República Bolivariana de VenezuelaMinisterio de Educación Superior

Universidad Simón BolívarSistemas de Control II

PS-2316

Tarea Especial:Diseño por realimentación de estados. Método LQR.

PRESENTADO POR: De Jesús, Sergio Sousa, Ronald. Rojas Raúl Diaslara, Ingrid.

Valle de Sartenejas, 8 de diciembre de 2009.

Tenemos las siguientes ecuaciones matriciales que representa nuestra maquina sincrónica:

A= 0 1 0−65.3 −0.6 −37.4−0.2 0 −0.5൩ B= 000.2൩ c=ሾ−0.9 0 0.4ሿ Para que rechace perfectamente perturbaciones estacionarias agregaremos un integrador al final del sistema de manera que mi función de transferencia sea de la siguiente manera: gሺsሻ= 0.08s2+0.048s+11.96s4+1.1s3+65.6s2+25.17s Luego determino mi g(-s) para ver el lugar geométrico de esta función multiplicada por g(s) lo cual debe dar de la siguiente manera:

𝑔ሺ−𝑠ሻ= 0.08s2−0.048s+11.96s4−1.1s3+65.6s2−25.17s

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Para cumplir las condiciones establecidas por el profesor tuvimos que hallar primero que todo el polo dominante de la siguiente forma:

𝜉= ට ln(𝑚𝑝)2ln(𝑚𝑝)2+π2 =0.6 𝑊𝑛= 4𝜉𝑡𝑠𝑠= 0.6666

𝑝𝑑= −𝜉𝑊𝑛±𝑗𝑊𝑛ඥ1−𝜉2= -0.4 ± j0.5333

Por consiguiente se prosiguió a buscar este punto en LGR de g(s)*g(-s) de manera de conocer la ganancia que aportaba en ese punto y así poder hallar r , lo cual la ganancia era aproximadamente K=3.81, con esto obtuvimos que r=1/3.81=0.2625

Q=C’*C=

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

con q con r y con la función lqr hallamos K

Donde K=lqr(g,Q,r)=[ -0.0200 -0.0354 2.7261 1.9519]

Una vez obtenido K buscamos nuestra nueva matriz An=(a-b*k)=

0 1.0000 0 0

-65.3000 -0.6000 -37.4000 0

-0.1935 0.0135 -1.3711 -0.7746

-0.9000 0 0.4000 0

Con esto hallamos nuestra nueva función de transferencia gn(s) a lazo abierto =

0.08 s^2 + 0.048 s + 11.96

---------------------------------------------

s^4 + 1.645 s^3 + 66.35 s^2 + 61.02 s + 23.34

y luego a lazo cerrado:

0.08 s^2 + 0.048 s + 11.96

---------------------------------------------

s^4 + 1.645 s^3 + 66.43 s^2 + 61.06 s + 35.29

Produciendo una respuesta temporal de la siguiente manera:

0 2 4 6 8 10 12 140

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

respuesta temporal a lazo cerrado ante un escalon

Cumpliéndose así las condiciones establecidas en el problema

Ahora por observador de estados:

Primero hallamos el vector observador L a través de la función (place) de matlab:

L’=place(A’,C’,Pd);

Donde Pd=[3,4,5,6]

De esta forma resulta el vector

L’=[-80.1133 -887.4266 5.7701 -19.1]

Luego, fue incluido en el siguiente modelo de simulink: h

tiempo2

h1

tiempo1

t

tiempo

referencia lazo cerrado1

referencia lazo cerrado

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

State-Space1

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

State-Space

Respuesta vs referencia1

Respuesta vs referencia

K LTI System4

L' LTI System3

C

LTI System2

A

LTI System1

B

LTI System

1s

Integrator

Clock

Arrojando como respuesta:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

t(seg)

D

con observador y realimentacion

En la comparación de la gráfica obtenida por el controlador y por el controlador más un observador, se verifica que la respuesta es ligeramente más rápida (diferencia menor a un segundo), que el máximo pico disminuye pronunciadamente haciendo la curva más suave y que mejora bastante el error de estado estacionario puesto que para una referencia de 1, el primero entrega una estabilización por debajo de 0,35 y el segundo arroja una estabilización por encima de 0,5.

Comparación:

Característica Realimentación Observador Ganancia 0.3388 0.5122

Máximo pico 7.7922% 2.0695% Margen de Fase ∞ 47.5°

Margen de Ganancia 4.41dB 40.6dB

Como datos analíticos se puede observar que al implementar un observador, la ganancia aumenta acercando más el sistema a la referencia y, por lo tanto, disminuyendo en gran medida el error en estado estacionario. Además disminuye en más de 5% el máximo pico y, como aplicar el observador implica que el controlador pertenece a la realimentación, aumenta más de 10 veces el margen de ganancia pero en detrimento del margen de fase que disminuye a 47,5 grados con el observador.