Solusi Ujian Tengah Semester Ganjil Tahun Ajaran 2016 – 2017 Mata Kuliah : Kalkulus I Dosen : Dr. Eko Pujiyanto, S.Si., M.T. Hari / Tanggal : Rabu , 2 November 2016 1. Selesaikan pertidaksamaan berikut

a. [ Nilai 10 ] ≥ 2 − 1

1− 2 + 1 ≥ 0

1 − 2 +≥ 0

−2 + 1≥ 0

(−2 − 1)( − 1)≥ 0

= −12

, = 1 = 0

+ − + −

− 0 1

= (−∞, −12

] ∪ (0,1]∎

b. [ Nilai 15 ] | − 2| ≥ 8

| − 2| =− 2, ≥ 2

− + 2, < 2

< 2 ≥ 2

| − 2| ≥ 8 2 | − 2| ≥ 8

(− + 2) ≥ 8 ( − 2) ≥ 8

− + 2 − 8 ≥ 0 − 2 − 8 ≥ 0

Tidak ada x yang memenuhi ( + 2)( − 4) ≥ 0

= −2 = 4

+ − +

−2 4

= (−∞, −2 ] ∪ [4, ∞) ∩ [2, ∞) = [4, ∞)∎

2. [ Nilai 25 ] Diketahui fungsi ( ) = − √ dan ( ) = 2 sin cos . Selidiki apakah ada ? Jika

ada tentukan daerah asal dan hasil

( ) = − √ ( ) = 2 sin cos = sin 2

∶ bawah akar ≥ 0 → [0, ∞) ∶ (−∞, ∞)

∶ Perhatikan − √ = √ −12

−14

∶ [−1,1]

0 ≤ x < ∞

0 ≤ √ < ∞

−12

≤ √ −12

< ∞

0 ≤ √ −12

< ∞

−14

≤ √ −12

−14

< ∞

−14

≤ ( ) = − √ < ∞

∶ [−14

, ∞)

Selidiki apakah ada ?

∩ = [−1,1] ∩ [0, ∞) = [0,1] , karena bukan ∅ maka ada

= ∈ ∶ ( ) ∈

(−∞, ∞) ∶ 0 ≤ sin 2 < ∞

(−∞, ∞) ∶ −∞ < < ∞

= (−∞, ∞)

= ∈ ∶ = ( ), ∈

−14

, ∞ ∶ −1 ≤ ≤ 1

0 ≤ √ ≤ 1

−12

≤ √ −12

≤ 12

0 ≤ √ −12

≤14

−14

≤ √ −12

−14

≤ 0

= −14

, ∞ ∩ −14

, 0 = −14

, 0 ∎

Ilustrasi fungsi f(x)

Ilustrasi fungsi g(x)

3. Tentukan nilai limit berikut

a. [ Nilai 10 ] lim→

√

b. [ Nilai 15 ] lim→

lim→

tan−1 + cos 3

Perhatikan bahwa cos 3 = (1 − 2sin )

lim→

tan

−1 + 1 − 2sin 32

= lim→

tan

−2sin 32

= lim→

tan

−2sin 32

.

= −12

lim→ sin

32

. lim→ sin

32

. lim→

tan= −

12

.23

.23

= −29

∎

Ilustrasi fungsi

ketika → ∞ fungsi mendekati −

Ilustrasi fungsi f(x)

4. [ Nilai 25 ] Tentukan nilai a dan b sehingga fungsi ( ) berikut kontinu pada daerah asalnya

( ) =+

− 1, < 1

2 − 6 , ≥ 1

Tunjukan kontinu di titik x=1

( ) kontinu di = 1 jika lim→

( ) = (1)

lim→

( ) = ada jika bentuk limitnya

Artinya lim→

+ = 0 … (i)

lim→

− 1 = 0 ….(ii) … terpenuhi

Untuk mencari nilai a dan b , cari dulu hubungan antara a dan dari persamaan (i)

lim→

+ = 0 → + = 0 → − =

Subtistusi − =

lim→

= lim→

lim→

( − 1)− 1

= lim→

( − 1)( + 1)− 1

= 2

Supaya ( ) kontinu di = 1 jika lim→

( ) = (1) → 2 = −4 → = −2 = 2 ∎