cad predavanja

1. PROJEKTOVANJE RAĈUNAROM – DR MIOMIR JOVANOVIĆ 1

26. Oktobar 2010.

Predavanje 1

CAD tehnologije

KORIŠĆENJE RAĈUNARA ZA PRORAĈUNE MAŠINA

Proraĉun primenom raĉunara je danas popularan, pre svega, zbog sve većeg broja

softverskih paketa na trţištu i mogućnosti šireg sagledavanja svojstava, tretirajući

strukturu mašine velikim brojem provera. Ova prednost je zapravo ograniĉenje

klasiĉnog projektovanja koje izvodi ĉovek bez raĉunara, zbog ĉega su razvijane mnoge

tehnike iznalaţenja kritiĉnih lokacija i njihove provere. Podkategorije ove grupacije su:

a. Analiza opterećenja konstrukcije: (Load analysis) sloţenih sistema i njihovo definisanje.

Kod dizalica ovim metodama se na svim pojedinim ĉlanovima identifikuju izazvani uticaji od

dejstva vetra, dinamiĉkih pojava u toku rada, ljuljanja tereta, havarijskih stanja, sluĉajnih

uticaja, kombinacija dejstava i drugo. Ovakve analize u projektovanju, zbog broja mogućih

stanja opterećenja i ukupnog broja ĉlanova konstrukcije, iskljuĉivo se rade raĉunarom.

b. Proraĉun kompaktnih veza: Sklopovi visokog stepena integracije komponenata kao što su prenosnici snaga,

spojnice, sklopovi toĉkova, klipne pumpe, hidro-motori, leţajevi i drugo, odlikuju se

kontaktnim naprezanjima. Za svaku kategoriju mašinskih elemenata razvijena je

metodologija specifiĉnog proraĉuna koja se izuĉava u mašinstvu. Svaka od ovih

metodologija proraĉuna efikasno se realizuje raĉunarom a koriste se i opštije -

numeriĉke metode mehanike kontinuuma. Jedna od tih numeriĉkih metoda je FEM.

2 1. PROJEKTOVANJE RA^UNAROM

c. Proraĉun stabilnosti konstruktivnih elemenata: Predmet analize su: klipnjaĉe, podizaĉi, balansirajuće poluge (balanseri), pojasni štapovi

i štapovi ispune rešetkastih nosaĉa, tanki zidovi razliĉitih avio konstrukcija (krila i

oplata trupa), brodske konstrukcije itd.

d. Proraĉun dinamiĉkih svojstava konstrukcija. Podrazumeva odredjivanje sopstvene frekvencije i sopstvenih oblika oscilovanja kod

mašina razliĉitih tipova: turbina, mlinova, vibracionih sita, vibracionih transportera,

motora i prenosnika snage, ali i sloţenijih sistema kao što su avio-letilice, kontejnerske

dizalice, roto bageri itd.

e. Proraĉun pogonske ĉvrstoće mašinskih delova. Odnosi se na proraĉun ĉvrstoće varova, zamor materijala i prslinu u konstrukciji. Uslovi

pri kojima se traţi ĉvrstoća, su na niskim temperaturama ili metalurške opreme za rad sa

rastopinama.


f. Proraĉun kinematike mašinskih sistema. To su proraĉuni putanja mehanizama, raznih prenosnika snage i pokretnih nosećih

struktura. Specijalizovana grafiĉka oprema raĉunara koristi se za brţa i pouzdanija

izraĉunavanja kinematskih rešenja i omogućuje vizuelnu kontrolu.

g. Optimizacija konstrukcija. Metodama optimizacije mogu se ostvariti specifiĉne osobine konstrukcija.

To se postiţe iz uslova minimuma kod sinteze geometrije lakih konstrukcija,

Tehniĉke projekte konstrukcija prate jednociljni i višeciljni zadaci optimizacija sa

brojnim ograniĉenjima. Za projektovanja sa više optimalnih ciljeva koristi se Pareto

koncept. Prednost ovog koncepta nad klasiĉnim je u istovremenoj sintezi geometrije

konstrukcije po nekoliko tehniĉkih osnova.

h. Proraĉun pouzdanosti: U širem smislu, pouzdanost iskazuje kvalitet upotrebljivosti sklopa, mašine ili sistema.

Proraĉun pouzdanosti je redovan, a ĉesto i osnovni zadatak projektovanja odgovornih i

vaţnih sistema. Primera radi, kod nosećih struktura letilica, pouzdanošću se iskazuje

sposobnost stajnog trapa da izdrţi dinamiĉke udare pri sletanju u toku eksploatacionog

veka, a da pri tome dâ manji broj funkcionalnih otkaza od minimalno propisanog.

Definicija:

PROJEKTOVANJE RAĈUNAROM

Proces projektovanja predstavlja nalaţenje nauĉno opravdanog tehniĉkog rešenja koje

se praktiĉno moţe realizovati, a da pri tome zadovolji i ekonomske kriterijume.

U užem smislu, projektovanje predstavlja definisanje tehničkog rešenja sa funkcionalnog,

sadržajnog i konstruktivnog aspekta.


Projektovanje moţe imati i kompleksniji sadrţaj, kada se postavljaju zahtevi traţenja optimalnih

svojstava, pouzdanosti komponenata i funkcija i druga specifiĉna svojstva.

Nakon projektovanja, sledi KONSTRUISANJE TEHNIĈKOG SADRŢAJA i ono predstavlja

definitivno oblikovanje konstrukcije kojim se definišu: geometrija (karakteristiĉne dimenzije),

materijal, naĉin montaţe, tolerancije, hrapavost i drugo.

Oĉigledno da se konstruisanje vrši na bazi projektovanja i njime se precizira konaĉno rešenje

konstrukcije. Iz aktivnosti konstruisanja nastaje konstrukciona dokumentacija.

Dalji tok korišćenja konstrukcione dokumentacije (slika 1.1) odvija se kroz pripremu za proizvodnju i ta

delatnost više ne pripada projektovanju i konstruisanju, već tehnološkoj pripremi. Iz tehnološke

pripreme nastaje radioniĉka dokumentacija koja sadrţi, pored konstrukcione dokumentacije, i

tehnološku dokumentaciju. Tehnološku dokumentaciju ĉine: dokumentacija opreme i alata za

proizvodnju, dokumentacija kontrole i dokumentacija izvršenih ispitivanja.

Slika 1.1 Aktivnosti nastanka proizvoda podrţane raĉunarom

Klasiĉna organizacija postupka projektovanja i pripreme proizvodnje dozvoljava primenu raĉunara za

efikasniju realizaciju ovog procesa. Postupak uvodjenja raĉunara uslovljen je formiranjem baze podataka do

nivoa radioniĉke dokumentacije prizvoda.

Aktivnosti projektovanja i konstruisanja primenom raĉunara poznate su u struĉnoj javnosti pod engleskim

nazivom: Computer Aided Design (CAD).

Skraćenicu CAD predloţio je T. D. Ross (USA) i ona je uvedena u terminologiju 1979.

Skraćenica je simbol tehnologija projektovanja raĉunarom.

Uvodjenje raĉunara u oblasti pripreme proizvodnje (Computer Aided Planing - CAP).

Sama proizvodnja podrţana raĉunarom poznata je pod engleskim nazivom Computer Aided Manufacturing

(CAM).

CAD daje sledeće prednosti projektovanju:

viši nivo kvaliteta (taĉnost, finoća),

realizuje najobimnije zadatke i oslobadjanje ĉoveka rutinskog posla,

vizuelnu interpretaciju forme koja omogućuje pre izrade, ocenu funkcionalnih i

estetskih vrednosti proizvoda,

omogućava specifiĉne analize (proraĉuni lokalnih napona kod brzih procesa i sloţenih

struktura) iz ĉega sledi poboljšanje sklopa pre izrade,

omogućuje brzu izradu tehniĉke baze podataka, poĉevši od tehniĉkih crteţa do

tehnoloških instrukcija za automatizovanu izradu,

široko integrisana proizvodnja raĉunarom (Computer Integrated Manufacturing - CIM)

Izvan CAD delatnosti, primena raĉunara otvara mogućnosti daljih modernizovanja proizvodnje.

Uvodjenjem CIM koncepta, integrišu se ostale aktivnosti proizvodnih sistema, slika 1.2:

prilagodjavanje proizvodnje potraţnji, odredjivanjem dinamiĉkih parametara,

planiranje (koliĉine materijala, termin planovi, radna snaga, distribucija zadataka),


povezivanje sa spoljašnjim izvorima (nacionalnim i svetskim) informacija (komiteti,

berze, proizvodjaĉi, distributeri, transport, uskladištenje, pretovar) o robi i sirovinama,

praćenje poslovanja (finansijskih tokova, zaliha robe, materijala),

praćenje proizvoda u eksploataciji (servis, kvalitet, korekcije tehnologija, odrţavanje),

koordiniraju osnovne fabriĉke aktivnosti (marketing, planiranje, investicije).

SISTEMA

OKRU@ENJE

Slika 1.2 Aktivnosti koje su integrisane CIM konceptom

KONSTRUKCIONA DOKUMENTACIJA

Osnovni produkt projektovanja je konstrukciona dokumentacija. Kod klasiĉnog projektovanja,

ona se formira na papiru i dalje distribuira kroz tehniĉku pripremu u proizvodnju. Kod primene

raĉunara u projektovanju, tok je isti, samo je dokumentacija prisutna na razliĉitim medijumima.

U principu, kod kompletnih CIM sistema dokumentacija ne mora da bude crtana sa ĉvrstim

otiskom. Konstrukciona dokumentacija se realizuje u sledećim etapama (slika 1.3):

postavljanje zadatka,

prikupljanje informacija,

analiza informacija,

sastavljanje tehniĉkog predloga,

izrada idejnog projekta,

izrada tehniĉkog projekta i

izrada tehniĉke dokumentacije.

Slika 1.3 Etape nastanka konstrukcione dokumentacije

Konstrukcionu dokumentaciju ĉine razne vrste dokumenata:

radioniĉki crteţ za izradu i kontrolu,

sklopni crteţ,

crteţ opšteg izgleda (forma, princip rada),


teorijski crteţ (pokazuje raspored pozicija),

gabaritni crteţ (geometrija sa prikljuĉnim i montaţnim mer.),

elektro-montaţni crteţ,

montaţni crteţ (podaci za postupak montaţe),

crteţ pakovanja,

crteţ ambalaţe, šema veza, specifikacija (spisak delova sklopa),

spisak specifikacija (to je spisak svih specifikacija),

spisak uputstava (popis svih dokumenata),

spisak poluproizvoda koji se kupuju kao gotova roba,

spisak pravnih lica koja poseduju originalnu dokumentaciju,

specifikacija idejnog projekta,

spisak tehniĉkog projekta,

spisak idejnog projekta,

objašnjenje (tehniĉkog rešenja i principa rada),

tehniĉki uslovi (norme za kontrolu, prijem i isporuku),

program i metode ispitivanja (isporuka, prijem, periodiĉna kontrola),

proraĉun, tabele,

eksploatacioni dokumenti (odrţavanje, kvarovi),

remontni dokument,

karta tehniĉkog nivoa i kvaliteta,

ostali dokumenti (nomenklature, prospekti, tehnološke karte).

Današnji stepen CIM sitema ne zahteva izradu svih dokumentacije sa ĉvrstim otiskom.

U budućnosti, kategorija dokumenata na papiru trebalo bi potpuno da nestane.

Moţe se oĉekivati racionalizacija i standardizacija informatiĉke dokumentacije proizvoda.

STRUKTURA PROCESA PROJEKTOVANJA

Objekat projektovanja moţe biti proizvod ili proces kod projektovanja tehnologija. Projektovanje

raĉunarom je automatizovan proces, razliĉitog stepena automatizovanosti. Najĉešće je proces

projektovanja u dijalogu, a kod rutinskih zadataka, samo izvršni. Naĉin projektovanja zavisi od

poslova i od raspoloţivih uslova (softvera i hardvera).

Analiza sloţenih tehniĉkih objekata u projektovanju vrši se prema tehnickim aspektima i

hijerarhijskim nivoima, slika 1.4.

Tehniĉki aspekti definišu funkcionalna, konstruktivna, tehnološka i eksploataciona svojstva

objekata.

Funkcionalni aspekt definiše osnovnu funkciju ili proces rada.

Konstruktivni aspekt definiše sadrţaj i formu objekta.

Tehnološki aspekt definiše tehnološku moć objekta, vrste procesa izrade i drugo. Eksploatacioni

aspekt definiše ponašanje objekta u eksploataciji.

Sloţenost objekta moţe biti veća ili manja.

Otuda u okviru svakog aspekta: hijerarhijski nivoi: objekat kao celina, funkcionalni podsistemi

(noseća konstrukcija, pogonski uredjaji, komandni uredjaji itd.), delovi podsistema (sklopovi) i

delovi sklopova (elementi).

Broj hijerarhijskih nivoa, zavisi od stepena sloţenosti objekta.

Prema hijerarhijskim nivoima, projektovanju se pristupa po razliĉitim osnovama.


Slika 1.4 Struktura procesa projektovanja

Procedure projektovanja:

Projektovanje moţe biti izvedeno procedurama sinteze i procedurama analize.

Danas se obe metode koriste u projektovanju raĉunarom (CAD),

U klasiĉnom projektovanju (bez upotrebe raĉunara), metode sinteze koriste selektivno prema

izgradjenom znanju i uhodanom inţenjerskom pristupu.

Slika 3.01 Koncept korišćenja metoda analize u projektovanju

Procedure sinteze polaze od zadatih svojstava, funkcije, nazivnih parametara (definisanih

projektnim ili istraţivaĉkim zadatkom), a završne aktivnosti daju geometriju i konstruktivnu

dokumentaciju. Kako treba operisati sa realnim geometrijskim veliĉinama, metode sinteze koriste

na svakom hijerarhiskom nivou poĉetni-pretpostavljeni opis, formirajući ga iz ograniĉenja

definisanih na poĉetnim hijerarhijskim nivoima.

Procedure analize polaze od pretpostavljene geometrije konstrukcije i koriste je za analizu po

razliĉitim osnovama (aspektima) i na razliĉitim hijerarhijskim nivoima. Na ovaj naĉin se

proverava ispravnost poĉetnog konstruktivnog opisa objekta.

Na poĉetku projektovanja metodama analize dobija se rešenje koje polazi od proizvoljnih

pretpostavki pa zato i najviše odstupa od kriterijuma koji su zadati sa prethodnog hijerarhijskog

nivoa. Ovakva rešenja ne mogu biti verifikovana, ali su zato poznati kriterijumi koji nisu

zadovoljeni, pa se prema njima vrši korekcija za novu analizu.

U klasiĉnom postupku projektovanja, verifikacija se izvodi uvek prema specifiĉnim elementima

konstrukcije. Kod projektovanja raĉunarom (CAD), potrebna je opštija logika koja bi vaţila za

svaku problematiku u istoj struĉnoj grupaciji (mašinstvo, gradjevinarstvo, elektronika, dizajn).

OSOBINE KONSTRUKCIJA

CILJEVI

KRITERIJUMIOCENE

KONSTRUKCIJA

OPTERECENJASTATICKO, DINAMICKO, TERMICKO

PRORACUN OSOBINA

MEHANICKOG MODELA

OCENA REZULTATA

KONACNO RESENJEKONSTRUKCIJE

BANKA ZNANJA(ISKUSTVO)

OPIS KONSTRUKCIJE

MODELCAD

MODIFIKACIJEMODELA

CAD - RAĈUNARSKA GRAFIKA - DR MIOMIR JOVANOVIĆ 1

Generacija 2010-2011

CAD-TEHNOLOGIJE Predavanje – 2

Računarska grafika

Rana istraživanja u oblasti raĉunarske grafike pokazala su da se grafiĉkom interpretacijom pojmova

ubrzava korisniĉki interfejs nekoliko stotina puta u odnosu na tekstualni interfejs. Tehniĉke uslove

za razvoj grafiĉkih interfejsa dalo je povećanje brzine procesora koji su obezbedili potrebne

kapacitete za grafiĉko interpretiranje sadržaja. Prvi vidovi grafiĉkih interpretacija bili su u ravni

(dvodimenzioni 2D). Zahtevi za univerzalnom interpretacijom, doveli su do trodimenzione (3D)

interpretacije sadržaja. Iz tih kreacija nastala je primenjena matematiĉka i informaciona disciplina

za grafiĉku interpretaciju sadržaja - kompjuterska grafika. Ona se oslanja na principe matematiĉkih

nauka, nacrtnu geometriju, informatiku i primenjenu elektroniku. Kompjuterska grafika je

primenjena za projektovanje primenom raĉunara (Computer Aided Design), skraćeno nazvano CAD

u okviru koga se realizuje i izrada tehniĉke dokumentacije (Computer Aided Design Drafting -

CADD). Primena kompjuterske grafike u mašinstvu realizuje se kroz geometrijsko modeliranje,

ĉime se formiraju modeli za proraĉune. Podaci o modelima formirani kao datoteke geometrijskih

entiteta, koriste standardne formate baza podataka. Baze podataka se dalje koriste za projektovanje

proizvodnje i tehnologija (Computer Aided Process Planning - CAPP). Savremena primena

kompjuterske grafike je takodje u mašinskom vidjenju objekata, veštaĉkoj inteligenciji. Raĉunarska

grafika ima primenu izuzetno široku u drugim oblastima: Medicini za dijagnostiku primenom

kompjuterske tomografije, medicinskoj grafici za interpretaciju hemijskih analiza, video medijima

(film, TV), komunikacijama za vizuelnu komunikaciju (Visual Communication and Interfaces),

kartografiji i geologiji (CAGES), umetnosti (Computer Art).

Osnova širenja raĉunarske grafike i prevazilaženja razliĉitosti grafiĉkog softvera i

hardvera ima pojava raĉunarskih standarda kao što su GKS, GKS-3D, PHIGS,

CGM, CGI, IGES. Danas se kompjuterska grafika standardizuje pod okriljem

Komiteta za nacionalnu kompjutersku grafiku (National Computer Graphics

Association - NCGA) i Komiteta za svetsku kompjutersku grafiku (World

Computer Graphics Association - WCGA). ISO standardi definišu raĉunarsku

grafiku kao skup metoda i tehnika za konverziju podataka koji se šalju ka

grafiĉkom ekranu ili sa njega, posredstvom raĉunara. Zavisno od smera konverzije

podataka izmedju raĉunara, ulazno-izlaznog uredjaja i vrste raĉunarskog sistema,

postoje tri osnovne oblasti primene raĉunarske grafike. Prva oblast je

Generativna raĉunarska grafika gde korisnik unosi podatke u raĉunar, izvršava

programe za konverziju izlaznih rezultata u linije, taĉke, slova, poligone, ĉime se

generiše slika. Druga oblast primene je analiza slika na bazi informacija unetih

CCD kamerom sa ciljem prepoznavanja predmeta koji ĉine sliku (primenjeno u

savremenoj robotici). Treća oblast primene je obrada slika (procesiranje) ĉime se

menja sadržaj slike u cilju poboljšanja kvaliteta.

1.20 KONCEPT GRAFIČKE INTERPRETACIJE SADRŽAJA

Kompjuterska grafika zasniva se na tri sistema: aplikativnom sistemu, grafiĉkom sistemu i korisniku. Za njihovu medjusobnu

vezu su upotrebljena tri interfejsa: aplikativni interfejs, interfejs uredjaja i interfejs korisnika. Interfejsi su standardizovani prema

predlogu istraživaĉa Bono - Enderle 1986. godine. Koncept grafiĉkog sistema, prema tom predlogu, pokazan je na slici 1.01.

Programska aplikacija korisnika se sastavlja pozivom grafiĉkih potprograma iz datoteke grafiĉkih podataka (struktura). Iz tih

programskih navoda sastavlja se program aplikacije koji se kao datoteka smešta na memorijski medijum raĉunara. Kada se uĉitava

program gotove aplikacije, jezgro obavlja tumaĉenje programskih navoda i shodno bazi podataka grafiĉkih struktura nalazi

programske instrukcije za grafiĉku formu na uredjaju za prikazivanje. Jezgro grafiĉkog programa je povezano sa radnom grafiĉkom

stanicom, preko interfejsa uredjaja, a korisnik preko interfejsa korisnika. Interfejs korisnika zasniva se na našem iskustvu sa okolnim

prostorom, prepoznavanjem geometrijskih formi, medjusobnim odnosima grafiĉkih sadržaja. Korisnik za grafiĉki prikaz koristi

grafiĉki uredjaj za prikaz koji može biti monitor, ploter. Rutinske procedure u raĉunarskoj grafici su najvećim delom

standardizovane da bi se koristile nezavisno od opreme. Prenosivost grafiĉkih sadržaja zasniva se na unificiranosti programskih

naredbi koje definišu grafiĉke primitive.

1.0 CAD - RAĈUNARSKA GRAFIKA 2

CENTRALNO

PRIKAZIVANJE 3D OBJEKATA

FRONTALNAPERSPEKTIVA PERSPEKTIVA

SA UGLA

KOSAPERSPEKTIVA

ORTOGONALNOAKSONOMETRIJA

KOSOUGAONO

KAVALJERSKAPERSPEKTIVA

VOJNAPERSPEKTIVA

7O

42O

30O30O

IZOMETRIJA DIMETRIJA TRIMETRIJA

PARALELNO

Slika 1.01 Koncept grafičke interpretacije sadržaja

Slika 1.02 pokazuje integrisani CAD sistem sa pripadajućim standardima, formatima grafiĉkih datoteka i potrebnim

interfejsima. Korisnik upotrebljava grafiĉke standarde GKS, GKS-3D, PHIGS, za kreaciju, dok za transfer podataka ka drugim

grafiĉkim uredjajima, koristi CGM i GKSM standardne datoteke poznate pod imenom - metafajl. Sredjeni podaci o grafiĉkom

modelu mogu se uputiti ka drugim sistemima posredstvom IGES, PDES, STEP i drugih formata datoteka. Transfer podataka iz

grafiĉkog sistema ka grafiĉkoj stanici obavlja se u CGI grafiĉkom standardu.

Slika 1.02 Osnovni koncept CAD sistema sa pripadajućim grafičkim standardima. Primena CAD tehnologije: planetarni prenosnik.

1.30 PRIKAZIVANJE OBJEKATA U RAČUNARSKOJ GRAFICI

U raĉunarskoj grafici se primenjuju dva naĉina prikazivanja objekata: dvodimenzionalan (2D) i trodimenzionalan (3D).

Trodimenzionalno prikazivanje može biti centralno i paralelno. Centralno prikazivanje vodi u tri osnovne vrste perspektiva

(frontalnu, ugaonu i kosu). Paralelno prikazivanje 3D objekata može biti ortogonalno i kosougaono. Osnovnu šemu razliĉitih tipova

perspektiva pokazuje detaljnije slika 1.03. U mašinstvu je najĉešće u upotrebi ortogonalna projekcija. Tehnika operisanja objektima,

likovima i telima, posebno je obradjena kroz disciplinu poznatu pod imenom Geometrijsko modeliranje. Geometrijsko modeliranje

koristi matematiĉke funkcije za prostorni opis ili interpolaciju geometrije.

Slika 1.03 Klasifikacija načina prikazivanja 3D objekata. Primena: Izometrijski prikaz turbo-punjača motora sa unutrašnjim sagorevanjem.

DRUGIGRAFICKI SISTEMI

PROGRAMSKI INTERFEJS

FUNKCIONALNI INTERFEJS

KORISNICKI INTERFEJS

KORISNIK

BAZA

TRANSFER CAD FORMATA:

IGESPDES STEP

TRANSFER FORMATA SLIKE:

CGM, GKSM

GRAFICKI SISTEMIGKS, GKS-3D, PHIGS

CGI

GRAFICKA STANICA

CAD DRUGI

CAD SISTEMI

MODELIRANJE

DISPLEJ

PRORACUN

DIJALOG

APLIKACIJA GRAFICKI SISTEM KORISNIK

INTERFEJS UREDJAJA

INTERFEJS APLIKACIJE

PROGRAM APLIKACIJE

PODACI APLIKACIJE

JEZGROGRAFICKOGPROGRAMA

PODACI GRAFICKIH STRUKTURA

INTERFEJS KORISNIKA

ULAZ

IZLAZ

ULAZ

IZLAZ

ULAZ

IZLAZ

Korisnik 1

Korisnik 2

Korisnik n


Klasifikacija prikaza: Prikaz grafiĉkih sadržaja vrši se na dva moguća naĉina: Sistemom baziranim na slici1 (slika je formirana iz

taĉaka-bitmapa) i sistemom baziranim na geometriji (vektorski sistem). Osim osnovnih tehnika prikaza grafiĉkih sadržaja, raĉunarska

grafika koristi razliĉite tehnike za poboljšanje vizuelne forme: trodimenzionu interpretaciju i perspektivu, vizuelno odredjivanje

(skrivene linije i površine), podešavanje intenziteta svetla (po dubini objekta) i svetlosnih sadržaja, tehnike senĉenja, tehnike bojenja

(transparentnost, refleksija), tehnike simulacije i animacije (dinamiĉka perspektiva).

1.40 OSNOVNI GRAFIČKI ELEMENTI

PRIMITIVE: Primitive su osnovni elementi za prikaz grafiĉkih sadržaja. Sastavljanjem primitiva u celinu, formira se slika. Zavisno

od standarda koji se primenjuje, koriste se grafiĉke primitive kao što su polilinija (niz povezanih linija), polimarker (simbol

odredjene vrste), tekst, ispunjena oblast - poligon, ćelijski raspored (matrica piksela odredjene boje), kao i specijalne primitive samih

radnih stanica. Primitive omogućuju vizuelnu interpretaciju elementarnih grafiĉkih formi po položaju i obliku. Definisanje primitiva

zahteva dopunske podatke o obliku grafiĉke forme i oni se odredjuju atributima.

Atributi: Atributi teksta su: veliĉina, font, orijentacija i boja. Tipove raspoloživih primitiva definiše izabran grafiĉki standard. U 3D

grafici dodatne primitive mogu biti: prizme, sfere, cilindri, konusi, torusi, iseĉci i druge forme (MicroStation’95, prema slici 1.05).

Slika 1.05 3D primitive: Prizma, lopta, cilindar, konus, torus, isečak

SEGMENTI: Segment je skup osnovnih grafiĉkih elemenata ili deo slike kojim se može manipulisati kao celinom. Korisnik definiše

segment. Segment se ĉuva u segmentnoj memoriji aktivne radne stanice i ima svoj identifikacioni broj. Nad segmentom se obavljaju

klasiĉne geometrijske operacije: kreiranje, translacija, rotacija, skaliranje, kopiranje.

OBJEKTI: Objekti u raĉunarskoj grafici su složeni sadržaji (mašinskih elemenata i sklopova).

Forme: Objekti mogu biti vidljivi i nevidljivi, što je odredjeno postojanjem medjuobjekta-prepreke izmedju objekta i posmatraĉa.

3D objekti se mogu prikazati sa svim linijama nezavisno od vidljivosti pa se takvi modeli nazivaju žičani modeli. 3D objekti mogu

koristiti razliĉIte tehnike za vizuelno poboljšanje prikaza. Prema tome, površine objekata mogu biti senĉene, što naroĉito dolazi do

izražaja kod oblih površina. Slika 1.06 pokazuju geometrijski modeliran 3D objekat u vidu vratilo sa dva venca za ozubljenje i

krajem sa ekscentrom i prelazima za ugradnju ležajeva. Prikazana je forma žičanog i senčanog modela.

Slika 1.06 3D objekat-složena geometrijska forma izometrijski prikazan kao

žičani model sa skrivenim linijama i glatko senčani model

1 Bitmapiran sistem razvila je kompanija Xerox, Palo Alto Research Center 1974.


1.50 PROSTORNE TRANSFORMACIJE RAČUNARSKE GRAFIKE

Prikazivanje objekata u raĉunarskoj grafici organizovano je korišćenjem barem dva koordinatna sistema: koordinatnog

sistema objekta i koordinatnog sistema uredjaja za grafiĉki prikaz sadržaja. Koordinatni sistem objekta je svetski, merni koordinatni

sistem (engl. world coordinate system – WCS) kojim su definisane realne koordinate objekata u prirodi. Koordinatni sistem uredjaja

za prikazivanje je prilagodjen veliĉini prostora na kome se prikazuje objekat. Taj prostor je definisan koordinatnim sistemom

uredjaja (Device Coordinate Space) - DC-sistem.

Da bi se obezbedila prenosivost grafiĉkog sadržaja nezavisno od uredjaja za prikazivanje, koriste se normalizovani

koordinatni sistemi i normalizovani prostori. Normalizovani prostori su apstraktni i u njima su dimenzije objekata u intervalu 01. U

GKS standardu normalizovan prostor je oznaĉen sa Normalized Device Coordinate, NDC - sistem.

Prenos slika iz jednog u drugi koordinatni prostor vrši se matematiĉkim transformacijama preslikavanja. Tako se

transformacijom normalizacije (Normalization transformation - NT transformacija), vrši preslikavanje iz stvarnog - realnog prostora

(WC prostora) u normalizovan prostor uredjaja (NDC prostor). Izvršenje ove transformacije, postiže se pozivom odgovarajućeg

potprograma primenjenog standarda za rad. Preslikavanje sadržaja iz normalizovanog prostora (NDC prostora) u prostor za

prikazivanje radne stanice (DC prostor), izvodi se prema dimenzijama radne stanice.

Ta operacija se naziva transformacijom radne stanice (workstation transformation - WT transformacija).

Slika 1.07 Transformacije prikaza objekta kod grafičkih radnih stanica

Slika 1.08 Koncept prozora i prikaza realnog objekta i radne stanice

Preslikani pravougaoni prostor NDC sistema na prostor za prikazivanje radne stanice (DC prostor), naziva se pogled radne stanice

(Workstation Viewport - WV). Preslikani normalizovani prostor naziva se prozor radne stanice (Workstation Window - WW).

Analogno, deo prostora stvarnog - realnog koordinatnog sistema (WC) koji se preslikava u NDC prostor naziva se prozor

normalizacijske transformacije NT - prozor ili prozor realnog sistema (World Window - WW). Pravougaoni prostor NDC sistema u

koji je preslikan sadržaj prozora realnog sistema normalizacijskom transformacijom, naziva se pogled realnog sistema (World

Viewport). Slika 1.08 interpretira ove transformacije na kutijastom nosaĉu dizalice sa pogonskim toĉkom na šini.

Ovako postavljen koncept omogućava otvaranje više prozora u prikazivanju jednog objekta i više otvorenih pogleda u DC prostoru

radne stanice. Otvaranje više prozora u grafiĉkom sistemu radne stanice izvodi se sa više normalizacijskih transformacija pri ĉemu je

u jednom trenutku samo jedan prozor aktivan (izvršava se samo jedna normalizacijska transformacija). Ovaj koncept daje izvanredne

mogućnosti primeni raĉunara za projektovanje: njime se formiraju meniji na prostoru za prikazivanje grafiĉke radne stanice, radi sa

više otvorenih dokumenata, analizira - izdvaja deo realnog objekta. Taj koncept omogućava formiranje složenog dokumenta (za

sklopanje proizvoda) iz više razliĉitih realnih prostora (WC1, WC2, WC3).

KORISNIĈKI INTERFEJS

DEFINICIJA: Korisniĉki interfejs2 je program koji omogućava dijalog izmedju korisnika i raĉunara 61. U osnovi to je

odnos ĉoveka sa raĉunarom pa se on naziva interfejs ĉovek-raĉunar (Human Computer Interface – HCI). Korisniĉki interfejs ima

zadatak da na jednostavan naĉin obezbedi dijalog korisnika sa raĉunarom bez obzira na jeziĉku barijeru.

TIPOVI INTERFEJSA: grafiĉki, govorni, kombinovani. Grafiĉki interfejsi koriste grafiĉke simbole za predstavljanje

razliĉitih sadržaja kao što su datoteke, direktorijumi, parametri za podešavanje, alati za obavljanje razliĉitih operacija. U tu svrhu

razvijeni su operativni sistemi Windows, Windows-NT, X-Windows, Unix. Sve programske aplikacije koje rade pod Windows

operativnim sistemima imaju razvijene grafiĉke interfejse (Program Manager, File Manager, Windows Explorer, Internet Explorer)

ĉesto podržane i audio sekvencama. Slika 1.09 - korisniĉki interfejs aplikacije u programu COREL.

2 Korisniĉki interfejs, engl. Graphical User Interface - GUI

PROZOR NA REALNOM OBJEKTUPROSTOR PROSTOR

PRIKAZ REALNOG PROZORA

PROSTOR

PROZOR RADNE STANICE PRIKAZ PROZORA RADNE STANICE

PROSTOR UREDJAJA

NORMALIZOVAN ROSTOR

1.0

1.0

0.0

0.0

50. 0. (cm

)

100

.

0.0

0.0

56. 42. (cm)

TRANSFORMACIJ

A

TRANSFORMACIJ

A

SPOLJASNJI FIZICKI ROSTOR


Slika 1.09 Primer Windows prozora otvorene aplikacije COREL sa grafičkim sadržajem

korisničkog interfejsa i aktiviranim padajućim i kaskadnim menijem

Interfejs na ovoj slici raspolaže u grafiĉkom obliku sledećim sadržajima za interaktivan rad:

alate za unošenje grafiĉkog sadržaja poredjanih levom ivicom Windows prozora,

komande za rad sa datotekama (File, Edit, View, Export, Import), gore u zaglavlju,

alate za geometrijske transformacije i podešavanja (Layout, Arrange, Effects),

alate za razliĉite druge operacije (Bitmaps, Text, Tools),

paletu alata podešavanja argumenata (format, boja, debljine linija primitiva),

lenjire sa mernim jedinicama ivicom prostora za crtanje,

mehanizam potvrde (redo) i otkaza neželjene operacije (undo),

proporcionalan klizaĉ horizontalnog i vertikalnog skrolbara, sa strelicama,

dugmad za rad sa windows prozorom (meni prozora: min, max, zatvoren prozor),

paletu poslova (taskbar), ispod donje ivice prozora,

traka naslova, u zaglavlju gore - ime datoteke apikacije,

ikone koje daju elemente tekućih stanja ili setovanja (monitor, vreme, štampa),

paletu raspoloživih boja (vertikalno, desno),

hijerarhijske menije (na slici 1.09 je padajući i kaskadni meni).

OSNOVNI GRAFIĈKI ELEMENT: koji ilustruje namenu unutar korisniĉkog interfejsa je sliĉica – ikona. Ona slikovito i

asocijativno deluje na korisnika: Jasno oznaĉava funkciju, lako se pamti i dobro se razlikuje od ostalih ikona. Ikona oznaĉava

datoteku. Selektovanjem ikone pokreće se program ili otvara datoteka preko putanje do sadržaja na memorijskom medijumu gde je

datoteka smeštena.

Slika 1.10 pokazuje radni prostor na kome su rasporedjene ikone datoteka razliĉitih aplikativnih programa. Korisniĉki interfejs nudi

mogućnost direktnog postavljanja, uklanjanja i premeštanja ikona na radnoj površini grafiĉkog uredjaja. Preko ovih operacija vrši se

direktna manipulacija programima, kao tipiĉna kategorija operisanja korisniĉkim interfejsom.

Slika 1.10 Primer Windows radnog prostora sa ikonama datoteka aplikativnih programa


Na slici 1.09 pokazane su još tri interaktivne tehnike funkcionisanja korisniĉkog interfejsa. Naime može se uoĉiti da su padajući

meniji na mestu izbora tražene opcije, zatamnjeni. Opcija je odredjena jednom od tri raspoložive tehnike: pozicioniranjem (preko

tastature, recimo upotrebom tastera ALT), selektovanjem posredstvom izbornog skupa (to je neki atribut, recimo zadebljano ili

podvuĉeno slovo komande) i pokazivanjem opcije (recimo dvostrukim klikom preko miša).

MENIJI: su osnovni naĉin otvaranja sadržaja korisniku. Postoje tri osnovne kategorija menija: Hijerarhijski, hodajući i skrolovani

meni. Hijerarhijski meniji pokazuju putanju otvaranja shodno hijerarhijskom nivoi opcije. Na grafiĉkom displeju se otvara kaskada

opcija a preglednost putanje je maksimalna. Na slici 1.11 je pokazana kaskada.

Slika 1.11 Primer menija sa hijerarhijskom kaskadom

Metoda tekuće selekcije se koristi kod opcija koje se medjusobno iskljuĉuju pri izboru. To je pokazano na slici 1.12, na primeru

izbora opcije položaja papira za štampu (portrait / landscape).

Slika 1.12 Primer menija tekuće selekcije (opcije koje se medjusobno isključuju)

SKROLOVANI MENIJI se otvaraju pomeranjem skrol dugmeta niz traku uz koju su poredjane opcije, Slika 1.13 pokazuje jedan

Windows prozor programa COREL u okviru koga je otvoren skrol meni opcije izbora fonta. Obzirom na veliki sadržaj menija

fontova, skrol dugme omogućava skrolovanje sadržaja menija. Nekim drugim uredjajem (ENTER) se odabere font.

Slika 1.13 Primer menija tekuće selekcije (opcije koje se medjusobno isključuju)


DRUGE TEHNIKE korisniĉkih interfejsa. To su tehnike rada sa dijalog boksovima, kada se za izabranu kategoriju otvara poseban

boks unutar koga se bira više opcija. To su recimo meniji definisanja svojstava materijala, kada se unosi više karakteristika.

Neposredna grafiĉka konstrukcija koristi tehniku elastiĉnog projektovanja bilo nad primitivom bilo nad grafiĉkim segmentom. Ovom

tehnikom linija se dobija izmedju polazne i krajnje taĉke. Tehnika modifikacije elementa koristi koncept držaĉa (handles) za

uvećanje, umanjenje ili razvlaĉenje objekta u ravni. Široko je primenjena i u 2D i u 3D konstrukciji.

1.61 UNOS GRAFIČKIH PODATAKA

AKTIVIRANJE: Grafiĉke funkcije programa mogu se aktivirati razliĉitim fiziĉkim sredstvima raĉunara. Ta fiziĉka sredstva ulaza

mogu imati razliĉite namene pa se prema njima definišu logiĉke funkcije ulaza. LOGIĈKE FUNKCIJE zavise od stanja grafiĉke

stanice i mogu se aktivirati samo pri odgovarajućim uslovima. GKS standard definiše 6 klasa logiĉkih ulaznih uredjaja:

lokator (lokator) - definiše položaj taĉke na slici,

stroke (potez) - definiše sekvencijalne taĉke objekta za izvršenje transformacija,

valuator (ocenjivaĉ)- definiše realne brojeve,

biraĉ (izbor) - potvrda pozitivnog ili negativnog izbora iz prethodnog pitanja,

pik (odabiraĉ) - potvrda posredstvom strelice miša, odredjenog segmenta slike i

string (tekst) - ulaz grupom - setom karaktera, najĉešće sa tastature.

IZBOR se obavlja prema "string" menijima (sa tekstom) ili simboliĉkim menijima prema "ikonama" (sliĉicama). Meniji mogu biti

stalno vidljivi ili aktivirani (padajući) prema traženim funkcijama za izvršenje3. Shodno unetim podacima i trenutnom radnom stanju

grafiĉke radne stanice, definiše se status uredjaja primenom datoteka stanja (definiše listu stanja). Liste stanja daju grafiĉku kontrolu

uredjaja, definišu stanje grafiĉkih funkcija, moguće greške (ĉime se aktiviraju funkcije za korekciju), operativno stanje radne stanice

(aktivna, neaktivna, otvorena, zatvorena), odredjuju raspoložive mogućnosti softvera. U operativnom smislu, ispitivanjem lista stanja

(provera dovoljnosti uslova), radna stanica se stavlja u stanje "ulaza" ĉime se aktivira upravljaĉka logika uredjaja za unos podataka.

SPECIJALNE DATOTEKE: Datoteke grafiĉkih podataka - METADATOTEKE. Metadatoteke su sekvencijalne grafiĉke datoteke

koje sadrže sliku (podatke o formiranju slike) u apstraktnom obliku, nezavisnom od grafiĉkog uredjaja za prikazivanje i aplikacije.

Prema tome, metafajlovi su prenosivi. U GKS sistemu metadatoteka je definisana GKSM standardom kao sekvencijalna datoteka.

ISO standardi definisali su metadatoteke 1987. godine. Skraćenica CGM (Computer Graphics Metafile) obeležava standardne

metadatoteke.

1.70 STANDARDI RAČUNARSKE GRAFIKE

GKS standard je dobio internacionalan status 1982. a publikovan je kao ISO 7942 standard za raĉunarsku grafiku

1985. Napisan je u nezavisnoj verziji od programskog jezika i formulisan najpre u dve varijante: sopstvenoj (GKS) i fortranskoj

korišćenjem FORTRANA 77. Danas su njegove funkcije napisane u jeziku za programiranje C, ADA, Pascal, a razvijeno je i više

softverskih varijanti za PC raĉunare 3. Iz osnovnog GKS standarda razvijen je grafiĉki standard GKS-3D (ISO 8805). Razvoj ovog

standarda uslovio je standardizaciju drugih sadržaja u raĉunarskoj grafici, kao što je standard za grafiĉke metafajlove (CGM ISO

1987), standard za grafiĉke interfejse (CGI ISO 1991). Danas GKS standard podržava preko 90 % aplikacija raĉunarske grafike 3.

GKS je napisan za tri vrste korisnika raĉunarske grafike. Prvu grupu ĉine implementatori koji se bave razvojem osnovnog grafiĉkog

softvera. Ovo znaĉi da GKS može da se dogradjuje. Drugu grupu korisnika ĉine programeri aplikacija koji koriste osnovni grafiĉki

sistem za pisanje aplikativnih programa. To je, recimo, posao za vodeće industrijske programere ili profesionalne softverske

proizvodjaĉe. Treću grupu korisnika ĉine operatori koji koriste - izvršavaju gotove aplikativne programe, što ne zahteva ĉak ni znanje

programiranja.

GKS grafiĉki sistem sadrži biblioteku od oko 200 potprograma ĉijim pozivom se ostvaruju odgovarajuće grafiĉke funkcije.

Koncept GKS sistema definiše vezu operativnog sistema raĉunara i aplikativnog programa preko jeziĉkih slojeva (layer-a) koji

koriste grafiĉko jezgro (kernel) standarda.

Prema perifernim grafiĉkim uredjajima, GKS koristi upravljaĉke programe uredjaja (device drivers), skraćeno "drajvere".

Drajveri definišu upravljaĉke komande za uredjaje (ploter, printer, CRT) i aktiviraju se samo programskim navodjenjem zahteva

(poziva) iz aplikativnog programa. Generisanje slika vrši se povezivanjem osnovnih grafiĉkih elemenata - grafiĉkih primitiva.

U GKS-u to su linije, markeri, tekstovi, poligoni, matrice ćelija i generalisani grafiĉki elementi. Generalisani grafiĉki elementi su

gotove složene primitive (krugovi, elipse, odseĉci i iseĉci kruga, odnosno u 3D prostoru to su odseĉci lopti, iseĉci valjaka i drugo).

Grafiĉke primitive su opisane atributima kojima se definišu karakteristike primitiva. Atributi teksta su vrsta fonta, veliĉina,

orijentacija, boja.

RADNA STANICA u GKS sistemu je mesto za prikaz jedne slike (monitor, ploter, kopirni uredjaj). Kad grafiĉki terminal

ima mogućnost prikazivanja više nezavisnih prozora na istom monitoru, onda svaki prozor predstavlja posebnu radnu stanicu GKS

sistema. Ovo znaĉi da jedna fiziĉka radna stanica može da sadrži više GKS radnih stanica. GKS deli opremu za unos podataka

(tastature, digitalizatori, miševi) na 6 klasa logiĉkih ulaznih jedinica: lokator, potez (stroke), ocenjivaĉ (valuator), izbor (choice),

odabiraĉ (pick) i tekst (string).

3 Prva interaktivna grafiĉka forma napravljena je 1950. na MIT (USA).


SGMENT: Osnova radnog procesa je rad sa segmentima. GKS koristi nezavisnu segmentnu memoriju (Workstation

Independent Segment Storage - WISS memorija) 6. Osim geometrijskih transformacija (translacija, rotacija, uvećanje i umanjenje),

nad segmentom se mogu izvršavati i transformacije promene prioriteta prikazivanja, kopiranja u druge segmente i radne stanice,

promena oznake segmenta itd. Segmenti imaju svoje zajedniĉke atribute kojima se definišu opšta stanja kao što je, recimo, treperenje,

vidljivost, prioritet.

Grafiĉke podatke GKS memoriše radi njihovog arhiviranja ili prenošenja na druge sisteme, na naĉin nezavisan od

raĉunarskog sistema. GKS je standardizovao metadatoteke u smislu pristupa, korišćenja i rasporeda podataka. Za rad sa

metadatotekama, GKS je razvio odgovarajuće programe definisane GKS funkcijama. Kontrolu radnog stanja aplikacije, GKS

definiše listama stanja. Radno, operaciono stanje, definiše status pojedinih uredjaja i status izvršenja aplikacije. Stanje definisano

listama stanja prati se funkcijama upita GKS sistema, ĉime se izvode zakljuĉci o dovoljnosti uslova za naredna izvršenja i vrši

izveštavanje o greškama.

GKS omogućava grafiĉke izlaze vektorskom i raster grafikom. Tipiĉan vektorski uredjaj za izlaz je ploter, a rasterski uredjaj

je grafiĉki monitor. Hardverski zahtevi opreme za raĉunarsku grafiku su visoki i zahtevaju ne samo brze, već specijalizovane

procesore sa velikom paletom boja, specijalnim efektima i hardverski izvedenim grafiĉkim transformacijama.

PHIGS standard je definisan propisima ISO 9592, 1985. godine. PHIGS je akronim engleskog naziva

Programmer's Hierarchical Interactive Graphics System. Njime je pored rada u 3D prostoru, moguć i rad sa hijerarhijski povezanim

segmentima, koji se mogu i naknadno menjati. Dok GKS služi za generisanje grafiĉkog prikaza geometrijskog modela formiranog u

aplikativnom programu, PHIGS omogućava formiranje geometrijskog modela na jedinstven, standardizovan naĉin. Primena PHIGS

sistema je pogodna za CAD sisteme u kojima se vrši prostorno geometrijsko modeliranje predmeta sa simulacijama njegovog

kretanja. Koristi se u molekularnom modeliranju, kartografiji, prepoznavanju oblika i procesiranju slika.

CGM standard je nastao iz potreba za prenosom i razmenom grafiĉkih podataka. Kao medjunarodni ISO 8632

standard, registrovan je 1987. Datoteke za smeštaj grafiĉkih podataka, poznate kao metadatoteke, nose ekstenziju CGM (Computer

Graphics Metafile CGM). CGM metadatoteke su neutralne datoteke, sadrže podatke o elementima koji ĉine sliku, a slika nije

namenjena daljoj promeni (tzv. statiĉka slika). Prednost GKS metadatoteka je što one sadrže i podatke o strukturi slike (segmente)

što omogućava dalju obradu slike (dinamiĉku sliku). Korišćenje CGM standarda oĉuvano je zahvaljujući njegovoj rasprostranjenosti.

Kodiranje metadatoteke definiše ISO 646 i ISO 2022 na bazi ASCII koda.

CGI standard se koristi za upravljanje grafiĉkim uredjajima. Upravljanje se izvodi upravljaĉkim programima

prilagodjenim za svaki grafiĉki uredjaj posebno (device drivers - "drajveri"). CGI standard prevodi odgovarajuću grafiĉku funkciju u

komandu uredjaja. Kako broj "drajvera" brzo narasta (zbog unapredjenja opreme), ISO je 1988. doneo standard za upravljanje

grafiĉkim uredjajima poznat pod nazivom Computer Graphics Interface (CGI). Standard definiše jedinstvene komande za

upravljanje grafiĉkim uredjajima bez obzira na vrstu ili proizvodjaĉa opreme. I pored standarda, još uvek se proizvode "drajveri"

zavisni od uredjaja što ukazuje da proces standardizacije nije okonĉan i da je u toku. CGI standard podržava GKS standard. CGI

standard koristi ispitne funkcije koje su opisane klasama: izlaza, atributa, boja, raster operacijama, ulazom i segmentacijom.

IGES standard: Sistemi za projektovanje pomoću raĉunara sadrže mnoštvo informacija o proizvodu, tehnologijama i

korisnicima CAD sistema. Za bolje korišćenje i prenos ovih podataka, ANSI je 1981. definisao standard pod nazivom Initial

Graphics Exchange Specification (IGES). Standard je naroĉito pogodan za mašinske CAD/CAM sisteme. Korišćenje IGES datoteke

zahteva odgovarajuće generatore i interpretatore podataka da bi bili preneti u druge CAD/CAM sisteme. Ove datoteke zahtevaju

znaĉajan memorijski prostor.

CAD - GEOMETRIJSKO MODELIRANJE DR MIOMIR JOVANOVIĆ 1

Generacija 2008 CAD - GEOMETRIJSKO MODELIRANJE

Predavanje 3

Geometrijsko modeliranje 3D objekata

Modeliranje objekata u računarskoj grafici predstavlja formiranje objekata (modela) računarom. Kako je formiran model logička celina, on se dalje može upotrebiti za izradu konstruktivne dokumentacije, različite grafičke prikaze, tehnološku pripremu proizvodnje (CAP/CAPP/CAM) i konačno za inžinjerske analize.

U CAD postupcima, modeliranje je skup metoda kojima se, posredstvom računara, definišu geometrijska, funkcionalna, materijalna, estetska i druga svojstva objekata. Proces izrade geometrijskog modela je geometrijsko modeliranje. Geometrijski model je osnovni predmet rada u CAD-u. Geometrijski model ima svoju fizičku formu (u prostoru to je mašinski deo), apstraktnu formu u obliku crteža, informacionu formu (hijerarhija elemenata) i unutrašnju formu u bazi podataka. Geometrijsko modelirnje metodološki koristi analizu i sintezu. Sinteza je proces stvaranja (obavlja se kod prve kreacije), kada model još uvek ne postoji i predstavlja generisanje modela. Metode analize geometrijskih modela koriste postojeće, slične modele kao osnovu za kreaciju. Analitičkim poredjenjem sličnog modela (matematičkog modela) sa ciljnim modelom, utvrdjuju se razlike, na bazi kojih se grupom uzastopnih modifikacija formira novi model. Računarska grafika koristi tri vrste geometrijskih modela: Žičani model, površinski model i zapreminski model. ŽIČANI MODEL prikazuje objekat kao skup temenih tačaka i graničnih ivica. Žičani model definiše elementarna svojstva objekta: konturu objekta, orijentaciju u odnosu na okruženje i funkciju u sklopu scene. Žičani model nema skrivenih linija, pa je teško brzo tumačiti geometrijsku formu. Korišćenje žičanog modela zasnovano je na brzom operisanju modelom i potrebi uvida i u skrivene linije.

2.0 GEOMETRIJSKO MODELIRANJE 2

Slika 1. Features tehnika bušenja otvora različitih tipova - žičani i površinski model

Druge prednosti geometrijskih modela nudi POVRŠINSKI MODEL koji je opisan temenim tačkama, graničnim ivicama i graničnim površinama. Ovaj opis je detaljniji i omogućava definisanje vidljivosti grafičkih entiteta, formiranje jasne tehničke dokumentacije i prikaza sklopova. ZAPREMINSKI MODEL opisan je temenim tačkama, graničnim ivicama, graničnim površinama i njima zahvaćenom zapreminom. Kako je definisan prostor zapreminskim modelom puno telo, naziva se solid model. Solid model omogućuje odredjivanje površina preseka, zapremine objekta, momenata inercije, položaja težišta. Aplikacije u mašinstvu, koriste zapreminski model kao osnovni model.

Slika 2. Zapreminski model dobijen tehnikom estrudiranja i Booleovom operacijom sabiranja sa koaksijalnim cilindrom

Proces formiranja geometrijskog modela (aplikacija) ima dve etape rada: Prva etapa je DEFINISANJE OSNOVNE GEOMETRIJE OBJEKATA i njegov

smeštaj u korisničku bazu objekata. Prema tome, modeliranjem se vrši izbor osnovnih geometrijskih primitiva, a njihovim sastavljanjem, 2D i 3D operacijama, formira se

model. Primitive u 3D prostoru su prizma, valjak, kupa, lopta (slika 1.05)


U operativnom smislu, ova procedura se realizuje programski, CSG korisničkim interfejsom1. Primitive i objekti prostorno zakrivljenih površina, imaju visoke hardverske zahteve za realno prikazivanje geometrije. SLOBODNI MODELI:

Zato su češće u upotrebi SLOBODNI MODELI koji aproksimativno prikazuju objekat skupom ravnih malih površina zadate veličine. Aproksimacije realnih zakrivljenih površina izvedene Bézier-ovim površinama, daju visoku tačnost modela, pa su osnova aproksimativnog prikaza računarske grafike. Prikaz se formira mrežom malih četvorougaonih krpica (patch), koje vizuelno interpretiraju zakrivljenost objekta. Prikazi geometrijskih modela izvedeni aproksimacijama zakrivljenih površina ravnim poligonima, nazivaju se fasetnim modelima. Slika 4.0.

Slika 3.0 Geometrija modela prikazana aproksimativno

Druga etapa geometrijskog modeliranja je SLAGANJE OSNOVNIH PRIMITIVA U GRUPE (segmente), prema funkcionalnim vezama u sklopu. Tako svi grafički elementi jedne grupe mogu se kao celina obradjivati. To je proces hijerarhijskog grupisanja koji omogućava razlaganje sklopa (prikazivanje u rasklopljenom stanju), izradu projekcija, izračunavanje mase, momenata inercije, formiranje mreže konačnih elemenata za analizu MKE itd.

1 CSG - Constructive Solid Geometry, korisnički interfejs za geometrijsko modeliranje tela.


OBLIKOVANJE ZAPREMINSKIH (3D) MODELA Formiranje zapreminskih (solid) modela po konceptu sinteze ima više pristupa:

• Realizuje se definisanjem GRANICA OBJEKTA GRAFIČKIM ELEMENTIMA, model granične prezentacije (Boundary REPresentation - B-REP model).

• Realizuje se SASTAVLJANJEM MODELA iz 3D PRIMITIVA, model geometrijske konstrukcije (Constructive Solid Geometry - CSG model).

• Realizuje se 3D OPISOM OBJEKATA analitičkim opisom preseka, površina, projekcija itd.

Pristup DEFINISANJA GRANICA OBJEKTA (B-REP model):

Slika 4.0 Etape formiranja solid modela iz osnovnih grafičkih elemenata (B-REP postupak)

Postupk SASTAVLJANJA OBJEKATA 3D PRIMITIVAMA zasniva se na geometrijskoj konstrukciji modela raspoloživim 3D primitivama. Postupak je poznat pod engleskim nazivom Constructive Solid Geometry - CSG postupak.

Slika 5.0 Prikaz disk kočnice putničkog vozila u rasklopljenom stanju

DEFINISANJEKOORDINATA

a. DEFINISANJELINIJA-IVICA

b. DEFINISANJELINIJA-IVICADEFINISANJELINIJA-IVICA

DEFINISANJEPOVRSINA

DEFINISANJEZAPREMINA

d.c.P1

P6

P3P2

P5 P4T4T1

T3T2

T7T6

T8T5

x

y

zV1


Realizuje se tehnikom kontaktnog spajanja, i Boole-ovim operacijama, slika 6.0. Tehnika kontaktnog spajanja se primenjuje kod pravilnih i ravnih kontaktnih površina. Nizom uzastopnih operacija dodavanja i oduzimanja elemenata, formira se objekat.

Boole-ovih operacije predstavljaju osnovu savremenog 2D i 3D modeliranja objekata. Boole-ove operacije podrazumevaju rad sa skupovima koji definišu geometrijska svojstva objekata. Na 3D primitivama i telima izvode se tri vrste Boole-ovih operacija: geometrijsko sabiranje (unija), geometrijska razlika, (diferencija), geometrijski presek, (interferencija).

Slika 6.1 Interpretacija Boole-ovih operacija 3D primitivama: SABIRANJE

Slika 6.2 Interpretacija Boole-ovih operacija 3D primitivama: PRESEK

Slika 6.3 Interpretacija Boole-ovih operacija 3D primitivama: ODUZIMANJE


Features tehnike koriste specijalizovane tehničke mogućnosti geometrijskog operisanja kojima se postižu operacije bušenja rupe, obaranja ivica, konstrukcija žljeba, konstrukcija ispusta, konstrukcija rebra, konstrukcija debelozidog punog tela. Tehničke mogućnosti imaju svoju konstruktivnu analogiju u geometriji mašinskih objekata. Zato alati za modeliranje imaju baš imena prema formi koju kreiraju.

Slika 7.0 Više operacija geometrijskog modeliranja features grupe na modeliranju ivica sa stablom realizacije

Prednost CSG modela je u kompaktno definisanoj internoj računarskoj strukturi podataka formiranoj u obliku drveta i lakim modifikacijama objekata. Nedostaci modela su: komplikovanost u slučaju čuvanja podataka o površinama i nepostojanje eksplicitnih informacija o ivicama. Postupak 3D ESTRUDIRANJA je metoda formiranja objekata translacijom ravne površine. Metoda je pogodna za profilisane preseke, gde se na bazi geometrije preseka i elemenata putanje translacije:

Slika 8.0 Modeliranje estrudiranjem i Booleovom operacijom oduzimanja


Tehnika SKIN:

Slika 9.0 Modeliranje presvlačenjem (skin opcija)

Slika 10.0 Modeliranje protruzijom (tubular solid)

Slika 11.0 Modeliranje operacijom rotiranja šestougaonog preseka (SolidWorks: REVOLVE)


Slika 12.0 Modeliranje preseka objekta alatom SECTION

DOPUNSKI ELEMENTI EDITOVANJA: Stablo procedure modeliranja

DR MIOMIR JOVANOVIĆ - RAČUNARSKA GRAFIKA 1

Predavanje 4A Generacija 2008 HCI Pojmovi:

Elementi korisničkog interfejsa Tabela 1.01

Entitet – naziv, originalan naziv

Sličica Strana

Opis pojma

Osnovni grafički entiteti: (General Grafical Entities):

To su tri grupe grafičkih entiteta: Bazni geometrijski entiteti, konstruktivni entiteti i dopunski entiteti. U bazne geometrijske entitete spadaju: linija, krug, luk, višestruki luk, elipsa, splajn kriva, tekst, šrafura, marker, dimenziona geometrijska kota, obrtna površina, splajn površina, puno telo, fasetna mreža, pojedinačni sadržaji biblioteka (delovi). Konstruktivni entiteti su elementi koji služe za formiranje geometrijskih modela samo u toku njihove gradnje (osne linije, mreža pomoćnih tačaka, izvodnice). Dopunske entitete čine raznovrsni sadržaji koji dopunjuju geometrijski model (dimenzije, preseci, centri, tekst napomene, nazivi, oznake).

Geometrijski model i datoteka modela

(Model and Model Files):

Geometrijski model je predmet grafičke kreacije. To je skup entiteta, definicija delova i tekućeg podešavanja. Geometrijski model je grafička celina koja opisuje ukupnu formu postavljene prostorne kreacije. Datoteka modela je formatizovan zapis geometrijskog modela u informatičkom sistemu. Ukoliko je zapis standardan (IGES,CGM,DWG,MPEG,TIFF,GIF) on je prenosiv na različite grafičke sisteme (procesorske platforme i aplikativne grafičke programe).

Grafički slojevi - nivoi (Layers):

60595857565554111151 52 53

111141 42 5049484746454443

111111111 2 109876543

111121 22 3029282726252423111111 12 2019181716151413

111161 62 63

111131 32 4039383736353433

Lejeri su slojevi u koje se rasporedjuju grafički entiteti. Svakom grafičkom entitetu dodeljuje se lejer. Uključen lejer (OFF) daje vidljivost entitetu u izabranom pogledu. isti lejer se smeštaju primarni entiteti. U različit lejer se smeštaju konstruktivne linije. U sledeći lejer se smeštaju entiteti koji definišu funkcionalan aspekt sklopa – šemu. Izbor lejera za prikaz (ON), definiše vidljivost entiteta. Program MicroStation’95 ima 63 lejera, prema slici. Lejeri imaju namenu da kod žičanih modela smanje prikazanu složenost i učine razumljivim izabran sadržaj.



Sličica Strana

Opis pojma

Pogled windows-a (View Windows):

Pogled windows-a je pravougaoni prostor monitora u kome je prikazan crtež ili model. Program Visual Solid Draw otvara jedan window prozor (osn. podešavanjem), program MicroStation’95 otvara četiri windows prozora. Windows-i za prikaze pogleda se mogu kreirati po potrebi, otvarati, zatvarati, menjati po veličini, rasporedjivati po nekom konceptu. Na slici je pokazan windows – prozor za smeštaj pogleda. Svi otvoreni windows-i pokazuju izgled (raspored) sadržaja na sceni. Pogled na scenu može biti proizvoljno kreiran ili standardan (ortogonalan). U tom slučaju windows-i pokazuju ortogonalne proekcije poznate kao pogled odozgo (top view), pogled s’preda (front view), pogled sa desne strane (right view), sa zadnje strane (back view), izometrijski pogled (isometric view) itd.

Koordinatni sistemi (Coordinate Systems):

WCSDCS

Koordinatni sistem u prostoru modela, stalnih fizičkih koordinata je osnovni koordinatni sistem modela (World Coordinate System – WCS). U istom prostoru modela koristi se koordinatni sistem korisnika (User Coordinate System -UCS) koji se premešta u radne pozicije objekta na modelu, zauzima uglove ivica objekata i ubrzava rad. Apstraktni koordinatni sistem svih windows – prozora u kojima se prikazuju pogledi na scenu, odredjen je veličinom prostora prozora na uredjaju za prikazivanje (ekranu monitora), pa se naziva koordinatni sistem uredjaja (Device Coordinate System DCS) ili koordinatni sistem scene (Scene Coordinate System).

Podešavanja (Settings):

Svi grafički entiteti su definisani elementima podešavanja (atributima). Programi za 3D geometrijsko modeliranje vrše podešavanje entiteta samog modela (model settings) i podešavanje programskog okruženja (environment settings). Podešavanje programskog okruženja reguliše raspoloživost sadržaja – korisničkih alata. Slika levo pokazuje jedan padajući meni windows-a (za rad sa datotekama) unutar koga se nalazi meni za podešavanje stranice dokumenta (Page Setup).

Programska pomoć (Help, On-line Documentation)

Programi sadrže Uputstva za rukovanje i uputstva za učenje. Preko tih entiteta u toku rada se uče nove kategorije. Pristup sadržajima za učenje je danas preko programskih help menija, kojima se direktno pristupa posredstvom ključnih reči, abecednog izbora ili definisanja opšte kategorije. Help meni je obično kraći u opisu od drugih oblika programske pomoći.



Sličica Strana

Opis pojma

Ekranska forma korisničkog interfejsa (Screen Layout):

Korisnicki prostor

Komandna linija

Konstruktorskeopcije

Oblast pomocnihopcija

Aktivne opcije

Opcije za rad sa datotekama

Prostor za poruke programa Prostor povratnih informacija programa

Meni programa Alati programa

Komandna linija

Prostor za poruke programa Prostor povratnih informacija programa

Meni programa Alati programa

Korisnicki prostor

Korisnicki prostor

Oblast pomocnih alata

Oblast osnovnih alata

Rad sa programom zasnovan je na korisničkom interfejsu koji rad sa programom ostvaruje na grafičkim sadržajima kojima su definisane funkcije, komande i alati. Programi koji rade pod windows-ima imaju sličan po sadržini grafički interfejs. Na slici je prikazan osnovni ekranski izgled programa Visual Solid Draw. Odozgo na dole postavljeni su:

- naslovna linija (title bar), - osnovni meni programa (menu bar), - opcije za rad sa datotekama i alatima, - prostor korisnika za modeliranje, - komandna linija direktnih komandi, - prostor za poruke programa, - statusna linija, - konstruktorske opcije, - aktivno raspoložive opcije,

Meniji su organizovani kao padajući ili otvarajući (pop) meniji. Program MicroStation’95 za geometrijsko modeliranje, ima sličan interfejs kao se to vidi sa naredne slike. Slika pokazuje tri windows prozora za standardne poglede (mogu da se otvore po potrebi do osam prozora). Svaki alat je podržan porukama iz programa koje podsećaju na redosled operacija za kompletiranje funkcija. Položaj pokazivača lokacije na radnom prostoru definisan je koordinatama koje program povratno generiše u donjem delu ekrana.

Izbor sadržaja (Picking Entities)

Izbor svih entiteta vrši se posredstvom uredjaja za izbor. To može biti miš kao periferni ulazni uredjaj. Vrh (pick) kojim se simbolički predstavlja položaj uredjaja za izbor na ekranu, najčešće je stilizovan u obliku strelice ili prsta. Biračem se aktiviraju različite funkcije i alati koji su simbolički u grafičkom vidu kao male sličice raspoloživi na radnoj površini ili padajućim menijima.



Sličica Strana

Opis pojma

Unos sadržaja tastaturom (Keyboard Input)

Unos tastaturom je osnovni način unosa alfanumeričkih karaktera. U grafičkom smislu tastaturom se unose: • koordinate ključnih tačaka, • tekstualni sadržaji, • funkcijske komande za izvršenje programa,

Tastature sadrže 100-120 tastera za izvršenje. Smeštaj grafičkih sadržaja u datoteke (File system):

Metadatoteke se zapisuju na direktorijumima ili katalozima (Folders) pod imenima koje odredjuje korisnik. Poziv grafičkih metadatoteka izvodi se pod Windows – om, klikom miša na datoteku. Nalaženje datoteka vrši se izborom radnih direktorijuma i listanjem njihovih sadržaja. Svaki operativni sistem i grafički program prave rezervne i vremenske kopije datoteka. Datoteke u konačnoj formi se eksportuju u standardan format za razmenu. Kao takve obezbedjuju prenosivost u druge informatičke sadržaje. Sve vrste datoteka obezbedjuju pristup preko grafičkog interfejsa koji je simbolički prikazan datotekama, putanjama i katalozima. Tipične forme grafičkih simbola datoteka i direktorijuma operativnog sistema Windows’98 su pokazane na slici.

Meniji koji se otvaraju (Popup menu):

Standardna tehnika selektovanja programskog sadržaja pomoću birača kojim se komanduje preko miša. Primenjena je kod operativnih sistema Windows.

1.82 Konstrukcija 2D grafičkih elemenata Tabela 1.02


Sličica Strana

Opis pojma

Konstrukcija linije izmedju dve tačke (Line Between Two Endpoints):

AA

Elementaran koncept crtanja linija. Postoje drugi modaliteti uz korišćenje uslova za konstrukciju. Recimo jedan modalitet je konstrukcija linije pod aktivnim uglom (Construct Line at Active Angle).

Crtanje kružnog luka

(Circular Arc Construction):

Kružni luk se može crtati na bazi dve tačke i radijusa, na bazi tri tačaka, na bazi ograničenja kao što su tangente.

Konstrukcija krugova

(Construction Circles):

Krug se crta na bazi položaja centra i radijusa, dve tačke i centra, tri tačke ili na bazi konstrukcionih uslova.



Sličica Strana

Opis pojma

Konstrukcija elipse (Construction Ellipse):

Elipsa se crta na bazi položaja centra i dimenzija poluosa, ili na bazi konstrukcionih uslova.

Konstrukcija eliptičkog luka (Elliptical Arc Construction):

Eliptički luk se crta na bazi geometrije elipse i geometrije luka ili na bazi konstrukcionih uslova. Moguće su opcije direktne konstrukcije polovine ili četvrtine eliptičkog luka čije simbole ilustruju sličice u prilogu.

Konstrukcija višestruke linije polilinije (Polyline Construction):

Konstrukcija više uzastopno povezanih linija (Place Stream Line String). Uz korišćenje konstrukcionih uslova, moguće su konstrukcije polilinija pod konstantnim uglovima.

Konstrukcija kompleksne linije složene iz linija, lukova, i zakošenja je posebna kategorija naprednih alata za 2D i 3D crtanje. Dodatno omogućuje parametarske osobine entiteta kao što su editovanje, zatvaranje poligona iz linija. U MicroStation’95 taj alat je označen kao ”zgodna linija” (SmartLine) i koristi se u kombinaciji sa pomoćnim koordinatnim sistemom (ACS).

Višestruke linije (Multi-line)su namenjene konstrukciji entiteta preseka, tankozidih struktura, cevnih šema itd.

Konstrukcija slobodne skice (Free Hand Sketch):

Konstrukcija linija postavljenih slobodnim potezima ruke. Najčešće predstavlja niz gusto formiranih uzastopnih tačaka, povezanih kratkim pravim linijama. Koristi se za formiranje netipičnih grafičkih elemenata. Izvodi se pomeranjem miša.

Konstrukcija krivih linija (Construction of the Curves):

Konstrukcija krivih, u prvom redu neuniformnih racionalnih splajnova (NURBS-a). Ovo je grupa alata za izvodjenje konstrukcija podešavanjem parametara B-splajnova kao što su prolazne tačke, kontrolne tačke.

Konstrukcija poligona (Construction of the Polygons):

Konstrukcija poligona različitih tipova: Osnovnog četvorougaonog poligona (Block), proizvoljnog poligona, (Polygonal shape), ortogonalnog poligona (Orthogonal shape), pravilnog poligona (Regular Polygon). Pravilan poligon može biti jednakostraničan trougao, kvadrat, petougaoni poligon, šestougaoni poligon itd.



Sličica Strana

Opis pojma

Uslovi za realizaciju konstrukcija (Input of Construction Constraints):

L α

Specifikacija uslova za izvodjenje geometrijekonstrukcije. Kod linija, to su uslovi selektovanja (pokazani sličicama):

- najbližih tačaka (Nearest), - krajnjih tačaka (Keypoint), - srednjih tačaka (Midpoint), - centara elemenata (krugova, lukova), - početnih tačaka (Origin Points),

- preseka linija (Intersection), - tangenta i tangenta u tački krive, - normala na krivu u tački (Perpendicular from), - paralelno sa pravcem, - najbliže tačke na susednom elementu (na slici levo).

Kod konstrukcije krugova to su uslovi formiranja krugova: - tangiranja linije u zadatoj tački, - tangiranja dveju linija i zadatim radijusom, - tangiranja susednih krugova, - tangiranja susednog kruga u tački.

Kod lukova to su uslovi zadatih početnih tačaka, pravaca i centara lukova, uslov dužine segmenta luka,


Sličica Strana

Opis pojma

Pomoćna sredstva za konstrukciju: Pomoćni koordinatni sistemi:

AccuDrawX

ZY

0.000

0.0000.000

AccuDrawDistanceAngle

0.0000.000

Y osa

X osa

Y osa

X osa

Koordinatni pocetakOrigin

Pomoćni koordinatni sistemi. MikroStation’95 koristi popularni AccuDraw sistem koji omogućava lokalnu orijentaciju u pravcu razvoja linija crteža, zadavanje dužina i uglova linija, korišćenje pravouglog i polarnog koordinatnog sistema, korišćenje “snep” moda za direktnu konstrukciju tačnih uglova. Slika pokazuje ikonu pomoćnog koordinatnog sistema. Naredne dve slike pokazuju dialogue-box za numerički unos podataka o konstrukcijama elemenata – entiteta. Podaci se mogu uneti u pravougaonom ili polarnom koordinatnom sistemu. Sama forma pomoćnog koordinatnog sistema karakteriše se definisanim položajem x,y osa, centrom (engl. origin) i bojama za orijentaciju. Ta forma je tzv. kompas pomoćnog koordinatnog sistema.



Sličica Strana

Opis pojma

Mod sklapanja elemenata – pripadanja: (Snap Mod)

Pomoćno sredstvo za privlačenje primitiva u medjusoban dodir ili dovodjenje u pozicije tačaka mreže (Snap to grid). Ovaj alat omogućuje povezivanje elemenata crteža u formu objekta (Snap to Objects). Omogućuje dodire elemenata u karakterističnim tačkama kao što su krajevi, sredine itd.

Postavljanje mreže pomoćnih tačaka (Grid Mod)

Postavljanje mreže vidljivih ili nevidljivih tačaka sa Snap osobinama koje omogućuju pravilnost rasporedjivanja ključnih tačaka konstrukcije i konstrukcije elemenata tačnih mera bez numeričkog unosa geometrijskih veličina. Raspored tačaka mreže se podešava i to recimo može biti milimetar ili deo milimetra.

Postavljanje mernih alata (Measure tool )

Alati kojima se proveravaju rastojanja, radijusi, uglovi, površine, zapremine. Promenom zadatih mera, vrši se direktna korekcija konstrukcije. Slika pokazuje pomoćne alate za merenje rastojanja, radijusa, uglova, površina i zapremina u programu MicroStation’95.

Pstavljanje aktivnih tačaka: (Place the Active Point)

Omogućavaju postavljanje ključnih tačaka u prostoru. Ove tačke su osnov konstruisanja. Izmedju dve ključne tačke moguće je postaviti grupu tačaka ravnomerno rasporedjenih (na jednakim rastojanjima). Aktivna tačka se može postaviti normalnim projektovanjem iz spoljnje tačke na zadatu krivu. Aktivna tačka se može postaviti i na zadatom rastojanju od izabrane tačke na krivoj.

Postavljanje ćelija entiteta: (Place Cells)

A

Ćelije su opšti entitet u koji se može smestiti korisnički sadržaj. To može biti element često korišćen u konstrukciji. Ti elementi se mogu postaviti prema potrebi. Smeštaju se u bazi podataka korisnika. U ćelije se mogu smestiti i neki standarni elementi koje je prema orijentisanosti problemu kreirao sam proizvodjač softvera.

Alati za manipulaciju i modifikaciju (Manipulating and Modifying):

Ovo su grupni pomoćni alati i primenjuju se na različitim entitetima. Mogu se primeniti i pojedinačno na elementu.

Alati za manipulaciju grupom elemenata: - premeštanje (Move), - paralelno premeštanje, - premeštanje selektovane grupe entiteta (Fence Mod),

Alati za modifikaciju grupe elemenata: - alat za promenu veličine grupe elemenata (Scale), - alat za brisanje (Delete), - alat za kopiranje elemenata (Copy), - alat za rotaciju grupe (Rotate), - alat za okretanje kao u ogledalu (Mirror), - alat za konstrukciju grupe (Construct Array).


1.83 Editovanje Tabela 1.03


Sličica Strana

Opis pojma

Osnovne editorske operacije (General Editing Operations):

Komanda brisanja objekata (delete), Komanda odsecanja objekata (cut) (Sa smeštajem sadržaja u bafer za kopiranje), Komanda pomeranja (move), Komanda kopiranja (copy) (Smešta sadržaj u bafer za kopiranje), Komanda izvšenja kopiranja (paste) (Dodaje sadržaj iz bafera za kopiranje), Komanda rotiranja objekta (rotate), Komanda promene veličine (scale) (Primenom faktora uvećanja ili umanjenja), Komanda preslikavanja forme ogledala (miror), Komanda matričnog ponavljanja (repeat), (Na bazi objekta matrično rasporedjenog u ćelije), Komanda rastezanja (stretching) (Važi za ravansko crtanje. Ne odnosi se na 3D)

Specijalne editorske operacije (Special Editing Operations):

Prekid krive u tački (Pt-break) (Koristi se za editovanje prava i kriva), Proširenje entiteta (extend), sa varijantama produženja jednog i dva elementa do preseka, Skraćenje entiteta kao celine (shorten), Produženje entiteta u tački (lengthen), (editovanje linije u tačkama), Obaranje ugla 2D objekta (chamfer corner), Formiranje ispune izmedju objekata (filleting), (Kod 2D linija to je spajanje krajeva nekim zaobljenjem) Odsecanje entiteta (chopping) (Primenjuje se za odsecanje grupe linija), Sklanjanje - odrezivanjem entiteta (trimming) (Koristi se u kombinaciji sa alatom u vidu više noževa), Razdvajanje – dekompozicija sa pomeranjem sastavnih entiteta iz prethodnog položaja (drop, exploding).



Sličica Strana

Opis pojma

Editorske operacije za specifične entitete (Editing Operations for Specific Entity):

AA

AB

Editovanje kriva: Promena veličine radijusa (Modify Arc Radius), Editovanje kriva: Promena veličine ugla luka (Modify Arc Angle), Editovanje kriva: Promena položaja ose luka (Modify Arc Axis), Editovanje kriva: Promena položaja interpolacionih i kontrolnih tačaka kriva, promena zajedničkih uglova (Shape tool / Smooth / Control / Bezier Tool / Edit point), Editovanje teksta: Promena sadržaja teksta (Edit Text), Editovanje teksta: Promena atributa teksta (Change Text Attributes), Spajanje pojedinačnih kriva u zajedničku celinu (Merging Curve, Create Complex Chain), Spajanje konture krive u zatvorenu celinu (Create Complex Chape).

Editorske operacije izmene atributa (Change element Attributes):

Operacija za pojedinačno ili grupno editovanje atributa definisanih entiteta. To su na primer boja, debljina, tip linija, lejer prikaza, klasa linija (konstruktivne, osnovne). Primenjena u MicroStation’95.

1.84 Delovi Tabela 1.04

Entitet – naziv, originalan naziv Sličica Strana

Opis pojma

Delovi (Parts:)

Izvorno, delovi su termin iz mašinstva. Definišu standardne 3D geometrijske forme koje se kao deo ugradjuju u celinu geometrijskog modela (sklopa). Delovi su recimo zavrtanj, podmetač, navrtka, ležište, ležaj, vratilo, zupčanik. Imaju namenu da se direktno pozovu iz biblioteke delova i bez crtanja ugrade u sklop. Aplikativni programi sadrže biblioteke standardnih delova. Savremeni programske biblioteke definišu parametarski geometriju delova i dozvoljavaju njihovo editovanje. U programu MicroStation’95 delovi se smeštaju u ćelije koje su opštija forma za formiranje entiteta. Slika pokazuje standardne zavrtnjeve. U programu AutoCAD delovi se definisu ....


1.85 Dimenzije i tekst opisi Tabela 1.05


Opis pojma

Dimenzije (Dimensions):

20 35 20 20 5575

32

90 o

R 20

Grupa grafickih elemenata kotnih linija, uglova, markera i teksta, specificirana da opiše merne veličine objekta, čini dimenzioni entitet grafike. Svaki dimenzioni entitet se može postaviti, premestiti i editovati. Za dimenzionisanje koristi se posebna grupa dimenzionih atributa. Dimenzionisanje može biti pojedinačno izvedeno, izvedeno dimenzionim lancem, izvedeno sa zajedničkom polaznom tačkom (engl. datum dimension) ili izvedeno koordinatama tačke. Dimenzioni lanac i dimenzionisanje sa zajedničkom polaznom tačkom pokazuje prva slika levo. Osim dužinskih mera, dimenzionišu se uglovi, prečnici i radijusi, slika 2. Dimenzionisanjem se definiše sadržaj teksta, položaj teksta (automatski na kotnoj liniji), dimenziona lokacija i tekst – orijentacija. Lokacija odredjuje mesto kotne linije dok orijentacija odredjuje pravac teksta u odnosu na dimenzionu liniju (horizontalno, upravno, paralelno). Operacije dimenzionisanja koriste grupu podesivih argumenata (settings elements): linija, završetaka (strelice), teksta (font, veličina), tolerancija, mernih jedinica (mm,cm,m), formata (prema nacionalnim standardima) i preciznosti podataka (broj decimalnih mesta), boje i debljine kotnih i pomoćnih linija.

Vodiči (Leaders): Busiti u sklopu poz. 3 i 4

TEKST NA LINIJI4

3

Simbolička forma za upis teksta koji označava neki sadržaj ili komentar. Tekst je uvek horizontalan i podvučen je linijom koja vodi do karakterističnog mesta na koje se tekst odnosi. Linija se završava strelicom, tačkom ili bez završetka. Slika pokazuje jedan primer takvog vodiča - napomene koji definiše pozicije na crtežu i tehnologiju izrade – bušenja.

Osne linije i markeri centara (Center Line and Center Marker)

Centralne linije

R 50

Marker centra

Karakteristične linije centra odgovaraju poziciji otvora ili unutrašnjeg navoja. Marker centra označava mesto iz koga počinje radijus. Slika pokazuje oba primera na potkovičastoj ploči sa tri otvora i centrom radijusa označenog markerom centra u vidu krstića.


1.86 Atributi Tabela 1.06


Opis pojma

Atributi (Attributes):

Ivica punog tela

Granica objektaNevidljiva ivica

Osa objekta

Zadata lokacija

Debljina linije 0.076Debljina linije 0.125Debljina linije 0.250

Debljina linije 0.350Debljina linije 0.500

Times New Roman 16

Timpani Bold YU 16Colonna MT 16Desdemona 16B r a g g a d o c i o 16Courier New 16

Tekst ugao 0oTekst ugao 180o

Teks

t uga

o 60o

Tekst ugao 30o

Teks

t uga

o 90o

Teks

t uga

o 12

0o

Tekst ugao 150

o

AlignDonja linija

Centar

Vrh

Levo DesnoCentar

Bazna linija

Cap linija

Značenja standardnih grafičkih konvencija se informaciono opisuju posredstvom atributa. Programi dodeljuju svakom grafičkom entitetu grupu (set) atributa. Osnovne klase atributa su: Osnovni-opšti atributi (važe za sve entitete), atributi markera, atributi teksta i atributi šrafura. U osnovne spadaju atributi za tip (stil) linija (kako to pokazuje prva slika), debljinu linija (na slici), boju, nivo prikaza (engl. layer). Debljina linija se definiše mernim sistemom (metrički, anglo-saksonski) ili brojem tačaka (piksela) na monitoru. Boja se definiše paletom boja, odredjenog tipa i broja boja. Lejeri se koriste za klasifikaciju entiteta na istom crtežu. Lejeri omogućavaju kontrolu vidljivosti sadržaja. Kao takva kategojia koriste se za izdvajanje različitih sadržaja (sadržaja kotiranja, konstruktivnih linija, delova u sklopu). MikroStation’95 ima 64 lejera. (mogu se simbolički označiti: ) Markeri su osnovne grafičke primitive. Koriste se za odredjivanje pozicije karakterističnih tačaka u prostoru. Da bi se uočili, prikazuju se različitim simbolima (krstić, tačka, kvadratić, zvezdica, trougao, plus, strelica). Atributi markera su njihov nagib i pravac. Šrafure su grafičke forme za prikazivanje preseka ili zona u mašinstvu. Atributi šrafura su tip (forma), pravac, nagib i veličina (razmak linija). Atributi teksta su vrsta fonta, visina, pravac, nagib (zakošenje), faktor razvučenosti teksta (engl. expansion factor), razmak karaktera fonta (engl. spacing factor), razmak linija fonta (engl. line spacing), putanja teksta, poravnanje teksta (engl. alignment) sa nekom pozicijom na crtežu. Na trećoj slici (levo), pokazan je atribut različitih tipova fonta (jednake vieličine 16). Ovaj praktikum napisan je tipom fonta Times New Roman 9. Atribute teksta podržavaju i različiti programski jezici za grafiku a često su vezani za vrstu uredjaja kojim se štampaju dokumenti. Veličina fonta je simbolički definisana brojevima. Nagib (engl. direction) je argument pokazan na narednoj slici levo. Takodje tekst može biti postavljen po nekoj zadatoj putanji. Postavljanje teksta u odnosu na okolne grafičke elemente crteža ili scene izvodi se atributom poravnanja. To pokazuje poslednja slika levo.


Predavanje 4B Generacija 2008 HCI Pojmovi: Tabela 1.07


Opis pojma

Standardne površine Standard Surfaces:

Postoje tri grupe 3D površina kod geometrijskog modeliranja. Osnovnu grupu čine standardne površine, pokazane na slici (svera, cilindar, konus i torus). Drugu grupu čine rotacione površine. Jedna takva povrsina prikazana je levo, četvrta po redu (forme činije). Treću grupu čine površine prikazane aproksimativno pomoću NURBS-a. Ova vrsta polinoma nešto više je opisana u PRILOGU Praktikuma. Aproksimativna površina može biti prikazana pomoću krpice (engl. patch) ili provlačenjem površi kroz granične krive. Ova funkcija se izvršava komandom skin.

Fasetne mreže Facet Meshes:

Fasetni modeli su prdstavljeni mrežom ravnih povezanih lica vidljivih elementarnih površina. Elementarne površine (engl. facet) su male ravne površine koje aproksimativno pokazuju model. Fasetni modeli mogu i tačno da predstave geometrijske modele u vidu kvadra, isečka, prizme i piramide. Slika levo pokazuje redom navedene fasetne modele.

Eliminacija skrivenih linija Hidden Line Elimination (HLE):

Geometrijski modeli realnijih prikaza od žičanih modela, zahtevaju eliminaciju skrivenih linija. Operacija eliminacije skrivenih linija (HLE) je sastavni alat svakog programa - modelera. Operacijom eliminacije skrivenih linija se definisu položaji svih linija na sceni na bazi čega se skrivene linije eliminišu ili prikazuju isprekidanim. Slika pokazuje poredjenje žičanog modela i modela sa eliminisanim skrivenim linijama (HLE model).


Vidjenje i Prikaz Tabela 1.08


Opis pojma

Višestrukost prozora Multiple View Windows

Simultano prikazivanje istog objekta sa različitih položaja – pravaca. Svaki otvoren pogled zasnovan je na sopstvenom prozoru. Samo jedan prozor je aktivan i to onaj koji je izabran uredjajem za izbor (mišem). Svaki prozor podesiv je po položaju i veličini na displeju monitora, može biti minimiziran, sklonjen (izbrisan). Podleže svim pravilima Windows okruženja. Prva slika pokazuje višestruke windows prozore formirane komandama Cascade (kaskada) i Tile (poredjana grupa sa dodirom u formi crepa).

Tačka pogleda (tačka oka) Eye Point

Tačka u prostoru modela sa koje se model gleda. Tačka u prirodnom prostoru odredjena je koordinatnim sistemom svetski zajedničkih koordinata (World Coordinate System - WCS). Pogled na model (iz tačke pogleda) usmeren je ka ciljnoj tački u prostoru modela (Target Point). Pravac iz tačke pogleda ka ciljnoj tački naziva se pravac vidjenja (pravac pogleda). U taki pogleda a na pravcu vidjenja, postavljen je koordinatni sistem sa osobinama orijentacije oka. Takav koordinatni sistem naziva se koordinatni sistem oka (Eye Coordinate System – ECS).

Model orijentacije pogleda Viewbox

U 3D prostoru, to je prizma sa orijentacijom u pravcima koordinatnog sistema oka (ECS). To je obično početni sadržaj u prostoru novog modela. U programu MicroStation’95, u formi žičanog modela, ispisani su nazivi projekcionih ravni : Pogled s'preda (Front Wiew), Pogled odozgo (Top Wiew), Pogled s'desna (Right wiew), Pogled s'leva (Left Wiew) itd.



Opis pojma

Pogled View

Projekcija prostornog modela na projekcionu ravan (Front Wiew, Top Wiew, Right wiew, Left Wiew,..) a u specificiranom pravcu. Pogled je klasifikovan prema načinu dobijanja i može biti ortogonalnog tipa, aksonometrijskog tipa (korišćeni u mašinstvu) i tipa perspektive (korišćen u arhitekturi).

Raspored prikaza (Layout)

Podrazumeva razmeštaj više pogleda na displeju ili crtežu. U konvencionalnom smislu to je raspored – razmeštaj četiri (dve) proekcije na crtežu: Pogled odozgo, pogled s’preda, pogled sa desne strane i aksonometrijski prikaz modela. Slika pokazuje tri ortogonalne proekcije i četvrtu izometrijsku proekciju jednog I – 3D profila.

Operacije sa windows prozorima Window Related Operations

To su operacije: Kreiranja (Window Creating), brisanja (Deleting), (na slici) premeštanja (Moving), promene veličine prozora (Resizing), (na slici) operacija prelaska na drugi prozor (Switching), maksimiziranja, minimiziranja, (na slici) obnavljanja windows prozora (Restoring), tipičnog rasporedjivanja (Tile, Cascade). Ove operacije se izvode na windows prozorima i ne utiču na status modela ili crteža. Model ostaje nepromenjen.

Obnavljanje sadržaja pogleda Refresh

Video sistem računara koristi priručnu video memoriju VRAM u kome je smešten sadržaj monitora. Takav način korišćenja memorije je brži. Kada se izda komanda refresh, njome se obnavlja sadržaj u video memoriji.

Obnavljanje sadržaja baze Regeneration

Komandom regeneration obnavlja se sadržaj grafičkih podataka modela smeštenih u bazi podataka (datoteci).



Sličica Strana

Opis pojma

Operacije sa pogledima View Related Operations

To su sledeće operacije definisanja pogleda: Operacija promene veličine prozora, promene kombinacije pogleda u windows prozoru, operacija promene položaja tačke posmatranja, promena ciljne tačke, promena ugla izmedju koordinatnih sistema oka (ECS) i prostornog koordinatnog sistema (WCS). Primer promene položaja tačke posmatranja pokazuje slika jednog prostornog plana, sa prepoznatljivim urbanim objektima.

Zumiranje i pomeranje pogleda Zoom and Pan Operations

zoom-in zoom-out pan

Operacija uvećanja (zoom-in) sadržaja u prozoru. Uvećanje se izvodi faktorom uvećanja a u odnosu na centar ili na zadatu tačku prozora (zavisi od korišćenog programa). Umanjenje (zoom-out) je suprotna fukcija od uvećanja. Funkcija premeštanja (pan) prenosi sadržaj prozora, pogled na susedni prostor iz polazne tačke.

Metod: Zumiranje do granica modela (Zooming to the Model Extents)

Ovaj metod zumiranja smešta model (sadržaj) u granice raspoloživog prozora za prikazivanje. Pri tome izračunava faktor zumiranja sa maksimalnim uvećanjem u granicama prostora za prikazivanje. Slika pokazuje ovu operaciju na I-3D profilu.

Zumiranje u zadatim granicama Zooming to the Drawing Limits

Zumiranje sa odredjivanjem 2D pravougaonog prostora na koji se svodi uvećanje. Funkcija uvećanja se koristi kod rada sa detaljima modela. Slika pokazuje zadatu oblast zumiranja i efekat time dobijen (na I-3D profilu).

Zumiranje sa zadatim faktorom Zooming to Required Scale

Kod višestrukog uzastopnog uvećanja, praktičniji način rada je sa fiksnim koeficijentom uvećanja (umanjenja). Tada je broj komandnih funkcija zadatih mišem, znatno manji. Ovaj koeficijent se numerički zadaje upisom vrednosti uvećanja, odnosno umanjenja.


1.88 Korisničke funkcije Tabela 1.09


Opis pojma

Programska podešavanja Programe’s Settings: Work directory (Preferences), Default, Setting

Programsko podešavanje radnog okruženja ima za cilj da omogući minimalan broj komandi za korišćenje programskih alata. Postoje tri nivoa podešavanja okruženja: Prvo: Korisničko predpodešavanje celine (radni direktorijum koji se bira na početku rada i kojim se definiše oblast: 2D, 3D prostor, rad sa periferijama). Ova su često podešavanja definisana za rad u mašinstvu, arhitekturi, dizajnu. Druga grupa podešavanja se odnosi na inicijalne programske atribute korišćenih alata i funkcija. Zadate su defolt argumentima i mogu se pojedinačno podešavati. To su atributi svih entiteta kao linije, boje, fontovi, šrafure, materijali, svetla, pozadine. Treća vrsta podešavanja su radna podešavanja (setting). Odnose se na iste funkcije i njihove atribute ali neposredno za tekuće izvršenje. Pojedinačno se primenjuju.

Povraćaj na prethodno stanje Undo Operation, Redo

U slučaju nazadovoljavajućeg statusa crteža (modela) i odluke o promeni radne operacije, omogućuje vraćanje na prethodno stanje ili nekoliko stanja ispred. Time se eliminiše dugi proces korekcije sadržaja. Suprotna korisnička funkcija po pravcu kretanja kroz izvedene operacije je redo funkcija.

Formiranje datoteke modela Model create

To je operacija zapisa sadržaja postavljenog modela u nekom od programskih oblika kodiranja. Takodje se koriste i standardni formati zapisa radi prenosivosti na druge radne platforme. 1

Učitavanje modela iz datoteke Reading a Model from File

Komanda učitavanja modela iz prethodno kreirane datoteke. Realizuje se izborom radnog direktorijuma i tražene datoteke u direktorijumu.

Zapis modela u datoteci Save Model

Komanda zapisa modela u kreiranoj datoteci. Funkcija Windows operativnog sistema.

Otvaranje novog modela New Model File

Komanda otvaranje nove datoteke za model. Funkcija Windows operativnog sistema.

Brisanje datoteke modela Delete Model File

Komanda brisanja datoteke modela. Funkcija Windows operativnog sistema.

1 Pogledati deo Praktikuma koji se odnosi na formate datoteka.



Opis pojma

Podešavanje rešetke (Grid control) Postavljanje rešetke (Set Grid), Početak-izvor rešetke (Grid origin), Veličina –razmak rešetke (Grid spacing), Tip rešetke Grid style

Rešetka je pomoćno sredstvo za crtanje. Postavlja se aktiviranjem ili uključenjem (Set grid). Ima sličnu funkciju kao milimetarski papir. Koristi se u kombinaciji sa funkcijom pripadanja tačkama zadate rešetke (engl. Snap). Početak polja rešetke se može podesiti na displeju (prostoru za prikaz) navodjenjem koordinata početka. Početak se još naziva izvorištem (Grid origin). Rešetka se podešava po gustini – razmaku tačaka (Grid spacing). I forma prikaza rešetke na monitoru može biti podesiva u vidu tačaka, linija ili krstića (Grid style). Slika pokazuje ploču sa tri otvora prikazanu u polju tačkaste i krstaste rešetke.

Podešavanje stalne Snap funkcije Permanent Snap Modes

Obavezan alat svih softvera za dizajn i CAD. Funkcija Snap omogućava strogo tačno pozicioniranje na tačke rešetke. Ova funkcija mora biti uključena da bi se izvršila.

Rad sa lejerima (slojevima) Operations Layer

Složen sastav – struktura se može sastaviti iz pojedinih crteža ili delova modela prikazanih na zasebnim slojevima. Slaganjem slojeva – lejera, dobija se kompletan sadržaj. Ovakav modalitet prikaza omogućuje izdvajanje funkcionalnih celina u sklopovima, omogućuje pripremu tehničke dokumentacije za održavanje, montažu, servisiranje. Lejeri omogućuju jednostavnost u radu, eliminisanjem nepotrebnih sadržaja u pozadini. Polazeći od ovog svojstva, lejeri modeliranju odredjuju vidljivost delova sklopa.

Kopiranje slika Copy Image

Deo sadržaja koji je potrebno kopirati, definiše se unutar četvorougaonog prostora odredjenog uredjajem za lociranje. Izvršenje kopiranja (engl. Copy Image) prenosi samo ovako odredjen sadržaj u posebnu memoriju računara, programski nazvanu clipboard. Memorijski sadržaj se potom spušta na lokaciju na kojoj se vrši kopiranje. Ova funkcija kopiranja se izvodi lepljenjem sadržaja iz clipboard-a na željenu poziciju (Paste).



Opis pojma

Tekstualni oblici - fontovi (Text Fonts)

AaFfCcAaFfCc ∅®⇒ϕδ

Fontovi su familije grafičkih oblika simbola. Uglavnom se odnose na tekstualne simbole i definišu familije tipografskih pisama. Fontovi mogu biti bit-mapirani, uopšteno grafički (Font 1 na bazi proširenog PostScript -Adobe) i vektorski (True Type - Microsoft i Apple). Veličina fonta se izražava u pt jedinicama (72 pt = 1 inch). Slika pokazuje nekoliko malih i velikih karaktera fonta Times New Roman, velicine 48, 24 pt. U poslednjem redu pokazano je nekoliko neslovnih simbola fonta Symbol, veličine 24 pt.

Šrafure (Hatch Styles)

N N

NN

NN

NN

NN

N

N

N

NN

Šrafure su različite grafičke forme za tehničko prikazivanje punog materijala (ispune) u preseku. Šrafure su prikazane u prvom redu slike. Može se upotrebiti i dvostruka šrafura, pokazana na petoj slici. Šrafure su podesivih atributa. Osim šrafura može se koristiti i matrica ćelija. Na slikama 3,4 je korišćena standardna ispuna programa MicroStation’95, dobijene korišćenjem umetaka (patterns). Ispune se mogu i samostalno sastaviti iz elemenata kako je to uradjeno na slici 6, gde su korišćeni trouglovi koji su matrično rasporedjeni. Ispuna može kombinovati i tekst (slika 4) ili simbole (slika 3, gde su upotrebljene strelice).

Postavke geometrije simbola, Šabloni (Templates)

d+25 55d

d+50

h

d=30 h=35 d=15 h=60

304015

35

80 65

Templejt

60

Kod geometrijskog modeliranja simbola ili delova, templejti (Templates) su osnovne postavke iz kojih se izvode varijacije modela. Geometrijske varijacije se mogu izvesti na bazi proporcionalnih varijacija templejtu ili na bazi parametarske zavisnosti geometrije. Slika pokazuje parametarsku zavisnost nekih značajnih mera proizvoljne čaure u zavisnosti od prečnika otvora d. Parametrizovanost ne mora biti potpuna, kao u ovom slučaju gde je visina slobodan parametar varijacije. Parametrizacija može biti implicitna, sa konstantnom (nepromenjivom) vrednošću priraštaja ili promenjiva (zadaje se funkcija promene geometrije). Templejti u DTP podrazumevaju šablone za definisanje raznovrsnih entiteta (formata, fonta, debljina linija, straničenje, zaglavlje itd.). Templejti kod geometrijskog modeliranja imaju opštiju namenu od templejta u DTP.

DR MIOMIR JOVANOVIĆ - GEOMETRIJSKO MODELIRANJE 1

Predavanje 5 Generacija 2008/2009

Projektovanje računarom - CAD

MODELI PRIKAZA GEOMETRIJSKIH OBJEKATA

Izrada tehničke dokumentacije (CADD) koristi osnovne principe nacrtne geometrije. To su metode projektovanja u vidu izrade tipičnih grafičkih formi: ortogonalnih proekcija i izometrijskih, dimetrijskih i trimetrijskih prikaza.

Potreba da se iz 3D geometrijskog modela proizvoda formira informatička baza za izradu prospektne dokumentacije i plasman proizvoda na tržište, uticalo je na razvoj tehnika automatizovanog prikaza različitih modela geometrijskih objekata, od najprostijeg žičanog do foto- realističkog.

Tehnike realnog prikazivanja objekata i modela (engl. rendering1) omogućile su prostornu vizuelizaciju makro i mikro objekata, radi ocene estetskih, finalnih formi. Tehnike realističkog prikazivanja računarskih modela su uvedene kao zamena za skupe tehnologije izrade prototipova. Prelazak na ove “virtuelne” modele omogućen je razvojem grafičkih mogućnosti hardvera. Računarski dobijena slika 3D realističkih modela koristi matematičke metode distribucije svetlosti uvažavajući prirodne zakone prikazivanih sadržaja. Realni zakoni podrazumevaju sledeće četiri kategorije parametara:

1. Geometriju i materijalnost objekata, 2. Položaj, vrstu i osobine izvora svetlosti, 3. Sadržaj ambijenta (scene) u okruženju objekta, 4. Zahteve posebnih efekata u prikazu objekata

1 Rendering - Renderovanje je proces oslikavanja 3D modela prema displeju prikazivanja, korišćenjem tehnika senčenja površina


PRIKAZ ŽIČANIM MODELOM

Slika 2.06 Prikaz objekta primenom MS - SE – Bazni žičani modeli Najjednostavniji način grafičkog prikazivanja 3D modela realizuje

se definisanjem grupe karakterističnih linija na spoljašnjim površinama objekata. Karakteristične linije su izvodnice koje prirodno prate formu i zakrivljenost površina. Kod žičanih modela, karakteristične linije su na omotaču valjka - četiri vertikalne izvodnice, slika 2.06. Na torusu to su četiri horizontalna kruga po površini i četiri vertikalna kruga (u preseku) torusa, slika 2.06. Na prizmatičnoj primitivi, osnovne izvodnice su ivice prizme. Lopta se predstavlja sa četiri vertikalna kruga i jednim horizontalnim. Izvodnice nisu konturne ivice i njihov položaj je odredjen grafičkim položajem primitive na sceni (u pogledu). Žičani model je jednostavan (dolazi do izražaja kod velikog broja primitiva na sceni), transparentan sa jasno definisanim položajem sastavnih primitiva. Nevidljive izvodnice nisu uklonjene iz prikaza, zbog čega se ovaj prikaz grafički brzo iscrtava video-podsistemom računara.


Slika 2.07 Prikaz objekta primenom MS - SE – Prošireni žičani modeli

(Vidljive izvodnice 3D oblika)

ŽIČANI MODEL iako ne daje autentičnu spoljašnju formu, ima prednost u jednostavnosti i mogućnosti pristupa (pozicioniranja) na sve linije objekta, pa i one prirodno skrivene. Ovo omogućuje jednostavnost i efikasnost rada. Kada se složenost zakrivljenosti površina uveća, mora se povećati broj izvodnica na spoljačnjoj površini, pa tako nastaju žičani modeli sa proširenim prikazom. Slika 2.07 pokazuje tri objekta na sceni. Sva tri objekta imaju izvedene operacije izmena na geometriji (levo je valjak oduzet u gornjem delu loptom, u sredini je torus izabranog cirkularnog ugla a desno je prizma sa izvadjenom manjom prizmom iz mase). Slika 2.06 ne može dobro da prikaže ove modifikacije, naročito na zakrivljenim površinama pa se zato često koristi PROŠIRENI ŽIČANI MODEL koji gusto opisuje površinu, naravno ne vodeći računa o vidljivosti. Tu broj linija dramatično narasta, kako to pokazuje slika 2.07. Ovoliki broj linija očigledno nije pravo rešenje za realističko prikazivanje jer prikazana forma i dalje ne definiše vidljivost izvodnica čak usložava razumevanje geometrije. Očigledno se razumevanje žičanih modela zasniva na sposobnosti dobre apstrakcije prostora korisnika. Inače, poreklo žičanog modela je u pra – računarskom zahtevu da se minimalnim grafičkim procedurama programa, formira slika primitive. Žičani model je dobio ime po istoimenim matematičkim pokaznim sredstvima 3D-telima, izvedenih od metalnih žica.


MODEL PRIKAZA OBRADOM SKRIVENIH LINIJA

Metoda korišćenja skrivenih linija (engl. Hidden line display), poboljšava prostorni prikaz grafičkih 3D objekata uklanjanjem nevidljivih linija iz prikaza. Ova procedura se zasniva na analizi prepreke izmedju prostora za prikaz i položaja linije čija se vidljivost analizira. Ovo znači da u pogledima na 3D objekat sa različitih strana (u više pogleda), dobija se različita vidljivost linija žičanog modela. Vidljive površine se kod ovog prikaza izvode poligonima (najčešće trouglovima) zbog čega se ovaj prikaz još zove “poligonalan” prikaz. Kako “prikaz skrivenih linija” sadrži dodatnu grafičku proceduru za utvrdjivanje vidljivosti, to zahteva veće vreme za procesiranje i obezbedjuje realniju sliku objekta od žičanog modela.

Prikaz “skrivenim linija” može imati dva modaliteta. Najpre moguće je

povećati broj izvodnica, linija pravca (engl. rule line) pa se time poboljšava vidljivost geometrije površina. Drugi modalitet uključuje prikaz skrivenih linija (ivica) isprekidanim linijama. Ova procedura je sadržana uglavnom u softveru za izradu tehničke dokumentacije (CADD). Prikaz metode korišćenja skrivenih linija dat je na slici 2.08, koja pokazuje 3D modele različitim tipovima poligona na korišćenim objektima. Očigledna je zavisnost broja poligona od složenosti površina (geometrijsku složenost odredjuje oblik i zakrivljenosti).

Kada se želi prikaz koji razlikuje objekat od pozadine definisane na sceni, koristi se metoda prikaza skrivenih linija sa ispunom (engl. Filled hidden line display). Ova metoda poboljšava prethodni prikaz bojeći (ispunjavajući) formirane poligone osnovnom bojom korišćenih linija. Prikaz je pomalo karikaturalan jer poligone definiše jakim osnovnim bojama sa naglašenim granicama izmedju poligona. Ovaj prikaz ima još naziv “prikaz poligonalnom ispunjenošću” (engl. Filled polygon display). Primer prikaza ispunjenim poligonima (uz vodjenje računa o vidljivosti) pokazan je na slici 2.09 za isti sadržaj iz prethodnih primera. Prikaz se odlikuje osećanjem prostornosti objekta, pa se zato koristi kada ostali sadržaj na sceni nije od posebne važnosti, jer se samo objekat naglašava. To su namene vezane za geometrijsko oblikovanje, a ne dizajn kada se prikazom proširuje realnost prikazivanja na materijalnost, osvetljenost, senke objekta i uticaj okoline na izgled površina objekta. “Prikaz ispunjenim poligonima” ima pogodnost kod podešenosti hardvera na ograničen broj boja, čime se procedura prikaza ubrzava jer je algoritam za izračunavanje broja boja kod palete sa manje boja i manje složenosti.


Slika 2.08 Realistički prikaz objekta primenom MS - SE Model sa uključenim skrivenim linijama (Hidden line )

Slika 2.09 Realistički prikaz objekta primenom MS - SE Model sa ispunom površina (Filled hidden)


MODEL PRIKAZA KORIŠĆENJEM TEHNIKA SENČENJA

Značajno poboljšanje kvaliteta prikaza objekta postiže se primenom tehnike senčenja. Tehnika senčenja koristi prirodne osobine refleksije svetlosti na površini objekta, matematički izražene uglom upada svetlosti i materijalnim osobinama površine objekta. Poslednjih desetinu godina razvijeni su teorijski modeli za realno prikazivanje objekata, što je omogućilo virtualno osećanje stvarnosti okruženja. Primenjene metode su dale prikaze dovoljno kvalitetne za ocenu estetskih osobina proizvoda. To je umanjilo cenu razvoja proizvoda, čiji su prototipovi zamenjeni virtuelnim modelima, znatno jeftiniji i brži za kreaciju.

Tehnike senčenja koriste osobine rasporedjivanja svetlosti na poligonima zavisno od ugla izmedju pravca normale poligona i pravca upada svetlosti. Metoda prostog senčenja koristi tehniku ravnomerne – konstantne osvetljenosti poligona (engl. Constant shading) formiranih tehnikom “prikaza poligonalnom ispunjenošću”. Dakle samo u jednoj tački (težištu) poligona, odredjena je njegova osvetljenost koja je uzeta kao osnova za prikaz njegove cele površine.

Svetlost je definisana tipom izvora (tačkasti i difuzni)2, bojom svetlosti, osobinama

izvora. Tačkasti izvor se definiše pravcem, intenzitetom i uglom prostiranja svetlosti. Difuzno svetlo se definiše intenzitetom, ambijentalnošću, bojom, prirodom izvora. Priroda izvora podrazumeva izbor veštačkog svetla (engl. Flash light) ili svetla Sunca (engl. Solar light). Za svako svetlo se zadaju parametri sistema boja a za prirodno svetlo i elementi geografskog položaja, godišnjeg doba (vremenske zone), doba dana pri kome se postavlja scena. Softver koji sve ovo inkorporira podešen je da se preko logički povezanog sistema menija cela procedura kreira direktno. Očigledno da je metoda prostog senčenja bazna metoda koja daje grubu sliku sa aspekta distribucije svetlosti jer koristi samo jednu nijansu svetlosti po celoj površini poligona. Izgled scene sa istim objektima (iz prethodnih slika) primenom metode prostog senčenja pokazuje slika 2.10. Slika pokazuje velike fasetne površine poligona, ali ipak stvara osećaj realnosti objekta u prostoru. Kod strogih zahteva, moraju se izmeriti osobine svetlosnih izvora, umetnuti okolni objekti (kako bi se pojavile senke) i definisati materijalnost površina.

Metode glatke promene senke – predstavlja glatko senčanje (engl. Smooth shading)

na svakom poligonu pojedinačno. Ova metoda daje uravnotežen raspored osvetljenosti objekta interpolacijom intenziteta svetla sa krajeva poligona po unutrašnjosti. Očigledno da je osvetljenost svakog poligona odredjena u više tačaka što se zadaje grafičkom rezolucijom primenjenog hardvera. Izgled scene sa istim objektima (iz prethodnih slika), primenom metode glatkog senčenja, pokazuje slika 2.11. Prikaz je bolji od prethodne metode jer se odlikuje boljom prirodnom rasporedjenošću svetla na površini.

Metoda za poboljšanje ostalih efekata na sceni: Metoda Phong shading detaljno odredjuje svetlost svake tačke, posebno vidljivih površina objekta. Prikaz je odredjen mapom neravnina na površini objekta i dubinom odsecanja prostora (dubina vidljivog prostora). Mapa neravnina se zadaje izborom materijala grafičkih primitiva što podrazumeva bazu podataka različitih tekstura i boja materijala. Ove baze definišu softveri neposredno otvaranjem odgovarajućih menija iz korisničkog interfejsa. Dubina odsecanja prikaza u prostoru koristi različite načine prikazivanja delova objekta u dubini scene. Objekat može biti u pozadini prikazan u magli sa neodredjenom dubinom prostora iza objekta. Objekat može biti prikazan sa vidljivom pozadinom (bez odsecanja dubine) kada se mora podesiti i taj sadržaj. Metoda Phong 2 Izvor svetlosti može biti tačkasti (engl. spot light) i difuzni (ambijentalni ).


shading uvodi prisustvo senki na okolnim objektima i pozadini scene i zato stvara snažan realističan utisak. Kako obiluje procedurama odredjivanja intenziteta osvetljenosti, položajem senki, refleksije, vidljivosti i drugog, uslovljava dugo procesorsko vreme pa nije pogodna za spore grafičke sisteme. U okviru ove metode razvijene su procedure za poboljšani prikaz eliminacijom nazubljenih ivica objekata (engl. Phong Anti-aliased Shading). Slika 2.12 pokazuje senčenje izvedeno phong/antialians tehnikom primenom programa MicroStation-SE. Phong tehnika uključuje i prikaz senki sa okolnih objekata.

Slika 2.10 Realistički prikaz objekta primenom MS-SE – Model sa prostim senčenjem

(Constant shading)

Slika 2.11 Realistički prikaz objekta primenom MS-SE – Model sa glatkim senčenjem (Smooth Shading)


Slika 2.12 Realistički prikaz objekta primenom MS - SE – Model sa poboljšanim glatkim

senčenjem i tehnikom uključenih senki ( Phong – Antialiased Shading )

U čestoj upotrebi je i stereo prikaz nastao kodiranjem jedne iz dveju slika, odredjenih položajem levog i desnog oka (engl. Stereo shading). Slika 2.13 pokazuje stereo senčanu formu modela, koja gubi elemente tehničkog prikaza i prirodno je bliža vidjenju ljudskog oka.

Slika 2.13 Realistički prikaz objekta primenom MS - SE

Model sa tehnikom stereo senčenja ( Phong – Stereo Shading )

ANIMACIJA se stvara povezanom grupom slika. Pri tome se paralelno izvršavaju dva procesiranja: geometrijsko procesiranje naredne slike (frejma) i renderovanje tekuće slike. Procesor renderovanja bira se prema korisničkom zahtevu za odredjenu kategoriju realističkog prikaza. To podrazumeva prikazivanje elementarnih poligona u prostoj formi (samo definicijom boje površine), zatim definisanje tekstura (materijalnosti površina) objekata, zatim primenu prirodnih (atmosferskih) efekata i primenu kombinovanih prikaza sa sklonjenim delovima vidljivih površina. Elementarno renderovanje na bazi podataka o geometrijskoj poziciji, odredjuje osvetljenost svakog poligona koji čini vidljivi deo scene. Renderovanje susednih poligona i


njihovih zajedničkih ivica može usloviti izdvajanje trouglova u zajedničkim ravnim površinama. To se uočava po trougaonim stazama. Radi toga su razvijene metode ravnog senčenja (engl. flat shading), čime poligoni (trouglovi) dobijaju istu boju u zajedničkim ravnim geometrijskim površinama. Druga metoda za korekciju realističnog prelaza poligona je interpolacija boje susednih trouglova u zoni dodirnih ivica. Ova metoda koristi informacije bitmapiranih sadržaja dodirnih zona ili tipičnih teksturnih bitmapa na bazi kojih se vrši kontinualna interpolacija prelaznih zona. Ova metoda je poznata po engleskom terminu gouraud senčenja.

REALISTIČKO PRIKAZIVANJE ANIMACIJOM

Posebno savremenu grupu CAD alata čine procedure geometrijskog modeliranja grupe logički povezanih prikaza poznatih kao animacija. Animacijom se kreira grupa video sekvenci, koja prikazuje geometrijski model izabranim tehnikama kretanja i osvetljavanja. Ovako prividno (za oko posmatrača) nastaje pokretan sadržaj. Animacija se primenjuje sa ciljem da prikaže pokret sastavnih delova objekta ili da prikaže objekat sa različitih (kontinualno povezanih) tačaka. Procedura se realizuje tehnikom ključnih-okvira (keyframing) kojom se definišu početna i krajnja video sekvenca, izmedju kojih se onda generišu medjuslike. Kako prikaz animacije može da sadrži više ključnih okvira, to se kompletan sadržaj svih ovih okvira nalazi u posebnoj datoteci prikaza – skript datoteci. Skript datoteka sadrži podatke o video tehnici prikaza objekta (model prikaza: žičani, hidden line, Filled hidden line, constant, smooth, phong, tip senčenja: normalan, sa poboljšanim spojevima, rezoluciju bit-mape slike, elemente korekcije svetlosti: gama faktor, format zapisa bit mape: JPEG, TIFF, Intergraph CIT, PCX, PICT, Windows BMP, Targa, zatim brzina izmene okvira, redosled okvira, color mod: 256 boja). Skript datoteka je osnova animacije. Procedura kretanja se zadaje programom za produkciju video sekvenci kretanja. To podrazumeva specificiranje putanje i intervala u koje se postavlja virtualna kamera.

Ovi poslovi zahtevaju visoku grafičku snagu računarske opreme. To podrazumeva brze

grafičke procesore, paralelno procesiranje geometrijskih podataka od procesiranja tekstura, visoku reyoluciju displeja za prikaz i 32-bitnu paletu boja. Ljudsko osećanje uspešnih animacija se manifestuje osećanjem lepote jer računarske platforme mogu da pojačaju efekte prirodnih svojstava koji se obično ne zapažaju.

Animacija primenom MS ’95 – Scena sa modelom, putanjom i kamerom


Slika 6.10 Animacija primenom MS ’95

(15 uzastopnih prikaza modela izvedenih sa putanje oblika kružnog luka ugla 270o)

RAČUNARSKA GRAFIKA Autorizovana predavanja dr Miomir Jovanović 1

Zimski semestar 2009 Predavanje br. 5

CAD – tehnologije 2

1.0 BOJE RAČUNARSKE GRAFIKE

Boje su specijalno sredstvo za emocionalno i umetničko izražavanje grafičkih sadržaja. Bojama se pobudjuje asocijativan mehanizam percepcije čoveka, zasnovan na vidu i iskustvu kojim se definiše kvalitativan i kvantitativan grafički sadržaj. Kvalitativnim elementima boja predstavljaju se izdvojene celine (recimo pojedinačni mašinski elementi, elementi konstrukcija) a kvantitativnim elementima boja se prikazuju izmenjivi entiteti (recimo polja napona, temperatura, pritiska, brzina). Boje grafičkih entiteta generisane na grafičkim uredjajima i medijumima moraju odgovarati ljudskom iskustvu i prirodnim bojama. Zato računarska oprema koristi principe – teoriju boja zasnovanu na osobinama ljudskog vida.

Čovek koristi opseg svetlosnog zračenja sa talasnom dižinom u od 380 nm do 700 nm. Ta oblast se naziva vidljivom svetlošću elektromagnetnog spektra. Različite talasne dužine elektromagnetnog spektra definišu svetlosno zračenje koje čovek vidi kao boje. Boja je za čoveka rezultat dejstva svetlosti na njegov nervni sistem.

Mrežnjača ljudskog oka je svetlosno osetljiva i sadrži gusto rasporedjene

svetlosne receptore boja – čepiće i receptore osvetljaja – štapiće. Čepići sadrže tri vrste fotohemijskih materija – pigment osetljiv na plavu svetlost, zelenu i crvenu svetlost čime je omogućena selektivna osetljivost na boje. Maksimalna apsorpcija svetlosti receptora osnovnih boja je 445 nm, 535 nm i 570 nm, slika 1. Prečnik čepića je na periferiji mrežnjače 58 m a u centru 1.5 m. Fotoosetljiva materija u čepićima – rodopsin se pri svetlosnom nadražaju hemijski razlaže što uzrokuje pojavu natrijumskog naelektrisanja kojim se preko nervnih puteva nadraži kora velikog mozga. Obradjen nadražaj u mozgu definiše se kao boja. Maksimalan svetlosni nadražaj uzrokuje membranski potencijal receptora od –70 do –80 mV (mili volti). Štapići su oko 300 puta svetlosno osetljiviji i imaju funkciju svetlosne recepcije u mraku. Mehanizam ljudskog vida je sposoban da razlikuje zračenja odredjenih talasnih dužina svetlosti koje se nazivaju spektralnim bojama (tabela 1.10). Slika 1.14 pokazuje osetljivost ljudskih receptora na apsorpciju svetlosti različitih boja.


Slika 1.14 Stepen enumeracije čepića osetljivih na boje pri monohromatskoj svetlosti (objašnjenje mehanizma raspoznavanja boja)

Prema psihološko-fiziološkoj tropodražajnoj teoriji boja, maksimalna osetljivost čepića na različite talasne dužine svetlosti odgovara crvenoj, zelenoj i žutoj svetlosti. Tabela 1.10 Spektralne boje

Spektralna boja Talasna dužina (nm) ljubičasta 380-450 plava 450-500 zelena 500-570 žuta 570-590 narandžasta 590-620 crvena 620-700

Na bazi ove osobine razvijeni su različiti modeli formiranja boja. Najpoznatiji model za formiranje sastava boja je RGB model. On koristi crvenu, zelenu i plavu boju tehnikom medjusobnog dodavanja (aditivnost) crnoj pozadini. Spajanje, dodavanje boja za fotografiju, izvodi se difuzorom. Kod katodne cevi, koristi se takodje aditivni princip kod koga se usmerava katodno zračenje RGB mlazeva na malu površinu gusto zbijenih fosfornih zrna, različitih tipova. Fosforna zrna pobudjena zračenjem svetle svaka svojom osnovnom bojom, usled čega se dobija privid mešanja boja. Proizvoljno zadatu boju definiše naredna formula u kojoj su r,g,b koeficijenti prisustva (dodavanja) osnovnih boja. Pri tome su oznake osnovnih boja definisane simbolima R(engl. Red), G(engl. Green), B(engl. Blue). C = rR + gG + bB, r, g, b, 0,1

Osobina RGB modela je da crnu boju definiše kada ni jedna komponenta boje nije prisutna, a da belu boju definiše dodavanje osnovnih komponenata boja u maksimalnom intenzitetu.


Posledica mešanja samo dve komponente boja daje nove, tipove izvedenih boja. Tako mešanjem crvene i plave boje, dobija se purpurna boja (poznatija kao Magenta). Mešanjem crvene i zelene dobija se žuta boja. Mešanjem plave i zelene komponente dobija se tirkizna boja (poznata kao Cijan). Sastav RGB i izvedenih boja tehnikom mešanja boja, može se razumeti prema slici 1.15. Slika 1.16 pokazuje jedničnu kocku boja u pozitivnom oktantu 3D kartezijskog koordinatnog sistema. Dijagonala kocke iz koordinatnog početka je skala sivih nijansi boja (r,g,b-koeficijenti su jednaki).

Slika 1.15 RGB sastav osnovnih boja i izvedene boje Slika 1.16 Osnovna kocka RGB modela boja

Suprotan model aditivnom je substraktivni1 model koji boju definiše oduzimanjem zadate boje od bele boje (aditivni model je boju definisao dodavanjem komponentnih boja crnoj boji). Substraktivni model je primenjen u štampi boja. Najpoznatiji substraktivni model je CMY model koji se formira od Cijan, Magente i žute boje (engl. Yellow). CMY model boja koristi dakle komplementarne boje crvenoj, zelenoj i plavoj. Cijanova boja je komplementarna od crvene, magenta od zelene a žuta od plave. Objekt, koji je kod bele svetlosti žut, absorbuje plavu boju. Zbog toga se cijan, magenta i žuta boja nazivaju primarne boje oduzimanja (engl. substractive primary colours). CMY model karakterističan je za medijume koji nemaju svoj izvor svetla a to su film, fotografija, štampana slika i umetnička slika. Slike sa ovih medijuma se vide samo u prisustvu spoljnjeg izvora svetla.

U praksi nesavršenost (nečistoća) boja i pigmenata kvari uspeh CMY modela

zbog prodiranja i drugih boja kroz filtere. Najviše se pri tome oseća nedostatak crne

1 Substrakt - oduzeti

G+R

BR

G

G+B

R+G+B

R+B


boje. Radi toga je u CMY model uvedena crna (engl. blacK) čime je donekle poboljšana realnost štampanih grafičkih prikaza. Ovakav model poznat po upotrebi cijana, magente, žute i crne boje označen je kraće CMYK model. Uporedjujući RGB i CMY model stoji da jednostavnost dobijanja RGB filtera omogućuje superiorniji kvalitet boja.

Slika 1.17 CMY sastav osnovnih boja i izvedene boje Slika 1.18 Osnovna kocka CMY modela boja

Osim navedenih modela boja koriste se i drugi sistemi. YIQ model se koristi na televiziji da bi omogućio kompatibilnost RGB signala sa crno-belom televizijom.

HIS model boja, bolje se približava psihofiziološkim osobinama čoveka. Boju definiše pomoću nijanse (ton boje, engl. Hue), intenziteta (engl. Intensity) i zasićenja (engl. Saturation).

Nijansa je odredjena boja definisana subjektivno. Intenzitet je

proporcionalan vidnom osećanju jačine svetlosti (takodje u upotrebi engl. Brightness). Zasićenje je čistoća boje (engl. purity) koja pokazuje koliko je zadate boje razredila bela ili siva svetlost. Boje bez sadržaja sive ili bele boje, nazivamo potpuno zasićenim bojama. Identični modeli su HLS model (Hue-Luminousity-Saturation) koji koristi firma Tektronix, HSV (Hue-Saturation-Value), HSB (Hue-Saturation-Brightness).

Vrlo zanimljiv je model DPL sastava boje. Koristi tri parametra za definisanje

boje: dominantnu talasnu dužinu (engl. Dominant wavelegenth), čistoću (engl. Purity) i osvetljenost (engl. Luminance). Dominantna talasna dužina je talasna dužina svetlosti koju vidimo. Čistoća odgovara zasićenju a svetlost je proporcionalna svetlosnoj energiji. Zahtev generisanja svih vidljivih RGB boja a na bazi primarnih boja, doveo je do nastajanja dijagram hromatičnosti CIE. Godine 1931. medjunarodna komisija CIE

M

Y C

M+Y M+C

Y+C

M+Y+C


(franc. Commission Internationale de l' Eclariage), definisala je tri hipotetične primarne boje X , Y , Z , koje nisu vidljive i ne postoje. Po ovom sistemu, Y je luminansa a X i Z su komponente koje opisuju boju. Ove tri komponente XYZ mogu u xyz sistemu da imaju pojedinačne vrednosti od 0 do 1, dok je njihova ukupna vrednost uvek 1. Kada su poznate dve komponente, moguće je odrediti treću.

Slika 1.19 Dijagram hromatičnosti

2.0 SVETLA RAČUNARSKIH SCENA

Vernost grafičkog prikaza 3D objekata zahteva upotrebu svetlosnih izvora u prostoru prikazivanja (Viewport), sceni, koja prikazuje te sadržaje. Dobro vidljiv objekat i estetski sadržaj postižu se na principima pravilnog izbora i rasporedjivanja svetlosnih izvora, merom dobre podešenosti jačine, boje, pravca i difuzije svetla. Broj svetlosnih izvora povećava osvetljenost scene pri čemu se velikim brojem različitih svetala stvara izgled prirodnog osvetljaja. Osvetljavanje objekata podrazumeva izvršenje algoritma izračunavanja osvetljenosti površina, refleksije svetla sa okolnih objekata, definisanje izgleda površina objekata sa aspekta materijalnosti površina (hrapavosti, transparentnosti, boje, teksture).

Ambijentno ili globalno svetlo (Ambient light, Global light) je vrsta

uniformnog svetla, bez pozicije izvora i bez efekta produkcije senki. Blisko je dnevnom prirodnom svetlu ali se i razlikuje jer je moguće proizvoljno izabrati boju svetla (različitu od bele svetlosti) kojom se postiže sklad boja na sceni. Povećanjem jačine ambijentnog, globalnog svetla, umanjuju se senke ili tamna pozadina scene. Ovo svetlo umanjuje efekte ostalih svetlosnih izvora u smislu manjeg osećanja prisustva. Globalno svetlo, slika 1.20, ima namenu da predstavi prirodan način osvetljavanja objekata, shodno godišnjem dobu, satu, danu, mesecu u godini. U tu svrhu se podešavaju pored datuma i sata, longituda, latituda i GMT tačke položaja prirodnog izvora svetlosti.


Tačkast izvor svetlosti (Point light) je zadato svetlo po poziciji koje se rasprostire u svim pravcima. Uz njega se definišu podaci o boji svetla, distanci osvetljavanja, jačini svetla. Jačinom svetla se mogu ublažiti ili naglasiti objekti, senke i postići koloritni efekti boja.

Slika 1.20 Primer menija za podešavanje globalnog svetla (MicroStation’95)

Slika 1.21 Primer scene sa različitim položajima spot (usmerenog) svetla Usmereno svetlo (Spot light) ima zadat pravac svetlosnih zraka. Tako recimo

spot svetlo programa MicroStation’95 koristi sledeće parametre: Ugao konusa svetla , ugao prelaza svetlosti iz konusa , pojedinacno prisustvo R, G, B komponenata u svetlu, ukupan intenzitet svetla, prisustvo senki u pozadini osvetljenih objekata, rezolucija boja, distorzija svetla. Slika 1.21 pokazuje scenu sa različitim položajima


usmerenog svetla. Distantno svetlo (Distant light) je udaljeno svetlo koje se zato karakteriše paralelnim pravcem prostiranja svetlosnih zraka.

ELEMENTI SVETLOSTI: Konačan izgled prikazivanog objekta se definiše

elementima svetlosti i elementima površine samog objekta. Elemente površine korisnik zadaje definisanjem materijala objekta. Materijalnost definiše boju materijala, teksturu (površinsku formu), providnost (engl. transparency) i završnu obradu površina. Boja materijala je karakteristika jednog ali i nekih drugih materijala. Zato se bojom samo grubo naznačuje materijalnost objekata. Autentičnost prikaza dobija se dopunskim definisanjem površine materijala, kada izgled upućuje na tačnu materijalnost objekta.

Površina materijala se zadaje paletama materijala koje uključuju: uzorak mape (površine, engl. pattern map) materijala, mapu neravnina materijala (engl. bump map), ili oba. Uzorak mape materijala je raster slika koja izabranim površinama objekata, dodeljuje materijalnost. Uzorak mape pokazuje grafičku formu izabranog materijala. Prilikom realističkog prikazivanja (renderovanja), površina kojoj je dodeljena materijalnost, dobija izgled izabranog materijala. Primena mapa neravnina materijala je još realističnija kategorija definisanja površina i koristi se u phong senčanju, kada se svakoj tački površine odredjuje osvetljenost na osnovu njenog položaja u odnosu na svetlo. Mape neravnina omogućuju uspostavljanje različite osvetljenosti tačaka primenjene mape. Isturenije tačke površinskih neravnina su kao i u prirodi jače osvetljene, dok su tamnije tačke uvučene površine makro strukture izabranog materijala. Providnost (transparentnost) definiše svetlosnu provodljivost kroz materijal. Opseg se zadaje koeficijentom 1.0 kada je materijal za svetlost 100% propustljiv i koeficijentom 0% kada je materijal neprovidan. Ovaj parametar se dodeljuje plastičnim ili staklenim elementima sklopa. Recimo kod prikazivanja plastične posude za kočionu tečnost, sklopa kočione instalacije automobila, mala propusnost svetlosti (mutna plastika) daje realističan prikaz posudi. Definisanjem tečnosti u posudi, može se videti nivo tečnosti, što je osnova realističkog prikazivanja. Osnovna boja povezuje realističnost prikaza sa našim iskustvom veze boje i materijalnosti. Za tu svrhu se koristi asocijativnost čoveka na boje, prirodne i sintetičke.


Slika 1.22 Primer menija za definisanje materijalnosti objekta

Slika 1.24 Primer definisanja materijalnosti objekta tipa neravnina sa šest uzorka mape neravnina

Parametri izbora broja svetlosnih izvora, složenosti objekata na sceni i

materijalnosti objekata u osnovi zavise od računarskih resursa. Izbor velike složenosti scene uslovljava i jake hardvere da bi se efikasno operisalo grafičkim sadržajima. Sve savremene operacije realističkog prikaza i nisu stalno i uvek potrebne. Ukoliko se ipak primenjuju tada se mora koristiti zaista brz procesor ili savremena grafička radna stanica. Adekvatnost grafičkog hardvera se mora proveravati da bi ogovorio softverskim mogućnosti programa. Tako recimo i brze PC platforme ukoliko nemaju video podsistem dovoljne rezolucije i odgovarajuće (true color) palete boja, neće prikazati razliku izmedju constant, smooth i phong realističkog prikaza.


3.0 FORMATI DATOTEKA RAČUNARSKE GRAFIKE

Raznovrsnost oblasti kompjuterske grafike uslovile su različite tipove datoteka.

Datoteke koje se koriste za tehničke aplikacije u mašinstvu, moguće je prema nameni klasifikovati u datoteke slika (2D dokumenata), datoteke geometrijskih modela (3D objekata), datoteke video i animiranih sadržaja i tonskih zapisa. Datoteke slika čini raznovrsna tehnička dokumentacija kao konstruktivni crtež sklopa, radionički crtež, prospekt proizvoda, šema podmazivanja, električna šema. Geometrijski se modeliraju 3D sklopovi mašina, prostorne konstrukcije i elementi konstrukcija. 3D geometrijski modeli su osnovni modeli u mašinstvu i mogu imati generalniju formu u vidu modela proizvoda. Model proizvoda integriše i podatke o tehnologiji izrade proizvoda i definiše se na bazi STEP standarda. Animacije, video i tonski zapisi imaju namenu prikaz procesa – funkcije, prikaz geometrijske forme dinamičkim redjanjem slika a po potrebi i tonskim sadržajima koji upotpunjuju efekat imaginacije. Grafičke 2D datoteke slika (metafajlovi) prema tipu sadržaja zapisanih grafičkih elemenata, mogu biti vektorski i bitmapirani.

VEKTORSKI ZAPIS zasniva se na definisanju grafičkih elemenata (primitiva),

navodjenjem tipa primitive i njenih argumenata. Tako se recimo krug definiše navodom CIRCLE (x,y,z,e1,e2,e3,R) i argumentima koordinata centra kruga, jediničnim vektorima normale na ravan kruga i poluprečnikom kruga. Bitmapiran format zasniva zapis na opisu svake tačke koje definišu sadržaj. Pri tome se zapisuju njene koordinate i podaci o boji. Bitmapirani formati su prvenstveno namenjeni 2D grafičkim zapisima – slikama. Krug u bitmapiranom formatu se definiše podacima o skupu tačaka koje čine polje (površinu) u kojoj je smešten krug. Poredjenje ova dva formata iz ovog primera pokazuje da je broj podataka za bitmapiran zapis jako veliki a pri tome nisu sačuvani kvalitativni elementi slike – objekti. Vektorski formati dozvoljavaju lakše i brže editovanje. Savremeni vektorski formati koji definišu 3D sadržaje mogu biti takodje jako veliki, pogotovu kod modela za FEM. Broj grafičkih primitiva se može popeti do više desetina hiljada elemenata. Takve grafičke datoteke se ipak efikasno edituju programima za geometrijsko modeliranje. U principu se 3D modeli ne edituju programima za 2D dizajn jer i u slučaju da datoteke budu učitane, editotovanje nema smisla (nema treće dimenzije) a operisanje sa entitetima je neefikasno (presporo). Tada je povoljnije koristiti bitmapirane slike. Vektorski formati su mnogobrojni. Evo nekih češćih u upotrebi:

DWG – DWG, DXF, Vektorski formati programa AutoCAD, PIF - Ulazni vektorski format kreiran na IBM mainframe računarima, CGM - Vektorski format programa Harvard Graphics, Lotus Freelance, Arts & Letters), CDR - Prirodni vektorski format grupe programa CorelDRAW, Corel PHOTO-PAINT,

CorelDREAM 3D,


CMX - (Corel Presentation Exchange format) Vektorski format za razmenu datoteka unutar Corel aplikacija, karakteriše se višestrukim grafičkim nivoima (Lejeri), višestrukom straničnošću, 32-bitnošću aplikacija,

DSF - Vektorski format programa Micrografx Designer 6.0, WMF - (Windows Meta datoteka - File) Vektorski format programa Harvard Draw, Lotus

Freelance Graphics, Aldus. Karakteriše se višestrukim grafičkim nivoima, višestrukom straničnošću, podržava transparentne datoteke.

AI - Vektorski format programa Adobe Ilustrator, CorelTRACE, PLT - Vektorski format za ploter (na bazi komandnog jezika Hewlett Pakard Graphic

Lenguage - HPGL), PRN - Vektorska datoteka za štampu – samo je format izlaza. Obično se priprema za

raspoloživi printer-ploter. 3DMF - 3D metafajl format programa QuickDraw, 3DS - 3D vektorski format programa 3D Studio, D3D - 3D vektorski format programa Corel 3D, 3Dstudio- Standardna datoteka za verziju VIZ, firme Autodesk, IGES - Javni prirodno neutralan vektorski format sa internacionalnom namenom za

razmenu CAD/CAM dokumenata izmedju raznovrsnih sistema. IGES je ANSI standard sastavljen od IGES/PDES organizacije National Computer Graphics Association (NCGA) je administrator ovog standarda. Odnosi se na 3D sadržaje, pa čak i kod 2D entiteta preporučuje se upotreba 3D prostora. IGES datoteke imaju pet sekcija: startnu sekciju, sekciju globalnih podataka, upravljačku ulaznu sekciju, sekciju upravljačkih podataka i završnu sekciju. Do 1996. izradjena je i peta verzija R 5.0. Svaka sekcija ima standardan fiksni ASCII format.

NAP - Vektorski format (NAPLAS), podržava PC i Unix platforme za grafičku komunikaciju aplikacija. Karakteriše se ograničenjima nepodržanih tehničkih mogućnosti (engl. Features). Podržava bazne linije solida.

BITMAPIRANI FORMATI uzrokuju velike datoteke pa se neki njihovi tipovi komprimuju. Formati BMP, TIF2 su nekomprimovani formati bitmapiranih datoteka. Kompresija datoteka može biti izvršena uz neka pojednostavljenja sadržaja (JPG) a gubici detalja bitmapirane slike pružaju za uzvrat veliko smanjenje datoteka. JPG standard je skraćenica JPEG standarda (Joint Photographic Experts Group) razvijenog specijalno za kompjutersku grafiku sa 32-bitnom paletom boja, namenjenog za prikazivanje fotografija i skeniranih slika. GIF standard je namenjen najširoj razmeni grafičkih fajlova nezavisno od računara i operativnog sistema. Upravo zato podržava skromnu 8-bitnu paletu boja. Namenjen je pre svega jednostavnim i jasnim sadržajima kada ne dolaze do izražaja ograničeni resursi. Za uzvrat, ima malu veličinu datoteke, te omogućava brz transfer kroz računarsku mrežu. RGB model formiranja – kombinovanja boja, ima i svoj istoimeni bitmapirani RGB format karakterističan po visokoj paleti boja (24/48-bita) koji koriste programi Corel Photo Paint 8, Photoshop.

2 TIFF format podržava komprimovane i nekomprimovane fajlove


Na veličinu bitmapiranih datoteka utiče primenjena paleta boja. Crno-bela slika koristi jedan bit za opis boje tačke. Paleta sa 256 boja koristi osam (8) bitova za zapis boje svake tačke. Paleta sa 16 bitnim zapisom definiše 216 =65536 boja, paleta sa 24-bitnim zapisom definiše 224=16777216 boja. Veličina palete boja može značajno da poveća veličinu bitmapirane datoteke, obzirom da svaka tačka zahteva definisanje boje. Zato se obavezno analizira broj registara za zapis boja (broj bitova) shodno karakteru slike, njenom sadržaju i nameni. Bitmapirani formati mogu imati i slojevitost zapisa, kakav je slučaj sa PSD formatom (Photoshop) kod koga postoje slojevi (namenjeni štampi) i stranice (teksta).

OBRADA: Bitmapirani crteži mogu se obradjivati posebnim alatima ili

programima (Adobe Photoshop). Osnovni parametri koji se podešavaju su osvetljenje (Brightness), kontrast, balans boja (položaj boja u odnosu na CMY i RGB model boja). Pri tome se mogu primeniti i posebni filteri kao što je gama (Gamma) filter koji podešava osvetljenost susednih tačaka na bazi osobina ljudskog oka. Ovaj filter tako omogućuje isticanje detalja niske kontrasti. Shodno osobinama oka, utiče najviše na tačke srednje osvetljenosti dok je minimalan uticaj na zasićene i nezasićene tonove. Primenjuju se efekti zamućivanja slike (Blur, Smoth), uoštravanja ivica slike (Sharpen), prevodjenja kolor slike u sliku sivih tonova (Convert to Gray-scale), ublažavanja prelaza boja bitmape (Smoothing), kreiranja 3D reljefa (Emboss), invertovanje boja u istoj paleti boja (Solarize), zamena bitmape paletom živih boja (narandjasta, zelena, roze - Psyhodelic).

BMP– Standardan format bitmapiranih slika za MS Windows sa mogućnošću od 124 bitnog zapisa boja i mogućnosti kompresije bez promene (gubljenja) podataka o primenjenoj bitmapi.

GIF - Compu Serve Graphics Interchange Format . Popularni BBS format koji kombinuje prikaz indeksirane kolor grafike i hipertekst za HTML dokument. GIF je komprimovan format (LZW), napravljen tako da obezbedi minimalno vreme transfera dokumenta posredstvom telefonskih linija. GIF89a format konvertuje RGB grafiku modela u 8-bitni GIF standard za uvodjenje u HTML dokument.

MP - (MacPaint) je bitmapirani format za razmenu slika na Macintosh računarima. Format je 576720 tačaka,

P - Osmobitni bitmapirani format za X-Windows operativne sisteme. Nema kompresije. CIT - Inžinjerski jednobitni bitmapirani format firme Intergraph za velike dokumente sa

CCITT'G4 kompresijom. PCX - Bitmapiran format firme Zsoft za njegov PC–paintbrush program. Verzija R.3 je

crno-bela a R.5 je kolor verzija, PDF - Bitmapiran format firme Adobe, za različite platforme (PC-IBM, Macintosh) i

operativnim sistemima (UNIX, DOS). Baziran je na PostScript R.2 jeziku. Omogućava i vektorsko i bitmapirano predstavljanje. Takodje omogućuje više stranične dokumente zbog čega sadrži i upravljačku proceduru kretanja kroz dokument,

PICT - Široko rasprostranjeni Macintosh – ov format za razmenu straničenih dokumenata sa grafikom namenjenim različitim aplikativnim programima. Format je kompresionog


tipa i kvalitetne palete boja. Pri prelaskom iz RGB modela boja u PICT format, koristi se 16/32-bitna paleta boja. Ukoliko se koriste sive boje (tonovi), primenjuje se 2/4/8–bitna paleta boja.

PNG - Alternativni format GIF bitmapiranom formatu namenjen za WWW servise Interneta. Format je komprimovan sa redukovanom veličinom datoteke i mogućnošću podešavanja prisustva detalja u slici kod izbora kompresije.

Raw - Bitmapiran format za razmenu datoteka različitih računarskih platformi. Svaka tačka slike je binarno zapisana brojevima od 0-255 sa mogućnošću izbora ekstenzije za Windows i Macintosh platformu.

CDX - Ulazni format bitmapirane metadatoteke programa Corel Draw. Karakteriše se komprimovanošću,

TGA - Targa format, koji se koristi kod Truevision video adaptera i MS-DOS kolor aplikacija, 8,16,24,32 bitan zapis, nekomprimovan ili radno podesive kompresije.

TIFF - (Tagged-Image File Format), koristi se za razmenu bitmapiranih grafičkih datoteka različitih platformi. Raspolaže sistemom za kompresiju bez gubitaka i sistemom za kompresiju sa gubicima detalja bitmape (LZW algoritam kompresije). Navodi se kao TIF format.

JPEG - JPG, JFF, JTF, JFIF - Standardni bitmapirani formati. JPG je razvila kompanija Joint Photographers Experts Group,i namenjen je razmeni datoteka izmedju različitih platformi. Koristi superiornu kompresionu tehniku. Zahteva pažljivu upotrebu jer da bi omogućio visoku kompresiju, koristi algoritam sa menjanjem podataka o bitmapama (824 bita). Kompresija JPEG.

PhotoCD – Format firme Kodak (Kodak Precision Photo CD Format). Karakteriše se visokom rezolucijom od 40966144 tačaka po inču. Namenjen profesionalnoj pripremi za štampu. 58

EPS - (Encapsulated PostSkript) bitmapiran grafički format profesionalne kategorije (Adobe), zasnovan na PostSkript grafičkom jeziku.

WPG - Osmobitni bitmapirani format firme WordPerfect, radno-podesive kompresije.

MPEG- Multimedijalni grafički, video i audio standard datoteka. Standard MPEG-1 ima osnovni algoritam podešen za transfer 1- 1.50 MBsec pri video rezoluciji od 350x250 tačaka slike pri 25-30 slika (frejmova) u sekundi. MPEG-2 ima rezoluciju slike 720x576 tačaka pri 30 frejmova u sekundi. MPEG-4 59, karakteriše se impresivnom kompresijom, širim frekventnim opsegom (max. 24 KHz), audiokodiranjem do 64 Kbps, uključujući jezike za manipulaciju sa različitim objektima.

AVI - Multimedijalni bitmapiran format kompanije Microsoft za programsku animaciju Windows-a, Windows-a NT, OS/2. Standard karakteriše 256 boja i RLE kompresija. Objedinjuje audio, video i grafičke informacije u multimedijalnim aplikacijama.

RMI - Standardni format za zvučni MIDI zapis (sekvenca srednje dužine). MID format je takodje standard zvučnog zapisa. To je recimo zvučni zapis – sekvenca Bahovog Brandenburškog koncerta, opus 3, na operativnom sistemu Windows'98, direktorijum C:\WINDOWS\MEDIA\ ... , u trajanju od 6'08''.

WAV - Standardni format za kratak zvučni zapis tipa jednog talasnog perioda (engl. wave sound) ili akord. To je recimo jedan akord ding-dong zvona, cvrkut ptice i slično.

FEM PREDAVANJE - 6 MAŠINSKI FAKULTET NIŠ – TRANSPORT I LOGISTIKA 2009/2010

CAD tehnologije II

FEM-Finit Element Method

1.1 KLASIFIKACIJA METODA ZA ANALIZU STRUKTURA Metodama analize se u fazi projektovanja mašina i opreme traže odgovori o njihovim svojstvima otpornosti, pouzdanosti, nosivosti, kinematskom ponašanju, dinamičkom odgovoru. U domenu nosećih struktura, na se i rešavaju njihovi matematički modeli proračuna. Skup svih zahvata traženja odgovora o svojstvima bazi fizičke forme, postavljaju se uprošćeni mehanički modeli. Za te uprošćene mehaničke modele postavljaju složenog sistema – strukture, predstavlja strukturnu analizu. Na bazi kriterijuma koje struktura mora da zadovolji u pogledu mehaničkih i funkcionalnih karakteristika, analizom se ocenjuje posmatrana struktura i traže njeni nedostaci. Očigledno, metode analize usavršavaju strukturu po sistemu "korak po korak" i one kao takve i danas zadovoljavaju konstruktorske zahteve. Metode sinteze su mnogo pogodnije za funkcionalne i geometrijske kreacije. One direktno daju rešenje strukture ali zahtevaju najsavremeniji pristup, korišćenje ekspertnih znanja i efikasnih računarskih sredstava. Primena matričnih metoda za analizu struktura, rešila je zahteve sistematskog predstavljanja kontinuuma, uvodjenja polja spoljašnjih koncentrisanih sila, polja površinskih opterećenja kakva se javljaju kod brodskih struktura, aviostruktura, struktura vozila i polja temperatura svojstvena za raketne konstrukcije, toplotne turbine i nuklearne reaktore. Pogodnost matričnih metoda analize pokazala se kod rešavanja zadataka plastičnosti, puzanja i ojačanja elemenata, kao i kod uvodjenja istorije prethodnog opterećenja strukture. Važan elemenat primene metoda analize, je brzina izvodjenja procedura. Dovoljnim brzinom analiza, moguće je istovremeno razvijati više konstruktivnih varijanti i odabrati najpovoljnije rešenje. Ideja analize dakle govori da se nizom iteracija dolazi do rešenja. Taj opšti koncept definisan je na slici 3.01. Prema ovom konceptu, na bazi postavljenih ciljeva, formiraju se kriterijumi za ocenu svojstava strukture. Ocena dobijenih osobina vodi modifikaciji strukture delimično ili u celosti. Nakon korekcije, obnavlja se procedura analize modela i analize osobina, dok postavljeni ciljevi ne budu dostignuti.

Slika 3.01 Koncept korišćenja metoda analize u projektovanju

OSOBINE KONSTRUKCIJACILJEVI

KRITERIJUMIOCENE

KONSTRUKCIJA

OPTERECENJASTATICKO, DINAMICKO, TERMICKO

PRORACUN OSOBINA

MEHANICKOG MODELA

OCENA REZULTATA

KONACNO RESENJEKONSTRUKCIJE

BANKA ZNANJA(ISKUSTVO)

OPIS KONSTRUKCIJE

MODELCAD

MODIFIKACIJEMODELA

Dr M.Jovanović - CAD tehnologije II - Predavanje 6 (FEM)

Metode strukturne analize dele se na analitičke i numeričke. Primena analitičkih metoda je ograničena na jednostavne slučajeve za koje je moguće naći rešenje u zatvorenom obliku. Rešenja se kod analitičkih metoda traže preko redova ili specijalnih funkcija. Realne strukture se u praksi tretiraju numeričkim metodama i one se mogu odnositi na kontinualne i diskretne sisteme. Slika 3.02 pokazuje klasifikaciju danas aktuelnih numeričkih metoda strukturne analize.

Slika 3.02 Pregled numeričkih metoda za analizu struktura 1. METODA KONAČNIH RAZLIKA je numerička metoda pogodna za rešavanje raznovrsnih

zadataka. Bazira se na matematičkoj diskretizaciji diferencijalnih jednačina prevodjenjem na jednačine sa konačnim razlikama. Uspešno se može primeniti na tankozidim nosačima, na problemima plastično deformabilnih konstrukcija. Efikasnost metode se smanjuje sa složenošću unutrašnjih veza posmatranog mehaničkog sistema.

2. METODA NUMERIČKOG INTEGRISANJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA se koristi široko

u mnogim zadacima. Metoda se svodi na rešavanje zadatka Cauchy-ja s obzirom na postojanje dobrih matematičkih procedura za integraciju sistema diferencijalnih jednačina. Za rešavanje se dosta dobro mogu upotrebiti metoda Euler-a, metoda Runge-Kutta i druge.

3. METODA KONAČNIH ELEMENATA - (Finite Element Method - FEM), koristi različite tipove

varijacionih metoda, primenjenih na diskretnom modelu za strukturnu analizu kontinuuma. Kontinuum se diskretizuje konačnim brojem elemenata i stepeni slobode kretanja. Zadatak se opisuje sistemom diferencijalnih jednačina koje se formiraju iz uslova minimuma funkcionala konstrukcije. Ovaj zadatak je rutinski, a rešavanje sistema diferencijalnih jednačina ide matričnim metodama, vrlo pogodnim za tretman računarom. Tačnost izračunavanja je definisana kvalitetom izabranih funkcija oblika (interpolacionih funkcija), mrežom i tipom konačnih elemenata. Zavisno od izabranih nezavisno-promenljivih veličina i načina formiranja jednačina, postoje četiri osnovne metode: metoda pomeranja (metoda deformacija), metoda sila, mešovita i hibridna metoda. Formiranje jednačina se izvodi primenom osnovnih zakona mehanike. Kod metode pomeranja koristi se princip minimuma funkcionala (pune energije sistema). Kod metode sile, koristi se princip minimuma komplementarne energije. Mešovita metoda koristi princip Vašic-a i Reissner-Hellinger-a.

4. METODA GRANIČNIH ELEMENATA je specifična metoda prelaza iz sistema parcijalnih

diferencijalnih jednačina i zadatih graničnih uslova ka njihovoj integralnoj analogiji na granici oblasti koju posmatramo. Postupak se sastoji u diskretizovanju granične oblasti strukture graničnim elementima, primenom različitih vrsta aproksimacija geometrije granica i graničnih funkcija. Iz integralnih odnosa, diskretnom analogijom, formira se sistem algebarskih jednačina. Rešavanjem sistema dolazi se do traženih veličina na granicama oblasti.

KONTINUALNI SISTEMI DISKRETNI SISTEMI(matrične metode)

NUMERIČKE METODE STRUKTURNE ANALIZE

VARIJACIONEMETODE

PRIBLIŽNE METODE

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Metoda konačnerazlike

Metoda numeričkeintegracije

METODA POMERANJA

METODA SILA

METODA KONAČNIHELEMENATA

5. SLOŽENE METODE PRORAČUNA STRUKTURA. Inženjerski zahtevi proračuna složenih struktura, uslovili su razvoj metode konačnih elemenata. Naime, pokazalo se da je moguće grupisanje elemenata u velike makro-elemente da bi se analizirale osobine na njihovim granicama. Ova metoda poznata je kao METODA SUPER-ELEMENATA (MSE). Metoda se koristi naročito u aviogradnji, brodogradnji gde super-elementi predstavljaju sekcije struktura koje se ponavljaju. Prednost metode je što isključuje unutrašnje nezavisno - promenljive, pa preostaju samo nepoznate na granicama superelemenata. Na ovaj način je značajno smanjen računski obim problema te je realizacija brža i uspešnija. Pri tome se formiraju algebarski sistemi koji se rešavaju metodama Gauss-a, Holeckog, Crout-a, frontalnom metodom i drugim iteracionim metodama.

U grupu metoda za statičku nelinearnu analizu struktura spadaju metoda prostih iteracija,

Newton-Raphson metoda, metoda tangentne krutosti i druge. Modeliranje često uslovljava aproksimacije problema. Aproksimacija posmatranih parametara kod nelinearnog problema, može biti izvršena razvijanjem u Taylor-ov red. Ukoliko se izvrši linearizacija, zadatak se dalje može tretirati metodama linearnog programiranja. To je koncept sekvencijalnog linearnog programiranja (SLP). U okviru metoda za analizu struktura pri nestacionarnim dinamičkim dejstvima, primenjuju se metoda centralnih razlika prvog i trećeg reda (metoda Houbolt-a), metoda Newmark-a, Wilson-ova teta metoda i druge. Savremene metode efikasno se primenjuju kroz profesionalne programske pakete. Softver je modularnog tipa i svaka kategorija zadatka je nezavisna programska celina. Tako se zadaci analize rešavaju programskim modulom – solverom, zadaci geometrijskog modeliranja – modulom preprocesora, zadaci prikaza rezultata – postprocesorom, zadaci generisanja konačnih elemenata – modelerom mreže, zadaci optimizacije – modulom optimizacije, zadaci dinamike – odgovarajućim modulom dinamičke analize itd. Hardverske osobine rašunara ograničavaju broj stepeni slobode koji može operativno da se realizuje. Najveći savremeni zadataci mogu dostići broj od nekoliko desetina miliona stepeni slobode kretanja. Brzina operisanja je važna radna osobina i uslovljena je arhitekturom računara. Za manje zadatake, realizacija je moguća već na 32-bitnim računarima. Za najobimnije zadatke, koriste se supermikro računari, grafičke radne stanice pa čak i super-računari. To su SIMD i višeprocesorske arhitekture, 64-bitne magistrale, RISC set procesorskih instrukcija i višekanalna obrada podataka.

3.20 UVOD U METODU KONAČNIH ELEMENATA Metoda konačnih elemenata (MKE1) je zasnovana na diskretizaciji kontinuuma2 konstrukcije jednostavnim delovima konačnih dimenzija. Nad tim delovima - konačnim elementima, metodama i principima fizike uspostavljaju se osnove statičke, kinematičke, dinamičke i termodinamičke veze, koje se proširuju do granica kontinuuma. Koristeći neki od osnovnih principa mehanike, formira se sistem diferencijalnih jednačina (običnih, parcijalnih ili integralnih). Kod malih zadataka koristi se direktna metoda (analogna metodi deformacija linijskih struktura 21). U softveru se najčešće koristi varijaciona metoda, zasnovana na principu stacionarnosti funkcionala 3. Varijaciona metoda koristi klasičnu metodu Ritz-a ili Hellinger-Reissner-a. Nepoznati parametri koji se kod nosećih struktura traže su kinematičke veličine - pomeranja, statičke veličine - unutrašnje sile ili mešovite veličine (pomeranja i unutrašnje sile istovremeno). Osim ovih dveju metoda koristi se metoda reziduma (tamo gde je teško definisati potencijal) i metoda energetskog bilansa kod zadataka koji tretiraju različite tipove energija (mehaničku, toplotnu, elektromagnetnu). Za ove diferencijalne jenačine, traži se rešenje, najčešće približno. Pretpostavljene forme rešenja omogućavaju prelazak sa diferencijalnih jednačina na algebarske jednačine. Rešenja tih jednačina su pomeranja, unutrašnje sile ili dinamički odgovor

1 U domaćoj naučnoj i stručnoj javnosti, za metodu konačnih elemenata koristi se skraćenica MKE. 2 Diskretizaciju je koristio Arhimed deleći krug na prave duži iz čije ukupne dužine je odredio broj . Istom metodom je prvobitno odredjivana površina i zapremina geometrijskih tela. 3 U statici struktura, funkcional je potencijalna energija elastičnog sistema. U dinamici struktura, funkcional je zbir kinetičke i potencijalne energije sistema.


konstrukcije. Pojedine etape traženja rešenja, zasnivaju se na matričnoj algebri i numeričkoj analizi koje se realizuju matematičkim metodama naročito pogodnim za računar. Koncept metode je definisao 1941. Hrenikoff. Godine 1956. istraživači Claugh, Martin, Turner i Torr računarom su rešili zadatak ravanskog naponskog stanja krila aviona "BOEING", primenom trougaonih konačnih elemenata. Tada je na predlog američkog istraživača Claugh-a definisano današnje ime metode: "the finite element method", skraćeno FEM. Značajan doprinos širenju ideja i koncepta metode imala je štampa prve monografije autora Zienkiewicz-a i Cheng-a 1970. Sedamdesetih godina istraživač Oden značajno uopštava metodu, uvodeći u nju trodimenzionalnost, nelinearnost, dinamiku struktura, talasno prostiranje, uticaj fluida i optimalnost struktura. Prava, široka primena metode počela je razvojem računarske tehnike i pojavom komercijalnih softverskih paketa. Prvi komercijalni programski paketi bili su: NASTRAN (program NASE), SESAM - (Super Element Structural Analysis Modulus - Norveška), SAP (Structural Analysis Program-USA), 9. Metoda konačnih elemenata je više od četrdeset godina u primeni. Realizuje se preko savremenih softverskih paketa od kojih su ALGOR, ANSYS, NISA, COSMOS/M, I-DEAS, informativno predstavljeni u glavi 6.

3.22 ENERGIJSKI VARIJACIONI PRINCIP MINIMUMA POTENCIJALNE ENERGIJE

Princip minimuma potencijalne energije je najčešći princip u metodi konačnih elemenata koji se primenjuje kao uslov rešavanja zadataka. Ovaj princip zahteva definisanje rada spoljašnjih sila V i potencijalne energije deformisanog kontinuuma U. Deformaciju kontinuuma izvrše spoljašnje površinske sile p usled kojih nastaju pomeranja na konturi s konačnog elementa. Zapreminske sile F deluju po celoj zapremini kontinuma dV. Na bazi ovih uticaja, rad spoljašnjih sila V je:

s

dsuTpdvuv

TF=V (3.01)

Posledica spoljašnjeg dejstva su unutrašnje sile koje se u obliku elastične energije akumuliraju unutar strukture. Po spoljašnjem rasterećenju, struktura se vraća u prvobitni položaj. Sposobnost, potencijalnost strukture da se vrati u prvobitni položaj, nazvana je potencijalna energija U i ona se može odrediti iz tenzora napona i dilatacije :

dvv

T21=U

(3.02)

Ukupan rad unutrašnjih i spoljašnjih sila je totalna energija ili kraće funkcional :

VU (3.03) Pomeranja unutar konstrukcije izvode se po direktnim putanjama, koje su logično najkraće. Pri tome, struktura zadržava ravnotežno stanje (stabilnost). Ove činjenice definišu izvršen rad kao minimalan, pa zato uslov minimalnosti glasi: Varijacija funkcionala po parametrima pomeranja jednaka je nuli. Ovaj uslov je definisan relacijom 3.04:

0=VU (3.04) Varijacija funkcionala po nepoznatim parametrima daje sistem algebarskih jednačina čija rešenja su nepoznati parametri-deformacije i unutrašnje sile. Literatura 21,40 definiše etape odredjivanja potencijalne energije i formiranja algebarskog sistema jednačina. Osnovna veličina koju definiše tip izabranog konačnog elementa je njegova matrica krutosti. U slučaju da u konačnom elementu nema unutrašnjih čvorova, izraz za matricu krutosti se definiše preko matrice parcijalnih diferencijala interpolacionih funkcija B i matrice krutosti materijala - kontinuuma D. Ta opšta forma je:

(3.05)

Potencijalna energija sistema konačnih elemenata cele strukture može se prikazati kao zbir potencijalnih energija pojedinih konačnih elemenata (3.06). Za strukturu sa M konačnih elemenata, ta suma se može predstaviti preko generalisanih koordinata q čvorova konačnih elemenata, matrice krutosti strukture K , vektora unutrašnjih sila u čvorovima Q i integracionih konstanata Ce.

M

1nnCqTQqKTq

21=

M

1ee (3.06)

U jednačini (3.06), K je globalna matrica krutosti nepovezanih konačnih elemenata.

MQ

eQ

2Q1Q

Q ,

MK

eK

2K1K

K ,

Mq

eq

2q1q

q

(3.07)

Matrica krutosti konačnih elemenata K je dijagonalna globalna matrica strukture. Ova matrica je simetrična sa članovima na glavnoj dijagonali različitim od nule. Varijacijom potencijala strukture po nepoznatim parametrima qT i primenom stava o minimumu potencijala, sledi jednačina strukture 3.08. U izrazu 3.08 je izvršeno sredjivanje koordinata q* i generalisanih sila Q za globalni koordinatni sistem.

(3.08)

Postupak primene metode konačnih elemenata zahteva uvodjenje graničnih uslova u svaki zadatak. Rešavanje ovog dela proračuna je osnova stabilne numeričke procedure i regularnih analiza. Granični uslovi se definišu iz uslova oslanjanja struktura, prema izvedenim tehničkim rešenjima. Kod primene softverskih paketa, to se svodi na definisanje pojedinačnih uslova slobode kretanja čvorova u kojima su oslonci. Način definisanja slobode kretanja (interfejs), uredjuju sami proizvodjači softvera.

PRIMER FEM ANALIZE Dato je telo (kućište) specijalne kamere dimenzija 200x100x60 mm. Konzola je uklještena na jednom kraju a na drugom kraju je (donjom ivicom) opterežena vertikalnom silom od F=10000. N. Kužište je složene geometrije, forme lake konstrukcije sa 16 otvora po obimu I uzdužne cevaste konstrukcije. Debljina uzdužnih zidova se kreće od 4-10 mm. Potrebno je uraditi statičku FEM proveru i utvrditi rezerve u materijalu, naponsku distribuciju, stepen deformacije. PROCEDURA softverska: Koristiti za modeliranje geometrijski modeler SolidWorks. Za analizu koristiti MSC NASTRAN 2004. Prikazati slike modela, rezultate napona i numerički listing rezultata. Koristiti osnovne SI jedinice (N, m, s, kg).

v

dvBDTBqqkeK

Q *qK


Rešenje geometrijskog modela u programu SolidWorks 2005

Forma geometrijskog modela importovana u program MSC NASTRAN 2004

Windows realizacije procesiranja u program MSC NASTRAN 2007 Broj stepeni slobode kretanja DOF=80565

Vreme realizacije analize 39 sCP.

Windows rezultata postprocesiranja u program MSC NASTRAN 2004 Pregled karikaturalnih deformacija modela u formi Contour / Deformed Image /

(Boje prikazuju stepen translacije kontinuuma kućišta konzole prema desno datoj legendi) Maksimalno pomeranje 0.00048 m.


Windows rezultata postprocesiranja u program MSC NASTRAN 2004

Pregled karikaturalnih Von-Mises napona modela u formi Contour / Deformed Image / (Boje prikazuju stepen napona kontinuuma kućišta konzole prema desno datoj legendi)

Maksimalni VM napon 439160896. N/m2. = 43,9160896 kN/cm2

Windows rezultata postprocesiranja u program MSC NASTRAN 2004 Pregled karikaturalnih Tangentnih napona modela u formi Contour / Deformed Image / (Boje prikazuju stepen napona kontinuuma kućišta konzole prema desno datoj legendi)

Maksimalni VM napon 238065152. N/m2. = 23,8065152 kN/cm2

Contour options: Nodal, Average, Use Corner Data. Tehnika renderovanja: Continous.

Listing – pregled rezultata MSC Nastran 2004 Model D:\PREDAVANJA - CAD\171109\konzola 17.MOD Scratch File C:\DOCUME~1\konzola 17.scr0 Model Size 14893056 bytes Cache Size 3372 Pages of 1 Blocks each. Max of 5000 Pages. Last Saved by Serial Number 830-FI-FA-2005 Min Max Number Next Active Color Coordinate System 3 60 Point 1 208 208 209 24 Curve 1 312 312 313 120 Surface 1 104 104 105 60 Solid/Volume 1 1 1 2 Text 1 124 Node 1 29301 27357 29302 46 Element 9703 22496 12794 22497 124 Material 1 1 1 2 1 55 Property 1 2 2 3 1 110 Load Set 1 1 1 2 1 Constraint Set 1 1 1 2 1 View 1 1 1 2 Group 1 Output Set 1 1 1 2 1 Output Format 1 Workplane Origin X Y Z 0. 0. 0. Workplane Normal X Y Z 0. 0. 1. Workplane X Axis X Y Z 1. 0. 0. Snap X Spacing Y Spacing Angle 0.01 0.01 0. Model Extents X Y Z 0. 0. 0. 0.06 0.1 0.2

Load Set 1 - F=3000 N Nodal Forces (on Curve) ID Color Layer Def CS X Y Z Phase 61 10 1 0 -10000. 0.

Material 1 - C 0561 2006 Type ISOTROPIC Color 55 Layer 1 #Prop 1 Density 7860. Damping 0. Ref Temp 0. STIFFNESS E 2.E+11 G 79300000000. Nu 0.3 STRENGTH Tension 0. Compress 0. Shear 0. THERMAL Alpha 0. K 0. SpecHeat 0. HtGen 0.

Property 1 - 3D Mladen 17 Type SOLID Color 110 Layer 1 CoordSys 0 #Elem 12794 Material 1 Integration Net 0 Material Aligned to Coordinate System MSC.Nastran for Windows Version 8.30 Model : D:\PREDAVANJA - CAD\171109\konzola 17.MOD


Report : Node Format : NASTRAN Displacement

Output Set 1 - MSC/NASTRAN Case 1 Final MAX/MIN Summary Table Set ID Value T1 Translation Minimum 1 2037 -0.0000539 Maximum 1 14836 0.00011886 T2 Translation Minimum 1 14885 -0.00047439 Maximum 1 15398 4.4653E-8 T3 Translation Minimum 1 14891 -0.000066306 Maximum 1 15931 0.000053723 R1 Rotation Minimum 1 1 0. Maximum 1 1 0. R2 Rotation Minimum 1 1 0. Maximum 1 1 0. R3 Rotation Minimum 1 1 0. Maximum 1 1 0. MSC.Nastran for Windows Version 8.30 Model : D:\PREDAVANJA - CAD\171109\konzola 17.MOD

Report : Element Format : NASTRAN CTETRA Stresses Output Set 1 - MSC/NASTRAN Case 1 Set MAX/MIN Summary Table Set ID Value Solid X Normal Stress Minimum 1 22058 -230215024. Maximum 1 15393 273772896. Solid XY Shear Stress Minimum 1 19282 -125652536. Maximum 1 20534 127781896. Solid Max Prin Stress Minimum 1 19347 -18764138. Maximum 1 11299 342630368. Solid Mean Stress Minimum 1 11299 -138221744. Maximum 1 12910 88709960. Solid Von Mises Stress Minimum 1 11218 1162476. Maximum 1 22184 308500288. Solid Y Normal Stress Minimum 1 12910 -189393488. Maximum 1 11299 323338112. Solid YZ Shear Stress Minimum 1 18439 -69557880. Maximum 1 15886 58976536. Solid Min Prin Stress Minimum 1 22058 -230348816. Maximum 1 18679 37915560. Solid Z Normal Stress Minimum 1 17623 -212845664. Maximum 1 20315 267877376. Solid ZX Shear Stress Minimum 1 21473 -98858776. Maximum 1 12309 100089776. Solid Int Prin Stress Minimum 1 16603 -72810040. Maximum 1 15393 114675592.

PROJEKTOVANJE RAČUNAROM – AUTORIZOVANA PREDAVANJA DR MIOMIRA JOVANOVIĆA 1

CAD tehnologije II Predavanje-7

Zimski semestar 2009-2010

INŽINJERSKA PROCEDURALNOST FEM

POSTUPAK IZBORA KONAČNIH ELEMENATA

Analiza metodom konačnih elemenata zahteva fizičku diskretizaciju konstrukcije i izbor konačnih elemenata koji adekvatno opisuju njeno ponašanje pri spoljašnjem uticaju. Raznovrsnost uticaja i geometrija struktura, uslovila je brojnost vrsta i podvrsta konačnih elemenata. Osnovna razlika medju njima ogleda se u različitosti "unutrašnjih" funkcija. Te "unutrašnje" funkcije, funkcije oblika (shape function), opisuju polje pomeranja u elementu i odredjuju aproksimacije kontinuuma u metodi konačnih elemenata. Izbor konačnog elementa osim topologije podrazumeva izbor interpolacione funkcije i direktno odredjuje tačnost metode. KLASIFIKACIJA: Konačne elemente je moguće klasifikovati prema:

Dimenzionalnosti ( 1D, 2D, 3D), Familiji - grupaciji (ljuska, ploča, greda), Redu interpolacionih funkcija (linearan, paraboličan, kubni), Geometriji (trougaoni, četvorougaoni), Fizičkim osobinama (tanka ljuska, debela ljuska), Materijalnim svojstvima (izotropan, anizotropan).

Osnovni tipovi konačnih elemenata su odredjeni prostorom koji koriste (1D, 2D, 3D). Jednodimenzioni konačni elementi su zatege, štapovi, grede, užadni elementi, granični elementi, cevni elementi. Granični elementi su kategorija koja služi za formiranje veza na granicama kontinuma, koja matematičkom modelu definiše neki uslov. U ovu podgrupu spadaju elementi: opruge, zazora (gap), veze (link), stepena slobode (DOF) i drugi. 2D - dvodimenzioni konačni elementi definišu napone i deformacije ravanskog kontinuuma, pa shodno tim vrstama osnovni elementi su membrana, ploča, ljuska. Trodimenzioni konačni elementi su prizmatični i osnosimetrični. U ovu grupu spadaju i debela ploča i debela ljuska, prizma, piramida, osnosimetrični elementi i 3D konačni elementi sa ortotropnim osobinama kao što su slojevite forme. Slika 3.03 ilustruje osnovnu geometriju konačnih elemenata. Izbor konačnog elementa za modeliranje, zavisi od geometrijske forme posmatranog kontinuuma i procene unutrašnje distribucije sila i deformacija. Geometrijske forme dugačkih članova (malih dimenzija poprečnog preseka u odnosu na dužinu) zamenjuju se jednodimenzionim konačnim elementima. Ravne površine zidova, pregrada, dijafragmi, lamela nosača, zamenjuju se dvodimenzionim konačnim elementima (obično za analizu napona). Tamo gde se javljaju koncentrisana lokalna naprezanja usled geometrijske složenosti, koriste se trodimenzioni konačni elementi. Njima se obično opisuju kompaktne geometrije kao što su rotacioni delovi, lopatice kola turbomašina, glavčine, kućišta motora, kućišta klipnih mašina, složeni elementi (kolenasta vratila). Jedno od suptilnih pitanja diskretizacije strukture su granice geometrija primenjenih konačnih elemenata. Zapravo, potrebno je definisati kad koristiti konačan element štap, kad koristiti gredu, kad ploču, a kada ljusku. Za nalaženje odgovora na to pitanje, treba definisati prvo klasične pojmove ovih elemenata u mehanici:


Štap podrazumeva konstruktivni sadržaj malih dimenzija poprečnog preseka u odnosu na dužinu. Takvi članovi se odlikuju vitkošću, često većom od 50 (>50). Takvi konstruktivni elementi imaju izrazitije unutrašnje uzdužne sile od unutrašnjih momenata. To su, recimo, zatege kod dizalica, držači visećih platforma, članovi lakih rešetkastih nosača itd. Obično sadrži tri stepena slobode u čvoru pa modeliranje ovim elementom smanjuje obim algebarskog sistema za rešavanje. Grede su konstruktivni sadržaji značajnih dimenzija u odnosu na dužinu, pa zato mogu da ponesu i unutrašnje momente savijanja i uvijanja. Primena konačnih elemenata tipa grede uopšte smanjuje aproksimacije jer u njihovim čvorovima uobičajeno ima svih 6 stepeni slobode kretanja. Gredama se diskretizuju linijske noseće strukture različitih tipova dizalica i rotacionih bagera (rešetke, stubovi), ramovi postolja i nadgradnje vagona. Kako se veze konačnih elemenata, ostvaruju samo u čvorovima (za koje su postavljeni uslovi kompatibilnosti strukture), ove analize nemaju aproksimativan pristup. Cevi su jednodimenzioni konačni elementi (engl. pipe), slika 1, koji se koriste za aproksimaciju tankozidih geometrija. Granični elementi se koriste za modeliranje elastičnih oslonaca (slika 2.0), poboljšanje uslova kompatibilnosti na granicama strukture sa nejednakim brojem stepeni slobode u čvoru. Često se koriste za poboljšanje numeričke stabilnosti kod plitkih ljuski. U upotrebi su i konačni elementi tipa prigušivača (damperi), slika 2., kao i kruti (rigid) elementi.

A. Element za aksijalna i torziona opterećenja (bez smicajna i savijanja–rod element), sl.1-a, B. Cevni element sličnih osobina kao i prethodni (tube element), slika 1-b, C. Štapni element za aksijalna opterećenja i savijanje (bar element), slika 1-c, D. Linijski element krutosti (spring element), slika 2-a, E. Linijski element prigušenja (damper element), slika 2-b, F. Kombinovani element zadate krutosti i prigušenja, G. Linijski element nelinearnosti (gap element), H. Krivolinijski gredni element (curved beam element), slika 2-c

1D – LINIJSKI ELEMENTI

Slika 1 a.- aksijalni element, b. - cevni element, c. - štapni/gredni element

X

Y

Z

Slika 2 a.- element krutosti, b. - element prigušenja, c. - krivolinijski gredni element


Slika 3.0 Specijalni 1D elementi Ploče i ljuske su strukturni elementi male debljine u odnosu na ostale dve dimenzije. Ljuske su obično zakrivljeni strukturni elementi kod kojih je količnik debljine i poluprečnika krivine veći od 20 (R/t>20)1. Ljuske mogu biti jednostrano zakrivljene (cilindrične) i obostrano zakrivljene, nastale obrtanjem krive oko ose. Cilindrična ljuska je, na primer cev, količnika debljine h, radijusa krivine R i dužine ljuske L: h/R=1/100 i L/R = 2. Obostrano zakrivljena ljuska je, recimo, vrh trupa aviona, dance vagon-cisterne, zid satelitske antene. Primer sferne ljuske je dance loptastog rezervoara debljine zida h=6 cm i poluprečnika krivine R=143 cm. Primer cilindrične ljuske je cev za visok pritisak, debljine zida h=7 cm, prečnika D=100 cm i dužine 50 cm 49.

Slika 4.0 2D – POVRŠINSKI ELEMENTI

KLASIFIKACIJA: Količnik debljine i poluprečnika krivine može se naći u širokim granicama, pa se razlikuju tanke ljuske (thin shell) i debele ljuske (thick shell). Literatura ne navodi strogu granicu njihove geometrije. Jasno je da su kod debelih ljuski znatno veći momenti savijanja pa time i komponentni naponi oko srednje ravni krivine. Slika 5.0 pokazuje primer tanke cilindrične ljuske i tanke ljuske promenljive zakrivljenosti, kakve se javljaju kod letilica.

Slika 5.0 Dva tipa tankih ljuski: cilindrična i sferna

1 Ugural A.C., Fenster S.K, ADVANCED STRENGHT AND APPLIED ELASTICITY, Elsevier, New York 1987.

KABL-E KONTAKT-PAR

ČETVOROUGAONIKUBNI ELEMENT

(membrana)

ČETVOROUGAONI LINEARNI RAVANSKI

ELEMENT

PLOČA TANKA LJUSKA LINEARNA I KUBNA

SMICAJNA RAVAN


Ploče su ravna prizmatična tela male debljine u odnosu na ostale dimenzije. Tanka ploča je debljine manje od 1/10 ostalih dimenzija 31. Pri tome se smatra da pri spoljašnjem opterećenju nastaju male deformacije ploča, koje ne prelaze 1/5 debljine ploče (/h < 1/5). Autori Timošenko, Vojnovski-Kriger, definišu geometriju tankih ploča u dijapazonu h/L = 1/80 1/200. Debele ploče se koriste za najviša opterećenja i u sebi nose izrazito sve tri prostorne komponente napona. Poceski 2 definiše debelu ploču na primerima u kojima je količnik debljine i dužine (širine) u granicama h/L = 1/4 1/80. Kako ploča prenosi spoljašnje dejstvo unutrašnjim momentima savijanja a ljuska prenosi spoljašnje dejstvo membranskim naponima, to ljusku čini znatno otpornijim i ekonomičnijim elementima konstrukcija. Krivolinijski konačni elementi prate zakrivljenu geometriju struktura. Definisani su većim brojem čvorova na ivicama elementa. Prednost: Veći broj uslova kompatibilnosti, čime se značajno smanjuju aproksimacije i poboljšava kontinuitet na granicama elemenata. Izoparametarski element je specijalna kategorija konačnog elemenata koji ima jednak broj čvorova na konturi sa brojem čvorova unutar polja elementa (za poboljšanje unutrašnjeg kontinuiteta). Prema funkciji za interpolaciju pomeranja izmedju osnovnih čvorova, razlikujemo linearne, kubne, parabolične i druge konačne elemente. Trodimenzioni elementi (3D) su tetraedarski element (sa 4 čvora) oblika piramide, heksaedarski element sa 8 osnovnih čvorova itd. Trodimenzioni elementi imaju najčešće i dodatne čvorove po ivicama a najveći broj ovih elemenata ima po 3 stepena slobode u čvoru. Tako, samo heksaedarski element sa 8 čvorova u rogljevima i po jednim izmedju svih rogljeva na konturi, ima ukupno 20 čvorova sa 60 stepeni slobode. To pokazuje kako primena 3D elemenata dovodi do velikih dimenzija računskog modela.

Slika 6.0 Tipovi 3D konačnih elemenata

2 Poceski A., MEŠOVITI METOD KONAČNIH ELEMENATA, Gradjevinska knjiga, Beograd 1990.

LINEARNI I KUBNI ELEMENT DEBELE LJUSKE SOLID ELEMENT (puni element četvorostrane prizme)

SUPERELEMENTI

SENDVIČ LJUSKA LAMINARNA LJUSKAOSNOSIMETRIČNI ELEMENT


Konačni elementi sa složenim fizičkim osobinama, posebno prilagodjeni za modeliranje, nazivaju se superelementi. Na slici 6 pokazana su dva takva. Njihova osnovna vrednost je da umanjuju matematičku složenost koju bi imalo modeliranje laminarnih i kompozitnih struktura pojedinačnim definisanjem slojeva.

Opšti kriterijumi diskretizacije:

1. Kriterijum broja stepeni slobode: Što manji broj stepeni slobode i što kvalitetnije interpolacione funkcije. Umanjuje numerički obim problema - smanjuje hardverske resurse.

2. Kriterijum manjih aproksimacija: Manje odstupanje od tačne geometrije kod modeliranja. Ovaj zahtev uvećava broj stepeni slobode kretanja,

3. Kriterijum spoljašnjeg oblika: Izbor konačnog elementa strukture može se izvršiti na osnovu sličnosti njegove geometrijske forme sa formom pravilnih delova objekta,

4. Kriterijum poznavanja unutrašnje distribucije komponentnih napona članova kontinuuma: Zasniva se na poznavanju osnovnih tipova naponskih distribucija kod ploče, ljuske, membrane, solida, grede, štapa. Kako unapred nije tačno poznata distribucija napona, često se nakon analize ispituje ispravnost izbora konačnih elemenata. To podrazumeva kontrolu nivoa i vrste komponentnih deformacija. Na taj način se proverava da li je izabran element "radio" po svojoj teoriji ili ne. Kada uslovi to dozvole, vrši se i eksperimentalna analiza. Na bazi toga se može reći da je modeliranje u FEA i iskustvena kategorija.

5. Kriterijum simetričnosti: U slučaju centričnog ili simetričnog spoljašnjeg opterećenja, moguće je izvršiti modeliranje polovine, četvrtine ili dela konstrukcije, čime se problem racionalno opisuje manjim brojem stepeni slobode. To je slučaj sa cisternama, spojnicama, diskovima. Uticaj ostalih delova konstrukcije definiše se posredstvom graničnih uslova.

ETAPE PROGRAMSKOG PRISTUPA FEM

Rešavanje zadataka FEA metodom ima proceduru sa sledećim etapama:

1. Diskretizovanje kontinuuma konstrukcije izabranim kon. elementima, 2. Izbor interpolacionih funkcija (funkcija oblika), 3. Sračunavanje karakteristika konačnih elemenata, 4. Formiranje algebarskog sistema jednačina konstrukcije, 5. Rešavanje algebarskog sistema jednačina, 6. Proračun potrebnih unutrašnjih veličina.

Prve tri etape su kreativni deo zadatka. Četvrta, peta i šesta etapa su rutinski deo posla i obično su prepušteni računaru i pouzdanom softveru. Forma konstrukcije i cilj proračuna odredjuju broj, tip i raspored konačnih elemenata. Izbor tipa konačnog elementa integriše izbor interpolacionih funkcija (funkcija oblika), kojima su povezana čvorna pomeranja elementa sa unutrašnjim pomeranjima u konačnom elementu. Adekvatnost interpolacionih funkcija odredjuje tačnost rešenja zadatka. Zato se u cilju dokaza tačnosti, dobijeno rešenje podvrgava sledećim proverama:

1. Istim tipom i veličinom konačnog elementa reši se neki poznati analitički problem, na osnovu čega se ocenjuje kvalitet primenjenog konačnog elementa i kvalitet modeliranja. Na osnovu ove provere, komparativno se ocenjuje tačnost osnovnog problema.

2. Utvrdjivanjem položaja asimptote dobijene iz uzastopnih monotono konvergirajućih rešenja mreža različitih gustina, ocenjuje se položaj tačnog rešenja. U praksi se ova metoda češće koristi.


Interpolacione funkcije

Interpolacione funkcije opisuju polje deformacija, napona i drugih uticaja u konačnom elementu. Njima se uspostavlja neposredna veza izmedju pomeranja u bilo kojoj tački polja elementa i pomeranja u čvornim tačkama. Koriste se tri familije interpolacionih funkcija: Lagrange polinomi imaju oblik:

...2y2x8ay2x7a2y6a2x5ayx4ay3ax2a1a)y,x(P (3.09) Njihovo rešenje konvergira tačnom rešenju kada polinom ima beskonačan red. Kvalitetna interpolaciona funkcija zahteva onaj stepen polinoma koliki je broj nezavisno promenljivih u elementu. Sa druge strane, visok stepen polinoma je nepodesan, zbog poteškoća eliminacija unutrašnjih članova, pa se primenjuju samo za odredjene tipove konačnih elemenata. Serendipity funkcije su funkcije čvornih tačaka konture. Njihove vrednosti su 1.0 u čvorovima i 0.0 izvan čvorova. Hermitovi polinomi su polinomi višeg stepena sa osobinama dobrog kontinuiteta na granicama izmedju elemenata. Koeficijenti ovih funkcija se odredjuju iz uslova kompatibilnosti i uslova statičke ravnoteže. Serendipity funkcije su tako oblikovane da direktno povezuju pomeranja u elementu sa pomeranjima u čvorovima što eliminiše potrebu izračunavanja njihovih inverznih matrica i značajno ubrzava postupak. Za izoparametarske elemente je karakteristično da se i pomeranja čvorova i pomeranja u polju elementa, izražava istim funkcijama oblika (3.10). U ovim jednačinama x,z,y su koordinate u polju konačnog elementa a xi, yi, zi koordinate i-tog čvora elementa. hi su funkcije oblika u lokalnom normalizovanom koordinatnom sistemu r, s, t.

iq

1iii

q

1iii

q

1ii zhz ,yhy ,xhx

(3.10)

Kod izoparametarskih konačnih elemenata, gde se za opis pomeranja čvorova i tačaka u polju konačnog elementa koriste iste matematičke formulacije funkcija oblika, postoje i odstupanja. Ukoliko je stepen funkcije oblika viši od stepena funkcija koje opisuju pomeranja čvorova, takvi konačni elementi se nazivaju superparametarski elementi. U suprotnom slučaju, radi se o subparametarskim elementima.


KONVERGENCIJA I TAČNOST METODE KONAČNIH ELEMENATA (FEM)

Proizvoljan pristup formiranja modela u metodi konačnih elemenata dovodi do različitih rešenja. Da bi se eliminisao individualan pristup, razvijeni su postupci koji kontrolišu aproksimacije modela.

Prvi korišćen princip ograničavanja aproksimacija izvodi se procedurom dokaza konvergencije. Druga savremenija metoda je izvedena softverski, putem automatske procedure kojom se redefiniše topologija početnog modela sve dok sukcesivnim smanjenjem aproksimacija, analiza ne zadovolji zadatu tačnost. - metoda adaptivnih mreža.

Redovna procedura rešavanja zadataka metodom konačnih elemenata zahteva dokaz uspešnosti pristupa - kroz tri vrste provere:

1. Utvrdjivanjem tačnosti numeričkog izračunavanja, 2. Utvrdjivanjem numeričke stabilnosti postupka i 3. Ispitivanjem konvergencije rešenja.

Tačnost numeričkog izračunavanja podrazumeva bliskost analitičkog i numeričkog rešenja. Kod prostih primera moguće je numeričko rešenje uporediti sa analitičkim. Primer elementarne provere statičkog ugiba simetričnog linijskog nosača jednostavno se izvodi na osnovu jednačina elastičnih linija i ugiba sredine nosača. Kod dinamičke analize, provera se može izvršiti za sistem koji osciluje kao klatno na bazi perioda oscilovanja matematičkog, astatičkog ili fizičkog klatna, slika 7. Cilj ovih grubih analiza je da se objektivizuje nadjeno rešenje.

Numerička stabilnost podrazumeva proveru postojanja svih rešenja, traženih u svim etapama razvoja modela pri različitim vrstama opterećenja, različitim slučajevima analiza (statička, dinamička) bez prekida u numeričkom izvršenju procedura. Postavljen proračun ne sme da ispolji numeričku nestabilnost promenom parametara u realnom domenu konstrukcije i realne intenzitete spoljašnjih uticaja.

Slika 7. Dva zadatka provere tačnosti rešenja: statički i dinamički

Konvergentnost podrazumeva numeričko približenje uzastopnih rešenja tačnoj vrednosti, polazeći od prethodno dobijenih rešenja. U MKE se konvergencija ocenjuje na osnovu mreže konačnih elemenata i vrednosti dobijenih rezultata. Mreže se razlikuju u pogledu veličine i rasporeda konačnih elemenata. Rezultati proračuna u statičkoj analizi su referentna pomeranja. U dinamičkoj analizi rezultati proračuna su sopstveni vektori ili sopstvene frekvencije. Pri tome, pravac iz koga rešenje konvergira zavisi od metode koja je korišćena (metoda sila ili metoda pomeranja). Slika 8. pokazuje konvergenciju rešenja sa donje strane kod metode deformacija, odnosno, sa gornje strane kod metode sila. Zato primena metode sila i metode deformacija odredjuju oblast tačnog rešenja analize. Kod mešovite metode konačnih elemenata, konvergencija je moguća sa obeju strana, 49.

y= FL3

48 E IX FBFAL/2 L/2

L T=2 Lg


Slika 8. Konvergencija u metodi konačnih elemenata

Osobina: Uvećanjem broja konačnih elemenata poboljšavaju se granični (konturni) uslovi problema usled smanjenja aproksimacija, te se dobija tačnije rešenje. Shodno ovom stavu, dokaz konvergencije se izvodi formiranjem sukcesivnih mreža konačnih elemenata različite veličine. Proporcionalno umanjenje veličine konačnog elementa, vodi povećanju broja elemenata fine mreže. Proporcionalno, znači da se kod ravanskih problema, finija mreža formira deobom svakog elementa na četiri nova, a kod prostornih problema deobom svakog zapreminskog elementa na osam novih. Tri ili više uzastopnih mreža različitih po gustini, omogućuju utvrdjivanje pravca približenja tačnijeg modela analitičkoj vrednosti rešenja. Iz tri rešenja, može se izračunati zavisnost broja elemenata od tačnosti rešenja, čime se definiše stepen konvergencije. Kada u graničnom slučaju veličine konačnih elemenata postanu vrlo male, dobija se tačno numeričko rešenje. Da bi se to postiglo potrebno je da su ispunjeni sledeći uslovi: Uslov 1: Izabrana deformaciona funkcija konačnog elementa treba da bude tako definisana da pomeranja elementa kao

celine (kao krutog tela) ne prouzrokuju deformacije (napone) u samom elementu. Uslov 2:Izabrana deformaciona funkcija mora da dâ konačna pomeranja na granicama elementa (Kriterijum neprekidnosti

medju elementima).

Osobina: Stepen konvergencije zavisi od interpolacione funkcije. Ukoliko interpolaciona funkcija tačno opiše deformaciju odnosno da tačno rešenje diferencijalnih jednačina pomeranja, tada više tačnost ne zavisi od "gustine" mreže. Tada sve mreže daju numerički tačna rešenja. Ovaj specifičan slučaj je čest kod linijskih struktura sa konačnim elementima tipa štapova i grede. Kod primene tih elemenata nema smisla ispitivanje konvergencije, obzirom da njihove medjusobne veze ne uvode aproksimacije u pogledu distribucije pomeranja3. Dokaz konvergencije se izvodi za probleme kontinuuma u ravni i prostoru4.

Praktično: Kod analize realnih struktura, mogu nastati značajne razlike u rezultatima. Ako eliminišemo greške uslovljene neadekvatnim izborom konačnih elemenata, razlike rezultata tačnih i numeričkih rešenja mogu biti i veće od 30 %. U takvim slučajevima se napuštaju postavljeni diskretni modeli, postavljaju novi, dok se ne dobiju rešenja uzastopnih mreža koja odstupaju manje od 10 %. Takva rešenja se mogu smatrati upotrebljiva u rutinskoj inženjerskoj praksi 42. Greške nastale u primeni MKE uslovljene su veličinom konačnih elemenata i kvalitetom njihovih interpolacionih funkcija. Pravilan izbor tipa konačnog elementa i interpolacione funkcije, omogućuje smanjenje broja elemenata u mreži. Iz tog razloga razvijeni su različiti tipovi geometrijskih oblika konačnih elemenata.

3 Istovremeno su zadovoljeni i granični uslovi i uslovi kompatibilnosti. 4 Ovaj princip prvi je primenio Irons na problemu ploče opterećene koncentrisanom silom, dobivši pri tome odstupanje rezultata od 1.5 % izmedju dva postavljena diskretna modela.

Tačno rešenje

Parametar poredjenja (deformacija)

Parametar poredjenja (deformacija)

Oblast nestabilnog rešenja

Oblast nestabilnog rešenja

Divergencija rešenja

Konvergencija rešenja

Konvergencija rešenja

Divergencija rešenja

Broj konačnihelemenatan 1 n 2 n 3 n 4

Tačno rešenje


VERIFIKACIJA FEM PROCEDURE PRIMER 1: Statička analiza konzole sa 3D osmočvornim elementom Primer verifikacije modela konzole statičkom analizom modela sa automatskom generacijom 3D osmočvornog elementa.

Naziv: PB 0501 - statička analiza konzole četvrtastog poprečnog preseka Datum realizacje: 02.10.1997. Procesor: SSAP 0 Linear Stress Analysis Processor Opterećenje: Transverzalna sila Element tip: TIP-5 (3D, osmočvorni element) Napomena:

Prikaz: Primer verifikacije modela konzole statičkom analizom modela sa automatskom generacijom 3D osmočvornog elementa. Generacija je izvedena sa 240 elemenata. Sila je uneta kao koncentrisana. Oslonci su u 12 čvora sa potpunim uklještenjem. Broj stepeni slobode kretanja 2880. Vreme realizacije 90 s. Definicija zadatka: D.Rašković, TABLICE IZ OTPORNOSTI MATERIJALA, Gradjevinska knjiga, Beograd 1968.

SLIKA 9.

Rešenje zadatka: Klasično rešenje: yF lE Ix

3

3, Podaci:

Presek b x h = 50.8 x 76.2 (mm), moment inercije savijanja Ix = 187.304 cm4, Materijal: konstrukcioni čelik modula elastičnosti E = 20.69 106 N/cm2, Sila: F = 981 N = 220.5 lbf, raspon konzole 1016 mm.

Tabela PB 0501: Poredjenje rezultata Ugib ispod vrha konzole y (cm)

Teorija Algor Odstupanje (%) 0.08849 0.08849 0.000

X

Y

Z

220.5

3.484E-23.266E-23.048E-22.83E-22.613E-22.395E-22.177E-21.960E-21.742E-21.524E-21.306E-21.089E-28.709E-36.532E-34.354E-32.177E-3

0.

Output Set: Algor Case 1, Deformed (3.484E-2):Total Translation, Contour: Total Translation

ugib (inch)

Slika 3.07 Verifikacioni primer 1: Konzola


PRIMER-2: Analiza debelozide cevi 3D osmočvornim elementom Primer verifikacije modela debelozide cevi statičkom analizom automatskom generacijom 3D osmočvornog elementa.

Naziv: PB 0502 - statička analiza debelozide cevi Datum realizacje: 12.10.1997. Procesor: SSAP 0 Linear Stress Analysis Processor Opterećenje: Spoljašnji pritisak Element tip: TIP-5 (3D, osmočvorni element) Napomena:

Prikaz: Primer verifikacije modela cevi debelog zida, statičkom analizom sa automatskom generacijom 3D osmočvornog elementa. Generacija je izvedena sa 900 elemenata. Spoljašnji pritisak je unet kao površinsko opterećenje. Posmatrana je simetrična polovina cevi. Broj stepeni slobode kretanja 5332. Broj čvorova modela 1364. Vreme kompletne realizacije 252 s na PC P5/150 MHz. Vreme odre|ivanja deformacija 12 sCP. Definicija zadatka: D.Rašković, TEORIJA ELASTIČNOSTI, Naučna knjiga, Beograd 1985.

X

Y

Z

V1L1C1

Slika 10. Diskretni geometrijski model primera Rešenje zadatka: Napon u cirkularnom pravcu na unutrašnjem zidu cevi, spoljašnjeg i unutrašnjeg poluprečnika b/a i pritiska pS:

C

22

2 2pb

b aS ,

Podaci: dimenzije b x a x l = 15.24 x 7.62 x 76.2 (cm) debljina zida cevi: = 7.62 (cm) materijal: konstrukcioni čelik modula elastičnosti E = 20.69 106 (N/cm2) spoljašnji pritisak: pS = 0.68971 (kN/cm2) Poasson-ov koeficijent =0.3

Tabela PB 0502: Poredjenje rezultata

Napon unutrašnjeg zida u cirkularnom pravcu C (kN/cm2)

Radijalna deformacija unutrašnjeg zida cevi y (cm)

Teorija

Algor

Odstupanje napona

(%)

Algor

-1.83922 -1.844747 0.300 6.10298510-4

MAŠINSKI FAKULTET NIŠ, PROFESOR DR MIOMIR JOVANOVIĆ

PRIMER 3: Statička analiza ploče 2D konačnim elementom Primer verifikacije modela ploče statičkom analizom sa automatskom generacijom 2D elementa ploče.

Naziv: PB 0601 - statička analiza ploče četvrtastog oblika Datum realizacje: 14.10.1997. Procesor: SSAP 0 Linear Stress Analysis Processor Opterećenje: Transverzalna sila Element tip: TIP-6 (2D element ploče) Napomena:

Prikaz: Primer verifikacije modela ugiba ploče statičkom analizom modela sa automatskom generacijom 2D elementa ploče. Generacija je izvedena sa 963 elemenata. Sila je koncentrisana u sredini ploče. Ploča je slobodno poduprta po konturi. Broj stepena slobode kretanja 6036. Broj čvorova modela je 1027. Vreme kompletne realizacije 310 s na PC P5/150 MHz. Definicija zadatka: D.Rašković, TEORIJA ELASTIČNOSTI, Naučna knjiga, Beograd 1985.

X

Y

Z

449.47

V1

L1

C1

Slika 11. Diskretni geometrijski model verifikacionog primera3 Rešenje zadatka: Ugib kvadratne ploče dimenzije axaxh pod dejstvom centralne transverzalne sile:

,)21(12

3hED :Krutost ,D

2aPw :Ugib

Podaci: dimenzije a x a x h = 80 x 80 x 0.8 (cm)

savojna krutost ploče D = 965854.94 (Ncm) materijal: konstrukcioni čelik modula elastičnosti E = 20.69 106 (N/cm2) sila: F =2000 (N), Poasson-ov koeficijent =0.3

Tabela PB 0601: Poredjenje rezultata

Ugib sredine ploče w (cm) Teorija Algor Odstupanje (%) 0.15373 0.15229 0.925


PRIMER-4: IZVODJENJE DOKAZA O KONVERGENCIJI REŠENJA MODEL: Izotropna, slobodno oslonjena pravougaona ploča, dimenzija a x b, opterećenu poprečnim opterećenjem p(x,y). Poprečno opterećenje je normalna koncentrisana sila P u tački x= i y=. Diferencijalna jednačina elastične površi tankih ploča, prema teoriji savijanja:

D

)y,x(p4y

W4

2y2x

W42

4x

W4

(3.11)

ANALITIČKO REŠENJE: Navier-ovo opšte rešenje ugiba W, pri graničnim uslovima slobodno oslonjene pravougaone ploče, W(x=a/2, y=b/2)=0, definisano je 1820. godine 49. Svodjenjem na oblik koji odgovara maksimalnom ugibu u središtu kvadratne ploče, dobija se izraz:

D

2aP)b

21y ,a

21xmax(

W

(3.12)

Koeficijent = 0.0116 za vrednost količnika b / a = 1. D je krutost ploče na savijanje: D = Eh3 / 12(1-2), gde je h debljina ploče, E modul elastičnosti, a Poisson-ov koeficijent.

PRIMER: Proizvoljna, slobodno oslonjena kvadratna ploča dimenzija a=b=800 mm, debljine h=8 mm i E=20600 kN/cm2, pri centralnoj koncentrisanoj sili P=2 kN, ima teorijsko rešenje ugiba W=Wmax= 1.5373 mm. ELEMENTI IZBORA KONAČNOG ELEMENTA PLOČE: Kako je Wmax < h << a, to se u posmatranom slučaju može izabrati za analizu konačni element tipa tanke ploče. Osobina izbora ovog konačnog elementa je da su dominantni naponi izazvani momentima savijanja. Od manjeg uticaja su transverzalne sile, a membranskih napona nema u slučaju slobodno poduprte ploče. U posmatranom slučaju, tanka ploča je dvodimenzioni konačni element. PROCEDURA: Za posmatrani slučaj razvijeno je nekoliko probnih mreža. Dokaz konvergencije, shodno teorijskim uslovima za 2D površinske elemente 49, zahteva formiranje finije mreže, deobom površina elemenata grube mreže u dva koordinatna pravca. Tom podelom nastaje finija diskretna mreža (tabela 3.1, Model-2) sa 4x4 = 16 konačnih elemenata. Dimenzije nastalih elemenata su 200 x 200 x 8 mm. Dobijena geometrija je u granicama elementa tipa ploče, pa se može izvesti i dalja podela finijim elementima dimenzije 100 x 100 x 8 mm. Takva mreža se odlikuje sa 8 x 8 = 64 konačna elementa tanke ploče, tabela 3.1, Model-3. Tabela 3.1

Model - 1

Model - 2

Model - 3

Slika modela:

Broj konačnih elemenata: 4 16 64 Broj čvorova modela: 9 25 81 Broj stepeni slobode kretanja: 44 133 452 Rešenje: Ugib (mm) 1.3673 1.3952 1.4505 Odstupanje od teorijskog ugiba % 11.06 9.24 5.65


Slika 12. Dijagram konvergencije rešenja slobodno oslonjene ploče

RIZIK: Dalje umanjenje veličine elementa pri zadržavanju iste debljine, vodilo bi ka zapreminskim konačnim elementima i smanjilo bi adekvatnost (vernost) funkcija oblika kojima se odlikuju elementi tanke ploče kada su primenjeni na trodimenzionalnom modelu. Slika 12 pokazuje dijagram konvergiranja numeričkog rešenja tačnoj vrednosti. Shodno zahtevu tačnosti, može se odabrati prihvatljiva mreža za rešavanje zadatka. Poredjenje ova tri modela pokazuje da se ugib centra ploče približava tačnoj analitičkoj vrednosti ugiba.

PROCENA GREŠKE PRORAČUNA (Error estimate)

Klasičan postupak dokaza konvergencije je nepraktičan jer zahteva mnogo rada, procesorske resurse i dodatno vreme analize. Zato se često koristi pristup direktne procena greške kojim se vrednuje ispravnost aproksimacija bez dodatnih analiza i sekundarnih modela. Greška je izrazita na mestima visokog stepena promene napona, promene pomeranja, temperature i drugih promena. Ove promene se izražavaju gradijentom napona i deformacija. Odredjivanje procenjene greške, iako ne daje odgovor o apsolutnoj grešci, upućuje na prisustvo kritičnijih oblasti modeliranja. Vektor greške se primenjuje u svrhu prikaza greške modeliranja, kao nosilac podataka o kvalitetu modela i primenjenim aproksimacijama. Vektor greške prikazuje rezultat odstupanja tačnosti proračuna u težištima, na površinama ili u čvorovima konačnih elemenata. Postupak procene greške se zasniva na proceduri formiranja vektora greške koji se analizom dobije. Nakon analize deformacija, proračunava se greška modela, koja se može metodama postprocesiranja prikazati. Softver koristi sledeće metode izražavanja procenjene greške:

Metoda maksimalnih odstupanja, koristi sledeći izraz za odredjivanje greške:

MINVrednostMAXVrednost , (3.40)

Metoda odstupanja od prosečne vrednosti:

)SREDVrednostMINVrednost,SREDVrednostMAXVrednost(MAX , (3.41)

Metoda maksimalnih relativnih odstupanja izražava u procentima grešku:

% 100SREDVrednost

MINVrednostMAXVrednost

(3.42)

Metoda relativnih odstupanja od prosečnih vrednosti (%): (3.43)

% 100SREDVrednost

)SREDVrednostMINVrednost,SREDVrednostMAXVrednost(MAX

Metoda maksimalnih normalizovanih relativnih odstupanja (%):

%100VektoraMAXVrednost

MINVrednostMAXVrednost

(3.44)

Broj konacnih elemenata

Ugi

b pl

oce

y (m

m)

C

Tacno resenje y=1.53 mmCMod

el-1

Mod

el-2

Mod

el-3

=11.06 %y=1.3673C

y=1.3952C

=9.24 %y=1.4505C

=5.65 %


Metoda relativnih normalizovanih odstupanja od prosečnih vrednosti (%): (3.45)

% 100VektoraMAXVrednost

)SREDVrednostMINVrednost,SREDVrednostMAXVrednost(MAX

PRIMENA:

Metoda odstupanja od prosečne vrednosti identifikuje najšire oblast greške izlazne vrednosti. Metoda maksimalnih relativnih odstupanja koristi se za idetinfikaciju strmog neujednačenog gradijenta kao i

gradijenta vrlo izraženog u jednom pravcu. Metode maksimalnih relativnih odstupanja od srednje vrednosti identifikuju oblasti ali ne i karakter odstupanja

(male i velike apsolutne vrednosti gradijenta). Korišćenje ovih metoda se zato primenjuje kod zadataka gde je veličina (magnituda) uporedne veličine manje važna od stepena promene veličine kroz kontinum.

Normalizacijske metode koriste se za bolje vrednovanje ukupne greške uključujući i špiceve izlaznih vrednosti.

Primer 5: CAE/FEA ANALIZA KUKE DIN 15407 ZADATAK: Geometrijska složenost lamelaste kuke, nameće zahtev tačnog odredjivanja napona po celom kontinumu. Za analizu je izabrana proizvoljna kuka iz DIN 15407 standarda, nosivosti 160 tona, visine 2660 mm, sa osam lamela pojedinačne debljine 25 mm, prema slici 4.25. Potrebno je proračunati napone i odrediti procenjenu grešku modela.

MODELIRANJE: Osnova za razvoj modela mreže konačnih elemenata je geometrija lamelaste kuke. Na bazi te geometrije izabrana je osnovna dimenzija 3D osmočvornog konačnog elementa od 40. mm. Programom ALGOR, generisana je mreža konačnih elemenata, tako da se umanjenjem osnovnih dimenzija, može da generiše kontura otvora za zakivke 31 mm, rasporedjenih na 13 lokacija. Tako je dobijena mreža Modela-1 sa 2660 konačnih elemenata, prikazana na slici 13. Proračun takodje izveden programom ALGOR, dao je rešenja prema tabeli T-4.2. Maksimalni čvorni Von-Mises-ov napon je 13.6552 kN/cm2. Proračun maksimalnog relativnog normalizovanog odstupanja pokazao je sliku rezultata prema slici 14. Dobijeno je maksimalno relativno normalizovano odstupanje Von-Mises-ovog napona od 30 % na mestu unutrašnje krivine kuke, ispod horizontalnog preseka krivog dela kuke. Poboljšanje kvaliteta tačnosti proračuna:

Slika 13. Mreža lamelaste kuka sa 2660 Slika 14. Slika procenjene greške usled zapreminskih

konačnih elemenata aproksimacija modela sa 2660 elemenata


Na bazi Modela-1, razvijen je Model-2 koji se karakteriše rafiniranijom mrežom od 5723 konačna elementa. Karakteristike ove analize takodje pokazuje tabela T 4-2. Maksimalni čvorni Von-Mises-ov napon je 13.6954 kN/cm2. Maksimalno relativno normalizovano odstupanje pokazano je na slici 15. Raspored Von-Mises-ovih napona Modela-2 pokazan je na slici 16. Dobijeno je maksimalno relativno normalizovano odstupanje Von-Mises-ovog napona od 20 % na mestu vrata sa otvorom 300 mm u zoni postavljenih oslonaca kuke. Maksimalno relativno normalizovano odstupanje Von-Mises-ovih napona na unutrašnjoj krivini kuke, ispod horizontalnog preseka krivog dela kuke je smanjeno na 18 %. Umanjenje procenjene greške modela postignuto je finijom mrežom u kritičnim delovima kuke. Ova ocena greške izvedena je prema ekstremnom lokalnom naponu prema kriterijumu maksimalnog relativnog normalizovanog odstupanja. Procenjena greška Von-Mises-ovog napona prema kriterijumu relativnog odstupanja od prosečnih vrednosti Von-Mises-ovih napona, dala je skladno maksimalno odstupanje od samo 5.66 % na osnovu čega se može prihvatiti i tačnost Modela-1. Model-2 ima manje relativno odstupanje (procenjenu grešku) u odnosu na prosečne vrednosti što je očigledno na bazi poredjenja topologije mreža Modela-1 i Modela-2 u kritičnim zonama kontinuuma. Provera komponentnog napona zatezanja unutrašnje krivine horizontalnog preseka kuke, izvršena je analitički prema teoriji krivih štapova. Dobijen je maksimalan komponentni napon (na ivičnoj površini kuke) od 33 MAX = 13.2470 kN/cm2.

Slika 15. Slika procenjene greške usled Slika 16. Slika Von-Mises-ovih napona na aproksimacija modela sa 5723 elementa kuki sa 5723 konačna elementa

Tabela 4-2 Model-1 Model-2 Teorijska vrednost Broj elemenata 2660 5723 Broj čvorova 5674 11888 Broj stepeni slobode (SSK) 17006 35618 Maksimalni Von-Mises napon VM MAX kN/cm2

13.6552

13.6954

33 MAX = 13.24705

Maksimalna relativna normali-

zovano odstupanje %

30.

20.

5 Prema teoriji savijanja krivih štapova pravougaonog preseka kuke Bx =575.x25., radijusa 205. mm, (Proračun dr Z.Marinković, MFN, 1998. Niš)

Mašinski fakultet Niš CAD tehnologije 2 Godina 2009-2010 dr Miomir Jovanović, red.profesor 1

Predavanje 8

FORMIRANJE MODELA U METODI KONAČNIH ELEMENATA

Formiranje diskretnog modela je pripremna faza - procedura pre analize metodom konačnih elemenata. Formiranjem diskretnog modela stvara se osmišljena, uskladjena i povezana grupa konačnih elemenata kojom je opisan kontinuum, koji je predmet analize. Formiranje modela za analizu ima četiri faze realizacije: Formiranje geometrijskog modela, formiranje idealizovanog modela, formiranje modela zona i formiranje diskretnog modela.

Geometrijski model kreira projektant, CAD softverom za projektovanje. Time nastaje

datoteka podataka koji realno opisuju geometriju objekta sa svim potrebnim detaljima za izradu. Geometrijski model može da sadrži geometrijske elemente koji nemaju značaja za analizu jer ne utiču na naponsko-deformacionu sliku objekta. Radi toga se formira idealizovan model u kome su obačeni nevažni detalji.

Idealizovan model je uprošćen model koji ne mora da predstavlja celinu objekta ukoliko

može da se njegovim simetričnim formama predstavi funkcija i način opterećenja celine. Idealizovan model se uvek formira sa zahtevom manjeg obima kontinuuma za analizu. Osnova razvoja racionalnih idealizovanih modela je apstrakcija. Apstrakcija je sagledavanje modela od strane analitičara kojom se postavlja koncept modela, uklanjaju detalji, prepoznaje simetrija, redukuje model, prilagodjavaju modaliteti unošenja opterećenja. Na sledecoj slici i slici 3.12, pokazana je traverza donje koturace dizalice.

Model zona predstavlja idealizovan model rasčlanjen na pravilnije celine – zone koje dozvoljavaju podelu kontinuuma na konačne elemente prema standardnom - poznatom algoritmu generisanja ili preslikavanja. Na slici 3.12 pokazan je model sa 4 zone. Uskladjivanje medjusobnog poklapanja čvorova i odsustvo koincidencije elemenata i čvorova obezbedjuje se mapiranjem mreže – procedurom uskladjenog broja elemenata na kontaktnim površinama zona.

Diskretni model se razvija na bazi modela zona i uskladjenog broja elemenata kontaktnih

površina zona. Diskretni model podrazumeva odredjivanje čvorova, konačnih elemenata, podataka o materijalu, diskretnom opterećenju i diskretnim graničnim uslovima. Diskretni model ima potrebna prilagodjavanja mreže konačnih elemenata graničnim uslovima oslanjanja i tačkama i površinama dejstva spoljašnjih sila. Razvijena mreža konačnih elemenata se ocenjuje parametrima oblika mreže. To su geometrijski okviri u kojima je primenjen konačan element (deformisanost oblika), pravilnost razvoja mreže (kontinualnost promene pravca i oblika elementa), pravilnost promene veličine elementa (kontinualnost promene geometrije). Na bazi ovih parametara vrši se poboljšanje mreže pre nego što se formira konačan diskretan model. Konačnim diskretnim modelom vrši se analiza.

PROJEKTOVANJE RACUNAROM - CAD Autorizovana predavanja dr Miomira Jovanovića 2

X

Y

Z

6.04151E-4

0.0106042

0.0206042

0.0306042

0.0406042

0.0506042

0.0606042

0.0706042

0.0806042

0.0906042

0.100604

0.110604

-0.03

-0.01

Slika 3.12 Faze transformacije modela. Slika pokazuje tri žičana modela: Geometrijski model, idealizovan model i model zona.

Četvrti model - diskretni model je prikazan kao zapreminski – solid model objekta

Razvoj mreže konačnih elemenata može se realizovati: Ručnim putem (pojedinačnim definisanjem čvorova i elemenata), Poluautomatskim putem kada se na bazi postavljenog koncepta modela zadaju

pojedinačne komande automatskog generisanja konačnih elemenata u zonama. Poluautomatski generatori su interaktivnog tipa – zasnivaju se na instrukcijama definisanim kroz dijalog.

Automatska procedura podrazumeva generisanje mreže kao celine jednom

komandom kojom nastaje ceo diskretni model iz zadatog geometrijskog modela i negeometrijskih instrukcija o osloncima, opterećenju, materijalu i fizičkim osobinama. Automatsko generisanje karakteriše najsavremenije modelere. Zato je osnovni programski alat za odredjivanje zona u kojima se generiše mreža – generator granica. Automatski generatori koriste tri metode za formiranje mreža: Metodu spajanja čvorova, metodu prilagodjavanja uzorka mreže i metodu dekompozicije.

Softver za analizu, shodno načinu modeliranja, može da se razvija kao integralni i

modularni. Integralni podrazumeva softverski potpuno integrisane sve faze razvoja modela, analize i postprocesiranja. Modularni pristup podrazumeva razvoj, korišćenje i distribuciju softverskih modula za pojedinačne etape analize (geometrijsko modeliranje, preprocesiranje, postprocesiranje, analiza).

Modularni programi podrazumevaju i bogatiji interfejs za rad sa različitim formatima i

programima. Primer takvih programa je FEMAP (Finite Element Modeling And Postprocessing), MicroStation-SE. Softverski paketi kao I-DEAS, ANSYS, ALGOR, NASTRAN, COSMOS integrišu sve proceduralne faze analize: Geometrijsko modeliranje, idealizaciju, kreiranje diskretnog modela, rešavanje zadatka i postprocesiranje. Često su tu pridodate opcije za optimizaciju, redizajn, analizu osetljivosti modela, konkurentni inžinjering, izradu tehničke dokumentacije, poredjenje sa eksperimentom.

Pre/post procesori su programi predvidjeni za rad sa geometrijskim podacima, opterećenjima, graničnim uslovima, naponima, deformacijama, vektorima, poljima, grafičkim tipovima geometrijskih modela, animacijom, greškama analize. Pre/post procesori su uvek zasnovani na grafičkom interfejsu i na taj način omogućuju analizu po različitim osnovama, istraživačkim ciljevima.


Generatori mreža – modeleri mreža. Mogu generisati dvodimenzionalne ili trodimenzionalne mreže konačnih elemenata.

Dvodimenzione mreže se koriste za rešavanje ravanskih i osnosimetričnih zadataka1. Trodimenzione mreže su najopštija kategorija mreža i u domenu mašinstva njima se pokriva kontinuum objekata koji su uvek 3D. Drugi značajan parametar generacije je gustina elemenata u pojedinim zonama. Generatori mreža koriste dva pristupa u zadavanju gustine mreže:

Prvi pristup kod koga se gustina elemenata unapred (a priori) pretpostavlja analizom

idealizovanog modela iz koje se odredjuju parametri generatora mreža. Ovaj model se zasniva na opštim osobinama mehanike kontinuuma i u pojedinim slučajevima može da da veću grešku proračuna kao posledicu neadekvatnog ili neraspoloživog predpostavljenog parametra programskog generatora mreže. Pretpostavke je potrebno proveriti nakon analize.

Drugi pristup zasniva se na korišćenju rezultata izvršene analize (a posteriori), za

redefinisanje gustine mreže. Ovaj pristup postavlja inicijalnu mrežu sa početnom veličinom konačnog elementa odredjenog na bazi zoniranog modela. Sa tom gustinom izvrši se proračun pa se na bazi izvršene analize ocenjuje lokalna adekvatnost veličine i rasporeda elemenata. Na bazi gradijenta dobijenog napona, lokalne enerije (funkcionala Π) i greške modela, vrši se redefinisanje mreže. Mreža je sada uslovljena zahtevima kontinuuma i negeometrijskim parametrima objekta. Pošto takva mreža odgovara gustinom elemenata postavljenom zahtevu tačnosti i ima ujednačen kvaltet dobijenih rezultata, definiše se kao adaptivna mreža.

MODELIRANJE MREŽA - OPŠTE FUNKCIJE

Razvoj diskretnih mreža konačnih elemenata na objektima podrazumeva definisanje osnovnih elemenata: tačaka, linija, površina, zapremina, čvorova i konačnih elemenata. Nad geometrijskim elementima modela obavljaju se operacije generisanja sastavnih elemenata diskretnih modela, primenom odgovarajućih softverskih alata. Postavljanje (konstruisanje) čvora u proizvoljnoj tačci prostora (x,y,z), u opštem slučaju dato je specificiranom naredbom IK3-01. Programska naredba za za kreiranje konacnog elementa:

IK3-01: Kreirati čvorove (konačnog elementa) (Create 'odes) IK3-05: Kreirati konačan element (Create Element)

GENERISANJE UNIFORMNIH MREŽA

Kada se na objektu razvija mreža sa topologijom koja je tačno unapred odredjena, definiše se površina na kojoj se izvodi operacija. Naredni korak je izbor alata za generisanje mreže. Generisanje mreže na proizvoljnoj četvorougaonoj ploči, što je navedeno funkcijom:

IK3-08: Kreirati mrežu izmedju uglova - temena (Create Mesh between Corners)

Ova funkcija zahteva unošenje oznake čvorova i broj elemenata u pravcima lokalnih osa (s) i (r) koji se generišu mrežom. Kada se generisanjem dobijaju proporcionalni ili identični konačni elementi, takva mreža se naziva uniformna. Za ploču na slici 3.17-a, zadata su temena N25, N2, N3, N1 i podela 4 x 4 elemenata. Ukoliko se funkcija ponovi na elementima E9, E10, E13, E14, sa istim parametrima, (posle odklanjanja koincidentnih čvorova i elemenata i renumeracije mreže), nastaje model mreže prikazan na slici 3.17-b. Ovaj model sa 28 elemenata ploče odlikuje se gušćom mrežom koja omogućuje precizan unos spoljašnjeg uticaja, manji stepen aproksimacije u analizi uticaja, bolji (detaljniji) prikaz polja napona i deformacija. Prelaz iz krupnijih u sitnije elemente mora naknadno da se dotera. 1 Osnosimetričan konačan element je ravanski element za osu u istoj ravni.


Slika 3.17-a,b Primeri generisanja uniformnih mreža

Procedura generisanja mreže složenija: Tako, recimo, kada se generiše mreža na prstenastoj ploči, bira se pomoćna funkcija za konstruisanje, kojom se generišu kontrolne tačke mreže:

IK3-09: Kreirati dimenziju mreže uzduž kriva na površini (Create Mesh Size along Curves on Surface) (3.33)

Ovom funkcijom se postavljaju kontrolne tačke po celoj konturi, izabrane gustine u cirkularnom i radijalnom pravcu. Kontrolne tačke omogućuju pravilno rasporedjivanje elemenata mreže. Kontrolne tačke su postavljene i simbolički prikazane na modelu, kod svakog softvera. Tek sada može se postaviti zahtev za kreiranje mreže na površini:

IK3-10: Generisati mrežu na površini (Generate Mesh on a Surface) (3.34) IK3-11: Generisati parametre veličine mreže (Generate Mesh Size) (3.35)

Slika 3.18 Generisanje ravanskih četvorougaonih konačnih elemenata u polarno-cilindričnom koord. sistemu

Slobodne mreže: Kod neautomatskih procedura kada se generišu SLOBODNE FORME MREŽA (free mesh), mora se poznavati tačnost modeliranja iz iskustva grupe predhodno izvedenih modela i proračuna. Slobodno formirana mreža mora poštovati opšte principe formiranja mreža.

Generisanje mreže na zapreminskim (3D) objektima koristi opštu komandu za konstruisanje:

IK3-16: Generisati mrežu na zapremini (Generate Mesh on a Volume) Korišćenjem komande na objektu (posteljica kliznog ležaja) prikazanom na slici 3.20, dobijena je mreža sa 125 - 3D konačnih elemenata (solid brick), 312 čvora i 936 stepeni slobode kretanja. Podešavanje kvaliteta rešenja preko veličine konačnih elemenata poznato je još kao h-size parametar. Kod poluautomatskog generisanja mreža, moguće je veličinom osnovnog elementa, definisati gustinu mreže.

1 2 3 4

56

789

1011

12

13

14

15

16

1

2

3 4 5 6

78

910

111213

1415

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

X

Y

Z

1 2 3 4

56

78

910

11

12

1314

1516

1718

1920

2122

2324

2526

2728

1

2

3 4 5 6

78

910

1112

1314

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

2526

2728

2930

3132

33

34

3536

3738

39

40

41


Slika 3.20 Primer generisanja uniformne mreže na 3D objektu

AUTOMATSKO GENERISANJE MREŽA

Automatsko generisanje mreža konačnih elemenata koristi se za realizaciju obimnih zadataka kakvi su industrijski problemi sa više desetina hiljada konačnih elemenata. Te instrukcije se u softveru nalaze pod opštim navodima:

IK3-21: Automatski generisati granice mreže (Automatically mesh generation boundaries) Automatski kreirati mrežu (Auto_Create)

Specifikacija argumenata mreže IK3-21: Način generisanja mreže (pravilna, adaptivna),

Veličina elementa u mreži (h-size), Broj elemenata u pravcima mreže, Nagib elemenata u mreži (biasing), Veličina globalnog i lokalnog elementa slobodne mreže, Multiplikatori dužine za slobodne mreže, Dužina elementa na bazi zakrivljenosti forme (Curvature-Based Element Length)

Automatska generacija mreže konačnih elemenata zasnovani su na sledećim postupcima:

A. Upravljanju razvojem mreže, B. Tehnikama ravnanja mreže na objektu, C. Metodama za izbor oblika i vrste elementa

Slika 3.23 Uniformna - kontinualna mreža iste forme konačnih elemenata

X

Y

Z


Slobodne mreže imaju veću slobodu u smislu rasporedjivanja granica elemenata. Slobodne mreže se specificiraju parametrom globalne veličine elementa, lokalne veličine

elementa, brojem elemenata u krivini i multiplikatorom veličine elemenata u mreži. Kako veličina ivice konačnog elementa, predstavlja deo cele dužine ivice modela, to se

ova specifikacija definiše veličinom elementa u odnosu na celu konturu i poznata je kao h-specifikacija. Parametar za ovu specifikaciju je broj tačaka na konturi. Uobičajeno se definiše od 20 do 30 elemenata:

Slika 3.24 Definisanje tačaka na konturi - predgenerisanje elemenata za ocenu gustine mreže

Drugi parametar razvoja mreže podrazumeva definisanje maksimalnih geometrijskih

odnosa medju samim elementima u mreži. Idealno je da su konačni elementi iste veličine, ali se od ovog zahteva odstupa da bi se dobila mreža potrebne gustine na kritičnim lokacijama. Zato je uveden parametar nagiba (biasing2) elementa prema centru ili krajevima konture (3.0 i više). Ovaj parametar odredjuje zgušćenje trajektorija ivica konačnih elemenata u pravcu razvoja mreže. Njime je odredjena brzina prelaska diskretne strukture iz krupnog konačnog elementa na kraju površine u sitan element u prelaznoj zoni.

POJAM ADAPTIVNIH MREŽA

Analiza tačnosti po delovima kontinuuma, pokazuje nejednaku grešku lokalnih zona. Promena tačnosti objašnjava se kao neadekvatnost postavljene mreže da prati nagle promene (gradijente) napona i defrmacija. Radi toga se modeliraju uniformne mreža veće gustine, kako bi se umanjila greška analize, što direktno dovodi do skupih diskretnih modela sa velikim brojem stepeni slobode kretanja. Danas su razvijene tri grupe adaptivnih postupaka:

1. h - adaptivni postupak, 2. p - adaptivni postupak, 3. h-p adaptivni postupak

H-adaptivni postupak rekurzivnim algoritmom menja topologiju mreže, prema gradijentu deformacija ili napona. Posledica je direktna promena veličine konačnih elemenata, po čemu je i postupak dobio ime. Adaptivna mreža pri tome ima guste konačne elemente, malih dimenzija u zoni velikih deformacija, pa se u suštini, broj konačnih elemenata u odnosu na polaznu mrežu povećava. Enormno uvećanje broja elemenata je loša osobina modela čak i kada se raspolaže moćnim računarskim resursima.

2 Termin softverskog paketa I-DEAS koji predstavlja odnos dužine vektora centra kosine i upravne ivice elementa.

X

Y

Z


H-adaptivni postupak odredjuje grešku polazne mreže na bazi koje izračunava novu

veličinu konačnog elementa u posmatranoj zoni, sa ciljem zadovoljenja postavljene tačnosti. Razlika egzaktnih rešenja pomeranja i napona u,σ i odgovarajućih aproksimativnih rešenja pomeranja i napona σ,u , predstavlja grešku pomeranja e i grešku napona eσ, koje se definišu relacijama 3.46-a,b:

,ˆe ,uueu σ−σ=−= σ (3.46-a,b)

Mnogo direktnija mera greške se može definisati preko norme greške, označene

indeksom L2. U ovim izrazima, L je matrica diferencijalnih operatora, V-zapremina kontinuuma a D matrica elastičnih osobina materijala. Norma greške za deformacije i napone, definisana je jednačinama 3.49-a,b, [51].

2/1

V

T2L

2/1

V

T2L

dVeee ,dVeee

⋅⋅=

⋅⋅= ∫∫ σσσ , (3.49-a,b)

Norme greške iz jednačina 3.49, odnose se na ceo analiziran kontinuum. Kvadrat norme

celog kontinuma, može se predstaviti sumom pojedinačnih kvadrata normi konačnih elemenata:

,ee

2

i

m

1i

2∑=

= (3.50)

Strategija generisanja h-adaptivne mreže, definiše algoritam za pojedinačno odredjivanje veličina konačnih elemenata pri čemu je ispunjen uslov da je greška ravnomerno rasporedjena po kontinuumu i da je manja od zadate greške ηdop.

Ukoliko je polazna veličina konačnog elementa hi, za koji je odredjen količnik greške ξi,

primenom interpolacione funkcije stepena p, može se odrediti korigovana dimenzija konačnog elementa sa aspekta zadate tačnosti hi NOVO, prema relaciji 3.55.

,

hh

p

1

i

iNOVO i

ξ

= (3.55)

P-adaptivni postupak ne menja topologiju postavljene mreže u zonama visokih gradijenata deformacija i napona već podešava stepen interpolacionih polinoma konačnih elemenata. Na taj način se adaptivna mreža formira od konačnih elemenata promenljivog stepena interpolacionih funkcija. Program NISA II/DISPLAY II, namenjen za linearnu i nelinearnu analizu (EMRC), ima automatsko povećanje stepena polinoma do vrednosti p=8.


PRIMER: Na slici 3.30 pokazan je rezultat rada klasičnog modelera po h-metodi i modelera po p-metodi.

Tabela 3.3

FINA JEDNOLIK

A MREŽA

ADAPTIVNA MREŽA

TROUGAONI EL.

P-METOD TROUGAONI

EL. (P=5)

P-METOD ČETVOROUG.

EL. (P=5)

Broj elemenata mreže

2890 176 46 8

Čvorova po konačnom elementu

3 6

6

6

8

NAPON σ u tački D

4936 5819

5773 6008 6211

Greška u odnosu na tačno rešenje %

16.9 2.1

2.8

1.1

4.5

VREME rešavanja sec CP 386/20 MHz

297 2417

90

99

38

Slika 3.30 Uporedan pregled načina rada modelera firme STRUCTURAL RESEARCH A'D A'ALYSIS CORPORATIO' - S. MO'ICA, USA

Fina uniformna mreza Adaptivna mreza

P-postupak sa cetvorougaonim elementima

P-postupak sa trougaonim elementima




MAŠINSKI FAKULTET NIŠ CAD TEHNOLOGIJE - GODINA 2010-2011 - DR MIOMIR JOVANOVIĆ, RED.PROFESOR 1

Predavanje 9

CAD-FEM ANALIZE Primer-1: ANALIZA ZATEGE SA OTVOROM

Ĉesto aktuelan problem je koncentracija napona zategnutih elemenata. Ovaj primer tretira zategu sa otvorom usled ĉega

nastaje koncentracija napona na promenljivoj geometriji. Zatega je dimenzija 400.x 80.x 5. mm, otvora D=40. mm. Izradjena je od

Ĉ0561, modula elastiĉnosti E=20600. kN/cm2, Poisson-ovog koeficijenta =0.3. Spolja je uneta sila od 40000, N, odnosno

ravnomerno opterećenje q=1.000.000, N/m. Izabrana je automatska generacija mreţe unutar zadatih granica. Slika 1 pokazuje

model, sa osloncima i zateznim silama u fazi slobodnog generisanja mape elemenata na konturi. Definisana mapa je simbolizovana

taĉkastom formom na granici kontinuma. Kod upotrebe slobodno formiranih mreţa konaĉnih elemenata, potrebno je dokazati

taĉnost ili pokazati konvergenciju grupom uzastopnih modela. To se realizuje kod površinskih geometrijskih modela, sa dve

uzastopne mreţe. Druga mreţa u odnosu na prvu ima dvostruko uvećanje gustine u pravcu svake koordinatne ose. Polazni model

najmanje gustine (oznaĉen sa mreža-1) ima slobodno izabran broj konaĉnih elemenata 40 x 10 x 24 na konturi otvora. Slika 2.0

pokazuje topologiju slobodno formirane mreţe mreža-1. Na bazi polaznog modela mreža-1 i pravila o uzastopnim mreţama, nastala

su naredna dva modela mreža-2 i mreža-3. Model sa mrežom-2 ima 100x20x32 elementa ploĉe. Model-3 ima 200x40x 64 elementa

ploĉe. Slike 3.0 i 4.0.

Slika 1.0 Geometrijski model zatege sa otvorom

Definisanje mape (broja) elemenata na granicama kontinuma 100x20x32(otvor)

Slika 2.0 Topologija slobodno formirane mreže 40x10x24 polaznog modela mreža-1

Slika 3.0 Topologija modela slobodno formirane mreže 100x20x32(otvor)

Slika 4.0 Topologija modela slobodno formirane mreže 200x40x64(otvor)

Maksimalna gustina od 200x40 elemenata na zategi dimenzija 400. x 80 mm, dala je proseĉnu veliĉinu osnove elementa od

2. x 2. mm. Obzirom na debljinu od 5. mm, najsitniji elementi ploĉe izabrani za analizu, bliţi su geometriji zapreminskih elemenata -

solida. Radi ocene prednosti solida nad površinskim konaĉnim elementima ploĉe, formiran je ĉetvrti model oznaĉen sa mreža-4.

Topologija lica ĉetvrtog modela, preuzeta je sa modela mreža-2. Projektovanjem po dubini (estrudiranjem), topologije modela

mreža-2, dobijeni su zapreminski konačni elementi. Proraĉun je izveden programom ALGOR, sa karakteristikama, datim u tabeli 1.

2 PRAKTIĈNE INŢINJERIJSKE PRIMENE

Tabela 1

Model analize mreža-1 mreža-2 mreža-3 mreža-4 Tip elemenata: 2D ploĉa 2D ploĉa 2D ploĉa 3D solid

Broj elemenata: 662 2215 8569 2215

Broj ĉvorova: 721 2346 8823 4692

Broj stepeni slobode: 4260 13950 52692 13950

Maks. duţina elementa L MAX mm 10. 4. 2. 4.

Min. duţina elementa L MIN mm 4.5 1.9 0.9 1.9

Debljina elementa d mm 5. 5. 5. 5.

Rezultat proračuna:

Pomeranje kraja zatege x mm

0.2174 0.2214 0.2223 0.22135

Maksimalni napon u pravcu ose

zatege u otvoru 11 kN/cm2

39.3650

41.7811

42.8416

42.7565

Teorijska vrednost napona po

Howlandu H kN/cm2

43.

43.

43.

43.

Odstupanje 11 numeriĉkog

rešenja od teorijskog H %

8.4535

2.830

0.3684

0.5663

Objektivnost numeriĉkih rezultata je ocenjena i prema R.C.J.Howlandu, koji je 1930. istraţio ovaj zadatak i našao maksimalni

napon u otvoru (u najbliţoj taĉki spoljnoj ivici) da je 11 4.3q. U ovom izrazu, q je ravnomerno spoljašnje opterećenje. Teorijska

vrednost Howland-ovog napona prema podacima ovog primera je 43.0 kN/cm2. To je vrednost kojoj teţe numeriĉka rešenja ovog

primera.

Zaključci iz poredjenja: Model mreža-1 je najgrublji sa relativno velikim odstupanjem od teorijske vrednosti: Kako i od

prvog susednog rešenja mreža-2 znaĉajno odstupa, moţe se eliminisati. Svi ostali modeli su sa znaĉajno manjim odstupanjem i

shodno potrebama i zahtevu taĉnosti, mogu se izabrati. Oĉigledna je prednost mreža-4 modela sa solidima: Uz isti broj stepeni

slobode kao i model mreža-2 ima oko pet puta veću taĉnost. Taĉnost je uslovljena adekvatnijim interpolacionim funkcijama za

zadatu mreţu-4, sa zapreminskim izoparametarskim osmoĉvornim konaĉnim elementima.

Slika 5 pokazuje deformaciju modela mreţa-3, sa poloţajem otvora zatege pre deformacije. Naravno, da bi bilo uoĉljivo,

postprocesorski je uvećana deformacija do karikaturalnog nivoa. Slika 6 pokazuje sloţeni, Von Mises-ov napon:.

Slika 5.0 Detalj deformacije mreže u zoni otvora 200x40x64(otvor)

Slika 6.0 Detalj Von Mises-ovih napona modela 200x40x64

Primer 2: Statička CAE-FEA ANALIZA KUKE DIN 15407

Zahvatanje najvećih tereta se izvodi lamelastim kukama. Geometrijska sloţenost kuke, nameće zahtev taĉnog odredjivanja

napona po celom kontinumu. Za analizu je izabrana proizvoljna kuka iz DIN 15407 standarda, nosivosti 160 tona, visine 2660 mm,

sa osam lamela pojedinaĉne debljine 25 mm, prema slici 7. Potrebno je proraĉunati napone i odrediti procenjenu grešku modela.


Slika 7. Lamelasta kuka nosivosti 160 tona DIN 15407

Slika 8. Mreža lamelaste kuka sa 2660 zapreminskih konačnih elemenata1

Slika 9 Slika procenjene greške usled aproksimacija modela sa 2660 elemenata

Osnova za razvoj modela mreţe konaĉnih elemenata je geometrija lamelaste kuke. Na bazi te geometrije izabrana je

osnovna dimenzija 3D osmočvornog konačnog elementa od 40. mm. Programom ALGOR, generisana je mreţa konaĉnih elemenata,

tako da se umanjenjem osnovnih dimenzija, moţe da generiše kontura otvora za zakivke 31 mm, rasporedjenih na 13 lokacija.

Tako je dobijena mreţa Modela-1 sa 2660 konaĉnih elemenata, prikazana na slici 8. Proraĉun takodje izveden programom ALGOR,

dao je rešenja prema tabeli T-2. Maksimalni ĉvorni Von-Mises-ov napon je 13.6552 kN/cm2. Proraĉun maksimalnog relativnog

normalizovanog odstupanja pokazao je sliku rezultata prema slici 9. Dobijeno je maksimalno relativno normalizovano odstupanje

Von-Mises-ovog napona od 30 % na mestu unutrašnje krivine kuke, ispod horizontalnog preseka krivog dela kuke. Na bazi ovog

odstupanja postavljen je zahtev poboljšanja kvaliteta taĉnosti proraĉuna umanjenjem aproksimacija.

Tabela T-2 Model-1 Model-2 Teorijska vrednost

Broj elemenata 2660 5723

Broj ĉvorova 5674 11888

Broj stepeni slobode (SSK) 17006 35618

Maksimalni Von-Mises napon

VM MAX kN/cm2

13.6552

13.6954

33 MAX = 13.24702

Maksimalna relativna normali-

zovano odstupanje %

30.

20.

Na bazi Modela-1, razvijen je Model-2 koji se karakteriše rafiniranijom mrežom od 5723 konaĉna elementa.

Karakteristike ove analize takodje pokazuje tabela T-2. Maksimalni ĉvorni Von-Mises-ov napon je 13.6954 kN/cm2. Maksimalno

relativno normalizovano odstupanje pokazano je na slici 10. Raspored Von-Mises-ovih napona Modela-2 pokazan je na slici 11.

Dobijeno je maksimalno relativno normalizovano odstupanje Von-Mises-ovog napona od 20 % na mestu vrata sa otvorom 300

mm u zoni postavljenih oslonaca kuke. Maksimalno relativno normalizovano odstupanje Von-Mises-ovih napona na unutrašnjoj

krivini kuke, ispod horizontalnog preseka krivog dela kuke je smanjeno na 18 %. Umanjenje procenjene greške modela postignuto je

finijom mrežom u kritiĉnim delovima kuke. Ova ocena greške izvedena je prema ekstremnom lokalnom naponu prema kriterijumu

maksimalnog relativnog normalizovanog odstupanja. Procenjena greška Von-Mises-ovog napona prema kriterijumu relativnog

odstupanja od prosečnih vrednosti Von-Mises-ovih napona, dala je skladno maksimalno odstupanje od samo 5.66 % na osnovu

ĉega se moţe prihvatiti i taĉnost Modela-1. Model-2 ima manje relativno odstupanje (procenjenu grešku) u odnosu na proseĉne

vrednosti što je oĉigledno na bazi poredjenja topologije mreţa Modela-1 i Modela-2 u kritiĉnim zonama kontinuuma.

1 Kreirao dipl.inţ. Danko Mijajlović, MFN, 1997.

2 Prema teoriji savijanja krivih štapova pravougaonog preseka kuke Bx =575.x25., radijusa 205. mm,

(Proraĉun dr Z.Marinković, MFN, 1998. Niš)


Provera komponentnog napona zatezanja unutrašnje krivine horizontalnog preseka kuke, izvršena je analitički prema

teoriji krivih štapova. Dobijen je maksimalan komponentni napon (na iviĉnoj površini kuke) od 33 MAX = 13.2470 kN/cm2.

Slika 10. Slika procenjene greške usled Slika 11. Slika Von-Mises-ovih napona na

aproksimacija modela sa 5723 elementa kuki sa 5723 konačna elementa

Primer -3: FEA - ANALIZA REŠETKASTE KONSTRUKCIJE

Posmatrajmo proizvoljni rešetkasti nosaĉ. Obrazovan je od pojasnih ĉlanova i ĉlanova ispune. Analiza moţe biti grafiĉka,

analitiĉka i numeriĉka. Izabrana je metoda konaĉnih elemenata. Osnova modeliranja ove metode zasniva se na diskretizaciji strukture

na elemente, ĉvorove, oslonce i spoljašnje uticaje. Jednostavna forma trougaone rešetke sa pet polja definisana je sa 7 ĉvorova i 11

linijskih ĉlanova, jednakih duţina, tipa grede, prema slici 12. Oslonci su postavljeni na krajevima raspona nosaĉa. Oznake u

osloncima pokazuju stepene slobode kretanja tih ĉvorova (graniĉni uslovi). Koncentrisane sile su unete u donjem pojasu (u

ĉvorovima 2 i 3). Slika 12 pokazuje elastiĉno deformisanu strukturu (deblje linije) dok je polazna forma prikazana ţutim linijama.


Slika 12. Model rešetkastog nosača sa prikazom rešenja deformacija

U primeru su jednake duţine ĉlanova 1000 (mm), preseci su cevi 108./98. mm, korišćen je ugljeniĉni ĉelik C0361.

Potrebna karakteristika upotrebljenog konaĉnog elementa grede (beam) je SentVenan-ova konstanta uvijanja J430 cm4, moment

inercije savianja Ix=Iy=215 cm4, površina preseka 16.2 cm2. Zadatak je rešen programom ALGOR. Rezultati su prikazani u obliku

skraćenih sadrţaja izlaznih datoteka deformacija, sila i momenata ĉlanova, datih u daljem tekstu.

Prvi deo listinga sadrži sledeće ulazne podatke:

1. Kontrolne podatke (control information),

2. podatke o ĉvorovima (nodal data),

3. podatke o materijalu (material properties),

4. podatke o preseku štapova (area properties),

5. podatke o sluĉaju opterećenja elemenata (element load factor),

6. podatke o vezama konaĉnim elementima (element conectivity data),

7. spoljašnje opterećenje (nodal load – static),

8. podatke o jednaĉinama modela (equation parameters),

9. podatke o raspoloţivim memorijskim resursima raĉunara,

10. podatke o matrici krutosti (stiffness matrix parameters).

Izlazni podaci iz proraĉuna su dati u vidu:

11. Pomeranja i rotacija ĉvorova modela (displacement – rotations of nodes),

12. rezultata ĉvprnih i primenjenih sila (global level nodal reactions, applied forces),

13. rezultata unutrašnjih sila u modelu (element level reactions).

Prema ovim rezultatima, najveća aksijalna sila od 11.346 kN je dobijena u ĉlanu 5 (6), dok je najmanja aksijalna sila od -

11.346 kN dobijena u ĉlanu 2. Maksimalni moment savijanja od 13.359 kNcm je dobijen u ĉlanu 3. Najveće pomeranje nastaje u

taĉki 2 i 3 i iznosi -0.014671 cm.

ALGOR (C) LINEAR STRESS ANALYSIS - SSAP0H REL. 15-FEB-95 VER. 11.08-3H DATE: JULY 25,1999 TIME: 02:47 PM INPUT FILE.............re5

Model c:\algor\re5.mod on Sun Jul 25 14:45:5

1. CONTROL INFORMATION number of node points (NUMNP) = 8

number of element types (NELTYP) = 1

number of load cases (LL) = 1

number of frequencies (NF) = 0

geometric stiffness flag (GEOSTF) = 0

analysis type code (NDYN) = 0

solution mode (MODEX) = 0

equations per block (KEQB) = 0

weight and c.g. flag (IWTCG) = 0

bandwidth minimization flag (MINBND) = 0

gravitational constant (GRAV) = 1.0000E-03

2. NODAL DATA


NODE BOUNDARY CONDITION CODES NODAL POINT COORDINATES

NO. DX DY DZ RX RY RZ X Y Z T

--------------------------------- ---------------------------------- -------------------------------------------------------

1 1 1 1 0 0 0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

2 0 0 0 0 0 0 1.000E+02 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

3 0 0 0 0 0 0 2.000E+02 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

4 0 1 1 0 0 0 3.000E+02 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

5 0 0 0 0 0 0 5.000E+01 8.660E+01 0.000E+00 0.000E+00

6 0 0 0 0 0 0 1.500E+02 8.660E+01 0.000E+00 0.000E+00

7 0 0 0 0 0 0 2.500E+02 8.660E+01 0.000E+00 0.000E+00

8 0 0 0 0 0 0 0.000E+00 8.660E+01 0.000E+00 0.000E+00

PRINT OF EQUATION NUMBERS SUPPRESSED BEAM ELEMENTS

number of beam elements = 11

number of area property sets = 1

number of fixed end force sets = 0

number of materials = 1

number of intermediate load sets = 0

3. MATERIAL PROPERTIES INDEX E MU MASS WEIGHT THERMAL EXPANSION REFERENCE

DENSITY DENSITY X Y Z TEMPERATURE

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 2.06E+04 0.300 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.000E+00

4. AREA PROPERTIES AXIAL SHEAR SHEAR

A(1) A(2) A(3) J(1) I(2) I(3)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1.620E+01 1.620E+01 1.620E+01 4.300E+02 2.150E+02 2.150E+02

STRESS PROPERTIES INDEX SECTION MODULI

S(2) S(3)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 0.000E+00 0.000E+00

5. ELEMENT LOAD FACTORS

CASE A CASE B CASE C CASE D

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

X-DIR 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

Y-DIR 0.000E+00 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

Z-DIR 0.000E+00 0.000E+00 1.000E+00 0.000E+00

6. ELEMENT CONNECTIVITY DATA ELEMENT NODE NODE NODE MAT SECTN ELEMENT LOADS RELEASE CODES

NO. I J K INDEX INDEX A B C D I-END J-END NO.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1 2 8 1 1 0 0 0 0 0 0

2 2 3 8 1 1 0 0 0 0 0 0

3 3 4 8 1 1 0 0 0 0 0 0

4 5 6 1 1 1 0 0 0 0 0 0

5 6 7 1 1 1 0 0 0 0 0 0

6 1 5 8 1 1 0 0 0 0 0 0

7 2 6 8 1 1 0 0 0 0 0 0

8 3 7 8 1 1 0 0 0 0 0 0

9 2 5 8 1 1 0 0 0 0 0 0

10 3 6 8 1 1 0 0 0 0 0 0

11 4 7 8 1 1 0 0 0 0 0 0

BANDWIDTH MINIMIZATION Minbnd (bandwidth control parameter) = 1

Bandwidth before resequencing = 28

Bandwidth after resequencing = 18

Hard disk file size information for processor: Available hard disk space on drive = 2100. megabytes

7. NODAL LOADS (STATIC) OR MASSES (DYNAMIC)

NODE LOAD X-AXIS Y-AXIS Z-AXIS X-AXIS Y-AXIS Z-AXIS

NUMBER CASE FORCE FORCE FORCE MOMENT MOMENT MOMENT

2 1 0.000E+00 -1.000E+01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

3 1 0.000E+00 -1.000E+01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


ELEMENT LOAD MULTIPLIERS load case case A case B case C case D

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 1.000E+00

8. - 9. EQUATION PARAMETERS

Number of equations = 43

Minimum bandwidth = 1

Maximum bandwidth = 18

Average bandwidth = 9

Storage required (KB) = 3

Total memory allocated (KB) = 98527

Total memory free (KB) = 98526

10. STIFFNESS MATRIX PARAMETERS

minimum non-zero diagonal element = 1.5311E+02

maximum diagonal element = 6.8751E+05

maximum/minimum = 4.4903E+03

average diagonal element = 2.2644E+05

STATIC ANALYSIS - LOAD CASE = 1

11. DISPLACEMENTS/ROTATIONS(DEGREES) OF NODES NODE X- Y- Z- X- Y- Z-

number translation translation translation rotation rotation rotation

1 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -8.1790E-03

2 1.7275E-03 -1.4671E-02 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -4.0625E-03

3 5.1273E-03 -1.4671E-02 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 4.0625E-03

4 6.8547E-03 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 8.1790E-03

5 6.8268E-03 -7.8744E-03 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -5.2227E-03

6 3.4274E-03 -1.5604E-02 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

7 2.7934E-05 -7.8744E-03 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 5.2227E-03

8 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

12. GLOBAL LEVEL NODAL REACTIONS(R), APPLIED FORCES(F), & RESIDUAL(R+F)

NODE LCASE RF+ FORCE-x FORCE-y FORCE-z MOMENT-x MOMENT-y MOMENT-z

1 1 R -1.42E-14 -1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 7.11E-15

1 1 F 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

1 1 + -1.42E-14 -1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 7.11E-15

2 1 R 1.78E-15 1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -6.22E-15

2 1 F 0.00E+00 -1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

2 1 + 1.78E-15 -1.78E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -6.22E-15

3 1 R 0.00E+00 1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -3.55E-14

3 1 F 0.00E+00 -1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

3 1 + 0.00E+00 1.78E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -3.55E-14

4 1 R 8.88E-16 -1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -4.44E-15

4 1 F 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

4 1 + 8.88E-16 -1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -4.44E-15

5 1 R 5.33E-15 5.33E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 5.33E-15

5 1 F 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

5 1 + 5.33E-15 5.33E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 5.33E-15

6 1 R 3.55E-15 5.05E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

6 1 F 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

6 1 + 3.55E-15 5.05E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

7 1 R 2.66E-15 3.55E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -1.24E-14

7 1 F 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

7 1 + 2.66E-15 3.55E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -1.24E-14

8 1 R 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

8 1 F 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

8 1 + 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

13. ELEMENT LEVEL NODAL REACTIONS


Group-number Element-type Element-number Loadcase

1 2 1 1

NODE FORCE-x FORCE-y FORCE-z MOMENT-x MOMENT-y MOMENT-z

1 5.7649E+00 -2.0354E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -6.9947E+00

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

2 -5.7649E+00 2.0354E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -1.3359E+01

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00


1 2 2 1


2 1.1346E+01 -1.9429E-16 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 6.2806E+00

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

3 -1.1346E+01 1.9429E-16 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -6.2806E+00

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00


1 2 3 1


3 5.7649E+00 2.0354E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 1.3359E+01

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

4 -5.7649E+00 -2.0354E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 6.9947E+00

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00


1 2 4 1


5 -1.1345E+01 -1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -4.0567E+00

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

6 1.1345E+01 1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -1.2131E+01

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00


1 2 5 1


6 -1.1345E+01 1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 1.2131E+01

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

7 1.1345E+01 -1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 4.0567E+00

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00


1 2 6 1


1 -5.7649E+00 -9.7965E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 6.9947E+00

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

5 5.7649E+00 9.7965E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 2.4242E+00

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00


1 2 7 1


2 -1.2056E-03 1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 7.2396E+00

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

6 1.2056E-03 -1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 9.5880E-01

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00


1 2 8 1


3 5.5797E+00 9.6346E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 1.6130E-01

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

7 -5.5797E+00 -9.6346E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -1.6325E+00

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00


1 2 9 1


2 -5.5797E+00 9.6346E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -1.6130E-01

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

5 5.5797E+00 -9.6346E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 1.6325E+00

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00



1 2 10 1


3 1.2056E-03 1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -7.2396E+00

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

6 -1.2056E-03 -1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -9.5880E-01

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00


1 2 11 1


4 5.7649E+00 -9.7965E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -6.9947E+00

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

7 -5.7649E+00 9.7965E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -2.4242E+00

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

----------------------------------

End of file

Primenom teoreme L.F.Menabrea 66, o minimumu deformacionog rada na ovom rešetkastom nosaĉu, dobija se sistem od

13 algebarskih jednaĉina. Koristeći simetriju nosaĉa i opterećenja, moţe se pokazati da aksijalne sile imaju sledeće vrednosti i

odstupanja: F1=F3=5.77350 kN (=0.149 %), F2=11.547 kN (=1.740 %), F6=F11=-11.547 kN (=0.86 %), F8=F9=-11.547 kN

(=3.356 %), F7=F10=0., F4=F5=11.547 kN (=1.749 %).

Primer 4: NOSEĆA STRUKTURA DIZALICE

Opis zadatka: U klasu velikih numeriĉkih sistema spadaju zadaci metode konaĉnih elemenata sa brojem stepeni slobode kretanja preko 100.000.

Takav zadatak je ĉest kod nosećih struktura, koje su materijalno velike. Posmatrana je mosna dizalica nosivosti 28 t i raspona

13,360 m. Simetriĉnost geometrije mosne dizalice i opterećenja, dozvoljavaju korišćenje geometrijskog modela forme 14 stvarnog

objekta. Na slici 13 predstavljen je geometrijski model u diskretnoj formi. To je polovina glavnog i polovina ĉeonog nosaĉa.

Prikazana polovina glavnog nosaĉa je duţine 6515. mm, preseka HB=900/380. mm. Debljina vertikalnog lima je 6 mm,

horizontalne lamele 8. mm. Duţina prikazane polovine ĉeonog nosaĉa je 1800. mm, presek H/B=600./330. mm, debljine zidova 8.

mm. Posmatrana polovina glavnog nosaĉa ima 5 unutrašnjih popreĉnih limova za ukrućenje od torzije (dijafragme). Spojevi

horizontalnih i vertikalnih limova su izvedeni EPP postupkom sa prepustom horizontalnih lamela od 35 mm. Ĉeoni nosaĉ ima dve

unutrašnje dijafragme iz pravca vertikalnih limova glavnog nosaĉa. Kako je spoj glavnog i ĉeonog nosaĉa izveden VV zavrtnjima, to

je veza tretirana kao kompaktna, bez diskontinuiteta i bez unutrašnjih prednapona. Ukupna masa voznog vitla je 4.0 t. Maksimalna

koncentrisana sila od pritiska jednog toĉka voznog vitla je ukupno 92.0 kN i deluje vertikalno. Ova sila deluje preko šine 40.x40.

mm, koja se nalazi nad unutrašnjim vertikalnim zidom kutije glavnog nosaĉa.

Slika 13. Noseća struktura mosne dizalice (četvrtina modela) i

diskretna mreža konačnih elemenata sa prikazom deformacije

Modeliranje:

X

4xP=4x1.115 kN/cm.2

Y

Z

Y

Z

Output Set: Algor Case 1

Deformed(1.937): Total Translation

A

B

C

D


Modeliranje limova je izvedeno konaĉnim elementom ploĉe. Ukupan broj konaĉnih elemenata po visini preseka glavnog

nosaĉa je 20, po širini 10, tako da su pojedinaĉne širine elemenata 22.5 do 67.5 mm. Proseĉna duţina konaĉnog elementa na

glavnom nosaĉu je 50. mm. Na ĉeonom nosaĉu su elementi širine 22.5 do 30. mm, duţine do 82.5 mm. Zona uleţištenja toĉka (A),

na ĉeonom nosaĉu, modelirana je zapreminskim konaĉnim elementima forme ĉetvorostrane prizme, da bi mogla da odgovori jakom

koncentrisanom dejstvu. Šina koja prelazi preko celog nosaĉa, modelirana je konaĉnim elementima grede. Da bi se umanjila greška

unosa koncentrisane sile kontakta toĉkom voznog vitla, sila je predstavljena površinskim pritiskom na ĉetiri konaĉna elementa u zoni

kontakta D, slika 13 (p=F/A=F/b1b2=92./ 8.2510.=1.115 kN/cm2).

Na ovaj naĉin, dobijen je model sa 10586 konaĉnih elemenata, 10399 ĉvorova i 61.644 stepeni slobode kretanja.

Formirana topologija izvedena je sa svim sastavnim elementima realne strukture. Gustina elemenata dozvoljava uvid u naponsko

deformaciono stanje svih karakterstiĉnih elemenata i preseka. Gustina se moţe lokalno uvećati na mestima koja su interesantna za

proveru. Analitička provera deformacija metodom Clebsch-a, dala je ugib od 2.00 cm, što odstupa od numeriĉkog (1.937 cm), za

3.15 %.

Slika 14. Sekcija - presek strukture nosača dizalice u zoni dejstva opterećenja od tereta

Slika Von-Mises-ovih napona u konačnim elementima ploče

Slika 15 Sekcija - presek strukture nosača dizalice u zoni dejstva opterećenja od tereta

Slika izraženih smicajnih napona u konačnim elementima ploče

Strukturna analiza otvara mogućnost uvida napona i deformacija u svim taĉkama konstrukcije. Na slici 13 i 14 pokazan je

raspored sloţenih (Von-Mises-ovih) i tangentnih napona u sredini raspona nosaĉa. Na slici su izdvojeno prikazane susedne

dijafragme i kontaktna zona toĉka i šine. Ovaj prikaz je dobijen tehnikom korišćenja grupa konaĉnih elemenata, izometrijski

prikazanih. Ova tehnika omogućava odvajanje onih konaĉnih elemenata koji su znaĉajni za analizu ili sklanjanje onih elemenata koji

otvaraju pogled u unutrašnjost strukture.

Granični uslovi su primenjeni u zoni oslonca A, preseku B i C. Dizalica je poduprta na mestu toĉka (A), pa je ukinuta sloboda

vertikalnog pomeranja u pravcu ose Y. Pri tome su oslonci u zoni A poredjani po liniji pravca kretanja ĉeonog nosaĉa. Na ovaj našin je data

mogućnost rotacije ĉeonog nosaĉa oko ose X. Presek B ne deplanira i ne pomera se pri simetriĉnom opterećenju (ukinuta sloboda pomeranja u

pravcu ose X i rotacije oko ose Y i ose Z. Glavni nosaĉ u sredini raspona ne pomera se u pravcu ose Z niti rotira oko ose Y ni oko ose X. Graniĉni

uslovi su primenjeni u preseku B i C na sve ĉvorove konture. Graniĉni uslovi u zoni oslonca A, primenjeni su samo na ĉvorove linije kontakta toĉka

dizalice i staze.

23.46.

23.

12.23

11.47

10.72

9.96

9.204

8.447

7.691

6.935

6.179

5.422

4.666

3.91

3.153

2.397

1.641

0.8845

0.1282


Contour: Plate Mid VonMises Stress

23.46.

23.

2.285

2.057

1.829

1.601

1.373

1.145

0.9176

0.6897

0.4618

0.234

6.076E-3

-0.2218

-0.4497

-0.6776

-0.9055

-1.133

-1.361


Contour: Plate S12 Shr-Bend Stress


Slika 16. Deo strukture – veze glavnog i čeonog nosača dizalice

Slika izraženih smicajnih napona u elementima ploče usled transverzalnih sila na krajevima

Slika 17. Deo strukture – veze glavnog i čeonog nosača dizalice u zoni oslonca - točka

Slika složenih Von-Mises-ovih napona u solid elementima

3.434

3.219

3.005

2.791

2.576

2.362

2.148

1.934

1.719

1.505

1.291

1.076

0.862

0.6477

0.4334

0.2191

4.841E-3

V2

L1

C1

G8


Contour: Plate Bot MaxShear Stress

Dr Miomir Jovanović – OPTIMIZACIJA (autorizovana predavanja) 1

PREDAVANJE-10

Generacija 2010/2011

Optimalno projektovanje u mašinstvu

1.1 UVOD U OPTIMALNO PROJEKTOVANJE

PREDMET OPTIMIZACIJE (ilustrativno):

minimalna masa mašinskog sklopa, strukture, člana;

minimalna površina geometrijske forme (oblikovanja sudova),

minimalan otpor na pogonskom članu (kod minimizacije sila),

minimalna greška putanje (sinteza geometrije mehanizma),

maksimalna pouzdanost mašinskog sistema,

minimalan otpor kretanja (kod oblikovanja plašta letilica),

minimalna amplituda oscilovanja (rasporedjivanja mase vozila),

maksimalno iskorišćenje materijala (u naponskom smislu),

minimalno vreme izvršenja radnih funkcija mašina,

maksimalno iskorišćenje energije (kod sagorevanja).

DEFINICIJE OPTIMIZACIJE:

Optimizacija je postupak nalaženja najpovoljnijeg rešenja konstrukcije pri zadatim

uslovima. U teoriji optimalnog projektovanja, optimizacijom se odredjuju konstruktivni

parametri (geometrija) koji definišu ekstremna svojstva (minimum-maksimum)

posmatranih mašina.


OPTIMIZACIJA je u matem. smislu, proces nalaženja uslova koji daju ekstremne

vrednosti funkcija cilja.

OPTIMIZACIJA je primenjena naučna disciplina koja metodama matematičkog

programiranja, varijacionog računa, teorijom optimalnog upravljanja i metodama teorijske

mehanike, definiše tražena tehnička svojstva konstrukcija.

OSTALE OBLASTI: Teorija optimalnog upravljanja, Teorija dinamički optimalnih

konstrukcija, Stabilnost mašinskih sistema, Teorija otkaza (pouzdanost), su deo savremene

teorije optimalnog projektovanja i predstavljaju nadgradnju osnovne teorije.

ISTORIJSKI POSMATRANO: tri etape:

Period zdravog razuma i intuicije,

Period inženjerskih rešenja i

Period čisto analitičkih rešenja i tehničke kibernetike.

MATEMATIČKE PODLOGE OPTIMALNOG PROJEKTOVANJA:

OBLASTI: Klasična i numerička matematika, računarske i informacione tehnologije.

Newton-a i Leibnitz-a (1646-1716), su postavili osnove diferencijalnog računa.

U oblasti varijacionog računa, prve radove su dali Bernoulli, Euler (1707-1783) i Lagrange (metoda

Lagranžeovih množilaca).

Cauchy je postavio koncept neograničenog silaznog "spusta" ka minimumu.

U oblasti numeričkih metoda (Velika Britanija):

Dantzig je 1947. razvio metod optimizacije problema linearnog programiranja,

Bellman je razvio princip optimalnosti kod dinamičkog programiranja,

Kuhn i Tucker su 1951. definisali uslove za egzistenciju rešenja optimizacije.

1.2 METODE OPTIMIZACIJE U MAŠINSTVU

Slika 1.3 Metode uslovljenog nelinearnog programiranja

ZAŠTO TOLIKO METODA: Jedinstven metodološki postupak za optimizaciju konstrukcija ne postoji jer i

sami zadaci nemaju jednak matematički model. Različiti matematički

zahtevi proističu iz različitih matematičkih formulacija funkcija cilja i

funkcija ograničenja.


Metode u mašinstvu optimalnog projektovanja konstrukcija, mogu se prokomentarisati:

Metoda diferencijalnog programiranja je klasična metoda analitičke algebre kod koje se

diferenciranjem konveksnih funkcija cilja i funkcija ograničenja, dobija

ekstremum. Metode varijacionog računa se koriste kod funkcija cilja

formulisanih u integralnom obliku. Metoda maksimuma se koristi kod

funkcija cilja (FC) formiranih u obliku diferencijalnih jednačina sa

ograničenjima u vidu nejednačina. Primenjuje se kod sinteze optimalnog

upravljanja.

Metode linearnog programiranja [18] se široko koriste u planiranju i organizaciji proizvodnih sistema.

Poznata metoda linearnog programiranja je Simplex metoda [38], Koristi se

za rešavanje zadataka optimalnog rasporeda (borbenih sredstava,

transportnog problema itd). Metode linearnog programiranja se mogu

primeniti u optimalnom projektovanju ako je moguća linearna aproksimacija

problema. To je onda linearno aproksimativno programiranje.

Metode nelinearnog programiranja [8] su osnovne metode za optimalno projektovanje konstrukcija u

tehnici jer su funkcije cilja i funkcije ograničenja uglavnom nelinearne

prirode. Složenost ili prekidnost funkcija koje opisuju problem, zahteva

poboljšanje numeričke forme problema, pa se u tim slučajevima koriste

metode nelinearnog aproksimativnog programiranja.

KLASIFIKACIJA ZADATAKA OPTIMIZACIJE: Zadaci sa i bez ograničenja.

Matematičke metode: metode bezuslovne i metode uslovljene minimizacije.

1.3 MATEMATIČKE OSNOVE OPTIMIZACIJE

FUNKCIJA CILJA: Cilj optimalnog projektovanja je funkcija nezavisnih parametara optimizacije zi:

)z,,z,z,(z(z) n321F = FC (1.3.1)

Rezultat optimizacije je ekstremna vrednost funkcije cilja:

EXTR)z()z( FCFC

(1.3.2)

Ekstremna vrednost funkcije cilja odredjuje specifične osobine projektovane konstrukcije, zbog čega se

definiše optimalnom. Parametri optimizacije zi mogu biti različite fizičke i vremenske prirode.

FUNKCIJE OGRANIČENJA Gj. U matematičkom smislu, mogu biti različitog oblika:

polinoma, diferencijalnih i integralnih jednačina i mogu se uopšteno definisati:

)z,,z,z,zj()zj( n321G = G

(1.3.3)

Funkcije ograničenja: Opšte (metrički prostor) i posebne (fizičke osobine).


Na osnovu ovako definisanih funkcija cilja i funkcija ograničenja, zadatak optimizacije u matematičkom

smislu može se definisati zahtevom nalaženja takvih vrednosti nezavisnih parametara zi (u n-dimenzionom

euklidskom prostoru Z), koje funkciji cilja FC, uz ograničenja Gj (j=1q), daju ekstremnu vrednost:

q)-1=(j 0, G ,Rz = Z, Zz ,FCmin j(z)

n

)z(

MATEMATIČKI USLOV: rešivosti ovog zadatka je neprekidnost i diferencijabilnost funkcija, što se

u mašinskim sistemima uglavnom obezbedjuje vezama, uslovima

sprezanja, kontinualnošću prostiranja napona i deformacija kroz

kontinuum.

GLOBALNI OPTIMUM: Tačka Z)z( , je optimalna ako je )z()z(

FCFC za svako z Z.

Ovako odredjena tačka minimizacijom se naziva globalni optimum.

VIŠE EKSTREMUMA: Složene funkcije cilja konveksnog tipa, mogu da imaju više ekstremuma.

Jedan ekstremum je najizraženiji i to je globalni, a ostali su lokalni z .

Funkcije cilja sa više izraženih ekstremuma u matematičkom

programiranju, nazivaju se multimodalnim funkcijama. Slika 1.4

interpretira neke od navedenih pojmova u 3D prostoru.

Slika 1.4 Geometrijska interpretacija funkcija cilja

INVERZIJA ZADATKA: U realizaciji optimizacije moguće je tražiti minimume ili maksimume funkcije

cilja. Problem maksimizacije funkcije cilja FC1(z) u skupu Z, svodi se na

problem minimizacije funkcije FC2(z) posredstvom relacije:

)z(1)z(2 FCFC (1.3.5)

USLOVE EGZISTENCIJE MINIMUMA definiše Slater-ov uslov i Kuhn-Tucker-ova teorema [38].


1.4 ETAPE OPTIMALNOG PROJEKTOVANJA

Postupak optimizacije konstrukcija ima strategiju koja se može sagledati sa slike 4.5. Prvo se opisno definiše

optimizacioni zadatak (etapa 1: DEFINISANJE ZADATKA), čime se utvrdjuju nezavisni parametri i cilj

optimizacije sa realnim ograničenjima zadatka.

Naredna etapa je izbor kriterijuma optimizacije - formulacija karaktera funkcije cilja.

Kriterijumi optimizacije mogu biti: tehničke, ekonomske i tehno-ekonomske prirode.

Slika 1.5 Etape procesa optimizacije

KRITERIJUMI OPTIMIZACIJE: Mogu biti potpuno definisani. Nasuprot tome kod složenih procesa,

kriterijumi mogu dati različite ishode. Prema načinu vrednovanja, mogući su izbori sledećih kriterijuma:

Deterministički kriterijumi,

Kriterijumi statističke verovatnoće i

Kriterijumi za uslove konfliktnih situacija.

RELATIVNI KRITERIJUMI OPTIMIZACIJE: Primena univerzalnih kriterijuma (najopštijih formulacija)

nije moguća zato što to usložava računski aparat, uvećava broj parametara i zahteva iznova verifikaciju

pouzdanosti matematičkog modela. Iz tih razloga, kod kompleksnih tehničkih optimizacija, izbor funkcije

cilja nije strogo matematički već predstavlja kompromis mnoštva uticajnih faktora proisteklih iz

matematičkog modeliranja, eksperimentalnih rezultata i intuitivnih opažanja. Ovako formirani kriterijumi

optimalnosti su takozvani relativni kriterijumi optimalnosti. OPRAVDANOST: Sastavljanje kriterijuma

optimalnosti je besmisleno za slučaj postojanja dovoljno tačnih matematičkih modela.

Kod mnogih optimizacionih zadataka, ocena kvaliteta rešenja se ne vrši na osnovu samo jednog, već više

kriterijuma. Tako formirane funkcije cilja predstavljaju kompleks kriterijuma optimizacije parcijalnih

kriterijuma (ciljeva) optimalnosti. Tu složenost je moguće vektorski definisati izrazom (4.4.1):

m3210 CF,,CF,CF,CFLCF

(1.4.1)

U kompleksu kriterijuma, potrebno je definisati važnost pojedinačnih kriterijuma što se realizuje uvodjenjem

težinskih koeficijenata j. Takva proizvoljna funkcija ima oblik:


1 ;)FC

FC1(L j

2

EXTR )z(j

)z(jm

j

j),CF(

(1.4.2)

IZBOR METODE OPTIMIZACIJE: Zavisi (etapa 4) od prirode optimizacionog problema (deterministički,

stohastički, statički, dinamički), matematičke formulacije zadatka (linearan, nelinearan, sa ili bez

ograničenja, sa ili bez izvoda), broja kriterijuma optimizacije (jednokriterijumski, višekriterijumski) i

pristupa (analitičke, gde ima matematičke funkcije cilja i eksperimentalne, gde nema matematičke

formulacije funkcije cilja). Izbor metode se završava izborom softvera (algoritma).

REALIZACIJA OPTIMIZACIONE PROCEDURE (etapa 6: programska realizacija) je izvršni zadatak i

realizuje se računarom kod najvećeg broja optimizacionih zadataka. Kako matematički algoritmi za

optimizaciju obavljaju uglavnom iterativne postupke, ova etapa zahteva brze hardverske platforme, visoku

numeričku tačnost i kapacitet obrade.

KLASIČNE METODE DIFERENCIJALNOG

PROGRAMIRANJA

Zadaci bezuslovnih minimizacija

U tehničkom projektovanju koriste se metode bezuslovnih optimizacija kod zadataka gde nema funkcija

ograničenja. U slučajevima gde postoje ograničenja, moguće je primeniti ove metode uz obaveznu

interpretaciju rešenja (grafičku, funkcionalnu, logičku) čime se ocenjuje kvalitet rešenja. Takav pristup

očigledno ne vodi brzom rešavanju, ali omogućuje lakše kretanje kroz n-dimenzioni prostor nepoznatih.

Metode diferencijalnog programiranja zahtevaju da funkcije cilja budu neprekidne i diferencijabilne u oblasti

rešenja. Koriste se kod zadataka sa malim brojem parametara i malom složenošću funkcija. U opštem slučaju

se dobija sistem nelinearnih algebarskih jednačina koji se rešava računarom, nekom od numeričkih i

aproksimativnih metoda.

Klasične metode diferencijalnog programiranja definišu potreban uslov traženja ekstremuma jednačinama:

n,,3,2,1i,0z

FC

i

)z(

(2.5.1)

Karakter ekstremuma (minimum i maksimum) se ispituje proverom vrednosti (znaka) drugog izvoda za

nadjeno rešenje iz uslova (2.5.1). Tamo gde je ispunjen uslov (2.5.2) radi se o minimumu, a gde je ispunjen

uslov (2.5.3) o maksimumu.

,n,1,2,3,=i,0

z

FC

2i

)z(2

(2.5.2)

n,1,2,3,=i,0

z

FC

2i

)z(2

(2.5.3)


Metoda Lagranžeovih množilaca

Metoda Lagrange-ovih množilaca se primenjuje na više različitih postupaka determinističkog i stohastičkog

traženja minimuma. U oblasti diferencijalnog programiranja, ova metoda se može upotrebiti za traženje

ekstremuma uz prisustvo j=1m funkcija ograničenja Gj:

m),1,2,3,=(j ,0G=G )nz,,3z,2z,1zj()zj(

(2.5.8)

Nalaženje potrebnih uslova pri kojima egzistira rešenje, može se utvrditi primenom koeficijenata j -

Lagrange-ovi množioci. Lagrange-ova funkcija ima oblik:

)z( j

m

1jj)z()z( GFCL

(2.5.9)

Uslov egzistencije ekstremuma: 0

z

L

i

)z(

(4.5.10)

Uslovi (2.5.8) i (2.5.10) obrazuju sistem od m+n jednačina iz koga se odredjuje z nepoznatih i m Lagrange-

ovih množilaca j, za koje imamo ekstremnu vrednost funkcije FC(z), tj. EXTR )z()z( FCFC . Karakter

ekstremuma, odredjuju se na osnovu znaka drugog diferencijala Lagrange-ove funkcije:

n

1i

m

1k ki

)z(2m

1jj

ki

)z(2

ki

)z(2

zz

G

zz

FC

zz

L

(2.5.11)

PRIMER: Odrediti optimalnu geometriju cilindričnog rezervoara zapremine 10 m3, tako da se utroši minimalno materijala.

R

H

POSTAVKE ZADATKA: Površina omotača rezervoara je funkcija cilja optimizacije. Ova funkcija je

definisana sa dva parametra optimizacije, poluprečnikom omotača R i visinom

rezervoara H. Funkcije su neprekidne i diferencijabilne. Kako postoji jedno

ograničenje (zapremina rezervoara), problem ima tri nepoznate (R,H,λ), pa se

shodno tome može koristiti analitička metoda diferenc. programiranja (LG).


Funkcija cilja (površina rezervoara) i njeni izvodi po nepoznatim parametrima:

HR2R2PFCFCFC 2)H,R()2z,1z()z(

R2

H

FC ,H2R4

R

FC )H,R()H,R(

Funkcija ograničenja je zapremina:

010HRVHRG ,HRV 22 )H,R(

2 )H,R(

2)H,R()H,R(R

H

G ,HR2

R

G

POSTAVKA: Sada je moguće oformiti sistem jednačina za rešavanje:

010HR,0G

0RR2,0H

G

H

FC

0HR2H2+ R4,0R

G

R

FC

2)H,R(

2)H,R()H,R(

)H,R()H,R(

Opšta rešenja zadatka optimalnosti mase cilindričnog rezervoara:

.

2

V

V=H ,

2

V

2 ,

2

V=R

3

23

3

METODE NELINEARNOG PROGRAMIRANJA

U inženjerskim zadacima projektovanja optimalnih mašinskih sistema, koriste se dve grupe metoda

nelinearnog matematičkog programiranja:

1. Metode traženja minimuma po strogim procedurama. To su determinističke metode.

2. Metode do čijih se rešenja dolazi metodama slučajnog traženja (stohastičke metode).

Druga podela po pristupu IZMENE PARAMETARA je:

1. Metode jednodimenzionog traženja gde se menja samo jedan parametar i za njegovu promenu

utvrdjuje vrednost funkcije cilja.

2. Procedure višedimenzionog traženja.

Jednodimenzioni zadaci minimizacija (skeniranja):

Kod formalnog jednodimenzionog pretraživanja hiper prostora (metode skeniranja), nezavisni parametri se

odreĎuju u dopustivoj oblasti zazb i mogu se diskretno menjati sa stalnom ili promenljivom dužinom

koraka Hn. Vrednost funkcije cilja se odredjuje za diskretne vrednosti nezavisno promenljive. Izmedju dve

susedne vrednosti zK i zK+1, nepoznata je vrednost funkcije cilja. Izabrani korak promene nezavisnih


parametara Hn predstavlja interval neodredjenosti, a vrednost funkcije cilja poznata je samo na granicama

tog intervala. Broj tačaka nezavisne promenljive n u dopustivom segmentu zazb može biti veći ili manji

što zavisi od karaktera FC. Prema tome, interval neodredjenosti može se definisati:

1n

zz2H ab

n

(2.6.1)

z

F C

Dz

DF

C

Hn

m inz

zb

za

OSOBINA: Ušteda mašinskog vremena rada računara zahteva primenu većeg (krupnijeg) koraka - intervala

neodredjenosti Hn. Sa druge strane, veliki interval neodredjenosti umanjuje kvalitet nadjenog

ekstremuma, jer se on može naći unutar ovog intervala. Prema tome, optimalan izbor intervala

neodredjenosti je:

MINMAXKn hH

(2.6.2)

PROCEDURA: Metoda jednodimenzionog traženja se zasniva na podeli dozvoljene oblasti nezavisne

promenljive (a,b) na n tačaka (jednako udaljenih) i utvrdjivanju vrednosti funkcije cilja u

njima. Poredjenjem vrednosti FC u diskretnim tačkama, odredjuje se položaj traženog

ekstremuma. Očigledno da ova metoda nema privilegovanih pravaca i smerova promene

nezavisne promenljive pa se, stoga, naziva metodom formalnog-pasivnog traženja.

U identifikovanoj oblasti rešenja, smanjenjem koraka nalazi se bolje rešenje. Na taj način se interval

neodredjenosti značajno smanjuje, što daje za praktične inženjerske konstrukcije kvalitetna rešenja. Ovakav

postupak daje mogućnost rešavanja zadataka i sa većim brojem nezavisnih parametara.

Kod POSTUPNIH PROCEDURA MINIMIZACIJE, postupak izbora naredne vrednosti promenljive je

usaglašen sa rezultatime prethodne iteracije. Ove metode su mnogo efikasnije jer se u svakom koraku iterira

ka ekstremumu. Kod formalnih metoda to nije slučaj jer se njima pretražuje sav prostor i uporedjuju rešenja.

Najpoznatije metode jednodimenzionog postupnog traženja su metoda polovljenja intervala neodredjenosti,

Fibonaci metoda, metoda zlatnog preseka i druge. Ove metode su obično u sastavu programskih paketa za

minimizaciju i koriste se kada pristup mnogodimenzionog traženja ne daje rezultate.

Mnogodimenzioni zadaci minimizacije bez ograničenja

Iako su kod praktičnih zadataka gotovo uvek prisutna ograničenja, ove metode se mogu koristiti za analizu

oblasti rešenja. Njihovo obeležje je uvećana računarska procedura, što u slučaju velikog broja nezavisnih

parametara dovodi do neuspeha nalaženja rešenja. Kao i kod jednodimenzionih zadataka, mnogodimenzioni

zadaci se mogu realizovati metodama pasivnog traženja i metodama postupnog traženja.


METODA PASIVNOG TRAŽENJA odlikuje se podelom dopustive oblasti nezavisnih parametara na

jednake intervale neodredjenosti. Na ovaj način, izgradjuje se mreža u n-dimenzionom euklidskom

prostoru i u čvornim tačkama izračunava vrednost funkcije cilja FC. Slika 2.6 ilustruje dvodimenzioni

prostor, podeljen intervalima neodredjenosti na podoblasti.

Z2

=1

=1

Interval neodredjenosti

Oblast pretra`ivanja

(odredjivanje FC u ~vorovima mre`e)

Z2

Z1Z1

Slika 2.6 Mreža tačaka dvodimenzionog prostora u kojima se odredjuje FC(z)

NORMIRANJE: Uslov stabilne procedure se obezbedjuje normiranjem. To je deljenje nezavisnih

parametara zi sopstvenim intervalom promene vrednosti a-b, čime se prelazi na normirane vrednosti z :

1,2,3,...)(i ,ab

azz

ii

iii

(2.6.3)

Primer METODA PASIVNOG TRAŽENJA U MINIMIZACIJI MASE NOSAČA

Posmatrajmo kutijasti nosač dužine L, izradjen od debelih limova stabilne geometrije preseka od lokalnih

nestabilnosti, slika 2.7. Nosač je opterećen na slobodnom kraju silama FH i FV. Debljina zida je fiksna,

konstantna. Potrebno je naći optimalnu geometriju preseka BxH, tako da je masa nosača minimalna. Dat je

materijal (čelik), raspon L, sile FH i FV i dozvoljeni ugib nosača f0.

L

d

d

Slika 2.7 Kuijasti nosač tražene optimalne geometrije BxH

Izbor metode, nezavisnih parametara i odredjivanje funkcije cilja

Zadatak se može rešiti numerički, analizom mogućih kombinacija nezavisnih parametara preseka, kada je

njihov broj konačan. Postupak se onda svodi na primenu metoda pasivnog višedimenzionog traženja,

pretraživanjem ograničene oblasti rešenja brzim računarima. Prednost ove metode je u analizi tačnog modela

(bez aproksimacija) i jednostavnosti modela traženja. Sa druge strane, potencijalan broj kombinacija

diskretne geometrije može biti prihvatljiv za računar. Za funkciju cilja je izabrana minimalna masa glavnog

nosača čime se problem svodi na traženje minimalne zapremine. Približna zapreminu sandučastog nosača –

funkcija cilja:


d )HB(2LAFC )H,B()H,B( (2.6.4)

Funkcija ograničenja najvećih statičkih napona u preseku G1. Funkcija ograničenja je izvedena sa aproksimacijom da drugi naponi nisu dominantni (normalni i tangentni

naponi u šavu zavarenog spoja). Najveći totalni napon u korenu kutijastog nosača rezultat je složenog

naprezanja od savijanja i transferzalnih sila. Normalni naponi xi, yi potiču od naprezanja na savijanje.

Smičući naponi sH i sV potiču od transverzalnih - smicajnih sila. Funkcija ograničenja G1=σU1 najvećeg

uporednog napona izračunava se primenom hipoteze Huber-Misses-Hencky (1904-1924) za ravanski

problem, relacija (4.6.5a). Sredjenu funkciju ograničenja pokazuje (4.6.5b):

2

st2

yixiui )(3)( (2.6.5a)

A

F

A

F3

2

B

I

LF

2

H

I

LFG doz

22

VS

V

2

HS

H

2

yi

H

xi

V1

(2.6.5b)

Realizacija zadatka optimizacije:

Početne vrednosti parametara optimizacije H(0), B(0), oko kojih će bit formirana oblast pretraživanja (Hmin-

Hmax, Bmin-Bmax) se odredjuju iz preporučenih vrednosti geometrije preseka nosača, na bazi potrebnih

momenata inercije odredjenih iz spoljašnjih uticaja. Početne vrednosti nepoznatih optimalnih parametara su:

y2

I3

xI5

yI3B ,

y2

I3H x

x

y)0(

x)0(

d

d

(4.6.13)

d

max

m ax

Ovako definisana početna geometrija, zahteva proširenje na oblast pretraživanja, do iskustveno ekstremnih

granica u kojima može rešenje da egzistira HMAX, HMIN, BMAX

, BMIN

. Oblast promene visina i širina

nosača su izabrane u slobodnim granicama (HMAX

-HMIN

) = 50 cm, (BMAX

-BMIN

) = 50 cm. Korak promene

širine i visine nosača, B i H, DH=DB=0.5 cm, daje dovoljnu gustinu potencijalnih rešenja. Potencijalan broj

osnovnih parametara preseka nosača (n1n2) i ukupan broj mogućih kombinacija N:

n1 = (HMAX - HMIN )/ DH + 1 = (50)/0.5+1=101

n2 = (BMAX - BMIN )/ DB + 1 = (50)/0.5+1=101

.10201101101nnN 21 (2.6.15)


Algoritam programa za optimizaciju, dat je u Teoriji projektovanja konstrukcija računarom, autora

M.Jovanovića. Program je izvodljiv na PC-ju i zahteva 50 (kbyte) operativne memorije.

Rezultate optimizacija pokazuje tabela T.2. Pored dobijenih geometrijskih karakteristika preseka H, B, data

je i površina preseka A, - koeficijent rezervi naponskog iskorišćenja preseka, odgovarajući naponi 1, 4 u

tačkama 1 i 4, i vrednost funkcije cilja.

Nosivost FV`=26 kN, FH =26 kN, Raspon L=1.0 m, lim d =10 mm, Č 0561, f0=2 mm.

Dozvoljeni naponi za Č 0561 σdoz= 24 kN/cm2, σSAVA= 17 kN/cm2

H B d d1 A 1 4 FC

(mm) (mm) (mm) (mm) (cm2) (%) (kN/cm2) (kN/cm2) (cm3)

150. 150. 10. 10. 56. 0.9 14.5 14.5 5600

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – OPTIMIZACIJA (AUTORIZOVANA PREDAVANJA) 1

Generacija 2010/2011

Predavanje - 11

GRADIJENTNE METODE

Najopštija ideja postupka za minimizaciju nelinearne funkcije cilja zasniva se na daljem

kretanju ka ekstremumu, shodno osobinama funkcije cilja iz prethodnog stanja (tačke).

Te osobine su vrednosti funkcije cilja FC i nezavisni parametri zi. Poredjenje vrednosti

funkcije cilja u prethodnoj i trenutnoj tački omogućuje izbor pravca dalje promene

nezavisnih parametara. Na bazi ovog generalnog pristupa razvijene su brojne metode za

minimizaciju. Najopštija podela klasifikuje sve metode u dve grupe:

A. METODE BEZUSLOVNE MINIMIZACIJE SA TRAŽENJEM IZVODA (GRADIJENTA)

Metoda najbržeg spuštanja na bazi linearne aproksimacije funkcije FC (Cauchy,

Curry, Goldstein, Poljak, Kaнтoрoвич, Aкилов) 38.

Newton-ova i modifikovana Newton-ova metoda na bazi kvadratne

aproksimacije (Poljak, Goldstein, Ritter, Riter & Mc Cormick ) 38.

Metode konjugovanih gradijenata: (Flecher & Reeves, Pilak & Ribiere,

Poljak,Wolfe)38.

Metode promenjive metrike (Davidon, Fletcher & Powell, Barns i drugi ) 38.

B. METODE BEZUSLOVNE MINIMIZACIJE BEZ TRAŽENJA IZVODA (Primenjuje se za nalaženje minimuma funkcija nepogodnih za diferenciranje.)

Metoda lokalnih varijacija (Баничук, Petrov & Чeрноуско ).

Powell-Zangwill-ova metoda (Powell, Zangwill ).

МАТЕMATIČKE OSNOVE

Prvi parametar - Parametar pravca:

Zadržavajući se na gradijentnim metodama, može se pokazati razvijanjem u

Tayler-ov red, da je naveća vrednost funkcije cilja u pravcu gradijenta. Zato se

nezavisno-promenljive menjaju u pravcu n(k) (3.6.16b), koji se odredjuje

izračunavanjem gradijenta funkcije cilja FC u tački z(k):

i0

n

1i i)k( e

z

FCCF)CF(gradG

(3.6.16a)

)CF(grad

)CF(gradn )k(

(3.6.16b)

2 4. OPTIMIZACIJA

Slika 1. Geometrijska interpretacija gradijenta G

U ovoj jednačini, sa e

0i su označeni jedinični vektori u koordinatnim

pravcima. Osobina gradijenta je da ima pravac ka maksimalnoj vrednosti posmatrane

funkcije. Zato se kretanjem u pravcu gradijenta najbrže dolazi do ekstremuma funkcije

cilja FC. Geometrijska interpretacija je data na slici 1.

Drugi parametar kojim se definiše traženje ekstremuma je korak (k). Dovoljno

malim korakom se vrlo tačno može prići ekstremumu, ali to uslovljava duge računske

procedure. Veće vrednosti koraka promene (k) smanjuju tačnost a često dovode do

beskrajnog iteriranja u zoni ekstremuma. To se u dvodimenzionom koordinatnom

sistemu može grafički interpretirati površinom funkcije cilja FC1, prikazanom

posredstvom izolinija (FC(z)=const.), slika 2.

Najpovoljnije kretanje ka ekstremnim vrednostima se postiže promenljivim

korakom koji je proporcionalan promeni funkcije cilja FC. Kada se koristi konstantan

korak, vrednost promene nezavisnog parametra z(k) u tački k se odredjuje:

n1=i ,

z

FC

z

FC

zGcosz

n

1i

2

)k(i

)k(z

)k(i

)k(z

)0(i)k(i

(4.6.17)

U praktičnim traženjima ekstremuma, računski model obično ne zadovoljava

teorijski definisan uslov za zaustavljanje procedure traženja (3.6.18). Zato se uvodi

tolerancija promene gradijenta u dvema uzastopnim iteracijama traženja o (3.6.19).

1 U n-dimenzionom euklidskom prostoru, površina funkcije cilja se naziva "hiper" površina.


n-1=i ,0z

FC

i

)iz(

(3.6.18)

0

n

1i i

)iz(

z

FC

(3.6.19)

Paralelno sa ovim kriterijumom, postavljaju se i drugi kriterijumi kao kriterijum

promene funkcije cilja u uzastopnim iteracijama 1 (3.6.20) ili grupi iteracija. Time se

pouzdano zaustavlja iteriranje koje ne daje promenu funkcije cilja FC.

1)k(zi)1k(zi FCFC (3.6.20)

Slika 2. Iterativno nalaženje optimuma

Kod inženjerskih konstrukcija, poznatog i proučavanog tipa, unapred je sigurno

postojanje optimuma. Kod nekih novih modela, manje izučenih i matematički složenih,

potrebno je proveriti egzistenciju ekstremuma. U tu svrhu se obično koristi provera us-

lova Khun-Tucker-a, kojim se utvrdjuje egzistencija sedlaste tačke, odnosno, doka-

zuje konvergencija rešenja. Prednost gradijentnih metoda je u njihovoj jednostavnosti

i mogućnosti minimizacije različitih klasa funkcija cilja. Kako se odlikuju sporom kon-

vergencijom, za njih su razvijene metode za ubrzanje procedure. Kombinacijom sa dru-

gim metodama za traženje oblasti rešenja, ove metode omogućavaju nalaženje kvalitet-

nih minimuma u pravcu antigradijenta2.

Konjugovani gradijentni metod

Konjugovani gradijentni metod postavili su R. Fletcher i C. M. Reeves 1964.

Njihovom metodom se odredjuje pravac traženja (s) linearnom aproksimacijom -

FC(z). Vrednost antigradijenta definiše pravac i smer iterativne promene funkcije cilja -

minimizacije FC. Korekcija pravca se vrši na osnovu trenutne i prethodne vrednosti

2 Antigradijent se karakteriše istim pravcem a suprotnim smerom od smera gradijenta i vodi ka minimumu

funkcije za koju je izračunat gradijent. Termin antigradijent se koristi kod minimizacionih procedura.

4 4. OPTIMIZACIJA

gradijenta funkcije cilja FC, odredjivanjem težinskog faktora korekcije pravca k.

Gradijent funkcije cilja u polaznoj tački z(0) je:

0zFC )0(s

(3.6.21)

Gradijent funkcije cilja u novoj tački z(1) je:

)0(s1z

FC )1(s 1

(3.6.22)

1 je skalarna vrednost težinskog faktora promene pravca i on se izračunava:

00

11

zFC

zFC T

zFC

zFC T

1

(3.6.23)

Procedura se završava kada je ispunjen uslov: ks

< . (3.6.24)

PROGRAM GRAD

Glavni program GRAD 8, aktivira rad celog algoritma. U okviru njega se definišu početne nule

zi(0), broj nezavisnih parametara N i način praćenja toka minimizacije (IPRINT=1 ceo tok

minimizacije, IPRINT=2 samo rezultati). Potprogram MINI definiše Flecher-Reevs-ov algoritam

minimizacije. Potprogram odredjuje težinske faktore promene (konjugacije) pravca. Ovim

potprogramom se kontroliše tok minimizacije i daju izveštaji o situaciji zadatka u realizaciji.

Potprogram CONVRG kontroliše stanje konvergencije i utvrdjuje promene funkcije cilja na kraju

svakog iterativnog koraka. Potprogram SEARCH upotrebljen je za bezdimenziono traženje

metodom zlatnog preseka. Potprogram FUN služi za definisanje funkcije cilja FC(zi).

Potprogram DER služi za definisanje analitičkih izraza izvoda funkcije cilja Gi=dFC/dzi.

PRIMER:

Data je funkcija cilja C. F. Wood-a, WESTINGHOUSE RESEARCH LABORATORY

(COLVILLE, IBM N. Y. Sci. Center Rept. 320-2949, June, 1968.):

FC =100.z(2) - z(1)z(1)2 + 1. - z(1)2 + 90.z(4) - z(3)z(3)2 + 1.-z(3)2+

+ 10.1z(2)-1.2 + 10.1z(4) - 1.2 + 19.8z(2) - 1.z(4) - 1.

Polazna tačka: Z(1)o=-3. Z(2)o=-1. Z(3)o=-3. Z(4)=-1. FZ(o)=19.192

REZULTAT:

Vreme proračuna: T= 56 sec, Računar: PC 386 DX-40 MHz, Broj iteracija: N= 281

Nadjen minimum funkcije: FC=0.26902E-08,

Tačan minimum funkcije: FC = 0.0000000

Optimalne vrednosti parametara: Tačne vrednosti parametara:

Z(1)= 1.0000260 z(1)= 1.0000000


Z(2)= 1.0000520 z(2)= 1.0000000

Z(3)= 0.9999724 z(3)= 1.0000000

Z(4)= 0.9999447 z(4)= 1.0000000

Slika C1.1 Globalni koncept programa GRAD

C LISTING PROGRAMA ZA BEZUSLOVNU MINIMIZACIJU FUNKCIJE CILJA C primenom konjugovanog gradijentnog metoda 8

C Autori: R. FLETCHER - C. M. REEVES-a, COMPUTER J., 7:149(1964)

C PROGRAM GRAD - gradijentni metod instaliran 1991.

PROGRAM GRAD

COMMON /ONE/ X(10),Y(10),S(10),FX,FY

COMMON /THREE/ N,NFUNCT,NDRV,ITER,INDIC,IPRINT

C Funkcija F(Z) data u potprogramu FUN.FOR a njeni izvodi u potprogramu DER.FOR.

C Početne vrednosti X(1-N):

X(1)= -3.

X(2)= -1.

X(3)= -3.

X(4)= -1.

N=4

NFUNCT=0

NDRV=0

INDIC=1

IPRINT=1

CALL MINI

STOP

END

C

SUBROUTINE FUN(Z,FZ)


DIMENSION Z(10)

C Testiranje izvršeno na funkciji C. F. Wood, Westinghouse Research Laboratory

C (Colville, IBM N. Y. Sci. Center Rept. 320-2949, June, 1968.).

FZ=100.0(Z(2)-Z(1)Z(1))2.+(1.-Z(1))2.+

A 90.0(Z(4)-Z(3)Z(3))2.+(1.-Z(3))2.+

B 10.1(Z(2)-1.)2.+ 10.1(Z(4)-1.)2.+

C 19.8(Z(2)-1.)(Z(4)-1.)

NFUNCT=NFUNCT+1

RETURN

END

C

6 4. OPTIMIZACIJA

SUBROUTINE DER(Z,GZ)

C Potprogram izvoda funkcije FZ, koji su označeni sa GZ.

C Testiranje izvršeno na primeru M. J. D. Powell, Computer J., 5:147 (1962).


DIMENSION Z(10),GZ(10),TM(10)

TM(1)= Z(2)-Z(1)Z(1)

TM(2)= 1.-Z(1)

TM(3)= Z(4)-Z(3)Z(3)

TM(4)= 1.-Z(3)

TM(5)= Z(2)-1.

TM(6)= Z(4)-1.

GZ(1)=-400.Z(1)TM(1)-2.TM(2)

GZ(2)= 200.TM(1)+20.2TM(5)+19.8TM(6)

GZ(3)=-360.Z(3)TM(3)-2.TM(4)

GZ(4)= 180.TM(3)+20.2TM(6)+19.8TM(5)

NDRV=NDRV+4

RETURN

END

C

SUBROUTINE CONVRG(GY,IPASS)



DIMENSION GY(10)

XTOL=0.00001

FTOL=0.00001

GTOL=0.0001

C Kontrola vrednosti funkcije.

IF(ABS(FX).LE.FTOL) GO TO 10

IF(ABS((FX-FY)/FX).GT.FTOL) GO TO 60

GO TO 20

10 IF(ABS(FX-FY).GT.FTOL) GO TO 60

C Kontrola probne tačke.

20 DO 40 I=1,N

IF(ABS(X(I)).LE.XTOL) GO TO 30

IF(ABS((X(I)-Y(I))/X(I)).GT.XTOL) GO TO 60

GO TO 40

30 IF(ABS(X(I)-Y(I)).GT.XTOL) GO TO 60

40 CONTINUE

C Kontrola gradijenta.

DO 50 I=1,N

50 IF(ABS(GY(I)).GT.GTOL) GO TO 60

C Svi kriterijumi konvergencije su zadovoljeni.

IPASS=1

RETURN

C Konvergencija nije ostvarena.

60 IPASS=2

RETURN

END

C

SUBROUTINE MINI C Fletcher-Reeves, Metod konjugovanih pravaca, glava 3.3-2, literatura 8


COMMON /TWO/ H(10,10),DELX(10),DELG(10),GX(10)


ITER=0

IRESET=N+1

INDEX=IRESET

C Vrednovanje polazne tačke.


CALL FUN(X,FX)

CALL DER(X,GX)

WRITE(,2000) ITER,NFUNCT,NDRV,FX,(X(I),I=1,N)

C Izračunavanje norme kvadrata gradijenta.

10 SQNOR1=0.

DO 20 I=1,N

20 SQNOR1=SQNOR1+GX(I)GX(I)

IF(INDEX.NE.IRESET) GO TO 50

C Podešavanje pravca tra`enja prema negativnom gradijentu.

30 IF(IPRINT.EQ.1) WRITE(,2100)

2100 FORMAT(' POTPROGRAM MINI: KORAK GRADIJENTA')

INDEX=0

DO 40 I=1,N

40 S(I)=-GX(I)

GO TO 70

C Podešavanje pravca traženja korišćenjem norme kvadrata.

50 DO 60 I=1,N

60 S(I)=-GX(I)+S(I)SQNOR1/SQNOR2

C Nalaženje sledeće tačke.

70 CALL SEARCH

C Provera da li je traženje bilo uspešno, ako nije preći na novi gradijent.

IF(FY.GE.FX) GO TO 30

CALL DER(Y,GX)

INDEX=INDEX+1

ITER=ITER+1

CALL CONVRG(GX,IPASS)

IF(IPASS.EQ.1) GO TO 90

C Kriterijum konvergencije nije zadovoljen, traženje se nastavlja.

IF(IPRINT.EQ.1) WRITE(,2000) ITER,NFUNCT,NDRV,FY,(Y(I),I=1,N)

C Sačuvati informacije za narednu etapu.

DO 80 I=1,N

DELX(I)=Y(I)-X(I)

80 X(I)=Y(I)

FX=FY

SQNOR2=SQNOR1

GO TO 10

C Kriterijum konvergencije zadovoljen.

90 WRITE(,2000) ITER,NFUNCT,NDRV,FY,(Y(I),I=1,N)

2000 FORMAT(1X,3I7,E16.8,(5E16.8))

RETURN

END

C

SUBROUTINE SEARCH C Jednodimenziono traženje metodom zlatnog preseka, ver. 2, mod. 4.


COMMON /TWO/ H(10,10),DELX(10),DELG(10),GX(10)


DIMENSION Z(10),W(10),P(10),R(10),DIFF(10),SS(10)

DATA F1/0.618033989/

C P=najstarija od zadnje tri tačke.

C Z=srednja tačka.

C W=tekuća tačka.

NTRIES=0

NTOL=0

C TOL=norma kvadrata vektora W-Z potrebna za postizanje konvergencije.

TOL=0.000001

NTIMES=0

C Koristiti parametar INDIC za odredjivanje razmere dužine vektora traženja.

C INDIC=2 nema razmere, zdržati dužinu datu potprogramom MINI.

8 4. OPTIMIZACIJA

C INDIC=1 skratiti korak ako je dužina prethodnog koraka bila manja od dužine

C trenutnog vektora traženja.

C INDIC=sve osim 1 i 2 je skalirano po dužini zadnjeg koraka.

IF(INDIC.EQ.2.OR.ITER.EQ.0) GO TO 4

C Normalizacije dužine vektora traženja korišćenjem prethodnog koraka.

DXNORM=0.

SNORM=0.

DO 2 I=1,N

DXNORM=DXNORM+DELX(I)DELX(I)

2 SNORM=SNORM+S(I)S(I)

IF(INDIC.EQ.1.AND.DXNORM.GE.SNORM) GO TO 4

DXNORM=SQRT(SNORM)

SNORM=SQRT(SNORM)

RATIO=DXNORM/SNORM

DO 3 I=1,N

3 SS(I)=S(I)RATIO

GO TO 10

C Zadržati integritet vektora formiranjem identičnog vektora i sa njim raditi.

4 DO 5 I=1,N

5 SS(I)=S(I)

COblast minimuma u S pravcu.

C Zadržati korak prema originalnoj tački.

10 DO 20 I=1,N

Z(I)=X(I)

20 W(I)=X(I)+SS(I)

FZ=FX

NTIMES=NTIMES+1

CALL FUN(W,FW)

IF(FW-FZ) 30,70,50

C Nastaviti traženje u istom pravcu.

30 DO 40 I=1,N

P(I)=Z(I)

Z(I)=W(I)

SS(I)=2.SS(I)

40 W(I)=W(I)+SS(I)

FP=FZ

FZ=FW

NTIMES=NTIMES+1

CALL FUN(W,FW)

IF(FW-FZ) 30,70,120

C FW.GT.FZ, odlluči da li je suprotan pravac traženja.

50 IF(NTIMES.NE.1) GO TO 120

C Suprotan pravac traženja.

DO 60 I=1,N

SS(I)=-SS(I)

60 P(I)=W(I)

FP=FW

GO TO 10

C FZ=FW, kontrola srednje tačke.

70 DO 80 I=1,N

80 R(I)=(Z(I)+W(I))/2.

NTIMES=NTIMES+1

CALL FUN(R,FR)

MIN=1

IF(FR-FZ) 140,300,90

90 IF(NTIMES.NE.2) GO TO 110

C Suprotan pravac traženja.

DO 100 I=1,N

SS(I)=-SS(I)


100 P(I)=R(I)

FP=FR

GO TO 10

C R i P u oblast Z i MINIMUM.

110 DO 115 I=1,N

W(I)=R(I)

R(I)=Z(I)

115 Z(I)=P(I)

MIN=1

FW=FR

FR=FZ

FZ=FP

GO TO 140

C P i W u oblasti Z i MINIMUM.

120 DO 130 I=1,N

R(I)=Z(I)

130 Z(I)=P(I)

MIN=1

FR=FZ

FZ=FP

CZlatan presek Z i W oblasti minimuma.

140 WZNORM=0.

DO 145 I=1,N

DIFF(I)=W(I)-Z(I)

145 WZNORM=WZNORM+DIFF(I)DIFF(I)

IF(WZNORM.LT.TOL) GO TO 290

146 DO 150 I=1,N

SECT=F1DIFF(I)

P(I)=Z(I)+SECT

150 R(I)=W(I)-SECT

CALL FUN(P,FP)

CALL FUN(R,FR)

160 IF(FR-FP) 170,230,200

C Zamena W sa P i P sa R.

170 WZNORM=0.

DO 180 I=1,N

W(I)=P(I)

P(I)=R(I)

DIFF(I)=W(I)-Z(I)

WZNORM=WZNORM+DIFF(I)DIFF(I)

180 R(I)=W(I)-F1DIFF(I)

FW=FP

FP=FR


CALL FUN(R,FR)

GO TO 160

C Zamena Z sa R i R sa P.

200 WZNORM=0.

DO 210 I=1,N

Z(I)=R(I)

R(I)=P(I)

DIFF(I)=W(I)-Z(I)

WZNORM=WZNORM+DIFF(I)DIFF(I)

210 P(I)=Z(I)+F1DIFF(I)

FZ=FR

FR=FP


CALL FUN(P,FP)

GO TO 160

10 4. OPTIMIZACIJA

C FP=FR, kontrola srednje tačke.

230 DO 240 I=1,N

240 Y(I)=(P(I)+R(I))/2.

CALL FUN(Y,FY)

IF(FY-FP)250,340,270

C P i R u oblasti minimuma (Y je ograničeno).

250 DO 260 I=1,N

Z(I)=R(I)

W(I)=P(I)

260 R(I)=Y(I)

FZ=FR

FW=FP

FR=FY

MIN=1

GO TO 140

C Nalaze se dva minimuma izmedju Z I W, neograničen skok u intervalu Y i W (uključujući P).

270 DO 280 I=1,N

280 Z(I)=Y(I)

FZ=FY

MIN=2

GO TO 140

C Oblasti minimuma su dovoljno male.

290 GO TO (300,320),MIN

C R je tačka u oblasti.

300 DO 310 I=1,N

310 Y(I)=R(I)

FY=FR

GO TO 340

C P je tačka unutar oblasti.

320 DO 330 I=1,N

330 Y(I)=P(I)

FY=FP

340 CONTINUE

DO 345 I=1,N

345 IF(X(I).NE.Y(I)) GO TO 346

GO TO 350

346 IF(FY.GE.FX) GO TO 370

IF(IPRINT.NE.1) RETURN

IF(NTOL.NE.0) WRITE(,3000) NTOL

IF(NTRIES.NE.0) WRITE(,3100)

3000 FORMAT(1X,'PP.SEARCH: TOLERANCIJA REDUKOVANA',I1,' PUTA')

3100 FORMAT(1X,'PP.SEARCH: DRUGI POKUSAJ')

RETURN

C Sadašnji nivo tolerancije ne omogućava nalaženje bolje ulazne tačke.

C Tolerancija se redukuje faktorom 100.

350 IF(NTOL.EQ.5) GO TO 360

NTOL=NTOL+1

TOL=TOL/100.

GO TO 146

C [tampa poruka.

360 IF(IPRINT.NE.1) GO TO 376

IF(NTRIES.NE.0) GO TO 375

WRITE(,2000) TOL

2000 FORMAT(1X,'PP.SEARCH: TOLERANCIJA BICE REDUKOVANA 5 PUTA',

A 1X,' TEKUCA VREDNOST',E15.8,'.',/,1X,' BOLJA TACKA OD ULAZNE NE MOZE BITI

B NADJENA NA OVOM NIVOU TOLER. ',/,1X,' POLAZNA TACKA BICE VRACENA.')

GO TO 376

CFY.GT.FX, nalaženje oblasti isključenjem vrednosti Y.

370 IF(NTRIES.EQ.0) GO TO 380

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – OPTIMIZACIJA (AUTORIZOVANA PREDAVANJA)

11

IF(NTOL.LT.5) GO TO 350

375 WRITE(,2100)

WRITE(,3000) NTOL

2100 FORMAT(1X,'PP.SEARCH: PRONADJENA TACKA JE TAKVA DA JE FY ',

A 1X,' VECA OD FX.',/,1X,' U SLEDECEM POKUSAJU TRAZENJA',

B 1X,' TACKE FUNKCIJE',/,1X,'VREDNOVATI MANJE OD FX',1X,' NEDOVOLJNOG.')

376 IF(S(I).NE.-GX(I).OR.(FY.LT.FX)) RETURN

WRITE(,2200)

2200 FORMAT('PP. SEARCH: TRAZENJE NEUSPESNO SA KORAKOM GRADIJENTA.',

A 1X,' POSAO PREKINUT.')

WRITE(,2300) ITER,NFUNCT,NDRV,FY,(Y(I),I=1,N)

2300 FORMAT(1X,3I7,E16.8,(5E16.8))

STOP

C Traženje oblasti u okolini X a sa suprotne strane od Y.

380 NTRIES=1

DO 390 I=1,N

Z(I)=X(I)

SS(I)=(X(I)-Y(I))/20.

390 W(I)=X(I)+SS(I)

FZ=FX CALL FUN(W,FW)

IF(FW-FZ) 30,400,450

C FZ=FW, kontrola srednje tačke.

400 DO 410 I=1,N

410 P(I)=(Z(I)+W(I))/2.

CALL FUN(P,FP)

IF(FP-FZ) 420,320,430

C FZ.GT.FP i FW.GT.FP. W i Z prema oblasti.

420 MIN=2

GO TO 140

C FP.GT.FZ, P u oblasti minimuma izmedju P i Y.

430 DO 440 I=1,N

440 W(I)=P(I)

FW=FP

C FW.GT.FZ, W u oblasti minimuma izmedju W i Y.

C Kontrola srednje tačke Y i W.

450 DO 460 I=1,N

Z(I)=Y(I)

460 P(I)=(Z(I)+W(I))/2.

FZ=FY

470 CALL FUN(P,FP)

IF(FP.LE.FZ) GO TO 490

C Ponovni pokušaj.

DO 480 I=1,N

Z(I)=P(I)

480 P(I)=(W(I)+Z(I))/2.

FZ=FP

GO TO 470

C P je po vrednosti različito od Y.

C Kontrola da li P i W formiraju oblast.

490 DO 500 I=1,N

500 R(I)=(P(I)+W(I))/2.

CALL FUN(R,FR)

IF(FR.GE.FW) GO TO 560

IF(FR.GE.FP) GO TO 520

C P i W formiraju oblast.

505 DO 510 I=1,N

510 Z(I)=P(I)

FZ=FP

MIN=1

GO TO 140

C FR.LT.FW, FR.GE.FP, odatle traži vrednost ograničenu sa P i Z.

12 4. OPTIMIZACIJA

520 DO 530 I=1,N

R(I)=P(I)

530 P(I)=(P(I)+Z(I))/2.

FR=FP

540 CALL FUN(P,FP)

IF(FP.LE.FZ) GO TO 490

C FP.GT.FZ. Z je iste vrednosti sa Y.

DO 550 I=1,N

Z(I)=P(I)

550 P(I)=(R(I)+Z(I))/2.

FZ=FP

GO TO 540

560 IF(FR.LT.FP) GO TO 505

C FR.GE.FP, R i W formiraju oblast.

DO 570 I=1,N

570 Z(I)=R(I)

FZ=FR

GO TO 146

END

METODA SENZITIVNOSTI

Analiza senzitivnosti izračunava odnos promene kvantiteta strukturnih odgovora u odnosu na

promenu nezavisno promenljivih dizajna. Koeficijent senzitivnosti je definisan kao odnos pro-

mene pojedinih kvantiteta odgovora r u odnosu na promenu dizajn promjenljivih X. Ovi koefici-

jenti su rešeni za pojedini dizajn koji je karakterisan vektorom dizajn promjenljivih X0 dajući:

0X

i

j

ijx

r

gde i – predstavlja i-tu promenljivu dizajna, za j-ti odgovor

Sl.4 Koeficijent senzitivnosti – grafička interpretacija

Senzitivnosti se računaju za sve odgovore (TIP 1,TIP 2 i TIP 3) koji se koriste za definisanje

funkcije cilja i zadržanih ograničenja.

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – OPTIMIZACIJA (AUTORIZOVANA PREDAVANJA)

13

TIP1 – Odgovori koji se dobijaju direktno iz softvera – masa, pomeranja čvornih tačaka,

naponi elemenata itd.

TIP2 – rj2 = f(X, C, R1, P, R2, XYZ) gde X, C, R1, P, R2, XYZ predstavlja vektore i

promenljive dizajna, konstante, TIP1 odgovore, svojstva dizajna, TIP2 odgovore i

položaje čvornih tačaka respektivno.

TIP3 – rj3 = f(X, C, R1, P, R2, XYZ, string). Dobijanje ove vrste odgovora može biti

izvedeno nezavisno od softverskog paketa. TIP3 omogućava generalan put za

sintezu odgovornih kvantiteta koji mogu upravljati dizajnom.

Prvi izvod funkcije se može definisati kao:

x

xfxxfy '

Prenesimo to na naš slučaj:

xyxfxxf ' tj.

1X

1

j0

j1

0

jx

x

rXrxXr 0

Ova jednačina predstavlja odgovore koji zavise od svojstava koja su linearne funkcije od di-

zajn promjenljivih. Ona ustvari prestavlja aproksimaciju promene u odgovorima tokom pro-

mene u dizajn promenljivoj. Aproksimacija za odgovore koji zavise od svojstava koji su neli-

nearne funkcije promjenljivih dizajna, može biti precizno određena sledećom relacijom.

0

Ki

0

KK

K

j0

j1

0

jXPxXP

p

rXrxXr


PREDAVANJE-12


Optimalno projektovanje u mašinstvu

Metode traženja fleksibilnim poliedrima

Metoda Nelder-Mead (1964.), poznata kao metoda fleksibilnih poliedara, (savitljivih, gipkih poliedara) pokazala se

efektivnom na zadacima bezuslovnih minimizacija, zbog dobre primenljivosti za računar. Zasniva se na formiranju

lanca poliedara promenljivog pravca u smeru ekstremuma funkcije cilja FC(z). Ideja se može sagledati na slici,

ispitivanjem dvodimenzionalnog prostora ravanskog problema:

Slika 4.13 Osnovni poliedar i fleksibilni poliedar

Polazne vrednosti promenljivih se proizvoljno usvajaju (z1, z2, n=2). Položaj tačke 2 i 3 odredjuje se na podjednakom

rastojanju od tačke 1 tako da je formiran jednakostraničan trougao, zadate stranice t. Na ovaj način je formiran osnovni

poliedar sa 3 čvora a kod n-dimenzionog problema, broj čvorova poliedra je (n+1). Na osnovu ove tri tačke, formiran je

trougao (sa temenima 1-2-3), koji u opštem slučaju n-dimenzionog problema je poliedar.

Za kretanje ka ekstremumu formiraju se još dve tačke: težište trougla T (opšteg indeksa n+2) i preslikana tačka B

(opšteg indeksa n+3). Tačka B dobija se preslikavanjem jednog od čvorova poliedra (A=1, 2, 3) kroz njegovo težište T.

Izbor čvora iz koga se vrši preslikavanje nije slučajan i zavisi od vrednosti funkcije cilja u čvorovima poliedra

FC(1), FC(2), ... , FC(n+1). Izbor transformacije preslikavanja je takav da novodobijena tačka B (u opštem slučaju

indeksa n+3) daje manju vrednost funkciji cilja FC(n+3) od vrednosti funkcija FC u tačkama prethodnog poliedra.

Realizacija algoritma zahteva definisanje kriterijuma po kome se nalazi pravac preslikavanja. Taj kriterijum je

uspostavljen na osnovu vrednosti funkcije cilja FC u (n+1) osnovnih tačaka poliedra. Naime, ako se indeksom k označi

broj iteracije (simpleksa), tada se najpre odredjuje najmanja i najveća vrednost funkcije cilja u poliedru. Tako se nalazi

vrednost nezavisnih parametara ZH za koje u k-tom poliedru dobijamo najveću vrednost funkcije cilja FC(ZH)(k) i ZL

koja daje najmanju vrednost funkcije cilja FC(ZL)(k) :

)k(

)1Zn()k()2Z(

)k()1Z(

)k()ZL(

)k()1Zn(

)k()2Z(

)k()1Z(

)k()ZH(

FC,...,FC,FCminFC

,FC,...,FC,FCmaxFC

(4.6.32)


Koordinate težišta k-tog poliedra (n+2) za svaki nezavisni parametar J je:

n),-1=(J ,zz21z

)k(J,H

1n

1I

)k(J,I

)k(J,2n

(4.6.33)

Preslikavanje tačke A u tačku B (tačka n+3) daje manje vrednosti funkcije cilja FC(z). Postupak preslikavanja se izvodi

kroz sledeće četiri transformacije:

1. REFLEKSIJA

Ovom operacijom se vrši preslikavanje čvora (temena) poliedra u pravcu vektora kroz njegovo težište (zn+2) na

rastojanju proporcionalnom koeficijentu refleksije , (preporučeno: =1.0):

)k(H

)k(2n

)k(2n

)k(3n

zzzz

(4.6.34)

2. EKSPANZIJA

U slučaju da je FC(zn+3(k)) FC(ZL)

(k), proba se produženje vektora TB (zn+2(k) - zn+3

(k)) sa ekspanzionim

koeficijentom (3.0<>2.8):

)k(2n

)k(3n

)k(2n

)k(4n

zzzz

(4.6.35)

Ukoliko je FC(zn+4)(k) FC(ZL)

(k), uslov kretanja ka minimumu je ispunjen a ekspanzijom je poboljšan minimum.

Procedura se nastavlja eliminacijom čvora zH i uvodjenjem čvora zn+4(k) u novi poliedar (k+1).

3. SABIJANJE (KONTRAKCIJA)

Može se desiti da za sve vrednosti nezavisnih parametara (I) u istom poliedru (k), bude vrednost funkcije cilja u tački

(n+3) (dobijena refleksijom) veća od vredosti u ostalim tačkama (I, IH): FC(zn+3)(k) > FC(ZI)

(k), U tom slučaju se

mora izvršiti sabijanje (jer se manja vrednost FC nalazi na kraćem rastojanju od preslikavanja definisanog

refleksijom). U tom slučaju skraćuje se vektor izmedju tačaka (H) i (n+2) posredstvom koeficijenta kontrakcije ,

( 0<<1). Najbolji rezultati se postižu vrednostima 0.4<<0.6. Procedura se odvija prema relaciji (4.6.36):

)k(2n

)k(H

)k(2n

)k(5n

zzzz

(4.6.36)

4. SMANJENJE (REDUKCIJA)

Preostala je još mogućnost da se vrednost minimuma nadje izmedju poliedra i refleksijom dobijene tačke, zbog čega

je FC(zn+3)(k) > FC(ZH)(k). U tom slučaju, autori su predložili dvostruko smanjenje dimenzije poliedra u odnosu na

koordinatu (zL), i prelazak na nov poliedar (k+1):

1)+n1,=(I ,zz5.0zz)k(L

)k(I

)k(L

)k(I

(4.6.37)

Procedura minimizacije se okončava kada je dostignut zadat kriterijum :

1n

1I ))k(2n

Z())k(IZ(

FCFC1n

1

(4.6.38)


METODA FLEKSIBILNE TOLERANCIJE

Tehnički zadaci projektovanja optimalnih konstrukcija definišu se funkcijom cilja FC(z) a u prisustvu različitih

ograničenja. Ograničenja mogu biti linearne i nelinearne funkcije tipa jednačina HI(z) i nejednačina GI(z). Tada se opšti

zadatak uslovljenog nelinearnog programiranja može definisati:

Minimizirati FC(z), zEn,

Sa ograničenjima u vidu jednačina HI = 0, I=1, 2, 3,..., m, (4.6.39)

Sa ograničenjima u vidu nejednačina GI 0, I=m+1,..., p.

Metod fleksibilne tolerancije definiše tri osnovna prostora:

1. Dopustiv prostor (A), u kome su zadovoljena sva ograničenja GI i HI.

2. Tolerantni prostor (B), širi od dopustivog za izračunatu vrednost dopustivog odstupanja od dozvoljenog

prostora - tolerancije (k).

3. Nedopustiv prostor (C).

Slika 4.14 Tri osnovna prostora u metodi fleksibilne tolerancije

PROCEDURA: U dopustivom A i tolerantnom prostoru B, minimizacija FC(z) se izvodi primenom

prethodno opisane metode Nelder-Mead-a, korišćenjem poliedara promenljive metrike. Za

izvodjenje minimizacije u prisustvu ograničenja HI i GI formiran je tolerantni prostor, širih

granica od dozvoljenog prostora. Položaj granica tolerantnog prostora odredjen je u odnosu

na granice dopustivog prostora, vrednostima kriterijuma tolerancije (k) u svakom koraku

iteracije (poliedru) k:

1r

1I

n

1J

2)k(J,2r

)k(J,I

)1k()k( )zz(1+r

1+m ,min

(4.6.40)

t - početna vrednost strane poliedra,

m - indeks broja uslova tipa jednakosti,

zI,J(k) - vektor I-tog čvora poliedra, J-tog parametra u k-tom poliedru,

zr+2,J(k) - vektor težišta poliedra (r+2), J-tog parametra u k-tom poliedru,

(0) - početni kriterijum tolerancije (k=0),

(k-1) - kriterijum tolerancije u prethodnoj iteraciji (poliedru).


Kriterijum tolerancije je promenljiv. Relacijom (4.6.40) je uslovljeno njegovo neposredno smanjenje, pa je:

(0) (1) (2) .... (k-1) (k) 0 (4.6.41)

Prekoračenje dopustivog prostora T(z) definiše se na bazi funkcionala vrednosti funkcija ograničenja:

m

1I

p

1mI

2)z(II

2)z(I)z( GUHT

(4.6.42)

Heaviside-ov operator se definiše: U=0, za GI(z)0 i U=1, za GI(z)<0.

Kada poliedar izadje iz dopustive oblasti A i uđe u tolerantni prostor B (makar i jednim temenom), prekida se

minimizacija funkcije cilja FC i istom metodom počinje minimizacija funkcionala prekoračenja T sa ciljem

vraćanja poliedra u dopustivu oblast A. Kako je kriterijum tolerancije (k) mera dozvoljenog odstupanja od dopustive

oblasti A, a funkcional T(z) mera stvarnog odstupanja od zadatih ograničenja, moguće je preformulisati uslove

ograničenja osnovnog zadatka minimizacije:

Minimiziratii FC(z), z En,

Sa ograničenjem (k) - T(z) 0. (4.6.43)

Ovim ograničenjem je definisano dozvoljeno odstupanje parametara optimizacije. U svakoj iteraciji se vrši provera

čvorova poliedra u odnosu na dopustiv i tolerantni prostor. Kako se traženje približava stacionarnoj vrednosti, tako se

kriterijum tolerancije smanjuje, a traženje se završava regularno kada je srednje rastojanje težišta od čvorova

poliedra manje od zadate tačnosti : (k) < . Na osnovu ove ideje, promena parametara z(k) z(k+1) se realizuje:

u dozvoljenom prostoru kada je ,0T 1kz

u tolerantnom prostoru kada je ,T0 kz1kz

u nedopustivom prostoru kada je .T kz1kz

Primer: OPTIMIZACIJA REŠETKE GEOMETRIJSKOM SINTEZOM

Dat je ram prema slici 4.20. Centralna sila dejstvuje u zglobu, intenziteta 2P=294 KN. Debljina zida je t=0.003

m, raspon nosača je 2R=1.524 m. Materijal je modula elastičnosti E=2.07108 KN/m2, specifične težine =81.55

kN/m3. Odrediti prečnik cevi D i visinu nosača H tako da je ram minimalne mase. Raspoloživ prostor za ugradnju

rama je maksimalne visine Hmax=1.15 m i minimalne visine Hmin=0.50 m.


Slika 4.20 Primer: Model rama za optimizaciju sopstvene mase

Kritična sila izvijanja zglobno oslonjenog i pritisnutog štapa: 2min

2

KRITl

IEF

Aproksimativna vrednost momenta inercije i površina preseka štapa:

ttDAttDI 0

3

min ,)(81

Sila u štapu rama: H

)RH(P

)cos(

PF

22

0

Funkcija cilja: )5806.0H(D5372.1)RH(tD2LA2FC 2220)H,D(

Ograničenje napona pritiska u štapu je maksimalni napon izvijanja:

0A

F

A

FG

0

0

0

KRIT0KRIT)H,D(1

0Ht)tD(

RHP

)HR(8

)tD(EG

22

22

22

)H,D(1

0HD

)5806.0H(15597

H5806.0

)003.0D(255376014G

2

2

2

)H,D(1

Preostale dve funkcije ograničenja definišu dopustivu oblast visine H:

050.0H HHG

,0H15.1HHG

MIN)H,D(3

MAX)H,D(2

Ovako formulisan zadatak može se rešiti i grafički u 2D prostoru, iscrtavanjem kriva funkcije cilja u oblasti

rešenja (FC=0.0500.200) i kriva funkcija ograničenja G1, G2, G3. Naime, presek kriva konstantnih vrednosti

funkcije cilja (FC=const.) i funkcija ograničenja definiše ograničenu oblast rešenja. Najmanja vrednost funkcije cilja u

tom prostoru odredjuju vrednosti optimalnih parametara posmatranog zadatka. Rešenje zadatka je pokazano na sl. 4.21.


Približna rešenja su: FC = Vmin = 0.0635 m3 = FCmin, nezavisno-promenljivi parametri optimizacije su: D=

0.04375 m, H= Hmin= 0.50 m. Proračun i grafička interpretacija je izvršena na PC 386/40, pošto su u FORTRAN-u

napisani programi za osnovne izraze FC i Gi. Dobijene datoteke funkcija su numerički vrednovane i grafički

interpretirane na monitoru. Sa slike su očitane optimalne vrednosti.

Slika 4.21 Grafička interpretacija rešenja primera optimizacije mase rama

MAŠINSKI FAKULTET NIŠ – CAD tehnologije II

OPTIMIZACIJA -PRIMER 2008. – 2009.

OPTIMIZACIJE METODOM SENZITIVNOSTI MSC NASTRAN FOR WINDOWS 2004

ZADATAK: FEM - OPTIMIZACIJA MASE KONZOLE

Pronaći debljinu ploče, prikazane na sl.1, tako da konstrukcija ima minimalnu masu. Konstrukcija je izradjena od čelika ( 2

doz cm/KN20=σ ). Maksimalni dozvoljeni ugib vrha konzole je ±50 mm. Konstrukcija je opterećena transverzalnom silom od 5000 N.

400 mm

1000 mm

200 mm

Slika 1.

Program NASTRAN ima sledeći HDI:

Za postavljeni zadatak nije potrebno prvo modelirati CAD model jer je on male složenosti geometrije pa se mreža FEA modela može modelirati postupno bez početnog CAD modela. Izradu FEA modela počinjemo definisanjem materijala i definisanjem karakteristika konačnog elementa. Definisanje materijala ostvarujemo pozivanjem iz meni bar-a sledeće opcije:

Oblik forme za unos karakteristika materijala dat je na sledećoj slici:

Izborom opcije Load biramo iz baze materijala ugljenični čelik (Carbon Steel u SI sistemu).


Potvrdimo izbor materijala (ok). Dobijamo:

Nakon definisanja materijala potrebno je definisati tip i karakteristike konačnog elementa tipa ploče. Definisanje tipa i karakteristika konačnog elementa ostvaruje se preko Property naredbe u menu bar-u Model/Property.

Prvo je potrebno preko tastera Element/PropertyType izabrati tip konačnog elementa. Biramo ravanski konačni element tipa ploče (Plate). Potvrdjivanjem izbora vraćamo se na prethodnu formu za definisanje karakteristika tipa konačnog elementa. Potrebno je asocirati materijal elementa (1.Carbon Steel_SI), početnu debljinu ploče (0.2 m) i naziv property-a (plate). Navedena polja unosa su označena crvenim tačkama).

Nakon definisanja materijala i property-a može se pristupiti modeliranju mreže konačnih elemenata. Prvo je potrebno definisati krajnje čvorove ploče izmedju kojih će biti napravljena mreža konačnih elemenata. Definisanje čvorova ostvaruje se naredbom iz menu bar-a Model/Node.


Korišćenjem narednog menija potrebno je uneti sledeće koordinate čvorova:

N1: x=0; y=0; z=0 N2: x=1; y=0; z=0 N3: x=1; y=0.4; z=0 N4: x=0; y=0.4; z=0

Na radnoj površini ekrana pojaviće se definisani čvorovi. Postojeća numeracija čvorova biće vidljiva ukoliko se u opciji za vizuelizaciju sadržaja (funkcijski taster F6) selektuju opcije kao na sledećoj slici (Labels, entities and Color/Node/ID).

Definisanje mreže izmedju definisanih čvorova ostvaruje se opcijom iz menu bara Mesh/Between.

Na gore prikazanoj formi potrebno je selektovati property, ivične čvorove (čvorovi 1, 2, 3, 4) kao i uneti ukupni broj čvorova po pravcima (11 i 5).

Na ovaj način smo dobili mrežu konačnih elemenata koja nije pravilna jer ima četri ivična čvora koji nisu deo mreže. Da bi pridružili te čvorove mreži koristimo opciju za proveru koicidentnih čvorova (menu bar Tools/Check/CoincidentNodes).


Izborom ove opcije softver traži da selektujemo čvorove za koje će vršiti proveru.

Biranjem opcije Select All vršićemo proveru za sve čvorove. Softver postavlja pitanje da li želimo i da postavimo neke dopunske uslove za spajanje (merge) bliskih čvorova. U ovom slučaju biramo opciju No, jer će mo proveru vršiti samo na osnovu distance izmedju čvorova.

U sledećoj formi softver nam nudi i dodatne opcije. Ovde je potrebno uneti vrednost od 0.0001 (1E-4), koja predstavlja maksimalno dozvoljeno rastojanje izmedju dva čvora da bi ih softver smatrao jednim čvorom, i opciju Merge Coincident Entities.

Softver će nakon izvršenja predhodne akcije prijaviti u Messages and List prozoru da je spojio 4 čvora sa ostalim čvorovima. Orjentacija modela na radnoj površini ekrana vrši se pomoću opcije u meni baru View/Rotate (ili funkcijski taster F8).

Postaviti model u dimetrijski (dimetric) položaj. Za definisanu mrežu konačnih elemenata potrebno je definisati i opterećenja i oslanjanje. Kako jedana te ista mreža konačnih elemenata može biti opterećena na različite načine, u zavisnosti od analize i slučaja koji se analizira,

to je softver predvideo ovu mogućnost i definisao grupu opterećenja. To znači da je prvo potrebno definisati grupu opterećenja za koju će biti asocirana sva opterećenja za ovu analizu. To se postiže izborom opcije u meni baru Model/Load/Set.

Nazovimo ovu grupu opterećenja jednostavno "5x1000N i g" što će nas asocirati na intezitet i vrstu opterećenja.

Opterećenje se sastoji iz koncetrisanih sila u čvorovima konstrukcije i od opterećenja gravitacionih sila. Definisanje koncetrisanih sila u čvorovima konstrukcije se ostvaruje preko opcije menu bar Model/Load/Nodal.


Potrebno je selektovati čvorove u kojima želimo da postavimo koncentrisano opterećenje (crvene tačke na sledećoj slici):

Nakon izvršene selekcije otvara se dijalog box za unos pravca i inteziteta opterećenja. Potrebno je za opciju Force uneti intezitet sile u "z" pravcu veličine -1000N.

Po završetku unosa koncentrisanih sila program će prikazati vektore opterećenja.

Definisanje opterećenja od sopstvene težine se vrši unosom vrednosti ubrzanja preko opcije u meni baru Model/Load/Body.

Nako izbora potrebno je uneti vrednost ubrzanja zemljine teže od -9.81 u "z" pravcu (videti orjentaciju modela u odnosu na koordinate).

Definisanje oslanjanja takodje podrazumeva definisanje grupe ograničenja. To postižemo izborom opcije u meni baru Model/Constraint/Set.

Nazovimo ovu grupu "Uklještenje".


Za definisanje uklještenja u čvorovim modela potrebno je izabrati opciju u Model/ Constraint/Nodal.

Uklještnje se ostvaruje ograničavanjem svih šest sloboda kretanja čvorovima modela prikazanim na donjoj slici crvenom bojom.

Nakon selekcije čvorova optrebno je odabrati opciju Fixed čime su iključene translacije i rotacije iz vektora nepoznatih pomeranja: .

Pozivanje optimizacionog modula ostvaruje je se komandom Model/Optimization

Definisanje funkcije cilja (minimum mase), zahteva navodjenje optimizacionih promenljivih (drbljina ploče) i ograničenja (maksimalan ugib vrha konzole i dozvoljen napon u materijalu). U delu za definisanje funkcije cilja, potrebno je definisati maksimalni broj ciklusa optimizacije. Kako je postavljeni model male složenosti i ne zahteva veće angažovanje procesora pri rešavanju definisano je maksimalno 100 iteracija numeričkog procesa. Box:

U delu za definisanje konstruktivnih promenljivih potrebno je definisati Attribute: Plate Thickness (debljina ploče).

U polju za Property potrebno je uneti "1" što je i broj property-a ploče kojom je definisana mreža. Osim ovih vrednosti potrebno je uneti i granične vrednosti promenljive kao i maksimalnu dozvoljenu promenu promenljive izmedju dve iteracije. Recimo:

δmax = 0.5 m δmin = 0.001 m Δ = 5%


U delu za definisanje promenljivih stanja projektovane geometrije (ograničenja), potrebno je definisati dve veličine: ugib vrha konzole i maksimalni uporedni napon. Pomeranje vrha konzole se definiše na sledeći način:

U polju za response potrebno je odabrati odabrati Node: Z Displacement što je pomeranje u transverzalnom pravcu. U polju node broj čvora čije pomeranje ograničavamo. To je bilo koji čvor vrha konzole. Maximum i minimum su maksimalne i minimalne dozvoljene vrednosti ovog parametra (+0.05 i 0.05 m):

Ograničenje maksimalne vrednosti uporednih (Von Mises) napona.

U polju za response potrebno je odabrati odabrati Plate: Von Mises Stress. U polju property broj property-a ploče je (1). Maximum i minimum su maksimalne i minimalne dozvoljene vrednosti ovog parametra (+200 000 000 i -200 000 000 N/m2). Predzanak uporednog napona je obavezan (pozitivna vrednost je za napone sa gornje strane ploče a negativne za vrednosti sa donje strane ploče).

Ovim je definisan FEA optimizacioni model. Solver za optimizaciju zadatka se pokreće iz opcije Analyze u meni baru.

U polju za tip analize potrebno je odabrati Design optimization analizu. U poljima za opterećenje i oslanjanje treba navesti grupe opteraćenja i oslanjanja koje su kreirane. Pokretanje solvera ostvaruje se nalogom Ok.


NASTRAN pre početka svakog rešavanja traži od korisnika da snimi model:

Na sledećoj slici prikazan je prozor solvera u kome on daje korisniku osnovne podatke o toku rešavanja zadatog problema.

Ukoliko je rešenje uspešno NASTRAN neće prijaviti nijednu FATAL-nu grešku.

Pregled nađenih rešenja - rezultata optimizacije ostvaruje se izborom opcije Select u meni baru.

Rezultati optimizacije mogu se prikazati na više načina: • Preko dijagrama (pregled promena funkcije

cilja i konstruktivnih parametara u funkciji toka iteracija),

• Grafičim prikazima napona i deformacija optimalnog rešenja,

• Tekstualnom prikazom toka optimizacije i mehaničkih veličina optimalnog rešenja.

Prikaz toka iteracija putem dijagrama ostvaruje se izborom opcije xy of Function i biranjem komande Model Data gde se

zadaju veličine koje se prikazuju na dijagramu (npr. EXACT DESIGN OBJECTIVE što predstavlja egzaktnu vrednost funkcije cilja):

Promena funkcije cilja u funkciji procesa iteriranja, dat je na sledećoj slici:

Ukoliko želimo da na grafiku vidimo vrednosti funkcije cilja kao i opis dijagrama, potrebno je podesiti parametre prikaza - selektovati opciju View options (funkcijski taster F6).


U opciji XY titles upisati "Optimizacija" "mase konzole" a u opciji XY Curve1 selektovati opcije kao na sledećoj slici (Postprocessing/XY Curve1/Output Value i Lines with Points).

Na dijagramu će biti prikazane iteracione tačke kao i vrednost funkcije cilja.

Promena debljine ploče u toku iteracija se može prikazati dijagramom, izborom opcije Prop1: Thickness.

Procenjena greška u svakoj iteraciji može se prikazati izborom opcije Frac error of approx.


Kao što je rečeno, NASTRAN u okviru optimizacije zadržava i vrednosti napona i deformacija za optimalno rešenje. Ruleri koji se nalaze na ekranu pri prikazu modela mogu se ukloniti iz radnog prostora biranjem opcija kao na sledećoj slici (View/Options).

Za pregled rezultata statičke analize potrebno je selektovati opciju Deformed and Contour Data

Na sledećoj formi se vrši izbor veličina koje želimo prkazati. Prvo je potrebno izabrati Output set. Kako je izvršena sam jedna analiza to postoji i samo jedan Output set. U Output vectors razlikujemo dva parametra koja treba izabrati. U opciji deformation biramo veličine

koje želimo da prikažemo preko deformacije modela a preko opcije Contour biramo veličine koje želimo da prikažemo u vidu boja i čija se vrednosti može i numerički prikazati u prostoru modela.

Na sledećoj slici prikazano je ukupno pomeranje modela.

Za predstavljanje rezultata TEKSTUALNIM PRIKAZOM, numeričkim vrednostima, potrebno je odabrati opciju List/Destination u meni baru.

Ova opcija nam omogućava da asociramo tekstualni fajl u kojem će biti upisani podaci. Potrebno je selektovati opciju File i opcijom Select File odrediti mesto gde želimo snimiti, za sada još uvek prazan, fajl.


Za odabir načina prikazivanja listinga kao i veličina koje želimo prikazati postoji veći broj opcija. Za prikaz rezultata optimizacije potrebno je selektovati opciju Model/Function (rezultati toka optimizacije su predstavljeni u obliku funkcija).

Selektovanjem svih funkcija softver će veličine vezane za selektovane funkcije snimiti u tekstualni fajl.

Rezultate statičke analize optimalnog modela možemo prikazati na više načina. Jedan od njih je korišćenjem standardnog načina ispisa (List/ Output/Standard).

Pri odabiru ove opcije softver traži da selektujemo output set za koji želimo da kreiramo listing. U ovom slučaju postoji samo jedan output set.

Na sledećoj formi potrebno je uneti zaglavlje rezultata koji će odvajati ovaj deo listinga od ostalog dela. Pod opcijom Summaries Only rezultati će biti prikazani u skraćenom vidu (minimalna i maksimalna vrednost). Potrebno je selektovati i koje rezultate želimo prikazari (npr. Nastran Displacement).

Potebno je još selektovati koje elemente ili čvorove će softver uzeti u obzir pri kreiranju izveštaja.

Primer listinga i optimizacionih dijagrama dati su na sledećim stranama.


Function 1 - APPR DESIGN OBJECTIVE Type: Dimensionless Num Matl: 0 Num Load: 0 X Y 1. 503.177 2. 402.48 3. 321.985 4. 257.572 5. 206.095 6. 164.831 7. 131.908 8. 101.223 9. 69.7751 10. 55.309 11. 56.387 12. 56.3881 Function 2 - EXACT DESIGN OBJECTIVE Type: Dimensionless Num Matl: 0 Num Load: 0 X Y 0. 628.984 1. 503.187 2. 402.55 3. 322.04 4. 257.632 5. 206.106 6. 164.884 7. 131.927 8. 101.215 9. 69.7659 10. 55.3179 11. 56.3881 12. 56.3881 Function 3 - FRAC ERROR OF APPROX Type: Dimensionless Num Matl: 0 Num Load: 0 X Y 1. -0.000021045 2. -0.00017323 3. -0.0001719 4. -0.0002317 5. -0.000051972 6. -0.00032704 7. -0.00014886 8. 0.000080051 9. 0.00013112 10. -0.00016019 11. -0.000018672 12. 0. Function 4 - MAX VALUE OF CONSTRAINT Type: Dimensionless Num Matl: 0 Num Load: 0 X Y 0. 0. 1. 0. 2. 0. 3. 0. 4. 0. 5. 0. 6. 0. 7. 0. 8. 0. 9. -0.33746 10. 0.039108 11. 0.0010931 12. 0.0010931 Function 5 - Prop 1: Thickness Type: Dimensionless Num Matl: 0 Num Load: 0 X Y 0. 0.2 1. 0.16 2. 0.128 3. 0.1024 4. 0.08192 5. 0.065536 Function 6 - Design Objective Type: Dimensionless Num Matl: 0 Num Load: 0 X Y 0. 628.984 1. 503.187 2. 402.55 3. 322.04 4. 257.632 5. 206.105 6. 164.884

7. 131.927 8. 101.215 9. 69.7659 10. 55.3179 11. 56.3881 12. 56.3881 Function 7 - Max Value of Constraint Type: Dimensionless Num Matl: 0 Num Load: 0 X Y 0. 0. 1. 0. 2. 0. 3. 0. 4. 0. 5. 0. 6. 0. 7. 0. 8. 0. 9. -0.33746 10. 0.039108 11. 0.0010931 12. 0.0010931 Function 8 - Prop 1: Thickness Type: Dimensionless Num Matl: 0 Num Load: 0 X Y 0. 0.2 1. 0.16 2. 0.128 3. 0.1024 4. 0.08192 5. 0.065536 6. 0.052429 7. 0.041949 8. 0.032184 9. 0.022184 10. 0.01759 11. 0.01793 12. 0.01793 MSC/NASTRAN for Windows Version 6.00 Sun Dec 12 16:54:03 2004 Model : C:\Documents and Settings\Predrag\Desktop\NASTRAN optimizacija\NASTRAN\optimizacija ploce.MOD Report : Node Format : NASTRAN Displacement Title : Optimizacija mase konzole Output Set 1 - MSC/NASTRAN Case 1 Title : Optimizacija mase konzole Output Set 1 - MSC/NASTRAN Case 1 Set MAX/MIN Summary Table Set ID Value T1 Translation Minimum 1 4 0. Maximum 1 4 0. T2 Translation Minimum 1 4 0. Maximum 1 4 0. T3 Translation Minimum 1 37 -0.0309 Maximum 1 4 0. R1 Rotation Minimum 1 7 -0.0035829 Maximum 1 51 0.0035829 R2 Rotation Minimum 1 4 0. Maximum 1 13 0.042612 R3 Rotation Minimum 1 4 0. Maximum 1 4 0. Title : Optimizacija mase konzole Final MAX/MIN Summary Table Set ID Value T1 Translation Minimum 1 4 0. Maximum 1 4 0. T2 Translation Minimum 1 4 0. Maximum 1 4 0. T3 Translation Minimum 1 37 -0.0309 Maximum 1 4 0. R1 Rotation Minimum 1 7 -0.0035829 Maximum 1 51 0.0035829 R2 Rotation Minimum 1 4 0. Maximum 1 13 0.042612 R3 Rotation Minimum 1 4 0. Maximum 1 4 0. ...


Opimizacija debljine

l

89 1228

1566

1903

224

2578

2915

3253

359

3928

4265

4603

494

5277

5615

5952

0. 1 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 11 12EXACT DESIGN OBJECTIVE

629.

5032

4025

322

2576

2061

1649

1319

1012 69.

77 55.32

56.39

56.39

Dijagram promene funkcije cilja (mase konstrukcije) u toku iterativnog procesa.

opimizacijadebljine ploce

0.0176

0.0283

0.039

0.0498

0.0605

0.0712

0.082

0.0927

0.103

0.114

0.125

0.136

0.146

0.157

0.168

0.179

0.189

0.2

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.Prop 1: Thickness

0.2

0.16

0.128

0.102

0.0819

0.0655

0.0524

0.0419

0.0322

0.02220.0176 0.0179 0.0179

Dijagram promene debljine ploče u toku iterativnog procesa.


opimizacijadebljine ploce

-0.000327

-0.0003

-0.000273

-0.000246

-0.000219

-0.000192

-0.000165

-0.000138

-0.000111

0.0000845

0.0000575

0.0000306

-3.63E-6

0.0000233

0.0000503

0.0000772

0.000104

0.000131

1. 1.917 2.833 3.75 4.667 5.583 6.5 7.417 8.333 9.25 10.17 11.08 12.FRAC ERROR OF APPROX

-0.000021

-0.000173 -0.000172

-0.000232

-0.000052

-0.000327

-0.000149

0.0000801

0.000131

-0.00016

-0.00001870.

Dijagram greške u toku iterativnog procesa.

X

Y

Z 1000.1000.

44

4556

55

45

4657

5633

3445

44

34

3546

4522

2334

33

23

2435

3411

1223

22

12

1324

23

38123456 39

50

4123456

27123456 28

39

38123456 39

4051

50

16123456 17

28

27123456 28

2940

39

40

4152

515

123456 617

16123456 17

1829

28

29

3041

40

41

4253

526

718

17

18

1930

29

30

3142

41

42

4354

537

819

18

19

2031

30

31

3243

42

43

4455

548

920

19

20

2132

31

32

3344

43

1000.

9

1021

20

21

2233

32

1000.1000.

10

1122

21

1000.1000.

46

4758

57

1000.1000.

35

3647

46

47

4859

58

1000.

24

2536

35

36

3748

4713

1425

24

25

2637

36

14

1526

25

0.0309

0.029

0.027

0.0251

0.0232

0.0212

0.0193

0.0174

0.0155

0.0135

0.0116

0.00966

0.00773

0.00579

0.00386

0.00193

0.

V1L1C1

Output Set: MSC/NASTRAN Case 1Deformed(0.0309): Total TranslationContour: Total Translation

Ukupno pomeranje čvorova konzole

Dr Miomir Jovanović – ZAVRSNI ISPIT CAD (autorizovana predavanja) 1

PREDAVANJE 13-14


Priprema završnog ispita

UtvrĎivanje ispitnih sadrţaja,

Obnavljanje materije,

Priprema usmenog ispita.

Probni test.

“Sistem 80”

SPISAK ISPITNIH PITANJA IZ PRERDMETA

PROJEKTOVANJE RAČUNAROM - CAD

1. Definisati pojam layout-a, korisničkog interfejsa i windows-a :

2. Navesti grafičke tipove prikaza 3D objekata po sloţenosti i kvalitetu:

Ţičani model, Poboljšani ţičani model (Enchanced ruled line model), površinski model (Surfaced model),

Zapreminski model (Solid model).

3. Navesti tehnike za poboljšanje grafičke predstave objekta:

Poboljšanja: Metoda korišćenja skrivenih linija (Hidden line display),

Prikaz poligonalnom ispunjenošću (Filled polygon display),

Tehnika senčenja: Metoda proste - jednake osvetljenosti poligona (Constant shading),

Metode glatke promene senke (Smooth shading),

Metoda detaljne obrade svetlosti: mapa neravnina, senke od okolnih objekata (Phong shading).

4. Navesti tehniku apstraktnog vizuelnog prikaza geometrijskog sadrţaja ?

Centralna i paralelna perspektiva, stereo model ( Phong – Stereo Shading ), Filteri: (Blur, sharp, render)

5. Prikazati Boole-ovu operaciju unije dva koaksijalna valjka različitog prečnika.

6. Prikazati Boole-ovu operaciju diferencije prizme i prizme:

7. Koji su osnovni prostori u kompjuterskoj grafici ?

Prostor fizičkih koordinata WCS, normalizovanih koordinata NCS, prostor ureĎaja za prikaz DCS.

8. Šta je view ? Šta prikazuje view u tehničkoj dokumentaciji: Pogled na objekat. Prikazuje proekcije u

dokumentaciji. U op. sistemu Windows predstavlja pogled u odreĎenu aplikaciju, program, datoteku.

Projekcija prostornog modela na projekcionu ravan (Front Wiew, Top Wiew, Right wiew, Left Wiew,..) a u

specificiranom pravcu. Pogled je klasifikovan prema načinu dobijanja i moţe biti ortogonalnog tipa,

aksonometrijskog tipa (korišćeni u mašinstvu) i tipa perspektive (korišćen u arhitekturi).

9. Navesti dva standardna formata meta-datoteka. Navesti dva tipična modela boja. Navesti tri atributa fonta:

WMF (windows meta file), CGM (Computer Graphics Metafile), JPG (Joint Photographers Experts Group).

GIF - Compu Serve Graphics Interchange Format . Popularni BBS format koji kombinuje prikaz indeksirane kolor

grafike i hipertekst za HTML dokument.

10. Navesti sadržaj scene u kompjuterskoj grafici. Navesti jednu jednačinu B-splajna.

Sadrţaj scene: Objekti, scena, pozadina, izvori svetlosti, tačka pogleda na scenu.

11. Navesti smisao tehnika prikaza: shading. Navesti smisao tehnika prikaza: hidden. Navesti smisao tehnike

antialias. Prikazi modela senčanjem, obradom skrivenih linija, obradom zrnastih ivica linija.


12. Grafički prikazati Construct Parametric skinned solid tri uzastopna, medjusobno zarotirana četvorougla.

13. Grafički prikazati formu rezultat operacije na krugu: Construct Parametric Revolution (Revolving),

Kako se naziva kategorija entiteta dobijenog prethodnom operacijom. Odg.: Torusi.

14. Navesti 3 osnovna koncepta geometrijskog modeliranja. Definisati pojam primitive, solida i objekta .

BReP (Boundary Represention), CSG (Constructive Solid Geometry), 3D tehnikama (Technical features, skined).

15. Koliko nijansi boja proizvodi Grafički kontroler sa 24-bitnim registrom ? Odg: 224

=16,777216 boja.

16. Hardver: Navesti jedinicu (uredjaj) sa kojim komunicira RAM memorija. Definisati pojam bajta (byte).

Definisati šta čini mašinsku reč : Odg.: CP (Central processor). Osnovna jedinica logičkog sadrţaja. Izraţava

kapacitet memorijskog sadrţaja. Velićina: 8 bit = byte. Veća jedinica MB= Mega byte.

17. RAM memorija je namenjena za trajni smeštaj podataka o objektu ili privremeni (u toku obrade):

18. Navesti – Sve optičke periferne jedinice računara: CD, DVD, CCD skener, BAR-kod čitač, OPTCAL mouse.

Navesti sve magnetne periferne jedinice računara: Disketna jedinica A:, B:, Hard disk C:, Magnetna traka.

Definisati – Da li je nezaobilazna komponenta hard - disk računara: NE

19. Navesti namenu rutera:

Navesti namenu servera:

Navesti namenu sviča (swich):

20. Navesti dva servisa Internet komunikacije primenom arhitekture ISO-OSI: WWW, Gopher, Chat,

21. Klasifikacija metoda za projektovanje konstrukcija: Numeričke, analitičke. Metode analize metode sinteze. Metode

analize diskretnih modela, metode analize kontinualnih modela. Metoda deformacije, metoda sila, hibridna metoda.

22. Koncept proračuna struktura metodom deformacije (energetske osnove):

Jednačine, Energija i funkcional, Ritz-ov princip, Herlinger-Reisnerov princip minimuma.

23. Topološki opis svojstava konstrukcije u metodi deformacija: Geometrija je identifikovana čvorovima delova

konstrukcije. To su podaci koordinata poloţaja. U čvorovima su definisani stepeni slobode kretanja i oslonci –

ograničenja kretanja modela. To su translacije i rotacije. Nepoznate veličine su deformacije (6) u čvoru. Zakonom

mehanike se traţe izvodi ili varijacije energije po nepoznatim čvornim pomeranjima. Tako nastaje sistem

diferencijalnih jednačina koji se rešava nekom, najčešće numeričkom metodom.

24. Uslovi kompatibilnosti strukture u metodi deformacija: Σxi=0, Σyi=0, Σzi=0, To su provere jednakosti pomeranja

(deformacija) u čvorovima konstrukcije. Što je više tačaka provere (bilansa) pomeranja to je ravnomernije

prirodnije iskazana deformacija strukture. U FEM postoje numerički kriterijumi dozvoljenog debalansa (različitost

od nule) sila u čvoru. U programima metode deformacije (STRES) postoje ograničenja greške ravnoteţe sila.

25. Ideja i koncept metode konačnih elemenata. Osnovni principi mehanike za metodu:

26. Klasifikacija vrsta i tipovi konačnih elemenata: Dimenzionalnosti ( 1D, 2D, 3D),

Familiji - grupaciji (ljuska, ploča, greda),

Redu interpolacionih funkcija (linearan, paraboličan, kubni),

Geometriji (trougaoni, četvorougaoni),

Fizičkim osobinama (tanka ljuska, debela ljuska),

Materijalnim svojstvima (izotropan, anizotropan).

27. Principi generisanja mreţa u FEM (opšti kriterijumi diskretizacije):

28. ETAPE PROGRAMSKOG PRISTUPA FEM: 1. Diskretizovanje kontinuuma konstrukcije izabranim kon. elementima,

2. Izbor interpolacionih funkcija (funkcija oblika),

3. Sračunavanje karakteristika konačnih elemenata,

4. Formiranje algebarskog sistema jednačina konstrukcije,

5. Rešavanje algebarskog sistema jednačina,

6. Proračun potrebnih unutrašnjih veličina.

29. Četvorougaoni konačni element: OdreĎivanje interpolacione matrice i ukupnih (konturnih) pomeranja:


30. Potencijal i matrica krutosti konačnog elementa:

31. Postupak formiranja jednačine strukture:

32. Matrice transformacija i matrica krutosti konstrukcije: Jednačine, matrica.

33. Konvergencija, stabilnost i tačnost rešenja u MKE (pojmovi):

34. Koje osobine karakterišu izoparametarski konačan element. Koje osobine karakterišu super - element ?

35. Šta se dokazuje konvergencijom rešenja. Da li postoji drugi model pristupa tačnosti rešenja FEA modela ?

Konvergencijom se pokazuje pribliţenje rešenja numeričkog modela analitičkom rešenju. Konvergencijom se

izraţava i odstupanje numeričkog modela od analitičkog. Drugi model pristupa tačnosti zadatku: Adaptivni. To su

adaptivne mreţe kojima se automatizuje projektovanje diskretnog modela za analizu. Polaznae kategorije su bazni

diskretni model i zadata tačnost analize. Rezultat je modifikovana diskretna mreţa sa izjednačenom greškom

analize u kontinuumu. Greška dobijenog modela je manja od zadate. Recimo ispod 1%.

36. Skicirati tačku divergencije rešenja u FEA ? Dijagram, komentar.

37. Koji najčešći matematički postupak je osnova softverske realizacije programa za FEA ? Varijacioni.

38. Šta je to adaptivna (FEA) mreţa ?

Šta je to kontrolna mreţa ?

Šta je mapiran model ?

40. Šta je Geometrijski model, Idealizovan model , Model zona, Diskretni model ?

41. Navdite nekoliko alata (komandi) za automatsko generisanje mreţa:

Generisati mrežu na površini (Generate Mesh on a Surface)

Kreirati mrežu izmedju uglova - temena (Create Mesh between Corners)

Generisati mrežu na zapremini (Generate Mesh on a Volume)

42. Skicirati uniformnu mreţu na 2D objektu tipa kruţnog prstena. Koji tip konačnog elementa odgovara modelu ?

Skica. Ploča.

43. Navesti matematičku jednačinu jednog tipa interpolacione funkcije:

44. Šta je ravnanje mreţa:

Šta je slobodna mreţa:

Šta je adaptivna mreţa:

45. Izračunati broj čvorova uniformne FE mreţe na četvorougaonoj zakrivljenoj površini sa 8 x 7 redova elemenata:

46. Navesti dinamičku jednačinu strukture konačnih elemenata. Navesti jednačinu funkcionala konačnog elementa.

47. Navesti tip konačnog elementa kojim se diskretizuje uţe visećeg tereta.

Navesti kojim konačnim elementom se diskretizuje struktura rezervoara za mazut.

Navesti kojom osobinom konačnog elementa se opisuje elastična proporcionalnost.

48. Kojim konačnim elementom se diskretizuje elastičan oslonac konstrukcije ?

Kojim konačnim elementom se diskretizuje struktura u analizi mreţe cevovodnog sistema ?

Kojom osobinom konačnog elementa se opisuje elastična naproporcionalnost ?

49. Čime se kreira i realizuje diskretni model ? Odg.: Programima: Geometrijskim i mreţnim modelerom.

50. Navesti namenu programa SolidWorks, SAP, ALGOR:

51. Definisati namenu graničnog konačnog elemenata: Za definiciju zazora, zadora, elastičnog oslonca, ...

Definisati namenu kontaktnog elementa: Za vezu dva nezavisna kontinuuma u spoju.

Definisati klasu konstrukcija koje se diskretizuju membranskim elementima:

Tamo gde nema savijanja već samo zatezanja – plašt rezervoara pod pritiskom,

52. Navesti Postupak i etape rešavanja FEA zadataka kod kontinualnih površinskih nosača.


53. Klasifikacija metoda optimalnog projektovanja:

Navesti matematičke osnove zadatka minimizacije. Minimizacije u prisustvu / bez ograničenja,

zadaci sa / bez traţenja izvoda, zadaci sa formalnim ili postupnim pretraţivanjem hiper-prostora.

54. Navesti klasične kriterijume optimizacije:

55. Optimalno projektovanje: Uslovi egzistencije rešenja u metodi diferencijalnog programiranja.

56. OdreĎivanje karaktera ekstremuma FC u diferencijalnom programiranju:

57. Optimalno projektovanje: Koncept metode Lagranžeovih mnoţilaca:

58. Formirati sistem jednačina metodom Lagranţeovih mnoţilaca za optimizacioni problem sa tri ograničenja:

59. Naći optimalan prečnik valjkastog rezervoara - cisterne zadate zapremine, pri ograni čenju (H<D/4),

60. Definisati funkciju cilja i funkcije ograničenja optimalnih kutijastih nosača: Primer sa predavanja

61. Gradijentne metode. Flečer-Rivs metoda minimizacije:

62. Metoda Nelder-Mid. Ideja:

63. Metod fleksibilne tolerancije: Koncept, osnovne jednačine.

64. Odredi interval neodredjenosti 4-dimenzionog formalnog pretraţivanja sa promenljivama u intervalu 6.- 15.

Prema predavanjima. H=

65. Metode skeniranja: Koliko rešenja se ispituje pri formalnoj proceduri optimizacije ?

Broj parametara optimizacije n=3, Broj intervala neodreĎenosti svakog parametra H=9: N=( H+1)n = 10

3 =1000

66. Kakva je osnovna prednost metode fleksibilne tolerancije ?

Na bazi čega se menja korak u metodi fleksibilne tolerancije ?

Navesti namenu Hevisajdovog operatora u metodi Fleksibilne tolerancije.

Koji postupci preslikavanja se koriste u metodi fleksibilne tolerancije ?

67. Navesti tri nezavisna kriterijuma optimizacije tehničkih zadataka:

Navesti obrazac za jednu geometrijsku trtansformaciju kod Nelder-Meed metode:

Koji postupci preslikavanja se koriste u metodi Nelder-Meed ?

68. Računarska grafika: Namena GKS standarda,

Šta je grafičke stanica u GKS-u:

Definicija segmenta.

69. Navesti tipove menija programskih paketa:

70. Šta je izvorni program ?,

Šta je kompajler a šta linker ? ,

Kako se formira izvršni program ?,

71. Navesti značenja skraćenica CAE, CIM, CADD:

72. Koja performansa procesora se meri u IPS-u ? Koja performansa se meri LIPS-om ? Koja u FLOPS-u ?

73. Bazno svojstvo procesora odredjeno jedinicom bit ?

Arhitektura procesora ( 16 / 32 / 64 bit ) koja odreĎuje broj memorijskih pozicija u registrima za obradu podataka.

Broj putanja na magistralama procesora. Više putanja – veći protok.

74. Navesti standard za datoteku zvučnog zapisa i datoteku multimedijalnog zapisa: WAV, MPEG.

75. DEfinišite mapu neravnina:

Definišite tipove svetlosti u kompjuterskoj grafici:

Definišite pojam transparentnosti:


76. Definišite 3 osnovna modela boja u kompjuterskoj grafici:

Šta predstavlja: engl. Hue, engl. Purity ? Šta predstavlja pojam: engl. True color ?

77. Definišite pojam (engl. Templates):

Definišite pojam (engl. Grid control):

Definišite pojam (engl. Permanent Snap Modes):

78. Definišite pojam Fasetne mreţe (engl.Facet Meshes):

Definišite pojam (engl. Parts):

Definišite pojam (engl. Facet) i Patch:

79. Definišite elemente animacije:

Pojam splajna:

80. Definišite namenu CAD funkcije: Features manager:

Definišite tri Booleove operacje sa skupovima:

Deo II

USMENI ISPIT – PROBNI TEST

1. Definisati pojam layout-a:

Definisati pojam korisničkog interfejsa:

Definisati pojam aplikativnog sistema u kompjuterskoj grafici:

2. Navesti smisao tehnika prikaza: shading.

Navesti smisao: hidden.

Navesti smisao tehnike render.

3. Šta predstavlja skraćenica OCR u tehnici rada skenera ?

Navesti jedan vektorski I jedan bitmapirani standardni format 2D dokumenta:

Navesti format datoteke za film (digitalan snimak kamerom) i format muzičke datoteke:

4. U Boole-ovoj operaciji diference koaksijalne lopte i valjka različitog prečnika sa teţištem u istoj tački, koje telo je

dobijeno ?

Navesti 3 features tehnike u geometrijskom modeliranju:

Navesti prednost i nedostatak ţičanog prikaza geometrijskog sadrţaja ?

5. Klasifikovati konačne elemente po topologiji:

Klasifikovati konačne elemente po interpolacionim funkcijama:

Navesti jednačinu Lagranţeovog interpolacione funkcije u FEM:

6. Navesti dinamičku jednačinu strukture FEA:

Navesti osnovni izraz za funkcional jednog konačnog elementa:

Navesti jedan princip mehanike za formiranje sistema diferencijalnih jednačina u FEA ?

7. Koliko minimalno FEA proračuna omogućuje procenu stepena konvergencije rešenja:

Čime se karakteriše adaptivna mreža u FEM ?

Navesti tipove adaptivnih FEA mreţa: .

8. Nacrtati - skicirati upotrebu alata za FEM: “rotate elements ” :

Nacrtati - skicirati upotrebu alata za FEM: “revolve elements ” :

Kakva je razlika:

9. Kojoj grupi metoda pripada Nelder-Meed metoda ?

Navesti izraz za toleranciju u metodi fleksibilne tolerancije :

Navesti primer (jednačinu) jedne složenu funkciju cilja u optimizaciji:

10. Navesti jednačinu i kategoriju geometrijske transformacije po kojoj se ispituje minimum u metodi Nelder-Meed:

Da li metode fleksibilnih poliedara mogu da traţe ekstreme prekidnih funkcija ?

Definisati funkcional ograničenja T u metodi fleksibilne tolerancije:


11. Klasifikovati grupe - oblasti optimizacije:

Klasifikovati metode optimizacije:

Klasifikovati zadatke optimizacije:

12. Navesti Lagranţeovu funkciju i uslov minimuma:

Da li Lagranţeova metoda rešava linearne ili nelinearne probleme ?

Da li Lagranţevo metoda rešava zadatke sa ili bez ograničenja ?

13. Kojoj grupi metoda pripada Flecher-Reevs-ova metoda ?

Navesti jednačinu te procedure minimizacije:

Čime je uslovljen kraj numeričke procedure Flecher-Reevs-ovoj optimizaciji:

14. Navesti tipove menija programskih paketa:

Definišite pojam (engl. Parts):

Definišite pojam (engl. Facet) i Patch:

15. Navesti standard za datoteku zvučnog zapisa i datoteku multimedijalnog zapisa:

Navesti standard za datoteku bit mapiranog i vektorskog formata:

Navesti standard za datoteku filma ili animacije:

Ispit traje 45 minuta. Nije dozvoljeno korišćenje literature. Usmeni mogu polagati studenti koji su poloţili pismeni deo ispita.

19.01.2010. Predmetni nastavnik: dr M.Jovanović