) dobijamo

P =1

T

T∫0

f 2(t)dt =1

T

T∫0

∞∑n=−∞

∞∑m=−∞

cncmejnωotejmωotdt =

∞∑n=−∞

∞∑m=−∞

cncm1

T

T∫0

ejnωotejmωotdt

Ako n i m imaju vrijednosti n,m = 0,±1,±2,±3, · · · onda je integral

T∫0

ejnωotejmωotdt = 0

Ako je m = −n tada imamo

1

T

T∫0

ejnωote−jnωotdt = 1

Samo ako je m = −n tada je ovaj integral jednak jedinici i u tom slucaju je

cm = c−n

a to je

cm = c−n = c∗n

I na kraju dobijamo

P =1

T

T∫0

f 2(t)dt =∞∑

n=−∞

cnc∗

n =∞∑

n=−∞

|cn|2

Time smo dokazali Parsevalovu jednakost na drugi nacin.

5.4 Analiza kola sa slozenoperiodicnim strujama

5.4.1 Efektivna vrijednost slozenoperiodicnih velicina

Efektina vrijednost slozenoperiodicnih struja definiše se na isti nacin kao i efektivna vrijednost

prostoperiodicnih struja. Ona je jednaka onoj stalnoj struji koja za vrijeme periode razvije

134

onu kolicinu toplote u otporniku otpornosti R kao i slozenoperiodicna struja, tj.

RI2T = R

T∫0

i2(t)dt (5.130)

I = Ief =

√√√√√ 1

T

t∫0

i2(t)dt (5.131)

U slucaju prostoperiodicnih velcicina i(t) = Im cos(ωt+ ψ) efektivna vrijednost struje je bila

Ief = Im√2. Za slozenoperiodicne struje imamo da uspostavimo vezu izmeu te struje i efektivne

vrijednosti pojedinih harmonika

i(t) = i(o) + i(1) + · · ·+ i(k) + · · ·

gdje je

i(k) =√2I(k) cos(kωt + ψ(k))

struja k− og harmonika. Sada imamo da je

i2(t) =

( ∞∑k=0

ik

)2

=∞∑k=0

(ik)2

+∞∑

k,l=0

k =l

i(k)i(l) (5.132)

Relaciju (5.132) razbijamo na dva beskonacna clana, pa ovo uvrstimo u relaciju (5.131) koja

predstavlja efektivnu vrijednost struje

I2 =1

T

T∫0

i2(t)dt =1

T

T∫0

[ ∞∑k=0

i(k)

]2dt =

1

T

T∫0

∞∑k=0

(i(k))2

dt+1

T

T∫0

∞∑k,l=0

k =l

i(k)i(l)dt =

=∞∑k=0

1

T

T∫0

(i(k))2

dt +∞∑

k,l=0

k =l

1

T2 I(k) I(l)

T∫0

cos(kωt+ ψ(k)) cos(lωt+ ψ(l))

︸︷︷︸zbog ortogonalnosti sistema =0

(5.133)

Posmatrajuci relaciju (5.133) imamo da je

I2 =∞∑k=0

(I(K))2

(5.134)

I =

√(I(0))

2+ (I(1))

2+ · · ·+ (I(k))

2+ · · · (5.135)

135

Na isti nacin za napone

U =

√(U (0))

2+ (U (1))

2+ · · ·+ (U (k))

2+ · · · (5.136)

Slozenoperiodicne struje su realnost u inzinjerskoj praksi. Da bi se karakterisala izoblicenost

slozenoperiodicnih struja u odnosu na prostoperiodicne, uvode se faktori poreenja kao npr.

1) Kolicnik izmeu maksimalne i efektivne vrijednosti

K1 =ImIef

=ImI

za prostoperiodicne

K1 =√2

Ako K1 odstupa od√2 to je slozenoperiodicna struja.

2) Kolicnik izmeu kvadratnog korjena, zbira kvadrata efektivnih vrijednosti pojedinih har-

monika bez osnovnog i efektivne struje

K2 =

√(I(2))

2+ · · ·+ (I(k))

2

I

ovaj faktor se naziva kao "klir" (eng. clear) faktor. Za prostoperiodicne struje K2 = 0

i ako K2 odstupa od nule, u pitanju je slozenoperiodicna struja.

3) Treci faktor poreenja je ekvivalentna sinusoida. To je prostoperiodicna kriva linija koja

ima isti period i istu elementarnu vrijednost kao posmatrana slozenoperiodicna struja.

Imamo još faktora poreenja, zavisno od discipline teorije elektricnih kola.

136

5.4.2 Analiza elektricnih kola sa slozenoperiodicnim strujama i napon-

ima

Posmatramo kolo kao na slici 5.106. Zadato jeR, L, C i slozenoperiodicna eksitacija e(t). Trazi

se slozenoperiodicna struja i(t) u stacionarnom stanju (ustaljeni rezim). Slozenoperiodicna

eksitacija je jednaka

CR L

( )e t

( )i t

Slika 5.106:

e(t) = e(o) + e(1) + · · ·+ e(k) + · · ·

gdje je e(k) =√2E(k) cos(kωot + θ(k)) k− ti harmonik slozenoperiodicne eksitacije a ω0 =

2π/T ucestanost osnovnog harmonika. Ovo je matematicki zapis Furijeovog reda, a mi ovu

slozenoperiodicnu eksitaciju mozemo u elektricnom smislu, posmatrati kao rednu vezu beskon-

acnog broja elektromotornih sila prostoperiodicne eksitacije

e(k) za k = 0, 1, 2, ...

Po principu superpozicije:

i(t) = i(o) + i(1) + · · ·+ i(k) + · · ·

gdje je

i(k) =√2I(k) cos(kωot + ψ(k))

pošto su i(k) prostoperiodicne velicine za njih mozemo da primjenimo kompleksne predstavnike

i da iz vremenskog, preemo u kompleksni domen.

e(k)(t) =⇒ E(k) = E(k)∠θ(k)

i(k)(t) =⇒ I(k) = I(k) ∠ψ(k)

137

Po kompleksnoj metodi

I(k) =E(k)

Z

I(k) =E(k)ejθk

Z(k)ejψk=

E(k)

Z(k)ej(θ

(k)−ψ(k))

U slucaju prostog elektricnog kola kao na slici 5.106.

Z(k) = R+ j

(kωL− 1

kωC

)

Z(k) = mod(Z(k))=

√R2 +

(kωL− 1

kωC

)2

ϕ(k) = argmod(Z(k))= arctan

kωL− 1

kωC

R

Tada je

I(k) =E(k)

Z(k)(5.137)

ψ(k) = θ(k) − ϕ(k) (5.138)

Odredili smo moduo i pocetnu fazu struje k− tog harmonika, cime smo odredili trazena stanja.

Pošto u kolu postoji kondenzator C to je Z(o) = ∞ a na osnovu relacije (5.137) I(o) = 0 pa je

i (t) =∞∑k=1

√2I(k) cos

(kωot+ ψ(k)

)

Ovaj princip vazi i za svako linearno slozeno elektricno kolo pa se primjenom Furijeovog reda

i principa superpozicije analiza elektricnih kola sa slozenoperiodicnim velicinama svodi na

analizu elektricnih kola sa prostoperiodicnim velicinama, na koje primjenjujemo kompleksni

metod. Jednacine se pišu za k− ti harmonik vodeci racuna o tome da ne zaboravimo vrijednost

k. Tako na k− ti harmonik mozemo primjeniti sve teoreme i principe: metod napona cvorova,

konturnih struja, principa linearnosti, itd. Napomena: Ne smije se napraviti greška da se

sabiraju kompleksni predstavnici za razlicite harmonike, pošto su to kompleksni predstavnici

harmonika razlicitih ucestanosti. Dakle, prvo se sve izracuna za k− ti harmonik pa se zatim

pree na vremenski domen

i(t) =∞∑k=1

i(k) (t)

Zakljucak: Slozenoperiodicne velicine se mogu sabirati samo u vremenskom domenu po har-

monicima.

138

5.4.3 Snage u kolu slozenoperiodicnih velicina

Ako imamo pasivno kolo proizvoljne topologije kao na slici 5.107.

( )i t

( )u t

Slika 5.107: Pasivno kolo proizvoljne topologije

u(t) = u(o) + u(1) + · · ·+ u(k) + · · ·

i(t) = i(o) + i(1) + · · ·+ i(k) + · · ·

Trenutna snaga se definiše kao

p(t) = u(t)i(t)

Pošto je

u(t) =∑k

u(k)(t)

i(t) =∑k

i(k)(t)

tada je trenutna snaga

p(t) =∑k

u(k) (t)∑k

i(k) (t) (5.139)

Srednja (aktivna) snaga se definiše kao

P =1

T

T∫0

p(t)dt

Izrazimo aktivnu snagu preko aktivnih snaga pojednih harmonika. Polazeci od izraza (5.139)

imamo

p(t) =∑k

u(k) (t)∑k

i(k) (t) =∑k

u(k) (t) i(k) (t) +∑k,l

k =l

u(k) (t) i(l) (t)

139

Sada je

P =1

T

T∫0

p(t)dt =1

T

T∫0

[∑k

u(k) (t) i(k) (t) +∑k,l

u(k) (t) i(l) (t)

]dt =

=1

T

T∫0

(∑k

u(k)i(k)

)dt +

1

T

T∫0

(∑k,l

u(k)i(l)

)dt =

∑k

1

T

T∫0

u(k)i(k)dt+∑k,l

1

T

T∫0

u(k)i(l)dt

=∑k

Pk +∑k,l

1

T2

T∫0

U (k)I(l)dt cos(kωot + θ(k)

)cos(kωot+ ψ(k)

)

Izraz za aktivnu snagu je (ukljucujuci i nulti harmonik) jednak

P =∑k

P (k) (5.140)

Pošto je P (k) = U (k)I(k) cosϕ(k) onda slijedi

P =∑k

P (k) =∑k

U (k)I(k) cosϕ(k) (5.141)

Analogno kao za aktivne snage, definiše se reaktivna snaga

Q =∑k

Q(k) =∑k

U (k)I(k) sinϕ(k)

Kompleksna snaga k− tog harmonika definiše se kao

S(k) = U (k)(I(k))∗

pa je

P (k) = ReS(k)= U (k)I(k) cosϕ(k)

Q(k) = ImS(k)= U (k)I(k) sinϕ(k)

Napomena 1: Postoji kompleksna snaga k− tog harmonika ali ne postoji kompleksna snaga

elektricnog kola slozenoperiodicne struje i slozenoperiodicnih napona, jer ne postoje kom-

pleksni predstavnici slozenoperiodicnih struja i slozenoperiodicnih napona, vec samo njihovih

harmonika, tj. ne vazi S = UI∗ vec je S = UI∗. Ali pošto postoje efektivne vrijednosti

slozenoperiodicnih struja i napona, prividna snaga se definiše

S = UI =

√∑k

(U (k))2∑k

(I(k))2

140

Napomena 2: Još nije definisan pojam reaktivne snage u naucnoj i strucnoj javnosti, jer je

definicija

Q =∑k

Q(k) =∑k

U (k)I(k) sinϕ(k)

prenesena iz prostoperiodicnih velicina. Šta je reaktivna snaga i kako se definiše, nema odgov-

ora. Za prostoperiodicne vrijednosti vazi ralacija (trougao snaga)

S2 = P 2 +Q2

Ova relacija ne vazi za slozenoperiodicne snage vec se mora koristiti sledeca relacija

S2 = P 2 +Q2 +D2 (5.142)

gdje je D - snaga izoblicenja koja je posljedica meusobnog uticaja napona i struja razlicitih

harmonika.

D =√

S2 − P 2 −Q2

Izrazimo snagu izoblicenja D preko efektivnih vrijednosti napona i struja harmonika napona

i struja. Polazeci od definicije snage (prividne)

S2 =∑k

(U (k))2∑

k

(I(k))2

=∑k

(U (k))2∑

k

(I(k))2 (

cos2 ϕ(k) + sin2 ϕ(k))

Jednakost (cos2 ϕ(k) + sin2 ϕ(k)) = 1 nam omogucava da odredimo faznu razliku ϕ napona i

struje k− og harmonika. Dalje je

S2 =∑k

(U (k))2∑

k

(I(k))2

cos2 ϕ(k) +∑k

(U (k))2∑

k

(I(k))2

sin2 ϕ(k) (5.143)

Koristeci Lagranzeov identitet

∞∑k=0

a2k

∞∑k=0

b2k =

(∞∑k=0

akbk

)2

+∞∑

k=0,l=0

k =l

(akbl − albk)2

Tada je

∑k

(U (k))2∑

k

(I(k))2

cos2 ϕ(k) =

[∞∑k

U (k)I(k) cosϕ(k)

]2+

+∞∑

k=0,l=0

k =l

(U (k)I(l) cosϕ(l) − U (l)I(k) cosϕ(k)

)2(5.144)

141

∑k

(U (k))2∑

k

(I(k))2

sin2 ϕ(k) =

[∞∑k

U (k)I(k) sinϕ(k)

]2+

+

∞∑k=0,l=0

k =l

(U (k)I(l) sinϕ(l) − U (l)I(k) sinϕ(k)

)2(5.145)

Kada relacije (5.144) i (5.145) zamijenimo u relaciju (5.143) dobijamo

S2 =

[∞∑k

U (k)I(k) cosϕ(k)

]2+

[∞∑k

U (k)I(k) sinϕ(k)

]2+

+∞∑

k=0,l=0

k =l

[(U (k)I(l) cosϕ(l) − U (l)I(k) cosϕ(k)

)2+

+(U (k)I(l) sinϕ(l) − U (l)I(k) sinϕ(k)

)2] (5.146)

Uporeujuci relacije (5.142) i (5.146) i imajuci u vidu definicije aktivne i reaktivne snage

imamo

D =

√√√√√∞∑

k=0,l=0

k =l

[U (k)I(l) cosϕ(l) − U (l)I(k) cosϕ(k)]

2+ [U (k)I(l) sinϕ(l) − U (l)I(k) sinϕ(k)]

2

Ako razvijemo kvadrat binoma uz korišcenje trigonometrijskih identiteta imamo

D =

√√√√√∞∑

k=0,l=0

k =l

[(U (k))

2(I(l))

2+ (U (l))

2(I(k))

2 − 2U (k)U (l)I(k)I(l) cos (ϕ(k) − ϕ(l))]

(5.147)

Usljed dejstva viših harmonika kriva struje je izoblicena u odnosu na krivu napona i zato se

javlja snaga izoblicenja.

Primjer 8: U kolu prikazanom na slici 5.108. djeluje napon v(t) oblika

v(t) =

4V, 0 < t < 1 s

0V, 1 < t < 4 s

Odrediti struju i(t) =?

Rješenje:

v(t) = v(t + T ) =⇒ T = 4 s

ωo =2π

T=

π

2

142

2Ω

1F

4( )v t

( )i t

Slika 5.108:

Ako napon prikazemo u obliku Furijeovog reda

v(t) =ao2

+∞∑n=1

(an cos (nωot) + bn sin (nwot)) =ao2

+∞∑n=1

An cos (nωot+ φn)

U našem slucaju se dobija, po formulama za koeficijente Furijeovog reda

ao2

= 1

an =4

nπsin

nπ

2

bn =4

nπ

(1− cos

nπ

2

)Tada je

An =√a2n+ b2

n=

√(4

nπsin

nπ

2

)2

+

(4

nπ

(1− cos

nπ

2

))2

=4

nπ

√2(1− cos

nπ

2

)=

=8

nπsin

nπ

2

φn

= − arctanbnan

= − arctan4nπ

(1− cos nπ

2

)4nπ

sin nπ

2

= −nπ

4

Sada je Furijeov red napona

v(t) = 1 +∞∑n=1

An cos

(nπt

2+ φ

n

)V

Impendansa za n− ti harmonik je

Z(n) =

(2− j

8

nπ

)Ω =

2

nπ

√n2π2 + 16 ∠− arctan

4

nπΩ

Sada je struja

i(t) =ao

2Z(0)+∞∑n=1

An∣∣∣Z(n)∣∣∣ cos(nωot+ φ(n) − ϕ(n)

)A

143

Pošto u kolu postoji kondenzator to je Z(0) = ∞ što cini da je clan

ao2Z(0)

= 0

pa je

i(t) = 4

∞∑n=1

sin nπ

4√16 + n2π2

cos

(nπt

2− nπ

4+ arctan

4

nπ

)A

MREZE SA DVA PARA KRAJEVA

6.1 Uvod

Za mreze sa dva para krajeva koriste se i nazivi: mreze sa dva pristupa, cetveropoli, cetvorokra-

jnici, mreze sa dva ulaza i sl. Elektricna kola, odnosno mreze mozemo podijeliti po više osnova:

Prema broju krajeva, odnosno pristupa mreze dijelimo na:

• mreze sa jednim pristupom (svaki element R,L ili C moze se posmatrati kao mreza sa

jednim pristupom)

PROIZVOLJNAKOMBINACIJA

, , ,R L C m⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

U

I1

1′ulZ

Slika 6.109: Mreza sa jednim pristupom

Svakom pristupu dodjeljuje se par velicina (napon i struja) i mreza se definiše ulaznom

admitansom ili impedansom

Zul

=U

I

Yul

=I

U

• mreze sa dva para krajeva ili sa dva pristupa

• mreze sa n-pristupa ili n - pari krajeva, gdje je n - proizvoljni cio broj

144

145


, , ,R L C m⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

1U

1I1

1′

2I 2

2′

2U

Slika 6.110: Mreza sa dva pristupa

Koncentrisacemo se na mreze sa dva para krajeva. Svakom paru dodjeljuje se napon

i struja sa referentno oznacenim smjerovima. Za potrebe elektronike cešci je slucaj da je

struja I2 suprotnog smjera od nacrtanog na slici tj. smjera ←− I2. Posmatracemo proizvoljnu

kombinaciju R, L, C, m i to kao nelinearne stacionarne elemente, vremenski nepromjenjive

u ustaljenom rezimu. Pojam: pristup: Mreza sa okolinom ili sa drugim kolima, moze

razmjenjivati energiju preko magnetskog polja izmeu elementa mreze i spoljašnjeg elementa

van mreze. Obicno se za jedan kraj mreze prikljuci izvor elektricne energije (tj. pobude ili

signala), a za drugi, neki prijemnik pa mreza sluzi da prenese energiju (signal) od izvora do

prijemnika.


, , ,R L C m⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

1I

1′

2I 2

2′

1

gZ

gE

pZ1U 2U

Slika 6.111:

Mnogi elementi u savremenoj elektronici su mreze sa dva para krajeva i modeli mnogih

ureaja. Do sada su idealni transformator i kontrolni izvor bili mreze sa dva para krajeva.

6.2 Jednacine i parametri mreza sa dva para krajeva

Pod jednacinama mreza sa dva pristupa podrazumijevaju se jednacine koje povezuju napone i

struje na njenim pristupima [povezuju (U1 i I1) i (U2 i I2)]. U zavisnosti od toga na koji nacin

cemo izraziti napone i struje na pristupima, imamo 6 vrsta jednacina, pa prema tome i 6 vrsta

parametara, mreza sa dva para krajeva. Za slucaj mreza koje posmatramo (u ustaljenom

rezimu) te jednacine bice linearne i kompleksne. Parametri mreze bice tada kompleksne velicine

146

sa ili bez fizickih vrijednosti. Od 4 velicine U1, I1, U2 i I2) treba izraziti dvije pa je

(4

2

)= 6

parametara. Tih 6 vrsta parametara i 6 sistema jednacina su:

1. “a” sistem jednacina

U1

= f1(U2, I

2)

I1

= f2(U2, I

2)

1U

1I1

1′

2I 2

2′

2U

Slika 6.112:

Taj “a” sistem jednacina za smjerove struja prikazanih na slici 6.112 bi izgledao:

U1

= a11U

2+ a

12I2

(6.148)

I1

= a21U

2+ a

22I2

(6.149)

ili u matricnom obliku: [U

1

I1

]=

[a11

a12

a21

a22

][U

2

I2

](6.150)

U energetici, ovi parametri aij se oznacavaju A,B,C,D. Jednacine (6.148), (6.149) i (6.150)

se nazivaju “a” sistem jednacina mreza sa dva para krajeva (zato što su parametri u oznaci

aij), gdje je “a∼

” matrica:

a∼

=

[a11

a12

a21

a22

](6.151)

a a11, a12, a21, a22 - su “a” parametri.

2. “b” sistem jednacina sa “b” parametrima je inverzan “a” sistemu. Dobija se, kada je:

U2

= f1(U1, I

1)

I2

= f2(U1, I

1)

147

za referentne smjerove na slici 6.112.

U2= b

11U1+ b

12I1

(6.152)

I2= b

21U1+ b

22I1

(6.153)

ili u matricnom obliku

[U2

I2

]=

[b11

b12

b21

b22

][U1

I1

](6.154)

gdje je “b∼

” matrica

b∼

=

[b11

b12

b21

b22

]

a b11, b12, b21, b22 - su “b” parametri. Sistemi “a” i “b” su inverzni

b∼

= a∼

−1 (6.155)

a∼

= b∼

−1

Ova inverzija je moguca ako je

det(a∼

) = 0

det(b∼

) = 0

tj, da su obje matrice nesingularne.

3. “z” sistemi jednacina i “z” parametri

U1

= f1(I1, I2)

U2

= f2(I1, I2)

Sistem “z” bi izgledao (za smjerove I1−→ I2−→)

U1

= z11I1+ z

12(−I

2) (6.156)

U2

= z21I1+ z

22(−I

2) (6.157)


148

[U1

U2

]=

[z11

z12

z21

z22

][I1

I2

](6.158)

gdje je “z∼

” matrica

z∼

=

[z11

z12

z21

z22

]

a z11, z12, z21, z22 - su “z” parametri.

4. “y” sistem jednacina i “y” parametri

I1

= f1(U1, U

2)

I2

= f2(U1, U

2)

Sistem za nacrtane smjerove je

I1

= y11U1+ y

12U2

(6.159)

−I2

= y21U1+ y

22U2

(6.160)


[I1

−I2

]=

[y11

y12

y21

y22

][U1

U2

](6.161)

gdje je “y∼

” matrica

y∼

=

[y11

y12

y21

y22

]

a y11, y12, y21, y22 - su “y” parametri. Vidi se da je

z∼

= y∼

−1 (6.162)

y∼

= z∼

−1 (6.163)

tj. matrice“y∼

” i “z∼

” sistema jednacina su mjerene uz uslov

149

det(z∼

) = 0

det(y∼

) = 0

Moze se desiti da postoje “z” ali da ne postoje “y” parametri i obratno kada uslov inverzije

nije ispunjen i nema inverzije.

5. “g” parametri i “g” sistem jednacina

I1

= f1(U1, I

2)

U2

= f2(U1, I

2)

Sistem “g” parametara je oblika

I1

= g11U1+ g

12(−I

2) (6.164)

U2

= g21U1+ g

22(−I

2) (6.165)


[I1

U2

]=

[g11

g12

g21

g22

][U1

−I2

](6.166)

gdje je “g∼

” matrica

g∼

=

[g11

g12

g21

g22

]

a g11, g12, g21, g22 - su “g” parametri.

6. “h” parametri i “h” sistem jednacina

U1

= f1(I1, U2)

I2

= f2(I1, U2)

sistem “h” parametara je oblika

150

U1

= h11I1+ h

12U2

(6.167)

−I2

= h21I1+ h

22U2

(6.168)


[U1

−I2

]=

[h11

h12

h21

h22

][I1

U2

](6.169)

gdje je “h∼

” matrica

h =

[h11

h12

h21

h22

]

gdje su h11, h12, h21, h22 - “h” parametri. Vidi se da je

h∼

= g∼

−1 (6.170)

g∼

= h∼

−1 (6.171)

tj. matrice “h∼

” i “g∼

” sistema jednacina su mjerene uz uslov

det(g∼

) = 0

det(h∼

) = 0

Dakle, imamo a∼

, b∼

, z∼

, h∼

, g∼

, y∼

matrice. U svakoj jednacini imamo dva parametra što je

uslovljeno time da je u pitanju mreza sa dva para krajeva. U pogledu fizicke dimenzionalnosti

parametri se dijele na:

• homogene

• hibridne

U homogene spadaju z i y parametri jer su u pogledu fizicke dimenzionalnosti svi oni

homogeni. Parametar z ima prirodu otpornosti (impendanse) a sva cetiri y - parametra imaju

prirodu provodnosti (admitanse). U hibridne parametre spadaju a, b, g i h parametri, jer su u

pogledu fizickih dimenzija razlicite prirode. Na primjer, parametri a11 i a12 vezu dvije razlicite

velicine U1 i I1 pa je

a11 - cist kompleksan broj (bez dimenzije)

a12 - priroda otpornosti

151

a21 - priroda provodnosti

a22 - cist kompleksan broj (bez dimenzije)

Slicno je i za b, g i h parametre. Neki od njih su bez dimenzije, neki imaju prirodu

imendanse, a neki prirodu admitanse. Svih ovih 6 vrsta parametara (a, b, h, g, z, y) se

nazivaju primarni parametri mreza sa dva pristupa. Nabrojani parametri zavise od same

mreze sa dva para krajeva bez obzira šta je na njenim pristupima prikljuceno, tj. zavise samo

od konfiguracije odnosno topologije mreze (elemenata mreze R, L, C, m), a ne zavise ni od

jednog parametra spoljašnje mreze. Parametri mreze (a, b, h, g, z ili y) se mogu odrediti

analiticki ili eksperimentalno. Ako je zadata mreza i date vrijednosti elemenata (R, L, C,

m), mreze tada se iz jednacina sistema mogu odrediti parametri. Na primjer, kada je mreza

na drugom pristupu otvorena za “a” imamo:

a11

=U1

U2

∣∣∣∣I2=0

a21

=I1

U2

∣∣∣∣I2=0

a ako je mreza na pristupu (2-2´) kratko spojena imamo

a12

=U1

I2

∣∣∣∣U2=0

a22

=I1

I2

∣∣∣∣U2=0

Ove relacije mogu se koristiti i u analitickom pristupu i u eksperimentalnom pristupu. Ako

nije poznata topologija kola tada se parametri odreuju eksperimentalno. Na primjer za “z”

parametre imamo:

z11

=U1

I1

∣∣∣∣I2=0

z12

=U1

−I2

∣∣∣∣I1=0

z21

=U2

I1

∣∣∣∣I2=0

z22

=U2

−I2

∣∣∣∣I1=0

Postoji i veza izmeu pojedinih vrsta parametara tj. neke mreze mogu imati sve vrste param-

etara ili ne moraju imati sve vrste odnosno mogu imati samo neke parametre.

Primjer 1: Imamo “a” parametre i treba da odredimo “z” parametre

152

Rješenje: Sistem jednacina koje odreuju “a” parametre je:

U1

= a11U2+ a

12I2

(6.172)

I1

= a21U2+ a

22I2

(6.173)

Treba najkracim putem preci iz “a” u “z” parametre. Iz (6.173)

a21U2= I

1− a22I2 = I

1+ a22(−I

2)

“z” - jednacina je:

U2=

1

a21

I1+

a22

a21

(−I2) (6.174)

gdje su “z” parametri

z21

=1

a21

i z22

=a22

a21

Ako zamijenimo (6.174) u (6.172) dobijemo

U1 = a11

[1

a21

I1+

a22

a21

(−I2)

]+ a

12I2

=a11

a21

I1+ a

11

a22

a21

(−I2) + a

12I2

=a11

a21

I1+

a11a22− a

21a12

a21

(−I2)

Dakle dobili smo

z11

=a11

a21

z12

=a11a22− a

12a21

a21

=det(a)

a21

Uslov za prelaz iz “a” na “z” kao što vidimo je da je a21

= 0 što znaci da je dominan-

tan parametar a21. Za mreze sa koncentrisanim parametrima, pasivnim elementima u ustal-

jenom rezimu, vremenski nepromjenjivim i linearnim elementima, postavlja se pitanje koji su

parametri nezavisni. Odgovor je: od 4 parametra po vrsti parametara, samo su 3 nezavisna,

a cetvrti je jednoznacno odreen sa preostala 3. Zavisnosti su:

za “a” parametre: det(a∼

) = 1

za “b” parametre: det(b∼

) = 1

za “z” parametre: z12

= z21

za “y” parametre: y12

= y21

za “h” parametre: h12

= −h21

za “g” parametre: g12

= −g21

153

Pošto su ovi parametri meusobno vezani relacijama dovoljno je dokazati jednu od ovih

zavisnosti, pa iz veza meu vrstama parametara moze se izvesti dokaz i za ostale tvrdnje. Ove

relacije su direktna posljedica principa uzajamnosti ili reciprociteta, tj. ove relacije su uslovi

uzajamnosti mreza sa dva pristupa.

Dokaz:

Izvešcemo dokaz za “y” parametre posmatrjuci sliku 6.113.

1I 2I

gU

2

2′

2U

1′

1

1U y

Slika 6.113:

Eksperiment: Prikljucimo Ug na pristupe (1-1’) i kratko spojimo pristupe (2-2’). Polazeci

od “y” sistema jednacina

I1

= y11U

1+ y

12U

2

−I2

= y21U

1+ y

22U

2

i uvrštavajuci vrijdnost napona U2= 0 (slika 6.113.) dobijamo

I1

= y11U

1

−I2

= y21U

1

Sa slike 6.113. je ocigledno da je U1= U

gšto daje

I1

= y11U

g

−I2

= y21U

g

Primjenjujuci princip uzajamnosti, dobijamo sliku 6.114. (mjesto gdje je bio generator zami-

jenimo njegovom impendansom odnosno kratkom vezom jer je Zg= 0)

Sistem “y” parametara u ovom slucaju je oblika

154

y

2I ′1I ′

gU

2

2′

2U

1′

1

1U

Slika 6.114:

I1

= y11U

1+ y

12U

2

−I2

= y21U

1+ y

22U

2

Parametri “y” su ostali isti jer primarni parametri zavise samo od mreze, a ona je ostala ista.

Ovdje je U1= 0 pa je

I1

= y12U

2

−I2

= y22U

2

Pošto je U2= U

gslijedi da je

I1

= y12U

g

−I2

= y22U

g

Struje u odnosu na generator moraju imati isti smjer (po principu uzajamnosti). Dakle, po

principu uzajamnosti mora biti

I2

= −I1

−y21U

g= −y

12U

g

odakle slijedi da je

y12

= y21

cime je dokaz završen. U pogledu napona i struja na pristupima, mreza sa dva para krajeva

je potpuno odreena sa svoja tri nezavisna parametra.

155

6.3 Ulazne impedanse otvorene i kratko spojene mreze

Ukoliko su krajevi 2-2’ otvoreni, po definiciji je (slika 6.115.)

1I 2I 2

2′

gU

1kZ01Z

1′

1

1U 2U

Slika 6.115:

Z01

=U

1

I1

∣∣∣∣I2=0

Zk1

=U1

I1

∣∣∣∣U2=0

Ako ovo izrazimo preko “a” parametara

Z01

=a11U2+ a

12I2

a21U2+ a

21I2

∣∣∣∣I2=0

=a11

a21

Ako ovo izrazimo preko “z” parametara

U1= z

11I1+ z

12(−I

2)

za I2= 0

Z01

=z11I1

I1

= z11

Z01

= z11

=a11

a21

(6.175)

Za impendansu kratko spojene mreze preko “a” parametara

Zk1

=U1

I1

∣∣∣∣U2=0

=a11U2+ a

12I2

a21U2+ a

21I2

=a12

a21

i preko “z” - parametara

Zk1

=z11I1− z

12(−I

2)

I1

∣∣∣∣U2=0

= z11− z

12z21

z22

156

Zk1

=a12

a21

(6.176)

To znaci da mrezu sa slike 6.115. mozemo zamijeniti sa sledecom slikom

1I

gU 1kZ01Z1U

1I

gU 1U

Slika 6.116:

Na slican nacin definišu se impendanse sa pristupa (2-2’)

1I 2I 2

2′

gU

2kZ 02Z

1′

1

1U 2U

Slika 6.117:

Po definiciji: impendansa otvorene mreze na pristupu (1-1’) sa strane pristupa (2-2’) jed-

naka je

Z02

=U2

−I2

∣∣∣∣I1=0

a impendansa kratko spojene mreze na (1-1’) sa strane (2-2’)

Zk2

=U2

−I2

∣∣∣∣U1=0

Izrazavajuci predhodne relacije preko “b” - parametara dobijamo

Z02

=b11U1− b

12I1

−(b21U1+ b

22I1)

∣∣∣∣I1=0

= −b11

b21

Ako hocemo da relacije izrazimo preko “a” - parametara koristimo vezu

157

b11

= a22

b12

= −a12

b21

= a21

b22

= a11

Dakle

Z02

= −b11

b21

= +a22

a21

Preko “z” - parametara

U2

= z21I1− z

22(−I

2) |

I1=0

= −z12I2

Z02

= −z12I2

−I2

= z22

Z02

= −b11

b21

=a22

a21

= z22

Za impendansu

Zk2

=U2

−I2

∣∣∣∣U1=0

=b11U1+ b

12I1

−(b21U1+ b

22I1)

∣∣∣∣U1=0

= −b12

b22

tj.

Zk2

= −b12

b22

=a22

a21

(6.177)

Ove 4 impendanse (Z01, Z

02, Z

k1, Z

k2) takoe spadaju u primarne parametre jer su jednoz-

nacno odreene ako su poznati primarni parametri. Izmeu ovih impendansi postoje odnosi

Z01

Zk1

=

a11

a21

a12

a22

=a11a22

a12a21

Z02

Zk2

=

a22

a21

a12

a11

=a11a22

a12a21

Dakle postoji vezaZ01

Zk1

=Z02

Zk2

(6.178)

odakle zakljucujemo da su tri impendanse nezavisne, a cetvrta je zavisna. Zakljucak : Linearna

pasivna, reciprocna mreza sa dva pristupa, potpuno je u pogledu napona i struja na pristupima

odreena sa tri svoje impendanse otvorene i kratko spojene mreze (bilo koje tri od Z01, Z

02,

Zk1, Z

k2). Sada imamo 7 vrsta primarnih parametara (a, b, h, g, z, y i impendanse Z

01,

Z02, Z

k1, Z

k2).

158

6.4 Simetricne mreze sa dva pristupa

Definicija: Ako postoji osa OO’ koja ne prolazi izmeu istoimenih krajeva (tj. ne prolazi

izmeu 1-1’ i 2-2’) u odnosu na koju je raspored impendansi simetrican, mreza se naziva

simetricnom. tj. ako je jedna polovina ogledalska slika druge polovine kao što to pokazuje

slika 6.118.

1U

1I1

1′

2I 2

2′

2U

1Z 1Z

2Z2Z

4Z 3Z 3Z 4Z

Ο

′Ο

Slika 6.118: Simetricna mreza sa dva pristupa

Ocigledno je da za simetricnu mrezu vazi

Z01

= Z02

= Z0

(6.179)

Zk1

= Zk2

= Zk

(6.180)

Uslov simetrije je izrazen relacijama (6.179) i (6.180) koje dalje daju:

Z01

= Z02

=⇒ a11

= a22

Zk1

= Zk2

=⇒ a22

= a11

Uslov simetrije preko “a” parametara jednostavno se izrazava kao

a11

= a22

Uslov simetrije preko svih parametara je

a11

= a22

b11

= b22

z11

= z22

y11

= y22

det(h∼

) = 1

det(g∼

) = 1

159

Princip uzajamnosti namece vezu izmeu tri parametra, a uslov simetrije namece da su do-

voljna samo dva nezavisna parametra. Zakljucak : Simetricna mreza u pogledu napona i

struje na svojim pristupima potpuno je odreena sa svoja dva nezavisna parametra. Dakle,

proizvoljna mreza sa tri, a simetricna sa dva nezavisna parametra, je potpuno odreena.

6.5 Sekundarni parametri mreza sa dva pristupa

Mreza je zadata sa “a”-parametrima. Na pristupu 1-1’ prikljucen je generator impendanse

Z1, a krajevi 2-2’ su zatvoreni sa impedansom Z

2(slika 6.119).

a

1I

1′

2I 2

2′

1

1Z

gU

2Z1U 2U

1Z ′

Slika 6.119:

Definišu se sljedeci sekundarni parametri.

1. Ulazna impendansa sa strane 1-1’:

Z ′

1=

U1

I1

Jednacine “a”- sistema su:

U1

= a11U

2+ a

12I2

I1

= a21U

2+ a

22I2

Pošto je mreza zatvorena impedansom Z2, sa slike 6.119 vidimo da je napon pristupu 2-2’

jednak U2= Z

2I2. Tada je

Z ′

1=

a11z2+ a

12

a21z2+ a

22

(6.181)

Zbog toga što Z2pripada spoljašnjoj mrezi i što je Z ′

1= f(Z

2) to se Z ′

1naziva sekun-

darnim parametrom.

2. Ulazna impendansa sa strane 2-2’: Z ′

2

160

a

1I

1′

2I 2

2′

1

1Z 1U 2U

2Z ′

1Z

gU

Slika 6.120:

Ulazna impendansa sa strane 2-2’, po definiciji a shodno slici 6.120. uz korišcenje “b”

parametara jednaka je:

Z ′

2=

U2

−I2

U1 = −Z1I1

Z ′

2 =U2

−I2=

b11U1 + b12I1−(b21U1 + b22I1)

Z ′

2 =−b11Z1 + b12b21Z1 − b22

Izrazeno preko “a” parametara imamo:

Z ′

2 =a22Z1 + a12a21Z1 − a11

(6.182)

6.6 Transmitansa

Transmitansa je takoe sekundarni parametar. Postoje transmitanse napona i transmitanse

struje. Transmitansa napona se definiše kao odnos napona na pristupima:

M =U1

U2

preko “a” parametara:

M =a11U2 + a12I2

U2

= a11 + a12I2U2

M = a11 +I2z2

(6.183)

161

Transmitansa stanja se definiše kao odnos struja:

N =I1I2

N =a21U2 + a22I2

I2= a21

U2

I2+ a22

N = a21Z2 + a22 (6.184)

Transmitansa mreze sa definiše kao

T =√M N

T =

√(a11 +

I2Z2

)(a21Z2 + a22) (6.185)

Prenosne funkcije su takoe sekundarni parametri.

6.6.1 Prenosna funkcija napona

Prenosna funkcija napona se definiše kao

Γu = lnM

Γu = ln

(a11 +

I2Z2

)(6.186)

Ako napone zapišemo u obliku:

U1 = U1ejθ1

U2 = U2ejθ2

tada je

Γu = lnM = lnU1

U2

= lnU1

U2ej(θ1−θ2) = ln

U1

U2+ j(θ1 − θ2)

odnosno:

Γu = Au + jBu

gdje je

Au = lnU1

U2

Bu = θ1 − θ2

162

Au - funkcija slabljenja napona. Ako je U1 = U2 tada je Au = 0 odnosno kazemo da nema

slabljenja napona. Bu - fazna funkcija napona tj. funkcija faznog zaostajanja napona.

6.6.2 Prenosna funkcija struje

Prenosna funkcija struje se definiše kao:

Γi = lnN = ln(a21Z

2+ a

22) (6.187)

Ako prikazemo struje u obliku:

I1

= I1ejψ

1

I2

= I2ejψ2

tada je

Γi = Ai + jBi

gdje je

Ai = lnI1I2

Bi = ψ1− ψ

2

Ai - funkcija slabljenja struje. Bi - fazna funkcija struje.

6.6.3 Prenosna funkcija mreze

Prenosna funkcija mreze se definiše kao

Γ = lnT

Γ = ln

√(a11+

I2

Z2

)(a

21Z

2+ a

22) (6.188)

Ako se uzme

Γ = lnT = ln√N M =

1

2(lnM + lnN) =

1

2(Γu + Γi) (6.189)

Dakle prenosna funkcija je algebarska sredina prenosnih funkcija napona i struje. Ako napišemo

163

Γ = A+ jB

gdje je

A =1

2(Au + Ai)

funkcija slabljenja mreze a

B =1

2(Bu +Bi)

fazna funkcija mreze. Dalje je

A =1

2(Au + Ai) =

1

2

(ln

U1

U2

+ lnI1I2

)=

1

2ln

U1I1U2I2

=1

2ln

S1

S2

A =1

2ln

S1

S2

gdje je S prividna snaga.

B =1

2[(θ1 − θ2) + (ψ

1− ψ

2)]

Vidimo da su transmitansa i prenosne funkcije cisti brojevi tj. bez dimenzije. Slabljenje se

moze izraziti i preko prirodnih logaritama i dekadnih logaritama. Da bi se pravila razlika

uvode se opisne jedinice slabljenja. Za B - stepeni ili radijana za

A =1

2ln

S1

S2

= n

gdje je n cisti broj. Meutim, dodjeljujemo mu jedinicu Neper, pa kazemo da je A = nNp tj.

A = n Nepera = n [Np] . Ako transformišemo prethodne izraze, odnosno izrazimo prirodne

algoritne preko dekadskih dobijamo:

A =1

2ln

S1

S2

=1Np

20 log e10 log

S1

S2

n′ = 10 logS1

S2

A = n′1Np

20 log e= n′dB

dB je oznaka za decibel (deseti dio 1 Bela)

1dB =1Np

20 log e=⇒ 1Np = 8.686dB

164

6.7 Izbor sekundarnih parametara

Dvije ulazne impedanse, transmitanse i prenosna funkcije nazivaju se zajednickim imenom

sekundarni parametri mreza sa dva para krajeva. Za razliku od primarnih parametara koji

zavise samo od konfiguracije mreze i njenih impedansi, sekundarni parmetri zavise još od

impedansi Z1 i Z2 kojima je mreza na svojim pristupima zatvorena. Pošto je u pogledu

napona i struja mreza sa dva pristupa potpuno odreena sa svoja tri nezavisna parametra ona

je odreena i sa svoja tri serkundarna parametra. Na primjer:

1. Z ′

1, Z ′

2, (jedna od transmitansi M , N ili T ).

2. Z ′

1, Z ′

2, (jedna od prenosnih funkcija Γu, Γi, Γ).

Obicno se bira sledeca trojka sekundarnih parametara: Z ′

1, Z ′

2, Γ. U sklopu ove posebne

trojke imamo nekoliko vrsta parametara:

a) karakteristicni parametri koji se definišu za simetricne mreze sa dva pristupa,

b) iterativni - parametri,

c) imaz - parametri.

Pored sekundarnih, kao što smo rekli definišu se i radni parametri, prenosni parametri,

parametri rasijanja i sl.

6.8 Karakteristicni parametri

Karakteristicni parametri se definišu samo za simetricnu mrezu sa dva pristupa. Polazeci od:

Z ′

1=

a11Z

2+ a

12

a21Z

2+ a

22

Z ′

2=

a22Z

1+ a

12

a21Z

1+ a

11

Za slucaj simetricnih mreza sa dva pristupa vazi:

a11

= a22

pa je

165

Z ′

1=

a11Z

2+ a

12

a21Z

2+ a

22

Z ′

2=

a11Z

1+ a

12

a21Z

1+ a

11

Prenosna funkcija

Γ =1

2(Γ

u+ Γ

i)

Γu

= ln

(a11+

a12

Z2

)Γi

= ln(a21Z

2+ a

22)

Vrijednosti datih sekundarnih parametara simetricne mreze sa dva pristupa bice potpuno

odreeni ako su pored “a” - parametara (dva “a” - parametra) poznate još i impedanse Z1 i

Z2. Sekundarni parametri simetricne mreze obicno se definišu kada su impedanse Z1 = Z2 i

jednake isto tako ulaznim impedansama Z ′

1i Z ′

2, tj.

Z ′

1= Z ′

2= Z

1= Z

2= Z

c(6.190)

Za ovako definisani rezim simetricne mreze sa dva para krajeva ova zajednicka vrijednost

ulaznih impedansi i impedansi Z1 i Z2 naziva se njenom karakteristicnom impedansom (Zc).

Krakteristicna impedansa se izracunava iz jednog od navedenih izraza za ulazne impedanse

stavljajuci

Z1= Z ′

2= Z

c

ili

Z2= Z ′

1= Z

c

u izraze za Z ′

1ili Z ′

2. Na jedan od ovih nacina dobija se

Zc=

a11Z

c+ a

12

a21Z

c+ a

22

=⇒ Zc=

√a12

a21

=√|Z|

Koristeci vezu za “a” parametre: det(a∼

) = 1 i a11

= a22

za simetricne mreze imamo

Zc=

√a211− 1

a21

(6.191)

Za posmatrani rezim (karakteristicni rezim) prenosne funkcije napona i struje su jednake i to

166

Γu= Γ

i= ln(a

11+√a12a21)

Prenosna funkcija simetricne mreze je:

Γc=

1

2(Γ

u+ Γ

i) = Γ

u= Γ

i= ln(a

11+√a12a21)

Γc= ln(a

11+√a12.a

21) = ln

(a11+√a211− 1

)(6.192)

Prenosnu funkciju simetricne mreze mozemo zapisati u obliku

Γc= Ac + jBc

gdje je: Ac - karakteristicno slabljenje simetricne mreze; Bc - karakteristicno fazno zaostajanje.

Pošto su simetricne mreze sa dva pristupa potpuno odreene sa dva parametra u ovom slucaju

to su Zc i Γc.

,c c

Z Γ

1I

1′

2I 2

2′

1

2Z1U 2U

cZ

Slika 6.121:

U interesu je da se Zc i Γc izraze preko Z0, Zk (impedanse otvorene i kratko spojene

mreze). Izrazimo “a” parametre preko karakteristicnih parametara. Iz jednacine (6.192)

mozemo napisati:

eΓc = a11+√a211− 1

e−Γc =1

a11+√a211− 1

Kada racionališemo predhodni izraz dobijamo

e−Γc = a11−√a211− 1

Definišemo:

167

cosh Γc=

eΓc + e−Γc

2=

a11+√a211− 1 + a

11−√a211− 1

2

tj.

a11

= cosh Γ (6.193)

Definišimo sinus hiperbolni

sinh Γc=

eΓc − e−Γc

2=

√a211− 1

koristeci vezu izmeu “a” - parametara dobijamo da je

sinh Γc=

√a12.a

21

Ako uzmemo u obzir da je

Zc=

√a12

a21

=⇒ Z2

c=

a12

a21

=⇒ a12

= a21Z2

c

i ako ovo uvrstimo u sinhΓcdobijamo:

sinh Γc=

√a221.Z2

c= a

21.Z

c

odakle se dobija

a21

=sinhΓ

c

Zc

(6.194)

Prema tome, za simetricnu mrezu vazi da je

a11

= a22

= cosh Γc

(6.195)

a21

=sinh Γ

c

Zc

(6.196)

a12

= Zcsinh Γ

c(6.197)

Iz relacija (6.195), (6.196) i (6.197) dobijaju se “a” parametri preko karakteristicnih param-

etara. Koristeci ove relacije mozemo “a” sistem jednacina za simetricnu mrezu napisati kao:

U1

= U2cosh Γ

c+ Z

cI2sinh Γ

c(6.198)

I1

= U2

sinh Γc

Zc

+ I2cosh Γ

c(6.199)

Karakteristicni parametri se definišu samo za simetricne mreze.

168

6.9 Iterativni parametri

Iteratirni parametri mreze sa dva para krajeva predstavljaju njene sekundarne parametre kada

je impedansa Z ′

2jednaka impedansi Z

1a Z ′

1jednaka Z

2, tj

Z ′

1= Z

2= Z

1it

Z ′

2= Z

1= Z

2it

Iterativni parametri se definišu za proizvoljnu mrezu sa dva para krajeva, za razliku od karak-

teristicnih parametara koji se definišu samo za simetricnu mrezu sa dva para krajeva. Odabi-

ramo impedansu Z2tako da se ponavlja na ulazu (slika 6.122.) Zato naziv "iterativni".

1I

1′

2I 2

2′

1

2 1itZ Z=1U 2U

1 1itZ Z ′=

a

Slika 6.122:

1I

2′

2I1

1′

2

1 2itZ Z= 2U1U

2 2itZ Z ′=

a

Slika 6.123:

Odabiramo Z1tako da se ona ponavlja na ulazu 2-2’ (slika 6.123), tj.

Z ′

2= Z

1= Z

2it

Ove iterativne (ponavljajuce) impedanse mozemo odrediti iz relacija za Z ′

1i Z ′

2, tj.

169

Z ′

1= Z

1it=

a11Z1it

+ a12

a21Z1it

+ a22

=⇒ a21Z2

1it+ (a

22− a

11)Z

1it− a

12= 0

Z ′

2= Z

2it=

a22Z2it

+ a12

a21Z2it

+ a11

=⇒ a21Z2

2it+ (a

11− a

22)Z

2it− a

12= 0

odakle se dobija

Z1it

=a11− a

22+√(a

11− a

22)2 + 4a

12a21

2a21

(6.200)

Z2it

=a22− a

11+√(a

22− a

11)2 + 4a

12a21

2a21

(6.201)

Treci iterativni parametar, analogno prethodnom razmatranju predstavlja prenosnu funkciju

mreze kada je ona zatvorena svojim iterativnim impedansama.

Z1it

=U1

I1

=U2

I2

Odavde se dobijaU1

U2

=I1

I2

Kao posledica ovog slijedi da je Γu= Γ

i= Γ

ittj.

Γit= ln

I1

I2

= ln(a21Z1it

+ a22)

Ako uvrstimo Z1it

iz relacije (6.200) imamo

Γit= ln

a11+ a

22+√(a

11− a

22)2 + 4a

12a21

2

Uz uslov det(a∼

) = 1 slijedi

Γit= ln

a11+ a

22+√(a

11+ a

22)2 − 4

2(6.202)

Pošto je proizvoljna mreza potpuno odreena sa svoja tri nezavisna parametra (primarna) to

je i potpuno odreena sa tri nezavisna iterativna parametra: Z1it, Z

2it, Γ

it. U interesu je

izraziti “a” parametre preko Z1it, Z

2iti Γ

it. Polazeci od relacija:

eΓit =a11+ a

22+√(a

11+ a

22)2 − 4

2

e−Γit =2

a11+ a

22+√(a

11+ a

22)2 − 4

170

Definišemo

cosh Γit

=a11+ a

22

2

sinh Γit

=

√(a

11+ a

22)2 − 4

2

Sada saberimo Z1it

i Z2it

pa dobijamo

Z1it

+ Z2it

=

√(a

11− a

22)2 + 4a

12a21

a21

=2 sinh Γ

it

a21

Odavde se dobija

a21

=2

Z1it

+ Z2it

sinh Γit

(6.203)

Ako sada napravimo proizvod:

Z1itZ2it

=a12

a21

Iz relacije (6.203) uvrstimo a21

pa dobijamo

a12

= a21Z1itZ2it

= 2Z1itZ2it

Z1it

+ Z2it

sinh Γit

(6.204)

Ako napravimo razliku dobicemo:

Z1it

− Z2it

=a11− a

22

2a21

Koristeci i relaciju

cosh Γit=

a11+ a

22

2

slijedi

a11− a

22= 2a

21(Z

1it− Z

2it)

ako iz relacije (6.203) uvrstimo a21

dobijamo:

a11− a

22= 2

(Z1it

− Z2it)

Z1it

+ Z2it

sinh Γit

a11+ a

22= 2 cosh Γ

it(6.205)

Iz relacije (6.205) sa dvije nepoznate dobijamo:

a11

= cosh Γit+

Z1it

− Z2it

Z1it

+ Z2it

sinh Γit

(6.206)

a22

= cosh Γit− Z

1it− Z

2it

Z1it

+ Z2it

sinh Γit

(6.207)

171

Za slucaj simetricne mreze iterativni parametri se svode na karakteristicne tj.

Γit= Γ

c

i tada takoe vazi

a11

= a22

Z1it

= Z2it

= Zc

6.10 Imaz parametri

Imaz parametri mreze sa dva pristupa su njeni sekundarni parametri kada je: Z1= Z ′

1a

istovremeno Z2= Z ′

2(slika 6.124). Ove dvije impedanse nazivaju se imaz impedansama

mreze sa dva pristupa i oznacavaju:

Z1

= Z ′

1= Z

1im(6.208)

Z2

= Z ′

2= Z

2im(6.209)

1I

1′

2I 2

2′

1

2imZ1U 2U

1imZ

a

1I

2′

2I1

1′

2

1imZ 2U1U

2imZ

a

1Z

2Z

Slika 6.124:

Francuski: imaz ogledalo. Na pristupu je impedansa ogledalska slika uz uslov da je

zatvorena mreza na drugom pristupu istovremeno. Ako relacije (6.208) i (6.209) uvrstimo

u izraze za Z ′

1i Z ′

1dobijamo

172

a21Z1im

Z2im

+ a22Z1im

− a11Z2im

− a12

= 0

a21Z1im

Z2im

− a22Z1im

+ a11Z2im

− a12

= 0

Ove se jednacine svode na prostiji oblik

a21Z1im

Z2im

= a12

a22Z1im

= a11Z2im

Odavde se dobija

Z1im

=

√a12a11

a21a22

(6.210)

Z2im

=

√a12a22

a21a11

(6.211)

Treci parametar mreze, njena prenosna funkcija koja u slucaju kada je mreza yatvorena imaz

- impedansama se naziva imaz - funkcija mreze i ima oblik

Γim

=1

2

(ln

U1

U2

+ lnI1

I2

)=

1

2

[ln

(a11+

a12

Z2im

)+ ln (a

21Z2im

+ a22)

]

Kada se zamijeni Z2im

iz relacije (6.211) dobijamo:

Γim

= ln(√a11a22+√a12a21) (6.212)

Dakle, opšta mreza bi bila odreena sa svoja tr parametra Z1im

, Z2im

, Γim. U interesu je

izraziti “a” parametre preko imaz parametara. Iz relacija

e−Γim =√a11a22+√a12a21

eΓim =1

√a11a22+√a12a21

=√a11a22−√

a12a21

Tada je

coshΓim

=1

2(eΓim + e−Γim) =

√a11a22

(6.213)

sinhΓim

=1

2(eΓim − e−Γim) =

√a12a21

(6.214)

Iz izraza za imaz-impedanse imamo da je

173

a11

a22

=Z1im

Z2im

(6.215)

a12

a21

= Z1im

Z2im

(6.216)

Koristeci (6.213), (6.214), (6.215) i (6.216) odreujemo “a” parametre kao

a11

=

√Z1im

Z2im

cosh Γim

(6.217)

a22

=

√Z2im

Z1im

cosh Γim

(6.218)

a12

=√Z1im

Z2im

sinh Γim

(6.219)

a21

=sinhΓ

im√Z1im

Z2im

(6.220)

U slucaju simetricne mreze imaz parametri se svode na karakteristicne:

a11

= a22

Z1im

= Z2im

= Zc

Γim

= Γc

Sada je “a” sistem jednacina preko imaz -parametara

U1

=

√Z1im

Z2im

(U2cosh Γ

im+ I

2Z2im

sinh Γim) (6.221)

I1

=

√Z2im

Z1im

(U2sinhΓ

im

Z2im

+ I2cosh Γ

im

)(6.222)

Ako se umjesto imaz - impedansi kao treci parametar uvede

n =

√Z1im

Z2im

=

√a11

a22

(6.223)

i u slucaju da je n realan broj (n ∈ R) oblik jednacina (6.221) i (6.222) pokazuje da se jedna

nesimetricna mreza sa dva pristupa moze zamijeniti kaskadnom vezom idealnog transformatora

174

prenosnog odnosa n i simetricne mreze cija je karakeristicna impedansa:

Zc

= Z2im

Γc

= Γim

1 2, ,im im imZ Z Γ

1I1

1′

2I 2

2′

a

ili1U 2U

Slika 6.125:

Šemu prikazanu na slici 6.125., prema relacijama (6.221) i (6.222) uz uslov da n ∈ R

mozemo zamijeniti šemom koja je prikazana na slici 6.126 a da se prilike na pristupima ne

promijene. U ovom sluicaju imamo kaskadnu vezu (za kraj jedne veze se druga mreza).

2c im

c im

Z Z=

Γ = Γ

1I 2I 2

2′

2U

1

1′

1U

Slika 6.126:

6.11 Specijalne mreze sa dva para krajeva

6.11.1 "T" - mreza sa dva para krajeva

Kada je raspored impedansi mreze sa dva pristupa u obliku slova "T" onda se ona naziva T

- mreza. Ovo je jedan od osnovnih i najvaznijih oblika mreza sa dva para krajeva (npr. celije

elektricnih filtara obicno su predstavljene T - šemom). Šema "T" mreze je sledeca

Pošto su 1’i 2’ kratko spojeni moze se mreza nazvati mrezom sa tri kraja. Z ′

1i Z ′

2su redne

impedanse T - mreze, Z2- otocna impedansa T - mreze. U mnogim elektronskim sklopovima

175

1I1

1′

2I 2

2′

1Z ′

2Z1U 2U

1Z ′′

Slika 6.127: "T" mreza sa dva para krajeva

upotrebljavaju se simetricne "T" - mreze za koje vazi

Z ′

1= Z

′′

1=

Z1

2

tako da je šema simetricne simetricne "T" - mreze

1I1

1′

2I 2

2′

1 /2Z

2Z1U 2U

1 /2Z

Slika 6.128: Simetricna "T" mreza

Za impedanse otvorene i kratko spojene mreze imali smo

Z0

=a11

a21

(6.224)

Zk

=a12

a22

(6.225)

a karakteristicna impedansa

Zc=

√a12

a21

(6.226)

Iz relacija (6.224), (6.225) i (6.226) dobija se

Zc=

√Z

0Z

k(6.227)

tj. dobijamo izraz za karakteristicnu impedansu (bilo koje) simetricne mreze sa dva para

krajeva preko Z0i Z

k.

176

6.11.2 Karakteristicni parametri simetricne "T" mreze

Karakteristicna impedansa "T" mreze

Karakteristicna impedansa simetricne "T" mreze jednaka je

ZT

c=

√Z

0Z

k

gdje je Z0- ulazna impedansa sa 1-1’ kada su 2-2’ otvoreni pa je (slika 6.128):

Z0=

Z1

2+ Z

2

Zk- ulazna impedansa sa 1-1’ kada su 2-2’ kratko spojeni pa je (slika 6.128):

Zk=

Z1

2+

Z1Z

2

Z1+ 2Z

2

Ako izraze za Z0i Z

kuvrstimo uvrstimo u ZT

cdobijamo

ZT

c=

√Z

1Z

2

(1 +

Z1

4Z2

)(6.228)

gdje je: Zk- ukupna redna impedansa (za simetricnu "T" mrezu)

Karakteristicna prenosna funkcija "T" mreze

Karakteristicna prenosna funkcija "T" mreze se definiše za karakteristicni rezim kada je 2-2’

zatvoreno svojom karakteristicnom impedansom ZT

ckao što pokazuje slika 6.129 pa mozemo

pisati:

Γc= ln

U1

U2

= lnI1

I2

1I1

1′

2I 2

2′

1 /2Z

2Z1U 2U

1 /2Z

TcZ

T

cZ

Slika 6.129:

177

U1

= ZT

cI1=

Z1

2I1+ (

Z1

2+ ZT

c)I

2=⇒

I1

I2

=ZT

c+ Z

1

2

ZT

c−

Z1

2

I1

I2

= eΓc =

√1 + Z

1

4Z2

+√

Z1

4Z2√

1 + Z1

4Z2

−

√Z1

4Z2

√1 + Z

1

4Z2

+√

Z1

4Z2√

1 + Z1

4Z2

+√

Z1

4Z2

I1

I2

= eΓc =

(√1 +

Z1

4Z2

+

√Z1

4Z2

)2/ln

Γc= 2 ln

(√1 +

Z1

4Z2

+

√Z1

4Z2

)(6.229)

Pored ovog izraza za Γcimamo i izraz preko hiperbolnih funkcija:

cosh Γc= a

11= 1 +

Z1

2Z2

(6.230)

Relacija (6.230) predastavlja Campbell-ovu jednakost.

6.11.3 "Π" mreza sa dva para krajeva

"Π" (pi) - mreza sa dva pristupa ima raspored impedansi u obliku velikog grckog slovaΠ. Pored

"T" mreze, "Π" mreza je jedna od osnovnih mreza sa dva pristupa cija je šema prikazana na

slici 6.130.

1I1

1′

2I 2

2′

2Z ′′1U 2U

1Z

2Z ′

Slika 6.130: Π mreza sa dva para krajeva

Na slici 6.130. Z1- je redna impedansa "Π" - mreze a Z ′

2i Z ′′

2- su otocne impedanse "Π"

- mreze. Najviše je u upotrebi simetricna "Π" mreza kod koje su:

Z ′

2= Z ′′

2= 2Z

2

Obicno se se uzima 2Z2da bi zbog paralelne veza ukupna otocna impedansa bila Z

2, dok

178

je kod redne veze Z1/2 da bi ukupna bila Z

1.Ovo je vazno kod oznacavanja i kod Γ

cradi

jednoobraznosti relacije.

6.11.4 Karakteristicni parametri simetricne "Π" mreze

Karakteristicna impedansa simetricne "Π" mreze

cZΠ

1I1

1′

2I 2

2′

1U 2U

1Z

22Z

cZΠ

22Z

I

I ′ I ′′

Slika 6.131:

Karakteristicni rezim je kada je mreza zatvorena ulaznom impedansom pa je karakteris-

ticna impedansa "Π" - mreze

ZΠ

c=

√Z0Zk

gdje je (slika 6.131.) Z0 impedansa za otvorene 2-2’ krajeve

Z0 =2Z2(Z1 + 2Z2)

Z1 + 4Z2

a Zkimpedansa za kratkospojene 2-2’ krajeve

Zk=

2Z1Z2

Z1 + 2Z2

Zamjenom u ZΠ

cdobijamo

ZΠ

c=

√Z1Z2

1 + Z1

4Z2

(6.231)

U relaciji (6.231) Z2 predstavlja ukupnu otocnu impedansu "Π" ili "T" mreze a Z1 ukupnu

rednu impedansu "Π" ili "T" mreze.

Karakteristicna prenosna prenosna funkcija simetricne "Π" - mreze

Karakteristicna prenosna prenosna funkcija simetricne "Π" - mreze se dobija iz

179

I = I1 − I ′ = I1 −U1

2Z2

(6.232)

I = I2 + I´= I2 +U2

2Z2

(6.233)

Iz relacija (6.232) i (6.233) slijedi da je

I1 −U1

2Z2

= I2 +U2

2Z2

Takoe, znamo da je:

U1 = ZΠ

cI1

U2 = ZΠ

cI2

pa dobijamo:

I1 −ZΠ

cI1

2Z2

= I2 +ZΠ

cI2

2Z2

(6.234)

Iz relacije (6.234) dobijamo odnosI1I2

=2Z2 + ZΠ

c

2Z2− ZΠ

c

(6.235)

Zamjenjujuci relaciju (6.231) u relaciju (6.235) imamo

I1I2

= eΓC =

√1 + Z

1

4Z2

+√

Z1

4Z2√

1 + Z1

4Z2

−

√Z1

4Z2

=

(√1 +

Z1

4Z2

+

√Z1

4Z2

)2

Γc= 2 ln

(√1 +

Z1

4Z2

+

√Z1

4Z2

)(6.236)

Alternativno

cosh Γc= 1 +

Z1

2Z2

(6.237)

što predstavlja Campbell-ovu jednakost. Uporeujuci, dolazimo do zakljucka da je karakter-

isticna prenosna funkcija "T" mreze ista kao i kod "Π" mreze uz oznake: Z1- ukupna redna

impedansa u "T" mrezi; Z2- ukupna otocna impedansa u "Π" mrezi. Tada je proizvod

ZT

cZΠ

c= Z

1Z2

(6.238)

ako znamo ZT

c(ili ZΠ

c) mozemo odrediti ZΠ

c(ili ZT

c).

180

6.11.5 Rešetkasta mreza sa dva para krajeva

Rešetkasta mreza sa dva para krajeva prikazana je na slici 6.132.

1I1

1′

2I 2

2′

1U 2U

aZ

bZ cZ

dZ

Slika 6.132: Rešetkasta mreza

Šemu sa slike 6.132 moguce je nacrtati kao što to pokazuje slika 6.133. koja predstavlja

Vitsonov most.

1I1

1′

2 2′

1U 2U

aZ bZ

cZ dZ

Slika 6.133:

Najcešce je u upotrebi simetricna rešetkasta mreza koja je prikazana na slici 6.134 i

kod koje krajevi 1’ i 2’ nisu kratko vezani za razliku od "Π" i "T" mreza. Za ovu mrezu vazi

da je:

1I1

1′

2I 2

2′

1U 2U2Z

1Z

1Z

2Z

Slika 6.134: Simetricna rešetkasta mreza

181

Za

= Zd= Z

1

Zb

= Zc= Z

2

Napomena: Mreze koje se mogu svesti na mreze sa tri kraja (zbog kratke veze npr. 1’

i 2’ krajeva ), kada se taj zajednicki krak moze uzemljiti nazivaju se neuravnotezene mreze

sa dva pristupa (kao što su "T" i "Π" mreza ). Mreze koje se ne mogu svesti na mreze sa tri

kraja nazivaju se uravnotezene mreze sa dva pristupa (kao što je rešetkasta mreza).

6.11.6 Karakteristicni parametri simetricne rešetkaste mreze

Karakteristicna impedansa Zc.

Polazeci od relacije:

Zc=

√Z

0Z

k

gdje je (sa šeme Vitsonovog mosta) impedansa za otvorene krajeve 2-2’ jednaka

Z0=

Z1+ Z

2

2

a impedansa za kratko spojene krajeve 2-2’

Zk= 2

Z1Z

2

Z1+ Z

2

Dobijamo da je sada

Zc=

√Z

1Z

2(6.239)

Izraz (6.239) za karakteristicnu impedansu simetricne rešetkaste mreze je jednostavniji od istih

izraza za "Π" ili "T" mrezu.

Karakteristicna prenosna funkcija simetricne rešetkaste mreze

Karakteristicna prenosna funkcija simetricne rešetkaste mreze je

cosh Γc= a

11=

Z2+ Z

1

Z2− Z

1

(6.240)

Koristeci elementarne transformacije izmeu hiperbolnih funkcija mozemo zapisati

tanhΓc

2=

√Z

1

Z2

(6.241)

182

Iz (6.239) i (6.241) kao jednostavne funkcionalne zavisnosti Zci Γ

cod Z

1i Z

2tj. od topologije

mreze slijedi velika primjena rešetkastih simetricnih mreza.

6.11.7 Premoštena "T" mreza

Šema premoštene "T" mreze je prikazana na slici 6.135.

1I1

1′

2I 2

2′

1 /2Z

2Z1U 2U

1 /2Z

3Z

Slika 6.135: Premošcena T mreza

Mreza prikazana na slici 6.135 je simetricna premoštena "T" mreza zbog Z1/2.

6.11.8 Karakteristicni parametri simetricne premoštene "T" mreze

Karakteristicna impedansa

Zc=

√Z

0Zk=

√Z

1Z

3(Z

1+ 4Z

2)

4(Z1+ Z

3)

(6.242)

Karakteristicna prenosna funkcija:

cosh Γc= 1 +

Z1

2Z2

⎛⎝ Z

3

Z1+ Z

3+ Z

2

1

4Z2

⎞⎠ (6.243)

6.11.9 "L" mreza

Razlikujemo lijevu "L" mrezu (slika 6.136a).) i desnu "L" - mrezu (slika 6.136a).)

Do "L" mreze se dolazi degeneracijom "T" ili "Π" mreze koje su prikazana na slici 6.137.

"T" - mreza se sastoji od dvije "L" mreze koje su kaskadno vezane što je prikazano na

slici 6.137. Sa iste slike se vidi da se "Π" - mreza sastoji od dvije "L" mreze koje su kaskadno

vezane. Ove mreze su bitne za sklopove koji vrše diferenciranje ili integraljenje ulaznih funkcija

i koji se nazivaju integratori i diferencijatori.

183

1I1

1′

2I 2

2′

1Z

2Z1U 2U

1I1

1′

2I 2

2′

1Z

2Z1U 2U

( )a ( )b

Slika 6.136: Izgled "L" mreze

1I1

1′

2I 2

2′

1 /2Z

2Z1U 2U

1 /2Z

1I1

1′

2I 2

2′

1U 2U

1Z

22Z22Z

Slika 6.137:

6.12 Ekvivalentne mreze sa dva para krajeva

Proizvoljnu mrezu sa dva pristupa mozemo zamijeniti drugom pod uslovom da naponi i struje

na pristupnim krajevima ostanu isti. Mreze koje ispunjavaju ovaj uslov nazivamo ekvivalent-

nim mrezama. Navedeni uslov bice ispunjen za mreze koje imaju iste parametre: primarne ili

sekundarne. Postavka problema je sledeca

Uslov ekvivalentnosti je izrazen sledecom relacijom

a∼

(a) = a∼

(b)

gdje je: a∼

(a) - a∼

matrica mreze prikazane na slci (a) a a∼

(b) - a∼

matrica mreze prikazane na

slici (b). Ako je ovaj uslov zadovoljen tada vaze i ostali uslovi tj.

184

1I1

1′

2I 2

2′

( )aa

1U 2U

1I1

1′

2I 2

2′

( )ba

1U 2U

( )a ( )b

Slika 6.138:

b∼

(a) = b∼

(b)

z∼

(a) = z∼

(b)

y∼

(a) = y∼

(b)

g∼

(a) = g∼

(b)

h∼

(a) = h∼

(b)

Pošto su primarni parametri jednaki tada i sekundarni parametri moraju biti isti tj..

Z(a)01 = Z

(b)c1

Z(a)02 = Z

(b)c2

Pošto je proizvoljna mreza zadata sa tri nezavisna parametra dovoljno je napraviti tri jed-

nakosti nezavisnih parametara mreza prikazanih na slici 6.138a) i 6.138b). Stoga se najprostija

ekvivalentna mreza mora sastojati od tri impedanse (a takve su "T" i "Π" mreza). Dakle,

najprostije ekvivalentne mreze su "T" i "Π" mreza. Zato, mreza sa slike 6.138b) nije bilo koja

proizvoljna mreza vec uzmimo da je to "T" - mreza prikazana na slici 6.139.

1I1

1′

2I 2

2′

1Z ′

2Z1U 2U

1Z ′′

Slika 6.139:

Znaci, data je proizvoljna mreza sa šeme na slici 6.138a) i treba naci njenu ekvivalentnu

185

"T" - mrezu. Impedanse "T" - mreze dobicemo ako izjednacimo jedan sistem parametara

(bilo primarnih ili sekundarnih) za obije mreze. To je najlakše odrediti ako su za mrezu sa

šeme a) poznati “z” parametri pa je uslov ekvivalentnosti:

z∼

(a) = z∼

(b)

Odredimo z∼

(b). Postavljanjem jednacina dobijamo

U1 = Z ′

1I1 + (I1 − I2)Z2

U2 = (I1 − I2)Z2 − I2Z′′

1

Ako ovo uredimo u obliku “z” - sistema jednacina dobijamo

U1 = (Z ′

1 + Z2)I1 + Z2(−I2)

U2 = Z2I1 + (Z2 + Z ′′

1)(−I2)

odakle se dobija

z(b)11 = Z ′

1 + Z2

z(b)12 = Z2

z(b)21 = Z2

z(b)22 = Z2 + Z ′′

1

Iz uslova ekvivalencije sa šemom na slici 6.138a) dobijamo

z(b)11 = Z ′

1 + Z2 = z(a)11

z(b)12 = Z2 = z

(a)12 = z

(a)21

Pošto je z(b)12 = z

(b)21 = Z2 mozemo pisati

z(b)12 = z

(a)12

z(b)21 = z

(a)21

z(b)22 = Z2 + Z ′′

1 = z(a)22

Odavde se dobija

186

Z2 = z(a)12 = z

(a)21

Z ′

1 = z(a)11 − z

(a)12

Z ′′

1 = z(a)22 − z

(a)12

U slucaju simetricne mreze prikazane na slici 6.138a) imamo da je z(a)12 = z

(a)21 pa odavde

slijedi

Z ′

1 = Z ′′

1 =Z1

2= z11 − z12

Pokazacemo prelaz preko “a” - parametara. Dakle, poznata je a∼

matrica mreze na slici 6.138a)

tj. poznati su “a” parametri mreze na slici 6.138a). Napišimo jednacine ekvivalentne "T" -

šeme:

U1 = Z ′

1I1 + (I1 − I2)Z2 (6.244)

U2 = (I1 − I2)Z2 − I2Z′′

1 (6.245)

Relaciju (6.245) mozemo zapisati u obliku

U2 = I1Z2 − I2(Z′′

1 + Z2) (6.246)

a iz relacije (6.246) mozemo izraziti struju I1 koja je jednaka

I1 =1

Z2

U2 +

(Z ′′

1 + Z2

Z2

)I2 (6.247)

Iz relacije (6.247) vidimo da je

a(b)21 =

1

Z2

a(b)22 =

Z ′′

1

Z2

+ 1

Ako relaciju (6.247) uvrstimo u relaciju (6.244) dobijamo:

U´1 = (1 +

Z ′

1

Z2

)U2 +

(Z ′

1 + Z ′′

1 +Z ′

1Z′′

1

Z2

)I2 (6.248)

187

Iz relacije (6.248) vidimo da je

a(b)11 = 1 +

Z ′

1

Z2

a(b)12 = Z ′

1 + Z ′′

1 +Z ′

1Z′′

1

Z2

Daklea(b)11 = 1 +

Z′

1

Z2

a(b)12 = Z ′

1 + Z ′′

1 +Z

′

1Z

′′

1

Z2

a(b)21 = 1

Z2

a(b)22 =

Z′′

1

Z2

+ 1

Da bi našli impedanse "T" - mreze dovoljno je iz uslova a∼

(a) = a∼

(b)izjednaciti tri parametra

(nezavisna), npr.

a(a)11 = a

(b)11

a(a)21 = a

(b)21

a(a)22 = a

(b)22

Odakle se dobija

Z2 =1

a(a)21

Z ′

1 =a(a)11 − 1

a(a)21

Z ′′

1 =a(a)22 − 1

a(a)21

Dominirajuci clan je a(a)21 pa da bi mogli izvršiti ekvivalenciju treba da je a

(a)21 = 0 što

predstavlja uslov sa bi mogli izvršiti ekvivalenciju. U slucaju simetricne mreze (slika 6.138a))

kada je a(a)11 = a

(a)22 impedanse su jednake

Z ′

1 = Z ′′

1 =Z1

2=

a(a)11 − 1

a(a)21

Z2 =1

a(a)21

6.12.1 Ekvivalentna "Π" - mreza

Šemu na slici 6.138b), koja treba da bude ekvivalentna polaznoj šemi na slici 6.138a) pred-

stavicemo Π - mrezom:

Najlakši prelaz se odvija ako je šema a) zadata “y” parametrima, a na šemi b) trazimo

188

1I1

1′

2I 2

2′

1U 2U

1Y

1Y ′1Y ′′

A B

Slika 6.140:

admitanse mreze Y1, Y ′

1, Y ′′

1. Tada su jednacine šeme "Π" - mreze:

- KZS za cvor A:

I1= (U

1− U2)Y 1 + U1Y

′

2

- KZS za cvor B:

I2 = −U2Y′′

2 + (U1 − U2)Y 1

Preuredimo ove jednacine da dobijemo “y”- sistem jednacina

I1 = (Y 1 + Y ′

2)U1 − Y 1U2 (6.249)

−I2 = −Y 1U1 + (Y 1 + Y ′′

2)U2 (6.250)

odakle se dobijaju “y” parametri za šemu b)

y(b)11

= Y 1 + Y ′

2

y(b)12

= y(b)21

= −Y 1

y(b)22

= Y 1 + Y ′′

2

Uslov ekvivalencije je y∼

(a) = y∼

(b)što se dovoljno izrazava preko tri jednakosti:

y(a)11

= y(b)11

= Y 1 + Y ′

2

y(a)12

= y(a)21

= y(b)12

= y(b)21

= −Y 1

y(a)22

= y(b)22

= Y 1 + Y ′′

2

Odavde se dobija:

189

Y 1 = −y(a)12

Y ′

2 = y(a)11

+ y(a)12

Y ′′

2 = y(a)22

+ y(a)12

Dakle, preko Y - parametara šeme a) najlakše se odreuju admitanse "Π"- mreze. Izracu-

nacemo impedanse "Π"- mreze preko “a” parametara šeme a)

1I1

1′

2I 2

2′

2Z ′′1U 2U

1Z

2Z ′

I

Slika 6.141:

U ovom slucaju "Π" mreza je zadata impedansama Z1, Z ′

2, Z ′′

2. Jednacine ove "Π" mreze

su:

U1 = Z1I + U2

I1 =U1

Z´2

+ I

I = I2 +U2

Z´2

Ako ovo I uvrstimo u gornje jednacine i sredimo u obliku “a” jednacina dobicemo

U1 =

(1 +

Z1

Z ′′

2

)U2 + Z1I2

I1 =

(1

Z ′

2

+1

Z ′′

2

+Z1

Z ′

2Z′′

2

)U2 +

(1 +

Z1

Z ′

2

)I2

190

Odavde se dobija

a(b)11 = 1 +

Z1

Z ′′

2

a(b)12 = Z1

a(b)21 =

1

Z ′

2

+1

Z ′′

2

+Z1

Z ′

2Z′′

2

a(b)22 = 1 +

Z1

Z ′

2

Iz uslova ekvivalentnosti a∼

(a) = a∼

(b)koji se svodi na dovoljne tri jednacine jednakosti tj.

a(a)11 = a

(b)22

a(a)12 = a(b)12

a(a)22 = a

(b)22

odakle se dobija

Z1 = a(a)12

Z ′

2 =a(a)12

a(a)22 − 1

Z ′′

2 =a(a)12

a(a)11 − 1

U slucaju simetricne mreze dobijamo

Z ′

2 = Z ′′

2 = 2Z2 =a(a)12

a(a)11 − 1

jer je a11 = a22 za simetricnu "T" - mrezu.

6.12.2 Ekvivalentnost "T" i "Π" mreze

Iz rasporeda impedansi vidi se da je prelaz:

1. "T" −→ "Π" predstavlja prelaz −→

2. "Π"−→ "T" predstavlja prela −→

tj. prelaz se obavlja preko transformacije impedansi polazne "T" tj. "Π" mreze.

191

6.12.3 Ekvivalentnost simetricne "T" mreze i simetricne rešetkaste

mreze

Simetricna mreza potpuno je odreena sa svoja dva primarna ili sekundarna nezavisna parame-

tra pa se ekvivalentnost simetricnih mreza svodi na jednakost dva primarna ili sekundarna

parametra (nezavisna).

1I1

1′

2I 2

2′

1 /2Z

2Z1U 2U

1 /2Z1I1

1′

2I 2

2′

1U 2U

aZ

bZ bZ

aZ

( )a ( )b

Slika 6.142:

U ovom slucaju (simetricne "T" i rešetkaste mreze) jednakost je nalakše izraziti preko

otvorene i kratkospojene mreze tj.

Z(a)0 = Z

(b)0

Z(a)k

= Z(b)k

odakle se dobija (sa slike 6.142):

Z1

2+ Z2 =

1

2(Z

a+ Z

b)

Z1

2+

Z1Z2

Z1 + Z2

= 2ZaZb

Za+ Z

b

odakle se dobija:

ZaZb

=Z1

2

(Z1

2+ 2Z2

)

Za+ Z

b=

Z1

2+

(Z1

2+ 2Z2

)

pa dobijamo dva rješenja ovog sistema jednacina:

192

• prvo rješenje

Za

=Z1

2

Zb

=Z1

2+ 2Z2

• drugo rješenje

Za

=Z1

2+ 2Z2

Zb

=Z1

2

Odavde izvodimo zakljucak da jednoj simetricnoj "T" mrezi odgovaraju dvije simetricne

rešetkaste mreze (prelaz "T"−→"X"). Ako hocemo da dobijemo impedanse simetricne "T"

mreze preko simetricne rešetkaste mreze tada takoe dobijamo dva rješenja i to: (prelaz

"X"−→"T")

• prvo rješenje

Z1 = 2Za

Z2 =Zb− Z

a

2

• drugo rješenje

Z1 = 2Zb

Z2 =Za− Z

b

2

Ovo znaci da jednoj simetricnoj rešetkastoj mrezi odgovaraju dvije simetricne "T" - mreze.

Matematicki, ova dva prelaza su potpuno ista. Sa stanovišta realizacije prelazom "X"−→"T"

moze da se desi da realni dio impedanse Z2 bude negativan što se u stvarnosti ne moze ostvariti

pasivnim elementima. Kada je ovaj realni dio pozitivan prelaz je proizvoljan poprvom ili

drugom rješenju. Matematicki, ova dva prelaza su istovjetna kao i za prelaze "T"−→"X".

6.12.4 Ekvivalentnost simetricne premoštene "T"mreze i simetricne

"T" mreze

Prelaz cemo najlakše odraditi ako (Z1

2, Z3,

Z1

2

)−→ cime se šema a) svodi na oblik

193

1I1

1′

2I 2

2′

1 /2Z

2Z1U 2U

1 /2Z

3Z

1I1

1′

2I 2

2′

/2aZ

bZ1U 2U

/2aZ

( )a ( )b

Slika 6.143:

1I1

1′

2I 2

2′

pZ

2Z

1U 2U

pZ

qZ

Slika 6.144:

Zp =Z1

2Z

3

Z1+ Z

3

Zq =Z2

1

4

Z1+ Z

3

Uporeujuci sa šemom b) dobijamo

Za =Z

1Z

3

Z1+ Z

3

Zb = Z2+

Z2

1

4(Z1+ Z

3)

Ekvivalencija nebi imala smisla za

Z1+ Z

3= 0

(recimo kondenzator i kalem istih vrijednosti reaktivne otpornosti). Obrnuto, tj. dali je

moguce sa "T" - mreze preci na premoštenu "T" - mrezu. Na ovo pitanje dobijamo beskon-

acno mnogo rješenja jer treba preci sa simetricne "T" - mreze (odreene sa dva parametra)

194

na simetricnu premoštenu "T" - mrezu odreenu sa tri parametra odakle je broj rješenja

beskonacan. Postupak: Prvo bi sa šeme b) podijelili na dva dijela Zb

1I1

1′

2I 2

2′

/2a

Z

(1 ) bm Z−

1U 2U

bmZ

/2aZ

Slika 6.145:

m - je proizvoljno pa ima beskonacno mnogo rješenja.

Dalji postupak: −→ (Za

2, Za

2,mZ

b

)dobijemo

Z1

2= 2mZ

b+

Za

2Z

2= (1−m)Z

b

Z3

= Za+

Z2

a

4mZb

1I1

1′

2I 2

2′

1 /2Z

2Z1U 2U

1 /2Z

3Z

Slika 6.146:

Cilj ekvivalentnih šema je da se uprosti polazna šema radi lakšeg odreivanja kola (zato

nikad necemo vršiti prelaz sa simetricne premoštene "T" - mreze na simetricnu "T" - mrezu

uz uslov da to nije teorijski problem koji se rješava gore pomenutim postupkom).

6.13 Vezivanje mreza sa dva para krajeva

Dvije mreze sa jednim pristupom mogu se vezivati na dva nacina i to:

195

-redno

-paralelno

(1)I

U

(1)U

(2)U

MREŽA (1)

MREŽA (2)

(2)I

I

Slika 6.147: Redna veza mreza sa jednim pristupom

U = U (1) + U (2)

I = I(1) = I(2)

Mreza sa jednim pristupom je i pasivni element (otpornik) ili impendansa i slicno

(1)I

(1)U

(2)U

(2)I

MREŽA (1)

MREŽA (2)

U

Slika 6.148: Paralelna veza mreza sa jednim pristupom

U = U (1) = U (2)

I = I(1) + I(2)

Rezultat vezivanja u oba slucaja je slozenija mreza sa jednim pristupom. Za rezliku od mreza

sa jednim pristupom mreze sa dva pristupa mogu se vezivati na više nacina.

196

6.13.1 Redna veza mreza sa dva para krajeva

Šema redne veze dvije mreze sa dva para krajeva prikazana je na slici 6.149.

1 2I 2

1′ 2′

1U

1U ′

1I ′

1I′′

1U ′′

1

2

2U

1I 2I ′

2I′′

2U ′′

2U ′

Slika 6.149: Redna veza mreza sa dva para krajeva

Rezultat vezivanja je ponovo mreza sa dva para krajeva. Vezivanje namece odreene

relacije:

U1

= U ′

1+ U ′′

1(6.251)

I1

= I ′

1= I ′′

1(6.252)

U2 = U ′

2 + U ′′

2 (6.253)

I2 = I ′

2 = I ′′

2 (6.254)

Postavka problema je sljedeca: Izraziti parametre rezultujuce mreze preko parametara dvije

mreze u vezi. Ovaj problem je najlakše riješiti ako su mreze zadate preko "z"-parametara.

[U ′

1

U ′

2

]= z

∼

′

[I ′1−I ′2

][U ′′

1

U ′′

2

]= z

∼

′′

[I ′′1−I ′′2

]

Koristeci veze (6.251), (6.252), (6.253) i (6.254) u matricnom obliku:

197

[U1

U2

]=

[U ′

1

U ′

2

]+

[U ′′

1

U ′′

2

][U1

U2

]= z

∼

′

[I ′1

−I ′2

]+ z

∼

′′

[I ′′1

−I ′′2

]

Mozemo zapisati iz (6.251), (6.252), (6.253) i (6.254):

[I1

−I2

]=

[I ′1

−I ′2

]=

[I ′′1

−I ′′2

]

Sada je

[U1

U2

]= z

∼

′

[I1

−I2

]+ z

∼

′′

[I1

−I2

][U1

U2

]= (z

∼

′ + z∼

′′)

[I1

−I2

][U1

U2

]= z

∼

[I1

−I2

]

gdje je

z∼

′ =(z∼

′ + z∼

′′

)Opšte: Za n− redno vezanih mreza sa dva pristupa, z

∼

′ matrica rezultujuce mreze se dobija

kao

z∼

= z∼

(1) + z∼

(2) + ...+ z∼

(k) + ...+ z∼

(n)

gdje je z∼

(k) (za k = 1, 2, ..., n) z∼

- matrica pojedinacne mreze iz redne veze.

6.13.2 Paralelna veza mreza sa dva pristupa

Šema paralelne veze dvije mreze sa dva para krajeva prikazana je na slici 6.150.

Rezultat paralelne veze je takoer mreza sa dva para krajeva. Relacije koje se namece su

U1 = U ′

1 = U ′

1

I1 = I ′1 + I ′′1

198

1 2I 2

2′

1U

1U ′

1I ′

1I′′

1U ′′

1

2

2U

1I

2I ′

2I′′

2U ′′

2U ′

1′

Slika 6.150: Paralelna veza mreza sa dva para krajeva

U2

= U ′

2= U ′′

2

I2

= I ′

2+ I ′′

2

Najednostavniji nacin za dobijanje parametara rezultujucih mreza je ako su poznati “y” -

parametri mreze 1 i 2 sa slike 6.150.

[I ′

1

−I ′

2

]= y

∼

′

[U ′

1

U ′

2

][

I ′′1

−I ′′2

]= y

∼

′′

[U ′′

1

U ′′

2

]

Koristeci gornje (nametnute) relacije imamo

[I1

−I2

]=

[I ′1

−I ′2

]+

[I ′′1

−I ′′2

][

I1−I2

]= y

∼

′

[U ′

1

U ′

2

]+ y

∼

′′

[U ′′

1

U ′′

2

]

Koristeci da je [U1

U2

]=

[U ′

1

U ′

2

]+

[U ′′

1

U ′′

2

]

sada je [I1

−I2

]= y

∼

′

[U1

U2

]+ y

∼

′′

[U1

U2

]=

(y∼

′ + y∼

′′

)[U1

U2

]

uz uslov

y∼

′ =

(y∼

′ + y∼

′′

)

199

Opšte: Za n - paralelno vezanih mreza sa dva pristupa, “y” - matrice rezultujuce mreze se

dobija kao:

y∼

= y∼

(1) + y∼

(2) + ...+ y∼

(k) + ...+ y∼

(n)

gdje je y∼

(k) (zak = 1, 2, ..., n) y∼

- matrica pojedinacne mreze iz paralelne veze mreze.

6.13.3 Redno-paralelna veza mreza sa dva pristupa

Šema redno-paralelne veze dvije mreze sa dva para krajeva prikazana je na slici 6.151.

1

1′

1U

1U ′

1I ′

1I′′

1U ′′

1

2

1I

2I 2

2′

2U

2I ′

2I′′

2U ′′

2U ′

Slika 6.151: Redno-paralelna veza mreza sa dva para krajeva

Sa pristupa 1-1´ je redna veza, a sa pristupa 2-2´ je paralelna veza pa otuda i naziv redno-

paralelna veza. Rezultat je takoe mreza sa dva pristupa. Uslovi koji se namecu dati su

sledecim relacijama:

U1

= U ′

1+ U ′′

1

I1

= I ′

1= I ′′

1

U2 = U ′

2 = U ′′

2

I2 = I ′

2 + I ′′

2

najednostavniji nacin da izrazimo parametre rezultujuce mreze preko parametara mreza 1 i 2

je preko “h”- parametara.

200

[U ′

1

−I ′

2

]= h

∼

′

[I ′1U ′

2

][

U ′′

1

−I ′′2

]= h

∼

′′

[I ′′1

U ′′

2

]

Dalje je “h” - sistem jednacina za rezultujucu mrezu iz nametnutih relacija

[U1

−I2

]=

[U ′

1

−I ′2

]+

[U ′′

1

−I ′′2

][

I1−I2

]= h

∼

′

[I ′1U ′

2

]+ h

∼

′′

[I ′′1U ′′

2

]

Iz nametnutih relacija imamo da je

[I1U2

]=

[I ′1

U ′

2

]+

[I ′′1

U ′′

2

]

sada je [U1

−I2

]= h

∼

′

[I1U2

]+ h

∼

′′

[I1U2

]=

(h∼

′ + h∼

′′

)[I1U2

]

uz uslov

h∼

=(h∼

′ + h∼

′′

)Opšte: Za n - redno-paralelno vezanih mreza, “h” - matrica rezultujuce mreze se dobija kao

h∼

= h∼

(1) + h∼

(2) + ... + h∼

(k) + ...+ h∼

(n)

gdje je h∼

(k) (za k = 1, 2, ..., n) h∼

- matrica pojedinacne mreze iz redno-paralelne veze mreza.

6.13.4 Paralelno-redna veza mreza sa dva pristupa

Šema paralelno-redne veze dvije mreze sa dva para krajeva prikazana je na slici 6.152.

Na pristupu 1-1´ je paralelna veza a na 2-2´ je redna veza. Relacije koje se namecu su

U1 = U ′

1 = U ′′

1

I1 = I ′1 + I ′′1

201

1

1U

1U ′

1I ′

1I′′

1U ′′

1

2

1I

1′

2I 2

2′

2U

2I ′

2I′′

2U ′′

2U ′

Slika 6.152: Paralelno-redna veza mreza sa dva para krajeva

U2

= U ′

2+ U ′′

2

I2

= I ′

2= I ′′

2

Rezultat vezivanja je takoer mreza sa dva para krajeva. Najednostavnije je izraziti parametre

rezultujuce mreze preko “g” - parametara mreza 1 i 2.

[I ′

1

U ′

2

]= g

∼

′

[U ′

1

−I ′2

][

I ′′1U ′′

2

]= g

∼

′′

[U ′′

1

−I ′′2

]

Za rezultujucu mrezu iz nametnutih relacija

[I1U2

]=

[I ′1

U ′

2

]+

[I ′′1

U ′′

2

][

I1U2

]= g

∼

′

[U ′

1

−I ′2

]+ g

∼

′′

[U ′′

1

−I ′′2

]

nametnute druge relacije su

[U1

−I2

]=

[U ′

1

−I ′2

]+

[U ′′

1

−I ′′2

]

202

sada je [I1

U2

]= g

∼

′

[U ′

1

−I ′2

]+ g

∼

′′

[U ′′

1

−I ′′2

]=

(g∼

′ + g∼

′′

)[U1

−I2

]

gdje je

g∼

=

(g∼

′ + g∼

′′

)

Opšte: Za n - paralelno-redno vezanih mreza, “g” - matrica rezultujuce mreze se dobija kao

g∼

= g∼

(1) + g∼

(2) + ...+ g∼

(k) + ...+ g∼

(n)

gdje je g∼

(k) (za k = 1, 2, ..., n) g∼

- matrica pojedinacne mreze iz paralelno-redne veze mreza.

6.13.5 Povratna sprega (veza) mreza sa dva pristupa

Predstavlja specijalan slucaj redno-paralelne veze. (Engl. feed back) . Povratna sprega je

izuzetno bitna zato je izdvajamo u posebnu vezu.

1

1U 1U ′

1U ′′

1

2

1I

1′

2

2′

2U

( )A s

( )B s

Slika 6.153: Povratna sprega

Sa strane pristupa 1-1´ je redna veza, a sa 2-2´ je paralelna veza. Mreze 1 i 2 se opisuju

funkcijama (ne parametrima). A(s) i B(s) gdje je s - kompleksna ucestanost. Mi cemo uzeti

da su A(s) i B(s) transmitanse napona tj.

A(s) =U

2(s)

U1(s)

obicno se definiše kao velicina izlaznog i ulaznog signala sa mreze i obratno

B(s) =U1(s)

U2(s)

203

jer je za mrezu 2 U ′′

1(s) izlazni napon a U

2(s) je ulazni napon. Mreza sa funkcijom A(s) se

naziva osnovna mreza (sistem), a sa funkcijom B(s) mreza (sistem) povratne sprege. Uslovi

koje namece ova mreza su:

U ′

1= U

1+ U ′′

1

Imamo da je

U ′

1(s) =

U2(s)

A(s)(6.255)

pa je relacija (6.255)

U2(s)

A(s)= U

1(s) +B(s)U

2(s)

odavde je

U2(s)

U1(s)

=A(s)

1−A(s)B(s)

funkcija rezultujuce mreze. Dakle, sa B(s) mozemo da regulišemo rezultujucu funkciju. Za

prikazivanje povratne sprege prvobitno su se koristili blok-dijagrami, a sada se koristi teorija

grafova, tj. teorija signalnih grafova. Prema blok-dijagramu povratna sprega se prikazuje

( )A s

( )B s

( )Q s ( )E s ( )Y s

Slika 6.154:

izlaznu informaciju vracamo i vršimo regulaciju citavog sistema Prema teoriji grafova pro-

toka signala povratna sprega se prikazuje kao

( )Q s ( )E s ( )Y s( )A s

( )B s

1

Slika 6.155:

Kod grafa, grane grafa predstavljaju funkcionalne zavisnosti izmeu cvorova, a cvorovi

204

predstavljaju velicine koje nas interesuju.

E(s) = Q(s) +B(s)Y (s)

Y (s) = A(s)E(s)

Ako eliminišemo E(s) dobijamo

T (s) =Y (s)

Q(s)=

A(s)E(s)

E(s)−B(s)Y (s)=

A(s)E(s)

E(s)−B(s)Y (s)

T (s) =A(s)

1−B(s)A(s)(6.256)

Relacija (6.256) predstavlja rezultujucu mrezu. Postavlja se pitanje: Pod kojim uslovima

izvedene relacije za rednu, paralelnu, redno-paralelnu, paralelno-rednu i povratnu vezu vaze?

Odgovor: Relacije ne vaze uvijek nego se moraju ispuniti uslovi regularnosti. Uslovi regu-

larnosti se odnose na to da poslije vezivanja parametri mreza koje se spajaju ostanu isti tj.

njihova topologija i parametri moraju ostati isti poslije vezivanja. Uzmimo jednostavan slucaj

"T"-mreze i "Π”-mreze (slika 6.156.)

1 2I 2

1′ 2′

1U

1U ′

1I ′

1I′′

1U ′′

2U

1I 2I ′

2I′′

2U ′′

2U ′

Slika 6.156:

Ovom rednom vezom, ove dvije mreze sa dva pristupa smo premostili impendansom "Π"-

mreze pa smo promijenili topologiju "Π" - mreze i ne vazi

z∼

= z1∼

+ z2∼

To je neregularna veza. Ako bi napravili vezu prikazanu na slici 6.157. tada vazi:

z∼

= z1∼

+ z2∼

pa se radi o regularnoj vezi.

205

1 2I 2

1′ 2′

1U

1U ′

1I ′

1I′′

1U ′′

2U

1I 2I ′

2I′′

2U ′′

2U ′

Slika 6.157:

6.13.6 Kaskadna veza mreza sa dva pristupa

Kaskadna veza dvije mreze sa dva para krajeva prikazana je na slici 6.158.

1U ′

1I ′1I′′

1U ′′1 2

1I 2I ′ 2I′′

2U ′′2U ′

1

1′

1U

2I 2

2′

2U

Slika 6.158: Kaskadna veza mreza sa dva krajeva

Kaskadna veza se dobija kada se na jednu mrezu nadoveze druga i tako se moze postici

kaskada ili niz mreza. Rezultat kaskadne veze je takoer mreza sa dva pristupa ili slozenija.

Uslovi koji se namecu na strani pristupa su

U1

= U ′

1

I1

= I ′

1

U2 = U ′′

1

I2 = I ′′

1

U ′′

2 = U2

I ′′

2 = I2

206

Parametri rezultujuce mreze najednostavnije se dobijaju preko “a” - parametara mreza 1 i 2.

Dakle, mreze 1 i 2 opisujemo a∼

- matricama

[U ′

1

I ′1

]= a

∼

′

[U ′

2

I ′2

][U ′′

1

I ′′1

]= a

∼

′′

[U ′′

2

I ′′2

]

Nametnute relacije u matricnom obliku su:

[U1

I1

]=

[U ′

1

I ′1

][U ′

2

I ′2

]=

[U ′′

1

I ′′1

][U ′′

2

I ′′2

]=

[U2

I2

]

sada je

[U ′

1

I ′1

]= a

∼

′

[U ′′

1

I ′′1

]= a

∼

′a∼

′′

[U ′′

2

I ′′2

]= a

∼

′a∼

′′

[U2

I2

]= a

∼

[U2

I2

]

Opšte: za n - kaskadno vezanih mreza sa dva pristupa a∼

- matrica rezultujuce mreze se dobija

kao

a∼

= a∼

(1)a∼

(2)...a∼

(n)

gdje je a∼

(k) − a∼

matrica k-te mreze iz kaskadne veze. Mnogi inzinjerski sklopovi koriste

kaskadnu vezu (elektricni filtri) i sluzi za analizu kola sa rasporeenim parametrima preko

kola sa koncentrisanim parametrima. Na pitanje da li postoje uslovi koje koje sastavne mreze

treba da ispunjavaju, odgovor je da ne treba tj. da za kaskadnu vezu nema uslova regularnosti,

jer se kaskadnom vezom ne moze izmijeniti topologija i parametri sastavnih mreza.

6.14 Konvertori impedansi

Posmatramo mrezu sa dva para krajeva koja je zadata a∼

− matricom i zatvorena na pristupu

2-2’ impendansom Z2 kao što je prikazano na slici 6.159

Definicija: Idealni konvertor impendanse je elektricno kolo sa dva para krajeva koje, kada

je na jednom paru krajeva zatvoreno impendansom Z2, na drugom paru krajeva predstavlja

207

1I

1′

2I 2

2′

1

2Z1U 2U

1Z ′

a

Slika 6.159: Mreza sa dva pristupa

ulaznu impedansu Z′1, koja je direktno proporcionalna Z2 tj.

Z ′

1= kZ

2

Dakle, konvertor impedanse mijenja samo vrijednost impedanse ali ne i njen karakter (pretezno

induktivni ili kapacitivni). Poimo od relacije za ulaznu impendansu preko “a”-parametara

Z ′

1=

a11Z

2+ a

12

a21Z

2+ a

22

da bi od ovog izraza dobili izraz u definiciji, treba da se ispune sledeci uslovi

a12

= 0

a21

= 0

pa je

Z ′

1=

a11

a22

Z2= kZ

2

gdje je

k =a11

a22

faktor konverzije. Dakle, uslovi da bi elektricno kolo bilo idealni konvertor su

a12

= 0

a21

= 0

a11

= 0

a22

= 0

Zatvorimo sada primarne krajeve impendansom Z1kao što to pokazuje slika 6.160

Z ′

2=

a22Z

1+ a

12

a21Z

1+ a

11

208

1I

2′

2I1

1′

2

1Z 2U1U

2Z ′

a

Slika 6.160:

Ako su zadovoljeni uslovi idealnog konvertora imamo

Z ′

2=

a22

a11

Z1= k′Z

1

k′− faktor konverzije

k′ =a22

a11

Dakle, faktor konverzije konvertuje impendansu u oba smjera, ali sa razlicitim stepenom kon-

verzije.

k =1

k′

Izrazeni preko “h”- parametara uslovi idealnog konvertora su

h11

= h11

= 0

h12h21

= −k

Sada cemo pokazati da je tipican predstavnik idealnog konvertora, idealni transformator (slika

6.161).

1I

1′

2I 2

2′

1

2Z1U 2U

1Z ′

: 1m

Slika 6.161: Idealni transformator

209

Jednacine idealnog transformatora su

U1

= −mU2

I1

= −1

mI2

za saglasne krajeve, odnosno u matricnom obliku

[U

1

I1

]=

[−m 0

0 − 1

m

][U

2

I2

]

odakle se dobija da je

a12

= 0

a21

= 0

a11

= −m

a22

= −1

m

pa time idealni transformator zadovoljava uslove idealnog konvertora gdje je

k =a11

a22

=−m

− 1

m

= m2

odakle je

Z ′

1= m2Z

2

Dakle idealni transformator sa pristupa 1-1’ mozemo zamijeniti impendansom m2Z2kao što

je prikazano na slici 6.162.

1I

2

2m Z

1

1′

1U

Slika 6.162:

Obratno, ako bi zatvorili pristup 1-1’ impendansom Z1, tada je ulazna impendansa sa

210

pristupa 2-2’

Z ′

2= k′Z

1

k′ =1

k=

1

m2

Z ′

2=

1

m2Z

1

Dakle idealni transformator sa pristupa 2-2’ mozemo zamijeniti impendansom 1

m2Z2

kao što

je prikazano na slici 6.163.

2I

12

1Z

m

2

2′

2U

Slika 6.163:

Prema tome, idealni transformator vrši konverziju impendanse u oba smjera, ali sa ra-

zlicitim stepenom konverzije. Idealni konvertor ne postoji (kao što ne postoji idealni trans-

formator), ali je to ideal kome se tezi i preko koga se modeluju realni konvertori govoreci o

idealnim konvertorima u oblasti aktivnih linearnih kola.

6.15 Inverotri impedansi

Definicija: Elektricno kolo sa dva pristupa koje, kada je na jednom pristupu zatvoreno

impendansom Z2, ima na drugom pristupu ulaznu impendansu koja je inverzno proporcionalna

sa Z2 za sve frekvencije, naziva se idealnim invertorom.

1I

1′

2I 2

2′

1

2Z1U 2U

1Z ′

a

Slika 6.164:

211

Po definiciji

Z ′

1=

G

Z2

Relacija za ulaznu impendansu preko “a”-parametara je

Z ′

1=

a11Z

2+ a

12

a21Z

2+ a

22

Uporeivanjem ova dva izraza dobijamo

a11

= 0

a22

= 0

Z ′

1=

a12

a21

1

Z2

gdje je

G =a12

a21

faktor inverzije. Dakle, uslovi za idealni invertor preko “a” - parametara su

a11

= 0

a22

= 0

a12

= 0

a21

= 0

Obratno, sa strane pristupa 2-2’ imamo Z ′

2kao ulaznu impendansu za zatvoreni pristup 1-1’

sa Z ′

1kao što je prikazano na slici 6.165.

1I

2′

2I1

1′

2

1Z 2U1U

2Z ′

a

Slika 6.165:

Z ′

2=

a22Z

1+ a

12

a21Z

1+ a

11

212

Uz uslove inverzije imamo i uslov

a11

= 0

a22

= 0

Z ′

2=

a12

a21

1

Z1

= G1

Z1

Dakle, u oba smjera stepen inverzije je isti jer je faktor inverzije u oba smjera isti. Napomena:

Za razliku od konvertora impendanse koji samo mijenja vrijednost zatvorene impendanse na

ulazu, invertor mijenja i vrijednost i karakter impendanse. Na primjer ako je Z2 impendansa,

bila pretezno induktivna ulazna impendansa ce, uz ispunjene uslove inverzije, biti pretezno

kapacitivna i promijenice vrijednost.

Z2= jωL =⇒ Z

1=

G

jωL= −j

1

ω L

G

= −j1

ωC

Uslovi idealnog invertora preko “z”- parametara su

z11

= 0

z22

= 0

z12z21

= G

Tipican predstavnik idealnih invertora je idealni zirator (uveo ga je francuski naucnik Telegen).

Graficki simbol idealnog ziratora je prikazan na slici 6.166.

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U

( )r g

( )a ( )b

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U

( )r g

Slika 6.166: Zirator

Kod idealnog transformatora imamo samo vezu izmeu napona i napona ili izmeu struje

i struje (zato idealni transformator i nema z∼

i y∼

matricu, vec samo hibridne matrice). Za

razliku od idealnog transformatora, zirator povezuje napon i struju na suprotnim pristupima,

213

pa je za šemu na slici 6.166a)

U1

= −rI2

U2

= rI1

Smjer ziracije na šemi je suprotan od I2pa je predznak negativan. U matricnom obliku prikaz

z∼

- matrice:

[U

1

U2

]=

[0 −r

r 0

][I1

I2

]

ili prikaz y∼

- matrice [I1

I2

]=

[0 1

r

−1

r0

][U

1

U2

]

gdje je g - provodnost ziratora

g =1

r

Dakle,

z11

= z22

= 0

z12z21

= −r r = G

su uslovi idealnog invertora, gdje je G - faktor inverzije

G = −r2

Za šemu sa slike 6.166b) znak je pozitivan jer smjer ziracije i struje I2 imaju isti smjer pa je

U1

= rI2

U2

= −rI1

u matricnom obliku prikaz z∼

- matrice:

[U

1

U2

]=

[0 r

−r 0

][I1

I2

]

analogno mozemo dobiti i y∼

- matricu. Dakle, ako imamo idealni zirator koji zatvorimo

impendansom Z2 na pristupu 2-2’ kao što je prikazano na slici 6.167

imamo da je ulazna impendansa jednaka

Z ′

1=

G

Z2

=r2

Z2

214

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U

r

1Z ′

2Z

Slika 6.167:

faktor inverzije G je

G = r2

a sa strane 2-2’

Z2=

r2

Z1

Idealni zirator se ne moze realizovati, ali postoje aktivna kola koja vrše ulogu inverzije (realne).

Razmotrimo sledeci slucaj (slika 6.168.).

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U

r

1Z ′

C

Slika 6.168:

Na pristupu 1-1’ ulazna impendansa je

Z ′

1=

G

Z2

=r2

Z2

Z2

=1

jωC

Z ′

1=

r2

1

jωC

= jωCr2 = jωL

po svojoj prirodi ova impendansa je kalem

L = Cr2

215

Dakle, sa strane 1-1’ kolo mozemo zamijeniti šemom prikazanom na slici 6.169

1I

1′

1

1U2

L r C=

Slika 6.169:

Ova osobina ziratora je veoma bitna za kola visoke integracije. Kalem je potpuno nekom-

patibilan sa ureajima elektronike, a njegova funkcija je nezamijenjiva, pa se ovakvom kombi-

nacijom ziratora postize njegova funkcija. Ovo je fundamentalna korist ziratora. Napomena:

Ulogu konvertora i invertora mozemo dobiti pomocu aktivnih i linearnih kola. Dakle, os-

novnom skupu idealnih elemenata R, L, C, m idealnog transformatora, dodajemo još i idealni

zirator r(g).

6.16 Kontrolisani izvori - Transdukteri

6.16.1 Naponom kontrolisani naponski izvor (NKNI)

Naponom kontrolisani naponski izvor (NKNI) prikazan je na slci 6.170.

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U1Uµ

Slika 6.170: Naponom kontrolisani naponski izvor

Relacije su:

I1

= 0

U2

= µU1

216

što znaci da je napon U2kontrolisan sa naponom U

1. U matricnom obliku

[I1

U2

]=

[0 0

µ 0

][U

1

I2

]

“g” - matrica NKNI

g11

= g22

= g12

= 0

g21

= µ

6.16.2 Strujom kontrolisani naponski izvor (SKNI)

Strujom kontrolisani naponski izvor (SKNI) prikazan je na slici 6.171.

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U1rI

Slika 6.171: Strujom kontrolisani naponski izvor

Relacije su

U1

= 0

U2

= rI1

U matricnom obliku

[U

1

U2

]=

[0 0

r 0

][I1

I2

]

“z” - matrica SKNI

z11

= z22

= z12

= 0

z21

= r

217

6.16.3 Naponom kontrolisani strujni izvor (NKSI)

Naponom kontrolisani strujni izvor (NKSI) je prikazan na slici 6.172

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U1gU

Slika 6.172: Naponom kontrolisani strujni izvor

I1

= 0

I2

= gU1

U matricnom obliku

[I1

I2

]=

[0 0

g 0

][U

1

U2

]

“y” - matrica NKSI

y11

= y22

= y12

= 0

y21

= g

6.16.4 Strujom kontrolisani strujni izvor (SKSI)

Strujom kontrolisani strujni izvor (SKSI) prikazan je na slici 6.173.

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U1Iα

Slika 6.173: Strujom kontrolisani strujni izvor

218

U1

= 0

I2

= αI1

U matricnom obliku

[U

1

I2

]=

[0 0

α 0

][I1

U2

]

“h” - matrica SKSI

h11

= h22

= h12

= 0

h21

= α

Po svojoj strukturi, kontrolisani izvori su idealne mreze sa dva para krajeva. Dakle, idealnim

elementima R, L, C, m, r(g) dodajemo i NKNI, SKNI, NKSI, SKSI. Sa svim ovim elementima

mozemo modelovati bilo koji realni elektricni ureaj.

Problem: Da li mozemo šemu idealnog transformatora i idealnog ziratora predstaviti

preko kontrolisanih izvora?

Odgovor: Prvo idealni transformator (slika 6.174) predstavimo kontrolisanim izvorima.

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U

: 1m

Slika 6.174:

Za ove oznake krajeva i referentne smjereve struja

U1

= mU2

I2

= −mI1

Ekvivalentna šema preko kontrolisanih izvora je prikazana na slici 6.175.

Idealni transformator mozemo predstaviti redno-paralelom vezom NKNI i SKSI (na 1-1’ je

redna, a na 2-2’ je paralelna veza). Sazeta ekvivalentna šema idealnog transformatora preko

kontrolisanih izvora bi bila kao ona prikazana na slici 6.176.:

Napomnimo da je ovo sazeti oblik razvijene šeme idealnog transformatora preko kon-

219

2I1I

2U2mU

1I

1′

2

2′

1

1U

1mI

Slika 6.175: Ekvivalentna šema

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U1mU 1mI

Slika 6.176:

trolisanih izvora. Ako napišemo jednacine idealnog transformatora

U1

= mU2

I2

= −mI1

kao

U2

=1

mU

1

I1

= −1

mI2

tada je (druga) sazeta šema idealnog transformatora preko kontrolisanih izvora prikazana na

slici 6.177. ili u razvijenom obliku ova bi šema izgledala kao na slici 6.178.

U pitanju je paralelno-redna veza jer na pristupu 1-1’ imamo paralelnu vezu, a na pris-

tupu 2-2’ rednu vezu. Za vjezbu: Nacrtati ekvivalentne šeme idealnog transformatora preko

220

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U2

1I

m1

1U

m

Slika 6.177:

1I

1′

2I 21

1U

2′

12U

2

1I

m

1

1U

m

Slika 6.178:

kontrolisanih izvora za nesaglasne krajeve. Predstavimo idealni zirator prikazan na slici 6.179.

preko kontrolisanih izvora. Jednacine za postavljeni smjer ziracije su

U1

= −rI2

(6.257)

U2

= rI1

(6.258)

Relacija (6.257) predstavlja naponski generator kontrolisan strujom I2, dok relacija (6.258)

predstavlja takoe naponski generator ali kontrolisan strujom I1. Sazeta ekvivalentna šema

je prikazana na slici 6.180 ili u razvijenom obliku kao na sledecoj slici 6.181.:

Sa slike 6.181 vidimo da je ovo redna veza dva SKNI. Ako izrazimo jednacine idealnog

ziratora kao:

221

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U

r

Slika 6.179:

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U2rI 1rI

Slika 6.180:

I2

= −gU1

I1

= gU2

g =1

r

dobijamo šemu koja je prikazana na slici 6.182. Ekvivalentna šema u razvijenom obliku

je prikazana na slici 6.183. Sa slike 6.183. vidimo da je u ovom slucaju ekvivalentna šema

predstavljena preko paralelne veze dva NKSI.

6.17 Osnovne podjele konvertora i invertora

6.17.1 Podjela konvertora:

1. Konvertori pozitivne impendanse (zadovoljavaju uslove idealnog konvertora)

a12

= a21

= 0

a11

= 0

a22

= 0

222

1I 2I 21

1U 2U

1rI

1′ 2′

2rI

Slika 6.181:

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U2gU 1gU

Slika 6.182:

uz uslov a11a22

> 0. Napomena: Svi konvertori zadovoljavaju opšte uslove

a12

= a21

= 0

a11

= 0

a22

= 0

2. Konvertori negativne impendanse

Kod konvertora negativne impedanse proizvod je a11a22

< 0.

U sklopu konvertora pozitivne impendanse razlikujemo:

a) Ako je a11a22

= 1 tada su u pitanju pasivni konvertori pozitivne impendanse.

Karakteriše ih to da nemaju gubitke i tipican predstavnik je idealni transformator.

b) Ako je a11a22

= 0 to je neka od vrsta kontrolisanih izvora i to

223

1I

1′

2I 21

2′

2U2gU

1gU

1U

Slika 6.183:

- SKSI

a11

= 0

a22

= 0

- NKNI

a11

= 0

a22

= 0

- nulor (idealni operacioni pojacavac)

a11

= a12

= a21

= a22

= 0

c) Ako je a11

= a22

onda je to idealni pojacavac snage.

U sklopu konvertora negativne impendanse razlikujemo sljedece vrste

a) Konvertor negativne impendanse po struji

a11

> 0

a22

< 0

224

b) Konvertor negativne impendanse po naponu

a11

< 0

a22

> 0

Konvertor negativne impedanse po struji prikazan je na slici 6.184.

1i1

1′

2i 2

2′

1u 2uNIC(C)

Slika 6.184: Konvertor negativne impedanse po struji

Ulazni signal i1 poslije prolaska kroz NIC(C) mijenja smjer struje i2 pa se zato naziva

negativni konvertor impendanse po struji (Negative Impendanse Convertor - po struji (C)).

Jednacine su

U1

= kU2

i1 = −1

ki2

pa je matrica “a” parametara jednaka

a∼

=

[k 0

0 − 1

k

]

Napomena: Uvijek se uzima da su parametri k i g veci od nule tj. k > 0; g > 0. Ocigledno

je da su “a” parametri jednaki

a11

= k > 0

a22

= −1

k< 0

Konvertor negativne impedanse ponaponu prikazan je na slici 6.185.

NIC(V) - Negativni konvertor impendanse po naponu. Ako smatramo da je u1ulazni signal

kada NIC(V) mijenja smjer izlaznog signala napona u2

prema

u1= ku

2

ili

225

1i1

1′

2i 2

2′

1u 2uNIC(V)

Slika 6.185: Konvertor negativne impedanse po naponu

u1 = ku2

Jednacine su:

u1 = −ku2

i1 = −1

ki2

a =

[−k 0

0 1

k

]

odakle slijedi

a11

= −k < 0

a11

=1

k> 0

Posmatrajmo slucaj kada je konvertor zatvoren parametrima R, L ili C (slika 6.186.). Relacije

su:

1i1

1′

2i 2

2′

1u 2uNIC(V)

R L C

1R

Slika 6.186:

226

u1i1

= R1 = −k2R = −k2u2−i2

L1 = −k2L

C1 = −C

k2

Dakle, pomocu NIC mozemo da realizujemo negativnu otpornost, induktivnost ili kapaci-

tivnost cime su to aktivni elementi. Vidi se da je NIC-nereciprocan aktivni element jer je

det a∼

= −1.

6.17.2 Podjela invertora:

1. Invertor pozitivne impendanse

Svi invertori zadovoljavaju uslov: a11

= a22

= 0, a12

= 0 i a21

= 0. Invertori pozitivne

impendanse su oni kod kojih je a12a21

> 0 i razlikujemo dva slucaja u zavisnoti od toga da li

je:

a) a12a21

= 1 onda je u pitanju invertor pozitivne impendanse, pasivan i bez gubitaka.

To je idealni zirator.

b) a12a21

= 0 onda je to kontrolisani izvor, i to SKNI ili NKSI

2. Invertori negativne impendanse zadovoljavaju uslov a12a21

< 0 i to:

a) Invertor negativne impendanse prvog tipa koji je prikazan na slici slika 6.187. kod

kojeg je a12

> 0 i a21

< 0.

1i1

1′

2i 2

2′

1u 2uNIV(1)

Slika 6.187:

b) Invertor negativne impendanse drugog tipa koji je prikazan na slici 6.188. kod kojeg

je a12

< 0 i a21

> 0.

227

1i1

1′

2i 2

2′

1u 2uNIV(2)

Slika 6.188:

Jednacine NIV(1) su

u1 = −rI2

I1

= −1

ru2

pa je matrica “a” parametara

a∼

=

[0 r

−1

r0

]

Vidimo da je

a12

= r > 0

a21

= −1

r< 0

Jednacine NIV(2) su

u1 = rI2

I1

=1

ru2

pa je matrica “a” parametara oblika

a∼

=

[0 −r1

r0

]

Vidimo da je

a12

= −r < 0

a21

=1

r> 0

NIV je aktivan reciprocan element jer je

det a∼

= 1

228

1i1

1′

2i 2

2′

1u 2uNIV G L C

1R

Slika 6.189:

R1 = −r2G (6.259)

C1 = −r2L (6.260)

L1 = −r2C (6.261)

Dakle, NIV vrši inverziju sa negativnim znakom (mijenja i znak i karakter impendanse na

izlazu) što se vidi sa slike 6.189. i relacija (6.259), (6.260) i (6.261).

3. Treca grupa su NULORI jer kod njih vazi

a11

= a12

= a21

= a22

= 0

Dakle, Nulor moze da bude i invertor i konvertor.

6.18 Idealni operacioni pojacavac

Iz opisa kontrolisanih izvora vidimo da svaki od njih ima odreeni tip matrice parametara, pa

je pogodno izraziti “a” matricu kontrolisanih izvora u obliku:

a∼

=

[1

g21

− 1

y21

1

z21

− 1

h21

](6.262)

Kod kontrolisanih izvora egzistira jedan od parametara u matrici “a” koja je data relacijom

(6.262). Imajuci u vidu ovo mozemo definisati 4 tipa operaconih pojacavaca i to:

a. h21

−→ ∞

b. g21

−→ ∞

c. z21

−→ ∞

229

d. y21

−→ ∞

Matrica “a” parametara u ovom slucaju je jednaka

a∼

=

[1

k0

0 0

]

Ako K −→ ∞ u pitanju je idealni operacioni pojacavac ciji je simbol u šemama prikazan na

slici 6.190. ili što je najcešci slucaj šema na slici 6.191.

K1u 2u

Slika 6.190: Idealni operacioni pojacavac

K

1

1′

2

2′

2u1u

Slika 6.191:

Idealni operacioni pojacavac je Nulor jer su svi “a” parametri jednaki nuli, tj.

a11

= a12

= a21

= a22

= 0

6.19 Riordanov zirator

Predstavlja uopštenje konvertora, invertora i moze se od njega dobiti bilo koji invertor, kon-

vertor ili zirator. On se još naziva i Generalni Impendansni Convertor (GIC). Njegova šema

je prikazana na slici 6.192.

Ako trazimo Zul pokazuje se da je

Zul=

Z1Z

3Z

5

Z2Z

4

a u zavisnosti od prirode impendansi imamo:

230

2 2′

1

1′ulZ

2Z

3Z

4Z

5Z

1Z

Slika 6.192: Riordanov zirator

a) Ako je Z1= Z

2= Z

3= Z

5= R odnosno da se radi o otpornicima istih vrijednosti,

tada je ulazna impedansa jednaka

Zul =R2

Z4

tada idealni zirator ima ulogu invertora impendanse

b) Ako je Zi = Ri gdje je i = 1, 2, 3, 4 tada je

Zul =R1R3

R2R4

Z5= m2Z

5

tada idealni zirator ima ulogu idealnog konvertora impendanse, odnosno idealnog trans-

formatora.

c) Ako je Z1= 1

sC1

, Z5= 1

sC5

, Zi = Ri gdje je i = 2, 3, 4 dobija se tzv. FDNR element

(F D N R ), tj. frekventno zavisni negativni

otpornik.

d) Na slican nacin, tj. izabirajuci razlicite vrijednosti impendansi mozemo dobiti i druge

vrijednosti i uloge, zato se i naziva GIC.

6.20 Realni elementi

Uvodeci ove aktivne elemente ušli smo u teoriju aktivnih mreza sa dva para krajeva. U pogledu

opisa linearnih aktivnih mreza sa dva pristupa, ne razlikujemo ih od linearnih pasivnih mreza,

tj. opisuju se takoer sa “a”,“b”, “h”, “g”, “y”, “z” parametrima. Meutim, (kao što smo

vidjeli kod NIC koji je nereciprocan aktivni element) opšta linearno aktivna mreza sa dva

pristupa nije reciprocna. Iz tog razloga, za razliku od opšte pasivne mreze sa dva pristupa, za

231

koju je bilo dovoljno poznavanje tri parametra, aktivna linearna mreza se mora opisati sa sva

cetiri parametra (nezavisna). Dakle, za linearnu aktivnu mrezu ne vazi princip reciprociteta.

Dioda se moze predstaviti šemom kao na slici 6.193. (u odreenom frekventnom domenu).

gi

1′

pi 2

2′

1

gu pugG m gg upG

Slika 6.193:

Jednacine diode su

ig = Ggug

ip = Gpup + gmug

tj. zapisano u matricnom obliku

[ig

ip

]=

[Gg 0

gm Gp

][ug

up

]

vidimo da je

y12

= y21

a to znaci da dioda nije reciprocni element, pa se u odreenom domenu dioda mora opisati sa

4 parametra.

Tranzistor je tropol (iako se moze prikazati kao mreza sa dva pristupa) i šematski je

prikazan na slici 6.194.

E

B

C C

B

E

PNP NPN

Slika 6.194:

Tranzistor se moze posmatrati kao aktivna mreza sa dva pristupa i u zavisnosti od rezima

rada, razlikujemo više vrsta zamijenujucih (ekvivalentnih šema). U zavisnosti od toga koja je

232

elektroda uzemljena, tj. koja je zajednicka ulazno-izlazna elektroda, razlikujemo tri sprege:

— sa zajednickim emitorom

— sa zajednickom bazom

— sa zajednickim konektorom

Emiter je u sve tri sprege jedan od ulaznih krajeva, a konektor je uvijek u izlaznom pristupu.

Tranzistor sa zajednickom bazom za neko podrucje rada, moze se predstaviti šemom kao na

slici 6.195. Šema tranzistora sa zajednickim emitorom prikazana je na slici 6.196.

eI

bR

eR

cR

eIα

CE

B

Slika 6.195: Šema tranzistora sa zajednickom bazom

bI

bR

eR

(1 )cR α−

1 bIα

α−

C

E

B

Slika 6.196: Šema tranzistora sa zajednickim emiterom

6.21 Teorija aktivnih mreza sa dva pristupa

Aktivne mreze sa dva pristupa se zadaju sa sva cetiri nezavisna parametra. Na primjer, za

mrezu prikazanu na slici 6.197. matrica “z” parametara je

z∼

=

[z11

z12

z21

z22

]

233

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2Uz

Slika 6.197:

Za aktivnu mrezu uopšte, potrebno je poznavanje “z” parametara. Mreza je reciprocna ako

je z12

= z21

a ako je z12

= z21

mreza je nereciprocna (i potrebna su sva cetiri parametra jer

izmeu njih nema direktne veze). Za reciprocne mreze najednostavnije su "T" i "Π" mreze.

Postavljamo pitanje: Kakva je ekvivalentna "T" šema za mrezu sa dva pristupa? Bez obzira

da li je reciprocna ili ne? Odgovor : Sistem jednacina

U1

= z11I1+ z

12I2

(6.263)

U2

= z21I1+ z

22I2

(6.264)

prevedimo na sistem jednacina u sledecem obliku:

U1

= (z11− z

12)I

1+ z

12(I

1+ I

2)

U2

= (z22− z

12)I

2+ (z

21− z

12)I

1+ z

12(I

1+ I

2)

Na temelju ovih jednacina mozemo da nacrtamo sljedecu šemu prikazanu na slici 6.198.:

1I

1′

2

2′

1

1U 2U

2I1Z ′

1Z ′′

2Z

1 2I I+

21 12 1( - )z z I

Slika 6.198:

Za slucaj reciprocne mreze “z” parametri z12

= z21

pa je z21

− z12

= 0 i na taj nacin

dobijamo "T" mrezu. Nereciprocna mreza ima z21

= z12

pa dobijemo proširenu "T"-mrezu

kao na slici 6.198. Riješimo prethodno postavljeni problem preko “h” parametara (slika

6.199.)

Mreza je nereciprocna ako je h12

= −h21. Mreza je reciprocna ako je h

12= −h

21. Sistem

234

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2Uh

Slika 6.199:

jednacina za “h” parametre je:

U1

= h11I1+ h

12U

2(6.265)

I2

= h21I1+ h

22U

2(6.266)

Jednacinu (6.265) mozemo shvatiti kao pad napona na impendansi h11 i naponski generator

kontrolisani sa naponom U2. Ovoj opštoj mrezi mozemo prikljuciti sljedecu šemu prikazanu

na slici 6.200.:

1I

1′

2

2′

1

1U 2U

2I

21 1h I

11h

22h12 2h U

Slika 6.200:

Dakle, proizvoljnu mrezu sa dva pristupa mozemo prikazati šemom kao na slic i6.200. Ri-

ješimo postavljeni problem za “y” parametre. Neka je data opšta mreza zadata “y” matricom

kao na slici 6.201.

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2Uy

Slika 6.201:

235

Mreza je reciprocna ako je y12

= y21

a nereciprocna ako je y12

= y21. Sistem jednacina je

I1

= y11U

1+ y

12U

2(6.267)

I2

= y21U

1+ y

22U

2(6.268)

i ako ih preuredimo dodavajuci i oduzimajuci y12U

1dobijamo

I1

= (y11+ y

12)U

1+ y

12(U

1− U

2) (6.269)

I1

= (y22+ y

12)U

2− y

12(U

2− U

1) + (y

21− y

12)U

1(6.270)

Ovom preureenom sistemu jednacina pridruzujemo ekvivalentnu šemu prikazanu na slici

6.202.:

1I

1′

2

2′

1

1U 2U

2I1Y

2Y ′2Y ′′

Slika 6.202:

Ako je mreza nereciprocna imamo šemu na slici 6.202. Ako je mreza reciprocna i kada je

y12− y

21= 0 tada dobijamo standardnu "Π" mrezu bez NKSI. Sistem “y” jednacina mozemo

preurediti na još jedan nacin

I1

= y11U

1+ y

12U

2(6.271)

I2

= y21U

1+ y

22U

2(6.272)

i to kao

I1

= (y11+ y

21)U

1+ (y

12− y

21)U

2+ y

21(U

2− U

1) (6.273)

I2

= (y22+ y

21)U

2− y

21(U

2− U

1) (6.274)

Ovim jednacinama odgovara sljedeca proširena "Π" mreza kao na slici 6.203.

Ako je y12

= y21

proširena "Π" mreza se svodi na obicnu "Π" mrezu.

236

1I

1′

2

2′

1

1U 2U

2I

2Y ′2Y ′′

Slika 6.203:

6.21.1 Negativni konvertor izrazen preko kontrolisanih izvora

Izrazicemo strujni negativni konvertor NCI(C) prikazana na slici 6.204. preko kontrolisanih

izvora.

1i1

1′

2i 2

2′

1u 2uNIC(C)

Slika 6.204:

Jednacine su

u1 = ku2

i2 = ki1

Šema preko kontrolisanih izvora je prikazana na slici 6.205.:

Pitanje: Kako ostvariti negativnu otpornost (provodnost), preko kontrolisanih izvora i na

taj nacin postici aktivne elemente? Odgovor: Mozemo ostvariti na 2 nacina

Prvi nacin: Kao što pokazuje slika 6.206.:

Sa šeme se vidi da je

I = −GV

Rul =V

I= − 1

G

tj. na pristupu se kolo ponasa kao negativna otpornost.

Drugi nacin: Kao što to pokazuje slika 6.207.:

237

1I

1′

2I 21

2′

2U2kU

1kI

1U

1I

Slika 6.205:

I

V GV

ulR

Slika 6.206:

Dakle, vidi se da je

V = −rI

Rul =V

I= −r

6.21.2 Nulator i Norator

Nulator i norator su elementi (rezistivni) sa jednim pristupom. Na slici 6.208. je šematski

prikazan nulator dok su njegove karakteristike

V = 0

I = 0

238

I

rIV V

ulR

Slika 6.207:

V

I

Slika 6.208:

Karakteristika noratora je da struja i napon imaju proizvoljne vrijednosti a šematski prikaz

je kao na slici 6.209.:

V

I

Slika 6.209:

Naravno, ne postoji realni element sa osobinom nulatora ili noratora, ali su oni pogodni za

mreze sa dva pristupa i uvijek se javljaju u paru kao patološka mreza sa dva pristupa, kao na

sljedecoj šemi (slika 6.210.):

Nulor moze da predstavlja ili idealni tranzistor ili idealni operacioni pojacavac. Tamo gdje

je nulor, tacke napona su na istom potencijalu, pa je struja jednaka nuli i = 0. Predstavimo

kontrolisane izvore pomocu nulatora, noratora i nulora. Strujom kontrolisani strujni izvor

(SKSI) prikazan na slici 6.211. a ekvivalentna šema data je na slici 6.212.

Napon U1 = 0 što se moze zakljuciti i posmatranjem šeme na slici 6.211. pa mozemo taj

dio kola zamijeniti sa nulatorom po njegovoj osobini da mu je napon na ulazu V = 0. Sa šeme

na slici 6.212 se vidi da je

RAI1 = RBIB

IB =RARB

I1

239

1i

1′

2i 2

2′

1

1u 2u

Slika 6.210:

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U1Iα

Slika 6.211:

odnosno

I2

= −(1 +RARB

)I1

I2

= −IA − IB

Napon U1= 0 zamjenjujemo sa nulatorom u paralelnoj grani jer je I

1= 0 tj. I

1= IA dok

je struja kroz nulator jednaka nuli. Naponom kontrolisani naponski izvor (NKNI) je prikazan

na slici 6.213. gdje je

U2= µU

1

Pošto je I1= 0 vidimo da te osobine posjeduje i nulator, odnosno da je

V = 0

I = 0

pa je ekvivalentna šema kao na slici 6.214.:

u2 =

(1 +

RBRA

)U2

Nulator se nalazi u rednoj grani da bi struja I1= 0. Napon U

1= UAB bez obzira što je

U1A = 0 kao napon na nulatoru. Strujom kontrolisani naponski izvor (SKNI) prikazan je na

240

1I

1′

2

2′

1

1U 2U

2I

AIAR

BR

BI

Slika 6.212:

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U1Uµ

Slika 6.213:

slici 6.215. Jednacine su

U2 = rI1

U1

= 0

pa tu osobinu mijenjamo nulatorom a ekvivalentna šema je prikazana na slici 6.216.

Naponom kontrloisani strujni izvor (NKSI) prikazan je na slici 6.217. Jednacine se

I2= gU1

Pošto je I1= 0 ekvivalentna šema sa nulatorom prikazana je na slici 6.218.:

I1

= 0

I2

=1

RU1

Na slici 6.219 prikazana je kaskadna veza dva ziratora. Postavlja se pitanje šta ona pred-

stavlja? Jednacine su

U1

= r1I

U2

= r1I1 =⇒ I1=

1

r1U

2

241

1I

1′

2

2′

1

1U 2U

2I

AR

BR

B

A

Slika 6.214:

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U1rI

Slika 6.215:

U matricnom obliku [U

1

I1

]=

[0 r11

r1

0

][U

2

I

]

gdje je ovo “a” matrica prvog ziratora. Za drugi zirator

U = r2I2

U2

= r2I =⇒ I =1

r2U

2

u matricnom obliku [U

I

]=

[0 r21

r2

0

]

gdje imamo “a” matricu drugog ziratora. Zbog kaskadne veze rezultujuca “a” matrica se

dobija kao

a = a1a2=

[0 r11

r1

0

][0 r21

r2

0

]=

[r1

r2

0

0 r2

r1

]

a odavde se vidi da je

a12

= a21

= 0

a11

=r1r2

= m

a22

=r2r1

=1

a11

=1

m

242

1I

1′

2

2′

1

1U 2U

R1I

0I =

Slika 6.216:

1I

1′

2I 2

2′

1

1U 2U1gU

Slika 6.217:

Ovo su osobine idealnog transformatora, pa ova kaskadna veza dva ziratora predstavlja idealni

transformator.

6.21.3 L - mreze

Ako su uslovi rada dvije mreze prikazane na slici 6.220 a) i b) takvi da je I2 I

1onda se

moze za neku ucestanost s u kompleksnom obliku napisati:

1. Za šemu R− L kola

U2(s) ≈ sLI1(s) ≈ sL

R+ sLU1(s)

odakle se dobija da je transmitansa napona

M(s) ≈ U2(s)

U1(s)≈ sL

R + sL

Ako su parametri tako izabrani da je vremenska konstanta

T =L

R

243

1I

1′

2

2′

1

1U 2U

2I

R

Slika 6.218:

1I

1′

I1

1U U

1r2I 2

2′

2U

2r

Slika 6.219:

mnogo manja u odnosu na interval t u toku kojeg se napon U1(s) znacajnije promijeni,

mozemo priblizno da pišemo

I1(s) ≈ U1(s)

R(6.275)

U2(s) ≈ L

RsU1(s) (6.276)

i da je transmitansa napona

M(s) ≈ L

Rs

1I

1′

2

2′

1

1U

R

L 2U

2I 1I

1′

2

2′

1

1U

C

R 2U

2I

( )a ( )b

Slika 6.220:

244

U vremenskom domenu relaciji (6.276) odgovara relacija

u2(t) =L

R

du1dt

(6.277)

Relacija (??) pokazuje da ovo kolo ostvaruje funkciju diferencijatora ulaznog napona u1 i

naziva se diferencijator.

2. Za šemu R− C kola

U2(s) ≈ RI1(s) ≈ R

R + 1

SC

U1(s)

Ako je vremenska konstanta

T = RC

dovoljno mala u odnosu na interval vremena u okviru kojeg se U1(s) znacajnije promijeni

tada vazi

I1(s) ≈ sCU1(s)

U2(s) ≈ RCsU1(s)

U vremenskom domenu

u2(t) = RCdu1(t)

dt

pa je ovo kolo diferencijator ulaznog napona.

Posmatrajmo mreze date na slici 6.221. a) i b). Ako su uslovi rada takvi da je I2 I1

tada je:

1I

1′

2

2′

1

1U R

L

2U

2I 1I

1′

2

2′

1

1U C

R

2U

2I

( )c ( )d

Slika 6.221:

3. Za šemu L−R kola

U2(s) ≈ R

R+ sLU

1(s)

M(s) ≈ U2(s)

U1(s)≈ R

R + sL

245


T =L

R

mnogo veca u odnosu na interval t za vrijeme za koje se U1(s) znacajnije promijeni,

mozemo da napišemo

U2(s) ≈ R

L

1

sU1(s)

M(s) ≈ 1

s

R

L

U vremenskom domenu imamo relaciju

u2(t) =R

L

t∫0

u1(t)dt

Prema tome, izlazni napon je integral ulaznog napona, pa se ovo kolo naziva integrator.

4. Šema R− C kola

U2(s) ≈1

sC

R+ 1

sC

U1(s)

M(s) ≈1

sC

R+ 1

sC


T = RC

mnogo veca u odnosu na interval t za vrijeme kojeg se U1(s) znacajnije promijeni,

mozemo priblizno da pišemo

U2(s) ≈ 1

RC

1

sU1(s)

M(s) ≈ 1

sRC

U vremenskom domenu imamo relaciju

u2(t) =1

RC

t∫0

u1(t)dt

i ovo je kolo je takoe integrator.

Sa stanovišta tehnologije i za diferencijator i za integrator, pogodnije su šeme sa R i C

elementima, jer su R i C kompatibilni elementi sa ureajima visoke tehnologije. Pošto je

246

T = L

Rmalo ili T = RC veliko, to je izlazni signal u2(t) mali pa se dodaje operacioni

pojacavac. Idealni diferencijator je prikazan na slici 6.222.

1i

1′

2

2′

1

1u

R

C

2u

2i

Slika 6.222: Diferencijator

Cdu1dt

+u2R

= 0

u2R

= −Cdu1dt

u2(t) = −RCdu1dt

što je zaista diferenciranje. Idealni integrator je prikazan na slici 6.223.

1i

1′

2

2′

1

1u

R

2u

2i

Slika 6.223: Integrator

u1R

+ Cdu2dt

= 0

du2dt

= − 1

RCu1(t) =⇒ u2 = − 1

RC

t∫0

u1(t)dt

što predstavlja integrator.

247

6.22 FILTRI

6.22.1 Opis i karakteristicni parametri filtra

TcZ

1I 1 /2Z 1 /2Z 1 /2Z 1 /2Z1 /2Z 1 /2Z

2U1U 3U 4U

1 2 3 4

4′3′2′1′

2Z 2Z 2ZT

cZ

2I 3I

T

cZ

Slika 6.224: Filtar sastavljen od 3 celije "T" tipa

Filtar je slozena elektricna mreza sa dva para krajeva formirana od kaskadne veze obicno

simetri-

cnih "T" i "Π" mreza. Svaku mrezu u sastavu filtra nazivamo celijom filtra. Broj celija

je u opštem slucaju n, a u našem slucaju n = 3 celije koje predstavljaju "T"-mreze kao što

je prikazano na slici 6.224. Pristupni krajevi 1-1’ i 4-4’ zatvoreni su karakteristicnom im-

pendansom ZTc jedne njegove celije. Ovim je postignuto da je ulazna impendansa filtra

racunata u bilo kojem presjeku izmeu dvije celije sa jedne i druge strane presjeka jednaka

impendansi jedne celije filtra. Za karakteristicne transmitanse napona i struja pojedinih celija

filtra, uzimajuci da je filtar obrazovan od n− celija koje su iste, vazi

M c =U

1

U2

=U2

U3

= · · · = Un

Un+1

N c =I1I2

=I2I3

= · · · = InIn+1

Pošto je mreza simetricna, vazi da je

M c = N c

Ako obrazujemo proizvode transmitansi pojedinih celija, dobijamo

I1I2

I2I3

· · · InIn+1

=I1In+1

uzimajuci u obzir da su struje celija iste tj.

I1I2

I2I3

=

(I1I2

)2

248

proizvod je jednakI1I2

I2I3

· · · InIn+1

=

(I1I2

)n

pa jeI1In+1

=

(I1I2

)n

=⇒ N filtra = Nnc

Karakteristicna prenosna funkcija filtra

Γfiltra = lnN filtra = lnInIn+1

= ln

(I1I2

)n

= n lnI1I2

= nΓc

Γfiltra = nΓc

za kaskadnu vezu. Imajuci u vidu da je

Γfiltra = Afiltra + jBfiltra = n(Ac+ jBc)︸︷︷︸jedme celije

(6.278)

Afiltra = nAc− funkcija slabljenja je n− puta veca od funkcije slabljenja jedne celije

Bfiltra = nBc− funkcija faznog slabljenja je takoe n− puta veca od funkcije faznog

slabljenja jedne celije

Pošto je ulazna impendansa filtra u bilo kojem presjeku jednaka karakteristicnoj impen-

dansi jedne celije, a karakteristicna funkcija filtra je n puta veca od karakteristicne funkcije

jedne celije (gdje je n broj celija filtra) mozemo izvesti zakljucak : Filtar je u pogledu napona

i struja na pristupnim krajevima 1-1’ i (n+1)-(n+1)’ (u opštem slucaju) potpuno odreen

karakteristicnim parametrima Zc, Γc, n gdje je n− broj celija filtra.

6.22.2 Osnovne jednacine filtra

Za celije od "T" − mreza

ZTc =

√Z1Z2

(1 +

Z1

4Z2

)Za celije od "Π"− mreza

ZΠ

c =

√√√√ Z1Z2(1 + Z

1

4Z2

)

Γc = 2 ln

(√1 +

Z1

4Z2

+

√Z1

4Z2

)

ili preko Campbell-ove jednacine

cosh Γc = 1 +Z1

2Z2

249

6.22.3 Propusni i nepropusni opseg

Definicija. Propusni opseg je onaj opseg ucestanosti u kome filtar propušta struje bez

slabljenja tj. za koji vazi

I1 = In+1

odnosno

Ac = lnI1I2

(6.279)

Kada relaciju (6.279) pomnozimo sa n dobijamo

nAc = ln

(I1I2

)n

Afiltra = lnI1I2

= 0

tada je

Afiltra = nAc = lnI1In+1

= 0 =⇒ Afiltra = 0

pa je i slabljenje struje svake celije filtra

Ac = 0

Definicija: Nepropusni opseg je onaj opseg ucestanosti u kojem filtar propušta oslabljene

struje tj.

I1 > In+1

po efektivnoj vrijednosti. Tada jeI1In+1

> 0

Afiltra = nAc = lnI1In+1

> 0 =⇒ Afiltra > 0

Dakle, u nepropusnom opsegu slabljenje filtra u cjelini i svake celije je vece od nule. Na osnovu

ovoga mozemo filtre podijeliti u 4 realne grupe:

1. Filtri niskih ucestanosti, su filtri koji bez slabljenja propuštaju struje ucestanosti ω

u opsegu

0 < ω < ωc

a izvan tog opsega ih slabe, gdje je ωc− kriticna vrijednost niske ucestanosti.

2. Filtri visokih ucestanosti, propuštaju bez slabljenja struje ucestanosti ω > ωc a slabi

250

0cA = 0

cA >

propusniopseg

nepropusniopseg

ωcω

Slika 6.225:

struju ucestanosti

0 < ω < ωc

gdje je ωc− kriticna vrijednost visoke ucestanosti.

0cA =0

cA >

propusniopseg

nepropusniopseg

ωcω

Slika 6.226:

3. Filtri propusnici opsega ucestanosti, bez slabljenja propustaju struje ucestanosti u

opsegu

ωc1≤ ω ≤ ωc2

a izvan tog opsega ih slabe, gdje su ωc1i ωc2

− kriticna vrijednost filtra propusnika opsega

ucestanosti. Ponekad se naziva i pojasni filtar.

4. Filtri nepropusnici opsega ucestanosti, filtri koji slabe struje u opsegu

ωc1≤ ω ≤ ωc2

a izvan tog opsega ih propuštaju bez slabljenja, gdje su ωc1i ωc2

− kriticna vrijednost

filtra nepropusnika opsega ucestanosti.

251

0cA =0

cA >

propusniopseg

nepropusniopseg

ω1cω

nepropusniopseg

0cA >

2cω

Slika 6.227:

0cA = 0

cA >

propusniopseg

nepropusniopseg

ω1cω

propusniopseg

2cω

0cA =

Slika 6.228:

6.22.4 K-filtri

"K"-filtri niskih ucestanosti

"K" filtar niskih ucestanosti prikazan je na slici 6.229. Ukupna redna impendansa

Z1= jωL1 = ωL1e

j π2

a ukupna otocna impendansa

Z2=

1

jωC2

=1

ωC2

e−j π2

Proizvod ove dvije impedanse je jednak

Z1Z

2=

L1

C2

ejπ

2 e−j π2 =

L1

C2

= R2 = const (6.280)

Proizvod ukupne redne i ukupne otocne impendanse je konstantan (relaicja (6.280)), i to

252

1 /2L

2C

1 /2L1L

2

2

C 2

2

C

( )a ( )b

Slika 6.229: "K" filtar niskih ucestanosti: (a) T-celija; (b) Π-celija

je osobina svih "K"-filtara. Zato se i zovu K filtari (k-const).

ZT

c=

√Z

1Z

2

(1 +

Z1

4Z2

)ZTc Z

Π

c = Z1Z

2= R2

ZΠ

c =R2

ZTc

Γc = 2 ln

√1 +

Z1

4Z2

+

√Z

1

4Z2

Ako oznacimo

N =Z

1

4Z2

=ωL1e

j π2

4

ωC2

e−jπ

2

=ω2L1C2

4ej

π

2

N =ω2L1C2

4ejπ

tada je moduo velicine N jednak

N = mod(N) =ω2L1C2

4

odnosno

N = Nejπ

253

Dakle, za ovaj filtar mozemo napraviti tablicu osnovnih relacija

Γc = 2 ln(√1 +Nejπ +

√Nejπ)

N =ω2L1C2

4ejπ

ZTc = R

√1 +Nejπ

ZΠ

c =R2

ZTc

R2 =L1

C2

Posmatrajmo prvo karakteristicnu prenosnu funkciju i opseg u kome se ona krece

Γc = 2 ln(√1 +Nejπ +

√Nejπ)− 2 ln

(√1−N + ej

π

2

√N)= 2 ln

(√1−N + j

√N)

Opseg√1−N ≥ 0 je neki realan broj, pa je dalje

Γc = 2 ln

(√(√1−N

)2

+(√

N)2

ej arctan

√N

1−N

)= 2 ln

(√1−N +Ne

j arctan

√N

1−N

)=

= 2 ln

(1− e

j arctan

√N

1−N

)= 2 ln 1 + 2 ln e

j arctan

√N

1−N

Γc = j2 arctan

√N

1−N= Ac + jBc (6.281)

Iz relacije (6.281) zakljucujemo da je

Ac = 0

iz cega proizilazi da nema slabljenja, pa je ovo propusni opseg.

Bc = 2arctan

√N

1−N

Ako je 1 < N < ∞ tada vazi√1 +Nejπ =

√1−N pa imamo:

Γc = 2 ln(√

1 +Nejπ +√Nejπ

)= 2 ln

(√ejπe−jπ +Nejπ +

√Nejπ

)=

= 2 ln(√

ejπ(√

Nejπ +√N))

== 2 ln(ejπ

(√N − 1 +

√N))

=

= 2 ln ejπ + 2 ln(√

N − 1 +√N)= 2 ln

(√N − 1 +

√N)+ jπ = Ac + jBc

254

odakle proizilazi

Ac = 2 ln(√

N − 1 +√N)> 0

Bc = π

Granica propusnog i nepropusnog opsega je 1 i to se postize za neku ucestanost

ω = ωc

N = 1L1C2ω

2

c

4= 1 =⇒ ωc =

2√L1C2

Opseg koji se karakteriše preko N

0 ≤ N ≤ 1

moze preko ucestanosti izraziti

0 ≤ ω ≤ ωc

propusni opseg

1 < N < ∞

nepropusni opseg

ωc ≤ ω ≤ ∞

propusniopseg

nepropusniopseg

ωcω

π

cB

cA

=0N =1Nω → ∞

N → ∞

Slika 6.230: Karakteristicna funkcija "K" filtra niskih ucestanosti

Karakteristicna impendansa

Karakteristicna impedansa "T" mreze jednaka je:

ZT

c=

√Z

1Z2

(1 +

Z1

4Z2

)= R

√1 +Nejπ

255

Ako je 0 ≤ N ≤ 1 onda je√1−N > 0 realno pa je karakteristicna impedansa

Zc = R√1−N = RT

c

Na osnovu ove relacije vidimo da se karakteristicna impedansa ponaša kao cista termogena

otpornost u propusnom opsegu. U nepropusnom opsegu je:

ZTc = R

√1 +Nejπ = R

√ejπe−jπ +Nejπ = Rej

π

2

√N − 1 = jR

√N − 1 = jXT

c (6.282)

Na osnovu relacije (6.282) vidimo da je

XTc = R

√N − 1 (6.283)

ZΠ

c =R2

ZTc

=R2

jXTc

=R2

R√1−N

=R√

1−N= RΠ

c

Za propusni opseg

ZΠ

c =R2

ZTc

=R2

jXTc

=R2

jR√N − 1

= −jR√

N − 1= jXΠ

c

XΠ

C = − R√N − 1

(6.284)

Posmatrajuci relaciju (6.284) zakljucujemo da je ovo reaktivna otpornost ali za razliku od

slucaja izrazenog relacijom (6.283) ima kapacitivni karakter. Za karakteristicnu impendansu

prikazanu na slici 6.231. (mijenja karakter pri prelazu iz PO u NO i da slozeno zavisi od f(ω))

N =L1C2ω

2

c

4

ωc =2√L1C2

ω2c =4

L1C2

pa je

N =

(ω

ωc

)2

256

ωcω

R

T

cX

cXΠ

T

cR

cRΠ

Slika 6.231: Karakteristicna impedansa "K" filtra niskih ucestanosti

Vidimo da ulogu filtra igraju "T" i "Π" mreza sa otpornostima u rednoj i kalemovima u

otocnoj grani. Obicno se zadaju R,ωc. Kako je

R2 =L1

C2

(6.285)

ω2

c=

4

L1C2

(6.286)

Iz relacije (6.285) izracunamo C2

C2 =L1

R2

(6.287)

i ako relaciju (6.287) uvrstimo u relaciju (6.286) imacemo

ω2

c=

4

L1

R2

L1

=4R2

L2

1

4

L2

1

=(ωc

R

)2

=⇒ L1 =

√4R2

ω2c

L1 =2R

ωc

C2 =2R

ωc

R2

=2

ωcR

K-filtar visokih ucestanosti

Celija T tog filtra, u rednim granama bili bi kondenzatori, a u otocnoj kalem

257

1C

22L 22L

12C

2L

12C

( )a ( )b

Slika 6.232: (a) T-celija "K" filtra visokih ucestanosti; (b) Π-celija "K" filtra visokih uces-tanosti

Z1

=1

jωC1

=1

ωC1

e−j Π2

Z2

= jωL2 = ωL2ejΠ2

Z1Z

2=

1

ωC1

ωL2ejΠ2 e−jΠ

2 =L2

C1

= R2 = const

(Osobina "K" filtra da je proizvod redne i otocne impendanse konstantna vrijednost)

N =Z

1

4Z2

=1

ωC1e−j

π

2

4ωL2ej π2

=1

4ω2L2C1

e−jπ

N = mod (N) =1

4ω2L2C1

N = Ne−jπ

Γc = 2 ln(√

1 +Ne−jπ +√Ne−jπ

)ZTc = R

√1 +Ne−jπ

ZΠ

c =R2

ZTc

Analiziramo Γc za opseg 0 ≤ N ≤ 1

Γc = 2 ln(√


)= 2 ln

(√1−N + e−j

π

2

√N)=

= 2 ln(√

1−N − j√N)= 2 ln

(√(√1−N

)2

+(√

N)2

e−j arctan

√N

1−N

)

= 2 ln

(1− e

−j arctan

√N

1−N

)= 0− j2 arctan

√N

1−N= Ac + jBc

Ac = 0

Bc = −2 arctan

√N

1−N

Propusni opseg 1 < N < ∞

258

Γc = 2 ln(√


)= 2 ln(

√ejπe−jπ +Ne−jπ +

√Ne−jπ)

= 2 ln(e−jπ

(√N − 1 +

√N))

= 2 ln(√

N − 1 +√N)− jπ = Ac + jBc

Ac = 2 ln(√

N − 1 +√N)

Bc = −π

propusniopseg

nepropusniopseg

ωcω

π− cB

cA

=N ∞

=1Nω → ∞

0N =

Slika 6.233: Karakteristicna funkcija "K" filtra visokih ucestanosti

Granica izmeu propusnog i nepropusnog opsega

N = 1

ω = ωc

1 =1

4ω2L2C1

ωc =1

2√L2C1

N1 = 1 ω = ωc

N −→ 0 ω −→ ∞N −→ ∞ ω −→ 0

Propusni opseg

0 ≤ N ≤ 1 ω = ωc

Nepropusni opseg

1 ≤ N ≤ ∞ 0 ≤ ω ≤ ωc

259

Ponašanje karakteristicne impedanse

0 ≤ N ≤ 1 ωc ≤ ω ≤ ∞ZTc = R

√1 +Ne−jπ = R

√1−N = RT

c

ZNc =

R2

ZTc

=R2

RTc

=R√

1−N= RΠ

c

U nepropusnom opsegu je 1 ≤ N ≤ ∞ i 0 ≤ ω ≤ ωc pa imamo:

ZTc = R

√ejπe−jπ +Ne−jπ = Re−jπ

√N − 1 = −jR

√N − 1 = jXT

c

XTc = −R

√N − 1

ZΠ

c =R2

ZTc

=R2

jXc

=R2

−jR√N − 1

= jXΠ

c

XΠ

c =R√N − 1

Polazeci od ovoga

N =1

4ω2L2C1

ω2c =1

4L2C1

N =(ωc

ω

)2

ωcω

R

cXΠ

T

cX

T

cR

cRΠ

Slika 6.234: Karakteristicna impedansa "K" filtra visokih ucestanosti

260

Parametri koji se zadaju su R i ωc. Treba odrediti L2 =? i C1 =? Kako je

R2 =L2

C1

(6.288)

ω2

c=

1

4L2C1

(6.289)

i ako iz relacije (6.288) vrijednost za C1 uvrstimo u relcaciju 6.289)

ω2

c=

1

4L2C1

=⇒ ω2

c=

R2

4L2L2

L2

2=

R2

4ω2=⇒ L2 =

R

ωc

C1 =L2

R2=

R

2ωc

R2=

1

2ωcR

K-filtri propusnici opsega ucestanosti

1 /2L

2C

1 /2L

( )a ( )b

1L 1C

2

2

C

12C 12C

2L 22L 22L2

2

C

Slika 6.235: "K" - filtri propusnici opsega ucestanosti: (a) T - celija; (b) Π - celija

Polazeci da se ukupni parametri nalaze u otocnoj i prvoj i u drugoj slici u rednoj, kako su

ukupne impendanse bile izrazene na isti nacin.

Z1

= j

(ωL1 − 1

ωC1

)= j

ω2L1C1 − 1

ωC1

Z2

=1

j(ωC2 − 1

ωL2

) = −jωL2

ω2L2C2 − 1

Z1Z

2= 1

L2

C1

ω2L1C1 − 1

ω2L2C2 − 1(6.290)

Proizvod Z1Z

2u opštem slucaju nije konstanta a da bi to bio K-filtar ovaj proizvod mora

biti konstanta, stoga moramo uciniti da u relaciji (6.290) i brojilac i imenilac budu jednaki

jedinici odnosno:ω2L1C1 − 1

ω2L2C2 − 1= R2 = const

261

odnosno

L1C1 = L2C2 (6.291)

Razmotrimo opseg ucestanosti u kome je ω2L1C1 − 1 = ω2L2C2 − 1 < 0 i tada imamo

ω <1√L1C1

=1√L2C2

= ωo

Z1

= −jω2L1C1 − 1

ωC1

= −j1− ω2L1C1

ωC1

=1− ω2L1C1

ωC1

e−jπ

2

mod (Z1) =

1− ω2L1C1

ωC1

(6.292)

U ovom opsegu reaktansa je kapacitivnog karaktera što se vidi i iz relacije (6.292). Za

impedansu Z2imamo

Z2

= −jωL2

ω2L2C2 − 1=

ωL2

1− ω2L2C2

ejπ

2

mod (Z2) =

ωL2

1− ω2L2C2

Z2se ponaša kao reaktansa kalema u ovom opsegu. Iz ovog razmatranja zakljucujemo da se

Z1i Z

2ponašaju kao impendanse filtra visokih ucestanosti, jer je redna impendansa pretezno

kapacitivna, a otocna pretezno induktivna.

N =Z

1

4Z2

=(1− ω2L1C1)

2

4ω2L1C1

e−jπ =

(1− ω2L1C1

2ω√L1C1

)2

e−jπ (6.293)

Posmatrajmo drugi slucaj tj. opseg kada je ω2L1C1 − 1 = ω2L2C2 − 1 > 0 odnosno

ω >1√L1C1

=1√L2C2

= ωo

Ukupna redna impedansa ce biti

Z1=

ω2L1C1 − 1

ωC1

ejπ (6.294)

dok je njen moduo

mod [Z1] =

ω2L1C1 − 1

ωC1

> 0 (6.295)

i na osnovu relacije (6.295) vidimo da ima pretezno induktivni karakter. Ukupna otocna

impedansa ce biti jednaka

Z2=

ωL2

ω2L1C1 − 1e−j

π

2 (6.296)

262

a njen moduo

mod [Z2] =

ωL2

ω2L1C1 − 1(6.297)

ima pretezno kapacitivni karakter. Dakle u ovom opsegu radi isto kao filtar niskih ucestanosti.

Sada je

N =Z

1

4Z2

=(ω2L1C1 − 1)2

4ω2L2C1

ejπ =

(ω2L1C1 − 1

2ω√L2C1

)2

ejπ (6.298)

Uporeujuci relacije (6.298) i (6.293), mozemo napisati

N = mod [N ] =

(ω2L1C1 − 1

2ω√L2C1

)2

(6.299)

N = Ne±jπ (6.300)

Sada mozemo napraviti tablicu osnovnih relacija

Γc = 2 ln(√

1 +Ne±jπ +√Ne±jπ

)ZTc = R

√1 +Ne±jπ

ZΠ

c =R2

ZTc

N =

(ω2L1C1 − 1

2ω√L2C1

)2

L1C1 = L2C2 ωo =1√L1C1

(−) za ω < ωo (+) za ω > ωo

Analizirajmo Γc u opsegu 0 ≤ N ≤ 1. Tada je√1−N realno pa je karakteristicna funkcija

jednakaDakl

Γc = 2 ln(√

1−N ± j√N)= 2 ln

(1e±j arctan

√N

1−N

)= 0± j arctan

√N

1−N= Ac + jBc

(6.301)

Na osnovu relacije (6.301) vidimo da je:

Ac = 0

Bc = −2 arctan

√N

1−Nza ω < ωo

Bc = 2 arctan

√N

1−Nza ω > ωo

Pošto je Ac = 0 u pitanju je propusni opseg. Za N > 1 vidimo da je√1−N imaginarno pa

263

je karakteristicna funkcija

Γc = 2 ln(√


)= 2 ln

(√−e−jπejπ +Ne±jπ +

√Ne±jπ

)= 2 ln

(√N − 1 +

√N)± jπ = Ac + jBc

Ac = 2 ln(√

N − 1 +√N)

Bc = −π za ω < ωo

Bc = π za ω > ωo

Granica izmeu propusnog i nepropusnog opsega je N = 1

1 =

(ω2L1C1 − 1

2ω√L2C1

)2

ω2L1C1 − 1

2ω√L2C1

= ±1 =⇒ ω2L1C1 ± 2√L2C1ω − 1 = 0

ω =±√

L2C1 ±√L2C1 + L1C2

L1C1

ω =1√L1C1

(±√

L2

L1

+

√1 +

L2

L1

)

Od ova 4 rješenja biramo ono koja su pozitivna jer je ω realna fizicka velicina i dobijemo

ωc1=

1√L1C1

(−√

L2

L1

+

√1 +

L2

L1

)(6.302)

ωc2=

1√L1C1

(√L2

L1

+

√1 +

L2

L1

)

Relacije (6.302) i (??) predstavljaju kriticne ucestanosti filtra propusnika ucestanosti. Ako

obrazujemo njihov proizvod dobijamo

ωc1ωc2

=1

L1C1

(1 +

L2

L1

− L2

L1

)=

1

L1C1

= ω2

o(6.303)

ωo =√ωc1

ωc2(6.304)

264

Prema tome ωo lezi u intervalu

ωc1< ωo < ωc2

N = 0 ω = ωo

N = 1 ω = ωc1

N = 1 ω = ωc2

N = ∞ ω = 0

N = ∞ ω = ∞

propusniopseg

nepropusni opseg nepropusni opseg

0ω1cω

2cω0

N = ∞ 1N = 0N = 1N = N = ∞

ω

ponaša se kao filtarvisokih učestanosti (VF)

ponaša se kao filtarniskih učestanosti (NF)

Slika 6.236:

Za opseg 0 ≤ N ≤ 1 impedanse ce biti

ZTc = R

√1−N = RT

c

ZΠ

c =R2

ZTc

=R2

RTc

= RΠ

c

Za nepropusni opseg je N > 1 pa imamo

ZTc = R

√1 +Ne±jπ = R

√e−jπejπ +Ne±jπ = ±jR

√N − 1

za ω < ωo

ZTc = jXT

c

XTc = R

√N − 1

XΠ

c = − R2

XTc

XΠ

c > 0 ω < ωo

XΠ

c < 0 ω > ωo

Za ove filtare zadaju se R, ωc1, ωc2, a cetvrti parametar se dobija preko ova tri. Koristeci

ωo =√ωc1ωc2

265


ω1cω

π

cB

cA

0ω 2cω

cA


π−


ω1cω

π

0ω 2cω


π−

T

cX

cXΠ

cRΠ

TcR

cXΠ

T

cX

Slika 6.237:

dobijamo parametre

L1 =2R

ωc2− ωc1

C2 =2

(ωc2− ωc1

)R

C1 =ωc2

− ωc1

2Rωc1ωc2

"K"- filtar nepropusnik opsega ucestanosti

Ukupna redna impedansa jei otocna impedansa

Z1=

1

j(ωc1

− 1

ωL1

) = − jωL1

ω2L1C1 − 1(6.305)

266

1 /2L

2C

1 /2L

( )a ( )b

12C 12C2L

2

2

C2

2

C

22L22L

1C

1L

Slika 6.238: "K" - filtar nepropusnik opsega ucestanosti: (a) T - celija; (b) Π - celija

a ukupna otocna impedansa je

Z2= j

(ωL2 − 1

ωC2

)=

jω2L2C2 − 1

ωC2

(6.306)

Ako napravimo proizvodi

Z1Z2=

ω2L2C2 − 1

ω2L1C1 − 1

L1

C2

= R2 (6.307)

U relaciji (6.307) proizvod mora biti da bude konstantna vrijednost za "K"-filtar pa mora biti

ispunjen uslov

L1C1 = L2C2

ωo =1√L1C1

=1√L2C2

Posmatramo opseg ω2L1C1 − 1 = ω2L2C2 − 1 < 0 tj.

ω <1√L1C1

=1√L2C2

= ωo

Tada je

Z1= j

L1ω

1− ω2L1C1

=ωL1

1− L1C1ω2e−j

π

2

Za ovaj opseg takoe imamo

N =Z1

4Z2

=ω2L1C2

4 (1− L1C1ω2)ejπ (6.308)

ako oznacimo

N =

(ω√L1C2

2 (1− L1C1ω2)

)2

(6.309)

N = Nejπ (6.310)

267

Posmatrajmo slucaj opsega ω2L1C1 − 1 = ω2L2C2 − 1 > 0 uz uslov da je ω > ωo tada su

impedanse

Z1=

ωL1

ω2L1C1 − 1e−j

π

2 (6.311)

Relacija (6.311) predstavlja kapacitet kao kod V.F

Z2=

ω2L2C2 − 1

ωC2

ejπ

2 (6.312)

Relacija (6.312) predstavlja kalem kao kod V.F

N =Z1

4Z2

=ω2L1C2

4 (L1C1ω2 − 1)e−jπ =

(ω√L1C2

2 (ω2L1C1 − 1)

)2

(6.313)

N = Ne−jπ (6.314)

Tabela osnovnih relacija je

Γc = 2 ln(√


)N = Ne±jπ

N =

(ω√L1C2

2 (ω2L1C1 − 1)

)2

ZTc = R

√1 +Ne±jπ

ZΠ

c =R2

ZTc

R2 =L1

C2

(+) za ω < ωo (−) za ω > ωo

ωo =1√L1C1

L1C1 = L2C2

Analizirajmo slucaj kada je 0 ≤ N ≤ 1 odnosno kada je√1−N realna vrijednost. Karakter-

isticna funkcija je jednaka

Γc = Ac + jBc

a na analogan nacin kao i za predhodni filtar dobijamo

Ac = 0 (6.315)

Bc = 2 arctan

√N

1−Nza ω > ωo (6.316)

Bc = −2 arctan

√N

1−Nza ω < ωo (6.317)

268

Pošto je Ac = 0 (relacija (6.316)) zakljucujemo da se radi o propusnom opsegu. Posmatrajmo

opseg N > 1, tada je

Γc = Ac + jBc

Ac = 2 ln(√N − 1 +

√N) > 0 (6.318)

Bc = π za ω < ωo (6.319)

Bc = −π za ω < ωo (6.320)

Zakljucujemo (relacija (6.318))da je ovo nepropusni opseg jer je Ac > 0. Granica izmeu

propusnog opsegu i nepropusnog opsega je N = 1, pa kao relaciju (6.313) izjednacimo sa

jedinicom dobijamo

(ω√L1C2

2 (ω2L1C1 − 1)

)2

= 1 =⇒ ω√L1C2

2 (ω2L1C1 − 1)= ±1 (6.321)

odnosno

2L1C2ω2 ± ω

√L1C2 − 2 = 0 (6.322)

Ako relaciju (6.322) riješimo po ω dobijamo relaciju

ω =±√

L1C2 ±√16L1C1

4L1C1

(6.323)

iz koje vidimo da postoje 4 rješenja. Biramo samo ona rješenja za ω koja su fizicki realna za

ω > 0 i dobijamo

ωc1 =1

4√L1C1

(−√

C2

C1

+

√16 +

C2

C1

)(6.324)

ωc1 =1

4√L1C1

(√C2

C1

+

√16 +

C2

C1

)(6.325)

Relacije (6.324) i (6.325) predstavljaju kriticne ucestanosti filtra nepropusnika opsega. Ako

napravimo proizvod

ωc1ωc2 = · · · = ω2

o =⇒ ωo =√ωc1ωc2

tj

ωc1 < ωo < ωc2

Tablica:

269

N = 0 ω = 0

N = 0 ω = ∞N = ∞ ω = ωo

N = 1 ω = ωc1

N = 1 ω = ωc2

propusniopseg

nepropusni opseg

0ω1cω

2cω0

1N =0N = 1N =N = ∞

ω

propusniopseg

0N =



Slika 6.239:

I za ovaj filtar zadaju se tri nezavisna parametra R, ωc1, ωc2

a odavde se dobijaju elementi

filtra

C1 =1

2R (ωc2− ωc1

)

L1 =2R (ωc2

− ωc1)

ωc2ωc1

C2 =2 (ωc2

− ωc1)

Rωc2ωc1

Opšte:"K"-filtri imaju samo teorijski ali ne i inzinjerski znacaj iz dva razloga. Prvi razlog

je što su u pitanju idealni elementi R, L, C, a u stvarnosti se javljaju parazitne kapacitivnosti

i induktivnosti. Drugi razlog je što je ZT

cveoma slozena funkcija frekvencije pa bi vrlo teško

bilo prilagoavati R, L, C da bi se odredilo ZT

c. Dakle kombinacija L i C vrši raznu filtraciju

signala koja se zasniva na rezonantnim pojavama elektricnog i magnetnog polja, imaju ve-

liku primjenu u oblasti telekomunikacije. Filtri su elektricna kola koja ostvaruju odreenu

transformaciju ulaznog signala u frekventnoj ili vremenskoj oblasti. Operacija transformacije

signala sa filtarom se naziva filtracija. Svojstva filtara mogu biti opisana kako u vremenskom

domenu diferencijalnim jednacinama ili u frekventnom domenu pomocu frekventnih karakter-

istika. Filtri se mogu dijeliti po više osnova:

-prema propusnom opsegu (niske, visoke ucestanosti, propusnici i nepropusnici)

-prema obliku ulaznog signala: na analogne i na digitalne filtare

270


ω1cω

π

0ω 2cω

cA


π−


ω1c

ω

π

0ω2c

ω


π−

T

cX cXΠ

cRΠ

TcR

cXΠ T

cX

cA

cA

cA

cB

cB

cRΠ

TcR

Slika 6.240:

-prema karakteru: na pasivne i aktivne filtare, linearne i nelinearne, sa koncentrisanim i

rasporeenim parametrima. Teroija filtara se tretira u okviru sinteze elektricnih kola, a sinteza

ima dva dijela: aproksimaciju i teoriju razrade. Zato imamo podjele filtra prema aproksimaciji

na: Besselove filtre (funkcije) i Cebišeljeve filtre (polinomi).

Idealni filtar

Transmitansa napona

M(jω) =U

2(jω)

U1(jω)

= |M(jω)| e−jθ(ω)

ako je

|M(jω)| = K = const

θ (ω) = ωtk

U2(jω) = M(jω)U1(jω) = Ke−jθ(ω)U1(jω)

271

1U 2U

Slika 6.241: Idealni filtar

Prema pravilima za Furijeovu transformaciju, onda u frekventnom domenu imamo

U2(t) = KU1(t− tk)

tk =dθ(ω)

dω=

θ(ω)

ω

uslovi

|M(jω)| = k = const

θ (ω) = ωtk

Dakle pod ovim uslovima ulazni signal U1 prolazi kroz filtar bez izoblicenja uz pomjeranje

po osi za tk (vremesnko pomjeranje). Ako je još ispunjen uslov k = 1 u pitanju je idealni filtar

jer je U1 po modulu jednak U2

ANALIZA SLOZENIH

ELEKTRICNIH KOLA

7.1 Metode formiranja sistema jednacina elektricnih kola

Karakteristike elemenata zajedno sa K zakonima obrazuju izvorno jedan sis-

tem diferencijalno - integralnih jednacina cijim se rješavanjem uz date pocetne uslove odreuju

naponi u˜

i struje i∼

svih grana (elemenata). Kao središnji problem analize kola, potrebno je

svesti taj sistem na jedan sistem od minimalnog broja potrebnih i dovoljnih jednacina cije

rješenje odreuje svve napone i sve struje elemenata kola i ovaj sistem potom efektivno ri-

ješiti. Prema tome, analiza elektricnih kola (mreza) se, u krajnjoj liniji, svodi na dva osnovna

pitanja:

a) Formulisanje sistema jednacina cije rješenje odreuje sve napone i sve struje elemenata

i

b) Efektivno rješavanje ovih sistema jednacina

7.2 Sistemi jednacina promjenljivih grana

Svaka grana je definisana naponom i strujom. U opštem slucaju to su nepoznate velicine. Za

kolo od b grana imamo ukupan broj promjenljivih grana 2b (b− napona i b− struja). Polazeci

od osnovnih jednacina u kompleksnom domenu:

Kirhofov zakon za struje (KZN):

Q∼

I∼

= 0∼

A∼

I∼

= 0∼

ili I∼

= B∼

tj∼

(7.326)

Kirhofov zakon za napone (KZN):

272

273

B∼

U∼

= 0∼

iliU∼

= Q∼

tv∼

U∼

= A∼

tv∼

(7.327)

Karakteristike elemenata (KE):

U∼

+ Ug

∼

= Z∼

(I∼

+ Ig∼

)(7.328)

ili

I∼

+ Ig∼

= Y∼

(U∼

+ Ug

∼

)(7.329)

Jedan sistem promjenljivih grana dobijamo uzimajuci jednacine (7.326), (7.327) i (7.328):

Q∼

I∼

= 0∼

n jednacina

B∼

U∼

= 0∼

m jednacina

U∼

+ Ug∼

= Z∼

(I∼

+ Ig∼

)b jednacina

(7.330)

ukupno n+m+b = b+b = 2b jednacina. Drugi sistem jednacina promjenljivih grana dobijamo

ako uzmemo jednacine (7.326), (7.327) i (7.329):

Q∼

I∼

= 0∼

n jednacina

B∼

U∼

= 0∼

m jednacina

I∼

+ Ig∼

= Y∼

(U∼

+ Ug

∼

)b jednacina

(7.331)

7.3 Sistem jednacina struja grana

Ovaj sistem je moguce formirati ukoliko su grane strujno kontrolisane, tj. ukoliko postoji

impedansna matrica kola. Polazeci od jednacina (7.326) i (7.327)

Q∼

I∼

= 0∼

B∼

U∼

= 0∼

a iz jednacine (7.328) izrazimo matricu napona U∼

U∼

= Z∼

I∼

− Ug

∼

+ Z∼

Ig∼

(7.332)

274

i zamijenimo u jednacinu (7.327) dobijamo:

B∼

U∼

= B∼

(Z∼

I∼

− Ug

∼

+ Z∼

Ig∼

)= 0∼

B∼

Z∼

I∼

= B∼

(Ug

∼

− Z∼

Ig∼

)(7.333)

Jednacina (7.333) zajedno sa jednacinama KZS formira sistem od b− jednacina

Q∼

I∼

= 0∼

n jednacina

B∼

Z∼

I∼

= B∼

(Ug

∼

− Z∼

Ig∼

)m jednacina

(7.334)

znaci ukupno n+m = b jednacina. Sistem (7.334) se moze kompaktno zapisati

⎡⎣ Q

∼

B∼

Z∼

⎤⎦

︸︷︷︸I∼

N∼

=

⎡⎣ 0

∼

Ug

∼

− Z∼

Ig∼

⎤⎦

︸︷︷︸vgekv∼

(7.335)

gdje se kao promjenljive javljaju samo struje grana. Rješavanjem sistema (7.335) po strujama

grna dobijamo

I∼

= N∼

−1vgekv∼

(7.336)

Zamjenom relacije (7.336) u relaciju (7.332) mozemo odrediti i napone grana. N:

Kvadratna matrica N∼

je regularna jer se po njenim vrstama javljaju vrste matrice nezavisnih

presjeka Q∼

i nezavisnih kontura B∼

koje su linearno nezavisne.

7.4 Sistem jednacina napona grana

Ovaj sistem je moguce formirati u slucaju kada su grane naponski kontrolisane, tj. ukoliko

postoji admitansna matrica kola. Polazimo od KZS i KZN u osnovnom obliku

Q∼

I∼

= 0∼

B∼

U∼

= 0∼

i jednacine grana I∼

+ Ig∼

= Y∼

(U∼

+ Ug∼

)pomocu koje izrazimo matricu struja I

∼

u obliku

I∼

= Y∼

U∼

− Ig∼

+ Y∼

Ug∼

(7.337)

275

Zamjenom jednacine (7.337) u jednacinu (7.326) imamo

Q∼

I∼

= Q∼

(Y∼

U∼

− Ig∼

+ Y∼

Ug∼

)= 0∼

Q∼

Y∼

U∼

= Q∼

(Ig∼

− Y∼

Ug∼

)(7.338)

Jednacina (7.338) zajedno sa KZN formira sistem jednacina oblika

Q∼

Y∼

U∼

= Q∼

(Ig∼

− Y∼

Ug∼

)n jednacina

B∼

U∼

= 0∼

m jednacina(7.339)

znaci ukupno n+m = b jednacina. Sistem (7.339) se moze kompaktno zapisati

⎡⎣ Q

∼

Y∼

B∼

⎤⎦

︸︷︷︸U∼

M∼

=

⎡⎢⎣ Q

∼

(Ig∼

− Y∼

Ug∼

)

0∼

⎤⎥⎦

︸︷︷︸jgekv∼

(7.340)

tj.

M∼

U∼

= jgekv∼

(7.341)

sa

M∼

=

⎡⎣ Q

∼

Y∼

B∼

⎤⎦ ; jgekv

∼

=

⎡⎢⎣ Q

∼

(Ig∼

− Y∼

Ug∼

)

0∼

⎤⎥⎦

Rješavanjem sistema (7.341) po ovim naponima

U∼

= M∼

−1jgekv∼

(7.342)

i zamjenom dobijenog rješenja za U∼

u jednacinu (7.337) mozemo odrediti i struje grana.

Kvadratna matrica M∼

je regularna iz istih razloga kao matrica N∼

.

7.5 Sistemi jednacina nezavisno promjenljivih

Mada predhodna dva sistema: sistem jednacina struja grana i sistem jednacina napona grana,

rade sa redukovanim brojem jednacina b, umjesto 2b, njihova prakticna primjena nije narocito

pogodna jer se, uz matrice impedansi/admitansi kola zahtijeva i poznavanje matrica Q∼

i B∼

.

Dok je odreivanje matrice Q∼

( A∼

) relativno jednostavno, matrica B∼

se za slozena kola

teze nalazi, osim za planarne grafove. Pokazacemo da se broj nezavisnih jednacina, dovoljan

276

za potpuno rješavanje kola, moze još više smanjiti ako kao promjenljive velicine odaberemo

nezavisne struje ili nezavisne napone.

7.5.1 Sistem jednacina nezavisnih struja

Ovaj sistem se oslanja na sistem jednacina struja grana i stoga ga je moguce formirati ukoliko

su grane strujno kontrolisane, tj. ukoliko postoji impedansna matrica kola Z∼

. Jednacinu KZN

ovdje posmatramo u alternativnom obliku

I∼

= B∼

tj∼

(7.343)

gdje je j∼

- matrica kolona nezavisnih struja. Ako relaciju (7.343) zamijenimo u relaciju (7.333)

dobija se redukovani sistem oblika

B∼

Z∼

B∼

tj∼

= B∼

(Ug

∼

− Z∼

Ig∼

)(7.344)

gdje se kao promjenljive javljaju nezavisne struje. Dakle, dobili smo sistem od m nezavisnih

jednacina. Matricni proizvod

B∼

Z∼

B∼

t = Zm∼

kao rezultat daje novu kvadratnu matricu Zm∼

redam ciji clanovi imaju dimenziju impedanse.

ona se naziva matrica impedansi nezavisnih kontura. Matricni proizvod

B∼

(Ug

∼

− Z∼

Ig∼

)= Vg

∼

je matrica ekvivalentnih naponskih izvora nezavisnih kontura, pa se sistem nezavisnih struja

moze moze kompaktno zapisati

Zm∼

j∼

= Vg∼

(7.345)

Rješavanjem relacije (7.345) po j∼

dobijamo m jednacina oblika

j∼

= Z−1m∼

Vg∼

(7.346)

Struje grana odreujemo iz

I∼

= B∼

tj∼

a napone grana iz jednacina

U∼

= Z∼

I∼

+ Z∼

Ig∼

− Ug

∼

277

7.5.2 Sistem jednacina nezavisnih napona

Ovaj sistem jednacina se oslanja na sistem jednacina napona grana i stoga ga je moguce

formirati ukoliko su grane naponski kontrolisane, tj. ukoliko postoji admitansna matrica kola

Y∼

. Jednacine KZN ovdje posmatramo u alternativnom obliku

U∼

= Q∼

tv∼

(7.347)

gdje je v∼

matrica kolona nezavisnih napona. Ako relaciju (7.347) zamijenimo u relaciju (7.338)

dobija se redukovan sistem od n nezavisnih jednacina

Q∼

Y∼

Q∼

tv∼

= Q∼

(Ig∼

− Y∼

Ug

∼

)

gdje se kao promjenljive javljaju nezavisni naponi. Dakle, dobili smo sistem od n− nezavisnih

jednacina. Matricni proizvod

Q∼

Y∼

Q∼

t = Yn∼

kao rezultat daje novu kvadratnu matricu reda n ciji clanovi imaju dimenziju admitansi, Yn∼

- je matrica admitansi nezavisnih presjeka. Matricni proizvod Q∼

(Ig∼

− Y∼

Ug

∼

)ima dimenziju

struja: u pitanju je matrica ekvivalentnih strujnih izvora nezavisnih presjeka koju cemo

oznaciti sa Jg∼

Jg∼

= Q∼

(Ig∼

− Y∼

Ug

∼

)

pa se sistem jednacina nezavisnih napona moze kompaktno zapisati

Yn∼

v∼

= Jg∼

(7.348)

Rješavanje kola pomocu tog sistema daje nezavisne napone u obliku

v∼

= Y −1n∼

Jg∼

Naponi grana kola odreuju se prema relaciji

U∼

= Q∼

tv∼

a struje grana po relaciji

I∼

= Y∼

U∼

+ Y∼

Ug

∼

− Ig∼

278

Ako umjesto matrice nezavisnih presjeka Q∼

koristimo matricu cvorova A∼

KZS glasi A∼

I∼

= 0∼

odnosno alternatini oblik KZN U∼

= A∼

tv∼

dobijamo jednacine napona nezavisnih cvorova

(metoda napona cvorova)

A∼

Y∼

A∼

tv∼

= A∼

(Ig∼

− Y∼

Ug

∼

)(7.349)

7.6 Premještanje nezavisnih generatora

Jednacine nezavisnih struja i nezavisnih napona izvedene su iz K-ovih zakona i

karakteristika elemenata za standardne grane. Meutim, ako u kolu imamo “degenerisane”

grane (nestandardne grane) koje sadrze samo naponski i samo strujni generator onda vršimo

premještanje tih generatora kako bi obrazovali kolo sa samo standardnim granama. Na primjer

u kolu prema slici 7.242. postoje dvije nestandardne grane: jedna sa naponskim generatorom

ug a druga sa strujnim generatorom ig.

1R 1L 2R

3R

2C

3C

4Cgu gi

4

3

2

1

Slika 7.242: Kolo sa nestandardnim granama

Formiranje kola sastavljenog od samo standardnih grana vrši se na taj nacin što se naponski

generator “progura” kroz jedan od cvorova za koji je vezan, a strujni generator premjesti par-

alelnim vezivanjem sa granama s kojima obrazuje jednu konturu. Grane sa naponskim genera-

torom kao i grane sa strujnim generatorom zamijenimo sa njihovim unutrašnjim impedansama.

Tako dobijamo kolo sa svim standardnim granama prikazano na slici 7.243.

Sa slike 7.243. vidimo da smo dobili kolo koje ima jedan cvor i jednu konturu manje u

odnosu na polazno kolo. Naponi i struje ostalih grana nece se promijeniti jer se jednacine

pisane po Kirhofovim zakonima nijesu promijenile. Meutim, ako zelimo da primijenimo

metodu nezavisnih napona strujne generatore ne treba premještati vec se samo u matrici ad-

mitansi grana Y∼

za tu granu stavi nulta vrijednost admitanse. Premješta se samo naponski

279

1R 1L

2R

3R

2C3C

4C

gu

gi

4

3

2

1

gi

gu

gu

Slika 7.243: Kolo sa standardnim granama

generator. Isto tako, ako zelimo da primijenimo metodu nezavisnih struja, naponske genera-

tore ne treba premještati (“proguravati” kroz cvor) vec se samo u matrici impedansi grana Z∼

za tu granu stavi nulta vrijednost impedanse. Premješta se samo strujni generator.

7.7 Dualnost. Princip dualnosti

Sa pojmom dualnosti se srecemo u mnogim oblastima nauke i tehnike. Dva sistema (ili po-

jave) su dualni jedan drugom ako se, na neki nacin, moze uspostaviti obostrana veza izmeu

razlicitih velicina ili svojstava u oba sistema. U slucaju elekricnih kola, za dva kola N i N ′

(koja sadrze samo elemente sa dva kraja) kazemo da su dualna ako imaju isti broj grana i

ako u jednacinama kola svakom naponu ul kola N odgovara struja i′lkola N ′, svakoj struji il

odgovara napon u′

l, fluksu φl odgovara kolicina elektriciteta q′

la naelektrisanju ql fluks φ

′

l, što

simbolicki mozemo izraziti:

N ←→ N ′

ul ←→ i′l

il ←→ u′

l

φl ←→ q′

l

ql ←→ φ′

l

Kako pod jednacinama kola podrazumijevamo relacije koje odrazavaju zakonitosti povezivanja

(Ki-

rchhoff-ove zakone) i zakonitosti karakteristicne za elemente u kolu (karakteristike elemenata),

to znaci da ce dualna kola imati dualnu strukturu i da ce sadrzavati dualne komponente.

Dualnost ima svoju kvalitativnu i kvantitativnu stranu. Kvalitativna strana dualnosti odnosi

280

se na topološka svojstva kola koja izrazava graf kola.

7.7.1 Dualni grafovi

Dva grafa se nazivaju dualnim ako je matrica nezavisnih cvorova jednog iz njih A1

∼

jednaka

matrici nezavisnih kontura B2

∼

i obratno

A1

∼

= B2

∼

B1

∼

= A∼2

Iz ovih jednakosti proizilazi da dualni grafovi imaju jednak broj grana grafa. Osim toga,

cvorovi jednoga grafa odgovaraju konturama drugoga i obratno. Kvalitativna strana dualnosti

izrazava se sledecim dualnim topološkim svojstvima i pojmovima:

G ←→ P

S ←→ K-

K ←→ P (S)

O ←→ K

S ←→ P

N ←→ O

G ←→ D

R ←→ N

M ←→ M

Da bi formirali dualni graf zadatom grafu neophodno je:

1. Unutar svakog okca (nezavisne konture ciju površinu ne presijeca ni jedna grana grafa)

polaznog grafa postaviti cvor.

2. Jedan cvor (referentni) postaviti van površine grafa.

3. Zatim svaki par novih cvorova povezati granom, tako da ta grana sijece granu polaznog

grafa.

4. Orjentaciju grana novoga grafa vršimo saglasno sa sledecom slikom.

Na slici 7.244. prikazana je jedna kontura µ polaznog grafa, cvor i grane dualnog grafa.

Grane i cvorovi dualnog grafa imaju indeks d. Ako se orjentacija grane polaznog grafa poklapa

281

d2

µ

d1

d3

d4

d(1 )

3

2

1

4

Slika 7.244:

sa orjentacijom obilaska konture µ orjentacija odgovarajuce grane dualnog grafa je od cvora

u toj konturi. Ako je ta orjentacija suprotna - orjentacija dualne grane je ka tom cvoru.

Primjer 1: Dat je graf prema slici 7.245. Nacrtati dualni graf.

2

4 3

5

76

1

1

2

3

4

5

Slika 7.245:

U skladu sa izlozenim pravilima crtanja dualnog grafa, dualni graf dat je isprekidanim

linijama i prikazan je na slici 7.246.

Bilo kom stablu polaznog grafa odgovara ko-stablo dualnog grafa. Granama kontura (pres-

jeka) polaznog grafa odgovaraju grane presjeka (kontura) dualnog grafa. Rednom vezivanju

grana polaznog grafa odgovara paralelna veza dualnih grana i obratno. Iz pravila formi-

ranja dualnog grafa moguce je izvuci zakljucak da se dualni graf ne moze uvijek formirati za

proizvoljni polazni graf. Dualni graf se moze formirati samo za planarne grafove tj. grafove

koji se mogu razviti na površini bez presijecanja grana. Svi grafovi su planarni ako ne sadrze

jednu od dvije strukture prikazane na slici 7.247.

Kvantitativna strana dualnosti vezana je za karakteristike elemenata. Ova strana dualnosti

izrazava se dualnim velicinama i jednacinama:

282

d1

d2

d3

d4

d5

d7d

6

d1

d2

d3

d4

Slika 7.246:

Slika 7.247:

283

N ←→ S

K ←→ M

O ←→ P

I ←→ K

I ←→ A

R ←→ S

N ←→ S

K (KZS) ←→ K (KZN)

N ←→ N

N ←→ S

J ←→ J

Elementi sa jednim pristupom nazivaju se dualnim ako je zavisnost napona u(i) jednoga

elementa ista kao zavisnost i(u) drugoga i obratno. Na primjer, dualne relacije su:

u = Ri i = Gu

uL = LdiL

dtiC = C duC

dt

iL = 1

L

t∫

−∞

uL(τ)dτ uC = 1

C

t∫

−∞

iC(τ)dτ

Dvije šeme elektricnih kola, koje sadrze elemente sa jednim pristupom nazivaju se dualnim,

ako one imaju dualne grafove i svakom elementu jedne šeme odgovara dualni element druge.

Primjer 2: Dato je elektricno kolo prema šemi na slici 7.248. Nacrtati dualno kolo.

Pri formiranju dualne šeme, prvo se formira dualni graf i svaki element zadate šeme za-

mjenjuje se dualnim elementom. Pri crtanju dualnog grafa svaki element (E, J, R, L, C)

treba posmatrati kao posebnu granu (slika 7.249).

Osnovnim svojstvom dualnih šema jeste poklapanje jednacina, sastavljenih po KZS (KZN)

jedne šeme s jednacinama sastavljenim po KZN (KZS) druge šeme. Uopštenije jednacine

nezavisnih struja (napona) jednog kola poklapaju se sa jednacinama nezavisnih napona (struja)

drugoga kola.

Primjer 3: Dato je kolo prema šemi na slici 7.250. Nacrtati dualno kolo.

Primjer 4: Dato je kolo prema šemi na slici 7.252. Nacrtati dualno kolo.

Pri usklaivanju orjentacija naponskih i strujnih generatora dualnih šema rukovodimo se

sledecim pravilom: ako se referentna orjentacija naponskog generatora poklapa sa referentnom

284

1 2

3

1i 2i 4i

3i

1e 4J

4R2L

1R 3R3C

Slika 7.248:

1u1 1=J e1 1=G R

3u

3 3=CL3 3=G R 4 4=E J

4 4=G R2 2=C Ld1

d2

d3

d4

2u 4u

Slika 7.249:

d1

d2

d3

Vgu

1R 2R

L

C

Agi

=0t1

2

Slika 7.250:

285

AguVgi

=0t

C

L2G1G

d3

d1

d2

Slika 7.251:

( )e t R L C

d1

d2

Slika 7.252:

( )i t G ′ C ′ L ′

d1

d2

Slika 7.253:

286

orjentacijom konture (u smjeru kazaljke na satu) onda struja strujnog generatora u dualnoj

šemi usmjerena je ka cvoru koji odgovara datoj konturi u polaznoj šemi. Pojam dualnosti

i princip dualnosti je od velike vaznosti u teoriji elektricnih kola. Na osnovu njega, ako

poznajemo odzive jednog kola, mozemo odmah napisati i izraze za odzive njemu dualnog kola.

7.8 Analiza slozenih elektricnih kola u vremenskom domenu

Posmatrajmo kolo sa c cvorova i b grana. Osnovne jednacine kola se, u matricnoj formulaciji

mogu zapisati kao:

KZS: A∼

i∼

(t) = 0∼

ili i∼

(t) = B∼

tj∼

(t) (7.350)

KZN: B∼

u∼

(t) = 0∼

ili u∼

(t) = A∼

tv∼

(t) (7.351)

KE: F∼

[u∼

(t), Du∼

(t), i∼

(t),D i∼

(t), e∼

(t)]= 0 (7.352)

gdje su u∼

(t) i i∼

(t) matrice kolone (vektori) napona i struja grana:

u∼

(t) = [u1(t), u2(t), ..., ub(t)]t

i∼

(t) = [i1(t), i2(t), ..., ib(t)]t

A∼

(t) i B∼

(t) su matrice nezavisnih presjeka i nezavisnih kontura, v∼

(t) i j∼

(t) su vektori

nezavisnih napona i nezavisnih struja:

v∼

(t) = [v1(t), v2(t), ..., vb(t)]t , n = c− 1

j∼

(t) = [j1(t), j2(t), ..., jb(t)]t , m = b− n

Clan e∼

(t) je vektor nezavisnih izvora u granama:

e∼

(t) = [e1(t), e2(t), ..., eb(t)]t

Ako grana l ne sadrzi nezavisni izvor tada je el(t) = 0. Matrica F∼

iskazuje vezu napona i

struja grana, dok D oznacava operator izvoda po vremenu posmatrane funkcije. Matrica F∼

se

moze razloziti na operatorske submatrice nad vektorima napona i struja grana i na submatricu

nezavisnih izvora u granama u obliku:(N0

∼

+N1

∼

D

)i∼

(t) +

(M0

∼

+M1

∼

D

)u∼

(t) = e∼

(t) (7.353)

287

gdje su: N0

∼

, M0

∼

, N1

∼

, M1

∼

kvadratne matrice reda b koeficijenata mreze vezane za krajeve

nezavisnih izvora. Relacija (7.353) se moze, kompaktnije zapisati kao:

N∼

(D) i∼

(t) +M∼

(D)u∼

(t) = e∼

(t) (7.354)

gdje je: N∼

(D) =

(N0

∼

+N1

∼

D

)i M∼

(D) =

(M0

∼

+M1

∼

D

). Sistem jednacina (7.350) - (7.353)

se moze prikazati u jedinstvenoj matricnoj formi:

b b

n

m

b

⎡⎢⎢⎢⎣

A∼

0∼

0∼

B∼

N∼

(D) M∼

(D)

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎣ i∼

(t)

u∼

(t)

⎤⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎣

0∼

0∼

e∼

(t)

⎤⎥⎥⎥⎦ (7.355)

Matrice: N0

∼

, M0

∼

, N1

∼

, M1

∼

su rijetke, slabo-popunjene matrice (matrice sa mnogo nultih el-

emenata - S M). Ako kolo ne sadrzi elemente sa više pristupa, što znaci da

grane nijesu spregnute, ove matrice su dijagonalne. Dalje, diferencijalna veza u− i (a time

i submatrice N1

∼

, M1

∼

) postoji samo ako kolo sadrzi dinamicke elemente: kalemove i konden-

zatore. Takoe, ne moze grana biti opisana obostranom diferencijalnom vezom napon-struja

i struja-napon.

Formiranje matrice nezavisnih presjeka A∼

(u ovom slucaju radi se o presjecima koji odgo-

varaju cvornim snopovima) je jednostavno: inspekcijom se direktno odreuje incidencija grana

i cvorova matrice A∼

jer je u tom slucaju matrica cvorna. Nasuprot tome, odreivanje matrice

nezavisnih kontura B∼

, nije jednostavno u slucaju neplanarnih grafova. Stoga se umjesto KZN

u obliku B∼

u∼

= 0∼

, radije koristi alternativni oblik KZN: u∼

(t) = At

∼

v∼

(t) pa koristimo sledeci

polazni sistem jednacina za rješavanje elektricnih kola:

A∼

i∼

(t) = 0∼

u∼

(t) = A∼

tv(t)(N0

∼

+N1

∼

D

)i∼

(t) +

(M0

∼

+M1

∼

D

)u∼

(t) = e∼

(t)

ili u matricnom obliku jedinstvenog sistema jednacina:

288

b b n

n

b

b

⎡⎢⎢⎢⎣

A∼

0∼

0∼

0∼

1b∼

−A∼

t

N∼

(D) M∼

(D) 0∼

⎤⎥⎥⎥⎦

︸︷︷︸T∼

(D)

⎡⎢⎢⎢⎣

i∼

(t)

u∼

(t)

v∼

(t)

⎤⎥⎥⎥⎦

︸︷︷︸w∼

(t)

=

⎡⎢⎢⎢⎣

0∼

0∼

e∼

(t)

⎤⎥⎥⎥⎦

︸︷︷︸eg∼

(t)

(7.356)

gdje je sa T∼

(D) oznacena tablo matrica (T- ). Relaciju (7.356) mozemo zapisati

i krace kao:

T∼

(D)w∼

(t) = eg∼

(t)

Matrica T∼

(D) je kvadratna matrica reda 2b + n, w∼

(t) je vektor (matrica kolona 2b + n × 1)

promjenljivih: struje grana, napona grana i potencijali nezavisnih cvorova, eg∼

(t) je vektor

eksitacija.

Mada je tablo matrica nešto višeg reda nego osnovni sistem jednacina (2b + n jednacina

umjesto 2b) koristi se u opštoj analizi elektricnih kola, jer, slicno modelu stanja, daje potpunu

sliku o ponašanju cijelog kola, odjednom, a ne samo za pojedine promjenljive, kao što je

slucj svoenja na jednu diferencijalnu jednacinu odziva. Tablo analiza je opšteg znacaja i

moze se primijeniti na linearna i nelinearna, vremenski invarijantna i vremenski promjenljiva

kola. Napomenimo da prakticna primjena tablo matrice ima smisla pretezno u analizi kola

primjenom racunara.

Primjer: Za kolo prikazano na slici 7.254. odrediti minimalni skup nezavisnih jednacina

oblika datih relacijama (7.355).

gigu3C

4R 5L

1µ

1

2i1i 3i

4i 5i3 2

(0)

2µ

Slika 7.254:

Rješenje:

Osnovne jednacine kola (7.350) - (7.353) u razvijenoj formi su:

289

KZS 1: i1 +i4 = 0

2: i2 −i5 = 0

3: i3 −i4 + i5 = 0

KZN µ1: u1 −u3 − u4 = 0

µ2: u2 −u3 +u5 = 0

KE: u1 = ug

−i2 = ig

−i3 +C3Du3 = 0

R4i4 −u4 = 0

L5Di5 −u5 = 0

To je trazeni (sistem) skup jednacina, gdje se prepoznaju matrice: A∼

, B∼

,N∼

(D) =

(N0

∼

+N1

∼

D

),

M∼

(D) =

(M0

∼

+M1

∼

D

).

A∼

=

⎡⎢⎣ 1 0 0 −1 0

0 1 0 0 −1

0 0 1 −1 1

⎤⎥⎦ ; B

∼

=

[1 0 −1 −1 0

0 1 −1 0 1

]

N0

∼

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0

−1 0∼

−1

0∼

R4

0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦; M0

∼

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1

0 0∼

0

0∼

−1

−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

N1

∼

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0

0 0∼

0

0∼

0

R5

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦; M1

∼

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0

0 0∼

C3

0∼

0

0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

i∼

(t) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

i1

i2

i3

i4

i5

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ; u

∼

(t) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

u1

u2

u3

u4

u5

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ; e

∼

(t) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

ug

ig

0

0

0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

290

Za formiranje T-M dat relacijom (7.356) koristicemo vec dobijene rezultate za

KZS i KE, a pišemo nove jednacine KZN i uvodimo matricu napona cvorova v∼

(t).

KZN: u1 −v1 = ug

u2 −v2 = ig

u3 −v3 = 0

u4 −v1 +v4 = 0

u5 +v2 −v3 = 0

što je ekvivalentno sa u∼

(t) = At

∼

v∼

(t).

At

∼

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 −1

0 −1 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ; v

∼

(t) =

⎡⎢⎣ v1

v2

v3

⎤⎥⎦

7.9 Metod nezavisnih struja. Operatorski oblik u vre-

menskom domenu uzimajuci u obzir i pocetne uslove

Osnovne relacije:KZS: A

∼

i∼

(t) = 0∼

ili i∼

(t) = B∼

tj∼

(t)

KZN: B∼

u∼

(t) = 0∼

ili u∼

(t) = A∼

tv∼

(t)

KZE:

u∼

(t) + ug∼

(t) = Z∼

(D)

[i∼

(t) + ig∼

(t)

]i∼

(t) + ig∼

(t) = Y∼

(D)

[u∼

(t) + ug∼

(t)

]gdje su Z

∼

(D) i Y∼

(D) matrice operatorskih impedansi i admitansi grana. Ove matrice su

kvadratne matrice reda b×b. Ako kolo ne sadrzi induktivno spregnute elemente ili kontrolisaen

izvore onda su ove matrice dijagonalne matrice. Elementi ovih matrica povezuju napone i

291

struje k-te grane ili obratno:

uk(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Rkik(t);

Lkdik(t)

dt± ∑

l,k; l =k

Lkldil(t)dt

= LkDik ±∑

l,k; l =k

LklDil(t);

Sk

t∫0

ik(τ )dτ = SkD−1ik(t);

Sk ⇐⇒ 1

Ck;

ik(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Gkuk(t);

Ckduk(t)dt

= CkDuk(t);

Γk

t∫0

uk(τ)dτ +∑

l,k; l =k

Γkl

t∫0

ul(τ )dτ = ΓkD−1uk(t) +

∑l,k; l =k

ΓklD−1ul(t);

Γk ⇐⇒ 1Lk;

Pocetni uslovi se mogu ukljuciti u matrice naponskih i strujnih nezavisnih generatora grana

prema sledecim ekvivalentnim šemama:

za kondenzator

C 0U

C

0 ( )U h tu u

i i

C 0 ( )CU tδu

i

Slika 7.255:

u(t) =1

C

t∫−∞

i(τ )dτ =1

C

0∫−∞

i(τ)dτ +1

C

t∫0

i(τ )dτ = U0h(t) +1

C

t∫0

i(τ)dτ

i(t) = −CU0

dh(t)

dt+ C

du(t)

dt= −CU0δ(t) + C

du(t)

dt

za kalem

i(t) =1

L

t∫−∞

u(τ)dτ =1

L

0∫−∞

u(τ)dτ +1

L

t∫0

u(τ )dτ =Φ0

Lh(t) +

1

L

t∫0

u(τ)dτ

i(t) = I0h(t) +1

L

t∫0

u(τ)dτ

292

L 0I

L

0 ( )LI tδ

u u

i i

C 0 ( )I h tu

i

Slika 7.256:

u(t) = −LI0dh(t)

dt+ L

di(t)

dt= −LI0δ(t) + L

di(t)

dt

Operatorske jednacine nezavisnih struja su:

B∼

Z∼

(D)B∼

tj∼

(t) = vg(t)∼

Zm∼

(D) = B∼

Z∼

(D)B∼

t

Zm∼

(D)j∼

(t) = vg∼

(t)

vg∼

(t) = B∼

[ug∼

(t)− Z∼

(D)ig∼

(t)

]Operatorske jednacine nezavisnih napona su:

A∼

Y∼

(D)A∼

tv∼

(t) = jg(t)∼

Yn∼

(D) = A∼

Y∼

(D)A∼

t

jg∼

(t) = A∼

[ig∼

(t)− Y∼

(D)ug∼

(t)

]

ODZIVI U ELEKTRICNIM KOLIMA

8.1 Klasicna metoda

"Klasicna metoda" najbolje opisuje fiziku kola. Posmatrajmo prosto kolo prikazano na slici

8.257.

( )gu t

( )Ru t ( )Lu t

R L

( )i t

( )Cu t

C

Slika 8.257: Redno RLC kolo

Odziv moze biti ili ig (t), uR(t), uL(t) ili uC(t).

ug (t) = uR(t) + uL(t) + uC(t)

ug (t) = Ri(t) + Ldi(t)

dt+

1

C

t∫0

i(τ )dτ (8.357)

Relacija (8.357) predstavlja jednacinu dinamicke ravnoteze kola prikazanog na slici 8.257. Ako

koristimo operator d/dt ≡ D i∫

dt ≡ D−1 tada mozemo pisati

ug (t) = Ri(t) + LDi(t) +1

CD−1i(t) (8.358)

Ako relaciju (8.358) diferenciramo po vremenu dobijamo

RDi(t) + LD2i(t) +i(t)

C= Dug (t)

293

294

(D2 +

R

LD +

1

LC

)i(t) =

1

LDug (t) (8.359)

što predstavlja operatorsku jednacinu ako je odziv struja i(t). Pošto je operator D na drugom

stepenu to je operatorska jednacina drugog stepena a to odgovara i broju dinamickih elemenata

u kolu (kalem i kondezator). Ako bi kao odziv trazili napon na otporniku uR (t) onda lijeva

strana ostaje ista (D2 +

R

LD +

1

LC

)uR (t) =

R

LDug (t)

jer je

uR (t) = i(t)R =⇒ i(t) =uR (t)

R

Ako je odziv na pon na kondenzatoru uC (t)(D2 +

R

LD +

1

LC

)uC (t) =

1

LCug (t)

jer je

i(t) = CduC (t)

dt= CDuC (t)

Kada bi odziv bio napon na kalemu uL (t) imali bi(D2 +

R

LD +

1

LC

)uL (t) = D2ug (t)

jer je

uL (t) = Ldi (t)

dt

Po klasicnoj metodi odziv y se za bilo koje kolo moze dobiti kao:

ardry

dtr+ ar−1

dr−1y

dtr−1+ ... + a1

dy

dt+ a0y = F (t) (8.360)

Najveci stepen ove diferencijalne jednacine predstavlja red kola. Svi koeficijenti ai (i = 1, 2, ..., r)

su realni i pozitivni i zavise od topologije i vrste parametara kola. Funkcija F (t) predstavlja

vremensku funkciju koja je odreena eksitacijama nezavisnih naponskih i strujnih generatora

u kolu. Po pravilu red kola jednak je broju dinamickih elemenata. Precizno je:

r = nL + nC (8.361)

gdje nL i nC predstavljaju broj kalemova i broj kondenzatora u kolu, respektivno. U slozenijim

kolima:

r = nL + nC − nEC − nJL (8.362)

295

gdje nEC predstavlja broj kontura koje se sastoje samo od naponskih generatora i kondenza-

tora a nJL predstavlja broj presjeka (snopova) koji se sastoje samo od strujnih generatora i

kalemova. Posmatrajmo slucaj tzv. kondenzatorske petlje (petlje koja sadrzi samo kondenza-

tore i eventualno, naponske generatore) kao na slici 8.258 (a). Kontura µ se sastoji samo od

naponskih generatora i kondenzatora. Po Kirhofovom zakonu za napone dobija se:

−ug5 + u1 − u2 + u3 − u4 = 0 (8.363)

Posmatrajuci relaciju (8.363) zakljucujemo da od cetiri napona na kondenzatorima samo su

1C

2C

3C

4C

R5gu µ

1u

2u

3u

4u

4gi

ν

1i

2i

3i

1L

2L

3L

( )a ( )b

Slika 8.258: (a) Kondenzatorska petlja. (b) Kalemski presjek

tri nezavisna. Svaka kontura koja sadrzi samo naponski generator i kondenzator smanjuje red

kola za jedan. Posmatrajmo sada slucaj tzv. kalemskog presjeka (presjeka koji sijece samo

kalemove i eventualno strujne generatore) kao na slici 8.258 (b). Presjek (snop) je površina

koja sijece samo grane sa kalemovima i strujnim generatorima. Po Kirhofovom zakonu za

struje:

−i1 + i2 − i3 − ig = 0. (8.364)

Iz relacije (8.364) je ocigledno da su samo dvije, od tri, struje nezavisne, pa svaka ovakva

jednacina smanjuje red kola za jedan. Red kola se naziva i stepen slozenosti kola, ili slozenost

kola. Uvodeci operator D ≡ d/dt (iz prakticnih razloga se podešava da je ar = 1, što se

uvijek moze uraditi), pa je:

A(D)y(t) = F (t) (8.365)

gdje je: A(D)− operatorski polinom, definisan kao:

A(D) = Dr + ar−1Dr−1 + ...+ a1D + a0 (8.366)

Primjer: Posmatrajmo kolo prikazano na slici 8.259. Jednacine kola su

296

Cu

Ru

Ci

Ri

( )gu t

( )gi t

R

C

Slika 8.259: RC kolo sa naponskim i strujnim generatorom

ig = iC + iR

ug = uC + uR

iC = CDuC

uR = −RiR

Ako nas interesuje napon na kondenzatoru kao odziv, dobija se:

(D +

1

RC

)uC =

1

RCug +

1

Cig

ako nas interesuje struje iC:

(D +

1

RC

)iC =

1

RCDug +

1

CDig

ako nas interesuje struja iR:

(D +

1

RC

)iR =

1

RDug +

1

RCig

Odnosno:

A(D)y(t) = Fy,e(t)

Funkcija F (t) zavisi i od odziva y i od ekscitacije e pa zbog toga imamo dva indeksa. Na

osnovu izlozenog moze se izvesti još jedan vazan zakljucak koji proizilazi iz osobina linearnih

kola i predstavlja princip superpozicije.

297

8.2 Princip superpozicije:

Pri djelovanju jednog ili više generatora u kolu, odziv u ma kojoj grani kola se moze odrediti

kao suma pojedinacnih odziva na svaku od ekscitacija, pri iskljucenim ostalim ekscitacijama.

Pri tome, ako se iskljucuje naponski izvor ug = 0 granu u kojoj se nalazi modelujemo kratkom

vezom, a ako se iskljucuje strujni izvor ig = 0 tada granu u kojoj se nalazi modelujemo

otvorenom vezom. Ako u kolu djeluje samo jedan generator, tada diferencijalna jednacina

(8.360) ima oblik:

(Dr+ar−1D

r−1 + · · ·+ a1D + a0)y(t) =

(btD

t + bt−1Dt−1 + · · ·+ b1D + b0

)e(t) (8.367)

Obicno je r = t. Relaciju (8.367) mozemo krace zapisati na sledeci nacin

A(D)y(t) = B(D)e(t) (8.368)

ili preciznije

A(D)y(t) = By,e(D)e(t) (8.369)

Polinom A(D) zavisi samo od topologije kola i vrste parametara, dok polinom B(D) zavisi od

odziva i ekscitacije kao i od topologije kola i vrste parametara (otuda i indeksi y i e). Jednacine

(8.368) i (8.369) kada u kolu postoji samo jedna ekscitacija, nazivaju se relacije ulaz-izlaz.

8.3 Specificnosti primjene teorije diferencijalnih jednacina

na linearna kola

Opšti princip rešavanja diferencijalnih jednacina, je da se odziv trazi kao:

y(t) = yh(t) + yp(t) (8.370)

gdje je yh(t) rešenje odgovarajuce homogene diferencijalne jednacine (to jest rešenje jednacine

A(D)yh(t) = 0), a yp(t) je prinudna komponenta odziva (partikularno rešenje, odnosno rešenje

jednacine A(D)yp(t) = B(D)e(t)). Posmatrajmo prvo homogenu diferencijalnu jednacinu u

obliku

A(D)y(t) = 0 (8.371)

Pošto je polinom A(D) stepena r to ova diferencijalna jednacina ima r nezavisnih rešenja

oblika y(t) = est. Uvrštavanjem ovog rešenja u relaciju (8.371) dobija se:

298

A(D)est = estA(s) = 0 (8.372)

gdje je A(s) jednako A(s) = sr + ar−1sr−1+ ...+ a1s+ a0 i naziva se karakteristicni polinom.

Da bi bilo ispunjeno A(s)est = 0, treba da je A(s) = 0, odnosno:

sr + ar−1sr−1 + ...+ a1s+ a0 = 0 (8.373)

Relacija (8.373) predstavlja karakteristicnu jednacinu sistema. Koeficijenti ai (i = 1, 2, ..., r),

i kod karakteristicnog polinoma i kod karakteristicne jednacine su realni pozitivni brojevi.

Pošto je karakteristicna jednacina r-tog stepena, to imamo r realnih rešenja jednacine. Nule

(rešenja) karakteristicne jednacine nazivaju se sopstvene ucestanosti kola oblika sk = σk+ jωk

za k = 0, 1, 2, ..., r. Rešenja diferencijalne jednacine dobijena preko sopstvenih ucestanosti

oblika

y = est (8.374)

nazivamo sopstvenim odzivom, ili odzivom usled akumulisane energije (pocetnih uslova). U

ovom slucaju ekscitacije su jednake nuli i tada rješavamo homogenu diferencijalnu jednacinu.

Ukoliko je karakteristicna jednacina jednaka

sr + ar−1sr−1 + ...+ a1s+ a0 = 0

mozemo razlikovati sledeca dva slucaja:

1. Svi korjeni su prosti i meusobno razliciti

s1 = s2 = ... = sr

Linearno nezavisna rješenja su

yh1(t) = es1t, yh2(t) = es2t, . . . , yhr(t) = esrt

a ukupno rješenje homogenog dijela jednako je linearnoj kombinaciji ovih clanova

yh(t) =r∑

i=1

K(i)esit (8.375)

Integralne konstante K(i) odreuju se iz pocetnih uslova (struje u kalemu i naponi na kon-

denzatorima). Karakter integralnih konstanti isti je kao i karakter korjena karakteristicne

jednacine. Ako je karakter rešenja sk = σk+ jωk tada se oni obavezno javljaju u konjugovano

kompleksnom paru s∗k = σk − jωk, pa se i integralne konstante javljaju kao konjugovano

kompleksni par K(i) i K∗(i).

299

2. Ako se javljaju višestruki korjeni, to jest:

s1 = s2 = ... = sp

sp+1 = sp+2 = ... = sr

gdje je p višestrukost rešenja. U ovom slucaju rešenje (odziv) diferencijalne jednacine se

trazi u obliku

yhp(t) =(K(1) + tK(2) + · · ·+ t(p−1)K(p)

)es1t

yh0(t) =r∑

i=p+1

K(i)esit (8.376)

Tada je ukupno rešenje

yh(t) = yhv(t) + yh0(t) (8.377)

Sada treba naci prinudnu komponentu odziva. U teoriji diferencijalnih jednacina primijenjenoj

na teoriju elektricnih kola ova komponenta se uvijek trazi u obliku ekscitacije (pobude) u kolu.

U sledecoj tabeli su dati najceši oblici eksitacija i odzivi na te eksitacije.

f(t)− funkcija pobude yp(t)− prinudni odziv

k A

t At+B

t2 At2 +Bt+ C

eat Aeat (a = si)

sin bt, cos bt A sin bt +B cos bt

eat sin bt, eat cos bt eat(A sin bt+B cos bt)

U slucaju da je a koje se javlja takvo da je ono jednako nekom korijenu karakteristicne

jednacine tada se rešenje trazi u obliku:

yp(t) = tpKeat (8.378)

gdje je p višestrukost korjena a konstanta K je jednaka

K =B(a)

A(p)(a)

300

8.4 Sopstveni odziv

Sopstveni odziv je odziv usled akumulisane energije. Nastaje u kolima sa akumulisanom

energijom. Obiljezava se sa y0(t), a opisan je diferncijalnom jednacinom:

A(D)y0(t) = 0 (8.379)

U relaciji (8.379) y0(t) = y0h(t) je opšte rešenje (oblika eksponencijalne funkcije) i dobija

se kao linearna kombinacija nezavisnih rešenja karakteristicne jednacine. Integralne konstante

se odreuju iz nezavisnih pocetnih uslova (koji se još nazivaju stvarnim pocetnim uslovima),

a to su: uCk(0−) = U0k− napon na kondezatoru kao ekvivalent akumulisane elektricne en-

ergije, iLj(0−) = I0j− struje kroz kalem kao ekvivalent akumulisane magnetne energije,

w0C = 12CkU

20k− pocetna akumulisana energija u kondenzatoru, w0L = 1

2LjI

20j− pocetna

akumulisana magnetna energija u kalemu. Za odreivanje r konstanti, koje se odnose na

trazeni odziv, k(i) i = 1, 2, ..., r potrebno je r nezavisnih jednacina koje povezuju ove kon-

stante sa stvarnim pocetnim uslovima. Te relacije nazivaju se izvedeni pocetni uslovi i opisane

su vrijednostima promjenljivih koje posmatramo i svih (r− 1) izvoda po vremenu u trenutku

t = 0+, to jest:

y(0+), y′(0+), y′′(0+), ..., y(r−1)(0+)

Dakle da bi riješili diferencijalnu jednacinu A(D)y0(t) = 0 kola reda r, potrebno je r neza-

visnih pocetnih uslova. Zakljucak : Broj nezavisnih pocetnih uslova potrebnih za jednoz-

nacno rešavanje diferencijalne jednacine jednak je najvišem stepenu karakteristicne jednacine,

odnosno broju integralnih konstanti odnosno redu slozenosti kola.

8.5 Komutacija

Komutacija znaci ukljucivanje ili iskljucivanje jedne ili više grana u kolu, to jest podrazumujeva

se skokovita promjena nekog od parametara u kolu. Razlikuje su regularna i neregularna

komutacija. Regularna komutacija je ona za koju vaze zakoni komutacije, a to znaci da napon

na kondenzatoru i struja u kalemu ne mogu imati skokovite promjene, to jest:

uC(0−) = uC(0+)

iL(0−) = iL(0+)

Dvije predhodne jednacine predstavljaju zakone o neprekidnosti napona na kondezatoru i

struje u kalemu, i nazivaju se zakoni komutacije. Zakon neprekidnosti napona kondenzatora

vazi ako je struja kondenzatora ogranicena, a zakon neprekidnosti struje kalema vezi ako je

301

napon kalema ogranicen. Ako ovi uslovi nijesu ispunjeni tada je rijec o neregularnoj komutaciji.

Primjer: Posmatrajmo prosto kolo prikazano na slici 8.260. Diferencijalna jednacina po

( )Cu t

Ci

GiG

0,C U

Slika 8.260: Odreivanje sopstvenog odziva u prostom GC kolu

naponu kondenzatora je

A(D)uC(t) = 0

Operatorski polinom je jednak

A(D) = D +G

C

dok je karakteristicni polinom jednak

A(s) = s+G

C

Korjeni karakteristicnog polinoma se dobijaju kada je A(s) = 0 i u ovom slucaju imamo

s+G

C= 0 (8.380)

Relacija (8.380) se naziva karakteristicna jednacina i ona ima jedan korijen i to realni koji je

jednak s = −G

C. Tada je rješenje oblika

uCh(t) = K1es1t = Ke−

G

Ct (8.381)

Pocetni uslov je: uC(0−) = uC(0+) = U0 i zamjenom u relaciju (8.381) slijedi da je K = U0.

Sada je odziv (sopstveni) jednak

uCh(t) = U0e−

G

Ct

Struja iC se moze dobiti kao iC = CDuc, a iC + iG = 0.

Primjer: Posmatrajmo kolo prikazano na slici 8.261. Imamo da je

A(D)iL(t) = 0

302

LiR

0I

L

Slika 8.261: Prosto RL kolo

A(s) = s+R

L

Korjeni karakteristicnog polinoma se dobijaju kada je A(s) = 0 i jednaki su

s = −R

L

Rješenje trazimo u obliku iL = Ke−R

Lt. Uz pocetni uslov iL(0−) = iL(0+) = I0 dobijamo

konstantu K koja je jednaka K = I0, pa je sopstveni odziv:

iLh(t) = I0e−

R

Lt

Primjer: Posmatrajmo kolo kao na slici 8.262. Ovakvo kolo se naziva i kolom bez gubitaka

jer nema rezistivne elemente. Jednacine kola su:

Cu 0,C U

Li

Ci

0,L I

Slika 8.262: LC kolo drugog reda

uL + uC = 0

iL = iC

uL = LDiL

iC = CDuC

Operatorska jednacina je:

303

A(D)y(t) = 0

gdje je:

A(D) = D2 +1

LC.

Karakteristicna jednacina:

A(s) = s2 +1

LC

s2 +1

LC= 0

s1/2 = ±jω0

ω0 =1√LC

.

Rešenje za y(t) se trazi u obliku (konjugovano kompleksni par polova):

y(t) = K1es1t +K2e

s2t = A cosω0t +B sinω0t

Ako odreujemo odziv kao y(t) = uC(t), tada imamo pocetne uslove:

uC (0+) = uC (0−

) = U0

iL (0+) = iL (0−) = I0

odnosno

uC(t) = A cosω0t+B sinω0t (8.382)

DuC(t) =1

CiC(t) =

1

CiL(t)

jer je iC(t) = iL(t). Ako u relaciju (8.382) stavimo t = 0 dobijamo da je uC (0+) = A odnosno

A = uC (0+) = U0

Diferencirajuci relaciju (8.382) dobijamo izraz

DuC(t) = −ω0A sinω0t+ ω0B cosω0t (8.383)

304

Zamjenom t = 0 u relaciju (8.383) imamo da je DuC(0+) = ω0B = 1

CI0, pa je

B =1

ω0CI0

Konacno se dobija:

uC(t) = U0 cosω0t +I0ω0C

sinω0t (8.384)

Relacija (8.384) predstavlja sopstveni odziv (odziv usled pocetne energije), a iz te relacije

preko veza sa uC moze se dobiti bilo koji sopstveni odziv u kolu.

Primjer: Posmatrajmo kolo kao na slici 8.263.Diferencijalna jednacina po jednoj (ma

Cu 0,C U

Li

0,L I

R

Slika 8.263: Uprošcen model kola sa realnim kalemom i kondenzatorom

kojoj) promjenljivoj je oblika

A(D)y(t) = 0

A(D) = D2 +R

LD +

1

LC

Karakteristicna jednacina:

A(s) = s2 +R

Ls+

1

LC(8.385)

Relaciju (8.385) mozemo napisati i u obliku

A(s) = s2 + a1s+ a0

Rješenje ove jednacine je:

s1/2 = − R

2L±√

R2

4L2− 1

LC= −a1

2±√

a214

− a0 (8.386)

gdje je

ω2

0 = a0 =1

LC

ucestanost neprigušenih oscilacija. Rješenja oblika (8.386) je moguce prikazati i u obliku

s1/2 = −α±√

α2 − ω20 (8.387)

305

gdje je: α = a1/2 = R/2L− ucestanost prigušenja. Ako izrazimo α = ξω0 gdje je ξ koeficijent

prigušenja koji je jednak

ξ =a1

2√a0

=R

2

√C

L. (8.388)

Uvodi se i faktor dobrote kalema pri ucestanosti ω0, kao:

QL0 =ω0L

R=

1

R

√L

C

pa se sada koeficijent prigušenja ξ odnosno ucestanost prigušenja α mogu izraziti kao:

ξ =1

2QL0

α =1

2

ω0

QL0

U zavisnosti od odnosa parametara razlikuju se tri slucaja za prosto RLC kolo:

1. α > ω0, tada su korjeni jednacine s1/2 = −α±√

α2 − ω20 realni i razliciti.

2. α = ω0, korjeni su realni i jednaki (dostruki).

3. α < ω0, korjeni su razliciti i u konjugovano-kompleksnom paru.

Razmotrimo posebno ove slucajeve:

1. Ako je α > ω0, korjeni karakteristicne jednacine su oblika s1/2 = −α ± β, gdje je

β =√α2 − ω2

0 < α. Rešenje se trazi u obliku:

y(t) = K1eσ1t +K2e

σ2t = e−αt(A coshβt+B sinh βt) (8.389)

Konkretno, za napon kondenzatora je

y(t) = e−αt(AC cosh βt +BC sinh βt)

uz pocetne uslove:

uC(0+) = uC(0−) = U0,

iL(0+) = iL(0−) = I0.

DuC(0+) =1

CiL(0+) =

1

CiL(0−) =

1

CI0

Ovakav rezim naziva se aperiodican rezim.

2. Ako je α = ω0, korjeni karakteristicne jednacine su dvostruki realni s1/2 = −α = −ω0.

Rješenje se trazi u obliku:

306

y(t) = (K1 + tK2)es1t = (K1 + tK2)e

σ1t (8.390)

gdje suK1 iK2 konstante koje se odreuju iz pocetnih uslova. Ovakav rezim naziva se kritican

rezim.

3. Ako je α < ω0 korjeni karakteristicne jednacine su konjugovano kompleksn oblika s1/2 =

−α± jω1, gdje je ω1 =√ω20 − α2. Rešenje se trazi u obliku:

y(t) = K1es1t +K2e

s2t = e−αt(A cosω1t+B sinω1t) = e−αtYm cos(ω1t + δ) (8.391)

Konstante A i B se odreuju iz pocetnih uslova. Ovaj rezim se naziva pseudoperiodican

rezim.

8.6 Opšti slucaj kola drugog reda

Na osnovu rezultata izvedenih u predhodnom poglavlju, zakljucimo da kola drugog reda, bez

eksitacija, sadrze dva nezavisna reaktivna (dinamicka) elementa i rezistivnu mrezu. Diferen-

cijalna jednacina odziva je oblika

(D2 + a1D + a0)y(t) = 0 (8.392)

sa (izvedenim) pocetnim uslovima

y(0+) = f1(0+); Dy(0+) = f2(0+) (8.393)

gdje su vrijednosti f1(0+) i f2(0+) izrazene stvarnim pocetnim uslovima uC(0+) i iL(0+).

Karakteristicni polinom:

A(s) = s2 + a1s+ a0 (8.394)

se moze pisati i u obliku

A(s) = s2 + 2αs+ ω20 = s2 +

ω0

Q0

s+ ω20

pri cemu je

307

ω0 =√a0

α =a12

= ξω0

ξ =a1

2√a0

Q0 =

√a0a1

=1

2ξ

gdje su: ω0− centralna ucestanost (ucestanost neprigušenih oscilacija), α− ucestanost prigušenja,

ξ− koeficijent prigušenja, Q0− faktor nula karakteristicnog polinoma (s1/2). Iz s1,2 = −α ±√α2 − ω2

0, se vidi da se, za sva tri slucaja, korjeni nalaze u lijevoj poluravni kompleksne

ravni. U granicnom slucaju oni mogu biti na imaginarnoj osi. Znaci karakteristicni polinom

je strogo Hurvicov polinom, a u granicnom slucaju imamo obican Hurvicov polinom. Korjeni

karakteristicnog polinoma su

s1,2 = −α±√α2 − ω2

0 (8.395)

pri cemu sopstvene ucestanosti mogu biti u jednom od tri oblika:

1. realne, razlicite, što je ispunjeno pri α > ω0

s1,2 = σ12 = −α± β (8.396)

2. realne, dvostruke, što je ispunjeno pri α = ω0

s1,2 = σ1 = −α = −ω0 (8.397)

3. konjugovano-kompleksne, što je ispunjeno pri α < ω0

s1,2 = σ1 ± jω1 = −α±√ω20 − α2 (8.398)

Odgovarajuci odzivi za slucajeve 1., 2. i 3., jesu aperiodican, kritican i pseudoperiodican,

respektivno. Pri tome, ako je kolo striktno pasivno (samo R elementi) tada je

Re s1,2 < 0 (8.399)

ako je kolo bez gubitaka (samo dinamicki L,C elementi), tada je

Res1/2

= 0 (8.400)

dok je u slucaju kada je

Res1/2

> 0 (8.401)

308

rijec o aktivnom kolu. Tada su korjeni s1,2 u desnoj poluravni kompleksne ravni. Razni

slucajevi, izrazeni relacijama (8.396)-(8.401) se mogu opisati i pomocu Q faktora kola, ili

pomocu koeficijenta prigušenja, ξ na analogan nacin. Na primjer, ako je 0 < Q0 > +∞, to

odgovara striktno pasivnom kolu, Q0 = +∞ se dobija za kolo bez gubitaka, a za aktivna kola

je Q0 < 0.

8.7 Osnovne osobine sopstvenog odziva

Sopstveni odziv (odziv usled akumulisane energije) posjeduje osobine linearnosti i vremenske

invarijantnosti, što je poledica takve prirode kola. Osobina linearnosti se moze iskazati na

sledeci nacin: Ako stvaran pocetni uslov, npr. uC1(0+) izaziva odziv y′

1(t), a pocetni uslov

uC2(0+) izaziva (u istoj grani) odziv y′

2(t), tada ce linearna kombinacija pocetnih uslova

K1uC1(0+)+K2uC2(0+) davati linearnu kombinaciju odziva na tom mjestu u obliku K1y1(t)+

K2y2(t) za t ≥ 0. Osobina vremenske invarijantnosti se naziva i osobinom nezavisnosti

odziva od momenta posmatranja pojave a vazi za vremenski nepromjenljiva kola. Ova se

osobina za sopstveni odziv moze iskazati na sledeci nacin: Ako neki pocetni uslov, na primjer

uC1(0+) = U0, izaziva odziv y1(t) za t ≥ 0, tada ce pocetni uslov uC1(t0) = U0, gdje je

t0 = 0+ izazvati odziv y2(t) za t ≥ 0 koji je identicnog oblika kao i y1(t) ali je pomjeren po

vremenskoj osi za t0, to jest: uC1(0+) = U0 odziv je y1(t) za t > 0 a uC1(t0) = U0 odziv je

y2(t) = y1(t − t0) za t ≥ 0. Ova se osobina naziva i osobinom stacionarnosti. Za rješavanje

kola proizvoljnog reda vazi sledece:

1. Ako kolo, pored rezistivnih, sadrzi reaktivne elemente koji su svi istog tipa (samo L ili

samo C), govorimo o tzv. RL ili RC kolima. Za striktno pasivna kola je, tada, sopstveni

rezim aperiodican, opadajuce amplitude, što je logican rezultat, jer energija kola opada.

Korjeni karakteristicne jednacine, si = σi + jωi su realni (ωi = 0), razliciti i na nega-

tivnom dijelu Re-ose, a odziv odgovara sumi odziva u kolima prvog reda. Odgovarajuci

faktor dobrote polova je 0 < Q0 < 1/2. Ako je rijec o kolu bez gubitaka, sopstvene

ucestanosti su na imaginarnoj osi u kompleksnoj s-ravni: si = jωi. Sopstveni rezim

je, tada, konstantne amplitude, jer energija kola ostaje nepromijenjena. Pri tome, ako

je ωi = 0, odziv je konstantan. To se dešava u kolima koja sadrze rezistivne elemente

bez gubitaka sa jednim pristupom i/ili idealne transformatore. Ako kolo sadrzi ziratore,

sopstveni rezim moze biti prostoperiodican (ωi = 0) iako u njemu postoji samo jedna

vrsta reaktivnih elemenata. Ako kolo sadrzi aktivne rezistivne elemente, sopstveni odziv

moze biti rastuce amplitude: korjeni karakteristicne jednacine mogu, tada, biti u desnoj

poluravni: σi > 0.

2. Ako kolo, pored rezistivnih, sadrzi oba tipa reaktivnih elemenata (RCL kolo), sopstveni

rezim se dobija kao kombinacija odziva za kola prvog i drugog reda. Za svaki od clanova

drugog reda moguc je jedan od tri slucaja (aperiodican, kritican ili pseudoperiodican),

309

zavisno od karaktera korijena posmatranog faktora koji je oblika si = −αi±√

α2i− ω2

0i,

tj. zavisno od odnosa ucestanosti prigušenja i centralne ucestanosti para polova, αi i

ω20i.

3. Za striktno pasivna kola korjeni karakteristicnog polinoma su uvijek u lijevoj poluravni

kompleksne ucestanosti s (za kola bez gubitaka su na ω osi) - karakteristicni polinom je

tzv. H-ov polinom. Kao posledica, slijedi da su svi koeficijenti karakteristicnog

polinoma (ar = 1, ar−1, . . . , a0) pozitivni. Ovo je korisna cinjenica jer olakšava provjeru

tacnosti formiranja diferencijalne jednacine. Naime, ako je kolo pasivno tada polinom

A(s) mora biti Hurwitz-ov, tako da pojabva nekog negativnog koeficijenta ai, oznacava

da smo negdje pogriješili pri sreivanju (ili postavljanju) polaznog sistema jednacina

(mada, ako su svi koeficijenti pozitivni, to ne mora znaciti i da je polinom A(s) tacan,

niti da je Hurwitz-ov)

4. Najzad, u dosadašnjim razmatranjima je koeficijent uz najveci izvod ar bio jednak je-

dinici. To naravno ne mora da bude ispunjenom ali je sa prakticnog stanovišta korisno

jer olakšava provjeru tacnosti koeficijenata ai. Naime, stavljanjem ar = 1 dimenzije

narednih koeficijenata moraju biti sledece: ar−1(=) ω (=) 1/RC (=) R/L (=) 1/√LC,

ar−2 (=) ω2,. . . , a1(0) ωr−1, a0 (=) ωr. gdje simbol (=) ima znacenje “dimenziono

jednako”, a velicine ω, R, L, C, takoe imaju dimenziona znacenja. Na ovaj nacin se,

provjerom izraza moze provjeriti tacnost (dimenziona) koeficijenata ai.

8.8 Odziv usled djelovanja generatora (odziv ukljucenja)

Odziv usled djelovanja generatora se definiše u kolu bez pocetne energije, odnosno, kada je

uCk(0−) = 0 i iLj(0−) = 0. Dakle, u elektricnom smislu mozemo da smatramo, da u pocetnom

trenutku kalem predstavlja prekid kola (jer je iL = 0), kondenzator kratak spoj (jer je napon

uC = 0). Odziv ukljucenja se definiše kada je kolo bez pocetne energije i kada djeluje jedna

ekscitacija proizvoljnog oblika. Diferencijalna jednacina po zeljenoj promjenljivoj je oblika

A(D)y(t) = Fy,e(t) = B(D)e(t) (8.402)

gdje je: Fy,e(t)− funkcija koja zavisi od odziva y(t) i ekscitacije e(t). U slucaju da djeluje više

ekscitacija primjenjuje se teorema superpozicije i odzivi se sabiraju. Rešenje diferencijalne

jednacine (8.402) trazimo u obliku

y(t) = yh(t) + yp(t) (8.403)

gdje je: yh(t)− rešenje homogene diferencijalne jednacine (opšte rešenje) A(D)y(t) = 0, yp(t)−prinudno (partikularno) rešenje. Rješenje homogenog dijela je odreeno korjenima karakter-

isticne jednacine i ima jedan od dva moguca oblika:

310

1. Ako su korjeni karakteristicnog polinoma A(s) prosti tj. slozenosti 1, rješenje je oblika

yh(t) =r∑

l=1

K(l)eslt (8.404)

2. Ako korjen s1 ima slozenost p a ostali su prosti rješenje je oblika

yh(t) =

[p∑

l=1

t(l−1)K(l)

]es1t +

r∑l=p+1

K(l)eslt (8.405)

dok je, u slucaju da je red operatorskog polinoma B(D) nizi od reda polinoma A(D),

partikularno rješenje (prinudni odziv) dato funkcijom istog oblika kao Fy,e(t), a to je sa druge

strane, odreeno eksitacijom

y(t) ∼ Fy,e(t) ∼ e(t)

gdje znak “∼” oznacava da je rijec o funkcijama iz iste klase. Napomena: Opšte rješenje

yh(t) diferencijalne jednacine oblika (8.402) trazi se kao A(D)yh(t) = 0 i ima isti oblik kao i

sopstveni odziv. Vremenska zavisnost, odnosno karakter tog rešenja isti je kao i kod sopstvenog

odziva, ali su razlicite integracione konstante. Kod sopstvenog odziva postoje pocetni uslovi

dok su u ovom slucaju oni jednaki nuli. Zbog toga, u slucaju odziva ukljucenja yh(t) imamo

drugacije rešenje i to nije sopstveni odziv. U ovom slucaju se yh(t) naziva sopstveni odziv

ukljucenja. Razlika je u tome što kod sopstvenog odziva ukljucenja integracione konstante

zavise od oblika ekscitacije.

Uveli smo pojam regularne komutacije, koja se odnosi na odziv ukljucenja i neregularnu ko-

mutaciju. Neregularna komutacija je posledica idealizacije R,L, C, jer u praksi, realni kalemi,

kondenzatori i otpornici nijesu ciste otpornosti, induktivnosti i kapacitativnosti, pa u praksi ne

postoji neregularna komutacija. Postavlja se pitanje kako ocijeniti neregularnu komutaciju?

Ako je polinom A(D) r− tog, a polinom B(D) t− tog reda tada:

1. Ako je r > t imamo regularnu komutaciju (funkcija kola je pravi razlomak).

2. Ako je r = t tada pri proizvoljnom odzivu imamo regularnu komutaciju, ali ako je odziv

struja u kalemu, ili napon na kondenzatoru, moze biti i neregularna komutacija.

3. Ako je r = t+ k gdje je k > 1 imamo neregularnu komutaciju.

Za prva dva slucaja odziv se trazi kao:

y(t) = z(t)h(t) (8.406)

gdje je h(t) Hevisajdova funkcija. Za treci slucaj odziv se trazi u obliku:

311

y(t) = z(t)h(t) +H1h′(t) + ...+Hkh

(k)(t) = z(t)h(t) +H1δ(t) + ... +Hkδ(k−1)(t) (8.407)

u kom je: h(t) Hevisajdova funkcija a δ(t) impulsna (delta) funkcija. Moze se pokazati da

ako je pobuda u vidu Hevisajdovog generatora a polinom A(D) višeg reda od polinoma B(D)

vrijednost izlazne promjenljive y(t) nepromjenljiva u trenutku komutacije

y(0+) = y(0−) (8.408)

Ukoliko je to ispunjeno za svaki napon kondenzatora i svaku struju kalema, komutacija ce biti

regularna. Rješenje (8.408) se moze zapisati i u obliku

y(t) = f(t)E =

0,

ϕ(t)E,

t < 0

t ≥ 0(8.409)

gdje je f(t) funkcija koja je karakterisana mrezom vezanom za krajeve nezavisnog genera-

tora (eksitacije), a ne zavisi od vrijednosti skoka eksitacije E. Ta se funkcija, stoga, naziva

funkcijom mreze a odreuje se kao kolicnik odziva y(t) i skoka (eksitacije) E

f(t) =y(t)

E=

0,

ϕ(t),

t < 0

t ≥ 0(8.410)

što se krace moze zapisati u obliku

f(t) = ϕ(t)h(t), ∀t (8.411)

U gornjim izrazima je ϕ(t) neprekidna funkcija vremena koja odrazava prirodu funkcije mreze.

Funkcija mreze je ovdje definisana za odziv na djelovanje Hevisajdovog generatora. Takva se

funkcija naziva i indicionom funkcijom ili jedinicnim odzivom, s obzirom da se moze

dobiti direktno iz polazne diferencijalne jednacine, ako djeluje eksitacija jedinicne amplitude

(E = 1). Pošto preko odziva na impulsnu i Hevisajdovu funkciju mozemo odrediti odziv na

proizvoljnu ekscitaciju, to je bitno odrediti odzive na ove dvije ekscitacije.

Primjer: Posmatrajmo kolo prema slici 8.264. Neka ug(t) = Uh(t) i uC(0−) = 0.

Odrediti:

(a) uC(t) =?

(b) iC(t) = i(t) =?

Diferencijalna jednacina odziva po naponu kondenzatora je

(D +

1

RC

)uC(t) =

1

RCug(t) =

1

RCUh(t)

312

( )gu t

( )i t R

Cu

Slika 8.264: RC kolo u kome djeluje Hevisajdov generator napona

Za t > 0, h(t) = 1, pa se dobija:

(D +

1

RC

)uC(t) =

U

RC(8.412)

Operatorski polinom A(D) = (D + 1/RC) je prvog reda r = 1. Operatorski polinom B(D) =

U/RC je nultog reda t = 0. Kako je r > t to je komutacija regularna. Sa druge strane,

struja iC(t) je ogranicena zbog R, pa je napon uC(t) neprekidan i na taj nacin zadovoljen je

zakon komutacije o neprekidnosti napona na kondenzatoru pa je i na ovaj nacin komutacija

regularna. Rešenje jednacine (8.412) trazimo u obliku:

uC(t) = Kes1t + uCp(t) (8.413)

gdje je uCp(t) prinudna komponenta. Karakteristicna jednacina:

s+1

RC= 0, s = − 1

RC

Dakle

uC(t) = Ke−t

RC + uCp(t)

Imamo da je uCp(t) = UCp = const tj. trazimo yp(t) u obliku konstante jer je F (t) = U/RC

takoe konstanta. Iz neprekidnosti napona kondenzatora uC(0+) = uC(0−) za t > 0 dobijamo

UCp = U = ug(t). Da bi odredili konstantu K zamjenjujemo pocetne uslove u relaciju (8.413)

uC(0+) = K + uCp(0+) = K + U

Kako je uC(0+) = 0 dobija se K = −U. Vidi se da konstanta K zavisi od oblika ekscitacije što

nije bio slucaj kod sopstvenog odziva. Konacno se dobija:

uC(t) = U(1−e−

t

RC

)h(t)

za ∀t, ili

313

uC(t) = U(1−e−

t

RC

)za t > 0

(b) I nacin

i(t) = CduC(t)

dt

i(t) = Cd

dt

[U(1−e−

t

RC

)h(t)

]

i(t) = C

[U

1

RCe−

t

RC h(t)+U(1−e−

t

RC

)δ(t)

]

i(t) =U

Re−

t

RC h(t) + 0δ(t)

Napomena: Impulsna funkcija definisana je samo za t = 0, a tada je U(1−e−

t

RC

)= 0.

II nacin:

(D +

1

RC

)i(t) =

1

RDug(t) =

1

RD Uh(t) =

U

Rδ(t)

Kada imamo impulsnu funkciju po pravilu (ima i izuzetaka) imamo neregularnu komutaciju,

to jest dolazi do promjene pocetnih uslova. Tada treba odrediti nove pocetne uslove, odnosno

odrediti i(0−

). Jedan od nacina je integracija operatorske jednacine na intervalu od 0−

do 0+

(D +

1

RC

)i(t)=

U

Rδ(t)

/0+∫0−

dt

i(t)|0+0−

+1

RC

0+∫0−

i(τ )dτ =U

R

0+∫0−

δ(t)dt

i(0+)− i(0−

) = U/R, a kako je i(0−

) = 0, dobija se:

i(0+) =U

R

Drugi nacin bi bio na osnovu sledece analize:

(D +

1

RC

)i(t) =

1

RDug(t)

Kako je stepen operatorskih polinoma jednak, a pošto trazimo struju kroz kondenzator (a

ne napon na kondenzatoru) tada je to proizvoljan odziv i zadrzavamo regularnu komutaciju.

Rješenje se trazi u obliku:

314

i(t) = z(t)h(t)

Di(t) = z′(t)h(t) + z(t)δ(t) = z′(t)h(t) + z(0+)δ(t)

Dakle imamo da je:

z′(t)h(t) + z(0+)δ(t) +1

RCz(t)h(t) =

U

Rδ(t)

Balansiranjem (izjednacavanjem koeficijenata uz h(t) i δ(t)) dobija se:

[z′(t) +

1

RCz(t)

]h(t) = 0

z(0+) =U

R

Sada imamo da riješimo homogenu diferencijalnu jednacinu:

z′(t) +1

RCz(t) = 0

uz izmijenjeni pocetni uslov z(0+) = U/R. Rešenje trazimo u obliku:

z(t) = Ke−t

RC

z(0+) = K =U

R

z(t) =U

Re−

t

RC

Tada je:

i(t) = z(t)h(t) =U

Re−

t

RC h(t)

za ∀t. Treci nacin bi bio da naemo neku relaciju sa pocetnim uslovima koji su poznati. U

ovom primjeru to je relacija:

ug(t) = Ri(t) + uC(t)

i(t) =1

R[ug(t)− uC(t)]

i(0+) =1

R[U − 0] =

U

R

315

jer vaze pocetni uslovi uC(0+) = uC(0−) = 0.

8.9 Odziv na impulsnu ekscitaciju

Po pravilu (ima izuzetaka) odziv na impulsnu ekscitaciju spada u neregularne komutacije.

Posmatrajmo linearno i vremenski nepromjenljivo kolo r− tog reda, bez akumulisane energije,

u kome djeluje impulsna eksitacija

e(t) = Φδ(t)

Diferencijalna jednacina odziva je

A(D)y(t) = B(D)Φδ(t)

sa

Di−1y(0−

) = 0, i = 1, 2, ..., r

Za posredno rješavanje koristi se veza Dirakove i Hevisajdove funkcije. Odziv na impulsnu

eksitaciju je srazmjeran jacini udara eksitacije Φ, i izvodu indicione funkcije po vremenu

y(t) = Φdf(t)

dt

Ovaj drugi clan je, takoe, funkcija vremena, a slicno kao i indiciona funkcija, ne zavisi od

jacine udara same eksitacije, vec zavisi samo od mreze vezane za krajeve impulsnog generatora.

Funkcija koja se dobija kao kolicnik odziva na impulsnu eksitaciju i jacine udara eksitacije

je funkcija mreze koja se u ovom slucaju, naziva Grinovom (Green-ovom) funkcijom (ili

impulsnim odzivom) i oznacava se sa g(t):

g(t) =y(t)

Φ=

df(t)

dt(8.414)

Priroda Grinove funkcije jednaka je odgovarajucoj prirodi indicione funkcije podijeljenoj sa

vremenom (ili pomnozenom sa ucestanošcu).

Primjer: Posmatrajmo kolo kao na slici 8.265, sa ug(t) = Φδ(t) i uC(0−) = 0. Diferencijalna

( )gu t

( )i t R

Cu

Slika 8.265: RC kolo u kome djeluje impulsni generator napona

316

jednacina odziva po naponu kondenzatora je

(D +

1

RC

)uC(t) =

1

RCug(t) =

1

RCΦδ(t)

I nacin: Imamo rešenje za uC(t) kada djeluje Hevisajdova funkcija, tada definišemo indicionu

funkciju za napon kondenzatora.

f(t) =(1−e−

t

RC

)h(t)

Koristeci vezu Grinove i indicione funkcije, nalazimo Grinovu funkciju.

g(t) = Df(t) =1

RCe−

t

RC h(t) + δ(t)

Imajuci u vidu da impulsna funkcija izdvaja vrijednosti date funkcije u t = 0, dobija se:

g(t) =1

RCe−

t

RC h(t), ∀t

Odziv je, po definiciji:

uC(t) = g(t)Φ =Φ

RCe−

t

RC h(t) ∀t

II nacin: Direktno rešavanje:

(D +

1

RC

)uC(t) =

1

RCΦδ(t)

Pošto je Grinova funkcija za napon uC(t)

g(t) =uC(t)

Φ

dobijamo operatorsku jednacinu po g(t)

(D +

1

RC

)g(t) =

1

RCδ(t)

Posmatrajuci stepene polinoma A(D) i B(D) mogli bi zakljuciti da je u pitanju regu-

larna komutacija, ali impulsna ekscitacija mijenja pocetne uslove u kolu pa iz tog razloga

pretpostavimo rešenje u obliku:

g(t) = z(t)h(t) +H1δ(t)

Tada je:

Dg(t) = z′(t)h(t) + z(t)δ(t) +H1δ′(t)

Ako ovu jednakost uvrstimo u operatorsku jednacinu, koristeci osobine impulsne funkcije,

317

dobijamo:

z′(t)h(t) + z(t)δ(t) +H1δ′(t) +

1

RCz(t)h(t) +

1

RCH1δ(t) =

1

RCδ(t)

Balansiranjem se dobija:

• uz funkciju h(t):

z′(t) +1

RCz(t) = 0

• uz funkciju δ(t):

z(0+) +1

RCH1 =

1

RC

• uz prvi izvod funkcije δ(t):

H1 = 0

Dakle dobijamo sistem:

z′(t) +1

RCz(t) = 0 (8.415)

uz novi pocetni uslov z(0+) = 1/RC. Kako smo dobili da je H1 = 0, komutacija je regularna

bez obzira na impulsnu funkciju. Rješenje jednacine (8.415) je:

z(t) = Ke−t

RC

a iz pocetnog uslova dobijamo da je konstanta K = 1/RC, pa je konacno

z(t) =1

RCe−

t

RC

Sada je Grinova funkcija

g(t) = z(t)h(t) =1

RCe−

t

RC h(t)

pa je odziv:

uC(t) = g(t)Φ =Φ

RCe−

t

RC h(t)

III nacin: Polazeci od relacije za Grinovu funkciju u diferencijalnom obliku

(D +

1

RC

)g(t) =

1

RCδ(t) (8.416)

318

za t = 0

(D +

1

RC

)g(t) = 0

Koristeci g(t) = z(t)h(t), dolazimo do relacije:

(D +

1

RC

)z(t) = 0, t > 0

Trazimo novi pocetni uslov z(0+). Ako integralimo relaciju (8.416) u granicama od 0− do 0+

dobija se

g(t)|0+0−

+1

RC

0+∫0−

g(t)dt =1

RC

0+∫0−

δ(t)dt

Znaci imamo

g(0+)− g(0−

) =1

RC

a pošto je g(0−

) = 0, dobija se:

g(0+) =1

RC

(D +

1

RC

)z(t) = 0 t > 0

Dalji postupak je identican prethodnom (II nacin).

Primjer: Posmatrajmo kolo kao na slici 8.266 sa ug(t) = Φδ(t) i uC(0−) = 0. Odrediti

i(t) =? I nacin: Koristeci rešenje prethodnog primjera dobija se:

( )gu t

( )i t R

Cu

Slika 8.266: RC kolo sa impulsnim generatorom

i(t) = CduC(t)

dt= C

Φ

RCe−

t

RC

(− 1

RC

)h(t) + C

Φ

RCe−

t

RC δ (t)

odnosno

i(t) = − Φ

R2Ce−

t

RC h(t) +Φ

Rδ (t)

319

II nacin: Predpostavimo da imamo odziv na Hevisajdovu funkciju to jest da imamo indicionu

funkciju:

f(t) =1

Re−

t

RC h(t)

Tada je

g(t) = Df(t) = − 1

RCe−

t

RC h(t) +1

Rδ(t)

pa je

i(t) = Φg(t) = − Φ

R2Ce−

t

RC h(t) +Φ

Rδ (t)

III nacin: Direktno rešavanje diferencijalne jednacine po struji:

(D +

1

RC

)i(t) =

1

RDug(t) =

Φ

Rδ′(t)

Kako je stepen operatorskih polinoma jednak, a u pitanju je impulsna funkcija, tada je to

sigurno neregularna komutacija. Ako uvedemo Grinovu funkciju kao:

g(t) =i(t)

Φ

dobijamo diferencijalnu jednacinu po g(t) u obliku

(D +

1

RC

)g(t) =

1

Rδ′(t) (8.417)

Predpostavimo rešenje u obliku

g(t) = z(t)h(t) +H1δ(t)

Dg(t) = z′(t)h(t) + z(t)δ(t) +H1δ′(t)

Koristeci osobine impulsne funkcije dobijamo

Dg(t) = z′(t)h(t) + z(0+)δ(t) +H1δ′(t) (8.418)

Zamjenom relacije (8.418) u diferencijalnu jednacinu po g(t), relacija (8.417), dobija se

z′(t)h(t) + z(0+)δ(t) +H1δ′(t) +

1

RCz(t)h(t) +

1

RCH1δ(t) =

1

RCδ′(t)

Balansiranjem se dobija:

• uz funkciju h(t)

320

z′(t) +1

RCz(t) = 0

• uz funkciju δ(t)

z(0+) +1

RCH1 = 0

• uz prvi izvod funkcije δ(t)

H1 =1

RC

Sada rešavamo novu diferencijalnu jednacinu uz novi pocetni uslov

z′(t) +1

RCz(t) = 0, z(0+) = − 1

R2C

Pa je rešenje

z(t) = − 1

R2Ce−

t

RC

g(t) = z(t)h(t) +H1δ(t)

g(t) = − 1

RCe−

t

RC h(t) +1

Rδ(t)

i(t) = Φg(t) = − Φ

R2Ce−

t

RC h(t) +Φ

Rδ (t)

IV nacin:

Odredimo pocetne uslove integracijom

(D +

1

RC

)g(t) =

1

Rδ′(t)

/0+∫0−

dt

g(t) +1

RC

0+∫0−

g(t)dt =1

R

0+∫0−

δ′(t)dt (8.419)

Ako u relaciju (8.419) uvrstimo izraz g(t) = z(t)h(t) + H1δ(t) dobijen u prethodnom dijelu

(nacin III) imamo

g(0+)− g(0−) +1

RC

0+∫0−

z(t)h(t)dt+1

RC

0+∫0−

H1δ(t)dt =1

R[δ(0+)− δ(0−)]

Koristeci uslov zadatka g(0−) = 0 i osobine delta funkcije, dobija se

g(0+) +H1

RC= 0

Pošto imamo još dvije nepoznate (g i H1 ), da bi ih odredili integralimo relaciju (8.419)

321

( ) ( )gu t tδ= Φ

L

(0 ) 0Li − =

L0(0 )Li I

L+

Φ= =

Slika 8.267:

0+∫0−

g(t)dt =1

R

0+∫0−

g(t)dt +0+∫0−

H1δ(t)dt =1

R

pa se dalje dobija H1 = 1/R,odnosno

g(0+) = − 1

R2C

Dalji postupak je identican kao u prethodnom dijelu (nacin III).

8.10 Interpretacija odziva na impulsnu eksitaciju kao

odziva usled akumulisane energije

Redna veza neopterecenog kalema i generatora impulsnog napona moze se zamijeniti kalemom

sa akumulisanom energijom koja odgovara struji:

I0 =Φ

L

Rješenje odziva u oba slucaja je isto. Stoga postoji ekvivalencija izmeu sledeca dva elementa

prikazana na slici 8.267:

Moramo napomenuti da ova ekvivalencija vazi pod uslovom da se redna veza kalema i

kondenzatora nalazi bar u jednoj konturi ili petlji koja ne sadrzi kalemove. Potvrdu pomenute

tvrdnje ilustrovacemo na primjeru prikazanom na slici 8.268:

Struju neopterecenog kalema datu relacijom:

iL(t) =1

L

t∫0−

uL(τ )dτ (8.420)

322

( ) ( )gu t tδ= Φ

( )i t R L C

( )Ru t ( )Lu t ( )Cu t

Slika 8.268: Redna veza otpornika, kalema i kondenzatora

C (0 ) 0u−

=( ) ( )gi t Q tδ= C 0(0 )Q

u UC

+ = =

Slika 8.269: Ekvivalencija paralelne veze neopterecenog kondenzatora i strujnog generatora

mozemo nakon rastave granica integraljenja predstaviti u obliku:

iL(t) =1

L

0+∫0−

uL(τ)dτ +1

L

t∫0+

uL(τ)dτ (8.421)

Posmatrajuci sliku 8.268. mozemo napisati da je:

uL(t) = Φδ(t)− uR(t)− uC(t) (8.422)

Smjenom relacije (8.422) u (8.421) dobijamo izraz za struju kalema u obliku:

iL(t) =1

L

0+∫0−

[Φδ(τ )− uR(τ)− uC(τ )] dτ +1

L

t∫0+

uL(τ )dτ (8.423)

odnosno:

iL(t) =Φ

L+

1

L

t∫0+

uL(τ )dτ (8.424)

jer su integrali napona otpornika i kondenzatora jednaki nuli pošto ne sadrze impulsne funkcije.

Relacija (8.424) predstavlja struju kalema sa pocetnom vrijednošcu iL(0+) = I0 = Φ/L. Otuda

i navedena ekvivalencija. Isto tako, paralelna veza neopterecenog kondenzatora i generatora

impulsne struje moze se zamijeniti za pozitivne vrijednosti vremena (t > 0) jednim opterecenim

kondenzatorom sa pocetnim uslovom uC(0+) = U0 = Q/C, tj. postoji ekvivalencija izmeu

dva elementa prikazana na slici 8.269:

Ova ekvivalencija vazi ako za zajednicki cvor (presjek) neopterecenog kondenzatora i gen-

323

( ) ( )gi t Q tδ= ( )u t LG C

( )Gi t ( )Li t ( )Ci t

Slika 8.270: Paralelna veza otpornika, kalema i kondenzatora

eratora nije vezan nijedan drugi kondenzator. Potrvdu predhodne tvrdnje ilustrovacemo na

primjeru prikazanom na slici 8.270:

Napon neopterecenog kondenzatora uC(t) = u(t) predstavljen je integralom:

u(t) =1

C

t∫0−

iC(τ)dτ

koji se moze rastaviti na dva integrala oblika:

u(t) =1

C

0+∫0−

iC(τ)dτ +1

C

t∫0+

iC(τ )dτ (8.425)

Posmatrajuci sliku 8.270. mozemo napisati da je:

iC(t) = Qδ(t)− iG(t)− iL(t) (8.426)

Zamjenom relacije (8.426) u relaciju (8.425) napon kondenzatora dobija oblik:

u(t) =1

C

0+∫0−

[Qδ(τ )− iG(τ)− iL(τ )] dτ +1

C

t∫0+

iC(τ)dτ

odnosno:

u(t) =Q

C+

1

C

t∫0+

iC(τ)dτ (8.427)

jer su integrali struja otpornika i kalema jednaki nuli pošto ne sadrze impulsne funkcije.

Relacija (8.427) predstavlja napon kondenzatora sa pocetnom vrijednošcu u(0+) = Q/C pa

otuda slijedi i navedena ekvivalencija.

324

8.11 Izmjena pocetnih uslova pri djelovanju impulsne

eksitacije

Pri djelovanju impulsnog generatora u kolu, s obzirom da eksitacija trenutno dostize veoma ve-

liku vrijednost, ne moraju biti ispunjeni uslovi za neprekidnost napona kondenzatora, odnosno

struje kalema. Stoga u nekim dinamickim elementima, zavisno od toga kako su vezani u kolu,

moze doci do trenutne izmjene pocetnih uslova. U nekim slucajevima se analiza rada kola

sa Dirakovim eksitacijama moze uprostiti time što djelovanje generatora opisujemo pomocu

izmjene pocetnog uslova. Posmatrajmo na primjer kolo bez akumulisane energije, u kome

djeluje impulsni generator napona: ug(t) = Φδ(t), kao na slici 8.271.

≡

0t ≥

1L1L

i

( )gu t ( )u t

(0 ) 0

(0 ) 0

i

j

C

L

u

i

−

−

=

=

N

1 01,L I1L

i

( )u t

(0 ) 0

(0 ) 0

i

j

C

L

u

i

+

+

=

=

N

1 01

1

(0 )Li IL

+Φ

= =

1

( ) ( )

(0 ) 0

g

L

u t t

i

δ

−

= Φ

=

( )a ( )b

Slika 8.271: Imjena pocetnih uslova kalema pri djelovanju impulsnog generatora napona

Ako na red sa kalemom L1 nije vezan nijedan drugi kalem iz mreze N , tada je kolo sa slike

8.271(b) ekvivalentno predhodnom kolu. Jednacina dinamicke ravnoteze kola sa slike 8.271(a)

je

ug(t) = L1

di1dt

+ u(t) (8.428)

gdje je u(t) napon na pristupu mreze N . Ako mreza N ne sadrzi neki kalem Lj, j = 1, u

rednoj grani sa kalemom L1, tada, gledano prema toj mrezi, napon u(t) nece sadrzati clan sa

izvodom struje i1(t) po vremenu, pa ce, stoga, biti ogranicena funkcija vremena. Stoga, ako

integralimo relaciju (8.428) u granicama (0−, 0+), dobicemo

i1(0+) =

Φ

L1

(8.429)

jer je i1(0−) = 0, a

0+∫0−

u(t)dt = 0. Znaci da se grana sa rednom vezom impulsnog generatora

napona ug(t) = Φδ(t) i kalema L1 bez akumulisane energije, moze zamijeniti granom sa

kalemom iste induktivnosti i strujom i1(0+) = Φ

L1. Uslov je da za kalem L1 nije vezan redno

nijedan drugi kalem. U protivnom bi se fluks Φ raspodijelio na oba kalema: npr. ako je neki

kalem L2 vezan na red sa L1, tada bi izmijenjen pocetni uslov za struju kalemova bio

325

i1(0+) = i2(0

+) =Φ

L1 + L2(8.430)

Posmatrajmo kolo bez akumulisane energije kao na slici 8.272.Ako se u mrezi N ne nalazi

≡

0t ≥

1C( )gi t1( )Cu t

(0 ) 0

(0 ) 0

i

j

C

L

u

i

−

−

=

=

N

1( )Cu t

(0 ) 0

(0 ) 0

i

j

C

L

u

i

+

+

=

=

N

1 01

1

(0 )C

Qu U

C+= =

1

( ) ( )

(0 ) 0

g

C

i t Q t

u

δ

−

=

=

1 01,C U

( )a ( )b

Slika 8.272: Izmjena pocetnih uslova kondenzatora pri djelovanju impulsnog generatora struje.

nijedan kondenzator u paralelnoj vezi sa C1, tada je mreza sa slike 8.272(b) ekvivalentna

predhodnoj. Drugim rijecima, paralelna veza impulsnog generatora struje, ig(t) = Qδ(t), i

kondenzatora C1 bez akumulisane energije, ekvivalentna je grani sa kondenzatorm iste kapac-

itivnosti i izmijenjenim pocetnim uslovom

uC1(0+) =

Q

C1

(8.431)

I ovdje, u slucaju da mreza N sadrzi kondenzator, npr. C2, u paralelnoj vezi sa C1, izmijenjen

pocetni uslov ce biti

uC1(0+) = uC2

(0+) =Q

C1 + C2

(8.432)

8.12 Osobine odziva ukljucenja

Za linearna i vremenski nepromjenljiva kola odziv usled djelovanja generatora posjeduje ista

osnovna svojstva kao i odziv usled pocetnih uslova (sopstveni odziv), a to su: svojstvo lin-

eranosti i svojstvo vremenske invarijantnosti (odnosno nezavisnosti oblika odziva od mo-

menta ukljucenja generatora), što je odreeno prirodom diferencijalne jednacine odziva. Sluca-

jevi djelovanja impulsnih generatora u kolima sa dinamickim elementima mogu se posmatrati

i u skladu sa zakljuccima datim u predhodnom poglavlju što je ponovo prikazano na slici

8.273.Tada se paralelna veza impulsnog strujnog generatora ig(t) = Qδ(t) i kondenzatora bez

akumulisane energije, uC(0−) = 0, moze zamijeniti granom koja sadrzi samo kondenzator sa

izmijenjenim pocetnim uslovom: uC(0+) = Q/C - slika 8.273 (a). Analogno se pokazuje za

rednu vezu impulsnog generatora napona ug(t) = Φδ(t) i kalema bez energije - slika 8.273

(b). Ekvivalencija vazi za svako t ≥ 0. Pokazimo ovo za slucaj kola prikazanog na slici

326

Cu( )= ( )gi t Q tδ C ⇒

0

C

U

(0 ) 0Cu −

=

0= (0 )=C

QU u

C+

( )= ( )gu t tδΦ

(0 ) 0Li − =

Li

Cu

0= (0 )=LI iL

+

Φ

LiL 0,L I

( )a

( )b

⇒

Slika 8.273: Ekvivalentne šeme: (a) Paralelna veza ig(t) = Qδ(t) i kondenzatora, (b) Rednaveza ug(t) = Φδ(t) i kalema.

8.274 u kome djeluje impulsni naponski generator ug(t) = Φδ(t) uz pocetni uslov iL(0−) = 0.

Jednacina glasi

( )gu t

( )Ru t ( )Lu t

R L

( )i t

Slika 8.274: Prosto RL kolo sa impulsnim generatorom

Ldi(t)

dt+Ri(t) = Φδ(t) (8.433)

Koristicemo direktno rešavanje. Za t > 0 (znamo da je δ(t > 0) = 0)

Ldi(t)

dt+Ri(t) = 0

Rješenje ove diferencijalne jednacine je

i(t) = I0eR

Lt

gdje je i(0+) = I0 nepoznata vrijednost koju treba odrediti. Za ∀t vazi

327

i(t) = I0e−

R

Lth(t) (8.434)

Ako predhodnu relaciju diferenciramo po vremenu dobijamo

di(t)

dt= −R

LI0e

−

R

Lth(t) + I0δ(t) (8.435)

jer δ(t) izdvaja vrijednosti za t = 0 tj. e−R

Lt

∣∣∣t=0

= 1. Kada relaciju (8.435) uvrstimo u

diferencijalnu jednacinu, relacija (8.433), tada se balansiranjem (izjednacavanjem koeficijenata

uz iste funkcije) dobijene jednacine dobija

LI0δ(t) = Φδ(t)

odnosno

I0 =Φ

L

Konacno se dobija:

i(t) =Φ

Le−

R

Lth(t)

Zakljucak: Ako imamo odziv ukljucenja dat relacijom:

Ldi(t)

dt+Ri(t) = Φδ(t)

uz pocetni uslov i(0−

) = 0, odziv je

i(t) =Φ

Le−

R

Lth(t)

što je potpuno ekvivalentno odzivu usled pocetnih uslova. Taj slucaj dat je jednacinom

Ldi(t)

dt+Ri(t) = 0

i(0+) = I0 =Φ

L

pa je odziv

i(t) =Φ

Le−

R

Lth(t)

8.13 Potpuni (kompletan) odziv

U najopštijem slucaju kolo sadrzi generatore i posjeduje akumulisanu energiju. Odziv koji

pritom nastaje predstavlja tzv. potpuni (ili ukupni) odziv, a posledica je uticaja oba

328

navedena uzroka. Posmatracemo, kao i do sada, linearna i vremenski nepromjenljiva kola.

Slika 8.275. simbolicki prikazuje jedno takvo kolo koje se sastoji iz linearne i vremenski

nepromjenljive mreze N, koja posjeduje akumulisanu energiju, i ukupno g = f + h nezavisnih

generatora: ug1, ..., ugf , ig1, ..., igh, koji su predstavljeni van mreze.

(0 )

1,2,...,

kC ok

C

u U

k b

−

=

=

(0 )

1,2,...,

jL oj

L

i I

j b

−

=

=

lu

li

N

1( )gu t

( )fg

u t

1( )gi t

( )hg

i t

Slika 8.275: Slozeno kolo. Odreivanje potpunog odziva

Diferencijalna jednacina odziva za ma koju promjneljivu y(t) ∈ ul, il , l = 1, 2, ...b, je

oblika

A(D)y(t) =g∑

s=1

[By,s(D)es(t)] = Fy,e(t) (8.436)

Za rješenje jednacine (8.436) potrebno je znati prvih r pocetnih (izvedenih) uslova

y(0+) = h10

Dy(0+) = h20...

Dr−1y(0+) = hr0 (8.437)

gdje su vrijednosti hi0, i = 1, 2, 3, ..., r, odreene stvarnim pocetnim uslovima: uCk(0+),

iLj(0+), k = 1, 2, ..., bC, j = 1, 2, ..., bL kao i vrijednostima eksitacija ugm(0

+), ign(0+), m =

1, 2, ..., f, n = 1, 2, ..., h. Pri tome, ako je komutacija regularna tada je uCk(0+) = uCk(0

−)

i iLj(0+) = iLj(0

−), dok u protivnom treba odrediti izmijenjene pocetne uslove. Tehnika

rješavanja jednacine (8.436) moze biti dvojaka. Jednacina se moze rješavati direktno, ili super-

pozicijom. Prvi nacin je preporucljiv jedino u slucaju da djeluju samo Hevisajdovi generatori:

es(t) = Esh(t). U slucaju djelovanja generatora iz razlicitih klasa funkcija, posebno ako su

329

neke od njih impulsne, podesnije je rješavati primjenom superpozicije, s obzirom na prakticne

poteškoce koje se mogu javiti pri odreivanju (izmijenjenih) pocetnih uslova.

8.13.1 Direktno rješavanje

U ovom slucaju se rješava polazna nehomogena diferencijalna jednacina (8.436) na isti nacin

kao u slucaju djelovanja generatora, s tim što na izvedene pocetne uslove (8.437) uticu i stvarni

pocetni uslovi, a ne samo eksitacije. Rješenje jednacine je u obliku

y(t) = yh(t) + yp(t) (8.438)

dakle, rješenje y(t) se dobija kao suma rješenja odgovarajuce homogene diferencijalne jed-

nacine, što je oznaceno indeksom “h”, i partikularnog rješenja koje je istog oblika kao neho-

mogeni dio diferencijalne jednacine a to je oznaceno indeksom “p”. Partikularno rješenje se

naziva i prinudnim odzivom. Clan yh(t) predstavlja rješenje odgovarajuce homogene diferen-

cijalne jednacine

A(D)yh(t) = 0 (8.439)

i ima jedan od oblika

yh(t) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

r∑l=1

K(l)eslt,(

p∑l=1

tl−1K(l)

)es1t +

r∑l=p+1

K(l)eslt

(s1 = s2 = · · · = sr)

(s1 je reda p)

(8.440)

zavisno od toga da li su sopstvene ucestanosti proste ili ima i višestrukih. Ovo rješenje je

moguce predstaviti i krace u vidu izraza

yh(t) =r∑

l=1

yhl(t) (8.441)

gdje clanovi yhl(t), l = 1, 2, ..., r, odgovaraju sabircima koji figurišu pod znakom sume u

(8.440), bez obzira na red višestrukosti sopstvenih ucestanosti.

Clan yp(t) je partikularno rješenje koje je istog oblika kao nehomogeni dio jednacine (8.436),

dakle, srazmjerno je eksitacijama

yp(t) =g∑

s=1yps(t), yps(t) ∼ es(t) (8.442)

Partikularno rješenje se moze odrediti clan-po-clan, zamjenom predpostavljenih odziva yps(t)

u polaznu diferencijalnu jednacinu (8.436) i balansiranjem lijeve i desne strane. Konstante

K(l) u rješenju homogenog dijela se, potom, odreuju na osnovu pocetnih uslova (8.437).

330

8.13.2 Rješavanje superpozicijom

U mnogim slucajevima korisno je primijeniti superpoziciju. Odvojeno trazimo odziv na aku-

mulisanu energiju, y0(t), u kolu bez generatora kao na slici 8.276a), i odziv usled djelovanja

generatora, ye(t), u istom kolu, ali bez pocetnih uslova - slika 8.276b). Ukupni odziv je jednak

(0 )

1,2,...,

kC ok

C

u U

k b

−

=

=

(0 )

1,2,...,

jL oj

L

i I

j b

−

=

=

0lu

0li

N

10gu =

0kg

u =

10gi =

0hg

i =

(0 ) 0

1,2,...,

kC

C

u

k b

−

=

=

(0 ) 0

1,2,...,

jL

L

i

j b

−

=

=

leu

lei

N

1gu

kgu

1gi

hgi

)a )b

Slika 8.276: Primjena principa superpozicije pri odreivanju potpunog odziva. a) Odziv usledpocetnih uslova, b) odziv usled djelovanja generatora.

sumi ova dva

y(t) = y0(t) + ye(t) (8.443)

Ovaj postupak smijemo da primijenimo u linearnim kolima, što se lako ovjerava na osnovu

svojstva linearnosti za odziv usled djelovanja generatora. Naime, elemente sa akumulisanom

energijom u t = 0 mozemo, za t ≥ 0, predstaviti vezom konstantnih generatora i elemenata

bez energije, cime se slucaj svodi na kolo sa generatorima. Sopstveni odziv se odreuje iz

homogene diferencijalne jednacine

A(D)y0(t) = 0 (8.444)

sa izvedenim pocetnim uslovima

y0(0+) = f10, Dy0(0

+) = f20, ..., Dr−1y0(0+) = fr0 (8.445)

331

koji su odreeni sa uCk(0+) i iLj

(0+), k = 1, 2, ..., bC, j = 1, 2, ..., bL, pri cemu vazi ista

napomena kao za regularnu i neregularnu komutaciju. Rješenje jednacine (8.444) je

y0(t) = y0h(t) =r∑

l=1

yohl(t) (8.446)

gdje su clanovi yohl(t) istog oblika kao u (8.440). Konkretno, ako su svi korjeni karakteristicne

jednacine prosti, clanovi yohl(t) su oblika

yohl(t) = K(l)0 eslt (8.447)

Koeficijente K(l)0 nalazimo iz pocetnih uslova (8.445), odnosno iz sistema jednacina koji se

dobija formiranjem vrijednosti y0(0+), ..., Dr−1y0(0+).

Odziv usled djelovanja generatora se odreuje iz nehomogene diferencijalne jednacine istog

oblika kao (8.436), ali sa uCk(0−) = 0 i iLj

(0−) = 0, odnosno

A(D)ye(t) = Fy,e(t) (8.448)

i izvedenim pocetnim uslovima

ye(0+) = k10, Dye(0

+) = k20, ..., Dr−1ye(0+) = kr0 (8.449)

koji su odreeni samo eksitacijama. Rješenje jednacine (8.448) je dato sa

ye(t) = yeh(t) + yep(t) (8.450)

gdje je yeh(t) oblika (8.440), dok je yep(t) srazmjerno eksitacijama. Konkretno, ako za kolo

na slici 8.275 predpostavimo da su sopstvene ucestanosti proste, rješenje homogenog dijela

jednacine je jednako

yeh(t) =r∑

l=1

K(l)e eslt (8.451)

a yep(t) je dato istim izrazom kao (8.442)

yep(t) = yp(t) (8.452)

i moze se odrediti kao i ranije.

Ovdje smo rješenje homogenog dijela posmatrali u jedinstvenom obliku (8.451). Mogli smo

i njega naci superpozicijom. Naime, odziv usled djelovanja generatora se moze posmatrati

clan-po-clan u obliku

ye(t) =g∑

s=1

yes(t) (8.453)

gdje je yes(t) rješenje na jednu od eksitacija es(t), s = 1, 2, ..., g, što dobijamo iz pojedinacnih

332

diferencijalnih jednacina

A(D)yes(t) = By,s(D)es(t), s = 1, 2, ..., g (8.454)

sa pocetnim uslovima Diyes(0+) koji su odreeni samo posmatranom eksitacijom es(t) u t =

0+.

U svakom slucaju, rješenje y(t), dobijeno direktnim putem - relacija (8.438)

y(t) = yh(t) + yp(t)

mora biti identicno rješenju koje smo odredili superpozicijom - relacija (8.443)

y(t) = y0(t) + ye(t)

Kako je, sa druge strane

y0(t) = y0h(t)

ye(t) = yeh(t) + yep(t)

poreenjem ovih oblika zakljucujemo da je

yh(t) = y0h(t) + yeh(t) (8.455)

yp(t) = yep(t) (8.456)

Konkretno, iz (8.455) i predhodnih relacija (8.446) i (8.451), dobijamo vezu izmeu koeficije-

nata koji karakterišu rješenje homogenog dijela

K(l) = K(l)0 +K(l)

e , l = 1, 2, ..., r (8.457)

pri cemu, ako primijenimo superpoziciju i za djelovanje svakog od generatora, imamo da je

K(l)e =

g∑s=1

K(l)es (8.458)

na osnovu relacije (8.453). Tehnika odreivanja potpunog odziva moze biti proizvoljna, uz

vec izrecenu napomenu da je rješavanje superpozicijom, mozda, jednostavnije.

Primjer: Posmatrajmo kolo sa akumulisanom energijom kao na slici 8.277 u kome djeluje

Hevisajdov generator napona ug(t) = U0h(t). Odrediti struju i(t) =?

333

( )i t

L

R

( )gu t0I

Slika 8.277: Prosto RL kolo - trazenje kompletnog odziva

I nacin: Pocetni uslov je jednak iL(0−) = I0 pa je struja u kolu jednaka

i(t) = i1(t) + i2(t)

gdje je komponenta i1(t)− odziv usled pocetnih uslova a i2(t)− odziv usled ukljucenja. Za

odziv usled pocetnih uslova posmatramo kolo na slici 8.278 za koje je diferencijalna jednacina

odziva jednaka

1( )i t

L

R

0I

Slika 8.278: Odreivanje komponente sopstvenog odziva

Ldi1(t)

dt+Ri1(t) = 0

Rešenje ove diferencijalne jednacine je:

i1(t) = I0e−

R

Lt

Za odziv ukljucenja posmatramo kolo na slici 8.279 u kome je iL(0−) = 0 a diferencijalna

jednacina odziva je jednaka

2( )i t

L

R

( )gu t

Slika 8.279: Odreivanje komponente prinudnog odziva

334

Ldi2(t)

dt+Ri2(t) = ug(t)

Rešenje ove diferencijalne jednacine je:

i2(t) = −ip(0)e−

R

Lt + ip

Za odziv ukljucenja rešenje se trazi kao suma rešenja homogenog i prinudnog rešenja. Ako je

ug(t) = Uh(t), tada je:

i2(t) =U

R

(1− e−

R

Lt

)h(t)

Ukupan odziv je

i(t) = I0e−

R

Lt +

U

R

(1− e−

R

Lt

)h(t) (8.459)

Napomena: Pošto su pocetni uslovi “istorija” ( ne znamo šta je izazvalo akumulisanje energije

u intervalu vremena od −∞ do 0−

), uz odziv usled pocetnih uslova ne piše se h(t), što nije

slucaj za odziv usled ukljucenja. Relacija (8.459) predstavljena je na graficki na slici 8.280.II

( )i t

1( )i t

2( )i t

1 2( )= ( )+ ( )i t i t i t

U

R

0I

t0

Slika 8.280: Grafici prikaz struje i(t)

nacin: Posmatrano diferencijalnu jednacinu odziva

Ldi(t)

dt+Ri(t) = 0

i(0−

) = I0

Rešenje trazimo kao: homogeni dio

is(t) = Ae−R

Lt

(indeks s - slobodna komponenta), prinudno rješenje

ip(t) =U

R

335

Sada je:

i(t) = is(t) + ip(t) = Ae−R

Lt +

U

R

Konstantu A odreujemo iz pocetnog uslova: i(0−

) = I0 pa slijedi da je

A = I0 +U

R

Dalje je

is(t) =

(I0 +

U

R

)e−

R

Lt

ip(t) =U

R

Graficki prikaz je dat na slici 8.281. II nacin se svodi na odreivanje rešenja diferencijalne

( )i t

( )si t

( )pi t

( )= ( )+ ( )s pi t i t i t

U

R

0I

t0

( )0

UI

R

⎧⎪⎪⎪⎪− ⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Slika 8.281: Graficki prikaz struje i(t) - II nacin

jednacine višeg reda kao sume rešenja homogene diferencijalne jednacine i jednog partikularnog

rešenja nehomogene diferencijalne jednacine. Oba nacina su jednako tacna, ali je pristupacniji

nacin superpozicije odziva usled ukljucenja i odziva usled pocetnih uslova, a za njih je moguca

primjena svojstva linearnosti i stacionarnosti.

8.13.3 Opšti zakljucak za klasicnu metodu:

Klasicna metoda je sistematska metoda ali je slozenija iz razloga što treba rešavati diferenci-

jalne jednacine n - tog reda (r algebarskih jednacina za dobijanje pocetnih uslova). Vazno:

Za kompletan odziv ne vaze osobine linearnosti i stacionarnosti. Ove dvije osobine vaze za

odzive usled ukljucenja i pocetnih uslova, ali ne i za njihov zbir. Dakle, za rešavanje dinamike

kola imamo Furijeovu i Laplasovu transformaciju i klasicnu metodu. Furijeova transformacija

vazi za odziv ukljucenja, dok je Laplasova transformacija najefektivniji metod.

Zadatalk 1: U kolu prikazanom na slici 8.282 odrediti struju kroz kalem za t > 0 ako

je i(0−

) = 2A. Rješenje: Prvo cemo odrediti komponentu struje i koja potice od pocetnih

336

80V

1Ω 2Ω

2Ω

3v

10A

4H

5

v

i

Slika 8.282: Kolo uz zadatak 1

uslova. Oznacicemo ovu komponentu sa ih. Ova komponenta se racuna kada su svi nezavisni

izvori (naponski i strujni) u kolu ukinuti (naponski-kratak spoj, strujni-prekid). U ovom

slucaju sve otpornosti u kolu mogu biti zamijenjene sa ekvivalentnom otpornošcu Re = 4/5 Ω

i kolo je prikazano na slici 8.283. Primjenom KZN na kolo sa slike 8.283 dobijamo

3v

4H

5ici

v

4

5Ω

Slika 8.283: Odreivanje komponente ih

4

5

(dihdt

)+ 3v +

4

5ih = 0 (8.460)

Koristeci Omov zakon, v = 4

5ih, i dijeljenjem sa 4/5 relacija (8.460) postaje

dihdt

+ 4ih = 0

Pocetna vrijednost je i(0+) = i(0−

) = 2A, dok je karakteristicna jednacina: s + 4 = 0, pa je

ova komponenta jednaka

ih(t) = 2e−4t (8.461)

Sada treba odrediti komponente ove struje koje nastaju usled djelovanja nezavisnih gtener-

atora. Svi pocetni uslovi su jednaki nuli a primjenjujemo metod superpozicije. Komponente

su: ip1 koja nastaje usljed djelovanja naponskog generatora (slika 8.284 (a)) i ip2 koja nastaje

usled djelovanja strujnog generatora (slika 8.284 (b)). Primjenom KZN u kolu na slici 8.284

337

80V

1Ω

4Ω

3v

4H

5

v

1fi

2Ω

2Ω

3v

10A

4H

5i

1i 2i 2Ω1i 2i

( )a ( )b

Slika 8.284: (a) Kolo za komponentu ih1; (b) Kolo za komponentu ih2

(a) dobijamo

i1 + 4(i1 − i2) = 80

4

5

di2dt

+ 3i1 + 4(i1 − i2) = 0

Rjšavanjem prve jednacine po i1 i zamjenom u drugu dobijamo

di2dt

+ 4i2 = 20, i2(0+) = 0

jer su svi pocetni uslovi sada jednaki nuli. Rješenje gornje diferencijalne jednacine je

i2(t) = 5(1− e−4t) = ip1 (8.462)

Komponenta ove struje kada djeluje samo strujni generator dobijamo kada na kolo prikazano

na slici 8.284 (b) primijenimo KZN i na taj nacin dobijamo

4

5

(di1dt

)+ (i1 − i2)− 3(i2 − i1) = 0

2i2 + 2(i2 + 10) + (i2 − i1) = 0

Rješavajuci drugu relaciju po i2 i zamjenom u prvu dobijamo

di1dt

+ 4i1 = −20; i1(0+) = 0

jer su svi pocetni uslovi jednaki nuli. Rješenje gornje diferencijalne jednacine je oblika

i1(t) = −5(1− e−4t)A

338

Sa slike 8.284 (b) vidimo da je

ip2(t) = −i1 = 5(1− e−4t)A

Koristeci princip superpozicije ukupnu struju dobijamo kao sumu pojedinih komponenti tj.

i(t) = ih(t) + ip1(t) + ip2(t) = 2e−4t + 10(1− e−4t) = 10− 8e−4t A

Zadatak 2: U kolu prikazanom na slici 8.285 odrediti napone v1 i v2 za t > 0 ako je

ono bilo u stacionarnom stanju u trenutku t = 0−

.Rješenje: Prvo treba odrediti napone na

=0t

1Ω

1F 2F1

2Ω12A

1v 2v

1i

Slika 8.285: Kolo za zadatak 2

kondenzatorima u trenutku t = 0−

. Za t < 0 prekidac je ztvoren, kolo je u stacionarnom

stanju pa je

v1(0−)− v2(0−) = 12(1) = 12V

Kondenzator od 2F je kratko spojen sa masom pa je za t < 0, v2(0−) = 0V i v1(0−) = 12V.

Usled neprekidnosti napona na kondenzatoru slijedi da je v1(0−) = v1(0+) = 12V i v2(0−) =

v2(0+) = 0V. Ove vrijednosti su potrebne da bi se izracunali pocetni uslovi u trenutku t = 0+

koji su nepohodni za rješavanje diferencijalnih jednacina. Primjeno KZS u cvorovima u kojima

se racunaju naponi v1 i v2 imamo

dv1dt

+ (v1 − v2) = 12 (8.463)

2dv2dt

+ 3v2 − v1 = 0 (8.464)

Rješavajuci jednacinu (8.463) po v2 dobijamo

v2 =dv1dt

+ v1 − 12 (8.465)

i zamjenom u relaciju (8.464) dobijamo

2d

dt

(dv1dt

+ v1 − 12

)+ 3

(dv1dt

+ v1 − 12

)− v1 = 0

339

a nakon dijeljenja sa 3 dobijamo

d2v1dt2

+5

3

dv1dt

+ v1 = 18 (8.466)

Relacija (8.466) predstavlja diferencijanu juednacinu po naponu v1. Karakteristicna jednacina

(polinom) je

s2 +5

2s+ 1 = (s+ 2)

(s+

1

2

)= 0

Odvade slijedi da je homogeno rješenje diferencijalne jednacine jednako

vh1 = K1e−2t +K2e

−t/2

Pošto je eksitacija oblika konstante (f(t) = 18) to ce i prinudna komponenta ili partikularno

rješenje biti oblika konstante tj. vp1 = A. Zamjenom u relaciju (8.466) dobijamo da je A = 18.

Prema tome, kompletan (ukupni) odziv je jednak

v1(t) = K1e−2t +K2e

−t/2 + 18 (8.467)

Smjenom t = 0+ u relaciju (8.467) i izvod te relacije po vremenu dobijamo

v1(0+) = K1 +K2 + 18 (8.468)

dv1dt

∣∣∣∣t=0+

= −2K1 − 1

2K2 (8.469)

Napon na kondenzatoru je jednakdv

dt=

i

C

Buduci da je napon v1 napona na kondenzatoru ‚od 1F imamo da je

dv1dt

∣∣∣∣t=0+

=i1(0+)

1(8.470)

Primjenom KZS na cvor 1 dobijamo

i1(0+) + (v1(0+)− v2(0+)) = 12

ili

i1(0+) = 12− 12 = 0

ili prema relaciji (8.470) dv1/dt|0+ = 0. Sada mozemo izracunati konstante K1 i K2 prema

relacijama (8.468) i (8.469):

K1 +K2 = −6

340

−2K1 − 1

2K2 = 0

Odvade slije da je K1 = 2 a K2 = −8. Tada je kompletan odziv jednak

v1 = 2e−2t − 8e−t/2 + 6V

Drugi napon dobijamo shodno relaciji (8.465) a koji je jdnak

v2 =d

dt

(2e−2t − 8e−t/2 + 6

)+ (2e−2t − 8e−t/2 + 6)− 12 = −2e−2t − 4e−t/2 − 6V

JEDNACINE STANJA - MODEL

STANJA

Osnovni sistem jednacina elektricniog kola dobijenih na osnovu Kirhofovih zakona i karak-

teristika elemenata moze se svesti na sistem od r nezavisnih diferencijalnih jednacinaprvog

reda po promjenljivim koje definišu stanje elektricnog kola. Promjenljive velicine kojima

se opisuje stanje kola jesu promjenljive stanja, a dobijeni sistem diferencijalnih jednacina pr-

vog reda jeste sistem jednacina stanja. Stanje kola (stanje nekog fizicko tehnickog sistema )

odreeno je sopstvenom energijom kola i pobudama. Izabrane promjenljive stanja u oznaci

xi(t) za i = 1, 2, ..., r, bice promjenljive stanja ako su ispunjeni sledeci uslovi:

1. Iz poznatih vrijednosti tih promjenljivih u proizvoljnom pocetnom trenutku t0 datih kao

xi(t) i poznatih ekscitacija es(t), s = 1, 2, ..., g, u trenutku t0 pa nadalje mogu se

odrediti:

xi(t) za ∀t ≥ t0

2. Na osnovu vrijednosti xi(t) i es(t) moze se odrediti bilo koja promjenljiva yj(t) za

j = 1, 2, ..., p. Velicine yj(t) se nazivaju izlaznim promjenljivim.

U elektricnim kolima pocetni uslovi su odreeni akumulisanom energijom u dimanickim

elemetima. Ona se moze opisati kolicinom elektriciteta u nezavisnim kondenzatorima qCk(t0)

gdje je k = 1, 2, ..., (bC − mC), i fluksevima u nezavisnim kalemovima φLj(t0) za j =

1, 2, ..., (bL − mL). Umjesto qCk i φLk koriste se UCk i iLk. Ove velicine se nazivaju

nezavisnim pocetnim uslovima. Ovdje je: bC− ukupan broj kondenzatora, mC− broj kontura

koje sadrze samo kalemove i nezavisne naponske generatore, bL− ukupan broj kalemova imL−broj presjeka koji sadrze samo kalemove i nezavisne strujne generatore

Iz toga je razloga korisno i racionalno za promjenljive stanja izabrati napone na konden-

zatorima, odnosno struje u kalemovima, jer se u tom slucaju koriste direkno nezavisni pocetni

uslovi pa je rešavanje kola jednostavnije. Rešavanje kola pomocu jednacina stanja ima pred-

nost nad ostalim metodima rešavanja u sledecim slucajevima:

1. Ako se zahtijeva rešavanje kola po vecem broju promjenljivih, ili po svim promjenljivim.

341

342

2. Ako se zahtijeva analiza cijelog kola u smislu ispitivanja stabilnosti i uticaja pojedinih

parametara na rješavanje kola.

3. Ako se zahtijeva sinteta elektricnog kola, koje elemente i sa kojim vrijednostima treba

odabrati da bi se kolo ponašalo na zeljeni nacin.

4. Rešavanje kola je efektivno posebno ako se koriste savremeni kompjuteri. Danas postoje

izuzetno efikasni algoritmi za rešavanje ovih jednacina.

5. Mogu se rešavati i nelinearna i vremenski promjenljiva kola.

Pored rešavanja elektricnih kola jednacine stanja imaju veliku primjenu u analizi i sintezi

raznih fizicko tehnickih sistema. Kod klasicne metode došli smo do diferencijalne jednacine

r-tog reda:

ardry

dtr+ ar−1

dr−1y

dtr−1+ ... + a1

dy

dt= F (t)

po promjenljivoj y = y (t). Koeficijenti ai su realni za linearna i reciprocna kola, dok F (t)

zavisi od topologije i vrste elemenata u kolu. Za rješavanje nam treba r algebarskih jednacina

da bi dobili integracione konstante iz pocetnih uslova. Ovu diferencijalnu jednacinu tezimo

dovesti u takozvanu Košijevu formu (sistem od r diferencijalnih jednacina prvog reda):

Dx1 = A11x1 + A12x2 + ...+ A1rxr + f1

Dx2 = A21x1 + A22x2 + ...+ A2rxr + f2

...

Dxr = Ar1x1 + Ar2x2 + ...+ Arrxr + fr,

gdje su: xi, i = 1, 2, ..., r− promjenljive stanja, D = d/dt− operator. Koeficijenti Aij i, j =

1, 2, ..., r su realne velicine i zavise od topologije i vrijednosti parametara kola. Neki od

njih mogu biti jednaki nuli, fi i = 1, 2, ..., r− zavise od pobude ali i od topologije kola. U

matricnom obliku ovaj sistem bi se mogao napisati kao:

Dx∼

(t) = A∼

x∼

(t) + f∼

(t)

Koristeci znaku

Dx∼

(t) = x∼

(t)

pa mozemo pisati

x∼

(t) = A∼

x∼

(t) + f∼

(t)

343

gdje je

x∼

(t) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

x1(t)

x2(t)...

xr(t)

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ; x

∼

(t) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

x1(t)

x2(t)...

xr(t)

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ; A

∼

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

A11 A12 · · · A1r

A21 A22 · · · A2r

......

Ar1 Ar2 · · · Arr

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

A∼

− matrica sistema (zavisi od topologije kola, vrste elemenata, vrijednosti). Red matrice

sistema odreuje red slozenosti kola. Matrica A∼

je nesingularna. Matricu f∼

(t) mozemo za

kolo koje posmatramo (linearno i reciprocno) predstaviti preko ekscitacije e∼

(t).

f∼

(t) = B1

∼

e∼

(t) +B2

∼

e∼

(t)

e∼

(t) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

e1(t)

e2(t)...

er(t)

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

B1

∼

− matrica reda r× s, B2

∼

− matrica reda r× s. Drugi clan u izrazu za f∼

(t) dat kao B2

∼

e∼

(t),

pojavljivace se samo u slucajevima kada kolo sadrzi EC konture i/ili LJ presjeke. Ako kolo

ne sadrzi RC konture i LJ presjeke tada pišemo:

x∼

(t) = A∼

x∼

(t) +B∼

e∼

(t)

Na slican nacin mozemo odrediti izlaze (kada su poznate promjenljive stanja)

y1(t) = C11x1 + C12x2 + ...+ C1rxr + g1

y2(t) = C21x1 + C22x2 + ...+ C2rxr + g2

...

yp(t) = Cp1x1 + Cp2x2 + ...+ Cprxr + gp

Konstante Cij ( i, j = 1, 2, ..., p, r) su realne velicine i zavise od topologije i vrijednosti param-

etara kola. Neki od njih mogu biti jednaki nuli, g1...gp− su funkcije koje zavise od ekscitacije.

U matricnom obliku

y∼

(t) = C∼

x∼

(t) + g∼

(t)

344

Matrica C∼

je reda p× r a matrica g∼

(t) se moze napisati kao

g∼

(t) = D1

∼

e∼

(t) +D2

∼

e∼

(t)

Matrice D1

∼

i D2

∼

su reda p × s. I u ovom slucaju vazi da se clan D2

∼

e∼

(t) javlja samo u

slucaju kada se u kolu pojavljuju EC konture i/ili LJ presjeci. U suprotnom je:

y∼

(t) = C∼

x∼

(t) +D∼

e∼

(t)

Dakle, dobili smo sistem:

x∼

(t) = A∼

x∼

(t) +B∼

e∼

(t) (9.471)

y∼

(t) = C∼

x∼

(t) +D∼

e∼

(t) (9.472)

Jednacine (9.471) i (9.472) cine sistem stanja. Ovaj se sistem naziva još i model stanja ili

prostor stanja. Matrica A∼

je matrica sistema dimenzija r × r, gdje je r

r = bL + bC −mC −mL

gdje je: bL− ukupan broj kalemova, bC− ukupan broj kondenzatora, mL − broj LJ presjeka

i mC − broj EC kontura.

Primjer: Za kolo prikazano na slici 9.286 formirati sistem jednacina stanja. Rešenje:

J

eL

2RCCu1R 2u

1i

Li

1µ

1

Slika 9.286: Formiranje jednacina stanja

KZS za cvor 1:

CduCdt

= −G1uC − iL + J

KZN za konturu µ1

LdiLdt

= uC −R2iL − e

345

gdje je:

G1 =1

R1

U kolu imamo dva dinamicka elementa i nema LJ presjeka niti EC kontura te je r = 2 a

promjenljive stanja su

x∼

(t) =

[uC

iL

]

x∼

(t) =

[uC

iL

]

Potrebno je formirati sistem dat relacijama (9.471) i (9.472). Matrica e∼

(t) je jednaka

e∼

(t) =

[e

J

]

Po jednacini (9.471)[uC

iL

]=

[−G1

C− 1

C

1

L−R2

L

][uC

iL

]+

[0 1

C

1

L0

][e

J

]

Ako za izlazne promjenljive odaberemo struju i1 i napon u2, vidimo da je:

y∼

(t) =

[i1

u2

]

Sa slike 9.286 vidimo da je i1 = G1uC i u2 = iLR2. pa je po relaciji (9.472)[i1

u2

]=

[G1 0

0 R2

][uC

iL

]+ 0∼

Matrica D∼

je jednaka nuli jer smo struju i1 i napon u2 izrazili preko promjenljivih stanja x∼

(t).

9.1 Nacini rešavanja jednacina stanja

Polazeci od:

x∼

(t) = A∼

x∼

(t) +B∼

e∼

(t)

y∼

(t) = C∼

x∼

(t) +D∼

e∼

(t)

analiziracemo sledece slucajeve:

346

1. Ako su svi izvori u kolu iskljuceni (naponske kratko spojimo, a strujne ostavimo u

praznom hodu ) tada je:

e∼

= 0

U ovom slucaju dinamika u kolu se vrši na nacin akumulisane energije, pa je

x∼

(t) = A∼

x∼

(t) (9.473)

Rješenje trazimo u obliku:

x∼

(t) = eA∼

t

x∼

(0) (9.474)

Vektor (matrica kolona) x∼

(0) predstavlja vrijednosti pocetnog stanja, odnosno pocetne en-

ergije. Ako je ekscitacija razlicita od nule e∼

= 0, rešenje jednacine(9.473) se trazi u obliku:

x∼

(t) = eA∼

tF∼

(t) (9.475)

gdje je F∼

(t) neka matricna vremenska funkcija. Diferenciranje jednacine (9.475) po vre-

menudobija se:

x∼

(t) = A∼

eA∼

tF∼

(t) + eA∼

tF∼

(t) = A∼

x∼

(t) + eA∼

tF∼

(t) (9.476)

Poreenjem jednacina (9.471) i (9.476) dobija se:

eA∼

tF∼

(t) = B∼

e∼

(t) (9.477)

Mnozenjem jednacine (9.477) slijeva sa e−A∼

t, pa njenom integracijom, dobija se

F∼

(t) =

t∫−∞

e−A∼

τB∼

(τ)e∼

(τ)dτ =

0∫−∞

e−A∼

τB∼

(τ)e∼

(τ )dτ +

t∫0

e−A∼

τB∼

(τ )e∼

(τ)dτ

Kombinacijom ovog izraza sa jednacinom (9.475) dobija se

x∼

(t) = eA∼

t

0∫−∞

e−A∼

τB∼

(τ )e∼

(τ )dτ + eA∼

t

t∫0

e−A∼

τB∼

(τ)e∼

(τ )dτ (9.478)

Jednacina (9.478) za t = 0 dobija oblik

x∼

(0) = eA∼

t

0∫−∞

e−A∼

τB∼

(τ)e∼

(τ )dτ

Konacno dobijamo:

347

x∼

(t) = eA∼

tx∼

(0) + eA∼

t

t∫0

e−A∼

τB∼

(τ )e∼

(τ )dτ (9.479)

gdje je:

eA∼

tx∼

(0)

odziv usled pocetnih uslova a

eA∼

t

t∫0

e−A∼

τB∼

(τ )e∼

(τ )dτ

odziv usled ukljucenja. Dalje imamo da je

y∼

(t) = C∼

eA∼

tx∼

(0) + C∼

eA∼

t

t∫0

e−A∼

τB∼

(τ)e∼

(τ)dτ (9.480)

gdje je:

C∼

eA∼

tx∼

(0)

odziv usled pocetnih uslova, a

C∼

eA∼

t

t∫0

e−A∼

τB∼

(τ)e∼

(τ)dτ

odziv usled ukljucenja. Napomena: Uvijek je lakše riješiti r diferencijalnih jednacina prvog

reda nego jednu diferencijalnu jednacinu r - tog reda. Metod jednacina stanja je sistematski

metod i za razliku od Laplasove transformacije daje rešenja direktno u vremenskom domenu.

Matematicki gledano, prelaz sa jednacina stanja do diferencijalne jednacine r - tog reda je jed-

noznacan (uzastopnim diferenciranjem po nekoj izlaznoj promjenljivoj [r − 1] puta). Meu-

tim, i sa diferencijalne jednacine r - tog reda moguce preci na sistem od r diferencijalnih

jednacina prvog reda, ali taj prelaz nije jednoznacan. Postavlja se pitanje kako dobiti karak-

teristicnu jednacinu i njena rešenja preko slozenosti matrice A∼

i same matrice A∼

. Uvedimo

sopstvene vrijednosti matrice λi, i = 1, 2, ..., r, koje se dobijaju iz:

∆(λ) = detλ1∼

−A∼

= 0,

gdje je: 1∼

jedinicna matrica. Sopstvene vrijednosti matrice A∼

se poklapaju sa korijenima

karakteristicne jednacine. Primjenom Laplasove transformacije, dobija se:

x∼

(t)L−→ sx

∼

Pa je karakteristicna jednacina po s data kao:

348

∆(s) = dets 1∼

−A∼

= 0

Rešavanjem ove jednacine po s dobija se karakteristicna jednacina:(sx∼

− A∼

x∼

)=

(s1∼

− A∼

)x∼

= 0

Sada se postavlja pitanje kako naci Grinovu i indicionu funkciju? Ove dvije funkcije se traze

za kolo bez pocetne energije pa je x∼

(0) = 0 i ako je e∼

(t) = h(t) (Hevisajdova funkcija) dobija

se:

x∼

= eA∼

t[−e

A∼

tA∼

−1

]∣∣∣t0

B∼

=(eA∼

t − 1)A∼

−1B∼

(9.481)

y∼

= C∼

(eA∼

t − 1)A∼

−1B∼

(9.482)

Relacije (9.481) i (9.482) predstavljaju indicione funkcije za promjenljive stanja x∼

i ulazne

promjenljive y∼

. Ako je e∼

(t) = δ(t) (impulsna funkcija), dobija se:

x∼

= eA∼

tB∼

(9.483)

y∼

= C∼

eA∼

tB∼

+D∼

δ(t) (9.484)

Zadne dvije relacije predstavljaju Grinove funkcije za promjenljive stanja x∼

i ulazne prom-

jenljive y∼

.

FURIJEOVA TRANSFORMACIJA

Furijeovi redovi su nam omogucili da analizu slozenoperiodicnih stanja svedemo na analizu

prostoperiodicnih stanja.

10.1 Direktna Furijeova transformacija

Ako imamo vremensku funkciju f(t) tada njenu Furijevu transformaciju oznacavamo i definišemo:

Ff(t) = F (jω) =

+∞∫−∞

f (t) e−jωt dt (10.485)

Dakle, vremenskoj funkciji f(t) dodjeljujemo kompleksnu funkciju F (jω). To je D

F T (DFT) ili kratko Furijeva transformacija. Integral u relaciji

(10.485) se moze dobiti transformacijom nad kompleksnim Furijeovim redom.

10.1.1 Osnovni uslovi za egzistenciju direktne Furijeve transforma-

cije

Da bi postojala Furijeova trenasformacija neke funkcije f(t) moraju biti zadovoljeni sledeci

uslovi:

1. Vremenska funkcija f(t) ne smije da ima drugih prekida sem prekida prve vrste (konacni

prekidi).

2. Broj ovakvih prekida mora biti konacan.

3. Uslov apsolutne integrabilnosti odnosno

+∞∫−∞

f (t) dt

mora da ima konacnu vrijednost što znaci da je f (±∞) = 0.

349

350

Uslovi (1,2,3) smatraju se strogim uslovima pa veliki broj funkcija u klasicnom smislu nema

DFT. Npr. prostoperiodicne velicine (sin t i cos t) pa i Hevisajdova funkcija nemaju DFT.

10.2 Inverzna Furijeova transformacija

Za funkciju f(t), I F T (IFT) se definiše kao

f (t) =1

2π

+∞∫−∞

F (jω) ejωt dω (10.486)

Relacija (10.486) se naziva i Furijeov integral. Inverza Furijeova transformacija predstavlja

uopštenje Furijeovog reda u kompleksnom obliku za bilo koju vremensku funkciju f(t) koja

zadovoljava svojstva 1,2,3. Ovo se kratko obeljezava:

F−1 F (jω) = f(t)

Primjer: Odrediti Furijeovu transformaciju funkcije f(t) = e−αth(t) (h(t) - Hevisajdova

funkcija)

1

t

( )= ( )tf t e h tα−

Da bi ova funkcija f(t) imala Furijevu transformaciju treba da je α > 0 i tada imamo:

F (jω) = F f(t) =

+∞∫−∞

f (t) e−jωtdt =

+∞∫−∞

e−αth(t)e−jωtdt =

∞∫0

e−αte−jωtdt =

∞∫0

e−(α+jω)tdt

= e−(α+jω)t 1

− (α + jω)

∣∣∣∣+∞0

0−(

1

− (α + jω)

)=

1

α+ jω

Dakle, DFT od f(t) je:

Fe−αth(t)

=

1

α + jω

uz uslov da je α > 0. Relacije (10.485) i (10.486) kojima se izrazavaju DFT i IFT nazivaju

se prvim oblicima Furijeve transformacije.

351

10.3 Drugi oblik za DFT i IFT

Polazeci od prvog oblika za DFT oblika (10.485) i Ojlerovog obrasca ejα = cosα + j sinα

mozemo pisati

F (jω) =

+∞∫−∞

f (t) e−jωtdt =

+∞∫−∞

f (t) (cosωt− j sinωt) dt =

+∞∫−∞

f (t) cosωtdt− j

+∞∫−∞

f (t) sinωtdt

Kosinusna transformacija je data izrazom

F1 (ω) =

+∞∫−∞

f (t) cosωtdt

dok je sinusna transformacija.

F2 (ω) =

+∞∫−∞

f (t) sinωtdt

pa na kraju dobijamo da je Furijeova transformacije funkcije f(t) jednaka

F (jω) = F1 (ω)− jF2 (ω) (10.487)

Relacija (10.487) predstavlja drugi oblik DFT. Polazeci od osnovnog oblika za inverzni Furi-

jeovu transformaciju

f (t) =1

2π

+∞∫−∞

F (jω) ejωtdω =1

2π

+∞∫−∞

[F1 (ω)− jF2 (ω)] [cosωt− j sinωt] dω

f(t) =1

2π

+∞∫−∞

[F1 (ω) cosωt+ F2 (ω) sinωt] dω + j1

2π

+∞∫−∞

[F1 (ω) sinωt− F2 (ω) cosωt] dω

(10.488)

Gledajuci fizicki, funkcija f(t) je realna i bilo kakva njena transformacija mora biti realna.

Zato je dio uz "j" u relaciji (10.488) jednak nuli pa je:

f (t) =1

2π

+∞∫−∞

[F1 (ω) cosωt + F2 (ω) sinωt] dω (10.489)

Relacija (10.489) predstavlja drugi oblik inverzne Furijeove transformacije. Napomena:

Funkcija F1 (ω) je parna funkcija zato što sadrzi cosωt. Funkcija F2 (ω) je neparna funkcija

352

zato što sadrzi sinωt. Proizvod (neparna · parna) = neparna =⇒ F1 (ω) sinωt = neparna.

F2 (ω) cosωt = neparna, pa je integral

+∞∫−∞

[F1 (ω) sinωt− F2 (ω) cosωt] dω = 0 (10.490)

Cinjenica da je integral u relaciji (10.490) jednak nuli izrazava zavisnost F1 (ω) i F2 (ω)

tj. F1 (ω) i F2 (ω) se ne mogu nezavisno zadavati jer moraju zadovoljiti dati integral. To

je posledica K-R uslova diferencijabillnosti kompleksne funkcije koja zavisi i od

realnog i imaginarnog dijela.

10.4 Treci oblik za DFT i IFT

Treci oblik za DFT dobijamo polazeci od relacije F (jω) = F1 (ω)− jF2 (ω) pa imamo

F (ω) = mod F (jω) =√

F 21 (ω) + F 2

2 (ω) (10.491)

θ(ω) = arg F (jω) = arctanF2 (ω)

F1 (ω)(10.492)

Funkcija izrazena relacijom (10.491) je parna funkcija po ω a funkcija izrazena relacijom

(10.492) je neparna funkcija po ω. Na kraju imamo

F (jω) = F (ω) ejθ(ω) (10.493)

što predstavlja treci oblik za DFT. Funkcije F (ω) i θ(ω) nazivaju se zajednickim imenom

spektar ucestanosti vremenske funkcije f(t) i to: F (ω) - amplitudski spektar i θ(ω) -

fazni spektar. Iz ovog se razloga i primjena Furijeovih transformacija u elektrotehnici naziva

spektralna analiza. Treci oblik za IFT dobijamo polazeci od drugog oblika za IFT odnosno

relacije (10.489) imamo

F1 (ω) = F (ω) cos θ (ω)

−F2 (ω) = F (ω) sin θ (ω)

Sada je:

f (t) =1

π

+∞∫0

[F (ω) cos θ (ω) cosωt− F (ω) sin θ (ω) sinωt] dt

353

f (t) =1

π

+∞∫0

F (ω) cos [θ (ω) + ωt] dω (10.494)

Relacija (10.494) predstavlja treci oblik IFT.

10.5 Osobine Furijeove transformacije

Ako imamo vremensku funkciju f(t) koja zadovoljava uslove egzistencije Furijeve transforma-

cije, tada je njena Furijeva transformacija F (jω) (Furijeva transformacija = DFT u tekstu)

f(t)F−→ F (jω)

1. Ako imamo zbir C1f1(t) + C2f2(t) tada je Furijeva transformacija jednaka

C1F1(jω) + C2F2 (jω)

Ova osobina naziva se osobina linearnosti.

2. Ako imamo funkciju f( t

a) gdje je a =const tada je Furijeva transformacija

|a|F (jωa)

Ova osobina se naziva teorema skaliranja (ili promjena mjerila). Ova teorema ukazuje

na sledece: što funkcija f(t) krace traje u vremenu treba širi kompleksni spektar i

obratno.

3. Ako imamo pomjerenu vremensku funkciju f(t− τ) tada je Furijeva transformacija

e−jωτF (jω)

Ovo je teorema kašnjenja.

4. Ako imamo proizvod ejω0τf(t) tada je Furijeova transformacija

ejω0τf(t)F−→ F (jω − jω0)

Ova teorema se naziova teorema pomjeraja u vremensakom domenu. Pomjeranje

u vremenu za τ znaci mnozenje sa e−jωτ u kompleksnom domenu dok pomjeranje u

kompleksnom domenu za jω0 znaci mnozenje sa ejω0τ u vremenskom domenu.

354

5. Teorema simetricnosti (vazna osobina): Ako imamo F (jt) tada je Furijeva trans-

formacija 2πf(−ω). Ako zamijenimo mjesta promjenjivim (ω i t) dobijamo teoremu

simetricnosti.

6. Ako imaamo funkciju f(−t) tada je

f(−t)F−→ F (−jω)

7. Teorema o diferenciranju u vremenskom domenu

dn

dtn[f(t)]

F−→ (jω)n F (jω) za n = 1, 2, 3.....

8. Teorema o diferenciranju u kompleksnom odmenu

tnf(t)F−→ (−1)n

dn

d (jω)nF (jω)

9. Konvolucija dvije funkcije u vremenskom domenu:

f1 (t) ∗ f2 (t) F−→ F1 (jω)F2 (jω)

10. Konvolucija u kompleksnom domenu

f1 (t) f2 (t)F−→ 1

2πF1 (jω) ∗ F2 (jω)

11. Osobina modulacije

f (t) cosω0tF−→ 1

2[F (jω + jω0) + F (jω − jω0)]

f (t) sinω0tF−→ 1

2j[F (jω − jω0)− F (jω + jω0)]

12. Paservalova teorema u Furijevoj transformaciji

+∞∫−∞

f1 (t) f∗

2 (t) dt =1

2π

+∞∫−∞

F1 (jω)F∗

2 (ω) dω

f ∗2 (t) - konjugovano kompleksna funkcija iako mi radimo samosa realnim funkcijama radi

opštosti koristimo mogucnost kompleksne funkcije. Specijalno, ako je f1 (t) = f2 (t) = f (t)

355

dobijamo teoremu Releja ili teoremu energije:

+∞∫−∞

f 2 (t) dt =1

2π

+∞∫−∞

|F (jω)|2 dω

gdje je

|F (jω)| = F (ω) = mod F (jω)

Ispostavlja se da neke vazne funkcije u elektrotehnici nemaju Furijevu transformaciju u klasicnom

smislu (npr. sin, cos, Hevisajdova funkcija itd.). Zato moramo napraviti neka uopštenja: Ako

posmatramo vremenskom funkciju f (t) = f1 (t) + jf2 (t) i njoj pridruzimo Furijevu trans-

formaciju F (jω) = R (ω) + jX (ω) i polazeci od definicije DFT i IFT mozemo napisati:

R (ω) =

+∞∫−∞

[f1 (t) cosωt+ f2 (t) sinωt] dt

X (ω) =

+∞∫−∞

[f2 (t) cosωt− f1 (t) sinωt] dt

i obrnuto

f1 (t) =1

2π

+∞∫−∞

[R (ω) cosωt−X (ω) sinωt] dω

f2 (t) =1

2π

+∞∫−∞

[R (ω) sinωt+X (ω) cosωt] dω

Za realni signal (nema imaginarnog dijela) f2 (t) = 0 i f (t) = f1 (t) pa dobijamo

R (ω) =

+∞∫−∞

f (t) cosωtdt

koja je parna funkcija

X (ω) = −+∞∫−∞

f (t) sinωtdt

koja je neparna funkcija. Dalje, R(−ω) = R(ω) i X(−ω) = −X(ω) pa kao posledicu imamo

da je za realne signale

F ∗ (jω) = F (−jω)

356

Ako je f(t) - parna funkcija odnosno f(−t) = f(t) tada je X (ω) = 0 (ako je f(t) parana

funkcija tada je F (jω) realna funkcija) pa vazi

F (jω) = R (ω) =

+∞∫−∞

f (t) cosωt︸︷︷︸parna×parna

dt = 2

+∞∫0

f (t) cosωtdt

Ako je f(t) - neparna funkcija odnosno f(−t) = −f(t) tada je R (ω) = 0 (za neparnu funkciju

f(t) funkcija F (jω) je cisto imaginarna i eventualno kompleksna) i

F (jω) = jX (ω) = −j

+∞∫−∞

f (t) sinωtdt = −2j

+∞∫0

f (t) sinωtdt

Primjer: Posmatrajmo funkciju f (t) = 1

t. Ovo je neparna funkcija odakle slijedi da je

R (ω) = 0 pa je Furijeova transformacija

F (jω) = −j

+∞∫−∞

1

tsinωtdt

Da bi riješili ovaj integral, prelazimo na kompleksnu funkciju i preko teoreme o rezidiumima

imamo da je:+∞∫−∞

ejtx

xdx = jπ za t > 0

+∞∫−∞

ejtx

xdx = −jπ za t < 0

Preko funkcije znaka ovo mozemo sazeti u:

+∞∫−∞

ejtx

xdx = jπ sgnt

Sada imamo

+∞∫−∞

ejtx

xdx =

+∞∫−∞

cos tx+ j sin tx

xdx =

+∞∫−∞

cos tx

xdx+ j

+∞∫−∞

sin tx

xdx == j

+∞∫−∞

sin tx

xdx

357

jer je cos tx parna funkcija, 1

xneparna funkcija a njihov proizvod je neparna funkcija pa je

integral

+∞∫−∞

cos tx

xdx = 0. Sada je:

F (jω) = −j

+∞∫−∞

sinωt

tdt =

−jπ ω > 0

jπ ω < 0

Koristeci funkciju znaka imamo

F

1

πt

= −j sgnω

Kao posledicu ovog razmatranja imamo i relaciju:

+∞∫−∞

sin at

πt= 1

Ako imamo funkciju f(−t) onda je po definiciji Ff(−t) = F (−jω) i F (−jω) = R(ω) −jX(ω) jer smatramo da je f(−t) realan signal tj. F (−jω) = F ∗(jω). Tada funkciji f(t)

odgovara R(ω)+ jX(ω) tj. f(−t)F−→ R(ω)− jX(ω). Pošto proizvoljna funkcija ima parni i

neparni dio to mozemo pisati da je parni dio funkcije (engleski: even) jednak fe(t) =Evf(t)a neparni dio funkcije (engleski: odd) jednak fo(t) =Odf(t). Tada se parni i neparni dio

mogu dobiti kao

fe(t) =f(t) + f(−t)

2

fo(t) =f(t)− f(−t)

2

Odavde zakljucujemo da parnom dijelu funkcije f(t) odgovara realni dio F (jω) odnosno

neparnom dijelu funkcije f(t) odgovara imaginarni dio F (jω):

fe(t) −→ R(ω)

fo(t) −→ X(ω)

Ako funkcija ispunjava uslov da je f(t) = 0 za t < 0 tada za nju kazemo da je kauzalna.

Tada za kauzalne funkcije vazi:

f(t) = 2fe(t) = 2fo(t) za t > 0 (10.495)

358

pa je:

f(t) =2

π

+∞∫−∞

R (ω) cosωtdω = −2

π

+∞∫0

X (ω) cosωtdω

Ova relacija je posledica diferencijabilnosti kompleksne funkcije kod koje se kao posledica

Koši-Rimanovih uslova R(ω) i X(ω) ne mogu posebno i nezavisno zadavati.

Primjer: Naimo Furijevu transformaciju funkcije: f(t) = e−α|t| tj. Fe−α|t|

=?

Rješenje: Imali smo da je za α > 0

Fe−αth(t)

=

1

α + jω=

α

α2 + ω2− j

ω

α2 + ω2

Kako je e−α|t| parni dio funkcije 2e−αth(t) tj. e−α|t| =Ev2e−αth(t) tada koristeci osobinu

(10.495) imamo:

Fe−α|t|

= 2Re(ω) =

2α

α2 + ω2

Koristeci teoremu simetrije imamo:

F (jt) ⇐⇒ 2πf(−jω)

pa iz

e−α|t| −→ 2α

α2 + ω2

dobijamo2α

α2 + t2−→ 2πe−α|ω|

10.6 Funkcija prozora (Window Function)

Ako imamo funkciju w(t) sa osobinom da je w(t) = 0 za |t| > T onda se za funkciju w(t)

definiše Furijeva transformacija funkcije fw(t)

Fw(jω) =

+∞∫−∞

f (t)w (t) e−jωtdt

gdje je fw (t) = f (t)w (t) . Pravougaona prozorska funkcija ne vrši nikakvu modifikaciju

ulaznog signala, osim odsijecanja u slucajevima kada je posmatrana funkcija (signal) beskon-

acnog trajanja ili kada je njegova duzina veca od duzine upotrijebljene prozorske funkcije.

Furijeova transformacija funkcije w(t) je jednaka

W (jω) =

+∞∫−∞

w (t) e−jωtdt

359

Koristeci osobinu konvolucije funkcija u kompleksnom domenu imamo da je (proizvodu funkcija

f(t)w(t) u vremenskom domenu odgovara konvolucija funkcija u kompleksnom domenu)

Fw(jω) =1

2π

+∞∫−∞

F (jω − jy)W (jy)dy

Definisali smo inverznu Furijevu transformaciju (IFT) kao:

f(t) = F−1 F (jω) =1

2π

+∞∫−∞

F (jω)ejωtdω (10.496)

Relacija (10.496) predstavlja funkciju f(t) u citavom domenu (−∞,+∞). Ako se ogranicimo

na interval (−σ,+σ) funkciju f(t) aproksimiramo sa funkcijom fσ(t) definisanom kao:

fσ(t) =1

2π

+σ∫−σ

F (jω)ejωtdω

Jasno je da fσ(t) −→σ−→∞

f(t). To znaci da sve transformacije (i DFT i IFT) treba shvatiti kao

glavne vrijednosti Furijevih integrala.

fσ(t) =1

2π

+σ∫−σ

F (jω)ejωtdω =1

2π

+σ∫−σ

ejωt

⎡⎣+∞∫−∞

f (τ) e−jωτdτ

⎤⎦

︸︷︷︸F (jω)

dω =1

2π

+∞∫−∞

f (τ )

⎡⎣+σ∫−σ

ejω(t−τ)dω

⎤⎦ dτ

fσ(t) =

+∫−σ

f (τ )sin σ (t− τ )

π (t− τ)dτ (10.497)

Relacija (10.497) predstavlja Furijev integral sa jezgrom.

sin σ (t− τ )

π (t− τ)

360

sinat

tπ

a

π

−

a

π

a

π

t

sin at

πt→a→ω

δ (t)

Da bi dokazali da je sinat

πtaproksimacija δ (t) funkcije (impulsne Dirakove funkcije), imamo:

( )a

p t

1

a− a t

pa (t) =

1

0

|t| < a

|t| > a

Furijeva transformacija funkcije pa (t) je:

Fpa (t) =

+∞∫−∞

pa (t) e−jωtdt =

a∫−a

1e−jωtdt =e−jωt

−jω

∣∣∣∣∣∣a

−a

=e−jωa

−jω+

ejωa

jω=

2 sin aω

ω

Oznacavajuci Si(t) kao:

Si(t) =

t∫0

sin τ

τdτ

koji se naziva integral sinus tada imamo

fσ(t) =

+σ∫−σ

1sinσ (t− τ )

π (t− τ)dτ =

1

πSi [σ (t+ a)− Siσ (t− a)]

361

Za realne signale IFT zapisujemo kao:

f(t) =1

2π

+∞∫−∞

F (jω)ejωtdω

tj.

f(t) =1

πRe

⎧⎨⎩

+∞∫0

F (jω)ejωtdω

⎫⎬⎭

Furijeova transformacija impulsne funkcije Fδ (t) je jednaka po definiciji

Fδ (t) =

+∞∫−∞

δ (t) e−jωtdt

Koristeci osobinu filtracije impulsne funkcije δ (t)

+∞∫−∞

f (t) δ (t) dt = f (0)

a kako je f (t) = e−jωt odakle slijedi da je f(0) = 1 dobijamo

F δ (t) = 1 (10.498)

Ovdje se vidi teorema skaliranja, što funkcija f(t) krace traje u vremenskom domenu treba

širi kompleksni spektar i obratno. Primjenjujuci IFT mozemo doci do jednog definicionog

obrasca Dirakove (impulsne) funkcije

δ(t) =1

2π

+∞∫−∞

F δ (t) ejωtdω =1

2π

+∞∫−∞

ejωtdω

Koristeci svojstvo simetrije imamo da iz Fδ (t) = 1 slijedi da je inverzna Furijeova trans-

formacija izraza (10.498) jednaka

F−1 1 = 2πδ (−ω) = 2πδ (ω)

što znaci da je

δ (t)F−→ 1

1F−1−→ 2πδ (ω)

362

Ako postoji konstanta A tada bi njoj odgovarala IFT oblika

AF−1−→ 2πAδ (ω)

Ovdje mozemo postaviti pitanje: Cemu je je jednaka Furijeova transformacija Hevisajdove

funkcije (koja u klasicnom smislu nema Furijevu transformaciju ali je pokušajmo dobiti preko

δ funkcije)? Hevisajdovu funkciju mozemo zapisati u obliku

h (t) =1

2+

1

2sgnt

Furijeva transformacija od konstante je jednaka 2πAδ (ω) . Treba odrediti još Furijevu trans-

formaciju Fsgnt. Utvrdili smo da je

F

1

πt

= −jsgnω

pa koristeci svojstvo simetrije [zamijenimo ω i t tj. f(t) −→ F (jω), F (jt) −→ 2πf(−ω)] imamo:

sgnt −→ 2

jω

Sada je

F h (t) = F

1

2+

1

2sgnt

= F

1

2

+

1

2F sgnt =

2πδ (ω)

2+

1

2

2

jω= πδ (ω) +

1

jω

Fh (t) = πδ (ω) +1

jω︸︷︷︸posotji realni i imaginarni dio

(10.499)

Dakle, Furijeova transformacija Hevisajdove funkcije h(t) se ne moze prikazati preko klasicnih

vec preko generalisanih funkcija (δ (t)). Ako postoji funkcija f(t) cija je Furijeova transfor-

macija F (jω) treba odrediti Furijeovu transformaciju integrala

F

⎧⎨⎩

t∫−∞

f (τ) dτ

⎫⎬⎭ =?

Integral∫

t

−∞f (τ) dτ mozemo shvatiti kao konvoluciju funkcija f (t) ∗ h (t), odnosno

t∫−∞

f (τ ) dτ = f(t) ∗ h(t)

363

Dokaz: Koristeci osobinu da je

Ff (t) ∗ h (t) = F (jω)F h (t)

imamo da je

F

⎧⎨⎩

t∫−∞

f (τ ) dτ

⎫⎬⎭ = F (jω)

[πδ (ω) +

1

jω

]= πF (jω) δ (ω) +

F (jω)

jω= πF (0) δ (ω) +

F (jω)

jω

F

⎧⎨⎩

t∫−∞

f (τ) dτ

⎫⎬⎭ = πF (0) δ (ω) +

F (jω)

jω(10.500)

Ovdje treba napomenuti da je F

∫t

−∞

f (τ ) dτ

= F (jω)

jωako je F (0) = 0 gdje je

F (0) =

∫ +∞

−∞

f (t) e−jωtdt

∣∣∣∣ω=0

=

∫ +∞

−∞

f (t) dt. Kao posljedice ovih osobina imamo niz koris-

nih relacija:

1. Koristeci teoremu pomaka imamo da je

δ (t− a) e−jωa

2. Koristeci teoremu o pomjeraju u kompleksnom domenu

ejωt 2πδ (ω − a)

Sada mozemo naci Furijevu transformaciju funkcija sin i cos:

cosω0t =1

2

(ejω0t + e−jω0t

)=⇒ F cosω0t = πδ(ω − ω0) + πδ(ω + ω0)

sinω0t =1

2j

(ejω0t − e−jω0t

)=⇒ F sinω0t =

π

j[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)]

Koristeci ove osobine naci Furijeove transformacije: F(cosω0t)h (t) =? i F(sinω0t)h (t) =

? (cosω0t - je parna funkcija i ima samo realni dio spektra sinω0t - neparna funkcija i ima

samo imaginarni dio spektra). Iskoristimo teoremu modulacije:

Ff (t) cosω0t =1

2[F (jω − jω0) + F (jω + jω0)]

364

F f (t) sinω0t =1

2j[F (jω − jω0)− F (jω + jω0)]

gdje je F (jω) =Ff (t). U ovom slucaju je f (t) = h (t). Furijeva transformacija

Hevisajdove funkcije je Fh (t) = πδ (ω) + 1

jωpa imamo

F(cosω0t) h (t) =1

2

[πδ(ω − ω0)− πδ(ω + ω0) +

1

j (ω − ω0)+

1

j (ω + ω0)

]=

=π

2[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)] +

1

2

ω + ω0 + ω − ω0

j (ω − ω0) (ω + ω0)=

=π

2[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)] +

ω

j (ω2

0− ω2)

F (cosω0t)h (t) =π

2[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)]︸︷︷︸

realni dio

+ jω

(ω2

0− ω2)︸︷︷︸

imaginrni dio

Ova dva dijela su zavisna tj. ne mogu se zadavati zbog Koši-Rimanovih uslova. Na isti nacin

dobijamo za sledecu funkciju

F(sinω0t) h (t) =1

2j

[πδ(ω − ω0)− πδ(ω + ω0) +

1

j (ω − ω0)− 1

j (ω + ω0)

]=

= jπ

2[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)] +

1

2j

ω + ω0 − ω + ω0

j (ω − ω0) (ω + ω0)=

= jπ

2· [δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)]− 1

2

2ω0

(ω2 − ω2

0)=

= jπ

2[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)]︸︷︷︸

imaginrni dio

+ω0

(ω2

0− ω2)︸︷︷︸

realni dio

F(sinω0t) h (t) =ω0

(ω2

0− ω2)

+ jπ

2[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)]

Dakle, uvoenjem impulsne δ - funkcije dobili smo Furijeve fransformacije i onih funkcija

koje nemaju Furijevu fransformaciju u klasicnom obliku (npr. sin, cos) a izuzetno su vazne u

elektrotehnici.

10.7 Primjena Furijeove transformacije u analizi elek-

triocnih kola

Sa primjenom Furijeove transformacije u analizi elektricnih kola ulazimo u analizu dinamike

elektricnih kola, jer smo do sada analizirali samo stacionarno stanje i ustaljeni rezim kola a

nismo razmatrali dinamiku kola koja u sebi sadrzi prelazne procese.

Posmatrajmo prosto RL - kolo i naponski generator proizvoljne vremenske zavisnosti ug (t)

365

( )gu t

( )Ru t ( )Lu t

R L

Π

( )i t

Slika 10.287: Prosto RL kolo

kao na slici 10.287. i u trenutku t0 "ukljucujemo" generator u kolo zatvaranjem prekidaca

Π. Sve radnje gdje vršimo neke izmjene: ukljucivanje, iskljucivanje kola, promjena neke

grane itd. nazivamo komutacijom (promjena strukture kola ili ON/OFF). Izvori (naponski

ili strujni) nazivaju se eksitacijom. Pod uticajem eksitacije u kolu ce nastupiti promjena

struja i napona i ta posledica komutacije (ukljucivajnem eksitacije u kolo) naziva se odziv.

U posmatranom kolu ug (t) je eksitacija a i (t) , uR (t) , uL (t) su odzivi. Pretpostavimo

da je kalem imao neku pocetnu energiju izrazenu strujom I0 koja je posledica akumulacije u

kalemu prije komutacije. Koristimo termin: I0 - pocetni uslov. Promjene u kolu se vrše na

racun promjene energije eksitacije i na racun promjene akumulisane energije u kolu.

10.8 Vrste odziva

10.8.1 Odziv usled akumulisane energije (pocetnih uslova)

Akumulisana energija moze postojati samo dinamickim elementima (magnetna u kalemu i

elektrostaticka u kondezatoru). Pocetni uslovi su: iL (0−) - struja u kalemu i uC (0−

) - napon

na kondenzatoru, jer se magnetna energija moze prikazati kao 1

2Li2L a energija kondezatora

1

2Cu2C. U ovom slucaju odziv neke grane se racuna tako što eliminišemo sve eksitacije u kolu

tj. naponske generatore zamijenimo kratkom vezom a strujne generatore zamijenimo prekidom

kola tj. e (t) = 0.

10.8.2 Odziv ukljucenja

To je odziv usled djelovanja eksitacija u kolu uz nulte pocetne uslove tj. za kolo bez pocetne

akumulisane energije gdje je uC (0−

) = 0 i iL (0−) = 0. U okviru ovog odziva bitni su:

(a) Odziv usled ukljucenja Hevisajdovog generatora (bilo naponskog ili strujnog)

ug (t) = Uh (t)

ig (t) = Ih (t)

366

(b) Odziv usled ukljucenja impulsnog generatora:

ug (t) = Φδ (t)

ig (t) = Qδ (t)

Pokazacemo da ako znamo odziv na Hevisajdov generator ili odziv na impulsni generator

mozemo odrediti odziv za proizvoljnu vremensku eksitaciju (proizvoljna zavisnost naponskog

ili strujnog generatora od vremena)

10.8.3 Kompletan (potpun) odziv

Ovaj odziv ukljucuje i pocetne uslove i komutaciju usled eksitacije u kolu. Vratimo se na RL

- kolo prikazano na slici 10.287. Napon generatora je jednak

ug (t) = uR (t) + uL (t) (10.501)

dok su naponi na otporniku i kalemu jednaki

uR (t) = Ri (t) (10.502)

uL (t) = Ldi (t)

dt(10.503)

Zamjenom (10.502) i (10.503) u (10.501) dobijamo

Ri (t) + Ldi (t)

dt= ug (t) (10.504)

Rlacija (10.504) je diferencijalna jednacina koja opisuje dinamiku prikazanog RL kola. Odziv

usled pocetnih uslova (akumulisane energije) bi bio

Ri (t) + Ldi (t)

dt= 0 ∧ i (0

−

) = I0

Pošto se komutacija vrši u trenutku t = t0 obicno se uzima t0 = 0 pa razlikujemo 0, 0−

, 0+.

Ovdje je ug (t) = 0 jer po definiciji odziva usled pocetnih uslova eliminišemo sve eksitacuje u

kolu (naponski generator predstavlja kratak spoj a strujni prekid). Odziv usled ukljucenja

Ri (t) + Ldi (t)

dt= ug (t) ∧ i (0

−

) = 0

Jednacinu

Ri (t) + Ldi (t)

dt= ug (t)

367

dobro je napisati u operatorskom obliku uvodeci operator

d

dt= D

i ∫()dt = D−1

pa je data jednacina oblika

Ri + LDi = ug (t)

ili

LDi +Ri = ug (t)

a uobicajeno je da se prvi stepen D ostavi sam(D +

R

L

)i =

1

Lug (t) (10.505)

Ako relaciju (10.505) pomnozimo sa R imajucu i vidu da je uR = Ri imamo(D +

R

L

)Ri =

R

Lug (t)

odnosno (D +

R

L

)uR =

R

Lug (t) (10.506)

Ako relaciju (10.505) diferenciramo po t i imajuci u vida da je odziv

uL = Ldi

dt= LDi =⇒ Di =

uLL

dobijamo (D +

R

L

)Di =

1

LDug (t)

(D +

R

L

)uLL

=1

LDug (t)

(D +

R

L

)uL = Dug (t) (10.507)

Posmatrajuci relacije (10.505), (10.506) i (10.507) vidimo da bez obzira koji odziv trazimo,

lijeva strana (D+ R

L) ostaje ista i zakljucujemo da je to posljedica topologije kola dok su desne

strane su razlicite. Riješimo dato RL kolo preko Furijeove transformacije.(D +

R

L

)i (t) =

1

Lug (t) (10.508)

368

Pošto za Furijeovu transformaciju posmatramo ukljucenje u trenutku t = 0 bilo koje vremenske

promjene eksitacije e(t) (slika ??) to je

t

( )e t

E (jω) = F e (t) =

∞∫0

e (τ) e−jωtdt

Ako kolo raspolaze pocetnom energijom to znaci da je u vremenu −∞ < t < 0 kolo bilo

prikljuceno na generator (ili generatore) koji su proizveli tu energiju. Funkcija kojom je

odreena vremenska zavisnost te eksitacije je nepoznata tj. poznati su samo pocetni uslovi

(pocetna energija) kola. Pošto se u F.T. vrši integraljenje u cijelom vremenskom domenu

−∞ < t < +∞ a poznata je eksitacija e(t) koja se ukljucuje u trenutku t = 0, slijedi

zakljucak: Furijeova transformacija se ne moze primijeniti u analizi dinamike elektricnih

kola sa pocetnom energijom. Drugim rijecima, Furijeovu transformaciju u analizi dinamike

elektricnih kola mozemo primijeniti samo za odreivanje odziva ukljucenja (jer su tada pocetni

uslovi jednaki nuli) i moze se primijeniti na one eksitacije koje ispunjavaju uslove egzistencije

Furijeove transformacije i samo u slucaju odziva ukljucenja. Oznacimo:

I (jω) = F i (t)

Ug (jω) = F ug (t)

Primijenimo Furijeovu transformaciju na relaciju (10.508)

F

(D +

R

L

)i

= F

1

Lug (t)

Na osnovu osobine linearnosti umjesto D = d/dt pišemo jω(jω +

R

L

)I (jω) =

1

LUg (jω)

I (jω) =1

LUg (jω)

jω + R

L

=Ug (jω)

R+ jωL

Ovaj izraz nas podsjeca na kompleksnu struju za prostoperiodicnu eksitaciju u ustaljenom

rezimu

Z (jω) = R + jωL

369

Dakle, impedansa Z (jω) = R + jωL je ista bilo za prostoperiodicnu eksitaciju ili za

proizvoljnu vremensku eksitaciju. Ako posmatramo ustaljeni rezim za prostoperiodicnu

eksitaciju tada je Ug (jω) - kompleksni predstavnik a ako posmatramo dinamiku kola tada

je Ug (jω) Furijeova transformacija napona ug (t) - proizvoljna zavisnost. Posmatrajmo kolo

prikazano na slici 10.288. i napišimo jednacinu po II Kirhofovom zakonu

( )gu t

( )Ru t ( )Lu t

R L

( )i t

( )Cu t

C

Slika 10.288: Redno RLC kolo

Ri (t) + Ldi (t)

dt+

1

C

+∞∫−∞

i (τ ) dτ = ug (t) (10.509)

Ako relaciju (10.509) diferenciramo i zapišemo u operatorskom obliku iamcemo

Ldi2 (t)

dt2+R

di (t)

dt+

i (t)

C=

dug (t)

dt

(D2 +

R

LD +

1

LC

)i (t) =

1

LDug (t) (10.510)

Relacija (10.510) predstavlja operatorsku jednacina kada je odziv struja i(t). Za vjezbu:

Posmatrajuci isto kolo naci odzive za uR (t) , uL (t) , i uC (t). Primjenjujuci F.T. na (10.509)

imamo (R + jωL+

1

jωC

)I (jω) = Ug (jω)

I (jω) =Ug (jω)

R+ jωL+ 1

jωC

Z (jω) = R+ jωL+1

jωC

Umjesto kompleksnog predstavnika napona uzimamo njegovu F.T. Isto vazi za struju. Za-

kljucak: Sve metode koje su razvijene za analizu ustaljenih rezima u kolima sa prostope-

riodicnom eksitacijom preko kompleksne metode mozemo primjeniti za odreivanje odziva

ukljucenja preko F.T. samo što se umjesto kompleksnih predstavnika struja i napona po-

370

javljuju njihove F.T. Dakle, mogu se primijeniti sve metode i teoreme kao što smo uvoenjem

Furijevog reda sveli analizu kola sa slozenoperiodicnim strujama na kompleksnu analizu uz

ogradu: F.T. mozemo primijeniti na one eksitacije cije vremenske zavisnosti zadovoljavaju

uslove za primjenu F.T. u prelaznom rezimu. Kada odredimo

I (jω) =1

LUg (jω)

jω + RL

pomocu inverzne F.T. dobijamo vremensku promjenu odziva

i (t) = F−1 I (jω) = F−1

1

LUg (jω)

jω + RL

Oblik struje (odziva) i(t) zavisice od oblika eksitacije ug (t). Ako je ug (t) = Uh (t) tj. u RL

- kolu ukljucujemo Hevisajdov generator, tada je F.T.

Fug (t) = FUh (t) = UF h (t) = U

[πδ (ω) +

1

jω

]Zamjenom u polaznu relaciju dobijamo

I (jω) =

UL

[πδ (ω) + 1

jω

]jω + R

L

=Uπδ(ω)

R+ jωL+

U 1

jω

R+ jωL(10.511)

Pošto je δ (ω) = 0 samo za ω = 0 i δ (ω) = 0 za ω = 0, tada zamjenom ω = 0 u relaciju

(10.511) (zamjena ω = 0 se vrši u dijelu izraza u kome se nalaze i ω i δ(ω)) dobijamo

I (jω) =Uπδ(ω)

R+

U

jω(R + jωL)

Da bi našli IFT rastavimo sledeci izraz

1

jω(jω + R

L

) =A

jω+

B

jω + RL

=A(jω + R

L

)+Bjω

jω(jω + R

L

)

1 = (A+B) jω + AR

L

A+B = 0

ARL= 1

=⇒ A =

L

R,B = −A = −L

R

Prema tome, izraz za struju postaje

I(jω) =U

R

(1

jω− 1

RL+ jω

)+

uπδ(ω)

R

371

Odavde se na osnovu osobina F.T. lako dobija:

i(t) = F−1 I(jω) = F−1Uπδ(ω)

R

+ F−1

U

R

1

jω

− F−1

U

R

1RL+ jω

Na osnovu osobina koje smo naveli ranije slijedi da je

⎧⎪⎨⎪⎩

δ(t) ←→ 1

1 ←→ 2πδ(ω)

sgnt ←→ 2

jω

=⇒ δ(ω) =1

2π

dobijamo

i(t) =U

R

[π1

2π+

1

2sgnt− e−

R

Lt

]h(t)

Pošto se radi o kauzalnoj funkciji, izraz za struju moramomnoziti sa h(t). Proizvod(1

2sgnt

)h(t) =

1

2pa konacno dobijamo izraz za struju koji je jednak

i(t) =U

R

[1− e−

R

Lt

]h(t) (10.512)

Osobine Furijeove transformacije

Fδ(t) = 1

Fh(t) = πδ(ω) +1

jω

F

⎧⎨⎩

t∫−∞

f(τ)dτ

⎫⎬⎭ = πF(0)δ(ω) +

F(jω)jω

F

⎧⎨⎩

t∫−∞

f(t)dt

⎫⎬⎭ = F(jω) ovo vazi samo ako je

∞∫−∞

f(t)dt = 0

Fsinω0t = −jπ [δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)]

Fcosω0t = π [δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]

372

F[cosω0t] h(t) =π

2[δ(ω + ω0) + δ(ω − ω0)] +

jω

ω2

0− ω2

F[sinwot] h(t) =jπ

2[δ(w + wo)− δ(w − wo)]− ω0

ω2

0− ω2

ejω0tf(t)def= F(jω − jω0)

f(t− τ) = e−jωτF(jω)

h(t) =1

2+

1

2sgnt gdje je sgnt =

−1 t < 0

1 t > 0

F(jω) = Fsgnt =2

jω

Primjer: U kolu prema slici 10.289 djeluje naponski generator napona ug(t) = Ue−ath(t),

a > 0. Odrediti i(t) =?

( )gu t

( )Ru t ( )Lu t

R L

( )i t

Slika 10.289:

Koristeci Furijeovu transformaciju imamo slicno kao za prostoperiodicne struje

I(jω) =Ug(jω)

Z(jω)

Ug(jω) = Fug(t) = FUe−ath(t)

=

U

a+ jω

Z(jω) = R+ jωL

I(jω) =U

(a + jω)(R+ jωL)=

U

L

1

(a + jω)(RL+ jω)

Sada je

i(t) = F−1 I(jω) = F−1U

L

1

(a+ jω)(RL+ jω)

=

U

LF−1

1

(a + jω)(RL+ jω)

373

Da bi sveli na tablicne relacije Furijeove transformacije koristimo razdvajanje

1

(a + jω)(RL+ jω)

=A

a+ jω+

BR

L+ jω

1 = A

(R

L+ jω

)+B (a + jω)

Izjednacavuajuci kompleksne brojeve imamo:

A +B = 0

AR

L+Ba = 1

⇒ A =

1R

L− a

; B =1

a− R

L

i(t) =U

LF−1

1(

R

L− a

)(a + jω)

− 1(R

L− a

) (R

L+ jω

)

i(t) =U

L(R

L− a

) [e−at − e−

R

Lt

]h(t)

Ovo vazi kada je R/L = a.

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA

Laplasova transformacija je integralna transformacija i definiše se kao

Lf(t) = F (s) =

+∞∫0−

f(t)e−stdt (11.513)

gdje je s = σ+jω kompleksna ucestanost. Laplasova transformacija je uopštenje Furijeove

transformacije kao

Lf(t) = Fe−σtf(t)h(t)

Uslovi egzistencije Laplasove transformacije funkcije f(t) su znatno blazi nego za Furijeovu

transformaciju. Uslovi egzistencije Laplasove transformacije su Dirihleovi uslovi integrabil-

nosti funkcije upravo zbog e−σt. Iz tog razloga sve funkcije u elektrotehnici imaju Laplasove

transformacije bez uvoenja generalisanih funkcija (Hevisajdove, impulsne itd.). Moze se za-

kljuciti da svaka funkcija koja ima Furijeovu transformaciju ima i Laplasovu transformaciju.

Obrnuto ne vazi. Primjer: Posmatrajmo funkciju f(t) = e−ath(t), a > 0. Njena Laplasova

transformacija je

Lf(t) = Le−ath(t)

=

+∞∫0−

e−ate−stdt = − 1

s+ ae−(s+a)t

∣∣∣∣∣∣∞

0−

=1

s+ a

Uslov za egzistenciju je Re s = σ > −a. Koristimo sledece oznake:

Lf(t) = F (s) =1

s+ a

ili

f(t) F (s) =1

s+ a

Dalje imamo

Lh(t) =1

s

374

375

uz uslov

Re(s) > 0

11.1 Osobine i svojstva Laplasove transformacije

Koristeci ove osobine (koje su teoreme i treba ih dokazati) tada mozemo naci Laplasovu

transformaciju bilo koje funkcije.

f(t) F (s)

1 cf(t) cF (s)

2 f1(t) + f2(t) F1(s) + F2(s)

3 df(t)dt

sF (s)− f(0−)

4 d2f(t)dt2

s2F (s)− sf(0−)− f(0−)

5 dnf(t)dtn

snF (s)− sn−1f(0−)− sn−1f(0−)− f (n−1)(0−)

6t∫o

f(τ )dτ F (s)s

7t∫−∞

f(τ)dτ F (s)s

+ 1s

o∫−∞

f(τ)dτ

8 e−atf(t) F (s+ a)

9 f(t− τ) e−sτF (s)

10f(t) ∗ g(t) =

=t∫o

f (τ ) g (t− τ ) dτF (s)G(s)

11 f(ct) c > 0 1cF

(sc

)12 tf(t) −dF (s)

dS

13 tnf(t) (−1)nF (n) (s)

14 f(t)t

+∞∫s

F (s)ds

Ako imamo periodicnu funkciju f(t+ τ ) tada je njena Laplasova transformacija

15 f(t+ T ) =⇒T∫

o

f(t)e−stdt

1−e−sT

Teoreme o granicnim uslovima i pocetnim uslovima

16 limt−→o

f(t) =⇒ lims−→∞

sF (s)

17 limt−→∞

f(t) =⇒ lims−→o

sF (s)

376

11.2 Inverzna Laplasova transformacija

Ako je Lplasova transformacija neke funkcije jednaka

Lf(t) = F (s) =

+∞∫0−

f(t)e−stdt

tada se inverzna Laplasova transformacija definiše

f(t) = L−1 F (s) =1

2πj

σ+jw∫σ−jw

F (s)estds

11.3 Neke Laplasove Transformacije

f(t) F (s)

1 f(t) 1

2 h(t) 1s

3 e−at 1a+s

4 sinω0tω0

s2+ω20

5 cosω0ts

s2+ω20

6 te−at 1(s+a)2

7 e−at sinω0tω0

(s+a)2+ω20

8 e−at cosω0tω0

(s+a)2−ω20

9 sin(ω0t+ θ) s sin θ+ω0 cos θs2+ω2

0

10 cos(ω0t + θ) s sin θ−ω0 cos θs2+ω2

0

11 e−at sin(ω0t+ θ) (s+a) sin θ+wo cos θ(s+a)2+w2

o

12 e−at cos(ω0t + θ) (s+a) sin θ−ω0 cos θ(s+a)2−ω2

0

13 e−at shω0tω0

1(s+a)2+ω0

14 e−atchω0ts+a

(s+a)2+ω0

Cesto se javi u zadacima da se nae i Laplasova transformacija od

s(s+b)2+a2

=⇒ e−bt[cos at− b

asin at

]1

s[(s+b)2+a2]=⇒ 1

a2+b2

[1− e−bt

(cos at+ b

asin at

)]U mnogim udzbenicima se kaze da se od Laplasove transformacije moze dobiti Furijeova trans-

formacija, meutim, treba biti oprezan jer ako funkcija ima Laplasovu transformaciju, ne mora

da ima i Furijeovu transformaciju. U svim slucajevima gdje egzistira Furijeova transformacija,

377

egzistirace i Laplasova transformacija uz izraz

F (jω) = F (s)|s=jω

Meutim, ovo ne vazi ako funkcija nema Furijeovu transformaciju (a moze da ima Laplasovu

transformaciju). Na primjer za sin t

F(sinω0t) h(t) = L(sinω0t)h(t)|s=jω =ω0

ω2

0+ s2

∣∣∣∣s=jω

=ω0

ω2

0− ω2

Ovo je samo realni dio spektra funkcije (sinω0t)h(t). Mnogi udzbenici zanemaruju imaginarni

spektar. Dakle, ne moze se uvijek od Laplasove transformacije dobiti Furijeova transformacija

(osim u slucaju kada funkcija ima i Furijeovu transformaciju. Tada sigurno ima Laplasovu

transformaciju). Isti je primjer sa cos t

F(cosω0t) h(t) = L(cosω0t)h(t)|s=jω =s

ω2

0+ s2

∣∣∣∣s=jω

=jω

ω2

0− ω2

Nedostaje realni dio spektra pa vazi

F = L

Primjer za h(t)

Fh(t) = Lh(t)|s=jω =1

s

∣∣∣∣s=jω

=1

jω

ali nedostaje dio πδ(ω).Realni i imaginarni dio Furijeove transformacije se ne mogu nezav-

isno zadavati jer su povezani Koši-Rimanovim uslovima. Zato, je relacija izmeu Furijeove i

Laplasove transformacije data izrazom

Ff(t) = F (jω) = Lf(t)|s=jω +1

2

∑k

Resk

F (s) 2πδ(ω − ωk)

Da bi funkcija f(t) imala Laplasovu transformaciju treba da je zadovoljen uslov

∞∫0−

|f(t)| e−σtdt < ∞

gdje je σ = Re s.

1. Naci Laplasovu transformaciju od f(t) = h(t).

Rješenje:

F (s) =

∞∫0−

h(t)e−stdt = −e−st

s

∣∣∣∣∣∣∞

0−

=1

s

378

2. Naci Laplasovu transformaciju f(t) = eath(t)

Rješenje:

F (s) =

∞∫0−

eath(t)e−stdt =1

s− a

3. Naci Laplasovu transformaciju f(t) = e−ath(t)

Rješenje:

F (s) =1

s+ a

11.4 Osobine Laplasove Transformacije

Svaku osobinu cemo dokazati kroz primjere:

1. Osobina linearnosti

L

∑i

fi(t)

=

∑i

Lfi(t)

Dokaz: na osnovu definicije Laplasove transformacije

Lc1f1(x) + c2f2(x) = c1F1(s) + c2F2 (s)

gdje je F1(s) =Lf1(x) a F2 (s) =Lf2(x) .Primjer: Naci Laplasovu transformaciju funkcije f(t) = sinωt

Rješenje:

f(t) =1

2j

(ejωt − e−jωt

)= sinωt

Lsinωt =1

2j

(Lejωt

− Le−jωt

)=

1

2j

(1

s− jω− 1

s+ jω

)=

ω2

s2 + ω2

2.

c1f1(t) + c2f2(t) = L−1 c1F1(s) + c2F2 (s)

Primjer: Naci f(t) ako je F (s) = 4

s− 3

s+2

Rješenje:

f(t) = L−14

s− 3

s+ 2

= 4L−1

1

s

− 3L−1

1

s+ 2

= 4h(t)− 3e−2th(t)

379

( )gu t

6Ω 3H

( )i t

Slika 11.290:

Primjer: Dato je kolo kao na slici 11.290. Naci i(t) za t > 0 ako je ug(t) = 24h(t)V i

i(0) = 1A

Rješenje: U kalemu je postojala pocetna energija pa je i(0) = 1A. Prvo napišemo diferen-

cijalne jednacine

3di

dt+ 6i = 24h(t)

Sada primjenimo Laplasovu transformaciju

3L

di

dt

+ 6Li = 24Lh(t)

Iskoristimo osobinu diferenciranja

3sI(s)− i(0−

) + 6I(s) =24

s

I(s) =s+ 3

(s+ 2)s=

A

s+

B

s+ 2

i(t) = L−1 I(s) =(4− 3e−2t

)h(t) = 4− 3e−2t

3. Realno diferenciranje (Laplasove transformacije vremenskog izvoda). Ako je Lf(t) =

F (s) tada je

L

df(t)

dt

= sF (s)− f (0

−

)

gdje je f (0−

) vrijednost funkcije f(t) u t = 0.

Dokaz:

Lf ′(t) def=

+∞∫0−

f ′(t)e−stdt = f(t)e−st

∣∣∣∣∣∣+∞

0−

+ s

+∞∫0−

f(t)e−stdt = sF (s)− f (0−)

380

4.

L

dnf(t)

dtn

= snF (s)− sn−1f(0−)− ...− fn−1(0−)

Primjer: Naci Laplasovu transformaciju izvoda funkcije f(t) = sinωt

Rješenje: za f(t) = cosωt

Lcosωt = L

1

ω

d

dtsinωt

=

s

ω

ω

s2 + ω2=

s

s2 + ω2

sada je

L

d

dtsinωt

= s

ω

s2 + ω2

5. Realni integral (integracija u vremenskom domenu). Ako postoji Lf(t) = F (s) tada

je

L

⎧⎨⎩

t∫0−

f(τ)dτ

⎫⎬⎭ =

F (s)

s

Dokaz: Po definiciji

L

⎧⎨⎩

t∫0−

f(τ)dτ

⎫⎬⎭ =

t∫0−

e−st

⎡⎣ t∫0−

f(τ )dτ

⎤⎦ dt = −e−st

s

t∫0−

f(τ )dτ +1

s

t∫0−

e−stf(τ )dτ =F (s)

s

6. Teoreme pocetnih i krajnji vrijednosti

Teorema pocetne vrijednosti povezuje pocetnu vrijednost funkcije f(t) za t = 0 sa

granicnom vrijednošcu izraza sF (s) kada s −→ ∞ tj.

f(0+) = limt−→0+

f(t) = lims−→∞

sF (s)

Jedino ogranicenje je da funkcija f(t) mora biti neprekidna ili moze sadrzati najvoše

odskocni diskontinuitet za t = 0. To znaci da transformacija F (s) =Lf(t)) mora biti

pogodna funkcija. (Pogodna funkcija - stepen polinoma imenioca mora biti veci od stepena

brojioca, da bi se rastavio u razlomke)

Teorema o krajnjim vrijednostima

limt−→∞

f(t) = lims−→0

sF (s)

Ova jednacina je zadovoljena pod uslovom da imenilac funkcije F (s) ima nule sa negativnim

realnim dijelom ili realnim dijelom jednakim nuli, tj. da se polovi funkcije F (s) ne smiju

nalaziti u desnoj poluravni kompleksne ravni.

381

Dokaz teoreme pocetne vrijednosti:

Lf ′(t) =

+∞∫0−

f ′(t)e−stdt = sF (s)− f(0−)

(a) Kada je funkcija f(t) neprekidna u t = 0 tj. f(0−) = f(0+) Naimo limes:

lims−→∞

+∞∫0−

f´(t) e−stdt = lims−→∞

[sF (s)− f(0−)] = 0

Primjer: Da ta je funkcija oblika

F (s) =4 (s+ 1)

s2 + 2s+ 5

Ispitati da li data funkcija zadovoljava teoremu o pocetnim uslovima

f(0+) = lims−→∞

sF (s) = lims−→∞

4s (s+ 1)

s2 + 2s+ 5= 4

Naimo I.L.T. funkcije F (s)

f(t) = L−1 F (s) = 4e−t cos 2t

i mora da bude

f(0+) = 4

Primjer: Da li funkcija

F (s) =5s + 2

s (s+ 1)

zadovoljava uslove teoreme o krajnjim vrijednostima

lims−→0

sF (s) = lims−→0

s (5s+ 2)

s (s+ 1)= 2

I.L.T. funkcije F (s) je

f(t) = L−1

5s + 2

s (s+ 1)

= 2h (t) + 3e−t

tj. zadovoljeni uslovi teoreme o krajnjim vrijednostima jer je

limt−→∞

f(t) = 2

pa nema polova u desnoj poluravni

382

7. Diferenciranje u kompleksnom domenu:

Ltf (t) = −dF (s)

ds

Dokaz:

dF (s)

ds=

+∞∫0−

f (t)d

dse−stdt = −

+∞∫0−

tf (t) e−stdt = −L tf (t)

Primjer: Data je funkcija f (t) = e−αt cija je transformacija

F (s) =1

s+ α

Odrediti L.T. Lte−αt

Lte−αt

= − d

ds

(1

s+ α

)=

(1

s + α

)2

Primjer: Data je funkcija f (t) = e−αt cija je transformacija

F (s) =1

s+ α

Odrediti L.T. Ltne−αt

Ltne−αt

=

n!

(s + α)n+1 =

(1

s+ α

)2

Ltnf (t) = (−1)ndnF (s)

dsn

8. Translacija u kompleksnom domenu. Ako je F (s) =Lf (t) tada je

F (s+ a) = Le−atf (t)

gdje je a - kompleksan broj.

Dokaz:

Le−atf (t)

=

+∞∫0−

e−atf (t) e−stdt =

+∞∫0−

e−(a+s)tf (t) dt = F (s+ a)

Leatf (t)

= F (s− a)

Primjer: Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije f (t) = e−αt sinωt

383

f (t) = sinωt

F (s) = Lf (t) =ω2

s2 + ω2

Le−αt sinωt

=

ω2

(s + a)2 + ω2= F (s + a)

Na isti nacin:

Le−αt cosωt

=

ω2

(s+ a)2 + ω2=

s+ a

(s+ a)2 + ω2

9. Translacija u vremenskom domenu. Ako je F (s) =Lf (t) tada je

Lf (t− τ) h (t− τ ) = e−τsF (s)

Dokaz:

Lf (t− τ) h (t− τ) =

+∞∫0−

e−stf (t− τ )h (t− τ) dt =

+∞∫τ

f (t− τ) e−sτdt

Uvodeci smjenu t = τ + x imamo

Lf (t− τ) h (t− τ ) =

+∞∫0

f (x) e−s(τ+x)dx = e−sτ+∞∫0

f (x) e−sxdx = e−sτF (s)

Primjer: Naci L.T. funkcije f (t) = e−3th (t− 2)

f (t) = e−3(t−2)−6h (t− 2) = e−6−3(t−2)h (t− 2)

Le−3th (t)

= F (s) =

1

s+ 3

Le−3th (t− 2)

= F (s) = e−6

e−2s

s+ 3

10. Promjena skaliranja:

Lf (ct) =1

cF

(sc

)za c > 0.

384

Primjer: Koristeci teoremu translacije i transformaciju od tnh (t)dokazati da je

Le−attnh (t)

=

n!

(s+ a)n+1

za n = 0, 1, 2.....(za vjezbu)

11. Konvolucija: Ako je Y (s) - izlaz, G (s) - ulaz i F (s) - prenosna funkcija mreze tada je:

Y (s) = F (s)G (s)

y (t) = L−1 Y (s) = L−1 F (s)G (s)

i po definiciji

F (s) =

+∞∫0

f (τ) e−stdτ (11.514)

Ako pomnozimo relaciju (11.514) sa G(s) dobijamo

F (s)G (s) =

+∞∫0

f (τ)[G (s) e−st

]dτ

F (s)G (s) =

+∞∫0

f (τ)Lg (t− τ )h (t− τ) dτ =

+∞∫0

f (τ)

⎡⎣+∞∫

0

g (t− τ) h (t− τ ) e−stdt

⎤⎦ dτ

Mijenjajuci redosljed integracije i znajuci da je h (t− τ ) = 0 za τ > t imamo da je

F (s)G (s) =

+∞∫0

e−st

⎡⎣ t∫

0

f (τ) g (t− τ) dτ

⎤⎦ dt

odnosno

L−1 F (s)G (s) =

t∫0

f (τ) g (t− τ ) dτ (11.515)

Relacija (11.515) predstavlja teoreu konvolucije. Obicno se konvolucija oznacava sa

f (τ ) ∗ g (t) =t∫0

f (τ) g (t− τ) dτ (11.516)

385

Relacija koja povezuje Laplasovu i Furijeovu transformaciju za neku funkciju f(t) je:

F (jω) = Lf (t)|s=jω +1

2

∑k

Ress=sk

2πδ (ω − ωk)

gdje je sk = jωk a rezidium se racuna za funkciju Lf (t) = F (s) u polovima sk.

Primjer: Data je funkcija f(t) = h(t) cija je Laplasova transformacija

Lh (t) =1

s

Odrediti Furijeovu transformaciju. Funkcija ima pol u s = 0 pa odavde slijedi da je ωk = 0

pa je

Ress=0

F (s) = Ress=0

1

s= lim

s−→0sF (s) = lim

s−→0s1

s= 1

F (jω) =1

s

∣∣∣∣s=jω

+1

2

∑k

Ress=sk

F (s) 2πδ (ω − ωk)

Dakle

F (jω) =1

jω+ 2πδ (ω)

Primjer: Data je funkcija f (t) = (cosω0t) h (t). Odrediti Furijeovu transformaciju ako

znamo Laplasovu.

L(cosω0t)h (t) =s

s2 + ω2

Polovi F (s) =L(cosω0t)h (t) su u tackama sk = ±jω0 i oni su prosti.. Rezidium je

Ress=s1

F (s) = Ress=jω0

F (s) = lims−→jω0

sF (s) =1

2

Ress=s2

F (s) = Ress=−jω0

F (s) =1

2

Vidimo da je s1 = jω1, ω1 = −js1, ω1 = ω0 i ω1 = ω0, ω2 = −ω0. Dakle, sada je F.T.

F (jω) = L(cosω0t) h (t)|s=jω +1

2

∑k

Ress=sk

2πδ (ω − ωk)

F (jω) =s

s2 + ω2

∣∣∣∣s=jω

+1

2

[1

22πδ (ω − ω0) +

1

22πδ (ω + ω0)

]

=jω

−ω2 + ω2

0

+1

2[πδ (ω − ω0) + πδ (ω + ω0)]

386

Odnosno

F (jω) = Fcosω0t h (t) =π

2[δ (ω − ω0) + δ (ω + ω0)]− jω

ω2 − ω2

0

11.5 Primjena Laplasove transformacije

Uocimo prosto kolo prikazano na slici 11.291.

( )gu t

(0 )Li −

R L

( )i t

(0 )Cu −

C

Slika 11.291: Redno RLC kolo sa pocetnim uslovima

Poznato ug (t) i treba naci i (t) =? Poznati su pocetni uslovi: iL (0−) = I0 i uC (0−

) = U0.

Relacija pisana po drugom Kirhofovom zakonu u diferencijalnom obliku je

Ri (t) + Ldi (t)

dt+

1

C

t∫−∞

i (τ ) dτ = ug (t) (11.517)

Ug (s) = Lug (t)

I (s) = Li (t)

Primjenjujuci L.T. na (11.517) dobijamo

L

⎧⎨⎩Ri (t) + L

di (t)

dt+

1

C

t∫−∞

i (τ ) dτ

⎫⎬⎭ = Lug (t)

Koristeci osobinu linearnosti L.T. imamo:

LRi (t)+ L

Ldi (t)

dt

+ L

⎧⎨⎩ 1

C

t∫−∞

i (τ ) dτ

⎫⎬⎭ = Lug (t)

387

RI (s) + L[sI (s)− iL (0−)]︸︷︷︸po osobini dif. L.T.

+ L

⎧⎨⎩ 1

C

0−∫

−∞

i (τ ) dτ +1

C

t∫0−

i (τ) dτ

⎫⎬⎭ = Lug (t)

1

C

0−∫

−∞

i (τ ) dτ =q (0−)

C= uC (0−)

Sa q (0−) smo oznacili proteklu kolicinu elektriciteta u vremenu od -∞ do 0− i to je uC (0−).

RI (s) + L [sI (s)− iL (0−)] +uC (0−)

s+

I (s)

Cs= Ug (s)

(R + sL+

1

sC

)I (s) +

uC (0−)

s− LiL (0−) = Ug (s)

Velicina Z(s) =(R+ sL+ 1

s·C

)po svojoj strukturi je impendansa jer umjesto jω imamo s.

Zato se ovo naziva operatorska (simbolicna) impedansa Z(s). Ona je ista kao impedansa

kod prosoperiodicnih eksitacija ali koristimo umjesto jω kompleksnu ucestanost s. Velicina(uC(0

−

)s

− LiL (0−))je dio koji zavisi od pocetnih uslova i tu funkciju oznacimo kao F (s) pa

imamo:

Z(s)I (s) = Ug (s) + F (s)

gdje je:

F (s) = LiL (0−)− uC (0−

)

s= LI0 − U0

s

Sada je struja:

I (s) =Ug (s)

Z (s)+

F (s)

Z (s)

Na ovom primjeru vidimo da L.T. ukljucuje pocetne uslove (za razliku od F.T.) pa je ona kao

metodologija opštija od metodologije F.T. Vidimo da se struja u kompleksnom domenu I(s)

sastoji od dvije komponente

I (s) = Ip (s) + I0 (s)

gdje je

Ip (s) =Ug (s)

Z (s)

struja koja se pojavljuje samo pod uticajem generatora kada su svi pocetni uslovi jednaki nuli.

To je odziv ukljucenja u kompleksnom domenu jer je iL (0−) = 0 i uC (0−

) = 0. Komponenta

I0 (s) =F (s)

Z (s)

predstavlja odziv koji se pojavljuje samo usled pocetnih uslova tj. kada su sve eksitacije

naponskih ili strujnih izvora jednake nuli (u ovom primjeru ug (t) = 0). To je odziv usled

388

pocetnih uslova (akumulisane energije) u kompleksnom domenu. Tada je struja I (s) - potpuni

(kompletni) odziv kola (jer je sastavljena i od odziva usled ukljucenja i odziva usled pocetnih

uslova). Znaci, L.T. omogucuje odreivanje svih vrsta odziva. U tom smislu, L.T. je opšta,

sistemska metoda za rješavanje odziva u kolu (za razliku od F.T. koja vazi samo za odziv

ukljucenja).

Problemu odreivanja L.T. mozemo pristupiti na dva nacina:

1. Postavljanjem jednacina u diferencijalnom obliku

2. Crtanjem operatorske šeme (što cemo vidjeti u sledecem dijelu)

Otpornik( )i t

R( )u t

i (t) =u (t)

R

Ako preemo na L.T. imamo

I (s) =U (s)

R

( )I s

R( )U s

Dakle, operatorska šema, L.T. za otpornik je ista kako za vremenski tako i za kompleksni

domen.

Kalem

( )u t

L

(0 )Li −

389

u (t) = Ldi (t)

dt

Primijenimo L.T.

U (s) = Ls (s)− LiL (0−)

Ovoj L.T. mozemo da pridruzimo sledecu operatorsku šemu

( )U s

( )I s

sL(0 )LLi−

Sada je

I (s) =U (s)

sL+

iL (0−)

s

Po K.Z.S. mozemo ovome izrazu za I(s) pridruziti cvor

( )U s

( )I s

sL

(0 )Li

s

−

1( )I s

I (s) = I1 (s) +iL (0−)

s

I1 (s) =U (s)

sL

Vidimo da kalemu mozemo pridruziti dvije operatorske šeme: U pogledu napona na kalemu

U(s) slika (a) a u pogledu struje slika b)

Kondezator

( )u t

C

( )i t(0 )Cu −

i (t) = Cdu (t)

dt

390

Primijenimo L.T. i imamo

I (s) = sCU (s)− Cu (0−

)

Ovoj jednacini mozemo da pridruzimo sledecu operatorsku šemu

( )U s

( )I s

sC

(0 )CCu−

1( )I s

Ako izrazimo napon iz gornje relacije u kompleksnom domenu

U (s) =I (s)

sC+

u (0−

)

s

Ovoj jednacini odgovara operatorska šema

( )U s

( )I s

1

sC

(0 )Cu

s

−

Spregnuto kolo

1( )i t

1( )u t 1L

∗∗

2L 2( )u t

2( )i t

12L

U vremenskom domenu

L1

di1 (t)

dt+ L12

di2 (t)

dt= u1 (t)

L12

di1 (t)

dt+ L2

di2 (t)

dt= u2 (t)

Ako primijenimo L.T. na ove jednacine imamo:

U1 (s) = L1sI1 (s)− L1i1 (0−) + L12sI2 (s)− L12i2 (0−) (11.518)

391

U2 (s) = L12sI1 (s)− L12i1 (0−) + L2sI2 (s)− L2i2 (0−) (11.519)

Ovim jednacinama mozemo da pridruzimo sledecu operatorsku šemu

1( )I s

1( )U s1sL

∗∗

2sL 2( )U s

2( )I s

12sL1 1(0 )L i

−

12 2(0 )L i−

2 2(0 )L i−

12 1(0 )L i−

Ako bi iz jednacina (11.518) i (11.519) izrazili struje I1 (s) i I2 (s) dobili bi sledeci sistem

I1 (s) =sL1

∆U1 (s)− sL12

∆U2 (s) +

i1 (0−)

s

I2 (s) =−sL12

∆U1 (s) +

sL2

∆U2 (s) +

i2 (0−)

s

gdje je ∆ determinanta sistema oblika

∆ = s2L1L2 − s2L212

Ovo mozemo napisati u matricnom obliku

[I1 (s)

I2 (s)

]=

[sL1

∆−sL12

∆−sL12

∆sL2

∆

][U1 (s)

U2 (s)

]+

[i1(0−)

s

i2(0−)s

]

Ovim jednacinama za I1 (s) i I2 (s) mozemo pridruziti sledecu operativnu šemu

1( )I s

1( )U s 1sL

∗∗

2sL 2( )U s

2( )I s

12sL

1(0 )i

s

− 2(0 )i

s

−

Za kola prostije topologije ove operatorske šeme su dobre ali za slozenija kola bolje je pisati

jednacine u vremenskom domenu sa orginalne šeme. Operatorskim šemama pocetne uslove

zamjenjujemo naponskim ili strujnim generatorima pa svodimo problem na trazenje odziva

ukljucenja. Uopštimo ovu metodologiju. Posmatrajmo kolo prikazano na slici 11.292.

392

( )gu t

( )Ru t ( )Lu t

R L

( )i t

( )Cu t

C

Slika 11.292:

gdje ug (t) - eksitacija a i (t) - odziv.

Ri (t) + Ldi (t)

dt+

1

C

t∫−∞

i (τ ) dτ = ug (t) (11.520)

Ako diferencirajmo (11.520) po vremenu dobijamo

Rdi (t)

dt+ L

di2 (t)

dt2+

i (τ )

C=

dug (t)

dt

Ldi2 (t)

dt2+R

di (t)

dt+

i (τ )

C=

dug (t)

dt(11.521)

Ovo je sada diferencijalna jednacina drugog reda. Ukoliko bi odziv bio uR, uL ili uC lijeva

strana bi bila jednaka (tj. isti izraz bi bio sa lijeve strane jednakosti) a razlikovao bi se izraz sa

desne strane jednakosti. Pošto je stepen diferencijalne jednacine jednak dva, to se i kolo naziva

kolo drugog reda jer se opisuje (to kolo) sa diferencijalnom jednacinom drugog reda. Dakle,

red kola je jednak stepenu diferencijalne jednacine kojom se kolo opisuje. Sa druge strane,

po pravilu, stepen diferencijalne jednacine a samim tim i red kola pokazuje broj dinamickih

elemenata (kalema i kondezatora u kolu). Iako ima izuzetaka od ovog pravila ipak vecina kola

zadovoljava ovo pravilo. Kolo se opisuje jednacinom bez integrala u njoj. Kada u kolu imamo

samo jedan generator pa se u kolu izrazi bilo koja velicina kao odziv onda se takva relacija

naziva relacija ulaz - izlaz ili kratko RUI. Radi opštosti oznacicemo sa x (t) vremensku

funkciju jedne eksitacije (bilo naponski ili strujni generator) a sa y (t) odziv (bilo koji) u kolu.

Ako posmatramo neko slozeno kolo sa samo jednom eksitacijom x (t) i trazimo neki odziv y (t)

tada mozemo uopšteno napisati

n∑i=0

bn−iy(n−i) (t) =

m∑i=0

am−ix(m−i) (t)

Ovo je opšta relacija ulaz - izlaz (RUI). Ako primjenjujemo L.T. kao Ly (t) = Y (s) i

393

Lx (t) = X (s) tada imamo jednacinu RUI u kompleksnom domenu

n∑i=0

bn−i

[s(n−i)Y (s)−

n−i∑j=1

sn−i−jy(j−1) (0−

)

]=

m∑i=0

am−1

[s(m−i)X (s)−

m−i∑j=1

sm−i−jx(j−1) (0−

)

]

Iz ove relacije mozemo odrediti odziv u kompleksnom domenu kao:

Y (s) = X (s)

m∑i=0

am−1s(m−i)

(n∑i=0

bn−is(n−i)

) +

n∑i=0

bn−i

n−i∑j=1

sn−i−jy(j−1) (0−

)−m∑i=0

am−1

m−i∑j=1

sm−i−jx(j−1) (0−

)

(n∑i=0

bn−is(n−i)

)

(11.522)

Prvi sabirak u izrazu (11.522) predstavlja odziv usled ukljucenja (i to bi bio jedini clan da

nema pocetnih uslova) a drugi sabirak predstavlja odziv usled pocetnih uslova (i to bi bio

jedini clan da nema eksitacija u kolu).

11.6 Metod konturnih struja

Ako je m broj nezavisnih kontura tada bi se jednacine konturnih struja u L.T. mogle napisati

kao:m∑j=1

Zij (s) Ij (s) = Ug (s) + Fi (s) (11.523)

gdje izraz Ij (s) =Lij (t) predstavlja L.T. struje j-te konture Ug (s) =Lug (t) predstavlja

algebarski zbir L.T. napona nezavisnih naponskih generatora za i-tu konturu. Zajednicka

operatorska impedansa izmeu i-te i j-te konture oznacena je sa Zij (s). Fi (s)− je funkcija u

kompleksnom domenu koja zavisi od pocetnih uslova

Fi (s) =∑k

po konturi

[±LkiLk (0−)∓ uCk (0−)

s

](11.524)

Gornji znaci u izrazu (11.524) se uzimaju ako se smjerovi pocetne struje u kalemovima i

smjerovi pocetne kolicine elektriciteta u kondezatorima poklapaju sa smjerom obilaska i - te

konture. U suprotnom, uzimaju se donji znaci. Koristeci ove jednacine mozemo direktno (bez

crtanja operatorskih šema) primijeniti metod konturnih struja u L.T.

394

11.6.1 Laplasova transformacija - metod nezavisnih struja za elek-

tricna kola bez spregnutih elemenata

Za kolo prema šemi formirati jednacine nezavisnih struja u Laplasovoj transformaciji.

2L2R 3L2( )e t

1L

3C

3R

5C 3( )e t

4C

1R1( )e t

4R

3(0)u

5(0 )u−

4(0)u

3(0)i2(0)i

1(0)i

321

0

1µ

2µ

3µ

1j

2j

3j

Rješenje: Jednacine nezavisnih struja u Laplasovoj transformaciji u matricnom obliku su

Z∼

(s)J∼

(s) = E∼

(s) + F∼

(s)

Izaberimo nezavisne konture µ1, µ2 i µ3 i pridruzimo njima nezavisne struje J1(s), J2(s) i J3(s)

pa imamo

Z∼

(s) =

⎡⎢⎣

Z11(s) Z12(s) Z13(s)

Z21(s) Z22(s) Z23(s)

Z31(s) Z32(s) Z33(s)

⎤⎥⎦

J∼

(s) =

⎡⎢⎣

J1(s)

J2(s)

J3(s)

⎤⎥⎦ ; E

∼

(s) =

⎡⎢⎣

E1(s)

E2(s)

E3(s)

⎤⎥⎦ ; F

∼

(s) =

⎡⎢⎣

F1(s)

F2(s)

F3(s)

⎤⎥⎦

Z∼

(s) =

⎡⎢⎢⎣

R1 +R2 +R3 + s (L1 + L2) +1

sC3

−(R3 +

1sC3

)− (R2 + sL2)

−(R3 +

1sC3

)R3 +R4 + sL3 +

1sC3

+ 1sC4

−sL3

− (R2 + sL2) −sL3 R2 + s (L2 + L3) +1

sC5

⎤⎥⎥⎦

E∼

(s) =

⎡⎢⎣

−e1(s)− e2(s)

0

e2(s) + e3(s)

⎤⎥⎦

395

Fi(s) =∑k

po konturi i

[±LkiLk(0)∓

uCk(0)

s

]

F∼

(s) =

⎡⎢⎣

F1(s)

F2(s)

F3(s)

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

L1i1(0)− L2i2(0) +u3(0)s

−L3i3(0)− u3(0)s

− u4(0)s

L2i2(0) + L3i3(0)− u5(0)s

⎤⎥⎦

Jednacine nezavisnih struja u vremenskom domenu su:

kontura µ1 :

(R1+R2+R3)j1+(L1 + L2)dj1dt

+1

C3

∫j1(t)dt−R3j2− 1

C3

∫j2(t)dt−R2j3−L2

dj3dt

= −e1(t)−e2(t)

kontura µ2 :

−R3j1 − 1

C3

∫j1(t)dt + (R3 +R4)j2 + L3

dj2dt

+

(1

C3+

1

C4

)∫j2(t)dt− L3

dj3dt

= 0

kontura µ3 :

−R2j1 − L2dj1dt

− L3dj2dt

+R2j3 + (L2 + L3)dj3dt

+1

C5

∫j3(t)dt = e2(t) + e3(t)

sa naznacenim pocetnim uslovima.

11.7 Metod nezavisnih napona

U L.T. metod nezavisnih napona moze se iskazati relacijom

n∑j=1

Yij (s)Uj (s) = Igi (s) +Gi (s) (11.525)

gdje je Uj (s) =Luj (t)- L.T. nezavisnih napona a Igi (s) =Lig (t)- L.T. struja ekvivalentnihstrujnih generatora koje se sticu u cvor i. Yij (s) - je operatorska (simbolicka) admitansa svih

grana koje spajaju i-ti i j-ti cvor

Gi (s) =∑k

po cvoru

[±CkuCk (0−)∓ iLk (0−)

s

](11.526)

Relacija (11.526) predstavlja funkciju koja zavisi od pocetnih uslova u granama k koje se

sticu u cvor i. Gornji znaci se uzimaju ako su smjerovi pocetne struje u kalemovima i smjerovi

396

pocetne kolicine elektriciteta u kondezatorima orjentisani od cvora. Ako to nije slucaj uzimaju

se donji znaci.

11.7.1 Laplasova transformacija - metod nezavisnih napona za elek-

tricna kola bez spregnutih elemenata

Za kolo prema šemi formirati jednacine nezavisnih napona u Laplasovoj transformaciji.

2(0)i

4(0)i

321

3(0)i

2L

3L 4L3G 4G 2( )gj t

1( )gj t

1C 1(0)u

2(0)u

2C

2G

5G1( )e t

Rješenje: Jednacine nezavisnih napona u Laplasovoj transformaciji u matricnom obliku

je

Y∼

(s)V∼

(s) = Jg∼

(s) +G∼

(s)

Nezavisni cvorovi su: 1, 2 i 3 a njima pridruzeni nezavisni naponi su:

V∼

(s) =

⎡⎢⎣

V1(s)

V2(s)

V3(s)

⎤⎥⎦

Y∼

(s) =

⎡⎢⎣

Y11(s) Y12(s) Y13(s)

Y21(s) Y22(s) Y23(s)

Y31(s) Y32(s) Y33(s)

⎤⎥⎦

Y∼

(s) =

⎡⎢⎣

G2 +G5 + s(C1 + C2) −(G2 + sC2) −G5

−(G2 + sC2) G2 +G3 + sC2 +1

sL2+ 1

sL3− 1

sL2

−G5 − 1

sL2G4 +G5 +

1

sL2+ 1

sL4

⎤⎥⎦

397

Jg∼

(s) =

⎡⎢⎣

Jg1(s)

Jg2(s)

Jg3(s)

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

jg1(s) +G5e1(s)

0

−jg2(s)−G5e1(s)

⎤⎥⎦

Gi(s) =∑k

za cvor i

[±CkuCk

(0)∓ iLk(0)

s

]

G∼

(s) =

⎡⎢⎣

G1(s)

G2(s)

G3(s)

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

C1u1(0) + C2u2(0)

−C2u2(0) +i3(0)s

− i2(0)s

i2(0)s

− i4(0)s

⎤⎥⎦

Jednacine nezavisnih napona u vremenskom domenu su:

cvor 1:

(G2 +G5)v1(t) + (C1 + C2)dv1(t)

dt−G2v2(t)− C2

dv2(t)

dt−G5v3(t) = jg1(t) +G5e1(t)

cvor 2:

−G2v1(t)− C2dv1(t)

dt+ (G2 +G3)v2(t) + C2

dv2(t)

dt+

(1

L2+

1

L3

)∫v2(t)dt− 1

L2

∫v3(t)dt = 0

cvor 3:

−G5v1(t)− 1

L2

∫v2(t)dt+ (G4 +G5)v3(t) +

(1

L3+

1

L4

)∫v3(t)dt = −jg2(t)−G5e1(t)

sa naznacenim pocetnim uslovima.

11.8 Operatorske šeme za spregnuto kolo

∗ ∗

1u 2u1L 2L

12L

1i 2i

Slika 11.293:

398

u1 = L1

di1dt

+ L12

di2dt

u2 = L12

di1dt

+ L2

di2dt

U1(s) = Lu1(t)U2(s) = Lu2(t)I1(s) = Li1(t)I2(s) = Li2(t)

U1(s) = sL1I1(s)− L1i1(0−) + sL12I2(s)− L12i2(0−)

U2(s) = sL12I1(s)− L12i1(0−) + sL2I2(s)− L2i2(0−)(11.527)

∗ ∗

1( )U s 2( )U s1sL 2sL

12sL

2( )I s2 2(0 )L i

−

1 1(0 )L i−

12 1(0 )L i−12 2(0 )L i

−

1( )I s

Slika 11.294:

[U1(s) + L1i1(0−) + L12i2(0−)

U2(s) + L12i1(0−) + L2i2(0−)

]=

[sL1 sL12

sL12 sL2

][I1(s)

I2(s)

](11.528)

Iz (11.527)sL1I1(s) + sL12I2(s) = U1(s) + L1i1(0−) + L12i2(0−)

sL12I1(s) + sL2I2(s) = U2(s) + L12i1(0−) + L2i2(0−)

∆ =

∣∣∣∣∣ sL1 sL12

sL12 sL2

∣∣∣∣∣ = s2L12L2 − s2L212

∆1 =

∣∣∣∣∣ U1(s) + L1i1(0−) + L12i2(0−) sL12

U2(s) + L12i1(0−) + L2i2(0−) sL2

∣∣∣∣∣ = U1(s)sL12 + si1(0−)(L1L2 − L2

12

)−U2(s)sL12

399

∆2 =

∣∣∣∣∣ sL1 U1(s) + L1i1(0−) + L12i2(0−)

sL12 U2(s) + L12i1(0−) + L2i2(0−)

∣∣∣∣∣ = −U1(s)sL12+U2(s)sL1+si2(0−)(L1L2 − L2

12

)

I1 =∆1

∆=

U1(s)sL12 + si1(0−) (L1L2 − L212)− U2(s)sL12

s2 (L12L2 − L212)

I2 =∆2

∆=

−U1(s)sL12 + U2(s)sL1 + si2(0−) (L1L2 − L212)

s2 (L12L2 − L212)

I1(s) = U1(s)L2

s (L12L2 − L212)

− U2(s)L12

s (L12L2 − L212)

+i1(0−)

s(11.529)

I2(s) = −U1(s)L12

s (L12L2 − L212)

+ U2(s)L1

s (L12L2 − L212)

+i2(0−)

s(11.530)

Ako uvedemo smjenu

Γ11 =L2

s (L12L2 − L212)

Γ22 =L1

s (L12L2 − L212)

Γ12 = − L12

s (L12L2 − L212)

[I1(s)

I2(s)

]=

[Γ11s

Γ12s

Γ12s

Γ22s

][U1(s)

U2(s)

]+

[i1(0−)

s

i2(0−)s

](11.531)

∗ ∗

11

s

Γ

12

s

Γ

22

s

Γ1(0 )i

s

− 2(0 )i

s

−

1( )U s 2( )U s

1( )I s 2( )I s

Slika 11.295:

Drugi nacin

u1 = L1

di1dt

+ L12

di2dt

u2 = L12

di1dt

+ L2

di2dt

400

u1 = L1Di1 + L12Di2

u2 = L12Di1 + L2Di2

i1 = Γ11D−1u1 + Γ12D

−1u2 (11.532)

i2 = Γ12D−1u1 + Γ22D

−1u2 (11.533)

Ako na relacije (11.532) i (11.533) primijenimo Laplasovu transformaciju

I1(s) = U1(s)Γ11

s+ Γ11

φ1(0−

)

s+ U2(s)

Γ12

s+ Γ12

φ2(0−

)

s

I2(s) = U1(s)Γ12

s+ Γ12

φ1(0−

)

s+ U2(s)

Γ22

s+ Γ22

φ2(0−

)

s

φ1

= L1i1 + L12i2

φ2

= L2i2 + L12i1

φ1(0−

) = L1i1(0−) + L12i2(0−)

φ2(0−

) = L2i2(0−) + L12i1(0−)

I1(s) = U1(s)Γ11

s+ U2(s)

Γ12

s+

Γ11

s[L1i1(0−) + L12i2(0−)] +

Γ12

s[L2i2(0−) + L12i1(0−)]

I2(s) = U1(s)Γ12

s+ U2(s)

Γ22

s+

Γ12

s[L1i1(0−) + L12i2(0−)] +

Γ22

s[L2i2(0−) + L12i1(0−)]

I1(s) = U1(s)Γ11

s+ U2(s)

Γ12

s+

(Γ11

sL1 +

Γ12

sL12

)i1(0−) +

(Γ12

sL12 +

Γ22

sL2

)i2(0−)

(Γ11

sL1 +

Γ12

sL12

)i1(0−) =

[L1L2

s (L1L2 − L2

12)− L2

12

s (L1L2 − L2

12)

]i1(0−) =

i1(0−)

s(Γ12

sL12 +

Γ22

sL2

)i2(0−) =

[ −L2

12

s (L1L2 − L2

12)+

L1L2

s (L1L2 − L2

12)

]i2(0−) =

i2(0−)

s

401

I1(s) = U1(s)Γ11

s+ U2(s)

Γ12

s+

i1(0−)

s

I2(s) = U1(s)Γ12

s+ U2(s)

Γ22

s+

i2(0−)

s

FUNKCIJA KOLA

U mnogim problemima kako teorijske tako i prakticne prirode veliki znacaj imaju ne same

eksitacije i odzivi, vec njihovi odnosi. Funkcije kola definišu se u kompleksnom i vremenskom

domenu za kola bez pocetne energije.

12.1 Definicija i oblik funkcije kola u kompleksnom domenu

Funkcija kola se u kompleksnom domenu definiše kao

Funkcija kola =Laplasova transformacija odziva

Laplasova transformacija eksitacije

W (s) =R(s)

E(s)(12.534)

gdje je: W (s)− funkcija kola, R(s)− odziva, E(s)− eksitacija. Najprije cemo posmatrati

eksitaciju strujnim generatorom struje ig(t) kao što je prikazano na slici 12.296.Ova eksitacija

( )U s

( )Z s

( )gI s

( )I s

N

Slika 12.296:

proizvodi na pristupu mreze odziv - napon u(t). Za ovakvu eksitaciju definisana je ulazna

impedansa kao funkcija kola. Prema opštoj definiciji ove funkcije, ona je data kolicnikom

W (s) = Z(s) =U(s)

Ig(s)(12.535)

gdje je U(s) =Lu(t) a Ig(s) =Lig(t). Za eksitaciju naponskim generatorom ug(t) što

pokazuje slika 12.297. kao funkciju kola definišemo ulaznu admitansu koja je data kolicnikom

402

403

( )Y s

( )gU s

( )I s

N

Slika 12.297:

W (s) = Y (s) =I(s)

Ug(s)(12.536)

gdje je I(s) =Li(t) a Ug(s) =Lug(t). I ovdje vazi da je

Y (s) =1

Z(s)(12.537)

Ulazna impedansa i ulazna admitansa su funkcije istih osobina za pasivna, linearna i reciprocna

kola sa konstantnim parametrima te je za obje funkcije uvedeno zajednicko ime imitansa.

Da bismo odredili analiticki izraz za impedansu, moramo najprije izracunati odziv za datu

eksitaciju. U slucaju kada se kolo eksituje naponskim generatorom odziv cemo odrediti pomocu

jednacina nezavisnih struja. Nezavisne konture cemo birati tako da prva obuhvata pristupne

krajeve kola, to jest da je prva nazavisna struja jednaka ulaznoj struji mreze. Jednacine

nezavisnih struja u matricnoj formi su

Zm∼

J∼

= Vg∼

(12.538)

J∼

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

J1

J2...

Jm

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ; Vg

∼

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

Ug

0...

0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

J1(s) =∆

(µ)11 (s)

∆(µ)(s)Ug(s) (12.539)

U ovom izrazu je sa ∆(µ)(s) oznacena determinanta sistema jednacina nezavisnih struja, a sa

∆(µ)11 (s) njen kofaktor prve vrste i prve kolone. Kako je J1(s) = I(s) to je admitansa mreze

data kolicnikom

Y (s) =I(s)

Ug(s)=

∆(µ)11 (s)

∆(µ)(s)(12.540)

404

Za eksitaciju strujnim generatorom odziv cemo odrediti pomocu jednacina nezavisnih napona.

Nezavisne presjeke cemo birati tako da pridruzeni napon prvom nezavisnom presjeku V1(s)

bude jednak naponu na pristupu kola. Jednacine nezavisnih napona u matricnoj formi su

Yn∼

V∼

(s) = Jg∼

(s) (12.541)

Iz navedenih jednacina dobijamo za prvi nezavisni napon izraz

V1(s) =∆

(ν)11 (s)

∆(ν)(s)Ig(s) (12.542)

U relaciji (12.542) sa ∆(ν)(s) je oznacena determinanta sistema jednacina napona nezavisnih

presjeka, a sa ∆(ν)11 (s) njen kofaktor prve vrste i prve kolone. Kako je V1(s) = U(s) to je

ulazna impedansa jednaka

Z(s) =U(s)

Ig(s)=

∆(ν)11 (s)

∆(ν)(s)(12.543)

Prema dosadašnjem razmatranju vidimo da se ulazna admitansa moze predstaviti u jednom

od oblika

Y (s) =∆

(µ)11 (s)

∆(µ)(s)=

∆(ν)(s)

∆(ν)11 (s)

(12.544)

a impedansa

Z(s) =∆(µ)(s)

∆(µ)11 (s)

=∆

(ν)11 (s)

∆(ν)(s)(12.545)

S obzirom na pomenuti oblik koeficijenata jednacina, to jest elemenata uvedenih determi-

nanti, ulazna impedansa i ulazna admitansa se mogu izraziti u obliku kolicnika dva polinoma

po kompleksnoj ucestanosti s. Do tih izraza dolazimo razvijanjem pomenutih determinanti.

Prema tome, funkciju W (s) mozemo pisati u obliku

W (s) =bms

m + bm−1sm−1 + · · ·+ b1s+ b0

ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0=

A(s)

B(s)(12.546)

Nakon faktorizacije brojioca i imenioca u izrazu za W (s), relaciju (12.546) mozemo zapisati u

sledecem obliku

W (s) = K(s− s1)(s− s2) · · · (s− sm)

(s− s′1)(s− s′2) · · · (s− s′n)= K

m∏k=1

(s− sk)

n∏k=1

(s− s′k)(12.547)

gdje je

K =bman

405

Velicina K se naziva koeficijent skaliranja (normiranja) ili koeficijent kriticne tacke funkcije

kola. Kriticne tacke imitanse nazivaju se nule i polovi. sk(1 ≤ k ≤ m) nazivaju se nu-

lama funkcije kola a s′k(1 ≤ k ≤ n) se nazivaju polovima funkcije kola. Definicija polova

funkcije kola: Racionalno razlomljena funkcija W (s) kompleksne ucestanosti s ima pol reda

(višestrukosti) r pri s = s′k, ako je lims→s′

k

W (s) → ∞ i ako lims→s′

k

W (s)(s − s′k)r tezi konacnoj,

nenultoj vrijednosti. Ako je r = 1 pol se naziva prostim polom. Definicija nula funkcije

kola: Racionalno razlomljena funkcija W (s) ima nulu reda (višestrukosti) r pri s = sk ako

funkcija 1/W (s) ima pol reda r pri s = sk. Ako je r = 1 nula se naziva prostom nulom. Na

osnovu izraza (12.547) za funkciju kola W (s) vidimo da funkcija kola ima polove pri s = s′1,

s = s′2, · · · , s = s′k. Svi oni su prosti pri uslovu da je s′1 = s′2 = · · · = s′

n. Ako je r polova jed-

nako meu sobom, na primjer s′k= s′

k+1 = · · · = s′k+r−1, tada je taj pol r-tog reda. Analogno

predhodnom, funkcija W (s) ima nule pri s = s1, s = s2, · · · s = sm. One su proste ako su

sve razlicite meu sobom tj. s1 = s2 = · · · = sm. Ako je r iz njih identicno onda je ta nula

r-tog reda. Iz izraza (12.546) slijedi da ako je m > n tada lims→∞

W (s) → ∞ tako da funkcija

W (s) ima pol reda (m− n) pri s = ∞. Analogno, ako je m < n tada lims→∞

1W (s)

→ ∞ tako

da funkcija W (s) ima nulu reda (n −m) pri s = ∞. Pri odreivanju punog broja polova i

nula u funkciji kola W (s) pol (ili nula) r-tog reda uzima se r puta. Kao rezultat dobijamo:

1. Ako je n > m, W(s) ima m nula [korijena polinoma B(s) = 0] i (n − m) nula u

beskonacnosti. Dakle funkcija W (s) ukupno ima m+ (n−m) = n nula. Funkcija W (s)

ima takoe n polova [korijena polinoma A(s) = 0] .

2. Ako je m = n, funkcija W (s) ima n nula i n(= m) polova [korijena jednacine A(s) = 0]

u beskonacnosti W (s) = K.

3. Ako je n < m, funkcija ima n konacnih polova i (m−n) polova u beskonacnosti. Prema

tome, ukupno ima n+ (m− n) = m polova.

Zakljucak: Racionalno razlomljena funkcija kompleksne ucestanosti ima jednak broj

polova i nula uzimajuci u obzir i one koje se nalaze u tacki u beskonacnosti. Taj broj jednak

je najvecem stepenu po s u izrazu za funkciju kola W (s).

Primjer 1: Data je funkcija u obliku

W (s) = 4(s− 1)2(s2 + s+ 1)

s(s+ 3)2

Nule funkcijeW (s): FunkcijaW (s) ima dvostruku nulu pri s = 1 i proste nule pri s = −12+j

√32

i s = −12− j

√32. Polovi funkcije W (s): Funkcija W (s) ima prosti pol pri s = 0 i dvostruki

pol pri s = −3. U zakljucku podvucimo da je funkcija kola W (s) potpuno i jednoznacno

odreena rasporedom nula i polova i njihovim redom u kompleksnoj s - ravni kao i dopunskom

informacijom za odreivanje koeficijenta skaliranja K.

406

12.2 Osobine funkcije kola

1. Pošto su koeficijenti polinoma u brojiocu i imeniocu imitanse realni, ona ima osobinu

da je W (s∗) = W ∗(s) gdje je sa zvjezdicom oznacena konjugovano kompleksna velicina.

Posledica ove osobine je da se nule i polovi javljaju u konjugovano kompleksnim parovima

kada nijesu realni. Koeficijenti imitansnih polinoma su realni jer se se dobijaju osnovnim

racunskim operacijama iz koeficijenata elemenata determinanti, koji su takoe realni. Na

imaginarnoj osi gdje je s = jω, relacija koja izrazava navedenu osobinu imitanse postaje

W (−jω) = W ∗(jω). Ako je W (jω) = R(ω) + jX(ω), imamo R(−ω) + jX(−ω) =

R(ω)− jX(ω) i nju mozemo predstaviti sa dvije realne jednacine

R(−ω) = R(ω) (12.548)

X(−ω) = −X(ω) (12.549)

Relacije (12.548) i (12.549) nam kazuju da je na imaginarnoj osi realni dio imitanse

parna a imaginarni dio neparna funkcija ucesatanosti ω.

2. U analizi elektricnih kola je pokazano, da su sa nulama impedanse date kompleksne

ucestanosti sopstvenog rezima kada je mreza u kratkom spoju, a sa nulama admitanse

kompleksne ucestanosti sopstvenog rezima kada je ona otvorena. Sopstvene kompleksne

ucestanosti ne mogu imati pozitivan realni dio, jer vremenske funkcije sopstvenog rezima

ne mogu rasti neograniceno. Drugim rijecima, nule i polovi imitanse mogu biti samo u

lijevoj poluravni ili na imaginarnoj osi kompleksne kompleksne s - ravni. Iz istog razloga

kriticne tacke imitanse, ako se nalaze na imaginarnoj osi moraju biti proste.

3. Pri razvoju funkcije kola koja je data relacijom (12.547) na proste parcijalne (djelimicne)

razlomke dobijamo clanove sledecih oblika:

(a) Ks, koji odgovara prvom koraku dijeljenja B(s) sa A(s) ako je m = n + 1.

(b) H, konstanta

(c) kc

(s−s′

c), za prosti pol pri s = s′

c.

(d) kd,r

(s−s′

d)r, za pol reda (višestrukosti) r pri s = s′d

Kc i Kd,r su rezidijumi u odgovarajucim polovima. U vremenskom domenu gornjim parci-

jalnim razlomcima odgovarali bi:

(a) K δ′(t)

(b) H δ(t)

(c) kc es′

ct

(d) kd,r

(r−1)!tr−1es

′

dt

407

U pasivnom kolu odziv na impulsnu eksitaciju ne moze rasti neograniceno u vremenu. Ona

treba da opada sa vremenom ili da bude konstanta kao i pseudoperiodicna ili prostoperiodicna.

To znaci , da realni dio pola s = σ + jω ne moze biti pozitivan, tj. pri σc < 0

limt→∞

kces′

ct = limt→∞

eσ′

ctejω′

ct = 0

a pri σd < 0

limt→∞

kd,r(r − 1)!

tr−1es′

dt = 0 (12.550)

Osim toga, ako pol lezi na imaginarnoj osi jω (njegov realni dio jednak je nuli), on treba

da bude prost (r = 1), u protivnom funkcija u relaciji (12.550) bice rastuca po vremenu.

Zakljucak: Polovi funkcija pasivnih kola ograniceni su u lijevoj poluravni kompleksne s

ravni, kada oni mogu biti proizvoljnog reda r i na imaginarnoj osi jω gdje oni moraju biti

prosti.

Osim imitansnih funkcija definišu se još prenosne funkcije: prenosna admitansa i prenosna

impedansa kao i transmitansa napona i transmitansa struja. Posmatrajmo mrezu prikazanu

na slici 12.298. Ulazna admitansa je jednaka

1( )U s( )gU s

1( )I s

N

1

1′

2( )U s2Z

2( )I s 2

2′

Slika 12.298:

Y11(s) =I1(s)

Ug1(s)

Prenosna admitansa

Y21(s) =

I2(s)

Ug1(s)

Transmitansa napona

M21(s) =U2(s)

Ug1(s)

Za kolo prikazano na slici 12.299. ulazna impedansa je jednaka

Z11(s) =U1(s)

Ig1(s)

408

1( )U s( )gI s

1( )I s

N

1

1′

2( )U s2Z

2( )I s 2

2′

Slika 12.299:

Prenosna impedansa

Z21(s) =

U2(s)

Ig1(s)

Transmitansa struja

N21(s) =I2(s)

Ig1(s)

Izmeu ovih funkcija, direktna veza postoji samo izmeu ulazne impedanse i ulazne admitanse

koja je data relacijom

Z11(s) =

1

Y11(s)

Za eksitacije izmeu krajeva 2 i 2′ mozemo definisati još šest funkcija mreze. Zakljucak: Po

svojoj fizickoj prirodi funkcije kola W (s) mogu imati dimenzije:

(a) Impedanse

(b) Admitanse

(c) Bez dimenzija (transmitanse napona i struje)

12.3 Funkcije kola u vremenskom domenu

Ove funkcije se takoe definišu za kola bez pocetne energije (svi pocetni uslovi su jednaki

nuli).

12.3.1 Indiciona funkcija kola

Indiciona funkcija kola f(t) se definiše kao

Indiciona funkcija ≡ f(t) =Odziv na Hevisajdovu eksitaciju

Skok Hevisajdove eksitacije

odnosno

f(t) =rh(t)

E=

0

ϕ(t)h(t)

t < 0

t ≥ 0

409

gdje je rh(t) - odziv na Hevisajdovu eksitaciju, eh(t) = Eh(t) - Hevisajdova eksitacija a

f(t) = ϕ(t)h(t) za ∀t. U gornjim izrazima funkcija ϕ(t) je neprekidna kauzalna funkcija

vremena koja odrazava prirodu funkcije mreze. Priroda indicione funkcije zavisi od prirode

odziva i eksitacije. Ako je eksitacija naponski generator eh(t) = ug(t) = Uh(t) odziv moze

biti ulazna struja, struja ili napon neke druge grane što je predstavljeno na slici 12.300(a).

1( )u t( )gi t

1( )i t

N

( )ji t( )ju t

( )gu t

1( )i t

1( )u t

N

( )ji t( )ju t

)a )b

Slika 12.300:

Odgovarajuce indicione funkcije mreze su:

− I fY11(t) =i1(t)U

= a(t)

− I fYj1 =ij(t)

U

− I fMj1=

uj(t)

U

Ako je eksitacija strujni generator eh(t) = ig(t) = Ih(t) odzivi mogu biti: ulazni napon

u1(t), napon ili struja neke druge grane uj(t), ij(t) prema šemi na slici 12.300(b). Odgovara-

juce indicione funkcije su:

− I fZ11(t) =u1(t)I

= J(t)

− I fZj1=

uj(t)

I

− I fNj1=

ij(t)

I

12.3.2 Grinova funkcija (impulsna karakteristika)

Grinova funkcija se defiše kao

Grinova funkcija ≡ g(t) =Odziv na impulsnu eksitaciju

Jacina udara impulsne eksitacije

odnosno

g(t) =rδ(t)

F

410

gdje je rδ(t) - odziv na impulsnu eksitaciju, eδ(t) = Fδ(t) - impulsna eksitacija a F - jacina

udara impulsne eksitacije. Treba naglasiti da je priroda Grinove funkcije jednaka odgovara-

jucoj prirodi indicione funkcije podijeljenoj sa vremenom (ili pomnozenoj sa ucestanošcu), tako

da ono što se naziva na primjer, Grinovom ulaznom impedansom ima dimenziju otpornosti

podijeljene sa vremenom . Veza izmeu ovih dviju vaznih vremenskih funkcija je

g(t) =df(t)

dt=

d

dt[ϕ(t)h(t)] = ϕ′(t)h(t) + ϕ(t)δ(t) = ϕ′(t)h(t) + ϕ(0+)δ(t) (12.551)

f(t) =t∫−∞

g(τ)dτ

12.4 Veza izmeu funkcija kola u kompleksnom i vre-

menskom domenu

Iz definicije funkcije kola u kompleksnom domenu (s - domenu) koja je data relacijom (12.534)

imamo

W (s) =R(s)

E(s)

odnosno

R(s) = E(s)W (s)

Ako je eksitacija Hevisajdov generator eh(t) = Eh(t) odziv je rh(t)

Eh(s) = Leh(t) = E Lh(t) =E

s

Rh(s) = Lrh(t) = Eh(s)W (s) = EW (s)

s

rh(t) = L−1 Rh(s) = E L−1W (s)

s

Na osnovu definicije indicione funkcije imamo

f(t) =rh(t)

E= L−1

W (s)

s

(12.552)

Dobili smo veoma vaznu relaciju koja nam omogucava da odredimo indicionu funkciju ako je

poznata funkcija kola W (s) i obratno. Ito tako ako je eksitacija impulsni generator eδ(t) =

Fδ(t), odziv je rδ(t)

Eδ(s) = Leδ(t) = F Lδ(t) = F 1

411

Rδ(s) = Lrδ(t) = Eδ(s)W (s) = F W (s)

rδ(t) = L−1 Rδ(s) = F L−1 W (s)

Na osnovu definicije Grinove funkcije

g(t) =rδ(t)

F= L−1 W (s) (12.553)

Dobili smo vaznu relaciju iz koje vidimo da je Grinova funkcija direktno povezana sa funkcijom

kola. Relacije (12.552) i (12.553) su i najlakši put za odreivanje indicione i Grinove funkcije

iz funkcije kola. Znacaj ovih funkcija je veoma veliki u teoriji elektricnih kola i sistema kao što

cemo vidjeti u narednim izlaganjima (superpozicioni i konvolucioni integrali). Ako se poznate

funkcije f(t) i g(t) mozemo odrediti odziv ukljucenja na proizvoljnu eksitaciju. Preko Grinove

funkcije mozemo definisati kriterijum apsolutne stabilnosti kola

∞∫0

|g(τ )| dτ < ∞

12.5 Primjena funkcije kola za odreivanje ustaljenog

odziva

[Steday-State Response]

Polovi odziva R(s) komponavani su od polova funkcije kola W (s) i od polova eksitacije E(s)

R(s) = E(s)W (s) =B(s)

A(s)=

B(s)

An(s)Af(s)=

B(s)

(s− pn1)(s− pn2) · · · (s− pf1)(s− pf2) · · ·(12.554)

gdje pn1, pn1, . . . predstavljaju prirodne polove (polovi funkcije kola) a pf1, pf2, . . . pred-

stavljaju prinudne polove (polovi eksitacije). Predpostavljajuci da su svi polovi prosti i da

je stepen polinoma B(s) manji od stepena polinoma A(s) odziv R(s) se moze razloziti u

parcijalne (djelimicne) razlomke

R(s) =

(Kn1

s− pn1+

Kn2

s− pn2+ · · ·

)+

(Kf1

s− pf1+

Kn2

s− pf2+ · · ·

)= Rn(s) +Rf(s) (12.555)

gd je Rn(s) prirodni dio odziva R(s) a Rf (s) predstavlja prinudni dio odziva R(s). U vre-

menskom domenu imamo

r(t) =(Kn1e

pn1 t +Kn2epn2 t + . . .

)+

(Kf1e

pf1 t +Kf2epf2t + . . .

)= rn(t) + rf(t) (12.556)

412

Primjer: U kolu prema slici 12.301. odrediti odziv v(t) =?

11( ) singi t t=

( )v t

Slika 12.301:

Ig(s) = Lig(t) = Lsin t =1

s2 + 1

W (s) =V (s)

Ig(s)=

1

s2 + 1

Odziv je jednak

R(s) = V (s) =

(1

s+ 1

)(1

s2 + 1

)

Polovi su: pn1 = −1 , pf1 = j, pf2 = −j pa imamo

V (s) = Vn(s) + Vf (s) =1

2

1

s+ 1− 1

2

s− 1

s2 + 1

Vn(s) =1

2

1

s+ 1; Vf (s) = −1

2

s− 1

s2 + 1

U vremenskom domenu

v(t) = vn(t) + vf(t)

pri cemu je prirodni odziv jednak

vn(t) =1

2e−t

a prinudni

vf (t) =1√2sin

(t− π

4

)

Primjer: : U kolu prema slici 12.302. odrediti odziv v2(t) =? ako je v1(t) = h(t).

V1(s) = Lv1(t) =1

s

W (s) =V2(s)

V1(s)=

s

s+ 1

RC

413

C

R1( )v t 2( )v t

Slika 12.302:

Polovi su: pn1 = 0, pf1 = − 1

RCpa je napon V2(s) jednak

V2(s) = W (s)V1(s) =s

s+ 1

RC

1

s=

1

s+ 1

RC

U vremenskom domenu

v2(t) = vn(t) = e−t

RC ; vf1(t) = 0

Primjer: U kolu prema slici 12.303. odrediti odziv v2(t) =? ako je i1(t) = e−t cos t.

111( )i t 2( )v t

Slika 12.303:

I1(s) = Li1(t) = Le−t cos t

=

s+ 1

(s + 1)2 + 1

Pri cemu je I1(s) = 0 za s = −1. Prenosna funkcija je

W (s) =V2(s)

I1(s)=

1

s+ 1

i imamo pol pn1 = −1. Napon V2(s) je jednak

V2(s) = W (s)I1(s) =1

s+ 1

s+ 1

(s+ 1)2 + 1=

1

(s+ 1)2 + 1

Prinudni odziv je jednak

v2(t) = e−t sin t

dok je prirodni odziv jednak nuli

vn(t) = 0

414

Polovi funkcije kola se poklapaju sa nulama eksitacije.

12.5.1 Prostoperiodicni ustaljeni rezim

1. Posmatrajmo eksitaciju oblika

( ) ?fr t =

( )W s

( )= sin( + )m

e t E tω θ

R(s) = W (s)E(s)

E(s) = Le(t) = LEm sin (ωt+ θ) = Ems sin θ + ω cos θ

s2 + ω2

R(s) = W (s)

[Em

s sin θ + ω cos θ

s2 + ω2

]= W (s)

Em (s sin θ + ω cos θ)

(s− jω)(s+ jω)

Polovi pobude su pf1 = jω i pf2 = −jω pa je

Rf(s) =K

s− jω+ konjugovani dio

K = (s− jω)R(s)|s=jω = W (jω)

[Em (jω sin θ + ω cos θ)

2jω

]

Rf(s) = Em

W (jω)

2j(cos θ + j sin θ)

1


Rf(s) =

Em

|W (jω)|2

ej[θ+θW (ω)−π2]

1


gdje je |W (jω)| = mod W (jω) a θW (ω) = arg W (jω).

rf(t) = L−1 Rf(s) =

Em

|W (jω)|2

ej[θ+θW (ω)−π2]ejωt + konjugovani dio

rf (t) = 2Re

Em

|W (jω)|2

ej[ωt+θ+θW (ω)−π2]

= Em |W (jω)| cos[ωt+ θ + θW (ω)− π

2

]

rf (t) = Em |W (jω)| sin [ωt+ θ + θW (ω)]

415

( )= sin( + )m

e t E tω θ [ ]( )= ( ) sin + + ( )f m Wr t E W j tω ω θ θ ω( )W s

2. Posmatrajmo eksitaciju oblika

( ) ?fr t =

( )W s

( )= cos( + )me t E tω θ

E(s) = Le(t) = LEm cos (ωt+ θ) = Ems cos θ − ω sin θ

s2 + ω2

R(s) = W (s)E(s) = W (s)

[Em

s cos θ − ω sin θ

s2 + ω2

]= W (s)

Em (s cos θ − ω sin θ)

(s− jω)(s+ jωω)

Polovi pobude su s1 = jω i s2 = −jω pa je

Rf(s) =K


K = (s− jω)R(s)|s=jω = W (jω)

[Em (jω cos θ − ω sin θ)

2jω

]

Rf (s) = Em

W (jω)

2j(j cos θ − sin θ)

1


Rf(s) =

Em

|W (jω)|2

ej[θ+θW (ω)]

1


rf(t) = L−1 Rf(s) =

Em

|W (jω)|2

ej[θ+θW (ω)]

ejωt + konjugovani dio

rf (t) = 2Re

Em

|W (jω)|2

ej[ωt+θ+θW (ω)]

= Em |W (jω)| cos [ωt + θ + θW (ω)]

( )= cos( + )m

e t E tω θ [ ]( )= ( ) cos + + ( )f m Wr t E W j tω ω θ θ ω( )W s

416

12.5.2 Pseudoperiodicni ustaljeni rezim

3. Posmatrajmo pseudoperiodicnu eksitaciju oblika

( ) ?fr t =

( )W s

( )= sin( + )tme t E e t

α

ω θ

R(s) = W (s)E(s)

E(s) = Le(t) = LEme

αt sin (ωt + θ)= Em

(s− α) sin θ + ω cos θ

(s− α)2 + ω2

R(s) = W (s)

[Em


(s− α)2 + ω2

]= W (s)

Em


[s− (α + jω)] [s+ (α− jω)]

Polovi pobude su s1 = α+ jω i s2 = α− jω pa je

Rf (s) =K

s− (α + jω)+ konjugovani dio

K = [s− (α + jω)]R(s)|s=α+jω = W (α + jω)

[Em

(α + jω − α) sin θ + ω cos θ)

α + jω − α + jω

]

K = W (α + jω)

[Em (jω sin θ + ω cos θ)

2jω

]

Rf (s) = Em

W (α + jω)

2j(cos θ + j sin θ)

1


W (s)|s=α+jω = W (α + jω) = |W (α + jω)| ejθW (α,ω)

gdje je |W (α + jω)| = mod W (α+ jω) a θW (α, ω) = arg W (α+ jω). Odziv je sada

jednak

Rf (s) =

Em

|W (α+ jω)|2

ej[θ+θW (α,ω)−π2]e(α+jω)t + konjugovani dio

Rf(s) =

Eme

αt |W (α + jω)|2

ej[ωt+θ+θW (α,ω)−π2]+ konjugovani dio

rf(t) = 2Re

Eme

αt |W (α+ jω)|2

ej[ωt+θ+θW (α,ω)−π2]

417

rf(t) = Emeαt |W (α + jω)| cos

[ωt + θ + θW (α, ω)− π

2

]

rf (t) = Emeαt |W (α + jω)| sin [ωt+ θ + θW (α, ω)]

[ ]( )= ( + ) sin + + ( , )tf m Wr t E e W j tα

α ω ω θ θ α ω( )W s

( )= sin( + )tme t E e tα

ω θ

Za razlicite vrijednosti α, ω i θ prinudni odziv se moze izracunati za razlicite varijacije

pobude. Na primjer, ako je ω = 0, θ = π/2, eksitacijaje eksponencijalna e(t) = Emeαt a

prinudni odziv je rf(t) = Emeαt |W (α)| ejθW (α) pri cemu je θW (α) = 0.

4. Posmatrajmo pseudoperiodicnu eksitaciju oblika

( ) ?fr t =

( )W s

( )= cos( + )t

me t E e tα

ω θ

R(s) = W (s)E(s)

E(s) = Le(t) = LEme

αt cos (ωt+ θ)= Em

(s− α) cos θ − ω sin θ

(s− α)2 + ω2

R(s) = W (s)

[Em


(s− α)2 + ω2

]= W (s)

Em


[s− (α+ jω)] [s+ (α− jω)]

Polovi pobude su s1 = α+ jω i s2 = α− jω pa je

Rf (s) =K


K = [s− (α + jω)]R(s)|s=α+jω = W (α+ jω)

[Em

(α+ jω − α) cos θ − ω sin θ)

α + jω − α + jω

]

K = W (α + jω)

[Em (jω cos θ − ω sin θ)

2jω

]

Rf(s) = Em

W (α + jω)

2j(j cos θ − sin θ)

1


W (s)|s=α+jω = W (α + jω) = |W (α + jω)| ejθW (α,ω)

418

gdje je |W (α + jω)| = mod W (α+ jω) a θW (α, ω) = arg W (α+ jω). Odziv je sada

jednak

Rf (s) =

Em

|W (α + jω)|2

ej[θ+θW (α,ω)]

e(α+jω)t + konjugovani dio

Rf(s) =

Eme

αt |W (α + jω)|2

ej[ωt+θ+θW (α,ω)]

+ konjugovani dio

rf(t) = 2Re

Eme

αt |W (α+ jω)|2

ej[ωt+θ+θW (α,ω)]

rf(t) = Emeαt |W (α + jω)| cos

[ωt+ θ + θW (α, ω)

π

2

]

[ ]( )= ( + ) cos + + ( , )tf m Wr t E e W j tα

α ω ω θ θ α ω( )W s

( )= cos( + )tme t E e t

α

ω θ

Prinudni odziv rf (t) je identican odzivu koji koji nastupi kada se prirodni odziv (prelazni

odziv) završi tj. ustaljenom odzivu rf(t) = rss(t) (steady-state response). Do istih rezultata

moze se doci i na druge nacine. Posmatrajmo na primjer, linearno, vremenski nepromjenljio

elektricno kolo u kome djeluje pseudoperiodicna eksitacija:

e(t) = Emeσt cos (ωt+ θ)

Ako je za krajeve generatora vezana pasivna mreza bez akumulisane energije, odziv kola ce,

poslije “dovoljno dugo vremena” (ustaljeni odziv), biti jednak prinudnom odzivu a on je opisan

funkcijom istog oblika kao eksitacija:

y(t) = yh(t) + yp(t)|t→∞ = yp(t) = Ymeσt cos (ωt+ ψ)

( )e t ( )y t

Slika 12.304:

e(t) = Emeσt1

2

[ej(ωt+θ) + e−j(ωt+θ)

]=

1

2Eme

jθe(σ+jω)t +1

2Eme

−jθe(σ−jω)t

y(t) = Ymeσt1

2

[ej(ωt+ψ) + e−j(ωt+ψ)

]=

1

2Yme

jψe(σ+jω)t +1

2Yme

−jψe(σ−jω)t

419

gdje je s= σ + jω i predstavlja kompleksnu ucestanost.

e(t) = e1(t) + e2(t)

e1(t) =1

2e(t); e2(t) = e∗1

e(t) = Emejθe(σ+jω)t = Eme

st; Em = Emejθ

y(t) = y1(t) + y

2(t)

y1(t) =

1

2y(t); y

2(t) = y∗

1

y(t) = Ymejψe(σ+jω)t = Y me

st; Y m = Ymejψ

e(t) = Re e(t)y(t) = Re

y(t)

Od diferencijalne jednacine:

A(D)y1(t) = B(D)e1(t)

dobija se kompleksna algebarska jednacina oblika:

A(s)y(t) = B(s)e(t)

iz koje slijedi:

A(s)Y m = B(s)Em

Y m =B(s)

A(s)Em = W (s)Em

Velicina:

W (s) =y(t)

e(t)=

Y m

Em

=B(s)

A(s)

se naziva kompleksna funkcija kola. Odziv y(t) je jednak:

y(t) = ReW (s)Eme

st= Re

B(s)

A(s)Eme

st

420

12.5.3 Rezonantni odziv

( )e t ( )y t

Slika 12.305:

A(D)y(t) = B(D)e(t)

e(t) = Emeσt cos (ωt+ θ)

y(t) = Ymeσt cos (ωt + ψ)

Y m =B(s)

A(s)Em = Yme

jψ ⇒ y(t) = ReY me

st

Šta se dešava ako je ucestanost pobude jednaka nakoj od sopstvenih ucestanosti kola. Sop-

stvene ucestanosti su, kao što je poznato, jednake korijenima karakteristicne jednacine kola:

A(s) = 0 ⇒ s1, s2, ..., sr

i mogu biti proste i/ili višestruke. Karakteristicni polinom se moze predstaviti u faktorizo-

vanom obliku kao:

A(s) = (s− s1) (s− s2) ... (s− sr) =r

Πi=1

(s− si)

Neka je jedna od sopstvenih ucestanosti, na primjer, s1 reda p, a ostale su proste. Tada je:

A(s) = (s− s1)p

r

Πi=p+1

(s− si)

Pobuda je proizvoljna i nezavisna od elektricnog kola tako da njena ucestanost moze biti

jednaka nekoj od sopstvenih ucestanosti sistema:

s = si = σi + jωi, i = 1, 2, ..., r

W (s)|s=si

=B(si)

A(si)= ∞

jer je tada A(si) = 0.

Y m = W (s) Em|s=si

= ∞

421

Kakav je tada prinudni odziv u vremenskom domenu, y(t) =? Ovakav odziv se naziva rezo-

nantni odziv. Iz teorije diferencijalnih jednacina je poznato rješenje jednacine A(D)y(t) =

B(D)e(t) ako je s = si = σi + jωi, i = 1, 2, ..., r i ono je oblika:

y(t) = Re

tp

B(si)

A(p)(si)Eme

sit

gdje je A(p)(si) izvod p - og reda po si karakteristicnog polinoma A(s) u tacki s = si:

A(p)(si) =dpA(s)

dsp

∣∣∣∣s=s

i

a si je sopstvena ucestanost p - og reda. Iz predhodnih izraza mozemo zakljuciti kakav ce biti

rezonantni odziv poslije dovoljno dugo vremena (teorijski pri t → ∞) od momenta ukljucenja

pobude. Od znacaja je samo proizvod tpeσit s obzirom da y(t) mozemo pisati u formi:

y(t) = tpeσitF (σi, ωi, t)

gdje je:

F (σi, ωi, t) = Re

B(si)

A(p)(si)Eme

ωit

ogranicena funkcija vremena. Kako je:

limt→∞

tpeσit =

0 σi < 0

∞ σi ≥ 0

Primjer 1: Posmatrajmo prosto kolo prikazano na slici 12.306. Kolo je bez pocetne energije.

Odrediti prinudni odziv kola, struju i(t), ako je napon generatora oblika:

a) ug(t) = Ugmeσt cos (ωt + θg)

b) ug(t) = Ug

( )gu t

( )i t

L

Slika 12.306:

Jednacina kola u vremenskom domenu je:

LDi(t) = ug(t)

422

A(D) = LD; B(D) = 1

odnosno u s - domenu je:

LsIm = Ugm

A(s)Im = B(s)Ugm

Im = W (s)Ugm

W (s) =B(s)

A(s)=

1

Ls

Ugm = Ugmejθg ; s = σ + jω

Sopstvena ucestanost kola dobija se iz relacije A(s) = 0 i ona je jednaka:

Ls = 0 ⇒ s1= 0 σ1 = 0 ∧ ω1 = 0

a)

i(t) = Re

B(s)

A(s)U

gmest

= Re

1

L (σ + jω)Ugme

jθge(σ+jω)t

i(t) =Ugm

L√σ2 + ω2

eσt cos (ωt+ θg − ϕ)

gdje je:

ϕ = arctg(ωσ

)b) Ako je eksitacija konstantna, odnosno ug(t) = Ug tada je:

s = 0; σ = 0; ω = 0

Ucestanost generatora je jednaka sopstvenoj frekvenciji kola s = s1 te je ostvarena rezo-

nancija:

Y (s1) = ∞ ⇒ Im = ∞

Ugm = Ug; p = 1

i(t) = tUg

L→ ∞ ako t → ∞

Primjer 2: Posmatrajmo prosto kolo prikazano na slici 12.307. Kolo je bez pocetne energije.

423

Odrediti prinudni odziv kola, struju i(t), ako je napon generatora oblika ug(t) = Ugmeσt.

Jednacina kola u vremenskom domenu je:

( )gu t

( )i t R L

Slika 12.307:

Ri+ LDi = ug

A(D)i(t) = B(D)ug(t)

A(D) = R+ LD; B(D) = 1

A(s)Im= B(s)U

gm

A(s) = R+ Ls; B(s) = 1

Im= W (s)U

gm

W (s) =B(s)

A(s)=

1

R+ Ls

Sopstvena ucestanost kola dobija se iz relacije A(s) = 0 i ona je jednaka:

s1

= −R

L= σ1

s = s1; σ = σ1 = −R

L

Sopstvena ucestanost je prosta p = 1 pa imamo da je:

A′(s) = L

i(t) = Re

tB(s

1)

A′(s1)Ugm

es1t

= tUgm

Leσ1t = t

Ugm

Le−

R

Lt

424

12.5.4 Odziv u kolu kada su polovi eksitacije blizu polova funkcije

kola

Neka su polovi eksitacije i funkcije kola rasporeeni u s - ravni kao na slici 12.308. Pred-

postavka je da su oba pola prosta.

Re

Imjs∆

p s+ ∆

p

PolEksitacije

Pol FunkcijeKola

Slika 12.308:

An(s) = (s− p)Anr(s)

Sa slike se vidi da je p pol funkcije kola

Af(s) = (s− p−∆s)Afr(s)

s = p+∆s je pol eksitacije. Anr(s) i Afr(s) su ostaci odgovarajucih polinoma

R(s) =B(s)

A(s)=

B(s)

An(s)Af (s)=

B(s)

[(s− p)Anr(s)] [(s− p−∆s)Afr(s)]

Predpostavlja se da polinom B(s) nema nula u s = p i s = p+∆s. Odziv je tada

R(s) =Kn

s− p+

Kf

s− p−∆s+ clanovi od ostatka polova R(s)

Kn =B(s)

Anr(s) [(s− p−∆s)Afr(s)]

∣∣∣∣s=p

=−B(p)

Anr(s)Afr(s)∆s=

K(p)

∆s

Kf =B(s)

Afr(s) [(s− p)Anr(s)]

∣∣∣∣s=p+∆s

=B(p+∆s)

Anr(p+∆s)Afr(p+∆s)∆s= −K(p+∆s)

∆s

U vremenskom domenu odziv je

r(t) =K(p)

∆sept − K(p+∆s)

∆se(p+∆s)t + (ostali clanovi)

425

Primjer: Oba pola leze u lijevoj poluravni s - ravni.

11te

α− ( )v t

1+

j+

1−α−

+ =

0

10

( )nv t

10−

( )fv t

0

( )v t

prirodni odziv prinudni odziv odziv

1.1α =

Za α = 1 odziv je

vn(t) =1

α− 1e−t

i

vf (t) = − 1

α− 1e−αt


Primjer: Jedan pol u lijevoj poluravni a drugi na imaginarnoj osi s - ravni.

1 1sin tω( )v t50

0.01−

1j

1j−

1+

j+

41 10j −

−

Polovi funkcije kola su s = −0.01 ± j√1− 10−4 dok su polovi eksitacije ±jω. Prirodni

odziv je tada

vn(t) =−50ω√

1− 10−4√2500(ω2 − 1)2 + ω2

e−t

100 sin√

1− 10−4t− arctan(100

√1− 10−4

)+

+arctan

[100

√1− 10−4

5000(ω2 − 1) + 1

]

vf (t) =50ω√

2500(1− ω2)2 + ω2sin

ωt− arctan

[ω

50(1− ω2)

]+

π

2

426

Ukupan odziv je jednak


a za ω = 1 dobijamo

vn(t) = − 50√1− 10−4

e−t

100 sin√1− 10−4t

vf (t) = 50 sin t

12.5.5 Odziv kada se polovi funkcije kola i eksitacije poklapaju -

rezonantni odziv

Polazeci od relacije

r(t) =K(p)

∆sept − K(p+∆s)

∆se(p+∆s)t + (ostali clanovi)

r(t) = − lim∆s→0

[K(p+∆s)e(p+∆s)t −K(p)ept

∆s

]︸︷︷︸

po definiciji dds[K(s)est]

s=p

+ (ostali clanovi)

r(t) = − d

ds

[K(s)est

]s=p

+ (ostali clanovi) = −[K(s)

d

ds(est)

]s=p

−

−est

d

ds[K(s)]

s=p

+ (ostali clanovi)

r(t) = −K(p)tept − dK(s)

ds

∣∣∣∣s=p

+ (ostali clanovi)

Primjer:

Funkcija kola je data izrazom

1 1sin tω ( )v t

1j

1j−

1+

j+

1j

4j−

1+

j+

Polovi Funkcie Kola Polovi Eksitacije

W (s) =s

s+ 1

427

Polovi funkcije kola su p1 = +j1 i p2 = −j1. Eksitacija je

E(s) = Le(t) = Lsinωt =ω

s2 + ω2

Polovi eksitacije su p1 = +jω i p2 = −jω. Ako je ω = 1 odziv je tada

v(t) = vn(t) + vf(t) = − ω

1− ω2cos t +

ω

1− ω2cosωt

Kada je ω = 1 dobijamo

v(t) =t

2sin t

SPECIJALNE METODE

RJEŠAVANJA ELEKTRICNIH

KOLA

13.1 Odreivanje odziva ukljucenja pomocu konvolu-

cionog integrala

Polazeci od relacije R(s) = E(s)W (s), veze Grinove funkcije i funkcije kola i osobine kon-

volucije Lplasove transformacije mozemo napisati da je odziv ukljucenja R(s) =Lr(t) na

proizvoljnu eksitaciju E(s) =Le(t) je jednak

R(s) = E(s)W (s) = Le(t)Lg(t)

r(t) =t∫0

e(τ )g(t− τ )dτ (13.557)

i

r(t) =t∫0

e(t− τ )g(τ )dτ (13.558)

Dobili smo dva oblika konvolucionog integrala za izracunavanje odziva ukljucenja ako je poz-

nata Grinova funkcija na pobudu proizvoljnog oblika. Do istog rezultata mozemo doci i

na druge nacine. Jedan je koristeci svojstva Dirakove funkcije δ(t). Proizvoljnu vremensku

funkciju mozemo predstaviti kao konvoluciju nje same sa Dirakovom funkcijom

e(t) = e(t) ∗ δ(t) =t∫0

e(τ )δ(t− τ)dτ =t∫0

e(t− τ )δ(τ )dτ (13.559)

428

429

Koristeci osobine linearnosti i stacionarnosti odziva ukljucenja mozemo napisati da pobuda

e(τ )δ(t− τ)dτ izaziva odziv ukljucenja e(τ )g(t− τ )dτ ili e(t− τ )δ(τ)dτ a ukupni odziv je

r(t) =t∫0

e(τ)g(t− τ)dτ =t∫0

e(t− τ)g(τ)dτ (13.560)

U teoriji sistema, matematici i fizici ovaj se integral naziva i F - ovim integralom.

13.2 Odreivanje odziva ukljucenja pomocu superpozi-

cionog (DuHamel-ov) integrala

Polazeci od relacije R(s) = E(s)W (s) i koristeci osobinu konvolucije u Laplasovoj transfor-

maciji

t∫0

f1(τ)f2(t− τ )dτL⇐⇒ F1(s)F2(s)

d

dt

t∫0

f1(τ )f2(t− τ )dτL⇐⇒ sF1(s)F2(s)

kao i relaciju (12.552) mozemo pisati da je odziv

R(s) = s E(s)W (s)

s

r(t) = L−1

[s E(s)

W (s)

s

]= L−1 [s Le(t) Lf(t)]

r(t) =d

dt

t∫0

e(τ)f(t− τ)dτ =d

dt

t∫0

e(t− τ)f(τ)dτ

Koristeci L-ovu formulu o diferenciranju integrala po parametru (α - parametar)

Q(α) =z2(α)∫z1(α)

f(x, α)dx

dQ(α)

dα=

z2(α)∫z1(α)

∂f(x, α)

∂αdx+ f(z2, α)

dz2dα

− f(z1, α)dz1dα

iz oblika (VI - oblik)

r(t) =d

dt

t∫0

e(τ )f(t− τ )dτ (13.561)

430

dobijamo dva oblika (III - oblik)

r(t) = e(t)f(0) +t∫0

e(τ)f ′(t− τ)dτ (13.562)

i (IV - oblik)

r(t) = e(t)f(0) +t∫0

e(t− τ)f ′(τ)dτ (13.563)

Iz oblika (V - oblik)

r(t) =d

dt

t∫0

e(t− τ )f(τ )dτ (13.564)

dobijamo dva oblika (I - oblik)

r(t) = e(0)f(t) +t∫0

e′(τ)f(t− τ)dτ (13.565)

i (II - oblik)

r(t) = e(0)f(t) +t∫0

e′(t− τ)f(τ)dτ (13.566)

Dobili smo šesto oblika Dijamelovog integrala za izracunavanje odziva ukljucenja u nekoj grani

kola na proizvoljnu pobudu. Prelaz sa oblika (I) na oblik (II) vrši se zamjenom promjenljivih

kao i sa oblika (III) na oblik (IV). Do istog rezultata mozemo doci i na druge nacine koristeci

svojstva i osobine Laplasove transformacije.

II nacin

1.

R(s) = s E(s)W (s)

s

E(s) = Le(t)

Le′(t) = sE(s)− e(0)

sE(s) = Le′(t)+ e(0)

r(t) = L−1 R(s)

431

Lf(t) =W (s)

s

R(s) = [Le′(t)+ e(0)] Lf(t) = e(0) Lf(t)+ Le′(t) Lf(t)

r(t) = L−1 [e(0) Lf(t)+ Le′(t) Lf(t)]

Odavde dobijamo I oblik

r(t) = e(0)f(t) +t∫0

e′(τ)f(t− τ)dτ

i II oblik Dijamelovog integrala

r(t) = e(0)f(t) +t∫0

e′(t− τ)f(τ)dτ

2.

R(s) = E(s)W (s) = E(s) sW (s)

s

sW (s)

s= s Lf(t) = Lf ′(t)+ f(0)

r(t) = L−1 [f(0)E(s) + Le(t) ∗ f ′(t)]

Iz zadnje relacije dobijamo III oblik

r(t) = e(t)f(0) +t∫0

e(τ)f ′(t− τ)dτ

i IV oblik Dijamelovog integrala

r(t) = e(t)f(0) +t∫0

e(t− τ)f ′(τ)dτ

III nacin

R(s) = s E(s)W (s)

s

E(s) = Le(t)

R(s) = Lr(t)

432

Le′(t) = sE(s)− e(0)

sE(s) = Le′(t)+ e(0)

Lf(t) =W (s)

s

sE(s) = e(0) + Le′(t) = Le(0)δ(t) + e′(t)

R(s) = s E(s)W (s)

s= Le(0)δ(t) + e′(t)Lf(t)

R(s) = Le(0)δ(t)Lf(t)+ Le′(t) Lf(t)

R(s) = Le(0)δ(t) ∗ f(t)+ Le′(t) ∗ f(t)

r(t) =t∫0

e(0)f(τ)δ(t− τ )dτ +t∫0


r(t) = e(0)t∫0

f(τ)δ(t− τ )dτ︸︷︷︸f(t)

+t∫0


Iz zadnje relacije dobijamo I oblik

r(t) = e(0)f(t) +t∫0


i II oblik Dijamelovog integrala

r(t) = e(0)f(t) +t∫0

e′(t− τ)f(τ)dτ

R(s) = s E(s)W (s)

s

sW (s)

s= s Lf(t) = Lf ′(t) + f(0) = Lf ′(t) + f(0)δ(t)

R(s) = E(s) Lf ′(t) + f(0)δ(t) = E(s) Lf(0)δ(t)+ E(s) Lf ′(t)

433

R(s) = Le(t) ∗ f(0)δ(t)+ Le(t) ∗ f ′(t)

r(t) =t∫0

e(τ)f(0)δ(t− τ )dτ +t∫0


r(t) = f(0)t∫0

e(τ)δ(t− τ )dτ︸︷︷︸e(t)

+t∫0


Iz zadnje relacije dobijamo III oblik

r(t) = e(t)f(0) +t∫0


i IV oblik Dijamelovog integrala

r(t) = e(t)f(0) +t∫0

e(t− τ)f ′(τ)dτ

IV nacin

Polazeci od tvrdnje da svaku vremensku funkciju mozemo izraziti preko Dijamelovog integrala

e(t) = e(0)h(t) +t∫0

e′(τ )h(t− τ)dτ

i polazeci od osobine linearnosti i stacionarnosti odziva ukljucenja imamo: e(t) daje odziv

r(t), clan e(0)h(t) daje odziv e(0)f(t) tada

e′(τ )h(t− τ)dτ =⇒ e′(τ )f(t− τ )dτ

t∫0

e′(τ )h(t− τ)dτ =⇒t∫0


Konacno dobijamo I oblik Dijamelovog integrala

r(t) = e(0)f(t) +t∫0


a iz njega mozemo dobiti sve ostale oblike zamjenom promjenljivih i parcijalnom integracijom.

Teorijski Dijamelov superpozicioni integral i Fredholmov konvolucioni integral za izracuna-

vanje odziva ukljucenja u nekoj grani kola pri proizvoljnoj eksitaciji su potpuno ravnopravni.

Oba pripadaju specijalnim metodama analize elektricnih kola. Oni nemaju opštost sistem-

atskih metoda za analizu odziva kakve su klasicna metoda, metoda Laplasove transformacije

434

i metoda promjenljivih struja. Sa prakticne strane prednost treba dati metodi Dijamelovog

superpozicionog integrala jer se indiciona funkcija f(t) kako kazu matematicari, ljepše ponaša

od Grinove funkcije. Kako superpozicioni integral ima šest oblika, pogodno je birati onaj gdje

se izbjegava izvod eksitacije pod integralom u slucajevima kada je eksitacija prekidna funkcija.

U tom slucaju najpogodniji je III - oblik Dijamelovog integrala.

Primjer 1: Data je eksitacija ug(t) = u(t) koja se mijenja prema prilozenom dijagramu

na slici 13.309. Poznato je Zul(s) [Yul(s)] . Odrediti odziv ukljucenja i(t) =?

( )gu t

( )i t

( )u t

N

( )ulZ s

(0)u

1( )u t2( )u t

c

a

bbu

au

cu

( )gu t

1t 2t t

Slika 13.309:

Rješenje: Indiciona funkcija kola u ovom slucaju je indiciona admitansa f(t) = a(t).

W (s) = Yul(s) =1

Zul(s)

a(t) = L−1Yul(s)

s

= L−1

1

s Zul(s)

I oblik Dijamelovog integrala

0 < t < t1

i(t) = u(0)a(t) +t∫0

u′

1(τ )a(t− τ )dτ

t1 < t < t2

i(t) = u(0)a(t) +t1∫0

u′

1(τ )a(t− τ)dτ + (ub − ua)a(t− t1) +

t∫t1

u′

2(τ)a(t− τ )dτ

t > t2

i(t) = u(0)a(t) +t1∫0

u′

1(τ)a(t− τ )dτ + (ub − ua)a(t− t1) +

t2∫t1

u′

2(τ)a(t− τ )dτ +

+t∫t2

0 a(t− τ )dτ︸︷︷︸=0

+ (0− uc)a(t− t2)

III oblik Dijamelovog integrala

435

0 < t < t1

i(t) = u1(t)a(0) +t∫0

u1(τ)a′(t− τ )dτ

t1 < t < t2

i(t) = u2(t)a(0) +t1∫0

u1(τ)a′(t− τ )dτ +

t∫t1

u2(τ)a′(t− τ )dτ

t > t2

i(t) = 0 a(t) +t1∫0

u1(τ)′a(t− τ)dτ +

t2∫t1

u2(τ)a′(t− τ)dτ +

t∫t2

0 a′(t− τ)dτ︸︷︷︸=0

Ovaj primjer potvruje pogodnost primjene III oblika Dijamelovog integrala.

Primjer: Data je eksitacija ug(t) = u(t) koja se mijenja prema prilozenom dijagramu na

slici 13.310. Poznato je Zul(s) [Yul(s)] . Odrediti odziv ukljucenja i(t) =?

( )gu t

( )i t

( )u t

N

[ ]( ) ( )ul ulZ s Y s

1( )u t

1(0)u

( )gu t

t1T 2T 3T 4T

2( )u t

3( )u t

4( )u t

5( )=0u t

Slika 13.310:

Indiciona admitansa je jednaka

a(t) = L−1Yul(s)

s

= L−1

1

sZul(s)

0 ≤ t ≤ T1 - Funkcija neprekidna

I oblik

i(t) = u1(0)a(t) =t∫0

u′

1(τ)a(t− τ )dτ

II oblik

i(t) = u1(0)a(t) =t∫0

u′

1(t− τ)a(τ )dτ

III oblik

i(t) = u1(t)a(0) =t∫0

u1(τ )a′(t− τ)dτ

436

IV oblik

i(t) = u1(t)a(0) =t∫0

u(t− τ )a′(τ )dτ

T1 ≤ t ≤ T2 - Funkcija neprekidna (ima singularnu tacku)

I oblik

i(t) = u1(0)a(t) =T1∫0

u′

1(τ )a(t− τ)dτ +

t∫T1

u′

2(τ )a(t− τ)dτ

II oblik

i(t) = u1(0)a(t) =T1∫0

u′

1(t− τ )a(τ)dτ +

t∫T1

u′

2(t− τ )a(τ)dτ

III oblik

i(t) = u2(t)a(0) =T1∫0

u1(τ )a′(t− τ)dτ +

t∫T1

u2(τ )a′(t− τ )dτ

IV oblik

i(t) = u2(t)a(0) =T1∫0

u1(t− τ )a′(τ)dτ +t∫T1

u2(t− τ )a′(τ )dτ

T2 ≤ t ≤ T3 - Funkcija prekidna t = T2

I oblik

i(t) = u1(0)a(t) =T1∫0

u′

1(τ)a(t− τ )dτ +

T2∫T1

u′

2(τ )a(t− τ )dτ + [u3(T2)− u2(T2)] a(t− T2) +

+t∫T2

u′

3(τ )a(t− τ)dτ

III oblik

i(t) = u3(t)a(0) =T1∫0

u1(τ)a′(t− τ )dτ +

T2∫T1


t∫T2

u3(τ)a′(t− τ)dτ

T3 ≤ t ≤ T4 - Funkcija neprekidna (ima singularnu tacku)

I oblik

i(t) = u1(0)a(t) =T1∫0

u′

1(τ)a(t− τ )dτ +

T2∫T1

u′

2(τ )a(t− τ )dτ + [u3(T2)− u2(T2)] a(t− T2) +

+T3∫T2

u′

3(τ )a(t− τ)dτ +

t∫T3

u′

4(τ )a(t− τ)dτ

III oblik

i(t) = u4(t)a(0) =T1∫0

u1(τ )a′(t−τ)dτ+

T2∫T1

u2(τ)a′(t−τ )dτ+

T3∫T2

u3(τ )a′(t−τ)dτ+

t∫T3

u4(τ)a′(t−τ)dτ

T4 ≤ t ≤ ∞ - Funkcija prekidna t = T4

437

I oblik

i(t) = u1(0)a(t) =T1∫0

u′

1(τ)a(t− τ )dτ +

T2∫T1

u′

2(τ )a(t− τ )dτ + [u3(T2)− u2(T2)] a(t− T2) +

+T3∫T2

u′

3(τ )a(t− τ)dτ +

T4∫T3

u′

4(τ )a(t− τ)dτ + [u5(T4)− u4(T4)] a(t− T4) +

+t∫T4

u′

5(τ )a(t− τ)dτ︸︷︷︸

=0

III oblik

i(t) = u5(t)a(0)︸︷︷︸=0

=T1∫0


T2∫T1


T3∫T2

u3(τ )a′(t− τ )dτ +

+T4∫T3

u4(τ)a′(t− τ )dτ +

t∫T4

u5(τ)a′(t− τ)dτ︸︷︷︸=0

I iz ovog primjera se vidi pogodnost primjene III oblika Dijamelovog integrala.

VODOVI

Pri proucavanju raznih elektromagnetskih pojava treba jasno utvrditi u koje podrucje ulazi

postavljeni problem. Teorija elektromagnetskog polja je osnovna teorija koja svojim zakon-

ima objašnjava i opisuje elektromagnetske fenomene u prirodi i u elektrotehnickim sistemima,

postrojenjima, mašinama i drugim sklopovima i ureajima. Ova teorija zahtijeva slozeni

naucno-matematicki aparat, jer su elektricne i magnetske velicine uglavnom date u difer-

encijalnom obliku. Kao specijalan slucaj teorije elektromagnetskog polja razvila se teorija

elektricnih kola za proucavanje velike klase elektricnih sistema. Ova teorija daje relativno

jednostavna rješenja (dovoljne tacnosti) za veliku klasu problema koja bi inace bila vrlo kom-

plikovana i skoro nerješiva kada bi se koristila teorija polja. U teoriji elektricnih kola fizici

procesi se uglavnom opisuju pomocu integralnih velicina. Model kola koristi se u onim sluca-

jevima u kojima prostorne dimenzije ureaja ili sistema u poreenju sa brzinom prostiranja

elektromagnetskih procesa su takve da se moze smatrati da se procesi dešavaju trenutno u

sistemu. Za takve sisteme koristimo izraz: ”Sistemi sa koncentrisanim parametrima” da

bi smo naglasili da prostorne dimenzije sistema ne ulaze u model kola. Odnos talasnih duzina

elektromagnetskih velicina i dimenzija (prostornih) sistema mjerodavan je, da li ce se sistem

posmatrati kao kolo, vod ili polje. Postoji vazna fizicka relacija:

λ =v

f

gdje je: λ-talasna duzina, v-brzina prostiranja talasa, f -frekvencija.

Primjer :

a) Energetski sistem: f = 50Hz, v = v0 = 3× 108m/ s ⇒ λ = 3× 108/50 = 6000 km.

- Svi ureaji koji imaju znatno manje dimenzije od 6000 km mogu se analizirati modelom

kola.

- Vodovi za prenos energije su sistemi sa rasporeenim parametrima. Osim vremena

moraju se uzeti u obzir i prostorne koordinate.

b) Radio signali: f = 109Hz ⇒ λ = 0.3m - fizicke dimenzije reda cm su vazne.

438

439

x x∆

e

0u u du

dii0i

d

Slika 14.311: Monofazni homogeni vod

Treba naglasiti da se neki sistemi moraju tretirati dvojako ili cak trojako (kolo, vod polje).

Tu spadaju savremeni mikrotalasni sistemi, antenski sistemi i slicno. Prema tome, vodovi su

sistemi koji se drugacije nazivaju: ”Elektricna kola sa rasporeenim parametrima”.

14.1 Parcijalne diferencijalne jednacine voda

U ovom poglavlju razmotricemo samo monofazni homogeni vod (slika 14.311), što znaci, vod

sastavljen od dva provodnika koji po cijeloj svojoj duzini ima jednak poprecni presjek provod-

nika i jednak poprecni presjek dielektrika.

Ukupni parametri voda: R− ukupna otpornost, L− ukupna induktivnost, C− ukupna ka-

pacitivnost, G− ukupna (poprecna) provodnost dielektrika, koja se naziva odvodnost (odvode

se konvekcione struje zato što nijedan dielektrik nije idealan). Kod vodova se mora uzeti u

obzir rasporeenost parametara po cijeloj duzini voda d. Zato se uvode poduzni parametri:

r =R

d− poduzna otpornost voda

l =L

d− poduzna induktivnost voda

c =C

d− poduzna kapacitivnost voda

g =G

d− poduzna odvodnost voda

Posmatra se element voda duzine ∆x na odstojanju x od pocetka voda. Ovaj element

moze se predstaviti mrezom sa dva para krajeva koja je prikazana na slici 14.312:

Pošto napon i struja na ulaznim i izlaznim krajevima elementa nemaju jednake vrijednosti,

ove velicine zavise od mjesta na kome ih posmatramo. Ako se elektromotorna sila prikljucenog

generatora mijenja u vremenu (na primjer, prostoperiodicna je funkcija vremena) napon i

struja na bilo kojem mjestu ce zavisiti i od vremena. Prema tome, napon i struja voda su

funkcije dvije promjenljive: mjesta x i vremena t tj. u(x, t) i i(x, t). Ako napon i struju na

440

uu u+ ∆

i i+ ∆i

xx∆

r x∆ l x∆

g x∆ c x∆

Slika 14.312: Element voda duzine ∆x predstavljen mrezom sa dva para krajeva

pocetku voda (x = 0) oznacimo sa u0, i0 a na kraju voda (x = d) sa ud, id onda, jednacine

elementa voda duzine ∆x mozemo napisati kao:

u− (u+∆u) = 2∆xi + l∆x∂i

∂t

i− (i+∆i) = g∆x(u+∆u) + c∆x∂

∂t(u+∆u) (14.567)

U prethodnim relacijama javljaju se parcijalni izvodi po vremenu umjesto obicnih, jer su

naponi i struje funkcije dvije promjenljive. Jednacine (14.567) mozemo napisati u sledecem

obliku:

−∆u

∆x= 2i+ l

∂i

∂t

−∆i

∆x= g(u+∆u) + c

∂

∂t(u+∆u) (14.568)

U granicnom prelazu kada ∆x → 0 ⇒

∆u → 0

∆i → 0dobijamo da je:

− lim∆x→0

∆u

∆x= lim

∆x→0

(ri+ l

∂i

∂t

)

− lim∆x→0

∆i

∆x= lim

∆x→0

[g(u+∆u) + c

∂

∂t(u+∆u)

]Poslije granicnog prelaza dobijamo jednacine:

−∂u

∂x= ri+ l

∂i

∂t(14.569)

− ∂i

∂x= gu+ c

∂u

∂t(14.570)

koje predstavljaju parcijalne diferencijalne jednacine voda. Iz relacija (14.569) i

(14.570) moze se eliminisati jedna funkcija u(x, t) ili i(x, t). Diferenciranjem jednacine (14.569)

441

po x a jednacine (14.570) po t dobijamo:

−∂2u

∂2x= r

∂i

∂x+ l

∂2i

∂x∂t(14.571)

− ∂2i

∂x∂t= g

∂u

∂t+ c

∂2u

∂2t(14.572)

Smjenom relacija (14.570) i (14.572) u relaciju (14.571) dobijamo:

∂2u

∂2x= rgu+ (rc+ lg)r

∂u

∂t+ lc

∂2u

∂2t(14.573)

Analognim postupkom, uzimajuci ∂

∂tod jednacine (14.569) i ∂

∂xod jednacine (14.570)

dobijamo:

∂2i

∂2x= rgi+ (rc+ lg)r

∂i

∂t+ lc

∂2i

∂2t(14.574)

Jednacine (14.573) i (14.574) predstavljaju jednacine voda poznate pod nazivom ”jednacine

telegraficara”. Opšti integral u(x, t) i i(x, t) parcijalnih diferencijalnih jednacina (14.568) i

(14.569) odnosno (14.573) i (14.574) daje rješenje za napon i struju na proizvoljnom mjestu x

u trenutku t. U opštem slucaju, ovo rješenje je veoma slozeno i oblika je:

u(x, t) = f1

(t− x

v

)+ f2

(t+

x

v

)−i(x, t) = ϕ1

(t− x

v

)+ ϕ

(t− x

v

)Meutim, kada je prikljucena elektromotorna sila e(t) prostoperiodicna funkcija vremena,

vrši se prelazak sa parcijalnih diferencijalnih jednacina (14.569) i (14.570) na obicne diferen-

cijalne jednacine sa kompleksnim velicinama.

14.2 Kompleksne diferencijalne jednacine voda

Vod se moze predstaviti kaskadnom vezom mreza sa dva para krajeva od kojih svaka odgovara

elementu voda duzine ∆x. Na ovaj nacin vod zamjenjujemo jednom slozenom mrezom sa

dva para krajeva. Ako je na ovakvu mrezu prikljucen generator prostoperiodicne elektromo-

torne sile, onda ce napon i struja u bilo kom presjeku mreze biti, takoe, prostoperiodicna

funkcija vremena. Prema tome, ako je vod prikljucen na generator prostoperiodicne elektro-

motorne sile e(t) =√2E0 cos (ωt+ θ0g), napon i struja voda na bilo kom mjestu bice, takoe,

prostoperiodicne funkcije vremena ucestanosti ω i neke funkcije mjesta x na kome ih posma-

tramo (unaprijed nije poznato kakve). To znaci da efektivne vrijednosti i pocetne faze napona

i struje nijesu konstantne velicine nego funkcije mjesta x:

442

u(x, t) =√2U(x) cos [ωt + θ(x)]

i(x, t) =√2I(x) cos [ωt+ ψ(x)]

Pošto su napon i struja voda prostoperiodicne funkcije uvodimo njihove kompleksne pred-

stavnike na mjestu x u trenutku t:

U(x, t) = U(x)ej[ωt+θ(x)] = U(x)ejθ(x)ejωt

Na mjestu x u trenutku t = 0:

U(x, 0) = U(x)ejθ(x)

pa je:

U(x, t) = U(x, 0)ejωt

Analogno imamo za struju:

I(x, t) = I(x)ej[ωt+ψ(x)] = I(x)ejψ(x)ejωt

Na mjestu x u trenutku t = 0:

I(x, 0) = I(x)ejψ(x)

pa je:

I(x, t) = I(x, 0)ejωt

Da bismo prešli sa jednacina (14.569) i (14.570) u kojima se javljaju trenutne vrijednosti

napona i struje na jednacine sa kompleksnim predstavnicima, potrebno je prvo da naemo

kompleksne predstavnike izvoda velicina napona i struje po mjestu i vremenu:

∂u(x, t)

∂x⇒ ∂

∂x

U(x, 0)ejωt

=

dU(x, 0)

dxejωt

∂u(x, t)

∂t⇒ ∂

∂t

U(x, 0)ejωt

= jωU(x, 0)ejωt

∂i(x, t)

∂x⇒ ∂

∂x

I(x, 0)ejωt

=

dI(x, 0)

dxejωt

∂i(x, t)

∂t⇒ ∂

∂t

I(x, 0)ejωt

= jωI(x, 0)ejωt

Na taj nacin jednacinama (14.569) i (14.570) poslije skracenja zajednickog faktora ejωt s

obje strane znaka jednakosti odgovaraju jednacine:

443

−dU(x, 0)

dx= rI(x, 0) + jωlI(x, 0) (14.575)

−dI(x, 0)

dx= gU(x, 0) + jωcU(x, 0) (14.576)

Pošto se u jednacinama (14.575) i (14.576) vrijeme ne javlja kao promjenljiva (svi kom-

pleksni predstavnici odgovaraju trenutku t = 0). U toku daljeg izlaganja pisacemo U umjesto

U(x, 0) i I umjesto I(x, 0) pa je jednacine (14.575) i (14.576) moguce napisati na sledeci nacin:

−dU

dx= (r + jωl) I (14.577)

−dI

dx= (g + jωc)U (14.578)

Jednacine (14.577) i (14.578) vaze za slucaj kada je elektromotorna sila generatora prostope-

riodicna funkcija vremena. Uvoenjem kompleksnih napona omogucava nam prelazak sa par-

cijalnih diferencijalnih jednacima oblika (14.568) i (14.569) na obicne diferencijalne jednacine

oblika (14.577) i (14.578). Ako sa z = r + jωl oznacimo poduznu renu impedansu a sa

y = g + jωc poduznu otocnu admitansu, tada jednacine (14.577) i (14.578) mozemo pisati u

sazetom obliku kao:

−dU

dx= zI (14.579)

−dI

dx= yU (14.580)

Iz jednacina (14.579) i (14.580) moze se eliminisati jedna od velicina U ili I. Diferenciran-

jem relacije (14.579) po x dobijamo:

d2U

dx2= −z

dI

dx(14.581)

Ako jednacinu (14.580) zamijenimo u jednacinu (14.581) dobijamo:

d2U

dx2= zyU

Diferenciranjem relacije (14.580) po x dobijamo:

d2I

dx2= −y

dU

dx(14.582)

444

j+

1+

β

α

γ

γϕ

Slika 14.313: Koeficijent prostiranja voda

Ako jednacinu (14.579) zamijenimo u jednacinu (14.582) dobijamo:

d2I

dx2= zyI

Uvoenjem velicine γ2 = zy dobijamo:

d2U

dx2= γ2U (14.583)

d2I

dx2= γ2I (14.584)

14.3 Koeficijent prostiranja

Velicinu:

γ =√zy (14.585)

koja se javlja u jednacinama (14.583) i (14.584) nazivamo koeficijentom prostiranja

voda.

z = zejϕ1

y = yejϕ2

γ =

√zyej(ϕ1+ϕ2) =

√zyej

ϕ1+ϕ22 = γejϕγ

0 ≤ ϕ1 ≤ π2

0 ≤ ϕ2 ≤ π2

0 ≤ ϕγ ≤

π

2

γ - uvijek lezi u I-kvadrantu kompleksne ravni što je prikazano na slici 14.313.

γ = α + jβ (14.586)

α− koeficijent slabljenja

445

β− fazni koeficijent

Odredimo zavisnost α i β u funkciji poduznih parametara i ucestanosti:

γ2 = zy = (r + jωl) (g + jωc) = (rg − ω2lc) + j (rc+ lg)ω (14.587)

γ2 = (α + jβ)2 = α2 − β2 + j2αβ (14.588)

γ2 = α2 + β2 (14.589)

Uporeujuci jednacine (14.587), (14.588) i (14.589) dobijamo:

α2 − β2 = rg − ω2lc

α2 + β2 = γ2 = zy

α =

√zy + rg − ω2lc

2

β =

√zy − rg + ω2lc

2

zy =√(r2 + ω2l2) (g2 + ω2c2)

14.4 Opšte rješenje kompleksnih diferencijalnih

jednacina voda

Opšte rješenje jednacina (14.583) i (14.584) je oblika:

U = C1e−γx + C

2e−γx (14.590)

I = C3e−γx + C

4e−γx (14.591)

C1, C

2, C

3i C

4su integralne konstante koje se odreuju iz granicnih uslova voda (granicni

uslovi se odnose na prostornu koordinatu x a pocetni uslovi se odnose na vremensku koordinatu

t) a to su:

- Kompleksni napon i struja na pocetku voda (x = 0) U0, I

0.

- Kompleksni napon i struja na kraju voda (x = d) Ud, Id.

Pokazacemo da su integralne konstante struja (C3, C

4) srazmjerne integralnim konstan-

446

tama napona (C1, C

2). Diferenciranjem jednacine (14.590) dobijamo:

−dU

dx= γC

1e−γx − γC

2e−γx = zI (14.592)

I =γ

zC

1e−γx − γ

zC

2e−γx (14.593)

Poreenjem jednacine (14.593) sa jednacinom (14.591) dobijamo:

C3=

γC1

z; C

4= −γC

2

z

odnosno:

C3=

C1√z

y

; C4= − C

2√z

y

Ovim je srazmjernost konstanti C1i C

3, C

2i C

4dokazana. Uvodeci velicinu: Zc =

√z

y

tada jednacine (14.590), (14.591) postaju:

U = C1e−γx + C

2e−γx (14.594)

I =C

1

Zc

e−γx − C2

Zc

e−γx (14.595)

Pošto u opštem rješenju za napon i struju postoje samo dvije integralne konstante dovoljno

je poznavati samo dva granicna uslova da bi se one odredile. Velicina:

Zc =

√z

y=

√r + jωl

g + jωc(14.596)

koja ima fizicku dimenziju impedanse naziva se karakteristicnom impedansom voda.

Zc =

√zejϕ1

yejϕ2=

√z

yej

ϕ1−ϕ2

2

mod Zc =

√z

y=

√r2 + ω2l2

g2 + ω2c2

arg Zc = ϕ

c=

ϕ1− ϕ

2

2

−π

4≤ ϕ

c≤ π

4

Pošto je vod obicno pretezno kapacitivan ϕ2> ϕ

1, pa je −π

4≤ ϕ

c≤ 0, što znaci da Z

clezi

samo u šrafiranom dijelu cetvrtog kvadranta što je prikazano na slici 14.314.

447

j+

1+

4π

4π− cϕ

cZ

Slika 14.314: Oblast u kojoj se nalazi Zc kada je vod pretezno kapacitivan

x

0U U

I0I

ulZ

( )Z x

Slika 14.315: Neogranicen vod

14.5 Neogranicen vod

Pod neogranicenim vodom podrazumijeva se vod beskonacne duzine d → ∞ koji je prikazan

na slici 14.315.

14.5.1 Kompleksne jednacine

Polazimo od opšteg rješenja:

U = C1e−γx + C

2e−γx

I =C1

ZC

e−γx − C2

ZC

e−γx

Kada bi bilo C2 = 0 napon i struja voda neograniceno bi rasli sa porastom koordinate x, a

samim tim i snaga voda što je protivno zakonu odrzanja energije (snaga na bilo kojem mjestu

voda ne moze da bude veca od snage koju generator predaje vodu). Prema tome, mora biti

448

C2 = 0 i tada dobijamo:

U = C1e−γx

I =C1

Zc

e−γx

Ako je poznat granicni uslov U0 (x = 0) za C1 se dobija da je C1 = U0, pa je:

U = U0e−γx (14.597)

I =U0

Zc

e−γx (14.598)

Struja na pocetku voda je I0 =U0

Zc

pa struju mozemo izraziti u obliku:

I = I0e−γx (14.599)

Ulazna impedansa voda je:

Zul =U0

I0= ZC (14.600)

Ulazna impedansa voda na mjestu x je:

Z(x) =U

I= ZC

Impedansa neogranicenog voda, racunata na bilo kojem mjestu, jednaka je njegovoj karak-

teristicnoj impedansi Zc.

14.5.2 Efektivne vrijednosti napona i struje i njihove pocetne faze

Napon na pocetku voda (x = 0): U0 = U0ejθ0.

Koeficijent prostiranja: γ = α + jβ.

Karakteristicna impedansa: Zc = Zcejϕ

c.

Kompleksne jednacine voda: U = U0e−γx; I = U

0

ZC

e−γx = I0e−γx.

U = U0e−γx = U0e

jθ0e−(α+jβ)x = U0e−αxej(θ0−βx)

I =U0

Zc

e−γx =U0e

jθ0

Zcejϕce−(α+jβ)x =

U0

Zc

e−αxej(θ0−βx−ϕc)

449

0U

0IU

I

0ψ

ψ0θ

θ

cϕ

)a )b

Slika 14.316: Koeficijent slabljenja i fazni koeficijent

14.5.3 Efektivna vrijednost na mjestu x

U = mod U = U0e−αx (14.601)

I = mod I =U0

Zc

e−αx = I0e−αx (14.602)

14.5.4 Pocetne faze (t = 0) na mjestu x

θ = arg U = θ0 − βx (14.603)

ψ = arg I = θ0 − βx− ϕc

(14.604)

ψ = θ − ϕ

c

ψ0= θ0 − ϕ

c

za x = 0

za x = 0

ψ = ψ0− βx (14.605)

Prema jednacinama (14.601) i (14.602) efektivne vrijednosti napona i struje eksponenci-

jalno opadaju duz voda. Kaze se da napon i struja slabe duz voda, zato se koeficijent α od

koga ovo slabljenje zavisi naziva koeficijentom slabljenja (slika 14.316 a)).

Prema jednacinama (14.603) i (14.604) odnosno (14.605) pocetne faze napona i struje

linearno opadaju duz voda (slika 14.316 b)) pošto ovo opadanje zavisi od koeficijenta β, dat

mu je naziv fazni koeficijent.

14.5.5 Fazna razlika izmeu napona i struje

Fazna razlika izmeu napona i struje neogranicenog voda je konstantna i jednaka argumentu

karakteristicne impedanse:

450

0θ

xβ

0U

U

0ψ

xβ

0I

I

Slika 14.317: Relacije (14.607) i (14.608) prikazane u polarnim koordinatama

θ − ψ = θ0 − ψ0= ϕC = arg Zc = const (14.606)

14.5.6 Fazorski dijagram napona i struje

U = U0e−αx; θ = θ0 − βx ⇒ −x =

θ − θ0β

I = I0e−αx; ψ = ψ0 − βx ⇒ −x =

ψ − ψ0

β

U = U0eαβ(θ−θ0) (14.607)

I = I0eαβ(ψ−ψ

0) (14.608)

Jednacine (14.607) i (14.608) predstavljaju jednacine logaritamske spirale u polarnim ko-

ordinatama što je prikazano na slici 14.317.

14.5.7 Trenutne vrijednosti napona i struje

Efektivne vrijednosti napoa i struje na mjestu x su:

U = U0e−αx

I =U0

Zc

e−αx = I0e−αx

451

dok su pocetne faze (t = 0) na mjestu x:

θ = θ0 − βx

ψ = θ0 − βx− ϕc = ψ0 − βx

Tada su trenutne vrijednosti napona i struje:

u(x, t) =√2U0e

−αx cos (ωt+ θ0 − βx) (14.609)

i(x, t) =√2U0

Zc

e−αx cos (ωt+ θ0 − βx− ϕc) (14.610)

Iz jednacina (14.609) i (14.610) ocigledno je da su napon i struja posmatrani na jednom

odreenom mjestu x = const prostoperiodicne funkcije vremena (slika 14.318), a posmatrani

u odreenom trenutku t = const pseudoperiodicne funkcije mjesta (slika 14.319).

02x

U eα−

2T

π

ω

=

0xβ θ−

ω

t

constx =

( )u t

Slika 14.318: Napon i struja na vodu kada je x = const

Prostorne, prostoperiodicne ili pseudoperiodicne promjene napona i struje, nazivamo ta-

las napona i struje a njhovu “prostornu periodu” λ− talasnom duzinom.Prema jednacinama

(14.609) i (14.610) u vremenskom domenu, kruzna ucestanost ω i vremenska perioda T = 2π/ω

u prostornom domenu fazni koeficijent β (koji igra ulogu “prostorne kruzne ucestanosti”), ta-

lasna duzina λ (koja ima ulogu prostorne periode)

λ =2π

β(14.611)

452

02U

0tω θ+

β

( )u x

02x

U eα−

−

02x

U eα−

2πλ

β=

x

constt =

Slika 14.319: Napon i struja na vodu kada je t = const

14.6 Vod bez gubitaka

Ako je r = g = 0 kazemo da je vod bez gubitaka. ada je koeficijent prostiranja:

γ =√zy =

√(r + jωl) (g + jωc) = jω

√lc

γ = α + jβ ⇒ α = 0; β = ω√lc

Karakteristicna impedansa:

Zc=

√z

y=

√r + jωl

g + jωc=

√l

c= Zc

Karakteristicna impedansa je u ovom slucaju realna: Zc= Zce

jϕc = Zc =

√lc

(ϕc = 0).

Posledica toga je: θ − ψ = ϕc = 0; θ = ψ, napon i struja su u fazi. Pošto je α = 0 i ϕc = 0

imamo:

u(x, t) =√2U0 cos (ωt+ θ0 − βx) (14.612)

i(x, t) =√2U0

Zc

cos (ωt+ θ0 − βx) (14.613)

Naponi i struje su prostoperiodicne funkcije i mjesta x i vremena t i u fazi su.

453

14.7 Vod prikljucen na vremenski konstantan izvor

U ovom slucaju je ω = 0 pa imamo da je:

γ =√zy =

√(r + jωl) (g + jωc) =

√rg

γ = α+ jβ ⇒ α =√rg; β = 0

Zc =

√z

y=

√r + jωl

g + jωc=

√r

g= Zc

14.8 Vod prikljucen na izvor veoma visoke ucestanosti

U ovom slucaju je r ωl i g ωc pa imamo da je:

γ =√zy =

√(r + jωl) (g + jωc) ≈ jω

√lc

Iz relacije γ = α+jβ slijedi da je β ≈ ω√lc dok je α = 0 ali je veoma malo.Karakteristicna

impedansa je jednaka:

Zc =

√z

y=

√r + jωl

g + jωc≈√

l

c= Zc

14.9 Opšte jednacine ogranicenog voda

Polazimo od opšteg rješenja kompleksnih diferencijalnih jednacina voda:

U = C1e−γx + C

2eγx

I =C

1

Zc

e−γx − C2

Zc

eγx

Ako su poznati granicni uslovi na kraju voda (x = d) Ud, Id za odreivanje konstanti

C1i C

2imamo sledece jednacine:

C1e−γd + C2e

γd = Ud

C1e−γd + C2e

γd = ZcId

iz kojih dobijamo da su konstante C1 i C2 jednake:

454

C1 =1

2(Ud + ZcId) e

γd (14.614)

C2 =1

2(Ud − ZcId) e

−γd (14.615)

U =1

2(Ud + ZcId) e

γ(d−x) +1

2(Ud − ZcId) e

−γ(d−x)

I =1

2

(Ud

Zc

+ Id

)eγ(d−x) − 1

2

(Ud

Zc

− Id

)e−γ(d−x)

U = Ud

(eγ(d−x) + e−γ(d−x)

2

)+ ZcId

(eγ(d−x) − e−γ(d−x)

2

)

I =Ud

ZC

(eγ(d−x) − e−γ(d−x)

2

)+ Id

(eγ(d−x) + e−γ(d−x)

2

)

U = Ud ch γ (d− x) + ZcId sh γ (d− x) (14.616)

I =Ud

Zc

sh γ (d− x) + Id ch γ (d− x) (14.617)

Jednacine (14.616) i (14.617) predstavljaju opšte jednacine ogranicenog voda kada su poz-

nati granicni uslovi na kraju voda. Ako su poznati granicni uslovi na pocetku voda (x = 0)

U0, I0 tada dobijamo sledece jednacine za odreivanje konstanti C1 i C2:

C1 + C2 = U0

C1 − C2 = ZCId

⇒ C1 =

U0+Z

CId

2

C2 =U0−Z

CId

2

(14.618)

U =U0 + ZcId

2e−γx +

U0 − ZcId2

eγx

I =U0 + ZcId

2e−γx − U0 − ZcId

2eγx

poslije sreivanj dobijamo:

U = U0 chγx+ ZcI0 shγx (14.619)

I = −Ud

Zc

shγx+ Zc chγx (14.620)

Jednacine (14.619) i (14.620) predstavljaju opšte jednacine ogranicenog voda kada su poz-

455

x

gU

0U U dU

dII0I

d

gZ

pZ

Slika 14.320: Vod zatvoren proizvoljnom impedansom

nati granicni uslovi na pocetku voda.

14.10 Vod zatvoren proizvoljnom impedansom

Polazeci od opštih jednacina ogranicenog voda (14.616) i (14.617) i zamjenjujuci struju Id=

Ud/Z

P(slika 14.320) dobijamo:

U = Udchγ (d− x) + U

d

Zc

Zp

shγ (d− x) (14.621)

I =Ud

Zc

shγ (d− x) +Ud

Zp

chγ (d− x) (14.622)

Efektivne vrijednosti i pocetne faze napona i struje ogranicenog voda na mjestu x su:

U = mod U = mod

Ud chγ (d− x) + Ud

Zc

Zp

shγ (d− x)

I = mod I = mod

Ud

Zc

shγ (d− x) +Ud

Zp

chγ (d− x)

θ = arg U = arg

Ud chγ (d− x) + Ud

Zc

Zp

shγ (d− x)

ψ = arg I = arg

I =

Ud

Zc

shγ (d− x) +Ud

Zp

chγ (d− x)

Ocigledno je da su efektivne vrijednosti i pocetne faze napona i struje veoma slozene

funkcije mjesta x. Trenutne vrijednosti napona i struje su:

u(x, t) =√2U(x) cos [ωt + θ(x)]


456

Kada je poznat jedan par granicnih uslova, bilo onaj na pocetku voda ili onaj na kraju

voda, drugi par se moze uvijek neposredno odrediti. Naponi i struje na pocetku i na kraju

voda vezani su relacijama:

U0

= Ud chγd+ ZcId shγd (14.623)

I0

=Ud

Zc

shγd+ Id chγd (14.624)

Posmatrajuci ogranicen vod kao mrezu sa dva para krajeva (što on u stvari i jeste) jednacine

(14.623) i (14.624) pokazuju da su ”a” parametri:

a11 = chγd a12 = Zc shγd

a21 =1Zc

shγd a22 = chγd

Odnosno njena a∼

matrica:

a∼

=

[chγd Zc shγd1Zc

shγd chγd

](14.625)

Pošto je a11 = a22 ⇒ mreza je simetricna.

14.11 Otvoren vod

U slucaju otvorenog voda kompletna struja na njegovom kraju je nula Id = 0, pa su jednacine

voda:

U = Ud chγ (d− x) (14.626)

I =Ud

Zc

shγ (d− x) (14.627)

Ud = Udejθd; Zc = ZCe

jϕc;

chg = chγ (d− x) ; g = γ (d− x)

chg = ch(a+ jb) = ch a cos b+ jsh a sin b

shg = sh(a+ jb) = sh a cosb+ jch a sin b

a = α(d− x); b = β(d− x)

457

modchg

=√ch2a cos2b+ sh2a sin2 b

modshg

=√sh2a cos2b+ ch2a sin2 b

ili

modchg

=√sh2a + cos2b

modshg

=√sh2a + sin2 b

argchg

= arctg (tha tgβ)

argshg

= arctg (cthb tgβ)

pa za napon i struju dobijamo izraze:

U = Ud

√sh2a+ cos2bej[θd+arctg(thatgβ)] (14.628)

I =Ud

ZC

√sh2a+ sin2 bej[θd+arctg(cthatgβ)−ϕC ] (14.629)

Efektivne vrijednosti napona i struje duz voda odreene su modulima gornjih kompleksnih

velicina:

U = Ud

√sh2α(d− x) + cos2β(d− x)

I =Ud

ZC

√sh2α(d− x) + sin2 β(d− x)

Dijagramom se obicno predstavljaju kvadrati ovih efektivnih vrijednosti:

U2 = U2d sh

2α(d− x) + U2dcos

2β(d− x) (14.630)

I2 =U2d

Z2c

sh2α(d− x) +U2d

Z2c

sin2 β(d− x) (14.631)

Iz ovih izraza vidimo da efektivne vrijednosti napona i struje duz voda (otvorenog) ne

opadaju monotono, vec fluktuiraju. Za vod odreene duzine ova fluktuacija je utoliko jaca

ukoliko je ucestanost visoka, jer je tada perioda π/β drugih clanova u gornjim izrazima, od

kojih i potice ova fluktuacija, mala. Ako je ucestanost niska, vod mora biti vrlo dugacak da

bi se ova fluktuacija primijetila. Iz izraza takoe vidimo da kod dugackih vodova na efektivnu

vrijednost napona i struje prvenstveno uticu prvi clanovi, sem za mjesta koja su blizu njegovog

kraja. Nasuprot tome, kod kratkih vodova ovaj uticaj prvenstveno pripada drugim clanovima.

458

Iz izraza za kvadrat efektivne vrijednosti napona vidimo još i da efektivna vrijednost napona

na pocetku otvorenog voda moze biti manja od njegove efektivne vrijednosti na kraju voda,

narocito ako je vod kratak.

Impedansa otvorenog voda nije konstantna kao kod neogranicenog voda. Ona zavisi od

mjesta na kome se racuna i data je izrazom:

Z0(x) =U

I= ZC cthγ(d− x) (14.632)

Ukupna impedansa otvorenog voda, racunata na njegovom pocetku (x = 0) prema gornje

obrascu je:

Z0 =U0

I0= Zc cthγd (14.633)

Kada d → ∞, ona prirodno tezi impedansi neogranicenog voda, to jest karakteristicnoj

impedansi Zc.

14.12 Trenutne vrijednosti napona i struje

Na osnovu dobijenih izraza za kompleksni napon i struju, mozemo neposredno napisati i izraze

za trenutne vrijednosti napona i struje u obliku:

u(x, t) =√2Ucos ωt + θd + arctg [thα(d− x)tgβ(d− x)]

i(x, t) =√2Icos ωt+ θd + arctg [cthα(d− x)tgβ(d− x)] + ϕ

c

U njima U i I predstavljaju efektivne vrijednosti napona i struje koje su jednake:

U = Ud


I =Ud

Zc

√sh2α(d− x) + sin2β(d− x)

Ovi izrazi nam pokazuju da napon i struja imaju vrlo slozenu prostornu raspodjelu na

otvorenom vodu. Iz njih takoe vidimo da fazna razlika izmeu napona i struje nije konstantna

kao u slucaju neogranicenog voda.

14.13 Vod u kratkom spoju

U slucaju voda u kratkom spoju napon na njegovom kraju jednak je nuli: Ud = 0 (slika

14.321). Stoga, prema opštim jednacinama ogranicenog voda njegovi izrazi za kompleksni

napon i struju glase:

459

gU

0U dU

dI0I

d

gZ

Slika 14.321: Vod u kratkom spoju

U = ZcId shγ(d− x) (14.634)

I = Id chγ(d− x) (14.635)

Uzimajuci s jedne strane da je:

Id = Idejψd i Zc = Zce

jϕc

a sa druge strane da je:

shg =√sh2a + sin2 bejarctg(cthatgb)

chg =√sh2a + cos2bejarctg(thatgb)

gdje su: g, a i b kao kod ogranicenog voda: g = γ(d− x); a = α(d− x); b = β(d− x).

Kompleksni napon i struju voda u kratkom spoju mozemo pisati u obliku:

U = ZcId

√sh2α(d− x) + sin2 β(d− x)ejψd+arctg[cthα(d−x) tgβ(d−x)]+ϕc (14.636)

I = Id

√sh2α(d− x) + cos2β(d− x)ejψd+arctg[thα(d−x) tgβ(d−x)]+ϕc (14.637)

Efektivne vrijednosti napona i struje odreene su modulima ovih izraza:

U = mod U = ZcId

√sh2α(d− x) + sin2 β(d− x)

I = mod I = Id


Uporeujuci gornje izraze sa izrazima za ograniceni vod, vidimo da efektivna vrijednost

struje voda u kratkom spoju ima oblik efektivne vrijednosti napona otvorenog voda i obratno,

efektivna vrijednost napona u kratkom spoju ima oblik efektivne vrijednosti struje otvorenog

voda. Prema tome, i u slucaju voda u kratkom spoju mozemo reci da efektivne vrijednosti

napona i struje ne opadaju monotono duz voda, vec fluktuiraju i to utoliko jace ukoliko je

460

ucestanost generatora veca. Takoe, da kod dugackih vodova na njihovu vrijednost prven-

stveno uticu clanovi izrazeni hiperbolicnim sinusom, dok kod kratkih vodova clanovi izrazeni

prostoperiodicnim funkcijama. Kod voda u kratkom spoju efektivna vrijednost struje na

pocetku voda moze biti manja od njene efektivne vrijednosti na kraju voda.

Impedansa voda u kratkom spoju na nakommjestu x od njegovog pocetka data je relacijom:

Zk(x) =U

I= Zc thγ(d− x) (14.638)

Njegova ukupna impedansa racunata na pocetku (x = 0) iznosi:

Zk =U0

I0= Zc thγd (14.639)

Mnozeci relaciju (14.639) sa relacijom (14.633) dobijamo veoma vaznu relaciju:

Z0Zk = Zc cthγd Zc thγd = Z2c

odnosno

Zc =√Z0Zk (14.640)

Pomocu ove dvije impedanse mozemo odrediti i koeficijent prostiranja voda γ na sledeci

nacin:

Zk

Z0

= th2γd

γ =1

dArth

√Zk

Z0

(14.641)

Na osnovu izraza za kompleksni napon i struju mozemo napisati i izraze za trenutne vri-

jednosti napona i struje voda u kratkom spoju:

u(x, t) =√2Ucos ωt+ ψd + arctg [cthα(d− x)tgβ(d− x)] + ϕc

i(x, t) =√2Icos ωt+ ψd + arctg [thα(d− x)tgβ(d− x)]

Vidimo da je prostorna raspodjela napona i struje na vodu u kratkom spoju takoe veoma

slozena. Iz njih, takoe, vidimo da fazna razlika izmeu napona i struje nije konstantna kao

u slucaju neogranicenog voda.

461

14.14 Impedansa voda zatvorenog proizvoljnom impedan-

som Zp

Impedansa na nekom mjestu x od pocetka voda je:

Z(x) =U

I= Z

c

Zp chγ(d− x) + Zc shγ(d− x)

Zp shγ(d− x) + Zc chγ(d− x)(14.642)

Ako impedansu racunamo na pocetku voda (x = 0) imamo:

Z =U

0

I0

= Zc

Zp chγd+ Zc shγd

Zp shγd+ Zcchγd(14.643)

Uzimajuci u obzir relacije (14.633) i (14.639) moze se napisati i sledeci izraz za ulaznu

impedansu voda:

Z = Z0

Zp + Zk

Zp + Z0

(14.644)

Ako u relaciji (14.642) uvedemo novu promjenljivu Zp/Zc = thM i izvršimo smjenu d−x = y

ona postaje:

Z(x) = Zc

thM chγy + shγy

thM shγy + chγy

odnosno:

Z(x) = Zc th(γy +M ) (14.645)

pa relacija (14.643) postaje:

Z = Zc th(γy +M ) (14.646)

Ako je impedansa Zp takva da je odnos M

γ, (koji je po prirodi duzina) realan, M

γ= d1,

tj ako se ona moze predstaviti u obliku Zp = Zc thγd1 onda se ona moze zamijeniti jednim

vodom u kratkom spoju duzine d1 istih karakteristika kao i dati vod, jer je impedansa voda

u kratkom spoju data gornjom relacijom. Ukupnu impedansu voda mozemo tada pisati u

obliku:

Z = Zc thγ(d+ d1 ) (14.647)

14.15 Slucaj vrlo dugackog voda

Kada je vod vrlo dugacak, obrasci koji se odnose na ogranicen vod zatvoren impedansom Zp

mogu se uprostiti. U tom slucaju moze se zanemariti clan e−γd u odnosu na eγd, te uzeti da

je priblizno: shγd ≈ chγd ≈ 1

2eγd. Tada, obrasci kojima su izrazeni kompleksni napon i struja

462

na kraju voda pomocu napona na njegovom pocetku, postaju:

Ud =2Zp

Zp + Zc

U0e−γd

Id =2

Zp + Zc

U0e−γd

Ukupna impedansa ovakvog voda priblizno je jednaka impedansi neogranicenog voda: Z ≈Zc pa je i struja na njegovom pocetku:

I0=

U0

Zc

14.16 Vod zatvoren karakteristicnom impedansom Zp =

Zc

Ako je vod zatvoren svojom karakteristicnom impedansom tj. ako je Zp = Zc tada ulazna

impedansa na pocetku voda (x = 0) na osnovu relacije (14.643) postaje:

Z = Zc

Zp chγd+ Zc shγd

Zp shγd+ Zcchγd= Zc

Zc

(chγd+ shγd

)Zc

(shγd+ chγd

) = Zc

Z = Zul = Zc

pa je struja na pocetku voda:

I0=

U0

Zul

=U

0

Zc

Polazeci od jednacina ogranicenog voda:

U = U0chγx− ZcI0 shγx

I = −U0

Zc

shγx+ I0chγx

i uvodeci smjenu: ZcI0 = U0

dobijamo:

U = U0

(chγx− shγx

)= U

0

(eγx + e−γx

2− eγx − e−γx

2

)= U

0e−γx

I =U

0

Zc

(chγx− shγx

)=

U0

Zc

(eγx + e−γx

2− eγx − e−γx

2

)=

U0

Zc

e−γx

Kao što se vidi to su jednacine neogranicenog voda. Odavde slijedi vazan zakljucak: da

je rezim ogranicenog voda zatvorenog karakteristicnom impedansom identican sa

rezimom neogranicenog voda.

463

14.17 Prirodna snaga voda

Kada je vod zatvoren svojom karakteristicnom impedansom kompleksna snaga na njegovom

pocetku iznosi:

S0= U

0I∗0=

U2

0

Z∗

c

Uzimajuci da je Zc= Zc e

jϕc dobijamo:

S0=

U2

0

Zc

ejϕc =U2

0

Zc

cosϕc + jU2

0

Zc

sinϕc

gdje je:

P0 =U2

0

Zc

cosϕc - aktivna snaga na pocetku voda

Q0 =U2

0

Zc

sinϕc - reaktivna snaga na pocetku voda

Kompleksna snaga na nekom mjestu x od pocetka voda je:

S = UI∗ =U2

Z∗

c

=U2

0e−2αx

Zc

ejϕc

P = Re S =U2

0e−2αx

Zc

cosϕc (14.648)

Q = Im S =U2

0e−2αx

Zc

sinϕc (14.649)

Na kraju voda kompleksna snaga je:

S = UdI∗

d =U2

d

Z∗

c

=U2

0e−2αd

Zc

ejϕc

Pd = Re S =U2

0

Zc

e−2αd cosϕc

Qd = Im S =U2

0

Zc

e−2αd sinϕc

464

Kako je: Ud = U0e−αd izrazi za aktivnu i reaktivnu snagu postaju:

Pd =U2

d

Zc

cosϕc (14.650)

Qd =U2

d

Zc

sinϕc (14.651)

Snage izrazene relacijama (14.650) i (14.651) nazivaju se cesto karakteristicnim ili prirod-

nim snagama voda.

14.18 Prostiranje talasa napona i struje duz voda. Brz-

ina prostiranja

Kao što smo vidjli u predhodnim izlaganjima talasi napona i struje u ustaljenom prostoperi-

odicnom rezimu imaju oblik:

u(x, t) =√2U(x) cos [ωt + θ(x)]


Odaberimo proizvoljne faze napona i struje θk i ψk.Na mjestu x, u trenutku t one zadovoljavaju

jednacine:

θk = θ + ωt

ψk

= ψ + ωt

Posmatracemo duz voda u razlicitim trenucima uvijek iste faze θk i ψk pa je u vom razmatranju

tada θk = const i ψk = const. Cisto matematicki gledano, da bi θk i ψk ostalo konstantno

kada se mijenja vrijeme t mora da se mijenja i x i to u zavisnosti od t. Fizicki to znaci da

se mjesto x faze θk odnosno ψk mijenja u zavisnosti od vremena, odnosno, da se faze θk i ψk

prostiru duz voda. pošto napon u(x, t) i njegova faza ωt + θ(x), a isto tako struja i(x, t) i

njena faza ωt + ψ(x), imaju zajednicke koordinate x i t. Brzine prostiranja napona i njegove

faze su jednake, a isto tako jednake su i brzine prostiranja struje i njene faze. Odredimo ove

brzine.

dθkdt

=dθ

dx

dx

dt+ ω ⇒ vu =

ω

−dθ(x)dx

(14.652)

dψk

dt=

dψ

dx

dx

dt+ ω ⇒ vi =

ω

−dψ(x)dx

(14.653)

Brzine prostiranja napona i struje duz voda vu i vi su razlicite i mijenjaju se duz voda tj.

465

nijesu konstantne. Brzina prostiranja napona vu i struje vi su konstantne ako je:dθ(x)dx

= A1 idψ(x)dx

= A2 i tada vazi:

θ(x) = A1x+B1 (14.654)

ψ(x) = A2x+B2 (14.655)

iz relacija (14.654) i (14.655) zakljucujemo: brzine prostiranja napona i struje duz voda

su konstantne ako su njihove faze linearne funkcije mjesta. Ocigledno da u vodu

ogranicee duzine te relacije nijesu zadovoljene. Zakljucak: u vodu ogranicene duzine koji

je zatvoren proizvoljnom impedansom napon i struja prostiru se brzinama koje duz voda

nijesu konstantne. Brzine prostiranja napona i struje bice jednake (vu = vi) ako vazi da jedθ(x)dx

= dψ(x)dx

tj. ako vazi da je θ(x) = ψ(x) + ϕ odnosno:

θ − ψ = ϕ = const (14.656)

Iz relacije (14.656) zakljucujemo: brzine prostiranja napona i struje su jednake samo

kada je fazna razlika izmeu napona i struje duz voda konstantna. Ocigledno je da

ovaj uslov nije zadovoljen kod ogranicenog voda zatvorenog proizvoljnom impedansom Zp.

Zakljucak: u vodu ogranicene duzine, koji je zatvoren proizvoljnom impedansom,

napon i struja prostiru se duz voda razlicitim brzinama. U neograni

cenom vodu, kao što smo ranije izveli, vaze relacije:

θ(x) = θ0 − βx

ψ(x) = θ0 − βx− ϕc

pa su brzine prostiranja talasa napona i struje:

vu = vi =ω

β(14.657)

θ(x)− ψ(x) = ϕc = arg Zc = const

Prema tome, za neogranicen vod zadovoljene su obje relacije (14.654) i (14.655) kao i relacija

(14.656). Zato se napon i struja u neogranicenom vodu prostiru konstantnim i jednakim

brzinama. Isto vazi i za ograniceni vod kada je zatvoren svojom karakteristicnom impedansom.

466

14.19 Zavisnost izmeu talasne duzine i brzine prosti-

ranja kog neogranicenog voda

Talasna duzina prostiranja definiše se relacijom λ = 2πβdok je perioda jednaka T = 2π

ω. Njihov

odnos je jednak:λ

T=

2πβ

2πω

=ω

β= v

Uvodeci pojam ucestanosti kao f = 1Tdolazimo do relacije:

λ = vT =v

f(14.658)

14.20 Zavisnost v, α i β od poduznih parametara i uces-

tanosti

γ = α + jβ

γ2 = (α + jβ)2 = α2 − β2 + j2αβ

γ2 = zy = (r + jωl) (g + jωc) = rg − ω2lc+ jω (rc+ lg)

Ako izjednacimo imaginarne djelove dobijamo:

2αβ = ω (rc+ lg)

v =ω

β=

2α

rc+ lg

v

α=

2

rc + lg= const (14.659)

α

v=

1

2(rc+ lg) = const (14.660)

Koeficijent slabljenja α i brzina prostiranja u neogranicenom vodu su srazmjerne velicine.

Ako je napon prikljucenog generatora vrmenski konstantan (ω = 0) tada za brzinu prostiranja

dobijamo neodreen izraz v = ωβ= 0

0jer je i β = 0.

γ =√(r + jωl) (g + jωc)

∣∣∣ω=0

=√rg

γ = α + jβ|ω=0 = α =√rg

467

Brzina v se moze odrediti iz relacije (14.659):

v =2√rg

rc+ lg(14.661)

Ako je ucestanost prikljucenog napona veoma visoka, onda semoze pisati β ≈ ω√lc i za brzinu

v ≈ ωβ= 1√

lc.Za vod koji se nalazi u vazduhu dobijamo:

v =1√ε0µ0

= v0 = 3× 108ms

jer je1√lc

=1√ε0µ0

Koeficijent slabljenja je u ovom slucaju jednak:

α ≈ v

2(rc+ lg) =

1

2√ε0µ0

(rc+ lg)

14.21 Vod Hevisajdovog tipa

Ako poduzni parametri jednog voda zadovoljavaju uslov rc = lg ili r/l = g/c onda kazemo

da je on Hevisajdovog tipa. Tada se moze napisati:

γ =√(r + jωl) (g + jωc) =

√l(rl+ jω

)c(gc+ jω

)=(rl+ jω

)√lc (14.662)

γ = α + jβ pa je β = ω√lc

Tada je brzina prostiranja:

v =ω

β=

ω

ω√lc

=1√lc

= const

To znaci da se u vodu Hevisajdovog tipa naponi i struje svih ucestanosti prostiru konstantnim

i jednakim brzinama vu = vi = 1/√lc.Koeficijent slabljenja Hevisajdovog voda uzima za sve

ucestanosti vrijednost α =√rg. Karakteristicna impedansa Hevisajdovog voda je nezavisna

od ucestanosti. Ona je pored toga i realna:

Zc =

√r + jωl

g + jωc=

√√√√ r(1 + jω l

r

)g(1 + jω c

g

) =

√r

g=

√l

c(14.663)

468

14.22 Razlaganje napona i struje na direktnu i reflek-

tovanu komponentu

Kao što smo vidjeli u predhodnim izlaganjima, analiza ustaljenih rezima u vodu konacne

duzine koji je zatvoren proizvoljnom impedansom Zp pomocu relacija (14.621) i (14.622) je

veoma slozena i nepregledna. Rezimirajmo te teškoce:

- Efektivne vrijednosti napona i struje veoma su slozene funkcije mjesta x.

- Naponi i struje prostiru se razlicitim brzinama koje duz voda nijesu konstantne.

Pošto je rezim neogranicenog voda najprostiji moguci (efektivne vrijednosti napona i struja

eksponencijalno opadaju, brzine prostiranja su im jednake i konstantne duz voda), u teoriji

kola sa raspodijeljenim parametrima napon i struju voda konacne duzine koji je zatvoren

proizvoljnom impedansom razlazemo na dvije komponente koje imaju oblik napona i struje

u neogranicenom vodu. Polazeci od jednacina ogranicenog voda zatvorenog proizvoljnom

impedansom [relacije (14.621) i (14.622)] u kojima hiperbolne funkcije izrazimo preko ekspo-

nencijalnih dolazimo do novih relacija oblika:

U =Ud

2

[eγ(d−x) + e−γ(d−x)

]+

Ud

2

Zc

Zp

[eγ(d−x) − e−γ(d−x)

]I =

Ud

2Zc

[eγ(d−x) + e−γ(d−x)

]− Ud

2Zp

[eγ(d−x) − e−γ(d−x)

]Grupišuci clanove uz eγ(d−x) i e−γ(d−x) dobijamo:

U = Ud

Zp + Zc

2Zp

eγde−γx + Ud

Zp − Zc

2Zp

e−γdeγx (14.664)

I = Ud

Zp + Zc

2ZpZc

eγde−γx − Ud

Zp − Zc

2ZpZc

e−γdeγx (14.665)

Ako u relacijama (14.664) i (14.665) druge clanove pomnozimo i podijelimo sa e−γd dobijamo:

U = Ud

Zp + Zc

2Zp

eγde−γx + Ud

Zp − Zc

2Zp

eγd e−γ(2d−x)

I = Ud

Zp + Zc

2ZpZc

eγde−γx − Ud

Zp − Zc

2ZpZc

eγd e−γ(2d−x)

Konacno dobijamo:

U = U′

0 e−γx + U′′

0 e−γ(2d−x) = U′

+ U′′

(14.666)

I =U

′

0

Zc

e−γx − U′′

0

Zc

e−γ(2d−x) = I′

+ I′′

(14.667)

469

x

gU

0U U dU

dII0I

d

gZ

pZ

x

gU

0U ′ U ′ dU ′

I ′0I ′

d

gZ

x

gU

U ′′0U ′′

0I ′′I0I

gZ

U ′

2d xξ = −

d d

dI ′′

dU ′′U ′′

Slika 14.322: Razlaganje napona i struje na direktnu i reflektovanu komponentu

Komponente U′

i I′

imaju oblik napona i struje na neogranicenom vodu sa pocetkom na

mjestu x = 0 kao što se moze vidjeti sa slike 14.322. Na ovom mjestu vrijednost napona i

struje su: U′

0i I

′

0= U

′

0/Z

c. Ako uvedemo smjenu ξ = 2d − x (slika 14.322) mozemo pisati

da je: U′′

= U′′

0e−γξ i I

′′

= −U′′

0/Zce

−γξ. Komponente U′′

i I′′

imaju oblik napona i struje

na neogranicenom vodu sa pocetkom namjestu ξ = 0, odnosno x = 2d − ξ (slika 14.322).

Vrijednost napona i struje na pocetku ovog voda su: U′′

0i I

′′

0= −U

′′

0/Zc. Znak minus u izrazu

za struju znaci da je njen pozitivan smjer suprotan od uobicajenog. Fizicki postoji zadati vod

duzine d zatvoren impedansom Zp. Neograniceni vodovi su fiktivni. Komponente U′

, I′

, U′′

i

I′′

imaju takav oblik kao da se prostiru duz ovih vodova.

14.23 Brzine prostiranja

v′

=ω

β

Pošto se komponente U′

i I′

prostiru u pozitivnom smjeru x-ose tj. od pocetka zadatog voda

prema njegovom kraju, nazivamo ih direktnim komponentama (talasima) napona i struje.

U′′

0= U

′′

0ejθ

′′

0

U′′

= U′′

0ejθ

′′

0 e−(α+jβ)(2d−x) = U′′

0 e−α(2d−x)e

j[θ′′

0−β(2d−x)

]

470

Pocetna faza je: θ′′

= θ′′

0 − β(2d− x), dok je faza u trenutku t jednaka: θ′′

+ωt = θ′′

0 − β(2d−x) + ωt. Duz voda u raznim trenucima uvijek posmatramo istu fazu:

θk = θ′′

0 − β(2d− x) + ωt (14.668)

pa je prema tome θk = const. Diferenciranjem relacije (14.668) po vremenu dobijamo relaciju:

dθkdt

= βdx

dt+ ω (14.669)

pa je brzina prostiranja shodno relaciji (14.669) jednaka:

v′′

= −ω

β< 0

Komponente U′′

i I′′

prostiru se u negativnom smjeru x-ose brzinom koja je po apsolutnoj

vrijednosti jednaka brzini komponenti U′

i I′

. Po analogiji sa reflektovanjem svjetlosnog zraka

od ogledala, smatra se, da se direktne komponente U′

i I′

odbijaju od kraja zadatog voda

x = d i vracaju prema pocetku kao reflektovane komponente U′′

i I′′

.Velicina:

Γp =U

′′

d

U′

d

(14.670)

naziva se koeficijent refleksije za napon na kraju voda tj. na mjestu prijemnika. Zamjenom

vrijednosti U′′

d i U′

d u relaciji (14.670) dobijamo:

Γp =U

′′

0 e−γ(2d−x)

U′

0 e−γx

∣∣∣∣∣x=d

=U

′′

0

U′

0

(14.671)

Nadalje je:

Γp =U

′′

0

U′

0

=Ud

Zp−Z

c

2Zp

eγd

Ud

Zp+Z

c

2Zp

eγd=

Zp − Zc

Zp + Zc

(14.672)

Koeficijenti refleksije za struju su isti kao za napon ali sa suprotnim znakom. Prema relaciji

(14.671) mozemo pisati da je:

U′′

0 = Γp U′

0

Odnosno:

U′′

= Γp U′

0 e−γ(2d−x) (14.673)

I′′

= −Γp U′

0

Zc

e−γ(2d−x) (14.674)

471

Relacije (14.673) i (14.674) predstavljaju reflektovane talase napona i struje.

14.24 Trenutne vrijednosti direktne i reflektovane kom-

ponente

Trenutne vrijednosti direktnih talasa napona i struje su izrazene relacijama:

u′

(x, t) =√2U

′

0e−αx cos

(ωt+ θ

′

0− βx

)(14.675)

i′

(x, t) =√2I

′

0e−αx cos

(ωt+ θ

′

0− βx− ϕc

)(14.676)

Koeficijent refleksije mozemo zapisati i na sledeci nacin:

Γp = Γp ejηp (14.677)

a izraze za reflektovane talase napona i struje u sledecoj formi:

U′′

= Γp ejηp U′

0ejθ

′

0 e−(α+jβ)(2d−x) =

= ΓpU′

0 e−α(2d−x) ej[θ′

0−β(2d−x)+η

p

](14.678)

I′′

= −Γp ejηp U′

0 ejθ′

0

1

Zcejϕce−(α+jβ)(2d−x) =

= −Γp

U′

0

Zc

e−α(2d−x) ej[θ′

0−β(2d−x)+η

p−ϕ

c

](14.679)

Dok su izrazi za trenutne vrijednosti reflektovanih talasa napona i struje jednaki:

u′′

(x, t) =√2ΓpU

′

0e−α(2d−x) cos

[ωt+ θ

′

0− β (2d− x) + ηp

](14.680)

i′′

(x, t) = −√2Γp

U′

0

Zc

e−α(2d−x) cos[ωt+ θ

′

0 − β (2d− x) + ηp − ϕc

](14.681)

Na ovaj nacin smo analizu ustaljenog rezima ogranicenog voda koji je zatvoren proizvo

ljnom impedansom sveli na analizu dva neogranicena fiktivna voda:

u(x, t) = u′

(x, t) + u′′

(x, t)

i(x, t) = i′

(x, t) + i′′

(x, t)

472

14.25 Ulazna impedansa

Ulazna impedansa se definiše kao:

Z(x) =U

I=

U′

0 e−γx + Γp U′

0 e−γ(2d−x)

U′

0

Zc

e−γx − ΓpU

′

0

Zc

e−γ(2d−x)= Zc

e−γx + Γp e−γ(2d−x)

e−γx − Γp e−γ(2d−x)

Z(x) = Zc

1 + Γp e−2γ(d−x)

1− Γp e−2γ(d−x)(14.682)

Zul = Z(x)|x=0 = Zc

1 + Γp e−2γd

1− Γp e−2γd(14.683)

Uvodeci koeficijent refleksije na mjestu x, Γ(x) kao:

Γ(x) = Γp e−2γ(d−x) (14.684)

dobijamo sledeci izraz za ulazn impedansu:

Z(x) = Zc

1 + Γ(x)

1− Γ(x)(14.685)

Polazeci od relacije (14.672) dobijamo sledece vrijednosti za koeficijent refleksije:

- Za otvoren vod Zp = ∞ ⇒ Γp = 1.

- Za vod u kratkom spoju Zp = 0 ⇒ Γp = −1.

- Za vod zatvoren svojom karakteristicnom impedansom Zp = Zc ⇒ Γp = 0. U ovom

slucaju nema refleksije pa je: u′′

(x, t) = 0 i i′′

(x, t) = 0.

14.26 Stojeci talasi u ogranicenom vodu

Ako je ucestanost generatora vrlo visoka tako da je r ωl i g ωc karakteristicnu

impedansu voda mozemo smatrati realnom velicinom:

Zc=

√r + jωl

g + jωc= 4

√r2 + ω2l2

g2 + ω2c2ej

1

2(arctgωl

r−arctg

ωcg ) (14.686)

473

Koeficijent slabljenja i fazni koeficijent uzimaju tada priblizne vrijednosti:

α =

√zy + rg − ω2lc

2≈ r

2

√c

l+

g

2

√l

c(14.687)

β =

√zy − rg + ω2lc

2≈ ω

√lc (14.688)

Ako je vod i kratak mozemo uzeti priblizno da je: a = α(d− x) ≈ 0. Velicinu b = β(d− x) ne

mozemo zanemariti zbog visine vrijednosti koeficijenta β koju uzima pri visokoj ucestanosti.

Takvi kratki otvoreni vodovi sa visokom ucestanošcu predstavljaju antene u radiotehnici.

Usvajanjem gornjih pribliznih vrijednosti, velicina γ postaje: γ = jβ (d− x) = jω√lc(d− x),

te se izrazi za kompleksni napon i struju otvorenog voda predstavljeni relacijama (14.626) i

(14.627) svode na:

U = Udcos β(d− x) (14.689)

I = j

√c

lU

dsin β(d− x) (14.690)

Efektivne vrijednosti napona i struje duz voda u ovom slucaju date su relacijama:

U = |Ud cosβ(d− x)|I =

∣∣∣∣√

c

lUd sin β(d− x)

∣∣∣∣Kao pozitivne velicine one su predstavljene apsolutnim vrijednostima gornjih prostoperi-

odicnih funkcija. One su periodicne funkcije periode (prostorne) πβ= λ

2. λ− je talasna duzina

prostoperiodicnih funkcija cosβ(d − x) i sin β(d − x). Mjesta na vodu u kojima su efektivne

vrijednosti napona i struje jednake nuli nazivaju se cvorovima. Na vodu razlikujemo cvorove

napona i cvorove struje. Rastojanje od jednog do drugog cvora napona jednako je λ2. Iz gornjih

izraza vidimo još da je efektivna vrijednost struje maksimalna u cvorovima napona i obratno,

efektivna vrijednost napona je maksimalna u cvorovima struje. Cvorove napona imamo na

mjestima gdje je: cosβ(d− x) = 0, odnosno:

β(d− x) = (2n + 1)π

2(14.691)

odakle slijedi da je:

x = d− (2n + 1)π

2β= d− (2n+ 1)

λ

4(14.692)

474

U relacijama (14.691) i (14.692) n je cio broj i n uzima samo one vrijednosti za koje je

0 ≤ x ≤ d. Cvorove struje imamo na mjestima gdje je sin β(d− x) = 0, odnosno:

x = d− nπ

β= d− n

λ

2(14.693)

Prelaskom sa kompleksnih na trenutne vrijednosti dobijamo u slucaju kratkog, otvore

nog voda sa visokom ucestanošcu sledece izraze za napon i struju:

u(x, t) =√2Ud cosβ (d− x) cos (ωt + θd) (14.694)

i(x, t) =√2

√c

lUd sin β (d− x) cos

(ωt+ θd +

π

2

)(14.695)

U ovom slucaju ne bismo imali nepredovanje talasa. Talasi napona i struje se ne pomjeraju duz

voda vec tokom vremena samo mijenjaju svoju amplitudu. Njihova talasna duzina iznosi λ =

2π/β. Ovakve talase koji se ne pomjeraju nazivamo stojecim talasima a pojavu talasanjem

u mjestu.

14.27 Stojeci talasi ogranicenog voda u kratkom spoju

Ako je ucestanost vrlo visoka, a vod kratak, za vod u kratkom spoju uzimamo priblizne

obrasce kao i za otvoreni vod:

a = α (d− x) ≈ 0

γ = jβ (d− x) ≈ jω√lc (d− x)

Zc = ≈√

l

c

Kompleksni napon i struja voda u kratkom spoju tada postaju:

U = j

√l

cId sin β (d− x) (14.696)

I = Id cosβ (d− x) (14.697)

S toga su efektivne vrijednosti napona i struje ovakvog voda:

U =

∣∣∣∣∣√

l

cId sin β (d− x)

∣∣∣∣∣I = |Id cosβ (d− x)|

Cvorovi, tj. mjesta na kojima su efektivne vrijednosti jednake nuli nalaze se na rastojanjuλ2= π

βjedan od drugog. Efektivna vrijednost napona maksimalna je u cvorovima struje i

475

obratno. Cvorove napoa imamo na mjestima:

x = d− nπ

β= d− n

λ

2; (n = 0, 1, 2, ...) (14.698)

a cvorove struje na mjestima:

x = d− (2n + 1)π

2β= d− (2n+ 1)

λ

4; (n = 0, 1, 2, ...) (14.699)

Pri prelasku sa kompleksnih na trenutne vrijednosti, ako je ucestanost visoka, za napon i

struju kratkog voda koji se nalazi u kratkom spoju dobijamo sledece relacije:

u(x, t) =√2

√l

cId sin β (d− x) cos

(ωt + ψd +

π

2

)(14.700)

i(x, t) =√2Id cosβ (d− x) cos (ωt+ ψd) (14.701)

Prema tome, i u slucaju voda u kratkom spoju pod gornjim uslovima ne bismo imali napre-

dovanje talasa, vec stacionarne ili stojece talase talasne duzine λ = 2πβ.

DODATAK

476

FOURIER-ovi redovi - matematicki

dio

Slozeno periodicna funkcija f(t) = f(t + T ) moze se predstaviti Fourier-ovim redom, koji

predstavlja sumu prostoperiodicnih funkcija u obliku:

f(t) =a02

+

∞∑n=1

(an cosnω0t + bn sinnω0t) (15.702)

gdje je ω0 = 2π/T osnovna ili fundamentalna ucestanost. Oblik dat relacijom (15.702) naziva

se trigonometrijski oblik Fourier-ovog reda. Pojedini clanovi Fourier-ovog reda nazivaju se

harmonicima. Clan ucestanosti ω0 naziva se osnovnim harmonikom, a clan ucestanosti nω0 n

- tim harmonikom. Clan a0

2naziva se nultim harmonikom. a0, an i bn - nazivaju se koeficijenti

Fourier-ovog reda i oni se izracunavaju po formulama:

a0 =2

T

t0+T∫t0

f(t)dt

an =2

T

t0+T∫t0

f(t) cosnω0tdt n = 0, 1, 2, ...

bn =2

T

t0+T∫t0

f(t) sinnω0tdt n = 1, 2, ...

Da bi se neka slozenoperiodicna funkcija razvila u Fourier-ov red ona treba da ispuni Dirchlet-

ove uslove:

1. Da ima prekide prve vrste i to konacan broj.

2. Da ima konacan broj minimuma i maksimuma.

3. Da jet∫0

|f(t)| dt < 0

U tackama prekida red konvergira vrijednosti 1

2[f(t+) + f(t−)].

477

478

Primjer 1: Razviti u Fourier-ov red funkciju f(t) = t; −π < t < π; f(t + 2π) = f(t) što

znaci da je T = 2π (slika 15.323).

( )f t

tπ 3π3π−

π−

π

π−

Slika 15.323:

Koeficijenti su:

a0 =1

π

π∫−π

tdt = 0

Za n = 1, 2, 3, ... imamo da je:

an =1

π

π∫−π

t cosntdt =1

n2π(cosnt+ nt sinnt)

∣∣∣∣π−π

= 0

i

bn =1

π

π∫−π

t sinntdt =1

n2π(sinnt− nt cosnt)

∣∣∣∣π−π

= −2 cosnπ

n=

2(−1)n+1

n

Prema tome, funkcija f(t) zapisana preko Fourier-ovog reda je:

f(t) = 2

(sin t

1− sin 2t

2+

sin 3t

3− ...

)Primjer 2: Razviti u Fourier-ov red funkciju f(t) koja je jednaka (slika 15.324.):

t

( )f t

1−2− 1 2

6

Slika 15.324:

479

f(t) =

⎧⎪⎨⎪⎩

0

6

0

−2 < t < −1

−1 < t < 1

1 < t < 2

f(t+ 4) = f(t) ⇒ T = 4 ; ω0 =2π

T= π

2. Koeficijenti su:

a0 =2

4

1∫−1

6dt+2

4

3∫1

0dt = 6

an =2

4

1∫−1

6 cosnπt

2dt+

2

4

3∫1

0 cosnπt

2dt =

12

nπsin

nπ

2

bn =2

4

1∫−1

6 sinnπt

2dt+

2

4

3∫1

0 sinnπt

2dt = 0

f(t) = 3 +12

π

(cos

πt

2− 1

3cos

3πt

2+

1

5cos

5πt

2− ...

)

f(t) = 3 +12

π

∞∑n=1

(−1)n+1 cos [(2n− 1)πt] /22n− 1

Primjer 3: Razviti u Fourier-ov red funkciju f(t) koja je jednaka:

f(t) =

4

−4

0 < t < 1

1 < t < 2

f(t) = f(t+ 2); T = 2

Koeficijenti su jednaki:

an = 0; n = 0, 1, 2, ...

bn =4

2

1∫0

4 sinnπtdt =8

nπ[1− (−1)n] ⇒

bn = 0;

bn = 16

nπ;

n - parno

n - neparno

f(t) =16

π

∞∑n=1

sin(2n− 1)πt

2n− 1

Oblik Fourier-ovog reda zavisi od svojstva vremenske funkcije f(t) :

1. Ako je funkcija f(t) parna tj. f(−t) = f(t) Fourier-ov red ce sadrzati konstantni clan i

480

kosinusne clanove:

an =4

T

T

2∫0

f(t) cosnω0tdt n = 0, 1, 2, ...

bn = 0 n = 1, 2, 3, ...

2. Ako je funkcija f(t) neparna tj. f(−t) = −f(t) Fourier-ov red ce sadrzati samo sinusne

clanove:

an = 0 n = 1, 2, 3, ...

bn =4

T

T

2∫0

f(t) sinnω0tdt n = 0, 1, 2, ...

3. Ako je negativni talas vremenske funkcije ogledalska slika pozitivnog talasa tj. ako je:

f(t+ T/2) = −f(t) onda je:

an = 0 za n - parno

an =4

T

T

2∫0

f(t) cosnω0tdt za n - neparno

bn = 0 za n - parno

bn =4

T

T

2∫0

f(t) sinnω0tdt za n - neparno

tj. Fourier-ov red ce sadrzavati samo neparne clanove.

4. Ako funkcija f(t) ispunjava uslov iz treceg slucaja i uz to je simetricna u odnosu na

koordinatni pocetak, tj. neparna, njen Fourier-ov red imace samo neparne sinusne har-

monike:

b2n+1 =8

T

T

4∫0

f(t) sin (2n+ 1)ω0tdt n = 1, 2, 3, ...

Primjer 4: Razviti u Fourier-ov red funkciju f(t):

f(t) =

⎧⎪⎨⎪⎩

0

4 cos 2t

0

−π

2< t < −π

4

−π

4< t < π

4

π

4< t < π

2

f(t+ π) = f(t)

481

a0 =8

π; a1 = 2; a2 =

8

π(1− n2)cos

nπ

2, n = 2, 3, 4, ...

bn = 0, n = 1, 2, 3, ...

Primjer 5: Razviti u Fourier-ov red funkciju f(t):

f(t) = |4 sin 2t|

Odgovor:

f(t) =16

π

(1

2+∞∑n=1

1

1− 4n2cos 4nt

)

Primjer 6: Razviti u Fourier-ov red funkciju f(t) prikazanu na slici 15.325.

( )f t

1 2 t1−2−

1

2−

1

2

4

4−

Slika 15.325:

Odgovor:

f(t) =16

π

∞∑n=1

(−1)n+1

2n− 1cos(2n− 1)πt

Drugi oblici trigonometrijskog Fourier-ovog reda su:

f(t) =a02

+∞∑n=1

An cos (nω0t+ θn) (15.703)

Koristeci sledeci identitet:

an cosnω0t+ bn sinnω0t = An cos (nω0t+ θn)

dobijamo izraze za An i θn koji su jednaki:

482

An =√a2n+ b2

n

θn = arctanbnan

iz kojih slijedi:

an = An cos θn

bn = −An sin θn

ili:

f(t) =a02

+∞∑n=1

An sin(nω0t + θ

′

n

)(15.704)

gdje je:

θ′

n= θn +

π

2

Kompleksni oblik Fourier-ovog reda

Polazeci od relacija:

cosnω0t =1

2

(ejnω0t + e−jnω0t

)sinnω0t =

1

2j

(ejnω0t − e−jnω0t

)i oblika (15.702) Fourier-ovog reda dobijamo:

f(t) =a02

+∞∑n=1

[(an − jbn

2

)ejnω0t +

(an + jbn

2

)e−jnω0t

]

Uvodeci novi koeficijent cn koji je jednak:

cn =an − jbn

2

Zamjenjujuci izraze za izracunavanje konstanti an i bn ako je t0 = −T/2 dobijamo:

cn =1

T

T

4∫−T

2

f(t) (cosnω0t− j sinnω0t) dt

483

ili koristeci Euler-ovu formulu:

cn =1

T

T

4∫−T

2

f(t)e−jnω0tdt (15.705)

c∗n =an + jbn

2=

1

T

T

4∫−T

2

f(t) (cosnω0t+ j sinnω0t) dt

Evidentno je c−n (ako n zamijenimo sa −n) da je:

c−n =

an + jbn2

= c∗n

a02

=1

T

T

4∫−T

2

f(t)dt = c0

Sada mozemo napisati:

f(t) = c0 +∞∑n=1

cnejnω0t +

∞∑n=1

c−ne

jnω0t (15.706)

Pošto je c0 = cn|n=0 relaciju (15.706) mozemo zapisati u sledecem obliku:

f(t) =∞∑n=0

cnejnω0t +

−∞∑n=−1

cnejnω0t

Pa konacno dobijamo:

f(t) =∞∑

n=−∞

cnejnω0t (15.707)

Relacija (15.707) predstavlja kompleksni oblik Fourier-ovog reda dok se koeficijent cn izracu-

nava koristeci relaciju (15.705).

Primjer 7: Naci kompleksni oblik Fourier-ovog reda funkcije f(t) :

f(t) =

4

−4

0 < t < 1

1 < t < 2

ako je f(t + 2) = f(t). Odavde slijedi da je: T = 2 i ω0 = 2π/T = π pa je:.

cn=

1

2

1∫−1

f(t)e−jnπtdt =1

2

0∫−1

(−4)e−jnπtdt+1

2

1∫0

4e−jnπtdt =4

jnπ[1− (−1)n]

484

Takoe, imamo da je:

c0 =1

2

1∫−1

f(t)dt =1

2

0∫−1

4dt− 1

2

1∫0

4dt = 0

Pošto je cn = 0 za parno n i cn = 8/jnπ za neparno n kompleksni oblik Fourier-ovog reda

funkcije f(t) ima sledeci oblik:

f(t) =8

jnπ

∞∑n=−∞

1

2n− 1ej(2n−1)πt

Primjer 8: Naci kompleksni oblik Fourier-ovog reda funkcije f(t) :

f(t) =

1

0

−1 < t < 1

1 < t < 2

ako je f(t + 4) = f(t) :

Odgovor:

f(t) =1

2+

1

π

∞∑n=−∞n=0

sin(nπ

2

)n

ejnπt

2

Funkcija

Sa(x) =sin x

x, x = 0

Sa(0) = 1

naziva se funkcija odabiranja (sampling funkcija). Funkcija:

sincx =sin πx

πx= Sa(πx)

naziva se sinc funkcija. Pošto je:

c0 = limn→0

cn

rezultat iz Primjera 8 se moze napisati u sledecem obliku:

f(t) =1

2

∞∑n=−∞

Sa(nπ

2

)ej

nπt

2

Primjer 9:Naci kompleksni oblik Fourier-ovog reda funkcije f(t) :

f(t) =

1

0

− b2< t < b

2

b

2< t < T

2

ako je f(t + T ) = f(t) :

485

Odgovor:

f(t) =b

T

∞∑n=−∞

Sa

(nπb

T

)ej

nπt

T

Ako je funkcija f(t) parna, koeficijenti kompleksnog oblika Fourier-ovog reda su jednaki:

cn=

an2

=2

T

T

2∫0

f(t) cosnω0tdt

Ako je funkcija f(t) neparna, koeficijenti kompleksnog oblika Fourier-ovog reda su jednaki:

cn=

bn2j

=2

jT

T

2∫0

f(t) sinnω0tdt

Ako je funkcija f(t) polu-talasno simetricna (half-wave simetry) tada su koeficijenti komplek-

snog oblika Fourier-ovog reda su jednaki:

cn

= 0 n - parno

cn

=2

T

T

2∫0

f(t)e−jnω0t n - neparno

Frekventni spektar

Razmatramo kompleksni (eksponencijalni) oblik Fourier-ovog reda:

f(t) =∞∑

n=−∞

cnejnω0t

gdje je:

cn =an − jbn

2

ili u polarnim koordinatama:

cn =

√a2n + b2n2

∠− tan−1bnan

U funkciji od An i θn imamo da je:

cn=

An

2∠θn

486

c−n

=An

2∠− θn

Takoe, imamo da je:

co = An∠θn =a02

Na osnovu predhodnih relacija mozemo pisati da je:

|cn| =

∣∣c−n

∣∣ = An

2=

√a2n+ b2

n

2, n = 1, 2, 3, ...

|c0| = A0 =a02

gdje je: |cn| − Diskretni amplitudski spektar a θn− Diskretni fazni spektar.

Neke osobine Fourier-ovih redova

1. Linearnost

Ako su x(t) i y(t) dva periodicna signala sa periodom T tada vazi:

x(t)FS

ak

y(t)FS

bk

z(t) = Ax(t) +By(t)FS

ck= Aa

k+Bb

k

Ova osobina je direktna posledica relacija za Fourier-ov red u kompleksnom obliku.

2. Pomak (Time Shifting)

x(t)FS

ak

x(t− t0)FS

e−jkω0t0ak

Dokaz:

bk =1

T

T∫0

x(t− t0)e−jkω0tdt (15.708)

Uvodeci smjenu τ = t− t0 u relaciju (15.708) dobijamo:

1

T

T∫0

x(τ)e−jkω0(τ+t0)dτ = e−jkω0t01

T

T∫0

x(τ)e−jkω0τdτ

︸︷︷︸ak

= e−jkω0t0ak

487

|bk| = |ak|3. Time reversal

y(t) = x(−t)

x(−t) =

∞∑k=−∞

ake−jkω0t

Ako uvedemo smjenu k = −m dobijamo:

y(t) = x(−t) =∞∑

k=−∞

a−me

jmω0t

bk = a−k

x(t)FS

ak

x(−t)FS

a−k

Posledice: Ako je funkcija x(t) parna tj: x(−t) = x(t) onda je a−k = ak. Ako je funkcija

x(t) neparna tj: x(−t) = −x(t) onda je a−k = −ak.

4. Conjugation and conjugate symmetry

Ako je:

x(t)FS

ak

tada je

x∗(t)FS

a∗−k

Dokaz:

x(t) =∞∑

k=−∞

akejkω0t

x∗(t) =∞∑

k=−∞

a∗ke−jkω0t

Zamjenjujuci k → −k dobijamo:

x∗(t) =∞∑

k=−∞

a∗−ke

jkω0t

488

Posledice: Ako je x(t) realan signal onda je x(t) = x∗(t) pa imamo:

a−k = a∗k (15.709)

Relacija (15.709) izrazava conjugate symmetry.

|ak| = ∣∣a

−k

∣∣Ako je funkcija x(t) realna i parna imamo

ak= a

−k; a∗

k= a

−k⇒ a

k= a∗

k

5. Time scaling

Ako je x(t) periodicna funkcija sa osnovnim periodom T i ucestanošcu ω0 = 2π/T i x(αt)

sa fundamentalnim periodom T/α i ucestanošcu ω = α ω0 gdje je α realno i pozitivno imano

da je:

x(αt) =∞∑

k=−∞

akejk(αω0)t

i koeficijenti Fourier-ovog reda se ne mijenjaju.

6. Teorema konvolucije

Ako imamo dvije funkcije f1(t) =∞∑

n=−∞ane

jnω0t i f2(t) =∞∑

n=−∞bne

jnω0t sa istim periodom

T i ucestanošcu ω0 = 2π/T tada je:

1

T

T

4∫−T

2

f1(τ )f2(t− τ )dτ =∞∑

n=−∞

anbnejnω0t (15.710)

1

T

T

4∫−T

2

f1(t)f2(t)e−jnω0tdt =

∞∑m=−∞

ambn−m (15.711)

Dokaz:

1

T

T

4∫−T

2

f1(t− τ )f2(τ )dτ =1

T

T

4∫−T

2

∞∑n=−∞

anejnω0(t−τ)f2(τ )dτ =

∞∑n=−∞

anejnω0t

1

T

T

4∫−T

2

f2(τ)e−jnω0τdτ =

=∞∑

n=−∞

anbnejnω0t

489

ft(t)f2(t) =∞∑

m=−∞

amejmω0t

∞∑k=−∞

bkejkω0t =

∞∑m=−∞

∞∑k=−∞

ambkej(m+k)ω0t =

=∞∑

m=−∞

(∞∑

k=−∞

am−kbk

)ejmω0t

7. Parseval-ova teorema

Ako su f1(t) i f2(t) dvije periodicne funkcije sa istim periodom T onda je:

1

T

T

4∫−T

2

f1(t)f∗

2 (t)dt =∞∑

m=−∞

amb∗

m (15.712)

Dokaz: Na osnovu izvedenih predhodnih osobina koeficijenti Fourier-ovog reda funkcije

f ∗2 (t) su b∗−m. Ako u relaciju (15.711) umjesto funkcije f2(t) stavimo f ∗2 (t) dobijamo:

1

T

T

4∫−T

2

f1(t)f∗

2 (t)e−jnω0tdt =

∞∑m=−∞

ambm−n

Stavljajuci n = 0 dobijamo:

1

T

T

4∫−T

2

f1(t)f∗

2 (t) =∞∑

m=−∞

ambm

Posledica ove teoreme je je teorema Releja ili Energy theorema.

1

T

T

4∫−T

2

|f1(t)|2 dt =∞∑

n=−∞

|an|2 (15.713)

Dokaz: Ako u teoremi Parsevala stavimo f1(t) = f2(t) = f(t) dobijamo relaciju (15.713)

Napomena: Na osnovu veza izmeu razlicitih formi Fourier-ovog reda teoremu Releja je

moguce napisati i na sledeci nacin:

1

T

T

4∫−

T

2

f 2(t)dt =(a02

)2+∞∑n=1

A2

n

2=(a02

)2+∞∑n=1

a2n+ b2

n

2(15.714)

Relacija (15.714) se ponegdje u literaturi naziva i Parserval-ovom jednacinom.

FOURIER-ova transformacija -

matematicki dio

Direktna Fourier-ova transformacija neke vremenske funkcije se definiše kao:

F (jω) =

+∞∫−∞

f(t)e−jωtdt

To se moze napisati i oznaciti na sledeci nacin:

Ff(t) = F (jω) =

+∞∫−∞

f(t)e−jωtdt

ili krace:

f(t)F

F (jω)

Inverzna Fourier-ova transformacija se definiše na sledeci nacin:

f(t) =1

2π

+∞∫−∞

F (jω)ejωtdω

ili:

f(t) = F−1 F (jω) =1

2π

+∞∫−∞

F (jω)ejωtdω

Da bi funkcija f(t) imala Fourier-ovu transformaciju ona treba da zadovolji Dirichlet-ove

uslove i uslov apsolutne integrabilnosti:∫ +∞−∞

|f(t)| dt < ∞.

Primjer 1: Odrediti Fourier-ovu transformaciju funkcije: f(t) = e−ath(t) gdje je a > 0.

Fe−ath(t)

=

+∞∫−∞

e−ath(t)e−jωtdt =

+∞∫0

e−(a+jω)tdt =

=1

−(a + jω)e−(a+jω)t

∣∣∣∣∞0

=1

a+ jω

490

491

jer je zbog a > 0 limt→∞

e−at (cosωt− j sinωt) = 0.

Primjer 2: Odrediti Fourier-ovu transformaciju funkcije:

f(t) =

A −a

2< t < a

2

0 |t| > a

2

F (jω) =

+∞∫−∞

f(t)e−jωtdt =

a

2∫−

a

2

Ae−jωtdt =2A

ω

(ej

ωa

2 − e−jωa

2

j2

)=

=2A

ωsin

ωa

2= AaSa

(ωa2

)Primjer 3: Odrediti Fourier-ovu transformaciju funkcije:

f(t) =

⎧⎪⎨⎪⎩

t+ 1 −1 < t < 0

−t + 1 0 < t < 1

0 van tih intervala

Ff(t) = F (jω) =2 (1− cosω)

ω2= S2

a

(ω2

)Primjer 4: Odrediti Fourier-ovu transformaciju funkcije: f(t) = e−a|t| gdje je a > 0.

Ff(t) = F (jω) =2a

ω2 + a2

Primjer 5: Odrediti inverznu Fourier-ovu transformaciju funkcije:

F (jω) =

1 −1 < ω < 1

0 |ω| > 1

f(t) = F−1 F (jω) =1

πSa(t)

Primjer 6: Odrediti Fourier-ovu transformaciju funkcije: f(t) = δ(t).

Fδ(t) = F (jω) =

+∞∫−∞

δ(t)e−jωtdt = 1

Ako formiramo funkciju:

fσ(t) =1

2π

+σ∫−σ

F (jω)ejωtdω

tada je:

fσ(t)−−−−→σ → ∞ f(t)

492

fσ(t) =1

2π

+σ∫−σ

ejωt+∞∫−∞

f(τ )e−jωτdτdω =1

2π

+∞∫−∞

f(τ)

+σ∫−σ

ejω(t−τ)dωdτ

fσ(t) =

+∞∫−∞

f(τ )sin σ (t− τ )

π (t− τ )dτ

Gornji integral jednak je konvoluciji funkcije f(t) i F - sinσt

πti on

tezi za σ → ∞ vremenskoj funkciji f(t). Ako f(t) ima diskontinuitet u t onda je:

fσ(t)−−−−→σ → ∞ f(t+) + f(t−)

2

Primjer 7: Jedinicni pravougaoni impuls pa(t) ima grafik prikazan na slici 15.326.

( )a

p t

1

a− a t

Slika 15.326: Jedinicni pravougaoni impulas

koji je definisan sa:

pa(t) =

1

0

|t| < 0

|t| > 0

Fourier-ova transformacija jedinicnog impulsa je:

F (jω) = Fpa(t) =

+a∫−a

1 e−jωtdt =2 sin aω

ω

i prikazana je na slici 15.327:

fσ(t) =

+a∫−a

1sin σ (t− τ)

π (t− τ )dτ =

1

πSi [σ(t+ a)]− Si [σ(t− a)]

Sa slike 15.328. se vidi da u svakom opsegu postoje odstupanja koja imaju oscilatorni

karakter. Ovaj fenomen se u literaturi naziva Gibsove oscilacije.

493

( )F jω

ω

a

π

a

π

( )F jω

ω

)a )b

Slika 15.327: a) F (jω)− Realni dio frekevencijskog spektra; b) |F (jω)| − Amplitudski spektar

a− a t

1

( )f t

( )f tσ

Slika 15.328: Gibsove oscilacije

Si(t) =

t∫0

sin τ

τdτ

Funkcija Si(t) naziva se I .

Oblici Fourier-ove transformacije

Ako je u opštem slucaju vremenska funkcija kompleksna:

f(t) = f1(t) + jf2(t)

494

tada je

F f(t) = F (jω) = R(ω) + jX(ω)

Iz definicionih oblika direktne i inverzne Fourier-ove transformacije dobijamo:

R(ω) =

+∞∫−∞

[f1(t) cosωt + f2(t) sinωt] dt

X(ω) =

+∞∫−∞

[f2(t) cosωt− f1(t) sinωt] dt

f1(t) =1

2π

+∞∫−∞

[R(ω) cosωt−X(ω) sinωt] dω

f2(t) =1

2π

+∞∫−∞

[R(ω) sinωt+X(ω) cosωt] dω

Kada je f(t) realan signal onda je: f(t) = f1(t); f2(t) = 0 pa imamo drugi oblik Fourier-ovih

transformacija:

F (jω) = R(ω) + jX(ω)

R(ω) =

+∞∫−∞

f(t) cosωtdt (15.715)

X(ω) = −+∞∫−∞

f(t) sinωtdt (15.716)

Relacija (15.715) predstavlja kosinusnu transformaciju a relacija (15.716) predstavlja si-

nusnu transformaciju.

f(t) = f1(t) =1

2π

+∞∫−∞


Pošto je: R(−ω) = R(ω); X(−ω) = −X(ω), onda je za realni spektar:

F ∗(jω) = F (−jω)

495

Ako je f(t) parna funkcija onda je X(ω) = 0, odnosno:

F (jω) = R(ω) =

+∞∫−∞

f(t) cosωtdt = 2

+∞∫0

f(t) cosωtdt (15.717)

Iz relacije (15.717) slijedi da je Fourier-ova transformacija realne parne funkcije realna. Ako

je f(−t) = −f(t) tj. ako je realna funkcija neparna tada je R(ω) = 0, odnosno:

F (jω) = jX(ω) = −j

+∞∫−∞

f(t) sinωtdt = −2j

+∞∫0

f(t) sinωtdt (15.718)

To znaci da je Fourier-ova transformacija realne neparne funkcije cisto imaginarna.

Primjer 8: Funkcija f(t) = 1

tje neparna funkcija. Fourier-ova transformacija je jednaka:

F (jω) = −j

+∞∫−∞

sinωt

tdt =

−jπ

jπ

ω > 0

ω < 0

To se moze napisati i na sledeci nacin:

F

1

πt

−jsgnω

Primjer 9: Odrediti Fourier-ovu transformaciju funkcije f(−t) =?

Ff(−t) =

+∞∫−∞

f(−t)e−jωtdt =

+∞∫−∞

f(t)ejωtdt = F (−jω)

pošto je F (−jω) = R(ω)− jX(ω).

Ako je f(t) realno onda vazi da je:

f(t) R(ω) + jX(ω) i f(−t) R(ω)− jX(ω).

Tada je parni dio od f(t) jednak je:

fe(t) = Ev f(t) =f(t) + f(−t)

2

dok je neparni dio funkcije f(t) jednak:

fo(t) = Oddf(t) =f(t)− f(−t)

2

Na osnovu predhodnog vazi da je: fe(t) R(ω) i fo(t) jX(ω). Ako je f(t) kauzalna

496

funkcija tj. ako je f(t) = 0 za t < 0 tada je:

f(t) = 2fe(t) = 2fo(t) za t > 0

Ako je funkcija f(t) kauzalna realna funkcija onda je ona jednoznacno odreena preko R(ω)

ili X(ω):

f(t) =2

π

∞∫0

R(ω) cosω dω = −2

π

∞∫0

X(ω) sinω dω; t > 0

Primjer 10:

e−αth(t) 1

α + jω=

α

α2 + ω2− j

ω

α2 + ω2

Primjer 11.

e−α|t| 2α

α2 + ω2

zato što je e−α|t| parni dio od funkcije 2e−αth(t).

Polazeci od drugog oblika Fourier-ove transformacije mozemo pisati:

F (jω) = R(ω) + jX(ω)

F (ω) = mod F (ω) =√R2(ω) +X2(ω)

φ(ω) = arctgX(ω)

R(ω)

gdje je F (ω) parna funkcija od ω a φ(ω) je neparna funkcija od ω. Na osnovu gornjih relacija

dolazimo do treceg oblika direktne Fourier-ove transformacije:

F (jω) = F (ω)ejφ(ω) (15.719)

Krive F (ω) i φ(ω) nazivaju se zajednickim imenom spektar ucestanosti vremenske funkcije

f(t): F (ω)− amplitudski spektar ; φ(ω)− fazni spektar. Po tome se primjena Fourier-ove trans-

formacije u elektrotehnici cesto naziva spektralnom analizom.

R(ω) = F (ω) cosφ(ω) (15.720)

X(ω) = F (ω) sinφ(ω) (15.721)

Ako relacije (15.720) i (15.721) uvrstimo u drugi oblik inverzne Fourier-ove transformacije

497

dobijamo:

f(t) =1

2π

∞∫−∞

[R(ω) cosωt−X(ω) sinωt] dω =1

π

∞∫0


f(t) =1

π

∞∫0

F (ω) [cosφ(ω) cosωt− sinφ(ω) sinωt] dω =1

π

∞∫0

F (ω) cos [φ(ω) + ωt] dω (15.722)

Relacija (15.722) predstavlja treci oblik inverzne Fourier-ove transformacije.

Osobine (svojstva) Fourier-ove transformacije

1. Linearnost

Ako je x(t)F

X(jω) i y(t)F

Y (jω) tada je:

ax(t) + by(t)F

aX(jω) + bY (jω)

Ova osobina direktno slijedi iz definicije Fourier-ove transformacije.

2. Pomak u vremenskom domenu ( )

Ako je x(t)F

X(jω) tada je:

x(t− t0)F

e−jωt0X(jω)

Dokaz:

x(t) =1

2π

∞∫−∞

X(jω)ejωtdω

Ako t zamijenimo sa t− t0 imamo:

x(t− t0) =1

2π

∞∫−∞

X(jω)ejω(t−t0)dω =1

2π

∞∫−∞

[e−jωt0X(jω)

]ejωtdω

što znaci da je:

F x(t− t0) = e−jωt0X(jω)

3. Conjugation and conugate symmetry

498

Ako je x(t)F

X(jω) tada je:

x∗(t)F

X∗(−jω)

Dokaz:

X∗(jω) =

⎡⎣ ∞∫−∞

[x(t)] e−jωtdt

⎤⎦∗ = ∞∫

−∞

x∗(t)ejωtdt

Zamjenjujuci ω sa −ω imamo:

X∗(−jω) =

∞∫−∞

x∗(t)e−jωtdt

Posledica: Ako je x(t) - realan signal (x∗(t) = x(t)) imamo:

X(−jω) = X∗(jω) (15.723)

Ova osobina se naziva conjugate symetry:

X∗(−jω) =

∞∫−∞

x∗(t)ejωtdt = X(jω)

Zamjenjujuci ω sa −ω imamo u prethodnom izrazu dobijamo relaciju 15.723.

4. Diferenciranje u vremenskom domenu

Ako je x(t)F

X(jω) tada je:dx(t)

dt

F

jωX(jω)

Dokaz:

x(t) =1

2π

∞∫−∞

X(jω)ejωtdω

Diferenciranjem prethodnog izraza po vremenu dobijamo:

dx(t)

dt=

1

2π

∞∫−∞

[jωX(jω)] ejωtdω

pa slijedi:dx(t)

dt

F

jωX(jω)

Uopštenije:dnx(t)

dtnF

(jω)nX(jω) (n = 1, 2, 3, ...) (15.724)

499

5. Time and Frequency scaling

Ako je x(t)F

X(jω) tada je:

x(at)F

1

|a|X(jω

a

)

Dokaz:

Fx(at) =

∞∫−∞

x(at)e−jωtdt

Uvodeci smjenu: at = τ , dt = dτ

adobijamo:

Fx(at) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1

a

∞∫−∞

x(τ)e−j(ω

a)τdτ ; a > 0

− 1

a

∞∫−∞

x(τ)e−j(ω

a)τdτ ; a < 0

Posledica: Ako je a = −1 imamo da je:

x(−t)F

X(−jω)

6. Frequency shifting

Ako je x(t)F

X(jω) tada je:

ejωt0x(t)F

X(jω − jω0)

Dokaz:

Fejωt0x(t)

=

∞∫−∞

ejωt0x(t)e−jωtdt =

∞∫−∞

x(t)e−j(ω−ω0)tdt = X (jω − jω0)

7. Modulacija

Ako je x(t)F

X(jω) i ako su date funkcije: g1(t) = (cosω0t)x(t) i g2(t) = (sinω0t)x(t)

tada je:

g1(t) = (cosω0t)x(t)F

1

2[X (jω − jω0) +X (jω + jω0)] (15.725)

g2(t) = (sinω0t)x(t)F

1

2j[X (jω − jω0)−X (jω + jω0)] (15.726)

500

Dokaz:

g1(t) = (cosω0t)x(t) =1

2

[ejω0x(t) + e−jω0x(t)

](15.727)

g2(t) = (sinω0t)x(t) =1

2j

[ejω0x(t)− e−jω0x(t)

](15.728)

Izrazi dati relacijama (15.725) i (15.726) slijede kao posledica primjene osobina linearnosti

i pomaka u frekventnom domenu nad relacijama (15.727) i (15.728) .

8. Osobina simetrije (symmetry)

Ako je x(t)F

X(jω) tada je:

x(jt)F

2πx(−ω)

Dokaz:

x(t) =1

2π

∞∫−∞

X(jω)ejωtdω

Zamjenom ω sa y dobijamo:

x(t) =1

2π

∞∫−∞

X(jy)ejytdy

Ako sada promjenljivu t zamijenimo sa promjenljivom −ω dobijamo:

x(−ω) =1

2π

∞∫−∞

X(jy)e−jyωdy

2πx(−ω) =

∞∫−∞

X(jy)e−jyωdy

Odnosno:

x(jt)F

2πx(−ω)

Primjer 12:

e−α|t|F

2α

α2 + ω2

2α

α2 + t2F

2πe−α|ω|

501

Primjer 13:

e−ath(t)F

1

a+ jω, a > 0

1

a + jt

F

2πeaωh(−ω), a > 0

Primjer 14:

f(t) =

A − b

2< t < b

2

0 |t| > b

2

F (jω) =2A

ωsin

ωb

2

2A

tsin

bt

2

F

2πA,

0,

|ω| < b

2

|ω| > b2

8. Izvod u frekventnom domenu

Ako je x(t)F

X(jω) tada je:

tnx(t)F

(−1)ndn

d(jω)nX(jω), n = 1, 2, 3, ...

Dokaz: Diferencirajuci izraz za direktnu Fourier-ovu transformaciju:

X(jω) =

+∞∫−∞

x(t)e−jωtdt

n - puta po ω dobijamo:

X(n)(jω) =

+∞∫−∞

(−jt)nx(t)e−jωtdt

Posmatrajuci prethodni izraz slijedi da je:

(−jt)nx(t)F

X(n)(jω)

9. Teorema konvolucije u vremenskom odmenu

Ako je x1(t)F

X1(jω) i x2(t)F

X2(jω) tada je:

x1(t) ∗ x2(t)F

X1(jω)X2(jω)

502

Dokaz:

x1(t) ∗ x2(t) =∞∫−∞

x1(τ)x2(t− τ)dτ

F x1(t) ∗ x2(t) =

∞∫−∞

e−jωt

⎡⎣ ∞∫−∞

x1(τ)x2(t− τ)dτ

⎤⎦ dt

Uvodeci smjenu t = τ + y i zamjenjujuci redosled integraljenja dobijamo:

∞∫−∞

x1(τ )

∞∫−∞

e−jω(τ+y)x2(y)dydτ =

∞∫−∞

x1(τ )e−jωτdτ

∞∫−∞

x2(y)e−jωydy = X1(jω)X2(jω)

Posledica:∞∫−∞

x1(τ)x2(t− τ)dτ =1

2π

∞∫−∞

X1(jω)X2(jω)e−jωtdω

10. Konvolucija u frekventnom domenu

Ako je x1(t)F

X1(jω) i x2(t)F

X2(jω) tada je:

x1(t) ∗ x2(t)F

1

2πX1(jω) ∗X2(jω) =

1

2π

∞∫−∞

X1(jθ)X2(jω − jθ)dθ

Dokaz:

F−1

1

2πX1(jω) ∗X2(jω)

=

1

2π

∞∫−∞

1

2πejωt

⎡⎣ ∞∫−∞

X1(jθ)X2(jω − jθ)dθ

⎤⎦ dω =

=1

2π

∞∫−∞

X1(jθ)1

2π

∞∫−∞

ej(θ+z)tX2(jz)dzdθ =

=1

2π

∞∫−∞

X1(jθ)ejθtdθ

1

2π

∞∫−∞

X2(jz)ejztdz = x1(t)x2(t)

U prethodnom izrazu uvedena je smjena ω = θ + z.

Primjer 15: Signali pa(t) i qc(t) su prikazani na slici 15.329. a konvloucija signala pa(t)

je jednaka:

pa(t) ∗ pa(t) = 2aq2a(t)

dok je signal qc(t) jednak:

qc(t) =

1− |t|

c

0

|t| < c

|t| > c

503

( )a

p t

1

a− a t

( )c

q t

1

a− a tc− c

Slika 15.329:

pa(t)F

2sin (aω)

ω

2aq2a(t)F

4 sin2 (aω)

ω2

Ako uvedemo smjenu: c = 2a dobijamo da je:

qc(t)F

4 sin2

(cω

2

)cω2

Na osnovu osobine simetrije imamo da je:

2 sin2(ct

2

)πct2

F

qc(ω)

Primjer 16: Ako je:

ρ(t)F

|F (jω)|2

odrediti funkciju ρ(t) =?

|F (jω)| = F (jω) ∗ F (jω)

ρ(t) = f(t) ∗ f ∗(−t) =

∞∫−∞

f(t− τ )f∗(−τ )dτ =

∞∫−∞

f(t+ α)f ∗(α)dα

Funkcija ρ(t) se naziva autokorelacija signala f(t).

11. Prozori (Windows)

Ako je w(t) = 0 za |t| > T tada je:

Fw(jω) =

T∫−T

f(t)w(t)e−jωtdt

504

fw(t) = f(t)w(t)

W (jω) =

T∫−T

w(t)e−jωtdt

Fw(jω) =1

2π

∞∫−∞

F (jω − jy)W (jy)dy

Primjer 17:

w(t) = fT (t); W (jω) =2 sin(Tω)

ω

Fw(jω) =

T∫−T

f(t)w(t)e−jωtdt =

∞∫−∞

F (jω − jy)sin(Ty)

πydy

12. Teorema PARSEVALA

Ako je x1(t)F

X1(jω) i x2(t)F

X2(jω) tada je:

∞∫−∞

x1(t)x∗

2(t)dt =1

2π

∞∫−∞

X1(jω)X∗

2(jω)dω

Dokaz: Ako u relaciju:

∞∫−∞

f1(τ )f2(t− τ )dτ =1

2π

∞∫−∞

F1(jω)F2(jω)e−jωtdω

stavimo da je t = 0 dobijamo:

∞∫−∞

f1(τ )f2(−τ)dτ =1

2π

∞∫−∞

F1(jω)F2(jω)e−jωtdω

x1(t) = f1(t); x∗2 = f2(−t)

X1(jω) = F1(jω); X2(jω) = F ∗2 (jω)

f∗(t)F

F ∗(−jω)

12.1. Posledica: Teorema Releja (Energy Theorem)

505

Ako je x1(t) = x2(t) = x(t) iz Parsevalove teoreme slijedi da je:

∞∫−∞

|x(t)|2 dt = 1

2π

∞∫−∞

|X(jω)|2 dω

Primjer 17:sin(at)

t

F

πpa(ω)

∞∫−∞

sin2(at)

t2dt =

1

2π

a∫−a

π2dω = aπ

Primjer 18: Ako je:

f(t)F

F (jω); F (jω) = A(ω)ejϕ(ω)

tada je:∞∫−∞

t2 |f(t)|2 dt = 1

2π

∞∫−∞

[A

′

(ω)]2

+ A2(ω)[ϕ

′

(ω)]

dω

∞∫−∞

t |f(t)|2 dt = − 1

2π

∞∫−∞

A2(ω) ϕ′

(ω)dω

Fourier-ova transformacija nekih za elektrotehniku vaznih

vremenskih funkcija

1. Impulsna funkcija

Na osnovu odabiranja impulsne funkcije imamo da je:

Fδ(t) =

∞∫−∞

δ(t)e−jωtdt = 1

2. f(t) = A

Na osnovu osobine simetrije iamo da je:

δ(t)F

1

1F

2πδ(ω)

Prema tome:

AF

2πAδ(ω)

506

3. f(t) = sgn(t)

Ranije smo izveli da je:1

πt

F

−jsgnω

pa na osnovu osobine simetrije imamo da je:

sgntF

2

jω

4. f(t) = h(t)

h(t) =1

2+

1

2sgnt

F h(t) = F

1

2+

1

2sgnt

= πδ(ω) +

1

jω

h(t)F

πδ(ω) +1

jω

5. Fourier-ova transformacija integrala funkcije

t∫−∞

f(τ)dτF

πF (0)δ(ω) +F (jω)

jω

Dokaz: Ako je f(t)F

F (jω) tada je:

t∫−∞

f(τ )dτ = f(t) ∗ h(t)

F

⎧⎨⎩

t∫−∞

f(τ )dτ

⎫⎬⎭ = Ff(t) ∗ h(t) = F f(t)F h(t) = F (jω)

[πδ(ω) +

1

jω

]=

= πF (jω)δ(ω) +F (jω)

jω= πF (0)δ(ω) +

F (jω)

jω

jer je:

F (jω)δ(ω) = F (0)δ(ω)

6. f1(t) = cosω0t; f2(t) = sinω0t

507

Fcosω0t = F

1

2

(ejω0t + e−jω0t

)=

1

2Fejω0t

+

1

2Fe−jω0t

Na osnovu teorema pomaka:

δ(t− a)F

e−jaω; ejatF

2πδ(ω − a)

Imamo da je:

Fcosω0t = πδ(ω − ω0) + πδ(ω + ω0)

F sinω0t = F

1

2j

(ejω0t − e−jω0t

)=

1

2jFejω0t

− 1

2jFe−jω0t

Fsinω0t =π

j[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)]

7. Posledica teoreme konvolucije (koristan identitet):

δ(t− a) ∗ f(t) = f(t− a)

8. f1(t) = (cosω0t)h(t); f2(t) = (sinω0t) h(t)

Koristeci osobinu modulacije imamo:

F(cosω0t) h(t) =1

2

[πδ(ω − ω0) +

1

j(ω − ω0)+ πδ(ω + ω0) +

1

j(ω + ω0)

]=

π

2[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] +

jω

ω20− ω2

(cosω0t)h(t)F

π

2[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] +

jω

ω20− ω2

F(sinω0t) h(t) =1

2j

[πδ(ω − ω0) +

1

j(ω − ω0)− πδ(ω + ω0)− 1

j(ω + ω0)

]=

=π

2j[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)] +

ω

ω20− ω2

(sinω0t)h(t)F

π

2j[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)] +

ω

ω20− ω2

9. Fourier-ova transformacija periodicne funkcije.

508

Ako je: x(t) =∞∑

k=−∞

akejkω0t tada je:

Fx(t) = X(jω) =∞∑

k=−∞

2πakδ(ω − kω0)

Dokaz: Ranije smo vidjeli da je:

ejω0tF

2πδ(ω − ω0)

10. Fourier-ova transformacija povorke impulsa.

Povorka impulsa opisana relacijom δN(t) =N∑

n=−N

δ (t+ nT ) prikazana je na slici 15.330a).

( )N tδ

T nT t t

0( )f t

t

( )Nf t

T

)a )b )c

Slika 15.330:

Kn(jω) = FδN(t) =N∑

n=−N

ejnωt =sin(N + 1

2

)ωT

sin(ωT

2

)ω0 =

2π

T

ω0

2∫−

ω0

2

Kn(jω)dω = ω0

fN(t) =N∑

n=−N

f0(t+ nT )

Funkcije f0(t) i fN(t) su prikazane na slici 15.330b) i 15.330c) respektivno. Fourier-ova trans-

formacija funkcije fN(t) je jednaka:

FN(jω) = F0(jω)KN (jω)

509

δ(t+ nT ) ∗ f0(t) = f0(t + nT )

fN(t) = δN(t)f0(t)

δN(t)F

KN(ω) N → ∞

δ(t) =∞∑

n=−∞

δ(t + nT ) δ(ω) =∞∑

n=−∞

δ(ω − nω0)

δ(t)F

ω0δ(ω)

∞∑n=−∞

δ(t− nT )F

2π

T

∞∑k=−∞

δ(ω − 2πk

T); a

k=

1

Tza svako k

Ako je funkcija f0(t) definana na sledeci nacin (slika 15.331):

f0(t) =

f(t)

0

|t| < T

2

|t| > T

2

tada je:

t

2

T−

2

T0

0( )f t

t

2

T−

2

T0

( )f t

T 3

2

TT−

Slika 15.331:

f(t) =∞∑

n=−∞

f0(t+ nT ) = δ(t) ∗ f0(t)

F (jω) = ω0 δ(ω)F0(jω) = ω0F0(jω)∞∑

n=−∞

δ(ω − nω0)

F (jω) = ω0

∞∑n=−∞

F0(jnω0)δ(ω − nω0)

510

jer je:

F0(jω)δ(ω − nω0) = F0(jnω0)δ(ω − nω0)

Veza izmeu Fourier-ove transformacije i Fourier-ovog reda

an=

1

TF0(jnω0) =

1

T

T

2∫−T

2

f(t)e−jnω0tdt

f(t) =∞∑

n=−∞

anejnω0t ω0 =

2π

T

jer je inverzna transformacija:

ω0δ(ω − nω0)F−1

ejnω0t

T

Primjer 19: Data je funkcija f0(t) = qc(t).

F0(jω) =4 sin2

(cω

2

)cω2

( )f t

1

0t

c− cT− T

Slika 15.332:

an=

ω0

2πF0(jnω0) =

2 sin2(nω0c

2

)πω0cn2

The poisson sum formula

f(t) =∞∑

n=−∞

f0(t + nT ) F (jω) =∞∑

n=−∞

F (jω + jnω1)

gdje su T i ω1 a F (jω) nije Fourier-ova transformacija finkcije f(t).

f(t) =1

T

∞∑n=−∞

F (jnω0)ejnω0t, ω0 =

2π

T(15.729)

511

Relacija (15.729) predstavlja P . Na osnovu osobine simetrije moze se

napisati:

F (jω) =2π

ω1

∞∑n=−∞

f(nT1)e−jnT1ω, T1 =

2π

ω1

ili direktno:∞∑

n=−∞

δ(ω + nω1) =1

ω1

∞∑n=−∞

e−jnT1ω

δ(ω + nω1) ∗ F (jω) =

∞∫−∞

δ(ω − y + nω1)F (jy)dy = F (ω + nω1)

e−jnT1ω ∗ F (jω) =

∞∫−∞

e−jnT1(ω−y)F (jy)dy = 2πf(nT1)e−jnT1ω

Primjer 20: Za ω = 0 i T1 = 1 imamo:

e−α|t|F

2α

α2 + ω2

∞∑n=−∞

2α

α2 + (2πn)2=

∞∑n=−∞

e−α|n|

Prelaz sa Fourier-ovog reda u kompleksnom obliku na Fourier-ovu

transformaciju

Neka je data neperiodicna funkcija: f(t) = fT (t); − T

2< t < T

2; fT (t + T ) = fT (t). Funkcija

fT (t) se naziva periodicni razvoj funkcije f(t) i obje su prikazane na slici 15.333.

t

2

T−

2

T0

0( )f t

t

2

T−

2

T0

( )f t

T 3

2

TT−

Slika 15.333:

fT (t) =∞∑

n=−∞

cnej 2πnt

T

512

cn=

1

T

T

2∫−

T

2

fT (x)e−j 2πnx

T dx

Ako T → ∞ tada fT (t) → f(t). Kada T → ∞ tada ω0 =2πT

→ 0; 2πT

→ ∆ω, tada je:

fT (t) =∞∑

n=−∞

⎡⎢⎣∆ω

2π

T

2∫−T

2

fT (x)e−j 2πnx

T dx

⎤⎥⎦ ejtn∆ω =

∞∑n=−∞

⎡⎢⎣ 1

2π

T

2∫−T

2

fT (x)e−j(x−t)n∆ωdx

⎤⎥⎦∆ω

g(ω, t) =1

2π

T

2∫−T

2

fT (x)e−jω(x−t)dx

f(t) = limT→∞(∆ω→0)

∞∑n=−∞

g(n∆ω, t)∆ω

Na osnovu fundamentalne teoreme integralnog racuna:

f(t) =

∞∫−∞

g(ω, t)dω

gdje: fT → f T → ∞ imamo:

limT→∞

g(ω, t) =1

2π

∞∫−∞

f(x)e−jω(x−t)dx

f(t) =1

2π

∞∫−∞

⎡⎣ ∞∫−∞

f(x)e−jω(x−t)dx

⎤⎦ dω (15.730)

Relacija (15.730) predstavlja Fourier-ov integral.

f(t) =1

2π

∞∫−∞

⎡⎣ ∞∫−∞

f(x)e−jωxdx

⎤⎦ ejωtdω

F (jω) =

∞∫−∞

f(t)e−jωtdt (15.731)

Relacija (15.731) predstavlja Direktnu Fourier-ovu transformaciju.

513

f(t) =1

2π

∞∫−∞

F (jω)ejωtdω (15.732)

Relacija (15.732) predstavlja Inverznu Fourier-ovu transformaciju.

Neki vazni nesvojstveni integrali - integrali sa beskonacnim grani-

cama

1.∞∫0

sinωtω

dω =

π2

−π2

t > 0

t < 0

2.∞∫0

ω sinωtα2+ω2

dω = π2e−αt

3.∞∫0

cosωtα2+ω2

dω = π2αe−αt

4.∞∫0

α sinωtω(α2+ω2)

dω = π2α

(1− e−αt)

5.∞∫−∞

cos (ωt) dω = 2πδ(t)

6.∞∫−∞

δ(ω)ejωtdω = 1; δ(t) = 12π

∞∫−∞

ejωtdω

7.∞∫−∞

ejtx

xdx =

jπ

−jπ

t > 0

t < 0;

∞∫−∞

ejtx

xdx = jπsgnnt

8.∞∫0

sinx cos axx

dx =

⎧⎪⎨⎪⎩

π2

−π4

0

|a| < 1

|a| = 1

|a| > 1

9.∞∫0

sinx√xdx =

∞∫0

cosx√xdx =

√π2

10. 12+ 1

π

∞∫0

sinωtω

dω = h(t)

11.∞∫−∞

e−st2

dt =√

πs; Re

√πs

> 0

∞∫−∞

ejβt2

dt =√

jπ

β=√

πβej

π4

514

∞∫−∞

ejs(t+c)2dt =√

πs; c = a+ jb, s = α + jβ α > 0

e−st2F

√

π

se−

ω2

4s ; Re s ≥ 0. Ako je s = α imamo: e−αt2F

√

π

αe−

ω2

4α

Dokaz:

F (jω) =∞∫−∞

e−st2

e−jωtdt

st2 + jωt = s(t+ jω

2s

)2+ ω2

4s

F (jω) = e−ω2

4s

∞∫−∞

e−s(t+jω

2s )2

dt =√

π

se−

ω2

4s

12.∞∫0

cos axx

dx = ∞ (α = 0, a− proizvoljno)

13.∞∫0

tanax

xdx =

π2

−π

2

a > 0

a < 0

14.∞∫0

sin2 axx

dx = π2|a|

15.∞∫−∞

sinx2dx =∞∫0

cosx2dx =√

π

2

16.∞∫0

cos ax−cos bxx

dx = ln b

a(a, b > 0)

17.∞∫0

sinx cos axx

dx =

⎧⎪⎨⎪⎩

π

2

π4

0

|a| < 1

|a| = 1

|a| > 1

18.∞∫0

x sinax

x2+b2dx = π

2e−|ab|sgna

19.∞∫0

cos ax

1+x2dx = π

2e−|a|

Odreeni integrali sa beskonacnim granicama poimaju se u smislu “uslovne vrijednosti”

tj.

limp→∞q→∞

+q∫−p

f(x)dx =

∞∫−∞

f(x)dx

kada p = q → ∞.

LAPLACE-ova transformacija -

matematicki dio

Nesvojstveni integral:

F (s) =

∞∫0

f(t)e−stdt (15.733)

gdje je s = σ + jω naziva se direktna Laplace-ova transformacija, a integral:

f(t) =1

2πj

σ+jω∫σ−jω

F (s)estds (15.734)

inverzna Laplace-ova transformacija.

|f(t)| < Meσ0t

Re s = σ > σ0

Konstante M i σ0 su realne i pozitivne. Lapalce-ova transformacija se oznacava na sledeci

nacin:

F (s) = Lf(t)

ili

f(t)L

F (s)

Inverzna Laplace-ova transformacija se oznacava na sledeci nacin:

f(t) = L−1 F (s)

f(t) =∑

Ressk

F (s)est (t > 0)

gdje su sa sk - polovi funkcije F (s).

515

516

Primjer 1: Odrediti Laplace-ovu transformaciju funkcije f(t) = e−ath(t).

F (s) =

∞∫0

e−ate−stdt = − 1

s + ae−(s+a)t

∣∣∣∣∞0

=1

s + a

Le−ath(t) = 1s+a

jer je Re s = σ > −a pa je integral za gornju granicu jednak nuli.

Osnovna svojstva Laplace-ove transformacije

1. Svojstvo linearnosti

Ako je Lf1(t) = F1(s) i Lf2(t) = F2(s) onda je:

Lc1f1(t) + c2f2(t) = c1F1(s) + c2F2(s)

c1f1(t) + c2f2(t) = c1L−1 F1(s)+ c2L

−1 F2(s)

2. Teorema pomaka

Ako je Lf(t) = F (s) tada je:

Le−atf(t)

= F (s+ a)

3. Teorema kašnjenja


Lf(t− τ )h(t− τ) = e−sτF (s)

4. Teorema skaliranja


Lf(ct) =1

cF(sc

)c > 0

5. Diferenciranje u vremenskom domenu


L

df(t)

dt

= sF (s)− f(0)

517

Lf (n)(t)

= L

dnf(t)

dtn

= snF (s)−

n∑k=1

f (k−1)(t)s(n−k)

6. Integracija u vremenskom domenu


L

⎧⎨⎩

t∫0

f(t)dt

⎫⎬⎭ =

F (s)

s

L

⎧⎨⎩

t∫0

· · ·t∫0

f(t) (dt)n

⎫⎬⎭ =

F (s)

sn

7. Integracija u kompleksnom domenu


L

f(t)

t

=

∞∫s

F (s)ds

8. Diferenciranje po parametru


L

∂

∂xf(t, x)

=

∂

∂xF (s, x)

9. Integracija po parametru


L

⎧⎨⎩

x∫x0

f(t, x)dx

⎫⎬⎭ =

x∫x0

F (s, x)dx

10. Konvolucija

Ako je Lf(t) = F (s) i Lg(t) = G(s) tada je:

Lf(t) ∗ g(t) = F (s)G(s)

L

⎧⎨⎩

t∫0

f(τ)g(t− τ )dτ

⎫⎬⎭ = F (s)G(s)

518

L−1 F (s)G(s) =

t∫0

f(τ )g(t− τ)dτ

Dokaz:

F (s) =

∞∫0

f(τ )e−stdτ

F (s)G(s) =

∞∫0

f(τ )[G(s)e−st

]dτ

F (s)G(s) =

∞∫0

f(τ)Lg(t− τ )h(t− τ)e−stdt

dτ =

∞∫0

f(τ)

⎡⎣∞∫

0

g(t− τ )h(t− τ)e−stdt

⎤⎦ dτ

Kako je h(t− τ) = 0 za τ > t dobijamo:

F (s)G(s) =

∞∫0

e−st

⎡⎣ t∫

0

f(τ)g(t− τ )dτ

⎤⎦ dt

iz cega slijedi da je:

F (s)G(s) = L

⎡⎣ t∫

0

f(τ )g(t− τ)dτ

⎤⎦

11. Diferenciranje u kompleksnom domenu


Ltnf(t) = (−1)ndnF (s)

dsn; n = 0, 1, 2, 3, ...

12. Laplace-ova transformacija periodicne funkcije

Ako je Lf(t) = F (s) i f(t+ T ) = f(t) tada je:

Lf(t) =

T∫0

e−stf(t)dt

1− e−sT

Ako je f(t) = p(t), 0 < t < T , p(t) = f(t) [h(t)− h(t− T )] i f(t+ T ) = f(t) imamo:

Lf(t) =Lp(t)1− e−sT

13. Teoreme o granicnim vrijednostima

519

Ako je funkcija f(t) neprekidna i kada u tacki t = 0 ima konacni diskontinuitet onda vazi:

limt→0

f(t) = lims→∞

sF (s)

Ako egistira limt→∞

f(t) < ∞ onda vazi:

limt→∞

f(t) = lims→0

sF (s)

Dokazi:

Dokaz za prvu teoremu:

Lf

′

(t)=

∞∫0−

f ′(t)e−stdt = sF (s)− f(0−)

Ako je f(t) neprekidna u t = 0 odnosno f(0+) = f(0−) onda imamo:

lims→∞

∞∫0−

f ′(t)e−stdt =

∞∫0−

f ′(t)[lims→∞

e−st]dt = 0 = lim

s→∞sF (s)− f(0−)

lims→∞

sF (s) = f(0−) = f(0+)

Ako f(t) ima konacni diskontinuitet u t = 0 onda mozemo pisati: f(t) = g(t) + Ah(t)

gdje za funkciju g(t) vazi g(0+) = g(0−) i za t < 0 f(t) = g(t). Onda je f(0−) = g(0−) i

A(0+) = g(0+) + A, odnosno:

A = f(0+)− g(0+) = f(0+)− g(0−) = f(0+)− f(0−)

sF (s) = sG(s) + A

lims→∞

sF (s) = lims→∞

sG(s) + A = g(0+) + A = f(0+)

Dokaz za drugu teoremu:

lims→0

sF (s)− f(0−) =

∞∫0−

f ′(t)dt = limt→∞

f(t)− f(0−)

iz cega slijedi da je:

limt→∞

f(t) = lims→0

sF (s)

Na sledecim primjerima cemo ispitati da li vaze ili ne teoreme o granicnim vrijednostima.

520

Primjer 2:

F (s) =4(s+ 1)

s2 + 2s+ 5

f(0+) = lims→∞

sF (s) = lims→∞

4s(s+ 1)

s2 + 2s + 1= 4

f(t) = L−1 F (s) = 4e−t cos 2t

f(0+) = 4

Primjer 3:

f(t) = δ(t) + 4e−t

F (s) = 1 +4

s+ 1=

s+ 5

s+ 4

lims→∞

sF (s) = lims→∞

s(s+ 5)

s+ 4= ∞

f(0+) = 4

Teorema ne vazi jer funkcija f(t) u tacki t = 0 nema konacni diskontinuitet vec beskonacni.

Primjer 4:

F (s) =5s+ 2

s(s+ 1)

lims→0

sF (s) = 2

f(t) = 2h(t) + 3e−t

limt→∞

f(t) = 2

Teorema vazi.

Primjer 5:

F (s) =1

s− 1

lims→0

sF (s) = 0

f(t) = et

521

limt→∞

f(t) = ∞

Teorema ne vazi.

14. Konvolucija u kompleksnom domenu

Lf(t)g(t) =1

2πjF (s) ∗G(s)

F (s) ∗G(s) =

σ+jω∫σ−jω

F (z)G(s− z)dz =

σ+jω∫σ−jω

F (s− z)G(z)dz

Dokaz: Po definiciji je:

f(t)g(t) =

⎡⎣ 1

2πj

σ+jω∫σ−jω

F (z)eztdz

⎤⎦ g(t) = 1

2πj

σ+jω∫σ−jω

F (z) eztg(t)︸︷︷︸L−1G(s−z)

dz

f(t)g(t) =1

2πj

σ+jω∫σ−jω

F (z)[L−1 G(s− z)] dz = L−1

⎧⎨⎩ 1

2πj

σ+jω∫σ−jω

F (z)G(s− z)dz

⎫⎬⎭

f(t)g(t) = L−1

1

2πjF (s) ∗G(s)

15. Inverzna Laplace-ova transformacija racionalnih funkcija

H : Ako je data funkcija F (s) oblika:

F (s) =A(s)

B(s)=

amsm + am−1s

m−1 + · · ·+ a1s+ a0bnsn + bn−1sn−1 + · · ·+ b1s+ b0

i ako je m < n, a sk su prosti korjeni polinoma B(s) = 0 onda je funkcija f(t) :

f(t) = L−1 F (s) =n∑

k=1

A(sk)

B(sk)eskt

za t > 0. Ako B(s) = 0 ima korjen s = 0 tj. B(s) = sB1(s) onda je funkcija f(t) jednaka:

f(t) = L−1 F (s) =A(0)

B1(0)+

n∑k=2

A(sk)

B(sk)eskt

522

za t > 0. Ako B(s) = 0 ima višestruke korjene tj: B(s) = bn(s−s1)k1(s−s2)

k2 · · · (s−sl)kl

gdje je k1 + k2 + · · · kl = n tada je:

f(t) = L−1 F (s) =l∑

i=1

1

(kl − 1)!lims→si

dki−1

dski−1[(s− si)

kiF (s)est]

16. Rezidijum

f(t) =∑

Ressk

F (s)est t > 0

Ako se funkcija F (s) moze zapisati u obliku pravog razlomka tj:

F (s) =F1(s)

F2(s)

i ako je pol sk reda m imamo:

Ressk

F1(s)

F2(s)est =

1

(m− 1)!

[dm−1

dsm−1F1(s)

F2(s)(s− sk)

mest]s=sk

Ressk

F1(s)

F2(s)est = eskt

m∑i=1

t(m−i)A(i−1)(sk)

(m− i)!(i− 1)!

Posledica: Ako funkcija F (s) u imeniocu ima faktor (s+ a)n onda je:

F (s) =An

(s+ a)n+

An−1

(s+ a)n−1+ · · ·+ A1

s+ a+ F1(s)

Ak =1

(n− k)!

dn−k

dsn−k[(s+ a)nF (s)]

s=−a

Ako funkcija F (s) sadrzi kompleksne korjene oni se uvijek javljaju u kompleksnim parovima

s = α± jβ:

F (s) =A

s− α− jβ+

B

s− α + jβ

A = (s− α− jβ)F (s)|s=α+jβ

B = (s− α + jβ)F (s)|s=α−jβ

B = A∗

f(t) = Ae(α+jβ)t + A∗e(α−jβ)t

523

A = |A| ejθ

f(t) = 2ReAe(α+jβ)t

= 2Re

|A| eαtej(βt+θ)= 2 |A| eαt cos(βt + θ)

Drugi nacin nalazenja invrerzne Laplace-ove transformacije (originala) pri postojanju višestrukih

polova sk koji ne zahtijeva diferenciranje, sastoji se u razvoju racionalno-razlomljene funkcije

na djelimicne (parcijalne) proste razlomke po poznatim metodama. Za prelaz od prostih

razlomaka ka originalu koriste se relacije:

1

(s− sk)iL

1

(i− 1)!ti−1eskt

Za razvoj F1(s)F2(s)

na djelimicne razlomke pri postojanju m− to strukog pola sk moze se koristiti

formula:F1(s)

F2(s)=

m∑i=1

Ki

(s− sk)i

Ki =1

(m− 1)!A(m−i)(sk)

što dovodi do ranije naveden formule.

Primjer 6: Primjenom inverzne Laplace-ove transformacije odrediti funkciju f(t) ako je

F (s) jednako:

F (s) =6

s4(s + 1)

Znamo da je:

Ltn =1

snLn! =

n!

sn+1; n = 1, 2, 3, ...

Razvojem funkcije F (s) na parcijalne razlomke dobijamo:

F (s) =A

s4+

B

s3+

C

s2+

D

s+

E

s+ 1

ili putem “ ” za realne polove višeg reda:

F (s) =6

s4

[1

s+ 1

]=

6

s4

[1− s+ s2 − s3 +

s4

s+ 1

]=

6

s4− 6

s3+

6

s2− 6

s+

6

s+ 1

F (s) =3!

s4− 3

2!

s3+ 6

1!

s2− 6

s+

6

s+ 1

f(t) = L−1 F (s) = t3 − 3t2 + 6t− 6 + 6e−t

524

Primjer 7:F (s)

G(s)=

ω3

(s2 + ω2)2=

ω3

(s+ jω)2(s− jω)2

Polovi su: s1 = jω i s2 = −jω. Za nalazenje inverzne Laplace-ove transformacije funkcije

koja ima višestruke polove (p > 1) koristimo:

L−1F (s)

G(s)

=

l=p∑l=1

K l

tp−l

(p− l)!es1t +

l=p∑l=1

K ′

l

tp−l

(p− l)!es2t

K l = lims→s1

1

(l − 1)!

dl−1

dsl−1

[(s− s1)

pF (s)

G(s)

]l = 1, 2, ..., p

K ′

l = lims→s2

1

(l − 1)!

dl−1

dsl−1

[(s− s2)

pF (s)

G(s)

]l = 1, 2, ..., p

K1= −ω

4; K

2=

1

j4

K ′

1= −ω

4; K ′

2= − 1

j4

L−1F (s)

G(s)

= −ω

4tejωt +

1

j4ejωt − ω

4te−jωt − 1

j4e−jωt = −ωt

2cosωt +

1

2sinωt

VAZNA NAPOMENA: Ako egzistira Fourier-ova transformacija funkcije f(t)F

F (jω)

onda sigurno egistira i Laplace-ova transformacija f(t)L

F (s) jer su uslovi egzitencije Fourier-

ove transformacije rigorozniji od uslova za egzitenciju Laplace-ove transformacije. Obrnuto

ne vazi. Laplace-ova transformacija je u velikoj upotrebi za analizu elektricnih kola. Postoje

bogato uraene tablice za parove Laplace-ovih transformacija. Mnogi autori kazu da se one

mogu koristiti i za odreivanje Fourier-ove transformacije zamjenjujuci s → jω. Na primjer:

Lh(t) =1

s

F h(t) =1

jω

to je pogrešno jer znamo da je Fourier-ova transformacija funkcije h(t) jednaka:

Fh(t) = πδ(ω) +1

jω

525

Pravilno je:

Fh(t) = F (jω) = Lh(t)s=jω +1

2

∑k

Ressk

F (s) 2πδ(ω − ωk)

tek predavanja

Documents